Einleitung
zur
Rechen-Kunst zum Gebrauch
des
GYMNASII
bey der
Kayserlichen Academie der Wissenschafften
in
St. Petersburg.
Zweyter Theil
Gedruckt in der
Academischen Buchdruckerey
1740.
Einleitung,
D
Er fuͤrnehmste Theil der Rechen-Kunst, welcher insonderheit in dem gemeinen Leben gebrauchet wird, bestehet darinn, daß man die verschiedenen Sorten, nach welchen allerley Groͤssen beschrieben zu werden pflegen, sich bekannt mache und die Regeln der Rechen-Kunst bey denselben anzubringen wisse. Dann eine jeg- liche Groͤsse wird entweder nach einer einzigen
Unit
aͤt beschrieben, oder nach mehr
Unit
aͤten; der erstere Fall kommt mit den obbeschriebenen Regeln voͤllig uͤberein, und erfordert keine be- sonderen Regeln; als wann von etlichen Gewich- ten die Rede ist, und man bestimmet alle nach Pfunden, so bedienet man sich in diesem Fall einer einzigen
Unit
aͤt, welche 1 Pfund andeutet, und zeigt an, wieviel solcher
Unit
aͤten in einem jeglichen Gewichte enthalten sind. Wann also zum Exempel ein Gewicht 48 Pfund ist und ein anderes 30 Pfund, so kan so wohl die
Addition
als die
Subtraction
solcher Gewichte gleicher gestalt angestellet werden, als wann nur die blossen
)( 2
Zahlen
Zahlen 48 und 30 vorhanden waͤren. Es pflegen aber gemeiniglich die Gewichte und andere im gemeinen Leben vorkommende Groͤssen durch mehr als einerley
Unit
aͤten ausgedruͤckt zu werden. Als bey Beschreibung der Gewichte pflegt man sich nicht nur der Pfunde allein, sondern auch der Lothe
Quintl
ein und anderer Nahmen zu be- dienen, von welchen verschiedenen Nahmen und Sorten eine jegliche fuͤr sich als eine
Unit
aͤt be- trachtet wird, so daß also bey dergleichen Aus- druͤckungen so viel
Unit
aͤten gebraucht werden, als solche Nahmen vorkommen. Also wann von einem Gewichte gesagt wird, daß solches halte
23 Pfund 16 Loth 3 Quintl.
so versteht man, daß erstlich 23 solche Stuͤck oder
Unit
aͤten vorhanden, deren jegliche ein Pfund genennt wird: ausser diesen sind hernach noch 16 andere Stuͤcke oder
Unit
aͤten da, deren jeg- liche 1 Loth genennt wird. Und endlich sind noch drey solche
Unit
aͤten vorhanden, welche den Nah- men
Quintl
ein fuͤhren. Um sich nun von einer solchen Beschreibung einen deutlichen Begriff zu machen, so muß man einen deutlichen Begriff haben von der Groͤsse einer jeglichen
Unit
aͤt, welche dabey vorkommt: als nehmlich bey dem gegebe- nen Exempel muß man erstlich wissen, wie groß ein Gewicht ist, welches ein Pfund genennet wird, woraus man zugleich die Groͤsse von 23 Pfunden erkennet. Zweytens muß man wissen, wie groß ein Gewicht ist, welches den Nahmen
eines
eines Loths fuͤhret, und daher wird man begreif- fen, wie ein grosses Gewicht 16 Loth betragen. Drittens muß auch die Groͤsse eines Gewichts bekannt seyn, welches ein
Quintl
ein genennet wird, damit man wissen koͤnne, wieviel drey
Quintl
ein austragen. Von dergleichen verschie- denen Sorten kan man nun eine gedoppelte Er- kaͤntniß haben, davon die erste nur in der Ver- gleichung der verschiedenen Sorten unter sich be- stehet, die andere aber die wahre Groͤsse einer jeglichen Sorte fuͤr sich anzeigt. Bey der ersten Art der Erkaͤntniß bekuͤmmert man sich nicht um die wahre Groͤsse einer jeglichen Sorte an und fuͤr sich selbst, sondern man begnuͤgt sich die Verhaͤltniß der vorkommenden Sorten unter sich zu wissen. Hiezu ist also in dem gegebenen Exem- pel genug, wann man weiß, daß 32 Loth ein Pfund, und 4 Quintl. ein Loth ausmachen. Eine solche Erkaͤntniß ist nicht nur fuͤr sich sehr noͤthig, sondern dienet auch fuͤrnehmlich zu der anderen vollkommenen Erkaͤntniß. Dann wann man die Vergleichung der verschiedenen Sorten schon weiß, so ist genug um zur vollkommenen Erkaͤntniß zu gelangen, daß man die wahre Groͤsse einer einzigen Sorte bestimme: in dem daraus zugleich die wahre Groͤsse der uͤbrigen Sorten erkannt wird. Die wahre Groͤsse einer solchen Sorte wird aber am bequemsten erkannt, wann man wuͤrcklich ein auf das genauste abge- messenes Stuͤck von derselben Sorte besitzet, und
)( 3
nach
nach demselben alle uͤbrige Sorten vergleichen kan. Solche verschiedenen Sorten werden nun nicht nur bey den Gewichten, sondern auch bey den meisten andern Arten von Ausmessungen ge- braucht; dergleichen sind die verschiedenen Sor- ten von Muͤntzen, von aller Gattungen Maassen, die Eintheilung und Abmessung der Zeit und an- dere dergleichen. Da nun so wohl die Einthei- lung in verschiedene Sorten als die Groͤsse einer Sorte fuͤr sich selbst etwas willkuͤrliches ist, und bloß allein auf dem Gutduͤnken derjenigen, wel- che in einem jeglichen Land zuerst solche verschie- dene Nahmen und Sorten eingefuͤhrt haben, be- ruhet, so ist leicht zu erachten, daß in verschie- denen Laͤndern so wohl die Eintheilung und Ver- haͤltniß der verschiedenen Sorten, als auch die wahre Groͤsse an sich selbst unterschieden seyn muͤsse. Derohalben um den Anfaͤngern in der Rechen-Kunst einigen Begriff von den ver- schiedenen Maassen, welche hin und wieder im Gebrauch sind, beyzubringen, so wollen wir hier in dieser Einleitung die fuͤrnehmsten Sorten, nach welchen in den meisten Reichen von Europa gerechnet zu werden pflegt, anfuͤhren. Diese Beschreibung wird nicht nur zu deutlicher Ver- staͤndniß der nachfolgenden Exempel dienen, son- dern wird auch den Anfaͤngern eine ziemliche Er- laͤuterung von dem
Commercio
oder der Handel- schaft, und den darinn vorkommenden Rech- nungs-Fragen beybringen.
I.
Punckt
I.
Punckt
Von den Muͤntzen
und erstlich im
Rußischen Reiche.
Die Nahmen der Muͤntzen nebst ihrer Be- deutung und Verhaͤltniß unter sich sind folgende.
1. Rubl haͤlt 100 Copeken
1. Poltin ‒ ‒ 50 Cop.
1. Polupoltinnick ‒ 25 Cop.
1. Griwen ‒ ‒ 10 Cop.
1. Altin ‒ ‒ 3 Cop.
1. Grosch ‒ ‒ 2 Cop.
1. Copeken ‒ ‒ 2 Denuschken
1. Denuschka ‒ ‒ 2 Poluschken.
Jn Narva, Reval und Doͤrpt.
Ausser der Rubl. und anderer Rußischer Muͤntzen bedienet man sich an diesen Orten auch der Reichs-Thaler und Weissen, welche mit den Copeken folgende Verhaͤltniß haben.
1. Reichs-Thaler haͤlt 80 Copeken
oder 64 Weissen
4. Weissen ‒ 5 Copeken
1. Reichs Thaler
Courrent
65 Cop.
oder 52 Weissen
1.
Carolin
Schwedisch 25 Copeken
oder 20 Weissen.
)( 4
Jn
Jn Riga.
Da rechnet man nach Reichs-Thalern, Gulden, Marken und Groschen, welche unter sich nachfolgende Verhaͤltniß haben.
1. Reichs-Thaler haͤlt 3 Gulden
oder 15 Mark
oder 90 Groschen
1. Gulden ‒ ‒ 5 Mark
oder 30 Groschen
1. Mark ‒ ‒ 6 Groschen
oder 4 Ferding
1. Ferding ‒ ‒ 1½ Groschen.
Jn Amsterdam und gantz Holland.
Da bedienet man sich entweder des
Corrent
oder
Banco
Gelds, bey beyden ist die Eintheilung einerley, das
Banco
Geld aber wird gemeinig- lich um 5
Pro Cento
besser gehalten als das
Cor- rent
oder Cassa Geld. Also
1. Gulden haͤlt 20 Stuͤber
1. Stuͤber ‒ ‒ 16 Pfenning Holl.
1. Gulden haͤlt auch 40 Pfenning Vlaͤmisch
oder
Groot
1. Stuͤber ‒ ‒ 2 Pfenning Vlaͤmisch
1. Pfenning Vlaͤmisch 8 Pfenning Holl.
1. Schilling Vlaͤmisch 6 Stuͤber
oder 12 Pfenning Vlaͤmisch
1. Reichs-
1. Reichs-Thaler haͤlt 50 Stuͤber
oder 100 Pfennig Vlaͤmisch
1. Pfund Vlaͤmisch 6 Gulden
oder 20 Schilling Vlaͤm.
oder 120 Stuͤber
1. Stuͤber ‒ ‒ 8 Duiten
1. Duite ‒ ‒ 2 Pfenning Holl.
Jn London und gantz Engelland.
Alda wird gerechnet in Pfund, Schilling und Pfenning Sterling.
1. Pfund Sterling haͤlt 20 Schilling Sterling
1. Schilling Sterling 12 Pfenning Sterling
1. Crone ‒ ‒ 5 Schilling Sterling
1.
Guinéc
‒ ‒ 21½ Schilling Sterling
1.
Grat
‒ ‒ 4 Pfenning Sterling
1. Pfenning Sterling 4 Farding.
Jn Hamburg.
Hier wird auch nach zweyerley Geld gerech- net, nehmlich nach
Corrent
und
Banco
Geld. Es ist aber das
Banco
Geld bestaͤndig um 16
Pro Cento
besser oder hoͤher als das
Corrent
Geld. Die Geld Sorten nebst derselben Eintheilung sind folgende.
)( 5
1. Mark
1. Mark haͤlt 16 Schilling Luͤbisch
1. Schilling Luͤbisch 12 Pfenning Luͤbisch
1. Schilling Vlaͤmisch 6 Schilling Luͤbisch
1. Thaler ‒ ‒ 3 Mark
1. Wechsel Thaler 2 Mark
1. Pfund Vlaͤmisch 20 Schilling Vlaͤm.
oder 120 Schilling Luͤbisch
Jn Luͤbeck.
Da ist die Eintheilung der Muͤntz-Sorten wie in Hamburg.
Jn Leipzig und gantz Sachsen und Brandenburg.
Wird Buch gehalten in Thalern, guten Groschen und Pfenningen.
1. Thaler haͤlt 24 gute Groschen
1. guter Groschen ‒ 12 Pfenning
1. Zwey Drittel Stuͤck 16 gute Groschen
1. Dreyer ‒ ‒ 3 Pfenning.
Jn Braunschweig und Luͤneburg.
Wird Buch gehalten in Thalern, Ma- rien-Groschen und Pfenningen.
1. Thaler haͤlt 36 Marien Groschen
1. Marien Groschen 8 Pfenning
auch haͤlt
1. Thaler ‒ 24 gute Groschen
1. guter Groschen 1½ Marien Groschen
oder 12 Pfenning.
Jn
Jn Bremen
Wird Buch gehalten in Thalern,
Grooten
und Pfenningen.
1. Thaler haͤlt 72 Groot
1. Groot ‒ ‒ ‒ 4 Pfenning.
Jn Franckfurt am Main.
Wird Buch gehalten in Thalern, Kreu- tzern und Pfenningen.
1. Thaler haͤlt 90 Kreutzer
1. Kreutzer ‒ ‒ 4 Pfenning
1. Thaler ist auch ‒ 1½ Gulden
1. Gulden ‒ ‒ 60 Kreutzer
oder 15 Batzen
1. Batzen ‒ ‒ 4 Kreutzer
oder 2
Albus
1.
Albus
‒ ‒ 2 Kreutzer
1. Koͤpf-Stuͤck ‒ 20 Kreutzer
1. Kayser-Groschen ‒ 3 Kreutzer.
Dieses ist das
Corrent
Geld, ausser dem bedienet man sich des Wechsel-Gelds, welches
fingi
rt ist und machen 100 Kreutzer
Corrent
‒ 82 Wechsel Kreutzer.
Jn Breslau und Schlesien.
Wird Buch gehalten in Thalern, Silber- oder Kayser-Groschen, so auch Schilling genennt werden und Kreutzern.
1. Thaler
1. Thaler haͤlt 30 Kayser Groschen oder Schilling
1. Kayser Groschen ‒ 3 Kreutzer
1. Kreutzer ‒ ‒ 4 Pfenning
1. Kayser Groschen ‒ 4 Groͤschel
1. Groͤschel ‒ ‒ 3 Pfenning.
Jn Wien, Nuͤrnberg, Augspurg, Oester- reich, Francken und Schwaben.
Wird Buch gehalten in Gulden, Kreutzer und Pfenning.
1. Gulden halt 60 Kreutzer
1. Kreutzer ‒ ‒ 4 Pfenning
1. Thaler ‒ ‒ 90 Kreutzer
1. Gulden haͤlt auch 15 Batzen
1. Batzen ‒ ‒ 4 Kreutzer
1. Kayser Groschen ‒ 3 Kreutzer
Jn Dantzig, Koͤnigsberg und Preussen.
Da bedient man sich folgender Muͤntz-Sor- ten, welche Pollnisch genennt werden.
1. Gulden haͤlt 30 Groschen
1. Thaler ‒ 3 Gulden
‒ oder 90 Groschen
1. Groschen ‒ 3 Schilling
1. Schilling ‒ 6 Pfenning
1. Timpf ‒ 18 Groschen.
Jn
Jn Franckreich.
Wird nach
Livres, Sols,
und
Deniers, Tournois
gerechnet.
1. Livre
haͤlt
20 Sols
1. Sols
‒
12 Deniers
1. Ecu
‒
3 Liures
oder
60 Sols.
Jn Jtalien.
Rechnet man nach
Scudi, Soldi
und
Denari.
1. Scudo
haͤlt
20 Soldi
1. Soldi
‒
12 Denarii
Jn Daͤnnemarck.
Da gebraucht man nachfolgende Geld Sorten.
1. Thaler haͤlt 6 Marck
1. Marck ‒ ‒ 16 Schilling
1. Schilling ‒ 12 Pfenning
1. Daͤnische Crone ‒ 2 Marck Luͤbisch
1. Marck Luͤbisch ‒ 2 Marck Daͤnisch.
Jn Schweden.
Wird theils Silber-Muͤntz, theils Kupfer- Muͤntz gebraucht.
1. Thaler
1. Thaler Silber Geld haͤlt 4 Marck Silber Geld
1. Marck Silber Geld ‒ 8 Oer Silber Geld
1. Kupfer Thaͤler ‒ 4 Marck Kupfer Geld
1. Kupfer Marck ‒ 8 Oer Kupfer
1. Silber Thaler ‒ 3 Kupfer Thaler
Kuͤrtze halben pflegt man die obgedachten Nahmen der Muͤntz-Sorten durch folgende Zeichen anzudeuten.
Rubl ‒ ‒
R°
Griven ‒ ‒
Gr.
Copeken ‒ ‒ Cop.
Thaler ‒ ‒ Thl.
Reichs Thaler ‒ Rthl.
Gulden ‒ ‒ fl.
Stuͤber ‒ ‒ St.
Pfund ‒ ‒ L.
Schilling ‒ ‒ ß.
Pfenning
Denier
Denari
₰
Marck ‒ ‒

Groschen ‒ ‒ gl.
Gute Groschen ‒ Ggl.
Kayser Groschen ‒ Kgl.
Marien Groschen ‒ Mgl.
Kreutzer ‒ ‒
Xr.
Ducaten ‒ ‒ #
Ecu
‒ ‒

Item
Item
die Benennungen dieser Muͤntz-Sorten
wie folgt.
Corrent
‒ ‒
Cor.
Banco
‒ ‒
B°.
Vlaͤmisch ‒ ‒ Vls.
Luͤbisch ‒ ‒ Luͤb.
Sterling ‒ ‒ Sterl.
Hieraus ersieht man nun, nach was fuͤr Muͤntz-Sorten in den meisten Laͤndern
Europae
das Geld berechnet wird: und hierinn bestehet die erste Erkaͤnntniß der Muͤntzen, nehmlich die Ein- theilung derselben verschiedenen Sorten. Zu einer vollkommenen Erkaͤnntniß aber wird ausser die- sem noch erfordert, daß man den wahren Werth aller angefuͤhrten Muͤntz-Sorten anzuzeigen wisse; welches nicht fuͤglicher geschehen kan, als wann man den Werth einer jeglichen Sorte nach einer uns schon bekannten und bey uns uͤblichen Muͤntze bestimmt. Wann wir nehmlich voraus setzen, daß man einen hinlaͤnglichen Begriff von dem Werth eines Copeken hat, so wird man einen eben so deutlichen Begriff von einer jeglichen an- derwerts uͤblichen Muͤntz-Sorte erhalten, wann man erkennt, wieviel dieselben an Copeken aus- tragen. Weilen aber bey dem Werth der Muͤn- tzen allenthalben sehr viel auf dem Gutduͤncken der Menschen beruhet, so kan eine solche Ver- gleichung nicht so genau angestellet werden; uͤber
das
das macht auch die Handelschaft hierinn oͤfters grosse Veraͤnderungen, als worinn die Veraͤn- derlichkeit des Wechsel-
Courses
bestehet. Allhier wird nehmlich bald ein Rubl mit mehr als 50 Stuͤber Hollaͤndisch
Corrent
Geld, bald mit we- niger gleich geschaͤtzet; so daß in dieser Verglei- chung nichts festes gesetzt werden kan. Um aber doch einiger massen einen Begriff von der Ver- haͤltniß der Muͤntzen unter sich zu erhalten, so erwehlet man hiezu einen mitleren Preiß, welches das
Pary
genennet wird: und nach solchem kan man die verlangte Vergleichung anstellen. Nur muß man sich die daher fliessenden Verhaͤltnisse nicht als etwas festes und bestaͤndiges vorstellen, sondern immer diesen Umstand dabey bemercken, daß der wahre Werth der Muͤntzen bald hoͤher bald nidriger zu stehen kommt als das
Pary
an- zeigt. Auf solchen Fuß haben wir also die nach- folgende Vergleichung der obangefuͤhrten Muͤntzen mit dem hiesigen Geld angestellt.
Jn Narva, Reval, Doͤrpt.
Der an diesen Orten uͤblichen Muͤntzen ist schon oben die Vergleichung mit Copeken ange- fuͤhret worden, nehmlich es haͤlt
1. Rthl. ‒ 80 Copeken
1. Rthl.
Corrent
65
1.
Carolin
Schwedisch 25
1. Weisse ‒ 1¼.
Rigische
Rigische Muͤntz.
1. Rthl.
Albert
105 Cop.
1. Gulden ‒ 35
1. Marck ‒ 7
1. Groschen ‒ 1⅙
1. Ferding ‒ 1¾.
Hollaͤndisches
Corrent
Geld.
1.
Ducaten
‒ 210 Cop.
1. Rthl. ‒ 100
1. Gulden ‒ 40
1. Stuͤber ‒ 2
1. Pfenning Holl. ⅛
1. Pfund Vls. 240
1. Schilling Vls. 12
1. Pfenning Vls. 1
Das
Banco
Geld ist am Preiß
5
Pro Cento
hoͤher als
Corrent
und also haͤlt.
1. Rthl.
B°
105 Copeken
1. Pfund Vls.
P°
252
1. Schilling Vls.
B°
12⅗.
Englisches Geld.
1. Pfund Sterl. 440 Cop.
1. Schilling Sterl. 22
1. Pfenning Sterl. 1⅚
)( )(
1. Guinéc
1. Guinéc
‒ 473 Cop.
1. Crone ‒ 110
1. Grat
‒ 7⅓.
Hamburger Corrent
Geld.
1. Thl. ‒ ‒ 90 Cop.
1. Mark ‒ ‒ 30
1. Schilling Luͤb. ‒ 1⅞
1. Schilling Vls. ‒ 11¼
1. Wechsel Thlr. ‒ 60
1. Pfund Vls. ‒ 225.
Hamburger Banco
Geld.
1. Thl.
B°
104½ Cop.
1. Mark
B°
34⅚.
Saͤchsisch und Brandenburgisch Geld.
1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
1. Zwey Drittel Stuͤck 52
1. Ggl. ‒ ‒ 3¼.
Braunschweigisch Geld.
1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
1. Mgl. ‒ ‒ 2⅙.
Bremisch Geld.
1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
1. Groot
‒ ‒ 3
\frac{1}{12}
.
Jn
Jn Franckfurt am Main, und gantz Ober-Teutschland, auch der Schweitz.
1. Thaler ‒ 75 Cop.
1. Gulden ‒ 50
1. Batzen ‒ 3⅓
1. Kayser Groschen 2½.
Jn Dantzig, Koͤnigsberg und Preussen.
1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
1. Gulden Polln. ‒ 26
1. Groschen ‒ ‒
\frac{13}{15}
1. Timpf ‒ ‒ 15⅗.
Frantzoͤsisches Geld.
1. Ecû
‒ ‒ 60 Cop.
1. Livre
‒ ‒ 20
1. Sol
‒ ‒ 1
1. Alter
Louis d’ or
‒ 375
1. Neuer
Louis d’ or
‒ 448
1. Louis blanc
‒ 102
Jtaliaͤnisch Geld.
1. Venetianischer
Duc. di Banco
90 Cop.
1. Pezza d’ otto de 6 Lire
oder 1
Scudo
94 Cop.
1. Lire Corrent
‒ 15⅔.
)( )( 2
Daͤnisch
Daͤnisch Geld.
1. Thlr. ‒ ‒ 90 Cop.
1. Mark ‒ ‒ 15
1. Schilling ‒ ‒
\frac{15}{16}
1. Daͤnische Crone ‒ 30
Schwedisch Geld.
1. Kupfer Geld ‒ 12 Cop.
1. Kupfer Mark ‒ 3
1. Silber Thaler ‒ 36
1. Silber Mark ‒ 9
1. Oer
Silber Geld 1⅙
1. Oer
Kupfer Geld ⅜.
Spanisch Geld.
1. Marevedis
‒
\frac{7}{25}
Cop
oder
25. Marevedis
‒ 7
1. Real
‒ 9
\frac{13}{25}
1. Peso d’ otto
‒ 95⅕
1. Pistole
‒ 380⅘.
Portugiesisch Geld.
1. Crusado
von 400
Rees
48 Cop.
1. Marqui
rter
Crusado
60
1. Pistole
‒ 360
1. Patacon
‒ 72
1. Peso d’ otto d’ Espagne
90
1. Teston
‒ 12
1. Real
‒ 4⅘
1. Rees
‒
\frac{3}{25}
.
II.
Punckt.
II.
Punckt.
Von den Gewichten.
Die Gewichte koͤnnen sehr fuͤglich in zwey Classon abgetheilet werden, davon die erste die grossen Gewichte in sich begreifft, nach welchen grosse Laͤsten abgewogen zu werden pflegen: zur anderen Classe aber gehoͤren die kleineren Ge- wichte, welcher man sich bey Abwaͤgung kleine- rer Sachen bedienet; der Unterscheid aber zwi- schen beyden kan so fest gesetzet werden, daß bey dem grossen Gewichte das Pfund die kleinste Sorte, bey den kleinen Gewichte aber die groͤste Sorte ausmacht. Beyde Arten aber sind so wohl den Benennungen als der Groͤsse und Ein- theilung nach so wohl in verschiedenen Laͤndern als auch in Ansehung der verschiedenen Waaren, wozu solche gebraucht werden, sehr unterschieden. Wir wollen demnach die fuͤrnemsten verschiedenen Gewichs-Sorten, welche so wohl in verschiede- nen Reichen als bey Abwaͤgung verschiedener Waaren im Schwang sind hier anfuͤhren.
Von den Gewichten im Rußischen Reiche.
Allhier bedienet man sich ausser den
Apothe-
ken folgender Gewichs-Sorten.
1. Berkowitz haͤlt 10 Pud
1. Pud ‒ 40 Pfund
1. Pfund ‒ 32 Loth
)( )( 3
oder
oder
1. Pfund ‒ 96 Solotnick
1. Loth ‒ 3 Solotnick.
Kleinere Gewichte als 1 Solotnick werden durch Bruͤche eines Solotnicks angedeutet als ½ Solotn. ¼ Solotn. ⅛ Solotn. und so fort.
Von den Gewichten in Est- und Liefland.
1. Last haͤlt 12 Schiff Pfund
1. Schiff Pfund 20 Ließ Pfund
oder 4 Loof
1. Loof ‒ 5 Ließ Pfund
1. Ließ Pfund 20 Pfund
1. Pfund ‒ 16 Unzen
oder 32 Loth
1. Unze ‒ 2 Loth
1. Loth ‒ 4
Quintl
ein
1. Centner haͤlt 120 Pfund
1. Tonne
‒ 240 Pfund.
Von dem Hollaͤndischen Gewichte.
1. Schiff Pfund haͤlt 20 Ließ Pfund
1. Ließ Pfund ‒ 15 Pfund
1. Stein ‒ 8 Pfund
1. Pfund ‒ 2 Mark
oder 16 Unzen
oder 32 Loth
1. Mark ‒ 8 Unzen
oder 16 Loth
1. Unze
1. Unze ‒ 2 Loth
oder 20 Engels
1. Loth ‒ 10 Engels
1. Engel ‒ 32 Aß.
Grosse Lasten pflegen an den meisten Orten nach Centnern oder Quintalen abgewogen zu wer- den, welche nicht allenthalben eine gleiche An- zahl Pfund halten. Dem Nahmen nach sollten zwar 100 Pfund einen Centner ausmachen, al- lein an verschiedenen Orten werden bald 105 ℔, bald 110 ℔, bald 112 ℔, bald 120 ℔ auf einen Centner gerechnet; welche Ungleichheit theils von alter Gewohnheit theils von den un- gleichen Pfunden herruͤhret; weswegen fast an einem jeglichen Orte ein besonderer Centner ge- funden wird. Wir wollen uns demnach nur zu den kleineren Gewichten allein wenden, unter welchen das Pfund das groͤste Maaß zu seyn pflegt, und die fuͤrnehmsten Eintheilungen, so im Gebrauche sind, beschreiben.
Eintheilung des Nuͤrnberger Pfunds, welches
in den weisten Theilen Teutschlands bey Abwaͤgung grober Waaren uͤblich ist.
1. Pfund haͤlt 2 Mark
oder 16 Unzen
oder 32 Loth
1. Loth ‒ 4 Quintl.
1. Quintl. ‒ 4 Pfenning
1. Pfenning ‒ 4 Heller.
)( )( 4
Ein-
Eintheilung des Coͤllnischen Pfunds, welches zu feinen Waaren abzuwaͤgen gebraucht wird; und insonderheit bey dem Silber uͤblich ist.
1. Pfund haͤlt 2 Mark
oder 16 Unzen
1. Mark ‒ 8 Unzen
1. Unze ‒ 2 Loth
oder 8 Quintl.
1. Loth ‒ 4 Quintl.
1. Quintl. ‒ 4 Pfenning
1. Pfenning ‒ 15
Gran.
An einigen Orten pflegt auch die Coͤllnische Unze in Engels abgetheilt zu werden, dergleichen im Hollaͤndischen Gewichte vorkommen, weilen aber die Coͤllnische Unze um den 20sten Theil kleiner ist als die Hollaͤndische Unze, so haͤlt
1. Coͤllnische Unze ‒ 19 Engel
1. Engel ‒ ‒ 32 Aß.
Die Eintheilung des
Trosi
schen Pfunds, welches in Engelland gebraucht wird.
1. Pfund haͤlt 12 Unzen
1. Unze ‒ 20
Penny
Gewicht
1. Penny
‒
24 Gran.
Jn
Jn Franckreich aber wird dieses Pfund solcher gestalt eingetheilet.
1. Pfund haͤlt 2 Mark
oder 16 Unzen
1. Mark ‒ 8 Unzen
1. Unze ‒
8 Gross
1. Gross
‒
3 Denier
1. Denier
‒
24 Grain
1. Grain
‒
24 Garob
oder
primes
1. Garob
oder
Prime 24 Seconds
1. Second
‒
24 Terties
oder
Malloques.
Jn Engelland wird zu groben Waaren das
Avoir du Poids
Gewicht gebraucht, davon diese Eintheilung uͤblich ist.
1. Tonne
haͤlt 20 Centner
1. Centner ‒ 112 Pfund
1. Pfund ‒ 16 Unzen
1. Unze ‒
8 Drams
1. Dram
‒
3 Scrupel.
Jn Sachsen bedienet man sich auch dieser Eintheilung.
1. Pfund ‒ 2 Mark
1. Mark ‒ 8 Unzen
oder 16 Loth
oder
24 Karat
)( )( 5
1. Unze
1. Unze ‒
3 Karat
1. Karat
‒
4 Gran
1. Gran
‒
3 grän
1. Loth ‒
18 grän.
Eintheilung
des
Apothe
ker Pfunds, wie solche
an den
meisten Orten
Europæ
gebrauchlich ist.
1. Pfund haͤlt 12 Unzen
1. Unze ‒
8 Drachmas
1. Drachma
‒
3 Scrupel
1. Scrupel
‒
20 Gran.
Und diese Nahmen pflegen durch folgende Zeichen angezeigt zu werden.
Pfund ‒ ℔
Mark ‒

