Einleitung
zur
R
echen-
K
unst
zum Gebrauch des
GYMNASII
bey der
Kayserlichen Academie der Wissenschafften
in St. Petersburg.
Gedruckt in der Academischen Buchdruckerey
1738
.
Vorbericht,
D
Je Anzahl der Rechen-Buͤcher, welche so wohl in Teutschland als ander- werts herausgegeben worden, ist so groß und uͤberhaͤufft, daß manchem diese Ar- beit hoͤchst unnoͤthig und uͤberfluͤßig scheinen moͤchte. Allein da auf Allergnaͤdigsten Kay- serlichen Befehl die Rußische Jugend so woh in der
Arithmetic
als
Geometrie
auf das fleis- sigste unterrichtet werden soll, so ereigneten sich sehr grosse Schwierigkeiten, wann man sich zu diesem Ende anderwerts gedruckter Anleitungen bedienen wolte. Dann ausser dem, daß dazu auch in Rußischer Sprache
)( 3
hin-
hinlaͤngliche und taugliche Buͤcher erfordert werden, so wuͤrde auch die Verschreibung ei- ner so grossen Anzahl
Exemplarien,
als von- noͤthen sind, von anderen Orten her mit nicht geringer Unbequemlichkeit, und wenigem Vor- theil geschehen koͤnnen: ein anderwerts ver- fertigtes und gedrucktes Werck aber nachzu- drucken und ins Rußische zu uͤbersetzen hat man vieler Ursachen wegen Bedencken getra- gen. Uber das befinden sich bey den meisten auslaͤndischen Rechen-Buͤcheren solche Maͤn- gel, welchen man allhier abzuhelffen fuͤr hoͤchst rathsam hielt. Dann entweder sind darinn nichts als die blossen Regeln nebst einer gros- sen Anzahl Exempel enthalten; von dem Grunde aber und den Ursachen, worauf die Regeln beruhen, wird nicht die geringste Mel- dung gethan: oder dergleichen Anweisungen gehen zwar auf das wahre
Fundament
der Re- chen-Kunst, der Vortrag aber ist so beschaffen, daß sich nicht leicht andere, als welche sich an die
Mathemati
sche Lehrart gewoͤhnet haben, darein finden koͤnnen; und uͤber das pflegt
man
man sich bey solchen Abhandlungen, nicht’ ge- nugsam um die Vortheile und
Compendia,
wodurch die Fertigkeit und Geschwindigkeit im Rechnen erlanget wird, zu bekuͤmmern, sondern begnuͤgt sich von allem den Grund nur mit kurtzem anzuweisen. Da nun die Erlernung der Rechen-Kunst ohne einigen, Grund weder hinreichend ist alle vorkommen- de Faͤlle aufzuloͤsen, noch den Verstand schaͤr- fet, als dahin die Absicht insonderheit gehen solte; so hat man sich bemuͤhet in gegenwaͤr- tiger Anleitung von allen Regeln und
Opera- tio
nen den Grund so vorzutragen, und zu erklaͤren, daß denselben auch solche Leute, welche in gruͤndlichen Abhandlungen noch nicht geuͤbet sind, einsehen und verstehen koͤnnen: dabey aber hat man gleichwohl die Regeln und Vortheile, welche im Rechnen zustatten kommen koͤnnen, ausfuͤhrlich beschrieben und mit Exempeln genugsam erlaͤutert. Durch diese Einrichtung verhofft man also diesen Vortheil zu erlangen, daß die Jugend ausser der gehoͤrigen Fertigkeit im Rechnen den wah-
)( 4
ren
ren Grund von einer jeglichen
Operation
im- mer vor Augen habe, und dadurch zu gruͤnd- lichem Rachdencken nach und nach angewoͤh- net werde. Dann wann man auf diese Art nicht nur die Regeln begreifft, sondern auch den Grund und Ursprung derselben deutlich einsieht, so wird man einiger massen in Stand gesetzt selbsten neue Regeln zu erfinden, und vermittelst derselben solche Aufgaben aufzuloͤ- sen, zu welchen die sonst gewoͤhnlichen Regeln nicht hinreichend sind. Man hat auch im ge- ringsten nicht zu befuͤrchten, daß die Erler- nung der
Arithmetic
auf diese Art schwehrer fallen und mehr Zeit erfordern werde, als wann man nur die blossen Regeln ohne eini- gen Grund vortraͤgt: Dann ein jeder Mensch begreifft und behaͤlt dasjenige im Gedaͤchtnuͤß viel leichter, wovon er den Grund und Ur- sprung deutlich einsieht; und weiß sich auch dasselbe bey allen vorkommenden Faͤllen weit besser zu Nutz zu machen. Uber das wer eine jegliche Kunst und Wissenschafft aus dem Grunde erlernet, der sieht auch ohne Anlei-
tung
tung von selbsten viele Sachen ein, welche in Ermanglung des Grunds demselben mit grosser Muͤhe beygebracht werden muͤssen. Jnsonderheit aber ist eine solche gruͤndliche Anleitung zur
Arithmetic
zur Unterrichtung der Jugend um so viel nuͤtzlicher und noͤthiger, da dieselbe eine ziemlich lange Zeit in Spra- chen und anderen Stuͤcken, bey welchen eine gruͤndliche Erkaͤntnuͤß nicht einmahl statt fin- det, unterwiesen, dabey aber im geringsten nicht angefuͤhret wird, einer Sache gruͤndlich nach zu sinnen; woraus nachgehends bey allen Unternehmungen nicht geringe Hinternuͤsse entstehen. Diesem Fehler kan nicht wohlfuͤg- licher abgeholffen werden, als daß man der Jugend die
Arithmetic,
welche ohne das in diesen Jahren erlernet werden muß, auf das gruͤndlichste vortrage, und dadurch die Ge- wohnheit richtig zu dencken beybringe. Zu die- sem Endzweck ist auch kein
Studium
bequemer als die
Mathematic,
dann darinn wird alles aus den ersten Grundsaͤtzen unserer Erkaͤnt- nuͤß auf das deutlichste hergeleitet und auf das
)( 5
gruͤnd-
gruͤndlichste bewiesen, dahingegen in den an- deren Wissenschafften sich noch sehr viel un- deutliches und unrichtiges befindet, auch so gar oͤffters falsche Sachen fuͤr Wahrheiten ausgegeben werden. Um dieser Ursachen willen hat man in gegenwaͤrtiger Abhandlung die
Arithmeti
schen Regeln und
Operatio
nen aus der Natur der Zahlen selbst und der Be- schaffenheit der gebraͤuchlichen
Charactere
so hergeleitet, daß einjeder auch ohne besondere Anfuͤhrung so wohl die
Operatio
nen begreiffen und darinn eine Fertigkeit erlangen, als auch den Grund davon verstehen kan. Man hat zu diesem Ende die gantze Anleitung in Saͤtze verfaßt, in welchen entweder die Regeln selbst, oder was zum Begriff derselben dienet, kurtz und deutlich vorgetragen wird: Diesen Saͤ- tzen sind ferner ausfuͤhrliche Erklaͤrungen bey- gefuͤget, worinn dasjenige, was in einem jeglichen Satze enthalten ist, genugsam er- laͤutert und der Grund davon angezeiget wird: und endlich hat man einer jeden
Operation
einige Exempel angehaͤngt, aus welchen der
Nutzen
Nutzen und Gebrauch derselben ersehen wer- den kan.
Was die Ordnung und Einrichtung des gantzen Wercks selbst betrifft, so hat man fuͤr das erste aus der
Arithmetic
nur dasjenige abgehandelt, was gemeiniglich von den Re- chen-Meistern gelehret zu werden pflegt; und in dem gemeinen Leben unentbehrlich ist; Hier auf folget so dann derjenige Theil der
A- rithmetic;
welcher zu der
Geometrie
und den uͤbrigen Theilen der
Mathematic
erfordert wird, und die
Decimal-
Rechnung nebst der
Extractione Radicum
in sich begreifft, und endlich auch die Lehre von den
Logarithmis
und derselben Gebrauch erklaret. Die ge- meine
Arithmetic
aber wird am fuͤglichsten in zwey Theile zertheilet; davon der erstere die so genannten
Species
mit gantzen und ge- brochenen Zahlen erstlich an und fuͤr sich selbst, und dann die
Application
derselben auf ver- schiedene Sorten als von Muͤntzen, Maaß,
Gewicht
Gewicht und dergleichen in sich fast. Jn dem zweyten Theile werden die verschiedenen Re- geln der
Arithmetic
erklaͤret werden, so zu Aufloͤsung verschiedener im gemeinen Leben vorkommenden Aufgaben dienen, als da sind die
Regula de tri
so wohl
Directa
als
In- versa,
die
Regula Quinque,
die
Regulæ Socie- tatis, Alligationis,
und dergleichen. Endlich wird der dritte Theil, wie schon gemeldet, diejenigen
Operatio
nen der
Arithmetic
in sich enthalten, welche zu den
Geometri
schen und uͤbrigen
Mathemati
schen Rechnungen inson- derheit erfordert werden.
Erster Theil von den
SPECIEBVS
mit gantzen und gebrochenen
Zahlen
.
Cap. I
Von der
Arithmetic
oder Rechenkunst uͤberhaupt.
1
D
Je
Arithmetic
oder Rechenkunst ist eine Wissenschaft, welche uns die Natur und die Eigenschaf- ten der Zahlen lehret, und zugleich einige Regeln an die Hand giebt, vermittelst welcher man die meisten in dem gemeinen Leben vorkommenden Auf- gaben ausrechnen oder aufloͤsen kan.
Die
Arithmetic
oder Rechenkunst, welche allhier soll abgehandelt werden, ist ein Theil der
Mathematic;
weswegen zu groͤsserer Erlaͤute- rung dienen wird, mit wenigem zu beruͤhren, worinn diese Wissenschaft bestehet. Die
Mathe- matic
ist demnach eine Wissenschaft, welche leh- ret, wie man aus bekannten Groͤssen andere, so
A
noch
noch nicht bekannt sind, finden soll. Dasjenige nun, davon in der
Mathematic
gehandelt wird, ist alles dasjenige, davon die Groͤsse entweder be- kannt ist oder gesuchet wird. Wenn man auch alle Theile der
Mathematic
betrachtet, so wird man befinden, daß die Sache immer dahin ge- he, wie eine unbekannte Groͤsse aus anderen schon bekannten Groͤssen soll gefunden werden. Die verschiedenen Theile der
Mathematic
aber entstehen von den verschiedenen Gattungen der Groͤssen, in dem einjeder nur eine besondere Art derselben betrachtet. Eine besondere Art der Groͤsse sind nun die Zahlen und die
Arithmetic
derjenige Theil der
Mathematic,
welcher mit den Zahlen umgeht. Man kan demnach auch sagen, daß die
Arithmetic
eine Wissenschaft sey, wel- che lehret, wie man aus bekannten oder gegebenen Zahlen eine noch unbekannte Zahl finden soll; wie wir dann sehen, daß in allen
Arithmeti
schen
O- peratio
nen allezeit eine Zahl gefunden wird, die vorher unbekannt gewesen. Wie aber die
Arith- metic
insgemein pflegt tractirt zu werden, so begreifft diesel be noch mehr
Operatio
nen und Regeln in sich, als bloß aus der Natur und Be- chaffenheit der Zahlen koͤnnen hergeleitet werden. Man pflegt neh mlich mit der eigentlichen
Arith- metic
noch einige Regeln, welche in der allge- meinen
Analysi
oder
Algebra
ihren Grund haben, zu vereinigen, damit ein Mensch, welcher die- selbe erlernet, auch im Stande sey, die meisten
Auf-
Aufgaben, so in dem gemeinen Leben vorzufallen pflegen, aufzuloͤsen, ohne in der
Algebra
geuͤbet zu seyn. Ob demnach gleich diese Regeln zu der Wissenschaft der Zahlen nicht gehoͤren, so ist um angefuͤhrter Ursache willen dennoch noͤthig diesel- ben damit vereinigt zu behalten. Und deswegen haben wir im Anfang vorausgesetzet, daß die
A- rithmetic
ausser der Betrachtung der Zahlen, einige Regeln an die Hand gebe, wodurch die meisten in dem gewoͤhnlichen Handel und Wan- del vorfallenden Rechnungen koͤnnen bewerckstel- liget werden.
2)
Die
Arithmetic
wird allso am fuͤglich- sten in zwey Theile getheilet, davon der er- ste alles dasjenige in sich begreifft was bloß allein in der Natur der Zahlen gegruͤndet ist. Der andere Theil aber enthaͤlt diejeni- gen Regeln, welche bey den meisten Faͤllen, so in dem gemeinen Leben vorkommen, mit Nutzen angebracht werden koͤnnen.
Der erste Theil ist wie schon gemeldt die
Arithmetic
an und fuͤr sich selbst, als dessen Grund allein aus der Natur und Eigenschaften der Zahlen fliesset. Und dahin gehoͤren die so genannten
Species
theils mit gantzen, theils mit gebrochenen Zahlen, indem dieselben gantz und gar auf der Natur der Zahlen beruhen. Ob aber gleich diese
Specie;
oder
Operatio
nen in allen Rechnungen Platz finden, und auch die schwehre- sten Rechnungen durch diese
Operatio
nen gantz
A 2
allein
allein ausgefuͤhret werden; so sind dieselben den- noch nur als der Werckzeug anzusehen, dadurch dergleichen Rechnungen bewerckstelliget werden. Hingegen ist in solchen Faͤllen das fuͤhrnehm- ste, daß man wisse, welcher
Operatio
nen man sich bey einer jeglichen Gelegenheit bedienen muͤs- se, damit das Verlangte gefunden werde. Es ist nehmlich nicht genug die gedachten
Arithme- ti
schen
Operatio
nen zu verstehen, sondern man muß fuͤr einen jeglichen Fall eine Regel wissen, welche lehret was fuͤr
Operatio
nen gebraucht wer- den muͤssen, um dasjenige, was zu wissen verlangt wird, zu finden. Diese Regeln haben nun ihren Grund nicht in der
Arithmetic;
sondern sind aus der allgemeinen
Analysi
oder
Algebra
gelehnet; Als wofuͤr eine jede Art von Aufgaben aus den Umstaͤnden sonderbare Regeln hergeleitet werden, durch welcher Huͤlfe man zu richtiger Aufloͤsung gelangen kan. Es werden demnach aus der
Al- gebra
so viel und solche Regeln in die Rechenkunst angenommen, als zu den gewoͤhnlichen Vorfaͤl- len auszurechnen noͤthig sind. Solchergestalt sind in die
Arithmetic
aufgenommen worden, die
Re- gula Detri Regula Quinque, Regula Aliga- tionis, Regula Falsi etc.
als ohne welche ein Rechenmeister, welcher in der
Algebra
nicht ge- uͤbet ist, schwehrlich fortkommen kan.
3)
Wenn viel Stuͤcke von einer Artvor- handen sind, so wird diese Vielheit durch eine Zahl angedeutet. Und deswegen ver-
stehet
stehet man durch eine Zahl, von wieviel Stuͤcken die Rede ist.
Da in dem ersten Theile der Rechenkunst die Natur der Zahlen soll untersuchet, und daraus diejenigen
Operatio
nen hergeleitet werden, wel- che zu Vollziehung der im zweyten Theile vor- kommenden Regeln noͤthig sind; so muß man sich vor allen Dingen einen deutlichen Begriff von den Zahlen zu wege bringen. Dieses geschieht nun am fuͤglichsten durch Betrachtung desjenigen welches eins genennet wird; indem eine Zahl an- deutet, wieviel Stuͤcke von derselben Sorte vor- handen seyen. Als wenn man zum Exempel von hundert Rubeln sprechen hoͤret, so verstehet man, daß von demjenigen Ding, welches Rubel ge- nennet wird, hundert Stuͤcke benennet werden; oder die Zahl hundert zeiget an, von wieviel Stuͤcken, deren einjedes ein Rubel ist, die Rede sey. Was aber die Groͤsse der Zahlen betrifft, so wird hier vorausgesetzet, daß derjenige, welcher die
Arithmetic
zu lernen gesinnet ist, von der Groͤsse einer jeden Zahl einen Begriff habe, und die Worte wisse, damit die Zahlen benennet wer- den. Hiezu ist aber hinlaͤnglich nur immer die Zahl benennen zu koͤnnen, welche herauskommt, wenn zu einer gegebenen Zahl noch eins hinzugesetzet wird. Dann auf diese Art wird ein Mensch mit Zehlen so weit fortfahren koͤnnen, als man ver- langt; und wird dabey von der Menge der Stuͤcken, welche eine jede Zahl andeutet, einen deutlichen Begriff erhalten.
4)
4)
Alle Zahlen, wie groß sie auch sind’ pflegen auf eine sehr kurtze und bequeme Art durch nachfolgende zehen
Characteres
oder Zeichen ausgedrucket zu werden: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Davon die Bedeutung ei- nes jeden wenn derselbe fuͤr sich allein be- trachtet wird, genugsam bekannt ist, und allso keiner weiteren Erklaͤrung bedarf.
Zu den
Arithmeri
schen
Operatio
nen ist nicht genug eine jede Zahl mit ihrem gehoͤrigen Nah- men entweder zu nennen oder zu schreiben; son- dern es wird zu Erleichterung derselben
Operatio-
nen erfordert, daß die Zahlen durch besondere und bequeme Zeichen oder
Characteres
angedeu- tet werden. Dieses kan nun auf vielerley Arten geschehen, davon die leichteste und einfaͤltigste ist, wenn so viel Punckten oder Striche hinter- einander gesetzet werden, als die Zahl bedeutet: als wenn zum Exempel acht auf diese Art ge- schrieben wird 11111111. Diese Art aber ist, wenn die Zahlen sehr groß sind, einer grossen Weitlaͤuffigkeit und Undeutlichkeit unterworffen; indem erstlich lange Zeit und ein grosser Raum eine grosse Zahl zu schreiben erfordert, und her- nach auch, wenn eine solche Zahl geschrieben, sehr schwehr fallen wuͤrde, die Zahl zu erkennen. Nach der Roͤmischen Schreibart wird zwar diese Weitlaͤuffigkeit und Undeutlichkeit etwas verrin- gert, indem anstatt fuͤnf Strichen dieses Zeichen
V.
anstatt zehen dieses Zeichen
X.
und so fort
ge-
geschrieben wird; allein da diese Art gleichwohl fuͤr grosse Zahlen noch ziemlich weitlaͤuffig und undeutlich, dabey auch nicht durch feste Regeln genugsam eingeschraͤncket ist, so ist dieselbe nicht bequem die
Arithmeti
schen
Operatio
nen darnach einzurichten. Noch mehr Schwierigkeiten sind diejenigen Arten die Zahleu zu schreiben unter- worfen, in welchen die Buchstaben des Alpha- bets zu Bedeutung der Zahlen gebraucht wer- den; gleichwie vormahls bey den meisten Voͤl- ckern geschehen. Vor diesen Arten hat nun die anjetzo fast allenthalben gebraͤuchliche Art die Zahlen durch Huͤlffe der zehen angefuͤhrten Zei- chen zu schreiben, einen sehr grossen Vorzug, wie mit mehrerem aus folgendem zu ersehen.
5)
Bey dieser Schreibart der Zahlen be- halten die obigen zehen Zeichen nicht allzeit einerley Bedeutung: sondern um den wahren Werth eines jeden
Characters
zu finden, muß man auf die Stelle desselben Acht geben. Als auf der ersten Stelle von der Rechten gegen der Lincken behaͤlt der
Character
seine natuͤrliche Bedeutung, als wenn er vor sich allein gesetzet waͤre. Auf der zweyten Stel- le bedeutet ein
Character
zehenmahl mehr als wenn er allein stuͤnde. Auf der dritten Stelle bedeutet ein
Character
hundertmahl mehr: auf der vierten, tausendmahl mehr und so fort immer zehenmahl mehr auf der folgen- den Stelle, als auf der vorhergehenden.
A 4
Hie-
Hiebey ist nun zu mercken, daß das Zeichen o auf allen Stellen nichts bedeutet, weilen ze- henmahl nichts und hundertmahl nichts und so fort allzeit nichts ausmacht. Wie aber die Vermehrung der Bedeutung der uͤbrigen Zeichen nach den Stellen beschaffen sey, so ist zu mercken daß der Werth eines jeglichen
Characters
zehen- mahl groͤsser sey, als auf der vorhergehenden Stelle nach der rechten Hand. Und deswegen hat man sich nachfolgende
Tabell
noͤthtig wohl bekannt zu machen.
Zehenmahl eins
macht zehen
Zehenmahl zehen
‒ ‒ hundert
Zehenmahl hundert
‒ ‒ tausend
Zehenmahl tausend
‒ ‒ zehen tausend
Zehenmahl zehen tausend
‒ ‒ hundert tausend
Zehenmahl hundert tausend ‒ ‒ tausendmahl
tausend oder eine
Million
Tausendmahl tausend
Millio
nen macht eine
Bil-
lion
Tausendmahl tausend
Billio
nen ‒ ‒ eine
Tril-
lion
und so weiter.
Aus dieser
Tabell
bekommt man allso einen Begriff von den Zahlen zehen, hundert, tausend und so fort; indem man daraus sieht wieviel Stuͤ- cke eine jede Zahl vorstellt. Hieraus kan man aber ferner abnehmen, wieviel einjeder
Character
von den obgedachten zehen in einer jeden Stelle bedeute. Nehmlich in der ersten Stelle von
der
der rechten gegen der lincken Hand bedeutet wie folget:
A 5
Anf
Hieraus erhellt, daß die Bedeutung der
Cha- racter
en auf der siebenten Stelle aͤhnlich sey der Bedeutung auf der ersten Stelle, indem bey der Siebenten nur das Wort
Millionen
zugese- tzet wird. Gleichergestalt wird man die Bedeu- tung auf der achten Stelle haben, wenn man bey der zweyten Stelle das Wort
Millio
nen hin- zusetzet; und auf eben diese Art entspringt die neunte Stelle aus der dritten, die zehnte aus der vierten, nnd so weiter bis auf die dreyzehnte und folgenden, welche wieder aus der ersten und fol- genden durch Beysetzung des Worts
Billio
nen formirt werden. Endlich bedeuten die
Characteres
auf der neunzehnten Stelle
Trillio
nen, die auf der fuͤnf und zwanzigsten
Quadrillio
nen und so fort; woraus zugleich die Benennung der mittle- ren Stellen erhellet. Solchergestalt bedeutet in
die-
diesen Zahl 7 3 0 2 5 6 8 der
Character
8 auf der ersten Stelle ‒ acht
6 auf der zweyten Stelle ‒ sechzig
5 auf der dritten Stelle ‒ fuͤnf hundert
2 auf der vierten Stelle ‒ zwey tausend
0 auf der fuͤnften Stelle ‒ nichts
3 auf der sechsten Stelle ‒ drey hundert tausend
7 auf der siebenten Stelle ‒ sieben
Millio
nen.
Woraus allso der Werth oder die Bedeutung eines jeglichen
Characters
in einer auf dieser Art geschriebenen Zahl erkannt wird.
6)
Die Groͤsse einer Zahl, welche durch viel hintereinander gesetzte
Characteres
aus- gedrucket wird, findet man, wenn man die Bedeutungen aller
Characters
zusammen se- tzet. Wobey die Gewohnheit mit sich bringt, in Benennung derselben von der Lin- cken zu der Rechten fortzugehen.
Gleichwie diese Schreibart der Zahlen will- vuͤhrlich ist, allso beruhet auch die Ordnung, nach welcher die Zahlen ausgesprochen werden, auf der Gewohnheit. Wir gehen aber in Benennung der
Characters
deswegen hauptsaͤchlich von der Lincken zu der Rechten, dieweilen auf diese Art fast eben der Nahme, welchen eine jegliche Zahl in unserer Sprache fuͤhret, herauskommt. Die- semnach wurde die obige Zahl 7302568 so viel ausmachen wie folgt: Sieben
Millio
nen, drey hundert tausend und zwey tausend und fuͤnf hun- dert und sechzig und acht. Nach der Eigenschaft
un-
unserer Sprache aber wird diese Zahl allso aus- gesprochen: Sieben
Millio
nen, drey hundert und zwey tausend, fuͤnf hundert und acht und sechzig; welche Art von der vorigen nur darinn unterschieden ist, daß da oben tausend zweymahl nach einander vorkommt, hier nur das letztere Mahl gesetzet wird, indem es auf diese Art gesetzet auch zugleich zu dem vorhergehenden gehoͤret. Uber das sagt man anstatt sechzig und acht, acht und sechzig: Aus welchem allen erhellet, daß diese Art die Zahlen zu schreiben mit der gewoͤhnlichen Art die Zahlen mit Worten auszusprechen sehr genau uͤbereinkomme, indem uns eine jegliche Zahl bey nahe die gewoͤhnlichen Worte, und das in eben der Ordnung in den Mund legt: Wel- che Gemeinschaft fast in allen Sprachen, in ei- ner aber mehr als in der anderen beobachtet wird.
7)
Um eine jegliche auf diese Art beschrie- bene Zahl, aus wieviel
Characte
ren dieselbe auch immer bestehet, mit den gehoͤrigen Worten auszusprechen, hat man nur noͤthig zu wissen, |wie diejenigen Zahlen, welche nur aus dreyen
Characte
ren bestehen ausgesprochen werden; dieses geschieht nun indem man den ersten
Character
gegen die lincke Hand mit sei- nem natuͤrlichen Nahmen nennet und dazu das Wort hundert setzet; hierauf nennet man in der Teutschen Sprache den ersten
Cha- racter
gegen der Rechten, und setzet dazu
den
den Nahmen des Mittleren, welchen er in der zweyten Stelle, wie oben gesetzet, erhaͤlt.
Wenn die Zahl nur aus zweyen
Characte
ren bestehet, oder der erste gegen der lincken Hand 0 ist, so werden nur die zwey letzteren ausgespro- chen; dann dieser
Character 0
, welcher nichts bedeutet, wird niemahls ausgesprochen. Jn der Teutschen Sprache ist nur einige Schwierigkeit, eine Zahl, so aus zweyen
Characte
ren bestehet auszusprechen, indem die letztere gegen der rechten Hand zu erst genennet wird. Jst aber dieser
Character
ein 0 so wird nur der erste gegen der lincken Hand mit dem Nahmen, welchen er in der zweyten Stelle hat benennet. Also ist 10 ze- hen: 20 zwantzig; 30 dreyßig und so fort. Wei- ter ist 11 eilf oder eins und zehen; 12 zwoͤlf oder zwey und zehen; 13 dreyzehen; 14 vierzehen und so fort bis auf zwantzig. Von zwantzig aber bis auf hundert geht die Benennung nach der ge- gebenen Regel, nehmlich 27 heisset sieben und zwantzig; 56 heisset sechs und fuͤnfzig; 89 heisset neun und achtzig und so fort. Hat man nun die Aussprechung zweyer
Character
begriffen, so ist sehr leicht alle Zahlen, welche mit drey
Chara- cte
ren geschrieben werden, auszusprechen, indem nur erstlich der erste von der Lincken nebst Zu- setzung des Worts hundert genennet, und die zwey folgenden wie gelehret, mit den Worten hinzugesetzet werden. Allso ist 114 hundert und
vier-
vierzehen; 570 fuͤnf hundert und siebenzig; 324 dreyhundert und vier und zwantzig; 208 zwey hundert und acht; 600 sechs hundert; und so fort.
8)
Hat man nun gelernet alle Zahlen, so mit dreyen oder weniger
Characte
ren geschrie- ben werden, aussprechen, so ist sehr leicht alle Zahlen, aus wieviel
Characte
ren sie auch immer bestehen, mit ihren gehoͤrigen Wor- ten auszusprechen. Dieses geschiehet, indem von der Rechten Hand anzufangen je drey und drey
Characte
res abgeschnitten werden, so daß die gantze Zahl in eine gewisse Anzahl Glieder zertheilet wird, deren jedes aus drey
Characte-
ren besteht. Ein jedes Glied wird nun mit eben den Worten, als wenn es allein stuͤnde, ausgesprochen, und dazu ausser bey dem er- sten von der Rechten gegen der Lincken ein besonderes Wort hinzugesetzet; als bey dem zweyten von der Rechten
tausend,
bey dem dritten
Millionen,
bey dem vierten
tausend,
bey dem fuͤnften
Billionen
und so fort. Auf die- se Art wird nun ein Glied nach dem ande- ren ausgesprochen, der Anfang aber von der Lincken gemacht und gegen der Rechten fort- gefahren.
Diese Eintheilung in Glieder, deren jedes drey
Characteres
enthaͤlt, geschiehet von der Rechten gegen der Lincken, so lang
Characteres
vorhanden; weswegen zu mercken, daß das letzte
Glied
Glied nicht allezeit aus drey
Characte
ren bestehe, sondern viel Mahl nur zwey oder einen enthalte; da aber gleichwohl dieselben, als wenn sie allein stuͤnden, ausgesprochen werden mit Hinzusetzung des gehoͤrigen Worts. Was nun diese Woͤr- ter betrifft, so sieht man, daß von der rechten gegen der lincken Hand diese Glieder nehmlich: das zweyte, vierte, sechste, achte, zehente und so fort alle das Wort
tausend
mit sich fuͤhren. Das dritte aber hat bey sich das Wort,
Millionen
;
das fuͤnfte,
Billionen
, das siebende,
Trillionen
, das neunte,
Quadrillionen
und so fort. Eine jede vorgegebene Zahl kan allso auf folgende Art zur Aussprechung zugeruͤstet werden.
oder auch anstatt der Worte nur Zeichen wie folget:
allwo die
Commata
anstatt
tausend
stehen, die Zeichen
aber
Millionen, Billi- onen, Trillionen
bedeuten. Nach den gegebenen Regeln wird nun diese Zahl auf diese Art aus-
ge-
gesprochen.
Ein und dreyßig
T
rillionen
,
vier hundert und fuͤnfzehen tausend, neun hundert und sechs und zwantzig
B
illionen
,
fuͤnf hun- dert und fuͤnf und dreyßig tausend, acht hundert und sieben und neunzig
Millionen
,
neun hundert und zwey und dreyßig tausend drey hundert und vier und achtzig.
Es ist schon oben erinnert worden, daß der
Character
0 nicht ausgesprochen werde: Damit nun dieses den Anfaͤngern keine Schwierigkeit verursache, haben wir nachgehendes
Exempel
beygefuͤget.
Diese Zahl wird nun allso ausgesprochen:
Zehen
Quadrillionen
,
zwey hundert tausend und drey hundert
Trillionen
,
vierzig tausend
Billionen
,
fuͤnf hundert tausend und sechs
Millionen
,
neun tausend und sieben.
Auf die- se Art wird nun eine jede Zahl, welche mit die- sen
Characte
ren beschrieben ist, erkannt und mit Worten ausgesprochen. Nun folget wie eine jede Zahl, welche mit Worten ausgesprochen wird, durch diese
Characteres
auf gemeldte Art geschrieben werden soll. Dieses aber desto besser vorzutragen, ist noͤthig vorher einige Woͤrter zu erklaͤren.
9)
Jn einer nach obgemeldter Art be- schriebenen Zahl stehen auf der ersten Stelle
von
von der Rechten gegen der Lincken die
Unitæ-
ten, weilen der auf dieser Stelle stehende
Character
anzeiget, wie viel einzele Stuͤcke vorhanden sind. Auf der zweyten Stelle sind die
Decades
,
indem der
Character
auf dieser Stelle ausweiset, wievielmahl zehen einzele Stuͤcke vorhanden. Ferner werden die auf der dritten Stelle
Centenarii
genennet; auf der vierten
Millenarii;
auf der fuͤnften
Decades millenariorum
,
auf der sechsten
Cen- tenarii millenariorum
und auf der siebenden
Milliones.
Wenn man nun die
Millio
nen
als einzele Stuͤcke betrachtet, so befinden sich auf der achten Stelle wieder
Decades
nehm- lich
Millionum
,
auf der neunten
Centenarii
und so wiederum fort bis auf
Billio
nen auf der dreyzehnten Stelle. Jn gleicher Ord- nung geht man wiederum fort bis auf
Tril- lio
nen und so weiter.
Dieses deutlicher vor Augen zu legen die- net folgende
Tabelle
, welche weiset was die
Cha- racteres
auf einer jeglichen Stelle fuͤr eine Be- deutung haben: als
B
Stel-
und so weiter.
Hiebey ist nun zu mercken, daß eine
Decas
zehen
Unitæten
oder einzele Stuͤcke enthalte, ein
Centenarius
aber zehen
Decades;
ein
Millenarius
zehen
Centenarios;
eine
Decas millenariorum
zehen
Millenarios
und so weiter:
Wenn man sich allso einen Begriff von die- sen Worten gemacht, so siehet man gleich wieviel Stuͤcke eine jegliche Zahl von einer jeglichen Sorte
ent-
enthalte, als diese Zahl 5738264 enthaͤlt 5
Mil- lio
nen: 7
Centenarios millenariorum, 3 Deca- des millenariorum, 8 Millenarios, 2 Centena- rios, 6 Decades
, und 4 einzele oder
Unitates.
Hievon aber einen deutlichen Begriff zu geben, so lasset uns setzen, ein Mann habe in seinem Vermoͤgen so viel Rubel als diese Zahl 5738264 ausweiset. Die Groͤsse dieses Vermoͤgens wird nun am deutlichsten erkannt, wenn man sagt, die- ser Mann habe erstlich 5 Kisten in deren jeder eine
Million
Rubl. sey; und dann noch 7 Kisten, jede von hundert tausend Rubl. drittens drey Kisten jede von zehen tausend Rubl. viertens 8 Saͤcke jeden von tausend Rubl. fuͤnftens 2 Saͤcke jeden von hundert Rubl. sechstens 6 Beutel in deren jedem zehen Rubl. und endlich noch dazu 4 einzele Rubl. Aus einer solchen Beschreibung wird nun ein jeder von diesem Reichthum einen deutlichen Begriff bekommen; und wenn wir recht nach- dencken, so werden wir befinden, daß sich einjeder eine grosse Zahl auf eben diese Art vorstellet. Dann was wir dorten
Unitæten
genennet, sind in die- sem
Exempel
einzele Rubl. Eine
Decas
ist hier ein Beutel von zehen Rubl. Ein
Centenarius
ist hier ein Sack von hundert Rubl. und so fort.
10)
Um eine Zahl, welche ist vorge- geben worden, zu schreiben, muß man erst- lich sehen, wie viel dieselbe von einer jeglichen Sorte aus der vorigen
Tabelle
enthalte. Hernach wenn dieses geschehen, muß die
B 2
An-
Anzahl einer jeglichen Sorte auf die in eben der
Tabelle
angezeigte Stelle gesetzet werden. Wo aber, nachdem dieses alles geschehen, noch einige Stellen ledig bleiben, muͤssen die- selben mit dem nichts bedeutenden
Character
0
erfuͤllet werden. Weswegen allso hiezu dienlich ist die Stellen, wenn man weiß wieviel derselben vorhanden seyn muͤssen, mit Punckten zu bemercken.
Wenn allso nach dieser Art sollte geschrieben werden, zwey hundert und sechs tausend, sieben hun- dert und fuͤnfzig; so hat man zu sehen, daß erst- lich 2
Centenarii millenariorum
vorhanden, wel- che auf die sechste Stelle gehoͤren; hernach sind 6
Millenarii
da auf die vierte Stelle, und dann 7
Centenarii
auf die dritte Stelle, und endlich 5
Decades
auf die zweyte Stelle; so daß allso die fuͤnfte und die erste Stelle ledig bleiben. Die- se Zahl wird demnach in unseren
Characte
ren allso stehen 206750. Wer sich aber in Aus- sprechung der Zahlen, wie vorher gelehret wor- den, einiger massen geuͤbet, wird zugleich im Stande seyn, eine Zahl, welche er gehoͤret ausspre- chen, wiederum zu schreiben: und wenn es auch nicht recht gerathen solte, wuͤrde er den Fehler bald mercken, wenn er seine geschriebene Zahl wiederum mit Worten ausdruͤcken sollte. Hie- bey aber kan man dennoch einige Regeln geben, daß man in diesem Wercke um so viel sicherer verfahre. Wenn die Zahl, wie es die Gewohn-
heit
heit mit sich bringt so ausgesprochen wird, daß erstlich die groͤsten Sorten und denn der Ordnung nach die kleineren benennt werden, so kan er gleich von der Lincken gegen der Rechten die
Chara- cteres
einer jeglichen Sorte schreiben, wenn er mercket, daß von allen nach der hoͤchsten folgen- den Sorten etwas vorhanden ist. Trifft sich aber daß eine oder einige Sorten nicht benennet wurden, so kan er dieselben auch gleich mer- cken und die Stellen derselben mit 0 ausfuͤllen. Das fuͤrnehmste hierinn ist, daß man die Zahlen, welche kleiner sind als tausend, wohl wisse zu schrei- ben und auf ihre gehoͤrigen drey Stellen zu setzen, denn so wohl die Tausender als
Millio
nen,
Bil- lio
nen ꝛc. durch solche Zahlen gezehlet zu werden pflegen. Hernach ist auch zu beobachten, daß die
Millio
nen,
Billio
nen,
Trillio
nen ꝛc. sechs Stellen in ihrem Bezirck haben; da dann ei- ne jegliche Art ins besondere kan geschrieben wer- den: wobey nur zu mercken, daß nach den
Mil- lio
nen gegen der rechten noch 6 Stellen, nach den
Billio
nen zwoͤlff Stellen und so fort folgen muͤssen. Endlich ist auch zu mercken, daß niemahls von einer Sorte mehr als neun koͤnnen geschrieben werden, in dem 10 Stuͤcke von einer Sorte ein Stuͤck von der folgenden ausmachen und folglich dahin gehoͤren. Deswegen muß sich einer nicht verfuͤhren lassen, wenn man ihm zu schreiben vorlegt, eilf tausend, eilf hundert und eilf; er muß nehmlich wissen, daß eilf hundert einen
Mil-
B 3
le-
lenarium
nebst einem
Centenario
ausmache und deswegen wird er haben zwoͤlff tausend ein hundert und eilf, welche allso geschrieben werden 12111.
11)
Dasjenige, welches bisher ist erklaͤ- ret worden, nehmlich wie man eine durch
C
ha- racteres
beschriebene Zahl mit Worten aus- sprechen und hinwiederum eine jede Zahl durch solche
Characteres
schreiben soll, wird die
Numeration
genennet und pflegt gimei- niglich fuͤr die erste
Arithmet
sche
Operation
gehalten zu werden.
Es ist willkuͤhrlich was fuͤr
Character
zu Beschreibung der Zahlen gebrauchet werden; eine jede Art aber der Zahlen auszudrucken er- fordert besondere Regeln zu den
Arithmeti-
schen
Operatio
nen, welche aus der Beschaffen- heit einer jeglichen Art muͤssen hergeleitet werden. Wir haben aber bisher genugsam dargethan, daß die gewoͤhnliche Art vermittelst der zehen
Cha- racter
am allerbesten mit den Worten, dadurch die Zahlen benennet werden, uͤbereinkommen; wie es dann auf diese Art sehr leicht ist eine jede durch solche
Characteres
beschriebene Zahl mit Worten auszusprechen, und hinwiederum eine mit Wor- ten benennte Zahl zu schreiben. Da nun die
Arithmeti
schen
Operatio
nen nach dieser Art am bequemsten eingerichtet worden; so war, ehe man zu den
Operatio
nen selbst schreiten koͤnnte, unum- gaͤnglich noͤthig diese Ausdruͤckungs-Art der Zah- len ausfuͤhrlich zu erklaͤren, damit daraus die Re-
geln
geln fuͤr die
Operatio
nen koͤnnten hergeleitet wer- den. Diese Vorbereitung zu den
Arithmeti
schen
Operatio
nen wird nun
Numeratio
oder
Notatio
ge- nennet, welche lehret eine jegliche Zahl schreiben, und wenn eine Zahl geschrieben, wiederum ausspre- chen. Die
Numeration
kan allso nicht mit unter die
Operatio
nen gezehlet werden, wenn wir durch ei- ne
Operation
eine besondere Art verstehen, aus zweyen oder mehr gegebenen Zahlen eine neue herauszubringen. Da wir nun durch Ausfuͤh- rung der
Numeration
das Fundament zu den
A rithmeti
schen
Operatio
nen geleget, daraus die- selben gruͤndlich koͤnnen erklaͤret werden, so schrei- ten wir zu diesen
Operatio
nen selbst fort, wenn einige Exempel zur Ubung werden beygebracht seyn.
Exempel der
Numeration.
1. Man hat gefunden, daß der Umkreiß der Er- de so viel Teutsche Meilen halte als diese Zahl 5400 andeutet: nun fragt man wie groß die Anzahl der Meilen sey?
Antw. fuͤnf tausend vier hundert Teut- sche Meilen.
2.
Bibliander
hat die Unkoͤsten ausgerechnet, welche der Koͤnig Salomon bey Aufbauung des Tempels zu Jerusalem aufgewandt, und setzt dieselben auf 13695380050 Kronen; nun wird die Groͤsse dieser Zahl gefraget?
Antw. dreyzehen tausend sechs hundert fuͤnf und neunzig
Millio
nen; drey hundert und acht- zig tausend und fuͤnfzig Kronen.
B 4
3.
3. Der Kayser Augustus wandte jaͤhrlich zu Be- schuͤtzung der Graͤntzen des Roͤmischen Reichs 1200000 Kronen auf. Wie wird diese Zahl mit Worten ausgesprochen?
Antw. eine
Million
und zweymal hundert tausend Kronen, oder auch zwoͤlffmahl hundert tausend Kronen.
4. Der Schatz mit welchem sich der Koͤnig Sar- danapalus von Assyrien selbst soll verbrannt haben, wird auf 145000000000 Goldguͤl- den geschaͤtzet; fragts sich wie groß dieser Schatz gewesen?
Antw. hundert und fuͤnf und vierzig tau- send
Millionen
Goldgulden.
5. Archimedes beweiset, daß nicht nur alle Sand- Koͤrner auf der gantzen Erde koͤnnen gezehlet werden; sondern daß man so gar eine Zahl anzeigen koͤnne, welche groͤsser waͤre, als die Anzahl der Sand-Koͤrner, welche den gan- tzen Raum der Welt bis an die aͤussersten Fixsternen zu erfuͤllen erfordert wuͤrde. Die- se Zahl setzet Clavius nach unserer Schreibart nachfolgende: 10000000000000000000000 00000000000000000000000000000 nem- lich die
Unitæt
mit ein und fuͤnfzig
Ciphren
, wie muß nun diese Zahl mit Worten ausge- sprochen werden?
Antw. ein tausend
Octillio
nen. Nehm- lich die letzteren acht und vierzig
Cyphren
ge-
ben
ben
Octillio
nen und vor denselben stehet noch 1000 das ist tausend.
6.
Endlich kan nachfolgende Zahl
12345678900987654321 zu einem Exempel dienen, darinnen alle verschiedenen Abwechs- lungen vorkommen. Wie wird nun diese Zahl mit Worten ausgesprochen?
Antw. Zwoͤlf
Trillio
nen, drey hundert und fuͤnf und vierzig tausend, sechs hundert und acht und siebenzig
Billio
nen, neun hun- dert tausend, neun hundert und sieben und achtzig
Millio
nen, sechs hundert und vier und fuͤnfzig tausend, drey hundert und ein und zwanzig.
Cap. II.
Von der
Addition
als der ersten
Arith- meti
schen
Operation.
1
J
N der
Addition
werden solche Regeln gegeben, durch derer Huͤlfe man eine Zahl finden kan, welche eben so groß ist, als zwey oder mehr gegebene Zahlen. Diese Zahl welche durch diese Regeln gefunden wird, pflegt die
Summ
der gegebenen Zahlen genen- net zu werden.
B 5
Wir
Wir haben im vorigen Capitel dargethan, daß wir von grossen Zahlen keinen deutlichen Be- griff haben, wenn wir nicht wissen, wie diesel- ben aus kleineren Zahlen zusammen gesetzet sind. Als wenn man sich die Zahl 1735 vorstellet, so be- stehet der Begriff von derselben darinnen, daß man weiß, daß dieselbe aus tausend und sieben- hundert und dreyßig und fuͤnf zusammen gesetzt, oder die
Summ
dieser Zahlen sey. Von die- sen Theilen aber wird voraus gesetzet, daß man einen deutlichen Begriff habe; welches im vor- hergehenden Capitel gnugsam ist ausgefuͤhret wor- den. Es bestehet nehmlich die Erkaͤntnuͤß der Zahlen darinn, daß man wisse, aus wieviel
Uni- tæten, Decaden, Centenariis, Millenariis etc.
eine jegliche Zahl bestehe; und nach diesen Thei- len ist sowohl die Art die Zahlen zu schreiben als dieselben mit Worten auszusprechen eingerichtet. Wenn man sich demnach von einer Zahl, welche aus Zusammensetzung zweyer oder mehr gegebenen Zahlen entstehet, einen deutlichen Begriff formi- ren will; so muß man untersuchen, aus wie- viel
Unitæten, Dccadibus, Centenariis etc.
dieselbe bestehe. Denn wenn man dieses gefun- den, so ist man im Stande die verlangte Zahl sowohl zu schreiben als mit Worten auszusprechen. Diese
Operation
nun, dadurch gefunden wird, aus wieviel solcher Theilen die
Summe
zweyer oder mehr gegebenen Zahlen bestehe, wird die
Addi- tion
genennt. Und deswegen erhalten wir durch
die
die
Addition
einen deutlichen Begriff von der
Summ
zweyer oder mehr gegebenen Zahlen, und lernen dieselbe sowohl schreiben, als mit Worten aussprechen. Als wenn die
Summ
von diesen zweyen Zahlen 247 und 328 verlanget wird, so ist zwar der Begriff davon schon ziemlich deutlich, weil man weiß daß dieselbe den zwey gegebenen Zahlen zusammengenommen gleich ist; Man ver- langt aber zu vollkommener Erkaͤntnuͤß dieser
Summ
zu wissen, aus wieviel
Unitæten, De a- dibus, Centenariis etc.
dieselbe bestehe, damit man dieselbe nach der gewoͤhnlichen Art schreiben und mit Worten aussprechen koͤnne. Dieses nun zu bewerckstelligen giebt uns die
Addition
sichere und leichte Regeln an die Hand, derer Richtig- keit und Gebrauch wir allso gruͤndlich und aus- fuͤhrlich beschreiben werden.
2)
Zur
Addition
zweyer oder mehr Zahlen wird erfordert, daß man wisse die
Unitates,
die
Decades, Centenarios etc.
insbesondere zu
addi
ren. Und da
10
Unitates
eine
Decadem; 10 Decades
einen
Centenarium; 10 Centena- rii
einen
Millenarium
und so fort ausmachen: so ist noͤthig, daß, wenn in der
Addition
mehr als 9 Stuͤcke von einer Gattung vor- kommen, dieselben zu hoͤheren Gattungen ge- schlagen werden, so daß niemahls mehr als 9 Stuͤcke von einer Gattung in
Consideration
kommen.
Da die Zahlen, welche zusammen gesetzet wer-
den
den sollen, aus
Unitæten, Decaden, Centena- riis,
und so fort bestehen; so muß die
Summ
eben so viel
Unitæten
und
Decaden
und
Centenarios
und so weiter in sich begreiffen, als die gegebenen Zahlen insgesamt in sich enthalten. Derowe- gen um zwey oder mehr Zahlen zusammen zu
ad- di
ren wird erfordert, daß man die
Unitæten Decades, Centenarios etc.
jede insbesondere
addi-
re. Da aber ausser der 0 nicht mehr als neun
Characteres
vorhanden sind, dadurch eine ge- wisse Anzahl entweder von
Unitæten
oder
Deca- den
oder
Centenatiis etc.
kan angedeutet werden, so koͤnnen niemahls mehr als neun von einer Sor- te durch diese
Characteres
bemercket werden. De- rowegen wenn mehr als neun von einer Sorte vorkommen, so muͤssen daraus so viel von den fol- genden hoͤheren Sorten formirt werden, als moͤ- glich ist, bis weniger als 10 von einer jeglichen Gattung uͤbrig bleiben. Diese Verwechselung geschicht nun durch Huͤlfe der Verhaͤltniß zwischen allen diesen Gattungen, da nehmlich 10
Unitæten
eine
Decadem; 10 Decades
einen
Centenarium,
zehen
Centenarii
einen
Millenarium
erfuͤllen und so weiter. Weilen nun unsere Begriffe von den Zahlen in so ferne deutlich sind als wir be- greiffen, aus wieviel Stuͤcken von einer jeglichen Sorte dieselben bestehen; so giebt sich die ob- gedachte Verwechselung von felbsten, so bald man die
Summ
verschiedener Anzahlen von
Uni- tæten,
oder
Decaden
oder
Centenariis etc.
er-
kennet.
kennet. Als wenn man weiß, daß 8 und 9 zu- sammen, siebenzehen ausmachen, so weiß man zu- gleich daß 8 und 9
Unitates
zusammen eben so viel ist als eine
Decas
nebst 7
Unitæten.
Glei- chergestalt sind 8 und 9
Decades
so groß als ein
Centenarius
und 7
Decades:
und 8 und 9
Cen- tenarii
so groß als ein
Millenarius
nebst 7
Cen- tenariis;
und so weiter mit allen folgenden Sorten.
3)
Um zwey oder mehr Zahlen zusam- men zusetzen oder zu
addi
ren wird erfordert, daß man zu einer jeglichen Zahl koͤnne eine von den 9 einfachen Zahlen als 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 hinzusetzen, welches ent- weder durch die Abzehlung an den Fingern oder auf eine fertigere Art durch die Erler- nung einer Tabelle kan bewerckstelliget wer- den, aus welcher man sehen kan, wieviel heraus kommt, wenn zu einer gegebenen Zahl eine von den 9 einfachen Zahlen hinzugesetzet wird.
Da alle Zahlen aus den neun ersten einfachen Zahlen zusammen gesetzet sind: so bestehet die Leich- tigkeit in den
Arith meti
schen
Operatio
nen darinn, daß man mit den allergroͤsten Zahlen eben dieje- nigen
Operatio
nen anstellen kan, welche man mit den neun einfachen Zahlen zu machen weiß. Derowegen wird auch in der
Addition
erfordert, daß man die einfachen Zahlen zusammen zu setzen wisse; und dazu werden in dieser
Operation
keine
Re-
Regeln gegeben. Wenn man aber die einfachen Zahlen zu
addi
ren gelernet, so ist man im Stan- de so grosse Zahlen als immer vorgegeben werden zu
addi
ren oder in eine
Summ
zu bringen. Es wird demnach, ehe diese Regeln gegeben werden, vorausgesetzet, daß man wisse die einfachen Zah- len zusammen zu
addi
ren, welches auch, wenn man nur zehlen kan, sehr leicht ist und gantz keine Schwierigkeit hat. Denn wenn man von einer gegebenen Zahl weiter fortzehlet, so ist die naͤch- ste welche folget um eins groͤsser als die gegebene; die zweyte der folgenden um zwey, die dritte um drey und sofort. Und auf diese Art kan man durch Abzehlung an den Fingern, zu einer jegli- chen Zahl noch eine von den neun einfachen Zah- len hinzusetzen. Unterdessen aber ist dennoch dien- lich, daß man nachfolgende Tabelle im Kopfe habe, aus welcher man die
Summ
je zweyer ein- fachen Zahlen anzeigen lernet:
3
Hat man nun diese Tabelle im Gedaͤchtnuͤß, so kan man durch Huͤlfe derselben auch mit leich- ter Muͤhe zu einer jeglichen Zahl noch eine einfa- che hinzusetzen. Wo aber je dieses, welches am besten durch eine fleißige Ubung erhalten wird, solte einige Schwierigkeit haben, so kan dieselbe durch die Regeln der
Addition
selbst gehoben werden: dann diese Tabelle ist hinlaͤnglich zu
Addi
rung zweyer Zahlen so groß sie auch immer sind. Wenn aber drey oder mehr Zahlen sollten zusammen ge- setzet werden, so muͤste man auch die
Summ
von je drey oder mehr einfachen Zahlen wissen. Weiln nun dieses beschwehrlich fiele, so koͤnnte man
erst-
erstlich nur zwey Zahlen
addi
ren; und so dann zu der
Summ
noch eine und so fort, bis alle gegebe- nen Zahlen in eine
Summ
sind gebracht worden. Weilen demnach auf diese Art niemahls mehr als 2 Zahlen auf einmahl zu
addi
ren vorfallen, so kan man sich mit der gegebenen Tabelle so lange begnuͤgen und die
Addition
mehrerer Zahlen auf besagte Art anstellen, bis man eine groͤssere Fer- tigkeit bekommen.
