ZEITSCHRIFT
des
Architekten- und Ingenieur-Vereins
zu
HANNOVER
.
Neue Folge des Notizblattes.
Herausgegeben von dem Vorstande des Vereins
. Redigirt von
Launhardt
, Direktor der polytechnischen Schule zu Hannover. (Heft 1 und 2.)
und
Keck
, Professor an der polytechnischen Schule zu Hannover. (Heft 3 und 4.)
Band XXI.
Heft 1-4.
Mit 31 Blatt Zeichnungen und vielen in den Text eingedruckten Holzschnitten.
HANNOVER
.
SCHMORL \& VON SEEFELD
.
1875
.
Hofbuchdruckerei der Gebr. Jänecke in Hannover
Beitrag zur Theorie des Fachwerks;
vom Baurath
Mohr
, Professor am Polytechnikum zu Dresden.
(Mit Figuren auf den Blättern 614 und 615.) (Fortsetzung des Aufsatzes in Band XX Heft 4.)
Anwendung auf das zusammengesetzte Bogenfachwerk.
Unter der Bezeichnung
Bogenfachwerk
kann man alle diejenigen Fachwerke zusammenfassen, welche in
mehr als einem
Stützpunkt eine
horizontale
Auflagerreaktion aufzunehmen haben. Die Anzahl der
festen
Stützpunkte ist in der Regel
zwei
, und man pflegt bei der Berechnung solcher Fachwerke anzu- nehmen, dass die Entfernung A B (Fig. 18) dieser beiden Punkte von einander vollkommen unveränderlich sei.
Fig. 18.
Diese Voraussetzung ist ohne Zweifel nicht genau richtig, denn jedes Widerlager wird unter der Einwirkung der Auflagerdrücke theils bleibende theils elastische Form- veränderungen annehmen. Es ist sogar wahrscheinlich, dass die ungünstigen Erfahrungen, welche man mit elastischen Bogenträgern an manchen Orten gemacht hat, zum Theil in diesem Umstande ihren Grund hatten. Auf jeden Fall ist es zu empfehlen, die Möglichkeit
und die Folgen solcher Bewegungen der Widerlager bei der Konstruktion und Berechnung des Trägers zu berücksichtigen. Es kann dies in sehr einfacher Form geschehen, wenn man das Bogenfachwerk in ein Balken- fachwerk verwandelt, indem man bei der Berechnung annimmt, es seien die beiden Knotenpunkte A und B durch einen Konstruktionstheil A B verbunden und das eine der beiden Auflager sei wie bei einem Balken horizontal verschiebbar. Die inneren Kräfte dieses Balkens werden unter sonst gleichen Umständen offen- bar mit denjenigen des Bogenträgers übereinstimmen, vorausgesetzt, dass man dem Konstruktionstheil A B des Balkens, dessen Spannung den Horizontalschub der Widerlager des Bogens repräsentirt, genau dieselben Längenänderungen beilegt wie der Stützweite A B des Bogens. Wendet man das im Vorhergehenden ent- wickelte Verfahren zur Berechnung des zusammenge- setzten Balkenfachwerks auf den so eben beschriebenen Balken an, indem man A B als
überzähligen
Kon- struktionstheil einführt, so ergeben sich nach Form und Inhalt genau dieselben Resultate, welche in der Ab- handlung über die Theorie des Bogenfachwerks in dem zweiten Hefte des Jahrgangs 1874 enthalten sind. Es erscheint demnach überflüssig, auf diesen Gegenstand hier näher einzugehen.
2
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
Anwendung auf das kontinuirliche Balkenfachwerk.
Für praktische Zwecke genügt es, die Untersuchung auf den Fall zu beschränken, in welchem die Anzahl der
überzähligen
Konstruktionstheile eben so gross ist wie die Anzahl der
Mittelstützen
des Trägers. Dies ist, wie man leicht erkennt, der Fall, wenn die ununterbrochenen Gurtungen durch
ein
System von Füllungstheilen mit einander verbunden sind. Kommen mehrere Systeme von Füllungstheilen zur Anwendung, so kann man, ohne einen erheblichen Fehler zu be- gehen, dieselben zusammenlegen und für die so ver- einfachte Form des Trägers die äusseren Kräfte be- stimmen. Die Bedingungen, welche die
Stützenlage
der Formveränderung des Trägers auferlegt, kann man auf einfache Weise in Rechnung bringen, indem man ganz ähnlich wie bei der Berechnung des Bogenfach- werks
fingirte
Konstruktionstheile in die Betrachtung einführt. Man kann nämlich offenbar, ohne am Zustand des Trägers irgend Etwas zu verändern, die beweg- lichen Mittelstützen durch pendelförmige Auflager 1, 2 (Fig. 19) ersetzen, welche um ihre unteren festen End- punkte frei sich drehen. Betrachtet man nun diese
Fig. 19.
