Vollständiger Lehrbegriff
der
höhern Analysis
von
Johann Tobias Mayer
,
Königlich-Großbritannischen Hofrath und Professor in Göttingen.
Zweyter Theil. Die Integralrechnung
.
Göttingen
,
Im Verlage bey
Vandenhoek
und
Ruprecht
.
1818
.
Inhalt
des
zweyten Theiles dieser höhern Analysis.
Integralrechnung
. Vorbegriffe und Grundformeln §. 103. 104. 105.
Erstes Kapitel
.
Integrirung rationaler Differenziale. Die Formel
d y = X d x
zu integriren; wenn
X
eine algebraische ra- tionale ganze Function von
x
ist. §. 107.
Die Formel
zn integriren, wenn
M
,
N
der- gleichen Functionen sind §. 109-118.
Reductionsformeln zu diesem Behufe §. 119-124.
Zweytes Kapitel
.
Integration irrationaler Differenziale. Das Integral
zu
sinden
, wenn
M
,
N
irrationale Functionen von
x
sind. §. 125-128. Wenn
M
,
N
keine andern
irrationalen
Größen als √(
α
+
β
x
+
γ
x
2
) oder Potenzen davon, enthalten §. 129-130.
Noch einige Formen von irrationalen Differenzialen, wel- che sich rational machen und integriren lassen. §. 131- 133.
)( 2
Inte-
Inhalt
.
Integrale welche von elliptischen oder hyperbolischen Bo- gen abhängen. §. 134.
Drittes Kapitel
.
Integration der Differenzialformeln, in welchen exponen- tial- oder logarithmische Functionen vorkommen. Dahin gehörige Reductionsformeln. §. 135-144.
Integrallogarithmen. Hieher gehörige Vemühungen der Hrn.
Soldner, Valberga-Caluso, Bessel
u. a. §. 145-149.
Viertes Kapitel
.
Integration von Differenzialen, welche Kreisfunctionen enthalten, nebst dahin gehörigen Neductionsformeln. §. 151-162.
Integration durch Reihen §. 163. 164.
Johann Ber- noulli, Taylor
ꝛc.
Integrale innerhalh bestimmter Werthe der veränderli- chen Größe
x
§. 165.
Fünftes Kapitel
.
Integration von Differenzialgleichungen
P d x + Q d y = o
worin
P
,
Q
, Functionen von
x
und
y
bedeuten.
Bedingungsgleichungen für diesen Fall §. 166. Wenn diese statt finden, die Integration zu bewerkstelligen §. 167-172.
Integrirende Factoren §. 173-179.
Wenn
P
,
Q
gleichartige Functionen von
x
,
y
sind, die Integralgleichung von
P d x + Q d y = o
zu finden §. 179.
Transscendentische Integrale können in manchen Fällen durch algebraische Formen dargestellt werden. §. 179. 4.
Integrirende Factoren für gleichartige Differenzialglei- chungen. §. 180.
Glei-
Inhalt
.
Gleichuugen welche nicht gleichartig sind, können in man- chen Fällen durch geschickte Substitutionen in gleich- artige verwandelt werden. §. 181-182.
Integration durch Absonderung der veränderlichen Grö- ßen. §. 183.
Die
Riccatische
Differenzialgleichung §. 184-186.
Sechstes Kapitel
.
Von den
besondern
Auflösungen und
particulären Integralen
gewisser Differenzialgleichungen. §. 187. nebst Beyspielen.
Zu untersuchen ob eine solche Gleichung besondere Aaflö- sungen zuläßt, und solche zu finden. §. 189.
Siebentes Kapitel
.
Von den Integralen solcher Differenzialgleichungen wie
X d x + Y d y = o
, worin
X
und
Y
, symmetrische Functioneu von
x
,
y
sind. §. 191.
Ferner transcendentische Gleichungen durch algebraische auszudrücken. §. 192.
Das Integral vou
zu finden, wenn
X
,
Y
dergleichen symmetrische Functionen sind. §. 193-196.
Achtes Kapitel
.
Die Formen von Differenzialgleichungen auszumitteln, wenn solche durch gegebene Factoren sollen integrirt werden können, oder auch die Formen integrirender Factoren selbst zu finden. §. 197-201.
Neuntes Kapitel
.
Integrationen durch Annäherungsmethoden. Werthe der Integrale innerhalb bestimmter Gränzen z. B. von
x = a
bis
x = b
. Durch Interpolation. §. 202.
Montucla, Cotesius
. §. 202. 34.
Anwen-
Inhalt
.
Anwendung einer ähnlichen Methode um in einer Glei- chung wie
y = funct. x
, wo
funct. x
jede alge- braische oder transcendentische gegebene Function von
x
bedeutet, für einen gegebenen numerischen Werth von
y
, den zugehörigen Werth von
x
zu finden. §. 203.
Zebntes Kapitel
.
Integration der Differenzialgleichungen vom zweyten Grade.
, wo
Q
,
R
,
S
,
T
Functionen von
x
,
y
, und
, be- deuten. Es muß hiebey irgend ein Differenzial als constant angenommen werden. §. 204. 6.
Reducirte
Gleichungen für diese Fälle. §. 204. 7. ꝛc.
Wenn die vorgegebene Differenzialgleichung so beschaffen ist, daß die aus ihr entstehende
reducirte
, keine andern Größen als
und
enthält, die Integration zu bewerkstelligen. §. 205-210.
Wenn dle reducirte bloß die Größen
x
,
p
,
q
, oder
y
,
p
,
q
, enthält, die Integration zu bewerkstelligen. §. 211-214.
Wenn alle vier Größen
x
,
y
,
p
,
q
, darin vorkommen. §. 215-217.
Differenzialgleichungen vom zweyten Grade, in andere von einer ähnlichen Form zu verwandeln, welche so beschaffen sind, daß wenn ihre Integrale gefunden werden können, dadurch auch die Integrale der vor- gegebenen bekannt werden. §. 218.
Rutzen der Particulärintegrale, um die vollständigen zu flnden. §. 218-221. (Bey dieser Gelegenheit noch über die Riccatische Gleichung, ebendas. §. 221.) Nutzeu den Reihen unterweilen hiebey gewähren. §. 222.
Eilf-
Inhalt
.
Eilftes Kapitel
.
Ueber einige Fälle von Integrationen höherer Differen- zialgleichungen. Die Gleichungen
zu integriren, wenn
N
,
M
bloß Functionen von den niedrigern Differenzialquotienten in jeder dieser Gleichungen sind. §. 225-226.
Die Gleichung
zu integriren, wenn
X
eine bloße Function von
x
ist. §. 227.
zu integriren. §. 228.
zu integriren, wenn
X
,
X
bloß Functionen von
x
sind. §. 229.
Noch ein etwas zusammengesetzter Fall. §. 230.
Die Differenzialgleichung
ꝛc. =
o
zu integriren. §. 232.
Ferner
zu in- tegriren. §. 233.
Noch eine hieher gehörige Integeation. §. 234.
Zwölftes Kapitel
.
Integration von Differenzialgleichungen worin mehr als zwey veränderliche Größen vorkommen. Zuerst wenn 3 veränderliche Größen vorkommen.
Bedingungen der Integrabilität §. 235 u. f. nebst den Vorschriften zur Jategration selbst. Das.
I
ter Fall und
II
ter Fall nebst Beyspielen.
Wenn
Inhalt
.
Wenn mehr als drey veränderliche Größen vorkommen. §. 236.
Dreyzehntes Kapitel
.
Auflösung oder Integration der Gleichungen mit partiel- len Differenzialen.
Vorbereitung und Entwickelung der Begriffe §. 237. nebst Beyspielen.
Integration lineärer Gleichungen mit partiellen Differen- zialen, wenn nur drey veränderliche Größen
x
,
y
,
z
vorkommen. §. 238-240.
Erläuterung durch einzelne Fälle und Beyspiele. §. 241- 244.
Wenn die lineären Gleichungen mehr als drey veränder- liche Größen enthalten. §. 245.
Integration von Gleichungen, welche nicht lineär sind. §. 246-248.
Integration von Gleichungen mit höhern partiellen Dif- ferenzialen als vom ersten Grade. §. 250.
Ueber die unbestimmten Functionen, welche bey allen diesen Integrationen vorkommen. §. 251.
Hrn. Hofr. J. F.
Pfaffs
allgemeine Methode, die li- neären Gleichungen zu integriren. §. 252.
Höhere Analysis
.
Zweyter Theil. Integralrechnung
.
Höh. Anal.
II.
Th.
A
Integralrechnung
.
Vorbegriffe und Grundformeln
.
§. 103.
I.
D
ie Integralrechnung ist das Umge- kehrte der Differenzialrechnung. So wie diese aus einer gegebenen Gleichung zwischen zwey oder mehr veränderlichen Größen, das Verhalten der Differenziale dieser Größen, von welcher Ordnung auch die Differenziale seyn mögen, also die
Dif- ferenzialgleichung
zu finden lehrt, so wird umgekehrt in der Integralrechnung das Verfah- ren gezeigt, aus einer vorgegebenen Differenzial- gleichung die Gleichung zwischen den veränderli- chen Größen selbst zu finden, aus welcher jene Differenzialgleichung entstehen würde. Das Ver- fahren, diese Aufgabe zu bewerkstelligen, nennt man die
Integration
, und die erhaltene Gleichung
A 2
die
Zweyter Theil.
die
Integralgleichung
, oder auch schlechtweg das
Integral
der vorgegebenen Differenzial- gleichung.
II.
Nehmen wir erstlich eine Differenzial- gleichung zwischen zwey veränderlichen Größen
x
,
y
, so wird sich solche allemahl durch
P d x + Q d y = o
ausdrücken lassen, wo
P
,
Q
nach Ge- fallen Funktionen von
x
und
y
allein, oder auch von beyden veränderlichen Größen zugleich seyn können.
III.
Sind nun
P
und
Q
Funktionen von
x
allein, so hat man
wenn —
der Kürze halber mit
X
bezeichnet wird.
IV.
Hier ist also
X
eine Funktion von
x
, und
y
das Integral von
X d x
d. h. hieje- nige Funktion von
x
, welche differenziirt
X d x
geben würde.
Man zeigt dies Integral durch den Buchstaben
∫
an
V.
Dieser Fall, daß
P
und
Q
, und folg- lich auch
X
bloß allein eine Funktion von
x
(oder eben so auch
P
,
Q
beyde bloß Functionen von
y
)
sind,
Integralrechnung. Vorbegriffe.
sind, ist der leichteste in der Integralrechnung daher denn auch gewöhnlich mit der Integration solcher Differenziale der Anfang gemacht wird, wenn gleich nach Beschaffenheit der Function
X
, je nachdem solche algebraisch oder transcendent ist, auch hier oft manche Schwierigkeiten bey der In- tegration sich zeigen, so wie man denn überhaupt leicht sieht, daß es weit schwerer ist, zu einem vorgegebenen Differenzial das Integral zu finden, als hingegen eine vorgegebene Function zu diffe- renziiren, welche Operation man völlig in seiner Gewalt hat.
VI.
Eben so hat auch der Fall keine Schwie- rigkeit, wenn
P
bloß allein eine Function von
x
, und
Q
bloß allein eine Funktion von
y
wäre. Hier ist alsdann
P d x
bloß allein das Differenzial einer Function von
x
, und
Q d y
bloß allein das Differenzial einer Function von
y
, und wenn man daher einen Ausdruck integriren kann, worinn nur eine veränderliche Größe vorkömmt, d. h. wenn man die einzeln Integrale
∫
P d x
;
∫
Q d y
finden kann, so hat man, die Gleichung
wo
C
eine
unveränderliche Größe
bezeich- net, (welche auch durch das Wort
Constans
an-
gedeu-
Zweyter Theil.
gedeutet wird) als die Integralgleichung der vorge- gebenen Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
zu betrachten.
VII.
Eben so ist auch
P d x + Q d y = o
leicht zu integriren, wenn
P
bloß eine Function von
y
, und
Q
bloß eine Function von
x
wäre. Denn man hätte alsdenn
; oder
, wo
u.
wieder Differenziale, jedes nur von einer veränderlichen Größe, darstellen.
VIII.
Sind aber
P
,
Q
, nach Gefallen ver- mischte Functionen von
x
und
y
, dann reichen oft alle Kunstgriffe nicht hin, die Integrale sol- cher Differenzialgleichungen zu finden. Ja es können Differenzialgleichungen so beschaffen seyn, daß auch gar keine Relation zwischen den verän- derlichen Größen statt findet, woraus eine solche Differenzialgleichung abgeleitet werden könnte, und also solche Differenziale für bloße Chimären ge- halten werden müssen.
IX.
Ist nun endlich eine Differenzialgleichung so beschaffen, daß darinn sogar auch höhere Dif-
feren-
Integralrechnung. Vorbegriffe.
ferenziale, z. B. die Differenzialquotienten
oder auch Potenzen von
vorkommen, so entstehen der Schwierigkeiten noch mehrere, um die Integralgleichungen zu erhalten. Aber die Integralrechnung ist bis jetzt noch nicht zu dem Grade der Vollkommenheit gelangt, um für jeden Fall eine genügende Auflösung geben zu können, und was bis jetzt darinn geleistet worden, ist un- beträchtlich gegen dasjenige, was noch zu wünschen übrig ist. Um wie viel größer noch die Schwie- rigkeiten werden müssen, wenn außer zwey ver- änderlichen Größen, so gar noch mehrere vorkom- men, bedarf keiner weitern Erinnerung.
X.
Im gegenwärtigen Kapitel wollen wie uns bloß mit der Integration der Differenzialglei- chungen von der Form
d y = X d x
, wo
X
bloß eine Function von
x
ist, beschäftigen, und also zeigen, wie die Integrale
y
=
∫
X d x
zu finden sind, je nachdem
X
eine rationale, irra- tionale oder auch eine transcendentische Function von
x
seyn würde.
§. 104.
Zweyter Theil.
§. 104.
1. Zur Grundlage der folgenden Untersu- chungen werden uns die vorzüglichsten in der Dif- ferenzialrechnung gefundenen Differenzialformen nützlich seyn.
2. So z. B. fanden wir, wenn die Function
vorgegeben war, wo
C
eine unveränderliche oder Constante Größe bezeichnete, die Differenzialglei- chung
Von dieser ist also umgekehrt
die Integralgleichung d. h.
dem In- tegral von
n A x
n — 1
d x
.
3. Man setze der Kürze halber
n A = B; n — 1 = m
also
so ist
, wegen
Von dem Differenzial
B x
m
d x
ist also das Integral =
, wovon man sich auch wieder durch die Differenziation überzeugen kann.
4.
Integralrechnung. Vorbegriffe.
4. Für
B
= 1 ist
d y = x
m
d x
also
der Exponent
m
kann hier jede ganze bejahte, verneinte oder auch gebrochene Zahl seyn.
5.
Die constante Größe
C
muß je- desmahl aus den Umständen der Aufga- be, welche auf die angeführte Differen- zialgleichung geführt hat, bestimmt wer- den
. Ist z. B. die Aufgabe so beschaffen, daß für
x = o
auch
y
oder das Integral =
o
ist, so erhellet, daß in diesem Falle auch die bestän- dige Größe
C = o
seyn würde.
Sollte aber z. B.
y = a
werden für
x = o
, so würde
C = a
seyn müssen, also
Wäre die Aufgabe so beschaffen, daß
y = a
für
x = b
würde, so hätte man, diese Werthe statt
y
und
x
in die Integralgleichung (3) gesetzt,
demnach
Mithin
Zweyter Theil
Mithin, für jeden andern Werth von
x
Oder
woraus man sieht, daß für
x = b
; würklich
y = a
wird, wie es die Bedingung der Auf- gabe verlangte.
So werden auf eine ähnliche Weise die con- stanten Größen in andern Integralen aus den Bedingungen der Aufgabe bestimmt.
6. Der einzige Fall wenn
m
= — 1 also (4)
wäre, würde für das Integral den Werth
geben, ein Ausdruck wobey sich nichts denken läßt, und der wegen
x
o
= 1, unveränderlich, und zwar eine unendliche Größe zu seyn scheint.
7. Indessen hat das Integral von
oder
dennoch eine bestimmte Bedeutung,
denn
Integralrechnung. Vorbegriffe.
denn wir haben in der Differenzialrechnung (§. 26.) gesehen, daß der Ausdruck
das Differenzial des natürlichen Logarithmen von
x
be- zeichnet, also ist umgekehrt
Der Ausdruck
. will also nur andeuten, daß eine transcendente Größe wie
log x
nicht als eine einzige Potenz der veränderlichen Größe
x
angesehen werden kann, und daß es an und für sich ungereimt ist, einen Ausdruck wie
, worinn
x
o
= 1 eine unveränderliche Größe ist, differenziiren zu wollen.
8. Wir dürfen indeß, das oben gefundene Integral
nur auf eine etwas andere Art ausdrücken, um zu eben der Schlußfolge (7) zu gelangen.
9. Man setze (Differenzial R. §. 74. Beysp.
II.
3.) das dortige
u = x
m + 1
; so hat man we- gen
log u = (m + 1) log x
;
u. s. w.
also
Zweyter Theil.
also (8)
ꝛc. Hier hat man also eine Reihe, welche allgemein das Integral
∫
x
m
d x
darstellt, was auch
m
für einen Werth haben mag, und unter welcher Form das Integral auch öfters vortheilhaft gebraucht werden kann. Für
m
= — 1 wird
m + 1 = o
und
weil alle Glieder worin die höheren Potenzen von
log x
vorkommen, wegen des Factors
m + 1 = o
und dessen Potenzen =
o
, wegfallen.
Es ist also
einer constanten Größe völlig wie (7), so daß also obige Reihe auch selbst die richtige Bedeutung von
für den Fall, daß
m
= — 1 ist, darstellt.
10. Uebrigens bedarf es keines Beweises, daß es einerlei ist zu schreiben
∫
B x
m
d x
oder
B
∫
x
m
d x
wenn
B
einen unveränderlichen Factor bezeichnet, wie in (3) stillschweigend zum Grunde liegt.
§. 105.
Integralrechnung. Vorbegriffe.
§. 105.
Wir wollen nun die einzelnen Integrale, de- ren Differenziale in der Differenzialrechnung be- reits vorgekommen sind, der Ordnung nach her- setzen, um daraus weitere Folgerungen ableiten zu können.
I.
II.
(§. 16. Differ.)
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
Zweyter Theil.
XI.
(§. 34.)
XII.
(§. 35.)
XIII.
(§. 37.)
XIV.
(§. 38.
XV.
(§. 40.)
XVI.
(§. 44.)
XVII.
(§. 44.
III.
)
XVIII.
(§. 44.
IV.
)
XIX.
(§. 44.
V.
)
XX.
(§. 45.
VI.
)
XXI.
(§. 45.
VII.
)
XXII.
Woraus wenn, man 2
φ
= 90° +
ψ
setzt, auch sehr leicht erhält
XXIII.
=
Arc sin x = — Arc cos x
(§. 46.
I.
)
XXIV.
Integralrechnung. Vorbegriffe.
XXIV.
=
Arc tang x = — Arc cot x (§. 46. III.) XXV.
=
Arc sec x = — Arc cosec x
(§. 46.
V. VI.
)
§. 106.
Aus diesen
Fundamentalformeln
, las- sen sich die Integrale von einer großen Menge zu- sammengesetzterer Differenzialformeln ableiten, wie nachstehende Aufgaben ausweisen. Daß übrigens zu jedem Integrale das vorigen §es noch eine constante Größe hinzugesetzt werden kann, will ich hiemit ein für allemahl erinnern.
Erstes Kapitel
. Integrirung rationaler Differenziale.
§. 107.
Aufgabe
.
Wenn
X
eine rationale ganze Funk- tion von
x
bedeutet, die Formel
d x = X d x
zu integriren d. h. den Werth von
y =
∫
X d x
zu finden.
Aufg
.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
Aufg
I.
In diesem Fall läßt sich
X
alle- mahl durch eine
endliche
Reihe von der Form
X = a x
m
+ b x
n
+ c x
μ
+ …
ausdrücken, wo
m
,
n
,
μ, ν
, … ganze Zahlen seyn werden, und der Glieder so viel als man will, seyn können.
II.
Also hat man
d x = a x
m
d x + b x
n
d x + c x
μ
d x
..
III.
Mithin durch Integration aller einzeln Differenziale dieses Ausdrucks, das ganze Integral
y
oder
∫
(a x
m
+ b x
n
+ c x
μ
..)
d x
=
∫
a x
m
d x +
∫
b x
n
d x +
∫
c x
μ
d x
ꝛc.
Const.
wo
Const
die hinzuzuaddirende, aus den Bedin- gungen einer Aufgabe zu bestimmende beständige Größe bezeichnet.
Beyspiele
.
Beysp
.
I.
Es sey
d y = 5 x
3
d x + 7 x
2
d x + 15 x
7
d x
so ist das Integral
y =
\frac{5}{4}
x
4
+
\frac{7}{3}
x
3
+
\frac{15}{8}
x
8
+ Const
Beysp
.
II.
Es sey
d y = (5 + 7 x + 8 x
2
)
3
d x.
Hier muß man
von
Integralrechnung.
von
5 + 7 x + 8 x
2
erst den Würfel machen, sodann jedes Glied in
d x
multipliciren und inte- griren. Dies giebt nach gehöriger Rechnung
Und so in ähnlichen Fällen. Kommen unter den einzeln Differenzialen negative Glieder, so wer- den die Integrale davon auch negativ gesetzt.
Beysp
.
III.
In manchen Fällen ist es un- nöthig, einen Ausdruck wie (B.
II.
) erst auf eine Potenz zu erheben, z. B. wenn
d y = (a + b x)
m
d x
wäre. Hier könnte man zwar
a + b x
auf die Potenz
m
erheben, und
(a + b x)
m
durch eine Reihe ausdrücken, jedes Glied mit
d x
multipli- ciren und integriren (wie
Beysp
.
II.
). Aber kürzer findet man das Integral durch Hülfe einer zweckmäßigen Veränderung des Differenzials.
Man setze der Kürze halber
a + b x = u
, so wird
b d x = d u;
oder
; mithin
Höh. Anal.
II.
Th.
B
d y
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
also durch Integration
oder, statt
u
den Werth
a + b x
wieder gesetzt,
Const.
Beysp
.
IV.
Wäre
d y = (a + b x
n
)
m
x
n — 1
d x
, so setze man wieder
a + b x
n
= u;
so ist jetzt
n b x
n — 1
d x = d u
also
mithin
;
wovon das Integral
Const.
oder
Const.
ist.
Wäre die Größe von der eine Potenz zu machen ist, aber dreygliedrig, so lassen sich schon dergleichen Vortheile nicht anbringen. Da muß man also die Potenz würklich machen, wie (
Beysp
.
II.
), um integriren zu können.
§. 108.
Integralrechnung.
§. 108.
Anmerkung
.
In (§. 107.
II.
) wurden zwar
m
,
n
,
μ
, .. zu ganzen Zahlen angenommen, man sieht aber leicht, daß diese Exponenten auch Brüche seyn können, und auch für diesen Fall die Integration noch statt finden wird.
Beysp
. Es sey
so würde zwar die in
d x
multiplicirte Function jetzt keine ganze rationale Function seyn, aber wegen
wird dennoch das Integral, zufolge der allgemei- nen Formel
, wo
m
der Ord- nung nach = + 2; — 3; ½; ⅔ gesetzt wird, gefunden, nemlich,
oder
B 2
y
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
und so in andern Fällen.
§. 109.
Aufgabe
.
Wenn
eine rationale Bruchfunk- tion von
x
bedeutet
,
zu inte- griren
.
Aufg
.
I.
Einige leichtere Fälle ergeben sich schon aus (§. 105.
VII. X. XXIV.
) woraus sich denn in den folgenden §§en die schwerern herleiten lassen.
2. Man setze in (§. 105.
VII.
)
x = b u
, so hat man
d x = b d u
mithin
also
3. Ein Differenzial von der Form
hat also zum Integral den Ausdruck
.
Hier
Integralrechnung.
Hier kann nun statt
u
auch wieder jeder andere, auf eine veränderliche Größe sich beziehende Buch- stabe gesetzt werden. Setzt man also jetzt
x
statt
u
so muß auch
seyn, ein Integral von einer etwas allgemeinern Form als das
4. Man sieht indeß, daß das allgemeinere auch ohne Beyhülfe des neuen Buchstabens
u
, sogleich aus dem letztern selbst hätte abgeleitet wer- den können. Denn da in dem Ausdrucke
statt
x
überhaupt jede veränderliche Größe gesetzt werden kann, so kann man dafür auch
b x
schrei- ben. Dann verwandelt sich aber
d x
in
b d x
, und man erhält daher durch diese Substitution sogleich
Mithin
.
wo
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
wo
C
die hinzuzuaddirende
Conftans
bezeichnet. Hier hätte also die Bruchfunction
die Form
.
Soll das Integral
für
x = o
auch =
o
werden, so hat man für die Bestimmung der Constante
C
die Gleichung
also
demnach
5. Nach einem ähnlichen Verfahren setze man in die Formel (§. 105.
X.
) statt
x
den Werth
, also statt
d x
den Werth
; so erhält man
wor-
Integralrechnung.
woraus sehr leicht
folgt, wenn man Zähler und Nenner des hinter dem Integralzeichen
∫
stehenden Differenzials mit
a
2
, und Zähler und Nenner der Größe, wovon der Logarithme genommen wird, mit
a
multiplicirt.
Hier wäre also die Bruchfunction
von der Form
6. Eben so setze man in (§. 105.
XXIV.
)
statt
x
so erhält man nach einer ähnlichen Rech- nung wie (5) das allgemeinere Integral
Arc tang
.
Hier wäre also
7. Wenn man in der Formel (5)
c + x
statt
x
setzt, so läßt sich aus ihr noch eine allge- meinere ableiten, denn man erhält erstlich
8.
Zweiter Theil. Erstes Kapitel.
8. Wenn nun in diese der Kürze halber
a
2
— b
2
c
2
=
α
— 2
b
2
c
=
β
b
2
=
γ
gesetzt wird, so lassen sich aus diesen 3 Gleichun- gen die Werthe von
a
,
b
,
c
, durch
α, β, γ
, ausdrücken, und man erhält
. Dies giebt denn (7) das Integral
. welches noch allgemeiner als das Integral (7) ist.
9. Es ist nicht überflüssig, hiebey zu be- merken, daß es völlig einerley ist, die Wurzel- Größe √ (
β
2
+ 4
α γ
) bejaht oder verneint zu nehmen. Ich will sie der Kürze halber √
m
nennen, so läßt sich leicht darthun, daß
denn es läßt sich der negative Logarithme rechter Hand des Gleichheitszeichens positiv machen, wenn man den Bruch umkehrt, zu dem der Logarithme gehört d. h. er läßt sich ausdrücken durch
Multi-
Integralrechnung.
Multiplicirt man nun Zähler und Nenner des Bruchs von dem der Logarithme genommen ist, gemeinschaftlich mit — 1, so erhält man denjeni- gen linker Hand des Gleichheitszeichens.
10. Würde man in der zuletzt (8) gefunde- nen Formel
γ
negativ nehmen, so erhielte man
Das Integral
= =
.
11. Dieser Logarithmische Ausdruck für das Integral
kann nach (§. 48.) auch durch Kreisbogen dargestellt werden. Man schreibe √ — 1. √ (4
α γ
—
β
2
) statt √ (
β
2
— 4
α γ
) linker Hand des Logarithmenzeichens, und
statt √ (
β
2
— 4
α γ
) rechter Hand deß Zeichens, weil diese Ausdrücke gleich- gültig sind, so erhält man den logarithmischen Ausdruck (10)
jetzt setze man weiter
;
oder
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
oder
φ
= einem Bogen dessen Tangente =
ist, so verwandelt sich der zu- letzt gefundene logarithmische Ausdruck in
oder in
(§. 48. 1) d. h. in den Ausdruck
.
Arc tang
.
12. Demnach kann für das Integral (10) auch die eben gefundene Formel geschrieben wer- den, d. h. wenn der Kürze halber
α
+
β
x
+
γ
x
2
= X
genannt wird, so hat man
wozu denn noch wie gewöhnlich eine
Constans
addirt wird.
13. In diesen zwey Ausdrücken für
können nun nach Gefallen,
α, β, γ
bejaht oder
ver-
Integralrechnung.
verneint seyn. Fände sich nun z. B. daß
β
2
— 4
α γ
in dem logarithmischen Ausdruck (10) ver- neint wäre, so würde √ (
β
2
— 4
α γ
) eine ima- ginäre Größe. Statt der imaginären Form die der Logarithme erhält, nimmt man alsdann den reellen Ausdruck (12) durch Kreisbogen, in wel- chem nunmehr √ (4
α γ
—
β
2
) eine mögliche Größe ist, kurz man wählt von beyden Ausdrük- ken des Integrals allemahl denjenigen, der die reelle Form hat, welches sich in jedem Falle leicht beurtheilen läßt.
14. Es versteht sich, daß der Kreisbogen der in dem Integrale vorkömmt, allemahl in Deci- maltheilen des Halbmessers 1 genommen werden muß.
15. Der einzige Fall, wenn
β
2
— 4
α γ
=
o
wäre, bedarf noch einer Erläuterung. Alsdann wäre nemlich
.
Ausdrücke, wobey sich als Integrale nichts den- ken läßt. Es zeigt sich aber, daß in diesem Falle der Nenner
α
+
β
x
+
γ
x
2
wegen
β
= 2 √
α
√
γ
ein
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
ein vollständiges Quadrat ist, nemlich
α
+ 2 √
α
√
γ
·
x
+
γ
x
2
oder (√
α
+
x
√
γ
)
2
und daß sich folglich
in
verwandelt, welches sich nach (§. 107. B.
III.
) integriren läßt, wenn man das dortige
m
= — 2;
a
= √
α
;
b
= √
γ
setzt, wo sich denn für das Integral der Ausdruck
oder —
oder —
ergiebt, wozu noch eine
Const.
addirt wird.
§. 110.
Zus.
I.
Es sey ein Differenzial von der Form
zu integriren
. Man setze
α
+
β
x
+
γ
x
2
=
X
, so hat man
log
(
α
+
β
x
+
γ
x
2
) =
log X
und differenziirt
Mithin
x d x
Integralrechnung.
Oder
Hier ist also das Integral
y
oder
gefunden, wenn man statt
den Ausdruck (§. 109. 10. 12.) entweder in Logarithmen oder in Kreisbogen genommen, noch substituirt.
Zus
.
II.
Wäre
zu integriren
, wo A, B beliebige unveränder- liche Coefficienten bedeuten, so setze man wieder der Kürze halber
α
+
β
x
+
γ
x
2
=
X
, und man erhält
wo
aus (§. 109. 12.) genommen wird.
§. 111.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
§. 111.
Zus
.
III.
Es sey
eine
rationale Bruchfunktion
von
x
, und der Exponent von
x
in dem Zähler
M
kleiner als im Nenner
N
,
so läßt sich
integriren, wenn man die einfachen Factoren des Nen- ners
N
weiß
, und dadurch den Bruch
in einfache von der Form
u. s. w.
zerlegt, deren Zähler
A
,
B
nach (§. 82.) gefun- den werden können. Wird dann jeder dieser ein- fachen Brüche mit
d x
multiplicirt, und integrirt, so erhält man
y
oder
u. s. w.
.
(§. 109. 2.).
§. 112.
Integralrechnung.
§. 112.
Zus
.
IV.
Kömmt im Nenner der Bruchfunktion
ein einfacher Factor
z. B.
α
+
β
x
mehrere mahle vor, also eine Potenz desselben
= (
α
+
β
x)
n
, so zerlegt sich die Bruchfunction in Brüche von der Form
. deren Zähler
A
,
B
,
C
ꝛc. nach §. 83 ꝛc. gefun- den werden können, zu welchen Brüchen denn noch diejenigen kommen, welche aus den übrigen verschiedenen Factoren des Nenners entspringen, und welche
heißen mögen, deren Zähler aus (§. 82.) bestimmt werden.
Jetzt wird also
wo die Integrale derjenigen Brüche in deren
Nen-
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
Nennern die Potenzen vorkommen, sämmtlich nach (§. 107. Beysp.
III.
) gefunden werden können, wenn man statt des dortigen
m
der Ordnung nach, die negativen Exponenten
— n; — (n — 1); — (n — 2);
u. s. w. setzt.
§. 113.
Zus
.
V.
Sind unter den einfachen Factoren des Nenners
N
, imaginäre von der Form
x — a (cos
φ
+
sin
φ
√ — 1);
x — a (cos
φ
—
sin
φ
√ — 1),
welche in einander multiplicirt wie (§. 84.) den quadratischen reellen, oder Trinomial
- factor
x
2
— 2 a cos
φ
.
x + a
2
geben wür- den
, so entsteht (§. 84. 4) aus jedem solchen Trinomialfactor ein Bruch von der Form
, mithin ein Integral
welches nach (Zus.
II.
) gefunden werden kann, wenn man das dortige
α
=
a
2
;
β
= — 2
a cos
φ
und
γ
= 1 setzt, also ein Integral
= ½ A
log (x
2
— 2 a cos
φ
.
x + a
2
)
+
Integralrechnung.
wegen √ (4
α γ
—
β
2
) = 2
a sin
φ
.
Es wird nicht überflüssig seyn, das letztere durch einige Beyspiele zu erläutern.
Beyspiel
I.
1.
Es sey
zu integriren
.
2. Hier ist also
M = x
m
; N = x
n
— a
n
.
3. Und die quadratischen oder Trinomial- factoren von
x
n
— a
n
haben die allgemeine Form (§. 48.
XVIII.
)
wo statt 2
k
jede gerade Zahl \<
n
gesetzt werden kann.
4. Ich will der Kürze halber
setzen, und nun die Werthe von A, B nach (§. 84. 4) suchen.
Höh. Anal.
II.
Th.
C
5.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
5. Zufolge des eben angeführten §es ist jetzt das dortige
(wegen
), in welchen Aus- druck aber
a (cos
φ
+
sin
φ
√ — 1) statt
x
ge- setzt werden muß. (§. 84. 1.). Dies giebt
(§. 48.
VIII.
)
6. Aber wegen
ist (
n — m
— 1)
Mithin
der Kürze halber =
ζ
genannt
cos (n — m — 1)
φ
=
cos
ζ
sin (n — m — 1)
φ
= —
sin
ζ
7. Man hat demnach
Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem (§. 84. 2)
A
Integralrechnung.
so hat man M = 1; m =
o
; sodann ferner L =
n a
n — m — 1
cos
ζ
; l = —
n a
n — m — 1
sin
ζ
woraus sich nun (§. 84. 4)
Mithin
ergiebt.
8. Mithin entsteht nach (Zus.
V.
) aus jedem Trinominalfactor des Nenners
x
n
— a
n
ein In- tegral
½
log
(
x
2
— 2 a cos
φ
.
x + a
2
)
Arc tang
+
Const.
9. Die constante Größe kann welchen Werth man will haben, und wird auch für jede andere
C 2
Auf-
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
Aufgabe bey der man auf ein Integral wie (8) gekommen ist, einen andern Werth bekommen. In vielen Fällen ist das Integral so beschaffen, daß es für
x = o
auch =
o
wird, welches denn von der Natur der Aufgabe abhängt. Will man die
Const.
nach dieser Voraussetzung bestimmen, so setze man das (8) gefundene Integral =
o
für
x = o
, so erhält man
Arc tang
. Also die Constante
Arc tang
Setzt man nun der Kürze halber
Arc tang
;
Arc tang
so ist das Integral (8) wenn es für
x = o
ver- schwinden soll
Wenn
K
,
K
1
, die obigen Factoren
;
bedeuten.
Nun
Integralrechnung.
Nun hat man wegen
=
tang
ψ
, und
=
tang
η
; nach der bekannten tri- gonometrischen Formel
tang
(
η — ψ
) =
Mithin
η
—
ψ
= —
Arc tang
Daher ist das Integral (8) wenn es für
x = o
verschwinden soll, nach Herstellung der Werthe von
K
,
K
1
, gleich dem Ausdrucke
½
log
—
Arc tang
in welcher Formel so wie in (8)
ζ
und
φ
die obigen Werthe (6. 4.) haben.
10. Um das bisherige mit einem Zahlen- beyspiele zu erläutern, so sey in (1)
m = o
;
n
=
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
n
= 5, also
das Differenzial
zu integriren
. Nach (§. 48.
XVIII.
) hat
x
5
— a
5
die Factoren
x — a x
2
— 2 a x cos
⅖
π
+
a
2
x
2
— 2 a x cos
⅘
π
+
a
2
und
x — a
giebt nach dem Verfahren (§. 82.
VI.
) den einfachen Bruch
= =
welcher in
d x
multiplicirt und integrirt, das Integral
log
giebt, wenn die Constante so bestimmt wird, daß das Inte- gral für
x = o
verschwinden soll, wie (§. 109. 4).
Für den Trinomialfactor
x
2
— 2 a x cos
⅖
π
+
a
2
ist in dem daraus entstehenden Integrale (9)
φ
=
= ⅖
π
und
ζ
oder
ebenfalls = ⅖
π
zu setzen.
Für das aus dem Trinomialfactor
x
2
— 2 a x cos
⅘
π
+
a
2
entstehende Integral hat man in (9)
φ
=
= ⅘
π
und auch
ζ
= ⅘
π
. Ad-
dirt
Integralrechnung.
dirt man nun die aus den angeführten Factoren nach (9) sich ergebenden Integrale zusammen, so erhält man das ganze Integral wie folgt.
wozu man nach Gefallen auch wieder eine andere Constante setzen kann. Würde man die einzeln Glieder dieses Integrals mit den entgegengesetzten Zeichen nehmen, so erhielte man das Integral
∫
weil
∫
offenbar = —
∫
ist.
Beyspiel
II.
d y
=
zu integriren
.
Verfährt man hier mit den Trinomialfacto- ren des Nenners
x
n
+ a
n
, welche die allgemeine Form
x
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
x
2
— 2 a x cos
π
+
a
2
haben (§. 48.
XIX.
) eben so wie im Beyspiel
I.
so wird sich nach einer Rechnung die jeder leicht selbst vollführen kann, finden, daß jeder solcher Factor ein Integral = —
log
+
Arc tang
geben wird, in welcher Formel aber jetzt
φ
=
π
und
ζ
=
sind.
Statt 2
k
+ 1 kann jede ungerade Zahl, welche \<
n
ist, gesetzt werden. Ist
n
ungerade, so hat aber
x
n
+ a
n
auch den einfachen Factor
x + a;
aus welchem das Integral
· ½
log
entspringt, welches
denn noch zu denjenigen hinzugesetzt werden muß, welche aus den Trinomialfactoren entstehen.
§. 114.
Integralrechnung.
§. 114.
Zus
.
VI.
Ist in der Funktion
(Zus.
III.
) die höchste Potenz von
x
in
M
höher als in
N
, so läßt sich
M
mit
N
dividiren und man erhält zum Quotienten eine ganze Function
T
, und wenn bey der Division ein Rest =
R
bleibt, aus- serdem noch die Bruchfunktion
; so daß
=
T
+
und die höchste Potenz von
x
in
R
nie- driger als in
N
ist. Dann ist also
∫
d x
=
∫
T d x
+
∫
wo
∫
T d x
nach (§. 107.) und
∫
d x
nach Zus.
III.
u. f. gefunden werden kann, weil nun in
R
die höchste Potenz von
x
niedriger als in
N
ist.
Z. B. Wäre
; so hat man
=
x
7
+ x
2
+
; und
∫
d x
=
∫
x
7
d x
+
∫
x
2
d x
+
∫
=
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
=
wo
∫
nach Beysp.
I.
Zus.
V.
gefunden werden kann, wenn man das dortige
m
= 2;
n
= 5,
a
= 1 setzt.
§. 115.
Zus
.
VII.
Wäre
d y
=
zu integriren
, so setze man
x
=
, so wird
d x
= —
und
d y
= —
a
— n
·
d u
, oder
a
—n
=
der Kürze halber mit
b
n
bezeichnet,
d y = — b
n
·
d u
welches sich nach (§§. 113. 114.) integriren läßt, nachdem man die ganze Funktion (wie Zus.
VI.
) daraus abgesondert hat. In dem erhaltenen In- tegrale muß man alsdann statt
u
wieder den Werth
setzen, um das Integral von
zu erhalten.
§. 116.
Integralrechnung.
§. 116.
Zus
.
VIII.
Durch eine ähnliche Sub- stitution, kann das Integral des Diffe- renzials
auf die Integration von
b
n
·
d u
gebracht werden
.
§. 117.
Zus
.
IX.
Hätte man
d y
=
zu integriren
, so darf man nur das
β
von der Potenz von
x
im Nenner wegschaffen oder
d y
=
setzen, so läßt sich dieses nach (Zus.
V.
B.
II.
) integriren, das dortige
a
n
=
oder
a
=
gesetzt. Und so in ähnlichen Fällen, wo die Potenz von
x
im Nenner, einen andern Factor, als 1 haben würde.
§. 118.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
§. 118.
Zus
.
X.
Ohne die Substitution
x
=
(§. 115.) zu gebrauchen, kann man auch nach (§. 83.) die einfachen Brüche suchen, welche aus der Potenz
x
m
des Factors
x
im Nenner entstehen. Z. B. wäre
zu integriren, so läßt sich die Bruchfunction
in folgende
zerlegen, wo
A
,
B
,
C
,
D
nach (§. 83.) gefunden werden können. Die Funktion
P
ergiebt sich dann nach (
II.
) des eben angeführten §es durch die Di- vision, nachdem
A
,
B
,
C
,
D
, bereits gefunden sind. Die dortigen
α, β
haben hier die Werthe 0; 1; und das dortige
S
ist hier 1 +
x
3
. So erhält man
∫
=
A
∫
+
B
∫
+
C
∫
+
D
∫
+
∫
=
Integralrechnung.
= —
+
D log x
+
∫
wo
∫
nach (§. 113. B.
II.
) gefunden werden kann. Indessen mögte die Substitution (§. 115.) doch wohl den Vorzug verdienen.
§. 119.
Aufgabe
.
Es ist ein Differenzial von der Form
d y = x
m — 1
d x (a + b x
n
)
p
vorgegeben, wo
m
,
n
,
p
beliebige Expo- nenten, ganze bejahte, verneinte, selbst auch Bruchexponenten bedeuten können, man soll dasselbe auf verschiedene an- dere Differenziale reduciren, von deren Integralen sämmtlich das Integral des vorgegebenen abhängt
.
Aufl
.
I.
Man nenne der Kürze halber
a + b x
n
= z
also
d y = x
m — 1
z
p
d x
so erhellet nunmehr sogleich, daß wenn man einen Ausdruck wie
x
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
x
m
z
p
= u
differenziiren würde, in diesem Differenziale so- gleich
x
m — 1
z
p
d x
als Bestandtheil vorkommen würde. Denn man erhält
m x
m — 1
z
p
d x + p x
m
z
p — 1
d z = d u
, oder
II. m x
m — 1
z
p
d x + n b p x
m + n — 1
z
p — 1
d x = d u
nachdem man nach (
I.
)
n b x
n — 1
d x
statt
d z
gesetzt hat.
III.
Würde man also auf beyden Seiten in- tegriren und mit
m
dividiren, so erhielte man
∫
x
m — 1
z
p
d x
=
∫
x
m + n — 1
z
p — 1
d x
wo statt
u
sein Werth
x
m
z
p
gesetzt werden kann.
Das Integral
∫
x
m — 1
z
p
d x
(
I.
) wäre also auf
∫
x
m + n — 1
z
p — 1
d x
gebracht, in welchem der Exponent von
z
um 1 niedriger ist, welches bey manchen Integrationen von erheblichem Vortheile ist. Wir wollen jetzt mit der Gleichung (
II.
) noch einige Veränderungen vornehmen, so werden sich noch andere Differenziale ergeben, auf welche sich das vorgegebene
x
m — 1
z
p
d x
bringen läßt.
IV.
Man setze
z . z
p—1
oder
(a + b x
n
) z
p — 1
statt
z
p
in das erste Glied der Gleichung
(
II.
)
Integralrechnung.
(
II.
) so wird
m a z
p — 1
x
m — 1
d x + (m + p n) b x
m + n — 1
z
p—1
d x = d u.
Weil nun
p
ganz willkührlich ist, und von den übrigen Größen gar nicht abhängt, so kann man in die eben gefundene Gleichung auch
p
+ 1 statt
p
setzen, so verwandelt sich zugleich
u (I.)
in
u' = x
m
(a + b x
n
)
p + 1
und man erhält
V. m a z
p
x
m — 1
d x + (m + n + n p) b x
m + n — 1
z
p
d x = d u'
abermahls eine Glei- chung, worin das vorgegebene Differenzial
x
m — 1
z
p
d x
vorkömmt.
VI.
Ferner setze man in das zweite Glied der Gleichung
(II.) z — a
statt
b x
n
(I.)
, so er- giebt sich
(m + n p) x
m — 1
z
p
d x — n p a x
m — 1
z
p — 1
d x = d u
VII.
Da nun aber auch
m
von den übri- gen Größen unabhängig ist, so setze man in
(II.) m — n
statt
m
, und
p
+ 1 statt
p
, so ver- wandelt sich
u
in
x
m — n
z
p + 1
= u''
, und man erhält aus (
II.
) die neue Gleichung
VIII. (m — n) x
m — n — 1
z
p + 1
d x + n b (p + 1) x
m — 1
z
p
d x = d u''.
IX.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
IX.
Sodann aus
(V.) m — n
statt
m
ge- setzt, wodurch
u'
sich in
u''' = x
m — n
z
p + 1
ver- wandelt, die Gleichung
(m — n) a z
p
x
m — n — 1
d x + (m + n p) b x
m — 1
z
p
d x = d u'''.
X.
Endlich wird aus (
VI.
),
p
+ 1 statt
p
gesetzt, wodurch
u
sich in
u'''' = x
m
z
p + 1
ver- wandelt, die Gleichung
(m + n (p + 1)) x
m — 1
z
p + 1
d x — n (p + 1) a x
m — 1
z
p
d x = d u''''.
XI.
In jeder der 6 gefundenen Gleichungen (
II. V. VI. VIII. IX. X.
) befindet sich nun das in (
I.
) vorgegebene Differenzial
x
m — 1
z
p
d x
oder
x
m — 1
(a + b x
n
)
p
d x = d y.
Man schaffe dies Differenzial in jeder der angeführten Gleichungen auf die linke Seite des Gleichheitszeichens, integrire dann auf beyden Seiten, und stelle die Werthe von
u
,
u'
,
u''
ꝛc. her wie in (
III.
), so wird man nachstehende 6 Gleichungen erhalten, welche in der Integralrech- nung von dem weitläuftigsten Gebrauche sind. Ich will zugleich statt
∫
x
m — 1
z
p
d x
d. h. statt
∫
x
m — 1
(a + b x
n
)
p
d x
den Buchstaben
y
schrei- ben, weil das Differenzial mit
d y
bezeichnet wurde.
Also hat man
Nro.
Integralrechnung.
Nro. I.
∫
x
m — 1
d x (a + b x
n
)
p
oder
y
=
∫
x
m + n — 1
z
p — 1
d x
aus (
III.
)
Nro. II.
y
=
∫
x
m + n — 1
z
p
dx
aus (
V.
)
Nro. III.
y
=
∫
x
m — 1
z
p — 1
d x
aus (
VI.
)
Nro. IV.
y
=
∫
x
m — n — 1
z
p + 1
d x
aus (
VIII.
)
Nro. V.
y
=
∫
x
m — n — 1
z
p
d x
aus (
IX.
)
Höh. Anal.
II.
Th.
D
Nro.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
Nro. VI.
y
= —
∫
x
m — 1
z
p + 1
d x
aus (
X.
)
In allen diesen 6 sogenannten
Reductions- formeln
bedeutet
z
die Binomialgröße
a + b x
n
, und jede Formel zeigt wie das Integral
∫
x
m — 1
d x (a + b x
n
)
p
= y (I.)
von der Integration derjeni- gen Differenziale abhängig ist, welche sich in jeder der gefundenen Formeln rechter Hand des Gleich- heitszeichens befinden.
Die Größe zunächst rechter Hand des Gleich- heitszeichens, wird der
algebraische
Theil des Integrals
y
, und die mit
∫
bezeichnete Größe der
summatorische
oder auch
involutorische
Theil genannt.
Wir wollen jetzt den Gebrauch der beyge- brachten Formeln durch einige zu gegenwärtigen Kapitel gehörige Beyspiele erläutern.
§. 120.
Beyspiel
I.
1. Es sey
p
negativ aber eine ganze Zahl = —
μ
, so erhalten wir, wenn
m
,
Integralrechnung.
m
,
n
auch ganze Zahlen sind, ein rationales Dif- ferenzial
oder
, für dessen Integral
y
=
∫
sich nach (
Nro. VI.
) der Ausdruck
y
=
ergiebt.
Die Integration des Differenzials
ist also auf diejenige von
gebracht, wo im Nenner des letztern der Exponent von
z
um 1 geringer ist, als im Nenner des erstern.
2. Begreiflich kann nun wieder auf eine ähnliche Weise
∫
auf
∫
ge- bracht werden. Man setze nemlich in (1)
μ
— 1 statt
μ
, so verwandelt sich das dortige
y
=
∫
in
y'
=
∫
, und man er- hält
y'
= +
D 2
3.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
3. Wird also dies statt
∫
in den Ausdruck für
y
(1) substituirt, so ergiebt sich
y
oder
∫
wo
A
=
und
C
=
gefunden wird.
Auf diese Art ist also
∫
auf
∫
gebracht. Setzt man diese Schlüsse weiter fort, so läßt sich zuletzt
∫
auf
∫
bringen, dergestalt, daß wenn das Integral
∫
d. h.
∫
bekannt ist, man auch das Integral
∫
als bekannt oder gefunden ansehen kann.
∫
läßt sich aber nach (§. 117.) inte- griren:
Aus
Integralrechnung.
Aus (1) erhellet übrigens, daß
μ
immer \> 1 seyn muß, denn für
μ
= 1 würde der al- gebraische und summatorische Theil unendlich, in welchem Falle die Reductionsformel (1) so wie sie da steht, geradezu nicht gebraucht werden kann, ohngefähr wie (§. 104. 6).
Beysp
.
II.
Es sey
m = n
+ 1, so ist nach
(Nro. V.)
.
y
=
∫
z
p
d x
Aber für
m = n
+ 1 ist
y
=
∫
x
n
z
p
d x
=
∫
x
n
(a + b x
n
)
p
d x;
hat man also
∫
z
p
d x
oder
∫
(a + b x
n
)
p
d x
, so ist auch
∫
x
n
(a + b x
n
)
p
d x
als bekannt anzusehen.
Den vorzüglichsten Nutzen der gefundenen Reductionsformeln werden wir aber erst bey der Integration der irrationalen Differenziale wahr- nehmen.
§. 121.
Aufgabe
.
Reductionsformeln für das Inte- gral
y
=
∫
x
m
(
α
+
β
x
+
γ
x
2
)
p
d x
zu finden
.
Auf-
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
Auflösung
.
1. Man setze der Kürze halber
α
+
β
x
+
γ
x
2
=
z
und differenziire den Ausdruck
u = x
m
z
p + 1
so hat man
d u = m x
m — 1
z
p + 1
d x + (p + 1) x
m
z
p
d z
2. Oder wegen
d z
= (
β
+ 2
γ
x) d x d u = m x
m — 1
z
p + 1
d x + (p + 1)
β
x
m
z
p
d x
+ 2
(p + 1)
γ
x
m + 1
z
p
d x
3. In das erste Glied dieser Gleichung rech- ter Hand des Gleichheitzeichens setze man statt
z
p + 1
den gleichgültigen Ausdruck
z
p
. z
oder
z
p
(
α
+
β
x
+
γ
x
2
), so wird man nach einer leichten Rechnung erhalten
d u = m
α
x
m — 1
z
p
d x + (m + p + 1)
β
x
m
z
p
d x
+
(m + 2 p + 2)
γ
x
m + 1
z
p
d x
4. Nun ist ferner
x
m — 1
z
p + 1
= x
m — 1
z
p
(
α
+
β
x
+
γ
x
2
)
=
α
x
m — 1
z
p
+
β
x
m
z
p
+
γ
x
m + 1
z
p
demnach
γ
x
m + 1
z
p
= x
m — 1
z
p + 1
—
α
x
m — 1
z
p
—
β
x
m
z
p
.
5. Dieser Werth statt
γ
x
m + 1
z
p
in das letzte Glied der Gleichung (3.) substituirt, giebt
d u
Integralrechnung.
6. Man hat also für
du
die 3 Gleichun- gen (2. 3. 5.). In jeder derselben befindet sich das in der Aufgabe vorkommende Differenzial
x
m
z p d x.
Integrirt man demnach oberwähnte 3 Gleichungen und restituirt zugleich den Werth von
u
, so erhält man für
folgende Formeln
I.
II.
III.
§. 122.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
§. 122.
Ist
p
eine ganze bejahte Zahl, so wird ge- wöhnlich von diesen Reductionsformeln kein be- sonderer Gebrauch gemacht. — In solchem Falle verwandelt man lieber (
α
+
β
x
+
γ
x
2
)
p
in eine Reihe, multiplicirt jedes Glied dieser Reihe mit
x
m
d x
, und integrirt auf die gewöhn- liche Weise, als daß man sich der gefundenen Formeln bediente, die jedoch auch selbst für den Fall daß
p
eine ganze bejahte Zahl ist, unter- weilen Vortheile gewähren.
Aber wenn
p
negativ oder ein Bruch ist, dann sind jene Reductionsformeln unentbehrlich, um Integrale in endlichen Ausdrücken zu erhal- ten. In gegenwärtiges Kapitel gehört nur der Fall, wenn
p
zugleich eine ganze Zahl ist.
Es sey also
p
= —
μ
, so verwandelt sich die Formel (
III.
) in
y
oder
Hier ist also
auf zwey ähnliche Integrale gebracht, wo aber in jedem wenigstens
ein
Integralrechnung.
ein Exponent um einen Grad niedriger als in dem vorgegebenen ist, und welche sich auf eine ähn- liche Art noch weiter reduciren lassen, so daß, wenn
m
eine ganze bejahte Zahl ist, man durch Fortsetzung dieser Reduktionen das Integral
endlich auf
bringen wird, dessen Werth denn aus (§. 109. 8 ꝛc.) genommen wer- den kann.
Es sey z. B.
m
= 1, so ist
I
)
Aber aus der zweyten Formel (§. 121. 6) wird für
m = o
, und
p
= —
μ
, das Integral
y
oder
Also
II
)
III
)
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
III
) In dieser Formel ist also
auf
gebracht; dies
ferner auf
zu brin- gen, substituire man den (
II.
) gefundenen Werth von
in (
I.
) so ergiebt sich
IV
) So erhellet also, daß sowohl
(
II.
), als auch
(
III.
), sich zuletzt auf
müs- sen reduciren lassen, wenn
μ
eine ganze Zahl und zwar \> 1 ist. Für
μ
= 1 würden wegen
μ
— 1 =
o
die Integraltheile rechter Hand des = Zei- chens unendlich, und also nicht zu gebrauchen seyn. Indessen hat man für
μ
= 1 die Integrale
und
in (§§. 109. 110.) wo das dortige
X
und das
z
des gegenwärtigen §es einerlei bedeuten.
V
)
Integralrechnung.
V
) Wenn man die Reduction des Integrals
, bis auf
fortsetzt, so erhält man für das In- tegral eine Reihe von folgender Gestalt
in welcher die Koefsicienten, wenn der Kürze halber
genannt wird, folgende Werthe haben
Und so lassen sich auf eine ähnliche Art Gesetze bey andern Reductionsformeln auffinden, wenn der Gebrauch solches erfordert, womit wir uns aber nach dem Zweck des gegenwärtigen Buches nicht beschäftigen können. Man sehe dergleichen in
Meier Hirsch
Integraltafeln. (Berlin 1810.) welche vortreffliche Sammlung von Integralfor- meln jedem Rechner empfohlen werden darf.
§. 123.
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
§. 123.
Aufgabe
.
Y
und
X
seyen Funktionen von
x
(oder
X, Y
, überhaupt zwey veränderliche Grö- ßen),
es ist gegeben das Integral
∫
X d Y
,
man soll daraus das Integral
∫
Y d X
finden
.
Aufl.
Weil
d (X Y) = X d Y + Y d X
(§. 8. Differ.) so hat man
demnach
Anm
. Diese Reductionsformel ist von sehr weitläuftigen Gebrauche, wie wir in der Folge sehen werden. Denn oft ist es leichter, das In- tegral
∫
X d Y
als das
∫
Y d X
zu finden, oder
∫
X d Y
ist von einer einfachern Form als
∫
Y d X
, da ist es also vortheilhaft, die Integration von
Y d X
auf die von
X d Y
zu reduciren.
In der That ist die vorhergehende Aufgabe eine Art der Anwendung der gegenwärtigen.
Z. B. Es sey
∫
x
m—1
z p d x
vorgegeben und
z
wie im vorhergehenden § =
α
+
β
x
+
γ
x
2
.
Man
Integralrechnung.
Man setze
so hat man
demnach we- gen
oder wegen
Oder
p
+ 1 statt
p
gesetzt
welches in der That keine andere Gleichung als die erste von denen (§. 121. 6) ist; wenn man da- selbst das Glied
auf die linke Seite schafft.
§. 124.
Anmerkung
.
Die bisherigen Fälle werden hinreichend seyn, den Leser über die vorzüglichsten Kunstgriffe zu
beleh-
Zweyter Theil. Erstes Kapitel.
belehren, welche bey der Integration rationaler Differenziale, und zwar insbesondere solcher, bey denen die in
d x
multiplicirte Funktion, eine ra- tionale Bruchfunktion
ist, angewandt werden können. Die Hauptsache ist also immer, daß die einfachen oder Trinomialfactoren des Nenners
N
bekannt seyn müssen, oder welches auf eins hin- ausläuft, daß man die Wurzeln der Gleichung
N
=
o
im allgemeinen anzugeben wisse. Da aber diese Aufgabe bis jetzt noch nicht allgemein aufgelößt werden kann, so begnügen wir uns mit dem bisher von der Integration der rationalen Differenziale beygebrachten, und wenden uns nun zur Integration derjenigen Differenziale, wie
X d x
, worinn
X
eine irrationale Function von
x
ist.
Zweytes
Integralrechnung.
Zweytes Kapitel
. Von der Integration der irrationalen Differenziale.
§. 125.
Aufgabe
.
Das Integral
d x
zu finden, wenn
M
und
N
Funktionen von
x
sind, welche bloß aus einfachen Potenzen von
x
mit gebrochenen Exponenten bestehen, worunter jedoch auch ganze Exponenten seyn können
.
Aufl
. 1. Es ist am besten, die Aufgabe sogleich mit einem Beyspiele zu erläutern.
Es sey also z. B. das irrationale Differenzial
welches mit
auf eins hinausläuft, zu integriren.
2.
Man
Zweiter Theil. Zweytes Kapitel.
2. Man bringe die gebrochenen Exponenten nach der Arithmetik unter den kleinsten gemeinschaftli- chen Nenner, so hat man auch
3. Um nun statt dieses Differenzials mit Bruchexponenten, ein rationales zu erhalten, wel- ches nach den Regeln des vorigen Kapitels in- tegrirt werden kann, so setze man
oder
x = u
30
; mithin
d x = 30 u
29
d u
; dann wird
Oder im Zähler und Nenner mit
u
24
dividirt
d. h. wenn man aus der in 30
d u
multiplicirten Bruchfunction, die darinn enthaltene ganze Function vermittelst der Division entwickelt
wo
Integralrechnung.
wo
gefunden werden.
4. So wäre also nun das irrationale Diffe- renzial (1.) auf eine rationale Form (3.) gebracht, vermöge der man erhält
wo denn der letzte summatorische Theil nach den Regeln des 111 §es Zus.
III.
gefunden werden kann.
In das erhaltene Integral muß hierauf überall
d. h.
statt
u
gesetzt werden, um es wie- der durch
x
auszudrücken, wodurch dann freylich die einzeln Glieder wie
A u
20
; B u
15
ꝛc. ꝛc. wie- der irrational werden.
Höh. Anal.
II.
Th.
E
Dies
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
Dies Beyspiel wird zeigen, wie in andern ähnlichen Fällen zu verfahren seyn würde.
Ist nemlich überhaupt ein Differenzial, wor- in Wurzelgrößen vorkommen, auf eine rationale Form gebracht, so sieht man die Integration nach den Vorschriften des vorigen Kapitels als vol- lendet an.
§. 126.
Weit schwerer ist es, ein irrationales Diffe- renzial
rational zu machen, wenn zusammengesetzte Wurzelgrößen z. B.
;
;
;
u. s. w. in
M
u.
N
vorkommen. Bis jetzt hat man noch kein allgemeines Verfahren, solche irrationale Differenziale rational zu machen, und das Integral in endlichen Ausdrücken zu er- halten, wenn höhere Wurzeln als die vom zwey- ten Grade, vorkommen, und die Größe
x
unter dem Wurzelzeichen, über die zweyte Potenz geht- Aber auch dann kann das Differenzial nur unter gewissen Einschränkungen rational gemacht, und integrirt werden. Wir wollen einige der vorzüg- lichsten Fälle hier in einzeln Aufgaben behandeln.