4)
Wenn zwey oder mehr Zahlen sollen zusammen gesetzet oder in eine
Summ
gebracht werden, so wird die
Summ
gefunden wenn man alle
Unitæten
zusammen setzet, und denn alle
Decades,
ferner alle
Centenarios, Mille- narios
und so fort. Es koͤnnen aber die
De- cades, Centenarii, Millenarii
unter sich auf eben die Art
addi
ret werden, als die
Unitæten,
welche zu
addi
ren im vorigen ist gelehret worden.
Weilen die
Summ
gleich seyn muß denen ge- gebenen Zahlen zusammengenommen; so muß die- selbe aus so viel
Unitæten, Decadibus, Cente- nariis, Millenariis etc.
bestehen, als die gege- benen Zahlen insgesamt enthalten. Derohalben wird die
Summ
gefunden, wenn man erstlich die
Unitæten
der gegebenen Zahlen, und denn die
Decades
ferner die
Centenarios
und
Millenarios
und so fort
addi
ret, und alle diese Sorten zu- sammen setzet. Die
Summ
allso von zweyen oder mehr Zahlen zu finden wird erfordert, daß man
wisse
wisse insbesondere die
Unitæten,
ingleichem die
Decades, Centenarios, Millenarios
und so fort zusammen zu setzen. Was die
Unitæten
betrift so ist die Zusammensetzung derselben im vorher- gehen den Punct gemeldet worden: denn wenn die gegebenen Zahlen wie wir voraussetzen, auf die gewoͤhnliche Art entweder ausgesprochen oder ge- schrieben werden, so koͤnnen niemahls mehr als 9 Stuͤcke von einer Gattung vorkommen; und demnach um die
Unitæten
zu
addi
ren ist genug wenn man weiß zu einer jeglichen Zahl eine ein- fache Zahl hinzuzusetzen. Mit den anderen und folgenden Sorten als
Decadibus, Centenariis, Millenariis
und so fort hat es eine gleiche Be- wandnuͤß, und wer die
Unitæten
zusammen
addi-
ren kan, derselbe kan auf gleiche Weise die
De- cades, Centenarios
und folgenden Sorten
addi-
ren. Denn gleichwie 7
Unitæten
und 9
Uni- tæten,
zusammen sechszehen
Unitæten
machen; so machen auch 7
Decades
und 9
Decades
zusam- men sechszehen
Decades:
und 7 Stuͤcke und 9 Stuͤcke von einerley Sorten, machen zusammen 16 Stuͤcke von eben der Sorte. Woraus erhel- let, daß verschiedene Stuͤcke von einer jeglichen Gattung, als
Decades, Centenarii, Millena- rii
und sofort, eben so leicht und auf eben die Art zusammen gesetzet werden, als die
Unitæten.
Dieses besser zu erlaͤuteren, so seyen diese Zahlen 5326 und 4937 gegeben, derer
Summ
gefunden werden soll. Nach der gegebenen Anleitung
C
muß
muß nun die
Summ
erstlich 6 und 7 das ist nach der vorigen Tabelle 13
Unitæten
enthalten, zwey- tens 2 und 3 das ist 5
Decades;
drittens 3 und 9 das ist 12
Centenarios;
und viertens 5 und 4 das ist 9
Millenarios.
Und derohalben kan man mit Gewißheit sagen, daß die
Summ
dieser gege- benen Zahlen seye 9
Millenari, 12 Centenarii, 5 Decades
und 13
Unitates.
Allein hiebey ist diese Schwierigkeit, daß diese Zahl oder
Summ
so wie sie hier ist angedeutet worden, nicht ge- schrieben werden kan|, weilen mehr als 9
Cente- narii
und
Unitates
vorkommen; welches wieder die Natur dieser Schreibart laͤufft. Wenn dem- nach in dem
Addi
ren mehr als 9 Stuͤcke von ei- ner Gattung vorkommen, so muß dieser Schwie- rigkeit im Schreiben abgeholfen werden; wel- ches im folgenden Punct geschehen soll.
5)
Wenn in Zusammensetzung der
Uni- tatum, Decadum, Centenariorum
und so fort geschieht, daß mehr als neun von einer Sor- te herauskommen; so muͤssen daraus von der folgenden Sorte so viel Stuͤcke gemacht wer- den, bis weniger als zehen Stuͤcke bey der- selben Sorte vorhanden bleiben. Die Stuͤ- cke aber von der folgenden Sorte muͤssen zu der
Summ
derselben Sorte
addi
ret werden; Auf diese Art wird man nun erhalten, daß von keiner Sorte mehr als neun Stuͤcke her- auskommen; weswegen alsdenn die gesuchte
Summ
leicht wird koͤnnen geschrieben werden
Da
Da zehen
Unitæten
eine
Decadem
ausma- chen, zehen
Decades
aber einen
Centenarium,
und zehen
Centenarii
einen
Millenarium
und so fort, so wird daraus leicht seyn, wenn im
Addi
ren mehr als neun
Unitæten
herauskommen aus denselben ei- ne oder zwey oder mehr
Decades
zu machen, wel- che so dann bey der
Addition
der
Decadum
mit hinzugesetzet werden muͤssen. Auf gleiche Weise ist es auch beschaffen mit den
Decadibus,
wel- che, wenn mehr als neun vorkommen, einen oder zwey oder mehr
Centenarios
ausmachen. Fer- ner
operi
ret man auf eben die Art in
Addi
rung der folgenden Sorten, und erhaͤlt dadurch, daß niemahls mehr als neun von einer Sorte heraus kommen. Und wo dieses geschehen, so wird aus dem, was im vorigen
Capitel
von der Schreib- ung der Zahlen gelehrt worden ist, leicht seyn die herausgebrachte
Summ
zu schreiben. Um aber leichter zu sehen, wieviel eine gewisse Anzahl
Uni- tæten, Decades,
oder eine gewisse Anzahl
De- cades, Centenarios
in sich begreiffen und so wei- ter; so ist dienlich, daß man die gefundene
Summ
der
Unitæten
oder
Decadum
oder
Centenario- rum
und folgenden Sorten auf die gewoͤhnliche Art schreibe und sehe, ob dieselbe aus mehr als einem
Character
bestehe. Denn bestehet die
Summ
von einer Sorte nur aus einem
Character,
so enthaͤlt dieselbe kein Stuͤck von der folgenden Sor- te, sondern behaͤlt den Nahmen von
Unitæten
oder
Decaden
und so fort, aus welchen sie ist ge-
C 2
fun-
funden worden. Bestehet aber die
Summ
auf diese Art geschrieben aus zwey
Characteren,
so deutet der zur lincken Hand an, wie viel Stuͤck von der folgenden Sorte in dieser
Summ
enthalten, welche folglich mit zu der
Summ
der folgendem Sorte muͤssen geschlagen werden. Dieses alles aber wird deutlicher aus nachfolgendem Exempel erse- hen werden: Als man verlangt die
Summ
von diesen drey Zahlen 2304; 5629; und 7230 zu wissen. Diese zu finden
addi
ret man allso die
Unitæten
von diesen drey Zahlen zusammen, wel- che ausmachen dreyzehen oder 13
Unitæten.
Hier- aus erkennet man, daß diese
Summ 1 Decadem
und 3
Unitæten
begreiffe; weswegen nur 3
Uni- tæten
vorhanden sind; und die eine
Decas
wird mit zu den
Decadibus
gesetzet. Die
Decades
aber von diesen drey Zahlen zusammen genommen geben 5
Decades,
und zu diesen die obige eine
Decas
gethan macht 6
Decades;
worinn also kein
Centenarius
enthalten ist. Ferner
addi
re man die 3 und 6 und 2
Centenarios;
so findet man eilf oder 11
Centenarios;
diese
Summ
ist allso so viel als 1
Centenarius
und 1
Millenarius,
wel- cher zu den
Millenariis
muß hinzugethan werden. Dieser
Millenarius
allso und 2 und 5 und 7
Mil- lenarii
machen zusammen 15
Milenarios:
das ist 5
Millenarii
und eine
Decas Millenariorum.
Al- les dieses zusammen oder die
Summ
der drey ge- gebenen Zahlen ist derowegen eine
Decas Mil-
le-
lenariorum
und 5
Millenarii,
und 1
Centena- rius
und 6
Decades
und 3
Unitæten;
welche geschrieben geben 15163, oder fuͤnfzehen tausend einhundert und drey und sechzig. Solten aber in
Addi
rung einer Sorte hundert oder mehr Stuͤ- cke herauskommen, so enthaͤlt die
Summ
zehen oder mehr von der folgenden und folglich ein Stuͤck zu der zweyten folgenden Sorte. Als wenn die
Summ
der
Decadum
waͤre gefun- den worden 125, so muͤste man 2 Stuͤcke zu den
Centenariis
und 1 zu den
Millenariis
hinzusetzen. Dieses ist also der Grund der
Addition,
aus welchem klar erhellet, daß die auf diese Art ge- fundene Zahl nothwendig die
Summ
der gegebenen Zahlen seyn muͤsse; indem dieselbe allein eben so viel
Unitæten, Decades, Centenarios
und so fort in sich enthaͤlt, als die gegebenen Zahlen ins- gesammt. Eben diese
Operation
aber geschwind und fertig zu verrichten, so werden einige Vor- theile gewiesen werden, dadurch die Arbeit sehr erleichteret wird.
6)
Wenn zwey oder mehr Zahlen sollen
addi
ret oder zusammen gesetzet werden, so schreibe man dieselben unter einander, so daß die
Unitæten,
imgleichen auch die
De- cades
und
Centenarii
und so weiter unter einander zustehen kommen, und ziehe unter diese Zahlen eine Linie, unter welche die ge- suchte
Summ
gesetzet werden soll. Alsdenn wird von der rechten Hand der Anfang ge-
C 3
macht
macht und die
Unitæten
zusammen
addi
ret; deren
Summ
wenn sie kleiner ist als 10 wird unter die
Unitæten
unter die Linie geschrieben, ist die
Summ
aber groͤsser als 9 und enthaͤlt folglich eine oder mehr
Decades
nebst etli- chen
Unitæten,
so wird nur diese Anzahl der
Unitæten
unter die Linie geschrieben, die
Decades
aber bey
Add
rung der
Decadum
noch hinzugethan. Auf gleiche Art werden auch ferner die
Decades addi
ret und weiter die
Centenarii, Millenarii
und so fort. Wo nun dieses alles geschehen, so ist die Zahl, welche herausgekommen und unter die Linie gesetzet worden, die verlangte
Summ
der ge- gebenen Zahlen.
Die Zahlen, welche
addi
ret werden sollen, werden deswegen unter einander geschrieben, da- mit die Zahlen welche in einer Reihe von oben herab siehen, einerley Sorten nehmlich entweder
Unitæten
oder
Decades
oder
Centenarii
und so fort bedeuten, und also besser ins Gesicht fallen und desto bequemer
addi
ret werden koͤnnen. Fer- ner faͤngt man die
Addition
von der Rechten, das ist von den kleineren Sorten an, und faͤhret fort gegen der Lincken, das ist zu den groͤsseren Sorten; weilen in
Addi
rung der kleineren Sor- ten groͤssere Sorten entstehen koͤnnen, welche als dann zu den groͤsseren hinzugethan werden muͤs- sen: Weswegen die
Addition
der kleineren Sorten zu erst verrichtet wird. Die gantze
Ope-
Operation
kan im uͤbrigen durch Exempel am deut- lichsten gewiesen werden. Als es sollen nach- folgende Zahlen 53237; 8729; und 10237
addi-
ret werden; so werden diese Zahlen unter einan- der geschrieben wie folget:
da dann die erste Reihe von oben herab
Unitæ- ten,
die zweyte
Decades,
die dritte
Centenarios
die vierte
Millenarios,
und die fuͤnfte
Decades Millenariorum
bedeutet. Nun werden erstlich die
Unitæten addi
ret und gesagt: 7 und 9 macht 16 und noch 7 dazu macht 23
Unitæten,
das ist 2
Decades,
welche zu der zweyten Reihe muͤs- sen hinzugethan und deswegen bey dieser Reihe mit 2 Punckten bemercket werden; die drey
Uni- tæten
aber werden unter die Linie auf die erste Stelle von der rechten Hand, das ist, auf die Stel- le der
Unitæten
geschrieben. Zweytens geht man zu den
Decaden
und sagt 3 und 2 macht 5 und noch 3 macht 8 und noch 2, welche durch die 2 Puncten angedeutet worden, macht 10
Decades
das ist, 1
Centenarius
und keine
Decas;
weil nun keine
Decas
vorhanden, so wird unter die Linie auf die zweyte Stelle eine 0 geschrieben; der 1
Centenarius
aber wird durch ein Punct bey
C 4
der
der dritten Reihe der
Centenariorum
angedeu- tet. Drittens sagt man 2 und 7 macht 9 und noch 2 macht 11 und noch 1 wegen dem Punct macht 12
Centenarios,
das ist 1
Millenarius,
welcher durch ein Punct bey der folgenden Reihe angedeutet wird und zwey
Centenarii,
welche unter die Li- nie auf die dritte Stelle geschrieben werden. Vier- tens machen 3
Millenarii
und 8 und noch einer zu- sammen 12
Millenarios
oder 1
Decadem Millena- riorum,
so durch ein Punct bey dieser Sorte an- gezeiget wird, und 2
Millenarios
welche un- ter die Linie auf die vierte Stelle geschrieben wer- den. Endlich hat man noch 5 und 1 und noch 1
Decadem Millenariorum,
das ist 7
Dcades Millenariorum,
welche unter die Linie auf die fuͤnfte Stelle geschrieben werden. Hiemit ist die
Operation
zu ende gebracht, weswegen die
Summ
der gegebenen Zahlen ist: zwey und siebenzig tau- send zwey hundert und drey. Aus der Ausfuͤh- rung dieses Exempels kan nun nicht nur der Grund der
Addition,
sondern auch der Grund von den gemeinen Regeln erkannt werden, welche man mit wenig Worten auf folgende Art gebraucht.
Diese vier Zahlen zu
addi
ren, so sagt man, nach dem dieselben auf die gewiesene Art sind geschrie-
ben
ben worden: 8 und 1 macht 9 und 3 macht 12 und 4 macht 16; schreibt allso 6 und behaͤlt 1 zur folgenden Reihe. Ferner 7 und 8 macht 15 und 9 macht 24 und 1 macht 25; schreibet 5 und be- haͤlt 2. Drittens 1 und 2 macht 3 und 6 macht 9 und 2 macht 11 schreibt 1; und behaͤlt 1. Vier- tens 5 und 6 macht 11 und 7 macht 18 und 5 macht 23 und 1 macht 24; schreibt 4 und behaͤlt 2. Fuͤnftens sagt man 3 und 4 macht 7 und 5 macht 12 und 3 macht 15 und 2 macht 17; schrei- bet 7 und behaͤlt 1. Sechstens 9 und 8 macht 17 und 7 macht 24 und 2 und 1 macht 27; schrei- bet 7 und dazu auch das 2 weilen keine Reihe mehr folget, dazu dies noch solte
addi
ret werden. Von den gegebenen 4 Zahlen ist demnach die
Summ
2774156. Diese
Operation
kan ferner in nachfolgenden Exempeln angewandt werden.
C 5
Jn
Jn diesen Exempeln haben wir dasjenige was noch bey
Addi
rung der folgenden Reihe muß hinzu- gethan werden, nicht mit Puncten bemercket, wei- len man sich angewoͤhnen muß diese Puncten in dem Gedaͤchtnuß zu behalten. Nachfolgende Ex- empel sind deswegen hinzugesetzet worden, damit man sehe was fuͤr Fragen durch die
Addition
koͤn- nen aufgeloͤset werden.
Exempel der
Addition.
I.
Bey Zerstoͤrung der Stadt Troja meldet die Historie, daß von den Griechen 880000 Mann, von den Trojanern aber 686000 Mann umgekommen: nun ist die Frage wie- viel Menschen in allem dabey ihr Leben ein- gebuͤsset?
Antw. die Anzahl aller umgekommenen wird gefunden durch die
Addition;
wenn man die Todten sowohl der Griechen als der Tro- janer in eine
Summ
bringt wie folget.
Summa:
die Anzahl aller Todten.
II.
Vier Personen sind mir schuldig zu bezahlen: der erste 6952 Rubl. der zweyte 8346 Rubl. der dritte 6259 Rubl. der vierte 5490 R. Nun wollte ich gerne wissen, wieviel ich in allem von diesen 4 Personen zu forderen hatte.
Antw.
Antw. so viel als diese vier Zahlen in ei- ner
Summ
zusammen ausmachen; diese ver- langte
Summ
wird demnach durch die
Addi- tion
gefunden wie folget.
Summa:
Rubl. so viel ich von allen vie- ren zu forderen habe.
III.
Die heilige Schrifft bezeuget, daß Mathu- salem, als er den Lamech gezeuget alt war 187 Jahre: und nach dieser Zeit noch gelebt habe 782 Jahre. Woraus man das gantze Alter des Mathusalems zu wissen verlangt.
Antw. Mathusalem hat so viel Jahre ge- lebt als die zwey Zahlen 187 und 782 in ei- ner
Summ
zusammen ausmachen; wird allso gefunden wie folget:
Summa:
Jahre ist das gantze Alter Ma- thusalems.
IV. A. Gellius
gedencket, daß der
Poet Home- rus
160 Jahre vor Erbauung der Stadt Rom gelebet. Nun ist Rom 752 Jahre vor Christi Geburt gebauet worden; und von Christi Geburt bis jetzt sind verflossen
1737
1737 Jahre. Nun wird gefraget vor wie- viel Jahren der
Poet Homerus
gelebt?
Antw. von des
Homeri
Zeiten bis auf jetzo sind verflossen 160 und 752 und 1737 Jahre, welche drey Zahlen zusammen ma- chen wie folget.
Summa;
Jahre; und vor so viel Jah- ren hat allso der
Poet Homerus
gelebet.
Cap. III.
Von der
Subtraction
als der zweyten
Arithmeti
schen
Operation.
1
J
N der
Subtraction
werden solche Regeln gegeben, vermittelst welcher man von einer gegebenen Zahl, eine andere gegebene Zahl abziehen, und die Zahl welche uͤbrig bleibet anzeigen kan. Diese Zahl nun welche uͤbrig bleibet, wenn von den gegebenen Zah- len eine von der anderen abgezogen wird, pfleget der Rest genennet zu werden.
Gleichwie in der
Addition
gelehret wird, wie
man
man zu einer gegebenen Zahl eine andere oder mehr gegebene Zahlen hinzusetzen soll: allso wird in der
Subtraction
gelehret, wie man von einer gegebenen Zahl eine andere gegebene Zahl abzie- hen oder
subtrahi
ren soll. Durch die
Addition
wird allso eine gegebene Zahl vermehret, indem zu derselben noch eine oder mehr Zahlen hinzuge- setzet werden: durch die
Subtraction
aber wird eine gegebene Zahl vermindert, indem von dersel- ben eine andere Zahl weggenommen oder abgezo- gen wird. Weilen demnach die
Addition
eine Zahl vermehret, die
Subtraction
aber vermindert, so sind diese zwey
Operationen
einander entgegen gese- tzet. Und da in der Vermehrung und Vermin- derung alle Veraͤnderungen der Zahlen bestehen; so koͤnnen diese zwey
Operationen
nehmlich die
Addition
und
Subtraction
als die zwey Haupt-
Operationen,
welche bey den Zahlen statt finden, gehalten werden: wie denn auch im folgenden wird gezeiget werden, wie die uͤbrigen
Operatio- nen
aus diesen zweyen entspringen und in densel- ben ihren Grund haben. Was nun die
Subtra- ction
an und fuͤr sich selbst betrifft, so wird durch dieselbe eine Zahl gefunden, welche uͤbrig bleibt, wenn man von einer gegebenen Zahl eine andere Zahl wegnimmt oder abziehet. Da aber zu deut- licher Erkaͤnntnuͤß einer Zahl erfordert wird, daß man wisse, wie dieselbe aus
Unitæten De- cadibus, Centenariis
und den folgenden Sorten zusammengesetzet sey; so muͤssen zu Bewerckstelli-
gung
gung der
S btractíon
solche Regeln gegeben wer- den, durch derer Huͤlffe die gesuchte Zahl nehm- lich der Rest in
Unitæten, Decadibus, Cente- nariis
und so fort gefunden wird; damit dieselbe sogleich geschrieben und nach der gewoͤhnlichen Art ausgesprochen werden kan. Zu desto groͤsserer Bequemlichkeit aber muͤssen die Regeln so be- schaffen seyn, daß sie gleich die
Unitæten, De- cades, Centenarios
und so fort geben, aus wel- chen der Rest bestehet; und derselbe allso gleich, wie die
Summ
in der
Addition
koͤnne hingeschrie- ben werden.
2)
Diejenige Zahl, welche von der anderen abgezogen wird, muß kleiner seyn, als die andere, von welcher sie abgezogen wird Es wird demnach in der
Subtraction
von der groͤsse- ren Zahl die kleinere abgezogen und der Rest oder dasjenige was uͤberbleibt gefunden; wel- cher vondieser Eigenschaft seynwird, daß wenn man zu demselben die kleinere Zahl
addi
ret, die groͤssere Zahl heraus gebracht wird.
Wenn eine Zahl von der anderen muß weg- genommen werden, so muß dieselbe nothwendig kleiner seyn; weilen man nicht mehr wegnehmen kan, als wuͤrcklich vorhanden ist. Wenn nehm- lich in einem Sacke eine gewisse Anzahl Rubeln be- findlich, so kan man nicht mehr daraus nehmen, als darinnen ist; eben so viel aber, oder weniger kan wohl daraus genommen werden. Die
Subtra- ction
lehret also, wie man finden soll, wieviel Ru-
beln
beln in dem Sacke noch uͤbrig bleiben, wenn aus demselben eine gewisse
Summ
ausgezehlet worden. Hieraus ist nun klar daß wenn so viel heraus genommen wird, als darinn ist, nichts im Sa- cke zuruͤck bleiben werde; wird aber weniger dar- aus genommen, so muß im Sacke noch etwas zuruͤckbleiben, welches der Rest genennet wird. Woraus auch zugleich erhellet, daß dasjenige was im Sacke zuruͤckbleibt und dasjenige, welches ist herausgenommen worden, zusammen wieder eben so viel ausmacht, als anfangs in dem Sacke vor- handen gewesen. Das ist allso; der Rest und die kleinere Zahl zusammen genommen, machen die groͤssere Zahl. Wenn allso zwey Zahlen ge- geben sind, so lehret die
Subtraction
wie man ei- ne Zahl finden soll, welche mit der kleineren Zahl zusammen die groͤssere ausmache. Man sieht aus diesem zugleich, daß wenn man den gefunde- nen Rest von der groͤsseren Zahl abziehen solte, die kleinere Zahl uͤbrig bleiben muͤste. Als wenn man von der groͤsseren Zahl 9 die kleinere 5 ab- ziehet, so ist der Rest 4; und dieser Rest hat die- se Eigenschaft, daß derselbe nehmlich 4 und die kleinere Zahl 5 zusammen die groͤssere Zahl 9 aus- machen. Jngleichem wenn man den gefundenen Rest 4 von der groͤsseren Zahl 9 abziehet, so blei- bet 5 nehmlich die kleinere Zahl uͤber. Ferner folget hieraus, daß, wenn man von der
Summ
zweyer Zahlen, welche durch die
Addition
ist ge- funden worden, die eine derselben Zahlen abzie-
het,
het, die andere Zahl nothwendig uͤbrig bleiben muͤsse. Und hierinn sind diejenigen Proben ge- gruͤndet, dadurch man zu untersuchen pflegt, ob ein Exempel so wohl von der
Addition
als
Sub- traction
recht gerechnet worden. Welches unten mit mehrerem ausgefuͤhret werden soll.
3)
Um eine Zahl von der anderen abzuzie- hen oder zu
subtrahi
ren wird erfordert, daß man erstlich wisse die
Unitæten
von den
Uni- tæten;
die
Decades
von den
Decadibus;
die
Centenarios
von den
Centenariis
und so fort zu
subtrahi
ren. Und da niemahls mehr als 9 Stuͤcke von einer Gaͤttung vorkommen, daß man, wenn es die Noth erfordert, wis- se ein Stuͤck von einer hoͤheren Sorte in geringere Sorten zu verwandeln, ohne daß dadurch die gantze Zahl veraͤndert werde.
Wir setzen voraus, daß diejenigen Zahlen da- von eine von der anderen abgezogen werden soll, auf die gewoͤhnliche Art durch
Unitæten Deca- des, Centenarios
und so fort gegeben sind. Wenn man derohalben die
Unitæten
der kleineren Zahl von den
Unitæten
der groͤsseren Zahl abziehet, gleichergestalt auch die
Decades
von den
Decadl- bos,
die
Centenarios
von den
Centenariis
und so fort; so ist klar daß diese uͤbergebliebenen
Uni- tæten, Decades, Centenarii
und so fort zusam- men den gesuchten Rest ausmachen muͤssen. Die- se
Operation
nun ins Werck zurichten, so ist noͤ- thig, daß man wisse die
Unitæten
von den
Uni-
tæten
tæten,
die
Decades
von den
Decadibus
und so fort zu
subtrahi
ren; welches deswegen zu erlernen sehr leicht ist, weilen niemahls mehr als 9 Stuͤ- cke von einer Gattung vorkommen. Obgleich aber diejenige Zahl, von welcher die andere
sub- trahi
ret werden soll, allezeit groͤsser seyn muß; so kan es doch geschehen, daß in der groͤsseren Zahl weniger Stuͤcke von
Unitæten,
oder
Decadibus
oder von einer anderen Sorten vorhanden sind, als in der kleineren Zahl; in welchem Fall allso diejenige Sorte der kleineren Zahl von eben der Sorte der groͤsseren Zahl nicht abgezogen werden kan. Dieser Schwierigkeit nun abzuhelffen, muß von der naͤchstfolgenden hoͤheren Sorte der groͤsse- ren Zahl ein Stuͤck weggenommen und zu der klei- neren Sorte, derer es 10 Stuͤcke ausmachet, geschlagen werden; auf diese Art bekommt man allso 10 Stuͤcke mehr von derselben Sorte der groͤsseren Zahl als vorher vorhanden waren; von welcher Anzahl folglich allezeit eben dieselbe Sorte der kleineren Zahl kan abgezogen werden, weilen in derselben nirgend mehr als 9 Stuͤcke von einer Sorte vorkommen.
4)
Es ist allso vor allen Dingen noͤthig, daß man lerne eine jegliche einfache Zahl von anderen Zahlen, welche nicht uͤber 9 groͤsser sind als dieselbe, abziehen. Dieses ist zwar an sich selbst leicht und kan von einem je- den im Kopfe gethan werden: jedoch kan man sich hiebey einer Tabelle bedienen/ wel- che hier beygefuͤget wird.
D
Jn
Jn dem die
Subtraction
auf obbeschriebene Art vorgenommen und bey jeder Sorte insbesondere verrichtet wird, so ist die Anzahl der Stuͤcke von jeglicher Sorte der groͤsseren Zahl entweder klei- ner, als die Anzahl der Stuͤcke von eben der Sor- te in der kleineren Zahl oder nicht. Jm letzteren Fall muß allso nur eine einfache Zahl von einer einfachen Zahl abgezogen werden. Jm ersteren Fall aber wird die Anzahl der Stuͤcke der groͤsse- ren Zahl um 10 vermehret, indem ein Stuͤcke von der folgenden Sorte weggenommen wird, welches 10 Stuͤcke von der kleineren Sorte be- trifft. Jn diesem Fall muß demnach eine einfache Zahl von einer anderen, welche zwar groͤsser ist als 9, aber doch kleiner als 20 abgezogen werden. Man hat allso nicht mehr noͤthig, als die nach- folgende Tabelle zu erlernen, aus welcher man sieht, wie viel uͤbrig bleibt, wenn man eine ein- fache Zahl von einer einfachen oder auch von ei- ner, so kleiner ist als 20 abzieht.
3
D 2
9
allhier ist derjenige Theil da 0 oder nichts von einer Zahl soll abgezogen werden ausgelassen, weilen dadurch keine Zahl vermindert wird, sondern un- veraͤndert bleibet. An deren Stelle aber ist die Tabelle von zehen noch hinzugefuͤget worden, wel- che zwar noch von keinem Gebrauch zu seyn schei- net: allein im folgenden werden einige Schwie- rigkeiten, welche sich in vorbeschriebener Art zu
subtrahi
ren ereignen, gehoben werden, wozu auch der letzte Theil dieser Tabelle erfordert wird.
5)
Wenn eine kleinere Zahl von einer groͤsseren abgezogen werden soll, und die An- zahl von einer jeglichen Sorte in der kleine- ren Zahl kleiner ist, als die Anzahl von eben der Sorte der groͤsseren Zahl; so werden durch Huͤlffe der vorigen Tabelle die
Unitæ- ten
von den
Unitæten,
die
Decades
von den
De- cadibus,
die
Centenarii
von den
Centenariis
und so weiter abgezogen. Da denn alles was bey
Ab-
Abziehung einer jeglichen Sorte herauskom- met, zusammen den gesuchten Rest ausmacht.
Der Grund hievon ist schon im vorigen aus- gefuͤhret worden, denn wenn alle Theile, daraus die zwey Zahlen bestehen, von einander abgezo- gen werden, so machen alle Reste zusammen eben so viel aus, als wenn ein gantzes von dem andern abgezogen wurde. Wenn aber auf diese Art die
Subtraction
geschieht, so bekommt auch der gesuchte Rest gleich die gewoͤhnliche Form, welche zur Crkaͤntnuͤß und Aussprechung der Zahlen angenommen ist. Als wenn von dieser Zahl 56897 diese 21506 soll abgezogen werden, so nehme man erstlich die 6
Unitæten
der klei- neren Zahl von den 7
Unitæten
der groͤsseren, so bleibet fuͤr den Rest 1
Unitæt.
Zweytens weil in der kleineren Zahl keine,
Decas
vorhanden, welche von den 9
Decaden
der groͤsseren Zahl soll abgezogen werden, so bleiben auch alle 9 uͤbrig im Rest. Drittens 5
Centenarii
von 8
Cente- nariis
abgezogen, lassen 3
Centenarios
uͤbrig. Viertens 1
Millenarius
von 6
Millenariis
weg- genommen, bleiben 5 uͤbrig: Und endlich fuͤnf- tens 2
Decades millenariorum
von 5 dergleichen abgezogen, lassen 3 zuruͤck. Der Rest demnach, welcher nach Abzug der Zahl 21506 von der Zahl 56897 uͤbrig bleibet, ist 3
Decadesmillenariorum 5 Millenarii,
3
Centenarii,
9
Decades
und 1
Unitas:
Das ist 35391. Es haͤtten allso gleich diese gefundenen Reste in einer Linie von der rech-
D 3
ten
ten nach der lincken Hand geschrieben werden koͤnnen da dann so fort diese Zahl 35391 wuͤrde herausge- kommen seyn. Zu mehrerer Leichtigkeit pflegen deswegen die gegebenen Zahlen wie in der
Addi- tion
unter einander geschrieben, und mit einer Linie unterzogen zu werden, unter welche die Re- ste von einer jeglichen Sorte in der Ordnung ge- schriebenwerden wie folget.
Die
Operation
aber wird auf folgende Weise verrichtet. 6 von 7 bleibt 1, so unter die Linie unter die
Unitæten
geschrieben wird. Ferner nichts von 9 bleiben 9, welche unter die Linie auf die zweyte Stelle gesetzet werden. Drittens auf gleiche Weise 5 von 8 bleiben 3. Viertens 1 von 6 bleiben 5 und fuͤnftens 2 von 5 bleiben drey. Nachdem nun dieses zu ende gebracht, so wird sich der wahre Rest unter der Linie befinden.
6)
Wenn aber die Anzahl der Stuͤcke von einer Sorte in der unteren oder kleineren Zahl, groͤs- ser als die Anzahl von eben der Sorte in der groͤsseren Zahl; und also die
Subtraction
auf beschriebene Art nicht geschehen kan: so muß ein Stuͤck von der folgenden groͤsseren Sor- te der groͤsseren Zahl weggenommen, und zu der vorhergehenden Sorte, dergleichen es 10 Stuͤcke ausmacht, hinzugethan werden; da
dann
dann die
Subtraction
von statten gehen wird. Jn der folgenden
Subtraction
aber ist wohl zu mercken, daß die obere Zahl um 1 ist ver- mindert worden.
Gleichwie in der
Addition,
wenn mehr als 9 Stuͤcke von einer Sorte vorgekommen, von denselben je zehen genommen und darfuͤr eintzele Stuͤcke zu der folgenden Sorte gesetzet worden: also geschiehet es auch, aber umgekehret, in der
Subtraction,
daß wenn von einer Sorte nicht ge- nug Stuͤcke vorhanden sind, daß die untere Zahl davon abgezogen werden koͤnnte, so wird ein Stuͤck von der folgenden Sorte genommen, welches 10 in der vorigen betrifft und diese zehen noch hinzu- gesetzt. Denn wenn von einer Zahl ein
Cente- narius
zum Exempel weggenommen, hingegen aber wiederum 10
Decades
hinzugesetzet werden, so bleibt die Groͤsse der Zahl unveraͤndert. Eine solche Verwechselung kan demnach sicher gebraucht werden zu Befoͤrderrng der
Subtraction.
Als wenn zum Exempel diese Zahl 5789 soll ab- gezogen werden von dieser 7364, und dieselben wie gelehret unter einander geschrieben worden, als folget:
der Rest
so sollten erstlich die 9
Unitæten
der unteren Zahl von den 4
Unitæten
der oberen Zahl abgezogen werden, welches aber nicht geschehen kan. De-
D 4
ro-
rowegen wird von der folgenden Sorte der obe- ren Zahl nehmlich den 6
Decadibus
eine
Decas
weggenommen oder gelehnet, und zu den 4
Uni- tæten
geschlagen, welches also zusammen 14
Uni- tæten
ausmacht. Nun koͤnnen also von diesen 14
Unitæten
die 9
Unitæten
abgezogen werden, und bleiben 5 uͤber, welche folglich unter die Li- nie geschrieben werden. Wobey aber zu mercken ist, daß anjetzo in der oberen Zahl nicht mehr 6, sondern nur 5
Decades
vorhanden, indem eine davon weggenommen worden; welche Vermin- derung derowegen mit einem Punct angedeutet wird. Hierauf sollten demnach 8
Decades
von 5
Decadibus
abgezogen werden, welches weil es gleichfals nicht angeht, so wird von den 3
Cen- tenariis
ein Stuͤck weggenommen, so daß nur noch 2 zuruͤckbleiben, welches durch das da zugesetz- te Punct angedeutet wird. Dieser
Centenarius
macht nun 10
Decades,
welche mit den 5 schon vorhandenen 15
Decades
ausmachen. Von die- sen 15 werden nun die 8
Decades
der unteren Zahl abgezogen und bleiben 7 uͤber, welche unter die Linie in die Stelle der
Decaden
gesetzet wer- den. Ferner haben wir 7
Centenarios
von 2
Cen- tenariis
abzuziehen, weswegen gleichergestalt von den 7
Millenariis
ein Stuͤck genommen und zu den 2
Centenariis
geschlagen wird, so daß 12
Centenarii
herauskommen. Von diesen ziehet man nun die 7
Centenarios
ab, so bleiben 5 uͤber, so unter die Linie in die dritte Stelle gese-
tzet
tzet werden. Endlich werden die 5
Millenarii
von den 6 oberen abgezogen, und der eine so uͤberblei- bet unter die Linie geschrieben, womit die gantze
Operation
geendigt ist, und hat also diesen Rest gefunden 1575. Wir haben hier bey einer je- den
Operation
den Grund und das Fundament derselben beygesetzet, weswegen die gantze
Opera- tion
ziemlich weitleiffig scheinet, allein wenn die blosse
Operation
beschrieben wird, so wird dieselbe gantz kurtz. Allso kan man bey eben die- sem Exempel auf folgende Weise den gesuchten Rest gleich finden, wenn man sagt 9 von 4 kan man nicht, deswegen 9 von 14 bleiben 5, und setzt ein Punct zu 6. Ferner 8 von 5 kan man nicht, allso 8 von 15 bleiben 7, und setzt ein Punet zu 3. Drittens 7 von 2 kan man nicht, allso 7 von 12 bleiben 5, und setzt ein Punct zu 7. Endlich 5 von 6 bleiben 1. Auf diese Art aber die
Subtraction
anzustellen faͤllt oͤffters sehr beschwehrlich, wenn in den Stellen der oberen Zahl, davon ein Stuͤck weggenommen werden soll, eine 0 stehet, und allso nichts vorhanden ist. Derowegen wollen wir im folgenden eine andere Art anzeigen, welche dieser Schwierigkeit nicht unterworffen ist. Damit man aber diese Schwie- rigkeit besser einsehe, wollen wir davon ein Exem- pel beysetzen. Als von 1205 sollen 827 abgezo- gen werden, welche demnach wie gelehrt worden, allso geschrieben werden:
D 5
12.05
Rest.
Nun sollen erstlich 7
Unitæten
von 5 abgezogen werden, welches weilen es nicht geschehen kan, sollte von den
Decaden
der oberen Zahl ein Stuͤck weggenommen, und zu den 5
Unitæten
gesetzet werden. Allein hier ist keine
Decas
in der obe- ren Zahl vorhanden, und kan allso die angege- bene Regel nicht gebraucht werden. Um dem- nach abziehen zukoͤnnen, muß von der zweyten fol- genden Sorte nehmlich den
Centenariis
ein Stuͤck weggenommen werden, und wenn auch von sol- chen nichts vorhanden waͤre, muͤste so gar von den
Millenariis
ein Stuͤck genommen werden. Jn diesem Exempel aber haben wir 2
Centenarios
davon ein Stuͤck genommen, welches durch das hinzugesetzte Punct angedeutet wird, macht 10
Decades.
Da wir nun
Decades
haben, so koͤn- nen wir davon ein Stuͤck nehmen, und zu den
Unitæten
schlagen; da dann noch 9
Decaden
zu- ruͤck bleiben, welche man sich anstatt der 0 auf der zweyten Stelle der oberen Zahl einbilden muß. Auf diese Weise haben wir nun 15
Unitæten,
davon die 7 weggenommen bleiben 8
Unitæten
uͤber, so in den Rest auf die Stelle der
Unitæten
gesetzet werden. Wegen dieser
Operation
haben wir nun 2
Decades
nicht von 0, sondern von 9
De- cadibus
abzuziehen, bleiben allso 7 uͤbrig, so unter die Linie auf die zweite Stelle geschrieben werden.
Drit-
Drittens sind 8
Centenarii
von einem
Cen- tenario
abzuziehen, welches, weilen es nicht ge- schehen kan, wird der eine
Millenarius
gleich da- zu gethan, daß man 11
Centenarios
bekommt, davon so die 8
Centenarii
abgezogen werden, 3 zuruͤck bleiben, und folglich dieser Rest 378 her- auskommt. Aus diesem Exempel sieht man nun deutlich, daß die obgegebene Regel nicht voͤllig hinlaͤnglich sey, sondern oͤffters einen Zusatz von- noͤthen haben, wodurch in den Figuren der obe- ren Zahl, grosse Veraͤnderungen entspringen. Diesem soll allso durch die nachfolgende Regel abgeholffen werden.
7.)
Wenn, wie vorher gesetzet worden, die Anzahl der Stuͤcke von einer Sorte in der unt
e
ren oder kleineren Zahl groͤsser ist, als die Anzahl der Stuͤcke von eben der Sor- te in der oberen Zahl, so muͤssen zu diesen Stuͤcken der oberen Zahl noch 10 Stuͤcke im Sinn hinzugesetzet werden, da denn die
Subtraction
wird geschehen koͤnnen. So aber dieses geschieht, so muß die Anzahl der Stuͤcke von der folgenden Sorte in der un- teren Zahl um ein Stuͤck vermehrer werden, welches mit einem Punct so man hinzusetzt, angedeutet wird, und in der folgenden
Sub- traction
bemereket werden muß.
Diese Regel entspringt aus der vorhergehen- den hat aber vor derselben diesen Vortheil vor- aus, daß man allezeit die folgende untere Zahl
um
um ein Stuͤck vermehren kan, dieselbe mag ei- ne Ziffer seyn oder nicht. Nach der vorherge- henden Regel aber muste in solchem Fall, wenn eine Figur in der oberen Zahl ist um 10 vermeh- ret worden, die folgende Figur der oberen Zahl um 1 Stuͤck vermindert werden, welches nicht angeht, wenn dieselbe eine Ziffer oder 0 ist. Der Grund aber dieser jetztgegebenen Regel beruhet auf folgendem Satz. Wenn eine Zahl von ei- ner anderen abgezogen werden soll, so kommt eben der Rest heraus, wenn gleich eine jede Zahl um ein Stuͤck vermehret wird. Als 5 von 8 bleiben 3; eben dieser Rest kommt aber auch heraus, wenn die beyden Zahlen 5 und 8 um ei- nes vermehret werden, und 6 von 9 abgezogen wird. Also wenn ich soll 2 von 7 abziehen, so irre ich nicht, wenn ich 3 von 8 abziehe, denn ich bekommen den wahren Rest, nehmlich 5. Die Wahrheit dieses Satzes ist nicht noͤthig mit mehr Beweisstuͤmmeven darzuthun; sondern einjeder wird durch weniges Nachdencken dieselbe bald einsehen. Lasset uns nun ein Exempel, so nach der ersteren Regel ist berechnet worden, da- von wir den Grund schon dargethan, vor die Hand nehmen, und uns dabey dieses jetztgegebe- nen Grundsatzes bedienen. Nehmlich es sollen 38 von 82 abgezogen werden, welche Zahlen all- so wie folgt zu stehen kommen.
der Rest
Jch
Jch sage nehmlich 8
Unitæten
von 2
Unitæ- ten
koͤnnen nicht abgezogen werden; nehme dero- halben eine
Decadem
von den 8
Decaden
weg, welche 10
Unitæten
ausmacht, diese setze ich zu den 2
Unitæten
und bekomme also 12, davon kan ich 8 wegnehmen und bleiben 4
Unitæten
uͤbrig, so ich unter die Linie setze. Ferner muß ich 3
Decades
nur von 7
Decaden
abziehen, wei- len von 8 schon eine
Decas
ist weggenommen, und zu den
Unitæten
geschlagen worden. Wenn ich aber Kraft des gegebenen Grundsatzes diese beyden Zahlen 3 und 7 um eines vermehre, so bekom- me ich fuͤr die obere Zahl wiederum 8, wie die- selbe schon wuͤrcklich da steht, anstatt der unteren Zahl 3 aber bekomme ich 4, welche von 8 abgezo- gen 4 zuruͤck lassen, eben als wenn ich nach der ersten Regel 3 von 7
subtrahi
ret haͤtte. Hieraus folget, daß, wenn man eine der oberen Zahlen um 10 vermehret hat, man anstatt die folgende obere Figur um eines zu verminderen, die fol- gende untere Zahl um eines vermehren koͤnne, welches mit einem hin zugesetzten Punckt angeden- tet wird. Um nun die Ubereinstimmung dieser Regel mit der vorhergehenden besser zu zeigen, so wollen wir die beyden dort gegebenen Exempel auch auf diese Art allhier ausrechnen.
Rest.
Als
Als da 9 von 4 nicht koͤnnen abgezogen wer- den, setze ich 10 zu 4, die folgende untere Figure 8 aber vermehre ich mit einem Stuͤck, so ich durch das beygesetzte Punct andeute. Sage de- rohalben 9 von 14 bleiben 5, welche Zahl ich un- ter die Linie auf die erste Stelle setze.
Ferner sage ich wegen dem bey dem 8 stehen- den Punct 9 von 6 kan ich nicht abziehen, sage deswegen 9 von 16, und setze zu der folgenden unteren Figur 7 ein Punckt, 9 aber von 16 genommen lassen 7 zuruͤck, welche unter die Linie auf die zweyte Stelle schreibe. Drittens sage ich nicht 7, sondern wegen dem Punckt 8 von 3 kan ich nicht, also 8 von 13 bleiben 5, diese 5 kom- men unter die Linie auf die dritte Stelle, zu der vierten Figur, aber der unteren Zahl nehmlich zu 5 setze ich ein Punckt. Endlich sage ich 6 von 7 bleiben 1, und schreibe also 1 unter die Linie auf die vierte Stelle. Hiemit habe also fuͤr den voͤl- ligen Rest diese Zahl 1575, welche auch vorher durch die daselbst gegebene Reael ist gefunden worden. Das andere dort gegebene Exempel war folgendes.
Rest.
Hier sage also wiederum 7 von 5 kan ich nicht abziehen, setze derohalben ein Punckt zu 2 und sage 7 von 15 bleiben 8, welche Zahl unter die
Linie
Linie auf die erste Stelle schreibe. Ferner habe ich 3 von 0 oder nichts abzuziehen, welches weil es nicht angeht, so setze ich ein Punckt zu dem 8 und sage 3 von 10 bleiben 7 so ich unter die Linie auf die zweyte Stelle setze. Drittens sind 9 von 2 abzuziehen, welches gleichfalls nicht geschehen kan, sollte deswegen ein Punckt zu der folgenden unteren Figur setzen, weil aber keine mehr vor- handen, so kan man sich vorstellen, als wenn eine 0 da stuͤnde, und auf diese Stelle das Punckt setzen. Jch sage also nach der Regel 9 von 12 bleiben 3, so unter die Linie auf die 3te Stelle zu stehen kommen. Und weil dies Punckt unter dem 1 eines bedeutet, so sage ich 1 von 1 bleibt nichts oder geht auf, setze aber die 0 nicht unter Linie auf die vierte Stelle, weilen eine 0, so zu An- fang von der lincken Hand einer Zahl steht keine Bedeutung hat. Man kan aber auch bey der dritten
Subtraction,
da oben wuͤrcklich 12 stehet, gleich 9 von den 12 abziehen; da dann die gantze
Operation
ein Ende hat, dadurch man diesen Rest gefunden 378, welcher auch auf die vorher- gegebene Art ist heraus gebracht worden. Man sieht aber leicht, daß in diesem Exempel die
Ope- ration
auf diese Art weit bequemer faͤllt, als auf die vorhergehende Art. Wir wollen aber noch ein Exempel beyfuͤgen, so nach der vorhergehen- den Art vielmehr Muͤhe kosten wuͤrde.
Rest.
Nun
Nun sage ich 5 von 4 kan ich nicht, setze also ein Punckt zu der folgenden unteren Figur 9, wo- durch dieselbe in 10 verwandelt wird, und sage 5 von 14 bleiben 9, so unter die Linie auf die erste Stelle kommen. Zwcytens sage ich 10 von 0 oder nichts kan ich nicht, setze also ein Punckt zu der folgenden Figur nehmlich dem 0, und sage 10 von 10 geht auf oder bleibt 0 so in dem Rest auf die zweyte Stelle zu stehen kommt. Drittens sage ich wegen dem Punckt 1 von 1 geht auf und setze also auch in den Rest auf die dritte Stelle 0. Viertens sage 8 von 0 kan ich nicht, und setze deswegen zu dem 7 ein Punct; und sage 8 von 10 bleiben 2, so ich unter die Linie schreibe. Fuͤnf- tens habe ich wieder 8 von 0, setze allso ein Punct zu 6 und sage 8 von 10 bleiben 2, so ich unter die Linie schreibe. Sechstens sage ich 7 von 3 kan ich nicht, setze allso ein Punct auf die folgen- de Stelle der unteren Zahl, obgleich keine Figur mehr vorhanden und bilde mir ein, als wenn dort eine 0 stuͤnde; sage demnach 7 von 13 blei- ben 6, welche Zahl ich unter die Linie schreibe. Endlich hat man 1 von 2 abzuziehen und bleibet 1 welches im Rest auf die folgende Stelle gesetzet wird. Der gesuchte Rest ist folglich diese Zahl 1622009.
8.)
Wenn eine kleinere Zahl von einer groͤsseren abgezogen werden soll, so schreibe man die kleinere so unter die groͤssere, daß die
Unitæten
unter die
Unitæten,
die
Decaden
un-
unter die
Decaden,
und so fort zu stehen kommen Ferner ziehe man unter dieselben eine Linie, unter welche der gesuchte Rest auf folgende Art geschrieben wer- den soll. Man fange die
Operation
bey den
Unitæten
zur rechten Hand an, und zie- he die
Unitæten
von den
Unitæten,
ferner die
Decaden
von den
Decaden
und so fort, die uͤbrigen Sorten von einander ab, wenn die Anzahl einer jeglichen Sorte in der oberen Zahl groͤsser ist, als in der unteren. Jst aber irgendwo die Anzahl von einer Sorte in der unteren Zahl groͤsser, als in der obe- ren, so vermehre man nach der vorhergege- benen Regel die obere Zahl mit 10, da denn die
S btraction
bewerckstelliget werden kan. Jn solchem Fall aber muß die folgende Fi- gur zur lincken Hand der unteren Zahl mit einem Stuͤck, so durch ein Punct angedeu- tet wird, vermehret werden. Auf solche Art stelle man also die
Subtraction
bey einer jeglichen Sorte an, und setze einen jeglichen Rest auf seine gehoͤrige Stelle unter die Li- nie. Da man denn nach Endigung der gan- tzen
Operation
den voͤlligen gesuchten Rest unter der Linie finden wird.
Die beyden Zahlen werden deswegen auf ge- meldte Art unter einander geschrieben, damit die Zahlen von gleichen Sorten als
Unitæten, De- caden
und sofort unter einander zu stehen kom-
E
men
men und allso fuͤglicher gegen einander betrachtet werden koͤnnen. Die groͤssere Zahl wird aber des- wegen jederzeit oben geschrieben, auf daß man sich, wenn man das einmahl bemercket, in der
Subtraction
nicht irren moͤchte. Wenn eine je- gliche Figur der oberen Zahl groͤsser waͤre, als die darunter stehende, so koͤnnte man die
Operation
nach Belieben, sowohl von der rechten als lincken Hand anfangen, und wurde auch immer einerlev Rest bekommen. Allein da, wenn eine Figur in der unteren Zahl groͤsser ist, als die obstehende, die nach der lincken Hand folgende Figur in der unteren Zahl um ein Stuͤck vermehret und allso veraͤndert werden muß, so muß in solchem Fall die
Operation
von der rechten Hand angefangen und nach der lincken fortgesetzet werden. Was nun bey
Subtrahi
rung einer jeglichen Sorte uͤber- bleibt, wird unter die Linie unter eben diese Sor- te gesetzet, damit eine jegliche in der
Subtraction
gefundene Zahl auf ihre gehoͤrige Stelle zu ste- hen komme. Wo eine Figur der unteren Zahl der obstehenden gleich ist und allso nichts uͤber- bleibt, wird eine Ziffer 0 unter die Linie an die- se Stelle geschrieben, woferne solches nicht zu Ende der Operation geschieht. Denn in solchem Falle waͤre es unnoͤthig die 0 zu schreiben, weilen die 0 von der lincken Hand anfangs nichts be- deuten, und auch auf die Bedeutung der folgen- den Zahlen keinen Einfluß haben. Die gantze
Operation
wird aber am fuͤglichsten durch einige
Exem-
Exempel erlaͤutert werden. Als von 273024 soll abgezogen werden 65372, welche demnach auf folgende Art geschrieben werden.