Pendel als Theile des Balkens und zwar als die
über- zähligen
Konstruktionstheile, so kann man das im Obigen entwickelte und durch Zahlenbeispiele erläuterte Verfahren zur Berechnung zusammengesetzter Balken- fachwerke ohne Weiteres auf die hier vorliegende Auf- gabe anwenden. Auf diesem Wege soll im Folgenden ein
graphisches
Verfahren zur Bestimmung der Auf- lagerreaktionen entwickelt werden. Für die
analy- tische
Behandlung der Aufgabe erscheint es, nament- lich wenn man die Voraussetzung der
horizontalen
Stützenlage der Betrachtung zu Grunde legen will, noch etwas bequemer, als
überzählige
Konstruktionstheile diejenigen
Gurtungstheile
einzuführen, deren Mo- mentenpunkte in den Vertikalen der Mittelstützen lie- gen. Durch Beseitigung dieser Konstruktionstheile wird das kontinuirliche Balkenfachwerk in eine Anzahl
ein- facher
Balkenfachwerke zerlegt, welche die einzelnen Tragfelder überspannen.
S
bezeichnet sonach die Span- nungen, welche von den Belastungen in diesen ein- fachen, von einander unabhängigen Fachwerken her- vorgerufen werden.
Bezeichnet man ferner mit h die Trägerhöhe zwi- schen den Schwerpunkten der beiden Gurtungsquer- schnitte und mit s
1
, s
2
, s
3
, … die Stützweiten des 1sten, 2ten, 3ten, … Tragfeldes, so ist in Bezug auf die Bestimmung der Zahlenwerthe u zu berücksichtigen, dass eine Zugspannung gleich Eins eines der
über- zähligen
Konstruktionstheile z. B. des Theils 3 (Fi- gur 20) vertikale Auflagerreaktionen der
drei
benach-
barten Stützen 2, 3 und 4 von der Grösse
und
erzeugt und dass also in allen Konstruktions- theilen der beiden einfachen Fachwerke über dem
dritten
und
vierten
Tragfelde Spannungen u
3
sich
(Fig. 20.)
bilden. Ebenso erstrecken sich die Spannungen u
1
auf die Theile des ersten und zweiten, die Spannungen u
2
auf die Theile des zweiten und dritten Tragfeldes u. s. f. Man erkennt hieraus, dass die Produkte u
1
· u
2
nur
für die Konstruktionstheile des
zweiten
, die Produkte u
2
· u
3
nur für die Theile des
dritten
Tragfeldes sich bilden lassen. Deutet man also durch die Zeichen
an, dass die Summirung auf die Konstruktionstheile des
ersten
oder des
ersten und zweiten
Tragfeldes sich erstreckt, so nehmen die Gleichungen 9) im vor- liegenden Falle folgende Form an: 18)
Diese Gleichungen können in Bezug auf die Unbe- kannten S
1
, S
2
, S
3
...... aufgelöst werden ohne Bezug- nahme auf einen bestimmten Belastungsfall. Nachdem dies geschehen ist, müssen für jeden Belastungsfall, welcher in Betracht gezogen werden soll, die Werthe der Summen Σ u ·
S
· r berechnet und in die Ausdrücke für die Spannungen S
1
, S
2
, S
3
.... eingesetzt werden. Es ist nur noch daran zu erinnern, dass die Produkte aus diesen Spannungen und der Trägerhöhe h gleich den
Biegungsmomenten
M
1
, M
2
, M
3
… der äusse- ren Kräfte in Bezug auf die Querschnitte durch die erste, zweite, dritte … Mittelstütze sind und dass, so- bald jene Momente ermittelt sind, die Bestimmung und graphische Darstellung der Spannungen in den übrigen Konstruktionstheilen auf sehr einfache Weise geschehen kann.
Aus der Uebereinstimmung in der Form der Glei- chungen 18) mit den bekannten
Clapeyron’schen Gleichungen
Die Clapeyron’schen Gleichungen beziehen sich offen- bar auf einen besonderen Fall der vorliegenden viel allge- meineren Untersuchung und können daher aus den Gleichungen 18 abgeleitet werden. Dieser Fall tritt ein, wenn die Gurtun- gen einen
konstanten
Querschnitt F und die Theile dersel- ben
unendlich kleine
Längen d x haben, wenn ferner die Längenänderungen der
Füllungstheile
vernachlässigt wer- den dürfen und wenn endlich die Belastungen über die Länge eines jeden Tragfeldes
gleichmässig
vertheilt sind. Es möge
lässt sich folgern, dass die Theorie
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
des kontinuirlichen Balkenfachwerks genau in derselben Form entwickelt werden kann wie die jetzt allgemein angewandte Theorie der kontinuirlichen Träger. Wir haben es nicht für zweckmässig gehalten, die weitere Entwickelung hier auszuführen, weil Gründe für die Annahme vorliegen, dass die Resultate dieser genaueren
hier beispielsweise die Clapeyron’sche Gleichung für das
zweite
und
dritte
Tragfeld aus der zweiten der Gleichungen 18 ent- wickelt werden. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit q
2
und q
3
die Belastungen für die Längeneinheit des zweiten und dritten Tragfeldes; und mit x die horizontale, variable Entfernung des betrachteten Gurtungstheils von der
zweiten
Mittelstütze. Für jeden Gurtungstheil von der Länge d x, dem Quer- schnitt F und dem Elasticitätsmodul E ist
Ferner ergeben sich aus der Betrachtung der nachstehenden Figuren für jeden Gurtungstheil des
zweiten
Tragfeldes die Werthe:
Fig. 21.