§. 127.
Integralrechnung.
§. 127.
Aufgabe
.
Es seyen
M, N
, irrationale Funktionen von
von folgender Form
wo
m
einen gemeinschaftlichen Nenner aller Bruchexponenten bedeute, man soll das Differenzial
rational machen, und integriren
.
Aufl
. Man setze
oder
so wird
und
und folglich
E 2
wel-
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
welches Differenzial jetzt eine rationale Form hat, nnd nach den Regeln des vorigen Kapitels inte- grirt werden kann, weil die Exponenten
m
,
α
,
β
ꝛc. sämmtlich als ganze Zahlen betrachtet werden.
§. 128.
Zus
.
I.
Es ist klar, daß
M
und
N
außer den angegebenen Irrationalgrößen, auch rationale Potenzen von
x
enthalten können, und durch die Substitution
dennoch das Diffe- renzial
rational bleibt, und integrirt werden kann.
Zus
.
II.
Haben die Bruchexponenten in
M
und
N
keinen gemeinschaftlichen Nenner, so kann man sie doch alle unter einen solchen bringen, und dann nach der Anleitung der Aufgabe verfahren. Daher also
integrabel seyn wird, was auch
M
und
N
für Potenzen von
enthalten mögen. In dem gefundenen durch
u
ausgedrück- ten Integrale, wird dann überal wiederum
(
a
Integralrechnung.
statt
u
gesetzt, um das Integral durch
x
ausgedrückt zu erhalten.
Beyspiel
I.
zu integriren
.
Hier würde also der Aufgabe zufolge sogleich
, woraus
und nach gehöriger Rechnung
folgt.
Um dies rationale Differenzial zu integriren, zerlege man die Bruchfunction
in die Brüche
; so findet man leicht
A'
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
Dies giebt denn
Oder auch
Und folglich
Nun ist nach (§. 109 8.) das dortige
x = u
;
α
=
b
;
β
=
o
und
γ
=
g
gesetzt
Und eben so
Mithin
In welchem Ausdrucke statt
u
wieder die Größe
zu setzen ist, um das Inte-
gral
Integralrechnung.
gral
y
durch
x
zu erhalten. Es versteht sich übri- gens, daß zu dem gefundenen Integrale auch noch eine
Const.
addirt werden kann.
Die Größen
a, b, f, g
können nach Gefal- len bejaht oder verneint seyn. Sollten dann für diesen oder jenen Fall, die eben gefundenen loga- rithmischen Theile imaginär werden, so können solche nach (§. 109. ꝛc.) auch durch mögliche Kreis- bogen ausgedrückt werden.
Z. B. Wäre
g
verneint, so würde sich der logarithmische Theil
auch ausdrücken lassen durch
oder nach (§. 48.
I.
1 ꝛc.) durch
Arc tang
, wenn man das dortige
; und
setzt. Und so in andern Fällen.
Beyspiel
II.
zu integriren, wenn
n
eine ganze Zahl ist
. Es ist klar,
daß
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
daß
von der allgemeinen Form
nur darin unterschieden ist, daß in letzterer
f
= 1, und
g = o
gesetzt werden muß, um erstere zu erhalten; daher also das vorgege- bene Differenzial ebenfalls nach der Vorschrift der Aufgabe rational gemacht werden kann.
Man setzt also jetzt
oder
; Mithin
und
, wodurch denn
wird, welches als ein rationales Differenzial leicht integrirt werden kann.
Zus
. Wäre z. B.
also
zu integriren, so darf man nur in (Beysp.
I.
)
f
= 1,
g = o
setzen, und man erhält
d y
Integralrechnung.
demnach
Oder wenn
a
negativ ist
in welchen Ausdrücken
; oder, wenn
a
verneint ist,
gesetzt werden muß, um
y
durch
x
ausgedrückt, zu er- halten.
§. 129.
Aufgabe
.
zu integriren, wenn
M
und
N
keine anderen Irrationalgrößen als bloß die einzige
,
oder Potenzen davon
z. B.
enthalten, wo
m
jede ganze bejahte oder verneinte Zahl be- deuten kann
.
Aufl
.
I.
Die Größe
zer- fällt man aus der Lehre von den Gleichungen leicht in die beyden Factoren
(
a
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
wo
und
ist.
II.
Um nun das angegebene Differenzial ra- tional zu machen, setze ich
oder
wo
u
eine neue veränderliche Größe bezeichne.
III.
Also ist auch
IV.
Und wenn man in (
II.
) auf beyden Sei- ten mit
dividirt
Oder auch
Woraus
V.
folgt.
VI.
Integralrechnung.
VI.
Diese Substitution statt
x
rechter Hand des Gleichheitszeichens in (
III.
) giebt
welcher Ausdruck demnach in Rücksicht auf die veränderliche Größe
u
rational ist.
VII.
Ferner findet man aus (
V.
) durch Dif- ferenziirung
ebenfalls rational.
VIII.
So ist denn endlich auch jede Potenz von der Wurzelgröße, d. h.
mithin das ganze Differenzial
d x
rational, was auch
M
und
N
für Potenzen von √ (
α + β
x
+
γ
x
2
) enthalten mögen, und kann demnach nach den Regeln des vorigen Ka- pitels integrirt werden.
IX.
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
IX.
Begreiflich können
M, N
außer den Potenzen jener Irrationalgröße auch Potenzen von
x
enthalten, nur müssen die Exponenten ganze Zahlen seyn.
§. 130.
Beyspiele
.
Beysp
.
I.
zu integriren
.
1. Man setze in dieses Differenzial statt
d x
und √ (
α + β
x
+
γ
x
2
) die Werthe (§. 129.
VII. VI.
) so erhält man
Mithin
2. Oder wenn man aus (§. 129.
IV.
) statt
u
den Werth
setzt
.
3.
Integralrechnung.
3. Man kann der Größe unter dem Logarith- menzeichen auch noch eine andere Gestalt geben, wenn man Zähler und Nenner derselben gemein- schaftlich mit √ (
a
+ 2
γ
x
) + √ (
b
+ 2
γ
x
) mul- tiplicirt. Man findet nach einer leichten Rechnung
.
Welcher Ausdruck wegen (
a
+ 2
γ
x
) (
b
+ 2
γ
x
) = 4
γ
(
α + β
x
+
γ
x
2
)
(§. 129.
I.
)
und
a + b
= 2
β
;
a — b
= 2 √ (
β
2
— 4
α γ
) sich in
verwandelt; daher denn auch
. wird.
4. Da man in diesem Ausdrucke von dem Logarithmen des Zählers denjenigen des Nenners abziehen müßte, der Nenner aber hier eine unver- änderliche von
x
unabhängige Größe ist, so kann man den Logarithmen derselben, sogleich auch in die Constante einrechnen, und demnach nur schlechtweg
log
(
β
+ 2
γ
x
+2 √
γ
√ (
α + β
x
+
γ
x
2
)) +
C.
setzen,
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
setzen, wo denn diese
Const.
nach den Umständen der Aufgabe, bey der man auf ein Differenzial wie (1.) gekommen wäre, bestimmt werden kann.
5. Wäre also z. B. die Aufgabe so beschaffen, daß für
x = o
auch
y = o
werden müsse, so hätte man um die
Const.
zu bestimmen, die Gleichung
log
(
β
+ 2 √
γ α
) +
Const.
Also für diesen Fall die
Const
= —
log
(
β
+ 2 √
γ α
) Mithin das Integral
6. Würde man für diesen Fall die
Const.
sogleich in (3.) bestimmen, so erhielte man
log
+
Const.
Also
Const
= —
log
welcher Werth denn in (3.) substituirt, ebenfalls das Integral
y
wie in (5.) giebt, welches nun für
x = o
offenbar auch =
o
wird, weil die Größe, vor der das Logarithmenzeichen steht, als- dann den Werth 1 erhält, und
log 1 = o
ist.
7.
Integralrechnung.
7. Wenn in (5.)
γ
negativ ist, so verwan- delt sich die imaginär werdende logarithmische Größe in einen Kreisbogen.
Man setze nemlich in (1.)
γ
negativ, so ist für das Differenzial (2.)
Das Integral (2.)
Arc tang
(§. 48.
I.
3.) wenn man der Kürze halber √ (
a
— 2
γ
x
) =
B
und √ (2
γ
x — b
) =
C
setzt, in welchen Werthen jetzt
a
=
β
+ √ (
β
2
+ 4
α γ
);
b
=
β
— √ (
β
2
+ 4
α γ
) ist (§. 129.
I.
) wenn das
γ
a. a. O. negativ ge- setzt wird.
Nun findet man leicht
2
B C
= 2 √ (—
a b
+ 2
γ
(a + b) x
— 4
γ
2
x
2
)
B
2
— C
2
= a + b
— 4
γ
x
d. h. wenn man statt
a
und
b
ihre eben angezeig- ten Werthe setzt
2
B C
= 4 √
γ
√ (
α + β
x
—
γ
x
2
)
B
2
— C
2
= 2
β
— 4
γ
x
Dem-
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
Demnach das Integral
oder
Arc tang
. Eben dies Integral kann auch durch
Arc tang
Arc tang
(§. 48.
I.
2. 3.) ausgedrückt werden, wo
a, b
, die angeführten Werthe bezeichnen.
Sodann kann es auch ausgedrückt werden durch
Arc sin
; oder auch durch
Arc cos
; d. h. wenn man statt
B, C
die zugehörigen Werthe setzt, so ist auch
Arc sin
.
Arc cos
+
Const.
Unter allen diesen Formeln, wodurch das Integral von
ausgedrückt
wer-
Integralrechnung.
werden kann, würde wohl die letztere durch den Cosinus dargestellte für die Ausübung am einfach- sten und bequemsten seyn.
Bey verschiedenen Schriftstellern findet man diese Formeln auch wohl noch in einer andern Gestalt, je nachdem man die
Const.
, welche alle- mahl auch einen Bogen bezeichnet, annimmt.
So z. B. ist bekannt, daß, wenn
t
einen ge- wissen Cosinus bezeichnet, (z. B. den obigen
es einerley ist, zu schreiben.
Arc cos t
oder 90° —
Arc sin t
; also könnte das Integral
y
auch so geschrieben werden
y
= —
Arc sin t
+
90° +
Const.
Oder wenn man
90° gleich mit in die
Const.
hineinziehen will,
y
= —
Arc sin
+
Const.
Arc sin
+
Const.
Höh. Anal.
II.
Th.
F
Bey-
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
Beyspiel
II.
zu integriren
.
8. Man substituire statt
x, d x
, und √ (
α + β
x
+
γ
x
2
) die Ausdrücke durch
u
(§. 129.
II.
ꝛc.), so erhält man
d y
= — 4
√ γ
.
Nimmt man nun
nach der Art wie ähnliche Integrale bereits (§. 128. 2. Beysp.
I.
) vorgekommen sind, so erhält man
Oder wenn man den Werth von
(§. 130.
I.
) substituirt, und zugleich in dem Coef- ficienten
die obigen Werthe von
a
und
b
setzt (§. 129.
I.
)
9. Mithin wenn man Zähler und Nenner der Größe von der der Logarithme genommen ist,
gemein-
Integralrechnung.
gemeinschaftlich mit √
b
√ (
a
+ 2
γ
x
) — √
a
√ (
b
+ 2
γ
x
) multiplicirt, und hierauf die Wer- the von
a
und
b
herstellt
.
In den Nennern dieser beyden äquivalenten Ausdrücke für
y
kömmt der Factor √ (
β
2
— 4
α γ
) einmahl verneint, einmahl bejaht vor. Da nun der Logarithme desselben, als einer unveränderli- chen d. h. von
x
unabhängigen Größe, allemahl als ein Theil der anzuhängenden Constante ange- sehen werden kann, so können beyde Ausdrücke für
y
schlechtweg auch so angesetzt werden
. Aber begreiflich wird die
Const.
in dem obern Ausdrucke für
y
, nicht mit der in dem untern einerley seyn können.
10. Wenn
α
verneint ist, so wird die loga- rithmische Größe imaginär, und verwandelt sich dann in einen Kreisbogen, dessen Sinus, Cosi-
F 2
nus
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
nus oder Tangente auf folgende Art gefunden werden kann.
Nachdem man √
α
√ — 1 statt √ —
α
ge- setzt hat, läßt sich das Integral (8) auch so aus- drücken
Oder, statt
a b
den Werth 4
α γ
d. h. weil
α
negativ ist — 4
α γ
gesetzt
Vergleicht man nun diese Formel mit der (§. 48.
I.
3.)
log
und setzt also
B
= √ (2
α
—
b x
);
C
= √ (
a x
— 2
α
) so ist (§. 48.
I.
3. 4.)
oder statt
a, b
, (§. 129.
I.
) ihre Werthe
β
+ √ (
β
2
+ 4
α γ
) und
β
— √ (
β
2
+ 4
α γ
) gesetzt, weil das
α
negativ ist
y
Integralrechnung.
y
=
Arc cos
+
Const.
wofür auch nach (7.) gesetzt werden kann
y
= —
Arc sin
+
Const.
oder
y
=
Arc sin
+
Const.
wo denn freylich die
Const.
in beyden Integral- Ausdrücken, von denen der erste durch einen Co- sinus, der andere durch einen Sinus gegeben ist, nicht einerley seyn kann.
Würde man hier den Bogen durch seine Tangente =
(§. 48.
I.
3.) bestimmen wollen, so würde die Formel für
y
minder einfach ausfallen, daher ich sie hier weglasse.
Anmerk
. Für den Fall, daß
α
=
o
wäre, kann der Integralausdruck (8.) geradezu nicht ge- braucht werden. Aber für diesen Fall ist in (7.)
b = o
(§. 129.
I.
) mithin
d y
=
(8.) also
(1.)
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
(1.) oder wegen
b = o
und
a
= 2
β
das Integral
+
Const.
Beyspiel
III.
d y = d x
√ (
α + β
x
+
γ
x
2
)
zu integriren
.
11. Man setzt statt
d x
und √ (
α+β
x
+
γ
x
2
) die obigen Ausdrücke durch
u
, so wird
rational, und könnte also nach den Vorschriften des vorigen Kapitels integrirt werden, weil sämmt- liche Factoren des Nenners (1 —
u
2
)
3
= (1 +
u
)
3
(1 —
u
)
3
bekannt sind. Allein auf diesem directen Wege würde hier die Integration zu beschwerlich ausfallen, und daher bedient man sich lieber der oben (§. 122.) gefundenen Reductionsformeln um kürzer zu dem Integrale zu gelangen.
12. Man bezeichne wie in (§. 122.) die Größe
α + β
x
+
γ
x
2
mit
z
, und lasse das dortige
μ
(das.
III.
) = ½ seyn, so wird
dar-
Integralrechnung.
daraus folgt
d. h.
Da nun das Integral
be- reits aus dem ersten Beyspiele bekannt ist, so ist hiemit auch dasjenige des gegenwärtigen Beyspiels gefunden.
Beyspiel
IV.
zu integriren
(wo wieder der Kürze halber
α + β
x
+
γ
x
2
=
z
genannt werde).
13. Man setze in (§. 122.
II.
)
m
= 1, und
μ
= ½ so hat man
d. h.
∫
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
Also ist auch das Integral des gegenwärtigen Bey- spiels auf dasjenige des 1sten Beysp. gebracht.
Beyspiel
V.
zu integriren, wo
m
jede bejahte ganze Zahl bedeute
.
14. Man bringe in der Reductionsformel (§. 121. 6.
II.
) das dortige
∫
x
m + 1
z
p
d x
auf die linke Seite des Gleichheitszeichens, so wird
Hier ist also die Reduction eines Differenzials wie
x
m + 1
z
p
d x
auf zwey andere, worin die Poten- zen von
x
um einen und zwey Grade niedriger sind.
15.
Integralrechnung.
15. Setzt man nun
p
= — ½, wodurch
z p
=
wird, so erhält man
16. So kann man nun weiter
reduciren, wenn man in die Formel (15.) statt
m
setzt
m
— 1; Sodann ferner
wenn man in (15.) statt
m
setzt
m
— 2 u. s. w. woraus denn erhellet, daß Formeln wie
u. s. w. kurz was
m
auch für eine ganze Zahl seyn mag, sich zuletzt immer auf
; und
, d. h. auf Integrale reduciren lassen, die bereits oben gefunden worden sind, weil das
z
wie
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
wie immer bisher, die Größe
α + β
x
+
γ
x
2
bezeichnet.
17. So sey z. B.
m
= 1, so hat man so- gleich (15.)
Wenn nun aus (Beysp.
IV.
)
substituirt wird, so erhält man
wo
aus (Beysp.
I.
) genommen wird.
18. So erhält man nun ferner, wenn
m
(15.) = 2 gesetzt wird, das Integral
, aus den bereits gefundenen
und
u. s. w. und alle reduciren sich zuletzt auf
M. s.
Hirsch Integraltafeln
Taf. 64.
19. Ich habe hier nur einige Beyspiele zur Erläuterung der obigen Reductionsformeln, und ihres mannichfaltigen Gebrauchs geben wollen. Wenn man sie geschickt anzuwenden weis, so läßt
sich
Integralrechnung.
sich durch Hülfe derselben jedes Differenzial von der Form
integriren,
m, n
, mögen für ganze bejahte oder verneinte Zahlen, welche man will, seyn. Es lassen sich die Integrale davon sämmtlich auf die einfachern in den obigen Beyspielen reduciren, wie man in den angeführten Tafeln mit mehrerem nachsehen kann, wobey sich denn auch Gesetze oder allgemeine Glieder wie z. B. (§. 122.
V.
) ange- ben lassen, wenn es der Gebrauch erfordern sollte.
Für den Fall, daß
γ
=
o
ist, werden die Integrale nach (§. 127.) gefunden.
§. 131.
Anmerkung
.
Noch über einige Formen von irrationa- len Differenzialen, welche sich ra- tional machen lassen
.
I.
Aus den bisher gefundenen Integralen, lassen sich
durch Substitutionen
, wieder viel andere finden. Da z. B. jedes Differenzial von der Form
d y
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
d y = A x
m
d x
[√ (
α + β
x
+
γ
x
2
)]
n
allemahl integrabel ist, wenn
m, n
ganze Zahlen sind, so wird, wenn man
x = t
μ
setzt, wo
μ
jeden Werth haben kann,
auch jedes Diffe- renzial von der Form
d y = A
μ
t
(
m
+ 1)
μ
— 1
d t
[√ (
α + β
t
μ
+
γ
t
2
μ
)]
n
integrabel seyn
, wenn
m
und
n
ganze Zah- len sind, und so in andern Fällen.
II.
Man setze (
m
+ 1)
μ
— 1 =
k
, so wird
m
=
— 1
Also ist jedes Dif- ferenzial von der Form
d y = t
k
d t
√ (
α + β
t
μ
+
γ
t
2
μ
)
allemahl integrabel, sobald
— 1
eine ganze Zahl ist, was auch
k
,
μ
für ganze bejahte oder verneinte Zahlen, oder auch Brüche seyn mögen
.
Auch könnte selbst die Wurzelgröße noch auf eine Potenz
n
erhoben seyn, nur müßte der Ex- ponent
n
eine ganze Zahl seyn.
III.
Das (
II.
) gefundene Differenzial kann nemlich durch die Substitution
t
μ
=
x
oder
t = x
,
alle-
Integralrechnung.
allemahl wieder auf die integrable Form (
I.
) zu- rückgeführt werden.
IV.
Ferner setze man in (§. 128. Beysp.
II.
)
x = t
m
, wo
t
, wie vorhin, eine neue veränderliche Größe bezeichne, so wird das dortige Differenzial, in eines von der Form
t
(n + 1) m — 1
d t (a + b t
m
)
verwandelt. Dieses wird also allemahl rational gemacht, und folglich integrirt werden können, wenn
n
eine ganze Zahl ist, wie a. a. O. voraus gesetzt worden
Nun sey der Kürze halber
(n + 1) m — 1 = k
, so wird
n
=
— 1
V.
Also wird ein Differenzial von der Form
d y = t
k
d t ( a + b t
m
)
allemahl auf dasjenige in
(§. 128. Beysp.
II.
)
reducirt, und wie dort integrirt wer- den können, wenn
— 1 d. h.
eine ganze Zahl ist
.
Durch die Substitution
t
m
= x
, oder
t = x
wird nemlich dies Differenzial wieder in dasjenige
(§.
Zweiter Theil. Zweytes Kapitel.
(§. 128. Beysp.
II.
) verwandelt, und wenn nun
eine ganze Zahl ist, wie a. a. O. inte- grirt werden können.
VI.
Da ein
Differenzial von der Form
d y = t
k
d t (a + b t
m
)
sehr häufig vorkömmt, so kann hier auch noch be- merkt werden,
daß es rational gemacht, und folglich integrirt werden kann, wenn
einer ganzen Zahl gleich ist
.
Denn man darf nur
a + b t
m
= t
m
z
ν
, also
oder
setzen, so verwandelt sich das vorgegebene Differenzial in eines von der Form
welches offenbar rational ist, so bald
eine ganze Zahl wird, sie sey nun bejaht oder verneint.
§. 132.
Integralrechnung.
§. 132.
Aufgabe
.
Es sey
Man soll die Integration dieses Diffe- renzials auf die Integration von an- dern reduciren, welche einfacher, als das vorgegebene sind
.
Aufl
.
I.
Man bedient sich dazu der Re- ductionsformeln (§. 119.
XI.
) wenn man in den- selben
setzt, wo sich denn nach Beschaffen- heit der Exponenten
m
,
n
,
je nachdem diesel- ben bejaht oder verneint sind, leicht ergiebt, welche von den dasigen Formeln am besten angewandt werden kann, den vorgegebenen Zweck zu erfüllen.
II.
Ist z. B.
m
— 1 eine ganze bejahte Zahl, so wie auch
n
, so würde nach (§. 119.
XI. Nro. V.
) das angegebene Differenzial auf das einfachere
x
m—n—1
d x
oder
gebracht werden, welches offenbar einfacher als das vorgegebene ist, weil der Exponent
m — n — 1 \< m — 1
ist.
III.
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
III.
Wäre aber z. B.
m
verneint und
n
be- jaht, so würde die Formel (§. 119.
XI. Nro. II.
) angewandt werden müssen, weil nunmehr das Differenzial
x
m + n — 1
z
p
d x
einfacher als dasje- nige der Aufgabe seyn würde.
IV.
Und so würden denn auch die Fälle leicht zu beurtheilen seyn, wenn
positiv oder ne- gativ angenommen würde.
Beysp
.
I.
Reductionsformel für das In- tegral von
wenn
m
eine ganze bejahte Zahl ist.
Hier wäre
p = — ½; n = 2; a = 1; b = — 1
Und nun nach der Reductionsformel
Nro. V.
weil das dortige
z
hier = 1 —
x
2
.
Da nun
m
jede ganze Zahl also auch
m
+ 1 bedeuten kann, so erhält man auch,
m
+ 1 statt
m
gesetzt,
∫
Integralrechnung.
So wäre also das Integral, worin der Ex- ponent von
x = m
ist, auf ein ähnliches redu- cirt, worin der Exponent von
x = m — 2
also um zwey Grade niedriger ist.
So kann nun auf eine ähnliche Art ferner
auf
und dieses weiter auf
ꝛc. gebracht werden.
Es ist klar, daß auf diese Art das In- tegral
zuletzt auf
, oder auch auf
Arc sin x (§. 105. XXIII.)
wird reducirt werden können, je nachdem
m
eine ungerade oder gerade Zahl seyn wird.
Beysp
.
II.
Wäre dagegen
m
eine ver- neinte Zahl also das vorgegebene Differenzial
so erhält man für dessen Integral nach (§. 119.
XI. Nro. II.
) das dortige
m
negativ genommen
Höh. Anal.
II.
Th.
G
∫
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
oder
m
— 1 statt
m
gesetzt
Je nachdem also
m
gerade oder ungerade ist, wird die Integration des Differenzials
endlich auf
oder
gebracht, deren Werthe man aus (§. 130. B.
I. II.
) hat, wenn man die dortigen
α
= 1,
β
= 0 und
γ
= — 1 setzt, nemlich
weil man die
log
2 als einen Theil der
Const.
selbst ansehen kann.
§. 133.
Integralrechnung.
§. 133.
Aufgabe
.
zu integriren, wenn
M
,
N
, keine andere Irrationalgrößen, als bloß die einzige
enthalten, und außerdem in
M
und
N
nur Potenzen von
x
n
mit ganzen Exponenten z. B.
x
2 n
; x
3 n
; x
m n
vorkommen
.
Aufl. 1. Man setze.
oder
mithin
2. So hat man
oder auf beyden Seiten Logarithmen genommen
3. Mithin differenziirt
G 2
Oder
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
Oder
4. Setzt man diese rationalen Werthe von
, von
x
n
und von
in den Aus- druck
, so wird derselbe rational und kann demnach nach den Regeln des ersten Kapitels in- tegrirt werden.
5.
Beyspiel
zu integriren.
Weil
so hat man auch
welches wegen
μ
= 1 und
ν
= 2, nach den an- geführten Substitutionen sich in
Oder in
d y
Integralrechnung.
verwandelt, wovon nun freylich das Integral et- was zusammengesetzt ausfallen wird.
6. Für
m = o
hätte man
welches völlig wie (§. 128. Beysp.
I.
) zum Inte- grale giebt
in welchem Ausdrucke statt
z
gesetzt werden muß
, um das Integral
y
durch
x
aus- gedrückt zu erhalten.
Sollten, wenn
a
,
b
,
f
,
g
nicht alle bejaht sind, logarithmische Theile des gefundenen Inte-
grals
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
grals imaginär werden, so verwandelt man solche wie aus (§. 130. Beysp.
II.
) zu ersehen ist, in Kreisbogen.
7. Man setze
m n — 1 = k
, also
, so hat man das Differenzial
welches durch die angeführte Substitution sich in
verwandelt, worinn nunmehr
ge- dacht werden muß.
Sind demnach
k
und
n
in dem vorgegebe- nen Differenziale so beschaffen, daß
eine ganze Zahl ist, wie auch
k
,
n
, bejaht, ver- neint, oder auch Brüche seyn mögen, so läßt sich das Differenzial allemahl in ein rationales ver- wandeln, weil alsdann auch
m
— 1 und
m
+ 1 ganze Zahlen sind.
8. Dies gilt überhaupt auch für das allge- meinere Differenzial
d y
Integralrechnung.
wie aus obigem sehr leicht abzuleiten ist.
9. Für
k = o
hat man das Differenzial
dies kann also nur rational gemacht werden, wenn
n
= 1 ist.
10. Aus dem bisherigen erhellet nun auch, warum in den Functionen
M
,
N
der obigen Auf- gabe überhaupt keine andere Potenzen von
x
vor- kommen dürfen, als unter der Form
x
m n
, so daß
m
eine ganze Zahl ist.
§. 134.
Anmerkung
.
1. Dies sind ohngefähr die vorzüglichsten ir- rationalen Differenziale, wovon die Integration in endlichen Ausdrücken noch in unserer Gewalt ist. Enthielten die Functionen
M
,
N
(§. 133.) Irrationalgrößen von einer Form wie
, oder von noch zusammengesetztern Formen, so hängen die Inte- grale
im Allgemeinen
nicht mehr bloß von Logarithmen oder Kreisbogen, sondern auch von
andern
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
andern transcendentischen Functionen ab, für welche man aber noch keine solche Tafeln, wie für die Logarithmen und trigonometrischen Functionen hat. Dies ist auch meistens der Fall, wenn
M
,
N
außer einer Irrationalgröße wie
, auch noch andere von dieser Form z. B.
enthalten würden. So ist z. B. nur das Differenzial
allgemein weder durch Logarithmen noch Kreisbogen, noch sonst durch trigonometrische Functionen integra- bel, weil es sich auf keinerley Weise rational machen läßt. Aber man würde es durch elliptische oder hyperbolische Bögen ausdrücken können, für welche man aber bis jetzt keine so bequeme Tafeln, wie für die Kreisbögen, Logarithmen u. d. gl. hat, daher von solchen Ausdrücken wenig Nutzen zu er- warten steht.
2. Um indessen doch die Sache durch ein Beyspiel zu erläutern, so will ich das Differenzial
nehmen, worin ich
γ
und
η
als positiv betrachte.
Nun
Integralrechnung.
Nun bezeichne
a
die große Axe einer Ellipse, oder überhaupt die eine Axe, und
b
die andere,
x
eine Abscisse aus dem Mittelpunkte auf der Axe
a
, und
s
den zugehörigen Bogen der Ellipse, so findet man leicht für das Differential dieses Bogens den Ausdruck
(M. s. den 57ten §. meiner
Stereometrie
, oder des
Vten
Theiles meiner pract. Geom
.)
Ein Differenzial, wie dieses, hat also zum In- tegrale einen elliptischen Bogen =
s
dessen Ab- scisse =
x
ist, welches man kurz so ausdrücken könnte.
(Arcus ellipseos abscissae x).
Mit diesem Differenziale vergleiche man nun das obige, und setze also
so
Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
so erhält man
demnach ist
y
oder
Für die Axen der Ellipse die eben gefundenen Wer- the
a
und
c
gesetzt.
Hätte man also Tafeln für elliptische Bögen, aus denen man so gleich für eine Ellipse deren eine Axe
, die andere
seyn würde, den der Abscisse
x
entsprechenden Bo- gen
s
herausnehmen könnte, so würde dieser den Werth des Integrals ausdrücken.
Allein dergleichen Tafeln hat man noch nicht, und daher hilft also ein Ausdruck wie
Arc. ellips. absc. x
nicht viel zur Ausübung, und man muß sich also, um den elliptischen Bogen zu finden, mit den unendlichen Reihen begnügen, welche ich a. a. O. für die Rectification der Ellipse gegeben habe, oder man muß den Werth des Bogens durch die bequemen Annäherungsmethoden, welche ich a. a. O. §. 61. gegeben habe, zu bestimmen suchen.
Drittes
Integralrechnung.
Drittes Kapitel
. Integration der Differenzialformeln, worinn Exponential- und logarithmische Functionen vorkommen.
§. 135.
Aufgabe
.
d y = a
x
d x;
und
zu in- tegriren
.
Aufl
. 1. Für die erste Differenzialformel
d y = a
x
d x
hat man das Integral sogleich nach (§. 105.
XI.
) nemlich
.
2. Um aber das Integral
zu finden, oder vielmehr auf eine bekannte alge- braische oder transcendente Ferm zu bringen, hat man bis jetzt noch kein Mittel gefunden. Das Integral hängt von einer transcendenten Function
ab,
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
ab, welche in einem endlichen Ausdrucke weder durch Kreisbogen, noch durch Logarithmen, noch sonst in einer bekannten Form hat dargestellt wer- den können. Aber durch eine unendliche Reihe läßt es sich auf folgende Art finden.
Nach (§. 74. Beysp.
II.
2.) ist, das dortige
c = x
gesetzt,
ꝛc. Multiplicirt man nun jedes Glied dieser Reihe mit
, und integrirt, so wird
ꝛc.
eine Reihe deren allgemeines Glied
ist.
Diese Reihe nähert sich für kleine Werthe von
x
sehr schnell, aber für große langsam. Hätte man Tafeln, welche den Werth dieser Reihe für jedes
x
darstellten, so würde man das Integral
∫
Integralrechnung.
, wie andere transcendente Größen z. B.
Arc sin x; log x;
nur sogleich aus den Tafeln herausnehmen, und also auch andere Integrale, welche sich auf
bringen ließen, als auf- gelößt betrachten können. Zum Behuf der Be- rechnung solcher Tafeln, wäre zu wünschen, daß man die angeführte Reihe auf eine andere sich stär- ker nähernde reduciren könnte (M. s. hievon noch weiter unten §§ 145 ꝛc.).
§. 136.
Aufgabe
.
Wenn
X
eine beliebige Function von
x
bedeutet, das Integral
∫
X a
x
d x
zu finden
.
Aufl
. 1. Man setze in obige Reductions- formel (§. 123.) nach der auch
∫
X d Y = X Y —
∫
Y d X
ist
d Y = a
x
d x
also
so erhält man
∫
X d Y
oder
.
Wird
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
Wird nun
d X = P d x
gesetzt, so ist
und es wäre demnach die Integration des Diffe- renzials
X a
x
d x
auf die Integration eines andern ähnlichen
P a
x
d x
gebracht, welches letztere viel- leicht einfacher, als das erstere seyn könnte, und sich daher leichter integriren ließe.
2. Man setze
d P = Q d x
, so würde nach einer ähnlichen Reduction
also
∫
P a
x
d x
auf
∫
Q a
x
d x
reducirt, welches vielleicht noch einfacher als
∫
P a
x
d x
seyn könnte.
3. Dies gäbe denn durch Substitution
4. Setzt man diese Reductionen auf die an- gezeigte Art fort, indem man
d Q = R d x
,
d R = S d x; d S = T d x
ꝛc. setzt, so erhält man
5.
Integralrechnung.
5. Also das Integral
∫
X a
x
d x
auf
∫
T a
x
d x
reducirt, welches letztere denn nach Beschaffenheit der Umstände leichter als das erstere integrirt wer- den könnte.
§. 137.
Zus
.
I.
Man sieht leicht, daß in obigen Reductionen die Functionen
P
,
Q
,
R
ꝛc. durch fortgesetzte Differenziirung der ursprünglichen
X
ent- stehen. Es ist nemlich
u. s. w.
Zus
.
II.
Aus (§. 136. 4.) findet sich um- gekehrt
Hier wäre also
∫
T a
x
d x
auf
∫
X a
x
d x
reducirt, wo aber nunmehr
S
,
R
,
Q
,
P
, Integrale be- zeichnen, nemlich
S =
∫
T d x; R =
∫
S d x =
∫
d x
∫
T d x Q =
∫
R d x =
∫
d x
∫
d x
∫
T d x
u. s. w.
Hat man also nur diese Integrale in seiner Ge- walt, so daß sie sich nach den bereits in obigen Kapiteln vorgetragenen Vorschriften in endlichen Formen darstellen lassen, so kann die angeführte
Re-
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
Reduction gleichfalls von Nutzen seyn, indem das Integral
∫
X a
x
d x
vielleicht einfacher als das er- stere
∫
T a
x
d x
seyn könnte.
§. 138.
Beyspiele
.
I.
∫
x
n
a
x
d x
zu finden, wenn
n
eine ganze positive Zahl ist
.
Hier ist
X = x
n
;
also
P = n x
n — 1
; Q = n (n — 1) x
n — 2
; R = n (n — 1) (n — 2) x
n — 3
;
Wenn man dies weiter fortsetzt, so wird endlich
∫
x
n
a
x
d x
auf
∫
o . a
x
d x
d. h. auf ein Integral =
o
reducirt, und man hat daher
bis die Reihe abbricht.
Also z. B. für
n
= 3
II.
zu finden; (
n
= einer gan- zen Zahl)
Man setze
; Aber wollte
man
Integralrechnung.
man hier die Methode (§. 136. 4.) anwenden, so würde man immer auf ein Integral kommen, welches zusammengesetzter als das vorgegebene seyn würde, indem z. B.
T
eine höhere Potenz von
x
im Nenner enthalten würde, als sich dergleichen im Nenner von
X
vorfindet. Man bedient sich also in diesem Falle vortheilhafter der Reduction (§. 137. Zus.
II.
).
Nemlich man setze daselbst
; so ist
; Hieraus weiter
Setzt man dieses weiter fort, so wird also
∫
T a
x
d x
oder
endlich auf
re- ducirt, und man erhält, wenn der Kürze halber
ꝛc. gesetzt wird,
Höh. Anal.
II.
Th.
H
∫
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
Wollte man
weiter auf
d. h. auf
∫
a
x
d x
reduciren, so würde man auf einen in
∫
a
x
d x
zu multiplicirenden unendlich großen Factor nemlich
kommen, woraus sich nichts weiter schließen läßt, daher man es bey dem Integrale
, für welches wir oben (§. 135. 2.) einen Ausdruck durch eine unendliche Reihe angegeben haben, be- wenden lassen muß. Denn durch einen endlichen Ausdruck läßt sich dieses Integral nicht darstellen.
§. 139.
Zus
.
III.
Findet man zu einem gewissen Zwecke
unendliche Reihen
brauchbar, so kann das Integral
∫
X a
x
d x
auch auf folgende Art gefunden werden. Wegen
u. s. w.
Wird
Integralrechnung.
Wird
wo also
∫
X a
x
d x
durch die Integrale
∫
X d x,
∫
X x d x
ꝛc. bestimmt wird.
Zus.
IV.
Ist
X
eine rationale ganze Fun- ction von
x,
so wird nach den Vorschriften (§. 136. ꝛc.) das Integral
∫
X a
x
d x
überhaupt we- nig Schwürigkeit haben. Ist aber
X
eine Bruch- function, oder gar eine irrationale Function, so wird das Integral in den meisten Fällen sehr beschwerlich und weitläuftig ausfallen. Ich be- gnüge mich daher, hier bloß einige der einfachsten und am häufigsten vorkommenden Fälle in Bey- spielen erläutert zu haben.
§. 140.
Aufgabe.
Wenn
X
eine Funktion von
x
be- deutet, das Integral
∫
X d x (log x)
n
zu finden
.
Aufl.
1. Man setze
X d x = d Y
also
∫
X d x = Y
so erhält man zufolge der Reductions- formel (§. 136.) in der man das
dortige
X
hier
(log x)
n
bedeuten läßt
H 2
∫
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
2. Man setze weiter
=
d P
, oder
=
P
, so ist auf eben die Art
d. h.
∫
d P (l x)
n — 1
= (l x)
n — 1
P — (n — 1)
demnach
∫
X d x (l x)
n
= (l x)
n
Y — n (l x)
n — 1
P
+
3. Wenn man nun diese Reduction weiter fortsetzt, nemlich
=
Q;
=
R
ꝛc. setzt, so findet sich
∫
X d x (l x)
n
= (l x)
n
Y — n (l x)
n — 1
P + n (n — 1) (l x)
n — 2
Q
— ꝛc. so, daß also das vorgegebene Integral
∫
X d x (l x)
n
bloß von den Integralen
∫
X d x = Y;
=
P
∫
Integralrechnung.
=
Q
u. s. w. abhängt, und daher gefun- den werden kann, wenn nur diese letztern
Y, P, Q,
in unserer Gewalt stehen.
§. 141.
Beyspiele.
I.
Es sey
X = x
m
so ist
Y
=
∫
X d x
=
∫
x
m
d x
=
;
=
P
=
und so weiter
Q
=
;
R
=
ꝛc. Mithin
∫
x
m
d x (l x)
n
= x
m + 1
(A (l x)
n
— B (l x)
n — 1
+ C (l x)
n — 2
ꝛc.) wenn der Kürze halber
=
A
;
=
B
;
=
C
ꝛc. gesetzt wird.
II.
Wenn in dieser Formel
m
= — 1 ist, so werden die Integrale
Y
=
∫
x
m
d x
=
∫
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
=
P
u. s. w. selbst logarithmisch, nemlich
Y
=
=
l x; P
=
Q
=
daher
u. s. w. =
(l x)
Nun ist aber auch geradezu
wie aus der Differen- ziation erhellet, daher auch
ꝛc.
III.
Wäre
n
verneint, so verwandelt sich
∫
X d x (l x)
n
in
. In diesem Falle wür- den die Reihen wie
I.
und (§. 140. 3.) unendlich. Um das Integral in einem endlichen Ausdrucke zu erhalten, dient unterweilen folgende Reduction.
§. 142.
Integralrechnung.
§. 142.
Aufgabe.
Das Differenzial
zu integri- ren, wenn
X
= einer Function von
x.
Aufl.
1. Es ist
=
X x
und
oder
. Man lasse also in der Reductionsformel (§. 136.) nemlich
∫
X d Y = X Y
—
∫
Y d X
das
X
hier die Function
X x
, und das
Y
hier das —
bedeuten, so er- hält man die Reduction
wenn man der Kürze halber
=
P
setzt.
2.
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
2. Hier kann man nun auf eine ähnliche Art
auf
und so weiter
auf
ꝛc. reduciren, indem man der Ord- nung nach
=
Q
;
=
R
ꝛc. setzt. So gelangt man endlich auf ein Integral von der Form
, worin in dem Nenner bloß die erste Potenz von
l x
vorkömmt, und bey welchem man es bewenden lassen muß. — Kann sodann nur
in einer endlichen Form dargestellt werden, so ist hiemit auch
gefunden.
Beyspiele.
I.
Es sey
zu integriren
; so ist
X = x
m
; X x = x
m + 1
und
=
P = (m + 1) x
m
; P x = (m + 1) x
m + 1
;
=
Q = (m + 1)
2
x
m
u. s. w. Dies giebt denn nach gehörigen Substitutionen für das Integral
nach-
Integralrechnung.
nachfolgenden Ausdruck
wenn der Kürze halber
=
A
;
=
B
;
=
C
:
=
D
u. s. w. gesetzt wird.
II.
Es käme also nur darauf an, das letzte Integral
in einem endlichen Ausdrucke darzustellen. Aber wollten wir nun auch hier eine Reductionsformel angeben, wodurch
auf
; u. s. w. reducirt wür- de, so käme man endlich zwar auf
; aber dieses Integral läßt sich auf keinen endlichen Aus- druck bringen, so wenig als das obige (§. 135. 2.) auf dessen Form auch das gegenwärtige
oder
Zweiter Theil. Drittes Kapitel.
oder selbst
sich bringen läßt. Denn setzt man
log x
=
; also
x
=
mithin
d x
=
;
x
m
=
so erhält man nach gehöriger Substitution
mithin die obige Formel (§. 135. 2.), wenn man das dortige
a
hier
e
(oder die Zahl deren natür- licher Logarithme = 1 ist) und das dortige
x
hier
y
bedeuten läßt.
Es wäre demnach, wegen
log a = log e = 1
=
log y + y
+
ꝛc. Oder statt
y
wieder
(m + 1) l x
gesetzt,
=
l (m + 1) + II x + (m + 1) l x
+
ꝛc. durch eine unendliche Reihe gefunden.
§. 143.
Integralrechnung.
§. 143.
Zus.
I.
Für
m = o
, wäre demnach
=
l l x + l x
+
ꝛc. Es versteht sich, daß zu diesem Integrale, wie zu allen bisherigen (§§. 135 — 142.), noch eine con- stante Größe hinzuaddirt werden muß, welche denn aus den Umständen einer Aufgabe, welche auf ein solches Integral geführt hätte, zu bestim- men ist.
Anmerk.
Für
m
= — 1 hat man das In- tegral
=
l l x
(§. 105.
IV.
) ohne weitere Reihe.
§. 144.
Zus.
II.
Da in der (Zus.
I.
) gefundenen Integralreihe der
l l x
betrachtet werden kann, als das Integral so wohl von
d log (+ l x)
als auch von
d log (— l x)
, indem in beyden Fäl- len das Differenzial seyn würde = +
, so ist klar, daß eigentlich gesetzt werden muß
=
log (± l x) + l x
+
ꝛc. +
C.
wo
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
wo denn
log (± l x)
mit dem untern Zeichen ge- nommen werden muß, wenn
x
\< 1 ist, also
l x
schon für sich allein negativ seyn würde, wodurch denn —
l x
zu einer positiven Größe wird.
§. 145.
Anmerkung.
I.
Das Integral
bezeichnet eine trans- scendente Function von
x
, welche von Herrn
Soldner der Integral-Logarithme
von
x
genannt wird. Da dies Integral nicht selten vor- kömmt, so hat er die verdienstliche Mühe über- nommen, Tabellen für dasselbe zu berechnen, und sie in einer Schrift
Théorie et Tables d’une nouvelle fonction transcendante
(à Munic.
1809.) dem Publicum mitzutheilen. Er bezeich- net diese Function
mit
l i. x (logarithmus integralis ipsius x)
, worin ihm denn auch an- dere, welche sich mit dieser Function beschäftigt haben, z. B. Hr.
Bessel (Königsberger Archiv für Naturwissenschaft und Math
. B.
I.
Königsb. 1812.) Hr.
Butzengeiger
in
v. Zachs monatl. Corresp. Sept.
1812. S. 285.) gefolgt sind.
Valberga-Caluso
(Me-
morie
Integralrechnung.
morie di Matematica e di Fisica della societa Italiana. Tom. XII. P. I. p. 268.)
nennt die Function
den
Logo-Logarithmen
von
x,
so wie die Function
den Logarithmen von
x
bezeichnet.
II.
Zum Behuf der leichtern Berechnung der Tafeln für die Integral- oder Logo-Logarithmen, haben sich obgedachte Schriftsteller bemüht, mit obiger Reihe
l i. x = log (± l x) + l x
+
ꝛc. +
C.
noch andere zu verbinden, welche schneller sich nä- hern, oder auch aus einem bereits berechneten Integral-Logarithmen leicht einen andern zu fin- den, gebraucht werden können. Begreiflich kann hier wieder das Taylorische Theorem angewandt werden.
Man lasse die
φ
x
(§. 72.) hier den Inte- gral-Logarithmen von
x
also
l i. x
bedeuten, so hat man
l i (x + c) = l i. x
+
ꝛc.
Berech-
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
Berechnet man also die in
c, c
2
u. s. w. multipli- cirten Differenzialquotienten, so giebt die gefun- dene Reihe den Integral-Logarithmen von
x + c,
wenn derjenige von
x
gegeben ist.
III.
Weil
d (l i . x)
=
; oder
so hat man
u. s. w.
IV.
Hier läßt sich nun leicht jedes folgende Differenzial aus dem vorhergehenden ableiten.
Man setze allgemein
; ☉ und
; ☽
so
Integralrechnung.
so findet sich, wenn man die Reihe ☉ differen- ziirt und mit der Reihe ☽ vergleicht, durch eine leichte Rechnung
A = —
(n + 1) A
B = —
(n A + n B)
C = —
(n B + (n — 1) C)
D = —
(n C + (n — 2) D)
u. s. w.
V.
Um also z. B. aus
(III.)
den Ausdruck für
zu finden, so hat man für
n
= 2 vermöge der Rechnung
(III.) A = + 2; B = + 1; C = o, D = o
u. s. w. Demnach
(IV.)
A = — 3.
A
= — 6
B = —
(2 A + 2 B)
= — 6
C = —
(2 B + 1 C)
= — 2
D = —
(2 C + o D) = o
und so alle folgenden Coeffefficienten =
o
Daher
oder
d
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
VI.
Substituirt man also diese, und so alle folgenden Werthe in den Ausdruck für
l i. (x + c)
in
(II)
, so sieht man leicht, daß dieses
li. (x + c)
durch eine desto stärker sich nähernde Reihe gefun- den wird, je größer
x
und je kleiner
c
ist. Die Anwendung auf die Berechnung der Tafeln er- giebt sich hieraus von selbst, und würde hier zu weitläuftig seyn. Die von andern angegebenen Näherungsreihen führen nicht viel schneller zum Zweck.
VII.
Zur Berechnung der Tafeln für die Function
l i x
oder
kann auch die Appro- ximationsmethode unten im 202ten § nützlich seyn.
§. 146.
Anmerkung.
Soll das in (§. 144.) angegebene Integral für
x = o
verschwinden, so hat es seine Schwie- rigkeiten, die
Const.
für diesen Fall zu bestimmen. Man setze
x
=
, so ist
oder
l
Integralrechnung.
+
C.
weil in diesem Falle das untere Zeichen in (§. 144.) zu nehmen ist, wodurch
log (— l x) = l l u
wird. Soll nun für
x = o
d. h. für
u
= ∞ das Integral verschwinden, so erhält man
Const.
= —
l l
∞ +
l
∞ —
u. s. w.
Ist nun gleich jedes Glied dieser Reihe unendlich, so können doch alle Glieder zusammen, wegen der abwechselnden Zeichen immer noch einer endlichen Größe gleich seyn, welche zu bestimmen ein eige- ner Weg eingeschlagen werden muß, worüber man in der oben angeführten
Soldnerischen
Schrift das weitere nachsehen kann. Zur Erläu- terung vergleiche man hiemit (§. 81.).
Hr. S. findet diese
Const. = o
, 5772156. Daher hat man überhaupt.
l i. x = log (± l x) + l x
+
… +
o
, 5772156.
Höh. Anal.
II.
Th.
J
§. 147.
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
§. 147.
Zus.
III.
Da
=
l i. x,
so ist, wenn man
log x = y
also
x = e
y
mithin
d x = e
y
d y
setzt
; Mithin
=
l i. e
y
d. h. der Integral-Logarithme von
e
y
,
welchen man also aus den Tafeln nehmen kann, wenn
y
folglich auch
e
y
als Zahl gegeben ist. So dienen also die Tafeln für die Integral-Logarithmen auch zur Be- rechnung derjenigen Integrale, welche von dem angezeigten
abhängig sind, wie z. B. die obigen (§. 142. B.
I.
§. 138.
II.
).
§. 148.
So hatten wir ferner (§ 142. im dortigen Beyspiel
n
o
. II.
)
=
l i. e
y
,
wenn
log x
=
also
y = (m + 1) log x
=
log
Integralrechnung.
log (x
m + 1
)
, mithin
e
y
= x
m + 1
gesetzt wurde. Es ist demnach
=
l i. x
m + 1
welchem Integral-Logarithmen also auch die oben (§. 142.) für
gefundene unendliche Reihe gleich ist.
§. 149.
Anmerkung.
Mehrere von Integral-Logarithmen abhängige Integrale betrachtet Hr. Prof.
Bessel
in oben angeführter Abhandlung. So findet sich z. B. durch eine leichte Rechnung
d. h. = dem Integral-Lo- garithmen von
.
§. 150.
Aufgabe.
Das Integral
∫
x
μ
x
d x
zu finden.
Aufl.
I.
Nach (§. 74. Beysp.
II.
2.) ist für jede Zahl
u
J 2
u
Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
u = 1 + log u
+
ꝛc.
II.
Nun sey
u = x
μ
x
also
log u
=
μ
x l x
Mithin
x
μ
x
= 1 +
μ
x l x
+
ꝛc. so ist
∫
x
μ
x
d x = x
+
μ ∫
x l x d x
+
∫
x
2
(l x)
2
d x
ꝛc. Wo denn die einzelnen Integrale
∫
x l x d x;
∫
x
2
(l x)
2
d x
u. s. w. nach (§. 141.) gefunden werden können, wenn man in die dortige allge- meine Formel
∫
x
m
d x (l x)
n
,
der Ordnung nach statt
m, n
die Zahlen 1, 2, 3, ꝛc. setzt.
Zus.
Dieselbe Methode führt auch auf das Integral
∫
x
ν
.
x
μ
x
d x;
denn man erhält
∫
x
ν
.
x
μ
x
d x
=
∫
x
ν
d x
+
μ ∫
x
ν
+ 1
l x d x
+
∫
x
ν
+ 2
(l x)
2
d x
u. s. w. welche einzelne Integrale denn gleichfalls nach (§. 141.) gefunden werden können.
Mehrere Integrationen von Differenzialen mit Exponentialgrößen hier auszuführen, würde eine überflüssige Arbeit seyn, da die bereits an-
geführ-
Integralrechnung.
geführten bey weitem die brauchbarsten sind, wel- che in der Ausübung vorkommen, und viel andere sich durch geschickte Substitutionen auf die ange- führten reduciren lassen.
Viertes Kapitel.
Integration von Differenzialen, worin Kreisfunctionen vorkommen.
§. 151.
Zur Grundlage dienen die oben (§. 105.
XIV-XXV.
) angeführten Formeln.
Aufgabe.
Das Integral
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
zu finden
.
Aufl.
I.
Wenn man ein Product von der Form
sin
φ
μ
cos
φ
ν
differenziirt, so erhält man
d sin
φ
μ
cos
φ
ν
= μ
d
φ
sin
φ
μ
— 1
cos
φ
ν
+ 1
—
ν
d
φ
sin
φ
μ
+ 1
cos
φ
ν
— 1
oder statt
cos
φ
ν
+ 1
gesetzt
cos
φ
ν
— 1
cos
φ
2
=
cos
φ
ν
— 1
(1 —
sin
φ
2
);
d sin
φ
μ
cos
φ
ν
= μ
d
φ
sin
φ
μ
— 1
cos
φ
ν
— 1
— (
μ
+
ν
)
d
φ
sin
φ
μ
+ 1
cos
φ
ν
— 1
Wor-
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Woraus die Reduction
∫
d
φ
sin
φ
μ
+ 1
cos
φ
ν
— 1
= —
sin
φ
μ
cos
φ
ν
+
∫
d
φ
sin
φ
μ
— 1
cos
φ
ν
— 1
folgt.
II.
Man hätte aber in den anfänglichen Dif- ferenzial-Ausdruck
(I.)
auch statt
sin
φ
μ
+ 1
setzen können
sin
φ
μ
— 1
sin
φ
2
oder
sin
φ
μ
— 1
(1 —
cos
φ
2
) so würde man auf eine ähnliche Weise auch eine Reductionsformel von der Gestalt
∫
d
φ
sin
φ
μ
— 1
cos
φ
ν
+ 1
=
sin
φ
μ
cos
φ
ν
+
∫
d
φ
sin
φ
μ
— 1
cos
φ
ν
— 1
erhalten.
III.
Man setze nun in die erste Reductions- Formel
μ
+ 1 =
m;
ν
— 1 =
n.
Sodann in die zweyte
μ
— 1 =
m;
ν
+ 1 =
n,
so erhält man in
(I.)
die Reduction
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
= —
∫
d
φ
sin
φ
m
— 2
cos
φ
n
(☽)
Und
Integralrechnung.
Und in (
II.
)
(☉)
IV.
In diesen Formeln setze man nun und zwar in die erste
m
— 2 statt
m
, in die zweyte
n
— 2 statt
n
, so können die Integraltheile rech- ter Hand des Gleichheitszeichens auf eine ähnliche Weise ferner auf
∫
d
φ
sin
φ
m
—4
cos
φ
n
und
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
— 4
sodann diese auf eine ähnliche Art wieder auf
∫
d
φ
sin
φ
m
— 6
cos
φ
n
und
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
— 6
gebracht werden, durch welche Fortsetzung der Rechnung denn endlich das vorgegebene Integral entweder auf
∫
d
φ
cos
φ
n
oder
∫
d
φ
sin
φ
m
oder auf
∫
d
φ
sin
φ
cos
φ
n
oder auf
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
reducirt wird, deren beyde letztere ohne weitere Rechnung integrabel sind, nemlich
∫
d
φ
sin
φ
cos
φ
n
= —
cos
φ
n
+ 1
+
C
.
∫
d
φ
cos
φ
sin
φ
m
=
sin
φ
m
+ 1
+
Const
. Die erstern dagegen lassen sich durch fortgesetzte Reductionen zuletzt auf
∫
d
φ
=
φ
+
Const.
oder
auf
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
auf
∫
d
φ
cos
φ
=
sin
φ
+
C
;
∫
d
φ
sin
φ
= —
cos
φ
+
Const.
reduciren, wie aus folgender Rechnung sich ergiebt.
Beyspiele
.
V.
Man setze
m = o
, also
sin
φ
m
= 1, so hat man aus (
III.
☉).
Und wenn man in (
III.
☽)
n = o
setzt
Setzt man in die erste dieser Formeln nunmehr
n
— 2 statt
n
, und in die zweyte
m
— 2 statt
m
, so wird auf eine ähnliche Art das Integral
∫
d
φ
cos
φ
n
—2
auf
∫
d
φ
cos
φ
n
—4
und
∫
d
φ
sin
φ
m
—2
auf
∫
d
φ
sin
φ
m
—4
gebracht; so denn diese ferner auf zwey andere, worin die Exponenten von
cos
φ
und
sin
φ
wieder um zwey Grade niedriger sind u. s. w. So kömmt man denn endlich auf
∫
d
φ
sin
φ
o
=
∫
d
φ
=
φ
+
Const.
oder wenn
m
ungerade ist auf
∫
d
φ
sin
φ
= —
cos
φ
+
C
. Und eben so auf
∫
d
φ
cos
φ
o
=
φ
+
Const.
oder auf
∫
d
φ
cos
φ
=
sin
φ
+
Const
.
Wenn man die Rechnung, deren Gang hier nur angedeutet ist, vollständig durchführt, so wird man folgende Formeln erhalten
∫
Integralrechnung.
∫
d
φ
sin
φ
m
= —
cos
φ
(
sin
φ
m
—1
+
A sin
φ
m
—3
+
B sin
φ
m
— 5
....)
+
M
φ
+
Const.
∫
d
φ
cos
φ
n
=
sin
φ
(
cos
φ
n
— 1
+
A' cos
φ
n
— 3
+
B' cos
φ
n
— 5
....) +
M'
φ
+
Const.
Wo
A
,
B
,
C
u. s. w. folgende Werthe haben
u. s. w.
Die Coefficienten
A'
,
B'
ꝛc.
M'
werden durch ähn- liche Ausdrücke gefunden, nur daß man in ihnen
n
statt
m
setzen muß. Jede der angegebenen Rei- hen wird so weit fortgesetzt, bis man auf dasjeni- ge Glied kömmt, worin
sin
φ
und
cos
φ
die klein- sten bejahten Exponenten erhalten. Sind
m
,
n
ungerade Zahlen, so fallen die Glieder
M
φ
;
M'
φ
gänzlich weg.
Beysp
.
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Beysp
. Für
m
= 6. Hier wäre schon
m
— 5 = 1 also
sin
φ
m
— 3
=
sin
φ
, daher in der Reihe der Coefficienten nur
A
und
B
in Be- trachtung kommen. Nemlich
A
=
;
B
=
Also
wo, wie zu allen Integralen, wenn es auch nicht immer angezeigt ist, noch eine
Const.
hinzuge- dacht werden muß.
Für
m
= 7. Hier würde man die Coef- ficienten nur bis auf den dritten zu berechnen nöthig haben. Nemlich
A
=
C
=
; der Werth von
M
würde =
o
. Daher
Und
Integralrechnung.
Und so in ähnlichen Fällen für
∫
d
φ
cos
φ
n
. Aus dem bisherigen ergeben sich alle die speciel- len Fälle, worüber man in den oben (§. 122.
IV.
) angeführten Integraltafeln das weitere aufsuchen kann, wenn man es zum Gebrauche nöthig findet.
§. 152.
Anmerkung
.
1. Bekanntlich kann jede Potenz eines Si- nus oder Cosinus in eine endliche Reihe von Si- nussen oder Cosinussen vielfacher Winkel verwan- delt werden z. B.
cos
φ
n
=
α
cos n
φ
+
β
cos (n — 2)
φ
+
γ
cos (n — 4)
φ
u. s. w. wo
n
jede gerade oder ungerade Zahl be- deuten kann. Sodann
sin
φ
m
=
α'
cos m
φ
+
β'
cos (m — 2)
φ
+
γ'
cos (m — 4)
φ
u. s. w. wenn
m
gerade ist, und
sin
φ
m
=
α''
sin m
φ
+
β''
sin (m — 2)
φ
+
γ''
sin (m — 4)
φ
u. s. w. wenn
m
ungerade ist.
2. Das Gesetz der Coefficienten
α, β, α', β'
ꝛc. kann man in
Klügels analytischer Trigonometrie
§.
XXXV
ꝛc. und ähnlichen Schriften nachsehen.
3.
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
3. Ein Produkt wie
sin
φ
m
cos
φ
n
wird sich also durch lauter Partialproducte von der Form
cos a
φ
cos b
φ
oder
cos a
φ
sin b
φ
, mithin das Differenzial
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
in lauter Differen- ziale von der Form
d
φ
cos a
φ
cos b
φ
oder
d
φ
cos a
φ
sin b
φ
zerlegen lassen, deren Integrale sich ohne Schwürigkeit finden lassen. Denn z. B. wegen
cos a
φ
cos b
φ
= ½
cos (a + b)
φ
+ ½
cos (a — b)
φ
ist
∫
d
φ
cos a
φ
cos b
φ
= ½
∫
d
φ
cos (a + b)
φ
+ ½
∫
d
φ
cos (a — b)
φ
und
u. s. w. Daher diese Integrationsmethode durch vielfache Winkel, der obigen (§. 151.) wohl noch vorzuziehen seyn mögte.
Beyspiel
.
∫
d
φ
cos
φ
3
sin
φ
2
zu finden.
Es ist
cos
φ
3
= ¼
cos
3
φ
+ ¾
cos
φ
sin
φ
2
= 1 —
cos
φ
2
= — ½
cos
2
φ
+ ½
Also
Integralrechnung.
