Journal
für die
reine und angewandte Mathematik.
In zwanglosen Heften.
Als Fortsetzung des von
A. L. Crelle
gegründeten Journals herausgegeben
unter Mitwirkung der Herren
Steiner, Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass
von
C. W. Borchardt.
Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.
Sieben und funfzigster Band.
In vier Heften.
Berlin,
1860
.
Druck und Verlag von Georg Reimer.
Inhalts-Verzeichniss des sieben und funfzigsten Bandes.
T
heorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. Von Herrn
H. Helmholtz
zu Heidelberg.
Seite 1
Zur Theorie der Trägheitsmomente und der Drehung um einen Punkt. Von Herrn
A. Clebsch
zu Carlsruhe.
— 73
Note über die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe. Von Herrn
S. Spitzer
zu Wien.
— 78
Bemerkung zu vorstehender Note. Vom Herausgeber.
— 81
Ueber die Integration der Differentialgleichung
x^m\frac{d^ny}{dx^n} = \pm y
durch bestimmte Integrale. Von Herrn
S. Spitzer
zu Wien.
— 82
Ueber einige geometrische Sätze. Von Herrn
von Staudt
zu Erlangen.
— 88
Zwei Sätze über das grösste Product aus ganzen Zahlen von gegebener Summe. Von Herrn
Oettinger
zu Freiburg i. Br.
— 90
Ueber die Gleichgewichtsfigur eines biegsamen Fadens. Von Herrn
A. Clebsch
zu Carlsruhe.
— 93
Ueber eine der Interpolation entsprechende Darstellung der Eliminations-Resul- tante. (Aus dem Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin.) Von
C. W. Borchardt
.
— 111
Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwen- dung auf die Integralrechnung. Von Herrn
Kinkelin
früher zu Aarburg gegenwärtig zu Bern.
— 122
Sur l’Invariant le plus simple d’une fonction quadratique bi-ternaire, et sur le Résultant de trois fonctions quadratiques ternaires. Par M.
A. Cayley
. . — 139 Ueber das Gleichgewicht schwimmender Körper. Von Herrn
A. Clebsch
zu Carlsruhe.
— 149
Ueber eine symbolische Formel, die sich auf die Zusammensetzung der binären quadratischen Formen bezieht. Von Herrn
L. Schläfli
zu Bern.
— 170
Neue Eigenschaften der linearen Substitutionen, welche gegebene homogene Functionen des zweiten Grades in andere transformiren, die nur die Qua- drate der Variabeln enthalten. Von Herrn
O. Hesse
zu Heidelberg.
— 175
Inhaltsverzeichniss des sieben und funfzigsten Bandes.
Vergleichung zweier Formen der Eliminations-Resultante. Von
C. W. Borchardt
.
Seite 183
Ueber den biquadratischen Character der Zahl „Zwei“. Aus einem Briefe
Dirichlets
an Herrn
Stern
zu Göttingen.
— 187
Allgemeine Theorie der gradlinigen Strahlensysteme. Von Herrn
E. E. Kummer
.
— 189
Ueber die Zähler und Nenner der Näherungswerthe von Kettenbrüchen. Von Herrn
E. Heine
zu Halle.
— 231
Ueber die Anzahl der verschiedenen Classen quadratischer Formen von nega- tiver Determinante. Von Herrn
Kronecker
.
— 248
Von den Gammafunctionen und einer besonderen Art unendlicher Producte. Von Herrn
G. Bauer
zu München.
— 256
Démonstration d’un théorème de
Jacobi
par rapport au problème de
Pfaff
. Par M.
A. Cayley
.
— 273
Ueber den Grad der abwickelbaren Fläche, die einer Fläche
m
ter
Ordnung dop- pelt umschrieben ist. Von Herrn
Joh. Nik. Bischoff
zu München.
— 278
Zur Theorie der Elasticität. Von Herrn
C. Neumann
zu Halle.
— 281
Theorie der circularpolarisirenden Medien. Von Herrn
A. Clebsch
zu Carlsruhe.
— 319
Ueber eine Gattung von Curven vierten Grades, welche mit den elliptischen Functionen zusammenhängen. Von Herrn
Siebeck
zu Liegnitz.
. — 359
Sur le résultant de trois formes quadratiques ternaires, extrait d’une lettre à M.
Borchardt
. Par M.
Ch. Hermite
à Paris.
— 371
Zum Gedächtniss
Gustav Lejeune Dirichlets
. Vom Herausgeber.
— 91
Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden.
(Von Herrn
H. Helmholtz
zu Heidelberg.)
D
ie mathematische Theorie der Orgelpfeifen ist von den bedeutend- sten mathematischen Physikern vielfältig behandelt worden, aber seit den ersten Schritten, welche
D. Bernoulli
und
Euler
gethan haben, und durch welche die Hauptzüge der Erscheinung eine annähernde Erklärung fanden, um keinen wesentlichen Schritt vorgerückt. Der Grund davon hat hauptsächlich darin gelegen, dass die Mathematiker es nicht wagten, die Annahme aufzugeben, dass die Bewegung der Lufttheilchen im Innern der Röhre überall ihrer Axe parallel gerichtet, und sowohl die Geschwindigkeit wie der Druck in allen Punk- ten desselben Querschnitts der Röhre gleich gross sei. Diese von den ersten Bearbeitern der Einfachheit wegen gemachte Annahme ist ganz unbedenklich für die von offenen Enden entfernteren Theile einer cylindrischen oder prismati- schen Röhre, aber in der Nähe offener Enden, wo die ebenen Wellen der Röhre in den freien Raum überzugehen anfangen, um sich dort in Form kugeliger Wellen auszubreiten, ist jene Annahme nicht mehr zulässig, da es klar ist, dass ein solcher Uebergang nicht sprungweise geschehen kann.
Bernoulli, Euler
und
Lagrange
hatten angenommen, dass die Verdichtung am offenen Ende der Röhre stets gleich Null sei. Dass sie sehr viel kleiner sein müsse als bei den gleichen Wellenphasen im Innern der Röhre, wo die bewegte Luft von den Röhrenwänden gehindert wird, sich seitlich auszudehnen, ist leicht einzusehen, da am offenen Ende kein anderes Hinderniss ihrer Aus- dehnung besteht als die Trägheit der benachbarten Luftmassen. In so fern nähert sich jene Annahme und die darauf basirte Theorie allerdings sehr der Wahrheit, aber sie ist nicht vollständig richtig. Denn die Dichtigkeit am Ende der Röhre muss allerdings gleich gesetzt werden der Dichtigkeit der anstossenden Luft im freien Raume, aber nicht der constanten Dichtigkeit der ruhenden Luft, sondern der veränderten Dichtigkeit dieser selbst in Vibration gerathenen Luft. Deshalb widersprechen die Folgerungen aus jener Annahme auch in mancher anderen Beziehung der Erfahrung. So folgt daraus, wie
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 1
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
schon
Poisson
hervorgehoben hat, dass bei gewissen Röhrenlängen die Schwin- gungen im Innern, welche eine endliche Kraft oder eine endliche mitgetheilte Bewegung erregt, unendlich gross werden, und einmal erregt, nicht wieder erlöschen, weil sie nichts von ihrer lebendigen Kraft der äusseren Luft mit- theilen.
Euler
Novi Commentarii Acad. Petrop. Tom. XVI, p. 347.
selbst hatte diese Abweichungen dadurch erklären wollen, dass die Erschütterung sich zum Theil den Wänden der Röhre mittheilte und dadurch der Luftmasse verloren ginge.
Poisson
Mémoires de l’Académie des Sciences 1817 T. II, p. 305.
suchte den Grund rich- tiger in dem Umstande, dass die Verdichtung am offenen Ende der Röhre nicht vollständig gleich Null, sondern nur sehr klein sei. Aber er wusste ihren wirklichen Werth nicht zu finden, sondern baute seine Theorie auf eine neue Hypothese, welche sich in unserer Untersuchung als im Allgemeinen unrichtig erweisen wird. Er machte nämlich die Annahme, dass die Verdich- tung am Ende der Röhre proportional der Geschwindigkeit sei, wie sie es bei ebenen fortschreitenden Wellen ist. Wenn die Geschwindigkeit
v,
die Verdichtung
s,
die Schallgeschwindigkeit
a
ist, so setzte er
kv = as.
Die Constante
k
nimmt er an geschlossenen Enden als sehr klein, an offenen als sehr gross an; ihr wirklicher Werth bleibt unbestimmt. Dieser Annahme gemäss müssten am offenen Ende der Röhre die Maxima der Geschwindigkeit mit den Maximis der Verdichtung der Luft der Zeit nach zusammenfallen. Im Gegentheil wird die von uns anzustellende vollständigere Analyse zeigen, dass beide nahehin um ein Viertel der Schwingungsdauer auseinanderfallen.
Poisson
s
Annahme beseitigt die genannten Uebelstände der früheren Theorien, indem bei seiner Hypothese allerdings Schall in den freien Raum übergeht, und des- halb die Schallschwingungen in der Röhre schnell erlöschen, sobald die er- regende Kraft aufgehört hat zu wirken. Wie viel Schall aber in den freien Raum bei jeder Reflexion der Schallwellen übergeht, hängt von dem unbe- kannten Werthe der Constante
k
ab, und bleibt deshalb selbst unbekannt.
Andrerseits folgt aus
Poisson
s
wie aus der älteren Annahme, dass die Flächen kleinster Bewegung (Knotenflächen) genau um eine Viertelwellen- länge vom offenen Ende der Röhre abstehen, was allen älteren und neueren Erfahrungen über die Höhe der durch Anblasen erzeugten Töne und der
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
durch die Resonanz der Röhre verstärkten Töne widerspricht und durch die directen Versuche von
Hopkins
über die Lage der Knotenflächen widerlegt wird. Diese Flächen sind in offenen cylindrischen und prismatischen Röhren vom Ende der Röhre etwas weniger entfernt, als die Viertelwellenlänge be- trägt. Gegen
Poisson
s
Versuch zu erklären, warum beim Anblasen beider- seits offener Röhren tiefere Töne entstehen, als seine Theorie erwarten lässt, haben schon
Quet
und
Zamminer
gegründete Bedenken erhoben.
Poisson
s
Formeln ergeben nämlich, dass, wenn eine Bewegung von bestimmter Ampli- tude der Luft der Röhre in einem Knotenpunkte mitgetheilt wird, die Am- plitude in den Schwingungsbäuchen sehr gross wird, nämlich von derselben Ordnung wie
Poisson
s
Constante
k
. Daraus schliesst er, dass für diesen Fall die Amplituden der Schwingung grösser würden, als es die bei der Ableitung der Bewegungsgleichungen gemachte Annahme unendlich kleiner Vibrationen erlaubte. Unter diesen Umständen sei also Schallbewegung unmöglich, und es könnten deshalb beim Anblasen der Röhre nur Töne entstehen, die sich dieser Grenze der Tonhöhe näherten, wirklich aber immer tiefer bleiben müssten. Mathematisch ist dieser Schluss unzulässig, denn wie gross auch die übrigens durchaus unbekannt bleibende Grösse
k
sein mag, so würde doch immer die Grösse der mitgetheilten Amplituden so klein gewählt werden kön- nen, dass die Bewegungsgleichungen der Schallbewegung anwendbar bleiben, und auch der Erfahrung widerspricht diese Darstellung. Allerdings tritt in den Versuchen von
Hopkins
die Schwierigkeit, der Luft der Röhre in einer Knotenfläche eine gegebene Bewegung mitzutheilen, deutlich in die Erschei- nung, weil nämlich hier der Widerstand der Luft den Schwingungen der von
Hopkins
angewendeten schwingenden Platten am meisten hinderlich wird. Die lebendige Kraft der Bewegung, welche der schwingende Körper an die Luft abgeben muss, um die starke Resonanz der Röhre zu unterhalten, wird hier am bedeutendsten, und wenn also der schwingende Körper nicht ge- nügend viel lebendige Kraft erzeugen und abgeben kann, hört er auf zu schwingen. Wendet man dagegen Platten an, die von Stimmgabeln erschüttert werden, deren Vibrationen zu kräftig sind, um durch den Luftwiderstand er- heblich verändert zu werden, so erhält man gerade in den Fällen die vollste und schönste Resonanz, wo die Platte in einer Knotenfläche der Röhre liegt, und nach
Poisson
die Resonanz unmöglich wäre. Ausserdem zeigt sich in den Versuchen von
Hopkins
die Schwierigkeit des Tönens der Platten gerade bei solchen Tönen, wie sie das Anblasen der Röhre giebt, aber nicht bei
1 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
den etwas höheren Tönen, welche
Poisson
als unmöglich betrachtet; diese kommen ohne Schwierigkeit zu Stande.
Es hat übrigens
Quet
Liouville
Journal, Tom. XX, p. 1.
diese Unzulänglichkeiten von
Poisson
s
Theorie, die nicht nothwendig aus seiner Fundamentalhypothese fliessen, verbessert, während er sich übrigens dieser Hypothese anschliesst und ihre Richtigkeit wahrscheinlich zu machen sucht.
Hopkins
Transactions of the Cambridge Philos. Soc. Vol. V. —
Poggendorfs
Annalen Bd. XLIV, p. 246.
hat die Beschränkung, welche in
Poisson
s
Grenzbedin- gung für das offene Ende der Röhre liegt, weggelassen und nur die Be- dingung festgehalten, dass der Druck am offenen Ende klein sein müsse, und dadurch die Möglichkeit offen behalten, in seinen Formeln die Uebereinstimmung mit den Thatsachen vollständig zu bewahren, aber freilich bleiben die Con- stanten, von denen die Lage der Knotenflächen und die Phasenunterschiede in den einzelnen Theilen der Röhre abhängen, in der Theorie unbekannt. Da- gegen hat
Hopkins
eine Reihe wichtiger Versuche über die Lage der Knoten- punkte und die Tonhöhe ausgeführt, um eine jener Constanten wenigstens empirisch zu bestimmen.
Duhamel
Liouville
Journal, Tom. XIV, p. 49.
stellte sich zur Aufgabe, den Einfluss der der Axe nicht parallelen Bewegungen in Röhren zu ermitteln. Da er aber für das offene Ende sich mit der einfachen Annahme begnügt, dass hier der Druck gleich Null sei, verschwindet der Einfluss, den die seitlichen Bewegungen der Luft- theile hier haben aus seiner Rechnung, und er kommt zu dem Schlusse, dass die Differenz zwischen Theorie und Erfahrung nicht von dem Vorkommen solcher Bewegungen abhängt.
Masson
Annales de Chimie et de Physique, Sér. 3, Tom. XL, p. 418.
endlich vertheidigt die Theorie von
Poisson
im Ganzen und sucht die Uebereinstimmung zwischen ihr und der Erfahrung durch eine neue Hypothese über die Bewegungsart der Luft in dem der Anblaseöffnung nächsten Abschnitte der Luftsäule herzustellen.
Uebrigens ist es klar, dass, sobald die Gestalt des ganzen Luftraums, sowohl des inneren der Pfeife als des äusseren, gegeben ist — wir nehmen ihn im Folgenden immer als von festen Wänden begrenzt an — und wenn ferner die den Schall erregenden Kräfte gegeben sind, die Aufgabe mathe-
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
matisch vollständig bestimmt ist, und keine weitere Hypothese über den Zu- stand der Luft am offenen Ende einer Pfeife zu machen ist. Eine richtig angestellte Analyse der Aufgabe muss darüber vollständigen Aufschluss geben.
Akustische Untersuchungen, bei denen ich über die bisher unerledigten Punkte der Theorie Auskunft brauchte, waren für mich die Veranlassung, die Untersuchung aufzunehmen, in welcher Weise sich ebene Schallwellen, die in der Tiefe einer cylindrischen Röhre erregt worden sind, bei ihrem Ueber- gange in den freien Raum erhalten, und ich habe gefunden, dass die gegen- wärtigen Hülfsmittel der Analysis ausreichen über die wesentlichen hier in Betracht kommenden Fragen genügende Auskunft zu geben, ohne dass es nöthig ist irgend eine Hypothese zu machen.
Die Kräfte der Analyse sind in den bisherigen Arbeiten über Theorie des Schalles hauptsächlich darauf hin angespannt worden, den Verlauf einer ursprünglich vorhandenen Gleichgewichtsstörung in einer Luftmasse, die übri- gens keiner Einwirkung fremder Kräfte unterliegt, zu bestimmen. Bei den Tönen der Pfeifen ist aber dieses Problem von verhältnissmässig unterge- ordneter Wichtigkeit. Es handelt sich hauptsächlich darum, die Schwingungs- form zu ermitteln, welche schliesslich sich dauernd herstellt, wenn die die Schwingungen erregende Ursache dauernd und gleichmässig fortwirkt. Es ist ferner unnöthig, dass wir die Analyse durch Beibehaltung der willkürlichen Functionen verwickelter machen, welche die Form der ursprünglich erregten Schwingung ausdrücken. Wir werden vielmehr voraussetzen, dass diese Vibrationen denen eines einfachen Tones von
n
Schwingungen in der Secunde entsprechen, also von der Form cos(2π
nt + c
) sind. Die Willkürlichkeit der Form würde sich ja auch nach erfolgter Auflösung des Problems immer leicht herstellen lassen durch Zusammensetzung einer grösseren Zahl von solchen einfachen Tönen.
Da somit die Form der Aufgabe etwas anders gefasst wird, als es in den akustischen Untersuchungen bisher geschehen war, ist es nöthig, in den ersten fünf Paragraphen einige allgemeine Untersuchungen über die Natur der hier vorkommenden Functionen vorauszuschicken. Es zeigt sich, dass wir es dabei mit Functionen zu thun haben, die, wenn die Wellenlänge unend- lich gross wird, übergehen in die Formen der electrischen (oder magnetischen) Potentialfunctionen und dass eine ganze Reihe der interessanten Eigenschaf- ten, die für diese Functionen bekannt sind, auch für jene gelten. Da ich schon in einer früheren Arbeit für die Function, deren Differentialquotienten
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
nach drei rechtwinkeligen Coordinatenaxen genommen die drei entsprechenden Componenten der Geschwindigkeit geben, den Namen des
Geschwindigkeits- potentials
vorgeschlagen habe, so lässt sich diese Analogie auch weiter in der Bezeichnung festhalten. Den electrischen
Massenpunkten
entsprechen die
Erregungspunkte
des Schalls, der
Masse
der ersteren die
Intensität
der letzteren. Sind die letzteren continuirlich im Raume oder auf einer Fläche vertheilt, so lässt sich der Begriff der
Dichtigkeit
auf sie übertragen, und es lassen sich in beiden Fällen Beziehungen ganz analoger Art zwischen ihrer Dichtigkeit und den Differentialquotienten des Geschwindigkeitspotentials auf- stellen, wie sie für die electrische Dichtigkeit und die Differentialquotienten der electrischen Potentialfunctionen gelten.
Den Hauptnutzen gewährt aber die Uebertragung des Theorems von
Green
Dieses Journal Bd. XLIV, S. 360.
auf die hier vorliegenden Verhältnisse, welches sich schon für die Theorie der Electricität und des Magnetismus so ausserordentlich fruchtbar ge- zeigt hat. Von allgemeinen Sätzen, die daraus herfliessen, sollen nur folgende hervorgehoben werden: 1)
Die Schallbewegung in jedem allseitig begrenz- ten Raume, welcher keine Erregungspunkte enthält, kann stets dargestellt werden als ausgehend von Erregungspunkten, die nur längs der Ober- fläche des Raumes in einer oder zwei einander unendlich nahen Schich- ten ausgebreitet sind.
2)
In jedem Raume, dessen sämmtliche Dimensio- nen verschwindend klein gegen die Wellenlänge sind, können für das Geschwindigkeitspotential der Luftbewegung die analytischen Formen der electrischen Potentialfunctionen gesetzt werden, welche von jenem nur unendlich wenig unterschieden sind.
3)
Wenn in einem theils von end- lich ausgedehnten festen Wänden begrenzten, theils unbegrenzten Raume Schall im Punkte a erregt wird, so ist das Geschwindigkeitspotential in einem anderen Punkte b so gross, als es in a sein würde, wenn dieselbe Schallerregung in b stattfände.
Speciell werden in §. 1 die Bewegungsgesetze der Luft für die vor- liegende Aufgabe umgeformt, in §. 2 die allgemeinen Formen des Geschwin- digkeitspotentials für einen von Erregungspunkten freien Raum untersucht, in §. 3 die Beziehungen zwischen der Dichtigkeit continuirlich verbreiteter Erregungspunkte und dem Geschwindigkeitspotential festgestellt, in §. 4 die-
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
selben für Erregungspunkte, die continuirlich über eine Fläche verbreitet sind, und das Theorem von
Green
auf die Schallbewegung übertragen, in §. 5 endlich werden die Grenzbedingungen für weit von den Erregungspunkten entfernte Flächen aufgestellt, durch welche die Wellen in den unendlichen freien Raum hinauslaufen.
Nachdem so die wichtigsten allgemeinen Gesetze der electrischen Po- tentialfunctionen für die Lehre von den Schallwellen anwendbar gemacht worden sind, werden die allgemeinen Gesetze der Bewegung der Luft in Röhren mit offenen Mündungen durch wiederholte Anwendung des
Green
schen Satzes in §. 6 abgeleitet. Es wird hier zunächst vorausgesetzt, dass die Röhren unendlich lang und cylindrisch von beliebigem Querschnitte seien. Nur in einer so kleinen Entfernung von ihrer Mündung, dass deren Grösse gegen die Wellenlänge vernachlässigt werden kann, darf die Röhre in beliebiger Weise von der cylindrischen Form abweichen, und z. B. trompetenförmig er- weitert oder verengt sein. Ebenso werden die Dimensionen der Oeffnung als sehr klein gegen die Wellenlänge betrachtet. Da auch die Gestalt des äusseren Luftraums bestimmt sein muss, wird angenommen, derselbe sei durch eine gegen die Axe der Röhre senkrechte Ebene einseitig begrenzt mit welcher auch die Ebene der Mündung zusammenfällt. Ueber die Bewegung wird vor- ausgesetzt, dass Vibrationen, die einem einfachen Tone von
n
Schwingungen angehören, irgendwo in der Röhre dauernd erregt werden, und dass zwischen der Erregungsstelle und der Mündung ein Abschnitt der Röhre existire, in welcher die Bewegung nicht merklich von der ebener Wellen unterschieden sei. Mittelst des
Green
schen Satzes kann man nun, ohne die specielle Form der Mündung und der Luftbewegung in der Mündung zu kennen, gewisse Beziehungen herleiten zwischen diesen ebenen Wellen und den sich halb- kugelförmig ausbreitenden Wellen in den entfernten Theilen des freien Raumes, und dadurch die bisher offen gebliebenen Fragen über den Einfluss des offenen Endes auf die ebenen Wellen beantworten, so weit sie allgemein beantwortet werden können.
Nehmen wir die Axe der Röhre als Axe der
x,
und die Ebene der Mündung als Ebene der
yz
, so dass der freie Raum den positiven
x,
die Röhre den negativen entspricht, so ist bei passender Festsetzung des Anfangs- punktes der Zeit
t
die allgemeine Form des Geschwindigkeitspotentials in dem Theile der Röhre, wo die Wellen eben sind, wenn wir die Wellenlänge
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
gleich
\frac{2\pi}{k}
setzen,
\psi = \left(\frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx\right)\cos(2\pi nt)+\mathfrak{B}\cos kx.\sin(2\pi nt)
.