Restirt.
Hierauf sagt man 2 von 4, bleiben 2 so un- ter die Linie geschrieben werden. Ferner 7 von 2 kan man nicht, setzt deswegen zum folgenden 3 ein Punct und sagt 7 von 12 bleiben 5. Drit- tens 4 von 0 kan man nicht, setzt deswegen zum folgenden 5 ein Punct und sagt 4 von 10 bleiben 6. Viertens 6 von 3 kan man nicht, setzt allso ein Punct zu der folgenden Figur 6 und sagt 6 von 13 bleiben 7. Fuͤnftens sagt man 7 von 7 geht auf, schreibet allso eine 0 unter die Linie. Endlich da unter dem letzten 2 der oberen Zahl nichts steht, heißt es nichts von 2 bleiben 2, so unter die Linie auf die letzte Stelle nach der lin- cken Hand kommt. Weswegen allso der gesuchte Rest gefunden wird 207652. Gleichergestalt werden auch folgende Exempel ausgerechnet.
Jtem
E 2
Der-
Dergleichen Exempel kan sich nun ein jeder so viel aufsetzen und ausrechnen als er zur Ubung und zu Erlangung der gehoͤrigen Fertigkeit von noͤthen hat. Damit man aber auch wisse in was fuͤr Faͤllen die
Subtraction
zu statten kom- me, und was fuͤr in dem gemeinen Leben vorfal- lende Fragen durch Huͤlfe der
Subtraction
koͤn- nen aufgeloͤset werden, so wollen wir dergleichen etliche Fragen beyfuͤgen.
Exempel der
Subtraction.
I.
Jn dem Jahr als man zehlte 1734 stund im Calender, daß das Schieß-Pulver 354 Jahr vorher erfunden worden sey. Nun ist die Frage, in welchem Jahr nach Christi Geburt das Pulver sey erfunden worden.
Antw. Diese Jahr-Zahl wird gefunden wenn man von der Zahl des damals lauffen- den Jahrs 1734 die Zahl 354 abzieht. Diese Frage gehoͤrt demnach zur
Subtraction
da- durch man findet, daß das Pulver im Jahr 1380 erfunden worden sey.
II.
Einer muß von einer Erbschaft von 3672 Rubl. so ihm zugefallen die Summ von 2837 Rubl. wegen Schulden auszahlen. Nun ist die Frage wieviel Rubl. ihm noch von die- ser Erbschaft zuruͤck bleiben.
Antw. Weilen er von 3672 Rubl. 2837 Rubl. auszahlt, so muͤssen 2837 Rubl. von 3672 Rubl. abgezogen werden, was uͤbrig bleibt gibt die Anzahl der Rubl. so ihm noch
zuruͤck
zuruͤck bleiben. Weswegen er allso noch be- haͤlt 835 Rubl.
III.
Ein Kauffmann ist seinen Creditoren schul- dig 26209 Rubl. bezahlet an diese Schuld 17536 Rubl. Nun fragts sich wieviel er nachdem noch schuldig bleibe.
Antw. Weil hiedurch die Schuld um 17536 Rubl. vermindert wird, so hat man nur die Zahl 17536 von der gantzen Schuld 26209 abzuziehen, und der Rest 8673 weißt die noch ruͤckstaͤndige Schuld.
IV.
Einer stirbt im 79sten Jahr seines Alters nachdem er im Ehestand 37 Jahre gelebet; fraget sich also in welchem Alter er sich ver- heurathet.
Antw. Wenn man 37 von 79 abzieht, so weißt der Rest nehmlich 42 Jahr sein Al- ter, da er sich verheurathet.
9)
Letztens ist noch zu mercken eine ge- naue Verwandschaft, welche zwischen diesen zweyen ersten
Operationen
nehmlich der
Ad- dition
und
Subtraction
statt findet. Denn bey der
Addition
wenn von der
Summ
zweyer Zahlen die eine Zahl abgezogen wird, so muß allzeit die andre zuruͤck bletben. Ferner bey der
Subtraction
wenn die kleinere Zahl zum Rest
addi
ret
wird, so kommt die groͤssere Zahl heraus; und wenn man den Rest von der groͤsseren Zahl
subtrahi
ret,
so kommt die kleinere Zahl heraus. Hieraus entspringen
E 3
nun
nun Proben so wohl fuͤr die
Addition
als die
Subtraction.
Denn nach dem ersten Satz kan einjedes Exempel der
Addition,
darinn zwey Zahlen sind
add
ret worden durch die
Subtraction
probirt werden. Kraft des zwey- ten Satzes kan ein Exempel der
Subtraction
durch die
Addition,
und kraft des dritten Satzes durch die
Subtraction
selbst probirt werden.
Daß, wenn in der
Subtraction
der Rest zu der kleineren Zahl
addi
ret wird, die groͤssere Zahl herauskomme, ist schon oben
N.
2 gewiefen worden. Deswegen ist also die Summ des Rests und der kleineren Zahl der groͤsseren Zahl gleich. Hieraus folget nun von sich selbst, daß wenn man von der Summ zweyer Zahlen die eine Zahl ab- zieht, die andere uͤbrig bleibe; und folglich auch wenn man in der
Subtraction
von der groͤsseren Zahl, als der
Summe
des Rests und der kleine- ren, den Rest abzieht, daß die kleinere Zahl uͤber- bleiben muͤsse. Wenn man zum Exempel die Zahlen 5728 und 3875 zusammen
addi
ret, so fin- det man diese Summ 9603. Von dieser Summ wenn man allso die Zahl 5728 abzieht, so bleibt die Zahl 3875 uͤbrig. Wenn man aber 3875 abzieht von 9603, so bleibt die andere Zahl 5728 uͤbrig. Wenn man ferner von der Zahl 12304 diese Zahl 8436 abzieht, so findet man diesen Rest 3868. Haͤtte man aber einen Zweyfel, ob man in der
Operation
nicht gefehlet haͤtte, so kan man ent-
weder
weder die Zahlen 8436 und 3868 zusammen
addi-
ren und sehen ob 12304 herauskommt. Oder man kan 3868 von 12304 abziehen, und sehen ob die Zahl 8436 zuruͤck bleibt: wodurch man sich von der Richtigkeit der
Operation
vorgewisseren kan. Und dieses sind allso die Proben, derer man sich bey der
Subtraction
bedienen kan.
Cap. IV.
Von der
Multiplication
als der dritten
Arithmeti
schen
Operation.
1.
J
n der
Multiplication
wird gelehret, wie man eine Zahl finden soll, welche ent- weder 2 mahl oder 3 mahl oder so viel mahl als man beliebet, groͤsser sey, als eine gegebene Zahl. Diese
Operation
giebt dem- nach besondere Regeln an die Hand, durch derer Huͤlfe man eine gegebene Zahl nach Belieben vervielfaͤltigen, und allso eine Zahl finden kan, in welcher die gegebene Zahl so vielmahl enthalten ist, als man verlanget.
Der erste Begriff, den wir uns von der
Arithmetic
machen, leitet uns nur auf 2
Ope- rationen,
davon die eine in Vermehrung einer Zahl, die andere aber in Verminderung bestehet.
E 4
Je-
Jenes geschiehet, wenn man zu einer Zahl noch eine oder mehr Zahlen hinzusetzt, dieses aber wenn man von einer Zahl etwas hinwegnimmt: und diese
Operationen
sind allso die
Addition
und
Subtraction,
davon in den zweyen vorhergehen- den Capiteln ist gehandelt worden. Die uͤbri- gen
Operationen
aber, welche gleichfals zur
Arithmetic
gezehlet werden, entstehen aus diesen, und geben besondere Regeln fuͤr besondere Auf- gaben, durch welche dieselben weit geschwinder und leichter aufgeloͤset werden koͤnnen, als durch die
Addition
oder
Subtraction
allein. Solcher- gestalt ist es mit der
Multiplication
beschaffen, als darinn gelehret wird, wie man eine sonderbahre Art von Fragen, welche zur
Addition
gehoͤren, weit bequemer aufloͤsen koͤnne, als durch die blosse
Addition
geschehen kan. Jn der
Multiplication
wird nehmlich gelehret, wie man nur allein die Summ zweyer oder mehr Zahlen finden soll, welche ein- ander gleich sind; da sich die
Addition
auf die Erfindung der Summ von zweyen oder mehr ge- gebenen Zahlen, so einander auch nicht gleich sind, erstrecket. Woraus erhellet, daß alle Fragen, so zur
Multiplication
gehoͤren, auch durch die Regeln der
Addition
aufgeloͤset werden koͤnnen, wozu aber mehr Zeit und Muͤhe erfordert wird, als durch die Regeln der
Multiplication.
Hier ist aber nur die Rede von gantzen Zahlen; indem wir von gebrochenen Zahlen erst im folgenden ei- nen Begriff bekommen werden. Allso wenn man
fragt
fragt, wieviel drey mahl 128 ausmache, so ist die- ses eine Frage, welche zur
Multiplication
gehoͤret; dieselbe kan aber auch durch die
Addition
aufge- loͤset werden, wenn man 128 drey mahl unter ein- ander schreibt, und diese drey Zahlen zusammen
addi
ret, wie folget:
wodurch denn gefunden wird, daß 128 dreymahl genommen 384 ausmache. Dieses Exempel kan zwar leicht durch die Regeln der
Addition
ge- rechnet werden; wenn man aber fragen sollte, wieviel 169 mahl 1204 ausmache, so muͤßte man die Zahl 1204 hundert und neun und sechzig Mahl unter einander schreiben, und diese 169 Zahlen zu- sammen
addi
ren, da denn die Summ die verlangte Zahl geben wuͤrde. Dieses aber wurde sowohl viel Zeit als Raum erforderen. Weswegen hierzu die Regeln der
Multiplication
weit vortheil- hafter zu gebrauchen sind.
2)
Diejenige Zahl, davon die Frage ist, wieviel dieselbe etliche mahl genommen aus- mache, wird der
Multiplicandus
genannt; die Zahl aber welche anzeigt, wievielmahl die- selbe genommen werden soll, wird der
Mul- tiplicator
genannt. Da man denn auch zu sa- gen pflegt, daß jene Zahl durch diese
multi- plici
ret werden soll. Die Zahl aber welche
E 5
durch
durch die
Multiplication
gefunden wird, nen- net man das
Productum.
Wenn man die
Multiplication
auf die
Addi- tion reduci
ren will, so wird darinn, wie vorher gemeldet, die
Summe
von 2 oder mehr Zahlen gesucht, so einander gleich sind. Hier ist nun erstlich diejenige Zahl zu mercken, deren eine jegliche der Zahlen, welche zusammen sollen
addi
ret werden, gleich ist; und diese Zahl wird nach den gewoͤhnlichen Worten, so zur
Multiplication
ge- braucht werden, der
Multiplicandus
genannt. Ferner ist zu mercken, wie viel mahl diese Zahl soll genommen werden, oder wie groß die An- zahl der Zahlen, welche alle dieser gleich sind, und zusammen
addi
ret werden sollen. Diese Zahl wird nun der
Multiplicator
genannt. Die Summ aber welche aus der
Addition
so vieler Zahlen, welche alle dem
Multiplicando
gleich sind, als der
Multiplicator
anzeiget herauskommt, wird das
Productum
genannt. Als wenn man fragt wie groß die Zahl sey, welche herauskommt, wenn man 128 drey mahl nimmt, oder wenn man fragt wie viel drey mahl 128 ausmache, so ist 128 der
Multiplicandus,
die Zahl 3 aber der
Multiplica- tor
und die oben gefundene Summ nehmlich 384 das
Productum.
Gleichergestalt wenn die Frage ist, wie viel 169 mahl 1204 ausmache, so ist 1204 der
Multiplicandus,
169 der
Multiplicator,
und die Summ von 169 Zahlen, derer eine jede gleich ist der Zahl 1204, ist das
Productum.
Der
Der
Multiplicandus
allso und der
Multiplicator
sind die zwey gegebenen Zahlen, oder sind bey jedem vorgelegten Exempel bekannt: das
Pro- ductum
aber ist die Zahl, welche gefunden wer- den soll: worzu die
Multiplication
die noͤthigen Regeln an die Hand giebt. Hiebey ist aber zu beobachten, daß der
Multiplicandus
und der
Multiplicator
unter sich verwechselt werden koͤn- nen, oder daß man ohne einen Fehler zu begehen den
Multiplicator
an das
Multiplicandi
Stelle, den
Multiplicandum
aber an des
Multiplicatoris
Stelle setzen koͤnne. Als wenn man fragt, wie viel 8 mal 9 ausmache, oder wie viel heraus- komme, wenn man 9 mit 8
multiplici
ret, so ist zwar 9 der
Multiplicandus
und 8 der
Multiplica- tor:
man kan aber auch 8 fuͤr den
Multiplican- dum
annehmen und 9 fuͤr den
Multiplicator,
denn 9 mahl 8 oder 8 neun mahl genommen macht eben so viel aus, als 8 mahl 9 oder 9 acht mahl ge- nommen, in beyden Faͤllen kommt nehmlich 72 heraus. Diese Ubereinstimmung kan am fuͤglich- sten durch beygesetzte
F
i
gur
bewiesen werden.
Jn dieser
F
i
gur
sind in einer jeg- lichen Reihe von der lincken zur rechten 8 Punckten, dergleichen Reihen aber sind an der Zahl 9, weswegen die Anzahl aller Punck- te ausweißt, wieviel 8 neun mahl genommen ausmacht, nehmlich 72.
Wenn
Wenn wir aber die Reihen dieser Punckten von oben herab betrachten, so finden wir in je- der Reihe 9 Punckte, und nur 8 solche Reihen, weswegen die Anzahl aller Punckte ausweißt, wieviel 9 acht mahl genommen ausmache. Da nun in beyden Fallen die Anzahl aller Punckte einerley ist nehmlich 72, so sieht man hieraus, daß 8 neun mahl genommen eben so viel ausmache als 9 acht mahl genommen. Welcher Beweiß ebenfalls sich auf alle anderen dergleichen Exem- pel erstrecket, so daß einjeder die Wahrheit dieses Satzes aus diesem angefuͤhrten Exempel leicht einsehen wird. Da man nun nicht noͤthig hat zwischen denen beyden bey einer jeglichen
Multi- plication
gegebenen Zahlen, nehmlich dem
Mul- tiplicando
und dem
Multiplicatore
einen Unter- schied zu betrachten, so pflegen auch beyde mit ei- nerley Nahmen beleget, und
Factores
genennet zu werden: und aus Anleitung dieses Nahmens wird das
Productum
auch das
Factum
genennt. Gleichergestalt, wenn man sagen will, daß zum Exempel 8 neun mahl genommen werden soll, so pflegt man auch zu sagen, daß die beyden Zahlen 8 und 9 mit einander sollen
multiplici
ret werden. Hieraus wird nun einjeder verstehen, wenn man sagt, daß die
Multiplication
lehre zwey gegebene Zahlen mit einander
multiplici
ren, in dem es gleich viel ist, welche von diesen beyden Zahlen fuͤr den
Multiplicandum
oder
Multiplicatoren
an- genommen wird.
3)
3)
Ehe aber einer die
Operation,
wozu die
Mulriplication
die Regeln an die Hand gibt, wuͤrcklich anstellen kan, so wird er- fordert, daß derselbe wisse alle Zahlen so kleiner sind als 10 mit einander zu
multiplici-
ren, oder von je zweyen solchen Zahlen das
Productum
oder
Factum
anzuzeigen. Welches man entweder durch die
Addition
finden, oder aus nachfolgender
Tabelle
ersehen kan. Besser aber ist es, wenn man sich diese
Ta- belle
wohl bekannt macht und dieselbe gar auswendig lernet.
Die zwey Zahlen, welche mit einander
mul- tiplici
ret werden sollen, moͤgen so groß seyn als man will, so werden solche Regeln gegeben wer- den, daß man dieselben mit einander
multiplici-
ren, und das
Productum
finden kan, wenn man nur je zwey Zahlen, davon eine jede kleiner ist als 10 mit einander
multiplici
ren kan. Dieses wird in der
Multiplication
eben so erfordert, als in der
Addition
ist erfordert worden, daß man wisse zwey Zahlen, so kleiner sind als 10 zusam- men zu setzen oder zu
addi
ren. Man hat aber hierinn diesen Vortheil, daß wenn man gleich nicht wissen sollte, wie viel zwey solche einfache Zahlen mit einander
multiplici
ret ausmachen, man dasselbe durch die
Addition
leicht finden kan. Als wenn einer je nicht wissen sollte, wie viel 9 sieben mahl genommen ausmacht, so darf er nur 9 sieben mahl unter einander schreiben und zusam-
men
men
addi
ren, da ihm dann die Summ das ge- suchte
Product
geben wird. Diese Muͤhe aber einem zu benehmen, so haben wir gewoͤhnlicher massen diese Tabelle beygefuͤgt, woraus man so- gleich das
Product,
welches durch
Multiplici-
rung zweyer einfachen Zahlen mit einander her- auskommt, finden kan. Damit aber einer nicht noͤthig habe eine solche Tabelle allzeit bey sich zu fuͤhren, so ist noͤthig, daß einjeder welcher im rechnen fertig zu seyn verlanget, diese Tabelle auswendig lerne, welche folget.
Diese
Diese Tabelle, welche zu erst von dem
Pytha- goras
seinen Schuͤlern soll vorgeleget werden seyn, pflegt theils die
Pythagori
sche Tabelle, theils auch das ein mahl eins benennet zu werden. Diese letztere Benennung fuͤhret dieselbe deswegen, wei- len man gemeiniglich von einmahl eins ist eins anzufangen pflegt. Da aber eine jede Zahl mit eins
multiplici
ret oder einmahl genommen in ihrer Groͤsse unveraͤndert bleibt, so haben wir die
Multiplication
der einfachen Zahlen mit eins nicht beygesetzet. Derowegen pflegt man zu sa- gen, daß eins nicht
multiplici
re; allso ist einmahl 2 zwey, 1 mahl 3 drey und so fort in allen Zahlen welche auch groͤsser sind als 9. Hiebey ist auch ferner zu mercken, daß eine jegliche Zahl mit 0
multiplici
ret nichts ausmache, weilen nichts oder 0, es mag so vielmahl genommen werden, als man will, immer nichts bleibt. Dieses kan auch durch die obangebrachte Art die
Multiplication
durch Puncten vorzustellen erlaͤutert werden, da die Anzahl der Puncte, so in einer Reihe stehen, den
Multiplicandum
vorstellet, die Anzahl der Reihen aber den
Multiplicatorem:
wo dann die Anzahl aller Puncten, so in allen Reihen enthalten sind, das gesuchte
Product
weiset. Wenn nun der
Multiplicator
eins ist, so ist nur eine Reihe vorhanden, und folglich das
Productum
so groß als der
Multiplicandus
selbst. Wenn aber der
Multiplicator
nichts ist, so muß gar keine Reihe und folglich auch kein Punct vorhanden sey, wes-
we-
wegen allso das
Product
nichts seyn wird. Um aber den Gebrauch der Tabelle zu weisen, so ist zu beobachten, daß, wenn man von zweyen Zah- len, die beyde kleiner sind als 10, das
Product
wissen will, man die kleinere Zahl in der ersten Reihe von oben herab suche, und sehe, wo die andere Zahl in der zweyten Reihe daneben stehe, da denn die Zahl in der dritten Reihe das
Pro- duct
weisen wird.
4)
Wenn eine Zahl so groß sie auch immer seyn mag, durch eine einfache Zahl, welche kleiner ist als 10,
multiplici
ret werden soll, so kan dasselbe durch die vorhergehende Ta- belle bewerckstelliget werden, wenn man so wohl die Anzahl der
Unitæten
als
Decaden,
und
Centenariorum
und so weiter mit dersel- ben einfachen Zahl
multiplici
ret, indem von keiner dieser verschiedenen Sorten mehr als 9 Stuͤcke vorkommen koͤnnen, und alle die gefundenen
Producta
zusammen thut; welche alle zusammen das gesuchte
Product
ausma- chen.
Aus der vorhergegebenen Tabelle kan man nicht nur finden, wieviel zum Exempel 7 mahl 8
Unitæten
ausmachen, sondern auch wieviel 7 mahl 8
Decades,
oder 7 mahl 8
Centenarii,
und so fort, 7 mahl 8 von einer jeglichen Sorte be- tragen. Denn da man aus derselben Tabelle sie- het, daß 7 mahl 8 sechs und fuͤnffzig machen, so verstehet man von sich selbst, daß 7 mahl 8
Uni-
tæten
tæten 56 Unitæten,
7 mahl 8
Decades
aber 56
Decades,
und 7 mahl 8
Centenarii 56 Centena- rios
ausmachen, und sofort bey allen uͤbrigen Sor- ten. Derohalben kan man durch Huͤlfe dieser Tabelle die Anzahl der Stuͤcke, so von einer je- glichen Sorte in einer zusammengesetzten Zahl vorhanden sind, mit einer jeglichen einfachen Zahl
multiplici
ren. Wenn aber eine zusammengesetzte Zahl durch eine gegebene Zahl
multiplici
ret wer- den soll, so wird man das gesuchte
Product
fin- den, wenn man einen jeglichen Theil, daraus dieselbe Zahl bestehet, mit dieser vorgegebenen
multiplici
ret, und alle diese herausgebrachten
Pro- ducta
zusammen in eine Summ bringet.
Dieses erhellet aus der
Addition,
als in welcher die
Multiplication
gegruͤndet ist, in wel- cher man um die Summ vieler Zahlen zu finden, alle besondren Sorten oder Theile, aus welchen dieselben Zahlen bestehen, zusammen thut, da denn alle Summen von allen besonderen Sorten zusammen die gantze Summ ausmachen. Wenn ich zum Exempel die Zahl 237 soll mit 4
multiplici-
ren, und dieses durch die
Addition
verrichte, indem ich die Zahl 237 vier mahl untereinander schreibe und diese 4 Zahlen zusammen
addi
re wie folget:
so nehme ich in der That erstlich die 7
Uni- tæten
vier mahl, zweytens auch die 3
De- cades
vier mahl, und drittens auch die 2
Cen- tenarios
vier mahl, welche 3 besonderen Theile vier mahl genommen zusammen die
F
gan-
gantze Zahl vier mahl genommen ausmachen nehmlich 948. Eben dieses Exempel nun durch die
Multiplication
auszurechnen, so hat man erst- lich zu mercken, daß die gegebene Zahl 237 aus folgenden Theilen bestehe, nehmlich aus 7
Uni- tæten, 3 Decaden
und 2
Centenariis.
Wenn man ferner einen jeglichen Theil mit 4
multipli- ci
ret, so wird man finden, daß 4 mahl 7
Uni- tæten 28 Unitæten
ausmachen, 4 mahl 3
De- cades
aber 12
Decades,
und 4 mahl 2
Centena- rii 8 Centenarios.
Woraus erhellet, daß die Zahl 237 vier mahl genommen ausmache 28
Uni- tæten, 12 Decades
und 8
Centenarios:
das ist 8
Unitæten, 4 Decades
und 9
Centenarios
oder 948 wie oben gefunden.
5)
Um demnach eine gegebene Zahl mit einer Zahl, welche kleiner ist als 10 zu
mul- tiplici
ren,
multiplici
re man erstlich die
Unitæ- ten
mit der einfachen Zahl, als dem
Multi- plicator
und wenn das
Product
aus mehr als
9
Unitæten
bestehet, so mache man daraus so viel
Decades
als geschehen kan, welche in der folgenden
Operation
zu den
Decadibus
muͤssen gethan werden, die uͤbrigen
Unitæten
aber schreibt man in das
Product
in die erste Stel- le nach der rechten Hand Hierauf
multipli- ci
re man die
Decades
mit der gegebenen Zahl und zum
Product
setze man diejenige
Decades
so in der
Multiplication
der
Unitæten
entsprun- gen, hinzu. Wenn nun dieses
Product
auch
groͤs-
ser ist als 9, so formire man daraus so viel
Centenarios
als seyn kan und schreibe die uͤbri- gen
Decades
auf die 2te Stelle ins
Product.
Gleichergestalt verfahre man in der
Multi- plication
der folgenden Sorten, da man denn das gesuchte
Product
bekommen wird.
Daß ein jeder Theil oder eine jede Anzahl der Stuͤcke einer jeglichen Sorte, daraus die Zahl so
multiplici
ret werden soll, bestehet, mit dem
Multiplicator
muͤsse
multipliei
ret werden, und alle diese sonderbaren
Producte
zusammen das gantze gesuchte
Product
ausmachen, ist schon im vorher- gehenden erwiesen worden. Wenn aber durch diese
Multiplication
mehr als 9 Stuͤcke von einer Sorte heraus kommen, so muͤssen, wie in der
Ad- dition
gelehret worden, vor je 10 solcher Stuͤcke je ein Stuͤck zu der folgenden Sorte geschlagen werden: welche demnach so lange in Sinn be- halten, biß die
Multipl
i
cation
mit der folgenden Sorte geschehen, und dann zum
Product
gethan werden muͤssen. Diese
Operation
wird aber durch ein Exempel deutlicher begriffen wer- den. Als wenn man soll diese Zahl 3596 mit 7
multiplici
ren, so pflegt man dieselbe zu schreiben wie folgt.
Multiplicandus Multiplicator Productum
F 2
Die
Die Theile der gegebenen Zahl sind allso 6
Unitæten, 9 Decades, 5
C
entenarii
und 3
Mil- lenarii,
derer ein jeder ins besondere mit 7
multi- plici
ret werden muß, wie folget: 7 mahl 6
Uni- tæten
macht 42
Unitæten.
das ist 4
Decades
und 2
Unitæten,
diese 2
Unitæten
schreibt man unter die Linie auf die Stelle der
Unitæten
die 4
D
e
cades
aber behaͤlt man zur folgenden
Opera- tion
der
Decaden.
Alsdenn sagt man 7 mahl 9
Decades
macht 63
Decades,
wozu die vorher herausgekommenen 4
Decades
gethan macht 67
Decades
das ist 6
Centenarii
und 7
Decades,
diese 7
Decades
schreibt man ins
Product
auf die zweyte Stelle, die 6
Centenarios
aber behaͤlt man zum
Product
der folgenden
Operation
da auch
Centenarii
herauskommen. Nehmlich 7 mahl 5
Centenarii
machen 35
Centenarios,
wel- che mit den 6 vorhergehenden 41
Centenarios
be- tragen, das ist 4
Millenarios
und 1
Centenarium.
Dieser 1
Centenarius
wird auf seine gehoͤrige Stelle in das
Product
geschrieben und die 4
Mil- lenarii
zur folgenden
Operation
aufbehalten. Endlich sagt man 7 mahl 3
Millenarii
machen 21
Millenarii
dazu die vorigen 4
Millenarii
hinzuge- than machen 25
Millenarios
das ist 5
Millenarios,
so in die gehoͤrige Stelle ins
Product
gesetzet wer- den, und 2
Decades Millenariorum
welche, weilen keine
Operation
mehr uͤbrig ist gleichfalls auf ihre gehoͤrige Stelle kommen. Das gantze
Product,
welches gefunden worden, ist demnach
dieses
dieses 25172, welche Zahl folglich 7 mahl groͤsser ist als die vorgegebene 3596. Wenn in der
Ope- ration,
wie sie in diesem Exempel ist gemacht worden, die Nahmen der Sorten ausgelassen werden, weilen bey einer jeglichen Sorte die
Operation
einerley ist, so wird die gantze
Ope- ration
weit kuͤrtzer. Auf solche Art wollen wir de- rohalben folgendes Exempel ausrechnen.
Multiplicandus
Multiplicator
Productum
Jn diesem Exempel wird nehmlich eine Zahl gesucht, welche 9 mahl groͤsser sey, als die vorge- gebene Zahl 57203846; man fangt demnach die
Operation
von den
Unitæten
an und sagt, 9 mahl 6 oder 6 mahl 9 ist 54, davon schreibt man 4 unter die Linie auf die erste Stelle zur rechten Hand in das
Product,
und 5 behaͤlt man im Sinn. Zweytens sagt man 9 mahl 4 oder 4 mahl 9 ist 36, dazu thut man die 5 macht 41, schreibt also 1 unter die Linie auf die zweyte Stelle, und behaͤlt 4 im Sinn. Drittens sagt man 9 mahl 8 oder 8 mahl 9 ist 72, wozu die 4 gethan macht 76, von dieser Zahl schreibt man 6 unter die Linie undbehaͤlt 7 im Sinn. Viertens sagt man 3 mahl 9 ist 27, und 7 dazu macht 34, schreibt man also 4 unter die Linie und behaͤlt 3 zur folgenden
Operation.
Fuͤnftens sagt man
F 3
9
9 mahl 0 ist 0, dazu die behaltenen 3 gethan macht 3, welche Zahl also unter die Linie geschrie- ben wird, und hat nichts noͤthig im Sinn zu be- halten. Sechstens sagt man 2 mahl 9 ist 18 setzt 8 ins
Product
und behaͤlt 1 im Sinn. Sieben- tens sagt man 7 mahl 9 ist 63, und 1 dazu ist 64 setzt 4 ins
Product
und behaͤlt 6 im Sinn. Ach- tens sagt man 5 mahl 9 ist 45 und die im Sinn behaltenen 6 macht 51, welche gantze Zahl, wei- len die
Multiplication
geendigt, ins
Product
ge- schrieben wird; und auf diese Art ist das unter der Linie | stehende
Product
gefunden worden. Auf gleiche Weise kan man nachfolgende Exempel auch ausrechnen.
Aus
Aus welchen Exemplen genugsam zu ersehen ist, wie man eine jegliche Zahl, so groß dieselbe auch immer seyn mag, durch eine einfache Zahl
multi- plici
ren und das
Product
finden soll; und ist von der gantzen
Operation
der Grund ausfuͤhrlick er- klaret worden. Nun wollen wir also fortfahren zu untersuchen, wie die
Multipl cation
anzustellen ist, wenn der
Multiplicator
eine zusammengesetzte Zahl oder groͤsser als 9 ist.
6)
Wenn eine Zahl so groß dieselbe auch immer ist mit
10
multiplici
ret werden soll, so hat man nur noͤthig zu derselben Zahl von der rechten Hand eine 0 hinzuzuschreiben. Soll aber eine Zahl mit
100
multiplic
ret wer- den, so hat man zwey Nullen noͤthig hinzu- zusetzen. Soll man mit
1000
multiplici
ren, so schreibt man drey Nullen hinzu; mit 10000 vier Nullen und so fort immer so viel Nullen als in solchen
Multiplicatoren
nach dem 1 stehen.
Wenn eine Zahl mit 10
multiplici
ret werden soll, so muß ein jeglicher Theil derselben Zahl mit 10
multiplici
ret werden.
Multiplici
ret man abeir die
Unitæten
mit 10 so kommen so viel
Decaden
heraus, als vorher
Unitæten
da waren. Die
Decaden
aber werden in
Centenarios,
die
Cen- tenarii
aber in
Millenarios
und so fort verwan- delt. Da nun, wann zu derselben Zahl von der rechten Hand eine 0 hinzugesetzet widr, eine jeg- liche Sorte in die folgende, so zehen mahl groͤsser ist, verwandelt wird, so wird durch Hinzusetzung
F 4
einer
einer 0 die gantze Zahl 10 mahl groͤsser. Also ist 10 mahl 5783 so viel 57830. Gleichergestalt wenn zu einer Zahl von der rechten Hand zwey Nullen hinzugeschrieben werden, so werden die
Unitæten
in
entenarios,
die
Decaden
in
Millenarios,
die
Centenarii
in
Decadesmillenariorum
und so fort eine jegliche Sorte in eine andere so 100 mahl groͤsser ist verwandelt. Weswegen durch Hinzu- setzung zweyer Nullen die gantze Zahl mit 100
multiplici
ret wird; also wenn 328 mit 100
mul- tiplici
ret werden soll, so kommt 32800 heraus. Auf gleiche Art sieht man, daß wenn drey Nul- len an eine Zahl gehaͤnget werden, dieselbe 1000 mahl groͤsser wird, und so weiter fort. Wenn man also sollte diese Zahl 5430 mit dieser Zahl 1000000
multiplici
ren, so wuͤrde das
Product
seyn diese Zahl 5430000000. Hieraus sieht man also, wie eine jegliche Zahl
multiplici
ret werden muͤsse, wenn der
Multiplicator
eine solche Zahl ist, welche durch ein 1 mit einer gewissen Anzahl Nullen darhinten geschrieben wird. Und dieses ist das
Fun- dament
von den Regeln der
Multiplication,
wenn der
Multiplicator
eine grosse zusammen gesetzte Zahl ist, wie im folgenden weiter wird ausgefuͤhret werden.
7)
Wenn der
Multiplicator
oder die Zahl damit eine vorgegebene Zahl
multiplici
ret werden soll, eine einfache Zahl ist mit einer ge- wissen daran gehaͤngten Anzahl Nullen als 60, 300, 4000, 70000 und dergleichen so findet mann das gesuchte
Product,
wenn
man
man erstlich die vorgegebene Zahl mit der einfachen Zahl
multiplici
ret und zu dem ge- fundenen
Product
so viel Nullen von der rechten Hand hinzusetzet, als in dem
Multi- plicatore
vorhanden sind.
Wann der
Multiplicator,
damit eine Zahl
multiplici
rt werden soll, eine solche Zahl ist, welche aus der
Multiplication
zweyer Zahlen mit einander entsprungen, so bekommt man das wahre
Product,
wann man die vorgegebene Zahl erstlich mit einer dieser zweyen Zahlen
multiplic
irt, und dann dieser
Product
noch mit der anderen Zahl. Als wann ich soll 47 mit 6
multiplicir
en, weilen 6 so viel ist als 2 mal 3, so finde ich das verlangte
Product,
wann ich erstlich 47 mit 2
multiplici
re, da ich dann 94 bekomme, und dann diese 94 noch mit 3
multiplic
ire, welches gibt 282; und dieses ist die Zahl, welche herauskommt, wann 47 mit 6
multiplic
irt wird. Dann weilen 6 so viel ist als 2 mal 3, so ist das gesuchte
Product
nehm- lich 6 mal 47 so viel als 2 mal 3 mal 47 oder 3 mal 2 mal 47. Um nun zufinden, was 3 mal 2 mal 47 ist, so sucht man erstlich, was 2 mal 47 ist, nehmlich 94; derowegen ist 3 mal 2 mal 47 so viel als 3 mal 94: und folg- lich 3 mal 94 so viel als 6 mal 47. Dieses ist also der Grund dieses Satzes, welcher bey allen vorkommenden Exempeln von gleicher Kraft ist. Durch Huͤlfe dieses Satzes koͤnnen
F 5
also
also viel Exempel der
Multiplication
ausgerech- net werden, wann gleich der
Multiplicator
keine einfache Zahl ist. Als wann man 127 durch 63
multiplicir
en wolte, so kan man, da 63 so viel ist als 7 mal 9, die Zahl 127 erstlich mit 7
multiplicir
en, welches macht 889. Her- nach
multiplici
re man 889 mit 9, so bekommt man 8001, welches so viel ist als 63 mal 127. Dann 8001 ist so viel als 9 mal 889, nun aber 889 ist so viel als 7 mal 127 derohalben ist 8001 so viel als 9 mal 7 mal 127. Es ist aber 9 mal 7 so viel als 63, derowegen ist 8001 so viel als 63 mal 127, aus welchem Exempel die Wahrheit dieses Satzes noch mehr erhellet. Um aber auf die gegebene Regel selbst zu kommen, so ist zu mercken daß eine jeg- liche Zahl, welche mit einer einfachen Zahl und einer gewissen Anzahl daran gehaͤngter Nullen geschrieben wird, heraus komme, wann man die einfache Zahl mit 1 nebst eben so viel daran gehaͤngten Nullen
multiplic
irt. Derohalben wann mit einer solchen Zahl
multiplic
irt wer- den soll, so
multiplici
re man erstlich nur mit der einfachen Zahl, und was herausgekommen dasselbe
multiplici
re man ferner mit 1 nebst so viel daran gehaͤngten Nullen, welches im vorhergehenden
N.
6 ist gewiesen worden, allwo wir gezeiget, daß um ein solches
Product
zu finden nur noͤthig sey, an die Zahl welche
multiplic
irt werden soll, so viel Nullen hinzu-
zu
zusetzen, als in solchem
multiplicatore
nach dem 1 stehen. Wann derohalben der
Multiplicator,
wie wir setzen, eine einfache Zahl ist nebst ei- ner gewissen Anzahl darangehaͤngter Nullen, so
multiplici
re man den
Multiplicandum
erstlich mit der einfachen Zahl und zum
Product
schrei- be man zur rechten Hand so viel Nullen, als im
Multiplicatore
folgen nach der einfachen Zahl. Als wenn man diese Zahl 543 mit 700
multiplicir
en soll, so
multiplici
re man erst- lich 543 mit 7, da man dann finden wird 3801, dazu zwey Nullen hinzugefuͤgt geben 380100 und dieses ist das gesuchte
Product
nehmlich 700 mal 543. Da man nun die
Mul- tiplication
mit der einfachen Zahl von der rech- ten gegen der lincken verrichtet, so kan man gleich von der rechten so viel Nullen schreiben als im
Multiplicatore
befindlich, und dann die
Multi- plication
mit der einfachen Zahl verrichten. Auf diese Art wird also die
Operation
des vo- rigen Exempels seyn wie folgt
Multiplicandus
Multiplicator
Productum.
Gleichergestalt wann 2758 mit 5 00000
multipli- ci
ret werden soll, wird die
Operation
also stehen.
Diese
Diese
Operation
beruhet demnach darauf daß solche
Multiplicatores
zwey Factores haben oder durch die
Multiplication
zweyer Zahlen ent- sprungen sind. Nehmlich im erstern Exempel ist der
Multiplicator
700 so viel als 7 mal 100 und im letstern ist 500000 so viel als 5 mal 100000, wie aber mit solchen Zahlen eine jeg- liche Zahl
multiplici
rt werden soll, ist schon im vorhergehenden gewiesen worden.
8.
Wann der
Multiplicator
eine zusam- mengesetzte Zahl ist oder aus vielen Figu- ren bestehet, so muß der
Multiplicandus
mit einem jeglichen Theil, daraus der
Multipli- cator
besteht
multiplic
irt, und darauf alle diese gefundenen
Producte
zusammen
addi
rt werden, da dann die Summa, welche her- auskommt das verlangte
Productum
seyn wird.
Wir haben oben gewiesen, daß wann der
Multiplicandus
aus etlichen Theilen besteht, ein jeglicher Theil insbesondere mit dem
Multi- plicator
muͤsse
multiplici
rt, und diese besonderen
Product
zusammen gesetzet werden, als deren Summ das gesuche
Product
geben muß. Da nun der
Multiplicandus
und der
Multiplicator
un- ter sich verwechselt, und einer an des anderen Stelle gesetzet werden kan, so ist eben dieses auch von dem
Multiplicator
zuverstehen. De- rohalben wann der
Multiplicator
eine zusam- mengesetzte Zahl ist, oder aus mehr als einer
Fi-
Figur bestehet, so muß der
Multiplicandus
mit einem jeglichen Theil des
Multiplicators multi- plic
irt und alle diese sonderbaren
Producte
zu- sammen
addi
ret werden: da dann derselben Summe das gesuchte
Product
geben wird. Die Theile aber, daraus eine zusamme gesetzte Zahl bestehet, sind die verschiedenen Sorten als
Uni- tæten, Decades, Centenarii
und so fort, von deren jeder nicht mehr als 9 Stuͤcke vorhanden seyn koͤnnen. Derohalben muß der
Multipli- candus
erstlich mit so viel
Unitæt
en und dann mit so viel
Decaden,
ingleichem mit so viel
Cen- tenariis,
und so weiter, als im
Multiplicatore
befindlich sind
multiplicir
et und alle heraus gebrachten
Producte
in eine Summe gebracht werden. Es ist aber im vorhergehenden Satze gewiesen worden, wie eine jegliche Zahl mit ei- ner einfachen Zahl, hinter welcher etliche Nullen stehen,
multiplici
rt werden soll; und eben der- gleichen Zahlen, sind alle diese Theile, aus welchen ein zusammengesetzter
Multiplicator
bestehet, weswegen die
Multiplication
mit ei- nem solchen zusammen gesetzten, oder aus mehr Figuren bestehenden
Multiplicator
keine Schwie- rigkeit haben wird. Als wann man 4738 mit 358
multiplicir
ren soll, so sind die Theile des
Multiplicatoris
erstlich 8, dann 50 und drit- tens 300. Derowegen
multiplici
re man erstlich die Zahl 4738 mit 8, welches gibt 37904. Zwey- tens
multiplici
re man die Zahl 4738 mit 50, die-
|ses
ses gibt 236900. Drittens
multiplici
re man die vorgegebene Zahl mit 300, dieses gibt 1421400. Nun diese drey
Producta addi
re man zusammen wie folget.
so ist diese Summe das verlangte
Product.
Damit aber die gantze
Operation
desto bequemer vollzogen werden koͤnne, so pflegt man diese besonderen
Producte
gleich so untereinander zu schreiben, daß die
Unitæten
unter die
Unitæ- ten,
und alle gleichen Sorten untereinander zu stehen kommen, damit man dieselben gleich zu- sammen
addi
ren koͤnne, als wie folget.
Multiplicandus
Multiplicator
Productum
Man schreibt nehmlich erstlich den
Multipli- cator
unter den
Multiplicandum,
und zieht unter dieselben eine Linie. Hierauf
multiplici
ret man den
Multiplicandum
mit der Anzahl der
Unitæ- ten
so im
Multiplicatore
vorhanden, nehmlich mit 8 schreibt das
Product
unter die Linie, wie oben bey der
Multiplication
mit einfachen Zahlein
ist
ist gelehret worden. Ferner
multiplici
rt man mit den
Decaden
des
Multiplicators
als mit 50, da man dann nach der gegebenen Regel erstlich in die Stelle der
Unitæten
eine Nulle setzet, und im uͤbrigen mit 5
multiplici
ret. Drittens
multi- plici
rt man mit den
Centenariis
oder in diesem Fall mit 300, in dem man in die zwey ersten Stellen von der rechten Hand zwey Nullen setzt, und hierauf mit 3
multiplici
rt. Wenn man nun die Figuren wohl untereinander schreibt, so kommen auf diese Art in den besonderen
Product
en alle Sorte untereinander zu stehen, und wird deswe- gen die
Addition
um so viel bequemer. Hat man also alle diese besonderen
Producte
gefunden so wird darunter eine Linie gezogen, und diesel- ben zusammen
addirt,
wodurch man das gantze verlangte
Product
erhaͤlt. Man kan auch um der kurtze Willen die Nullen so in den
Product
en der hoͤheren Sorten gegen der rechten Hand ge- schrieben werden muͤssen auslassen, in dem diesel- ben bey der
Addition
nichts austragen wie folget.
Da dann zu mercken, daß das
Product
von einer jeg- lichen Figur des
Multipli- cators
von der rechten Hand auf eben der Stelle anfan- ge, da die Figur des
Mul- tiplicators
steht.
Nehm-
Nehmlich das
Productt
vonder ersten Figur gegen der rechten Hand des
Multiplicators
faͤngt an auf der ersten Stelle. Das
Product
von der zweyten Figur faͤngt an auf der zweyten Stelle, das von der dritten auf der dritten und so fort.
9)
Wenn zwey Zahlen, so groß dieselben auch immer seyn moͤgen, mit einander
mul- tiplici
ret werden sollen, so schreibt man eine, welche man fuͤr den
Multiplicator
annimmt auf gewoͤhnliche Art unter die andere, und zieht unter dieselben eine Linie. Hierauf
multiplici
ret man den
Multiplicandum
mit ei- ner jeglichen Figur des
Multiplicators
insbe- sondere und schreibt diese
Producte
unterein- ander unter die Linie Ein jedes aber von die- sen
Product
en muß auf eben derjenigen Stelle von der rechten Hand an zuschreiben ange- fangen werden, auf welcher die Figur mit welcher
multiplici
ret wird, steht. Hat man nun auf diese Art alle
Producte
von allen Figuren des
Multiplicators
gefunden, und auf be- schriebene Art unter einander gesetzet, wird darunter nochmahls eine Linie gezogen, und alle diese besonderen
Producte
zusammen
addi-
ret, da dann die Summe das gesuchte
Pro- duct
seyn wird.
Auf diese Weise wird also die
Multiplication
mit den groͤsten Zahlen auf
Multiplicatio
nen mit einfachen Zahlen, so kleiner sind als 10,
redu- ci
ret. Und hierinn bestehet hauptsaͤchlich der
Vortheil,
Vortheil, den die
Arithmeti
schen
Operatio
nen haben, daß da rinn gewiesen wird, wie man
Ope- ratio
nen, welche mit den groͤsten Zahlen sollen ver- richtet werden, auf kleine Zahlen bringen koͤnne, mit welchen ein jeder, der auch nicht rechnen ge- lernet hat, leicht umgehen kan. Also ist es zur
Multiplication
genug, wenn man nur die einfa- chen Zahlen mit einander zu
multiplici
ren weißt. Dieses haben wir schon im vorhergehenden genug- sam ausgefuͤhret, aus welchem auch der Grund der gantzen
Operation,
wie wir dieselbe hier beschrieben, deutlich erhellet. Um aber in dieser
Operation
eine Fertigkeit zuerlangen, so ist das fuͤrnehmste, daß man sich angewoͤhne, die Zaͤhlen recht ordentlich zu schreiben, so daß alle welche zu einer Sorte gehoͤren, schnurgerad in einer Reihe untereinander geschrieben werden, damit man die besonderen Sorte deutlich von ein- ander unterscheiden koͤnne, und keine
Confusion
entstehe. Von den zweyen vorgegebenen Zahlen, welche mit einander
multiplici
ret werden sollen, ist es nun gleichguͤltig, welche man fuͤr den
Mul- tiplicatorem
annehmen und unter die andere schreiben will; es ist aber doch bequemer die klei- nere Zahl, welche aus weniger Figuren besteht, unter die andere zu schreiben, weilen man auf diese Art weniger sonderbare
Producte
bekommt, so zusammen
addi
ret werden muͤssen. Man be- kommt aber allezeit so viel besondere
Producte,
und folglich so viel Zahlen zusammen zu
addi
ren,
G
als
als die Anzahl der Figuren ist, aus welchen der
Multiplicator
bestehet: ausgenommen, wenn eine oder mehr Figuren desselben Nullen oder nichts sind; wovon wjr nachgehends einige Erinnerun- gen geben werden. Nun wollen wir durch einige Exempel die obbeschriebene
Operation
erlaͤuteren: Als es soll diese Zahl 835047 mit dieser Zahl 67894
multiplici
ret werden, so schreibt man die- selben wie folget.
Multiplicandus
Multiplicator
Product
von 4
Product
von 9
Product
von 8
Product
von 7
Product
von 6
Productum.
Jn diesem Exempel
multiplici
ret man nun erstlich den
Multiplicandum
mit 4 als der ersten Figur des
Multiplicators
und schreibt das
Product
so unter die Linie, daß die erste Figur nehmlich 8 unter das 4 zu stehen komme. Zweytens
multiplici
ret man den
Multiplicandum
mit der zweyten Figur des
Multiplicators,
und faͤngt in Schreibung die- ses
Products
von der zweyten Stelle nehmlich un- ter dem 9 zu schreiben an. Gleichergestalt faͤngt das
Product
vom 8 auf der dritten Stelle nehm- lich unter dem 8 an, und so fort, wie aus dem
Exempel
Exempel selbst zu ersehen. Endlich
addi
ret man alle diese
Producte
zusammen, da dann die Summ das gesuchte gantze
Product
gibt.
Auf gleiche Weise sind auch folgende Exem- pel ausgerechnet worden.
G 2
Wann
Wann aber in dem
Multiplicator
irgend eine Figur nichts oder eine Nulle ist, so wurde das gantze
Product
so daher entspringt aus lauter Nullen bestehen, und folglich auch nichts seyn, dieweil eine jede Zahl mit 0
multiplici
ret nichts ausmacht. Wann derowegen dieses geschieht, so laͤßt man der Kuͤrtze halben das gantze
Product
aus, und schreitet gleich zu der
Multiplication
mit den folgenden Figuren des
Multiplicators
fort. Da man aber wohl beobachten-muß, daß man nichts destoweniger ein jegliches
Product
un- ter der Zahl des
Multiplicators,
aus welchen dasselbe entstanden, zu schreiben anfange, als aus folgenden Exempeln zu ersehen.
Wann aber entweder im
Multiplicando
oder im
Multiplicatore
oder in beyden sich zu Ende bey
der
der rechten Hand Nullen befinden, so dienet in solchen Faͤllen folgende Regel, dadurch man der uͤberfluͤßigen Nullen, uͤberhoben seyn kan.
10.
Wann in dem
Multiplicatore
oder
Multiplicando
oder in beyden die letzten Figu- ren nach der rechten Hand Nullen sind, so pflegt man alle diese zu Ende stehenden Nul- len abzuschneiden und die
Multiplication
mit den uͤbrigen Zahlen zu vollziehen. Zu dem auf diese Art gefundenen
Product
aber muͤssen nach der rechten Hand so viel Nullen hinzu- gesetzet werden, als von Anfang sind weg- geworfen worden.
Wann der
Multiplicator
eine einfache Zahl mit etlichen angehaͤngten Nullen ist, so
mul- tiplici
ret man nur mit der einfachen Zahl, setzt aber zum gefundenen
Product
so viel Nullen dazu, als hinter der einfachen Zahl im
Multiplicaror
gestanden. Davon haben wir schon oben
No.
7 den Grund angezeiget, welcher so beschaffen, daß daraus auch die Wahrheit dieses Satzes darge- than werden kan. Es besteht nehmlich das
Funda- ment
davon hierinn, daß wenn ein
Multiplica- tor
ein
Factum
ist von zwey
Factor bus
oder aus der
Multiplication
zweyer Zahlen mit einander entsprungen, man das wahre
Product
erhalte, wenn man den
Multiplicandum
erstlich mit einem
Factore
des
Multiplicators multiplici
re, und was herausgekommen nochmahls mit dem andern
Factore multiplici
re. Jch nenne allhier aber
G 3
Factores,
Factores,
wie schon oben erinnert worden, die beyden Zahlen, welche mit einander
multiplici
ret eine Zahle hervorgebracht haben.
Nun aber ist eine jede Zahl, an welche von der rechten Nullen gehaͤngt sind, ein
Factum
oder
Product
aus derselbigen Zahl und 1 mit so viel darhinter stehenden Nullen. Als 230 ist das
Product
von 23 und 10 oder diese beyden Zahlen sind die
Factores
von 230. Gleicherge- stalt ist 478000 so viel als 478 mahl 1000 oder das
Product
von diesen Zahlen. Wann man derohalben eine vorgegebene Zahl mit 478000
multiplici
ren soll, so
multiplici
re man dieselbe erstlich nur mit 478, und was herauskommt noch mit 1000, welches geschieht, wann man von der rechten Hand drey Nullen dazu setzt. Wann sich demnach im
Multiplicatore
von der rechten Hand Nullen befinden; so kan man erstlich nur die Nullen weg lassen, und nur mit der uͤbrigen Zahl
multiplici
ren, zum gefundenen
Product
aber muß man so viel Nullen von der rechten Hand hinzuschreiben, als man im
Multiplicatore
weg gelassen hat. Als wann man soll 5339 mit 24600
multiplici
ren, so
multiplici
ret man nur mit 246, welche man also unter die Zahl 5339 schreibt. Damit man aber die Nullen nicht vergesse, kan man dieselben gleichwohl zum
Multiplicatore
hinzusetzen, bey der
Multiplication
aber hat man auf dieselben nicht zu sehen; sondern schreibt dieselben nur zum gefundenen
Product,
Product,
wie aus beystehender
Operation
zu sehen.