Also beyde Ausdrücke in einander multiplicirt,
cos
φ
3
sin
φ
2
= — ⅛
cos
3
φ
cos
2
φ
— ⅜
cos
2
φ
cos
φ
+ ⅛
cos
3
φ
+ ⅜
cos
φ
Demnach
∫
d
φ
cos
φ
3
sin
φ
2
= — ⅛
∫
d
φ
cos
3
φ
cos
2
φ
— ⅜
∫
d
φ
cos
2
φ
cos
φ
+ ⅛
∫
d
φ
cos
3
φ
+ ⅜
∫
d
φ
cos
φ
welche Partial-Integrale denn leicht nach obiger Vorschrift gefunden werden können. Z. B. für
∫
d
φ
cos
3
φ
cos
2
φ
ist obiges
a
= 3,
b
= 2 Daher
∫
d
φ
cos
3
φ
cos
2
φ
= ½ . ⅕
sin
5
φ
+ ½ .
sin
φ
Besondere Fälle dieser Integrationsmethode s. m. in obigen
Integraltafeln
Tab. V.
S. 266 u. f.
§. 153.
Aufgabe
.
Die Integrale
;
zu finden
.
Aufl
.
I.
Man setze in die Reductionsfor- mel ☉ (§. 151
III.
)
n
negativ, so erhält man
∫
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Und nun
n
— 2 statt
n
gesetzt
Woraus die Reduction
folgt, in welcher das Integral rechter Hand des Gleichheitszeichens, im Nenner eine Potenz von
cos
φ
enthält, welche um zwey Grade niedriger ist, als in dem Integrale linker Hand des Gleich- heitszeichens.
II.
Ferner setze man in die Reductionsfor- mel ☽ (§. 151.
III.
)
m
negativ, und verfahre auf eine ähnliche Art wie in (
I.
), so erhält man die Reduction
∫
Integralrechnung.
wo jetzt in dem Integrale rechter Hand des Gleich- heitszeichens, im Nenner eine Potenz vom
sin
φ
um zwey Grade niedriger vorkömmt.
III.
Es erhellet hieraus, daß obige Inte- grale durch fortgesetzte Reductionen sich endlich auf
∫
d
φ
sin
φ
m
oder auf
∫
d
φ
cos
φ
n
, oder falls
m
und
n
ungerade sind, auf
;
werden reduciren lassen. Die erstern sind nach (§. 151.
V.
) und die letztern auf folgende Art zu finden.
IV.
Man setze in obige Reductionsformel (§. 151.
III.
☽)
n
= — 1, so hat man
Aus welcher Formel also erhellet, daß durch Fortsetzung dieser Arbeit, sich
endlich auf
=
∫
d
φ
tang
φ
=
log sec
φ
(§. 105.
XXI.
)
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
XXI.
) oder auf
=
log tang
(45° + ½
φ
) (§. 105.
XXII.
) = —
log tang
(45° — ½
φ
) wird reduciren lassen.
V.
Setzt man dagegen in (§. 151.
III.
☉)
m
negativ = — 1 so wird
welche Integration also endlich auf
=
log tang
½
φ
(§. 105.
XXII.
das dortige
φ
= ½
ψ
gesetzt) oder auf
=
∫
d
φ
cot
φ
=
log sin
φ
zurückgebracht wird. Einzelne Fälle des bisherigen s. m. in obigen Integraltafeln.
§. 154.
Aufgabe
.
Das Integral
zu fin- den
.
Aufl.
I.
Man setze (§. 153.
I.
) das dortige
m
negativ, so ergiebt sich sogleich
∫
Integralrechnung.
II.
Oder auch daselbst
(II.) n
negativ gesetzt
III.
Woraus denn erhellet, daß durch Fort- setzung dieser Reductionen, das vorgegebene In- tegral sich endlich auf
=
log tang
½
φ
(§. 153.
V.
) oder
auf
=
log tang
(45° + ½
φ
) oder auf
=
log tang
φ
wird bringen lassen. (Beyspiele in den angeführ- ten Integraltafeln).
§. 155.
Zus
.
I.
Ferner hat man nach diesen For- meln die Reductionen für die einzeln Fälle
Höh. Anal.
II.
Th.
K
∫
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
aus (§. 154.
II.
) wenn
n = o
gesetzt wird. Und
aus (§. 154.
I.
) wenn man das dortige
m = o
setzt.
§. 156.
Zus
.
II.
Ist in der ersten von diesen bey- den Formeln (§. 155.)
m
= 1, so bedarf es kei- ner weitern Reduction, indem sogleich
aus (§. 154.
III.
) bekannt ist. Eben so ist auch in der zweyten (§. 155.) für
n
= 1 sogleich auch
aus (§. 154.
III.
) bekannt.
§. 157.
Anmerkung
.
Die Reductionsformeln für
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
, wie auch
m
und
n
bejaht oder verneint, ganze oder gebrochene Zahlen seyn mögen, lassen sich auch aus denen (§. 119.
XI.
) ableiten.
Man
Integralrechnung.
Man setze
sin
φ
=
x
; so ist
d x = d
φ
cos
φ
;
√
(1 —
x
2
) oder (1 —
x
2
)
½
=
cos
φ
also
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
oder
∫
d
φ
cos
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
—1
=
∫
d x . x
m
. (1 —
x
2
)
welches Differenzial unter der obigen Form (§. 119.) enthalten ist, wenn man statt des dortigen
m
setzt
m
+ 1 ‒ ‒ ‒
a
‒ 1 ‒ ‒ ‒
b
‒ — 1 ‒ ‒ ‒
n
‒ 2 ‒ ‒ ‒
p
‒
Wird daher in obige Reductionsformeln
d x = d
φ
cos
φ
;
z = a + b x
n
= 1 —
x
2
=
cos
φ
2
;
x = sin
φ
, und statt
m
,
a
,
b
,
n
,
p
die angezeigten Werthe gesetzt, so erhält man 6 Reductionsfor- meln für
∫
d
φ
sin
φ
m
cos
φ
n
von denen wir bis- her nur viere zu unserem Zwecke gebraucht haben.
Diese 6 Reductionsformeln hat Hr.
Meier Hirsch
in seinen Integraltafeln. S. 261.
§. 158.
Aufgabe
.
Das Integral
zu fin- den
.
K 2
Aufl
.
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Aufl
. Man setze
a + b cos
φ
=
x
, so ist —
b d
φ
sin
φ
=
d x
; und wegen
sin
φ
=
, das Differenzial
Mithin
Woraus denn erhellet, daß das vorgegebene In- tegral auf die Integrationsregeln der Aufgabe (§. 129.) zurückgeführt ist, und also jedesmahl, wenn
n
eine ganze Zahl ist, durch einen endlichen Aus- druck dargestellt werden kann. Das weitere De- tail führt aber auf sehr zusammengesetzte Aus- drücke, und würde hier zu weitläuftig zu entwik- keln seyn.
Beyspiel
.
Für
n
= 1 ist
Ich will dies Integral
y
nennen; Man findet es nach (§. 130. Beysp.
II.
9.) wenn man das dor- tige
α
=
b
2
— a
2
;
β
= 2
a
;
γ
= — 1 setzt.
Stellt
Integralrechnung.
Stellt man hierauf zugleich den Werth von
x
her, so ergiebt sich nach gehöriger Rechnung
I.
Für den Fall, daß
α
positiv also
b
2
\> a
2
ist
,
dafür kann man, wegen des Factors 2
b
im Zäh- ler, wovon der Logarithme in die noch hinzuzuad- dirende Constante gezogen werden kann, schlecht- weg setzen
Wenn man hier den Zähler und Nenner der Größe, wovon der Logarithme genommen ist, ge- meinschaftlich mit
b + a cos
φ
+
sin
φ √
(
b
2
— a
2
) multiplicirt, so wird man für das Produkt des Nenners finden — (
a + b cos
φ
)
2
daher auch
wird. Da nun hier die negative Größe, wovon der Logarithme genommen wird, angesehen wer- den kann, als eine positive multiplicirt mit — 1, und der Logarithme dieses Factors — 1 mit in
die
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
die Constante gezogen werden kann, so erhält man auch
y
oder
.
II.
Für den Fall, daß
α
(
I.
)
negativ, also
b
2
\< a
2
seyn würde
, wird nach (§. 130. Beysp.
II.
10.)
. Hier kann, wenn
mit dem Buchsta- ben
t
bezeichnet wird, statt
Arc cos — t
auch geschrieben werden 180° —
Arc cos t
, mithin statt —
Arc cos — t
der Ausdruck
Arc cos t
— 180°, wo denn der auf 180° sich beziehende In- tegraltheil zur Constante gerechnet werden kann. Daher erhält man
y
oder
. wo denn diese
Const.
mit der im vorigen Aus- drucke freylich nicht einerley Werth haben kann.
III.
Für den Fall, daß
b = a
also
b
2
— a
2
= o
seyn würde, können die gefunde-
nen
Integralrechnung.
nen Integrale nicht angewandt werden. Aber dann hat man geradezu
§. 159.
Anmerkung
.
Eine noch allgemeinere Formel als die vorher- gehende wäre
; oder auch
;
u. d. gl.
Alle diese lassen sich auch durch folgende Sub- stitution in Ausdrücke verwandeln, welche sich nach den bereits bekannten Vorschriften integriren lassen.
Man setze
sin
φ
=
also
cos
φ
=
;
tang
½
φ
=
y
. So wird erstlich
d
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Ein Ausdruck, welcher ohne Mühe nach (§. 109. 10) integrirt werden kann. Da nun aber auch
sin
φ
n
=
;
cos
φ
n
=
ra- rionale algebraische Funktionen von
y
sind, so sind also auch z. B.
u. d. gl. auf Differen- ziale gebracht, deren Integration, wenn sie in der Ausübung vorkommen sollte, sich nach den bereits erklärten Regeln, bewerkstelligen läßt, wobey denn
m
,
n
nach Gefallen bejaht oder ver- neint seyn können. Sind
m
und
n
keine ganze Zahlen, sondern Brüche, so sind dergleichen Differenziale durch die angeführten Substitu- tionen doch wenigstens auf algebraische Formen reducirt.
Verschiedene einzelne Fälle, unter andern auch nach Reductionsmethoden entwickelt, kann man in
Euler’s
Institut Calc. Integr.
in den bereits öfter angeführten Integraltafeln u. d. gl. nachschla- gen. Anwendungen von Integralen dieser Art kommen in der Astronomie häufig vor. Man
kann
Integralrechnung.
kann sie auch durch Sinusse und Cosinusse viel- facher Winkel, wie z. B. die obigen (§. 152.) ausdrücken, wovon aber die Ausführung hier zu weitläuftig seyn würde.
§. 160.
Aufgabe
.
Die Integrale
∫
X d x Arc sin x
;
∫
X d x Arc cos x
u. d.
gl zu finden, wenn
X
nach Gefallen eine algebraische Function von
x
bedeutet
.
Aufl
.
I.
Man setze
∫
X d x = Y
; so ist
Y
ein Integral, welches nach den vorhergehenden Regeln (Kap.
I. II.
) als bekannt angesehen wer- den kann.
II.
Also
∫
X d x Arc sin x
=
∫
d Y Arc sin x
, und wegen
d Arc sin x
=
, nach be- reits oft angewandten Reductionsformen
∫
X d x Arc sin x = Y Arc sin x
—
läßt sich also das reducirte Differenzial
integriren, so ist auch das in der Aufgabe vor- gegebene gefunden.
III
.
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
III.
Auf eine ähnliche Weise wird auch
∫
X d x Arc cos x = Y Arc cos x
+
∫
X d x Arc tang x = Y
A
tang x
—
u. s. w. gefunden.
M. s.
Hirsch
Integraltafeln, nebst mehre- ren einzeln Fällen S. 289.
§. 161.
Aufgabe
.
Das Integral
∫ φ
n
d
φ
sin
φ
oder
∫ φ
n
d
φ
cos
φ
u. d. gl.
zu finden
.
Aufl
.
I.
Man setze
∫
d
φ
sin
φ
= —
cos
φ
=
Y
, so ist
∫ φ
n
d
φ
sin
φ
=
∫ φ
n
d Y
=
φ
n
Y — n
∫
Y
φ
n
—1
d
φ
, nach (§. 136.) das dortige
X
=
φ
n
gesetzt. Also
∫ φ
n
d
φ
sin
φ
= —
φ
n
cos
φ
+
n
∫ φ
n
—1
d
φ
cos
φ
Und nun weiter wegen
∫
d
φ
cos
φ
=
sin
φ
nach einer ähnlichen Reductionsart
∫ φ
n
—1
d
φ
cos
φ
=
φ
n
—1
sin
φ
— (
n
— 1)
∫ φ
n
—2
d
φ
sin
φ
Daher
Integralrechnung.
Daher
∫ φ
n
d
φ
sin
φ
= —
φ
n
cos
φ
+
n
φ
n — 1
sin
φ
—
n (n — 1)
∫ φ
n—2
d
φ
sin
φ
II.
Auf eine völlige ähnliche Weise wird
∫ φ
n
d
φ
cos
φ
=
φ
n
sin
φ
+
n
φ
n — 1
cos
φ
—
n (n — 1)
∫ φ
n — 2
d
φ
cos
φ
gefunden, woraus demnach erhellet, daß die vor- gegebenen Integrale sich endlich auf
∫ φ
o
d
φ
cos
φ
=
sin
φ
; oder
∫ φ
d
φ
cos
φ
=
φ
sin
φ
+
cos
φ
, oder auf
∫ φ
o
d
φ
sin
φ
= —
cos
φ
; oder auf
∫ φ
d
φ
sin
φ
= —
φ
cos
φ
+
sin
φ
reduciren lassen.
III.
Für
∫ φ
n
d
φ
tang
φ
läßt sich kein end- licher Ausdruck darstellen. Aber durch eine un- endliche Reihe läßt sich das Integral leicht fin- den, wenn man
tang
φ
auf die bekannte Art durch den Bogen
φ
ausdrückt, wofür man die Reihe
φ
+
A
φ
3
+
B
φ
5
ꝛc. hat, deren Coef- fieienten
A
,
B
ꝛc. man in
Klügels anal. Trigo- nometrie
(5. Kap.
I.
110.) nachsehen kann. Wird nun jedes Glied dieser Reihe mit
φ
n
d
φ
multiplicirt und integrirt, so erhält man
∫ φ
n
d
φ
tang
φ
ꝛc. Man kann für
∫ φ
n
d
φ
tang
φ
auch noch andere
Rei-
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Reihen finden, ich will es aber bey der angezeig- ten bewenden lassen.
IV.
Setzt man in (
I.
) und
(II.) n
negativ, so erhält man (
I.
)
also
Oder wenn man jetzt statt
n
setzt
n
— 2
Auf eine ähnliche Weise wird auch in (
II.
)
auf
reducirt, woraus denn erhellet, daß durch fortgesetzte Reductionen die Integrale
;
sich zuletzt auf
;
, oder wenn
n
eine ge-
rade
Integralrechnung.
rade Zahl und \> 2 ist, auf
;
werden bringen lassen. Aber diese letztern vier einfachen Integrale lassen sich in kei- ner endlichen Form darstellen, und hängen von transscendentischen Functionen ab, für welche bis jetzt noch keine Tafeln wie für die Logarith- men und trigonometrischen Functionen berechnet sind.
Drückt man aber z. B.
sin
φ
durch die un- endliche Reihe
u. s. w. aus, so erhält man leicht
u. s. w., welcher Ausdruck auch durch unmögliche Integral-Logarithmen dargestellt werden kann, wenn man
sin
setzt, indem man nach einer leichten Rechnung erhält
unter welcher Form aber das Integral von keinem Nutzen ist.
§. 162.
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
§. 162.
Aufgabe
.
Die Integrale
∫
e
m
φ
d
φ
sin
φ
n
;
∫
e
m
φ
d
φ
cos
φ
n
zu finden
.
Aufl
.
I.
Man setze in der bekannten Re- ductionsformel
∫
Y d X = X Y
—
∫
X d Y
die Aus- drücke
d X = e
m
φ
d
φ
also
und
Y = sin
φ
n
, so erhält man die Reduction
II.
Und nun weiter nach einer ähnlichen Re- duction indem man
d X = e
m
φ
d
φ
wie vorhin, aber
Y = sin
φ
n—1
cos
φ
setzt
Oder wenn man
cos
φ
2
= 1 —
sin
φ
2
setzt, und dann das herauskommende Integral in (
I.
) sub- stituirt, nach einer leichten Rechnung
∫
Integralrechnung.
III.
Für
n = o
ist
; für
n = 1
aber
Auf diese lassen sich nun vermöge der Reductions- formel (
II.
) alle übrigen bringen, wenn
n
eine ganze Zahl ist.
IV.
Nach einer ähnlichen Rechnung findet sich
wo für die einzeln Fälle
n = o
, und
n = 1
die Integrale ebenfalls sich geradezu aus der For- mel ergeben.
§. 163.
Anmerkung
.
Auch die noch allgemeinern Integrale z. B.
∫
e
m
φ
d
φ
sin
φ
n
cos
φ
k
lassen sich aus den ange-
führ-
Zweiter Theil. Viertes Kapitel.
führten ableiten, wenn man
sin
φ
n
,
cos
φ
k
durch Sinusse und Cosinusse vielfacher Winkel ausdrückt. M. s.
Eulers
Inst. Calc. integr.
§. 271. und die bereits öfter angeführten Integraltafeln S. 296. Das bisherige mag hinreichen, die in der Aus- übung am meisten vorkommenden Integrale mit transscendenten Functionen, entwickelt zu haben.
In Fällen, wo Integrale sich in keinem end- lichen Ausdrucke darstellen lassen, begnügt man sich mit
unendlichen Reihen
, dergleichen wir schon bey mehreren Aufgaben entwickelt haben, welche aber in der Ausübung nur für die Fälle brauchbar sind, wenn sie sich schnell genug nähern.
Da sich jede Function
y
von
x
allemahl in eine Reihe von der Form
y = A x
α
+
B x
β
+
C x
γ
u. s. w.
verwandeln läßt, so ist dadurch also auch allgemein
u. s. w.
durch eine Reihe gegeben.
Ex. Es sey
so ist
(1 —
Integralrechnung.
ꝛc. Dies also mit
d x
multiplicirt und integrirt, giebt
ꝛc. Also das Integral
=
Arc sin x
(§. 105.
XXIII.
) durch eine Reihe, welche demnach zeigt, auf welche Weise der Bogen aus seinem Sinus =
x
berechnet werden kann.
So ist auf eine ähnliche Weise
=
Arc tang x (§. 105. XXIV.
) wie
wir auch auf eine andere Art schon oben (§. 74. Beysp.
III.
6.) gefunden haben.
Es ist unnöthig, diese Art, die Integrale durch Reihen zu finden, noch durch andere Bey- spiele zu erläutern.
Hier ist noch ein anderes Verfahren, In- tegrale durch Reihen auszudrücken.
Höh. Anal.
II.
Th.
L
§. 164.
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
§. 164.
Aufgabe
.
Das Integral
∫
y d x
wo
y
eine Funktion von
x
bezeichne, durch eine Reihe auszudrücken
.
Aufl
.
I.
Nach der bekannten Reductions- formel (§. 123.) ist
∫
y d x = x y —
∫
x d y
Nun sey
d y = p d x
, so ist
∫
x d y
=
∫
p x d x = ½ x
2
p — ½
∫
x
2
d p
nach einer ähnlichen Reduction. Also
∫
y d x
=
x y — ½ x
2
p + ½
∫
x
2
d p
Man setze nun weiter
d p = q d x; d q = r d x
u. s. w. so wird man durch Fortsetzung dieses Re- ductionsverfahrens endlich finden
u. s. w. oder wegen
;
;
∫
Integralrechnung.
. welches eine von
Johann Bernoulli
(
Opp. Tom. II. p.
488.) zuerst angegebene Integra- tionsreihe ist.
Man kann auch daraus den Taylorischen Lehrsatz ableiten.
Wenn die Function
y
durch deren successive Differenziationen das Integral
∫
y d x
auf die angezeigte Art ausgedrückt wird, nur etwas ver- wickelt ist, so werden auch die Differenziale
,
meist sehr unbequem ausfallen. Indessen ist die angezeigte Reihe an und für sich merkwür- dig, und kann sonst zu manchen nützlichen Fol- gerungen Gelegenheit geben.
Aufl
.
II.
Es ist auch
wo
u
eine willkührliche Function von
x
bedeute, deren Differential man constant setze.
L 2
Man
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Man nenne
x d u = d p
, oder
∫
x d u = p
so hat man
oder
, weil wenn
d u
constant ist
Demnach
Nun werde auf eine ähnliche Art
p d u = d q
, hierauf weiter
q d u = d r
ꝛc. gesetzt, so erhält man durch Fortsetzung des angezeigten Verfahrens
. wo man die Function
u
so wählen kann, daß die Differenzialquotienten
;
ꝛc. einfacher aus- fallen, als jene
;
in der Bernoulli- schen Formel. Dies Verfahren lehrt
Taylor
in seiner
Methodus incrementorum eto.
p.
38.
Aufl
.
Integralrechnung.
Aufl
.
III.
Man kann auch nach
Taylor
setzen, wo
w
wieder eine Function von
x
bedeute, deren Differenzial
d w
man constant setze. Wird nun der Kürze halber jetzt
y d w = d p; p d w = d q
u. s. w. gesetzt, so erhält man nach einem ähnlichen Verfahren wie (
II.
)
wo denn die Function
w
ebenfalls so zu wählen ist, daß die Differenzialquotienten
;
u. s. w. leicht zu finden sind.
Beyspiele
.
Für
Aufl
.
I.
sey
, so ist
∫
y d x
=
=
log (1 + x)
. Diesen Logarithmen durch eine Reihe auszudrücken, hat man (
I.
)
;
;
u. s. w. Dies giebt
∫
y d x
oder
ꝛc.
wo
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
wo keine Constante hinzuzufügen ist, weil für
x = o
auch
l (1 + x) = log 1 = o
wird. Diese Reihe die Logarithmen zu berechnen, kann andern, die wir bereits oben (§. 74) gegeben haben, noch mit Nutzen beygefügt werden.
Für Aufl
.
II.
sey
y = (log x)
n
also
∫
y d x
=
∫
d x (log x)
n
durch eine Reihe auszu- drücken. Vors erste hat man
; also
; setzt man nun
x d u = d x = d p
, so erhält man hier den Vortheil, daß
also durch eine leichte Differenziation
;
u. s. w. wird.
Ferner
Integralrechnung.
Ferner erhält man
∫
x d u = p = x; q
=
∫
p d u
=
∫
x d u = p = x; r
=
∫
q d u
=
∫
x d u = x
u. s. w. alle folgenden Integrale =
x.
Mithin, diese Werthe in die Aufl.
II.
substituirt,
∫
y d x
oder
u. s. w.) wo wenn
n
eine ganze Zahl ist, die Reihe ab- bricht, hingegen unendlich wird, wenn
n
ein Bruch oder negativ ist. Die hinzu zu addirende
Const.
wird, wenn
∫
d x (log x)
n
für
x = 1
verschwinden soll =
o
werden, für den Fall, daß
n
eine be- jahte ganze Zahl ist.
Wäre
n
verneint, so würde
. welche Reihe aber für die Ausübung von wenig Nutzen ist.
Für
Aufl
.
III.
sey
y
= √ (
a
2
— x
2
) also
∫
y d x
=
∫
d x
√ (
a
2
— x
2
) durch eine Reihe aus-
zudrük-
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
zudrücken. Es ist erstlich
. Setzt man nun
d w = x d x
, so hat man
d w = — d y
√ (
a
2
— x
2
) = —
y d y
, also
y d w = — y
2
d y
und
;
q
=
∫
p d w
und so ferner
u. s. w. Sodann weiter
;
u. s. w. Diese Werthe in die Reihe Aufl.
III.
substituirt, geben
. wo statt
y
gesetzt werden muß √ (
a
2
— x
2
).
§. 165.
Integralrechnung.
§. 165.
Integrale innerhalb bestimmter Werthe der veränderlichen Größe
x.
1. Wenn die zu einem Integrale
∫
X d x
(wo
X
eine beliebige Function von
x
vorstelle) hinzuzusetzende Constante so bestimmt wird, daß das Integral für
x = a
den Werth
A
erhält, hierauf aber, wenn
x = b
gesetzt wird, der Werth des Integrals =
B
wird, so nennt man
B — A
den Werth des Integrals von
x = a
bis
x = b
d. h.
B — A
drückt den Werth desselben aus, innerhalb der Werthe
b
,
a
, welche man der ver- änderlichen Größe
x
ertheilt hat.
2. Sehr häufig bestimmt man das Integral
∫
X d x
so, daß es für
x = a = o
selbst =
o
werden soll, in welchem Falle also
A = o
ist, und folglich
B
den Werth des Integrals von
x = o
bis
x = b
ausdrückt.
3. Nun setze man, durch irgend eine Re- duction sey das Integral
∫
X d x
auf
W
+
∫
V d x
gebracht worden (wo
W
und
V
wieder Functio- nen von
x
bedeuten), so daß
∫
X d x = W
+
∫
V d x
sey. Wäre nun die Function
W
so beschaffen, daß sie von
x = o
bis
x = b
auch verschwände, so wäre innerhalb dieser Gränzen das Integral
∫
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
∫
X d x
schlechtweg nur =
∫
V d x
. Daher also öfters die Integrale zweyer ganz verschiedener Dif- ferenziale z. B. von
x = o
bis
x = b
gleichen absoluten Werth haben können, wie folgende Beyspiele ausweisen.
Beyspiel
I.
4. Es sey
also
so wird nach der Reduction (§. 119.
XI. Nro. V.
) wenn man das dortige
a; p; n; b
hier
b
2
; — ½; 2; — 1
bedeuten läßt,
5. Hier verschwindet nun der Theil
so wohl für
x = o
, als auch für
x = b
, daher ist
der Werth des Integrals
von
x = o
bis
x = b
, schlechtweg nur
wo
Integralrechnung.
wo also das obige
∫
V d x
oder hier
ebenfalls von
x = o
bis
x = b
zu nehmen ist.
6. Setzt man
m
+ 2 statt
m
, so ist auf eine ähnliche Art
von
x = o
bis
x = b
genommen.
7. Hier hat man nun erstlich für die einfachern Fälle
aus (§. 130. Beysp.
I.
7.) das dortige
α
=
b
2
;
β
=
o
und
γ
= 1 gesetzt) welches für
x = o
verschwin- det, und für
x = b
, sich in
Arc sin
1 verwandelt. Aber
Arc sin
1 = 90° oder (in Decimaltheilen des Halbmessers 1) = ½
π
; Also ist von
x = o
bis
x = b
.
II.
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
II.
. soll dies für
x = o
verschwinden, so ist
Const. = b.
Mithin
welches nun für
x = b
den Werth
erhält.
8. Hieraus ergiebt sich nun weiter für die zusammengesetztern Fälle, also (6.) für
m
= 1
(7.
I.
)
für
m
= 2
9. Ferner für
m
= 3
10. Und für
m
= 4
.
Wel-
Integralrechnung.
Welches man auf diese Art bis auf jeden Werth von
m
fortsetzen kann. Man findet auf diese Art allgemein von
x = o
bis
x = b
Andere Beyspiele für algebraische Functionen s. m. in
Eulers
Integralrechnung Cap.
VIII.
in
Hirsch
Integraltafeln S. 248 ꝛc. Jetzt noch ein Beyspiel wo die Function
X
transcendente Größen enthält.
Beyspiel
II.
Es sey der Werth des Integrals
∫
d x sin x
m
von
x = o
bis
x
= 90° = ½
π
(wo
π
den hal- ben Umkreis in Decimaltheilen des Halbmessers 1, also die Ludolphische Zahl ausdrücke) zu finden.
1. Nach (§. 151.
V.
) ist erstlich
2. Ist nun
m
— 1 eine ganze bejahte Zahl, so verschwindet der Theil
so
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
so wohl für
x = o
, als auch für
x
= 90° = ½
π
, und man hat daher schlechtweg für diesen Fall, von
x = o
bis
x
= ½
π
,
.
3. Ist nun z. B.
m
= 2, so hat man (2.)
∫
d x sin x
2
= ½
∫
d x
= ½
x + Const.
Soll dies Integral für
x = o
verschwinden, so muß die
Const. = o
seyn. Dann ist der Werth des Integrals für
x
= ½
π
, sogleich = ¼
π
; und daher ist von
x = o
bis
x
= ½
π
das Integral
4. Für
m
= 3 wird nunmehr (2)
∫
d x sin x
3
= ⅔
∫
d x sin x
= — ⅔
cos x + C.
Diese Constante
C
wird für den Fall, daß das Integral für
x = o
verschwinden soll, dem Werthe + ⅔ gleich. Demnach ist
∫
d x sin x
3
= — ⅔
cos x
+ ⅔
welches Integral nunmehr für
x
= ½
π
den Werth + ⅔ erhält; demnach ist von
x = o
bis
x
= ½
π
∫
d x sin x
3
= + ⅔.
5.
Integralrechnung.
5. Hieraus nun weiter für
m
= 4
∫
d x sin x
4
= ¾
∫
d x sin x
2
=
; (3.)
Und für
m
= 5
∫
d x sin x
5
= ⅘
∫
d x sin x
3
=
; (4.)
u. s. w.
6. Man sieht aus diesen Beyspielen, wie überhaupt Integrale für bestimmte Werthe der veränderlichen Größe
x
, oder vielmehr innerhalb bestimmten Werthen derselben, durch gehörige Be- stimmung der Constanten erhalten werden, wel- ches denn eigentlich nicht weiter hieher, sondern zu Anwendungen der Integralrechnung gehört, so wie auch die mannichfaltigen Folgerungen, welche sich aus Combinationen solcher bestimmten Inte- grale ableiten lassen.
7. So z. B. ist, wenn man die Integrale von
x = o
bis
x = b
nimmt, das Produkt
Aus (Beysp.
I.
10.), und so auch der Quotient
∫
Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
= dem Bruche
. Welches merkwürdige Sätze darbietet, dergleichen man viele in
Eulers
Inst. Calc. integr
. (Cap. VIII. IX.)
nachsehen kann, und welche gleichfalls als Anwendungen der Integralrechnung zu be- trachten sind. Die gegebenen Beyspiele mögen hinreichen. Von Anwendungen der Integralrech- nung auf die Lehre von den Reihen, handelt um- ständlich
Lacroix
traité des differences et des séries, faisant suite au Traité du Cal- cul differentiel et integral
. à Paris
1801.
Fünftes
Integralrechnung.
Fünftes Kapitel
.
Integration von Differenzialgleichungen des ersten Grades, wie
P d x + Q d y = o
, (§. 103.
VIII.
), wenn
P
und
Q
nach Gefallen Functionen von
x
und
y
sind, oder auch
nur eine von beyden Größen
P
oder
Q
eine Function von
x
und
y
ist.
§. 166.
Vorbereitung
.
I.
Wenn
Z
eine Function von
x
und
y
bedeutet, durch deren Differenziirung der Ausdruck
P d x + Q d y
entstehen würde, so ist klar, daß
Z = Const.
die Integralgleichung von
P d x + Q d y = o
seyn wird. Denn wenn die Function
Z
einer unveränderlichen Größe gleich ist, so ist ihr Differenzial
d Z = o
d. h.
P d x + Q d y = o
; Also umgekehrt von
P d x + Q d y = o
die Integralgleichung
Z = Const.
II.
Wenn nun aber
P d x + Q d y
ein würk- liches Differenzial einer aus
x
und
y
zusammen- gesetzten Function
Z
ist, so muß nothwendig nach (§. 58.)
seyn. Umgekehrt also,
Höh. Anal.
II.
Th.
M
wenn
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
wenn bey einer Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
die Functionen
P
und
Q
, so beschaf- fen sind, daß
, so muß einer sol- chen Differenzialgleichung auch eine Integralglei- chung
Z = Const.
entsprechen.
III.
Indessen könnten die Differenzialquotien- ten
und
auch von ungleichem Werthe seyn, und dennoch würde der Differen- zialgleichung
P d x + Q d y = o
eine Integral- gleichung, oder vielmehr eine endliche Gleichung zwischen
x
und
y
entsprechen können.
Es sey z. B.
3 y d x + 2 x d y = o
, also
P = 3 y; Q = 2 x
; mithin
= 3;
= 2, also nicht
; und dennoch ist die endliche Gleichung zwischen
x
und
y
, wor- aus jene Differenzialgleichung entstehen würde,
x
3
y
2
= Const.
also die Function
Z = x
3
y
2
.
Denn wenn man die Gleichung
Z = Const.
, oder
x
3
y
2
= Const.
differenziirt, so ist
3 x
2
y
2
d x + 2 x
3
y d y = o
(☉)
oder
Integralrechnung.
oder durchaus mit
x
2
y
dividirt,
3 y d x + 2 x d y = o
(☽)
welches die vorgegebene Differenzialgleichung ist.
IV.
Aus diesem Beyspiele erhellet nun zu- gleich die Ursache, warum der Gleichung (☽) wor- in
P = 3 y
und
Q = 2 x
ist, der Character
nicht entspricht, da hingegen in der Gleichung (☉) worin
P = 3 x
2
y
2
; und
Q = 2 x
3
y
ist, allerdings
= 6
x
2
y
ist. Durch Weglassung des gemeinschaftlichen Factors
x
2
y
in (☉), ist nemlich der Ausdruck
3 y d x + 2 x d y
für sich allein nicht mehr ein voll- ständiges Differenzial der Function
Z = x
3
y
2
; wenn gleich die endliche Gleichung
Z = Const.
oder
x
3
y
2
= Const.
so wohl der Differenzialglei- chung (☉) als auch der abgekürzten (☽) ein Ge- nüge leistet, und also als Integralgleichung von allen beyden angesehen werden muß.
V.
Man sieht also hieraus, wie öfters Dif- ferenzialgleichungen
P d x + Q d y = o
die Bedin- gung
fehlen kann, ohne daß
M 2
man
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
man darum schließen darf, einer solchen Gleichung entspreche keine Integralgleichung. Denn öfters darf man
P
und
Q
nur gemeinschaftlich in einen gewissen Factor
L
(wie z. B. die Gleichung (☽) nur mit
x
2
y
) multipliciren, um sogleich eine neue Gleichung
L . P d x + L . Q d y = o
zu erhalten, für welche
wird, wie z. B. in der Gleichung (☉), wo
L . P = x
2
y . 3 y
; und
L . Q = x
2
y . 2 x
wird, so bald in (☽) wor- in
P = 3 y
und
Q = 2 x
ist, mit dem Factor
x
2
y
, wieder multiplicirt wird.
VI.
Ich nehme jetzt an, daß entweder ur- sprünglich in einer Differenzialgleichung wie
P d x + Q d y = o
,
ist, oder eine vor- gegedene Differenzialgleichung, erst durch die Mul- tiplication mit einem gewissen Factor in eine solche wie
P d x + Q d y = o
verwandelt worden ist, daß
wird, und zeige nun zuerst, wie in solchen Fällen die Integralgleichung gefun- den werden kann.
§. 167.
Integralrechnung.
§. 167.
Aufgabe
.
Wenn in einer Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
ist, die Integralgleichung zu finden
.
Aufl
.
I.
Weil unter der Bedingung
; der Ausdruck
P d x + Q d y
ein vollstän- diges Differenzial einer Function von
x
und
y
ist, welche ich mit
Z
bezeichnen will, so hat man
d Z = P d x + Q d y
II.
Jetzt integrire man
P d x
so, daß man nur
x
als eine veränderliche Größe,
y
hingegen einstweilen als eine unveränderliche ansieht, und nenne das Integral =
V.
III.
Dieses
V
gedenke man sich hierauf dif- ferenziirt, indem man nun wieder
x
und
y
als ver- änderliche Größen behandelt, so wird sich ergeben
d V = P d x + G d y
weil
Zweiter Theil. Fünftes Kapitel.
weil wenn
y
unveränderlich also
d y = o
ist,
d V
bloß dem
P d x
gleich seyn muß (
II.
).
IV.
In so fern nun aber
d V
ein vollständi- ges Differenzial einer Function von
x
und
y
ist, hat man
. Auch ist
G
für sich allein, bloß dem partiellen Differenzialquotienten
gleich.
V.
Nun sey
Q = G + H
, wo
G
=
durch die Differenziation aus (
IV.
) bekannt ist, so hat man (
I.
)
d Z = P d x + (G + H) d y
also wegen
die Gleichung
VI.
Nun ist aber aus (
IV.
) auch
Mithin (
V.
)
; also
=
o
d. h.
H
kann keine Function von
x
,
Integralrechnung.
x
, sondern bloß von
y
seyn, weil wenn
H
aus- ser der veränderlichen Größe
y
auch
x
enthielte, die Differenziation nach
x
, also der Quotient
nicht =
o
seyn würde.
VII.
Ist also wie gezeigt worden
H = Q — G
bloß eine Function von
y
, so hat man auch das Integral
∫
H d y.
Demnach (
V.
)
Z =
∫
(P d x + G d y) +
∫
H d y.
=
V +
∫
H d y (III.)
.
VIII.
Also endlich
Z = Const.
d. h.
V +
∫
H d y = Const.
die Integralgleichung von
P d x + Q d y = o.
§. 168.
Zusatz
I.
Man sieht aus dem Gange die- ses Verfahrens, daß man auf eine ähnliche Art auch
Q d y
hätte integriren können, so daß man hiebey bloß
x
als eine unveränderliche Größe ansähe. Wäre solchergestalt
∫
Q d y = U
gefunden worden, (wie in (
II.
) das
∫
P d x = V
) und differenziirte hierauf
U
, so daß man
x
und
y
beyde als ver- änderlich betrachtete (wie in (
III.
) das
V
) so fin- det sich, (wenn
d U = Q d y + K d x
wird), daß
P —
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
P — K = H'
nur allein eine Funktion von
x
seyn kann, (wie in
VII. H
bloß eine Funktion von
y
war), und daß sodann auf eine ähnliche Art die Integralgleichung von
P d x + Q d y = o
auch
U +
∫
H' d x = Const.
seyn müsse.
§. 169.
Zus
.
II.
Wenn in (§. 167.
II.
)
P d x
so integrirt werden soll, daß man bloß
x
als eine ver- änderliche Größe ansieht, so will ich dies durch
∫
x
P d x
andeuten. Eben so, wenn in (Zus.
I.
)
Q d y
so integrirt werden soll, daß man bloß
y
als veränderlich ansieht, so werde dies durch
∫
y
Q d y
angedeutet.
Wenn demnach in einer Differen- zialgleichung
P d x + Q d y = o
;
ist, so ist die Regel um die Inte- gralgleichung von
P d x + Q d y = o
zu finden, kurz folgende
.
Man suche das Integral
∫
x
P d x = V
; oder auch
∫
y
Q d y = U
, und hierauf die partiellen Dif- ferenzialquotienten
(
d
Integralrechnung.
=
G
oder auch
=
K
Wird nun
Q — G = H; P — K = H'
gesetzt, so ist die gesuchte Integralgleichung entweder
V +
∫
H d y = Const.
Oder
U +
∫
H' d x = Const.
Einige Beyspiele werden dies vollkommen erläutern.
§. 170.
Beyspiel
I.
Es sey die Gleichung fol- gende
(
α
x
+
β
y
+
γ
)
d x
+ (
β
x
+
δ
y
+
ε
)
d y = o
so hat man
P
=
α
x
+
β
y
+
γ
;
Q
=
β
x
+
δ
y
+
ε
und
=
β
, woraus erstlich die un- mittelbare Integrabilität der vorgegebenen Differen- zialgleichung erhellet. Um nun die Integralgleichung zu erhalten, so ist erstlich (§. 169.)
∫
x
P d x
oder
∫
x
(
α
x
+
β
y
+
γ
)
d x
= ½
α
x
2
+
β
y x
+
γ
x = V
;
und nun durch partielle Differenziirung
β
x
;
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
β
x
; Daher
G =
β
x
, und
H = Q — G =
δ
y
+
ε
,
∫
H d y = ½
δ
y
2
+
ε
y
; Demnach die Integral- gleichung
V +
∫
H d y = Const.
d. h.
½
α
x
2
+
β
y x +
γ
x + ½
δ
y
2
+
ε
y = Const.
Dasselbe würde man bekommen, wenn man nach dem zweyten Verfahren
U +
∫
H' d x = Const.
berechnen würde.
Beysp
.
II.
Die Integralgleichung von
oder von
=
o
zu finden.
Hier ist also
P
=
;
Q
=
und man findet aus
daß die vorgegebene Gleichung an sich integrabel ist. Nun ist aus (§. 130. B.
I.
die dortigen
γ
= 1;
β
=
o
und
α
=
y
2
gesetzt)
∫
Integralrechnung.
=
log (2 x + 2 √ (x
2
+ y
2
)) = V
oder auch
V = log 2 + log (x + √ (x
2
+ y
2
)
) Mithin
oder
G
=
d. h. Zähler und Nenner gemeinschaftlich mit —
x + √ (x
2
+ y
2
)
multiplicirt,
G
=
Demnach
H = Q — G = o
; und
∫
H d y = o
Folglich die Integralgleichung schlechtweg
V = C.
; oder weil man den
log
2 in dem Werthe von
V
sogleich zur
Const.
rechnen kann
log (x + √ (x
2
+ y
2
)) = Const.
§. 171.
Anmerkung
.
Da aus der Gleichung (§. 167.)
d V = P d x + G d y
d
)
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
war, so hat man auch
, mithin
Aber
G
nach
x
differenziiren, den Differenzial- quotienten
wieder in
d x
multipliciren, und
d x
wieder nach
x
integriren, will weiter nichts sagen, als
G
unverändert lassen. Also ist in der That
, nichts anders als die ungeänderte Function
G
selbst. Demnach ist auch
=
G
Man kann also den Werth von
G
auch erhalten, wenn man
P
nach
y
differenziirt, den Differen- zialquotienten
in
d x
multiplicirt, und hier- auf
d x
nach
x
integrirt, welches Verfah- ren den Werth von
G
oft leichter und kürzer giebt, als wenn man es erst nach (§. 167.
II.
) aus der Differenziation von
V
ableitet.
So
Integralrechnung.
So ist z. B. in (§. 170. Beysp.
I.
)
=
β
und daher auch
G
=
d x =
∫
x
β
d x =
β
x.
Eben so ist auch
K
=
d y
bey der zweyten Integrationsmethode (§. 168.).
§. 172.
Aufgabe
.
Wenn in einer Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
nicht
ist, die Integralgleichung zu finden
.
Aufl
. In diesem Falle suche man, ob sich ein Factor
L
finden läßt, welcher in
P d x + Q d y
multiplicirt den Ausdruck
L P d x + L Q d y
zu einem vollständigen Differenziale einer Function von
x
und
y
, welche ich
Z
nennen will, macht. Ist dieses der Fall, so verfahre man hierauf nach der vorhergehenden Aufgabe, in welcher man
L P
statt
P
und
L Q
statt
Q
gebraucht, um die Integralgleichung zu erhalten.
§. 173.
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
§. 173.
Leider hat man aber bis jetzt noch kein allge- meines Verfahren, um einen solchen
integri- renden Factor
L
zu finden. Folgendes kann indessen in manchen Fällen datu brauchbar seyn.
Weil
d Z = L P d x + L Q d y
ein vollstän- diges Differenzial seyn soll, so muß seyn
d. h.
Oder
Den Factor
L
zu finden, käme es also darauf an, dieser Differenzialgleichung ein Genüge zu leisten, wozu aber bis jetzt sich noch keine allgemeine Me- thode dargeboten hat. Wenn man indessen in diese Gleichung statt
Q
den Werth —
aus der vorgegebenen Differenzialgleichung setzt, so erhält man
Nun
Integralrechnung.
Nun ist aber
d L
=
was auch
L
für eine Function von
x
und
y
seyn mag, wie das
Z
(§. 17.
VII.
); demnach —
P d L = L d y
Oder wenn man der Kürze halber
=
M
setzt
= —
M d y
, also
log L = —
∫
M d y
Mithin
L = e
—
∫
M d y
, wenn
e
die Zahl bedeutet, deren natürlicher Logarithme = 1 ist.
Auf eine ähnliche Art, findet man auch, wenn
=
N
gesetzt wird
L = e
∫
N d x
Es kann also der Factor
L
unmittelbar gefunden werden, wenn entweder
M
bloß einer Function von
y
;
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
y
; oder
N
bloß einer Function von
x
gleich ist, welche Fälle denn freylich selten sind.
§. 174.
Aufgabe
.
Die Differenzialgleichung
d y + X y d x
= X
d x
oder
(
X y
— X)
d x + d y = o
zu
integriren, wo
X
, X
bloß Functionen von
x
bedeuten
.
Aufl
. 1. Für diese Differenzialgleichung wäre also
P = X y
— X;
Q
= 1; also
=
X
=
o
, mithin das
N
im vorhergehenden (§.) hier bloß einer Function von
x
gleich; nem- lich
N = X
; Also der integrirende Factor
L = e
∫
X d x
; Um nun die Integration zu bewerkstelligen (§. 172.) suche man erstlich (§. §. 167. 169. 172.)
V =
∫
x
L P d x
oder
∫
x
e
∫
X d x
(
X y
— X)
d x
,
so erhält man
V = y
∫
e
∫
X d x
X d x
—
∫
e
∫
X d x
X
d x
oder wegen
∫
e
∫
X d x
X d x = e
∫
X d x
(§. 36.)
V = y e
∫
X d x
—
∫
e
∫
X d x
X
d x
Fer-
Integralrechnung.
Ferner (§. 171. 172.)
G
=
d x
, oder auch
G
=
(§. 169.) =
e
∫
X d x
; und nun
H = Q — G
; oder eigentlich =
L . Q — G
(§. 172.) =
e
∫
X d x
— e
∫
X d x
= o.
2. Demnach ist die Integralgleichung sogleich folgende
V = Const.
oder
y e
∫
X d x
—
∫
e
∫
X d x
X
d x = Const.
d. h.
y = e
—
∫
X d x
. (Const. +
∫
e
∫
X d x
X
d x)
in welcher Formel demnach die Integrale
e
—
∫
X d x
und
∫
e
∫
X d x
X
d x
, wenn
X
und X gegeben sind, nach den Vorschriften (Kap.
I‒IV.
) gefunden wer- den können, oder doch als gefunden angesehen werden.
§. 175.
Zus
.
I.
Es erhellet, daß dieselbe Auflösung bleiben würde, man die Differenzialgleichung
d Y + X Y d x
= X
d x
hätte, wo statt
y
in der vorigen, nur
Y
oder eine Function von
y
gesetzt wäre. Dann würde die Integralgleichung seyn
Höh. Anal.
II.
Th.
N
Y
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
Y = e
—
∫
X d x
(C +
∫
e
∫
X d x
X
d x)
z. B. für
Y
=
wäre
d Y
= —
Demnach wäre von der Differenzialgleichung
und folglich auch, wenn man auf beyden Seiten mit
y
n
multiplicirt, von der Differenzialgleichung
—
(n — 1) d y + y X d x = y
n
X
d x
oder auch von der Differenzialgleichung
(☉)
die Integralgleichung
=
e
—
∫
X d x
(C +
∫
e
∫
X d x
X
d x)
. (☽)
§. 176.
Zus.
II.
Man setze in die eben gefundenen Gleichungen (☉) und (☽) — (
n
— 1)
X
statt
X
und — (
n
— 1) X statt X, so hat man von der Differenzialgleichung
d y + y X d x = y
n
X
d x
die Integralgleichung
1
Integralrechnung.
oder wenn man statt
C
auch setzt
(n — 1) C
§. 177.
Zus
.
III.
Wäre die Gleichung
F d y + F' y d x = F'' d x
zu integriren, und
F
,
F'
,
F''
bloß Functionen von
x
, so darf man nur durchaus mit
F
dividi- ren, um diese Gleichung auf die Form des 174 §es zu bringen, indem das dortige
X
nun
und
seyn würde.
§. 178.
Zus
.
IV.
Wäre die Gleichung
(
Y x
— Y)
d y + d x = o
zu integriren, und
Y
, Y bloß Functionen von
y
, so ist klar, daß diese Integration eben so wie die (§. 174.) zu bewerkstelligen ist, indem man nur statt der obigen Größen
X;
X,
y
,
x
hier
Y;
Y;
x
,
y
N 2
zu
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
zu setzen braucht, weil beyde Differenzialgleichun- gen nur in den Buchstaben verschieden sind. Der integrirende Factor
L
würde also seyn
e
∫
Y d y
, und das Integral selbst
x = e
—
∫
Y d y
(
C
+
∫
e
∫
Y d y
Y
d y
).
§. 179.
Aufgabe
.
Wenn in einer Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
die Functionen
P
,
Q
, gleichartige von
x
und
y
sind, (Einleit
. §.
IV.
ꝛc.)
die Integralgleichung zu finden
.
Aufl
.
I.
Man setze in diese Functionen
y = w x
, so werden
P
und
Q
sich in
W x
n
und W
x
n
verwandeln, so daß
W
, W bloß Functio- nen von
w
werden. Setzt man nun zugleich
d y = w d x + x d w
, so erhält man statt der vor- gegebenen Differenzialgleichung die neue
W x
n
d x
+ W
x
n
(w d x + x d w) = o
d. h.
(
W
+ W
w
)
d x
+ W
x d w = o
oder auch
eine
Integralrechnung.
eine Differenzialgleichung, in welcher
die verän- derlichen Größen von einander abgeson- dert sind
, d. h. worinn
d x
bloß in eine Fun- ction von
x
(hier in
), und
d w
bloß in eine Function von
w
multiplicirt ist, welche daher nach (§. 103.) ohne weiteres integrabel ist, nemlich
oder
.
II.
Hat man nun das Integral rechter Hand gefunden, so setzt man in dasselbe wieder
statt
w
, so hat man die gesuchte Integralgleichung zwischen
x
und
y.
Beyspiel
. 1. Es sey
(
α
x
+
β
y
)
d x
+ (
γ
x
+
δ
y
)
d y = o
so hat man
P
=
ά
x
+
β
y
= (
α
+
β
w) x Q
=
γ
x
+
δ
y
= (
γ
+
δ
w) x
Also
W
=
α
+
β
w;
W =
γ
+
δ
w;
und
x
n
hier =
x.
Demnach
log
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
welches Integral rechter Hand des Gleichheitszei- chens nach (§. 110. Zus.
II.
) gefunden werden kann, wenn man die dortigen
x;
A; B;
α; β; γ
hier
w;
δ; γ; α; β
+
γ; δ
bedeuten läßt.
2. Dies Integral wird logarithmisch, wenn (
β
+
γ
)
2
— 4
α δ
eine bejahte Größe ist, hinge- gen ein Kreisbogen nebst einem Logarithmen, wenn (
β
+
γ
)
2
— 4
α δ
verneint ist. (§. 109. 13.).
3. Im erstern Falle sey das dortige
X
oder hier
α
+ (
β
+
γ
)
w
+
δ
w
2
= W'
, so ist das dortige
(§. 110. Zus.
II.
) oder hier
, wo
und man hat die Integralgleichung (1.)
. in welcher alle Theile logarithmisch sind, weil man
statt
Integralrechnung.
statt
C
oder der Constante auch
log C
schreiben kann.
4. Wenn gleich diese Gleichung eine
trans- scendentische
(Differenzialrechnung. Einlei- tung §.
VI.
) zu seyn scheint, so ist sie doch
alge- braisch
, weil sie so eingerichtet werden kann, daß das Logarithmenzeichen durchaus wegfällt.
Man setze der Kürze halber
so hat man
log x + ½ log W'
+
μ
log W'' — log C = o
d. h.
also
x
√
W'. (W'')
μ
=
C
Werden endlich statt
W'
,
W''
die obigen Werthe gesetzt, und zugleich in denselben statt
w
der Quo- tient
hergestellt, so hat man die gesuchte In- tegralgleichung zwischen
y
und
x.
Die Gleichung wird aber nicht algebraisch, wenn (
β
+
γ
)
2
— 4
α δ
verneint ist, weil in die-
sem
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
sem Falle das Integral
nicht logarithmisch bleibt, sondern sich in einen Kreisbogen verwandelt, welcher mit den übrigen logarithmischen Theilen kein algebraisches mögli- ches Resultat bewirkt. Dies letztere kann jedes- mahl nur dann geschehen, wenn die einzelnen Theile einer Integralgleichung
gleichnahmigte trans- scendente Größen
sind. Z. B.
alle loga- rithmisch
sind, oder
alle aus Kreisbogen
bestehen u. d. gl.
§. 180.
Zus
. Für jede Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
in welcher
P
,
Q
, gleichartige Fun- ctionen von
x
und
y
sind, läßt sich auch ein in- tegrirender Faktor
L
finden, so daß
L P d x + L Q d y = d Z
ein vollständiges Differenzial und
L
selbst eine gleichartige Function von
x
und
y
wird. Denn setzt man
P
und
Q
seyen gleichartige Functionen von der Dimension
n
, so daß sie nach der obigen Substitution
y = w x
, sich in
W x
n
und W
x
n
verwandeln würden, und
L
sey eine dergleichen Fun- ction von der Dimension
λ
, so sind
L P
, und
L Q
von
Integralrechnung.
von der Dimension
λ
+
n
,
Z
dagegen von der Dimension
λ
+
n
+ 1. Daher nach (§. 62.)
L P x + L Q y
= (
λ
+
n + 1) Z
, weil die obi- gen
P
,
Q
,
m
(§. 62.); hier
L P; L Q;
λ
+
n
+ 1 sind. Nun muß aber
Z = Const.
seyn, wenn der Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
, oder
L P d x + L P d y = o
eine Genüge geschehen soll; Also hat man
L P x + L Q y
= (
λ
+
n + 1) Const.
oder schlechtweg
L P x + L Q y = A
wo
A
auch wieder eine Constante bezeichnet; folglich
L
=
. Nimmt man dieses
A
= 1; so ist
sogleich ein integrirender Factor, und
A
= 1 zu nehmen, ist immer verstattet, weil es gleichgültig ist, was für eine constante Größe man das
A
bedeuten lassen will, indem es bey dem integrirenden Factor nur auf den veränderli- chen Multiplicator
ankömmt, durch welchen die Integration eigentlich geschiehet.
So würde also z. B. für die Differenzial- gleichung (
α
x
+
β
y) d x
+ (
γ
x
+
δ
y) d y = o
der integrirende Factor
L =
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
und die Gleichung
würde nun nach (§. 167. 168.) zu integriren seyn, womit wir uns aber hier nicht beschäftigen wollen, da die Integration von
(
α
x
+
β
y) d x
+ (
γ
x
+
δ
y) d y = o
bereits durch Absonderung der veränderlichen Grö- ßen bewerkstelliget worden ist (§. 179.
II.
), welches bey gleichartigen Gleichungen immer der einfachere Weg zu seyn scheint.
Ueberhaupt hat die Integration durch Bey- hülfe eines integrirenden Factors nur in dem Falle Nutzen, wenn die vorgegebenen Gleichungen we- der gleichartige sind, noch die veränderlichen Grö- ßen sich darin absondern lassen, vorausgesetzt, daß ein solcher Factor sich finden läßt.
§. 181.
Integralrechnung.
§. 181.
Anmerkung
.
I.
Gleichungen, welche nicht gleichartig sind, können es unterweilen durch geschickte
Substitu- tionen
werden. So können auch durch derglei- chen Substitutionen manche Differenzialgleichun- gen in denen die veränderlichen Größen nicht ab- gesondert werden können, sich in andere verwan- deln, worin diese Absonderung statt findet. Aber in den meisten Fällen ist der Weg der Substitu- tion nur ein bloßes Umhertappen, und man er- räth oft nur mit Mühe, durch welche Substitution man dem Zwecke ein Genüge leisten kann.
II.
So z. B. die Gleichung
d x
(
α
x
+
β
y
+
γ
) +
d y
(
δ
x
+
s y
+
ζ
) =
o
gleichartig zu machen, setze man
α
x
+
β
y
+
γ
=
r;
δ
x
+
ε
y
+
ζ
=
s
so wird
α
d x
+
β
d y = d r;
δ
d x
+
ε
d y = d s
mithin
Substituirt man diese Werthe in die vorgegebene Gleichung, so wird sie nach Weglassung des ge-
mein-
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
meinschaftlichen Factors
a
ε — β δ
in folgende gleichartige übergehen
(
ε
r
—
δ
s) d r
+ (
α
s
—
β
r
)
d s = o
III.
Ferner sey z. B.
(A x
— 4
+ y
2
) d x + d y = o
Man setze
also
und
y = t — t
2
z
also
d y = d t — 2 t z d t — t
2
d z
wo
t
und
z
neue veränderliche Größen vorstellen, so verwandelt sich die vorgegebene Gleichung nach gehöriger Substitution in
(z
2
+ A) d t + d z = o
oder in
worin die veränderlichen Größen von einander ge- sondert sind.
Wenn
A
bejaht ist, so wäre dann die Inte- gralgleichung
=
Const.
Oder (§. 109. 6.)
t +
Integralrechnung.
Arc tang
=
Const.
Und wenn
A
verneint ist
=
Const.
d. h. (§. 109. 5.)
log
=
Const.
Um nun die Werthe von
x
und
y
wieder herzustel- len, setzt man
statt
t
und
oder
d. h.
x — x
2
y
statt
z
, so wird, wenn
A
positiv ist, die Integralgleichung
Arc tang
=
Const.
und wenn
A
verneint ist
log
=
Const.
Folgende Aufgabe wird den
Weg der Substi- tution
noch mehr erläutern.
§. 182.
Aufgabe
.
Zu bestimmen, unter welchen Um- ständen die Differenzialgleichung
(
A
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
sich in eine gleichartige verwandeln läßt, falls sie nicht schon an und für sich gleichartig, also
a
+
α
=
b
+
β
=
c
+
γ
=
e
+
ε
wäre
.
Aufl
.
I.
Man setze
y = u
μ
also
d y
=
μ
u
μ
— 1
d u
so wird aus der vorgegebenen Glei- chung folgende
d u = o
II.
Soll nun diese neue Gleichung gleichartig seyn, so muß seyn
α
+
μ
a
=
β
+
μ
b
=
γ
+
μ
c
+
μ
— 1 =
s
+
μ
e
+
μ
— 1
III.
Aus
α
+
μ
a
=
β
+
μ
b
folgt
und aus
γ
+
μ
c
+
μ
— 1 =
ε
+
μ
e
+
μ
— 1 ebenfalls
; Sodann aus
β
+
μ
b
=
γ
+
μ
c
+
μ
— 1 auch
Also müssen folgende zwey Gleichungen
α
—
Integralrechnung.
und
Mithin auch
statt finden, wenn
durch die Substitution
,
y = u
μ
=
u
die vorgegebene Differenzialglei- chung soll können in eine gleichartige verwandelt werden. Die Exponenten
α, β, γ
, ꝛc. können hiebey nach Gefallen, bejaht, verneint, ganze Zahlen oder auch Brüche seyn.
Einzelne Bemerkungen, wenn z. B.
α
=
β
; oder
a = b;
oder
e = c
u. d. gl. seyn würden, übergehe ich hier der Kürze halber, da jeder leicht selbst sehen wird, unter welchen Umständen dann die gefundenen zwey Gleichungen (
III.
) würden statt finden können.
Durch eine ähnliche Substitutionsart können auch für andere Gleichungen z. B.
die Bedingungsgleichungen zwischen den Exponen-
ten
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
ten gefunden werden, daß die vorgegebene Glei- chung in eine gleichartige verwandelt werden kann.
IV.
Beyspiel
. Zu finden, unter welchen Umständen die Gleichung
(
A x
m
+ B y
2
) d x + C d y = o
sich gleichartig machen läßt.
Für diesen Fall sind die obigen Exponenten ꝛc.
α
=
m; a = o;
β
=
o
,
b
= 2;
γ
=
c
=
ε
=
e = o.
A =
C;
B =
o
Also
unbestimmt
Wenn also nicht
μ
oder
d. h.
= — 1, also
m
= — 2 ist, so kann obige Gleichung nicht gleichartig gemacht werden. Um also,
m
= — 2 gesetzt,
(A x
— 2
+ B y
2
) d x + C d y = o
gleichartig zu machen, setzt man
y = u
— 1
, we-
gen
Integralrechnung.
gen
. Dann erhält man die gleich- artige
(A x
— 2
+ B u
— 2
) d x — C u
— 2
d u = o
Um nun zu integriren, setzt man
u = z x
, so er- giebt sich die abgesonderte Gleichung
wo denn auf beiden Seiten leicht integrirt wer- den kann.
§. 183.
Aufgabe
.
Die obige Gleichung
(§. 176.)
d y + y X d x = y
n
X
d x
oder
(
y X — y
n
X)
d x + d y = o
durch Absonderung der veränderlichen Größen zu integriren
.
Aufl
.
I.
Man bediene sich der Substitu- tion
y = z u
, wo
z
,
u
neue veränderliche Grö- ßen sind, die man so bestimmen muß, daß die neue Differenzialgleichung, welche man durch er- wähnte Substitution aus der erstern erhält, eine Absonderung der veränderlichen Größen zuläßt.
Höh. Anal.
II.
Th.
O
II.
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
II.
Diese neue Gleichung würde seyn
X z u d x
— X
z
n
u
n
d x + z d u + u d z = o
III.