Fig. 22.
Fig. 23.
und für jeden Gurtungstheil des
dritten
Tragfeldes
Die oberen Vorzeichen gelten für die Theile der oberen und die unteren für die Theile der unteren Gurtung. Die in den Gleichungen 18) vorkommenden Summenwerthe haben demnach für
beide
Gurtungen
gleiche
Grössen und Vorzeichen und es genügt daher, in jene Gleichungen nur die Summenwerthe für die
obere
Gurtung einzusetzen. Hiernach ist:
Theorie in der Regel nur unerheblich von den Ergeb- nissen des bislang gebräuchlichen einfacheren Verfah- rens abweichen. Man pflegt bekanntlich bei der Wahl der Querschnittsdimensionen eines kontinuirlichen Bal- kenfachwerks diejenigen äusseren Kräfte zu berück- sichtigen, welche auf einen Träger von
konstantem
Querschnitt unter sonst gleichen Umständen einwirken würden. Wenn es erlaubt ist, aus einigen durchgerech- neten Beispielen einen solchen Schluss zu ziehen, so darf jenes Verfahren als zulässig anerkannt werden. Jedenfalls dürfte es genügen, nachdem die Querschnitts- dimensionen in der eben angegebenen Weise gewählt worden sind, die Richtigkeit und Brauchbarkeit der Ergebnisse durch Anwendung des oben entwickelten Verfahrens auf einige wichtige Belastungsfälle zu prüfen. Für diesen Zweck bedarf es einer weiteren Entwicke- lung der Theorie nicht, da die Gleichungen 18) direkt in Anwendung gebracht werden können. Die ziemlich zeitraubenden Zahlenrechnungen, welche hiermit ver- bunden sind, kann man umgehen durch Anwendung des im Folgenden beschriebenen graphischen Verfahrens.
Graphische Bestimmung der Durchbiegungen eines ein- fachen Balkenfachwerks.
Fig. 24.
Ein Polygon A C B (Fig. 24), dessen vertikale Or- dinaten y
1
, y
2
, y
3
.... in Bezug auf eine Abscissen- achse A B von beliebiger Lage die Durchbiegungen der Knotenpunkte der
unteren
Gurtung eines Balkenfach- werks darstellen, nennen wir das
Biegungspolygon
jener Gurtung. Die Möglichkeit, dieses Polygon zu
oder
ferner:
und endlich:
Setzt man diese Werthe in die zweite der Gleichungen 18 ein, so ergibt sich die Beziehung:
2*
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
konstruiren, beruht auf der folgenden statischen Be- trachtung.
Es sei K (Fig. 25) die bewegliche Belastung eines in seinen Endpunkten A und B unterstützten Balkens;
Fig. 25.
Fig. 26.
Fig. 27.
C und D seien zwei Punkte der Geraden A B, ferner E F ein Schnitt, welcher zwischen C und D den Balken schneidet und endlich G ein Punkt von beliebiger Lage in der Vertikalebene des Balkens. Die Last K bewegt sich von A nach C, überspringt die Strecke C D und bewegt sich darauf von D nach B. Für jede Lage der Last K soll das Moment der links vom Schnitt E F auf den Balken einwirkenden Aussenkräfte in Bezug auf den Punkt G bestimmt werden. Dasselbe ist ab- hängig von der Stützweite s, sowie von den Abscissen b und x des Punktes G und der Kraft K. Das Moment ist offenbar gleich oder gleich
je nachdem die Last K zwischen A und C oder zwi- schen B und D liegt.
Es seien ferner K
1
K
2
.... (Fig. 26) eine beliebige Anzahl ruhender Vertikalkräfte, welche zwischen C und D auf den Balken einwirken und deren Mittelkraft, von der Grösse und Richtung der Kraft K, durch den Punkt G geht. Diese Vertikalkräfte erzeugen zwei Auf- lagerreaktionen von der Grösse
und demnach in jedem Querschnitt zwischen A und C ein Biegungsmoment gleich
und in jedem Querschnitt zwischen D und B ein Bie-
gungsmoment von der Grösse
wenn man mit x die Abscisse des Querschnitts be- zeichnet. Das Seilpolygon A H J B A (Fig. 27), welches in bekannter Weise diese Biegungsmomente graphisch darstellt, ergibt also zugleich die in der zuerst be- sprochenen Aufgabe gesuchten Momente, indem für jede Lage der beweglichen Last K das Produkt aus der entsprechenden Ordinate y des Seilpolygons und dem Horizontalzug desselben die Grösse des gesuchten Mo- mentes in Bezug auf den Punkt G darstellt. Wir be- nutzen diese Beziehung zunächst um folgende Aufgabe zu lösen.