Unze ‒ ℥
Drachma
‒ ℨ
Scrupel
‒ ℈
Gran
‒
gr.
Bey der
Silber-Probe bedienet man sich folgen- der Eintheilung in Teutschland.
1 Mark in 16 Loth
1 Loth in 18
grän.
Jn Franckreich aber.
1 Mark in 12
Denier
1 Denier
in 24
Gran.
Bey
Bey Probirung des Golds aber pflegt man einzutheilen.
Die Mark in 24
Karat
oder
Krat
1
Karat
in 12
Gran.
Von der Gewichts-Vergleichung.
Es findet sich in den Gewichten ein solcher Unterscheid, daß man fast in einen jeden Statt ein sonderbares Pfund antrifft: wodurch in dem
Commercio
eine grosse Verwirrung entstehen kan, wann man die an verschiedenen Orten uͤblichen Pfunde nicht unter sich vergleichen kan. Um aber die wahre Groͤsse eines Pfunds, wie solches an einem jeglichen Orte im Gebrauche ist zu bestim- men, so muß man ein Gewicht fuͤr bekant anneh- men und nach demselben alle uͤbrige abmessen und beschreiben. Wir wollen allhier das Coͤllnische Gewicht zum Grunde legen, als welches in gantz Teutschland bey Abwaͤgung des Silbers und Golds im Gebrauche ist, und anzeigen wie sich die Pfunde von den fuͤrnehmsten Orten in Europa zu demselben verhalten. Zu diesem Ende theilen wir also, wie vorher gemeldet, das Coͤllnische Pf
.
in 32 Loth, das Loth in 4 Quintl. ein Quintl. fer- ner in 4 ₰ oder Pfenninge Gewicht, und 1 ₰ noch weiter in 15
Gran.
Nach diesem Gewichte ist nun nachfolgende
Tabelle
eingerichtet, aus wel- cher zu sehen, wieviel ein jegliches darinn
speci- ficir
tes Pfund nach diesem Gewichte wiegt.
Ein
Zweyter Theil von den
SPECIEBVS
mit benannten Zahlen.
Cap. I.
Von der
Resolution
und
Reduction.
1.
J
N der
Resolution
und
Reduction
wer- den solche
Quantit
aͤt
en betrachtet, welche durch verschiedene Sorten pflegen ausgemessen zu werden, und lehret die
Resolution
insgemein groͤssere Sorten in kleinere, die
Reduction
aber kleinere Sorten in groͤssere verwandeln.
Da wir in dem ersten Theil dieser
Arithme- tic
die Zahlen uͤberhaupt ohne gewisse Benennun- gen derselben betrachtet, und die
Operatio
nen so wohl in gantzen als Bruͤchen ausgefuͤhrt haben, so folget anjetzo, daß wir den Gebrauch dieser
Operatio
nen auf alle in dem gemeinen Wesen gebraͤuchliche Arten zu zehlen anzeigen. Vor al- len Dingen ist nun zu mercken, daß alle Sachen, welche man durch Zahlen ausdruͤckt, entweder nach eintzelen Stuͤcken gezehlet, oder dazu ver-
A
schiedene
schiedene Sorten von Massen gebraucht werden. Wann nach eintzelen Stuͤcken gezehlet wird, so sind die obbeschriebenen
Operatio
nen hinlaͤnglich, und ist keine besondere Anleitung dazu noͤthig. Also wann alles Geld nach einerley Muͤntz-Sor- ten als Copeken gezehlet werden sollte, so wuͤrde es keine Schwierigkeiten haben, verschiedene Anzahlen von Copeken entweder zu
addi
ren oder von einander zu
subtrahi
ren, ingleichem auch eine gegebene Zahl von Copeken zu
multiplici
ren oder zu
diuidi
ren. Eine gleiche Bewandnuͤß wuͤrde es auch mit den Gewichten haben, wann man sich in Ausdruͤckung derselben nur einerley Sorten als Pfunde bedienen sollte: und dieses ist von allen Gattungen Maassen zu verstehen, wann bestaͤndig durch die
Unit
aͤt 1 einerley Maaß an- gedeutet wird. Es ist aber bey allen Rechnun- gen sehr gebraͤuchlich, daß einerley
Quantit
aͤten durch verschiedene Sorten ausgedruͤckt werden: also wird das Geld allhier nach Rubeln, Gri- ven, Copeken und Poluschken; das Gewicht nach Puden, Pfunden, Lothen und Solomiken; die Zeit nach Jahren, Monathen, Wochen, Tagen, Stunden, Minuten und Secunden be- schrieben. Wann man also sagt, daß ein Ge- wicht halte 15 Pud, 27 Pfund, 16 Loth und 2 Solotnick, so hat die
Unit
aͤt in solcher Beschreibung nicht einerley Bedeutung; sondern in der Zahl 15 bedeutet 1 ein Pud, in der Zahl 27 ist 1 ein Pfund, in der Zahl 16 ein
Loth
Loth und in 2 ein Solotnick. Wann nun solche
Quantit
aͤten vorkommen, welche nach verschiede- nen Maaß-Sorten ausgemessen und beschrieben werden, so werden besondere Regeln erfordert die
Arithmeti
schen
Operatio
nen mit denselben an- zustellen. Es ist aber vor allen Dingen noͤthig, daß man die Verhaͤltniß der verschiedenen Sor- ten, nach welchen eine Sach gezehlet wird, wisse und unter sich vergleichen koͤnne; als um einen deutlichen Begriff von dem angefuͤhrten Gewicht von 15 Pud, 27 Pfund, 16 Loth und 2 Solotnick zu haben, muß man wissen, wieviel Pfund erstlich ein Pud, zweytens wie- viel Loth ein Pfund, und drittens wieviel So- lotnick ein Loth in sich begreiffe. Und diese Ver- haͤltniß muß also bey allen dergleichen vorfallen- den Rechnungen entweder bekant seyn, oder an- gezeiget werden. Da nun unser Vorhaben ist, die
Arithmeti
schen
Operatio
nen mit solchen
Quan- tit
aͤten, welche nach verschiedenen Sorten von Maassen beschrieben werden, anzustellen; so ist noͤthig, daß wir vorher von solchen verschiedenen Sorten uͤberhaupt handeln, und anzeigen, wie dergleichen Ausdruͤckungen auf vielerley Art ver- wandelt werden koͤnnen. Solche vorlaͤuffige
Operatio
nen sind demnach die
Resolution
und
Re- duction,
deren jene lehret, wie man eine nach vielerley Sorten beschriebene
Quantit
aͤt unter eine Sorte bringen, und ausdruͤcken soll. Jn der
Reduction
aber wird gewiesen, wie man eine
A 2
durch
durch einerley Sorte ausgedruͤckte
Quantit
aͤt wie- derum nach verschiedenen Sorten auf gewoͤhnli- che Art beschreiben soll. Jnsonderheit aber gehet die
Resolution
dahin, wie groͤssere und verschie- dene Sorten in kleinere und einerley Sorten ver- wandelt werden sollen. Der Endzweck dieser
Ope- ration
aber ist zweyfach; dann erstlich erhaͤlt man dadurch, daß die verschiedenen Benennungen ge- hoben und auf einerley Nahmen oder Sorten ge- bracht, und solchergestalt als simple Zahlen
tracti
rt werden koͤnnen. Hernach bedient man sich auch der
Resolution
um Bruͤche so viel als moͤglich in der Rechnung zu vermeiden, und des- wegen pflegt man die kleinste Sorte zu erwehlen, und darein die groͤsseren Sorten zu verwandeln. Dann wann uns zum Exempel ein Gewicht vor- gelegt worden, welches 12 Pud, 10 Pfund, 22 Loth und 1 Solotnick gewogen; so koͤnnen diese verschiedenen Sorten auf mehr als eine Weise unter einerley Nahmen gebracht werden; dann erstlich kan ich das gantze Gewicht nur allein nach Puden durch Huͤlfe der Bruͤche ausdrucken, und sagen, daß dieses Gewicht halte 12
\frac{1027}{3840}
Pud; wobey der Nahme Pud allein vorkommt. Her- nach kan eben dieses Gewicht nach Pfunden be- schrieben werden, und wird seyn 490
\frac{67}{96}
Pfund. Drittens kan auch diese Schwehre dieses Ge- wichts nach Lothen angezeigt werden, da dasselbe dann halten wird 15702⅓ Loth. Wann man endlich wissen will, wieviel Solotnick dieses Ge-
wicht
wicht enthalte, so findt man 47107 Solotnick. Wann man also nur verlangt dieses vorgegebene Gewicht in einerley Sorte ausgedruckt zu haben, so kan solches entweder nach Puden, oder Pfun- den oder Lothen oder Solotnicken geschehen; wann man aber zugleich eine gantze Zahl ohne Bruͤche verlangt, so muß solches in der kleinsten Sorte, welche vorkommt, nehmlich in Solotnicken gesche- hen. Diesen Endzweck also zu erhalten, wollen wir erstlich anzeigen, wie groͤssere Sorten in klei- nere verwandelt werden koͤnnen. Hernach wollen wir doch auch die Regeln vorbringen, vermittelst welcher eine beschriebene
Quantit
aͤt auf einerley Sorte, so nicht die kleinste ist, gebracht werden kan: als worauf die Wechsel Rechnung beruhet, darinn Muͤntz-Sorten von verschiedenen Landen unter sich verglichen, und nach einer beliebigen Art ausgedruͤckt werden. Wann aber eine solche
Quantit
aͤt, welche man nach verschiedenen Sor- ten auszusprechen pflegt, in einerley etwa groͤsse- ren oder kleineren Sorten ausgedruͤckt wird, mit oder ohne Bruͤche, so lehret die
Reduction,
wie man daraus hinwiedexum dieselbe
Quantit
aͤt nach verschiedenen Sorten auf gewoͤhnliche Art anzei- gen soll.
2.)
Wann man eine groͤssere Sorte in eine kleinere verwandeln will, so sehe man wieviel Stuͤcke von der kleineren Sorte in einem Stuͤcke der groͤsseren enthalten sind: und mit dieser Zahl
multiplici
re man die An-
A 3
zahl
zahl der Stuͤcke von der groͤsseren Sorte, so wird das
Product
die verlangte Zahl der Stuͤ- cke nach der kleineren Sorte anzeigen.
Um diese Regel zu erklaͤren, so laßt uns se- tzen, es sollen 15 Pfund in Loth verwandelt, oder angezeigt werden, wieviel Loth an Gewicht eben so viel betragen als 15 Pfund. Wir haben also 15 Pfund, welche in Loth verwandelt werden sollen, und deswegen sehen wir erstlich wieviel Loth ein Pfund in sich begreifft. Nun wissen wir aus dem Gebrauch, daß 32 Loth auf ein Pfund gehen, und
multiplici
ren also nach An- weisung der gegebenen Regel die vorgegebene An- zahl Pfund nehmlich 15 mit 32. Das
Product
nehmlich 480 zeigt uns alsdann die verlangte An- zahl von Lothen; und sagen also, daß 480 Loth eben so viel ist als 15 Pfund. Der Grund dieser Regel ist leicht aus diesem Exempel einzusehen: dann da ein Pfund 32 Loth in sich enthaͤlt, so so sind 2 Pfund so viel als 2 mal 32 Loth, und 3 Pfund so viel als 3 mal 32 Loth, und 4 Pfund so viel als 4 mal 32 Loth und so weiter. Hier- aus werden also 15 Pfund so viel seyn als 15 mal 32 Loth; woraus folgt, daß man, um zu finden wieviel Loth in 15 Pfunden enthalten sind, die Anzahl der Pfunden nehmlich 15 mit 32 als der Anzahl der Lothe, welche auf ein Pfund gehen,
multiplici
ren muͤsse. Diese Regel erstrecket sich nun gleichergestalt auf alle andere Gattungen von groͤsseren und kleineren Sorten, und koͤnnen ver-
mittelst
mittelst derselben nachfolgende Aufgaben leicht ausgerechnet werden.
I.
Wieviel Copeken betragen 351 Nubl.
Antw. Da ein Rubl. 100 Cop. haͤlt so
multiplici
re man 351 mit 100: das
Pro- duct
35100 gibt die Anzahl der Copeken, so 351 Rubl. ausmachen.
II.
Jn Teutschland werden 60 Kreutzer auf ei- nen Gulden gerechnet; nun fragts sich wie- viel Kreutzer 128 Gulden halten.
Antw. Da ein Gulden 60 Kreutzer aus- macht, so
multiplici
re man die vorgegebene Zahl der Gulden nehmlich 128 mit 60: und das
Product
nehmlich 7680 weiset die gesuch- te Anzahl Kreutzer.
III.
Es wird gefragt wieviel Buͤcher Papier in 15 Rieß enthalten sind, das Rieß zu 20 Buͤchern gerechnet.
Antw. Um dieses zu finden muß man 15 mit 20
muitiplici
ren, so wird das
Product
300 die Anzahl der Buͤcher Papier geben, welche in 15 Riessen begriffen sind.
IV.
Wieviel Monathe sind seit der Geburth Christi bis zu Anfang des Jahrs 1740 verflossen.
Antw. Seit der Christi Geburth bis zum Anfang des 1740sten Jahrs sind 1739 Jahre verflossen, da uun ein Jahr 12 Mo- nath haͤlt, so
multiplici
re man 1739 mit 12; das
Product
welches gefunden wird 20868,
A 4
zeigt
zeigt die gesuchte Zahl der Monathe, welche in 1739 Jahren verflossen.
Diese Regel findet auch Statt, wann ein Stuͤck der groͤsseren Sorte nicht eine gantze Zahl Stuͤcke von der kleinern Sorte in sich begreifft: sondern eine gewisse Zahl nebst einem Bruͤ- che. Jn solchen Faͤllen hat man also gleich- fals die gegebene Zahl von der groͤsseren Sorte mit der Anzahl der Stuͤcke der kleineren Sorte, welche ein Stuͤck der groͤsseren Sorte in sich ent- haͤlt, nach den Regeln der Bruͤche zu
multiplici-
ren: wie aus nachfolgenden Exempeln deutlicher erhellt.
V.
Es wird gefragt wieviel die Summ von 561 Rubl. an Altinen betrage?
Antw. Da ein Rubl. in sich haͤlt 33⅓ Al- tin, so muß man die vorgegebene Anzahl Rubl. nehmlich 561 mit 33⅓
multiplici
ren wie folgt.
VI.
Es
VI.
Es wird gefragt wieviel Tage in 36 Jahren verfliessen, nach dem alten Julianifchen Calender?
Antw. Auf ein Jahr werden in dem Ju- lianischen Calender gerechnet 365¼ Tage; durch diese Zahl muß man also 36
multipli- ci
ren.
VII.
Wieviel Hollaͤndische Stuͤber machen 1320 Rubl. wann nach dem Wexel ein Rubel 48¾ Stuͤber betraͤgt?
Antw. Da ein Rubel 48¾ Stuͤber gilt, so
multiplici
re man die gegebene Anzahl Rubel, nehmlich 1320 mit 48¾ wie folgt.
A 5
Wann
Wann auch die Anzahl der Stuͤcke von der groͤsseren Sorte, welche in eine kleinere Sorte verwandelt werden soll, ein gebrochene Zahl ist, so behaͤlt die gegebene Regel nichts destoweniger Platz, wie aus nachfolgenden Exempeln zu ersehen.
VIII.
Man verlangt zu wissen, wieviel 16⅗ Rubl. an Copeken betragen?
Antw. Weilen 1 Rubl 100 Copeken enthaͤlt, so
multiplici
re man die gegebene Anzahl Rubl. nehmlich 16⅗ mit 100, da dann das
Product
1660 die verlangte Anzah. Copeken anzeigt.
IX.
Jemand hat
\frac{8}{9}
Pfund Pfeffer, und wollte gerne wissen, wieviel dieses Gewicht an So- lotnicken betrage?
Antw. Da ein Pfund 96 Solotnick aus- macht, so
multiplici
re man die gegebenen
\frac{8}{9}
Pfund mit 96. Das
Product,
so gefun- den wird 85⅓ zeiget die verlangte Anzahl Solotnick an.
X.
Jemand will durch Wexel nach Holland uͤbermachen 832⅝ Rubl; nach dem Wexel aber gibt ein Rubl 49¼ Stuͤber; wieviel Stuͤber muͤssen ihm in Holland gez hlet werden?
Antw.
Antw. Da ein Rubl 49¼ Stuͤber aus- traͤgt, so wird man finden wieviel Stuͤber die vorgelegte
Summ
von 832⅝ Rubl aus- machen, wann man 832⅝ durch 49¼
multiplici
rt.
3.)
Wann verschiedene Sorten vorkom- men, durch welche eine
Quantit
aͤt beschrieben wird, so kan dieselbe folgender gestalt in der kleinsten Sorte ausgedruͤcket werden. Man
reduci
rt erstlich die groͤste Sorte auf die naͤchstfolgende kleinere Sorte, und thut dazu die Stuͤcke von dieser Sorte, welche vor- kommen. Diese Summ verwandelt man gleichergestalt in die folgende kleinere Sorte und thut wiederum hinzu, was von dersel- ben Sorte vorhanden ist. Und diese
Opera- tion
wiederholet man so oft, bis man auf die kleinste verlangte Sorte kommt.
Der Grund dieser
Operation
ist von sich selbst so klar, daß kein Beweiß vonnoͤthen ist.
Wir
Wir wollen derohalben um den Gebrauch und Nutzen derselben deutlich vor die Augen zu legen, einige hieher gehoͤrige Exempel anfuͤhren.
I.
Man verlangt zu wissen, wieviel 5 Pud, 18 Pfund, 20 Loth und 2 Solotnick in al- lem an Solotnicken austragen?
Antw. Man nehme erstlich die groͤste Sorte nehmlich die Pude, deren 5 vorhanden sind, und bringe dieselben auf Pfunde, ein Pud zu 40 ℔ gerechnet, so kommen 200 Pfund heraus. Es sind aber 18 Pfund vor- handen, und also haben wir, Pud und Pfund zusammen genommen, 218 Pfund. Diese Pfund bringe man ferner zu Lothen, oder
multiplici
re mit 32, so bekommt man 6976 Loth, hiezu die gegebenen 20 Loth gethan geben 6996 Loth. Diese Loth bringe man endlich auf Solotnick, 3 Solotnick auf ein Loth ge- rechnet, so bekommt man 20988 Solotnick, hiezu die zwey gegebenen Solotnick gethan, be- kommt man 20990 Solotnick, welches eben so viel ist als 5 Pud, 18 Pfund, 20 Loth und 2 Solotnick. Die gantze
Operation
aber ist wie folgt.
5 Pud,
Um die Rechnung abzukuͤrtzen, kan man sich nach den Umstaͤnden vielerley Vortheile be- dienen, welche durch muͤndliche Unterrichtung leichter gewiesen werden koͤnnen. Als um die 2 letzten Solotnick zu
addi
ren, waͤre nicht noͤthig gewesen eine neue
Addition
zu machen, sondern man haͤtte sogleich bey der
Multiplication
der Lo- then durch 3 diese zwey hinzuthun koͤnnen, und bey Anfang der
Operation
sagen 3 mal 6 macht 18 und die 2 dazu gibt 20, und darauf wie sonst die
Multiplication
fortsetzen.
II.
Nach
II.
Nach dem
Apothe
ker Gewicht hat einer an
Ma- terialien
24 Pfund, 9 Unzen, 5
Drachmas, 1 Scru- pel
und 12
Gran,
wieviel ists in allem an
Gra
nen.
Antw. Nach dem
Apothek
er Gewicht ist 1 Pfund 12 Unzen. 1 Unze 8
Drachm. 1 Drachma 3 Scrupel
und 1
Scrupel 20 Gran.
Uber das um die Schreibart abzukuͤrtzen, bedient man sich nachfolgender Zeichen als
℔ bedeut Pfund
℥ — Unze
ℨ —
Drachma
℈ —
Scrupel
gr. — Gran.
Das vorgegebene Exempel wird also mit seiner Ausrechnung also zu stehen kommen.
Damit
Damit die
Operation
desto besser in die Au- gen falle, so haben wir bey Aufschreibung der Aufgabe zugleich durch die obgeschriebenen Zahlen angezeiget, wieviel eine jegliche Sorte von der naͤchstfolgenden kleineren Sorte in sich begreiffe. Bey den
Multiplicatio
nen ist auch gleich dasjenige
addi
rt worden, was dazu gethan werden soll, wodurch die Rechnung um ein merckliches abge- kuͤrzet ist.
III.
Man verlangt zu wissen, wieviel diese Zeit 4 Wochen, 5 Tage, 14 Stunden und 36 Minuten, in Minuten ausmache?
Antw. Da eine Woche 7 Tage, ein Tag 24 Stund, eine Stund 60 Minuten haͤlt, so wird die Rechnung seyn wie folgt.
IV.
Wie-
IV.
Wieviel Poluschken betraͤgt diese Summ Geld 26 Rubl, 8 Griwen, 2 Altin, 1 Copeken und 3 Poluschken?
Antw. Ein Rubl haͤlt 10 Griwen, ein Griwen 3⅓ Altin, ein Altin 3 Copeken, und 1 Copeken 4 Poluschken: dahero wird diese Ausrechnung folgender gestalt verrichtet:
Wann von einigen Sorten gar nichts vor- handen ist, oder die vorgegebene
Quantit
aͤt in kleinere Sorten verwandelt werden soll, als darinn wuͤrcklich vorkommen, so geschicht die
Ope- ration
auf vor beschriebene Art, da man die ge- gebene:
Quantit
aͤt immer auf kleinere Sorten bringet, bis man auf die kleinste kommt, welche
man
man verlanget: wie aus nachfolgenden Exempeln zu ersehen.
V.
Wieviel Englische Schuh enthaͤlt der Um- kreiß der Erde?
Antw. Diese Frage aufzuloͤsen, so ist zu wissen, daß der Umkreiß der Erde 360 Grade ausmache, ein Grad aber enthaͤlt nach hiesigem Maaß 104½ Werst, ferner eine Werst 500 Saschin und eine Saschin 7 Englische Schuh. Die Frage laͤufft also dahin aus, wieviel Englische Schuh in 360 Graden enthalten sind.
Und also enthaͤlt die Umkreiß der Erd-Kugel 131670000 Englische Schuh; oder auch 18810000 Saschin, oder 37620 Werst.
VI.
Nach dem
Apothe
ker Gewicht, wieviel betragen 18 ℔ und 5 ℨ an
Gra
nen?
B
Antw.
Antw. Wie das
Apothe
ker Pfund in 12 Unzen, eine Unze in 8
Drachmas,
eine
Drachma
in 3
Scrupel
und ein
Scrupel
in 20
Cran
getheilet werden, ist schon oben ange- fuͤhrt worden: und demnach wird dieses Exempel folgender gestalt ausgerechnet:
Jn diesen Exempeln sind wir der ordentlichen und gewoͤhnlichen Art die
Quantit
aͤten nach ver- schiedenen Sorten auszudruͤcken gefolget, da die Anzahl von jeglicher Sorte eine gantze Zahl ist, und von keiner geringeren Sorte entweder so viel oder mehr Stuͤcke vorkommen, als in einem Stuͤcke der groͤsseren Sorte enthalten sind. Wann aber auch diese Ordnung nicht beobachtet wird, und von den verschiedenen Sorten entwe- der mehr Stuͤcke oder gar gebrochene Zahlen vor- kommen, so werden solche
Quantit
aͤten auf glei-
che
che Weise in die kleinste Sorte verwandelt: nur muͤssen in letzterem Falle die
Operatio
nen mit Bruͤchen zu Huͤlfe genommen werden.
VII.
Es wird gefragt, wieviel dieses Gewicht 12⅔ Pud, 19¾ Pfund, 40⅚ Loth und 8⅞ Solotnick an Solotnicken ausmache?
Antw. Jn dieser Frage wird hiesiges Gewicht verstanden, da 1 Pud 40 ℔; ein Pfund 32 Loth, und 1 Loth 3 Solot- nick haͤlt. Die Ausrechnung stehet also fol- gender gestalt.
B 2
VIII.
Einer
VIII.
Einer hat an Silber nach dem in Teutsch- land gewoͤhnlichen Coͤllnischen Silber-Ge- wicht 13½ Mark, 10¾ Unzen, 3⅓ Loth, 4⅗ Quintl, 5⅔ Englisch und 20 Aß; ver- langt zu wissen, wieviel dieses Gewicht an Aessen austrage?
Antw. Die Silbermark wird in 8 Un- zen eingetheilt: und ein Unze haͤlt ferner 2 Loth und ein Loth 4 Quintl. Ein En- glisch ist ein solches Gewicht davon 19 eine Unze ausmachen, und haͤlt folglich eine Quintl. in sich 2⅜ Englisch, endlich haͤlt 1 Englisch 32 Aeß. Hieraus wird die Rechnung folgender gestalt verrichtet.
240⅚
4.)
Wann kleinere Sorten in groͤssere verwandelt werden sollen, so muß man erst- lich sehen, wieviel Stuͤcke von der kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤsseren Sorte aus- machen, und mit dieser Zahl alsdamt die ge- g bene Anzahl der kleineren Sorte
dividi
ren: so wird die
Quotient
die gesuchte Anzahl der groͤsseren Sorte anzeigen.
B 3
Weilen
Weilen die groͤsseren Sorten in kleinere ver- wandelt werden vermittelst der
Multiplication,
in dem man die groͤssere Sorte
multiplici
rt mit derjenigen Zahl, welche anzeigt, wieviel Stuͤcke der kleineren Sorte auf ein Stuͤck der groͤsseren gehen: so ist klar, daß wann man hinwiederum die kleineren Sorten in groͤssere verwandeln will, man sich dazu der
Division
bedienen muͤsse, und folglich die gegebene Anzahl Stuͤck der kleineren Sorte
dividi
ren durch diejenige Zahl, welche anzeigt wieviel Stuͤcke von der kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤsseren in sich enthaͤlt. Der Grund hievon kan am deutlichsten durch ein Exempel erklaͤret werden. Es seyen also 1500 Copeken gegeben, und wird verlanget zu wissen, wieviel dieselben Rubl ausmachen. Da nun 100 Copeken einen Rubel machen, so betragen 1500 Copeken so viel Rubel, so viel mal 100 Copeken in 1500 Copeken enthalten sind: diese Zahl wird also gefunden, wann man 1500 durch 100
di- vidi
rt; und der
Quotient
, nehmlich 15 gibt die verlangte Anzahl Rubl. Die Probe von dieser
Operation
beruhet auf dem zweyten Satz; dann wann wir suchen, wieviel Copeken 15 Rubl. ausmachen, so finden wir 1500 Copeken, so daß also 1500 Copeken so viel sind als 15 Rubl. Wann man also wissen will, wieviel Rubl die vorgegebenen 1500 Copeken ausmachen, so wird eine Zahl gesucht, welche wann sie mit 100
mul- tiplici
rt wird im
Product
1500 herauskommen;
diese
diese Zahl wird demnach gefunden durch die
Di- vision
gefunden, wann man 1500 fuͤr den
Divi- dendum
und 100 fuͤr den
Divisorem
annimmt. Eine gleiche Beschaffenheit hat es auch mit allen anderen Arten von verschiedenen Sorten; wes- wegen zu weiterer Ausfuͤhrung dieser Regel nur noͤthig ist einige Exempel beyzufuͤgen.
I.
Man verlangt zu wissen, wieviel 91 Tag Wochen ausmachen?
Antw. Da eine Woche aus 7 Tagen bestehet, so muß 91 als die Anzahl der Ta- gen durch 7
dividi
rt werden; da dann der
Quotient
die gesuchte Anzahl Wochen anzei- gen wird, wie folgt.
II.
Wieviel Reichs-Thaler machen 384 Gro- schen, so 24 Groschen auf einen Thaler ge- rechnet werden?
Antw. Jm Noͤrdlichen Theil von Teutsch- land wird das Geld nach Reichs-Thalern gerechnet, und ein Reichs-Thaler in 24 Groschen eingetheilet. Derowegen um 384 Groschen zu Reichs-Thalern zu bringen, muß man 384 durch 24
dividi
ren, da dann der
Quotus
die verlangte Anzahl Reichs- Thaler nehmlich 16 anzeigt.
B 4
24)
III.
Jemand hat 5960 Fuͤnf-Copeken Stuͤck wieviel macht das Rubl.
Antw. Weilen 20 Fuͤnf-Copeken Stuͤck einen Rubl ausmachen, so muß man die vorgegebene Anzahl Fuͤnf-Copeken Stuͤck nehmlich 5960 durch 20
dividi
ren, da dann der
Quotus
nehmlich 298 die gesuchte An- zahl Rubl anzeigt.
IV.
Jemand hat 1184 Loth Thee, wieviel sind das Pfund?
Antw. Da 32 Loth ein Pfund machen, so
dividi
rt man 1184 durch 32
Der
Quotient
37 weiset die gesuchte Anzahl Pfund.
V.
Es
V.
Es wird gefragt, wieviel 10900 Altin an Rubl ausmachen?
Antw. Ein Rubl haͤlt 33⅓ Altin; also muß man 10900 durch 33⅓
dividi
ren. Es ist aber 33⅓ in einem einzclen Bruch
\frac{100}{3}
, wo- durch folglich
dividi
rt werden muß
\frac{100}{3}
in 10900 gibt 327.
Derowegen machen 10900 Altin 327 Rubl.
Jn diesen Exempeln ist die
Division
ohne Rest angegangen. Wann aber in der
Division
etwas uͤbrig bleibt, so ist dieses eine Anzeige daß die gesuchte Anzahl der groͤsseren Sorte keine gantze Zahl ist, sondern ein Bruch, welcher wie in der
Division
und der Lehre von den Bruͤchen gelehret worden, ausgedruͤcket werden muß.
VI.
Man verlangt zu wissen, wieviel 175 Co- peken in Rubl berechnet betragen?
Antw. Weilen 1 Rubl 100 Copeken enthaͤlt, so
dividi
re man 175 durch 100.
Woher erhellet daß 175 Copeken so viel ist als 1¾ Rubl. Jn solchen Exempeln muß nehm- lich der voͤllige
Quotient
genommen und zu dem nach den Regeln der
Division
gefundenen
Quoto
in gantzen Zahlen noch der Bruch, dessen Zehler
B 5
der
der uͤbergebliebene Rest der Nenner aber der
Di- visor
ist, hinzugesetzet werden.
VII.
Jn einem groͤsten Zirkel der Erde ist eine
D
i
stanz
abgemessen worden von 513 Wer- sten, nun fragts sich wieviel diese
Distanz
in
Gra
den austrage?
Antw. Weilen ein
Grad
in sich begreifft 104½ Werst, so muß man 513 durch 104½
dividi
ren:
also machen 513 Wer 4
\frac{190}{209}
Grad.
VIII.
Man wollte ein Loth nach Pfunden be- schreiben, oder einem der keinen andern Begriff als von Pfunden hat, den Be- griff eines Loths beybringen?
Antw. Nach der gegebenen Regel muß um Lothe in Pfunden auszudruͤcken die Anzahl der Lothe durch 32, so viel nehm- lich Loth in einem Pfund enthalten sind,
dividi
ren. Jn angefuͤhrten Exempel ha- ben wir aber ein Loth, und
dividi
ren also 1 durch 32, der
Quotus
ist
\frac{1}{32}
, und zeigt an, daß ein Loth sey der 32ste Theil eines Pfunds.
Dieses
Dieses ist fuͤr sich klar; und gleicher gestalt erhellet, daß ein Copeken sey der 100ste Theil eines Rubels: ingleichem daß eine Unze sey der zwoͤlfte Theil eines Pfunds
Apothe
ker Gewicht, und uͤberhaupt so viel Stuͤcke von der kleineren Sorte in einem Stuͤck von der groͤsseren Sorte enthalten sind, der so vielte Theil ist ein Stuͤck der kleineren Sorte in Ansehung eines Stuͤcks der groͤsseren Sorte.
IX.
Jemand hat 45 Kreutzer, deren 60 einen Gulden Teutsches Geld ausmachen, wieviel tragt dieses Geld an Gulden aus?
Antw. Da 60 Kreutzer einen Gulden ausmachen, so muß man die gegebene An- zahl Kreutzer nehmlich 45 durch 60
dividi
ren. Der
Quotient,
weilen der
Divisor
60 groͤsser ist als der
Dividendus
45 wird ein einfacher Bruch
\frac{45}{60}
, welcher durch 15 verkleinert sich in ¾ verwandelt. Woraus man schliesset, daß 45 Kreutzer so viel sind als drey Viertel Gulden.
Mehr Exempel hievon werden im folgenden Satze vorkommen.
5.)
Wann eine
Quanti
taͤt in vielerley Sorten beschrieben ist, so koͤnnen immer die kleineren Sorten auf groͤssere vermittelst der
Division
gebracht, und nach Belieben die gantze
Quanti
taͤt unter den Nahmen der groͤ- sten Sorte gebracht werden. Und wann man die obige in 3ten Satz gegebene Regel
mit
mit zu Huͤlfe nimmt, so kan man eine in vielerley Sorten ausgedruͤckte
Quanti
taͤt auf den Nahmen einer jeglichen beliebigen mitt- leren Sorten bringen, in dem man die groͤs- seren durch die
Multiplication,
die kleinern aber durch die
Division
darein verwechselt.
Jm vorigen Satze ist gelehret worden, wie eine jegliche kleinere Sorte in eine groͤssere ver- wandelt werden soll; wann derohalben vielerley Sorten vorhanden sind, welche alle unter den Nahmen der groͤsten Sorte gebracht werden sol- len, so faͤngt man die
Operation
von der klein- sten Sorte an, und bringt dieselbe nach der vori- gen Regel durch die
Division
auf die naͤchstfol- gende groͤssere Sorte. Hiezu thut man ferner die Stuͤcke, welche von dieser groͤsseren Sorte wuͤrcklich vorhanden sind: und
reduci
rt diese Summ auf gleiche Art in die naͤchstfolgende groͤs- sere Sorte, und thut hinzu wiederum, was von dieser Sorte vorhanden ist. Solcher gestalt faͤhrt man also fort bis man auf diejenige groͤste Sorte kommt, auf welche die gantze vorgelegte
Quanti
taͤt gebracht werden soll. Hiebey ist nun leicht zu erachten, da alle diese
Operatio
nen durch die
Division
geschehen muͤssen, daß man immer auf groͤssere Bruͤche kommt; dann wann einmal Bruͤche vorkommen, so werden dieselben durch die folgenden
Divisio
nen immer vermehret, oder mehr zusammengesetzt, wie aus folgenden Exem- peln zu ersehen.
I.
Es
I.
Es sind vorhanden 14 Pfund, 22 Loth und 2 Solotnick, welches Gewicht unter der Nah- men Pfund gebracht werden soll?
Antw. Erstlich muͤssen die Solotnick auf Loth gebracht werden, weilen also 3 Solot- nick auf 1 Loth gehen, so
dividi
re man die zwey Solotnick so vorhanden sind durch 3, der
Quotient,
der ⅔ seyn wird, zeigt an daß 2 Solotnick so viel sind als ⅔ Loth, und also haben wir 14 Pfund und 22⅔ Loth, statt des vorgegebenen Gewichts, und also nur noch zwey Benennungen oder Sorten nehm- lich Pfund und Loth. Die 22⅔ Loth muͤssen ferner zu Pfunden gebracht werden, welches geschicht, wann man 22⅔
dividi
rt durch 32, da dann der
Quotient
\frac{17}{2}
anzeigt, daß 22⅔ Loth so viel sind als
\frac{17}{24}
℔. Weilen nun 14 Pfund wuͤrcklich vorhanden sind, so haben wir in allem 14
\frac{17}{24}
Pfund, welches so viel ist als das vorgebene Gewicht 14 Pfund, 22 Loth und 2 Solotnick.
II.
Jemand hat 109 Rubl, 7 Griwen und 8 Copeken, wieviel betraͤgt das in Rubl?
Antw. Es kommen hier dreyerley Nah- men nehmlich Rubl, Griwen und Copeken vor, welche auf einen Nahmen als Rubl gebracht werden sollen. Wir fangen demnach bey der geringsten Sorte nehmlich den Cope- ken an, und bringen dieselben auf Griwen, welches geschieht, wann wir die 8 Copeken
durch
durch 10
dividi
ren: dann da gibt uns der
Quotient
\frac{8}{10}
oder ⅘ Griwen statt der 8 Cope- ken.
Wir haben also nur noch zweyerley Benen- nungen nehmlich 109 Rubl, und 7⅘ Griwen. Diese 7⅘ Griwen unter den Nahmen Rubl zu bringen,
dividi
ren wie selbige durch 10, die weil 1 Rubl 10 Griwen haͤlt, so weiset der
Quotient
\frac{39}{50}
Rubl, welches so viel ist als 7⅘ Griwen. Derowegen haben wir in allem 109
\frac{30}{50}
Rubl. Die
Operation
aber steht wie folgt.
III.
Ein Jahr enthaͤlt 365 Tag, 5 Stunden, 48 Minuten, 47 Secunden, wieviel be- traͤgt ein Jahr in Tagen?
Antw. Es sollen also 365 Tag, 5 Stund, 48 Minuten und 47 Secunden zu Tagen gebracht werden.
365
Da nun allhier gewiesen worden, wie ver- schiedene kleinere Sorten auf den Nahmen der groͤsten gebracht werden sollen; im vorigen Satze aber, wie man die groͤsseren Sorten auf den Nahmen einer kleineren bringen soll, so kan man durch Verknuͤpfung dieser beyden Regeln eine in vielerley Sorten ausgedruͤckte
Quantit
aͤt, auf den Nahmen einer jeglichen mittleren Sorten
reduci-
ren. Dieses zu bewerckstelligen, kan man erst- lich alle groͤsseren Sorten, welche vorhanden sind, vermittelst der
Multiplication
auf diejenige Mittel- Sorte, in welcher die gantze
Quantit
aͤt aufge- druͤckt werden soll, bringen; und alsdann so dieses geschehen, die kleineren Sorten vornehmen, und dieselben durch Huͤlfe der
Division
auf den Nahmen eben derselben mittleren Sorte
reduci-
ren: wie aus nachfolgenden Exempeln deutlich zu ersehen.
IV.
Je-
IV.
Jemand hat an hiesigem Gewicht 15 Pud, 37 Pfund, 13 Loth und 2 Solotnick: wel- ches er verlangt unter dem Nahmen Pfund allein auszudruͤcken?
Antw. Erstlich nehme man die groͤsseren Sorten als Pfund, welche vorhanden sind, nehmlich die 15 Pud, und bringe dieselben auf Pfund, welche mit den 37 Pfunden zu- sammen an Pfunden betragen werden 637 Pfund. Hernach nehme man die kleineren Sorten 13 Loth und 2 Solotnick mit, und
reduci
re diese auf Pfund nehmlich zuerst die 2 Solotnick auf Loth, gibt ⅔ Loth, und also hat man 13⅔ Loth. Diese Loth
dividi
re man durch 32, so kommen
\frac{41}{96}
. Pfund; welches eben so viel ist als 13 Loth 2 Solotnick; und also hat man in allem anstatt des vorgegebe- nen Gewichts 637
\frac{41}{96}
Pfund, wie man ver- langet hat. Die
Operation
aber stehet wie folgt.
V.
Eine
V.
Eine Zeit von 23 Wochen, 4 Tagen, 19 Stunden, 42 Minuten und 35 Secunden; wieviel betraͤgt dieselbe in Stunden?
Antw. Weilen 1 Wochen 7 Tage, 1 Tag 24 Stunden, 1 Stund 60 Minuten und 1 Minute 60 Secunden enthaͤlt, so wird die Aufloͤsung zu stehen kommen, wie folgt.
Dieses sind solche Exempel dergleichen or- dentlicher Weise vorzukommen pflegen, da die Anzahl der Stuͤcke von einer jeglichen Sorte nicht nur eine gantze Zahl ist, sondern noch dabey klei- ner, als die Anzahl Stuͤcke von eben derselben Sorte, welche ein Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen.
Wir wollen derohalben zur Ubung noch eini- ge Exempel hersetzen, in welchen von den ver-
C
schiedenen
schiedenen Sorten theils groͤssere Zahlen, theils Bruͤche vorkommen.
VI.
Nach dem
Apothe
ker Gewicht hat ein Ge- wicht gewogen 4 ℔, 27 ℥, 45 ℨ, 12 ℈, 360
Gran.
wieviel ist dasselbe an
Drach
men oder ℨ?
Antw. Die Eintheilung des
Apothe
ker Gewichts haben wir schon oben angefuͤhrt, nach welcher nehmlich 1 ℔ haͤlt 12 Unzen oder ℥; 1 ℥, 8
Drachmas
oder ℨ; 1 ℨ 3
Scrupel
oder ℈; und 1 ℈ 20
Gran.
VII.
Einer
VII.
Einer hat an Silber nach dem Coͤllnischen Silber-Gewicht 21¾ Mark, 27⅔ Unzen, 12½ Loth, 18⅝ Quintl. 23⅕ Englisch und 48 Aeß, und will dieses Gewicht in Lothen ausgedruͤckt haben.
Antw. Die Silber-Mark wird in 8 Un- zen eingetheilt; und eine Unze haͤlt 2 Loth, 1 Loth 4 Quintl. 1 Quintl. 2⅜ Englisch und 1 Englisch 32 Aesse. Da nun alle diese Sorten auf Loth gebracht werden sollen, so muß man erstlich die Mark und Unzen auf Loth bringen, und dazu die vorhandenen Loth
addi
ren. Hernach werden die kleineren Sorten als Quintl. Englisch und Aeß gleich- fals zu Lothen gebracht und dazugethan, wie die folgende Rechnung weiset.
C 2
21¾
Jn diesen Saͤtzen ist also die
Resolution
be- griffen, wann wir nehmlich die
Resolution
eine solche
Operation
nennen, welche lehret, wie man eine in vielerley Sorten ausgedruͤckte
Quantit
aͤt auf eine eintzige Sorte bringen soll. Gemeinig- lich wird zwar diese
Operation
nur auf die kleinste Sorte gezogen, und lehret nur die groͤssern Sor- ten in kleinere verwandeln; allein da oͤffters die Rechnungen nicht wenig abgekuͤrtzet werden
koͤnnen,
koͤnnen, wann man die verschiedenen Sorten nicht so wohl in die kleinste als in eine andere ver- wandelt, so haben wir allhier der
Resolution
eine groͤssere Ausdehnung gegeben, und darinn gelehrt, wie vielerley Sorten auf eine einige Sorte gebracht werden sollen.
6.)
Eine
Quantit
aͤt wird auf gewoͤhnliche Art in verschiedenen Sorten ausgedruͤckt, wann erstlich von keiner kleineren Sorte so viel oder mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen. Zweytens wird auch erfordert, daß die Anzahl von einer jegli- chen Sorte eine gantze Zahl sey, nur die kleinste Sorte ausgenommen, bey welcher Brüche vorkommen koͤnnen.
Die vielerley Sorten von Muͤntzen, Gewicht, und Maaß sind nicht nur aus blosser Gewohnheit angenommen und in Gebrauch gebracht worden, sondern die Bequemlichkeit im Zehlen und Rech- nen scheinet insonderheit den Alten hiezu Gelegen- heit gegeben zu haben. Allem Ansehen nach ist der Endzweck, welchen man bey Einfuͤhrung so vielerley Sorten gehabt haben mag, zweyfach gewesen: erstlich und fuͤrnehmlich im Zehlen und Rechnen so viel als moͤglich die Bruͤche zu ver- meiden; und zweytens um allzugrosser Zahlen uͤberhoben zu seyn: welches beydes bey dem ge- meinen Mann, so im Rechnen nicht geuͤbt ist, kein geringer Vortheil ist. Zu Vermeidung der
C 3
Bruͤche
Bruͤche sind also die kleineren Sorten erdacht und in Gebrauch gebracht worden: dann wann man sich nnr bey einer jeglichen Ausmessung der groͤsseren Sorten bedienen wollte, so wuͤrde man so oft auf Bruͤche gerathen, als weniger als ein gantzes Stuͤck von derselben Sorte vorkommt. Als wann man allhier zu Berechnung des Gelds keine andere Sorte oder keinen andern Nahmen als Rubl haͤtte, so wuͤrden wenig Rechnungen ohne Bruͤche vollfuͤhret werden koͤnnen. Die Bruͤche nun zu vermeiden, sind die kleineren Sorten als Griwen, Altin, Copeken, De- nuschken und Poluschken sehr dienlich, in dem man dadurch, so oft kein gantzer Rubl vorkommt, den Werth davon in diesen kleineren Sorten ge- meiniglich ohne Bruͤche anzeigen kan. Kan aber solches nicht gaͤntzlich ohne Bruͤche geschehen, so gewinnt man dadurch doch so viel, daß der Bruch nur zur kleinsten Sorte kommt, und folglich aus weit kleineren Zahlen besteht. Uber das wird auch auf einen solchen Bruch, welcher nur Theile von Poluschken als der kleinsten Sorte enthaͤlt, im Rechnen oͤffters gar nicht gesehen, in Auszahlung des Gelds aber gantz und gar nicht in Acht genommen. Als wann jemand
\frac{5}{24}
Rubl zu fordern haͤtte, so koͤnnte dieser Bruch einem der im Rechnen ungeuͤbt ist Schwierigkeiten verur- sachen; wan aber derselbe in kleineren Sorten ausgedruͤckt wird, so kommen 2 Griwen, 1 De- nuske, 1⅓ Poluschken, welchen Werth einjeder
leicht
leicht einsehen kan. Dann obgleich noch ein Drittel Poluschken vorkommt, so wird solcher niemand grosse Schwie igkeiten verursachen. Da nun die kleineren Sorten zu Vermeidung der Bruͤche eingefuͤhret sind, so koͤnnte man auf die Gedancken gerathen, als wann es bequemer seyn wuͤrde, wann man sich nur allein der klein- sten Sorten bey einer jeglichen Rechnung bedie- nen sollte, in dem man solcher gestalt selten in Bruͤche verfallen wuͤrde, und wann auch dieses geschaͤhe, dieselben ohne grosse Gefahr verwerfen koͤnnte. Allein hiebey ist zu bedencken, daß man in Ausdruͤckung grosser Summen auf sehr grosse Zahlen kommen wuͤrde, welche zu uͤbersehen dem gemeinen Mann nicht weniger schwehr fallen wuͤrde. Als wann die Rede waͤre von 573648 Poluschken, so doͤrfte diese Summ zu begreiffen manchem nicht wenig Schwierigkeiten erwecken, wann man aber anstatt derselben sagt 1434 Rubl und 12 Copeken, so wird sich davon ein- jeder leicht einen deutlichen Begriff zu machen wissen.
Da nun bey den meisten Rechnungen von Muͤntz, Gewicht und Maaß die verschiedenen Sorten zu Vermeidung so wohl der Bruͤche als allzugrosser Zahlen eingefuͤhret worden, so ist leicht zu erachten, wie man sich diesem Endzweck gemaͤß der verschiedenen Sorten bedienen muͤssen. Fuͤr das erste muß man sich nehmlich huͤten, daß von keiner groͤsseren Sorte Bruͤche in die Rech-
C 4
nung
nung gebracht werden: sondern wann solches ge- schieht, muß man die Bruͤche auf die folgenden kleineren Sorten
reduci
ren, bis endlich die Bruͤ- che entweder gantz und gar verschwinden, oder nur bey der kleinsten Sorte uͤbrig bleiben. De- rohalben wann eine
Quantit
aͤt diesem Endzweck gemaͤß, oder wie die Gewohnheit erfordert, aus- gedruͤckt werden soll, so muͤssen von allen Sorten gantze Zahlen vorkommen, nur die kleinste Sorte ausgenommen, in welche die Bruͤche, wann solche nicht gaͤntzlich vermeidet werden koͤnnen, gebracht werden muͤssen. Hernach, damit man die allzugrossen Zahlen gleichfals vermeide, so muͤssen von keiner kleineren Sorte so viel oder mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck von der groͤsseren Sorte austragen: wann derohal- ben solches geschieht, so ist dienlich, daß man von der kleineren Sorte so viel Stuͤcke wegnehme, als ein Stuͤck von der groͤsseren Sorte ausma- chen, und anstatt derselben ein Stuͤck zur groͤsse- ren Sorte hinzusetze. Als anstatt 11 Pfund 1
0
Loth und 4 Solotnick, weilen 3 Solotnick ein Loth ausmachen, ist deutlicher wann man sagt 11 Pfund 16 Loth und 1 Solotnick. Dieses ist nun von aller Gattung Maassen, welche in vielerley Sorten abgetheilt zu werden pflegen, zu verstehen, und muß man immer trachten die Rechnungen auf solche Art einzurichten: als wel- che Art theils deutlicher in die Augen faͤllt, theils der Gewohnheit gemaͤß ist. Wann man
dero-
derohalben in der Rechnung auf eine Ausdruͤckung gekommen, welche nicht nach diesen Regeln be- schaffen ist, so muß man sich die Muͤhe geben solche in die gewoͤhnliche Form zu verwandeln. Zu dieser Verwandlung gibt uns die
Reduction
die noͤthigen Regeln an die Hand, als welche lehret, alle auf nicht gebraͤuchliche Art ausge- druͤckte
Quantit
aͤten solcher gestalt nach den ver- schiedenen Sorten ausdruͤcken, daß von keiner Sorte so viel oder mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck der naͤchst groͤsseren Sorte austragen, und auch nirgend, ausgenommen bey der kleinsten Sorte, Bruͤche entspringen. Ob aber eine vor- gegebene
Quantit
aͤt solcher
Reduction
beduͤrfe oder nicht, kan man leicht erkennen, wann man sieht ob die Ausdruͤckung mit den beyden gegebenen Regeln uͤbereinkommt. Und nach diesen zweyen Regeln, welche beobachtet werden muͤssen, be- kommt die
Reduction
auch zwey Theil; davon der erstere lehret, wann von einer kleineren Sorte mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte austragen, wie eine solche Ausdruͤckung in die gehoͤrige Regel- maͤßige Form gebracht werden solle. Jn dem anderen Theil aber muß gewiesen werden, wann bey groͤsseren Sorten Bruͤche vorkommen, wie dieselben gehoben und auf die kleineren Sorten gebracht werden sollen, damit die vorgegebene
Quantit
aͤt auf die gebraͤuchliche Art beschrieben werde.
C 5
7.)
Wann
7.)
Wann von einer kleineren Sorte mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte austra- gen, so
dividi
re man diejenige Zahl der von der kleinern Sorte vorhandenen Stuͤcken durch die Zahl welche anzeigt, wieviel Stuͤcke dieser Sorte in einem Stuͤcke der groͤsseren Sorte enthalten sind: so wird als- dann der
Quotus
in gantzen Zahlen die An- zahl der Stuͤcke der groͤsseren Sorte anzei- gen, der Rest aber so in der
Division
uͤber- bleibt, bedeutet noch Stuͤcke von der klei- nern Sorte.
Sind von der kleineren Sorte mehr Stuͤcke vorhanden, als in einem Stuͤcke der groͤsseren Sorte enthalten sind, so werden in derselben klei- nern Sorte ein oder mehr Stuͤcke von der groͤs- seren Sorte wuͤrcklich vorhanden seyn, welche um die Ausdruͤckung den gegebenen Regeln ge- maͤß einzurichten, daraus gezogen werden muͤssen. Dieses kan nun fuͤr das erste am natuͤrlichsten durch die
Subtraction
geschehen, in dem man von der vorhandenen Anzahl Stuͤcke der kleinern Sorte so viel Stuͤcke abnimmt als ein Stuͤck der groͤsseren Sorte ausmachen, und dafuͤr ein Stuͤck zu der groͤssern Sorte setzt. Bleiben, nach dem dieses geschehen, noch mehr Stuͤcke von der kleinern Sorte uͤber, als ein Stuͤck der groͤssern ausmachen, so
subtrahi
rt man nochmahls eben so viel Stuͤck als in der groͤssern Sorte ent-
halten,
halten, und schreibt dafuͤr wiederum ein Stuͤck zur groͤsseren Sorte. Solche
Subtraction
conti- nuirt man so lang, bis endlich weniger Stuͤcke von der kleinern Sorte uͤbrig bleiben, als ein Stuͤck der groͤssern Sorte austragen; und fuͤr eine jegliche
Subtraction
setzt man je ein Stuͤck zu der groͤssern Sorte. Als wann dieses Gewicht vorkommen sollte 5 Loth 16 Solotnick, wo mehr Solotnick vorhanden sind als ein Loth austragen; so
subtrahi
rt man je drey Solotnick, so viel nehmlich ein Loth ausmachen, und so oft man 3 Solotnick
subtrahi
rt, so oft schreibt man 1 Loth zu den Lothen, bis endlich weniger als drey So- lotnick zuruͤck bleiben: wie aus beystehender
Ope- ration
zu ersehen.
Woraus erhellet, daß das vorgegebene Gewicht von 5 Loth, 16 Solotnick nach der gewoͤhnlichen Art zu schreiben, 10 Loth 1 Solotnick austrage.
Was
Was aber auf solche Art durch die viel mahl wiederholte
Subtraction
geschieht, dasselbe kan kuͤrtzer und auf ein mahl durch die
Division
be- werckstelliget werden, in dem die
Division
nichts anders ist als eine etliche mahl wiederholte
Sub- traction
; und derohalben kan diese
Reduction
fuͤg- licher vermittelst der
Division
angestellet werden, nach Anweisung der gegebenen Regel; wovon also der Grund hieraus zugleich erhellet. Nehm- lich in dem gegebenen Exempel, wann ich die 16 Solotnick durch 3
dividi
re, so weißt mir der
Quotus
5, wieviel mahl 3 in 16 enthalten seyen oder wieviel mahl man 3 von 16 abziehen koͤnne, der Rest aber 1 zeiget an, wieviel noch zuruͤck bleibt wann man 3 fuͤnf mahl abgezogen. Da man nun zu den Lothen so viel Loth
addi
ren muß als oft man 3
subtrahi
rt hat, so weißt der
Quotus
5 sogleich, wieviel Loth in den Solotnicken enthalten und fol- glich zu den Lothen geschlagen werden muͤssen, der Rest aber 1, weiset daß noch 1 Solotnick zuruͤck bleibt, und unter diesem Nahmen bleiben muͤsse. Nach dieser Regel wird also das vorgegebene Ge- wicht 5 Loth, 16 Solotnick wie folget
reduci
rt werden
wie nach der vorigen
Operation.
Wann
Wann demnach von der kleinern Sorte mehr Stuͤcke vorhanden sind, als 1 Stuͤck der groͤsseren ausmachen, so muß man die vorgelegte Anzahl Stuͤck der kleinern Sorte
dividi
ren durch diejenige Zahl, welche anzeigt, wieviel Stuͤck von der klei- nern Sorte ein Stuͤck der groͤssern ausmachen; wann diese
Division
geschehen, so muß man so viel Stuͤck als der
Quotient
anzeigt zur groͤsseren Sorten
addi
ren, von der kleinern Sorte aber bleiben so viel Stuͤck zuruͤck, als der Rest aus- weiset. Nach dieser Regel sind nun nachfolgende Exempel ausgerechnet worden.
I.
Man soll
reduci
ren 7 Copeken und 15 Po- luschken.
Antw. Da 4 Poluschken 1 Copeken aus- machen, so
dividi
re man die 15 Poluschken durch 4
II.
Es soll die Zeit von 153 Stunden ordentlicher Weise nach Tagen und Stunden ausgedruͤckt werden.
Antw. Da 1 Tag 24 Stunden begreifft, so
dividi
re man 153 Stunden durch 24, so wird der
Quotus
die Tage, der Rest aber die Stunden anzeigen.
24)
Demnach betragen 153 Stund so viel als 6 Tag, 9 Stunden: welche Ausdruͤckung mit der gewoͤhnlichen Art zu reden uͤbereinkommt.
III.
Es ist eine