In den unendlich entfernten Theilen des freien Raumes dagegen, wo
r
die Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten bezeichnet, ist
\psi = M\frac{\cos(kr - 2\pi nt)}{r}
.
Nach
Euler
s Theorie würde
B
=
B
= 0 sein, nach
Poisson
s
B
= 0,
B
eine unbestimmte kleine Grösse, nach
Hopkins
sowohl
B
wie
B
unbestimmte kleine Grössen,
M
bleibt in allen dreien unbekannt. Wir finden folgende Beziehungen, wenn wir unter
Q
die Grösse des Querschnitts der Röhre ver- stehen, und die Fläche der Oeffnung gegen das Quadral der Wellenlänge als verschwindend klein betrachten,
AQ = -2\pi M
,
kAQ = -2\pi \mathfrak{B}
.
Zwischen
A
und
B
lässt sich keine allgemeine, von der Form der Mündung unabhängige Beziehung aufstellen. Nur lässt sich nachweisen, dass, wenn der Querschnitt der Röhre zur Fläche der Oeffnung ein endliches Verhältniss hat,
\frac{B}{A}
eine kleine Grösse von derselben Ordnung wie die Dimensionen der Oeff- nung ist, die aber jeden beliebigen Werth annehmen kann, wenn die Oeffnung sehr klein gegen den Querschnitt ist.
Wir setzen das Verhältniss
\frac{B}{A} = -k\operatorname{tang}k\alpha
und nennen dann die Grösse α
— x
0
die
reducirte Länge
des Stücks der Röhre, welches zwischen
x
= 0 und
x
= —
x
0
liegt, die Grösse α selbst die
Differenz der wahren und reducirten Länge
der Röhre.
Nachdem diese Beziehungen zwischen den Coefficienten ermittelt sind, wird in §. 7 die Form der Wellen in der Röhre näher bestimmt.
Knoten- flächen,
d. h. Flächen kleinster Bewegung liegen, wo die reducirte Länge der Röhre gleich einem ungeraden Vielfachen der Viertelwellenlänge ist,
Schwingungsbäuche
oder Maxima der Bewegung, wo die reducirte Länge ein gerades Vielfache der Viertelwellenlänge ist. Die
Phasen
der Bewegung sind am Orte der Maxima um die Zeit einer Viertel-Undulation von denen am Orte der Minima verschieden.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Die Knotenflächen sind zugleich Stellen des grössten Wechsels der Dichtigkeit, die Bäuche Stellen des kleinsten Wechsels der Dichtigkeit. In nächster Nähe der Knotenflächen und der Flächen stärkster Bewegung fällt die stärkste nach der Mündung gerichtete Geschwindigkeit der Zeit nach zu- sammen mit der stärksten Verdichtung. In den zwischenliegenden Abtheilun- gen der Röhre aber liegen beide um eine Viertel-Schwingungsdauer aus- einander.
Wenn man die Lage des Geschwindigkeitsmaximum und die des Verdich- tungsmaximum für einen jeden einzelnen Zeitmoment bestimmt, so findet man für die fortschreitenden Wellen in den entfernteren Stellen des freien Raumes bekanntlich, dass beide mit der constanten Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen fortschreiten, und dabei allmälig an Grösse abnehmen. Auch in der Röhre bewegt sich das Geschwindigkeitsmaximum vorwärts gegen die Mün- dung hin, aber so dass sein absoluter Werth am Ort der Bäuche sehr gross, in den Knotenflächen sehr klein ist, und ferner so dass die Geschwindigkeit seiner Fortbewegung in den Bäuchen sehr klein, in den Knoten sehr gross ist, so dass es überall, wo sich ein Bauch befindet, während einer halben Schwingungsdauer fast ganz still steht, um zu Ende dieser Zeit schnell auf den Ort des nächsten Bauches fortzuschreiten, an dem es dann wieder eben so lange fast stillsteht. Ebenso bewegt sich das Verdichtungsmaximum, nur dass es in den Knotenflächen anhält und gross ist, während es am Ort der Bäuche klein ist und schnell vorwärts eilt.
Die gewonnenen Resultate können weiter benutzt werden, um die Stärke der Resonanz und die Phasen der in der Luft erregten Schwingungen bei verschiedenen Erregungsweisen des Schalls genau zu bestimmen.
Wenn die Röhre in irgend einem Querschnitte durch eine feste Platte begrenzt ist, welche durch eine äussere Kraft (z. B. eine aufgesetzte Stimm- gabel) in eine schwingende Bewegung versetzt wird, deren Grösse durch den Widerstand der Luft nicht merklich verändert werden kann,
so ist die Re- sonanz am stärksten, wenn die reducirte Länge der Röhre ein unge- rades Vielfache der Viertelwellenlänge ist, am schwächsten, wenn sie ein gerades Vielfache ist
. Im ersteren Falle, also beim Maximum der Resonanz, verhalten sich die Amplituden in den Schwingungsbäuchen zur Amplitude der schwingenden Schlussplatte der Röhre, wie das durch 2π cos
kα
dividirte Qua- drat der Wellenlänge zum Querschnitt der Röhre. Bei Röhren mit wenig verengter Mündung ist cos
k α
nicht merklich von 1 unterschieden, die Grösse
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 2
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
des Maximums der Resonanz also von der Form der Mündung ziemlich un- abhängig, und die Stärke des Schalls im freien Raume ist bei solchen Röhren sowohl vom Querschnitt als von der Form der Mündung unabhängig. Bei stark verengter Mündung steigt die Resonanz in der Röhre und auch die Stärke des Schalls im freien Raume. Bei stärkster Resonanz ist die Phase der Be- wegung in den Schwingungsbäuchen von den entsprechenden Phasen der mitgetheilten Bewegung der Zeit nach um eine Viertel-Schwingungsdauer verschieden.
Aehnliche Ergebnisse finden sich, wenn der Schall in der Röhre von einem in den entfernteren Theilen des freien Raumes befindlichen tönenden Punkte erregt wird, und für eine jede beliebige Lage des tönenden Punktes im freien Raume vor der Mündung der Röhre lässt sich durch das unter No. 3 als Folgerung des
Green
schen Theorems oben aufgeführte Reciprocitätsgesetz wenigstens das Verhältniss der Stärke der Resonanz für verschiedene Röhren- längen angeben.
Auch in diesem allgemeinsten Falle findet sich, dass die Resonanz der einerseits geschlossenen Röhre am stärksten ist, wenn ihre reducirte Länge ein ungerades Vielfache der Viertelwellenlänge ist
.
Auf offene Röhren, deren beide Mündungen denselben Bedingungen unterliegen, wie die eine Mündung der bisher betrachteten Röhren, lassen sich die Resultate leicht übertragen. Ihre Resonanz ist am stärksten, wenn ihre reducirte Länge gleich einem Vielfachen der halben Wellenlänge ist.
In §. 8 werden Röhren betrachtet, welche Rotationskörper sind, und die Methoden aufgesucht, um Formen der Mündung zu finden, für welche die Bewegung der Luft vollständig angegeben werden kann.
In §. 9 werden die Rechnungen für die einfachsten Formen der Functionen, welche die Form der Mündung bestimmen, durchgeführt. Unter diesen Formen kommt eine vor, bei welcher die Differenz zwischen reducirter und wahrer Länge verschwindet. Ihre Mündung ist schwach trompetenförmig erweitert, so dass die Fläche der Mündung doppelt so gross ist als der Quer- schnitt des Cylinders. Eine andere dieser Formen, bei welcher die Weite der Oeffnung gleich der des Cylinders ist, weicht so ausserordentlich wenig von einem vollständigen Cylinder ab, dass man für die meisten practischen Anwendungen die Differenz wird vernachlässigen dürfen. Der Abstand ihrer Wandung von der eines reinen Cylinders ist berechnet und in einer Tabelle zusammengestellt; mehr als 1/100 des Radius beträgt diese Abweichung nur auf einem Streifen dicht an der Mündung, dessen Breite 0,54 des Radius beträgt,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
und die grösste Abweichung, die überhaupt vorkommt, ist 1/50 des Radius. Die Differenz zwischen der reducirten und wahren Länge dieser Röhre be- trägt π/2 = 0,785 des Radius. Die eines vollständigen Cylinders muss ein wenig grösser sein. Die neuesten und sorgfältigsten experimentellen Bestim- mungen der Grösse dieser Differenz von
Wertheim
Annales de Chimie et de Physique, Sér. 3, Tome XXXI, p. 394.
und
Zamminer
Poggendorffs
Annalen der Physik XGVII, p. 183.
zeigen noch keine sehr grosse Uebereinstimmung unter einander, was vielleicht darin seinen Grund hat, dass die Röhren durch Anblasen zum Tönen gebracht sind, wobei man zwar, wie die Erfahrung lehrt, im Allgemeinen Töne der- selben Höhe bekommt, wie die Töne der stärksten Resonanz der Röhre, aber doch nicht genau weiss, wie weit die Tonhöhe durch kleine Modificationen des Anblasens verändert werden kann. Auch ist die Länge der Schallwellen nur schwer so genau zu bestimmen, dass auch die verhältnissmässig kleine Differenz der wahren und reducirten Länge der Röhren genau gefunden wird.
Wert- heim
findet den Werth dieser Differenz, wenn sie in Theilen des Radius aus- gedrückt wird, ziemlich unabhängig von dem Verhältniss des Durchmessers zur Wellenlänge, und zwar bei beiderseits offenen Röhren für jedes Ende zwischen 0,560 und 0,819, Mittel 0,663
R,
für einerseits gedeckte Röhren zwischen 0,638 und 0,862, Mittel 0,746
R,
so dass der theoretisch gefundene Werth 0,785
R
zwar grösser ist als seine Mittelwerthe, aber doch noch inner- halb der Grenzen der Beobachtungsdifferenzen liegt.
Zamminer
findet da- gegen einen stärkeren Einfluss der Tonhöhe. Bei offenen Röhren variirt der Werth der Differenz von 0,848 bis 0,493
R,
während die Viertelwellenlänge von 20,9
R
auf 3,9
R
sich ändert, und bei geschlossenen Röhren variirt die Differenz zwischen 1,304 und 0,376
R,
während die Viertelwellenlänge von 40,1
R
auf 7,03
R
sinkt. Dies stimmt nicht so gut mit der Theorie, welche so starke Aenderungen des Werthes 0,785
R,
der für die tiefsten Töne gilt, bei veränderter Tonhöhe nicht erwarten lässt. Indessen sind bei den Röhren, deren Länge mehr als 30
R
beträgt, auch hier die Differenzen so gering, dass Aenderungen der Schwingungszahl um ein Procent genügen würden, die Ueber- einstimmung herzustellen, und bei verschiedener Stärke des Anblasens können leicht viel grössere Aenderungen eingetreten sein.
Endlich ist in §. 10 noch eine Aufgabe in ihren allgemeinen Zügen hehandelt, welche bisher der theoretischen Bearbeitung unzugänglich gewesen
2 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
war, nämlich die Bestimmung der Luftschwingungen in solchen Hohlräumen, deren drei Dimensionen gleichmässig als verschwindend klein gegen die Wellen- länge betrachtet werden können, und die durch eine Oeffnung, deren Fläche selbst gegen die Oberfläche des Hohlraums verschwindend klein ist, mit der äusseren Luft communiciren. Es lässt sich die Höhe der Töne, für welche solche kugel- und flaschenförmige Pfeifen stärkste Resonanz geben, allgemein bestimmen. Ist die Oeffnung kreisförmig, und ihr Flächeninhalt
s,
das Volumen des Hohlkörpers
S,
die Schallgeschwindigkeit
a,
und die Schwingungszahl des Tones
n,
so ist nach der Theorie
n = \frac{a}{\sqrt{2}\sqrt[4]{\pi^5}}\frac{\sqrt[4]{s}}{\sqrt{S}}
.
Wählen wir als Längeneinheit das Millimeter, und setzen
a
= 332260, so ist
n = 56174\frac{\sqrt[4]{s}}{\sqrt{S}}
.
Sondhauss
Poggendorffs
Annalen LXXXI, S. 235 und 347. Es ist übrigens in diesem Auf- satze die Bezeichnungsweise der französischen Physiker gebraucht, wonach die Schwin- gungszahlen der Töne doppelt so gross werden als nach der deutschen Bezeichnung.
hat aus Versuchen die Schwingungszahl der durch Anblasen solcher Hohlkörper erhaltenen Töne in die Formel gebracht:
n = 52400\frac{\sqrt[4]{s}}{\sqrt{S}}
.
Noch besser stimmt die Theorie mit den Versuchen von
Wertheim,
bei wel- chen das Verhältniss der Fläche der Oeffnung zur Oberfläche des Hohlraums noch kleiner ist, als bei
Sondhauss,
und die Uebereinstimmung ist desto grösser, je kleiner jenes Verhältniss ist.
Für elliptische Oeffnungen lässt sich der Werth von
n
ebenfalls be- stimmen. Er wird etwas kleiner als für kreisförmige.
Auch für Hohlkörper mit zwei Oeffnungen lässt sich dieselbe Aufgabe lösen; das theoretische Gesetz stimmt auch hier mit den empirischen Formeln von
Sondhauss
und seinen Versuchen überein.
§. 1.
Es sei innerhalb einer Luftmasse in dem Punkte, der durch die rechtwinkligen Coordinaten
x, y, z
bestimmt ist, zur Zeit
t
der Druck gleich
p,
die den drei Coordinatenaxen parallelen Componenten der Geschwindigkeit
u, v, w,
die Dichtigkeit
h,
und die Componenten der auf die Einheit der gasigen
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Masse wirkenden äusseren Kräfte
X, Y
und
Z
seien auszudrücken als Diffe- rentialquotienten einer Potentialfunction
P,
so dass
X = \frac{dP}{dx}
,
Y = \frac{dP}{dy}
,
Z = \frac{dP}{dz}
.
Die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Luftmasse sind demgemäss:
(1.)
\frac{dP}{dx} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dx} = \frac{du}{dt} + u\frac{du}{dx} + v\frac{du}{dy} + w\frac{du}{dz}
,
\frac{dP}{dy} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dy} = \frac{dv}{dt} + u\frac{dv}{dx} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dv}{dz}
,
\frac{dP}{dz} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dz} = \frac{dw}{dt} + u\frac{dw}{dx} + v\frac{dw}{dy} + w\frac{dw}{dz}
,
- \frac{dh}{dt} = \frac{d(hu)}{dx} + \frac{d(hv)}{dy} + \frac{d(hw)}{dz}
.
Wenn Luft, ohne Wärme abzugeben, ihre Dichtigkeit ändert, ist (1
a
.)
p = b^2h^v
wo
b
eine Constante und
v
= 1,42 ist. Daraus folgt
(1
b
.)
\frac{dp}{dx} = b^2vh^{v-1}\frac{dh}{dx}
und
\frac{1}{h}\frac{dp}{dx} = b^2vh^{v-2}\frac{dh}{dx} = \frac{b^2v}{v-1}\frac{d(h^{v-1})}{dx}
,
und ähnlich für die Differentialquotienten nach
y
und
z
.
Die Schallbewegung gehört zu denjenigen Bewegungen, denen ein Ge- schwindigkeitspotential zukommt, welches mit Φ bezeichnet werde, so dass wir haben: (1
c
.)
u = \frac{d\psi}{dx}
v = \frac{d\psi}{dy}
,
w = \frac{d\psi}{dz}
.
Setzt man die Werthe aus (1
b
.) und (1
c
.) in die Gleichungen (1.), so haben die drei ersten derselben eine gemeinschaftliche Integralgleichung, nämlich: (1
d
.)
P - \frac{b^2v}{v-1}(h^{v-1}-h_0^{v-1}) = \frac{d\psi}{dt} + \tfrac{1}{2}\left\{\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d\psi}{dy}\right)^2 + \left(\frac{d\psi}{dz}\right)^2 \right\}
, wo
h
0
eine Function der Zeit sein kann, und die vierte Gleichung lässt sich auf die Form bringen: (1
e
.)
0 = \frac{d(h^{v-1})}{dt} + (v-1)h^{v-1}\left[\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{d^2\psi}{dy^2} + \frac{d^2\psi}{dz^2}\right] + \frac{d\psi}{dx}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dx} + \frac{d\psi}{dy}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dy} + \frac{d\psi}{dz}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dz}
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
In dem Folgenden nehmen wir an, dass die Geschwindigkeiten und Aenderun- gen der Dichtigkeit verschwindend klein seien. Setzen wir
h = h_0(1 + \mathfrak{h})
, so betrachten wir also
P,
h
, sämmtliche Differentialquotienten von
h
,
P
und Φ als unendlich kleine Grössen, und vernachlässigen ihre höheren Potenzen. Dann werden die beiden Gleichungen (1
d
.) und (1
e
.), indem man
b^2vh_0^{v-1}=a^2
setzt, (1
f
.)
P - a^2\mathfrak{h} = \frac{d\Phi}{dt}
, (1
g
.)
0 = \frac{d\mathfrak{h}}{dt} + \frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} + \frac{d^2\Phi}{dz^2}
. Indem man die erste Gleichung nach
t
differentiirt, kann man
h
aus beiden eliminiren
Ich bemerke hier noch, dass diese Elimination von
h
auch an den unverkürzten Gleichungen (1
d
.) und (1
e
.) vollzogen werden kann, und dass man die Eliminationsglei- chung, welche von der dritten Dimension in Bezug auf Φ und seine Differentialquotienten ist, ebenfalls mit Hülfe der hier folgenden Theoreme durch eine nach Sinus und Cosinus der Zeit fortlaufende Reihe integriren kann, deren Glieder von
n
ter
Dimension der kleinen Grössen den Combinationstönen
n
ter
Ordnung der primär angegebenen Töne entsprechen.
und erhält (2.)
0 = \frac{dP}{dt}-\frac{d^2\Phi}{dt^2} + a^2\left[\frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} + \frac{d^2\Phi}{dz^2}\right]
.
Wir wollen im Folgenden nur Fälle behandeln, wo wir es mit einem einzigen gleichmässig anhaltenden Tone von
n
Schwingungen in der Zeitein- heit zu thun haben, und also Φ von der Form ist: (2
a
.)
\Phi = \Psi'\cos (2\pi nt) + \Psi''\sin (2\pi nt)
, wo Ψ' und Ψ″ Functionen von
x, y, z
sind. Dabei kann die Gleichung (2.) nur bestehen, wenn auch
P
von der Form ist: (2
b
.)
\frac{n}{2a^2}P = -q''\cos (2\pi nt) + q'\sin (2\pi nt)
.
Es zerfällt dann die Gleichung (2.) in die folgenden beiden:
(3.)
0 = 4\pi q' + k^2\Psi' + \frac{d^2\Psi'}{dx^2} + \frac{d^2\Psi'}{dy^2} + \frac{d^2\Psi'}{dz^2}
,
0 = 4\pi q'' + k^2\Psi'' + \frac{d^2\Psi''}{dx^2} + \frac{d^2\Psi''}{dy^2} + \frac{d^2\Psi''}{dz^2}
,
wo (3
a
.)
k = \frac{2\pi n}{a} = \frac{2\pi}{\lambda}
, und λ die Wellenlänge ist.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Zunächst werden wir uns mit der Integration dieser Differentialglei- chungen zu beschäftigen haben. Aus ihrer Ableitung geht hervor, dass
q
' und
q
″ Functionen der Coordinaten sind, welche sich nur an solchen Stellen des Raumes von 0 unterscheiden, wo veränderliche Kräfte auf die Luftmasse einwirken und Schallschwingungen erregen. In allen anderen Theilen der Luftmasse ist
q
= 0, und es sind daher die Functionen Ψ der Bedingung un- terworfen (3
b
.)
0 = k^2\Psi + \frac{d^2\Psi}{dx^2} + \frac{d^2\Psi}{dy^2} + \frac{d^2\Psi}{dz^2}
.
Ich werde im Folgenden den immer wiederkehrenden Ausdruck
\frac{d^2\Phi}{dx^2} + \frac{d^2\Phi}{dy^2} + \frac{d^2\Phi}{dz^2}
nach dem Vorgang von
Green
mit ∇
x
Φ, oder wo es unzweideutig ist, mit ∇Φ bezeichnen.
§. 2.
Wir beginnen mit der Integration der einfacheren Gleichung (3
b
.)
0 = k^2\Psi + \nabla_x\Psi
.
Ein bekanntes particulares Integral derselben ist (4.)
\Psi = \frac{A\cos (kr+g)}{r}
, wenn wir mit
A
und
g
Constanten bezeichnen, mit
r
aber die Entfernung des Punktes
x, y, z
von einem festen Punkte α, β, γ, also
r^2 = (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 + (z-\gamma)^2
.
Es ist nämlich (4
a
.)
\frac{d\Psi}{dx} = -\frac{A(x-\alpha)}{r^3}[\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]
,
(4
b
.)
\frac{d^2\Psi}{dx^2} = -A\left[\frac{1}{r^3}-\frac{3(x-\alpha)^2}{r^5}\right][\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]-\frac{Ak^2(x-\alpha)^2}{r^3}\cos(kr+g)
,
\frac{d^2\Psi}{dy^2} = -A\left[\frac{1}{r^3}-\frac{3(y-\beta)^2}{r^5}\right][\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]-\frac{Ak^2(y-\beta)^2}{r^3}\cos(kr+g)
,
\frac{d^2\Psi}{dz^2} = -A\left[\frac{1}{r^3}-\frac{3(z-\gamma)^2}{r^5}\right][\cos(kr+g)+kr\sin(kr+g)]-\frac{Ak^2(z-\gamma)^2}{r^3}\cos(kr+g)
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Wenn man die drei Gleichungen (4
b
.) addirt, so erhält man:
\nabla_x\Psi = -Ak^2\frac{\cos(kr+g)}{r} = -k^2\Psi
, vorausgesetzt, dass nicht
r
= 0 und dabei die Werthe von
\frac{d^2\Psi}{dx^2}
,
\frac{d^2\Psi}{dy^2}
,
\frac{d^2\Psi}{dz^2}
und Ψ unendlich werden. Mit Ausnahme des Punktes α, β, γ ist also dann die Diffentialgleichung (3
b
.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen Werthes von Φ durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt.
Indem wir in Gleichung (4.)
g
entweder gleich Null oder gleich — ½π machen, erhalten wir zwei verschiedene Formen des particularen Integrals.
1) Wenn
g
= — ½π, wird (4
c
.)
\Psi = A\frac{\sin kr}{r}
, und erhält für
r
= 0 den endlichen Werth
Ak
. Auch die Differentialquotien- ten bleiben endlich, es wird nämlich für
r
= 0
\frac{d^2\Psi}{dx^2} = \frac{d^2\Psi}{dy^2} = \frac{d^2\Psi}{dz^2} = -\frac{1}{3}Ak^3
, wie man leicht sieht, wenn man cos
kr
und sin
kr
nach Potenzen der ver- schwindenden Grösse
r
entwickelt. Daraus ergiebt sich für
r
= 0
\nabla_x\Psi + k^2\Psi = 0
.