Es ist das
Biegungspolygon
zu konstruiren, welches entsteht, wenn nur ein einziger Konstruktions- theil C D (Fig. 28) eines
einfachen
Balkenfachwerks seine Länge um das kleine Mass Δl verändert. Für
Fig. 28.
Fig. 29.
irgend einen Knotenpunkt z. B. E ist die gesuchte Durchbiegung nach Gleichung 2)
wenn man mit u diejenige Spannung des Konstruktions- theils C D bezeichnet, welche durch eine im Knoten- punkt E angebrachte Belastung von der Grösse
Eins
hervorgerufen wird. Die Berechnung der Spannung u nimmt bekanntlich die einfachste Form an, wenn es möglich ist, das Fachwerk durch einen Schnitt F F so zu zerlegen, dass ausser C D nur noch zwei Konstruk- tionstheile C H und D G, welche mit C D nicht in ei- nem Knotenpunkt zusammentreffen, geschnitten werden. Wenn man die Momentengleichung auf den Schnitt- punkt J dieser beiden Konstruktionstheile bezieht, so ist u die einzige Unbekannte in derselben. Bezeichnet man den Hebelarm der Spannung u in Bezug auf den Drehpunkt J mit a, so ist zufolge jener Momenten- gleichung das Moment u · a gleich der Momentensumme der links (oder rechts) vom Schnitt F F auf den Träger wirkenden Aussenkräfte. Das Moment u · a wird von der Belastung
Eins
hervorgerufen; dasselbe nimmt
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
demnach die Grösse u · Δ l an, wenn man auf den Knotenpunkt E anstatt der Belastung Eins die Last
einwirken lässt. Die in Rede stehende Aufgabe ist hierdurch auf folgende zurückgeführt: Eine Belastung
nimmt nach einander die sämmtlichen durch die Knotenpunkte der unteren Gurtung bestimmten Lagen an; es ist für jede Lage dieser Last die Grösse u · Δ l des Moments der links vom Schnitt F F liegenden Aussenkräfte in Bezug auf den Punkt J zu bestimmen. Diese Aufgabe wird nach dem Obigen auf graphischem Wege gelöst, indem man zwischen den Knotenpunkten G und D, welche den
geschnittenen
Theil G D der
unteren
Gurtung begrenzen, Vertikalkräfte K
1
, K
2
… anbringt, deren Mittelkraft von der Grösse
durch den Punkt J geht, und wenn man alsdann die von jenen Belastungen erzeugten Biegungsmomente vermit- telst eines Seilpolygons konstruirt. Dieses Seilpolygon ist das verlangte Biegungspolygon und zwar steht der Massstab der Abscissen zum Massstab der Durchbie- gungen in demselben Verhältnisse, wie der Horizontal- zug oder die Poldistanz des Seilpolygons zu Eins. Ist also z. B. der Massstab der Abscissen 1 : 1000, so hat man die Poldistanz gleich 0,
001
aufzutragen, um die Durchbiegungen in
natürlicher
Grösse zu konstruiren.
In Bezug auf die
Richtungen
der Belastungen K ist zunächst daran zu erinnern, dass in der Gleichung
die Grössen
positive
Werthe haben, wenn Δ y eine
Hebung
des betreffenden Knotenpunktes, u eine
Zug- spannung
und Δ l eine
Verlängerung
des betrach- teten Konstruktionstheils C D bezeichnet; sie sind da- gegen
negativ
, wenn Δ y eine
Senkung
, u eine
Druck
spannung und Δ l eine
Verkürzung
darstellt. Die Durchbiegung eines Knotenpunktes hat demnach die Richtung nach unten oder nach oben, je nachdem Δ l und das auf den Knotenpunkt bezügliche u
gleiche
oder
entgegengesetzte
Vorzeichen haben. Es ist zweckmässig, bei der Konstruktion des Biegungspolygons die Lage des Pols im Kräftepolygon so zu wählen, dass die Durchbiegungen in Bezug auf die Schlusslinie dieselbe Richtung — nach oben oder unten — erhalten wie die erzeugende Belastung K. Unter dieser Voraus- setzung ergeben sich folgende Regeln:
Gehört der betrachtete Konstruktionstheil C D (Fi- gur 30) einer der beiden
Gurtungen
an, so kann die Belastung
Fig. 30.