Distantz
gemessen und von 12346 Saschen befunden worden, wieviel betraͤgt solche nach der gewoͤhnlichen Art zu reden in in Wersten und Saschinen?
Antw. Es haͤlt 1 Werst 500 Saschen und deswegen
dividi
re man durch 500
Solcher gestalt verhaͤlt sich also die
Redu- ction,
wann nur zweyerley Sorten in Betrach- tung kommen, es moͤgen von der groͤsseren Sor- te anfaͤnglich einige Stuͤcke vorhanden seyn oder nicht, wie aus den Exempeln zu ersehen. Hier- aus ist aber leicht abzunehmen, daß wann 3 oder mehr Sorten vorkommen, und von einer oder mehr der kleinern Sorten mehr Stuͤcke vorhan- den sind, als ein Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorten ausmachen, die
Reduction
glei- cher Weise geschehen muͤsse. Man faͤngt nehm- lich bey der kleinsten Sorte an, und wann von
der-
derselben so viel oder mehr Stuͤcke vorhanden sind, als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen, so verrichtet man die
Reduction
zwischen diesen beyden Sorten wie gelehrt; und erhaͤlt dadurch, daß von der kleinsten Sorten we- niger Stuͤcke vorkommen, als 1 Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen. Wann dieses geschehen, so nimmt man naͤchst- folgende Sorte fuͤr, und siehet ob von derselben weniger Stuͤcke da sind, als 1 Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte betragen, oder nicht? im ersteren Fall ist keine
Reduction
noͤthig, im letzteren aber wird solche auf obbeschriebene Art angestellt. Und solcher gestalt verfaͤhrt man mit allen Sorten bis auf die groͤste, und ver- richtet die
Reduction
dergestalt, daß von keiner kleineren Sorte so viel oder mehr Stuͤcke vor- kommen, als eines der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen: wie die oben gegebenen Re- geln erfordern.
IV.
Wann an hiesigem Gewicht gegeben werden 9 Pud, 137 Pfund, 369 Loth, 46 So- lotnick, wie muß dieses Gewicht nach der ordentlichen Art zu reden ausgedruͤckt werden?
Antw. Man fange bey den Solotnicken an, und weil mehr als 3, so viel nehmlich ein Loth ausmachen, vorhanden sind, so stelle man die
Reduction
auf Loth an, wie hier steht.
Da
Da nun 369 Loth wuͤrcklich vorhanden sind, so hat man jetzt ausser den Puden und Pfunden, 384 Loth, 1 Solotnick. Diese 384 Loth
redu- cire
man ferner auf Pfund, durch 32 wie folgt.
kommen also
accurat
12 Pfund, welche zu den vorhandenen 137 Pfund gethan, machen 149 Pfund: diese Pfund
reduci
re man endlich auf Pud.
Da nun 9 Pud vorhanden, so bekommt man 12 Pud, 29 Pfund, 0 Loth, 1 Solot- nick, welche Ausdruͤckung nach der gewoͤhnlichen Art zu reden eingerichtet ist. Die Rechnung aber dlos allein wird folgender gestalt zu stehen kommen.
Es
Es sollen
reduci
rt werden.
Zu diesen 12 Puden muͤssen alle Rest, so in den
Divisio
nen uͤbergeblieben, gethan werden, so kommt
12 Pud, 29 Pfund, 0 Loth, 1 Solotnick.
D
V.
Es
V.
Es soll diese Summ Geld 511 Rubl, 926 Gri- wen, 1732 Copeken, 53 Poluschken
reduci
rt werden?
Antw. Die gantze Rechnung wird nach den gegebenen Regeln also zu stehen kommen
VI.
Nach dem
Apothe
ker Gewicht hat man 5078329
Gran.
wieviel betraͤgt solches nach der gewoͤhnlichen Art zu zehlen an Pfund, Unzen,
Drach
men,
Scrupel
und
Gra
nen.
0 ℔
VII.
Jn einer Zeit-Rechnung ist diese Zeit her- ausgekommen: 11 Wochen, 26 Tage, 5 Stunden, 387 Minuten, 17 Secun- den: welche
reduci
rt werden soll?
Antw. Dieses Exempel dienet zu zeigen, bey welchen Sorten eine
Reduction
noͤthig ist oder nicht. Hier nehmlich bedoͤrfen die 17 Secunden keiner
Reduction,
und also faͤngt man die
Reduction
bey den Minuten an.
D 2
11 Woch,
Hier war also weder beyden Secunden noch Stunden einige
Reduction
noͤthig.
VIII.
Folgendes Gewicht an Silber 3 Mrk. 27 Untz. 1 Loth, 43 Quintl. 55 Englisch, 13 Aeß soll dergestalt
reduci
rt werden, daß von keiner kleineren Sorte so viel oder mehr Stuͤck vorkommen, als in einem Stuͤcke der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ent- halten.
Antw. Die
Reduction
dieses Exempels wird nach der verschiedenen Verhaͤltniß der vorhandenen Sorten also zu stehen kommen.
3 Mrk.
Bey dieser
Operation,
welche nach den ge- gebenen Regeln der
Division
etwas ungewoͤhn- lich, muß man erstlich sehen, wieviel gantze mal der
Divisor
2⅜ im
Dividendo
55 enthalten sey: dieses geschieht wann man nach den Regeln der
Division
mit gebrochenen Zahlen 55 durch 2¾
dividi
rt.
woraus erhellet, daß der
Quotus
in gantzen Zahlen sey 23, welche Zahl Ouintl anzeigt. Nun dieser
Quotus
23 mit dem
Divisore 2¾ mul- tiplici
rt gibt.
D 3
Dieses
Dieses
Product
54⅝ vom
Dividendo
55 ab- gezogen laͤßt ⅜ Englisch uͤbrig. Ubrigens folget die uͤbrige
Operation
wie in vorigen Exempeln.
Demnach bekommt man dieses Gewicht 7 Mrk. 3 Untz, 1 Loth, 2 Quintl. ⅜ Engl. 13 Aeß. Welche Ausdruͤckung zwar so beschaf- fen ist, daß von allen Sorten weniger Stuͤcke vorkommen, als in einem der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte enthalten sind; allein da von Engels ein Bruch vorkommt, so laͤufft diese Ausdruͤckung noch wieder die andere Regel, wel- che erfordert, daß von allen Sorten, die kleinste ausgenommen, gantze Zahlen vorkommen sollen. Derowegen muß man noch die
Reduction
von der zweyten Art anstellen, welche in folgenden Satz
gewie-
gewiesen werden wird. Jnzwischen ist hier so viel klar, daß da 1 Englisch 32 Aeß enthaͤlt, ⅛ Englisch 4 Aeß, und folglich ⅜ Engl. 12 Aeß betrage. Diese 12 Aeß mit den vorhandenen 13 Aeß zusammen machen 25 Aeß, und also wird obiges Gewicht nach beyden Regeln also zu stehen kommen, 7 Mrk. 3 Untz, 1 Loth, 2 Quintl, 0 Engl. 25 Aeß.
8.)
Wann von einer groͤsseren Sorte eine Bruch vorkommt, so kan der Werth desselben folgender gestalt in den kleineren Sorten ausgedruͤckt werden. Man
multi- plici
rt nehmlich den Zehler desselben Bruchs mit derjenigen Zahl, welche anzeigt, wie- viel Stuͤcke von der naͤchstfolgenden kleine- ren Sorte in einem der groͤsseren Sorte ent- halten sind, und
dividi
rt dieses
Product
durch den Nenner des Bruchs; so weiset der voͤl- lige
Quotus
den Werth des Bruchs in der kleinern Sorte, welcher folglich zu den Stuͤcken der kleinern Sorte, wann derglei- chen vorhanden,
addi
rt werden muß. Solte bey dieser kleineren Sorte noch ein Bruch vorkommen, so wird solcher in die naͤchstfolgende kleinere Sorte auf gleiche Art gebracht, bis endlich alle Sorten die kleinste ausgenommen von Bruͤchen voͤllig befreyet werden.
Eine gegebene Anzahl Stuͤcke von einer groͤsseren Sorte wird in eine kleinere Sorte ver-
D 4
wandelt,
wandelt, wann man dieselbe Anzahl
multiplici
rt mit derjenigen Zahl, welche anzeigt, wieviel Stuͤck von der kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤsseren in sich enthaͤlt, wie wir oben gewiesen haben. Da nun diese Regel allgemein ist, so wird auch eine gebrochene Anzahl Stuͤck von der groͤsseren Sorte in die kleinere verwandelt, wann man denselben Bruch durch den beschriebenen
Multiplicatorem multiplici
rt. Ein Bruch wird aber durch eine jegliche Zahl
multipiici
rt, wann man den Zehler desselben damit
multiplici
rt; und deswegen muß man den Zehler des Bruchs mit dem gemeldten
Multiplicatore multiplici
ren; den Nenner aber unveraͤndert lassen. Jst dieses nun geschehen, so weiset der herausgekommene Bruch den Werth des vorgegebenen Bruchs in der klei- neren Sorte. Jst aber ferner der Zehler dieses gefundenen Bruchs groͤsser als der Nenner, so muß man den gefundenen Zehler durch den Nen- ner
dividi
ren, da dann der voͤllige
Quotient
den Werth des Bruchs in der verlangten kleinern Sorte anzeigt: und dieses ist eben diejenige
Operation,
welche im Satze ist vorgeschrieben worden. Auf diese Art wird nun ein Bruch aus der groͤsseren Sorte gehoben, und desselben Werth in die folgende kleinere Sorte gebracht; die gantzen Stuͤcke aber, welche bey der groͤsse- ren Sorte ausser dem Bruche vorhanden gewe- sen, bleiben bey derselben unveraͤndert. Und deswegen wann der Bruch, welcher bey der
groͤssern
groͤssern Sorte vorkommt, groͤsser ist als ein gan- tzes, so muͤssen vorhero daraus die gantzen gezo- gen, und nur der uͤbrige Bruch, welcher kleiner ist als ein gantzes, in die folgende kleinere Sorte verwandelt werden. Diese Behuthsamkeit er- fordert die erste Regel, krafft welcher bey einer jeglichen Ausdruͤckung je in den groͤsseren Sorten so viel als durch gantze Zahlen geschehen kan, beschrieben werden muß. Derowegen wann man auch gantze Stuͤcke aus einer groͤsseren Sorte nehmen und in die kleineren verwandeln wollte, so wuͤrde man sich nur die Arbeit verdoppeln, und nachgehends solche nach dem vorigen Satz wiederum auf die groͤsseren Sorten
reduci
ren muͤssen.
Wann auf solche Weise der Werth des Bruchs bey der groͤssern Sorte auf die folgende kleinere Sorte gebracht worden, so muß derselbe zu demjenigen was von dieser Sorte schon allbe- reit vorhanden ist
addi
rt werden: findt sich als- dann bey dieser kleinern Sorte noch ein Bruch, so muß derselbe auf eben diese Art noch weiter auf kleinere Sorten gebracht werden, bis man endlich auf die allerkleinste Sorte kommt, in welcher Bruͤche geduldet werden. Hieraus er- hellet nun, wann bey mehr als einer Sorte Bruͤ- che vorkommen, wie dieselben alle gehoben wer- den muͤssen vermittelst der gegebenen Regel: welcher man sich dergestalt bedienen muß, daß man immer bey der groͤsten Sorte den Anfang
D 5
mache:
mache: da im Gegentheil bey der vorigen Regel der Anfang immer bey der kleinsten Sorte ge- macht werden mußte. Durch diese
Operation
wird also eine vorgegebene aus vielerley Sorten bestehende
Quantit
aͤt von den Bruͤchen entweder gaͤntzlich befreyet, oder doch wo ein Bruch noch uͤberbleibt, auf die kleinste Sorte gebracht. Wann dieses geschehen, so muß man allererst zusehen, ob die gefundene Ausdruͤckung auch der vorigen. Regel gemaͤß sey oder nicht. Dann wann sich noch von einer kleinern Sorte so viel oder mehr Stuͤck befinden, als ein Stuͤck der groͤssern Sorte ausmachen, so muß man zu voͤl- liger
Reduction
noch die vorige Regel zu Huͤlfe nehmen.
Dieses alles deutlicher zu erklaͤren, sind nachfolgende Exempel beygefuͤget worden.
I.
Man fragt wieviel 3
\frac{7}{20}
Rubl nach gewoͤhnli- cher Art zu zehlen in Rubl, Griwen und Co- peken austragen?
Antw. Erstlich muß der Bruch
\frac{7}{20}
Rubl in Griwen verwandelt werden, welches ge- schieht wann derselbe durch 10
multiplici
rt wird: da dann kommen
\frac{70}{20}
Griwen, welches Bruchs-Werth durch die
Division
gefunden wird.
Also
Also ist 3
\frac{7}{20}
Rubl so viel als 3 Rubl und 3½ Griwen. Dieser halbe Griwen wird ferner auf Copeken gebracht, in dem man denselben durch 10
multiplici
rt; da kommen
\frac{10}{2}
Copeken das ist 5 Copeken. Demnach bekommt man statt der vorgegebenen Summ von 3
\frac{7}{20}
Rubl diese Summ 3 Rubl, 3 Griwen, 5 Copeken.
Die gantze Rechnung stehet also.
II.
Man soll dieses Gewicht 3⅘ Pud, 32⅔ Pf. 23⅚ Loth
reduci
ren, wie nach beyden Regeln erfordert wird?
Antw. Erstlich bringe man von allen Sorten die Bruͤche weg bis auf die Solot- nick wie folgt.
3⅘
also bekomt man
3 Pud, 64 Pfund, 45 Loth, ½ Solotnick. Diese ferner nach der ersten Regel
reduci
rt kommen.
Facit
4 Pud, 25 Pfund, 13 Loth, ½ Sol.
Aus welchem Exempel so wohl die
Reduction
nach der zweyten Regel, auch auch, wie die
Reduction
nach beyden Regeln zugleich angestellt werden muß, sattsam erhellet.
Cap. II.
Cap. II.
Von der
Addition
und
Subtraction
in benannten Zahlen.
1.
V
Erschiedene
Quantit
aͤten, welche in vielerley Sorten bestehen, werden dergestalt zusammen
addi
rt, daß man immer einerley Sorten zusammen nimmt und alle Stuͤcke so davon vorhanden
addi
rt. Wann nun diese
Operation
bey allen vorkommenden Sorten angestellet worden, so erhaͤlt man die gesuchte Summ von allen vorgegebenen
Quantit
aͤten.
Jn der
Addition
muͤssen immer solche Zah- len zusammen
addi
rt werden, welche sich auf ei- nerley
Unit
aͤten beziehen: und dieses ist eben die- jenige Regel, welche bey der
Addition
der unbe- nannten Zahlen im ersten Theil ist gegeben wor- den: krafft welcher erstlich die
Unit
aͤten und dann die
Decades,
hernach die
Centenarii, Mil- lenarii
und so fort
addi
rt werden muͤssen. Diese Regel erstreckt sich nun gleichfals auf alle ver- schiedene Sorten und Benennungen, welche zu
addi
ren vorkommen koͤnnen, und muͤssen nach derselben immer einerley Sorten zusammen
addi
rt
werden.
werden. Als wann verschiedene Summen Gel- des, welche gewoͤhnlicher massen in Rublen Griwen und Copeken ausgedruͤckt sind, vorgege- ben werden, so
addi
rt man insbesondere die Co- peken, dann die Griwen und endlich die Rublen, und erhaͤlt solcher gestalt die wahre Summ. Eine jegliche dieser
Additio
nen geschieht nun gaͤntz- lich wie oben bey der
Addition
von unbenannten Zahlen gelehret worden: und werden die Zahlen der Stuͤcke, so von einerley Sorten vorkommen nicht anderst als unbenannte Zahlen
addi
rt. Dann gleichwie in unbenannten Zahlen 12 und 5
addi
rt 17 ausmachen, also machen auch 12 Copeken und 5 Copeken zusammen 17 Copeken: ingleichem 12 Loth und 5 Loth zusammen 17 Loth, und so fort, was auch immer fuͤr Sorten und Benennungen vorkommen, so machen alle- zeit 12 Stuͤck und 5 Stuͤck von einerley Sorte zusammen 17 Stuͤck von eben derselben Sorte. Verschiedene Sorten koͤnnen aber nicht anderst
addi
rt werden, als daß man dieselben nach ein ander schreibt: als wann gefragt wird, wieviel 6 Pud und 15 Pfund und 20 Loth zusammen machen, so kan nicht besser geantwortet werden, als daß die Summ sey 6 Pud, 15 Pfund, 20 Loth.
Es koͤnnte zwar gleichwohl in solchen Faͤllen eine ordentliche
Addition
Statt finden, wann man nach der
Resolution
die Pud und Pfund in Loth verwandeln und solche wuͤrcklich zu den 20 Lothen
addi
ren wollte. Allein, da man immer
trachtet
trachtet solche aus vielerley Sorten bestehende Ausdruͤckungen dergestalt einzurichten, daß von einer jeden kleineren Sorten weniger Stuͤcke vor- kommen, als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsse- ren Sorte ausmachen, so wuͤrde man durch eine solche
Resolution
die gefundene Summ wiederum
reduci
ren und in die vorige
Form
bringen muͤssen.
Zu diesem Ende ist also die angezeigte
Ma- nier
die verschiedenen Sorten insbesondere zu
ad- di
ren am bequemsten, als wodurch die Summ wiederum in eben denselben Sorten heraus- kommt, in welchen dieselbe nach der angenom- menen Regel ausgedruͤckt werden soll. Man schreibt deswegen die gegebenen
Quantit
aͤten, wel- che
addi
rt werden sollen, solcher gestalt unter ein- ander, daß immer die gleichen Sorten oder Be- nennungen unter einander zu stehen kommen, und
addi
rt von einer jeglichen Sorte alle Zahlen, welche davon vorkommen und schreibt die Summ unter denselbigen Nahmen. Als wann nachfol- gende Gewichte 5 ℔, 7 Loth, 1 Quintl.
item
9 ℔, 15 Loth, und 6 Loth, 2 Quintl. zusammen
addi
rt werden sollen, so werden dieselben wie folgt unter einander geschrieben und
addi
rt
Nehmlich
Nehmlich es werden erstlich die Pfund un- ter einander. Dann gleichfals die Loth und Quintl. unter einander geschrieben: und weilen bey dem zweyten Gewicht keine Quintl. vorkom- men, pflegt die ledige Stelle mit einem solchen Quer-Strichlein — angefuͤllt zu werden. Hernach wird unter die solcher gestalt geschriebenen
Quan- tit
aͤten, welche
addi
rt werden sollen, eine Linie ge- zogen, und alle verschiedenen Sorten insbeson- dere
addi
rt und die gefundenen Summen unter eben dieselben Sorten geschrieben. Nehmlich 1 Quintl. und 2 Quintl. machen 3 Quintl. dann 7 Loth und 15 Loth und 6 Loth machen
addi
rt 28 Loth und endlich 5 ℔ und 9 ℔ machen 14 ℔: so daß die gefundene Summ seyn wird 14 ℔, 28 Loth, 3 Quintl. Daß dieses aber die wahre Summ sey, daran ist im geringsten nicht zu zweifeln, weilen auf diese Art von jeglicher Sorte die Summ richtig ge- nommen worden. Gleicher gestalt sind auch fol- gende Exempel
addi
rt worden
℔
Diese Exempel sind so beschaffen, daß die gefundene Summ schon den vorgeschriebenen Re- geln gemaͤß ist, und keiner weitern
Reduction
bedarf, in dem von keiner kleinern Sorte so viel oder mehr Stuͤcke herauskommen, als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen. Wann aber dieses nicht geschieht, sondern von den kleineren Sorten so viel oder mehr Stuͤcke in der
Addition
gefunden werden, als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen, so kan die auf solche Art gefundene Summ her- nach nach den Regeln der
Reduction
in die ge- hoͤrige
Form
gebracht werden. Wie aus diesem Exempel zu ersehen.
E
Dieses
Dieses ist zwar schon die wahre Summ der vorgegebenen 4 Gewichte: weilen aber in der- selben von allen kleinern Sorten mehr Stuͤcke vorkommen als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen, so muß noch die vorher beschriebene
Reduction
angestellt werden: wodurch die Summ in gehoͤriger
Form
also aus- gedruͤckt werden wird:
Summa
153 ℔, 7 ℥, 3 ℨ, 1 ℈, 7
gr.
Diese
Reduction
kan aber sogleich der
Ad- dition
selbst so einverleibet werden, daß man gleich die Summ in gehoͤriger
Form
ausgedruͤckt findet, wie im folgenden Satz gelehrt werden wird.
2.)
Wann nun die
Addition
nach der vorher beschriebenen Regel angestellet wird, so muß man den Anfang zu
addi
ren von der kleinsten Sorte machen, und von derselben zu den groͤsseren Sorten fortschreiten. Kom- men nun durch die
Addition
von einer kleine- ren Sorte weniger Stuͤcke heraus, als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen, so schreibt man sogleich die ge- fundene Summ unter die Linie auf ihre ge- hoͤrige Stelle. Kommen aber so viel oder mehr Stuͤcke heraus als ein Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen, so muß man
a part
ausrechnen nach Anlei- tung des vorigen
Capitels,
wieviel Stuͤck
der
der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte in der herausgebrachten Summ enthalten sind, und solche zur folgenden
Addition
der groͤsse- ren Sorte aufbehalten: die uͤbrige Stuͤcke von der kleineren Sorte werden nur allein in die Summ unter den
Titul
dieser Sorte geschrieben. Und auf diese Art erhaͤlt man sogleich die gesuchte Summ nach den obge- dachten Regeln ausgedruͤckt.
Nach der vorher gegebenen Regel wird zwar die verlangte Summ immer richtig gefunden, allein dieselbe kommt nicht immer in derjenigen
Form
heraus, in welcher man solche zu verlan- gen pflegt. Es geschieht nehmlich gemeiniglich daß von den kleineren Sorten mehr Stuͤcke her- auskommen als ein Stuͤck von der groͤsseren fol- genden Sorte ausmachen; welches derjenigen Regel, nach welcher alle aus vielerley Sorten bestehende
Quantit
aͤten ausgedruͤckt werden sollen, zu wieder ist. Derohalben um dieser Regel ein Genuͤgen zu leisten, muß man entweder die auf vorher gehende Art gefundene Summ durch die
Reduction
in die verlangte
Form
bringen, oder die
Reduction
selbst so gleich mit der
Additions-
Arbeit verknuͤpfen; davon das letztere mit weit geringererer Muͤhe geschehen kan. Zu diesem Ende bedienet man sich also der allhier beschrie- benen Regel, nach welcher sogleich bey
Addi
rung einer jeglichen kleineren Sorte die noͤthige
Redu- ction
zugleich angestellet wird. Da nun mit der
E 2
Redu-
Reduction
immer von den kleinsten Sorten der Anfang gemacht werden muß, so muß auch in der
Addition
von den kleinsten Sorten der An- fang gemacht werden, damit man immer, so oft die
Reduction
noͤthig gefunden wird dieselbe so fort anbringen koͤnnen. Diese gedoppelte
Ope- ration
geschiehet nun folgender gestalt: Man
ad- di
rt zusammen alle Stuͤcke so von der kleinsten Sorte vorhanden sind, und wann diese Summ davon kleiner ist, als ein Stuͤck von der naͤchst- folgenden groͤsseren Sorte, so schreibet man die- selbe, weilen keine
Reduction
von noͤthen in die Summ. Hat man aber so viel oder mehr Stuͤ- cke bekommen, als ein Stuͤck von der naͤchst- folgenden groͤsseren Sorte ausmachen, so stellt man sogleich die
Reduction
an, und suchet, wie- viel gantze Stuͤcke von der folgenden groͤsseren Sorte darinn enthalten sind, welche zu folgender
Addition
der groͤsseren Sorte aufbehalten werden muͤssen; die uͤbrigen Stuͤcke aber von der kleine- ren Sorte werden nur unter diesem Nahmen in die Summ geschrieben. Wir haben aber schon oben gewiesen, wie diese
Reduction
angestellet werden muͤsse: man
dividi
rt nehmlich die heraus- gebrachte Summ der kleineren Sorte durch die- jenige Zahl, welche anzeigt, wieviel Stuͤck von der kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤsseren aus- machen, und schreibt nur den in dieser
Division
zuruͤck gebliebenen Rest in die gesuchte Summ unter den Nahmen der kleinsten Sorte; den
gefun-
gefundenen
Quotienten
aber, welcher so viel Stuͤcke der groͤsseren Sorte anzeigt,
addi
rt man mit zu den vorgegebenen Stuͤcken von der groͤsseren Sorte. Wann nun nach verrichteter
Addition
der folgenden groͤsseren Sorte wiederum eine
Re- duction
noͤthig befunden wird, so verrichtet man dieselbe wiederum auf obbeschriebene Art, bis man endlich alle Sorten zusammen
addi
rt hat, da man dann die voͤllige verlangte Summ erhaͤlt, und das noch sogleich in solcher Form, daß man keiner ferneren
Reduction
bedarf. Beydes ist aber schon fuͤr sich so klar, daß kein ferners Be- weißtum dazu erfordert wird: wie wollen dem- nach nur zu besserer Erlaͤuterung dieser Regel einige Exempel anfuͤhren.
I.
Ein Kaufmann allhier hat 4 Saͤcke mit Geld; im ersten sind 156 Rubl 59 Copeken 3 Po- luschken; im zweyten 233 Rubl 65 Copeken 1 Poluschken; im dritten 720 Rubl 28 Cop. und im vierten 79 Rubl und 2 Poluschken, wieviel betragen alle 4 Saͤck insgesammt.
Antw. Erstlich muͤssen diese 4 gegebenen Summen Geld gehoͤriger massen unter einan- der geschrieben werden, wie folgt.
E 3
Rubl
Hernach faͤngt man die
Addition
bey der kleinsten Sorte an, und
addi
rt die Poluschken, da man dann 6 Pol. findet. Weilen nun diese 6 Pol. mehr als 1 Copeken austragen so
dividi
rt man dieselben durch 4, und bekommt fuͤr den
Quo- tum
1 fuͤr den Rest aber 2; woraus man erken- net daß 6 Poluschken so viel sind als 1 Cop. und 2 Poluschken. Derowegen schreibt man in die Summ diese 2 Poluschken, und behaͤlt den gantzen Cop. zu den Copeken, welche zusammen
addi
rt wer- den sollen. Dieser Copeken nun nebst den da be- findlichen Copeken zusammen macht 153 Cope- ken: welche Zahl weilen sie groͤsser ist als 100 durch 100
dividi
rt werden muß: da dann der
Quotus
1 und der Rest 53 anzeigen, daß 153 Copeken so viel sind als 1 Rubl. und 53 Cop. Derohalben schreibt man in die
Summ
diese 53 Copeken, und
addi
rt den Rubl. mit zu den vor- gegebenen Rubeln: dahero die
Summ
aller Rubl. gefunden wird 1189. Und allso befinden sich in allen diesen 4 Saͤcken insgesamt 1189 Rubl. 53 Copeken, 2 Poluschken. Die zur
Reduction
er- forderten
Divisio
nen haben wir in diesem Exem-
pel
pel der Deutlichkeit halben auf der Seite beyge- setzt. Man kan aber dieselben fuͤglicher, entwe- der wann man schon einige Ubung erlanget hat, im Kopf verrichten, oder wann die Zahlen zu groß auf einem Papier a part ausrechnen. Jn zwischen ist zu mercken, daß Statt dergleichen
Di- visio
nen man sich oͤfters nur mit der
Subtraction
behelfen koͤnne. Dann da die
Division
nichts anders zeiget als wie oft mal man eine Zahl von der anderen abziehen koͤnne: so faͤllt es oftmalen leichter sich der
Subtraction
zu bedienen. Als da man bey
Addition
der Poluschken 6 Poluschken gefunden, und aber 4 Poluschken einen Copeken ausmachen, so sieht man leicht, wann man 4 von 6 abzieht, daß 6 Poluschken so viel sind als als 1 Copeken und 2 Poluschken. Jngleichem da 100 Copeken einen Rubl. ausmachen, so ist klar, daß wann die
Summ
der Copeken gefun- den worden; man von derselben nur die zwey letzten Figuren von der rechten Hand abschneiden doͤrfe: als welche die in der
Division
zuruͤck ge- bliebenen Copeken, die vor dem Abfchnitt aber befindliche Zahl die Rubl. anzeige: so daß man also in diesem Fall aller
Operation
uͤberhoben seyn kan. Mehr dergleichen Vortheile, welche in an- deren Faͤllen zu statten kommen koͤnnen, wei- sen sich einem nachdenckenden von selbsten, und ist gemeiniglich besser dieselben durch eigenes Nach- dencken zufinden, als daruͤber belehret zu werden. Dann wann man solche Vortheile nicht selbst
E 4
ein-
einsiehet, sondern nun auswendig gelernet hat, so verursachen dieselben oͤfters im Rechnen viel- mehr Anstossen und Fehler als Fertigkeit. Wes- wegen einem, der selbsten nicht faͤhig ist solche Vor- theile auszufinden, rathsamer ist sich vielmehr der weitlaͤuffigen Wege nach der Regel zu bedienen, um von seiner Rechnung gewiß zu seyn.
II.
Ein Hollaͤndischer Kaufmann empfaͤngt fuͤnferley Summen Gelds,
die erste von 3029 fl. 14 St. 9 ₰
die zweyte von 2359 fl. 9 St. 12 ₰
die dritte von 4387 fl. 12 St. 8 ₰
die vierte von 1914 fl. 4 St. 6 ₰
die fuͤnfte von 818 fl. 18 St. 13 ₰
wieviel betragen solche zusammen?
Man schreibe diese Summen gehoͤriger maassen unter einander wie folgt.
kommen also
accurat
12510 Gulden
III.
Ein
III.
Ein Englischer
Banquier
hat nach folgende verschiedene Summen Geld ausgezahlet:
Erstlich 427 L. Sterl. 16 ß. 7 ₰
Zweytens 538 L. ‒ 9 ß. 10 ₰
Drittens 953 L. ‒ 5 ß. 4 ₰
Viertens 875 L. ‒ 18 ß. 9 ₰
Fuͤnftens 730 L. ‒ 14 ß. 5 ₰
Sechst. 1344 L. ‒ 7 ß. 1 ₰
Siebentens 87 L. ‒ 8 ß. 11 ₰
wie groß ist gantze Summ welche ausgezahlet worden?
Antw. Wann diese sieben Summen un- ter einander geschrieben und
addi
rt werden, so findt sich die gesuchte Summ wie folgt.
E 5
IV.
Ein
IV.
Ein Kaufmann hat geschickt bekommen 4 Ballen Waaren, davon wiegt
die erste 19 Pud, 37 Pfund, 20 Loth
die zweyte 23 Pud, 24 Pfund, 24 Loth
die dritte 27 Pud, 15 Pfund, 16 Loth
die vierte 30 Pud, 9 Pfund, 28 Loth
wieviel waͤgen diese 4 Ballen insgesamt?
Es pflegen auch oͤffters bey den kleinsten Sorten, welche
addi
rt werden sollen Bruͤche vor- zukommen, welches geschieht wann entweder keine kleinere Sorten uͤblich sind, oder wann man die Rechnung nicht in allzukleinen Sorten fuͤhren will. Wann nun dieses geschieht, so muͤssen vor allen Dingen die Bruͤche nach der gewoͤhnlichen Art
addi
rt, und die gefundene Summ in gehoͤ- rige
Form
gebracht werden, worauf die
Addition
wie vorher verrichtet wird.
V.
Ein
V.
Ein Gold Arbeiter bekommt 5 Partheyen Gold,
davon wiegt die erste 45 Mrk. 17
Car. 11⅝ gr.
die zweyte 23 Mrk. 20
Car. 10
\frac{7}{12}
gr.
die dritte 14 Mrk. 12
Car. 8½ gr.
die vierte 9 Mrk. 7
Car. 5¾ gr.
die fuͤnfte 6 Mrk. 18
Car. 9⅙ gr.
wieviel betragen solche insgesamt am Gewicht?
Aus diesen Exempeln ist nun gnugsam zu ersehen, welcher gestalt bey allen vorkommenden Faͤllen die
Addition
verrichtet werden muͤsse, weswegen wir uns bey dieser
Operation
nicht laͤn- ger aufhalten, sondern zur
Subtraction
der be- nannten Zahlen fortschreiten.
6.)
Wann eine aus vielerley Sorten ausgedruͤckte
Quantit
aͤt von einer anderen groͤsseren
Quantit
aͤt gleicher Art
subtrahi
rt wer- den soll, so
subtrahi
rt man eine jegliche Sorte
der
der kleineren
Quantit
aͤt von einer jeglichen gleichen Sorte der groͤsseren und schreibt alle diese Reste mit ihren gehoͤrigen Nahmen un- ter die Linie, welche zusammen den gesuch- ten Rest anzeigen werden. Diese Regel aber findet nur statt, wann von einer jeglichen Sorte in der groͤsseren
Quantit
aͤt mehr Stuͤ- cke vorhanden sind, als in der kleineren; dann wo dieses nicht geschieht, so muß man sich in der folgenden Regel Raths erhohlen.
Die
Subtraction
lehret, wie man eine klei- nere
Quantit
aͤt von einer groͤsseren abziehen, und dasjenige anzeigen soll, welches uͤberbleibt, wann man die kleinere
Quantit
aͤt von der groͤsseren weg genommen hat. Von dieser
Operation
haben wir schon im ersteren Theile die noͤthigen Regeln ge- geben, wann die zwey vorgelegten
Quantit
aͤten so wohl gantze als gebrochene und vermischte oder aus gantzen und Bruͤchen zusammen gesetzte Zah- len sind. Da wir aber anjetzo solche
Quantit
aͤten vorhaben, welche aus verschiedenen Sorten be- stehen, so bleibt zwar das
Fundament
der
Sub- traction
einerley, allein die
Application
muß auf diesen Fall insbesondere eingerichtet werden. Wann aber wie wir allhier gesetzt haben, von allen Sorten in der groͤsseren
Quantit
aͤt mehr Stuͤcke vorhanden seyn als in der kleineren, so hat man zur
Subtraction
keine besondere Anleitung noͤthig; sondern
subtrahi
rt nur eine jegliche Sorte der kleineren Zahl von einer jeden gleichen Sorte
der
der groͤsseren Zahl, und setzt alle diese gefundene Reste zusammen, welche den voͤlligen gesuchten Rest austragen werden. Dann wann man zum Exempel 5 Rubl, 36 Copeken abziehen oder weg nehmen soll von 9 Rubl, 84 Copeken; so kan man erstlich die 36 Copeken von den 84 Copeken weg nehmen, da dann 48 Copeken uͤberbleiben; hernach 5 Rubl, von 9 Rubl weg genommen lassen 4 Rubl zuruͤck, so daß also in allem 4 Rubl, 48 Copeken zuruͤck bleiben muͤssen, wann man 5 Rubl, 36 Copeken von 9 Rubl, 84 Copeken abzieht. Dieses ist nun fuͤr sich so klar, daß es keines weiteren Beweißtums bedarf; dann wann die vorgelegten Zahlen aus verschiedenen Theilen bestehen, so muͤssen immer die Theile von gleichen Nahmen gegen einander gehalten, und von einander abgezogen werden; eben wie in der
Addition
immer Zahlen von einerley Benennung zusammen
addi
rt werden. Zur noͤthigen Ubung haben wir also nur nachfolgende Exempel beyge- fuͤget, welche alle auf unseren gegenwaͤrtigen Fall gerichtet sind; der gestalt daß in der kleine- ren
Quantit
aͤt, welche abgezogen werden soll, von einer jeden Sorte immer weniger Stuͤcke vorhanden sind, als von eben der Sorte in der groͤsseren
Quantit
aͤt, von welcher jene abgezogen werden soll.
I.
Ein
I.
Ein Kaufmann hat in seiner
Cassa
5736 Rubl 57 Cop. davon zahlt er aus 2340 Rubl, 25 Cop. wieviel aleibt demselben noch in der
Cassa
zuruͤck?
Antw. Erstlich ist klar, daß die Antwort durch die
Subtraction
gefunden werde; und man zu diesem Ende die ausgezahlte Summ von derjenigen, welche sich anfaͤnglich in der
Cassa
befunden, abziehen muͤsse, welches fol- gender gestalt geschieht.
Man schreibt nehmlich wie in der
Subtraction
mit unbenannten Zahlen die kleinere Zahl unter die groͤssere und unterstreicht dieselben mit einer Linie. Hernach
subtrahi
rt man die 25 Cop. von den 57 Cop. und schreibt die
resti
renden 32 Cop. unter die Linie; hierauf
subtrahi
rt man gleicher gestalt die 2340 Rubl von den 5736 Rubl, und schreibt die
resti
renden 3396 Rubl ebenfals unter die Linie. Wann nun dieses geschehen, so sieht man, daß nach geschehener Auszahlung der Kaufmann noch 3396 Rubl, 32 Cop. in seiner
Cassa
behaͤlt. Dann wann man sich vorstellt, daß der Kaufmann in seinem Kosten erstlich 5736 Rubl und noch uͤber das in einem Beutel
57
57 Cop. hat, so kan man sich die Auszahlung dergestalt vorstellen, daß der Kaufmann erstlich aus dem Beutel 25 Cop. und dann aus dem Kasten die 2340 Rubl auszahlt, wodurch die erforderte Bezahlung voͤllig erstattet wird. Nach dem aber dieses geschehen, so werden demselben in dem Kasten noch 3396 Rubl, im Beutel aber noch 32 Copeken zuruͤck bleiben, welches zusammen den gesuchten Rest austraͤgt.
II.
Ein Rußischer Kaufmann hat 420 Berkowitz, 9 Pud, 32 Pfund Pfund Juchten; verkauft davon 211 Berkowitz, 3 Pud, 10 Pfund, wieviel behaͤlt dieser Kaufmann noch uͤbrig?
Antw. Um zu finden wieviel Juchten dieser Kaufmann nach geschehener Verkauffung noch behaͤlt, so muß man dasjenige was er verkauft hat von demjenigen was er wuͤrcklich gehabt abziehen. Da dann der Rest das gesuchte Gewicht anzeigen wird.
woraus erhellet, daß dieser Kaufmann noch 209 Berkw. 6 Pud und 22 Pfund an Juch- ten zuruͤck behaͤlt.
III.
Ein
III.
Ein Hollaͤndischer Kaufmann ist schuldig aus- zuzahlen 3518 fl. 8 Stuͤber, 12 ₰. hat aber in
Cassa
nicht mehr als 2312 fl. 5 Stuͤber, wieviel bleibt derselbe, nach dem er alles aus seiner
Cassa
ausgezahlet, noch zu bezahlen schuldig.
Antw. Weilen dieser Kaufmann an die gantze Summ von 3518 fl. 8 Stuͤber, 12 ₰. welche er schuldig ist nicht mehr als 2312 fl. 5 Stuͤber auszahlt, so wird derselbe noch so viel schuldig bleiben, als die ausgezahlte Summ kleiner ist als diejenige welche er zah- len sollte. Dieses wird aber durch die
Sub- traction
gefunden, wann man das ausgezahlte Geld von der gantzen Summ abzieht, wie folgt.
dahero bleibt dieser Kaufmann noch 1206 fl. 3 St. 12 ₰. zu bezahlen schuldig.
IV.
Ein Mann starb alt 67 Jahr, 7 Monath, und 25 Tag, nach dem er im Ehestand ge- lebt hatte 35 Jahr 2 Monath und 17 Tag; nun fragt man, wie alt derselbe gewesen sey als er sich verheurathet?
Antw.
Antw. Dieses gesuchte Alter wird gefun- den, wann man die Zeit seines Ehestandes von seinem gantzen Alter abzieht, wie folgt.
Dahero war dieser Mann als er heurathete alt 32 Jahr 5 Monath und 8 Tag.
4.)
Wann in der groͤsseren
Quantit
aͤt, von welcher die kleinere abgezogen werden soll, von einer Sorte weniger Stuͤcke vorhanden sind, als von eben der Sorte in der kleine- ren
Quantit
aͤt, und also die
Subtraction
nach der vorigen Regel nicht verrichtet werden kan; so muß man von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte aus der groͤsseren
Quantit
aͤt ein Stuͤck entlehnen und dasselbe nach seinem Werth zur kleineren Sorte schlagen, da dann die
Subtraction
wird geschehen koͤnnen. Hierauf aber muß man, wann zur
Subtraction
der groͤsseren Sorte fortgeschritten wird, die Anzahl der Stuͤcke in der groͤsseren
Quan- tit
aͤt um eine
Unit
aͤt kleiner, oder welches gleich viel ist die Anzahl in der kleineren
Quantit
aͤt um eine
Unit
aͤt groͤsser betrachten; und solcher gestalt die
Subtraction
von der kleinsten Sorte bis zur groͤsten vollziehen.
F
Die-
Diejenige
Quantit
aͤt, welche abgezogen werden soll, muß immer kleiner seyn, als dieje- nige von welcher dieselbe
subtrahi
rt werden muß. Dem ungeachtet aber kan es geschehen, daß in der groͤsseren
Quantit
aͤt von den kleineren Sorten weniger Stuͤcke vorhanden sind, als von eben denselben Sorten in der kleineren. Dann die Groͤsse einer
Quantit
aͤt, welche aus vielerley Sorten bestehet, beruhet hauptsaͤchlich auf der Anzahl der Stuͤcke, welche von der groͤsten Sorte vorhanden sind, und muß daraus beur- theilet werden, in dem alle kleinere Sorten ins- gesammt nicht mehr als ein Stuͤck von der groͤsten Sorte austragen koͤnnen: wann nehmlich, wie wir setzen diese
Quantit
aͤten nach den obgegebenen Regeln eingerichtet sind. Wann derohalben geschieht, daß von einer kleineren Sorte eine groͤssere Zahl von einer kleineren abgezogen werden soll, so kan dieses nicht unmittelbar geschehen, sondern man muß dazu die folgende groͤssere Sorte zu Huͤlfe nehmen, nach der im Satze beschriebenen Regel. Diese Regel aber beruhet auf eben dem- jenigen Grund, als die in der gemeinen
Subtra- ction
mit gantzen Zahlen vorgeschriebene Regel, wann eine groͤssere Anzahl von
Unit
aͤten, oder
Decaden,
oder
Centurien
und dergleichen von ei- ner kleineren abgezogen werden soll. Gleichwie nun in diesem Falle ein Stuͤck von der naͤchst groͤsseren Sorte genommen und seinem Werthe noch zur kleineren Sorte geschlagen werden muß,
gleicher
gleichergestalt muß man auch in unserem gegen- waͤrtigen Falle verfahren; dann die verschiedenen Arten als
Unit
aͤten,
Decades, Centuriae,
und so fort, sind ebenfals nichts anders als verschiedene Sorten der
Quantit
aͤten. Derohalben wird so wohl die gegebene Regel mehr erlaͤutert als der Grund davon deutlich dargethan werden, wann wir davon ein Exempel anfuͤhren. Wir wollen demnach setzen, man soll nach Hollaͤndischen Gelde 125 fl. 15 Stuͤber 13 ₰ von 231 fl. 9 St. 8 ₰
subtrahi
ren, diese zwey Summen werden erstlich unter einander geschrieben wie folgt.
Wir fangen demnach die
Subtraction
von der kleinsten Sorte, nehmlich den Pfenningen an; da 13 ₰ abgezogen werden sollen, oben aber nur 8 ₰ vorhanden sind. Weilen nun dieses nicht geschehen kan, so nehmen wir von den 9 St. einen Stuͤber weg, und verwechseln den- selben in Pfenning, welcher folglich 16 ₰ austraͤgt, diese 16 ₰ schlagen wir zu den 8 ₰, und bekommen 24 ₰, von welchen wir die 13 ₰ abziehen, da dann 11 ₰ uͤberbleiben
F 2
Nun
Nun schreiten wir zu den Stuͤbern fort, und muͤssen 15 Stuͤber nicht von 9 Stuͤbern, son- dern nur von 8 St. weilen wir schon 1 Stuͤber zu dem ₰ geschlagen, abziehen, welches wie- derum nicht geschehen kan. Derowegen nehmen wir von den vorhandenen 231 fl. 1 Gulden weg, welcher 20 Stuͤber betraͤgt, und diese thun wir zu den 8 Stuͤbern, da wir dann 28 Stuͤber be- kommen, wovon die 15 St. abgezogen 13 St. zuruͤck lassen. Wann dies geschehen, so
subtra- hi
ren wir endlich die 125 fl. von 230 fl. wei- len schon 1 fl. in Stuͤber verwechselt worden, da dann 105 fl. uͤberbleiben, so daß der voͤllige Rest seyn wird 105 fl. 13 St. 11 ₰. Daß nun dieses der wahre Rest sey, kan durch die
Addition
leicht erwiesen werden, weilen immer wann man den in der
Subtraction
gefundenen Rest zur kleineren Zahl
addi
rt, die groͤssere Zahl heraus kommen muß. Wir wollen demnach diese Probe zu mehrerem Beweißtum hieher setzen.
Nach
Nach dieser
Operation,
welche unmittelbar in der Natur der Sach gegruͤndet ist, haben wir die naͤchstfolgende Sorte der oberen und groͤsseren
Quantit
aͤt um ein Stuͤck kleiner be- trachtet, weilen schon 1 Stuͤck davon in die kleine- ren Sorten verwechselt worden. Weilen aber in der
Subtraction
einerley herauskommt ob man die obere Zahl uͤm eins kleiner oder die untere um eins groͤsser macht, wie wir in der
Subtra- ction
mit unbenannten Zahlen gewiesen haben, so kan man sich auch allhier dieses Vortheils be- dienen, und die
Subtraction
folgender gestalt anstellen.
Man sage also: 13 ₰ von 8 ₰ kan ich nicht abziehen, deswegen nehme ich 1 Stuͤber, so 16 ₰ austraͤgt, diese 16 ₰ zu den vor- handenen 8 ₰ gethan machen 24 ₰, davon 13 ₰ abgezogen bleiben 11 ₰. Weilen nun 1 Stuͤber ist gel
e
hnet worden, so mache ich die Anzahl der Stuͤber in der unteren Zahl um 1 groͤsser, welches durch ein Punct angedeutet wer- den kan, und sage 16 St. von 9 St. kan ich nicht abziehen, nehme deswegen dazu 1 fl. und setze sogleich 1 fl. zu den folgenden 125 fl. in der
F 3
un-
unteren Zahl. Dieser fl. betraͤgt 20 St. welche mit den 9 St. zusammen machen 29 St. davon 16 Stuͤber abgezogen, bleiben 13 St. uͤber. Endlich
subtrahi
re ich 126 fl. von 231 fl. so blei- ben 105 fl; und wird also der Rest gefunden wie vorher.
Wann in solchen Faͤllen ein Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte abgenommen, und in die kleinere Sorte verwechselt werden muß, so pflegt dieses zwar im Sinn verrichtet zu werden, man kan sich dabey aber einiger Vortheile bedienen, wodurch oͤfters diese
Opera- tion
weit leichter gemachet wird. Nehmlich an- statt, daß man, wie allhier geschehen ist, das Stuͤck von der groͤsseren Sorte in die kleinere verwechselt, und den Betrag davon zu den vor- handenen Stuͤcken von der kleineren Sorte in der oberen
Quantit
aͤt
addi
rt, und alsdann die Anzahl der Stuͤcke von eben dieser Sorte in der unteren
Quantit
aͤt
subtrahi
rt: so kan man entwe- der sogleich die untere Zahl von dem Betrag des genommenen Stuͤcks der groͤsseren Sorte
subtra- hi
ren und den Rest zur oberen Zahl
addi
ren: oder man kan auch die obere Zahl von der unteren Zahl
subtrahi
ren, und den Reft nochmalen von dem Werth des abgenommenen Stuͤckes der groͤsseren Sorte
subtrahi
ren. Dann durch diese beyden Wege wird einerley gefunden, oͤfters aber ist bald dieser bald jener bequemer um diese
Sub- traction
bloß allein im Sinne zu verrichten. Jn
welchen
welchen Faͤllen aber der eine oder der andere Weg einen groͤsseren Vortheil bringe, wird ein jeder durch eine geringe Ubung bald selbst einsehen. Jnzwischen koͤnnen wir so viel melden, daß wann die untere Zahl um viel groͤsser ist als die obere, alsdann der erstere der zweyen gewiesenen Vor- theile die
Operation
leichter mache; hingegen aber der andere Vortheil bessere Dienste leiste, wann die obere Zahl nur um sehr wenig kleiner ist als die untere. Wir wollen diese beyden Wege aber im folgenden Exempel deutlicher beschreiben und den Gebrauch davon anzeigen.
Dieses Exempel wollen wir aber erstlich nach der im Satze beschriebenen Art berechnen, damit man die Ubereinstimmung des natuͤrlichen Wegs mit den angezeigten Vortheilen desto deut- licher einsehe. Jch sage also 18
gr.
von 5
gr.
kan ich nicht, lehne also einen
Serupel,
welchen durch ein Punckt bey den ℈ in der unteren
Quan- tit
aͤt andeute. Dieser ℈ betraͤgt 20
gr.
welche mit der 5
gr.
zusammen 25
dr.
ausmachen, da- von 18
gr.
abgezogen bleiben 7
gr.
zuruͤck, so in den gesuchten Rest geschrieben werden. Ferner
F 4
sage
sage ich 2 ℈ und der durchs Punct angedeutete ℈ machen 3 ℈, welche von den oberen 2 ℈ nicht abgezogen werden koͤnnen, lehne demnach ein ℨ, welches 3 ℈ ausmacht, und bemercke diese Entlehnung durch ein Punct. Diese
Drachma
mit den 2 oben vorhandenen
Scrupeln
macht 5 ℈ davon die unteren 3 ℈ abgezogen, bleiben 2 ℈ uͤber. Weiter sage ich 6 und we- gen des Puncts 1 ℨ sind 7 ℨ von 1 ℨ kan ich nicht, lehne also 1 ℥, und setze darfuͤr ein Punct. Diese Unze, welche 8 ℨ ausmacht, mit der 1 ℨ gibt 9 ℨ davon die 7 ℨ abgezogen bleiben 2 ℨ uͤber. Hernach sage ich 9 und we- gen des Puncts 1 sind 10 ℥ von 8 ℥ kan ich nicht, lehne also 1 ℔ welches durch 1 Punct bemercke. Dieses ℔ gibt 12 ℥, welche zu den 8 ℥ gethan 20 ℥ ausmachen, davon die 10 ℥ abgezogen, bleiben 10 ℥ uͤber. Endlich ziehe ich 97 und 1 das ist 98 ℔ von 142 ℔ ab, so bleiben 44 ℔ uͤber: und ist also der voͤllige Rest gefunden. Nun wollen wir eben dieses Exempel durch die angewiesenen Vortheile berechnen.
℔
Nehmlich weilen ich 18
gr.
nicht abziehen kan, so lehne ich 1 ℈ der 20
gr.
betraͤgt: und sage 18 von 20 bleiben 2 dazu 5 gethan kom- men 7 fuͤr den Rest nach dem ersteren Vortheil, oder ich sage nach dem zweyten Vortheil 5 von 18 bleiben 13, diese von 20 abgezogen lassen 7
gr.
fuͤr den Rest. Zweytens sage ich 2 und 1 ℈ machen 3 ℈, welchen von den obstehen- den 2 ℈ nicht abgezogen werden koͤnnen, lehne allso 1 ℨ welche 3 ℈ betraͤgt, und sage nach dem ersteren Vortheil 3 ℈ von 1 ℨ oder 3 ℈ bleibt nichts uͤber, dieses zu den 2 ℈ gethan gibt 2 ℈ fuͤr den Rest: oder nach dem zweyten Vor- theil sage ich die oberen 2 ℈ von den unteren 3 ℈ abgezogen bleibt 1 ℈ uͤber, dieser von 1 ℨ oder 3 ℈ abgezogen laͤßt 2 ℈ fuͤr den Rest. Drittens sollen wir 7 ℨ von 1 ℨ abziehen, wel- ches weilen es nicht geschehen kan, so lehnen wir 1 ℥, die betraͤgt 8 ℨ; und sagen nach dem ersteren Weg 7 ℨ von 1 ℥ oder 8 ℨ bleiben
F 5
1 ℨ
1 ℨ und 1 ℨ machen 2 ℨ fuͤr den Rest; oder nach der anderen Art 1 ℨ von 7 ℨ bleiben 6 ℨ, diese von 1 ℥ oder 8 ℨ abgezogen, bleiben 2 ℨ fuͤr den Rest. Viertens sollen 10 ℥ von 8 ℥ abgezogen werden; da nun dieses nicht geschehen kan, so lehnen wir 1 ℔ das gibt 12 ℥, und sagen nach dem ersteren Vortheil 10 ℥ von 12 ℥ bleiben 2 ℥ dazu 8 ℥ gethan geben 10 ℥ fuͤr den Rest; oder nach dem anderen Vortheil 8 ℥ von 10 ℥ bleiben 2 ℥, diese von 1 ℔ oder 12 ℥ abgezogen bleiben 10 ℥ fuͤr den Rest. Endlich zieht man nach der gewoͤhnlichen Art 98 ℔ von 142 ℔ ab. Aus diesem Exempel kan man nun so wohl den Gebrauch als die Richtigkeit der gewiesenen bey- den Vortheile zur Gnuͤge ersehen. Es ist also nichts mehr uͤbrig als diese Regeln der
Subtra- ction
durch einige Exempel auszuuͤben.
I.
Ein Englischer Cassir hat in seiner Cassa 2708 L. Sterl. 15 ß. 2 ₰ zahlt davon aus 894 L. Sterl. 18 ß. 9 ₰ wieviel behaͤlt derselbe noch in Cassa?
Antw. Dieses zu finden muß man die ausgezahlte Summ von der gantzen Summ der Cassa
subtrahi
ren, wie folgt.
L. Sterl.
demnach bleiben diesem Cassir noch in der Cassa 1813 L. Sterl. 16 ß. 5 ₰.
II.
Einer hat eine Partie Talck, welche an Hollaͤndischen Gewicht betraͤgt 48 Schiff ℔, 14 Ließ ℔, 8 ℔; verkaufft davon 29 Schiff ℔, 15 Ließ ℔, 11 ℔ wieviel bleiben ihm noch uͤbrig?
Antw. Allhier muß man das verkauffte Gewicht von dem gantzen Gewichte
subtrahi-
ren.
so viel also, als dieser Rest anzeigt, bleibt noch an Talck zuruͤck.
III.
Von einer Zeit von 157 Tagen, 9 Stunden, 32′, 15″ sollen abgezogen werden 88 Tag, 12 Stund, 8′, 45″, wieviel bleibt uͤber?
Antw. So viel als der Rest anzeigen wird, wann man die kleinere Zeit von der groͤsseren
subtrahi
rt, wie folgt.
Tag
Wann bey den kleinsten Sorten noch Bruͤ- che vorkommen, so wird die
Subtraction
der Bruͤche insbesondere verrichtet nach der gewoͤhn- lichen Regel, wie aus folgenden Exempeln zu ersehen.
IV.
Ein Silber-Schmied hat an Silber 24