Man setze, um
z
und
u
zu bestimmen,
X z u d x + z d u = o
also auch
u d z
— X
z
n
u
n
d x = o
so hat man aus der erstern dieser zwey Gleichungen
X u d x + d u = o;
oder abgesondert
mithin
log u
= —
∫
X d x; u = e
—
∫
X d x
; dies statt
u
in die zweyte Gleichung substituirt, giebt
worin die veränderlichen Größen ebenfalls von ein- ander abgesondert sind, weil
u
eine Function von
x
ist, wie wir eben gefunden haben. Durch In- tegration erhält man
=
∫
X
u
n — 1
d x + Const.
Statt
z
setzt man hierauf
, so wird die Inte- gralgleichung zwischen
y
und
x
folgende
1
Integralrechnung.
(
∫
X
u
n — 1
d x + C.
)
welche, in so fern statt +
C
auch —
C
gesetzt werden kann, wesentlich mit der obigen Gleichung (§. 176.) einerlei ist, so bald man statt
u
die gefundene Function
e
—
∫
X d x
substituirt, wodurch
=
e
(n — 1)
∫
X d x
und
∫
X
u
n — 1
d x
=
∫
X
e
— (n — 1)
∫
X d x
d x
wird (wie §. 176.).
§. 184.
Die bisher angeführten Fälle von Integra- tionen sind fast die einzigen etwas allgemeinen, bey denen es geglückt hat, etwas unmittelbar durch den Weg der integrirenden Factoren, oder der Ab- sonderung der veränderlichen Größen, oder der Substitutionen zu leisten, falls bey einer vorge- gebenen Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
nicht die Bedingung der unmittelbaren Integrabi- lität nemlich
statt findet. Ju besondern Fällen kann man zwar versuchen, ob eine Differenzialgleichung durch diese oder jene Substitution einfacher gemacht, oder auf eine der bekannten Formen, die sich integriren lassen, zu- rückgeführt werden kann, aber in den wenigsten
O 2
Fällen
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
Fällen wird es glücken, eine solche Substitution zu finden, zumahl wenn Gleichungen aus mehr als drey Gliedern bestehen, höhere Potenzen der veränderlichen Größen, oder gar transscendente Functionen enthalten. Daher die ganze Integral- rechnung von dieser Seite noch sehr unvollkommen ist, und ihrer Natur nach kaum in mehr als in einer Sammlung von einigen leichtern Fällen be- stehen kann.
Zu den Differenzialgleichungen mit denen sich die Analysten viel beschäftiget haben, gehört unter andern auch die obige
(A x
m
+ y
2
) d x + d y = o
oder die noch etwas allgemeinere
(A x
m
+ B y
2
) d x + C d y = o
eine dem Ansehen nach zwar sehr einfache, aber für jeden Werth von
m
dennoch so schwürige Glei- chung, daß sie nur für wenige, in der Ausübung kaum vorkommenden Fälle, eine Integration zuläßt.
Der berühmte
Giacomo Riccati
hatte diese Gleichung, die von ihm auch die
Riccati- sche
genannt wird, zuerst in den
Actis Erudi- torum
(1722. Tom. VIII. supl.)
in Ansprache gebracht, aber nach allen Bemühungen, die sich
die
Integralrechnung.
die Analysten gegeben haben, sie allgemein zu in- tegriren, so daß das Integral sich in einem end- lichen Ausdrucke darstellen ließe, hat man doch nur so viel gefunden, daß der Exponent
m
unter der Form —
(
k
= einer ganzen Zahl) begriffen seyn müsse, wenn nach einer gleichwohl noch immer sehr mühsamen Rechnung, ein end- licher Ausdruck für das Integral soll erhalten werden können.
Die instructivste Art, dieses zu entwickeln, ist folgende.
§. 185.
Aufgabe
.
Die Werthe des Exponenten
m
zu finden, für welche die Differenzial- gleichung
(A x
m
+ B y
2
) d x + C d y = o
(☉)
eine Integration zuläßt
.
Aufl
.
I.
Wir wollen uns statt dieser Glei- chung eine andere von derselben Form gedenken, nur daß statt
x
,
y
, zwey andere veränderliche Größen
u
,
z
, gebraucht werden sollen, also
(A
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
(A u
n
+ B z
2
) d u + C d z = o
(☽)
Man sucht das Verhalten zwischen den Exponenten
n
,
m
, in beyden Gleichungen, daß wenn für einen gewissen Werth von
n
die Gleichung (☽) integrabel ist, sie sich durch eine schickliche Sub- stitution in die Gleichung (☉) verwandele, also dadurch auch diese als integrirt angesehen werden könne.
II.
Eine zu diesem Zweck taugliche Substi- tution ist, wenn man
u = a x
μ
und
z = b x
ν
+
setzt, und nun die Exponenten
μ, ν, ρ
, nebst den Coefficienten
a
,
b
,
c
so bestimmt, daß nach geschehener Substitution sich die Gleichung (☽) in die (☉) verwandele.
III.
Nun ist
d u
=
μ
a x
μ
— 1
d x d z
=
ν
b x
ν
— 1
d x
+
IV.
Substituirt man diese Werthe (
II. III.
) statt
u
,
z
,
d u
,
d z
in die Gleichung ☽ und di- vidirt solche hierauf mit
, oder multiplicirt sie
mit
Integralrechnung.
mit
, so ergiebt sich nach gehöriger Rechnung und Versetzung der Glieder
μ
a c
2
B . x
ρ
+
μ
-1
+
μ
a b
2
B . x
2
ν
+
μ
-1-
ρ
+
ν
b C . x
ν
-1-
ρ
y
2
+ 2
μ
a b c B . x
ν
+
μ
-1
+
ρ
c C . x
-1
y
+
μ
a
n
+1
A . x
n
μ
+
μ
-1-
ρ
y
2
dx — Ccdy=o
V.
Soll diese Gleichung mit (☉) überein- kommen, so setze man in ihrem ersten Gliede 1)
μ
c
2
a B = A
und
ρ
+
μ
— 1 =
m
und damit die folgenden zwey in
y
2
multiplicirten Glieder wegfallen 2)
μ
a b
2
B
+
ν
b C = o;
nud
2
ν
+
μ
— 1 —
ρ
=
ν
— 1 —
ρ
oder
ν
+
μ
=
o
Damit ferner die in
y
multiplicirten zwey Glieder wegfallen 3) 2
μ
a b c B
+
ρ
c C = o
und
ν
+
μ
— 1 = — 1
oder
ν
+
μ
=
o
wie (2)
Sodann damit das letzte Glied dem
B y
2
in der Gleichung (☉) gleich werde
4)
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
4)
μ
a
n
+ 1
A = B
und
n
μ
+
μ
— 1 —
ρ
=
o
Endlich damit das in
d y
multiplicirte Glied mit dem in (☉) übereinkomme 5) —
C c = C;
d. h.
c
= — 1
VI.
Um nunmehr aus diesen Gleichungen, die Werthe von
μ
,
ν
,
ρ
,
m
,
a
,
b
,
c
zu finden, nehme man zuvörderst die Gleichungen (
V.
2. 3.), so erhält man aus der ersten (2)
= —
C
und aus (3)
= —
C
Daher
, und folglich wegen
ν
= —
μ
(2);
ρ
= — 2
μ
.
VII.
Dieser Werth von
ρ
in die Gleichung (1)
ρ
+
μ
— 1 =
m
substituirt giebt
μ
= — (
m
+ 1). Also
ρ
= — 2
μ
(
VI.
) = 2 (
m
+ 1).
VIII.
Diese Werthe von
μ
und
ρ
in die Gleichung
n
μ
+
μ
— 1 —
ρ
=
o
(
V.
4.) gesetzt, geben
n (m + 1) + m + 2 + 2 (m + 1) = o
woraus
m
= —
folgt.
Mithin
Integralrechnung.
Mithin
μ
= — (
m
+ 1) (
VII.
) =
ρ
= — 2
μ
= —
ν
= —
μ
= —
IX.
In Rücksicht auf die Coefficienten
a
,
b
,
c
war erstlich
c
= — 1 (
V.
5.), welches in die Gleichung (
V.
1.) nemlich
μ
c
2
a B = A
, sub- stituirt
giebt
Aber aus (
V.
4.) ist auch
=
μ
a
n
+ 1
Mithin
=
μ
a
n
+ 1
; folglich
a
n
+ 2
=
= (
n
+ 3)
2
d. h.
X.
Und nun endlich aus der Gleichung
a b B
= —
C (VI.)
nach gehöriger Substitution der für
μ
,
ν
,
a
, ge- fundenen Werthe
b
= (
n
+ 3)
.
XI.
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
XI.
Sind also die Größen
A
,
B
,
C
,
n
, in der Gleichung (☽) gegeben, und weis man einen Werth von
n
, für welchen diese Gleichung integrabel ist, so erhält man hieraus einen Werth für
m
= —
, für welchen auch die Gleichung (☉) integrabel wird. Nun ist sogleich für
n = o
die Gleichung (☽) integrabel, weil sie alsdann heißt
(A + B z
2
) d u + C d z = o
wo die veränderlichen Größen leicht von einander gesondert sind.
Also ist die Gleichung (☉) integrabel für
m
= —
\frac{4}{3}
. Man darf nemlich nur in das erhal- tene Integral (☽) statt
u
und
z
die Werthe
a x
μ
und
b x
ν
+
(wo
a
,
b
,
c
,
μ
,
ν
,
ρ
für
n = o
die Werthe
a = 3; b
= ⅓
; c = — 1;
μ
= ⅓
ρ
= — ⅔
ν
= — ⅓ bekommen) substitui- ren, um das Integral von (☉) zu erhalten.
Aber dies Integral von (☉) wenn man in dasselbe
u
statt
x
, und
z
statt
y
setzen würde, ist nun auch wieder das Integral von (☽) für
n
=
Integralrechnung.
n
= —
\frac{4}{3}
, weil diese der Form nach völlig mit (☉) einerlei ist.
Setzt man also in (☽) jetzt
n
= —
\frac{4}{3}
= dem vorher gefundenen Werthe von
m
, so ergiebt sich ein neues
m
= —
, für welches (☉) abermahls integrabel wird. Diesen gefundenen Werth setze man wieder in die Gleichung (☽) statt
n
, so erhält man zum dritten, male einen Werth von
m
= —
für welchen (☉) integrabel wird.
XII.
Wenn man diese Schlüsse fortsetzt, so wird man finden, daß die für
m
erhaltenen Wer- the —
\frac{4}{3}
; —
\frac{8}{5}
; —
\frac{12}{7}
ꝛc. sämmtlich unter der allgemeinen Form
m
= —
enthalten sind, wo
k
jede ganze bejahte Zahl bedeuten kann.
XIII.
Wenn man in
(II.) b = o;
ρ
=
o
, also
u = a x
μ
und
z
=
setzt, so wird die Glei- chung (
IV.
) folgende
μ
a
n
+ 1
A x
n
μ
+
μ
— 1
y
2
+
μ
c
2
a B x
μ
— 1
dx—Ccdy=o
XIV.
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
XIV.
Auch diese kann mit (☉) übereinkom- men, wenn man setzt
μ
c
2
a B = A;
μ
— 1 =
m
μ
a
n
+ 1
A = B; n
μ
+
μ
— 1 =
o
—
C c = C;
also
c
= — 1
XV.
Aus
μ
— 1 =
m
und
n
μ
+
μ
— 1 =
o
folgt dann
μ
=
m
+ 1 und
n (m + 1) + m = o
oder
m
= —
, folglich
μ
=
m
+ 1 = 1 —
. Aus den beyden andern Glei- chungen erhält man,
c
= — 1 gesetzt,
Demnach
und
XVI.
Hieraus erhellet also, daß durch die Substitutionen
und
die Gleichung
(A u
n
+ B z
2
) d u + C d z = o
(
⊃
)
sich
Integralrechnung.
sich in
(A x
m
+ B y
2
) d x + C d y = o
d. h. in
(A x
—
+ B y
2
) d x + C d y = o
(☉)
verwandelt.
XVII.
Nun ist aber die Gleichung (☽) in- tegrabel, wenn der Exponent
n
die Form
n
= —
hat (
XII.
) weil wenn die Gleichung
(A x
m
+ B y
2
) d x + C d y = o
für
m
= —
integrabel ist (
XII.
), noth- wendig die ihr ähnliche
(A u
n
+ B z
2
) d u + C d z = o
auch für
n
= —
integrabel seyn muß. Ist aber (☽) integrabel für
n
= —
, so wird auch (☉) wieder integrabel seyn für
d. h. für
XVIII.
Zweyter Theil. Fünftes Kapitel.
XVIII.
Also ist die Gleichung
(A x
m
+ B y
2
) d x + C d y = o
allemahl integrabel für
m
= —
; oder
m
= —
Setzt man in dem zweyten Falle
k
= 1; 2; 3; 4 u. s. w.
so sind die entsprechenden Werthe von
m
= — 4; —
\frac{8/3}
; —
\frac{12/5}
; —
\frac{16/7}
u. s. w.
Für den Fall
m
= — 4 und
B = C = 1
ist das Integral oben (§. 181. 3.) angegeben worden. Es läßt sich aber aus dem Integral der obigen Glei- chung
(A x
— 4
+ y
2
) d x + d y = o
leicht auch das Integral der allgemeinern
(A x
— 4
+ B y
2
) d x + C d y = o
ableiten, womit wir uns aber hier nicht weiter be- schäftigen wollen.
XIX.
Die Werthe von
m (XVIII.)
nähern sich immer mehr und mehr der — 2. Nemlich für
k
= ∞ wird
m
= —
= — 2;
Also
Integralrechnung.
Also ist auch
(A x
— 2
+ B y
2
) d x + C d y = o
integrabel, wie bereits oben (§. 182.
IV.
) auf eine andere Art gefunden worden ist.
§. 186.
Anmerkung
.
Wenn man den Versuch machen will, so wird sich zeigen, daß aus der Gleichung (
IV.
) wie auch die einzelnen Glieder derselben mit (☉) vergli- chen werden mögen, doch keine andern integrablen Fälle, als die bisher gefundenen, für die Gleichung (☉) zum Vorschein kommen, und andere Substitu- tionen führen zu keinem Resultat. Da die von mir gewählte Methode, diese integrablen Fälle zu ent- wickeln, den Kunstgriff enthält, eine Gleichung wie (☽) durch eine geschickte Substitution in eine andere ihr ähnliche (☉), nur mit einem andern Exponenten
m
, zu verwandeln, und ein solcher Kunstgriff auch bey andern Integrationen nützliche Dienste leisten kann, so habe ich denselben nicht übergehen wollen, wenn gleich die integrablen Fälle der Gleichung (☉) sich auch auf anderen, vielleicht kürzeren, aber minder instructiven Wegen herausbringen lassen z. B. in
Euleri
Instit. Cal. integr.
§. 436.
Sechstes
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
Sechstes Kapitel
. Von den besondern Auflösungen gewisser Differenzialgleichungen.
§. 187.
1. Von einer Differenzialgleichung
d y = p d x
oder
d y — p d x = o
, welche ich der Kürze halber auch wohl mit
W = o
bezeichnen will, und worin
p
eine Funktion von
x
und
y
sey, habe man eine Integralgleichung
Z + C = o
gefunden, worin
Z
den veränderlichen von
x
,
y
abhängigen Theil des Integrals, und
C
die durch die Integration hin- zugekommene Constante bezeichne.
2. Eine solche der Differenzialgleichung
W = o
eine Genüge leistende Gleichung
Z + C = o
, wor- in
C
eine in
W = o
nicht vorkommende unverän- derliche Größe bezeichnet, wird die
vollständige Integralgleichung
, oder auch nur schlechthin das
vollständige Integral
(
integrale com- pletum
) von
W = o
genannt.
3. Je nachdem die Constante
C
in der Glei- chung
Z + C = o
diesen oder jenen besondern
Werth
Integralrechnung.
Werth nach den Bedingungen der Aufgabe, welche auf die Differenzialgleichung
W = o
geführt hatte, erhält, verwandelt sich
Z + C = o
in ein so genann- tes
besonderes Integral
(
integrale parti- culare
) dergleichen es also unzählige giebt, in so ferne im allgemeinen für
C
jeder von
x
und
y
un- abhängige Werth gedacht werden kann. Auch wenn man sich gar keine Constante hinzugesetzt ge- denkt, also
C = o
ist, so ist
Z = o
ein particulä- res Integral.
4. Aber außer solchen besondern Integralen, welche einer Differenzialgleichung
W = o
entspre- chen, lassen sich unterweilen auch Gleichungen zwi- schen
x
und
y
angeben, welche für keinen Werth der in der wahren Integralgleichung
Z + C = o
vorkommenden Constante
C
, als besondere Inte- grale von
W = o
angesehen werden können, und dennoch der Differenzialgleichung
W = o
ein Ge- nüge leisten, mithin gleichfalls als Auflösungen der Aufgabe, welche auf die Differenzialgleichung
W = o
geführt hatte, angesehen werden müssen.
5. Um die Möglichkeit dieses scheinbaren Pa- radoxons desto einleuchtender zu machen, soll uns die Differenzialgleichung
Höh. Anal.
II.
Th.
P
d y
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
Oder auch
(☉)
dienen, welche man sogleich aus der Differenziation der endlichen Gleichung
y + C
= √ (
x
2
+ y
2
— b
2
) oder auch
y
—
√
(
x
2
+ y
2
— b
2
) + C = o
erhalten würde, und welche endliche Gleichung also als das wahre vollständige Integral jener Diffe- renzialgleichung zu betrachten ist, in so ferne sie eine constante Größe
C
enthält, welche in der Differenzialgleichung selbst nicht vorkömmt.
6. Wenn man nun aber jene Differenzialglei- chung (☉) einer nähern Betrachtung unterwirft, so zeigt sich, daß ihr auch ein Genüge geschieht, wenn man schlechweg ohne würkliche Integration √
(x
2
+ y
2
— b
2
) = o
oder auch
x
2
+ y
2
— b
2
= o
setzt, also diese endliche Relation zwischen
x
und
y
, welche ich mit
U = o
bezeichnen will, annimmt. Denn aus ihr folgt
x d x + y d y = o
oder
d y = —
d x
, und eben dies folgt auch aus der obi-
gen
Integralrechnung.
gen Differenzialgleichung (5) wenn man in ihr √
(x
2
+ y
2
— b
2
) = o
setzt.
7. Beyde Gleichungen
y + C
— √
(x
2
+ y
2
— b
2
) = o
(oder
Z + C = o
) und
x
2
+ y
2
— b
2
= o
(oder
U = o
) thun also der Differenzialgleichung (5) ein Genüge, und doch kann die Gleichung
U = o
nie als ein
Integrale particulare
von
Z + C = o
angesehen werden; denn man mag in der vollständigen Integralgleichung
Z + C = o
der Constante
C
welchen Werth man will ertheilen, so wird der Ausdruck
U
nie aus
Z + C
entstehen können.
8. Eine Gleichung wie
U = o
, welche einer Differenzialgleichung
W = o
ein Genüge leistet, ohne daß sie als
particuläres Integral
von ihr angesehen werden kann, nennt man eine
be- sondere Auflösung
(
Solutio particularis
) von
W = o
.
9. Soll eine solche Gleichung wie
U = o
als eine besondere Auflösung von
W = o
angesehen werden können, so muß sie
I.
Der Differenzialgleichung
W = o
ein Ge- nüge leisten.
P 2
II.
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
II.
Muß der Functionalausdruck
U
nie aus dem wahren Integralausdruck
Z + C
entstehen können, welchen Werth man auch der Constante
C
ertheilen mag, d. h. jener Ausdruck
U
muß
we- sentlich
von
Z + C
unterschieden seyn.
10. Man setze, aus einer solchen besondern Gleichung wie
U = o
, folge durch Differenziation
d y = v d x.
Heißt nun die vorgegebene Differen- zialgleichung
W = o
oder
d y = p d x
(1) so folgt aus (9.
I
), daß für
U = o
die Gleichung
d y = p d x
sich in
d y = v d x
verwandeln muß, wenn
U = o
der Differenzialgleichung
W = o
ein Ge- nüge leisten soll.
11. In so fern aber nun
U = o
und
Z + C = o
zwey
wesentlich verschiedene
Functional- gleichungen seyn müssen (9.
II.
) so können in den daraus entspringenden Differenzialgleichungen
d y = v d x
und
d y = p d x
, die Functionen
p
und
v
zwar nicht einerlei seyn, aber
p
muß sich doch in
v
verwandeln können, so bald man
U = o
setzt (10).
So war z. B. in (5.)
Und in (6)
v
= —
p
Integralrechnung.
p
entstand aus der Differenziation von
Z + C = o
(5.) und
v
aus der von
U = o
(6). Für
U = o
verwandelt sich
p
in
v.
12. Weil demnach das
p
oder
aus der wahren Integralgleichung
Z + C = o
abgeleitet, mit dem
v
oder
, welches aus
U = o
entspringt, nicht einerley seyn kann, als nur für den besondern Fall, in welchem
U = o
eine besondere Auflösung (8) von
d y = p d x
ist, so erhellet, daß das
p
allemahl eine Function von der Form
p = v + U
μ
L
wird seyn müssen (wo
L
auch wieder eine Function von
x
und
y
bedeuten kann) wenn für
U = o
sich
p
soll in
v
verwandeln können. Aber
μ
wird hie- bey allemahl einen bejahten Exponenten bedeuten müssen, damit für
U = o
, der Ausdruck
U
μ
nicht unendlich werde.
13. Der Ausdruck
p = v + U
μ
L
wird also nicht allein das wahre
p
oder
aus der Glei- chung
Z + G = o
, sondern auch das
v
oder
aus der Gleichung
U = o
ausdrücken, weil für
U = o
, sich
p
in
v
verwandelt (11).
14.
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
14. Nun folgt aber durch die Differenziation weiter
d p = d v
+
μ
L U
μ
— 1
d U + U
μ
d L
oder auch
15. Dies
oder
muß nun offenbar einen unbestimmten Werth erhalten, weil es nicht allein dem wahren
aus der Gleichung
Z + C = o
, sondern auch dem
oder
aus
U = o
, entsprechen muß, und
Z + C; U;
zwey ganz ver- schiedene Functionalausdrücke sind.
16. Man sieht aber leicht, daß der für
gefundene Ausdruck
nur unbestimmt werden kann, wenn der bejahte Exponent
μ
(12.) kleiner als 1 ist. Denn als- dann verschwindet für
U = o
zwar das Glied
aber das andere
μ
L
wird zu einer unbe-
stimm-
Integralrechnung.
stimmten Größe =
, wie sichs gebührt, wenn der für
gefundene Ausdruck, auch das
aus
Z + C = o
soll bedeuten können.
17. Wäre nemlich
μ
= 1 oder \> 1, so würde für
U = o
auch das Glied
μ
L
ver- schwinden, also
blos =
werden, d. h. bloß dem aus der Gleichung
U = o
abgeleiteten
(15.) entsprechen.
18. Wenn also außer der wahren Integral- gleichung
Z + C = o
der vorgegebenen Differen- zialgleichung, auch noch eine besondere Auflösung
U = o
soll statt finden können, so muß das
p
oder
aus jener Differenzialgleichung, sich allemal auf die Form
v + U
μ
L
bringen lassen, und
μ
muß dann \< 1 seyn, damit
oder
überhaupt einen unbestimmten Werth =
erhalte,
mit-
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
mithin so wohl das
aus der Integralgleichung
Z + C = o
als auch dasjenige aus der besondern Auflösung
U = o
bedeuten könne.
19. Umgekehrt, sucht man aus der vorgegebe- nen Differenzialgleichung
=
p
, den Werth von
und setzt solchen =
, so läßt sich auf diesem Wege auch ausfinden, ob es Gleichungen wie
U = o
giebt, welche als besondere Auflösungen der vorgegebenen Differenzialgleichung angesehn wer- den können, und die bisherigen Principien werden dann ausweisen, ob ein solches
U = o
auch würk- lich für eine solche besondere Auflösung gehalten werden kann, oder ob es nicht vielleicht auch bloß ein particuläres Integral, oder die wahre Inte- gralgleichung
Z + C = o
selbst seyn könnte.
Es kann hiebey entweder das wahre Inte- gral
Z + C = o
selbst bekannt seyn, in welchem Fall die Untersuchung am leichtesten ausfällt, oder man kann es auch als unbekannt ansehen, wie fol- gende Aufgaben ausweisen, welche alles bisherige noch vollkommen deutlich machen werden.
§. 188.
Integralrechnung.
§. 188.
Aufgabe
.
Von einer Differenzialgleichung
W = o
sey die wahre Integralgleichung
Z + C = o
bekannt, oder auch unbekannt, und eine Gleichung
U = o
thue der Dif- ferenzialgleichung
W = o
ein Genüge, zu untersuchen, ob
U = o
nur ein besonderer Fall von
Z + C = o
also nur ein particulä- res Integral von
W = o
seyn wird, oder ob
U = o
für eine besondere Auflösung von
W = o
wird gehalten werden müssen
.
Aufl. Erster Fall
, wenn die wahre In- tegralgleichung
Z + C = o
gegeben ist.
I.
In diesem Falle untersuche man nur, ob durch irgend einen Werth der Constante
C
sich
Z + C
in
U
verwandeln kann. Findet sich die- ses, so ist
U = o
bloß ein particuläres Integral von
W = o
, und keine besondere Auflösung (§. 187. 3.).
Zweyter Fall
. Wenn die wahre Inte- gralgleichung
Z + C = o
nicht bekannt ist.
II.
Dann suche man aus der Differenziation von
U = o
, den Werth von
oder
v
, und so
aus
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
aus der vorgegebenen Differenzialgleichung
W = o
den Werth von
oder
p
, so wird
p — v
aller mahl =
U
μ
L
werden (§. 187. 12.).
Findet sich dann
μ
\< 1 so wird
U = o
nur eine besondere Auflösung von
W = o
seyn. Ist aber
μ
= oder \> 1, so kann
U = o
nur ein par- ticuläres Integral von
W = o
seyn, und würde aus der wahren Integralgleichung
Z + C = o
, falls sie bekannt wäre, durch eine gehörige Be- stimmung der Constante abgeleitet werden können.
Beyspiele werden dieses vollkommen erläutern.
I.
Beyspiel
.
Die Differenzialgleichung
W = o
sey die obige
Ihr leistet ein Genüge, wie wir oben gesehen ha- ben, die Gleichung
U = o
, oder
x
2
+ y
2
— b
2
= o
, aber sie kann für keinen Werth der Constante
C
aus der wahren Integralgleichung
y + C
— √
(x
2
+ y
2
— b
2
) = o
abgeleitet werden, und darum ist
x
2
+ y
2
— b
2
= o
bloß eine besondere Auflösung von
W = o
.
Wäre
Integralrechnung.
Wäre aber auch die wahre Integralgleichung
Z + C = o
nicht bekannt, so wird sich aus obigen Betrachtungen dennoch ergeben, daß
x
2
+ y
2
— b
2
= o
, nur eine besondere Auflösung von
W = o
seyn kann.
Nemlich aus
W = o
, oder der vorgegebenen Differenzialgleichung, ist erstlich
oder
P =
; Und nun aus der Dif- ferenziation von
U = o
oder
x
2
+ y
2
— b
2
= o
der Werth von
oder
v
= —
Mithin
p — v
=
wenn die Funktion
der Kürze halber mit
L
bezeichnet wird.
Vergleicht man dies
p — v = U
½
L
mit der obigen Form
p — v = U
μ
L
, so ist
μ
= ½ also be- jaht und \< 1. Mithin ist
U = o
d. h.
x
2
+ y
2
—
b
2
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
—
b
2
= o
bloß eine besondere Auflösung von
W = o
.
II.
Beyspiel
.
Es sey die Gleichung
W = o
folgende
d x (1 — y
2
) — d y (1 — x
2
) = o
Dieser geschieht sogleich ein Genüge, wenn man
y = x
also
y — x = o
setzt.
Um aber zu untersuchen, ob dies
y — x = o
oder
U = o
eine besondere Auflösung von
W = o
seyn wird, so ist erstlich aus der vorgegebenen Dif- ferenzialgleichung der Werth von
oder
p
=
; und aus der Differenziation von
U = o
oder
y — x = o
der Werth von
oder
v = 1.
Demnach
p — v
=
Oder auch
p — v = (y — x)
=
U . L
wenn
=
L.
Dies
Integralrechnung.
Dies mit der obigen Form
p — v = U
μ
.
L
verglichen, giebt
μ
= 1 also positiv und = 1. Demnach kann
y — x = o
keine besondere Auflö- sung von
W = o
, sondern bloß ein particuläres Integral seyn.
Dies ergiebt sich auch, wenn man die vorge- gebene Differenzialgleichung würklich integrirt. Denn man hat durch Absonderung der veränderli- chen Größen
Also durch Integration (§. 105.
X.
)
½
log
= ½
log
+
C
Mithin für eine Constante
C = o
schlechtweg
oder
y — x = o
. Es ist also
y — x = o
oder
y = x
bloß ein particuläres Integral (§. 187. 3.).
III.
Beyspiel
.
Es sey die Gleichung
W = o
folgende
d y — d x — d x (y
2
— x
2
) = o
Oder
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
Oder auch
d y — d x (y
2
— x
2
+ 1) = o
Ihr leistet ein Genüge die Gleichung
y = x
, oder
y — x = o
. Ob nun dies eine besondere Auflö- sung seyn wird, zeigt sich wie folgt.
Erstlich ist jetzt
p
=
=
y
2
— x
2
+ 1
aus
W = o
sodann
v
=
= 1 aus
y — x
oder
U = o
Mithin
p — v = y
2
— x
2
= (y — x) (y + x)
= U . L
wenn
y + x = L
dies mit
p — v = U
μ
L
verglichen, giebt wiederum
μ
= + 1 also nicht \< 1. Demnach ist
y — x = o
oder
U = o
auch nur ein particuläres Integral von
W = o
.
Dies erhellet auch wieder aus der Integra- tion von
W = o
. Um diese zu bewerkstelligen, setze man
y = x —
, so verwandelt sich durch eine leichte Rechnung die Gleichung
W = o
in
d q + 2 q x d x = d x
Diese wird integrabel durch den Factor
, und man erhält
∫
Integralrechnung.
∫
(d q + 2 q x d x)
=
∫
d x + C
oder
q
=
∫
d x + C
Mithin, statt
q
wieder
gesetzt,
d x + C
oder
y = x
—
Setzt man hier die Constante
C = ∞
, so ver- schwindet der Theil rechter Hand
x
, und es wird bloß
y = x
oder
y — x = o
ein particuläres In- tegral.
IV.
Beyspiel
.
Es sey
W = o
oder
d y — d x
(1 — √ (
y
2
— x
2
)), = o
. Auch dieser geschteht ein Genüge für
y = x
oder
y — x = o
.
Aber jetzt ist
=
p
= 1 — √ (
y
2
— x
2
) aus
W = o
und
=
v
= 1 aus
y — x
oder
U = o
Mit-
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
Mithin
p — v
= — √ (
y
2
— x
2
) = — (y — x)
½
(y + x)
½
= U
½
. L
für
L = — (y + x)
½
Dies mit
p — v = U
μ
L
verglichen, giebt
μ
= ½ also \< 1. Folglich kann
U = o
oder
y — x = o
nur eine besondere Auflösung seyn, und würde für kei- nen Werth der Constante
C
aus der wahren In- tegralgleichung, falls solche bekannt wäre, abge- leitet werden können.
V.
Beyspiel
.
Es sey
W = o
oder
d y — d x
(1 — √ (
y — x)) = o
welcher Gleichung ebenfalls durch
y = x
oder
y — x = o
ein Genüge geschieht. Ob nun
y — x = o
ein particuläres Integral, oder eine besondere Auflösung, seyn wird, so hat man für diese Unter- suchung jetzt aus
W = o
den Werth von
=
p
= 1 —
√
(
y — x
); und aus
y — x
oder
U = o
, den Werth von
=
v
= 1; also
p — v
= —
√
(y — x) = U
½
. L
wenn
L
= — 1 gesetzt wird. Folglich
μ
= ½ kleiner als 1, demnach
y — x = o
nur eine besondere Auflösung.
Die
Integralrechnung.
Die wahre Integralgleichung zu erhalten, setze man in
W = o, z
2
statt
y — x
oder
z
statt
√
(
y — x
), so erhält man, statt
W = o
, die Dif- ferenzialgleichung
2
z d z + z d x = o.
oder 2
d z + d x = o
Mithin durch Integration 2
z = — x + C
d. h.
2 √
(y — x) = — x + C
Hier mag man der Constante
C
welchen Werth man will, ertheilen, so wird sich diese Gleichung nie in
y — x = o
verwandeln, daher
y — x = o
nie ein particuläres Integral von
W = o
seyn kann.
§. 189.
Aufgabe
.
Zu untersuchen, ob eine vorgegebene Differenzialgleichung
W = o
oder
d y — p d x = o
besondere Auflösungen zuläßt, und solche zu finden
.
Aufl.
Man setze
oder
un- bestimmt, und sehe zu, ob sich hieraus Gleichun- gen ergeben, welche für besondere Auflösungen ge- halten werden können.
Höh. Anal.
II.
Th.
Q
I.
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
I.
Beyspiel
.
Es sey
W = o
oder
d y — d x
(1 —
√
(
y — x)) = o
so hat man
=
p
= 1 —
√
(
y — x
)
Also
oder, statt
seinen Werth 1 —
√
(
y — x
) substi- tuirt,
Man muß also diesen Ausdruck =
, also √
(y—x) = o
, und 2 √
(y — x) = o
setzen; da beyden Gleichungen ein Genüge geschieht durch
y — x = o
, so ist würklich sogleich
y — x = o
eine besondere Auflösung von
W = o
, wie auch bereits aus dem obigen (§. 188. Beysp.
V.
) erhellet.
II.
Beyspiel
.
1. Es sey
W = o
die obige (Beysp.
I.
§. 188.)
d y —
=
o
so
Integralrechnung.
so hat man
und durch Differenziation, wenn man der Kürze halber die Wurzelgröße √
(x
2
+ y
2
— b
2
)
mit
R
bezeichnet
2. Demnach muß seyn
(R — y) R — x
2
+
(R — y) = o.
(☉) Und
R (R — y)
2
= o.
(☽)
3. Die Gleichung (☽) giebt entweder
R = o
; oder
R — y = o
. Welche von beyden eine beson- dere Auflösung von
W = o
seyn wird, entscheidet sich auf folgende Art.
4. Man nehme erstlich
R = o
d. h. √
(y
2
+ x
2
— b
2
) = o
und sehe zu, ob dadurch auch (☉) =
o
wird. Nun ist aber, wenn man in (☉) den Werth von
Q 2
sub-
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
substituirt, die Gleichung ☉ auch folgende
(R — y) R — x
2
+
= o
welche für
R = o
, sich in —
x
2
+
also würklich in
o
verwandelt.
5. Wenn also
R = o
oder √
(y
2
+ x
2
— b
2
) = o
d. h.
y
2
+ x
2
— b
2
= o
der Gleichung
W = o
würklich ein Genüge leistet, welches nun der Fall ist, so ist
y
2
+ x
2
— b
2
= o
eine beson- dere Auflösung, weil bey dieser Voraussetzung
wird.
6. Ob nun auch
R — y = o
eine besondere Auflösung seyn könnte, entscheidet sich wieder aus (4.). Setzt man in die dortige Gleichung (☉)
R — y = o
, so müßte auch würklich
—
x
2
+
= o
d. h. —
x
2
+ x
2
.
= o
seyn, d. h. —
x
2
+ x
2
.
den bestimmten Werth
o
haben. Da dies aber nicht der Fall ist, sondern das Glied
x
2
.
un-
bestimmt
Integralrechnung.
bestimmt bleibt, so kann die Gleichung
R — y = o
d. h. —
y + √ (y
2
+ x
2
— b
2
) = o
keine beson- dere Auflösung von
W = o
seyn.
Da aber jedoch diese Gleichung der vorgege- benen
W = o
ein Genüge leistet, so ist sie ein particuläres Integral derselben, wie auch aus (§. 188. Beys.
I.
) erhellet, wenn man die dortige Constante
C = o
setzt.
III.
Beyspiel
.
Es sey
W = o
die Gleichung
d y — d x (1 + y
2
— x
2
) = o,
Also
= 1 +
y
2
— x
2
Mithin
— 2
x = 2 y (1 + y
2
— x
2
) — 2 x
Da dieser Ausdruck keinen Divisor hat, also nie zu einer unbestimmten Größe
werden kann, so läßt die Gleichung
W = o
auch keine besondere Auflösung zu.
Da ihr jedoch die Gleichung
y = x
oder
y — x = o
ein Genüge leistet, so ist zuverlässig
y — x
ein
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
ein particuläres Integral, wie auch bereits oben (§. 188. B.
III.
) gefunden worden ist.
IV.
Beyspiel
.
Es sey
W = o
die Gleichung
x d y — d x √ (y
2
— x
2
) = o
so hat man
Also
oder, statt
seinen Werth
substi- tuirt,
Demnach müssen folgende zwey Gleichungen statt finden
y √ (y
2
— x
2
) — y
2
= o
(☉)
x
2
√ (y
2
— x
2
) = o
(☽)
falls es besondere Auflösungen von
W = o
soll ge- ben können.
Nun
Integralrechnung.
Nun bietet die Gleichung (☽) folgende zwey Gleichungen dar. Nemlich entweder
x
2
= o
; oder
√
(y
2
— x
2
) = o
.
Aus der erstern folgt
x = o
, welcher Werth auch würklich der Gleichung (☉) ein Genüge lei- stet, daher wird
x = o
, da es auch der Gleichung
W = o
entspricht, für eine besondere Auflösung von
W = o
genommen werden müssen.
Aber aus
√
(y
2
— x
2
) = o
folgt gar nichts. Denn weder geschieht dadurch der Gleichung (☉) ein Genüge, noch auch der Gleichung
W = o
; da- her also nur die angeführte besondere Auflösung
x = o
statt findet, wenn man anders so etwas wie
x = o
, was kein eigentliches Verhalten zwischen zwey
veränderlichen Größen
ausdrückt, eine besondere Auflösung nennen will.
V.
Beyspiel
.
Es sey die Gleichung
W = o
folgende
(a — x)
n
d y — d x = o
Also
Also muß folgenden zwey Gleichungen ein Genüge
gesche-
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
geschehen, wenn eine besondere Auflösung von
W = o
soll statt finden können, nemlich
n (a — x)
n — 1
= o
(☉)
(a — x)
2 n
= o
(☽)
die Gleichung (☽) giebt sogleich
a — x = o
wo- bey
n
positiv seyn muß, weil sonst
(a — x)
2 n
un- endlich, und also nicht =
o
seyn könnte. Eben diese Gleichung
a — x = o
, thut aber auch der Gleichung (☉) ein Genüge, falls
n
\> 1 oder auch nur = 1. Ist also
n
\> 1 oder = 1, so ist
a — x = o
eine besondere Auflösung von
W = o
, wie sich nun auch durch die Substitution
x = a
in die Gleichung
W = o
ergiebt, indem
(a — x)
n
d y = o
wird, und
d x = d a
gleichfalls =
o
, weil
a
eine unveränderliche Größe ist. Ist aber
n
\< 1 so ist
a — x = o
ein particuläres In- tegral. Zu mehrerer Erläuterung dient folgendes. Die wahre Integralgleichung ist.
y
=
+
C
Soll nun für
x = a
der Ausdruck rechter Hand des Gleichheitszeichens einer endlichen Größe
y
gleich seyn können, so wird, weil das Glied
, falls
n
= 1 oder \> 1, für
x = a
Integralrechnung.
x = a
unendlich wird, auch
C
unendlich, und zwar negativ unendlich werden müssen, in wel- chem Falle denn beyde Glieder zusammen, immer eine endliche Größe, und zwar welche man will, mithin auch die Werthe von
y
, als einer
ver- änderlichen
endlichen, geben können. Es ist also im allgemeinen die Gleichung
y
=
+
C
für
a = x
, und
C
= ∞, immer eine unbestimmte, aus welcher nie eine bestimmte wie
a — x = o
ent- stehen kann; Es kann also auch
a — x = o
nicht als ein besonderer Fall von der angegebenen In- tegralgleichung betrachtet werden d. h. wenn
n
= \> 1, so ist
a — x = o
nur eine besondere Auf- lösung von
W = o
. Ist
n
\< 1 so können für
x = a
beyde Gleichungen ☉, ☽, nie mit einander bestehen, mithin giebt es für diesen Fall keine be- sondere Auflösungen für
W = o
.
§. 190.
Die bisherigen Beyspiele mögen hinreichen, das Verfahren, die besondern Auflösungen einer Differenzialgleichung zu finden, und von particu- lären Integralen zu unterscheiden, ins Licht zu setzen. Hiebey wäre sehr zu wünschen, daß man
eine
Zweyter Theil. Sechstes Kapitel.
eine Methode hätte, insbesondere aus einem par- ticulären Integrale, die vollständige Integralglei- chung zu finden. Aber bis jetzt hat dies nur in wenigen Fällen gelingen wollen, indem man hie- bey meistens auf Differenzialgleichungen gelangt, welche eben so viel Schwierigkeit haben, als die vorgegebene selbst. Man kann in solchem Falle nur durch Beyhülfe von Reihen, die vollständigen Integrale finden, womit aber in vielen Fällen nicht mehr gedient ist, als mit andern Methoden, Inte- grale durch Reihen auszudrücken. M. s. indessen hierüber
La Croix
Traitè du Calcul diffe- rentiel et intégral
§. 585 ꝛc. wo auch verschie- dene von
Trembley
angegebenen Kunstgriffe er- läutert sind, welche aber auf nichts allgemeines führen, und daher hier von mir weggelassen werden.
Zum Schlusse bemerke ich hier noch eine Ei- genschaft der Multiplicatoren, wodurch Differen- zialgleichungen integrabel werden, nemlich daß diese Multiplicatoren unter gewissen Umständen zu Par- ticular-Integralen selbst werden. Es sey
L
der Multiplicator oder integrirende Factor, wodurch die Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
inte- grabel werde, so wird
L = o
allemahl ein parti- culäres Integral seyn, außer wenn für diese Vor-
aus-
Integralrechnung.
aussetzung
P
oder
Q
unendlich werden. M. s. hierüber, so wie noch über einige andere hiebey zu erörternde Umstände
Euleri
Calc. integr.
P. I.
§. 572 ꝛc. und noch ausführlicher
La Croix
Tr. du Calc. diff. et intégral
§. 590. Es lassen sich diese Sätze leicht aus den vorhergehen- den Principien ableiten.
Siebentes Kapitel
.
Von den Integralen solcher Differenzial- gleichungen worin die veränderlichen Größen völlig auf einerlei Art enthalten sind.
§. 191.
Es sey
X d x + Y d y = o
eine Differenzial- gleichung worin
X
bloß einer Function von
x
, und
Y
bloß einer Function von
y
gleich sey. Wenn nun die Integrale
∫
X d x,
∫
Y d y
nicht algebraisch sondern transcendent wären, im letztern Falle jedoch nur aus einerlei Art von transscendenten Größen beständen, z. B. durchaus logarithmisch wären, oder nur aus Kreisbogen beständen, so wird die
Inte-
Zweiter Theil. Siebentes Kapitel.
Integralgleichung von
X d x + Y d y = o
dennoch bloß algebraisch seyn.
Es sey z. B.
=
o
also
X
=
;
Y
=
so hat man ferner
∫
=
log (a + x);
∫
=
log (b + y)
beyde logarithmisch, also transscendent, aber die Integralgleichung, nemlich
log (a + x) + log (b + y) = C
worin die Constante auch logarithmisch genommen also =
log A
gesetzt werden kann, wird dennoch bloß algebraisch seyn. Denn man hat
log (a + x) + log (b + y) = log A
d. h.
log (a + x) (b + y) = log A
mithin durch Weglassung des gemeinschaftlichen lo- garithmen-Zeichens, schlechtweg die algebraische Gleichung
(a + x) (b + y) = A.
Das-
Integralrechnung.
Dasselbe würde auch der Fall seyn, wenn allge- meiner
∫
X d x = log
X
∫
Y d y = log
Y
gefunden worden wären, so daß X und Y bloß algebraische Functionen von
x
und
y
wären, dann wäre von der Differenzialgleichung
X d x + Y d y = o
die Integralgleichung schlechtweg algebraisch, nem- lich
X . Y =
Const.
§. 192.
Ferner seyen
∫
X d x
,
∫
Y d y
so beschaffen, daß sie bloß aus Kreisbogen beständen z. B.
∫
X d x = Arc sin
X oder
Arc tang
X
∫
Y d y = Arc sin
Y oder
Arc tang
Y
wo X, Y, wieder die obige Bedeutung hätten, so wird auch für diese Fälle das Integral von
X d x + Y d y = o
bloß algebraisch seyn.
1. Gesetzt es sey
∫
X d x = Arc sin
X;
∫
Y d y = Arc sin
Y, so ist die Integralgleichüng von
X d x
Zweyter Theil. Siebentes Kapitel.
X d x + Y d y = o
folgende
Arc sin
X +
Arc sin
Y =
Arc sin C
weil auch die Constante, als ein Bogen dessen Si- nus =
C
, betrachtet werden kann.
2. Nun setze man der Kürze halber
Arc sin
X =
u; Arc sin
Y =
w
so ist X =
sin u
; Y =
sin w
√ (1 — X
2
) =
cos u
; √ (1 — Y
2
) =
cos w
3. Demnach
sin (u + w) = sin u cos w + sin w cos u
= X √ (1 — Y
2
) + Y
√
(1 — X
2
)
oder
u + w = Arc sin
(X
√
(1 — Y
2
) + Y
√
(1 — X
2
)) Demnach verwandelt sich obige Integralgleichung (1) in folgende
u + w = Arc sin C
, oder
Arc sin
(X √ (1 — Y
2
) + Y
√
(1 — X
2
)) =
Arc sin C
oder schlechtweg in die algebraische
X √ (1 — Y
2
) + Y
√
(1 — X
2
) =
C
4. Wäre z. B. die vorgegebene Differenzial- gleichung
=
o
so
Integralrechnung.
so hätte man erstlich aus §. 130. 7. (die dortigen
α
=
a
2
;
β
=
o
; und
γ
= 1 gesetzt)
Demnach
Folglich die gesuchte Integralgleichung
5. Man sieht leicht, wie auf eine ähnliche Art zu verfahren wäre, wenn
∫
X d x
;
∫
Y d y
durch Bogen gegeben wären, deren
Tangenten
Functioneu von
x
und
y
seyn würden.
6. Die bisherigen Betrachtungen lassen sich leicht noch allgemeiner darstellen. Hätte man nem- lich von
P d x + Q d y = o
, wo
P
,
Q
vermischte Functionen von
x
und
y
bedeuten mögen, eine In- tegralgleichung von der Form
log
Zweyter Theil. Siebentes Kapitel.
log S + log T = log C
oder z. B.
Arc sin S + Arc sin T = Arc sin C
u. d. gl. gefunden, wo
S
,
T
auch wieder aus
x
und
y
zusammengesetzte Functionen wären, so würde man dafür völlig wie in (§. 191.) nur schlechtweg die algebraischen Gleichungen
S . T = C
und
S
√ (1 —
T
2
) +
T
√ (1 —
S
2
) =
C
setzen können.
7. Auch Integralgleichungen von der Form
Arc sin S + Arc tang T = Arc sin C
lassen sich algebraisch ausdrücken, weil statt
Arc tang T
gesetzt werden kann
Arc sin
nach der bekannten trigonometrischen Formel
8. Hätte man eine Integralgleichung von der Form
m Arc sin S + n Arc sin T = Arc sin C
so läßt sich auch diese in eine endliche algebraische
ver-
Integralrechnung.
verwandeln, wenn
m
,
n
ganze Zahlen sind, wor- auf eine solche Gleichung immer gebracht werden kann, indem man für den Fall, daß jene Coeffi- cienten Brüche wären, nur die Gleichung durch- aus mit dem Produkt der Nenner dieser Brüche multipliciren dürfte.
Denn man setze
Arc sin S = u; Arc sin T = w
so hat man
S = sin u; T = sin w
, und man kann nach bekannten Formeln aus
S
und
T
den Sinussen der einfachen Winkel
u
,
w
, die Sinusse von
m . u
und
n . w
berechnen.
Man setze
sin m u
= S;
sin n w
= T, so hat man S und T aus
S
und
T.
Hierauf hat man denn
m . u = Arc sin
S;
n . w = Arc sin
T; d. h.
m Arc sin S = Arc sin
S; und
n Arc sin T = Arc sin
T.
Diese Werthe in die Gleichung (
.) substi- tuirt, so hat man
Arc sin
S +
Arc sin
T =
Arc sin C
oder die algebraische
S √ (1 — T
2
) + T √ (1 — S
2
) =
C
wie oben (6.).
Höh. Anal.
II.
Th.
R
9.
Zweyter Theil. Siebentes Kapitel.
9. Ich will mich bey diesen und ähnlichen transcendentischen Integralgleichungen, welche sich auf algebraische reduciren lassen, nicht länger ver- weilen, da sie keiner weitern Erläuterung bedürfen.
10. Wenn aber für eine Differenzialgleichung
P d x + Q d y = o
keine endliche Integralgleichung von bekannten transcendenten Formen aufgefunden werden kann, oder vielmehr die Integralgleichung von andern transcendenten Größen als den bisher bekannten abhängen würde, so kann dennoch in ge- wissen Fällen eine algebraische Gleichung statt fin- den, zn deren Ausmittelung aber besondere Kunst- griffe erforderlich sind.
11. So kann z. B. das Integral
für sich weder durch Logarithmen noch durch Kreis- bogen dargestellt werden, und eben dies ist auch der Fall für
Aber dennoch läßt sich für eine Differenzialglei- chung von der Form
d x
Integralrechnung.
ein endliches algebraisches Integral auffinden, wie wir nachher sehen werden, und so in mehreren andern Fällen, wenn in der allgemeinen Differen- zialgleichung
P d x + Q d y = o
,
Q
eine Function von
y
bedeutet, welche derjenigen von
x
nemlich
P
völlig
ähnlich
ist d. h. wenn
P
und
Q
wie z. B. obige Ausdrücke
Functionen von
x
,
y
bezeichnen, welche in nichts als in den veränderlichen Größen, von einander unterschieden sind.
12. Man hat für einige Fälle solcher Dif- ferenzialgleichungen mit
ähnlichen
, oder wie ich sie hier nennen will,
symmetrischen Functio- nen
P
,
Q
, Integrationsmethoden aufgefunden. M. s. z. B.
Euleri
Calc. Integr.
§. 580 ꝛc. und
La Granges
Methode in den
Mem. de l’Ac. de Turin ann.
1766. 1769. Auch über diese letztere,
Eulers
abgekürztes Verfahren in den
Comm. Ac. Petrop. ad ann.
1778. Von die- sen soll hier einiges zur Probe mitgetheilt werden.
R 2
§. 193.
Zweyter Theil. Siebentes Kapitel.
§. 193.
Aufgabe
.
Das Integral der Gleichung
zu finden, wenn
X
,
Y
folgende symme- trische Functionen sind
.
X
=
α
+ 2
β
x
+
γ
x
2
+
δ
x
3
+
ε
x
4
Y
=
α
+ 2
β
y
+
γ
y
2
+
δ
y
3
+
ε
y
4
.
Aufl
. 1. Man betrachte
x
und
y
als Fun- ctionen einer andern veränderlichen Größe
t
, de- ren Differenzial
d t
man unveränderlich annehme, und setze
; mithin auch
2. So hat man
Mithin
3. Nun sey der Kürze halber
x + y = p; x — y = q
, so hat man
d x + d y = d p; d x — d y = d q
also
d x
Integralrechnung.
d x
2
— d y
2
= d p . d q
.
Und
.
4. Aber
X — Y
= 2
β
(
x — y
) +
γ
(
x
2
— y
2
)
+
δ
(
x
3
— y
3
) +
ε
(
x
4
— y
4
)
(1) = 2
β
q
+
γ
q p
+ ¼
δ
(3 p
2
+ q
2
) q
+ ½
ε
p q (p
2
+ q
2
)
nach dem man überall ½ (
p + q
) statt
x
und ½ (
p — q
) statt
y
gesetzt hat.
5. Dies in die Gleichung
(3) substituirt, giebt
= 2
β
+
γ
p
+ ¼
δ
(3 p
2
+ q
2
)
+ ½
ε
p (p
2
+ q
2
)
6. Ferner wird aus den Gleichungen
=
X
und
, durch Differenziation, wo- bey
d t
als constant (1),
d x
und
d y
aber als veränderlich angesehen werden
= 2
β
+ 2
γ
x
+ 3
δ
x
2
+ 4
ε
x
3
= 2
β
+ 2
γ
y
+ 3
δ
y
2
+ 4
ε
y
3
7.
Zweyter Theil. Siebentes Kapitel.
7. Hieraus erhält man durch Addition und Substitution von
d d p
statt
d d x + d d y
, die Gleichung
= 2
β
+
γ
(
x + y
) +
\frac{3}{2}
δ
(
x
2
+ y
2
) + 2
ε
(
x
3
+ y
3
) oder, statt
x
,
y
ihre Werthe ½ (
p + q
); ½ (
p — q
) gesetzt,
= 2
β
+
γ
p
+ ¾
δ
(
p
2
+ q
2
) + ½
ε
(
p
3
+ 3 p q
2
)
8. Hievon die Gleichung (5) abgezogen, so kömmt, auf beyden Seiten zugleich mit
q
2
dividirt,
oder mit 2
d p
multiplicirt
9. Nun ist aber
das Differenzial von
, folglich weil
d t
mit- hin auch
d t
2
constant ist (1) das Integral auf der linken Seite der Gleichung
; auf der rechten Seite =
δ
p
+
ε
p
2
+ C
.
10.
Integralrechnung.
10. Demnach hat man
=
δ
p
+
ε
p
2
+ C
oder, auf beyden Seiten die Wurzel ausgezogen,
=
√
(
δ
p
+
ε
p
2
+ C
)
oder
=
q
√ (
δ
p
+
ε
p
2
+ C
)
11. Substituirt man endlich statt
p
,
q
ihre Werthe
x + y; x — y
, und statt
den Aus- druck
=
√
X
+ √
Y
(2) so hat man die algebraische Integralgleichung
√
X
+ √
Y
= (
x — y
)
√
(
C
+
δ
(
x + y
) +
ε
(
x + y
)
2
) worin also
C
eine willkührliche oder nach den Um- ständen der Aufgabe, welche auf die Differenzial- gleichung
geführt hatte, zu be- stimmende Constante bezeichnet.
§. 194.
Zweyter Theil. Siebentes Kapitel.
§. 194.
Zusatz
I.
Nimmt man in der Differenzialgleichung
die
√
Y
negativ, so kömmt auf eine ähnliche Art für die Differenzialgleichung
die Integrale
√
X
—
√
Y
= (
x — y
) √ (
C
+
δ
(
x + y
) +
ε
(
x + y
)
2
)
§. 195.
Zusatz
II.
Sind
δ
und
ε
=
o
also
√
X
=
√
(
α
+ 2
β
x
+
γ
x
2
) √
Y
=
√
(
α
+ 2
β
y
+
γ
y
2
)
so hat man für die Integralgleichung von
den Werth
√
X
±
√
Y
= (
x — y
) √
C
Je nachdem man also für die Coefficienten
α, β, γ
ꝛc. diese oder jene Werthe annimmt, hat man für alle Fälle ein algebraisches Integral, die Dif-
feren-
Integralrechnung.
ferenziale
mögen für sich, welche be- kannte oder unbekannte, algebraische oder transcen- dente Integrale haben.
In manchen Fällen lassen sich die gefundenen Integralgleichungen noch auf einfachere bringen, womit ich mich aber jetzt nicht weiter beschäftigen will, da es mir hinlänglich ist, hier bloß das Ver- fahren selbst gezeigt zu haben, auf eine
directe Weise
jene Integralgleichungen auszumitteln. Es wäre zu wünschen, daß das angezeigte Ver- fahren auch anwendbar wäre, wenn die Functio- nen
X
,
Y
auch noch höhere Potenzen von
x
und
y
als die vierte enthielten.
§. 196.
Zusatz
III.
Wenn man die gefundenen Integralgleichun- gen rational macht, so wird man finden, daß sie sich auf die Form
A + B (x + y) + C (x
2
+ y
2
) + D x y + E x y (x + y) + F x
2
y
2
= o
welche in Bezug auf die veränderlichen Größen
x
,
y
gleichfalls symmetrisch ist, reduciren lassen.
Man
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
Man kann umgekehrt eine solche Form für das Integral annehmen, und die Coefficienten
A
,
B
, ꝛc. durch
α, β, γ
ꝛc. bestimmen. Aber diese gleich- falls von
Eulern
ausgeführte Methode ist weder so direct noch einfach als die obige von
La Grange
angegebene.
Achtes Kapitel
.
Die Form einer Differenzialgleichung zu finden, wenn die Form eines Factors gegeben ist, wodurch die Gleichung integrabel seyn soll.
§. 197.
Wir haben bereits oben (§§. 173. 174 ꝛc.) in mehreren Beyspielen gesehen, wie Differenzial- gleichungen
P d x + Q d y = o
, in denen nicht
als Bedingung der Integrabilität statt findet, doch durch einen Factor
L
integrabel werden können, wenn dieser so beschaffen ist, daß
wird.
Da
Integralrechnung.
Da jedoch keine allgemeine Methode bekannt ist, einen solchen integrirenden Factor
L
zu fin- den, wenn
P
und
Q
gegeben sind, so hat man umgekehrt gesucht, von welchem Verhalten die Functionen
P
und
Q
seyn müssen, wenn die Form des Factors
L
gegeben ist, wodurch die Integra- tion soll statt finden können. Wenn gleich diese umgekehrte Methode, die Allgemeinheit solcher Dif- ferenzialgleichungen sehr beschränkt, so ist es doch erforderlich, hier einiges davon beyzubringen, da- mit es nicht scheine, etwas übergangen zu haben, von dessen Nutzen für die Integralrechnung über- haupt, wir uns jedoch nicht sehr überzeugen können.
§. 198.
Aufgabe
.
Es sey gegeben eine Differenzial- gleichung von der Form
X Y d x + (X' + Y') d y = o
worin
X
,
X'
Functionen von
x
, und
Y
,
Y'
Functionen von
y
bedeuten, man soll untersuchen, welches Verhalten jene Functionen haben müssen, wenn die vor- gegebene Gleichung durch einen Factor
L
= Y, welcher bloß einer Function von
y
gleich sey, soll integrirt werden können
.
Aufl
.
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
Aufl
. 1. Wegen
P = X Y
; und
Q = X' + Y'
muß also seyn
d. h.
2. Differenziirt man nun auf der linken Seite dieser Gleichung bloß in Rücksicht auf
y
, und auf der rechten bloß in Rücksicht auf
x
, so erhält man schlechtweg
3 Also muß seyn
und
4. Dies giebt erstlich
d X' = X d x
oder
X'
=
∫
X d x + A
wo
A
eine willkührliche Con- stante bezeichnet.
5. Ferner
d
(Y
Y
) = Y
d y
(3.), also Y
Y
=
∫
Y
d y + B
. Mithin
, wo dem- nach die Function
Y
gefunden ist, wenn diejenige des Factors Y als bekannt angesehen wird.
6.
Integralrechnung.
6. Substituirt man die gefundenen Ausdrücke in die vorgegebene Differenzialgleichung, so ist
allemahl integrabel durch den integrirenden Factor Y, was auch
Y'
für eine Function von
y
seyn mag.
6. Wäre nicht der integrirende Factor Y, sondern die Function
Y
gegeben, so ist wegen
(3) auch
Mithin
Iog
Y
Y
=
+
B
d. h. Y
Y
=
oder Y =
7. Es ist also die Differenzialgleichung
X Y d x + (A + Y'
+
∫
X d x) d y = o
allemahl integrabel durch den Factor
oder
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
oder auch schlechtweg durch den Factor
welcher von
Y'
ganz unabhängig ist.
§. 199.
Aufgabe
.
Die Bedingungen zu bestimmen, un- ter denen die Differenzialgleichung
X Y d x + (X' + Y') d y = o
integrirt werden kann durch einen Factor X welcher bloß einer Function von
x
gleich sey
.
Aufl
. 1. Verfährt man wie oben (§. 198.) und setzt
d. h.
(☉)
so erhellet sogleich, daß dieser Bedingung ein Ge- nüge geschiehet, wenn folgende Gleichungen, durch welche ein Verhalten zwischen den in ihr vorkom-
men-
Integralrechnung.
menden Functionen bestimmt werden kann, statt finden
I
)
wodurch denn alles von
x
abhängige sich durch Di- vision auf beyden Seiten der Gleichung (☉) auf- hebt, und schlechtweg
II
)
wird, woraus das Verhalten zwischen den Functio- nen
Y
,
Y'
gefunden werden kann.
2. Die erste Gleichung
giebt so- gleich
, mithin
log
X =
∫
X d x
und X =
e
∫
X d x
wodurch also der integrirende Factor X bekannt wird, wenn die Function
X
gegeben ist.
3. Aus der zweyten Gleichung in (
I.
) nemlich
oder
d X'
X =
d
X hat man
X'
X = X +
A
Also
X'
=
=
e
—
∫
X d x
(
e
∫
X d x
+
A
) oder
X'
= 1 +
A e
—
∫
X d x
4.
