G
ruͤnde
D
er
M
eßkunst/
J
n einer neuen
O
rdnung
vorgestellet/ Und mit deutlichen und kurtzen Beweißthuͤmern/ Zum Gebrauch
D
er
K
oͤniglichen
P
reußischen
F
uͤrsten- und
R
itter-
Academie
abgefasset/
Durch
Ph. Naudé, Professor. Matheseos,
Mit Koͤniglichem Preußischen allergnaͤdigstem
Privilegio,
Zu finden bey Johann Michael Ruͤdigern/ Buchhaͤndlern/
BERLJN
/
Gedruckt bey Johann Lorentz/
Jm Jahr 1706
.
Dem
A
ller-
D
urchlauchtigsten/
G
roß- maͤchtigsten
F
uͤrsten und
H
errn/
H
rn.
F
riedrichen/
K
oͤnige in
P
reussen/
M
arggraffen zu
B
randenburg/ des
H
eil.
R
oͤmischen
R
eichs
E
rtz-
L
aͤmmerern/ und Churfuͤrsten/
Souverai
nen Printzen von Oranien/ zu Magdeburg/ Cleve/ Juͤlich/ Berge/ Stettin/ Pommern/ der Cassuben und Wenden/ auch in Schlesien/ zu Crossen Hertzogen/ Burggraffen zu Nuͤrnberg/ Fuͤrsten zu Hal- berstadt/ Minden und Cammin/ Graffen zu Hohenzollern/ Ruppin/ der Marck/ Ravensberg/ Hohenstein/ Lingen/ Moͤrs/ Buͤhren und Lehrdam/ Marquis zu der Vehre und Vlißingen/ Herren zu Ravenstein/ der Lande Lauen-
burg und Buͤtow/ auch Arlay und Breda/ ꝛc. ꝛc. ꝛc.
M
einem allergnaͤdigsten
K
oͤnige und
H
errn.
A
ller-
D
urchlauchtigster/
G
roß- maͤchtigster
K
oͤnig/
A
llergnaͤdigster
H
err!
W
Je gemein es ist/ daß den ge- croͤnten und
D
urchlaͤuchtigen
H
aͤuptern/ die Buͤcher der Ge- lehrten
dedic
iret werden; so schwer ist es hingegen eine
M
aterie zu finden und auszuarbeiten/ welche dieser grossen Ehren nicht gantz unwuͤrdig scheine.
Jn Betrachtung dessen/ habe ich sehr lan- ge Zeit bey mir angestanden/ ob
Euer Koͤ- niglichen Majestaͤt
ich gegenwaͤrtigen
Tractat
allerunterthaͤnigst zu zuschreiben/
):( 3
mich
mich unterfangen duͤrffte. Nach reiffer Erwe- gung aber aller Umstaͤnde/ und Beschaffenhei- ten dieses Wercks/ habe ich mich endlich solches erkuͤhnet/ in dem allerunterthaͤnigsten Ver- trauen/ daß mein Beginnen aus folgenden Ur- sachen nicht ungnaͤdig werde genom̃en werden.
Erstlich ist die Materie von grossem Ge- wichte/ und gehoͤret unter diejenigen Wissen- schafften/ in welchen
K
oͤnige und
F
uͤrsten nicht nur
J
hre
C
ron-
E
rben und
N
achfolger/ son- dern auch
J
hre Adeliche Landes-Jugend/ mit sonderbarem Fleiß unterrichten lassen: Zu wel- chem Ende auch von
Euer Koͤnigl. Majest.
selbst eine Fuͤrsten- und Ritter-
Academie
all- hier gestifftet worden/ welche nicht allein
Dero R
esidentz einen ungemeinen Glantz beyleget/ sondern auch gegenwaͤrtiges Werck verursachet hat.
Ferner
Ferner/ hat
Euer Koͤnigl. Majest.
ho- he Gnade/ damit dieselbe diese geringe Arbeit an- gesehen/ von mir eine schuldigste Danckbarkeit erfodert/ welche ich aber nicht anders als durch
D
eren allerunterthaͤnigste Zuschrifft
Euer Koͤnigl. Majest.
und der gantzen Welt zu er- weisen/ Vermoͤgens gewesen.
Endlich habe ich allen Fleiß und Sorgfalt/ nach meinem aͤussersten Vermoͤgen angewand/ dieses Werck/ dessen
Praxis
zur Sicherheit eines wohlangeordneten Staats hoͤchst-noͤthig ist/ von allen denen Maͤngeln zu saubern/ welche in denen Buͤchern/ so in der Teutschen
S
prache davon ge- handelt/ bisher vorgefallen; und mache mir dannenhero Hoffnung/ daß nicht nur diejenigen so von dieser Wissenschafft ihr eigen Werck ma- chen/ diese meine Bemuͤhung genehm halten/ sondern auch
Euer Koͤnigl. Majest.
einen
gnaͤ-
gnaͤdigen Blick auf diese meine Arbeit werffen werden.
Aus diesen Ursachen und in diesem aller- gehorsamsten Vertrauen wende zu
Euer Koͤ- nigl. Majest.
als dem unstreitig-groͤssesten
B
eschuͤtzer und Befoͤrderer aller Edlen Kuͤnsten und Wissenschafften/ ich mich mit diesem Wercke/ und bitte mit aller Unterthaͤnigkeit/ selbiges mit allergnaͤdigsten Augen anzusehen/ und mir zu er- lauben/ daß ich mich oͤffentlich hiermit verbinde mit dem allertieffsten
R
espect zu beharren
A
ller-Durchlaͤuchtigster/
G
roßmaͤchtigster
Koͤnig/
Allergnaͤdigster Herr/ Euerer Koͤniglichen Majestaͤt
Allerunterthaͤnigster/ und allergehorsamster
Ph. Naudé.
