Vollstaͤndige
Anleitung
zur
Algebra
von
Hrn. Leonhard Euler.
Zweyter Theil.
Von Aufloͤsung algebraischer Gleichungen und der unbestimmten Analytic.
St. Petersburg.
gedruckt bey der
Kays. Acad. der Wissenschaften
1770
.
Des Zweyten Theils Erster Abschnitt
Von den Algebraischen Gleichungen und derselben Aufloͤsung.
II.
Theil
A
Capitel
I.
Von der Aufloͤsung der Aufgaben uͤberhaupt.
1.
D
ie Haupt-Absicht der Algebra so wie aller Theile der Mathematic ist dahin gerichtet, daß man den Werth solcher Groͤßen, die bisher un- bekant gewesen bestimmen moͤge, welches aus genauer Erwegung der Bedingungen, welche dabey vorgeschrie- ben und durch bekante Groͤßen ausgedruͤckt werden, geschehen muß. Dahero die Algebra auch also be- schrieben wird, daß darinnen gezeigt werde wie man aus bekanten Groͤßen unbekante ausfindig machen koͤnne.
A 2
2.
Erster Abschnitt
2.
Dieses stimmt auch mit allem demjenigen uͤber- ein, was bisher vorgetragen worden, indem allenthal- ben aus bekanten Groͤßen andere herausgebracht worden sind, so vorher als unbekant angesehen werden konnten.
Das erste Beyspiel findet man so gleich in der Additon, da von zwey oder mehr gegebenen Zahlen die Summa gefunden worden. Daselbst wurde nemlich eine Zahl gesucht welche den gegebenen zusammen ge- nommen gleich ist.
Bey der Subtraction wurde eine Zahl gesucht, welche dem Unterscheid zweyer gegebenen Zahlen gleich war.
Und eben so verhaͤlt es sich auch mit der Multi- plication und Division, wie auch mit der Erhebung der Potestaͤten und der Ausziehung der Wurzeln, wo immer eine vorher unbekante Zahl aus bekanten gefunden wird.
3.
In dem letzten Abschnitt haben wir schon ver- schiedene Fragen aufgeloͤßt, wobey es immer auf die Erfindung einer Zahl angekommen, welche aus andern
gege-
Von den Algebraischen Gleichungen.
gegebenen Zahlen unter gewißen Bedingungen ge- schloßen werden mußte.
Alle Fragen lauffen also da hinaus, daß aus eini- gen gegebenen Zahlen eine neue gefunden werden soll, welche mit jenen in einer gewißen Verbindung ste- he, und diese Verbindung wird durch gewisse Bedin- gungen oder Eigenschaften, welche der gesuchten Zahl zukommen muͤßen, bestimmt.
4.
Bey einer jeden vorkommenden Frage wird nun diejenige Zahl die gesucht werden soll, durch einen der letztern Buchstaben des Alphabets angedeutet, und dabey alle vorgeschriebene Bedingungen in Erwegung gezogen, wodurch man auf eine Vergleichung zwischen zweyen Zahlen gefuͤhret wird. Aus einer solchen Glei- chung muß hernach der Werth der gesuchten Zahl be- stimmt werden, wodurch die Frage aufgeloͤßet wird. Bisweilen muͤßen auch mehrere Zahlen gesucht werden, welches auf gleiche weise durch Gleichungen geschehen muß.
5.
Dieses wird durch ein Exempel deutlicher wer- den: man stelle sich diese Frage vor:
A 3
20
Erster Abschnitt
20 Personen, Maͤnner und Weiber, zehren in ei- nem Wirths-Haus: ein Man verzehrt 8 Gl. ein Weib aber 7 Gl. und die gantze Zeche belaͤuft sich auf 6 Rthl. Nun ist die Frage wie viel Maͤnner und Weiber daselbst gewesen?
Um diese Frage aufzuloͤsen, so setze man die Zahl der Maͤnner =
x
, und sehe dieselbe als bekant an, oder man verfahre damit als wann man die Probe ma- chen wollte, ob dadurch der Frage ein Genuͤge geschaͤhe. Da nun die Anzahl der Maͤnner =
x
ist und Maͤnner und Weiber zusammen 20 Person ausmachen so kann man daraus die Anzahl der Weiber bestimmen, welche gefunden wird wann man die Zahl der Maͤnner von 20 subtrahirt. Also war die Zahl der Weiber = 20 -
x
.
Da nun ein Mann 8 Gl. verzehrt, so werden diese
x
Maͤnner verzehren 8
x
Gl.
Und weil ein Weib 7 Gl. verzehrt so werden diese 20 -
x
Weiber verzehren 140 - 7
x
Gl.
Also verzehren Maͤnner und Weiber zusammen 140 +
x
Gl. Wir wißen aber wie viel sie verzehrt ha- ben, nemlich 6 Rthl. welche zu Gl. gemacht 144 Gl. sind, daher erhalten wir diese Gleichung 140 +
x
= 144 woraus man leicht sieht daß
x
= 4.
Da-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Dahero waren bey der Zeche 4 Maͤnner und 16 Weiber.
6.
Eine andere Frage von gleicher Art:
20 Personen, Maͤnner und Weiber, sind in einem Wirths-Haus. Die Maͤnner verzehren 24 Fl. die Wei- ber verzehren auch 24 Fl. und es findet sich, daß ein Mann einen Gulden mehr als ein Weib hat zahlen muͤßen, wie viel waren es Maͤnner und Weiber?
Es sey die Zahl der Maͤnner =
x
so ist die Zahl der Weiber = 20 -
x
.
Da nun diese
x
Maͤnner 24 Fl. verzehrt haben, so hat ein Mann verzehrt
\frac{24}{x}
Fl.
Und weil die 20 -
x
Weiber auch 24 Fl. ver- zehret haben, so hat ein Weib verzehrt
\frac{24}{20 - x}
. Diese Zeche eines Weibes ist nun um 1 weniger, als die Zeche eines Mannes. Wann man also von der Zeche eines Mannes 1 Fl. subtrahirt, so muß die Zeche eines Weibes heraus kommen; woraus man diese Gleichung erhaͤlt
\frac{24}{x}
- 1 =
\frac{24}{20 - x}
. Dieses ist also die Gleichung woraus der Werth von
x
gesucht werden muß, welcher nicht so
A 4
leicht
Erster Abschnitt
leicht heraus gebracht werden kann wie bey der vori- gen Frage. Aus dem folgenden aber wird man se- hen daß
x
= 8 sey, welches auch der gefundenen Glei- chung ein Genuͤge leistet
\frac{24}{8}
- 1 =
\frac{24}{12}
das ist 2 = 2.
7.
Bey allen Fragen kommt es nun darauf an, daß nach- dem man die unbekanten oder gesuchten Zahlen durch Buchstaben angedeutet, die Umstaͤnde der Frage ge- nau in Erwegung gezogen, und daraus Glei- chungen hergeleitet werden. Hernach besteht die gan- tze Kunst darinn wie solche Gleichungen aufgeloͤßet, und daraus der Werth der unbekandten Zahlen ge- funden werden soll, und hievon soll in diesem Ab- schnitt gehandelt werden.
8.
Bey den Fragen selbst ereignet sich auch ein Un- terscheid, in dem bey einigen nur eine unbekannte Zahl, bey andern aber zwey oder noch mehr gesucht werden sollen, in welchem letztern Fall zu mercken, daß dazu auch eben so viel besondere Gleichungen er- fodert werden, welche aus den Umstaͤnden der Frage selbst hergeleitet werden muͤßen.
9.
Von den Algebraischen Gleichungen.
9.
Eine Gleichung bestehet demnach aus zwey Saͤtzen, deren einer dem andern gleich gesetzt wird. Um nun daraus den Werth der unbekanten Zahl herauszu- bringen, muͤßen oͤfters sehr viele Verwandelungen an- gestellet werden, welche sich aber alle darauf gruͤnden, daß wann zwey Groͤßen einander gleich sind, dieselben auch einander gleich bleiben, wann man zu beyden einer- ley Groͤßen addirt oder davon subtrahirt: imgleichen auch wann dieselben durch einerley Zahl multiplicirt oder dividirt werden: ferner auch wann beyde zugleich zu Potestaͤten erhoben oder aus beyden gleich- nahmigte Wurzeln ausgezogen, und endlich auch wann von beyden die Logarithmen genommen wer- den, wie schon allbereit im vorigen Abschnitt gesche- hen.
10.
Diejenigen Gleichungen, wo von der unbekanten Zahl nur die erste Potestaͤt vorkommt, nach dem die Gleichung in Ordnung gebracht worden, sind am leich- testen aufzuloͤsen, und werden Gleichungen vom er- sten Grad genennet. Hernach folgen solche Gleichun- gen, worinnen die zweyte Potestaͤt oder das Quadrat
A 5
der
Erster Abschnitt
der unbekanten Zahl vorkommt, diese werden Qua- dratische Gleichungen, oder vom zweyten Grad ge- nennt. Darauf folgen die Gleichungen vom dritten Grad oder die Cubischen worinnen der Cubus der unbe- kanten Zahl vorkommt, und so fort, von welchen allen in diesem Abschnitt gehandelt werden soll.
Capitel 2.
Von den Gleichungen des ersten Grads und ihrer Aufloͤsung.
11.
W
ann die unbekante oder gesuchte Zahl durch den Buchstaben
x
angedeutet wird, und die her- aus gebrachte Gleichung schon so beschaffen ist, daß der eine Satz blos allein das
x
und der andere Satz eine bekante Zahl enthaͤlt, als z. E.
x
= 25, so hat man schon wuͤrcklich den Werth von
x
der ver- langt wird, und auf diese Form muß man immer zu kommen trachten, so verwirt auch die erst gefun-
dene
Von den Algebraischen Gleichungen.
dene Gleichung seyn mag, worzu die Regeln im fol- genden gegeben werden sollen.
12.
Wir wollen bey den leichtesten Faͤllen anfangen und erstlich setzen, man sey auf diese Gleichung gekom- men:
x
+ 9 = 16, so sieht man daß
x
= 7.
Es sey aber auf eine allgemeine Art
x + a = b
, wo
a
und
b
bekante Zahlen andeuten, dieselben moͤ- gen heißen wie sie wollen. Hier muß man also bey- derseits
a
subtrahiren und da bekommt man diese Glei- chung
x = b - a
welche uns den Werth von
x
an- zeigt.
13.
Wann die gefundene Gleichung ist
x - a = b
, so addire man beyderseits
a
, so kommt
x = a + b
, wel- ches der gesuchte Werth von
x
ist.
Eben so verfaͤhrt man, wann die erste Gleichung also beschaffen ist
x - a = aa + 1
, dann da wird
x = aa + a + 1
.
Und aus dieser Gleichung
x - 8a = 20 - 6a
be- kommt man
x = 20 - 6a + 8a
oder
x = 20 + 2a
.
Und
Erster Abschnitt
Und aus dieser
x + 6a = 20 + 3a
findet man
x = 20 + 3a - 6a
oder
x = 20 - 3a
.
14.
Ist nun die Gleichung also beschaffen
x - a + b = c
, so kann man beyderseits
a
addiren, so kommt
x + b = c + a
, jetzt subtrahire man beydersets
b
, so hat man
x = c + a - b
; man kann aber zugleich beyderseits +
a - b
addiren, so bekommt man mit einmahl
x = c + a - b
. Also in den folgenden Exempeln; wann
x - 2a + 3b = o
so wird
x = 2a - 3b
, wann
x - 3a + 2b = 25 + a + 2b
, so wird
x = 25 + 4a
. wann
x - 9 + 6a = 25 + 2a
, so wird
x = 34 - 4a
.
15.
Hat die gefundene Gleichung diese Gestalt
ax = b
, so dividire man beyderseits durch
a
so hat man
x
=
\frac{b}{a}
. Ist aber die Gleichung
ax + b - c = d
, so muß man erstlich dasjenige was bey
ax
steht wegbringen, man addire beyderseits -
b + c
so kommt
ax = d — b + c
: folglich,
x
=
\frac{d - b + c}{a}
oder man subtrahire beyderseits +
b - c
so kommt
ax = d - b + c
und
x
=
\frac{d - b + c}{a}
.
Es
Von den Algebraischen Gleichungen.
Es sey 2
x
+ 5 = 17, so kommt 2
x
= 12 und
x
= 6 Es sey 3
x
- 8 = 7, so kommt 3
x
= 15 und
x
= 5 Es sey
4x - 5 - 3a = 15 + 9a
, so wird
4x = 20 + 12a
, folglich
x = 5 + 3a
.
16.
Ist die Gleichung also beschaffen
\frac{x}{a}
=
b
, so mul- tiplicire man beyderseits mit
a
, so kommt
x = ab
,
Ist nun
\frac{x}{a}
+
b - c = d
, so wird erstlich
\frac{x}{a}
=
d - b + c
und
x = (d - b + c) a = ad - ab + ac
.
Es sey ½
x
- 3 = 4, so wird ½
x
= 7 und
x
= 14.
Es sey ⅓
x - 1 + 2a = 3 + a
, so wird ⅓
x = 4 - a
und
x = 12 - 3a
.
Es sey
\frac{x}{a - 1}
- 1 =
a
so wird
\frac{x}{a - 1}
=
a
+ 1 und
x = aa - 1
.
17.
Ist die Gleichung also beschaffen
\frac{a x}{b}
=
c
, so mul- tiplicire man beyderseits mit
b
, so wird
ax = bc
, und ferner
x
=
\frac{b c}{a}
.
ist aber
\frac{a x}{o}
-
c = d
, so wird
\frac{a x}{o}
=
d + c
und
ax = bd + bc
und folglich
x
=
\frac{bd + bc}{o}
.
Es
Erster Abschnitt
Es sey ⅔
x
- 4 = 1, so wird ⅔
x
= 5 und 2
x
= 15 folglich
x
=
\frac{15}{2}
, das ist 7 ½
Es sey ¾
x
+ ½ = 5, also ¾
x
= 5 - ½ welches =
\frac{9}{8}
und 3
x
= 18 und
x
= 6.
18.
Es kann auch geschehen, daß zwey oder mehr Glieder den Buchstaben
x
enthalten, und entweder in einen Satz oder in beyden vorkommen. Sind sie auf einer Seite als
x + ½ x
+ 5 = 11, so wird
x + ½ x
= 6 und 3
x
= 12 und
x
= 4.
Es sey
x + ½ x + ⅓ x
= 44, was ist
x
? man multi- plicire mit 3 so wird 4
x
+
\frac{3}{2}
x
= 132, ferner mit 2 mul- tiplicirt wird 11
x
= 264 und
x
= 24; diese drey Glieder koͤnnen aber so gleich in eins gezogen werden, als
\frac{11}{6}
x
= 44, man theile beyderseits durch 11 so hat man ⅙
x
= 4 und
x
= 24.
Es sey ⅔
x - ¾ x + ½ x
= 1 welches zusammen ge- zogen giebt
\frac{5}{12}
x
= 1 und
x
= 2 ⅖.
Es sey
ax - bx + cx = d
, so ist dieses eben so viel als
(a - b + c) x = d
, hieraus kommt
x
=
\frac{d}{a - b + c}
.
19.
Von den Algebraischen Gleichungen.
19.
Steht aber
x
in beyden Saͤtzen als z. E.
3x + 2 = x + 10
so muͤßen die
x
von der Seite wo man am wenigsten hat weggebracht werden, also subtra- hire man hier beyderseits
x
so kommt 2
x
+ 2 = 10 und 2
x
= 8 und
x
= 4.
Es sey ferner
x + 4 = 20 - x
, also 2
x
+ 4 = 20 und 2
x
= 16 und
x
= 8.
Es sey
x + 8 = 32 - 3x
, also 4
x
+ 8 = 32 und 4
x
= 24 und
x
= 6.
Es sey ferner
15 - x = 20 - 2x
, also 15 +
x
= 20 und
x
= 5.
Es sey 1 +
x = 5 - ½x
, also 1 +
\frac{3}{2}
x
= 5 und
\frac{3}{2}
x
= 4 und 3
x
= 8 und
x
= 2⅔.
Es sey ½ - ⅓
x
= ⅓ - ¼
x
, man addire ⅓
x
, so kommt ½ = ⅓ +
\frac{1}{12}
x
, subtrahire ⅓, so hat man
\frac{1}{12}
x
= ⅙, multiplicire mit 12 so kommt
x
= 2.
Es sey 1½ - ⅔
x
= ¼ + ½
x
, addire ⅔
x
so kommt 1½ = ¼ +
\frac{7}{6}
x
, subtrahire ¼ so hat man
\frac{7}{6}
x
= 1¼.
multiplicire mit 6 so bekommt man 7
x
= 7½.
durch 7 dividirt, giebt
x
= 1
\frac{1}{14}
oder
x
=
\frac{15}{14}
.
20.
Crster Abschnitt
20.
Kommt man auf eine solche Gleichung wo die unbekante Zahl
x
sich im Nenner befindet, so muß der Bruch gehoben und die gantze Gleichung mit demsel- ben Nenner multiplicirt werden.
Also wann man findet
\frac{100}{x}
- 8 = 12. addire 8, so kommt
\frac{100}{x}
= 20, multiplicire mit
x
, so hat man 100 = 20
x
dividire durch 20, so kommt
x
= 5.
Es sey ferner
\frac{5x + 3}{x - 1}
= 7, multiplicire mit
x
- 1, so hat man
5x + 3 = 7x - 7
subtrahire 5
x
, so kommt 3 = 2
x
- 7, addire 7, so bekommt man 2
x
= 10, folglich
x
= 5.
21.
Bisweilen kommen auch Wurzel-Zeichen vor, und die Gleichung gehoͤrt doch zu dem ersten Grad; als wann eine solche Zahl
x
gesucht wird unter 100, so daß die Quadrat-Wurzel aus 100 -
x
gleich werde 8, oder daß √(100 -
x
) = 8, so nehme man beyderseits die Qua- draten 100 -
x
= 64, so hat man wann
x
addirt wird
100
Von den Algebraischen Gleichungen
100 = 64 +
x
subtrahire 64 so hat man
x
= 36: oder man koͤnnte auch also verfahren, da 100 -
x
= 64, so subtrahire man 100, und man bekommt -
x
= - 36; mit - 1 multiplicirt, giebt
x
= 36.
22.
Bisweilen kommt auch die unbekante Zahl
x
in den Exponenten, dergleichen Exempel schon oben vorgekommen, und da muß man seine Zuflucht zu den Logarithmen nehmen.
Als wann man findet 2
x
= 512, so nimmt man beyderseits ihre Logarithmen, da hat man
x
l 2 = l 512; man dividire durch l 2 so wird
x
=
\frac{l 512}{l 2}
: nach den Tabellen ist also:
x
=
\frac{2,7092700}{0,3010300}
=
\frac{27092700}{3010300}
; also
x
= 9.
Es sey 5.3
2
x
- 100 = 305; man addire 100, kommt also 5.3
2
x
= 405; man dividire durch 5, so wird 3
2
x
= 81; man nehme die Logarithmen 2
x
l 3 = l 81 und divi- dire durch 2l3 so wird
x
=
\frac{l 81}{2 l3}
oder
x
=
\frac{l 81}{l 9}
, folglich
x
=
\frac{1,9084850}{0,9542425}
=
\frac{19084850}{9542425}
; also wird
x
= 2.
II.
Theil
B
Capi-
Erster Abschnitt
Capitel 3.
Von der Aufloͤsung einiger hieher gehoͤrigen Fragen.
23.
Erste Frage.
Z
ertheile 7 in zwey Theile, so daß der groͤßere um 3 groͤßer sey als der kleinere?
Es sey der groͤßere Theil =
x
so wird der klei- nere seyn 7 -
x
, dahero muß seyn
x
= 7 -
x
+ 3 oder
x
= 10 -
x
; man addire
x
so kommt 2
x
= 10 und di- vidire durch 2 so wird
x
= 5.
Antwort: der groͤßere Theil ist 5 und der kleinere 2.
II.
Frage: man zertheile
a
, in zwey Theile, so daß der groͤßere um
b
groͤßer sey als der kleinere?
Es sey der groͤßere Theil
x
, so ist der kleinere
a - x
: dahero wird
x = a - x + b
, man addire
x
so wird
2x = a + b
und dividire durch 2, so erhaͤlt man
x
=
\frac{a + b}{2}
.
Eine
Von den Algebraischen Gleichungen.
Eine andere Aufloͤsung: Es sey der groͤßere Theil =
x
, weil nun derselbe um
b
groͤßer ist als der kleiner, so ist hinwiederum der kleinere um
b
kleiner als der groͤ- ßere; dahero wird der kleinere Theil
x - b
: diese beyde Theile zusammen muͤßen
a
ausmachen, dahero bekommt man:
2x - b = a
; man addire
b
, so kommt
2x = a + b
, folglich
x
=
\frac{a + b}{2}
welches der groͤßere Theil ist, und der kleinere wird seyn
\frac{a+b}{2}
-
b
oder
\frac{a+b}{2}
-
\frac{2b}{2}
oder
\frac{a - b}{2}
.
24.
III.
Frage: Ein Vater hinterlaͤßt drey Soͤhne und 1600 Rthl. Nach seinem Testament soll der aͤlteste Sohn 200 Rthl. mehr haben als der zweyte, der zweyte aber 100 Rthl. mehr als der dritte; wie viel bekommt ein jeder?
Das Erbtheil des dritten sey =
x
, so ist das Erbtheil des zweyten =
x
+ 100, und das Erbtheil des ersten =
x
+ 300; diese 3 zusammen muͤßen 1600 Rthl. machen. Dahero wird 3
x
+ 400 = 1600: man subtrahire 400 so wird 3
x
= 1200 und durch 3 divi- dirt giebt
x
= 400.
Antwort: der dritte bekommt 400 Rthl. der zweyte 500 Rthl. der erste 700 Rthl.
B 2
25.
Erster Abschnitt
25.
IV.
Frage: Ein Vater hinterlaͤßt 4 Soͤhne und 8600 Rthl. Nach seinem Testament soll der erste zwey- mal so viel bekommen als der zweyte weniger 100 Rthl. Der zweyte soll bekommen dreymal so viel als der dritte weniger 200 Rthl. und der dritte soll ha- ben viermal so viel als der vierte weniger 300 Rthl. Wie viel bekommt ein jeder?
Das Erbtheil des vierten sey =
x
, so ist das Erbtheil des dritten 4
x
- 300, des zweyten 12
x
- 1100 und des ersten 24
x
- 2300. Hiervon muß die Summe aus- machen 8600 Rthl. woraus diese Gleichung entsteht:
41
x
- 3700 = 8600: man addire 3700 so kommt 41
x
= 12300; und durch 41 dividirt giebt
x
= 300.
Antwort; der vierte Sohn bekommt 300 Rthl. der dritte 900 Rthl. der zweyte 2500 Rthl. und der erste 4900 Rthl.
26.
V.
Frage: Ein Mann hinterlaͤßt 11000 Rthl. und darzu eine Wittwe zwey Soͤhne und drey Toͤchter. Nach seinem Testament soll die Frau zweymal mehr bekom- men als ein Sohn, und ein Sohn zweymal mehr als eine Tochter. Wie viel bekommt ein jedes?
Das
Von den Algebraischen Gleichungen.
Das Erbtheil einer Tochter sey =
x
so ist das Erbtheil eines Sohns = 2
x
und das Erbtheil der Wittwe = 4
x
; folglich ist die gantze Erbschaft
3x + 4x + 4x
, oder 11
x
= 11000; durch 11 getheilt giebt
x
= 1000.
Anwort: eine Tochter bekommt 1000 Rthl.
allso alle drey bekommen 3000 Rthl.
ein Sohn bekommt 2000 Rthl.
allso beyde 4000 und die Mutter bekommt
\frac{=\; =\; = 4000}{\mathfrak{Summa}\; 11000\; \mathfrak{Rthl.}}
27.
VI.
Frage; Ein Vater hinterlaͤßt drey Soͤhne, welche das hinterlaßene Vermoͤgen folgender Gestalt unter sich theilen. Der erste bekommt 1000 Rthl. weniger als die Haͤlfte von der gantzen Verlaßenschaft; der zweyte 800 Rthl. weniger als der dritte Theil der Verlaßenschaft, und der vierte 600 Rthl. weniger als der vierte Theil der Verlaßenschaft. Nun ist die Frage wie groß die Verlaßenschaft gewesen und wie viel ein jeder bekom- men?
Es sey die gantze Verlaßenschaft =
x
so hat der erste Sohn bekommen ½
x
- 1000
der zweyte ⅓
x
- 800 der dritte ¼
x
- 600
B 3
Alle
Erster Abschnitt
Alle drey Soͤhne zusammen haben also bekommen ½
x
+ ⅓
x
+ ¼
x
- 2400 welches der gantzen Verlaßen- schaft
x
gleich gesetzt werden muß, woraus diese Gleichung entsteht,
\frac{13}{12}
x
- 2400 =
x
Man subtrahire
x
, so hat man
\frac{1}{12}
x
- 2400 = 0, man addire 2400, so ist
\frac{1}{12}
x
= 2400, und mit 12 multiplicirt giebt
x
= 28800.
Antwort: die gantze Verlaßenschaft war 28800 Rthl. davon hat nun der erste Sohn bekommen 13400 Rthl.
der zweyte 8800
der dritte 6600
alle drey allso 28800 Rthl.
28.
VII.
Frage: Ein Vater hinterlaͤßt vier Soͤhne; wel- che die Erbschaft also unter sich theilen: der erste nimmt 3000 Rthl. weniger als die Haͤlfte der Erbschaft: der zweyte nimmt 1000 Rthl. weniger als ⅓ der Erb- schaft: der dritte nimmt just den ¼ der gantzen Erbschaft: der vierte nimmt 600 Rthl. und den ⅕ der Erbschaft:
wie
Von den Algebraischen Gleichungen.
wie groß war die Erbschaft und wie viel hat ein jeder Sohn bekommen?
Man setze die gantze Erbschaft =
x
so hat bekommen der erste ½
x
- 3000
der zweyte ⅓
x
- 1000 der dritte ¼
x
der vierte ⅕
x
+ 600
und alle vier zusammen nahmen ½
x
+ ⅓
x
+ ¼
x
+ ⅕
x
— 3400, welches seyn muß =
x
: also hat man diese Gleichung.
\frac{77}{60}
x
- 3400 =
x
subtrahire
x
, so wird
\frac{17}{60}
x
- 3400 = 0 addire 3400 so kommt
\frac{17}{60}
x
= 3400 durch 17 dividirt giebt
\frac{1}{60}
x
= 200 und mit 60 multiplicirt
x
= 12000.
Antwort: die gantze Verlaßenschaft war 12000 Rthl. davon bekam der erste 3000 Rthl.
der zweyte 3000 der dritte 3000 der vierte 3000
B 4.
29.
Erster Abschnitt
29.
VIII.
Frage: Suche eine Zahl wann ich darzu ihre Haͤlfte addire, daß so viel uͤber 60 kommen, als die Zahl selbst ist unter 65?
Die Zahl sey
x
, so muß
x
+ ½
x
- 60 so viel seyn als 65 -
x
das ist
\frac{3}{2}
x
- 60 = 65 -
x
man addire
x
so hat man
\frac{5}{2}
x
- 60 = 65 man addire 60 so kommt
\frac{5}{2}
x
= 125 durch 5 dividirt wird ½
x
= 25 und mit 2 multiplicirt giebt
x
= 50 Antwort: die gesuchte Zahl ist 50.
30.
IX.
Frage: Man zertheile 32 in zwey Theile, wann ich den kleinern dividire durch 6, den groͤßern aber durch 5, daß die Quotienten zusammen 6 ausmachen.
Es sey der kleinere Theil =
x
so ist der groͤßere = 32 -
x
; der kleinere durch 6 dividirt giebt
\frac{x}{6}
; der groͤßere durch 5 dividirt giebt
\frac{32 - x}{5}
: also muß seyn
\frac{x}{6}
+
\frac{32 - x}{5}
= 6
mit
Von den Algebraischen Gleichungen.
mit 5 multiplicirt giebt ⅚
x
+ 32 -
x
= 30, oder — ⅙
x
+ 32 = 30, man addire ⅙
x
so kommt 32 = 30 + ⅙
x
30 subtrahirt giebt 2 = ⅙
x
mit 6 multiplicirt wird
x
= 12 Antwort: der kleinere Theil ist 12, und der groͤßere 20.
31.
X.
Frage: Suche eine Zahl, wann ich sie mit 5 mul- tiplicire so ist das Product so viel unter 40, als die Zahl selbst ist unter 12.
Es sey diese Zahl =
x
, welche unter 12 ist um 12 -
x
, die Zahl fuͤnfmal genommen ist 5
x
und ist unter 40 um 40 - 5
x
, welches eben so viel seyn soll als 12 -
x
also 40 - 5
x
= 12 -
x
addire 5
x
so wird 40 = 12 + 4
x
, 12 subtrahirt giebt 28 = 4
x
durch 4 dividirt wird
x
= 7 Antwort: die Zahl ist 7.
B 5
32.
Erster Abschnitt
32.
XI.
Frage: Zertheile 25 in zwey Theile, so daß der groͤßere 49 mal groͤßer ist, als der kleinere?
Es sey der kleinere Theil =
x
so ist der groͤßere = 25 -
x
; dieser durch jenen dividirt soll 49 geben, also wird
\frac{25 - x}{x}
= 49 mit
x
multiplicirt giebt 25 -
x
= 49
x
und
x
addirt kommt 50
x
= 25 durch 50 dividirt bleibt
x
= ½.
Antwort: der kleinere Theil ist ½ und der groͤßere 24 ½, welcher durch ½ dividirt, das ist mit 2 multiplicirr giebt 49.
33.
XII.
Frage: Zertheile 48 in neun Theile, so daß immer einer um ½ groͤßer sey, als der vorhergehende?
Es sey der erste und kleinste Theil =
x
so ist der zweyte
x
+ ½ und der dritte =
x
+ 1
etc. Weil nun diese Theile eine Arithmetische Progression ausma- chen, davon das erste Glied =
x
+ ½ so ist das neunte und letzte Glied
x
+ 4, wozu das erste
x
addirt 2
x
+ 4 giebt. Diese Summe mit der Anzahl der
Glieder9
,
mul-
Von den Algebraischen Gleichungen.
multiplicirt giebt 18
x
+ 36; dieses durch 2 getheilt giebt die Summe aller neuen Theile 9
x
+ 18, so da seyn muß 48. Also hat man 9
x
+ 18 = 48 18 subtrahirt giebt 9
x
= 30 durch 9 dividirt giebt
x
= 3⅓.
Antwort: der erste Theil ist 3⅓ und die n
e
un Theile sind folgende
\overset{1}{3\frac{1}{3}}+\overset{2}{3\frac{5}{6}}+\overset{3}{4\frac{1}{3}}+\overset{4}{4\frac{5}{6}}+\overset{5}{5\frac{1}{3}}+\overset{6}{5\frac{5}{6}}+\overset{7}{6\frac{1}{3}}+\overset{8}{6\frac{5}{6}}+\overset{9}{7\frac{1}{3}}+
davon die Summe = 48.
34.
XIII.
Frage: Suche eine Arithmetische Progres- sion davon das erste Glied = 5 und das letzte = 10 die Summe aber = 60 sey?
Da hier weder der Unterschied noch die Anzahl der Glieder bekant ist, aus dem ersten und letzten aber die Summe aller gefunden werden koͤnnte, wann man nur die Anzahl der Glieder wuͤßte, so sey die- selbe =
x
, so wird die Summe der Progression seyn
\frac{15}{2}
x
= 60; durch 15 dividirt ½
x
= 4, mit 2 multi- plicirt
x
= 8. Da nun die Anzahl der Glieder 8 ist, so
setze
Erster Abschnitt
setze man den Unterschied =
z
, so ist das zweyte Glied 5 +
z
, das dritte 5 + 2
z
und das achte 5 + 7
z
, welches gleich seyn muß 10.
Also hat man 5 + 7
z
= 10 und 5 subtrahirt, giebt 7
z
= 5 durch 7 dividirt
z
=
\frac{5}{7}
Antwort: Der Unterschied der Progression ist
\frac{5}{7}
und die Anzahl der Glieder 8, dahero die Progression selbst seyn wird,
\overset{1}{5}+\overset{2}{5\frac{5}{7}}+\overset{3}{6\frac{3}{7}}+\overset{4}{7\frac{1}{7}}+\overset{5}{7\frac{6}{7}}+\overset{6}{8\frac{4}{7}}+\overset{7}{9\frac{2}{7}}+\overset{8}{10}
davon die Summe = 60.
35.
XIV.
Frage: Suche eine Zahl wann ich von ihrem Duplo subtrahire 1 und das uͤbrige duplire, davon 2 subtrahire den Rest durch 4 dividire, daß 1 weniger her- aus komme als die gesuchte Zahl?
Die gesuchte Zahl sey
x
, so ist ihr Duplum 2
x
, davon 1 subtrahirt bleibt 2
x
- 1, dieses duplirt wird 4
x
- 2, davon subtrahirt 2 bleibt 4
x
- 4 dieses durch 4 dividirt giebt
x
- 1, welches 1 weniger seyn muß als
x
:
Also
Von den Algebraischen Gleichungen.
Also
x
- 1 =
x
- 1, dieses ist eine Identische Gleichung, und zeiget an, daß
x
gar nicht bestimmt werde, sondern daß man davor eine jegliche Zahl nach Belieben annehmen koͤnne.
36.
XV.
Frage: Ich habe gekauft etliche Ellen Tuch und fuͤr jede 5 Ellen gegeben 7 Rthl. Ich habe wieder ver- kauft je 7 Ellen fuͤr 11 Rthl. und gewonnen 100 Rthl. uͤber das Hauptguth: wie viel ist des Tuchs gewesen?
Es seyen gewesen
x
Ellen: man muß also erst se- hen wie viel diese im Einkauf gekostet, welches durch folgende Regeldetri gefunden wird: 5 Ellen kosten 7 Rthl., was kosten
x
Ellen; Antwort:
\frac{7}{5}
x
Rthl.
so viel Geld hat er ausgegeben. Nun laßt uns sehen, wie viel er wieder eingenommen, dieses geschieht durch diese Regeldetri: 7 Ellen kosten im Verkauf 11 Rthl. was kosten
x
Ellen, Antwort:
\frac{11}{7}
x
Rthl.
dieses ist die Einnahme, welche um 100 Rthl. groͤßer ist als die Ausgabe, woraus diese Gleichung ent- springt:
\frac{11}{7}
x
Erster Abschnitt
\frac{11}{7}
x
=
\frac{7}{5}
x
+ 100
\frac{7}{5}
x
subtrahirt, bleibt
\frac{6}{35}
x
= 100 mit 35 multiplicirt, kommt 6
x
= 3500 durch 6 dividirt wird
x
= 583⅓.
Antwort: Es waren 583⅓ Ellen, welche erstlich ein- gekauft worden fuͤr 816⅔ Rthl. hernach sind dieselben wieder verkauft worden fuͤr 916⅔ Rthl. also ist darauf gewonnen worden 100 Rthl.
37.
XVI.
Frage: Einer kauft 12 Stuͤck Tuch fuͤr 140 Rthl. davon sind 2 weiße, 3 schwartze, und 7 blaue: Kostet ein Stuͤck schwartzes Tuch 2 Rthl mehr als ein weißes, und ein blaues 3 Rthl. mehr als ein schwar- tzes: ist die Frage wie viel jedes gekostet?
Man setze, ein weißes Stuͤck kostet
x
Rthl. dahero kosten die zwey weiße Stuͤcke 2
x
Rthl. Weiter kostet ein schwartzes Stuͤck
x
+ 2 also die drey schwartzen 3
x
+ 6 und ein blaues Stuͤck
x
+ 5 folglich die 7 blauen 7
x
+ 35
und alle zwoͤlff Stuͤck 12
x
+ 41
dieselben kosten aber wuͤrcklich 140 Rthl.
dahero hat man 12
x
+ 41 = 140
41
Von den Algebraischen Gleichungen.
41 subtrahirt bleibt 12
x
= 99 durch 12 dividirt wird
x
= 8¼
Antwort: ein weißes Stuͤck kostet demnach 8¼ Rthl.
ein schwartzes ‒ ‒ ‒ ‒ 10¼ Rthl. ein blaues ‒ ‒ ‒ ‒ ‒ 13¼ Rthl.
38.
Frage: Einer hat Muscaten-Nuͤß gekauft, und sagt daß 3 Stuͤck eben so viel uͤber 4 Pf. kosten, als 4 Stuͤck mehr kosten als 10 Pf. die theuer waren dieselben?
Man sage 3 Stuͤcke kosten
x
+ 4 Pf. so werden 4 Stuͤcke kosten
x
+ 10 Pf. Nun aber nach dem ersten Satz findet man durch die Regeldetri was 4 Stuͤck ko- sten, 3 Stuͤck:
x
+ 4 Pf. = 4 Stuͤck: Antwort
\frac{4 x + 16}{3}
also wird
\frac{4 x + 16}{3}
=
x
+ 10 oder 4
x
+ 16 = 3
x
+ 30 3
x
subtrahirt giebt
x
+ 16 = 30
16 subtrahirt giebt
x
= 14
Antwort: Es kosten 3 Stuͤck 18 Pf. und 4 Stuͤck 24 Pf. folglich 1 Stuͤck hat gekost 6 Pf.
39.
Erster Abschnitt
39.
XVIII.
Frage: Einer hat zwey silberne Becher nebst einem Deckel darzu: der erste Becher wiegt 12 Loth, legt man den Deckel darauf so wiegt er zweymal so viel als der andere Becher; legt man aber den Deckel auf den andern Becher, so wiegt er dreymal so viel als der erste: hier ist nun die Frage wie viel der Deckel und auch der andere Becher gewogen?
Man setze der Deckel habe gewogen
x
Loth, so wiegt der erste Becher sammt dem Deckel
x
+ 12 Loth. Da die- ses Gewicht zweymal so groß ist, als des andern Be- chers, so hat der andere gewogen ½
x
+ 6: legt man darauf den Deckel so wiegt er
\frac{3}{2}
x
+ 6 welches 3 mahl 12, das ist 36, gleich seyn muß. Also hat man
\frac{3}{2}
x
+ 6 = 36 oder
\frac{3}{2}
x
= 30 und ½
x
= 10 und
x
= 20.
Antwort: der Deckel hat gewogen 20 Loth, der andere Becher aber 16 Loth.
40.
XIX.
Frage: Ein Wechsler hat zweyerley Muͤntze; von der ersten Sorte gehen
a
Stuͤck auf einen Rthl. von der zweyten Sorte
b
Stuͤck. Nun kommt einer und will
c
Stuͤck vor einen Rthl. haben; wie viel muß ihm der Wechsler von jeder Sorte geben?
Man
Von den Algebraischen Gleichungen.
Man setze er gebe ihm von der ersten Sorte
x
Stuͤck und also von der andern
c - x
Stuͤck. Nun sind aber je- ne
x
Stuͤck werth
a : 1 = x
:
\frac{x}{a}
Rthl. diese
c - x
Stuͤck aber sind werth
b : 1 = c - x
:
\frac{c ‒ x}{b}
Rthl.
Also muß seyn
\frac{x}{a}
+
\frac{c - x}{b}
= 1, oder
\frac{bx}{a}
+
c - x = b
, oder
bx + ac - ax = ab
, und weiter
bx - ax = ab - ac
, folglich wird
x
=
\frac{ab - ac}{b - a}
oder
x
=
\frac{a (b - c)}{b - a}
, dahero wird
c - x
=
\frac{bc - ab}{b - a}
=
\frac{b (c - a)}{b - a)}
.
Antwort: von der ersten Sorte giebt also der Wechsler
\frac{a (b - c)}{b - a}
Stuͤck, von der andern Sorte aber
\frac{b (c - a)}{b - a}
Stuͤck: Anmerckung: Diese beyden Zahlen laßen sich leicht durch die Regeldetri finden; nemlich die erste durch diese: wie
b - a : b - c = a
:
\frac{ab - ac}{b ‒ a}
fuͤr die zweyte Zahl gilt diese: wie
b - a:c - a = b
:
\frac{bc - ab}{b - a}
. Hierbey ist zu mercken, daß
b
groͤßer ist als
a
, und
c
kleiner als
b
aber groͤßer als
a
, wie die Natur der Sache erfordert.
41.
XX.
Frage: Ein Wechsler hat zweyerley Muͤntze; von der ersten gelten 10 Stuͤck einen Rthl. von der an- dern 20 Stuͤck einen Rthl. Nun verlangt jemand 17
II.
Theil
C
Stuͤck
Erster Abschnitt
Stuͤck fuͤr einen Rthl. wie viel bekommt er von jeder Sorte?
Hier ist also
a
= 10,
b
= 20 und
c
= 17; wor- aus diese Regeldetrien fließen:
I.
10 : 3 = 10 : 3, also von der ersten Sorte 3 Stuͤck:
II.
10 : 7 = 20 : 14, und von der andern Sorte 14 Stuͤck.
42.
XXI.
Frage: Ein Vater verlaͤßt nach seinem Tode einige Kinder nebst einem Vermoͤgen, welches die Kin- der dergestalt unter sich theilen. Das erste nimmt 100 Rthl. und dazu noch den 10ten Theil des uͤbrigen Das zweyte nimmt 200 Rthl. und noch darzu den 10ten Theil des uͤbrigen.
Das dritte nimmt 300 Rthl. und noch dazu den 10ten Theil des uͤbrigen.
Das vierte nimmt 400 Rthl. und noch dazu den 10ten Theil. des uͤbrigen
und so fort: solcher gestalt findet es sich, daß das gan- ze Vermoͤgen unter die Kinder gleich vertheilet wor- den. Nun ist die Frage, wie groß das Vermoͤgen ge- wesen, wie viel Kinder hinterlaßen worden, und wie viel ein jedes bekommen?
Diese Frage ist von einer gantz besondern Art und verdienet deswegen bemercket zu werden. Um
die-
Von den Algebraischen Gleichungen.
dieselbe desto leichter aufzuloͤsen, so setze man das gantze hinterlaßene Vermoͤgen =
z
Rthl. und weil alle Kinder gleich viel bekommen, so sey das Antheil eines jeden =
x
; woraus man sieht, daß die Anzahl der Kin- der gewesen
\frac{z}{x}
. Hieraus wollen wie die Aufloͤßung folgender Gestalt anstellen.
Die Maße oder das zu theilende Geld
Ordnung der Kinder
der Antheil eines jeden.
Die Differenzen
z
das erste
x
= 100 +
\frac{z - 100}{10}
z - x
zweyte
x
= 200 +
\frac{z - x - 200}{10}
100 -
\frac{x - 100}{10}
= 0
z - 2 x
dritte
x
= 300 +
\frac{z - 2 x - 300}{10}
100 -
\frac{x - 100}{10}
= 0
z - 3 x
vierte
x
= 400 +
\frac{z - 3 x - 400}{10}
100 -
\frac{x - 100}{10}
= 0
z - 4 x
fuͤnfte
x
= 500 +
\frac{z - 4 x - 500}{10}
100 -
\frac{x - 100}{10}
= 0
z - 5 x
sechste
x
= 600 +
\frac{z - 5 x - 600}{10}
u. s. w.
In der letzten Columne sind hier die Differenzen gesetzt worden, welche entstehen, wann man ein je- des Erbtheil von dem folgenden subtrahirt. Weil nun alle Erbtheile ein ander gleich sind, so muß eine jede von diesen Differenzen seyn = 0. Da es sich nun
C 2
so
Erster Abschnitt
so gluͤcklich fuͤget, daß alle Differenzen ein ander gleich sind, so ist es genung, daß man eine davon gleich 0 setze, dahero erhalten wir diese Gleichung 100 -
\frac{x - 100}{10}
= 0. Man multiplicire mit 10 so erhaͤlt man 1000 -
x
- 100 = 0, oder 900 ‒
x
= 0, folglich
x
= 900.
Woraus wir schon wißen, daß das Erbtheil eines je- den Kindes 900 Rthl. gewesen. Man nehme nun eine von den Gleichungen in der dritten Columne, welche man will, z. E. die erste 900 = 100 +
\frac{z ‒ 100}{10}
, woraus man
z
so gleich finden kann; Dann 9000 = 1000 +
z
- 100 oder 9000 = 900 +
z
also
z
= 8100, dahero wird
\frac{z}{x}
= 9.
Antwort: Also war die Anzahl der Kinder = 9 das hinterlaßene Vermoͤgen = 8100 Rthl. wovon ein jedes Kind bekommt 900 Rthl.
Capi-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Capitel
4. Von Aufloͤsung zweyer oder mehr Gleichun- gen vom ersten Grad.
43.
O
fters geschieht es, daß zwey oder auch mehr unbe- kante Zahlen so durch die Buchstaben
x, y, z
etc. vorgestellt werden, in die Rechnung gebracht werden muͤßen, da man dann, wann anders die Frage be- stimmt ist, auf eben so viel Gleichungen kommt, aus welchen hernach die unbekanten Zahlen gefunden wer- den muͤßen. Hier betrachten wir aber nur solche Glei- chungen wo nur die erste Potestaͤt der unbekanten Zahl sich findet, und auch keine mit der andern multipli- cirt ist. Also daß eine jede Gleichung von dieser Form seyn wird
az + by + cx = d
.
44.
Wir wollen also den Anfang von zwey Glei- chungen machen, und daraus zwey unbekante Zah- len
x
und
y
bestimmen, und um die Sache auf eine
C 3
allge-
Erster Abschnitt
allgemeine Art zu tractiren, so seyen diese beyde Glei- chungen gegeben
I. ax + by = c
und
II. fx + gy = h
wo die Buchstaben
a, b, c
und
f, g, h
die Stelle bekanter Zahlen vertreten. Hier ist nun die Frage wie man aus diesen beyden Gleichungen die beyden unbe- kanten Zahlen
x
und
y
herausbringen soll.
45.
Der natuͤrlichste Weg bestehet nun darinn, daß man aus einer jeden Gleichung, den Werth von ei- ner unbekanten Zahl als z. E. von
x
bestimmt und hernach diese beyde Werthe einander gleich setzt; wor- aus man eine Gleichung erhaͤlt, da nur die unbe- kante Zahl
y
vorkommt, welche man nach den obi- gen Reguln bestimmen kann. Hat man nun
y
gefun- den, so darf man nur anstatt desselben seinen gefun- den Werth setzen, um daraus den Werth von
x
zu erhalten.
46.
Dieser Regel zu Folge findet man aus der ersten Gleichung
x
=
\frac{c - by}{a}
, aus der andern aber findet man
x
=
\frac{h - gy}{f}
; diese beyden Werthe setze man einander gleich, so erhaͤlt man diese neue Gleichung
\frac{c - by}{a}
=
\frac{h - gy}{f}
mit
Von den Algebraischen Gleichungen.
mit
a
multiplicirt, wird
c - by
=
\frac{ah - agy}{f}
mit
f
multiplicirt wird
fc - fby = ah - agy
Man addire
agy
so wird
fc - fby + agy = ah
Man subtrahire
fc
so wird -
fby + agy = ah - fc
oder
(ag - bf) y = ah - fc
man dividire durch
ag - bf
so wird
y
=
\frac{ah - fc}{ag - bf}
schreibt man nun diesen Werth fuͤr
y
in einem der beyden, so vor
x
gefunden worden, so erhaͤlt man auch den Werth von
x
. Man nehme den ersten so hat man erstlich -
by
= -
\frac{abh + bcf}{ag - bf}
, hieraus wird
c - by = c
-
\frac{abh + bcf}{ag - bf}
, oder
c - by
=
\frac{acg - bcf - abh + bcf}{ag - bf}
=
\frac{acg - abh}{ag - bf}
; durch
a
dividirt giebt
x
=
\frac{c - by}{a}
=
\frac{cg - bh}{ag - bf}
.
47.
I.
Frage: Um dieses durch Exempel zu erlaͤutern, so sey diese Frage vorgelegt: Man suche zwey Zahlen deren Summe sey 15 und die Differenz 7?
Es sey die groͤßere Zahl =
x
und die kleinere =
y
so hat man
I.) x + y
= 15, und
II.) x - y
= 7.
C 4
aus
Erster Abschnitt
aus der ersten bekommt man
x = 15 - y
und aus der zweyten
x = 7 + y
, woraus diese neue Gleichung entspringt 15 -
y = 7 + y
, hier addire man
y
so hat man 15 = 7 + 2
y
man subtrahire 7 so wird 2
y
= 8 durch 2 dividirt wird
y
= 4 und daraus
x
= 11.
Antwort: die kleinere Zahl ist 4 die groͤßere aber 11.
48.
II.
Frage: Man kann diese Frage auch allgemein machen und zwey Zahlen suchen, deren Summe =
a
und deren Differenz =
b
sey.
Es sey die groͤßere =
x
und die kleinere =
y
so hat man
I.) x + y = a
und
II.) x - y = b
, aus der ersten erhaͤlt man
x = a - y
und aus der zweyten
x = b + y
woraus diese Gleichung entspringt
a - y = b + y
, man addire
y
so hat man
a = b + 2 y
man subtrahire
b
so kommt 2
y = a - b
durch
Von den Algebraischen Gleichungen.
durch 2 dividirt wird
y
=
\frac{a - b}{2}
und hieraus wird
x = a
-
\frac{a - b}{2}
=
\frac{a + b}{2}
Antwort: die groͤßere Zahl ist also
x
=
\frac{a + b}{2}
und die kleinere
y
=
\frac{a - b}{2}
; oder da
x = ½ a + ½ b
und
y = ½ a - ½ b
, so erhaͤlt man diesen Lehrsatz; die groͤßere Zahl ist gleich der halben Summe
plus
der halben Dif- ferenz, und die kleinere Zahl ist gleich der halben Summe
minus
der halben Differenz.
49.
Man kann auch diese Frage auf folgende Weise aufloͤsen: da die beyden Gleichungen sind
x + y = a
und
x - y = b
, so addire man dieselbe so wird 2
x = a + b
und
x
=
\frac{a + b}{2}
Hernach von der ersten subtrahire man die zweyte, so bekommt man 2
y = a - b
und
y
=
\frac{a - b}{2}
, wie vor- her.
50.
III.
Frage: Ein Maul-Esel und ein Esel tragen ein jeder etliche Pud. Der Esel beschwert sich uͤber seine Last und sagt zum Maul-Esel, wann du mir ein Pud von deiner Last gaͤbest, so haͤtte ich zwey
C 5
mal
Erster Abschnitt
mal so viel als du; darauf antwortet der Maul-Esel wann du mir ein Pud von deiner Last gaͤbest so haͤtte ich dreymal so viel als du, wie viel Pud hat ein je- der gehabt?
Der Maul-Esel habe gehabt
x
Pud, der Esel aber
y
Pud. Giebt nun der Maul-Esel dem Esel ein Pud, so hat der Esel
y
+ 1 der Maul-Esel aber behaͤlt noch
x
- 1, da nun der Esel zweymal so viel hat als der Maul-Esel so wird
y + 1 = 2 x
- 2.
Wann aber der Esel dem Maul-Esel ein Pud giebt, so bekommt der Maul-Esel
x
+ 1 und der Esel behaͤlt noch
y
- 1. Da nun jene Last dreymal so groß ist als diese, so wird
x + 1 = 3 y
- 3.
Also sind unsere zwey Gleichungen
I.) y + 1 = 2 x - 2, II.) x + 1 = 3 y
- 3, aus der ersten findet man
x
=
\frac{y + 3}{2}
und aus der an- dern
x = 3 y
- 4, woraus diese neue Gleichung entspringt
\frac{y + 3}{2}
= 3
y
- 4, welche mit 2 multiplicirt giebt
y + 3 = 6 y
- 8 und
y
subtrahirt kommt 5
y
- 8 = 3 addire 8 so hat man 5
y
= 11 und
y
=
\frac{11}{5}
oder 2 ⅕; hier- aus
x
= 2 ⅗.
Ant-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Antwort: Also hat der Maul-Esel gehabt 2⅗ Pud der Esel aber 2⅕ Pud.
51.
Hat man drey unbekante Zahlen, und eben so viel Gleichungen als, Z. E.
I.) x + y - z = 8, II.) x + z - y = 9, III.) y + z - x
= 10, so suche man ebenfals aus einer jeden den Werth von
x
, aus der
I.) x = 8 + z - y, II.) x = 9 + y - z, III.) x = y + z
- 10 Nun setze man erstlich den ersten gleich dem andern, und hernach auch gleich dem dritten so erhaͤlt man diese zwey neue Gleichungen:
I.) 8 + z - y = 9 + y - z, II.) 8 + z - y = y + z
- 10.
Es folgt aber aus der ersten 2
z - 2 y
= 1, und aus der zwey- ten 2
y
= 18, und da erhaͤlt man so gleich
y
= 9, welcher Werth in der vorhergehenden vor
y
geschrieben, giebt 2
z
- 18 = 1 und 2
z
= 19, dahero
z
= 9½, woraus ge- funden wird
x
= 8½.
Hier hat es sich gefuͤget, daß in der letzten Glei- chung der Buchstaben
z
verschwunden, und also
y
so gleich daraus bestimmt werden konnte. Waͤre aber
z
auch
Erster Abschnitt
z
auch noch darinnen vorgekommen, so haͤtte man zwey Gleichungen gehabt zwischen
z
und
y
, welche nach der ersten Regel aufgeloͤst werden muͤßten.
52.
Es seyen die drey folgenden Gleichungen gefunden worden,
I.) 3 x + 5 y - 4 z = 25, II.) 5 x - 2 y + 3 z = 46, III.) 3 y + 5 z - x
= 62.
Man suche aus einer jeden den Werth von
x
, so hat man
I.) x
=
\frac{25 - 5y + 4 z}{3}
,
II.) x
=
\frac{46 + 2 y - 3 z}{5}
,
III.) x = 3 y + 5 z
- 62.
Nun vergleiche man diese drey Werthe unter sich, so giebt der
III
te und
I
te 3
y + 5 z
- 62 =
\frac{25 - 5 y + 4 z}{3}
, oder mit 3 multiplicirt 25 - 5
y + 4 z = 9 y + 15 z
- 186 addire 186 so kommt 211 - 5
y + 4 z = 9 y + 15 z 5 y
addirt giebt 211 + 4
z = 14 y + 15 z
also aus
I
und
III
erhaͤlt man 211 = 14
y + 11 z
Die
II
te und
III
te giebt 3
y + 5 z
- 62 =
\frac{46 + 2 y - 3 z}{5}
oder 46 + 2
y - 3 z = 15 y + 25 z
- 310 und man findet aus dieser Gleichung 356 = 13
y + 28 z
aus
Von den Algebraischen Gleichungen.
aus einer jeden dieser beyden Gleichungen suche man den Werth fuͤr
y I.) 211 = 14 y + 11 z
, wo 11
z
subtrahirt, bleibt 14
y = 211 — 11 z
oder
y
=
\frac{211 - 11 z}{14}
II.) 356 = 13 y + 28 z
, wo 28
z
subtrahirt, bleibt 13
y = 356 - 28 z
oder
y
=
\frac{356 - 28 z}{13}
diese zwey Werthe einander gleich gesetzt, geben:
\frac{211 - 11 z}{14}
=
\frac{356 - 28 z}{13}
, mit 13. 14 multiplicirt wird 2743 - 143
z = 4984 - 392 z
und 392
z
addirt, giebt 249
z
+ 2743 = 4984 oder 249
z
= 2241 und also
z
= 9 Hieraus erhaͤlt man
y
= 8 und endlich
x
= 7.
53.
Solten mehr als drey unbekante Zahlen, und eben so viel Gleichungen vorkommen, so koͤnnte man die Aufloͤsung auf eine aͤhnliche Art anstellen, welches ge- meiniglich auf verdrießliche Rechnungen leiten wuͤr- de.
Es pflegen sich aber bey einem jeglichen Fall sol- che Mittel zu aͤußern, wodurch die Aufloͤßung unge- mein erleichtert wird, und solches geschieht, indem
man
Erster Abschnitt
man außer den Haupt unbekanten Zahlen noch eine neue willkuͤhrliche, als z. E. die Summe aller in die Rechnung mit einfuͤhret, welches von einem der sich in dergleichen Rechnungen schon ziemlich geuͤbet hat, in einem jeglichen Fall leicht beurtheilet wird. Zu diesem Ende wollen wir einige dergleichen Exempeln anfuͤhren.
54.
IV.
Frage: Drey spielen mit einander, im ersten Spiel verliert der erste an jeden der beyden andern so viel, als ein jeder von den zwey andern an Gelde bey sich hatte. Im andern Spiel verliert der zweyte an den ersten und dritten so viel als ein jeder hat. Im dritten Spiel verliert der dritte an den ersten und zweyten so viel ein jeder hatte, und da findet es sich, daß alle nach geendig- tem Spiel gleich viel haben ein jeder nemlich 24 Fl. Nun ist die Frage, wie viel ein jeder anfaͤnglich gehabt habe?
Man setze der erste habe gehabt
x
Fl. der zweyte
y
und der dritte
z
. Ueber dieses setze man die Summe aller Fl. zusammen
x + y + z = s
. Da nun im ersten Spiel der erste so viel verliert als die beyden andern haben, und der erste
x
hat, so haben die beyden andern
s - x
, und so viel verliert der erste, daher ihm noch uͤbrig
blei-
Von den Algebraischen Gleichungen.
bleiben 2
x - s
: der zweyte aber wird haben 2
y
und der dritte 2
z
.
Also nach dem ersten Spiel wird ein jeder haben wie folget; der
I.) 2 x - s
, der
II.) 2 y
, der
III.) 2 z
.
Im zweyten Spiel verliert der andere, der nun 2
y
hat, an die beyden andern, so viel als sie haben, oder
s - 2 y
. Dahero der zweyte noch behaͤlt 4
y - s
; die beyden andern aber werden zweymal so viel haben als vorher.
Also nach dem zweyten Spiel wird haben: der
I.) 4 x - 2 s
, der
II.) 4 y - s
, der
III.) 4 z
.
Im dritten Spiel verliert der dritte, der jetzt 4
z
hat, an die andern beyde so viel sie haben, sie haben aber
s - 4 z
; also behaͤlt der dritte noch 8
z - s
und die beyden uͤbrigen bekommen doppelt so viel als sie hatten.
Also wird nach dem dritten Spiel ein jeder haben: der
I.) 8 x - 4 s
, der
II.) 8 y - 2 s
, und der
III.) 8 z - s
da nun jetzt ein jeder 24 Fl. hat, so erhalten wir drey Gleichungen welche so beschaffen sind, daß man aus der ersten so gleich
x
, aus der andern
y
und aus der
drit-
Erster Abschnitt
dritten
z
finden kann, insonderheit da jetzt
s
eine bekan- te Zahl ist, indem alle zusammen am Ende des Spiels 72 Fl. haben. Allein dieses wird sich von selbsten geben, ohne daß man noͤthig habe darauf zu seheu.
Diese Rechnung wird demnach also stehen:
I.) 8 x - 4 s
= 24, oder 8
x = 24 + 4 s
, oder
x = 3 + ½ s
II.) 8 y - 2 s
= 24, oder 8
y = 24 + 2 s
, oder
y = 3 + ¼ s
III.) 8 z - s
= 24, oder 8
z = 24 + s
, oder
z = 3 + ⅛ s
man addire diese 3 Werthe, so bekommt man
x + y + z = 9 + ⅞ s
da nun
x + y + z = s
, so hat man
s = 9 + ⅞ s
: ⅞
s
subtrahirt bleibt ⅛
s
= 9 und
s
= 72.
Antwort: Also vom Anfang des Spiels hatte der erste 39 Fl. der zweyte 21 Fl. und der dritte 12.
Aus dieser Aufloͤsung sieht man, wie durch Huͤl- fe der Summe der dery unbekanten Zahlen alle oben an- gefuͤhrte Schwierigkeiten gluͤcklich aus dem Weg ge- raͤumet worden.
55.
So schwer diese Frage scheinet, so ist doch zu mer- cken daß dieselbe so gar ohne Algebra aufgeloͤßt wer- den kann.
Man
Von den Algebraischen Gleichungen.
Man darf nur in Betrachtung derselben ruͤckwerts ge- hen: dann da die drey Personen nach dem dritten Spiel gleich viel bekommen haben, nemlich der erste 24 der zweyte 24, der dritte 24; un dritten Spiel aber der erste und zweyte ihr Geld verdoppelt haben, so muͤ- ßen sie vor dem dritten Spiel gehabt haben, wie folget:
I.) 12, II.) 12, III.)
48.
Im zweyten Spiel hat der erste und dritte sein Spiel verdoppelt, also muͤßen sie vor dem zweyten Spiel gehabt haben.
I.) 6, II.) 42, III.)
24.
Im ersten Spiel hat der zweyte und dritte sein Geld verdoppelt, also vor dem ersten Spiel haben sie gehabt.
I.) 39, II.) 21, III.)
12.
und eben so viel haben wir auch vorher fuͤr den An- fang des Spiel gefunden.
56.
V.
Frage: Zwey Personen sind schuldig 29 Rub. und es hat zwar ein jeder Geld, doch nicht so viel, daß er die- se gemeinschaftliche Schuld allein bezahlen koͤnnte;
II
Theil
D
da-
Erster Abschnitt
darum spricht der erste zu dem andern; giebst du mir ⅔ deines Geldes so koͤnnte ich die Schuld so gleich allein bezahlen: der andere antwortet dagegen, gieb du mir ¾ deines Gelds so koͤnnt ich die Schuld allein bezahlen: wie viel Geld hat jeder gehabt?
Der erste habe gehabt
x
Rub. der andere
y
Rub.
Also bekommt man erstlich
x + ⅔ y
= 29 hernach auch
y + ¾ x
= 29.
Aus dem ersten findet man
x = 29 - ⅔ y
, aus dem zweyten
x
=
\frac{116 - 4 y}{3}
Aus diesen beyden Werthen entsteht diese Gleichung: 29 - ⅔
y
=
\frac{116 - 4y}{3}
, also
y
= 14½: dahers wird
x
= 19⅓: Antwort: der erste hat gehabt 19⅓ der zweyte 14½ Rub.
57.
VI.
Frage: Drey haben ein Hauß gekauft fuͤr 100 Rthl. der erste begehrt vom andern ½ seines Gelds so koͤnnte er das Haus allein bezahlen: der andere begehrt vom dritten ⅓ seines Geldes, so koͤnnte er das Haus al- lein bezahlen. Der dritte begehrt vom ersten ¼ sei-
nes
Von den Algebraischen Gleichungen.
nes Gelds so moͤchte er das Hauß allein bezahlen. Wie viel hat jeder Geld gehabt?
Der erste habe gehabt
x
, der zweyte
y
, der drit- te
z
Rthl. so bekommt man folgende drey Gleichungen
I.) x + ½ y = 100. II.) y + ⅓ z = 100. III.) z + ¼ x
= 100 aus welchen der Werth von
x
gefunden wird:
I.) x = 100 - ½ y
,
III.) x = 400 - 4 z
hier konnte nemlich aus der zweyten Gleichung
x
nicht nicht bestimmt werden Die beyden Werthe aber geben diese Gleichung: 100 - ½
y = 400 - 4 z
oder 4
z - ½ y
= 300 welche mit der zweyten verbunden werden muß, um daraus
y
und
z
zu finden. Nun aber war die zweyte Gleichung
y + ⅓ z
= 100; woraus gefunden wird
y = 100 - ⅓ z
; aus der oben gefundenen Gleichung 4
z - ½ y
= 300 aber ist bekannt
y = 8 z
- 600 woraus diese letzte Gleichung entspringt: 100 - ⅓
z = 8 z
- 600, also 8⅓
z
= 700, oder ⅔
5
z
= 700, und
z
= 84, hieraus findet man
y
= 100 - 28, oder
y
= 72, und endlich
x
= 64.
D 2
Ant-
Erster Abschnitt
Antwort: der erste hat gehabt 64 Rthl. der zweyte 72 Rthl. der dritte 84 Rthl.
58.
Da bey diesem Exempel in einer jeden Gleichung nur zwey unbekante Zahlen vorkommen, so kann die Aufloͤßung auf eine bequemere Art angestellet werden.
Dann man suche aus der ersten
y = 200 - 2 x
, welches also durch
x
bestimmt wird, diesen Werth schreibe man vor
y
in der zweyten Gleichung, so hat man 200 - 2
x + ⅓ z
= 100, 100 subtrahirt so bleibt 100 - 2
x + ⅓ z = 0
, oder ⅓
z = 2 x
- 100 und
z = 6 x
- 300.
Also ist auch
z
durch
x
bestimmt: diesen Werth bringe man nun in die dritte Gleichung, so kommt 6
x - 300 + ¼ x
= 100, in welcher nur
x
allein vor- kommt und also 25
x - 1600 = 0
dahero
x
= 64, folglich
y
= 200 - 128 = 72 und
z
= 384 - 300 = 84.
59.
Eben so kann man verfahren wann auch mehr solche Gleichungen vorkommen: also wann man auf eine allgemeine Art hat.
I.)
Von den Algebraischen Gleichungen
I.) u
+
\frac{x}{a}
=
n, II.) x
+
\frac{y}{b}
=
n, III.) y
+
\frac{z}{c}
=
n, IV.) z
+
\frac{u}{d}
=
n
oder nach dem man die Bruͤche weggebracht diese:
I.) au + x = an, II.) bx + y = bn, III.) cy + z = cn IV.) dz + u = dn
.
Hier bekommen wir aus der ersten
x = an - au
, wel- cher Werth in der zweyten giebt
abn - abu + y = bn
allso
y = bn - abn + abu
; dieser Werth in der dritten giebt
bcn - abcn + abcu + z = cn
also
z = cn - bcn + abcn - abcu
; dieser endlich in der vierten Gleichung giebt
cdn - bcdn + abcdn ‒ abcdu + u = dn
. Also wird
dn - cdn + bcdn - abcdn = - abcdu + u
oder
(abcd - 1) u = abcdn - bcdn + cdn - dn
woraus man erhaͤlt
u
=
\frac{abcdn - bcdn + cdn - dn}{abcd - 1}
=
n
\frac{(abcd - bcd + cd - d)}{abcd - 1}
Hieraus findet man ferner wie folget
x
=
\frac{abcdn - acdn + adn - an}{abcd - 1}
=
n
.
\frac{(abcd - acd + ad - a)}{abcd - 1}
y
=
\frac{abcdn - abdn + abn - bn}{abcd - 1}
=
n
.
\frac{(abcd - abd + ab - b)}{abcd - 1}
z
=
\frac{abcdn - abcn + bcn - cn}{abcd - 1}
=
n
.
\frac{(abcd - abc + bc - c)}{abcd - 1}
u
=
\frac{abcdn - bcdn + cdn - dn}{abcd - 1}
=
n
.
\frac{(abcd - bcd + cd - d)}{abcd - 1}
D 3
60
Erster Abschnitt
60.
VII.
Frage: Ein Hauptmann hat drey Compagnien Soldaten. In einer sind Schweitzer, in der andern Schwaben, in der dritten Sachsen; mit diesen will er eine Stadt bestuͤrmen und verspricht zur Belohnung 901 Rthl. also auszutheilen:
Daß von der Compagnie, die den Sturm thut, ein jeder 1 Rthl. bekommen, das uͤbrige Geld aber unter die beyden andern Compagnien gleich vertheilet werden soll.
Nun findet es sich, daß wann die Schweitzer den Sturm thaͤten, ein jeder von den beyden andern ½ Rthl. bekaͤme; wann aber die Schwaben den Sturm thaͤ- ten, ein jeder der beyden andern ⅓ Rthl. bekommen wuͤrde. Thaͤten aber die Sachsen den Sturm so wuͤrde ein jeder der beiden andern ¼ Rthl. bekom- men. Nun ist die Frage, aus wie viel Koͤpfen eine jede Compagnie bestanden?
Man setze nun, die Zahl der Schweitzer sey gewe- sen
x
Koͤpfe, der Schwaben
y
und der Sachsen
z
.
Ferner setze man die Anzahl aller
x + y + z = s
weil leicht vorher zu sehen, daß dadurch die Rech-
nung
Von den Algebraischen Gleichungen.
nung gar sehr erleichtert wird. Dann wann die Schweitzer den Sturm thun, deren Anzahl =
x
, so ist die Zahl der beyden uͤbrigen =
s - x
, da nun jene 1 Rthl. diese aber einen halben Rthl. bekommen, so wird
x + ½ s - ½ x
= 901.
Eben so wann die Schwaben Sturm lauffen, so wird
y + ⅓ s - ⅓ y
= 901, und endlich wann die Sachsen Sturm lauffen, so wird
z + ¼ s - ¼ z
= 901 seyn.
Aus welchen drey Gleichungen ein jeder der drey Buchstaben
x, y
und
z
bestimmt werden kann; Dann aus der ersten erhaͤlt man
x = 1802 - s
aus der andern 2
y = 2703 - s
aus der dritten 3
z = 3604 - s
.
Nun schreibe man dieselben unter einander; suche aber erstlich die Werthe von 6
x, 6 y
, und 6
z
.
6
x = 10812 - 6 s
6
y = 8109 - 3 s
6
z = 7208 - 2 s
addirt : 6
s = 26129 - 11 s
oder 17
s
= 26129
woraus gefunden wird
s
= 1537 welches die Anzahl aller Koͤpfe ist und daraus findet man ferner:
D 4.
x
=
Erster Abschnitt
x
= 1802 - 1537 = 265 2
y
= 2703 - 1537 = 1166 und
y
= 583 3
z
= 3604 - 1537 = 2067 und
z
= 689 Antwort: die Compaguie der Schweitzer bestand also aus 265 Mann, die Schwaben aus 583, und die Sachsen aus 689 Mann
Capitel
5. Von der Aufloͤsung der reinen Quadratischen Gleichungen.
61.
E
ine Gleichung wird Quadratisch genennt, wann darin das Quadrat oder die zweyte Potestaͤt der unbekanten Zahl vorkommt, wann sich nur keine hoͤhere Potestaͤten davon darinn befinden. Dann sollte darin auch die dritte Potestaͤt vorkommen so
wird
Von den Algebraischen Gleichungen.
wird eine solche Gleichung schon zu den Cubischen ge- rechnet, wovon die Aufloͤsung besondere Regeln erfor- dert.
62.
In einer Quadratischen Gleichung kommen also nur dreyerley Glieder von: zum ersten solche Glieder worinnen die unbekante Zahl gar nicht enthalten ist, oder welche blos allein aus bekanten Zahlen zusam- men gesetzt sind.
Zweytens solche Glieder, in welchen nur die erste Potestaͤt der unbekanten Zahl vorkommt.
Und drittens solche, in welchen das Quadrat der unbekanten Zahl enthalten ist.
Also wann
x
die unbekante Zahl andeutet, die Buchstaben
a, b, c, d
etc. aber bekante Zahlen vor- stellen, so haben die Glieder der ersten Art diese Form
a
, von der zweyten Art haben die Glieder die Form
bx
, und die Glieder der dritten Art haben die Form
cxx
.
63.
Man hat schon zur Gnuͤge gesehen, daß zwey oder mohr Glieder von einer Art, in ein einiges zusammen
D 5
ge-
Erster Abschnitt
gezogen, oder als ein einiges Glied betrachtet werden koͤnnen.
Also kann diese Form
axx - bxx + cxx
als ein einziges Glied angesehen, und also vorgestellet werden
(a - b + c) xx
weil in der That
a - b + c
eine bekante Zahl ausdruͤckt:
Wann sich auch solche Glieder zu beyden Seiten des Zeichens = befinden sollten, so hat man schon gesehen, wie dieselben auf eine Seite gebracht, und in eines zusammen gezogen werden koͤnnen: Also wann diese Gleichung vorkommt 2
xx - 3 x + 4 = 5 xx - 8 x
+ 11; so subtrahirt man erstlich 2
xx
, so kommt — 3
x + 4 = 3 xx - 8 x
+ 11; hernach addire man 8
x
, so hat man 5
x + 4 = 3 xx
+ 11; und 11 subtrahirt giebt 3
xx = 5 x
- 7.
64.
Man kann auch alle Glieder auf einer Seite des Zeichens = bringen, so daß auf der anderen Seite 0 zu stehen kommt; wobey zu bemercken daß wann
Glie-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Glieder von der einen Seite auf die andere gebracht werden, ihre Zeichen veraͤndert werden muͤßen:
Also wird die obige Gleichung diese Form be- kommen 3
xx - 5 x + 7 = o
und so wird auch ins- gemein eine jegliche Quadratische-Gleichung durch die- se Form vorgestellt werden koͤnnen
axx ± bx ± c = o
wo das Zeichen ± durch
plus
oder
minus
aus- gesprochen wird, um anzuzeigen, daß solche Glieder bald Positiv bald Negativ seyn koͤnnen.
65.
Es mag eine Quadratische Gleichung anfaͤnglich aussehen wie sie will, so kann dieselbe doch immer auf diese Form, welche nur aus drey Gliedern beste- het, gebracht werden; wann man Z. E. auf diese Gleichung gekommen waͤre:
\frac{ax + b}{cx + d}
=
\frac{ex + f}{gx + b}
so muͤsten vor allen Dingen die Bruͤche gehoben werden: Also multiplicire man mit
cx + d
so bekommt man
ax + b
=
\frac{cexx + cfx + edx + fd}{gx + b}
hier mit
gx + h
multiplicirt, giebt
agxx + bgx + ahx + bh = cexx + cfx + edx + fd
welches eine Quadratische Gleichung ist, und auf
fol-
Erster Abschnitt
folgende drey Glieder gebracht werden kann, wann alle auf eine Seite gesetzt werden, und welche man also unter einander zu schreiben pfleget:
o = agxx + bgx + bh — cexx + ahx - fd — cfx — edx
oder um dieselbe noch deutlicher vorzustellen
o = (ag - ce) xx + (bg + ah - cf - ed) x + bh - fd
.
66.
Dergleichen Quadratische Gleichungen worin von allen dreyen Arten Glieder enthalten sind, werden voll- staͤndige genennt, und die Aufloͤsung derselben ist auch mehr Schwierigkeiten unterworffen, daher wir erst- lich solche Gleichungen betrachten wollen, in welchen eines von diesen dreyen Gliedern mangelt. Sollte nun das Glied
xx
gar nicht vorhanden seyn, so waͤre die Gleichung nicht einmahl Quadratisch und gehoͤrte zu der vorigen Art; sollte aber das Glied, so blos bekan- te Zahlen enthaͤlt, mangeln, so wuͤrde die Gleichung also aussehen
axx ± bx = o
, wo man durch
x
thei-
len
Von den Algebraischen Gleichungen.
len kann und daher zu dieser Gleichung kommt
ax ± b = o
, welche wieder eine einfache Gleichung ist und
ni
cht hieher gehoͤrt.
67.
Wann aber das mittlere Glied, so nur die erste Potestaͤt des
x
enthaͤlt, mangelt, so bekommt die Glei- chung diese Form:
axx ± c = o
, oder
axx = c
, es mag nun
c
das Zeichen + oder - haben;
Eine solche Gleichung wird eine reine Quadra- tische genennt, weil ihre Aufloͤsung keiner Schwierig- keit unterworfen ist. Dann man darf nur durch
a
theilen so bekommt man
xx
=
\frac{c}{a}
; und beyderseits die Quadrat-Wurzel genommen, so hat man
x
= √
\frac{c}{a}
; wo- durch die Gleichung aufgeloͤßt worden.
68.
Hier sind nun drey Faͤlle zu erwegen. Der erste wann
\frac{c}{a}
eine Quadrat-Zahl ist, davon sich die Wurzel wuͤrcklich anzeigen laͤßt; da erhaͤlt man den Werth von
x
durch eine Rational Zahl ausgedruͤckt, dieselbe mag gantz oder gebrochen seyn.
Also
Erster Abschnitt
Also aus dieser
Gleichnng
xx
= 144 bekommt man
x
= 12, und aus dieser
xx
=
\frac{9}{16}
erhaͤlt man
x
= ¾.
Derzweyte Fall ist wann,
\frac{c}{a}
keine Quadrat-Zahl ist, da man sich dann mit dem Wurzelzeichen √ begnuͤ- gen muß.
Also wann
xx
= 12 so wird
x
= √ 12, wovon der Werth durch Naͤherung bestimmt werden kann, wie wir schon oben gezeigt haben.
Ist aber drittens
\frac{a}{c}
gar eine Negativ-Zahl, so wird der Werth von
x
gantz und gar unmoͤglich oder Imaginaͤr und zeiget an, daß die Frage welche auf eine solche Gleichung gefuͤhret, an sich unmoͤglich sey.
69.
Ehe wir weiter gehen ist noch zu bemercken, daß so oft aus einer Zahl die Quadrat-Wurzel ge- zogen werden muß, dieselbe allezeit einen doppelten Werth erhalte und so wohl Positiv als Negativ ge- nommen werden koͤnne, wie schon oben gezeigt wor- den.
Also wann man auf diese Gleichung kommt
xx
= 49 so ist der Werth von
x
nicht nur + 7 son-
dern
Von den Algebraischen Gleichungen.
dern auch ‒ 7 und pflegt dahero also angedeutet zu werden:
x
= ± 7, woraus erhellet, daß alle diese Fra- gen eine doppelte Aufloͤsung zulaßen, in vielen Faͤl- len aber wo etwann von einer Anzahl Menschen die Frage ist faͤlt der Negative-Werth von selbst
er
weg.
70.
Auch bey dem vorhergehenden Fall, wo die bloße Zahl mangelt, laßen die Gleichungen
a x x = b x
immer zweyerley Werthe vor
x
zu, ob gleich nur ei- ner gefunden wird, wann man durch
x
dividirt. Dann wann z. E. diese Gleichung vorkommt
xx = 3 x
wo ein solcher Werth fuͤr
x
gegeben werden soll, daß
xx
dem 3
x
gleich werde, so geschieht dieses, wann man setzt
x
= 3 welcher Werth heraus kommt, wann man durch
x
dividirt, allein außer diesem leistet auch der Werth
x = o
ein genuͤgen; dann da wird
xx = o
und 3
x = o
. Dieses ist bey allen Quadratischen-Gleichun- gen zu mercken daß immer zwey Aufloͤsungen statt fin- den, dahingegen bey den einfachen Gleichungen, nie mehr als eine Platz hat.
Wir wollen nun diese reine Quadratische Glei- chungen durch einige Exempel erlaͤutern.
71.
Erster Abschnitt
71.
I.
Frage: Es wird eine Zahl gesucht, deren Haͤlf- te mit ihren ⅓ multiplicirt 24 gebe?
Es sey diese Zahl =
x
so muß ½
x
mit ⅓
x
mul- tiplicirt 24 werden, woraus diese Gleichung entspringt
\frac{1}{6}
xx
= 24.
mit 6 multiplicirt wird
xx
= 144 und Quadrat- Wurzel ausgezogen
x
= ± 12. Dann wann
x
= + 12, so ist ½
x
= 6 und ⅓
x
= 4, wovon das Product 24 ist. Ebenfals wann
x
= - 12 so ist ½
x
= - 6 und ⅓
x
= - 4 und das Product davon auch 24.
72.
II.
Frage: Es wird eine Zahl gesucht, wann zu derselben erstlich 5 addirt und hernach auch 5 sub- trahirt und die Summe mit dem Rest multiplicirt wird; 96 herauskomme?
Es sey diese Zahl
x
so muß
x
+ 5 mit
x
- 5 multi- plicirt 96 geben, woraus diese Gleichung entspringt
xx
- 25 = 96 Man addire 25 so wird
xx
= 121 und die Quadrat-Wurzel ausgezogen
x
= 11 dann da wird
x
+ 5 = 16 und
x
- 5 = 6. Nun aber ist 6. 16 = 96.
73.
Von den Algebraischen Gleichungen.
73.
III.
Frage: Es wird eine Zahl gesucht, daß wann dieselbe erstlich zu 10 addirt, hernach auch von 10 sub- trahirt, jene Summe mit diesem Rest multiplicirt 51 ge- be?
Es sey die Zahl
x
so muß 10 +
x
mit 10 -
x
multiplicirt 51 geben, woraus diese Gleichung entsteht 100 -
xx
= 51.
Man addire
xx
und subtrahire 51, so kommt
xx
= 49, wovon die Quadrat-Wurzel anzeigt
x
= 7.
74.
IV.
Frage: Es haben drey Personen Geld, so oft der erste hat 7 Rthl. hat der andere 3 Rthl. und so oft der an- dere hat 17 Rthl. hat der dritte 5 Rthl. so ich aber das Geld des ersten mit dem Geld des andern, und das Geld des andern mit dem Geld des dritten und auch endlich das Geld des dritten mit dem Geld des ersten multiplicire, hernach diese drey Producte zusammen addire, so wird die Summe 3830 ⅔ seyn. Wie viel Geld hat ein jeder gehabt?
Man setze, der erste habe gehabt
x
Rthl. und da gesagt wird, daß so oft der erste 7 Rthl. habe, so habe der andere 3 Rthl. so will dieses so viel sagen, daß das
II.
Theil
E
Geld
Erster Abschnitt
Geld des ersten sich zum Geld des andern verhalte wie 7 : 3.
Man setze also wie 7 : 3 =
x
zum Geld des andern, welches seyn wird
\frac{3}{7}
x
.
Da ferner das Geld des andern sich verhaͤlt zum Geld des dritten, wie 17 : 5, so setze man, wie 17 : 5 =
\frac{3}{7}
x
zum Geld des dritten, welches seyn wird
\frac{15}{119}
x
.
Nun multiplicire man das Geld des ersten
x
mit dem Geld des andern
\frac{3}{7}
x
so wird das Product =
\frac{3}{7}
xx
.
Ferner das Geld des andern
\frac{3}{7}
x
mit dem Geld des dritten
\frac{15}{119}
x
multiplicirt, giebt
\frac{45}{833}
xx
Und endlich das Geld des dritten
\frac{15}{119}
x
mit dem Geld des ersten
x
multiplicirt, giebt
\frac{15}{119}
xx
. Diese drey Pro- ducte zusammen machen
\frac{3}{7}
xx
+
\frac{45}{833}
xx
+
\frac{15}{119}
xx
, welche unter einen Nenner gebracht, geben
\frac{507}{837}
xx
, so der Zahl 3830⅔ gleich gesetzt werden muß: Also hat man
\frac{507}{833}
xx
= 3830⅔ mit 3 multiplicirt, so bekommt man
\frac{1521}{833}
xx
= 11492 ferner mit 833 multiplicirt, giebt 1521
xx
= 9572836
und
Von den Algebraischen Gleichungen.
und durch 1521 dividirt, wird
xx
=
\frac{9572836}{1521}
wor- aus die Quadrat-Wurzel gezogen, giebt
x
=
\frac{3094}{39}
, welcher Bruch sich durch 13 verkleinern laͤßt und da kommt
x
=
\frac{238}{3}
, oder
x
= 79⅓: dahero erhaͤlt man fer- ner
\frac{3}{7}
x
= 34 und
\frac{15}{119}
x
= 10.
Antwort: Also hat der erste 79⅓ Rthl. der zweyte 34 Rthl. und der dritte 10 Rthl. gehabt.
Anmerckung: diese Rechnung laͤßt sich noch leichter anstellen, wann man die darinn vorkommenden Zahlen in ihre Factores aufloͤßt, und dabey inson- derheit ihre Quadrate bemerckt: Also ist 507 = 3. 169, wo 169 das Quadrat von 13 ist: hernach ist 833 = 7. 119 und 119 = 7. 17 da man nun hat,
\frac{3.169}{17.49}
xx
= 3830 ⅔ so multiplicire man mit 3, da kommt
\frac{9.169}{17.49}
xx
= 11492. Diese Zahl loͤse man auch in ihre Factores auf, wovon der erste 4 so gleich in die Augen faͤllt, also daß 11492 = 4. 2873: ferner laͤßt sich 2873 durch 17 theilen und wird 2873 = 17.169, dahe- ro unsere Gleichung also aussieht:
\frac{9.169}{17.49}
xx
= 4.17.169, welche durch 169 dividirt, wird:
\frac{9}{17.49}
xx
= 4.17; ferner mit 17.49 multiplicirt und durch 9 dividirt giebt
xx
=
\frac{4.289.49}{9}
, wo alle
E 2
Fac-
Erster Abschnitt
Factores Quadrate sind und also die Wurzel seyn wird
x
=
\frac{2.17.7}{3}
=
\frac{238}{2}
wie oben.
75.
V.
Frage: Etliche Kaufleute bestellen einen Fac- tor, schicken ihn nach Archangel zu halten einen Han- del, haben eingelegt jeder zehnmal so viel Rthl. als der Personen sind. Gewinnt der Factor je mit 100 Rthl. zweymal so viel als der Personen sind. Wann man dann
\frac{1}{100}
Theil des gantzen Gewinst multi- plicirt mit 2
\frac{2}{9}
so kommt die Zahl der Gesellen heraus. Wie viel sind ihrer gewesen?
Die Anzahl derselben sey =
x
und da ein jeder 10
x
Rthl. eingelegt hat, so war das gantze Capital = 10
xx
Rthl. Nun gewinnt der Factor mit 100 Rthl. 2
x
Rthl. folglich gewinnt er ⅕
x
3
mit dem gantzen Ca- pital 10
xx
. Der
\frac{1}{100}
Theil dieses Gewinnsts ist dem- nach
\frac{1}{500}
x
3
, welcher mit 2
\frac{2}{9}
, das ist mit
\frac{20}{9}
multiplicirt, giebt
\frac{20}{4500}
x
3
, oder
\frac{1}{225}
x
3
welches der Zahl der Gesellen
x
gleich seyn muß:
Also hat man diese Gleichung
\frac{1}{225}
x
3
=
x
, oder
x
3
= 225 x
, welche Cubisch zu seyn scheinet, weil man aber durch
x
dividiren kann, so kommt diese Qua- dratische heraus
xx
= 225 und
x
= 15.
Ant-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Antwort: es sind dahero in allen 15 Gesellen ge- wesen und ein jeder hat 150 Rthl. eingelegt.
Capitel
6. Von der Aufloͤsung der vermischten Quadratischen Gleichungen.
76.
E
ine vermischte Quadratische Gleichung wird ge- nennt, wann in derselben dreyerley Glieder vor- kommen, nemlich solche, welche das Quadrat der unbe- kanten Zahl enthalten, wie
a xx
; hernach auch solche, worinn die unbekante Zahl selbst vorkommt, als
bx
, und endlich solche Glieder, welche blos aus bekanten Zahlen zusammengesetzt sind. Da nun zwey oder mehr Glieder von einer Art in eins zusammen gezogen werden, und alle auf eine Seite des Zeichens = gebracht werden koͤnnen, so wird die Form dieser Gleichung also be- schaffen seyn:
a xx ∓ bx ∓ c = o
E 3
Wie
Erster Abschnitt
Wie nun aus solchen Gleichungen der Werth von
x
gefunden werden soll, wird in diesem Capitel ge- zeigt werden, zu welchem Ende zweyerley Wege fuͤh- ren.
77.
Ein solche Gleichung kann durch die Theilung also eingerichtet werden, daß das erste Glied blos allein das reine Quadrat der unbekanten Zahl
xx
enthalte: hernach laße man das zweyte Glied auf eben der Sei- te wo
xx
steht, das bekante Glied aber bringe man auf die andere Seite. Solcher Gestalt wird unsere Gleichung diese Form bekommen
xx ± px = ± q
, wo
p
und
q
bekante Zahlen, sowohl positive als nega- tive andeuten; und jetzo kommt alles darauf an, wie der wahre Werth von
x
gefunden werden soll. Hier- bey ist zuerst zu bemercken, daß wann
xx + px
ein wuͤrckliches Quadrat waͤre, die Aufloͤsung keine Schwierigkeit haben wuͤrde, weil man nur noͤthig haͤt- te beyderseits die Quadrat-Wurzel zu nehmen.
78.
Es ist aber klar, daß
xx + px
kein Quadrat seyn kann, weil wir oben gesehen, daß wann die Wurzel aus zwey Gliedern besteht, Z. E.
x + n
, das Quadrat davon drey
Glie-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Glieder enthalte, nemlich außer dem Quadrat ei- nes jeden Theils, noch das doppelte Product beyder Theile, also daß das Quadrat von
x + n
seyn wird
xx + 2 nx + nn
. Da wir nun auf einer Seite schon haben
xx + px
so koͤnnen wir
xx
als das Quadrat des ersten Theils der Wurzel ansehen, und da muß
px
das doppelte Product des ersten Theils der Wur- zel
x
mit dem andern Theil seyn; dahero der andere Theil ½
p
seyn muß, wie dann auch in der That das Quadrat von
x + ½ p
gefunden wird
xx + px + ¼ pp
.
79.
Da nun
xx + px + ¼ pp
ein wuͤrckliches Qua- drat ist, wovon die Wurzel
x + ½ p
, so duͤrfen wir nur bey unserer Gleichung zu
xx + px = q
beyderseits ¼
pp
addiren und da bekommen wir
xx + px + ¼ pp = q + ¼ pp
, wo auf der ersten Seite ein wuͤrckliches Qua- drat, auf der andern aber blos bekante Zahlen befind- lich sind. Wann wir dahero beyderseits die Qua- drate nehmen, so erhalten wir
x + ½ p = √ (¼ pp + q)
; subtrahirt man nun ½
p
, so erhaͤlt man
x = - ½ p + √ (¼ pp + q)
; und da eine jede Quadrat-Wurzel so wohl Positiv als Negativ genommen werden kann,
E 4
so
Erster Abschnitt
so findet man fuͤr
x
zwey Werthe, welche also durch diese Form ausgedruͤckt zu werden pflegen:
x = - ½ p ± √ (¼ pp + q)
.
80.
In dieser Formel ist nun die Regel enthalten, nach welcher alle Quadrat-Gleichungen aufgeloͤßt wer- den koͤnnen, und damit man nicht immer noͤthig ha- be, die obige Operation von neuem anzustellen, so ist genung, daß man den Inhalt dieser Formel dem Ge- daͤchtniß wohl einpraͤge. Man kann demnach die Gleichung so anordnen, daß das bloße Quadrat
xx
auf einer Seite zu stehen komme, daher die obige Glei- chung diese Form erhalten wird:
xx = - px + q
wovon der Werth von
x
so gleich also hingeschrie- ben werden kann:
x = - ½ p ± √ (¼ pp + q)
.
81.
Hieraus wird nun diese allgemeine Regel gezo- gen um die Gleichung
xx = - px + q
aufzuloͤsen.
Man sieht nemlich, daß die unbekante Zahl,
x
gleich seyn werde der Haͤlfte der Zahl, womit
x
auf
der
Von den Algebraischen Gleichungen.
der andern Seite multiplicirt ist, und uͤber das noch + oder - der Quadrat-Wurzel aus dem Quadrat der Zahl, so eben geschrieben worden, nebst der bloßen Zahl so das dritte Glied der Gleichung aus- macht.
Wann dahero diese Gleichung vorkaͤme
xx = 6 x
+ 7, so wuͤrde man so gleich haben
x
= 3 ± √ (9 + 7) = 3 ± 4: folglich sind die beyden Werthe von
x I.) x
= 7, und
II.) x
= - 1.
Haͤtte man diese Gleichung
xx = 10 x
- 9, so wird
x
= 5 ± √ (25 - 9), welches = 5 ± 4; dahe- hero die beyden Werthe seyn werden
x
= 9 und
x
= 1.
82.
Zu mehrerer Erlaͤuterung dieser Regel koͤnnen fol- gende Faͤlle unterschieden werden,
I.
) wann
p
eine gerade Zahl ist,
II.
) wann
p
eine ungerade Zahl ist, und
III.
) wann
p
eine gebrochene Zahl ist.
Es sey
I.) p
eine gerade Zahl und die Gleichung also beschaffen:
xx = 2 px + q
, so bekommt man
x = p ± √ (pp + q)
:
Es sey
II.) p
eine ungerade Zahl und die Glei- chung
xx = px + q
, da dann seyn wird
E 5
x = ½ p
Erster Abschnitt
x = ½ p ± √ (¼ pp + q)
da nun ¼
pp + q
=
\frac{pp + 4 q}{4}
, aus dem Nenner 4 aber die Quadrat- Wurzel gezogen werden kann, so bekommt man
x = ½ p
±
\frac{\sqrt{(pp + 4 q)}}{2}
, oder
x
=
p \pm \frac{\sqrt{(pp + 4 q)}}{2}
.
Wird aber
III.) p
ein Bruch, so kann die Auf- loͤsung folgender Gestalt geschehen. Es sey die Quadra- tische Gleichung
a xx = bx + c
, oder
xx
=
\frac{bx}{a}
+
\frac{c}{a}
, so wird nach der Regel
x
=
\frac{1 b}{2 a}
± √ (
\frac{bb}{4 aa}
+
\frac{c}{a}
). Da nun aber
\frac{bb}{4 aa}
+
\frac{c}{a}
=
\frac{bb + 4 ac}{4 aa}
und hier der Nenner ein Quadrat ist, so wird
x
=
\frac{b \pm \sqrt{(bb + 4 ac)}}{2 a}
.
83.
Der andere Weg welcher auch zu dieser Aufloͤ- sung fuͤhret, bestehet darinn, daß man eine solche ver- mischte Quadratische Gleichung nemlich:
xx = px + q
in eine reine verwandele, welches ge- schiehet, wann man anstatt der unbekanten Zahl
x
eine andere
y
in die Rechnung einfuͤhret, also daß
x = y + ½ p
; da man dann, wann
y
gefunden worden, auch so gleich den Werth vor
x
erhaͤlt.
Schreibt man nun
y + ½ p
anstatt
x
, so wird
xx = yy + py + ¼ pp
und
px = py + ½ pp
:
hieraus
Von den Algebraischen Gleichungen.
hieraus wird unsere Gleichung also zu stehen kom- men
yy + py + ¼ pp = py + ½ pp + q
subtrahirt man hier erstlich
py
, so hat man
yy + ¼ pp = ½ pp + q
ferner ¼
pp
subtrahirt, giebt
yy = ¼ pp + q
, welches eine reine Quadratische Gleichung ist, woraus man so gleich erhaͤlt
y = ± √ (¼ pp + q)
.
Da nun
x = y + ½ p
, so wird
x = ½ p ± √ (¼ pp + q)
, wie wir schon oben gefunden haben. Es ist also nichts mehr uͤbrig als diese Regel mit Exempeln zu erlaͤutern.
84.
I.
Frage: Ich habe zwey Zahlen; die eine ist um 6 groͤßer als die andere und ihr Product macht 91, wel- ches sind diese Zahlen?