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
4. Endlich ist aus der Gleichung (
II.
)
5. Diese Ausdrücke statt
X'
,
Y'
in die vor- gegebene Differenzialgleichung substituirt, geben die Gleichung
welche denn allemahl durch den Factor
e
∫
X d x
inte- grirt werden kann.
6. Ist der integrirende Factor X gegeben, so bestimmen sich daraus die Functionen
(2) und
(3).
Ist demnach eine Gleichung von der Form
gegeben, so ist solche allemahl durch den Factor X integrabel, welches auch ohnehin sogleich daraus erhellet, daß sie sich durch die Multiplication mit X in
Y d
X + X
d Y + A d y = o
ver-
Integralrechnung.
verwandelt, wovon das Integral
Y
X +
A y + C = o
ist.
7. Eine andere Form von Differenzialglei- chung, welche durch die Multiplication mit einer Function von
x
, integrabel werden würde, ergiebt sich, wenn man in der Gleichung (☉) die Functio- nen X
X
;
; constanten Größen gleich setzt, also z. B.
dadurch wird alsdann (☉) in
verwandelt, woraus sich das Verhalten der Functio- nen
Y
,
Y'
ergiebt.
Aus
würde man erhalten X =
A x + D
. Sodann aus X
X = C
die Function
; und endlich aus
die Funktion
.
Höh. Anal.
II.
Th.
S
So-
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
Sodann
Setzt man diese Werthe statt
X
,
X'
,
Y'
in die vorgegebene Differenzialgleichung, so erhält man
welche demnach durch den Factor
A x + D
inte- grabel wird.
§. 200.
Aufgabe
.
Das Verhalten der Functionen
X
,
Y; X'
,
Y'
in obiger Differenzialgleichung zu bestimmen, daß solche durch einen Factor X Y = dem Produkt einer Fun- tion von
x
in eine Function von
y
, inte- grabel werde
.
Aufl
. 1, Setzt man statt
L
in (§. 198. 1.) den erwähnten Factor X Y, so ergiebt sich die Gleichung
2. Würde man hier wieder
setzen
Integralrechnung.
setzen, so erhielte man eine Gleichung
wodurch das Verhalten zwischen den Functionen Y,
Y
,
Y'
ausgedrückt wird, so wie in jenen Glei- chungen dasjenige zwischen
X
,
X'
, X, enthalten ist.
3. Aus den Gleichungen (2) zwischen den Functionen
X
,
X'
, X, welche mit denen in (§. 199. 1.) ganz überein kommen, erhält man wieder wie oben (§. 199. 3.)
X =
e
∫
X d x
; X' = 1 + A e
—
∫
X d x
4. Und aus der Gleichung (2) zwischen den Functionen von
y
, wenn man auf beyden Seiten mit Y
Y
dividirt,
also
log
Y
d. h. Y
Y
=
oder
S 2
5.
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
5. Setzt man statt
X'
den gefundenen Werth (3.) in die vorgegebene Differenzialgleichung
X Y d x + (X' + Y') d y = o
so ist
X Y d x + (1 + A e
—
∫
X d x
+ Y') d y
allemahl integrabel durch den Factor
.
6. Sind dagegen X und Y gegeben, so wird
(3) und (2)
daher ist auch die Gleichung
oder auch
allemahl durch die Multiplication mit X Y integra- bel, was auch
Y
für eine Function von
y
seyn mag.
7.
Integralrechnung.
7. Man könnte auch zwischen den Functionen
X
, X,
X'
wie oben die Gleichungen (§. 199. 7.) festsetzen und darnach verfahren. Ich will aber dies der Kürze halber übergehen.
§. 201.
Aufgabe
.
Es ist eine Differenzialgleichung von der Form
P y d x + (y + Q) d y = o
worin
P
,
Q
Functionen von
x
bedeuten, vorgegeben, das Verhalten dieser Fun- ctionen zu finden, wenn jene Gleichung durch einen Factor
L
von der Form
,
worinn
M
,
N
gleichfalls Functionen von
x
bedeuten, integrabel seyn soll
.
Aufl
. 1. Vermöge obiger Principien (§. 197.) muß also das Differenzial von
wor- in man blos
y
als veränderlich ansieht, gleich seyn dem Differenzial von
wenn man darin blos
x
als veränderlich betrachtet.
Durch
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
Durch Gleichsetzung dieser beyden Differenziale, er- giebt sich nach gehöriger Rechnung
oder wenn man die einzeln Produkte entwickelt, und nach den Potenzen von
y
ordnet
2. Dies giebt die drey Gleichungen
2
P d x + d Q — d M = o P M d x + M d Q — d N — Q d M = o N d Q — Q d N = o
3. Die letzte dieser Gleichungen, giebt sogleich
Also
log N = log Q + log
α
oder
N
=
α
Q
wo
α
eine beliebige Constante bedeutet.
4.
Integralrechnung.
4. Setzt man diesen Werth von
N
in die zwey andern Gleichungen, so erhält man
I) 2 P d x + d Q — d M = o II) P M d x + M d Q — Q d M
—
α
d Q = o
Und wenn man
d x
aus beyden wegschafft
welche Gleichung mit (2
α
—
M
)
2
dividirt und in- tegrirt
giebt, wo
β
wieder eine beständige Größe be- zeichnet.
5. Also wird
Q = M
—
α
+
β
(2
α
—
M
)
2
welches in die Gleichung (4.
I.
) substituirt
2
P d x
= 2
β
(2
α
—
M
)
d M
Also
Und
N
=
α
Q
= (
M
—
α
+
β
(2
α
—
M
)
2
)
α
giebt.
6. Nimmt man also die Function
M
nach Gefallen an, so sind auch die Functionen
N
,
P
,
Q
bekannt,
Zweyter Theil. Achtes Kapitel.
bekannt, oder vielmehr was für ein Verhalten zwi- schen denselben statt finden muß, daß die vorgege- bene Differenzialgleichung durch einen Factor von der vorgegebenen Form integrabel werde.
7. Es sey z. B.
M
= 2
α
—
X
; so wird
P d x
= —
β
X d X Q
=
α
—
X
+
β
X
2
N
=
α
2
—
α
X
+
α β
X
2
Also wird die Differenzialgleichung
—
β
y X d X
+ (
α
—
X
+
β
X
2
+
y
)
d y = o
allemahl integrabel vermittelst des Factors
8. So könnten auch
P
oder
Q
gegeben seyn, und daraus die übrigen Functionen bestimmt wer- den. Aber die daraus sich ergebenden Werthe sind für die Anwendung auf einzelnere Fälle nicht be- quem.
Das bisherige mag hinreichen, einen Begriff von der Art zu geben, wie andere ähnliche Aufga- ben aufzulösen sind, worüber man umständlicher in
Eulers
Inst. Calc. Integr.
§. 493 ꝛc. nachsehen kann. Man wird aber auch daraus schon hinlänglich
bemer-
Integralrechnung.
bemerken, daß die Differenzialgleichungen, welche auf diese Art zum Vorschein kommen, eben von keiner sehr großen Allgemeinheit sind.
Neuntes Kapitel
. Integration durch Annäherungsmethoden.
§. 202.
1. Es sey
v
eine Function von
x
und das Differenzial
v d x
von der Beschaffenheit, daß das Integral
y =
∫
v d x
unmittelbar in einem endli- chen Ausdrucke nicht dargestellt werden kann, so muß man sich in diesem Falle begnügen, es durch Annäherung zu bestimmen, wozu mehrere Metho- den sich darbieten, welche aber für den würklichen Gebrauch nicht immer gleich anwendbar sind. Fol- gendes scheint mir für die Ausübung das brauch- barste zu seyn.
2. Wenn von dem Integrale
∫
v d x
die Rede ist, so verlangt man es immer innerhalb gewisser Gränzen z. B. von
x = o
, bis
x = a
, oder auch von
x = a
, bis
x = b
. Innerhalb solcher Grän-
zen
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
zen kann es nun durch Näherung gefunden wer- den, wenn gleich das Differenzial
v d x
an und für sich nicht integrabel ist.
3. Man betrachte nemlich
v
als die Ordinate einer krummen Linie für die unbestimmte Abscisse
x
, so drückt bekanntlich
v d x
das Flächen-Element zwi- schen zwey unendlich nahen oder um
d x
von ein- ander abstehenden parallelen Ordinaten
v
aus, und das Integral
y =
∫
v d x
die ganze Fläche für die Abscisse
x
.
4. Man setze für
x = a
habe das Integral
y
oder
∫
v d x
also die Fläche, welche der Abscisse
x
zugehört, den Werth
Y
, so daß demnach für
x = a
; der Werth von
y = Y
sey. Ist nun
b (2) = a + c
, so wird nach dem Taylorischen Lehrsatz für
x = a + c
, das Integral
∫
v d x
oder
wo in die Differenzialquotienten
;
statt
x
der Werth von
a
gesetzt werden muß.
5. Also würde das Integral
∫
v d x
von
x = a
bis
x = b = a + c
den Werth
y —
Integralrechnung.
ꝛc.
haben, wo das, was rechter Hand des Gleichheits- zeichens steht, auf bloßen Differenziationen beruht, und also berechnet werden kann, wenn gleich die Integralwerthe
y
,
Y
, linker Hand des Gleich- heitszeichens, für sich allein nicht darstellbar seyn würden.
6. Es ist nemlich wegen
y =
∫
v d x
; der Differenzialquotient
;
;
u. s. w. Demnach der Werth des Inte- grals
∫
v d x
von
x = a
, bis
x = a + c
durch die Reihe
ꝛc.
gegeben, wo in die Function
v
, und ihre Diffe- renzialquotienten
ꝛc. ebenfalls
a
statt
x
gesetzt werden muß.
7. Soll die angeführte Reihe sich nähern, so darf
o
nur klein genommen werden, auch muß die Function
v
so beschaffen seyn, daß die Differen-
zial-
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
zialquotienten
u. s. w. für
x = a
nicht zu groß, oder einige derselben vielleicht gar unendlich werden.
8. Ist der Werth von
c
so groß, daß jene Reihe sich nicht schnell genug nähern würde, so muß man sich das
c
in kleine Theile eingetheilt vorstellen, und das ganze Integral von
x = a
bis
x = a + c
theilweise bestimmen.
9. Gesetzt, man theile das Abscissen-Intervall
c
in
n
gleiche Theile, und nehme
; das Integral
∫
v d x
von
x = a
bis
heiße
Y'
, so hat man
ꝛc.
10. Ist demnach
c
sehr klein, so kön- nen die ersten Glieder dieser Reihe schon hinläng- lich seyn, den Werth von
Y'
, so genau zu geben, als man ihn zu einer gewissen Absicht braucht.
11. Nun suche man auf eine ähnliche Weise das Integral von
c
bis
c
d.
h.
Integralrechnung.
h. von
x = a
+
ω
bis
x = a
+ 2
ω
. Weil also jetzt der Werth von
x
, wieder um
ω
größer ist, so erhält man für das Integral von
x = a
+
ω
bis
x = a
+ 2
ω
wieder die obige Reihe
ꝛc.
nur daß man jetzt in die Function
v
, und ihre Differenzialquotienten nicht
a
statt
x
, sondern
a
+
ω
statt
x
setzen muß. Ich will unter diesen Umständen den Werth der Reihe mit
Y''
be- zeichnen.
12. Wenn man auf diese Art weiter verfährt, so erhält man ferner ein Theil-Integral
Y'''
von
x = a
+ 2
ω
bis
x = a
+ 3
ω
; ein
Y
IV
von
x = a
+ 3
ω
bis
x = a
+ 4
ω
u. s. w. Endlich ein
Y
N
von
x = a + (n — 1)
ω
bis
x = a + n
ω
=
a + c
, deren Summe
Y' + Y'' + Y''' … + Y
N
denn das ganze Integral
∫
v d x
von
x = a
bis
x = a + n
ω
geben wird.
13. Um das ganze in die Kürze zusammenzu- fassen, so seyen
A
,
A'
,
A'';
… die Werthe von
v
, wenn man der Ordnung nach
a
,
a
+
ω
,
a
+ 2
ω
, u. s. w. statt
x
setzt. Auf eine ähnliche Weise seyen
B
,
B'
,
B''
…;
C
,
C'
,
C''
ꝛc. die
Werthe
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
Werthe der Differenzialquotienten
;
u. s. w., wenn man man die angeführten Werthe statt
x
setzt, so hat man
Y' = A
ω
+
B
ω
2
+
C
ω
3
....
Y'' = A'
ω
+
B'
ω
2
+
C'
ω
3
....
Y''' = A''
ω
+
B''
ω
2
+
C''
ω
3
… u. s. w.
Y
N
= A
N — 1
ω
+
B
N — 1
ω
2
+
C
N — 1
ω
3
…
14. Demnach das Integral
∫
v d x
von
x = a
bis
x = a + n
ω
, nemlich
Y' + Y'' + Y''' .. + Y
N
= A
ω
+ B
ω
2
+ C
ω
3
.... wenn der Kürze halber
A + A' + A'' .. + A
N — 1
= A
B + B' + B'' .. + B
N — 1
= B u. s. w.
gesetzt wird.
15. Je kleiner man nun das Intervall
α
nimmt, und je kleiner die Coefficienten A, B ꝛc. selbst ausfallen, welches denn auf die Beschaffen- heit der Function
v
und ihrer Differenzialquotien- ten ankömmt, mit desto weniger Gliedern jener Reihe A
ω
+ B
ω
2
ꝛc. wird man ausreichen, um
einen
Integralrechnung.
einen angenäherten Werth des gesuchten Integrals zu erhalten.
16. In vielen Fällen, wird es hinreichend seyn, sich mit dem ersten Gliede A
ω
= (
A + A' + A''
…)
ω
zu begnügen, wo denn die einzeln Producte
A
ω
,
A'
ω
;
A''
ω
ꝛc. die Flächenräume einzelner Paral- lelogrammen ausdrücken, deren Höhen, der Ord- nung nach, die Ordinaten
A
,
A'
,
A''
ꝛc. für die Abscissen
a
,
a
+
ω
,
a
+ 2
ω
…; und die Grund- linien das Abscissen-Intervall
ω
, um welches jede Ordinate von der nächsten absteht, seyn würden, woraus denn schon von selbst sich ergiebt, daß wenn
A
,
A'
,
A''
… nicht sehr schnell wachsen, und
ω
klein ist, jene Summe von Parallelogrammen nem- lich A
ω
=
A
ω
+
A'
ω
ꝛc. schon allein das Inte- gral
∫
v d x
von
x = a
bis
x = a + n
ω
ziemlich genau gegeben wird. Wachsen aber die Ordina- ten
A
,
A'
ꝛc. sehr schnell, so wird man auch das zweyte Glied B
ω
2
mit in Rechnung bringen müssen, um einen noch mehr genäherten Werth des Integrals zu erhalten, u. s. w.
17. Einen etwas genauern Werth als in (16.) für das Integral
∫
v d x
von
x = a
bis
x = a + n
ω
zu erhalten, betrachte man die einzelnen Flächenräume zwischen den um das Abscissen-Inter-
vall
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
vall
ω
, von einander öbstehenden Ordinaten
A
,
A'
,
A''
ꝛc. nicht als Parallelogrammen, wie in (16.) sondern als Trapezien. Dies giebt sodann für den Werth des Integrals
∫
v d x
zwischen
v = A;
und
v = A
N
den genauern Ausdruck
ω
+
ω
+ …
ω
Oder
ω
. Wo man denn die Ordinaten
A
,
A' . : . A
N — 1
unmittelbar aus der Function
v
berechnet, wenn man der Ordnung nach, statt
x
setzt
a; a
+
ω
;
a
+ 2
ω
; …
a + (n — 1)
ω
.
18. Dies Verfahren, einen angenäherten Werth für das Integral zu erhalten, ist für die meisten Fälle hinreichend, da hingegen die Anwen- dung der obigen Reihe A
ω
+ B
ω
2
.... beschwer- lich wird, wenn die Differenzialquotienten, aus denen man die Coefficienten B, C ꝛc. ableitet (13), in sehr unbequemen Ausdrücken bestehen würden.
19. Ein anderes Verfahren, angenäherte Werthe von Integralen zu finden, beruht auf In- terpolationsmethoden, unter denen mir folgende die brauchbarste scheint.
20.
Integralrechnung.
20. Man berechne der Ordnung nach, aus der Function
v
, die Ordinaten
A
,
A'
,
A''
.... (17.) und setze
A' — A
=
α
;
A'' — 2 A' + A
=
β
;
A''' — 3 A'' + 3 A' — A
=
γ
;
A
IV
— 6 A''' + 6 A'' — 4 A' + A
=
δ
u. s. w. wo in jedem Werthe wie
β, γ, δ
ꝛc. die Zahlcoefficienten nach dem binomischen Lehrsatze aus der zweyten, dritten, vierten u. f. Potenz eines Binomii genommen werden, so sind
α, β, γ, δ
, ꝛc. die ersten Glieder der ersten, zweyten, dritten u. f. Differenzreihen, welche man aus der Hauptreihe
A
,
A'
,
A''
ꝛc. machen würde. M. s. (
Kästners
Anal. endl. Größen §. 724. ꝛc.).
21. Aus diesen Werthen von
α
,
β
,
γ
,
δ
..; kann auch umgekehrt, wieder jedes Glied,
A'
,
A''
,
A'''
, ꝛc. abgeleitet werden. Z. B.
A' = A
+
α
A'' = A
+ 2
α
+
β
A''' = A
+ 3
α
+ 3
β
+
γ
A
IV
= A
+ 4
α
+ 6
β
+ 4
γ
+
δ
u. s. w.
Wo die Zahlcoefficienten wieder aus dem binomi- schen Lehrsatz genommen werden.
Höh. Anal.
II.
Th.
T
22.
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
22. Gesetzt nun,
v
bedeute die Ordinate, welche der Abscisse
x = a + t
.
ω
zugehöret (17), so würde nach dem eben (21) angeführten Gesetze
γ
ꝛc. seyn, wo
t
,
;
ꝛc. die Coefficienten der Potenz
t
eines Binomii darstel- len. Z. B. für
x = a
+ 4
ω
; also für
t
= 4 ist
v = A
IV
= A
+ 4
α
+ 6
β
+ 4
γ
+
δ
, wie oben.
23. Ist auf diese Art
t
eine ganze Zahl, so giebt die angeführte Reihe (22) unmittelbar jedes Glied der Hauptreihe (20) völlig genau.
24. Ist aber
t
keine ganze Zahl z. B.
t
\< 4 aber \> 3, so daß
t
zwischen 3 und 4 fällt, so giebt die Reihe (22.) Glieder, welche zwischen
A'''
und
A
IV
fallen würden, sogenannte
einge- schaltete
oder
Interpolations-Glieder
, und so in der ganzen Reihe der Ordinaten von
x = a
bis
x = a + t
ω
.
25. Man kann sich also vorstellen, daß die Gleichung zwischen
v
und
t
, welche in obiger Reihe (22.) dargestellt ist, die Werthe von
v
innerhalb den Gränzen
x = a
, und
x = a + t
ω
ausdrücke,
oder
Integralrechnung.
oder vielmehr, wenn man ein solches
v
unmit- telbar
aus einem solchen
x = a + t
ω
durch die Substitution dieses Werthes von
x
in die vorge- gebene Function
v
berechnen würde, das so er- haltene
v
sehr nahe mit dem aus obiger Reihe be- rechnetem
v
übereinkommen würde. In der That wird dies auch desto richtiger zutreffen, je näher man sich die Ordinaten,
A
,
A'
,
A''
… neben einander gedenkt, je kleiner also das Abscisseninter- vall
ω
zwischen jeden nächst auf einander Ordina- ten angenommen wird.
26. Um nun das Integral
∫
v d x
von
x = a
bis
x = b = a + t
ω
zu finden, so ist wegen
x = a + t
ω
überhaupt
d x
=
ω
d t
also
∫
v d x
=
ω
∫
v d t + Const
. diese Constans so genommen, daß das Integral
∫
v d t
für
t = o
verschwindet. Dann wird es den Werth von
∫
v d x
darstellen von
x = a
bis
x = a + t
ω
.
27. Statt
v
nunmehr obige Reihe (22) sub- stituirt, so ist
u. s. w.
T 2
28.
Zweiter Theil. Neuntes Kapitel.
28. Wir wollen hier nur einige dieser Inte- grale entwickeln Erstlich ist
∫
A d t = A t
Wenn man auf eine ähnliche Art erst die Pro- ducte
t (t — 1) (t — 2); t (t — 1) (t — 2) (t — 3)
entwickelt, und dann integrirt; so erhält man für
∫
t (t — 1) (t — 2) d t
den Ausdruck
(
t
4
— 4 t
3
+ 4 t
2
)
Für
∫
t (t — 1) (t — 2) (t — 3) d t
den Werth
(
6 t
5
— 45 t
4
+ 110 t
3
— 90 t
2
) u. s. w.
29.
Integralrechnung.
29. Alle diese einzelnen Integrale verschwin- den selbst für
t = o
, daher auch die dem ganzen Integrale
ω
∫
v d t
(26) hinzuzufügende
Const. = o
ist. Daher hat man schlechtweg
∫
v d x
oder
u. s. w.
30. Will man nun z. B. das Integral
∫
v d x
von
x = a
bis
x = b = a + c
bloß vermittelst dreyer Werthe von
v
finden, so gedenkt man sich das In- tervall
c
bloß in zwey Theile abgetheilt, setzt also
c
= 2
ω
; wo denn
t
= 2 wird; und
ω
= ½
c
.
31. Weil für diesen Fall die Function
v
(22) nur bis zum Gliede, worin der Coefficient
β
vor- kömmt, gehen würde, indem für
t
= 2 schon alle folgenden Glieder wegfallen würden, so wird das Integral
ω
∫
v d t
auch nur bis zum Coefficienten
β
hingeschrieben werden müssen, d. h. es wird für
t
= 2, das Integral
ω
∫
v d t
auch nur seyn
=
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
welches ich mit
T''
bezeichnen will.
32. Auf eine ähnliche Art wird für
t
= 3, also für den Fall, daß das Intervall
c
in 3 Theile getheilt, und der Werth des Integrals
ω
∫
v d t
, vermittelst 4 Ordinaten oder Werthe von
v
be- stimmt werden soll, das Integral
T'''
= ⅛ (24
A
+ 36
α
+ 18
β
+ 3
γ
)
ω
33. Und für
t
= 4 der Werth des Integrals
T
IV
=
\frac{1}{45}
(180
A
+ 360
α
+ 300
β
+ 120
γ
+ 14
δ
)
ω
Wo denn das
ω
in dem Werthe von
T'' = ½ c
, in dem Werthe von
T''' = ⅓ c
, und in dem von
T
IV
= ¼ c
gesetzt werden muß.
34. Setzt man endlich in die für
T''
,
T'''
,
T
IV
gesundenen Ausdrücke, statt
α
,
β
,
γ
,
δ
die obi- gen Werthe (20) so erhält man
T'' = ⅓ (A'' + 4 A' + A) ½ c T''' = ⅜ (A''' + 3 (A'' + A') + A) ⅓ c T
IV
=
\frac{1}{45}
(14 (A
IV
+ A) + 64 (A''' + A') + 24 A'') ¼ c
35. Man könnte auf eben diese Art, auch für
t
= 5,
t
= 6 u. s. w. die Rechnung anstellen. M. s.
Montucla
Hist. de Math. Tom. III. P
. 201. woselbst die Werthe des Integrals bis auf
t
=
Integralrechnung.
t = 6
auf folgende Art angegeben sind, nemlich für
t = 5 T
V
=
\frac{5}{288}
(19(A
v
+A)+75(A
IV
+A')+50(A'''+A''))⅕c
und für
t = 6 t = 6
T
VI
=
\frac{6}{840}
(41 (A
VI
+A) + 216 (A
V
+ A')
+ 27 (A
IV
+ A'') + 272 A'''
⅙ c
In
Cotesii Harmonia mensurarum
am Schlusse der Abhandlung
de methodo diffe- rentiali,
welche einen Theil jenes Werkes aus: macht, sind die Werthe des Integrals bis auf
t = 10
angegeben.
36. Das Gesetz der Zahlcoefficienten in
A
,
A'
,
A''
ꝛc. ist sehr leicht aus der Reihe (27.) selbst zu entwickeln, wenn man in dieselbe statt
α
,
β
,
γ
,
δ
ꝛc. die Ordinaten-Ausdrücke (20.) sogleich selbst substituirt, und dann alles absondert was in
A
, oder in
A'
,
A''
ꝛc. gemeinschaftlich multiplicirt ist. Man nenne für ein gewisses
t
den
Werth des Integrals
∫
d t
=a
‒ ‒ ‒
∫
t d t
= b
‒ ‒ ‒
d t
= c
‒ ‒ ‒
d t
= d
u. s. w.
so
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
so ist, wenn man z. B. die Coefficienten für
t = 4
berechnen wollte
der Coefficient von
A
= a — b + c — d + e
‒ ‒ ‒
A'
=
b — 2 c + 3 d — 4 e
‒ ‒ ‒
A''
=
c — 3 d + 6 e
‒ ‒ ‒
A'''
=
d — 4 e
‒ ‒ ‒
A
IV
=
e
wo die in einerley Buchstaben z. B. e multiplicir- ten Zahlen 1; 4; 6; 4; 1 offenbar wieder Bi- nominalcoefficienten, hier z. B. von der 4ten Po- tenz (wegen
t = 4
) sind; die Coefficienten in d sind (für diesen Werth von
t
) der Ordnung nach 1; 3; 3; 1 die Binominalcoefficienten der dritten Potenz u. s. w.
37. Auch lassen sich noch Abkürzungen aus- mitteln z. B. jedes folgende Integral wie d, aus dem nächst vorhergehenden zu bestimmen u. d. gl. womit ich mich aber hier nicht weiter aufhalten will. Auch ergiebt sich leicht aus der nähern Un- tersuchung, daß je zwey Ordinaten z. B. oben (35)
A
VI
und
A; A
V
und
A'; A
IV
und
A''
ꝛc. welche allemahl von den äußersten gleichweit abstehen, ei- nerlei Zahlcoefficienten erhalten. (So z. B. oben
A
VI
und
A
den Coefficienten
;
A
V
und
A'
den
Integralrechnung.
den Coefficienten
;
A
IV
und
A''
den Coeff.
u. s. w.) wodurch denn die Rechnung auch wieder um die Hälfte abgekürzt wird. Hat man also z. B. in (36.) die Coefficienten von
A
IV
,
A'''
,
A''
berechnet, so ist es überflüssig, auch die von
A'
und
A
zu berechnen, denn für
t = 4
wird z. B. a — b + c — d + e (als Coeff. von
A
) = e (als Coefficient von
A
IV
) indem a — b + c — d =
o
wird, und so in andern Fällen.
38. Es wird nicht überflüssig seyn, das bis- herige mit einem Beyspiele zu erläutern.
Gesetzt, man solle das Integral
von
x = 1
bis
x = 2
finden, so ist (30)
a = 1
und das Intervall
c = 1
.
Wir wollen uns solches in 6 gleiche Theile eingetheilt vorstellen, so ist die Ordinate
v
oder
A
=
= 1 für
x = 1
‒ ‒
A'
‒ ‒ =
\frac{6}{7}
für
x
= 1 + ⅙
‒ ‒
A''
‒ ‒ = ¾ ‒ ‒ = 1 +
\frac{2}{6}
‒ ‒
A'''
‒ ‒ = ⅔ ‒ ‒ = 1 +
\frac{3}{6}
‒ ‒
A
IV
‒ ‒ = ⅗ ‒ ‒ = 1 +
\frac{4}{6}
‒ ‒
A
V
‒ ‒ =
\frac{6}{11}
‒ ‒ = 1 +
\frac{5}{6}
‒ ‒
A
VI
‒ ‒ = ½ ‒ ‒ = 2
Sub-
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
Substituirt man diese Werthe in den Ausdruck für
T
VI
(35.), so findet sich, wegen
ω
= ⅙
c
= ⅙ nach gehöriger Rechnung
T
VI
= o, 693147.. Nun ist aber
=
log nat x;
demnach ist
T
VI
= dem natürlichen Logarithmen von
x = 2
, weil für
x = 1; log nat x = o
ist.
Sucht man in den Tabellen den natürlichen Logarithmen von 2 auf, so stimmt er bis auf 6 Decimalstellen mit dem eben gefundenen Werthe von
T
VI
überein, woraus denn erhellet, daß die angeführte Approximationsmethode für die Aus- übung (1) insbesondere in Fällen, wo gewisse In- tegrale von transcendenten Größen, für welche man noch keine Tafeln hat, abhängen würden, sehr brauchbar ist. So könnte man sich z. B. auch derselben zur Berechnung der Integralloga- rithmen
(§. 145.) bedienen.
§. 203.
1. Die oben angeführte Approximationsme- thode ist nun auch auf Differenzialgleichungen über- haupt anwendbar, wobey man aber annehmen muß, daß das Integral
y =
∫
v d x
, wo jetzt
v
eine
Integralrechnung.
eine Function von beyden veränderlichen Größen
x
und
y
bezeichne, für
x = a
bekannt sey. Heißt es für diesen Werth von
x = Y
, so ist der Werth desselben von
x = a
bis
x = a +
ω
= a +
c
folgender (§. 202. 9.)
u. s. w.
wo in die Functionen
v
,
, statt
x
über- all
a
, und statt
y
überall
Y
gesetzt werden muß.
Der zu
x = a +
ω
gehörige Werth von
y
würde also nunmehr seyn =
Y + Y'.
2. Nun lasse man
x
wieder um
ω
wachsen, so wird der Werth des Integrals von
x = a +
ω
bis zu
x = a + 2
ω
gefunden, nemlich
ꝛc.
wo aber jetzt in die Functionen
v
,
; ꝛc. über- all
a +
ω
statt
x
und
Y + Y'
statt
y
gesetzt wer- den muß.
Dies giebt denn den Werth des Integrals
y = Y + Y' + Y''
für
x = a + 2
ω
.
3.
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
3. Und so kann man dieses Annäherungsver- fahren bis zu
x = a + n
ω
fortsetzen.
Es sey z. B. die Differenzialgleichung
d y = (x
2
+ y
2
) d x
vorgegeben, so hat man
daher
u. s. w.
. Aus diesem Werthe von
Y'
, wird sodann weiter
Y''
ꝛc. abgeleitet. Wenn
ω
klein ist, kann von jeder dieser Reihen für
Y'
,
Y''
ꝛc. nur das erste Glied als Annäherung genommen werden, so wie denn überhaupt auch alle obigen Bemerkungen in gegenwärtigen Falle statt finden.
Ohne Annäherungsmethoden würde der Werth von
y
für
x = a + c
geradezu durch obige Reihe (1.) gegeben seyn, nemlich
∫
v d x
oder
wo in die Functionen
v
,
ꝛc. überall
a
statt
x
und
Y
statt
y
gesetzt werden muß.
Anmer
-
Integralrechnung.
Anmerkung
.
I.
Man kann eine ähnliche Approximations- methode auch anwenden,
um in einer Glei- chung wie
y = F x
wo
F x
jede algebrai- sche oder auch transcendente Function von
x
bedeuten kann, für einen gegebe- nen numerischen Werth von
y
, den zuge- hörigen Werth von
x
zu finden
, wenn man nur
ohngefähr
diesen Werth kennt, wel- ches durch einige Versuche in den meisten Fällen nicht schwer auszumitteln ist.
II.
Man setze der gegebene Werth von
y
sey
= b
und das
x
für welches
y
beynahe
= b
wird, sey
x = a
. Dieser ohngefähre Werth von
y
für
x = a
heiße
b'
, und das
x
für welches
y
genau
= b
wird, sey
= a + c;
so hat man nach dem Taylorischen Lehrsatz
wo in die Differenzialquotienten
; u. s. w. überall
a
statt
x
gesetzt werden muß.
III.
Weil nun
b'
schon ein approximirten Werth von
b
seyn soll, so werden die noch hinzu-
zu-
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
zusetzenden Glieder
u. s w. um völlig ge- nau das
b
zu erhalten, selbst nur geringe seyn, weil zu
x = a
nur noch ein geringes
c
hinzuzu- setzen ist, um das wahre
x = a + c
zu erhalten, für welches
y = b
wird.
IV.
Man lasse daher die in
c
2
,
c
3
ꝛc. mul- tiplicirten Glieder weg, so ist nun beynahe
oder wenn
für
x = a
den Werth
m
erhält
b = b' + c . m;
Mithin
.
V.
Also ist das approximirte
x = a + c
, wel- chen Werth ich mit
a'
bezeichnen will.
VI.
Man hat also nunmehr einen Werth von
x
, nemlich
a'
, für welchen
y
noch genauer
= b
wird, als vorhin da man statt
x
nur
a
setzte.
VII.
Mit diesem gefundenen
a'
kann man nun die obige Rechnung (
IV.
) von neuen anfangen, und so wieder ein
c
bestimmen, welches zu
a'
addirt, ei- nen approximirtern Werth von
x
giebt, und so kann
man
Integralrechnung.
man dieses Verfahren fortsetzen, bis man ein
x
er- hält, für welches
y = b
wird, mit einem so gerin- gen Fehler als man will.
VIII.
Einige Beyspiele werden die Sache am besten erläutern.
Beyspiel
I.
Es sey
y = x — sin x
.
Man verlangt den Werth des Bogens
x
für welchen der Bogen
y = b = 120°
seyn soll. Eine leichte Ueberrechnung wird zeigen, daß wenn man
x = a = 150°
setzt, an dem Werthe von
y
nicht viel gefehlt wird. Es versteht sich, daß hier die Bogen bey der Berechnung, in Decimaltheilen des Halbmessers = 1 ausgedrückt werden müssen, weil
sin x
in solchen Decimaltheilen genommen wird.
Aus hieher gehörigen Tafeln ist nemlich in Decimaltheilen des Halbmessers der
Bogeu
b
= 2,09439.
Ferner
a
= 2,61799
sin
a = 0,50000
= sin 150° = sin 30°
also
a — sin a = 2,11799 = b' =
dem Werthe von
y
für
x = a (III.)
, welcher von dem gegebenen
y
oder
b = 2,09439
nicht viel unterschieden ist.
Man hat nemlich
b — b' = — 0,02360
.
Um
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
Um nun einen genauern Werth von
x
zu er- halten, hat man erstlich
(we- gen
F x = x — sin x) = 2 sin ½ x
2
, welches für
x = a = 150°
, sich in 2
sin ½ a
2
= 2 (sin 75°)
2
= m
verwandelt (
IV.
).
Demnach
Oder
wie man leicht durch Logarithmen findet.
Dieser Bogen
c
in Decimaltheilen des Halb- messers, entspricht einem Bogen von 43′ . 29″ in Gradtheilen. Also würde das verbesserte
x = a + c = 150° — 43′ . 29″ = 149° . 16′ . 31″ = a'
.
Wir wollen hier die Secunden weglassen, und
a'
bloß = 149° . 16′ setzen, um ein noch- mahs verbessertes
x
zu erhalten. Die Weglas- sung jener Secunden hat auf das
Endresultat
keinen Einfluß, denn wir rechnen jetzt so, als wenn wir statt
a = 150°
sogleich richtiger 149° . 16′ genommen hätten.
Man führe also obige Rechnung von neuen, nur mit dem Unterschiede, daß man statt
a
nicht 150° sondern richtiger 149° . 16′ nimmt.
Es
Integralrechnung.
Es ist also jetzt in Decimaltheilen des Halbmessers,
a
= 149° . 16′ = 2,60519
sin a = sin 30°
. 44′ = 0,51104
also
a — sin a = 2,09415 = b'
welches
b'
jetzt von
b = 2,09439
nur um die kleine Differenz
b — b' = 0,00024
unterschieden ist.
Daraus wird denn in Decimaltheilen des Halbmessers das
oder, statt ½
a
jetzt 74° . 38′, oder auch nur schlechtweg 75° gesetzt, der Bogen
c = 0,00013
welches in Gradtheilen 27″ beträgt.
Demnach ist der Werth von
x
für welchen
y = 120°
wird
= a + c = 149° . 16′ . 27″
, und an diesem wird kaum in Decimaltheilen von Se- cunden noch etwas zu verbessern seyn.
Beysp
.
II.
Es sey
y = x + 4 log x
wo der Logarithme
briggisch
genommen werden soll; man verlangt den Werth von
x
für welchen
y = b = 106
werde.
Ein geringer Ueberschlag wird zeigen, daß wenn man
x = 100
setzt, der Aufgabe beynahe
Höh. Anal.
II.
Th.
U
ein
Zweyter Theil. Neuntes Kapitel.
ein Genüge geschieht. Denn wegen
log 100 = 2
würde für
x = 100
, der Werth von
y = 100 + 4 . 2 = 108
.
Wir wollen also
x
oder
a
jetzt = 100 neh- men, so ist das entsprechende
y
oder
b' = 108;
demnach
b — b' = 106 — 108 = — 2
.
Weil nun jetzt
F x = x + 4 log brigg x;
so ist
wenn
M = 0,43429
den Mo- dulus des briggischen Systems (§§. 21. u. 74.) bezeichnet.
Also wird für
x = a = 100
, der Werth von
(
IV.
) oder
also die Verbesserung (
IV.
)
Mithin das verbesserte
x = 100 — 1,965
.. oder
x = 98,03415
.
Mit diesem verbesserten
x
könnte man nun ein weiter verbessertes erhalten. Allein es wird sich zeigen, daß wenn man dieses
x
in die Gleichung
y = x + 4 log x
substituirt, ein
y = 105,99967
her-
Integralrechnung.
herauskömmt, welches von dem gegebenen
y = 106
nur um eine Kleinigkeit unterschieden ist. Daher wir die weitere Rechnung hier weglassen.
Diese und ähnliche Aufgaben, in einer Glei- chung wie
y = F x
, für ein gegebenes
y
den Werth von
x
zu finden, sind in der Integralrechnung von häufiger Anwendung z. B. unten (§. 225. 16. u. an a. O.) daher ich hier das nöthige davon an- führen mußte.
Zehntes Kapitel
. Integration der Differenzialgleichungen vom zweyten Grade.
§. 204.
1. Wenn eine Differenzialgleichung zwischen zwey veränderlichen Größen
x
und
y
so beschaffen ist, daß darinn bloß der erste Differenzialquotient
vorkömmt, so heißt diese Gleichung vom
er- sten Grade
. Mit diesen haben wir uns in den vorhergehenden Kapiteln beschäftigt, nur daß wir
U 2
darinn
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
darinn
immer nur als in der ersten Potenz vorkommend betrachtet haben.
2. Aber wenn die vorgegebene Gleichung auch
Potenzen
von
enthielte, so würde man sie doch immer als nur vom ersten Grade behandeln.
Wäre z. B. die vorgegebene Gleichung fol- gende
d y
2
+ Q d y d x + R d x
2
= o
oder
wo
Q
und
R
Functionen von
x
,
y
bedeuten, so hätte man nur eine quadratische Gleichung aufzu- lösen, nemlich
zu setzen, um nun nach den bereits in den vorher- gehenden Kapiteln vorgetragenen Regeln, die In- tegration bewerkstelligen zu können, wofern solche anders ausführbar ist, sey es durch einen integri- renden Factor, oder durch die andern bereits ange- führten Mittel.
3.
Integralrechnung.
3. Kämen höhere Potenzen von
als die zweyte vor, so vereinigt sich die Schwierigkeit der Integration, noch mit der der Auflösung von Glei- chungen höherer Grade, für welche man außer der cubischen und biquadratischen noch keine allgemeine Vorschriften hat, daher also in den wenigsten Fäl- len die Integration anders als durch den Weg der Reihen zu bewerkstelligen seyn wird.
4. Wenn außer dem Differenzialquotienten
auch die Differenzialquotienten
in einer Differenzialgleichung vorkommen, so wird solche vom
zweyten Grade
genannt. Die In- tegration würde aber oft unendliche Schwierigkei- ten haben, wenn die Differenzialgleichung auch höhere Potenzen von
enthalten sollte. Wir wollen uns begnügen, diese Differenzialquo- tienten nur in ihrer ersten Potenz anzunehmen, in welchem Falle denn eine Differenzialgleichung die- ser Art, nur in folgender Form
enthalten seyn wird, wo
Q
,
R
,
S
,
T
, nach Ge-
fallen
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
fallen Functionen von
x
,
y
, und
, seyn kön- nen, aber nicht selbst die Differenzialquotienten
; enthalten dürfen, weil, wenn z. B.
Q
selbst schon
enthielte, das Produkt
schon eine höhere Potenz von
enthalten könnte, welche Fälle wir ihrer Schwierigkeit we- gen hier bey Seite setzen. Höchstens möchte
nur die zweyte Potenz von
enthal- ten, um nicht durch die Auflösung höherer Glei- chungen in den meisten Fällen an der Integration gehindert zu werden, wie in (3.).
5. Aus dem vorhergehenden (§§. 53. 54. ꝛc:) ist aber nun klar, daß wenn eine solche Differen- zialgleichung wie (4.) eine bestimmte Bedeutung haben soll, in dem Ausdrucke linker Hand des Gleichheitszeichens irgend ein Differenzial als con- stant angesehen werden muß, wodurch die Unbe- stimmtheit der Differenzialquotienten
oder ihrer Relation zu
aufgehoben wird.
6.
Integralrechnung.
6.
Erster Fall
. Man nehme an, daß das Differenzial
d x
constant sey, so ist
d d x = o
also schlechtweg
Setzt man nun
; so wird
welches ich mit
q
bezeichnen will.
Demnach heißt jene Gleichung jetzt
Q q + S p + T = o
und hat also nun eine bestimmte Bedeutung, in- dem
q
vermittelst der Gleichung
durch
p
oder
bestimmt ist. Ohne ein solches Differen- zial constant zu setzen, würden die Functionen
keine bestimmten Relationen gegen ein- ander haben können, wie doch der Fall seyn muß, so bald zwischen
y
und
x
eine gewisse durch eine endliche Gleichung ausgedrückte Relation möglich seyn soll.
7. Eine solche Gleichung wie
Q q + S p + T = o
, welche aus der vorgegebenen Differen-
zial-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
zialgleichung (4) dadurch entspringt, daß man der Kürze halber
und
setzt, und ein gewisses Differenzial constant annimmt, werde ich künftig eine
reducirte Gleichung
nennen, und sie der Kürze halber mit
Z' = o
bezeichnen, wo demnach
Z'
eine Function von
x
,
y
,
p
,
q
bedeu- ten wird, welche sich durch die obigen Substitu- tionen aus der vorgegebenen Differenzialgleichung (4), welche ich mit
Z = o
bezeichnen will, ergiebt.
8.
Zweyter Fall
. Es werde das Diffe- renzial
d y
constant gesetzt. Dann verwandelt sich die Gleichung (4) oder
Z = o
, in
weil jetzt das Glied
, wegen
wegfällt.
Setzt man nun wieder
, so wird, wenn
d y
constant ist, durch Differenziation
=
d p
, also
wegen
d p
Integralrechnung.
d p = q d x
(7.). Demnach
. Dies in die obige Gleichung
Z = o
substituirt, giebt für die reducirte Gleichung
Z' = o
den Ausdruck
die also wieder von einer bestimmten Bedeutung ist.
9.
Dritter Fall
. Es geschieht sehr oft, daß man nach der Beschaffenheit einer Aufgabe, das Differenzial
d s = √ (d y
2
+ d x
2
)
constant setzt, In diesem Falle ist erstlich
=
d x √ (1 + p
2
)
und
; mit- hin durch Differenziation, wobey
d s
constant ge- setzt wird,
Mithin
oder wegen
, und wegen
d d x
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Ferner hat man wegen
weil
d s
constant ist. Mithin
(wegen
) oder
d d y = d s ((1 + p
2
)
— ½
d p — p
2
d p (1 + p
2
)
—
\frac{3}{2}
)
demnach
d. h. wenn man statt
setzt (1 +
p
2
)
½
und
q
statt
(7.)
Werden nun diese Ausdrücke für
und
in die Gleichung
Z = o
(4.) substituirt, so er-
giebt
Integralrechnung.
giebt sich die reducirte Gleichung
Z
' = o oder
+
S p + T
= o.
10.
Vierter Fall
. Wenn überhaupt wel- ches Differenzial
d t
man will, constant gesetzt wird, wo
t
eine beliebige Function von
x
und
y
seyn mag. Man setze
=
u
, so wird weil
t
eine Function von
x
und
y
seyn soll, die durch Differenziation entstehende Größe
u
einer Function von
x
,
y
und
oder
p
, gleich seyn.
11. Ist nun
d t
constant, so hat man wegen
d x = d t
.
=
und wegen
d y = d t
=
d t
.
=
d t
durch Differenziation
d d x = d t . d
= —
d t
.
d d y = d t
.
12. Weil nun
u
durch
x
,
y
und
p
gegeben ist, so wird seyn (10)
d u
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
d u
=
μ
d x + v d y
+
π
d p
wo
μ
,
ν
,
π
auch wieder Functionen von
x
,
y
,
p
seyn werden.
13. Demnach auch
d u
=
d x
= (
μ
+
ν
p
+
π
q
)
d x
Also
= —
(11.) = —
u
. (
μ
+
ν
p
+
π
q
)
= —
Und
=
(
u d p — p d u
) (11) =
=
(
u q — p
(
μ
+
ν
p
+
π
q
)) =
q
—
14.
Integralrechnung.
14. Diese Ausdrücke für
und
in die Gleichung
Z
= o (4. 7) substituirt, geben die reducirte Gleichung
Z
' = o oder
Q q
—
+
S p + T
= o Aus dieser allgemeinen reducirten Gleichung lassen sich auch leicht wieder diejenigen für obige speciel- lere Fälle ableiten, womit ich mich aber hier nicht weiter beschäftigen will.
Die Anwendung dieser Sätze auf die Inte- gration von Differenzialgleichungen des zweyten Grades, wird nun in folgenden Aufgaben und Bey- spielen klar werden.
§. 205.
Aufgabe
.
Wenn die vorgegebene Differenzial- gleichung
Z
= o (§. 204. 4) so beschaffen ist, daß die reducirte Gleichung
Z
' = o keine anderen Größen als
p
und
q
ent- hält, die Integralgleichung zu finden
.
Aufl
. 1. In diesem Falle läßt sich aus der Gleichung
Z
' = o,
q
durch
p
finden, d. h.
q
wird
gleich
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
gleich seyn einer Function von
p
, welche ich durch P bezeichnen will. Weil nun zugleich
q
=
ist; so hat man
= P mithin
d x
=
und durch Integration
x
=
+
A
; Ferner ist
d y = p d x
=
und durch Integration
y
=
+
B
2. Hier sind also die veränderlichen Größen
x
,
y
, durch
p
und die durch die Integration sich ergebenden Constanten
A
,
B
gefunden. Eliminirt man hierauf aus den zwey Gleichungen
x
=
+
A y
=
+
B
die Größe
p
, so hat man die gesuchte
vollstän- dige
Integralgleichung zwischen
x
und
y
, weil diese Gleichung zwey constante Größen
A
und
B
enthalten wird, dergleichen ein jedes Integral ent- halten muß, wenn es als ein vollständiges der
vorge-
Integralrechnung.
vorgegebenen Differenzialgleichung vom zweyten Grade soll angesehen werden können.
Einige Beyspiele
. §. 206.
Beysp
.
I.
1. Es sey die vorgegebene Dif- ferenzialgleichung
Z
= o folgende
a d d y = d y . d x
oder
= o. Man verlangt die In- tegralgleichung, unter der Voraussetzung, daß das Differenzial
d x
constant angenommen werde.
Aufl
. Man vergleiche diese Differenzialglei- chung mit der allgemeinen Form (§. 204. 4.) so hat man
Q = a
;
= o (wegen
d d x
= o);
S = — 1; T
= o. Demnach die reducirte Glei- chung (§. 204.
I.
Fall)
Q q + S p + T
= o
d. h.
a q — p
= o; oder
q
=
; Mithin P (§. 205. 1.) =
und (§. 205. 2.)
x
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
x
=
+
A = a
+
A = a log p + A y
=
+
B = a
∫
d p + B = a p + B
2. Um aus diesen zwey Gleichungen die Größe
p
zu eliminiren, hat man erstlich
p
=
; demnach
x = a log
+
A
welches denn die gesuchte Integralgleichung ist.
3.
Anmerkung
. Eben dies würde auch auf folgende Art gefunden werden können. Es ist aus der vorgegebenen Differenzialgleichung auch
d y
=
, und folglich wenn
d x
constant ist
y
=
+
B
, mithin
d x
=
und durch abermalige Integration
x = a log (y — B) + C.
Setzt man nun diese
Const = A — a log a
, so wird
x = a log
+
A
wie oben.
4.
Beysp
.
II.
Es sey
die
Integralrechnung.
die zu integrirende Gleichung, und
d x
con- stant.
Aufl
. Man bringe diese Gleichung zuerst auf die allgemeine Form (§. 204. 4.) indem man den Nenner wegschafft, und auf beyden Seiten mit
d x
3
dividirt. Dies giebt denn nach einer leichten Uebersicht
Oder
Dies nun mit der allgemeinen Form (§. 204. 4.) verglichen, giebt
Q = a;
=
o
(wegen
d d x
= o)
S = o; T
=
= (1 +
p
2
)
,
wegen
=
p.
Mithin die reducirte Gleichung (§. 204. 6.
I.
Fall)
a q
+ (1 +
p
2
)
=
o
Oder
q
= —
(1 +
p
2
)
.
Höh. Anal.
II.
Th.
X
Folg-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Folglich die Function P (§. 205. 1.)
= —
(1 +
p
2
)
Und
= —
a p
(1 +
p
2
)
—½
+
A
= —
+
A
Und
Aus welchen beyden Gleichungen durch eine leichte Elimination der Größe
p
, die gesuchte Integral- gleichung
(A — x)
2
+ (y — B)
2
= a
2
gefunden wird.
5.
Anmerkung
. Wenn
x
,
y
die recht- winklichten Coordinaten einer Curve bedeuten, so drückt die vorgegebene Formel
(
d x
Integralrechnung.
den Halbmesser der Krümmung aus (§. 99. 6.). Wenn also dieser einer constanten Größe
a
gleich seyn soll, so ist die Gleichung für die Curve die eben gefundene
(A — x)
2
+ (y — B)
2
= a
2
.
Und man sieht, daß sie zu einem Kreise gehört, dessen Halbmesser =
a
, wobey die Abscissenlinie in einem Abstande =
B
vom Durchmesser des Krei- ses, und der Anfangspunct der Abscissen in einem Abstande =
A
vom Mittelpunkte des Kreises, ge- dacht werden muß.
6.
Beysp
.
III.
Es sey die zu integrirende Gleichung folgende
und das Differenzial
d s
=
√
(
d x
2
+ d y
2
) werde constant angenommen.
Aufl
. Wenn diese Gleichung auf die allge- meine Form (§. 204. 4.) gebracht wird, so heißt sie auch
X 2
Dem-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Demnach ist jetzt das dortige
Q = o; R = a; S = o; T
= —
= —
p
2
√
(1 +
p
2
) und daher die reducirte Gleichung (§. 204. 9.)
+
p
2
√
(1 +
p
2
) =
o
woraus sehr leicht
q
= —
folgt.
Also ist jetzt die Function P = —
daher (§. 205. 1.)
dies zu integriren, setze man 1 +
p
2
=
u
2
so ist
p d p = u d u
und
Aber
Daher
Integralrechnung.
Daher
Also
d. h.
Ferner wird
Hieraus dann
oder
,
welches statt
p
2
in den eben gefundenen Werth von
x
substituirt, die gesuchte Integralgleichung zwischen den veränderlichen Größen
x
und
y
geben
wird,
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
wird, welche wir selbst aber hieher zu setzen, nicht nöthig finden.
§. 207.
Zusatz
I.
Wenn eine vorgegebene Differenzialgleichung
Z
= o so beschaffen ist, daß die daraus entstehende reducirte Gleichung
Z
' = o, keine anderen Größen als
x
und
p
enthält, woraus
p
= einer Function von
x
wird, welche ich mit
X
bezeichnen will, so hat man wegen
p = X
sogleich
=
X
oder
d y = X d x
und
y
=
∫
X d x + A
, als gesuchte Integralgleichung, indem das Integral
∫
X d x
nach den Vorschriften (Kap.
I-IV.
§. 107. ꝛc.) ge- funden werden kann.
§. 208.
Zusatz
II.
Eben so, wenn die reducirte Gleichung
Z
' = o, bloß
y
und
p
enthielte, also
p
= einer Function von
y
wäre, welche ich mit
Y
bezeichnen will, so hätte man
=
Y
oder
d x
=
und durch Integration sogleich
x
Integralrechnung.
x
=
+
B
als gesuchte Integralgleichung, wo
ebenfalls nach den Vorschriften (Kap.
I.
ꝛc.) gefunden wird.
§. 209.
Zusatz
III.
Wenn dagegen in der reducirten Gleichung
Z
' = o bloß die Größen
q
und
x
vorkommen, also
q
= einer Function von
x
wäre, welche ich mit
X
bezeichnen will, so hätte man, wegen
q = X
auch
=
X
d. h.
p
=
∫
X d x + A;
Mithin
=
∫
X d x + A;
Folglich durch abermahlige Integration, die gesuchte Integralgleichung
y
=
∫
d x
∫
X d x + A x + B
§. 210.
Zusatz
IV.
Eben so wenn (§. 209.)
q
bloß einer Function von
y
, welche ich mit
Y
bezeichnen will, gleich wäre, so hätte man wegen
q = Y
auch
=
Y
, oder
d x
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
d x
=
Mithin
p d x
=
; Aber
p d x = d y
mithin
d y
=
oder
Y d y = p d p;
Folg- lich auf beyden Seiten integrirt
½
p
2
=
∫
Y d y + A
oder
p
=
√
( 2
∫
Y d y + 2 A
) Mithin
=
√
(2
∫
Y d y + 2 A
)
für die gesuchte Integralgleichung.
Beysp
. Gesetzt es wäre
zu integriren und
d x
constant, so wäre erstlich bey der Vergleichung mit der allgemeinen Form (§. 204. 6.)
Q = 1; S = o; T = — a y
also die reducirte Gleichung (§. 204. 6.)
q — a y
= o d. h.
q = a y
Mithin
Y = a y;
also
∫
Y d y = a
∫
y d y = ½ a y
2
;
Hier-
Integralrechnung.
Hieraus 2
∫
Y d y = a y
2
, und
=
log (2 a y
+ 2
√
a
√
(
a y
2
+ 2 A)) + B
wie man leicht aus (§. 130. 4.) findet, wenn man statt des dortigen
x
den Buchstaben
y
, sodann
a
statt
γ
, und 2
A
statt
α
, und
β
= o setzt.
Es ist überflüssig, auch für die Fälle (Zus.
I. II. III.
) Beyspiele zu geben, da sie leicht sind, und keine weitere Erläuterung bedürfen.
§. 211.
Aufgabe
.
Wenn in der reducirten Gleichung
Z
' = o bloß die Größen
x
,
p
und
q
vor- kommen, aber nicht
y
, die Integralglei- chung zu finden
.
Aufl
.
I.
Auch dieser Fall hat keine Schwie- rigkeit. Denn setzt man in die Gleichung
Z
' = o statt
q
den Werth
, so verwandelt sie sich bloß in eine Differenzialgleichung vom ersten Grade, zwischen
x
und
p.
Ist also diese nach den Re-
geln
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
geln (Kap.
V
u. f.) integrabel, so erhält man eine endliche Gleichung zwischen
p
und
x
, und
p
wird demnach einer Function von
x
gleich seyn, welche ich mit
X
bezeichnen will, und aus der Gleichung zwischen
p
und
x
entwickelt werden kann.
Folglich hat man
p = X + A
(wo
A
die durch die Integration hinzugesetzte Constante be- zeichnet) oder
=
X + A.
Mithin durch aber- malige Integration
y
=
∫
(X + A) d x + B
welches also die gesuchte Integralgleichung ist.
II.
Es könnte geschehen, daß aus der Gleichung zwischen
p
und
x (I.)
die Größe
x
leichter durch
p
, als
p
durch
x
sich ausdrücken ließe. In die- sem Falle sey
x = P + C
also
P
eine Function von
p.
So hätte man demnach
d x = P' d p
wo
P
' aus der Differenziation von
P
sich ergäbe, dann ferner
p d x
oder
d y = P' p d p
und
y
=
∫
P' p d p + B;
woraus demnach
y
durch
p
ge- funden wird. Weil nun auch
x
durch
p
aus der Gleichung
x = P + C
bekannt ist, so läßt sich hieraus durch Elimination der Größe
p
, aus bey- den Gleichungen ebenfalls die gesuchte Integral- gleichung zwischen
x
und
y
finden.
§. 212.
Integralrechnung.
§. 212.
Zusatz
.
Da für den Fall, daß
d x
constant ist, die reducirte Gleichung
Z
' = o die Form (§. 204. 6.)
Q q + S p + T
= o
hat, so erhellet, daß wenn
Q
,
S
,
T
bloß Fun- ctionen von
x
,
p
und
q
sind, die Differenzialglei- chung
Z
= o (§. 204. 4.) allemahl integrabel seyn wird, was auch
R
für eine Function jener Grö- ßen seyn mag, weil für
d x = Const.
, das Glied
aus der Gleichung
Z
= o allemahl weg- fällt. Wird dagegen
d y
constant gesetzt, so heißt die reducirte Gleichung (§. 204. 8.)
—
+
S p + T
= o
und diese ist demnach allemahl integrabel, wenn
R
,
S
,
T
Functionen von
x
,
p
,
q
sind.
Q
kann seyn was es will.
Diese Betrachtungen lassen sich auch auf die Fälle (§. 204. 9 10.) leicht anwenden.
§. 213.
Anmerkung
.
Bey der Aufgabe des 211ten §es wird an- genommen, daß die Differenzialgleichung vom er-
sten
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
sten Grade zwischen
p
und
x
(§. 211.
I.
) integra- bel sey. Es könnte aber seyn, daß sie es nicht wäre, weil im allgemeinen nur wenig Differen- zialgleichungen vom ersten Grade in unserer Ge- walt stehen, und außer den (Kap.
V.
) vorgekom- menen etwas allgemeinern Fällen, wenig andere be- kannt sind, welche eine Integration zuließen. In- dessen erinnere ich hier ein für allemahl, daß man eine Differenzialgleichung von einem höhern Grade als integrirt ansieht, wenn ihre Integration auf diejenige eines niedrigern Grades gebracht ist, die letztere mag nun eine Integration zulassen oder nicht. Im letztern Falle nimmt man denn seine Zuflucht zu Reihen, oder Annäherungsmethoden, so gut man sich helfen kann.
§. 214.
Aufgabe
.
Wenn in der reducirten Gleichung
Z
' = o kein
x
, sondern bloß die Größen
y
,
p
,
q
vorkommen, die Integralglei- chung zu finden
.
Aufl
. 1. Man setze in die Gleichung
Z
' = o überal
statt
q
(denn es ist
q
=
und
p
Integralrechnung.
p
=
; daher
q
=
), so verwandelt sich
Z
' = o bloß in eine Differenzialgleichung vom ersten Grade zwischen
p
und
y
, aus welcher sich durch Integration das Verhalten zwischen
p
und
y
ergiebt, vermittelst dessen
p
durch
y
oder
y
durch
p
gefunden werden kann.
2. Läßt sich
p
am bequemsten durch
y
aus- drücken, so sey
p = Y
, wo
Y
wieder eine Function von
y
bezeichne. Dann hat man also
=
Y
d. h.
d x
=
und
x
=
+
A
als gesuchte Integralgleichung.
3. Ist aber die Gleichung zwischen
p
und
y
von der Beschaffenheit, daß sich
y
bequemer durch
p
ausdrücken läßt, so sey
y = P.
Dann ist durch Differenziation
d y = d P = P' d p
und also
P
' durch
p
gefunden.
4. Dies giebt dann weiter
d y
oder
p d x = P' d p
also
d x
=
und
x
=
+
B
woraus auch
x
durch
p
gefunden ist. Eliminirt
man
Zweiter Theil. Zehntes Kapitel.
man hierauf aus den gefundenen Gleichungen für
y
und
x
, die Größe
p
, so wird dadurch auch die gesuchte Integralgleichung zwischen
x
und
y
er- halten, und diese Gleichung ist vollständig, weil schon die erste Integration, woraus das Verhal- ten zwischen
p
und
y
gefunden wird (1.) eine ge- wisse constante Größe =
A
in sich fasset.
§. 215.
Aufgabe
.
Wenn die reducirte Gleichung
Z
' = o so beschaffen ist, daß alle vier Größen
x
,
y
,
p
,
q
darin vorkommen, die Inte- gration zu bewerkstelligen
.
Aufl
. Dieser Fall, als der allgemeinste, ver- stattet nur wenig Auflösungen, wenn man nicht zu Annäherungsmethoden oder Reihen seine Zuflucht nehmen will.
I.