V
orrede.
W
Eil es weder vernuͤnfftig noch billig seyn wuͤrde/ ein neues Werck an den Tag zu geben/ in welchem man die Materi gantz anderst verhandelt zu haben vorgibt/ als bißhero geschehen/ wann nicht erstlich der rechte Zweck desselben solte erklaͤret werden; Als will ich in dieser Vorrede mich bemuͤ- hen etwas anzufuͤhren/ daraus der Leser gleich anfangs wird ersehen koͤn- nen/ was Er von diesem Werck zu gewarten habe.
Nachdem ich die schoͤnsten
Elementa Geometriæ,
die biß- hero in
Europa
in Druck gekommen/ durchgelesen/ und dabey angemercket/ was noch an denselben moͤchte zu wuͤnschen seyn/ damit sie zum Gebrauch bequemer und angenehmer moͤchten Befunden werden/ und folglich/ wie sie unserer Fuͤrsten und Ritter-
Academie,
in welcher ich die Ehre habe/ diese Wissen- schafft zu
profiti
ren/ am nuͤtzlichsten seyn koͤnten/ hab ich mich bemuͤhet/ eins und das andere zu verbessern/ aus fol- genden Uhrsachen.
Erstlich zwar/ sahe ich deren keine in Teutscher Sprache/ die bequem hierzu koͤnten gebraucht werden/ weil in denselben
):(
die
die
Elementa
kaum halb begriffen/ und diese noch so man- gelhafft seynd/ daß die Eigenschafften der Coͤrper/ gantz aus- gelassen/ soviel nemlich die
Demonstrationes
oder Beweißthuͤ- mer derselben angehet: Zudem seynd alle/ von was fuͤr eine Sprach man auch reden mag/ daher unbequem/ daß die eine zu weitlaͤufftig/ die andere aber zu kurtz eingeschrencket: und neben dem/ daß sie wegen der unbequemer Art ihrer
Ci- tationum,
sehr beschwerlich fallen; Endlich brauchen sie auch viele solche Redens-Arten/ welche von dem gemeinen Ge- hrauch im Reden so weit entfernet/ und so unnatuͤrlich schei- nen/ daß sie bey denen Anfaͤngern/ nicht anderst als mit gros- ser Muͤhe koͤnnen gebraucht werden/ da man doch vornehm- lich darauff sonderlich Acht zu geben hat/ wann sie einer
di- stinguir
ten Jugend dienen sollen/ welche nicht gewohnet ist/ mit grosser Muͤhe etwas zu fassen.
Alle diese Ungelegenheiten nun/ so viel die Natur der Sache zulaͤßt/ zu vermeiden/ habe ich mir vorgenommen/ solche
Elementa
auszugeben/ die ohne eitelen Ruhm/ hierin- nen etwas sonderliches in sich begreiffen.
Erstlich hab ich mich nach dem
Exempel
vieler beruͤhmten
Professorum Matheseos
unserer Zeit/ gar nicht an die Ord- nung noch an die
demonstrationes
des
Euclidis
binden wollen/ sintemahl von ihm man wol sagen kan/ daß er zu kurtz und zu lang/ oder zu weitlaͤufftig/ und zu sehr eingeschrencket ge- handelt hat: jenes/ weil er hunderterley unnuͤtze Sachen
tracti
ret und mit grossen Fleiß beweiset/ die man sehr wol entbaͤhren koͤnte; dieses aber/ weil sehr viele Sachen/ die zu den
Elemen
ten der
Geometrie
gehoͤren/ und dazu noͤthig seynd/ darinnen nicht zu finden seynd; Als zum
Exempel,
der Be- weiß von den Wissenschafften/ welche noͤhtig sind um die Ku- gel und ihre Theile abzumessen.
Solches alles nun zu verbessern/ so viel ich nehmlich dazu
capable
capable
seyn werde/ hab ich diese
Elementa
in sieben Buͤcher wollen abtheilen/ davon das Erste/ von den
Proportionibus,
oder Ebenmaͤßigkeiten insgemein; Das Andere/ von den Li- nien/ und deren Eigenschafften; Das Dritte/ von den flachen Figuren/ in Ansehung ihrer Umkreiß/ und denen Linien die man drinnen ziehen kan: Das Vierdte/ von den flachen Fi- guren/ nach ihrem Jnhalt: Das Fuͤnffte/ von denen an Flaͤ- chen anstossenden Linien: Das Sechste/ von denen Coͤrpern insgemein; Und endlich/ das Siebende/ von denen Coͤrpern/ oder dichten Figuren/ nach ihren Coͤrperlichen Jnhalt/ han- deln wird.
Was die
Citationes,
oder Anweisung der angezogenen Oerter angehet/ die wollen wir so leicht zu finden machen/ daß es durchaus unmuͤglich seyn wird/ selbige leichter zu ma- chen/ indem nur eine einige Zahl/ die ausser der Schrifft am Rande erscheinet/ darzu gebraucht wird; obwol das gantze Werck/ in viele Buͤcher/ und ein jedes Buch in viele Capittel abgetheilet ist: welches dann in dieser Materi/ nicht ein gerin- ges ist/ dann wir sonst vortreffliche Frantzoͤsische
Elementa
ha- ben/ die bloß um ihrer allzuschweren
Citation
en fast nicht zu gebrauchen seyn. Selbige seynd abgetheilet/ in viele Buͤcher/ jedes Buch in viele
Sectiones,
eine jede
Section
in viele
Theo- remata; Problemata, Lemmata, Corollaria \&c.
Also daß wann der
Autor,
sich auff etwas beziehen will/ er zum
Exempel
sagen muß/
Liv. 2. §. 4. Theor. 5. Coroll.