Eine gleiche Beschaffenheit hat es, wann im
Multiplicando
von der rechten Hand eine oder etliche Nullen stehen; weilen der
Multiplicandus
mit dem
Multiplicator
verwechselt, und an dessel- ben Stelle gesetzt werden kan. Als wann man soll 1345000 mit 48
multiplici
ren, so
multipli- ci
re man erstlich 48 mit 1345 und was heraus- kommt noch mit 1000. Weil es aber gleichviel ist, ob man 48 mit 1345 oder 1345 mit 48
multiplici
ret, so
multiplici
ret man der Kuͤrtze halben 1345 mit 48 und zum gefundenen
Pro- duct
schreibt man die drey Nullen. Man kan auch der Deutlichkeit halben die Nullen gegen der rechten Hand vorschiessend zum
Multiplicando
se- tzen, damit man nach geendigter
Operation
gleich sehe, wieviel Nullen man zum
Product
zu setzen habe, wie aus folgender
Operation
zu sehen.
G 4
da
da die drey Nullen zwar bey dem
Multiplicando
stehen, aber erst nach geendigter
Multiplication
an das
Product
gehaͤnget werden. Wann nun so wohl der
Multiplicandus
als
Multiplicator
sich mit Nullen endigen, so kan die
Operation
aus diesen beyden Faͤllen angestellet werden. Als wann man 1987000 mit 3700
multiplici
ren sollte, so
multiplici
re man erstlich 1987000 mit 37 und zum
Product
schreibe man zwey Nullen. Um aber 1987000 mit 37 zu
multiplici
ren, so
multiplici
rt man nach der gegebenen Regel 1987 mit 37 und an das
Product
hangt man drey Nullen. Derowegen um die beyden vorgegebe- nen Zahlen mit einander zu
multiplici
ren, so
multiplici
rt man nur, nachdem man die Nullen beyderseits zu Ende weggeworfen, 1987 mit 37 und schreibt zum gefundenen
Product
fuͤnf Nul- len, nehmlich so viel als man weggeworfen. Die Nullen kan man zwar so wohl bey dem
Multipli- cando
als
Multiplicatore
stehen lassen, ob man gleich auf dieselben nicht sieht, biß die
Multipli- cation
geendigt, damit man gleich sehe, wieviel Nullen man an das gefundene
Product
anzuhaͤn- gen habe, als aus der
Operation
dieses Exem- pels zu sehen.
Also
Also wann diese Zahl 54032000 mit dieser 2540000
multiplici
ret werden soll, so findet man das
Product
auf folgende Art.
Wir beschliessen also dieses Capitel mit eini- gen Exempeln, damit man den Gebrauch der
Multiplication
in vielerley vorfallenden Faͤllen sehen koͤnne.
Exempel der
Multiplication.
I.
Ein grosser Circul, so man sich um die Erd-Kugel herum gezogen vorstellt, pflegt in 360 Grad getheilt zu werden. Man hat aber gefunden, daß 105 Werste einen sol- chen Grad ausmachen. Derowegen ist die Frage, wieviel Werste der Umkreiß der Erde groß sey.
Antw. Weilen ein Grad 105 Werste haͤlt, der Umkreiß der Erden aber 360 Grade, so ist klar daß der gantze Umkreiß der Erde 105 mahl 360 Werste enthalte. Diese verlangte Anzahl der Werste wird also durch die
Multiplication
gefunden, in
G 5
dem
dem man 105 mit 360
multiplici
rt; wo- durch man also findet 37800 Werste.
II.
Ein gemeines Jahr von 365 Tagen, wie- viel haͤlt dasselbe Stunden.
Antw. Da ein Tag 24 Stunden |haͤlt, so machen 24 mahl 365 Stunden ein Jahr. Weswegen die verlangte Anzahl Stunden durch die
Multiplication
gefunden wird, in- dem man 365 mit 24
multiplici
ret. Da- durch findet man also 8760 Stunden.
III.
Ein Kriegsheer stehet in einer ablangen ge- vierten Ordnung, da stehen der Laͤnge nach 156 Mann, nach der Breite aber 97 Mann. Nun ist die Frage, aus wieviel Mann das gantze Kriegsheer bestehe.
Antw. Da in der Breite 97 Mann ste- hen, so sind der Laͤnge nach 97 Reihen, in deren jeder 156 Mann stehen. Derohalben besteht das gantze Heer aus 97 mahl 156 Mann, wel- ches
multiplici
rt macht 15132 Mann.
Cap. V.
Von der
Diuision
als der vierten
Arithmeti
schen
Operation.
1.
J
N der
Diuision
wird gelehret, wie man eine Zahl finden soll, welche anzeigt, wieviel mahl eine gegebene Zahl in einer an- dren gegebenen Zahl enthalten sey. Oder
die
die
Diuision
lehret, wie man eine gegebene Zahl so viel gleiche Theile zertheilen soll, als man verlangs, und zeiget auch zugleich die Groͤsse eines solchen Theils.
Gleichwie die
Multiplication
aus der
Ad- dition
ihren Ursprung hat, wann die Zahlen, welche zusammen
addi
rt werden sollen, einan- der gleich sind: also entspringt die
Diuision
aus der
Subtraction.
Dann wann man fragt, wie viel mal eine Zahl in einer andern Zahl enthal- ten sey, so darf man nur suchen, wieviel mahl man dieselbe Zahl von dieser
subtrahir
en koͤn- ne, biß nichts uͤbrig bleibt. Die
Diuision
ist demnach nichts anders als eine wiederholte
Subtraction,
da man immer dieselbe Zahl von dem was uͤbergeblieben abzieht: und so viel mal man dieselbe Zahl hat abziehen koͤnnen, so viel mahl ist dieselbe Zahl in der |gegebenen enthal- ten. Wann man allso fragt wie viel mal 18 in 72 begriffen sey; so kan man das finden wann man 18 so viel mal von 72 wegnimmt, biß nichts mehr uͤbrigbleibt, da dann 18 so viel mal in 72 enthalten ist, so viel mal man hat 18 abziehen oder wegnehmen koͤnnen.
Also kan dieses Exempel durch die
Subtraction
auf beygefuͤgte Art ausgerechnet werden.
Dann
Dann wann man 18 von 72 einmahl abzieht, so bleibt 54 uͤber. Zieht man zum zweyten mahl 18 von 54 ab, so bleiben noch 36 zuruͤck. Zieht man zum dritten mahl 18 von 36 ab, so bleiben 18. Wann man also 18 zum vierten mahl abzieht, so bleibt nichts uͤbrig. Woraus also erhellet, daß 18 vier mal in 72 begriffen ist, weil
nachdem man 18 vier mahl abgezogen nichts mehr uͤbrig bleibt. Weilen nun 18 vier mahl in 72 begriffen ist, so folgt daß 4 mahl 18 muͤsse 72 ausmachen, welches auch durch die
Mul- tiplication
bekraͤfftiget wird. Gleichergestalt sieht man auch, daß wann 72 in 18 gleiche Theile getheilt werden sollte, daß ein solcher Theil 4 seyn wuͤrde, weilen 4 achtzehn mal ge- nommen 72 ausmacht. Es kommen allso die zwey obgegebenen Beschreibungen der
Diuision
mit einander uͤberein, indeme so viel mahl eine Zahl in der andern begriffen ist, eben so viel Stuͤcke ein Theil haͤlt, wann diese Zahl in so viel gleich Theile zertheilet wird, als jene Zahl anzeigt. Hieraus sieht man auch ferner, daß die
Diuision
sich auf gleiche Art zur
Multiplication
verhalte, wie die
Subtraction
zur
Addition.
Dann wann durch die
Addition
zwey Zahlen in eine Summ gebracht werden, so lehret die
Subtraction,
wie man, wann die Summ und eine derselben beyden Zah-
len
len gegeben sind, die andere Zahl finden soll. Als 27 und 44 machen zusammen 71, wann man nun fragt, was das fuͤr eine Zahl sey, welche mit 44 zusammen 71 ausmache, so ist dieses ein Exempel der
Subtraction.
Dann wann man 44 von 71 abzieht, so findet man die Zahl, welche so sie zu 44
addi
rt wird, 71 aus- macht, nehmlich 27. Gleichwie nun die
Subtraction
der
Addition
entgegen gesetzt ist, also ist auch die
Diuision
der
Multiplication
entgegen gesetzt. Dann die
Multiplication
lehret, wie man aus zweyen gegebenen
Factoribus
das
Factum
oder
Product
finden soll. Wann aber das
Factum
nebst ei- nem
Factore
gegeben ist, so lehret die
Diuision,
wie man den andern
Factorem
finden soll. Dann wann man fragt, wie viel mal eine Zahl in der andern enthalten sey, so sucht man eine Zahl, welche mit jener
multiplici
rt diese ausmache. Als wann gefragt wird, wie viel mal 12 in 180 enthalten sey, so ist es eben so viel, als wann man eine Zahl verlanget, welche mit 12
multiplici
rt 180 ausmacht. Diese Zahl ist nun 15, dann 15 mal 12 macht 180. Derowegen ist auch 12 in 180 fuͤnffzehnmahl begriffen, und wann man 180 in 12 gleiche Theile theilet, so wird ein Theil 15 seyn. Wann aber die Frage ist wieviel mahl eine Zahl eine andre in sich enthalte, so pflegt man zu sagen, daß jene Zahl durch diese
diuidi
ret wer- den soll. Als 180 durch 12
diuidi
ren ist nichts anders, als finden, wieviel mahl 12 in 180 enthalten sey.
2)
2)
Wann eine Zahl durch eine andre
di- uidi
rt werden soll, oder wann man fragt wieviel eine Zahl die andre in sich enthal- te; so wird dieselbe Zahl, welche durch die andre
diuidi
rt werden soll, oder von welcher die Frage ist, wie viel mal dieselbe die an- dre in sich enthalte, der
Diuidendus
genannt, die andre Zahl aber, durch welche dieselbe
di- uidi
rt werden soll, wird der
Diuisor
genannt. Diejenige Zahl aber, welche gesucht wird und anzeigen soll, wie viel mal der
Diuisor
im
Diuidendo
enthalten sey, pflegt der
Quo- tus
oder der
quoti
ent genannt zu werden.
Jn jeglichem Exempel allso der
Diuision
sind zwey Zahlen gegeben, der
Diuidendus
und der
Diuisor,
und die Frage ist wie viel mal der
Diuisor
in dem
Diuidendo
begriffen sey. Da nun der
Quotus
oder
quotient
dieses anzeiget so ist derselbe die Zahl, welche gesucht wird, und um welche zu finden die Regeln der
Diuision
ge- geben werden muͤssen. Wie wir nun vorher gewiesen, so ist der
Quotus
eine Zahl, welche mit dem
Diuisor multiplici
rt im
Product
den
Dividendum
gibt, weswegen in der
Diuision
der
Quotus
das ist eine solche Zahl gesucht wird, welche, wann sie mit dem
Diuisore multiplici
rt wird, den
Diuidendum
herausbringt. Wann man also fragt, wie viel mal 12 in 180 enthal- ten sey, oder wann, wie man zu reden pflegt 180 durch 12
diuidi
rt werden sollen, so ist 180
der
der
Diuidendus
und 12 der
Diuisor.
Die Zahl aber, welche gesucht wird oder der
Quotus
zeigt an, wie viel mal 12 in 180 enthalten sey, und ist so beschaffen, daß derselbe 12 mal genommen 180 ausmacht. Hieraus ist nun leicht zu ver- stehen, wann ein Exempel von der
Diuision
vor- gelegt wird, welches die beyden gegebenen Zah- len sind, und welche davon der
Diuisor,
und welche der
Diuidendus
sey. Und dieses ist hoͤchst noͤthig daß ehe man zur
Operation
selbst schrei- tet, man das Exempel wohl verstehe, und wisse die gegebenen Zahlen recht zu benennen, damit man mit denselben uach den folgenden Regeln
operir
en koͤnne. Als wann 12 Personen 1728 Rubl. unter sich zu theilen haͤtten und man frag- te, wie viel eine Person bekaͤme, so geht die Frage dahin, daß man die Summe anzeige welche einer Person zufaͤllt. Diese Summ aber ist so groß, daß wann man dieselbe 12 mal nimmt, 1728 herauskommen muß. Es wird allso in diesem Exempel eine Zahl verlangt, welche mit 12
multiplici
rt 1728 herausbringe. Dieses Ex- empel gehoͤrt derohalben zur
Diuision
und ist 1728 der
Diuidendus,
12 der
Diuisor,
der
Quotus
aber, so durch die
Diuision
gefunden werden muß, zeigt an wieviel eine Person be- kommen wird. Nachdem man allso dieses Exempel auf diese Art untersuchet hat, so ist nicht nur klar, daß dasselbe in die
Diuision
lauffe, sondern auch, was fuͤr Zahlen fuͤr den
Diui-
Diuidendum
und
Diuisorem
angenommen wer- den muͤssen.
3)
Es ist aber wohl zu mercken, daß nicht eine jede Zahl durch eine jede
d
iui
d
i
rt werden koͤnne, sondern der
Diuidendus
muß eine solche Zahl seyn, welche wuͤrcklich durch die
Multipli- cation
des
Diuisoris
mit einer anderen Zahl ent- springen kan. Jst aber der
Diuidendus
nicht so beschaffen, so kan man mit gantzen Zahlen davon wir anjetzo allein handlen, nicht anzei- gen, wieviel mahl der
Diuisor
eigentlich in dem
Diuidendo
begriffen sey. Jn solchem Fall muß man sich also begnuͤgen die naͤchste kleinere Zahl anzugeben fuͤr den
Quotum,
wobey man aber bemercken muß, wieviel noch zuruͤck bleibe von dem
Diuidendo,
da- rinn der
Diuisor
nicht mehr enthalten. Und dieses was zuruͤck bleibt, pflegt auch der Rest genennt zu werden, so aus einer solchen
Diuision
entspringt.
Jn diesem Stuͤcke hat die
Diuision
wiederum eine Gemeinschafft mit der
Subtraction,
und fin- den beyde eine Ausnahme, welcher die
Addition
und
Multiplication
nicht unterworfen sind. Die Zah- len moͤgen beschaffen seyn wie sie wollen, so koͤn- nen dieselben allezeit so wohl zusammen
addi
rt als mit einander
multiplici
rt werden. Wenn aber eine Zahl von der anderen
subtrahi
rt werden soll, so muß jene kleiner seyn als diese, sonsten kan der Rest mit den gewoͤhnlichen Zahlen, die uns
noch
noch allein bekannt sind, nicht angedeutet werden. Nehmlich diejenige Zahl davon eine andere soll abgezogen werden, muß die Summ seyn von dieser Zahl und dem Rest. Gleichergestalt, da die
Diuision
der
Multiplication
entgegen gesetzt ist, und der verlangte
Quotus
so beschaffen seyn muß, daß derselbe mit dem
Diuisor multiplici
rt den
Diuidendum
hervorbringe, so muß der
Diuiden- dus
eine solche Zahl seyn, welche wuͤrcklich durch die
Multiplication
des
Diuisors
mit einer anderen Zahl entspringen kan. Wenn aber der
Diuiden- dus
nicht also beschaffen ist, so kan der
Quotus
durch solche Zahlen, davon wir anjetzo handlen, nicht ausgedruͤckt werden, sondern es werden dazu gebrochene Zahlen erfordert, deren Natur annoch unbekannt zu seyn gesetzet, und erst im folgenden erklaͤret wird. Jn Ansehung dieser gebrochenen Zahlen, werden die Zahlen, damit wir bisher umgegangen sind gantze Zahlen genannt: und deswegen sagen wir, daß nicht allezeit der
Quotus
durch gantze Zahlen koͤnne ge- geben werden. Es kommen derohalben zweyerley Exempel der
Diuision
vor, davon die eine Art so beschaffen ist, daß der
Quotus
eigentlich durch gantze Zahlen bestimmt werden kan. Die andere Art enthaͤlt solche Exempel, in welchen der
Quo- tus
nicht durch gantze Zahlen angegeben werden kan. Jn den Exempeln von der ersten Art muß also der
Diuidendus
so beschaffen seyn, daß der- selbe wuͤrcklich ein
Factum
sey, davon der eine
H
Factor
Factor
der
Diuisor
selbst ist. Ein solches Exem- pel ist wann 182 durch 13
diuidi
ret werden soll, dann da ist der
Quotus
14, und 182 entspringt, wann man 13 mit 14
multiplici
rt. Von solchen Exempeln sagt man, daß sich der
Diuidendus
wuͤrcklich durch den
Diuisorem diuidi
ren lasse; also laͤßt sich 72 durch 8
diuidi
ren, dann 8 mahl 9 gibt 72. Ein Exempel so zur anderen Art ge- hoͤret ist, wann 13 durch 3
diuidi
ret werden soll. Dann man kan keine gantze Zahl angeben, wel- che mit 3
multiplici
rt 13 ausmache; dann 3 mit 4
multiplici
rt gibt 12, und 3 mit 5
multiplici
rt 15; also ist der wahre
Quotus
groͤsser als 4 und kleiner als 5, und kan also durch keine gantze Zahl an- gegeben werden. Derohalben weilen hier noch nicht der Ort ist von Bruͤchen zu handeln, so muß man sich begnuͤgen anstatt des
Quoti
die naͤchste Zahl anzugeben, und dabey zu mercken, wieviel dieselbe fehle. Als in dem Exempel da 13 durch 3
diuidi
ret werden soll, so kan man sagen daß 4 der
Quotus
sey, aber nicht vollkommen, dann 4 mahl 3 macht nur 12 nicht 13, und ist also 1 der Unterscheid. Dieser Unterscheid ist demnach der Rest, welcher bey einer solchen
Diuision
zu- ruͤck bleibt. Jngleichem, wann 101 durch 12
di- uidi
ret werden soll, so sieht man daß 12 mehr als acht mahl in 101 begriffen seyn, aber weniger als 9 mahl; nun pflegt man allezeit die naͤchst kleinere Zahl fuͤr den
Quotum
zu nehmen, des- wegen wird in diesem Exempel 8 der
Quotus
seyn,
weil
weil aber 8 mahl 12 nur 96 macht, welche Zahl um 5 kleiner ist als die gegebene 101, so ist der Rest 5. Jn solchen Exempeln ist derowegen der angegebene
Quotus
so beschaffen, daß wann man denselben mit dem
Diuisore multiplici
rt und zum
Product
den Rest
addi
rt, der
Diuidendus
her- auskomme. Wobey aber zu mercken, daß das- selbe nicht der wahre
Quotus
sey, dann der wahre
Quotus
muß allezeit mit dem
Diuisor multiplici
rt den
Diuidendum
geben. Der wahre
Quotus
kommt aber heraus, wann man zu die- sem gefundenen
Quoto
noch hinzuthut, was her- auskommt, wann man den Rest noch durch den
Diuisor diuidi
rt. Jn solchen Exempeln pflegt man nun zu sagen, daß sich der
Diuidendus
durch den
Diuisorem
nicht
diuidi
ren lasse, son- dern daß ein Rest uͤbrig bleibe. Es ist aber klar, daß dieser Rest allezeit kleiner seyn muͤsse, als der
Diuisor,
dann waͤre derselbe groͤsser, so koͤnnte auch der
Quotus
groͤsser genommen werden.
4)
Um die folgenden Regeln, durch deren Huͤlfe alle Exempel der
Diuision
aus- gerechnet werden koͤnnen, zu begreiffen und dieselben auch zu gebrauchen, so ist vor al- len Dingen noͤthig, daß man alle diejenigen Exempel, in welchen der
Diuisor
kleiner ist als 10, und auch weniger als 10 mahl in dem
Diuidendo
enthalten ist, schon wisse im Kopf auszurechnen, und so wohl den
Quotum,
als auch den Rest, wann einer uͤbrig bleibt
H 2
an-
anzuzeigen. Wozu gleichwohl allhier die noͤthige Anleitung gegeben werden wird.
Gleichwie es in der
Addition, Subtraction,
und
Multiplication
noͤthig war, daß man die
Operatio
nen mit den einfachen Zahlen zu machen wußte, ehe man zu den wuͤrcklichen Regeln fort- schreiten koͤnnte, als ist eben dieses auch bey der
Diuision
noͤthig. Weil nun die
Diuision
der
Multiplication
entgegen gesetzet wird, und in der
Multiplication
erfordert worden, daß man wisse, je zwey Zahlen, welche kleiner sind als 10 mit einander zu
multiplici
ren, so wird in der
Diuision
erfordert, daß man alle diejenigen Exempel koͤn- ne ausrechnen, in welchen so wohl der
Diuisor
als der
Quotus
kleiner sind als 10; in deme was in der
Multiplication
der
Multiplicandus
und
Multiplicator
waren, in der
Diuision
der
Diui- sor
und der
Quotus
sind. Hiebey ist nun haupt- saͤchlich noͤthig den Unterscheid zu bemercken zwi- schen denjenigen Exempeln, in welchen der wahre
Quotus
kan angegeben werden, und denjenigen, in welchen ein Rest zuruͤck bleibt. Was die Exempel der ersten Art anbetrifft da der wahre
Quotus
angegeben werden kan, dieselben sind aus der bey der
Multiplication
gegebenen Tabelle leicht zu erkennen, wann man nehmlich dieselbe Tabelle dem Gedaͤchtniß wohl eingepraͤgt hat. Dann wann man zum Exempel weißt daß 6 mahl 9 so viel ist als 54, so weißt man auch gleich daß 6 in 54 neun mahl enthalten ist, ingleichem auch
daß
daß 9 in 54 sechs mahl enthalten ist. Wir wollen aber dem ungeacht folgende Tabelle bey fuͤgen.
H 3
6
Aus dieser Tabelle sieht man also alle diejenige Faͤlle, in welchen so wohl der
Diuisor
als der wahre
Quotus
einfache Zahlen oder kleiner sind als 10. Und wer diese Tabelle wohl erlernet hat, derselbe wird bey einem jeglichen vorkommenden Fall, der in dieser Tabelle begriffen ist, den wah-
ren
ren
Quotum
gleich sagen koͤnnen. Wann zum Exempel die Frage ist wieviel mahl 7 in 56 ent- halten sey, so weißt derselbe gleich, daß es 8 mahl sey. Wir haben aber in dieser Tabelle die- jenigen Faͤlle ausgelassen, in welchen der
Diuisor
1 ist. Dann 1 ist in einer jeglichen Zahl so viel mahl begriffen, als dieselbe Zahl selbst anzeigt. Das ist wann der
Diuisor
1 ist, so ist der
Quo- tus
allezeit dem
Diuidendo
gleich. Dieses sieht man aus der
Multiplication,
dann weilen der
Quotus
mit dem
Diuisore multiplici
rt den
Diui- dendum
heraus bringen muß, so ist klar, daß wann der
Diuisor
1 ist, der
Quotus
dem
Diui- dendo
gleich seyn muͤsse. Also wann zum Exem- pel 23 durch 1
diuidi
rt werden soll, so ist der
Quotus
23, dann 23 mahl 1 macht 23. Daher pflegt man zu sagen, daß eins nicht
diuidi
re, weilen der
Diuidendus
selbst den
Quotum
an- zeigt. Ferner erhellet auch, daß wann der
Diuisor
dem
Diuidendo
gleich ist, der
Quotus
allezeit 1 seyn muͤsse, dann eine jegliche Zahl ist in sich sel- ber ein mahl enthalten. Endlich waͤre auch an- zu mercken, daß wann der
Diuisor
0 ist, der
Quotus
unendlich groß sey: allein weil dieser Fall bey gemeinen
Diuisio
nen nicht vorkommt, so ist nicht noͤthig einem Anfaͤnger etwas von dem unendlichen vorzutragen. Wir schreiten derohal- ben fort zu den Exempeln der anderen Art, in welchen der wahre
Quotus
nicht kan in gantzen Zahlen angegeben werden, und bey welchen man
H 4
sich
sich begnuͤgt den naͤchsten
Quotum
anzuzeigen, nebst dem uͤberbleibenden Rest. Man sieht nehm- lich aus der vorigen Tabelle, daß die Zahlen in den zweyten Reihen von oben herab nicht in der Or- dnung fortgehen, sondern daß zwischen denselben immer eine oder mehr Zahlen begriffen sind. Wann demnach eine solche Zahl, welche nicht in der Ta- belle steht, sondern zwischen dieselben Zahlen hin- eingehoͤret, durch eine einfache Zahl
diuidi
rt wer- den soll, so kan der wahre
Quotus
nicht gegeben werden, sondern man muß die naͤchst kleinere Zahl darfuͤr nehmen und den ruͤckstehenden Rest dabey anzeigen. Dieses geschieht nun also, man sucht in demjenigen Theil der Tabelle, in wel- chem der gegebene
Diuisor
voraus steht, in der zweyten Reihen die dem
Diuidendo
naͤchst kleinere Zahl, und zieht dieselbe von dem
Diuidendo
ab, da dann der Rest den zuruͤckbleibenden Rest der
Diuision
anzeigt. Die Zahl aber in der dritten Reihe, welche dabey steht gibt den
Quotum.
Als wann die Frage ist wieviel mahl 7 in 38 ent- halten seyn, oder wann 38 durch 7 soll
diu di
rt werden, so sieht man in demjenigen Theil da 7 in der ersten Reihe steht, daß 35, darinn sieben 5 mahl enthalten ist, die naͤchst kleinere Zahl sey als 38, und ist der Rest 3, so uͤberbleibt wann 35 von 38 abgezogen wird. Derohalben ist der
Quotus
5 und der Rest 3, wann 38 durch 7
di- uidi
rt wird; dann 5 mahl 7 ist 35 und dazu der Rest 3 gethan macht 38. Wann man obige
Tabelle
Tabelle wohl im Gedaͤchtniß hat, so sieht man gleich wieviel mahl man den
Diuisorem
nehmen muͤsse, daß die naͤchst kleinere Zahl als der
Diui- dendus
ist herauskomme. Und da ist dann die Zahl, so viel mahl der
Diuisor
genommen wor- den, der
Quotus;
und wann man diesen
Quo- tum
mit dem
Diuisore multiplici
rt und das
Pro- duct
vom gegebenen
Diuidendo subtrahi
rt so bleibt der Rest uͤbrig. Als wann 59 durch 8
diui- di
rt werden soll, so sieht man leicht, daß wann man 8 sieben mahl nimmt die naͤchst kleinere Zahl unter 59 herauskomme. Deswegen ist der
Quotus
7, und 7 mahl 8 das ist 56 von 59 abgezogen gibt 3 das ist den uͤberbleibenden Rest. Kurtz aber das zu verrichten sagt man, 8 in 59 nehme ich oder habe ich 7 mahl, 7 mahl 8 ist 56 von 59 bleiben 3 das ist der Rest. Wann also der
Diuidendus
weniger als 10 mahl groͤsser ist als der
Diuisor,
und der
Diuisor
eine einfache Zahl ist, so kan auf diese Art leicht so wohl der
Quotus
als der Rest gegeben werden. Als wann 87 durch 9 ge- theilt werden soll, weil 87 kleiner ist als 9 mahl 10, so gehoͤrt dieses Exempel hieher. Man wird also sagen 9 in 87 ist oder hat man 9 mahl, 9 mahl 9 ist aber nur 81 von 87 bleibt 6, ist dem- nach 9 der
Quotus
und 6 der Rest. Wann der
Diuidendus
kleiner ist als der
Diuisor,
so wird der
Quotus
0 der Rest aber ist dem
Diuidendo
gleich, als wann 4 durch 7
diuidi
rt werden soll, so sagt man 7 ist in 4 kein mahl oder 0 mahl ent-
H 5
halten.
halten. Nun aber 0 mahl 7 ist 0 von 4 bleiben 4, und ist also 4 der Rest und 0 der
Quotus.
5)
Was im vorhergehenden von der
Di- uision
mit einem einfachen
Diuisore
ist gesagt worden, muß eigentlich von
Unitæten
ver- standen werden. Das ist wann der
Diuiden- dus
und
Diuisor Unitæten
bedeuten, so zeigen auch die Zahlen, welche fuͤr den
Quotum
und Rest herausgebracht werden,
Unitæten
an. Wann aber nur der
Diuisor Unitæten
bedeu- tet, der
Diuidendus
aber entweder
Decades
oder
Centenarios
oder
Millenarios
ꝛc. anzeiget, so muͤssen auch die Zahlen, welche fuͤr den
Quotum
und Rest gefunden werden, von eben diesen Sorten nehmlich entweder von
Decadibus,
oder
Centenariis
oder
Millenariis
ꝛc. verstanden werden.
Der Verstand von diesem Satz ist kurtzlich dieser, daß so wohl der
Quotus
als der Rest ebendiejenige Art oder Sorte von Groͤsse anzeigen, welche der
Diuidendus
bedeutet; wann nemlich der
Diuitor
aus blossen
Unitæten
bestehet. Und dieses ist auch nicht nur von den gemeldten Sor- ten der Zahlen als
Decaden, Centenariis
und so fort wahr, sonderen auch von einer jeglichen Benennung, welche dem
Diuidendo
gegeben wird. Als wann zum Exempel 69 Rubl. durch 8
Unitæten
sollen getheilt werden, so sagt man 8 in 69 ist 8 mahl enthalten, aber 8 mahl 8 macht nur 64 von 69 bleiben 5. Weilen nun
der
der
Diuidendus
Rubl. anzeiget, so sind 8 Rubl. der
Quotus
und 5 Rubl. der Rest. Dann 8 mahl 8 Rubl. macht 64 Rubl. und dazu den Rest nemlich 5 Rubl. gethan, macht 69 Rubl. das ist den
Diuidendum
wie die Natur der
Di- uision
erfordert. Was nun in diesem Exempel von den Rubl. ist gesagt worden, versteht sich gleichermassen bey einer jeglichen Benennung, welche der
Diuidendus
fuͤhrt. Und ist also hier- aus genugsam klar, daß der
Quotus
und Rest eben den Nahmen fuͤhren muͤssen, welchen der
Diuidendus
hatte; weswegen man also um so viel weniger zu zweiflen hat, was die Benennun- gen als
Decaden, Centanarios
und so fort be- trifft. Derohalben gleich wie 69 Rubl. wann man dieselben durch 8
Unitæten Diuidirt,
8 Rubl. fuͤr den
Quotum
geben und 5 Rubl fuͤr den Rest. Also geben 69
Decades
durch 8
Unitæten Diui- dirt, 8 Decades
fuͤr den
Quotum
und 5
Deca- des
fuͤr den Rest. Jngleichem geben 69
Cen- tenarii
durch 8
Unitæten diuidi
rt 8
Centenarios
fuͤr den
Quotum
und 5
Centenarios
fuͤr den Rest, und so mit allen folgenden Sorten. Hieraus er- hellet also wie groͤssere Zahlen, als in obgegebe- ner Tabelle befindlich sind, durch einfache Zahlen
diuidi
rt werden koͤnnen. Als wann 2400 durch 4
diuidi
rt werden sollen, so sage ich 2400 ist so viel als 24
Centenarii,
und
diuidi
re also 24
Centenarios
durch 4, und finde 6
Centenarios
fuͤr den
Quotum
ohne Rest. Jch sage deshalben
daß
daß der gesuchte
Quotus
sey 600. Wann aber 46000 das ist 46
Millenarii
durch 7
diuidi
rt wer- den sollen, so wird der
Quotus
seyn 6
Millenarii
das ist 6000, wobey 4
Millenarii resti
ren das ist 4000
Unitæten,
welche aber weiter durch 7
di- uidi
rt werden koͤnnen, wovon im folgenden wei- ter gehandelt werden wird.
6)
Wann eine zusammen gesetzte Zahl so groß dieselbe immer seyn mag, durch eine einfache Zahl
diuidi
rt werden soll, so muß man alle Theile derselben, das ist alle beson- deren Sorten, aus welchen dieselbe Zahl bestehet, durch den
Diuisorem diuidi
ren, wo- bey der Anfang von den groͤsten Sorten ge- macht werden muß. Der Rest aber welcher bey einer jeglichen Sorte uͤber bleibt, wird in die folgende geringere Sorte verwandelt und zu derselbigen Sorte hinzugesetzt, und also mit der
Diuision
bis zu den
Unitæten
als der kleinsten Sarte fortgefahren: da dann alle diese besonderen
Quoti
zusammen den gesuch- ten
Quotum
ausmachen, und was bey der letzten
Diuision
uͤbrig bleibt, ist der ruͤck- stehende Rest.
Gleich wie in der
Multiplication
das verlangte
Product
gefunden wird, wann man alle Theile des
Multiplicandi
mit dem
Multiplicatore mul- tiplici
rt, und alle diese besonderen
Product
zu- sammen
addi
rt; also findet man auch in der
Di- uision
den gesuchten
Quotum,
wann man alle
Theile
Theile des
Diuidendi
durch den
Diuisorem diui- di
rt und alle diese besonderen
Quotos
zusammen
addi
rt. Dann da in der
Diuision
die Frage ist, wieviel mahl der
Diuisor
in dem
Diuidendo
ent- halten sey, so wird man diese gesuchte Zahl oder den
Quotum
anzeigen koͤnnen, wann man weiß, wieviel mahl der
Diuisor
in einem jeglichen Theil des
Diuidendi
enthalten ist, dann alle diese be- sonderen
Quoti
zusammen geben den gantzen ge- suchten
Quotum.
Als wann zum Exempel 6903 durch 3
diuidi
rt werden soll, so sind die Theile des
Diuidendi 6 Millenarii, 9 Centenariii
und 3
Unitæten.
Der erste Theil nehmlich 6
Mille- narii
durch 3
diuidi
rt geben 2
Millenarios
fur den
Quotum.
Der zweyte Theil 9
Centenarii
durch 3
diuidi
rt geben 3
Centenarios
im
Quoto,
und endlich 3
Unitæten
durch 3
diuidi
rt geben 1
Uni- tæt
im
Quoto.
Alle diese
Quoti
zusammen sind nur 2
Millenarii 3 Centenarii
und 1
Unitæt
das ist 2301 und diese Zahl ist der gesuchte
Quotus,
welcher herauskommt wann 6903 durch 3
diuidi
rt wird, und bleibt kein Rest zuruͤck. Jn diesem Exempel hat sich zwar ein jeglich Theil des
Diui- dendi
durch den
Diuisorem
ohne Rest
diuidi
ren lassen; allein aus demselben ist gleich wohl leicht zu schliessen, wie man sich zu verhalten habe, wann bey diesen besonderen
Diuisio
nen etwas zu- ruͤck bleiben sollte. Dann da der Rest, welcher in der
Diuision
eines Theils oder einer Sorte des
Diuidendi
durch den
Diuisorem
zuruͤck bleibet,
noch
noch nicht
diuidi
rt worden ist, in dem man noch nicht gefunden, wieviel mahl der
Diuisor
darinn enthalten ist, so muß derselbe Rest in die folgende kleinere Sorte verwandelt, und zu derselben ge- setzet, und darauf dieses zusammen durch den
Di- uisorem
getheilet werden. Auf diese Art muß man also in der
Diuision
von den groͤsseren Sor- ten des
Diuidendi
zu den kleineren fortfahren, biß man zu den
Unitæten
kommt, und wann dabey ein Rest zuruͤck bleibt, so ist derselbe auch der wuͤrckliche Rest, welcher nebst dem
Quoto
muß angezeiget werden. Als wann die Zahl 8359 durch 6
diuidi
rt werden soll, so muß von den 8
Millenariis,
als der groͤsten Sorte des
Diuidendi
der Anfang gemacht werden. Nun aber 8
Mil- lenarii
durch 6
diuidi
rt geben 1
Millenarium
fuͤr den
Quotum
und 2
Millenarii
bleiben im Rest, oder muͤssen noch
diuidi
rt werden. Damit nun dieses geschehen koͤnne, so werden daraus
Cente- narii
gemacht, wodurch man also 20
Centena- rios
bekommt, hiezu aber die 3
Centenarii,
wel- che im
Diuidendo
wuͤrcklich vorhanden sind gethan machen 23
Centenarios;
diese also durch 6
diuidi
rt geben 3
C
entenarios
fuͤr den
Quotum,
und 5
Centenarii
bleiben fuͤr den Rest. Diese 5
Cen- tenarios
verwandelt man nun in
Decades
das gibt 50
Decades,
weilen aber 5
Decades
im
Diuidendo
wuͤrcklich vorhanden sind, so hat man 55
Decades
durch 6 zu
diuidi
ren, diese geben demnach 9
Decades
zum
Quoto
und bleibt 1
Decas
Decas
zuruͤck. Diese 1
Decas
macht 10
Unitæ- ten,
welche mit den 9
Unitæten
des
Diuidendi 19 Unitæten
ausmachen, diese durch 6
diuidi
rt geben 3
Unitæten
zum
Quoto
und 1
Unitæt
bleibt als Rest. Weilen nun die
Unitæten
nicht weiter in kleinere Sorten verwandelt werden koͤn- nen, so bleibt also die 1
Unitæt
wuͤrcklich zuruͤck und kan nicht getheilet werden. Jn diesem Exem- pel ist demnach 1393 der
Quotus
und 1 der Rest, und wann man den
Quotum
1393 mit 6
multi- plici
rt und zum
Product
1 nehmlich den Rest
ad- di
rt, so kommt der
Diuidendus
8359 heraus. Hieraus siehet man also warum in der
Diuision
die
Operation
von den groͤsten Sorten und folg- lich von der rechten Hand muͤsse angefangen wer- den, da doch iu den vorhergehenden
Operatio
nen der Anfang von den kleineren Sorten oder von der lincken Hand gemacht worden ist. Jn diesem Exempel ist nun der Grund und die Ursachen von allen
Operatio
nen zugleich erklaͤret worden, wann man aber nur allein die noͤthigen
Operatio
nen um den
Quotum
und Rest zu bekommen anstellen will, so kan man dieselben weit kuͤrtzer auf nach- folgende Art erhalten.
Es wird nehmlich der
Diuidendus
hingeschrie- den und der
Diuisor
darvor gesetzt, und mit einer
Linie
Linie unterzogen, unter welche der
Quotus
ge- schrieben wird. Hierauf faͤngt man von der lin- cken Hand oder von der groͤsten Sorte des
Diui- dendi
zu
diuidi
ren an und sagt 6 in 8 ist ein mahl enthalten und bleiben 2 zuruͤck; das 1 weilen dasselbe
Millenarios
bedeutet wird unter die Linie unter das 8 nehmlich auf die Stelle der
Millena- rium
geschrieben, der Rest aber nehmlich 2 wird uͤber das 8 gesetzt, und in der folgenden
Opera- tion
mit den
Centenariis
als 20 angesehen. Dazu werden die 3
Centenarii
mit genommen, und gibt 23, wie auch die Zahl selbsten gleich aus- weiset. Hierauf sagt man 6 in 23 ist 3 mahl ent- halten und blejben 5 zuruͤck, die 3 schreibt man unter die Linie nach der vorhergehenden Zahl der Rest 5 aber uͤber das 3, welcher mit den 5
Deca- den
des
Diuidendi
55 ausmacht. Man sagt also ferner 6 in 55 ist 9 mahl enthalten und bleibt 1 uͤber; man schreibt also 9 unter die Linie und den Rest 1 uͤber die
Decaden
nehmlich uͤber 5. Die- ses 1 mit dem folgenden 9 macht 19, welche durch 6
diuidi
rt geben 3 in
Quotum
und 1 bleibt zuruͤck, die 3 werden also in
Quotum
unter die Linie ge- schrieben, und der Rest 1, weilen derselben der letzte ist, wird hinter den
Diuidendum
angefuͤ- get. Wann man nun die
Operation
auf diese Art zu Ende gebracht hat, so wird man unter der Linie den
Quotum
hinter dem
Diuidendo
aber den ruͤckstehenden Rest finden. Auf solche Art sind nun folgende Exempel ausgerechnet worden.
4)
Bey dem ersten dieser Exempel ist zu erinne- ren, daß weilen die erste Figur von der lincken des
Diuidendi
nehmlich 1 kleiner ist als der
Diui- sor
und also eine 0 in den
Quotum
gegen der lin- cken gesetzt werden muͤßte, welche keine Bedeu- tung hat, so wird dieses 1 gleich zur folgenden Sorte gethan, welches 13 ausmacht und dabey die
Diuision
angefangen. Eine gleiche Bewand- nuͤß hat es auch mit dem anderen Exempel, in welchem man gleich 34 durch 8 zu
diuidi
ren an- faͤngt. Wann aber mitten oder zum Ende des
Quoti
eine 0 kommt, so muß dieselbe nothwendig geschrieben werden, damit eine jede Figur auf ihre gehoͤrige Stelle komme. Dieser Fall kommt im ersten Exempel vor, welches auf folgende Weise
operi
rt wird: 4 in 13 ist 3 mahl enthalten und bleibt 1 uͤber, schreibt 3 unter| die Linie und 1 uͤber das 3 im
Diuidendo.
Ferner sagt man 4 in 16 ist 4 mahl enthalten und bleibt nichts uͤber, schreibt also 4 unter die Linie, und weil kein Rest vor- handen, sagt man 4 in 2 ist kein mahl enthalten, setzt also 0 in den
Quotum,
und weilen die 2 wuͤrcklich der Rest sind, so nimmt man dieselben gleich mit der folgenden 8 zusammen, das gibt 28 darinn 4, 7 mahl begriffen ist, und kein Rest zuruͤck bleibt; so daß also der
Quotus
ist 3407.
J
7)
7)
Wann der
Diuisor
eine einfache Zahl mit einer oder etlichen daran gehaͤngten Cyphren ist als 30, oder 400 oder 7000 oder dergleichen; so kan die
Diuision
auf eben die Art gemacht werden als mit den einfachen Zahlen. Dann man hat nur noͤthig von dem
Diuisore
die Cyphren, und von dem
Diui- dendo
auch eben so viel Figuren von der rech- ten Hand weg zu schmeissen, und so dann diesen herausgekommenen
Diuidendum
durch den einfachen
Diuisorem
zu
diuidi
ren, da man dann den wahren
Quotum
bekommen wird. Zu dem Rest aber, der uͤberbleibt, muß man die von dem
Diuidendo
abgeschnittenen Figu- ren von der rechten Hand hinzusetzen, so wird man den wahren Rest haben.
Um diese
Operation
deutlicher vorzustellen so lasst uns diese Zahl 156327 durch 700
diui- dir
en. Wir schmeissen also von 700 die zwey Cyphren und von dem
Diuidendo
156327 die zwey letsten Figuren 27 weg, und
diuidir
en 1563 durch 7 wie folgt.
Auf diese Art haben wir also fuͤr den gesuchten
Quotum
223 gefunden. Der Rest aber ist nicht 2 sondern 227; indem zu dem gefundenen Rest 2 die abgeschnittenen zwey Figuren 27 von dem
Diuidendo
sind angehaͤngt worden. Wann
man
man also die Zahl 156327 durch 700
diuidi
rt so kommt fuͤr den
Quotum
heraus 223, fuͤr den Rest aber 227, wovon die Wahrheit gleich er- hellet, wann man den
Quotum
223 mit dem
Diuisore 700 multiplici
rt und zum
Product
227 hinzuthut, da dann der vorgegebene
Diuidendus
156327 herauskommt. Der Grund aber von dieser
Operation
bestehet darinn; daß man immer einerley
Quotum
findet, wann man den
Diuisorem
und den
Diuidendum
beyde mit einerley Zahl
multiplici
rt. Als wann man den
Diuidendum
und den
Diuisorem
beyde mit 10 oder mit 100 oder mit 1000 oder mit einer jeglichen anderen beliebten Zahl
multiplici
rt, so wird man immer eben denselben
Quotum
finden, der herauskommt wann man den blossen
Diuidendum
durch den blossen
Diuisorem diuidi
rt. Dann da der
Quo- tus
mit dem
Diuisore multiplici
rt den
Diuiden- dum
herausbringt, so muß eben der
Quotus
mit einem 10 mahl groͤsseren
Diuisore multiplici
rt ei- nen 10 mahl groͤsseren
Diuidendum,
mit einem 100 mahl groͤsseren
Diuisore
aber einen 100 mahl groͤsseren
Diuidendum
und so fort herfuͤrbrin- gen, wie aus der
Multiplication
genugsam be- kannt ist. Da nun in dem gegebenen Exempel 1563 durch 7
diuidi
rt 223 fuͤr den
Quotum
gibt, 2 aber fuͤr den Rest, so muß 100 mahl 1563 das ist 156300 durch 100 mahl 7 das ist durch 700
diuidi
rt eben den
Quotum
nehmlich 223 geben. Der Rest aber, welcher ein Theil
J 2
des
des
Diuidendi
ist, so sich nicht weiter durch den
Diuisorem diuidir
en laͤsst, wird folglich auch 100 mahl groͤsser und also 200 seyn. Derowegen wann man 156300 durch 700
diuidi
rt so wird der
Quotus
223 seyn, der Rest aber 200. Da nun 156327 nur um 27 groͤsser ist als 156300 und sich diese 27 durch den
Diuisorem
nicht
diuidi
ren lassen, so kommen diese 27, wann man 156327 durch 700
diuidi
rt, noch mit zu dem Rest, so daß in diesem Fall der
Quotus
223 bleibt, der Rest aber um 27 groͤsser und folglich 227 seyn wird. Wie nun die Wahrheit der gegebenen Regel in diesem Exempel ist dargethan worden, so findet eben dieser Grund in allen anderen der- gleichen Exempeln Statt. Damit man aber in der Berechnung eines solchen Exempels selbst so wohl die weggeworfenen Nullen des
Diuisoris
als die weggeworfenen Figuren des
Diuidendi
vor Augen habe, so pflegt man dieselben nicht in der That wegzuwerfen, sondern nur mit Querstri- chen abzuschneiden, wie in bey gesetztem Exempel zu ersehen ist.
Allhier sollten 2756389 durch 8000
diuidi
rt wer- den, deswegen werden von den 8000 die drey Cyphren, von dem
Diuidendo
aber die 3 hinter- sten Figuren abgeschnitten, und nur die 2756
durch
durch 8
diuidi
rt, da dann 344 als der
Quotus
ge- funden wird, der Rest aber ist, die wuͤrcklich gefunde- nen 4, oder wegen den 3 abgeschnittenen Figu- ren 4000 nebst den abgeschnittenen Figuren selbst nehmlich 389; so daß der voͤllige Rest, so bey diesem Exempel zuruͤck bleibt, 4389 seyn wird. Hieraus erhellet nun eine sehr leichte Manier durch 10 oder 100 oder 1000 und so fort zu theilen, welches derjenige Fall ist, da die vor den Cyph- ren stehende einfache Zahl eine
Unitæt
ist. Dann da nachdem die Cyphren nach der gegebenen Re- gel abgeschnitten worden, nur durch 1
diuidi
rt werden muß, die
Unitæt
aber den
Diuidendum
nicht veraͤndert, sondern den
Quotum
dem
Diui- dendo
gleich hervorbringt, so sind die zuruͤck ge- bliebenen Zahlen des
Diuidendi,
nachdem von dem
Diuidendo
so viel Figuren sind abgeschnitten worden, als Cyphren hinter der
Unitæt
im
Di- uisore
stunden, der
Quotus
selbst; die abgeschnit- tenen Figuren aber geben den Rest. Also wann 76034820 durch 10000
diuidi
rt werden sollen, wie folgt
1 | 0000)
7603
| 4820
so ist 7603 der
Quotus,
4820 aber der Rest.
8)
Wann der
Diuisor
eine zusammen ge- setzte Zahl ist, so wird die
Diuision
folgen- der gestalt verrichtet. Erstlich werden von der lincken Hand von dem
Diuidendo
so viel Figuren abgeschnitten bis diese abgeschnittene
J 3
Zahl
Zahl groͤsser ist als der
Diuisor
und folglich durch denselben
diuidi
rt werden kan. Hier- auf sieht man wieviel mahl der
Diuisor
in dieser abgeschnittenen Zahl enthalten ist, und diese Anzahl gibt die erste Figur von der lincken Hand in den
Quotum.
Drittens
multiplici
rt man den
Diuisorem
durch die in
Quotum
geschriebene Zahl, und zieht das
Pro- duct
von dem gedachten Theil des
Diuidendi
ab, und an den Rest haͤngt man zur rechten die folgende Figur des
Diuidendi
an. Vier- tens sucht man wieviel mahl der
Diuisor
in dieser Zahl enthalten ist und so viel schreibt man in den
Quotum
fuͤr die 2te Figur. Mit dieser Zahl
multiplici
rt man fuͤnftens den
Di- uisorem
und zieht das
Product
von jener Zahl ab. An den Rest haͤngt man die weiter fol- gende Figur des
Diuidendi,
und verfaͤhret auf beschriebene Art, da man dann die 3te Figur in den
Quotum
bekommt. Und auf solche Weise faͤhrt man fort, biß alle Figuren des
Diuidendi
betrachtet worden sind, da man dann den voͤlligen
Quotum
haben wird, und was in der letzten
Subtraction
uͤbergeblieben, das ist der Rest.
Die
Diuision
mit einem zusammen gesetzten
Diuisore
muß auf eben die Art angestellet wer- den als mit einem einfachen
Diuisore;
in beyden Faͤllen nehmlich muͤssen einerley
Operatio
nen und in eben der Ordnung ins Werck gesetzt werden.
Nur
Nur bestehet der Unterscheid darinn, daß mit einem einfachen
Diuisore
viel
Operatio
nen im Sinne vollbracht werden koͤnnen, welche bey einem zusammen gesetzten
Diuisore
wuͤrcklich auf dem Pa- pier geschehen muͤssen. Als wann man bey einem ein- fachen
Diuisore
eine jegliche Figur des
Quoti
mit dem
Diuisore multiplici
rt, und das
Product
von dem gehoͤrigen Theil des
Diuidendi
abzieht, so geschieht beydes im Kopf, welche beyden
Ope- ratio
nen aber, wann der
Diuisor
eine grosse Zahl ist, auf dem Papier wuͤrcklich berechnet werden muͤssen. Dieses wird nun deutlicher aus dem folgenden Exempel zu sehen seyn, in welchem wir 178093 durch 23
diuidi
ren wollen. Dieses Exempel pflegt nun erstlich solcher gestalt geschrie- ben zu werden.