Die Function
\Psi = A\frac{\sin kr}{r}
ist also ein solches particulares Integral der Glei- chung (3
b
.), welches im ganzen Raume und auch im Punkte α, β γ gültig ist.
2) Wenn wir
g
= 0 setzen, wird (4
d
.)
\Psi = A\frac{\cos kr}{r}
und für
r
= 0 unendlich gross, ebenso wie seine Differentialquotienten. Die Gleichung (3
b
.) wird also im ganzen Raume erfüllt, mit Ausnahme des Punk- tes α, β, γ.
Daraus ergiebt sich ferner leicht, dass wenn wir setzen: (4
e
.)
\Psi = \Sigma_{\alpha,\beta,\gamma}\left[A_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\sin kr}{r}\right]
, wo bei den einzelnen Gliedern der Summe die Werthe von α, β, γ und
A
verschieden sind, die Gleichung (3
b
.) erfüllt ist im ganzen Raume, ohne Aus- nahme der Punkte α, β, γ.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Wenn wir aber setzen (4
f
.)
\Psi = \Sigma_{\alpha,\beta,\gamma}\left[A_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\cos kr}{r}\right]
so ist die Gleichung (3
b
.) im ganzen Raume erfüllt mit Ausnahme derjenigen Punkte, deren Coordinaten α, β, γ in der Summe vorkommen.
Denken wir uns die Punkte α, β, γ continuirlich neben einander im Raume vertheilt, so werden aus den Summen Integrale, und wir schliessen, dass die Function (4
g
.)
\int\int\int h_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\sin kr}{r}d\alpha d\beta d\gamma
im ganzen Raume der Gleichung (3
b
.) genügt, dagegen die Function (4
h
.)
\int\int\int h_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\cos kr}{r}d\alpha d\beta d\gamma
nur in denjenigen Theilen des Raumes, für welche
h
= 0. In beiden soll
h
eine willkürliche Function von α, β und γ bedeuten.
Wenn wir in der Gleichung (3
b
.)
k
= 0 setzen, verwandelt sie sich in (3
c
.)
\nabla_x \Psi = 0
, die bekannte Differentialgleichung für die Potentialfunctionen solcher Massen, welche in die Ferne mit anziehenden oder abstossenden Kräften wirken, deren Intensität dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist. Die ver- schiedenen Formen für das Integral Ψ der Gleichung (3
b
.), welche wir auf- gestellt haben, verwandeln sich, wenn sie
\frac{\sin kr}{r}
enthalten, in
Ψ = Constans,
welches Integral im ganzen Raume ohne Ausnahme eines Punktes der Glei- chung (3
c
.) genügt, oder, wenn sie
\frac{\cos kr}{r}
enthalten, in
\Psi = \Sigma\left[\frac{A}{r}\right]
oder
\Psi = \int\int\int \frac{h}{r}d\alpha d\beta d\gamma
, welche beiden Formen in denjenigen Punkten des Raumes nicht genügen, in denen anziehende oder abstossende Masse vorhanden ist, in denen also
A
oder
h
nicht gleich Null ist.
Da die Gleichung
0 = k^2\Psi + \nabla_x \Psi
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 3
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
im ganzen mit Luft gefüllten Raume erfüllt sein muss mit Ausnahme solcher Stellen, wo veränderliche Kräfte auf die Luft wirken, schliessen wir, dass in den Formen des Integrals (4
d
.), (4
f
.), (4
h
.) diejenigen Punkte und Theile des Raumes, in denen die Gleichung (3
b
.) nicht erfüllt ist,
Erregungspunkte
des Schalls sind. Wir wollen sie auch als solche bezeichnen. Es mag in den Formen des Integrals (4
d
.) und (4
f
.) die Constante
A
die
Intensität
des betreffenden Erregungspunktes heissen, und in (4
h
.), wo die Erregungs- punkte continuirlich durch den Raum vertheilt gedacht sind, nennen wir die Con- stante
h
ihre
Dichtigkeit
. Bei electrischen Problemen, wo
k
= 0, würden die Erregungspunkte den Massenpunkten, die Intensität der Masse, die Dichtigkeit der Dichtigkeit entsprechen. Da die Functionen Ψ die Bedeutung von Geschwindigkeitspotentialen haben, wollen wir, entsprechend dem Sprachgebrauch in der Lehre von der Electricität und dem Magnetismus, eine solche Summe wie (4
f
.), welche sich auf eine bestimmte Zahl von Punkten α, β, γ bezieht, das
Geschwindigkeitspotential dieser bestimmten Erregungspunkte
nennen. Die Gleichung (3
b
.) wird also erfüllt durch die ganze Ausdehnung eines ge- gebenen Raumes
S
, wenn Ψ das Geschwindigkeitspotential ausserhalb
S
gelegener Erregungspunkte ist.
§. 3.
Wenn wir nun zur Betrachtung der Differentialgleichung (3.)
\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q
übergehen, so ist zunächst zu bemerken, dass für
k
= 0, diese Gleichung in (3
d
.)
\nabla_x\Psi = -4\pi q
übergeht, deren Integral bekanntlich ist:
\Psi = \int\int\int \frac{q_{\alpha,\beta,\gamma}}{r}d\alpha d\beta d\gamma + \Phi
, worin Φ eine Function bezeichnet, für welche in dem ganzen Theile des Raumes, wo die Gleichung (3
d
.) erfüllt sein soll, ∇Φ = 0 ist.
Wir wollen jetzt zeigen, dass in ganz analoger Weise das Integral der Gleichung (3.)
\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q
ist: (5.)
\Psi = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\cos kr}{r}d\alpha d\beta d\gamma + \Psi
, wo Φ eine Function bezeichnet, für welche in den Theilen des Raumes, wo
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
die Gleichung (4.) gültig sein soll,
\nabla_x\Phi + k^2\Phi = 0
.
Um die durch das Zeichen ∇
x
Ψ vorgeschriebenen Differentiationen unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den ganzen Raum durch eine den Punkt α, β, γ in unendlich kleiner Entfernung umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei- nen inneren Raum
S
0
, den umgebenden äusseren
S
1
. Das in dem Werthe von Ψ (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in zwei Theile, von denen der eine Ψ
0
der Integration über
S
0
, der andere Ψ
1
der über
S
1
entspricht.
Es ist also (5
a
.)
\Psi = \Psi_0 + \Psi_1 + \Phi
.
Da Ψ
1
ein Potential von Erregungspunkten, die ausserhalb
S
0
liegen, für einen innerhalb
S
0
enthaltenen Punkt ist, so ist
\nabla_x\Psi_1 + k^2\Psi_1 = 0
, ebenso
\nabla_x\Phi + k^2\Phi = 0
, also (5
b
.)
\nabla_x\Psi + k^2\Psi = \nabla_x\Psi_0 + k^2\Psi_0
.
Nun setze ich
f_r = \frac{\cos kr}{r}-\frac{1}{r}
, welche Grösse
f
r
für
r
= 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun- gen (4
b
.) sich ergiebt, dass für sehr kleine Werthe von
r
\frac{d^2f}{dx^2}
,
\frac{d^2f}{dy^2}
und
\frac{d^2f}{dz^2}
sich auf Grössen von der Dimension
\frac{1}{r}
reduciren, und für
r
= 0
\nabla_x f_r = -\frac{k^2}{r}
wird. Ferner setze ich
\Psi' = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}f_rd\alpha d\beta d\gamma
,
\Psi'' = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{1}{r}d\alpha d\beta d\gamma
, beide Integrale über den unendlich kleinen Raum
S
0
ausgedehnt, so dass (5
c
.)
\Psi_0 = \Psi' + \Psi''
.
Um zu ermitteln, von welcher Grössenordnung Ψ', Ψ″ und ∇Ψ' sind, führe
3 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
man statt der rechtwinkligen Coordinaten α, β und γ Kugelcoordinaten ein, indem man setzt:
x-\alpha = r\cos \omega
,
y-\beta = r\sin\omega\cos\theta
,
z-\gamma = r\sin\omega\sin\theta
, dann wird
d\alpha d\beta d\gamma = r^2\sin\omega d\omega d\theta dr
.
Ist also die mit
d
α
d
β
d
γ unter dem Integrationszeichen multiplicirte Grösse für
r
= 0 entweder endlich, wie
qf
r
, oder von der Ordnung
\frac{1}{r}
, wie
\frac{q}{r}
und ∇
x
f
r
, welches gleich
-\frac{k^2}{r}
ist, so wird die zu integrirende Grösse unendlich klein und über einen unendlich kleinen Raum integrirt. Daher werden die Grössen Ψ' Ψ″, Ψ
0
(wegen (5
c
.)) und ∇
x
Ψ' unendlich klein. Dagegen ist ∇
x
Ψ″ endlich und hat den bekannten Werth
\nabla_x\Psi'' = -4\pi q
.
Folglich wird aus (5
b
.) und (5
c
.)
\nabla_x\Psi + k^2\Psi = \nabla_x\Psi' + \nabla_x\Psi'' + k^2\Psi' + k^2\Psi''
und, indem wir die unendlich kleinen Grössen gegen die endliche vernach- lässigen, (3.)
\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q
, was zu erweisen war.
§. 4.
Es lässt sich für die hier untersuchten Formen von Geschwindigkeits- potentialen ferner dieselbe Relation erweisen, welche für die Potentialfunctionen electrischer Massen an solchen Flächen stattfindet, die mit endlichen Massen in unendlich dünner Schicht belegt sind.
Setzen wir (6.)
\Psi = \int p\frac{\cos kr}{r}d\omega
, wo
d
ω das Flächenelement einer beliebigen Fläche Ω bezeichnet und
p
eine Function, die sich in der Fläche continuirlich ändert, und untersuchen die er- sten Differentialquotienten von Ψ für solche Punkte
x, y, z
des Raumes, welche der Fläche Ω unendlich nahe liegen.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Wir setzen wieder
\frac{\cos kr}{r} = f_r + \frac{1}{r}
,
\Psi = \Psi' + \Psi''
,
\Psi' = \int pf_rd\omega
,
\Psi'' = \int p\frac{1}{r}d\omega
.
Ψ' ist jedenfalls endlich, wenn
p
und die Grösse der Fläche Ω endlich sind, da
f
r
immer endlich ist. Dass Ψ″ unter denselben Bedingungen endlich ist, ist aus der Theorie der electrischen Potentialfunctionen bekannt, ebenso dass Ψ″ auf beiden Seiten dicht an der Fläche dieselben Werthe hat. Dass letz- teres auch mit Ψ' und also auch mit Ψ der Fall sei, ist leicht zu ersehen, da
f
r
, auch wenn man durch die Schicht selbst hindurchgeht, sich immer nur continuirlich ändern kann. Dagegen wissen wir, dass die Differentialquotienten von Ψ″ an der Fläche einen endlichen Sprung ihres Werthes erleiden, wäh- rend leicht zu erkennen ist, dass die von Ψ' an der Fläche continuirlich sein müssen. Denken wir uns durch eine geschlossene Linie, die in unendlich kleiner Entfernung den Fusspunkt des von
x, y, z
auf die Fläche Ω gefällten Lothes umgiebt, ein Stück Ω
0
aus der Fläche herausgeschnitten und das Integral
\int pf_rd\omega
getheilt in
\Psi'_0
, welches über die Fläche Ω
0
, und
\Psi'_1
, welches über den Rest der Fläche ausgedehnt ist, so dass
\Psi' = \Psi'_0 + \Psi'_1
.
Nun ist die Grösse
\frac{df_r}{dx} = -\frac{k^2}{2}\frac{x-\alpha}{r}
für unendlich kleine Werthe von
r
, bleibt also endlich, macht aber einen Sprung, wenn man von positiven Werthen von
x — a
durch
r
= 0 nach ne- gativen übergeht, ist dagegen continuirlich, wenn man nicht durch
r
= 0 hin- durchgeht. Letzteres geschieht nun keinenfalls, wenn man in
\Psi'_1
die Werthe von
x, y, z
sich ändern lässt. Dagegen ist
\frac{d\Psi'_0}{dx}
, wo allerdings ein Sprung eintreten würde, unendlich klein als das Integral einer endlichen Grösse über eine unendlich kleine Fläche genommen, und wir können deshalb seinen Werth gegen
\frac{d\Psi'_1}{dx}
und
\frac{d\Psi''}{dx}
vernachlässigen. Folglich sind die Differentialquotienten von Ψ', welches gleich
\Psi'_0 + \Psi'_1
ist, continuirlich, und die von Ψ müssen an
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
der Fläche Ω einen Sprung von derselben Grösse wie die von Ψ″ machen. Bezeichnen wir die von der Fläche ab nach beiden Seiten hingehenden Nor- malen mit
n͵
und
n͵͵
, so ist bekanntlich
\frac{d\Psi''}{dn_\prime} + \frac{d\Psi''}{dn_{\prime\prime}} = -4\pi p
, und daraus folgt, dass auch (6
a
.)
\frac{d\Psi}{dn_\prime} + \frac{d\Psi}{dn_{\prime\prime}} = -4\pi p
sei, was zu beweisen war.
Man kann ferner den für die Lehre von den electrischen und magne- tischen Potentialfunctionen so äusserst fruchtbaren Lehrsatz von
Green
Dieses Journal Bd. 44, S. 360.
auch auf die hier vorliegenden Functionen mit dem grössten Vortheil anwenden.
Wenn Ψ und Φ zwei Functionen sind, welche innerhalb eines abge- grenzten Raumes
S
eindeutig und stetig sind, d. h. überall endliche erste Differentialquotienten haben, so ist nach jenem Satze von
Green
\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega + \int\int\int\Psi\nabla\Phi dxdydz = \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega + \int\int\int\Phi\nabla\Psi dxdydz
, wo
dω
ein Flächenelement der Oberfläche von
S, n
die nach innen gerichtete Normale bedeutet, und die Integrationen nach
dω
über die ganze Oberfläche von
S
, die nach
dx dy dz
durch das ganze Innere von
S
auszudehnen sind. Wenn wir auf beiden Seiten dieser Gleichung addiren
k
2
∫∫∫ΨΦdx dy dz
, so bringen wir den Satz in die Form, welche wir hier brauchen (7.)
\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega + \int\int\int\Psi(\nabla\Phi + k^2\Phi)dxdydz
= \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega + \int\int\int\Phi(\nabla\Psi + k^2\Psi)dxdydz
.
Sind Ψ und Φ dargestellt als Geschwindigkeitspotentiale von Erregungspunk- ten, die theils innerhalb, theils ausserhalb des Raumes
S
continuirlich mit der Dichtigkeit
q
und
p
verbreitet sind, so ist nach Gleichung (3.), (5.) und (7.) (7
a
.)
\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega - 4\pi\int\int\int\Psi pdxdydz
= \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - 4\pi\int\int\int\Phi qdxdydz
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Sind Ψ und Φ Geschwindigkeitspotentiale von ausserhalb
S
gelegenen Er- regungspunkten, so wird (7
b
.)
\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega = \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega
.
Green
hat bewiesen, dass eine solche Gleichung wie (7
a
.) auch richtig bleibt, wenn in einem unendlich kleinen Raumelement
ds
des Raumes
S
die Dichtig- keit
p
einen so grossen constanten Werth annimmt, dass
p ds
einer endlichen Grösse
A
gleich wird, obgleich dann Φ an dieser Stelle nicht stetig bleibt, sondern unstetig wird, wie
\frac{A}{r}
. Nehmen wir an, dass Φ das Geschwindig- keitspotential der in dem unendlich kleinen Raumelemente
ds
, dessen Coor- dinaten α, β, γ seien, mit der gleichmässigen Dichtigkeit
p
vertheilten Er- regungspunkte sei, während
p
überall sonst gleich Null ist, so dass also Φ in endlicher Entfernung vom Punkte α, β, γ den Werth habe:
\Phi = A\frac{\cos kr}{r}
, so reducirt sich das dreifache Integral der linken Seite der Gleichung (7
a
.), indem wir den Werth, welchen Ψ im Punkte α, β, γ hat, mit Ψ
a
bezeich- nen, auf
\Psi_\alpha\int p ds = A\Psi_\alpha
.
Die Gleichung (7.) wird also (7
c
.)
-4\pi\Psi_\alpha = \int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}d\omega - \int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega + \int\int\int(\nabla_x\Psi + k^2\Psi)\frac{\cos kr}{r}dxdydz
.
Somit ist die Function Ψ, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten, eindeutig und stetig zu sein, die übrigens ganz beliebiger Art sein kann, auf die Form unserer Geschwindigkeitspotentiale gebracht. Ist übrigens innerhalb des ganzen Raumes
S
\nabla_x\Psi + k^2\Psi = 0
, so wird die Gleichung (7
c
.): (7
d
.)
\int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega - \int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}d\omega = 4\pi\Psi_\alpha
.
Nun ist das Integral
\int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}
das Potential einer Schicht von Erre- gungspunkten, welche an der Oberfläche von
S
ausgebreitet ist und die Dichtigkeit
\frac{d\Psi}{dn}
hat. Das andere Integral können wir aber betrachten als das
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Potential einer Doppelschicht von Erregungspunkten, die derselben Fläche an- liegen. Denken wir die eine Schicht mit der Dichtigkeit
-\frac{1}{\epsilon}\Psi
auf der äusseren Seite der Oberfläche von
S
in der unendlich kleinen Entfernung ½
ε
von dieser Oberfläche ausgebreitet, die andere mit der Dichtigkeit
+\frac{1}{\epsilon}\Psi
auf der inneren Seite der Oberfläche von
S
auch in der unendlich kleinen Ent- fernung ½
ε
von dieser Oberfläche entfernt, so wird das Potential dieser Schich- ten sein:
\int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega
.
Somit lässt sich jede stetige und eindeutige Function Ψ, welche in allen Theilen des Raumes S der Gleichung genügt:
\nabla\Psi+k^2\Psi = 0
,
als Geschwindigkeitspotential von Erregungspunkten ausdrücken, die blos längs der Oberfläche von S ausgebreitet sind
.
Hier aber hört die Aehnlichkeit mit den electrischen Potentialfunctionen auf, indem diese letzteren sich stets ausdrücken lassen als Potentialfunctionen einer
einfachen
Schicht von Electricität an der Oberfläche des Raumes, was bei unseren Potentialen zwar im Allgemeinen auch der Fall ist, aber für eine unendlich grosse Zahl von bestimmten Werthen von
k
für eine jede gegebene geschlossene Oberfläche Ausnahmen erleidet. Es sind dies nämlich diejenigen Werthe von
k
, die den eigenen Tönen der eingeschlossenen Luftmasse ent- sprechen.
Man kann sich davon leicht an einem Beispiele überzeugen, indem man das Potential für eine gleichmässig und continuirlich mit Erregungspunkten be- legte Kugelschaale berechnet.
Wenn sämmtliche Dimensionen des Raumes
S
sehr klein gegen die Wellenlänge sind, kann
kr
gegen
1
vernachlässigt werden, so oft
r
die Ent- fernung zweier innerhalb
S
gelegener Punkte ist. Unter diesen Umständen wird die Gleichung (7
d
.)
4\pi\Psi_\alpha = \int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{1}{r}\right)d\omega - \int\frac{d\Psi}{dn}\frac{d\omega}{dr}
.
Bei dieser Weglassung unendlich kleiner Grössen wird also Ψ eine Function, welche der Gleichung ∇Ψ = 0 im Raume
S
genügt, und es folgt daraus, dass man in Räumen, deren Dimensionen gegen die Wellenlänge verschwin- dend klein sind, statt der Functionen, die der Gleichung ∇Ψ +
k
2
Ψ = 0 ge- nügen, stets unendlich wenig davon unterschiedene Functionen finden kann, die der Gleichung ∇Ψ = 0 genügen.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Wendet man die Gleichung (7
d
.) auf theilweis zusammenstossende Räume
S͵
und
S͵͵
an, indem man die Elemente ihrer nicht gemeinsamen Oberfläche mit
dω͵
und
dω͵͵
, die des gemeinsamen Stückes ihrer Oberfläche mit
dω
0
bezeichnet, unter
n͵
die nach dem Inneren von
S͵
, unter
n͵͵
die nach dem Inneren von
S͵͵
gerichteten Normalen dieser Flächenelemente ver- steht, so hat man, wenn innerhalb
S͵
\nabla\Psi_\prime + k^2\Psi_\prime
, und innerhalb
S͵͵
\nabla\Psi_{\prime\prime} + k^2\Psi_{\prime\prime}
der Punkt α, β, γ, von dem die Entfernungen
r
gerechnet werden, aber innerhalb
S͵
liegt, und wir unter dem Integralzeichen [
dω͵
+
dω
0
] schreiben, wo die Integration über sämmtliche Elemente
dω͵
und sämmtliche
dω
0
aus- gedehnt werden soll,
4\pi\Psi_{\prime\alpha} = \int\Psi_\prime\frac{d}{dn_\prime}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)[d\omega_\prime + d\omega_0] - \int\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime}\frac{\cos kr}{r}[d\omega_\prime + d\omega_0]
,
0 = \int\Psi_{\prime\prime}\frac{d}{dn_{\prime\prime}}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)[d\omega_{\prime\prime} + d\omega_0] - \int\frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}\frac{\cos kr}{r}[d\omega_{\prime\prime} + d\omega_0]
.
Wenn nun an der gemeinsamen Trennungsfläche beider Räume
\Psi_\prime = \Psi_{\prime\prime}
,
\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime} = \frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_\prime} = - \frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}
ist, so giebt die Addition beider Gleichungen, da
dn͵ = — dn͵͵
,
4\pi\Psi_{\prime\alpha} = \int\Psi_\prime\frac{d}{dn_\prime}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega_\prime - \int\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime}\frac{\cos kr}{r}d\omega_\prime + \Psi_{\prime\prime}\frac{d}{dn_{\prime\prime}}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega_{\prime\prime} - \int\frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}\frac{\cos kr}{r}d\omega_{\prime\prime}
.
Die Function Ψ͵ erscheint also hier als Potential von Punkten ausgedrückt, die an der nicht gemeinsamen Oberfläche der Räume
S͵
und
S͵͵
liegen, während die Punkte der gemeinsamen Trennungsfläche ganz aus dem Integral ver- schwinden. Genau denselben Ausdruck erhält man aber für Ψ͵͵, wenn man den Punkt α, β, γ in den Raum
S͵͵
verlegt. Es sind also in diesem Falle Ψ͵ und Ψ͵͵ Potentiale derselben ausserhalb des gemeinsamen Raumes
S͵
und
S͵͵
liegenden Erregungspunkte, und beide Functionen müssen continuirlich in einander übergehen.
Wenn wir also im Folgenden für das Geschwindigkeitspotential in ver- schiedenen Theilen eines zusammenhängenden Luftraumes verschiedene Aus- drücke Ψ͵ und Ψ͵͵ werden wählen müssen, wird die Continuität an der Grenz-
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 4
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
fläche hergestellt sein, wenn in allen Punkten derselben
\Psi_\prime = \Psi_{\prime\prime}
und
\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime} = \frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_\prime}
oder
-\frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}
.
§. 5.