, 3 ℥, 9⅜ Engl. davon verarbeitet er 8

, 5 ℥, 1 Loth, 15
\frac{5}{16}
Engl. wieviel behaͤlt er noch an rohem Silber?
Antw. Man
subtrahi
re das kleinere Ge- wicht von dem groͤsseren, so hat man die Antwort.
V.
An Hamburgischem Geld ist einer schuldig 268 Thlr. 2

, 8 ß. 9⅔ ₰, daran zahlt er 184 Thlr. 1

, 12 ß. 10¾ ₰, wieviel bleibt derselbe noch schuldig?
Antw. Hier muß man die abgezahlte Summ von der gantzen Schuld
subtrahi
ren.
Thlr.
Da wir hier in diesem
Capitel
die
Addition
und
Subtraction
zusammen abgehandelt haben, so wollen wir noch einige Exempel beyfuͤgen, zu welchen so wohl die
Addition
als
Subtraction
er- fordert wird.
VI.
Ein Hollaͤndischer Caßier hat in Cassa 1056 fl. 8 St. 6½ ₰, empfaͤngt dazu 184 fl. 9 St. 10⅚ ₰; zahlt davon aus, erstlich 460 fl. 15 St. 6⅜ ₰ und wiederum 389 fl. 5 St. 12
\frac{7}{12}
₰, wieviel bleibt ihm noch in der Cassa zuruͤck?
Antw. Erstlich muß man das Cassa Geld, und die Einnahm zusammen
addi
ren um das voͤllige Vermoͤgen der Cassa zu fin- den; hernach muß man die Ausgaben glei- cher gestalt zusammen
addi
ren um alles was ausgezahlet worden zu haben, und endlich die gantze ausgezahlte Summ von der gantzen Cassa
subtrahi
ren: wie folgt.
Einnahm
VII.
Ein Rußischer Kaufmann empfaͤngt drey Partien Juchten, erstlich 13 Berkwitz 8 Pud 25 ℔, zweytens 17 Berkw. 5 Pud 30 ℔, drittens 9 Berkw. 2 Pud 14 ℔; verkaufft davon 2 Partien, die erste von 20 Berkw. 3 Pud und die andere von 13 Berkw. 17½ ℔, wieviel behaͤlt er noch?
Antw. Dieses Exempel wird gleich dem vorigen berechnet wie folgt.
Cap. III.
Cap. III.
Von der
Multiplication
und
Division
verschiedener Sorten durch gantze Zahlen.
1.
E
Jne aus vielerley Sorten bestehende
Quantit
aͤt wird durch eine vorgegebene gantze Zahl folgender gestalt
multiplici
rt: man
multiplici
rt erstlich die kleinste Sorte durch den vorgeschriebenen
Multiplicatorem,
und sucht wieviel Stuͤcke von der folgenden groͤsseren Sorte in dem
Producte
enthalten, und auch wieviel Stuͤcke von der kleineren Sorte noch uͤberschiessen, welche allein in das
Product
geschrieben werden: die Stuͤcke von der groͤsseren Sorte aber behaͤlt man zur folgenden
Multiplication.
Nehmlich wann man die folgende groͤssere Sorte durch den
Multiplicatorem multiplici
rt hat, so
addi
rt man zum
Product
die aus der vorigen
Multiplication
entsprungenen Stuͤcke von dieser Sorte, und sucht wiederum wieviel gantze Stuͤcke von der folgenden groͤsseren Sorte in dieser Summ enthalten sind, welche wiederum
zur
zur folgenden
Multiplication
aufbehalten wer- den, in das
Product
aber werden so viel Stuͤ- cke geschrieben, als nach geschehener
Redu- ction
von dieser Sorte uͤberschiessen: und sol- cher gestalt verfaͤhrt man, bis man zur groͤ- sten Sorte komt, welche man
multiplici
rt und das
Product
ohne weitere
Reduction
hin- schreibt.
Vor allen Dingen ist zu mercken, daß keine
Mult plication
anderst als durch unbenannte Zah- len geschehen kan, und folglich der
Multiplicator
allhier eine unbenannte Zahl seyn muͤsse, der
Multiplicandus
aber oder die
Quantit
aͤt, welche
multiplici
rt werden soll, kan einen Nahmen ha- ben wie man immer will. Dann da die
Multi- plication
aus der
Addition
entspringet, und nur auf eine kuͤrtzere und vortheilhafftere Art die Summ finden lehret, wann die
Quantit
aͤten, welche zusammen
addi
rt werden sollen einander gleich sind; so ist der
Multiplicator
allzeit eine solche Zahl, welche anzeigt, wieviel mahl eine vorgegebene
Quantit
aͤt hingeschrieben und
addi
rt werden soll; das ist der
Multiplicator
muß eine unbenannte Zahl seyn. Dergleichen Exempel gehoͤren nehmlich nur in die
Multiplication,
wann gefragt wird, wieviel heraus kommt, wann eine vorgegebene
Quantit
aͤt, als zum Exempel eine Summe Geld von 100 Rubl zwey mahl oder drey mahl oder vier mahl oder so viel mahl als man verlangt genommen wird; das ist
wann
wann 100 Rubl durch 2 oder durch 3 oder 4 oder durch eine jegliche Zahl
multiplici
rt werden soll. Woraus erhellet, daß der
Multiplicator
keinen besonderen Nahmen haben koͤnne, sondern bloß eine
Simple
und unbenannte Zahl seyn muͤsse, welche anzeigt, wieviel mahl die vorgeschriebene
Quantit
aͤt genommen werden soll. Also kan man nicht fragen, wieviel heraus komme, wann man 100 Rubl mit 10 Rubl
multiplici
rt; dann wann man antworten sollte, daß 1000 Rubl herauskaͤmen, so wuͤrde dieses die gehoͤrige Antwort seyn, wann gefragt worden waͤre, wie- viel 100 Rubl 10 mahl, aber nicht 10 Rubl mahl genommen ausmachten. Dieses ist nun an sich so klar, daß diese Erinnerung nicht wuͤrde noͤthig gewesen seyn, wann sich nicht solche Leute faͤnden, welche aus einem verkehrten Begriff be- haupten wollen, daß man wohl benannte
Quan- tit
aͤten durch benannte
multiplici
ren koͤnne: zu welcher Meinung denselben einige Faͤlle in der Regel
de tri
moͤgen Anlaß gegeben haben, in welchem es dem ersten Ansehen nach scheinet als wann wuͤrcklich solche
Muitiplicatio
nen geschaͤhen: allein wann wir zu dieser Regel kommen, so werden wir gantz deutlich darthun, daß solches nimmer geschehen koͤnne, sondern allzeit der
Mul- tiplicator
eine unbenannte Zahl bleibe. Was aber der
Multiplicandus
auch immer fuͤr einen Nahmen fuͤhret, so wird derselbe durch den
Multiplicatorem
nicht anderst
multiplici
rt, als
G
wann
wann derselbe eine unbenannte Zahl waͤre; dem
Product
aber wird wiederum der Nahme des
Mul- tiplicandi
beygeleget. Als da 8 mit 3
multipli- ci
rt 24 ausmachen, so geben auch 8 Rubl mit 3
multiplici
rt 24 Rubl, und 8 Pfund mit 3
mul- tiplici
rt 24 Pfund und so fort: weswegen zur
Multiplication
der benannten Zahlen keine andere Regeln erfordert werden, als zur
Multiplication
der unbenannten Zahlen gegeben worden sind. Jnzwischen aber, wann der
Multiplicandus
aus vielerley Sorten bestehet, und man verlangt das
Product
in seiner gehoͤrigen Form, so dienet dazu die im Satze gegebene Regel, welche nicht so wohl fuͤr die
Multiplication
etwas besonders in sich enthaͤlt, als nur zugleich mit der ordent- lichen
Multiplications Operation
die noͤthige
Re- duction
verknuͤpfet, damit das
Product
nach der gewoͤhnlichen Art eingerichtet herauskomme. Diese unsere Regel dienet aber nur, wann der
Multiplicator
eine gantze Zahl ist: dann wann derselbe ein Bruch waͤre, so muß man zu einer solchen
Multiplication
noch die
Division
zu Huͤlfe nehmen, weswegen wir allhier nur die
Multipli- cation
mit gantzen Zahlen fuͤr uns nehmen, und die mit Bruͤchen ins folgende
Capitel
versparen. Um also eine aus vielevley Sorten bestehende
Quantit
aͤt durch einen vorgeschriebenen
Multipli- cator
zu
multiplici
ren, so darf man nur eine jegli- che Sorte durch den
Multiplicatorem
insbesondere
multiplici
ren; da dann alle diese
Producte
zusam-
men
men das voͤllige verlangte
Product
geben werden. Als wann man dieses Gewicht 9 Pud, 24 ℔, 15 Loth 8 mahl nehmen oder durch 8
multiplici-
ren soll, so wird man das verlangte
Product
fol- gender gestalt durch
Multiplici
rung einer jeden Sorte mit 8 finden.
Allein da man dergleichen Ausdruͤckungen in solcher Form verlangt, daß vom keiner kleine- ren Sorte so viel oder mehr Stuͤcke vorkommen als ein Stuͤck von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte ausmachen; so muß bey einem auf diese Art gefundenen
Product
nach die gehoͤrige
Redu- ction
angestellet werden. Damit man aber nicht noͤthig habe zwey mahl zu
operi
ren, und das
Product
in der gehoͤrigen Form sogleich finde, so haben wir in der im Satze beschriebenen Regel die
Multiplications
und
Reductions Operatio
nen mit einander verknuͤpfet. Weilen demnach mit der
Reduction
der Anfang immer von der klein- sten Sorte gemacht werden muß, so ist auch noͤthig zu diesem Ende die
Multiplication
von der kleinsten Sorte anzufangen. Wann nun die kleinste Sorte
multiplici
rt worden, so muß man sehen, ob das gefundene
Product
mehr Stuͤcke
G 2
anzeige
anzeige, als ein Stuͤck der naͤchstfolgenden groͤsse- ren Sorte ausmachen oder nicht: befindet sich das letztere, so darf man nur sogleich das
Product
hinschreiben; sind aber im
Product
ein oder mehr Stuͤcke von der naͤchstfolgenden groͤsseren Sorte enthalten, so muͤssen solche durch die
Reduction
daraus gezogen und nachgehends zum
Product,
welches aus der folgenden Sorte entspringen wird, gethan werden; unter dem Nahmen aber einer jeglichen Sorte werden nur so viel Stuͤcke ins
Product
geschrieben als in der
Reduction
uͤber- geschossen. Da nun eine gleiche
Reduction
auch mit der
Addition
verknuͤpfet worden ist, und beyde auf einem Grunde beruhen, so haben wir um so viel weniger noͤthig die Richtigkeit die- ser beschriebenen
Operation
weitlaͤuffiger darzu- thun; da dieselbe fuͤr sich klar genug ist, und einjeder die Vereinigung der
Multiplication
mit der
Reduction
leicht einsehen kan. Derowegen wollen wir nur zur Ausrechnung einiger Exempel fortschreiten, damit man sich die beschriebene Re- gel recht bekannt mache, und in der
Operation
die gehoͤrige
ertigkeit erlange. Zu diesem Ende wollen wir auch hernach einige Vortheile anzei- gen, welcher man sich in vielen Faͤllen mit nicht geringem Nutzen bedienen kan.
I.
Es wird gefragt, wieviel diese Summe Geld 213 fl. 14 St. 9 ₰ zwey mahl genommen austrage?
Antw.
Antw. Man muß also diese Summ mit 2
multiplici
ren nach der gegebenen Regel.
Nehmlich man sagt 2 mahl 9 ₰ sind 18 ₰ das ist nach geschehener
Reduction
1 St. und 2 ₰: diese 2 ₰ setzt man ins
Product
unter dem Nahmen der ₰, den 1 Stuͤber aber behaͤlt man zu den Stuͤbern, welche in der folgenden
Multiplication
der Stuͤber gefunden werden. Man
multiplici
rt also die 14 Stuͤber mit 2 und zum
Product
28 thut man den vorher aus den ₰ entsprungenen 1 St. welches 29 St. gibt. Diese 29 Stuͤber
reduci
rt man durch 20 zu fl. und findt 1 fl. 9 Stuͤber, wovon die 9 St. ins
Product
gesetzt, der 1 fl. aber zum folgenden
Product
der fl. geschlagen wird: dahero 213 fl. mit 2
multiplici
rt und dazu den 1 fl. gethan 427 fl. herauskommen, so daß das voͤllige
Pro- duct
seyn wird 427 fl. 9 St. 2 ₰.
G 3
II.
Wie-
II.
Wieviel kommt heraus, wann dieses Gewicht 29 ℔, 13 ℥, 9 Engl. 27 Aß nach Hol- laͤndischem Maaß durch 6
multiplici
rt wird?
Antw. Dieses verlangte
Product
wird nach den Regeln der
Multiplication
folgender gestalt gefunden werden.
Man sagt nehmlich 6 mahl 27 Aß geben 162 Aß, und diese durch 32
reduci
rt 5 Engl. 2 Aß, wovon die 2 Aß ins
Product
geschrieben, die 5 Englisch aber aufbehalten werden. Ferner machen 9 Engl. 6 mahl genommen 54 Engl. dazu die 5 Engl. gethan kommen 59 Engl. welche durch 20
reduci
rt geben 2 ℥, 19 Engl. Davon schreibt man 19 Engl. ins
Product,
und behaͤlt die 2 ℥. Drittens geben 13 ℥ mit 6
multiplici
rt 78 ℥, welche mit den vorigen 2 ℥
geben
geben
accurat
5 ℔, weswegen ins
Product
unter den Nahmen ℥ nichts geschrieben, und die 5 ℔ zum
Product
der 29 ℔ mit 6 gethan werden.
III.
Ein Hamburger Kaufmann hat 15 Saͤcke Geld, davon in einem jeden ist 156 Thaler, 1 Mrk. 5 ₰, wieviel Geld ist in allen 15 Saͤcken zusammen?
Antw. Weilen in allen 15 Sacken ei- nerley Summe ist, so wird der Jnhalt al- ler Saͤcke gefunden, wenn man den Jnhalt eines Sacks mit 15
multiplici
rt, wie folgt.
Nehmlich 5 ₰ 15 mahl genommen, ge- ben 75 ₰ das ist 6 ß. 3 ₰, wovon die 3 ₰ ins
Product
geschrieben werden. Weilen nun im
Multiplicando
kein ß. vorhanden, so ist auch das
Product
nichts, und folglich hat man nur die aus den ₰ entsprungenen 6 ß. welche weilen sie kleiner sind als 1