Die kleinere Zahl sey
x
, so ist die groͤßere
x
+ 6 und ihr Product
xx + 6 x
= 91.
Man subtrahire 6
x
, so hat man
xx
= - 6
x
+ 91, und nach der Regel
x
= - 3 ± √ (9 + 91) = - 3 ± 10, dahero hat man entweder
x
= 7 oder
x
= - 13.
Antwort: die Frage hat also zwey Aufloͤsungen; nach der
ersten
Erster Abschnitt
ersten ist die kleinere Zahl
x
= 7 die groͤßere
x
+ 6 = 13
Nach der andern aber ist die kleinere
x
= - 13 und die groͤßere
x
+ 6 = - 7.
85.
II.
Frage: Suche eine Zahl wann ich von ihrem Quadrat subtrahire 9, daß gleich so viel uͤber 100 bleiben als meine Zahl weniger ist als 23: welche Zahl ist es?
Es sey die Zahl
x
, so ist
xx
‒ 9 uͤber 100 um
xx
—109. Die gesuchte Zahl
x
aber ist unter 23 um 23—
x
; woraus diese Gleichung entsteht
xx - 109 = 23 - x
Man addire 109 so wird
xx = - x
+ 132 folglich nach der Regel
x
= - ½ ± √ (¼ + 132) = - ½ ± √
\frac{529}{4}
= - ½ ±
\frac{23}{2}
Also ist entweder
x
= 11, oder
x
= - 12
Antwort: Wann nur eine positive Antwort ver- langt wird, so ist die gesuchte Zahl 11 deren Qua- drat weniger 9 macht 112, so um 12 groͤßer ist als 100, und die gefundene Zahl 11 ist um eben so viel kleiner als 23.
86.
Von den Algebraischen Gleichungen.
86.
III.
Frage: Suche eine Zahl wann ich ihre Haͤlffte mit ihrem Drittel multiplicire und zum Pro- duct ½ der gefundenen Zahl addire, daß 30 kommen?
Es sey diese Zahl
x
, deren Haͤlfte mit ihrem Drit- tel multiplicirt ⅙
xx
giebt; also soll ⅙
xx + ½ x
= 30 seyn; mit 6 multiplicirt, wird
xx + 3 x
= 180, oder
xx = - 3 x
+ 180, woraus man findet
x
= -
\frac{3}{2}
± √ (
\frac{9}{4}
+ 180) = -
\frac{3}{2}
±
\frac{27}{2}
Dahero ist entweder
x
= 12 oder
x
= - 15.
87.
IV.
Frage: Suche zwey Zahlen in Proportione Dupla, wann ich ihre Summe zu ihrem Product addi- daß 90 komme?
Es sey die Zahl
x
, so ist die groͤßere 2
x
, ihr Pro- duct 2
xx
, dazu ihre Summe 3
x
addirt soll geben 90. Also 2
xx + 3 x
= 90, und 3
x
subtrahirt, 2
xx = - 3 x
+ 90 durch 2 dividirt, giebt
xx = -
\frac{3}{2}
x
+ 45; woraus nach der Regel gefunden wird
x
= - ¾ ± √ (
\frac{9}{16}
+ 45) = - ¾ ±
\frac{27}{4}
.
Dahero ist entweder
x
= 6 oder
x
= —7½.
88.
Erster Abschnitt
88.
V.
Frage: Einer kauft ein Pferd fuͤr etliche Rthl. verkauft dasselbe wieder fuͤr 119 Rthl. und gewinnt daran von 100 so viel Rthl. als das Pferd gekostet, ist die Frage wie theuer daßelbe eingekauft worden?
Daß Pferd habe gekostet
x
Rthl. weil er nun darauf
x
Proc. gewonnen, so setze man, mit 100 gewinnt man
x
, wie viel mit
x
? Antwort
\frac{xx}{100}
. Da er nun
\frac{xx}{100}
gewonnen, der Einkauf aber
x
gewesen, so muß er dasselbe fuͤr
x
+
\frac{xx}{100}
verkauft haben. Dahero wird
x
+
\frac{xx}{100}
= 119. Man subtrahire
x
, so kommt
\frac{xx}{100}
= -
x
+ 119 und mit 100 multiplicirt, wird
xx = - 100 x
+ 11900, woraus nach der Regel gefunden wird
x
= - 50 ± √ (2500 + 11900) = - 50 ± √ 14400 = - 50 ± 120.
Antwort: das Pferd hat also gekostet 70 Rthl. weil er nun darauf 70 Procent gewonnen, so war der Ge- winst 49 Rthl. er muß also dasselbe verkauft haben vor 70 + 49, das ist fuͤr 119 Rthl. wie wuͤrcklich geschehen.
89.
VI.
Frage: Einer kauft eine gewiße Anzahl Tuͤcher: das erste fuͤr 2 Rthl. das zweyte fuͤr 4 Rthl. das dritte
fuͤr
Von den Algebraischen Gleichungen.
fuͤr 6 Rthl. und immer 2 Rthl. mehr fuͤr das folgende, bezahlt fuͤr alle Tuͤcher 110 Rthl. Wie viel sind der Tuͤcher gewesen?
Es seyen
x
Tuͤcher gewesen, und wie viel er fuͤr jedes bezahlt hat, zeiget die folgende Vorstellung an: fuͤr das 1, 2, 3, 4, 5 …
x
zahlt er 2, 4, 6, 8, 10 … 2
x
Rthl.
Man muß also diese Arithmetische Progression 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + .... 2
x
welche aus
x
Gliedern besteht summiren, um den Preis aller Tuͤ- cher zusammen zu finden.
Nach der oben gegebenen Regel also addire man das erste und letzte Glied zusammen, so bekommt man 2
x
+ 2. Dieses multiplicire man mit der Anzahl der Glie- der
x
, so bekommt man die doppelte Summe 2
xx + 2 x
. Dahero die Summe selbst seyn wird
xx + x
, welche dem 110 gleich seyn muß, oder
xx + x
= 110 Man subtrahire
x
, so wird
xx = - x
+ 110 folglich
x
= - ½ + √ (¼ + 110) oder = - ½ + √
\frac{441}{4}
oder
x
= - ½ +
\frac{21}{2}
= 10 Antwort: Es sind 10 Stuͤck Tuͤcher gekauft worden.
90.
Erster Abschnitt
90.
VII.
Frage: Einer kauft etliche Tuͤcher fuͤr 180 Rthl. waͤren der Tuͤcher 3 mehr gewesen vor eben das Geld, so waͤre ihm das Stuͤck um 3 Rthl. wohl- feiler gekommen. Wie viel sind es Tuͤcher gewesen?
Es seyen
x
Tuͤcher gewesen, so hat das Stuͤck wuͤrcklich gekostet
\frac{180}{x}
Rthl. Haͤtte er aber
x
+ 3 Stuͤck fuͤr 180 Rthl. bekommen, so wuͤrde das Stuͤck gekostet haben
\frac{180}{x + 3}
Rthl. welcher Preis um 3 Rthl. weniger ist, als der wuͤrckliche, woraus diese Gleichung entsteht:
\frac{180}{x + 3}
=
\frac{180}{x}
- 3 man multiplicire mit
x
, so kommt
\frac{180 x}{x + 3}
= 180 - 3
x
durch 3 dividirt, giebt
\frac{60x}{x}
+ 3 = 60 -
x
mit
x
+ 3 multiplicirt, wird 60
x = 180 + 57 x - xx
man addire
xx
, so kommt
xx + 60 x = 180 + 57 x
. Man subtrahire 60
x
, so kommt
xx
= - 3
x
+ 180. Hier- aus nach der Regel
x
= -
\frac{3}{2}
+ √ (
\frac{9}{4}
+ 180), oder
x
= -
\frac{3}{2}
+
\frac{27}{2}
= 12.
Antwort: Also sind 12 Tuͤcher fuͤr 180 Rthl. gekauft worden, dahero eines gekostet 15 Rthl. Haͤtte man
aber
Von den Algebraischen Gleichungen.
aber 3 Stuͤck mehr nemlich 15 Stuͤck fuͤr 180 Rthl. bekommen, so wird 1 Stuͤck gekostet haben 12 Rthl., folg- lich 3 Rthl. weniger als in der That.
91.
VIII.
Frage: Zwey haben eine Gesellschaft, legen zusammen 100 Rthl. ein, der erste laͤßt sein Geld 3 Monath lang, der andere aber 2 Monath lang stehen, und zieht ein jeder mit Capital und Gewinst 99 Rthl. wie viel hat jeder eingelegt?
Der erste habe eingelegt
x
Rthl. und also der andere 100 -
x
: da nun der erste 99 Rthl. zuruͤck zieht, so ist sein Gewinn 99 -
x
, welcher in 3 Mona- then mit dem Capital
x
ist erworben worden, da der andere auch 99 Rthl. zuruͤck zieht, so war sein Ge- winn
x
- 1, welcher in zwey Monathen mit dem Ca- pital 100 -
x
erworben worden: mit eben diesem Capital 100 -
x
wuͤrden also in 3 Monathen gewon- nen werden
\frac{3 x - 3}{2}
. Nun sind diese Gewinste denen Capi- talen proportional, nemlich jenes Capital verhaͤlt sich zu jenem Gewinst, wie dieses Capital zu diesem Gewinst; also
x : 99 - x = 100 - x
:
\frac{3 x - 3}{2}
II
Theil
F
Man
Erster Abschnitt
Man setze das Product der aͤußern gleich dem Product der mittlern, so hat man
\frac{3 xx - 3 x}{2}
= 9900 - 199
x + xx
und mit 2 multiplicirt 3
xx - 3 x = 19800 - 398 x + 2 xx
; man subtrahire 2
xx
so kommt
xx - 3 x = 19800 - 398 x
und 3
x
addirt
xx = - 395 x
+ 19800. Dahero nach der Regel
x
= -
\frac{395}{2}
+ √ (
\frac{156025}{4}
+
\frac{79200}{4}
) das ist
x
= -
\frac{395}{2}
+
\frac{485}{2}
=
\frac{90}{2}
= 45.
Antwort: der erste hat also eingelegt 45 Rthl. und der andere 55 Rthl. mit den 45 Rthl. hat der erste in 3 Monath gewonnen 54 Rthl. wuͤrde demnach in ei- nem Monath gewonnen haben 18 Rthl. Der andere aber gewinnt mit 55 Rthl. in 2 Monath 44 Rthl. wuͤrde also in einem Mona th gewonnen haben 22 Rthl. welches auch mit jenem uͤbereinstimmt; dann wann mit 45 Rthl. gewonnen werden 18 in einem Monath, so werden mit 55 in gleicher Zeit gewonnen 22 Rthl.
92.
IX.
Frage: Zwey Baͤurinnen tragen zusammen 100 Eyer auf den Marckt, eine mehr als die andere, und loͤsen doch beyde gleich viel Geld: Spricht die erste zu der andern, haͤtte ich deine Eyer gehabt, so haͤtte ich 15 Kreuzer geloͤßt: darauf antwortet die
an-
Von den Algebraischen Gleichungen.
andere, haͤtte ich deine Eyer gehabt, so haͤtte ich daraus 6⅔ Kreutzer geloͤßt: wie viel hat jede gehabt?
Die erste habe gehabt
x
Eyer und also die ande- re 100 -
x
.
Also da nun die erste 100 -
x
Eyer fuͤr 15 Kreu- zer verkauft haben wuͤrde, so setze man diese Regel de- trie 100 -
x : 15 = x
zu antwort
\frac{15 x}{100 - x}
Kreuzer.
Eben so bey der andern welche
x
Eyer fuͤr 6⅔ Kreu- zer verkauft haben wuͤrde, findet man wie viel sie aus- ihren 100 -
x
Eyer geloͤset,
x
:
\frac{20}{3}
= 100 -
x
zu ant- wort
\frac{2000 - 20 x}{3 x}
. Da nun die beyden Baͤurinnen gleich viel geloͤset haben, so finden wir diese Gleichung:
\frac{15 x}{100 - x}
=
\frac{2000 - 20 x}{3 x}
mit 3
x
multiplicirt, kommt 2000 - 20
x
=
\frac{45 xx}{100 - x}
mit 100 -
x
multiplicirt, 45
xx = 200000 - 4000 x + 20 xx 20 xx
subtrahirt, 25
xx = 200000 - 4000 x
durch 25 dividirt
xx = - 160 x
+ 8000: dahero nach der Regel
x
= - 80 + √ (6400 + 8000) = - 80 + 120 = 40.
F 2
Ant-
Erster Abschnitt
Antwort: die erste Baͤurin hat also gehabt 40 Eyer, die andere 60 Eyer und hat eine jede 10 Kreuzer ge- loͤset.
93.
X.
Frage: Zwey verkauffen etliche Ellen Zeug, der andere 3 Ellen mehr als der erste, und loͤsen zusammen 35 Rthl. Spricht der erste zum andern: aus deinem Zeuge wollt ich geloͤset haben 24 Rthl. antwortet der andere, so haͤtte ich aus deinem geloͤßet 12½ Rthl. wie viel hat jeder Ellen gehabt?
Der erste habe gehabt
x
Ellen, folglich der andere
x
+ 3 Ellen. Da nun der erste aus
x
+ 3 El. 24 Rthl. geloͤst haͤt- te, so muß er seine
x
Ellen verkauft haben vor
\frac{24 x}{x + 3}
Rthl. und da der andere
x
Ellen verkauft haͤtte fuͤr 12½ Rthl. so haͤtte er seine
x
+ 3 Ellen verkauft vor
\frac{25 x + 75}{2 x}
; und so haben beyde zusammen geloͤst
\frac{24 x}{x + 3}
+
\frac{25 x + 75}{2 x}
= 35 Rthl. Also
\frac{48 xx}{x + 3}
+ 25
x + 75 = 70 x
oder
\frac{48 xx}{x + 3}
= 45
x
- 75, mit
x
+ 3 multiplicirt wird 48
xx = 45 xx + 60 x
- 225, subtrahirt 45
xx
, so hat man 3
xx = 60 x
- 225 oder
xx = 20 x
- 75. Hieraus wird
x
= 10 ± √ (100 - 75) = 10 ± √ 25, also
x
= 10 ± 5.
Ant-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Antwort: Es giebt daher zwey Aufloͤßungen. Nach der ersten hat der erste 15 Ellen, und der andere 18 Ellen: weil nun der erste 18 Ellen verkauft hat vor 24 Rthl. so hat er aus seinen 15 Ellen geloͤst 20 Rthl. Der andere aber haͤtte aus 15 Ellen geloͤset 12½ Rthl. hat also aus seinen 18 Ellen geloͤst 15 Rthl. also beyde zusammen 35 Rtlh.
Nach der andern Aufloͤsung hat der erste gehabt 5 Ellen, folglich allso der andere 8 Ellen, allso der erste haͤtte verkauft 8 Ellen fuͤr 24 Rthl. und hat also aus sei- nen 5 Ellen geloͤst 15 Rthl. Der andere haͤtte 5 Ellen verkauft fuͤr 12½ Rthl. hat also aus seinen 8 Ellen geloͤst 20 Rthl. folglich beyde zusammen eben wieder 35 Rthl.
F 3
Capi-
Erster Abschnitt
Capitel
7. Von der Ausziehung der Wurzeln aus den vieleckigten Zahlen.
94.
W
ir haben oben gezeigt, wie die vieleckigten Zahlen; gefunden werden sollen: was wir aber daselbst eine Seite genennt haben wird auch eine Wurzel ge- nannt. Wann nun die Wurzel durch
x
angedeutet wird, so werden daraus die vieleckigten Zahlen fol- gender Gestalt gefunden.
Das 3 eck ist
\frac{xx + x}{2}
„ „ 4 eck „ „
xx
„ „ 5 eck „ „
\frac{3 xx - x}{2}
„ „ 6 eck „ „ 2
xx - x
„ „ 7 eck „ „
\frac{5 xx - 3 x}{2}
„ „ 8 eck „ „ 3
xx - 2 x
„ „ 9 eck „ „
\frac{7 xx - 5 x}{2}
„ „ 10 eck „ „ 4
xx - 3 x
„ „
n
eck „ „
\frac{(n - 2) xx - (n - 4) x}{2}
95.
Von den Algebraischen Gleichungen.
95.
Durch Huͤlfe dieser Formeln ist es nun leicht fuͤr eine jede gegebene Seite, oder Wurzel, eine verlangte vieleckigte Zahl so groß auch die Zahl der Ecke seyn mag zu finden, wie schon oben genungsam gezeigt worden. Wann aber umgekehrt eine vieleckigte Zahl von einer gewißen Anzahl Seite gegeben ist, so ist es weit schwerer die Wurzel oder Seite davon zu finden, und wird dazu die Aufloͤsung Quadratischer Glei- chungen erfordert, dahero diese Sache allhier beson- ders verdienet abgehandelt zu werden. Wir wollen hiebey der Ordnung nach von den dreyeckigten Zahlen anfangen, und zu den mehreckigten fortschreiten.
96.
Es sey demnach 91 die gegebene dreyeckigte Zahl, wovon die Seite oder Wurzel gesucht werden soll.
Setzt man nun diese Wurzel =
x
so muß
\frac{xx + x}{2}
der Zahl 91 gleich seyn: man multiplicire mit 2 so hat man
xx + x
= 182, woraus gefunden wird
xx = - x
+ 182 und also
x
= - ½ + √ (¼ + 182) = - ½ + √
\frac{729}{4}
fol- glich
x
= - ½ +
\frac{27}{2}
= 13; dahero ist die verlangte dreyecks- Wurzel = 13, dann das Dreyeck von 13 ist 91.
F 4
97.
Erster Abschnitt
97.
Es sey aber auf eine allgemeine Art
a
die gege- bene dreyeckigte Zahl, wovon die Wurzel gefunden wer- den soll.
Setzt man dieselbe =
x
so wird
\frac{xx + x}{2}
=
a
, oder
xx + x = 2 a
, oder ferner
xx = - x + 2 a
, woraus gefunden wird
x = - ½ + √ (¼ + 2 a)
, oder
x
= -
\frac{1 + \sqrt{(8 a + 1)}}{2}
.
Hieraus entspringt diese Regel. Man multi- plicire die gegebene dreyeckigte Zahl mit 8 und zum Pro- duct addire 1, aus der Summ ziehe man die Qua- drat-Wurzel, von derselben subtrahire 1; den Rest dividire durch 2, so kommt die gesuchte Dreyecks Wurzel heraus.
98.
Hieraus sieht man daß alle dreyeckigte Zahlen die- se Eigenschaft haben, daß wann man dieselben mit 8 multiplicirt und 1 dazu addirt immer eine Quadrat- Zahl herauskommen muͤße, wie aus folgendem Taͤ- felgen zu ersehen,
III.
Eck. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, etc. 8 mahl + 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, ete.
Ist
Von den Algebraischen Gleichungen
Ist nun die gegebene Zahl
a
nicht so beschaffen, so ist es ein Zeichen, daß dieselbe keine wuͤrckliche dreyeckig- te Zahl sey, oder die Wurzel davon nicht rational angegeben werden koͤnne.
99.
Man suche nach dieser Regel die dreyecks-Wurzel aus der Zahl 210, so ist
a
= 210 und 8
a
+ 1 = 1681 wovon die Quadrat-Wurzel 41, woraus man sieht, daß die Zahl 210 wuͤrcklich eine dreyeckigte Zahl ist, wo- von die Wurzel =
\frac{41 - 1}{2}
= 20.
Waͤre aber die Zahl 4 als ein Dreyeck gegeben, wo- von die Wurzel gesucht werden sollte, so waͤre dieselbe =
\frac{\sqrt{33} - 1}{2}
und also irrational: Es wird aber auch wuͤrck- lich von dieser Wurzel, nemlich
\frac{\sqrt{33} - 1}{2}
, das Dreyeck gefunden wie folget.
Da
x
=
\frac{\sqrt{33} - 1}{2}
, so ist
xx
=
\frac{17 - \sqrt{33}}{2}
; darzu
x
addirt, wird
xx + x
=
\frac{16}{2}
= 8, und folglich die dreyeckigte Zahl
\frac{xx + x}{2}
= 4.
100.
Da die viereckigten Zahlen mit den Quadraten einerley sind, so hat die Sache keine Schwierigkeit. Dann setzt man die gegebene viereckigte Zahl =
a
und ihre
F 5
Vierecks
Erster Abschnitt
Vierecks-Wurzel =
x
, so wird
xx = a
und also
x = √a
. Also daß die Quadrat-Wurzel und Vierecks-Wurzel einerley sind.
101.
Wir wollen demnach zu den fuͤnfeckigten Zahlen fortschreiten.
Es sey nun 22 eine fuͤnfeckigte Zahl und die Wurzel derselben =
x
, so muß seyn
\frac{3xx - x}{2}
= 22, oder 3
xx - x
= 44, oder
xx = ⅓ x
+
\frac{44}{3}
; woraus gefunden wird
x
= ⅙ + √(
\frac{1}{36}
+
\frac{44}{3}
), das ist
x
=
\frac{1 + \sqrt{(529)}}{6}
= ⅙ +
\frac{23}{6}
= 4. Also ist 4 die gesuchte Fuͤnfecks-Wurzel aus der Zahl 22.
102.
Es sey nun vorgelegt diese Frage: wann das ge- gebene Fuͤnfeck =
a
ist, wie soll davon die Wurzel ge- funden werden?
Setzt man diese gesuchte Wurzel =
x
, so kommt man auf diese Gleichung
\frac{3xx - x}{2}
=
a
, oder 3
xx - x = 2a
, oder
xx = ⅓ x
+
\frac{2^{a}}{3}
; woraus gefunden wird
x
= ⅙ + √(
\frac{1}{36}
+
\frac{2a}{3}
), das ist
x
=
\frac{1 + \sqrt{(24a + 1)}}{6}
. Wann dahero
a
ein wuͤrckliches Fuͤnfeck ist, so muß 24
a
+ 1 im- mer eine Quadrat-Zahl seyn.
Es
Von den Algebraischen Gleichungen.
Es sey z. E. 330 das gegebene Fuͤnfeck, so wird die Wurzel davon seyn
x
=
\frac{1 + \sqrt{7021}}{6}
=
\frac{1 + 89}{6}
= 15.
103.
Es sey nun
a
eine gegebene sechseckigte Zahl, wo- von die Wurzel gesucht werden soll.
Setzt man diese Wurzel =
x
so wird 2
xx - x = a
, oder
xx = ½ x + ½ a
, dahero gefunden wird
x
= ¼ + √(
\frac{1}{16}
+ ½
a
) =
\frac{1 + \sqrt{(8a + 1)}}{4}
. Wann also
a
ein wuͤrckliches Sechseck ist, so muß 8
a
+ 1 ein Qua- drat werden, woraus man sieht daß alle sechseckigte Zahlen unter den dreyeckigten begriffen sind; die Wur- zeln aber sind anders beschaffen.
Es sey z. E. die sechseckigte Zahl 1225 so wird die Wurzel davon seyn
x
=
\frac{1 + \sqrt{9801}}{4}
=
\frac{1 + 90}{4}
= 25.
104.
Es sey ferner
a
eine gegebene siebeneckigte Zahl, wovon die Seite oder Wurzel gesucht werden soll:
Setzt man diese Wurzel =
x
so hat man
\frac{5xx - 3x}{2}
=
a
, oder 5
xx - 3x = 2a
, allso
xx = ⅗ x + ⅖ a
, wor- aus gefunden wird
x
=
\frac{3}{10}
+ √(
\frac{49}{100}
+ ⅖
a
) =
\frac{3 + \sqrt{(40a + 9)}}{10}
.
Alle
Erster Abschnitt
Alle siebeneckigte Zahlen sind demnach also beschaf- fen, daß wann man dieselben mit 40 multiplicirt und zum Product 9 addirt, die Summe immer Quadrat- Zahlen werden.
Es sey z. E. das gegebene Siebeneck 2059, so fin- det man die Wurzel da von
x
=
\frac{3 + \sqrt{(82360)}}{10}
=
\frac{3 + 287}{10}
= 29.
105.
Es sey nun
a
eine gegebene achteckigte Zahl wo- von die Wurzel
x
gefunden werden soll.
Man hat dahero 3
xx - 2x = a
, oder
xx = ⅔ x + ⅓a
, woraus gefunden wird
x
= ⅓ + √(⅑ +
\frac{a}{3}
) =
\frac{1 + \sqrt{(3a + 1)}}{3}
. Alle achteckigte Zahlen sind demnach also beschaffen, daß wann man sie mit 3 multiplicirt und dazu 1 addirt die Summe immer eine Quadrat- Zahl werde.
Es sey z. E. 3816 eine achteckigte Zahl, so wird die Wurzel davon seyn
x
=
\frac{1 + \sqrt{11440}}{3}
=
\frac{1 + 107}{3}
= 36.
106.
Es sey endlich
a
eine gegebene
n
eckigte Zahl, wo- von die Wurzel
x
gesucht werden soll, so hat man die- se Gleichung.
(
n
- 2)
Von den Algebraischen Gleichungen.
\frac{(n - 2) xx - (n - 4) x}{2}
=
a
, oder
(n - 2) xx - (n - 4) x = 2a
, also
xx
=
\frac{(n - 4) x}{n - 2}
+
\frac{2a}{n - 2}
, woraus gefunden wird
x
=
\frac{n - 4}{2(n - 2)}
+
\sqrt{(\frac{(n - 4)^{2}}{4(n - 2)^{2}} + \frac{2a}{n - 2}})
, oder
x
=
\frac{n - 4}{2 (n - 2)}
+ √(
(\sqrt{\frac{(n - 4)^{2}}{4 (n - 2)^{2}} + \frac{8.(n - 2)a}{4.(n - 2)^{2}}})
und folglich
x
=
\frac{n - 4 + (\sqrt{8.(n - 2)a + (n - 4)^{2}})}{2.(n - 2)}
.
Welche Formel eine allgemeine Regel enthaͤlt um aus gegebenen Zahlen alle moͤgliche vieleckigte Wur- zeln zu finden.
Um dieses mit einem Exempel zu erlaͤutern, so sey gegeben diese 24eckigte Zahl 3009; weil nun hier
a
= 3009 und
n
= 24, folglich
n
- 2 = 22 und
n
- 4 = 20 so bekommen wie die Wurzel
x
=
\frac{20 + \sqrt{(529584 + 400)}}{44}
=
\frac{20 + 728}{44}
= 17.
Capi-
Erster Abschnitt
Capitel
8. Von der Ausziehung der Quadrat-Wurzeln aus Binomien.
107.
E
in Binomium wird in der Algebra genennt eine aus zwey Theilen bestehende Zahl, wovon eine oder auch beyde das Quadratische Wurzel-Zeichen enthalten.
Also ist 3 + √5 ein Binomium, imgleichen √8 + √3, und es ist gleich viel ob diese beyden Theile mit dem Zeichen + oder - verbunden sind. Dahero wird 3 - √5 eben so wohl ein Binomium ge- nennt als 3 + √5.
108.
Diese Binomien sind deswegen hauptsaͤchlich merck- wuͤrdig, weil man bey Aufloͤsung der Quadratischen Gleichungen jedesmahl auf solche Formeln kommt, so offt die Aufloͤsung nicht geschehen kann.
Also wann z. E. diese Gleichung vorkommt
xx = 6x
— 4, so wird dann
x
= 3 + √5. Um dieser Ursache
willen
Von den Algebraischen Gleichungen.
willen kommen nun solche Formeln in den Algebrai- schen Rechnungen sehr haͤuffig vor, und wir haben auch schon oben gezeiget, wie damit die gewoͤhnliche Operationen der Addition, Subtraction, Multiplication und Division angestellt werden sollen. Nun aber sind wir erst im Stande zu zeigen, wie aus solchen Formeln auch die Quadrat-Wurzeln ausgezogen werden koͤn- nen, wofern nemlich eine solche Ausziehung statt findet, indem wiedrigenfals nur noch ein Wurzel- Zeichen vorgesetzt wird, nemlich von 3 + √2 ist die Quadrat-Wurzel √(3 + √2).
109.
Man hat demnach zufoͤrderst zu bemercken, daß die Quadrate von solchen Binomien wiederum der- gleichen Binomien werden, in welchen so gar der eine Theil rational ist.
Dann sucht man das Quadrat von
a + √b
, so wird dasselbe
(aa + b) + 2a √b
. Wann also von die- ser Formel
(aa + b) + 2a √b
hinwiederum die Quadrat- Wurzel verlangt wuͤrde, so waͤre dieselbe
a + √b
, wel- che ohnstreitig deutlicher zu begreiffen ist, als wann man vor jene Formel noch das √ Zeichen setzen wollte. Eben
so
Erster Abschnitt
so, wann man von dieser Formel √
a + √b
das Qua- drat nimmt, so wird dasselbe
(a + b) + 2 √ab
, dahe- ro auch umgekehrt von dieser Formel
(a + b) + 2 √ ab
die Quadrat-Wurzel seyn wird √
a + √b
welche wiederum verstaͤndlicher ist, als wann man vor jene noch das √ Zeichen setzen wollte.
110.
Es kommt dahero darauf an, wie ein Kennzeichen zu erfinden sey, woraus in einem jeglichen Fall beurthei- let werden kann, ob eine solche Quadrat-Wurzel statt finde oder nicht. Wir wollen zu diesem Ende mit einer leichten Formel den Anfang machen und sehen, ob man aus diesem Binomio 5 + 2√6 solcher Ge- stalt die Quadrat-Wurzel finden koͤnne:
Man setze also, diese Wurzel sey √
x + √y
, wo- von das Quadrat
(x + y) + 2 √xy
ist, allso muß dieses Quadrat jener Formel 5 + 2 √6 gleich seyn; folglich der rationale Theil
x + y
muß gleich seyn 5 und der irra- tionale 2 √
xy
muß gleich seyn 2 √6; dahero bekommt man √
xy
= √6 und die Quadrate genommen
xy
= 6. Da nun
x + y
= 5, so wird hieraus
y = 5 - x
welcher Werth in der Gleichung
xy
= 6 gesetzt giebt 5
x - xx
= 6
oder
Von den Algebraischen Gleichungen.
oder
xx = 5x
- 6, dahero
x
=
\frac{5}{2}
+ √ (
\frac{25}{4}
-
\frac{24}{4}
) =
\frac{5}{2}
+ ½ = 3; also
x
= 3 und
y
= 2, folglich wird aus 5 + 2 √6 die Quadrat-Wurzel seyn √3 + √2.
111.
Da wir hier diese beyde Gleichungen erhalten haben
I.) x + y
= 5 und
II.) xy
= 6, so wollen wir hier einen besondern Weg anzeigen, um daraus
x
und
y
zu finden, welcher darinn besteht:
Da
x + y
= 5 so nehme man die Quadraten
xx + 2xy + yy
= 25: Nun bemercke man, daß
xx - 2xy + yy
das Quadrat von
x - y
ist; man subtrahire dahero von jener Gleichung nemlich von
xx + 2xy + yy
= 25, diese
xy
= 6 vier mal genom- men oder 4
xy
= 24, so erhaͤlt man
xx - 2xy + yy
= 1 und hieraus die Quadrat-Wurzel
x - y
= 1, so wird, weil
x + y
= 5 ist, gefunden
x
= 3 und
y
= 2. Dahero die ge- suchte Quadrat-Wurzel von 5 + 2 √6 seyn wird √3 + √2.
112.
Laßt uns dieses allgemeine Binomium
a + √b
betrachten und die Quadrat-Wurzel davon √
x + √y
setzen, so erhalten wir diese Gleichung
(x + y) + 2 √xy = a + √b
, also
x + y = a
und 2 √
xy = √b
II.
Theil
G
oder
Erster Abschnitt
oder 4
xy = b
: von jener ist das Quadrat
xx + 2xy + yy = aa
wovon diese 4
xy = b
subtrahirt, giebt
xx - 2xy + yy = aa - b
, und wovon die Quadrat- Wurzel ist
x - y = √(aa - b)
. Da nun
x + y = a
, so finden wir
x
=
\frac{a + \sqrt{(aa - b)}}{2}
und
y
=
\frac{a - \sqrt{(aa - b)}}{2}
dahero die verlangte Quadrat-Wurzel aus
a + √b
seyn wird:
\sqrt{\frac{a + \sqrt{(aa - b)}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{(aa - b)}}{2}}
.
113.
Diese Formel ist allerdings verwirrter, als wann man fuͤr das gegebene Binomium
a + √b
schlecht weg das Wurzel-Zeichen √ gesetzt haͤtte, nemlich √(
a + √b
). Allein jene Formel kann weit leich- ter werden, wann die Zahlen
a
und
b
so beschaffen sind, daß
aa - b
ein Quadrat wird, weil als dann das √ hinter dem √ wegfaͤllt. Hieraus erkennt man, daß man nur in solchen Faͤllen aus dem Binomio
a + √b
die Quadrat-Wurzel bequem ausziehen koͤnne, wann
aa - b = cc
, dann alsdenn wird die gesuchte Qua- drat-Wurzel seyn √
\frac{a + c}{2}
+ √
\frac{a - c}{2}
; wann aber
aa - b
keine Quadrat-Zahl ist, so laͤßt sich die Quadrat-Wur- zel nicht fuͤglicher anzeigen, als durch Vorsetzung des √ Zeichens.
114.
Von den Algebraischen Gleichungen.
114.
Dahero erhalten wir diese Regel um aus einem Binomio
a + √b
die Quadrat-Wurzel auf eine bequemere Art auszudruͤcken. Hierzu wird nemlich er- fodert daß
aa - b
eine Quadrat-Zahl sey: ist nun dieselbe =
cc
, so wird die verlangte Quadrat-Wurzel seyn √
\frac{a + c}{2}
+ √
\frac{a - c}{2}
; wobey noch anzumercken, daß von
a - √b
die Quadrat-Wurzel seyn werde √
\frac{a + c}{2}
— √
\frac{a - c}{2}
. Dann nimmt man von dieser Formel das Quadrat, so wird solches
a
- 2 √
\frac{aa - cc}{4}
; da nun
cc = aa — b
, so ist
aa - cc = b
: dahero dieses Quadrat =
a
- 2 √
\frac{b}{4}
=
a
-
\frac{2 \sqrt{b}}{2}
=
a - √b
.
115.
Wann also aus einem solchen Binomio
a ± √b
die Quadrat-Wurzel gezogen werden soll, so subtrahirt man von dem Quadrat des rationalen Theils
aa
das Quadrat des irrationalen Theils
b
: aus dem Rest Zie- he man die Quadrat-Wurzel, welche =
c
sey, so ist die verlangte Quadrat-Wurzel √
\frac{a + c}{2}
± √
\frac{a - c}{2}
.
116.
Man suche die Quadrat-Wurzel aus 2 + √3 so ist
a
= 2 und
b
= 3; dahero
aa - b = cc
= 1 und
G 2
allso
Erster Abschnitt
allso
c
= 1: dahero die verlangte Quadrat-Wurzel ist √
\frac{3}{2}
+ √½.
Es sey ferner dieses Binomium gegeben 11 + 6 √2, wo- raus die Quadrat-Wurzel gefunden werden soll. Hier ist nun
a
= 11 und √
b
= 6 √2; dahero
b
= 36.2 = 72 und
aa - b
= 49 folglich
c
= 7. Dahero die Qua- drat-Wurzel aus 11 + 6 √2 seyn wird √9 + √2 = 3 + √2.
Man suche die Quadrat-Wurzel aus 11 - 2 √30: Hier ist
a
= 11 und √
b
= 2 √30, dahero
b
= 4.30 = 120 und
aa - b
= 1 und
c
= 1: folglich die gesuchte Quadrat-Wurzel √6 - √5.
117.
Diese Regel findet auch statt, wann so gar ima- ginaͤre, oder unmoͤgliche Zahlen, vorkommen.
Wann also gegeben ist dieses Binomium 1 + 4 √ - 3, so ist
a
= 1 und √
b
= 4 √ - 3; dahero
b
= - 48 und
aa - b
= 49. Dahero
c
= 7 folglich die gesuchte Quadrat-Wurzel √4 + √ - 3 = 2 + √ - 3.
Es sey ferner gegeben - ½ + ½ √ - 3. Hier ist
a
= - ½, √
b
= ½ √ - 3 und
b
= ¼. - 3 = - ¾ da-
hero
Von den Algebraischen Gleichungen.
hero
aa - b
= ¼ + ¾ = 1 und
c
= 1: folglich die ge- suchte Quadrat-Wurzel √¼ + √ - ¾ = ½ +
\frac{\sqrt{- 3}}{2}
oder ½ + ½ √ - 3.
Noch ist merckwuͤrdig dieses Exempel, wo aus 2 √ - 1 die Quadrat-Wurzel gesucht werden soll.
Weil hier kein rationaler Theil ist, so ist
a
= 0 und √
b
= 2 √ - 1 dahero
b
= - 4 und
aa - b
= 4, also
c
= 2, woraus die gesuchte Quadrat-Wurzel
ist
√1 + √ — 1 = 1 + √ - 1 wovon das Quadrat ist 1 + 2 √ - 1 - 1 = 2 √ - 1.
118.
Sollte auch eine solche Gleichung aufzuloͤsen vor- fallen wie,
xx = a ± √b
und es waͤre
aa - b = cc
, so wuͤrde man daraus diesen Werth fuͤr
x
erhalten
x
= √
\frac{a + c}{2}
± √
\frac{a - c}{2}
welches in vielen Faͤllen Nutzen haben kann.
Es sey Z. E.
xx
= 17 + 12 √2, so wird
x
= 3 + √8 = 3 + 2 √2.
119.
Dieses findet insonderheit statt bey Aufloͤsung eini- ger Gleichungen vom vierten Grad, als
x
4
= 2 a xx
G 3
+
d
Erster Abschnitt
+
d
. Dann setzt man hier
xx = y
so wird
x
4
= yy
, dahero unsere Gleichung
yy = 2 a y + d
, woraus ge- funden wird
y = a ± √(aa + d)
: dahero fuͤr die erste Gleichung seyn wird
xx = a ± √(aa + d)
, woraus folglich noch die Quadrat-Wurzel gezogen werden muß. Da nun hier √
b = √(aa + d)
also
b = aa + d
, so wird
aa - b = - d
. Waͤre nun -
d
ein Qua- drat nemlich
cc
oder
d = - cc
, so kann die Wurzel angezeigt werden; es sey demnach
d = - cc
, oder es sey diese Gleichung vom vierten Grad vorgegeben
x
4
= 2 axx - cc
, so wird daraus der Werth von
x
also ausgedruͤckt
x
= √
\frac{a + c}{2}
± √
\frac{a - c}{2}
.
120.
Wir wollen dieses durch einige Exempel erlaͤu- tern;
I.
Erstlich suche man zwey Zahlen deren Product sey 105, und wann man ihre Quadraten zusammen addirt, so sey die Summe = 274?
Man setze diese Zahlen seyen
x
und
y
, so hat man sogleich diese zwey Gleichungen
I.) xy
= 105 und
II.) xx + yy
= 274.
Aus
Von den Algebraischen Gleichungen.
Aus der ersten findet man
y
=
\frac{105}{x}
welcher Werth in der andern vor
y
gesetzt, giebt
xx
+
\frac{105^{2}}{xx}
= 274.
Mit
xx
multiplicirt wird:
xx + 105
2
= 274 xx
, oder
x
4
= 274 xx
- 105
2
.
Vergleicht man nun diese Gleichung mit der obi- gen, so wird 2
a
= 274 und -
cc
= - 105
2
; dahero
c
= 105 und
a
= 137. Also finden wir:
x
= √
\frac{137 + 105}{2}
± √
\frac{137 - 105}{2}
= 11 ± 4:
folglich entweder
x
= 15, oder
x
= 7. Im erstern Fall wird
y
= 7, im letzteren aber
y
= 15. Dahero die bey- den gesuchten Zahlen sind 15 und 7.
121.
Es ist hier aber gut zu bemercken, daß die Rechnung weit leichter gemacht werden kann. Dann da
xx + 2xy + yy
, und auch
xx - 2xy + yy
ein Quadrat ist, wir aber wißen was so wohl
xx + yy
als
x y
ist, so doͤrfen wie nur das letztere doppelt genommen, so wohl zu dem ersten addiren, als auch davon subtrahiren, wie hier zu sehen:
xx + yy
= 274. Erstlich 2
xy
= 210 addirt
xx + 2 xy + yy
= 484 und
x + y
= 22 darnach 2
xy
subtrahirt giebt
xx - 2xy + yy
= 64 und
x - y
= 8.
G 4
Allso
Erster Abschnitt
Allso 2
x
= 30 und 2
y
= 14, woraus erhellet daß
x
= 15 und
y
= 7. Auf diese Art kann auch diese allgemeine Frage aufgeloͤßt werden.
II.
Man suche zwey Zahlen, davon das Product =
m
, und die Summ ihrer Quadraten =
n
?
Die
gesnchten
Zahlen seyen
x
und
y
, so hat man die beyden folgenden Gleichungen
I.) xy = m
,
II.) xx + yy = n
. Nun aber ist 2
xy = 2m
, woraus erstlich 2
xy
addirt wird
xx + 2xy + yy = n + 2 m
und
x + y = √(n + 2m)
hierauf 2
xy
subtrahirt giebt
xx - 2xy + yy = n - 2 m
und
x - y = √(n - 2m)
also
x = ½ √(n + 2 m) + ½ √(n - 2 m)
und
y = ½ √(n + 2m) - ½ √(n - 2m)
.
122.
III.
Es sey ferner diese Frage vorgelegt: man suche zwey Zahlen, deren Product = 35 und die Differenz ihrer Quadraten = 24?
Es sey
x
die groͤßere, und
y
die kleinere, so hat man diese beyde Gleichungen
xy
= 35 und
xx - yy
= 24, da nun hier die vorigen Vortheile nicht statt finden, so verfahre man nach der gewoͤhnlichen Weise,
und
Von den Algebraischen Gleichungen.
und da giebt die erste
y
=
\frac{35}{x}
, welcher Werth in der andern fuͤr
y
gesetzt, giebt
xx
-
\frac{1225}{xx}
= 24, mit
xx
mul- tiplicirt, so hat man
x
4
- 1225 = 24xx
und
x
4
= 24xx
+ 1225. Weil hier das letzte Glied das Zeichen
plus
hat, so kann die obige Gleichung nicht angewandt wer- den, weil nehmlich
cc
= - 1225, und also
c
imaginaͤr wuͤrde.
Man setze dahero
xx = z
, so hat man
zz = 24z
+ 1225 woraus gefunden wird
z
= 12 ± √(144 + 1225) oder
z
= 12 ± 37 dahero
xx
= 12 ± 37, das ist entweder
xx
= 49 oder
xx
= - 25.
Nach dem ersten Werth wird
x
= 7 und
y
= 5 Nach dem andern aber wird
x
= √ - 25 und
y
=
\frac{35}{\sqrt{- 25}}
, oder
y
= √
\frac{1225}{- 25}
, oder
y
= √ - 49.
123.
Zum Beschluß dieses Capitels wollen wir noch diese Frage beyfuͤgen:
IV.
Man suche zwey Zahlen, deren Summe, Pro- duct, und die Differenz ihrer Quadraten einander gleich seyen?
G 5
Die
Erster Abschnitt
Die groͤßere Zahl sey
x
, die kleinere
y
, so muͤßen die- se drey Formeln einander gleich seyn:
I.)
Summe
x + y
,
II.)
Product
xy
,
III.)
Differenz der Quadraten
xx - yy
. Vergleicht man die erste mit der zweyten, so hat man
x + y = xy
und daraus suche man
x
. Man wird allso haben
y = xy - x
oder
y = x (y - 1)
und daraus wird
x
=
\frac{y}{y - 1}
; dahero wird
x + y
=
\frac{yy}{y - 1}
und
xy
=
\frac{yy}{y - 1}
und also ist die Summe dem Pro- duct schon gleich. Diesem muß aber noch die Differenz der Quadraten gleich seyn: es wird aber
xx - yy
=
\frac{yy}{yy - 2y + 1}
-
yy
=
\frac{y^{4} + 2y^{3}}{yy - 2y + 1}
welches dem obigen Werth
\frac{yy}{y - 1}
gleich seyn muß; dahero bekommt man
\frac{yy}{y - 1}
=
- y^{4} + 2y^{3}/(y - 1)^{4}
; durch
yy
dividirt wird
\frac{1}{y - 1}
=
\frac{- yy + 2y}{(y - 1)^{2}}
; ferner mit
y
- 1 multiplicirt wird 1 =
\frac{- yy}+ 2y/y - 1}
noch- mahls mit
y
- 1 multiplicirt giebt
y - 1 = - yy + 2y
: folglich
yy = y
+ 1. Hieraus findet man
y
= ½ ± √(¼ + 1) = ½ ± √
\frac{5}{2}
oder
y
=
\frac{1 + \sqrt{5}}{2}
: und dahero erhalten wir
x
=
\frac{1 + \sqrt{5}}{ \sqrt{5} - 1}
. Um hier die Irrationalitaͤt aus dem Nenner wegzubringen, so multiplicirt man oben und unten mit √5 + 1, so bekommt man
x
=
\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4}
=
\frac{3 + \sqrt{5}}{2}
.
Antwort: Also die groͤßere der gesuchten Zahlen
x
=
\frac{3 + \sqrt{5}}{2}
, und die kleinere
y
=
\frac{1 + \sqrt{5}}{2}
. Ihre
Sum-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Summe ist also
x + y
= 2 + √5, ferner das Product
xy
= 2 + √5, und da
xx
=
\frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}
und
yy
=
\frac{3 + \sqrt{5}}{2}
so wird die Differenz der Quadra- ten
xx - yy
= 2 + √5.
124.
Weil diese Aufloͤsung ziemlich muͤhsam war, so kann dieselbe leichter gefunden werden; man setze erst- lich die Summe
x + y
, der Differenz der Quadraten
xx - yy
gleich, so hat man
x + y = xx - yy
. Hier kann man durch
x + y
dividiren weil
xx - yy = (x + y) (x - y)
, und da erhaͤlt man 1 =
x - y
woraus
x = y
+ 1; dahero
x + y = 2y
+ 1 und
xx - yy = 2y
+ 1; und diesem muß noch gleich seyn das Pro- duct
xy = yy + y
. Man hat also
yy + y = 2y
+ 1, oder
yy = y
+ 1, woraus wie oben gefunden wird
y
=
\frac{1 + \sqrt{5}}{2}
.
125.
V.
Dieses leitet uns noch auf folgende Frage. Zwey Zahlen zu finden, deren Summe, Product und die Sum- me ihrer Quadraten einander gleich seyn?
Die gesuchten Zahlen seyen
x
und
y
, so muͤßen diese drey Formeln einander gleich seyn
I.) x + y
,
II.) xy
, und
III.) xx + yy
.
Setzt
Erster Abschnitt
Setzt man die erste der zweyten gleich
x + y = xy
, so findet man daraus
x
=
\frac{y}{y - 1}
und
x + y
=
\frac{yy}{y - 1}
, welchem auch
xy
gleich ist. Hieraus aber wird
xx + yy
=
\frac{yy}{yy - 2y + 1}
+
yy
, welches dem
\frac{yy}{y - 1}
gleich zu setzen: Man multiplicire mit
yy - 2y
+ 1 so bekommt man
y
4
- 2 y
3
+ 2 yy = y
3
- yy
oder
y
4
= 3y
3
- 3 yy
, und durch
yy
dividirt
yy = 3 y
- 3; dahero
y
=
\frac{3}{2}
± √(
\frac{9}{4}
- 3), also
y
=
\frac{3 + \sqrt{ - 3}}{2}
dahero
y
- 1 =
\frac{1 + \sqrt{- 3}}{2}
, folglich
x
=
\frac{3 + \sqrt{- 3}}{1 + \sqrt{- 3}}
. Man multiplicire oben und unten mit 1 - √ - 3, so wird
x
=
\frac{6 - 2 \sqrt{- 3}}{4}
oder
x
=
\frac{3 - \sqrt{- 3}}{2}
.
Antwort: also sind die beyden gesuchten Zahlen
x
=
\frac{3 - \sqrt{- 3}}{2}
und
y
=
\frac{3 + \sqrt{- 3}}{2}
, ihre Summe ist
x + y
= 3, das Product
xy
= 3, und da endlich
xx
=
\frac{3 - 3 \sqrt{- 3}}{2}
und
yy
=
\frac{3 + 3 \sqrt{- 3}}{2}
, so wird
xx + yy
= 3.
126.
Diese Rechnung kann durch einen besondern Vortheil nicht wenig erleichtert werden, welches noch in andern Faͤllen statt findet. Derselbe bestehet darin, daß man die gesuchte Zahlen nicht durch einzelne Buch- staben, sondern durch die Summe und Differenz zweyer andern ausdruͤckt.
Also
Von den Algebraischen Gleichungen.
Also bey der vorigen Aufgabe setze man die eine der gesuchten Zahlen gleich
p + q
und die andere
p - q
, so wird die Summe derselben seyn 2
p
, ihr Product
pp - qq
und die Summe ihrer Quadraten 2
pp + 2 qq
welche drey Stuͤck einander gleich seyn muͤßen. Man setze das erste gleich dem zweyten so wird 2
p = pp - qq
und daraus
qq = pp - 2p
. Diesen Werth setze man im drit- ten fuͤr
qq
, so wird dasselbe 4
pp - 4p
. Welches dem ersten gleich gesetzt giebt 2
p = 4pp - 4p
. Man addire 4
p
so wird 6
p = 4pp
, durch
p
dividirt 6 = 4
p
und also
p
=
\frac{3}{2}
.
Hieraus
qq
= - ¾ und
q
=
\frac{\sqrt{- 3}}{2}
; folglich sind unsere gesuchten Zahlen
p + q
=
\frac{3 + \sqrt{- 3}}{2}
und die andere
p - q
=
\frac{3 - \sqrt{- 3}}{2}
welche wir auch vorher gefunden.
Capi-
Erster Abschnitt
Capitel
9. Von der Natur der Quadratischen Gleichun- gen.
127.
A
us dem vorhergehenden hat man zur Gnuͤge erse- hen, daß die Quadratische Gleichungen auf eine doppelte Art aufgeloͤst werden koͤnnen, welche Eigen- schaft allerdings verdienet in Erwegung gezogen zu werden, weil dadurch die Natur der hoͤhern Glei- chungen nicht wenig erlaͤutert wird. Wir wollen da- hero genauer untersuchen, woher es komme, daß eine eine jede Quadratische Gleichung zweyerley Aufloͤsun- gen zulaße, weil darinn ohnstreitig eine sehr wesent- liche Eigenschaft dieser Gleichungen enthalten ist.
128.
Man hat zwar schon gesehen, daß diese doppelte Aufloͤsung daher ruͤhret, weil die Quadrat-Wurzel aus einer jeglichen Zahl so wohl negativ als positiv gesetzt werde koͤnne: allein dieser Grund wuͤrde sich
nicht
Von den Algebraischen Gleichungen.
nicht wohl auf hoͤhere Gleichungen anwenden laßen, dahero wird es gut seyn den Grund davon noch auf eine andere Art deutlich vor Augen zu legen. Es ist demnach noͤthig zu erklaͤren woher es komme daß eine Quadratische Gleichung als z. E.
xx = 12x
- 35 auf eine doppelte Art aufgeloͤset werden, oder daß vor
x
zweyerley Werthe angezeiget werden koͤnnen, wel- che beyde der Gleichung ein Genuͤge leisten, wie in diesem Exempel vor
x
so wohl 5 als 7 gesetzt wer- den kann, indem in beyden Faͤllen
xx
und 12
x
- 35 einander gleich werden.
129.
Um den Grund hievon deutlicher darzulegen, so ist es dienlich alle Glieder der Gleichung auf eine Seite zu bringen, so daß auf der andern 0 zu stehen kommt. Dahero die obige Gleichung seyn wird
xx - 12x
+ 35 = 0, wobey es darauf ankommt, daß eine solche Zahl gefunden werde, welche wann sie vor
x
gesetzt wird, die Formel
xx - 12 x
+ 35 wuͤrcklich in nichts ver- wandelt werde; und hernach muß auch die Ursach gezeigt werden warum solches auf zweyerley Art ge- schehen koͤnne.
130
Erster Abschnitt
130
Hier kommt nun alles darauf an, daß man deutlich zei- ge, daß eine solche Formel
xx - 12x
+ 35 als ein Product aus zwey Factoren angesehen werden koͤnne, wie dann diese Formel wuͤrcklich aus diesen zwey Factoren besteht
(x - 5).(x - 7)
. Wann dahero jene Formel soll 0 werden, so muß auch dieses Product
(x - 5).(x - 7)
= 0 seyn. Ein Pro- ductaber, aus so viel Factoren dasselbe auch immer beste- hen mag, wird allezeit 0, wann nur einer von seinen Fa- ctoren 0 wird. Dann so groß auch das Product aus den uͤbrigen Factoren seyn mag, wann dasselbe noch mit 0 multiplicirt wird, so kommt immer 0 heraus, welcher Grund-Satz fuͤr die hoͤhern Gleichungen wohl zu bemercken ist.
131.
Hieraus begreift man nun gantz deutlich, daß die- ses Product
(x - 5).(x - 7)
auf eine doppelte Art 0 werden koͤnne: einmahl nemlich wann der erste Factor
x
- 5 = 0 wird, und hernach auch, wann der andere Factor
x
- 7 = 0 wird. Das erstere ge- schiehet wann
x
= 5, das andere aber wann
x
= 7. Hier- aus versteht man also den wahren Grund, warum eine solche Gleichung
xx - 12x
+ 35 = 0, zweyerley
Auf-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Aufloͤsungen zulaͤßt, oder fuͤr
x
zwey Werthe gefun- den werden koͤnnen, welche beyde der Gleichung ein Genuͤgen leisten.
Der Grund besteht nemlich darinn, daß sich die Formel
xx - 12x
+ 35 als ein Product aus Facto- ren vorstellen laͤßt.
132.
Eben dieser Umstand findet bey allen Quadrati- schen Gleichungen statt. Dann wann alle Glieder auf eine Seite gebracht werden, so erhaͤlt man immer eine solche Form
xx - ax + b = o
; und diese Formel kann ebenfals als ein Product aus zwey Factoren angesehen werden, welche wir also vorstellen wollen
(x - p).(x - q)
ohne uns darum zu bekuͤmmern, was
p
und
q
vor Zahlen seyn moͤgen. Da nun unsere Gleichung erfor- dert, daß dieses Product gleich 0 werde, so ist offen- bar, daß solches auf zweyerley Art geschehen koͤnne: erstlich wann
x = p
, und zweytens wann
x = q
, wel- ches die beyden Werthe fuͤr
x
sind, die der Gleichung ein Genuͤge leisten.
133.
Laßt uns nun sehen, wie diese zwey Factoren beschaffen seyn muͤßen, daß derselben Product just un-
II
Theil
H
sere
Erster Abschnitt
sere Formel
xx - ax + b
hervorbringe: man multi- plicire demnach dieselben wuͤrcklich, so erhaͤlt man
xx - (p + q) x + pq
welches, da es einerley seyn soll mit
xx - ax + b
, so ist klar daß seyn muß
p + q = a
und
pq = b
, woraus wir diese herrliche Eigen- schaft erkennen, daß von einer solchen Gleichung
xx - ax + b = o
die beyden Werthe fuͤr
x
also be- schaffen sind, daß erstlich ihre Summe gleich sey der Zahl
a
und ihr Product der Zahl
b
. Dahero so bald man einen Werth erkennt, so ist auch leicht der andere zu finden.
134.
Dieses war der Fall, wann beyde Werthe fuͤr
x
Positiv sind, da dann in der Gleichung das zweyte Glied das Zeichen —, das dritte aber das Zeichen + hat. Wir wollen dahero auch die Faͤlle erwegen, wo- rinnen einer von den beyden Werthen fuͤr
x
, oder auch alle beyde negativ werden. Jenes geschiehet wann die beyden Factoren der Gleichung also beschaffen sind:
(x - p) (x + q)
; woher diese zwey Werthe fuͤr
x
ent- springen, erstlich
x = p
und zweytens
x = - q
. Die Gleichung selbst aber ist alsdann
xx + (q - p) x — pq = o
, wo das zweyte Glied das Zeichen +
hat
Von den Algebraischen Gleichungen.
hat wann nemlich
q
groͤßer ist als
p
: waͤre aber
q
klei- ner als
p
so haͤtte es das Zeichen —, das dritte Glied aber ist hier immer negativ.
Waͤren aber die bey den Factoren
(x + p) (x + q)
so waͤren beyde Werthe fuͤr
x
negativ, nemlich
x = - p
und
x = - q
und die Gleichung selbst wuͤrde seyn
xx + (p + q) x + pq = o
, wo so wohl das zweyte als das dritte Glied das Zeichen + haben.
135.
Hieraus erkennen wir nun die Beschaffenheit der Wurzeln einer jeglichen Quadratischen Gleichung aus dem Zeichen des zweyten und dritten Gliedes. Es sey die Gleichung
xx … ax … b = o
wann nun das zweyte und dritte Glied das Zeichen + haben, so sind beyde Werthe negativ: ist das zweyte Glied —, das dritte aber + so sind beyde Werthe positiv: ist aber das dritte Glied negativ, so ist ein Werth positiv. Alle- zeit aber enthaͤlt das zweyte Glied die Summe der beyden Werthe, und das dritte ihr Product.
136.
Anjetzo ist es gantz leicht solche Quadratische Gleichungen zu machen, welche nach Belieben zwey
H 2
gege-
Erster Abschnitt
gegebene Werthe in sich enthalten: man verlangt Z. E. eine solche Gleichung, wo der eine Werth fuͤr
x
seyn soll 7, der andere aber - 3. Man mache daraus die- se einfache Gleichungen
x
= 7 und
x
= - 3; hier- qus ferner diese
x
- 7 = 0 und
x
+ 3 = 0, welches die Factoren der verlangten Gleichung seyn werden: also daß die Gleichung seyn wird
xx - 4x
- 21 = 0, woraus auch nach der obigen Regel eben diese beyde Werthe fuͤr
x
gefunden werden. Dann da
xx = 4x
+ 21, so wird
x
= 2 ± √25, also
x
= 2 ± 5, also ent- weder
x
= 7 oder
x
= - 3.
137.
Es kann auch geschehen, daß beyde Werthe fuͤr
x
einander gleich werden; man suche nemlich eine Glei- chung wo beyde Werthe fuͤr
x
sind
x
= 5; die beyde Factoren werden also seyn
(x - 5) (x - 5)
und die Gleichung ist also beschaffen
xx - 10x
+ 25 = 0, welche scheinet nur einen Werth zu haben, weil auf eine doppelte Art wird
x
= 5, wie auch die gewoͤhn- liche Aufloͤsung zeigt. Dann da
xx = 10x
- 25, so wird
x
= 5 ± √0, oder
x
= 5 ± 0 und daher wird
x
= 5 und
x
= 5.
138.
Von den Algebraischen Gleichungen.
138.
Insonderheit ist hier noch zu mercken, daß biswei- len beyde Werthe fuͤr
x
imaginaͤr oder unmoͤglich wer- den, in welchen Faͤllen es gantz und gar unmoͤglich ist, einen solchen Werth fuͤr
x
anzuzeigen welcher der Gleichung ein Genuͤge leistet: wie z. E. geschiehet, wann die Zahl 10 in zwey solchen Theile zertheilt werden soll, deren Product 30 sey: dann es sey ein Theil =
x
so wird der andere seyn 10 -
x
und also ihr Product 10
x - xx
= 30, folglich
xx = 10x
- 30 und
x
= 3 ± √ - 5, welches eine imaginaͤre oder unmoͤgliche Zahl ist und zu erkennen giebt, daß die Frage unmoͤglich sey.
139.
Es ist demnach sehr wichtig ein Kennzeichen aus- zufinden, woraus man sogleich erkennen kann, ob eine Quadratische Gleichung moͤglich sey oder nicht. Es sey dahero diese allgemeine Gleichung gegeben:
xx - ax + b = o
, so wird
xx = ax - b
und
x = ½a ± √(¼aa - b)
; woraus erhellet, daß wann die Zahl
b
groͤßer ist als ¼
aa
, oder 4
b
groͤßer als
aa
, die beyden Werthe unmoͤglich werden, weil man aus einer nega- tiven Zahl die Quadrat-Wurzel ausziehen muͤßte. So
H 3
lange
Erster Abschnitt
lange aber hingegen
b
kleiner ist als ¼
aa
, oder auch gar kleiner als 0, das ist negativ, so sind die beyde Werthe immer moͤglich. Dieselben moͤgen inzwischen moͤg- lich seyn oder unmoͤglich, so koͤnnen sie doch nach die- ser Art allezeit ausgedruͤckt werden, und haben auch immer diese Eigenschaft, daß ihre Summe ist =
a
und ihr Product =
b
, wie in diesem Exempel zu ersehen
xx - 6x
+ 10 = 0, wo die Summe der beyden Wer- the fuͤr
x
seyn muß = 6 und das Product = 10. Man findet aber diese beyden Werthe:
I.) x
= 3 + √ - 1 und
II.) x
= 3 - √ - 1, deren Summe = 6 und ihr Product = 10 ist.
140.
Man kann dieses Kennzeichen auf eine allgemei- nere Art ausdruͤcken, daß es auch auf solche Glei- chungen angewant werden kann
fxx + gx + h = o
: dann hieraus hat man
xx
= ∓
\frac{gx}{f}
-
\frac{h}{f}
dahero
x
= ∓
\frac{g}{2f}
± √(
\frac{gg}{4ff}
-
\frac{h}{f}
), oder
x
=
\frac{\mp g \pm \sqrt{(gg - 4 fh)}}{2 f}
, wor- aus erhellet, daß beyde Werthe imaginaͤr oder die Gleichung unmoͤglich werde, wann 4
f h
groͤßer ist als
g
2
, oder wann in dieser Gleichung
fxx + gx + h = o
das vier fache Product aus dem ersten und letzten Glied groͤßer ist, als das Quadrat des zweyten Glieds. Dann
das
Von den Algebraischen Gleichungen.
das vierfache Product aus dem ersten und letzten Glied ist
4fhxx
, das Quadrat aber des mittlern Glieds ist
ggxx:
wann nun
4fhxx
groͤßer als
ggxx
, so ist auch
4fh
groͤßer als
gg
und also die Gleichung un- moͤglich; in allen uͤbrigen Faͤllen aber ist die Glei- chung moͤglich und die beyden Werthe fuͤr
x
koͤnnen wuͤrcklich angegeben werden, wann dieselben gleich auch oͤfters irrational werden, in welchen Faͤllen man immer naͤher zu ihrem wahren Werth gelangen kann, wie oben bemercket worden; dahingegen bey ima- ginaͤren Ausdruͤcken als √ - 5 auch keine Naͤherung statt findet, indem 100 davon eben so weit entfernt ist als 1 oder irgend eine andere Zahl.
141.
Hierbey ist noch zu erinnern, daß eine jegliche solche Formel vom zweyten Grad
xx ± ax ± b
noth- wendig allezeit in zwey solche Factores
(x ± p) (x ± q)
aufgeloͤst werden kann. Dann wann man drey solche Factoren nehmen wollte, so wuͤrde man zum dritten Grad kommen, und nur einer allein wuͤrde nicht zum zweyten Grad ansteigen. Dahero es eine aus- gemachte Sache ist, daß eine jede Gleichung vom zwey- ten Grad nothwendig zwey Werthe fuͤr
x
in sich ent-
H 4
halte
Erster Abschnitt
halte, und daß derselben weder mehr, noch weniger, seyn koͤnnen.
142.
Man hat schon gesehen, daß wann diese beyden Factores gefunden worden, man daraus auch die beyden Werthe fuͤr
x
anzeigen kann; indem ein jeder Factor, wann er gleich
o
gesetzt wird, einen Werth fuͤr
x
angiebt. Dieses findet auch umgekehrt statt, daß so bald man einen Werth fuͤr
x
gefunden, daraus auch ein Factor der Quadratischen Gleichung erkannt werde. Dann wann
x = p
ein Werth fuͤr
x
in einer Quadra- tischen Gleichung ist, so ist auch
x - p
ein Factor der- selben: oder die Gleichung, wann alle Glieder auf ei- ne Seite gebracht worden, laͤßt sich durch
x - p
thei- len, und der Quotient giebt den andern Factor.
143.
Um dieses zu erlaͤutern so sey diese Gleichung ge- geben:
xx + 4x
- 21 = 0, von welcher wir wißen, daß
x
= 3 ein Werth fuͤr
x
sey, indem 3.3 + 4.3 - 21 = 0 ist, und daher koͤnnen wir sicher schließen, daß
x
- 3 ein Factor dieser Gleichung sey, oder daß sich
xx + 4x
- 21 durch
x
- 3 theilen laße, wie aus die- ser Division zu ersehen
x
- 3
Von den Algebraischen Gleichungen.
x-3)xx+4x-21(x+7\\xx-3x \\\rule[5]{300}{.5}\\ 7x-21\\7x-21 \\\rule[5]{300}{.5}\\ 0
Also ist der andere Factor
x
+ 7 und unsere Gleichung wird durch dieses Product vorgestellt
(x - 3)(x + 7)
= 0 woraus die beyden Werthe fuͤr
x
sogleich erhellen, da nemlich aus dem ersten Factor
x
= 3 aus dem andern aber
x
= - 7 wird.
H 5
Capitel
Erster Abschnitt
Capitel
10. Von der Aufloͤsung der reinen Cubischen Gleichungen.
144.
E
ine reine Cubische Gleichung wird genennt wann der Cubus der unbekanten Zahl einer bekanten Zahl gleich gesetzt wird, also daß darinn weder das Quadratder unbekanten Zahl, noch dieselbe selbst vor- kommt:
Eine solche Gleichung ist
x
3
= 125, oder auf eine allgemeine Art
x
3
= a
, oder
x
3
=
\frac{a}{b}
.
145.
Wie nun aus einer solchen Gleichung der Werth von
x
gefunden werden soll, ist fuͤr sich offenbahr, in- dem man nur noͤthig hat beyderseits die Cubic-Wur- zel auszuziehen:
Also aus der Gleichung
x
3
= 125 findet man
x
= 5, und aus der Gleichung
x
3
= a
bekommt man
x = ∛ a;
aus
x
3
=
\frac{a}{b}
aber hat man
x
= ∛
\frac{a}{b}
oder
Von den Algebraischen Gleichungen.
oder
x
=
\frac{∛ a}{∛ b}
. Wann man dahero nur gelernet hat die Cubic-Wurzel aus einer gegebenen Zahl auszuziehen, so kann man auch solche Gleichungen aufloͤsen.
146.
Solcher Gestalt erhaͤlt man aber nur einen Werth fuͤr
x
, da nun eine jegliche Quadratische Gleichung zwey Werthe hat, so hat man Grund zu vermuthen, daß eine Cubische Gleichung auch mehr als einen Werth haben muͤße, dahero wird es der Muͤhe werth seyn, diese Sache genauer zu untersuchen, und im Fall eine solche Gleichung mehr Werthe fuͤr
x
haben sollte, dieselben auch ausfuͤndig zu machen.
147.
Wir wollen Z. E. diese Gleichung betrachten
x
3
= 8, woraus alle Zahlen gefunden werden sollen, deren Cubus gleich 8 sey, da nun eine solche Zahl ohnstreitig
x
= 2 ist, so muß nach dem vorigen Capi- tul die Formel
x
3
- 8 = 0 sich nothwendig durch
x
- 2 theilen laßen: wir wollen also diese Theilung verrich- ten wie folget.
x
- 2
Erster Abschnitt
x-2)x^{3}-8(xx+2x+4\\x^{3}-2xx \\\rule[5]{250}{.5}\\ 2xx-8\\2xx-4x \\\rule[5]{250}{.5}\\ 4x-8\\4x-8 \\\rule[5]{250}{.5}\\ 0
Also laͤßt sich unsere Gleichung
x
3
- 8 = 0 durch diese Factores vorstellen
(x - 2)(xx + 2x + 4)
= 0.
148.
Da nun die Frage ist was fuͤr eine Zahl fuͤr
x
angenommen werden muͤße, daß
x
3
= 8 werde, oder daß
x
3
- 8 = 0 werde, so ist klar, daß dieses geschehe, wann das gefundene Product gleich
o
werde: dasselbe wird aber
o
, nicht nur wann der erste Factor
x
- 2 = 0 wird, woraus entspringt
x
= 2, sondern auch, wann der andere Factor
xx + 2x
+ 4 = 0 werde. Man setze also
xx + 2x
+ 4 = 0, sohat man
xx = - 2x
— 4 und dahero wird
x
= - 1 ± √ - 3.
149.
Außer dem Fall also
x
= 2 in welchem die Glei- chung
x
3
= 8 erfuͤllet wird, haben wir noch zwey an-
dere
Von den Algebraischen Gleichungen.
dere Werthe fuͤr
x
, deren Cubi ebenfals 8 sind, und welche also beschaffen sind:
I.) x
= - 1 + √ - 3 und
II.) x
= - 1 - √ - 3 welches außer Zweifel gesetzt wird, wann man die Cubi davon nimmt, wie folget:
-1+\sqrt{-3}\\-1+\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 1-\sqrt{-3}\\-\sqrt{-3-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ -2-2\sqrt{-3}\; \mathfrak{Quadrat}\\-1+\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 2+2\sqrt{-3}\\-2\sqrt{-3+6} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 8 \quad \mathfrak{Cubus}
-1-\sqrt{-3}\\-1-\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 1+\sqrt{-3}\\+\sqrt{-3-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ -2+2\sqrt{-3}\; \\-1-\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 2-2\sqrt{-3}\\+2\sqrt{-3+6} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 8
Diese beyden Werthe sind zwar imaginaͤr oder unmoͤglich, verdienen aber nichts desto weniger be- mercket zu werden.
150.
Dieses findet auch insgemein statt fuͤr eine jeg- liche dergleiche Cubische Gleichung
x
3
= a
, wo außer dem Werth
x = ∛ a
noch zwey andere ebenfals
statt
Erster Abschnitt
statt finden. Man setze um der Kuͤrtze willen ∛
a = c
also daß
a = c
3
und unsere Gleichung diese Form bekomme,
x
3
- c
3
= 0, welche letztere sich durch
x - c
theilen laͤßt, wie aus dieser Division zu sehen:
x-c)x^{3}-c^{3}(xx+cx+cc\\x^{3}-cxx \\\rule[5]{180}{.5}\\ cxx-c^{3}\\cxx-ccx \\\rule[5]{70}{.5}\\ ccx-c^{3}\\ccx-c^{3} \\\rule[5]{70}{.5}\\ 0
dahero wird unsere Gleichung durch dieses Product vorgestellt
(x - c)(xx + cx + cc)
= 0, welches wuͤrcklich gleich
o
wird, nicht nur wann
x - c
= 0 oder
x = c
, sondern auch wann
xx + cx + cc
= 0, daraus aber wird
xx = - cx - cc
und dahero
x
= -
\frac{c}{2}
± √ (
\frac{cc}{4}
-
cc
) oder
x
=
\frac{- c \pm \sqrt{- 3 cc}}{2}
das ist
x
=
\frac{- c \pm c \sqrt{- 3}}{2}
=
\frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2}
.
c
, in welcher Formel noch zwey Werthe fuͤr
x
enthalten sind.
151.
Da nun
c
anstatt ∛
a
geschrieben worden, so zie- hen wir daher diesen Schluß, daß von einer jeden
Cu-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Cubischen Gleichung von dieser Form
x
3
= a
drey- erley Werthe fuͤr
x
gefunden werden koͤnnen, wel- che also ausgedruͤckt werden:
I.) x = ∛ a
,
II.) x
=
\frac{- 1 + \sqrt{- 3}}{2}
. ∛
a
,
III.) x
=
\frac{- 1 - \sqrt{- 3}}{2}
. ∛
a
woraus erhellet, daß eine jegliche Cubic-Wurzel drey- erley Werthe habe, wovon zwar nur der erste moͤg- lich, die beyden andern aber unmoͤglich sind, wel- ches deswegen hier wohl zu bemercken, weil wir schon oben gesehen, daß eine jede Quadratische zweyerley Werthe hat, und unten noch gezeigt werden wird, daß eine jede Wurzel vom vierten Grad vier verschiedene Werthe, vom fuͤnften Grad fuͤnf dergleichen und so wei- ter habe.
Bey gemeinen Rechnungen, wird zwar nur der erste von diesen 3 Werthen gebraucht, weil die bey- den andern unmoͤglich sind, und daruͤber wollen wir noch einige Exempel beyfuͤgen.
152.
I.
Frage: Suche eine Zahl, daß derselben Qua- drat mit ihrem ¼ multiplicirt 432 hervorbringe?
Diese Zahl sey
x
, so muß
xx
mit ¼
x
multiplicirt der Zahl 432 gleich werden: dahero wird ¼
x
3
= 432
mit
Erster Abschnitt
mit 4 multiplicirt wird
x
3
= 1728 und die Cubic-Wurzel ausgezogen, giebt
x
= 12.
Antwort: die gesuchte Zahl ist 12 dann ihr Qua- drat ist 144 mit ihrem ¼ multiplicirt, das ist 3, giebt 432.
153.
II.
Frage: Suche eine Zahl, deren vierte Potestaͤt durch ihre Haͤlfte dividirt und dazu 14¼ addirt, 100 werde?
Die Zahl sey
x
, so ist ihre vierte Potestaͤt
x
4
, welche durch ihre Haͤlfte ½
x
dividirt, giebt
2x
3
, dazu 14¼ addirt soll 100 machen; also hat man 2
x
3
+ 14¼ = 100, wo 14¼ subtrahirt giebt
2x
3
=
\frac{343}{4}
, durch 2 dividirt, wird
x
3
=
\frac{343}{8}
und die Cubic-Wurzel ausgezogen erhaͤltman
x
=
\frac{7}{2}
.
154.
III.
Frage: Einige Hauptleute liegen zu Felde, je- der hat unter sich dreymal so viel Reuter, und 20 mal so viel Fußgaͤnger als der Hauptleute sind; und ein Reuter bekommt Monaths-Sold gleich so viel Gulden, ein Fußgaͤnger aber halb so viel Gulden als der Hauptleute sind, und betraͤgt der monathliche Sold in allem 1300 Gulden. Wie viel sind es Hauptleute gewesen?
Es
Von den Algebraischen Gleichungen.
Es seyen
x
Hauptleute gewesen, so hat einer unter sich gehabt 3
x
Reuter und 20
x
Fußgaͤnger. Also die Zahl aller Reuter war
3xx
und der Fußgaͤn- ger 20
xx.
Da nun ein Reuter
x
Fl. bekommt, ein Fußknecht aber ½
x
Fl. so ist der monathliche Sold der Reuter
3x
3
Fl. der Fußknechte aber 10
x
3
Fl. ins- gesammt also bekommen sie
13x
3
Fl. so der Zahl 13000 gleich seyn muß: da also
13x
3
= 13000 so wird
x
3
= 1000 und
x
= 10.
So viel sind der Hauptleute gewesen.
155.
IV.
Frage: Etliche Kaufleute machen eine Ge- sellschaft, und legt jeder 100 mal so viel ein als ihrer sind, schicken damit einen Factoren nach Venedig, der ge- winnt je mit 100 Fl. zweymal so viel Fl. als ihrer sind, kommt wieder zuruͤck, und der Gewinst betraͤgt 2662 Fl. Ist die Frage wie viel der Kaufleute sind?
Es seyen
x
Kaufleute gewesen, so hat jeder ein- gelegt
100x
Fl. und das gantze Capital war
100xx
Fl. Da nun mit 100 Fl.
2x
Fl. gewonnen worden, so war der Gewinst
2x
3
so der Zahl 2662 gleich seyn soll: also
2x
3
= 2662, dahero
x
3
= 1331 und folg- lich
x
= 11, so viel sind es Kaufleute gewesen.
II.
Theil
J
156.
Erster Abschnitt
156.
V.
Frage: Eine Baͤuerin vertauscht Kaͤse ge- gen Huͤner, giebt je 2 Kaͤse fuͤr 3 Huͤner: die Huͤ- ner legen Eyer, jede ⅓ so viel als der Huͤner sind, mit denselben geht sie auf den Marckt, giebt je 9 Eyer fuͤr so viel Pfennig als ein Huhn hat Eyer gelegt, loͤset 72 Pfennig: wie viel hat die Baͤurin Kaͤse ver- tauscht?
Die Zahl der Kaͤse sey gewesen
x
, so sind diesel- ben gegen
\frac{3}{2}
x
Huͤner vertauscht worden: da nun ein Huhn ½
x
Eyer legt, so ist die Zahl aller Eyer ¾
xx.
Nun werden 9 Eyer verkauft fuͤr ½
x
Pf. also wird in allem geloͤst
\frac{1}{24}
x
3
, so 72 gleich seyn muß: also daß
\frac{1}{24}
x
3
= 72 folglich
x
3
= 24.72 = 8.3.8.9 oder
x
= 8.8. 27 folglich
x
= 12, und so viel Kaͤse hat die Baͤuerin gehabt, welche gegen 18 Huͤner vertauscht worden.
Capi-
Von den Algebraischen Gleichungen
Capitel
11. Von der Aufloͤsung der vollstaͤndigen Cubischen Gleichungen.
157.
E
ine vollstaͤndige Cubische Gleichung wird ge- nennt, wann darinn außer dem Cubo der un- bekanten Zahl, noch diese unbekante Zahl selbst und ihr Quadrat vorkommen, dahero die allgemeine Form solcher Gleichungen ist:
ax
3
± bx
2
+ cx + d
= 0 wann nemlich alle Glie- der auf eine Seite sind gebracht worden. Wie nun aus einer solchen Gleichung, die Werthe fuͤr
x
, wel- che auch die Wurzeln der Gleichung genennt werden, zu finden seyn, soll in diesem Capitel gezeigt werden: dann man kann hier schon zum voraus setzen, daß eine solche Gleichung, immer drey Wurzeln habe, weil dieses schon im vorigen Capitel von den reinen Glei- chungen dieses Grads ist gezeiget worden.
J 2
158.
Erster Abschnitt
158.
Wir wollen fuͤr den Anfang diese Gleichung be- trachten:
x
3
- 6 xx + 11 x
- 6 = 0, und da eine Quadratische Gleichung als ein Product aus zweyen Factoren angesehen werden kann, so kann man diese Cubische Gleichung als ein Product aus drey Facto- ren ansehen, welche in diesem Fall sind:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)
= 0 als welche mit einander mul- tiplicirt die obige Gleichung hervorbringen. Dann
(x - 1).(x - 2)
giebt
xx - 3 x
+ 2, und dieses noch mit
x
- 3 multiplicirt giebt
x
3
- 6xx + 11x
6 welches die obige Form ist, so =
o
seyn soll. Dieses ge- schiehet demnach, wann dieses Product
(x - 1)(x - 2) (x - 3)
nichts wird, welches eintrifft wann nur einer von den drey Factoren =
o
wird, und also in drey Faͤllen erstlich wann
x
- 1 = 0, oder
x
= 1, zweytens wann
x
- 2 = 0, oder
x
= 2, und drittens wann
x
- 3 = 0 oder
x
= 3.
Man sieht auch so gleich daß wann fuͤr
x
eine jegliche andere Zahl gesetzt wird, keiner von diesen drey Facto- ren
o
werde, und also auch nicht das Product. Da- hero unsere Gleichung keine andern Wurzeln hat als diese 3.
159.
Von den Algebraischen Gleichungen.
159.
Koͤnnte man in einem jeglichen andern Fall die drey Factores einer solchen Gleichung anzeigen, so haͤtte man so gleich die drey Wurzeln derselben. Wir wollen zu diesem Ende drey solche Factores auf eine allgemeine Art betrachten, welche seyn sollen
x - p
,
x - q
,
x - r:
man suche demnach ihr Product, und da der erste mit dem zweyten multiplicirt giebt
xx - (p + q) x + pq
, so giebt dieses Product noch mit
x - r
mul- tiplicirt folgende Formel
x
3
- (p + q + r) xx + (pq + pr + qr) x - pqr.
Soll nun diese Formel gleich
o
seyn, so geschieht dieses in drey Faͤllen; erstlich wann
x - p
= 0 oder
x = p
, zweytens wann
x - q
= 0 oder
x = q
und drittens wann
x - r
= 0 oder
x = r.
160.
Es sey nun diese Gleichung folgender Gestalt ausgedruͤckt
x
3
- axx + bx - c
= 0, und wann die Wurzeln derselben sind
I.) x = p
,
II.) x = q
,
III.) x = r
, so muß seyn erstlich
a = p + q + r
, und hernach zweytens
b = pq + pr + qr
und drit- tens
c = pqr
, woraus wir sehen, daß das zweyte Glied die Summe der drey Wurzeln enthaͤlt, das dritte Glied die Summe der Producte aus je zwey Wurzeln
J 3
und
Erster Abschnitt
und endlich das letzte Glied das Product aus allen drey Wurzeln mit einander multiplicirt.
Diese letzte Eigenschaft, verschaft uns so gleich diesen wichtigen Vortheil, daß eine Cubische Gleichung gewiß keine andere Rational-Wurzeln haben kann, als solche, wodurch sich das letzte Glied theilen laͤßt: dann da dasselbe das Product aller drey Wurzeln ist, so muß es sich auch durch eine jede derselben theilen la- ßen. Man weis dahero so gleich, wann man eine Wurzel nur errathen will, mit was fuͤr Zahlen man die Probe anstellen soll.
Dieses zu erlaͤutern wollen wir diese Gleichung betrachten
x
3
= x
+ 6, oder
x
3
- x
- 6 = 0. Da nun dieselbe keine andere Rational-Wurzeln haben kann, als solche, dadurch sich das letzte Glied 6 theilen laͤßt, so hat man nur noͤthig mit diesen Zahlen die Probe anzustellen 1, 2, 3, 6, welche Proben also zu ste- hen kommen:
I.)
wann
x
= 1 so kommt 1 - 1 - 6 = - 6.
II.)
wann
x
= 2 so kommt 8 - 2 - 6 = 0.
III.)
wann
x
= 3 so kommt 27 - 3 - 6 = 18.
IV.)
wann
x
= 6 so kommt 216 - 6 - 6 = 204.
Hier-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Hieraus sehen wir daß
x
= 2 eine Wurzel der vorgegebenen Gleichung ist, aus welcher es nun leicht ist, die beyden uͤbrigen zu finden. Dann da
x
= 2 eine Wurzel ist: so ist
x
- 2 ein Factor der Glei- chung, man darf also nur den andern suchen, wel- ches durch folgende Division geschiehet
x-2)x^{3}-x-6(xx+2x+3\\x^{3}-2xx \\\rule[5]{210}{.5}\\ 2xx-x-6\\2xx-4x \\\rule[5]{80}{.5}\\ 3x-6\\3x-6 \\\rule[5]{45}{.5}\\ 0
Da nun unsere Formel durch dieses Product vorge- stellet wird
(x - 2)(xx + 2x + 3)
so wird diesel- be
o
, nicht nur wann
x
- 2 = 0, sondern auch wann
xx + 2x
+ 3 = 0. Hieraus aber bekommen wir
xx = - 2x
- 3 und daher
x
= - 1 + √ - 2, welches die beyden andern Wurzeln unserer Glei- chung sind, die wie man sieht unmoͤglich oder ima- ginaͤr sind.
J 4
161.
Erster Abschnitt
161.
Dieses findet aber nur statt, wann das erste Glied der Gleichung
x
3
mit 1, die uͤbrigen aber mit gan- zen Zahlen multiplicirt sind. Wann aber darinn Bruͤ- che vorkommen, so hat man ein Mittel die Gleichung in eine andere zu verwandeln, welche von Bruͤchen befreyt ist, da dann die vorige Probe kann angestel- let werden.
Dann es sey diese Gleichung gegeben
x
3
- 3xx
+
\frac{11}{4}
x
- ¾ = 0; weil hier nun Viertel vorkommen, so setze man
x
=
\frac{y}{2}
, da bekommt man
\frac{y^{3}}{8}
-
\frac{3yy}{4}
+
\frac{11y}{8}
— ¾ = 0, welche mit 8 multiplicirt giebt
y
3
- 6yy + 11y
— 6 = 0, wovon die Wurzeln sind wie wir oben ge- sehen
y
= 1,
y
= 2,
y
= 3, dahero ist fuͤr unsere Glei- chung
I.) x
= ½,
II.) x
= 1,
III.) x
=
\frac{3}{2}
.
162.
Wann nun das erste Glied mit einer Zahl mul- tiplicirt das letzte aber 1 ist, als wie in dieser Gleichung
6x
3
- 11 xx + 6x
- 1 = 0, woraus durch 6 divi- dirt diese entspringt
x
3
-
\frac{11}{6}
xx + x
- ⅙ = 0 welche nach obiger Regel von den Bruͤchen befreyet werden koͤnnte, indem man setzt
x
=
\frac{y}{6}
; dann da erhaͤlt man
\frac{y^{3}}{126}
-
\frac{11yy}{216}
+
\frac{y}{6}
Von den Algebraischen Gleichungen.
+
\frac{y}{6}
- ⅙ = 0, und diese mit 216 multiplicirt wird
y
3
- 11 yy + 36 y
- 36 = 0. Hier wuͤrde es muͤh- sam seyn die Probe mit allen Theilern der Zahl 36 an- zustellen: weil aber in unserer erstern Gleichung, das letzte Glied 1 ist, so setze man
x
=
\frac{1}{z}
so wird
\frac{6}{z^{3}}
-
\frac{11}{z^{2}}
+
\frac{6}{z}
— 1 = 0 welche mit
z
3
multiplicirt giebt 6 -
11z + 6z
2
- z
3
= 0 und alle Glieder auf die andere Sei- te gebracht
z
3
- 6 zz + 11z
- 6 = 0, deren Wurzeln sind
z
= 1,
z
= 2,
z
= 3; dahero wir fuͤr unsere Glei- chung erhalten
x
= 1,
x
= ½,
x
= ⅓.
163.
Aus dem obigen erkennt man, daß wann alle Wurzeln positive Zahlen sind, in der Gleichung die Zei- chen
plus
und
minus
mit einander abwechseln muͤssen, allso daß die Gleichung eine solche Gestalt bekommt:
x
3
- axx + bx - c
= 0, wo drey Abwechselungen vor- kommen, nemlich eben so viel als positive Wurzeln vorhanden. Waͤren aber alle drey Wurzeln negativ ge- wesen und man haͤtte diese drey Factores mit einander multiplicirt
x + p
,
x + q
,
x + r
so wuͤrden alle Glieder das Zeichen
plus
, und die Gleichung diese Form bekommen haben
x
3
+ axx + bx + c
= 0,
J 5
wo
Erster Abschnitt
wo dreymal zwey gleiche Zeichen auf einander folgen, das ist, eben so viel als negative Wurzeln sind.
Hieraus hat man nun den Schluß gezogen, daß so oft die Zeichen abwechseln, die Gleichung auch so viel positive Wurzeln, so oft aber gleiche Zeichen auf einander folgen, dieselbe eben so viel negative Wur- zeln habe, welche Anmerckung allhier von großer Wichtigkeit ist, damit man wiße ob man die Theiler des letzten Glieds, damit man die Probe anstellen will, negativ oder positiv nehmen soll.
164.
Um dieses mit einem Exempel zu erlaͤutern, so wol- len wir diese Gleichung betrachten:
x
3
+ xx - 34x
+ 56 = 0, in welcher zwey Ab- wechselungen der Zeichen und nur eine Folge eben des- selben Zeichens vorkommt, woraus wir schliessen daß diese Gleichung zwey positive und eine negative Wurzel habe, welche Theiler seyn muͤßen des letzten Glieds 56 und also unter diesen Zahlen ± 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. begriffen sind.
Setzt man nun
x
= 2 so wird 8 + 4 - 68 + 56 = 0, woraus wir sehen daß
x
= 2 eine Positive Wurzel, und also
x
- 2 ein Theiler unserer Gleichung
sey
Von den Algebraischen Gleichungen.
sey, woraus die beyden uͤbrigen Wurzeln leicht ge- funden werden koͤnnen, wann man nur die Gleichung durch
x
- 2 theilet wie folget
x-2)x^{3}+xx-34x+56(xx+3x-28\\x^{3}-2xx \\\rule[5]{270}{.5}\\ 3xx-34x+56\\3xx-6x \\\rule[5]{100}{.5}\\ -28x+56\\-28x+56 \\\rule[5]{75}{.5}\\ 0
Man setze also diesen Quotienten
xx + 3x
- 28 = 0 so wird man daraus die beyden uͤbrigen Wur- zeln finden, welche seyn werden
x
= -
\frac{3}{2}
±
\frac{11}{2}
, dahero die beyden uͤbrigen Wurzeln sind
x
= 4 und
x
= - 7 wozu die obige
x
= 2 zu nehmen.
Woraus erhellet daß wuͤrcklich zwey positive und nur eine negative Wurzel vorhanden: dieses wollen wir noch durch folgende Exempel erlaͤutern.
165.
I.
Frage: Es sind zwey Zahlen, ihre Differenz ist 12, wann man ihr Product mit ihrer Summe multi- plicirt, so kommen 14560, welche sind diese Zahlen?
die
Erster Abschnitt
Die kleinere sey
x
so ist die groͤßere
x
+ 12, ihr Product ist
xx + 12x
so mit ihrer Summe
2x
+ 12 multiplicirt giebt 2
x
3
+ 36 xx + 144 x
= 14560 durch 2 dividirt wird
x
3
+ 18 xx + 72x
= 7280.
Weil nun das letzte Glied 7280 allzu groß ist als daß die Probe mit allen seinen Theilern koͤnnte angestellet werden, dasselbe aber durch 8 theilbar ist, so setze man
x = 2y
da dann kommt:
8y
3
+ 72 yy + 144 y
= 7280 welche Gleichung durch 8 dividirt wird
y
3
+ 9yy + 18y
= 910, und jetzo darf man nur mit den Theilern der Zahl 910 probiren welche sind 1, 2, 5, 7, 10, 13 etc. nun aber sind die ersten 1, 2, 5 offenbahr zu klein, nimmt man aber
y
= 7 so bekommt man 343 + 441 + 126 just = 910; also ist eine Wurzel
y
= 7, folglich
x
= 14, will man noch die beyden uͤbrigen Wurzeln von
y
wißen so dividire man
y
3
+ 9yy + 18y
- 910 durch
y
- 7 wie folget:
y
- 7
Von den Algebraischen Gleichungen.
y-7)y^{3}+9yy+18y-910(yy+16y-130\\y^{3}-7yy \\\rule[5]{290}{.5}\\ 16yy+18y-910\\16yy-112y \\\rule[5]{110}{.5}\\ 130y-910\\130y-910 \\\rule[5]{70}{.5}\\ 0
Setzt man nun diesen Quotient
yy + 16y
+ 130 = 0, so bekommt man
yy = - 16y
- 130 und da- her
y
= - 8 ± √ - 66, also sind die beyden an- dern Wurzeln unmoͤglich.
Antwort: die beyden gesuchten Zahlen sind dem- nach 14 und 26, deren Product 364 mit ihrer Summe 40 multiplicirt giebt 14560.
166.
II.
Frage: Suche zwey Zahlen deren Differenz 18, wann man die Differenz ihrer Cuborum mit der Summe der Zahlen multiplicirt, daß 275184 heraus komme, welche sind diese Zahlen?
Die kleinere Zahl sey
x
, so ist die groͤßere
x
+ 18 der Cubus der kleinern aber
x
3
und der Cubus der groͤßeren
=
x
3
Erster Abschnitt
=
x
3
+ 54xx - 972 x
+ 5832, also die Differenz dersel- ben
54xx + 972x + 5832 = 54 (xx + 18x + 108)
wel- che mit der Summe der Zahlen
2x + 18 = 2 (x + 9)
multiplicirt werden soll: das Product ist aber
108(x
3
+ 27 xx + 270 x + 972)
= 275184: man dividire durch 108 so kommt
x
3
+ 27 xx + 270 x
+ 972 = 2548 oder
x
3
+ 27 xx + 270 x
= 1576. Die Theiler der Zahl 1576 sind 1, 2, 4, 8 etc. wo 1 und 2 zu klein, 4 aber fuͤr
x
gesetzt dieser Gleichung ein Genuͤge leistet, wollte man die beyden uͤbrigen Wurzeln finden, so muͤßte man die Gleichung durch
x
- 4 theilen wie folget:
x-4)x^{3}+27xx+270x-1576(xx+31x-394\\x^{3}-4xx \\\rule[5]{310}{.5}\\ 31xx-270x\\31xx-124x \\\rule[5]{80}{.5}\\ 394x-1576\\394x-1576 \\\rule[5]{80}{.5}\\ 0
Aus dem Quotienten erhaͤlt man dahero
xx = - 31x
— 394 und daraus wird
x
= -
\frac{31}{2}
± √ (
\frac{961}{4}
-
\frac{1576}{4}
) welche beyde Wurzeln imaginaͤr oder unmoͤglich sind. Antwort: also sind die gesuchten Zahlen 4 und 22.
167.
Von den Algebraischen Gleichungen.
167.
III.
Frage: Suche zwey Zahlen deren Differenz 720; so ich die Quadrat-Wurzel der groͤßern Zahl multi- plicire mit der kleinern Zahl so kommt 20736. Wel- che Zahlen sind es?
Es sey die kleinere =
x
so ist die groͤßere
x
+ 720 und soll seyn
x √ (x + 720)
= 20736 = 8.8.4.81. Nun nehme man beyderseits die Quadrate so wird
xx (x + 720) = x
3
+ 720 xx
= 8
2
.8
2
.4
2
.81
2
man setze
x = 8y
so wird 8
3
y
3
+ 720. 8
2
y
2
= 8
2
.8
2
.4
2
.81
2
durch 8
3
dividirt wird
y
3
+ 90 y
2
= 8.4
2
.81
2
, es sey nun
y = 2 z
so wird 8
z
3
+ 4.90 zz
= 8.4
2
.81
2
durch 8 dividirt wird
z
3
+ 45 zz
= 4
2
. 81
2
. Man setze ferner
z = 9 u
so wird 9
3
u
2
+ 45.9
2
uu
= 4
2
.9
4
durch 9
3
dividirt wird
u
3
+ 5 uu
= 4
2
. 9 oder
uu (u + 5)
= 16.9 = 144. Hier sieht man offenbahr, daß
u
= 4: dann da wird
uu
= 16 und
u
+ 5 = 9: da nun
u
= 4 so ist
z
= 36,
y
= 72 und
x
= 576, welches die klei-
nere
Erster Abschnitt
nere Zahl war, die groͤßere aber 1296, wovon die Quadrat-Wurzel 36 welche mit der kleineren Zahl 576 multiplicirt giebt 20736.