Der leichteste Fall ist, wenn die reducirte Gleichung
Z
' = o so beschaffen ist, daß durch zwey einfache und bequeme Substitutionen z. B.
y = u x; q = z x;
oder
y
=
;
q
=
oder auch =
z x
oder
Integralrechnung.
oder
p = u y; q = z y
u. d gl. (wo
u, z
ein paar neue veränderliche Größen be- zeichnen), eine von jenen vier Größen
x, y, p, q
aus der Gleichung herausgeht, und sich dadurch
Z' = o
nur in eine Gleichung von drey veränder- lichen Größen z. B.
q, u, z;
oder
x, u, z
und d. gl. verwandelt.
II.
Da indessen auch die Entwickelung aller einzeln Fälle und Combinationen, welche hier statt finden können, schon zu umständlich seyn würde, so mag es hier hinreichen, nur durch ein paar der- selben den Weg zu zeigen, wie mit den gehörigen Veränderungen auch in andern Fällen zu verfah- ren seyn möchte. Gesetzt also:
III.
Erster Fall
. 1. Durch die Substitu- tion
y = u x;
entfernte sich
x
aus der Glei- chung
Z' = o
, so wird sich solche bloß in eine Gleichung zwischen
p, u
, und
z
verwandeln, aus welcher jede von diesen 3 Größen durch die beyden übrigen bestimmt ist.
2. Nun folgt aber aus den Gleichungen
d y = p d x; d p = q d x
und
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
und
y = u x;
erstlich
d y = u d x + x d u = p d x
oder
x d u = (p — u) d x
Mithin
Ferner
d. h.
.
3. Also
(2.) oder
z d u — p d p + u d p = o.
4. Da nun aus der Gleichung
Z' = o
zwi- schen
p, u, z
(1.) die Größe
z
durch
p
und
u
be- stimmt ist, so wird die Gleichung (3.) bloß zu ei- ner Differenzialgleichung vom ersten Grade zwi- schen
p, u
, durch deren Integration (falls sie in unserer Gewalt steht)
p
durch
u
oder auch
u
durch
p
gefunden wird.
5. Hieraus findet sich dann aus der Gleichung
(2.) durch abermahlige Integration auch
x
durch
u
oder
p
, und endlich aus der Glei- chung
d y = p d x
auch
y
durch
u
oder
p
, wor-
aus
Integralrechnung.
aus denn durch Elimination auch endlich die ge- suchte Integralgleichung zwischen
x
und
y
abge- leitet werden kann.
IV.
Zweyter Fall
. Durch die Substitu- tion
p = u y;
und
q = z y
entferne sich die Größe
y
aus der reducirten Gleichung
Z' = o.
1. Dann wird also
Z' = o
bloß eine Glei- chung zwischen
x, z, u
seyn, aus der jede Größe durch die beyden übrigen bestimmt seyn wird.
2. Jetzt folgt aber aus den Gleichungen
d y = p d x; d p = q d x
und
p = u y; q = z y
erstlich
d y = u y d x
, und
d p = z y d x
d. h.
u d y + y d u = z y d x
oder statt
d y
den Werth
u y d x
gesetzt
u
2
d x + du — z d x = o.
3. Weil nun aus der Gleichung
Z' = o
die Größe
z
durch
x
und
u
bekannt ist (1), so ist
u
2
d x + d u — z d x = o
bloß eine Differenzialgleichung vom ersten Grade zwischen
u
und
x
, woraus
u
durch
x
oder
x
durch
u
bestimmt werden kann.
Höh. Anal.
II.
Th.
Y
4.
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
4. Ist nun
x
durch
u
oder
u
durch
x
gefunden, so hat man aus der Gleichung
auch
y
durch
u
oder
x
, woraus sich denn durch Elimination auch die Gleichung zwischen
y
und
x
ableitet.
V.
Dritter Fall
. Wenn die reducirte Gleichung
Z' = o
so beschaffen ist, daß
p, q
, und
y
nur in der ersten Potenz darin vorkommen, oder doch die Exponenten von
p, q, y
in jedent Gliede einerley Summe ausmachen, ohngefähr wie in einer gleichartigen Gleichung zwischen
p, q, y
, so setze man
, wo
e
die Basis der natürlichen Logarithmen, und
u
eine beliebige andere veränderliche Größe bezeichne. Dann hat man
; d. h.
oder
und
oder
, und man wird finden, daß durch diese Substitution aus
Z' = o
bloß eine Differenzialgleichung vom ersten Grade zwischen
u
und
x
zum Vorschein kommen wird, woraus
u
durch
x
, oder
x
durch
u
bestimmt wird, falls diese Differenzialgleichung in unserer Ge- walt steht. Ist auf diese Art
u
durch
x
oder
x
durch
u
gefunden, so ist alsdann auch
, durch
x
Integralrechnung.
x
oder
u
bekannt, woraus denn die gesuchte Glei- chung zwischen
y
und
x
erhalten wird.
VI.
Vierter Fall
. 1. So läßt sich auch unterweilen vortheilhaft die Substitution
gebrauchen, um
x
aus der Gleichung
Z' = o
wegzuschaffen, und eine Gleichung zwischen
u
und
y
zu erhalten, woraus
y
durch
u
, oder
u
durch
y
, mithin auch
durch
u
oder
y
gefunden werden kann.
2. Denn man erhält
Mithin
oder
Folglich
oder
d. h. statt
d x
seinen Werth gesetzt
Y 2
3.
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
3. Ist also die Gleichung
Z' = o
so beschaf- fen, daß wenn man statt
x, p, q
die angegebe- nen Ausdrücke substituirt, die Exponentialgrößen daraus wegfallen, so erhält man bloß eine Diffe- renzialgleichung vom ersten Grade (frey von einem involutorischen Integrale, dergleichen
seyn würde), woraus
u
durch
y
oder
y
durch
u
bestimmt werden kann u. s. w.
VII.
Fünfter Fall
. Ist in der Gleichung
Z' = o
, die Größe
y
bloß in der ersten Potenz vorhanden, so ist die Substitution
y = z u
brauch- bar, wo
z, u
, ein paar neue von einander unab- hängige veränderliche Größen bedeuten. Denn da- durch ist
d y = z d u + u d z;
und folglich
p
oder
Ferner
Da nun
z
und
u
von einander unabhängig sind,
so
Integralrechnung.
so kann man irgend eine Relation für sie annehmen, wodurch die Gleichung
Z' = o
, nachdem statt
y, p, q
die gefundenen Ausdrücke substituirt worden sind, in zwey einzelne Gleichungen zerfällt wird, die sich besser, als die durch
y
und
x
ausgedrückte, be- handeln lassen.
VIII.
Dies sind ohngefähr die vorzüglichsten Kunstgriffe, vermittelst deren man es versuchen kann, eine vorgegebene Differenzialgleichung vom zweyten Grade zu integriren. In besondern Fäl- len bieten sich zwar, wenn man darüber nachden- ken will, auch wohl noch andere Kunstgriffe und Substitutionen dar, aber diese sind denn oft auch nur auf diese Fälle beschränkt, und daher zu spe- ciell, um in einem Lehrbegriffe der Integralrech- nung aufgenommen werden zu können. Wenn gleich die bisher vorgetragenen sich auch nur auf spe- eielle Fälle beziehen, so haben sie doch einigen Cha- racter der Allgemeinheit, und was sich durch sie nicht bewerkstelligen läßt, wird selten auf einem andern Wege glücken. Ich will nun das bishe- rige durch einige Beyspiele erläutern.
§. 216.
Beyspiele
.
Beysp. für Fall
I.
(§. 215.).
Es
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Es sey
n x
3
d d y = (y d x — x d y)
2
d. h.
zu integriren, und das Differenzial
d x
constant angenommen.
Es ist also die reducirte Gleichung (§. 204. 7.)
n x
3
q = (y — p x)
2
Aus der Beschaffenheit derselben erhellet nun sogleich, daß wenn man
y = u x
und
setzt, auf beyden Seiten des Gleichheitszeichens das
x
2
als gemeinschaftlicher Factor erscheint, und daher durch Division aus der Gleichung herausgeht, wodurch schlechtweg
n z = (u — p)
2
= (p — u)
2
, also
erhalten wird.
Dies statt
z
in die Gleichung (§. 215. Fall
I.
3.) substituirt giebt.
oder
d. h.
n d p = (p — u) d u
Nun
Integralrechnung.
Nun setze man
p — u = t
, so verwandelt sich die eben gefundene Differenzialgleichung in
n d u + n d t = t d u
woraus
; also durch Integration
u = n log (t — n) + Const.
folgt.
Nun kann man diese
Const.
selbst logarith- misch nehmen, also z. B. =
n log
α
setzen; dies giebt denn
u = n log
(
α
(
t — n
))
Hieraus ergiebt sich denn ferner (Fall
I.
2.)
oder
also
log x = log (t — n) — log t + log
β
wo
log
β
die hinzuzusetzende Constante bezeichnet. Mithin
Oder
.
Hier-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Hieraus wird denn
und
; Mithin
und
u x
oder
als gesuchte Integralgleichung.
Beysp. für Fall
II.
(§. 215.). Es sey
d x
constant und die Gleichung
d. h.
zu integriren. Also ist die reducirte Gleichung (§. 204. 7.)
Aus welcher sich sogleich von selbst ergiebt, daß wenn man
p = u y; q = z y
setzt, in jedem Gliede
y
2
vorkommen, und daher durch Division, aus der Gleichung weggehen würde.
Man
Integralrechnung.
Man erhält auf diese Art schlechtweg
Also
welches statt
z
in die Gleichung (Fall
II.
2.) sub- stituirt, geben wird
d. h.
also durch Integration
oder
Demnach
d. h.
Mithin
und
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
und integrirt
wenn der Kürze halber
gesetzt worden ist.
Dies giebt wegen
wo
D
eine zweyte Constante bezeichnet, statt deren auch
log D
gesetzt werden kann, wodurch man denn die Gleichung
als gesuchtes Integral erhält.
Beysp. für Fall
III.
§. 215.).
1. Es sey die Gleichung
d d y + A d x d y + B y d x
2
= o
oder
zu integriren, wobey
d x
constant angenommen wird. Die reducirte Gleichung ist also (§. 204. 7.)
q + A p + B y = o
wor-
Integralrechnung.
worinn
q, p, y
überall nur in der ersten Potenz vorkommen.
2. Setzt man nun
(Fall
III.
) so wird wegen
;
und
aus allen Gliedern der Gleichung (1.) die Expo- nentialgröße
durch Division weggehen, und man erhält
Oder
Nun ist ferner aus
d. h.
3. Integrirt man diese zwey Gleichungen, so hat man
x
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
wo die Integrale rechter Hand des Gleichheitszei- chens nach (§. 109. 10. u. §. 110) gefunden wer- den können; Ist hierauf
x
durch
u
, und
y
durch
u
gefunden, so ergiebt sich durch Elimination der Größe
u
, auch die Gleichung zwischen
y
und
x
, welches aber hier zu weitläuftig seyn würde, aus- zuführen.
Da die reducirte Gleichung
q + A p + B y = o
kein
x
enthält, so hätte sie auch nach der Aufgabe (§. 214.) behandelt werden können.
Beysp. für Fall
IV.
(§. 215.).
1. Es sey
und
d x
constant. Also die reducirte Gleichung
Setzt man nun
x
Integralrechnung.
so wird jedes Glied dieser Gleichung die Exponen- tialgröße
als Factor bekommen, welcher denn durch Division aus der Gleichung weggeht, wodurch schlechtweg nach Fall
IV.
2. erhalten wird
d. h.
u d u + 2 u d y + y d y = o.
2. Da dies eine gleichartige Gleichung ist, so setze man
y = w u
(§. 179.) und man erhält
d u + 2 d y + w d y = o
oder
d u + (w + 2) d y = o
d. h. statt
d y
den Werth
w d u + u d w
gesetzt
((w + 2) w + 1) d u + (w + 2) u d w = o
oder
(w + 1)
2
d u + (w + 2) u d w = o
d. h.
oder
w
+ 1 + 1 statt
w
+ 2 gesetzt
Mit-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Mithin
wo
C
die Constante bezeichnet, welche durch die Integration hinzukömmt.
3. Setzt man in diese Gleichung
, so ist auch
Oder auch
Nun ist ferner aus
d. h.
oder statt
den obigen Werth gesetzt
Also
Integralrechnung.
Also
Mithin
und
Also die gesuchte Integralgleichung
oder
Beysp. für Fall
V.
1. Es sey
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= X d x
2
P, Q, X
Functionen von
x
, und
d x
constant. Die reducirte Gleichung ist nunmehr
q + P p + Q y — X = o.
2. Setzt man nun
y = z u
, also statt
p, q
, die Ausdrücke (Fall
V.
§. 215.), so nimmt diese Gleichung folgende Form an
z d d u
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
3. Weil nun
z
und
u
von einander unab- hängig sind, so ist es verstattet, die eben gefun- dene Gleichung in zwey andere zu zertheilen. Man nehme die Glieder worinn
z
als Factor vorkömmt, und setze sie zusammen =
o
, so ergiebt sich, wenn man zugleich mit
z
dividirt
wodurch denn zugleich die zweyte Gleichung
erhalten wird.
4. Ist nun die Gleichung (☉), welche in Vergleich der vorgegebenen (1.) immer als einfa- cher zu betrachten ist, auflösbar, so daß
u
durch
x
bestimmt werden kann, so läßt sich nun vermittelst der Gleichung (☽) auch
z
durch
x
und folglich auch
y = z u
durch
x
bestimmen.
5.
Integralrechnung.
5. Denn die Gleichung (☽), welche auch durch
u d d z + 2 d z d u + P u d z d x = X d x
2
ausgedrückt werden kann, verwandelt sich, wenn man der Kürze halber
d z = s d x
setzt, in eine Differenzialgleichung vom ersten Grade, nemlich
u d s + 2 s d u + P u s d x = X d x
Oder
6. Vergleicht man diese Gleichung mit der (§. 174.), so hat man, weil
u
eine Function von
x
ist (4.) mithin auch
und
Fun- ctionen von
x
sind, die dortigen
y; X;
X (§. 174.) hier
Mithin das dortige
hier
, weil wenn man
nennt;
log (u
2
) = log t
oder
u
2
= t = e
log (u 2)
ist.
Höh. Anal.
II.
Th.
Z
7.
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
7. Substituirt man nun die übrigen Werthe (6.) in die Integralgleichung (§. 174. 2), so er- hält man für die Integralgleichung (5.) folgende
d. h. wenn man die Function
der Kürze hal- ber mit
T
bezeichnet
woraus
∫
s d x
oder (5.)
folgt, wenn
B
eine zweyte Constante bezeichnet.
8. Mithin ist
u z
oder (2.)
als Function von
x
gefunden, weil
u
als durch
x
gegeben angesehen wird (4.).
9. Es kömmt also alles auf die Gleichung (☉) d. h. wenn man
setzt, auf eine reducirte Gleichung von der Form
q' + P p' + Q u = o
an,
Integralrechnung.
an, um die Function
u
(4.) zu finden, und damit die Gleichung (1.) integriren zu können, d. h. in (8.) das Verhalten zwischen
y
und
x
zu finden.
10. Die Gleichung (9.) läßt sich aber auf eine vom ersten Grade bringen, wenn man
u = e
∫
w d x
setzt, wo
w
eine neue veränderliche Größe bezeich- net. Denn man erhält
d. h. statt
u
,
p'
,
q'
diese Ausdrücke substituirt und durchaus mit
e
∫
w d x
dividirt
d. h.
d w + w
2
d x + P w d x + Q d x = o
Ist aus dieser Differenzialgleichung vom ersten Grade
w
durch
x
gefunden, so hat man durch Integration auch
u = e
∫
w d x
, wo man das Inte- gral
∫
w d x
bloß ohne zugesetzte Constante braucht. Denn es ist hinlänglich wenn
u
nur als ein par- ticuläres Integral d. h. als eine Function von
x
ohne Hinzusetzung einer Constante genommen wird,
Z 2
um
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
um dennoch die vollständige Integralgleichung zwi- schen
y
und
x
in (8.) zu erhalten, indem die da- zu erforderlichen zwey Constanten sich schon in die- ser Gleichung (8.) selbst befinden.
11. In allen Fällen in welchen also die Gleichung
d w + w
2
d x + P w d x + Q d x = o
integrabel ist, wird auch die Differenzialgleichung vom zweyten Grade
d d y + P d x d y + Q y d x
2
— X d x
2
= o
(1) integrabel seyn, die demnach auf jene vom ersten Grade, durch die angeführten Substitutionen re- ducirt ist, und so als aufgelößt betrachtet wird (§. 213.).
Zusatz
.
12. Ist in der Gleichung
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= X d x
2
X = o
, so hat man bloß die Gleichung
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= o
Aber diese Gleichung ist jetzt keine andere als die obige (☉) (3.) welche mit
d x
2
multiplicirt sich in
d d u + P d x d u + Q u d x
2
= o
ver-
Integralrechnung.
verwandelt, und so der Form nach völlig mit
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= o
übereinkömmt, nur daß
u
statt
y
steht. Man braucht also in diesem Falle nicht erst die Function
u
zu suchen, um
y
nach (8.) durch
x
zu finden, sondern setzt jetzt sogleich
y = e
∫
w d x
, und inte- grirt die Gleichung (10.)
d w + w
2
d x + P w d x + Q d x = o
so wird
w
durch
x
, mithin auch
y = e
∫
w d x
durch
x
gefunden seyn.
13. Setzt man auch
P = o
, so hat man bloß die Gleichung
d d y + Q y d x
2
= o
deren Integral also auf dasjenige der Gleichung
d w + w
2
d x + Q d x = o
ankömmt, welche wenn z. B.
Q = a x
m
wäre, in diesem Falle mit der obigen
Riccatischen
(§. 184.) übereinstimmen würde.
§. 217.
Da die Integration einer Gleichung von der Form
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= o
worin
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
worin
P
und
Q
Functionen von
x
sind, so häufig vorkömmt, und auch die Integration der obigen etwas allgemeinern (§. 216. Fall
V.
) von ihr ab- hängig ist, so hat man sich vorzüglich mit ihr be- schäftigt, und unter andern auch Differenzialglei- chungen gesucht, welche dieselbe Form als die an- geführte haben, und von der Beschaffenheit sind, daß wenn ihre Integrale gefunden werden können, dadurch auch diejenigen der vorgegebenen Gleichung bekannt werden. Es ist hier hinlänglich, die Sache nur durch eine Aufgabe dieser Art zu erläutern.
§. 218.
Aufgabe
.
Eine Gleichung von der
(§. 217.)
an- gegebenen Form in eine ähnliche zu ver- wandeln
.
Aufl
. 1. Man setze
y = z e
∫
N d x
, wo
z
, und
N
ein paar andere veränderliche Größen be- zeichnen, so erhält man, wenn
d x
constant ist,
d y = (d z + N z d x) e
∫
N d x
d d y = (d d z + N d x d z + z d N d x) e
∫
N d x
+ (d z + N z d x) N d x e
∫
N d x
2.
Integralrechnung.
2. Diese Werthe von
y
,
d y
, und
d d y
, in die Gleichung (§. 217.)
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= o
substituirt, geben, wenn man der Kürze halber
2 N + P = L
+
N
2
+ N P + Q = M
setzt, die transformirte Gleichung
d d z + L d x d z + M z d x
2
= o
welche nur in den Buchstaben von der vorgegebe- nen unterschieden, und ihr also ganz ähnlich ist. Man kann hiebey statt
N
eine beliebige Function von
x
annehmen.
3. Eine andere brauchbare Substitution ist, wenn man
setzt.
Wird der Kürze halber
genannt, so ist
log y = —
∫
U d x
, demnach
y = e
—
∫
U d x
Also
d y = — U d x . e
—
∫
U d x
und da
d x
constant ist
d d y = (U
2
d x
2
— d U d x) e
—
∫
U d x
Diese
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Diese Werthe in die Gleichung
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= o
substituirt, geben
(☽)
Nun ist
.
4. Setzt man demnach statt
U
und
ihre Werthe in die Gleichung (☽) (3.), so wird
d d z —
d x d z + Q z d x
2
= o
eine Gleichung welche auch wieder, der Form nach, mit der vorgegebenen übereinstimmt.
5. Sind nun solche transformirte Gleichun- gen integrabel, so daß
z
durch
x
gefunden werden kann, so ist dadurch auch vermöge der Gleichungen
y = z e
∫
N d x
in (1.)
oder
log y
= —
∫
in (3.) das Integral der Gleichung
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= o
bekannt.
6.
Integralrechnung.
6. Und umgekehrt, ist diese Gleichung (5.) integrabel, so lassen sich daraus auch durch Trans- formation wieder unzählige andere integrable Glei- chungen (2. 4.) ableiten. Indessen ist der daraus für die Integralrechnung entstehende Vortheil bisher von keinem besonderen Belange gewesen. Daher ich es für überflüssig halte, die Sache noch durch Bey- spiele zu erläutern, die sich jeder leicht selbst ma- chen kann. M. s.
Euleri
inst. Calc. Integr. §. 993. sq.
§. 219.
I.
Etwas bedeutender ist der Vortheil, wel- chen
Particulärintegrale
(§. 187.) in man- chen Fällen zur Auffindung der vollständigen In- tegrale darbieten. Es sey z. B. wieder
d d y + P d x d y + Q y d x
2
= o
(☉)
und
y = T; y = V
zwey particuläre Integrale oder auch nur besondere Auflösungen (§. 187. 8.) welche der Gleichung (☉) ein Genüge leisten, so wird auch, wenn
α, β,
ein paar constante Grö- ßen bezeichnen, das Integral
y
=
α
T
+
β
V
der Gleichung (☉) ein Genüge leisten, und dies letztere wird ein vollständiges Integral seyn, weil es für die vorgegebene Differenzialgleichung vom zwey- ten Grade, wie sichs gehört, zwey constante Grö-
ßen
Zweiter Theil. Zehntes Kapitel.
ßen enthält, vorausgesetzt, daß
β
V
nicht etwa ein Multiplum von
α
T
ist z. B. =
n
α
T
, in welchem Falle
y
= (
α
+
n
α
)
T
= (1 +
n
)
α
T
seyn würde, wo (1 +
n
)
α
wieder nur als
eine
Constante, also
y
= (1 +
n
)
α
T
auch nur als ein particuläres Integral zu betrachten wäre.
II.
Denn leisten
y = T
und
y = V
der Glei- chung (☉) ein Genüge, so wird seyn
d d T + P d x d T + Q T d x
2
= o
und
d d V + P d x d V + Q V d x
2
= o
III.
Ist nun in (☉)
y
=
α
T
+
β
V
, so hat man ebenfalls
α
(d d T + P d x d T + Q T d x
2
)
+
β
(d d V + P d x d V + Q V d x
2
)
= o
weil die in den Klammern eingeschlossenen Aus- drücke
(II.) = o
sind. Daher ist also auch
y
=
α
T
+
β
V
ein Integral, und zwar ein vollstän- diges, wenn
T
,
V
nicht gegenseitige Multipla von einander sind d. h.
einer constanten Größe gleich ist.
IV.
Beysp
.
I.
1. Oben (§. 216. Fall
III.
) fanden wir für die Differenzialgleichung
d d y + A d x d y + B y d x
2
= o
durch
Integralrechnung.
durch die Substitution
y = e
∫
u d x
, die Glei- chung
d u + (u
2
+ A u + B) d x = o
Dieser geschieht nun offenbar ein Genüge, wenn
u
2
+ A u + B = o
gesetzt wird. Denn da- durch wird
u = — ½ A = √ (¼ A
2
— B)
eine constante Größe, also auch
d u = o
, mithin der ganze Ausdruck linker Hand des Gleichheitszeichens der angeführten Gleichung =
o
.
2. Man setze
— ½
A
+
√
(¼
A
2
— B) = m
— ½
A
— √ (¼
A
2
— B) = n
so ist demnach
y = e
∫
m d x
ein particuläres Inte- gral, und so auch
y = e
∫
n d x
, folglich
y
=
α
e
∫
m d x
+
β
e
∫
n d x
d. h.
y
=
α
e
m x
+
β
e
n x
das vollständige Integral der vorgegebenen Diffe- renzialgleichung, welches man weniger leicht und einfach durch die Integrationsmethode (§. 215. Fall
III.
) würde entwickelt haben.
3. Substituirt man statt
m
,
n
die ange- gebenen Werthe, und setzt der Kürze halber √ (¼
A
2
— B) = k
, so wird auch
y
= (
α
e
k x
+
β
e
— k x
)
e
— ½ A x
4.
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
4. Für den Fall, daß
B \> ¼ A
2
; also
k
eine imaginäre Größe seyn würde, welche ich =
μ √
— 1 setzen will, wird
y
= (
α
e
μ
x
√
— 1
+
β
e
—
μ
x
√
— 1
)
e
— ½ A x
5. Da es willkührlich ist, welche Form man den constanten Größen
α, β
geben will, so setze man in die letztere Gleichung
so daß
δ, γ
zwey andere Constanten bezeichnen, und man erhält nach gehöriger Substitution und mit der Bemerkung, daß
und
=
sin
μ
x
ist (§. 48.
V.
)
y
= (
γ
cos
μ
x
+
δ
sin
μ
x
)
e
— ½ A x.
6. Für den Fall, daß
√
(¼
A
2
— B) = o
also
B = ¼ A
2
seyn würde, wird
k = o
, mithin
y
Integralrechnung.
y
= (
α
+
β
)
e
— ½ A x
bloß ein particuläres Integral, weil
α
+
β
bloß als
eine
Constante zu betrachten ist, und jedes vollständige Integral einer Differenzialgleichung vom zweyten Grade zwey Constanten enthalten muß (§. 205.
II.
).
7. Die Integralgleichung muß für diesen Fall besonders gesucht werden. Man setze in die Glei- chung (1.)
B = ¼ A
2
, so hat man
d u + (u
2
+ A u + ¼ A
2
) d x = o
d. h.
d u + (u + ½ A)
2
d x = o
oder
d x
= —
oder integrirt
x
=
+
C
also
u
=
— ½
A
und
e
∫
u d x
oder
y
=
oder
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
oder auch
y
=
weil
, in welcher Gleichung al- so
C
,
D
die zwey Constanten sind, welche sich in dem Integrale befinden müssen, wenn es vollstän- dig seyn soll.
8. Will man das
√
(¼
A
2
—
B
) =
o
als eine unendlich kleine Größe betrachten, so könnte man in (5.)
cos
μ
x
= 1, und
sin
μ
x
=
μ
x
setzen, wodurch für den Fall, daß ¼
A
2
= B
wäre,
y
= (
γ
+
δ μ
x
)
e
— ½ A x
oder, statt
δ μ
wieder eine Constante
ε
gesetzt,
y
= (
γ
+
ε
x
)
e
— ½ A x
würde, welche Gleichung denn der Form nach mit der vorhin gesundenen
y
=
über-
Integralrechnung.
übereinkömmt, wenn man
=
ε
und —
=
γ
setzt.
9. Man sieht hieraus, daß wenn
μ
oder
√
(¼
A
2
— B) = o
ist, man in dem Integrale (8.) das
δ
nur als eine unendlich große Größe be- trachten darf, wodurch denn das
δ μ
zu einer end- lichen Constante
ε
erwächst, und das Integral also auch für den Fall, daß
B = ¼ A
2
ist, seinen ge- hörig vollständigen Ausdruck erhält.
Wem indessen diese Art der Darstellung nicht gefällt, der wähle die directe Integrationsmethode (7.).
V.
Beyspiel
II.
Es sey
zu integriren,
d x
als constant betrachtet.
1. Man setze
y = x
μ
, so wird nach gehö- riger Differenziation und Substitution in die an- geführte Gleichung, herauskommen
μ
(
μ
— 1) +
μ
A + B = o
oder
μ
2
+
μ
(
A — 1) + B = o
wor-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
woraus
μ
= — ½ (
A
— 1) +
√
(¼ (
A
— 1)
2
—
B
)
oder auch
μ
= — ½ (
A
— 1) —
√
(¼ (
A
— 1)
2
—
B
)
folgt. Man nenne
√
(¼ (
A
— 1)
2
—
B
) =
k
so sind
y = x
— ½ (A — 1) + k
und
y = x
— ½ (A — 1) — k
die Particulärintegrale, mithin
y
=
α
x
— ½ (A — 1) + k
+
β
x
— ½ (A — 1) — k
oder
y
= (
α
x
k
+
β
x
— k
)
x
— ½ (A — 1)
das vollständige Integral der vorgegebenen Diffe- renzialgleichung.
Für
A = — 1; B = + 1
, wird √ (¼ (
A
— 1)
2
) =
B
) also
k = o
; für diesen Fall hat man die obige Dif- ferenzialgleichung (§. 216. Fall
IV
)
für
Integralrechnung.
für welche daselbst die Integralgleichung direct ge- funden worden ist.
2. Nach dem Verfahren des gegenwärtigen Beyspiels würde für
k = o
, wieder nur ein Par- ticulärintegral für
y
herauszukommen scheinen, wel- ches jedoch, durch Kunstgriffe wie im vorigen Bey- spiele, auch in das vollständige würde verwandelt werden können, womit ich mich aber hier nicht aufhalten will.
VI.
Beyspiel
III.
1. Die Gleichung
d d y + A x
m
y
n
d x d y + B x
μ
y
ν
d x
2
= o
zu integriren,
d x
constant angenommen.
Man setze
y = x
ρ
, so wird nach gehöriger Differenziation und Substitution
ρ
(
ρ
— 1)
x
ρ
— 2
+
ρ
A x
m + n
ρ
+
ρ
— 1
+
B x
μ
+
ν ρ
=
o
2. Man wähle die Exponenten
m
,
n
,
μ, ν
so, daß
ρ
— 2 =
m + n
ρ
+
ρ
— 1 =
μ
+
ν ρ
ist, so hat man:
3. die Gleichung
ρ
(
ρ
— 1) +
ρ
A + B = o
Höh. Anal.
II.
Th.
A a
wo-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
wodurch
ρ
= — ½ (
A
— 1) +
√
(¼ (
A
— 1)
2
—
B
)
oder
ρ
= — ½ (
A
— 1) — √ (¼ (
A
— 1)
2
—
B
)
wird, also wie Beyspiel (
II.
) die vollständige In- tegralgleichung
y
= (
α
x
k
+
β
x
— k
)
x
— ½ (
A
— 1)
4. Sobald also die obigen Gleichungen (2.) zwischen den Exponenten statt finden, d. h. wenn man
ρ
aus ihnen eliminirt
ist, so ist die vorgegebene Differenzialgleichung auch integrirbar.
5. Hätte man die Gleichung
d d y + A x
m
y
n
d x d y + B x
μ
y
ν
d x
2
+
C x
τ
d x
2
=
o
so würde man durch die Substitution
y = x
ρ
, erhalten
ρ
(
ρ
— 1)
x
ρ
— 2
+
A
ρ
x
m + n
ρ
+
ρ
— 1
+
B x
μ
+
ν ρ
+
C x
τ
=
o
.
Hier wiederum alle Exponenten gleich gesetzt, also
ρ
Integralrechnung.
ρ
— 2 =
m + n
ρ
+
ρ
— 1 =
μ
+
ν ρ
=
τ
, so wird schlechtweg
ρ
2
+ (
A
— 1)
ρ
+
B + C = o
aus welcher Gleichung
ρ
bestimmt werden kann, woraus denn wieder die beyden Particulärintegrale
y
, und daraus das vollständige, wie in obigen Beyspielen sich ergeben.
Eliminirt man aus diesen Gleichungen für die Exponenten, die Größe
ρ
, so wird das Verhalten der übrigen durch die Gleichungen
und
bestimmt seyn, in welchen man immer drey Expo- nenten nach Gefallen annehmen, und daraus die übrigen zwey bestimmen kann, welches denn eine Menge integrabler Differenzialgleichungen giebt, welche auf einem andern Wege, als den der par- ticulären Integrale, oft schwer zu integriren seyn mögten.
§. 220.
I.
Zuweilen kann man auch nur aus
einem
particulären Integrale das vollständige finden.
A a 2
Es
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
Es sey z. B. für die Gleichung
d d y + P d y d x + Q y d x
2
= o
worin
d x
constant angenommen,
y = T
ein par- ticuläres Integral, so daß
T
eine gewisse Fun- ction von
x
bezeichne, welche statt
y
gesetzt, der vorgegebenen Differenzialgleichung ein Genüge leiste.
2. Das vollständige Integral heiße nun
y = T z
so wird sich die Function
z
auf folgende Art finden lassen.
3. Weil nemlich
y = T
erstlich ein particu- läres Integral ist, so wird seyn müssen (1.)
d d T + P d T d x + Q T d x
2
= o
.
4. Sodann aber auch
T z
statt
y
gesetzt
T d d z + 2 d T d z + P T d z d x
+ z (d d T + P d T d x + Q T d x
2
)
= o
5. Mithin wegen (3.) indem der in
z
multi- plicirte Ausdruck schon für sich allein =
o
ist, auch
T d d z + (2 d T + P T d x) d z = o
Oder
6.
Integralrechnung.
6. Man nenne der Kürze halber
so ist
log (T
2
) +
∫
P d x =
∫
R d x
Und in (5.)
d d z + R d x d z = o
oder
d. h. wenn man
=
p
setzt,
+
R p = o
, woraus sehr leicht
p
= B
e
—
∫
R d x
gefunden wird, wenn B eine Constante bezeichnet.
Setzt man hierin statt
∫
R d x
den oben ge- fundenen Ausdruck, so wird
p
oder
d. h. wegen
e
— log (T
2
)
=
Mithin
wenn C eine zweyte Constante bezeichnet.
7.
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
7. Also endlich das vollständige Integral nem- lich
T z
oder
.
8. Für
P = o
wird die obige Gleichung jetzt
d d y + Q y d x
2
= o
.
Ist also
y = T
ein particuläres Integral, so ist das vollständige
.
Beyspiel
.
9. Es sey
Q = — c
2
x
— 4
also
d d y — c
2
x
— 4
y d x
2
= o
so ist
y
=
ein particuläres Integral, denn man wird finden
und
c
2
x
— 4
y d x
2
=
demnach wirklich
d d y — c
2
x
—4
y d x
2
= o
.
Um
Integralrechnung.
Um nun das vollständige Integral zu erhal- ten, hat man jetzt
. Also
Mithin das vollständige Integral
oder da man statt der constanten Größe
auch nur einen Buchstaben A setzen kann
.
§. 221.
1.
Particuläre Integrale zu finden, kann oft die Methode der Reihen sehr nützlich seyn
. Wir wollen hier wieder die Dif- ferenzialgleichung
d d y + Q y d x
2
= o
für den Fall, daß
Q = — c
2
x
m
also
d d y — c
2
x
m
y d x
2
= o
ist,
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
ist, zum Beyspiel nehmen, weil sie merkwürdig ist, in so fern mit ihr auch die
Riccatische
Gleichung in Verbindung steht (§. 216. Fall
V.
13.).
2. Wir haben oben (§. 185.
XVIII.
) gese- hen, daß die Riccatische Gleichung allemahl in- tegrabel ist, wenn der Exponent
m
unter der Form
oder
enthalten ist. Für eben diese Fälle wird also auch die vorgegebene Gleichung vom zweyten Grade (1.) integrabel seyn müssen.
3. Da also
m
negativ seyn muß, so setze man es = — 4
λ
, wodurch also die vorgegebene Gleichung
heißen wird.
4. Wir wollen sie nun für den gegenwärtigen Zweck erstlich in eine andere Form verwandeln, und
y = e
u
z
setzen, so wird nach gehöriger Rechnung
Um
Integralrechnung.
Um die Function
u
zu bestimmen, setze man das dritte und fünfte Glied zusammen =
o
, d. h.
oder mit
z
gemeinschaftlich dividirt
woraus
Also
folgt.
5. Da nun die übrigen Glieder der Glei- chung (4.) auch noch zusammen =
o
sind, so hat man
d d z + 2 d z d u + z d d u = o
oder, statt
d u
den gefundenen Werth
und folglich statt
d d u
den Werth
gesetzt,
.
6. Hier wollen wir nun statt
z
die Reihe
u.
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
u. s. w. annehmen, welche sich nach einiger Be- trachtung als die einzige zweckmäßige darbietet, um auf die gewöhnliche Art Gleichungen zu er- halten, aus denen sich die Coefficienten
A
,
B
,
C
u. s. w. bestimmen lassen. Substituirt man nun statt
z
diese Reihe, so verwandelt sich die Glei- chung (5.) in eine Reihe von folgender Form
u. s. w. =
o
und es findet sich
u. s. w.
Da nun diese Coefficienten A, B, C, D ꝛc. =
o
seyn müssen, so erhält man hieraus die Werthe der Coefficienten
A
,
B
,
C
,
D
ꝛc.
7. Weil nun erstlich A oder 2
λ
c A
— 2
λ
c A
schon für sich selbst =
o
ist, so bleibt
A
unbe- stimmt und unserer Willkühr überlassen. Aus den übrigen Ausdrücken B =
o
; C =
o
, D =
o
ꝛc. finden sich nun für die Coefficienten
B
,
C
,
D
ꝛc. folgende Werthe
B
Integralrechnung.
u. s. w.
deren Gesetz des Fortgangs klar am Tage liegt.
8. Wenn
λ
dem Werthe von einem der fol- genden Brüche
⅓; ⅔ ⅖ ⅗
\frac{3}{7}
;
\frac{4}{7}
;
\frac{4}{9}
;
\frac{5}{9}
ꝛc.
welche sämmtlich entweder unter unter der Form
oder
enthalten sind, gleich ist, so wird die für
z
angenommene Reihe allemahl abbrechen. Z. B. für
λ
=
\frac{4}{7}
wird schon
E = o
, mithin auch alle folgenden Coefficienten
F
,
G
ꝛc. wodurch denn die integrablen Fälle (2.) der Glei- chung
oder auch
noch
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
noch um so mehr ins Licht gesetzt werden. Bloß für den Fall 4
λ
= 2 also für
λ
= ½ d. h. für die Gleichung
d d y — c
2
x
— 2
y d x
2
= o
welche doch auch integrabel ist (§. 219. Beysp.
II.
das dortige
A = o
und
B = — c
2
gesetzt) würde die für
z
angenommene Reihe (6.) lauter unend- liche Werthe für die Coefficienten (7.) geben, wel- ches anzeigt, daß für diesen Fall die Reihe (6.) nicht brauchbar ist.
9. Für alle anderen Werthe von
λ
als die in (8.) angeführten, werden die Coefficienten
B
,
C
,
D
ꝛc. ohne Ende fortgehen, in welchen Fällen denn
z
eine unendliche Reihe seyn wird.
10. Aber das Integral
.
z
wird doch in jedem Falle nur ein particuläres seyn, es mag für
z
eine endliche oder unendliche Reihe statt finden.
Denn wenn gleich in der für
z
angenomme- nen Reihe der Coefficient
A
eine willkührliche Con- stante ist (7.) so fehlt uns zum vollständigen In-
tegra-
Integralrechnung.
tegrale noch eine zweyte in der Differenzialglei- chung selbst nicht vorkommende Constante, weil die folgenden Coefficienten
B
,
C
,
D
ꝛc. sämmtlich nur durch
A
selbst bestimmt werden.
11. Man könnte indessen aus dem gefunde- nen Particulärintegrale (10.) wie in (§. 220.) auch das vollständige ableiten, aber durch folgende Be- trachtung wird sich dasselbe noch leichter ergeben.
12. Wir hatten nemlich oben (4.) die Glei- chung
woraus wir durch Ausziehung der Quadratwurzel
ableiteten.
13. Es ist aber klar, daß, da diese Qua- dratwurzel zugleich negativ seyn darf, auch
hätte gesetzt werden können, wo also der letztere Werth von
d u
herauskömmt, wenn man in dem erstern nur
c
als negativ betrachtet.
14. Hieraus ergeben sich also eigentlich
zwey
Particulärintegrale, eines wenn man so wohl in dem Werthe von
u
, als auch in der obigen Reihe
z
,
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
z
, oder vielmehr deren Coefficienten
B
,
C
,
D
(7.) die Größe
c
positiv setzt, und dann ein zwey- tes, wenn man
c
negativ annimmt, woraus denn nach (§. 219.) sehr leicht das vollständige Inte- gral sich ergiebt. Ein Beyspiel wird die Sache hinlänglich erläutern.
Beyspiel
.
15. Es sey
zu integriren.
Hier ist also
4
λ
=
\frac{8/5}
oder
λ
= ⅖
also vors erste
u
= 5
c x
⅕
;
Sodann für die Reihe
z
die Coefficienten (7.)
die folgenden Coefficienten werden alle =
o
.
16. Daher für ein positives
c
und
Integralrechnung.
und für ein negatives
c
17. Also ist das eine Particulärintegral =
e
u
z
(§. 219.)
und das andere,
c
nur negativ genommen,
(§. 219.).
18. Demnach das vollständige Integral
y
=
α
T
+
β
V
oder nach gehöriger Substitution von
T
und
V
, wobey wir die willkührliche Größe
A
= 1 setzen wollen,
wo
t
der Kürze halber die Größe
bezeichnet.
19.
Anmerkung
. Wäre die vorgegebene Gleichung folgende
gewe-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
gewesen, so daß jetzt +
c
2
statt des obigen —
c
2
stände, so würde das Integral
y
auch wieder der obige Ausdruck seyn, nur mit dem Unterschiede, daß in demselben statt
c
gesetzt werden müßte
c
√ — 1, für welchen Fall denn das Integral nach einer ähnlichen Verwandlung wie oben (§. 219.
IV.
5.) in den Ausdruck
übergeht, wo jetzt
γ
und
δ
die Constanten bezeich- nen, wie a. a. O.
§. 222.
I.
Man ersieht also aus diesem Beyspiele von neuen den Nutzen der particulären Integrale zur Auffindung der vollständigen, und wie solche Par- ticulärintegrale unterweilen durch die Methode der Reihen selbst in endlichen Ausdrüken sich darstel- len lassen, welches denn immer der Fall ist, wenn für solche Reihen Coefficienten sich ergeben, aus deren Gesetz des Fortgangs wie oben (§. 221. 7.) sich abnehmen läßt, daß sie irgendwo abbrechen, die Reihe selbst also nur aus einer endlichen Zahl
von
Integralrechnung.
von Gliedern bestehen wird. In so fern hat also die Integration durch die Anwendung von Reihen unterweilen ihren Nutzen, welches denn auch der Fall ist, wenn solche Reihen von der Beschaffenheit sind, daß sie sich wenigstens nähern, entweder für kleine Werthe von
x
; oder auch für größere. Aber mit divergirenden Reihen ist der Integralrechnung wenig gedient.
Um solche Reihen zu erhalten, kann man nach Beschaffenheit der Umstände, entweder sogleich für
y
selbst eine schickliche Reihe annehmen, durch de- ren Substitution in die vorgegebene Differenzialglei- chung, sich dann taugliche Gleichungen für die Be- stimmung der Coefficienten ergeben, oder man kann auch öfters vortheilhafter statt
, oder wohl selbst statt
eine solche Reihe annehmen, end- lich auch wohl die vorgegebene Differenzialgleichung durch eine gewisse Substitution, wie z. B. oben durch die Substitution
y = e
u
z
(§. 221. 4.) u. d. gl. erst brauchbar zur Auflösung durch Reihen abändern, aber immer wird es in einem vorkommenden Falle der Einsicht und Ueberlegung des Analysten über- lassen bleiben müssen, auf welchem Wege er am
Höh. Anal.
II.
Th.
B b
leich-
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
leichtesten und zweckmäßigsten zu seinem Ziele ge- langen dürfte, indem sich im Allgemeinen hierüber wenig bestimmte Regeln geben lassen. Beyspiele für einzelne Fälle kann man in
Kästners Ana- lysis des Unendlichen
§. 419. besonders in Rücksicht des hiebey oft nützlichen
Neutonischen Parallelogramms
, in
Eulers
instit. Calc. integr
. §. 929-993. und bey andern Schriftstel- lern finden. Hier würden sie eine unnütze Weit- läuftigkeit verursachen.
II.
In dem oben gegebenen Beyspiele für
(§. 221.)
bietet sich zugleich noch eine andere Bemerkung an, nemlich, daß es unterweilen vortheilhaft ist, selbst durch Anwendung einer höheren Differenzialglei- chung, das Integral einer niedrigern auszumitteln. Wollte man nemlich das Integral der obigen
Ric- catischen
Differenzialgleichung vom
ersten
Grade
d w + w
2
d x + Q d x = o
(§. 216. Fall
V.
13.) oder, wenn
wäre, das Inte- gral der Differenzialgleichung
nach
Integralrechnung.
nach der Methode (§. 185.) und für die dort ge- fundenen integrabeln Fälle entwickeln, so würde die Rechnung z. B. auch nur für
λ
= ⅖ (§. 185.
XI.
) schon ziemlich weitläuftig ausfallen.
Dadurch aber, daß sich diese Gleichung durch die Substitution
y = e
∫
w d x
(§. 216. Fall
V.
10. 11.) oder umgekehrt
in die Gleichung vom zweyten Grade
verwandelt, deren Integral weit leichter nach der obigen Methode (§. 221.) gefunden wird, ist nun auch leichter für jeden Werth von
λ
das Integral von
gefunden.
Denn man darf, wenn
y
durch
x
gefunden ist, nur durch Differenziation den Ausdruck
be- rechnen, so hat man auch die Gleichung zwischen
w
und
x
d. h. die Integralgleichung der vorgege- benen vom ersten Grade.
B b 2
§. 223.
Zweyter Theil. Zehntes Kapitel.
§. 223.
So wie oben (§. 197 ꝛc.) die Formen von im tegrirenden Factoren für Differenzialgleichungen vom ersten Grade, oder auch umgekehrt die For- men von Differenzialgleichungen gesucht wurden, welche durch gegebene Factoren integrabel werden, so hat man ähnliche Kunstgriffe auch für Differen- zialgleichungen vom zweyten Grade aufgesucht. Aber so wie schon jene für die vom ersten Grade, nur von sehr beschränkten Nutzen sind, so sind es noch mehr die letztern, und führen auf sehr weit- läuftige Rechnungen, die ohne etwas erhebliches zu vermissen, hier ganz füglich weggelassen werden können. M. s. indessen hierüber
Eulers
Inst. Calc. integr.
§. 865-929.
Das bisherige wird ohngefähr die vorzüglich- sten Fälle enthalten, unter denen Differenzialglei- chungen vom zweyten Grade eine Integration zu- lassen. Da schon diese von einem ziemlich be- schränkten Umfange sind, so wird sich über die In- tegrationen von Differenzialgleichungen noch höhe- rer Grade noch um so weniger viel allgemeines sa- gen lassen; daher wir uns begnügen, nur einige der vorzüglichsten Fälle einer nähern Betrachtung zu unterwerfen.
Eilf-
Integralrechnung.
Eilftes Kapitel
. Ueber einige integrabele Fälle von höhern Differenzialgleichungen.
§. 224.
1. Wir können hiebey ohngefähr einen Gang befolgen, welcher mit dem oben (§. 204 ꝛc.) ange- führten übereinstimmt, und wollen dabey voraus- setzen, daß allemahl das Differenzial
d x
als con- stant angenommen werde. Wird ein anderes Dif- ferenzial constant angenommen, so kann damit im allgemeinen so verfahren werden, wie solches oben bey den Gleichungen vom zweyten Grade schon um- ständlich ausgeführt worden ist, und welches hier nur eine unnöthige Wiederholung verursachen würde.
2. Bedeuten nun
T
,
S
,
R
,
Q
u. s. w. ge- wisse Functionen von
x
,
y
,
;
u. s. w. so wird allgemein jede Differenzialgleichung vom
n
ten Grade, ausgedrückt werden können durch
oder
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
oder in reducirter Form durch
T + S p + R q + Q r … + N z = o
Wenn, wie bisher, die Differenzialquotienten
;
,
=
s
u. s. w.
genannt werden, wo der letzte
durch den Buchstaben
z
ausgedrückt werde.
3. Der Einfachheit wegen mag dabey ange- nommen werden, daß
T
und
S
bloß die Größen
x
und
y; R
bloß die Größen
x
,
y
,
p
aber kein
q; Q
bloß die Größen
x
,
y
,
p
,
q
aber kein
r
enthalte u. s. w. Dies geschieht deswegen, um Po- tenzen des jedesmahligen höchsten Differenzialquo- tienten, mithin die Schwierigkeiten zu vermeiden, deren (§. 204. 3.) Erwähnung geschehen ist. Aber selbst unter diesen Beschränkungen bieten sich den- noch nur wenig integrable Fälle dar.
4. Von denjenigen einer Differenzialgleichung vom zweyten Grade, ist bereits im Vorhergehen- den Kapitel geredet worden.
Bey denen von höhern Graden läßt sich im Allgemeinen wenig ausrichten, wenn die aus ihnen
entste-
Integralrechnung.
entstehenden reducirten Gleichungen so beschaffen sind, daß mehr als vier von den veränderlichen Größen
x
,
y
,
p
,
q
u. s. w. darinn vorkommen.
Wir wollen hier nur einige leichtere Fälle et- was näher betrachten.
§. 225.
Aufgabe
.
Eine Differenzialgleichung vom
n
ten
Grade zu integriren, wenn sie von fol- gender Form ist
,
worinn
N
und
M
bloß Functionen von
bezeichnen
.
Aufl
. 1. Man kann die vorgegebene Glei- chung auch so ausdrücken
worinn also
ebenfalls einer Function von
d
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
, welche ich mit M bezeichnen will, gleich seyn wird.
2. Wird demnach
mit
z
bezeichnet, und
mit
z
', so hat man die reducirte Gleichung
z
— M
z
' =
o
welche also nur die zwey veränderlichen Größen
z
und
z
' enthält, weil M eine Function von
oder
z
' ist.
3. Um nun die Integralgleichung also die Gleichung zwischen
x
und
y
zu erhalten, so lasse man der Ordnung nach,
z
,
z
',
z
'',
z
''' …
z
N—1
,
z
N
, die Differenzialquotienten
;
;
;
…
;
bedeuten, dann ist erstlich
z
''
Integralrechnung.
4. In die Gleichung (2.) setze man nun so- gleich
statt
z
, und man erhält
= M
z
' oder
also durch Integration
wo demnach
x
durch
z
' gefunden wird, weil M
z
' ebenfalls durch
z
' gegeben ist (2.).
5. Nun ist weiter
(3. 4.) also
wo also auch
z
'' aus
z
' sich findet.
6. Weiter ist
(3. 4.) und also
ebenfalls durch
z
' be- stimmt, weil bereits
z
'' durch
z
' gefunden ist (5.).
7. Auf diese Weise gelangt man durch fort- gesetzte Integrationen, immer auf niedrigere Diffe-
renzial-
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
renzialquotienten, bis man endlich auf den niedrig- sten oder letzten nemlich
kömmt (3.).
8. Also ist nach dem eben gefundenen Gesetz (5. 6.) erstlich
gleich einer Function von
z
', und hieraus endlich (7.)
gleichfalls einer Function von
z
' gleich.
9. Da nun auch
(4.) einer Fun- ction von
z
' gleich ist, so erhält man durch Elimi- nation der Größe
z
' aus den für
y
und
x
gefundenen Gleichungen (8. 4.) auch diejenige zwischen
x
und
y
, und diese wird eine vollständige Integralgleichung seyn, weil sie so viel constante Größen enthalten wird, als durch so viel successive Integrationen man endlich die verlangte Relation zwischen
y
und
x
erhält.
10. Ein Beyspiel wird die Sache am besten erläutern.
Bey-
Integralrechnung.
Beyspiel
. Es sey
zu integriren. Vergleicht man diese Differenzial- gleichung mit der obigen, so ist
N
= 1 +
;
M = 1; n = 3
Demnach (1.)
;
z
'' =
; folglich M =
.
Und nun erstlich
d. h.
x = z' + log z' + A;
wo
A
die erste willkühr- liche Constante bezeichnet, deren das Integral der vorgegebenen Differenzialgleichung vom dritten Grade, drey enthalten muß, wenn es vollständig seyn soll.
11. Nun ferner (5.)
z
'' =
=
∫
(1 +
z
')
d z
'
d. h.
z'' = z' + ½ (z')
2
+ B
.
12.
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
12. Und nun endlich, da dieses
z
'' hier schon den niedrigsten Differenzialquotienten
bedeutet
=
z' + ½ (z')
2
+ B
oder statt
d x
seinen Werth
oder
+
d z
' gesetzt (4. 10.), und integrirt,
y = (B + 1) z' + ¾ (z')
2
+ ⅙ (z')
3
+
B log z' + C.
13. Aus diesen für
x
und
y
gefundenen Glei- chungen läßt sich aber die Größe
z
' nicht gut eli- miniren, weil jede der beyden Gleichungen außer
z
' auch die transscendente Größe
log z
' enthält.
14. Will man daher
y
durch
x
bestimmen, so muß man zu Reihen seine Zuflucht nehmen. In gegenwärtigen Beyspiele würde es am be- quemsten seyn, sogleich für
y
selbst eine Reihe an- zunehmen, und aus der Beschaffenheit der vorge- gebenen Differenzialgleichung ergiebt sich sehr bald, daß wenn man
y = A + B x + C x
2
+ D x
3
+ E x
4
ꝛc.
mithin
d d y
Integralrechnung.
= 2
C + 6 D x + 12 E x
2
ꝛc.
= 6
D + 24 E x
ꝛc.
setzt, und nun diese für die angegebenen Differen- zialquotienten gefundenen Reihen, in die vorgege- bene Differenzialgleichung (10.) substituirt, aus der daraus resultirenden Gleichungsreihe
6 (1 + 2
C
)
D
+ 36
D
2
— 2
C
+ 24 (1 + 2
C
)
E
— 6
D
x
+ 216
D E
+ 60 (1 + 2
C
)
F
— 12
E
x
2
.. =
o
die Werthe der angenommenen Coefficienten sehr leicht bestimmt werden können.
Nemlich
wo
C
eine willkührlich anzunehmende Größe, so wie auch
A
und
B
in der für
y
angenommenen Reihe dergleichen willkührliche Constanten (die drey welche das vollständige Integral
y
enthalten muß) bezeichnen.
Daraus dann ferner.
F
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
u. s. w.
Es ist also
y = A + B x + C x
2
+ D x
3
+ E x
4
ꝛc.
eine vollständige Integralreihe, für die vorgegebene Differenzialgleichung.
Ich habe dieses Beyspiel nur gewählt, um anzudeuten, wie in ähnlichen Fällen auch die In- tegration höherer Differenzialgleichungen durch Rei- hen bewerkstelligt werden kann, wenn es die Noth erfordert. Was die
Form
der in jedem Falle anzunehmenden Reihe betrifft, so muß dieselbe so beschaffen seyn, daß wenn sie in die vorgegebene Differenzialgleichung substituirt wird, daraus eine zur Bestimmung der angenommenen Coefficienten taugliche Gleichungsreihe entspringt, welches denn in den meisten Fällen durch einiges Nachdenken, durch Beyhülfe des Neutonischen Parallelogramms u. d. gl. nicht schwer zu entwickeln ist. Zugleich muß die Reihe so beschaffen seyn, daß so viel Coef- ficienten unbestimmt bleiben (wie z. B. oben
A
,
B
,
C
) als so viel willkührliche Constanten das In- tegral enthalten muß. Sonst ist die gefundene Integralreihe nur ein particuläres Integral.
Begreif-
Integralrechnung.
Begreiflich kann denn eine solche Reihe für die Ausübung nur in den Fällen brauchbar seyn, wenn sie sich nähert. Mit diverdirenden Reihen, würde dem Rechner nicht viel gedient seyn.
15. Wenn gleich die oben für
x
und
y
ge- fundenen Ausdrücke (10. 12.) nicht so beschaffen sind, daß daraus eine Gleichung mit einer endli- chen Anzahl von Gliedern zwischen
y
und
x
abge- leitet werden könnte, so sind sie doch zur Berech- nung
numerischer Werthe
von
y
und
x
brauchbar.
16. Man würde nemlich für ein gegebenes
x
aus der Gleichung (10.)
x = z' + log z' + A
worinn auch
A
als gegeben angesehen werden muß, nach dem Verfahren (§. 203. Anmerkung das. Beysp.
II.
) erst den Werth von
z
' bestimmen, und hieraus dann den Werth von
y
(12.); die willkühr- lichen Constanten
A
,
B
,
C
, müssen aus der Na- tur der Aufgabe, für deren Auflösung man die obige Differenzialgleichung gefunden hatte, abge- leitet werden, welches aber weiter zu entwickeln nicht hieher gehört.
§. 226.
Zweiter Theil. Eilftes Kapitel.
§. 226.
Aufgabe
.
Die Differenzialgleichung
zu integriren, wenn
N
und
M
bloß Fun- ctionen von
bedeuten
.
Aufl
. 1. Wenn man wieder wie in vori- ger Aufgabe
= M setzt, wo aber jetzt M eine Function von
bedeutet, so hat man nach obigen Bezeichnungen erstlich
z
— M
z'' = o
2. Nun ist aber aus
z
=
; und
z
' =
, das Differenzial
d x
=
; dem- nach
z
=
und folglich (1.)
— M
z'' = o
oder
z' d z'
Integralrechnung.
z' d z'
= M
z'' d z''
. Mithin ½ (
z
')
2
=
∫
M
z'' d z''
wo
∫
M
z'' d z''
gefunden werden kann, weil M eine Function von
d. h. von
z
'' ist (1.).
3. Hieraus also
z
' =
√
(2
∫
M
z'' d z''
)
oder wenn man
statt
z
' setzt,
und integrirt
.
4. Weiter ist nun
d z''' = z'' d x
oder statt
d x
seinen Werth (3.) gesetzt
.
5. So kann man nun die Arbeit weiter fort- setzen, bis man auf den letzten Differenzialquotien- ten
z
N
kömmt. Da dieser nun =
ist, so hat man
d y = z
N
d x
=
Höh. Anal.
II.
Th.
C c
und
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
und
welches denn ebenfalls einer Function von
z
'' gleich ist, weil der Ordnung nach, die Größen
z
''',
z
''''…
z
N
lauter Functionen von
z
'' werden.
6. Aus den für
x
und
y
gefundenen Glei- chungen eliminirt man sodann
z
'', oder verfährt, wenn dies nicht angeht, wie in voriger Aufgabe (16.) um für jedes
x
den zugehörigen Werth von
y
zu finden.
§. 227.
Aufgabe
.
Die Gleichung
—
X = o
zu in- tegriren, wenn
X
bloß eine Function von
x
ist
.
Aufl.
1. Man hat also jetzt
z — X = o
oder
—
X = o
. Mithin
d z' = X d x
also
z' =
∫
X d x;
hieraus weiter
statt
z
' gesetzt und integrirt
z'' =
∫
d x
∫
X d x
, und nun
statt
Integralrechnung.
statt
z
'' gesetzt und integrirt
z''' =
∫
d x
∫
d x
∫
X d x
.
2. So gelangt man durch successive Integra- tionen endlich auf
z
N
=
mithin auf die ge- suchte Integralgleichung
y =
∫
z
N
d x
wo
z
N
durch die vorhergehenden Integrationen be- reits als Function von
x
bekannt ist.
Es bedarf keiner Erinnerung, daß jeder ein- zelnen Integration allemahl eine willkührliche Con- stante hinzuzufügen ist.
§. 228.
Aufgabe
.
Die Gleichung
zu integriren, wo
X
wieder eine Function von
x
bezeichne
.
Aufl.
1. Die reducirte Gleichung ist jetzt
z — X z' = o
C c 2
oder
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
oder
statt
z
gesetzt
—
X z' = o
d. h.
=
X d x
, also integrirt
z' = e
∫
X d x
.
2. Hieraus findet sich dann weiter
d z'' = z' d x = d x e
∫
X d x
Also
z'' =
∫
d x e
∫
X d x
u. s. w. bis man auf den letzten Differenzialquotienten
z
N
=
gelangt, wodurch
y =
∫
z
N
d x
ebenfalls als Function von
x
bekannt wird, indem
z
N
durch die angeführten successiven Integrationen als Function von
x
ge- funden ist.
§. 229.
Aufgabe
.
Die Gleichung
zu integriren, wo
X
und X entweder bloß
Fun-
Integralrechnung.
Functionen von
x
, oder auch von
x
und
seyn können
.
Aufl. 1. Erster Fall
wenn
X
, X bloß Functionen von
x
sind.
Man setze
z
und
z
' statt
und
so hat man die reducirte Gleichung
z + X z
' — X =
o
oder
+
X z
' — X =
o
d. h.
d z' + X z' d x
= X
d x
.
2. Diese Gleichung wird integrabel, wenn man sie auf beyden Seiten mit
e
∫
X d x
multiplicirt, und man erhält durch Integration
z' e
∫
X d x
=
∫
X
d x e
∫
X d x
Mithin
z' = e
—
∫
X d x
∫
X
d x e
∫
X d x
Hieraus findet man nun, wie bisher, durch die fer- nern Integrationen die Werthe von
z
'',
z''' .. z
N
und endlich
y =
∫
z
N
d x
.
3.