ins
Product
ge-
G 4
schrieben
schrieben werden. Ferner gibt 1

15 mahl genommen 15

das ist just 5 Thlr. weswegen kein

ins
Product
komt, die 5 Thlr. aber zum folgenden
Product
der Thaler
addi
rt wer- den. Dahero die gesuchte Summ seyn wird 2345 Thlr. 6 ß. 3 ₰.
Wann sich in dem
Multiplicando
bey der kleinsten Sorte noch ein Bruch befindet, so wird erstlich der Bruch durch den
Multiplicatorem multiplici
ret, und wieviel gantze in dem gefun- denen
Product
enthalten sind gesucht; der uͤber- schiessende Bruch aber ins
Product
geschrieben; und die gantzen Stuͤcke zum
Product,
welches aus der
Multiplication
der gantzen entstehet ge- schlagen; worauf man zur
Multiplication
der groͤsseren Sorten wie vorher fortschreitet.
IV.
Ein Englischer Haus-Vater hat nach seinem Tod 9 Kinder und einem jeden 574 L. Sterl. 15 ß. 7¾ ₰ hinterlassen. Nun wird ge- fragt, wie groß die gantze Verlassenschaft dieses Manns gewesen sey?
Antw. Da alle 9 Kinder gleichviel von dem verlassenen Vermoͤgen ihres Vaters bekommen, ein jedes nehmlich 574 L. Sterl. 15 ß. 7¾ ₰; so muß die gantze Erbschaft 9 mahl so groß gewesen seyn, als die
Por- tion
eines Kinds, und folglich gefunden
werden,
werden, wann man die gegebene Summ, welche ein Kind bekommen mit 9
multiplici
rt, wie folgt.
Erstlich sagt man 9 mahl ¾ ₰ gibt
\frac{27}{4}
₰ oder 6 ¾ ₰, wovon man die gebrochenen ¾ ₰ ins
Product
schreibt, die 6 gantzen aber zum
Product
der gantzen 7 ₰ mit 9 das ist zu 63 ₰
addi
rt, da dann 69 ₰ herauskommen, oder 5 ß. 9 ₰. Man schreibt also 9 ₰ ins
Product
und behaͤlt die 5 ß. zum
Product
der ß. nehmlich zu 9 mahl 15 ß. oder zu 135 ß. woraus 140 ß. entspringen, so just 7 L. Sterl. austragen. Man laͤßt also im
Product
die Stelle der ß. ledig, und
multiplici
rt die 574 L. mit 9, und
addi
rt dazu dieselbigen 7 L: da dann fuͤr die gantze Verlassenschaft gefunden wird 5173 L. Sterl. 9¾ ₰.
G 5
V.
Wie
V.
Wieviel betraͤgt nach Saͤchsischem Geld diese Summ 142 Thlr. 20 Ggl. 6
\frac{6}{7}
₰, wann solche mit 21
multiplici
rt wird?
Antw. Dieses Exempel wird nach der gegebenen Regel folgender gestalt gerechnet werden.
Nehmlich
\frac{6}{7}
₰ mit 21
multiplici
rt geben
\frac{126}{7}
oder 18 ₰, welches
Product
leichter ge- funden wird, wann man bemercket daß sich 21 durch 7 theilen laͤßt und 3 herauskommt: da dann das
Product
eine gantze Zahl und zwar 3 mahl groͤsser als der Zehler des Bruchs und also 18 seyn muß. Hierauf
multiplici
rt man die 6 gantzen ₰ mit 21 und thut die vorigen 18 ₰
zum
zum
Product
126, woraus 144 erwachsen: die- sen geben just 12 Ggl. und kommen also weder Bruͤche noch Pfenninge ins
Product.
Ferner wann man die 20 Ggl. mit 21
multiplici
rt und zum
Product
420 die obigen 12 gute Groschen
addi
rt, so bekommt man 432 Ggl. welche wie- derum
accurat
18 Thlr. betragen, daß auch keine Ggl. ins
Product
kommen. Diese 18 Thlr. nun zum
Product
der 142 Thlr. durch 21
addi
rt geben 3000 Thlr. so daß das verlangte
Product
herauskommt 3000 Thlr.
Es geschieht auch oͤfters, wann der
Multi- plicator
eine sehr grosse Zahl ist, daß man ins
Product
noch groͤssere Sorten bringt, als in dem
Multiplicando
gewesen. Jn solchen Faͤllen wird aber die
Operation
wie vorher angestellt, nur daß man die groͤsseren Sorten im
Multiplicando
als ledig betrachtet. Als in diesem Exempel.
VI.
Wann nach dem
Apothe
ker Gewicht 5 ℨ 2 ℈ 12 Gr. mit 100
multiplici
rt werden, wieviel wird das
Product
austragen?
Antw. Weilen im
Apothe
ker Gewicht noch zwey hoͤhere Sorten als
Drach
men uͤblich sind, nehmlich Unzen und Pfund und man im
Product
auf diese hoͤheren Sorten kommen wird, so betrachtet man dieselben als wann sie im
Multiplicando
schon wuͤrcklich vorhan- den, ihre Stellen aber ledig waͤren.
℔
Nehmlich wann man das
Product
nach der vorher beschriebenen Art ausrechnet und keine groͤssere Sorten in Betrachtung ziehet als im
Multiplicando
vorhanden gewesen sind, so findt man 586 ℨ, 2 ℨ, —
gr.
Da aber in den 586 ℨ noch Unzen und so gar ℔ enthalten sind, so darf man dieselben nur nach den Regeln der
Reduction
dahin
reduci
ren; da man dann fuͤr die 586 ℨ findt 6 ℔, 1 ℥, 2 ℨ, so daß das voͤllige
Product
seyn wird 6 ℔, 1 ℥, 2 ℨ, 2 ℈, —
gr.
Aus diesen Exempeln ist nun die Natur und der Grund der
Multiplication,
und wie damit die
Reduction
verknuͤpfet ist genugsam zu ersehen: weswegen wir uns nicht laͤnger bey mehr Exem-
peln
peln aufhalten, sondern einige Vortheile anzei- gen wollen, durch welche nicht nur oͤfters die
Operation
weit kuͤrtzer und geschwinder verrichtet werden kan, sondern welche auch zu fernerem Nachdencken, und deutlicherer Einsicht in die Natur der Zahlen dienen koͤnnen; woraus in anderen Faͤllen auch nicht geringe Vortheile her- fliessen.
2.)
Wann der
Multiplicator
gleich ist der- jenigen Anzahl Stuͤcke, welche von der kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤsseren Sor- te ausmachen, so kommen fuͤr das
Product
der kleineren Sorte eben so viel Stuͤcke von der groͤsseren Sorte, als von der kleinern Sorten vorhanden sind. Jngleichem wann der
Multiplicator
zweymal so groß ist als die benannte Anzahl Stuͤcke, welche von der kleineren Sorte ein Stuͤcke der groͤsseren aus- mach
e
n, so darf man nur die kleinere Sor- te mit zwey
multiplici
ren, und dem
Product
den Nahmen der groͤsseren Sorte beylegen. Eben dieses Vortheils kan man sich bedie- nen wann der
Multiplicator
drey, vier oder mehrmalen groͤsser ist als die gedachte Zahl, welche anzeint wie viel Stuͤcke der kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤsseren ausmachen.
Jn welchen Faͤllen dieser gemeldte Vortheil statt finde, ist aus der gegebenen Beschreibung leicht abzunehmen, der Vortheil aber bestehet an und fuͤr sich selbst darinn, daß man die sonst nach
der
der
Multiplication
noͤthige
Reduction
zur folgen- den groͤsseren Sorte zugleich mit anstellet. Als wann man zum Exempel 6 ℨ mit 8
multiplici
ren sollte, so wuͤrden nach dem gewoͤhnlichen Wege 48 ℨ heraus kommen, welche weilen 8 ℨ eine Unze ausmachen, durch 8
dividi
rt 6 ℥ geben. Da man nun erstlich durch 8
multiplici
ren, und als dann das
Product
wiederum durch 8
dividi-
ren muß, so ist klar, daß wiederum das erste heraus kommen muͤsse. Derowegen kan man so wohl der
Multiplication
als
Division
entbehren, wann man sogleich sagt, daß 6 ℨ mit 8
multi- plici
rt 6 ℥ geben. Gleichergestalt, da 3 Solot- nick ein Loth machen, so gibt 1 Solotnick 3 mal genommen 1 Loth und 2 Solotnick mit 3
multi- plici
rt 2 Loth. Und weilen 96 Solotnick ein Pfund machen, so ist sehr leicht eine jegliche ge- gebene Anzahl Solotnick mit 96 zu
multiplici
ren, in dem des
Product
eben so viel Pfund anzeigen muß, als der
Multiplicandus
Solotnick gehalten hat. Also werden 15 Solotnick mit 96
multipli- ci
rt 15 Pfund geben und so sort. Hieraus erhel- let ferner, daß 8 Copeken mit 10
multiplici
rt 8 Griven, und 3 Griven mit 10
multiplici
rt 3 Rubl. geben muͤssen, weilen 10 Copeken 1 Gri- ven und 10 Griven 1 Rubl. ausmachen. Wei- len ein Hollaͤndischer Stuͤber 16 ₰ halt, so muͤs- sen auch zum Exempel 9 ₰ mit 16
multiplici
rt
9 St.
9 St. und 14 ₰ mit 16
multiplici
rt 14 St. her- vor bringen, welches alles fuͤr sich so deutlich ist, daß wir keiner weiteren Ausfuͤhrung vonnoͤthen haben.
Hierauf beruhet ferner der Grund der an- dern gemeldten Vortheile, wann nehmlich der
Multiplicator
zwey oder drey oder mehr mal groͤs- ser ist, als solcher im vorigen Falle ist angenom- men worden. Dann da ein zweymal so grosser
Multiplicator
ein zweymal so grosses
Product
her- vorbringt, wann nehmlich der
Multiplicandus
ei- nerley ist, so muß auch leicht seyn durch einen
Multiplicatorem
zu
multiplici
ren, welcher 2, 3, oder mehrmal groͤsser ist als derjenige vom obigen falle. Also wann man 4 ℨ mit 16
multiplici
ren soll, so muß das
Product
zweymal so groß seyn als dasjenige welches herauskommen wuͤrde, wann man 4 ℨ mit 8
multiplicir
te. Da nun 4 ℨ mit 8
multiplici
rt 4 ℥ geben, so werden 4 ℨ mit 16 oder mit 2 mal 8
multiplici
rt 8 ℥ das ist 2 mal 4 ℥ geben. Jngleichem da 24 Stunden auf einen Tag gerechnet werden, so muͤssen zum Exempel 15 Stunden mit 24
multiplici
rt 15 Tage geben. Dahero wann 15 Stunden mit 2 mal 24 das ist mit 48
multiplici
rt werden, so muͤssen 2 mal 15 das ist 30 Tage herauskommen: sollte aber der
Multiplicator
3 mal 24 oder 72 seyn, so wuͤrden 3 mal 15 das ist 45 Tage ins
Product
kommen.
Um
Um den Nutzen dieses Vortheils mehr zu erlaͤu- tern, so lasst uns setzen, daß 17 Hollaͤndische Stuͤ- ber durch 100
multiplici
rt werden sollen. Da nun 20 St. einen fl. ausmachen, und folglich 17 St. mit 20
multiplici
rt 17 fl. betragen, so muͤssen dieselben mit 100
multiplici
rt 5 mal 17 fl. geben, weilen 100 fuͤnf mal groͤsser ist als 20; derohalben darf man nur die 17 St. mit 5
mul- tiplici
ren und im
Product
anstatt der St. den Nahmen fl. setzen; wodurch das
Product
85 fl. seyn wird. Hiemit sind nun diejenigen Vorthei- le, deren wir im Satze Meldung gethan haben deutlich genug ausgefuͤhret, daß sich derselben einjeder bey vorkommenden Faͤllen leicht bedienen kan; ehe wir aber diese Ausfuͤhrung endigen, so wollen wir noch einiger anderen Vortheile erweh- nen, welche aus eben diesem Grunde fliessen. Da wir nehmlich gewiesen haben, daß ein zweyfacher
Multiplicator
ein zweyfaches
Product
, ein dreyfacher ein dreyfaches und sofort hervorbringe; so kan man daraus, wann der
Multiplicator
eine grosse Zahl ist die
Multiplication
in zwey oder mehr
Operatio
nen zer- theilen; wodurch oͤfters die
Multiplication
leichter und geschwinder verrichtet werden kan, als auf die gewoͤhnliche Art. Als wann eine vorgegebe- ne so wohl unbenante als benante Zahl durch 12
multiplici
rt werden soll, so ist zu mercken, daß 12 so viel ist als 3 mal 4, und folglich der
Multipli- cator
12 ein drey mal groͤsseres
Product
geben muͤs- se, als der
Multiplicator
4. Derowegen kan
man
man erstlich die vorgegebene
Quantit
aͤt durch 4
multiplici
ren, und als dann das gefundene
Pro- duct
noch mal mit 3
multiplici
ren; da dann eben so viel heraus kommen wird, als wann man so gleich mit 12
multiplici
rt haͤtte. Als es sollen nach Hollaͤndischem Gewichte 18 ℔, 9 ℥, 13 Engl. mit 12
multiplici
rt werden, so kan solches durch eine zweyfache
Multiplication
durch 3 und 4 folgender gestalt geschehen.
Dieses
Product
ist nun gleich demjenigen, welches wuͤrde gefunden worden seyn, wann man sogleich mit 12
multiplici
rt haͤtte, und das deswegen, weilen 12 so viel ist als 3 mahl 4. Eben dieses
Product
wird auch herauskommen, wann man erstlich mit 3 und hernach mit 4
mul- tiplici
rt. Ferner da auch 12 so viel ist als 2 mahl 6, so koͤnte man das erste mahl mit 2 und das andere mahl mit 6
multiplici
ren, oder um- gekehrt das erste mahl mit 6 und das andere mahl mit 2, wie folgt.
H
℔
Solche Zertheilungen des
Multiplicatoris
in zwey
Factores
oder
Multiplicatores
sind nun zwar an und fuͤr sich selbst vortheilhaft, weilen mit kleineren Zahlen leichter zu
multiplici
ren ist als mit grossen: inzwischen aber wird hinwiederum die Arbeit groͤsser, weilen man zwey
Multiplica- tio
nen anstellen muß. Dem ungeacht aber be- haͤlt dennoch diese Zertheilung einen mercklichen Nutzen, wann man sich im Rechnen schon eine solche Fertigkeit erworben hat, daß man mit kleinen Zahlen gleichsam im Sinn die
Multipli- cation
verrichten kan. Jn diesem Falle erhaͤlt man auch oͤfters einen Vortheil, wann man den
Multiplicatorem
in drey oder mehr
Factores
zer- theilet. Als wann man durch 210
multiplici
ren sollte, so koͤnte man erstlich durch 7 und dann durch 30
multiplici
ren, weilen 210 so viel ist als 7 mahl 30. Wann aber durch 30 zu
multipli- ci
ren noch schwehr faͤllt, so kan man den
Multi- plicatorem
30 noch in 5 und 6 vertheilen, weilen 30 so viel ist als 5 mahl 6. Und also kan die
Mul-
Multiplication
durch 210 dergestalt in drey
Mul- tiplicatio
nen vertheilet werden, daß man erstlich durch 7, hernach durch 6 und drittens durch 5
multiplici
re, weilen 210 so viel ist als 7 mahl 6 mahl 5. Wir wollen davon ein Exempel geben: es sollen 21 L. Sterl. 14 ß. 5 ₰ mit 210
multiplici
rt werden; wovon die
Operation
also wird zu stehen kommen.
Dieser Vortheil findet nun Statt, wann sich der
Multiplicator
in zwey oder mehr kleine
Factores
zertheilen laͤst, mit welchen man leicht und bequem
multiplici
ren kan. Da sich nun die- ses nicht bey allen vorkommenden
Multiplicatio
nen bewerckstelligen laͤst, so kan man sich auch dieses Vortheils nicht allzeit bedienen. Man kan aber in solchen Faͤllen einen anderen Vortheil zu Huͤlfe nehmen, welcher aus nachfolgendem Grunde fliesset. Wann man den
Multiplicatorem
in zwey
H 2
Theile
Theile vertheilet, welche zusammen
addi
rt den- selben wiederum hervor bringen, so kan man den
Multiplicandum
durch jeden Theil insbeson- dere
multiplici
ren, und die beyden
Product
zu- sammen
addi
ren; da dann diese Summ dem ge- suchten
Product
gleich seyn wird. Als wann man mit 7
multiplici
ren sollte, so koͤnte man 7 in diese zwey Theile 4 und 3 zertheilen, und mit einem jeden insbesondere den
Multiplicandum multiplici-
ren, und die
Producte addi
ren; also wann der
Multiplicandus
53 waͤre, so koͤnte das
Product
folgender gestalt gefunden werden.
Vor allen Dingen ist aber hiebey zu errin- nern, daß man diese Zertheilung des
Multiplica- toris
in Theile mit jener so in
Factores
geschieht nicht
confundi
re, sondern dieselben von einander wohl unterscheide. Als dieser
Multiplicator
15 kan in diese
Factores
3 und 5 zertheilet werden; wann man aber denselben in Theile zertheilen will, so kan man dieselben entweder 7 und 8
oder
oder 6 und 9 oder 5 und 10, und dergleichen mehr annehmen. Dieser Unterscheid muß auch im Gebrauch selbst wohl beobachtet werden. Dann hat man den
Multiplicatorem
in
Factores
zertheilet, so muß man immer durch einen jegli- chen
Factorem
das schon vorher gefundene
Product multiplici
ren, da dann das letzte
Product
dasje- nige seyn wird, welches man verlanget. Zer- theilet man aber den
Multiplicatorem
in Theile; so muß man immer den
Multiplicandum
durch einen jeden Theil insbesondere
multiplici
ren und die herausgebrachten
Producte
zusammen
addi
ren. Die Zertheilung des
Multiplicatoris
in Theile aber allein hat fuͤr sich keinen Nutzen, in dem es gemeiniglich leichter ist durch den
Multiplicatorem
sogleich selbst zu
multiplici
ren, als durch die Theile: man wuͤrde nehmlich wenig gewinnen, wann man anstatt mit 17 zu
multiplici
ren, den
Multiplicandum
erstlich mit 8 und dann mit 9
multiplici
ren und beyde
Producte
zusammen
addi-
ren wollte. Wann man aber diese beyden Arten der Zertheilung in Theile und
Factores
zu vereini- gen und sich beyder zugleich zu bedienen weiß, so kan man dadurch oͤfters einigen Vortheil erhal- ten. Dann wann der
Multiplicator
eine solche Zahl ist, welche sich nicht laͤßt in
Factores
zer- theilen, so kan man hiedurch denselben in zwey solche Theile zertheilen, davon entweder beyde sich in bequeme
Factores
zertheilen lassen, oder bey dem einen Theile, weil solcher fuͤr sich klein
H 3
genug
genug, keine fernere Zertheilung noͤthig ist. Als wann man durch 37
multiplici
ren sollte, so koͤnte man darfuͤr diese Theile annehmen 36 und 1, und jenen in diese seine beyde
Factores
6 und 6 resolviren. Jn diesem Falle muͤßte man also den
Multiplicandum
erstlich mit 6 und das
Product
nochmalen durch 6
multiplici
ren, und zum letzten
Product
den
Multiplicandum
durch 1
multiplici
rt das ist den
Multiplicandum
selbst
addi
ren. Last uns also nach dieser Art, uachfolgendes
Apothe-
ker Gewicht durch 37
multiplici
ren.
Eben dieses
Product
wuͤrde man gefunden haben, wann man das vorgegebene Gewicht nach der gewoͤhnlichen Art
multiplici
rt haͤtte durch 37.
Wir
Wir wollen noch ein Exempel geben in wel- chem mit 157
multiplici
rt werden soll; diese Zahl laͤst sich nun nicht in
Factores
zertheilen, deswe- gen muß man suchen dieselbe in zwey solche Thei- le zu zerschneiden, deren einer fuͤr sich klein genug, der andere aber sich in bequeme
Factores
zerthei- len lasse. Damit man aber sehe wie diese Ver- theilung amfuͤglichsten anzustellen sey, so wollen wir fuͤr den einen Theil erstlich 1, hernach 2 dann 3 und so fort annehmen, und als dann aus allen diesen Zertheilungen die vortheilhafteste auslesen. Es ist also 157 so viel als.
H 4
Aus
Aus diesen sind nun die Theile 7 und 150 am bequemsten, weilen 150 diese kleinen drey
Fa- ctores
5, 5 und 6 hat. Sollte man aber auch mit 11 leicht im Kopfe
multiplici
ren koͤnnen, so wuͤrde die Eintheilung in 3 und 154 mehr Vor- theil bringen. Wir wollen im folgenden Exem- pel uns der ersteren Vertheilung bedienen.
Man soll 1034 L. Sterl. 9 ß. 7 ₰ 1 Farding mit 157
multiplici
ren.
Vertheilung des
Multiplicatoris
157 in 7 und 5 mal 5 mal 6.
Nach
Nach der gemeinen Art wuͤrde aber dieses Exempel also zu stehen kommen.
Wir wollen aber diesen Vortheil mit gros- sen Zahlen nicht allzusehr
recommendi
ren, weilen nicht nur so vielerley
Multiplicatio
nen auch eine geraume Zeit erfordern, sondern auch die Ver- theilung in bequeme Theile und
Factores
oͤfters mehr Zeit und Muͤhe kosten wuͤrde, als die gan- tze
Operation
nach der gewoͤhnlichen Art.
Jn Ansehung des
Multiplicandi
finden auch oͤffters einige Vortheile Statt, unter welchen der fuͤrnehmste ist, wann immer die groͤsseren Sor-
H 5
ten
ten 10 mal groͤsser sind als die kleinern: gleich- wie in der hiesigen Eintheilung des Rubels in 10 Griwen und des Griwens in 10 Copeken; dann in diesem Falle kan die
Multiplication
gleich als mit unbenanten Zahlen verrichtet werden. Die Ursach davon ist diese, weilen man ohne einige
Operation
anzustellen die gantze Summ sogleich in Copeken resolviren und hinschreiben kan wann dieses geschehen, so
multiplici
rt man die hinge- schriebene Anzahl Copeken mit dem vorge- schriebenen
Multiplicatore,
und
reduci
rt hinwie- drum das gefundene
Product
zu Griven und Rubl. ohne einige Muͤhe. Dann von der rechten an zu rechnen, gibt die erste Figur Copeken, die zweyte Griven, und die uͤbrigen Rubl.
Man soll zum Exempel diese Summ, 297 Rubl. 7 Griwen 5 Copeken mit 23
multipli- ciren:
weilen nun die vorgelegte Summ so viel ist als 29775 Copeken, so
multiplici
rt man diese Anzahl Copeken mit 23
Hier-
Hieraus ist klar daß man auch ohne die Nahmen der Rubl. und Griwen auszulassen eben so leicht
multiplici
ren koͤnne, wann man sich im Sinn nur alle Zahlen so vorstellt, als wann die- selben an einander gehaͤnget waͤren: also
Wann man auch nur nach Rubl. und Co- peken allein rechnet, ohne sich der Griwen Sor- ten zu bedienen, so kan auch die
Multiplication
eben so leicht geschehen. Dann da 1 Rubl 100 Cope- ken haͤlt, so wird die Summ sogleich in Copeken resolvirt, wann man an die Anzahl der Rubl zur rech- ten die Zahl der Copeken haͤngt; wobey nur die- ses zu erinneren, daß wann die Anzahl der Co- peken nur aus einer Figur besteht, vor dieselbe zur linken eine 0 muͤsse geschrieben werden. Also ist 57 Rubl. 42 Copeken so viel als 5742 Cope- ken; und 84 Rubl. 7 Copeken, so viel als 8407 Copeken. Hat man demnach solchergestalt die vorgegebene Summ in Copeken resolvirt, wel- che
Resolution
man sich nur im Sinn vorstellen kan, so
multiplici
rt man diese Anzahl Copeken mit dem
Multiplicatore,
und des
Products
zwey letzte Figuren nach der rechten geben die Copeken,
die
die uͤbrigen aber Rubl. Als wann 236 Rubl. 8 Copeken mit 47
multiplici
rt werden sollen so wird die
Operation
also zu stehen kommen.
Gleichergestalt werden solche Sorten, dar von immer 1 Stuͤck der groͤsseren 10 oder 100 Stuͤck der kleineren enthaͤlt, eben so leicht
addi
rt,
subtrahi
rt und
dividi
rt, als unbenante Zahlen, und erforderen keine besondere Regeln. Und um dieser Ursache willen haben wir auch in gegenwaͤr- tiger Beschreibung der
Arithmeti
schen
Operatio-
nen mit benanten Zahlen solche Sorten nicht in den Exempeln angefuͤhret. Dann in allen die- sen
Operatio
nen mit benanten Zahlen ist der na- tuͤrlichste Weg, daß man die verschiedenen Sor- ten auf die kleinste Sorte und dadurch auf einen einigen Naͤhmen
reduci
re, da dann alle
Opera- tio
nen eben wie mit unbenanten Zahlen angestel- let werden koͤnnen. Die besonderen Regeln aber welche wir gegeben, gehen nur dahin, daß man so wohl der
Resolution
vor der
Operation
als auch nach der
Operation
der
Reduction
uͤberhoben seyn moͤchte. Jn welchen Faͤllen nun so wohl die
Re-
solu-
solution
als
Reduction
ohne einige Muͤhe gesche- hen kan, wie in der Rechnung mit Rubl. Gri- wen und Copeken, in denselben ist unnoͤthig daß man die gegebenen besonderen Regeln fuͤr vieler- ley Sorten gebrauche.
3.)
Wann eine aus vielerley Sorten zu- sammen gesetzte
Quantit
aͤt durch eine gantze Zahl
dividi
rt werden soll: so
dividi
rt man erstlich die groͤste Sorte durch den
Divisorem,
und schreibt den in gantzen Zahlen gefunde- nen
Quotum
unter dem Nahmen der groͤsten Sorte in
Quotient,
den uͤbergebliebenen Rest aber resolvirt man in die folgende kleinere Sorte, und
addi
rt dazu was von dieser Sorte im
Dividendo
vorhanden ist. Diese Summ
dividi
rt man ferner durch den
Divi- sorem,
schreibt den
Quotum
mit dem Nah- men der Sorte in den gesuchten
Quotient,
und verwechselt den Rest in die kleinere fol- gende Sorte, welche man zusamt demjeni- gen, was von dieser Sorte im
Dividendo
da ist, ferner durch den
Divisorem dividi
rt. Solcher gestalt verfaͤhrt man bis zur klein- sten Sorte, und was in der letzten
Division
uͤbrig bleibt, dasselbe schreibt man in Form eines Bruchs in den
Quotien
ten.
Jn der
Division
wird immer eine solche
Quantit
aͤt gesucht, welche mit dem
Divisore mul- tiplici
rt den
Dividendum
wiederum hervorbringet. Es ist also der
Dividendus
nicht anderst anzusehen
als
als ein
Product,
welches aus der
Multiplication
des
Quoti
mit dem
Divisore
entspringt. Weilen nun in der
Multiplication
der
Multiplicator
allzeit eine unbenannte Zahl seyn muß. Das
Product
aber dem Nahmen nach dem
Multiplicando
aͤhn- lich gefunden wird: so muß auch in der
Division
entweder der
Divisor
oder
Quotus
eine unbenannte Zahl sey. Dahero entstehen zweyerley Arten der
Division
mit benannten Zahlen: in der erste- ren ist der
Divisor
eine unbenannte Zahl und fol- glich der
Quotus
eine benannte Zahl; welche dem Nahmen nach dem
Dividendo
aͤhnlich seyn muß. Die andere Art der
Division
entstehet wann der
Divisor
eine benannte Zahl und dem
Dividendus
dem Nahmen nach aͤhnlich ist: und in solchen
Divisio
nen wird der
Quotus
eine unbenannte Zahl. Allhier haben wir aber uns nur die erste Art abzuhandeln vorgenommen, wann der
Divisor
eine unbenannte Zahl ist, und zwar davon nur diejenigen Faͤlle, in welcher der
Divisor
eine gantze unbenannte Zahl ist, in dem wir die
Division
durch gebrochene Zahlen insfolgende
Capitel
ver- spahren. Jst demnach der
Divisor
eine unbenannte Zahl, so wird von dem
Dividendo
ein gewisser Theil gesuchet, nehmlich der so vielte Theil als der
Divisor
anzeigt: das ist, wann der
Divisor
2 ist, so wird die Helfte der
Dividendi
gesuchet, ist der
Divisor
3, der Drittel, ist der
Divisor
4, der Viertel und so fort; und demnach muß der
Quotus
dem Nahmen nach dem
Dividendo
aͤhn-
aͤhnlich seyn. Die gantze
Operation
aber dieser
Operation
wird zugleich mit dem Grunde davon deutlich aus nachfolgendem Exempel erhellen.
Ein Vater verlaͤßt nach seinem Tode 6 Kinder und denselben sein Vermoͤgen von 15725 fl. 14 St. 8 ₰ Hollaͤndisch Geld, welche Erbschaft unter die 6 Kinder gleich verthei- let werden soll. Wann nun gefragt wird, wie- viel ein Kind von dieser Verlassenschaft bekomme, so ist klar, daß solches der 6te Theil der gantzen hinte
r
lassenen Summ seyn werde, oder die
Por- tion
eines Kinds wird gefunden, wann man das gantze Vermoͤgen des verstorbenen Vaters durch 6
dividi
rt. Wir wollen demnach dieses Vermoͤ- gen so durch 6
dividi
ren, wie solches die 6 Kin- der in der That verrichten wuͤrden. Wir neh- men derohalben erstlich die Gulden vor, und su- chen wieviel gantze Gulden einem Kinde zukom- men; welches gefunden wird, wann wir die Anzahl der fl. durch 6
dividi
ren.
Hieraus erhellet, daß erstlich ein jedes Kind 2620 fl. bekomme, und daß nachdem ein jedes Kind so viel fl. empfangen, noch 5 fl. unzertheilt in der Massa bleiben. Weilen nun diese 5 fl.
uͤber-
uͤbergeblieben, so verwechseln die Erben solche in Stuͤber und bekommen darfuͤr 100 St. weilen 1 fl. 20 St. und folglich 5 fl. 5 mahl 20 das ist 100 St. betragen. Zu diesen 100 St. thun die Erben noch die in der Erbschaft befindlichen 14 Stuͤber, und bekommen also 114 St. unter sich zu theilen.
Derowegen bekommt noch ein jedes Kind 19 Stuͤber, und weilen nach Vertheilung der Stuͤber keine Stuͤber uͤberbleiben, so schreiten sie in der Vertheilung zu den noch vorhandenen 8 ₰ fort
wovon also ein Kind 1 ₰ bekommt und noch 2 ₰ zuruͤck bleiben, welche weilen sie nicht fer- ner in kleinere Sorten vertheilt werden koͤnnen, so nimt ein Kind den Werth des sechsten Theils von 2 ₰ das ist
\frac{2}{6}
₰ oder ⅓. Und also wird das voͤllige Erbtheil eines Kinds seyn 2620 fl. 19 St. 1⅓ ₰.
Wer
Wer nun diese
Operation,
welche wir in die- sem
Divisions-
Exempel angestellet haben, wohl be- trachtet, der wird finden, daß solche auf das genauste mit der im Satze gegebenen Regel uͤbereinkommt. Wir haben nehmlich erstlich die groͤste Sorte durch den
Divisorem dividi
rt und den Rest in die folgende kleinere Sorte resolvirt, und dazu
addi
rt was im
Dividendo
von dieser Sorte vorhanden war: ferner haben wir diese Summ wiederum durch den
Divisorem dividi
rt, und sind solcher ge- stalt bis zur kleinsten Sorte fortgeschritten, bey welcher wir den uͤbergebliebenen Rest in Bruchs-
Form
zum
Quoto
gesetzet haben. Diese gantze
Operation
kan nun am fuͤglichsten folgender ge- stalt vorgestellet werden.
J
Da
Da nun hieraus so wohl die
Operation
selbst als der Grund davon erhellet, so wollen wir nur zu einigen Exempeln fortschreiten, und was in verschiedenen Faͤllen noch anzumercken ist anzeigen.
I.
Ein Kaufmann hat an Juchten 23 Berkowitz, 5 Pud, 27 ℔, davon verkauft er den vier- ten Theil; nun wird gefragt wieviel er ver- kauft habe?
Antw. Weilen der Kaufmann den vier- ten Theil verkauft hat, so muß man suchen, wieviel der vierte Theil der gantzen Partie austrage, das ist man muß die gantze Partie durch 4
dividi
ren, da dann der
Quotus
das gesuchte anzeigen wird.
Berkw. 10
⏝
Pud 40
⏝
℔
Quotus
II.
Ein Kaufmann hat in
Commission
eincaßirt 8725 Thlr. 15 Ggl. 8 ₰, soll davon den 75sten Theil fuͤr seine Muͤhe haben, wieviel betraͤgt solcher?
Antw.
Antw. Der 75ste Theil wird gefunden, wann man die gantze Summ durch 75
divi- di
rt: dahero wird diese Belohnung folgender gestalt durch die
Division
gefunden.
J 2
Oefters
Oefters kommen auch im
Dividendo
keine kleineren Sorten vor; dennoch aber pflegt man im
Quoto,
wann ein Rest in der
Division
uͤber- bleibt, denn
Quotum
in kleineren Sorten aus- zudruͤcken, nach der vorher gewiesenen Art; in dem man die Stellen der kleineren Sorten im
Dividendo
als ledig betrachtet, wie aus folgen- den Exempeln zu sehen.
III.
Man verlangt zu wissen, wieviel der 7te Theil von 4925 L. Sterl. austrage?
Antw. Der siebente Theil wird gefun- den, wann man die gegebene Summ durch 7
dividi
rt; wie folgt.
IV.
Eine Person in Holland genießt eine jaͤhrli-
Pension
von 1000 fl. und verlangt zu wissen, wieviel solche auf einen Monath betrage?
Antw. Da ein Jahr zu zwoͤlf Monathen gerechnet wird, so wird der monathliche Be- trag von dieser jaͤhrlichen
Pension
der 12te
Theil
Theil von 1000 fl. seyn, und folglich gefun- den werden, wann man 1000 fl. durch 12
dividirt;
also:
Es pflegt auch zu geschehen, daß von der groͤsten Sorte weniger Stuͤcke vorhanden sind als der
Divisor
ist, und also in den
Quotum
kein Stuͤck von der groͤsten Sorte kommen kan. Jn solchen Faͤllen muß demnach sogleich die groͤste Sorte in die folgende kleinere Sorte verwechselt werden; worauf die
Operation
wie vorher fort- gesetzet wird. Solten aber noch von dieser klei- neren Sorte weniger Stuͤcke vorhanden seyn, als durch den
Divisorem
getheilt werden koͤnnen, so
J 3
muß
muß man solche in eine noch kleinere Sorte ver- wandeln, und wann keine kleinere Sorte mehr gebraͤuchlich ist, so wird der
Quotus
in der Ge- stalt eines Bruchs angezeigt.
V.
Wann jemand seinem Bedienten 10 Rubl des Jahrs Lohn gibt, wieviel ist er demselben in einem Monath zu geben schuldig?
Antw. Hier muͤssen wiederum die 10 R. durch 12 getheilet werden, weilen aber 12 groͤsser ist als 10, so muß man die 10 Rubl in eine kleinere Sorte als Griwen oder Cope- ken verwandeln, wie folgt.
VI.
Wann
VI.
Wann wir setzen, daß die Sonne in 365 Tagen an dem Himmel die 12 Himmlischen Zeichen durchlauffe, wieviel
absolvi
rt die Sonne an einem Tage?
Antw. Weilen die Sonne immer gleich geschwind zu lauffen angenommen wird, so wird der taͤgliche Weg, welchen die Sonne zuruͤck legt der 365ste Theil seyn von den 12 Himmlischen Zeichen. Es wird aber ein jedes Himmlisches Zeichen eingetheilt in 30
Grade,
und ferner 1
Grad
in 60 Minu- ten, 1 Minute aber in 60 Secunden, 1 Secunde in 60
Tertien
und so fort. De- rohalben werden 12 Zeichen folgender gestalt durch 365 getheilet werden.
J 4
60
Wann im
Dividendo
bey der kleinsten Sorte Bruͤche vorkommen, so
dividi
rt man zwar wie gelehret worden bis auf die kleinste Sorte; der Rest aber, welcher in der
Division
der klein- sten Sorte uͤberbleibt, wird mit zum vorhande- nen Bruche geschlagen und beyde zusammen durch den
Divisorem dividi
rt, wie in der
Division
mit gebrochenen Zahlen gelehret worden.
VII.
Ein Stuͤck Gold wiegt 5