Wir müssen noch die Grenzbedingungen aufstellen für solche unendlich entfernt gedachte Oberflächen, durch welche Schallwellen in den unendlichen Raum hinauslaufen, und jenseits welcher es keine Erregungspunkte mehr giebt. Wenn von einem einzelnen Punkte aus in der vorher unbewegten Luft eine Erschütterung ausgeht, so hat das Geschwindigkeitspotential bekanntlich die Form
\frac{1}{r}F_{(r-at)}
, wo
F
eine willkührliche Function,
a
die Schallgeschwindig- keit,
r
die Entfernung vom Erregungspunkte α, β, γ bezeichnet. Soll
F
einer einfach periodischen Bewegung von
n
Perioden in der Secunde ent- sprechen, so müssen wir ihm die Form geben
\frac{1}{r}\cos[kr - 2\pi nt + c]
, wo
2πn = ak
, wie in (3
a
.) festgesetzt ist. Haben wir nun eine beliebige Anzahl Schall erregender Punkte in endlicher Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten, so dass das Geschwindigkeitspotential Ψ von der Form wird: (8.)
\Psi = \sum \left\{A_\mathfrak{a}\frac{\cos[kr_\mathfrak{a} - 2\pi nt + g_\mathfrak{a}]}{r_\mathfrak{a}}\right\}
wo
r
a
die Entfernung vom Punkte
a
,
A
a
und
g
a
Constanten bezeichnen, die für die verschiedenen Punkte verschieden sind, und setzen wir die Coor- dinaten
x, y, z
des Punktes, in dem die Schallbewegung bestimmt werden soll, gleich
ϱcos ω, ϱ sin ω cos ϑ, ϱ sin ω sin ϑ,
für den Punkt
a
aber gleich
α
a
, β
a
, γ
a
,
so ist
r = \sqrt{\rho^2-2\rho(\alpha\cos\omega + \beta\sin\omega\cos\theta + \gamma\sin\omega\sin\theta) + \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}
, und für unendlich grosse Werthe von ϱ wird
r = \rho - \alpha\cos\omega - \beta\sin\omega\sin\theta - \gamma\sin\omega\sin\delta
, indem wir die weiteren Glieder vernachlässigen, welche ϱ im Nenner ent- halten und deshalb unendlich klein werden. Danach wird nun der Werth von Ψ, wenn wir nur die Glieder von der Ordnung
\frac{1}{\rho}
beibehalten,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(8
a
.)
\Psi = \frac{\cos(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}\sum\left\{A_\mathfrak{a}\cos[k(\alpha_\mathfrak{a}\cos\omega + \beta_\mathfrak{a}\sin\omega\cos\theta+\gamma_\mathfrak{a}\sin\omega\sin\theta)-g_\mathfrak{a}]\right\}
+ \frac{\sin(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}\sum\left\{A_\mathfrak{a}\sin[k(\alpha_\mathfrak{a}\cos\omega + \beta_\mathfrak{a}\sin\omega\cos\theta+\gamma_\mathfrak{a}\sin\omega\sin\theta)-g_\mathfrak{a}]\right\}
.
Die beiden Summen in diesem Ausdruck sind von ϱ unabhängig, dagegen Functionen von ω und ϑ. Wir können also schliesslich für unendlich grosse Werthe von ϱ Ψ auf die Form bringen: (8
b
.)
\Psi = \mathfrak{A}\frac{\cos[k\rho - 2\pi nt + c]}{\rho}
, wo
A
und
c
Functionen von ω und ϑ sind.
Dieselbe Betrachtung lässt sich auch anwenden, wenn in der Nähe der Schall erregenden Punkte begrenzte feste Körper vorhanden sind in endlicher Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten, insofern man an der Ober- fläche dieser Körper periodisch wirkende Kräfte annehmen kann, welche die Bewegung der Lufttheilchen senkrecht gegen ihre Oberfläche zu vernichten im Stande sind. Ist der Raum durch irgend eine unendlich ausgedehnte Fläche nach einer Richtung begrenzt, so ist diese Betrachtung nicht unmittel- bar anwendbar, weil man dann periodisch wirkende Kräfte an dieser Fläche bis in unendliche Entfernung hinaus haben würde. Wohl aber lässt sich ein- fach der Fall behandeln, wo der Raum durch eine unendliche Ebene begrenzt ist, die durch den Anfangspunkt der Coordinaten geht. Man braucht sich zu den Erregungspunkten nur noch ihre Spiegelbilder hinter der Ebene hinzu zu denken, von beiden zusammen das Geschwindigkeitspotential zu nehmen, so erfüllt dies die Bedingung, dass an der Ebene
\frac{d\Psi}{dn} = 0
sei, und es lassen sich auf ein solches Geschwindigkeitspotential dieselben Betrachtungen an- wenden, als wenn nur endliche feste Körper in der Nähe wären.
Unter diesen Umständen ist also die Grenzbedingung, welche für die unendlich entfernten Theile des freien Raumes aufzustellen ist, die, dass das Bewegungspotential Ψ dort die in Gleichung (8
b
.) angegebene Form habe.
Setzen wir jetzt voraus, dass Ψ das Geschwindigkeitspotential eines Schallwellenzuges sei, der in dem Punkte
a
erregt wird, in dessen Nachbar- schaft sich eine beliebige Anzahl fester begrenzter Körper befinden möge, so dass nur an dieser Stelle Ψ unendlich werde, wie
A\frac{\cos kr_\alpha}{r_\alpha}\cos(2\pi nt)
sonst überall endlich und stetig bleibe, und in der unendlich grossen Entfernung ϱ
4 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von derselben Form wie in Gleichung (8
b
.) sei. Ausserdem möge an der Ober- fläche der festen Körper die Gleichung
\frac{d\Psi}{dn} = 0
stattfinden. Es sei ferner Φ das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte
b
erregt wor- den ist, so dass in unendlich kleiner Entfernung von
b
Φ unendlich wird, wie
\Phi = A\frac{\cos kr_b}{r_b}\cos(2\pi nt)
, in unendlicher Entfernung ϱ dagegen
\Phi = \mathfrak{B}\frac{\cos[k\rho - 2\pi nt + \delta]}{\rho}
sei, wo
B
und
d
nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor- dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muss Φ wie Ψ überall sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper
\frac{d\Psi}{dn} = 0
.
Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum
S
an, der durch eine mit dem unendlich grossen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschliessen alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die Integration an den Punkten
a
und
b
, wo Ψ und Φ unendlich gross werden, findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7
c
.) statt. Wir erhalten (9.)
\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 4\pi A[\Psi_b\cos(2\pi nt) - \Phi_a\cos2\pi nt]
, wo Ψ
b
den Werth von Ψ im Punkte
b
, und Φ
a
den von Φ im Punkte
a
bezeichnet. Die Integration nach
dω
ist sowohl über die Oberflächen der vor- handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber
\frac{d\Phi}{dn} = \frac{d\Psi}{dn} = 0
, so dass diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun
\Psi\frac{d\Phi}{dn} - \Phi\frac{d\Psi}{dn} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}k\sin(\delta - c)
.
Wenn wir nun bedenken, dass Ψ und Φ von der Form sein müssen:
\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)
,
\Phi = \Phi'\cos(2\pi nt) + \Phi''\sin(2\pi nt)
, wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Grössen sind, so wird
\Psi_b\cos(2\pi nt)-\Phi_a\cos(2\pi nt)
= \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] + \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] \cos(4\pi nt) + \tfrac{1}{2}[\Psi''_b - \Phi''_a]\sin(4\pi nt)
.
Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von
t
erfüllt sein muss, so muss
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
einzeln gleich sein:
\Psi'_b - \Phi'_a = 0
,
\Psi''_b - \Phi''_a = 0
,
\int\mathfrak{A}\mathfrak{B}\sin(\delta - c)d\omega = 0
, also auch (9
a
.)
\Psi_b = \Psi'_b\cos(2\pi nt) + \Psi''_b\sin(2\pi nt) = \Phi'_a\cos(2\pi nt) + \Phi''_a\sin(2\pi nt) = \Phi_a
.
Daraus geht der wichtige Satz hervor:
Wenn in einem mit Luft gefüllten Raume, der theils von endlich ausgedehnten festen Körpern begrenzt theils unbegrenzt ist, im Punkte a Schallwellen erregt werden, so ist das Ge- schwindigkeitspotential derselben in einem zweiten Punkte b ebenso gross, als es in a sein würde, wenn nicht in a, sondern in b Wellen von der- selben Intensität erregt würden. Auch ist der Unterschied der Phasen des erregenden und erregten Punktes in beiden Fällen gleich.
Aus der nach der Gleichung (8
b
.) gemachten Bemerkung geht hervor, dass dasselbe noch gilt, wenn der Raum von einer unendlichen Ebene theil- weise begrenzt ist. Ist Φ das Geschwindigkeitspotential von Schallwellen, die eine grössere Zahl von Erregungspunkten
b
1
,
b
2
etc.
b
m
haben, also von der Form
\Phi = \Phi_1 + \Phi_2 + \cdots + \Phi_m
, wo Φ
m
das Potential der in
b
m
erregten Schallwellen ist, so wird (9
b
.)
\sum[\Psi_{b_m}] = \sum[\Phi_{m,a}]
.
In dem Falle, wo die durch Ψ dargestellte Schallbewegung nicht da- von herrührt, dass ein tönender Punkt
a
sich im freien Raume befindet, sondern dass an irgend einem Oberflächenelemente der Begrenzung des Luftraumes, das wir mit
da
bezeichnen wollen,
\frac{d\Psi}{dn}
nicht Null, sondern
\frac{d\Psi_a}{dn} = B\cos2\pi nt
ist, so wird aus der Gleichung (9.) (9
c
.)
4\pi A\Psi_b = -B\Phi_ada
.
Dieser Satz kann dazu dienen, um in solchen Fällen, wo man die Schallbewegung der Luft vollständig nur für gewisse besondere Lagen des schallerregenden Punktes bestimmen kann, doch wenigstens für alle anderen Lagen eines oder beliebig vieler schallerregender Punkte die Erregung in
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
jenen ersten Stellen des Raumes zu bestimmen. Namentlich ist der Satz wichtig, wenn man die Schallbewegung für eine jede entfernte Lage des tönenden Punktes bestimmen kann, weil man dann rückwärts auch für jede andere Lage des tönenden Punktes die Fernwirkung bestimmen kann, auf die es bei den akustischen Versuchen meistens allein ankommt.
§. 6.
Wir gehen nun zu unserer eigentlichen Aufgabe über, die Bewegung der Luft am offenen Ende einer cylindrischen Röhre zu bestimmen, wenn im Innern der Röhre durch irgend eine Ursache ebene Wellen, die einem ein- fachen Tone von
n
Schwingungen in der Secunde entsprechen, zu Stande gekommen sind, und sich die Bewegung durch die Mündung der Röhre der äusseren Luft mittheilt, welche übrigens zunächst durch keine anderen Schall erregenden Kräfte afficirt sein möge.
Die Form der Röhre sei im Allgemeinen cylindrisch von beliebigem Querschnitte; nur in geringer Entfernung von der Mündung möge dieselbe von der cylindrischen Form abweichen dürfen. Wir schliessen also Röhren mit trompetenförmigen oder halb gedeckten Mündungen in unsere Untersuchung ein. Uebrigens setzen wir voraus, dass sowohl die Dimensionen der Oeffnung, wie auch die Länge des nicht cylindrischen Theils der Röhre gegen die Wellenlänge verschwindend klein seien. Den äusseren Raum denken wir uns der Einfachheit wegen nach einer Seite begrenzt durch eine unendliche Ebene, welche senkrecht gegen den cylindrischen Theil der Röhrenwand gerichtet ist, und in welcher die Röhrenmündung selbst liegt. Diese Ebene sei die
yz-
Ebene, die Röhre befinde sich auf Seite der negativen
x
, deren Axe im In- nern der Röhre liegen und dem cylindrischen Theile ihrer Wand parallel sein soll. Auf Seite der positiven
x
sei der Luftraum unbegrenzt. Nach der ge- machten Annahme betrachten wir
ky
und
kz
als verschwindend klein gegen 1, wenn
y
und
z
Coordinaten eines Punktes der Röhrenmündung sind, und ebenso
kx
, wenn
x
einem Punkte des nicht cylindrischen Theils der Röhren- wand angehört.
Unsere Voraussetzungen über die Natur der Bewegung, welche wir untersuchen wollen, drücken sich nun in folgenden Gleichungen aus. Erstens nehmen wir an, dass irgendwo in der Röhre sich ein Abschnitt befinde, zwischen welchem und der Mündung keine äusseren Kräfte auf die Luftmasse einwirken, und in welchem das Geschwindigkeitspotential Ψ unendlich wenig
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
verschieden sei von der Form
\Psi = \left(\frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx\right)\cos(2\pi nt) + \left(\frac{\mathfrak{A}}{k}\sin kx + \mathfrak{B}\cos kx\right)\sin(2\pi nt)
.
Dies ist die allgemeinste Form, welche ebene Wellen, die einem einfachen Tone von
n
Schwingungen angehören, haben können. Zur weiteren Verein- fachung wollen wir gleich den Anfang der Zeit
t
so festsetzen, was offenbar immer möglich ist, dass
A
= 0 wird, und somit Ψ in dem besagten Abschnitte der Röhre die Form erhält: (10.)
\Psi = \left(\frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx\right)\cos(2\pi nt) + \mathfrak{B}\cos kx\sin(2\pi nt)
.
Auf Seite der positiven
x
denke man sich zwei halbe Kugelflächen von sehr grossem Radius construirt, deren Mittelpunkt im Anfangspunkte der Coordinaten liegt. Zwischen beiden soll Ψ die Form kugeliger Wellen haben, die in den unendlichen Raum hinauslaufen, nämlich, wenn wir wie früher die Entfernung vom Anfang der Coordinaten mit ϱ bezeichnen, (10
a
.)
\Psi = M\frac{\cos(k\rho-2\pi nt)}{\rho}-M_1\frac{\sin(k\rho-2\pi nt)}{\rho}
, wo
M
und
M
I
unabhängig von ϱ, aber möglicher Weise abhängig von den Winkeln sind, die ϱ mit den Coordinatenaxen bildet.
Jenseits der äusseren jener beiden Kugelflächen mag noch ein Raum liegen, wo die Schallbewegung erst beginnt, aber zwischen der Region der ebenen Wellen in der Röhre, deren Bewegung in der Gleichung (10.) gegeben ist, und der Region der Kugelwellen von der Form (10
a
.) soll die Stärke und Phase der Luftschwingungen stationär geworden sein, also Ψ hier überall von der Form sein: (10
b
.)
\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)
, worin Ψ' und Ψ″ Functionen der Coordinaten, aber unabhängig von der Zeit sind und in diesem ganzen Theile des Luftraumes die Bedingung erfüllen: (3
b
.)
0 = k^2\Psi + \nabla\Psi
.
Endlich muss noch längs der ganzen Wand der Röhre und an dem Theile der
yz
-Ebene, welcher nicht von der Röhrenmündung eingenommen ist, sein: (10
c
.)
\frac{d\Psi}{dn} = 0
.
Wir wollen nun die Beziehungen zwischen den Coefficienten
A, B,
B
, M
und
M
1
der Gleichungen (10.) und (10
a
.) mittelst des erweiterten
Greenschen
Theorems aufsuchen.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Die erste Anwendung der Gleichung (7.) machen wir auf den inneren Raum der Röhre, dieser von der Ebene der Mündung bis zu einer damit parallelen Ebene genommen, welche in der Region der ebenen Wellen liegt. Die Function Φ der Gleichung (7.) setzen wir hier:
\Psi = \cos kx
.
Da sowohl Φ wie Ψ die Gleichung (3
b
.) erfüllen innerhalb des hier betrach- teten Raumes, so reducirt sich Gleichung (7.) auf (7
b
.)
\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 0
.
Nun ist
\frac{d\Psi}{dn}
nur an der Mündung und in dem Querschnitte der Röhre von Null verschieden, dort ist es gleich
-\frac{d\Psi}{dx}
, hier gleich
+\frac{d\Psi}{dx}
. Es wird also
\int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = -\cos2\pi nt\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega - \sin 2\pi nt\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega
+ Q(A\cos kx - Bk\sin kx)\cos kx\cos(2\pi nt) - Q\mathfrak{B}k\sin kx\cos kx\sin(2\pi nt)
.
Durch den Horizontalstrich
\overline{\Psi}
oder
\frac{d\overline{\Psi}}{dx}
sollen hier und fortan die Werthe bezeichnet werden, welche die betreffenden Functionen in der Ebene der Röhrenmündung haben. Mit
Q
ist die Grösse des Querschnitts des cylindri- schen Theils der Röhre bezeichnet. Dagegen ist
\frac{d\Phi}{dn}
am cylindrischen Theile der Röhrenwand und in der Oeffnung der Röhre gleich Null. Von Null ver- schieden ist es nur in dem Querschnitte der Röhre, wo es den Werth —
k
sin
kx
hat, und in dem nicht cylindrischen Theile der Röhrenwand. Nennt man den Winkel, den die nach innen gerichtete Normale der Röhrenwand mit den po- sitiven
x
bildet, β, so ist, da
\frac{d\Phi}{dy} = \frac{d\Phi}{dz} = 0
,
\frac{d\Phi}{dn} = \cos\beta\frac{d\Phi}{dx} = -k\sin kx\cos \beta
.
Wir haben also
\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega = -Q (A\sin kx + kB\cos kx)\sin kx\cos (2\pi nt)
-Qk\mathfrak{B}\cos kx\sin kx\sin(2\pi nt)
+k\cos(2\pi nt)\int\Psi'\sin kx\cos\beta d\omega
+k\sin(2\pi nt)\int\Psi''\sin kx\cos\beta d\omega
.
Wenn man diese Werthe der Integrale in die Gleichung (7
b
.) einführt, und
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
einzeln die mit cos (2π
nt
) und die mit sin (2π
nt
) multiplicirten Glieder gleich Null setzt, so erhält man (11.)
AQ = \int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega + k\int\Psi'\sin kx\cos\beta d\omega
, (11
a
.)
0 = \int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega + k\int\Psi''\sin kx\cos\beta d\omega
.
In beiden Gleichungen ist das erste Integral über die ganze Oeffnung der Röhre zu nehmen, das zweite über die Wand der Röhre, doch wollen wir gleich bemerken, dass an allen Stellen, wo cos β von Null verschieden ist,
kx
nach unserer Annahme eine verschwindend kleine Grösse wird. In rein cy- lindrischen Röhren mit ganz offener oder theilweis gedeckter Mündung fallen diese letzteren Integrale ganz weg.
Die zweite Anwendung des Theorems (7.) machen wir auf den freien Raum auf Seite der positiven
x
, der einerseits begrenzt gedacht wird durch die
yz
-Ebene, andererseits durch eine um den Anfangspunkt der Coordinaten als Mittelpunkt construirte halbe Kugelfläche, welche in die Region der kuge- ligen Wellen fällt. Innerhalb dieses Raumes liege der Punkt, dessen Coor- dinaten α, β, γ sind. Die Entfernung des Punktes
x, y, z
von ihm sei
r
͵, während
r
͵͵ die Entfernung von dem Punkte sei, dessen Coordinaten — α, β, γ sind, und der ausserhalb des hier betrachteten Raumes liegt. Die Function Φ der Gleichung (7.) setzen wir
\Phi = \tfrac{1}{2}\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}+\tfrac{1}{2}\frac{\cos(kr_{\prime\prime}-2\pi nt)}{r_{\prime\prime}}
.
Indem wir nun die Gleichung (7.) anwenden mit Beachtung des in (7
c
.) be- rücksichtigten Umstandes der Unstetigkeit von Φ im Punkte α, β, γ, erhal- ten wir: (11
b
.)
\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 2\pi\cos(2\pi nt)\Psi_a
, wo Ψ
α
den Werth von Ψ im Punkte α, β, γ bezeichnet.
Wie im Falle der Gleichung (9.) wird die Grösse
\Phi\frac{d\Psi}{dn} - \Psi\frac{d\Phi}{dn}
an der weit entfernten Kugelfläche eine von der Zeit unabhängige Grösse, ebenso natürlich auch das Integral dieser Grösse über die Kugelfläche, welches wir mit
C
bezeichnen wollen. An der
yz
-Ebene dagegen ist
\frac{d\Phi}{dn}
überall gleich Null, ebenso
\frac{d\Psi}{dn}
überall mit Ausnahme der Oeffnung, wo es gleich
\frac{d\overline{\Psi}}{dx}
ist;
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 5
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Φ aber bekommt den Werth
\overline{\Phi} = \frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}
, weil an der
yz
-Ebene
r
͵ =
r
͵͵ ist. So erhalten wir die Gleichung (11
c
.)
\mathfrak{C} - \int\frac{d\overline{\Psi}}{dx}\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}d\omega = 2\pi\cos(2\pi nt)\Psi_a
.
Setzen wir nun nach Gleichung (10
b
.) (10
b
.)
\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)
, so können wir in der Gleichung (11
c
.), welche für alle Werthe von
t
erfüllt sein muss, die Quadrate und Producte von cos(2π
nt
) und sin (2π
nt
) durch cos(4π
nt
) und sin (4π
nt
) ausdrücken und dann einzeln gleich Null setzen: 1) die Glieder, welche nach der Zeit constant sind, 2) die Glieder, welche mit cos(4π
nt
) multiplicirt sind und 3) die mit sin (4π
nt
) multiplicirten, und erhalten dadurch folgende drei Gleichungen:
(11
d
.)
\mathfrak{C} = \pi\Psi'_\alpha + \tfrac{1}{2}\int\left(\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos kr_\prime}{r_\prime} + \frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}\right)
,
0 = \pi\Psi'_\alpha + \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos kr_\prime}{r_\prime}d\omega - \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}d\omega
,
0 = \pi\Psi''_\alpha + \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}d\omega + \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\cos kr_\prime}{r_\prime}d\omega
.
Die Integrationen sind über die Oeffnung der Röhre auszudehnen. Durch die beiden letzten Gleichungen ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für alle Punkte des Raumes auf Seite der positiven
x
gegeben, wenn die Werthe von
\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}
und
\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}
in der Oeffnung der Röhre bekannt sind. Die erste Glei- chung folgt aus den beiden anderen mittelst des Theorems (7
d
.). Der Werth von Ψ
α
wird demnach: (11
e
.)
\Psi_\alpha = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}d\omega + \frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\sin(kr_\prime - 2\pi nt)}{r_\prime}d\omega
.
Wenn wir statt der rechtwinkligen Coordinaten Polarcoordinaten ein- führen, nämlich
α = ϱ cos ω, β = ϱ sin ω cos ϑ, γ = ϱ sin ω sin ϑ,
so wird in unendlich grosser Entfernung ϱ vom Anfangspunkte der Coordinaten mittelst einer ähnlichen Umformung, wie sie in (8
a
.) ausgeführt ist, (10
a
.)
\Psi = M\frac{\cos(k\rho - 2\pi nt}{\rho}-M_1\frac{\sin(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
wo
(11
f
.)
M = -\frac{1}{2\pi}\int\int\left(\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\cos k\epsilon + \frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\sin k\epsilon\right)dy dz
,
M = -\frac{1}{2\pi}\int\int\left(\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\cos k\epsilon - \frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\sin k\epsilon\right)dy dz
,
\epsilon = y\sin\omega\cos\theta + z\sin\omega\sin\theta
, und wo die Integrationen über die Oeffnung der Röhre auszudehnen sind.