168.
Anmerckung: Diese Frage kann bequemer fol- gender Gestalt aufgeloͤset werden: weil die groͤßere Zahl ein Quadrat seyn muß indem sonst ihre Wur- zel mit der kleinern multiplicirt nicht die vorgegebene Zahl hervorbringen koͤnnte: So sey die groͤßere Zahl
xx
, die kleinere also
xx
- 720 welche mit der Qua- drat-Wurzel jener, das ist mit
x
multiplicirt, giebt
x
3
- 720 x
= 20736 = 64. 27. 12 man setze
x = 4y
so wird
64y
3
- 720.4y
= 64.27.12: durch 64 dividirt wird
y
3
- 45y
= 27.12: man setze ferner
y = 3z
so wird 27
z
3
- 135z
= 27.12: durch 27 dividirt wird
z
3
- 5z
= 12 oder
z
3
- 5z
- 12 = 0. Die Theiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12, davon sind 1 und 2 zu klein, setzt man aber
z
= 3 so kommt 27 - 15 - 12 = 0; dahero ist
z
= 3,
y
= 9 und
x
= 36
dahero
Von den Algebraischen Gleichungen.
dahero ist die groͤßere Zahl
xx
= 1296 und die klei- nere
xx
- 720 = 576 wie oben.
169.
IV.
Frage: Es sind 2 Zahlen, deren Differenz 12 ist. So man nun diese Differenz multiplicirt mit der Summe ihrer Cuborum, so kommen 102144: welche Zahlen sind es?
Es sey die kleinere
x
so ist die groͤßere
x
+ 12, der Cubus der ersteren ist
x
, der andern aber
x
3
+ 36xx + 432x
+ 1728, die Summe derselben mit 12 mul- tiplicirt giebt 12
(2x
3
+ 36xx + 432x + 1728)
= 102144; durch 12 dividirt wird
2x
3
+ 36xx + 432x
+ 1728 = 8512, durch 2 dividirt giebt
x
3
+ 18xx + 216x
+ 864 = 4256 oder
x
3
+ 18 xx + 216 x
= 3392 = 8.8.53. Man setze
x = 2 y
und dividire sogleich durch 8 so wird
y
3
+ 9 yy + 54 y
= 8.53 = 424.
Die Theiler des letzten Glieds sind 1, 2, 4, 8, 53, etc. wovon 1 und 2 zu klein sind: setzt man aber
y
= 4 so kommt 64 + 144 + 216 = 424. Also ist
y
= 4 und
x
= 8; dahero sind die beyden Zahlen 8 und 20.
170.
V.
Frage: Etliche machen eine Gesellschaft, davon jeder zehnmal so viel Fl. einlegt, als der Personen sind,
II
Theil
K
ge-
Erster Abschnitt
gewinnen je mit 100 Fl. 6 Fl. mehr als ihrer sind. Nun findet sich daß der Gewinst zusammen betrage 392 Fl. wie viel sind der Gesellen gewesen?
Man setzte es seyen
x
Gesellen gewesen, so legt einer 10
x
Fl. ein, alle aber legen 10
xx
Fl. ein und gewinnen mit 100 Fl. 6 Fl. mehr als ihrer sind; also mit 100 Fl. gewinnen sie
x
+ 6 Fl. und mit dem gantzen Capital gewinnen sie
\frac{x^{3} + 6xx}{10} = 392
Mit 10 multiplicirt kommt
x
3
+ 6 xx
= 3920. Setzt man nun
x = 2 y
so erhaͤlt man
8 y
3
+ 24 yy
= 3920 welches durch 8 dividirt giebt
y
3
+ 3 yy
= 490. Die Theiler des letzten Glieds sind 1, 2, 5, 7, 10, etc. wovon 1, 2 und 5 zu klein sind.
Setzt man aber
y
= 7 so kommt 343 + 147 = 490 also ist
y
= 7 und
x
= 14 Antwort: Es sind 14 Gesellen gewesen, und hat ein jeder 140 Fl. eingelegt.
171.
VI.
Frage: Einige Kaufleute haben zusammen ein Capital von 8240 Rthl. dazu legt ein jeder noch
40mal
Von den Algebraischen Gleichungen.
40 mal so viel Rthl. als der Gesellen sind. Mit dieser gantzen Summe gewinnen sie so viel Pr. C. als der Gesellen sind: hierauf theilen sie den Gewinnst und da findet es sich, daß nachdem ein jeder zehn mal so viel Rthl. genommen hat als der Gesellen sind, so bleiben noch 224 Rthl. uͤbrig. Wie viel sind es Ge- sellen gewesen?
Die Zahl der Gesellen sey =
x
so legt ein jeder noch
40x
Rthl. zu dem Capital von 8240 Rthl. alle zusammen legen also dazu noch 40
xx
Rthl. also war die gantze Summe 40
xx
+ 8240 mit dieser gewinnen sie von 100,
x
Rthl. dahero wird der gantze Gewinnst seyn:
\frac{40x^{3}}{100} + \frac{8240x}{100} = \frac{4}{10} x^{3} + \frac{824x}{10} = \frac{2}{5} x^{3} + \frac{412x}{5}
. Hiervon nimmt nun ein jeder 10
x
Rthl. und also alle zusammen
10xx
Rthl. und da bleiben noch 224 Rthl. uͤbrig, wor- aus erhellet daß der Gewinnst gewesen sey: 10
xx
+ 224 woraus diese Gleichung entsieht ⅖
x
3
+
\frac{412x}{5}
= 10
xx
+ 224 welche mit 5 multiplicirt und durch 2 dividirt wird
x
3
+ 206x = 25 xx
+ 560 oder
x
3
- 25xx + 206x
- 560 = 0. Doch um zu probiren wird die erste Form bequemer seyn, da nun die Theiler des letzten Glieds sind:
K 2
1,
Erster Abschnitt
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 16, etc. welche Positiv genommen werden muͤßen, weil in der letztern Gleichung drey Abwechselungen von Zeichen vorkom- men, woraus man sicher schließen kann, daß alle drey Wurzeln positiv sind. Probirt man nun mit
x
= 1 oder
x
= 2 so ist offenbahr, daß der erste Theil viel kleiner werde als der zweyte. Wir wollen also mit den fol- genden probiren: wann
x
= 4, so wird 64 + 824 = 400 + 560 trift nicht zu. wann
x
= 5, so wird 125 + 1030 = 625 + 560 trift nicht zu. wann
x
= 7, so wird 343 + 1442 = 1225 + 560 trift zu: dahero ist
x
= 7 eine Wurzel unserer Gleichung. Um die beyden andern zu finden, so theile man die letzte Form durch
x
- 7 wie folget:
x-7)x^{3}+25xx+206x-560(xx-18x+80\\x^{3}-7xx \\\rule[5]{300}{.5}\\ -18xx+206x\\-18xx+126x \\\rule[5]{90}{.5}\\ 80x-560\\80x-560 \\\rule[5]{65}{.5}\\ 0
Man
Von den Algebraischen Gleichungen.
Man setze also den Quotienten gleich 0 so hat man
xx - 18 x
+ 80 = 0 oder
xx = 18 x
- 80 da- hero
x
= 9 ± 1, also sind die beyden andern Wurzeln
x
= 8 und
x
= 10.
Antwort: auf diese Frage finden also drey Antwor- ten statt: nach der ersten war die Zahl der Kaufleute 7, nach der zweyten war dieselbe 8, nach der dritten 10, wie von allen die hier beygefuͤgte Probe anzeigt.
I.
II.
III.
Die Zahl der Kaufleute
7
8
10
Ein jeder legt ein 40x = = = =
280
320
400
also alle zusammen legen ein 40xx =
1960
2560
4000
das alte Capital war = = = = =
8240
8240
8240
das gantze Capital ist 40xx+8240
10200
10800
12240
mit demselben wird gewonnen so viel
Pr. C. als der Gesellen sind = = =
714
864
1224
davon nimmt ein jeder weg 10x =
70
80
100
also alle zusammen 10xx = = =
490
640
1000
bleibt also noch uͤbrig = = = =
224
224
224
K 3
Capi-
Erster Abschnitt
Capitel
12. Von der Regel des Cardani oder des Scipionis Ferrei.
172.
W
ann eine Cubische Gleichung auf gantze Zahlen gebracht wird, wie oben gewiesen worden, und kein Theiler des letzten Glieds eine Wurzel der Glei- chung ist, so ist dieses ein sicheres Z
e
ichen, daß die Gleichung keine Wurzel in gantzen Zahlen habe, in Bruͤchen aber auch keine statt finde, welches also gezeiget wird:
Es sey die Gleichung
x
3
- axx + bx - c
= 0 wo
a
,
b
und
c
gantze Zahlen sind, dann wollte man Z. E. setzen
x
=
\frac{3}{2}
so kommt
\frac{27}{8}
-
\frac{9}{4}
a
+
\frac{3}{2}
b - c
, hier hat nun das erste Glied allein 8 zum Nenner. Die uͤbrigen sind nur durch 4 und 2 getheilt oder gantze Zahlen, welche also mit dem ersten nicht koͤnnen 0 werden, und dieses gilt auch von allen andern Bruͤ- chen.
173.
Von den Algebraischen Gleichungen.
173.
Da nun in diesen Faͤllen die Wurzel der Glei- chung weder gantze Zahlen noch Bruͤche sind, so sind dieselben Irrational und auch so gar oͤfters imaginaͤr. Wie nun dieselben ausgedruͤckt werden sollen, und was darinn fuͤr Wurzel-Zeichen vorkommen, ist eine Sache von großer Wichtigkeit, wovon die Erfindung schon vor einigen 100 Jahren dem Cardano oder viel mehr dem Scipioni Ferreo zugeschrieben worden, welche deswegen verdient hier mit allem Fleiß erklaͤrt zu werden.
174.
Man muß zu diesem Ende die Natur eines Cubi, deßen Wurzel ein Binomium ist, genauer in Erwe- gung ziehen:
Es sey demnach die Wurzel
a + b
, so ist der Cu- bus davon
a
3
+ 3 aab + 3 abb + b
3
welche erstlich aus dem Cubo eines jeden Theils besteht und außer denselben noch die zwey Mittel-Gliedet enthaͤlt, nem- lich
3 aab + 3 abb
, welche beyde
3 ab
zum Factor ha- ben, der andere Factor aber ist
a + b
. Dann
3ab
mit
a + b
multiplicirt giebt
3 aab + 3 abb
. Diese zwey Glieder enthalten also das dreyfache Product der bey- den Theile
a
und
b
mit ihrer Summe multiplicirt.
K 4
175.
Erster Abschnitt
175.
Man setze nun es sey
x = a + b
und nehme beyderseits die Cubi, so wird
x
3
= a
3
+ b
3
+ 3 ab (a + b)
. Da nun
a + b = x
ist, so hat man diese Cubische Gleichung
x
3
= a
3
+ b
3
+ 3 abx
oder
x
3
= 3 abx + a
3
+ b
3
von welcher wir wißen, daß eine Wurzel sey
x = a + b
. So oft demnach eine sol- che Gleichung vorkommt so koͤnnen wir eine Wurzel davon anzeigen.
Es sey z. E.
a
= 2 und
b
= 3 so bekommt man diese Gleichung
x
3
= 18 x
+ 35 von welcher wir ge- wis wißen, daß
x
= 5 eine Wurzel ist.
176.
Man setze nun ferner
a
3
= p
und
b
3
= q
, so wird
a = ∛ p
und
b = ∛ q
, folglich
ab = ∛ pq
; wann da- hero diese Cubische Gleichung vorkommt
x
3
= 3 x∛ pq + p + q
so ist eine Wurzel davon
∛ p + ∛ q
.
Man kann aber
p
und
q
immer dergestalt be- stimmen, daß so wohl 3 ∛
pq
als
p + q
einer je- den gegebenen Zahl gleich werde, wodurch man im
Stand
Von den Algebraischen Gleichungen.
Stand gesetzt wird, eine jede Cubische Gleichung von dieser Art aufzuloͤsen.
177.
Es sey dahero diese allgemeine Cubische Glei- chung vorgegeben
x
3
= fx + g
. Hier muß also
f
verglichen werden mit 3 ∛
pq
, und
g
mit
p + q
; oder man muß
p
und
q
so bestimmen, daß 3 ∛
pq
der Zahl
f
, und
p + q
der Zahl
g
gleich werde, und als- dann wißen wir, daß eine Wurzel unserer Gleichung seyn werde
x = ∛ p + ∛ q
.
178.
Man hat also diese zwey Gleichungen aufzuloͤsen
I.) 3 ∛ pq = f
und
II.) p + q = g
. Aus der ersten hat man ∛
pq
=
\frac{f}{3}
und
pq
=
\frac{f^{3}}{27}
=
\frac{1}{27}
f
3
und 4
pq
=
\frac{4}{27}
f
3
: die andere Gleichung quadrire man, so kommt
pp + 2 pq + qq = gg
; davon subtrahire man
4 pq
=
\frac{4}{27}
f
3
, so wird
pp - 2 pq + qq = gg
-
\frac{4}{27}
f
3
woraus die Quadrat-Wurzel gezogen giebt
p - q
= √ (
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
). Da nun
p + q = g
, so wird 2
p = g
K 5
+ √
Erster Abschnitt
+ \sqrt{(gg - \frac{4}{27}f^{3}})
und
2g =
+ \sqrt{(gg - \frac{4}{27}f^{3}})
dahero erhalten wir
p = \frac{g + \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f3)}}{2}
und
q = \frac{g - \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f^{3})}}{2}
.
179.
Wann also eine solche Cubische Gleichung vor- kommt
x
3
= fx + g
, die Zahlen
f
und
g
moͤgen be- schaffen seyn wie sie wollen, so ist eine Wurzel der- selben allezeit
x = \sqrt[3]{\frac{g + \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f^{3})}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{g - \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f^{3})}}{2}}
; woraus erhellet daß diese Irrationalitaͤt nicht nur das Quadrat-Wurzel-Zei- chen sondern auch das Cubische in sich faße: und diese Formel ist dasjenige was die Regel des Carda- ni genennt zu werden pflegt.
180.
Wir wollen dieselbe mit einigen Exempeln erlaͤu- tern;
Es sey
x
3
= 6 x
+ 9 so ist hier
f
= 6 und
g
= 9, allso
gg
= 81,
f
3
= 216 und
\frac{4}{27}
f
3
= 32: Dahero
gg
Von den Algebraischen Gleichungen.
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
= 49 und √ (
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
) = 7; dahero wird von der vorgegebenen Gleichung eine Wurzel seyn
x
= ∛
\frac{9 + 7}{2}
+ ∛
\frac{9 - 7}{2}
, das ist
x
= ∛
\frac{16}{2}
+ ∛ 1 = ∛ 8 + ∛ 1 oder
x
= 2 + 1 = 3. Allso ist
x
= 3 eine Wurzel der vorgegebenen Gleichung.
181.
Es sey ferner gegeben diese Gleichung
x
3
= 3x
+ 2, so wird
f
= 3 und
g
= 2, allso
gg
= 4,
f
3
= 27 und
\frac{4}{27}
f
3
= 4; folglich die Quadrat-Wurzel aus
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
= 0; dahero eine Wurzel seyn wird
x
= ∛
\frac{2 + 0}{2}
+ ∛
\frac{2 - 0}{2}
= 1 + 1 = 2.
182.
Wann aber gleich eine solche Gleichung eine ra- tionale Wurzel hat, so geschieht es doch oͤfters daß die- selbe durch diese Regel nicht gefunden wird ob sie gleich darinnen steckt.
Es sey gegeben diese Gleichung
x
3
= 6x
+ 40, wo
x
= 4 eine Wurzel ist. Hier ist nun
f
= 6 und
g
= 40 ferner
gg
= 1600 und
\frac{4}{27}
f
3
= 32, also
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
= 1568 und √ (
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
) = √ 1568 = √ 4. 4. 49. 2 = 28 √ 2; folglich ist eine Wurzel
x
=
Erster Abschnitt
x
= ∛
\frac{40 + 28 \sqrt{ 2}}{2}
+ ∛
\frac{40 - 28 \sqrt{ 2}}{2}
oder
x
= ∛ (20 + 14 √ 2) + ∛ (20 - 14 √ 2) welche Formel wuͤrcklich 4 ist, ohngeacht solches nicht sogleich daraus erhellet.
Dann da der Cubus von 2 + √ 2 ist 20 + 14 √ 2, so ist umgekehrt die Cubic-Wurzel aus 20 + 14 √ 2 gleich 2 + √ 2, und eben so auch ∛ (20 - 14 √ 2) = 2 - √ 2, hieraus wird unsere Wurzel
x
= 2 + √ 2 + 2 — √ 2 = 4.
183.
Man kann gegen diese Regel einwenden, daß dieselbe sich nicht auf alle Cubische Gleichungen er- strecke, weil darinnen nicht das Quadrat von
x
vor- kommt, oder weil darin das zweyte Glied fehlt. Es ist aber zu mercken, daß eine jede vollstaͤndige Gleichung allezeit in eine andere verwandelt werden kann, in welcher das zweyte Glied fehlt, und worauf folg- lich diese Regel angewandt werden kann. Um die- ses zu zeigen, so sey diese vollstaͤndige Cubische Glei- chung vorgegeben,
x
3
- 6 xx + 11 x
- 6 = 0. Da nehme man nun den dritten Theil der Zahl6 im an-
dern
Von den Algebraischen Gleichungen.
dern Glied und setze
x - 2 = y
; so wird
x = y
+ 2, und die uͤbrige Rechnung wie folget:
da
\>x = y + 2, xx = yy + 4y +4
und
x^{3}=y^{3}+6yy+12y+8
, so ist
\hrule \begin{matrix}x^{3}=y^{3}+6yy+12y+8\\-6xx=-6yy-24y-24\\+11x=+11y+22\\-6=-6 \end{matrix} \hrule x^{3}-6xx+11x-6=y^{3}-y.
Dahero erhalten wir diese Gleichung
y
3
- y
= 0 deren Aufloͤsung so gleich in die Augen faͤllt: dann nach den Factoren hat man
y (yy - 1) = y (y + 1) (y - 1)
= 0; setzt man nun einen jeden Factor gleich 0 so bekommt man:
I. \begin{Bmatrix} y=0,\\x=2 \end{matrix} \quad II. \begin{Bmatrix} y=-1,\\x=1 \end{matrix} \quad III. \begin{Bmatrix} y=1,\\x=3 \end{matrix}
welches die drey schon oben gefundenen Wurzeln sind.
184.
Es sey nun diese allgemeine Cubische Gleichung gegeben:
x
3
+ axx + bx + c
= 0 aus welcher das zweyte Glied weggebracht werden soll.
Zu
Erster Abschnitt
Zu diesem Ende setze man zu
x
den dritten Theil der Zahl des zweyten Glieds mit ihrem Zeichen und schreibe dafuͤr einen neuen Buchstaben z. E.
y
, dieser Regel zufolge werden wir haben
x + ⅓ a = y
und also
x = y - ⅓ a
woraus die folgende Rechnung ent- steht:
x = y - ⅓ a
,
xx = yy - ⅔ ay + ⅑ aa
ferner
x
3
= y
3
- ayy + ⅓ aay
-
\frac{1}{27}
a
3
; also
x^{3}=y^{3}-ayy+\frac{1}{3}aay-\frac{1}{27}a^{3}\\ axx=+ayy-\frac{2}{3}aay+\frac{1}{9}a^{3}\\ bx=+by-\frac{1}{3}ab\\ c=+c \\\rule[5]{250}{.5}\\ y^{3}-(\frac{1}{3}aa-b)y+\frac{2}{27}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c=0.
in welcher Gleichung das zweyte Glied fehlt.
185.
Nun kann man auch des Cardani Regel leicht auf diesen Fall anwenden. Dann da wir oben die Glei- chung hatten
x
3
= fx + g
oder
x
3
- fx - g
= 0, so wird fuͤr unsern Fall
f = ⅓ aa - b
, und
g
= -
\frac{2}{27}
a
3
+ ⅓ab + c
. Aus diesen fuͤr die Buchstaben
f
und
g
gefun- denen Werthen erhalten wir wie oben:
y
=
Von den Algebraischen Gleichungen.
y = \sqrt[3]{\frac{g + (gg - \frac{4}{27}f^{3})}{2}} + \sqrt[3]{\frac{g - (gg - \frac{4}{27}f^{3})}{2}}
und da solcher Gestalt
y
gefunden worden, so werden wir fuͤr die vorgegebene Gleichung haben
x = y — ⅓a
.
186.
Mit Huͤlfe dieser Veraͤnderung sind wir nun im Stande die Wurzeln von allen Cubischen Gleichungen zu finden, welches wir durch folgendes Exempel zei- gen wollen. Es sey demnach die vorgegebene Glei- chung folgende
x
3
- 6 xx + 13 x
- 12 = 0. Um hier das zweyte Glied wegzubringen, so setze man
x - 2 = y
, so wird:
x = y
+ 2,
xx = yy + 4 y
+ 4, ferner
x
3
= y
3
+ 6 yy + 12 y
+ 8, also
x^{3}=y^{3}+6yy+12y+8 \\ -6xx=-6yy-24y-24\\ +13x=+13y+26\\ -12=-12 \\\rule[5]{170}{.5}\\ y^{3}+y-2=0
oder
y
3
= - y
+ 2, welche mit der Formel
x
3
= fx + g
verglichen giebt
f
= - 1,
g
= 2; also
gg
= 4, und
\frac{4}{27}
f
3
= -
\frac{4}{27}
.
Also
Erster Abschnitt
Also
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
= 4 +
\frac{4}{27}
=
\frac{112}{27}
; dahero erhalten wir √ (
gg
-
\frac{4}{27}
f
3
) = √
\frac{112}{27}
=
\frac{4 \sqrt{21}}{9}
woraus folget
y=\sqrt[3]{\left(2+\frac{\frac{4\sqrt{21}}{9}}{2} \right )} + \sqrt[3]{\left(2-\frac{\frac{4\sqrt{21}}{9}}{2} \right )}
oder
y
= ∛ (1 +
\frac{2 \sqrt{21}}{9}
) + ∛ (1 -
\frac{2 \sqrt{21}}{9}
), oder
y
= ∛ (
\frac{9 + 2 \sqrt{21}}{9}
) + ∛ (
\frac{9 - 2 \sqrt{21}}{9}
), oder
y
= ∛ (
\frac{27 + 6 \sqrt{21}}{27}
) + ∛ (
\frac{27 - 6 \sqrt{21}}{27}
), oder
y
= ⅓ ∛ (27 + 6 √ 21) + ⅓ ∛ (27 - 6 √ 21); und hernach bekommt man
x = y
+ 2.
187.
Bey Aufloͤsung dieses Exempels sind wir auf eine doppelte Irrationalitaͤt gerathen, gleich wohl muß man daraus nicht schließen, daß die Wurzel schlechter Dinges Irrational sey, indem es sich gluͤckli- cher Weise fuͤgen koͤnnte, daß die Binomie 27 ± 6 √ 21 wuͤrckliche Cubi waͤren. Dieses trift auch hier zu, dann da der Cubus von
\frac{3 + \sqrt{21}}{2}
dem
\frac{216 + 48 \sqrt{21}}{8}
= 27 + 6 √ 21 gleich ist, so ist die Cubic-Wurzel aus 27 + 6 √ 21 gleich
\frac{3 + \sqrt{21}}{2}
und die Cubic- Wurzel aus 27 - 6 √ 21 gleich
\frac{3 - \sqrt{21}}{2}
. Hieraus also
wird
Von den Algebraischen Gleichungen.
wird der obige Werth fuͤr
y
seyn
y
= ⅓ (
\frac{3 + \sqrt{21}}{2}
) + ⅓ (
\frac{3 - \sqrt{21}}{2}
) = ½ + ½ = 1. Da nun
y
= 1 so bekom- men wir
x
= 3, welches eine Wurzel ist der vorgege- benen Gleichung. Wollte man die beyden andern auch finden so muͤßte man die Gleichung durch
x
- 3 dividiren, wie folget
x-3)x^{3}+6xx+13x-12(xx-3x+4\\x^{3}-3xx \\\rule[5]{270}{.5}\\ -3xx+13x\\-3xx+9x \\\rule[5]{80}{.5}\\ +4x-12\\+4x-12 \\\rule[5]{70}{.5}\\ 0
und diesen Quotienten
xx - 3 x
+ 4 = 0 setzen, also daß
xx = 3 x
- 4 und
x
=
\frac{3}{2}
± √ (
\frac{9}{4}
-
\frac{16}{4}
) =
\frac{3}{2}
± √ -
\frac{7}{4}
, das ist
x
=
\frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2}
. Dieses sind nun die beyden andern Wurzeln welche beyde imaginaͤr sind.
188.
Es war aber hier ein bloßes Gluͤck, daß man aus den gefundenen Binomien wuͤrcklich die Cubic-Wur- zel ausziehen konnte, welches sich auch nur in denen
II.
Theil
L
Faͤllen
Erster Abschnitt
Faͤllen ereignet, wo die Gleichung eine Rational- Wurzel hat, die dahero weit leichter nach den Re- geln des vorigen Capitels haͤtte gefunden koͤnnen: wann aber keine Rational-Wurzel statt findet, so kann dieselbe auch nicht anders als auf diese Art nach des Cardani Regel ausgedruckt werden, so daß als- dann keine weitere Abkuͤrtzung Platz findet, wie Z. E. in dieser Gleichung geschiehet
x
3
= 6 x
+ 4, wo
f
= 6 und
g
= 4. Dahero gefunden wird
x
= ∛ (2 + 2 √ - 1) + ∛ (2 - 2 √ - 1) welche sich nicht anders aus- druͤcken laͤßt.
Capi-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Capitel
13. Von der Aufloͤsung der Gleichungen des vierten Grades welche auch Biquadratische Gleichungen genennt werden.
189.
W
ann die hoͤchste Potestaͤt der Zahl
x
zum vierten Grad hinauf steiget, so werden solche Glei- chungen vom vierten Grad auch Biquadratische ge- nennt, wovon also die allgemeine Form seyn wird:
x
4
+ ax
3
+ bxx + cx + d
= 0, von diesen kom- men nun zu allererst zu betrachten vor die so genan- ten reinen Biquadratischen Gleichungen, deren Form ist
x
4
= f
woraus man so gleich die Wurzel findet wann man beyderseits die Wurzel vom vierten Grad auszieht, da man dann erhaͤlt
x = ∜ f
.
190.
Da
x
4
das Quadrat ist von
xx
so wird die Rech- nung nicht wenig erlaͤutert, wann man erstlich nur die Quadrat-Wurzel ausziehet, da man dann bekommt
L 2
xx
=
Erster Abschnitt
xx = √ f
: hernach zieht man nochmahls die Qua- drat-Wurzel aus, so bekommt man
x = √ √ f
, also daß ∜
f
nichts anders ist, als die Quadrat-Wurzel aus der Quadrat-Wurzel von
f
.
Haͤtte man z. E. diese Gleichung
x
4
= 2401 so findet man daraus erstlich
xx
= 49 und ferner
x
= 7.
191.
Solcher gestalt aber findet man nur eine Wur- zel, und da immer drey Cubische Wurzeln statt finden, so ist kein zweifel, daß hier nicht vier Wurzel solten Platz haben, welche inzwischen auch auf diese Art herausgebracht werden koͤnnen. Dann da aus dem letzten Exempel nicht nur folget
xx
= 49 sondern auch
xx
= - 49, so erhalten wir aus jenem diese zwey Wurzeln
x
= 7,
x
= - 7 aus diesem aber bekom- men wir ebenfalls:
x
= √ - 49 = 7 √ - 1 und
x
= - √ - 49 = - 7 √ - 1 welches die vier Biqua- dratische Wurzeln sind aus 2401. Und so verhaͤlt es sich auch mit allen andern Zahlen.
192.
Nach diesen reinen Gleichungen folgen der Ord- nung nach diejenigen, in welchen das zweyte und vierte Glied fehlt, oder die diese Form haben:
x
4
+
Von den Algebraischen Gleichungen.
x
4
+ fxx + g
= 0, als welche nach der Regel der Quadratischen Gleichungen aufgeloͤßt werden koͤn- nen. Dann setzt man
xx = y
so hat man
yy + fy + g
= 0, oder
yy = - fy - g
woraus gefunden wird:
y = \frac{1}{2}f \pm\sqrt{(\frac{1}{4}ff - g)} = \frac{-f \pm\sqrt{(ff - 4 g)}}{2}
. Da nun
xx = y
, so wird daraus
x = \pm \sqrt{\frac{- f^{2}\pm(ff - 4 g)}{2}}
wo die zweydeutigen Zeichen ± alle vier Wurzeln angeben.
193.
Kommen aber alle Glieder in der Gleichung vor, so kann man dieselbe immer als ein Product aus vier Factoren ansehen. Dann multiplicirt man diese vier Factores mit einander
(x - p) (x - q) (x - r) (x - s)
so findet man folgendes Product
x
4
- (p + q + r + s)x
3
+ (pq + pr + ps + qr + qs + rs) xx — (pqr + pqs + prs + qrs) x + pqrs
, welche Formel nicht anders gleich 0 werden kann, als wann einer von obigen vier Factoren = 0 ist. Dieses kann demnach auf viererley Art geschehen,
I.)
wann
x = p
,
II.) x = q
,
III.) x = r
,
IV.) x = s
, welches demnach die vier Wurzel dieser Gleichung sind.
194.
Betrachten wir diese Form etwas genauer, so finden wir, daß in dem zweyten Glied die Summe
L 3
aller
Erster Abschnitt
aller vier Wurzeln vorkommt, welche mit -
x
3
multi- plicirt ist, im dritten Glied findet sich die Summe der Producte aus je zwey Wurzeln mit einander multipli- cirt, welches mit
xx
multiplicirt ist, im vierten Glied sieht man die Summe der Producte aus je drey Wurzeln mit einander multiplicirt, welches mit -
x
, multiplicirt ist, und endlich das fuͤnfte und letzte Glied enthaͤlt das Pro- duct aus allen vier Wurzeln mit einander multiplicirt.
195.
Da das letzte Glied das Product aus allen Wur- zeln enthaͤlt, so kann eine solche Biquadratische Glei- chung keine andere Rational-Wurzel haben, als welche zugleich Theiler des letzten Glieds sind, da- hero man aus diesem Grund alle Rational-Wurzeln, wann dergleichen vorhanden, leicht finden kann, wann man fuͤr
x
nach und nach einen jeden Theiler des letzten Glieds setzt und zusieht, mit welchem der Gleichung ein Genuͤge geschehe, hat man aber auch nur eine solche Wurzel gefunden, z. E.
x = p
, so darf man nur die Glei- chung, nachdem alle Glieder auf eine Seite gebracht worden, durch
x - p
dividiren und den Quotienten gleich 0 setzen, welche eine Cubische Gleichung geben wird, die nach den obigen Regeln weiter aufgeloͤßt werden kann.
196.
Von den Algebraischen Gleichungen
196.
Hierzu aber wird nun unumgaͤnglich erfordert, daß alle Glieder aus gantzen Zahlen bestehen, und daß das erste blos da stehe, oder nur mit 1 multiplicirt sey: kommen demnach in einigen Gliedern Bruͤche vor, so muͤßen dieselben vorher weggeschaft werden, welches jederzeit geschehen kann, wann man fuͤr
x
schreibt
y
getheilt durch eine Zahl, welche die Nenner der Bruͤ- che in sich schließt:
Als wann diese Gleichung vork
aͤm
e
x
4
- ½ x
3
+ ⅓ xx + ¾ x
+
\frac{1}{18}
= 0, so setze man weil in den Nennern 2 und 3 nebst ihren Potestaͤten vorkommen
x
=
\frac{y}{6}
, so wird
\frac{y^{4}}{6^{4}} - \frac{\frac{1}{2}y^{3}}{6^{3}} + \frac{\frac{1}{3}yy}{6^{2}} - \frac{\frac{3}{4}y}{6} + \frac{1}{18} = 0
, wel- che mit 6
4
multiplicirt giebt
y
4
- 3 y
3
+ 12 yy - 162 y
+ 72 = 0. Wollte man nun suchen ob diese Glei- chung Rational-Wurzeln habe, so muͤßte man fuͤr
y
nach und nach die Theiler der Zahl 72 schreiben um zu sehen, in welchen Faͤllen die Formel wuͤrcklich 0 wer- de.
197.
Da aber die Wurzeln so wohl negativ als posi- tiv seyn koͤnnen, so muͤßte man mit einem jeden Thei-
L 4
ler
Erster Abschnitt
ler zwey Proben anstellen, die erste indem derselbe po- sitiv, die andere indem derselbe negativ genommen wuͤrde: man hat aber auch hier wiederum zu bemer- cken, daß so oft die zwey Zeichen + und - mit einan- der abwechseln, die Gleichung eben so viel positive Wurzeln habe; so oft aber einerley Zeichen auf einan- der folgen, eben so viel negative Wurzeln vorhanden seyn muͤßen. Da nun in unserm Exempel 4 Abwechse- lungen vorkommen, und keine Folge, so sind alle Wurzeln positiv, und also hat man nicht noͤthig einen Theiler des letzten Glieds negativ zu nehmen.
198.
Es sey z. E. diese Gleichung vorgegeben
x
4
+ 2 x
3
— 7 xx - 8 x
+ 12 = 0. Hier kommen nun zwey Ab- wechselungen der Zeichen, und auch zwey Folgen vor, woraus man sicher schließen kann, daß diese Gleichung zwey positive und auch zwey negative Wurzeln haben muͤße, welche alle Theiler der Zahl 12 seyn muͤßen. Da nun diese Theiler sind 1, 2, 3, 4, 6, 12, so pro- bire man erstlich mit
x
= + 1 so kommt wuͤrcklich 0 her- aus, also ist eine Wurzel
x
= 1. Setzt man ferner
x
= - 1 so kommt folgendes + 1 - 2 - 7 + 8 + 12 = 21 - 9 = 12 und dahero giebt
x
= - 1 keine Wurzel.
Man
Von den Algebraischen Gleichungen.
Man setze ferner
x
= 2 so wird unsere Formel wie- der = 0, und also
x
= 2 eine Wurzel; hinge- gen
x
= - 2 geht nicht an. Setzt man weiter
x
= 3 so kommt 81 + 54 - 63 - 24 + 12 = 60 geht also auch nicht an: man setze aber
x
= - 3 so kommt 81 - 54 — 63 + 24 + 12 = 0, folglich ist
x
, - 3 eine Wurzel; eben so findet man auch, daß
x
= - 4 eine Wurzel seyn werde, also daß alle vier Wurzel Rational sind und sich also verhalten,
I.) x
= 1,
II.) x
= 2,
III.) x
= - 3,
IV.) x
= - 4, von welchen zwey po- sitiv und zwey negativ sind, wie die obige Regel anzeigt.
199.
Wann aber keine Wurzel Rational ist, so laͤßt sich auch durch diesen Weg keine finden: dahero man auf sol- che Mittel bedacht gewesen, um in diesen Faͤllen die Ir- rational-Wurzeln ausdruͤcken zu koͤnnen. Hierin ist man auch so gluͤcklich gewesen, daß man zweyerley verschiedene Wege entdeckt habe, um zur Erkentniß sol- cher Wurzeln zu gelangen, die Biquadratische Glei- chung mag auch beschaffen seyn wie sie wolle.
Ehe wir aber diese allgemeine Wege eroͤrtern, so wird es dienlich seyn einige besondere Faͤlle aufzu- loͤsen, welche oͤfters mit Nutzen angebracht werden koͤnnen.
L 5
200.
Erster Abschnitt
200.
Wann die Gleichung so beschaffen ist, daß die Zahlen in den Gliedern ruͤckwaͤrts eben so fortgehen als vorwaͤrts, wie in dieser Gleichung geschiehet:
x
4
+ mx
3
+ nxx + mx
+ 1 = 0, welche noch et- was allgemeiner also vorgestellt werden kann:
x
4
+ max
3
+ naaxx + ma
3
x + a
4
= 0 So kann eine solche Form allezeit als ein Product zweyer Factoren, welche Quadratische Formeln sind, angesehen werden und die sich leicht bestimmen laßen: dann man setze fuͤr diese Gleichung folgendes Product
(xx + pax + aa) (xx + qax + aa)
= 0, we
p
und
q
gesucht werden muͤssen, daß die obige Gleichung herauskomme. Es wird aber durch die wuͤrckliche Multiplication gefunden
x
4
+ (p + q) a x
3
+ (pq + 2) aa xx + (p + q) a
3
x + a
4
= 0; damit also diese Gleichung mit der vor- gegebenen einerley sey, so werden folgende zwey Stuͤcke erfordert
I.)
daß
p + q = m
, und
II.)
daß
pq + 2 = n
, folglich
pq = n
- 2.
Die erstere quadrirt giebt
pp + 2 pq + qq = mm
, davon die andere viermal genommen, nemlich
4 pq = 4 n
- 8, subtrahirt bleibt uͤber
pp - 2 pq + qq = mm - 4 n
+ 8: davon die Quadrat-Wurzel ist:
p - q = √ (mm - 4 n + 8)
. Da nun
p + q = m
so
Von den Algebraischen Gleichungen.
so erhalten wir durch die Addition
2 p = m + \sqrt{(mm - 4 n + 8)}
oder
p = \frac{m + \sqrt{(mm - 4 n + 8)}}{2}
; durch die Subtraction aber bekommen wir
2 q = m - √ (mm - 4 n + 8
) oder
q = \frac{m - \sqrt{(mm - 4 n + 8)}}{2}
. Hat man nun
p
und
q
gefunden, so darf man nur einen jeden der Factoren = 0 setzen, um daraus die Werthe von
x
zu finden: der erste giebt
xx + pax + aa
= 0 oder
xx = - pax — aa
, woraus man findet
x
= -
\frac{pa}{2}
± √ (
\frac{ppaa}{4}
-
aa
) oder
x
= -
\frac{pa}{2}
±
a
√ (
\frac{pp}{4}
- 1) oder
x
= -
\frac{pa}{2}
± ½
a √ (pp - 4
); der andere Factor giebt aber
x
= -
\frac{qa}{2}
± ½
a √ (qq - 4
) und also hat man die vier Wurzeln der vorgegebenen Gleichung.
201.
Um dieses zu erlaͤutern, so sey diese Gleichung vorgegeben
x
4
- 4 x
3
- 3 xx - 4 x
+ 1 = 0. Hier ist nun
a
= 1,
m
= - 4,
n
= - 3, dahero
mm - 4 n
+ 8 = 36 und die Quadrat-Wurzel daraus = 6; dahe- ro bekommen wir
p
=
\frac{- 4 + 6}{2}
= 1 und
q
= -
\frac{4 - 6}{2}
= - 5, woraus die vier Wurzeln seyn werden;
I.
) und
II.) x
= — ½ ± ½ √ - 3 = -
\frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2}
; und ferner die
III.
) und
IV.)
x = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{21} = \frac{5 \pm\sqrt{21}}{2}
: also sind die vier Wurzeln der vorgegebenen Gleichung folgende
I.)
Erster Abschnitt
I.)
x = \frac{- 1 + \sqrt{- 3}}{2}
,
II.)
x = \frac{- 1 - \sqrt{- 3}}{2}
,
III.)
x = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}
,
IV.)
x = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}
, wovon die zwey ersten imaginaͤr oder unmoͤglich sind, die beyden andern aber moͤglich, weil man √ 21 so genau anzeigen kann als man will, indem man die Wurzel durch Decimal-Bruͤche ausdruͤckt. Dann da 21 so viel so als 21,00000000 so ziehe man daraus die Quadrat-Wurzel wie folget:
\left.\begin{matrix} 21\\16 \end{matrix}\right|\overset{\big0\big0\big|\big0\big0\big|\big0\big0\big|\big0\big0\big|\big4.\big5\big8\big2\big5}{\, } \\\rule[5]{160}{.5}\\ 85 \left|\begin{matrix} 500\\425 \end{matrix}\right. \\\rule[5]{50}{.5}\\ 908 \left|\begin{matrix} 7500\\7264 \end{matrix}\right. \\\rule[5]{80}{.5}\\ 9162 \left|\begin{matrix} 23600\\18324 \end{matrix}\right. \\\rule[5]{90}{.5}\\ 91645 \left|\begin{matrix} 527600\\458225 \end{matrix}\right. \\\rule[5]{90}{.5}\\ 69375
Da nun √ 21 = 4, 5825 so ist die dritte Wurzel ziem- lich genau
x
= 4, 7912, und die vierte
x
= 0, 2087 welche man leicht noch genauer haͤtte berechnen koͤn- nen.
Weil
Von den Algebraischen Gleichungen.
Weil die vierte Wurzel dem
\frac{2}{10}
oder ⅕ ziemlich nahe kommt, so wird dieser Werth der Gleichung auch ziem- lich genau ein Genuͤge leisten; man setze also
x
= ⅕ so bekommt man
\frac{1}{625}
-
\frac{4}{125}
-
\frac{3}{25}
- ⅘ + 1 =
\frac{31}{625}
und die- ses sollte = 0 seyn, welches ziemlich genau eintrift.
202.
Der zweyte Fall, wo eine aͤhnliche Aufloͤsung statt findet, ist den Zahlen nach dem vorigen gleich, nur daß das zweyte und vierte Glied verschiedene Zeichen haben: eine solche Gleichung ist demnach:
x
4
+ max
3
+ naaxx - ma
3
x
3
+ a
4
= 0 welche durch folgendes Product kann vorgestellet werden
(xx + pax - aa) (xx + qax - aa)
= 0. Dann durch die Multiplication bekommt man
x
4
+ (p + q) ax
3
+ (pq - 2) aaxx - (p + q) a
3
x + a
4
welche mit der vorgegebenen einerley wird, wann erstlich
p + q = m
und hernach
pq - 2 = n
oder
pq = n
+ 2; dann solchergestalt wird das vierte Glied von selbsten einerley: man quadrire wie vor die erste Gleichung, so hat man
pp + 2 pq + qq = mm
, davon subtra- hire man die andere viermal genommen
4 pq = 4 n
+ 8, so bekommt man
pp - 2 pq + qq = mm - 4 n
- 8 woraus die Quadrat-Wurzel giebt
p - q
Erster Abschnitt
p - q = √ (mm - 4 n - 8
), und daher erhalten wir
p=\frac{m + \sqrt{(mm - 4 n - 8)}}{2}
und
q = \frac{m - \sqrt{(mm - 4 n - 8)}}{2}
. Hat man nun
p
und
q
gefunden so giebt der erste Fac- tor diese zwey Wurzeln
x = - ½ pa ± ½ a √ (pp + 4)
und der zweyte Factor giebt diese
x = - ½ qa ± ½ a √ (qq + 4)
und also hat man die vier Wurzeln der vorgegebenen Gleichung.
203.
Es sey Z. E. diese Gleichung gegeben
x
4
— 3.2 x
3
+ 3.8 x
+ 16 = 0, hier ist nun
a
= 2 und
m
= - 3 und
n
= 0, dahero √ (
mm - 4 n
- 8) = 1, folglich
p
=
\frac{- 3 + 1}{2}
= - 1, und
q
=
\frac{- 3 - 1}{2}
= - 2 woraus die zwey erstern Wurzeln seyn werden
x
= 1 ± √ 5 und die zwey letztern
x
= 2 ± √ 8 also daß die vier gesuchten Wurzeln seyn werden:
I.) x
= 1 + √ 5,
II.) x
= 1 - √ 5,
III.) x
= 2 + √ 8,
IV.) x
= 2 - √ 8. Woraus die vier Factoren unserer Gleichung seyn werden (
x
- 1 - √ 5) (
x
- 1 + √ 5) (
x
- 2 - √ 8) (
x
- 2 + √ 8), welche wuͤrcklich mit einan- der multiplicirt unsere Gleichung hervorbringen muͤ- ßen. Dann der erste und zweyte mit einander multi- plicirt geben
xx - 2 x
- 4 und die beyden andern ge-
ben
Von den Algebraischen Gleichungen.
ben
xx - 4 x
- 4, welche zwey Producte wiederum mit einander multiplicirt geben
x
4
- 6 x
3
+ 24 x
+ 16, welches just die vorgegebene Gleichung ist.
Capitel
14. Von des Pombelli Regel die Aufloͤsung der Biquadratischen Gleichungeu auf Cubische zu bringen.
204.
D
a schon oben gezeigt worden, wie die Cubische Gleichungen durch Huͤlfe des Cardani Regel aufgeloͤßt werden koͤnnen, so kommt die Haupt-Sa- che bey den Biquadratischen Gleichungen darauf an, daß man die Aufloͤsung derselben auf Cubische Glei- chungen zu bringen wiße. Dann ohne Huͤlfe der Cubischen Gleichungen ist nicht moͤglich die Biqua- dratische auf eine allgemeine Art aufzuloͤsen: dann wann man auch eine Wurzel gefunden, so erfordern die uͤbrigen Wurzeln eine Cubische Gleichung. Wor-
aus
Erster Abschnitt
aus man sogleich erkennet, daß auch die Gleichun- gen von einem hoͤheren Grade die Aufloͤsung aller nie- drigen voraus setzen.
205.
Hierzu hat nun schon vor etlichen 100 Jahren ein Italiener, Nahmens Pombelli, eine Regel gegeben, welche wir in diesem Capitel vortragen wollen:
Es sey demnach die allgemeine Biquadratische Gleichung gegeben
x
4
+ ax
3
+ bxx + cx + d
= 0, wo die Buchstaben
a
,
b
,
c
,
d
alle nur ersinliche Zah- len bedeuten koͤnnen: nun stelle man sich vor, daß die- se Gleichung mit der folgenden einerley sey
(xx + ½ ax + p)
2
- (qx + r)
2
= 0, wo es nur dar- auf ankommt die Buchstaben
p
und
q
und
r
so zu bestimmen, daß die gegebene Gleichung herauskommt. Bringt man nun diese letztere in Ordnung, so kommt heraus
x^{4}+ax^{3}+\frac{1}{4}aaxx+apx+pp\\ +2pxx-2qrx-rr\\ -qqxx
Hier sind nun die zwey ersten Glieder mit unse- rer Gleichung schon einerley; fuͤr das dritte Glied muß man setzen
¼ aa + 2 p - qq = b
woraus man hat
qq = ¼ aa + 2 p - b
, fuͤr das vierte Glied muß man
setzen
Von den Algebraischen Gleichungen.
setzen
a p - 2 qr = c
, woraus man hat
2 qr = ap - c
fuͤr das letzte Glied aber
pp - rr = d
, woraus wird
rr = pp - d
. Aus diesen drey Gleichungen muͤßen nun die drey Buchstaben
p
,
q
und
r
bestimmt werden.
206.
Um dieses auf die leichteste Art zu verrichten, so nehme man die erste viermal, welche seyn wird 4
qq = aa + 8 p - 4 b
, diese multiplicire man mit der letzten
rr = pp - d
, so bekommt man; 4
qq rr = 8 p
3
+ (aa - 4 b) pp - 8 dp - d(aa - 4 b)
nun quadrire man die mittlere Gleichung 4
qqrr = aapp - 2 acp + cc
: wir haben also zweyerley Werthe fuͤr 4
qqrr
, welche einander gleich gesetzt die- se Gleichung geben 8
p
3
+ (aa - 4 b) pp - 8 dp — d (aa - 4 b) = aapp - 2 acp + cc
; und alle Glieder auf eine Seite gebracht, geben 8
p
3
- 4 bpp + (2 ac - 8 d) p — aad + 4 bd - cc
welches eine Cubische Glei- chung ist, daraus in einem jeden Fall der Werth von
p
nach den oben gegebenen Regeln bestimmt werden muß.
207.
Hat man nun aus den gegebenen Zahlen
a
,
b
,
c
,
d
die drey Werthe des Buchstaben
p
gefunden, worzu
II
Theil
M
es
Erster Abschnitt
es genung ist nur einen davon entdeckt zu haben, so erhaͤlt man daraus so gleich die beyden andern Buch- staben
q
und
r
. Denn aus der ersten Gleichung wird seyn
q = √ (¼ aa + 2 p - b)
und aus der zweyten erhaͤlt man
r
=
\frac{ap - c}{2 q}
. Wann aber diese drey Buchstaben fuͤr einen jeglichen Fall gefunden worden, so koͤnnen daraus alle vier Wurzeln der gegebenen Gleichung folgender Ge- stalt bestimmt werden.
Da wir die gegebene Gleichung auf diese Form gebracht haben
(xx + ½ ax + p)
2
- (qx + r)
2
= 0, so ist
(xx + ½ ax + p)
2
= (qx + r)
2
; daraus die Quadrat-Wurzel gezogen wird
xx + ½ ax + p = qx + r
, oder auch
xx + ½ ax + p = - qx - r
.
Die erstere giebt
xx = (q - ½ a) x - p + r
woraus zwey Wurzeln gefunden werden; die uͤbrigen zwey werden aber aus der andern gefunden, welche also aussieht
xx = - (q + ½ a) x - p - r
.
208.
Um diese Regel mit einem Exempel zu erlaͤutern, so sey diese Gleichung vorgegeben
x
4
- 10 x
3
+ 35 xx — 50 x
+ 24 = 0, welche mit unserer allgemeinen For- mel verglichen giebt
a
= - 10,
b
= 35,
c
= - 50,
d
= 24 aus welchen fuͤr den Buchstaben
p
zu bestimmen fol-
gen-
Von den Algebraischen Gleichungen.
gende Gleichung erwaͤchst 8
p
3
- 140 p p + 808 p
— 1540 = 0; welche durch vier dividirt giebt 2
p
3
- 35 p p + 202 p
- 385 = 0. Die Theiler der letzten Zahl sind 1, 5, 7, 11, etc. von wel- chen 1 nicht angeht; setzt man aber
p
= 5 so kommt 250 - 875 + 1010 - 385 = 0, folgleich ist
p
= 5: will man auch setzen
p
= 7, so kommt 686 - 1715 + 1414 - 385 = 0; also ist
p
= 7 die zweyte Wurzel. Um die dritte zu finden so dividire man die Gleichung durch 2 so kommt
p
3
-
\frac{35}{2}
p p + 101 p
-
\frac{385}{2}
= 0, und da die Zahl im zweyten Glied
\frac{35}{2}
die Summe aller drey Wurzeln ist, die beyden erstern aber zusammen 12 ma- chen so muß die dritte seyn
\frac{11}{2}
. Also haben wir alle drey Wurzeln. Es waͤre aber genung nur eine zu wißen, weil aus einer jeden die vier Wurzeln unserer Bi- quadratischen Gleichung herauskommen muͤßen.
209.
Um dieses zu zeigen, so sey erstlich
p
= 5, daraus wird alsdann
q
= √(25 + 10 - 35) = 0 und
r
= —
\frac{50 + 50}{0}
=
\frac{0}{0}
. Da nun hierdurch nichts bestimmt wird, so nehme man die dritte Gleichung
rr = pp - d
= 25 — 24 = 1, und also
r
= 1: dahero unsere beyde Qua-
M 2
drat
Erster Abschnitt
drat-Gleichungen seyn werden:
I.) xx = 5 x
- 4,
II.) xx = 5 x
- 6 die erstere giebt nun diese zwey Wurzeln
x
=
\frac{5}{2}
± √
\frac{6}{4}
, also
x
=
\frac{5 \pm 3}{2}
, folglich entweder
x
= 4, oder
x
= 1: Die andere aber giebt
x
=
\frac{5}{2}
± √¼, also
x
=
\frac{5 \pm 1}{2}
; daraus wird entweder
x
= 3, oder
x
= 2.
Will man aber setzen
p
= 7 so wird
q
= √(25 + 14 - 35) = 2 und
r
=
\frac{- 70 + 50}{4}
= - 5 woraus diese zwey Quadrat-Gleichungen, entstehen
I.) xx = 7x - 12 II.) xx = 3x
- 2; deren erstere giebt
x
=
\frac{7}{2}
± ¼, also
x
=
\frac{7 \pm 1}{2}
dahero
x
= 4 und
x
= 3: die andere giebt diese Wurzel
x
=
\frac{3}{2}
± √¼, also
x
=
\frac{3 \pm 1}{2}
, dahero
x
= 2 und
x
= 1, welches eben die vier Wurzeln sind, die schon vorher gefunden worden. Und eben dieselben folgen auch aus dem dritten Werth
p
=
\frac{11}{2}
. Dann da wird
q
= √(25 + 11 - 35) = 1 und
r
=
\frac{- 55 + 50}{2}
= -
\frac{5}{2}
, woraus die beyden Quadrati- schen Gleichungen seyn werden.
I.) xx = 6 x
- 8,
II.) xx = 4x
- 3: aus der ersteren bekommt man
x
= 3 ± √1, also
x
= 4 und
x
= 2; aus der andern aber
x
= 2 ± √1, also
x
= 3 und
x
= 1, welche die schon gefundene vier Wurzeln sind.
210.
Von den Algebraischen Gleichungen.
210.
Es sey ferner diese Gleichung vorgegeben
x
4
- 16x
— 12 = 0, in welcher ist
a
= 0,
b
= 0,
c
= - 16,
d
= - 12; dahero unsere Cubische Gleichung seyn wird 8
p
3
+ 96p
- 256 = 0, das ist
p
3
+ 12p
- 32 = 0, welche Gleichung noch einfacher wird, wann man setzt
p = 2t
; da wird nemlich 8
t
3
+ 24 t
- 32 = 0 oder
t
3
+ 3t
- 4 = 0 Die Theiler des letzten Glieds sind 1, 2, 4, a
u
s welchen
t
= 1 eine Wurzel ist, daraus wird
p
= 2 und ferner
q
= √4 = 2 und
r
=
\frac{16}{4}
= 4. Dahero sind die beyden Quadrat-Gleichungen
xx = 2x
+ 2 und
xx = - 2x
- 6, daher die Wurzeln seyn werden
x
= 1 ± √3, und
x
= - 1 ± √ - 5.
211.
Um die bisherige Aufloͤsung noch deutlicher zu machen, so wollen wir dieselbe bey dem folgenden Exempel gantz wiederhohlen:
Es sey demnach diese Gleichung gegeben
x
4
— 6 x
3
+ 12 xx - 12 x
+ 4 = 0, welche in dieser Formel enthalten seyn soll
(xx - 3 x + p)
2
- (q x + r)
2
= 0, wo im ersten Theil - 3
x
gesetzt worden, weil - 3 die Haͤlfte ist der Zahl - 6 im zweyten Glied der Gleichung; Diese Form aber entwickelt giebt
x
4
- 6x
3
+ (2p + 9 — qq) xx - (6 p + 2 q r) x + p p - r r
= 0, mit
M 3
die-
Erster Abschnitt
dieser Form vergleicht man nun unsere Gleichung so bekommt man:
I.) 2 p + 9 - qq
= 12,
II.) 6 p + 2 q r
= 12,
III. pp - rr
= 4; aus der ersten erhalten wir
qq = 2 p
— 3, aus der zweyten 2
q r = 12 - 6 p
oder
q r = 6 - 3p
, aus der dritten
rr = pp
- 4: nun multiplicire man
rr
und
qq
mit einander so bekommt man
q q r r = 2 p
3
— 3 pp - 8 p
+ 12. Quadrirt man aber den Werth von
qr
, so kommt
qq rr = 36 - 36 p + 9 pp
: dahero erhalten wir diese Gleichung: 2
p
3
- 3 pp - 8 p + 12 = 9 pp - 36 p
+ 36, oder 2
p
3
- 12 pp + 28 p
- 24 = 0, oder durch 2 dividirt diese
p
3
- 6 pp + 14 p
- 12 = 0, wo- von die Wurzel ist
p
= 2; daraus wird
qq
= 1,
q
= 1 und
q r = r
= 0. Unsere Gleichung wird also seyn:
(xx - 3x + 2)
2
= xx
, daraus die Quadrat-Wur- zel
xx - 3x + 2 = ± x
: gilt das obere Zeichen, so hat man
xx = 4x
- 2, fuͤr das untere Zeichen aber
xx = 2x
- 2: woraus diese vier Wurzelngefunden wer- den
x
= 2 ± √2, und
x
= 1 ± √ - 1.
Capi-
Von den Algebraischen Gleichungen.
Capitel
15. Von einer neuen Aufloͤsung der Biquadra- tischen Gleichungen.
212.
W
ie durch die obige Regel des Pombelli die Bi- quadratischen Gleichungen durch Huͤlfe einer Cubischen aufgeloͤst werden, so ist seit dem noch ein anderer Weg gefunden worden eben dieses zu leisten, welcher von dem vorigen gaͤnzlich unterschieden ist und eine besondere Erklaͤrung verdienet.
213.
Man setze nemlich, die Wurzel einer Biquadrati- schen Gleichung habe diese Form
x = √p + √q + √r
, wo die Buchstaben
p
,
q
und
r
die drey Wurzeln einer solchen Cubischen Gleichung andeuten
z
3
- f z z + g z - h = o
, also daß seyn wird
p + q + r = f
,
p q + p r + q r = g
und
p q r = h
: dieses voraus gesetzt so quadrire man die angenom- mene Form der Wurzel
x = √p + √q + √r
, da
M 4
kommt
Erster Abschnitt
kommt heraus
xx = p + q + r + 2 √pq + 2 √pr + 2 √qr
. Da nun
p + q + r = f
so wird
xx — f = 2 √pq + 2 √pr + 2 √qr
: nun nehme man noch- mals die Quadrate, so wird
x
4
- 2 f xx + ff = 4 pq + 4pr + 4qr + 8 √ppqr + 8 √pqqr + 8 √pq rr
. Da nun 4
pq + 4pr + 4qr = 4g
so wird
x
4
- 2f xx + f f - 4g = 8 √pqr. (√p + √q + √r)
; da aber √
p + √q + √r = x
und
pqr = h
, also √
pqr = √h
, so gelangen wir zu dieser Biquadratischen Gleichung
x
4
- 2fxx - 8x √h + ff - 4g
= 0 wovon die Wurzel gewis ist
x = √p + √q + √r
, und wo
p
,
q
und
r
die drey Wurzeln sind der obigen Cubischen Gleichung.
z
3
- fzz + gz - h
= 0
214.
Die herausgebrachte Biquadratische Gleichung kann als allgemein angesehen werden, obgleich das zweyte Glied
x
3
darin mangelt. Dann man kann immer eine jede vollstaͤndige Gleichung in eine andere verwandeln, wo das zweyte Glied fehlt, wie wir hernach zeigen wollen.
Es sey demnach diese Biquadratische Gleichung gegeben:
x
4
- a x x - b x - c
= 0, wovon eine Wur- zel gefunden werden soll. Man vergleiche dieselbe da-
hero
Von den Algebraischen Gleichungen.
hero mit der gefundenen Form um dadurch die Buch- staben
f
,
g
, und
h
zu bestimmen. Darzu wird erfordert, daß
I.) 2 f = a
also
f
=
\frac{a}{2}
,
II.) 8 √h = b
also
h
=
\frac{bb}{64}
III.) ff - 4g = - c
oder,
\frac{aa}{4}
- 4
g + c
= 0, oder ¼
aa + c = 4 g
, folglich
g
=
\frac{1}{16}
a a + ¼ c
.
215.
Aus der vorgegebenen Gleichung
x
4
- a x x — bx - c
= 0 findet man demnach die Buchstaben
f
,
g
und
h
also bestimmt
f = ½ a
,
g
=
\frac{1}{10}
aa + ¼ c
, und
h
=
\frac{1}{64}
b b
oder √
h
= ⅛
b
; daraus formire man diese Cubische Gleichung:
z
3
- f z z + g z - h
= 0, wo- von man nach der obigen Regel die drey Wurzeln suchen muß. Dieselben seyen nun
I.) z = p
,
II.) z = q
,
III.) z = r
: aus welchen, wann sie gefunden worden, eine Wurzel unserer Biquadratischen Gleichung seyn wird
x = √p + √q + √r
.
216.
Solcher Gestalt scheint es zwar, daß nur eine Wurzel unserer Gleichung gefunden werde, allein da ein jedes Quadrat-Wurzel-Zeichen so wohl ne- gativ als positiv genommen werden kann, so enthaͤlt diese Form so gar alle vier Wurzeln.
M 5
Woll-
Erster Abschnitt
Wollte man zwar alle Veraͤnderungen der Zeichen gelten laßen so kaͤmen 8 verschiedene Werthe fuͤr
x
her- aus, wovon doch nur 4 gelten koͤnnen. Es ist aber zu bemercken, daß das Product dieser drey Glieder, nemlich √
pqr
gleich seyn muͤße den √
h
= ⅛
b
; dahero wann ⅛
b
positiv ist so muß das Product der Theile auch positiv seyn, in welchem Fall nur diese vier Aenderungen gelten.
I.) x = √p + √q + √r
,
II.) x = √p - √q - √r
,
III.) x = - √p + √q - √r
,
IV.) x = - √p - √q + √r
,
ist aber ⅛
b
negativ, so sind die 4 Werthe von
x
folgende:
I.) x = √p + √q - √r
,
II.) x = √p - √q + √r
,
III.) x = - √p + √q + √r
,
IV.) x = - √p - √q - √r
.
Durch Huͤlfe dieser Anmerckung koͤnnen in jeglichem Fall alle vier Wurzeln bestimmt werden, wie aus folgen- dem Exempel zu ersehen.
217.
Es sey diese Biquadratische Gleichung vor- gegeben in welcher das zweyte Glied fehlt
x
4
— 25xx + 60x - 36
= 0, welche mit der obigen Formel verglichen giebt
a
= 25,
b
= - 60 und
c
= 36, wor-
aus
Von den Algebraischen Gleichungen.
aus man ferner erhaͤlt
f
=
\frac{25}{2}
,
g
=
\frac{625}{16}
+ 9 =
\frac{769}{16}
und
h
=
\frac{225}{4}
: also ist unsere Cubische Gleichung
z
3
-
\frac{25}{2}
z z
+
\frac{769}{16}
z
-
\frac{225}{4}
= 0. Um hier die Bruͤche weg zubringen, so setze man
z
=
\frac{u}{4}
, so wird
\frac{u^{3}}{64}
-
\frac{25}{2}
·
\frac{uu}{16}
+
\frac{769}{16}
·
\frac{u}{4}
-
\frac{225}{4}
= 0, welche mit 64 multipli- cirt giebt
u
3
- 50uu + 769u - 3600
= 0, wovon die drey Wurzeln gefunden werden sollen, welche alle drey positiv sind, und wovon eine Wurzel ist
u
= 9, um die an- dere zu finden so theile man
u
3
- 50uu + 769u
- 3600 durch
u
- 9, und da kommt diese neue Gleichung
uu - 41u
+ 400 = 0 oder
uu = 41u
- 400, woraus gefunden wird
u
=
\frac{41}{2}
± √(
\frac{1681}{4}
-
\frac{1600}{4}
) =
\frac{41 \pm 9}{2}
: also sind die drey Wurzeln
u
= 9,
u
= 16,
u
= 25, dahero wir erhalten;
I.) z
=
\frac{9}{4}
,
II.) z
= 4,
III.) z
=
\frac{25}{4}
. Dieses sind nun die Werthe der Buchstaben
p
,
q
und
r
, also daß
p
=
\frac{9}{4}
,
q
= 4,
r
=
\frac{25}{4}
; weil nun √
pqr = √h
= -
\frac{15}{2}
und dieser Werth = ½
b
negativ ist, so muß man sich mit den Zeichen der Wurzeln √
p
, √
q
, √
r
, darnach richten: es muß nemlich entweder nur ein
minus
oder drey
minus
vorhanden seyn: da nun √
p
=
\frac{3}{2}
√
q
= 2 und √
r
=
\frac{5}{2}
, so werden die vier Wurzeln un- serer vorgegebenen Gleichung seyn:
I.)
Erster Abschnitt
I.) x
=
\frac{3}{2}
+ 2 -
\frac{5}{2}
= 1,
II.) x
=
\frac{3}{2}
- 2 +
\frac{5}{2}
= 2,
III.) x
= -
\frac{3}{2}
+ 2 +
\frac{5}{2}
= 3,
IV.) x
= -
\frac{3}{2}
- 2 -
\frac{5}{2}
= - 6,
aus welchen diese vier Factoren der Gleichung ent- stehen
(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x + 6)
= 0, wovon die beyde ersten geben
xx - 3x
+ 2 die beyden letztern aber
xx + 3x
- 18, und diese zwey Producte mit einander multiplicirt bringen just unsere Gleichung hervor.
218.
Nun ist noch uͤbrig zu zeigen wie eine Biqua- dratische Gleichung, in der das zweyte Glied vor- handen ist, in eine andere verwandelt werden koͤnne, darin das zweyte Glied fehlt, worzu folgende Regel dienet.
Es sey diese allgemeine Gleichung gegeben
y
4
+ ay
3
+ byy + cy + d
= 0. Hier setze man zu
y
den vierten Theil der Zahl des andern Glieds, nem- lich ¼
a
und schreibe dafuͤr einen neuen Buchstaben
x
, also daß
y + ¼ a = x
folglich
y = x - ¼ a
; daraus wird
yy = xx - ½ ax
+
\frac{1}{16}
aa
, ferner
y
3
= x
3
- ¾ axx
+
\frac{3}{16}
aax
-
\frac{1}{64}
a
3
, und daraus endlich:
y
4
Von den Algebraischen Gleichungen.
y^{4}=x^{4}-ax^{3}+\frac{3}{8}aaxx-\frac{1}{18}a^{3}x+\frac{1}{256}a^{4}\\ +ay^{3}=+ax^{3}-\frac{3}{4}aaxx+\frac{3}{10}a^{3}x-\frac{1}{64}a^{4}\\ +byy=+bxx-\frac{1}{2}abx+\frac{1}{16}aab\\ +cy=+cx-\frac{1}{4}ac\\ +d=+d \\\rule[5]{280}{.5}\\ \left.\begin{matrix} x^{4}+0-\frac{3}{8}aaxx+\frac{1}{8}a^{3}x-\frac{3}{256}a^{4}\\ +bxx-\frac{1}{2}abx+\frac{1}{10}aab\\ +cx-\frac{1}{4}ac\\ +d \end{matrix}\right\} =0
in welcher Gleichung, wie man sieht, das zweyte Glied weggefallen ist, also daß man jetzt die gegebene Re- gel darauf anwenden und daraus die vier Wurzeln von
x
bestimmen kann, aus welchen hernach die vier Wer- the von
y
von selbsten sich ergeben, weil
y = x - ¼ a
.
219.
So weit ist man bisher in Aufloͤsung der Alge- braischen Gleichungen gekommen, nemlich bis auf den vierten Grad, und alle Bemuͤhungen die Glei- chungen von fuͤnften und den hoͤhern Graden auf glei- che Art aufzuloͤsen, oder zum wenigsten auf die nie- drigsten Grade zu bringen sind fruchtloß gewesen, also
daß
Erster Abschnitt
daß man nicht im Stand ist allgemeine Regeln zu ge- ben, wodurch die Wurzeln von hoͤhern Gleichungen ausfindig gemacht werden koͤnnten.
Alles was darinnen geleistet worden, geht nur auf gantz besondere Faͤlle, worunter derjenige der vornehm- ste ist, wann irgend eine Rational-Wurzel statt fin- det, als welche durch Probiren leicht heraus gebracht werden kann, weil man weiß, daß dieselbe immer ein Theiler des letzten Glieds seyn muß: und hier mit ist es eben so beschaffen wie wir schon bey den Gleichungen vom dritten und vierten Grad gelehret haben.
220.
Es wird doch noch noͤthig seyn diese Regel auch auf eine solche Gleichung anzuwenden, deren Wur- zeln nicht rational sind:
Eine solche Gleichung sey nun diese
y
4
- 8y
2
+ 14yy + 4y - 8
= 0. Hier muß man vor allen Dingen das zweyte Glied wegschaffen, dahero setze man zu der Wurzel
y
noch den vierten Theil der Zahl des zweyten Glieds nemlich
y - 2 = x
, so wird
y = x
Von den Algebraischen Gleichungen.
y=x+2
und
yy=xx+4x+4
, ferner
y^{3}=x^{3}
+6xx+12x+8
. und
y^{4}=x^{4}+8x^{3}+24xx+32x+16\\ -8y^{3}=-8x^{3}-48xx-96x-64\\ +14yy=+14xx+56x+56\\ +4y=+4x+8\\ -8=-8 \\\rule[5]{220}{.5}\\ x^{4}+0-10xx-4x+8=0
, welche mit unserer allgemeinen Form verglichen, giebt
a
= 10,
b
= 4,
c
= - 8; woraus wir demnach schließen
f
= 5,
g
=
\frac{17}{4}
,
h
= ¼ und √
h
= ½. Daraus wir sehen, daß das Product √
pqr
, positiv seyn wird. Die Cu- bische Gleichung wird demnach seyn
z
3
- 5zz
+
\frac{17}{4}
z
— ¼ = 0, von welcher Cubischen Gleichung die drey Wurzeln
p
,
q
und
r
gesucht werden muͤßen.
221.
Hier muͤßen nun erstlich die Bruͤche weggeschaft werden, deswegen setze man
z
=
\frac{u}{2}
so wird
\frac{u^{3}}{3}
-
\frac{5uu}{4}
+
\frac{17}{4}
·
\frac{u}{2}
- ¼ = 0, mit 8 multiplicirt giebt
u
3
- 10 uu + 17u
- 2 = 0, wo alle Wurzeln positiv sind. Da nun die Theiler des letzten Glieds sind 1 und 2, so sey erst-
lich
Erster Abschnitt.
lich
u
= 1 da wird 1 - 10 + 17 - 2 = 6 und also nicht 0, setzt man aber
u
= 2 so wird 8 - 40 + 34 — 2 = 0 welches ein Genuͤge leistet. Dahero ist eine Wurzel
u
= 2: um die andere zu finden so theile man durch
u
- 2 wie folget:
u-2)u^{3}-10uu+17u-2(uu-8u+1\\ u^{3}-2uu \\\rule[5]{270}{.5}\\ -8uu+17u\\ -8uu+16u \\\rule[5]{80}{.5}\\ u-2\\ u-2 \\\rule[5]{40}{.5}\\ 0
und da bekommt man
uu - 8u
+ 1 = 0, oder
uu = 8u
— 1, woraus die beyden uͤbrigen Wurzeln sind
u
= 4 ± √15. Da nun
z = ½ u
, so sind die drey Wurzeln der Cubischen Gleichung:
I.)z = p
= 1,
II.) z = q
=
\frac{4 + \sqrt{19}}{2}
,
III.) z = r
=
\frac{4 - \sqrt{15}}{2}
.
222.
Da wir nun
p
,
q
und
r
gefunden, so werden ihre Quadrat-Wurzeln seyn √
p
= 1, √
q
=
\frac{\sqrt{(8 + 2 \sqrt{15})}}{2}
√
r
=
\frac{\sqrt{(8 - 2 \sqrt{15})}}{2}
.
Aus
Von den Algebraischen Gleichungen.
Aus demjenigen aber was oben ist gezeigt wor- den, da die Quadrat-Wurzel aus (
a ± √b
), wann √
(aa - b) = c
, also ausgedruͤckt worden √(
a + b
) = √
\frac{a + c}{2}
± √
\frac{a - c}{2}
, so ist fuͤr unsern Fall
a
= 8 und √
b
= 2 √15 folglich
b
= 60 dahero
c
= 2, hieraus bekommen wir √(8 + 2 √15) = √5 + √3, und √(8 - 2 √15) = √5 - √3. Da wir nun ge- funden haben √
p
= 1,
\sqrt{q} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}
und
\sqrt{r} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
, so werden die vier Werthe fuͤr
x
, da wir wißen daß derselben Product positiv seyn muß, fol- gender Gestalt beschaffen seyn.
I.)
x = \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r} = 1 + \frac{\sqrt5+\sqrt3+\sqrt5-\sqrt3}2
= 1 + √5
II.)
x = \sqrt{p} - \sqrt{q} - \sqrt{r} = 1 - \frac{\sqrt5-\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3}2
= 1 - √5
III.)
x = - \sqrt{p} + \sqrt{q} - \sqrt{r} = - 1 + \frac{\sqrt5+\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3}2
= - 1 + √3
IV.)
x = - \sqrt{p} - \sqrt{q} + \sqrt{r} = - 1 - \frac{\sqrt5-\sqrt3+\sqrt5-\sqrt3}2
= - 1 - √3.
II.
Theil
N
Da
Erster Abschnitt.
Da nun fuͤr die gegebene Gleichung
y = x
+ 2 war, so sind die vier Wurzeln derselben
I.) y
= 3 + √5,
II.) y
= 3 - √5,
III.) y
= 1 + √3,
IV.) y
= 1 - √3,
Capitel
16. Von der Aufloͤsung der Gleichungen durch die Naͤherung.
223.
W
ann die Wurzeln einer Gleichung nicht ratio- nal sind, dieselben moͤgen nun durch Wur- zel-Zeichen ausgedruͤckt werden koͤnnen oder nicht, wie bey den hoͤhern Gleichungen geschiehet, so muß man sich begnuͤgen den Werth derselben durch Naͤ- herungen zu bestimmeu, dergestalt, daß man dem wah-
ren
Von den Algebraischen Gleichungen.
ren Werth derselben immer naͤher komme, bis der Feh- ler endlich vor nichts zn achten. Es sind zu diesem Ende verschiedene Mittel erfunden worden, wovon wir die vornehmsten hier erklaͤren wollen.
224.
Das erste Mittel besteht darinn, daß man den Werth einer Wurzel schon ziemlich genau erforscht ha- be, also daß man wiße daß derselbe z. E. groͤßer sey als 4, und doch kleiner als 5. Alsdann setze man den Werth der Wurzel = 4 +
p
, da dann
p
gewis einen Bruch bedeuten wird; ist aber
p
ein Bruch und also kleiner als 1, so ist das Quadrat von
p
, der Cubus und eine jegliche hoͤhere Potestaͤt noch weit kleiner, dahe- ro man dieselbe aus der Rechnung weglaßen kann, weil es doch nur auf eine Naͤherung ankommt. Hat man nun weiter diesen Bruch
p
nur beynahe bestimmt, so er- kennt man die Wurzel 4 +
p
schon genauer: hieraus er- forscht man gleicher gestalt einen noch genauern Werth, und geht solchergestalt so weit fort, bis man der Wahr- heit so nahe gekommen als man wuͤnschet.
225.
Wir wollen dieses zuerst durch ein leichtes Exem-
N 2
pel
Erster Abschnitt
pel erlaͤutern, und die Wurzel dieser Gleichung
xx
= 20 durch Naͤherungen bestimmen.
Hier sieht man nun daß
x
groͤßer ist als 4 und doch kleiner als 5, dahero setze man
x = 4 + p
, so wird
xx = 16 + 8p + pp
= 20; weil aber
pp
sehr klein ist, so laße man dieses Glied weg, um diese Gleichung zu haben 16 + 8
p
= 20, oder 8
p
= 4, daraus wird
p
= ½ und
x
= 4½ welches der Wahr- heit schon weit naͤher kommt: man setze dahero ferner
x = 4½ + p
so ist man gewis, daß
p
ein noch weit kleinerer Bruch seyn werde, als vorher; dahero
pp
jetzt mit groͤßerm Recht weggelaßen werden koͤnne. Man wird also haben
xx = 20 ¼ + 9 p
= 20, oder 9
p
= - ¼, und also
p
= -
\frac{1}{35}
, folglich
x
= 4 ½ -
\frac{1}{36}
= 4
\frac{17}{36}
. Wollte man der Wahrheit nach naͤher kom- men, so setze man
x
= 4
\frac{17}{36}
+
p
, so bekommt man
xx
= 20
\frac{1}{1296}
+ 8
\frac{34}{36}
p
= 20; dahero 8
\frac{34}{36}
p
= -
\frac{1}{1296}
mit 36 multiplicirt kommt 322
p
= -
\frac{36}{1256}
= -
\frac{1}{36}
und daraus wird
p
= -
\frac{1}{36 · 322}
= -
\frac{1}{11592}
, folglich
x
= 4
\frac{17}{36}
-
\frac{1}{11502}
= 4
\frac{4473}{11592}
, welcher Werth der Wahrheit so nahe kommt, daß der Fehler sicher als nichts angesehen werden kann.
226.
Von den Algebraischen Gleichungen.
226.
Um dieses allgemeiner zu machen, so sey gegeben diese Gleichung
xx = a
und man wiße schon daß
x
groͤßer ist als
n
, doch aber kleiner als
n
+ 1; man setze allso
x = n + p
, also daß
p
ein Bruch seyn muß, und dahero
p p
als sehr klein verworfen werden kann, daraus bekommt man
xx = nn + 2np = a
, also 2
n p = a - n n
und
p
=
\frac{a - nn}{2 a}
, folglich
x = n
+
\frac{a - nn}{2 n}
=
\frac{n n + a}{2 n}
. Kam nun
n
der Wahrheit schon nahe, so kommt dieser neue Werth
\frac{nn + a}{2 n}
der Wahrheit noch weit naͤher. Diesen setze man von neuem fuͤr
n
, so wird man der Wahrheit noch naͤher kommen, und wann man diesen neuern Werth nochmahl fuͤr
n
setzet, so wird man noch naͤher zutreffen; und solchergestalt kann man fortgehen so weit man will.
Es sey zE:
a
= 2, oder man verlangt die Qua- drat-Wurzel aus 2 zu wißen: hat man nun dafuͤr schon einen ziemlich nahen Werth gefunden welcher
n
gesetzt werde, so wird
\frac{n n + 2}{2 n}
einen noch naͤheren Werth geben. Es sey dahero.
I.) n
= 1 so wird
x
=
\frac{3}{2}
II.) n
=
\frac{3}{2}
so wird
x
=
\frac{17}{12}
III.) n
=
\frac{17}{12}
so wird
x
=
\frac{577}{408}
N 3
wel-
Erster Abschnitt.
welcher letztere Werth dem √2 schon so nahe kommt, daß das Quadrat davon =
\frac{332929}{166464}
nur um
\frac{1}{166464}
groͤßer ist als 2.
227.
Eben so kan man verfahren, wann die Cubic-Wur- zel oder eine noch hoͤhere Wurzel durch die Naͤherung gefunden werden soll.
Es sey gegeben diese Cubische Gleichung
x
3
= a
oder man verlange √
a
zu finden; dieselbe sey nun bey nahem =
n
und man setze
x = n + p
; so wird, wann man
p p
und die hoͤheren Potestaͤten davon weglaͤßt,
x
3
= n
3
+ 3 nn p = a
: dahero 3
nn p = a - n
3
und
p = \frac{a - n^{3}}{3 nn}
: folglich
x = \frac{2 n^{3} + a}{3nn}
. Kommt also
n
dem ∛
a
schon nahe, so kommt diese Form noch weit naͤher. Setzt man nun diesen neuen Werth wiederum fuͤr
n
so wird diese Formel der Wahrheit noch weit naͤher kom- men, und so kann man fortgehen so weit als man will. Es sey z. E.
x
3
= 2 oder man verlange ∛ 2 zu finden, welchen die Zahl
n
schon ziemlich nahe komme, so wird diese Formel
x = \frac{2 n^{3} + 2}{3nn}
noch naͤher kommen; also setze man.
I.)
Von den Algebraischen Gleichungen.
I.) n
= 1 so wird
x
=
\frac{4}{3}
II.) n
=
\frac{4}{3}
so wird
x
=
\frac{91}{72}
III.) n
=
\frac{91}{72}
so wird
x
=
\frac{162130895}{128634294}
228.
Diese Methode kann mit gleichem Fortgang ge- braucht werden um die Wurzel aus allen Gleichun- gen durch Naͤherungen zu finden. Es sey zu diesem Ende die folgende allgemeine Cubische Gleichung ge- geben
x
3
+ a xx + b x + c
= 0, wo
n
einer Wur- zel derselben schon ziemlich nahe kommt; man setze da- her
x = n - p
und da
p
ein Bruch seyn wird, so laße man
pp
und die hoͤhern Potestaͤten davon weg; solcher gestalt bekommt man
xx = nn - 2 n p
und
x
3
= n
3
— 3 n n p
, woraus diese Gleichung entsteht:
n
3
- 3 n n p + a n n - 2 a n p + b n - b p + c
= 0, oder
n
3
+ a n n + b n + c = 3 n n p + 2 a n p + b p = (3 n n + 2 a n + b) p
: dahero
p = \frac{n^{3} + ann + bn + c}{3n n + 2 a n + b}
und folglich bekommen wir fuͤr
x
folgenden genaueren Werth
x = n - \left(\frac{n^{3} + ann + bn + c}{3 n n + 2 a n + b}\right) = \frac{2n^{3} + ann - c}{3nn + 2an + b}
. Setzt man nun diesen neuen Werth wiederum fuͤr
n
, so erhaͤlt man dadurch einen, der der Wahrheit noch naͤher kommt.
N 4
229.
Erster Abschnitt
229.
Es sey z. E.
x
3
+ 2 x x + 3 x
- 50 = 0, wo
a
= 2,
b
= 3 und
c
= - 50, dahero wann
n
einer Wurzel schon nahe kommt, so wird ein noch naͤherer Werth seyn
x = \frac{2 n^{3} + 2nn + 50}{3nn + 4n + 3}
. Nun aber kommt der Werth
x
= 3 der Wahrheit schon ziemlich nahe; dahero setze man
n
= 3 so bekommt man
x
=
\frac{62}{21}
. Wollte man nun diesen Werth wiederum fuͤr
n
schreiben, so wuͤrde man einen neuen Werth bekommen, der der Wahrheit noch weit naͤher kaͤme.
230.
Von hoͤheren Gleichungen wollen wir nur dieses Exempel beyfuͤgen
x
5
= 6x
+ 10 oder
x
5
- 6x
- 10 = 0, wo leicht zu ersehen, daß 1 zu klein und 2 zu groß sey. Es sey aber
x = n
ein schon naher Werth und man setze
x = n + p
, so wird
x
5
= n
5
+ 5 n
4
p
und also
n
5
+ 5n
4
p = 6 n + 6 p
+ 10,
o
der 5
n
4
p - 6 p = 6 n + 10 - n
5
und folglich
p
=
\frac{6n + 10 - n^{5}}{5n - 6}
und dahero
x
=
\frac{4n^{5} + 10}{5n^{4} - 6}
. Man setze nun
n
= 1 so wird
x
=
\frac{14}{-1}
= - 14, welcher Werth gantz ungeschickt ist, so daher ruͤhrt daß der nahe Werth
n
gar zu klein war, man setze dahero
n
= 2 so wird
x
=
\frac{138}{74}
=
\frac{69}{77}
, welcher der Wahrheit schon
weit
Von den Algebraischen Gleichungen.
weit naͤher kommt. Wollte man sich nun die Muͤhe geben, und fuͤr
n
diesen Bruch
\frac{69}{37}
schreiben, so wuͤrde man zu einem noch weit genauern Werth der Wurzel
x
gelangen.
231.
Dieses ist nun die bekanteste Art die Wurzeln der Gleichung durch Naͤherungen zu finden, welche auch in allen Faͤllen mit Nutzen kann angebracht wer- den.
Jedoch wollen wir noch eine andere Art anzeigen welche wegen der Leichtigkeit der Rechnung unsere Aufmercksamkeit verdienet. Der Grund derselben be- ruhet darauf, daß man fuͤr eine jede Gleichung eine Reihe von Zahlen suche, als
a
,
b
,
c
, etc. die so be- schaffen sind, daß ein jedes Glied durch das vorher- gehende dividirt den Werth der Wurzel um so viel ge- nauer anzeige, je weiter man diese Reihe Zahlen fort- setzet.
Laßt uns setzen, wir seyen damit schon gekommen bis zu den Gliedern
p
,
q
,
r
,
s
,
t
, etc. so muß
\frac{q}{p}
die Wurzel
x
schon ziemlich genau anzeigen, oder es wird seyn
\frac{q}{p}
=
x
beylaͤufig.
N 5
Eben
Erster Abschnitt
Eben so wird man auch haben
\frac{r}{q}
=
x
, woraus wir durch die Multiplication erhalten
\frac{r}{p}
=
xx
. Da ferner auch
\frac{s}{r}
=
x
so wird ebenfals
\frac{s}{p}
=
x
3
, und da weiter
\frac{t}{s}
=
x
so wird
\frac{t}{p}
=
x
4
, und so weiter.
232.
Um dieses zu erlaͤutern, wollen wir mit dieser Quadratischen Gleichung anfangen
xx = x
+ 1, und in der obgedachten Reihe von Zahlen kaͤmen nun diese Glieder vor
p
,
q. r
,
s
,
t
, etc. Da nun
\frac{q}{p}
=
x
und
\frac{r}{p}
=
xx
, so erhalten wir daraus diese Gleichung:
\frac{r}{p}
=
\frac{q}{p}
+ 1 oder
q + p = r
. Eben so wird auch seyn
s = r + q
und
t = s + r
; woraus wir erkennen, daß ein iedes Glied unserer Reihe Zahlen die Summe ist der beyden vorhergehenden, wodurch die Reihe so weit man will leicht kann fortgesetzt werden, wann man nur einmahl die zwey ersten Glieder hat; dieselben aber kann man nach Belieben annehmen. Dahero setze man dafuͤr 0, 1, so wird unsere Reihe also herauskommen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. wo von den entfernteren Gliedern ein jedes durch das vorhergehende dividirt den Werth fuͤr
x
so viel ge- nauer anzeigen wird, als man die Reihe weiter
fort-
Von den Algebraischen Gleichungen.
fortgesetzt. Von Anfang ist zwar der Fehler sehr groß, wird aber je weiter man geht geringer. Diese der Wahrheit immer naͤher kommende Werthe fuͤr
x
ge- hen demnach fort wie folget:
x
=
\frac{1}{0}
,
\frac{1}{1}
,
\frac{2}{1}
,
\frac{3}{2}
,
\frac{5}{3}
,
\frac{8}{5}
,
\frac{13}{8}
,
\frac{21}{13}
,
\frac{34}{21}
,
\frac{55}{34}
,
\frac{89}{55}
,
\frac{144}{89}
etc. wovon z. E.
x
=
\frac{21}{13}
giebt
\frac{441}{169}
=
\frac{21}{13}
+ 1 =
\frac{442}{169}
, wo der Fehler nur
\frac{1}{169}
betraͤgt, die folgende Bruͤche aber kommen der Wahrheit immer naͤher.
233.
Laßt uns nun auch diese Gleichung betrachten
xx = 2x
+ 1, und weil allezeit
x
=
\frac{q}{p}
und
xx
=
\frac{r}{p}
, so erhalten wir
\frac{r}{p}
=
\frac{2q}{p}
+ 1, oder
r = 2q + p
; woraus wir erkennen, daß ein jedes Glied doppelt genommen nebst dem vorhergehenden das folgende giebt. Wann wir also wiederum mit 0, 1 anfangen so bekommen wir folgende Reihe:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, etc.
daher der gesuchte Werth von
x
immer genauer durch folgende Bruͤche ausgedruͤckt wird,
x
=
\frac{1}{0}
,
\frac{2}{1}
,
\frac{5}{2}
,
\frac{12}{5}
,
\frac{29}{12}
,
\frac{70}{29}
,
\frac{169}{70}
,
\frac{402}{169}
, etc. welche folglich dem wahren Werth
x
= 1 + √2 immer naͤ-
her
Erster Abschnitt
her kommen. Nimmt man nun 1 weg so geben folgen- de Bruͤche den Werth von √2 immer genauer
\frac{1}{0}
,
\frac{1}{1}
,
\frac{3}{2}
,
\frac{7}{5}
,
\frac{17}{12}
,
\frac{41}{29}
,
\frac{99}{70}
,
\frac{239}{169}
etc. von welchen
\frac{99}{70}
zum Quadrat hat
\frac{9801}{4900}
, so nur um
\frac{1}{4900}
groͤßer ist als 2.
234.
Bey hoͤhern Gleichungen findet diese Methode ebenfalls statt, als wann diese Cubische Gleichung ge- geben waͤre:
x
3
= xx + 2x
+ 1 so setze man
x
=
\frac{q}{p}
,
xx
=
\frac{r}{p}
und
x
3
=
\frac{s}{p}
, und da bekommt man
s = r + 2q + p
, wor- aus man sieht wie man aus drey Gliedern
p
,
q
und
r
das folgende
s
finden soll, wo man wiederum den An- fang nach Belieben machen kann, eine solche Reihe wird demnach seyn. 0, 0, 1, 1, 3, 6, 13, 28, 60, 129, etc. woraus folgende Bruͤche den Werth fuͤr
x
immer ge- nauer geben werden.
x
=
\frac{0}{0}
,
\frac{1}{0}
,
\frac{1}{1}
,
\frac{3}{1}
,
\frac{6}{3}
,
\frac{13}{6}
,
\frac{28}{13}
,
\frac{60}{28}
,
\frac{129}{60}
, etc.
wovon die ersten graͤulich fehlen, dieser aber
x
=
\frac{60}{28}
=
\frac{15}{7}
in der Gleichung giebt
\frac{3375}{343}
=
\frac{225}{49}
+
\frac{30}{7}
+ 1 =
\frac{3388}{348}
wo der Fehler
\frac{13}{343}
ist.
235.
Von den Algebraischen Gleichungen.
235.
Es ist aber hier wohl zu bemercken, daß nicht alle Gleichungen so beschaffen sind, daß man darauf die- se Methode anwenden koͤnne; insonderheit wo das zwey- te Glied fehlt, kann dieselbe nicht gebraucht werden. Dann es sey z. E.
x x
= 2 und man wollte setzen
x
=
\frac{q}{p}
und
x x
=
\frac{r}{p}
so wuͤrde man bekommen
\frac{r}{p}
= 2 oder
r = 2p
das ist
r = 0 q + 2 p
, woraus diese Reihe Zahlen entstuͤnde: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 16, 16, 32, 32, etc. daraus nichts geschloßen werden kann, indem ein je- des Glied durch das vorhergehende dividirt, entweder
x
= 1 oder
x
= 2 giebt. Es kann aber diesem gehol- fen werden, wann man setzt
x = y
- 1: dann bekommt man
yy + 2y
- 1 = 2, und wann man hier setzt
y
=
\frac{q}{p}
und
yy
=
\frac{r}{p}
so erhaͤlt man die schon oben gegebene Naͤhe- rung.
236.
Eben so verhaͤlt es sich auch mit dieser Gleichung
x
3
= 2, aus welcher eine solche Reihe Zahlen nicht gefunden wird, die uns den Werth von ∛ 2 anzeigte.
Man
Erster Abschnitt
Man darf aber nur setzen
x = y
- 1 um diese Gleichung zu bekommen
y
3
- 3yy + 3y
- 1 = 2, oder
y
3
= 3yy — 3y
+ 3. Setzt man nun fuͤr die Reihe Zahlen
y
=
\frac{q}{p}
,
y y
=
\frac{r}{p}
und
y
3
=
\frac{s}{p}
; so wird seyn
s = 3 r - 3 q + 3p
; woraus man sieht, wie aus drey Gliedern das fol- gende zu bestimmen. Man nimmt also die drey ersten Glieder nach Belieben an: als z. E. 0, 0, 1, so bekommt man diese Reihe: 0, 0, 1, 3, 6, 12, 27, 63, 144, 324, etc. wovon die zwey letzten Glieder geben
y
=
\frac{324}{144}
und
x
=
\frac{5}{4}
, welcher Bruch auch der Cubic-Wurzel aus 2 ziem- lich nahe kommt, denn der Cubus von
\frac{5}{4}
ist
\frac{125}{64}
dage- gen ist 2 =
\frac{128}{64}
.
237.
Bey dieser Methode ist noch ferner zu bemercken, daß wann die Gleichung eine Rational-Wurzel hat, und der Anfang der Reihe also angenommen wird, daß daraus diese Wurzel herauskomme, so wird auch ein jegliches Glied derselben, durch das vorher- gehende dividirt, eben dieselbe Wurzel genau geben.
Um dieses zu zeigen, so sey diese Gleichung ge- geben
xx = x
+ 2, worinn eine Wurzel ist
x
= 2; da
man
Von den Algebraischen Gleichungen.
man nun fuͤr die Reihe diese Formel hat
r = q + 2 p
, wann man den Anfang setzt 1, 2, so erhaͤlt man diese Reihe 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. welches eine Geometrische Progression ist, deren Nenner = 2.
Eben dieses erhellet auch aus dieser Cubischen Gleichung
x
3
= x x + 3 x
+ 9, wovon eine Wurzel ist
x
= 3. Setzt man nun fuͤr den Anfang der Reihe 1, 3, 9, so findet man aus der Formel
s = r + 3 q + 9 p
diese Reihe 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, etc. welches wieder eine Geometrische Progression ist, de- ren Nenner = 3.
238.
Weicht aber der Anfang der Reihe von dieser Wurzel ab, so folgt daraus nicht, daß man dadurch immer genauer zu derselben Wurzel kommen werde: dann wann die Gleichung mehr Wurzeln hat, so naͤhert sich diese Reihe immer nur der groͤßten Wurzel, und die kleinere erhaͤlt man nicht anders, als wann just der Anfang nach derselben eingerichtet wird. Dieses wird durch ein Exempel deutlich werden. Es sey die Gleichung
xx = 4x
- 3, deren zwey Wurzeln sind
x
= 1 und
x
= 3. Nun ist die Formel fuͤr die Reihe Zahlen
r = 4q - 3p
und setzt man fuͤr den Anfang derselben 1, 1,
nem-
Erster Abschnitt
nemlich fuͤr die kleinere Wurzel, so wird die gantze Reihe 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, etc. Setzt man aber den Anfang 1, 3, worinn die groͤßere Wur- zel enthalten, so wird die Reihe: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, etc. wo alle Glie- der die Wurzel 3 genau angeben. Setzt man aber den Anfang anders, wie man will, nur daß da- rin die kleinere Wurzel nicht genau enthalten ist, so naͤ- hert sich die Reihe immer der groͤßern Wurzel 3, wie aus folgenden Reihen zu sehen:
der Anfang sey 0, 1, 4, 13, 40, 121, 364, etc.
ferner 1, 2, 5, 14, 41, 122, 365, etc.
ferner 2, 3, 6, 15, 42, 123, 366, 1095, etc.
ferner 2, 1, - 2, - 11, - 38, - 118, - 362, — 1091, - 3278, etc.
wo die letzten Glieder durch die vorhergehenden divi- dirt immer der groͤßern Wurzel 3 naͤher kommen, nie- mals aber der kleinern.