3. dergestalt/ daß ehe man sich auff diese Zuruͤckweisung recht besonnen/
umfelbige
zu be- sehen/ wie es offt noͤthig ist/ einem der gantze Beweiß aus dem Kopff entfallen ist.
Man hat hier/ mit dem Buch der
Proportionum
den An- fang gemacht/ weil mir diese Materi als die beste vorkommet/ um den Verstand zueroͤffnen/ und um sich an die
Mathemati-
schen
Raisonnemens
oder Schluß-Reden zu gewoͤhnen/ und zu
):( 2
dem
dem noch/ um hundert Beweißthuͤmer in folgenden Buͤchern/ mit einer schlechten Zuruͤckweisung abzufertigen/ welche son- sten sehr weitlaͤufftig muͤsten bewiesen werden. Uber dem/ hab ich diese sonst schwere/ verwirrete/
abet
wichtige Materi/ dergestalt erklaͤret/ und von allen
confusion
befreyet/ daß nicht leichtlich ein einiges
dubium
mehr darinnen wird zu finden seyn.
Hernach/ um mir den Weg zu den kurtzen Beweißthuͤm- mern zu bahnen/ hab ich ein kleines Capittel in diesem ersten Buch gesetzet/ um die vier
Species,
und die
Radices,
in den klei- nesten und leichtesten Buchstaͤblichen groͤssen auszulegen/ wie sie heut zu Tage/ in der neuen
Analysi
oder
Algebra
gebraͤuch- lich seynd. Jch habe die Hoffnung/ man wird hier/ wie auch sonst weiter/ ein solches Licht finden/ als sonsten in dergleichen Materien bißher/ nicht leicht erschienen. Was die Art des
Raisonnement
angehet/ die hab ich so natuͤrlich seyn lassen/ wie sie gemeiniglich in andern Materien pfleget zu seyn/ und habe die Beweißthuͤmer oder Schluß-Reden insgemein/ nicht an- derst angedeutet/ als mit dem Woͤrtlein
dann
/ wie man sonst pfleget/ ausgenommen im ersten Buch/ und in wenig andern Orten/ da es etwas anderst lautet.
Damit ich aber auch Ruhm gebe dem Ruhm gebuͤhret/ will ich dem guͤnstigen Leser unverholen seyn lassen/ daß ich ein gutes Theil der vornehmsten Anstalt/ und des Wercks selb- sten/ aus einem andern frantzoͤsischen Werck/ welches nie
pu- blici
ret/ genommen/ und welches gemacht und gebraucht wor- den ist/ theils schon gecroͤnte Haͤupter/ theils solche/ die die Cron als Erben noch zugewarten haben/ in der
Mathesi
zu unterweisen: Doch hab ich von diesem Werck/ viele
propositi- ones,
die mir unnuͤtze vergekommen/ ausgelassen; viele von meinen eigenen/ die allerdings dabey kommen musten/ hier zugesetzet; viele
demonstrationes
veraͤndert/ und gebessert/ und also gemacht/ daß alles deutlich geworden/ welches sonst wegen
der
der uͤbelen Abschrifft/ nicht kunte verstanden werden. Und weil das Werck keine
citationes
gehabt/ und dadurch auch dem
Publico
gantz untauglich war/ hab ich solche dabey gesetzet/ und wie schon gesagt/ selbe so gesetzet/ daß sie nicht leichter zu finden seyn koͤnnen. Mit einem Wort/ es seynd soviel Veraͤnde- rungen darzu gebracht/ um dasselbe zu verbessern/ daß ob ich wol mich fuͤr den
Autorem
dieses Werck ausgeben koͤnte/ habe ich doch auffrichtig handeln wollen/ dann ich billig gestehen muß/ daß diß mein Werck ohne das ander/ zu der
perfection
die man drinnen siehet/ nicht kommen waͤre/
wann jenes an- der/ mir nicht zu Gesicht kommen waͤre.
Was die Redens-Art betrifft/ lebe ich der Hoffnung/ man werde mir/ weil ich kein gebohrner Teutscher bin/ einige
Gal- licismos,
dle
uns unvermeidlich seynd/ zu gut halten; desto mehr/ weil man doch ohne dem/ in dieser Materi/ auff die Beredsamkeit nicht bedacht ist/ sondern nur sein Absehen auff die deutliche Wortstellung hat/ deren ich mich aͤusserst beflissen habe. Was sonsten die
Geometri
sche
terminos
angehet/ die hab ich bey den besten Teutschen
Autoribus
ausgelesen/ wie- wol ich in etlichen Orten/ da mich keiner vergnuͤget hat/ einige Woͤrter seltzer ersonnen/ welche mit besonderem Gluͤck schei- nen eingetroffen zu haben. Was die andere Woͤrter angehet/ die mir auff Teutsch zu gezwungen vorkommen seynd/ die hab ich/ wie viele andere
Autores,
Frantzoͤsisch oder Lateinisch gelassen.
Weil auch gemeiniglich die
Mathematici
sich auff den
Eu- clides
beziehen/ wird man hier am Ende ein Register sehen/ da der Leser wird finden koͤnnen/ wo man alle seine vornehmste
propositiones,
oder die etwas wichtiges in der
Geometrie
nach sich ziehen/ auff eine gantz neue/ viel kuͤrtzere/ und leichtere Art/ als er es selbst gethan/ bewiesen hat.
Was das
Format
angehet/ hat man fuͤr dienlich befunden
)( 3
selbiges
selbiges in
Quarto
zu lassen/ den Druck aber in
Octavo,
um einen breiten Rand zu bekommen/ damit unsere hohe
Acade- mici,
und ein jeder ander
curieuser
Leser/ die Figuren neben den
discours
hinsetzen koͤnne; wiewol dem
Publico
zu dienen/ die Figuren/ alle beyeinander/ am Ende zu finden seynd; und dieses auch so bequem/ als es immer geschehen kan/ indem sie also eingebunden werden/ daß sie/ wo man will/ auswendig erscheinen/ wann gleich das Buch zu waͤre.