Eine dritte Anwendung des erweiterten
Green
schen Satzes machen wir auf den Raum, welcher zwischen einem Querschnitte der Röhre in der Region der ebenen Wellen und einer halben Kugelfläche in der Region der kugeligen Wellen liegt. Für die Functionen Ψ und Φ der Gleichung (7.) setzen wir Ψ' und Ψ″ und haben wie in (7
b
.) (7
b
.)
\int\Psi'\frac{d\Psi''}{dn} d\omega - \int\Psi''\frac{d\Psi'}{dn}d\omega = 0
. Da längs der ganzen festen Wand des Raumes
\frac{d\Psi'}{dn} = \frac{d\Psi''}{dn} = 0
, so ist die Integration nur über den Querschnitt der Röhre und die Halbkugel auszu- dehnen. Im Querschnitt ist:
\Psi' = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx
,
\Psi'' = \mathfrak{B}\cos kx
,
\Psi'\frac{d\Psi''}{dx} - \Psi''\frac{d\Psi'}{dx} = -A\mathfrak{B}
. An der Kugelfläche ist:
\Psi' = M\frac{\cos k\rho}{\rho} + M_1\frac{\sin k\rho}{\rho}
,
\Psi'' = M\frac{\sin k\rho}{\rho} - M_1\frac{\cos k\rho}{\rho}
,
-\Psi'\frac{d\Psi''}{d\rho} + \Psi''\frac{d\Psi'}{d\rho} = - \frac{k(M^2 + M_1^2)}{\rho^2}
. Wenn man die Integrale nimmt, wird: (11
g
.)
0 = A\mathfrak{B}Q + k\int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}d\omega\int_0^{2\pi}d\theta(M^2 + M_1^2)\sin\omega
.
5 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Endlich wenden wir noch das Theorem (7.) auf den inneren Raum der Röhre an von der Ebene der Mündung bis zu einem Querschnitt in der Region der ebenen Wellen für die Function Ψ' und
\Phi = \sin kx
, (7
b
.)
\int\Psi'\frac{d\Phi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi'}{dn} = 0
Am Querschnitte der Röhre wird
\Psi'\frac{d\Phi}{dx} - \Phi\frac{d\Psi'}{dx} = kB
. An der Wand der Röhre wird
\frac{d\Psi'}{dn} = 0
, an ihrer Mündung Φ = 0, so dass das zweite Integral der Gleichung (7
b
.) verschwindet. Im ersten wird an der Wand der Röhre:
\frac{d\Phi}{dn} = k\cos kx\cos\beta
, an der Mündung
\frac{d\Phi}{dn} = -k
. Also haben wir: (11
h
.)
QB + \int\Psi'\cos kx\cos\beta d\omega - \int\overline{\Psi'}d\omega = 0
, wo das erste Integral über den nicht cylindrischen Theil der Röhrenwand auszudehnen ist, so weit cosβ sich von Null unterscheidet, das zweite über die Oeffnung der Röhre.
Wir haben jetzt in den Gleichungen (11.), (11
a
.), (11
d
.), (11
f
.), (11
g
.), (11
h
.) die Werthe der Coefficienten
A, B,
B
,
M, M
1
und der Functionen Ψ' und Ψ″ im freien Raume zurückgeführt auf Integrale, in denen nur die Werthe vorkommen, welche Ψ', Ψ″ und ihre Differentialquotienten theils in der Mündung der Röhre selbst, theils an dem nicht cylindrischen Theile ihrer Wand haben. Wir wollen jetzt die Vereinfachungen dieser Aus- drücke einführen, welche daraus herfliessen, dass die Dimensionen der Mün- dung und die Länge des nicht cylindrischen Theiles der Röhre unserer Annahme nach gegen die Wellenlänge verschwindend klein sein sollen. Vernachlässigen wir Grössen von der Ordnung
k
ε gegen 1, so nehmen unsere Gleichungen (11.), (11
a
.) und (11
f
.) folgende Gestalt an (12.)
AQ = \int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(12
a
.)
0 = \int\frac{d\overline{\Psi''}}{dy}d\omega + k^2\int\Psi''x\cos\beta d\omega
, (12
b
.)
M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{1}{2\pi}AQ
. Für den Werth von
M
1
ist zu bemerken, dass das von
k
unabhängige Glied desselben
\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega
nach (11
a
.) selbst eine verschwindend kleine Grösse ist, dass ferner auch das mit der ersten Potenz von
k
multiplicirte
\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\epsilon d\omega
der Null gleich gemacht werden kann, wenn man den Anfangspunkt der Coor- dinaten, über den bisher nur bestimmt ist, dass er in der Oeffnung der Röhre liegen solle, in den Schwerpunkt einer Masse verlegt, welche mit der Dich- tigkeit
\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}
über die Fläche der Oeffnung verbreitet ist, also reducirt sich der Werth von
M
1
auf verschwindend kleine Grössen, nämlich (12
c
.)
M_1 = \frac{k^2}{2\pi}\int\Psi'' x\cos\beta d\omega + \frac{k^2}{4\pi}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\epsilon^2 d\omega
. Wir werden also
M
1
gegen
M
vernachlässigen und letzteres als unabhängig von den Winkeln ω und ϑ betrachten dürfen, also aus (11
g
.) erhalten
A\mathfrak{B}Q = -2\pi kM^2
, oder mit Berücksichtigung von (12
b
.)
AQ = -2\pi M
, (12
d
.)
\mathfrak{B} = kM = -\frac{k}{2\pi}AQ
, endlich (12
e
.)
QB = \int\overline{\Psi'}d\omega - \int\Psi'\cos\beta d\omega
. Da nun übrigens nach (11
e
.) in der Ebene der Mündung mit Vernachlässigung kleiner Grössen
\overline{\Psi'}= -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{d\omega}{r}
und (12
b
.)
M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{1}{2\pi}AQ
, so sind
M
oder
AQ
und
\epsilon\overline{\Psi'}
Grössen von gleicher Ordnung. Nun können wir die Gleichung (12
e
.) schreiben
QB = \pm\int\int\Psi'dy dz
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
wo die Integration über alle Werthe von
z
und
y
auszudehnen ist, welche der Oeffnung und Wand der Röhre angehören, und das + Zeichen sowohl an der Oeffnung als an denjenigen Theilen der Wand zu nehmen ist, deren Normale mit den negativen
x
einen spitzen Winkel bildet, das — Zeichen an den Theilen, deren Normale mit den positiven
x
einen spitzen Winkel bildet.
QB
ist also gleich den Werthen von Ψ' in der Nähe der Oeffnung integrirt über eine Fläche von der Grösse
Q
, also ist
B
von der Grössen- ordnung
\overline{\Psi'}
oder
\frac{AQ}{\epsilon}
. Wenn also der Querschnitt der Röhre von derselben Ordnung kleiner Grössen wie die Oeffnung, d. h. von der Ordnung ε
2
ist, ist
B
von der Ordnung
A
ε. Genauer lässt sich bei der Allgemeinheit unserer Annahmen das Verhältniss
\frac{B}{A}
nicht bestimmen. Wir werden später bei den Beispielen sehen, dass es von der Form der Mündung abhängt, von welcher wir das Verhältniss
\frac{\mathfrak{B}}{A}
unabhängig gefunden haben, und dass es nicht merklich von dem Werthe von
k
abhängt, so lange der Querschnitt der Röhre und die Länge des nicht cylindrischen Theiles als verschwindend gegen die Wellen- länge zu betrachten sind. Ist übrigens die Oeffnung der Röhre sehr klein gegen den Querschnitt, so kann
\frac{B}{A}
jeden beliebigen grösseren Werth erreichen.
Innerhalb der tieferen Theile der Röhre ist also, wenn wir setzen (12
f
.)
\frac{kB}{A} = -\operatorname{tang}k\alpha
, (12
g
.)
\Psi = \frac{A}{k\cos k\alpha}\sin k(x-\alpha)\cos(2\pi nt)-\frac{AkQ}{2\pi}\cos kx\sin(2\pi nt)
, und dazu gehört die Bewegung in den entfernten Stellen des freien Raumes, indem wir
M
1
gegen
M
vernachlässigen, (12
h
.)
\Psi = -\frac{AQ}{2\pi}\frac{\cos(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}
, in welchen beiden Gleichungen
A
eine willkührliche Constante ist, und α für jede besondere Röhrenform besonders bestimmt werden muss.
Die Natur des hier behandelten Problems wird noch klarer, wenn man auf den Grenzfall übergeht, wo
k
= 0 wird. Dann werden die beiden Functio- nen Ψ' und Ψ″ von einander unabhängig, und es entstehen aus unserem Problem folgende zwei Aufgaben:
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
1) Es ist eine Function Ψ' zu suchen, welche in dem ganzen be- trachteten Raume der Bedingung genügt, dass
\nabla\Psi' = 0
, welche für grosse negative
x
übergeht in
Ax
+
B
, für grosse positive in
-\frac{AQ}{2\pi\rho}
, und für die längs der ganzen festen Wand
\frac{d\Psi'}{dn} = 0
ist. Es ist dies mathematisch dieselbe Aufgabe, als hätten wir einen homogenen electrischen Leiter von der Gestalt unseres Luftraumes, welchen ein electrischer Strom von bestimmter Intensität (
AQ
, wenn das Leitungsvermögen des Stoffes gleich 1 ist) durchfliesst, der aus dem cylindrischen Theile in den unendlichen Raum übergeht. Wir nennen bekanntlich den Leitungswiderstand zweier Leiter gleich, wenn bei gleicher Intensität des Stromes ihre Endflächen Flächen con- stanten Potentials sind und dieselbe Differenz des Potentials zeigen. Nun ist in irgend einem Querschnitte des cylindrischen Theiles die Potentialfunction
Ax
+
B
für unendliche Entfernung im freien Raume Null. Denken wir uns dagegen den cylindrischen Leiter cylindrisch fortgesetzt und überall die Po- tentialfunction gleich
Ax
+
B
, so wird sie Null, wenn
x = -\frac{B}{A} = \alpha
. Es ist also — (
x
— α) die Länge eines cylindrischen Leiters von demselben Material, welcher denselben electrischen Widerstand bietet wie der Leiter von Gestalt unseres Luftraumes, gerechnet von einem Querschnitt des cylindrischen Theiles in der Entfernung —
x
von der Mündung bis in unendliche Entfernung im freien Raume. Nach der in der Electricitätslehre gebräuchlichen Terminologie würde also — (
x
— α) die
reducirte Länge
jenes Leiters genannt werden können, und wir wollen dieselbe Benennung auch hier brauchen. Die Con- stante
B
oder α verschwindet also nicht mit
k
zugleich, obgleich andererseits einzusehen ist, dass sie meistens nicht gross sein kann, da der Widerstand unendlich ausgedehnter Leiter, wie der der Erde, immer sehr klein ist ver- glichen mit dem Widerstande cylindrischer Leiter von demselben Material, aus denen die Electricität in den unendlichen Leiter ausströmt, und es folgt auch weiter aus den bekannten Theoremen über Electricitätsleitung, dass α desto grösser werden muss, je enger die Mündung der Röhre gemacht wird, was sich auch in den akustischen Versuchen durch die Veränderung des Tons der Röhren zeigt, dessen Abhängigkeit vom Werthe von α wir unten feststellen werden.
Wenn die Oeffnung sehr klein und kreisförmig ist, während die den Cylinder schliessende Wand in ihrer Nähe nahehin eben ist, lässt sich anneh-
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
men, dass der Widerstand hauptsächlich nur von den dicht bei der Oeffnung gelegenen Theilen herrührt, wo die Bahn der Strömung am engsten ist. Der Widerstand einer kreisförmigen Oeffnung vom Radius
R
in einer isolirenden Ebene, welche zwei unendlich ausgedehnte Leiter von einander trennt, ist aber ausgedrückt durch die Länge
l
eines Cylinders vom Querschnitt
Q:
(12
i
.)
l = \frac{Q}{2R}
, und dies würde in diesem Falle auch der Werth von
-\frac{B}{A}
sein.
2) Es ist eine Function
\frac{1}{k}\Psi''
zu suchen, welche im ganzen betrach- teten Raume der Bedingung genügt, dass ∇ Ψ″ = 0, welche für grosse Ent- fernungen von der Mündung sowohl auf Seite der negativen wie der positi- ven
x
wird:
\frac{1}{k}\Psi'' = -\frac{AQ}{2\pi}
und längs der ganzen festen Wand des Luftraumes
\frac{d\Psi}{dn} = 0
. Offenbar ist unter diesen Umständen Ψ″ im ganzen Raume constant. Hierbei wird dann ersichtlich, dass in der Oeffnung nicht blos, wie wir schon gesehen, die Grösse
\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega
, sondern auch
\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}
selbst mit
k
zugleich verschwindet.
§. 7.
Die bisher gewonnenen Sätze lassen nun eine Reihe allgemeiner Fol- gerungen ziehen nicht blos über die Lage der Schwingungs-Minima und Maxima (Knoten und Bäuche der Schwingungen) und die davon abhängende Höhe der natürlichen Töne der Röhre, die wir als
Töne stärkster Resonanz
cha- racterisiren können, welche Aufgaben schon die bisherigen Theorien mehr oder weniger genügend behandelt haben, sondern sie geben uns für eine Reihe besonderer Erregungsweisen der Töne auch bestimmte Auskunft über die Stärke und Phasen der in der Röhre erregten Schwingungen.
Die Geschwindigkeit der Lufttheilchen ist aus (12
a
.) berechnet (13.)
\frac{d\Psi}{dx} = \frac{A}{\cos k\alpha}\cos k(x-\alpha)\cos(2\pi nt)+\frac{Ak^2Q}{2\pi}\sin kx\sin(2\pi nt)
oder
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
(13
a
.)
\frac{d\Psi}{dx} = J\cos(2\pi nt + \tau)
,
wenn
J = A\sqrt{\frac{\cos^2k(x-\alpha)}{\cos^2k\alpha} + \frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\sin^2kx}
,
\operatorname{tang}\tau = -\frac{k^2Q\sin kx\cos k\alpha}{2\pi\cos k(x-\alpha)}
.
Die Werthe von
x
, für welche
J
2
ein Maximum oder Minimum wird, werden gefunden durch die Gleichung (13
b
.)
\operatorname{tang}2k(x-\alpha) = \frac{k^4Q^2\sin k\alpha\cos^2k\alpha}{2\pi^2\left(1-\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\cos^3k\alpha\right)}
. Wenn
x
0
ein Werth ist, der für
x
gesetzt diese Gleichung erfüllt, so wird sie auch erfüllt durch
x = x_0 +\mathfrak{a}\frac{\lambda}{4} = x_0 + \frac{\mathfrak{a}\pi}{2k}
, worin
a
eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bezeichnet.
Die Maxima und Minima der Schwingung liegen also in der Röhre um Viertel- wellenlängen von einander entfernt
. Sie liegen aber nicht nothwendig um ein genaues Vielfache einer Viertelwellenlänge von der Oeffnung der Röhre entfernt. Wenn, wie wir im Folgenden immer annehmen wollen,
k
2
Q
eine unendlich kleine Grösse ist, so wird mit Vernachlässigung der kleinen Grössen zweiter Ordnung die Gleichung (13
b
.):
\operatorname{tang}2k(x-\alpha) = 0
. Dann wird
J
2
ein Maximum
J^2_\prime
, wenn
k(x-\alpha)=\mathfrak{a}\pi
, also
\cos k(x-\alpha)=\pm 1
,
J^2_\prime = \frac{A^2}{\cos^2k\alpha}
, und
J
2
wird ein Minimum
J^2_{\prime\prime}
, wenn
k(x-\alpha) = (\mathfrak{a} + \tfrac{1}{2})\pi
, also
\cos k(x-\alpha) = 0
,
J^2_{\prime\prime} = A^2\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\cos^2k\alpha
. Denken wir uns die ebenen Wellen bis zur Mündung der Röhre fortgesetzt, so würde in der kleinen Entfernung α vor der Oeffnung ein Maximum der Schwingung lie- gen. Denken wir uns die Entfernungen der Querschnitte der Röhre von diesem um die Länge α vor der Oeffnung in der Axe der Röhre gelegenen Punkte ge-
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 6
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
zählt und nennen diese Entfernungen
die reducirten Längen
des betreffenden Röhrenstücks, so erhalten wir
Maxima der Schwingung überall, wo die re- ducirte Länge gleich einem geraden Vielfachen der Viertelwellenlänge und Minima der Schwingung (Knotenflächen), wo die reducirte Länge der Röhre einem ungeraden Vielfachen der Viertelwellenlänge gleich ist
. In den Knotenflächen herrscht aber nicht absolute Ruhe, sondern die Bewegung wird nur sehr klein.
Am Orte der Maxima der Schwingung wird tang τ, gleich einer unendlich kleinen Grösse, also τ =
a
π, am Orte der Minima wird tang τ = ∞, also τ = (
a
+ ½)π, folglich
sind die Phasen der Bewegung am Orte der Maxima und Minima um eine Viertelschwingungsdauer verschieden.
Nach Gleichung (1
f
.) ist die Verdichtung der Luft, wo keine äusseren Kräfte wirken,
\mathfrak{h} = -\frac{1}{a^2}\frac{d\Psi}{dt}
, also in unserem Falle: (14.)
\mathfrak{h} = \frac{A}{a\cos k\alpha}\sin k(x-\alpha)\sin(2\pi nt)+\frac{Ak^2Q}{2\pi a}\cos kx\cos(2\pi nt)
oder:
(14
a
.)
\mathfrak{h} = L\sin(2\pi nt + \tau_\prime)
,
wenn
L = \frac{A}{a}\sqrt{\frac{\sin^2k(x-\alpha)}{\cos^2k\alpha}+\frac{k^4Q^2\cos^2kx}{4\pi^2}
,
\operatorname{tang}\tau_\prime = \frac{k^2Q\cos kx\cos k\alpha}{2\pi\sin k(x-\alpha)}
.
Die Bedingungsgleichung, welche die Werthe von
x
giebt, für welche
L
2
ein Maximum oder Minimum wird, ist dieselbe wie (13
b
.), welche oben für die Grenzwerthe von
J
2
aufgestellt ist, aber wo letzteres ein Maximum ist, wird
L
2
ein Minimum, und umgekehrt. Wo
L
ein Maximum, wird tang τ͵ = 0 (oder vielmehr gleich einer verschwindend kleinen Grösse), also:
\mathfrak{h} = \pm\frac{A}{a\cos k\alpha}\sin(2\pi nt)
,
\frac{d\Psi}{dx} = \pm\frac{Ak^2Q\cos k\alpha}{2\pi}\sin(2\pi nt)
, wo
L
2
ein Minimum ist, wird tang τ͵ = ∞,
\mathfrak{h} = \pm\frac{Ak^2Q\cos k\alpha}{2\pi a}\cos(2\pi nt)
,
\frac{d\Psi}{dx} = \pm \frac{A}{\cos k\alpha}\cos(2\pi nt)
. An diesen Stellen also fällt das Maximum der Verdichtung mit dem Maximum der Geschwindigkeit in der Zeit zusammen, nicht aber an den zwischenliegen-
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
den Stellen. Denn wo weder sin
k
(
x
— α) noch cos
k
(
x
— α) der Null nahe sind, sind sowohl tang τ als tang τ͵ sehr kleine Grössen, und es wird also nahehin
\mathfrak{h} = L\sin(2\pi nt)
,
\frac{d\Psi}{dx} = J\cos(2\pi nt)
, so dass hier die Maxima des Druckes und der Geschwindigkeit nahehin um eine Viertel-Undulationszeit auseinanderfallen.
Denkt man sich die ebenen Wellen bis zur Oeffnung der Röhre, wo
x
= 0, fortgesetzt, so wird dort tang τ = 0, dagegen
\operatorname{tang}\tau_\prime = -\frac{k^2Q}{2\pi}\operatorname{cotang}k\alpha
. Nun ist im Allgemeinen tang
k
α eine kleine Grösse erster Ordnung,
k
2
Q
eine solche zweiter Ordnung, also tang τ͵ sehr klein und τ͵ nahe an Null. Aber es kann auch für besondere Röhrenformen α = 0 werden, dann würde τ͵ = ½π. Im ersteren Falle würden in der Oeffnung die Maxima der Geschwindigkeit und der Verdichtung um eine Viertelundulation der Zeit nach aus einander liegen, im zweiten Falle zusammenfallen.
Poisson
s Voraussetzung, dass die Verdichtung in der Oeffnung gleich der Geschwindigkeit multiplicirt mit einer sehr kleinen Constanten sei, ist also nur in einem besonderen Falle richtig, den er allerdings als den allgemeinen betrachtete. Auch in diesem Falle ist sie übrigens nur richtig, wenn man sich erlaubt, die ebenen Wellen bis zur Mündung der Röhre fortgesetzt zu denken, aber nicht, wenn man die wirklich in der Oeffnung stattfindenden mittleren Werthe der Geschwindigkeit und Ver- dichtung nimmt.
Was die Lage der einzelnen Wellenphasen in einem gegebenen Augen- blicke betrifft, so finden wir die Lage der Geschwindigkeitsmaxima in der Region der ebenen Wellen, indem wir
\frac{d^2\Psi}{dx^2} = 0
setzen, oder auch Ψ = 0, da hier
\frac{d^2\Psi}{dx^2} + k^2\Psi = 0
. Also:
0 = \frac{A}{k}\cos(2\pi nt)\sin kx + [B\cos(2\pi nt) + \mathfrak{B}\sin(2\pi nt)]\cos kx
; daraus folgt als Bedingung (s. (12
f
.) und (12
g
.)) (14
b
.)
\operatorname{tang}kx = \operatorname{tang}k\alpha+\frac{k^2Q}{2\pi}\operatorname{tang}(2\pi nt)
. Wenn
t
= 0, wird
\operatorname{tang}kx = \operatorname{tang}k\alpha
, die Maxima der Geschwindigkeit liegen dann, wo — (
x
— α) =
a
λ, die Minima,
6 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
wo — (
x
— α) = (
a
+ ½) λ. Wenn nun
t
wächst, so bleibt, weil
k
2
Q
eine verschwindend kleine Grösse ist, doch immer noch tang
kx
unmerklich wenig verschieden von tang
k
α, also die Lage der Maxima und Minima unverändert, so lange tang (2π
nt
) endliche Werthe hat. Wenn aber
t
sich dem Werthe einer Viertel-Schwingungsdauer nähert, wird auch tang
kx
gleichzeitig mit tang (2π
nt
) erst + ∞, dann — ∞, dann aber, so wie tang (2π
nt
) endliche negative Werthe erreicht hat, wird tang
kx
wieder gleich tang
k
α, und so bleibt es wieder während beinahe einer halben Schwingungsdauer stationär, so lange tang (2π
nt
) endlich bleibt. So oft nun tang
kx
vom Werthe tang
k
α auf + ∞ wächst, dann von — ∞ durch die negativen Werthe bis 0 und wie- der auf tang
k
α übergeht, muss
kx
um π wachsen und
x
selbst um ½λ. So wird also ein Maximum, welches zur Zeit
t
= 0 da liegt, wo die reducirte Länge
a
λ beträgt, um die Zeit
t = \frac{1}{4n}
schnell übergehen auf die reducirte Länge (
a
— ½) λ, hier beinahe stillstehen bis
t = \frac{3}{4n}
, dann schnell fortschrei- ten auf (
a
— 1) λ u. s. w.