239.
Von den Algebraischen Gleichungen.
239.
Diese Methode kann auch so gar auf Gleichun- gen, die in das unendliche fortlaufen, angewendet wer- den, zum Exempel diene diese Gleichung
x
∞
= x
∞—1
+ x
∞—2
+ x
∞—3
+ x
∞—4
+ etc.
fuͤr welche die Reihe Zahlen so beschaffen seyn muß, daß eine jede gleich sey der Summe aller vorhergehen- den, woraus diese Reihe entsteht
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc.
woraus man sieht, daß die groͤßte Wurzel dieser Glei- chung sey
x
= 2, gantz genau; welches auch auf die- se Art gezeigt werden kann. Man theile die Glei- chung durch
x
∞
, so bekommt man 1 =
\frac{1}{x}
+
\frac{1}{x^{2}}
+
\frac{1}{x^{3}}
+
\frac{1}{x^{4}}
etc. welches eine Geome- trische Progression ist, davon die Summe gesunden wird =
\frac{1}{x - 1}
also daß 1 =
\frac{1}{x - 1}
; multiplicire mit
x
- 1, so wird
x
- 1 = 1 und
x
= 2.
240.
Außer diesen zwey Methoden die Wurzel der Glei- chung durch Naͤherung zu finden, trift man hin und wieder noch andere an, welche aber entweder zu muͤh- sam, oder nicht allgemein sind. Vor allen aber ver-
II
Theil
O
die-
Erster Abschnitt
dienet die hier zuerst erklaͤrte Methode den Vorzug, als welche auf alle Arten von Gleichungen mit er- wuͤnschtem Erfolg kann angewendet werden, dahinge- gen die andere oͤfters eine gewiße Vorbereitung in der Gleichung erfordert, ohne welche dieselbe nicht ein- mahl gebraucht werden kann, wie wir hier bey ver- schiedenen Exempeln dargethan haben.
Ende des ersten Abschnits von den Alge- braischen Gleichungen, und derselben Aufloͤsung.
des Zweyten Theils Zweyter Abschnitt
Von der unbestimmten Analytic.
O 2
Capitel
1. Von der Aufloͤsung der einfachen Gleichun- gen, worinnen mehr als eine unbekannte Zahl vorkommt.
1
A
us dem obigen ist zu ersehen, wie eine unbe- kante Zahl durch eine Gleichung: zwey unbekante Zahlen aber durch zwey Gleichungen; 3 durch 3; 4 durch 4 und so fort bestimmt werden koͤnnen; also daß alle- zeit eben so viel Gleichungen erfordert werden, als un- bekante Zahlen bestimmt werden sollen, wann anders die Frage selbst bestimmt ist.
O 3
Wann
Zweyter Abschnitt
Wann aber weniger Gleichungen aus der Frage gezogen werden koͤnnen, als unbekante Zahlen ange- nommen worden, so bleiben einige unbestimmt und werden unserer Willkuͤhr uͤberlaßen; dahero solche Fragen unbestimmt genennt werden, und welche einen eigenen Theil der Analytic ausmachen, so die unbe- stimmte Analytic genennt zu werden pflegt.
2.
Da in diesen Faͤllen eine oder mehr unbekante Zahlen nach unserm Belieben angenommen werden koͤnnen, so finden in der That viele Aufloͤsungen statt.
Allein es wird gemeiniglich diese Bedingung hin- zu gefuͤgt, daß die gesuchten Zahlen, gantze und so gar positiv, oder zum wenigsten Rational-Zahlen seyn sollen; wodurch die Anzahl aller moͤglichen Auf- loͤsungen ungemein eingeschraͤnckt wird, also daß oͤfters nur etliche wenige oͤfters zwar auch unendlich viele, welche aber nicht so leicht in die Augen fallen, Platz finden, bisweilen auch so gar keine einzige moͤglich ist. Daher dieser Theil der Analytic oͤfters gantz besondere Kunst-Griffe erfordert, und nicht wenig dienet den Verstand der Anfaͤnger aufzuklaͤren,
und
Von der unbestimmten Analytic.
und denselben eine groͤßere Fertigkeit im Rechnen bey- zubringen.
3.
Wir wollen mit einer der leichtesten Fragen den Anfang machen, und zwey Zahlen suchen, deren Summe 10 seyn soll, wobey es sich versteht, daß die- se Zahlen gantz und Positiv seyn sollen.
Dieselben Zahlen seyen nun
x
und
y
, also daß seyn soll
x + y
= 10, woraus gefunden wird
x
= 10 —
y
, also daß
y
nicht anders bestimmt wird, als daß es eine gantze und positive Zahl seyn soll; man koͤnnte dahero fuͤr
y
alle gantze Zahlen, von 1 bis ins unend- liche annehmen, da aber
x
auch positiv seyn muß, so kann
y
nicht groͤßer als 10 angenommen werden, weil sonsten
x
negativ seyn wuͤrde; und wann auch 0 nicht gelten soll, so kann
y
hoͤchstens 9 gesetzt werden, weil sonsten
x
= 0 wuͤrde; woher nur die folgenden Aufloͤsungen Platz haben:
wann
y
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
so wird
x
= 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Von diesen neun Aufloͤsungen aber sind die vier letztern mit den vier erstern einerley, dahero in allen nur fuͤnf verschiedene Aufloͤsungen statt finden.
O 4
Solten
Zweyter Abschnitt
Sollten drey Zahlen verlangt werden, deren Summe 10 waͤre, so
d
uͤrfte man nur die eine von den hier gefundenen beyden Zahlen noch in zwey Theile zerthei- len, woraus man eine groͤßere Menge Aufloͤsungen er- halten wuͤrde.
4.
Da dieses gar keine Schwierigkeit hat, so wollen wir zu etwas schwereren Fragen fortschreiten.
I.
Frage: Man soll 25 in zwey Theile zertheilen, wovon der eine sich durch 2 der andere aber durch 3 theilen laße?
Es sey der eine Theil 2
x
, der andere 3
y
, so muß seyn 2
x + 3y
= 25. Also 2
x = 25 - 3y.
Man theile durch 2 so kommt
x
=
\frac{2s - 3y}{2}
, woraus wir zuerst sehen, daß 3
y
kleiner seyn muß als 25 und dahero
y
nicht groͤßer als 8. Man ziehe so viel gantze daraus als moͤglich, das ist man theile den Zehler 25 - 3
y
durch den Nenner 2, so wird
x = 12 - y
+
\frac{1 - y}{2}
; also muß sich 1 -
y
oder auch
y
—1 durch 2 theilen laßen. Man setze dahero
y - 1 = 2z
und also
y = 2z
+ 1, so wird
x = 12 - 2z - 1 - z = 11 - 3z
; weil nun
y
nicht groͤßer seyn kann als 8, so koͤn- nen auch fuͤr
z
keine andere Zahlen angenommen werden als solche, die 2
z
+ 1 nicht groͤßer geben als 8. Folglich
muß
Von der unbestimmten Analytic.
muß
z
kleiner seyn als 4, dahero
z
nicht groͤßer als 3 ge- nommen werden kann, woraus diese Aufloͤsungen folgen: Setzt man so wird und
z
= 0,
y
= 1,
x
= 11,
z
= 1,
y
= 3,
x
= 8,
z
= 2,
y
= 5,
x
= 5,
z
= 3.
y
= 7.
x
= 2. dahero die gesuchten zwey Theile von 25 seyn wer- den:
I.)
22 + 3,
II.)
16 + 9,
III.)
10 + 15,
IV.)
4 + 21.
5.
II.
Frage: Man theile 100 in zwey Theile, so daß der erste sich durch 7, der andere aber durch 11 theilen laße?
Der erste Theil sey demnach 7
x
der andere aber 11
y
, so muß seyn 7
x + 11 y
= 100; dahero
x
=
\frac{100 - 11 y}{ 7}
=
\frac{98 + 2 - 7y - 4 y}{7}
, also wird
x = 14 - y
+·
\frac{2 - 4 y}{7}
; also muß 2 - 4
y
oder 4
y
- 2 sich durch 7 theilen laßen. Laͤßt sich aber 4
y
- 2 durch 7 theilen, so muß sich auch die Haͤlfte davon 2
y
- 1 durch 7 theilen laßen, man setze dahero 2
y - 1 = 7z
, oder 2
y = 7z
+ 1, so wird
x = 14 - y + 2z
; da aber seyn muß
O 5
2
y
Zweyter Abschnitt
2
y = 7 z + 1 = 6 z + z
+ 1, so hat man
y = 3 z
+
\frac{z + 1}{2}
. Nun setze man
z + 1 = 2 u
oder
z = 2 u
— 1, so wird
y = 3z + u.
Folglich kann man fuͤr
u
eine jede gantze Zahl nehmen, daraus weder
x
noch
y
negativ wird, und alsdann bekommt man:
y = 7u - 3
und
x = 19 - 11u.
Nach der ersten Formel muß 7
u
groͤßer seyn als 3, nach der andern aber muß 11
u
kleiner seyn als 19, oder
u
kleiner als
\frac{19}{11}
, also daß
u
nicht einmahl 2 seyn kann, da nun
u
unmoͤglich nicht 0 seyn kann, so bleibt nur ein einiger Werth uͤbrig nemlich
u
= 1, daraus bekom- men wir
x
= 8 und
y
= 4; dahero die beyden gesuch- ten Theile von 100 seyn werden
I.
56 und
II.
44.
6.
III.
Frage: Man theile 100 in zwey solche Theile, wann man den ersten theilt durch 5, daß 2 uͤbrig blei- ben, und wann man den zweyten theilt durch 7 daß 4 uͤbrig bleiben?
Da der erste Theil durch 5 dividirt 2 uͤbrig laͤßt, so setze man denselben 5
x
+ 2, und weil der an- dere durch 7 dividirt 4 uͤbrig laͤßt, so setze man densel- ben 7
y
+ 4; also wird 5
x + 7y
+ 6 = 100 oder 5
x = 94 - 7y = 90 + 4 - 5y - 2y
, hieraus
x
= 18
—
y
Von der unbestimmten Analytic.
—
y
-
\frac{2y + 4}{5}
; also muß 4 - 2
y
, oder 2
y
- 4, oder auch die Haͤlfte davon
y
- 2 durch 5 theilbahr seyn. Man setze dahero
y - 2 = 5 z
oder
y = 5 z
+ 2, so wird
x = 16 - 7z
; woraus erhellet daß 7
z
kleiner seyn muß als 16, folglich
z
kleiner als
\frac{16}{7}
und also nicht groͤßer als 2. Wir haben also hier drey Aufloͤsungen.
I. z
= 0, giebt
x
= 16, und
y
= 2; woraus die beyden gesuchten Theile von 100 seyn werden 82 + 18.
II. z
= 1, giebt
x
= 9, und
y
= 7; woraus die beyden Theile seyn werden 47 + 53.
III. z
= 2, giebt
x
= 2, und
y
= 12; woraus die beyden Theile sind 12 + 88.
7.
IV.
Frage; Zwey Baͤuerinnen haben zusam- men 100 Eyer, die erste spricht; wann ich die mei- nigen je zu 8 uͤberzaͤhle, so bleiben 7 uͤbrig, die an- dere spricht: wann ich die meinigen zu 10 uͤberzaͤhle so bleiben mir auch 7 uͤbrig; wie viel hat jede Eyer gehabt?
Weil die Zahl der ersten durch 8 dividirt 7 uͤbrig laͤßt, die Zahl der andern aber durch 10 dividirt auch 7 uͤbrig laͤßt, so setze man die Zahl der ersten
8
x
Zweyter Abschnitt
8
x
+ 7, der andern aber 10
y
+ 7, also daß 8
x + 10 y
+ 14 = 100, oder 8
x = 86 - 10 y
, oder 4
x = 43 — 5y = 40 + 3 - 4y - y
; dahero setze man
y - 3 = 4z
so wird
y = 4z + 3
und
x = 10 - 4z - 3 - z = 7 - 5z
, folglich muß 5
z
kleiner seyn als 7 und also
z
kleiner als 2, woraus diese zwey Aufloͤsungen entspringen:
I. z
= 0, giebt
x
= 7, und
y
= 3: dahero die erste Baͤuerin gehabt hat 63 Eyer, die andere aber 37.
II. z
= 1, geibt
x
= 2, und
y
= 7; dahero die erste Baͤuerin gehabt hat 23 Eyer die andere aber 77.
8.
V.
Frage: Eine Gesellschaft von Maͤnnern und Weibern haben zusammen verzehrt 1000 Copeken. Ein Mann hat bezahlt 19 Cop. eine Frau aber 13 Cop. wie viel sind es Maͤnner und Weiber gewesen?
Die Zahl die Maͤnner sey =
x
der Weiber aber =
y
, so bekommt man diese Gleichung 19
x + 13y
= 1000. Daraus wird 13
y = 1000 - 19x
oder 13
y = 988 + 12 - 13x - 6x
, also wird
y = 76 - x
+
\frac{12 - 6 x}{13}
; also muß sich 12 - 6
x
oder 6
x
- 12, und auch der sechste Theil davon
x
- 2 durch 13 theilen laße. Man setze also
x - 2 = 13z
, so wird
x = 13z + 2
und
Von der unbestimmten Analytic.
und
y = 76 - 13z - 2 - 6z
oder
y = 74 - 19 z
; also muß
z
kleiner seyn als
\frac{74}{19}
und folglich kleiner als 4, dahero folgende vier Aufloͤsungen Platz finden:
I.) z
= 0, giebt
x
= 2 und
y
= 74. Also waren 2 Maͤnner und 74 Weiber; jene haben bezahlt 38 Cop. diese aber 962 Cop.
II.) z
= 1, giebt die Zahl der Maͤnner
x
= 15 und die Zahl der Weiber
y
= 55; jene haben verzehrt 285 Cop. diese aber 715 Cop.
III.) z
= 2, giebt die Zahl der Maͤnner
x
= 28 und die Zahl der Weiber
y
= 36; jene haben verzehrt 532 Cop. diese aber 468 Cop.
IV.) z
= 3, giebt die Zahl der Maͤnner
x
= 41, und die Zahl der Weiber
y
= 17; jene haben verzehrt 779 Cop. diese aber 221 Cop.
9.
VI.
Frage: Ein Amtman kauft Pferde und Och- sen zusammen fuͤr 1770 Rthl. Zahlt fuͤr ein Pferd 31 Rthl. fuͤr einen Ochsen aber 21 Rthl. wie viel sind es Pferde und Ochsen gewesen?
Die Zahl der Pferde sey =
x
der Ochsen aber =
y
, so muß seyn: 31
x + 21y
= 1770 oder 21
y
= 1770
— 31
x
Zweyter Abschnitt
— 31
x = 1764 + 6 - 21x - 10 x
, und also
y = 84 — x
+
\frac{6 - 10x}{21}
; dahero muß 10
x
- 6 und also auch die Haͤlfte 5
x
- 3 durch 21 theilbahr seyn: man setze also 5
x - 3 = 21z
, dahero 5
x = 21z
+ 3 also daß
y = 84 — x - 2z.
Da nun
x
=
\frac{21 z + 3}{5}
oder
x = 4z
+
\frac{z + 3}{5}
, so setze man
z + 3 = 5u
, so wird
z = 5u
- 3,
x = 21u
— 12 und
y = 84 - 21u + 12 - 10u + 6 = 102 - 31u
; dahero
u
groͤßer seyn muß als 0 und doch kleiner als 4, woraus wir diese drey Aufloͤsungen erhalten:
I.) u
= 1 giebt die Zahl der Pferde
x
= 9 und der Ochsen
y
= 71; jene haben gekost 279 Rthl. diese aber 1491, zusammen 1770 Rthl.
II.) u
= 2 giebt die Zahl der Pferde
x
= 30 und der Ochsen
y
= 40; jene haben gekost 930 Rthl. diese aber 840, zusammen 1770 Rthl.
III.) u
= 3 giebt die Zahl der Pferde
x
= 51 und der Ochsen
y
= 9; jene haben gekost 1581 Rthl. diese aber 189 Rthl. zusammen 1770 Rthl.
10.
Die bisherigen Fragen leiten auf eine solche Gleichung
ax + by = c
, wo
a
,
b
, und
c
gantze und
po-
Von der unbestimmten Analytic.
positive Zahlen bedeuten, und fuͤr
x
und
y
auch gan- tze und positive Zahlen gefordert werden.
Wann aber
b
negativ ist, und die Gleichung eine solche Form erhaͤlt
ax = by + c
, so sind die Fra- gen von einer gantz andern Art, und laßen eine unend- liche Menge Aufloͤfungen zu, wovon die Methode noch in diesem Capitel erklaͤret werden soll. Die leichtesten Fragen von dieser Art sind dergleichen. Wann man z. E. zwey Zahlen sucht, deren Differenz seyn soll 6: so setze man die kleinere =
x
die groͤßere =
y
, und da muß seyn
y - x
= 6, folglich
y = 6 + x.
Hier hindert nun nicht, daß nicht vor
x
alle moͤgliche gantze Zahlen sollten genommen werden koͤnnen, und was man im- mer vor eine nimmt, so wird
y
allezeit um 6 groͤßer. Nehme man z. E.
x
= 100 so waͤre
y
= 106; woraus gantz klar ist, daß unendlich viel Auffloͤsungen statt fin- den.
11.
Hernach folgen die Fragen, wo
c
= 0 und
ax
schlecht weg dem
by
gleich seyn soll. Man suche nem- lich eine Zahl, die sich so wohl durch 5 als auch durch 7 theilen laße, und setze diese Zahl =
N
, so muß erst- lich seyn
N = 5x
, weil die Zahl
N
durch 5 theilbahr seyn soll; hernach muß auch seyn
N = 7y
, weil sich
die-
Zweyter Abschnitt
diese Zahl auch durch 7 soll theilen laßen: dahero be- kommt man 5
x = 7y
und also
x
=
\frac{7y}{5}
; da sich nun 7 nicht theilen laͤßt durch 5, so muß sich
y
dadurch theilen laßen. Man setze demnach
y = 5z
, so wird
x = 7z
, dahero die gesuchte Zahl
N = 35 z
, wo man fuͤr
z
eine jede gantze Zahl annehmen kann, also daß fuͤr
N
unendlich viel Zahlen angegeben werden koͤn- nen, welche sind: 35, 70, 105, 140, 175, 910, etc.
Wollte man, daß sich die Zahl
N
noch uͤber dieses durch 9 theilen ließe, so waͤre erstlich
N = 35 z
, her- nach muͤßte auch seyn
N = 9 u
allso 35
z = 9u
und dar- aus
u
=
\frac{35 z}{9}
: woraus klar ist, daß sich
z
durch 9 muß theilen laßen. Es sey demnach
z = 9 s
, so wird
u = 35s
und die gesuchte Zahl
N = 315s.
12.
Mehr Schwierigkeit hat es, wann die Zahl
c
nicht 0 ist, als wann seyn soll 5
x = 7y
+ 3, welche Glei- chung herauskommt, wann eine solche Zahl
N
gefun- den werden soll, welche sich erstlich durch 5 theilen laße; wann aber dieselbe durch 7 dividirt wird 3 uͤbrig bleiben, dann alsdann muß seyn
N = 5x
, hernach aber
N = 7y
Von der unbestimmten Analytic.
N = 7y
+ 3 und deswegen wird 5
x = 7y
+ 3 folg- lich
x
=
\frac{7y + 3}{5}
=
\frac{5y + 2 y + 3}{5}
=
y
+
\frac{2y + 3}{5}
. Man setze 2
y + 3 = 5 z
, so wird
x = y + z
; da aber 2
y + 3 = 5 z
, oder 2
y = 5 z
- 3, so wird
y
=
\frac{5z - 1}{2}
, oder
y = 2 z
+
\frac{z - 3}{2}
. Man setze nun
z - 3 = 2 u
so wird
z = 2 u
+ 3 und
y = 5u
+ 6, und
x = y + z = 7u
+ 9; folglich die gesuchte Zahl
N = 35 u
+ 45, wo fuͤr
u
alle gantze Zahlen koͤnnen angenommen werden, auch so gar negative, wann nur
N
positiv wird, welches hier geschiehet wann
u
= - 1, dann da wird
N
= 10; die fol- genden erhaͤlt man, wann man dazu immer 35 addirt, dahero die gesuchte Zahlen sind 10, 45, 80, 115, 150, 185, 220, etc.
13.
Die Aufloͤsung solcher Fragen beruhet auf die Verhaͤltniß der beyden Zahlen, wodurch getheilt wer- den soll, und nach der Beschaffenheit derselben wird die Aufloͤsung bald kuͤrtzer bald weitlaͤuffiger: fol- gende Frage leidet eine kurtze Aufloͤsung.
VII.
Frage: Man suche eine Zahl, welche durch 6 dividirt, 2 uͤbrig laße, durch 13 aber dividirt 3 uͤbrig laße?
II
Theil
P
Die-
Zweyter Abschnitt
Diese Zahl sey
N
, so muß erstlich seyn
N = 6x
+ 2 hernach aber
N = 13 y
+ 3; also wird 6
x + 2 = 13 y
+ 3 und 6
x = 13 y
+ 1, daher
x
=
\frac{13 y + 1}{6}
= 2
y
+
\frac{y + 1}{6}
. Man setze also
y + 1 = 6 z
, so wird
y = 6z
- 1 und
x = 2 y + z = 13 z
- 2; folglich wird die gesuchte Zahl
N = 78 z
- 10. Solche Zahlen sind demnach fol- gende 68, 146, 224, 302, 380, etc. welche nach einer Arithmetischen Progression fortgehen, deren Differenz ist 78 = 6. 13. Wann man also nur eine von diesen Zahlen weis, so laßen sich alle uͤbrigen leicht finden, indem man nur noͤthig hat 78 immer dazu zu addiren, oder auch davon zu subtrahiren, so lange es angeht.
14.
Ein Exempel, wo es schwerer wird, mag folgendes seyn.
VIII.
Frage: Man suche eine Zahl
N
welche durch 39 dividirt, 16 uͤbrig laße und durch 56 dividirt, 27 uͤbrig laße?
Erstlich muß also seyn
N = 39 p
+ 16 hernach aber
N = 56 q
+ 27; dahero wird 39
p + 16 = 56q
+ 27, oder 39
p = 56q
+ 11 und
p
=
\frac{56q + 11}{39}
, oder
p = q
+
Von der unbestimmten Analytic.
+
\frac{17q + 11}{39}
=
q + r
; also daß
r
=
\frac{17q + 11}{39}
: daher wird 39
r = 17q
+ 11 und
q
=
\frac{39r - 11}{17}
= 2
r
+
\frac{5r - 11}{17}
= 2
r + s
; also daß
s
=
\frac{5r - 11}{17}
oder 17
s = 5 r
- 11, daher wird
r
=
\frac{17s + 11}{5}
= 3
s
+
\frac{2s + 11}{5}
= 3
s + t
; also daß
t
=
\frac{2s + 11}{5}
, oder 5
t = 2s
+ 11 und so wird
s
=
\frac{5t - 11}{2}
= 2
t
+
\frac{t - 11}{2}
= 2
t + u
; also daß
u
=
\frac{t - 11}{2}
und
t = 2u
+ 11. Da nun kein Bruch mehr vorhanden, so kann man
u
nach Belieben annehmen und daraus er- halten wir ruͤckwaͤrts folgende Bestimmungen
t = 2u
+ 11
s = 2t + u = 5u
+ 22
r = 3s + t = 17u
+ 77
q = 2r + s = 39u
+ 176
p = q + r = 56u
+ 253
und endlich
N = 39.56 u
+ 9883. Um die kleinste Zahl fuͤr
N
zu finden, setze man
u
= - 4, so wird
N
= 1147: setzt man
u = x
- 4, so wird
N = 2184x
— 8736 + 9883, oder
N = 2184x
+ 1147. Diese Zah- len machen demnach eine Arithmetische Progression, deren erstes Glied ist 1147 und die Differenz = 2184. Diese Zahlen sind demnach 1147, 3331, 5515, 7699, 9883, etc.
P 2
15.
Zweyter Abschnitt.
15.
Zur Uebung wollen wir noch einige Fragen bey- fuͤgen:
IX.
Frage: Eine Gesellschaft von Maͤnnern und Weibern sind in einem Wirtshaus: ein Mann verzehrt 25 Cop. ein Weib aber 16 Cop. und es fin- det sich, daß die Weiber insgesammt einen Cop. mehr verzehrt haben, als die Maͤnner; wie viel sind es Maͤnner und Weiber gewesen?
Die Zahl der Weiber sey gewesen =
p
, der Maͤn- ner aber =
q
, so haben die Weiber verzehrt 16
p
, die Maͤnner aber 25
q
; dahero muß seyn 16
p = 25q
+ 1 und da wird
p
=
\frac{25q + 1}{16}
=
q
+
\frac{9q + 1}{16}
=
q + r
; also daß
r
=
\frac{9q + 1}{16}
oder 9
q = 16 r
- 1; dahero wird
q
=
\frac{16r - 1}{9}
=
r
+
\frac{7r - 1}{9}
=
r + s
, also daß
s
=
\frac{7r - 1}{9}
, oder 9
s = 7 r
- 1; dahero wird
r
=
\frac{9s + 1}{7}
=
s
+
\frac{2s + 1}{7}
=
s + t
, also daß
t
=
\frac{2s + 1}{7}
oder 7
t = 2 s
+ 1; dahero wird
s
=
\frac{7t - 1}{2}
= 3
t
+
\frac{t - 1}{2}
= 3
t + u
, also daß
u
=
\frac{t - 1}{2}
oder 2
u = t
- 1, dahero
t = 2u
+ 1. Hieraus erhalten wir nun ruͤckwaͤrts:
t = 2u
+ 1
s = 3t + u = 7u
+ 3
r = s
Von der unbestimmten Analytic.
r = s + t = 9u
+ 4
q = r + s = 16u
+ 7
p = q + r = 25u
+ 11
dahero war die Anzahl der Weiber 25
u
+ 11, der Maͤnner aber 16
u
+ 7, wo man fuͤr
u
in gantzen Zahlen anehmen kann was man will. Die kleinere Zahlen sind demnach nebst den folgenden wie hier stehet.
Anzahl der Weiber: = 11, 36, 61, 86, 111, etc.
der Maͤnner: = 7, 23, 39, 55, 71, etc.
Nach der ersten Aufloͤsung in die kleinste Zahlen haben die Weiber verzehrt 176 Cop. die Maͤnner aber 175; also die Weiber einen Cop. mehr als die Maͤnner.
16.
X.
Frage: Einer kauft Pferde und Ochsen, zahlt fuͤr ein Pferd 31 Rthl. fuͤr einen Ochsen aber 20 Rthl. und es findet sich daß die Ochsen insgesammt 7 Rthl. mehr gekostet haben als die Pferde: wie viel sind es Ochsen und Pferde gewesen?
Es sey die Anzahl der Ochsen =
p
, der Pferde aber =
q
, so muß 20
p = 31q
+ 7 dahero
p
=
\frac{31q + 7}{20}
P 3
=
q
Zweyter Abschnitt
=
q
+
\frac{11q + 7}{20}
=
q + r
, dahero 20
r = 11q
+ 7, und
q
=
\frac{20r - 7}{11}
=
r
+
\frac{9r - 7}{11}
=
r + s
; dahero 11
s = 9r
- 7 und
r
=
\frac{11s + 7}{9}
=
s
+
\frac{2s + 7}{9}
=
s + t
, dahero 9
t = 2s
+ 7, und
s
=
\frac{9 t - 7}{2}
= 4
t
+
\frac{t - 7}{2}
= 4
t + u
, dahero 2
u = t
- 7, und
t = 2u
+ 7
s = 4t + u = 9u
+ 28
r = s + t = 11u
+ 35
q = r + s = 20u
+ 63 Zahl der Pferde
p = q + r = 31u
+ 98 Zahl der Ochsen.
Hieraus findet man die kleinsten positiven Zah- len fuͤr
p
und
q
, wann man setzt
u
= - 3; die groͤßere steigen nach Arithmetischen Progressionen wie folgt.
Zahl der Ochsen
p
= 5, 36, 67, 98, 129, 160,
191, 222, 253, etc.
Zahl der Pferde
q
= 3, 23, 43, 63, 83, 103,
123, 143, 163, etc.
17.
Wann wir bey diesem Exempel erwegen, wie die Buchstaben
p
und
q
durch die folgende bestimmt werden, so ist leicht einzusehen, daß solches auf
der
Von der unbestimmten Analytic.
der Verhaͤltniß der Zahlen 31 und 20 beruhet, und zwar auf derjenigen, nach welcher der groͤßte gemeine Thei- ler dieser beyden Zahlen gefunden zu werden pflegt, wie aus folgendem erhellet:
Dann hier ist klar, daß die Quotienten in der auf einander folgenden Bestimmung der Buchstaben
p
,
q
,
r
,
s
, etc. vorkommen und mit dem ersten Buchstaben auf der rechten Hand verbunden sind, indem der letztere immer einfach bleibt; bey der letzten Gleichung aber kommt allererst die Zahl 7 zum Vor- schein und zwar mit dem Zeichen
plus
, weil die letz-
P 4
te
Zweyter Abschnitt
te Bestimmung die fuͤnfte ist, waͤre aber die Zahl der- selben gerad gewesen, so haͤtte - 7 gesetzt werden muͤ- ßen. Solches wird deutlicher erhellen aus der folgenden Tabelle, wo erstlich die Zergliederung der Zahlen 31 und 20, und hernach die Bestimmung der Buchstaben
p
,
q
,
r
, etc. vorkommt.
31 = 1. 20 + 11. 20 = 1. 11 + 9. 11 = 1. 9 + 2. 9 = 4. 2 + 1. 2 = 2. 1 + 0.
p = 1. q + r q = 1. r + s r = 1. s + t s = 4. t + u t = 2. u + 7
18.
Auf diese Art kann auch das vorhergehende Exem- pel im 14 ten §. vorgestellt werden, wie folget:
56 = 1. 39 + 17 39 = 2. 17 + 5 17 = 3. 5 + 2 5 = 2. 2 + 1 2 = 2. 1 + 0
p = 1. q + r q = 2. r + s r = 3. s + t s = 2. t + u t = 2. u
+ 11
19
Von der unbestimmten Analytic.
19.
Solcher Gestalt sind wir im Stande alle derglei- chen Exempel auf eine allgemeine Art aufzuloͤsen:
Es sey nemlich gegeben diese Gleichung
bp = aq + n
, wo
a
,
b
und
n
bekante Zahlen sind. Hier muß man nur eben die Operation anstellen, als wann man zwischen den Zahlen
a
und
b
den groͤßten gemeinen Theiler suchen wollte, aus welchen so gleich
p
, und
q
durch die folgende Buchstaben bestimmt werden, wie folget.
Es sey
a = Ab + c
b = Bc + d c = Cd + e d = De + f e = Ef + g f = Fg + o
so wird
p = Aq + r
q = Br + s r = Cs + t s = Dt + u t = Eu + v u = Fv ± n
Hier wird in der letzten Bestimmung +
n
ge- nommen, wann die Anzahl der Bestimmungen unge- rad ist, hingegen aber -
n
; wann dieselbe Zahl gerade ist. Solcher Gestalt koͤnnen nun alle dergleichen Fragen ziemlich geschwind aufgeloͤset werden, wovon wir einige Exempel geben wollen.
P 5
XI.
Zweyter Abschnitt.
20.
XI.
Frage: Es werde eine Zahl gesucht, welche durch 11 dividirt 3 uͤbrig laße, durch 19 aber 5?
Diese Zahl sey
N
dahero muß erstlich seyn
N = 11p
+ 3 hernach auch
N = 19q
+ 5, dahero wird 11
p + 3 = 19q
+ 5 oder 11
p = 19
p
+ 2, woraus die folgende Tabelle verfertiget wird.
19 = 1. 11 + 8 11 = 1. 8 + 3 8 = 2. 3 + 2 3 = 1. 2 + 1 2 = 2. 1 + 0.
p = q + r q = r + s r = 2 s + t s = t + u t = 2u + 2
Wo man
u
nach Belieben annehmen kann, und dar- aus die vorhergehenden Buchstaben der Ordnung nach ruͤckwaͤrts bestimmen, wie folget.
t = 2u
+ 2
s = t + u = 3u
+ 2
r = 2s + t = 8u
+ 6
q = r + s = 11u
+ 8
p = q + r = 19u
+ 14
hier-
Von der unbestimmten Analytic.
hieraus bekommt man die gesuchte Zahl
N = 209 u
+ 157, dahero ist die kleinste Zahl fuͤr
N
, 157.
21.
XII.
Frage: Man suche eine Zahl
N
welche wie vorher durch 11 dividirt 3, und durch 19 dividirt 5 uͤbrig laße; wann dieselbe aber durch 29 dividirt wird, daß 10 uͤbrig bleiben?
Nach der letzten Bedingung muß seyn
N = 29p
+ 10, und da die zwey ersten Bedingungen schon berech- net worden, so muß zufolge derselben seyn wie oben gefunden worden
N = 209u
+ 157, wofuͤr wir schrei- ben wollen
N = 209q
+ 157, dahero wird 29
p + 10 = 209q
+ 157 oder 29
p = 209q
+ 147; woraus die folgende Operation angestellet wird
209 = 7. 29 + 6; also
p = 7q + r
29 = 4. 6 + 5;
q = 4r + s
6 = 1. 5 + 1;
r = s + t
5 = 5. 1 + 0;
s = 5t
- 147
von wannen wir folgender Gestalt zuruͤck gehen
s
=
Zweyter Abschnitt
s = 5 t
- 147
r = s + t = 6 t
- 147
q = 4 r + s = 29 t
- 735
p = 7 q + r = 209t
- 5292
dahero
N = 6061t
- 153458. Die kleinste Zahl kommt heraus, wann man setzt
t
= 26, da wird
N
= 4128.
22.
Es ist aber hier wohl zu bemercken daß wann eine solche Gleichung
b p = a q + n
aufgeloͤßt werden soll, die beyden Zahlen
a
und
b
keinen gemeinen Theiler außer 1 haben muͤßen, dann sonsten waͤre die Frage unmoͤglich, wann nicht die Zahl
n
eben denselben ge- meinen Theiler haͤtte.
Dann wann z. E. seyn sollte 9
p = 15q
+ 2, wo 9 und 15 den gemeinen Theiler 3 haben, wodurch sich 2 nicht theilen laͤßt, so ist es unmoͤglich diese Frage aufzuloͤsen, weil 9
p - 15 q
allezeit durch 3 theilbar ist und also niemahls 2 werden kann, waͤre aber in diesem Fall
n
= 3 oder
n
= 6 etc. so waͤre die Frage wohl moͤglich, man muͤßte aber die Gleichung durch 3 thei- len, da dann herauskaͤme 3
p = 5q
+ 1 welche nach
der
Von der unbestimmten Analytic.
der obigen Regel leicht aufgeloͤset wird. Also sieht man deutlich, daß die beyden Zahlen
a
und
b
keinen gemei- nen Theiler außer 1 haben muͤßen, und daß die vor- gegebene Regel in keinen andern Faͤllen Platz haben kann.
23.
Um dieses deutlicher zu zeigen, wollen wir die Gleichung 9
p = 15q
+ 2 nach dem natuͤrlichen Weg behandeln. Da wird nun
p
=
\frac{15q + 2}{9}
=
q
+
\frac{6q + 2}{9}
=
q + r
, also daß 9
r = 6 q
+ 2 oder 6
q = 9 r
- 2; da- hero
q
=
\frac{9r - 2}{6}
=
r
+
\frac{3r - 2}{6}
=
r + s
, also daß 3
r - 2 = 6s
oder 3
r = 6s
+ 2; dahero
r
=
\frac{6s + 2}{3}
= 2
s
+ ⅔, welches offenbar niemahls eine gantze Zahl werden kann, weil
s
nothwendig eine gantze Zahl seyn muß, woraus offenbar zu ersehen, daß dergleichen Fragen ihrer Na- tur nach unmoͤglich sind.
Capi-
Zweyter Abschnitt
Capitel
2. Von der sogenannten Regel-Coeci, wo aus zwey Gleichungen drey oder mehr unbekante Zahlen bestimmt werden sollen.
24.
I
n dem vorhergehenden Capitel haben wir gesehen, wie aus einer Gleichung zwey unbekante Zahlen bestimmt werden sollen, dergestalt daß dafuͤr gantze und positive Zahlen gefunden werden. Sind aber zwey Glei- chungen vorgegeben und die Frage soll unbestimmt seyn, so muͤßten mehr als zwey unbekante Zahlen vorkom- men. Dergleichen Fragen kommen in den gemeinen Rechen-Buͤchern vor und pflegen nach der so genanten Regel-Coeci aufgeloͤst zu werden, von welcher wir hier den Grund anzeigen wollen.
25.
Wir wollen mit einem Exempel den Anfang machen:
I.
Frage: 30 Personen, Maͤnner, Weiber und Kinder verzehren in einem Wirths-Hauß 50 Rthl.
daran
Von der unbestimmten Analytic.
daran zahlt ein Mann 3 Rthl. ein Weib 2 Rthl. und ein Kind 1 Rthl. wie viel Personen sind von jeder Gattung gewesen?
Es sey die Zahl der Maͤnner =
p
, der Weiber =
q
, und der Kinder =
r
, so erhaͤlt man die zwey folgende Gleichungen
I.) p + q + r = 30. II.) 3p + 2q + r
= 50; aus welchen die drey Buchstaben
p
,
q
, und
r
in gantzen und positiven Zahlen bestimmt werden sollen. Aus der ersten wird nun
r = 30 - p - q
, und beswegen muß
p + q
kleiner seyn als 30: dieser Werth in der andern fuͤr
r
geschrieben giebt
2p + q
+ 30 = 50, also
q = 20 - 2p
und
p + q = 20 - p
, welches von selbsten kleiner ist als 30. Nun kann man fuͤr
p
alle Zahlen annehmen, die nicht groͤßer sind als 10, woraus fol- gende Aufloͤsungen entspringen.
Zahl der Maͤnner
p
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10,
der Weiber
q
= 20, 18, 16, 14, 12, 10,
8, 6, 4, 2, 0,
der Kinder
r
= 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20,
laͤßt
Zweyter Abschnitt
laͤßt man die ersten und letzten weg, so bleiben noch 9 wahre Aufloͤsungen uͤbrig.
26.
II.
Frage: Einer kauft 100 Stuͤck Vieh, Schweine, Ziegen und Schaafe, fuͤr 100 Rthl. kostet ein Schwein 3½ Rthl. eine Ziege 1⅓ Rthl. ein Schaaf ½ Rthl. wie viel waren es von jeder Gat- tung?
Die Zahl der Schweine sey =
p
, der Ziegen =
q
, der Schaafe =
r
, so hat man folgende zwey Gleichun- gen
I.) p + q + r
= 100,
II.) 3½p + 1⅓q + ½r
= 100; diese letztere multiplicirt man mit 6 um die Bruͤche wegzubringen, so kommt
21p + 8q + 3r
= 600. Aus der ersten hat man
r = 100 - p - q
, welcher Werth in der andern gesetzt giebt
18p + 5q
= 300 oder
5q = 300 - 18p
und
q
= 60 -
\frac{18p}{5}
; also muß
18p
durch 5 theilbahr seyn, oder 5 als einen Factor in sich schließen. Man setze also
p = 5s
, so wird
q = 60 — 18s
und
r = 13s
+ 40, wo fuͤr
s
eine beliebige gan- tze Zahl genommen werden kann, doch so daß
q
nicht negativ werde, dahero
s
nicht groͤßer als 3 angenom- men werden kann, und also wann 0 auch ausgeschlo- ßen wird, nur folgende drey Aufloͤsungen statt finden.
nem-
Von der unbestimmten Analytic.
nemlich wann
s
= 1, 2, 3.
so wird
p
= 5, 10, 15.
q
= 42, 24, 16.
r
= 53, 66, 79.
27.
Wann man dergleichen Exempel selbsten vorge- geben will, so ist vor allen Dingen darauf zu sehen, daß dieselben moͤglich sind: um nun davon zu urthei- len, so ist folgendes zu bemercken:
Es seyen die beyden Gleichungen, dergleichen wir bisher gehabt, also vorgestellet
I.) x + y + z = a
,
II.) fx + gy + hz = b
, wo
f
,
g
,
h
, nebst
a
und
b
gegebene Zahlen sind: nun sey unter den Zahlen
f
,
g
und
h
die erste
f
die groͤßte und
h
die kleinste, da
x + y + z = a
so wird
fx + fy + fz = fa.
Nun ist
fx + fy + fz
ist groͤßer als
fx + gy + hz
dahero muß
fa
groͤßer seyn als
b
, oder
b
muß kleiner seyn als
fa
; und da ferner
hx + hy + hz = ha
und
hx + hy + hz
gewis kleiner ist als
fx + gy + hz
so muß auch
ha
kleiner seyn als
b
, oder
b
groͤ- ßer als
ha.
Wofern demnach die Zahl
b
nicht klei- ner als
fa
und zugleich groͤßer als
ha
, so ist die Frage immer unmoͤglich.
II
Theil
Q
Die-
Zweyter Abschnitt
Diese Bedingung pflegt auch also vorgetragen zu werden, daß die Zahl
b
zwischen diesen Graͤntzen
fa
und
ha
enthalten seyn muß, ferner muß dieselbe auch nicht einem der beyden Graͤntzen gar zu nahe kommen, weil sonsten die uͤbrigen Buchstaben nicht be- stimmt werden koͤnnten.
In den vorigen Exempel, wo
a
= 100,
f
= 3½ und
h
= ½ waren die Graͤntzen 350 und 50 wollte man nun setzen
b
= 51 anstatt 100, so waͤren die Gleichungen
x + y + z
= 100, und
3½x + 1⅓y + ½z
= 51 und hier mit 6 multiplicirt
21x + 8y + 3z
= 306; man nehme die erste dreymahl, so wird
3x + 3y + 3z
= 300, so von jener abgezogen laͤßt
18x + 5y
= 6, welche gleich offenbar un- moͤglich ist, weil
x
und
y
gantze Zahlen seyn muͤßen.
28.
Diese Regel kommt auch den Muͤntz-Meistern und Gold-Schmiden wohl zu statten, wann sie aus drey oder mehrere Sorten von Silber eine Maße von einem gegebenen Gehalt zusammen schmeltzen wollen; wie aus folgendem Exempel zu ersehen:
III.
Frage: Ein Muͤntz-Meister hat dreyerley Silber, das erste ist 14 loͤthig, das andere 11 loͤthig, das dritte 9 loͤthig. Nun soll er eine Maße 30 Marck schwer
ma-
Von der unbestimmten Analytic.
machen, welche 12 loͤthig seyn soll, wie viel Marck muß er von jeder Sorte nehmen?
Er nehme von der ersten Sorte
x
Marck, von der zweyten
y
M. und von der dritten
z
M. so muß seyn
x + y + z
= 30 welches die erste Gleichung ist:
Da ferner ein Marck von der ersten Sorte 14 Loth fein Silber haͤlt, so werden die
x
Marck enthalten
14x
Loth Silber; eben so werden die
y
Marck von der zweyten Sorte enthalten
11y
Loth; und die
z
Marck von der dritten Sorte werden enthalten
9z
Loth Sil- ber; dahero die gantze Maße an Silber enthalten wird
14x + 11y + 9z
Loth. Weil nun dieselbe 30 Marck wiegt, wovon ein Marck 12 Loth Silber enthalten soll, so muß auch die Quantitaͤt Silber darinnen seyn, nem- lich 360 Loth; woraus diese zweyte Gleichung ent- springt
14x + 11y + 9z
= 360, hiervon subtrahire man die erste 9 mahl genommen, nemlich
9x + 9y + 9z
= 270, so bleibt uͤbrig
5x + 2y
= 90, woraus
x
und
y
bestimmt werden soll, und zwar in gantzen Zahlen, alsdann aber wird
z = 30 - x - y
; aus jener Gleichung bekommt man
2y = 90 - 5x
und
y
= 45 -
\frac{5x}{2}
. Es sey demnach
x = 2u
so wird
y = 45 - 5u
und
z = 3u
- 15, also muß
u
groͤßer als 4 und gleich
Q 2
wohl
Zweyter Abschnitt
wohl kleiner als 10 seyn, woraus folgende Aufloͤsungen gezogen werden.
u=5,
6,
7,
8,
9,
x=10,
12,
14,
16,
18,
y=20,
15,
10,
5,
0,
z=0,
3,
6,
9,
12,
29.
Bisweilen kommen mehr als drey unbekante Zah- len vor, wo die Aufloͤsung auf eben diese Art geschehen kann, wie aus folgendem Exempel zu ersehen.
IV.
Frage: Einer kauft 100 Stuͤck Vieh um 100 Rthl. 1 Ochsen fuͤr 10 Rthl. 1 Kuh fuͤr 5 Rthl. 1 Kalb fuͤr 2 Rthl. 1 Schaaf fuͤr ½ Rthl. Wie viel Ochsen, Kuͤhe, Kaͤlber und Schaafe sind es gewesen?
Die Zahl der Ochsen sey =
p
, die Kuͤhe =
q
, der Kaͤlber =
r
und der Schaafe =
s
, so ist die erste Gleichung:
p + q + r + s
= 100, die zweyte Glei- chung aber wird
10p + 5q + 2r + ½s
= 100, wel- che um die Bruͤche wegzubringen mit 2 multiplicirt giebt
20p + 10q + 4r + s
= 200, hievon subtrahire man die erste Gleichung so hat man,
19p + 9q + 3r
= 100; hieraus bekommen wir
3r = 100 - 19p
—
9q
Von der unbestimmten Analytic.
—
9q
und
r = 33 + ⅓ - 6p - ⅓p - 3q
, oder
r = 33 — 6p - 3q
+
\frac{1 - p}{3}
, dahero muß 1 -
p
oder
p
- 1 durch 3 theilbar seyn. Man setze demnach
p - 1 = 3t
so wird:
p = 3t
+ 1
q = q
r = 27 - 19t - 3q
s = 72 + 2q + 16t
also muß
19t + 3q
kleiner seyn als 27. Hier koͤnnen nun
q
und
t
nach Belieben angenommen werden, wann nur diese Bedingung beobachtet wird, daß
19t + 3q
nicht groͤßer werde als 27; daher wir folgende Faͤlle zu erwegen haben.
I.
wann
t=0,
II.
wann
t=1,
t,
kann nicht 2 gesetzt werden, weil sonsten
r,
negativ wuͤrde.
so wird
p=1, q=q, r=27-3q s=72+2q
so wird
p=4 q=q r=8-3q s=88+2q
Im ersten Fall muß
q
nicht groͤßer seyn als 9 und im zweyten Fall muß
q
nicht groͤßer seyn als 2. Aus beyden Faͤllen erhalten wir also folgende Aufloͤsungen.
Q 3
Aus
Zweyter Abschnitt
Aus dem ersten Fall erhalten wir diese 10 Auf- loͤsungen
Aus dem zweyten Fall aber diese 3 Aufloͤsungen:
Dieses sind nun in allem 13 Aufloͤsungen; wann man aber 0 nicht wollte gelten laßen, so waͤren es nur 10 Aufloͤsungen.
30.
Die Art der Aufloͤsung bleibt einerley, wann auch in der ersten Gleichung die Buchstaben mit gegeben Zahlen multiplicirt sind wie aus folgendem Exempel zu ersehen:
V.
Von der unbestimmten Analytic.
V.
Frage: Man suche drey gantze Zahlen, wann die erste mit 3, die andere mit 5, und die dritte mit 7 multiplicirt wird, daß die Summe der Producte sey 560; wann aber die erste mit 9 die andere mit 25 und die dritte mit 49 multiplicirt wird, daß die Summe der Producte sey 2920?
Es sey die erste Zahl =
x
die zweyte =
y
, die dritte =
z
, so hat man diese zwey Gleichungen
I.) 3x + 5y + 7z
= 560,
II.) 9x + 25y + 49z
= 2920 von der zweyten subtrahirt man die erste drey mal ge- nommen nemlich
9x + 15y + 21z
= 1680, so blei- ben uͤbrig
10y + 38z
= 1240, oder durch 2 dividirt
5y + 14z
= 620, daraus wird
y
= 124 -
\frac{14z}{5}
; also muß sich
z
durch 5 theilen laßen; dahero setze man
z = 5u
, so wird
y = 124 - 14u
; welche Werthe in der ersten Gleichung fuͤr
z
und
y
geschrieben, geben
3x - 35u
+ 620 = 560, oder
3x = 35u
- 60 und
x
=
\frac{35u}{3}
- 20; deswegen setze man
u = 3t
, so bekommen wir end- lich diese Aufloͤsung:
x = 35t
- 20,
y = 124 - 42t
, und
z = 15t
, wo man fuͤr
t
eine beliebige gantze Zahl setzen kann, doch so daß
t
groͤßer sey als 0 und doch kleiner als 3, woraus man 2 Aufloͤsungen erhaͤlt:
Q 4
I.
Zweyter Abschnitt
I.
wann
t
= 1 so wird
x
= 15,
y
= 82,
z
= 15
II.
wann
t
= 2 wird
x
= 50,
y
= 40,
z
= 30
Capitel
3. Von den zusammengesetzten unbestimmten Gleichungen, wo von der einen unbekanten Zahl nur die erste Potestaͤt vorkommt.
31.
W
ir kommen nun zu solchen unbestimmten Glei- chungen, wo zwey unbekante Zahlen gesucht werden, und die eine nicht wie bisher allein steht, sondern entweder mit der andere multiplicirt oder in einer hoͤhern Potestaͤt vorkommt, wann nur von der andern blos die erste Potestaͤt vorhanden ist. Auf eine allgemeine Art haben solche Gleichungen folgende Form:
a+bx+cy+dxx+exy+fx^{3}+gxxy+hx^{4}+kx^{3}y+\mathfrak{etc.}=0
in
Von der unbestimmten Analytic.
in welcher nur
y
vorkommt, und also aus dieser Glei- chung leicht bestimmt werden kann, die Bestimmung muß aber also geschehen, daß fuͤr
x
und
y
gantze Zah- len herauskommen. Dergleichen Faͤlle wollen wir nun betrachten und von den leichtern den Anfang machen.
32.
I.
Frage: Man suche zwey Zahlen, wann ihre Summe zu ihrem Product addirt wird, das 79 heraus- kommen?
Es seyen die zwey verlangten Zahlen
x
und
y
, so muß seyn
xy + x + y
= 79, woraus wir bekom- men
xy + y = 79 - x
und
y
=
\frac{79 - x}{x + 1}
= - 1 +
\frac{80}{x + 1}
, woraus erhellet daß
x
+ 1 ein Theiler seyn muß von 80: da nun 80 viele Theiler hat so findet man aus einem jeden einen Werth fuͤr
x
; wie aus folgenden zu sehen:
die Theiler sind 1,
2,
4,
5,
8,
10,
16,
20,
40,
80,
daher wird x= 0,
1
3
4
7
9
15
19
39
79
und y = 79,
39
19,
15
9
7
4
3
1
0
weil nun hier die letztern Aufloͤsungen mit den erstern uͤbereinkommen, so hat man in allem folgende fuͤnf Auf- loͤsungen:
Q 5
I
Zweyter Abschnitt
I
II
III
IV
V
0
1
3
4
7
79
39
19
15
9
33.
Solcher Gestalt kann auch diese allgemeine Glei- chung aufgeloͤßt werden
xy + ax + by = c
wor- aus kommt
xy + by = c - ax
und also
y
=
\frac{c - ax}{x + b}
oder
y = - a
+
\frac{ab + c}{x + b}
; dahero muß
x + b
ein Thei- ler seyn der bekanten Zahl
ab + c
und also kann aus einem jeden Theiler derselben ein Werth fuͤr
x
gefun- den werden. Man setze dahero es sey
ab + c = fg
also daß
y = - a
+
\frac{fg}{x + b}
. Nun nehme man
x + b = f
oder
x = f - b
, so wird
y = - a + g
oder
y = g - a
; derohalben auf so viel verschiedene Arten sich die Zahl
ab + c
durch zwey Factores, als
f g
, vorstellen laͤßt, so erhaͤlt man daher nicht nur eine, sondern zwey Aufloͤsun- gen: die erste ist nemlich
x = f - b
und
y = g - a
, die andere aber kommt gleicher Gestalt heraus, wann man
x + b = g
setzt, da wird
x = g - b
und
y = f - a.
Sollte dahero diese Gleichung vorgegeben seyn
xy + 2x + 3y
= 42 so waͤre
a
= 2,
b
= 3, und
c
= 42 folglich
y
= - 2 +
\frac{48}{x + 3^{4}}
. Nun kann die Zahl
48
Von der unbestimmten Analytic.
48 auf vielerley Art durch 2 Factores als
f g
vorge- stellt werden, da dann immer seyn wird
x = f
- 3 und
y = g
- 2, oder auch
x = g
- 3 und
y = f
- 2. Der- gleichen Factores sind nun folgende:
34.
Noch allgemeiner kann die Gleichung also vor- gestellet werden:
mxy = ax + by + c
, wo
a
,
b
,
c
, und
m
gegebene Zahlen sind, fuͤr
x
und
y
aber gantze Zahlen verlangt werden.
Man suche daher
y
so bekommt man
y
=
\frac{ax + c}{mx - b}
, damit hier
x
aus dem Zaͤhler weg gebracht werden koͤnne, so multiplicirt man beyderseis mit
m
, so hat man
m y
=
\frac{max + mc}{mx - b}
=
a
+
\frac{mc + ab}{mx - b}
. Der Zaͤhler dieses Bruchs ist nun eine bekante Zahl, wovon der Nenner ein Theiler seyn muß, man stelle dahero den Zaͤhler durch zwey Factores als
fg
vor, welches
oͤfters
Zweyter Abschnitt
oͤfters auf vielerley Art geschehen kann, und sehe ob sich einer davon mit
mx - b
vergleichen laße, also daß
mx - b = f
: hierzu wird aber erfordert, weil
x
=
\frac{f + b}{m}
, daß
f + b
sich durch
m
theilen laße, daher hier nur solche Factores von
mc + ab
gebraucht werden koͤn- nen, welche, wann dazu
b
addirt wird, sich durch
m
theilen laßen, welches durch ein Exempel erlaͤutert wer- den soll:
Es sey demnach
5xy = 2x + 3y
+ 18. Hieraus bekommt man
y
=
\frac{2x + 18}{5x - 3}
und
5y
=
\frac{10x + 90}{5x - 3}
= 2 +
\frac{96}{5x - 3}
, hier muͤßen nun von 96 solche Theiler gesucht wer- den, daß wann zu denselben 3 addirt wird, die Summ durch 5 theilbar werde. Man nehme daher alle Theiler von 96 welche sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96, woraus erhellet daß nur diese, nemlich 2, 12, 32 gebraucht werden koͤnnen.
Es sey demnach
I.) 5x
- 3 = 2, so wird
5y
= 50 und daher
x
= 1, und
y
= 10
II.) 5x
- 3 = 12, so wird
5y
= 10 und dahero
x
= 3, und
y
= 2
III.) 5x
- 3 = 32, so wird
5y
= 5 und dahero
x
= 7, und
y
= 1
35.
Von der unbestimmten Analytic.
35.
Da hier in der allgemeinen Aufloͤsung wird
my - a
=
\frac{mc + ab}{mx - b}
, so ist dienlich diese Anmerckung zu machen, daß wann eine in dieser Form
mc + ab
enthaltene Zahl einen Theiler hat, der in dieser Form
mx - b
enthalten ist, alsdann der Quotient nothwendig diese Form
my - a
haben muͤße, und daß alsdann die Zahl
mc + ab
durch ein solches Product, (
mx - b
) × (
my - a
) vorgestellt werden koͤnne: Es sey z. E.
m
= 12,
a
= 5,
b
= 7 und
c
= 15; so bekommt man
12y
- 5 =
\frac{215}{12x - 7}
; nun sind von 215 die Theiler 1, 5, 43, 215, unter welchen die ge- sucht werden muͤßen, welche in der Form
12x
- 7 ent- halten sind, oder wann man 7 darzu addirt, daß sich die Summe durch 12 thleilen laße, von welchen nur 5 dieses leistet, also
12x
- 7 = 5 und
12y
- 5 = 43. Wie nun aus der ersten wird
x
= 1 so findet man auch aus der andern
y
in gantzen Zahlen, nemlich
y
= 4. Diese Eigenschaft ist in Betrachtung der Natur der Zahlen von der groͤßten Wichtigkeit, und verdienet deswe- gen wohl bemercket zu werden.
36.
Wir wollen nun auch eine Gleichung von dieser
Art
Zweyter Abschnitt
Art betrachten
xy + xx = 2x + 3y
+ 29. Hieraus findet man nun
y
=
\frac{2x - xx + 29}{x - 3}
oder
y = - x
- 1 +
\frac{26}{x - 3}
; also muß
x
- 3 ein Theiler seyn von der Zahl 26, und alsdann wird der Quotient =
y + x
+ 1. Da nun die Theiler von 26 sind 1, 2, 13, 26 so erhalten wir diese Aufloͤsungen:
I. x
- 3 = 1 oder
x
= 4, so wird
y + x
+ 1
=
y
+ 5 = 26; und
y
= 21
II. x
- 3 = 2 oder
x
= 5, allso
y + x
+ 1
=
y
+ 6 = 13; und
y
= 7
III. x
- 3 = 13 oder
x
= 16, so wird
y + x
+ 1
=
y
+ 17 = 2; und
y
= - 15
welcher negative Werth wegzulaßen ist, und deswe- gen auch der letzte Fall
x
- 3 = 26 nicht gerechnet werden muß.
37.
Mehr Formeln von dieser Art wo nur die erste Potestaͤt von
y
, noch hoͤhere aber von
x
vorkommen, sind nicht noͤthig allhier zu berechnen, weil dergleichen Faͤlle sich nur selten ereignen, und alsdann auch
nach
Von der unbestimmten Analytic.
nach der hier erklaͤrten Art aufgeloͤset werden koͤnnen. Wann aber auch
y
zur zweyten oder einer noch hoͤhern Potestaͤt ansteiget, und man den Werth davon nach den gegebenen Regeln bestimmen will, so kommt man auf Wurzelzeichen, hinter welchen
x
in der zwey- ten oder einer noch hoͤhern Potestaͤt befindlich ist, und alsdann kommt es darauf an solche Werthe fuͤr
x
ausfindig zu machen, daß die Irrationalitaͤt, oder die Wurzelzeichen wegfallen.
Und eben hierin bestehet die groͤßte Kunst der unbestimmten Analytic, wie dergleichen Irrational- Formeln zur Rationalitaͤt gebracht werden sollen, wo- zu wir die Anleitung in den folgenden Capiteln geben wollen.
Capi-
Zweyter Abschnitt.
Capitel
4. Von der Art diese irrationale Formeln √ (
a + bx + cxx
) rational zu machen.
38.
H
ier ist also die Frage was fuͤr Werthe fuͤr
x
an- genommen werden sollen, daß diese Formel
a + bx + cxx
ein wirckliches Quadrat werde, und also die Quadrat-Wurzel daraus rational angegeben werden koͤnne. Es bedeuten aber die Buchstaben
a
,
b
und
c
gegebene Zahlen, und auf der Beschaffenheit derselben beruhet hauptsaͤchlich die Bestimmung der unbekanten Zahl
x
, wobey zum voraus zu bemercken, daß in vielen Faͤllen die Aufloͤsung davon unmoͤg- lich werde: wann aber dieselbe moͤglich ist, so muß man sich zum wenigsten anfaͤnglich in Bestimmung des Buchstabens
x
blos mit rational Werthen be- gnuͤgen, und nicht fordern, daß dieselben so gar gan- tze Zahlen seyn sollen, als welches eine gantz besondere Untersuchung erfordert.
39.
Von der unbestimmten Analytic.
39.
Wir nehmen hier an, daß diese Formel nur bis zur zweyten Potestaͤt von
x
steige, indem hoͤhere Po- testaͤten besondere Methoden erfordern, wovon hernach gehandelt werden soll.
Sollte hier nicht einmahl die zweyte Potestaͤt vorkommen, und
c
= 0 seyn, so haͤtte die Frage gar keine Schwierigkeit: dann wann diese Formel √ (
a + bx
) gegeben waͤre, und man
x
so bestimmen sollte, daß
a + bx
ein Quadrat wuͤrde, so duͤrfte man nur setzen
a + bx = yy
, woraus man so gleich er- hielte
x
=
\frac{yy - a}{b}
; und nun moͤchte man fuͤr
y
alle belie- bige Zahlen annehmen, und aus einer jeden wuͤrde man einen solchen Werth fuͤr
x
finden, daß
a + bx
ein Quadrat und folglich √ (
a + bx
) rational her- auskaͤme.
40.
Wir wollen demnach bey dieser Formel anfan- gen √ (1 +
xx
), wo solche Werthe fuͤr
x
gefunden werden sollen, daß wann zu ihrem Quadrat
xx
noch 1 addirt wird, die Summe wiederum ein Quadrat werde welches offenbar in gantzen Zahlen nicht
II
Theil
R
ge-
Zweyter Abschnitt
geschehen kann, indem keine gantze Quadrat-Zahl nur um 1 groͤßer ist als die vorhergehende, dahero man sich nothwendig mit gebrochenen Zahlen fuͤr
x
begnuͤ- gen muß.
41.
Weil 1 +
xx
ein Quadrat seyn soll, und man setzen wollte 1 +
xx = yy
, so wuͤrde
xx = yy
- 1 und
x = √ (yy - 1).
Um also
x
zu finden, muͤßte man solche Zahlen fuͤr
y
suchen, daß ihre Quadrate weni- ger 1 wiederum Quadrate wuͤrden, welche Frage eben so schwer ist als die vorige und wuͤrde also hier- durch nichts gewonnen.
Daß es aber wuͤrcklich solche Bruͤche gebe, wel- che fuͤr
x
gesetzt 1 +
xx
zum Quadrat machen, kann man aus folgenden Faͤllen ersehen:
I.
wann
x
= ¾ so wird 1 +
xx
=
\frac{25}{16}
, folglich √ (1 +
xx
) =
\frac{5}{4}
II.
Eben dieses geschieht wann
x
=
\frac{4}{3}
wo √ (1 +
xx
) =
\frac{5}{3}
herauskommt.
III.
Hernach wann man setzt
x
=
\frac{5}{12}
so erhaͤlt man 1 +
xx
=
\frac{169}{144}
, wovon die Quadrat-Wurzel ist
\frac{13}{12}
.
Wie nunmehr dergleichen Zahlen und so gar alle moͤ- gliche gefunden werden sollen, muß hier gezeigt werden.
42.
Von der unbestimmten Analytic.
42.
Solches kann auf zweyerley Art geschehen. Nach der ersten Art setze man √
(1 + xx) = x + p
so wird 1 +
xx = xx + 2px + pp
, wo sich das Quadrat
xx
aufhebt und folglich
x
ohne ein Wurzel- zeichen bestimmt werden kann. Dann in der gefun- denen Gleichung subtrahirt man beyderseits
xx
so wird
2px + pp
= 1, woraus gefunden wird
x
=
\frac{1 - pp}{2p}
wo man fuͤr
p
eine jede Zahl anehmen kann, und auch so gar dafuͤr Bruͤche gesetzt werden koͤnnen.
Man setze dahero
p
=
\frac{m}{n}
so wird
x = \frac{1 - \frac{mm}{nn}}{\frac{2m}{n}}
; diesen Bruch multiplicire man oben und unten mit
nn
, so bekommt man
x
=
\frac{nn - mm}{2mn}
.
43.
Damit also 1 +
xx
ein Quadrat werde, so kann man fuͤr
m
und
n
nach Belieben alle moͤgliche gantze Zahlen annehmen, und also daraus unendlich viel Werthe fuͤr
x
finden.
Setzt man auch uͤberhaupt
x
=
\frac{nn - mm}{2mn}
, so wird
1+xx=1+\frac{n^{4}-2nnmm+n^{4}}{4mmnn}
oder
1+xx=1+\frac{n^{4}-2mmnn+m^{4}}{4mmnn}
R 2
wel-
Zweyter Abschnitt
welcher Bruch wuͤrcklich ein Quadrat ist und daraus gefunden wird √ (1 +
xx
) =
\frac{nn + mm}{2mn}
. Hieraus koͤnnen nun folgende kleinere Werthe fuͤr
x
bemercket werden
44.
Hieraus folget auf eine allgemeine Art, daß 1 +
\frac{(nn - mm)^{2}}{(2mn)^{2}}
=
\frac{(nn + mm)^{2}}{(2mn)^{2}}
. Nun multiplicire man diese Gleichung mit (
2mn
)
2
, so wird
(2mn)
2
+ (nn - mm)
2
= (nn + mm)
2
; wir haben also auf eine allgemeine Art zwey Quadraten, deren Summe wieder ein Quadrat ist, hierdurch wird nun diese Frage aufgeloͤßt.
Zwey Quadrat-Zahlen zu finden; deren Summe wieder eine Quadrat-Zahlsey?
Also soll
pp + qq = rr
seyn: zu diesem Ende darf man nur setzen
p = 2mn
und
q = nn - mm
so wird
r = nn + mm
; da hernach ferner
(nn + mm)
2
- (2mn)
2
= (nn - mm)
2
, so koͤn- nen wir auch diese Frage aufloͤsen.
Zwey
Von der unbestimmten Analytic.
Zwey Quadrat-Zahlen zu finden, deren Differenz wieder eine Quadrat-Zahl sey? also daß
pp - qq = rr
; dann da darf man nur setzen
p = nn + mm
und
q = 2mn
, so wird
r = nn - mm.
oder man kann auch setzen
p = nn + mm
und
q = nn - mm
, so wird alsdann
r = 2mn.
45.
Wir haben aber zweyerley Arten versprochen um die Formel 1 +
xx
zu einem Quadrat zu machen; die andere Art verhaͤlt sich nun folgender Gestalt:
Man setze √ (1 +
xx
) = 1 +
\frac{mx}{n}
; daher be- kommt man 1 +
xx
= 1 +
\frac{2mx}{n}
+
\frac{mm xx}{nn}
; subtrahirt man hier beyderseits 1, so wird
xx
=
\frac{2mx}{n}
+
\frac{mm xx}{nn}
, wel- che Gleichung sich durch
x
theilen laͤßt, und folglich giebt
x
=
\frac{2m}{n}
+
\frac{mmx}{nn}
, oder mit
nn
multiplicirt
nnx = 2mn + mmx
, woraus gefunden wird
x
=
\frac{2mn}{nn - mm}
: dann setzt man diesen Werth fuͤr
x
, so wird 1 +
xx
= 1 +
\frac{4mmnn}{n^{4} - 2 mmnn + m^{4}}
oder =
\frac{n^{4} + 2mmnn + m^{4}}{n^{4} - 2mmnn + m^{4}}
, welcher Bruch das Quadrat ist von
\frac{nn + mm}{nn - mm}
. Da man nun daher diese Gleichung bekommt 1 +
\frac{(2mn)^{2}}{(nn - mm)^{2}}
=
\frac{(nn + mm)^{2}}{(nn - mm)^{2}}
so fließt daraus wie oben
(nn - mm)
2
+ (2mn)
2
R 3
=
Zweyter Abschnitt
= (
nn + mm
)
2
welches die vorigen zwey Qua- drate sind, deren Summe wieder ein Quadrat macht.
46.
Dieser Fall, welchen wir hier ausfuͤhrlich abge- handelt haben, giebt uns nun zwey Methoden an die Hand um die allgemeine Formel
a + bx + cxx
zu einem Quadrat zu machen. Die erstere gehet auf alle Faͤlle, wo
c
ein Quadrat ist; der andere aber, wo
a
ein Quadrat ist; welche beyde Faͤlle wir hier durchgehen wollen.
I.
) Es sey demnach erstlich
c
eine Quadrat- Zahl oder die gegebene Formel sey
a + bx + ffxx
, welche ein Quadrat werden soll, zu diesem Ende setze man √
(a + bx + ffxx) = fx
+
\frac{m}{n}
so wird
a + bx + ffxx = ffxx
+
\frac{2mfx}{n}
+
\frac{mm}{nn}
, wo sich die
xx
beyderseits aufheben, also daß
a + bx
=
\frac{2mfx}{n}
+
\frac{mm}{nn}
, welche mit
nn
multiplicirt,
nna + nnbx = 2mnfx+mm
giebt; woraus gefunden wird
x
=
\frac{mm - nna}{nnb - 2mnf}
, wird nun dieser Werth fuͤr
x
geschrieben, so wird √ (
a + bx + ffxx
) =
\frac{mmf - nnaf}{nnb - 2mnf}
+
\frac{m}{n}
=
\frac{mnb - mmf - nnaf}{nnb - 2mnf}
.
47.
Da fuͤr
x
ein Bruch gefunden worden, so setze man so-
gleich
Von der unbestimmten Analytic.
gleich
x
=
\frac{p}{q}
, also daß
p = mm - nna
, und
q = nnb — 2mnf
, und alsdann wird die Formel
a
+
\frac{bp}{q}
+
\frac{ffpp}{qq}
ein Quadrat; folglich bleibt dieselbe ein Quadrat wann sie mit dem Quadrat
qq
multiplicirt wird, da- hero auch diese Formel
aqq + bpq + ffpp
ein Quadrat wird, wann man setzt
p = mm - nna
und
q = nnb - 2mnf
, woraus unendlich viel Aufloͤsun- gen in gantzen Zahlen gefunden werden koͤnnen, weil man die Buchstaben
m
und
n
nach Belieben annehmen kann.
48.
II.
Der zweyte Fall findet statt, wann der Buch- stabe
a
ein Quadrat ist. Es sey demnach diese For- mel gegeben
ff + bx + cxx
, welche zu einem Qua- drat gemacht werden soll. Zu diesem Ende setze man √
(ff + bx + cxx) = f
+
\frac{mx}{n}
so wird
ff + bx + cxx = ff
+
\frac{2mfx}{n}
+
\frac{mmxx}{nn}
, wo sich die
ff
auf- heben und die uͤbrigen Glieder sich alle durch
x
thei- len laßen, also daß
b + cx
=
\frac{2mf}{n}
+
\frac{mmx}{nn}
, oder
nnb + nncx = 2mnf + mmx
, oder
nncx - mmx = 2mnf — nnb
, und folglich
x
=
\frac{2mnf - nnb}{nnc - mm}
; setzt man nun diesen Werth fuͤr
x
, so wird √
(ff + bx + cxx) = f
R 4
+
Zweyter Abschnitt.
+
\frac{2mmf - mnb}{nnc - mm}
=
\frac{nncf + mmf - mnb}{nnc - mm}
: setzt man hier
x
=
\frac{p}{q}
, so kann wie oben folgende Formel zu einem Quadrat gemacht werden,
ffqq + bpq + cpp
, als welches geschiehet wann man setzt
p = 2mnf — nnb
und
q = nnc - mm.
49.
Hier ist besonders der Fall merckwuͤrdig wann
a
= 0; oder wann diese Formel
bx + cxx
zu ei- nem Quadrat gemacht werden soll; dann da darf man nur setzen √ (
bx + cxx
) =
\frac{mx}{n}
so wird
bx + cxx
=
\frac{mmxx}{nn}
, wo durch
x
dividirt und mit
nn
multiplicirt herauskommt,
bnn + cnnx = mmx
, folglich
x
=
\frac{nnb}{mm - cnn}
. Man suche zum Exempel alle dreyeckigte Zahlen wel- che zugleich Quadrat-Zahlen sind, so muß
\frac{xx + x}{2}
, und also auch
2xx + 2x
, ein Quadrat seyn. Dasselbe sey nun
\frac{mmxx}{nn}
, so wird
2nnx + 2nn = mmx
und
x
=
\frac{2nn}{mm - 2nn}
; wo man fuͤr
m
und
n
alle moͤgliche Zahlen annehmen kann, alsdann aber wird mehren- theils fuͤr
x
ein Bruch gefunden; doch koͤnnen auch gantze Zahlen herauskommen, als wann man setzt
m
= 3
und
Von der unbestimmten Analytic.
und
n
= 2 so bekommt man
x
= 8, wovon das Drey- eck ist 36, welches auch ein Quadrat ist.
Man kann auch setzen
m
= 7, und
n
= 5, so wird
x
= - 50 wovon das Dreyeck ist 1225, wel- ches zugleich das Dreyeck ist von + 49 und auch das Quadrat von 35; dieses waͤre auch heraus gekommen, wann man gesetzt haͤtte
n
= 7, und
m
= 10, dann da wird
x
= 49.
Eben so kann man setzen
m
= 17, und
n
= 12, da wird
x
= 288, wovon das Dreyeck ist
\frac{x (x + 1)}{2}
=
\frac{288 × 289 289}{2}
= 144.289, welches eine Quadrat-Zahlist, deren Wurzel = 12.17 = 204.
50.
Bey diesem letzten Fall ist zu erwegen, daß die Formel
bx + cxx
aus diesem Grund zum Quadrat gemacht worden, weil dieselbe einen Factor hatte, nem- lich
x
, welches uns auf neue Faͤlle fuͤhret, in wel- chen auch die Formel
a + bx + cxx
ein Quadrat werden kann, wann weder
a
noch
c
ein Quadrat ist.
Diese Faͤlle finden statt wann sich
a + bx + cxx
in zwey Factores vertheilen laͤßt, welches geschiehet
R 5
wann
Zweyter Abschnitt
wann
bb - 4ac
ein Quadrat ist. Um dieses zu zei- gen so ist zu mercken, daß die Factoren immer von den Wurzeln einer Gleichung abhaͤngen. Man setze also
a + bx + cxx
= 0, so wird
cxx = - bx - a
und
xx
= -
\frac{bx}{c}
-
\frac{a}{c}
, woraus gefunden wird
x
= -
\frac{b}{2c}
± √ (
\frac{bb}{4cc}
-
\frac{a}{c}
), oder
x
= -
\frac{b}{2c}
, ±
\frac{\sqrt{(bb - 4ac)}}{2c}
, woraus erhellet daß wann
bb - 4ac
ein Quadrat ist, diese Wur- zel rational angegeben werden koͤnnen;
Es sey demnach
bb - 4ac = dd
, so sind die Wurzeln
\frac{- b \pm d}{2c}
, oder es ist
x
=
\frac{- b \pm d}{2c}
, also werden von der
Fomel
a + bx + cxx
die Divisores seyn
x
+
\frac{b - d}{2c}
und
x
+
\frac{b + d}{2c}
, welche mit einander multi- plicirt dieselbe Formel nur durch
c
dividirt hervor- bringen, man findet nemlich
xx
+
\frac{bx}{c}
+
\frac{bb}{4cc}
-
\frac{dd}{4cc}
da nun
dd = bb - 4ac
so hat man
xx
+
\frac{bx}{c}
+
\frac{bb}{4cc}
—
\frac{bb}{4cc}
+
\frac{4ac}{4cc}
=
xx
+
\frac{bx}{c}
+
\frac{a}{c}
, welche mit
c
multipli- cirt giebt
cxx + bx + a.
Man darf also nur den einen Factor mit
c
multipliciren, so wird unsere Formel die- sem Product gleich seyn: (
cx
+
\frac{b}{2}
-
\frac{d}{2}
) (
x
+
\frac{b}{2c}
+
\frac{d}{2c}
) und man sieht, daß diese Aufloͤsung immer statt findet, so oft
bb + 4ac
ein Quadrat ist.
51.
Von der unbestimmten Analytic.
51.
Hieraus fließt der dritte Fall, in welchem unsere Formel
a + bx + cxx
zu einem Quadrat gemacht werden kann; welchen wir also zu den obigen beyden hinzufuͤgen wollen.
III.
Dieser Fall ereignet sich nun, wann unsere Formel durch ein solches Product vorgestellet werden kann (
f + gx
). (
h + kx
). Um dieses zu einem Qua- drat zu machen, so setze man die Wurzel davon: √
(f + gx). (h + kx)
=
\frac{m. (f + gx)}{n}
, so bekommt man
(f + gx) (h + kx)
=
\frac{mm. (f + gx)^{2}}{nn}
welche Gleichung durch
f + gx
dividirt, giebt
h + kx
=
\frac{mm. (f + gx)}{nn}
, das ist
hnn + knnx = fmm + gmmx
, woraus gefunden wird
x
=
\frac{fmm - bnn}{knn - gmm}
.
52.
Um dieses zu erlaͤutern, so sey diese Frage vor- gegeben:
I.
Frage: Man suche die Zahlen
x
, daß wann man von ihrem doppelten Quadrat 2 subtrahirt, der Rest wieder ein Quadrat sey?
Da
Zweyter Abschnitt
Da nun seyn muß
2xx
- 2 ein Quadrat, so ist zu er- wegen, daß sich diese Formel durch folgende Facto- res vorstellen laͤßt 2. (
x + 1
) (
x
- 1): man setze also die Wurzel davon
\frac{m. (x + 1)}{n}
, so wird 2.
(x + 1) (x - 1)
=
\frac{mm. (x + 1)^{2}}{nn}
; man dividire durch
x
+ 1, und multipli- cire mit
nn
, so bekommt man
2nn x - 2nn = mmx + mm
und dahero
x
=
\frac{mm + 2nn}{2nn - mm}
. Nimmt man hier
m
= 1 und
n
= 1, so wird
x
= 3, und
2xx
- 2 = 16 = 4
2
.
Nimmt man
m
= 3 und
n
= 2, so wird
x
= - 17: da aber nur das Quadrat von
x
vorkommt, so ist es gleich viel ob man nimmt
x
= - 17 oder
x
= + 17 aus beyden wird
2xx
- 2 = 576 = 24
2
.
53.
II.
Frage: Es sey diese Formel gegeben 6 +
13x + 6xx
, welche zu einem Quadrat gemacht werden soll. Hier ist nun
a
= 6,
b
= 13 und
c
= 6, wo also weder
a
noch
c
ein Quadrat ist. Man sehe also ob
bb - 4ac
ein Quadrat werde; da nun kommt 25, so weis man daß diese Formel durch zwey Factores vorgestellt werden kann, welche sind
(2 + 3x). (3 + 2x)
; davon sey nun die Wurzel
\frac{m (2 + 3x)}{n}
, so bekommt man
(2 + 3x). (3 + 2x)
=
Von der unbestimmten Analytic.
=
\frac{mm(2 + 3x)^{2}}{nn}
, daraus wird 3
nn + 2nnx = 2mm + 3mmx
und daher wird
x
=
\frac{2mm - 3nn}{2nn - 3mm}
=
\frac{3nn - 2mm}{3mm - 2nn}
. Da mit nun der Zaͤhler positiv werde, so muß 3
nn
groͤ- ßer seyn als 2
mm
, und also 2
mm
kleiner als 3
nn
; folglich muß
\frac{mm}{nn}
kleiner seyn als
\frac{3}{2}
, damit der Zaͤhler positiv werde. Damit aber der Nenner positiv werde, so muß 3
mm
groͤßer seyn als 2
nn
und also
\frac{mm}{nn}
groͤßer seyn als ⅔. Um dahero fuͤr
x
positive Zahlen zu finden, so muͤßen fuͤr
m
und
n
solche Zahlen angenom- men werden, daß
\frac{mm}{nn}
kleiner sey als
\frac{3}{2}
und doch groͤßer als ⅔.
Setzt man nun
m
= 6 und
n
= 5, so wird
\frac{mm}{nn}
=
\frac{36}{25}
, welches kleiner ist als
\frac{3}{2}
und offenbar groͤßer als ⅔; da- her bekommt man
x
=
\frac{3}{58}
.
54.
IV.
Dieser dritte Fall leitet uns noch auf einen vierten, welcher Platz findet, wann die Formel
a + bx + cxx
dergestalt in zwey Theile zertheilt werden kann, daß der erste ein Quadrat sey, der andere aber sich in zwey Factores aufloͤsen laße, also daß eine solche Form herauskomme
pp + qr
, wo die Buchstaben
p
,
q
Zweyter Abschnitt
p
,
q
und
r
Formeln von dieser Art
f + g x
bedeuten. Dann da darf man nur setzen √
(pp + qr) = p
+
\frac{mq}{n}
, so wird
pp + qr = pp
+
\frac{2mpq}{n}
+
\frac{mmqq}{nn}
, wo sich die
pp
aufheben und die uͤbrigen Glieder durch
q
theilen laßen, also daß
r
=
\frac{2mp}{n}
+
\frac{mmq}{nn}
oder
nnr = 2mnp + mmq
, woraus sich leicht bestimmen laͤßt, und dieses ist der vierte Fall, in welchem unsere Formel zu einem Quadrat gemacht werden kann, welchen wir nun durch einige Exempel erlaͤutern wollen.
55.
III.
Frage: Man suche solche Zahlen
x
, daß ihr Quadrat doppelt genommen um 1 groͤßer werde als ein anderes Quadrat? oder wann man davon 1 subtra- hirt ein Quadrat uͤbrig bleibe? wie bey der Zahl 5 geschieht deren Quadrat 25 doppelt genommen ist 50, wovon 1 subtrahirt das Quadrat 49 uͤbrig bleibt.
Also muß 2
xx
- 1 ein Quadrat seyn, wo nach unserer Formel
a
= - 1,
b = 0
, und
c
= 2, und allso we- der
a
noch
c
ein Quadrat ist, auch laͤßt sich dieselbe nicht in zwey Factores aufloͤsen, weil
bb - 4ac
= 8 kein Quadrat ist, und dahero keiner von den drey ersten Faͤllen statt findet.
Nach
Von der unbestimmten Analytic.
Nach dem vierten Fall aber kann diese Formel also vorgestellt werden
xx + (xx - 1) = xx + (x - 1)(x + 1)
Hievon werde nun die Wurzel gesetzt
x
+
\frac{m(x + 1)}{n}
, dahero wird
xx + (x + 1). (x - 1) = xx
+
\frac{2mx(x + 1)}{n}
+
\frac{mm(x + 1)^2}{nn}
, wo sich die
xx
aufheben und die uͤbri- gen Glieder durch
x
+ 1 theilen laßen, da dann kommt
nnx - nn = 2 mnx + mmx + mm
und
x
=
\frac{mm + nn}{nn - 2mn - mm}
; und weil in unserer Formel 2
xx
- 1 nur das Quadrat
xx
vorkommt, so ist es gleich viel ob die Werthe von
x
positiv oder negativ heraus- kommen Man kann auch so gleich -
m
anstatt +
m
schreiben damit man bekomme
x
=
\frac{mm + nn}{nn + 2mn - mm}
. Nimmt man hier
m
= 1 und
n
= 1, so hat man
x
= 1 und 2
xx
- 1 = 1. Es sey ferner
m
= 1 und
n
= 2, so wird
x
=
\frac{5}{7}
und 2
xx
- 1 =
\frac{1}{49}
. Setzt man aber
m
= 1 und
n
= - 2, so wird
x
= - 5, oder
x
= + 5 und 2
xx
- 1 = 49.
56.
IV.
Frage: Man suche solche Zahlen, deren Quadrat doppelt genommen, wann dazu 2 addirt wird, wieder ein Quadrat mache? dergleichen ist 7, wovon das Quadrat doppelt genommen ist 98, und 2 addirt, kommt das Quadrat 100?
Es
Zweyter Abschnitt
Es muß also diese Formel 2
xx
+ 2 ein Qua- drat seyn, wo
a
= 2,
b
= 0 und
c
= 2, also wieder weder
a
noch
c
ein Quadrat ist, auch ist
bb - 4ac
oder — 16 kein Quadrat, und kann die dritte Regel hier nicht statt finden.
Nach der vierten Regel aber laͤßt sich unsere Formel also vorstellen.
Man setze den ersten Theil = 4, so wird der an- dere seyn 2
xx - 2 = 2(x + 1).(x - 1)
, und daher unsere Formel 4 + 2
(x + 1).(x - 1)
. Davon sey die Wurzel 2 +
\frac{m.(x + 1)}{n}
, woher diese Gleichung ent- springt 4 + 2
(x + 1).(x - 1)
= 4 +
\frac{4m(x + 1)}{n}
+
\frac{mm(x + 1){2}}{nn}
wo sich die 4 aufheben, die uͤbrigen Glieder sich aber durch
x
+ 1 theilen laßen, also daß 2
nnx - 2nn = 4mn + mmx + mm
und daher
x
=
\frac{4mn + mm + 2nn}{2nn - mm}
. Setzt man
m
= 1 und
n
= 1 so wird
x
= 7, und 2
xx
+ 2 = 100.
Nimmt man
m
= 0 und
n
= 1 so wird
x
= 1 und 2
xx
+ 2 = 4.
57.
Oefters geschiehet es auch daß wann weder die erste, noch zweyte, noch dritte Regel Platz findet,
man
Von der unbestimmten Analytic.
man nicht finden kan, wie zufolge der vierten Regel die Formel in zwey solche Theile zergliedert werden koͤnne, dergleichen erfordert werden. Als wann diese Formel vorkaͤme 7 + 15
x + 13xx
, so ist zwar eine solche Zerglie- derung moͤglich, faͤlt aber nicht so leicht in die Augen. Dann der erste Theil ist (1 -
x
)
2
oder 1 - 2
x + xx
, und daher wird der andere seyn 6 + 17
x + 12xx
, welcher des- wegen Factoren hat weil 17
2
- 4. 6. 12 = 1 und also ein Quadrat ist. Die zwey Factores davon sind auch wuͤrck- lich (2 + 3
x
).(3 + 4
x
); also daß diese Formel seyn wird
(1 - x)
2
+ (2 + 3x) (3 + 4x)
, welche jetzo nach der vierten Regel aufgeloͤst werden kann.
Es ist aber nicht wohl zu fordern, daß jemand diese Zergliederung errathen soll; Dahero wir noch einen allgemeinen Weg anzeigen wollen, um erstlich zu erkennen, ob es moͤglich sey eine solche Formel auf- zuloͤsen? weil es unendlich viel dergleichen giebt, de- ren Aufloͤsungen schlechterdings unmoͤglich sind, wie z. E. bey dieser geschiehet 3
xx
+ 2, welche nimmer- mehr zu einem Quadrat gemacht werden kann.
Findet sich aber eine Formel in einem einigen Fall moͤglich, so ist es leicht alle Aufloͤsungen derselben zu finden, welches wir noch allhier eroͤrtern wollen.
II
Theil
S
58.
Zweyter Abschnitt
58.
Der gantze Vortheil, welcher in solchen Faͤllen zu statten kommen kann, bestehet darin, daß man suche, ob man keinen Fall finden, oder gleichsam errathen kann, in welchem eine solche Formel
a + bx + cxx
ein Quadrat wird? indem man fuͤr
x
einige kleinere Zahlen nach und nach setzt, um zu sehen ob in keinem Fall ein Quadrat herauskomme?
Um diese Arbeit zu erlaͤutern, wann etwann eine gebrochene Zahl fuͤr
x
gesetzt dieses leisten sollte, kann man sogleich fuͤr
x
einen Bruch als
\frac{t}{u}
schreiben, wor- aus diese Formel erwaͤchst
a
+
\frac{bt}{u}
+
\frac{ctt}{uu}
, welche wann sie ein Quadrat ist, auch mit dem Quadrat
uu
mul- tiplicirt ein Quadrat bleibt. Man hat also nur noͤthig zu probiren, ob man fuͤr
t
und
u
solche Werthe in gan- tzen Zahlen errathen kann, daß diese Formel
auu + btu + ctt
ein Quadrat werde? dann alsdann wann man setzt
x
=
\frac{t}{u}
so wird auch diese Formel
a + bx + cxx
gewiß ein Quadrat seyn.
Kann man aber aller Muͤhe ungeachtet keinen solchen Fall finden, so hat man großen Grund zu vermuthen, daß es gantz und gar unmoͤglich sey, die Formel zu
einem
Von der unbestimmten Analytic.
einem Quadrat zu machen, als dergleichen es unend- lich viele giebt.
59.
Hat man aber einen Fall errathen, in welchem eine solche Formel ein Quadrat wird, so ist es gantz leicht alle moͤgliche Faͤlle zu finden, darinn dieselbe ebenfalls ein Quadrat wird; und die Anzahl derselben ist immer unendlich groß. Um dieses zu zeigen, so wol- len wir erstlich diese Formel betrachten 2 + 7
xx
, wo
a = 2, b = 0
, und
c
= 7: dieselbe wird nun offen- bar ein Quadrat, wann
x
= 1; dahero setze man
x = 1 + y
, so wird
xx = 1 + 2y + yy
, und unse- re Formel wird seyn 9 + 14
y + 7yy
, in welcher das erste Glied ein Quadrat ist: also setzen wir nach der zweyten Regel die Quadrat-Wurzel davon = 3 +
\frac{my}{n}
, da bekommen wir diese Gleichung 9 + 14
y + 7yy
= 9 +
\frac{6my}{n}
+
\frac{mmy}{nn}
, wo sich die 9 aufheben, die uͤbri- gen Glieder aber alle durch
y
theilen laßen; da be- kommen wir
14nn + 7nny = 6mn + mmy
und daher
y
=
\frac{6mn - 14nn}{7nn - mm}
; daraus finden wir
x
=
\frac{6mn - 7nn - mm}{7nn - mm}
, wo man fuͤr
m
und
n
alle be- liebige Zahlen annehmen kann.
S 2
Setzt
Zweyter Abschnitt.
Setzt man nun
m
= 1 und
n
= 1, so wird
x
= - ⅓, oder auch weil nur
xx
vorkommt,
x
= + ⅓, dahero wird 2 + 7
xx
=
\frac{25}{9}
.
Man setze ferner
m
= 3 und
n
= 1, so wird
x
= - 1 oder
x
= + 1
Setzt man aber
m
= 3 und
n
= - 1, so wird
x
= 17; daraus wird 2 + 7
xx
= 2025, welches das Qua- drat ist von 45.
Laßt uns auch setzen
m
= 8 und
n
= 3, so wird
x
= - 17 wie zuvor.
Setzen wir aber
m
= 8 und
n
= - 3, so wird
x
= 271, daraus wird 2 + 7
xx
= 514089 = 717
2
.
60.
Wir wollen ferner diese Formel betrachten 5
xx + 3x
+ 7, welche ein Quadrat wird, wann
x
= - 1. Des- wegen setze man
x = y
- 1 so wird unsere Formel in diese verwandelt
5
yy - 10y
+ 5
+ 3
y
- 3
+ 7
5
yy - 7y
+ 9
davon
Von der unbestimmten Analytic.
davon setze man die Quadrat-Wurzel = 3 -
\frac{my}{n}
, so wird 5
yy - 7y
+ 9 = 9 -
\frac{6my}{n}
+
\frac{mmyy}{nn}
; daher wir bekommen 5
nny - 7nn = - 6mn + mmy
, und
y
=
\frac{7nn - 6mn}{5nn - mm}
, folglich
x
=
\frac{2nn - 6mn + mm}{5nn - mm}
.
Es sey
m
= 2 und
n
= 1, so wird
x
= - 6 und also 5
xx + 3x
+ 7 = 169 = 13
2
.
Setzt man aber
m
= - 2 und
n
= 1, so wird
x
= 18 und 5
xx + 3x
+ 7 = 1681 = 41
2
.
61.
Laßt uns nun auch diese Formel betrachten 7
xx + 15x
+ 13, und so gleich setzen
x
=
\frac{t}{u}
, also daß diese Formel 7
tt + 15tu + 13uu
ein Quadrat seyn soll. Nun probire man fuͤr
t
und
u
einige kleinere Zahlen wie folget:
Es sey
t
= 1 und
u
= 1, so wird unsere Formel = 35
t
= 2 und
u
= 1 = 71
t
= 2 und
u
= —1 = 11
t
= 3 und
u
= 1 = 121
Da nun 121 ein Quadrat ist, und also der Werth
x
= 3 ein Genuͤge leistet, so setze man
x = y
+ 3 und so
S 3
wird
Zweyter Abschnitt
wird unsere Formel 7
yy + 42y + 63 + 15y
+ 45 + 13 oder 7
yy + 57y
+ 121; davon setze man die Wurzel = 11 +
\frac{my}{n}
, so bekommt man 7
yy + 57y
+ 121 = 121 +
\frac{22my}{n}
+
\frac{mmyy}{nn}
, oder 7
nny + 57nn = 22mn + mmy
, und daher
y
=
\frac{57nn - 22mn}{mm - 7nn}
und
x
=
\frac{36nn - 22mn + 3mm}{mm - 7nn}
.
Man setze z. E.
m
= 3 und
n
= 1, so wird
x
= -
\frac{3}{2}
und unsere Formel 7
xx + 15y
+ 13 =
\frac{25}{4}
= (
\frac{5}{2}
)
2
. Es sey ferner
m
= 1 und
n
= 1, so wird
x
= -
\frac{17}{6}
. Nimmt man
m
= 3 und
n
= - 1, so wird
x
=
\frac{129}{2}
und unsere Formel 7
xx + 15x
+ 13 =
\frac{120409}{4}
= (
\frac{347}{2}
)
2
.
62.
Bisweilen aber ist alle Muͤhe umsonst einen Fall zu errathen, in welchem die vorgegebene Formel ein Quadrat wird, wie z. E. bey dieser geschiehet 3
xx
+ 2, oder wann man fuͤr
x
schreibt
\frac{f}{u}
, dieser 3
tt + 2uu
, welche man mag auch fuͤr
t
und
u
Zahlen anneh- men die man will, niemahls ein Quadrat wird. Dergleichen Formeln, welche auf keinerley Weise zu ei- nem Quadrat gemacht werden koͤnnen, giebt es unend- lich viel, und deswegen wird es der Muͤhe werth
seyn
Von der unbestimmten Analytic.
seyn einige Kennzeichen anzugeben, woraus die Un- moͤglichkeit erkennt werden kann, damit man oͤfters der Muͤhe uͤberhoben seyn moͤge, durch Rathen solche Faͤlle zu finden wo ein Quadrat herauskommt, wo- zu das folgende Capitel bestimmt ist.
Capitel
5. Von den Faͤllen, da die Formel
a + bx + cxx
niemahls ein Quadrat werden kann.
63.