Das ist nun der Zweck/ den wir uns in diesem Werck vor- genommen haben. Gleich wie man aber bißhero noch keinen
Autorem
angetroffen/ der zur
absolu
ten
perfection
oder Voll- kommenheit gestiegen/ oder der allen Menschen ein voͤlliges Vergnuͤgen geleistet/ so bilde ich mir auch nicht so viel ein/ daß ich meinen solte/ gluͤcklicher darinnen als andere gewesen zu seyn; und zweiffele auch gantz nicht/ man werde hinfuͤhro/ wie vorhin/ allezeit in neuen Wissenschafften/
avanci
ren und zunehmen/ wie von der Welt Anfang her biß
dato
geschehen. Es ist genug/ um einigen Danck von vernuͤnfftigen billigen und auffrichtigen Lesern durch seine Muͤhe und Fletß zu er warten/ daß ein jeder/ in seiner
profession
fleißig- und
curieu
ser Mensch/ von dem Seinigen etwas zusetze oder beytrage/ um uns etwas naͤher/ zu der so erwuͤnschten Vollkommenheit zu bringen/ nach welche man allezeit trachten/ und zu der man sehr wahr- scheinlich/ nimmer voͤlliger gelangen wird.
Solte immittelst etwan ein edeles Gemuͤht und erfahre- ner Mensch sich finden/ der noch etwas angemercket haͤtte/ wodurch unser Werck noch naͤher zu der
perfection
haͤtte koͤn- nen gebracht werden/ und der auch so generoͤß seyn wolte/ und uns seine Meinung daruͤber/ schrifftlich oder anderst eroͤffnen/ will ich auch so lehrbegierig/ und so danckbar mich gegen ihm erzeigen/ das wo man zu einem zweiten Druck kommen solte/ und sein vorgeben sich in der That also vortheilhafftig befin-
den
den wuͤrde/ man demselben darinnen gantz fleißig nachleben/ und ihm auch oͤffentlich die Ehre darvon zuschreiben wird.
Was die neidische Mißgoͤnner und Tadler angehet/ deren Auge schiel sihet/ wann etwan einer seiner Pflicht rechtschaffen nachlebet/ und die durch Verkleinerung eines Wercks/ dazu sie selbst
incapables
seynd/ fuͤr gelehrt wollen angesehen werden; die siehet man mit bedauren an/ als welche am Gemuͤht etwas kranck seynd/ und also auch unfaͤhig uͤber eine Sache/ ein ge- sundes Urtheil zu faͤllen/ und wuͤnschet man ihnen darinnen eine voͤllige Gesundheit/ und folgends auch allerhand Gluͤck und Heyl.
Wann ich aber spuͤhren werde daß diese
Elementa,
oder dieses
fundament
der
Geometrie,
denen
interessir
ten und dem
Publico
nicht mißfalle/ hab ich mir vorgenommen/ mit Huͤlff des Allerhoͤchsten/ ein solches Gebaͤude darauff zusetzen/ das dem
fundament
gemaͤß seyn wird/ und welches auch darauff kommen muß/ nehmlich unterschiedliche
Tractate,
die zur
Pra- xis
der
Geometrie
gehoͤren/ und werde ich mich bemuͤhen/ daß dieses Theil auch von unnuͤtzer Weitlaͤufftigkeit/ die man sonst uͤberall/ in demselben antrifft/ befreyet seyn moͤge; wogegen ich recht
fundamental-
Regeln/ die alle
casus particulares
erschoͤpf- fen/ welche fast unendlich an der Zahl und offt grosse Buͤcher un- nuͤtzer weise erfuͤllen/ beybringen werde. Endlich/ will ich auch dahin sehen/ daß ein jeder verstaͤndiger Mensch/
proprio Marte
und von sich selber/ dieses alles wird verstehen und verrichten koͤnnen/ wann er diese meine Arbeit recht drrchgangen/ und aus denselben sich einmahl recht wird erbauet haben. Und wo mir GOTT das Leben laͤsset/ wil ich vielleicht auch nach die- sem allem/ noch andere
Mathemati
sche
Tractaͤt
lein ausgeben/ die verhoffentlich von unsern hohen
Academist
en/ noch von den verstaͤndigen Liebhabern/ nicht unnuͤtz oder unangenehm werden geschaͤtzet werden.
Axiomata
Axiomata
oder Grundsaͤtze die in der gantzen
Mathesi
zum Voraus genommen werden/ und welche solche Ausspruͤche seynd/ an welcher Wahrheit/ niemand zweiffeln kan/ wann er nur die Meinung derselben wol verstehet.
I.
Das gantze ist groͤsser als ein Theil darvon.
II.
Das gantze ist gleich der
Summe,
oder der Versam̃lung aller seiner Theile zusammen genommen.
III.
Alle die Groͤssen/ darvon eine jede/ einer gewissen andern gleich ist/ die seynd auch alle mit einander unter einander gleich.
IV.
Wann gleiche Groͤssen/ durch Mittel anderer gleichen Groͤssen/ oder auch allein in sich selbsten gleicherweise
tracti
ret werden/ nehmlich durch
Addition, Subtraction, Multiplica- tion, Division,
oder gleiches Nahmens
extractio Radicum;
was heraus kommet ist auch gleich.
V.
Wann man von gleichen Groͤssen ungleiche Groͤsse ab- ziehet/ die uͤberbleibende Groͤsse/ seynd ungleich.
VI.
Solche Groͤsse welche sich allerdings miteinander schi- cken/ also daß die eine die andern nirgendswo uͤbertrifft/ wann sie auf einander oder in einander geleget werden/ die seynd mit- einander gleich.