, 6 ℥, 9 Engl. 20¾ Aß, dasselbe soll in 16 gleiche Theile getheilt werden, wie schwehr muß ein Theil seyn?
Antw. Hier ist klar, daß das gegebene Gewicht des Stuͤcks Goldes durch 16
divi-
di
rt
di
rt werden muͤsse, da dann der
Quotient
das Gewicht eines Theiles anzeigen wird.
In diesem und den vorhergehenden Exem- peln haben wir immer bey der
Multiplication,
wo- durch eine groͤssere Sorte in eine kleinere resolvirt wird, zugleich die Stuͤcke von der kleineren Sor- te mit
addi
rt, wie aus Ansehung der
Operatio
nen leicht zu sehen.
J 5
Wir
Wir koͤnnten hier bey der
Division
auch der- gleichen Vortheile anzeigen, wie bey der
Multi- plication,
allein da der Nutzen davon von keiner oder doch sehr geringer Wichtigkeit ist; so haben wir nicht noͤthig, uns dabey aufzuhalten. Un- terdessen ist doch dienlich zu erinneren, daß man auch in der
Division
den
Divisorem
in
Factores
zertheilen, und die
Division
durch dieselben ins- besondere anstellen koͤnne. Nehmlich wann man durch 15
dividi
ren sollte, so koͤnnte man diesen
Divisorem
in seine
Factores
3 und 5 zertheilen, und darauf den
Dividendum
erstlich durch 3, und dann den gefundenen
Quotum
nochmahlen durch 5
dividi
ren; da dann dieser zweyte
Quotus
eben so groß seyn wuͤrde, als wann man so gleich durch 15
dividi
rt haͤtte. Auf diese Art kan also nach- folgende Zahl durch 15
d v di
rt werden.
Solches Vortheils kan man sich demnach bedienen, wann man dadurch die Rechnung zu verkuͤrzen glaubet. Was aber die andere Zerthei- lung in Theile, welche bey der
Multiplication
ist angefuͤhret worden betrifft, so ist wohl zu mer- cken, daß dieselbe bey der
Division
gantz und gar nicht Statt finde; weswegen man sich darvor, um nicht in Jrrthum zu verfallen, wohl fuͤrzuse- hen hat.
Cap. IV.
Cap. IV.
Von der
Division
benannter Zahlen durch benannte Zahlen.
1.
W
Ann der
Divisor
auch eine benannte Zahl ist gleich dem
Dividendo,
so daß beyde Nahmen fuͤhren von einerley Art, so wird der
Quotus
eine unbenannte Zahl, und also gefunden. Man resolvirt beyde den
Divisorem
und
Dividendum
auf einerley Benennung, und wann solches geschehen, so
dividi
rt man die Zahl, welche fuͤr den
Divi- dendum
gefunden worden, durch die Zahl, so man fuͤr den
Divisorem
heraus gebracht hat; und bekommt solchergestalt den gesuchten
Quotum,
welcher entweder eine unbenannte gantze oder gebrochene Zahl seyn wird.
Diefes ist die andere Art der
Division
von welcher vorher Meldung ist gethan worden. Dann da der
Dividendus
immer das
Product
ist, welches herauskommt, wann man den
Divisorem
durch den
Quotum multiplici
rt, in gegenwaͤrtigem Falle aber der
Dividendus
eine benannte Zahl ist, so muß entweder der
Divisor
oder der
Quotus
eine
benannte
benannte Zahl, der andere aber eine unbenannte Zahl seyn, wie aus der Natur der
Multiplication
erhellet. Jn der vorhergehenden Art haben wir nun gesetzet, daß der
Divisor
eine unbenannte Zahl sey, da dann der
Quotus
eine benannte Zahl wor- den ist. Nunmehro nehmen wir aber fuͤr den
Divisorem
eine benannte Zahl an, und muß folg- lich fuͤr den
Quotum
eine unbenannte Zahl ge- funden werden. Jn diesem Falle sind demnach der
Divisor
und der
Dividendus
benannte Zahlen von einerley Art, das ist solche welche entweder gleiche Nahmen fuͤhren, oder doch solche ver- schiedene Nahmen, welche unter sich verglichen werden koͤnnen. Jn einer solchen
Division
wird demnach gefragt, wieviel malen der
Divisor
im
Dividendo
enthalten sey, auf die Frage aber,
wieviel mal,
kan nicht ander so als durch eine unbenannte Zahl geantwortet werden. Dann wann man zum Exempel 12 Rubl. durch 4 Rubl. theilen soll, so ist dieses nichts anders, als man soll anzeigen, wieviel mal 4 Rubl. in 12 Rubl. enthalten seyen; oder wieviel malen 4 Rubl. ge- nommen werden muͤssen, daß 12 Rubl. heraus kommen. Solches geschieht nun in 3 malen und dahero sagt man, daß 4 Rubl. in 12 Rubl. 3 mal enthalten seyn und daß folglich wann 12 Rubl. durch 4 Rubl.
dividi
rt werden, der
Quo- tus
3 seyn muͤsse; und ist also einerley ob man 12 Rubl. durch 4 Rubl. oder in unbenannten Zahlen 12 durch 4 theilet, in dem in beyden
Faͤllen
Faͤllen fuͤr den
Quotum
einerley unbenannte Zahl nehmlich 3 gefunden wird.
Gleichwie nun Rubl. durch Rubl. eben so
dividi
rt werden wie unbenannte Zahlen, so ver- stehet sich von selbsten, daß ein gleiches Statt finde, so offt beydes der
Divisor
und der
Divi- dendus
nur aus einerley Sorten bestehen und ei- nen gleichen Nahmen fuͤhren. Wann also zum Exempel 1039 Pud durch 12 Pud
dividi
rt wer- den sollen, so darf man nur um den
Quotum
zu finden in unbenannten Zahlen den
Dividendum
1039 durch den
Divisorem 12 dividi
ren.
Demnach sind 12 Pud in 1039 Puden 86
\frac{7}{12}
mal enthalten, oder wann man 12 Pud mit 86
\frac{7}{12}
multiplici
ret, so kommt der
Dividen- dus
1039 Pud heraus. Da nun solche Faͤlle, wann so wohl der
Divisor
als
Dividendus
nur einen und zwar eben denselbigen Nahmen fuͤhren, keine weitere Schwierigkeit haben, so fluͤsset da- her auch die
Division,
wann entweder der
Divisor
oder der
Dividendus
oder beyde zugleich aus ver- schiedenen Sorten bestehen und ungleiche Nah-
men
men fuͤhren. Dann in solchen Faͤllen darf man nur beydes den
Divisorem
und
Dividendum
nach den Regeln der
Resolution
auf einerley und glei- che Nahmen bringen; und wann solches gesche- hen, die
Division
gleich als mit unbenannten Zah- len anstellen. Wann also zum Exempel in Hol- laͤndischem Gelde 215 fl. 9 St. 8 ₰ durch 24 fl. 12 St. 3 ₰
dividi
rt werden sollen, so ist der
Divisor
24 fl. 12 St. 3 ₰ der
Dividendus
aber 125 fl. 9 St. 8 ₰. Weilen nun hier so wohl der
Divisor
als der
Dividendus
aus verschiedenen Sorten bestehen, so muß man beyde vorher auf eine und eben dieselbe Sorte bringen. Wir wol- len demnach beyde in ₰ verwandeln nach der
Resolution.
Man
Man
dividi
rt also anjetzo den Betrag des
Dividendi
in ₰ durch den Betrag des
Divisoris
in ₰ nach der gewoͤhnlichen Art.
Derohalben ist der gesuchte
Quotus
dieser 8
\frac{1984}{2625}
, durch welchen wann man den
Divisorem multiplici
rt, der
Dividendus
im
Product
erscheinen wird.
Bey dieser
Resolution
ist es aber einerley auf was fuͤr einen Nahmen der
Divisor
und
Di- videndus
gebracht werden, wann es nur beyden einerley Nahme ist, und also wuͤrde fuͤr das ge- gebene
Exempel
einerley
Quotus
gefunden wer- den, wann man den
Divisorem
und
Dividen- dum
entweder in Stuͤber oder Gulden resolvirt haͤtte. Weilen aber in diesen Faͤllen Bruͤche durch einander zu
dividi
ren aufstossen wuͤrden, so ist wohl der kuͤrzeste und natuͤrlichste Weg, daß man den
Dividendum
und
Divisorem
in die geringsten Sorten, welche in beyden einerley seyn muͤssen, verwandle. Derowegen wann gleich in einer von diesen zweyen
Quantit
aͤten, nehmlich dem
Divisore
und
Dividendo,
keine so kleine Sorte vorkommen sollte, als in der andern,
so
so muͤssen doch beyde
Quantit
aͤten auf die klein- ste Sorte, welche in entwederer derselben vor- kommt
resolvi
rt werden. Dann bey dieser Art der
Division
wird fuͤrnehmlich erfordert, daß so wohl der
Divisor
als
Dividendus
einerley Nah- men bekommen, und dabey beyde in einerley Nah- men verwandelt werden. Uber das muͤssen die Nahmen nicht nur gleich seyn, sondern auch eine gleiche Bedeutung haben; Dann obgleich zum Exempel der Nahme Pfund einerley waͤre, so gibt es doch so vielerley verschiedene Pfund, daß zu unserer
Division
nicht nur die Einigkeit des Nahmens sondern auch der Bedeutung unum- gaͤnglich erfordert wird.
I.
Es sollen 34 Berkw. 5 Pud 36 ℔ durch 4 Berkw. 8 Pud 24 ℔
dividi
rt werden wie groß wird der
Quotus
seyn.
Antw. Lasst uns vor allen Dingen beyde
Quantit
aͤten in ℔ resolviren.
Und
Und anjetzo die ℔ des
Dividendi
durch die ℔ des
Divisoris dividi
ren.
Derohalben ist der gesuchte
Quotus
7
\frac{19}{162}
.
II.
Man verlangt den
Quotum
zu wissen welcher herauskommt, wann man nach dem
Apothe-
ker Gewicht 25 ℔, 10 ℥, 4 ℨ
dividi
rt durch 6 ℥, 3 ℨ, 1 ℈?
Antw. Die kleinste Sorte, welche sich hier in diesen zweyen Gewichten befindet, ist ℈, und deswegen muß man so wohl den
Diviso- rem
als den
Dividendum
in
Scrupel
resolviren; und alsdann den Werth des
Dividendi
in ℈ durch den Werth des
Divisores
in ℈
dividi
ren.
K
Divisor
III.
Ein Kaufmann hat fuͤr einen anderen an baarem Gelde ausgelegt 8725 Thlr. 15 Ggl. 8 ₰, berechnet darfuͤr fuͤr seine
Provision
116 Thlr. 8 Ggl. 2
\frac{38}{75}
₰; nun ist die Frag den wievielten Theil von der gantzen Summ derselbe fuͤr den Vorschuß gerechnet habe?
Antw. Allhier wird also gefragt den wie- vielten Theil die gerechnete
Provision
116 Thlr. 8 Ggl. 2
\frac{38}{75}
₰ von der gantzen Summ 8725 Thlr. 15 Ggl. 8 ₰ betrage; und wird demnach die Antwort gefunden werden,
wann
wann man die gantze Summ durch die an- gesetzte
Provision dividi
rt; wir bringen dem- nach beydes zu ₰.
Nun bringe man den gantzen
Divisorem
in 75ste Theile eines ₰, welches geschieht, wann man die gantze Zahl 33506 mit 75
multiplici
rt. Weilen aber 75
accurat
¾ aus 100 machen, so darf man nur erstlich mit 100
multiplici
ren, und das
Product
3350600 noch mit ¾. Eine jegliche
Quantit
aͤt aber wird mit ¾
multiplici
rt, wann man von derselben ihren Viertel abzieht, und also wird die vorgegebene Zahl folgender gestalt mit 75
multiplici
rt werden.
K 2
33506
Also haben wir dieses
Divisions-
Exempel.
in welchem, weilen der
Dividendus
just dem Zehler des
Divisoris
gleich ist, so gibt der Nen- ner des
Divisoris
den
Quotum.
Hieraus erhellet nun, daß fuͤr die
Provision
der 75ste Theil der Haupt-Summe gerechnet werden sey.
IV.
Es sollen 147 L. Sterl. 9 ß. 8 ₰
dividi
rt werden durch 5 L. Sterl.
Antw. Nach der beschriebenen Art muͤs- sen wir also vor allen Dingen beyde den
Di- visorem
und
Dividendum
auf ₰ resolviren.
Divisor
also
Dieses Exempel kan leichter ausgerechnet werden, wann man die fuͤr den
Divisorem
gege- benen 5 L. Sterl. nicht in kleinere Sorten re- solvirt; hingegen aber den gantzen
Dividendum
auf den Nahmen L. Sterl. bringt: da dann, weilen man wiederum beyderseits einerley Be- nennung nehmlich L. Sterl. hat, die
Division
gleich als mit unbenannten Zahlen angestellt wer- den kan, also
K 3
Divisor
also
Jn welchen Faͤllen aber diese Art zu
divi- di
ren vortheilhafter ist als die vorherbeschriebene, davon wollen wir im folgenden Satze insbeson- dere handeln.
2.)
Wann der
Divisor
nur aus einer Sorte bestehet, so kan man denselben un- veraͤndert lassen, hingegen aber den gantzen
Dividendum
auf eben denselbigen Nahmen resolviren, welchen der
Divisor
fuͤhret, und alsdann die
Division
gleich als mit unbenan- ten Zahlen verrichten. Bestehet aber der
Divisor
zwar aus etlichen Sorten, welche aber nicht so klein sind als im
Dividendo
vor- kommen, so bringet man nur den
Divisorem
auf
auf die kleinste Sorte, welche darinn vor- kommt; und in eben diejenige Sorte
r sol- virt man den
Dividendum,
ob darinn gleich noch kleinere Sorten vorhanden sind.
Wann der
Divisor
und
Dividendus
benante Zahlen sind, und verschiedene Nahmen fuͤhren, so bestehet die erste Arbeit darinn, daß man beyde auf einerley und einen gleichen Nahmen bringe; und alsdann die
Division
gleich als mit unbenan- ten Zahlen anstelle. Es ist demnach gleichviel auf was fuͤr eine Benennung der
Divisor
und
Dividendus
gebracht werde, wann nur beyde auf einerley Nahmen resolvirt werden. Jm vo- rigen Satze haben wir zwar zu diesem Ende die kleinste Sorte erwehlet, welche in entwederem von beyden vorkommt, welches hauptsaͤchlich um Bruͤche zu vermeiden geschehen ist, in dem da- rinn ein nicht geringer Vortheil stecket, wann man gantze Zahlen statt Bruͤche durch einander zu
dividi
ren hat. Allein da es auch sehr leicht ist die
Division
in Bruͤchen zu bewerckstelligen wann nur der
Divisor
eine gantze Zahl ist, so ist unnoͤthig den
Divisorem
in kleinere Sorten zu verwandeln als darinn wuͤrcklich vorkommen. Jm
Dividendo
hat man also darauf nicht zu se- hen, ob derselbe mit Bruͤchen verknuͤpfet ist oder nicht, wann nur der
Divisor
nur eine einige Sorte enthaͤlt und dabey eine gantze Zahl ist, so darf man nur den gantzen
Dividendum
auf eben diejenige Sorte resolviren; und nicht darauf sehen
K 4
ob
ob Bruͤche darinn vorkommen oder nicht. Wann nun dieses geschehen, so
dividi
rt man nach der allgemeinen Regel, den
Dividendum
durch den
Divisorem
als unbenannte Zahlen. Bestehet aber der
Divisor
aus etlichen Sorten, so bringt man denselben auf den Nahmen der kleinsten Sorte welche darinnen vorkommt; auf eben den- selbigen Nahmen aber bringt man auch den
Di- videndum,
wann auch gleich darinn noch kleine- re Sorten vorhanden seyn sollten. Die Haupt- Regel hiebey ist, daß man die Zahl des
Divisoris
ohne Noth nicht vergroͤssere, sondern so klein be- halte als immer moͤglich ist, wann solche nur eine gantze Zahl bleibet. Was nun dieses auch fuͤr eine Sorte ist, in welche der
Divisor
durch die kleinste gantze Zahl ausgedruͤckt werden kan, in eben diejenige Sorte muß man auch den
Divi- dendum
verwandeln. Derohalben wann gleich im
Divisore
nur eine Sorte vorhanden waͤre, in derselben aber ein Bruch vorkaͤme; so muͤßte man den
Divisorem
und der
Dividendum,
nach dem solcher auf eben diejenige Sorte gebracht worden, mit dem Nenner desselben Bruchs
multiplici
ren, damit der
Divisor
eine gantze Zahl wuͤrde. Al- les aber was hiebey zu bemercken ist, wird am fuͤglichsten durch Exempel erlaͤutert werden.
I.
Es sollen 24 fl. 5 St. 12 ₰ durch 1 fl.
dividi
rt werden, von welcher
Division
man den
Quotum
zu wissen verlangt?
Antw.
Antw. Weilen allhier der
Divisor
1 fl. ist, so muß man auch den
Dividendum
auf den Nahmen fl.
reduci
ren, bey welcher
Ope- ration
man von der kleinsten Sorte anfaͤngt, bis man gefunden den vievielten Theil eines Guldens die vorhandenen kleineren Sorten 5 St. 12 ₰ austragen, welches also geschieht.
Weilen nun der
Divisor
1 fl. ist und folglich 24
\frac{23}{80}
durch 1
dividi
rt werden muͤssen, so gibt der
Dividendus
sogleich den verlangten
Quotum,
welcher also seyn wird 24
\frac{23}{80}
.
So oft demnach der
Divisor
nur ein Stuͤck von einer einzigen Sorte enthaͤlt, so findet man den
Quotum
sogleich, wann man nur den
Divi- dendum
auf denselbigen Nahmen, welchen der
Divisor
fuͤhret, gebracht hat; in dem der
Divi- dendus,
nach dieser Resolution den
Quotum
selbst anzeigt, wann man nur den Nahmen der Sorte aussenlaͤßt und denselben als eine unbenannte Zahl ansiehet. Weilen nun solche Faͤlle in der
Regula de Tri
sehr oft vorkommen, so wollen wir davon noch mehr Exempel beyfuͤgen.
K 5
II.
Man
II.
Man verlangt zu wissen wieviel mahl 1 Pud enthalten sey in 7 Pud 30 ℔ 24 Solotnick?
Antw. Um diesen
Quotum
zu finden muß man also den
Dividendum,
nehmlich 7 Pud 30 ℔ 24 Solotn. unter den Nah- men Pud bringen.
Also ist der
Dividendus
7
\frac{121}{160}
Pud, welcher durch den
Divisorem
1 Pud
dividi
rt gibt fuͤr den
Quo- tum
7
\frac{121}{160}
.
III.
Ein Jahr wird von den Astronomis angege- ben 365 Tag 5 Stunden 48′, 57″, 12‴; diese Zeit soll durch 1 Tag
dividi
rt werden, oder man verlangt zu wissen, wieviel Tage und Theile eines Tags in einem Jahre ent- halten seyen?
Antw. Weilen der
Divisor
1 Tag, so muß die Zeit eines Jahrs auf den Nah- men Tage gebracht werden.
365
ist also der
Dividendus
365
\frac{52343}{216000}
Tag. und folglich der gesuchte
Quotus
365
\frac{52343}{216000}
.
IV.
Nach
IV.
Nach Hollaͤndischem Gewichte soll durch 1 Unze getheilt werden dieses Gewicht 4 ℔ 13 ℥ 15 Engl. 24 Aß. wie groß wird der
Quotus
seyn?
Antw. Weilen hier der
Divisor
1 Unze ist, so muß der gantze
Dividendus
auch auf den Nahmen ℥ gebracht werden.
Jst also der
Dividendus
77
\frac{63}{80}
Unzen welcher durch 1 ℥
dividi
rt gibt fuͤr den
Quotum
77
\frac{63}{80}
.
V.
Man soll 546 Thl. 18 Ggl. 8 ₰ durch 6 Thl. theilen, und den
Quotum
anzeigen?
Antw. Jm
Dividendo
werden erstlich die Ggl. und ₰ zu Thl. gebracht.
546
546
\frac{7}{9}
Thlr. fuͤr den
Dividendum
diesen durch den
Divisorem
6 Thlr.
dividirt.
6) 546
\frac{7}{9}
(91
\frac{7}{54}
Quotus.
VI.
Nachdem Reichs-Geld soll man diese Summ 4027 fl. 9 Batz. 3½ Kr. theilen durch 7 fl. 3 Batzen?
Antw. weilen im
Divisore
Batzen die kleinste Sorten sind, so
reducire
man den
Divisorem
und
Dividendum
zu Batzen.
also
VII.
Nach-
VII.
Nachdem Nuͤrenberger Gewicht soll man
dividi
ren 179 ℔ 27 Loth 2 Ouintl. durch 9½ ℔?
Antw. Obgleich im
Divisore
½ ℔ vor- handen, so bringe man doch den gantzen
Dividendum
auf den Nahmen ℔.
3.
Wann der
Dividendus
etweder nur aus einer Sorte bestehet, oder nicht so klei- ne Sorten enthaͤlt als der
Divisor,
so kan
man
man auch beyde nur auf die kleinste Sor- te des
Dividendi
resolviren, da man dann eine gantze Zahl durch einen Bruch oder eine vermischte Zahl wird zu
dividi
ren ha- ben, welches auch leicht geschehen kan. Oder man kan in solchem Falle die
Opera- tion
umkehren und den
Divisorem
durch den
Dividendum
nach der vorigen Regel
dividi
ren: den gefundenen
Quotum
aber, nach dem sol- cher in einen einzel
e
n Bruch gebracht wor- den, dergestalt umkehren, daß man den Zehler an des Nenners, und den Nenner an des Zehlers Stelle setze.
Die Absicht dieses Satzes gehet wieder da- hin, daß man so viel als moͤglich grosse Zahlen und auch Bruͤche vermeide. Gleichwie wir nun im vorigen Satze angezeigt haben, daß man den
Divisorem
auf die kleinste gantze Zahl bringen, und den
Dividendum
in eben diejenige Sorte re- solviren soll, also kehren wir hier die Sache um und resolviren den
Dividendum
in einer solche Sor- te, in welcher derselbe durch die kleinste gantze Zahl ausgedruͤckt wird. Jn beyden Faͤllen ist aber der Vortheil bey nahe einerley, und ist fast gleich leicht eine gebrochene oder vermischte Zahl durch eine gantze, oder umgekehrt eine gantze Zahl durch eine gebrochene oder vermischte zu
di- vidi
ren; wie aus den oben gegebenen Regeln der
Division
mit Bruͤchen genugsam erhellet. Dieses wird aber deutlicher dargethan durch die
im
im Satze gemeldte Versetzung des
Divisoris
und
Dividendi
unter sich, welche, weilen sie uns die Natur der
Division
gruͤndlicher vor die Augen leget wohl verdienet mit groͤsserer Aufmercksam- keit betrachtet zu werden. Wir haben nehmlich gesagt, daß man um den
Quotum
zu finden, wel- cher aus der
Division
des
Dividendi
durch den
Divisorem
entspringet, die
Operation
umkehren und den
Divisorem
durch den
Dividendum divi- di
ren koͤnne; als dann aber diesen gefundenen
Quotum,
nach dem solcher in die
Form
eines einzelen Bruchs gebracht worden, wiederum umkehren, und den Zehler an des Nenners, den Nenner aber an des Zehlers Stelle setzen muͤsse. Daß aber auf diese Art der wahre
Quotus
ent- springe, kan aus demjenigen, was oben von der Natur der Bruͤche erwiesen worden, leicht dar- gethan werden. Dann da ein Bruch nichts an- ders anzeiget, als den
Quotum,
welcher heraus- kommt, wann man den Zehler durch den Nen- ner
dividi
rt, so kan hinwiederum der aus ei- ner
Division
entstehende
Quotus
durch einen Bruch ausgedruͤckt werden, dessen Zehler der
Dividendus,
der Nenner aber der
Divisor
ist. Wann wir nun auf die verkehrte Art den
Divi- sorem
durch den
Dividendum dividi
ren, und den gefundenen
Quotum
in die Form eines einzelen Bruchs bringen, so erhalten wir einen Bruch dessen Zehler der
Divisor
der Nenner aber der
Dividendus
seyn wird. Wann wir nun ferner
diesen
diesen Bruch wiederum umkehren, den Zehler und Nenner nehmlich unter sich verwechseln, so erhalten wir einen Bruch dessen Zehler der
Dividendus,
der Nenner aber der
Divisor
seyn wird; und ist folglich dieser Bruch der wahre
Quotus,
welcher herauskommt, wann man den
Dividendum
durch den
Divisorem dividi
rt. Der Vortheil, welcher aus dieser Betrachtung ent- springt, bestehet darinn, daß wann man mit ge- ringerer Muͤhe den
Divisorem
durch den
Divi- dendum dividi
ren kan, man diese
Division
ver- richte, und alsdann den gefundenen
Quotum
nach der gegebenen Vorschrifft umkehre. Als wann man sollte 3 durch 15
dividi
ren, so
divi- di
re ich 15 durch 3 und kehre den
Quotum
5 oder in Bruchs Form
\frac{5}{1}
um, und bekomme also ⅕, welches der
Quotus
ist, wann 3 durch 15
dividi
rt wird. Wann man ferner 6 durch 9
dividi
ren sollte, so kan man 9 durch 6
divi- di
ren, und den
Quotum
1½ in Form eines ein- zelen Bruchs
\frac{3}{2}
umkehren, da dann ⅔ den gesuch- ten
Quotum
gibt. Weilen nun aus dem vori- gen Satze zur Gnuͤge erhellet, wie der
Divisor
beschaffen seyn muͤsse, damit die
Division
auf die dort beschriebene Art erleichteret werde, so wird man auch daraus leicht erkennen, wann der
Di- videndus
diejenige Eigenschaft hat, welche wir dorten an dem
Divisore
erfordert haben. So oft sich nun solches findet, so darf man nur die
Division
umkehren, und nach denselbigen Regeln
L
den
den
Divisorem
durch den
Dividendum dividi
ren: und wann dieses geschehen den gefundenen
Quo- tum,
nachdem man denselben in die Form eines einzelen Bruchs gebracht hat, umkehren. Die- ses Vortheils kan man sich also bedienen, wann wie wir schon gemeldet haben, der
Dividendus
entweder nur aus einer einzelen Sorte bestehet, oder nicht so kleine Sorten enthaͤlt als der
Di- visor.
Jn diesen Faͤllen bringt man also den
Divisorem
und
Dividendum
beyde unter den klein- sten Nahmen, welcher im
Dividendo
vorkommt und
dividi
rt entweder nach der natuͤrlichen Art den
Dividendum
durch den
Divisorem
oder aber nach der hier angezeigten verkehrten Art den
Divisorem
durch den
Dividendum,
und kehret den
Quotum
um.
I.
Man soll 1 fl. Hollaͤndisch Geld
dividi
ren durch 2 fl. 12 St. 4 ₰?
Antw. Man bringe den gantzen
Diviso- rem
unter den Nahmen fl. also
Jst
Jst also der
Divisor
2
\frac{49}{80}
fl. und der
Divi- dendus
1 fl. dahero der
Quotus
also gefunden wird.
Wann man aber die
Division
umkehren und den
Divisorem
durch den
Dividendum dividi-
ren will, so hat man sogleich fuͤr den
Quotum
2
\frac{49}{80}
das ist in Forme eines einzelen Bruchs
\frac{209}{80}
; welcher umgekehrt gibt den verlangten
Quotum
\frac{80}{209}
.
II.
Man soll nach dem
Apothe
ker Gewicht 1 ℔
dividi
ren durch 3 ℥, 4 ℨ?
Antw. Man bringe zu erst den
Divisorem
3 ℥, 4 ℨ unter den Nahmen ℔.
Weilen nun der
Dividendus
ist 1 ℔, so muß man 1 durch
\frac{7}{24}
dividi
ren
Quotus
\frac{7}{24}
) 1 (
\frac{24}{7}
das ist 3
\frac{3}{7}
.
L 2
Will
Will man aber den
Divisorem
durch den
Dividendum dividi
ren, so hat man sogleich fuͤr den
Quotum
diesen Bruch
\frac{7}{24}
, welcher umgekehrt gibt
\frac{24}{7}
das ist 3
\frac{3}{7}
. fuͤr den wahren verlangten
Quotum.
III.
Es sind gegeben 85 Pud, welche sollen
divi- di
rt werden durch 52 Pud, 24 ℔, 8 Loth, von dieser
Division
verlangt man den
Quo- tum
zu wissen?
Weilen im
Dividendo
nur Pud enthalten sind, so bringe man den gantzen
Divisorem
unter eben diese Benennung von Puden.
also ist der
Divisor
52
\frac{97}{150}
Pud, dadurch sol- len 85 Pud
dividi
rt werden.
das ist
\frac{160}{8417}
mit 85
multiplici
ren.
kommt
kommt also fuͤr den
Quotum
IV.
Man soll 5 Thlr. 1