Zweyter Fall
. Wenn
X
und X nicht bloß Functionen von
x
sondern auch von
oder
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
oder
z
' wären, so wird die vorgegebene Differen- zialgleichung vom höhern Grade, für alle Fälle in- tegrabel seyn, für welche aus der Gleichung vom ersten Grade nemlich
d z' + X z' d x
= X
d x
der Werth von
z
' durch Integration sich finden läßt. Wäre z. B.
X = z
' und X =
a x
n
;
also
d z' + (z')
2
d x = a x
n
d x
so hätte man die Riccatische Gleichung, welche denn für die integrirbaren Fälle nach (§. 221.) behandelt werden müßte, um
z
' durch
x
zu erhal- ten, woraus denn durch die fernern Integratio- nen, auch
z
'',
z
''' .. und endlich
y =
∫
z
N
d x
gesunden wird.
Läßt sich dagegen
z
' durch
x
nicht vollständig und bequem angeben, so muß man wieder die Methode der Reihen anwenden, in welchem Falle man lieber sogleich für
y
selbst eine Reihe annimmt.
§. 230.
Zusatz
.
Wäre die vorgegebene Differenzialgleichung folgende
oder
Integralrechnung.
oder
z + X z' + X' z''
— X =
o
so reducirt sich solche wegen
z
=
und
z
' =
auf eine vom zweyten Grade, nemlich
+
X' z''
— X =
o
In allen Fällen, wo also diese letztere integrabel ist, wird es auch die erstere seyn.
X
,
X
', X kön- nen bloß allein Functionen von
x
, oder auch zu- gleich von
z
'' bedeuten.
§. 231.
Anmerkung
.
Außer den in den bisherigen Aufgaben be- handelten höhern Differenzialgleichungen giebt es nur wenig andere, welche eine Integration ohne den Gebrauch von Reihen zuließen. Aber die in folgenden zwey Aufgaben verdienen noch im All- gemeinen angeführt zu werden.
§. 232.
Aufgabe
.
Die Differenzialgleichung
zu
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
zu integriren, wo
X
eine beliebige Fun- ction von
x
, und
A
,
B
,
C
beständige Coef- ficienten sind. Die Gleichung kann bis auf jeden beliebigen Differenzialquo- tienten
gehen
.
Aufl
.
I.
Die reducirte Gleichung ist, wenn wir jetzt wieder wie sonst
=
p;
=
q
u. s. w. setzen
X + A y + B p + C q + D r
ꝛc. =
o
(☉).
II.
Um nicht zu weitläuftig zu seyn, wollen wir annehmen, daß die Gleichung nur bis zum dritten Differenzialquotienten
r
gehe. Geht sie noch höher hinauf, so bleibt das Verfahren, das wir hier anwenden, ganz dasselbe.
III.
Dies Verfahren besteht darinn, eine nächstniedrigere Differenzialgleichung, also hier eine vom zweyten Grade zu suchen, durch deren Diffe- renziation die vorgegebene vom dritten Grade ent- stehen würde.
IV.
Würden wir für diese nächstniedrigere Gleichung bloß die Form annehmen
X
Integralrechnung.
X +
α
y
+
β
p
+
γ
q
= A
so daß X eine gewisse Function von
x
, und A eine Constante bedeute, so würde durch Differenziation derselben auf keinerlei Weise die vorgegebene (☉) entstehen können, denn man würde erhalten
d. h.
+
α
p
+
β
q
+
γ
r = o
eine Gleichung worin kein
y
vorkömmt, da doch die vorgegebene (☉) diese Größe
y
enthält.
V.
Aber man gedenke sich eine Gleichung von folgender Form
e
λ
x
(X +
α
y
+
β
p
+
γ
q
) = A
wo
λ
eine constante Größe bezeichne, so erhält man durch Differenziation
eine Gleichung, welche der Form nach mit (☉) völlig übereinstimmt, wenn man sich (☉) ebenfalls mit
e
λ
x
multiplicirt gedenkt, wodurch man erhal- ten würde
e
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
e
λ
x
(X + A y + B p + C q + D r) = o
(☽) welches im Grunde immer noch dieselbe Gleichung (☉) ist.
VI.
Sollen also diese beyden Gleichungen mit einander übereinstimmen, so würde seyn müssen
+
λ
X =
X
α λ
=
A
α + λ β
=
B
β + λ γ
=
C
γ
=
D
Aus welchen Gleichungen sich die Größen X,
α
,
λ
,
β
,
γ
, durch
X
,
A
,
B
,
C
,
D
bestimmen lassen, so daß demnach die Gleichung (
V.
) durch deren Differenziation die vorgegebene (☽) oder (☉) entstehen würde, hiemit völlig bestimmt ist.
VII.
Aus
+
λ
X =
X
, oder
d
X +
λ
X
d x = X d x
erhält man erstlich, auf beyden Seiten mit
e
λ
x
multiplicirt und integrirt,
X
Integralrechnung.
X
e
λ
x
=
∫
e
λ
x
X d x
Also X =
e
—
λ
x
∫
e
λ
x
X d x
.
VIII.
Aus den übrigen Gleichungen (
VI.
) er- giebt sich ferner
γ
=
D
β
=
C
—
λ γ
=
C
—
λ
D
α
=
B
—
λ β
=
B
—
λ
C
+
λ
2
D
und wegen
α λ
=
A
, oder
α
=
zuletzt die Gleichung
A — B
λ
+
C
λ
2
—
D
λ
3
=
o
woraus sich
λ
bestimmen läßt, welches also drey Werthe erhalten würde.
IX.
Daraus werden denn auch die Werthe von
α
,
β
,
γ
bestimmt seyn, und hieraus die Gleichung (
V.
)
A
e
—
λ
x
= X +
α
y
+
β
p
+
γ
q
oder
e
—
λ
x
∫
e
λ
x
X d x
— A
e
—
λ
x
+
α
y
+
β
p
+
γ
q = o
welche man als ein Integral von ☉ oder ☽ an-
zuse-
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
zusehen hat, in so ferne sie von einem nächstnie- drigern Grade ist, als die vorgegebene ☉ oder ☽.
X.
Setzt man die Function
e
—
λ
x
∫
e
λ
x
X d x
— A
e
—
λ
x
=
X
'
so wäre also die angeführte nächstniedrigere (
IX.
)
X
' +
α
y
+
β
p
+
γ
q = o
.
XI.
Aus dieser kann man wieder, nach einem ganz ähnlichen Verfahren, durch die Multiplication mit einem Factor
e
μ
x
eine nächstniedrigere von der Form
X'' + a y + b p = o
Und daraus endlich, wegen
p
=
, durch die Multiplication mit einem Factor
e
ν
x
, eine Glei- chung von der Form
X''' + a y = o
ableiten, welche man als die vollständige Inte- gralgleichung von ☉ zu betrachten hat, weil bey jeder successiven Integration, constante Größen wie A ꝛc. hinzukommen, deren so viel der Zahl nach seyn werden, als von einem so hohen Grade die vorgegebene Differenzialgleichung ☉ ist.
XII.
Integralrechnung.
XII.
Dies mag hinreichen im allgemeinen zu zeigen, daß eine Differenzialgleichung von der Form
X + A y +
= o
durch
n
successive Integrationen allemahl auf eine endliche Gleichung von der Form
X
N
+ a
y = o
reducirt werden kann, wo
X
N
eine Function von
x
, mit
n
willkührlichen Constanten bezeichnet, wel- che durch die successiven Integrationen hinzukommen.
XIII.
Es läßt sich zeigen, daß die drey Wur- zeln der Gleichung (
VIII.
) überhaupt die Werthe von
λ
,
μ
,
ν
, in den Exponentialgrößen
e
λ
x
,
e
μ
x
,
e
ν
x
, deren man sich zur Integration be- diente, ausdrücken, und so in andern Fällen (
II.
) wo man für
λ
noch eine höhere Gleichung erhal- ten würde. Den Beweis hievon und die weitere Ausführung des bisherigen, muß man aber in Schriften nachsehen, welche diesem Gegenstande besondere Abhandlungen gewidmet haben.
§. 233.
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
§. 233.
Aufgabe
.
Die Differenzialgleichung
X + A y + B x
ꝛc. =
o
welche bis zu jedem beliebigen Differen- zialquotienten gehe, zu integriren
.
Aufl.
I.
Die reducirte Gleichung ist jetzt
X + A y + B x p + C x
2
q + D x
3
r
ꝛc. =
o
Ich will sie nur bis zum dritten Differenzialquo- tienten nehmen, indem das Verfahren welches hie- bey angewandt wird, auf dieselbe Art auch für hö- here Gleichungen gilt.
II.
Anstatt, daß wir die Differenzialgleichung in vorigem § mit einer Exponentialgröße multipli- cirten, werde die gegenwärtige nur in eine Potenz von
x
nemlich mit
x
μ
multiplicirt, wodurch sie wesentlich dieselbe bleibt. Man schreibe also statt ihr
(X + A y + B x p + C x
2
q + D x
3
r) x
μ
=
o
so wird, wenn A eine willkührliche Constante be- zeichnet, die nächstniedrigere in einer ähnlichen Form ausgedrückt werden können durch
(X +
α
y
+
β
x p
+
γ
x
2
q
)
x
μ
+ 1
= A.
III.
Integralrechnung.
III.
Denn man erhält durch Differenziation
eine Gleichung welche mit der vorgegebenen und mit
x
μ
multiplicirten (
II.
) ganz übereinstimmt, wenn man setzt
+ (
μ
+ 1) X =
X
(
μ
+ 1)
α
=
A
α
+ (
μ
+ 2)
β
=
B
β
+ (
μ
+ 3)
γ
=
C
γ
=
D
Aus welchen Gleichungen sich die Größen X,
α
,
β
,
γ
sehr leicht finden lassen.
IV.
Man erhält nemlich aus
+ (
μ
+ 1) X =
X
durch Multiplication mit
x
μ
+ 1
und Integration
X
x
μ
+ 1
=
∫
X x
μ
+ 1
d x
also X =
x
—
μ
— 1
∫
X x
μ
+ 1
d x.
Ferner
β
=
C
— (
μ
+ 3)
γ
=
C
— (
μ
+ 3)
D
α
=
B
— (
μ
+ 2)
β
=
B
— (
μ
+ 2)
C
+ (
μ
+ 2)(
μ
+ 3)
D
da
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
da nun auch
, so wird
A
— (
μ
+ 1)
B
+ (
μ
+ 1) (
μ
+ 2)
C
— (
μ
+ 1) (
μ
+ 2) (
μ
+ 3)
D = o
eine Gleichung woraus sich
μ
bestimmen läßt, und wodurch denn auch
α
,
β
,
γ
bekannt werden.
V.
Setzt man nun
wo X durch die Integration aus (
IV.
) bekannt ist, so heißt die nächstniedrigere Differenzialgleichung (
II.
), durch deren Differenziation die vorgegebene in (
II.
) entstehen würde, auch
X'
+
α
y
+
β
x p
+
γ
x
2
q = o
welche denn durch ein ähnliches Verfahren wieder auf eine nächstniedrigere
X'' + a y + b p = o
Und diese endlich auf
X'''
+ a
y = o
gebracht wird, welche letztere als die vollständige Integralgleichung der vorgegebenen (
I.
) zu betrach- ten ist.
Die
Integralrechnung.
Die weitere Ausführung gehört gleichfalls nicht hieher. M. s.
Euleri
inst. Calc. integr.
(§. 1138—1274.
§. 234.
I.
Es können zuweilen Differenzialgleichun- gen von höhern Graden vorkommen, welche schon an und für sich vollständige Differenziale von einer nächstniedrigern sind, ohne daß man nöthig hätte, sie durch die Multiplication mit einem integriren- den Factor, erst dazu zu machen.
Gesetzt es wäre
M + N p + P q + Q r = o
eine solche Differenzialgleichung, wo
p
,
q
,
r
die Differenzialquotienten
;
;
und
M
,
N
,
P
,
Q
, Functionen von
x
,
y
,
p
,
q
bedeuten wie oben in der Differenzialrechnung (§. 69.) Findet man, daß
, und
selbst ein vollständiger Differenzialquo- tient, oder vielmehr
μ
=
∫
M d x
ein Integral ist, welches sich finden läßt, so hat man
μ
+
ν
p
+
π
q = Const.
als nächstniedrigere Differenzialglei-
Höh. Anal.
II.
Th.
D d
chung,
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
chung, in welcher die Functionen
μ
,
ν
,
π
durch folgende Gleichungen bestimmt sind
π
=
Q
μ
=
∫
M d x
(M. s. a. a. O. §. 68.
IV.
).
II.
Es sey z. B. die Differenzialgleichung
M d x + N d y + P d p + Q d q = o
oder mit
d x
dividirt
M + N p + P q + Q r = o
vorgegeben, in welcher
sey, so findet sich nach gehöriger Rechnung erstlich
d Q
Integralrechnung.
Und folglich
woraus man erkennt, daß die vorgegebene Diffe- renzialgleichung, ein würkliches Differenzial einer nächstniedrigern ist, indem auch zugleich
oder (
d p
statt
q d x
und
d y
statt
p d x
gesetzt)
ein darstellbares Integral ist.
III.
Um nun die nächstniedrigere Differenzial- gleichung
μ
+
ν
p
+
π
q = Const.
zu finden, so hat man (
I.
)
D d 2
d.
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
d. h.
Mithin wegen
μ
=
∫
M d x
=
die nächstniedrigere Differenzialgleichung mit Hinzufügung der
Const.
Diese Gleichung läßt sich nun abermahls integriren.
Denn man setze
statt
q
, so hat man
oder in dem negativen Gliede,
p d x = d y
gesetzt,
Hier ist nun der Ausdruck linker Hand des Gleich- heitszeichens sogleich ein vollständiges Differenzial nemlich von
; also hat man das Integral
Und nun endlich wegen
also
Integralrechnung.
also
oder integrirt
für die vollständige Integralgleichung der vorgege- benen Differenzialgleichung
M + N p + P q + Q r = o
welche wegen
vom dritten Grade ist, und wenn man in die Functionen
M
,
N
, ꝛc. (
II.
) statt
p
,
q
die Differenzialquotienten
,
setzt, von einer sehr complicirten Gestalt seyn würde.
Es erhellet aus diesem Beyspiele der Nutzen des obigen Lehrsatzes (§. 69. Differenz. R.), die Integrabilität höherer Differenzialgleichungen zu untersuchen, und aus den daraus sich ergebenden Bedingungsgleichungen, die niedrigern Differen- zialgleichungen, falls sie würklich statt finden, selbst zu entwickeln. Es kömmt darauf an, daß man aus den vorgegebenen Gliedern einer höhern Dif- ferenzialgleichung allemahl erst ein solches
M d x
heraussuche, welches an und für sich integrabel ist, (
I.
), und dann nachsehe, ob die übrigen Glieder so be-
schaffen
Zweyter Theil. Eilftes Kapitel.
schaffen sind, daß der Gleichung
u. s. w. ein Genüge geschiehet. Ist dies der Fall, so läßt sich die höhere Gleichung auf eine nächst- niedrigere bringen. In manchen Fällen muß man die höhere auch noch in einen integrirenden Factor
L
sich multiplicirt gedenken, daß nicht allein
L M d x
integrabel bleibe, sondern auch die Glei- chung
statt finden könne, aus welcher Betrachtung sich denn öfters auch schon selbst die Form des integri- renden Factors ergiebt, welches aber weiter aus- zuführen, der Zweck des gegenwärtigen Werkes nicht verstattet.
Zwölf-
Integralrechnung.
Zwölftes Kapitel
. Integration der Differenzialgleichungen, wor- in mehr als zwey veränderliche Größen enthalten sind.
§. 235.
Aufgabe
.
Die Differenzialgleichung
P d x + Q d y + R d z = o
zu integriren, wo
P
,
Q
,
R
, Functionen
von
x
,
y
,
z
bedeuten
.
Aufl. 1. Erster Fall
, wenn der Aus- druck
P d x + Q d y + R d z
ein würkliches oder vollständiges Differenzial einer Function
Z
der drey veränderlichen Größen
x
,
y
,
z
ist, also nach (§. 63.) folgende Bedingungsgleichungen,
statt finden.
2.
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
2. In diesem Falle kann man erstlich das Integral
∫
(P d x + Q d y + R d z) = Z
nach einer Methode finden, welche der obigen für Differenzialgleichungen zwischen zwey veränderli- chen Größen (§. 167.) ganz ähnlich ist.
3. Nemlich man integrire den Ausdruck
P d x + Q d y + R d z
erstlich so, daß man dar- in
z
einstweilen als eine unveränderliche Größe, und nur
x
, und
y
als variabel betrachtet.
Weil unter dieser Voraussetzung
d z = o
ist, so hat man bloß
P d x + Q d y
, also einen Aus- druck bloß zwischen zwey veränderlichen Größen, zu integriren, weil nun die Größe
z
in den Fun- ctionen
P
,
Q
als constant angesehen wird.
Weil nun (1.)
=
ist, so ist
P d x + Q d y
ein vollständiges Differenzial einer Function
V
von den zwey veränderlichen Größen
x
,
y
, und kann daher nach (§. 167.) würklich in- tegrirt werden.
4. Man setze demnach
∫
(P d x + Q d y) = V
, und differenziire hierauf das gefundene Integral
V
wie-
Integralrechnung.
wieder, jedoch so, daß nun alle drey darin vor- kommende Größen
x
,
y
,
z
, als variabel behan- delt werden, so wird
d V = P d x + Q d y + G d z
, und
G
=
als Function von
x
,
y
,
z
bekannt werden.
5. Daß das erwähnte Differenzial
d V
(4.) würklich die Glieder
P d x + Q d y
enthalten muß, ist daraus klar, weil es sich in
P d x + Q d y
verwandeln muß (3.) wenn
z
als unveränderlich angesehen wird, und folglich
d z = o
ist.
6. Nun sey
R = G + H
also (1.)
d Z = P d x + Q d y + (G + H) d z
so hat man, weil dies Differenzial
d Z
, so wie auch das in (4.) gefundene
d V
ein vollständiges ist, vermöge der Bedingungsgleichungen (1.)
.
7. Und eben so aus (4.)
8.
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
8. Mithin durch Gleichsetzung der Werthe von
in (6. 7.),
Und eben so durch Gleichsetzung der Werthe von
in (6. 7.)
9. Aus diesen partiellen Differenzialquotienten
; und
folgt nun von selbst, daß
H
weder eine Function von
x
noch von
y
seyn kann, weil sonst
und
nicht =
o
seyn könnten.
10. Also wird
H = R — G = R
—
bloß eine Function von
z
seyn.
11. Hieraus ergiebt sich endlich wegen
d Z = P d x + Q d y + G d z + H d z
(6.)
auch
Integralrechnung.
auch
d Z = d V + H d z
(4.)
Mithin
Z = V +
∫
H d z
, wo
∫
H d z
durch die Integration gefunden wird, weil
H
bloß eine Fun- ction von
z
ist.
Dies
Z
muß aber nun einer constanten Größe
C
gleich gesetzt werden, wenn
d Z
d. h.
P d x + Q d y + R d z = o
seyn soll.
Also hat man die Integralgleichung;
C = V +
∫
H d z
;
wo
V
aus (4.) bekannt ist.
12.
Zweyter Fall
. Wenn der Differen- zialausdruck
P d x + Q d y + R d z
nicht gera- dezu das Differenzial einer gewissen Function
Z
der drey veränderlichen Größen
x
,
y
,
z
ist, sondern erst durch die Multiplication mit einem gewissen integrirenden Factor
M
zu einem vollständigen Dif- ferenziale werden würde.
13. In diesem Falle hätte man also eigentlich
M P d x + M Q d y + M R d z = o
erst als eine vollständige Differenzialgleichung zu betrachten.
Kennte
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
Kennte man nun den Factor
M
, wodurch jetzt
M P d x + M Q d y + M R d z = d Z
wäre, indem
Z
den endlichen Ausdruck bezeichnete, durch dessen Differenziation
M P d x + M Q d y + M R d z
entstehen würde, so würde man die Integralglei- chung völlig wie nach dem Verfahren (10.) des
ersten Falles
ausmitteln, nur mit dem Unter- schiede, daß man statt der obigen Functionen
P
,
Q
,
R
, jetzt überall nur
M P; M Q
,
M R
sich ge- denken müßte.
14. Indessen könnte sich der Fall ereignen, daß die vorgegebene Gleichung
P d x + Q d y + R d z = o
auch nie durch irgend einen Factor zu einer voll- ständigen Differenzialgleichung würde. In diesem Falle würde der Ausdruck
M P d x + M Q d y + M R d z
als Differenzial einer würklichen Fun- ction betrachtet
, offenbar nur etwas Absurdes bezeichnen, und daher die Mühe ganz vergeblich seyn, irgend ein Integral desselben auffinden zu wollen.
15. Soll nemlich jener Ausdruck ein wirkli- Differenzial seyn können, so müssen jetzt die 3 Be- dingungsgleichungen
(
d
Integralrechnung.
oder welches auf eins hinausläuft, folgende drey
statt finden, aus welchen durch Elimination der Größen
;
;
eine neue Glei- chung entspringt, welche durchaus mit
M
dividirt, und auf Null gebracht, von folgender Gestalt seyn wird
P.
L +
Q.
M +
R.
N =
o
wenn der Kürze halber
und
gesetzt wird.
Diese
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
Diese so eben gefundene Gleichung
P.
L +
Q.
M +
R.
N =
o
zeigt also, was zwischen den Functionen
P
,
Q
,
R
, für eine Relation statt fin- den muß, wenn die vorgegebene Differenzialglei- chung
P d x + Q d y + R d z = o
keine Absur- dität in sich enthalten, und mit einem gewissen Factor
M
multiplicirt, als eine würkliche Diffe- renzialgleichung soll betrachtet werden können.
16. Ehe man also an die Integration einer solchen Differenzialgleichung denken kann, muß man allemahl erst vorher untersuchen, ob sie den Bedingungsgleichungen (2.) oder auch der (15.)
P.
L +
Q.
M +
R.
N =
o
ein Genüge leistet.
Findet sich, daß sie geradezu denen (2.) ein Genüge leistet, so ist kein integrirender Factor er- forderlich, und die Integration wird sogleich nach (11.) bewerkstelligt.
17. Ist dies aber nicht der Fall, so unter- suche man, ob die Bedingungsgleichung
P.
L +
Q.
M +
R.
N =
o
statt findet. Dies ist dann ein Beweis, daß die vorgegebene Differenzial- gleichung durch einen integrirenden Factor
M
ver- vollständiget werden kann, und als Differenzial
einer
Integralrechnung.
einer gewissen Integralgleichung betrachtet, keine Absurdidät in sich fasset.
18. Um indessen die Integration bewerkstelli- gen zu können, ist dieser Factor
M
an und für sich nicht erforderlich, dessen Bestimmung ohnehin oft mit großen Schwierigkeiten verknüpft seyn würde, da nicht einmahl bey Differenzialgleichungen, wel- che nur zwey veränderliche Größen enthalten, ein allgemeines Verfahren bekannt ist, einen solchen integrirenden Factor auszumitteln.
19. Da nemlich, wenn man
z
einstweilen als unveränderlich betrachtet, wegen
d z = o
, die Differenzialgleichung
P d x + Q d y + R d z = o
sich bloß in
P d x + Q d y = o
verwandelt, so integrire man bloß den Ausdruck
P d x + Q d y
, oder wenn ein integrirender Factor
μ
dazu erfor- derlich ist, den Ausdruck
μ
(
P d x + Q d y
) und setze das Integral
∫ μ
(
P d x + Q d y
) welches der Kürze halber mit
U
bezeichnet werde, einer Function von
z
gleich, welche ich mit
C
bezeichnen will, und welche hier als die hinzuzusetzende Con- stante zu betrachten ist; bestimme hierauf diese Fun- ction
C
dergestalt, daß wenn man die erhaltene
Inte-
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
Integralgleichung
U = C
oder
U — C = o
diffe- renziirt, so daß nun alle drey Größen
x
,
y
,
z
als variabel behandelt werden, die herauskom- mende Differenzialgleichung mit der vorgegebenen
P d x + Q d y + R d z = o
übereinstimme, so wird man die wahre und voll- ständige Integralgleichung erhalten, weil die er- wähnte Function von
z
, nemlich
C
, auch eine ganz unveränderliche d. h. von
x
,
y
,
z
unabhängige Größe =
a
enthalten kann.
20. In manchen Fällen hält es etwas schwer, diese Function
C
von
z
, aus jenen beyden Diffe- renzialgleichungen gehörig zu entwickeln. Aber man nimmt an, daß es allemahl eine solche Fun- ction geben muß, wenn die vorgegebene Differen- zialgleichung den Bedingungen der Integrabilität (15.) entspricht. Einen ganz überzeugenden Be- weis davon habe ich indessen bey den Schriftstel- lern, welche diesen Gegenstand behandelt haben, nicht gefunden, und hier würde es zu weitläuftig seyn, diese Sache umständlich zu erörtern. Wenn die Gleichung
P d x + Q d y + R d z = o
so- gleich ohne einen Factor integrirt werden kann, so ist die Sache aus (1-11.) klar, wo
∫
H d z
(11.) diese Function
C
von
z
, ausdrückt. Die Sache
würde
Integralrechnung.
würde auch klar seyn, wenn der Factor
M
be- kannt wäre, wodurch
die ganze Gleichung
zu einer vollständigen Differenzialgleichung würde.
21. Allein wenn man nach (19.)
bloß die Gleichung
P d x + Q d y = o
integrirt, und zwar, wenn es nöthig ist, durch Beyhülfe eines Fa- ctors
μ
, und dieser Factor
μ
ist nicht derjenige
M
(13.) durch welchen
die ganze Gleichung
P d x + Q d y + R d z = o
integrabel wird, so erfordert es einen besondern Be- weis, daß zu dem gefundenen Integrale von
P d x + Q d y
oder von
μ
(
P d x + Q d y
) (19.) ebenfalls
nur eine Function von
z
hinzuad- dirt werden müsse, um das Integral der ganzen Gleichung
P d x + Q d y + R d z = o
, oder auch
M P d x + M Q d y + M R d z = o
zu er- halten. Diesen Beweis finde ich bey keinem Schriftsteller, welche diesen Gegenstand behandelt haben. Der von
La Croix
(
Tr. du Calc. diff. et integr. a Paris
1798. §. 703.) gegebene Be- weis, setzt offenbar schon zum voraus, daß sein dortiges
=
μ
R
einer Function von
z
gleich seyn müsse, aber wenn daraus weiter die Glei- chungen
Höh. Anal.
II.
Th.
E e
(
d.
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
abgeleitet werden, so sieht man leicht, daß sein Factor
μ
kein anderer als der
M
seyn kann, wo- durch die ganze Gleichung
P d x + Q d y + R d z = o
zu einer vollständigen Differenzialgleichung wird (15.), in welchem Falle die Sache ohnehin klar ist. Der Beweis muß also anders geführt werden.
Wir wollen nun das Bisherige mit ein paar Beyspielen erläutern.
Beyspiel
I.
22.
Die Differenzialgleichung
(y + z) d x + (x + z) d y + (x + y) d z = o
zu integriren
. Hier ist also
P = y + z; Q = x + z; R = x + y
Mithin
(
d P
Integralrechnung.
;
.
Also ist nach (1.) die vorgegebene Differenzialglei- chung schon eine vollständige, und bedarf keines Factors, um integrirt zu werden.
23. Wir haben nun sogleich,
z
als unver- änderlich betrachtet, den Werth von
V
oder (4.)
und nunmehr (10.)
Mithin auch
∫
H d z
in (11.) =
o.
Folglich (11)
C = V
oder
C = y x + z x + z y
, sogleich die wahre Integralgleichung, wo hier
C
eine von
x
,
y
,
z
unabhängige Constante bedeutet.
Beyspiel
II.
24.
Es sey die vorgegebene Diffe- renzialgleichung
x d x — (y — z) d y + (y — z) d z = o.
E e 2
25.
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
25. Hier wird man finden, daß sie ebenfalls den Bedingungsgleichungen (1.) ein Genüge lei- stet;
z
also als unveränderlich betrachtet (3.), so hat man
und nun (4.)
; Folglich
. Mithin
∫
H d z
=
∫
—
z d z = — ½ z
2
; Also das gesuchte Integral
C = V
+
∫
H d z
(11.) oder
C = ½ x
2
— ½ y
2
+ z y — ½ z
2
d. h. 2
C = (x + y — z) (x — y + z).
Beyspiel
III.
26.
Es sey zu integriren
z d x + (z — z
2
) d y — (x + y) d z = o
(
☉
)
diese Gleichung entspricht nicht den Bedingungs- gleichungen (1.). Aber sie thut der Gleichung (15.) ein Genüge.
Man hat nemlich (wegen
P = z; Q = z — z
2
; R = — (x + y))
L
Integralrechnung.
Demnach
P
L +
Q
M +
R
N =
o
folglich giebt es würklich eine Gleichung zwischen
x
,
y
,
z
, durch deren Differenziation die vorgege- bene Differenzialgleichung (☉) entstehen kann.
27. Um also das Integral zu finden, hat man erstlich nach (19.),
z
als unveränderlich be- trachtet
U
=
∫
(
P d x + Q d y
) =
∫
(
z d x + (z — z
2
) d y
) d. h.
U = z x + (z — z
2
) y
Auch ist hier kein integrirender Factor
μ
(19.) nö- thig gewesen.
28. Demnach die gesuchte Integralgleichung
U = C
oder
U — C = o
d. h.
z x + (z — z
2
) y — C = o
, wo nunmehr
C
eine zu bestimmende Fun- ction von
z
bedeutet (19. 20.).
29.
Zweiter Theil. Zwölftes Kapitel.
29. Wenn man diese Gleichung differenziirt, so daß nunmehr alle drey Größen
x
,
y
,
z
als variabel behandelt werden (19.), so erhält man
z d x + x d z + (z — z
2
) d y + y d z — 2 y z d z — d C = o
Oder
z d x + (z — z
2
) d y + (x + y — 2 y z) d z — d C = o
(☽) Ich bemerke hiebey, daß wenn zur Integration von
P d x + Q d y
, ein integrirender Factor erforderlich gewesen wäre, man nach einiger Ueber- legung in jedem vorkommenden Falle bald finden wird, womit die gefundene Differenzialgleichung (☽) oder auch die vorgegebene (☉) multiplicirt oder dividirt werden muß, damit beyde in Anse- hung der in
d x
und
d y
multiplicirten Glieder mit einander übereinstimmen, und alsdann desto besser mit einander verglichen werden können. Da hier kein integrirender Factor erforderlich war, so stimmt die gefundene Differenzialgleichung (☽) in den Glie- dern
z d x
und
(z — z
2
) d y
sogleich mit der vor- gegebenen (☉) selbst überein.
30. Sollen demnach beyde auch in den übri- gen Stücken mit einander übereinstimmen, so muß seyn
(x + y — 2 y z) d z — d C = — (x + y) d z
oder 2
(x + y — y z) d z = d C.
31.
Integralrechnung.
31. Verbindet man mit dieser Gleichung die obige (28.)
z x + (z — z
2
) y = C
so daß man aus ihr den Werth von
oder auch umgekehrt den Werth von
in jene für
d C
gefundene (30.) substituirt, so wird allemahl eine neue Gleichung herauskommen, worin weder
x
, noch
y
, sondern bloß die Grö- ßen,
z
,
C
, und die Differenziale
d z
,
d C
ent- halten sind. Dies folgt daraus, so bald
C
alle- mahl eine Function von
z
ist (20.).
32. Ueberhaupt suche man, auf welchem Wege es sonst nach gehöriger Ueberlegung am zweckmäßigsten erachtet wird, aus den beyden Glei- chungen (30. 31.) die Größen
x
,
y
zu eliminiren.
Hier z. B. multiplicire man die für
d C
ge- fundene Gleichung (30.) mit
z
, so wird sogleich
2
(z x + y (z — z
2
)) d z = z d C
d. h. wegen
z x + y (z — z
2
) = C
(31.)
2
C d z = z d C
oder
d.
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
d. h. eine Gleichung, aus welcher
x
,
y
, eliminirt sind.
33. Nun findet man also durch Integration, wenn
a
eine willkührliche Constante bezeichnet
2
log a z = log C
oder
C = a
2
z
2
.
Es ist nunmehr die Function von
z
gefunden, wodurch endlich die wahre Integralgleichung (28.) sich in
z x + (z — z
2
) y — a
2
z
2
= o
oder durchaus mit
z
dividirt in
x + (1 — z) y — a
2
z = o
d. h. auch in
verwandelt, aus welcher letztern Form auch sogleich durch Differenziation, die vorgegebene Differen- zialgleichung (☉) resultirt.
34. In diesem Beyspiele war es leicht, aus den beyden Gleichungen für
d C
und
C
(30. 31.) die Größen
x
und
y
zu eliminiren. In andern Fällen, zumahl wenn Potenzen von
x
und
y
vor- kommen, ist die Elimination oft mit Schwierigkei-
ten
Integralrechnung.
ten verknüpft. Aber es ist unnöthig, noch andere Beyspiele zu geben, da die Hauptpunkte, welche man zu befolgen hat, aus dem angeführten (32.) hinlänglich zu ersehen sind.
35. Auch wird man ohne Mühe begreifen, wie nach einem ähnlichen Verfahren auch die In- tegralgleichung hätte ausgemittelt werden können, wenn man, anstatt
z
anfänglich als unveränderlich zu betrachten, eine von den beyden andern Größen
x
oder
y
, als unveränderlich behandelt hätte.
Hätte man z. B.
x
unveränderlich genommen, so würde man jetzt das Integral
∫
(
Q d y + R d z
) oder auch
∫ μ
(
Q d y + R d z) = U
setzen, und wenn dieses gefunden ist
U = C
oder
U — C = o
als gesuchte Integralgleichung haben, nur mit dem Unterschiede, daß jetzt
C
eine nach ähnlichen Regeln zu bestimmende Function von
x
bezeichnen würde u. s. w.
In jedem vorkommenden Falle, wird sich nach einiger Ueberlegung bald zeigen, durch welches der angeführten Verfahren man am leichtesten zur ge- suchten Integralgleichung wird gelangen können.
§. 236.
Auch bedarf es keiner weitern Erläuterung, daß Differenzialgleichungen worin 4 veränderliche
Größen
Zweyter Theil. Zwölftes Kapitel.
Größen vorkommen, nach einer ähnlichen Methode zu behandeln sind, wenn zuvor die Bedingungs- gleichungen entwickelt sind, aus denen man erken- net, ob die vorgegebene Differenzialgleichung, auch aus der Differenziation irgend einer endlichen Glei- chung resultiren kann, und also in so fern keine Absurdidät in sich fasset. Dies Alles würde uns aber hier viel zu weit führen. Daher es bey dem Angeführten sein Bewenden haben mag, zumahl da Fälle dieser Art doch selten vorkommen. Noch weniger können wir uns mit Differenzialgleichun- gen von höhern Ordnungen zwischen 3 und meh- reren veränderlichen Größen beschäftigen, da schon die Integrationsfälle so beschränkt sind, wenn nur zwey veränderliche Größen vorkommen.
Selbst die Differenzialgleichungen vom ersten Grade zwischen drey veränderlichen Größen, setzen schon voraus, daß die Differenziale zwischen 2 ver- änderlichen Größen, wie z. B. die obigen Aus- drücke
∫
(
P d x + Q d y
) oder
∫ μ
(
P d x + Q d y
) keiner weitern Schwierigkeit unterworfen sind.
Wichtiger ist die Lehre von der
Integra- tion der Differenzialgleichungen mit partiellen Differenzialen
, wovon in dem nächsten Kapitel das allgemeine vorkommen wird.
Drey-
Integralrechnung.
Dreyzehntes Kapitel
. Auflösung oder Integration der Gleichungen mit partiellen Differenzialen.
§. 237.
1. Wenn
z
eine Function von zwey veränder- lichen Größen
x
und
y
ist, und man hat durch Differenziation
d z = P d x + Q d y
, so sind
P
,
Q
, allemahl ein paar
bestimmte
Functionen, welche sich auch durch die partiellen Differenziatio- nen nemlich
und
erge- ben würden (§. 17.
III. IV.
).
2. Wenn umgekehrt
P
und
Q
gegeben sind, und dieselben haben das Verhalten gegen einander, welches vollständigen Differenzialquotienten entspre- chen muß, so daß
(§. 166.), so erhält man durch Integration von
P d x + Q d y
, auch wiederum
z
als
bestimmte
Function von
x
und
y
.
3. Es kommen aber in der Mathematik un- terweilen Fälle vor, daß jene partielle Differenzial-
quo-
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
quotienten
;
(1.); nicht geradezu vor- gegeben sind, sondern einer aus dem andern, erst vermittelst einer Gleichung bestimmt wird, so daß der eine unbestimmt bleibt, oder vielmehr willkühr- lich angenommen werden kann.
4. In diesem Falle wird also auch
z
keine völlig bestimmte Function von
x
und
y
seyn kön- nen, sondern auch eine
unbestimmte Function
enthalten müssen.
5. Die Frage des gegenwärtigen Kapitels ist also folgende. Aus einem gegebenen Verhalten zwischen
P
und
Q
d. h. aus einer Gleichung wel- che zwischen den partiellen Differenzialquotienten
und
vorgegeben seyn soll, die unbe- stimmte Function
z
selbst zu finden, welche jener Gleichung ein Genüge leistet.
6. Dies nennt man die
Integration von Gleichungen mit partiellen Differenzia- len
(
Calcul a différences partielles
) wovon wir nunmehr das allgemeinste auch noch betrach- ten wollen.
7.
Integralrechnung.
7. Gleichungen worin diese partiellen Diffe- renzialquotienten nur allein in ihrer ersten Potenz vorkommen, nennt man
lineäre Gleichungen
, zum Unterschiede von denen welche auch Potenzen von
;
; oder auch Producte aus beyden enthalten würden.
8. Die allgemeine Form solcher lineären Glei- chungen zwischen partiellen Differenzialen würde seyn
wo
K
,
M
,
N
, nach Gefallen Functionen von
x
,
y
,
z
bedeuten mögen.
9. Es frägt sich also, aus einer solchen Glei- chung (8.), worin zwar
K
,
M
,
N
gegeben sind, aber einer von den partiellen Quotienten
oder
unbestimmt bleibt, und also nach Gefallen angenommen werden kann, die Größe
z
, als un- bestimmte Function von
x
,
y
, dergestalt zu be- stimmen, daß jener Gleichung ein Genüge geschehe. Oder noch allgemeiner: eine endliche Gleichung
zwi-
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
zwischen
x
,
y
,
z
zu finden, woraus eine partielle Differenzialgleichung, wie die vorgegebene abge- leitet werden kann.
10. Wir wollen künftig die partiellen Diffe- renzialquotienten
,
, nicht mit den großen Buchstaben
P
,
Q
, sondern bequemer mit den kleinern
p
,
q
bezeichnen, wo demnach jetzt
p
,
q
, nicht die Bedeutungen
,
, haben, unter denen sie so häufig bey den vorhergehenden Unter- suchungen gebraucht worden sind.
11. Setzt man statt
,
, diese Buchstaben
p
,
q
, so werde ich die Gleichung (8.) unter der Form
K p + M q = N
eine
redu- cirte
Gleichung nennen.
Um nun die Möglichkeit der Aufgabe (5
.
9.) vorläufig durch ein paar Beyspiele zu erläu- tern, so wollen wir nur ein paar einfache Fälle zum voraus schicken.
12.
Erstes Beysp
. Gesetzt es sey
K = r; M = o; N =
einer Function von
x
, welche ich mit
X
bezeichnen will.
Es
Integralrechnung.
Es soll demnach eine Function
z
von zwey veränderlichen Größen
x
und
y
gesunden werden, daß der partiellen Differenzialgleichung
, oder
p = X
ein Genüge geschehe.
13. Man sieht leicht, daß wenn in
d z = p d x + q d y
(1.10.) statt
p
oder
die Function
X
gesetzt wird, in der Differenzialgleichung
d z = X d x + q d y
die Größe
q
d. h. der partielle Differenzial- quotient
unbestimmt bleibt, daß aber die Gleichung
d z = X d x + q d y
integrirt werden kann, so bald statt
q
unbestimmt eine gewisse Fun- ction von
y
gesetzt wird, welche ich mit
Y
bezeich- nen will. Denn man erhält
z
=
∫
X d x
+
∫
Y d y
, wo also, in so ferne
Y
als unbestimmt angesehen wird, auch
∫
Y d y
eine unbestimmte Function von
y
seyn wird, welche ich mit
f y
bezeichnen will. Also ist
z
=
∫
X d x + f y
, die gesuchte un- bestimmte Integralgleichung. Denn man hat
; Aber
ist =
o
, weil
f y
die Größe
x
nicht enthält. Demnach schlechtweg
wie das Beyspiel verlangt.
14.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
14. In der gefundenen Integralgleichung ist
∫
X d x
der
bestimmte Integraltheil
, so bald die Function
X
gegeben ist, und
f y
der
unbe- stimmte Integraltheil
, wofür jede
belie- bige Function
von
y
gesetzt werden kann.
15.
Zweytes Beysp
. Es sey in der all- gemeinen Form (8)
K = x; M = y; N = z.
Es soll also
x
seyn. Man sucht die Function
z
, daß dieser Gleichung oder auch der reducirten
x p + y q = z
ein Genüge geschehe
.
16.
Aufl.
Man setze den Werth von
aus der reducirten Gleichung, in die Differenzialgleichung
d z = p d x + q d y
, so wird
y d z — z d y = p (y d x — x d y)
17. Nun dividire man auf beyden Seiten mit
y
2
, oder multiplicire mit dem integrirenden Factor
so wird
y d z
Integralrechnung.
d. h.
.
18. Weil nun in der reducirten Gleichung zwischen
p
und
q
(15.) eine von den Größen
p
oder
q
, nach Gefallen angenommen werden kann, so wol- len wir in dem so eben gefundenen Ausdruck
für
p
eine
willkührliche Function
von
, welche ich mit
f
bezeichnen will, nehmen. Dann ist durch Integration
wo nun das Integral
∫
offenbar auch wieder eine Function von
seyn wird, welche ich mit
bezeichnen will.
Höh. Anal.
II.
Th.
F f
19.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
19. Also ist die gesuchte Integralgleichung
oder
Hier ist es nun willkührlich, was man statt
für eine Function von
setzen will, und hat man nicht nöthig, sie erst aus einer Integration wie
abzuleiten.
20. Wäre z. B.
, so hat man
d. h.
ist die Gleichung zwischen
x
,
y
,
z
, wenn
x p + y q = z
seyn soll (15.). Denn man hat
also diese Werthe statt
p
und
q
gesetzt, offenbar
d.
Integralrechnung.
d. h.
p x + q y = z
(20) wie das Beyspiel (15) es verlangte.
Nach diesen vorläufigen Erläuterungen wollen wir nun etwas allgemeinere Aufgaben betrachten.
§. 238.
Aufgabe
.
Aus der Gleichung
oder
K p + M q = N
die endliche Gleichung zwischen
x
,
y
,
z
zu finden, welche jener mit den partiel- len Differentialquotienten, ein Genüge leiste, was auch
K
,
M
,
N
für gegebene Functionen von
x
,
y
,
z
seyn mögen
.
Aufl.
1. Aus der endlichen, wiewohl noch unbekannten Gleichung zwischen
x
,
y
,
z
, gedenke man sich den Werth von
z
, als einer Function von
x
und
y
, entwickelt, so würde alsdann seyn
d z = p d x + q d y
.
2. In diese Differenzialgleichung setze man den Werth von
q
aus der vorgegebenen Gleichung
F f 2
zwi-
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
zwischen den partiellen Differenzialquotienten, nem- lich
, so wird
oder
M d z — N d y = p (M d x — K d y).
3. Wir wollen nun
Erster Fall
annehmen, daß
M
,
N
,
K
so beschaffen sind, daß der Ausdruck
M d z — N d y
keine andern veränderlichen Größen als
z
und
y
, und eben so
M d x — K d y
keine andern als
x
und
y
enthalten.
4. Sind nun die Differenziale
M d z — N d y
,
M d x — K d y
, entweder schon an und für sich, oder durch Beyhülfe integrirender Factoren
L
und
L
' integrabel, so sey das Integral
∫
(
Mdz — Ndy
) oder auch
∫
L (M d z — N d y) = u
; und eben so
∫
(
M d x — K d y
) oder auch
∫
L' (Mdx — Kdy) = t
, so sind vors erste diese Functionen
u
und
t
als bekannt anzusehen.
5. Man hat sodann umgekehrt wieder
L (M d z — N d y) = d u L' (M d x — K d y) = d t
und
Integralrechnung.
und folglich
Mithin (2.)
oder
.
6. Weil nun
p
einen unbestimmten Werth hat, und also willkührlich angenommen werden kann (§. 237. 3.), so läßt sich
p
so annehmen, daß
einer willkührlichen Function von
t
gleich ist, welche ich mit
f t
bezeichnen will, wodurch denn
d u = d t . f t
also
u
=
∫
d t f t
wird, wo das Integral
∫
d t f t
offenbar auch wieder eine willkührliche Function
F t
von
t
bedeutet, in so ferne
f t
willkührlich an- genommen ist.
Also ist die gesuchte Integralgleichung
u = F t
wo die Größen
u
und
t
durch die Integrationen
(4.)
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
(4.) bekannt sind, und in diese Gleichung substi- tuirt, das gesuchte Verhalten zwischen
x
,
y
und
z
geben werden, wie nachher durch einige Bey- spiele erläutert werden soll.
7.
Zweyter Fall
. Wenn
K
,
M
,
N
so beschaffen sind, daß in den Differenzialen
M d z — N d y
und
M d x — K d y
alle drey Größen
x
,
y
,
z
vorkommen, in wel- chem Falle denn diese Differenzialausdrücke weder für sich allein, noch auch durch Beyhülfe von Factoren integrabel seyn würden.
8. Aber man begreift nunmehr folgendes. Weil
als einer von den beyden partiellen Differenzial- quotienten, nach Gefallen angenommen werden kann, mithin einen unbestimmten Werth hat, so muß auch der ihm entsprechende Ausdruck
, wie auch
z
,
y
,
x
von einander abhängen, also je eine von diesen Größen durch die anderen bestimmt werden mag, einen unbe- stimmten Werth haben d. h. es muß
M
Integralrechnung.
M d z — N d y = o
und
M d x — K d y = o
seyn, weil nur alsdann
p
=
unbestimmt wird.
9. Gesetzt nun aus diesen beyden Gleichungen
M d z — N d y = o
und
M d x — K d y = o
könne man auf irgend eine Art, entweder durch Eli- mination je einer von den veränderlichen, oder durch sonstige Verbindungen, ein paar neue Differenzial- gleichungen
M
d z
+ L
d y
+ N
d x = o m d z + l d y + n d x = o
ableiten, welche entweder schon an und für sich, oder durch Beyhülfe von Factoren integrabel seyen, so wird sich aus diesen die wahre Integralglei- chung von
oder vielmehr das Verhalten von
x
,
y
,
z
welches der angeführten Gleichung mit partiellen Differen- zialquotienten, ein Genüge leistet, auf folgende Art ausmitteln lassen.
10. Es sey erstlich
λ
der integrirende Factor von M
d z
+ L
d y
+ N
d x
. Ist dieser Aus- druck schon ohne Factor integrabel, so würde man sich
λ
nur als = 1 gedenken müssen.
11.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
11. Man nenne das Integral
∫ λ
(M
d z
+ L
d y
+ N
d x
) =
u
so wird
u
eine aus
x
,
y
,
z
, vielleicht auch nur aus
x
,
y
oder
y
,
z
ꝛc. zusammengesetzte Function bezeichnen, welches denn auf die Beschaffenheit der Functionen M, L, N ankommen wird, um die wir uns jetzt nicht nöthig haben, zu bekümmern.
12. Diese durch die Integration herauskom- mende Function
u
wird man einer unveränderli- chen Größe
a
gleich setzen müssen, damit aus
u = a
durch Differenziation wiederum die Glei- chung
d u = o
d. h.
λ
(M
d z
+ L
d y
+ N
d x
) =
o
oder M
d z
+ L
d y
+ N
d x = o
folge, wie es sich nach (9.) gebührt.
13. Eben so sey der Ausdruck
m d z + l d y + n d x
(9.) durch den Factor
ν
integrabel und
∫ ν
(m d z + l d y + n d x) = t
so wird nach ähnlichen Gründen auch die Function
t = b
d. h. einer constanten Größe gleich gesetzt werden müssen.
14. Aber wenn gleich aus jeder der beyden Gleichungen
u = a; t = b
; sich ein Werth von
z
als Function von
x
,
y
,
a
oder
x
,
y
,
b
würde
ablei-
Integralrechnung.
ableiten lassen, welcher den Gleichungen (9.) ein Genüge leisten würde, so ist doch jedes solches
z
nur ein bestimmter, mithin nur ein particulärer Werth, welcher den angeführten Gleichungen, und mit ihnen auch der vorgegebenen partiellen Diffe- renzialgleichung ein Genüge leisten würde; denn wenn ein gewisses Verhalten zwischen
z
,
x
,
y
allgemein
jener partiellen Differenzialgleichung ein Genüge leisten soll, so muß
z
nicht bloß einer
bestimmten
Function von
x
,
y
, wie solche aus den Gleichungen
u = a
oder
t = b
sich ergeben würde, gleich seyn, sondern eine unbestimmte Fun- ction enthalten müssen. Es muß also ein solches Verhalten, d. h. eine solche Gleichung zwischen
z
,
y
,
x
gesucht werden, daß darinn auch eine un- bestimmte Function von
x
und
y
vorkomme.
15. Dieses wird sich nun auf folgende Art ausmitteln lassen.
Aus der Gleichung (11.) hat man umgekehrt durch Differenziation
M
d z
+ L
d y
+ N
d x
=
.
16. In diese Gleichung setze man
d z
=
aus (9.) so wird
N
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
Aber L
d y
+ N
d x
= — M
d z
(9.) Also
Oder auf beyden Seiten mit
multiplicirt
M d z — N d y
= —
d u
.
17. Eben so hat man aus
m d z + l d y + n d x
=
(13.)
Und aus
d x
=
(9.) die neue Gleichung
Oder (wegen
m d z + l d y = — n d x
)
d. h.
M d x — K d y
= —
d t
.
18. Diese Werthe von
M d z — N d y
(16.) und
M d x — K d y
(17.) substituire man in die Gleichung (8.) so ergiebt sich
M
Integralrechnung.
d. h.
d u
=
p d t
.
19. Aus dieser Gleichung erhellet nun, daß die Functionen
u
,
t
selbst von einander abhängig sind. Weil aber nun
p
unbestimmt ist, so kann man es so annehmen, daß
p
einer un- bestimmten Function von
t
gleich werde, welche ich mit
f t
bezeichnen will. Und so hätte man denn
d u = f t . d t
Also
u =
∫
(f t . d t)
wo klar ist, daß dieses Integral selbst auch wieder einer unbestimmten Function von
t
gleich seyn wird, welche mit
F t
bezeichnet werde.
20. Aus den bisherigen Gleichungen hat man also die Finalgleichung
u = F t
in welche man statt
u
,
t
, die obigen durch die Integration sich ergebenden Ausdrücke, als Fun- ctionen von
x
,
y
,
z
(11. 13.) zu setzen hat, um die gesuchte unbestimmte Relation zwischen
x
,
y
,
z
zu
erhal-
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
erhalten, wodurch allgemein der partiellen Diffe- renzialgleichung
und in bestimmten Fällen auch den Gleichungen (9.) ein Genüge geleistet wird.
§. 239.
Anmerkung
.
1. Die bisherige Auflösungsmethode rechtfer- tigt sich auch durch das umgekehrte Verfahren. Nemlich wenn die Functionen
u
,
t
durch
x
,
y
,
z
als gefunden angesehen werden, so wird daraus zwischen den partiellen Differenzialen
p
=
;
q
=
auch wieder eine Gleichung von der obigen Form nemlich
K p + M q = N
folgen.
Denn es wird seyn (§. 238. 10.)
I) d u
=
λ
M
d z
+
λ
L
d y
+
λ
N
d x II) d t
=
ν
m d z
+
ν
l d y
+
ν
n d x d F t = f t . d t
oder der Kürze halber
T
statt
f t
und aus (
II.
) den Werth von
d t
substituirt
III) d F t = T d t
=
ν
m T d z
+
ν
l T d y
+
ν
n T d x
.
2.
Integralrechnung.
2. In diese drey Gleichungen setze man nun
p d x + q d y
statt
d z
, so erhält man
d u
=
λ
(M
q
+ L)
d y
+
λ
(M
p
+ N)
d x d t
=
ν
(m q + l) d y
+
ν
(m p + n) d x d F t
=
ν
T (m q + l) d y
+
ν
T (m p + n) d x
.
3. Nun ist wegen
u = F t
d. h. aus (2.)
λ
(M
p
+ N) =
ν
T (m p + n)
λ
(M
q
+ L) =
ν
T (m q + l)
Oder wenn man aus beyden Gleichungen
T
eli- minirt
d. h. (M
l
— L
m
)
p
+ (N
m
— M
n
)
q
= L
n
— N
l
welches mit der obigen Form
K p + M q = N
völlig übereinstimmt, wenn der Kürze halber
M
l
— L
m = K
N
m
— M
n = M
L
n
— N
l = N
gesetzt
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
gesetzt wird, wo denn M, N, L,
l
ꝛc. aus den Differenzialien
d u
,
d t
(12. 13.) bekannt sind.
§. 240.
Zusatz
.
1. Es ist also aus dem bisherigen klar, daß alles auf die Gleichungen
M d z — N d y = o M d x — K d y = o
ankömmt. Wenn diese so beschaffen sind, daß die Ausdrücke
M d z — N d y; M d x — K d y
; ent- weder geradezu, oder durch Beyhülfe von Facto- ren integrabel sind, oder sich doch aus gedachten Gleichungen ein paar andere ableiten lassen, welche integrirt werden können, um die Functionen
u
,
t
oder auch die Gleichungen
u = a
,
t = b
, zu er- halten (§. 238. 9-15.), so ist
u = F t
oder auch
t = f u
allemahl die gesuchte Integralgleichung von
.
2. Aus den Gleichungen
M d z — N d y = o
und
M d x — K d y = o
können nun für den (Fall
II.
§. 238.) durch Elimination je einer von
den
Integralrechnung.
den veränderlichen Größen ein paar neue Glei- chungen erhalten werden, so daß in der einen bloß
z
und
x
und in der andern bloß
z
und
y
, oder auch bloß
y
und
x
enthalten sind. Sind diese Gleichungen integrabel, so ergiebt sich aus der ei- nen die Function
u
durch
z
und
x
, und aus der andern die Function
t
durch
z
und
y
, oder auch durch
y
und
x
, und dann hieraus die gesuchte In- tegralgleichung
u = F t
; oder auch
t = f u
, wo denn
F t
,
f u
willkührliche Functionen bedeuten.
3. Bey dieser Eliminationsmethode kann es geschehen, daß man z. B. zwischen
z
und
x
, oder
z
und
y
, oder
y
und
x
, auf eine Differenzialglei- chung vom zweyten oder wohl noch höhern Grade gelangt. Begreiflich hat dies auf die bisherigen Schlüsse (§. 238. 7. ꝛc.) keinen Einfluß. Denn wenn gleich die Differenzialgleichungen (§. 238. 9.) nur vom ersten Grade angenommen sind, so erhel- let doch leicht, daß wenn man auch welche vom zweyten Grade gefunden hätte, ihre Integrale doch immer zuletzt auf eine vom ersten Grade führen würden, die denn unter der allgemeinen Form (§. 238. 9.) würde enthalten seyn. Wenn in ei- ner dieser Gleichungen eine veränderliche Größe fehlt, so darf man sich den Coefficienten in ihr
Diffe-
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
Differenzial nur =
o
gedenken. Fehlte z. B. in der Gleichung M
d z
+ L
d y
+ N
d x = o
(§. 238. 9.) die Größe
x
, so daß nur
z
und
y
darin vorkämen, so würde sie nur heißen M
d z
+ L
d y = o
; fehlte die Größe
y
, so würde sie dagegen heißen M
d z
+ N
d x = o
u. s. w. Wenn nur diese Gleichungen, oder auch die vom zweyten Grade, aus welchen solche vom ersten Grade ent- stehen würden, integrabel sind, so werden dadurch immer die Functionen
u
,
t
gefunden, auf deren Bestimmung allein alles ankömmt, um das In- tegral der vorgegebenen Gleichung
zu erhalten.
4. Können die durch Elimination erhaltenen Gleichungen (
) nicht geradezu integrirt werden, so muß man Reihen zu Hülfe nehmen, welches aber meistens von keinen besondern Nutzen ist.
5. Uebrigens können nun aber die Gleichun- gen
M d z — N d y = o
und
M d x — K d y = o
unterweilen sonst noch auf eine schickliche Weise ver- bunden werden, um auf andere integrable zu ge- langen, aus welchen sich die Functionen
u
,
t
ab- leiten lassen. Da aber dies nur in besondern spe-
ciellen
Integralrechnung.
ciellen Fällen geschehen kann, und sich darüber nicht allgemeines darstellen läßt, so begnüge ich mich, hievon in der Folge etwa nur ein Beyspiel zu geben, so wie denn überhaupt alles bisherige erst durch Beyspiele vollkommen erläutert wird.
§. 241.
Aufgabe
.
Das Verhalten zwischen den drey veränderlichen Größen
x
,
y
,
z
zu fin- den, daß der Gleichung zwischen den partiellen Differenzialen nemlich
worinn
X
und X gegebene Functionen von
x
bedeuten, ein Genüge geschehe, oder kürzer, die vorgegebene Gleichung mit partiellen Differenzialen zu inte- griren
.
Aufl
. 1. Bringt man diese Gleichung auf die allgemeine Form (§. 238.) so hat man
oder auch die reducirte
X p — q
= — X.
Höh. Anal.
II.
Th.
G g
2.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
2. Demnach
K = X; M = — 1; N
= — X woraus die beyden Gleichungen (§. 240. 1.) fol- gende Gestalt haben
—
d z
+ X
d y = o
; oder
d z
— X
d y = o
—
d x — X d y = o
; oder
d x + X d y = o
.
3. Aus der zweyten erhält man sogleich durch den integrirenden Factor
also
+
y = b
; d. h. die bisherige Function
t
=
+
y
; wo das Integral
nach den bereits bekannten Methoden (Kap
I-V.
) ge- funden wird, wenn die Function
X
gegeben ist.
4. Wenn man ferner aus den beyden Glei- chungen (2.) das Differenzial
d y
eliminirt, so erhält man
d z
+
d x = o
Also sogleich
z
+
d x = a
dem-
Integralrechnung.
demnach die Function
u = z
+
, wo das Integral
ebenfalls aus den gegebenen Fun- ctionen X,
X
, nach den bekannten Methoden ge- funden wird.
5. Folglich die gesuchte Gleichung zwischen
x
,
y
,
z
aus
u = F t
(§. 240. 1.) folgende
oder
wozu noch eine beliebige Constante addirt werden kann.
§. 242.
Aufgabe
.
Für die vorgegebene Gleichung
oder
p + Y X q
= Y Z X
worin die größeren Buchstaben wie
X
, Y, Z ꝛc. allemahl gegebene Functionen von
G g 2
den
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
den kleinern,
x
,
y
,
z
ꝛc. bedeuten, die In- tegralgleichung zu finden
.
Aufl
. 1. Hier ist also
K = 1; M = Y X; N
= Y Z X. Demnach die beyden Gleichungen (§. 240. 1.) folgende
I) Y X d z
— Y Z X
d y = o II) Y X d x — d y = o
.
2. Multiplicirt man die untere derselben mit dem Factor
, so wird
X d x
—
=
o
also
∫
X d x
—
=
b
.
3. Demnach wäre erstlich die Function
t =
∫
X d x
—
, wo jedes Integral für sich, nach den vorhergehenden Vorschriften (Kap.
I-IV.
) gefunden werden kann.
4. Aus der gefundenen Integralgleichung (2.) zwischen
x
und
y
,
kann
y
als Function von
x
entwickelt, oder doch als eine solche Function von
x
betrachtet werden
, wenn gleich jene Gleichung oft von der Beschaffenheit seyn kann, daß diese Entwickelung ihre Schwie-
rigkei-
Integralrechnung.
rigkeiten hat, worum ich mich jetzt hier nicht wei- ter bekümmere.
5. Aus der Gleichung (
II.
) setze man den Werth von
d y = Y X d x
in die (
I.
) so erhält man
d z
— Y Z X
d x = o
.
6. In dieser Gleichung kann jetzt Y als eine Function von
x
betrachtet werden, wenn man den Werth von
y
, als Function von
x
aus (4.), in Y substituirt. Diese Function Y durch
x
ausge- drückt, heiße X', so hat man
7. Durch den integrirenden Factor
aus (5.)
— X' X
d x = o
also
—
∫
X' X
d x = a
.
8. Was hier linker Hand des Gleichheitszei- chens steht, ist die gesuchte Function
u
, woraus denn aus
u = F t
, die Integralgleichung
folgt, wo denn insbesondere aus dem Integral- theile
∫
X' X
d x
, worin X' die Größe
b
nach (2.