VII.
Wann gleiche gerade Linien/ oder gleiche gerad li- nichte Winckel/ auf einander geleget werden/ die schicken sich allerdings zusammen.
Elementa Geometriæ Lib. I.
ELEMENTA GEOMETRIÆ,
Oder
B
ruͤnde der
E
rdmeß- kunst.
I.
Buch.
De Proportionibus,
oder von den Ebenmaͤßigkeiten.
M
An erkennet eine Groͤsse nicht
1.
anderst als durch die
Gegen- haltung
oder
Verhaltnuͤß
derselben mit einer bekanten Groͤsse.
Die
Verhaltnuͤß
ist zwey-
2.
erley/ die eine ist
Arithmet
isch die andere
Geo- met
risch.
Sie wird
Arithmet
isch genennet/ wann
3.
man betrachtet/ wie viel eine gewisse Groͤsse
A
groͤsser
Elementa Geometriæ.
groͤsser ist als die andere; und
Geomet
risch/ wann man betrachtet/ was fuͤr ein Theil die eine ist in der anderen: nun ist es eigentlich das Letzte/ welches man gemeiniglich
Ra- tio
oder Verhaltnuͤß nennet.
4.
Wann zwo Groͤssen eben die Verhaltnuͤß gegenein ander haben/ als zwo andere Groͤs- sen auch gegeneinander/ so wird diese Gleich- heit der Verhaltnuͤß
proportio
oder Eben- maͤßigkeit genennet.
Wir wollen in diesem Buch betrachten und beweisen die Eigenschafften der Ver- haltnuͤssen und Ebenmaͤßigkeiten/ welche wirofft mit Zahlen wollen vorstellen/ groͤsse- rer Leichtigkeit halben/ wiewohl sie auff aller- hand Groͤsse muͤssen und koͤnnen
applicir
et werden.
Aber ehewir zur Sache schreiten/ wollen wir ein kleines Capittel vorsetzen/ welches uns ein Mittel seyn wird/ um die Beweiß- thuͤmer oder
Demonstrationes
in einer Zei- len zu geben/ die in sechs oder acht muͤsten vorgestellet werden.
V
orbereitungs-
L
apittel.
Von der Art und Weise alle die
Species
der
Arithmetica
zu
practicir
en/ mit sol- chen Groͤssen die mit Buchstaben be- zeichnet seynd/ nach Art der neuen
Ana-
lysis
Elementa Geometriæ Lib. I.
lysis
oder
Algebra,
so weit nehmlich uns dieses hier noͤthig seyn kan.
Außlegung der Zeichen.
+ bedeutet und oder mit. Als 9 + 3. be-
5.
deutet 9. und 3. oder 9. mit 3.
— bedeutet
weniger
als 14 — 2. bedeu-
6.
tet 14 weniger 2.
∝ bedeutet
ist gleich.
als 9 + 3 ∝ 14
7.
— 2. das ist/ 9. mit 3 ist gleich/ oder gilt so viel als 14 weniger 2.
∷ Diese vier
Puncten,
wann sie zwo unter-
8.
schiedene Groͤssen vor sich haben/ und zwo andere hinter sich/ geben zu verstehen/ daß solche vier Groͤssen eine
Geometri
sche Eben- maͤßigkeit oder
Proportion
begreiffeñ. Als 6.2 ∷ 2. 4. bedeutet/ daß 6 stehet zu 2. als wie 12. stehet zu 4. nehmlich in gleicher
Geo- metri
scher Verhaltnuͤß.
: Diese zwey
Puncten,
wann sie zwo unter-
9.
schiedene Groͤssen vor sich haben und zwo andere hinter sich/ geben zu verstehen/ daß solche vier Groͤssen eine
Arithmeti
sche Eben- maͤßigkeit oder
Proportion
begreiffen/ als 7. 3 : 13. 9. bedeutet/ daß 7 um so viel groͤsser ist dann 3. als 13 groͤsser ist dann 9.
∺ Jm Anfang etlicher unterschiedenen
10.
Groͤssen gesetzet bedeutet/ daß solche Groͤssen eine gebundene
Geometri
sche Ebenmaͤssig- keit/ oder einen
Geometri
schen Fortgang ausmachen/
proportio Geometrica continua,
oder
progressio Geometrica,
als ∺ 16. 8. 4.
A 2
2. 1. das
Elementa Geometriæ Lib. I.
das ist/ 16. stehet zu 8. als wie 8. zu 4. als wie 4. zu 2. ꝛc.
11.
÷ Jm Anfang etlicher unterschtedenen Groͤssen gesetzet/ bedeutet daß solche Groͤssen eine gebundene
Arithmethi
sche Ebenmaͤßig- keit/ oder
Arithmeti
schen Fortgang ausma- chen/
proportio Arithmetica continua,
oder
progressio Arithmetica,
als : 19. 16. 13. 10. 7. 4. das ist/ 19. ist so viel groͤsser als 16./ wie 16. groͤsser ist als 13./ wie 13. groͤsser ist als 10. ꝛc.
12.
Hier hat man im Gebrauch alle Groͤssen in
genere,
und insgemein mit Buchstaben zu verzeichnen oder vorzustellen/ ohne daß man sich bekuͤmmere/ was fuͤr Groͤsse sie bedeu- ten/ ob sie eine Zahl/ oder eine Linie/ oder eine Zeit ꝛc. bedeuten/ weil man sie doch nur brauchet/ um dadurch zuschliessen/ daß die Groͤsse
b
ist die Groͤsse
b.
die Groͤsse
a
ist
a.
die Groͤsse
c
ist
c.
oder (welches ein Ding ist/ wann von Groͤssen gehandelt wird/) daß
b ∝ b.
daß
a ∝ a.
und daß
c ∝ c. \&c.