Luͤbisch theilen durch 8 Thlr. 2

, 7 ß. 8 ₰?
Antw. Weilen die kleinste Sorte, so im
Dividendo
vorkommt in

bestehet, so resolvire man so wohl den
Divisorem
als
Di- videndum
in Mark.
Nun
dividi
re man den
Divisorem
durch den
Dividendum
L 3
16)
ist also dieser verkehrte
Quotus
1
\frac{503}{768}
das ist
\frac{1271}{768}
, welcher umgekehrt gibt
\frac{768}{1271}
fuͤr den wah- ren
Quotum.
Aus allem diesem ist nun genugsam zu er- sehen, daß man dergleichen
Divisio
nen auf vieler- ley Art anstellen koͤnne. Dann das Haupt-
Fundament
bestehet darinn, daß man so wohl den
Divisorem
als den
Dividendum
auf eine ein- zele und beyderseits eben diejenige Sorte
reduci
re, dahero die
Division
auf so vielerley Art angestelt werden kan, als Sorten in dem
Divisore
und
Dividendo
zugleich enthalten sind; alle diese ver- schiedene Arten aber muͤssen immer einerley
Quo- tum
geben. Aus allen diesen verschiedenen Ar- ten ist nun dienlich diejenige auszulesen, nach welcher der
Quotus
mit der leichtesten Muͤhe ge- funden werden kan; in welcher Wahl nicht alle Rechner uͤbereinstimmen werden. Dann dieje- nigen, welche nicht gerne mit Bruͤchen umge- hen, werden die erst angefuͤhrte Art den uͤbrigen weit vorziehen, in welcher beydes der
Divisor
und
und
Dividendus
auf die kleinste vorhandene Sorte
reduci
rt werden. Auf diese Art aber, welche zwar wegen der Vermeidung der Bruͤche ihre besondere Vortheile hat, kommt man oͤfters auch auf sehr grosse Zahlen; wer demnach lieber mit gebrochenen als allzugrossen gantzen Zahlen rech- net, derselbe wird die zwey letzteren Arten der ersten oͤfters vorziehen. Dieses beruhet nun hauptsaͤchlich auf dem
Genie
des Rechners, wel- cher durch eine geringe Muͤhe die fuͤr sich vor- theilhafteste Art zu
dividi
ren in einem jeglichen Fall bald wird ausfinden koͤnnen.
An und fuͤr sich selbsten pflegen zwar der- gleichen
Divisions-
Exempel, in welchen so wohl der
Divisor
als
Dividendus
benannte Zahlen sind, sehr selten vorzukommen, weswegen man auch in den meisten Rechen-Buͤchern diese Art der
Division
unberuͤhret antrifft. Dem ungeacht aber ist diese Art nicht nur von sehr grossem Nu- tzen, sondern ist so gar das Fundament der
Re- gula de Tri
mit benannten Zahlen; und enthaͤlt den fuͤrnehmsten Theil der gantzen
Operation
in sich. Dahero geschieht es, daß diejenigen, wel- che diese
Division
in den
Arithmeti
schen
Operatio-
nen uͤbersprungen haben, hernach in der
Regula de Tri
entweder diese
Operation
allererst beschrei- ben, und zur Ubung bringen muͤssen; oder aber dieselbe in die so genannte Jtaliaͤnische
Practicam
einhuͤllen. Weilen nun unser Endzweck in diesem
L 4
Wercke
Wercke ist, die
Arithmeti
schen
Operatio
nen nicht nur aus ihrem Grunde zu beschreiben, sondern auch die fuͤrnehmsten Vortheile, deren man sich dabey bedienen kan, anzuzeigen, als worinn die gantze gemeldete Welsche
Practic
bestehet; so ha- ben wir auch diese Art der
Division,
zugleich mit der folgenden Art der
Multiplication
allhier bey den
Operatio
nen auszufuͤhren fuͤr noͤthig befunden; damit wir hernach in der
Regula de Tri
und uͤbrigen der
Arithmetic
einverleibten Regeln nicht allererst noͤthig haben die bey den
Operatio
nen dienlichen Vortheile zu beschreiben.
Cap. V.
Cap. V.
Von der
Multiplication
und
Division
benannter Zahlen durch Bruͤche.
1.
D
Urch einen Bruch wird eine benannte Zahl, aus so viel Sorten dieselbe auch immer besteht,
multiplici
rt, wann man dieselbe erstlich durch den Zehler des Bruchs
multiplici
rt, und hernach das herausge- brachte
Product
durch den Nenner desselben Bruchs
dividi
rt: da dann dieser
Quotus
das verlangte
Product
anzeigen wird.
Wir haben schon oben bey den Bruͤchen ge- wiesen, welcher gestalt man durch Bruͤche
mul- tiplici
ren muͤsse. Wir haben zwar dort haupt- saͤchlich Bruͤche mit Bruͤchen
multiplici
ren geleh- ret, und darfuͤr diese Regel gegeben, daß man von den Bruͤchen, welche mit einander
multi- plici
rt werden sollen, erstlich die Zehler und dann die Nenner durch einander
multiplici
ren, und das erstere
Product
fuͤr den Zehler, das letztere aber fuͤr den Nenner des gesuchten
Products
an- nehmen muͤsse. Ob nun gleich hier nur von Bruͤ- chen die Rede ist, so erstrecket sich dennoch diese Regel auch auf solche Faͤlle, in welchen entwe-
L 5
dere
dere
Quantit
aͤt von denen so durch einander
mul- tiplici
rt werden sollen eine gantze Zahl ist; dann eine gantze Zahl kan immer in Form eines Bruchs vorgestellet werden, wann man dieselbe als den Zeh- ler und 1 als den Nenner betrachtet. Wann demnach eine gantze Zahl mit einem Bruche
mul- tiplici
rt werden soll, so
multiplici
rt man dieselbe mit dem Zehler des Bruches, und schreibt unter das
Product
den Nenner desselben Bruchs in Bruchs-Form: so daß fuͤr das verlangte
Pro- duct
ein Bruch gefunden wird, dessen Zehler das
Product
ist aus dem Zehler des Bruchs und der gantzen Zahl, welche mit einander
multipli- ci
rt werden sollen: der Nenner aber kommt mit dem Nenner des Bruchs dadurch
multiplici
rt werden soll uͤberein. Weilen nun der Werth eines Bruchs gefunden wird, wann man den Zehler durch den Nenner wuͤrcklich
dividi
rt, so wird auch eine jegliche Zahl durch einen Bruch
multi- plici
rt, wann man dieselbe erstlich mit dem Zeh- ler des Bruchs
multiplici
rt, und was heraus- gekommen, durch den Nenner
dividi
rt. Diese Regel ist auch allgemein und erstrecket nicht nur auf gantze Zahlen, welche mit Bruͤchen
multipli- ci
rt sollen, sondern auf aller Gattung
Quantit
aͤ- ten, was
s
o
l
c
he auch immer fuͤr Nahmen fuͤhren. Alles dieses wird aber deutlicher werden, wann wir erstlich Statt des
Multiplicatoris
solche Bruͤ- che annehmen, deren Zehler 1 ist; und zeigen, daß durch einen solchen Bruch
multiplici
rt wird,
wann
wann man durch den Nenner desselben
multipli- ci
rt. Dann mit ½
multiplici
ren ist nichts anders als die Helfte von einer Sach nehmen, und folglich so viel als durch 2
dividi
ren: gleicherge- stalt wird eine Zahl durch ⅓
multiplici
rt, wann man dieselbe durch 3
dividi
rt und also wird die
Multiplication
durch einen Bruch dessen Zehler 1 ist allzeit in eine blosse
Division
verwandelt. Wann nun dieses seine Richtigkeit hat, so folgt daraus sehr leicht wie man durch einen Bruch dessen Zehler nicht 1 ist
dividi
ren muͤsse: wann man dazu den bey der
Multiplication
oben ange- fuͤhrten Vortheil in Erwegung ziehet; da wir gewiesen haben, daß wann sich der
Multiplicator
in zwey
Factores
zertheilen laͤst, man erstlich die
Multiplication
durch einen
Factorem
anstellen, und das gefundene
Product
noch mahl durch den anderen
Factorem multiplici
ren koͤnne. Weilen sich nun ein jeglicher Bruch dessen Zehler nicht 1 ist in zwey
Factores
zertheilen laͤst, davon einer eine gantze Zahl und dem Zehler des Bruchs gleich ist, der andere aber ein Bruch ist, dessen Zehler 1 der Nenner aber dem Nenner desselben Bruchs gleich ist, so wird durch einen solchen Bruch, dessen Zehler nicht 1 ist
multiplici
rt wer- den, wann man erstlich mit dem Zehler des Bruchs
multiplici
rt, und was herausgekommen, durch den Nenner
dividi
rt. Wann man zum Exempel mit
\frac{7}{12}
multiplici
ren solte, so ist erstlich zu mercken, daß
\frac{7}{12}
so viel sey als 7 mahl
\frac{1}{12}
.
Dero-
Derohalben
multiplici
et man erstlich mit 7, und was herausgekommen noch mit
\frac{1}{12}
. Weilen nun mit
\frac{1}{12}
multiplici
ren nichts anders ist als durch 12
dividi
ren, so folgt daraus, daß eine Zahl durch
\frac{7}{12}
multiplici
rt werde, wann man dieselbe erstlich mit 7
multiplici
rt, und hernach das
Product
durch 12
dividi
rt. Da man nun, um mit Bruͤchen zu
multiplici
ren, die
Division
mit zu Huͤlfe nehmen muß, so haben wir vorher die
Di- vision
durch gantze Zahlen erklaͤren muͤssen, ehe wir die
Multiplication
durch Bruͤche vornehmen konnten. Wir wollen demnach diese
Multiplica- tion
durch einige Exempel erlaͤutern.
I.
Es ist gegeben diese Summ Hollaͤndisches Geld: 467 fl. 12 St. 14 ₰, welche durch ½
multiplici
rt werden soll?
Antw. Nach der Regel muͤßte man erst- lich die vorgelegte Summ mit dem Zehler des Bruchs 1
multiplici
ren, und hernach durch den Nenner 2
dividi
ren: weilen aber die
Multiplication
mit 1 nichts veraͤndert, so darf man nur sogleich die gegebene Summ durch 2
dividi
ren. Dieses erhellet fuͤrnehmlich aus dem Haupt-Grund, da wir gesagt haben, daß mit ½
multiplici
ren nichts anders sey als mit 2
dividi
ren: dahero wird die vorgegebene Summ folgender gestalt durch ½
multiplici
rt.
2)
Dieser
Quotus
ist nun das verlangte
Pro- duct,
welches aus der
Multiplication
durch ½ entspringet.
II.
Man soll die Zeit eines Jahrs, welche auf 365 Tag, 5 Stund, 48′, 57″, 12‴ gerechnet wird, mit
\frac{1}{12}
multiplici
ren?
Antw. Weilen mit
\frac{1}{12}
multiplici
ren nichts anders ist als durch 12
dividi
ren, so muß man die Jahrs-Zeit durch 12
dividi
ren. Hiebey kan nun ein kleiner Vortheil angebracht wer- den, so darauf beruhet, daß man 12 in zwey
Factores
3 und 4 resolviren kan, dann dahero wird, wie schon oben angezeigt worden durch 12
dividi
rt, wann man erstlich durch 3, und den
Quotum
noch mahl durch 4
dividi
rt: auf diese Art wollen wir auch die verlangte
Multi- plication
durch
\frac{1}{12}
oder
Division
durch 12 an- stellen.
Diese
Diese Vertheilung des
Divisoris
12 in seine
Factores
3 und 4 hat deswegen einen Vortheil, weilen man durch 3 und 4 leicht im Sinne
divi- di
ren kan, durch 12 aber eine jegliche Sorte auf dem Papier haͤtte
dividi
ren muͤssen. Weswegen diese gedoppelte
Division
durch 3 und 4 dennoch noch leichter faͤllt, als wann man gleich durch 12 haͤtte
dividi
ren wollen.
III.
Man verlangt zu wissen, wieviel ⅔ von die- sem Gewichte 17 Berkw. 5 Pud, 30 ℔ austragen?
Antw. Wann gefragt wird, wieviel ⅔ von einer
Quanti
taͤt austragen, so ists eben so viel, als wan man dieselbe
Quantit
aͤt mit ⅔
multiplici
ren soll. Durch ⅔ wird nun das vorgelegte Gewicht
multiplici
ret, wan man dasselbe erstlich durch 2
multiplici
rt, und was herauskommen durch 3
dividi
rt: also
IV.
Es
IV.
Es ist gegeben dieses
Apothe
ker Gewicht 7 ℔, 6 ℥, 5 ℨ, 1 ℈, welches mit
\frac{8}{15}
multiplici
rt werden soll?
Antw. Dieses Gewicht muß demnach erstlich mit 8
multiplici
rt, und das
Product
durch 15
dividi
rt werden. Anstatt aber durch 15 zu
dividi
ren, so kan man 15 in seine zwey
Factores
3 und 5 vertheilen und erstlich durch 3 und hernach durch 5
dividi
ren, welche bey- den
Divisio
nen leichter fallen werden, als die einzele
Division
durch 15.
Hier sind in der ersteren
Division
durch 3 zwey
Scrupel
uͤbergeblieben, welcher wir in
Gran
verwandelt, und darfuͤr 40
Gran
bekommen ha- ben, diese durch 3
dividi
rt geben 13⅓
Gran.
Jn der anderen
Division
durch 5 sind gleichfals 2 ℈ uͤbergeblieben, welche 40
gr.
betragen, so mit den vorhandenen 13⅓
gr.
machen 53⅓
gr.
diese durch 5
dividi
rt geben erstlich 10 gantze
Gran,
und bleiben 3⅓
gr.
das ist
\frac{10}{3}
gr.
uͤber: welcher Bruch durch 5
dividi
rt gibt ⅔
gr.
so daß der letzte
Quotus
in
Gra
nen ist 10⅔
gr.
V.
An
V.
An Englischem Gelde soll diese Summ 574. L. Sterl. 15 ß. mit 5¾
multiplici
rt werden.
Antw. Weilen allhier der
Multiplicator
5¾ eine aus gantzen und Bruͤchen vermischte Zahl ist, so kan man denselben um die gege- bene Regel anzubringen in die Form eines einzelen Bruchs bringen, da man dan
\frac{23}{4}
be- kommt. Derowegen muß man erstlich die gegebene Summ mit 23
multiplici
ren und hernach das
Product
durch 4
dividi
ren.
kommen also zum
Product
heraus 3304 L. Sterl. 16¼ ß. oder weilen 1 ß. sich ferner in 12 ₰ vertheilet, so wird ¼ ß. so viel seyn als 3 ₰: dahero das
Product
seyn wird 3304 L. Sterl. 16 ß. 3 ₰.
Wir
Wir haben in diesem Exempel den
Multi- plicatorem
5¾ in einen einzelen Bruch
\frac{23}{4}
verwan- delt, und mit
\frac{23}{4}
multiplici
rt, damit wir nach der gegebenen Regel die
Operation
anstellen koͤn- ten. Man kan aber mit solchen vermischten
Mul- tiplicatoribus
die
Multiplication
weit leichter und bequemer anstellen, ohne solche in einen einzelen Bruch zu verwandeln. Derowegen wie man mit dergleichen
Multiplicatoribus
am fuͤglichsten
multiplici
ren soll, wollen wir im folgenden Satze zeigen.
2.)
Wann der
Multiplicator
eine ver- mischte Zahl oder aus gantzen und Bruͤchen zusammen gesetzt ist, so
multiplici
rt man den
Multiplicandum
erstlich mit gantzen Zahl, und hernach insbesondere durch den Bruch: als- dann
addi
rt man diese beyden
Product
zusam- men, da dann die Summ das verlangte
Product
anzeigen wird.
Wir haben schon mehr als ein mahl erwie- sen, daß wann der
Multiplicator
aus verschiedenen Theilen bestehet, das
Product
gefunden werde, wann man den
Multiplicandum
insbesondere durch einen jeglichen Theil des
Multiplicatoris multiplici
rt, und alle diese besonderen
Producte
zusammen
addi
rt: und dieses findet so wohl statt, wann der
Multiplicator
wuͤrcklich aus verschiedenen Theilen zusammen gesetzt ist, als wann der- selbe nur in den Gedancken in etliche Theile zer- theilet wird. Hievon gibt uns nun der gegen-
M
waͤrtige
waͤrtige Fall ein schoͤnes Beyspiel an die Hand, in welchem der
Multiplicator
wuͤrcklich aus zweyen Theilen, nehmlich einer gantzen Zahl und einem Bruche bestehet. Derohalben kan mit einem solchen
Multiplicatore
die
Multiplication
verrichtet werden, wann man den
Multiplican- dum
erstlich mit der gantzen Zahl, und dann mit dem Bruch insbesondere
multiplici
rt, und beyde
Product
zusammen
addi
rt.
Hierdurch erhaͤlt man nun sehr wichtige Vortheile in der
Operation:
dann erstlich hat man nicht noͤthig die gantze Zahl des
Multiplica- toris
in die Form des damit verknuͤpften Bruchs zu bringen: und dadurch vermeidet man auch her- nach die oͤfters sehr grossen und beschwehrlichen Zahlen, welche wann man den
Multiplicatorem
in einen einzelen Bruch bringt in den Zehler kom- men und wird man folglich der
Multiplication
mit solchen grossen Zahlen uͤberhoben. Ob man aber gleich durch die hier beschriebene Art zwey
Mul- tiplicatio
nen zu verrichten und die
Producte
zusam- men zu
addi
ren genoͤthiget ist, so uͤberwiegen doch die gemeldten Vortheile diesen Zuwachs der Ar- beit meistentheils. Um so viel groͤsser wird aber der Nutzen noch werden, wann wir hernach noch einige besondere Vortheile mit Bruͤchen zu
mul- tiplici
ren anzeigen werden. Wir wollen inzwi- schen diese Art mit einem aus gantzen und gebro- chenen Zahlen zusammen gesetzten
Multiplicatore
zu
multiplici
ren durch einige Exempel erlaͤutern.
I.
Man
I.
Man hat an Englischem Gelde diese Summ 209 L. Sterl. 13 ß. 8 ₰, welche mit 4⅓
multiplici
rt werden soll?
Antw. Weilen der
Multiplicator
4⅓ ist, so
multiplici
rt man erstlich die vorgelegte Summ mit 4, hernach mit ⅓, oder welches gleichviel ist, man
dividi
rt diese Summ durch 3 und
addi
rt den
Quotum
zum vorigen
Product:
wie aus der
Operation
zu ersehen.
II.
Es sollen nach dem 5ten Exempel des vori- gen Satzes wiederum 574 L. Sterl. 15 ß. durch 5¾
multiplici
rt werden?
Antw. Da wir vorher diesen
Multiplica- torem
5¾ zu erst in die Form eines einzelen Bruchs
\frac{23}{4}
verwandelt und damit
multiplici
rt haben, so wollen wir anjetzo nach der gegen- waͤrtigen Regel den
Multiplicandum
erstlich durch 5 und dann durch ¾
multiplici
ren und beyde
Producte addi
ren.
M 2
L. Sterl.
Woraus erhellet, daß eben das
Product
herauskomme, welches wir vorher heraus ge- bracht haben; und zugleich sieht man, daß diese Art zu rechnen, weit kuͤrtzer ist als die vorige. Wir haͤtten aber noch diese Rechnung weiter ab- kuͤrtzen koͤnnen, wann wir die 2873 L. Sterl. 15 ß. nicht noch ein mahl geschrieben, sondern dieselben sogleich zu den 431 L. Sterl. 1 ß. 3 ₰
addi
rt haͤtten, welches mit gleicher Muͤhe haͤtte geschehen koͤnnen, ob gleich noch eine Zahl zwischen diefen beyden, so
addi
rt werden sollen, stunde. Solche Kleinigkeiten aber geben sich leicht von selbsten, und ist nicht noͤthig, daß wir derselben bey allen vorhandenen Faͤllen erwehnen.
Hiebey koͤnnte man aber auch noch einen besonderen Vortheil anbringen, welcher darinn bestehet; daß weilen man um den
Multiplican- dum
mit ¾
multiplici
ren, denselben erstlich mit 3
multiplici
ren muß, und 3 ein bequemer Theil ist
von
von 5, man den gantzen
Multiplicatorem
in drey Theile nehmlich 2, 3 und ¾ zertheilet. Dann auf diese Art
multiplici
rt man erstlich den
Mul- tiplicandum
durch 2 hernach durch 3, und drit- tens
dividi
rt man dieses letztere
Product
durch 4; alsdann
addi
rt man diese drey herausgebrachten Summen zusammen: wie hier zu sehen.
Auf diese Art kan man sich auch der Muͤhe mit 3 zu
multiplici
ren entheben, dann da eine Summ mit 3
multiplici
rt wird wann man die- selbe zu ihrem gedoppelten
addi
rt; so finden wir auch in diesem Exempel leicht das dreyfache, nehmlich 1724 L. Sterl. 5 ß. weilen wir das zweyfache nehmlich 1149 L. Sterl. 10 ß. schon haben, und dazu folglich nur die Summ selbst 574 L. Sterl. 15 ß.
addi
ren doͤrfen. Solche Vortheile aber sind einem jeden Exempel eigen, und lassen sich nicht unter allgemeine Regeln bringen.
III.
Lasset uns dieses
Apothe
ker Gewicht 21 ℔, 4 ℥, 7 ℨ, 1 ℈ mit 6⅖
multiplici
ren?
M 3
Antw.
Antw. Weilen dieses Gewicht mit 6 und ⅖
multiplici
rt werden muß, und es gleich gilt, mit welchem Theil man zu erst
multiplici
rt, so wollen wir erstlich mit ⅖
multiplici
ren, da- mit in der
Operation
die 2
Product,
welche zusammen
addi
rt werden sollen, unmittelbar untereinander zu stehen kommen.
Hier haben wir erstlich mit 2
multiplici
rt und das
Product
durch 5
dividi
rt; welches dann den
Multiplicandum
mit ⅖
multiplici
rt gab, wie auf der Seite angemerckt steht. Hernach haben wir den
Multiplicandum
mit 6
multiplici
rt, und das
Product
wie angezeigt, unter das vorige ge- schrieben und beyde
addi
rt. Bey der
Multiplica- tion
mit 6 aber kan hier dieser Vortheil ange- bracht werden. Weilen 6 so viel ist als 2 mahl 3, und wir schon vorher den
Multiplicandum
mit 2
multiplici
rt haben, so doͤrfen wir nur dieses zweyfache noch mit 3
multiplici
ren, da dann das verlangte sechsfache oder der
Multiplicandus
mit 6
multiplici
rt herauskommt.
IV.
Es
IV.
Es sey, vorgegeben dieses Gewicht Silber 38

, 6 Loth, 3 Quintl. welches mit 64
\frac{13}{25}
multiplici
rt werden soll?
Antw. Weilen hier alle Zahlen durch welche so wohl
multiplici
rt als
dividi
rt werden soll, so groß sind, daß diese
Operatio
nen bloß allein im Sinne nicht verrichtet werden koͤn- nen: so kan dieses Exempel auf nachfolgende Art zu Papier gebracht werden.
kommen 499

, 7 Loth, 3 Quintl. welche durch 25
dividi
rt werden muͤssen.
M 4
25)
Jst also die vorgegebene Summ mit
\frac{13}{25}
multiplici
rt: 19

, 15 Loth, 2
\frac{17}{25}
Quintl.
Nun muß noch der
Multiplicandus
mit 64
multiplici
rt werden.
38

,
welches das gesuchte
Facit
ist.
Man kan aber bey diesem Exempel auch einige Vortheile anbringen, wodurch die
Opera- tion
weit leichter und kuͤrtzer wird. Dann erst- lich weilen 64 so viel ist als 4 mahl 4 mahl 4, so kan man den
Multiplicandum
drey mahl durch 4
multiplici
ren; hernach anstatt mit 13 zu
multi- plici
ren, so zergliedere man 13 also, 4 mahl 3 und noch 1, das ist man
multiplici
re erstlich den
Multiplicandum
durch 4, welches schon vorher
M 5
geschehen,
geschehen, und dieses 4 fache noch mahl durch 3, zum
Product addi
re man den
Multiplicandum
selbst, so bekommt man das 13 fache, welches noch mit 25
dividi
rt werden muß, weilen nun 25 sich in diese
Factores
5 mahl 5 resolviren laͤßt, so
divi- di
re man zwey mahl, nehmlich erstlich mit 5 und den
Quotum
noch mahl mit 5. Endlich zu diesem letzteren
Quoto addi
re man das erste
Product
von 64.
Wann
Wann aber solche Vortheile angebracht werden, so ist dabey insonderheit zu beobachten, daß man sich vor allen Dingen die Zergliederung der
Multiplicatorum
und
Divisorum
deutlich be- mercke; hernach alle
Operatio
nen ordentlich ver- richte und bey einer jeglichen anzeige, warum solche geschehen, damit man die gantze Verthei- lung der
Operation
immer vor Augen behalte, und sich nicht
confundi
re, welcher Behutsamkeit sich ein jeder auf eine ihm bequeme Art bedienen kan. Die Vortheile aber, welche wir in diesen Exem- peln angebracht haben, beruhen alle auf den 2 obangezeigten Gruͤnden, deren einer den
Multi- plicatorem,
der andere den
Divisorem
betrifft. Es kan aber die
Multiplication
durch einen allzugros- sen
Multiplicatorem
auf eine gedoppelte Art er- leichtert werden, wann man den
Multiplicatorem
entweder in
Factores
resolvirt oder in Theile zer- theilet. Geschiehet die Zergliederung des
Multi- plicatoris
in
Factores,
so
multiplici
rt man den
Multiplicandum
erstlich durch einen
Factorem.
Hernach das
Product
durch den andern
Factorem,
und dieses
Product
ferner durch den dritten
Facto- rem
und so fort, bis durch alle
Factores multipli- ci
rt worden: da dann das letzte
Product
dasjenige ist, welches verlanget wird. Zertheilet man aber den
Multiplicatorem
in Theile, so
multiplici
rt man den
Multiplicandum
durch einen jeden Theil insbesondere und
addi
rt alle diese besondern
Pro- ducte
zusammen. Ohngeacht man sich aber bey
der
der
Multiplication
eines zweyfachen Vortheils be- dienen kan, nehmlich der Zertheilung des
Multi- plicatoris
in
Factores
und in Theile; so findet doch bey der
Division
nur der erstere Vortheil Platz nehmlich die Zertheilung des
Divisoris
in
Factores:
die Zertheilung in Theile aber kan bey dem
Di- visore
keineswegs angebracht werden. Hat man aber den
Divisorem
in bequeme
Factores
resolvi- ren koͤnnen, so
dividi
rt man den
Dividendum
erstlich durch den ersten
Factorem
hernach den ge- fundenen
Quotum
durch den andern
Factorem,
diesen zweyten
Quotum
ferner durch den dritten
Factorem,
und so fort bis man durch alle
Facto- res dividi
rt hat: da dann der letzte
Quotus
der gesuchte seyn wird. Durch diese Erleichterung der
Multiplication
und
Division
wird aber der Vortheil um so viel groͤsser, wann der
Multipli- candus
in zweyen verschiedenen
Multiplicatio
nen durch einerley Zahl
multiplici
rt werden soll, oder wann man ein schon gefundenes
Product
zur fol- genden
Multiplication
zu Huͤlfe nehmen kan. Als wann man den
Multiplicandum
ein mahl durch 12 und hernach durch 13
multiplici
ren sollte, so wird die
Multiplication
durch 13 sehr leicht, wann man schon durch 12
multiplici
ret hat: dann man darf nur zu dem durch 12 gefundenen
Product
den
Multiplicandum
noch ein mahl
addi
ren, so kommt das 13fache desselben heraus. Jngleichen wann man nachdem man den
Multiplicandum
schon durch 12
multiplici
rt hat, denselben hernach durch
24
24
multiplici
ren sollte, so hat man nur noͤthig das aus 12 gefundene
Product
noch mit 2 zu
mul- tiplici
ren. Wie dann dergleichen Vortheile bey den angefuͤhrten Exempeln angebracht worden sind. Wir wollen hieruͤber noch ein Exempel anfuͤhren.
V.
Es sollen 723 L. Sterl. 11 ß. 5 ₰ mit 76
\frac{14}{15}
multiplici
rt werden?
Antw. Man
multiplici
re den
Multipli- candum
erstlich durch 6, so bekommt man das 6fache, dazu
addi
re man den
Multipli- candum
selbst, so bekommt man das 7fache und weilen 14 so viel ist als 2 mahl 7, so
multiplici
re man das 7fache durch 2, um das 14fache zu erhalten: welches anstatt durch 15 zu
dividi
ren erstlich durch 3 und dann durch 5
dividi
ret werden kan, da dann der
Multiplicandus
mit
\frac{14}{15}
multiplici
rt ent- springt. Ferner das 14fache des
Multipli- candi multiplici
re man durch 5, so bekommt man das 70 fache, wozu das Anfangs ge- fundene 6fache gethan, gibt das 76fache: welches
addi
rt zu dem
Multiplicando
mit
\frac{14}{15}
multiplici
rt, das verlangte
Product
gibt: die gantze
Operation
ist hier zu sehen.
L. Sterl.
Aus diesem Exempel sind nun die angezeig- ten Vortheile, welche so wohl bey der
Multipli- cation
als
Division
Platz finden genugsam zu er- sehen.
3.)
Wann der
Multiplicator
ein Bruch ist, dessen Zehler groͤsser ist als 1, und man folglich nach der ersten Regel durch den Zehler
multiplici
ren, und durch den Nenner
dividi
ren muͤßte, so kan die Zertheilung eines solchen
Multiplicatoris
in zwey oder mehr Theile einen grossen Vortheil schaffen wann erstlich die Theile 1 zum Zehler haben, und uͤber das ein Theil in dem anderen etliche mahl enthalten ist: dann wann in solchem Falle durch den groͤsten Theil
multiplici
rt worden, so werden aus diesem
Product
die
Produc
t
e
fuͤr die folgenden Theile durch die
Division
Division
leicht gefunden; und alle diese
Pro- ducte
zusammen
addi
rt geben das verlangte
Product.
Wir haben schon etliche mahl von der Zer- theilung des
Multiplicatoris
in Theile und wie nach solchen Theilen die
Multiplication
angestellet werden soll, Meldung gethan: dieselbe aber bringet nirgend einen so grossen Vortheil, als wann der
Multiplicator
ein Bruch ist, durch wel- chen die
Multiplication
sonsten nach der ersten Re- gel beschwehrlich seyn wuͤrde. Ja der Vortheil, welcher in dieser Zertheilung des
Multiplicatoris,
wann derselbe eine gebrochene Zahl ist, steckt, ist so groß, daß darinn allein fast die gantze so genannte Jtaliaͤnische
Practic
enthalten ist: wes- wegen dieser Vortheil mit besonderer Aufmerck- samkeit abgehandelt zu werden verdienet. Wir ha- ben aus dem vorhergehenden schon genugsam er- sehen, daß es sehr beschwehrlich ist benannte aus vielerley Sorten bestehende Zahlen durch gantze Zahlen so wohl zu
multiplici
ren als zu
dividi
ren, und daß man einen nicht geringen Vortheil er- halte, wann man durch kleinere Zahlen
operi
ren koͤnne, obgleich die Anzahl der
Operatio
nen da- durch vermehret wird. Es ist demnach klar daß die
Multiplication
durch einen Bruch, wann so wohl der Zehler als der Nenner desselben grosse Zahlen sind sehr beschwehrlich fallen muͤsse. Hie- zu sind zwar schon im vorigen einige Vortheile
an-
angezeigt worden, welche Statt finden, wann man den Zehler und den Nenner des Bruchs, durch welchen
multiplici
rt werden soll, in beque- me
Factores
resolviren kan, da dann so wohl die
Multiplication
durch den Zehler als die
Division
durch den Nenner erleichtert wird. Allein dieses Vortheils kan man sich erstlich nicht allzeit bedie- nen; und hernach erleichtert derselbe die Arbeit bey weitem nicht so sehr, als dieser, von wel- chem allhier die Rede ist. Der Grund dieses Vortheils bestehet nun darinn, daß man denje- nigen Bruch, durch welchen
multiplici
rt werden soll, in zwey oder mehr Theile zertheile; den
Multiplicandum
durch einen jeglichen Theil insbe- sondere
multiplici
re, und alle diese
Producte
zu- sammen
addi
re; von welcher
Operation
die Rich- tigkeit schon zur Gnuͤge ist dargethan worden. Es kan aber eine solche Zertheilung, insonderheit wann der Zehler eine grosse Zahl ist, auf man- cherley Art geschehen; weswegen man hauptsaͤch- lich dahin zu sehen hat, daß man die bequemste und vortheilhafteste Zertheilung erwehle. Dahero muͤssen die besonderen Bruͤche, in welche der
Mul- tiplicator
zergliedert wird, so beschaffen seyn, daß man durch dieselben mit leichter Muͤhe
multiplici-
ren koͤnne. Es kan aber durch einen Bruch leicht
multiplici
rt werden, wann der Zehler desselben 1 ist, weilen man in diesem Falle nur durch den Nenner zu
dividi
ren hat: und diese
Operation
wird noch um so viel leichter, je kleiner der
Nenner
Nenner des Bruchs ist. Derowegen muß man sehen, daß man den Bruch, durch welchen
mul- tiplici
rt werden soll, in zwey oder mehr solche Theile zertheile, deren Zehler 1, die Nenner aber so kleine Zahlen sind als moͤglich ist. Die letztere Bedingung ist insonderheit bey einem Theile noͤthig; bey den uͤbrigen Theilen aber kan dieselbe dadurch ersetzet werden, wann sich die Nenner derselben Theile durch den Nenner des ersten Bruchs theilen lassen; dann da wird die
Multiplication
durch solche Theile dadurch erleich- tert, weilen die
Product
aus dem ersten leicht ge- funden werden koͤnnen. Der Vortheil bestehet nehmlich darinn, wann ein Theil ein
Factor
ist des andern Bruchs; und dieses geschiehet, wann sich der Nenner des einen Theils durch den Nen- ner des anderen theilen laͤst: dann in diesem Fall kan derjenige Vortheil angebracht werden, welcher von der Resolution eines
Multiplicatoris
in
Factores
oben ist beschrieben worden. Als wann die Theile des
Multiplicatoris
⅓ und
\frac{1}{12}
seyn sollten, so ist leicht den
Multiplicandum
durch
\frac{1}{12}
zu
multiplici
ren, wann man denselben schon durch ⅓
multiplici
rt hat. Dann weilen sich 12 durch 3 theilen laͤst, so ist
\frac{1}{12}
so viel als ⅓ mit ¼
multiplici
rt, und wird folglich der
Multiplicandus
durch
\frac{1}{12}
mul- tiplici
rt, wann man das
Product,
welches aus der
Multiplication
durch ⅓ entstanden, noch durch ¼
multiplici
rt, das ist durch 4
dividi
rt. Dero- wegen hat man bey dieser Zertheilung des
Multi-
N
plicatoris
plicatoris
dahin zu sehen, daß erstlich der Zehler bey allen Theilen 1 werde, die Nenner aber ent- weder alle kleine Zahlen seyn, durch welche leicht
dividi
rt werden kan, oder in Ermangelung dessen so beschaffen seyen, daß sich einer durch den an- deren theilen lasse. Wie nun eine solche Zer- theilung anzustellen sey, davon wollen wir nach- folgende Regeln geben.
Erstlich wird ein Bruch in Theile zertheilet, wann man den Zehler desselben in verschiedene Theile zertheilet, und unter jeden Theil den Nenner unveraͤndert schreibt. Also wann dieser Bruch
\frac{7}{12}
zertheilet werden sollte, so kan man den Zehler 7 in diese Theile 4 und 3 zertheilen, aus welchen diese zwey Theile des Bruchs
\frac{4}{12}
und
\frac{3}{12}
das ist ⅓ und ¼ entspringen, oder man koͤnnte auch 7 in diese Theile 6 und 1 und daraus den Bruch
\frac{7}{12}
in diese Theile
\frac{6}{12}
und
\frac{1}{12}
das ist ½ und
\frac{1}{12}
zertheilen.
Zweytens muß man sich bemuͤhen, daß man zu allererst von dem Zehler einen solchen Theil nehme, durch welchen sich der Nenner theilen lasse: dann dadurch erhaͤlt man sogleich einen Theil des Bruchs dessen Zehler 1, der Nenner aber kleiner ist als vorher. Dieser Vortheil aber wird um so viel groͤsser, wann man aus dem Zehler den groͤsten Theil abschneidet, durch wel- chen sich der Nenner theilen laͤßt. Also wann
man
man durch diesen Bruch
\frac{11}{24}
multiplici
ren sollte, so nehme man von dem Zehler 11 den Theil 8, als die groͤste Zahl, so kleiner ist als 11, und durch welche sich der Nenner 24 theilen laͤßt: derowegen zertheilet man 11 in diese Theile 8 und 3, aus welchen diese Theile des Bruchs
\frac{8}{24}
und
\frac{3}{24}
das ist ⅓ und ⅛ entstehen werden, durch welche leicht zu
multiplici
ren ist. Diese Zertheilung aber findet nur Platz, wann der Nenner eine zusammen gesetzte oder solche Zahl ist, welche sich durch andere kleinere Zahlen theilen laͤßt, und dabey solche Theile hat, welche kleiner sind als der Zehler des Bruchs. Wie aber eine solche Zertheilung anzustellen sey, wann der Nenner sich durch keine Zahl so kleiner ist als der Zehler theilen laͤst, wollen wir hernach melden.
Drittens wann man den Bruch, durch welchen
multiplici
rt werden soll, schon in zwey solche Theile zertheilet hat, davon einer zum Zeh- ler 1 zum Nenner aber eine Zahl so klein genug ist, hat, so muß man den anderen Theil be- trachten, und wann desselben Zehler nicht 1 ist, denselben nach der vorigen Art ferner in zwey Theile zertheilen, davon einer die
Unit
aͤt zum Zehler bekomme; den anderen Theil aber wann desselben Zehler noch nicht 1 ist noch ferner zer- theilen, bis man lauter solche Bruͤche fuͤr die gesuchten Theile bekomme, deren Zehler 1 ist. Als wann dieser Bruch
\frac{17}{24}
vorkommt, so zertheile
N 2
man
man erstlich 17 in diese 2 Theile, 12 und 5, weilen sich der Nenner 24 durch 12 theilen laͤst, daher entspringen diese 2 Bruͤche ½ und
\frac{5}{24}
. Da- von der letztere ferner in diese
\frac{4}{24}
und
\frac{1}{24}
zertheilet wird oder ⅙ und
\frac{1}{24}
; so daß dieser Bruch
\frac{17}{24}
sich in diese 3 Theile ½ und ⅙ und
\frac{1}{24}
zertheilet; durch welche sehr leicht
multiplici
rt wird. Dann erst- lich
dividi
rt man den
Multiplicandum
durch 2, so bekommt man die Helfte: diese Helfte
dividi
rt man ferner durch 3, so bekommt man den Sechs- tel, weilen 6 so viel ist als 2 mahl 3, und end- lich den Sechstel
dividi
rt man durch 4, so be- kommt man den 24stel.
Viertens wann der Nenner des Bruchs, welcher zertheilet werden soll, entweder gar keine oder doch keine kleinere Theile hat als der Zeh- ler, so verwandele man denselben in eine andere Form, in dem man den Zehler und Nenner durch eine beliebige Zahl
multiplici
rt; am dienlichsten aber ist beyde anfaͤnglich nur mit 2 zu
multipli- ci
ren, damit man nicht ohne Noth auf allzugrosse Zahlen komme. Wann aber noch keine bequeme Zertheilung sollte vorgenommen werden koͤnnen, alsdann kan man, anstatt mit 2, mit 3 oder 4 oder eine groͤssere Zahl beydes Zehler und Nen- ner
multiplici
ren. Als wann dieser Bruch
\frac{4}{7}
vor- gelegt waͤre, weilen 7 keine Theiler hat, so
mul- tiplici
re man oben und unten mit 2; da kommt dieser Bruch
\frac{8}{14}
welcher sich in diese Bruͤche
\frac{7}{14}
und
\frac{1}{14}
oder ½ und
\frac{1}{14}
zertheilet. Gleicher gestalt
\frac{8}{13}
\frac{8}{13}
wann oben und unten mit 2
multiplici
rt wird, gibt
\frac{16}{26}
, und daher entstehen diese Theile
\frac{13}{26}
und
\frac{3}{26}
das ist ½ und
\frac{3}{26}
: davon der letztere Bruch in diese
\frac{2}{26}
und
\frac{1}{26}
oder
\frac{1}{13}
und
\frac{1}{26}
zergliedert wird: und ist folglich
\frac{8}{13}
so viel als ½ und
\frac{1}{13}
und
\frac{1}{26}
. Diese Verwandlung des vorgelegten Bruchs durch 2 findet aber nur Platz, wann der Bruch groͤsser ist als ½, ist derselbe aber kleiner als ½ doch aber groͤsser als ⅓, so
multiplici
re man oben und unten mit 3. Jst aber derselbe kleiner als ⅓ doch aber groͤsser als ¼, so
multiplici
re man oben und unten mit 4, und so weiter. Als wann die- ser Bruch vorkommt
\frac{8}{29}
, weilen derselbe kleiner ist als ⅓ groͤsser aber als ¼, welches daraus er- hellet, weilen 8 in 29 mehr als 3 mahl, doch weniger als 4 mahl enthalten ist; so
multiplici
re man oben und unten mit 4, kommt
\frac{32}{116}
das ist
\frac{29}{116}
und
\frac{3}{116}
oder ¼ und
\frac{3}{116}
, der letzter Bruch
\frac{3}{116}
aber zertheilet sich in
\frac{1}{58}
und
\frac{1}{116}
, also daß
\frac{8}{29}
so viel ist als ¼ und
\frac{1}{58}
und
\frac{1}{116}
. Hat man nun mit ¼
multiplici
rt, so
dividi
re man dieses
Product
durch 29 so bekommt man den 116sten Theil, die- ser aber mit 2
multiplici
rt gibt den 58sten Theil, weilen
\frac{1}{58}
so viel ist als 2 mahl
\frac{1}{116}
. Aus diesen Regeln wird nun leicht seyn einen jeglichen vor- kommenden Bruch in bequeme Theile zu zerthei- len, durch welche die
Multiplication
vortheilhaft angestellet werden kan.
Hat man solcher gestalt den Bruch, durch welchen
multiplici
rt werden soll, in zwey oder
N 3
mehr
mehr solche Theile zertheilet, deren aller Zehler 1 ist, so wird der
Multiplicandus
durch einen jeden dieser Theile
multiplici
rt, wann man denselben durch die Nenner
dividi
rt. Wann sich aber uͤber das einer durch den andern theilen laͤst, so hat man nicht noͤthig den
Multiplicandum
durch einen solchen theilbaren Nenner zu
dividi
ren, sondern
dividi
rt nun ferner den
Quotum,
so aus der
Di- vision
durch den kleineren Nenner entsprungen, durch die Zahl, welche anzeigt, wieviel mahl der kleinere Nenner in dem groͤsseren begriffen ist, wie schon oben errinnert worden. Um dieser Ur- sache willen ist dienlich solche Nenner, welche sich durch andere theilen lassen, vielmehr nach ihren
Factoribus
zu schreiben und auszudruͤcken als durch die gewoͤhnliche Art. Solches aber pflegt durch zwischen die
Factores
gesetzte Puncten zu geschehen, welche Puncten nichts anders als das Woͤrtlein
mahl
bedeuten. Als ist 2. 6 so viel als 2 mahl 6 oder 12, und 3. 4. 8 bedeutet 3 mahl 4 mahl 8; oder 12 mahl 8 oder 96, weilen 3 mahl 4 zwoͤlf macht. Also ist
\frac{1}{4.5}
so viel als
\frac{1}{20}
, weilen 4 mahl 5 so viel ist als 20.
Wann man nun solcher gestalt die Nenner, welche sich durch andere theilen lassen, ausdruͤckt, so weißt sich von selbsten, wie man durch diesel- ben
dividi
ren soll. Als wann man den
Multi- plicatorem
in diese Theile ½ und
\frac{1}{2.3}
das ist ½ und ⅙ zertheilet hat, so
dividi
rt man den
Multiplican- dum
erstlich mit 2 und bekommt die Helfte, her-
nach
nach wird aus dieser Helfte der 6tel gefunden, wann man dieselbe ferner durch 3 theilt, weilen 6 so viel ist als 2 mahl 3 oder 2. 3, wie die Schreib-Art sogleich weiset. Gleich wie wir nun Kuͤrtze halber statt des Woͤrtleins
mahl
ein Punct gebrauchen, also pflegt man auch anstatt des Woͤrtleins
und
dieses Zeichen zu gebrauchen +, und bedeutet also 2+3 so viel als 2 und 3 das ist 5; ingleichem ist ½+⅓ so viel als ½ und ⅓. Und durch dieses Zeichen koͤn- nen also die Bruͤche, in welche ein
Multiplicator
zertheilet wird, zusammen verknuͤpfet werden. Nehmlich
\frac{7}{12}
wird so viel seyn als ½+
\frac{1}{2.6}
; dann dieses bedeutet ½ und
\frac{1}{2.6}
, und dieses ½ und
\frac{1}{12}
. Durch diese Zeichen wird nun nicht nur der gan- tze Aufsatz kuͤrtzer, sondern die Vortheile, wel- che angebracht werden koͤnnen, fallen auch desto deutlicher in die Augen.
I.
Es ist gegeben diese Summ Geld 723 fl. 14 St. 8 ₰ Hollaͤndisch, welche mit ¾
multiplici
rt werden soll?
Antw. Der
Multiplicator
¾ zertheilet sich in
\frac{2}{4}
und ¼ das ist ½+
\frac{1}{2.2}
. Derohalben
multi- plici
rt man erstlich mit ½ oder
dividi
rt durch 2, hernach diesen
Quotum dividi
rt man noch mahlen mit 2, und
addi
rt beyde
Quotos
zu- sammen.
N 4
fl.
II.
Man soll diese Summ Geld 1027 fl. 18 St. 4 ₰ mit ⅔
multiplici
ren?
Antw. Weilen 3 keine Theiler hat, und der Bruch ⅔ groͤsser ist als ½, so
multiplici
re man oben und unten mit 2, so wird der
Mul- tiplicator
\frac{4}{6}
das ist
\frac{3}{6}
und ⅙ oder ½+
\frac{1}{2.3}
. Dero- wegen
dividi
rt man erstlich den
Multiplicandum
durch 2, und was herauskommt nochmahls durch 3, und
addi
rt beyde
Quotos
zusammen.
Man haͤtte auch eben so leicht diese Summ durch 3
dividi
ren, und den
Quotum
zwey mahl nehmen koͤnnen.
III.
Man hat dieses Gewicht 47 Berkw. 5 Pud, 28 ℔, welches mit
\frac{7}{12}
multiplici
rt werden soll?
Antw.
Antw. Der
Multiplicator
\frac{7}{12}
zertheilet sich nach der gegebenen Regeln in diese 2 Bruͤche ½+
\frac{1}{12}
oder ½+
\frac{1}{2.6}
. Dahero geschieht die
Mul- tiplication
wie folgt.
IV.
Nach Englischem Gelde soll diese Summ 5720 L. Sterl. 15 ß. 10 ₰ mit
\frac{17}{24}
mul- tiplici
rt werden?
Antw. Der Bruch
\frac{17}{24}
zertheilet sich erst- lich in diese zwey
\frac{12}{24}
und
\frac{5}{24}
oder ½+
\frac{5}{24}
dieser andere Bruch
\frac{5}{24}
aber in
\frac{4}{24}
und
\frac{1}{24}
oder ⅙+
\frac{1}{4.6}
, so daß der gegebene
Multiplicator
\frac{17}{24}
sich in diese drey Bruͤche zertheilet ½+⅙+
\frac{1}{4.6}
oder in ½+
\frac{1}{2.3}
+
\frac{1}{2.3.4}
. Man theilet also die gegebene Summ erstlich durch 2, was herauskommt durch 3, und diesen
Quotum
durch 4, und
addi
rt alle 3
Quotos
zusammen: wie aus fol- gender Berechnung, so nach dieser Zertheilung eingerichtet ist, zu ersehen.
N 5
L. Sterl.
V.
Diese Summ 13743 Thlr. 15 Ggl. 7 ₰ soll mit
\frac{7}{15}
multiplici
rt werden?
Antw. Den Bruch
\frac{7}{15}
zertheile man in diese 2 Bruͤche
\frac{5}{15}
und
\frac{2}{15}
das ist in ⅓+
\frac{2}{15}
oder ⅓+
\frac{1}{3.5}
+
\frac{1}{3.5}
, dann weilen in dem Bruche
\frac{2}{15}
der Zehler nur 2 ist, so ist dienlicher, daß man den Bruch
\frac{1}{15}
zwey mahl nehme, als daß man denselben in zwey andere ungleiche Bruͤche zertheile. Man koͤnnte nehmlich den Bruch
\frac{2}{13}
in diesen
\frac{4}{30}
verwandeln, und diesen in
\frac{3}{30}
+
\frac{1}{30}
das ist in ⅒+
\frac{1}{30}
vertheilen, allein dieser Vertheilung ist die erstere vorzuziehen: wir wollen deswegen die vorgelegte Summ durch ⅓+
\frac{1}{3.5}
+
\frac{1}{3.5}
multiplici
ren.
Wir
Wir ziehen nehmlich zwischen die Zahlen, welche
addi
rt werden sollen keine Linien, wie son- sten gewoͤhnlich, damit dieselben besser in die Augen fallen, und bequemer
addi
rt werden koͤnnen.
VI.
Lasset uns dieses
Apothe
ker Gewicht 12 ℔, 7 ℥, 5 ℨ, — ℈, 18
gr.
durch
\frac{4}{45}
mul- tiplici
ren?
Antw. Weilen sich der Nenner 45 durch 3 theilen laͤst, so zertheilet sich der Bruch
\frac{4}{45}
in diese zwey
\frac{3}{45}
+
\frac{1}{45}
das ist
\frac{1}{15}
+
\frac{1}{3.15}
. Man muß derohalben erstlich durch 15
dividi
ren, welches, weilen es etwas schwehr fallen moͤchte, so kan man 15 in seine zwey
Factores
3 und 5 resolviren, und dadurch nach einan- der
dividi
ren. Wann aber dieses geschehen, und der
\frac{1}{15}
des
Multiplicandi
gefunden worden, so darf man diesen nur ferner durch 3
dividi-
ren um den
\frac{1}{45}
zu bekommen.
VII.
Es
VII.
Es ist gegeben diese Summ Geld 427 Thlr. 2