Wann man nun den
Diuisor
als eine einfache Zahl ansieht, und die
Diuision
auf die vorher
J 4
gelehrte
gelehrte Art anstellen will, so muß man anfang- lich die 3 ersten Figuren des
Diuidendi
nehmlich 178 zusammen nehmen, und dieselben durch 23
diuidi
ren, weilen die erste nehmlich 1 und die zwey ersten 17 allein kleiner sind als der
Diuisor,
und sich also durch denselben nicht
diuidi
ren lassen. Derowegen muß man suchen, wieviel mahl 23 in 178 begriffen ist, und was uͤberbleibt; wel- ches fuͤr den Anfang durch das probiren geschehen muß, ehe wir darzu einige Regeln geben kon- nen. Nun aber ist leicht zu sehen daß 23 in 178 nicht mehr als 7 mahl enthalten ist, weilen 8 mahl 23 schon 184 das ist mehr als 178 aus- macht. Demnach sagt man 23 ist in 178 sieben mahl enthalten, und schreibt sieben in den
Quo- tum:
und weilen 178 nicht
Unitæten
sondern
Millenarios
andeutet, so bedeuten auch die 7 im
Quoto Millenarios;
woraus also gleich zu sehen daß im
Quoto
nach dem 7 noch 3 Figuren folgen muͤssen, nehmlich eben so viel, als im
Diuidendo
nach 178 folgen. Nun 23 mahl 7
Millenarii
macht 161
Millenarios,
welche von den 178
Millenariis
abgezogen 17
Millenarios
zuruͤck las- sen; diese
Subtraction
wird nun wuͤrcklich auf dem Papier verrichtet. Diese restierenden 17
Millenarii
koͤnnen nun nicht ferner durch 23 so
diuidi
rt werden, daß einer oder mehr
Millenarii
in
Quotum
kommen, weilen 17 kleiner ist als 23; derowegen muͤssen diese 17
Millenarii
in die fol- gende kleinere Sorte nehmlich in
Centenarios
ver-
verwandelt werden; und machen folglich 170
Centenarios
aus. Wan nun im
Diuidendo
auch
Centenarii
vorhanden waͤren, so muͤßten dieselben noch dazu gesetzt werden; weilen aber keiner da ist, so hat man nur diese 170
Cente- narios
durch 23 zu
diuidi
ren. 23 ist aber in 170 wiederum 7 mahl enthalten und deswegen kom- men 7
Centenarii
in den
Quotum
auf die Stelle der
Centenariorum.
Nun aber machen 23 mahl 7
Centenarii 161 Centenarios
aus, welche von den 170
Centenariis subtrahi
rt 9
Centenarios
zuruͤck lassen. Diese 9
Centenarii
machen fer- ner 90
Decades
aus, zu welchen die 9
Decades,
so im
Diuidendo
sind,
addi
rt 99
Decades
aus- machen; welche 99 man ohne Rechnung be- kommt, wann man nur die 9 aus dem
Diui- dendo
an den gefundenen Rest 9 anhaͤngt. Nun sagt man 23 in 99 ist nur 4 mahl enthalten, dann 5 mahl 23 macht schon mehr als 99 nehmlich 115. Diese 4 sind nun
Decades
und kommen in den
Quotum
auf die Stelle der
Decaden,
23 mahl 4
Decaden
aber machen 92
Decaden,
welche von den 99 abgezogen 7
Decaden
zuruͤck lassen. Diese 7
Decaden
machen endlich 70
Unitæten,
welche mit den 3
Unitæten
des
Di- uidendi 73 Unitæten
betragen; oder man hat nur noͤthig zu den uͤbergebliebenen 7 die 3 hinzu- zuschreiben. Jn 73 ist endlich 23 nur 3 mahl enthalten, welche 3
Unitæten
sind, und also im
Quoto
auf die letzte Stelle geschrieben werden
J 5
muͤssen.
muͤssen. Weilen aber 3 mahl 23 nur 69 aus- macht, so muͤssen diese 69 von den 73 abgezogen werden, da dann der Rest 4 der wahre Rest ist, welcher in dieser
Diuision
zuruͤck bleibt; so daß also der gefundene
Quotus
ist 7743 und der Rest 4. Aus diesem Exempel sind nun die
Operatio
nen leicht zu ersehen, welche bey der- gleichen
Diuisio
nen vorgenommen werden muͤs- sen. Um dieselben aber mit destoweniger Muͤhe anzustellen wollen wir nachfolgende Regeln an die Hand geben, welcher Grund aus dem ange- fuͤhrten leicht folget.
I.
Wann erstlich die Frage ist, wieviel mahl der
Diuisor
in einem jeglichen Theil des
Diuidendi
enthalten ist, durch welche
Operation
wie in dem vorigen Exempel zu sehen ein jeglicher Theil des
Quoti
gefunden wird, so ist zu wissen, daß der
Diuisor
auf das hoͤchste 9 mahl darinn enthalten seyn koͤnne, weilen durch eine solche
Operation
eine Zahl in den
Quotum
kommt, welche nicht groͤsser seyn kan als 9. Derowegen wuͤrde man auch mit dem probieren nicht viel Zeit verlieren, wann man den
Diuisorem
mit allen einfachen Zahlen
multiplici
ren wollte, da- mit man so gleich sehen koͤnnte, welches
Product
am naͤchsten komme. Ja wann der
Diuidendus
und
Diuisor
sehr grosse Zahlen sind, und auch sehr viel Zahlen in den
Quotum
kommen, so ist sehr dienlich, wann man sich apart alle
Product
des
Diuisoris
durch einfache Zahlen auf-
schreibt,
schreibt, wodurch man sich alsdann des
multi- plici
rend, so bey einer jeden
Operation
vorkommt, enthebt. Bey kleineren Exempeln aber, da man sich diese Muͤhe nicht geben will, kan man sich folgender gestalt helfen. Erstlich stellt man sich alle Figuren des
Diuisoris
ausser der ersten als Cyphren vor, und siehet nach dem vorhergehen- den Punckt, wieviel mahl alsdann dieser
Diuisor
in dem vorgelegten Theil des
Diuidendi
enthal- ten sey. Hernach stellt man sich die erste Figur um eins groͤsser vor, und sieht wiederum, wieviel mahl dieser
Diuisor
in derselben Zahl enthalten sey. Weilen nun von diesen 2 angenommenen
Diuisoribus
jener kleiner, dieser aber groͤsser ist als der wahre
Diuisor,
so wird jener
Quotus
zu groß dieser aber zu klein seyn. Man nimmt dem- nach fuͤr den
Quotum
eine mitlere Zahl welche jenem oder diesem
Quoto
naͤher kommt, je nach dem der wahre
Diuisor
jenem oder diesem naͤher ist. Mit diesem
Quoto
probirt man nun die
Operation,
und wann derselbe noch entweder zu groß oder zu klein gefunden wird, so muß man es mit einem kleineren oder groͤsseren probiren. Als in dem vorhergehenden Exempel, da die Frage war, wieviel mahl 23 in 178 enthalten sey, so
diuidi
re man erstlich 178 durch 20 oder 17 durch 2, und dann 178 durch 30 oder 17 durch 3. Es wird also fuͤr den
Diuisor
20 der
Quotus
8 seyn; fuͤr den
Diuisor
30 aber 5. Weilen nun der wahre
Diuisor
23 dem ersteren
Diuisore
Diuisori
naher kommt, so muß auch der wahre
Quotus
dem 8 naͤher seyn als dem 5, wie er dann auch 7 ist gefunden worden. Kommt aber der
Diuisor
einem von den zweyen, welche ange- nommen werden, gar um viel naher als dem an- deren, so hat man auch nur mit dem naͤheren allein zu probiren, und zwar mit dieser Vorsich- tigkeit, daß wann der kleinere naͤher kommt der
Quotus
bisweilen nur um ein
Unitæt
zu groß, im andren Fall aber zu klein herauskomme. Auf diese Art nimmt man also anstatt des wahren
Diuisoris
solche an, welche aus einer einfachen Zahl mit daran gehaͤngten Cyphren bestehen, mit welchen die
Diuision
oder vielmehr nur die Fin- dung des
Quoti,
indem der Rest nicht von noͤthen, nach dem vorhergehenden Punckt eben so leicht als mit einfachen Zahl bewerckstelliget wird. Als wann die Frage ist, wieviel mahl 319 in 1268 enthalten sey, so sehe ich nur wieviel mahl 300 darinn enthalten sey, und probire nicht ein mahl mit 400, weilen 319 jener Zahl weit naͤher kommt als dieser. Um aber zu finden wieviel mahl 300 in 1268 enthalten sey, so darf man nur sehen wieviel mahl 3 in 12 begriffen sey, welches 4 mahl ist, also wird der
Quotus
4 seyn, oder auf das hoͤchste nur 3. Wann aber gesucht wird, wieviel mahl 2976 in 15873 enthalten sey, so bediene man sich nur des
Diuisoris
3000 allein, und
diuidire
also 15 durch 3, so |wird der
Quotus
5 der wahre
Quotus
seyn. Vermittelst
dieser
dieser Anleitung wird man nun leicht’ finden koͤn- nen, wieviel mahl ein jeglicher vorgegebener
Di- uisor
in einem jeden Theil des
Diuidendi
enthal- ten sey, und wird also die Figuren, aus wel- chen der
Quotus
besteht, finden koͤnnen. Durch eine fleißige Ubung aber wird man sich diese Ar- beit sehr erleichtern.
II.
Weilen es aber auf diese Art geschehen kan, daß man den
Quotum
um eins entweder zu groß oder zu klein angenommen, so kan man dieses auf folgende Art leicht innen werden, und also corrigiren. Nehmlich wann der
Quotus
zu groß ist angenommen worden, so kan man das- selbe gleich mercken, wann man nur den
Diui- sorem
damit
multiplici
rt, und das
Product
groͤs- ser ist als der Theil des
Diuidendi,
davon das- selbe abgezogen werden sollte. Jst aber dieses
Product
kleiner, so daß die
Subtraction
gesche- hen kan, der Rest aber, der uͤberbleibt so groß oder groͤsser als der
Diuisor,
so ist dieses eine Anzeige, daß man den
Quotum
zu klein ange- nommen, und denselben also um eins groͤsser an- nehmen muͤsse. Vermittelst dieser Regeln kan man sich nun leicht vorsehen, daß man keinen Feh- ler begeht.
9)
Hieraus folget nun diese Regel fuͤr die
Diuision:
Nach dem man den
Diuisorem
fuͤr den
Diuidendum
gesetzet, so werden von dem
Diuidendo
zur lincken entweder so viel Figuren, als der
Diuisor
hat, abgeschnit-
ten,
ten, wann nehmlich dieser Abschnitt eine so grosse oder groͤssere Zahl austragt als der
Diuisor
ist: oder in widrigem Falle eine mehr. Hierauf sieht man wieviel mahl der
Diuisor
in diesem Abschnitt enthalten ist, und die gefundene Anzahl schreibt man in
Quotum
als die erste Figur zur lincken. Mit diesem
Quoto multiplici
rt man den
Diuisorem
und
subtrahi
rt das
Product
von dem Abschnitt des
Diuidendi.
An den Rest haͤngt man die nach dem Abschnitt folgende Figur des
Di- uidendi
an, und sucht wiederum wieviel mahl der
Diuisor
in dieser Zahl enthalten ist; welche Zahl die zweyte Figur des
Quoti
gibt, und mit dieser
multiplici
rt man wieder den
Diuisorem, subtrahi
rt das
Product
von jener Zahl und haͤngt an den Rest die folgende Figur des
Diuidendi.
Jn dieser Zahl sucht man ferner wieviel mahl der
Diuisor
enthal- ten ist, und verrichtet eben die vorigen
Operatio
nen, bis man den voͤlligen
Quotum
bekommen. Was bey der letzten
Subtraction
zuruͤckbleibt, ist der Rest, so bey der
Diui- sion
noch uͤbrig ist.
Der Grund von diesen
Operatio
nen ist schon im vorhergehenden deutlich genug dargethan worden, und derowegen ist zu fernerer Erklaͤ- rung dieser Regel nicht mehr noͤthig, als daß wir dieselbe durch etliche Exempel weiter zum Ge- brauch anwenden.
Laß
Laß uns demnach diese Zahl 943769703 durch 251
diuidi
ren, welche
Operation
also wie folgt, geschehen wird.
Da der
Diuisor
aus 3 Figuren bestehet, so wer- den von dem
Diuidendo
nur 3 Figuren abge- schnitten nehmlich 943, weilen diese Zahl schon groͤsser ist als der
Diuisor.
Jn diesem Abschnitt ist nun der
Diuisor
3 mahl enthalten, und des- wegen schreibt man 3 als die erste Figur in den
Quotum,
und
multiplici
rt durch 3 den
Diuisor,
das
Product
753 schreibt man unter den Ab- schnitt und
subtrahi
rt. An den Rest 190 haͤngt man die nach dem Abschnitt folgende Figur des
Diuidendi
nehmlich 7, und sucht wieviel mahl der
Diuisor
in 1907 enthalten ist. Dieses ist nun 7 mahl, und schreibt deswegen 7 in den
Quotum.
Mit
Mit 7
multiplici
rt man ferner den
Diuisorem
und
subtrahi
rt das
Product
1757 von den 1907, zum Rest 150 schreibt man die folgende Figur des
Diuidendi
nehmlich 6 da man dann 1506 haben wird. Jn diesen 1506 ist nun der
Diui- sor
6 mahl enthalten, weswegen 6 in den
Quo- tum
gesetzet, und damit der
Diuisor multiplici
rt wird. Das
Product
so eben auch 1506 aus- macht wird also von 1506 abgezogen, da dann nichts uͤbrig bleibt. Wann man nun nach der Regel die folgende Zahl des
Diuidendi
9 dazu schreibt so hat man nur 9, in welcher Zahl der
Diuisor
kein mahl begriffen ist; derowegen schreibt man 0 in den
Quotum,
und da 0 mahl 251 auch 0 ausmacht, und 0 von 9
subtrahi
rt 9 zuruͤck laͤßt, so ist unnoͤthig diese
Operation
hin- zuschreiben, sondern man betrachtet gleich diese 9 als den Rest, und schreibt dazu die folgende Figur 7. Man hat also 97, in welcher Zahl der
Di- uisor
wiederum kein mahl begriffen ist, und schreibt deswegen wieder 0 in
Quotum,
da dann eben die 97 der Rest seyn werden. Hieran haͤngt man ferner die folgende Figur des
Diuidendi
nehmlich 0, so hat man 970, in welcher Zahl der
Diuisor
nunmehr 3 mahl enthalten ist. De- rowegen schreibt man 3 in den
Quotum,
und das
Product
des
Diuisors
durch 3, nehmlich 753
subtrahi
rt man von 970, da dann 217 uͤber- bleibt. Hierzu wird endlich die letzte Zahl des
Diuidendi
3 geschrieben, und da 251 in 2173,
acht
acht mahl enthalten ist, 8 in
Quotum
gesetzt. Nun 8 mahl 251 macht 2008, welche Zahl von 2173 abgezogen 165 zuruͤck laͤßt. Diese 165 sind demnach der Rest, und 3760038 der ge- suchte
Quotus.
Dieses Exempel ist deswegen beygebracht worden, damit man sehe, wie 0 in den
Quotum
kommen koͤnnen, und, damit man dieselben nicht vergesse, dahin zu schreiben. Dann so oft eine Zahl von dem
Diuidendo
herabge- schrieben wird, so oft muß eine Figur in den
Quotum
kommen, es sey gleich eine wuͤrckliche Zahl oder eine Cyphre. Und deswegen muß die Anzahl der Figuren des
Quoti
allzeit um eins groͤsser seyn, als die Anzahl der Figuren, wel- che im
Diuidendo
nach dem Abschnitt folgen. Es sollen ferner 255543000 durch 827
diuidi
rt werden wie folgt.
Jn diesem Exempel, da der
Diuisor
wieder aus 3 Figuren besteht, muß der Abschnitt aus 4 Figuren bestehen, weilen 3 Figuren 255 kleiner sind als der
Diuisor,
und folglich eine 0 zu An- fang in
Quotum
kommen wuͤrde, welche von keiner Bedeutung und also uͤberfluͤßig ist. Wenn
K
nun
nun 2555 durch 827
diuidi
rt werden, so kom- men 3 in
Quotum
und bleiben 74 uͤber. Zu die- sen 74 schreibe man die folgende Figur des
Diui- dendi
4, so hat man 744 in welcher Zahl der
Diuisor
kein mahl enthalten ist, weswegen man in
Quotum
eine 0 setzt, und zu den 744 gleich die folgende Figur 3 herabschreibt. Jn 7443 ist nun der
Diuisor
9 mahl enthalten; welche 9 in
Quotum
gesetzt werden. 9 mahl 827 macht aber gleich 7443, weswegen in der
Subtraction
nichts zuruͤck bleibt. Die folgende Figur des
Diuidendi
0 herabgeschrieben, gibt in
Quotum
eine 0, ingleichem auch die zwey letzten 00 des
Diuidendi;
und da 0 mit dem
Diuisor multipli- ci
rt 0 gibt, und 0 von 0
subtrahi
rt 0 zuruͤcklaͤßt, so wird der Rest 0 seyn, und der
Quotus
309000. Gleichwie ferner im 7ten Punckt ist gewiesen worden, daß die
Diuision
durch eine einfache Zahl mit daran gehaͤngten Cyphren auf eben die Art verrichtet werden koͤnne, als mit der einfa- chen Zahl allein: also ist auch aus eben densel- ben Gruͤnden leicht zu ersehen, daß dieses auch statt habe bey
Diuisor
en, welche aus zusammen gesetzten Zahlen mit daran gehaͤngten Cyphren bestehen. Nehmlich man kan gleichergestalt die Ziffern von dem
Diuisore
und eben so viel Figu- ren von dem
Diuidendo
abschneiden, und solcher gestalt den
Quotum
suchen. Um aber den Rest zu haben, muß man zu dem durch diese
Diuiston
gefundenen Rest, die vom
Diuidendo
abgeschnit-
tene
tenen Figuren hinzuschreiben. Als wann zum Exempel 1307629 durch 3700
diuidi
rt werden sollen, so wird die
Operation
folgender gestalt stehen.
Weilen nun diese Anleitung zur
Diuision
hinlaͤng- lich ist, und zu einer fertigen Ausuͤbung der ge- gebenen Regeln weiter nichts als ein fleißiges Exercitium erfordert wird, so wollen wir, um den Gebrauch der
Diuision
im gemeinen Leben zu zei- gen, einige Exempel hinzufuͤgen.
Exempel.
I.
Neunzehen Personen haben unter |sich die Summ von 71098 Rubl. so zu theilen, daß einjeder davon so viel bekomme als der andere. Nun ist die Frage, wieviel einjeder bekom- men werde.
Antw. Weilen ein jeder so viel bekom- men soll als der andre, so muß diese Summ von 71098 Rubl. in 19 gleiche Theile
K 2
zer-
zertheilet werden. Dieses geschieht aber wann man 71098 durch 19
diuidi
rt, da dann der
Quotus
ausweisen wird, wieviel Rubl. ei- ner Person zukommen. Die
Operation
ist also wie folget:
Es wird demnach eine Person gerad 3742 Rubl. bekommen; und nichts zuruͤck bleiben. Weilen diese
Diuision
ohne einigen Rest auf- gegangen.
II.
Ein Vater hinterlaͤßt seinen drey Soͤhnen 39690 Rubl. welche krafft des Testaments solcher gestalt unter dieselben sollen getheilet werden, daß der aͤlteste zwey mahl so viel davon bekomme als der mitlere, der mitlere aber zwey mahl so viel als der juͤngste. Nun ist die Frage, wieviel ein jeder davon zu erben habe
Antw. Da der mitlere zwey mahl so viel bekommen soll als der juͤngste, der aͤlteste
aber
aber 2 mahl so viel als der mitlere, so wird, wann der juͤngste seine Portion bekommen, der mitlere zwey, der aͤlteste aber 4 derglei- chen Portionen empfangeu. Solcher Por- tionen, welche unter sich gleich, sind also 7; und deswegen muß die gantze Verlassenschaft in 7 gleiche Theile zertheilet werden, davon 1 Theil dem juͤngsten, 2 dem mitleren, und die uͤbrigen 4 dem aͤltesten zukommen muͤssen. Man hat derohalben nur die Summ von 39690 Rubl. durch 7 zu
diuidi
ren, so wird der
Quotus,
nehmlich 5670 Rubl. die Groͤsse einer Portion dargeben. Folglich bekommt der juͤngste Sohn 5670 Rubl. der mitlere 11340 Rubl. und der aͤlteste 22680 Rubl.
III.
Unter eine gewisse Anzahl Soldaten werden 748818 Rubl. so ausgetheilet, daß einjeder 283 Rubl. bekommt. Also ist die Frage wieviel Soldaten gewesen seyn?
Antw. Da einjeder Soldat 283 Rubl. bokomt, so muß, wann man 283 mit der Anzahl der Soldaten
multiplici
rt die vorge- gebene Summ, nehmlich 748818 heraus- kommen. Diese Frage laͤufft also dahin aus, daß man eine Zahl finde, welche mit 283
multiplici
rt 748818 herausbringe. Dieses geschieht nun durch die
Diuision,
wann man 748818 durch 283
diuidi
rt: dann da hat der gefundene
Quotus
diese Eigenschaft, daß
K 3
der-
derselbe mit dem
Diuisore
283
multiplici
rt 748818 gibt. Derowegen um die Anzahl der Soldaten zu finden, darf man nur 748818 durch 283
diuidi
ren, da dann der
Quotus
die verlangte Anzahl der Soldaten anzeigen wird, wie folgt.
Die Anzahl der Soldaten ist demnach 2646 Mann.
IV.
Wer um den gantzen Erd-Boden herum reisen will, muß einen Weg von 132300000 Englischen Schuhn absolviren. Nun ist die Frage, wieviel solcher Schuh auf einen Grad, ingleichem auch auf eine Werste gehen.
Antw. Der Umkreiß um die Erde pflegt in 360 Grad getheilt zu werden, wann man also 132300000 durch 360
diuidi
rt, so wird der
Quotus,
welcher 367500 ist, an- zeigen wieviel Schuhe auf einen Grad gehen.
Ferner
Ferner haͤlt ein Grad 105 Werste, derowe- gen wann man 36750 nehmlich die Anzahl der Schuhe, so einen Grad ausmachen, durch 105
diuidi
rt, so wird der
Quotus
zeigen, wieviel Schuh auf eine Werste gehen. Der
Quotus
aber wird gefunden 3500. Dero- wegen werden 267500 Englische Schuh ei- nen Grad auf dem Erd-Boden, 3500 Schuh aber eine Rußische Werste ausmachen.
Cap. VI.
Von den Bruͤchen und der Natur derselben uͤberhaupt
1.
W
Ann in der
Diuision
der
Diuisor
und der
Diuidendus
so beschaffen sind, daß die
Operation
ohne Rest nicht vollzogen werden kan, so wird der
Quotient,
wel- cher anzeigt, wieviel mahl der
Diuisor
in dem
Diuidendo
enthalten ist, ein Bruch genannt.
Wir haben schon in dem vorigen
Capitel
bey
N.
3 angemercket, daß nicht bey einer jeglichen
Diuision
der gesuchte
Quotus accurat
in gantzen Zahlen koͤnne angezeiget werden, da wir uns dann begnuͤgen musten, die naͤchste kleinere Zahl darfuͤr anzunehmen, und dabey den Rest anzu-
K 4
mercken.
mercken. Jn diesen Faͤllen ist demnach der da- selbst gefundene
Quotus
nicht der wahre
Quotus:
sondern dazu muß noch der herauskommende Rest in Betrachtung gezogen werden, um einen hin- langlichen Begriff zu haben, wieviel mahl der
Diuisor
in dem
Diuidendo
enthalten sey. Als wann 17 durch 5 getheilet werden soll, so finden wir durch die daselbst gegebenen Regeln, daß der
Quotus
3, und dazu noch ein Rest nehmlich 2 sey. Hieraus erhellet, daß 5 in 17 mehr als 3 mahl enthalten, und folglich der wahre
Quotus
groͤsser als 3 seyn muͤsse. Dann da 5 in 15 drey mahl enthalten ist, so muß 5 in 17 nothwendig mehr als 3 mahl begriffen seyn. Dennoch aber ist 5 in 17 auch nicht gar 4 mahl enthalten, weilen 20 diejenige Zahl ist, welche 5 vier mahl in sich begreifft. Aus diesem folget also, daß der wahre
Quotus,
welcher anzeigen soll, wieviel mahl 5 in 17 enthalten sey, groͤsser als 3 und doch kleiner als 4 seyn muͤsse. Da sich nun zwi- schen 3 und 4 keine gantze Zahl befindet, so kan auch dieser
Quotus
keine gantze Zahl seyn; unter- dessen aber ist derselbe doch eine Groͤsse oder Zahl, indem man sagen kan, daß derselbe
Quotus
groͤs- ser als 3 und kleiner als 4 sey. Diese Art von Zahlen nun, welche keine gantze Zahlen sind, werden Bruͤche oder gebrochene Zahlen genennt. Der wahre
Quotus
also, welcher anzeigt, wieviel mahl 5 in 17 enthalten sey, ist folglich ein Bruch, das ist keine gantze Zahl; und von diesem Bruch
er-
erhalten wir zugleich aus diesem seinem Ursprung einen deutlichen Begriff, indem derselbe eine Zahl ist, welche anzeigt, wieviel mahl 5 in 17 enthalten ist.
2)
Ein Bruch oder gebrochene Zahl, das ist der wahre
Quotus,
welcher aus einer
Diuision,
da der
Diuisor
in dem
Diuidendo
nicht just etliche mahl enthalten ist, ent- springt, pflegt also geschrieben zu werden: Man schreibet den
Diuisor
unter den
Diuiden- dum,
und zieht dazwischen eine Linie. Ein Bruch also auf diese Art geschrieben deutet an, wieviel mahl die unter der Linie stehende Zahl in der daruͤber stehenden enthalten sey.
Da wir schon einen kleinen Begriff von ei- nem Bruche erlanget, in dem derselbe eine Zahl ist, welche anzeiget, wieviel mahl eine gegebene Zahl in einer anderen enthalten sey, so wird er- fordert, daß wir einen solchen Bruch auf eine bequeme Art auszudruͤcken suchen. Weilen nun bey einem Bruch nach seinem Ursprung zwey Zahlen in Betrachtung kommen, nehmlich der
Diuidendus
und der
Diuisor;
massen der Bruch den
Quotum
anzeigt, welcher aus einer solchen
Diuision
entspringt: so muͤssen auch in der Schreib- Art, dadurch der Bruch ausgedruͤckt wird, diese beyden Zahlen vorkommen. Dieses ge- schieht nun sehr bequem auf die angefuͤhrte Art, da der
Diuidendus
uͤber den
Diuisor
gesetzet und eine Linie dazwischen gezogen wird. Dann auf
K 5
diese
diese Weise erkennt man zugleich den Ursprung und Werth eines Beuches; in dem auf diese Art der
Quotus
angedeutet wird, welcher her- auskommt, wann man die obere Zahl durch die untere
diuidi
rt. Jn dem vorher gegebenen Exem- pel, da 17 durch 5 sollte
diuidi
ret werden, wird also der
Quotus,
welcher ein Bruch ist, auf diese Art angezeiget
\frac{17}{5}
. Durch diese Schreib- Art wird demnach ein Bruch ausgedrucket, und daraus erkennt man zugleich, was dasselbe fuͤr ein Bruch sey; nehmlich
\frac{17}{5}
ist ein Bruch, und deutet an wieviel mahl 5 in 17 enthalten sey, oder dieser Bruch ist der wahre
Quotus,
der ber- auskommt, wann man 17 durch 5
diuidi
rt. Gleichergestalt wann 8 durch 7 getheilet werden soll, so ist der
Quotus
keine gantze Zahl, sondern ein Bruch und wird also geschrieben
\frac{8}{7}
. Und durch diese Schreib-Art
\frac{5}{3}
wird der
Quotus
ange- deutet, welcher herauskommt, wann man 5 durch 3
diuidi
rt.
3)
Um einen Bruch mit den gantzen Zahlen besser zu vergleichen, so ist zu mer- cken, daß wann die
Unitæt
oder ein gantzes in so viel gleiche Theile zertheilet wird, als die unter der Linie stehende Zahl ausweist, alsdann der Bruch so viel dergleichen Theile enthalte, als die obere Zahl anzeigt.
Diese Art sich einen Begriff von dem Werth eines Bruchs zu machen, scheinet zwar von der
vorigen
vorigen unterschieden zu seyn, kommt aber in der That mit derselben sehr genau uͤberein. Wann nehmlich dieser Bruch
\frac{7}{4}
vorgegeben ist, so deu- tet derselbe nach der ersten Art den
Quotum
an, welcher herauskommt, wann mann 7 durch 4
diuidi
rt. Nach dieser Art aber sagen wir, daß wann ein gantzes in 4 gleiche Theile getheilet wird, der Bruch 7 dergleichen Theile andeute und in sich begreiffe. Die Ubereinstimmung aber die- ser zwey verschiedenen Arten den Werth eines Bruchs zu beschreiben kan auf diese Weise gewie- fen werden. Da
\frac{7}{4}
den
Quotum
andeutet, der herauskommt, wann man 7 durch 4
diuidi
rt, so wird dadurch der vierte Theil von 7 angezeiget, dann 7 durch 4
diuidi
ren ist nichts anders als den vierten Theil von 7 finden. Woraus erhel- let daß ein jeglicher Bruch nichts anders bedeute, als den so vielten Theil der obstehenden Zahl, als die unten stehende ausweiset; welches wieder eine neue Art ist sich den Werth eines Bruchs vorzu- stellen. Weilen nun um bey dem gegebenen Exempel von
\frac{7}{4}
zu bleiben, 7 sieben mahl groͤsser ist als 1, so muß folglich auch der vierte Theil von 7, sieben mahl groͤsser seyn als der vierte Theil von 1. Wann demnach 1 in 4 gleiche Theile getheilet wird, so ist einer derselben der vierte Theil von 1, und also
\frac{7}{4}
sieben mahl groͤsser als ein solcher Theil. Woraus folget daß dieser Bruch
\frac{7}{4}
sieben dergleichen Theile andeute,
derer
derer 4 ein gantzes oder eine
Unitæt
ausmachen. Aus diesem Exempel ist nun leicht zu begreiffen, daß ein jeglicher Bruch, wann man die
Unitæt
oder ein gantzes in so viel gleiche Theile eintheilet als die untere Zahl anzeiget, solcher Theile so viel in sich begreiffe, als die obere Zahl anzeiget. Und hieraus versteht man zugleich, daß diese Art mit der vorigen auf das genaueste uͤbereinstimme.
4)
Wann ein Bruch auf vorbesagte Art geschrieben ist, so wird die uͤber der Linie stehende Zahl der Zehler, die untere aber der Nenner genannt. Ein jeder Bruch aber wird also ausgesprochen; erstlich nennt man den Zehler, und darauf den Nenner mit Hinzusetzung des Worts Theil. Als dieser Bruch
\frac{5}{12}
wird ausgesprochen, fuͤnf zwoͤlfte Theil.
Nach dem Ursprung der Bruͤche aus der
Di- uision
ist die obere Zahl der
Diuidendus
die untere aber der
Diuisor.
Die jetzt gegebene Benennung aber hat ihren Grund in der eben vorher ange- zeigten Eigenschaft der Bruͤche, da einjeder Bruch, wann die
Unitæt
oder ein gantzes in so viel gleiche Theile getheilet wird als die untere Zahl anzeiget, dergleichen Theile so viel in sich begreifft als die obere Zahl ausweist. Dann da die obere Zahl die Anzahl solcher Theile angibt, so wird dieselbe daher fuͤglich der Zehler genannt. Die untere Zahl heißt aber deswegen der Nenner, weil die- selbe die Art dieser Theile benennet, in dem sie
an-
anzeigt, wieviel dergleichen Theile ein gantzes ausmachen. Also ist in diesem Bruch
\frac{7}{10}
die obere Zahl 7 der Zehler, die untere Zahl 10 aber der Nenner. Und da man sich den Jnhalt also vorstellt, daß, wann die
Unitæt
oder ein gan- tzes in zehen gleiche Theile getheilet wuͤrde, der- selbe 7 dergleichen Theile in sich enthalte; so kan derselbe also fuͤglich mit Worten ausgespro- chen werden, sieben zehente Theile eines gantzen. Dann weilen man sich hier die
Unitæt
in zehen gleiche Theile getheilet vorstellt, so ist ein solcher Theil der zehnte Theil eines gantzen, und sieben dergleichen, so viel nehmlich der Bruch
\frac{7}{10}
be- greifft, sind sieben zehnte Theile eines gantzen. Der letzten Zusatz aber
eines gantzen
, weilen derselbe bey allen Bruͤchen vorkommt, pflegt ge- meiniglich der Kuͤrtze halben ausgelassen zu wer- den, so daß dieser Bruch
\frac{7}{10}
nur sieben zehnte Theil genannt wird. Gleichergestalt heisst dieser Bruch
\frac{15}{28}
fuͤnfzehn acht und zwantzigste Theil, und dieser ¾ drey vierte Theil. Jst der Zehler 1 so deutet ein solcher Bruch einen solchen Theil an, dergleichen so viel, als der Nenner anzeiget, ein gantzes ausmachen. Demnach heisst dieser Bruch ⅓ im dritter Theil, oder welches gleich- viel ein Drittel; also heisst ¼ ein Viertel; ⅕ ein Fuͤnftel, und so fort. Jst aber der Nenner 2, so wird anstatt zweyte Theil oder Zweytel ge-
sagt
sagt halbe, als ½ heisst ein halbes,
\frac{3}{2}
drey hal- be, und so fort an. Hieraus laͤsst sich nun so wohl die Schreib-Art als Benennung der Bruͤche leicht verstehen; zu Erkennung des Werths oder wahren Jnhalts der Bruͤche aber wird ausser dem, was schon allbereits ist angebracht worden, folgendes dienen.
5)
Jst in einem Bruch der Zehler klei- ner als der Nenner, so ist auch der Bruch selber kleiner als ein gantzes oder als 1. Jst aber der Zehler g oͤsser als der Nenner, so ist auch der Jnhalt des Bruchs groͤsser als 1. Ein Bruch aber, da der Zehler dem Nen- ner gleich ist, haͤlt just ein gantzes.
Die Wahrheit dieses, was hier ist vorge- bracht worden, laͤsst sich aus den beyden Arten nach denen wir uns die Bruͤche vorgestellt, leicht erweisen. Dann da nach der ersten Art ein Bruch den wahren
Quotum
anzeiget, welcher herauskommt, wann man die obere Zahl durch die untere
diuidi
rt: so ist klar, daß wann die obere Zahl kleiner ist als die untere, diese in je- ner nicht ein mahl, sonderen weniger mahl darin- nen enthalten sey; weswegen in solchem Fall der
Quotus
das ist der Jnhalt des Bruchs klei- ner als 1 seyn muß. Als
\frac{3}{7}
deutet den
Quotum
an, welcher herauskommt, wann man 3 durch 7
diuidi
rt. Nun aber ist 7 in drey nicht ein mahl enthalten, dann 1 mahl 7 macht 7 das ist mehr
als
als 3; dennoch aber ist 7 in 3 mehr als kein mahl oder 0 mahl enthalten, dann 0 mahl 7 macht 0, das ist weniger als 3. Hieraus folget also daß dieser Bruch
\frac{3}{7}
oder der wahre
Quotus,
so herauskommt, wann 3 durch 7
diuidi
rt wird, kleiner sey als 1, und doch groͤsser als nichts. Auf gleiche Weise sieht man, daß wann die obere Zahl groͤsser ist als die untere, alsdann diese in jener mehr als ein mahl enthalten und folglich der Jnhalt des Bruches groͤsser als 1 seyn muͤsse. Also ist
\frac{7}{5}
groͤsser als 1, dann wann ich 7 durch 5
diuidire,
so kommt in
Quo- tum
1 und bleibt noch 2 uͤber, weswegen der wahre
Quotus
das ist der Werth des Bruchs
\frac{7}{5}
groͤsser seyn muß als 1. Jngleichem gibt es auch Bruͤche welche groͤsser sind als 2, 3, 4, und so fort; als
\frac{15}{4}
ist groͤsser als 3, und
\frac{30}{7}
groͤs- ser als 4, wie aus der
Diuision
erhellet. Daß aber ein Bruch, in welchem der Zehler dem Nenner gleich ist, just 1 ausmache, laͤsst sich hieraus auch leicht ersehen. Dann da die obere Zahl der unteren gleich ist, so ist diese in jener just ein mahl ent- halten, und also der wahre
Quotus
1. Nehm- lich
\frac{4}{4}
ist so viel als 1: dann
\frac{4}{4}
ist der
Quotus
so herauskommt, wann man 4 durch 4
diuidi
rt; dieser
Quotus
aber ist 1 ohne Rest, und also ist
\frac{4}{4}
so viel als 1. Gleicher massen gibt es auch Bruͤche, welche 2, 3, oder eine andere gantze
Zahl
Zahl ausmachen: also ist
\frac{6}{3}
so viel als 2;
\frac{12}{4}
so viel als 3. Dergleichen Bruͤche aber sind ei- gentlich keine Bruͤche, in dem ihr Werth durch gantze Zahlen angegeben werden kan. Weilen aber doch die Schreib-Art die Gestalt eines Bruchs hat, so werden solche Bruͤche Schein-Bruͤche oder scheinbare Bruͤche genennt, und werden in der Bruͤche-Rechnung auch gebraucht. Solche Schein-Bruͤche sind alle diejenige, deren Nen- ner 1 ist; dann da eine jegliche Zahl durch 1
di- uidi
rt selbst wieder herauskommt, so traͤgt ein solcher Bruch eben so viel aus, als sein Zehler an- zeiget. Nehmlich
\frac{7}{1}
ist 7, und
\frac{13}{1}
ist 13. Auf diese Art kan also eine jede gantze Zahl in die Gestalt eines Bruchs gebracht werden, wel- ches in der Bruch-Rechnung oͤfters noͤthig ist. Alles dieses aber, was wir aus unserem ersten Begriff der Bruͤchen hergeleitet, folget gleicher massen auch aus dem anderen und noch leichter. Dann da man ein gantzes in so viel Theile theilt, als der Nenner eines Bruchs anzeiget, und der Bruch selbst alsdann dergleichen Theile so viel enthaͤlt, als der Zehler anweist; so ist klar daß wann der Zehler dem Nenner gleich ist, alsdann der Bruch eben so viel Theile enthalte, als ein gantzes ausmachen, und folglich selbst ein gantzes betrage. Und weilen ferner ein gantzes so viel Theile haͤlt, als der Nenner ausweist, so muß ein Bruch, dessen Zehler kleiner ist als der Nenner,
kleiner
kleiner als 1, und ein Bruch dessen Zehier gros- ser ist als der Nenner groͤsser als 1 seyn. Dann in jenem Fall sind weniger Theile, in diesem aber mehr enthalten als zu einem gantzen erfordert werden.
6)
Ein Bruch welcher groͤsser ist als 1, oder in welchem der Zehler groͤsser ist als der Nenner, kan folgender gestalt in zwey Glieder zerleget werden, davon eines eine gantze Zahl, das andere aber ein Bruch ist, welcher kleiner als ein gantzes. Nehmlich man
diuidi
rt den Zehler durch den Nenner auf die in der
Diuision
beschriebene Art, und da gibt der
Quotus
das eine Glied nehmlich die gantze Zahl, der Rest aber gibt fuͤr das zweyte gebrochene Glied den Zehler, wozu der vorige Nenner genommen wird.
Um den Jnhalt dieses Satzes deutlicher zu machen, so sey gegeben dieser Bruch
\frac{20}{3}
; wel- cher groͤsser ist als 1, weilen der Zehler groͤsser ist als der Nenner. Nun um zu wissen wieviel gantze in diesem Bruch enthalten sind, und ausser denselben was fuͤr ein Bruch, so
diuidi
rt man den Zehler 20 durch den Nenner 3; da dann in
Quotum
6 gantze kommen und noch 2 fuͤr den Rest zuruͤck bleiben. Dieser Rest 2 gibt nun den Zehler des Bruchs, dessen Nenner ist 3 nehmlich ⅔. Hierauf sagt man daß der vorge- legte Bruch
\frac{20}{3}
so viel sey als 6 gantze nebst ⅔,
L
welche
welche gantze Zahl nebst dem Bruch also geschrie- ben zu werden pflegt 6⅔; da der Bruch hinter die gantze Zahl gesetzt wird, und heisst eine solche Ausdruͤckung eine gantze Zahl nebst einem Bruch. Also ist
\frac{20}{3}
eben so viel als 6⅔; gleicherge- stalt ist
\frac{33}{7}
so viel als 4
\frac{5}{7}
; und
\frac{51}{11}
so viel als 4
\frac{7}{11}
. Dann wann man 33 durch ‒
di- uidi
rt so kommen in
Quotum
4 gantze, und in Rest 5 woraus der angehaͤngte Bruch
\frac{5}{7}
ent- stehet.
Diuidi
rt man aber 51 durch 11 so kom- men in
Quotum
4 gantze und restiren noch 7 da- her der Bruch
\frac{7}{11}
entspringet. Auf diese Art erkennt man also gleich, wieviel gantze in einem Bruche enthalten sind, und was fuͤr ein Bruch noch ausser denselben dazu gehoͤre. Man findet nemlich eine gantze Zahl nebst einem Bruche, wel- che zusammen eben so viel ausmachen, als der vor- gelegte Bruch. Durch diese
Operation
erhaͤlt man also einen deutlichern Begriff von einem Bruch, indem man erkennet, wieviel derselbe gan- tze und nebst denselben noch was fuͤr einen Brnch in sich begreiffe. Es ist aber klar, daß dieser an- gehaͤngte Bruch allezeit kleiner seyn als ein gantzes, dann sein Zehler ist der aus der
Diuision
entsprun- gene Rest, welcher allezeit kleiner ist als der Theiler, so zum Nenner gemacht wird. Die- semnach wird die Erkenntniß eines jeglichen Bru- ches, so groͤsser ist als ein gantzes, auf die Er-
kentniß
kentniß eines Bruches der kleiner ist als 1 ge- bracht, so daß wer sich einen deutlichen Begriff von Bruͤchen die kleiner sind als 1, zuwegen gebracht hat, derselbe zugleich von allen anderen Bruͤchen einen deutlichen Begriff erhaͤlt. Also wer weiß was ⅓ ist, derselbe weiß zugleich was
\frac{10}{3}
bedeutet, in dem
\frac{10}{3}
so viel ist als 3⅓ das ist 3 gantze nebst ⅓. Dieses dienet nun zur Erlaͤuterung und Gebrauch der gegebenen Re- gel; der Grund davon aber weiset sich leicht aus der Natur der Bruͤche. Dann da der Jnhalt eines jeglichen Bruchs nichts anders ist als der wahre
Quotus
so herauskommt, wann man die obere Zahl, das ist den Zehler durch die untere oder den Nenner
diuidi
rt; so kan dieser Jnhalt durch die wuͤrckliche
Diuision
gefunden werden. Durch die
Diuision
findet man aber erstlich eine gantze Zahl in den
Quotum,
welche aber nicht den voͤlligen und wahren
Quotum
ausmacht, wann noch ein Rest vorhanden ist. Dann um den voͤlligen
Quotum
zu bekommen, so muͤste noch der Rest durch den
Diuisor diuidi
rt, und was herauskommt zu dem gefundenen
Quoto
ge- setzt werden. Diese
Diuision
des Rests nun durch den
Diuisorem
geschieht vermittelst eines Bruchs da der Rest zum Zehler, der Theiler aber zum Nenner genommen wird. Jn solchem Fall ist also der wahre
Quotus
nichts anders als der ge- fundene
Quotus
in gantzen Zahlen nebst dem
L 2
Bruch
Bruch dessen Zehler der Rest, der Nenner aber der Theiler oder des vorigen Bruchs Nenner selbst ist. Da also ein jeder Bruch nichts anders ist, als der voͤllige
Quotus,
der herauskommt, wann man den Zehler durch den Nenner
diuidi
rt, so ist derselbe auch gleich dem auf beschriebene Art durch die
Diuision
gefundenen voͤlligen
Quoto;
nehmlich der durch die
Diuision
fuͤr den
Quotum
gefundenen gantzen Zahl, nebst dem Bruch dessen Zehler der zuruͤck gebliebene Rest, der Nenner aber eben des vorigen Bruchs Nenner ist. Die- ses ist demnach der Grund der gegebenen Regul, durch welche man einen Bruch, der groͤsser ist als 1, jn eine gantze Zahl nebst einem Bruch verwandelt.
7)
Eine gantze Zahl nebst einem Bruch wird in einen einzelen Bruch verwandelt, wann man die gantze Zahl mit dem Nenner des Bruchs
multiplici
rt und zum
Product
den Zehler des Bruchs
addi
rt, da dann diese Sum̃ den Zehler des gesuchten eintzelen Bruchs, der vorige Nenner aber den Nenner abgibt.
Diese
Operation
ist nichts anders als eine Verkehrung der vorigen, dann vorher haben wir gelehret einen Bruch der groͤsser ist als ein gantzes, in eine gantze Zahl nebst einem Bruche verwan- deln. Hier aber ist die
Operation
umgekehrt, und wird gelehrt, wie man eine gantze Zahl nebst einem Bruche wiederum in einen eintzelen Bruch verwandeln soll.
Beyde
Operation
en haben
ihren
ihren grossen Nutzen: denn durch die erste erhaͤlt man, wie schon gemeldt, einen deutlichern Begriff von dem Jnhalt oder Werth eines Bruchs, die andere aber ist in denen folgenden
Operation
en mit dem Bruͤchen hoͤchst noͤthig, da um dieselben zu bewerckstelligen gemeiniglich eine gantze Zahl nebst angehaͤngtem Bruche in einen einzelen Bruch verwandelt werden muß. Die gegebene Regel verhaͤlt sich nun also: es sey gegeben 7⅔ nehmlich eine gantze Zahl 7 nebst dem Bruch ⅔; wor- aus ein einzeler Bruch gemacht werden soll. Man
multiplici
rt also 7 mit 3, und zum
Product
21 thut man 2, so bekommt man 23 fuͤr den Zehler des gesuchten Bruchs, dessen Nenner ist 3, nehmlich
\frac{23}{3}
. Daß nun dieser Bruch
\frac{23}{3}
eben so viel sey als 7⅔, erhaͤlt aus dem vorigen Satz’ dadurch
\frac{23}{3}
in 7⅔ verwandelt wird. Der Grund selbst aber von dieser Verwandlung ist dieser: Eine jede Zahl nebst angehaͤngtem Bru- che kan angesehen werden, als ein aus der
Diui- sion
entsprungener wahrer
Quotus,
da der Nen- ner des angehaͤngten Bruchs der
Diuisor,
die gantze Zahl der
Quotus
in gantzen Zahlen, wie derselbe in der
Diuision
ist gefunden worden; der der Zehler des Bruchs aber der Rest ist. Jn dieser
Diuision
fragt sich also der
Diuidendus,
welcher so er bekannt ist, sogleich einen einzelen Bruch dargibt, dadurch der wahre
Quotus,
L 3
das
das ist die vorgegebene gantze Zahl nebst dem an- gehaͤngten Bruch ausgedrucket wird; nehmlich der
Diuidendus
gibt den Zehler, der
Diuisor
aber den Nenner dieses gesuchten Bruchs. Aus dem
Diuisore
aber,
Quoto
und Rest wird der
Diui- dendus
gefunden, wann man den
Quotum
mit dem
Diuisore multiplici
rt, und dazu den Rest setzt. Weilen nun der
Diuidendus
den Zehler des gesuchten Bruchs gibt, so wird derselbe ge- funden, wann man die gantze Zahl mit dem Nenner des Bruchs
multiplici
rt und zum
Product
den Zehler hinzusetzt. Der Nenner aber dieses Bruchs ist der
Diuisor,
das ist der Nenner des an- gehaͤngten Bruchs selbst. Dieses beruhet alles auf der Natur der
Diuision,
und demjenigen was im vorigen Satz von Findung des wahren
Quoti
aus dem Rest ist angebracht worden. Nach dieser Regel erkennt man also das 2⅓ so viel ist als
\frac{7}{3}
dann 2 mahl 3 macht 6 und 1 dazu gibt 7 fuͤr den Zehler des einzelen Bruchs, dessen Nenner wie vor 3 ist. Gleichergestalt ist 5¾ so viel als
\frac{23}{4}
; dann 4 mahl 5 ist 20 und 3 dazu gibt 23. Also ist 128
\frac{173}{320}
so viel als
\frac{41133}{320}
, wie aus beygefuͤgter
Operation
zu sehen.
8)
Ein
8)
Ein Bruch bleibt seinem Werth nach unveraͤndert; wann man so wohl den Nen- ner als den Zehler durch eine beliebige Zahl
multiplici
rt. Und gleichergestalt beyaͤlt auch ein Bruch seinen vorigen Werth, wann man beydes den Zehler und Nenner durch eine be- liebige Zahl
diuidi
rt. Woraus also erhellet, daß ein jeglicher Bruch ohne seinen Werth zu veraͤndereu auf unendlich vielerley Arten vorgestellet werden koͤnne.
Diesen Satz zu erklaͤren, so last uns diesen Bruch ⅔ zum Exempel dienen; wann desselben Zehler und Nenner mit 2
multiplici
rt wird, so kommt dieser Bruch heraus
\frac{4}{6}
; welcher dem Jnhalt nach dem vorigen Bruch ⅔ vollkommen gleich ist. Wann nun ferner eben dieses Bruchs ⅔ Zehler und Nenner durch 3
multiplici
rt wird, so hat man
\frac{6}{9}
; welcher wiederum so viel ist als ⅔. Wann man also fortfaͤhrt durch 4, 5, 6 und so fort an zu
multiplici
ren, so kommen fol- gende Bruͤche heraus
\frac{8}{12}
,
\frac{10}{15}
,
\frac{12}{18}
, und so weiter fort; welche alle eben so viel halten als ⅔. Gleichergestalt sind auch alle folgenden Bruͤche ½,
\frac{2}{4}
,
\frac{3}{6}
,
\frac{4}{8}
,
\frac{5}{10}
,
\frac{6}{12}
, und so fort einan- der gleich, und ist ein jeglicher davon so viel als ein halbes.
Es kan allso eben derselbige Bruch auf unend- lich vielerley Arten vorgestellet werden, indem
L 4
wenn
wenn so wohl der Zehler als Nenner durch eine jegliche Zahl
multiplici
rt wird; ein Bruch heraus kommt, der dem vorigen gleich ist. Auf diese Weise aber nehmlich durch das
multiplici
ren er- halt man allzeit Bruͤche, welche aus groͤsseren Zahlen bestehen als der vorgelegte. Es ist aber klar, daß man hinwiederum aus diesen aus gros- sen Zahlen bestehenden Bruͤchen diejenigen muͤsse finden koͤnnen, welche aus kleinern Zahlen beste- hen, und aus welchen jene durch die
Multiplica- tion
entstanden sind. Dieses geschicht nun durch die
Diuision,
da beydes der Nenner und Zehler durch eine beliebige Zahl
diuidi
rt wird, wann nehmlich die
Diuision
angeht. Dann gleich wie aus diesem Bruche ⅗; wenn oben und unten durch 7
multiplici
rt wird, dieser
\frac{21}{35}
entspringt, so erhaͤlt man hinwiederum aus diesem Bruche
\frac{21}{35}
den vorigen ⅗, wann man beydes den Nen- ner und Zehler durch 7
diuidi
rt. Aus diesen zweyerley Arten einen Bruch in andere Formen zu verwandeln, sieht man nun, daß man Bruͤche angeben koͤnne, welche so wohl aus aroͤsseren als kleineren Zahlen, als ein vorgegebener Bruch ist, bestehen, und demselben dennoch dem Werth nach gleich sind; Deren jenes vermittelst der
Multi- plication,
dieses aber durch die
Diuision
geschicht. Hiebey aber ist zum voraus zu erinnern, daß man diese beyden
Operatio
nen der
Multiplication
und
Diuision
nicht mit der eigentlichen
Multiplication
und
und
Diuision
der Bruͤche
confundi
re; dann auf die jetzt beschriebene Art, wird ein Bruch nur in eine andere Gestalt gebracht, ohne seinen Werth zu veraͤnderen; Wann aber ein Bruch entweder
multiplici
rt oder
diuidi
rt werden soll, so suchet man einen Bruch, welcher entweder groͤs- ser oder kleiner seyn soll als der vorgelegte; so daß diese
Operatio
nen, welche zu den
Speciebus
der Bruͤche gehoͤren, von der hier beschriebenen Ver- wandlung gaͤntzlich unterschieden sind. Um nun auf den Grund dieser Verwandlung, da ein Bruch in eine andere
Form
ohne seinen Werth zu ver- aͤndern gebracht wird, zu kommen, so muß der- selbe aus der Natur der Bruͤche selbst hergeleitet werden; wobey dann vor allen Dingen zu merken ist, daß ein Bruch nichts anders ist als der wahre
Quotus,
welcher herauskomt, wann man den Zehler durch den Nenner
diuidi
rt. Ein jeglicher Bruch zeiget demnach an, wieviel mahl der Nen- ner im Zehler enthalten sey. Es ist aber klar, daß so viel mahl bey einem Bruche der Nenner im Zehler enthalten ist, eben so vielmal der doppelte Nenner im doppelten Zehler enthalten sey; und folglich auch eben so viel mal der halbe Nenner im halben Zehler: woraus dann erhellet, daß wann man beydes den Nenner und Zehler eines Bruchs durch 2 entweder
multiplici
rt oder
diui- di
rt, der hieraus entstehende Bruch eben so viel betrage als der vorgegebene. Gleich wie man nun leicht sieht, daß was hier von der Zahl 2 gesagt
L 5
worden
worden, seine Richtigkeit hat; so laͤßt sich eben das- selbe von der Zahl 3, 4, und so gar von einer jeglichen Zahl begreiffen. Hieraus folget nun der vorgebrachte Satz, daß ein Bruch an seinem Werth nichts verliere, wann gleich beydes der Zehler und Nenner durch eine jegliche beliebige Zahl entweder
multiplici
rt oder
diuidi
rt werden. Zu fernerer Erlaͤuterung dieser
Operation
durch die
Multiplication
koͤnnen folgende Exempel dienen.