ADDITIO.
13.
Soll man
addiren b
mit
c,
so schreibet die
Summa
also,
b + c.
Soll man
addir
en
b
mit
b
und
c,
so ist das
facit, 2 b + c.
SUBTRACTIO.
14.
Soll man
subtrahiren c
von
b,
so ist das
fa- cit b—c.
Soll man
subtrahir
en
b
und
c
von 3
b.
so ist das
facit 2 b—c,
MUL-
Elementa Geometriæ Lib. I.
MULTIPLICATIO.
Hier muß man nur
observir
en/ daß/ wann
15.
die Zeichen der
Producent
en gleich seynd/ der
Product
kommet +/ und daß wann sie un- gleich seynd/ der
Product
kommet —.
Soll man
multiplicir
en +
a
mit +
b
oder —
a
mit —
b
der
Product
oder das
Facit
kom- met +
a b.
Soll man aber
multiplicir
en +
a
mit —
b,
oder —
a
mit +
b,
das
facit
kommet —
ab.
Dann die Buchstaben nur also bloß beyein- ander gesetzet/ heisset
multiplicir
en.
Soll man
multiplicir
en +
a c d
mit —
a- b c d.
der
Product
oder das
facit
kommet —
aabccdd.
DIVISIO.
Hier muß man auch
observir
en/ daß wann
16.
man
dividiret
+ mit +/ oder — mit —/ der
quotient
kommet +. und wann man
dividi- ret
+ mit —/ oder — mit +/ der
quotient
kom- met —.
Soll man
dividir
en +
a
mit +
b.
oder —
a
mit —
b.
der
quotient
oder das
facit
kom̃et +
\frac{a}{b.}
.
Wann man aber
dividir
en soll —
a
mit +
b.
oder +
a
mit —
b.
das
facit
ist —
\frac{a}{b}
.
Soll man
dividir
en +
a b
mit +
a.
oder
17.
—
a b
mit —
a.
der
quotient
ist +
b.
Dann diese
Divisio
gehet auf und bleibet nichts als ein Bruch/ dann man setzet und
operiret
also
A 3
rendition="#rightBraced"\>+
a b + a
+ b.
Elementa Geometriæ Lib. I.
+
a b + a
+ b. oder
-
ab - a
+ b. Oder wann es wie ein Bruch gesetzet wird/ also
a
\frac{b}{a}
so darff man nur die gleiche Buchstaben oben und unten wegstreichen/ bleibet
b.
Soll man aber
dividir
en +
a b
mit –
a.
oder –
ab
mit +
a,
der
quotient
ist –
b.
eben so ver- richtet wie zuvor. Und
\frac{ab-ac}{b-c}
gibt +
a.
RADIX QUADRATA.
18.
Weil eine gewisse Groͤsse mit sich selber
mul- tiplicir
et/ einen
quadrat
zum
facit
hat/ als
b
mit
b,
gibt
bb.
und
bc
gibt
bbcc.
so folget daß alle die Buͤchstaͤbliche Groͤssen/ da man die Zahl eines jeden darinn degriffenen Buch- stabes halbiren kan ein
Quadrat
ist/ als
aabbcc.
ist ein
Quadrat,
und
aabbccdd
ist auch ein
Quadrat. \&c.
19.
Hieraus folget auch daß um die
Radix qua- drata
einer solchen Groͤsse zu
extrahir
en/ man nur darff die Helffte der Zahl eines jeden Buchstabs nehmen Als die
Radix quadra- ra
von
aabbcc
ist
abc
und von
bb
ist
b.
und von
aabbccdd
ist
abcd. \&c.
20.
Nota.
Jn dieser Art
calculation,
wann ein Buchstab mehr als zwey oder drey mahl beyeinander kommen solte/ schreibt man nur einmahl den Buchstaben mit einer kleinen Zahl oben hinter/ als an statt
aaa,
schreibet man
a
3
an statt/
bbbb,
schreibet man
b
4
.
an statt
aaa bbbb.
schreibet man
a
3
b
4
. \&c.
21. Man
Elementa Geometriæ Lib. I.
Man muß aber auch wohl
observir
en/ daß
21.
ein grosser Unterscheid ist zwischen 2
a.
und
a
2
.
zwischen 2
b
und
b
2
.
Dann 2
b
ist nur an statt
b+b.
aber
b
2
.
ist an statt
bb.
Wann aber nun
b
∝ 3. so ist
b+b.
oder 2
b
so viel als 6. aber
bb.
oder
b
2
.
ist so viel als 9. nehm- lich 3 mahl 3.
RADIX CUBICA.
Wann ein
Quadrat
mit seiner
Radix mul-
22.
tiplici
ret wird/ der
Product
ist ein
cubus,
als
aa.
mit
a multiplicir
et/ das
facit a
3
.
oder
aaa.
ist ein
Cubus,
und
aabb.
mit
ab multipliciret,
gibt den
cubus a
3
b
3
. \&c.
Hieraus folget daß alle die buchstaͤbliche Groͤssen/ da die Zahl ei- nes jeden darinn begriffenen Buchstabes mit 3. auffgehet/ lauter
cubus
seynd.
23.
Darum dann um die
Radix cubica
einer solchen Groͤsse zu
extrahir
en/ so darff man nur das drittel der Zahl eines jeden Buch- stabs nehmen/ so hat man die
Radix cubica
als die
Radix cubica
von
a
3
.
oder von
aaa.
ist
a.
und von
a
3
b
3
.
ist
ab \&c.
ADDITIO
in Bruͤchen.
Soll man
addiren
{a}{b}
mit
{c}{d}
so ist die
sum̃a
24.
{a}{b}
+
{c}{d}
.
Soll man
addiren
{a}{b}
mit –
{c}{d}
die
sum̃a
ist
{a}{b}
—
{c}{d}
.