Fig. 31.
unmittelbar in der Vertikalen des Momentenpunktes J angebracht werden, und zwar ist K nach
unten
oder nach
oben
gerichtet, je nachdem u und Δ l
gleiche
oder
entgegengesetzte
Vorzeichen haben; hierbei ist zu beachten, dass alle Werthe von u für jeden Theil der
unteren
Gurtung
positiv
und für jeden Theil der oberen Gurtung
negativ
sind.
Ist dagegen der betrachtete Konstruktionstheil C D ein
Füllungstheil
(Fig. 32), so muss, weil der Mo-
Fig. 32.
Fig. 33.
mentenpunkt J nicht zwischen G und D liegt, die Mittelkraft K in zwei Kräfte K
1
und K
2
zerlegt wer- den, die man zweckmässig in den
Endpunkten
G und D des vom Schnitt F F getroffenen unteren Gur- tungstheils anbringt. Die Belastungen K
1
und K
2
zu beiden Seiten des Schnittes F F haben immer
entge- gengesetzte
Richtungen, und zwar ist die Belastung nach
unten
gerichtet auf derjenigen Seite des Schnit- tes, auf welcher Spannungen u von
demselben
Vor- zeichen wie Δ l erzeugt werden. Hierbei ist zu beach- ten, dass der Schnitt F F das Fachwerk in zwei Theile zerlegt, von welchen der eine den
oberen
Knotenpunkt C und der andere den
unteren
Knotenpunkt D des betrachteten Füllungstheils C D enthält, und dass alle Belastungen des erstgenannten Trägertheils negative, dagegen alle Belastungen des letztgenannten Träger- theils positive Spannungen u hervorrufen. Es ergibt sich hiernach folgendes Verfahren: man versehe den oberen Knotenpunkt des Füllungstheils (Figur 32) mit dem Zeichen —, den unteren mit dem Zeichen + und den Füllungstheil selbst mit dem Vorzeichen von Δ l. Für Figur 32 ist beispielsweise eine Verkürzung des Füllungstheils C D angenommen und derselbe demge- mäss mit — bezeichnet. Auf derjenigen Seite des Schnittes F F, auf welcher das Vorzeichen des Knoten- punktes mit dem Vorzeichen des Füllungstheils
über- einstimmt
, hat die Belastung des Biegungspolygons — in Figur 33 die Belastung K
1
— die Richtung nach unten und auf der anderen Seite die Richtung nach
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
oben. Man kann diese beiden Richtungen, wie es in den folgenden Beispielen geschehen ist, durch die Vor- zeichen — und + von einander unterscheiden.
Es ist zu empfehlen, die Bestimmung der
Grössen
der Belastungen K
1
und K
2
von der Länge a, welche sehr häufig auf der Zeichnung nicht mit der erwünsch- ten Genauigkeit gemessen werden kann, unabhängig zu machen. Es geschieht dies, indem man die Gerade D L parallel zu C G zieht und die beiden Abstände a
1
und a
2
der Punkte G und L von dem betrachteten Konstruktionstheil C D misst. Denn offenbar ist: 19)
Die vorstehenden Regeln lassen sich nicht ohne Weiteres anwenden, wenn jeder Schnitt durch den be- trachteten Konstruktionstheil entweder mehr oder weni- ger als
zwei
andere Theile trifft. In Figur 34 sind alle Formen dieses Ausnahmefalles, welche für den vorliegenden Zweck in Betracht zu ziehen sind, dar- gestellt, und zwar beziehen sich dieselben auf die Kon- struktionstheile 2, 7, 11 und 16. Schaltet man, ohne im Uebrigen die Form des Fachwerks zu verändern, statt der Knotenpunkte A, B, C, D Gurtungstheile A A, B B, C C, D D (Fig. 35) von
unendlich kleiner
Länge ein und ertheilt man z. B. jedem der beiden Theile 7 und 7a in Figur 35 dieselbe Längenänderung Δ l wie dem Theil 7 in Figur 34, so wird die Formverände- rung des Fachwerks in beiden Fällen offenbar genau dieselbe sein. Auf das Fachwerk (Fig. 35) lassen sich aber die oben entwickelten Regeln anwenden, und es ist also hierdurch der Ausnahmefall auf die regelmässige Behandlung der Aufgabe zurückgeführt.
Fig. 34.
Fig. 35.
Zur Vereinfachung der Darstellung wurden bis jetzt nur diejenigen Durchbiegungen in Betracht ge- zogen, welche von der Längenänderung eines einzigen Konstruktionstheils hervorgerufen werden. Wenn statt dessen die Formveränderung des Fachwerks durch die Längenänderungen einer beliebigen Anzahl oder aller Konstruktionstheile herbeigeführt wird, so ergibt sich, indem man eine bekannte Eigenschaft des Seilpolygons zur Anwendung bringt, das Biegungspolygon, wenn man nach den vorstehenden Regeln die Belastungen K
oder K
1
und K
2
für alle Konstruktionstheile bestimmt und das Seilpolygon dieser sämmtlichen Belastungen konstruirt.