Im freien Raume dagegen bewegen sich die Maxima der Geschwindig- keit mit der gleichmässigen Fortpflanzungsgeschwindigkeit
a
vorwärts. In den entfernteren Theilen des freien Raumes liegen sie zur Zeit
t
= 0, wo ϱ = (
b
+ ¼) λ. Der Abstand zweier Maxima der Geschwindigkeit, von denen eines im freien Raume in der
x
-Axe, das andere in der Röhre gelegen ist, zur Zeit
t
= 0 ist (
a + b
+ ¼) λ — α. Da bis zur Zeit
t = \frac{1}{4n}
das Maximum in der Röhre fast ganz still steht, das im freien Raume um ¼λ fortschreitet, so wächst die Entfernung beider Maxima bis auf nahehin (
a + b
+ ½) λ — α, geht dann ziemlich schnell zurück auf (
a + b
) λ — α, um während der nächsten halben Schwingungsdauer wieder auf (
a + b
+ ½) λ — α zu steigen, und bewegt sich so immer zwischen den genannten Grenzen.
Mit der Verdichtung verhält es sich ähnlich. Ihre Maximalwerthe wer- den gegeben durch die Gleichung: (14
c
.)
\operatorname{cotang}kx = -\operatorname{tang}k\alpha + k^2Q\operatorname{cotg}(2\pi nt)
. Zur Zeit
t = \frac{1}{4n}
ist cotg(2π
nt
) = 0, und die Maxima der Verdichtung lie- gen, wo die reducirte Länge der Röhre (
a
— ¼) λ beträgt. Diese Lage be- halten sie auch unverändert bis nahehin
t = \frac{2}{4n}
, wo cotg(2π
nt
) unendlich gross wird. Dann rücken sie schnell vorwärts bis (
a
— ¾) λ. In den entfern-
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
teren Theilen des freien Raumes liegen sie, wenn
t = \frac{1}{4n}
, da, wo ϱ = (
b
+ ½) λ. Ihr Abstand von denen in der Röhre beträgt also dann (
a + b
+ ¼) λ — α, wächst allmälig auf (
a + b
+ ½) λ — α, sinkt schnell auf (
a + b
) λ — α, wächst dann wieder allmälig u. s. w. Sowohl die Maxima des Druckes wie der Ge- schwindigkeit haben ihren grössten Werth in der Röhre, wenn sie stillstehen, ihren kleinsten, wenn sie vorwärts eilen. Uebrigens eilen die Maxima der Ge- schwindigkeit vorwärts zu den Zeiten und an den Orten, wo die des Druckes stillstehen, und umgekehrt.
Stärke der Resonanz in der Röhre
. Denkt man sich die Röhre nur bis
x = —
l
reichend und ihr Ende im Bereiche der ebenen Wellen ge- legen, so kann die Erschütterung der Luft in der Röhre entweder an diesem Ende mitgetheilt werden oder von der vorderen Oeffnung der Röhre her, indem ein Schallwellenzug gegen die Mündung der Röhre schlägt. Was zu- nächst den ersten Fall betrifft, so kann nach Feststellung der Form der ebenen Wellen leicht der Fall behandelt werden, wo die Röhre durch irgend eine Platte von beliebiger Masse geschlossen ist, welche durch irgend eine elastische Kraft (z. B. einer über die Mündung der Röhre ausgespannten Membran) in ihrer Lage gehalten und durch eine beliebige periodisch wirkende Kraft in Erschütterung versetzt wird. Es lässt sich dann für jede Röhrenform und Tonhöhe, für welche der Werth der Constanten α bekannt ist, sowohl die Form der ebenen Wellen als der Kugelwellen in den entfernteren Theilen des freien Raumes vollständig angeben. Hier genüge es, nur kurz den Fall zu erwäh- nen, wo eine Bewegung von bestimmter Geschwindigkeit mitgetheilt wird, der also practisch etwa dem Falle entspricht, wo eine Stimmgabel die Schlussplatte der Röhre erschüttert.
Die Geschwindigkeit der der Schlussplatte mitgetheilten Bewegung sei
G\cos(2\pi nt+\tau_{\prime\prime})
, wo wir unter τ͵͵ eine willkürliche Constante verstehen, mittelst deren wir den Anfang von
t
passend bestimmen. Dann muss sein für
x = — l
\frac{d\Psi}{dx} = J\cos(2\pi nt + \tau) = G\cos(2\pi nt + \tau_{\prime\prime})
, also (15.)
G = J = A\sqrt{\frac{\cos^2k(l + \alpha)}{\cos^2k\alpha}+\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\sin^2kl}
, (15
a
.)
\operatorname{tang}\tau_{\prime\prime} = \operatorname{tang}\tau = \frac{k^2Q\sin kl\cos k\alpha}{2\pi\cos k(l+\alpha)}
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Das Geschwindigkeitspotential in den ferneren Theilen des freien Raumes ist
\Psi = M\frac{\cos(k\rho-2\pi nt)}{\rho}
, wo (12
b
.)
M = -\frac{AQ}{2\pi}
. Es lässt sich also
A
und
M
aus
G
und
l
bestimmen.
A,
das Schwingungs- maximum in der Röhre, und ebenso
M,
die Intensität der Kugelwellen im freien Raume, wird bei constantem
G,
also bei constanter Bewegung der Schlussplatte der Röhre, am grössten, wenn der Factor von
A
in (15.) am kleinsten ist, d. h. wenn
\cos k(l + \alpha) = 0
,
k(l + \alpha) = (\mathfrak{a} + \tfrac{1}{2})\pi
. Dann ist
A = \frac{2\pi}{k^2Q\cos k\alpha}G = \frac{\lambda^2}{2\pi Q\cos k\alpha}G
,
M = -\frac{\lambda^2}{\cos k\alpha}G
,
\tau = (-1)^\mathfrak{a}\tfrac{1}{2}\pi
.
Die stärkste Resonanz der Röhre und der stärkste Schall im freien Raume findet also statt, wenn die Bewegung der Luft am Orte einer Knotenfläche mitgetheilt wird. Die Stärke der Schallwellen wird dabei sehr gross, aber keinesweges unendlich
. Denn damit der im Nenner der Werthe von
A
und
M
stehende cos
k
α Null werde, müsste die Fläche der Oeffnung gleich Null werden. Dabei zeigt sich zugleich, dass die Resonanz sowohl in der Röhre als auch im freien Raume desto mächtiger wird, je enger die Oeffnung der Röhre ist. Wenn wie gewöhnlich
k
α klein ist, kann cos
k
α = 1 gesetzt werden.
Dann ist die Wirkung im freien Raume un- abhängig von der Form der Röhre. Die Vibrationen der Schwingungs- maxima in der Röhre und der um ganze Wellenlängen von der Oeffnung entfernten Wellen im freien Raume unterscheiden sich dabei von denen der mitgetheilten Bewegung um eine Viertel-Undulation
.
Das Minimum der Resonanz tritt ein, wenn der Factor von
A
im Werthe von
G
in (15.) sein Maximum erreicht, d. h. wenn
\cos k(l + \alpha) = 1
,
k(l + \alpha) = \mathfrak{a}\pi
; dann wird mit Weglassung kleiner Grössen
G\cos k\alpha = A
,
\tau = \mathfrak{a}\pi
,
M = \frac{QG\cos k\alpha}{2\pi}
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Die Wirkung im freien Raume ist also, je nach dem Werthe von α, gleich oder kleiner, als wenn gar keine Röhre vorhanden wäre, und die erschütterte Schlussplatte der Röhre einen Theil der übrigens festen
yz
-Ebene bildete.
Die grosse Verschiedenheit der Schallstärke in der Luft bei gleicher Excursionsweite der schwingenden Endplatte der Röhre, von der die Wellen erregt werden, kann überraschen. Sie beruht darauf, dass, wenn auch die Excursion der Schwingungen dieselbe bleibt, doch die
Arbeit,
die die schwin- gende Platte durch die Bewegung der Luft leistet, eine ausserordentlich ver- schiedene ist, je nachdem sie gegen verdichtete oder nicht verdichtete Luft sich vorwärts bewegen muss. Bei stärkster Resonanz findet am Ende der Röhre auch der stärkste Wechsel von Verdichtung und Verdünnung statt.
Gehen wir jetzt über zu dem anderen Falle, wo der Schall im freien Raume in grösserer Entfernung von der Oeffnung der Röhre erregt wird, letztere aber an der Stelle
x = —
l
fest geschlossen ist. Da die in dem tönenden Punkte, dessen Coordinaten α, β, γ seien, erregten Wellen von der festen
yz
-Ebene reflectirt werden, müssen wir uns die Bewegung im freien Raume zusammengesetzt denken aus den Wellen, welche der tönende Punkt erregt, und denen, welche sein Spiegelbild, dessen Coordinaten — α, β, γ sind, erregen würde. Setzen wir das Geschwindigkeitspotential Φ dieser Be- wegung auf Seite der positiven
x
im freien Raume (16.)
\Phi = H\left[\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt +c)}{r_\prime}+\frac{\cos(kr_{\prime\prime}-2\pi nt+c)}{r_{\prime\prime}}\right]
, wo
r
͵ die Entfernung von Punkte α, β, γ und
r
͵͵ die von seinem Spiegel- bilde — α, β, γ bedeutet, so ist an der ganzen
yz
-Ebene
\frac{d\Phi}{dx} = 0
. Ist der tönende Punkt weit von der Oeffnung der Röhre entfernt und diese klein gegen die Wellenlänge, so können wir die kleinen Verschiedenheiten des Werthes von Φ in verschiedenen Punkten der Oeffnung vernachlässigen und hier setzen:
\overline{\Phi} = G\cos(2\pi nt+\tau_{\prime\prime})
, wo
G = \frac{2H}{r_\prime}
,
\operatorname{tang}\tau_{\prime\prime} = -\operatorname{tang}(kr_\prime+c)
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Innerhalb der Röhre setzen wir dann (16
a
.)
\Phi = G\cos kx\cos(2\pi nt + \tau_{\prime\prime})
. Dann ist Φ an der Oeffnung continuirlich und
\frac{d\Phi}{dx}
innen und aussen eben da gleich Null. Innerhalb der Röhre können wir bei dieser Annahme
\frac{d\Phi}{dn} = 0
setzen, indem wir die verschwindend kleinen Werthe, welche es am nicht cylindrischen Theile der Röhre annimmt, vernachlässigen. Nur am ver- schlossenen Ende ist
\frac{d\Phi}{dx}
im Allgemeinen nicht gleich Null. Hier müssen wir setzen:
\frac{d\Phi}{dx}+\frac{d\Psi}{dx} = 0
und das Geschwindigkeitspotential im ganzen Raume gleich Φ + Ψ, wo Ψ das von uns früher bestimmte Bewegungspotential der ebenen Wellen in der Röhre, die in den freien Raum übergehen, ist. Dadurch ist allen Bedingungen der Aufgabe genügt. Wir haben also für
x = —
l
(16
b
.)
-kG\sin kl\cos(2\pi nt+\tau_{\prime\prime}) = J\cos(2\pi nt + \tau)
. also
(16
c
.)
\tau_{\prime\prime} = \tau + \pi
,
kG\sin kl = J = A\sqrt{\frac{\cos^2k(l+\alpha)}{\cos^2k\alpha}+\frac{k^4Q^2}{4\pi^2}\sin^2kl}
.
Das Minimum von
A
bei gleichen Werthen von
G
tritt offenbar ein, wenn sin
kl
= 0; dann wird
A
= 0, und die Bewegung im freien Raume so, als wäre die Mündung der Röhre gar nicht in der
yz
-Ebene vorhanden. Das Maximum aber tritt ein, wenn cos
k
(
l
+ α) = 0; dann wird
A = kG \frac{2\pi}{k^2Q\cos k\alpha}
, und wieder wird beim Maximum der Resonanz der Phasenunterschied von einer Viertel-Undulation zwischen den erregenden Wellen und den erregten ein- treten. Das Maximum der Resonanz in der an einem Ende geschlossenen Röhre tritt also in beiden Fällen, sowohl wenn der Schall vom geschlossenen als wenn er vom offenen Ende her der Luft der Röhre mitgetheilt wird, ein, wenn die reducirte Länge der Röhre ein ungerades Vielfache der Viertel- wellenlänge ist. Aus dem Reciprocitätsgesetz des Schalles, welches in (9
a
.) ausgesprochen ist, lässt sich nun dasselbe Gesetz auch für jede andere Lage des tönenden Punktes ableiten. Es passt auf unseren Fall direct die Form, welche wir dem Gesetz in (9
c
.) gegeben haben. Die dortige Constante
A,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
welche der Intensität des tönenden Punktes
b
entspricht, indem dort Φ unend- lich wird, wie
\Phi = A\frac{\cos kr_b}{r_b}\cos(2\pi nt)
, wollen wir gleich 1 setzen. Der Werth von
\frac{d\Psi}{dn}
ist in (9
c
.) an der er- schütterten Stelle
da
der Wand gleichgesetzt worden:
\frac{d\Psi_a}{dn} = B\cos(2\pi nt)
. Am Grunde der Röhre ist
\frac{d\Psi_a}{dn} = \frac{d\Psi_a}{dx}
, und in dem Falle, wo der Boden der Röhre erschüttert wird, von uns in den Gleichungen (15.) und (15
a
.) gesetzt worden:
\frac{d\Psi_a}{dx} = G\cos(2\pi nt + \tau_{\prime\prime})
; wir haben also die Constante
B
der Gleichung (9
c
.) mit
G
zu vertauschen und im Ausdrucke für Ψ statt 2π
nt
zu schreiben 2π
nt
— τ͵͵. Ausserdem ist in dem Falle unserer Anwendung nicht blos ein einziges Flächenelement
da
erschüttert worden, sondern der ganze Boden der Röhre; wir müssen also über diesen integriren, und erhalten so (17.)
4\pi\Psi_b = -G\int\Phi_ad\omega
wo die Integration über den Boden der Röhre auszudehnen ist. Ist nun der tönende Punkt vom Boden der Röhre nur weit genug entfernt, dass hier ebene stehende Wellen entstehen können, also Φ hier von der Form ist:
\Phi = f\cos k(l + x)\cos(2\pi nt+c)
, so wird aus (17.)
4\pi\Psi_b = -fGQ\cos(2\pi nt + c)
,
4\pi[\Psi'_b\cos(2\pi nt-\tau_{\prime\prime} + \Psi''_b\sin(2\pi nt - \tau_{\prime\prime})] = -fGQ\cos(2\pi nt+c)
,
(17
a
.)
4\pi(\Psi'_b\cos\tau_{\prime\prime}-\Psi''_b\sin\tau_{\prime\prime}) = -fGQ\cos c
,
4\pi(\Psi'_b\sin\tau_{\prime\prime}+\Psi''_b\cos\tau_{\prime\prime}) = fGQ\sin c
,
4\pi\sqrt{(\Psi'_b)^2+(\Psi''_b)^2} = fGQ
. Nun ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für jeden Punkt
b
proportional der in den Gleichungen (10.) bis (16.) vorkommenden Constanten
A,
deren Verhältniss zu
G
für eine bestimmte Röhrenlänge gegeben ist in Gleichung (15.). Also ist bei wechselnder Röhrenlänge auch
f
proportional dem Verhältniss
\frac{A}{G}
.
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 7
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Dies Verhältniss wird, wie aus (15.) hervorgeht, ein Maximum, wenn
l + \alpha = (2\mathfrak{a} + 1)\tfrac{1}{4}\lambda
.
Daraus folgt also, dass auch
bei einer beliebigen Lage des tönenden Punktes die ebenen Wellen im Innern der Röhre,
wenn dergleichen über- haupt entstehen,
das Maximum ihrer Intensität erreichen, wenn die Länge der Röhre ein ungerades Vielfaches der Viertelwellenlänge ist
.
Die ebenen Wellen im Innern einer an beiden Seiten offenen Röhre lassen sich mittelst der aufgestellten Probleme behandeln, wenn die Mündungen der Röhre nach der von uns gemachten Annahme in zwei parallelen festen Ebenen liegen, die den Luftraum in zwei Theile trennen, und der Schall auf der einen Seite von einem weit entfernten tönenden Punkte ausgeht. Auf der einen Seite dieser Wand setzt man das Geschwindigkeitspotential gleich der in den Gleichungen (10.) bis (12.) gebrauchten Function Ψ, auf der anderen Seite gleich der in den Gleichungen (16.) bis (16
e
.) vorkommenden Form Φ + Ψ, welche der Resonanz einer Röhre entspricht, in welche der Schall von der offenen Mündung eintritt. Man hat dann nur die Coefficienten der ebenen Wellen in der Röhre in diesen beiden Ausdrücken des Geschwindig- keitspotentials so zu bestimmen, dass hier beide Functionen identisch werden. Da das weiter keine Schwierigkeiten macht, möge das Gesagte genügen. Die Resonanz in der Röhre wird am stärksten, wenn die reducirte Länge der Röhre, an welcher man die Correctionen für beide Mündungen anzubringen hat, ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist.
§. 8.
Wir wollen schliesslich noch eine Reihe von Röhrenformen aufsuchen, für welche mit den bis jetzt bereiten Hülfsmitteln der Analysis sich die Luft- bewegung in der Mündung und die reducirte Länge vollständig wenigstens für Schallwellen von so grosser Wellenlänge bestimmen lässt, dass gegen diese die Dimensionen der Röhrenöffnung ihres Querschnitts und des von der Cy- lindergestalt abweichenden Theiles der Mündung verschwinden. Die Wand der Röhre sei übrigens eine Rotationsfläche, welche in kleiner Entfernung von der kreisförmigen Mündung, deren Radius
R
sei, übergeht in einen Cy- linder von kreisförmigem Querschnitt, dessen Radius wir
R
1
nennen wollen. Wir setzen ferner voraus, dass auch die Bewegung der Luft überall sym- metrisch um die Axe der Röhre vor sich gehe. Wir können nun im All-
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
gemeinen nicht so zu Werke gehen, dass wir eine bestimmte Röhrenform annehmen und dazu die Potentiale der Bewegung suchen, sondern wir müssen umgekehrt von der Potentialfunction ausgehen und die dazu gehörige Röhrenform bestimmen, was sich in jedem Falle ausführen lässt. Nur müssen wir eben solche Formen der Potentialfunction suchen, welche Röhren geben, die in kleiner Entfernung von der Mündung in Cylinder übergehen.
Dem Bewegungspotentiale der Luft haben wir die Form gegeben:
\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)
. Für die tieferen Theile der Röhre haben wir in (12
g
.) gefunden: (12
k
.)
\Psi'' = -\frac{AkQ}{2\pi}\cos kx
. Im freien Raume ist aber, wenn wir
\frac{d\overline{\Psi''}}{dx} = 0
setzen, welches, wie wir oben schon gefunden haben, mit
k
verschwindet, nach (11
d
.)
\Psi'' = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}d\omega
, welches innerhalb der Mündung, wo wir
kr
͵ verschwinden lassen dürfen, wird (12
l
.)
\overline{\Psi''} = -\frac{k}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{AkQ}{2\pi}
. Sowohl (12
k
.) wie (12
l
.) giebt innerhalb der Mündung den gleichen Werth von
\overline{\Psi''}
und den Werth Null für
\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}
. Sie gehen also an der Mündung der Röhre continuirlich in einander über. Längs der festen Wände des Luft- raumes geben beide
\frac{d\overline{\Psi''}}{dn} = 0
, nur an dem nicht cylindrischen Theile der Röhrenwand wird dieser Differentialquotient nicht genau Null aber verschwin- dend klein. Es ist also Ψ″ unter dieser Annahme eine continuirliche Function, die den Bedingungen der Aufgabe Genüge leistet, und kann unmittelbar be- rechnet werden, nachdem Ψ' gefunden ist.
Die Function Ψ' hat im freien Raume die Form:
(18.)
\Psi' = \int h\frac{\cos kr}{r}d\omega
,
wo
h = -\frac{1}{2\pi}\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}
.
Im Innern der Röhre werden wir ihr eine andere analytische Form Ψ
i
geben müssen, welche die Eigenschaft haben muss: 1) im Innern der Röhre die Bedingung zu erfüllen: (18
a
.)
\nabla\Psi_i+k^2\Psi_i = 0
,
7 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
2) für grosse negative Werthe von
x
folgende Form anzunehmen: (18
b
.)
\Psi_i = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx
, 3) an der Fläche der Oeffnung den Bedingungen zu genügen:
(18
c
.)
\overline{\Psi_i} = \overline{\Psi'}
und
\frac{d\overline{\Psi_i}}{dx} = \frac{d\overline{\Psi'}}{dx} = -2\pi h
.
Dann wird die Form der Röhre gefunden durch die Bedingung, dass an der Wand (18
d
.)
\frac{d\Psi_i}{dn} = 0
, welche Form aber noch der Bedingung genügen muss, dass nur für solche Werthe von
x,
welche gegen die Wellenlänge λ verschwindend klein sind, die Fläche eine merkliche Neigung gegen die
x
- Axe haben darf, weil wir vorher auch
\frac{d\cos kx}{dn} = 0
gesetzt haben längs der ganzen Ausdehnung der Röhrenwand, und weil nur unter dieser Bedingung die Form der Röhrenwand von der Wellenlänge un- abhängig gefunden wird. Indem wir setzen:
\rho\cos\omega = y
,
\rho\sin\omega = z
, und berücksichtigen, dass nach der Voraussetzung Ψ nur eine Function von ϱ und
x
, nicht von ω sein soll, wird Gleichung (18
a
.) (18
e
.)
\frac{d^2\Psi_i}{dx^2}+\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho} + k^2\Psi_i = 0
. Wir setzen: (19.)
\Phi = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx + \sum[E_me^{+x\sqrt{m^2+k^2}}U_{(m_\rho)}]
, wo
E
m
beliebige Constanten,
U
(
m
ϱ)
folgende Function bedeutet: (19
a
.)
U_{(m_\rho)} = 1 - \frac{m^2\rho^2}{2.2}+\frac{m^4\rho^4}{2.2.4.4}-\frac{m^6\rho^6}{2.2.4.4.6.6}
u. s. w., und unter dem Summenzeichen für
m
diejenigen Werthe zu setzen sind, welche
\frac{dU_{(m_rho)}}{d\rho} = 0
machen, wenn ϱ =
R
1
. Dann ist Φ eine Function, welche der Differentialgleichung (18
e
.) Genüge leistet und an der Wand einer cylin- drischen Röhre vom Radius
R
1
auch der Bedingung genügt, dass
\frac{d\Phi}{dn} = 0
. In dem Exponenten von
e
muss der Wurzel immer das positive Vorzeichen gegeben werden, wenn die Röhre unendlich lang ist, damit Φ für unendliche negative
x
endlich bleibt. Ist die Röhre aber irgendwo abgeschlossen, so sind
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
auch negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen, und die Coefficienten der- selben so zu bestimmen, dass die Grenzbedingungen an dem geschlossenen Ende erfüllt werden. Da übrigens der kleinste Werth von
m
R
1
, der die Be- dingung
\frac{dU}{d\rho}
für ϱ =
R
1
erfüllt, 3,83171, der zweite 7,01751 ist, während die folgenden sich allmälig der Grösse (
a
+ ¼) π nähern, so nehmen alle diese Exponentialfunctionen schnell ab, wenn man sich von dem Ende der Röhre entfernt, an welchem sie einen merklichen Werth haben, und so oft die Länge der Röhre beträchtlich gross gegen den Durchmesser ist, werden sie in der Mitte oder am anderen Ende derselben zu vernachlässigen sein. Es wird also im Allgemeinen genügen, dass wir uns auf die Glieder beschränken, für welche die Wurzel im Exponenten ein positives Vorzeichen hat. Da übrigens
m
R
1
nach dem Gesagten eine endliche,
kR
1
aber eine verschwindend kleine Zahl ist, so können wir in dem Exponenten
k
2
gegen
m
2
vernachlässigen und setzen (19
b
.)