D
a unsere allgemeine Formel aus drey Gliedern be- steht, so ist zu bemercken, daß dieselbe immer in eine andere verwandelt werden kann, in welcher das mittlere Glied mangelt. Dieses geschiehet wann man setzt
x
=
\frac{y - b}{2c}
, dadurch bekommt unsere Formel diese Gestalt
a
+
\frac{by - bb}{2c}
+
\frac{yy - 2by + bb}{4c}
, oder
\frac{4ac - bb + yy}{4c}
. Soll diese ein Quadrat werden, so setze man dasselbe =
\frac{zz}{4}
, so wird 4
ac - bb + yy = czz
folglich
yy = czz + bb - 4ac
. Wann also
S 4
un-
Zweyter Abschnitt
unsere Formel ein Quadrat seyn soll, so wird auch diese
czz + bb - 4ac
ein Quadrat und umgekehrt, wann diese ein Quadrat wird, so wird auch die obige ein Quadrat; folglich wann man fuͤr
bb - 4ac
schreibt
t
, so kommt es darauf an ob eine solche For- mel
czz + t
ein Quadrat werden koͤnne oder nicht? und da diese Formel nur aus zwey Gliedern besteht, so ist es ohnstreitig weit leichter die Moͤglichkeit oder Un- moͤglichkeit derselben zu beurtheilen, welches aus der Beschaffenheit der beyden gegebenen Zahlen
c
und
t
geschehen muß.
64.
Wann
t
= 0 ist, so ist offenbar, daß die For- mel
czz
nur alsdann ein Quadrat werde, wann die Zah
c
ein Quadrat ist. Dann da ein Quadrat durch ein ander Quadrat dividirt, wieder ein Quadrat wird, so kann
czz
kein Quadrat seyn, wofern nicht
\frac{czz}{zz}
, das ist
c
, ein Quadrat ist. Also wann die Zahl
c
kein Quadrat ist, so kann auch die Formel
czz
auf keiner- ley Weise ein Quadrat werden: Ist aber
c
vor sich eine Quadrat Zahl, so ist auch
czz
ein Quadrat, man mag fuͤr
z
annehmen was man will.
65.
Von der unbestimmten Analytic.
65.
Um andere Faͤlle beurtheilen zu koͤnnen, so muͤ- ßen wir dasjenige zu Huͤlfe nehmen, was oben von den verschiedenen Arten der Zahlen in Ansehung eines jeglichen Theilers angefuͤhrt worden.
Also in Ansehung des Theilers 3 sind die Zahlen von dreyerley Art: die erste begreift diejenigen Zahlen, welche sich durch 3 theilen laßen und durch diese For- mel 3
n
vorgestellt werden.
Zu der andern Art gehoͤren diejenigen, welche durch 3 dividirt 1 uͤbrig laßen, und in dieser Formel 3
n
+ 1 enthalten sind.
Die dritte Art aber begreift die Zahlen in sich, welche durch 2 dividirt 2 uͤbrig laßen, und durch diese Formel 3
n
+ 2 vorgestelt werden.
Da nun alle Zahlen in einer von diesen 3 For- meln enthalten sind, so wollen wir die Quadraten da- von betrachten.
Ist die Zahl in der Formel 3
n
enthalten, so ist ihr Quadrat 9
nn
, welches sich also nicht nur durch 3 sondern so gar durch 9 theilen laͤßt.
S 5
Ist
Zweyter Abschnitt
Ist die Zahl in der Formel 3
n
+ 1 enthalten, so ist ihr Quadrat 9
nn + 6n
+ 1, welches durch 3 di- vidirt giebt 3
nn + 2n
und 1 zum Rest laͤßt, und also auch zur zweyten Art 3
n
+ 1 gehoͤret.
Ist endlich die Zahl in dieser Formel 3
n
+ 2 enthalten, so ist ihr Quadrat 9
nn + 12n
+ 4, welches durch 3 dividirt, giebt 3
nn + 4n
+ 1, und 1 im Rest laͤßt, und also auch zu der zweyten Art 3
n
+ 1 gehoͤret: daher ist klar, daß alle Quadrat-Zahlen in Ansehung des Theilers 3, nur von zweyerley Arten sind. Dann entweder laßen sich dieselben durch 3 theilen, und als- dann muͤßen sie sich auch nothwendig durch 9 theilen laßen; oder wann sie sich nicht durch 3 theilen laßen, so bleibt allezeit nur 1 im Rest, niemals aber 2. Dahero keine Zahl, die in der Form 3
n
+ 2 enthalten ist, ein Quadrat seyn kann.
66.
Hieraus koͤnnen wir nun leicht zeigen, daß die Formel 3
xx
+ 2 niemals ein Quadrat werden kann, man mag fuͤr
x
eine gantze Zahl oder einen Bruch setzen. Dann wann
x
eine ganze Zahl ist und man theilt diese Formel 3
xx
+ 2 durch 3 so bleiben 2 uͤbrig, daher diese Formel kein Quadrat seyn kann. Wann
aber
Von der unbestimmten Analytic.
aber
x
ein Bruch ist, so setze man
x
=
\frac{t}{u}
, von welchem Bruch wir annehmen koͤnnen, daß derselbe schon in seine kleinste Form gebracht worden, und also
t
und
u
kei- nengemeinen Theiler haben außer 1. Sollte nun
\frac{3tt}{uu}
+ 2 ein Quadrat seyn, so muͤßte dieselbe auch mit
uu
mul- tiplicirt, das ist diese 3
tt + 2uu
ein Quadrat seyn, dieses aber kann ebenfalls nicht geschehen. Dann entweder laͤßt sich die Zahl
u
durch 3 theilen oder nicht: laͤßt sie sich theilen, so laͤßt sich
t
nicht thei- len weil sonsten
t
und
u
einen gemeinen Theiler haͤt- ten.
Man setze dahero
u = 3f
, so wird unsere Formel 3
tt + 18ff
, welche durch 3 getheilt giebt
tt + 6ff
, so sich nicht weiter durch 3 theilen laͤßt, wie zu einem Quadrat erfordert wird, weil sich zwar 6
ff
theilen laͤßt,
tt
aber durch 3 dividirt 1 uͤbrig laͤßt.
Laͤßt sich aber
u
nicht durch 3 theilen, so sehe man was uͤbrig bleibt. Weil sich das erste Glied durch 3 theilen laͤßt, so kommt es mit dem Rest blos auf das zweyte Glied 2
uu
an. Nun aber
uu
durch 3 di- vidirt 1 im Rest hat, oder eine Zahl ist von dieser Art 3
n
+ 1: so wird 2
uu
eine Zahl von dieser Art 6
n
+ 2 seyn, und also durch 3 dividirt 2 uͤbrig
lassen
Zweyter Abschnitt
lassen: dahero unsere Formel 3
tt + 2uu
durch 3 dividirt, 2 uͤbrig laͤßt, und also gewiß keine Quadrat-Zahl seyn kann.
67.
Eben so kann man beweisen, daß auch diese For- mel 3
tt + 5uu
niemals ein Quadrat seyn kann, und so gar auch keine von diesen: 3
tt + 8uu
, 3
tt + 11uu 3tt + 14uu
etc. wo die Zahlen 3, 8, 11, 14 etc. durch 3 dividirt 2 uͤbrig lassen. Dann waͤre
u
durch 3 theilbar, folglich
t
nicht, und man setzte
u = 3s
, so wuͤrde die Formel durch 3 nicht aber durch 9 theil- bar seyn. Waͤre
u
nicht durch 3 theilbar und also
uu
eine Zahl von dieser Art 3
n
+ 1, so waͤre zwar das erste Glied 3
tt
durch 3 theilbar, das andere aber 5
uu
von dieser Form 15
n
+ 5, oder 8
uu
von dieser Form 24
n
+ 8, oder 11
uu
von dieser 33
n
+ 11 etc. wuͤrde durch 3 divididirt 2 uͤbrig laßen, und also kein Qua- drat seyn koͤnnen.
68.
Dieses gilt also auch von dieser allgemeinen Formel 3
tt + (3n + 2).uu
, welche nimmermehr ein Qua- drat werden kann, und auch nicht wann fuͤr
n
ne-
ga-
Von der unbestimmten Analytic.
gative Zahlen gesetzt wuͤrden. Also wann
n
= - 1, so ist es unmoͤglich, diese Formel 3
tt - uu
zu einem Quadrat zu machen. Dann wann
u
durch 3 theilbar ist, so ist die Sache offenbar, waͤre aber
u
nicht theil- bar durch 3, so wuͤrde
uu
eine Zahl von dieser Art 3
n
+ 1, und also unsere Formel seyn 3
tt - 3n
- 1, wel- che durch 3 dividirt uͤbrig laͤßt - 1, oder um 3 mehr, + 2 uͤbrig laͤßt. Man setze uͤberhaupt
n = - m
so wird unsere Formel 3
tt - (3m - 2) uu
, welche auch nimmermehr ein Quadrat werden kann.
69.
Hierzu hat uns nun die Betrachtung des Thei- lers 3 gefuͤhret; wir wollen dahero auch 4 als einen Theiler betrachten, da dann alle Zahlen in einer von diesen vier Formeln:
I. 4n
,
II. 4n
+ 1,
III. 4n
+ 2,
IV 4n
+ 3, enthalten sind. Von den Zahlen der ersten Art ist das Quadrat 16
nn
und laͤßt sich also durch 16 thei- len. Ists eine Zahl von der zweyten Art 4
n
+ 1, so ist ihr Quadrat 16
nn + 8n
+ 1, welches durch 8 di- vidirt 1 uͤbrig laͤßt und gehoͤrt also zu dieser Formel 8
n
+ 1.
Ists
Zweyter Abschnitt
Ists eine Zahl von der dritten Art 4
n
+ 2 so ist ihr Quadrat 16
nn + 16n
+ 4, welche durch 16 dividirt 4 uͤbrig laͤßt, und also in dieser Form 16
n
+ 4 enthalten ist. Ists endlich eine Zahl von der vierten Art 4
n
+ 3, so ist ihr Quadrat 16
nn + 24n
+ 9, welches durch 8 dividirt 1 uͤbrig laͤßt.
70.
Hieraus lernen wir folgendes, erstlich daß alle ge- rade Quadrat-Zahlen in dieser Form 16
n
oder in dieser 16
n
+ 4 enthalten sind; folglich alle uͤbrige gerade Formeln, nemlich 16
n + 2; 16n + 6; 16n + 8; 16n + 10; 16n + 12; 16n
+ 14, koͤnnen niemals Quadrat-Zahlen seyn.
Hernach von den ungeraden Quadraten ersehen wir, daß alle in dieser einzigen Formel 8
n
+ 1 enthal- ten sind, oder durch 8 dividirt 1 im Rest laßen. Dahero alle uͤbrige ungerade Zahlen welche in einer von die- ser Formel 8
n + 3; 8n + 5; 8n
+ 7, enthalten sind, koͤnnen niemals Quadrate werden.
71.
Aus diesem Grund koͤnnen wir auch wiederum zeigen, daß diese Formel 3
tt + 2uu
kein Quadrat seyn
kann
Von der unbestimmten Analytic.
kann. Dann entweder sind beyde Zahlen
t
und
u
un- gerade, oder die eine ist gerad und die andere ist un- gerad, weil beyde zugleich nicht gerad seyn koͤnnen, indem sonst 2 ihr gemeiner Theiler seyn wuͤrde. Waͤren beyde ungerad, und folglich so wohl
tt
als
uu
in dieser Form 8
n
+ 1 enthalten, so wuͤrde das er- ste Glied 3
tt
durch 8 dividirt 3 uͤbrig laßen, das an- dere Glied aber 2 uͤbrig laßen, beyde zusammen aber wuͤrden 5 uͤbrig laßen, und also kein Quadrat seyn. Waͤre aber
t
eine gerade Zahl und
u
ungerade, so wuͤrde sich das erste Glied 3
tt
durch 4 theilen laßen, das andere aber 2
uu
wuͤrde durch 4 dividirt 2 uͤbrig laßen, also beyde zusammen wuͤrden 2 uͤbrig laßen und also kein Quadrat seyn. Waͤre aber endlich
u
gerad nemlich
u = 2s
, aber
t
ungerad und folglich
tt = 8n
+ 1, so wuͤrde unsere Formel seyn 24
n + 3 + 8ss
, welche durch 8 dividirt 3 uͤbrig laͤßt, und also kein Quadrat seyn kann.
Eben dieser Beweis laͤßt sich auch auf diese For- mel ausdehnen 3
tt + (8n + 2)uu
; imgleichen auch auf diese
(8m + 3)tt + 2uu
, und auch so gar auf diese
(8m + 3)tt + (8n + 2)uu
, wo fuͤr
m
und
n
alle gantze Zahlen so wohl positive als negative genommen werden koͤnnen.
72.
Zweyter Abschnitt
72.
Wir gehen solcher Gestalt weiter zum Theiler 5, in Ansehung dessen alle Zahlen in einer von diesen fuͤnf Formeln:
I. 5n
,
II. 5n
+ 1,
III. 5n
+ 2,
IV. 5n
+ 3,
V. 5n
+ 4, enthalten sind. Ist nun eine Zahl von der ersten Art, so ist ihr Quadrat 25
nn
, welches nicht nur durch 5 sondern auch durch 25 theilbahr ist.
Ist eine Zahl von der zweyten Art, so ist ihr Quadrat 25
nn + 10n
+ 1, welches durch 5 dividirt 1 uͤbrig laͤßt und also in dieser Formel 5
n
+ 1 enthal- ten ist.
Ist eine Zahl von der dritten Art, so ist ihr Qua- drat 25
nn + 20n
+ 4, welches durch 5 dividirt 4 uͤbrig laͤßt.
Ist eine Zahl von der vierten Art, so ist ihr Qua- drat 25
nn + 30n
+ 9, welches durch 5 dividirt 4 uͤbrig laͤßt.
Ist endlich eine Zahl von der fuͤnften Art, so ist ihr Quadrat 25
nn + 40n
+ 16, welches durch 5 di- vidirt 1 uͤbrig laͤßt. Wann dahero eine Quadrat- Zahl sich nicht durch 5 theilen laͤßt, so ist der Rest
immer
Von der unbestimmten Analytic.
immer entweder 1 oder 4, niemals aber 2 oder 3; dahe- ro in diesen Formeln 5
n
+ 2 und 5
n
+ 3 kein Qua- drat enthalten seyn kann.
73.
Aus diesem Grund koͤnnen wir auch beweisen, daß weder die Formel 5
tt + 2uu
noch diese 5
tt + 3uu
ein Quadrat werden koͤnne. Dann entweder ist
u
durch 5 theilbar oder nicht: im erstern Fall wuͤrden sich diese Formeln durch 5, nicht aber durch 25 theilen la- ßen, und also auch keine Quadrate seyn koͤnnen. Ist aber
u
nicht theilbar durch 5, so ist
uu
entweder 5
n
+ 1 oder 5
n
+ 4, im erstern Fall wird die erste Formel 5
tt + 10n
+ 2, welche durch 5 getheilt 2 uͤbrig laͤßt; die andere aber wird 5
tt + 15n
+ 3, welche durch 5 getheilt 3 uͤbrig laͤßt, und also keine ein Quadrat seyn kann. Ist aber
uu = 5n
+ 4, so wird die erste Formel 5
tt + 10n
+ 8, welche durch 5 dividirt 3 uͤbrig laͤßt; die andere aber wird 5
tt + 15n
+ 12, welche durch 3 dividirt 2 uͤbrig laͤßt, und also auch in diesem Fall kein Quadrat werden kann.
Aus eben diesem Grund siehet man auch, daß we- der diese Formel 3
tt + (5n + 2)uu
noch diese 5
tt + (5n + 3)uu
ein Quadrat seyn kann, weil
II
Theil
T
eben
Zweyter Abschnitt
eben dieselben Reste als vorher uͤberbleiben, man kann auch so gar im ersten Glied 5
mtt
anstatt 5
tt
schreiben, wann nur
m
nicht durch 5 theilbar ist.
74.
Wie alle gerade Quadraten in dieser Form 4
n
alle ungerade aber in dieser Form 4
n
+ 1 enthalten sind, und also weder 4
n
+ 2, noch 4
n
+ 3, ein Qua- drat seyn kann, so folgt daraus, daß diese allgemeine Formel
(4m + 3) tt + (4n + 3) uu
niemals ein Quadrat seyn kann. Dann waͤre
t
gerad so wuͤrde sich
tt
durch 4 theilen laßen, das andere Glied aber wuͤr- de durch 4 dividirt 3 uͤbrig lassen: waͤren aber beyde Zahlen
t
und
u
ungerad, so wuͤrden die Reste von
tt
und
uu
, 1 seyn, also von der gantzen Formel wuͤrde der Rest seyn 2. Nun aber ist keine Zahl welche durch 4 dividirt 2 uͤbrig laͤßt, ein Quadrat; hier ist auch zu mercken, daß so wohl
m
als
n
negativ, und auch = 0, genommen werden kann, dahero weder diese For- mel 3
tt + 3uu
noch diese 3
tt - uu
ein Quadrat seyn kann.
75.
Wie wir von den bisherigen Theilern gefunden haben, daß einige Arten der Zahlen niemals Quadra-
te
Von der unbestimmten Analytic.
te seyn koͤnnen, so gilt dieses auch bey allen andern Theilern, daß sich immer einige Arten finden die kei- ne Quadrate seyn koͤnnen.
Es sey der Theiler 7, so sind alle Zahlen in einer der felgenden sieben Arten enthalten, von welchen wir auch die Quadraten untersuchen wollen.
Arten der Zahlen ihre Quadraten gehoͤren zu der Art
Da nun die Quadraten, die sich nicht durch 7 thei- len lassen, in einer von diesen drey Arten enthalten seyn muͤssen 7
n + 1, 7n + 2, 7n
+ 4, so werden die drey andern Arten von der Natur der Quadrate gaͤntz- lich aus geschloßen. Diese Arten sind nun, 7
n + 3, 7n + 5, 7n
+ 6, und der Grund davon ist offenbahr, weil sich immer zwey Arten finden davon die Quadraten zu einer Gattung gehoͤren.
T 2
76.
Zweyter Abschnitt
76.
Um dieses deutlicher zu zeigen, so bemercke man daß die letzte Art 7
n
+ 6 auch also 7
n
- 1 ausge- druͤckt werden kann; eben so ist auch die Formel 7
n
+ 5 mit dieser 7
n
- 2 einerley, und 7
n
+ 4 ist eben- so viel als 7
n
- 3. Nun aber ist offenbar, daß von die- sen zwey Arten der Zahlen 7
n
+ 1 und 7
n
- 1 die Qua- drate durch 7 dividirt einerley uͤbrig lassen nemlich 1; eben so sind auch die Quadraten dieser beyden Arten 7
n
+ 2 und 7
n
- 2 von einerley Gattung.
77.
Ueberhaupt also, wie auch immer der Theiler beschaf- fen seyn mag, welchen wir mit dem Buchstaben
d
an- deuten wollen, sind die daher entstehenden verschiedene Arten der Zahlen folgende
dn; dn
+ 1,
dn
+ 2,
dn
+ 3. etc.
dn
- 1,
dn
- 2,
dn
- 3. etc. wo die Quadrate von
dn
+ 1 und
dn
- 1 dieses gemein haben, daß sie durch
d
dividirt 1 uͤbrig laßen, und also beyde zu einer Art nemlich zu
dn
+ 1 gehoͤren. Eben so ver-
haͤlt
Von der unbestimmten Analytic.
haͤlt es sich auch mit den beyden Arten
dn
+ 2 und
dn
- 2, deren Quadrate zu der Art
dn
+ 4 gehoͤren.
Und also uͤberhaupt gilt es auch von diesen zwey Ar- ten
dn + a
und
dn - a
, deren Quadrate durch
d
di- vidirt einerley uͤbrig lassen nemlich
aa
; oder so viel als uͤbrig bleibt, wann man
aa
durch
d
theilt.
78.
Auf diese Weise erhaͤlt man also eine unendliche Menge solcher Formeln
a tt + b uu
welche auf kei- nerley Weise Quadrate werden koͤnnen. Also aus dem Theiler 7 erkennt man leicht, daß keine von diesen drey Formeln 7
tt + 3uu
, 7
tt + 5uu
und 7
tt + 6uu
jemals ein Quadrat werden kann, weil
u
durch 7 dividirt entweder 1 oder 2 oder 4 uͤbrig laͤßt: fer- ner weil bey der ersten entweder 3 oder 6 oder 5, bey der zweyten entweder 5 oder 3 oder 6, bey der dritten entweder 6 oder 5 oder 3 uͤbrig blieb, welches bey keinem Quadrat geschehen kann. Wann nun derglei- chen Formeln vorkommen, so ist alle Muͤhe verge- bens, die man sich geben wollte, um irgend einen Fall zu errathen, wo ein Quadrat herauskommen moͤgte, und deswegen ist diese Betrachtung von großer Wich- tigkeit.
T 3
Ist
Zweyter Abschnitt
Ist aber eine vorgegebene Formel nicht von die- ser Beschaffenheit, und man kann einen einigen Fall errahten, wo dieselbe ein Quadrat wird, so ist in dem vorigen Capitel schon gezeigt worden, wie daraus un- endlich viel andere Faͤlle gefunden werden sollen.
Die vorgegebene Formel war eigentlich
axx + b
, und weil gemeiniglich fuͤr
x
Bruͤche gefunden werden, so haben wir gesetzt
x
=
\frac{t}{u}
, also daß diese For- mel
att + buu
zu einem Quadrat gemacht werden soll.
Es giebt aber auch oͤfters unendlich viel Faͤlle wo so gar
x
in gantzen Zahlen gegeben werden kann, wie nun dieselben ausfindig zu machen, soll in dem fol- gendem Capitel gezeigt werden.
Capi-
Von der unbestimmten Analytic.
Capitel
6. Von den Faͤllen in ganzen Zahlen, da die Formel
axx + b
ein Quadrat wird.
79.
W
ir haben schon oben gewiesen wie solche Formeln
a + bx + cxx
verwandelt werden sollen, daß das mittlere Glied wegfalle, und dahero begnuͤ- gen wir uns die gegenwaͤrtige Abhandlung nur auf diese Form
axx + b
einzuschraͤncken, wobey es darauf ankommt, daß fuͤr
x
nur gantze Zahlen gefunden wer- den sollen aus welchen die Formel ein Quadrat wird. Vor allen Dingen aber ist noͤthig, daß eine solche For- mel an sich moͤglich sey, dann waͤre sie unmoͤglich so koͤnnten nicht einmahl Bruͤche fuͤr
x
, geschweige denn gantze Zahlen, statt finden.
80.
Man setze also diese Formel
axx + b = yy
, da dann beyde Buchstaben
x
und
y
gantze Zahlen seyn sollen, weil
a
und
b
dergleichen sind.
T 4
Zu
Zweyter Abschnitt
Zu diesem Ende ist unumgaͤnglich noͤthig, daß man schon einen Fall in gantzen Zahlen wiße oder erra- then habe, dann sonsten wuͤrde alle Muͤhe uͤberfluͤ- ßig seyn mehr dergleichen Faͤlle zu suchen, weil viel- leicht die Formel selbst unmoͤglich seyn moͤchte.
Wir wollen demnach annehmen daß diese Formel ein Quadrat werde wann man setzt
x = f
, und wollen das Quadrat durch
gg
andeuten, also daß
aff + b = gg
wo demnach
f
und
g
bekante Zahlen sind. Es kommt also nur darauf an, wie aus diesem Fall noch andere Faͤlle hergeleitet werden koͤnnen; und diese Untersu- chung ist um so viel wichtiger, je mehr Schwierig- keiten dieselbe unterworfen ist, welche wir aber durch folgende Kunstgriffe uͤberwinden werden.
81.
Da nun schon gefunden worden
aff + b = gg
, und uͤber dieses auch seyn soll
axx + b = yy
, so sub- trahire man jene Gleichung von dieser, um zu bekom- men
axx - aff = yy - gg
, welche sich also durch Factoren ausdruͤcken laͤßt
a(x + f)(x - f) = (y + g)(y - g);
man multiplicire beyderseits mit
pq
, so hat man
apq(x + f)(x - f) = pq(y + g)(y - g)
:
um
Von der unbestimmten Analytic.
um nun diese Gleichheit heraus zu bringen mache man diese Vertheilung
ap(x + f) = q(y + g)
und
q(x - f) = p(y - g)
, und aus diesen beyden Glei- chungen suche man die beyden Buchstaben
x
und
y
: die erste durch
q
dividirt giebt
y + g
=
\frac{apx + apf}{q}
; die andere durch
p
dividirt giebt
y - g
=
\frac{ax - qf}{p}
; die- se von jener subtrahirt giebt 2
g
=
\frac{(app - qq)x + (app + qq)f}{pq}
, mit
pq
multiplicirt wird 2
pqg = (app - qq) x + (app + qq)f
, und dahero
x
=
\frac{2gpq}{app - qq}
—
\frac{(app + qq)f}{app - qq}
, und hieraus findet man ferner
y = g
+
\frac{2gqq}{app - qq}
-
\frac{(app + qq)fq}{(app - qq)p}
-
\frac{qf}{p}
. Hier enthalten die zwey erstere Glieder den Buchstaben
g
, welche zusammen ge- zogen geben
\frac{g(app + qq)}{app - qq}
; die beyden andern enthalten den Buchstaben
f
und geben unter einer Benennung —
\frac{2afpq}{app-qq}
, dahero wir erhalten
y
=
\frac{g(app + qq) - 2afpq}{app - qq}
.
82.
Diese Arbeit scheinet unserm Endzweck gar nicht gemaͤß zu seyn, indem wir hier auf Bruͤche gerathen sind, da wir doch fuͤr
x
und
y
gantze Zahlen finden sollten, und es wuͤrde auf eine neue Frage ankom- men was man fuͤr
p
und
q
fuͤr Zahlen annehmen muͤßte damit die Bruͤche wegfallen? welche Frage
T 5
noch
Zweyter Abschnitt
noch schwerer scheint als unsere Haupt-Frage. Allein es kann hier ein besonderer Kunstgrif angewendet werden, wodurch wir leicht zu unserm Endzweck ge- langen: dann da hier alles in gantzen Zahlen ausge- druͤckt werden soll, so setze man
\frac{app + qq}{app - qq}
=
m
und
\frac{2pq}{app - qq}
=
n
, damit man habe
x = ng - mf
und
y = mg - naf
. Allein hier koͤnnen wir
m
und
n
nicht nach Belieben nehmen, sondern sie muͤßen so bestimmt werden, daß den obigen Bestimmungen ein Genuͤge ge- schehe; zu diesem Ende laßt uns ihre Quadrate be- trachten, da wir dann haben werden
mm
=
\frac{aap^{4} + 2 appqq + q^{4}}{aap^{4} - 2 appqq + q^{4}}
und
nn
=
4ppqq/aap^{4} - 2appqq + q^{4}
dahero bekommen wir:
mm - ann
=
\frac{aap^{4} + 2appqq + q^{4} - 4appqq}{aap^{4} - 2appqq + q^{4}}
=
\frac{aap^{4} - 2appqq + q^{4}}{aap^{4} - 2appqq + q^{4}}
= 1.
83.
Hieraus sieht man, daß die beyden Zahlen
m
und
n
also beschaffen seyn muͤßen, daß
mm = ann
+ 1. Da nun
a
eine bekante Zahl ist, so muß man vor allen Dingen darauf bedacht seyn eine solche gantze Zahl fuͤr
n
zu finden, daß
ann
+ 1 ein Quadrat werde, von welchem hernach
m
die Wurzel ist, und so bald man eine
sol-
Von der unbestimmten Analytic.
solche gefunden, und uͤber dieses auch die Zahl
f
ge- funden, daß
aff + b
ein Quadrat werde nemlich
gg
, so bekommt man vor
x
und
y
folgende Werthe in gan- tzen Zahlen
x = ng - mf
, und
y = mg - naf
, und dadurch wird
axx + b = yy
.
84.
Es ist vor sich klar, daß wann einmahl
m
und
n
gefunden worden, man dafuͤr auch -
m
und -
n
schrei- ben koͤnne, weil daß Quadrat
nn
doch einerley bleibt.
Um dahero
x
und
y
in gantzen Zahlen zu finden, auf daß
axx + b = yy
werde, so muß man vor allen Dingen einen solchen Fall schon haben, daß nemlich sey
aff + b = gg
, so bald dieser Fall bekant ist, so muß man noch zu der Zahl
a
solche Zahlen
m
und
n
suchen, daß
ann + 1 = mm
werde, wozu in folgen- dem die Anleitung soll gegeben werden. Ist nun die- ses geschehen, so hat man sogleich einen neuen Fall, nemlich
x = ng + mf
und
y = mg + naf
, da dann seyn wird
axx + b = yy
.
Setzt man diesen neuen Fall an die Stelle des vorigen der fuͤr bekant angenommen worden und schreibt
ng + mf
, anstatt
f
und
mg + naf
, anstatt
g
, so
be-
Zweyter Abschnitt.
bekommen wir fuͤr
x
und
y
wiederum neue Werthe, aus welchen weiter, wann sie fuͤr
f
und
g
gesetzt wer- den, andere neue heraus gebracht werden, und so im- merfort, also daß wann man anfaͤnglich nur einen solchen Fall gehabt, man daraus unendlich viel andere ausfindig machen kann.
85.
Die Art wie wir zu dieser Aufloͤsung gelanget sind, war ziemlich muͤhsam und schien anfaͤnglich von un- serm Endzweck sich zu entfernen, indem wir auf ziem- lich verwirrte Bruͤche geriethen, die durch ein beson- ders Gluͤck haben weggeschaft werden koͤnnen, es wird dahero gut seyn noch einen andern kuͤrtzern Weg anzu- zeigen, welcher uns zu eben dieser Aufloͤsung fuͤhret.
86.
Da seyn soll
axx + b = yy
und man schon ge- funden hat
aff + b = gg
, so giebt uns jene Gleichung
b = yy - axx
, diese aber
b = gg - aff
, folglich muß auch seyn
yy - axx = gg - aff
, und jetzt kommt alles dar- auf an, daß man aus den bekanten Zahlen
f
und
g
die unbekanten
x
und
y
finden soll: da dann so gleich in die Augen faͤllt, daß diese Gleichung erhalten werde,
wann
Von der unbestimmten Analytic.
wann man setzt
x = f
und
y = g
: allein hieraus er- haͤlt man keinen neuen Fall außer den der schon fuͤr bekant genommen wird.
Wir wollen demnach setzen, man habe fuͤr
n
schon eine solche Zahl gefunden, daß
ann + 1
ein Quadrat werde, oder daß da sey
ann + 1 = mm
, dahero wird nun
mm - ann = 1
, damit multiplicire man in der obigen Gleichung den Theil
gg - aff
so muß auch seyn
yy - axx = (gg - aff) (mm - ann) = ggmm — affmm - aggnn + aaffnn
. Laßt uns zu diesem Ende setzen
y = gm + afn
, so bekommen wir:
ggmm + 2afgmn + aaffnn - axx = ggmm — affmm - aggnn + aaffnn
, wo sich die Glieder
ggmm
und
aaffnn
einander aufheben und wir also bekommen
axx = affmm + aggnn + 2afgmn
, welche Gleichung durch
a
getheilt giebt
xx = ffmm + ggnn + 2fgmn
, welche Formel offenbar ein Quadrat ist, daraus wir erhalten
x = fm + gn
, welches eben die Formeln sind die wir vorher gefun- den haben.
87.
Es wird nun noͤthig seyn diese Aufloͤsung durch einige Exempel zu erlaͤutern.
I.
Zweyter Abschnitt
I.
Frage: Man suche alle gantze Zahlen ’fuͤr
x
, also daß
2xx - 1
ein Quadrat werde, oder daß sey
2xx - 1 = yy
?
Hier ist
a = 2
und
b = - 1
, der erste Fall so in die Augen faͤllt ist nun wann man nimmt
x = 1
und
y = 1
. Aus diesem bekanten Falle haben wir nun
f = 1
und
g = 1
; es wird aber ferner erfordert eine solche Zahl fuͤr
n
zu finden, daß
2nn + 1
ein Quadrat werde nemlich
mm
, solches geschiehet nun wann
n = 2
und
m = 3
, dahero wir aus einem jeden bekan- ten Fall
f
und
g
diese neue finden
x = 3f + 2g
, und
y = 3g + 4f
; da nun der erste bekante Fall ist
f = 1
und
g = 1
, so finden wir daraus folgende neue Faͤlle.
88.
II.
Frage: Man suche alle dreyeckigte Zahlen, welche zu gleich Quadrat-Zahlen sind?
Es sey
z
die Drey Ecks-Wurzel, so ist das Drey- Eck
\frac{zz + z}{2}
, welches ein Quadrat seyn soll. Die Wur- zel davon sey
x
, so muß seyn
\frac{zz + z}{2}
=
xx
: Man
mul-
Von der unbestimmten Analytic.
multiplicire mit 8 so wird
4zz + 4z = 8xx
und bey- derseits 1 addirt, giebt
4zz + 4z + 1 = (2z + 1)
2
= 8xx + 1
. Es kommt also darauf an, daß
8 xx + 1
ein Quadrat werde, und wann man setzt
8 xx + 1 = yy
, so wird
y = 2z + 1
, und also die gesetzte Drey- Eck-Wurzel
z
=
\frac{y - 1}{2}
.
Hier ist nun
a = 8
, und
b = 1
, und der bekannte Fall faͤlt so gleich in die Augen, nemlich
f = 0
und
g = 1
. Damit ferner werde
8nn + 1 = mm
, so ist
n = 1
und
m = 3
; dahero bekommt man
x = 3f + g
und
y = 3g + 8f
, und
z
=
\frac{y - 1}{2}
; hieraus bekommen wir also folgende Aufloͤsungen.
89.
III.
Frage; Man suche alle Fuͤnf-Ecks-Zahlen welche zu gleich Quadrat-Zahlen sind?
Die Fuͤnf-Ecks-Wurzel sey =
z
, so ist das Fuͤnf-Eck =
\frac{3zz - z}{2}
, so dem Quadrat
xx
gleich gesetzt werde; dahero wird
3zz - z = 2xx
; man multiplicire mit 12
und
Zweyter Abschnitt.
und addirte 1, so wird
36zz - 12z + 1 = 24xx + 1 = (6z - 1)
2
.
Setzt man nun
24xx + 1 = yy
, so ist
y = 6z - 1
und
z
=
\frac{y + 1}{6}
: da nun hier
a = 24
,
b = 1
, so ist der bekante Fall
f = 0
und
g = 1
. Da hernach seyn muß
24nn + 1 = mm
, so nehme man
n = 1
und da wird
m = 5
, dahero erhalten wir
x = 5f + g
und
y = 5g + 24f
, und
z
=
\frac{y + 1}{6}
; oder auch
y = 1 - 6z
, so wird eben- falls
z
=
\frac{1 - y}{6}
, woraus folgende Aufloͤsungen ge- funden werden.
90.
IV.
Frage: Man suche alle Quadrate in gantzen Zahlen, welche sieben mal genommen und dazu 2 ad- dirt wiederum Quadrate werden?
Hier wird also gefordert, daß seyn soll
7xx + 2 = yy
, wo
a = 7
und
b = 2
; der bekante Fall faͤllt so gleich in die Augen, wann
x = 1
und dann ist
x = f
= 1
Von der unbestimmten Analytic.
= 1 und
y = g = 3
. Nun betrachte man die Gleichung
7nn + 1 = mm
, und da findet man leicht
n = 3
und
m = 8
; dahero erhalten wir
x = 8f + 3g
und
y = 8g + 21f
, woraus die folgenden Werthe fuͤr
x
gefunden werden.
91.
V.
Frage: Man suche alle dreyeckigte Zahlen, welche zugleich fuͤnfeckigte Zahlen sind?
Es sey die Drey-Ecks-Wurzel =
p
und die Fuͤnf- Ecks-Wurzel =
q
, so muß seyn
\frac{pp + p}{2}
=
\frac{3qq - q}{2}
, oder
3qq - q = pp + p
; hieraus suche man
q
, und da
qq = ⅓q
+
\frac{pp + p}{3}
, so wird
q
= ⅙ ± √ (
\frac{1}{36}
+
\frac{pp + p}{3}
), das ist
q
=
\frac{1 \pm \sqrt{(12 pp + 12p + 1)}}{6}
. Es kommt also dar- auf an, daß
12pp + 12p + 1
ein Quadrat werde, und das in gantzen Zahlen. Da nun hier das mittlere Glied
12p
vorhanden ist, so setze man
p
=
\frac{x - 1}{2}
; da- durch bekommen wir
12pp = 3xx - 6x + 3
und
12p = 6x - 6
, dahero
12pp + 12p + 1 = 3xx - 2
, welches ein Quadrat seyn muß.
II
Theil
U
Setze
Zweyter Abschnitt
Setzen wir demnach
3xx - 2 = yy
, so haben wir daraus
p
=
\frac{x - 1}{2}
und
q
=
\frac{1 + y}{6}
: da nun die gantze Sache auf die Formel
3xx - 2 = yy
ankommt, so ist
a = 3
und
b = - 2
, und der bekante Fall
x = f = 1
und
y = g = 1
: hernach haben wir fuͤr diese Glei- chung
mm = 3nn + 1: n = 1
und
m = 2
, daraus wir folgende Werthe fuͤr
x
und
y
, und daher weiter fuͤr
p
und
q
, erhalten.
Da also ist
x = 2f + g
und
y = 2g + 3f
, so wird:
92.
Bisher waren wir gezwungen aus der gegebenen Formel das zweyte Glied wegzuschaffen, wann ei- nes vorhanden war: man kann aber auch die erste gegebene Methode auf solche Formel anwenden, wo das mittlere Glied vorhanden ist, welches wir hier
noch
Von der unbestimmten Anaytlic.
noch anzeigen wollen. Es sey demnach die vorgege- bene Formel, die ein Quadrat seyn soll, diese
axx + bx + c = yy
, und hievon sey schon dieser Fall bekant
aff + bf + c = gg
.
Nun subtrahire man diese Gleichung von der obigen, so wird
a (xx - ff) + b (x - f) = yy - gg
, welche also durch Factores ausgedruͤckt werden kann
(x - f) (axx + af + b) = (y - g) (y + g)
. Man multiplicire beyderseits mit
pq
, so wird
pq (x - f) (axx + af + b) = pq(y - g) (y + g)
, welche in diese zwey zergliedert werden
I.)p(x - f) = q (y - g). II.)q(ax + af + b) = p (y + g)
. Man multiplicire die erste mit
p
, die andere mit
q
, und subtra- hire jenes von diesem, so kommt
(aqq‒pp)x + (aqq + pp) f + bqq = 2gpq
, daraus finden wir
x
=
\frac{agpq}{aqq - pp}
—
\frac{(aqq + pp)f}{aqq - pp}
-
\frac{bqq}{aqq - pp}
. Aus der ersten Gleichung ist
q (y - g) = p (x - f) = p
(
\frac{2gpq}{aqq - pp}
-
\frac{2afqq}{aqq - pp}
-
\frac{bqq}{aqq - pp}
); also
y - g
=
\frac{2gpp}{aqq - pp}
-
\frac{2afpq}{aqq - pp}
-
\frac{bpq}{aqq - pp}
, und dahero
y = g
(
\frac{aqq + pp}{aqq - pp}
) -
\frac{2afpq}{aqq - pp}
-
\frac{bpq}{aqq - pp}
.
Um diese Bruͤche wegzubringen, so setze man wie oben geschehen
\frac{aqq + pp}{aqq - pp}
=
m
und
\frac{2pq}{aqq - pp}
=
n
, so wird
m + 1
=
\frac{2aqq}{aqq - pp}
und also
\frac{qq}{aqq - pp}
=
\frac{m + 1}{2a}
: also wird
U 2
seyn
Zweyter Abschnitt.
seyn
x = ng - mf - b
\frac{(m + 1)}{2a}
und
y = mg - naf
— ½
bn
, wo die Buchstaben
m
und
n
eben so beschaffen seyn muͤssen, wie oben, nemlich daß
mm = ann + 1
.
93.
Solcher Gestalt sind aber die fuͤr
x
und
y
ge- fundenen Formeln noch mit Bruͤchen vermengt, weil die den Buchstaben
b
enthaltende Glieder Bruͤche sind, und also unserm Endzweck kein Genuͤge leisten. Allein es ist zu mercken, daß wann man von diesen Werthen zu den folgenden fortschreitet, dieselben immer gantze Zahlen werden, welche man aber viel leichter aus den anfaͤnglich eingefuͤhrten Zahlen
p
und
q
, finden kann. Dann man nehme
p
und
q
dergestalt an, daß
pp = aqq + 1
; da nun
aqq - pp = - 1
, so fallen daselbst die Bruͤche von selbsten weg: und da wird
x = - 2gpq + f(aqq + pp) + bqq
und
y = — g(aqq + pp) + 2afpq + bpq
, weil aber in dem be- kanten Fall
aff + bf + c = gg
nur das Quadrat
gg
vorkommt, so ist es gleich viel ob man dem Buchstaben
g
das Zeichen + oder - giebt; man schreibe also
— g
anstatt +
g
, so werden unsere Formeln seyn:
x = 2gpq + f (aqq + pp) + bqq
; und
y =
g (aqq
Von der unbestimmten Analytic.
g (aqq + pp) + 2afpq + bpq
, da dann gewis seyn wird
axx + bx + c = yy
.
Man suche Z. E. diejenigen Sechs-Eck-Zahlen, welche zu gleich Quadrate sind?
Da muß dann seyn
2xx - x = yy
, wo
a = 2
,
b = - 1
, und
c = 0
; der bekante Fall ist hier offen- bar
x = f = 1
; und
y = g = 1
.
Da hernach seyn muß
pp = 2qq + 1
, so wird
q = 2
, und
p = 3
; dahero wir erhalten
x = 12g + 17f - 4
und
y = 17g + 24f - 6
; woraus folgende Werthe gefunden werden:
94.
Wir wollen aber bey der erstern Formel, wo das mittlere Glied fehlt, noch etwas stehen bleiben und die Faͤlle in Erwegung ziehen, wo die Formel
axx + b
ein Quadrat wird in gantzen Zahlen.
Es sey demnach
axx + b = yy
und hiezu wer- den zwey Stuͤcke erfordert:
Erstlich daß man einen Fall wiße, wo dieses ge- schiehet: derselbe sey nun
aff + b = gg
.
U 3
Zwey-
Zweyter Abschnitt
Zweytens daß man solche Zahlen fuͤr
m
und
n
wiße, daß
mm = ann + 1
, wozu in folgendem Capitel die Anleitung gegeben werden soll.
Hieraus erhaͤlt man nun einen neuen Fall, nemlich
x = ng + mf
und
y = mg + anf
, aus welchem hernach gleicher Gestallt neue Faͤlle gefunden werden koͤnnen, welche wir folgender Gestalt vorstellen wol- len:
welche beyde Reihen Zahlen man mit leichter Muͤhe so weit fortsetzen kann als man will.
95.
Nach dieser Art aber kann man weder die obere Reihe fuͤr
x
fortsetzen ohne zugleich die untere zu wi- ßen, noch die untere ohne die obere zu wißen. Man kann aber leicht eine Regel angeben die obere Reihe allein fortzusetzen ohne die untere zu wißen, welche Re-
gel-
Von der unbestimmten Analytic.
gel auch fuͤr die untere Reihe gilt ohne daß man noͤ- thig haͤtte die obere zu wißen.
Die Zahlen nemlich, welche fuͤr
x
gesetzt werden koͤnnen, schreiten nach einer gewißen Pro- gression fort wovon man ein jedes Glied z. E.
E
aus den zwey vorhergehenden
C
und
D
, bestimmen kann, ohne dazu die untern Glieder
R
und
S
noͤthig zu haben. Dann da
E = nS + mD = n (mR + anC) + m(nR + mC)
, das ist
E = 2mnR + annC + mmC
, so wird, weil
nR = D - mC
, gefunden
E=2mD - mmC + annC
oder
E = 2mD - (mm - ann) C
; da aber
mm = ann + 1
also
mm - ann = 1
, so haben wir
E = 2mD - C
, woraus erhellet wie eine jede dieser obern Zahlen aus den zwey vorhergehenden bestimmt wird.
Eben so verhaͤlt es sich auch mit der untern Reihe. Dann da
T = mS + anD
, und
D = nR + mC
, so wird
T = mS + annR + amnC
. Da nun ferner
S = mR + anC
, so ist
anC = S - mR
, welcher Werth fuͤr
anC
geschrieben giebt,
T = 2mS - R
, also daß die untere Reihe nach eben der Regel fortschrei- tet als die obere.
Man suche z. E. alle gantze Zahlen
x
, daß da werde
2xx - 1 = yy
. Da ist nun
f = 1
und
g = 1
: ferner damit
mm = 2nn + 1
, so wird
n = 2
U 4
und
Zweyter Abschnitt
und
m = 3
. Da nun
A = ng + mf = 5
, so sind die zwey ersten Glieder 1 und 5, aus welchen die folgenden nach dieser Regel gefunden werden
E = 6D - C
, nemlich ein jedes Glied sechsmal genommen weniger den vorherge- henden giebt das folgende; dahero die fuͤr
x
verlang- te Zahlen nach dieser Regel also fortgehen:
1, 5, 29, 169, 985, 5741 etc.
Woraus man sieht daß diese Zahlen unendlich weit fortgesetzt werden koͤnnen. Wollte man aber auch Bruͤ- che gelten laßen, so wuͤrde nach der oben gegebenen Methode eine noch unendlich groͤßere Menge angege- ben werden koͤnnen.
Capi-
Von der unbestimmten Analytic.
Capitel
7. Von einer besondern Methode die For- mel
ann + 1
zu einem Quadrat in gantzen Zahlen zu machen.
96.
W
as in dem vorigen Cavitel vorgetragen wor- den, kann nicht zur Ausfuͤhrung gebracht werden, wann man nicht im Stande ist fuͤr eine jegliche Zahl
a
, eine solche gantze Zahl
n
zu finden, daß
ann + 1
ein Quadrat werde, oder daß man bekomme
mm = ann + 1
.
Wollte man sich mit gebrochenen Zahlen begnuͤ- gen, so wuͤrde diese Gleichung leicht aufzuloͤsen seyn, indem man nur setzen duͤrfte
m
= 1 +
\frac{np}{q}
. Dann da wird
mm
= 1 +
\frac{2np}{q}
+
\frac{nnpp}{qq}
=
ann + 1
, wo sich bey- derseits das 1 aufhebt und die uͤbrigen Glieder durch
n
theilen laßen, da dann mit
qq
multiplicirt kommt
2pq + npp = anqq
, daraus gefunden wird
n
=
\frac{2pq}{aqq - pp}
, woraus unendlich viel Werthe fuͤr
n
ge-
U 5
fun-
Zweyter Abschnitt.
funden werden koͤnnen. Da aber
n
eine gantze Zahl seyn soͤll, so hilft uns dieses nichts, dahero eine gantz andere Methode gebraucht werden muß, um dieses zu finden.
97.
Vor allen Dingen aber ist zu mercken, daß wann
ann + 1
ein Quadrat in gantzen Zahlen werden soll,
a
mag eine Zahl seyn was man vor eine will, solches nicht allezeit moͤglich sey.
Dann erstlich werden alle Faͤlle ausgeschloßen, wo
a
eine negative Zahl ist; hernach werden auch alle die Faͤlle ausgeschloßen, wo
a
selbst eine Qua- drat Zahl ist, weil alsdann
ann
ein Quadrat seyn wuͤrde, kein Quadrat aber + 1 in gantzen Zahlen ein Quadrat seyn kann. Dahero muß unsere Formel also eingeschraͤnckt werden, daß der Buchstabe
a
weder eine negative noch eine Quadrat-Zahl sey; so oft aber
a
eine positive Zahl und kein Quadrat ist, so kann allezeit fuͤr
n
eine solche gantze Zahl gefunden werden, daß
ann + 1
ein Quadrat werde.
Hat man aber eine solche Zahl gefunden, so ist es leicht aus dem vorigen Capitel, unendlich viel an-
dere
Von der unbestimmten Analytic.
dere herzuleiten. Zu unserem Vorhaben aber ist es ge- nung, eine einige und zwar die kleinste ausfuͤndig zu machen.
98.
Hierzu hat vormals ein gelehrter Engelaͤnder, Namens Pell, eine gantz sinnreiche Methode erfunden, welche wir hier erklaͤren wollen. Dieselbe aber ist nicht so beschaffen, daß sie auf eine allgemeine Art fuͤr eine jegliche Zahl
a
, sondern nur fuͤr einen jeglichen Fall besonders gebraucht werden kann.
Wir wollen demnach von den leichteren Faͤllen den Anfang machen, und fuͤr
n
eine Zahl suchen daß
2nn + 1
ein Quadrat werde, oder daß
√ (2nn + 1)
rational werde.
Hier sieht man nun leicht, daß diese Quadrat- Wurzel groͤßer seyn werde als
n
, doch aber kleiner als
2n
. Man setze dahero dieselbe =
n + p
so wird
p
ge- wis kleiner seyn als
n
. Also haben wir
√ (2nn + 1) = n + p
und dahero
2nn + 1 = nn + 2np + pp
, woraus wir nun
n
suchen wollen. Da nun ist
nn = 2np + pp - 1
so wird
n = p + √ (2pp - 1)
.
Es kommt also darauf an, daß
2pp - 1
ein Qua- drat werde, welches geschiehet wann
p = 1
und hier-
aus
Zweyter Abschnitt
aus findet man
n = 2
und √
(2nn + 1) = 3
. Waͤ- re dieses letztere nicht so gleich in die Augen gefallen, so haͤtte man weiter fortgehen koͤnnen, und da √
(2pp - 1)
groͤßer als
p
und dahero
n
groͤßer als
2p
, so setze man
n = 2p + q
, da dann wird
2p + q = p + √ (2pp - 1)
oder
p + q = √ (2pp - 1)
, hievon die Quadrate ge- nommen, kommt
pp + 2pq + qq = 2pp - 1
oder
pp = 2pq + qq + 1
und daraus wird
p = q + √ (2qq + 1)
, also muß
2qq + 1
ein
Qnadrat
seyn, welches geschiehet wann
q = 0
dahero
p = 1
und
n = 2
. Aus diesem Exempel kann man sich schon ei- nen Begriff von dieser Methode machen, welcher aber durch das folgende noch weiter aufgeklaͤrt wird.
99.
Es sey nun
a = 3
, so daß die Formel
3nn + 1
ein Quadrat werden soll. Man setze √ (
3nn + 1) = n + p
, da wird
3nn + 1 = nn + 2np + pp
und
2nn = 2np + pp - 1
und daraus
n
=
\frac{p + \sqrt{(3pp - 2)}}{2}
: da nun √
(3pp - 2)
groͤßer als
p
und also
n
groͤßer als
\frac{2p}{2}
oder als
p
, so setze man
n = p + q
, da wird
2p + 2q = p + √ (3pp - 2)
oder
p + 2q = √ (3pp - 2)
: hiervon die Quadrate genommen, wird
pp + 4pq + 4qq = 3pp - 2
oder
2pp = 4pq + 4qq + 2
,
das
Von der unbestimmten Analytic.
das ist
pp = 2pq + 2qq + 1
, dahero
p = q + √ (3qq + 1)
. Diese Formel ist der gegebenen gleich und also
q = 0
leistet ein Genuͤge, daraus wird
p = 1
und
n = 1
, also √
(3nn + 1) = 2
.
100.
Nun sey
a = 5
um diese Formel
5nn + 1
zu ei- nem Quadrat zu machen, davon die Wurzel groͤßer ist als
2n
: dahero setze man √
(5nn + 1) = 2n + p
da wird
5nn + 1 = 4nn + 4np + pp
und daraus
nn = 4np + pp - 1
; dahero
n = 2p + √ (5pp - 1)
. Weil nun √
(5pp - 1)
groͤßer ist als
2p
, so ist auch
n
groͤßer als
4p
; deswegen setze man
n = 4p + q
, so wird
2p + q = √ (5pp - 1)
oder
4pp + 4pq + qq = 5pp - 1
; dahero
pp = 4pq + qq + 1
und also
p = 2q + √ (5qq + 1)
; dieser geschieht ein Genuͤge wann
q = 0
, folglich
p = 1
und
n = 4
; dahero √
(5nn + 1) = 9
.
101.
Es sey ferner
a = 6
um
6nn + 1
zu einem Quadrat zu machen, wovon die Wurzel groͤßer ist als
2n
. Man setze deswegen √
(6nn + 1) = 2n + p
, so wird
6nn + 1 = 4nn + 4np + pp
oder
2nn = 4np + pp - 1
und dahero
n = p
+
\frac{\sqrt{(6pp - 2)}}{2}
, oder
n
=
\frac{2p + \sqrt{(6pp - 2)}}2
also
Zweyter Abschnitt
also
n
groͤßer als
2p
, man setze deswegen
n = 2p + q
, so wird
4p + 2q = 2p + √ (6pp - 2)
oder
2p + 2q = √ (6pp - 2)
. Die Quadrate genommen, wird
4pp + 8pq + 4qq = 6pp - 2
oder
2pp = 8pq + 4qq + 2
, das ist
pp = 4pq + 2qq + 1
, woraus gefunden wird
p = 2q + √ (6qq + 1)
; welche For- mel der ersten gleich ist, und also
q = 0
gesetzt werden kann, daraus dann wird
p = 1
und
n = 2
, also √
(6nn + 1) = 5
.
102.
Es sey weiter
a = 7
und
7nn + 1 = mm
; es ist also
m
groͤßer als
2n
, dahero setze man
m = 2n +
7
, so wird
7nn + 1 = 4nn + 4np + pp
oder
3nn = 4np + pp - 1
, daraus gefunden wird
n
=
\frac{2p + \sqrt{(7pp - 3)}}3
. Da nun
n
groͤßer ist als
\frac{4}{3}
p
und also groͤßer als
p
, so setze man
n = p + q
, so wird
p + 3q = √ (7pp - 2)
, die Quadrate genommen
pp + 6pq + 9qq = 7pp - 3; 6pp = 6pq + 9qq + 3
, oder
2pp = 2pq + 3qq + 1
, daraus kommt
p
=
\frac{q + \sqrt{(7qq + 2)}}{2}
. Da nun hier
n
groͤßer ist als
\frac{3q}{2}
, also groͤßer als
q
, so setze man
p = q + r
, so wird
q + 2r = √ (7qq + 2)
, die Qua- drate genommen
qq + 4qr + 4rr = 7qq + 2
oder
6qq
Von der unbestimmten Analytic.
6qq = 4qr + 4rr - 2
oder
3qq = 2qr + 2rr - 1
daraus gefunden wird
q
=
\frac{r + \sqrt{(7rr - 3)}}{3}
. Da nun
q
groͤßer ist als
r
, so setze man
q = r + s
, da wird
2r + 3s = √ (7rr - 3)
. Die Quadrate genommen;
4rr + 12rs + 9ss = 7rr - 3
, oder
3rr = 12rs + 9ss + 3
und
rr = 4rs + 3ss + 1
; also
r = 2s + √ (7ss + 1)
. Da nun diese Formel der erstern gleich, so setze man
s = 0
, und da bekommt man
r = 1
,
q = 1
,
p = 2
und
n = 3
, daraus
m = 8
.
Diese Rechnung kann folgender Gestalt sehr ab- gekuͤrtzt werden, welches auch in andern Faͤllen statt findet.
Da
7nn + 1 = mm
, so ist
m
kleiner als
3n
. Man setze deswegen
m = 3n - p
, so wird
7nn + 1 = 9nn — 6np + pp
oder
2nn = 6np - pp + 1
, und dar- aus
n
=
\frac{3p - \sqrt{(7pp + 2)}}{2}
, also ist
n
kleiner als
3p
, des- wegen setze man
n = 3p - q
, so wird
3p - 2q = √ (7pp + 2)
und die Quadrate genommen
9pp - 12pq + 4qq = 7pp + 2
, oder
2pp = 12pq - 4qq + 2
und
pp = 6pq - 2qq + 1
, darans wird
p = 3q + √ (7qq + 1)
. Hier kann man nun so gleich setzen
q = 0
, da wird
p = 1
,
n = 3
, und
m = 8
wie vorher.
Neh-
Zweyter Abschnitt.
103.
Nehmen wir ferner
a = 8
, also daß
8nn + 1 = mm
und dahero
m
kleiner als
3n
, so setze man
m = 3n - p
, so wird
8nn + 1 = 9nn - 6np + pp
, oder
nn = 6np - pp + 1
, daraus
n = 3p + √ (8pp + 1)
, welche Formel der ersten schon gleich ist, dahero man setzen kann
p = 0
, da kommt
n = 1
und
m = 3
.
104.
Gleicher Gestalt verfaͤhrt man fuͤr eine jegliche andere Zahl
a
, wann dieselbe nur positiv und kein Quadrat ist, und man kommt immer endlich zu einem solchen Wurzel-Zeichen, welches der gegebenen For- mel aͤhnlich ist, als z. E. zu dieser √
(att + 1)
, da man dann nur setzen darf
t = 0
, als in welchem Fall die Irrationalitaͤt immer wegfaͤllt, und hierauf wann man zuruͤck geht, erhaͤlt man einem Werth fuͤr
n
, daß
ann + 1
ein Quadrat wird.
Bisweilen gelangt man bald zu seinem Endzweck, bisweilen aber werden dazu viele Operationen erfor- dert, je nach Beschaffenheit der Zahl
a
, wovon man doch keine gewiße Kennzeichen angeben kann. Bis zu der Zahl 13 geht es noch ziemlich geschwind, kommt
man
Von der unbestimmten Analytic.
man aber zu
a = 13
, so wird die Rechnung viel weit- laͤuftiger und dahero wird es gut seyn diesen Fall allhier auszufuͤhren.
105.
Es sey demnach
a = 13
also daß seyn soll
13nn + 1 = mm
. Weil nun
mm
groͤßer ist als
9nn
, und also
m
groͤßer als
3n
, so setze man
m = 3n + p
, da wird
13nn + 1 = 9nn + 6np + pp
, oder
4nn = 6np + pp - 1
, daraus
n
=
\frac{3p + \sqrt{(13pp - 4)}}{4}
, dahero
n
groͤßer als
\frac{6}{4}
p
und also groͤßer als
p
. Man setze allso
n = p + q
, so wird
p + 4q = √ (13pp - 4)
; die Qua- drate genommen
13 pp - 4 = pp + 8pq + 16qq
, da- hero
12pp = 8pq + 16qq + 4
, oder durch 4 getheilt
3 pp = 2pq + 4qq + 1
und daraus
p
=
\frac{q + \sqrt{(13qq + 3)}}{3}
. Hier ist
p
groͤßer als
\frac{q + 3q}{3}
, also groͤßer als
q
: man setze demnach
p = q + r
, so wird:
2q + 3r = √ (13qq + 3)
, das Quadrat genommen
13 qq + 3 = 4qq + 12qr + 9rr
, das ist
9qq = 12qr + 9rr - 3
, durch 3 dividirt
3qq = 4qr + 3rr — 1
, daraus wird
q
=
\frac{2r + \sqrt{(13rr - 3)}}{3}
. Hier ist
q
groͤßer als
\frac{2r + 3r}{3}
und also
q
groͤßer als
r
; dahero setze man
q = r + s
, so wird
r + 3s = √ (13rr - 3)
: das Quadrat
II
Theil
X
ge-
Zweyter Abschnitt
genommen
13rr - 3 = rr + 6rs + 9ss
, oder
12rr = 6rs + 9ss + 3
, durch 3 dividirt wird
4rr = 2rs + 3ss + 1
und daraus
r
=
\frac{s + \sqrt{(13ss + 4)}}{4}
. Hier ist
r
groͤßer als
\frac{s + 3s}{4}
oder
s
, dahero setze man
r = s + t
, so wird
3s + 4t = √ (13ss + 4)
: das Quadrat genommen
13ss + 4 = 9ss + 24st + 16tt
und also
4ss = 24ts + 16tt - 4
, durch 4 dividirt
ss = 6ts + 4tt - 1
, daraus wird
s = 3t + √ (13tt - 1
). Also ist
s
groͤßer als
3t + 3t
oder
6t
; deswegen setze man
s = 6t + u
, so wird
3t + u = √ (13tt - 1)
, das Quadrat genommen
13tt - 1 = 9tt + 6tu + uu
und daraus
4tt = 6tu + uu + 1
und
t
=
\frac{3u + \sqrt{(13uu + 4)}}{4}
, wo
t
groͤßer als
\frac{6u}{4}
und also groͤßer als
u
. Man setze deswegen
t = u + v
, so wird
u + 4v = √ (13uu + 4)
: das Quadrat ge- nommen
13uu + 4 = uu + 8uv + 16vv
und
12uu = 8uv + 16vv - 4
, durch 4 dividirt
3uu = 2uv + 4vv - 1
, daraus
u
=
\frac{v + \sqrt{(13vv - 3)}}{3}
, wo
u
groͤßer als
\frac{4v}{3}
und also groͤßer als
v
, deswegen setze man
u = v + x
, so wird
2v + 3x = √ (13vv - 3)
; das Quadrat ge- nommen
13vv - 3 = 4vv + 12vx + 9xx
oder
9vv = 12vx + 9xx + 3
, durch 3 dividirt
3vv = 4vx + 3xx + 1
, daraus man findet
v
=
\frac{2x + \sqrt{(13xx + 3)}}{3}
, wo
v
groͤßer ist als
\frac{5}{3}
x
und allso groͤßer als
x
, deswegen
setze
Von der unbestimmten Analytic.
setze man
v = x + y
, so wird
x + 3y = √ (13xx + 3)
, die Quadrate genommen
13xx + 3 = xx + 6xy + 9yy
oder
12xx = 6xy + 9yy - 3
, durch 3 dividirt
4xx = 2xy + 3yy - 1
und
x
=
\frac{y + \sqrt{(13yy - 4)}}{4}
, wo
x
groͤ- ßer ist als
y
: deswegen setze man
x = y + z
, so wird
3y + 4z = √ (13yy - 4)
, die Quadrate genommen
13yy - 4 = 9yy + 24yz + 16zz
oder
4yy = 24yz + 16zz + 4
, durch 4 dividirt
yy = 6yz + 4zz + 1
, daraus
y = 3z + √ (13zz + 1)
. Da diese For- mel endlich der ersten gleich ist so setze man
z = 0
, und da bekommt man ruͤckwerts gehend, wie folget:
z = 0
y = 1
x = y + z = 1
v = x + y = 2
u = v + x = 3
t = u + v = 5
s = 6t + u = 33
r = s + t = 38
q = r + s = 71
X 2
p =
Zweyter Abschnitt
p = q + r = 109
n = p + q = 180
m = 3n + p = 649
Also ist 180 nach 0 die kleinste gantze Zahl fuͤr
n
, daß
13nn + 1
ein Quadrat werde.
106.
Aus diesem Exempel sieht man zur Genuͤge, wie langwierig bisweilen eine solche Rechnung werden koͤnne. Dann unter den groͤßern Zahlen hat man oft noͤthig wohl zehnmal mehr Operationen zu machen, als hier bey der Zahl 13 vorgekommen sind: man kann auch nicht wohl voraus sehen bey welchen Zahlen so gro- ße Muͤhe erfordert wird, dahero es dienlich ist, sich die Arbeit anderer zu Nutze zu machen und eine Ta- belle beyzufuͤgen, wo zu allen Zahlen
a
bis auf 100 die Werthe der Buchstaben
m
und
n
vorgestellt wer- den, damit man bey vorkommenden Faͤllen daraus fuͤr eine jede Zahl
a
die gehoͤrige Buchstaben
m
und
n
hernehmen koͤnne.
107.
Inzwischen ist zu mercken, daß bey einigen Arten von Zahlen die Werthe fuͤr
m
und
n
allgemein
ge-
Von der unbestimmten Analytic.
gefunden werden koͤnnen; dieses geschiehet aber nur bey denen Zahlen, welche um 1 oder 2 kleiner odergroͤ- ßer sind als eine Quadrat-Zahl, welches zu zeigen der Muͤhe Werth seyn wird.
108.
Es sey demnach
a = ee - 2
, oder um 2 kleiner als eine Quadrat-Zahl, und da seyn soll
(ee - 2)nn + 1 = mm
, so ist offenbar
m
kleiner als
en
, des- wegen setze man
m = en - p
, so wird
(ee - 2) nn + 1 = eenn - 2enp + pp
oder
2nn = 2enp — pp + 1
und daraus
n
=
\frac{ep + \sqrt{(eepp - 2pp + 2)}}{2}
, wo so gleich in die Augen faͤllt, daß wann man nimmt
p = 1
, das Wurzelzeichen wegfalle und da seyn werde
n = e
und
m = ee - 1
.
Waͤre z. E.
n = 23
, wo
e = 5
, so wird
23nn + 1 = mm
, wann
n = 5
und
m = 24
. Dieses ist auch an sich offenbar; denn setzt man
n = e
, wann nemlich
a = ee - 2
, so wird
ann + 1 = e
4
- 2ee + 1
, welches das Quadrat ist von
ee - 1
.
109.
Es sey nun auch
a = ee - 1
nemlich um 1 weni- ger als eine Quadrat-Zahl, also daß seyn soll
(ee - 1) nn
X 3
+ 1
Zweyter Abschnitt
+ 1 =
mm
. Da nun hier wieder
m
kleiner ist als
en
, so setze man
m = en - p
, so wird
(ee - 1) nn + 1 = eenn - 2enp + pp
, oder
nn = 2enp - pp + 1
und daraus
n = ep + √ (eepp - pp + 1)
: wo das Wurzelzeichen wegfaͤlt, wann
p = 1
, und daraus be- kommt man
n = 2e
, und
m = 2ee - 1
. Dieses ist auch leicht zu sehen: Dann da
a = ee - 1
und
n = 2e
, so wird
ann + 1 = 4e
4
- 4ee + 1
welches das Quadrat ist von
2ee - 1
. Es sey z. E.
a = 24
also daß
e = 5
, so wird
n = 10
und
24nn + 1 = 2401 = (49)
2
.
Das Wurzel-Zeichen in diesem Fall verschwindet auch, wann
p = 0
gesetzt wird; daher wir denn unstreitig die kleinste Zahlen fuͤr
n
und
m
erhalten, welche sind
n = 1
und
m = e
. Allso wird wann
e = 5
, die For- mel
24nn + 1
ein Quadrat wann
n = 1
, und die Wur- zel dieses Quadrats
m = e = 5
.
110.
Es sey nun auch
a = ee + 1
, oder um 1 groͤßer als eine Quadrat-Zahl, also daß seyn soll
(ee + 1)nn + 1 = mm
, wo
m
augenscheinlich groͤßer ist als
en
, deswegen setze man
m = en + p
, so wird
(ee + 1)nn + 1 = eenn + 2enp + pp
oder
nn = 2enp + pp - 1
, und daraus
n = ep + √ (eepp + pp - 1)
wo
p = 1
genommen werden kann, und da wird
n = 2e
Von der unbestimmten Analytic.
n = 2e
und
m = 2ee + 1
: dieses ist auch leicht ein zusehen, dann da
a = ee + 1
und
n = 2e
, so ist
ann + 1 = 4e
4
+ 4ee + 1
welches das Quadrat ist von
2ee + 1
. Es sey z. E.
a = 17
also daß
e = 4
, und da wird
17nn + 1 = mm
, wann
n = 8
und
m = 33
.
111.
Es sey endlich
a = ee + 2
, oder um 2 groͤßer als eine Quadrat-Zahl, also soll seyn
(ee + 2) nn + 1 = mm
, wo
m
offenbar groͤßer ist als
en
, dahero setze man
m = en + p
, so wird
eenn + 2nn + 1 = eenn + 2enp + pp
oder
2nn = 2enp + pp - 1
und dar- aus
n
=
\frac{ep + \sqrt{(eepp + 2pp - 2)}}{2}
. Hier nehme man nun
p = 1
, so wird
n = e
und
m = ee + 1
. Dieses faͤllt auch so gleich in die Augen, dann da
a = ee + 2
und
n = e
, so ist
ann + 1 = e
4
+ 2ee + 1
, welches das Quadrat ist von
ee + 1
. Es sey z. E.
a = 11
also daß
e = 3
, so wird seyn
11nn + 1 = mm
, wann
n = 3
und
m = 10
. Wollte man setzen
a = 83
so ist
e = 9
, und es wird
83nn + 1 = mm
, wann man nimmt
n = 9
und
m = 82
.
X 4
Tabelle
Zweyter Abschnitt
Tabelle
welche fuͤr einen jeglichen Werth von
a
die kleinste Zahlen
m
und
n
angiebt, allso daß
mm = ann + 1
a
Von der unbestimmten Analytic
X 5
Capi-
Zweyter Abschnitt
Capitel
8. Von der Art diese Irrational-Formel √ (
a + bx + cxx + dx
3
) rational zu machen.
112.
W
ir schreiten hier fort zu einer Formel da
x
zu der dritten Potestaͤt ansteiget, um hernach bis zur vierten weiter zu gehen, ohngeacht diese beyde Faͤlle auf eine aͤhnliche Art behandelt werden muͤßen.
Es soll also diese Formel
a + bx + cxx + dx
3
zu einem Quadrat gemacht, und zu diesem Ende geschickte Werthe fuͤr
x
in Rational-Zahlen ge- sucht werden: dann da dieses schon weit groͤßern Schwierigkeiten unterworfen ist, so erfordert es auch weit mehr Kunst nur gebrochene Zahlen fuͤr
x
zu fin- den, und man ist genoͤthiget sich damit zu begnuͤgen, und keine Aufloͤsung in gantzen Zahlen zu verlangen. Zum voraus ist auch hier dieses zu mercken, daß man keine allgemeine Aufloͤsung geben kann, wie eben ge- schehen, sondern eine jede Operation giebt uns nur
ei-
Von der unbestimmten Analytic.
einen einzigen Werth fuͤr
x
zu erkennen, da hinge- gen die oben gebrauchte Methode auf einmahl zu un- endlich viel Aufloͤsungen leitet.
113.
Da es unter der vorher abgehandelten Formel
a + bx + c xx
unendlich viel Faͤlle giebt, da die Aufloͤsung schlechterdings unmoͤglich ist, so findet solches vielmehr bey der gegenwaͤrtigen Formel statt, wo nicht einmahl an eine Aufloͤsung zu gedencken ist, wofern man nicht schon eine weiß oder errathen hat: dahero man blos allein fuͤr diese Faͤlle Regeln zu ge- ben im Stande ist, durch welche man aus einer schon bekannten Aufloͤsung eine neue ausfuͤndig machen kann, aus welcher nachgehends auf gleiche Weise noch eine andere neue gefunden wird, also daß man solcher Gestalt immer weiter fortgehen kann.
Inzwischen geschieht es aber doch oͤfters, daß wann gleich schon eine Aufloͤsung bekannt ist, aus dersel- ben doch keine andere geschlossen werden kann. Also daß in solchen Faͤllen nur eine einzige statt findet, wel- cher Umstand besonders zu bemercken ist, weil in dem vorhergegenden Fall aus einer einzigen Aufloͤsung unendlich viel neue gefunden werden koͤnnen.
114.
Zweyter Abschnitt
114.
Wann also eine solche Formel
a + bx + cxx + dx
3
zu einem Quadrat gemacht werden soll, so muß noth- wendig schon ein Fall voraus gesetzt werden wo dieses geschieht: ein solcher aber faͤllt am deutlichsten in die Augen, wann das erste Glied schon ein Quadrat ist und die Formel also heißt
ff + bx + cxx + dx
3
, welche offenbahr ein Quadrat wird, wann man setzt
x = 0
.
Wir wollen also diese Formel zuerst vornehmen, und sehn wie aus dem bekannten Fall
x = 0
noch ein anderer Werth fuͤr
x
gefunden werden koͤnne, zu diesem Ende kann man zweyerley Wege gebrauchen, von welchen wir einen jeden besonders hier erklaͤren wollen, und wobey es gut seyn wird mit besondern Faͤllen den Anfang zu machen.
115.
Es sey demnach diese Formel
1 + 2x - xx + x
3
gegeben, welche ein Quadrat werden soll. Da nun hier das erste Glied 1 ein Quadrat ist, so nehme man die Wurzel von diesem Quadrat also an, daß die bey- den ersten Glieder wegfallen. Es sey demnach die
Qua-
Von der unbestimmten Analytic.
Quadrat-Wurzel
1 + x
, davon das Quadrat unserer Formel gleich seyn soll, und da bekommen wir
1 + 2x - xx + x
3
= 1 + 2x + xx
, wo die beyden ersten Glie- der einander aufheben, und diese Gleichung heraus- kommt
xx = - xx + x
3
oder
x
3
= 2xx
, welche durch
xx
dividirt so gleich giebt
x = 2
, woraus unsere Formel wird 1 + 4 - 4 + 8 = 9.
Gleichergestalt wann diese Formel
4 + 6x - 5xx + 3x
3
ein Quadrat werden soll, so setze man erstlich die Wurzel =
2 + nx
und suche
n
, also daß die beyden ersten Glieder wegfallen, weil nun wird
4 + 6x — 5xx + 3x
3
= 4 + 4nx + nnxx
, so muß seyn
4n = 6
und also
n
=
\frac{3}{2}
, woher diese Gleichung entspringt
— 5xx + 3x
3
=
\frac{9}{4}
xx
oder
3x
3
=
\frac{29}{4}
xx
, dahero
x
=
\frac{29}{12}
, welcher Werth unsere Formel zu einem Quadrat macht, deßen Wurzel seyn wird 2 +
\frac{3}{2}
x
=
\frac{45}{8}
.
116.
Der zweyte Weg bestehet darinn, daß man der Wurzel drey Glieder giebt, als
f + gx + hxx
, welche also beschaffen sind, daß in der Gleichung die drey ersten Glieder wegfallen:
Es
Zweyter Abschnitt
Es sey z. E. diese Formel gegeben
1 - 4x + 6xx - 5x
3
, hievon setze man die Wurzel
1 - 2x + hxx
da dann seyn soll
1 - 4x + 6xx - 5x
3
= 1 - 4x + 4xx
+ 2hxx
— 4hx
3
+ hhx
4
; hier fallen die zwey erste Glieder schon weg, damit aber auch das dritte wegfalle, so muß seyn
6 = 2h + 4
und also
h = 1
, daraus bekommen wir
— 5x
3
= - 4x
3
+ x
4
, wodurch
x
3
dividirt wird;
— 5 = - 4 + x
und
x = —1
.
117.
Diese zwey Methoden koͤnnen also gebraucht wer- den, wann das erste Glied
a
ein Quadrat ist. Der Grund derselben beruhet darauf, daß man bey der er- sten Methode der Wurzel zwey Glieder giebt, als
f + px
, wo
f
die Quadrat-Wurzel des ersten Glieds ist, und
p
also angenommen wird, daß auch das zweyte Glied wegfallen, und also nur das dritte und vierte Glied unserer Formel, nemlich
cxx + dx
3
mit
ppxx
ver- glichen werden muß, da dann die Gleichung durch
xx
dividirt einen neuen Werth vor
x
angiebt, welcher seyn wird
x
=
\frac{pp - c}{d}
. Bey der zweyten Methode giebt man der Wurzel drey Glieder und setzt dieselbe
f + px + qxx
, wann nemlich
a = ff
, und bestimmt
p
und
q
der
Von der unbestimmten Analytic.
dergestallt, daß die drey ersten Glieder beyderseits ver- schwinden, welches also geschiehet: Da
ff + bx + cxx + dx
3
= ff + 2fpx + 2fqxx + ppxx + 2pqx
3
+ qqx
4
, so muß seyn
b = 2fp
also
p
=
\frac{b}{2f}
, und
c = 2fq + pp
also
q
=
\frac{c - pp}{2f}
: und die uͤbrige Gleichung
dx
3
= 2pqx
3
+ qqx
4
laͤßt sich theilen, und wird daraus
x
=
\frac{dd - 2pq}{qq}
.
118.
Inzwischen kann es oͤfters geschehen, daß ob- gleich
a = ff
dennoch diese Methode keinen neuen Werth fuͤr
x
angebe, wie aus dieser Formel
ff + dx
3
zu ersehen, wo das zweyte und dritte Glied mangelt.
Dann setzt man nach der ersten, die Wurzel =
f + px
, also daß seyn soll
ff + dx
3
= ff + 2fpx + ppxx
, so muß seyn
0 = 2fp
und
p = 0
, dahero bekommt man
dx
3
= 0
, und daraus
x = 0
, welches kein neuer Werth ist.
Setzt man aber nach der andern Methode die Wurzel =
f + px + qxx
, also daß seyn soll
ff + dx
3
= ff + 2fpx + 2fqxx + 2pqx
3
+ qqx
4
, so
+ ppxx
muß seyn
0 = 2fp
und
p = 0
, ferner
0 = 2fq
+ pp
Zweyter Abschnitt
+ pp
, und also
q = 0
, dahero man bekommt
dx
3
= 0
und wiederum
x = 0
.
119.
In solchen Faͤllen ist nun nichts anders zu thun, als daß man sehe ob man nicht einen solchen Werth fuͤr
x
errathen koͤnne, wo die Formel ein Quadrat wird, da man dann aus derselben nach der vorigen Methode neue Werthe fuͤr
x
finden kann; welches auch an- geht wann gleich das erste Glied kein Quadrat ist.
Um dieses zu zeigen so soll diese Formel
3 + x
3
ein Quadrat seyn, da nun solches geschiehet wann
x = 1
, so setze man
x = 1 + y
und da bekommt man diese
4 + 3y + 3yy + y
3
, in welcher das erste Glied ein Quadrat ist. Man setze also nach der ersten Methode die Wurzel davon
2 + py
, so wird
4 + 3y + 3yy + y
3
= 4 + 4py + ppyy
; wo nun das zweyte Glied wegzuschaffen seyn muß
3 = 4p
, und also
p
= ¾, alsdann wird,
3 + y = pp
und
y = pp
- 3 =
\frac{9}{16}
-
\frac{48}{16}
= —
\frac{39}{16}
, folglich
x
= —
\frac{23}{16}
, welches ein neuer Werth fuͤr
x
ist.
Setzt man weiter nach der zweyten Methode die Wurzel =
2 + py + qyy
, so wird
4 + 3y + 3yy + y
3
= 4 + 4py + 4qyy + 2pqy
3
+ qqy
4
, wo
+ ppyy
nun
Von der unbestimmten Analytic.
nun das zweyte Glied wegzuschaffen seyn muß
3 = 4p
, oder
p
= ¾, und um das dritte wegzuschaffen
3 = 4q + pp
, also
q
=
\frac{3 - pp}{4}
=
\frac{39}{64}
; so haben wir
1 = 2pq + qqy
, und daraus
y
=
\frac{1 - 2pq}{qq}
, oder
y
=
\frac{352}{1521}
, folg- lich
x
=
\frac{1873}{1521}
.
120.
Nun wollen wir auch zeigen, wann man schon einen solchen Werth gefunden hat, wie man daraus weiter einen andern neuen finden soll? Dieses wollen wir auf eine allgemeine Art vorstellen, und auf die- se Formel anwenden
a + bx + cxx + dx
3
, von welcher schon bekannt sey, daß sie ein Quadrat werde wann
x = f
, und daß alsdann sey
a + bf + cff + df
3
= gg
. Hier auf setze man
x = f + y
, so erhaͤlt man diese neue Formel:
a\\ +bf+by\\ +cff+2cfy+cyy\\ +df^{3}+3dffy+3dfyy+dy^{3} \hrule gg+(b+2cf+3dff)y+(c+3df)yy+dy^{3}
in welcher Formel das erste Glied ein Quadrat ist,
II
Theil
Y
also
Zweyter Abschnitt
also daß die beyden obigen Methoden angewandt werden koͤnnen; wodurch neue Werthe fuͤr
y
und also auch fuͤr
x
erhalten werden; nemlich
x = f + y
.
121.
Bisweilen hilfft es aber auch nichts, wann man gleich einen Werth fuͤr
x
errathen hat; wie in die- ser Formel geschieht
1 + x
3
, welche ein Quadrat wird, wann man setzt
x = 2
. Dann setzt man diesem zu folge
x = 2 + y
, so kommt diese Formel heraus
9 + 12y + 6yy + y
3
, welche nun ein Quadrat seyn soll. Es sey davon nach der ersten Regel die Wurzel =
3 + py
, so wird
9 + 12y + 6yy + y
3
= 9 + 6py + ppyy
; wo seyn muß
12 = 6p
und
p = 2
; alsdann wird
6 + y = pp = 4
, und also
y = —2
; folglich
x = 0
, aus wel- chem Werth nichts weiter gefunden werden kann.
Nehmen wir aber nach der zweyten Methode die Wurzel =
3 + py + qyy
, so wird
9 + 12y + 6yy + y
3
= q + 6py + 6qyy + 2pqy
3
+ qqy
4
+ ppyy
wo seyn muß, erstlich
12 = 6p
und
p = 2
; ferner
6 = 6q + pp = 6q + 4
und also
q
= ⅓; hieraus erhaͤlt man
1 = 2pq + qqy
=
\frac{4}{3}
+ ⅑
y
; dahero
y = —3
, folg- lich
x = —1
, und
1 + x
3
= 0
; aus welchem nichts
wei-
Von der unbestimmten Analytic.
weiter geschloßen werden kann: dann wollte man setzen
x = —1 + z
, so kaͤme diese Formel
3z - 3zz + z
3
, wo das erste Glied gar wegfaͤllt und also weder die eine noch die andere Methode gebraucht werden kann.
Hieraus wird schon sehr wahrscheinlich, daß die- se Formel
1 + x
3
kein Quadrat werden koͤnne außer diesen drey Faͤllen.
I.) x = 2
,
II.) x = 0
,
III.) x = —1
,
welches aber auch aus andern Gruͤnden bewiesen werden kann.
122.
Zur Uebung wollen wir noch diese Formel be- trachten
1 + 3x
3
, welche in diesen Faͤllen ein Quadrat wird
I.) x = 0
,
II.) x = 1
,
III.) x = 2
, und wie wollen sehen, ob wir noch andere solche Werthe finden koͤnnen?
Da nun bekandt daß
x = 1
ein Werth ist, so setze man
x = 1 + y
: und da bekommt man
1 + 3x
3
= 4 + 9y + 9yy + 3y
3
, davon sey die Wurzel
2 + py
also daß seyn soll
4 + 9y + 9yy + 3y
3
= 4 + 4py + ppyy
, wo seyn muß
9 = 4p
und also
p
=
\frac{9}{4}
: die uͤbrigen Glieder geben aber
9 + 3y = pp
=
\frac{31}{16}
und
y
= —
\frac{21}{16}
; folglich
x
= —
\frac{5}{16}
, da dann
1 + 3x
3
ein Quadrat wird,
Y 2
da-
Zweyter Abschnitt
davon die Wurzel ist —
\frac{61}{64}
oder auch +
\frac{61}{64}
: wollte man nun weiter setzen
x
= —
\frac{5}{16}
+
z
, so wuͤrde man daraus wieder andere neue Werthe finden koͤnnen.
Wollte man aber fuͤr die obige Formel nach der zweyten Methode die Wurzel setzen
2 + py + qyy
also daß seyn soll
4 + 9y + 9yy + 3y
3
= 4 + 4py + 4qyy + 2pqy
3
+ qqy
4
, so muͤßte erstlich seyn
+ ppyy 9 = 4p
, also
p
=
\frac{9}{4}
; hernach
9 = 4q + pp = 4q
+
\frac{81}{16}
, und also
q
=
\frac{63}{64}
; aus den noch uͤbrigen Glieder wird
3 = 2pq + qqy
=
\frac{567}{128}
+
qqy
, oder
567 + 128qqy = 384
, oder
128qqy = —183
, das ist 126.
\frac{61}{64}
y
= —183, oder 42.
\frac{63}{64}
y
= —61, dahero
y
= —
\frac{1952}{1323}
, folglich
x
= —
\frac{629}{1323}
, aus welchem nach der obigen Anwei- sung wiederum andere neue gefunden werden koͤnnen.
123.
Hier haben wir aus dem bekandten Fall
x = 1
zwey neue Werthe heraus gebracht, aus welchen wann man sich die Muͤhe geben wollte, wiederum andere neue gefunden werden koͤnnten, wodurch man aber auf sehr weitlauffige Bruͤche gerathen wuͤrde.
Dahero hat man Ursache sich zu verwundern, daß aus diesem Fall
x = 1
nicht auch der andere
x = 2
,
der
Von der unbestimmten Analytic.
der ebenfalls leicht in die Augen faͤllt, heraus gebracht worden; welches ohnezweifel ein Zeichen ist, von der Unvollkommenheit der bisher erfundenen Methode. Man kann gleichergestalt aus dem Fall
x = 2
andere neue Werthe heraus bringen, man setze zu diesem Ende
x = 2 + y
, also daß diese Formel ein Quadrat seyn soll
25 + 36y + 18yy + 3y
3
; hievon sey die Wur- zel nach der ersten Methode
5 + py
, so wird
25 + 36y + 18yy + 3y
3
= 25 + 10py + ppyy
, und allso
36 = 10p
oder
p
=
\frac{18}{5}
; daraus wird aus den uͤbrigen Glie- dern durch
yy
dividirt,
18 + 3y = pp
=
\frac{324}{25}
, und daher
y
= —
\frac{42}{25}
, und
x
=
\frac{8}{25}
, daraus wird
1 + 3x
3
ein Quadrat davon die Wurzel ist
5 + py
= —
\frac{131}{125}
, oder +
\frac{131}{125}
.
Will man ferner nach der andern Methode die Wurzel setzen
5 + py + qyy
, so wird
25 + 36y + 18yy + 3y
3
= 25 + 10py + 10qyy + 2pqy
3
+ ppyy
+ qqy
4
; wo um die zweyten und dritten Glieder weg- zuschaffen seyn muß
36 = 10p
, oder
p
=
\frac{18}{5}
; hernach
18 = 10q + pp
, und
10q
= 18 -
\frac{324}{25}
=
\frac{126}{25}
, und
q
=
\frac{63}{185}
, die uͤbrigen Glieder durch
y
3
getheilt geben,
3 = 2pq + qqy
, oder
qqy = 3 - 2pq
= —
\frac{393}{625}
; also
y
= —
\frac{3275}{1323}
, und
x
= —
\frac{629}{1323}
.
Y 3
124.
Zweyter Abschnitt
124.
Eben so schwer und muͤhsam wird diese Rech- nung auch in solchen Faͤllen, wo aus einem andern Grund es gantz leicht ist so gar eine allgemeine Aufloͤsung zu geben, wie bey dieser Formel geschieht
1 - x - xx + x
3
, wo auf eine allgemeine Art genommen werden kann
x = nn - 1
, und da
n
eine jegliche beliebige Zahl be- deutet.
Dann wann
n = 2
, so wird
x = 3
, und unsere Formel = 1 - 3 - 9 + 27 = 16. Nimmt man
n = 3
, so wird
x = 8
und unsere Formel = 1 - 8 - 64 + 512 = 441.
Es ereignet sich aber hier ein gantz besonderer Um- stand, welchem wir diese leichte Aufloͤsung zu dancken haben, und welcher so gleich in die Augen fallen wird, wann wir unsere Formel in Factores aufloͤsen. Es ist aber leicht zu sehen, daß sich dieselbe durch
1 - x
theilen laße und der Quotient seyn werde
1 - xx
, wel- cher weiter aus diesen Factoren besteht
(1 + x) (1 - x)
; also daß unsere Formel diese Gestalt erhaͤlt:
1 - x - xx + x
3
= (1 - x) (1 + x) (1 - x) = (1 - x)
2
. (1 + x)
. Da nun dieselbe ein Quadrat seyn soll, und ein Quadrat durch ein Quadrat divi-
dirt
Von der unbestimmten Analytic.
dirt wieder ein Quadrat wird, so muß auch
1 + x
ein Quadrat seyn; und umgekehrt wann
1 + x
ein Quadrat ist so wird auch
(1 - x)
2
(1 + x)
ein Quadrat, man darf also nur setzen
1 + x = nn
, so bekommt man so gleich
x = nn - 1
.
Haͤtte man diesen Umstand nicht bemerckt, so wuͤrde es schwer gefallen seyn, nach den obigen Me- thoden nur ein halb Dutzend Werthe fuͤr
x
aus- findig zu machen.
125.
Bey einer jeden gegebenen Formel ist es dem- nach sehr gut dieselbe in Factores aufzuloͤsen, wann es nemlich moͤglich ist.
Wie dieses anzustellen sey, ist schon oben angezeigt worden: man setzt nemlich die gegebene Formel = 0, und sucht von dieser Gleichung die Wurzel, da dann eine jede Wurzel z. E.
x = f
, einen Factor
f - x
dargiebt, welche Untersuchung um so viel leichter an- zustellen ist, da hier nur rationale Wurzeln gesucht werden, welche alle Theiler sind der bloßen Zahl.
126.
Dieser Umstand trift auch ein bey unserer allge- meinen Formel
a + bx + cxx + dx
3
, wann die zwey
Y 4
er-
Zweyter Abschnitt
ersten Glieder wegfallen, also daß
cxx + dx
3
ein Qua- drat seyn soll: dann als dann muß auch nothwendig die- se Formel durch das Quadrat
xx
dividirt, nemlich
c + dx
ein Quadrat seyn, da man dann nur setzen darf
c + dx = nn
, um zu bekommen
x
=
\frac{nn - c}{d}
, welche auf einmahl unendlich viele, und so gar alle moͤgliche Auf- loͤsungen in sich enthaͤlt.
127.
Wann man bey dem Gebrauch der obigen er- sten Methode den Buchstaben
p
nicht bestimmen wol- te um das zweyte Glied wegzuschaffen, so wuͤrde man auf eine andere irrationale Formel fallen, welche ra- tional gemacht werden soll.
Es sey demnach die vorgegebene Formel
ff + bx + cxx + dx
3
, und man setze die Wurzel davon =
f + px
, so wird
ff + bx + cxx + dx
3
= ff + 2fpx + ppxx
, wo sich das erste Glied aufhebt, die uͤbri- gen aber durch
x
dividirt geben
b + cx + dxx = 2fp + ppx
, welches eine quadratische Gleichung ist, daraus
x
gefunden wird wie folget
x=\frac{pp-c+\sqrt{(p^{4}-2cpp+adfp+cc-4bd)}}{2d}
Anjetzo kommt es also darauf an, daß man solche Wert-
the
Von der unbestimmten Analytic.
the fuͤr
p
ausfindig mache, wodurch diese Formel
p
4
- 2cpp + 8dfp + cc - 4bd
ein Quadrat werde. Da nun hier die vierte Potestaͤt der gesuchten Zahl
p
vor- kommt, so gehoͤrt dieser Fall in das folgende Capitel.
Capitel
9. Von der Art diese irrational Formel √ (
a + bx + cxx + dx
3
+ ex
4
) rational zu machen.
128.
W
ir kommen nun zu solchen Formeln wo die unbe- stimmte Zahl
x
zur vierten Potestaͤt ansteigt, womit wir zu gleich unsere Untersuchung uͤber die Qua- drat-Wurzel Zeichen endigen muͤßen, indem man es bisher noch nicht so weit gebracht, daß man Formeln wo hoͤhere Potestaͤten von
x
vorkommen zu Quadrate machen koͤnnte.
Y 5
Bey
Zweyter Abschnitt
Bey dieser Formel kommen aber drey Faͤlle in Betrachtung; davon der erste ist, wann das erste Glied
a
ein Quadrat; der andere, wann das letzte
ex
4
ein Quadrat ist; den dritte Fall wann das erste und letzte Glied zugleich Quadrate sind, welche drey Faͤlle wir hier besonders abhandeln wollen.
129.
I.)
Aufloͤsung der Formel
\sqrt{(ff+bx+cxx+dx^{3}+ex^{4})}
Da hier das erste Glied ein Quadrat ist so koͤn- te man auch nach der ersten Methode die Wurzel =
f + px
setzen, und
p
so bestimmen daß die beyden erste Glieder wegfielen, und die uͤbrigen sich durch
xx
theilen ließen; allein alsdann wuͤrde in der Gleichung doch noch
xx
vorkommen, und also die Bestimmung des
x
ein neues Wurzel-Zeichen erfordern. Man muß also sogleich die zweyte Methode zur Hand nehmen und die Wurzel =
f + px + qxx
setzen, hierauf die Buch- staben
p
und
q
so bestimmen, daß die drey ersten Glieder wegfallen, und also die uͤbrigen durch
x
3
theibahr wer- den, da dann nur eine einfache Gleichung heraus kommt, aus welcher
x
ohne Wurzel Zeichen be- stimmt werden kann.
130.
Von der unbestimmten Analytic.
130.
Man setze dahero die Wurzel =
f + px + qxx
, also daß seyn soll
ff + bx + cxx + dx
3
+ ex
4
= ff + 2fpx + 2fqxx + 2pqx
3
+ qqx
4
, wo die
+ ppxx
ersten Glieder von selbsten wegfallen; fuͤr die zweyten setze man
b = 2fp
, oder
p
=
\frac{b}{2f}
, so muß fuͤr die dritten Glieder seyn
c = 2fq + pp
, oder
q
=
\frac{c - pp}{2f}
; ist dieses geschehen, so laßen sich die uͤbrigen Glieder durch
x
3
thei- len und geben diese Gleichung
d + ex = 2pq + qqx
; woraus gefunden wird
x
=
\frac{d - 2 pq}{qq - e}
, oder
x
=
\frac{2pq - d}{e - qq}
.
131.
Es ist aber leicht zu sehen daß durch diese Me- thode nichts gefunden wird, wann das zweyte und dritte Glied in der Formel mangelt, oder wann so wohl
b = 0
als
c = 0
, weil alsdann
p = 0
und
q = 0
; folglich
x
=
\frac{d}{-e}
, woraus aber gemeiniglich nichts neues ge- funden werden kann, dann in diesem Fall wird offen- bahr
dx
3
+ ex
4
= 0
, und allso unsere Formel dem Quadrat
ff
gleich. Insonderheit aber, wann auch
d = 0
, so kommt
x = 0
, welcher Werth nichts weiter hilft, dahero diese Methode fuͤr solche Formel
ff + ex
4
keine Dienste leistet. Eben dieser Umstand ereignet
sich
Zweyter Abschnitt
sich auch, wann
b = 0
und
d = 0
, oder wann das zwey- te und vierte Glied mangelt, und die Formel diese Gestalt hat
ff + cxx + ex
4
: dann da wird
p = 0
und
q
=
\frac{c}{2f}
, woraus gefunden wird
x = 0
, welcher Werth so gleich in die Augen faͤllt und zu nichts weiter fuͤhret.
132.
II.)