\frac{4}{7}
ist so viel als
\frac{8}{14}
oder
\frac{12}{21}
oder
\frac{16}{28}
. Jmgleichen 2⅓ ist so viel als 2
\frac{2}{6}
oder 2
\frac{3}{9}
, weilen
\frac{2}{6}
und
\frac{3}{9}
so viel sind als ⅓ und die gantze Zahl 2 bey allen einerley ist. Gleicher Ge- stalt ist 3 so viel als
\frac{6}{2}
,
item
als
\frac{9}{3}
,
item
als
\frac{12}{4}
, und so fort; dann 3 ist so viel als
\frac{3}{1}
, wann man nun oben und unten durch 2 oder 3, oder 4
multiplici
rt, so kommen
\frac{6}{2}
,
\frac{9}{3}
, und
\frac{12}{4}
her- aus, welche Bruͤche folglich so viel sind als 3. Hieraus sieht man nun, daß man eine jegliche gantze Zahl in eine Bruchs Form verwandeln kan, von einem beliebigen Nenner, als wann man ei- nen Bruche verlangte, der so viel ist als 5 und dessen Nenner 6 seyn soll, so hat man
\frac{30}{6}
.
Um Exempel von dieser
Operation
durch die
Diuision
anzufuͤbren, so muß man solche Bruͤche nehmen, deren Nenner und Zehler sich durch eine Zahl theilen lassen, welches nicht bey allen angeht.
Dahero
Dahero obgleich die
Multiplication
bey allen Bruͤ- chen Statt findet, so kan doch die
Diuision
nur bey solchen angebracht werden, in welchen der Zehler und Nenner sich durch eine gemeine Zahl theilen lassen. Wann also ein Bruch nicht so be- schaffen ist, so kan derselbe durch die
Diuision
in keine andere Form gebracht und folglich nicht durch kleinere Zahlen ausgedrucket werden. Ein solcher Bruch ist
\frac{8}{15}
, da keine Zahl zugleich 8 und 15 theilet, weswegen der Jnhalt dieses Bruchs durch kleinere Zahl nicht ausgedruͤcket werden kan. Dann obgleich 1 oder die
Unit et
so wohl 8 als 15 theilet, so wird durch diese
Diuision
die Form des Bruchs nicht veraͤndert. Wann aber dieser Bruch
\frac{36}{60}
vorkommen sollte, so sieht man, daß beydes der Zehler und Nenner sich durch 2
diui- dir
en lasse, dadurch wird aber dieser Bruch in diesen
\frac{18}{30}
verwandelt. Jn diesem Bruche
\frac{18}{30}
aber lassen sich wiederum beyde Zahlen durch 2 theilen, wodurch man diesen Bruch
\frac{9}{15}
bekommt. Ferner lassen sich auch hier beyde Zahlen wieder- um durch 3 Theilen, da dann heraus komt ⅗, wel- cher Bruch folglich so viel ist als
\frac{36}{60}
, und aus diesem auf einmal haͤtte koͤnnen heraus gebracht werden, wann man gesehen haͤtte, daß sich beyde Zahlen 36 und 60 durch 12 theilen lassen. Dann wann den Zehler und Nenner dieses Bruchs
\frac{36}{60}
durch
durch 12
diuidi
rt, so kommen ⅗ heraus. Wei- len nun bey dieser
Operation,
welche durch die
Diuision
geschicht, und dadurch ein Bruch in klei- nere Zahlen gebracht wird, vor allen Dingen zu wissen noͤthig ist, ob sich beyde Zahlen eines Bruchs durch eine gemeine Zahl theilen lassen, und ferner was dieser Theiler fuͤr eine Zahl ist, so wollen wir in folgenden Saͤtzen dazu Anleitung geben.
9)
Um einiger massen zu sehen, ob eine vorgegebene Zahl durch andere getheilt wer- den koͤnne, hat man nachfolgende Regeln, welche bey der Verkleinerung der Bruͤche wohl in Acht genommen zu werden verdienen.
1. Durch 2 lassen sich alle diejenigen Zah- len theilen, deren letzte
Figur
nach der rech- ten Hand sich durch 2 theilen laͤßt.
2. Durch 4 laͤßt sich eine Zahl theilen, wann sich die zwey letsten Zahlen gegen der rechten durch 4 theilen lassen.
3. Durch 8 laͤsst sich eine Zahl theilen, wann die drey letzten Zahlen gegen der Rech- ten durch 8 getheilt werden koͤnnen.
4. Durch 5 laͤsst sich eine Zahl theilen, wann die letste
Figur
nach der Rechten ent- weder 5 ist oder 0.
5. Durch 10 lassen sich keine anderen Zah- len theilen, als deren letzte
Figur
nach der Rechten 0 ist.
6. Durch
6. Durch 3 laͤsst sich eine Zahl theilen, wann sich die Summ von allen
Figur
en, aus welchen die Zahl besteht, durch 3 theilen laͤsst.
7. Durch 9 laͤsst sich eine Zahl theilen, wann sich gleichfals die Summ aller
Figur
en durch 9 theilen laͤsst.
8. Durch 6 lassen sich alle diejenigen Zah- len theilen, welche zugleich durch 2 und durch 3 getheilt werden koͤnnen.
Ob sich aber eine Zahl durch 7 theilen lasse oder nicht, kan nicht wohl eine kuͤrtzere und bequemmere Regel gegeben werden, als daß man die Sach durch die wuͤrckliche
Di- uision
versuche.
Der Grund dieser Regeln beruhet auf der angenommenen Art alle Zahlen durch
Unitæten, Decaden, Centenatios, Millenarios
und so fort auszudrucken; weswegen zu mehrerer Erlaͤu- terung nicht undienlich seyn wird die Gewisheit derselben mit mehrerem auszufuͤhren; insonder- heit, da dieselben gemeiniglich ohne allen Be- weisthum vorgetragen zu werden pflegen. Wir betrachten also eine jegliche Zahl aus so viel Thei- len zusammen gesetzt, als viel Figuren dieselbe besteht, so daß ein Theil die
Unitæten,
der zweyte die
Decades,
der dritte die
Centenarios
und so fort enthaͤlt. Was nun die erste Regel betrifft, so ist zu betrachten, daß sich die
Deca- des, Centenarii, Millenarii
und so weiter alle durch 2 theilen lassen. Wann sich demnach
auch
auch die
Unitæten
durch 2 theilen lassen, so laͤst sich auch die gantze Zahl durch 2 theilen; dieses aber geschieht, wann sich die letzte Figur nach der rechten Hand durch 2 theilen laͤst, oder wann dieselbe ist entweder 0 oder 2, 4, 6, 8. Hierauf beruhen auch die 4te und 5te Regel; dann die
Decades, Centenarii, Millenarii
und folgende lassen sich fuͤr sich durch 5 und durch 10 Theilen: Derowegen wann auch die
Unitæten
durch 5 oder 10 getheilet werden koͤnnen, so laͤst sich auch die gantze Zahl dadurch theilen. Nun aber enthaͤlt die letzte Figur von der rechten die
Unitæten;
und folglich laͤst sich eine Zahl durch 5 oder 10 theilen, wann sich die letzte Figur da- durch theilen laͤst, das ist fuͤr den ersteren Fall nehmlich 5 wann die letzte Figur entweder 0 oder 5 ist, im anderen Fall fuͤr 10 aber wann die letzte Figur 0 ist. Die zweyte Regel zu beweisen so ist zu mercken, daß sich alle
Centenarii, Mil- lenarii,
und so fort durch 4 theilen lassen; wann sich demnach die
Decades
zusammt den
Unitæten
auch durch 4 theilen lassen, so wird die gantze Zahl durch 4 koͤnnen getheilet werden. Die zwey letzteren Figuren aber nach der rechten Hand ent- halten die
Decades
und
Unitates,
und folglich kommt die gantze Sache darauf an, ob sich diese zwey Zahlen, oder vielmehr die Zahl, welche dadurch angedeutet wird, durch 4 theilen laͤst; also laͤst sich 1736 durch 4 theilen, weil 36 dadurch getheilet werden kan. Eine gleiche Bewaͤndnuͤß
hat
hat es auch mit der dritten Regel, dann weil sich 1000 durch 8 theilen laͤst, so lassen sich auch alle
Millenarii
und folgende hoͤhere Sorten durch 8 theilen; Derowegen wann sich in einer Zahl die
Centenarii, Decades,
und
Unitæten
insge- sammt durch 8 theilen lassen, so wird auch die voͤllige Zahl durch 8 getheilet werden koͤnnen; dieses aber geschieht, wann sich die Zahl, welche durch die drey letzten Figuren nach der rechten angedeutet wird, durch 8 theilen laͤst. Also laͤst sich diese Zahl 13896 durch 8 theilen, weilen 896 dadurch getheilet werden kan. Der Beweiß der 6ten und 7ten Regel hat mehr Schwierigkeit, den- noch aber kan derselbe auf folgende Art vorge- bracht werden. Wann eine Anzahl
Decaden,
oder
Centenarii,
oder
Millenarii
oder hoͤhere Sorten durch 3 oder 9 getheilet werden, so bleibt eben so viel uͤber, als wann eine gleiche Anzahl
Unitæten
durch 3 oder 9 waͤre getheilet worden; als wann 700 durch 3 oder 9 getheilet wird, so bleibt eben so viel uͤber, als wann 7 allein dadurch getheilet wuͤrde. Wann also eine Zahl, so aus viel Figuren besteht durch 3 oder 9 getheilet wird, so bleibt eben so viel uͤber, als wann alle Figuren nur
Unitæten
bedeuteten, und alle zusammen ge- nommen durch 3 oder 9
diuidi
rt wuͤrden. Wei- len sich nun eine Zahl durch eine andere theilen laͤst, wann nichts uͤberbleibt, so wird sich eine jegliche Zahl durch 3 oder 9 theilen lassen, wann sich die Summ aller Figuren dadurch theilen laͤst.
Also
Also last sich 1737 durch 3 und 9 theilen, dann die Summ der Figuren macht 18, welche Zahl durch 3 und 9 getheilet werden kan. Bey grossen Zahlen wann die Summ der Figuren selbst wie- der groß wird, und aus etlichen Figuren besteht, so kan dieser Vortheil wieder angebracht, und die Summ dieser Figuren selbst untersuchet werden. Als wann gefragt wuͤrde, ob sich diese Zahl
5 9 8 7 6 2 5 7 9 8 6 3 4
durch 3 oder 9 theilen lasse, so
addi
re man alle Figuren zusammen, da dann 79 herauskommt; dieser Zahl Figuren zusammen machen nun ferner 16, und weil diese Zahl noch aus zwey Figuren besteht, so
addi
re man dieselben noch mahls zusam- men, da dann 7 herauskommt. Woraus er- hellet, daß wann die vorgegebene Zahl durch 3 oder 9
diuidi
rt werden sollte, eben so viel uͤber- bleiben wuͤrde, als wann 7 dadurch getheilet wurde, nehmlich im erstern Fall 1, im letzten 7. Die 8te Regel folget aus der ersten und sechsten, dann wann sich eine Zahl in zwey und zugleich auch in drey gleiche Theile zertheilen laͤst, so laͤst sich dieselbe auch in 6 gleiche Theile theilen. Endlich ist zu mercken, daß man durch alle diese Regeln nicht nur erkennt, ob sich eine Zahl durch eine solche vorgeschriebene theilen lasse oder nicht, sondern auch wieviel im letzteren Fall uͤbrig bleibe, wie aus dem letzt-angebrachten Exempel von 3
und
und 9 zu ersehen, obgleich dieses zu unserem jetzi- gen Vorhaben nicht dienet, in anderen Faͤllen aber dennoch von grossem Vortheil seyn kan. Wann man nun diese Regeln wohl im Kopfe hat, so kan man oͤfters bey einem vorgegebenen Bruche gleich sehen, ob sich beydes der Zehler und Nen- ner durch eine gemeine Zahl theilen lassen, und ob folglich der Bruch in einen anderen gleiches Werths, der aber aus kleineren Zahlen besteht, verwandelt werden koͤnne. Dann zu Erkennung der Bruͤche tragt sehr viel bey, wann die Zahlen daraus derselbe besteht so klein sind als moͤglich; und ist also die Verkleinerung der Bruͤche zu deutlicherem Begriff derselben hoͤchst nuͤtzlich. De- rowegen wird nicht undienlich seyn einige Exem- pel vorzubringen, in welchen Bruͤche vermittelst der gegebenen Regeln in leichtere verwandelt wer- den.
1. Es sey uns dieser Bruch
\frac{122}{356}
vorgeleget, in welchem wir nach der ersten Regel sehen, daß sich beyde Zahlen durch 2 theilen lassen, weilen die letzten Figuren derselben 2 und 6 dadurch ge- theilt werden koͤnnen: wann wir derohalben den Zehler und Nenner durch 2
diuidi
ren, so kommt dieser Bruch heraus
\frac{61}{178}
, welcher dem vorge- legten gleich ist.
2. Wenn dieser Bruch
\frac{368}{1032}
vorkame, so saͤhe man nach der zweyten Regel gleich, daß bey- de Zahlen sich durch 4 theilen lassen, weilen die
M
zwey
zwey letzteren Figuren davon nehmlich 68 und 32 dadurch theilbar sind. Ja man kan hier so gar die dritte Regel anbringen und sehen, daß sich beyden Zahlen durch 8 theilen lassen, weilen die drey letzten Figuren, nehmlich 368 und 032, das ist 32 durch 8 theilbar sind. Wann man dem- nach durch 8
diuidi
rt, so wird der vorgelegte Bruch in diesen
\frac{46}{129}
verwandelt. Hiebey aber ist zu erinneren, daß man nicht noͤthig habe sich viel Muͤhe fuͤr die 2te und 3te Regel zu geben, indem der Gebrauch der ersten beyde in sich be- greifft; als im vorgegebenen Bruche
\frac{368}{1032}
kan genug seyn, wann man sieht, daß sich beyde Zah- len durch 2 theilen lassen, wodurch also dieser Bruch
\frac{184}{516}
herauskommt; bey welchem man sieht, daß beyde Zahlen sich nochmahls durch 2 theilen lassen, da man dann
\frac{92}{258}
bekommt. Hier sieht man nun wiederum leicht, daß beyde Zahlen noch durch 2 theilbar sind, durch welche
Diuision
der oben gefundene Bruch
\frac{46}{129}
herauskommt.
3. Wann dieser Bruch vorkaͤme
\frac{7350}{8900}
so sehe man nach der fuͤnfften Regel gleich, daß bey- de Zahlen durch 10 theilbar sind, weswegen nach verrichteter
Diuision
durch 10 dieser Bruch
\frac{735}{890}
herauskommt. Bey diesem Bruche kan ferner die vierte Regel Statt finden, weilen die obere
Zahl
Zahl sich mit 5, die untere aber mit 0 endigt; daher beyde durch 5 theilbar sind. Wann man nun beyde Zahlen durch 5
diuidi
rt, so bekommt man diesen Bruch
\frac{147}{178}
, welcher eben so viel haͤlt als der vorgelegte
\frac{7350}{8900}
. Hiebey ist nun zu merken; daß diejenigen Bruͤche, deren Nen- ner und Zehler sich durch 10 theilen lassen und folglich mit einer oder mehr
Nullen
sich endigen, am leichtesten zu kleineren Zahlen koͤnnen gebracht werden, indem man nur noͤhtig hat oben und un- ten eine oder zwey oder mehr
Nullen
abzuschneiden. Allso ist
\frac{30}{50}
so viel als ⅗ und
\frac{120}{700}
so viel als
\frac{12}{70}
, und
\frac{29000}{50000}
so viel als
\frac{29}{50}
.
4. Es sey uns dieser Bruch
\frac{4623}{10548}
vorge- geben durch kleinere Zahlen auszudrucken, weilen nun beyde Zahlen zu gleich weder durch 2 noch 5 noch 10 getheilt werden koͤnnen, so wollen wir se- hen, ob nicht beyde durch 3 oder 9 theilbar sind, welches nach der sechsten und siebenten Regel ge- schieht, wann man die Figuren so wohl des Zeh- lers als Nenners zusammen
addi
rt. Des Zeh- lers Figuren aber zusammen machen 15 und des Nenners 18, woraus erhellet, daß sich beyde Zahlen durch 3 theilen lassen, daher dieser Bruch
\frac{1541}{3516}
heraus kommt.
Ob aber diese Regeln gleich einen grossen Vortheil in Verkleinerung der Bruͤche haben, so kan man dennoch vermittelst derselben nur sehen,
M 2
ob
ob beyde Zahlen durch 2, 3, 5 oder 10 theilbar sind, und folglich dadurch dergleichen Bruͤche nicht in kleinere Zahlen bringen, bey welchen die- se Regel n nicht statt finden. Derowegen ist noͤh- tig eine andere allgemeine Regel an die Hand zu geben, durch deren Mittel man allzeit diejenige Zahl sinden kan, durch welche beyde Zahlen nehm- lich der Zehler und Nenner getheilt werden koͤnnen.
10.)
Ein gemeiner Theiler von zweyen Zahlen ist eine solche Zahl, dadurch sich bey- de Zahlen theilen lassen; und der groͤste ge- meine Theiler ist die groͤste Zahl, durch wel- che sich beyde Zahlen zugleich theilen lassen. Um aber von zweyen geg benen Zahlen den groͤsten gemeinen Theiler zu finden, hat man diese Regel: Man
diuidi
r
t die groͤssere Zahl durch die kleinere, oder setzt die kleinere zum
Diuisore,
die groͤssere aber zum
Diuidendo,
hierauf
diuidi
rt man den
Diuisorem
durch den uͤbergebliebenen Rest, das ist: man macht nach der ersten
Diuision
die zweyte, in wel- ch r der gefundene Rest zum
Diuisor
der vo- rige
Diuisor
aber zum
Diuidendo
gesetzet wird; und also faͤhret man mit solchen
Diuisio
nen fort, indem man immer den Rest der vori- gen
Diuision
zum
Diuisor
der folgenden, und den
Diuisor
der vorigen zum
Diuidendo
der folgenden setzt, bis man zu einer
Diuision
kommt, welche ohne Rest
ab olvi
rt wird. Und da ist der
Diuisor
dieser letzten
Diuision
der
der groͤste gemeine Theiler der zwey vorge- gebenen Zahlen.
Wann hier und in vorigen Saͤtzen von Zah- len die Rede ist, so ists allzeit von gantzen Zahlen zu verstehen, obgleich die Bruͤche auch freylich mit unter die Zahlen gehoͤren. Alle Zahlen sind nun theilbar durch 1, weilen alle durch 1 ohne Rest getheilt werden koͤnnen; ferner ist auch eine jegliche Zahl durch sich selbst theilbar, und des- wegen hat eine jegliche Zahl zum wenigsten zwey Theiler, nehmlich die
Unitæt
und sich selbst. Ein Theiler aber einer Zahl ist eine solche Zahl da- durch
stch
dieselbe Zahl ohne Rest theilen laͤst, als 3 ist ein Theiler von 12, und 5 ein Theiler von 15. Hier kommt nun ein Haupt-Unterscheid in den Zahlen zu mercken vor; dann einige Zahlen sind so beschaffen, daß sie sich durch keine andere Zahlen ausser der
Unitæt
und sich selbst theilen lassen, welche also fuͤglich untheilbare Zahlen ge- nennet werden koͤnnen; solche Zahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und so weiter, als welche keine andere Theiler haben als die
Unitæt
und sich selbst.
Die uͤbrigen Zahlen aber, welche sich ausser der
Unitæt
und sich selbst noch durch andere Zah- len theilen lassen, werden theilbare Zahlen ge- nennt, dergleichen sind 4, 6, 8, 9, 10, 12, und so fort. Von solchen Zahlen sind insonder- heit diejenigen zu mercken, welche sich durch 2 theilen lassen, und grade Zahlen genennt zu
M 3
werden
werden pflegen: als da sind 2, 4, 6, 8, 10, 12, und so fort, welche aus der ersten Regel des vo- rigen Satzes gleich erkennt werden. Da im Ge- gentheil diejenigen Zahlen, welche sich nicht durch 2 theilen lassen ungrade Zahlen genennt werden, als da sind 3, 5, 7, 9, 11, 13, und der- gleichen, zu welchen auch die
Unitæt
selbst mit gehoͤret. Da wir nun erklaͤrt, was man durch einen Theiler einer Zahl versteht, so ist auch leicht zu begreiffen, was ein gemeiner Theiler von zweyen oder mehr Zahlen ist, nehmlich eine solche Zahl, dadurch sich eine jede derselben Zah- len theilen laͤst; also ist die
Unitæt
ein gemeiner Theiler aller Zahlen, aber eben deswegen von keinem Nutzen bey unserem Vorhaben die Bruͤ- che in kleinere Zahlen zu bringen, weilen durch die
Diuision
mit der
Unitæt
die Zahlen unveraͤn- dert bleiben. Zwey solche Zahlen nun, welche ausser der
Unitæt
noch einen oder mehr gemeine Theiler haben, werden unter sich theilbare Zah- len genennt, dergleichen sind 12 und 15, als welche beyde sich durch 3 theilen lassen; inglei- chem 7 und 21, dann beyde sind durch 7 theil- bar. Solche Zahlen aber, welche ausser der
Unitæt
keinen gemeinen Theiler haben, werden unter sich untheilbare Zahlen genennt, solche sind 7 und 9;
item
15 und 28. Wann derohalben ein Bruch so beschaffen ist, daß der Zehler und Nenner unter sich untheilbare Zahlen sind, so kan derselbe nicht durch kleinere Zahlen ausge-
druͤckt
druͤckt werden; dergleichen Bruͤche pflegen un- aufhebliche Bruͤche genennt zu werden, weilen sie sich durch die
Diuision
nicht in kleinere Zah- len bringen lassen, welche
Operation
das Auf- heben der Bruͤche genennt zu werden pflegt. Wann aber der Zehler und Nenner eines Bruchs unter sich theilbare Zahlen sind, so kan der Bruch durch den gemeinen Theiler aufgehoben das ist durch kleinere Zahlen ausgedruͤckt werden, weswegen auch solche Bruͤche aufhebliche Bruͤche genennt werden. Um nun die aufheblichen Bruͤche zu erkennen, und dieselben in kleinere Zahlen zu bringen, so haben wir die beschriebene Regel vor- gebracht, vermittelst welcher man nicht nur von zweyen gegebenen Zahlen einen gemeinen Theiler wann sie nehmlich unter sich theilbar sind, son- dern so gar den groͤsten gemeinen Theiler finden kan. Dadurch erhaͤlt man aber diesen Vortheil, daß man sogleich alle aufhebliche Bruͤche durch den groͤsten gemeinen Theiler in die kleinsten moͤgli- chen Zahlen bringet, und in unaufhebliche ver- wandelt, von welchen man versichert seyn kan, daß sie alsdann durch keine kleinere Zahlen weiter ausgedruͤckt werden koͤnnen. Die gegebene Re- gel nun um den groͤsten gemeinen Theiler von zweyen Zahlen zu finden, ist kurtz und leicht bey allen Faͤllen anzuwenden; jedennoch aber wird nicht undienlich seyn, ehe wir den Grund davon anzeigen, dieselbe durch etliche Exempel zu erlaͤu- teren. Es seyen uns derohalben diese zwey Zah-
M 4
len
len 1578 und 2904 vorgegeben, deren groͤsten gemeinen Theiler man zu wissen verlanget; man theile also 2904 durch 1578 wie folget
so findet man 1326 fuͤr den Rest durch solchen
diuidi
rt man nach der Regel den vorigen
Diuiso- rem
1578, nehmlich
Ferner muß 1326 durch 252
diuidi
rt werden.
Weiter durch 66
diuidi
re man 252.
Nun ist 66 durch 54 zu
diuidi
ren.
Jetzt muß 54 durch 12
diuidi
rt werden.
End-
Endlich hat man 12 durch 6 zu theilen, welche
Diuision,
weilen sie ohne Rest aufgeht, anzeigt daß 6 der groͤste gemeine Theiler von den zwey vorgegebenen Zahlen ist. Wann also dieser Bruch
\frac{1578}{2904}
waͤre vorgelegt worden, so koͤnnte man denselben durch 6 aufheben und in diesen Bruch
\frac{263}{484}
verwandeln, welcher unaufheblich und nicht mehr durch kleinere Zahlen ausgedruͤckt werden kan. Wann diese Zahlen 3735 und 4815 solten seyn vorgegeben worden, so wuͤrde die gantze
Operation
nach der gegebenen Regel folgender gestalt zu stehen kommen.
Aus welcher
Operation
man sieht, daß 45 der groͤste gemeine Theiler der vorgegebenen Zahlen ist.
Waͤren aber die Zahlen unter sich untheilbar, so weiset auch dasselbe diese
Operation,
dadurch die
Unitæt
als der groͤste gemeine Theiler gefun-
M 5
den
den wird, wie aus folgendem Exempel, da diese Zahlen 36 und 151 gegeben sind zu ersehen.
Damit wir aber endlich auf den Grund dieser
O- peration
kommen, so ist vor allen Dingen zu mercken, daß wann zwey Zahlen einen gemeinen Theiler haben, alsdenn auch die
Differenz
dersel- ben Zahlen durch eben denselben Theiler getheilt werden koͤnne: ingleichem auch die
Differenz
zwi- schen der einen und dem doppelten oder dreyfachen oder unter einem anderen vielfachen der anderen Zahl. Nun aber wann die groͤssere Zahl durch die kleinere
diuidi
rt wird, so ist der Rest nichts anders als die
Differenz
zwischen der groͤsseren Zahl und einem
multiplo
der kleineren. Dero- halben muß ein gemeiner Theiler zweyer Zahlen auch den Rest theilen, welcher in der
Diuision
der groͤsseren Zahl durch die kleinere zuruͤckbleibt. Sol- cher Gestalt wird ein jeder gemeiner Theiler der zwey gegebenen Zahlen zugleich ein gemeiner Thei- ler seyn des
Diuisoris
und des Rests. Auf gleiche Weise wann der vorige
Diuisor
durch den Rest getheilt wird, so wird wiederum einjeder gemei- ner Theiler der zwey Anfangs vorgegebenen Zah-
len
len den
Diuisor
und Rest dieser letzten
Diuision
theilen, und so weiter fort bey allen folgenden
Di- uision
en. Wann man endlich allso zu einer
Di- uision
kommt, welche ohne Rest aufgeht, so ha- ben auch der
Diuidendus
und
Diuisor
dieser letzten
Diuision
eben die gemeinen Theiler, welche die beyden Anfangs gegebenen Zahlen unter sich ha- ben. Weilen aber diese letzte
Diuision
ohne Rest aufgeht, so ist der
Diuisor
nicht nur ein gemeiner Theiler des
Diuisoris
selbst und des
Diuidendi
sondern auch der groͤste gemeine Theiler: woraus dann folgt, daß dieser letzte
Diuisor
auch der groͤ- ste gemeine Theiler beyder vorgegebenen Zahlen seyn muͤsse. Dieses ist also der Grund der erklaͤr- ten Regel, durch welche der groͤste gemeine Thei- ler zweyer Zahlen gefunden werden kan, davon der Nutzen in Verkleinerung oder Aufhebung der Bruͤche zwar schon einiger massen angefuͤhrt worden ist, dennoch aber zu groͤsserem Gebrauch im folgenden Satz ausgefuͤhrt werden soll.
11.)
Um von einem vorgegebenen Bruche zu urtheilen, ob derselbe durch kleinere Zah- len ausgedruckt werden koͤnne oder nicht, so muß man von dem Zehler und Nenner des- selben den groͤsten gemeineu Theiler suchen. Findet man nun 1 fuͤr den groͤsten gemeinen Theiler, so ist dasselbe ein Anzeigen, daß der Bruch durch kleinere Zahlen nicht ausge- druͤckt werden koͤnne: Kommt aber ein an- derer groͤsserer gemeiner Theiler heraus, so kan
der
der vorgegebene Bruch in kleinere Zahlen gebracht w
e
rden, wann man nehmlich den Zehler und Nenner des gegebenen Bruchs durch den gefundenen groͤsten gemeinen Thei- ler
diuid
i
rt, wobey noch dieses zu mercken ist, daß der Bruch, welchen man auf diese Wei- se erhaͤlt, nicht weiter verkleinert oder auf- gehoben werden koͤnne, und dadurch folg- lich der vorgelegte Bruch in den kleinesten Zahlen ausgedruͤckt werde.
Wir haben oben schon gesehen, daß eine jeg- licher Bruch auf unendlich vielerley Arten aus- gedruckt werden koͤnne ohne den Jnhalt davon zu aͤnderen, welche Verwandlung der Bruͤche ihren unentbehrlichen Nutzen im folgendem Capitel ha- ben wird. Allhier aber, da wir nur von der Na- tur der Bruͤche handeln, so ist ausser allem Zwei- fel, daß je kleiner die Zahlen sind, dadurch ein Bruch vorgestellet wird, je deutlicher und leichter man sich von dem Werthe des Bruchs einen Begriff
formi
ren koͤnne. Derowegen ist die hier gegebene Regel, durch welche man lernet ei- nen Bruch in den kleinsten moͤglichen Zahlen vor- zustellen, von sehr grossem Nutzen; indem man durch Huͤlfe derselben einen Bruch entweder sicher in die kleinesten Zahlen bringen, oder wo eine sol- che Aufhebung nicht Statt findet, versichert seyn kan, daß der vorgelegte Bruch unaufheblich sey, und durch kleinere Zahlen unmoͤglich vorgestellt werden koͤnne. Diese Verwandlung in die leich-
teste
teste
Form
geschicht nun durch die Ausfindung des groͤsten gemeinen Theilers der beyden Zahlen des Bruchs nehmlich des Zehlers und Nenners, wo- zu in vorigen Satze genugsame Anleitung gegeben worden ist. Deswegen wann man den groͤsten gemeinen Theiler des Zehlers und Nenners ge- funden, so wird dadurch der vorgegebene Bruch leicht in die kleinesten Zahlen gebracht, wann man nehmlich nach dem achten Satze so wohl den Zeh- ler als den Nenner durch diesen groͤsten gemeinen Theiler
diuidi
rt, da dann der herausgebrachte Bruch dem vorigen dem Werthe nach gleich seyn, dabey aber aus den kleinesten moͤglichen Zahlen be- stehen, und folglich keine weitere Aufhebung lei- den wird. Da nun diese
Operatio
nen schon zur Gnuͤge ausgefuͤhrt worden sind, so ist nur noch uͤbrig zum Beschluß dieses Capitels einige Exem- pel beyzufuͤgen.
1.
Es sey uns dieser Bruch
\frac{3080}{8547}
vorgegeben welcher, wo moͤglich durch kleinere und das durch die aller kleinsten Zahlen ausgedruͤckt wer- den soll.
Man suche also vor allen Dingen den groͤsten gemeinen Theiler dieser beyden Zahlen 3080 und 8547, wie folget.
3080)
Woraus erhellet daß 77 der groͤste gemeine Thei- ler ist der beyden Zahlen daraus der Bruch be- steht. Derowegen
diuidi
rt man beydes den Zehler und Nenner des gegebenen Bruchs, so wird dieser Bruch herauskommen
\frac{40}{111}
welcher nicht weiter aufgehoben werden kan.
2.
Einer hat 24 Solotnick Silber und moͤchte gerne wissen, den wievielten Theil er von einem Pfund habe.
Weilen ein Pfund 96 Solotnick haͤlt, so hat diese Person
\frac{24}{96}
das ist vier und zwanzig sechs und neunzigste Theil eines Pfunds; dero- wegen laufft die Frage dahin aus, daß man wo moͤglich diesen Bruch durch kleinere und das die aller kleinsten Zahlen ausdrucke. Man suche also den groͤsten gemeinen Theiler von 24 und 96, also
24)
weswegen sich beyde Zahlen durch 24 theilen las- sen. Wann man nun den Bruch durch 24 auf- hebt, so kommt dieser Bruch ¼ heraus, wor- aus man sieht, daß das vorgegebene Gewicht just ein viertel Pfund sey.
3.
Wann man diesen Bruch
\frac{9222}{1740}
gefun- den haͤtte, und man wollte wissen, ob der Jn- halt desselben nicht koͤnnte auf eine kuͤrtzere Art ausgedruͤcket werden: so wuͤrde man also ver- fahren.
Erstlich sieht man, weil der Zehler groͤsser ist als der Nenner, daß in diesem Bruche ein oder etliche gantze enthalten sind, weswegen vor allen Dingen dienlich seyn wird zu suchen wieviel gantze vorhanden sind, weilen man alsdann schon einen deutlicheren Begriff von dem Werthe desselben erhaͤlt, als wann die gantzen mit im Bruche ein- gewickelt sind. Um nun dieses zu finden, so hat man nach dem sechsten Satz den Zehler durch den Nenner zu
diuidi
ren wie folgt.
Also
Also sieht man schon, daß der vorgegebene Bruch in diese
Form
5
\frac{522}{1740}
gebracht werde, welche schon leichter zu begreiffen ist als die vorgelegte.
Ferner hat man zu sehen, ob der Bruch
\frac{522}{1740}
nicht durch kleinere Zahlen ausgedruͤcket werden koͤnne, welches geschieht wann man den groͤsten gemeinen Theiler des Zehlers und Nen- ners suchet, solcher gestalt.
Demnach ist 174 der groͤste gemeine Theiler, wann man nun den gefundenen Bruch
\frac{522}{1740}
dadurch aufhebt so bekommt man diesen
\frac{3}{10}
. Derowegen ist der im Anfang gegebenen Bruch
\frac{9222}{1740}
so viel als 5
\frac{3}{10}
das ist so viel als fuͤnf gantze und drey Zehntel eines gantzen.
Man kan aber auch gleich den groͤsten gemei- nen Theiler des Zehlers und Nenners des gege- benen Bruchs suchen, also
Wei-
Weilen nun 174 der groͤste gemeine Theiler ist, so wird durch die
Diuision
der gegebene Bruch in diese
Form
\frac{53}{10}
gebracht so daß
\frac{53}{10}
eben so viel ist als
\frac{9222}{1740}
. Da aber der Bruch
\frac{53}{10}
mehr ist als 1, so wird derselbe, wann man den Zehler durch den Nenner wuͤrcklich
diuidi
rt in diese
Form
5
\frac{3}{10}
verwandelt wie vorher.
4.
Sey uns dieser Bruch
\frac{1640}{1776}
gegeben um in die kleinste moͤgliche
Form
zu bringen.
Deswegen suche man den groͤsten gemeinen Theiler beyder Zahlen 1640 und 1776.
Weilen nun 8 der groͤste gemeine Theiler ist, so wird dadurch der vorgegebene Bruch durch fol- gende kleinere Zahlen ausgedruͤcket
\frac{205}{222}
, wel- cher Bruch so viel ist als der vorgegebene und zu- gleich aus dem kleinsten moͤglichen Zahlen besteht.
N
Cap.
Cap. VII.
Von der
Addition
und
Subtraction
der gebrochenen Zahlen.
1.
W
Ann zu einer gantzen Zahl ein Bruch
addi
rt werden soll, so hat man nur den Bruch hinter die gantze Zahl zu s
ch
reiben. Gleichergestalt, wann zu einer gantzen Zahl eine gantze Zahl sammt einem Bruche
addi
rt werden soll, so
addi
rt man die gantzen Zah- len zusammen, und an die Summ haͤngt man noch den Bruch an Hingegen wann man von einer gantzen Zahl sammt einem Bruche eine andere kleinere gantze Zahl abziehen soll,
so
wird die kleinere Zahl von der groͤsseren
g
antzen Zahl
subtrahi
rt und an den Rest noch
d
er Bruch gehaͤngt.
Was hier von den beschriebenen Faͤllen der
Addition
und
Subtraction
gemeldet worden, be- ruhet gantz und gar allein auf der angenommenen Art eine aus gantzen und gebrochenen Zahlen be- stehende Groͤsse auszudruͤcken, und erfordert also keinen ferneren Beweistum. Dann da zum Exempel 4
\frac{3}{7}
so viel bedeutet als 4 gantze und uͤber das noch drey siebente Theile, so ist fuͤr sich klar, daß wann zu 4 gantzen drey siebentel
addi
rt
werden
werden sollen, die Summ also 4
\frac{3}{7}
ausgedruͤckt werden muͤsse. Wann demnach ein Bruch zu einer gantzen Zahl
addi
rt werden soll, so bekommt man die Summ, wann man den Bruch zu der gantzen Zahl schreibt. Als wann dieser Bruch
\frac{24}{35}
zu dieser Zahl 107
addi
rt werden soll, so wird die Summ seyn 107
\frac{24}{35}
. Wann aber zu einer gantzen Zahl eine gantze Zahl sammt einem Bruche
addi
rt werden soll, so darf man nur erst- lich die gantzen Zahlen
addi
ren, und zu der heraus- gekommenen Zahl noch den Bruch, wie im vo- rigen Falle. Als wann zu 17
addi
rt werden soll 9
\frac{5}{12}
so wird die Summ seyn 26
\frac{5}{12}
. Wann nun hinwiederum von 26
\frac{5}{12}
sollte 17
subtra- hi
rt werden, so sieht man aus dem vorigen Exempel, daß der Rest 9
\frac{5}{12}
seyn muͤsse: die- ser Rest aber wird gefunden, wann man 17 von 26
subtrahi
rt, und zum uͤbergebliebenen nehm- lich 9 den Bruch
\frac{5}{12}
hinzusetzt. Woraus also erhellet, wie von einer gantzen Zahl nebst einem Bruch eine andere kleinere gantze Zahl abgezogen werden muͤsse. Diese Faͤlle aber von der
Addi- tion
und
Subtraction
sind fuͤr sich so leicht, daß nicht noͤthig gewesen waͤre davon Meldung zu thun. Unterdessen aber kan man daraus sehen, daß die gantzen Zahlen, wann dieselben mit Bruͤ- chen verknuͤpfet sind, weder die
Addition
noch die
Subtraction
schwehrer machen; und zeigen also
N 2
eben
eben diese Faͤlle, daß wer die
Addition
und
Sub- traction
mit blossen Bruͤchen gelernet, derselbe zugleich mit gantzen und gebrochenen Zahlen
ope- ri
ren koͤnne. Als wann einer schon begriffen, daß ½ und ⅓ zufammen ⅚ ausmachen, derselbe wird auch 5½ und 6⅓ zusammen
addi
ren, und 11⅚ herausbringen koͤnnen. Hieraus sieht man also, daß die groͤste Schwierigkeit bey der
Addi- tion
und
Subtraction
mit gebrocheuen Zahlen nur auf den Bruͤchen allein beruhe, und wann gantze Zahlen mit den Bruͤchen verknuͤpfet sind, da- durch die
Operation
nicht schwehrer gemacht werde. Ferner obgleich, wie im vorigen
Cap.
gelehret worden, gantze Zahlen durch Bruͤche koͤnnen ausgedruͤckt werden, so ist doch diese Verwandlung allhier nicht noͤthig, sondern die
Operation
kan ohne dieselbe leichter bewerckstelli- get werden. Wie demnach mit blossen Bruͤchen zu verfahren, werden wir in folgenden Saͤtzen erklaͤren.
2)
Wann zwey oder mehr Bruͤche, wel- che zusammen
addi
rt werden sollen, einerley Nenner haben, so
addi
rt man die Zehler zu- sammen, und unter die Summ als einen Zehler setzt man den gemeinen Nenner; da dann dieser Bruch die wahre Summ der vorgelegten Bruͤche seyn wird. Bey diesem gefundenen Bruche koͤnnen ferner die oben gegebenen Regeln von
Reduci
rung der Bruͤ-
che
che in die einfaͤltigste
Form
angebracht werden.
Wann die gegebenen Bruͤche gleiche Nenner haben, so deuten sie alle einerley Theile eines gantzen an, nehmlich ein jeder Bruch enthaͤlt so viel dergleichen Theile, als seyn Zehler anzeigt. Derowegen diese Bruͤche zusammen
addi
ren ist nichts anders als finden wieviel dergleichen Theile alle insgesammt enthalten. Wann man also alle Zehler zusammen
addi
rt, so weiset die Summ, wieviel dergleichen Theile alle Bruͤche insgesammt ausmachen. Da nun dieses solche Theile sind als der gemeine Nenner der gegebenen Bruͤche anzeigt, so ist die Summ derselben Bruͤche ein Bruch, dessen Nenner der gemeine Nenner, der Zehler aber die Summ der Zehler ist. Als wann zum Exempel diese Bruͤche
\frac{2}{25}
,
\frac{4}{25}
, und
\frac{6}{25}
zusammen
addi
rt werden sollten, so sieht man daß ein jeder Bruch einerley, nehmlich fuͤnf und zwanzigste, Theile eines gantzen andeute, dergleichen der erste 2, der andere 4 und der dritte 7 enthaͤlt. Alle drey zusammen also machen 12 fuͤnf und zwanzigste Theile eines gantzen aus, welche also
\frac{12}{25}
geschrieben werden, und folglich ist dieser Bruch
\frac{12}{25}
, dessen Nenner dem ge- meinen Nenner der gegebenen Bruͤche, der Zehler aber der Summ der Zehler gleich ist, die gesuchte Summ der gegebenen Bruͤche
\frac{2}{25}
,
\frac{4}{25}
und
\frac{6}{25}
.
N 3
Hieraus
Hieraus erhellet nun daß die Summ zweyer oder mehr gegebenen Bruͤche, welche gleiche Nenner baben ein Bruch sey, dessen Nenner der vorige gemeine Nenner, der Zehler aber die Summ der Zehler der gegebenen Bruͤche ist. Um also zwey oder mehr solche Bruͤche, welche gleiche Nenner haben, zusammen zu
addi
ren, so
addi
rt man bloß die Zehler und unter die Summ setzt man den gemeinen Nenner, da dann dieser Bruch die wahre Summ der gegebenen Bruͤche seyn wird. Will man diese Summ auf die leich- teste und bequemste Art ausgedruͤckt haben, so sieht man ob der gefundene Bruch gantze in sich enthalte, und in solchem Falle zieht man die gan- tzen heraus, und deutet dieselben durch eine gantze Zahl an. Ferner wann der gefundene Bruch durch kleinere Zahlen ausgedruͤckt werden kan, so pflegt man auch denselben in die kleinsten moͤg- lichen Zahlen zu bringen.
Wann zum Exempel diese Bruͤche
\frac{7}{30}
,
\frac{11}{30}
,
\frac{13}{30}
addi
rt werden sollten, so wuͤrde die gantze
Operation
also zu stehen kommen.
Man findet nehmlich
\frac{31}{30}
, welcher Bruch weilen der Zehler groͤsser ist als der Nenner mehr als
ein
ein gantzes ausmacht, derowegen
diuidi
rt man 31 durch 30, und findet fuͤr den
Quotum
1 und den Rest auch 1, woraus man sieht daß
\frac{31}{30}
so viel sey als 1
\frac{1}{30}
.
Ferner folgende Bruͤche
\frac{5}{48}
,
\frac{7}{48}
,
\frac{11}{48}
,
\frac{17}{48}
, und
\frac{20}{48}
machen in einer
Summ
zusammen, wie aus folgender
Operation
zu sehen.
Weilen des Bruchs
\frac{12}{48}
Zehler und Nenner durch 12 getheilt werden koͤnnen.
Wieviel diese Bruͤche
\frac{2}{7}
;
\frac{3}{7}
;
\frac{4}{7}
;
\frac{5}{7}
in einer
Summ
ausmachen, ist aus folgender
O- peration
zu sehen.
N 4
Wann
Wann dergleichen Bruͤche viel zu
addi
ren vorkom- men, so ist der Kuͤrtze halben nicht noͤthig bey je- dem Bruche in der
Operation
den Nenner hinzu zu setzen, sondern ist gnug, nur die Zehler hin zu schreiben, und den gemeinen Nenner sich auf der Seite anzumercken, also wurden diese Exempel folgender Gestalt auf das kuͤrtzeste gerechnet wer- den.
Allso wird man von diesen Bruͤchen
\frac{3}{12}
,
\frac{4}{12}
und
\frac{9}{12}
diese
Summ
\frac{16}{12}
, das ist, 1⅓ finden. Bey diesem Exempel sieht man daß die vorgegebe- nen Bruͤche nicht in den kleinesten
Form
en sind ge- geben worden, sondern auf dieser Art haͤtten koͤn- nen gegeben werden ¼; ⅓; ¾; Ob dieselben aber gleich auf diese Art kuͤrtzer ausgedruͤckt wer- den, so dienet doch die vorgegebene
Form
zur
Ad- dition
weit mehr wegen der gleichen Nenner, welche dazu erfordert werden. Also koͤnnen diese Bruͤche ⅔ und ¼ auf diese Art nicht
addi
rt werden. Wann man aber
\frac{8}{12}
fuͤr ⅔ und
\frac{3}{12}
fuͤr ¼ setzt, so ist die
Summ
nehmlich
\frac{11}{12}
leicht zu
finden.
finden. Hieraus ist nun leicht zu verstehen, daß wann Bruͤche von ungleichen Nenneren zusammen
addi
rt werden sollen, dieselben in andere
Form
en verwandelt werden muͤssen, in welchen die Nen- ner gleich sind; wozu hernach die gehoͤrige Anlei- tung gegeben werden soll.
Zur einem Exempel aber von gantzen und ge- brochenen Zahlen zu
addi
ren seyen diese Zahlen 5
\frac{4}{15}
; 3
\frac{7}{15}
; 9
\frac{8}{15}
; und
\frac{1}{15}
vorgelegt, da- von die
Summ
gefunden werden soll, welches fol- gender Gestalt geschicht.
Nehmlich
\frac{20}{15}
ist so viel als 1
\frac{5}{15}
, welches zu 17 macht 18
\frac{5}{15}
, und
\frac{5}{15}
wird auf ⅓
re- duci
rt.
3.)
Wann von zweyen Bruͤchen, welche gleiche Nenner haben, der kleinere von dem groͤsseren
subtrahi
rt werden soll, so zieht man den kleineren Zehler von dem groͤsseren ab, und setzt unter den Rest den gemeinen Nen- ner; welcher Bruch so dann den gesuchten Rest ausmacht. Soll aber von einer gan- tzen Zahl nebst einem Bruche eine andere gan-
N 5
tze
tze Zahl nebst einem Bruche, dessen Nenner des vorigen Bruchs Nenner gleich ist,
subtrahi
rt werden, so wird der Bruch der kleineren Zahl von dem Bruche der groͤsseren, und die gantze kleinere Zahl von der gantzen groͤsseren
sub- trahi
rt, wann der Bruch der groͤssern Zahl groͤsser ist als der Bruch der kleineren Zahl. Jst aber der Bruch der groͤsseren Zahl kleiner als der Bruch der kleineren Zahl so wird ein gantzes von der gantzen groͤsse- ren Zahl genommen und zu dem Bruche ge- schlagen, damit die
Subtraction
geschehen koͤnnne; hierauf aber entweder die gantze Zahl der groͤsseren um eins kleiner oder die gantze Zahl der kleineren um eins groͤsser angesehen.
Haben die zwey Bruͤche, davon der kleinere vom groͤsseren abgezogen werden soll, gleiche Nen- ner, so enthalten sie gleiche Theile eines gantzen, nehmlich einjeder so viel solche Theile, als sein Zehler anzeigt. Wann man nun den kleineren Bruch vom groͤsseren
subtrahi
ren will, so zieht man die kleinere Anzahl solcher Theile von der groͤsseren ab, das ist, man
subtrahi
rt den klei- neren Zehler vom groͤsseren, und unter den Rest als den Zehler schreibt man den gemeinen Nen- ner. Als wann
\frac{4}{15}
von
\frac{7}{15}
soll abgezogen werden, so bleiben
\frac{3}{15}
, das ist ⅕ uͤber, wor- aus die
Subtraction
solcher Bruͤche leicht zu be- greiffen ist; weswegen folgende
Subtractio
ns E- xempel zu fernerr Erlaͤuterung gnug seyn werden.
\frac{4}{7}
Hiebey ist nun zu mercken, welches aus der Natur der Bruͤche von selbst folgt, daß von zweyen Bruͤchen, welche gleiche Nenner haben, derjenige der groͤssere ist, welcher den groͤsseren Zehler hat; sind also die Zehler einander gleich, so sind auch die Bruͤche einander gleich und folg- lich der Rest nichts als ⅔ von ⅔ bleibt 0. Lasst uns nun zwey aus gantzen und Bruͤchen zusammen gesetzte Zahlen betrachten, so ist diejenige Zahl die groͤssere, in welcher die gantze Zahl groͤsser ist, wann nehmlich die Bruͤche kleiner sind als ein gantzes: allso ist 4⅓ mehr als 3⅔, obgleich der Bruch der kleineren groͤsser ist als der Bruch der groͤsseren. Haben nun bey zweyen sol- chen zusammen gesetzten Zahlen die Bruͤche gleiche Nenner, und ist zugleich der Bruch der groͤsseren Zahl auch groͤsser als der Bruch der kleineren, so hat die
Subtraction
keine Schwierigkeit, indem die gantzen von den gantzen und die Bruͤche von den Bruͤchen abgezogen werden koͤnnen, als 3⅖ von 7⅘ bleibt 4⅖ uͤber, die
Operation
kan aber mit mehrerem aus folgenden Exempeln erse- hen werden.
10
\frac{16}{21}
Gleicher Gestalt, wann 6
\frac{7}{12}
von 9
\frac{7}{12}
sub- trahi
rt werden soll, so bleibt nur 3 uͤber, weilen die Bruͤche einander gleich sind und von einander aufgehen.
Wenn aber der Bruch der groͤsseren Zahl kleiner ist als der Bruch der kleineren, so muß wie in der
Subtraction
der gantzen Zahlen gesche- hen, von der gantzen groͤsseren Zahl eine
Unitæt
genommen und zum Bruche geschlagen werden, wie aus folgenden Exempeln zu ersehen.