Die im Vorstehenden beschriebene Konstruktion des Biegungspolygons wird, wenn es sich nur um die Durch- biegung eines bestimmten Knotenpunktes für einen ein- zelnen Belastungsfall handelt, im Vergleich mit der Berechnung der Durchbiegung nach der Gleichung 2 keine Vortheile gewähren. Der Nutzen des graphischen Verfahrens ergibt sich erst durch die Anwendung der folgenden Beziehung:
Sind C und D zwei beliebige Knotenpunkte des Fachwerks, so ist die Durchbiegung des Knotenpunktes C, welche von einer Belastung P des Knotenpunktes D hervorgerufen wird, genau so gross wie die Durchbie- gung des Knotenpunktes D in Folge derselben Bela- stung des Knotenpunktes C. Der Beweis für die Richtigkeit dieser Behauptung ergibt sich fast unmittel- bar aus der Gleichung 2. Denn bezeichnet man die Werthe von u für den Knotenpunkt C mit u
1
und für den Knotenpunkt D mit u
2
, so erzeugt die Belastung P des Knotenpunktes D Spannungen der Konstruktions- theile von der Grösse
also elastische Längenänderungen
und in Folge dessen eine Durchbiegung des Knoten- punktes C von der Grösse:
Ist dagegen der Knotenpunkt C mit P belastet, so wird
und die Durchbiegung des Knotenpunktes D
also eben so gross, wie die Durchbiegung des Punktes C im ersten Falle.
Bezeichnet man demnach mit (Fig. 37 auf Bl. 614) y
1
, y
2
, y
3
.... diejenigen Durchbiegungen, welche die Knotenpunkte I, II, III .... des Fachwerks (Fig. 36) erleiden, wenn ein bestimmter Knotenpunkt z. B. VI mit dem Gewichte R belastet ist, so ergibt sich für den Fall, in welchem die Knotenpunkte I, II, III .... mit P
1
, P
2
, P
3
.... belastet sind, die Durchbiegung y des Knotenpunktes VI aus der Formel: 20)
Wenn die Belastungen P
1
, P
2
, P
3
… nicht in den Knotenpunkten I, II, III … angebracht sind, sondern an beliebigen Stellen zwischen jenen Punkten auf den Fahrbahnträger einwirken, so ist es für die Anwendung der Gleichung 20) nicht erforderlich, die Belastungen auf die Knotenpunkte zu vertheilen, sondern man ge- langt auf einfacherem Wege zu demselben Resultat, wenn man bei der Bildung der Summe Σ P · y jede Belastung P ohne Weiteres mit der in ihrer Vertikalen zu messenden Ordinate y des Biegungspolygons multi-
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
plicirt. Die Bildung der rechten Seite der Gleichung 20 kann demnach in allen Fällen auf sehr einfache Weise vermittelst eines Seilpolygons erfolgen.
Beispiel
. Auf Blatt 614 sind eine Anzahl Durch- biegungen des in Figur 36 dargestellten Brückenträgers konstruirt worden, und zwar Durchbiegungen desjeni- gen Knotenpunktes VI, welcher die Länge der unteren Gurtung halbirt. Der Fahrbahnträger der Brücke ist in den Knotenpunkten der
unteren
Gurtung aufge- hängt und demgemäss ist in Figur 37 das Biegungs- polygon A der unteren Gurtung konstruirt, welches
entsteht, wenn man den Knotenpunkt VI mit R = 100 Millionen Tonnen belastet. Wäre der Fahrbahnträger von den Knoten- punkten der
oberen
Gurtungen unterstützt, so hätte in ganz ähnlicher Weise das Biegungspolygon der oberen Gurtung konstruirt werden müssen.