, 10 ß. 8 ₰ Luͤbisch, welche durch
\frac{137}{240}
multiplici
rt werden soll?
Antw. Dieser
Multiplicator
\frac{137}{240}
zertheilet sich erstlich in diese 2 Theile
\frac{120}{240}
+
\frac{17}{240}
oder ½+
\frac{17}{240}
. Dieser letztere Theil
\frac{17}{240}
aber ferner in diese
\frac{16}{240}
+
\frac{1}{240}
oder
\frac{1}{15}
+
\frac{1}{240}
so daß unser
Multiplicator
seyn wird ½+
\frac{1}{15}
+
\frac{1}{15.16}
: wor- aus folgende
Operation
entspringt.
Wir haben nehmlich erstlich durch 15
divi- di
rt, die
Division
aber in 3 und 5 zertheilet, und also den
\frac{1}{15}
bekommen. Diesen haben wir zu zwey mahlen durch 4 weilen 16 ist 4 mahl 4
di- vidi
rt, um diesen Theil
\frac{1}{240}
oder
\frac{1}{15.16}
zu bekom- men. Darunter haben wir den schon gefunde- nen
\frac{1}{15}
geschrieben, und endlich noch dazu die Helfte der vorgegebenen Summ gethan.
Bey
Bey diesem
Multiplicatore
ist inzwis
pen zu mercken, daß derselbe noch auf vielerley verschie- dene Arten in Theile zertheilet werden kan: der- gleichen wir hier einige beyfuͤgen wollen.
Von diesen moͤchte wohl die letzte die be- quemste seyn, weswegen wir nach derselben auch die
Operation
anstellen wollen.
Fuͤr einen Anfaͤnger ist inzwischen sehr dien- lich bey einem jeglichen vorkommenden Falle vielerley Zertheilungen anzustellen, nicht so wohl, damit er daraus die bequemste auslesen moͤge, als damit er sich in solchen Zertheilungen uͤben
und
und sich desselben ohne grossen Zeit-Verlust bey allen Gelegenheiten bedienen koͤnne.
VIII.
Nachfolgendes Gewicht Silber 17

, 4 Untz. 6 Quintl. 3 ₰ soll mit 6
\frac{63}{64}
mul- tiplici
rt werden?
Antw. Da hier der
Multiplicator
aus ei- ner gantzen und gebrochenen Zahl bestehet, so wird das gegebene Gewicht erstlich mit 6 und dann durch den angehaͤngten Bruch
\frac{63}{64}
multiplici
rt, bey welcher letzteren
Multipli- cation
die Zertheilung angebracht werden kan: es ist demnach
\frac{63}{64}
so viel als ½+
\frac{31}{64}
, und
\frac{31}{64}
so viel als ¼+
\frac{15}{64}
, und
\frac{15}{64}
so viel als ⅛+
\frac{7}{64}
, und
\frac{7}{64}
so viel als
\frac{1}{16}
+
\frac{5}{64}
und endlich
\frac{3}{64}
so viel als
\frac{1}{32}
+
\frac{1}{64}
so daß unser gantzer
Multiplicator
seyn wird
6+½+¼+⅛+
\frac{1}{16}
+
\frac{1}{32}
+
\frac{1}{64}
woraus nach folgende
Operation
erwuͤchst.
Man
Man kan sich aber bey diesem und anderen dergleichen Exempeln eines besonderen Vortheils bedienen, welcher darinn bestehet. Weilen von dem vorgegebenen Gewicht erstlich das 6fache genommen, und hernach das Gewicht selbst mit
\frac{63}{64}
multiplici
rt werden muß, so ist zu mercken, daß
\frac{63}{64}
tel von dem gegebenen Gewicht eben so viel austragen als der sechste Theil von
\frac{63}{64}
tel aus dem 6fachen Gewicht, das ist als
\frac{63}{6.64}
oder
\frac{63}{384}
oder
\frac{21}{128}
tel aus dem sechsfachen Gewicht. Derohal- ben wann man das vorgegebene Gewicht schon mit 6
multiplici
rt hat, so darf man nur dieses
Product
noch mit
\frac{21}{128}
multiplici
ren, und was her- auskommt dazu
addi
ren. Dieser
Multiplicator
\frac{21}{128}
aber resolvirt sich in diese Theile
\frac{16}{128}
+
\frac{4}{128}
+
\frac{1}{128}
oder ⅛+
\frac{1}{32}
+
\frac{1}{128}
woraus folgende
Operation
entstehet.
Ungeacht durch diesen Vortheil die Rechnung nicht wenig abgekuͤrtzet wird, so lassen sich doch um dergleichen Vortheile bey andern Faͤllen an- zubringen keine Regeln geben. Und wann auch
solches
solches geschehen koͤnnte, so wuͤrde doch die Aus- findung eines solchen Vortheils mehr Zeit und Muͤhe kosten, als wann man das Exempel nach der gewoͤhnlichen Art ausrechnen wollte. Dero- halben ist als eine Haupt-Regel anzumercken, daß wo man nicht sogleich einige Vortheile aus- fuͤndig machen kan, man derselben lieber entbehre, als auf dieselben viel Zeit wende. Diese Regel gilt aber nicht fuͤr die Anfaͤnger: dann wann ein solcher gleich mit grosser Muͤhe anfaͤnglich die Vortheile finden, und vielleicht mehr Zeit dar- auf wenden muß, als zur gantzen
Operation;
so muß sich doch ein solcher diese Muͤhe nicht dauren lassen, um sich die Erfindung der Vortheile der- gestalt bekannt und gelaͤuffig zu machen, damit er nachgehends dieselben bey allen Gelegenheiten leicht finden und mit Nutzen gebrauchen koͤnne. Diese Regeln dienen demnach haͤuptsaͤchlich dazu, um den Anfaͤngern mit einiger Muͤhe die Vor- theile beyzubringen, damit sie hernach dieselben ohne Regeln mit leichter Muͤhe bey allen Gele- genheiten selbst geschwind finden koͤnnen.
4.)
Man kan auf oͤfters mit nicht ge- ringem Vortheile einen Bruch, durch wel- chen
multiplici
rt werden soll, als einen Rest ansehen, welcher herauskommt, wann man einen kleineren Bruch von einem groͤsseren
subtrahi
rt. Jn solchem Falle
multiplici
rt man den
Multiplicandum
erstlich durch den groͤsse- ren Bruch, hernach durch den kleineren, und
subtrahi
rt
subtrahi
rt das letztere
Product
von dem erste- ren, so bekommt man das verlangte
Facit.
Um aber hiedurch einigen Vortheil zu erlan- gen, so muͤssen die beyden Bruͤche, aus de- ren
Subtraction
der vorgegebene
Multiplicator
entspringt, so beschaffen seyn, daß man mit denselben leicht
multiplici
ren kan.
Nach der vorigen Regel haben wir einen Bruch, durch welchen eine gegebene Zahl
mul- tiplici
rt werden soll, angesehen als eine Summ zweyer oder mehr solcher Bruͤche, durch welche die
Multiplication
leicht angestellt werden kan: allhier aber betrachten wir einen solchen Bruch, durch welchen
multiplici
rt werden soll, als eine
Differenz
zweyer anderer Bruͤche, dergestalt, daß der vorgelegte Bruch gleich gesetzt wird einem groͤsseren Bruche weniger einem kleineren. Gleich wie wir aber vorher durch dieses Zeichen + das Woͤrtlein
und,
wodurch die
Addition
angezeigt wird, ausgedruͤckt haben, also pflegt auch das Woͤrtlein
weniger
durch dieses Zeichen — ange- deutet zu werden. Also bedeutet 8 — 5 so viel als 8 weniger 5, das ist die
Differenz
oder der Rest, welcher uͤberbleibt, wann man 5 von 8
subtra- hi
rt. Hieraus sieht man, daß
\frac{5}{24}
so viel ist als ⅓—⅛ das ist als der Rest, welcher gefunden wird, wann man ⅛ von ⅓
subtrahi
rt: ingleichem ist klar, daß ¾ so viel ist als 1—¼, weilen 1 weniger ¼ ausmacht ¾. Allhier wollen wir nun diejenigen Vortheile anzeigen, welche man erhalten kan,
O
wann
wann man einen gebrochenen
Multiplicatorem
als eine aus der
Subtraction
entstandene
Differenz
an- sieht, und auf solche Art durch dieses Zeichen — andeutet. Ehe wir aber zu dieser
Resolution
oder Verwandlung die noͤthige Anleitung geben, so ist noͤthig die
Operation,
nach welcher die
Mul- tiplication
durch eine solche
Differenz
angestellet werden muß, zu erklaͤren. Die Regel fuͤr diese
Operation
ist nun, daß man den
Multiplicandum
erstlich durch die groͤssere Zahl, hernach durch die kleinere Zahl der
Differenz,
welche dem
Multi- plicatore
gleich gesetzt worden,
multiplici
re, und das letztere
Product
von dem ersteren
subtrahi
re. Der Grund hievon beruhet darauf: wann man den
Multiplicandum
durch die groͤssere Zahl
mul- tiplici
rt hat, so hat man denselben durch eine all- zugrosse Zahl
multiplici
rt, in dem man denselben durch die
Differenz
zwischen der groͤsseren und klei- neren Zahl
multiplici
ren sollte. Wann wir aber ferner sehen, um wieviel die groͤssere Zahl der
Differenz
zu groß oder groͤsser als der gegebene
Multiplicator
ist, so finden wir daß solches die kleinere Zahl anzeige; wann wir also den
Mul- tiplicandum
durch die kleinere Zahl
multiplici
ren, und dieses
Product
von dem vorigen
subtrahi
ren, so nehmen wir
accurat
eben so viel davon hinweg als das erstere
Product
zu groß war, und finden also das gesuchte
Product.
Dieser Schluß weiset sich aber deutlicher durch Exempel: wir wollen demnach setzen, man soll 10 durch 4
multiplici
ren,
man
man betrachte aber 4 als die
Differenz
zwischen 7 und 3, und soll folglich 10 durch 7 — 3 das ist 7 weniger 3
multiplici
ren. Da nun 7 — 3 so viel ist als 4, so wird auch 2 mahl 7 weniger 2 mahl 3 so viel seyn als 2 mahl 4, und 3 mahl 7 we- niger 3 mahl 3 so viel als 3 mahl 4 und folglich 10 mahl 7 weniger 10 mahl 3 so viel als 10 mahl 4. Hieraus erhellet nun, daß wann man 10 mit 7 und auch mit 3
multiplici
rt und das klei- nere
Product
von dem groͤsseren
subtrahi
rt, eben so viel herauskommen muͤsse, als wann man 10 mit 7 — 3 das ist mit 4
multiplici
rt haͤtte; in bey- den Faͤllen kommt nehmlich 4 heraus. Weilen nun auch
\frac{5}{24}
so viel ist als ⅓—⅛, so wird man mit
\frac{5}{24}
multiplici
ren, wann man erstlich den
Multi- plicandum
mit ⅓ und hernach mit ⅛
multiplici
rt, und das letztere
Product
von dem ersteren
subtra- hi
rt; wir wollen zu mehrerer Erlaͤuterung 60 erstlich durch
\frac{5}{24}
und hernach nach dieser Anwei- sung durch ⅓—⅛
multiplici
ren, um zu zeigen, daß in beyden Faͤllen einerley herauskomme.
O 2
Aus
Aus diesem Exempel erkennet man auch ausser der Richtigkeit der Regel, daß durch eine solche Verwandlung des
Multiplicatoris
in eine
Differenz
wichtige Vortheile entstehen koͤnnen, dann es ist viel leichter eine jegliche Zahl erstlich durch 3 hernach durch 8
dividi
ren, und den letz- teren
Quotum
vom ersteren
subtrahi
ren, als nach der ersten Regel erstlich mit 5
multiplici
ren und hernach durch 24
dividi
ren. Jn anderen Faͤllen aber kan der hieraus entstehende Vortheil noch viel groͤsser seyn.
Auch so gar in gantzen Zahlen kan man daraus schoͤne Vortheile schoͤpfen; als wann man mit 9
multiplici
ren soll, weilen 9 so viel ist als 10 — 1, so
multiplici
re man den
Multiplicandum
mit 10 und
subtrahi
re davon den
Multiplicandum
selbst; welches beydes ohne einige Muͤhe im Sinn geschehen kan: es sollen 27083495 mit 9
multiplici
rt werden; so wird das also geschehen
Dieses kan noch um so viel kuͤrtzer geschehen, weilen man so wohl die angehaͤngte 0 als auch die noch mahl unten geschriebene Zahl im Sinne vorstellen, und also sogleich mit der
Subtraction
anfangen kan. Auf gleiche Weise laͤst sich auch sehr leicht mit 99
multiplici
ren, weilen 99 so viel
ist
ist als 100 — 1, also sind hier 50296 mit 99
multiplici
rt worden.
Man kan auch aus diesem Grunde in viel andern Faͤllen Vortheile finden, als wann man mit 75
multiplici
ren soll, so kan man 75 als 100 — 25 ansehen, weilen nun 25 der 4te Theil ist von 100, so wird der
Multiplicandus
mit 25
multiplici
rt werden, wann man denselben erstlich mit 100
multiplici
rt, und dieses
Product
durch 4
dividi
rt. Dahero wird man mit 75
multiplici-
ren, wann man erstlich mit 100
multiplici
rt die- ses
Product
durch 4
dividi
rt und den
Quotum
da- von abzieht: also sind hier 3476982 mit 75
multiplici
rt worden.
Wir wollen uns aber bey dergleichen Vor- theilen nicht laͤnger aufhalten, sondern zu unse- rem Endzwecke fortschreiten, und zeigen, wann und wie ein Bruch in eine solche
Differenz,
durch welche leicht
multiplici
rt werden kan, verwan- delt werden koͤnne.
O 3
Erstlich
Erstlich um nur einen Bruch in eine
Diffe- renz
zu verwandeln, so kan solches auf vielerley Art geschehen: Dann man darf nur nach Be- lieben eine Zahl annehmen, welche groͤsser ist als der Zehler des Bruchs, von derselben den Zeh- ler
subtrahi
ren, und so wohl unter dieselbe Zahl als unter den Rest den Nenner schreiben, so be- kommt man zwey Bruͤche deren
Differenz
dem vorgegebenen Bruch gleich ist. Als wann man diesen Bruch
\frac{5}{12}
hat, und man
subtrahi
rt den Zehler 5 von 6, 7, 8, 9 u. s. f. so kommen nach- folgende
Differenzen
heraus
\frac{6}{12}
—
\frac{1}{12}
;
\frac{7}{12}
—
\frac{2}{12}
;
\frac{8}{12}
—
\frac{3}{12}
;
\frac{9}{12}
—
\frac{4}{12}
; oder ½ —
\frac{1}{12}
;
\frac{7}{12}
— ⅙; ⅔ — ¼; ¾ — ⅓.
welche alle so viel ausmachen, als
\frac{5}{12}
.
Zweytens weilen dergleichen
Differenzen
un- endlich viel gefunden werden koͤnnen, so muͤssen zu unserem Endzweck davon solche ausgelesen werden, durch deren Glieder die
Multiplication
leicht bewerck- stelliget werden kan: das ist die Zehler von den bey- den Bruͤchen muͤssen entweder 1, oder Theiler des Nenners seyn. Derowegen muß man eine solche groͤssere Zahl, von welcher der Zehler
sub- trahi
rt werden soll, annehmen, durch welche sich der Nenner theilen laͤsst, und muß hernach die- selbe so beschaffen seyn, daß sich auch der Nen- ner durch den Rest theilen lasse, welcher uͤber- bleibt, wann man den Zehler von derselben groͤs-
seren
seren Zahl abzieht. Wann sich nun dieses thun laͤsst, so erhaͤlt man zwey Bruͤche, deren Zehler 1 seyn wird, und durch welche folglich leicht zu
multiplici
ren ist. Allso kan
\frac{3}{10}
in diese
Differenz
\frac{5}{10}
—
\frac{2}{10}
das ist ½ — ⅕, und dieser Bruch
\frac{5}{36}
in
\frac{6}{36}
—
\frac{1}{36}
das ist ⅙ —
\frac{1}{36}
oder in
\frac{9}{36}
—
\frac{4}{36}
das ist ¼ — ⅑ ver- wandelt werden. Bey vielen Bruͤchen kan sol- che Verwandlung auf vielerley Art, bey vielen aber gar nicht geschehen, weswegen solche auf die vorige Art
tracti
rt werden muͤssen.
Drittens ist zu mercken, daß diese Ver- wandlung insonderheit einen grossen Vortheil bringe bey Bruͤchen, deren Zehler nur um eins kleiner ist als der Nenner. Dann wann man fuͤr dieselbe groͤssere Zahl den Nenner selbst an- nimmt, so wird das groͤssere Glied der
Differenz
just ein gantzes, das kleinere aber ein Bruch des- sen Zehler 1 der Nenner aber dem Nenner des gegebenen Bruchs gleich ist. Allso ist ⅔ so viel als
\frac{3}{3}
— ⅓ das ist 1 — ⅓; und ¾ so viel als 1 — ¼; und ⅘ soviel als 1 — ⅕ und so fort. Wann also eine Zahl, benannt oder unbenannt, durch einen solchen Bruch
multiplici
rt werden soll, so darf man dieselbe nur durch den Nenner des Bruchs
dividi
ren und den
Quotum
von derselben Zahl
subtrahi
ren. Wann also diese Zahl 156234 durch ⅚
multiplici
ret werden soll, weilen ⅚ so viel ist als 1 — ⅙, so
subtrahi
rt man von derselben Zahl 1 mahl genommen, das ist von derselben Zahl selbst ihren Sechstel: also
O 4
6)
Viertens findet auch diese Verwandlung in eine
Differenz
Statt, wann der vorgegebene
Multiplicator
aus einer gantzen Zahl und einem solchen Bruche dessen Zehler nur um 1 kleiner ist als der Nenner bestehet. Dann da ist ein sol- cher
Multiplicator
die
Differenz
zwischen einer gan- tzen Zahl, welche um 1 groͤsser ist als die gantze Zahl aus welcher der
Multiplicator
bestehet, und einem Bruche, dessen Zehler 1, der Nenner aber dem Nenner des Bruchs im
Multiplicatore
gleich ist. Also ist 2¾ so viel als 3 — ¼, und wird folg- lich durch 2¾
multiplici
rt, wann man den
Multi- plicandum
durch 3
multiplici
rt und vom
Product
den vierten Theil des
Multiplicandi subtrahi
rt. Jngleichem ist 5⅞ so viel als 6 — ⅛; und 12
\frac{17}{18}
so viel als 13 —
\frac{1}{18}
.
Um nun den Nutzen von solchen Verwand- lungen in dergleichen
Differenzen
deutlicher zu zei- gen, so wollen wir einige Exempel beyfuͤgen, in welchen dieser Vortheil Platz findet.
I.
Man soll diese Summe Geld 417 fl. 15 St. 9 ₰ mit
\frac{7}{16}
multiplici
ren?
Antw. Der
Multiplicator
\frac{7}{16}
verwandelt sich in diese bequeme
Differenz
\frac{8}{16}
—
\frac{1}{16}
das ist ½ —
\frac{1}{16}
. Derowegen muß man die gegebene
Summ
Summ erstlich durch 2 und hernach durch 16
di- vidi
ren und den letzteren
Quotum
vom ersteren
subtrahi
ren. Oder weilen 16 so viel ist als 2 mal 8, so kan man an Statt den
Multiplicandum
mit 16 zu
dividi
ren, den schon durch 2 gefunde- nen
Quotum
noch durch 8
dividi
ren, wie hier zu sehen.
II.
Es soll diese Summ Englisch Geld 1298 L. Sterl. 16 ß. 4 ₰ mit
\frac{4}{15}
multiplici
rt werden?
Antw. Der
Multiplicator
\frac{4}{15}
verwandelt sich in diese
Differenz
\frac{5}{15}
—
\frac{1}{15}
das ist ⅓ —
\frac{1}{15}
oder ⅓ —
\frac{1}{3.5}
: da man dann, wann der
Multipli- candus
durch 3
dividi
rt worden, den
Quotum
ferner durch 5
dividi
ren, und den letzteren
Quotum
vom ersteren
subtrahi
ren kan.
O 5
III.
Durch
III.
Durch
\frac{5}{14}
soll dieses Gewicht Holl. 908 ℔, 7 Untzen, 11 Engl. 9 Aß
multiplici
rt wer- den?
Antw. Aus diesem Bruche
\frac{5}{14}
entstehet diese
Differenz
\frac{7}{14}
—
\frac{2}{14}
das ist ½ — ⅐. Weilen sich nun 7 durch 2 nicht theilen laͤst, so muß man insbesondere den
Multiplicandum
erstlich durch 2 und hernach durch 7
dividi
ren, und den letzteren
Quotum
vom ersteren
subtrahi
ren, wie folgt.
IV.
Dieses Gewicht Silber 5

, 6 Untz, 3 Quintl. 2 ₰ soll mit ⅘
multiplici
rt wer- den?
Antw. Weilen ⅘ so viel ist als 1 —
⅙
, und die
Unit
aͤt durch die
Multiplication
den
Mul- tiplicandum
nicht veraͤndert, so muß man von dem
Multiplicando
selbst seinen Fuͤnftel
sub- trahi
ren; also:
Diese
Diese
Multiplication
haͤtte nach der vorigen Art durch die Zertheilung des
Multiplicatoris
in Theile nicht so leicht geschehen koͤnnen: dann da wurde man ⅘ in diese 3 Theile ½+⅕+⅒ zertheilet haben.
V.
Es ist diese Summ 819 Thlr. 2

, 5 ß. 6 ₰ Hamburgisch
Banco
gegeben, welche durch
\frac{11}{12}
multiplici
rt werden?
Antw. Der
Multiplicator
\frac{11}{12}
verwandelt sich in diese
Differenz
1 —
\frac{1}{12}
, und muß fol- glich der
Multiplicandus
durch 12
dividi
rt, und der
Quotus
von demselben abgezogen wer- den: weilen aber durch 12 nicht so leicht im Sinne
dividi
rt werden kan, so resolvire man 12 in seine
Factores
3 und 4, und ver- richte die
Division
durch 2
Operatio
nen.
VI.
Wann ein Jahr gerechnet wird zu 365 Tag, 5 St. 48′, 57″, wieviel werden 5¾ Jahre betragen?
Antw.
Antw. Um diese Zeit genau zu bestimmen muß man die Zeit eines Jahrs durch 5¾
mul- tiplici
ren; dieser
Multiplicator
nun gibt diese
Differenz
6 — ¼. Derohalben muß man erst- lich die gegebene Jahrs-Zeit mit 6
multiplici-
ren, hernach aber dieselbe durch 4
dividi
ren und den
Quotum
vom
Product subtrahi
ren.
Oefters geschieht es, daß wann der
Mul- tiplicator
nach der vorhergehenden Art sich nicht leicht in bequeme Theile zertheilen laͤst, oder der Theile allzuviel herauskommen, in solchen Faͤl- len diese Verwandlung des
Multiplicatoris
in eine
Differenz
herrlich zu statten komme. Als dieser Bruch
\frac{14}{15}
gibt eine sehr leichte
Differenz
1 —
\frac{1}{15}
und laͤst sich folglich dadurch leicht
multiplici
ren, wann man aber denselben in Theile zertheilen wollte, wuͤrde man diese 3 Theile ⅓+½+⅒ be- kommen, mit welchen die
Multiplication
mehr Zeit erfordern wuͤrde. Und dieser Bruch
\frac{63}{64}
gab nach der vorigen Art diese 6 Theile ½+¼+⅛+
\frac{1}{16}
+
\frac{1}{32}
+
\frac{1}{64}
; da doch derselbe diese gantz
Simple
Differenz
Differenz
1 —
\frac{1}{64}
gibt, durch Huͤlfe welcher die
Multiplication
weit leichter verrichtet werden kan.
5.)
Wann eine benannte Zahl durch ei- nen Bruch oder durch eine aus einer gantzen und gebrochenen vermischte Zahl
dividi
rt werden soll; so muß man den
Divisorem,
wann derselbe ein einzeler Bruch ist, oder in die
Form
eines einzelen Bruchs gebracht worden, umkehren, das ist den Zehler auf die Stelle des Nenners und den Nenner an des Zehlers Stelle setzen, und hernach durch diesen umgekehrten Bruch die vorgelegte Zahl
multiplici
ren da dann alle diejenige Vor- theile angebracht werden koͤnnen, welche in den vorigen Saͤtzen von der
Multiplication
durch Bruͤche sind angewiesen worden.
Daß sich die
Division
durch Bruͤche in eine
Multiplication
verwandeln lasse, ist schon im vo- rige Theile bey den
Operatio
nen der Bruͤche klar dargethan worden, und bedarf also anjetzo kei- nes neuen Beweises. Es ist demnach vorallen Dingen zu merken, daß wann der
Divisor
ein solcher Bruch ist, dessen Zehler 1 ist, die
Divi- sion
in eine
Multiplication
durch gantze Zahlen verwandelt werden. Also ist durch ½
dividi
ren eben so viel als mit 2
multiplici
ren, und durch ⅓
dividi
ren nichts anders als mit 3
multiplici
ren und so fort. Wann demnach eine Zahl, was
dieselbe
dieselbe auch immer fuͤr Nahmen fuͤhrt, durch einen solchen Bruch, dessen Zehler 1 ist,
divi- di
rt werden soll, so wird man den
Quotum
fin- den, wann man dieselbe Zahl mit dem Nenner desselben Bruchs, durch welchen
dividi
rt werden soll,
multiplici
rt.
Jst aber der Zehler des Bruchs nicht 1, durch welchen man
dividi
ren soll, so
multiplici
rt man zwar den
Dividendum
wiederum durch den Nenner desselben Bruchs, das
Product
aber
di- vidi
rt man durch den Zehler. Woraus erhellet, daß es gleich viel ist durch einen Bruch
dividi
ren, als denselben Bruch umkehren und dadurch
mul- tiplici
ren. Wann aber der
Divisor
ein einzeler Bruche ist, und den Zehler kleiner hat als den Nenner, so wird derselbe Bruch, welcher durch die Versetzung des Nenners und Zehlers entste- het, groͤsser als ein gantzes, und folglich eine aus gantzen und Bruͤchen vermischte Zahl: da man nun dadurch
multiplici
ren muß, so sind eben diejenigen Regeln und Vortheile zu beobachten, welche wir oben angewiesen haben. Wann man also durch ⅔
dividi
ren soll, so geschieht dieses, wann man durch
\frac{3}{2}
das ist durch 1½
multiplici
rt: Sollte man aber durch
\frac{5}{12}
dividi
ren, so wird die
Division
in eine
Multiplication
verwan- delt, davon der
Multiplicator
ist
\frac{12}{5}
das ist 2⅖ wo- durch folglich
multiplici
rt werden muß. Jst aber der
Divisor
groͤsser als 1 oder eine gantze Zahl samt einem Bruche so muß man denselben in die
Form
Form einem einzelen Bruchs bringen, welches geschieht, wann man die gantze Zahl mit dem Nenner des Bruchs
multiplici
rt, zum
Product
den Zehler
addi
rt und unter die Summ als den Zehler den vorigen Nenner schreibt. Weilen nun in einem solchen Bruche der Zehler groͤsser ist als der Nenner, so wird hinwiederum, wann man diesen Bruch umkehrt, das ist den Nenner an des Zehlers, und den Zehler als des Nenners Stelle setzt, der Zehler kleiner seyn als der Nen- ner, und folglich der umgekehrte Bruch kleiner als 1. Da man nun durch diesen verkehrten Bruch
multiplici
ren muß, so ist dasjenige zu beobachten, was wir von der
Multiplication
mit einzehlen Bruͤchen, und von den dabey dienlichen Vortheilen angezeigt haben. Weilen nun die
Division
mit gebrochenen Zahlen mit der
Multi- plication
so genau verwandt ist und sich so gar darein verwandelt, so haben wir dieselbe auch da- von nicht absonderen, sondern zugleich mit ver- knuͤpfen wollen. Hiezu kommt noch, daß wei- len die
Division
sich so leicht auf die
Multiplication reduci
rt, darinn keine besondere Vortheile vor- kommen koͤnnen; weswegen wir auch nicht fuͤr noͤthig befinden davon mehr Worte zu machen, sondern schreiten nur zu den Exempeln um die
Operation
selbst deutlicher vor Augen zu legen.
I.
Es soll dieses Gewicht 15 Berckw. 6 Pud, 24 ℔ durch ⅓
dividi
rt werden.
Antw.
Antw. Weilen durch ⅓
dividi
ren nichts anders ist als mit 3
multiplici
ren so
multipli- ci
re man das vorgelegte Gewicht mit 3.
Wann sich jemand verwundern sollte, daß wann man mit ⅓
dividi
rt, dreymal so viel her- auskommt; derselbe betrachte nur, daß der
Quotus
in der
Division
allezeit eine solche Zahl seyn muͤsse, welche mit dem
Divisore multiplici
rt den
Dividendum
hervor bringet. Wann nun der
Divisor
⅓ ist, so muß der
Quotus
so groß seyn, daß derselbe mit ⅓
multiplici
rt, das ist der dritte Theil davon dem
Dividendo
gleich sey. Hiezu wird aber erfordert, daß der
Quo- tus
drey mal so groß sey als der
Dividendus.
II.
Man soll diese Summ Geld 295 fl. 12 St. 8 ₰ durch
\frac{1}{17}
dividi
ren.
Antw. Man muß demnach diese Summ durch 17
multiplici
ren; damit aber dieses desto bequemer geschehe, so zertheile man 17 in diese zwey Theile 16 und 1, und
multiplici
re die Summ mit 16 und
addi
re die Summ zum
Product.
Weilen aber 16 so viel ist als 4 mahl 4, so
multiplici
re man die Summ mit 4 und das
Product
noch mal mit 4, und
addire
die Summ zu diesem letzeren
Product.
fl.
III.
Lasset uns dieses Gewicht 9 ℔, 20 Loth, 2½ Quintl. durch ⅔
dividi
ren?
Antw. Man kehre den
Divisorem
⅔ nach der Regel um, so bekommt man
\frac{3}{2}
das ist 1½, und
multiplici
re folglich mit 1½ wie hier zu sehen.
Man
dividi
rt nehmlich das gegebene Gewicht durch 2, um ½ davon zu bekommen und
ad- di
rt diese Helfte zu der gantzen Summ.
IV.
Es sey gegeben diese Summ Geld 98 L. Sterl. 13 ß. 10 ₰, welche durch
\frac{21}{25}
dividi
rt werden soll?
P
Antw.
Antw. Der
Divisor
\frac{21}{25}
umgekehrt gibt
\frac{25}{21}
das ist 1
\frac{4}{21}
, wodurch die gegebene Summ
multiplici
rt werden muß. Der Bruch
\frac{4}{21}
aber zertheilet sich in diese Theile ⅐+
\frac{1}{21}
, so daß wir mit 1+⅐+
\frac{1}{21}
zu
multipliciren
haben.
V.
Man soll den
Quotum
anzeigen, welcher her- auskommt, wann man dieses Gewicht 17 ℔, 5 ℥, 7 ℨ, 1 ℈, 4
gr.
durch 2¾
divi- di
ret?
Antw. Der
Divisor
in einen einzelen Bruch gebracht gibt
\frac{11}{4}
und umgekehrt
\frac{4}{11}
, so daß wir also durch
\frac{4}{11}
multiplici
ren muͤssen. Man
multiplici
re oben und unten durch 3, weilen 11 nicht gar 3 mahl groͤsser ist als 4, so bekommt man
\frac{12}{33}
, dieser Bruch zertheilet sich in diese ⅓+
\frac{1}{3.11}
; dahero folgende
Opera- tion
entspringt.
℔
Wann man die
Division
durch 11 nicht ohne alle
Operatio
nen zu schreiben im Sinne ver- richten kan, so kan man dieselbe auf einer Tafel oder einem Papier
a part
machen, und den
Quo- tum
an seine gehoͤrige Stelle schreiben, damit man denselben zum vorigen
Quoto,
so durch 3 ent- sprungen, sogleich
addi
ren koͤnne.
VI.
Man verlangt den
Quotum
zu wissen, wel- cher herauskommt, wann man diese Summ Geld 529 Thlr. 12 Ggl. 5 ₰ mit 1
dividi
rt?
Antw. Der
Divisor
1⅛ in einen Bruch gebracht gibt
\frac{9}{8}
, und wird dahero unser
Mul- tiplicator
\frac{8}{9}
das ist 1 — ⅑ seyn: man muß des- wegen von der vorgelegten Summ den Neun- tel davon
subtrahi
ren.
Jn
Jn diesen so wohl bey der
Multiplication
als
Division
angefuͤhrten Regeln. sind nun fast alle Vortheile begriffen, welche sonsten in der Jtaliaͤnischen
Practic
bey der Regel
de Tri
gewie- sen zu werden pflegen. Dahero man sich nicht wundern muß, daß wir diese
Arithmeti
schen
Operatio
nen mit benannten Zahlen weitlaͤuffiger abgehandelt haben, als sonsten zu geschehen pflegt. Da wir aber hier die meisten Vortheile im Rechnen als an ihrem gehoͤrigen Orte angefuͤhret haben, so werden die bey der
Arithmetic
vor- kommenden verschiedenen Regeln desto leichter und kuͤrtzer abgehandelt werden koͤnnen.