Hier sollen im ersteren Exempel 11⅘ von 16⅗
subtrahi
rt werden; man faͤngt also bey den Bruͤ- chen als der kleinsten
Sorte
an, und weil ⅘ von ⅗ nicht kan
subtrahi
rt werden, so nimmt man von den 16 gantzen eins, welches
\frac{5}{5}
betraͤgt, und thut dies zum Bruche ⅗, so hat man
\frac{8}{5}
: hievon
subtrahi
rt man nun ⅘, so bleiben in Rest ⅘; hierauf muß man 11 nicht von 16, sondern nur von 15
subtrahi
ren, weilen von 16 schon eine
Uni-
Unitæt
ist weg genommen worden. Oder wel- ches gleichviel ist, anstatt daß man 16 um eins vermindert, so kan man 11 um eins vermehren und sagen 12 von 16 bleiben 4; ist also in diesem Exempel der gesuchte Rest 4⅘. Jm anderen Exempel da 209
\frac{25}{36}
von 347
\frac{17}{36}
subtrahi
rt werden soll, nimmt man gleichfals von 347 ein gantzes oder
\frac{36}{36}
und thut dasselbe zu
\frac{17}{36}
, da hat man
\frac{53}{36}
, davon
\frac{25}{36}
abgezogen bleibt
\frac{28}{36}
das ist
\frac{7}{9}
weil oben und unten durch 4
diuidi
rt werden kan. Hierauf muß man 209 von 346 oder welches gleich viel 210 von 347 abziehen, da dann 137 zuruͤck bleibt, so daß also der ge- suchte Rest 137
\frac{7}{9}
seyn wird.
Jn diesem und dem vorigen Satz ist also zur Gnuͤge angezeiget worden, wie so wohl blosse Bruͤche als aus gantzen und Bruͤchen zusammen gesetzte Zahlen, wann die Bruͤche gleiche Nen- ner haben, unter sich
addi
rt oder von einander
subtrahi
rt werden sollen. Derowegen ist noch uͤbrig zu zeigen, wie mit Bruͤchen so ungleiche Nenner haben, verfahren werden soll. Hiebey aber ist vor allen Dingen zu mercken, daß solche Bruͤche anderst nicht tractirt werden koͤnnen, als daß sie in andere, so gleiche Nenner haben, ver- wandelt werden: wann also dieses geschehen, so hat weder die
Addition
noch
Subtraction
weitere Schwierigkeit. Deswegen laufft die gantze Sache dahinaus, daß wir weisen, wie
zwey
zwey oder mehr Bruͤche welche ungleiche Nenner haben, in andere verwandelt werden sollen, welche gleiche Nenner haben, und doch den vorigen dem Werthe nach gleich sind; dazu aber wird folgende Vorbereitung erfordert.
4.)
Eine gemeine theilbare Zahl
(commu- nis Diuiduus)
von zweyen oder mehr gegebe- benen Zahlen, ist eine solche Zahl, welche sich durch eine jegliche der gegebenen Zahlen ohne Rest theilen laͤst. Wann nun zwey oder mehr Zahlen gegeben sind, so wird eine solche gemeine theilbare Zahl gefunden, wann man die gegebenen Zahlen mit einander
mul- tiplici
rt. Mehr dergleichen gemeine theilbare Zahlen werden gefunden, wann man die erst gefundene mit einer jeglichen beliebigen Zahl
multiplici
rt; woraus folget, daß von zwey oder mehr gegebenen Zahlen unendlich viel gemeine theilbare Zahlen gefunden werden koͤnnen.
Gesetzt die gegebenen Zahlen waͤren 2, 3, 5 so sind davon alle diejenigen Zahlen gemeine theilbare Zahlen, welche sich durch 2, durch 3, und durch 5 theilen lassen ohne Rest; eine solche gemeine theilbare Zahl ist also 30, dann 30 laͤst sich durch 2, und durch 3 und durch 5 theilen. Ferner sind auch 60, 90, 120, 150, und so fort gemeine theilbare Zahlen von 2, 3, und 5. Die gegebene Regel eine solche gemeine theilbare Zahl zu finden ist leicht zu begreiffen, dann wann
man
man die gegebenen Zahlen mit einander
multipli- ci
rt, so laͤst sich hinwiederum das
Product
durch eine jegliche der gegebenen Zahlen theilen und ist folglich davon eine gemeine theilbare Zahl. Fer- ner ist auch klar, daß wann sich eine Zahl durch die gegebenen Zahlen theilen laͤst, auch das dop- pelte, dreyfache, und so fort, dieselbe theilbare Zahl mit einer jeglichen beliebigen Zahl
multipli- ci
rt sich dadurch theilen lasse; dann eine jegliche Zahl, welche sich durch die gemeine theilbare Zahl theilen laͤst, laͤst sich auch durch die gegebe- nen Zahlen theilen. Als bey den gegebenen Zah- len 2, 3, 5
multiplici
rt man nach der Regel erstlich 2 mit 3 und das
Product
6 noch mit 5, so ist 30 das
Product
von 2, 3, und 5, und fol- glich eine gemeine theilbare Zahl von 2, 3 und 5. Ferner sind auch alle Zahlen, welche sich durch 30 theilen lassen, gemeine theilbare Zahlen von 2, 3, und 5; diese werden gefunden, wann man 30 mit einer beliebigen Zahl
multiplici
rt; als da sind 60, 90, 120, 150 und so weiter. Um aber die
Operation
nach der gegebenen Regel et- was leichter zu machen, so sucht man erstlich, wann mehr als 2 Zahlen gegeben sind, eine ge- meine theilbare Zahl nur von zweyen Zahlen, her- nach nimmt man zu der gefundenen Zahl die dritte der gegebenen Zahlen, und sucht davon wieder eine gemeine theilbare Zahl; dazu nimmt man ferner die vierte gegebene Zahl, und sucht davon wieder eine gemeine theilbare Zahl, und also faͤhrt man
fort
fort bis man alle gegebenen Zahlen in Betrach- tung gezogen hat: als wann von diesen Zahlen 2, 5, 7, 9, und 11 eine gemeine theilbare Zahl sollte gefunden werden; so wuͤrde die
Ope- ration
wie folget zu stehen kommen.
Nehmlich man sucht erstlich von 2 und 5 eine ge- meine theilbare Zahl, welches geschieht, wann man 5 mit 2
multiplici
rt, da dann 10 heraus- kommt. Ferner sucht man von 10 und 7 eine ge- meine theilbare Zahl, in dem man 10 mit 7
mul- tiplici
rt; so ist 70 schon eine gemeine theilbare Zahl von 2, 5 und 7. Hernach
multiplici
rt man die gefundene Zahl 70 mit 9, so ist das
Product
630 eine gemeine theilbare Zahl von 70 und 9 und folglich auch von 2, 5, 7, und 9. Endlich
multiplici
rt man 630 mit 11, so ist das
Product
6930 eine gemeine theilbare Zahl von 2, 5, 7, 9, und 11, dergleichen verlanget worden.
Hiebey
Hiebey ist aber zu mercken, daß man oͤfters eine kleinere theilbare Zahl angeben koͤnne, als auf diese Art durch die
Multiplication
gefunden wird; in solchen Faͤllen ist nun dienlich, daß man die kleineste theilbare Zahl zu finden suche, als wodurch die Rechnung um ein merckliches kan abgekuͤrtzt werden. Ob wir nun gleich im folgen- den dazu die gehoͤrige Regel geben werden, so wollen wir doch hier ein Exempel von einem sol- chen Falle vorbringen, damit man sich davon zum voraus einen Begriff machen koͤnne. Wann also von diesen Zahlen 2, 4, 6, 9 eine gemeine theilbare Zahl gesucht werden sollte; so nehme man erstlich 2 mit 4; davon sieht man, daß 4 eine gemeine theilbare Zahl ist, welche kleiner ist, als die, so durch die gegebene Regel gefunden wird, nehmlich 8. Man nehme also nicht 8 sondern 4 und dazu 6, und suche von 4 und 6 eine gemeine theilbare Zahl; welche nach der Regel 24 seyn wuͤrde, man sieht aber daß sich auch 12 durch 4 und 6 theilen lasse; welche Zahl man also der anderen billich vorzieht. Endlich betrachtet man 12 und 9, und sucht davon die kleinste theilbare Zahl, welche 36 ist, da man nach der Regel 108 gefunden haͤtte. Also ist 36 eine ge- meine theilbare Zahl von 2, 4, 6, 9, und das eine solche, welche weit kleiner ist, als die so nach der Regel waͤre herausgebracht wor- den, nehmlich 432. Wie derohalben in allen dergleichen Faͤllen die kleinste gemeine theilbare
O
Zahl
Zahl gefunden werden soll, dazu dienet folgende Regel.
5.)
Die kleinste gemeine theilbare Zahl
(Minimus communis diuiduus)
von zweyen Zahlen wird gefunden, wann man erstlich den groͤsten gemeinen Theiler davon sucht, und hernach das
Product
der beyden Zahlen dadurch
diuidi
rt; oder welches gleich viel man
diuidi
rt die eine Zahl durch den gefun- denen groͤsten gemeinen Theiler, und mit dem
Quoto multiplici
rt man die andere Zahl, da dann das
Product
die kleinste gemeine theil- bare Zahl seyn wird. Sind aber mehr als zwey Zahlen vorgegeben, so sucht man erst- lich von zweyen davon die kleinste gemeine theilbare Zahl, hernach nimmt man diese und die dritte der gegebenen Zahlen zusam- men und sucht davon wiederum die kleinste theilbare Zahl; ferner wiederum von dieser und der vierten gegebenen Zahl, und faͤhrt also fort, bis man alle gegebenen Zahlen durch gegangen: da dann die letzt gefundene Zahl die kleinste gemeine theilbare Zahl aller gegebenen seyn wird.
Wann die zwey gegebenen Zahlen unter sich untheilbar sind, und also ihr groͤster gemeiner Theiler 1 ist, so kan keine kleinere Zahl als das
Product
davon angeben werden, welche sich durch beyde Zahlen zugleich theilen liesse. Haben aber die beyden gegebenen Zahlen noch ausser 1 einen
gemeinen
gemeinen Theiler, so laͤst sich noch allzeit, wann man das
Product
derselben durch diesen gemeinen Thei- ler
diuidi
rt, der
Quotus
durch beyde Zahlen thei- len, und ist folglich auch eine gemeine theilbare Zahl; und das kleiner als das
Product
selbst. Wann man also das
Product
durch den groͤsten gemeinen Theiler
diuidi
rt, so muß der
Quotus
die kleinste gemeine theilbare Zahl seyn von den zwey gegebenen Zahlen, so moͤglich ist. Wie aber der groͤste gemeine Theiler zweyer Zahlen gefun- den werden soll, ist schon oben gelehret worden, und vermittelst desselben kan man also allezeit zweyer gegebenen Zahlen kleinste gemeine theilbare Zahl ausfinden. Es ist aber gleich viel ob man das
Product
der zwey gegebenen Zahlen durch den groͤsten gemeinen Theiler
diuidi
rt, oder ob man vor der
Multiplication
die eine Zahl durch den groͤsten gemeinen Theiler
diuidi
rt, und hernach durch den gefundenen
Quotum
die andere Zahl
multiplici
rt. Um diese Regel aber durch Exem- pel deutlicher zu machen, so seyen diese Zahlen 9 und 15 vorgegeben, davon die kleinste gemeine theilbare Zahl gefunden werden soll. Dieser Zah- len groͤster gemeiner Theiler ist 3, und wann man also das
Product
nehmlich 135 durch 3
di- uidi
rt so kommt 45 heraus, welches die kleinste gemeine theilbare Zahl ist von 9 und 15. Eben diese Zahl aber wird gefunden, wann man die eine Zahl als 9 durch 3
diuidi
rt, und mit dem
Quoto
3 die andere Zahl 15
multiplici
rt, oder
O 2
auch
auch wann man die andere Zahl durch 3
diui- di
rt und mit dem
Quoto
5 die andere Zahl 9
multiplici
rt. Diese beyden Arten pflegen gemei- niglich durch die
Multiplication
durch Kreutze vor- gestellt zu werden also:
Nehmlich man
diuidi
rt eine jede Zahl 9 und 15 durch den aroͤsten gemeinen Theiler 3, und schreibt die
Quotos
3 und 5 darunter. Hernach
multiplici
rt man man durch das Kreutz eine jede Zahl mit dem
Quoto
der anderen, da dann bey- derseits 45 herauskommt, welches die kleinste ge- meine theilbare Zahl der beyden gegebenen ist. Ob aber gleich von diesen beyden
Operatio
nen eine allein genug waͤre, so ist gleichwohl diese doppelte
Operation
nicht gaͤntzlich als unnuͤtz zu verwerfen: dann da durch beyde
Multiplicatio
nen ein
Product
herauskommen muß, so dienet diese
Operation
zugleich als eine Probe, daß man sich im Rechnen nicht geirret; indem wann nicht ei- nerley Zahl gefunden werden sollte, dasselbe ein gewisses Zeichen eines Fehlers seyn wuͤrde. Wann also von 30 und 54 die kleinste gemeine theilbare Zahl gesucht werden sollte, so ist vor allen Din- gen noͤthig, den groͤsten gemeinen Theiler dieser
Zahlen
Zahlen zu suchen, welcher 6 seyn wird; hierauf macht man folgende
Operation:
Woraus also erhellet daß 270 die gesuchte kleinste gemeine theilbare Zahl sey. Wann ferner die kleinste gemeine theilbare Zahl von 6 und 24 gesucht wer- den sollte, so sieht man leicht daß dieselbe 24 selbst seyn werde, weilen sich 24 durch 6 und 24 theilen laͤst. Eben diese Zahl wird aber auch durch die Regel gefunden: dann da 6 der groͤste ge- meine Theiler ist, so kommt die
Operation
fol- gender massen heraus.
Hieraus sieht man also, daß wann sich von den zweyen gegebenen Zahlen die groͤssere durch die kleinere theilen laͤst, so dann die groͤssere Zahl selbst die kleinste gemeine theilbare Zahl sey; in welchen Faͤllen man also nicht einmahl noͤthig hat die vorgeschriebenen
Operatio
nen anzustellen.
Wer nun von zweyen gegebenen Zahlen die kleinste gemeine theilbare Zahl finden kan, der-
O 3
selbe
selbe ist zugleich im Stande von so viel Zahlen als vorgegeben seyn moͤchten, die kleinste gemeine theilbare Zahl zu finden. Dann von den vorge- gebenen Zahlen nimmt man zwey nach Belieben, und sucht davon die kleinste gemeine theilbare Zahl; welche in die Stelle derselben zweyen Zah- len gesetzt werden kan, so daß auf solche Weise die Anzahl der gegebenen Zahlen um eine kleiner wird. Ferner nimmt man wiederum nach Be- lieben zwey Zahlen, und sucht davon die kleinste gemeine theilbare Zahl, und setzt dieselbe an die Stelle derselben zweyen Zahlen, so daß die An- zahl der Zahlen wiederum um eine vermindert wird. Solchergestalt faͤhrt man also fort, bis man alle gegebenen Zahlen auf zwey gebracht hat, deren kleinste gemeine theilbare Zahl zugleich die kleinste gemeine theilbare Zahl von allen vor- gegebenen Zahlen ist. Diese Regel ist von der im Satze gegebenen nur darinn unterschieden, daß man nach jener immer die letztgefundene kleinste theilbare Zahl mit einer neuen Zahl zu- sammen nimmt, und davon die kleinste gemeine theilbare Zahl sucht: nach dieser Regel aber man nach Belieben zwey Zahlen nehmen kan; welche noch nicht in Betrachtung gezogen worden sind. Diese Freyheit der letzteren Regel ist aber nicht ohne Nutzen; dann da kan man immer solche zwey Zahlen auslesen, davon man am leichtesten die kleinste gemeine theilbare Zahl ausfinden kan, dergleichen sind solche zwey Zahlen, davon die
groͤssere
groͤssere sich durch die kleinere theilen laͤst, dann da ist die groͤssere Zahl selbst die kleinste gemeine theilbare Zahl; wie schon gemeldet worden ist. Oder man nimmt auch zwey solche Zahlen davon der groͤste gemeine Theiler schon bekannt ist, und ist also der Muͤhe uͤberhoden sich der vorgegebenen
Operation
zu bedienen. Durch solche Hand- griffe aber, welche bey dieser Regel angebracht werden koͤnnen, kan die gantze
Operation
unge- mein abgekuͤrtzet werden; insonderheit wann man sich durch eine fleißige Ubung darinn festgesetzt hat. Wir wollen aber den Gebrauch dieser Re- gel durch einige Exempel deutlicher erklaͤren.
Es soll von diesen Zahlen 4, 5, 6, 9, 10, 16 die kleinste gemeine theilbare Zahl gefunden werden. Hier kan man zu erst diese Zahlen 4 und 16 annehmen, weil sich 16 durch 4 theilen laͤst, und folglich davon 16 die kleinste gemeine theilbare Zahl ist. Anstatt dieser beyden Zahlen 4 und 16 setzt man also nur 16, und hat folglich nur noch diese Zahlen, 5, 6, 9, 10, 16 da- von die kleinste gemeine theilbare Zahl gesucht werden soll. Ferner betrachtet man diese Zahlen 5 und 10 deren kleinste gemeine theilbare Zahl wie vorher 10 ist, und hat also nur noch 6, 9, 10, 16. Nun nehme man 6 und 9, deren groͤster gemeiner Theiler 3, und folglich die kleinste gemeine theilbare Zahl 18 ist; und setzt also 18 an die Stelle der beyden Zahlen 6 und 9, so daß also nur noch diese drey Zahlen 10, 16, 18 vorhanden sind.
O 4
Hievon
Hievon kan man 10 und 16 nehmen, deren groͤster gemeiner Theiler 2 und die kleinste ge- meine theilbare Zahl 80 gefunden wird; so daß jetzo nur noch diese zwey Zahlen 18 und 80 vor- handen sind. Von diesen zwey Zahlen sucht man endlich die kleinste gemeine theilbare Zahl welche 720 gefunden wird; und diese ist auch die kleinste gemeine theilbare Zahl der vorgegebenen Zahlen 4, 5, 6, 9, 10, 16. Die gantze
Opera- tion
aber kan folgender gestalt auf das bequemste vorgestellet werden.
Nehmlich man streicht gleich diejenigen Zahlen aus durch welche sich andere von den gegebenen Zahlen theilen lassen, nehmlich 4 und 5. Her- nach fuͤr 6 und 9 setzt man 18, und fur 10 und 16 setzt man 80. Endlich aus 18 und 80 findet man 720, welches die kleinste gemeine theilbare Zahl ist.
Wann von diesen Zahlen 6, 8, 9, 12, 15, 20, 25, die kleinste gemeine theilbare Zahl gesucht werden soll; so wird die
Operation
also zu stehen kommen.
Erstlich
Erstlich streicht man 6 aus, weilen sich 12 da- durch theilen laͤst. Zweytens fuͤr 8 und 9 setzt man die kleinste gemeine theilbare Zahl davon nehmlich 72, und streicht 8 und 9 aus. Drit- tens streicht man auch 12 aus, weil sich 72 durch 12 theilen laͤst. Viertens fuͤr 15 und 20 setzt man 60 als die kleinste gemeine theilbare Zahl. Fuͤnf- tens fuͤr 60 und 25 setzt man 300. Endlich hat man nur noch zwey Zahlen 72 und 300 deren groͤster gemeiner Theiler 12 und folglich die klein- ste gemeine theilbare Zahl 1800 ist, welche ge- sucht worden.
Von diesen Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 wird die kleinste gemeine theilbare Zahl also gefunden.
Erstlich werden 2, 3, 4, und 5 ausgestrichen, weilen dieselben Theiler sind von anderen gegebe- nen Zahlen. Hernach fuͤr 6 und 9 schreibt man 18, fuͤr 8 und 10 setzt man 40, fuͤr 7 und 18 setzt man 126; und endlich fuͤr 126 und 40 findet man 2520, welches die kleinste gemeine theil- bare Zahl ist, von allen den vorgegebenen Zahlen.
Die Ordnuug, nach welcher wir die Zahlen genommen, ist wie schon gemeldet willkuͤhrig, und kan wie man immer will veraͤndert werden; wann man nur alle vorgegebenen Zahlen in Betrachtung
O 5
zieht.
zieht. Man mag aber eine Ordnung erwehlen, wie man will, so wird man allezeit einerley Zahl zuletzt finden, welche der kleinste gesuchte gemeine theilbare Zahl seyn wird.
6)
Zwey oder mehr Bruͤche, welche un- gleiche Nenner haben, werden folgender gestalt in andere gleiches Jnhalts verwan- delt, deren Nenner gleich sind. Erstlich nimmt man alle Nenner der gegebenen Bruͤ- che, und sucht davon die kleinste gemeine theilbare Zahl, welche fuͤr den gemeinen Nen- ner aller Bruͤche, in welche die gegebenen Bruͤche verwandelt werden sollen, angenom- men wird. Hernach
diuidi
rt man diesen ge- meinen Nenner durch einen jeglichen Nen- ner der gegebenen Bruͤche, und mit den
Quotis multiplici
rt man die dahin gehoͤrigen Zehler, so geben diese
Producte
die Zehler der gesuchten Bruͤche. Auf diese Art ver- wandelt man also die gegebenen Bruͤche in andere, welche den gegebenen dem Werthe nach gleich sind, und dabey gleiche Nenner haben.
Aus demjenigen was oben von der Natur der Bruͤche ist angefuͤhrt worden, erhellet, daß man einen jeglichen Bruch in einen anderen ver- wandeln kan, dessen Nenner zwey mahl oder drey mahl oder mehr mahl groͤsser ist als der ge- gebene Nenner; dieses geschieht nehmlich, wann man so wohl den Zehler als Nenner des gegebenen
Bruchs
Bruchs durch 2, 3, oder eine andere beliebige Zahl
multiplici
ri. Derowegen kan man allezeit einen Bruch in einen anderen verwandeln, dessen Nenner gegeben ist, wann sich nur dieser Nen- ner durch jenen theilen laͤst. Als dieser Bruch ¾ kan in einen anderen verwandelt werden, dessen Nenner 12 ist, weilen sich 12 durch 4 theilen laͤst, und nehmlich 3 fuͤr den
Quotum
gibt. Weilen nun der neue Nenner 3 mahl so groß ist als der alte, so muß auch der neue Zehler 3 mahl groͤsser seyn als der alte, und derowegen wird der neue Bruch gefunden werden
\frac{9}{12}
. Wann fer- ner dieser Bruch
\frac{7}{10}
in einen anderen verwan- delt werden soll, dessen Nenner 50 sey, so
diuidi
rt man 50 durch den vorigen Nenner, und mit dem
Quoto 5 multiplici
rt man den vorigen Zehler 7, so gibt das
Product
35 den Zehler des neuen Bruchs; weswegen also der verwandelte Bruch
\frac{35}{50}
seyn wird, welcher auch wie leicht zu sehen dem vorigen Bruche
\frac{7}{10}
gleich ist: dann wann dieses Bruchs Nenner nnd Zehler mit 5
multi- plici
rt wird, so kommt dieser
\frac{35}{50}
heraus. Wann also ein Bruch in eine andere Form ge- bracht werden soll, davon der Nenner gegeben ist, doch so, daß sich derselbe durch den Nenner des vorgegebenen Bruchs theilen lasse, so kan der neue Bruch auf diese Art sehr leicht gefunden werden. Man
diuidi
rt den neuen Nenner durch
den
den alten, und mit dem
Quoto multiplici
rt man den alten Zehler, so gibt das
Product
den neuen Zehler. Hieraus sieht man nun leicht, daß wann zwey oder mehr Bruͤche, so ungleiche Nen- ner haben, in andere verwandelt werden sollen, welche einen gemeinen Nenner haben; alsdann dieser gemeine Nenner so beschaffen seyn muͤsse, daß sich derselbe durch einen jeglichen Nenner der gegebenen Bruͤche theilen lasse: folglich muß also der gemeine Nenner eine gemeine theilbare Zahl seyn der vorgegebenen Nenner. Um derowegen zwey oder mehr Bruͤche in andere zu verwandeln, welche einen gemeinen Nenner haben, so muß man erstlich von den gegebenen Nenneren eine gemeine theilbare Zahl suchen, und dieselbe fuͤr den gemeinen Nenner annehmen. Hernach kan ein jeder Bruch nach der vorgegebenen Regel in einen anderen verwandelt werden, dessen Nenner die gefundene gemeine theilbare Zahl ist, und also werden alle diese gefundenen Bruͤche einerley Nenner haben. Als wann diese Bruͤche ⅔, ¾, ⅕, in andere verwandelt werden sollen, welche gleiche Nenner haben; so sucht man erstlich eine gemeine theilbare Zahl, welche 60 gefunden wird. Her- nach verwandelt man einen jeglichen Bruch in einen anderen, dessen Nenner 60 ist; also wird dieser Bruch ⅔ in
\frac{40}{60}
, dieser ¾ in
\frac{45}{60}
und dieser ⅕ in
\frac{12}{60}
verwandelt, so daß man anstatt der gegebenen Bruͤche ⅔, ¾, ⅕,
diese
diese
\frac{40}{60}
,
\frac{45}{60}
,
\frac{12}{60}
, haben wird, welche wie verlanget worden, gleiche Nenner haben. Diese
Operation
pflegt nun die
Reduci
rung der Bruͤche gleichen Nenneren genannt zu werden; und Bruͤche zu gleichen Nenneren bringen oder
reduci
ren ist nichts anders als die gegebenen Bruͤche in andere verwandeln, deren Nenner einander gleich sind. Weilen nun diese
Opera- tion
darauf beruhet, daß man von den Nenne- ren der gegebenen Bruͤche eine gemeine theilbare Zahl finde, dergleichen gemeine theilbare Zahlen aber unendlich viel angegeben werden koͤnnen, so ist klar, daß die
Reduci
rung der Bruͤche zu glei- chen Nenneren auf unendlich viel Arten geschehen koͤnne. Es ist aber leicht zu erachten, daß dieje- nige Art welche den kleinsten gemeinen Nenner gibt, allen anderen billig vorgezogen zu werden verdienet. Dann dadurch wird die Rechnung nicht wenig abgekuͤrtzet, wann die
Reduction
der Bruͤche zu gleichen Nenneren in den kleinsten moͤglichen Zahlen vollzogen wird. Dieser Vor- theil aber wird erhalten, wann man fuͤr den gemeinen Nenner der gesuchten Bruͤche die klein- ste gemeine theilbare Zahl der gegebenen Nenner annimmt. Derowegen hat man bey der
Redu- ction
der Bruͤche zu gleichen Nenneren diese Re- gel in acht zu nehmen. Erstlich sucht man die kleinste gemeine theilbare Zahl aller gegebenen Nenner; und setzt dieselbe fuͤr den gemeinen Nenner der gesuchten Bruͤche. Hernach um die
gehoͤrigen
gehoͤrigen Zehler zu finden, so
diuidi
rt man diesen gemeinen Nenner durch den Nenner eines jegli- chen gegebenen Bruchs, und mit dem
Quoto multiplici
rt man den Zehler desselben Bruchs so hat man den gesuchten Zehler. Diese gantze
O- peration
aber wird durch folgende Exempel mehr erlaͤutert werden.
Erstlich sollen diese Bruͤche
\frac{5}{12}
,
\frac{8}{15}
,
\frac{7}{20}
und
\frac{4}{21}
zu gleichen Nenneren gebracht oder in andere verwandelt werden, welche gleiche Nenner haben.
Man suche also fuͤr allen Dingen die kleinste gemeine theilbare Zahl der gegebenen Nenner
wie vorher gelchret worden, welche 420 ist. Diese Zahl wird nun fuͤr den gemeiner Nenner der gesuchten Bruͤche angenommen; diese Bruͤche selbst aber werden auf folgende Weise gefunden.
Nehmlich nach dem man die querstriche der ge- gebenen Bruͤche fortgezogen, so wird unter einen jeglichen der gemeine Nenner 420 geschrieben; hernach
diuidi
rt man diesen gemeinen Nenner durch einen jeglichen Nenner der gegebenen Bruͤ- che; und setzt die
Quotos
weiter zur rechten;
als
als 420 durch 12
diuidi
rt gibt 35, und 420 durch 15 gibt 28, und 420 durch 20 gibt 21, und 420 durch 21 gibt 20. Endlich
multipli
c
i
rt man diese
Quotos
mit den gegenuͤber stehenden Zehlern der gegebenen Bruͤche und schreibt die
Product
in die Stellen der Zehler der gesuchten Bruͤche. Als 5 mahl 35 gibt 175, und 8 mahl 28 gibt 224 und so fort. Wann dieses geschehen, so hat man die verlangten Bruͤche von einerley Nenner zur Seite der gegebenen, welche durch einen Strich von einander abgesondert werden. Die Figur der
Operation
kan ein jeder nach sei- nem Gutbefinden aͤndern, und um der Kuͤrtze willen, so wohl die
Quotos
gar weg lassen, als auch den gemeinen Nenner nur ein mahl oben
a part
setzen.
Wann diese Bruͤche ½, ⅔, ¾, ⅘, ⅚,
\frac{6}{7}
, ⅞,
\frac{8}{9}
,
\frac{9}{10}
zu gleichen Nenneren ge- bracht werden sollen; so wird erstlich die kleinste gemeine theilbare Zahl von allen Nenneren ge- sucht, und dafuͤr 2520 gefunden; hernach aber die
Operation
folgender gestalt verrichtet.
½
Ein Exempel von Bruͤchen, so aus groͤsseren Zahlen bestehen, koͤnnen diese
\frac{13}{63}
,
\frac{22}{105}
,
\frac{103}{140}
geben, welche da die kleinste theilbare Zahl der Nenner ist 1260, wie folget zu gleichen Nenne- ren gebracht werden.
Aus welchen Exempeln diese
Operation
Bruͤche zu gleichen Nenneren zu bringen genugsam zu er- sehen ist.
7)
Wann so wohl eintzele Bruͤche als gantze Zahlen sammt Bruͤchen entweder zu- sammen
addi
rt oder von einander
subtrahi
rt
werden
werden sollen, so werden vor allen Dingen die Bruͤche zu gleichen Nenneren gebracht oder in andere verwandelt, so gleiche Nen- ner haben. Hernach wird die
Addition
oder
Subtraction
verrichtet, wie schon oben ist gelehret worden mit Bruͤchen deren Nenner gleich sind. Nehmlich bey der
Addition
wer- den die Zehler der gefundenen Bruͤche zusam- men
addi
rt, und unter die Summ als einen Zeyler der gemeine Nenner geschrieben; wel- cher Bruch die Summ der Bruͤche anzeiget. Jst nun dieser Bruch groͤsser als ein gantzes, so werden die gantzen daraus gezogen, und so noch gantze Zahlen zu
addi
ren da sind, mit zu derselben Summ geschlagen. Jn der
Subtraction
aber wird der Zehler des unteren Bruchs von dem Zehler des oberen Bruchs
subtrahi
rt, wofern derselbe kleiner ist; sollte der untere Zehler aber groͤsser seyn, so wird der obere Bruch um ein gantzes vermehret und so dann die
Subtraction
vollzogen.
Jn den vorigen Saͤtzen von
N.
2 und 3 ist schon zur Gnuͤge gewiesen worden, wie so wohl die
Addition
als
Subtraction
mit Bruͤchen, welche gleiche Nenner haben, vollzogen werden soll. Hier aber kommen wir zu eben diesen
Ope- ratio
nen, wann die vorgegebenen Bruͤche un- gleiche Nenner haben. Hiebey kommt nun zu statten, was im vorigen Satze ist vorgebra cht worden, wie Bruͤche von ungleichen Nenne ren
P
in
in andere verwandelt werden sollen, welche glei- che Nenner haben. Wann wir also diese Ver- wandlung zu Huͤlfe nehmen, so wird so wohl die
Addition
als
Subtraction
in Bruͤchen, deren Nen- ner ungleich sind, auf die schon gelehrte
Addition
und
Subtraction
in Bruͤchen so gleiche Nenner haben
reduci
ret. Derowegen wann entweder einzele Bruͤche oder gantze Zahlen samt Bruͤchen zusammen
addi
rt oder von einander
subtrahi
rt werden sollen, so muͤssen vor allen Dingen die Bruͤche in andere, deren Nenner einander gleich sind, verwandelt, und diese an der vorigen Stelle gesetzt werden, da dann so wohl die
Addi- tion
als
Subtraction,
wie oben gelehret worden, verrichtet werden kan. Hiebey ist also nichts mehr zu erinneren uͤbrig als durch einige Exempel diese beyden
Operatio
nen mehr zu erlaͤuteren.
Exempel von der
Addition
in Bruͤchen.
I.
Fragts sich wieviel ½ und ⅙ zusammen
addi
rt ausmachen.
Hier ist die kleinste gemeine theilbare Zahl der Nenner 6; man bringt also diese Bruͤ- che zu gleichen Nenneren, und
addi
rt dieselben wie folget.
Also ist ⅔ die gesuchte Summ von ½ und ⅙.
II.
Man
II.
Man verlanget die Summ von diesen Bruͤ- chen ⅗, ⅙,
\frac{7}{15}
zu wissen.
Die kleinste gemeine theilbare Zahl von 5, 6 und 15 ist 30, und also wird die gantze
Operation
wie folget, zu stehen kommen.
Weilen die neuen Bruͤche alle einerley Nen- ner haben, so kan man um der Kuͤrtze wil- len, nur allein die Zehler hinsetzen, und den gemeinen Nenner nur
apart
anmercken; wie in folgendem Exempel zu sehen.
III.
Wie groß ist die Summ von diesen Bruͤchen ½, ⅔, ¼, ⅖, ⅙,
\frac{2}{7}
, ⅛,
\frac{2}{9}
.
Von diesen Bruͤchen wird der gemeine Nenner 2520 werden, und folglich die
O- peration
seyn wie folget.
P 2
2520
IV.
Vier Personen legen Geld zusammen, der erste 15½ Rubl. der zweyte 12¾ Rubl. der dritte 10⅖ Rubl. und der vierte 8
\frac{7}{10}
Rubl. Nun ist die Frage, wie groß die gantze Summ seyn werde?
Um diese Summ finden, so hat man diese Zahlen 15½, 12¾, 10⅖, 8
\frac{7}{10}
zusammen zu
addi
ren, welche
Operation
seyn wird wie folget.
20
Dann die Summ der Bruͤche ist
\frac{47}{20}
das ist 2 und
\frac{7}{20}
; wann nun die zwey gantzen Rubl. zu den 45 Rubl. gethan werden, so ist die gesuchte Summ 47
\frac{7}{20}
Rubl.
V.
Wann folgende Zahlen 217
\frac{32}{75}
, 340
\frac{28}{45}
und 425
\frac{40}{63}
zusammen
addi
rt werden sol- len, so wird die Summ folgender gestalt gefunden werden.
Das ist ferner 983
\frac{359}{525}
, weilen sich der Bruch durch 3 verkleinern laͤst.
P 3
Exem-
Exempel von der
Subtraction
in gebrochenen Zahlen.
I.
Man verlanget zu wissen, was uͤberbleibt wann ⅓ von ⅗
subtrahi
rt werden?
Diesen Rest zu finden muͤssen die gegebe- nen Bruͤche zu gleichen Nenneren gebracht, und hernach die
Subtraction,
wie folget, verrichtet werden.
II.
Wann man den Unterscheid zwischen diesen Bruͤchen
\frac{12}{17}
und
\frac{29}{41}
finden wollte, so muß man den kleineren Bruch vom groͤsseren
subtrahi
ren; weilen aber noch nicht bekannt ist, welcher Bruch groͤsser ist als der andere, so muß vorher dieses gesucht werden. Die- ses wird nun zugleich gefunden, wann diese Bruͤche zu gleichen Nenneren gebracht wer- den; dann dessen Zehler alsdann groͤsser wird als des anderen, so ist auch derselbe Bruch groͤsser. Man hat also nur die gege- benen Bruͤche zu gleichen Nenneren zu brin- gen und den kleineren vom groͤsseren zu
sub- trahi
ren, wie folget.
\frac{12}{17}
Also ist
\frac{29}{41}
groͤsser als
\frac{12}{17}
und der Unter- scheid ist
\frac{1}{697}
.
III.
Von diesen zweyen Bruͤchen
\frac{13}{21}
und
\frac{55}{89}
verlanget man zu wissen, welcher der groͤs- sere sey, und auch um wieviel der groͤssere groͤsser sey als der kleinere.
Man bringet diese Bruͤche also zu gleichen Nenneren, da dann so wohl erhellen wird, welcher groͤsser ist als der andere, als auch wie groß der Unterscheid ist.
Folglich ist
\frac{13}{21}
mehr als
\frac{55}{89}
und der Un- terscheid ist
\frac{2}{1369}
.
IV.
Von 3
\frac{7}{12}
soll 1
\frac{4}{9}
subtrahi
rt werden.
Man bringet also die Bruͤche zu gleichen Nenneren, und verrichtet die
Subtraction
wie oben gelehret worden.
P 4
V.
Wann
V.
Wann 23
\frac{13}{30}
von 49
\frac{8}{105}
subtrahi
rt werden sollen, so wird der Rest folgender gestalt gefunden.
Cap. VIII.
Von der
Multiplication
mit gebrochenen Zahlen.
1.
W
Ann ein Bruch durch eine gantze Zahl
multiplici
rt werden soll, so
mul- t
i
plici
rt man nur den Zehler mit der gantzen Zahl, und laͤst den Nenner unveraͤndert. Gleicher gestalt wann eine gantze Zahl samt einem Bruche durch eine gantze Zahl
multi- plici
rt werden soll, so
multiplici
rt man da- durch die gantze Zahl und auch den Bruch insbesondere; da dann diese beyden
Producte
zusammen das gesuchte
Product
ausmachen. Bey dem gefundenen Bruche hat man aber ferner zu sehen, ob derselbe mehr als ein gantzes enthalte, oder auch ob derselbe verklei-
nert
nert werden koͤnne, als in welchen Faͤllen es dienlich ist den Bruch in der leichtesten Form auszudruͤcken.
Der Grund dieses Satzes beruhet auf der Natur der
Multiplication,
als welche nichts an- ders ist als eine
Addition
vieler Zahlen so einan- der gleich sind, wie oben bey der
Multiplication
mit gantzen Zahlen ist dargethan worden. Wann also ein Bruch mit 2
multiplici
rt werden soll, so darf man nur denselben Bruch zwey mahl setzen, und diese beyden Bruͤche zusammen
addi
ren, wel- che weilen sie so wohl gleiche Nenner als gleiche Zehler haben, so wird die Summ oder das
Pro- duct
ein Bruch seyn, dessen Zehler zwey mahl so groß als der Zehler des gegebenen Bruchs, der Nenner aber dem Nenner des gegebenen Bruchs gleich ist. Wann derowegen ein Bruch mit 2
multiplici
rt werden soll, so muß man nur den Zehler mit 2
multiplici
ren. Also wird das
Product
von 2 und ⅓ oder zwey mahl ⅓ seyn ⅔, und 2 mahl
\frac{4}{7}
wird geben
\frac{8}{7}
oder 1
\frac{1}{7}
. Gleicher gestalt, wann ein Bruch mit 3 oder 4 oder einer anderen Zahl
multiplici
rt werden soll, so geschieht diese
Multiplication,
wann man den gegebenen Bruch drey mahl oder 4 mahl oder so viel mahl als der
Multiplicator
anzeiget setzt, und diese Bruͤche zusammen
addi
rt. Weilen nun diese Bruͤche einander voͤllig gleich sind, so
addi
rt man nur die Zehler, das ist man
multiplici
rt den
P 5
Zehler
Zehler des gegebenen Bruchs mit 3, 4 oder einer anderen Zahl so gegeben ist. Hieraus er- hellet nun, daß wann ein Bruch mit einer gege- benen Zahl
multiplici
rt werden soll, das
Product
gefunden werde, wann man nur den Zehler mit der gegebenen Zahl
multiplici
rt, den Nenner aber unveraͤndert laͤst. Also wird 3 mahl ½ machen
\frac{3}{2}
das ist 1½; und 4 mahl
\frac{3}{14}
wird geben
\frac{12}{14}
das ist
\frac{6}{7}
; und 15 mahl ⅖ gibt
\frac{30}{5}
das ist 6 gantze. Um also einen Bruch mit einer gegebenen Zahl zu
multiplici
ren hat man diese Regel, man
multiplici
rt den Zehler des Bruchs mit der gegebenen Zahl, und unter das
Product
als den Zehler schreibt man den Nenner des gegebenen Bruchs, so hat man das gesuchte
Product.
Zu mehrerer Erlaͤuterung koͤnnen fol- gende Exempel dienen.
21 mahl
\frac{5}{28}
macht
\frac{105}{84}
das ist 3¾
144 mahl
\frac{19}{60}
macht
\frac{2736}{60}
das ist 45⅗
250 mahl
\frac{27}{50}
macht
\frac{6750}{50}
das ist 135
Ob aber gleich diese Regel allhier nur dienet um einen Bruch mit einer gantzen Zahl zu
multiplici-
ren, so ist dieselbe doch allgemein, und enthaͤlt zugleich die
Multiplication
eines Bruchs mit ei- nem Bruche. Nehmlich wann ein Bruch mit einem Bruche
multiplici
rt werden soll, so darf man gleichfals nur den Zehler des einen Bruchs
mit
mit dem anderen Bruche
multiplici
ren, um den Zehler des gesuchten
Products
zu bekommen, des- sen Nenner der vorige Nenner bleibt. Weilen aber auf diese Art gemeiniglich der Zehler des ge- fundenen Bruchs selbst ein Bruch wird, so kan man mit einem solchen
Product
nicht zufrieden seyn; als wann ⅔ mit
\frac{4}{7}
multiplici
rt werden sollte, kommt nach dieser Regel fuͤr das
Product
ein Bruch heraus, dessen Zehler 2 mahl
\frac{4}{7}
das ist
\frac{8}{7}
, und der Nenner 3 ist, woraus man sich aber noch keinen deutlichen Begriff von diesem
Product
machen kan. Wir werden aber im fol- genden aus eben diesem
Fundament
deutlicher zei- gen, wie in solchen
Multiplicatio
nen das
Product
durch einen eigentlichen Bruch, dessen Zehler und Nenner gantze Zahlen sind, ausgedruckt werden koͤnne. Allhier aber brauchen wir diese gegebene Regel nur zu solchen Faͤllen, da ein Bruch mit einer gantzen Zahl
multiplici
rt werden soll, als in welchen
Multiplicatio
nen diese Regel keiner Schwierigkeit unterworfen ist. Weilen wir nun durch Huͤlfe dieser Regel einen jeglichen Bruch mit einer gantzen Zahl
multiplici
ren koͤn- nen, so kan auch eine Zahl, so aus einer gantzen und gebrochenen Zahl zusammen gesetzt ist, leicht mit einer jeglichen gantzen Zahl
multiplici
rt wer- den. Dann da in solchen Faͤllen der
Multiplicator
eine gantze Zahl ist der
Multiplicandus
aber aus zwey Theilen bestehet, davon einer gleichfals eine
gantze
gantze der andere aber eine gebrochene Zahl ist- so wird das
Product
gefunden, wann man einen jeglichen Theil des
Multiplicandi
insbesondere mit dem
Multiplicator multiplici
rt, und die
Product
zusammen
addi
rt. Als wann 3⅖ mit 2
multi- plici
rt werden sollen, so findet man 6⅘; dann 2 mahl ⅖ macht ⅘, und 2 mahl 3 macht 6.
Item
7
\frac{4}{9}
mit 6
multiplici
rt geben 42
\frac{24}{9}
das ist 44⅔ dann 6 mahl
\frac{4}{9}
gibt
\frac{24}{9}
das ist 2⅔, und 6 mahl 7 ist 42, wozu die vorigen 2 gethan 44 ausmachen. Man kan aber eben der- gleichen Exempel auch auf die vorige Art obgleich mit groͤsserer Muͤhe ausrechnen, wann man die aus einer gantzen und gebrochenen zusammen ge- setzte Zahl in einen einzelen Bruch bringet. Als um 3⅖ durch 2 zu
multiplici
ren, kan man
\frac{17}{5}
fuͤr 3⅖ schreiben, welche mit 2
multiplici
rt
\frac{34}{5}
das ist 6⅘ geben, wie vorher gefunden worden. Gleicher gestalt bey dem andern Exempel werden 7
\frac{4}{9}
in
\frac{67}{9}
verwandelt, welche mit 6
multipli- ci
rt
\frac{402}{9}
das ist 44
\frac{6}{9}
oder 44⅔ geben, wie oben. Diese letztere Art kan also zu einem Be- weistum dienen, daß die vorige ihre Richtigkeit hat.
2)
Wann ein Bruch mit einer gantzen Zahl, welche dem Nenner desselben gleich
ist,
ist,
multiplici
rt wird, so wird das
Product
eine gantze Zahl seyn, welche dem Zehler desselben Bruchs gleich ist. Oder wann ein Bruch mit seinem Nenner
multiplici
rt wird, so ist der Zehler desselben das
Product,
welches herauskommt. Jst aber die gantze Zahl mit welcher ein Bruch
multiplici
rt wird, zwey mahl so groß als der Nenner, so ist auch das
Product
zwey mahl so groß als der Zeh- ler; und so viel mahl dieselbe Zahl, mit welcher ein Bruch
multiplici
rt wird, groͤsser ist als der Nenner des Bruchs, eben so viel mahl wird auch das
Product
groͤsser seyn als der Zehler desselben Bruchs.
Wann also dieser Bruch ⅗ mit 5 das ist mit seinem Nenner
multiplici
rt wird, so muß nach dieser Regel das
Product
3 das ist dem Zeh- ler des gegebenen Bruchs gleich seyn. Eben die- ses
Product
aber kommt nach der vorigen Regel, nach welcher wir gelehret haben einen Bruch mit einer gantzen Zahl
multiplici
ren, heraus; dann wann ⅗ mit 5
multiplici
ret wird, so ist das
Product
\frac{15}{5}
das ist 3 gantze. Hieraus erhellet nun der Grund dieser jetztgegebenen Regel; dann laͤst uns einen jeglichen Bruch mit seinem Nenner
multiplici
ren nach der vorgegebenen Regel, so wird das
Product
ein Bruch seyn, dessen Zehler ist der vorige Zehler mit dem Nenner
multiplici
rt, der Nenner aber wird der vorige Nenner seyn.
Jn
Jn diesem Bruche laͤst sich also der Zehler durch den Nenner
diuidi
ren, und der
Quotus,
welcher den Werth des Bruchs ausdruͤckt, wird der Zehler des gegebenen Bruchs seyn. Hieraus ist nun klar, daß wann ein Bruch mit seinem Nen- ner
multiplici
ret wird, der Zehler desselben das
Product
anzeigen werde. Ob nun gleich in solchen Faͤllen eben dieses
Product
auch durch die vorige Regel gefunden wird, so muß doch dabey eine
Multiplication
und
Diuision
gebraucht werden, welche beyden
Operatio
nen nach dieser Regel nicht noͤthig sind, in dem man nur den blossen Zehler fuͤr das
Product
hinschreiben darf. Also wann dieser Bruch
\frac{17}{28}
mit 28
multiplici
ret wird, so ist das
Product
17; und
\frac{121}{125}
mit 125
multi- plici
rt gibt 121. Diese Regel aber wird uns im folgenden hauptsaͤchlich dazu dienen, daß man wisse, mit was fuͤr einer Zahl man einen Bruch
multiplici
ren muͤsse, damit das
Product
eine gantze Zahl werde. Nehmlich man sieht hieraus, daß man einen Bruch, damit das
Product
eine gantze Zahl werde, mit seinem Nenner
multipli- ci
ren muͤsse, dann da wird das
Product
dem Zeh- ler desselben Bruchs gleich seyn. Es gibt aber ausser dem Nenner eines Bruchs noch unendlich viel andere Zahlen, durch welche, wann der- selbe Bruch
multiplici
ret wird, gantze Zahlen ge- funden werden. Dann da das
Product
dem Zeh- ler gleich wird, wann der
Multiplicator
der
Nenner
Nenner ist, so ist auch aus der Natur der
Multipli- cation
bekannt, daß wann der
Multiplicator
zwey mahl oder drey mahl oder mehr mahl groͤsser genommen werde, als der vorige nehmlich der Nenner, als dann auch das
Product
eben so viel mahl groͤsser seyn muͤsse als vorher, nehmlich als der Zehler desselben Bruchs. Derowegen ist klar, daß so viel mahl diejenige Zahl, mit welcher ein Bruch
multiplici
rt werden soll, groͤsser ist als der Nenner, als dann das
Product
eben so viel mahl groͤsser seyn werde als der Zehler desselben Bruchs. Also wann
\frac{7}{12}
mit 24
multiplici
ret wird, so ist das
Product
14; dann weilen hier 24 zwey mahl so groß ist als der Nenner 12, so muß das
Product
14 zwey mahl so groß seyn als der Zehler 7. Gleicher gestalt wann ⅔ mit 18
multiplici
rt werden soll, so sieht man, daß der
Multiplica- tor
18 sechs mahl groͤsser ist als der Nenner 3; deswegen wird das
Product
auch sechs mahl groͤs- ser als der Zehler 2, und folglich 12 seyn. Ob es aber gleich unendlich viel Zahlen gibt, welche mit einem Bruche
multiplici
rt gantze Zahlen hervor- bringen, so wird dennoch am vortheilhafftesten seyn sich nur allein des Nenners selbst zu bedienen, weilen auf diese Art das kleinste gantze
Product
herauskommt, und ohne einige
Operation
gesun- den wird.
3)
Mann zwey oder mehr Bruͤche mit einander
multiplici
rt werden sollen, so wird
das
das
Product
folgender gestalt gefunden: man
multiplici
rt die Zehler mit einander, und was herauskommt ist der Zehler des
Products:
gleicher gestalt
multiplici
rt man auch die Nenner mit einander und was herauskomt, ist der Nenner des gesuchten
Products.
Das
Product
zweyer oder mehr Bruͤche wird also ein Bruch seyn, dessen Zehler das
Product
der Zehler, der Nenner aber das
Product
der Nenner ist.