Zu dem angegebenen Zwecke sind in dem Kräfte- plane Figur 38 die Spannungen S = u · R bestimmt. Es sind darauf in der folgenden Tabelle mit Hülfe der gegebenen Längen und Querschnitte der
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
Konstruktionstheile die Belastungen
des Biegungs- polygons ermittelt worden, wobei der Elasticitätsmodul des Schmiedeisens gleich 2000 Tonnen für den □Zenti- meter gesetzt ist. Das Biegungspolygon A ist mit einer Poldistanz gleich Tausend konstruirt. Wollte man die Formveränderungen der
Füllungstheile
vernach- lässigen und nur diejenigen der
Gurtungstheile
be- rücksichtigen, so würden als Belastungen des Biegungs- polygons nur die den
Gurtungstheilen
entsprechenden Werthe von
, welche in der Tabelle besonders sum- mirt sind, in Betracht kommen. Das Biegungspolygon würde alsdann die Form des Seilpolygons B (Figur 37) annehmen, welches ebenfalls mit einer Poldistanz gleich Tausend konstruirt ist. Beide Polygone A und B haben selbstverständlich in Bezug auf die Vertikalachse durch die Trägermitte eine symmetrische Form; vom Polygon B ist daher nur die Hälfte gezeichnet. Die Abwei- chungen zwischen den Ordinaten der Polygone A und B zeigen den beträchtlichen Einfluss der Längenänderun- gen der Füllungstheile auf die Grösse der Durchbiegung. Dieser Einfluss macht sich, wie die Figur zeigt, vor- zugsweise geltend, wenn der Balken in der Nähe der Trägermitte belastet ist. Um beispielsweise für eine gleichmässige Belastung von 13 Tonnen auf jeden der elf Knotenpunkte der unteren Gurtung die Durchbie- gung des Knotenpunktes VI zu ermitteln, ist durch das Seilpolygon C (Figur 37) die Grösse
Σ P · y (Glei- chung 20) konstruirt worden. Da dieses Seilpolygon mit einer Poldistanz gleich 200 Tonnen, das Seilpolygon A dagegen mit einer Poldistanz gleich Tausend kon- struirt wurde, so ergibt sich in dem erstgenannten Po- lygon die Durchbiegung in einem
vergrösserten Massstabe. Die Abscissen in Figur 37 sind im Massstab 1 : 500 dargestellt; die Durchbiegung im Polygon C erhält folglich die
natürliche Grösse
. Hiernach ist die gesuchte Durchbiegung gleich 39 Milli- meter. Entnimmt man die Ordinaten y nicht aus dem Biegungspolygon A, sondern aus dem Polygon B, be- rücksichtigt man also nur die Längenänderungen der
Gurtungstheile
, so findet man vermittelst des Seil- polygons D, welches ebenfalls mit 200 Tonnen Pol- distanz konstruirt wurde, die Durchbiegung für den- selben Belastungsfall gleich 35 Millimeter, also um etwa 10 Procent kleiner als oben. Endlich ist vermittelst des Seilpolygons E die Durchbiegung konstruirt, welche von der zwischen den Figuren 36 und 37 dargestell- ten, aus 15 Einzelkräften bestehenden unregelmässigen Belastung hervorgerufen wird. Diese Durchbiegung hat die Grösse von 20 Millimetern.
Anwendung auf die Bestimmung der Auflagerdrücke des kontinuirlichen Balkenfachwerks.
Man nehme an, es seien die sämmtlichen
Mittel-
stützen
beseitigt (Figur 40, Blatt 615) und der auf seinen Endstützen A und B ruhende gewichtlose Trä- ger sei in demjenigen Knotenpunkte C, welcher mit der
ersten
Mittelstütze in Berührung stand, mit einem Gewichte R belastet. Man konstruire für diesen Be- lastungsfall das Biegungspolygon A (Fig. 41, Blatt 615) derjenigen Knotenpunkte, welche die Fahrbahn des Brückenträgers unterstützen und bezeichne mit: y
1
, y
2
, y
3
...... die Ordinaten dieses Polygons in den Ver- tikalen der Einzellasten P
1
, P
2
, P
3
...., welche die gegebene Belastung des kontinuirlichen Trägers bilden; ferner mit Q
1
, Q
2
, Q
3
.... die von dieser Belastung erzeugten Auflagerreaktionen der 1sten, 2ten, 3ten .... Mittelstütze und endlich mit y
(1)
, y
(2)
, y
(3)
.... die Ordi- naten des oben bezeichneten Biegungspolygons in den Vertikalen der 1sten, 2ten, 3ten … Mittelstütze.
Wenn nun bei dieser Belastung die erste Mittel- stütze in der Horizontalen der beiden Endauflager bleibt, oder mit anderen Worten: wenn die Durchbiegung des in seinen beiden Endpunkten unterstützten und mit den Vertikalkräften P
1
, P
2
, P
3
… Q
1
, Q
2
, Q
3
… be- lasteten Balkens in der Vertikalen der ersten Mittel- stütze gleich Null ist, so muss nach Gleichung 20
oder 21)
sein. Liegt die erste Mittelstüze dagegen nicht in der Horizontalen der beiden Endstützen, sondern um das Mass z
1
unter
derselben, so wird die rechte Seite der Gleichung 21 anstatt Null gleich R · z
1
.
Indem man das beschriebene Verfahren für jede Mittelstütze wiederholt, ergeben sich Beziehungen von der Form der Gleichung 21, welche zur Bestimmung der unbekannten Auflagerreaktionen Q benutzt werden können.
Die Summen Σ P · y sind zweckmässig auf gra- phischem Wege zu ermitteln, während die Entwicke- lung der Werthe Q aus den Gleichungen 21 in der Regel durch Rechnung erfolgen muss.