\Phi = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx + \sum\left\{E_me^{mx}U_{(m_\rho)}\right\}
. Diese Function erfüllt also allerdings die Forderung der Gleichungen (18
a
.) und (18
b
.), welche wir oben für die Function Ψ
i
aufgestellt haben, sie wird aber im Allgemeinen nicht der dritten Bedingung (18
c
.) entsprechen, dass, wenn wir setzen:
\frac{d\overline{\Phi}}{dx} = \frac{d\overline{\Psi'}}{dx}
, auch sei:
\overline{\Phi} = \overline{\Psi'} = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos kr}{r}d\omega
, oder, da innerhalb der Oeffnung
kr
unendlich klein ist, kann man diese Be- dingung auch darauf reduciren, dass sein müsste:
\overline{\Phi} = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Phi}}{dx}\frac{d\omega}{r}
. Wäre diese letztere Bedingung durch besondere Annahmen über die Grösse der Coefficienten erfüllt, so würde die Gestalt der Röhre einfach cylindrisch sein. Ich habe aber keine Methode finden können, um die Coefficienten dieser Bedingung gemäss zu bestimmen und somit die Aufgabe für ganz cylindrische Röhren streng zu lösen. Auch lässt sich einsehen, dass die Convergenz der Reihe für Φ in Gleichung (19.) für diesen Fall eine sehr langsame sein würde, da die Geschwindigkeit der Lufttheilchen
\frac{d\Phi}{dx}
am Rande der Oeffnung, die durch eine scharfe rechtwinklige Kante begrenzt sein würde, unendlich
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
gross wie (
R
— ϱ)
— ⅓
werden müsste, und daher die Reihe für
\frac{d\Phi}{dx}
für den Werth ϱ =
R
und
x
= 0 überhaupt nicht convergiren kann.
Wir fügen deshalb zu Φ noch eine andere Function hinzu, die in grösserer Entfernung von der Oeffnung verschwindet, also auch nur in der Nähe der Oeffnung Einfluss auf die Gestalt der Röhre ausübt, aber die Con- tinuität an der Oeffnung herstellt.
Bezeichnen wir der Einfachheit wegen die Potentialfunction einer auf der Kreisfläche der Oeffnung mit der Dichtigkeit
h
verbreiteten Masse mit
P
h
, also (20.)
P_h = \int h\frac{\cos kr}{r}d\omega
, dieses Integral über die ganze Fläche der Oeffnung genommen. Wenn die Distanz des Punktes, für welchen wir
P
h
bestimmen, von der Oeffnung klein ist, so ist cos
kr
= 1 und (20
a
.)
P_h = \int\frac{hd\omega}{r}
. Setzen wir ferner (21.)
h = i + l
, (21
a
.)
i = -\frac{1}{4\pi}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}
, und bestimmen wir
l
so, dass in der Fläche der Oeffnung (21
b
.)
\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}
, was sich immer ausführen lässt, weil die Vertheilung einer Masse auf einer Kreisscheibe, die an der Oberfläche dieser Scheibe eine Potentialfunction von gegebener Grösse giebt, nach bekannten Methoden gefunden werden kann. Setzen wir ferner auf Seite der positiven
x
, wie schon oben geschehen, (21
c
.)
\Psi' = P_h = P_i + P_l
in der Röhre, also für negative
x
(21
d
.)
\Psi_i = \Phi + P_i - P_l
, so genügen die Functionen Ψ' und Ψ
i
allen für sie gestellten Bedingungen. Dass nämlich Ψ' im freien Raume und Ψ
i
im Innern der Röhre der Bedin- gung genügen: (18
a
.)
\nabla\Psi + k^2\Psi = 0
, ist aus der Bildungsweise dieser Functionen klar. Dass Ψ
i
für grosse Werthe
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
von —
x
übergeht in
\Psi_i = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx
, erhellt daraus, dass
P
i
und
P
l
in einer gegen die Oeffnung der Röhre grossen Entfernung unendlich klein werden, Φ aber wirklich in jene Form übergeht. Da ferner in der Fläche der Oeffnung (21
b
.)
\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}
, wird (21
e
.)
\overline{\Psi'} = \overline{\Psi_i} = \overline{P_i} + \overline{P_l}
. Da ferner an der Fläche der Oeffnung
\frac{dP_i}{dn} = -2\pi i = \tfrac{1}{2}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}
und auf Seite der positiven
x
\frac{dP}{dn} = \frac{d\overline{P}}{dx}
, auf Seite der negativen aber
\frac{dP}{dn} = -\frac{d\overline{P}}{dx}
. so ist (21
f
.)
\frac{d\overline{\Psi'}}{dx} = \frac{d\overline{\Psi_i}}{dx} = \frac{dP_i}{dn} + \frac{dP_l}{dn} = -2\pi(i+l)
. Somit sind die gestellten Bedingungen (18
a
.), (18
b
.) und (18
c
.) erfüllt.
Die Form der Röhrenwand wird endlich durch die Gleichung gegeben: (18
d
.)
\frac{d\Psi_i}{dn} = 0
. Da wir die Bedingung gemacht haben, dass, wenn
r
eine innerhalb des nicht cylindrischen Theiles der Röhre liegende Entfernung ist,
k
2
r
2
gegen 1 zu ver- nachlässigen sei, können wir entsprechend der zur Gleichung (7
d
.) gemachten Bemerkung in dieser Gleichung der Röhrenwand
k
= 0 setzen, werden dann aber natürlich auch die Aufgabe nur für solche Werthe von
k
als gelöst be- trachten dürfen, für welche diese Bedingung erfüllt ist. Dann ist also für diesen Zweck in der Nähe der Röhrenmündung zu setzen statt (19
b
.): (22.)
\Phi = Ax + B + \sum\left\{E_me^{mx}U_{(m_\rho)}\right\}
, (20
a
.)
P_i = \int\frac{id\omega}{r}
,
P_l = \int\frac{ld\omega}{r}
, (21
a
.), (21
b
.)
i = -\frac{1}{4\pi}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}
,
\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}
, (21
d
.)
\Psi_i = \Phi + P_i - P_l
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
In der That sind dann auch alle diese Functionen von einer solchen Form, dass sich ihr Werth in der Nähe der Mündung nicht ändert dadurch, dass man
k
= 0 setzt. Die Bedingung (18
d
.) ergiebt, dass die Röhrenwand eine zu allen Flächen, deren Gleichung Ψ
i
= Const. ist, orthogonale Rotationsfläche sein muss, oder wenn wir die Gleichung der Röhrenwand (und überhaupt der Strömungs- curven) ausdrücken durch
\rho\chi = \operatorname{Const.}
, so muss sein: (22
a
.)
\frac{d\Psi_i}{dx}\frac{d(\rho\chi)}{dx} + \frac{d\Psi_i}{d\rho}\frac{d(\rho\chi)}{d\rho} = 0
.
Zu bemerken ist noch, dass man, um die Form der Function Φ festzustellen, die Grösse des Radius des cylindrischen Theiles der Röhre
R
1
bestimmen muss, weil von dessen Grösse die in der Summe vorkommenden Werthe von
m
abhängen. Um
P
i
und
P
l
zu finden, muss wiederum die Grösse des Radius der Oeffnung
R
festgestellt sein, und schliesslich, wenn man die Röhrenform aus der Gleichung
\frac{d\Psi_i}{dn} = 0
bestimmt, wird die Stromes- curve, welche von dem Rande der Oeffnung ausgeht, nicht nothwendig in einen Cylinder vom Radius
R
1
übergehen. Um dies nun zu bewirken, muss man eine der Constanten von Φ durch die oben gefundene Gleichung (12
b
.)
AQ = -2\pi M
bestimmen, worin in unserem Falle
Q
der Querschnitt der Röhre
Q = \pi R^2_1
,
M = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = \int(i + l)d\omega
. Daraus folgt: (22
b
.)
AR^2_1 = -2\int(i+l)d\omega
. Wenn
R
und
R
1
gegeben sind, giebt diese Gleichung eine Bedingung, welche durch die Coefficienten des Ausdrucks für Φ in (22.) erfüllt werden muss, so dass einer von ihnen durch die anderen bestimmt werden kann.
§. 9.
Wir wollen endlich noch die Röhrenformen berechnen, welche den einfachsten Annahmen über die Function Φ entsprechen. Setzen wir (23.)
\Phi = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
so wird nach (21
a
.) (23
a
.)
i = -\frac{A}{4\pi}
,
\int id\omega = -\tfrac{1}{4}AR^2
und in der Ebene der Mündung nach (21
b
.) (23
b
.)
\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}B
, woraus nach bekannten Sätzen über Electricitätsvertheilung auf einer leiten- den Kreisscheibe folgt, dass (23
c
.)
l = \frac{B}{2\pi^2\sqrt{R^2-\rho^2}}
,
\int ld\omega = \frac{BR}{\pi}
. Somit folgt aus Gleichung (22
b
.) (23
d
.)
AR^2_1 = \tfrac{1}{2}AR^2-\frac{2}{\pi}BR
. Den Unterschied α der wahren und reducirten Röhrenlänge haben wir oben (12
a
.) definirt durch die Gleichung: (12
f
.)
-\frac{kB}{A} = \operatorname{tang}k\alpha
. Da
k
α eine sehr kleine Grösse ist, so oft das Verhältniss
R
1
:
R
endlich ist, können wir in diesem Falle annähernd setzen: (23
e
.)
\alpha = -\frac{B}{A} = \frac{\pi}{2}\frac{R^2_1}{R}-\frac{\pi}{4}R
, wodurch für die hier in Betracht kommenden Röhrenformen der Unterschied zwischen wahrer und reducirter Länge gegeben ist, wenn die Radien des Cylinders und seiner Mündung bestimmt sind. Die reducirte Länge der Pfeife ist gleich der wahren, also α =
B
= 0, wenn
R = R_1\sqrt{2}
.
Wenn die Mündung ebenso weit ist wie der Cylinder, also
R = R
1
, wird
\alpha = \frac{\pi}{4}R
und
B = -\frac{\pi}{4}RA
. Wenn
R
sehr klein gegen
R
1
ist, wird annähernd
\frac{B}{A} = -\frac{\pi R^2_1}{2R} = -\frac{Q}{2R}
, wie es schon oben für diesen Fall in (12
i
.) gefunden ist. Unter diesen Um- ständen kann natürlich nicht die abgekürzte Form (23
e
.) für die Gleichung (12
f
.) angewendet werden.
Die Bedeutung der Function χ der Gleichung (22
a
.), welche zur Be- stimmung der Strömungscurven dient, setzen wir durch folgende Gleichung fest: (24.)
\rho\chi = \int_0^\rho\frac{d\Psi_i}{dx}\rho d\rho
,
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 8
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
worin unter dem Integralzeichen
x
einen constanten Werth behält. Daraus folgt zunächst: (24
a
.)
\frac{d}{d\rho}(\rho\chi) = \rho\frac{d\Psi_i}{dx}
,
\frac{d}{dx}(\rho\chi) = \int_0^\rho\frac{d^2\Psi_i}{dx^2}\rho d\rho
. Da wir nun für unseren jetzt vorliegenden Zweck uns erlauben durften in den Functionen Φ,
P
i
und
P
l
(s. (22.) und (20
a
.)), aus denen Ψ
i
zusammen- gesetzt ist,
k
= 0 zu setzen, so reducirt sich die Gleichung (18
e
.) in der Nähe der Mündung auf
\frac{d^2\Psi_i}{dx^2} = -\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}-\frac{1}{\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho}
, und wir erhalten also
\frac{d}{dx}(\chi\rho) = -\int_0^\rho\left(\rho\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}+\frac{d\Psi_i}{d\rho}\right)d\rho
, (24
b
.)
\frac{d}{dx}(\chi\rho) = -\rho\frac{d\Psi_i}{d\rho}
; aus (24
a
.) und (24
b
.) folgt, dass die Function χ der Bedingung genügt: (22
a
.)
\frac{d(\chi\rho)}{d\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho} + \frac{d(\chi\rho)}{dx}\frac{d\Psi_i}{dx} = 0
, und dass in einer durch die
x
- Axe gelegten Ebene die Curven
ϱχ = Const.
orthogonal sind zu den Curven
Ψ
i
= Const.,
erstere also Stromescurven sind.
Wenn wir in die Gleichung (24.) für Ψ
i
setzen: (21
d
.)
\Psi_i = \Phi + P_i - P_l
, so können wir auch χ ähnlich zerfällen (25.)
\chi = \chi_0 + \chi_\prime - \chi_{\prime\prime}
,
(25
a
.)
\rho\chi_0 = \int_0^\rho\frac{d\Phi}{dx}\rho d\rho
,
\rho\chi_\prime = \int_0^\rho\frac{dP_i}{dx}\rho d\rho
,
\rho\chi_{\prime\prime} = \int_0^\rho\frac{dP_l}{dx}\rho d\rho
.
Da sich Φ hier reducirt auf
\Phi = Ax + B
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
so ist (25
b
.)
\chi_0 = \tfrac{1}{2}A\rho
. Um die Berechnung von χ͵ abzukürzen, bemerke ich Folgendes. Es sei
W
eine Potentialfunction, die auf Seite der negativen
x
der Differentialgleichung genügt:
\frac{d^2W}{dx^2}+\frac{d^2W}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{dW}{d\rho} = 0
, und ferner sei (25
c
.)
P_i = \frac{dW}{dx}
, so ist (25
d
.)
\rho\chi_\prime = \int_0^\rho\frac{d^2W}{dx^2}\rho d\rho = -\int_0^\rho\frac{d}{d\rho}\left(\rho\frac{dW}{d\rho}\right)d\rho = -\rho\frac{dW}{d\rho}
. Nun ist
P
i
die Potentialfunction einer Masse, die mit der constanten Dichtigkeit
-\frac{A}{4\pi}
auf einer Kreisscheibe vom Radius
R
ausgebreitet ist. Die Gleichung (25
c
.) erfüllen wir, wenn wir
W
zur Potentialfunction eines soliden Cylinders machen, dessen Basis die kreisförmige Röhrenmündung ist, und der von
x
= 0 bis
x
= + ∞ reicht und mit Masse von der constanten Dichtigkeit
-\frac{A}{4\pi}
ge- füllt ist. Man braucht sich nur den Cylinder um ein unendlich kleines Stück in der Richtung der positiven
x
verschoben zu denken und die neue Dichtigkeit so wie die neue Potentialfunction von der früheren abzuziehen, so erhält man das angegebene Resultat. Die Gleichung (25
d
.) kann man aber schreiben, weil
y
= ϱ cos ω: (25
e
.)
\chi_\prime\cos\omega = -\frac{dW}{d\rho}\cos\omega = -\frac{dW}{dy}
. Es ist aber
-\frac{dW}{dy}
die Potentialfunction der Oberfläche des Cylinders, die mit Masse von der Dichtigkeit
-\frac{A}{4\pi}\cos\omega
bedeckt ist, wie sich wieder leicht ergiebt, wenn man den Cylinder in Richtung der negativen
y
unendlich wenig verschoben denkt. Also lässt sich χ͵ unmittelbar finden: (26.)
\chi_\prime = -\frac{A}{4\pi}\int_0^\infty da\int_0^{2\pi}\frac{R\cos\omega d\omega}{\sqrt{(x-a)^2+(\rho-R\cos\omega)^2+R^2\sin^2\omega}}
. Der Werth mit Hülfe elliptischer Integrale ausgedrückt ist folgender: (26
a
.)
\chi_\prime = \frac{AR}{\pi}\left\{\frac{\chi_\prime\cos\theta}{\chi^2\sqrt{1-\chi^2_\prime\sin^2\theta}}(K-E)-\frac{\chi_\prime\sin\theta}{1-\chi^2_\prime\sin^2\theta}[\tfrac{1}{2}\pi + (K-E)F'_\theta-KE'_\theta]\right\}-c
,
8 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
worin gesetzt ist:
\chi^2 = \frac{4R\rho}{x^2+(R+\rho)^2}
,
\chi^2_\prime = 1-\chi^2
,
\chi_\prime\sin\theta = \pm\frac{R-\rho}{R+\rho}
,
K = \int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\frac{d\omega}{\sqrt{1-\chi^2\sin^2\omega}}
,
E = \int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}\sqrt{1-\chi^2\sin^2\omega}d\omega
,
F'_\theta = \int_0^\theta\frac{d\omega}{\sqrt{1-\chi_\prime^2\sin^2\omega}}
,
E'_\theta = \int_0^\theta\sqrt{1-\chi^2_\prime\sin^2\omega}d\omega
,
c = \frac{AR^2}{4\rho}
, wenn
\rho \> R
,
c = \frac{A\rho}{4}
, wenn
R \> \rho
, oder in beiden Fällen:
c = \frac{AR}{4}\frac{1-\chi_\prime\sin\theta}{1+\chi_\prime\sin\theta}
. Uebrigens ist für sin ϑ, für cos ϑ, wie für κ͵ immer der positive Werth zu nehmen, der sich aus den obigen Formeln ergiebt.
Endlich ergiebt sich χ͵͵ leicht aus den bekannten Sätzen über Potential- functionen, die durch elliptische Coordinaten ausgedrückt sind. Setzen wir
x = R\mu s
,
\rho = R\sqrt{1-\mu ^2}\sqrt{1+s^2}
, so ist die Potentialfunction
P
l
einer Scheibe, auf welcher selbst die Potential- function constant gleich ½
B
ist,
P_l = \frac{B}{\pi}\operatorname{arctang}\frac{1}{s}
. Die Linien μ =
C
sind confocale Hyperbeln und orthogonal gegen die Linien
s = C
, welche confocale Ellipsen sind. Da die letzteren in unserem Falle Curven gleichen Potentials sind, sind die Linien μ =
C
Strömungscurven, und wir brauchen die Grösse ϱχ͵͵ nur für den Scheitelpunkt derselben in der Scheibe zu bestimmen, so muss sie denselben Werth in der ganzen Länge haben.
An der Scheibe selbst wird
s
= 0, für sehr kleine Werthe von
s
und —
x
wird
\mu = \sqrt{1-\frac{\rho^2}{R2}}
,
s = -\frac{x}{\sqrt{R^2-\rho^2}}
,
P_l = -\frac{B}{\pi}\operatorname{arctang}\frac{\sqrt{R^2-\rho^2}}{x}
,
\frac{d\overline{P_l}}{dx} = +\frac{B}{\pi}\frac{1}{\sqrt{R^2-\rho^2}}
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
(27.)
\rho\chi_{\prime\prime} = \int_0^\rho\frac{d\overline{P_l}}{dx}\rho d\rho = \frac{BR}{\pi}(1-\mu)
. Um μ in den bei den elliptischen Integralen gebrauchten Hülfsgrössen auszu- drücken, dient, wenn ϑ für ϱ \>
R
negativ genommen wird, die Gleichung
\mu = \sqrt{\frac{2\chi_\prime(1+\sin\theta)}{(1+\chi_\prime)(1+\chi_\prime\sin\theta)}}
. Somit haben wir denn in den Gleichungen (25
b
.), (26.) und (27.) die Werthe von χ
0
, χ͵ und χ͵͵, und die Gleichung der Strömungscurven wird:
\rho(\chi_0+\chi_\prime+\chi_{\prime\prime}) = \operatorname{Const.}
Soll die Strömungscurve der Röhrenwand entsprechen, so muss sie durch den Rand der Oeffnung gehen, und die Constante ist:
\operatorname{Const.} = \int_0^R\frac{d\Psi'}{dx}\rho d\rho = \tfrac{1}{2}AR^2_1
; folglich wird die Gleichung der Röhrenwand (27
b
.)
\rho(\chi_0 + \chi_\prime + \chi_{\prime\prime}) = \tfrac{1}{2}AR^2_1
. Um die Röhrenform zu erhalten, für welche die Differenz zwischen der wahren und reducirten Länge verschwindet, müssen wir
B = 0
,
R = R_1\sqrt{2}
setzen, dann verschwindet auch χ͵͵, und die Gleichung der Röhrenwand reducirt sich auf
\rho\chi_\prime = \tfrac{1}{2}A(R^2_1-\rho^2)
. Es giebt dies eine Röhre mit trompetenförmigem, schwach erweitertem Ende. Die Krümmung der Wand ist überall nach innen convex, und ihr Krümmungs- halbmesser, der vom cylindrischen Theile an gegen die Mündung allmälig ab- nimmt, wird am Rande der Oeffnung zuletzt unendlich klein.
Macht man den Radius der Oeffnung gleich dem der Röhre, so nähert sich die Form der Röhre am meisten einem reinen Cylinder. Es wird dann die Differenz zwischen der reducirten und wahren Länge der Röhre, wie schon oben bemerkt, gleich ¼π
R
. Da in diesem Falle die Grösse
\chi^2_\prime\sin^2\theta = \frac{(R-\rho)^2}{(R+\rho)^2}
immer sehr klein bleibt, und also auch sin ϑ für alle nicht zu kleinen Werthe von κ͵ sehr klein bleibt, kann man zur Berechnung der Röhrenform von κ = 0 bis κ = sin 89
0
die höheren Potenzen als die erste von κ͵ sin ϑ und als die zweite von sin ϑ vernachlässigen. Die so vereinfachte Gleichung für die Röhrenwand, aus der man sin ϑ für eine Reihe von Werthen von κ͵ leicht
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
mit Hülfe der Tafeln von
Legendre
berechnen kann, ist:
0 = \frac{4\chi_\prime}{\pi\chi^2}(K-E)-\sqrt{\frac{2\chi_\prime}{1+\chi_\prime}}+\chi_\prime\sin\theta\left\{\frac{8\chi_\prime}{\pi\chi^2}(K-E)+6+\frac{1-\chi_\prime}{\sqrt{2\chi_\prime(1+\chi_\prime)}}\right\}
-\chi_\prime\sin^2\theta\left\{\frac{2\chi_\prime}{\pi\chi^2}(K-E)-\frac{4E}{\pi}-\frac{1}{4\sqrt{2\chi_\prime(1+\chi_\prime)}}\right\}
. Aus den zusammengehörigen Werthen von κ͵ und ϑ lassen sich endlich
x
und ϱ berechnen, deren Werthe in diesem Falle sind:
\frac{\rho-R}{R} = \frac{2\chi_\prime\sin\theta}{1+\chi_\prime\sin\theta}
,
\frac{x}{R} = -\frac{2\chi_\prime\cos\theta}{\chi(1-\chi_\prime\sin\theta)}
. In der folgenden Tabelle bedeutet demnach
\frac{\rho - R}{R}
den Abstand zwischen der Wand unserer Pfeifenform und der des Cylinders, ausgedrückt in Theilen des Radius, und ebenso
\frac{x}{R}
den Abstand der betreffenden Stelle von der Oeffnung, ausgedrückt in Theilen des Radius.