Soll
Elementa Geometriæ Lib I.
Soll man aber
addir
en
{a}{b}
mit
{c}{b}
so ist die
summa
{a}{b}
+
{c}{b}
oder
{a+c}{b}
SUBTRACTIO
in Bruͤchen.
25.
Soll man
subtrahi
ren
{a}{b}
von
{c}{d}
so ist der Rest
{c}{d}
—
{a}{b}
Soll man aber
subtrahi
ren
{a}{b}
von
{c}{b}
so ist der Rest
{c-a}{b}
MULTIPLICATIO
in Bruͤchen.
26.
Soll man
multiplici
ren
{a}{b}
mit
{c}{d}
so kom- met der
Product
{ac.}{bd}
und so mit den andern allen. Wann man nemlich die zwey Zeh- ler miteinander
multipliciret,
und machet ei- nen neuen Zehler darauß/ und daß man auch die zwey Nenner miteinander
multipli- cir
et und machet einen neuen Neñer drauß.
27.
Soll man aber
multiplici
ren
{a}{b}
mit
a.
so ist es eben als wann es waͤre mit
{a}{1}
so kommet das
facit
{aa}{1b}
oder
{aa}{b}
dann 1. wird allzeit bey einem Buchstab verstanden/ wo keine Zahl davor stehet.
28. Soll
Elementa Geometriæ Lib. I.
Soll man
multiplici
ren
{a}{b}
mit
b,
so kommet
28.
{ab}{b}
oder
a.
allein/ weil ein Bruch oben und unten mit einerley groͤsse
dividi
ret/ aͤndert ihren werth nicht/ darum im vorigen Bruch/ wann ich
dividi
re
ab.
mit
b.
so kommet
a.
und
b
mit
b.
so kommet 1. also ist dann der Bruch kommen auf
{a}{1}
welches so viel gilt als
a
allein/ weil alle gantze/ koͤnnen alle- zeit mit dem Nenner 1. geschrieben werden/ wann man will/ dann ich kan schreiben
{b}{1}
an statt
b.
und auch
\frac{8}{1}
an statt 8. es bleibet allezeit in seinem Werth. Hieraus folget diese
General-Regel,
daß wann man einen Bruch mit seinem Nenner
multiplicir
en soll/ so darff man nur den Nenner weg thun/ und den Zehler fuͤr das
facit
geben. Soll ich
multiplicir
en
{ab}{c}
mit
c.
so ist das
facit ab.
Soll ich
multiplicir
en ⅞ mit 8. so ist das
fa- cit 7. \&c.
DIVISIO
in Bruͤchen.
Soll ich
dividir
en
\frac{a}{b}
mit
\frac{c}{d}
so ist der
Quo-
29.
tient
\frac{ad}{bc}
.
Wann man nehmlich den Zeh- ler des
dividendus multiplicir
et mit dem
B
Nen-
Elementa Geometriæ Lib. I.
Nenner des
divisors,
und machet daraus ei- nen neuen Zehler/ und daß man auch den Nenner des
dividendus mult iplicir
et mit dem Zehler des
divisors,
und machet daraus den neuen Nenner.
RADIX QUADRATA
in Bruͤchen
30
Man darff nur die
Radix
des Zehlers nehmen und einen neuen Zehler daraus machen/ und die
Radix
des Nenners/ und ei- nen neuen Nenner daraus machen/ dieser neue Bruch ist die
Radix
des Ersten/ als die
Radix Quadrata
von
\frac{aa}{bb}
ist
\frac{a}{b}
.
Von
\frac{a^4bb}{cc}
.
ist
\frac{aab}{c}
.
und so mit den andern allen.
RADIX CUBICA
in Bruͤchen.
31.
Man darff auch nur die
Radix cubica
des Zehlers nehmen und einen neuen Zehler daraus machen/ und eben auch die
Radix cu- bica
des Nenners und einen neuen Nenner daraus machen/ so ist dieser neue Bruch die
Radix cubica
des Ersten. Als die
Radix cu- bica
von
\frac{a^3}{b^3}
ist
\frac{a}{b}
.
und von
\frac{a^3b^6}{c^3}
ist
\frac{abb}{c}
und so mit den andern allen. Nun wollen wir zu unserm rechten Zweck der
Proportion
oder Ebenmaͤßigkeit schreiten.
Caput II.
Von dem Gantzen und dessen Theilen.
32. Eine
Elementa Geometriæ Lib. I.
E
Jne Groͤsse wird
ein gantzes
genen-
32.
net in Ansehung einer andern Groͤsse die kleiner ist; und eine kleine Groͤsse wird
Theil
genennet in Ansehung einer Groͤssern. Als 8. wird ein gantzes genen- net in
respectu
2. und 2. wird ein Theil von 8. genennet.
Wann eine Groͤsse eine andere Groͤsse et-
33.
liche mahl
accurat
und ohne Rest in sich haͤlt/ so wird diese Erste
multiplex
oder vielfaͤltig genennet. Also ist 12.
multiplex
von 4. Und diese Groͤsse die so
accurat
etliche mahlin der andern begriffen wird/ wird
pars aliquota
der Ersten genennet/ welches wir auf Teutsch nennen wollen ein
auffgehendes Theil.
Al- so ist 4 ein auffgehendes Theil von 12. Aber 5. ist so kein auffgehendes Theil von 12.
Man saget auch/ daß ein auffgehendes Theil sein Vielfach messet/ um zusagen/ daß es drinn auffgehet. Daß 4. messet 12. aber nicht daß 4. messet 10.
Ein
gemein auffgehendes Theil
oder
34.
gemein Maaß
/ ist so eine Groͤsse/ welche ein auffgehendes Theil ist zwoer andern. Also ist 4. ein gemein auffgehendes Theil von 12. und von 8. aber nicht von 12. und von 10.