Aufloͤsung der Formel
\sqrt{(a+bx+cxx+dx^{4}+ggx^{4})}
Diese Formel koͤnnte so gleich auf den ersten Fall gebracht werden, indem man setzet
x
=
\frac{1}{y}
, dann weil alsdann diese Formel
a
+
\frac{b}{y}
+
\frac{c}{yy}
+
\frac{d}{y^{3}}
+
\frac{gg}{y^{4}}
ein Quadrat seyn muͤßte, so muß auch dieselbe mit dem Quadrat
y
4
multiplicirt, ein Quadrat bleiben; alsdann aber bekommt man diese Formel
ay
4
+ by
3
+ cyy + dy + gg
, welche ruͤckwerts geschrieben der obigen voll- kommen aͤhnlich ist.
Man hat aber dieses nicht noͤthig, sondern man kann die Wurzel davon also ansetzen
gxx + px + q
, oder umgekehrt
q + px + gxx
, da dann
a + bx + cxx + dx
3
+ ggx
4
= qq + 2pqx + 2gqxx + 2gpx
3
+ ggx
4
, weil sich nun hier
+ ppxx
die
Von der unbestimmten Analytic.
die fuͤnfte Glieder von selbsten aufheben, so bestimme man erstlich
p
, also daß sich auch die vierte Glieder auf- heben, welches geschieht wann
d = 2gp
oder
p
=
\frac{d}{2g}
, hernach bestimme man weiter
q
, also daß sich auch die dritten Glieder aufheben welches geschieht wann
c = 2gq + pp
, oder
q
=
\frac{c - pp}{2g}
: ist dieses geschehen, so geben die zwey ersten Glieder diese Gleichung
a + bx = qq + 2pqx
, woraus gefunden wird
x
=
\frac{a - qq}{2pq - b}
, oder
x
=
\frac{qq - a}{b - 2pq}
.
133.
Hier ereignet sich wiederum der oben angefuͤhrte Mangel, wann das zweyte und vierte Glied fehlt, oder wann
b = 0
und
d = 0
; dann da wird
p = 0
und
q
=
\frac{c}{2g}
, hieraus also
x
=
\frac{a - qq}{o}
, welcher Werth unendlich groß ist, und eben so wenig zu etwas fuͤh- ret als der Werth
x = 0
im erstern Fall; dahero diese Methode bey solchen Gleichungen
a + cxx + ggx
4
gar nicht gebraucht werden kann.
134.
III.)
Aufloͤsung der Formel
\sqrt{(ff+bx+cxx+dx^{3}+ggx^{4})}
Es ist klar daß bey dieser Formel beyde obige Methoden angebracht werden koͤnnen, dann da das
er-
Zweyter Abschnitt
erste Glied ein Quadrat ist, so kann man die Wurzel setzen
f + px + qxx
und die drey ersten Glieder ver- schwinden machen; hernach weil das letzte Glied ein Quadrat ist, so kann man die Wurzel auch setzen
q + px + gxx
, und die drey letzten Glieder verschwinden ma- chen, da man dann zwey Werthe fuͤr
x
heraus bringt.
Allein man kann auch diese Formel noch auf zwey andere Arten behandeln, die derselben eigen sind.
Nach der ersten Art setzt man die Wurzel =
f + px + gxx
, und bestimmt
p
also daß die zweyten Glieder wegfallen, weil nemlich seyn soll:
ff + bx + cxx + dx
3
+ ggx
4
= ff + 2fpx + 2fgxx
+ ppxx
+ 2gpx
3
+ ggx
4
, so mache man
b = 2fp
oder
p
=
\frac{b}{2f}
, und weil alsdann nicht nur die ersten und letzten Glieder sondern auch die zweyten sich einander aufheben, so geben die uͤbrigen durch
xx
dividirt die- se Gleichung
c + dx = 2fg + pp + 2gpx
, woraus gefunden wird
x
=
\frac{c - 2fg - pp}{2gp - d}
, oder
x
=
\frac{pp + 2fg - c}{d - 2gp}
. Hier ist insonderheit zu mercken daß da in der Formel nur das Quadrat
gg
vorkommt, die Wurzel davon
g
so wohl negativ als positiv genommen werden kann; woraus man noch einen andern Werth fuͤr
x
erhaͤlt, nemlich
x
=
\frac{c + 2fg - pp}{-2gp - d}
, oder
x
=
\frac{pp - 2fg - c}{2gp + d}
.
135.
Von der unbestimmten Analytic.
135.
Es giebt auch noch ein anderer Weg diese For- mel aufzuloͤsen: man setzt nemlich wie vorhero die Wurzel =
f + px + gxx
, bestimmt aber
p
derge- stalt daß die vierten Glieder sich einander auf heben nemlich man setzt in der obigen Gleichung
d = 2gp
oder
p
=
\frac{d}{2g}
, und weil auch das erste Glied mit dem letzten wegfaͤllt, so geben die uͤbrigen durch
x
dividirt diese einfache Gleichung
b + cx = 2fp + 2fgx + ppx
, woraus man findet
x
=
\frac{b - 2fp}{2fg + pp-c}
; wo- bey zu mercken daß weil in der Formel nur das Qua- drat
ff
vorkommt, die Wurzel davon auch
—f
gesetzt werden koͤnne, also daß auch seyn wird
x
=
\frac{b + 2fp}{pp - 2fg - c}
; also daß auch hieraus zwey neue Werthe fuͤr
x
gefunden werden und folglich durch die bisher erklaͤrte Methode in allem sechs neue Werthe heraus gebracht worden.
136.
Hier ereignet sich aber auch wiederum der ver- drießliche Umstand, daß wann das zweyte und vierte Glied mangelt, oder
b = 0
und
d = 0
, kein tuͤchtiger Werth fuͤr
x
herausgebracht werden kann, und also die Aufloͤsung dieser Formel
ff + cxx + ggx
6
da-
Zweyter Abschnitt
dadurch nicht erhalten werden kann. Dann weil
b = 0
und
d = 0
, so hat man fuͤr die beyde Arten
p = 0
, und dahero giebt die erste
x
=
\frac{c - 2fg}{o}
, die andere Art aber
x = 0
, aus welchen beyden nichts weiter ge- funden werden kann.
137.
Dieses sind nun die drey Formeln auf welche die bisher erklaͤrten Methoden angewandt werden koͤnnen, wann aber in der gegebenen Formel weder das erste noch das letzte Glied ein Quadrat ist, so ist nichts auszurichten, bis man einen solchen Werth fuͤr
x
errathen hat durch welchen die Formel ein Quadrat wird. Laßt uns demnach setzen, man haͤtte schon ge- funden daß unsere Formel ein Quadrat werde wann man setzt
x = h
, also daß
a + bh + chh + dh
3
+ eh
4
= kk
, so darf man nur setzen
x = h + y
, so bekommt man eine neue Formel in welcher das erste Glied seyn wird
kk
und also ein Quadrat, dahero der erste Fall gebraucht werden kann. Diese Verwan- delung kann auch gebraucht werden, wann man in den vorhergehenden Faͤllen schon einen Werth fuͤr
x
als z. E.
x = h
gefunden hat, dann da darf man
nur
Von der unbestimmten Analytic
nur setzen
x = h + y
, so erhaͤlt man eine neue Glei- chung auf welche die obige Methode angewandt wer- den koͤnne: da man dann aus den schon gefundenen Werthe fuͤr
x
andere neue herausbringen kann, und mit diesen neuen kann man wieder auf gleiche Weise verfahren und also immer mehr neue Werthe fuͤr
x
ausfindig machen.
138.
Insonderheit aber ist von den schon oͤfters ge- meldten Formeln wo das zweyte und vierte Glied man- gelt zu mercken, daß keine Aufloͤsung von denselben zu haben ist, wofern man nicht schon eine gleichsam errathen hat; wie aber alsdann zu verfahren sey, wollen wir bey dieser Formel
a + ex
4
zeigen, als welche sehr oft vorzukommen pflegt.
Wir wollen also setzen man habe schon einen Werth
x = h
errathen, also daß da sey,
a + eh
4
= kk
, um nun daraus noch andere zu finden setze man
x = h + y
, so wird diese Formel ein Quadrat seyn muͤßen
a + eh
4
+ 4eh
3
y + 6ehhyy + 4ehy
3
+ ey
4
, das ist
kk + 4eh
3
y + 6ehhyy + 4ehy
3
+ ey
4
, welche zu der ersten Art gehoͤret; man setze dahero die Quadrat-Wurzel davon
k + py + qyy
II
Theil
Z
und
Zweyter Abschnitt
und folglich unsere Formel gleich diesem Quadrat
kk + 2kpy + 2kqyy + 2pqy
5
+ qqy
4
, wo erstlich
+ ppyy
p
und
q
so bestimmt werden muͤßen daß auch die zwey- te Glieder wegfallen, weswegen seyn muß
4eh
3
= 2kp
und also
p
=
\frac{2eh^{3}}{k}
; ferner
6ehh = 2kq + pp
, dahero
q
=
\frac{6ehb - pp}{2k}
, oder
q
=
\frac{3ebhkk - 2eeh^{6}}{k^{3}}
, oder
q
=
\frac{ehb(3kk - 2eh^{4})}{k^{3}}
; folglich da
eh
4
= kk - a
, so wird
q
=
\frac{ehh(kk + 2a)}{k^{3}}
: hernach geben die folgende Glie- der durch
y
3
dividirt
4eh + ey = 2pq + qqy
, wor- aus gefunden wird
y
=
\frac{4eh - 2pq}{qq - e}
, wovon der Zehler in diese Form
\frac{4ehk^{4} - 4eeh^{5} (kk + 2a)}{k^{4}}
gebracht wird, welche ferner da
eh
4
= kk - a
, in dieser verwandelt wird
\frac{4ehk^{4} - 4eh(kk - a) (kk + 2a)}{k^{4}}
, oder
\frac{4eh(- akk + 2a^{2})}{k^{4}}
, oder
\frac{4aeh(2a - kk)}{k^{4}}
. Der Nenner aber
qq - e
wird =
\frac{e(kk - a) (kk + 2a)^{2} - ek^{6}}{k^{6}}
, und dieses wird =
\frac{e(3ak^{4} - 4a^{3})}{k^{6}}
=
\frac{ea(3k^{4} - 4a^{3})}{k^{6}}
, woraus der gesuchte Werth seyn wird
y
=
\frac{2aeh(2a - kk)}{k^{4}}
.
\frac{k^{5}}{ae(3k^{4} - 4aa)}
, das ist
y
=
\frac{2hkk(2a - kk)}{3k^{4} - 3ac}
, und dahero
x
=
\frac{h(8akk - k^{4} - 4aa)}{3k^{4} - 4aa}
, oder
x
=
\frac{h(k^{4} - 3akk + 4aa)}{4aa - 3k^{4}}
. Setzt man nun diesen Werth fuͤr
x
, so wird unsere For- mel, nemlich
a + ex
4
, ein Quadrat davon die Wurzel seyn wird
k + py + qyy
, so zu dieser Form gebracht
wird
Von der unbestimmten Analytic.
wird:
k
+
\frac{8k(kk - a) (2a - kk)}{3k^{4} - 4aa}
+
\frac{16k(kk - a) (kk + 2a) (2a - kk)^{2}}{(3k^{4} - 4aa)^{2}}
, weil aus den obigen ist
p
=
\frac{2eh^{3}}{k}
, und
q
=
\frac{ehh(kk + 2a)}{k^{3}}
, und
y
=
\frac{4hkk(2a - kk)}{3k^{4} - 4aa}
.
139.
Wir wollen bey dieser Formel
a + ex
4
noch stehen bleiben und weil der Fall
a + eh
4
= kk
bekandt ist, so koͤnnen wir denselben als zwey Faͤlle ansehen weil so wohl
x = —h
als
x = + h
, und deswegen koͤn- nen wir diese Formel in eine andere von der dritten Art verwandeln wo das erste und letzte Glied Quadrate werden. Solches geschieht wann wir setzen
x
=
\frac{h(1 + y)}{1 - y}
, welcher Kunstgrif oͤfters gute Dienste thut, also wird unsere Formel:
\frac{a(1 - y)^{4} + eh^{4}(1 + y)^{4}}{(1 - y)^{4}}
oder
\frac{kk + 4(kk - 2a)y + 6kkyy + 4(kk - 2a)y^{3} + kky^{4}}{(1 - y)^{4}}
: hier von setze man die Quadrat-Wurzel nach den dritten Fall
\frac{k + py - kyy}{(1 - y)^{2}}
, also daß der Zaͤhler unserer Formel gleich seyn muß diesem Quadrat
kk + 2kpy - 2kkyy
+ ppyy
— 2kpy
3
+ kky
4
. Man mache daß die zweyten Glie- der wegfallen welches geschieht wann
4kk - 8a = 2kp
, oder
p
=
\frac{2kk - 4a}{k}
: die uͤbrigen Glieder durch
yy
divi- dirt geben
6kk + 4(kk - 2a)y = - 2kk + pp
Z 2
—2kpy
Zweyter Abschnitt
—2kpy
, oder
y(4kk - 8a + 2kp) = pp - 8kk
, da nun
p
=
\frac{2kk - 4a}{k}
, und
pk = 2kk - 4a
, so wird
y(8kk - 16a)
=
\frac{- 4k^{4} - 16akk + 16aa}{kk}
; folglich
y
=
\frac{- k^{4} - 4akk + 4aa}{kk(2kk - 4a)}
; um nun daraus
x
zu finden, so ist erstlich
1 + y
=
\frac{k^{4} - 8akk + 4aa}{kk(2kk - 4a)}
, und denn zweytens
1 - y
=
\frac{3k^{4} - 4aa}{kk(2kk - 4a)}
; also
\frac{1 + y}{1 - y}
=
\frac{k^{4} - 8akk + 4aa}{3k^{4} - 4aa}
; folglich bekommen wir
x
=
\frac{k^{4} - 8akk + 4aa}{3k^{4} - 4aa}
.
h
, welches aber der nemliche Ausdruck ist, den wir schon vorher gefunden haben.
140.
Um dieses mit einem Exempel zu erlaͤutern, so sey diese Formel gegeben
2x
4
- 1
, welche ein Quadrat seyn soll. Hier ist nun
a = —1
und
e = 2
, der bekante Fall aber, wo diese Formel ein Quadrat wird ist, wann
x = 1
: also ist
h = 1
und
kk = 1
, das ist
k = 1
: hieraus erhalten wir also sogleich diesen neuen Werth
x
=
\frac{1 + 8 + 4}{3 - 4}
= —13, weil aber von
x
nur die vierte Potestaͤt vorkommt, so kann man auch setzen
x = + 13
, und daraus wird
2x
4
- 1 = 57121 = (239)
2
.
Nehmen wir nun diesen Fall als bekant an, so wird
h = 13
und
k = 239
, woraus wieder ein neuer Werth fuͤr
x
gefunden wird, nemlich
x =
Von der unbestimmten Analytic.
x
=
\frac{815730721 + 228488 + 4}{2447192163 - 4}
. 13 =
\frac{815959213}{2447192159}
. 13, also wird
x
=
\frac{10607469769}{2447192159}
.
141.
Auf gleiche Weise wollen wir die etwas allge- meinere Formel
a + cxx + ex
4
betrachten, und fuͤr den bekanten Fall, da dieselbe ein Quadrat wird, anneh- men
x = h
, also daß
a + chh + eh
4
= kk
. Um nun daraus andere zu finden, so setze man
x = h + y
, da dann unsere Formel diese Gestalt bekommen wird:
\array{l} a\\ chh + 2chy + cyy\\ eh^4 + 4eh^3y + 6ehhyy + 4ehy^3 + ey^4\\ \overline{kk + (2ch + 4eh^3) y + (c + 6ehh) yy + 4ehy^3 + ey^4}
wo das erste Glied ein Quadrat ist: man setze dem- nach die Quadrat-Wurzel davon
k + py + qyy
, also daß unsere Formel diesem Quadrat gleich seyn soll
kk + 2kpy + 2kqyy + 2pqy
3
+ qqy
4
: nun be-
+ ppyy
stimme man
p
und
q
also daß die zweyten und dritten Glieder wegfallen, worzu erfordert wird, erstlich daß
2ch + 4eh
3
= 2kp
oder
p
=
\frac{ch + 2eh^{3}}{k}
, hernach aber
Z 3
daß
Zweyter Abschnitt
daß
c + 6ehh = 2kq + pp
, oder
q
=
\frac{c + 6ehh - pp}{2k}
: als- dann geben die folgende Glieder durch
y
3
dividirt diese Gleichung
4eh + ey = 2pq + qqy
, daraus gefunden wird
y
=
\frac{4eh - 2pq}{qq - e}
, und daraus ferner
x = h + y
; in welchem Fall die Quadrat-Wurzel aus unsere Formel seyn wird
k + py + qyy
. Sieht man nun dieses wieder als den anfaͤnglich be- kanten Fall an, so findet man daraus wieder einen neuen Fall, und kann demnach solcher Gestalt so weit fort- gehen als man will.
142.
Um dieses zu erlaͤutern, so sey die gegebene For- mel
1 - xx + x
4
, wo folglich
a = 1
,
c = —1
und
e = 1
. Der bekante Fall faͤllt so gleich in die Augen nem- lich
x = 1
, also daß
h = 1
und
k = 1
. Setzt man nun
x = 1 + y
, und die Quadrat-Wurzel unserer Formel =
1 + py + qyy
, so muß erstlich seyn
p = 1
und hernach
q = 2
; hieraus wird gefunden
y = 0
und
x = 1
, welches eben der schon bekante Fall ist, und also kein neuer gefunden worden. Man kann aber aus andern Gruͤnden beweisen daß diese Formel kein Quadrat seyn kann, außer in den Faͤllen
x = 0
und
x = ± 1
.
143.
Von der unbestimmten Analytic.
143.
Es sey ferner diese Formel zum Exempel ge- geben 2 - 3
xx + 2 x
4
, wo
a
= 2,
c
= - 3 und
e
= 2. Der bekante Fall giebt sich auch sogleich, nemlich
x
= 1: es sey demnach
h
= 1, so wird
k
= 1; setzt man nun
x = 1 + y
und die Quadrat-Wurzel 1 +
py + qyy
, so wird
p
= 1 und
q
= 4, daraus erhalten wir
y
= 0 und
x
= 1, woraus wieder nichts neues gefunden wird.
144.
Ein anderes Exempel sey diese Formel 1 + 8
xx + x
4
, wo
a
= 1,
c
= 8 und
e
= 1. Nach einer gerin- gen Betrachtung ergiebt sich der Fall
x
= 2; dann nimmt man
h
= 2 so wird
k
= 7, setzt man nun
x = 2 + y
, und die Wurzel 7 +
py + qyy
, so muß seyn
p
=
\frac{32}{7}
, und
q
=
\frac{272}{343}
; hieraus erhalten wir
y
= -
\frac{5880}{2911}
und
x
= -
\frac{58}{2911}
, wo das Zeichen
minus
weggelaßen werden kann; Bey diesem Exempel aber ist zu mercken, daß weil das letzte Glied schon vor sich ein Quadrat ist, und also auch in der neuen Formel ein Quadrat bleiben muß, die Wurzel auch noch anders nach dem obi- gen dritten Fall angenommen werden kann.
Es sey demnach wie vorher
x = 2 + y
so bekom- men wir,
Z 4
1
Zweyter Abschnitt
\array{l} 1\\ 32 + 32 y + 8 yy\\ 16 + 32 y + 24 yy + 8 y^3 + y^4\\ \overline{49 + 64 y + 32 yy + 8 y^3 + y^4}
welche jetzt auf mehrerley Art zu einem Quadrat ge- macht werden kann; dann erstlich kann man die Wurzel 7 +
py + yy
setzen, also daß unsere Formel die- sem Quadrat gleich seyn soll 49 + 14
py + 14 yy
+
ppyy
+ 2
py
3
+ y
4
; nun kann man die letzt ohn eine Glie- der verschwinden machen, wann man setzt 2
p
= 8, oder
p
= 4; da dann die uͤbrigen durch
y
dividirt geben 64 + 32
y = 14 p + 14 y + ppy = 56 + 30 y
, und daher
y
= - 4 und
x
= - 2, oder
x
= + 2, welches der bekante Fall selbst ist.
Nimmt man aber
p
so an, daß die zweyten Glie- der wegfallen, so wird 14
p
= 64 und
p
=
\frac{32}{7}
; da dann die uͤbrigen Glieder durch
yy
dividirt geben 14 +
pp + 2 py = 32 + 8 y
, oder
\frac{1710}{49}
+
\frac{64}{7}
y = 32 + 8 y
, und daher
y
= -
\frac{71}{28}
, folglich
x
= -
\frac{15}{28}
, oder
x
= +
\frac{15}{28}
, welcher Werth unsere Formel zu einem Quadrat macht, da- von die Wurzel ist
\frac{1441}{784}
. Da auch -
yy
die Wurzel
ist
Von der unbestimmten Analytic.
ist des letzten Glieds, so kann man die Quadrat-Wur- zel davon also setzen 7 +
py - yy
, oder die Formel selbst diesem Quadrat gleich 49 + 14
py - 14 yy - 2 py
3
+ y
4
+
ppyy
Um nun die letzt ohn eine Glieder wegzubringen setze man 8 = - 2
p
, oder
p
= - 4, so geben die uͤbrigen durch
y
dividirt 64 + 32
y = 14 p - 14 y + ppy = - 56 + 2 y
, daraus wird
y
= - 4 wie oben.
Laͤßt man aber die zweyten Glieder verschwinden, so wird 64 = 14
p
und
p
=
\frac{32}{7}
: die uͤbrigen aber durch
yy
dividirt geben 32 + 8
y = - 14 + pp - 2 py
, oder 32 + 8
y
=
\frac{338}{49}
-
\frac{64}{7}
y
, daraus wird
y
= -
\frac{71}{28}
und
x
= ∓
\frac{15}{28}
, welcher mit dem obigen einerley ist.
145.
Eben so kann man verfahren mit der allgemeinen Formel
a + bx + cxx + dx
3
+ ex
4
, wann ein Fall, nemlich
x = h
, bekant ist, da dieselbe ein Qua- drat, nemlich
kk
, wird: dann als dann setze man
x = h + y
, so erhaͤlt man eine Formel von eben so viel Glie- dern davon das erste seyn wird
kk
; wird nun die Wurzel davon gesetzt
k + py + qyy
, und man be- stimmt
p
und
q
dergestalt daß auch die zweyte und dritten Glieder wegfallen, so geben die beyden letz-
Z 5
ten
Zweyter Abschnitt
ten durch
y
3
dividirt eine einfache Gleichung, woraus
y
und folglich auch
x
bestimmt werden kann.
Nur fallen hier solche Faͤlle weg, wo der neu ge- fundene Werth von
x
mit dem bekanten
x = h
einer- ley ist, weil alsdann nichts neues gefunden wird. In solchen Faͤllen ist entweder die Formel an sich selbst un- moͤglich, oder man muͤßte noch einen andern Fall errathen, wo dieselbe ein Quadrat wird.
146.
Nur so weit ist man bisher gekommen in Aufloͤsung der Quadrat-Wurzel-Zeichen, da nemlich die hoͤchste Potestaͤt hinter denselben die vierte nicht uͤbersteiget. Sollte demnach in einer solchen Formel die fuͤnfte oder eine noch hoͤhere Potestaͤt von
x
vorkommen, so sind die bisherigen Kunstgriffe nicht hinlaͤnglich eine Aufloͤsung davon zu geben, wann auch gleich schon ein Fall be- kannt waͤre. Um dieses deutlicher zu zeigen so be- trachte man diese Formel
kk + bx + cxx + dx
3
+ ex
4
+ fx
5
, wo das erste Glied schon ein Quadrat ist, wollte man nun die Wurzel davon wie vorher setzen
k + px + qxx
und
p
und
q
so bestimmen, daß die zweyten und dritten Glieder wegfielen, so blieben
doch
Von der unbestimmten Analytic.
doch noch drey uͤbrig, welche durch
x
3
dividirt eine qua- dratische Gleichung geben wuͤrden, woraus
x
durch ein neues Wurzel-Zeichen bestimmt wuͤrde. Wollte man aber die Wurzel setzen
k + px + qxx + rx
3
so wuͤrde das Quadrat bis zur sechsten Potestaͤt auf- steigen, allso daß wann gleich
p
,
q
, und
r
so bestimmt wuͤrden, daß die zweyte, dritte und vierten Glieder wegfielen, dennoch die vierte, fuͤnfte und sechste Potestaͤt uͤbrig bliebe, welche durch
x
4
dividirt wieder auf eine quadratische Gleichung fuͤhrte, und also nicht ohne Wurzel-Zeichen aufgeloͤßt werden koͤnn- te. Dahero wir genoͤthiget sind hiemit die Formeln die ein Quadrat seyn sollen zu verlaßen. Wir wollen demnach zu den cubischen Wurzel-Zeichen fort schreiten.
Capi-
Zweyter Abschnitt
Capitel
10. Von der Art diese Irrational-Formel
∛ (
a + bx + cxx + dx
3
)
rational zu machen.
147.
H
ier werden also solche Werthe fuͤr
x
erfordert daß diese Formel
a + bx + cxx + dx
3
eine Cubic- Zahl werde, und daraus also die Cubic-Wurzel ge- zogen werden koͤnne. Hiebey ist zu erinnern daß die- se Formel die dritte Potestaͤt nicht uͤberschreiten muͤße, weil sonsten die Aufloͤsung davon nicht zu hoffen waͤre. Sollte die Formel nur bis auf die zweyte Potestaͤt gehen und das Glied
dx
3
wegfallen, so wuͤrde die Aufloͤsung nicht leichter werden: fielen aber die zwey letzten Glieder weg, also daß diese Formel
a + bx
zu einem Cubo gemacht werden muͤßte, so haͤtte die Sache gar keine Schwierigkeit, indem man nur setzen duͤrf- te
a + bx = p
3
, und daraus so gleich gefunden wuͤr- de
x
=
\frac{p^{3} - a}{b}
.
148.
Hier ist wiederum vor allen Dingen zu mercken
daß
Von der unbestimmten Analytic.
daß wann weder das erste noch das letzte Glied ein Cubus ist, an keine Aufloͤsung zu gedencken sey, wo- fern nicht schon ein Fall darin die Formel ein Qua- drat wird bekannt ist, derselbe mag nun so gleich in die Augen fallen, oder erst durch probiren gefunden werden muͤßen.
Das erstere geschieht nun, erstlich wann das erste Glied ein Cubus ist und die Formel
f
3
+ bx + cxx + dx
3
, wo der bekannte Fall ist
x
= 0; hernach auch wann das letzte Glied ein Cubus und die Formel also beschaffen ist
a + bx + cxx + g
3
x
3
; aus diesen beyden Faͤllen entspringt der dritte wo so wohl das erste als letzte Glied ein Cubus ist, welche drey Faͤlle wir hier erwegen wollen.
149.
I.
Fall. Es sey die vorgegebene Formel
f
3
+ bx + cxx + dx
3
, welche ein Cubus werden soll.
Man setze demnach die Wurzel davon
f + px
, also daß unsere Formel diesem Cubo gleich seyn soll
f
3
+ 3 ffpx + 3 fppxx + p
2
x
3
: da nun die ersten Glieder von selbsten wegfallen, so bestimme man
p
dergestalt daß auch die zweyten wegfallen, welches ge-
schieht
Zweyter Abschnitt
schieht wann
b = 3 ff p
, oder
p
=
\frac{b}{3 ff}
; alsdann geben die uͤbrigen Glieder durch
xx
dividirt diese Gleichung
c + dx = 3 fpp + p
3
x
, woraus gefunden wird
x
=
\frac{c - 3 fpp}{p^{3} - d}
. Waͤre das letzte Glied
dx
3
nicht vorhan- den, so koͤnnte man die Cubic-Wurzel schlecht weg setzen =
f
, da man dann bekommen wuͤrde
f
3
= f
3
+ bx + cxx
: oder
b + cx
= 0 und daraus
x
= -
\frac{b}{c}
, woraus aber nichts weiter geschloßen werden koͤnnte.
150.
II.
Fall. Die vorgegebene Formel habe nun zwey- tens diese Gestallt
a + bx + cxx + g
3
x
3
, man setze die Cubic-Wurzel
p + gx
, davon der Cubus ist
p
3
+ 3gppx + 3ggpxx + g
3
x
3
, da sich dann die letz- ten Glieder aufheben; nun bestimme man
p
also daß auch die letzten ohne eins wegfallen, welches ge- schieht wann
c = 3 ggp
oder
p
=
\frac{c}{3 gg}
: alsdann geben die zwey ersten diese Gleichung
a + bx = p
3
+ 3 gppx
, woraus gefunden wird
x
=
\frac{a - p^{3}}{3 gpp - b}
. Waͤre das er- sie Glied
a
nicht vorhanden gewesen, so haͤtte man die Cubic-Wurzel auch schlechtweg setzen koͤnnen =
gx
, da denn
g
3
x
3
= bx + cxx + g
2
x
3
oder 0 =
b
+
cx
Von der unbestimmten Analytic.
+
cx
, folglich
x
= -
\frac{b}{c}
; welches aber gemeiniglich zu nichts dienet.
151.
III.
Fall. Es sey endlich drittens die vorgegebene Formel
f
3
+ bx + cxx + g
3
x
3
, worinn so wohl das erste als letzte Glied ein Cubus ist; dahero dieselbe auf beyde vorhergehende Arten tractiert und also zwey Werthe fuͤr
x
heraus gebracht werden koͤnnen.
Außer diesen aber kann man auch noch die Wur- zel setzen
f + gx
, also daß unsere Formel diesem Cubo gleich werden soll
f
3
+ 3 ffgx + 3 fggxx + g
3
x
3
, da dann die erste und letzten Glieder einander auf- heben, die uͤbrigen aber durch
x
dividirt diese Gleichung geben
b + cx = 3 ffg + 3 fggx
, und daraus
x
=
\frac{b - 3 ffg}{3 fgg - c}
.
152.
Faͤllt aber die gegebene Formel in keine von die- sen drey Arten, so ist dabey nichts anders zu thun, als daß man suche einen Werth zu errathen, da dieselbe ein Cubus wird: hat man einen solchen gefunden welcher sey
x = h
, also daß
a + bh + chh + dh
3
= k
3
,
so
Zweyter Abschnitt
so setze man
x = h + y
, da dann unsere Formel diese Gestalt bekommen wird.
a
bh + by
chh + 2 chy + cyy
dh
3
+ 3 dhhy + 3 dhyy + dy
3
k
3
+ (b + 2 ch + 3 dhh) y + (c + 3 dh) yy + dy
3
.
welche zu der ersten Art gehoͤrt, und also fuͤr
y
ein Werth gefunden werden kann, woraus man dann einen neuen Werth fuͤr
x
erhaͤlt, aus welchem nachgehens auf glei- che Weise noch mehr gefunden werden koͤnnen.
153.
Wir wollen nun diese Methode durch einige Exem- pel erlaͤutern und erstlich diese Formel 1 +
x + xx
vornehmen, welche ein Cubus seyn soll, und zur ersten Art gehoͤret. Man koͤnnte also sogleich die Cu- bic-Wurzel = 1 setzen, daraus gefunden wuͤrde
x + xx
= 0, das ist
x (1 + x)
= 0; folglich entwe- der
x
= 0 oder
x
= - 1, woraus aber nichts weiter folgt. Man setze dahero die Cubic-Wurzel 1 +
px
,
wovon
Von der unbestimmten Analytic.
wovon der Cubus ist 1 + 3
px + 3 ppxx + p
3
x
3
, und mache 1 = 3
p
oder
p
= ⅓, so geben die uͤbrigen Glieder durch
xx
dividirt 1 = 3
pp + p
3
x
, oder
x
=
\frac{1 - 3 pp}{p^{3}}
: da nun
p
= ⅓, so wird
x
=
\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{27}}
= 18, und dahero unsere Formel 1 + 18 + 324 = 343, wo- von die Cubic-Wurzel ist 1 +
px
= 7. Wollte man nun weiter setzen
x = 18 + y
, so wuͤrde unsere For- mel diese Gestalt bekommen 343 + 37
y + yy
, wo- von nach der ersten Regel die Cubic-Wurzel zu setzen waͤre 7 +
py
, wovon der Cubus ist 343 + 147
py + 21 ppyy + p
3
y
3
: nun setze man 37 = 147
p
, oder
p
=
\frac{37}{147}
, so geben die uͤbrigen Glieder diese Gleichung 1 = 21
pp + p
3
y
, also
y
=
\frac{1 - 21 pp}{p^{3}}
, das ist
y
=
\frac{340. 121. 147}{37^{3}}
= -
\frac{1049580}{50653}
, woraus noch weiter neue Werthe gefun- den werden koͤnnen.
154.
Es sey ferner diese Formel gegeben 2 +
xx
, welche ein Cubus werden soll. Hier muß nun vor allen Din- gen ein Fall errathen werden da dieses geschieht, wel- cher ist
x
= 5: man setze demnach so gleich
x = 5 + y
, so bekommt man 27 + 10
y + yy
; davon sey die Cu-
II
Theil
A a
bic-
Zweyter Abschnitt
bic-Wurzel 3 +
py
, und also die Formel selbst diesem Cubo 27 + 27
py + 9 ppyy + p
3
y
3
gleich; man mache 10 = 27
p
, oder
p
=
\frac{10}{27}
, so bekommt man 1 = 9
pp + p
3
y
, und daraus
y
=
\frac{1 - 9 pp}{p^{3}}
, das ist
y
= -
\frac{10.9.27}{1000}
oder
y
= -
\frac{4617}{1000}
, und
x
=
\frac{383}{1000}
: hieraus wird unsere Formel 2 +
xx
=
\frac{2146680}{1000000}
, wovon die Cubic-Wurzel seyn muß 3 +
py
=
\frac{129}{100}
.
155.
Man betrachte ferner diese Formel 1 +
x
3
, ob die- selbe ein Cubus werden koͤnne, außer den zwey offenbah- ren Faͤllen
x
= 0 und
x
= - 1? Ob nun gleich die- se Formel zum dritten Fall gehoͤret, so hilft uns doch die Wurzel 1 +
x
nichts, weil der Cubus davon 1 + 3
x + 3 xx + x
3
unserer Formel gleich gesetzt 3
x + 3 xx
= 0 oder
x (1 + x)
= 0 giebt, das ist entweder
x
= 0 oder
x
= - 1.
Will man ferner setzen
x = - 1 + y
, so bekom- men wir diese Formel 3
y - 3 yy + y
3
, welche ein Cu- bus seyn soll und zum zweyten Fall gehoͤret: setzt man daher die Cubic-Wurzel
p + y
wovon der Cubus ist
p
3
+ 3 ppy + 3 pyy + y
3
, und macht - 3 = 3
p
oder
p
= - 1, so geben die uͤbrigen 3
y = p
3
+ 3 ppy = - 1 + 3 y
, folglich
y
=
\frac{1}{0}
das ist unendlich; woraus
also
Von der unbestimmten Analytic.
also nichts gefunden wird. Es ist auch alle Muͤhe vergebens um noch andere Werthe fuͤr
x
zu finden, weil man aus andern Gruͤnden beweisen kann daß diese Formel 1 +
x
3
außer den gemeldten Faͤllen, nimmer ein Cubus werden kann; dann man hat ge- zeiget daß die Summ von zweyen Cubis als
t
2
+ x
3
niemals ein Cubus werden kann, dahero ist es auch nicht moͤglich in dem Fall
t
= 1.
156.
Man behauptet auch daß 2 +
x
3
kein Cubus werden koͤnne außer dem Fall
x
= - 1: diese Formel ge- hoͤrt zwar zu dem zweytem Fall, es wird aber durch die daselbst gebrauchte Regel nichts heraus gebracht weil die mittlern Glieder fehlen. Setzt man aber
x = — 1 + y
, so bekommt man diese Formel 1 + 3
y - 3 yy + y
3
, welche nach allen drey Faͤllen tractirt werden kann. Setzt man nach den ersten die Wurzel 1 +
y
, davon der Cubus 1 + 3
y + 3 yy + y
3
ist, so wird - 3
yy = 3 yy
, welches nur geschieht wann
y
= 0. Setzt man nach den zweyten Fall die Wur- zel - 1 +
y
, wovon der Cubus - 1 + 3
y - 3 yy + y
3
, so wird 1 + 3
y = - 1 + 3 y
und
y
=
\frac{2}{0}
, welches un-
A a 2
end-
Zweyter Abschnitt
endlich ist. Nach der dritten Art muͤßte man die Wurzel setzen 1 +
y
welches schon geschehen.
157.
Es sey diese Formel gegeben 3 + 3
x
3
welche ein Cu- bus werden soll; dieses geschieht nun erstlich in dem Fall
x
= - 1, woraus aber nichts geschloßen werden kann, hernach aber auch in dem Fall
x
= 2: man setze deswegen
x = 2 + y
, so kommt diese Formel heraus 27 + 36
y + 18 yy + 3 y
3
, welche zum ersten Fall gehoͤret, dahero sey die Wurzel 3 +
py
, wovon der Cubus 27 + 27
py + 9 ppyy + p
3
y
3
; man mache allso 36 - 27
p
, oder
p
=
\frac{4}{3}
, so geben die uͤbrigen Glieder durch
yy
dividirt, 18 + 3
y = 9 pp + p
3
y
= 16 +
\frac{64}{27}
y
, oder
\frac{17}{27}
y
= - 2, dahero
y
= -
\frac{54}{17}
, folglich
x
= -
\frac{20}{17}
; hieraus wird un- sere Formel 3 + 3
x
3
= -
\frac{9261}{4913}
, wovon die Cubic-Wur- zel ist 3 +
py
=
\frac{21}{17}
; und aus diesem Werth koͤnnte man noch mehrere finden wann man wollte.
158.
Wir wollen zuletzt noch diese Formel betrachten 4 +
xx
, welche in zwey bekannten Faͤllen ein Cubus
wird
Von der unbestimmten Analytic.
wird, nemlich wann
x
= 2 und
x
= 11. Setzt man nun erstlich
x = 2 + y
, so muß diese Formel ein Cubus seyn 8 + 4
y + yy
, dessen Wurzel sey 2 + ⅓
y
, und also die Formel = 8 + 4
y + ⅔ yy
+
\frac{1}{27}
y
3
, woraus man erhaͤlt 1 = ⅔ +
\frac{1}{27}
y
, dahero
y
= 9 und
x
= 11, welches der andere bekannte Fall ist.
Setzt man nun ferner
x = 11 + y
, so bekommt man 125 + 22
y + yy
, so dem Cubo von 5 +
py
, das ist 125 + 75
py + 15 ppyy + p
3
y
3
gleich gesetzt, und
p
=
\frac{22}{75}
genommen, giebt 1 = 15
pp + p
3
y
3
oder
p
3
y
3
= 1 - 15 pp
= -
\frac{109}{375}
; dahero
y
= -
\frac{122625}{10048}
, und also
x
= -
\frac{5497}{10048}
.
Weil
x
so wohl negativ als positiv seyn kann so setze man
x
=
\frac{2 + 2 y}{1 - y}
, so wird unsere Formel
\frac{8 + 8 yy}{(1 - y)^{2}}
, welche ein Cubus seyn soll; man multiplicire also oben und unten mit 1 -
y
, damit der Nenner ein Cubus wer- de und da bekommt man
\frac{8 - 8 y + 8 yy - 8 y^{3}}{(1 - y)^{3}}
, wo also nur noch der Zehler 8 - 8
y + 8 yy - 8 y
3
, oder eben derselbe durch 8 dividirt nemlich 1 -
y + yy - y
3
zu einem Cubo gemacht werden muß, welche Formel zu allen drey Arten gehoͤrt.
Setzt man nun nach der ersten Art die Wurzel = 1 — ⅓
y
, wovon der Cubus ist 1 -
y + ⅓ yy
-
\frac{1}{27}
y
3
, so
A a 3
wird
Zweyter Abschnitt
wird 1 -
y
= ⅓ -
\frac{1}{27}
y
, oder 27 - 27
y = 9 - y
, dahero
y
=
\frac{9}{13}
, folglich 1 +
y
=
\frac{22}{13}
und 1 -
y
=
\frac{4}{13}
, folg- lich
x
= 11 wie vorher.
Nach der andern Art, wann man die Wurzel setzen wollte ⅓ -
y
, findet man eben dasselbe.
Nach der dritten Art, wann man die Wurzel setzt 1 -
y
, wovon der Cubus ist 1 - 3
y + 3 yy - y
3
, be- kommt man - 1 +
y = - 3 + 3 y
, und also
y
= 1, folglich
x
=
\frac{4}{3}
, das ist unendlich; dahero wird auf diese Art nichts neues gefunden.
159.
Weil wir aber diese zwey Faͤlle schon wißen
x
= 2 und
x
= 11, so kann man setzen
x
=
\frac{2 + 11 y}{1 \pm y}
: dann ist
y
= 0 so wird
x
= 2, ist aber
y
unendlich groß so wird
x
= ± 11.
Es sey demnach erstlich
x
=
\frac{2 + 11 y}{1 + y}
, so wird unsere Formel 4 +
\frac{4 + 44 y + 121 yy}{1 + 2 y + yy}
oder
\frac{8 + 52 y + 125 yy}{(1 + y)^{2}}
; man multiplicire oben und unten mit 1 +
y
, damit der Nenner ein Cubus werde, und nur noch der Zehler welcher seyn wird 8 + 60
y + 177 yy + 125 y
2
, zu ei- nem Cubo gemacht werden soll.
Man setze demnach erstlich die Wurzel = 2 + 5
y
, hierdurch wuͤrden nicht nur die zwey ersten Glieder son-
dern
Von der unbestimmten Analytic.
dern auch die letzten wegfallen, und also nichts gefun- den werden.
Man setze demnach nach der zweyten Art die Wurzel
p + 5 y
, davon der Cubus
p
3
+ 15 ppy + 75 pyy + 125 y
3
und mache 177 = 75
p
, oder
p
=
\frac{59}{25}
, so wird 8 + 60
y = p
3
+ 15 ppy
, dahero —
\frac{2943}{125}
y
=
\frac{80379}{15623}
und
y
=
\frac{80379}{367875}
, woraus
x
gefunden werden koͤnnte.
Man kann aber auch setzen
x
=
\frac{2 + 11 y}{1 - y}
, und da wird unsere Formel 4 +
\frac{4 + 44 y + 121 yy}{1 - 2 y + yy}
=
\frac{8 + 36 y + 125 yy}{(1 - y)^{2}}
, wo- von der Zehler mit 1 -
y
multiplicirt ein Cubus wird. Allso muß auch 8 + 28
y + 89 yy - 125 y
3
ein Cu- bus werden.
Setzen wir hier nach der ersten Art die Wurzel = 2 +
\frac{7}{3}
y
, davon der Cubus ist 8 + 28
y
+
\frac{98}{3}
yy
+
\frac{343}{27}
y
4
, so wird 89 - 125
y
=
\frac{98}{3}
+
\frac{343}{27}
y
, oder
\frac{3718}{27}
y
=
\frac{169}{3}
, und also
y
=
\frac{1521}{3718}
=
\frac{9}{22}
; folglich
x
= 11, welches der schon bekante Fall ist.
Setzt man ferner nach der dritten Art die Wur- zel 2 - 5
y
, wovon der Cubus ist 8 - 60
y
+ 150
yy — 125 y
3
, so erhalten wir 28 + 89
y
= - 60
A a 4
+ 150
y
Zweyter Abschnitt
+ 150
y
, folglich
y
=
\frac{88}{61}
, woraus gefunden wird
x
= -
\frac{1090}{27}
, und unsere Formel wird
\frac{1191016}{729}
, welches der Cubus ist von
\frac{106}{9}
.
160.
Dieses sind nun die bisher bekannten Methoden wodurch eine solche Formel, entweder zu einem Quadrat oder zu einem Cubo gemacht werden kann, wann nur in jenem Fall die hoͤchste Potestaͤt der unbe- stimmten Zahl den vierten Grad, in letzterm aber den dritten nicht uͤbersteiget.
Man koͤnnte noch den Fall hinzufuͤgen da eine gegebene Formel zu einem Biquadrat gemacht wer- den soll, iu welchem die hoͤchste Potestaͤt die zweyte nicht uͤbersteigen muß. Wann aber eine solche For- mel
a + bx + cxx
ein Biquadrat seyn soll so muß dieselbe vor allen Dingen zu einem Quadrat gemacht werden, da dann nur noch uͤbrig ist daß die Wurzel von diesem Quadrat noch ferner zu einem Quadrat ge- macht werde, wozu die Regel schon oben gegeben worden. Also wann zum Exempel
xx
+ 7 ein Bi- quadrat seyn soll, so mache man dieselbe zuerst zu ei- nem Quadrat welches geschieht wann
x
=
\frac{7 pp - qq}{2 pq}
oder
Von der unbestimmten Analytic.
oder auch
x
=
\frac{qq - 7 pp}{2 pq}
; alsdann wird unsere Formel gleich diesem Quadrat
\frac{q^{4} - 14 qqpp + 49 p^{4}}{4 ppqq}
+ 7 =
\frac{q^{4} + 14 qqpp + 49 p^{4}}{4 ppqq}
, wovon die Wurzel ist
\frac{7 pp + qq}{2 pq}
, welche noch zu einem Quadrat gemacht wer- den muß: man multiplicire demnach oben und un- ten mit 2
pq
, damit der Nenner ein Quadrat werde, und alsdann wird der Zehler 2
pq
(7
pp + qq
) ein Quadrat seyn muͤßen, welches nicht anders geschehen kann als nachdem man schon einen Fall errathen hat. Man kann zu diesem Ende setzen
q = pz
, damit diese Formel 2
ppz
(7
pp + ppzz
) = 2
p
4
z
(7 +
zz
) und also auch durch
p
4
dividirt, nemlich diese 2
z
(7 +
zz
) ein Quadrat werden soll. Hier ist nun der bekannte Fall
z
= 1, dahero setze man
z = 1 + y
, so bekommen wir (2 + 2
y
) (8 + 2
y + yy
) = 16 + 20
y + 6 yy + 2 y
3
, wovon die Wurzel sey 4 +
\frac{5}{2}
y
, davon das Quadrat 16 + 20
y
+
\frac{25}{4}
yy
, und unserer Formel gleich gesetzt giebt 6 + 2
y
=
\frac{25}{4}
,
y
= ⅛ und
z
=
\frac{9}{8}
: da nun
z
=
\frac{q}{p}
, so wird
q
= 9 und
p
= 8, dahero
x
=
\frac{367}{144}
, daraus wird unsere Formel 7 +
xx
=
\frac{279841}{20735}
, davon erstlich die Quadrat-Wurzel ist
\frac{529}{144}
, und hievon nochmals die Quadrat-Wurzel
\frac{23}{12}
, wovon also unsere Formel das Biquadrat ist.
A a 5
161.
Zweyter Abschnitt
161.
Endlich ist bey diesem Capitel noch zu erinnern, daß es einige Formeln gebe welche auf eine allgemei- ne Art zu einem Cubo gemacht werden koͤnnen: dann wann z. E.
cxx
ein Cubus seyn soll, so setze man die Wurzel davon =
px
, und da wird
cxx = p
3
x
3
oder
c = p
3
x
, dahero
x
=
\frac{c}{p^{3}}
: man schreibe
\frac{1}{q}
an statt
p
, so wird
x = cq
3
.
Der Grund hiervon ist offenbahr weil die For- mel ein Quadrat enthaͤlt, dahero auch alle derglei- chen Formel
a
(
b + cx
)
2
oder
abb + 2 abcx + a ccxx
gantz leicht zu einen Cubo gemacht werden koͤnnen; dann man setze die Cubic-Wurzel davon =
\frac{b + cx}{q}
, so wird
a
(
b
+
cx
)
2
=
\frac{(b + cx)^{3}}{q^{3}}
, welche durch (
b + cx
)
2
dividirt giebt
a
=
\frac{b + cx}{q^{3}}
, daraus
x
=
\frac{aq^{3} - b}{c}
, wo man
q
nach Belieben bestimmen kann.
Hieraus erhellet wie hoͤchst nuͤtzlich es sey die vorgegebene Formel in ihre Factores aufzuloͤsen so oft solches geschehen kann, und von dieser Materie soll weitlaͤuffig in dem folgenden Capitel gehandelt werden.
Capi-
Von der unbestimmten Analytic.
Capitel
11. Von der Aufloͤsung dieser Formel
axx + bxy + cyy
in Factoren
162.
H
ier bedeuten die Buchstaben
x
und
y
nur allein gantze Zahlen, und wir haben auch aus dem bisherigen, wo man sich mit Bruͤchen begnuͤgen mußte gesehen, wie die Frage immer auf gantze Zah- len gebracht werden kann. Dann ist z. E. die ge- suchte Zahl
x
ein Bruch so darf man nur setzen
x
=
\frac{t}{u}
, da dann fuͤr
t
und
u
immer gantze Zahlen angegeben werden koͤnnen, und weil dieser Bruch in der kleinsten Form ausgedruͤckt werden kann, so koͤnnen die beyden Buchstaben
t
und
u
als solche angesehen werden, die unter sich keinen gemeinen Theiler haben.
In der gegenwaͤrtigen Formel sind also
x
und
y
nur gantze Zahlen, und ehe wir zeigen koͤnnen wie die- selbe zu einem Quadrat, oder Cubo, oder einer noch
hoͤheren
Zweyter Abschnitt
hoͤheren Potestaͤt gemacht werden soll, so ist noͤthig zu untersuchen, was man den Buchstaben
x
und
y
fuͤr Werthe geben soll, daß diese Formel zwey oder mehr Factores erhalte.
163.
Hier kommen nun drey Faͤlle zu betrachten vor: der erste ist, wann sich diese Formel wuͤrcklich in zwey rationale Factores aufloͤsen laͤßt, welches geschieht, wie wir schon oben gesehen haben, wann
bb - 4 ac
eine Quadrat Zahl wird.
Der andere Fall ist, wann diese beyde Factores einander gleich werden, in welchem die Formel selbst ein wuͤrckliches Quadrat enthaͤlt.
Der dritte Fall ist, wann sich dieselbe nicht an- ders als in irrationale Factores aufloͤsen laͤßt, die- selben moͤgen schlechtweg irrational oder gar ima- ginaͤr seyn; jenes geschieht wann
bb - 4 ac
eine po- sitive Zahl aber kein Quadrat ist, dieses aber wann
bb - 4 ac
negativ wird. Dieses sind nun die drey Faͤlle welche wir hier zu erwegen haben.
164.
Laͤßt sich unsere Formel in zwey rationale Factores aufloͤsen, so kann dieselbe also vorgestellt werden
(
fx + gy
)
Von der unbestimmten Analytic.
(fx + gy) (hx + ky)
, welche also schon ihrer Natur nach zwey Factores in sich schließt. Will man aber daß dieselbe auf eine allgemeine Art mehr Factores in sich schließe, so darf man nur setzen
fx + gy = pq
und
hx + ky = rs
, da dann unsere Formel diesem Pro- duct
pqrs
gleich wird, und also vier Factores in sich enthaͤlt, deren Anzahl nach Belieben vermehret werden koͤnnte: hieraus aber erhalten wir fuͤr
x
einen dop- pelten Werth nemlich
x
=
\frac{pq - gy}{f}
und
x
=
\frac{rs - ky}{h}
, wor- aus gefunden wird
hpq - hgy = frs - fky
, und also
y
=
\frac{frs - hqp}{fk - hg}
und
x
=
\frac{kpq - grs}{fk - hg}
; damit nun
x
und
y
in gantzen Zahlen ausgedruͤckt werde, so muͤßen die Buchstaben
p
,
q
,
r
,
s
, also angenommen werden, daß sich der Zehler durch den Nenner wuͤrcklich theilen laße, welches geschieht, wann sich entweder
p
und
r
oder
q
und
s
dadurch theilen laßen.
165.
Um dieses zu erlaͤutern so sey diese Formel vor- gegeben
xx - yy
, welche aus diesen Factoren besteht
(x + y) (x - y)
: soll dieselbe nun noch mehr Facto- ren haben, so setze man
x + y = pq
und
x - y = rs
, so be- kommt man
x
=
\frac{pq + rs}{2}
und
y
=
\frac{pq - rs}{3}
; damit nun die-
se
Zweyter Abschnitt
se Zahlen gantz werden, so muͤßen die beyden Zahlen
pq
und
rs
zugleich entweder gerad seyn oder beyde ungerad.
Es sey z. E.
p
= 7,
q
= 5,
r
= 3 und
s
= 1, so wird
pq
= 35 und
rs
= 3, folglich
x
= 19 und
y
= 16: dahero entspringt
xx - yy
= 105, welche Zahl wuͤrcklich aus den Factoren 7. 5. 3. 1. besteht: also hat dieser Fall nicht die geringste Schwierigkeit.
166.
Noch weniger Schwierigkeit hat der zweyte Fall, wo die Formel zwey gleiche Factores in sich schließt und demnach also vorgestellet werden kann (
fx + gy
)
2
, welches Quadrat keine andere Factoren haben kann als welche aus der Wurzel
fx + gy
entsprin- gen, setzt man also
fx + gy = pqr
, so wird unsere Formel
pp qq rr
und kann also so viel Factoren haben als man will. Hier wird von den zwey Zahlen
x
und
y
nur eine bestimmt, und die andere unserem Belieben frey gestellt, dann man bekommt
x
=
\frac{pqr - gy}{f}
, wo
y
leicht so angenommen werden kann daß der Bruch wegfaͤlt. Die leichteste Formel von dieser Art ist
xx
, nimmt man
x = pqr
, so schließt das Quadrat
xx
drey
Von der unbestimmten Analytic.
drey quadratische Factoren in sich, nemlich
pp
,
qq
und
rr
.
167.
Weit mehr Schwierigkeiten aber hat der dritte Fall, wo sich unsere Formel nicht in zwey rationale Fac- toren aufloͤsen laͤßt, und da erfordert es besondere Kunstgriffe fuͤr
x
und
y
solche Werthe zu finden, aus welchen die Formel zwey oder mehr Factoren in sich ent- haͤlt. Um diese Untersuchung zu erleichtern so ist zu mercken, daß unsere Formel leicht in eine andere ver- wandelt werden kann, wo das mittlere Glied fehlet, man darf nemlich nur setzen
x
=
\frac{z - by}{2 a}
, da dann die- se Formel heraus gebracht wird.
\frac{zz - 2 byz + bbyy}{4 a}
+
\frac{byz - bbyy}{2 a}
+
cyy
=
\frac{zz + (4 ac - bb) yy}{4 a}
Wir wollen demnach so gleich das mittlere Glied weg- laßen und diese Formel betrachten
axx + cyy
, wo- bey es darauf ankommt, was man den Buchstaben
x
und
y
fuͤr Werthe beylegen soll, damit diese For- mel Factores erhalte. Es ist leicht zu erachten daß solches von der Natur der Zahlen
a
und
c
abhaͤnge, und deswegen wollen wir mit einigen bestimmten Formeln dieser Art den Anfang machen.
168.
Zweyter Abschnitt
168.
Es sey also erstlich diese Formel gegeben
xx + yy
, welche alle Zahlen in sich begreifet, so eine Summ von zwey Quadraten ist, und wovon wir die kleinsten bis 50 hier vorstellen wollen.
1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, unter welchen sich einige Prim-Zahlen befinden die keine Theiler haben, als 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41; die uͤbrigen aber haben Thei- ler, woraus die Frage deutlicher wird, was man den Buchstaben
x
und
y
fuͤr Werthe geben muͤße, daß die Formel
xx + yy
Theiler oder Factores hat und zwar so viel man ihrer will, wobey wir vor allen Dingen die Faͤlle ausschließen wo
x
und
y
einen gemei- nen Theiler unter sich haben, weil alsdann
xx + yy
sich auch durch denselben Theiler, und zwar durch das Quadrat desselben wuͤrde theilen laßen; dann waͤre z. E.
x = 7 p
und
y = 7 q
so wuͤrde die Summ ihrer Quadrate 49
pp + 49 qq = 49 (pp + qq)
sich gar durch 49 theilen laßen. Dahero geht die Frage nur auf solche Formel wo
x
und
y
keinen ge- meinen Theiler haben oder unter sich untheilbahr seyn. Die Schwierigkeit faͤlt hier bald in die Augen, dann
ob
Von der unbestimmten Analytic.
ob man gleich sieht, daß wann die beyden Zahlen
x
und
y
ungerad sind alsdann die Formel
xx + yy
eine gerade Zahl und also durch 2 theilbahr werde; ist aber eine gerad und die andere ungerad, so wird die Formel ungerad, ob sie aber Theiler habe oder nicht? ist nicht so leicht zu sehen. Beyde Zahlen aber
x
und
y
koͤnnen nicht gerad seyn, weil sie keinen gemeinen Thei- ler unter sich haben muͤßen.
169.
Es seyen demnach die beyden Zahlen
x
und
y
untheilbahr unter sich, und gleichwohl soll die For- mel
xx + yy
zwey oder mehr Factores in sich ent- halten. Hier kann nun die obige Methode nicht statt fin- den, weil sich diese Formel nicht in zwey rationale Fac- tores aufloͤsen laͤßt; allein die irrationale Factores, in welche diese Formel aufgeloͤßt wird und durch dieses Product vorgestellet werden kann
(x + y √ - 1). (x - y √ - 1)
koͤnnen uns eben denselben Dienst leisten; dann wann die Formel
xx + yy
wuͤrckliche Factores hat, so muͤßen die irrationale Factoren wiederum Factores haben, indem wann diese Factoren keine weitere Thei- ler haͤtten, auch ihr Product keine haben koͤnnte. Da aber diese Factores irrational ja so gar imagi-
II
Theil
B b
naͤr
Zweyter Abschnitt
naͤr sind, und auch die Zahlen
x
und
y
keinen gemei- nen Theiler haben sollen, so koͤnnen dieselben keine ra- tionale Factores haben, sondern sie muͤßen irrati- onal und so gar imaginaͤr von gleicher Art seyn.
170.
Will man also daß diese Formel
xx + yy
zwey rationale Factores bekomme, so gebe man beyden ir- rationalen Factoren auch zwey Factores, und setze erstlich
x + y √ - 1 = (p + q √ - 1) (r + s √ - 1)
, da dann weil √ - 1 so wohl negativ als positiv genom- men werden kann von selbsten seyn wird
x - y √ - 1 = (p - q √ - 1) (r - s √ - 1)
, also daß das Pro- duct davon, das ist unsere Formel seyn wird
xx + yy = (pp + qq) (rr + ss)
und dieselbe folg- lich zwey rationale Factores enthaͤlt, nemlich
pp + qq
und
rr + ss
. Hier ist aber noch uͤbrig die Werthe von
x
und
y
zu bestimmen, als welche auch rational seyn muͤßen.
Wann man nun jene irrationale Factores mit einander multiplicirt, so bekommt man
x + y √ - 1 = pr - qs + ps √ - 1 + qr √ - 1
, und
x - y √ - 1 = pr - qs - qr √ - 1 - ps √
- 1: addirt man diese Formeln, so wird
x = pr - qs
; subtrahirt man die-
sel-
Von der unbestimmten Analytic.
selben aber von einander, so wird 2
y √ - 1 = 2 ps √ - 1 + 2 qr
√ - 1, oder
y = ps + qr
.
Nimmt man also
x = pr - qs
und
y = ps + qr
, so erhaͤlt unsere Formel
xx + yy
gewiß zwey Factores, indem herauskommt
xx + yy = (pp + qq) (rr + ss)
. Verlangte man mehr Factores so duͤrfte man nur auf eben diese Art
p
und
q
so annehmen, daß
pp + qq
zwey Factores haͤtte, und alsdann haͤtte man in allem drey Factores, deren Zahl auf gleiche Art nach Belieben vermehret werden kann.
171.
Da hier nur die Quadrate von
p
,
q
,
r
und
s
vorkommen, so koͤnnen diese Buchstaben auch negativ genommen werden: nimmt man z. E.
q
negativ, so wird
x = pr + qs
und
y = ps - qr
, von welchen die Summ der Quadraten eben diejenige ist als vorher; daraus ersehen wir, daß wann eine Zahl einem sol- chen Product
(pp + qq) (rr + ss)
gleich ist, dieselbe auf eine doppelte Art in zwey Quadrate zerlegt werden koͤnne, indem man gefunden erstlich
x = pr - qs
und
y = ps + qr
, und hernach auch
x = pr + qs
und
y = ps - qr:
B b 2
Es
Zweyter Abschnitt
Es sey z. E.
p
= 3,
q
= 2,
r
= 2, und
s
= 1, also daß dieses Product heraus kaͤme 13. 5 = 65 =
xx + yy
, da dann seyn wird entweder
x
= 4 und
y
= 7, oder
x
= 8 und
y
= 1; in beyden Faͤllen aber ist
xx + yy
= 65. Multiplicirt man mehrere dergleichen Zahlen mit einander, so wird auch das Product noch auf mehrere Arten eine Summ von zwey Quadrat-Zahlen seyn. Man multiplieire z. E. 2
2
+ 1
2
= 5, 3
2
+ 2
2
= 13, und 4
2
+ 1
2
= 17 mit ein ander, so kommt 1105 welche Zahl auf folgende Arten in zwey Quadraten zerlegt wer- den kann.
I.
) 33
2
+ 4
2
,
II.
) 32
2
+ 9
2
,
III.
) 31
2
+ 12
2
,
IV.
) 24
2
+ 23
2
.
172.
Unter den Zahlen die in der Form
xx + yy
enthal- ten sind, befinden sich also erstlich solche, die aus zwey oder mehrere dergleichen Zahlen durch die Multiplica- tion zusammen gesetzt sind; hernach aber auch solche wel- che nicht solchergestalt zusammen gesetzt sind: diese wol- len wir einfache Zahlen von der Form
xx + yy
nennen, jene aber zusammengesetzte; dahero werden die ein- fache Zahlen dieser Art seyn
1, 2, 5, 9, 13, 17, 29, 37, 41, 49 etc. in welcher Reihe zweyerley Zahlen vorkommen, nem-
lich
Von der unbestimmten Analytic.
lich Prim-Zahlen oder solche welche gar keine Theiler haben als 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41 und welche alle außer 2 so beschaffen sind, daß wann man 1 davon weg nimmt das uͤbrige durch 4 theilbahr werde, oder welche alle in dieser Form
4n + 1
enthalten sind: hernach sind auch Quadrat-Zahlen vorhanden 9,49 etc. deren Wurzeln aber 3,7 etc. nicht vorkommen; wobey zu mer- cken, daß diese Wurzeln 3,7 etc. in dieser Form
4n - 1
enthalten sind. Es ist aber auch offenbahr daß keine Zahl von dieser Form
4n - 1
eine Summ von zwey Qua- draten seyn koͤnne, dann da diese Zahlen ungerad sind, so muͤßte eines von den beyden Quadraten ge- rad das andere aber ungerad seyn; wir haben aber gesehen, daß alle gerade Quadraten durch 4 theil- bahr sind, die ungeraden aber in dieser Form
4n + 1
enthalten sind; wann man dahero ein grades und ein ungrades Quadrat zusammen addirt, so bekommt die Summ immer diese Form
4n + 1
, niemals aber diese Form
4n - 1
. Daß aber alle Prim-Zahlen von der Form
4n + 1
eine Summ von zwey Quadraten seyn, ist zwar gewiß, aber nicht so leicht zu beweisen.
173.
Wir wollen weiter gehen, und die Formel
xx + 2yy
betrachten, um zusehen was
x
und
y
B b 3
fuͤr
Zweyter Abschnitt
fuͤr Werthe haben muͤßen damit dieselbe Factores er- halte. Da nun diese Formel durch diese imaginaͤre Fac- tores vorgestellet wird
(x + y√ - 2) (x - y√ - 2)
, so ersieht man wie vorher, daß wann unser Formel Factores hat, auch ihre imaginaͤre Factores welche haben muͤßen; man setze dahero erstlich
x + y√ - 2 = (p + q√ - 2) (r + s√ - 2)
, so folget von selbsten daß auch seyn muͤße
x - y√ - 2 = (p - q√ - 2) (r - s√ - 2)
, und hieraus wird unsere Formel
xx + 2yy = (pp + 2qq) (rr + 2ss)
, und hat also zwey Factores, deren so gar ein jeder von eben derselben Art ist; damit aber dieses geschehe so muͤßen gehoͤrige Werthe fuͤr
x
und
y
gefunden wer- den, welches folgender Gestalt geschehen kann: Da
x + y√ - 2 = pr - 2qs + qr√ - 2 + ps√ - 2
und
x - y√ - 2 = pr - 2qs - qr√ - 2 - ps√ - 2
so ist die Summ
2x = 2pr - 4qs
, folglich
x = pr — 2qs
; hernach giebt die Differenz
2y√ - 2 = 2qr√ - 2 + 2ps√ - 2
, dahero
y = qr + ps
. Wann also unsere Formel
xx + 2yy
Factores haben soll, so sind dieselben immer also beschaffen, daß der eine seyn wird
pp + 2qq
und der andere
rr + 2ss
, oder sie sind beyde Zahlen von eben der Art als
xx + 2yy
; und damit dieses geschehe so koͤnnen
x
und
y
wieder auf zweyer-
ley
Von der unbestimmten Analytic.
ley Art bestimmt werden, weil
q
so wohl negativ als positiv genommen werden kann. Man wird nemlich haben, erstlich
x = pr - 2qs
und
y = ps + qr
, und hernach auch
x = pr + 2qs
und
y = ps - qr
.
174.
Diese Formel
xx + 2yy
enthaͤlt also alle die- jenigen Zahlen in sich, welche aus einem Quadrat und einem doppelten Quadrat bestehen, und welche wir hier bis auf 50 setzen wollen: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 25, 27 32, 33, 34, 36, 38, 41, 43, 44, 49, 50; die wir wieder wie vorher in einfache und zusammenge- setzte abtheilen koͤnnen; da werden dann die einfachen, welche nicht aus den vorhergehenden zusammenge- setzt sind, folgende seyn 1, 2, 3, 11, 17, 19, 25, 41, 43, 49 welche alle außer den Qua- draten 25 und 49 Prim-Zahlen sind: von denen aber die hier nicht stehen kommen die Quadrate vor. Man kann hier auch bemercken daß alle Prim-Zah- len die in unserer Formel enthalten sind, entweder in dieser Form
8n + 1
oder in dieser
8n + 3
ge- hoͤren, da hingegen die uͤbrigen welche entweder in die- ser Form
8n + 5
oder in dieser
8n + 7
enthalten sind,
B b 4
nim-
Zweyter Abschnitt
nimmermehr aus einem Quadrat und einem dop- pelten Quadrat bestehen koͤnnen: es ist aber auch gewis daß alle Prim-Zahlen, die in einer von den ersten beyden Formen
8n + 1
und
8n + 3
enthalten sind, sich allezeit in ein Quadrat und ein doppeltes Quadrat aufloͤsen laßen.
175.
Laßt uns auf eine gleiche Weise zu dieser allge- meinen Formel
xx + cyy
fortschreiten, und sehen was man
x
und
y
fuͤr Werthe geben muß, damit die- se Formel Factores erhalte.
Da nun dieselbe durch dieses Product vorge- stellet wird
(x + y√ - c) (x - y√ - c)
, so gebe man einem jeden dieser Factoren wiederum zwey Factores von gleicher Art: man setze nemlich
x + y√ - c = (p + q√ - c) (r + s√ - c)
, und
x - y√ - c = (p - q√ - c) (r - s√ - c)
; und da wird unsere Formel werden
xx + cyy = (pp + cqq) (rr + css)
, woraus erhellet daß die Factores wiederum von eben der Art als die Formel selbst seyn werden, die Wer- the aber von
x
und
y
werden sich folgender Gestalt verhalten;
x = pr ± cqs
und
y = qr + ps
, oder
y =
Von der unbestimmten Analytic.
y = ps - qr
, und hieraus ist leicht abzusehen wie un- sere Formel noch mehr Factores erhalten koͤnne.
176.
Nun ist es auch leicht dieser Formel
xx - cyy
Factores zu verschaffen, weil man nur
— c
anstatt
+ c
schreiben darf: inzwischen laßen sich dieselben auch unmittelbar also finden; da unsere Formel diesem Product gleich ist
(x + y√c) (x - y√c)
, so setze man
x + y√c = (p + q√c) (r + s√c)
und
x - y√c (p - q√c) (r - s√c)
, woraus so gleich diese Fac- tores erfolgen
xx - cyy = (pp - cqq) (rr - css)
, wel- che wieder von eben der Art als unsere Formel selbst sind; die Werthe aber von
x
und
y
laßen sich auch wiederum auf eine doppelte Art bestimmen nemlich erst- lich
x = pr + cqs
,
y = qr + ps
, und hernach auch
x = pr - cqs
und
y = ps - qr
. Will man die Probe machen ob solchergestalt das gefundene Pro- duct herauskomme, so probire man die erstern Werthe, da dann seyn wird
xx = pprr + 2cpqrs + ccqqss
und
y = ppss + 2pqrs + qqrr
, also
cyy = cppss + 2cpqrs + cqqrr
, woraus man erhaͤlt:
xx - cyy = pprr - cppss + ccqqss - cqqrr
B b 5
wel-
Zweyter Abschnitt
welches mit dem gefundenen Product
(pp - cqq) (rr - css)
uͤber einkommt.
177.
Bis hieher haben wir das erste Glied blos betrach- tet, nun wollen wir setzen daß dasselbe auch mit einem Buchstaben multiplicirt sey, und suchen was die For- mel
axx + cyy
fuͤr Factores erhalten koͤnne.
Hier ist nun klar daß unsere Formel diesem Pro- duct gleich sey
(x√a + y√ - c) (x√a - y√ - c)
, welchen beyden Factoren demnach wiederum Fac- tores gegeben werden muͤßen. Hierbey aber ereignet sich eine Schwierigkeit, dann wann man zu folge der obigen Art setzen wollte
x√a + y√ - c = (p√a + q√ - c) (r√a + s√ - c) = apr - cqs + ps√ - ac + qr√ - ac
, und
x√a - y√ - c = (p√a - q√ - c) (r√a - s√ - c) = apr - cqs — ps√ - ac - qr√ - ac
, woraus man erhielte
2x√a = 2apr - 2cqs
, und
2y√ - c = 2ps√ - ac + 2qr√ - ac
, so wuͤrde man so wohl fuͤr
x
als
y
irrationale Werthe finden, welche hier keineswegs statt finden.
178.
Von der unbestimmten Analytic.
178.
Dieser Schwierigkeit aber kann abgeholffen wer- den, wann man setzet:
x√a + y√ - c = (p√a + q√ - c) (r + s√ - ac) = pr√a - cqs√a + qr√ - c + aps√ - c
und
x√a - y√ - c = (p√a - q√ - c) (r - s√ - ac) = pr√a - cqs√a - qr√ - c - aps√ - c
; wor- aus nun fuͤr
x
und
y
folgende rationale Werthe ge- funden werden;
x = pr - cqs
und
y = qr + aps
, alsdann aber wird unsere Formel folgende Factores bekommen
axx + cyy = (app + cqq) (rr + acss)
, von welchen nur einer eben die Form hat als unsere Formel, der andere aber von einer gantz anderen Gattung ist.
179.
Unterdessen stehen doch diese zwey Formel in einer sehr genauen Verwandtschaft mit einander, indem alle Zahlen so in der ersteren Form enthalten sind, wann sie mit einer Zahl von der zweyten Form multiplicirt wer- den, wiederum in die erste Form fallen. Wir haben auch schon gesehen, daß zwey Zahlen von der zweyten Form
xx + acyy
, als welche mit der obigen
xx + cyy
uͤbereinkommt, mit einander multipliciret wieder eine Zahl von der zweyten Form geben.
Also
Zweyter Abschnitt
Also ist nur noch zu untersuchen, wann zwey Zah- len von der ersten Form
axx + cyy
mit einander multiplicirt werden, zu welcher Form das Product alsdann gehoͤre.
Laßt uns demnach diese zwey Formel von der ersten Art
(app + cqq) (arr + css)
mit ein ander mul- tipliciren, und da ist leicht zu sehen daß ihr Product also vorgestellt werden koͤnne
(apr + cqs)
2
+ ac (ps - qr)
2
. Setzen wir nun hier
apr + cqs = x
und
ps - qr = y
, so bekommen wir diese Formel
xx + acyy
, welche von der letzteren Art ist; dahero dann zwey Zahlen von der erstern Art
axx + cyy
mit einander multiplicirt eine Zahl von der zweyten Art geben, welches man kuͤrtzlich also vorstellen kann; die Zahlen von der ersten Art wollen wir durch
I
, die von der andern Art aber durch
II
, andeuten, und also
I. I
giebt
II; I. II
giebt
I; II. II
giebt
II
, woraus auch ferner erhellet, was heraus kommen muͤsse, wann man mehrere solche Zahlen mit ein ander multiplicirt; als
I. I. I
giebt
I; I. I. II
giebt
II; I. II. II
giebt
I; II. II. II
giebt
II.
180.
Um dieses zu erlaͤutern so sey
a = 2
und
c = 3
woraus diese zwey Arten von Zahlen entspringen, die
erste
Von der unbestimmten Analytic.
erste ist enthalten in der Form
2xx + 3yy
, die an- dere aber in der Form
xx + 6yy
. Nun aber sind die Zahlen der erstern bis auf 50 folgende
I.
) 2, 3, 5, 8, 11, 12, 14, 18, 20, 21, 27, 29, 30, 32, 35, 44, 45, 48, 50. In der zweyten Art sind folgende Zahlen bis 50 ent- halten.
II.
) 1, 4, 6, 7, 9, 10, 15, 16, 22, 24, 25, 28, 31, 33, 36, 40, 42, 49.
Laßt uns nun eine Zahl von der ersten Art z. E. 35 mit einer von der zweyten Art 31 multipliciren, so ist das Product 1085, welche Zahl gewiß in der Form
2xx + 3yy
enthalten ist, oder man kann vor
y
eine solche Zahl finden daß
1085 - 3yy
ein doppeltes Quadrat nemlich
2xx
werde; dieses ge- schieht nun erstlich wann
y = 3
, dann da wird
x = 23
; her- nach auch wann
y = 11
, dann da wird
x = 19
; drittens auch noch wann
y = 13
, dann da wird
x = 17
, und endlich viertens wann
y = 19
, dann da wird
x = 1
. Man kann diese beyde Arten von Zahlen wiederum in einfache und zusammengesetzte abtheilen, indem diejenigen zusammengesetzte sind welche aus zwey oder mehr kleinern Zahlen von der einen oder der andern
Art
Zweyter Abschnitt
Art bestehen: also werden von der ersten Art die fol- gende einfach seyn: 2, 3, 5, 11, 29, diese aber zu- sammengesetzt 8, 12, 14, 18, 20, 27, 30, 32, 35, 40, 45, 48, 50, etc.
Von der zweyten Art aber sind folgende einfach 1, 7, 31, die uͤbrigen sind alle zusammengesetzt nemlich 4, 6, 9, 10, 15, 16, 22, 24, 25, 28, 33, 36, 40, 42, 49.
Capi-
Von der unbestimmten Analytic.
Capitel
12. Von der Verwandelung dieser Formel
axx + cyy
in Quadraten oder auch hoͤheren Potestaͤten.
181.
W
ir haben schon oben gesehen, daß Zahlen von die- ser Form
axx + cyy
oͤfters unmoͤglich zu Quadrate gemacht werden koͤnnen: so oft es aber moͤglich ist, so kann diese Form in eine andere ver- wandelt werden in welcher
a = 1
ist. Z. E. diese Form
2pp - qq
kann ein Quadrat werden, sie laͤßt sich aber auch solcher Gest
vorstellen
(2p + q)
2
- 2(p + q)
2
. Setzt man nun
2 p + q = x
und
p + q = y
, so kommt diese Formel
xx - 2yy
heraus, wo
a = 1
und
c = —2
ist. Eben eine solche Verwandelung findet auch immer statt, so oft es moͤglich ist dergleichen Formeln zu einem Quadrat zu machen.
Wann demnach diese Formel
axx + cyy
zu einem Quadrat oder einer andern hoͤhern geraden Po-
te-
Zweyter Aschnitt
testaͤt gemacht werden soll, so koͤnnen wir sicher set- zen
a = 1
, und die uͤbrigen Faͤllen als unmoͤglich an- sehen.
182.
Es sey daher diese Formel vorgelegt
xx + cyy
, welche zu einem Quadrat gemacht werden soll. Da nun dieselbe aus diesen Factoren besteht
(x + y√ - c) (x - y√ - c)
, so muͤßen dieselben entweder Qua- draten, oder mit einerley Zahlen multiplicirte Quadrate seyn. Dann wann das Product von zweyen Zahlen ein Quadrat seyn soll, als z. E.
pq
, so wird erfordert, entweder daß
p = rr
und
q = ss
, das ist daß ein je- der Factor vor sich ein Quadrat sey, oder daß
p = mrr
und
q = mss
, das ist daß die Factores Quadrate mit einerley Zahl multiplicirt seyen, deswegen setze man
x + y√ - c = m (p + q√ - c)
2
, so wird von selbsten
x - y√ - c = m (p - q√ - c)
2
, dahero bekommen wir
xx + cyy = mm (pp + cqq)
2
, und wird also ein Quadrat. Um aber
x
und
y
zu bestimmen, so haben wir diese Gleichungen
x + y√ - c = mpp + 2mpq√ - c - mcqq
und
x - y√ - c = mpp - 2mpq√ - c - mcqq
, wo offenbahr daß
x
gleich seyn muß dem rationalen Theil;
y√ - c
aber dem irrationalen Theil; dahero wird
x = mpp
— mcqq
Von der unbestimmten Analytic.
— mcqq
; und
y√ - c = 2mpq√ - c
oder
y = 2mpq
.
Setzt man also
x = mpp - mcqq
und
y = 2 mpq
, so wird unsere Formel
xx + cyy
ein Qua- drat, nemlich
mm (pp + cqq)
2
, davon die Wurzel ist
mpp + mcqq
.
183.
Sollen die zwey Zahlen
x
und
y
unter sich untheil- bahr seyn, oder keinen gemeinen Theiler haben, so muß
m = 1
gesetzt werden. Wann daher
xx + cyy
ein Quadrat seyn soll, so nimmt man nur
x = pp - cqq
und
y = 2pq
, da dann diese Formel dem Quadrat
pp + cqq
gleich wird. Anstatt daß man setzt
x = pp - cqq
, so kann man auch setzen
x = cqq - pp
, weil beyderseits das Quadrat
xx
einerley wird. Dieses sind nun eben diejenige Formel, die wir schon oben aus gantz anderen Gruͤnden gefunden haben, wodurch die Richtigkeit der hier gebrauchten Methode bestaͤtiget wird.
Dann nach der vorigen Methode, wann
xx + cyy
ein Quadrat seyn soll, so setzt man die Wurzel =
x
+
\frac{py}{q}
, und da bekommt man
xx + cyy = xx
II
Theil
C c
+
\frac{2pxy}{q}
Zweyter Abschnitt
+
\frac{2pxy}{q}
+
\frac{ppyy}{qq}
, wo sich die
xx
aufheben, die uͤbrigen Glieder aber durch
y
dividirt und mit
qq
multiplicirt geben
cqqy = 2pqx + ppy
, oder
cqqy - ppy = 2pqx
: man theile nun durch
2 pq
und durch
y
, so wird
\frac{x}{y}
=
\frac{cqq - pp}{2pq}
. Da aber
x
und
y
untheilbahr seyn sollen, wie auch
p
und
q
dergleichen sind, so muß
x
dem Zehler und
y
dem Nenner gleich seyn, folglich
x = cqq - pp
und
y = 2pq
, wie vorher.
184.
Diese Aufloͤsung gilt, die Zahl
c
mag positiv oder negativ seyn; hat dieselbe aber selbsten Fac- tores, als wann die vorgegebene Formel waͤre
xx + acyy
welche ein Quadrat seyn soll, so findet nicht nur die vorige Aufloͤsung statt, welche giebt
x = acqq — pp
und
y = 2pq
, sondern auch noch diese
x = cqq - app
und
y = 2pq
; dann da wird ebenfals
xx + acyy = ccq
4
+ 2acppqq + aap
4
= (cqq + app)
2
, welches auch geschieht, wann man nimmt
x = app — cqq
, weil das Quadrat
xx
in beyden Faͤllen einerley herauskommt.
Diese neue Aufloͤsung wird auch durch die hier gebrauchte Methode also gefunden. Man setze
x +
Von der unbestimmten Analytic.
x + y√ - ac = (p√a + q√ - c)
2
, und
x - y√ - ac = (p√a - q√ - c)
2
, damit herauskomme
xx + acyy = (app + cqq)
2
, und also gleich einem Quadrat; alsdann aber wird
x + y√ - ac = app + 2pq√ - ac - cqq
und
x - y√ - ac = app - 2pq√ - ac - cqq
, woraus folgt
x = app - cqq
und
y = 2pq
. Laͤßt sich also die Zahl
ac
auf mehrerley Arten in zwey Factoren zer- theilen so kann man auch mehrere Aufloͤsungen angeben.
185.
Wir wollen dieses durch einige bestimmte For- meln erlaͤutern, und erstlich diese Formel
xx + yy
betrachten, welche ein Quadrat werden soll. Da nun hier
ac = 1
, so nehme man
x = pp - qq
und
y = 2pq
, so wird
xx + yy = (pp + qq)
2
.
Soll zweytens diese Formel
xx - yy
ein Qua- drat werden, so ist
ac = - 1
; man nehme allso
x = pp + qq
und
y = 2pq
, da dann
xx - yy = (pp - qq)
2
wird.
Soll drittens diese Formel
xx + 2yy
ein Quadrat werden, wo
ac = 2
, so nehme man
x = pp - 2qq
, oder
x = 2pp - qq
und
y = 2pq
, und dann wird
xx + 2yy = (pp + 2qq)
2
, oder
xx + 2yy = (2pp + qq)
2
.
Soll viertens diese Formel
xx - 2yy
ein Qua-
C c 2
drat
Zweyter Abschnitt
drat werden wo
ac = - 2
, so nehme man
x = pp + 2qq
und
y = 2pq
, da dann kommt
xx - 2 yy = (pp - 2qq)
2
.
Soll fuͤnftens diese Formel
x
2
+ 6yy
ein Qua- drat werden wo
ac = 6
, und also entweder
a = 1
und
c = 6
, oder
a = 2
und
c = 3
; so kann man erstlich setzen
x = pp - 6qq
und
y = 2pq
, da dann
xx + 6yy = (pp + 6qq)
2
. Hernach kann man auch setzen
x = 2pp - 3qq
und
y = 2pq
, da dann
xx + 6yy = (2pp + 3qq)
2
.
186.
Sollte aber diese Formel
axx + cyy
zu einem Quadrat gemacht werden, so ist schon erinnert worden, daß dieses nicht geschehen koͤnne wofern nicht schon ein Fall bekant ist, in welchem diese For- mel wuͤrcklich ein Quadrat werde. Dieser bekante Fall sey demnach, wann
x = f
und
y = g
, also daß
aff + cgg = hh
; und alsdann kann unsere Formel in einer andern von dieser Art
tt + acuu
ver- wandelt werden, wann man setzt
t
=
\frac{afx + cgy}{h}
und
u
=
\frac{gx - fy}{h}
; dann da wird
tt
=
\frac{aaffxx + 2acfgxy + ccggyy}{hh}
und
uu
=
\frac{ggxx - 2fgxy + ffyy}{hh}
, woraus folgt
tt
Von der unbestimmten Analytic.
tt + acuu
=
\frac{aaffxx + ccggyy + acggxx + acffyy}{hh}
=
\frac{axx(aff + cgg) + cyy (aff + egg)}{hh}
; da nun
aff + cgg = hh
, so wird
tt + acuu = axx + cyy
; und sol- chergestalt bekommt die vorgelegte Formel
axx + cyy
diese Form
tt + acuu
, welche nach den hier gegebe- nen Regeln leicht zu einem Quadrat gemacht werden kann.
187.
Nun wollen wir weiter fortgehen und zusehen wie diese Formel
axx + cyy
, wo
x
und
y
unter sich untheilbahr seyn sollen, zu einem Cubo gemacht werden koͤnne; wozu die vorigen Regeln keinesweges hinlaͤnglich sind, die hier angebrachte Methode aber mit dem besten Fortgang angewandt werden kann: wobey noch dieses insonderheit zu mercken, daß diese Formel allezeit zu einem Cubo gemacht werden koͤnne, die Zahlen
a
und
c
moͤgen beschaffen seyn wie sie wol- len, welches bey den Quadraten nicht angieng, wofern nicht schon ein Fall bekannt war; welches auch von allen andern geraden Potestaͤten gilt; bey den ungera- den aber, als der dritten, fuͤnften, siebenten, etc. Potestaͤt, ist die Aufloͤsung immer moͤglich.
C c 3
188.
Zweyter Abschnitt
188.
Wann demnach diese Formel
axx + cyy
zu ei- nem Cubo gemacht werden soll, so setze man auf ei- ne aͤhnliche Weise als vorher
x√a + y√ - c = (p√a + q√ - c)
3
und
x√a - y√ - c = (p√a - q√ - c)
3
, dann daraus wird das Product
axx + cyy = (app + cqq)
3
, und also unsere Formel ein Cubus: es kommt aber nur darauf an, ob auch hier
x
und
y
auf eine rationale Art bestimmt werden koͤnne? welches gluͤcklicher weise gelingt; dann wann die angesetzte Cubi wuͤrcklich ge- nommen werden, so erhalten wir diese zwey Gleichun- gen
x√a + y√ - c = ap
3
√a + 3appq√ - c — 3cpqq√a - cq
3
√ - c
, und
x√a - y√ - c = ap
3
√a — 3appq√ - c - 3cpqq√a + cq
3
√ - c
, woraus offenbahr folgt, daß
x = ap
3
- 3cpqq
, und
y = 3appq - cq
3
.
Man suche z. E. zwey Quadrate
xx
und
yy
, deren Summ
xx + yy
einen Cubus ausmache: weil nun hier
a = 1
und
c = 1
, so bekommen wir
x = p
3
— 3pqq
und
y = 3ppq - q
3
, und alsdann wird
xx + yy = (pp + qq)
3
. Es sey nun
p = 2
und
q = 1
, so wird
x = 2
und
y = 11
; hieraus
xx + yy = 125 = 5
3
.
189.
Von der unbestimmten Analytic.
189.
Wir wollen noch diese Formel betrachten
xx + 3yy
, welche zu einem Cubo gemacht werden soll: weil nun hier
a = 1
und
c = 3
, so wird
x = p
3
- 9pqq
und
y = 3ppq - 3q
3
, und alsdann
xx + 3yy = (pp + 3qq)
3
. Weil diese Formel oͤfters vorkommt wollen wir davon die leichtere Faͤlle hieher setzen.
190.
Waͤre die Bedingnug nicht vorgeschrieben, daß die beyden Zahlen
x
und
y
unter sich untheilbahr seyn sollen, so haͤtte die Frage gar keine Schwierigkeit: dann wann
axx + cyy
ein Cubus seyn soll, so setze man
x = tz
und
y = uz
, so wird unsere Formel
a tt zz + cuuzz
welche dem Cubo
\frac{z^{3}}{v^{3}}
gleich gesetzt werde, woraus so gleich gefunden wird
z = v
3
(att + cuu)
; folglich sind die gesuchte Werthe fuͤr
x
C c 4
und
Zweyter Abschnitt
und
y
,
x = tv
3
(att + cuu)
und
y = uv
3
(att + cuu)
, welche außer dem Cubo
v
3
noch
att + cuu
zum ge- meinen Theiler haben: diese Aufloͤsung giebt so gleich
axx + cyy = v
6
(att + cuu)
2
(att + cuu) = v
6
(att + cuu)
3
, welches offenbahr der Cubus ist von
v
2
(att + cuu)
.
191.
Die hier gebrauchte Methode ist um so viel merck- wuͤrdiger, da wir durch Huͤlfe irrationalerund so gar ima- ginaͤrer Formeln solche Aufloͤsungen gefunden haben, wozu einig und allein rationale und so gar gantze Zah- len erfordert wurden. Noch merckwuͤrdiger aber ist es, daß in denjenigen Faͤllen wo die Irrationalitaͤt ver- schwindet, unsere Methode nicht mehr statt findet: dann wann z. E.
xx + cyy
ein Cubus seyn soll, so kann man sicher schließen daß auch die beyden irra- tionalen Factoren davon, nemlich
x + y√ - c
und
x - y√ - c
, Cubos seyn muͤßen; weil dieselben unter sich untheilbahr sind indem die Zahlen
x
und
y
keinen gemeinen Theiler haben. Fiele aber die Irrationali- taͤt
√ - c
weg, als wann z. E.
c = - 1
waͤre, so wuͤrde dieser Grund nicht mehr statt finden, weil alsdann die beyden Factoren nemlich
x + y
und
x - y
aller-
Von der unbestimmten Analytic.
allerdings gemeine Theiler haben koͤnnten, ohnge- acht
x
und
y
dergleichen nicht haben, Z. E. wann beyde ungerade Zahlen waͤren.
Wann demnach
xx - yy
ein Cubus seyn soll, so ist nicht noͤthig daß so wohl
x + y
als
x - y
fuͤr sich ein Cubus sey, sondern man koͤnnte wohl setzen
x + y = 2p
3
und
x - y = 4q
3
, da dann
xx - yy
ohnstreitig ein Cubus wuͤrde nemlich
8p
3
q
3
, davon die Cubic-Wurzel ist
2pq
: alsdann aber wird
x = p
3
+ 2q
3
, und
y = p
3
- 2q
3
. Wann aber die For- mel
axx + cyy
sich nicht in zwey rationale Factores zertheilen laͤßt, so finden auch keine andere Aufloͤ- sungen statt, als die hier gegeben worden.
192.
Wir wollen diese Abhandlung durch einige merck- wuͤrdige Fragen erlaͤutern:
I.
Frage: Man verlangt in gantzen Zahlen ein Quadrat
xx
daß wann darzu 4 addirt wird, ein Cubus herauskomme; dergleichen sind 4 und 121, ob aber mehr dergleichen gegeben werden koͤnnen, ist hier die Frage?
Da 4 ein Quadrat ist, so suche man erstlich die Faͤlle da
xx + yy
ein Cubus wird, welches wie aus dem obigen erhellet geschieht, wann
x = p
3
- 3pqq
und
C c 5
y =
Zweyter Abschnitt
y = 3ppq - q
3
: da nun hier
yy = 4
, so ist
y = ± 2
, folglich muß seyn
3ppq - q
3
= + 2
oder
3ppq - q
3
= - 2
: im erstern Fall wird also
q (3pp - qq) = 2
, folglich
q
ein Theiler von 2. Es sey demnach erstlich
q = 1
, so wird
3pp - 1 = 2
, folglich
p = 1
und also
x = 2
, und
xx = 4
.
Setzt man
q = 2
, so wird
6pp - 8 = ± 2
; gilt das Zeichen +, so wird
6pp = 10
und
pp
=
\frac{5}{3}
, wor- aus der Werth von
p
irrational wuͤrde und hier also nicht statt faͤnde; gilt aber das Zeichen - so wird
6pp = 6
und
p = 1
, folglich
x = 11
. Mehr Faͤlle giebt es nicht, und also koͤnnen nur zwey Quadraten gegeben werden, nemlich 4 und 121, welche wann dazu 4 addirt wird Cubi werden.
193.
II.
Frage: Man verlangt solche Quadrate in- gantzen Zahlen, welche wann dazu 2 addirt wird Cubi werden, wie bey dem Quadarat 25 ge- schieht: ob es nun noch mehr dergleichen giebt wird hier gefragt?
Da also
xx + 2
ein Cubus seyn soll, und 2 ein doppeltes Quadrat ist, so suche man erstlich die Faͤlle, wo die Formel
xx + 2yy
ein Cubus wird,
wel-
Von der unbestimmten Analytic.
welches aus dem obigen Articul (188), wo
a = 1
und
c = 2
geschieht, wann
x = p
3
- 6pqq
und
y = 3ppq — 2q
3
; da nun hier
y = ± 1
so muß seyn
3ppq - 2q
3
= q(3pp - 2qq) = ± 1
, und also
q
ein Theiler von 1; es sey demnach
q = 1
, so wird
3pp - 2 = ± 1
; gilt das obere Zeichen, so wird
3pp = 3
und
p = 1
, folglich
x = 5
; das untere Zeichen aber giebt vor
p
einen irrationalen Werth, welcher hier nicht statt findet; woraus folgt daß nur das einzige Quadrat 25 in gantzen Zahlen die verlangte Eigenschaft habe.
194.
III.
Frage: Man verlangt solche fuͤnffache Quadrate, wann dazu 7 addirt wird daß ein Cubus herauskomme: oder daß
5xx + 7
ein Cubus sey?
Man suche erstlich diejenigen Faͤlle da
5xx + 7yy
ein Cubus wird, welches nach dem Articul (188) wo
a = 5
und
c = 7
geschieht, wann
x = 5p
3
- 21pqq
und
y = 15ppq - 7q
3
: weil nun hier seyn soll
y = ± 1
, so wird
15ppq - 7q
3
= q(15pp - 7qq) = ± 1
, da dann
q
ein Theiler seyn muß von 1, folglich
q = 1
; daher wird
15pp - 7 = ± 1
, wo beyde Faͤlle fuͤr
p
etwas irrationales geben, woraus aber doch nicht geschlos- sen werden kann, daß diese Frage gar nicht moͤglich sey, weil
p
und
q
solche Bruͤche seyn koͤnn-
ten
Zweyter Abschnitt
ten, da
y = 1
und
x
doch eine gantze Zahl wuͤrde; solches geschieht wuͤrcklich wann
p = ½
und
q = ½
, dann da
s
wird
y = 1
und
x = 2
; mit andern Bruͤchen aber ist die Sache nicht moͤglich.
195.
IV.
Frage: Man suche solche Quadrate in gantzen Zahlen, welche doppelt genommen wann davon 5 sub- trahirt wird, daß ein Cubus heraus komme; oder
2xx - 5
soll ein Cubus seyn.
Man suche erstlich diejenigen Faͤlle da
2xx - 5yy
ein Cubus wird, welches nach dem 188ten Articul, wo
a = 2
und
c = - 5
, geschieht, wann
x = 2p
3
+ 15pqq
und
y = 6ppq + 5q
3
. Hier aber muß seyn
y = ± 1
, und folglich
6ppq + 5q
3
= q(6pp + 5qq) = ± 1
, welches in gantzen Zahlen nicht geschehen kann, und auch nicht einmahl in Bruͤchen; dahero dieser Fall sehr merckwuͤrdig ist, da gleich- wohl eine Aufloͤsung statt findet, wann nemlich
x = 4
, dann da wird
2xx - 5 = 27
, welches der Cubus ist von 3; und hievon ist es von der groͤßten Wichtig- keit den Grund zu untersuchen.