Vergleicht man das hier beschriebene Verfahren mit der Anwendung der Gleichungen 18, so wird man den Vorzug des ersteren hauptsächlich darin erkennen, dass die Bildung der Werthe Σ P · y bei Weitem weniger zeitraubend ist als diejenige der Werthe Σ u ·
S
· r in den Gleichungen 18. Dieser Vortheil wird desto er- heblicher, eine je grössere Anzahl von Belastungsfällen man in Betracht zu ziehen hat.
Beispiel
. Das oben beschriebene Verfahren ist auf Blatt 615 auf ein kontinuirliches Balkenfachwerk mit drei Tragfeldern von 73,
6
Meter Stützweite ange- wandt worden.
Die folgende Tabelle enthält die Berechnung der Belastungen
des Biegungspolygons A der unteren Gurtung (Figur 41), welches entsteht, wenn der gewicht-
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
lose Träger in seinen Endpunkten A und B gestützt und im Knotenpunkte C mit R = 300 Millionen Tonnen belastet wird. Zur besseren Uebersicht sind die Werthe von
in die Figur 40 eingeschrieben und die hieraus sich ergebenden Belastungen des Biegungspolygons unter der Figur zusammengestellt. Da Form und Dimensio- nen des Fachwerks in Bezug auf die durch die Trä- germitte gelegte Vertikalachse symmetrisch angeordnet sind, so ergibt sich für den Fall, in welchem die Be- lastung R auf den Knotenpunkt D einwirkt, ein dem Polygon A symmetrisch geformtes Biegungspolygon B. Die Ordinaten dieser beiden Polygone in den Vertika- len der beiden Mittelstützen sind 117,
5
und 102,
4
Milli- meter. Die Gleichungen 21 nehmen daher in dem vorliegenden Falle folgende Form an:
oder
und
wenn man durch die Zeichen ∑
A
und ∑
B
andeutet, dass die Ordinaten y des Polygons A oder diejenigen des Polygons B in Rechnung zu bringen sind.
Es mögen zunächst die Auflagerdrücke ermittelt werden, welche von einer gleichmässig vertheilten Be- lastung eines jeden der drei Tragfelder hervorgerufen werden. Belastet man das
erste
Tragfeld gleichmässig mit 100 Tonnen, so dass die Knotenpunkte A und C (Fig. 40) je 5 Tonnen und die übrigen neun Knotenpunkte der unteren Gurtung des ersten Tragfeldes je 10 Tonnen aufzunehmen haben, so ergeben die Seilpolygone C und E (Fig. 41), welche mit einer Poldistanz gleich 100 Tonnen konstruirt sind, die Längen
und
Bei dieser Belastung ist sonach:
und
Belastet man in gleicher Weise das
zweite
Tragfeld mit 100 Tonnen, so ergibt das Seilpolygon D (Fig. 41) die Längen
Für diesen Belastungsfall ist demnach:
Endlich ergeben sich die von einer Belastung von 100 Tonnen des
dritten
Tragfeldes erzeugten Auf- lagerreaktionen nach dem Gesetz der Symmetrie:
Bezeichnet man die gleichmässig vertheilte Bela- stung des ersten, zweiten, dritten Tragfeldes mit G
1
, G
2
und G
3
, so ist nach den obigen Resultaten:
und
Für einen kontinuirlichen Träger von
konstan- tem
Querschnitt und drei gleichen Tragfeldern ist:
und
Die Auflagerdrücke des hier berechneten Balken- fachwerks weichen also nur sehr wenig von denjenigen eines Trägers von konstantem Querschnitt ab. Dass diese Differenzen nicht allein bei gleichmässiger Be- lastung der einzelnen Tragfeder, sondern auch bei jeder anderen unregelmässigen Belastung sehr klein ausfal- len, erkennt man, wenn man die Biegungskurve A für einen Träger von konstantem Querschnitt konstruirt und ihre Ordinaten mit denjenigen des Polygons A in Figur 41 vergleicht. Diese Kurve ist in Figur 41 des- halb nicht eingetragen worden, weil die Abweichungen zwischen beiden Linien so klein sind, dass sie im Massstabe jener Zeichnung nicht deutlich zur Anschau- ung gebracht werden können.
Endlich sind in der rechten Hälfte der Figur 41 für eine unregelmässige, aus sechs Einzellasten be- stehende Belastung vermittelst der Seilpolygone F und G, deren Poldistanz 30 Tonnen beträgt, die Längen
und
konstruirt worden. Die von dieser Belastung erzeugten Auflagerreaktionen sind also:
und
3
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
Tabelle, enthaltend die Berechnung der Belastungen
Mohr
, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
des Biegungspolygons A in Figur 41 Blatt 615.
3*
Band XXI. Zeitschrift des Arch- und Jng-Vereins zu Hannover Blatt 614.
Graphische Bestimmung der Durchbiegungen eines Fachwerks. Fig. 36. Numerirung der Constructionstheile. Dimensionen in Centimetern. (M.:1:500)