In grösserer Entfernung von der Scheibe findet man
\frac{\rho-R}{R} = \tfrac{1}{32}\left(\frac{2R-x}{2R+x}\right)^2
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
Am schnellsten ändert die Curve ihre Natur dicht an der Oeffnung. Zwischen κ͵ = 0 und κ͵ = sin 1
0
kann man folgende annähernd richtige Gleichung brauchen:
0 = \log\left(\frac{4}{\chi_\prime}\right) - 1 + \operatorname{tang}\theta(\tfrac{3}{2}\pi + \theta)-\frac{\pi}{4\sqrt{\chi_\prime}\sin(\tfrac{1}{4}\pi+\tfrac{1}{2}\theta)}
. Wenn κ͵ sehr klein wird, verschwindet log κ͵ gegen
\frac{1}{\sqrt{\chi_\prime}}
und tang ϑ muss sehr gross, ϑ nahe gleich ½π werden, dann ist
0 = \operatorname{tang}\theta - \frac{1}{8\sqrt{\chi_\prime}}
, oder
\frac{\rho-R}{x} = \frac{\sqrt{2R}}{8\sqrt[4]{(\rho-R)^2+x^2}}
, oder, da
x
auch sehr klein gegen ϱ —
R
werden muss,
(\rho-R)^3 = \tfrac{1}{32}Rx^2
. Aus dieser letzten Gleichung folgt, dass die Wandfläche die verlängerte Ebene der Oeffnung an deren Rande tangirt und hier einen unendlich kleinen Krüm- mungshalbmesser hat.
§. 10.
Das verallgemeinerte Theorem von
Green
liefert uns auch einige all- gemeine Gesetze der Schallbewegung für solche Hohlkörper, deren sämmt- liche Dimensionen verschwindend klein gegen die Wellenlänge sind, und die mit einer oder mehreren Oeffnungen versehen sind, deren Flächeninhalt sehr klein gegen die ganze Oberfläche des Hohlraumes ist. Da solche Hohlkörper mit kleinen Oeffnungen beim Anblasen oder durch Resonanz sehr tiefe Töne geben, so ist die erstere Bedingung für diese ihre tiefsten Töne immer erfüllt.
Wenn Ψ das Geschwindigkeitspotential im Innern des überall begrenz- ten Raumes
S
darstellt, der keine tönenden Punkte enthalten soll, und der Punkt α, β, γ, von welchem ab die Entfernung
r
gerechnet wird, innerhalb des Raumes
S
liegt, so ist nach (7
b
.)
\int\frac{\sin kr}{r}\frac{d\Psi}{dn}d\omega = \int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\sin kr}{r}\right)d\omega
. Wenn nun alle Dimensionen des Raumes
S
gegen die Wellenlänge ver- schwindend klein sind, so können wir
kr
gegen 1 vernachlässigen, so oft
r
, wie hier der Fall ist, die Entfernung zweier Punkte, die innerhalb
S
gelegen sind, bezeichnet. Wir setzen also
\frac{\sin kr}{r} = k - \frac{k^3r^2}{2.3}
.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
Dies in die obige Gleichung eingeführt giebt: (28.)
\int\frac{d\Psi}{dn}d\omega = \frac{k^2}{2.3}\int\frac{d\Psi}{dn}r^2d\omega-\frac{k^2}{3}\int\Psi r\frac{dr}{dn}d\omega
. Nehmen wir jetzt an der Raum
S
sei von einer festen Wand umgeben, in der nur eine oder einige Oeffnungen seien, an der festen Begrenzung sei überall
\frac{d\Psi}{dn} = 0
, in den sämmtlichen Oeffnungen aber habe
\frac{d\Psi}{dn}
endliche posi- tive Werthe. Das Verhältniss der Fläche sämmtlicher Oeffnungen zur ganzen Oberfläche des Raumes
S
sei η
2
:1, und η eine verschwindend kleine Grösse, so ist das Integral
\int\frac{d\Psi}{dn}d\omega
von derselben Ordnung kleiner Grössen wie η
2
, das erste Integral rechts
\frac{k^2}{2.3}\int\frac{d\Psi}{dn}r^2d\omega
aber von der Ordnung
k
2
r
2
η
2
, also zu vernachlässigen. Lassen wir nun
k
immer mehr sich der Null nähern, so muss dabei offenbar das Integral
\int\Psi r\frac{dr}{dn}d\omega
und also auch die Function Ψ selbst immer grösser und grösser werden. Bezeichnen wir
k
2
Ψ mit χ, so würde χ eine Function sein, die bei abnehmendem
k
von constanter Grössen- ordnung bleibt, und in eine Function übergeht, welche der Differentialgleichung ∇χ = 0 in ganzer Ausdehnung des Raumes
S
genügt, und für welche an der ganzen Oberfläche des Raumes
S
\frac{d\chi}{dn} = 0
. Daraus folgt nach den bekannten Sätzen über electrische Potentialfunctionen, dass χ im ganzen Raume
S
con- stant sein müsse.
Dem entsprechend wollen wir nun zeigen, dass, wenn die Dimensionen des Raumes
S
überall endlich sind, d. h. wenn man den Raum
S
nicht durch eine unendlich kleine Schnittfläche in zwei Theile von endlicher Grösse zer- legen kann, dass dann Ψ höchstens in unendlich kleinen Theilen des Raumes
S
von der Ordnung η
2
sich um endliche Theile seiner Grösse von einer Con- stanten
C
unterscheiden könne. Wenn Ψ und seine ersten Differentialquo- tienten nämlich, wie es hier sein soll, innerhalb
S
überall continuirlich und eindeutig sind, so ist, wie bekannt:
\int\int\int\left[\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2\right]dx dy dz = -\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - \int\int\int\Psi\nabla\Psi dx dy dz
, wo die dreifachen Integrale über den ganzen Raum
S
auszudehnen sind. Berücksichtigt man, dass
k
2
Ψ + ∇Ψ = 0, und denkt man sich weiter beide Seiten der Gleichung mit einer constanten Grösse ε
2
multiplicirt, die so ge- wählt sein soll, dass ε
2
Ψ eine endliche Grösse ist, wozu nach Gleichung (28.)
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
ε
2
von gleicher Ordnung mit
\frac{k^2r}{\eta^2}
sein muss, so erhält man: (28
a
.)
\epsilon^2\int\int\int\left[\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2\right]dx dy dz
= -\epsilon^2\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega + k^2\epsilon^2\int\int\int\Psi^2 dx dy dz
. Da nun die Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung verschwindend klein von der Ordnung η
2
sind, so ist es auch das dreifache Integral links. Da hier aber unter dem Integralzeichen eine überall positive Grösse steht, so können die Werthe von
\epsilon\frac{d\Psi}{dx}
,
\epsilon\frac{d\Psi}{dy}
und
\epsilon\frac{d\Psi}{dz}
im Allgemeinen selbst nur von derselben Ordnung kleiner Grössen wie η sein, oder wenigstens nur in Theilen des Raumes
S
, welche selbst von der Ordnung η
2
sind, endlich werden.
Nun denke man die Flächen construirt, welche der Gleichung
Ψ = Const.
entsprechen, und für den Theil des Raumes
S
, welcher zwischen zwei be- liebigen solchen Flächen liegt, bilde man das Integral (28
b
.)
\epsilon\int\int\int\sqrt{\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2} dx dy dz = \Xi
. Nach dem Vorausgesagten kann dies Integral nur von derselben Ordnung kleiner Grössen wie η sein. Man kann nun die Integration so ausführen, dass man zuerst diejenigen Theile des Integrals zusammennimmt, welche zwischen zwei unendlich nahen Potentialflächen liegen. Es sei
d
ω ein Flächenelement einer solchen Fläche, in der das Potential den Werth Ψ hat,
dn
die Ent- fernung zwischen
d
ω und der nächsten Fläche, an der der Werth des Po- tentials Ψ +
d
Ψ ist, dann ist
d
ω
dn
ein Element des Volumens und
\sqrt{\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2} d\omega dn = d\Psid\omega
, also
\Xi = \epsilon\int_{\Psi_0}^{\Psi_1}d\Psi\int d\omega
, wenn Ψ
0
und Ψ
1
die Werthe von Ψ an den äussersten Potentialflächen sind, zwischen denen man integrirt. Für jeden Werth von Ψ ist nun ∫
d
ω gleich
Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 9
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
dem Flächeninhalt
Q
desjenigen Theiles der betreffenden Potentialfläche, der innerhalb des Raumes
S
liegt. Also wird
\Xi = \epsilon\int_{\Psi_0}^{\Psi_1}Qd\Psi
, worin
Q
als Function des Werthes von Ψ anzusehen ist. Wenn nun
Q
überall endlich ist, darf die Differenz εΨ
0
— εΨ
1
, innerhalb deren die Variable sich ändert, nur von der Ordnung η sein, da der Werth von Ξ von der Ordnung η ist. Oder es muss, wenn εΨ
0
— εΨ
1
endlich ist, innerhalb dieses Intervalles
Q
von der Ordnung η sein. Da nun nach unserer Voraussetzung der Raum
S
nicht eine solche Gestalt haben darf, dass man ihn durch eine unendlich kleine Schnittfläche in zwei Theile von endlichem Volumen theilen kann, wie das z. B. der Fall sein würde, wenn er aus zwei durch ein röhrenförmiges Stück verbundenen Hohlräumen bestände, so folgt aus dem Gesagten, dass nur in un- endlich kleinen Theilen desselben, und namentlich auch nur in unendlich klei- nen Theilen seiner Oberfläche, der Werth von εΨ um eine endliche Grösse von einem constanten Werthe
C
abweichen könne.
Nach diesen Bemerkungen reducirt sich die Gleichung (28.) auf (28
c
.)
\int\frac{d\Psi}{dn}d\omega = -\frac{k^2C}{3}\int r\frac{dr}{dn}d\omega = k^2CS
. Wenn wir nämlich die vom Punkte α, β, γ auf die Tangentialebene von
d
ω gefällte Normale
n
nennen, ist
\frac{dr}{dn} = -\frac{n}{r}
, und
-\tfrac{1}{3}r\frac{dr}{dn}d\omega = \frac{nd\omega}{3}
gleich dem Volumen eines Kegels, dessen Grundfläche
d
ω und dessen Spitze α, β, γ ist. Deshalb ist:
-\tfrac{1}{3}\int r\frac{dr}{dn}d\omega = S
. Setzen wir jetzt voraus, der Raum
S
habe eine Oeffnung, die in einem nahe- hin ebenen Theile der Wand gelegen sei, dessen Ebene wir äusserlich un- endlich verlängert und den freien Raum nach einer Seite begrenzend voraus- setzen, wählen wir wie früher diese Ebene als Ebene der
yz
und verlegen den Anfangspunkt der Coordinaten in die Oeffnung selbst. Nehmen wir ferner an, dass die Vibrationen des Hohlraumes erregt werden durch einen Schallwellen- zug, der gegen die Oeffnung schlägt. Wir müssen nun an der Oeffnung den Werth von Ψ so bestimmen, dass er aussen und innen continuirlich wird und
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
im Innern in einer gegen die Dimensionen der Oeffnung grossen Entfernung in den constanten Werth
C
cos (2π
nt
) übergeht.
Es sei
h
eine Grösse, welche in verschiedenen Punkten der Oeffnung der Röhre verschiedene Werthe hat Wir setzen, indem wir die Integration über die Fläche der Oeffnung ausdehnen, für den freien Raum (29.)
\Psi = \int h\frac{\cos(kr - 2\pi nt)}{r}d\omega + H\cos kx\cos(2\pi nt) + J\cos kx \sin(2\pi nt)
. Dieses Geschwindigkeitspotential stellt einen Zug ebener Wellen dar, die an der
yz
-Ebene reflectirt sich in stehende verwandeln, und ein System fort- schreitender Wellen, welche von der Oeffnung ausgehen. Statt der unendlich ausgedehnten ebenen Wellen lässt sich übrigens ebenso gut die etwas allge- meinere Voraussetzung der Gleichung (16.) hier anwenden, dass nämlich die Wellen von einem weit von der Oeffnung entfernten tönenden Punkte aus- gehen, dann bekommen sie, wie dort gezeigt, dicht vor der Oeffnung die in (29.) angenommene Form.
An der
yz
-Ebene ist ausserhalb der Oeffnung
\frac{d\Psi}{dx} = 0
, in der Oeffnung (29
a
.)
\frac{d\overline{\Psi}}{dx} = -2\pi h\cos(2\pi nt)
und annähernd (29
b
.)
\overline{\Psi} = \left[\int\frac{h}{r}d\omega+H\right]\cos(2\pi nt) + \left[k\int hd\omega + J\right]\sin(2\pi nt)
. Innerhalb des Raumes
S
setzen wir dagegen (29
c
.)
\Psi = \left[C-\int\frac{h\cos kr}{r}d\omega\right]\cos(2\pi nt)
. Dann ist in der Oeffnung (29
d
.)
\frac{d\overline{\Psi}}{dx} = -2\pi h\cos(2\pi nt)
, (29
e
.)
\overline{\Psi} = \left[C-\int\frac{hd\omega}{r}\right]\cos(2\pi nt)
. Die Werthe von
\frac{d\overline{\Psi}}{dx}
aus (29
a
.) und (29
d
.) sind identisch. Damit auch die von Ψ̄ aus (29
b
.) und (29
e
.) identisch seien, muss sein: (29
f
.)
J + k\int hd\omega = 0
, (29
g
.)
C - H = 2\int\frac{hd\omega}{r}
.
9 *
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
Es muss also die Grösse
h
für die einzelnen Punkte der Oeffnung so bestimmt werden, dass ihre Potentialfunction innerhalb der Oeffnung constant wird. Die Bedingung endlich, dass
\frac{d\Psi}{dn} = 0
ist längs der Oberfläche von
S
mit Ausnahme der Mündung, wird durch die Gleichung (29
c
.) erfüllt, wenn die Wand, in der die Oeffnung sich befindet, so weit merklich eben ist, als das Potential von
h
nicht gegen
C
verschwindet.
Endlich wird für diesen Fall die Gleichung (28
c
.) (29
h
.)
2\pi\int hd\omega = k^2CS
. Aus (29
f
.) und (29
h
.) folgt (29
i
.)
J = -\frac{k^3CS}{2\pi}
Nennen wir nun
M
die Masse, welche nöthig ist, um, auf der Fläche der Oeffnung passend vertheilt, in dieser die Potentialfunction constant gleich 1 zu machen, so ist (29
k
.)
\int hd\omega = \tfrac{1}{2}(C-H)M
, da die Dichtigkeit
h
nach (29
g
.) den Potentialwerth ½ (
C — H
) hervorbringt. Wir haben also nach (29
f
.) (29
l
.)
J + \tfrac{1}{2}k(C-H)M = 0
. Das Maximum des Potentials der stehenden Wellen im freien Raume ist
\sqrt{H^2+J^2}
, das Maximum in dem Hohlkörper
S
ist
C
. Aus (29
i
.) und (29
l
.) folgt
\frac{H^2+J^2}{C^2} = \left(1-\frac{k^2S}{\pi M}\right)^2+\left(\frac{k^3S}{2\pi}\right)^2
. Dieses Verhältniss erreicht seinen Minimalwerth, die Resonanz wird also am stärksten, wenn das erste der beiden Quadrate, gegen welches im Allgemeinen das zweite verschwindend klein ist, gleich Null wird. Die Bedingung für das Maximum der Resonanz ist also: (30.)
\pi M = k^2S
, oder wenn wir statt
k
seinen Werth setzen durch die Schwingungszahl
n
und die Schallgeschwindigkeit
a
ausgedrückt (3
a
.)
k = \frac{2\pi n}{a}
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
so ist: (30
a
.)
n^2=\frac{a^2M}{4\pi S}
. Ist die Oeffnung kreisförmig, so ist (s. (23
b
.) und (23
c
.))
M = \frac{2R}{\pi}
, oder, wenn wir die Fläche der Oeffnung mit
s
bezeichnen,
s = \pi R^2
,
M=\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{s}{\pi}}
,
n = \frac{a\sqrt[4]{s}}{\sqrt{2}\sqrt[4]{\pi^5}\sqrt{S}}
. Wenn wir für die Schallgeschwindigkeit den Werth 332260
mm
(entsprechend 0
0
und trockner Luft) nehmen, so wird
n = 56174\frac{\sqrt[4]{s}}{\sqrt{S}}
, während
Sondhauss
aus seinen Versuchen für
n
die empirische Formel für kreisförmige und quadratische Oeffnungen herleitet:
n = 52400\frac{\sqrt[4]{s}}{\sqrt{S}}
, worin nur der von
Sondhauss
gegebene Zahlencoefficient halbirt ist, weil
Sondhauss
nach der Art der französischen Physiker die Schwingungszahlen der Töne doppelt so hoch nimmt, als es nach unserer Bezeichnungsweise geschieht.
Noch besser stimmt die Berechnung für einige Versuche von
Wertheim
, bei denen das Verhältniss der Oeffnung zum Volumen des Hohlkörpers noch kleiner ist, als bei den Versuchen von
Sondhauss
. Ich habe aus den Ver- suchen, welche er mit drei verschiedenen Glaskugeln angestellt hat
Annales de Chimie et de Physique Sér. 3, Tome XXXI, p. 428.
, deren Volumen durch Eingiessen von Wasser verkleinert wurde, diejenigen nach der theoretischen Formel berechnet, bei welchen der Durchmesser der Oeffnung weniger als 1/10 des Durchmessers einer Kugel war, deren Volumen dem des Hohlraumes gleich ist, und setze die Zahlen hierher, um zu zeigen, wie gut die theoretische Formel mit den Versuchen übereinstimmt.
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
Zur Erleichterung der Vergleichung sind in der letzten Rubrik unter ∆ die Logarithmen des berechneten
n
dividirt durch das beobachtete
n
hinzu- gefügt. Der Logarithmus des halben Tones 16/15 beträgt 0,028. Die Werthe von ∆ zeigen, dass nur bei den verhältnissmässig zur Oeffnung kleineren Wer- then des Volumens die Differenz zwischen Rechnung und Beobachtung sich einem halben Tone nähert.
Für Ellipsen von der Excentricität ε und der grossen Axe
R
ist die Masse
M
, welche, auf der Fläche passend vertheilt, in dieser das constante
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
Potential 1 giebt
S.
Clausius
in
Poggendorff
s Annalen LXXXVI S. 161.
,
M=\frac{R}{K_\epsilon}
, worin
K
ε
das ganze elliptische Integral erster Gattung für den Modul ε be- zeichnet. Es wird also nach (30
a
.) für Hohlräume mit einer elliptischen Oeffnung
n^2 = \frac{a^2R}{4\pi KS}
, oder wenn man den Flächeninhalt
s
der elliptischen Oeffnung einführt und setzt:
\epsilon_1 = \sqrt{1-\epsilon^2}
,
s = \pi R^2\epsilon_1
, so wird
n = \sqrt{\frac{\pi}{2K\sqrt{\epsilon_1}}}\cdot\frac{a\sqrt[4]{s}}{\sqrt[4]{\pi^5}\sqrt{2S}}
. Der Werth von
n
2
ist also von dem für eine kreisförmige Oeffnung gültigen durch den Factor
\frac{\pi}{2K\sqrt{\epsilon_1}}
verschieden, und da dieser Factor grösser ist als 1, so wird der Ton einer elliptischen Oeffnung von gleicher Fläche etwas höher als der einer kreisförmigen.
Hat der Hohlraum noch eine zweite Oeffnung, die ebenfalls in einem nahehin ebenen Theile der Wand liegt, so setze man für den äusseren vor ihr liegenden Raum
\Psi = \int h_1\frac{\cos(kr - 2\pi nt + \tau)}{r}d\omega
, in dem ihr benachbarten Theile des inneren Raumes
\Psi = \left[ C_1 - \int\frac{h_1\cos kr}{r}d\omega\right]\cos(2\pi nt - \tau) + k\int h_1d\omega . \sin(2\pi nt - \tau)
. Es sind wie vorher an der Oeffnung die Werthe von
\frac{d\overline{\Psi}}{dn}
übereinstimmend, die Werthe von
\overline{\Psi}
werden:
\overline{\Psi} = \int\frac{h_1d\omega}{r}\cdot \cos(2\pi nt - \tau) + k\int h_1d\omega\sin(2\pi nt - \tau)
,
\overline{\Psi} = \left[ C_1-\int\frac{h_1d\omega}{r}\right]\cos(2\pi nt - \tau) + k\int h_1d\omega\sin(2\pi nt - \tau)
. Es muss also sein:
C_1 = 2\int\frac{h_1d\omega}{dr}
,
Helmholtz
, über Luftschwingungen in offenen Röhren
.
und setzen wir wie bei der ersten Oeffnung in (29
k
.)
\int h_1d\omega = \tfrac{1}{2}C_1M_1
, so wird in den von der Oeffnung entfernteren Stellen des inneren Raumes
\Psi = C_1\cos(2\pi nt-\tau)+\tfrac{1}{2}kC_1M_1\sin(2\pi nt - \tau)
. Dies muss aber gleich werden dem früher festgesetzten Werthe von Ψ im Innern der Kugel:
\Psi = C\cos(2\pi nt)
. Daraus folgt, dass
C_1[\cos \tau - \tfrac{1}{2}kM_1\sin\tau] = C
,
\sin\tau + \tfrac{1}{2}kM_1\cos\tau = 0
. Aus der zweiten Gleichung folgt, dass τ sehr klein ist, und demgemäss aus der ersten, dass mit Vernachlässigung kleiner Grössen
C
=
C
1
.
Nun wird aus Gleichung (28
c
.)
\int\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 2\pi\int hd\omega + 2\pi\int h_1d\omega = k^2CS
oder (31.)
\pi M(C-H)+\pi M_1C = k^2CS
, dazu
J = -\frac{k^3CS}{2\pi}
, (31
a
.)
\frac{H^2J^2}{C^2} = \frac{(\pi(M+M_1)-k^2S)^2}{\pi^2M^2} + \frac{k^3S}{2\pi}
.
Damit
\frac{H^2J^2}{C^2}
ein Minimum werde, und die stärkste Resonanz ein- trete, setzen wir (31
b
.)
\pi(M+M_1) = k^2S
, durch welche Gleichung die Tonhöhe der stärksten Resonanz bestimmt ist, wie es in (30.) für eine Oeffnung geschehen war. Diese Gleichung stimmt, wenn die Oeffnungen geometrisch ähnlich sind, mit dem von
Sondhauss
aus den Versuchen abgeleiteten Gesetze. Sind beide Oeffnungen congruent, so verhält sich die Schwingungszahl des Körpers zu der desselben Körpers mit einer Oeffnung, wie
\sqrt{2}:1
. Der Ton ist also im ersten Falle um eine ver- minderte Quinte höher als im zweiten Falle, was genau mit einigen Ver- suchen von
Sondhauss
Poggendorff
s Annalen LXXXI S. 366.
übereinstimmt.
Heidelberg, im März 1859.