196.
Es ist also moͤglich, daß
2xx - 5yy
ein Cubus seyn koͤnne deßen Wurzel so gar diese Form hat
2pp
Von der unbestimmten Analytic.
2pp - 5qq
, wann nemlich
x = 4
,
y = 1
und
p = 2
,
q = 1
, und demnach haben wir einen Fall wo
2xx — 5yy = (2pp - 5qq)
3
, ungeacht die beyden Facto- ren von
2xx - 5yy
nemlich
x√2 + y√5
und
x√2 - y√5
, keine Cubi sind, da dieselben doch nach die- ser Methode die Cubi von
p√2 + q√5
und
p√2 — q√5
seyn sollten, indem in unserm Fall
x√2 + y√5 = 4√2 + √5
, hingegen
(p√2 + q√5)
3
= (2√2 + √5)
3
= 46√2 + 29√5
, welches keines- wegs mit
4√3 + √5
uͤberein kommt.
Es ist aber zu mercken, daß diese Formel
rr - 10ss
in unendlich viel Faͤllen 1 oder - 1 werden kann; wann nemlich
r = 3
und
s = 1
, ferner wann
r = 19
und
s = 6
, welche mit dieser Formel
2pp - 5qq
multi- plicirt wieder eine Zahl von der letztern Form giebt.
Es sey demnach
ff - 10gg = 1
, und anstatt daß wir oben gesetzt haben
2xx - 5yy = (2pp - 5qq)
3
, so koͤnnen wir jetzt auch auf eine allgemeinere Art setzen
2xx - 5yy = (ff - 10gg).(2pp - 5qq)
3
, und die Factores davon genommen geben
x√2 ± y√5 = (f ± g√10) (p√2 ± q√5)
3
. Es ist aber
(p√2 ± q√5)
3
= (2p
3
+ 15pqq)√2 ± (p6pq + 5q
3
)√5
, wofuͤr wir der Kuͤtze hal-
ber
Zweyter Abschnitt
ber schreiben wollen
A√2 + B√5
, welches mit
f + g√10
multiplicirt giebt
Af√2 + Bf√5 + 2Ag√5 + 5Bg√2
, welches dem
x√2 + y√5
gleich seyn muß, woraus entspringet
x = Af + 5Bg
und
y = Bf + 2Ag
; da nun
y = ± 1
seyn muß, so ist nicht unumgaͤnglich noͤthig daß
6ppq + 5q
3
= 1
werde, sondern es ist genung wann nur die Formel
Bf + 2Ag
, das ist
f(6ppq + 5q
3
) + 2g(2p
3
+ 15pqq)
dem ±1 gleich werde, wo
f
und
g
vielerley Werthe haben koͤnnen. Es sey z. E.
f = 3
und
g = 1
, so muß diese Formel
18ppq + 15q
3
+ 4p
3
+ 30pqq
dem ±1 gleich werden, oder es muß seyn
4p
3
+ 18ppq + 30pqq + 15q
3
= ± 1
.
197.
Diese Schwierigkeit alle dergleichen moͤgliche Faͤlle heraus zu bringen findet sich aber nur alsdann, wann in der Formel
axx + cyy
die Zahl
c
negativ ist, weil alsdann diese Formel
axx + cyy
oder die- se
xx - acyy
, so mit ihr in einer genauen Ver- wandtschaft stehet, 1 werden kann, welches aber niemals geschehen kann wann
c
eine positive Zahl ist, weil
axx + cyy
oder
xx + acyy
immer groͤßere Zahlen giebt, je groͤßer
x
und
y
genommen werden.
Da-
Von der unbestimmten Analytic.
Dahero die hier vorgetragene Methode nur in solchen Faͤllen mit Vortheil gebraucht werden kann, wann die beyden Zahlen
a
und
c
positiv genommen werden.
198.
Wir kommen also zur vierten Potestaͤt und be- mercken zufoͤrderst, daß wann die Formel
axx + cyy
ein Biquadrat werden soll, die Zahl
a = 1
seyn muͤße; dann wann dieselbe kein Quadrat waͤre, so waͤre es entweder nicht moͤglich diese Formel nur zu einem Quadrat zu machen, oder wann es moͤglich waͤre so koͤnnte dieselbe auch in dieser Form
tt + acuu
verwandelt werden, dahero wir die Frage nur auf diese letztere Form, mit welcher die obige
xx + cyy
wann
a = 1
uͤbereinstimmt, einschraͤncken. Nun kommt es also darauf an, wie die Werthe von
x
und
y
be- schaffen seyn muͤßen, daß diese Formel
xx + cyy
ein Biquadrat werde. Da nun dieselbe aus diesen zwey Factoren besteht
(x + y√ - c) (x - y√ - c)
, so muß ein jeder auch ein Biquadrat von gleicher Art seyn, dahero gesetzt werden muß
x + y√ - c = (p + q√ - c)
4
und
x - y√ - c = (p - q√ - c)
4
, woraus unsere Formel diesem Biquadrat (
pp + cqq
)
4
gleich wird, die Buchstaben
x
und
y
selbst aber wer-
den
Zweyter Abschnitt
den aus der Entwickelung dieser Formel leicht be- stimmt, wie folget:
\array{ll} x+y\sqrt{-c}=p^{4}+4p^{3}q\sqrt{-c-6cppqq}\\-4cpq^{3}\sqrt{-c+ccq^{4}}.\\ x+y\sqrt{-c}=p^{4}-4p^{3}q\sqrt{-c-6cppqq}\\+4cpq^{3}\sqrt{-c+ccq^{4}}
folglich
x = p
4
- 6cppqq + ccq
4
und
y = 4p
3
q - 4cpq
3
.
199.
Wann also
xx + yy
ein Biquadrat werden soll, weil hier
c = 1
so haben wir diese Werthe
x = p
4
- 6ppqq + q
4
und
y = 4p
3
q - 4pq
3
und alsdann wird seyn
xx + yy = (pp + qq)
4
.
Laßt uns z. E. setzen
p = 2
und
q = 1
, so be- kommen wir
x = 7
und
y = 24
; hieraus wird
xx + yy = 625 = 5
.
Nimmt man ferner
p = 3
und
q = 2
, so bekommt man
x = 119
und
y = 120
, daraus wird
xx + yy = 13
4
.
200.
Bey allen geraden Potestaͤten wozu die Formel
axx + cyy
gemacht werden soll, ist ebenfals unum- gaͤnglich noͤthig, daß diese Formel zu einem Quadrat
ge-
Von der unbestimmten Analytic.
gemacht werden koͤnne, zu welchem Ende genug ist daß man nur einen einzigen Fall wiße, wo dieses geschieht; und alsdann kann diese Formel wie wir oben gesehen haben, in dieser Gestalt verwandelt werden
tt + acuu
, wo das erste Glied nur mit 1 multiplicirt ist, und also als in dieser Form
xx + cyy
enthalten, angesehen werden kann, welche hierauf auf eine aͤhnliche Weise, so wohl zur sechsten Potestaͤt als einer jeglichen andern noch hoͤhern geraden Potestaͤt gemacht werden kann.
201.
Bey den ungeraden Potestaͤten aber ist diese Bedingung nicht nothwendig, sondern die Zahlen
a
und
c
moͤgen beschaffen seyn wie sie wollen, so kann die Formel
axx + cyy
allezeit zu einer jeglichen unge- raden Potestaͤt gemacht werden. Dann verlangt man z. E. die fuͤnfte Potestaͤt, so darf man nur setzen
x√a + y√ - c = (p√a + q√ - c)
5
, und
x√a - y√ - c = (p√a - q√ - c)
5
, da dann offenbahr wird
axx + cyy = (app + cqq)
5
. Weil nun die fuͤnfte Potestaͤt von
p√a + q√ - c
ist
aap
5
√a + 5aap
4
q√ - c - 10acp
3
qq√a — 10acppq
3
√ - c + 5ccpq
4
√a + ccq
5
√ - c
, woraus so-
II
Theil
D d
gleich
Zweyter Abschnitt
gleich geschloßen wird
x = aap
5
- 10acp
3
qq + 5ccpq
4
und
y = 5aap
4
q - 10acppq
3
+ ccq
5
.
Verlangt man allso eine Summ von zwey Quadraten
xx + yy
, die zugleich eine fuͤnfte Potestaͤt sey, so ist
a = 1
und
c = 1
; folglich
x = p
5
- 10p
3
qq + 5pq
4
und
y = 5p
4
q - 10ppq
3
+ q
5
. Nimmt man nun
p = 2
und
q = 1
, so wird
x = 38
und
q = 41
, und
xx + yy = 3125 = 5
5
.
Capitel
13. Von einigen Formeln dieser Art
ax
4
+ by
4
, welche sich nicht zu einem Quadrat machen laßen.
202.
M
an hat sich alle Muͤhe gegeben zwey Biquadrate zu finden, deren Summ oder Differenz eine Quadrat-Zahl wuͤrde; allein alle Muͤhe war vergebens, und endlich fand man so gar einen Beweis, daß weder diese Formel
x
4
+ y
4
noch die- se
x
4
- y
4
jemals ein Quadrat werden koͤnne, nur zwey
Faͤlle
Von der unbestimmten Analytic.
Faͤlle ausgenommen, wo nemlich bey der erstern ent- weder
x = o
oder
y = o
, bey der andern aber wo entweder
y = o
oder
y = x
, und in welchen Faͤllen die Sache offenbahr vor Augen liegt. Daß aber in allen uͤbrigen die Sache unmoͤglich seyn soll, ist um so viel mehr merckwuͤrdig, weil wann nur von schlechten Quadraten die Rede ist, unendlich viel Aufloͤsungen statt finden.
203.
Um diesen Beweis gehoͤrig vorzutragen, ist vor allen Dingen zu bemercken, daß die beyden Zahlen
x
und
y
als untheilbahr unter sich angesehen werden koͤn- nen; dann sollten dieselben einen gemeinen Theiler z. E.
d
haben, also daß man setzen koͤnnte
x = dp
und
y = dq
, so wuͤrden unsere Formeln
d
4
p
4
+ d
4
q
4
und
d
4
p
4
- d
4
q
4
, welche wann sie Quadrate waͤren, auch durch das Qua- drat
d
4
dividirt, Quadrate bleiben muͤßten, also daß auch diese Formeln
p
4
+ q
4
und
p
4
- q
4
Quadrate waͤren, wo nun die Zahlen
p
und
q
keinen weitern ge- meinen Theiler haben; es ist demnach genung zu be- weisen, daß diese Formeln in dem Fall da
x
und
y
unter sich untheilbahr sind, keine Quadrate werden koͤn- nen, und alsdann erstreckt sich der Beweis von selb-
D d 2
sten
Zweyter Abschnitt
sten auf alle Faͤlle, da auch
x
und
y
gemeinschaftliche Theiler haben.
204.
Wir wollen demnach von der Summ zweyer Biquadraten nemlich dieser Formel
x
4
+ y
4
den Anfang machen, und wo wir
x
und
y
als unter sich un- theilbahre Zahlen ansehen koͤnnen. Um nun zu zeigen daß
x
4
+ y
4
außer den obgemeldten Faͤllen kein Qua- drat seyn koͤnne, so wird der Beweis folgendergestalt gefuͤhret.
Wann jemand den Satz laͤugnen wollte, so muͤßte er behaupten daß soche Werthe fuͤr
x
und
y
moͤ- glich waͤren, wodurch
x
4
+ y
4
ein Quadrat wuͤr- de, dieselben moͤchten auch so groß seyn als sie woll- ten, weil in kleinen gewis keine vorhanden sind.
Man kann aber deutlich zeigen, daß wann auch in den groͤßten Zahlen solche Werthe fuͤr
x
und
y
vorhanden waͤren, aus denselben auch in kleinern Zah- len eben dergleichen Werthe geschlossen werden koͤnn- ten, und aus diesen ferner in noch kleinern u. s. f. da nun aber in kleinen Zahlen keine solche Werthe vorhanden sind, außer den zwey gemeldten welche aber zu keinen andern fuͤhren, so kann mann sicher schlie-
ßen
Von der unbestimmten Analytic.
ßen, daß auch in groͤßern, ja so gar den allergroͤß- ten Zahlen, keine solche Werthe fuͤr
x
und
y
vorhan- den seyn koͤnnen. Und auf eben solche Art wird auch der Satz von der Differenz zweyer Biquadraten
x
4
- y
4
bewiesen, wie wir so gleich zeigen wollen.
205.
Um erstlich zu zeigen daß
x
4
+ y
4
kein Quadrat seyn koͤnne außer den beyden Faͤllen die fuͤr sich klar sind, so sind folgende Saͤtze wohl zu bemercken.
I.
Nehmen wir an daß die Zahlen
x
und
y
untheil- bahr unter sich sind oder keinen gemeinen Thei- ler haben; so sind sie entweder beyde ungerad, oder die eine ist gerad und die andere ungerad.
II.
Beyde aber koͤnnen nicht ungerad seyn, weil die Summ von zwey ungeraden Quadraten niemals ein Quadrat seyn kann: dann ein un- gerades Quadrat ist allezeit in der Form 4
n
+ 1 enthalten ist, und also wuͤrde die Summ zweyer ungeraden Quadraten diese Form 4
n
+ 2 haben, welche sich durch 2 nicht aber durch 4 theilen laͤßt, und also kein Quadrat seyn kann. Dieses aber gilt auch von zwey un- geraden Biquadraten.
D d 3
III.
Zweyter Abschnitt
III.
Wann demnach
x
4
+ y
4
ein Quadrat waͤre, so muͤßte das eine gerad, das andere aber un- gerad seyn. Wir haben aber oben gesehen, daß wann die Summ zweyer Quadraten ein Quadrat seyn soll, die Wurzel des einen durch
pp - qq
, des andern aber durch 2
pq
ausgedruͤckt werde; waraus folget daß seyn muͤßte
xx = pp - qq
und
yy = 2pq
und da wuͤrde
x
4
+ y
4
= (pp + qq)
2
.
IV.
Hier also wuͤrde
y
gerad,
x
aber ungerad seyn: da nun
xx = pp - qq
, so muß auch von den Zahlen
p
und
q
die eine gerad, die andere aber ungerad seyn: die erstere
p
aber kann nicht ge- rad seyn, weil sonsten
pp - qq
als eine-Zahl von dieser Form 4
n
- 1 oder 4
n
+ 3, niemals ein Quadrat werden kann. Folglich muͤßte
p
ungerad
q
aber gerad seyn, wo sich von selbsten versteht daß dieselben untheilbahr unter sich seyn muͤßen.
V.
Da nun
pp - qq
ein Quadrat, nemlich dem
xx
gleich seyn soll, so geschieht dieses wie wir oben gesehen, wann
p = rr + ss
und
q
=
2
r s
Von der unbestimmten Analytic.
2
r s
: dann da wird
xx = (rr - ss)
2
, und also
x = rr - ss
.
VI.
Allein
yy
muß auch ein Quadrat seyn; da wir nun haben
yy = 2pq
, so wird jetzt
y y = 4rs(rr + ss)
, welche Formel also ein Quadrat seyn muß: folglich muß auch
rs(rr + ss)
ein Quadrat seyn, wo
r
und
s
unter sich untheilbahre Zahlen sind, allso daß auch die hier befindlichen drey Factores,
r
,
s
, und
rr + ss
, keinen gemeinen Thei- ler unter sich haben koͤnnen.
VII.
Wann aber ein Product aus mehr Factoren, die unter sich untheilbahr sind, ein Quadrat seyn soll, so muß ein jeder Factor fuͤr sich ein Quadrat sey, also setze man
r = tt
und
s = uu
: so muß auch
t
4
+ u
4
ein Quadrat seyn. Wann demnach
x
4
+ y
4
ein Quadrat waͤre, so wuͤrde auch hier
t
4
+ u
4
, das ist ebenfals eine Summ von zwey Biquadraten ein Quadrat seyn. Wobey zu mercken daß weil hier
xx = (t
4
- u
4
)
2
und
y y = 4 tt uu (t
4
+ u
4
)
, die Zahlen
t
und
u
offenbahr weit kleiner seyn wuͤrden als
x
und
y
, indem
x
und
y
so gar
D d 4
durch
Zweyter Abschnitt
durch die vierte Potestaͤten von
t
und
u
bestimmt werden und also unstreitig weit groͤßer seyn muͤßen.
VIII.
Wann dahero zwey Biquadrate als
x
4
und
y
4
auch in den groͤßten Zahlen vorhanden seyn sollten, deren Summ ein Quadrat waͤre, so koͤnnte man daraus eine Summ von zwey weit kleineren Biquadraten herleiten, welche ebenfals ein Quadrat waͤre; und aus die- sen koͤnnte nachmahlen noch eine kleinere derglei- chen Summe geschlossen werden und so weiter, bis man endlich auf sehr kleine Zahlen kaͤme: da nun aber in kleinen Zahlen keine solche Summ moͤglich ist, so folgt daraus offenbahr daß es auch in den groͤßten Zahlen dergleichen nicht gebe.
IX.
Man koͤnnte hier zwar einwenden daß es in den kleinen Zahlen wuͤrcklich solche gebe wie schon anfaͤnglich bemerckt worden, nemlich da das eine Biquadrat Nulle wird; allein auf diesen Fall kommt man gewis nicht wann man solchergestalt von den groͤßten Zahlen immer zu kleinern zuruͤckgeht. Dann waͤre
bey
Von der unbestimmten Analytic.
bey der kleineren Summ
t
4
+ u
4
, entweder
t = o
oder
u = o
, so wuͤrde auch bey der groͤ- ßern Summ nothwendig
yy = o
seyn; wel- cher Fall hier in keine Betrachtung kommt.
206.
Nun kommen wir zu dem andern Hauptsatz, daß auch die Differenz zwischen zwey Biquadraten als
x
4
- y
4
niemals ein Quadrat werden koͤnne, außer den Faͤllen
y = o
und
y = x;
zu dessen Beweis folgende Punckte zu mercken.
I.
Sind die Zahlen
x
und
y
als untheilbahr unter sich anzusehen, und also entweder bey- de ungerad oder die eine gerad und die ande- re ungerad. Da nun in beyden Faͤllen die Differenz von zweyen Quadraten wieder ein Quadrat werden kann, so muͤssen diese zwey Faͤlle besonders erwogen werden.
II.
Es seyen also erstlich die beyden Zahlen
x
und
y
ungerad, und man setze
x = p + q
und
y = p - q;
so muß nothwendig eine dieser Zahlen
p
und
q
ungerad die andere aber gerad seyn. Nun wird
xx - yy = 4pq
und
xx + yy = 2pp
D d 5
+ 2
qq
Zweyter Abschnitt
+ 2
qq
, folglich unsere Formel
x
4
- y
4
= 4pq (2pp + 2qq)
, welche ein Quadrat seyn soll, und also auch der vierte Theil davon
pq (2pp + 2qq) = 2pq (pp + qq)
, deren Factoren unter sich untheilbahr sind: folglich muß ein jeder dieser Factoren 2
p
,
q
, und
pp + qq
fuͤr sich ein Quadrat seyn, weil nemlich die eine Zahl
p
gerad, die andere
q
aber ungerad ist. Man setze dahero um die beyden ersten zu Quadraten zu machen
2p = 4rr
oder
p = 2rr
, und
q = ss
, wo
s
ungerad seyn muß, so wird der dritte Factor
4r
4
+ s
4
auch ein Quadrat seyn muͤssen.
III.
Da nun
s
4
+ 4r
4
eine Summ von zwey Qua- draten ist, davon
s
4
ungerad, 4
r
4
aber gerad ist, so setze man die Wurzel des erstern
ss = tt — uu
, wo
t
ungerad und
u
gerad ist; des letztern aber
2rr = 2tu
oder
rr = tu
, wo
t
und
u
unter sich untheilbahr sind.
IV.
Weil nun
tu = rr
ein Quadrat seyn muß, so muß so wohl
t
als
u
ein Quadrat seyn; man setze demnach
t = mm
und
u = nn
, wo
m
un-
Von der unbestimmten Analytic.
ungerad und
n
gerad ist, so wird
ss = m
4
- n
4
also daß wieder eine Differenz von zwey Biqua- draten nemlich
m
4
- n
4
ein Quadrat seyn muͤßte. Es ist aber klar daß diese Zahlen weit kleiner seyn wuͤrden als
x
und
y
, weil
r
und
s
offenbahr kleiner sind als
x
und
y
, und hin- wiederum
m
und
n
kleiner als
r
und
s;
wann also die Sache in den groͤßten Zahlen moͤglich und
x
4
- y
4
ein Quadrat waͤre, so wuͤrde diesel- be in weit kleinern Zahlen auch noch moͤglich seyn, und so immer fort bis man endlich auf die kleinste Zahlen kaͤme, wo die Sache moͤ- glich ist.
V.
Die kleinsten Zahlen aber wo dieses moͤglich ist, sind wann das eine Biquadrat gleich
o
oder dem andern gleich ist: waͤre das erstere so muͤßte seyn
n = o
, folglich
u = o
, ferner
r = o
und
p = o
und
x
4
- y
4
= o
, oder
x
4
= y
4
;
von einem solchen Fall ist aber hier nicht die Rede. Waͤre aber
n = m
, so wuͤrde
t = u
, weiter
s = o
,
q = o
und endlich auch
x = y
, welcher Fall hier nicht statt findet.
207.
Man koͤnnte hier einwenden, daß da
m
ungerad
und
Zweyter Abschnitt
und
n
gerad ist, die letztere Differenz der erstern nicht mehr aͤhnlich sey, und man also daraus nicht weiter auf kleinere Zahlen den Schluß machen koͤnnte. Es ist aber genug daß man von der erstern Differenz auf die andere gekommen, und wir werden anjetzo zeigen daß auch
x
4
- y
4
kein Quadrat seyn koͤnne, wann das eine Biquadrat gerad und das andere ungerad ist.
I.
Waͤre das erstere
x
4
gerad und
y
4
ungerad, so waͤre die Sach an sich nicht moͤglich, weil eine Zahl von der Form 4
n
+ 3 herauskaͤme die kein Quadrat seyn kann. Es sey dem- nach
x
ungerad und
y
gerad, so muß seyn
xx = pp + qq
und
y = 2pq
, dann so wird
x
4
- y
4
= p
4
- 2pp qq + q
4
= (pp - qq)
2
, wo von
p
und
q
das eine gerad das andere aber ungerad seyn muß.
II.
Da nun
pp + qq = xx
ein Quadrat seyn muß, so wird
p = rr - ss
und
q = 2rs;
folglich
x = rr + ss
. Hieraus aber wird
yy = 2(rr - ss). 2rs
oder
yy = 4rs(rr - ss)
, welches ein Quadrat seyn muß, und also auch der vierte Theil davon nemlich
rs (rr - ss)
, wovon die Factoren unter sich untheilbahr sind.
III.
Von der unbestimmten Analytic.
III.
Man setze demnach
r = tt
und
s = uu
, so wird der dritte Factor
rr - ss = t
4
- u
4
, welcher ebenfals ein Quadrat seyn muß; da nun der- selbe auch eine Differenz von zwey Biquadraten ist welche viel kleiner sind als die ersten, so er- haͤlt hierdurch der vorige Beweis seine voͤlli- ge Staͤrcke, also daß wann auch in den groͤßten Zahlen die Differenz zweyer Biquadraten ein Quadrat waͤre, daraus immer kleinere derglei- chen Differenzen gefunden werden koͤnnten, ohne gleichwohl auf die zwey offenbahre Faͤlle zu kommen: dahero gewis auch in den groͤßten Zahlen solches nicht moͤglich ist.
208.
Der erste Theil dieses Beweises da die Zahlen
x
und
y
beyde ungerad genommen werden, kann fol- gender Gestalt abgekuͤrtzet werden. Wann
x
4
- y
4
ein Quadrat waͤre, so muͤßte seyn
xx = pp + qq
und
yy = pp - qq
, wo von den Buchstaben
p
und
q
der eine gerad der andere aber ungerad waͤre: alsdann aber wuͤrde
xx yy = p
4
- q
4
, folglich muͤßte
p
4
- q
4
auch ein Quadrat seyn, welches eine Differenz von zwey solchen Biquadraten ist, davon das eine gerad das
an-
Zweyter Abschnitt
andere aber ungerad ist: daß dieses aber unmoͤglich sey, ist in dem zweyten Theil des Beweises gezeigt worden.
209.
Wir haben also diese zwey Hauptsaͤtze bewiesen, daß weder die Summ noch die Differenz zweyer Biquadraten jemals eine Quadrat-Zahl werden koͤn- ne, außer einigen wenigen offenbahren Faͤllen.
Wann demnach auch andere Formeln welche zu Quadraten gemacht werden sollen, so beschaffen sind, daß entweder eine Summ oder eine Differenz von zweyen Biquadraten ein Quadrat werden muͤßte, so sind dieselben Formeln ebenfals nicht moͤglich. Die- ses findet nun statt in den folgenden Formeln, welche wir hier anfuͤhren wollen.
I.
Ist es nicht moͤglich daß diese Formel
x
4
+ 4y
4
ein Quadrat werde: dann weil diese Formel eine Summ von zwey Quadrateu ist, so muͤßte seyn
xx = pp - qq
und
2 yy = 2 pq
oder
yy = pq;
da nun
p
und
q
untheilbahr unter sich sind, so muͤßte ein jedes ein Quadrat seyn. Setzt man dahero
p = rr
und
q = ss
, so wird
xx
Von der unbestimmten Analytic.
xx = r
4
- s
4
: also muͤßte eine Differenz von zwey Biquadraten ein Quadrat seyn, welches nicht moͤglich ist.
II.
Ist es auch nicht moͤglich daß diese Formel
x
4
- 4 y
4
ein Quadrat werde: dann da muͤßte seyn
xx = pp + qq
und 2
yy = 2 pq
, weil alsdann heraus kaͤme
x
4
- 4 y
4
= (pp - qq)
2
;
da nun
yy = pq
, so muͤßte
p
und
q
jedes ein Quadrat seyn; setzt man nun
p = rr
und
q = ss
, so wird
xx = r
4
+ s
4
;
folglich muͤßte eine Summ von zwey Biquadraten ein Qua- drat seyn, welche nicht moͤglich ist.
III.
Es ist auch nicht moͤglich, daß diese Form 4
x
4
- y
4
ein Quadrat werde, weil alsdann
y
nothwendig eine gerade Zahl seyn muͤßte. Setzt man nun
y = 2z
, so wuͤrde 4
x
4
- 16 z
4
und folglich auch der vierte Theil davon
x
4
- 4z
4
ein Quadrat seyn muͤßen, wel- ches nach den vorigen Fall unmoͤglich ist.
IV.
Es ist auch nicht moͤglich, daß diese Formel 2
x
4
+ 2y
4
ein Quadrat werde; dann da dasselbe gerad seyn muͤßte, und folglich
2
x
4
Zweyter Abschnitt
2
x
4
+ 2y
4
= 4zz
waͤre, so wuͤrde seyn
x
4
+ y
4
= 2zz
, und dahero 2
zz + 2 xx yy = x
4
+ 2xx yy + y
4
und also ein Quadrat. Eben so wuͤrde seyn 2
zz - 2xx yy = x
4
- 2 xx yy + y
4
und also auch ein Quadrat. Da nun so wohl 2
zz + 2 xx yy
als 2
zz - 2 xx yy
ein Quadrat seyn wuͤrde, so muͤßte auch ihr Pro- duct 4
z
4
- 4x
4
y
4
, und also auch der vierte Theil davon ein Quadrat seyn. Dieser vierte Theil aber ist
z
4
- x
4
y
4
und also eine Diffe- renz von zwey Biquadraten, welches nicht moͤglich ist.
V.
Endlich kann auch diese Formel 2
x
4
- 2y
4
kein Quadrat seyn; dann da beyde Zahlen
x
und
y
nicht gerad sind, weil sie sonsten einen gemeinen Theiler haͤtten, und auch nicht die eine gerad und die andere ungerad, weil sonsten der eine Theil durch 4 der andere aber aber nur durch 2, und also auch die For- mel selbst nur durch 2 theilbahr seyn wuͤrde, so muͤßen beyde ungerad seyn. Setzt man nun
x = p + q
und
y = p - q
, so ist die ei- ne von den Zahlen
p
und
q
gerad die andere aber ungerad, und da:
2
x
4
Von der unbestimmten Analytic.
2
x
4
- 2y
4
= 2 (xx + yy) (xx - yy)
, so bekommt man
xx + yy = 2 pp + 2 qq = 2 (pp + qq)
und
xx - yy = 4 pq;
allso unsere Formel 16
pq (pp + qq)
deren sechzehnte Theil, nemlich
pq (pp + qq)
, folglich auch ein Quadrat seyn muͤßte. Da nun die Factores unter sich untheilbar sind, so muͤß- te ein jeder fuͤr sich ein Quadrat seyn. Setzt man nun fuͤr die beyden erstern
p = rr
und
q = ss
, so wird der dritte
r
4
+ s
4
, welcher auch ein Quadrat seyn muͤßte: die- ses aber ist nicht moͤglich.
210.
Auf eine gleiche Weise laͤßt sich auch beweisen, daß diese Formel
x
4
+ 2y
4
kein Quadrat seyn koͤn- ne, wovon der Beweis in folgenden Saͤtzen besteht.
I.
Kann
x
nicht gerad seyn, weil alsdann
y
un- gerad seyn muͤßte, und die Formel sich nur durch 2 nicht aber durch 4 wuͤrde theilen laßen: dahero muß
x
ungerad seyn.
II.
Man setze demnach die Quadrat-Wurzel un- serer Formel =
xx
+
\frac{2pyy}{q}
, damit dieselbe ungerad werde; so wird
x
4
+ 2 y
4
= x
4
+
\frac{4pxxyy}{}
+
\frac{4ppy^{4}}{qq}
, wo sich die
x
4
aufheben,
II
Theil
E e
die
Zweyter Abschnitt
die uͤbrigen Glieder aber durch
yy
dividirt und mit
qq
multiplicirt, geben 4
pqxx + 4ppyy = 2qqyy
, oder 4
pq xx = 2qq yy - 4 pp yy
, daraus wird
\frac{xx}{yy}
=
\frac{qq - 2pp}{2 pq}
; woraus folget
xx = qq - 2 pp
und
yy = 2 pq
, welche eben die Formeln sind die wir schon oben gegeben haben.
III.
Es muͤßte also
qq - 2pp
wieder ein Quadrat seyn, welches nicht anders gesche- hen kann, als wann
q = rr + 2ss
und
p = 2rs;
dann da wuͤrde
xx = (rr - 2ss)
2
: hernach aber wuͤrde 4
rs (rr + 2ss) = yy
, und allso muͤßte auch der vierte Theil
rs(rr + 2ss)
ein Quadrat seyn, und folglich
r
und
s
jedes besonders. Setzt man nun
r = tt
und
s = uu
, so wird der dritte Factor
rr + 2ss = t
4
+ 2u
4
, welches auch ein Quadrat seyn muͤßte.
IV.
Waͤre demnach
x
4
+ 2y
4
ein Quadrat, so wuͤrde auch
t
4
+ 2u
4
ein Quadrat seyn, wo die Zahlen
t
und
u
weit kleiner waͤren als
x
und
y;
und solchergestalt wuͤrde man immer auf kleinere Zahlen kommen koͤnnen. Da nun in kleinen Zahlen diese Formel kein Quadrat seyn kann, wie leicht zu probiren ist, so kann
die-
Von der unbestimmten Analytic.
dieselbe auch in den groͤßten Zahlen kein Quadrat seyn.
211.
Was hingegen diese Formel betrift
x
4
- 2y
4
, so kann von derselben nicht bewiesen werden, daß sie kein Quadrat werden koͤnnte, und wann man auf eine aͤhnliche Art die Rechnung anstellt, so koͤnnen so gar unendlich viel Faͤlle gefunden werden, da dieselbe wuͤrcklich ein Quadrat wird.
Dann wann
x
4
- 2y
4
ein Quadrat seyn soll, so ist oben gezeigt worden, daß seyn werde
xx = pp + 2qq
und
yy = 2pq
, weil man alsdann bekommt
x
4
- 2y
4
= (pp - 2qq)
2
. Da nun auch
pp + 2qq
ein Quadrat seyn muß, so geschieht dieses wann
p = rr - 2ss
und
q = 2rs;
dann da wird
xx = (rr + 2ss)
2
. Allein hier ist wohl zu mercken, daß dieses auch gesche- hen wuͤrde, wann man annehme
p = 2ss - rr
und
q = 2rs
, dahero zwey Faͤlle hier in Erwegung zu ziehen sind.
I.
Es sey erstlich
p = rr - 2ss
und
q = 2rs
, so wird
x = rr + 2ss;
und weil
yy = 2pq
, so wird nun seyn
yy = 4rs (rr ‒ 2ss);
und muͤß-
E e 2
ten
Zweyter Abschnitt
ten also
r
und
s
Quadrate seyn. Man setze deswegen
r = tt
und
s = uu
, so wird
yy = 4 tt uu (t
4
- 2u
4
);
also
y = 2tu√(t
4
- 2u
4
)
und
x = t
4
+ 2u
4
;
wann daher
t
4
- 2u
4
ein Quadrat ist, so wird auch
x
4
- 2y
4
ein Quadrat; ob aber gleich
t
und
u
kleinere Zah- len sind als
x
und
y
, so kann man doch wie vorher nicht schließen, daß
x
4
- 2y
4
kein Qua- drat seyn koͤnne, deswegen weil man daher auf eine aͤhnliche Formel in kleinern Zahlen gelanget; dann
x
4
- 2y
4
kann ein Quadrat seyn ohne auf diese Formel
t
4
- 2u
4
zu kom- men, weil dieses noch auf eine andere Art geschehen kann, nemlich in dem andern Fall, den wir noch zu betrachten haben.
II.
Es sey also
p = 2ss - rr
und
q = 2rs
, so wird zwar wie vorher
xx = rr + 2ss
, allein fuͤr
y
bekommt man
yy = 2pq = 4rs(2ss - rr)
. Setzt man nun
r = tt
und
s = uu
, so be- kommt man
yy = 4tt uu (2u
4
- t
4
)
, folglich
y = 2 t u √(2u
4
- t
4
)
und
x = t
4
+ 2u
4
;
woraus erhellet, daß unsere Formel
x
4
- 2y
4
auch ein Quadrat werden koͤnne, wann diese
2
u
4
Von der unbestimmten Analytic.
2
u
4
-
4
t
4
ein Quadrat wird. Dieses aber geschieht offenbar, wann
t
= 1 und
u
= 1; und dahero bekommen wir
x
= 3 und
y
= 2, woraus un- sere Formel
x
4
- 2y
4
wird 81 - 2.16 = 49.
III.
Wir haben auch oben gesehen, daß 2
u
4
- t
4
ein Quadrat werde, wann
u
= 13 und
t
= 1, weil alsdann √(2
u
4
- t
4
) = 239. Setzt man nun diese Werthe fuͤr
t
und
u
, so erhalten wir einen neuen Fall fuͤr unsere Formel, nemlich
x
= 1 + 2.13
4
= 57123 und
y
= 2.13.239 = 6214.
IV.
So bald man aber Werthe fuͤr
x
und
y
ge- funden, so kann man dieselben in den Formeln
No. I.
fuͤr
t
und
u
schreiben, da man dann wieder neue fuͤr
x
und
y
erhalten wird.
Weil wir nun gefunden
x
= 3 und
y
= 2, so laßt uns in der
No. I.
gegebenen Formeln setzen
t
= 3 und
u
= 2, da dann √(
t
4
- 2u
4
) = 7, so bekommen wir folgende neue Werthe
x
= 81 + 2.16 = 113 und
y
= 2.3.2.7 = 84. Hieraus erhalten wir
xx
= 12769, und
x
4
= 163047361; ferner
yy
= 7056 und
y
4
= 49787136, daher wird
x
4
- 2 y
4
= 63473089
E e 3
wovon
Zweyter Abschnitt
wovon die Quadrat-Wurzel ist 7967, welche auch voͤllig uͤbereintrift mit der anfaͤnglich angesetzten
pp - 2qq
. Dann da
t
= 3 und
u
= 2, so wird
r
= 9 und
s
= 4, dahero
p
= 81 - 32 = 49 und
q
= 72, woraus
pp - 2qq
= 2401 - 10368 - = ‒7967.
Capitel
14. Aufloͤsung einiger Fragen, die zu diesem Theil der Analytic gehoͤren.
212.
W
ir haben bisher die Kunstgriffe erklaͤrt, welche in diesem Theil der Analytic vorkommen und noͤ- thig sind, um alle diejenigen Aufgaben, soll hieher gehoͤren aufzuloͤsen, dahero wir um dieses in ein groͤ- ßeres Licht zu setzen einige dergleichen Fragen hier vorlegen und die Aufloͤsung derselben beyfuͤgen wol- len.
213.
Von der unbestimmten Analytic.
213.
I.
Frage: Man suche eine Zahl, daß wann man darzu 1 so wohl addirt oder auch davon subtrahirt, in beyden Faͤllen ein Quadrat herauskomme?
Setzt man die gesuchte Zahl =
x
, so muß so wohl
x
+ 1 als auch
x
- 1 ein Quadrat seyn. Fuͤr das erstere setze man
x + 1 = pp
, so wird
x = pp
- 1 und
x - 1 = pp
- 2, welches auch ein Quadrat seyn muß. Man setze, die Wurzel davon sey
p - q
, so wird
pp - 2 = pp - 2 pq + qq
, wo sich die
pp
auf- heben und daraus gefunden wird
p
=
\frac{qq + 2}{2 q}
; dar- aus man ferner erhaͤlt
x
=
\frac{q^{4} + 4}{4qq}
: wo man
q
nach Belieben und auch in Bruͤchen annehmen kann.
Man setze dahero
q
=
\frac{r}{s}
, so erhalten wir
x
=
\frac{r^{4} + 4s^{4}}{4 rr ss}
, wovon wir etliche kleinere Werthe anzeigen wollen.
214.
II.
Frage: Man suche eine Zahl
x
, daß wann man dazu 2 beliebige Zahlen als z. E. 4 und 7 ad- dirt, in beyden Faͤllen ein Quadrat herauskomme?
E e 4
Es
Zweyter Abschnitt
Es muͤßen also diese zwey Formeln
x
+ 4 und
x
+ 7 Quadrate werden; man setze dahero fuͤr die erstere
x + 4 = pp
, so wird
x = pp
- 4, die andere Formel aber wird
x + 7 = pp
+ 3, welche auch ein Quadrat seyn muß. Man setze daher die Wurzel davon =
p + q
, so wird
pp + 3 = pp + 2 pq + qq
, woraus ge- funden wird
p
=
\frac{3 - qq}{2q}
, folglich
x
=
\frac{9 - 22qq + q^{4}}{4qq}
. Setzen wir fuͤr
q
einen Bruch als
\frac{r}{s}
, so bekommen wir
x
=
\frac{9s^{4} - 22rrss + r^{4}}{4rrss}
, wo man fuͤr
r
und
s
alle beliebige gantze Zahlen annehmen kann.
Nimmt man
r
= 1 und
s
= 1, so wird
x
= - 3, und daraus wird
x
+ 4 = 1 und
x
+ 7 = 4. Will man aber eine positive Zahl fuͤr
x
haben, so setze man
s
= 2 und
r
= 1, da bekommt man
x
=
\frac{57}{16}
; woraus wird
x
+ 4 =
\frac{121}{16}
und
x
+ 7 =
\frac{169}{16}
: will man fer- ner setzen
s
= 3 und
r
= 1, so bekommt man
x
=
\frac{133}{9}
, woraus
x
+ 4 =
\frac{169}{9}
und
x
+ 7 =
\frac{196}{9}
. Soll das letzte Glied das mittlere uͤberwiegen, so setze man
r
= 5 und
s
= 1, da wird
x
=
\frac{21}{25}
, und daraus
x
+ 4 =
\frac{121}{25}
und
x
+ 7 =
\frac{196}{25}
.
215.
III.
Frage: Man suche einen solchen Bruch
x
, daß wann man denselben entweder zu 1 addirt oder
von
Von der unbestimmten Analytic.
von 1 subtrahirt, in beyden Faͤllen ein Quadrat her- aus komme?
Da diese beyden Formeln 1 +
x
und 1 -
x
Qua- drate seyn sollen, so setze man fuͤr die erstere 1 +
x = pp
, da wird
x = pp
- 1 und die andere Formel 1 -
x = 2 - pp
, welche ein Quadrat seyn soll. Da nun weder das erste noch letzte Glied ein Quadrat ist, so muß man sehen, ob man einen Fall errathen kann, da solches geschieht, ein solcher faͤllt aber gleich in die Augen, nemlich
p
= 1, deswegen setze man
p = 1 - q
, also daß
x = qq - 2q
, so wird unsere Formel 2 -
pp = 1 + 2q - qq
, davon setze man die Wurzel = 1 -
qr
, so bekommt man 1 + 2
q - qq = 1 - 2 q r + qq rr
; hieraus 2 -
q = - 2r + q rr
und
q
=
\frac{2r + 2}{rr + 1}
; hieraus wird
x
=
\frac{4r - 4 r^{3}}{(rr + 1)^{2}}
, weil
r
ein Bruch ist, so setze man
r
=
\frac{t}{u}
, so wird
x
=
\frac{4tu^{3} - 4t^{3} u}{(tt + uu)^{2}}
=
\frac{4tu(uu - tt)}{(tt + uu)^{2}}
; also muß
u
groͤßer seyn als
t
.
Man setze demnach
u
= 2 und
t
= 1, so wird
x
=
\frac{24}{25}
; setzt man
u
= 3 und
t
= 2, so wird
x
=
\frac{120}{169}
, und dar- aus 1 +
x
=
\frac{289}{169}
und 1 -
x
=
\frac{49}{169}
, welche beyde Qua- drate sind.
216.
IV.
Frage: Man suche solche Zahlen
x
, welche
E e 5
so
Zweyter Abschnitt
so wohl zu 10 addirt als von 10 subtrahirt, Quadrate hervorbringen?
Es muͤßen also diese Formeln 10 +
x
und 10 -
x
Quadrate seyn, welches nach der vorigen Weise ge- schehen koͤnnte. Um aber einen andern Weg zu zeigen, so bedencke man, daß auch das Product dieser Formel ein Quadrat seyn muͤße, nemlich 100 -
xx
. Da nun hier das erste Glied schon ein Quadrat ist, so setze man die Wurzel = 10 -
px
, so wird 100 -
xx = 100 — 20 p x + pp xx
und allso
x
=
\frac{20p}{pp + 1}
: hieraus aber folgt, daß nur das Product ein Quadrat wer- de, nicht aber eine jede besonders. Wann aber nur die eine ein Quadrat wird, so muß die andere nothwen- dig auch eines seyn; nun aber wird die erste 10 +
x
=
\frac{10pp + 20p + 10}{pp + 1}
=
\frac{10(pp + 2p + 1)}{pp +1}
; und weil
pp + 2p
+ 1 schon ein Quadrat ist, so muß noch dieser Bruch
\frac{10}{pp + 1}
ein Quadrat seyn, folglich auch dieser
\frac{10pp + 10}{(pp + 1)^{2}}
. Es ist also nur noͤthig, daß die Zahl 10
pp
+ 10 ein Quadrat werde, wo wiederum ein Fall, da es ge- schieht, errathen werden muß. Dieser ist wann
p
= 3 und deswegen setze man
p = 3 + q
, so bekommt man 100 + 60
q + 10 qq;
davon setze man die Wurzel 10 +
q t
, so wird 100 + 60
q + 10 qq
= 100 +
20
qt
Von der unbestimmten Analytic.
20
qt + qqtt
daraus
q
=
\frac{60 - 20t}{tt - 10}
, daraus
p = 3 + q
, und
x
=
\frac{20p}{pp + 1}
.
Setzt man
t
= 3, so wird
q
= 0 und
p
= 3 folglich
x
= 6, dahero wird 10 +
x
= 16 und 10 -
x
= 4. Es sey aber
t
= 1, so wird
q
= -
\frac{49}{9}
und
p
= -
\frac{13}{9}
und
x
= -
\frac{234}{25}
: es ist aber gleich viel zu setzen
x
= +
\frac{234}{25}
, und dann wird 10 +
x
=
\frac{484}{25}
und 10 -
x
=
\frac{16}{25}
, welche beyde Quadrate sind.
217.
Anmerckung: Wollte man diese Frage allge- mein machen und fuͤr eine jegliche gegebene Zahl
a
sol- che Zahlen
x
verlangen, also daß so wohl
a + x
als
a - x
ein Quadrat werden sollte, so wuͤrde die Anfloͤ- sung oͤfters unmoͤglich werden, nemlich in allen Faͤllen, wo die Zahl
a
keine Summe von zwey Quadraten ist. Aber wir haben schon oben gesehen, daß von 1 bis 50 nur die folgenden Zahlen Summen von zwey Quadra- ten, oder in dieser Form
xx + yy
enthalten sind. 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, die uͤbrigen also, welche gleichfals bis 50 sind:
3,
Zweyter Abschnitt
3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 44, 46, 47, 48, nicht koͤnnen in zwey Quadra- te zerlegt werden; so oft also
a
eine von diesen letz- tern Zahlen waͤre so offt wuͤrde auch die Frage unmoͤg- lich seyn.
Um dieses zu zeigen, so laßt uns setzen
a + x = pp
und
a - x = qq
, und da giebt die Addition 2
a = pp + qq;
also daß 2
a
eine Summe von zwey Quadra- ten seyn muß, ist aber 2
a
eine solche Summe, so muß auch
a
eine solche seyn, wann dahero
a
keine Summe von zwey Quadraten ist, so ist es auch nicht moͤglich, daß
a + x
und
a - x
zugleich Quadrate seyn koͤnnen.
218.
Wann demnach
a
= 3 waͤre, so wuͤrde die Frage unmoͤglich seyn, und das des wegen, weil 3 keine Summe von zwey Quadraten ist: man koͤnnte zwar einwenden, daß es vielleicht zwey Quadrate in Bruͤchen gebe, deren Summe 3 ausmacht; allein dieses ist auch nicht moͤglich, dann waͤre 3 =
\frac{pp}{qq}
+
\frac{rr}{ss}
und man multiplicirte mit
qqss
, so wuͤrde 3
qq ss = ppss + qqrr
, wo
ppss + qqrr
eine Summe von zwey Quadraten ist, welche sich
durch
Von der unbestimmten Analytic.
durch 3 theilen ließe: wir haben aber oben gesehen, daß eine Summe von zwey Quadraten keine anderne Theiler haben koͤnne, als welche selbst solche Summen sind.
Es laßen sich zwar die Zahlen 9 und 45 durch 3 theilen, allein dieselben sind auch durch 9 theilbar und so gar ein jedes der beyden Quadrate, woraus sie bestehen, weil nemlich 9 = 3
2
+ 0
2
, und 45 = 6
2
+ 3
2
, welches hier nicht statt findet: daher dieser Schluß seine Richtigkeit hat, daß wann eine Zahl
a
in ganzen Zahlen keine Summe von zwey Quadraten ist, solches auch nicht in Bruͤchen geschehen koͤnne; ist aber die Zahl
a
in gantzen Zahlen eine Summe von zwey Qua- draten, so kann dieselbe auch in Bruͤchen auf unendlich vielerley Art eine Summe von zwey Quadraten seyn, welches wir zeigen wollen.
219.
V.
Frage: Eine Zahl, die eine Summ von zwey Quadraten ist, auf unendlich vielerley Art in eine Sum- me von zwey andern Quadraten zu zerlegen?
Die vorgegebene Zahl sey demnach
ff + gg
und man soll zwey andere Quadraten, als
xx
und
yy
suchen, deren Summe
xx + yy
gleich sey der Zahl
ff + gg
,
also
Zweyter Abschnitt
also daß
xx + yy = ff + gg
. Hier ist nun so gleich klar, daß mann
x
groͤßer oder kleiner ist als
f
,
y
umgekehrt kleiner oder groͤßer seyn muͤße als
g
. Man setze dahero
x = f + pz
und
y = g - q z
, so wird
ff + 2fpz + pp zz + gg - 2 gqz + qqzz = ff + gg
, wo sich die
ff
und
gg
aufheben, die uͤbrigen Glieder aber durch
z
theilen laßen. Dahero wird 2
fp + ppz — 2 gq + qqz
= 0 oder
ppz + qqz = 2 gq - 2fp
, und also
z
=
\frac{2gq - 2fp}{pp + qq}
, woraus fuͤr
x
und
y
folgende Werthe gefunden werden
x
=
\frac{2gpq + f(qq - pp)}{pp + qq}
und
y
=
\frac{2fpq + g(pp - qq)}{pp + qq}
, wo man fuͤr
p
und
q
alle moͤgliche Zahlen nach Belieben annehmen kann.
Es sey die gegebene Zahl 2, also daß
f
= 1 und
g
= 1 so wird
xx + yy
= 2, wann
x
=
\frac{2pq + qq - pp}{pp + qq}
und
y
=
\frac{2pq + pp - qq}{pp + qq}
: setzt man
p
= 2 und
q
= 1, so wird
x
= ⅕ und
y
=
\frac{7}{5}
.
220.
VI.
Frage: Wann die Zahl
a
eine Summe von zwey Quadraten ist, solche Zahlen
x
zu finden, daß so wohl
a + x
als
a - x
ein Quadrat werde?
Es sey die Zahl
a
= 13 = 9 + 4, und man setze 13 +
x = pp
und 13 -
x = qq
, so giebt erstlich die Addi-
tion
Von der unbestimmten Analytic.
tion 26 =
pp + qq
, die Subtracton aber 2
x = pp - qq
: also muͤßen
p
und
q
so beschaffen seyn, daß
pp + qq
der Zahl 26 gleich werde, welche auch eine Summe von zwey Quadraten ist, nemlich 25 + 1, folglich muß diese Zahl 26 in zwey Quadrate zerlegt werden; wovon das groͤßere fuͤr
pp
, das kleinere aber fuͤr
qq
genommen wird. Hieraus bekommt man erstlich
p
= 5 und
q
= 1 und daraus wird
x
= 12; hernach aber kann aus dem obigen die Zahl 26 noch auf unendlich vielerley Art in zwey Quadrate aufgeloͤßt werden. Dann weil
f
= 5 und
g
= 1, wann wir in den obigen Formeln anstatt der Buchstaben
p
und
q
schreiben
t
und
u
, vor
x
und
y
aber die Buchstaben
p
und
q
, so finden wir
p
=
\frac{2tu + 5(uu - tt)}{tt + uu}
und
q
=
\frac{10tu + tt - uu}{tt + uu}
. Nimmt man nun fuͤr
t
und
u
Zahlen nach Belieben an und bestimmt daraus die Buchstaben
p
und
q
, so erhaͤlt man die gesuchte Zahl
x
=
\frac{pp - qq}{2}
.
Es sey z. E.
t
= 2 und
u
= 1, so wird
p
=
\frac{12}{5}
und
q
=
\frac{21}{5}
; und daher
pp - qq
=
\frac{403}{25}
und
x
=
\frac{204}{25}
.
221.
Um aber diese Frage allgemein aufzuloͤsen, so sey die gegebene Zahl
a = cc + dd
, die gesuchte aber =
z
,
also
Zweyter Abschnitt
also daß diese Formeln
a + z
und
a - z
Quadrate werden sollten.
Nun setze man
a + z = xx
und
a - z = yy
, so wird erstlich 2
a = 2 (cc + dd) = xx + yy
, und hernach 2
z = xx — yy
. Es muͤßen also die Quadrate
xx
und
yy
so be- schaffeu seyn, daß
xx + yy = 2 (cc + dd)
, wo 2
(cc + dd)
auch eine Summe von zwey Quadraten ist, nem- lich
(c + d)
2
+ (c - d)
2
. Man setze Kuͤrtze halber
c + d = f
und
c - d = g
: also daß seyn muß
xx + yy = ff + gg
, dieses ge- schieht aber aus dem obigen, wann man nimmt
x
=
\frac{2gpq + f(qq - pp)}{pp + qq}
und
y
=
\frac{2fpq + g(pp - qq)}{pp + qq}
, hieraus be- kommt man die leichteste Aufloͤsung, wann man nimmt
p
= 1 und
q
= 1, dann daraus wird
x
=
\frac{2g}{2}
=
g = c - d
und
y = f = c + d
, und hieraus folglich
z = 2 c d
. Hieraus wird nun offenbar
cc + dd + 2cd = (c + d)
2
und
cc + dd — 2 c d = (c - d)
2
. Um eine andere Aufloͤsung zu finden, so sey
p
= 2 und
q
= 1, da wird
x
=
\frac{rc - 2d}{5}
, und
y
=
\frac{7c + d}{5}
, wo so wohl
c
und
d
, als
x
und
y
negativ genommen werden koͤnnen, weil nur ihre Quadrate vor- kommen. Da nun
x
groͤßer seyn soll als
y
, so nehme man
d
negativ, und da wird
x
=
\frac{c + 7 d}{}
und
y
=
\frac{7c - d}{5}
. Hieraus folgt
z
=
\frac{24dd + 14 cd - 24 cc}{25}
, welcher Werth zu
a = cc + dd
addirt
Von der unbestimmten Analytic.
addirt, giebt
\frac{cc + 14cd + 49dd}{25}
, wovon die Quadrat-Wurzel ist
\frac{c + 7d}{5}
. Subtrahirt man aber
z
von
a
so bleibt
\frac{49cc - 14cd + dd}{25}
, wovon die Quadrat-Wurzel ist
\frac{7c - d}{5}
; jene ist nemlich
x
, diese aber
y
.
222.
VII.
Frage: Man suche eine Zahl
x
, daß wann so wohl zu derselben selbst als zu ihrem Quadrat
x x
, eins addirt wird, in beyden Faͤllen ein Quadrat heraus komme?
Es muͤßen also diese beyde Formeln
x + 1
und
xx + 1
zu Quadraten gemacht werden. Man setze dahero fuͤr die erste
x + 1 = pp
, so wird
x = pp - 1
, und die zweyte Formel
xx + 1 = p
4
- 2pp + 2
, welche Formel ein Quadrat seyn soll: dieselbe aber ist von der Art, daß keine Aufloͤsung zu finden, wo- fern nicht schon ein Fall bekant ist; ein solcher Fall aber faͤlt so gleich in die Augen, nemlich wo
p = 1
. Man setze dahero
p = 1 + q
, so wird
xx + 1 = 1 + 4qq + 4q
3
+ q
4
, welches auf vielerley Art zu einem Quadrat gemacht werden kann.
I.
Man setze erstlich die Wurzel davon
1 + q′q
, so wird
1 + 4qq + 4q
3
+ q
4
= 1 + 2qq + q
4
,
II
Theil
F f
dar-
Zweyter Abschnitt
daraus wird
4q + 4qq = 2q
oder
4 + 4q = 2
und
q = —½
, folglich
p = ½
und
x = - ¾
.
II.
Setzt man die Wurzel
1 - qq
, so wird
1 + 4qq + 4q
3
+ q
4
= 1 - 2qq + q
4
, und daher
q = —¾
und
p = —½
, hieraus
x = —¾
wie vorher.
III.
Setzt man die Wurzel
1 + 2q + qq
, damit sich die ersten und die zwey letzten Glieder auf- heben, so wird
1 + 4qq + 4q
3
+ q
4
= 1 + 4q + 6qq + 4q
3
+ q
4
, daraus wird
q = —2
und
p = —1
, daher
x = 0.
IV.
Man kann aber auch die Wurzel setzen
1 - 2q — qq
, so wird
1 + 4qq + 4q
3
+ q
4
= 1 — 4q + 2qq + 4q
3
+ q
4
, daraus wird
q = —2
wie vorher.
V.
Damit die zwey ersten Glieder einander auf- heben, so sey die Wurzel
1 + 2qq
, da wird
1 + 4qq + 4q
3
+ q
4
= 1 + 4qq + 4q
4
, und daraus
q
=
\frac{4}{3}
und
p
=
\frac{7}{3}
; folglich
x
=
\frac{40}{9}
, woraus folgt
x + 1
=
\frac{49}{9}
= (
\frac{7}{3}
)
2
und
xx + 1
=
\frac{1681}{81}
= (
\frac{41}{9}
)
2
.
Wollte man noch mehr Werthe fuͤr
q
finden, so muͤßte man einen von diesen hier gefundenen z. E. - ½ nehmen, und ferner setzen
q
= —½ +
r
; daraus aber
wuͤr-
Von der unbestimmten Analytic.
wuͤrde
p = ½ + r; pp = ¼ + r + rr
und
p
4
=
\frac{1}{16}
+ ½ r +
\frac{3}{2}
rr + 2r
3
+ r
4
, folglich unsere Formel
\frac{25}{16}
-
\frac{3}{2}
r - ½rr + 21
3
+ r
4
, welche ein Quadrat seyn soll, und dahero auch mit 16 multiplicirt, nemlich
25 - 24r - 8rr + 32r
3
+ 16r
4
. Davon setze man nun:
I.
Die Wurzel
= 5 + fr + 4rr
, also daß
25 - 24r - 8rr + 32r
3
+ 16r
4
= 25 + 10fr ± 40rr ± 8fr
3
+ 16r
4
. Da nun die
+ ffrr
ersten und letzten Glieder wegfallen, so bestimme man
f
so, daß auch die zweyten wegfallen, welches geschieht wann
— 24 = 10f
und also
f
= —
\frac{12}{5}
; alsdann geben die uͤbrigen Glieder durch
rr
dividirt
— 8 + 32r = ± 40 + ff ± 8fr
. Fuͤr das obere Zeichen hat man
— 8 + 32r = 40 + ff + 8fr
, und daraus
r
=
\frac{48 + ff}{32 - 8f}
. Da nun
f
= —
\frac{12}{5}
, so wird
r
=
\frac{21}{20}
, folglich
p
=
\frac{31}{20}
und
x
=
\frac{561}{400}
, daraus wird
x + 1
= (
\frac{31}{20}
)
2
, und
xx + 1
= (
\frac{689}{400}
)
2
.
II.
Gilt aber das untere Zeichen, so wird
— 8 + 32r = —40 + ff - 8fr
, und daraus
r
=
\frac{ff - 32}{32 + 3f^{4}}
. Da nun
f
= —
\frac{12}{5}
, so wird
r
= —
\frac{41}{20}
, folglich
p
=
\frac{31}{20}
, woraus die vorige Gleichung entspringt.
F f 2
III.
Zweyter Abschnitt
III.
Es sey die Wurzel
4rr + 4r ± 5
, also daß
16r
4
+ 32r
3
- 8rr - 24r + 25 = 16r
4
+ 32r
3
± 40rr ± 40r + 25
: wo die zwey ersten und
+ 16rr
die gantz letzten Glieder wegfallen, die uͤbrigen aber durch
r
dividirt geben
— 8r - 24 = ± 40r + 16r ± 40
, oder
— 24r - 24 = ± 40r ± 40
. Wann das obere Zeichen gilt, so wird
— 24r — 24 = 40r + 40
, oder
0 = 64r + 64
, oder
0 = r + 1
, das ist
r = —1
und
p = —½
, wel- chen Fall wir schon gehabt haben; und eben derselbe folgt auch aus dem untern Zeichen.
IV.
Man setze die Wurzel
5 + fr + grr
und be- stimme
f
und
g
also, daß die drey ersten Glieder wegfallen. Da nun
25 - 24r - 8rr + 32r
3
+ 16r
4
= 25 + 10fr + 10grr + 2fgr
3
+ ggr
4
,
+ ffrr
so wird erstlich
— 24 = 10f
und also
f
= —
\frac{12}{5}
, ferner
— 8 = 10g + ff
, und also
g
=
\frac{- 8 - ff}{10}
, oder
g
= —
\frac{344}{250}
= —
\frac{172}{125}
; die beyden letzten Glieder aber durch
r
3
dividirt geben
32 + 16r = 2fg + ggr
und daraus
r
=
\frac{2fg - 32}{16 - gg}
. Hier wird der Zehler
2fg - 32
=
\frac{+ 24.17 - 32.626}{5.125}
=
\frac{- 32.496}{626}
, oder dieser Zehler =
\frac{- 16.32.31}{625}
; der
Nen-
Von der unbestimmten Analytic.
Nenner aber giebt
16 - gg = (4 - g)(4 + g)
=
\frac{328}{125}
·
\frac{672}{125}
, oder
16 - gg
=
\frac{8.32.41.21}{25.525}
; daraus wird
r
= —
\frac{1550}{861}
, hieraus
p
= —
\frac{2039}{1722}
, und hieraus wird ein neuer Werth fuͤr
x
, nemlich
x = pp - 1
, gefunden.
223.
VIII.
Frage: Zu drey gegebenen Zahlen
a
,
b
und
c
eine solche Zahl
x
zu finden, welche zu einer jeden der- selben addirt ein Quadrat hervorbringe?
Es muͤßen also diese drey Formeln zu Quadraten gemacht werden, nemlich
x + a
,
x + b
, und
x + c
.
Man setze fuͤr die erstere
x + a = zz
, also daß
x = zz - a
, so werden die beyden andern Formeln
zz + b - a
und
zz + c - a
, wovon eine jede ein Quadrat seyn soll. Hievon aber laͤßt sich keine allge- meine Aufloͤsung geben, weil solches sehr oͤfters unmoͤg- lich ist, und die Moͤglichkeit beruhet einzig und allein auf der Beschaffenheit der beyden Zahlen
b - a
, und
c - a
. Dann waͤre z. E.
b - a = 1
und
c - a = —1
, das ist
b = a + 1
und
c = a - 1
, so muͤßten
zz + 1
und
zz - 1
Quadrate werden, und
z
ohne Zweifel ein Bruch seyn. Man setze dahero
z
=
\frac{p}{q}
, so wuͤrden diese zwey Formeln Quadrate
F f 3
seyn
Zweyter Abschnitt
seyn muͤßen,
pp + qq
und
pp - qq
, folglich muͤßte auch ihr Product, nemlich
p
4
- q
4
, ein Qua- brat seyn, daß aber dieses nicht moͤglich sey ist oben gezeigt worden.
Waͤre ferner
b - a = 2
, und
c - a = —2
, das ist
b = a + 2
und
c = a - 2
, so muͤßten, waͤnn man wiederum setzte
z
=
\frac{p}{q}
, diese zwey Formeln
pp + 2qq
und
pp - 2qq
Quadrate werden, folglich auch ihr Product
p
4
- 4q
4
, welches ebenfals nicht moͤglich ist.
Man setze uͤberhaupt
b - a = m
und
c - a = n
, ferner auch
z
=
\frac{p}{q}
, so muͤßen diese Formeln Quadrate seyn
pp + mqq
und
pp + nqq
; welches wie wir eben gesehen unmoͤglich ist, wann entweder
m = + 1
und
n = —1
, oder wann
m = + 2
und
n = —2
ist.
Es ist auch ferner nicht moͤglich wann
m = ff
und
n = —ff.
Dann als dann wuͤrde das Product dersel ben
p
4
- f
4
q
4
eine Differenz von zwey Biquadraten seyn, welche niemahls ein Quadrat werden kann.
Eben so wann
m = 2ff
und
n = —2ff
, so koͤnnen auch diese Formeln
pp + 2ffqq
und
pp - 2ffqq
nicht beyde Quadrate werden, weil ihr Product
p
4
- 4f
4
q
4
auch ein Quadrat seyn muͤßte; folglich wann man setzt
fq = r
, diese Formel
p
4
- 4r
4
, wovon die Unmoͤglichkeit auch oben gezeigt worden.
Waͤre
Von der unbestimmten Analytic.
Waͤre ferner
m = 1
und
n = 2
, also daß die- se Formeln
pp + qq
und
pp + 2qq
Qua- drate seyn muͤßten, so setze man
pp + qq = rr
und
pp + 2qq = ss
; da wird aus der ersteren
pp = rr — qq
, und also die andere
rr + qq = ss
: daher muͤß- te so wohl
rr - qq
als
rr + qq
ein Quadrat seyn; und auch ihre Product
r
4
- q
4
muͤßte ein Quadrat seyn, welches unmoͤglich ist.
Hieraus sieht man nun zur Gnuͤge, daß es nicht leicht ist solche Zahlen fuͤr
m
und
n
zu waͤhlen, daß die Aufloͤsung moͤglich werde. Das einige Mittel sol- che Werthe fuͤr
m
und
n
zu finden ist, daß man dergleichen Faͤlle errathe, oder solcher Gestalt ausfuͤn- dig mache.
Man setzt
ff + mgg = hh
und
ff + ngg = kk
, so bekommt man aus der erstern
m
=
\frac{hh - ff}{gg}
, und aus der andern
n
=
\frac{kk - ff}{gg}
. Nimmt man nun fuͤr
f
,
g
,
h
und
k
Zahlen nach Belieben an, so bekommt man fuͤr
m
und
n
solche Werthe, da die Aufloͤsung moͤglich ist.
Es sey z. E.
h = 3
,
k = 5
,
f = 1
und
g = 2
; so wird
m = 2
und
n = 6
. Anjetzt sind wir versichert, daß es moͤglich sey die zwey Formeln
pp + 2qq
und
pp + 6qq
F f 4
zu
Zweyter Abschnitt
zu Quadrate zu machen, weil solches geschieht wann
p = 1
und
q = 2
. Die erste aber wird auf eine allge- meine Art ein Quadrat wann
p = rr - 2ss
und
q = 2rs
; dann da wird
pp + 2qq = (rr + 2ss)
2
. Die andere Formel aber wird alsdann
pp + 6qq = r
4
+ 20rrss + 4 s
4
, wovon ein Fall bekant ist, da dieselbe ein Quadrat wird, nemlich wann
p = 1
und
q = 2
, und welches geschieht wann
r = 1
und
s = 1
, oder wann uͤber haupt
r = s
; dann da wird unsere Formel 250
4
. Da wir nun diesen Fall wißen, so setzen wir
r = s + t
, so wird
rr = ss + 2st + tt
und
r
4
= s
4
+ 4s
3
t + 6sstt + 4st
3
+ t
4
; dahero unsere Formel seyn wird
25s
4
+ 44s
3
t + 26sstt + 4st
3
+ t
4
, davon sey die Wurzel
5ss + fst + tt
, wovon das Quadrat ist
25s
4
+ 10fs
3
t + 10sstt + 2fs t
3
+ ffsstt
+ t
4
, wo sich die ersten und letzten Glieder von selbst aufheben. Man nehme nun
f
so an, daß sich auch die letzten ohne eines aufheben, welches geschieht wann
4 = 2f
und
f = 2
; alsdann geben die uͤbrigen durch
sst
dividirt diese Gleichung
44s + 26t = 10fs + 10t + fft = 20s + 14t
, oder
2s = —t
und
\frac{s}{t}
= —½, dahero wird
s = —1
und
t = 2
, oder
t = —2s
, folglich
r = —s
und
rr = ss
, welches der bekante Fall selbst ist.
Man
Von der unbestimmten Analytic.
Man nehme
f
so an, daß sich die zweyten Glieder aufheben, welches geschieht wann
44 = 10f
, oder
f
=
\frac{22}{5}
; da dann die uͤbrigen Glieder durch
stt
dividirt geben
26s + 4t = 10s + ffs + 2ft
, das ist -
\frac{84}{25}
s
=
\frac{24}{5}
t
, folg- lich
t
= —
\frac{7}{10}
s
und also
r = s + t
=
\frac{3}{10}
s
, oder
\frac{r}{s}
=
\frac{3}{10}
: dahero
r = 3
, und
s = 10
: hieraus bekommen wir
p = 2ss — rr = 191
und
q = 2rs = 60
, woraus unsere For- meln werden:
pp + 2qq = 43681 = 209
2
, und
pp + 6qq = 58081 = 241
2
.
224.
Anmerckung: Dergleichen Zahlen fuͤr
m
und
n
, da sich unsere Formeln zu Quadrate machen laßen, koͤnnen nach der obigen Art noch mehr gefunden wer- den. Es ist aber zu mercken, daß die Verhaͤltniß dieser Zahlen
m
und
n
nach Belieben angenommen werden kann. Es sey diese Verhaͤltniß wie
a
zu
b
, und man setze
m = az
und
n = bz
, so kommt es nun darauf an wie man
z
bestimmen soll, daß die- se beyde Formeln
pp + azqq
und
pp + bzqq
zu Quadraten gemacht werden koͤnnen? welches wir in der folgenden Aufgabe zeigen wollen.
225.
IX.
Frage: Wann
a
und
b
gegebene Zahlen sind; die Zahl
z
zu finden, daß sich diese beyde Formeln
pp + azqq
F f 5
und
Zweyter Abschnitt
und
pp + bzqq
zu Quadraten machen laßen, und zugleich die kleinsten Werthe fuͤr
p
und
q
zu bestimmen?
Man setze
pp + azqq = rr
und
pp + bzqq = ss
, und man multiplicire die erstere mit
b
die andere aber mit
a
, so giebt die Differenz derselben diese Gleichung
(b - a)pp = brr - ass
und also
pp
=
\frac{brr - ass}{b - a}
, welche For- mel also ein Quadrat seyn muß. Da nun solches geschieht wann
r = s
, so setze man um die Bruͤche weg zu bringen
r = s + (b - a)t
, so wird
pp
=
\frac{brr - ass}{b - a}
=
\frac{bss + 2b(b - a)st + b(b - a)^{2}tt - ass}{b - a}
=
\frac{(b - a)ss + 2b(b - a)st + b(b - a)^{2}tt}{b - a}
=
ss + 2bst + b(b - a)tt
. Nun setze man
p = s
+
\frac{x}{y}
t
, so wird
pp = ss
+
\frac{2x}{y}
.
st
+
\frac{xx}{yy}
tt = ss + 2bst + b(b - a)tt;
wo sich die
ss
aufheben, die uͤbrigen Glieder aber durch
t
dividirt und mit
yy
multiplicirt geben;
2bsyy + b(b - a)tyy = 2sxy + txx
, daraus
t
=
\frac{2sxy - 2bsyy}{b(b - a)yy - xx}
, dahero
\frac{t}{s}
\frac{2xy - 2byy}{b(b - a)yy - xx}
. Hieraus bekommt man
t = 2xy - 2byy
und
s = b(b - a)yy - xx
; ferner
r = 2(b - a)xy — b(b - a)yy - xx
, und daraus
p = s
+
\frac{x}{y}
.
t = b(b - a)yy + xx - 2bxy = (x - by)
2
- abyy
. Da wir nun
p
nebst
r
und
s
gefunden haben, so ist noch uͤbrig
z
zu suchen. Man subtrahire zu diesem Ende die erste Gleichung
pp + azqq = rr
von der andern
pp
Von der unbestimmten Analytic.
pp + bzqq = ss
, so giebt der Rest
zqq(b - a) = ss — rr = (s + r). (s - r)
. Da nun
s + r = 2(b - a)xy — 2xx
und
s - r = 2b(b - a)yy - 2(b - a)xy
; oder
s + r = 2x((b - a)y - x)
und
s - r = 2(b - a)y(by - x)
, so wird
(b - a)zqq = 2x((b —; a)y - x). 2(b - a)y(by - x)
oder
zqq = 2x((b - a)y - x). 2y(by - x)
oder
zqq = 4xy((b - a)y - x)(by - x)
; folglich
z
=
\frac{4xy((b - a)y - x)(by - x)}{qq}
.
Daher fuͤr
qq
das groͤßte Quadrat genommen werden muß, dadurch sich der Zehler theilen laͤßt: fuͤr
p
aber haben wir schon gefunden
p = b(b - a)yy + xx - 2bxy = (x - by)
2
- abyy
, woraus man sieht daß diese Formeln leichter und einfacher werden, wann man setzet:
x = v + by
oder
x - by = v
: dann da wird
p = vv - abyy
, und
z
=
\frac{4(v + by) \cdot y \cdot v(v + ay)}{qq}
oder
z
=
\frac{4vy(v + ay)(v + ay)}{qq}
: wo die Zahlen
v
und
y
nach Belieben genommen werden koͤnnen, und alsdann findet man erstlich
qq
, in- dem dafuͤr das groͤßte Quadrat genommen wird, so in dem Zehler enthalten ist, woraus sich so dann
z
ergiebt; da dann
m = az
und
n = bz
, endlich aber
p = vv - ab yy
wird; und hieraus bekommt man die ge- suchten Formeln.
I.
Zweyter Abschnitt
I. pp + azqq = (vv - abyy)
2
+ 4avy(v + ay) (v + by)
, welche ein Quadrat ist, davon die Wurzel
r = —vv - 2avy - abyy
ist.
II.
Die zweyte Formel aber wird
pp + bz qq = (vv - abyy)
2
+ 4bvy (v + ay) (v + by)
, welches auch ein Quadrat ist, davon die Wurzel
s = —vv - 2bvy - abyy
: wo die Werthe von
r
und
s
auch positiv genommen werden koͤnnen: dieses wird dienlich seyn mit einigen Exempeln zu erlaͤutern.
226.
I.
Exempel:
Es sey
a = —1
und
b = + 1
, und man suche Zahlen fuͤr
z
allso daß diese zwey Formeln
pp - zqq
und
pp + zqq
Quadrate werden koͤnnen? die erstere nemlich =
rr
, und die andere =
ss.
Hier wird
p = vv + yy
und man hat also um
z
zu finden diese Formel zu betrachten
z
=
\frac{4vy(v - y)(v + y)}{qq}
, da wir dann fuͤr
v
und
y
verschiedene Zahlen annehmen und dar- aus fuͤr
z
die Werthe suchen wollen, wie hier folget.
Von der unbestimmten Analytic.
woraus folgende Formeln aufgeloͤset und zu Qua- drate gemacht werden koͤnnen.
I.
Koͤnnen diese zwey Formeln zu Quadrate ge- macht werden
pp - 6qq
und
pp + 6qq
, wel- ches geschieht wann
p = 5
und
q = 2
. Dann da wird die erste = 25 - 24 = 1; und die an- dere = 25 + 24 = 49.
II.
Koͤnnen auch diese zwey Formeln zu Quadraten gemacht werden
pp - 30qq
und
pp + 30qq
, welches geschieht wann
p = 13
und
q = 2
; dann da wird die erste = 169 - 120 = 49, die andere aber = 169 + 120 = 289.
III.
Koͤnnen auch diese zwey Formeln Quadrate werden
pp - 15qq
und
pp + 15qq
, welches ge-
schieht
Zweyter Abschnitt
schieht wann
p
= 17 und
q
= 4, dann da wird die erste = 289 - 240 = 49, und die andere 289 + 240 = 529.
IV.
Koͤnnen auch diese zwey Formeln Quadrate wer- den
pp - 5qq
und
pp + 5qq
, welches geschieht wann
p = 41
und
q = 12
, dann da wird die erste 1681 - 720 = 961 = 31
2
, die andere aber 1681 + 720 = 2401 = 49
2
.
V.
Koͤnnen auch diese zwey Formeln Quadrate werden,
pp - 7qq
und
pp + 7qq
, welches geschieht wann
p
= 337 und
q
= 120; dann da wird die erste 113569 - 100800 = 12769 = 113
2
, und die andere 113569 + 100800 = 214369 = 463
2
.
VI.
Koͤnnen auch diese zwey Formeln Quadrate werden,
pp - 14qq
und
pp + 14qq
: wel- ches geschieht wann
p = 65
und
q = 12
: dann da wird die erste 4225 - 2016 = 2209 = 47
2
und die andere 4225 + 2016 = 6241 = 79
2
.
227.
II.
Exempel:
Wann die beyden Zahlen
m
und
n
sich verhalten wie 1 : 2, das ist wann
a = 1
und
b = 2
, also
m = z
und
n = 2z
, so sollen die Werthe fuͤr
z
ge- funden werden, so daß diese Formeln
pp + zqq
und
pp + 2zqq
zu Quadraten gemacht werden koͤnnen.
Man
Von der unbestimmten Analytic.
Man hat nicht noͤthig hier die obigen zu allgemeinen Formeln zu gebrauchen, sondern dieses Exempel konn so gleich auf das vorige gebracht werden. Dann setzt man
pp + zqq = rr
und
pp + 2zqq = ss
, so be- kommt man aus der erstern
pp = rr - zqq
welcher Werth fuͤr
pp
in der zweyten gesetzt giebt
rr + zqq = ss
; folglich muͤßen diese zwey Formeln
rr - zqq
und
rr + zqq
zu Quadrate gemacht werden koͤnnen, wel- ches der Fall des vorigen Exempels ist. Also hat man auch hier fuͤr
z
folgende Werthe 6, 30, 15, 5, 7, 14, etc.
Eine solche Verwandelung kann auch allgemein ange- stellt werden. Wann wir annehmen, daß diese zwey For- meln
pp + mqq
und
pp + nqq
zu Quadraten ge- macht werden koͤnnen, so laßt uns setzen
pp + mqq = rr
und
pp + nqq = ss
, so giebt die erstere
pp = rr — mqq
, und also die zweyte
ss = rr - mqq + nqq
oder
rr + (n - m)qq = ss
; wann dahero die er- steren Formeln moͤglich sind, so sind auch diese
rr - mqq
und
rr + (n - m)qq
moͤglich; und da wir
m
und
n
unter sich verwechseln koͤnnen, so sind auch diese moͤglich
rr - nqq
und
rr + (m - n)qq
: sind aber jene Formeln unmoͤglich so sind auch diese unmoͤglich.
III.
Zweyter Abschnitt
228.
III.
Exempel:
Es seyen die Zahlen
m
und
n
wie 1 : 3, oder
a = 1
und
b = 3
, also
m = z
und
n = 3z
, so daß diese Formeln
pp + zqq
und
pp + 3zqq
zu Quadrate gemacht werden sollen.
Weil hier
a = 1
und
b = 3
, so wird die Sache moͤg- lich so oft
zqq = 4vy(v + y)(v + 3y)
, und
p = vv — 3yy
. Man nehme dahero fuͤr
v
und
y
folgende Werthe.
Hier haben wir nun zwey Faͤlle fuͤr
z = 2
, daraus wir auf zweyerley Art diese Formeln
pp + 2qq
und
pp + 6qq
zu Quadraten machen koͤnnen, erstlich ge- schieht dieses wann
p = 2
und
q = 4
, folglich auch wann
p = 1
und
q = 2
; Dann da wird
pp + 2qq = 9
und
pp + 6qq = 25
. Hernach geschieht es auch wann
p = 191
und
q = 60
, dann da wird
pp + 2qq = (209)
2
und
pp
Von der unbestimmten Analytic.
pp + 6qq = (241)
2
. Ob aber nicht auch seyn koͤnnte
z = 1
? welches geschehen wuͤrde wann fuͤr
zqq
ein Quadrat heraus kaͤme, ist schwer zu entscheiden. Wollte man nun diese Frage eroͤrtern, ob diese zwey For- meln
pp + qq
und
pp + 3qq
zu Quadraten gemacht werden koͤnnen oder nicht? so koͤnnte man die Unter- suchung auf folgende Art anstellen.
229.
Man soll allso untersuchen ob diese zwey Formeln
pp + qq
und
pp + 3qq
zu Quadraten gemacht wer- den koͤnnen oder nicht? Man setze
pp + qq = rr
und
pp + 3qq = ss
, so sind folgende Puncte zu be- dencken:
I.
Koͤnnen die Zahlen
p
und
q
als untheilbar unter sich angesehen werden; dann wann sie einen gemeinen Theiler haͤtten, so wuͤrden die Formeln noch Quadrate bleiben, wann
p
und
q
dadurch getheilt wuͤrde.
II.
Kann
p
keine gerade Zahl seyn; dann da wuͤrde
q
ungerad, und also die zweyte Formel eine Zahl von dieser Art
4n + 3
seyn, welche kein Quadrat werde kann; dahero ist
p
nothwen- dig ungerad, und
pp
eine Zahl von dieser Art
8n + 1
.
II
Theil
G g
III.
Zweyter Abschnitt
III.
Da nun
p
ungerad ist, so muß aus der ersten Form
q
nicht nur gerad, sondern so gar durch 4 theilbar seyn, damit
qq
eine Zahl werde von dieser Art
16n
; und
pp + qq
von dieser Art
8n + 1
IV.
Ferner kann
p
nicht durch 3 theilbar seyn; dann da wuͤrde
pp
sich durch 9 theilen laßen
qq
aber nicht, folglich 3
qq
nur durch 3, nicht aber durch 9, und also auch
pp + 3qq
durch 3 nicht aber durch 9, und demnach kein Qua- drat seyn; folglich kann die Zahl
p
nicht durch 3 theilbahr seyn, dahero
pp
von der Art
3n + 1
seyn wird.
V.
Da sich
p
nicht durch 3 theilen laͤßt, so muß sich
q
durch 3 theilen laßen: dann waͤre
q
nicht durch 3 theilbar, so waͤre
qq
eine Zahl von dieser Art
3n + 1
, und dahero
pp + qq
von dieser Art
3n + 2
, welche kein Quadrat seyn kann: folglich muß
q
durch 3 theilbar seyn.
VI.
Auch kann
p
nicht durch 5 theilbahr seyn; dann waͤre dieses, so waͤre
q
nicht durch 5 theilbar und
qq
eine Zahl von der Art
5n + 1
oder
5n + 4
, also
3qq
eine Zahl von der Art
5n
Von der unbestimmten Analytic.
5n + 3
oder
5n + 2
, und von welcher Art auch
pp + 3qq
seyn wuͤrde, also koͤnnte diese Formel kein Quadrat seyn; dahero dann
p
nothwen- dig nicht durch 5 theilbar seyn kann, und also
pp
eine Zahl von der Art
5n + 1
oder
5n + 4
seyn muß.
VII.
Da nun
p
nicht durch 5 theilbar ist, so wollen wir sehen, ob sich
q
durch 5 theilen laße oder nicht? Waͤre
q
nicht theilbar durch 5, so waͤre
qq
von dieser Art
5n + 2
oder
5n + 3
, wie wir gesehen haben, und da
pp
entweder
5n + 1
oder
5n + 4
, so wuͤrde
pp + 3qq
seyn entweder
5n + 1
oder
5n + 4
eben wie
pp
; es sey
pp = 5n + 1
, so muͤßte seyn
qq = 5n + 4
, weil sonst
pp + qq
kein Quadrat seyn koͤnnte: als- dann aber waͤre
3qq = 5n + 2
, und
pp + 3qq = 5n + 3
; welches kein Quadrat seyn kann; waͤre aber
pp = 5n + 4
, so muͤßte seyn
qq = 5n + 1
und
3qq = 5n + 3
folglich
pp + 3qq = 5n + 2
, welches auch kein Quadrat seyn kann: woraus folget daß
qq
durch 5 theilbar seyn muͤße.
G g 2
VIII.
Zweyter Abschnitt
VIII.
Da nun
q
erstlich durch 4, hernach durch 3, und drittens auch durch 5 theilbar seyn muß, so muß
q
eine solche Zahl seyn 4. 3. 5
m
, oder
q = 60m
; dahero unsere Formeln seyn wuͤrden
pp + 3600mm = rr
und
pp + 10800mm = ss
: da dann die erste von der zwey- ten subtrahirt giebt
7200mm = ss - rr = (s + r) (s - r)
; also daß
s + r
und
s - r
Factores seyn muͤßen von
7200mm
: wobey zu mercken daß so wohl
s
als
r
ungerade Zahlen seyn muͤßen, und dabey unter sich untheilbar.
IX.
Es sey demnach
7200mm = 4fg
oder die Factores davon
2f
und
2g
, und man setze
s + r = 2f
und
s - r = 2g
, so wird
s = f + g
, und
r = f - g
; da dann
f
und
g
unter sich un- theilbar seyn muͤßen, und die eine gerad und die andere ungerad. Da nun
fg = 1800mm
, so muß man
1800mm
in zwey Factores zerle- gen, deren einer gerad, der andere aber un- gerad sey, beyde aber unter sich keinen gemeinen Theiler haben.
X.
Ferner ist auch zu mercken, daß da
rr = pp + qq
und also
r
ein Theiler von
pp + qq
,
die
Von der unbestimmten Analytic.
die Zahl
r = f - g
auch eine Summe von zwey Quadraten seyn, und weil dieselbe un- gerad, in der Form
4n + 1
enthalten seyn muͤße.
XI.
Nehmen wir erstlich an
m = 1
, so wird
fg = 1800 = 8. 9. 25
, woraus folgende Zerlegungen ent- springen;
f = 1800
und
g = 1
, oder
f = 200
und
g = 9
, oder
f = 72
und
g = 25
, oder
f = 225
und
g = 8
; aus dem ersten wird
r = f - g = 1799 = 4n + 3
; nach der andern wuͤrde
r = f — g = 191 = 4n + 3
; nach der dritten wuͤrde
r = f - g = 47 = 4n + 3
; nach der vierten aber
r = f - g = 217 = 4n + 1
; dahero die drey ersten wegfallen, und nur die vierte uͤbrig bleibt; woraus man uͤberhaupt schließen kann, daß der groͤßere Factor ungerad, der kleinere aber gerad seyn muͤße; aber hier kann auch der Werth
r = 217
nicht statt finden, weil sich diese Zahl durch 7 theilen laͤßt, die keine Summe von zwey Quadraten ist.
XII.
Nimmt man
m = 2
, so wird
fg = 7200 = 32. 225
, daher nimmt man
f = 225
und
g = 32
, also daß
r = f - g = 193
, welche Zahl wohl eine Summe von zwey Quadraten ist und also ver-
G g 3
die
Zweyter Abschnitt
dienet probirt zu werden: da nun
q
= 120 und
r = 193
, so wird weil
pp = rr - qq = (r + q). (r - q)
, allso
r + q = 313
und
r - q = 73
, allso sieht man wohl daß fuͤr
pp
kein Quadrat heraus komme, weil diese Factoren nicht Quadrate sind. Wollte man sich die Muͤhe geben fuͤr
m
noch andere Zahlen zu nehmen, so wuͤrde doch alle Arbeit vergebens seyn, wie wir noch zeigen wollen.
230.
Lehr-Satz.
Es ist nicht moͤglich, daß diese zwey For- meln
pp + qq
und
pp + 3qq
zugleich Quadrate wer- den; oder in den Faͤllen, da die eine ein Quadrat wird, ist die andere gewis keines.
Welches also bewiesen wird.
Da
p
ungerad und
q
gerad ist, wie wir gesehen haben, so kann
pp + qq
nicht anders ein Quadrat seyn, als wann
q = 2rs
und
p = rr - ss
; die andere aber
pp + 3qq
kann nicht anders ein Quadrat seyn, als wann
q = 2 tu
und
p = tt - 3uu
oder
p = 3uu - tt
. Weil nun in beyden Faͤllen
q
ein doppeltes Product seyn muß, so setze man fuͤr beyde
q
= 2abcd und nehme fuͤr die erste
r = ab
und
s = cd
; fuͤr die andere aber
t =
Von der unbestimmten Analytic.
t = ac
und
u = bd
, so wird fuͤr die erstere
p = aabb — ccdd
, fuͤr die andere aber
p = aacc - 3bbdd
, oder
p = 3bbdd - aacc
, welche beyde Werthe einerley seyn muͤßen; dahero wir bekommen entweder
aabb - ccdd = aacc - 3bbdd
, oder
aabb - ccdd = 3bbdd - aacc
: wobey zu mercken daß die Zahlen
a
,
b
,
c
und
d
uͤberhaupt kleiner sind als
p
und
q
. Wir muͤßen also einen jeden dieser beyden Faͤlle besonders erwegen; aus dem erstern erhalten wir
aabb + 3bbdd = aacc + ccdd
oder
bb(aa + 3dd) = cc(aa + dd)
, daraus wird
\frac{bb}{cc}
=
\frac{aa + dd}{aa + 3dd}
, welcher Bruch ein Quadrat seyn muß. Hier kann aber der Zehler und Nenner keinen andern gemeinen Theiler haben als 2, weil die Differenz darzwischen
2dd
ist. Sollte dahero 2 ein gemeiner Theiler seyn, so muͤßte so wohl
\frac{aa + dd}{2}
als auch
\frac{aa + 3dd}{2}
ein Quadrat seyn, beyde Zahlen aber
a
und
d
sind in diesem Fall ungerad und also ihre Quadrate von der Form
8n + 1
, dahero die letztere Formel
\frac{aa + 3dd}{2}
diese Form
4n + 2
haben wird und kein Quadrat seyn kann: folglich kann 2 kein ge- meiner Theiler seyn, sondern der Zehler
aa + dd
und der Nenner
aa + 3dd
sind unter sich untheilbar; da- hero ein jeder fuͤr sich ein Quadrat seyn muß. Weil nun
G g 4
diese
Zweyter Abschnitt
diese Formeln den ersten aͤhnlich sind, so folgt, daß wann die ersten Quadrate waͤren, auch in kleinern Zah- len gleichen Formeln Quadrate seyn wuͤrden, und so koͤnnte man immer auf kleinere Zahlen kommen. Da es nun in kleinern Zahlen dergleichen nicht giebt, so kann es auch nicht in den groͤßten Zahlen derglei- chen geben.
Dieser Schluß ist aber nur in so fern richtig, als auch der obige zweyte Fall
aabb - ccdd = 3bbdd — aacc
auf dergleichen fuͤhrt: hieraus aber wird
aabb + aacc = 3bbdd + ccdd
, oder
aa(bb + cc) = dd(3bb + cc)
, und dahero
\frac{aa}{dd}
=
\frac{bb + cc}{3bb + cc}
=
\frac{cc + bb}{cc + 3bb}
, welcher Bruch ein Quadrat seyn muß, allso daß dadurch der vorige Schluß vollkommen bestaͤtiget wird; indem wann es in den groͤßten Zahlen solche Faͤlle gaͤbe, da
pp + qq
und
pp + 3qq
Quadrate waͤren, auch dergleichen in den kleinsten Zahlen vorhanden seyn muͤßten, welches doch nicht statt findet.
231.
XII.
Frage: Man soll drey solche Zahlen finden
x
,
y
und
z
, so daß wann je zwey mit einander multiplicirt wer- den und zum Product 1 addirt wird, ein Quadrat her- auskomme?
Es
Von der unbestimmten Analytic.
Es muͤßen also diese drey Formeln zu Quadraten gemacht werden:
I. xy + 1; II. xz + 1; III. yz + 1;
Man setze vor die beyden letztern
xz + 1 = pp
und
yz + 1 = qq
, so findet man daraus
x
=
\frac{pp - 1}{z}
und
y
=
\frac{qq - 1}{z}
, woraus die erste Formel wird
\frac{(pp - 1)(qq - 1)}{zz}
+ 1, welche ein Quadrat seyn soll, und also auch mit
zz
multiplicirt, das ist
(pp - 1)(qq - 1) + zz
, welche leicht dazu gemacht werden kann. Dann setzt man die Wurzel davon
= z + r
, so be- kommt man
(pp - 1)(qq - 1) = 2rz + rr
, und da- hero
z
=
\frac{(pp - 1)(qq - 1) - rr}{2r}
, wo fuͤr
p
,
q
und
r
beliebige Zahlen angenommen werden koͤnnen.
Es sey z. E.
r = —pq - 1
, so wird
rr = ppqq + 2pq + 1
und
z
=
\frac{- 2pq - pp - qq}{- 2pq - 2}
=
\frac{pp + 2pq + qq}{2pq + 2}
, folglich
x
=
\frac{(pp - 1)(2pq + 2)}{pq + 2pq + qq}
=
\frac{2(pq + 1)(pp - 1)}{(p + q)^{2}}
, und
y
=
\frac{2(pq + 1)(qq - 1)}{(p + q)^{2}}
.
Will man aber gantze Zahlen haben, so setze man fuͤr die erste Formel
xy + 1 = pp
und nehme
z = x + y + q
, so wird die zweyte Formel
xx + xy + xq + 1 = xx + qx + pp
; die dritte aber wird
xy + yy + qy + 1 = yy + qy + pp
, welche offen-
G g 5
bar
Zweyter Abschnitt
bar Quadrate werden, wann man nimmt
q = ± 2p
; dann da wird die zweyte
xx ± 2px + pp
davon die Wurzel ist
x ± p
, die dritte aber wird
yy ± 2py + pp
davon die Wurzel ist
y ± p
; dahero haben wir diese sehr nette Aufloͤsung:
xy + 1 = pp
oder
xy = pp - 1
, welches fuͤr eine jede Zahl, so fuͤr
p
an- genommen wird, leicht geschehen kann; und hernach ist die dritte Zahl auf eine doppelte Art entweder
z = x + y + 2p
oder
z = x + y - 2p
, welches wir durch folgende Exempel erlaͤutern wollen:
I.
Man nehme
p = 3
, so wird
pp - 1 = 8
: nun setze man
x = 2
und
y = 4
, so wird entweder
z = 12
oder
z = 0
: und also sind die drey gesuchten Zahlen 2, 4 und 12.
II.
Es sey
p = 4
, so wird
pp - 1 = 15
: nun nehme man
x = 5
, und
y = 3
, so wird
z = 16
oder
z = 0
: und sind die drey gesuchten Zahlen 3, 5 und 16.
III.
Es sey
p = 5
, so wird
pp - 1 = 24
: nun nehme man
x = 3
und
y = 8
, so wird
z = 21
, oder auch
z = 1
: woraus folgende Zahlen entspringen, entweder 1, 3 und 8, oder 3, 8 und 21.
XIII.
Von der unbestimmten Analytic.
232.
XIII.
Frage: Man suche drey gantze Zahlen
x
,
y
und
z
, so daß wann zu dem Product aus je zweyen eine gegebene Zahl
a
addirt wird, jedes mahl ein Qua- drat heraus komme?
Es muͤßen also diese drey Formeln Quadrate wer- den
I. xy + a; II. xz + a; III. yz + a
. Nun setze man fuͤr die erste
xy + a = pp
, und nehme
z = x + y + q
, so wird die zweyte
xx + xy + xq + a = xx + xq + pp
und die dritte
xy + yy + yq + a = yy + qy + pp
, welche beyde Quadrate werden, wann
q = ± 2p
; also daß
z = x + y ± 2p
, und dahero fuͤr
z
zwey Werthe gefunden werden koͤnnen.
233.
XIV.
Frage: Man verlangt vier gantze Zahlen
x
,
y
,
z
und
v
, so daß wann zum Product aus je zweyen eine gegebene Zahl
a
addirt wird, jedesmahl ein Quadrat herauskomme?
Es muͤßen also folgende sechs Formeln zu Quadraten gemacht werden:
I. xy + a; II. xz + a; III. yz + a; IV. xv + a; V. yv + a;
VI.