4.)
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
4.) enthalten wird, diese Größe
b
zu eliminiren, d. h.
∫
X d x
—
statt ihr zu setzen ist (2.). Einige besondere Beyspiele werden nun hinläng- lich seyn, die Sache zu erläutern.
§. 243.
Beyspiele zu vorigen §§en
.
Beyspiel
I.
zu
§. 242.
I.
Es sey die vorgegebene Gleichung
folgende
oder
y p + x q
=
.
II.
So hat man, um sie auf die in der Auf- gabe des vorigen §es gegebene Form zu bringen, durch Division mit
y
auch
.
III.
Demnach
Y
=
;
X = x;
Y =
; X =
x
und Z =
n z
.
IV.
Integralrechnung.
IV.
Hieraus (im vorigen §. 242. (2.))
∫
X d x
—
=
∫
x d x
—
∫
y d y = ½ (x
2
— y
2
)
.
V.
Und folglich die Gleichung ½
(x
2
— y
2
) = b
, woraus
y = √ (x
2
— 2 b)
folgt.
VI.
Folglich (§. 242. (5.))
(§. 242. 6.)
Und nun weiter
log z
oder
b
eliminirt, aus
(V.) = ½ log y
2
= log y
Hieraus endlich die gesuchte Integralgleichung
log z — log y = F ½ (x
2
— y
2
)
; oder
log z — n log y = n F ½ (x
2
— y
2
)
.
VII.
Hier kann nun die willkührliche Function von ½ (
x
2
— y
2
) oder welches auf eins hinaus- läuft von
x
2
— y
2
, auch logarithmisch genommen werden, so daß für
n F ½ (x
2
— y
2
)
schlechtweg auch gesetzt werden kann
log f (x
2
— y
2
)
, wo
f
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
f (x
2
— y
2
)
gleichfalls eine willkührliche Function von
x
2
— y
2
bedeutet. Dies giebt demnach
log z — n log y = log f (x
2
— y
2
)
Oder welches dasselbe ist
z = y
n
f (x
2
— y
2
)
so wie
Euler
die Integralgleichung ausdrückt (
Inst. Calc. iutegr. Vol. III.
§. 189.). Es ver- steht sich, daß zur gefundenen Gleichung noch eine willkührliche Constante
C
hinzugedacht werden muß.
Beyspiel
II.
zu
(§. 240. 5.)
VIII.
Es sey die vorgegebene Glei- chung
oder
z p + q = x
.
IX.
Wenn man diese mit der allgemeinen Form (§. 238.) vergleicht, so hat man
K = z; M = 1; N = x
; also die beyden Gleichungen (§. 240. 1.)
d z — x d y = o d x — z d y = o
Unter diesen ist keine für sich allein, auch durch keinen Factor integrabel. Aber
in ihrer Ver-
bin-
Integralrechnung.
bindung unter einander
(§. 240. 5.), und zwar wenn man sie hier zusammenaddirt, erhält man
d x + d z — (x + z) d y = o
eine Gleichung, welche unter der Form einer von den beyden (§. 238. 9.) enthalten ist, wenn man das dortige M = 1; N = 1; und L = — (
x + z
) setzt.
X.
Multiplicirt man sie in den Factor
so erhält man
—
d y = o
eine integrable Gleichung, wegen
=
d log (x + z)
.
Demnach
log (x + z) — y = a
.
Es ist demnach die Function
u = log (x + z) — y
.
XI.
Nimmt man nun aus (
X.
) den Werth von
d y
=
, und setzt ihn in die erste von den beyden Gleichungen (
IX.
), so erhält man eine zweyte integrable, nemlich
d z
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
oder auf beyden Seiten mit
x + z
multiplicirt
z d z — x d x = o
deren Integral ½
(z
2
— x
2
) = b
ist. Demnach ist ½ (
z
2
— x
2
) oder auch schlechtweg
z
2
— x
2
die gesuchte Function
t
.
XII.
Und nun
u = F t
§. 240. oder
log (x + z) — y = F (z
2
— x
2
)
die gesuchte Integralgleichung, welche sich, in so ferne die unbestimmte Function
F (z
2
— x
2
)
auch logarithmisch =
log f (z
2
— x
2
)
genommen wer- den kann, auch durch
ausdtücken läßt, wo
f (z
2
— x
2
)
ebenfalls eine unbestimmte Function von
z
2
— x
2
bezeichnet.
XIII.
Die einfachste Auflösung würde demnach seyn, wenn man
f (z
2
— x
2
)
selbst =
z
2
— x
2
= (z + x) (z — x)
setzte, wodurch denn
also
z = x + e
— y
würde, welcher Werth von
z
offenbar der vorgegebenen Gleichung
z
Integralrechnung.
z
+
=
x
ein Genüge leistet. Indessen würde statt
f (z
2
— x
2
)
eine jede andere Function von
z
2
— x
2
gesetzt werden können.
XIV.
Um zu zeigen, wie man auf unterschie- dene Art, durch Verbindung der beyden Gleichun- gen (
IX.
), zu demselben Resultate gelangen kann, so wollen wir einmahl aus den erwähnten zwey Gleichungen, die Größe
x
eliminiren, um eine zwischen
z
und
y
zu erhalten.
XV.
Aus der erstern (
IX.
) hat man nemlich
x
=
, also
d x
=
, wenn man das Dif- ferenzial
d y
constant annimmt.
XVI.
Diesen Werth von
d x
setze man in die zweyte Gleichung (
IX.
), so hat man
—
z d y = o
Oder
d d z — z d y
2
= o
eine Differenzialgleichung vom zweyten Grade, de- ren Integral nach (§. 219. Beysp.
I.
) gefunden wird, wenn man
die
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
die dortigen
y ; x ; A ; B
hier
z ; y ; o ;
— 1
bedeuten läßt. Man erhält auf diese Art
z
=
α
e
y
+
β
e
— y
wo
α, β
willkührliche Constanten bezeichnen.
XVII.
Aus dieser Gleichung wird nun
oder auch
z e
y
—
α
e
2 y
=
β.
XVIII.
Mithin durch Differenziation und nachheriger Division mit
e
y
d z + z d y
— 2
α
e
y
d y = o
Oder
+
z
— 2
α
e
y
= o
d. h.
(XV.) x + z
— 2
α
e
y
= o
Oder
log (z + x) = log
2
α
+
y
Mithin
log (z + x) — y = log
2
α
welches auf einem andern Wege dieselbe Gleichung ist, welche wir in (
X.
) gefunden hatten, wo das dortige
a
auch =
log
2
α
gesetzt werden kann.
XIX.
Um die zweyte Gleichung
t = b
zu erhalten, kann man entweder nach (
XI.
) verfah- ren, oder sie aus (
XVII.
) und (
XVIII.
) ableiten.
Man
Integralrechnung.
Man setze aus (
XVIII.
) den Werth von
α
=
in den Ausdruck (
XVII.
), so ergiebt sich
½
(z — x) e
y
=
β
oder
log (z — x) + y = log
2
β
dies mit
log (z + x) — y = log
2
α
(
XVIII.
)
verbunden, giebt sogleich
log (z — x) + log (z + x) = log
4
α β
d. h.
z
2
— x
2
= 4
α β
Also die obige Gleichung ½ (
z
2
— x
2
) = b (XI)
, wenn man die Constante
b
= 2
α β
setzt.
XX.
In der gefundenen Integralgleichung (
XII.
) kann nun begreiflich noch eine willkührliche Constante vorkommen, und muß darin enthalten seyn, wenn sie eine vollständige Integralgleichung seyn soll. So kann man z. B. statt
F (x
2
— y
2
)
allgemeiner setzen
F
α
(
x
2
— y
2
), wenn
α
eine sol- che Constante bezeichnet. Daher eigentlich
log (x + z) — y = F
α
(
z
2
— x
2
)
die vollständige Integralgleichung ist.
XXI.
Begreiflich wird man das Verfahren (
IX-XII.
) um die beyden Gleichungen
u = a; t = b
zu erhalten, dem letztern (
XV-XX.
) vor-
ziehen,
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
ziehen, welches auf eine Differenzialgleichung vom zweyten Grade führte, die man, so wie überhaupt höhere Differenzialgleichungen, gerne zu vermeiden sucht.
XXII.
Indessen läßt sich in manchen Fällen aus den beyden Gleichungen
M d z — N d y = o M d x — K d y = o
(§. 240.)
eine von den 3 veränderlichen Größen nicht anders eliminiren, ohne auf eine höhere Differenzialglei- chung zu gelangen, wir wollen es noch durch fol- gendes Beyspiel erläutern.
Beyspiel
III.
XXIII.
Es sey die Gleichung
oder
p + q = x
zu integriren
.
Hier ist also (§. 240.)
K
=
;
M = 1; N = x
; also sind die beyden Gleichungen (
XXII.
) folgende
d z — x d y = o d x
—
d y = o.
XXIV.
Integralrechnung.
XXIV.
Aus diesen zwey Gleichungen läßt sich am bequemsten die Größe
x
eliminiren. Nem- lich wegen
x
=
wird
d x
=
wie oben (
XV.
), welcher Werth in die zweyte Gleichung gesetzt
d d z
—
d y
2
= o
giebt.
XXV.
Hievon findet sich nach (§. 219. Bey- spiel
II.
) die Integralgleichung
z
=
wenn man die dortigen
y ; x ; A ; B
hier
z ; y ; o ; — 1
bedeuten läßt, wodurch
k
= ½ √ 5 wird;
α β
sind willkührliche Constanten.
XXVI.
Aus dieser Gleichung (
XXV.
) erhält man sogleich durch Differenziation, den Werth von
x
=
; wir wollen aber der Kürze halber die Exponenten
=
ν
, also
z
Zweiter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
z
=
α
y
μ
+
β
y
ν
(☉)
setzen, so wird
oder
x
=
μ α
y
μ
— 1
+
ν β
y
ν
— 1
(☽).
XXVII.
Aus diesen zwey Gleichungen, (☉. ☽) suche man die Constanten
α, β
auf eine Seite zu schaffen; so ergeben sich sogleich die beyden gesuchten Gleichungen
u = a;
und
t = b;
aus denen so- dann
u = F t
, oder auch
t = f u
, die gesuchte Integralgleichung wird. Verfährt man auf die angezeigte Art, so wird nach gehöriger Rechnung
= (
μ — ν
)
β
= (
ν — μ
)
α
Läßt man also die constanten Größen (
μ — ν
)
β
, und (
ν — μ
)
α
, die Werthe von
a
und
b
bedeu- ten, so wird
u
=
;
t
=
; demnach
u = F t
oder
die gesuchte Integralgleichung seyn, aus welcher denn freylich der Werth von
z
, welcher der vor-
gege-
Integralrechnung.
gegebenen Differenzialgleichung (
XXIII.
) ein Ge- nüge leistet, erst entwickelt werden kann, wenn man für die unbestimmte Function
eine bestimmte von
annimmt.
§. 244.
I.
Man wird nun aus diesen Beyspielen, zu denen auch die Aufgaben §§. 241 u. 242. als nur etwas allgemeinere gehören, sehr leicht das Ver- fahren überhaupt einsehen, welches bey der Inte- gration lineärer Gleichungen zu beobachten ist. In
Eulers
Instit. Calc. integr. Vol. III.
kann man noch eine große Menge einzelner Fälle und Bey- spiele finden, welche sämmtlich nach den allgemei- nen Vorschriften (§. 240.) ohne Mühe zu ent- wickeln sind, wenn gleich
Euler
fast für jeden einzelnen Fall, eine besondere Auflösungsart gege- ben hat, welches die Uebersicht des allgemeinen Verfahrens erschwert, welches, wie aus dem Bis- herigen erhellet, auf die Ableitung der Functionen
u
und
t
, aus den beyden Gleichungen
M d z — N d y = o M d x — K d y = o
(§. 240. 1.)
Höh. Anal.
II.
Th.
H h
beruht,
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
beruht, und von
La Grange
(
Mem. de l’Ac. de Berlin 1774 p. 253; 1779. p.
152 und 1789.
p.
174.) zuerst gelehrt worden ist. Man sehe auch dessen
Théorie des fonctions analytiques
N
ro.
101. etc.
Die (§. 238.) gewählte Darstellungsart, scheint mir aber die einfachste und zweckmäßigste zu seyn.
II.
Lassen sich aus den angeführten zwey Glei- chungen
M d z — N d y = o M d x — K d y = o
keine anderen ableiten, welche integrabel sind, um so die Functionen
u
,
t
zu bestimmen, so ist denn an die Integration der partiellen Differenzialglei- chung
K
+
M
=
N
freylich nicht weiter zu denken, man müßte denn noch (§. 240. 4.) Reihen zu Hülfe nehmen wollen.
§. 245.
I.
Man kann auf eine Art, welche der (§. 238. 7. ꝛc.) ganz ähnlich ist, beweisen, daß wenn eine lineäre Gleichung zwischen partiellen Differen- zialien von noch mehr veränderlichen Größen z. B.
K
Integralrechnung.
K
+
M
+
L
=
N
wo
z
jetzt eine Function von drey veränderlichen Größen
x
,
y
,
r
bedeutet, vorgegeben ist, die Integralgleichung nach einem ähnlichen Verfahren aufgefunden werden kann.
II.
Man formire nemlich aus den Coessicien- ten
K
,
M
,
L
,
N
, welche nach Gefallen Functio- nen von
x
,
y
,
r
,
z
, seyn mögen, folgende drey Glei- chungen
M d z — N d y = o M d x — K d y = o M d r — L d y = o
Und suche sie nun so unter einander zu verbinden, daß man aus ihnen drey neue Gleichungen erhält, welche entweder geradezu, oder durch Beyhülfe von Factoren ꝛc. integrirt werden können. Die daraus erhaltenen Integralgleichungen seyen (wie bisher bey zwey veränderlichen Größen, wovon
z
eine Function war), jetzt
u = a; t = b; w = c
so daß
u
,
t
,
w
die vermittelst der Integration gefundenen, und durch
z
,
x
,
y
,
r
gegebenen Aus- drücke;
a
,
b
,
c
aber drey constante Größen be-
H h 2
zeichnen,
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
zeichnen, so wird aus diesen drey partiellen Inte- gralgleichungen (§. 238. 14.) die vollständige Inte- gralgleichung
u = F (t
,
w);
oder auch
w = f (t
,
u
)
oder auch
t
=
φ
(
w
,
u
)
erhalten, wo denn in jeder von diesen Gleichun- gen die Buchstaben
F
,
f
,
φ
willkührliche Functio- nen der hinter ihnen stehenden Größen,
t
,
u
,
w
(welche denn wieder durch
z
,
x
,
y
,
r
gegeben sind) bezeichnen, dergestalt, daß also z. B.
u = F (t
,
w
) eine willkührliche Gleichung zwischen den Größen
u
,
t
,
w
bezeichnet, aus der alsdann der jedesmahlige Werth von
z
durch
x
,
r
, und
y
ent- wickelt werden kann, wenn zuvor statt
u
,
w
,
t
, die oben erwähnten Ausdrücke durch
z
,
y
,
x
,
r
, sub- stituirt worden sind. Durch Beyspiele es zu er- läutern, würde hier ganz überflüssig seyn, da der- gleichen Fälle doch wohl überhaupt auch sehr selten vorkommen.
III.
Eben so selten ist das Vorkommen von Gleichungen, welche nicht lineär sind (§. 237. 7.). Es ist hier hinlänglich, ihre Integration nur im Allgemeinen zu zeigen, wobey wir denn annehmen, daß solche Gleichungen nur drey veränderliche Grö-
ßen
Integralrechnung.
ßen
y
,
z
,
x
, nebst ihren partiellen Differenzialen
=
p;
=
q;
enthalten.
§. 246.
Aufgabe
.
Es sey
W = o
die vorgegebene Glei- chung mit partiellen Differenzialen, so daß also
W
nach Gefallen die Größen
x
,
y
,
z
,
p
,
q
, auch wenn man will, Po- tenzen von
p
und
q
enthalte. Man sucht die Relation zwischen den drey veränder- lichen Größen
x
,
y
,
z
, welche der Glei- chung
W = o
ein Genüge leiste
.
Aufl
. 1. Man suche aus der Gleichung
W = o
die Größe
q
oder
p;
Ich will setzen
q
, so wird
q
eine Function von
x
,
y
,
z
,
p
seyn.
Ist die vorgegebene Gleichung
W = o
so beschaffen, daß um
q
(oder auch
p
) zu finden, eine höhere Gleichung als eine quadratische oder cubische aufzulösen seyn würde, so vereinigen sich mit der gegenwärtigen Aufgabe die Schwierigkei- ten, deren wir auch schon bey einer andern Gele- genheit Erwähnung gethan haben, die wir aber jetzt bey Seite setzen, da sie nicht hieher gehören.
2.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
2. In so fern also
q
als eine Function von
z
,
y
,
x
,
p
anzusehen ist, hat man
d q = g d z + h d y + i d x + k d p
wo
g
,
h
,
i
,
k
auch Functionen von
z
,
y
,
x
,
p
bezeichnen, welche durch die Differenziation von
q
bekannt werden.
3. Weil aus dem gesuchten Verhalten zwi- schen
x
,
y
,
z
d z = p d x + q d y
ist, und also
p
,
q
Functionen von
x
,
y
,
z
sind, so hat man (wie §. 17. 7.)
d p
=
d z
+
d y
+
d x.
4. Diesen Werth von
d p
setze man in die Gleichung (2.), so erhält man
d q
=
5. Also (4.)
(
d q
Integralrechnung.
.
6. Wenn nun aber aus einem gewissen Ver- halten, d. h. aus einer Gleichung zwischen
x
,
y
,
z
(3.) die Differenzialgleichung
d z = p d x + q d y
oder
p d x + q d y — d z = o
entspringt, so findet bey derselben folgendes Ver- halten statt
=
o
wie man leicht aus (§. 235. 15.) findet, wenn man die dortigen Größen
P ; Q ; R ;
hier
p ; q ; — 1
bedeuten läßt, wodurch denn die dortige Gleichung
R
N +
Q
M +
P
L =
o
, sich in die eben an- gezeigte verwandelt.
7. Setzt man in dieselbe statt
u.
die Ausdrücke (5.) so verwandelt sie sich in
k
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
= — (
i + g p
) welches offenbar nur eine
lineäre Gleichung in Beziehung auf die veränderliche Größe
p
ist, weil die partiellen Differenzialquotienten
nur in der ersten Po- tenz vorkommen. Auch enthält sie nur 4 verän- derliche Größen, nemlich
x
,
y
,
z
und diejenige
p
, von welcher die partiellen Differenziale genommen sind, weil
k
,
i
,
g
,
q
lauter Functionen von
x
,
y
,
z
,
p
sind (2.).
8. Man sehe also zu, ob die (7.) gefundene Gleichung nach (§. 245.) integrirt werden kann, d. h. ob man aus ihr eine Gleichung von der Form
u = F (t
,
w
) erhalten kann, wo
u
,
t
,
w
Fun- ctionen von
x
,
y
,
z
,
p
sind, welche man aus den Gleichungen (§. 245.
II.
) in welchen aber jetzt
P
statt
z
und
z
statt
r
gesetzt wird, auf die daselbst angezeigte Weise, zu bestimmen suchen muß.
9. Aus der gefundenen Gleichung
u = F (t
,
w
), in der statt
F (t
,
w
) jede beliebige Function der durch
x
,
y
,
z
,
p
gefundenen Größen
t
und
w
gesetzt werden kann, entwickele man nun die Größe
p
welches aber nicht eher geschehen kann, als bis
man
Integralrechnung.
man statt der unbestimmten
F (t
,
w
) eine bestimmte gesetzt hat, so erhält man
p
durch
x
,
y
,
z
, und mithin auch
q
durch
x
,
y
,
z
, weil
q
aus der vorgegebenen Gleichung
W = o
durch
x
,
y
,
z
,
p
, bekannt ist (1.).
10. Die für
p
und
q
gefundenen Werthe setze man alsdann in die Gleichung
d z = p d x + q d y
und integrire solche, so wird man eine Relation zwischen
x
,
y
,
z
erhalten, aus der sich alsdann
z
als Function von
x
und
y
ergiebt, welche der Gleichung
W = o
ein Genüge leisten wird, und dergleichen Werthe von
z
erhält man so viele, als aus so viel unterschiedenen Bestimmungen, welche man der willkührlichen Function
F (t
,
w
) ertheilt, die jedesmahligen Werthe von
p
und
q
, zum Behuf der zu integrirenden Gleichung
d z = p d x + q d y
, abgeleitet werden.
11. Man findet also
z
nicht unmittelbar, als unbestimmte Function von
x
und
y
, sondern mit- telbar aus den Werthen von
p
,
q
, welche jedes- mahl aus
F (t
,
w
) resultiren (9.), nachdem man der
F (t
,
w
) eine bestimmte Bedeutung gegeben hat. In so ferne ist also doch
z
immer auch als eine unbestimmte Function von
x
und
y
zu betrachten.
12.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
12. Die Gleichungen selbst, aus denen durch Integration die Größen
u
,
t
,
w
bestimmt werden, ergeben sich nun, wenn man in (§. 245.
I. II.
) statt der dortigen Größen
K
,
M
,
L
,
N
,
z
,
r
hier
k; — 1; p k — q; — (i + g p); p; z
setzt. Man erhält demnach folgende drey Glei- chungen
—
d p + (i + g p) d y = o d x + k d y = o (§. 245. II.) d z + (p k — q) d y = o
in welchen
i
,
g
,
k
,
q
als lauter Functionen von
x
,
y
,
z
,
p
(oder einigen dieser Größen) aus (2.) gefunden werden.
13. Es ist hinlänglich, die Sache durch ein einziges Beyspiel zu erläutern.
14.
Beyspiel
. Es sey
=
P x
+ P; oder
q = P x
+ P
zu integriren, wo
P
, P, nach Gefallen Functio- nen von
p
oder von
seyn können.
Aufl
. Jetzt hätte man also (2.)
d q = P d x + (P' x
+ P')
d p
wenn
Integralrechnung.
wenn der Kürze halber
d P = P' d p; d
P = P'
d p
gesetzt ist.
15. Man hat also für gegenwärtiges Bey- spiel in (2.)
g = o; h = o; i = P; k = P' x
+ P'.
16. Demnach in (12.) die drey Gleichungen
I) — d p + P d y = o II)
d x + (P' x
+ P')
d y = o
III)
d z + (p
(
P' x
+ P') —
P x
— P)
d y = o.
17. Aus (
I.
) ergiebt sich durch Multiplica- tion mit dem Factor
, und Integration, sogleich
welches also die erste Gleichung
u = a
ist, wenn
gesetzt wird.
18. Aus (16.
I
und 16.
II.
) das
d y
eliminirt, so ergiebt sich
oder wegen
P' d p = d P
und P'
d p = d
P (14.)
P d x + x d P + d
P =
o
also
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
also integrirt
P x
+ P =
b
dies wäre denn,
P x
+ P =
t
gesetzt, die zweyte Gleichung
t = b.
19. Ferner ist aus der Differenzialgleichung (18.)
P' x
+ P' = —
und aus (16.
I.
)
d y
=
; diese Werthe in (16.
III.
) substituirt, geben
d z — p d x — x d p
—
=
o
also integrirt
z — p x
—
=
c
welches denn die dritte Gleichung
w = c
wäre.
20. Hieraus ergiebt sich denn die
allge- meine
Gleichung
u = F (w
,
t
) oder auch
w = F (u
,
t
) d. h.
aus welcher denn der Werth von
p
durch
x
,
y
,
z
entwickelt werden kann, so bald man der durch
F
ange-
Integralrechnung.
angezeigten unbestimmten Function eine bestimmte Bedeutung giebt, wenn anders nach gehöriger Substitution, der durch
p
gefundenen Integrale
, die ganze Gleichung von der Be- schaffenheit ist, daß um
p
zu finden, keine cubische oder höhere Gleichung ꝛc. aufzulösen seyn würde. Das übrige was nun noch zu thun ist, ist bereits in (10.) angeführt worden.
21. Da indessen schon jede von den Gleichun- gen
u = a; t = b; w = c
in Beziehung auf die Gleichung (7.) als ein particuläres Integral zu betrachten ist, so ergiebt sich auch aus jeder der- selben in Verbindung mit
d z = p d x + q d y
, schon allein ein Verhalten zwischen
x
,
y
,
z
wel- ches der vorgegebenen Differenzialgleichung
q = P x
+ P (14.) ein Genüge leistet.
22. Es sey z. B.
P = p;
P =
p
2
also
q = p x + p
2
die vorgegebene Gleichung, so hätte man nach (17.)
—
log p + y = a
oder auch
log
=
log a
weil statt der Constante
a
auch
log a
gesetzt werden kann. Dies giebt
denn
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
denn
p
=
; also
q = p x + p
2
=
und nun
d z = p d x + q d y
oder
Mithin integrirt
welches Verhalten zwischen
x
,
y
,
z
, offenbar der Differenzialgleichung
q = p x + p
2
oder
ein Genüge leistet; denn man hat
; also offenbar
23. Wenn man eben so mit der Gleichung
t = b
oder
P x
+ P =
b
(18.) d. h.
p x + p
2
= b
verfährt, und daraus
p = — ½ x +
√
(¼ x
2
+ b)
bestimmt,
Integralrechnung.
bestimmt, wodurch
q = p x + p
2
(22.) = b
wird, so hat man
d z = p d x + q d y
oder
d z = (— ½ x + √ (¼ x
2
+ b)) d x + b d y
woraus man durch Integration leicht den Werth von
z
findet, welcher ebenfalls der vorgegebenen Gleichung
ein Genüge leisten wird.
§. 247.
Anmerkung
.
I.
1. Es könnte der Fall seyn, daß in (§. 246. 1.) aus der Gleichung
W = o
, sich leichter
P
durch
x
,
y
,
z
,
q
, als
q
durch
x, y
,
z
,
p
, be- stimmen ließe. In diesem Falle würde man also die erste Bestimmung nehmlich des
p
durch
x
,
y
,
z
,
q
, der letztern vorziehen.
2. Man sieht aber leicht, daß alsdann alle Schlüsse wie bisher bleiben, nur mit dem Unter- schiede, daß statt der Größen
K
,
L
,
M
,
N
in §. 246. 12. sich jetzt etwas andere Werthe durch die Rechnung ergeben.
Würde
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
Würde also die Gleichung (§. 246. 2.) jetzt heißen
d p = g d z + h d y + i d x + k d q
So wäre die in (§. 246. 7.) jetzt
Und in (§. 246. 12.)
k d q + (h + g q) d y = o k d x + d y = o k d z — (k q — p) d y = o
Alles übrige bleibt dann mit den bisherigen Vor- schriften übereinstimmend, um aus diesen drey Gleichungen, die Integrale
u = a; t = b; w = c
abzuleiten, wo jetzt aber
u
,
t
,
w
, die Größen
x
,
y
,
z
,
q
enthalten, so daß nun aus der Gleichung
u = F
(
t
,
w
)
die Größe
q
entwickelt werden kann, aus welcher sich dann vermöge der Gleichung
W = o
auch
p
findet, wodurch endlich durch Beyhülfe der Glei- chung
d z = p d x + q d y
das gesuchte Verhal- ten zwischen
x
,
y
,
z
, welches der Differenzialglei- chung
W = o
ein Genüge leistet, gefunden wer- den kann.
§. 248.
Integralrechnung.
§. 248.
Anmerkung
II.
Da die bisherigen Vorschriften für die In- tegration partieller Differenzialgleichungen vom er- sten Grade, so kurz ich mich auch gefaßt habe, um die Auflösungen, so weit sie ausführbar sind, in einiger Allgemeinheit darzustellen, dennoch schon einige Bogen ausfüllen, so würde das gegenwärtige Werk gar zu weitläuftig ausfallen, wenn ich mich auch mit den partiellen Differenzialgleichungen von höhern Graden, d. i. solchen, worin auch partielle Differenzialquotienten z. B.
u. d. gl. vorkommen würden, beschäftigen wollte. Ich bin überzeugt, daß derjenige, welcher sich mit dem Innhalte des gegenwärtigen Kapitels recht be- kannt gemacht hat, keine großen Schwierigkeiten finden wird, auch dasjenige zu verstehen, was in
Eulers
Inst. Calc. integr.
in
La Croix’s
Werke u. a. Schriften, von solchen höhern Diffe- renzialgleichungen gelehrt wird. Man wird finden, daß es meistens nur einzelne leichtere integrable Fälle sind, womit sich die gedachten Schriftsteller beson- ders beschäftigt haben, und daß diese dennoch schon zu ganzen Kapiteln anwachsen. Ich übergehe sie daher, und begnüge mich nur, noch etwas von den
Höh. Anal.
II.
Th.
J i
par-
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
partiellen Differenzialgleichungen des zweyten Gra- des zur Erläuterung beyzufügen, für welche ein ganz ähnliches Verfahren als das bisherige in An- wendung gebracht wird.
§. 249.
Aufgabe
.
Die Gleichung mit partiellen Dif- ferenzialen vom zweyten Grade
zu integriren, wenn
R
,
S
,
T
,
V
bloß Functionen von
x
,
y
sind
.
Aufl
.
I.
Die Bedeutung der Ausdrücke
; ist erstlich aus (§§. 58. u. 66.) klar. Man soll also eine solche Function
z
von
x
und
y
finden, daß dem in der vorgegebenen Gleichung ausgedruckten Verhalten zwischen den partiellen Differenzialquotienten vom zweyten Grade, ein Genüge geschehe. Dazu bie- tet sich denn folgendes dar.
II.
Integralrechnung.
II.
Vors erste ist
d z = p d x + q d y
, wenn man sich
z
als eine entwickelte Function von
x
und
y
gedenkt (§. 238. 1.), wo denn
p
und
q
als Functionen von
x
und
y
zu betrachten sind.
III.
Man hat sodann
und weil
d z = p d x + q d y
eine vollständige Differenzialgleichung ist, auch
(§. 58.).
IV.
Weil
p
,
q
Functionen von
x
,
y
sind (
II.
) so sey
d p = r d x + s d y d q =
ρ
d x + t d y
so ist
.
V.
Demnach
(III.) s
=
ρ
und folglich (
IV.
)
d p = r d x + s d y d q = s d x + t d y
daher
(
III.
)
J i 2
und
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
und
d. h.
Endlich wegen
(
IV.
) und
der Werth von
.
VI.
Dadurch verwandelt sich denn die Glei- chung unserer Aufgabe in folgende
reducirte
R r + S s + T t = V
.
VII.
In diese setze man nun statt
r
den Aus- druck
(
IV.
) und statt
t
den Ausdruck
(
V.
), so fallen zwey von den unbestimm- ten Differenzialquotienten nemlich
r
und
t
weg, und die Gleichung (
VI.
) verwandelt sich, nach gehöriger Rechnung und Absonderung von
s
, in
.
VIII.
Da solchergestalt von den drey Größen
r
,
s
,
t
der Gleichung (
VI.
),
s
unbestimmt bleibt, und also willkührlich angenommen werden kann, so geschieht diesem eine Genüge wenn man
R
Integralrechnung.
R d y
2
— S d y d x + T d x
2
= o
Und
R d p d y + T d q d x — V d x d y = o
setzt, weil sich dann
s
in
verwandelt, welches unbestimmt ist, und jeden Werth haben kann.
Aus diesen zwey Gleichungen muß man nun eine endliche Relation zwischen den Größen
p
,
q
,
y
und
x
abzuleiten suchen, woraus denn weiter nach (§. 247.) die Gleichung zwischen
z
,
y
und
x
sich ergiebt. Dieses Verhalten zwischen
p
,
q
,
y
,
x
kann nun durch folgende Betrachtungen auf- gefunden werden.
IX.
Die erstere von den Gleichungen (
VIII.
) ist, wenn man sie mit
R d x
2
dividirt, eine qua- dratische, nemlich
woraus für
folgende zwey mit
m
und
n
be- zeichneten Werthe sich ergeben
wo
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
wo demnach
m
und
n
Functionen von
x
,
y
seyn werden, in so ferne sie sich auf die angezeigte Art, aus
R
,
S
,
T
, als Functionen von
x
und
y
, be- stimmen.
X.
Die (
IX.
) angeführte quadratische Glei- chung zerfällt also in die beyden einfachern
—
m = o
und
—
n = o
d. h. in
d y — m d x = o
und
d y — n d x = o
.
XI.
Damit also
s
sich in
verwandele (
VIII.
), müssen entweder die beyden Gleichungen
R d p d y + T d q d x — V d x d y = o (VIII.)
d y — m d x = o
.
XII.
Oder folgende zwey
R d p d y + T d q d x — V d x d y = o d y — n d x = o
statt finden. Jedes Paar von diesen Gleichungen dient nunmehr, um das gesuchte Verhalten zwi- schen
p
,
q
,
y
,
x (VIII.)
zu finden.
XIII.
Wir wollen zu diesem Zweck das erste Paar (
XI.
) zum Grunde legen. Die zweyte Glei-
chung
Integralrechnung.
chung desselben nemlich
d y — m d x = o
, enthält bloß die veränderlichen Größen
y
und
x
, weil
m
eine Function dieser Größen ist (
IX
).
XIV.
Kann diese Gleichung entweder für sich, oder durch Beyhülfe eines integrirenden Factors
λ
integrirt werden, so sey die Function
∫λ
(
d y — m d x
) der Kürze halber = T, und A eine constante Grö- ße, so ist erstlich T = A die Integralgleichung von
d y — m d x = o
.
XV.
Aus dieser Gleichung T = A, worinn T eine Function von
x
und
y
ist, läßt sich nun- mehr
y
durch A und
x
bestimmen, und in die Fun- tionen
R
,
T
,
V
der ersten Gleichung in (
XI.
) sub- stituiren. Setzt man nun zugleich
m d x
statt
d y
, so verwandelt sie sich in
R m d p + T d q — V m d x = o
welche keine andern veränderlichen Größen als
p
,
q
,
x
enthalten wird.
XVI.
Ist nun diese Gleichung entweder schon an und für sich, oder durch Beyhülfe eines Factors
μ
integrabel, so setze man das Integral
∫ μ
(
R m d p + T d q — V m d x
) = B
dann ist, wenn B wiederum eine Constante bedeu-
tet
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
tet, V = B die Integralgleichung von (
XV.
) in welche sodann auch wieder
y — m x
statt A gesetzt werden muß, weil das Integral V diese Constante A enthält (
XV.
).
XVII.
Aus den beyden für T und V gefun- denen Ausdrücken, folgt dann umgekehrt
d y — m d x
=
Und
R m d p + T d q — V m d x
=
Oder auch wenn man die letztere mit
d x
multipli- cirt, und dann zugleich wieder
d y
statt
m d x
setzt
R d p d y + T d q d x — V d x d y
=
Oder auch
.
XVIII.
Mithin ist wegen
der Ausdruck für
s (VII.)
nemlich
d
Integralrechnung.
(
VII.
)
auch folgender
(d y — n d x) (XVII.)
Woraus
XIX.
folgt.
Da nun
s
unbestimmt ist (
VIII.
), so kann man es so sich genommen denken, daß der in
d
T multi- plicirte Ausdruck (
XIX.
) einer willkührlichen Fun- ction von T gleich wird, welche ich mit
φ
T be- zeichnen will. Dies giebt demnach
d
V =
d
T .
φ
T oder V =
∫
d
T .
φ
T
welches Integral nothwendig auch eine unbestimmte oder willkührliche Function von T seyn wird, wel- che
ψ
T heißen mag. Demnach ist
V =
ψ
T
eine Gleichung zwischen
p
,
q
,
y
, und
x
, weil V und T durch diese Größen bestimmt sind (
XIV— XVI.
), woraus sich denn nach (§. 238.) das ge- suchte Verhalten zwischen
z
,
y
,
x
finden läßt.
Man
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
Man würde zu demselben Endresultate gelan- gen, wenn man das zweyte Paar (
XII.
) von den obigen Gleichungen zum Grunde legen wollte.
Wir wollen nun das Ganze durch ein Bey- spiel erläutern.
Beyspiel
.
XX.
Es seyen
R
,
S
,
T
unveränderliche Grö- ßen, nemlich
R = A; S = B
,
T = C
und
V
eine beliebige Function von
x
oder
y
oder auch von bey- den zugleich, so wäre die zu integrirende Gleichung
.
XXI.
Unter dieser Voraussetzung werden nun erstlich auch
m
und
n
constante Größen, nemlich
(
IX.
)
Und daher
m n
=
oder
n
=
.
XXII.
Dann hat man
T =
y — m x (XIV.)
weil
Integralrechnung.
weil hier das Differenzial
d y — m d x
sogleich ohne einen Factor integrabel ist.
XXIII.
Ferner ist hier
V =
∫
(
A m d p + C d q — m V d x
) =
A m p + c q — m
∫
V d x
wo
∫
V d x
gefunden wird, indem man in die Fun- ction
V
statt
y
erstlich setzt A +
m x (XV.)
hier- auf
V d x
integrirt, und aus dem gefundenen In- tegrale das A durch die Substitution A =
y — m x
wiederum wegschafft. Wir wollen den solcherge- stalt für
∫
V d x
gefundenen Ausdruck der Kürze halber mit W bezeichnen, und so wäre denn die zwischen
x
,
y
,
p
,
q
gefundene Gleichung, nem- lich V =
ψ
T (
XIX.
)
solgende
A m p + C q — m
W =
ψ
(
y — m x
)
Oder auch
Da nun
A m
ein constanter Divisor ist, so bleibt die Größe rechter Hand des Gleichheitszeichens immer auch noch eine unbestimmte Function von
y — m x
für welche ich das Zeichen
ψ
beybehalten will. Da nun auch
=
n
ist (
XXI.
), so kann
man
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
die gefundene Gleichung kürzer so ausdrücken
p + n q
=
+
ψ
(
y — m x
)
Aus dieser muß nun nach (§. 238.) die gesuchte Gleichung zwischen
z
,
y
,
x
gesucht werden.
XXIV.
Wird diese Gleichung mit der obi- gen (§. 238.) verglichen, so ist das dortige
K
hier = 1;
M = n; N
=
+
ψ
(
y — m x
). Mit- hin erhält man für die dortigen Gleichungen (§. 240.) hier
n d z
—
d y
—
ψ
(y — m x) . d y = o n d x — d y = o
; oder
d y — n d x = o
.
XXV.
Hier ist nun sogleich die Function
∫
(d y — n d x)
d. h.
y — n x = t
(§. 240.) und
t = b
oder
y — n x = b
die Integralgleichung von
d y — n d x = o
.
XXVI.
Aus dieser Gleichung setze man den Werth von
y = n x + b
in die Functionen W und
ψ
(y — m x) (XXIV)
und nenne das Inte- gral
∫
W
d y
oder
∫
W
n d x = n
∫
W
d x = n
W', wo nach geschehener Integration in W' die Größe
b
durch die Substitution
b = y — n x
wieder eli-
minirt
Integralrechnung.
minirt werde, so hat man, wenn in
ψ
(y — m x) d y
ebenfalls erst
n x + b
statt
y
, und
n d x
statt
d y
gesetzt, und dann integrirt wird, für das Integral der ersten der beyden Gleichungen (
XXIV.
) den Ausdruck
n z
—
—
∫ ψ
(b + (n — m) x) n d x = a
Hier setze man auf einen Augenblick
b + (n — m) x = v;
so hat man
(n — m) d x = d v
oder
d x
=
, mithin
∫ ψ
(b + (n — m) x) n d x
=
∫ ψ
v . d v
wo denn
∫ ψ
v . d v
offenbar auch wieder eine un- bestimmte Function von
v
ist, mithin auch der ganze Ausdruck rechter Hand des Gleichheitszei- chens. Man hat also
,
wo statt
als einer constanten Größe, schlechtweg auch nur
a
gesetzt werden kann. Also wegen
∫ ψ
v . d v = f v = f (b + (n — m) x) = f (y — m x)
endlich
z
Zweiter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
z
—
—
f (y — m x) = a
.
XXVII.
Dies wäre denn die zweyte Glei- chung
u = a
(§. 240.). Demnach
u = F t
, oder
z
—
—
f (y — m x) = F (y — n x)
d. h.
z
=
+
F (y — n x) + f (y — m x)
die gesuchte Gleichung zwischen
z
,
y
,
x
, welche demnach
zwey
unbestimmte Functionen, diejenigen nemlich, welche mit
F
und
f
bezeichnet sind, ent- hält, welches allemahl der Fall ist, wenn die vor- gegebene Differenzialgleichung, wie (§. 249.) eine vom zweyten Grade ist, und die gefundene Inte- gralgleichung für eine
vollständige
soll gehalten werden können, da hingegen eine vollständige In- tegralgleichung von einer Differenzialgleichung des ersten Grades wie (§. 238.) nur
eine
unbestimmte Function enthält.
§. 250.
1. Man sieht aus dem bisherigen, daß das Wesentliche dieser Integrationsmethode darauf be- ruht, eine Differenzialgleichung vom zweyten Grade, wie die reducirte
R
Integralrechnung.
R r + S s + T t = V
des vorigen Paragraphes (das.
VI.
), auf eine vom ersten Grade zwischen
p
und
q
, wie die (§. 238.) oder (§. 249.
XXIII.
) zu bringen. Für Glei- chungen von höhern Graden, wird auf eine ähn- liche Weise verfahren, die nächstniedrigern zu er- halten, aber es würde zu weitläuftig seyn, dies alles auszuführen. Einzelne hieher gehörige Fälle kann man a. a. O. §. 248. nachsehen.
2. Auch die Gleichung (§. 249.) ist nur ein einzelner etwas allgemeinerer Fall, weil angenom- men ist, daß,
R
,
S
,
T
,
V
bloß Functionen von
x
und
y
sind, und außer den Differenzialquotien- ten vom zweyten Grade, nicht auch welche vom er- sten Grade wie
=
p
,
=
q
darinn vorkommen. Enthalten die Functionen
R
,
S
,
T
,
V
, auch die Größen
z
,
p
,
q
so kann man zwar im allgemeinen auch nach einer ähnlichen Methode wie (§. 249.
VII
ꝛc.) verfahren, aber die Glei- chungen, welche man alsdann wie daselbst (
VIII.
) erhält, sind in den wenigsten Fällen von der Be- schaffenheit, daß sich durch ihre Verbindung oder sonst durch Elimination einer der darin vorkom- menden veränderlichen Größen, eine brauchbare
Glei-
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
Gleichung zwischen
p
und
q
wie die obige (§. 249.
XIX.
) ergäbe. Einzelne integrable Fälle kann man bey
Euler
und
La Croix
nachsehen.
3. So enthält auch schon das Beyspiel (
XX.
) mehrere einzelne Fälle.
Wäre z. B.
B = o; A
= 1,
C = — 1; V = x y
also
zu integriren, so hat man (§. 249.
XXI.
)
m = + 1; n
= — 1
W =
∫
V d x =
∫
x y d x
, wo statt
y
gesetzt wer- den muß A +
x (§. 249. XXIII.)
. Also
W =
∫
(A
x + x
2
)
d x
= ½ A
x
2
+ ⅓ x
3
oder statt A wieder
y — x
gesetzt W = ½
x
2
(y — x) + ⅓ x
3
= ½ x
2
y — ⅙ x
3
Hieraus ferner
W' =
∫
W
d x =
∫
(½ x
2
y d x — ⅙ x
3
d x)
wo statt
y
gesetzt werden muß
b — x (§. 249. XXVI.)
demnach W' =
∫
½
x
2
(b — x) d x —
\frac{1}{24}
x
4
= ⅙
x
3
b — ⅛ x
4
—
\frac{1}{24}
x
4
= ⅙ x
3
b — ⅙ x
4
Oder, statt
b
wieder
y + x
gesetzt,
W'
Integralrechnung.
W' = ⅙
x
3
y.
Demnach die Integralgleichung (§. 249.
XXVII.
) folgende
z = ⅙ x
3
y + F (y + x) + f (y — x)
Nähme man z. B. statt
F (y + x)
die Größe
y + x
selbst an, so wie auch
y — x
statt
f (y — x)
, so ist
z = ⅙ x
3
y + 2 y
welche Gleichung offenbar der
ein Genüge leistet, denn man findet
Also offenbar
Andere einzelne Fälle hier zu entwickeln, will ich jedem nach der gegebenen Anleitung selbst überlassen.
4. Der einzige Fall wenn
A = o
wäre, ver- dient noch eine Erläuterung, weil dann
in
Höh. Anal.
II.
Th.
K k
dem
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
dem für
z
gefundenen Ausdrucke eine unendliche Größe wird, so wie auch in diesem Falle die Wer- the von
m
und
n
(§. 249.
XXI.
) unendlich werden.
5. Für diesen Fall muß man zu den ursprüng- lichen Gleichungen (§. 249.
VIII.
) selbst zurückge- hen. Ist das dortige
R
oder
A
in dem Bey- spiele (§. 249.
XX.
) =
o; S = B; T = C
, so verwandeln sich die beyden Gleichungen daselbst in
—
B d y + C d x = o C d q — V d y = o.
6. Aus der erstern wird sogleich —
B y + C x
= A also die Function T = —
B y + C x.
7. Die zweyte Gleichung (5.) wird (
d x
statt
d y
und
statt
y
in
V
gesetzt)
Oder
wo jetzt in dem Integrale W =
∫
V d x
, die Grö- ße A wieder eliminirt werde, wodurch denn die Function
W sich in die obige V ver- wandelt.
8.
Integralrechnung.
8. Man hat also nunmehr die Gleichung V =
ψ
T (§. 249.
XIX.
) oder
d. h.
.
9. Wird diese Gleichung mit der (§. 238.) verglichen, so ist das dortige
M
= 1,
K = o
, woraus die bey- den Gleichungen (§. 240.) sich in folgende ver- wandeln
d x = o.
10. Aus der letztern
d x = o
, folgt
x = b
also die Function
t
(§. 240) =
x.
11. Setzt man hierauf in die Functionen W und
ψ
(
C x — B y
) überall
b
statt
x
, und inte- grirt hierauf die erste Gleichung (9.), in der also bloß
y
als variabel behandelt wird, so erhält man
wo denn nach ähnlichen Schlüssen wie oben (§.
K k 2
249.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
249.
XXVI
) auch das Integral
∫ ψ
(C b — B y) d y
einer unbestimmten Function von
C b — B y
d. h. von
C x — B y
gleich ist, welche ich mit
f (Cx — By)
bezeichnen will.
Demnach ist die gesuchte Integralgleichung von
folgende
u = F t
oder
Oder
.
12. So wird man bey ähnlichen einzeln Fäl- len, immer leicht diese oder jene Schwierigkeiten heben können, wenn man zu den ursprünglichen Gleichungen wie z. B. oben (§. 249.
VIII.
) selbst zuruckgeht. Daher ich es bey dem bisher Beyge- brachten bewenden lassen will.
§. 251.
Was die unbestimmten Functionen betrifft, welche in die bitherigen Integrale von Gleichun-
gen
Integralrechnung.
gen mit partiellen Differenzialen eingehen, so ist zu bemerken, daß es nun zwar der bloßen Rechnung nach, und um der vorgegebenen Gleichung mit par- tiellen Differenzialen ein Genüge zu leisten, in un- serer Willkühr steht, welche Gestalt man solchen Functionen ertheilen will, daß aber bey der würk- lichen Anwendung einer solchen Integralgleichung auf physische Gegenstände, solche willkührliche Fun- ctionen eben so den besondern Bedingungen einer Aufgabe gemäß näher bestimmt werden müssen, als es bey den Integralen gewöhnlicher Differenzial- gleichungen mit denjenigen willkührlichen Constan- ten der Fall ist, welche solche Integrale enthalten.
So wie also z. B. in dem Integrale
y
=
∫
X d x + Const.
, im Allgemeinen nichts die Be- stimmung der willkührlichen Constante
C
einschrän- ken darf, wenn jenes Integral auf jeden besondern Fall soll angewandt werden können, so muß es auch in unserer Gewalt stehen, die willkührlichen Functionen in den Integralen partieller Differen- zialgleichungen, jedesmahl so bestimmen, wie es die Natur einer Aufgabe erfordert. Aber es würde nicht hieher gehören, dies durch einige solche Aufgaben selbst noch weiter zu erläutern, da dies zu Anwendungen der Integralrechnung gehören
würde,
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
würde, womit wir uns hier um so weniger beschäf- tigen können, als sie auch zur Erläuterung der bis- her beygebrachten Integrationsmethoden selbst, nichts weiter beytragen.
§. 252.
Anmerkung
.
Eine lehrreiche Abhandlung über die Inte- gration sowohl der gewöhnlichen Differenzialglei- chungen vom ersten Grade, als auch derer mit par- tiellen Differenzialen desselben Grades, von so viel veränderlichen Größen als man will, hat ohnlängst Hr. Hofr. J. F.
Pfaff
in den
Abhandlun- gen der Acad. der Wiss. in Berlin von den Jahren
1814-1815. (Berlin 1818.) mit- getheilt. Wer das Bisherige wohl verstanden hat, wird keine Schwierigkeit finden, sich auch mit dem Geiste der von Hrn.
P f
. gewählten Methode be- kannt zu machen.
I.
Wir wollen das wesentliche derselben nur durch eine partielle Differenzialgleichung zwischen vier veränderlichen Größen
u
,
x
,
y
,
z
erläutern.
Sie heiße
oder
Integralrechnung.
oder
K p + L q + M r = N
(☉)
wo
K
,
L
,
M
,
N
gegebene Functionen von
u
,
x
,
y
,
z
bedeuten.
II.
Aus dieser Gleichung in Verbindung mit
d u = p d x + q d y + r d z
können nunmehr nach dem eigenthümlichen Verfah- ren des Hrn. Verf. welches aber in der Abhandlung selbst nachgesehen werden muß, zwischen den 6 Größen
x
,
u
,
p
,
q
,
y
,
z
, welche in der Glei- chung
d u = p d x + q d y + r d z
(worin
r
aus (☉) durch die übrigen Größen
y
,
x
,
u
,
p
,
q
,
z
, bekannt ist) vorkommen, fünf Gleichungen von fol- gender Form abgeleitet werden
d x = X d z
d y = Y d z
d u = U d z
d p = P d z
d q = Q d z
in welchen die Functionen
X
,
Y
,
U
,
P
,
Q
sich sich aus der Differenziation von
finden lassen.
III.
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
III.
Ist nemlich durch Differenziirung
d r = r' d x + r'' d y + r ''' d z + r
iv
d u + r
v
d p + r
vi
d q
wo demnach
r'
,
r''
,
r'''
, ꝛc. bekannte Functionen von
x
,
y
,
u
,
p
,
q
,
z
seyn werden, so bestim- men sich nach dem Verfahren des Verfassers, die Functionen
X
,
Y
,
U
ꝛc. bloß durch die bekann- ten
r
,
r'
,
r''
, so wie auch durch
p
,
q
, und kön- nen also auch als bekannte Functionen der 6 Grö- ßen
x
,
y
,
u
,
z
,
p
,
q
betrachtet werden.
IV.
Die (
II.
) angeführten 5 Gleichungen ent- halten also 6 Größen, nemlich
x
,
y
,
u
,
z
,
p
,
q.
Durch Elimination lassen sich aus denselben fünf andere Differenzialgleichungen ableiten, deren jede vom fünften Grade seyn, aber nur zwey ver- änderliche Größen enthalten wird, nemlich eine solche Gleichung zwischen
x
und
z;
zwischen
y
und
z;
zwischen
u
und
z;
u. s. w.
V.
Kann jede dieser Gleichungen vom fünften Grade integrirt werden (welches denn als eine Vor- aussetzung angesehen wird) so wird das vollständige Integral von jeder derselben fünf constante Größen
a
,
b
,
c
,
e
,
g
enthalten, welche man in jedem solchen Integrale dieselben seyn läßt, da es will-
kühr-
Integralrechnung.
kührlich ist, wie man sie annehmen oder vielmehr bezeichnen will.
VI.
Auf diese Art würde man also fünf Inte- gralgleichungen, nemlich
zwischen
x
,
z
,
a
,
b
,
c
,
e
,
g
‒
y
,
z
, ‒ ‒ ‒ ‒ ‒
‒
u
,
z
, ‒ ‒ ‒ ‒ ‒
‒
p
,
z
, ‒ ‒ ‒ ‒ ‒
‒
q
,
z
, ‒ ‒ ‒ ‒ ‒
erhalten, aus welchen wiederum
a
,
b
,
c
,
e
,
g
, durch
x
,
y
,
z
,
u
,
p
,
q
gefunden, oder viel- mehr als bekannte Functionen von
x
,
y
,
z
ꝛc. an- gesehen werden können. Man hat also
a = f (x
,
y
,
z
,
u
,
p
,
q)
b = F (x
,
y
,
z
,
u
,
p
,
q)
c
=
φ
(
x
,
y
,
z
,
u
,
p
,
q
)
e
= F (
x
,
y
,
z
,
u
,
p
,
q
)
g
= f (
x
,
y
,
z
,
u
,
p
,
q
)
wo durch
f
,
F
,
φ
ꝛc. solche Functionen angedeu- tet werden.
VII.
Aber diese 5 Größen
a
,
b
,
c
,
e
,
g
, sind selbst wieder durch drey besondere Gleichun- gen von einander abhängig, welche der Verf. zu
Höh. Anal.
II.
Th.
L l
finden
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
finden lehrt, und durch Hülfe deren je zwey dieser Größen z. B.
e
,
g
, willkührlich angenommen, und daraus die übrigen
a
,
b
,
c
gefunden werden können, so daß demnach
a
,
b
,
c
, wieder für sich als Functionen von
e
,
g
angesehen werden können.
VIII.
Obige fünf Integralgleichungen ent- halten demnach eigentlich nur folgende Größen
e
,
g
,
x
,
y
,
z
,
u
,
p
,
q;
und es können aus diesen 5 Gleimungen, vier dieser Größen, nemlich
e
,
g
,
p
,
q
eliminirt werden, wodurch denn end- lich eine Gleichung zwischen
x
,
y
,
z
,
u
, erhal- ten wird, welche das gesuchte Verhalten dieser Größen ausdrückt, wodurch der (
I.
) vorgegebenen Gleichung mit partiellen Differenzialen ein Genüge geleistet wird.
IX.
Die erhaltene Integralgleichung wird, weil
e
,
g
willkührlich angenommen werden (
VI.
), auch zwey unbestimmte Functionen von
x
,
y
,
z
,
u
enthalten, wie es der Natur einer Gleichung mit partiellen Differenzialen zwischen 4 veränderlichen Größen wie (
VI.
), gemäß ist.
X.
Ein ähnliches Verfahren findet bey der Integration von Gleichungen mit partiellen Diffe- renzialen von noch mehr veränderlichen Größen
statt,
Integralrechnung.
statt, nur daß man durch die Elimination wie (
IV.
) auf Differenzialgleichungen von noch höhern Gra- den, und in (
VII.
) auf noch mehr Hülfsgleichun- gen zwischen den Größen,
a
,
b
,
c
ꝛc. gelangt, welches denn in der Abhandlung des Verf. mit mehrern nachgesehen werden kann.
XI.
Es wird also bey diesem Verfahren des Verf. vorausgesetzt, daß man die Integration von gewöhnlichen Differenzialgleichungen, aber höherer Grade, in seiner Gewalt habe. Sind solche nicht integrabel, so können auch die Integrale der vor- gegebenen Gleichungen mit partiellen Differenzialen, nicht weiter dargestellt und entwickelt werden. Es verhält sich hier im allgemeinen wie (§. 240. 1.) mit den Gleichungen
M d z — N d y = o; M d x — K d y = o
Oder
;
Oder auch
welche eine Aehnlichkeit mit denen (
II.
) haben.
L l 2
Läßt
Zweyter Theil. Dreyzehntes Kapitel.
Läßt sich eine daraus durch Elimination abgeleitete Gleichung vom zweyten Grade, wie z. B. (§. 243.
XVI.
) nicht integriren (welches nun freylich in dem dasigen Beyspiele nicht der Fall war), so muß man auch Verzicht darauf thun, das Integral der vorgegebenen Gleichung mit partiellen Differen- zialen weiter darstellen und entwickeln zu wollen, wenn man nicht zu Reihen seine Zuflucht nehmen will. Indessen ist denn doch die Methode des Hrn. Verf. in so fern immer lehrreich, indem man dar- aus ersieht, daß die Integration von Gleichun- gen mit
partiellen Differenzialen
, immer auf diejenige von
gewöhnlichen Differen- zialgleichungen
, wenn sie auch von höhern Graden sind, reducirt werden kann, und deren In- tegration von allen Schriftstellern, welche sich mit partiellen Differenzialgleichungen beschäftiget haben, postulirt wird, ohngefähr wie man Differenzialglei- chungen vom zweyten Grade als aufgelößt ansieht, wenn man sie auf welche vom ersten Grade redu- cirt hat, so große Schwierigkeiten auch die letztern oft haben mögen.
Beyspiele hat der Verf. nicht gegeben, son- dern sich nur überall auf das allgemeine seiner Me- thode beschränkt, welcher er denn noch mehrere
merk-
Integralrechnung.
merkwürdige Relationen beyfügt, welche zwischen den obigen Functionen (
VI.
) selbst statt finden.
§. 253.
Die bisher in der Integralrechnung vorgetra- genen Lehren werden meistens für jede Art der Anwendung hinreichend seyn. Aber von Anwen- dungen selbst kann natürlich in einem Werke wel- ches sich bloß mit den Hülfsmitteln des Calculs, und den vorzüglichsten Kunstgriffen desselben be- schäftigt, nicht die Rede seyn. Einige Anwendun- gen auf Gegenstände der Geometrie, findet man im
V
ten Theil meiner practischen Geometrie, welcher die Stereometrie zum Gegenstande hat. Die hö- here Mechanik, Hydrodynamik, Astronomie und mehr andere Theile der Mathematik geben Bey- spiele genug, wie unentberlich die höhere Analysis ist, um die darin vorkommenden tiefern Untersu- chungen mit Leichtigkeit übersehen zu können. Wer das bisher Vorgetragene wohl verstanden, und sich gehörig geläufig gemacht hat, wird auch ohne Mühe einzelne noch schwerere Fälle von Integra- tionen die bey solchen Anwendungen vorkommen, verstehen. Eine kurze Geschichte der Differenzial- und Integralrechnung findet man sehr gut in
Klü- gels mathematischen Wörterbuche
unter
den
Zweyt. Th. Dreyzehnt. Kap. Integralr.
den Artikeln
Differenzialrechnung, Inte- gralrechnung, partielle Differenziale
ꝛc.
Die vielen einzeln Abhandlungen wodurch vorzüglich die Hrn.
Joh. Bernoulli, Euler, Condorcet, Clairaut, Alembert, La Grange, La Place, Trembley
und mehr andere, den von
Leibnitz
und
Neuton
ohnge- fähr zu gleicher Zeit erfundenen Differenzial- und Integralcalcul erweitert haben, findet man in un- seres Hrn. Hofr.
Reuß
höchst brauchbaren
Re- pertorium Commentationum a societatibus litterariis editarum. Tom. VII. p. 110 ‒ 133. Gottiugae
1808.
Ende der Integralrechnung.
Druck-
Druckfehler
.
Seite 7. Zeile 14 statt gegenwärtigen ließ
I-III.
Kapitel.
— 16. Z. 1 st. Aufg. l. Aufl.
— 16. Z. 8 st.
d x
= l.
d y
=
— 19. Z. 18 st. ⅖
x
3
l. ⅔
x
\frac{3}{2}
.
— 29. Z. 1 st.
∫
l.
— 48. Z. 13 st.
(a + b x
n
) d x
l.
(a + b x
n
) p d x.
— 51. Z. 17 st.
y'
= — l.
y'
= +
— 94. Z. 15 muß das
d z
weiter herunter auf die Zeile.
— 103. Z. 19 st.
δ
x
2
l.
δ
x
3
.
— 121. Z. 6. st. (
m
+ 1)
4
l. (
m
+ 1)
3
.
— 154. Z. 3. st.
Y tang x
l.
Y Arc tang x.
— 170. Z. 13. st. = l. = —.
— 242. Z. 8. st.
l.
.
— 291. Z. 16 st.
t = v
l.
t = o.
— 464. Z. 16 st. (1) l. (2).
— 500. Z. 10 st. Differenzialquotien l. Differenzialquo- tienten.
NB.
NB.
Noch ist zu bemerken, daß in Ausdrücken wie
Arc sin x; Arc tang x
u. d. gl. (Differenzialrech- nung §. 46. und so überall in der Integralrech- nung z. B. §. 109. 12.) die Bogen immer in
De- cimaltheilen des Halbmessers
1 genommen werden müssen. Z. B. für
Arc sin
½ d. h. einen Bogen dessen Sinus = ½ = 0, 5 ist, schreibt man nicht 30° sondern nach
Vegas
Tafeln (lo- garithmische trigonometrische u. a. zum Gebrauch det Math. eingerichtete Tafeln und Formeln. Wien 1783. Daselbst die
VIIte
Tafel) den Decimalbruch 0,523598 … welcher in Decimaltheilen des Halb- messers dem Bogen von 30° entspricht.