Nach dieser Regel ist also sehr leicht zwey oder mehr Bruͤche mit einander zu
multiplici
ren, indem diese
Operation
bloß in der
Multiplication
der Zehler und Nenner der gegebenen Bruͤche be- steht; weswegen die
Multiplication
der Bruͤche weit leichter faͤllt als die
Addition
und
Subtra- ction,
als zu welchen erfordert wird die Bruͤche vorher zu gleichen Nenneren zu bringen, welche bey der
Multiplication
nicht von noͤthem ist. Der Grund dieser Regel aber beruhet auf den zwey vorhergehenden Saͤtzen. Dann nach dem ersten wird ein Bruch mit einer jeglichen Zahl
multipli- ci
rt, wann man nur den Zehler mit derselben
multiplici
rt, den Nenner aber unveraͤndert laͤst. Ob aber gleich diese Regel nur zu
Multiplication
der Bruͤche mit gantzen Zahlen ist gebraucht wor- den, so gilt dieselbe dennoch auch, wann Bruͤ- che mit Bruͤchen
multiplici
rt werden sollen; wie wir schon oben angemercket haben. Wann man aber nach dieser Regel den Zehler eines Bruchs
mit
mit einem anderen Bruche
multiplici
rt, um den Zehler des
Products
zu bekommen, so faͤllt man in diese Schwierigkeit, daß der Zehler des
Pro- ducts
gemeiniglich eine gebrochene Zahl wird, und folglich von dem Werthe eines solchen
Pro- ducts
kein deutlicher Begriff
formi
rt werden kan. Also wann man
\frac{7}{12}
mit
\frac{5}{9}
multiplici
ren soll, so muß man nach dieser Regel den Zehler 7 mit dem Bruche
\frac{5}{9}
multiplici
ren, um den Zehler des
Products
zu bekommen, welcher also
\frac{35}{9}
seyn wird, der Nenner aber des
Products
bleibt 12. Also ist in diesem Exempel das
Product
ein Bruch dessen Zehler
\frac{35}{9}
und Nenner 12 ist. Weilen wir aber von keinen anderen Bruͤchen bisher Meldung gethan, als von solchen, deren Zehler und Nenner gantze Zahlen sind: so muͤssen wir sehen, ob wir einen solchen uneigentlichen Bruch nicht in einen anderen verwandeln koͤnnen, dessen Zehler und Nenner gantze Zahlen sind. Dieses aber kan durch Huͤlfe des vorigen Satzes bewerck- stelliget werden; dann da ein Bruch seinem Werthe nach unveraͤndert bleibt, wann man beydes Zehler und Nenner durch eine jegliche be- liebige Zahl
multiplici
rt: so muͤssen wir hier nur eine solche Zahl suchen, mit welcher wann Zehler und Nenner
multiplici
rt werden, gantze Zahlen herauskommen. Wann also der Zehler eines Bruchs selbst eine gebrochene Zahl ist, so darf man nur mit dem Nenner dieser gebrochenen
Q
Zahl
Zahl beydes den Zehler und Nenner des vorge- legten Bruchs
multiplici
ren. Als im gegebenen Exempel war das
Product
ein Bruch dessen Zehler
\frac{35}{9}
und Nenner 12 ist; um nun diesen Bruch in eine gewoͤhnliche
Form
zu bringen, so
multi- plici
re man Zehler und Nenner mit 9; daher wird nun ein anderer Bruch entspringen, dessen Zehler 35 und Nenner 108 seyn wird; und wel- cher dem vorigen voͤllig gleich ist. Wann dero- halben
\frac{7}{12}
mit
\frac{5}{9}
multiplici
ret werden soll, so wird das
Product
\frac{35}{108}
seyn, welches auch sehr schoͤn mit der gegebenen Regel uͤbereinstimmt; dann hier ist 35 das
Product
der Zehler 7 und 5, und 108 das
Product
von den Nennern 12 und 9; woraus der Grund der gegebenen Regel schon einiger massen erhellet. Um aber den Grund voll- kommen anzuzeigen, so last uns zwey Bruͤche be- trachten, davon der erste durch den anderen
mul- tiplici
ret werden soll; dieses geschieht nun wann man den Zehler des ersten mit dem anderen Bru- che
multiplici
rt, den Nenner aber unveraͤndert laͤst. Also wird das
Product
ein Bruch seyn, dessen Nenner dem Nenner des ersten Bruchs gleich ist, der Zehler aber wird fuͤr sich ein Bruch seyn, dessen Nenner dem Nenner des anderen gegebenen Bruchs gleich, der Zehler aber das
Product
aus beyden Zehlern ist. Wann also dieses
Product
in gehoͤrige
Form
gebracht, und nehmlich so wohl der Zehler als Nenner durch den
Nenner
Nenner des anderen Bruchs
multiplici
ret wird, so wird das
Product
in einen ordentlichen Bruch verwandelt werden, dessen Zehler das
Product
der Zehler, der Nenner aber das
Product
der Nenner ist. Dieses ist also eben die Regel wel- che wir im Satze angezeiget haben, um zwey Bruͤche mit einander zu
multiplici
ren; davon wir auch nun das Fundament deutlich genug erklaͤret haben. Zu mehrerer Erlaͤuterung aber wird er- fordert, die
Multiplication
mit Bruͤchen an und fuͤr sich selbst weitlauffiger auszufuͤhren; welches am fuͤglichsten durch etliche Exempel geschehen wird. Wann eine gantze Zahl oder ein Bruch mit ½
multiplici
ret werden soll, so wird nichts anders gefragt, als daß man die Helfte dersel- ben Zahl oder desselben Bruchs finden soll. Dann gleich wie das doppelte oder dreyfache von einer Zahl finden nichts anders ist als dieselbe Zahl mit 2 oder mit 3
multiplici
ren; so ist auch die Helfte von einer Zahl finden nichts anders als dieselbe Zahl mit ½
multiplici
ren. Wann man demnach die Helfte von ⅗ fordert, so muß man ⅗ mit ½
multiplici
ren, da dann nach der ge- gebenen Regel
\frac{3}{10}
herauskommt. Gleicher ge- stalt wann man wissen will, was ⅔ von
\frac{9}{10}
austragen, so muß man diese Bruͤche mit einan- der
multiplici
ren, da dann
\frac{18}{30}
das ist ⅗ her- auskommt. Dergleichen Exempel folgen noch etliche.
Q 2
¾
¾ mit ⅚ gibt
\frac{15}{24}
das ist ⅝
⅓ mit
\frac{15}{16}
gibt
\frac{15}{48}
das ist
\frac{5}{16}
\frac{7}{12}
mit
\frac{12}{7}
gibt
\frac{84}{84}
das ist 1.
Hieraus erhellet, daß wann man mit einem Bruche
multiplici
rt, das
Product
kleiner werde als die Zahl welche
multiplici
rt worden, welches einiger massen wieder die Natur der
Multiplica- tion
zu seyn scheinet, weilen
multiplici
ren dem Nahmen nach vermehren bedeutet. Allein dieser Nahme ist aus der
Multiplication
mit gantzen Zahlen hergenommen worden, und wird allhier bey den Bruͤchen nur in Ansehung der
Operation
bey behalten. Die gantze Sach verhaͤlt sich aber also; wann ich eine Zahl mit einer anderen Zahl
multiplici
re, so wird dieselbe Zahl um so viel mahl groͤsser, um so viel mahl diese Zahl groͤsser ist als eins; und wann eine Zahl mit 1
multipli- ci
rt wird, so bleibt dieselbe unveraͤndert. Wor- aus dann von sich selbst folget, daß wann eine Zahl mit einer Zahl so kleiner ist als 1, dergleichen die Bruͤche sind,
multiplici
ret wird, dieselbe nicht nur nicht vermehret, sondern so gar ver- mindert werden muͤsse. Dieses ist aber nur allein von Bruͤchen zu verstehen, welche kleiner sind als ein gantzes, dann wann eine Zahl mit einem Bruche der groͤsser ist als 1
multiplici
ret wird, so wird das
Product
auch groͤsser als dieselbe Zahl: als wann man 7 mit
\frac{3}{2}
multiplici
rt, so
kommt
kommt
\frac{21}{2}
das ist 10½ heraus, und also mehr als 7. Ferner ist hier auch, wie bey der
Multiplication
mit gantzen Zahlen, zu beobachten daß wann zwey Bruͤche mit einander
multiplici
rt werden sollen, es gleichviel sey, welcher mit dem anderen
multiplici
rt werde. Also ⅗ mit ⅔
multiplici
ren, ist eben so viel als ⅔ mit ⅗
multiplici
ren, dann in beyden Faͤllen ist das
Product
\frac{6}{15}
oder ⅖; demnach ist ⅔ von ⅗ eben so viel als ⅗ von ⅔. Und gleicher ge- stalt ist die Helfte von 6 eben so viel als 6 mahl ½ das ist 3.
Aus dieser
Operation
aber, durch welche wir zwey Bruͤche mit einander
multiplici
ren ge- lehret, koͤnnen leicht 3 und auch mehr Bruͤche mit einander
multiplici
rt werden. Dann man
multiplici
rt erstlich zwey Bruͤche mit einander, und dann ferner dieses
Product
mit dem dritten Bruch, und was herauskommt mit dem vierten Bruche, und so weiter bis man mit allen gegebe- nen Bruͤchen
multiplici
rt. Hieraus sieht man aber leicht, daß das letzt gefundene
Product
her- auskomme, wann man alle Zehler, und dann auch alle Nenner, mit einander
multiplici
rt. Also wann diese Bruͤche ½, ⅔, ¾, und ⅘ mit einander
multiplici
rt werden sollen, so wird das
Product
seyn
\frac{24}{120}
dessen Bruchs Zehler 24 das
Q 3
Product
Product
aller Zehler, der Nenner 120 aber das
Product
aller Nenner ist. Dieses
Product
\frac{24}{120}
oder welches gleichviel ist ⅕ wird auch gefunden, wann man je nur zwey Bruͤche mit einander
mul- tiplici
rt; als ½ mit ⅔
multiplici
rt, gibt
\frac{2}{6}
das ist ⅓; ferner dieses
Product
⅓ mit ¾
multiplici
rt, gibt
\frac{3}{12}
das ist ¼; und dieses
Product
noch mit ⅘
multiplici
rt, gibt
\frac{4}{20}
das ist ⅕ wie vorher; so daß also ⅕ das
Pro- duct
ist, wann man alle diese Bruͤche mit einan- der
multiplici
rt; ½, ⅔, ¾, und ⅘. Hier- aus koͤnnen wir nun diese Frage beantworten: Es sind vier Personen, die erste hat 560 Rubl, die zweyte hat ¾ mahl so viel als die erste, die dritte hat ⅖ mahl so viel als die zweyte, und der vierten Vermoͤgen ist
\frac{5}{7}
von demjenigen, was die dritte hat. Nun ist die Frage, wieviel die drey letzteren Personen haben.
Weilen die zweyte ¾ mahl so viel hat als die erste, deren Vermoͤgen ist 560 Rubl. so wird das Vermoͤgen der zweyten gefundenen, wann man 560 mit ¾
multiplici
rt, da dann
\frac{1680}{4}
oder 420 herauskommt. Also hat die zweyte Person 420 Rubl. wann man nun die Summ mit ⅖
multiplici
rt, so gibt das
Product
\frac{840}{5}
oder
oder 168 Rubl. das Vermoͤgen der dritten Per- son. Dieses ferner mit
\frac{5}{7}
multiplici
rt, gibt
\frac{840}{7}
oder 120 Rubl. fuͤr das Vermoͤgen der vierten Person. Wann man aber nur das Ver- moͤgen der vierten Person, allein zu wissen ver- langet haͤtte, so wuͤrde dasselbe daraus gefunden werden, daß dasselbe ist
\frac{5}{7}
von ⅖ von ¾ von 560 Rubl. Derowegen um dieses zu finden, muß man diese Bruͤche
\frac{5}{7}
, ⅖, ¾, mit ein- ander
multiplici
ren, und mit dem
Product
noch 560. Nun aber geben diese Bruͤche
\frac{5}{7}
, ⅖, ¾ mit einander
multiplici
rt
\frac{30}{140}
das ist
\frac{3}{14}
, welches
Product
mit 560
multiplici
rt, gibt
\frac{1680}{14}
das ist 120 Rubl. wie oben.
Aus diesen Exempeln erhellet nun, daß oͤfters nach der gegebenen Regel ein
Product
gefunden werde, welches hernach entweder durch eine gantze Zahl, oder durch einen leichteren Bruch, als gefunden worden, koͤnne ausgedruckt werden. Dieses geschieht nehmlich, wann sich des fuͤr das
Product
gefundenen Bruchs Zehler und Nenner durch einerley Zahlen
diuidi
ren lassen. Jn sol- chen Faͤllen kommt man nun nach der gegebenen Regel unnoͤthiger Weise auf grosse Zahlen, und hat hernach noch die Muͤhe den gefundenen Bruch abzukuͤrtzen und in kleinere Zahlen zu bringen. Derowegen um dieser Weitlaͤuffigkeit abzuhelffen, so wollen wir im folgenden Satze eine Regel
Q 4
geben,
geben, durch deren Huͤlfe man gleich das
Product
in den kleinsten Zahlen ausgedruckt bekommt, und hernach keiner weiteren
Reduct
i
on
vonnoͤthen hat, wann man nur vorher die Bruͤche, die mit ein- ander
multiplici
rt werden sollen, auf die kleinsten Zahlen gebracht hat.
4)
Damit man, wann zwey oder mehr Bruͤche mit einander
multiplici
rt werden sol- len, gleich das gesuchte
Product
in den klein- sten moͤglichen Zahlen ausgedruͤckt bekomme, so muß man sehen, ob irgend ein Zehler mit einem Nenner einen gemeinen Theiler habe, und alsdann beyde durch ihren groͤsten ge- meinen Theiler
diuidi
ren, und die
Quotos
an derselben Stelle setzen. Auf diese Art ver- faͤhrt man mit einem jeglichen Zehler und Nenner, und wann man alle so viel moͤglich gegen einander aufgehoben, so
multiplici
rt man nach der vorigen Regel die Zehler und Nenner, oder vielmehr die Zahlen, welche nach geschehener Aufhebung an derselben Stelle gesetzt worden sind, mit einander, und bekommt also auf diese Art das gesuchte
Pro- duct
in den kleinsten moͤglichen Zahlen aus- gedruͤckt.
Weilen nach der vorigen Regel zwey und auch mehr Bruͤche mit einander
multiplici
rt wer- den, wann man erstlich alle Zehler und dann auch alle Nenner mit einander
multiplici
rt, so ist ein jeglicher Zehler ein
Factor
oder Theiler des
Zehlers
Zehlers des
Products,
und gleicher gestalt ein jeglicher Nenner ein
Factor
oder Theiler des Nenners des
Products.
Wann derohalben ir- gend ein Zehler mit irgend einem Nenner einen gemeinen Theiler hat, so werden sich auch des
Products
Zehler und Nenner durch eben denselben Theiler theilen und folglich in kleinere Zahlen bringen lassen. Wann man derohalben noch vor der
Multiplication
derselben Zehler und Nenner durch ihren gemeinen Theiler theilet, und die
Quo- tien
ten an derselben Stelle setzt, so ist es eben so viel als wann man nach geschehener
Multiplica- tion
den Zehler und Nenner des
Products
durch denselben gemeinen Theiler
diuidir
te. Durch eine solche Aufhebung also, da ein Zehler und Nen- ner durch einen gemeinen Theiler
diuidi
rt werden, erhaͤlt man das
Product
zugleich in kleineren Zah- len ausgedruͤckt, und hat hernach derselben
Re- duction
nicht mehr vonnoͤthen. Woraus erhellet, daß wann man vor der
Multiplication
einen jegli- chen Zehler gegen einen jeglichen Nenner betrach- tet, und dieselben durch ihren groͤsten gemeinen Theiler gegen einander aufhebt, alsdann das
Product
in den kleinsten moͤglichen Zahlen ausge- druͤckt gefunden werde. Wann nun zwey oder mehr Bruͤche mit einander zu
multiplici
ren vor- gegeben werden, sieht man vor allen Dingen, ob man einen Zehler und Nenner antreffe, welche einen gemeinen Theiler haben, und
diuidi
rt die- selben durch ihren groͤsten gemeinen Theiler, und
Q 5
setzt
setzt die
Quotos
an derselben Stelle. Hierauf sieht man ferner, ob nicht noch mehr dergleichen Zehler und Nenner vorhanden sind, und verfaͤhrt mit denselben auf gleiche Weise. Wann sich end- lich kein Zehler mehr gegen einem Nenner aufhe- ben laͤst, so schreitet man zu der
Multiplication,
da man dann an statt der ausgestrichenen Zehler und Nenner, die an derselben Stelle gesetzten Zahlen
multiplici
rt. Dieser Vortheil aber, des- sen man sich in der
Multiplication
der Bruͤche be- dienen kan, kan am besten durch Exempel dar- gethan werden. Last uns also
\frac{5}{9}
mit
\frac{3}{20}
mul- tiplici
ren; hier sieht man nun, daß sich der Zeh- ler 5 gegen dem Nenner 20 durch 5 aufheben lasse, da dann 1 anstatt 5, und 4 anstatt 20 kommt. Ferner lassen sich 3 und 9 durch 3 ver- kleinern, und kommt 3 anstatt 9, und 1 anstatt 3. Diese Aufhebung wird nun auf folgende Weise verrichtet.
Hernach werden, wie die Regel erfordert, die Zehler und Nenner, oder vielmehr die an derselben Stelle gesetzten Zahlen, mit einander
multiplici
rt, und in diesem Exempel
\frac{1}{12}
fuͤr das
Product
ge- funden. Eben dieses
Product
waͤre aber auf die vorige Art herauskommen als:
Weilen
Weilen aber hier das
Product
in grossen Zahlen nehmlich
\frac{15}{180}
ist gefunden worden, und von denselben noch der groͤste gemeine Theiler muͤste gesucht werden, ehe man auf
\frac{1}{12}
hat kommen koͤnnen, so ist die hier gewiesene
Operation
weit vortheilhaffter. Last uns ferner durch Huͤlfe die- ses Vortheils folgende Bruͤche
\frac{15}{28}
und
\frac{21}{25}
mit einander
multiplici
ren, so wird die
Opera- tion
also zu stehen kommen:
Nehmlich 15 und 25 werden gegen einander mit 5, und 21 und 28 gegen einander mit 7 aufge- hebt; da dann das
Product
\frac{9}{20}
gleich in den kleinsten Zahlen ausgedruͤckt gefunden wird. Wann weiter dieser Bruch
\frac{9}{16}
mit
\frac{16}{9}
mul- tiplici
rt werden soll, so wird das
Product
1 ge- funden, wie folget:
Aus diesem Exempel erhellet, daß wann in den gegebenen Bruͤchen je eines Zehler dem Nenner des andern gleich ist, das
Product
1 werde. Also gibt ⅔ mit
\frac{3}{2}
multiplici
rt 1, und ⅚ mit
\frac{6}{5}
multiplici
rt auch 1, und so weiter. Soll eine gantze Zahl mit einem Bruche
multiplici
rt
werden,
werden, so findet der gewiesene Vortheil gleicher massen statt, indem die gantze Zahl als ein Zehler angesehen werden kan, dessen Nenner 1 ist; gleich wie wir schon oben angemercket, daß zum Exempel
\frac{6}{1}
fuͤr 6 geschrieben werden koͤnne. Wann also ein Bruch mit einer gantzen Zahl
multiplici
rt werden soll, so kan die gantze Zahl auf gemeldete Art in der
Form
eines Bruchs des- sen Nenner 1 vorgestellet, und die Aufhebung wie vor angebracht werden. Also wann 15 mit
\frac{4}{9}
multiplici
rt werden sollen, wird das
Product
\frac{20}{3}
oder 6⅔ auf folgende Weise gefunden werden.
Sollen aber mehr als 2 Bruͤche mit einander
multiplici
rt werden, so wird dieser Vortheil glei- cher gestalt angebracht, wie aus folgenden Exem- peln zu sehen.
Ferner
Gleicher
Gleicher gestalt
Und also| wird in |allen dergleichen Exempeln verfahren.
5)
Wann die Zahlen, welche mit einan- der
multiplici
rt werden sollten, keine einzelen Bruͤche, sondern aus gantzen und Bruͤchen zusammen gesetzt sind, so kan man entweder dieselben in die
Form
einzeler Bruͤche bringen, wie oben ist gelehret worden, und als dann die
Multiplication
wie vorher vollziehen. Oder man kan auch ohne diese
Reduction
einen jeglichen Theil einer Zahl mit einem jeglichen Theil der anderen Zahl
multiplici
ren, und alle diese besonderen
Producte
zusammen
addi-
ren, da dann die Summ das gesuchte
Pro- duct
seyn wird.
Diese beyden Arten, Zahlen welche aus gan- tzen und Bruͤchen bestehen, mit einander zu
mul- tiplici
ren, kommen ihrem Grunde nach vollkom- men mit einander uͤberein: sie sind aber der
Ope- ration
und Vortheil nach sehr von einander un- terschieden. Dann oͤffter bedient man sich der ersteren mit groͤsserem Vortheil, oͤfters aber der anderen, so daß keine der anderen fuͤr sich vorge- zogen zu werden verdient; weswegen also noͤthig ist sich in beyden zu uͤben. Jn welchen Faͤllen es
aber
aber dienlicher ist sich der einen oder der anderen zu bedienen, wird aus der weiteren Ausfuͤhrung einer jeglichen erhellen. Die erste Art besteht nun darinn, daß man die aus gantzen und Bruͤchen zusammen gesetzten Zahlen in die
Form
einzeler Bruͤche bringt, und die
Multiplication
nebst de- nen Vortheilen, wie im vorigen Satze gelehret worden, verrichtet.
Wir haben aber schon oben in dem sechsten
Cap.
gelehret, daß eine aus einer gantzen und gebrochenen zusammen gesetzte Zahl in die
Form
eines einzelen Bruchs gebracht werde, wann man die gantze Zahl mit dem Nenner des Bruchs
multiplici
rt, und zum
Product
den Zehler
addi
rt, als welche Summ der Zehler des einzelen Bruchs seyn wird, dessen Nenner dem vorigen Nenner gleich ist. Vermittelst dieser
Reduction
hat also die
Multiplication
solcher zusammen gesetzten Zah- len nach dieser Art keine weitere Schwierigkeit, weswegen nur noch uͤbrig ist dieselbe durch einige Exempel zu erlaͤuteren. Wann also 1⅓ mit 2½
multiplici
ret werden soll, so wird
\frac{4}{3}
anstatt 1⅓, und
\frac{5}{2}
anstatt 2½ gesetzt, und die
Mul- tiplication,
wie oben gewiesen worden, folgender gestalt verrichtet.
oder
Gleicher
Gleicher gestalt werden 3¾ mit 5⅓
multiplici
rt.
oder
.
Wann ein einzeler Bruch mit einer zusammen ge- setzten Zahl
multiplici
rt werden soll, so geschieht dasselbe auf gleiche Art, indem man nur die zusam- men gesetzte Zahl noͤthig hat in einen einzelen Bruch zu verwandeln. Als wann 5
\frac{7}{12}
mit
\frac{21}{25}
multiplici
rt werden soll, so wird
\frac{67}{12}
fuͤr 5
\frac{7}{12}
geschrieben, und wie folget,
multiplici
rt.
oder
Wann mehr als 2 zusammen gesetzte Zahlen mit einander
multiplici
rt werden sollen, so geschieht die
Operation
nach geschehener
Reduction
zu ein- zelen Bruͤchen wie im vorigen Satze gelehret worden. Als es sollen 2½, 3⅓, 5⅖, mit einander
multiplici
ret werden, so wird das
Pro- duct
folgender gestalt gefunden.
2½
oder
Diese Art aus gantzen und Bruͤchen zusam- men gesetzte Zahlen mit einander zu
multiplici
ren hat insonderheit statt, wann die gantzen Zahlen nicht allzugroß sind; als da die
Reduction
zu ein- zelen Bruͤchen um so viel leichter geschehen kan. Sind aber die gantzen Zahlen sehr groß, so ist es dienlicher sich der anderen Art zu
multiplici
ren zu bedienen, in welcher die zusammen gesetzte Zahlen nicht noͤthig ist in einzele Bruͤche zu verwandeln. Nehmlich bey dieser Art betrachtet man die Zah- len, welche mit einander
multiplici
ret werden sollen, als zusammen gesetzte Zahlen, und
multipli- ci
rt einen jeglichen Theil der einen mit einem jeden Theil der andern; da dann diese
Producte
zusammen
addi
rt das verlangte
Product
geben. Also wann eine gantze Zahl nebst einem Bruche, mit einer gantzen Zahl samt einem Bruche
multiplici
rt wer- den soll, so werden erstlich die gantzen Zahlen mit einander
multiplici
et, hernach eine jede gantze Zahl mit dem Bruche der anderen, und endlich auch die Bruͤche mit einander; welche 4
Producte
zusammen
addi
rt, das gesuchte
Product
ausmachen. Als wann 7½ mit 12⅔
multi- plici
rt werden soll, so
multiplici
rt man erstlich 7 mit 12 das gibt 84, hernach
multiplici
rt man 7
mit
mit ⅔ das gibt
\frac{14}{3}
; Ferner
multlplici
rt man 12 mit ½ das gibt
\frac{12}{2}
oder 6, und endlich ½ mit ⅔ gibt
\frac{2}{6}
das ist ⅓. Diese
Producte
zu- sammen geben 95 fuͤr das gesuchte
Product;
diese
Operation
aber kommt allso zu stehen.
Wann ferner 17⅖ mit 19
\frac{4}{9}
multiplici
rt werden soll, so wird das
Product
durch folgende
Operation
gefunden werden.
Prod. 337
\frac{60}{45}
das ist 338
\frac{15}{45}
das ist 338⅓.
R
Aus
Aus diesen Exempeln ist nun genugsam zu ersehen, wie so wohl auf die erste als zweyte Art Zahlen, welche aus gantzen und Bruͤchen zusam- men gesetzt sind, mit einander
multiplici
rt wer- den, da dann ein jeder bey vorkommenden Faͤllen leicht wird sehen koͤnnen, welche Art dienlicher ist; wann man sich nur in beyden Arten genugsam geuͤbet hat. Diese letztere Art ist zwar nur auf die
Multiplication
zweyer Zahlen gerichtet; die- selbe kan aber auch leicht auf mehr Zahlen mit einander zu
multiplici
ren,
applici
rt werden. Dann man darf erstlich nur zwey Zahlen mit einander
multiplici
ren, und hernach mit diesem
Product
die dritte, und weiter mit dem was herauskommt die vierte, bis man mit allen Zahlen fertig ist; da dann das letzte
Product
das gesuchte seyn wird.
Cap. IX.
Von der
Diuision
mit gebrochenen Zahlen.
1.
W
Ann von zweyen Bruͤchen, welche gleiche Nenner haben, einer durch den andern
diuidi
rt werden soll, so wird der
Quotus
gefunden, wann man den Zehler des
Diuidendi
durch den Zehler des
Diuisoris diui- di
rt. Der
Quotus
wird also ein Bruch seyn,
dessen
dessen Zehler der Zehler des
Diuidendi,
der Nenner aber der Zehler des
Diuisoris
ist.
Wann zwey Bruͤche gleiche Nenner haben, so sieht man erstlich leicht, welcher groͤsser ist als der andere: dann derjenige Bruch des- sen Zehler groͤsser ist, derselbe ist auch der groͤssere. Hieraus aber ist auch ferner zu ersehen, wieviel mahl der groͤssere groͤsser ist als der kleinere; dann wann der Zehler des einen zwey mahl so groß ist als der Zehler des anderen, so ist auch derselbe Bruch 2 mahl groͤsser als der andere; also ist ⅘ zwey mahl so groß ⅖; dann wann ⅖ mit 2
multiplici
rt werden, so kommen ⅘ heraus. Gleicher gestalt wann des einen Zehler drey oder 4 mahl groͤsser ist als der Zehler des an- deren, so ist auch derselbe Bruch 3 oder 4 mahl groͤsser als dieser. Aus diesem erhellet also, daß so viel mahl der Zehler eines Bruchs groͤsser ist als der Zehler des anderen, eben so viel mahl je- ner Bruch groͤsser sey als dieser, wann nehmlich beyde Bruͤche gleiche Nenner haben. Weilen nun in der
Diuision
nichts anders gesucht wird, als wieviel mahl eine Zahl groͤsser sey als die an- dere, und die Zahl welche anzeiget, wieviel mahl die eine groͤsser ist als die andere, der
Quotus
ge- nennet wird: so ist auch einen Bruch durch einen anderen
diuidi
ren nichts anders, als finden, wie- viel mahl einer groͤsser ist als der andere, welches durch den
Quotum
angezeiget wird. Da nun also
R 2
von
von zweyen Bruͤchen, welche gleiche Nenner ha- ben, der eine um so viel mahl groͤsser ist als der andere, um so viel mahl desselben Zehler groͤsser ist als der Zehler dieses: so wird von zweyen sol- chen Bruͤchen einer durch den anderen
diuidi
rt, wann man den Zehler des einen durch den Zehler des anderen
diuidi
rt. Von solchen zweyen Bruͤ- chen ist einer der
Diuidendus,
oder der durch den anderen
diuidi
rt werden soll, und der andere ist der
Diuisor,
durch welchen
diuidi
rt werden soll; wann nun diese Bruͤche gleiche Nenner haben, so geschieht die
Diuision,
wann man den Zehler des
Diuidendi
durch den Zehler des
Diuisoris di- uidi
rt, da dann der gefundene
Quotus
anzeiget, wieviel mahl der
Diuisor
im
Diuidendo
ent- halten ist. Dieser
Quotus
kan nun entweder eine gantze Zahl seyn oder ein Bruch, je nach dem der
Diuidendus
den
Diuisorem
just etliche mahl in sich begreifft oder nicht. Dieses mag sich aber verhalten wie es will, so kan der
Quotus
all- zeit durch einen Bruch ausgedruͤckt werden, des- sen Zehler der Zehler des
Diuidendi,
der Nen- ner aber der Zehler des
Diuisoris
ist. Hernach aber wann dieser Bruch gefunden worden, so kan man sehen, ob derselbe entweder auf gantze Zahlen gebracht oder durch kleinere Zahlen aus- gedruͤckt werden koͤnne, als welches allzeit zu beobachten ist. Wann also dieser Bruch
\frac{7}{12}
durch diesen
\frac{5}{12}
diuidi
rt werden soll, so wird
nach
nach dieser Regel der
Quotus
\frac{7}{5}
das ist 1⅖ gefunden. Gleicher gestalt
\frac{8}{11}
durch
\frac{6}{11}
diuidi
rt geben im
Quoto
\frac{8}{6}
oder 1⅓. Wei- ter wann man fragt wieviel mahl
\frac{5}{21}
in
\frac{15}{21}
enthalten sey, so findet man den
Quotum
3; und also in folgenden Exempeln.
⅔ in
\frac{5}{3}
ist enthalten
\frac{5}{2}
oder 2½ mal
\frac{9}{13}
in
\frac{6}{13}
ist enthalten
\frac{6}{9}
oder ⅔ mal
Bey allen diesen Exempeln kan, wie uͤberall in der
Diuision,
diese Probe angebracht werden, daß man den
Diuisorem
mit dem
Quoto multiplici
rt, um zu sehen, ob der
Diuidendus
herauskomme, als welches ein Zeichen der Richtigkeit der
Diui- sion
ist.
2)
Wann also die Bruͤche, davon einer durch den anderen
diuidi
rt werden soll, nicht gleiche Nenner haben, so darf man nur die- selben auf gleiche Benennungen bringen, und alsdann die
Diuision,
wie gelehret worden, verrichten. Hieraus folget nun diese Regel: man
multiplici
rt den Zehler des
Diuidendi
mit dem Nenner des
Diuisoris;
ingleichem auch den Nenner des
Diuidendi
mit dem Zehler des
Diuisoris
so gibt das erstere
Product
den Zehler des
Quoti,
das letztere aber den Nenner.
R 3
Wann
Wann zwey Bruͤche von ungleichen Nen- nern zu gleichen Benennungen gebracht werden sol- len, so
multiplici
rt man eines jeden Bruchs Zeh- ler und Nenner mit dem Nenner des andern: wie oben schon gelehret worden. Derohalben wann auf diese Art zwey Bruͤche, davon einer durch den anderen
diuid
rt werden soll, zu gleichen Benennungen gebracht werden, so wird fuͤr den
Diuidendum
ein Bruch herauskommen, dessen Zehler der vorige Zehler, mit dem Nenner des
Di- uisoris multiplici
rt, seyn wird. Der
Diuisor
aber wird in einen anderen Bruch verwandelt werden, dessen Zehler das
Product
aus dem vorigen Zehler und dem Nenner des
Diuidendi
seyn wird. Beyde
reducir
ten Bruͤche aber werden einen ge- meinen Nenner haben, welcher das
Product
bey- der vorigen Nenner seyn wird. Wann aber also die vorgegebenen Bruͤche zu gleichen Benennun- gen gebracht worden, so wird der gesuchte
Quo- tus,
nach dem vorigen Satze, ein Bruch seyn, des- sen Zehler der Zehler des
Diuidendi,
der Nen- ner aber der Zehler des
Diuisori
s ist. Wann derohalben diese beyden
Operatio
nen, nehmlich die
Reduction
zu gleichen Benennungen, und die
Diuision
selbst, zusammen in eine
Operation
ge- schmoltzen werden, so wird diese Regel heraus- kommen. Von zweyen gegebenen Bruchen, de- ren einer durch den anderen
diuidi
rt werden soll, wird der
Quotus
ein Bruch seyn, dessen Zehler das
Product
aus dem Zehler des
Diuidendi
und
dem
dem Nenner des
Diuisoris,
der Nenner aber das
Product
aus dem Zehler des
Diuisoris
und dem Nenner des
Diuidendi
ist. Wann also nach dieser Regel ⅝ durch ⅔
diuidi
rt werden soll, so ist ⅝ der
Diuidendus
und ⅔ der
Diuisor;
demnach gibt 5 mit 3
multiplici
rt den Zehler des
Quoti,
und 8 mit 2
multiplici
rt, das ist 16, den Nenner desselben, so daß folglich der
Quotus
\frac{15}{16}
seyn wird. Diese
Operation
pflegt nun folgen- der Gestalt vorgestellet zu werden.
Nachdem man nehmlich den
Diuisorem
vor den
Diuidendum
geschrieben, so zieht man vom Zeh- ler des
Diuidendi
zum Nenner des
Diuisoris,
und auch vom Nenner des
Diuidendi
zum Zehler des
Diuisoris,
gerade Linien, welche sich durch- schneiden und ein Creutz vorstellen werden. Hier- auf
multiplici
rt man nach Anleitung dieses Creu- tzes den Zehler des
Diuidendi
5 mit dem Nen- ner des
Diuisoris
3, so gibt das
Product
15 den Zehler des
Quoti.
Hernach
multiplici
rt man den Nenner des
Diuidendi
8 mit dem Zehler des
Diuisoris
2, so gibt das
Product
16 den Nenner des
Quoti,
so daß folglich der
Quotus
\frac{15}{16}
seyn wird. Um aber von dieser
Operation
desto
R 4
gewisser
gewisser zu seyn, so kan man die vorgegebenen Bruͤche erstlich zu gleichen Benennungen bringen, da man dann anstatt ⅔ und ⅝ diese Bruͤche bekommt
\frac{16}{24}
und
\frac{15}{24}
; davon dieser durch je- nen nach dem ersten Satz
diuidi
rt
\frac{15}{16}
fuͤr den
Quotum
gibt. Man kan sich auch die gantze
O- peration
folgender gestalt vorstellen. Wann ⅝ durch ⅔
diuidi
rt werden sollen, so kan sogleich der
Quotus
auf solche Art
ausgedruͤckt werden; Dann diese Ausdruͤckung ist ein Bruch dessen Zehler ⅝ ist, und ⅔ der Nenner, und ist fol- glich, nach der Natur der Bruͤche, der
Quotus,
so herauskommt, wann man ⅝ durch ⅖
di- uidi
rt. Um aber diese ungewoͤhnliche Bruchs-
Form
in die gewoͤhnliche
Form
zu bringen, und diesen Bruch in einen anderen zu verwandeln, dessen Zehler und Nenner gantze Zahlen sind, so
multiplici
re man den Zehler und Nenner beyde durch 8; da dann dieser Bruch
herauskomt, weilen ⅝ mit 8
multiplici
rt 5 gibt, und ⅔ mit 8
multiplici
rt
\frac{16}{3}
. Hier ist nun der Zehler schon eine gantze Zahl; weilen aber der Nenner noch ein Bruch ist, so
multiplici
re man noch ein mahl oben und unten mit 3, so wird
\frac{15}{16}
her-
auskommen
auskommen wie vorher. Diese Art zu
diuidi
ren, kan nun auch zum Beweißthum der gegebenen Re- gel dienen, in dem aus dieser
Operation
die obi- ge Regel folget.
Zu fernerer Gewißheit kan man sich auch der bey der
Diuision
in gantzen Zahlen angebrachten Probe bedienen. Dieses kan nehmlich erstlich durch die
Multiplication
geschehen, in dem das
Product
aus dem
Diuisore
und
Quoto
dem
Diui- dendo
gleich seyn muß. Jm gegebenen Exempel muß also ⅔ mit
\frac{15}{16}
multiplici
rt ⅝ heraus- bringen, welches auch durch die Regeln der
Mul- tiplication
geschieht, wie folget:
Ferner kan durch die
Diuision
selbst eine Probe angestellet werden, ob die Rechnung ihre Rich- tigkeit habe; weilen wann man den
Diuidendum
durch den
Quotum diuidi
rt, der
Duisor
heraus- kommen muß. Also, im gegebenen Exempel, wann ⅝ durch
\frac{15}{16}
diuidi
rt werden muß ⅔ heraus- kommen, welches auch geschieht, wie aus fol- gender
Operation
zu ersehen.
R 5
Damit
Damit man aber in dieser Art zu
diuidi
ren eine groͤssere Ubung erlange, wollen wir noch einige Exempel anfuͤhren, bey welchen besondere An- merckungen statt finden.
Wann dieser Bruch
\frac{7}{10}
durch 2
diuidi
rt werden soll, so wird der
Quotus
\frac{7}{20}
seyn, wie aus folgender
Operation
erhellet.
Nehmlich anstatt 2 schreibt man
\frac{2}{1}
damit man eine Bruchs-
Form
bekomme, und sich der gege- benen Regel bedienen koͤnne. Man sieht aber daraus, daß ein Bruch durch 2
diuidi
rt werde, wann man seinen Nenner durch 2
multiplici
rt. Eben dieses aber findet bey allen gantzen Zahlen statt, nehmlich ein jeder Bruch wird durch eine gantze Zahl
diuidi
rt, wann der Nenner desselben mit der gantzen Zahl
multiplici
rt wird. Also ⅚ durch 3
diuidi
rt gibt
\frac{5}{18}
; und
\frac{7}{4}
durch 5
diuidi
rt gibt
\frac{7}{20}
. Wann sich aber der Zehler durch die gantze Zahl wuͤrcklich theilen laͤßt, so darf man nur den Zehler theilen, und den Nenner unveraͤndert lassen, als
\frac{10}{17}
durch 2
diuidi
rt gibt
\frac{5}{17}
; dann nach der vorigen
Operation
komt
\frac{10}{34}
\frac{10}{34}
heraus, welches eben so viel ist als
\frac{5}{17}
weilen sich Zehler und Nenner durch 2 theilen lassen. Gleicher gestalt wann
\frac{24}{35}
durch 8
diui- di
rt werden sollen, so wird der
Quotus
\frac{3}{35}
seyn. Wann derohalben ein Bruch, durch eine gantze Zahl getheilet werden soll, so sieht man erstlich, ob sich der Zehler dadurch theilen lasse, in welchem Fall man den Zehler dadurch wuͤrcklich
diuidi
rt, den Nenner aber unveraͤndert laͤsst, und also den
Quotum
bekommt. Laͤsst sich aber der Zehler durch die gantze Zahl nicht theilen, so laͤsst man den Zehler unveraͤndert, und
moltipli- ci
rt den Nenner mit der gantzen Zahl, so hat man den
Quotum.
Jn solchen Faͤllen ist nun diese Regel wohl zu mercken, in dem man da- durch kuͤrtzer den verlangten
Quotum
findet.
Wann dieser Bruch
\frac{13}{15}
durch ½
diuidi
rt werden soll, so wird der
Quotus
seyn
\frac{26}{15}
, wie aus dieser
Operation
zu sehen.
Ein jeglicher Bruch wird also durch ½
diuidi
rt wann man den Zehler desselben mit 2
multi- plici
rt; woraus erhellet, daß durch ½
diuidi
ren eben so viel sey als mit 2
multiplici
ren. Eine
gleiche
gleiche Bewandnuͤß hat es mit allen Bruchen deren Zehler 1 ist; dann dadurch wird ein Bruch
diuidi
rt, wann man nur den Zehler desselben mit dem Nenner des
Diuisoris multiplici
rt. Also
\frac{5}{4}
durch ⅓
diuidi
rt gibt
\frac{15}{4}
oder 3¾; welches eben so viel ist als wann man
\frac{5}{4}
mit 3
multipli- ci
rt haͤtte. Wann dieser Bruch
\frac{16}{25}
durch ⅖
diuidi
rt werden soll, so wird der
Quotus
\frac{8}{5}
seyn, wie folgende
Operation
weiset.
Dieses Exempel ist deswegen zu mercken, weilen sich der Zehler des
Diuidendi
16 durch den Zehler des
Diuisoris
2, und ingleichem auch der Nenner des
Diuidendi
durch den Nenner des
Diuisoris
theilen laͤsst. Dann hieraus sieht man daß der
Quotus
herauskommt, wann man des
Diuidendi
Zehler durch den Zehler des
Diuisoris,
und den Nenner des
Diuidendi
durch den Nen- ner des
Diuisoris diuidi
rt. Also
\frac{8}{9}
durch ⅔
diuidi
rt, gibt
\frac{4}{3}
und
\frac{24}{35}
durch
\frac{6}{7}
diuidi
rt gibt ⅘. Der Grund hievon ergibt sich am be- sten aus der Probe durch die
Multiplication;
dann da sieht man deutlich, daß wann man den gefundenen
Quotum
mit dem
Diuisore multiplici
rt,
der
der
Diuidendus
herauskomme. Jn welchen Faͤllen aber die
Operation
abgekuͤrtzet werden koͤn- ne, wird aus folgendem Satze zu ersehen seyn.
3)
Die
Diuision
der gebrochenen Zahlen kan in eine blosse
Multiplication
verwandelt werden, wann man den
Diuisorem
umkehrt und damit hernach
multiplici
ret Ein Bruch wird aber umgekehret, wann man den Zeh- ler und Nenner verwechselt, und einen an des anderen Stelle setzt. Wann nun solcher gestalt die
Diuision
in eine
Multiplication
ist verwandelt worden, so kan man auch dabey alle diejenigen Vortheile anbringen, welche im vorigen
Cap.
bey der
Multiplication
sind gelehret worden, wodurch gleichfals die
Ope- ration
so kan abgekuͤrtzet werden, daß man gleich den
Quotum
in seiner kleinsten
Form
bekommt, und darnach keiner weiteren
Re- duction
mehr bedarf.
Ein Bruch wird umgekehret, wann man den Zehler an des Nenners Stelle, und den Nenner an des Zehlers Stelle, setzet; also wann ⅝ um- gekehret werden, so bekommt man
\frac{8}{5}
. Von dieser Umkehrung der Bruͤche ist uͤberhaupt anzu- mercken, daß wann ein Bruch kleiner ist als ein gantzes, als dann der umgekehrte Bruch groͤsser sey als ein gantzes; und hinwiederum, wann der Bruch groͤsser ist als 1, so ist der umgekehrte klei- ner als 1. Der Grund davon ist klar; dann
wann
wann in einem Bruche der Zehler kleiner ist als der Nenner, so ist auch der Bruch kleiner als 1; und wann der Zehler groͤsser ist als der Nenner, so ist der Bruch groͤsser als 1. Ferner ist auch zu mercken, daß zwey solche Bruͤche, deren Zehler und Nenner, wechsels weise einander gleich sind, wann sie mit einander
multiplici
rt werden, allezeit ein gantzes herausbringen; also
\frac{4}{3}
mit ¾
multiplici
rt gibt 1, und 8 mit ⅛, das ist
\frac{8}{1}
mit ⅛
multiplici
rt gibt auch 1. Weilen nun wie oben gelehret, ein Bruch durch einen anderen Bruch
diuidi
rt wird, wann man den Zehler des
Diuidendi
mit dem Nenner des
Diuisoris;
in- gleichen auch den Nenner des
Diuidendi
mit dem Zehler des
Diuisoris multiplici
rt, und dann jenes
Product
fuͤr den Zehler des
Quoti
dieses aber fuͤr den Nenner setzt: so sieht man leicht daß eben die- ser
Quotus
herauskommen werde, wann man den
Diuisorem
umkehret, und damit den
Diui- dendum multiplici
rt; als wann
\frac{7}{12}
durch ⅘
diuidi
rt werden soll, so wird nach der ersteren Re- gel der
Quotus
folgender gestalt gefunden.
Nach
Nach der jetzo gegebenen Regel aber wird eben dieser
Quotus
durch die
Multiplication
des
Diuidendi
mit dem ungekehrten
Dinisore
also gefunden.
Hieraus erhellet nun eine schoͤne Verwand- schaft zwischen der
Diuision
und
Multiplication,
nehmlich daß durch ⅘
diuidi
ren eben so viel sey als mit
\frac{5}{4}
multiplici
ren; und allezeit, daß durch einen jeglichen Bruch
diuidi
ren eben so viel sey als mit demselben umgekehrten Bruche
multiplici
ren. Also ist mit einem halben das ist mit ½
multi- plici
ren, nichts anders als durch 2
diuidi
ren; und durch ½
diuidi
ren ist nichts anders als mit 2
multiplici
ren. Diese Verwandlung der
Diui- sion
in eine
Multiplication
scheinet zwar die
Ope- ration
nicht leichter zu machen, weilen auf beyde Arten einerley
Multiplicatio
nen verrichtet werden muͤssen; allein da wir oben bey der
Multiplication
einige Vortheile anzubringen gelehret, dadurch das
Product
gleich in seiner kleinsten
Form
her- ausgebracht wird, so koͤnnen bey der
Diuision,
nachdem dieselbe in eine
Multiplication
ist ver- wandelt worden, eben dieselben Vortheile ange- bracht werden, wodurch man der Muͤhe uͤberho- ben wird fuͤr die
Diuision
besondere Vortheile so
wohl
wohl anzuzeigen als zu erlernen. Diese Vortheile bey der
Multiplication
bestehen aber darinn, daß man von zwey Bruͤchen, welche mit einander
multiplici
rt werden sollen, je einen Zehler gegen ei- nem Nenner aufhebt, welches durch einen gemei- nen Theiler geschieht; da man an die Stelle der- selben Zahlen, die gefundenen
Quotos
setzet. Eben dieses Vortheils kan man sich also bey der
Diuision
bedienen, nachdem dieselbe in eine
Mul- tiplication
ist verwandelt worden; wie aus fol- genden Exempeln mit mehrerem erhellen wird.
I.
Wann ⅝ durch ¾
diuidi
rt werden sollen, so wird die
Diuision
folgender gestalt verrich- tet und der
Quotus
gefunden werden.
Nehmlich anstatt des
Diuisoris
¾ setzt man
\frac{4}{3}
, damit man ⅝ mit
\frac{4}{3}
zu
multipli- ci
ren habe. Alsdann sieht man, daß 4 ge- gen 8 durch 4 koͤnnen aufgehoben werden, und setzt man also 1 anstatt 4 und 2 anstatt 8. Hernach
multiplici
rt man 1 mit 5, und 3 mit 2, so kommt der gesuchte
Quotus
in seiner kleinsten
Form
nehmlich ⅚ heraus.
II.
Sollen
II.
Sollen
\frac{32}{45}
durch
\frac{4}{9}
diuidi
rt werden. Der
Quotus
wird also folgender gestalt gefunden.
Hier lassen sich 9 und 45 durch 9 theilen, deswegen schreibt man 1 an statt 9, und 5 an statt 45. Ferner 4 und 32 lassen sich beyde durch 4 theilen, da dann 1 fuͤr 4, und 8 fuͤr 32, zu stehen kommen; woraus der
Quotus
\frac{8}{5}
oder 1⅗ gefunden wird. Derowegen ist
\frac{4}{9}
in
\frac{32}{45}
ein mahl und noch ⅗ mahl ent- halten, das ist
\frac{32}{45}
enthaͤlt
\frac{4}{9}
ein mahl und noch drey fuͤnftel von
\frac{4}{9}
in sich. Wann man nun wissen wollte, wieviel ⅗ von
\frac{4}{9}
waͤren, so muß man
\frac{4}{9}
mit ⅗
multiplici-
ren, da dann
\frac{4}{15}
herauskommt; Dero- wegen muß
\frac{32}{45}
so viel seyn als
\frac{4}{9}
und
\frac{4}{15}
zusammen, welches auch die
Addition
aus- weiset.
III.
Man verlanget diejenige Zahl zu wissen, da- von fuͤnf achte Theil 29 ausmachen. Diese Frage laufft da hinaus, daß eine Zahl ge- funden werden soll, welche mit ⅝
multi- plici
rt 29 herausbringet; dann fuͤnfachtel
S
einer
einer Zahl ist nichts anders als dieselbe Zahl mit ⅝
multiplici
rt. Diese Zahl wird nun gefunden, wann man 29 durch ⅝
diuidi
rt, dann da ist der
Quotus
so beschaffen, daß derselbe mit ⅝
multiplici
rt 29 gibt. Dero- wegen um die gesuchte Zahl zu finden, so last uns 29 oder
\frac{29}{1}
durch ⅝
diuidi
ren.
Die verlangte Zahl ist also 46⅖. Daß diese Zahl aber die verlangte Eigenschaft habe, wird die Probe ausweisen, wann man 46⅖ mit ⅝
multiplici
rt, um zu sehen ob 29 her- auskommt.
4)
Wann eine aus gantzen und einem Bruche zusammen gesetzte Zahl durch einen Bruch
diuidi
rt werden soll, so kan man ent-
weder
weder die gantze Zahl und den Bruch insbe- sondere durch den
Diuisorem diuidi
ren, und die
Quotos
zusammen
addi
ren: oder man kan den zusammen gesetzten
Diuidendum
in einen einzelen Bruch bringen, und so dann die
Diuision
wie oben gelehret verrichten. Jst aber der
Diuisor
eine zusammen gesetzte Zahl: so muß derselbe unumgaͤnglich in die
Form
eines einzelen Bruchs gebracht werden.
Wann so wohl der
Diuidendus
als der
Diui- sor
zusammen gesetzte Zahlen sind, und aus gan- tzen und gebrochenen Zahlen bestehen, so hat den- noch die
Diuision
keine weitere Schwierigkeit; weilen schon oben gelehret worden, wie solche zu- sammen gesetzte Zahlen in einzele Bruͤche verwan- delt werden. Also wann 4⅗ durch 2½
diui- di
rt werden sollten, so bringet man beyde Zahlen nehmlich den
Diuidendum
und den
Diuisorem
in einzele Bruͤche, da dann
\frac{23}{5}
durch
\frac{5}{2}
diuidi
rt werden soll, und der
Quotus
wie folget gefunden wird.
Dieses ist nun ein sicherer Weg alle dergleichen
Diuisionen
zu verrichten, und waͤre also nicht noͤthig fuͤr solche Exempel besondere Regeln zu geben. Allein oͤffters kan die
Operation
mercklich abge- kuͤrtzet werden, wann man einen jeden Theil des
S 2
Diui-
Diuidendi
insbesondere durch den
Diuisorem diui- di
rt, und die gefundenen
Quotos
zusammen
ad- di
rt, als deren Summ den verlangten
Quotum
gibt. Auf diese Art hat man also nicht noͤthig den
Diuidendum,
wann derselbe eine zusammen gesetzte Zahl ist, in einen einzelen Bruch zu ver- wandeln; der
Diuisor
aber muß allezeit in die
Form
eines einzelen Bruchs gebracht werden. Also kan man 30
\frac{7}{12}
durch ⅚
diuidi
ren, ohne gedachte
Reduction,
wie folget.
Wann aber 21
\frac{5}{12}
durch 5
\frac{4}{9}
diuidi
rt werden soll, so muß vor allen Dingen der
Diui- sor
5
\frac{4}{9}
in einen einzelen Bruch, welcher
\frac{49}{9}
seyn wird, verwandelt werden; der
Diuidendus
aber kan unveraͤndert bleiben, und die
Diuision
folgender gestalt verrichtet werden.
Wollte
Wollte man aber eben dieses Exempel auf die vorige Art ausrechnen, und auch den
Diuiden- dum
in die
Form
eines
Simpeln
Bruchs bringen, welcher
\frac{257}{12}
seyn wird, so wird die
Diuision
also zu stehen kommen.
wie auf obige Art. Bey dergleichen Exempeln kan man sich nach Belieben entweder dieser oder jener Art bedienen, und scheinet nicht noͤthig zu seyn anzuzeigen, in welchen Faͤllen eine vor der anderen einigen Vorzug haben moͤchte; in- dem sich dieses durch eine fleißige Ubung von selbsten viel besser weiset.