Zweyter Abschnitt
VI. zv + a
. Nun setze man vor die erste
xy + a = pp
und nehme
z = x + y + 2p
, so wird die zweyte und dritte Formel ein Quadrat. Ferner nehme man
v = x + y - 2p
, so wird auch die vierte und die fuͤnfte ein Quadrat, und bleibt also nur noch die sechste uͤbrig, welche seyn wird
xx + 2xy + yy - 4pp + a
, welche ein Quadrat seyn muß. Da nun
pp = xy + a
, so wird diese letzte Formel
xx - 2xy + yy - 3a
, folg- lich muͤßen noch diese zwey Formeln zu Quadraten ge- macht werden
I. xy + a = pp
und
II. (x - y)
2
—3a
. Von der letztern sey die Wurzel
(x - y) - q
, so wird
(x - y)
2
- 3a = (x - y)
2
- 2q(x - y) + qq
, und da wird
— 3a = —2q (x - y) + qq
und folglich
x - y
=
\frac{qq + 3a}{2q}
oder
x = y
+
\frac{qq + 3a}{2q}
; hieraus wird
pp = yy
+
\frac{qq + 3a}{2q}
y + a
. Man nehme
p = y + r
, so wird
2ry + rr
=
\frac{qq + 3a}{2q}
y + a
, oder
4qry + 2qrr = (qq + 3a)y + 2aq
, oder
2qrr - 2aq = (qq + 3a)y — 4qry
und
y
=
\frac{2qrr - 2qq}{qq + 3a - 4qr}
, wo
q
und
r
nach Belie- ben angenommen werden koͤnnen, und es also nur darauf ankommt, daß vor
x
und
y
gantze Zahlen herauskommen. Dann weil
p = y + r
so werden auch
z
und
v
gantz seyn. Hier kommt es aber haupt- saͤchlich auf die Beschaffenheit der gegebenen Zahl
a
an,
wo
Von der unbestimmten Analytic.
wo die Sache mit den gantzen Zahlen noch einige Schwierigkeit haben koͤnnte; allein es ist zu bemer- cken, daß diese Aufloͤsung schon dadurch sehr ein- geschraͤnckt worden, daß den Buchstaben
z
und
v
die Werthe
x + y ± 2p
gegeben worden, indem die- selben nothwendig noch viel andere haben koͤnnten. Wir wollen zu diesem Ende uͤber diese Frage folgende Betrachtungen anstellen, welche auch in andern Faͤllen ihren Nutzen haben koͤnnen.
I.
Wann
xy + a
ein Quadrat seyn soll und also
xy = pp - a
, so muͤßen die Zahlen
x
und
y
immer in dieser aͤhnlichen Form
rr - ass
enthalten seyn: wann wir demnach setzen
x = bb - acc
und
y = dd - aee
, so wird
xy = (bd - ace)
2
- a(be - cd)
2
. Ist nun
be - cd = ± 1
, so wird
xy = (bd - ace)
2
— a
, und also
xy + a = (bd - ace)
2
.
II.
Setzen wir nun ferner
z = ff - agg
und nehmen die Zahlen
f
und
g
allso an, daß
bg - cf = ± 1
und auch
dg - ef = ± 1
, so werden auch diese Formeln
xz + a
und
yz + a
Quadrate werden. Es kommt also nur dar- auf an, solche Zahlen fuͤr
b
,
c
und
d
,
e
und
auch
Zweyter Abschnitt
auch fuͤr
f
und
g
zu finden, daß die obige Ei- genschaft erfuͤllt werde.
III.
Wir wollen diese drey Paar Buchstaben durch diese Bruͤche vorstellen
\frac{b}{c}
,
\frac{d}{e}
und
\frac{f}{g}
, welche demnach also beschaffen seyn muͤßen, daß die Differenz zwischen je zweyen durch einen Bruch ausgedruͤckt werde, dessen Zehler = 1. Dann da
\frac{b}{c}
-
\frac{d}{e}
=
\frac{be - dc}{ce}
so muß dessen Zehler, wie wir gesehen haben, allerdings ± 1 seyn. Man kann hier einen von diesen Bruͤchen nach Belieben annehmen, und leicht einen andern dazu finden, so daß die gemeldte Bedingung statt finde.
Es sey z. E. der erste
\frac{b}{c}
=
\frac{3}{2}
, so muß der zweyte
\frac{d}{e}
diesem beynahe gleich seyn. Es sey
\frac{d}{e}
=
\frac{4}{3}
, so wird die Differenz
z
= ⅙. Man kann auch diesen zweyten Bruch aus dem ersten auf eine allgemeine Art bestim- men; dann da
\frac{3}{2}
-
\frac{d}{e}
=
\frac{3e - 2d}{2e}
, so muß seyn
3e - 2d = 1
, also
2d = 3e - 1
und
d = e
+
\frac{e - 1}{2}
. Man nehme dahero
\frac{e - 1}{2}
=
m
oder
e = 2m + 1
, so bekommen wird
d = 3m + 1
und unser zweyter Bruch wird seyn
\frac{d}{e}
=
\frac{3m + 1}{2m + 1}
Eben so kann auch zu einem jeglichen ersten Bruch der
zwey-
Von der unbestimmten Analytic.
zweyte gefunden werden, wovon wir folgende Exem- pel beyfuͤgen wollen.
IV.
Hat man zwey solche Bruͤche fuͤr
\frac{b}{c}
und
\frac{d}{e}
gefun- den, so ist es gantz leicht dazu einen dritten
\frac{f}{g}
zu finden, welcher mit den beyden erstern in gleicher Verhaͤltnuͤß steht. Man darf nur setzen
f = b + d
und
g = c + e
, also daß
\frac{f}{g}
=
\frac{b + d}{c + e}
, dann da aus den zwey ersten ist
b e — c d
= ± 1 so wird
\frac{f}{g}
-
\frac{b}{c}
=
\frac{∓ 1}{cc + ce}
. Eben so wird auch der zweyteweniger den dritten
\frac{f}{g}
-
\frac{d}{e}
=
\frac{be - cd}{ee + ce}
=
\frac{\pm 1}{ce + ee}
.
V.
Hat man nun drey solche Bruͤche gefunden
\frac{b}{c}
,
\frac{d}{e}
, und
\frac{f}{g}
, so kann man daraus so gleich un- sere Frage fuͤr drey Zahlen
x
,
y
und
z
aufloͤ- sen, also daß diese drey Formeln
x y + a
,
x z + a
und
y z + a
Quadrate werden. Dann man darf nur setzen
x = bb - a cc
,
y = dd — a ee
und
z = ff - a gg.
Man nehme z. E.
aus
Zweyter Abschnitt
aus der obigen Tafel
\frac{b}{c}
=
\frac{5}{3}
und
\frac{d}{e}
=
\frac{7}{4}
, so wird
\frac{f}{e}
=
\frac{12}{7}
; woraus man erhaͤlt
x = 25 - 9 a y = 49 - 16a
und
z = 144 - 49a
; dann da wird
xy + a = 1225 - 840a + 144aa = (35 - 12a)
2
; ferner wird
x z + a = 3600 - 2520 a + 441 aa = (60 - 21 a)
2
und
y z + a = 7056 — 4704 a + 784 aa = (64 - 28 a)
2
.
234.
Sollen aber nach dem Inhalt der Frage vier der- gleichen Zahlen
x
,
y
,
z
und
v
gefunden werden, so muß man zu den drey obigen Bruͤchen noch einen vier- ten hinzufuͤgen. Es seyen demnach die drey erstere
\frac{b}{c}
,
\frac{d}{e}
,
\frac{f}{g}
=
\frac{b + d}{c + e}
, und man setze den vierten Bruch
\frac{h}{k}
=
\frac{d + f}{e + g}
=
\frac{2d + b}{2e + c}
, so daß er mit dem zweyten und dritten in dem gehoͤrigen Verhaͤltniß stehe: wann man nun nimmt
x = bb - aa cc; y = dd - a ee; z = ff - a gg
und
v = hh - a kk
, so werden schon folgende Bedingungen erfuͤllt:
I. xy + a
= □
□ deutet hier allenthalben eine Quadrat-Zahl an.
;
II. x z + a = □; III. y z + a = □; IV. y v + a = □; V. z v + a = □
; es ist also nur noch uͤbrig, daß auch
x v + a
ein Quadrat werde, welches von selbsten nicht geschieht, weil der erste
Bruch
Von der unbestimmten Analytic.
Bruch mit dem vierten nicht in dem gehoͤrigen Verhaͤlt- niß steht. Es ist demnach noͤhtig in den drey ersten Bruͤ- chen noch die unbestimmte Zahl
m
beyzubehalten, und dieselbe also zu bestimmen, daß auch
x v + a
ein Quadrat werde.
VI.
Man nehme demnach aus obiger Tabelle den ersten Fall und setze
\frac{b}{c}
=
\frac{3}{2}
und,
\frac{d}{e}
=
\frac{3 m + 1}{2 m + 1}
, so wird
\frac{f}{g}
=
\frac{3 m + 4}{2 m + 3}
und
\frac{h}{k}
=
\frac{6 m + 3}{4 m + 4^{4}}
. Hieraus wird
x = 9 - 4 a
und
v = (6 m + 5)
2
- a(4 m + 4)
2
also
x v + a = 9 (6 m + 5)
2
- 4 a (6 m + 5)
2
— 9 a (4 m + 4)
2
+ 4 aa (4 m + 4)
2
oder
x v + a = 9 (6 m + 5)
2
- a(288 mm + 538 m + 243) + 4 aa (4 m + 4)
2
, welche leicht zu einem Quadrat gemacht werden kann, weil
mm
mit einem Quadrat multiplicirt ist; wobey wir uns aber nicht aufhalten wollen.
VII.
Man kann auch solche Bruͤche dergleichen noͤthig sind auf eine allgemeinere Art anzeigen: dann es sey
\frac{b}{c}
=
\frac{I}{1}
,
\frac{d}{e}
=
\frac{nI - 1}{n}
; so wird
\frac{f}{g}
=
\frac{nI + I - 1}{n + 1}
und
\frac{g}{k}
=
\frac{2 n I + I - 2}{2 n + 1}
; man setze fuͤr den letzten
2 n + 1 = m
, so wird derselbe
\frac{1 m - 2}{m}
, folglich aus dem ersten
x = II - a
II
Theil
H h
und
Zweyter Abschnitt
und aus dem letzten
v = (I m - 2)
2
- a mm.
All so ist nur noch uͤbrig, daß
x v + a
ein Quadrat werde. Da nun
v = (II - a) mm - 4 I m + 4
und also
xv + a = (II - a)
2
mm - 4 (II - a) I m + 4 II - 3 a
, welches ein Quadrat seyn muß; davon setze man nun die Wurzel
(II - a) m — p
, wovon das Quadrat
(II - a)
2
mm — 2 (II - a) m p + pp
, woraus wir erhalten,
— 4 (II - a) I m + 4 II - 3a = - 2 (II - a) m p + p p
und
m
=
\frac{pp - 4 II + 3 a}{(II - a)(2 p - 4I)}
. Man nehme
p = 2 I + q
, so wird
m
=
\frac{4 I q + qq + 3a}{2 q(II - a)}
, wo fuͤr
I
und
q
beliebige Zahlen genommen werden koͤnnen.
Waͤre z. E.
a
= 1 so nehme man
I
= 2, da wird
m
=
\frac{4q + qq + 3}{6q}
: setzt man
q
= 1 so wird
m
=
\frac{4}{3}
und
m = 2 n
+ 1; wir wollen aber hierbey nicht weiter stehen bleiben, sondern zur folgenden Frage fort- schreiten.
235.
XV.
Frage: Man verlangt drey solche Zahlen
x
,
y
und
z
, daß so wohl die Summe als die Differen; von je zweyen ein Quadrat werde?
Es
Von der unbestimmten Analytic.
Es muͤßen also die folgende sechs Formeln zu Qua- draten gemacht werden :
I. x + y; II. x + z; III. y + z; IV. x - y; V. x - z; VI. y - z.
Man fange bey den drey letzten an, und setze
x - y = pp
,
x - z = qq
und
y - z = rr
, so bekommen wir aus den beyden letzten
x = qq + z
und
y = rr + z
, da- hero die erstere giebt
x - y = qq - rr = pp
, oder
qq = pp + rr
, also daß die Summe der Quadraten
pp + rr
ein Quadrat seyn muß, nemlich
qq
, welches geschieht wann
p = 2ab
und
r = aa - bb
, dann da wird
q = aa + bb.
Wir wollen aber inzwischen die Buch- staben
p
,
q
und
r
beybehalten und die drey erstern For- meln betrachten, da dann erstlich
x + y = qq + rr + zz
; zweytens
x + z = qq + 2 z
; drit- tens
y + z = rr + 2 z.
Man setze fuͤr die erstere
qq + rr + 2 z = tt
, so ist
2 z = tt - qq - rr
: dahero dann noch diese zwey Formeln zu Quadraten gemacht werden muͤßen
tt - rr
= □ und
tt - qq
= □, das ist
tt - (aa - bb)
2
= □ und
tt - (aa + bb)
2
= □, welche diese Gestalteu annehmen,
tt - a
4
- b
4
+ 2 aa bb
und
tt - 2
4
- b
4
— 2 aa bb
: weil nun so wohl
cc + dd + 2 c d
als
cc + dd - 2 cd
ein Quadrat ist, so sieht man daß wir unsern Endzweck erreichen, wann wir
tt - a
4
- b
4
mit
H h 2
cc + dd
Zweyter Abschnitt
cc + dd
und
2 aa bb
mit
2 c d
vergleichen. Um dieses zu bewerckstelligen, so laßet uns setzen
c d = aa bb = ff gg hh k k
und nehmen
c = ff g g
und
d = hh kk; aa = ff hh
und
bb = gg kk
oder
a = f h
und
b = g k
, woraus die erstere Gleichung
tt - a
4
- b
4
= cc + dd
diese Form erhaͤlt
tt - f
4
h
4
— g
4
k
4
= f
4
g
4
+ h
4
k
4
und also
tt = f
4
g
4
+ f
4
h
4
+ h
4
k
4
+ g
4
k
4
, das ist
tt = (f
4
+ k
4
)(g
4
+ h
4
)
welches Product also ein Quadrat seyn muß, davon aber die Aufloͤsung schwer fallen duͤrfte.
Wir wollen dahero die Sache auf eine andere Art angreiffen, und aus den drey erstern Gleichungen
x - y = pp; x - z = qq; y - z = rr
die Buchstaben
y
und
z
bestimmen, welche seyn werden
y = x - pp
und
z = x - qq
, also daß
qq = pp + rr.
Nun werden die ersten Formeln
x + y = 2 x - pp
,
x + z = 2 x - qq
; und
y + z = 2 x - pp - qq
; vor diese letzte setze man
2 x - pp — qq = tt
, also daß
2x = tt + pp + qq
und nur noch diese Formeln
tt + qq
und
tt + pp
uͤbrig bleiben, wel- che zu Quadraten gemacht werden muͤssen. Da nun aber seyn muß
qq = pp + rr
, so setze man
q = aa + bb
, und
p = aa - bb
, so wird
r = 2 ab
; woraus unsere For- meln seyn werden:
I. tt + (aa + bb)
2
= tt + a
4
+ b
4
+ 2 aabb
= □
II.
Von der unbestimmten Analytic.
II. tt + (aa - bb)
2
= tt + a
4
+ b
4
- 2 aa bb
= □.
Vergleichen wir nun hier wiederum
tt + a
4
+ b
4
mit
cc + dd
, und
2 aa bb
mit
2 cd
, so erreichen wir unsern Endzweck : wir setzen demnach wie oben
c = ff gg
,
d = hh kk
und
a = f h
,
b = g k
; so wird
c d = aa bb
, und muß noch seyn
tt + f
4
h
4
+ g
4
k
4
= cc + dd = f
4
g
4
+ h
4
k
4
; woraus folget
tt = f
4
g
4
— f
4
h
4
+ h
4
k
4
- g
4
k
4
= (f
4
- k
4
) (g
4
- h
4
).
Die Sache kommt also darauf an, daß zwey Differenzen zwischen zweyen Biquadraten gefunden werden, als
f
4
- k
4
und
g
4
- h
4
, welche mit einander multiplicirt ein Qua- drat machen.
Wir wollen zu diesem End die Formel
m
4
- n
4
be- trachten und zusehen was fuͤr Zahlen daraus entsprin- gen, wann fuͤr
m
und
n
gegebene Zahlen genommen werden, und dabey die Quadraten, so darinnen enthal- ten sind, besonders bemercken. Weil nun
m
4
- n
4
= (mm - nn) (mm + nn)
, so wollen wir daraus fol- gendes Taͤfelgen machen.
H h 3
Tabelle
Zweyter Abschnitt
Tabelle
Fuͤr die Zahlen welche in der Form
m
4
- n
4
enthalten sind
Hier-
Von der unbestimmten Analytic.
Hieraus koͤnnen wir schon einige Aufloͤsungen geben: man nehme nemlich
ff
= 9 und
kk
= 4, so wird
f
4
- k
4
= 13. 5: ferner nehme man
gg
= 81, und
hh
= 49, so wird
g
4
- h
4
= 64. 5. 13, woraus
tt
= 64. 25. 169; folglich
t
= 520. Da nun
tt
= 270400;
f
= 3;
g
= 9;
k
= 2;
h
= 7, so bekommen wir
a
= 21;
b
= 18; hieraus
p
= 117,
q
= 765 und
r
= 756; daraus findet man
2 x = tt + pp + qq
= 869314 und also
x
= 434657; dahero ferner
y = x - pp
= 420968; und end- lich
z = x - qq
= —150568; welche Zahl auch positiv ge- nommen werden kann, weil als dann die Summe in der Differenz und umgekehrt die Differenz in der Summe verwandelt werden; folglich sind unsere drey gesuchten Zahlen.
x
= 434657
y
= 420968
z
= 150568
dahero wird
x + y
= 855625 = (925)
2
x + z
= 585225 = (765)
2
y + z
= 571536 = (756)
2
und weiter
x - y
= 13689 = (117)
2
x - z
= 284089 = (533)
2
y - z
= 270400 = (520)
2
H h 4
Noch
Zweyter Abschnitt
Noch andere Zahlen koͤnnen gefunden werden aus der obigen Tabelle, wann wir setzen
ff
= 9;
kk
= 4, und
gg
= 121,
hh
= 4; dann daraus wird
tt
= 13. 5. 5. 13. 9. 25. = 9. 25. 25. 169, also daß
t
= 3. 5. 5. 13 = 975. Weil nun
f
= 3,
g
= 11,
k
= 2 und
h
= 2, so wird
a = f h
= 6 und
b = g k
= 22: hier- aus wird,
p = aa - bb
= - 448,
q = aa + bb
= 520 und
r = 2 ab
= 264, daher bekommen wir
2x = tt + pp + qq
= 950625 + 200704 + 270400 = 1421729, dahero
x
=
\frac{1421729}{2}
, daraus
y = x - pp
=
\frac{102032^{1}}{2}
und
z = x - qq
= 880929. Nun ist zu mercken, daß wann diese Zahlen die gesuchte Eigenschaft haben, eben die- selben durch ein jegliches Quadrat multiplicirt, diese nehmliche Eigenschaft behalten muͤßen. Man nehme also die gefundenen Zahlen viermal groͤßer, so werden die drey folgenden gleichfals ein genuͤge leisten :
x
= 2843458,
y
= 2040642, und
z
= 1761858, wel- che groͤßer sind als die vorhergehenden; also daß jene fuͤr die kleinsten moͤglichen gehalten werden koͤnnen.
236.
XVI.
Frage: Man verlangt drey Quadrat- Zahlen, so daß die Differenz zwischen je zweyen ein Quadrat werde?
Die
Von der unbestimmten Analytic.
Die vorige Aufloͤsung dienet uns auch um diese aufzuloͤsen. Dann wann
x
,
y
und
z
sol- che Zahlen sind, daß diese Formeln Quadrate wer- den
I. x + y; II. x - y; III. x + z; IV. x - z; V. y + z; VI. y - z
; so wird auch das Product aus der ersten und zweyten
xx - yy
ein Quadrat, imgleichen auch das Product von der dritten und vierten
xx - zz
, und endlich auch das Pro- duct aus der fuͤnften und sechsten
yy - zz
ein
Qnadrat
seyn, dahero die drey hier gesuchten Quadrate seyn wer- den
xx
,
yy
und
zz.
Allein diese Zahlen werden sehr groß, und es giebt ohne Zweiffel weit kleinere, weil es eben nicht noͤthig ist, daß um
xx - yy
zu einem Quadrat zu machen, auch
x + y
und
x - y
ein je- des besonders ein Quadrat seyn muͤße, indem z. E. 25 - 9 ein Quadrat ist, da doch weder 5 + 3 noch 5 - 3 ein Quadrat ist. Wir wollen also diese Frage besonders aufloͤsen und zuerst bemercken, daß fuͤr das eine Quadrat 1 gesetzt werden kann. Dann wann
xx - yy
,
xx - zz
und
yy - zz
Quadrate sind, so bleiben dieselben auch Quadrate, wann sie durch
zz
dividirt werden; dahero diese Formeln zu Quadraten gemacht werden muͤßen
\frac{xx}{zz}
-
\frac{yy}{zz}
= □,
\frac{xx}{zz}
- 1 = □,
H h 5
und
Zweyter Abschnitt
und
\frac{yy}{zz}
- 1 = □. Allso kommt die Sache nur auf diese zwey Bruͤche
\frac{x}{z}
und
\frac{y}{z}
an: nimmt man nun
\frac{x}{z}
=
\frac{pp + 1}{pp - 1}
und
\frac{y}{z}
=
\frac{qq + 1}{qq - 1}
, so werden die zwey letztere Bedingungen erfuͤllt; dann da wird
\frac{xx}{zz}
- 1 =
\frac{4pp}{(pp - 1)^{2}}
und
\frac{yy}{zz}
- 1 =
\frac{4 qq}{(qq - 1)^{2}}
. Es ist also nur noch uͤbrig die erste Formel zu einem Quadrat zu machen, welche ist
\frac{xx}{zz}
-
\frac{yy}{zz}
=
\frac{(pp + 1)^{2}}{(pp - 1)^{2}}
—
\frac{(qq + 1)^{2}}{(qq - 1)^{2}}
=
\left(\frac{pp + 1}{pp - 1} + \frac{qq + 1}{qq - 1}\right)\left(\frac{pp + 1}{pp - 1} - \frac{qq + 1}{qq - 1}\right)
. Hier wird nun der erste Factor =
\frac{2 (pp qq - 1)}{(pp - 1) (qq - 1)}
, der andere aber =
\frac{2(qq - pp)}{(pp - 1) (qq - 1)}
, wovon das Product ist
\frac{4 (pp qq - 1)(qq - pp)}{(pp - 1)^{2} (qq - 1)^{2}}
. Weil nun der Nenner schon ein Quadrat und der Zehler mit dem Quadrat 4 multiplicirt ist, so ist noch noͤthig diese Formel zu einem Quadrat zu machen (
pp qq
- 1) (
qq - pp
), oder auch diese (
pp qq
- 1) (
\frac{qq}{pp}
- 1); welches geschieht wann genom- men wird
p q
=
\frac{ff + gg}{2fg}
und
\frac{a}{p}
=
\frac{hh + kk}{2hk}
, da dann ein jeder Factor besonders ein Quadrat wird. Hieraus ist nun
qq
=
\frac{ff + gg}{2fg}
.
\frac{bh + kk}{2hk}
; folglich muͤßen diese zwey Bruͤ- che mit einander multiplicirt ein Quadrat ausma- chen, und allso auch wann dieselben mit 4
ff gg. hh kk
multiplicirt werden, das ist
f g (ff + gg) hk (hh + kk)
; welche Fromel derjenigen, so im vorigen gefun- den worden, vollkommen aͤhnlich, wird, wann
man
Von der unbestimmten Analytic.
man setzt
f = a + b
,
g = a - b
,
h = c + d
und
k = c - d
: dann da kommt 2 (
a
4
- b
4
).2 (
c
4
- d
4
) = 4
(a
4
- b
4
) (c
4
- d
4
)
, welches, wie wir gesehen haben geschieht, wann
aa
= 9;
bb
= 4,
cc
= 81 und
dd
= 49, oder
a
= 3,
b
= 2,
c
= 9 und
d
= 7. Hieraus wird
f
= 5;
g
= 1;
h
= 16 und
k
= 2, und dahero
pq
=
\frac{13}{5}
und
\frac{q}{p}
=
\frac{260}{24}
=
\frac{65}{16}
; diese zwey Gleichungen mit einander multiplicirt geben
qq
=
\frac{65.13}{16.5}
=
\frac{13.13}{16}
, folg- lich
q
=
\frac{13}{4}
, dahero wird
p
= ⅘; dadurch bekommen wird
\frac{x}{z}
=
\frac{pp + 1}{pp - 1}
= -
\frac{41}{9}
und
\frac{y}{z}
= -
\frac{qq + 1}{qq - 1}
=
\frac{185}{153}
. Da nun
x
= -
\frac{41 z}{9}
und
y
=
\frac{185z}{153}
, so nehme man um gantze Zahlen zu bekommen
z
= 153, da wird
x
= —697 und
y
= 185, folglich sind die drey gesuchten Quadrat-Zah- len folgende:
xx
= 485809; dann da wird
xx - yy
= 451584 = (672)
2
yy
= 34225;
yy - zz
= 10816 = (104)
2
zz
= 23409;
xx - zz
= 462400 = (680)
2
welche Quadrate viel kleiner sind, als wann wir von den in der vorigen Frage gefundenen drey Zahlen
x
,
y
und
z
die Quadrate haͤtten nehmen wollen.
237.
Man wird hier einwenden, daß diese Aufloͤsung durch ein bloßes Probiren gefunden worden, indem
uns
Zweyter Abschnitt
uns dazu die obige Tabelle behuͤlflich gewesen. Wir ha- ben uns aber dieses Mittels nur bedienet, um die kleinste Aufloͤsung zu finden: wollte man aber darauf nicht sehen, so koͤnnen durch Huͤlfe der oben ge- gebenen Regeln unendlich viele Aufloͤsungen gegeben werden. Da es nemlich bey der letztern Frage dar- auf ankommt, daß dieses Product (
pp qq
- 1) (
\frac{qq}{pp}
- 1) zu einem Quadrat gemacht werde, weil alsdann seyn wird
\frac{x}{z}
=
\frac{pp + 1}{pp - 1}
und
\frac{y}{z}
=
\frac{qq + 1}{qq - 1}
, so setze man
\frac{q}{p}
=
m
oder
q = m p
, da dann unsere Formel seyn wird (
mm p
4
- 1) (
mm
- 1), welche offenbar ein Quadrat wird wann
p
= 1; und dieser Werth wird uns auf andere fuͤhren, wann wir setzen
p
= 1 +
s
, alsdann aber muß diese Formel ein Quadrat seyn (
mm
- 1). (
mm 1 + 4 mm s + 6 mm ss + 4 mm s
3
+ mms
4
) und also auch wann dieselbe durch das Quadrat (
mm
- 1)
2
dividirt wird, da dann herauskommt 1 +
\frac{4 mms}{mm - 1}
+
\frac{6 mmss}{mm - 1}
+
\frac{4 mm s^{3}}{mm - 1}
+
\frac{mm s^{4}}{mm - 1}
. Man setze hier der Kuͤrtze halber
\frac{mm}{mm - 1}
=
a
, also daß diese Formel 1 + 4
as + 6 ass + 4 as
3
+ as
4
ein Quadrat werden soll. Es sey die Wurzel davon 1 +
f s + g ss
deren Quadrat ist 1 + 2
fs + 2 g ss + ff ss + 2 fgs
2
+ gg s
4
, und man bestimme
f
und
g
also, daß
die
Von der unbestimmten Analytic.
die drey ersten Glieder wegfallen, welches geschieht wann 4
a = 2f
oder
f = 2a
, und
6a = 2g + ff
, folglich
g
=
\frac{6a - ff}{2}
=
3a - 2aa
, so geben die zwey letzten Glie- der diese Gleichung
4 a + a s = 2 fg + gg s
, woraus gefunden wird
s
=
\frac{4a - 2fg}{gg - a}
=
\frac{4a - 12 aa + 8a^{3}}{4a^{4} - 12a^{3} + 9aa - a}
, das ist
s
=
\frac{4 - 12a + 3aa}{4a^{3} - 12aa + 9a - 1}
, welcher Bruch durch
a
- 1 abge- kuͤrtzt giebt
\frac{4(2a - 1)}{4 aa - 3a + 1}
. Dieser Werth giebt uns schon unendlich viel Aufloͤsungen weil die Zahl
m
, daraus hernach
a
=
\frac{mm}{mm - 1}
entstanden, nach Belieben genommen werden kann, welches durch einige Exempel zu er- laͤuternnoͤthig ist.
I.
Es sey
m
= 2, so wird
a
=
\frac{4}{3}
und dahero
s
= 4.
\frac{\frac{5}{3}}{- \frac{23}{9}} = - \frac{60}{23}
und hieraus
p
= -
\frac{37}{23}
, folglich
q
= -
\frac{74}{23}
; endlich
\frac{x}{z}
=
\frac{949}{420}
und
\frac{y}{z}
=
\frac{6005}{4947}
.
II.
Es sey
m
=
\frac{3}{2}
, so wird
a
=
\frac{9}{5}
und
s
= 4.
\frac{\frac{13}{5}}{- \frac{11}{25}} = - \frac{260}{11}
, dahero
p
= -
\frac{249}{11}
und
q
=
\frac{747}{22}
: woraus die Bruͤche
\frac{x}{z}
und
\frac{y}{z}
gefunden werden koͤnnen.
Ein besonderer Fall verdient noch bemerckt zu werden, wann
a
ein Quadrat ist, wie geschieht wann
m
Zweyter Abschnitt
m
=
\frac{5}{3}
, dann da wird
a
=
\frac{25}{16}
. Man setze wieder der Kuͤrtze halben
a = bb
, also daß unsere Formel seyn wird
1 + 4 bbs + 6 bb ss + 4 bb s
3
+ bb s
4
: davon sey die Wurzel
1 + 2 bb s + b s s
, deren Quadrat ist
1 + 4 bbs + 2bss + 4b
4
ss + 4 b
3
s
3
+ bb s
4
, wo sich die zwey ersten und die letzten Glieder aufheben, die uͤbrigen aber durch
ss
dividirt geben
6 bb + 4 bb s = 2 b + 4 b
4
+ 4 b
3
s
, daraus
s
=
\frac{6bb - 2b - 4b^{4}}{4b^{3} - 4bb}
=
\frac{3b - 1 - 2b^{3}}{2bb - 2b}
; welcher Bruch noch durch
b
- 1 abge- kuͤrtzt werden kann, da dann kommt
=
\frac{1 - 2b - 2 bb}{2b}
und
p
=
\frac{1 - 2bb}{2b}
.
Man haͤtte die Wurzel dieser obigen Formel auch setzen koͤnnen
1 + 2b s + b ss
, davon das Quadrat ist
1 + 4 bs + 2 bss + 4 bbss + 4 bbs
3
+ bb s
4
, wo sich die ersten und zwey letzten Glieder aufheben, die uͤbri- gen aber durch
s
dividirt geben
4bb + 6 bb s = 4 b + 2bs + 4bbs.
Da nun
bb
=
\frac{25}{16}
und
b
=
\frac{5}{4}
, so bekaͤme man daraus
s
= - 2 und
p
= —1, folglich
pp
- 1 = 0: woraus nichts gefunden wird, weil
z
= 0 wuͤrde.
Im vorigen Fall aber, da
p
=
\frac{1 - 2 bb}{2b}
, wann
m
=
\frac{8}{3}
und dahero
a
=
\frac{25}{16}
=
bb
, folglich
b
=
\frac{5}{4}
, so kommt
p
=
\frac{17}{20}
und
q = m p
=
\frac{17}{12}
, folglich
\frac{x}{z}
=
und
\frac{y}{z}
=
\frac{433}{143}
.
238.
Von der unbestimmten Analytic.
238.
XVII.
Frage: Man verlangt drey Quadrat- Zahlen
xx
,
y y
und
zz
, so daß die Summe von je zweyen wieder ein Quadrat ausmache?
Da nun diese drey Formeln
xx + yy; xx + zz
und
yy + zz
zu Quadrate gemacht werden sollen, so theile man dieselben durch
z z
um die drey folgenden zu erhalten
I.
\frac{xx}{zz}
+
\frac{yy}{zz}
= □;
II.
\frac{xx}{zz}
+ 1 = □;
III.
\frac{yy}{zz}
+ 1 = □. Da dann den zwey letzteren ein Genuͤge geschieht, wann
\frac{x}{z}
=
\frac{pp - 1}{2 p}
und
\frac{y}{z}
=
\frac{qq - 1}{2 q}
, hieraus wird die erste Formel
\frac{(pp - 1)^{2}}{4 pp}
+
\frac{(qq - 1)^{2}}{4 qq}
, wel- che also auch mit 4 multiplicirt ein Quadrat werden muß, das ist
\frac{(pp - 1)^{2}}{pp}
+
\frac{(qq - 1)^{2}}{qq}
; oder auch mit
pp qq
multiplicirt
qq (pp - 1)
2
+ pp (qq - 1)
2
= □
, welches nicht wohl geschehen kann ohne einen Fall zu wißen, da dieselbe ein Quadrat wird: allein ein sol- cher Fall laͤßt sich nicht wohl errathen, dahero man zu andern Kunstgriffen seine Zuflucht nehmen muß, wovon wir einige anfuͤhren wollen.
I.
Da sich die Formel also ausdruͤcken laͤßt
qq (p + 1)
2
(p - 1)
2
+ pp (q + 1)
2
(q - 1)
2
= □
so
Zweyter Abschnitt
so mache man, daß sich dieselbe durch das Quadrat
(p + 1)
2
theilen laße; wel- ches geschieht wann man nimmt
q - 1 = p + 1
oder
q = p + 2
, da dann seyn wird
q + 1 = p + 3
, woher unsere Formel wird
(p + 2)
2
(p + 1)
2
(p - 1)
2
+ pp (p + 3)
2
(p + 1)
2
= □
, welche durch
(p + 1)
2
dividirt ein Quadrat seyn muß, nemlich
(p + 2)
2
(p - 1)
2
+ pp (p + 3)
2
, so in diese Form aufgeloͤßt wird
2 p
4
+ 8 p
3
+ 6 pp - 4 p + 4.
Weil nun hier das letzte Glied ein Quadrat ist, so setze man die Wurzel
2 + f p + g pp
oder
g pp + fp + 2
, davon das Quadrat ist
ggp
4
+ 2 fgp
3
+ 4 gpp + ff pp + 4 fp + 4
wo man
f
und
g
so bestimmen muß, daß die drey letzten Glieder wegfallen, welches geschieht wann
— 4 = 4 f
, oder
f = —1
und
6 = 4g + 1
, oder
g
=
\frac{5}{4}
, da dann die ersten Glieder durch
p
3
dividirt geben
2 p + 8 = ggp + 2 fg
=
\frac{25}{15}
p
-
\frac{5}{2}
, woraus gefunden wird
p = —24
und
q = —22
; daher wir erhalten
\frac{x}{z}
=
\frac{pp - 1}{2 p}
= -
\frac{575}{48}
oder
x
= -
\frac{575}{48}
z
, und
\frac{y}{z}
=
\frac{qq - 1}{2 q}
=
\frac{483}{44}
oder
y
= -
\frac{483}{44}
z.
Man
Von der unbestimmten Analytic.
Man nehme nun
z = 16.3.11
, so wird
x = 575.11
und
y = 483.12
: dahero sind die Wurzeln von den drey gesuchten Quadraten folgende:
x
= 6325 = 11.23.25, dann hieraus wird
xx + yy
= 23
2
(275
2
+ 252
2
) = 23
2
.373
2
y
= 5796 = 12.21.23, dieses giebt
xx + zz
= 11
2
(575
2
+ 48
2
) = 11
2
. 577
2
.
z
= 528 = 3.11.16, hieraus wird
yy + zz
= 12
2
(483
2
+ 44
2
) = 12
2
.485
2
.
II.
Man kann noch auf unendlich viel Arten ma- chen, daß unsere Formel durch ein Quadrat theilbar wird; man setze z. E. (
q + 1)
2
= 4 (p + 1)
2
oder
q + 1 = 2 (p + 1)
, das ist
q = 2p + 1
und
q - 1 = 2p
, woraus unsere Formel wird
(2p + 1)
2
(p + 1)
2
(p - 1)
2
+ pp. 4. (p + 1)
2
(4pp) = □
, welche durch
(p + 1)
2
getheilt, giebt
(2p + 1)
2
(p - 1)
2
+ 16p = □
oder
20 p
4
- 4p
3
- 3pp + 2p + 1 = □
, wor- aus aber nichts gefunden werden kann.
III.
Man setze dahero
(q - 1)
2
= 4 (p + 1)
2
, oder
q - 1 = 2 (p + 1)
, so wird
q = 2p + 3
und
q + 1 = 2p + 4
oder
q + 1 = 2 (p + 2)
:
II
Theil
J i
wo-
Zweyter Abschnitt
woher unsere Formel durch
(p + 1)
2
getheilt, seyn wird:
(2p + 3)
2
(p - 1)
2
+ 16pp (p + 2)
2
, das ist
9 - 6p + 53pp + 68p
3
+ 20p
4
; da- von sey die Wurzel
3 - p + gpp
, deren Qua- drat ist
9 - 6p + 6 gpp + pp - 2gp
3
+ ggp
4
. Da nehme man nun um auch die dritten Glie- der verschwinden zu machen
53 = 6g + 1
oder
g
=
\frac{26}{3}
, so werden die uͤbrigen Glieder durch
p
3
dwi- dirt geben
20p + 68 = gg p - 2g
oder
\frac{256}{3}
=
\frac{496}{9}
p
, daher
p
=
\frac{48}{31}
und
q
=
\frac{189}{31}
, woraus wiederum eine Aufloͤsung folget.
IV.
Man setze
q - 1
=
\frac{4}{3}
(p - 1)
, so wird
q
=
\frac{4}{3}
p
-
\frac{1}{3}
und
q + 1
=
\frac{4}{3}
p
+
\frac{2}{3}
=
\frac{2}{3}
(2p + 1)
, dahero wird unsere Formel durch
(p - 1)
2
dividirt, seyn
\frac{(4 p - 1)^{2}}{9}
(p + 1)
2
+
\frac{64}{81}
pp (2 p + 1)
2
, wel- che mit 81 multiplicirt, wird
9 (4 p - 1)
2
(p + 1)
3
+ 64 p p (2 p + 1)
2
= 400 p
4
+ 472 p
2
+ 73 pp - 54 p + 9
, wo so wohl das erste als letzte Glied Quadrate sind. Man setze dem- nach die Wurzel
20 pp - 9 p + 3
, davon das Quadrat
400 p
4
- 360 p
3
+ 201 pp + 120 pp — 54 p + 9
und daher erhaͤlt man
472 p + 73 = - 360 p + 201
, dahero
p
=
\frac{2}{13}
und
q
=
\frac{8}{39}
- ⅓.
Man
Von der unbestimmten Analytic.
Man kann auch fuͤr die obige Wurzel setzen
20 pp + 9 p - 3
, davon das Quadrat
400 p
4
+ 360 p
3
— 120 pp + 81 pp - 54 p + 9
, mit unserer Formel verglichen giebt
472 p + 73 = 360p - 39
, und dar- aus
p = - 1
, welcher Werth aber zu nichts nuͤtzet.
V.
Man kann auch machen daß sich unsere For- mel so gar durch beyde Quadrate
(p + 1)
2
und
(p - 1)
2
zugleich theilen laͤßt. Man setze zu die- sem Ende
q
=
\frac{pt + 1}{p + 1}
, da wird
q + 1
=
\frac{pt + p + t + 2}{p + t}
=
\frac{(p + 1) (t + 1)}{p + t}
und
q - 1
=
\frac{pt - p - t + 1}{p + t}
=
\frac{(p - 1) (t - 1)}{p + t}
, hieraus wird nun unsere For- mel durch
(p + 1)
2
(p - 1)
2
dividirt =
\frac{(pt + 1)^{2}}{(p + t)^{2}}
+
pp
\frac{(t + 1)^{2} (t - 1)^{2}}{(p + t)^{4}}
, welche mit dem Quadrat
(p + t)
4
multiplicirt noch ein Quadrat seyn muß, nemlich
(pt + 1)
2
(p + t)
2
+ pp (t + 1)
2
(t - 1)
2
oder
tt p
4
+ 2 t (tt + 1) p
3
+ 2 tt pp + (tt + 1)
2
pp + (tt - 1)
2
pp + 2 t (tt + 1) p + tt
: wo so wohl das erste als letzte Glied Quadrate sind. Man setze demnach die Wurzel
t pp + (tt + 1) p - t
, davon das Quadrat
tt p
4
+ 2 t (tt + 1) p
3
- 2 tt pp + (tt + 1)
2
pp - 2 t (tt + 1) p + tt
mit unserer Formel verglichen giebt:
J i 2
2 ttp
Zweyter Abschnitt
2 ttp + (tt + 1)
2
p + (tt - 1)
2
p + 2 t (tt + 1) = - 2 ttp + (tt + 1)
2
p — 2 t (tt + 1)
, oder
4 ttp + (tt - 1)
2
p + 4 t (tt + 1) = 0
, oder
(tt + 1)
2
p + 4 t (tt + 1) = 0
, das ist
tt + 1
= -
\frac{4t}{p}
: woraus wir erhal- ten
p
=
\frac{- 4 t}{tt + 1}
, hieraus wird
pt + 1
= -
\frac{3 tt + 1}{tt + 1}
und
p + t
=
\frac{t^{3} - 3 t}{tt + 1}
, folglich
q
= -
\frac{3 tt + 1}{t^{3} - 3t}
, wo
t
nach Belieben angenommen werden kann.
Es sey z. E.
t = 2
so wird
p
= -
\frac{8}{5}
und
q
= -
\frac{11}{2}
: woraus wir finden
\frac{x}{z}
=
\frac{pp - 1}{2 p}
= +
\frac{39}{80}
und
\frac{y}{z}
=
\frac{aq - 1}{2q}
= -
\frac{117}{44}
oder
x
=
\frac{3.13}{4.4.5}
z
und
y
=
\frac{9.13}{4.11}
z.
Man nehme nun
z = 4. 4. 5. 11
, so wird
x = 3. 13. 11
und
y = 4.5.9.13
: also sind die Wurzeln der drey gesuchten Qua- draten
x = 3. 11. 13 = 429; y = 4. 5. 9. 13 = 2340
und
z = 4. 4. 5. 11 = 880.
Welche noch kleiner sind als die oben gefundenen.
Aus diesen aber wird
xx + yy
= 3
2
. 13
2
(121 + 3600) = 3
2
. 13
2
. 61
2
;
xx + zz
= 11
2
. (1521 + 6400) = 11
2
. 89
2
;
yy + zz
= 20
2
. (13689 + 1936) = 20
2
. 125
2
;
VI.
Von der unbestimmten Analytic.
VI.
Zu
le
tzt bemercken wir noch bey dieser Frage, daß aus einer jeglichen Aufloͤsung ganz leicht noch eine andere gefunden werden kann: dann wann diese Werthe gefunden worden
x = a
,
y = b
, und
z = c
; also daß
aa + bb = □
,
aa + cc = □
und
bb + cc = □
, so werden auch die folgenden Werthe ein Genuͤge leisten,
x = a b
,
y = b c
und
z = a c
, dann da wird
xx + yy = aa bb + bb cc = bb (aa + cc) = □ xx + zz = aa bb + aa cc = aa (bb + cc) = □ yy + zz = aa cc + bb cc = cc (aa + bb) = □.
Da wir nun eben gefunden
x = a = 3. 11. 13; y = b = 4. 5. 9. 13
und
z = c = 4. 4. 5. 11
, so erhalten wir daraus nach dieser Aufloͤsung:
x = a b
= 3. 4. 5. 9. 11. 13. 13.
y = b c
= 4. 4. 4. 5. 5. 9. 11. 13
y = a c
= 3. 4. 4. 5. 11. 11. 13
welche sich alle drey durch 3. 4. 5. 11. 13 theilen laßen, und also auf folgende Formel ge- bracht werden
x = 9. 13
,
y = 3. 4. 4. 5
und
z = 4. 11
, das ist
x = 117
,
y = 240
, und
z = 44
, welche noch kleiner sind als die vorigen; dahero wird aber:
J i 3
xx
Zweyter Abschnitt
xx + yy
= 71289 = 267
2
.
xx + zz
= 15625 = 125
2
.
yy + zz
= 59536 = 244
2
.
239.
XVIII.
Frage: Man verlangt zwey Zahlen
x
und
y
, so daß wann man die eine zum Quadrat der andern addirt ein Quadrat herauskomme, also daß diese zwey Formeln
xx + y
und
yy + x
Quadrate seyn sollen?
Wollte man so gleich fuͤr die erstere setzen
xx + y = pp
und daraus herleiten
y = pp - xx
, so wuͤrde die andere Formel
p
4
- 2 pp xx + x
4
+ x = □
wovon die Aufloͤsung nicht leicht in die Augen faͤllt.
Man setze aber zu gleich fuͤr beyde Formel
xx + y = (p - x)
2
= pp - 2 px + xx
und
yy + x = (q - y)
2
= qq - 2 qy + yy
, woraus wir dann diese zwey Gleichungen erhalten
I.) y + 2 px = pp
und
II.) x + 2 qy = qq
, aus welchen
x
und
y
leicht ge- funden werden koͤnnen. Man findet nemlich
x
=
\frac{2qpp - qq}{4pq - 1}
und
y
=
\frac{2pqq - qq}{4pq - 1}
; wo man
p
und
q
nach Belieben annehmen kann. Man setze z. E.
p = 2
und
q = 3
, so bekommt man diese zwey gesuchte Zah-
len
Von der unbestimmten Analytic.
len
x
=
\frac{15}{23}
und
y
=
\frac{32}{23}
, dann daher wird
xx + y
=
\frac{225}{529}
+
\frac{32}{23}
=
\frac{961}{529}
= (
\frac{31}{23}
)
2
und
yy + x
=
\frac{1024}{529}
+
\frac{15}{23}
=
\frac{1369}{529}
= (
\frac{37}{23}
)
2
.
Man nehme ferner
p = 1
und
q = 3
, so wird
x
= -
\frac{3}{11}
und
y
=
\frac{17}{11}
: weil aber eine Zahl negativ ist, so moͤgte man diese Aufloͤsung nicht gelten laßen. Man setze
p = 1
und
q
=
\frac{3}{2}
, so wird
x
=
\frac{3}{20}
und
y
=
\frac{7}{10}
, dann da wird
xx + y
=
\frac{9}{400}
+
\frac{7}{10}
=
\frac{289}{400}
= (
\frac{17}{20}
)
2
und
yy + x
=
\frac{49}{100}
+
\frac{3}{20}
=
\frac{64}{100}
= (
\frac{8}{10}
)
2
.
240.
XIX.
Frage: Zwey Zahlen zu finden deren Summe ein Quadrat und die Summe ihrer Quadra- ten ein Biquadrat sey.
Diese Zahlen seyen
x
und
y
und weil
xx + yy
ein Biquadrat seyn muß, so mache man dasselbe erst- lich zu einem Quadrat, welches geschieht wann
x = pp — qq
und
y = 2 pq
, da dann wird
xx + yy = (pp + qq)
2
. Damit nun dieses ein Biquadrat werde, so muß
pp + qq
ein Quadrat seyn, dahero setze man ferner
p = rr - ss
und
q = 2 rs
, so wird
pp + qq = (rr + ss)
2
; folglich
xx + yy = (rr + ss)
4
und also ein Biquadrat; als dann aber
J i 4
wird
Zweyter Abschnitt
wird
x = r
4
- 6 rr ss + s
4
und
y = 4 r
3
s - 4 rs
3
. Also ist noch uͤbrig, daß diese Formel
x + y = r
4
+ 4r
3
s - 6 rr ss - 4 rs
3
+ s
4
ein Quadrat werde, man setze davon die Wurzel
rr + 2 rs + ss
, und also unsere Formel gleich diesem Quadrat
r
4
+ 4 r
3
s + 6 rrss + 4 rs
3
+ s
4
, wo sich die zwey ersten und letzten Glie- der aufheben, die uͤbrigen aber durch
rss
dividirt geben
6 r + 4 s = - 6 r - 4 s
oder
12 r + 8 s = 0
: also
s
= -
\frac{12 r}{s}
= -
\frac{3}{2}
r
, oder man kann die Wurzel auch setzen
rr - 2rs + ss
, damit die vierten Glieder weg- fallen: da nun das Quadrat hievon ist
r
4
- 4 r
3
s + 6 rr ss - 4 rs
3
+ s
4
, so geben die uͤbrigen Glieder durch
rrs
dividirt
4 r - 6 s = - 4 r + 6 s
, oder
8 r = 12 s
, folg- lich
r
=
\frac{3}{2}
s
: wann nun
r = 3
und
s = 2
so wuͤrde
x = - 119
negativ.
Laßt uns ferner setzen
r
=
\frac{3}{2}
s + t
, so wird fuͤr unsere Formel:
\array{l}\underline{rr=\frac{9}{4}ss+3st+tt, r^{3}=\frac{27}{8}s^{3}+\frac{27}{4}sst+\frac{9}{2}stt+t^{3}}\\ \mathfrak{folglich}\text{ } r^{4}=\frac{81}{16}s^{4}+\frac{27}{2}sstt+6st^{3}+t^{4}\\ +4r^{3}s=\frac{27}{2}s^{4}+27s^{3}t+18sstt+4st^{3}\\ -6rrss=-\frac{27}{2}s^{4}-18s^{3}t-6sstt\\ -4rs^{3}=-6s^{4}-4s^{3}t\\ +s^{4}=+s^{4}\mathfrak{also~unsere~Formel}\\ \overline{~~~~\frac{1}{26}s^{4}+\frac{37}{2}s^{3}t+\frac{51}{2}sstt+10st^{3}+t^{4}}
wel-
Von der unbestimmten Analytic.
welche ein Quadrat seyn muß, und also auch wann sie mit 16 multiplicivt wird: da bekommt man diese
s
4
+ 296 s
3
t + 408 ss tt + 160 st
3
+ 16 t
4
: hievon setze man die Wurzel
ss + 148 st - 4 tt
, davon das Quadrat ist
s
4
+ 296 s
3
t + 21896 ss tt - 1184 st
3
+ 16 t
4
. Hier heben sich die zwey ersten und letzten Glie- der auf, die uͤbrigen aber durch
stt
dividirt geben
21896s - 1184t = 408s + 160 t
und also
\frac{s}{t}
=
\frac{1344}{21488}
=
\frac{336}{5372}
=
\frac{84}{1343}
. Also nehme man
s = 84
und
t = 1343
folglich
r = 1469
: und aus diesen Zahlen
r = 1469
und
s = 84
finden wir,
x = r
4
- 6 rr ss + s
4
= 4565486027761
und
y = 1061652293520.
J i 5
Capitel
Zweyter Abschnitt
Capitel
15. Aufloͤsung solcher Fragen worzu Cubi erfordert werden.
241.
I
n dem vorigen Capitel sind solche Fragen vorgekom- men, wo gewiße Formeln zu Quadraten gemacht werden mußten, da wir dann Gelegenheit gehabt haben, verschiedene Kunstgriffe zu erklaͤren, wodurch die oben gegebenen Regeln zur Ausuͤbung gebracht werden koͤnnen. Nun ist noch uͤbrig solche Fragen zu betrach- ten, wo gewiße Formeln zu Cubis gemacht werden sollen, dazu auch schon im vorigen Capitel die Re- geln gegeben worden, welche aber jetzt durch die Aufloͤsung der folgenden Fragen in ein groͤßeres Licht gesetzt werden.
242.
I.
Frage: Man verlangt zwey Cubos
x
3
und
y
5
deren Summe wiederum ein Cubus seyn soll?
Da also
x
3
+ y
3
ein Cubus werden soll, so muß auch diese Formel durch den Cubus
y
3
dividirt noch
ein
Von der unbestimmten Analytic.
ein Cubus seyn, also
\frac{x^{3}}{y^{3}}
+ 1 = Cubo. Man setze
\frac{x}{y}
=
z
- 1 so bekommen wir
z
3
- 3zz + 3z
, welche ein Cubus seyn soll; wollte man nun nach den obigen Regeln die Cu- hic-Wurzel setzen
z - u
, wovon der Cubus ist
z
3
- 3uzz + 3uuz - u
3
, und
u
so bestimmen, daß auch die zwey- ten Glieder wegfielen, so wuͤrde
u = 1
, die uͤbri- gen Glieder aber wuͤrden geben
3 z = 3 uu z - u
3
= 3 z - 1
, woraus gefunden wird
z
gleich unendlich, welcher Werth uns nichts hilft. Man laße aber
u
unbestimmt, so bekommen wir diese Gleichung:
— 3zz + 3z = - 3uzz + 3uuz - u
3
; aus welcher Quadratischen Gleichung der Werth von
z
bestimmt werde: wir bekommen aber
3uzz - 3zz = 3uuz - 3z — u
3
das ist =
3 (u - 1) zz = 3 (uu - 1) z - u
3
, oder
zz = (u + 1) z
-
\frac{u^{3}}{3 (u - 1)}
, woraus gefunden wird
z
=
\frac{u + 1}{2}
± √ (
\frac{uu + 2 u + 1}{4}
-
\frac{u^{3}}{3(u - 1)}
) oder
z
=
\frac{u + 1}{2}
± √
\frac{- u^{3} + 3 uu - 3 u - 3}{12 (u - 1)}
.
Die Sache kommt also darauf an, daß die- ser Bruch zu einem Quadrat gemacht werde, wir wollen daher den Bruch oben und unten mit
3(u - 1)
multipliciren, damit unten ein Quadrat komme, nemlich
\frac{- 3u^{4} + 12u^{3} - 18 uu + 9}{30 (u - 1)^{2}}
, wovon also der Zaͤhler noch ein Quadrat werden muß. In dem-
selben
Zweyter Abschnitt
selben ist zwar das letzte Glied schon ein Quadrat, setzt man aber nach der Regel die Wurzel da- von
guu + fu + 3
, wovon das Quadrat ist
ggu
4
+ 2fgu
3
+ 6guu + 2fu + 9
und macht die
+ ffuu
drey letzten Glieder verschwinden, so wird erstlich
0 = 2t
das ist
f = 0
, und hernach
6g + ff = —18
, und dahero
g = —3
: als dann geben die zwey ersten Glieder durch
u
3
dividirt
— 3 u + 12 = ggu + 2 fu = 9 u
; und daher
u = 1
, welcher Werth zu nichts fuͤhret. Wollen wir nun weiter setzen
u = 1 + t
, so wird un- sere Formel
— 12t - 3t
4
, welche ein Quadrat seyn soll, welches nicht geschehen kann, wofern
t
nicht nega- tiv ist. Es sey also
t = —s
, so wird unsere Formel
12s - 3s
4
, welche in dem Fall
s = 1
ein Quadrat wird, alsdann aber waͤre
t = —1
und
u = 0
, woraus nichts gefunden werden kann. Man mag auch die Sache angreiffen wie man will, so wird man niemahls einen solchen Werth finden, der uns zu unserm Endzweck fuͤhret; wor- aus man schon ziemlich sicher schließen kann, daß es nicht moͤglich sey zwey Cubos zu finden, deren Summe ein Cubus waͤre, welches aber auch folgender Gestalt bewiesen werden kann.
243.
Von der unbestimmten Analytic.
243.
Lehr-Satz: Es ist nicht moͤglich zwey Cubos zu finden, deren Summe oder auch Differenz ein Cu- bus waͤre.
Hier ist vor allen Dingen zu bemercken, daß wann die Summe unmoͤglich ist, die Differenz auch unmoͤglich seyn muͤße. Dann wann es unmoͤglich ist daß
x
3
+ y
3
= z
3
, so ist es auch unmoͤglich daß
z
3
- y
3
= x
3
, nun aber ist
z
3
- y
3
die Differenz von zwey Cu- bis: Es ist also genung die Unmoͤglichkeit blos von der Summe, oder auch nur von der Differenz zu zeigen, weil das andere daraus folgt. Der Beweis selbst aber wird aus folgenden Saͤtzen bestehen.
I.
Kann man annehmen, daß die Zahlen
x
und
y
untheilbar unter sich sind. Dann wann sie ei- nen gemeinen Theiler haͤtten, so wuͤrden sich die Cubi durch den Cubum deßelben theilen la- ßen. Waͤre z. E.
x = 2a
, und
y = 2b
so wuͤrde
x
3
+ y
3
= 8a
3
+ 8b
3
, und waͤre dieses ein Cubus, so muͤßte auch
a
3
+ b
3
ein Cubus seyn.
II.
Da nun
u
und
y
keinen gemeinen Theiler ha- ben, so sind diese beyde Zahlen entweder beyde ungerad, oder die eine gerad, und die an-
dere
Zweyter Abschnitt
dere ungerad. Im erstern Fall muͤßte
z
gerad seyn; im andern Fall aber muͤßte
z
ungerad seyn. Also sind von den drey Zahlen
x, y
und
z
immer zwey ungerad und eine gerad. Wir wol- len dahero zu unferm Beweis die beyden unge- raden nehmen, weil es gleich viel ist, ob wir die Unmoͤglichkeit der Summe oder der Diffe- renz zeigen, indem die Summe in die Differenz verwandelt wird, wann die eine Wurzel ne- gativ wird.
III.
Es seyen demnach
x
und
y
zwey ungerade Zah- len, so wird so wohl ihre Summe als Diffe- renz gerad seyn. Man setze dahero
\frac{x + y}{2}
=
p
und
\frac{x - y}{2}
=
q
, so wird
x = p + q
und
y = p — q
, woraus erhellet, daß von den zwey Zah- len
p
und
q
die eine gerad, die andere aber un- gerad seyn muß; dahero aber wird
x
3
+ y
3
= 2p
3
+ 6pqq = 2p(pp + 3qq)
: es muß also bewiesen werden, daß dieses Product
2p(pp + 3qq)
kein Cubus seyn koͤnne. Sollte aber die Sache von der Differenz bewiesen werden, so wuͤrde
x
3
- y
3
= 6ppq + 2q
3
= 2q(qq + 3pp)
, welche Formel der vori-
gen
Von der unbestimmten Analytic.
gen gantz aͤhnlich ist, indem nur die Buch- staben
p
und
q
verwechselt sind, dahero es ge- nung ist die Unmoͤglichkeit von dieser Formel
2p(pp + 3qq)
zu zeigen, weil daraus noth- wendig folget, daß weder die Summe noch die Differenz von zweyen Cubis ein Cubus werden koͤnne.
IV.
Waͤre nun
2p(pp + 3qq)
ein Cubus, so waͤre derselbe gerad und also durch 8 theilbar: folglich muͤßte auch der achte Theil unserer Formel eine gantze Zahl und dazu ein Cubus seyn, nemlich ¼
p(pp + 3qq)
. Weil nun von den Zahlen
p
und
q
die eine gerad, die andere aber ungerad ist, so wird
pp + 3qq
eine un- gerade Zahl seyn und sich nicht durch 4 theilen lassen, woraus folget daß sich
p
durch 4 theilen laßen muͤsse und also
\frac{p}{4}
eine gantze Zahl sey.
V.
Wann nun dieses Product
\frac{p}{4}
.
(pp + 3qq)
ein Cubus seyn sollte, so muͤßte ein jeder Factor besonders, nemlich
\frac{p}{4}
und
pp + 3qq
, ein Cubus seyn, so nemlich die selben keinen gemeinen Thei- ler haben. Dann wann ein Product von zwey Factoren, die unter sich untheilbar sind ein
Cubus
Zweyter Abschnitt
Cubus seyn soll, so muß nothwendig ein jeder fuͤr sich ein Cubus seyn: wann dieselben aber einen gemeinen Theiler haben, so muß derselbe besonders betrachtet werden. Hier ist demnach die Frage: ob diese zwey Factoren
p
und
pp + 3qq
nicht einen gemeinen Factor ha- ben koͤnnten? welches also untersucht wird. Haͤtten dieselben einen gemeinen Theiler, so wuͤr- den auch diese
pp
und
pp + 3qq
eben densel- ben gemeinen Theiler haben, und also auch die- ser ihre Differenz, welche ist
3qq
, mit dem
pp
eben denselben gemeinen Theiler haben, da nun
p
und
q
unter sich untheilbar sind, so koͤnnen die Zahlen
pp
und
3qq
keinen andern gemeinen Theiler haben als 3, welches geschieht wann sich
p
durch 3 theilen laͤßt.
VI.
Wir haben dahero zwey Faͤlle zu erwegen: der erste ist wann die Factoren
p
und
pp + 3qq
keinen gemeinen Theiler haben, welches immer geschieht, wann sich
p
nicht durch 3 theilen laͤßt; der andere Fall aber ist, wann dieselben einen gemeinem Theiler haben, welches geschieht wann sich
p
durch 3 theilen laͤßt, da dann bey- de durch 3 theilbar seyn werden. Diese zwe a
Faͤlle
Von der unbestimmten Analytic.
Faͤlle muͤßen sorgfaͤltig von einander unterschie- den werden, weil man den Beweis fuͤr einen jeden ins besondere fuͤhren muß.
VII.
Erste Fall.
Es sey demnach
p
nicht durch 3 theilbar und also unsere beyden Factoren
\frac{p}{4}
und
pp + 3qq
untheilbar unter sich, so muͤß- te ein jeder fuͤr sich ein Cubus seyn. Laßt uns dahero
pp + 3qq
zu einem Cubo machen, wel- ches geschieht wann man, wie oben gezeigt wor- den, setzt
p + q√ - 3 = (t + u√ - 3)
3
und
p - q√ - 3 = (t - u√ - 3)
3
. Damit dadurch wer- de
pp + 3qq = (tt + 3uu)
3
und also ein Cubus; hieraus aber wird,
p = t
3
- 9tuu = t(tt - 9uu)
, und
q = 3ttu - 3u
3
= 3u (tt - uu)
: weil nun
q
eine ungerade Zahl ist, so muß
u
auch un- gerad,
t
aber gerad seyn, weil sonsten
tt - uu
eine gerade Zahl wuͤrde.
VIII.
Da nun
pp + 3qq
zu einem Cubo gemacht und gefunden worden
p = t(tt - 9uu) = t(t + 3u)(t - 3u)
, so muͤßte jetzt noch
\frac{p}{4}
und also auch
2p
, ein Cubus seyn; dahero diese Formel
2t(t + 3u)(t - 3u)
ein Cubus seyn muͤßte. Hier ist aber zu bemercken, daß
t
erst-
II
Theil
K k
lich
Zweyter Abschnitt
lich eine gerade Zahl und nicht durch 3 theil- bar ist, weil sonsten auch
p
durch 3 theil- bar seyn wuͤrde, welcher Fall hier ausdruͤck- lich ausgenommen ist: also sind diese drey Fac- toren
2t, t + 3u
und
t - 3u
unter sich untheil- bar, und deswegen muͤßte ein jeder fuͤr sich ein Cubus seyn. Man setze dahero
t + 3u = f
3
und
t - 3u = g
3
so wird
2t = f
3
+ g
3
. Nun aber ist
2t
auch ein Cubus, und folglich haͤtten wir hier zwey Cubos
f
3
und
g
3
deren Summe wieder ein Cubus waͤre, welche offenbahr un- gleich viel kleiner waͤren, als die anfaͤnglich angenommenen Cubi
x
3
und
y
3
. Dann nach- dem wir gesetzt haben
x = p + q
und
y = p - q
, anjetzo aber
p
und
q
durch die Buchstaben
t
und
u
bestimmt haben, so muͤßen die Zahlen
p
und
q
viel groͤßer seyn als
t
und
u.
IX.
Wann es also zwey solche Cubi in den groͤßten Zahlen gaͤbe, so koͤnnte man auch in viel klei- nern Zahlen eben dergleichen anzeigen deren Summ auch ein Cubus waͤre, und solcher Ge- stalt koͤnnte man immer auf kleinere derglei- chen Cubos kommen. Da es nun in kleinen
Zah-
Von der unbestimmten Analytic.
Zahlen dergleichen Cubos gewis nicht giebt, so sind sie auch in den allergroͤßten nicht moͤglich. Dieser Schluß wird dadurch bekraͤftiget, daß auch der andere Fall eben dahin leitet, wie wir so gleich sehen werden.
X.
Zweyter Fall. Es sey nun
p
durch 3 theilbar,
q
aber nicht, und man setze
p = 3r
so wird unsere Formel
\frac{3r}{4}
.
(9rr + 3qq)
, oder
\frac{9}{4}
r(3rr + qq)
, welche beyde Factoren unter sich untheilbar sind, weil sich
3rr + qq
weder durch 2 noch durch 3 theilen laͤßt, und
r
eben so wohl gerad seyn muß als
p
, deswegen muß ein jeder von diesen beyden Factoren fuͤr sich ein Cubus seyn.
XI.
Machen wir nun den zweyten
3rr + qq
oder
qq + 3rr
zu einem Cubo, so finden wir wie oben
q = t(tt - 9uu)
und
r = 3u(tt - uu)
: wo zu mercken, daß weil
q
ungerad war, hier auch
t
ungerad,
u
aber eine gerade Zahl seyn muͤße.
XII.
Weil nun
\frac{9r}{4}
auch ein Cubus seyn muß und also auch mit dem Cubo
\frac{8}{27}
multiplicirt, so muß
K k 2
\frac{2r}{3}
Zweyter Abschnitt
\frac{2r}{3}
das ist
2u(tt - uu) = 2u(t + u)(t - u)
ein Cubus seyn, welche drey Factoren unter sich un- theilbahr und also ein jeder fuͤr sich ein Cubus seyn muͤßte: wann man aber setzt
t + u = f
3
und
t - u = g
3
, so folgt daraus
2u = f
3
- g
3
, welches auch ein Cubus seyn muͤßte, indem
2u
ein Cubus ist. Solcher Gestalt haͤtte man zwey weit kleinere Cubos
f
3
und
g
3
deren Diffe- renz ein Cubus waͤre, und folglich auch solche deren Summe ein Cubus waͤre: dann man darf nur setzen
f
3
- g
3
= h
3
, so wird
f
3
= h
3
+ g
3
, und also haͤtte man zwey Cubos deren Summe ein Cubus waͤre. Hierdurch wird nun der obige Schluß vollkommen bestaͤtiget, daß es auch in den groͤßten Zahlen keine solche Cubi gebe, de- ren Summe oder Differenz ein Cubus waͤre, und das deswegen, weil in den kleinsten Zahlen dergleichen nicht anzutreffen sind.
244.
Weil es nun nicht moͤglich ist zwey solche Cubos zu finden, deren Summe oder Differenz ein Cubus waͤre, so faͤlt auch unsere erste Frage weg, und man pflegt hier vielmehr den Anfang mit dieser Frage zu machen, wie
drey
Von der unbestimmten Analytic.
drey Cubi gefunden werden sollen, deren Summe einen Cubus ausmache: man kann aber zwey von denselben nach Belieben annehmen, also daß nur der dritte ge- funden werden soll; welche Frage wir anjetzo vor- nehmen wollen.
245.
II.
Frage: Es wird zu zwey gegebenen Cu- bis
a
3
und
b
3
noch ein dritter Cubus
x
3
verlangt, welcher mit denselben zusammen wiederum einen Cu- bum ausmache?
Es soll also diese Formel
a
3
+ b
3
+ x
3
ein Cu- bus werden, welches da es nicht anders geschehen kann, als wann schon ein Fall bekannt ist, ein solcher Fall aber hier sich von selbsten darbiethet nemlich
x = —a
, so setze man
x = y - a
, da wird
x
3
= y
3
— 3ayy + 3aay - a
3
, und dahero unsere Formel die ein Cubus werden soll
y
3
‒ 3ayy + 3aay + b
3
, wovon das erste und letzte Glied schon ein Cubus ist, dahero man so gleich zwey Aufloͤsungen finden kann.
I.
Nach der ersten setze man die Wurzel davon
y + b
, deren Cubus ist
y
3
+ 3byy + 3bby + b
3
; woraus wir bekommen -
3ay + 3aa
K k 3
=
3by
Zweyter Abschnitt
=
3by + 3bb
, dahero
y
=
\frac{aa - bb}{a + b}
=
a - b
; folg- lich
x = —b
welcher uns zu nichts dienet.
II.
Man kan aber die Wurzel auch setzen
b + fy
, davon der Cubus ist
f
3
y
3
+ 3bffyy + 3bbfy + b
3
; und
f
also bestimmen, daß auch die dritten Glieder wegfallen, welches geschieht wann
3aa = 3bbf
oder
f
=
\frac{aa}{bb}
, da dann die zwey ersten Glieder durch
yy
dividirt geben
y - 3a = f
3
y + 3bff
=
\frac{a^{6} y}{b^{6}}
+
\frac{3 a^{4}}{b^{3}}
, welche mit
b
6
multiplicirt giebt
b
6
y - 3ab
6
= a
6
y + 3a
4
b
3
; daraus gefunden wird
y
=
\frac{3a^{4}b^{3} + 3ab^{6}}{b^{6} - a^{6}}
=
\frac{3ab^{3} (a^{3} + b^{3})}{b^{6} - a^{6}}
=
\frac{3ab^{3}}{b^{3} - a^{3}}
, und allso
x = y - a
=
\frac{2ab^{3} + a^{4}}{b^{3} - a^{3}}
=
a.
\frac{2b^{3} + a^{3}}{b^{3} - a^{3}}
.
Wann also die beyden Cubi
a
3
und
b
3
gegeben sind, so haben wir hier die Wurzel des dritten gesuch- ten Cubi gefunden, und damit dieselbe positiv wer- de, so darf man nur
b
3
fuͤr den groͤßern Cubum anneh- men, welches wir durch einige Exempel erlaͤutern wol- len.
I.
Es seyen die zwey gegebenen Cubi 1 und 8, also daß
a
= 1 und
b
= 2, so wird diese Form 9 +
x
6
ein
Von der unbestimmten Analytic.
ein Cubus, wann
x
=
\frac{17}{7}
; dann da wird 9 +
x
3
=
\frac{8000}{343}
= (
\frac{20}{7}
)
3
.
II.
Es seyen die zwey gegebenen Cubi 8 und 27, also daß
a
= 2 und
b
= 3, so wird diese Form 35 +
x
3
ein Cubus, wann
x
=
\frac{124}{19}
.
III.
Es seyen die zwey gegebenen Cubi 27 und 64, also daß
a = 3
und
b = 4
, so wird diese Form
91 + x
3
ein Cubus, wann
x
=
\frac{465}{37}
.
Wollte man zu zwey gegebenen Cubis noch mehr dergleichen dritte finden, so muͤßte man in der ersten Form
a
3
+ b
3
+ x
3
ferner setzen
x
=
\frac{2ab^{3} + a^{4}}{b^{3} - a^{3}}
+
z
, da man dann wieder auf eine aͤhnliche Formel kom- men wuͤrde, woraus sich neue Werthe fuͤr
z
bestim- men ließen, welches aber in allzuweitlaͤufige Rech- nungen fuͤhren wuͤrde.
246.
Bey dieser Frage ereignet sich aber ein merck- wuͤrdiger Fall, wann die beyden gegebenen Cubi ein- ander gleich sind, oder
b = a
: dann da bekommen wir
x
=
\frac{3a^{4}}{0}
das ist unendlich, und erhalten also keine Aufloͤsung: dahero diese Frage wann
2a
3
+ x
3
ein Cubus werden soll, noch nicht hat aufge-
K k 4
loͤßt
Zweyter Abschnitt
loͤßt werden koͤnnen. Es sey z. E.
a = 1
und also unsere Formel
2 + x
3
, so ist zu mercken, daß was man auch immer vor Veraͤnderungen vornehmen mag, alle Bemuͤhungen vergebens sind, und nimmer daraus ein geschickter Werth fuͤr
x
gefunden werden kann; woraus sich schon ziemlich sicher schließen laͤßt, daß zu einem doppelten Cubo kein Cubus gefunden werden koͤnne, welcher mit jenem zusammen einen Cubum aus- machte, oder daß diese Gleichung
2a
3
+ x
3
= y
3
un- moͤglich sey; aus derselben aber folget diese
2a
3
= y
3
- x
3
, und dahero auch nicht moͤglich ist zwey Cubos zu finden, deren Differenz ein doppelter Cubus waͤre, welches auch von der Summe zweyer Cubus zu verstehen und folgender Gestalt bewiesen werden kann.
247.
Lehr-Satz.
Weder die Summe, noch die Diffe- renz zwischen zwey Cubis kann jemahls einem doppelten Cubo gleich werden, oder diese Formel
x
3
+ y
3
= 2z
3
ist an sich selbst unmoͤglich, außer dem Fall
y = x
, welcher fuͤr sich klar ist.
Hier koͤnnen wieder
x
und
y
als untheilbar unter sich angenommen werden, dann wann sie ei-
nen
Von der unbestimmten Analytic.
nen gemeinen Theiler haͤtten, so muͤßte auch
z
da- durch theilbar seyn und also die gantze Gleichung durch den Cubum davon getheilt werden koͤnnen. Weil nun
x
3
+ y
3
ein gerade Zahl seyn soll, so muͤ- ßen beyde Zahlen
x
und
y
ungerad seyn, dahero so wohl ihre Summe als Differenz gerad seyn wird. Man setze allso
\frac{x + y}{2}
=
p
und
\frac{x - y}{2}
=
q
, so wird
x = p + q
und
y = p - q
; da dann von den Zahlen
p
und
q
die eine gerad die andere aber ungerad seyn muß. Hieraus folgt aber
x
3
+ y
3
= 2p
3
+ 6pqq = 2p(pp + 3qq)
, und
x
3
- y
3
= 6ppq + 2q
3
= 2q(3pp + qq)
, welche beyde Formeln einander voͤllig aͤhnlich sind. Dahero es genung seyn wird zu zeigen, daß diese Formel
2p(pp + 3qq)
kein doppelter Cu- bus, und also diese
p(pp + 3qq)
keine Cubus seyn koͤnne, wovon der Beweis in folgenden Saͤtzen enthalten ist.
I.
Hier kommen wieder zwey Faͤlle zu betrachten vor, davon der erste ist, wann die zwey Factoren
p
und
pp + 3qq
keinen gemeinen Theiler haben, da dann ein jeder fuͤr sich ein Cubus seyn muß; der andere Fall aber ist, wann dieselben einen gemeinen Theiler haben, welcher wie wir oben gesehen kein anderer seyn kann als 3.
K k 5
II.
Zweyter Abschnitt
II.
Erster Fall.
Es sey demnach
p
nicht theil- bahr durch 3, und also die beyden Factores unter sich unteilbar, so mache man erstlich
pp + 3qq
zu einem Cubo, welches geschieht, wann
p = t(tt - 9uu)
und
q = 3u(tt - uu)
, also daß noch der Werth von
p
ein Cubus seyn muͤste. Da nun
t
durch 3 nicht theilbar ist, weil sonsten
p
auch durch 3 theilbar seyn wuͤr- de, so sind diese zwey Factoren
t
und
tt - 9uu
untheilbar unter sich, und muß folglich ein je- der fuͤr sich ein Cubus seyn.
III.
Der letztere aber hat wieder zwey Factores, nemlich
t + 3u
und
t - 3u
, welche unter sich untheilbar sind, erstlich weil sich
t
nicht durch 3 theilen laͤßt, hernach aber weil von den Zahlen
t
und
u
die eine gerad und die andere ungerad ist. Dann wann beyde ungerad waͤren, so wuͤrde nicht nur
p
sondern auch
q
ungerad werden, welches nicht seyn kann, folglich muß auch ein jeder von diesen Factoren
t + 3u
und
t - 3u
fuͤr sich ein Cubus seyn.
IV.
Man setze dahero
t + 3u = f
3
und
t - 3u = g
3
, so wird
2t = f
3
+ g
3
. Nun aber ist
t
fuͤr sich ein Cu- bus welcher sey =
h
3
, allso daß
f
3
+ g
3
= 2h
3
waͤre,
das
Von der unbestimmten Analytic.
das ist wir haͤtten zwey weit kleinere Cubos nem- lich
f
3
und
g
3
, deren Summe auch ein doppelter Cubus waͤre.
V.
Zweyter Fall.
Es sey nun
p
durch 3 theilbar und also
q
nicht. Man setze demnach
p = 3r
, so wird unsere Formel
3r(9rr + 3qq) = 9r(3rr + qq)
, welche Factoren jetzt unter sich untheilbar sind und dahero ein jeder ein Cubus seyn muß.
VI.
Um nun den letzteren
qq + 3rr
zu einem Cubo zu machen, so setze man
q = t(tt - 9uu)
und
r = 3u(tt - uu)
, da dann wieder von den Zah- len
t
und
u
die eine gerad die andere aber un- gerad seyn muß, weil sonsten die beyde Zahlen
q
und
r
gerad wuͤrden. Hieraus aber bekom- men wir den erstern Factor
9r = 27u(tt - uu)
, welcher ein Cubus seyn muͤßte, und folglich auch durch 27 dividirt, nemlich
u (tt - uu)
das ist
u(t + u)(t - u)
.
VII.
Weil nun auch diese drey Factoren unter sich untheilbar sind, so muß ein jeder fuͤr sich ein Cu- bus seyn. Setzt man demnach fuͤr die beyden letztern
t + u = f
3
und
t - u = g
3
, so bekommt man
2u = f
3
- g
3
: weil nun auch
u
ein Cubus seyn muß, so erhalten wir in weit kleinern Zah-
len
Zweyter Abschnitt
len zwey Cubos
f
3
und
g
3
, deren Differenz gleich- fals ein doppelter Cubus waͤre.
VIII.
Weil es nun in kleinen Zahlen keine derglei- chen Cubos giebt, deren Summe oder Differenz ein doppelter Cubus waͤre, so ist klar daß es auch in den groͤßten Zahlen dergleichen nicht gebe.
IX.
Man koͤnnte zwar einwenden, daß da es in klei- nern Zahlen gleich wohl einen solchen Fall gebe, nemlich wann
f = g
, der obige Schluß betriegen koͤnnte. Allein wann
f = g
waͤre, so haͤtte man in dem erstern Fall
t + 3u = t - 3u
und also
u = 0
, folglich waͤre auch
q = 0
und da wir ge- setzt hatten
x = p + q
und
y = p - q
, so waͤren auch die zwey ersten Cubi
x
3
und
y
3
schon einan- der gleich gewesen, welcher Fall ausdruͤcklich aus- genommen worden. Eben so auch in dem an- dern Fall, wann
f = g
waͤre, so muͤßte seyn
t + u = t - u
und also wiederum
u = 0
, dahero auch
r = 0
und folglich
p = 0
, da dann wiederum die beyden erstern Cubi
x
3
und
y
3
einander gleich wuͤrden, von welchem Fall aber keines weges die Frage ist.
248.
III.
Frage: Man verlangt auf eine allgemeine
Art
Von der unbestimmten Analytic.
Art drey Cubos
x
3
, y
3
, und
z
3
, deren Summe wie- derum einen Cubum ausmache?
Wir haben schon gesehen, daß man zwey von diesen Cubis fuͤr bekannt annehmen und daraus immer den dritten bestimmen koͤnne, wann nur die beyden erstern einander nicht gleich waͤren; allein nach der obigen Methode findet man in einem jeden Fall nur einen Werth fuͤr den dritten Cubum und es wuͤrde sehr schwer fallen daraus noch mehrere ausfindig zu machen.
Wir sehen also hier alle drey Cubos als unbe- kannt an; und um eine allgemeine Aufloͤsung zu geben, setzen wir
x
3
+ y
3
+ z
3
= v
3
, und bringen den einen von den erstern auf die andere Seite, damit wir bekom- men
x
3
+ y
3
= v
3
- z
3
; welcher Gleichung folgender Gestalt ein Genuͤgen geschehen kann.
I.
Man setze
x = p + q
und
y = p - q
, so wird wie wir gesehen
x
3
+ y
3
= 2p(pp + 3qq)
: fer- ner setze man
v = r + s
und
z = r - s
, so wird
v
3
- z
3
= 2s(ss + 3rr)
; dahero dann seyn muß
2p(pp + 3qq) = 2s(ss + 3rr)
, oder
p(pp + 3qq) = s(ss + 3rr)
.
II.
Wir haben oben gesehen, daß eine solche Zahl
pp + 3qq
keine andere Theiler habe, als welche selbst in eben dieser Form enthalten sind. Weil nun
diese
Zweyter Abschnitt
diese beyde Formeln
pp + 3qq
und
ss + 3rr
nothwendig einen gemeinen Theiler haben muͤ- ßen, so sey derselbe =
tt + 3uu
.
III.
Zu diesem Ende setze man
pp + 3qq = (ff + 3gg)(tt + 3uu)
und
ss + 3rr = (hh + 3kk)(tt + 3uu)
: da dann
p = ft + 3gu
und
q = gt - fu
wird: folglich
pp = fftt + 6fgtu + 9gguu
und
qq = ggtt - 2fgtu + ffuu
; hieraus
pp + 3qq = (ff + 3gg)tt + (3ff + 9gg) uu
das ist
pp + 3qq = (ff + 3gg)(tt + 3uu)
.
IV.
Eben so erhalten wir aus der andern Formel
s = ht + 3ku
und
r = kt - hu
, woraus diese Gleichung entspringt
(ft + 3gu)(ff + 3gg)(tt + 3uu) = (ht + 3ku)(hh + 3kk)(tt + 3uu)
, welche durch
tt + 3uu
dividirt giebt
ft(ff + 3gg) + 3gu(ff + 3gg) = ht(hh + 3kk) + 3ku(hh + 3kk)
, oder
ft(ff + 3gg) ‒ ht(hh + 3kk) = 3ku(hh + 3kk) - 3gu(ff + 3gg)
, wor- aus wir erhalten
t
=
\frac{3k(hh + 3kk) - 3g(ff + 3gg)}{f(ff + 3gg) - h(hh + 3kk)}
u.
V.
Um nun gantze Zahlen zu bekommen, so nehme man
u = f(ff + 3gg) - h(hh + 3kk)
, damit sey
t = 3k(hh + 3kk) - 3g(ff + 3gg)
, wo man
die
Von der unbestimmten Analytic.
die vier Buchstaben
f, g, h
, und
k
nach Be- lieben annehmen kann.
VI.
Hat man nun aus diesen vier Zahlen die Werthe fuͤr
t
und
u
gefunden, so erhaͤlt man daraus:
I.) p = ft + 3gu, II.) q = gt - fu, III.) s = ht + 3ku, IV.) r = kt - hu
, und hieraus endlich fuͤr die Aufloͤsung unserer Frage
x = p + q, y = p - q, z = r - s
, und
v = r + s
, welche Aufloͤsung so allgemein ist, daß darinnen alle moͤgliche Faͤlle enthalten sind, weil in dieser gantzen Rechnung keine willkuͤhrliche Einschraͤn- ckung gemacht worden.
Der gantze Kunstgriff bestehet darinn, daß unsere Gleichung durch
tt + 3uu
theilbar gemacht wurde, wodurch die Buchstaben
t
und
u
durch eine einfache Gleichung haben bestimmt werden koͤnnen. Die Anwendung dieser Formeln kann auf unendlich viel- erley Art angestellet werden, wovon wir einige Exem- pel anfuͤhren wollen.
I.
Es sey
k = 0
und
h = 1
, so wird
t = ‒ 3g(ff + 3gg)
und
u = s(ff + 3gg) - 1
; hieraus also
p = —3fg(ff + 3gg) + 3fg(ff + 3gg) - 3g = —3g, q = - (ff + 3gg)
2
+ f
, ferner
s = —3g
Zweyter Abschnitt
s = —3g(ff + 3gg)
und
r = —f(ff + 3gg) + f
, woraus wir endlich bekommen
x = —3g - (ff + 3gg)
2
+ f, y = —3g + (ff + 3gg)
2
- f, z = (3g - f)(ff + 3gg) + 1
und endlich
v = - (3g + f)(ff + 3gg) + 1
. Laßt uns nun setzen
f = —1
und
g = + 1
, so bekommen wir
x = —20, y = 14, z = 17
und
v = —7
; dahero haben wir diese Gleichung - 20
3
+ 14
3
+ 17
3
= —7
3
oder 14
3
+ 17
3
+ 7
3
= 20
3
.
II.
Es sey
f = 2, g = 1
und also
ff + 3gg = 7
; fer- ner
h = 0
und
k = 1
, also
hh + 3kk = 3
, so wird seyn
t = —12
und
u = 14
: hieraus wird
p = 2t + 3u = 18, q = t - 2u = —40, r = t = —12
und
s = 3u = 42
; dahero wir bekommen
x = p + q = —22, y = p - q = 58, z = r - s = —54
und
v = r + s = 30
; also daß - 22
3
+ 58
3
- 54
3
= 30
3
, oder 58
3
= 30
3
+ 54
3
+ 22
3
. Da sich nun alle Wur- zeln durch 2 theilen laßen, so wird auch seyn 29
3
= 15
3
+ 27
3
+ 11
3
.
III.
Es sey
f = 3, g = 1, h = 1
und
k = 1
, also
ff + 3gg = 12
und
hh + 3kk = 4
, so wird
t = —24
und
u = 32
, welche sich durch 8 theilen laßen; und da es hier nur auf ihre Verhaͤltniße ankommt, so
wol-
Von der unbestimmten Analytic.
wollen wir setzen
t = —3
und
u = 4
. Hieraus be- kommen wir
p = 3t + 3u = + 3, q = t - 3u = —15, r = t - u = —7
und
s = t + 3u = + 9
: hieraus wird
x = —12
und
y = 18, z = —16
und
v = 2
, also daß — 12
3
+ 18
3
- 16
3
= 2
3
oder 18
3
= 16
3
+ 12
3
+ 2
3
: oder auch durch 2 abgekuͤrtzt 9
3
= 8
3
+ 6
3
+ 1
3
.
IV.
Laßt uns setzen
g = 0
und
k = h
, so daß
f
und
h
nicht bestimmt werden. Da wird nun
ff + 3gg = ff
und
hh + 3kk = 4hh
; also bekommen wir
t = 12h
3
und
u = f
3
- 4h
3
; daher ferner
p = st = 12fh
3
, q = —f
4
+ 4 fh
3
, r = 12h
4
- hf
3
+ 4h
4
= 16h
4
- hf
3
und
s = 3hf
3
, daraus endlich
x = p + q = 16 fh
3
- f
4
, y = p - q = 8 fh
3
+ f
4
, z = r - s = 16h
4
- 4hf
3
, und
v = r + s = 16h
4
+ 2hf
3
. Nehmen wir nun
f = h = 1
, so erhalten wir
x = 15, y = 9, z = 12
, und
v = 18
, welche durch 3 abgekuͤrtzt geben
x = 5, y = 3, z = 4
, und
v = 6
, also daß 3
3
+ 4
3
+ 5
3
= 6
3
. Hierbey ist merckwuͤrdig, daß diese drey Wurzeln 3, 4, 5, um Eins steigen, dahero wir untersuchen wollen ob es noch mehr dergleichen gebe?
249.
IV.
Frage: Man verlangt drey Zahlen in einer Arithmetischen Progression, deren Differenz = 1, also
II
Theil
L l
daß
Zweyter Abschnitt
daß die Cubi derselben Zahlen zusammen addirt, wie- der einen Cubum hervorbringen?
Es sey
x
die mittlere dieser Zahlen, so wird die kleinere =
x - 1
und die groͤßere =
x + 1
: die Cubi derselben ad- dirt geben nun
3x
3
+ 6x = 3x(xx + 2)
, welches ein Cubus seyn soll. Hierzu ist nun noͤthig daß ein Fall bekannt sey wo dieses geschieht, und nach einigem Pro- biren findet man
x = 4
, dahero setzen wir nach den oben gegebenen Regeln
x = 4 + y
, so wird
xx = 16 + 8y + yy
und
x
3
= 64 + 48y + 12yy + y
3
, woraus un- sere Formel wird 216 + 150
y + 36yy + 3y
3
, wo das erste Glied ein Cubus ist, das letzte aber nicht. Man setze demnach die Wurzel
6 + fy
und mache daß die beyden ersten Glieder wegfallen: da nun der Cubus da- von ist
216 + 108fy + 18ffyy + f
3
y
3
, so muß seyn
150 = 108f
, also
f
=
\frac{25}{18}
. Die uͤbrigen Glieder aber durch
yy
dividirt geben
36 + 3y = 18ff + f
3
y
=
\frac{25^{2}}{18}
+
\frac{25^{3}}{18^{3}}
y
, oder
18
3
.36 + 18
3
.3y = 18
2
.25
2
+ 25
3
y
oder
18
3
.36 — 18
2
.25
2
= 25
3
y - 18
3
.3y
, dahero
y
=
\frac{18^{3}.36 - 18^{2}.25^{2}}{25^{3} - 3.18^{3}}
=
\frac{18^{2}(18.36 - 25^{2})}{25^{3} - 3.18^{2}}
, und also
y
= -
\frac{324.23}{1871}
= -
\frac{7452}{1871}
; folg- lich
x
=
\frac{32}{1871}
.
Da es beschwerlich scheinen moͤchte diese Reduc- tion zu einem Cubo weiter zu verfolgen, so ist zu mercken
daß
Von der unbestimmten Analytic.
daß die Frage immer koͤnne auf Quadrate gebracht werden. Dann da
3x(xx + 2)
ein Cubus seyn soll, so setze man denselben =
x
3
y
3
, da man denn erhaͤlt
3xx + 6 = xxy
3
und also
xx
=
\frac{6}{9^{3} - 3}
=
\frac{36}{6y^{3} - 8}
. Da nun der Zaͤhler dieses Bruchs schon ein Quadrat ist, so ist nur noch noͤthig den Nenner
6y
3
- 18
zu einem Quadrat zu machen; wozu wiederum noͤthig ist einen Fall zu erra- then. Weil sich aber 18 durch 9 theilen laͤßt, 6 aber nur durch 3, so muß
y
sich auch durch 3 theilen laßen. Man setze deswegen
y = 3z
, so wird unser Nenner =
162z
3
- 18
welcher durch 9 dividirt, nemlich
18z
3
- 2
, noch ein Qua- drat seyn muß. Dieses geschieht nun offenbar wann
z = 1
; man setze dahero
z = 1 + v
, so muß seyn
16 + 54v + 54vv + 18v
3
= □
. Davon setze man die Wurzel 4 +
\frac{27}{4}
v
, deren Quadrat ist
16 + 54v
+
\frac{729}{16}
vv
, und also
54 + 18v
=
\frac{729}{16}
: oder
18v
= -
\frac{135}{16}
, folglich
2v
= -
\frac{15}{16}
, und
v
= -
\frac{15}{32}
, hieraus erhalten wir
z = 1 + v
=
\frac{17}{32}
: ferner
y
=
\frac{51}{32}
.
Nun wollen wir den obigen Nenner betrachten, welcher war
6y
3
- 18 = 162z
3
- 18 = 9(18z
3
- 2)
. Von diesem Factor aber
18z
3
- 2
haben wir die Quadrat- Wurzel 4 +
\frac{27}{4}
v
=
\frac{107}{128}
, also die Quadrat-Wurzel aus dem gantzen Nenner ist
\frac{321}{128}
: aus dem Zaͤhler
L l 2
aber
Zweyter Abschn. von der unbest. Anal.
aber ist derselbe = 6, woraus folget
x
=
\frac{6}{\frac{321}{128}}
=
\frac{256}{107}
, welcher Werth von dem vorher gefundenen gantz un- terschieden ist. Allso sind die Wurzeln von unsern drey Cubis folgende:
I.) x - 1
=
\frac{149}{107}
;
II.) x
=
\frac{256}{107}
;
III.) x + 1
=
\frac{767}{107}
, deren Cubi zusammen addirt einen Cubum hervorbringen, davon die Wurzel seyn wird
xy
=
\frac{256}{107}
.
\frac{51}{32}
=
\frac{408}{107}
.
250.
Wir wollen hiermit diesen Abschnitt von der unbestimmten Analytic beschließen, weil wir bey den angebrachten Fragen Gelegenheit genug gefunden ha- ben die vornehmsten Kunstgriffe zu erklaͤren, welche bis- her in dieser Wissenschaft sind gebraucht worden.
Ende des Zweyten Theils
Druck-Fehler
Im ersten Theil.
Seite
Zeile
statt
lies
97
13
\sqrt{b}^{3}, so
\sqrt{b}, so
120
5
a^{2\frac{3}{4}}
a^{3\frac{3}{4}}
151
19
3803923
3803922
-
20
9156862
9156863
173
4
anzeigen, will
anzeigen will,
188
9
\frac{c}{d}
\frac{c}{a}
192
10
aa+ab\\\rule[5]{60}{.5}\\+ab+bb
aa+ab\\+ab+bb\\\rule[5]{60}{.5}
200
2
folhenden
folgenden
215
8
deudet
deutet
218
11
Zelchen
Zeichen
261
19
Anzah
Anzahl
266
4
nultiplicire
multiplicire
275
5
1, 4, 16, 25, etc.
1, 4, 9, 16, 25, etc.
307
18
100 Duc.
1000 Duc.
208
8
8012⅔ Duc.
8012⅔ Fl. Pol.
322
12
2
5
2
9
336
13
142837
142857
346
19
1,5195876
1,6195776
-
21
5,0576584
5,1576484
-
22
114198 Rthl.
143763 Rthl.
Im zweyten Theil
.
Seite
Zeile
statt
lies
26
15
x+1½
x+1
-
17
x+½
x
32
13
\frac{3}{2}x-6
\frac{3}{2}x+6
71
18 u. 19
Quadrate
Quadrat-Wurzel
96
20
y=5+x
y=5-x
103
3
xx+105
2
x
4
+105
2
117
9
x=3±
x=5±
128
20
1300
13000
140
8
z=2y
x=2y
142
8
1, 3, 4, 8,
1, 2, 4, 8
153
17
\sqrt[3]{(gg-\frac{4}{27}f^{3})}
\sqrt{(gg-\frac{4}{27}f^{3})}
171
3
m-√(mm 4n,
m-√(mm 4n+8)
247
12
10y+38z
10y+28z
278
8
7xx+15y
7xx+15x
281
13
durch 2 dividirt
durch 3 dividirt
307
8
(axx+af+b)
(ax+af+b)
441
17
x= \frac{34}{25}
x= \frac{24}{25}
x=\frac{7c+d}{5}
x=\frac{c+7d}{5}