Diese Groͤsse/ welche ein gemein auffge-
35.
hendes Theil/ oder gemein Maaß haben/ werden
commensurabiles
genennet/ welches wir
gemeinmaͤßlich
auf Teutsch nennen koͤnnen/ als da seynd alle Zahlen gegenein-
B 2
der/
Elementa Geometriæ Lib. I.
der/ welche alle die Einheit
unitatem
fuͤr ge- mein Maaßhabẽ/ oder wo es Bruͤche seynd/ koͤnnen sie doch zu einem gemeinen Nenner gebracht werden/ und ist alsdann die Ein- heit aus dem Nenner das gemein Maaß. Aber die Groͤsse die kein gemein Maaß mit einander haben/ werden
incommensurabiles
genennet/ oder auf Teutsch
ungemein- maͤßlich.
36.
Zwey aufgehende Theile seynd
gleich- theilend/
wann sie gleicherweise in ihrem Vielfach begriffen seynd. Also seynd
gleich- theilende aufgehende Theile
2. und 3 von 8. und 12. dieweil 2. viermahl in 8. begriffen ist/ als wie 3. viermahl in 12.
Caput III.
Von den Verhaltnuͤssen und von der Ebenmaͤßigkeit oder
Proportion.
37.
W
Ann man eine Groͤsse mit einer andern vergleichet oder derselben gegenhaͤlt/ so wird die Erste
ante- cedens,
oder
Erster Satz
genennet/ und die Andere
consequens,
oder
Andere Satz.
38.
Ratio
oder Verhaltnuͤß ist die Art oder Weise auf welcher der erste Satz den andern Satz/ oder aber einige seiner aufgehenden Theilen in sich begreiffet/ oder in sich haͤlt. Oder noch deutlicher und eigentlicher zu fa-
gen/
Elementa Geometriæ Lib. I.
gen/ die
Geometri
sche Verhaltnuͤß ist der
quotient
oder das
facit
das heraus kommet/ wann man den ersten Satz mit dem andern Satz
dividi
ret. Also/ die Verhaltnuͤß von 12. gegen 4. ist die Art auf welcher 12. begreiffet in sich 4. und weil 12. die 4. dꝛeymal in sich be- greiffet/ so saget man/ diese Verhaltnuͤß zu beschreiben/ daß 12. dreyfach seye von 4. und kuͤrtzer kan man sagen/ daß der Werth dieser Verhaltnuͤß ist 3. weil 12.
dividi
ret mit 4. gibt 3. Auf gleiche Weise die Verhaltnuͤß von 8. gegen 12. ist die Art auf welcher 8. ein aufgehendes Theil von 12. in sich begreiffet/ und weil 8. zweymahl 4. in sich begreiffet/ welches das drittel von 12. ist/ so beschreibet man diese Verhaltnuͤß/ wann man saget/ daß 8. die zwey drittel von 12. ist. Oder kuͤrtzer/ der Werth dieser Verhaltnuͤß ist ⅔ weil 8.
dividi
ret mit 12. gibt den
quotient
⅔. dann um 8. mit 12. zu
dividi
ren/ muß ich schreiben
\frac{8}{12}
dessen der
quotient
oder die kuͤr- tzeste Beschreibung ist ⅔. eben also die Ver- haltnuͤß von
ab
gegen
ad
ist
\frac{ab}{ad}
oder kuͤrtzer/ ihr Werth ist
\frac{b}{d}
.
Also wollen wir dann diese letzte und kuͤrtzeste Beschreibung sei- ner Verhaltnuͤß nennen/ den Werth oder
B 3
den
Elementa Geometriæ Lib. I.
den
quotient
en einer Verhaltnuͤß/ oder auch offt die Verhaltnuͤß selbsten.
39.
Es seynd zweyerley Verhaltnuͤssen/ als nehmlich
gemeinmaͤßliche/
und
ungemein- maͤßliche.
40.
Die gemeinmaͤßliche ist diese/ wo der erste Satz den andern Satz/ oder doch einige sei- ner aufgehenden Theile etliche mahl in sich haͤlt
accurat
und ohne Rest/ oder kurtzer/ es ist diese/ deren werth oder
quotient
kan mit Ziffern beschrieben werden. Also ist die Ver- haltnuͤß von 12. gegen 4. gemeinmaͤßlich/ weil die Ziffer 3. der
quotient
davon ist/ und auch weil der ander Satz in dem ersten drey- mahl begriffen ist; und noch/ weil auch ein Maaß von einem Schuh alle beyde Saͤtze
accurat
und ohne Rest koͤnte abmessen. Eben deßgleichen die Verhaltnuͤß von 6. gegen 9. ist auch gemeinmaͤßlich/ weil 6. zweymahl das drittel von 9
accurat
in sich haͤlt. Oder weil die Ziffer oder der Bruch ⅔ der Werth davon ist Oder endlich/ weil ein Maaß von einem Schuh alle Saͤtze
accurat
und oh- ne Rest koͤnte abmessen Endlich die Verhalt- nuͤß von ⅓ gegen ⅖ ist auch gemeinmaͤßlich aus allen dreyen vorhergehenden Uhrsachen ob man sie gleich nicht so leichtlich begreiffen kan/ hier aber folgen sie. 1°. weil ⅓ fuͤnffmahl
das
Elementa Geometriæ Lib. I.
das Sechstheil von ⅖ in sich begreiffet. 2°. Weil der Werth oder der
quotient
dieser Verhaltnuͤß ist die Ziffer oder der Bruch ⅚. Endlich weil ein Maaß von
\frac{1}{15}
Schuh/ alle beyde Saͤtze
accurat
und ohne Rest koͤnte abmessen/ dann so ein Maaß wuͤrde fuͤnff- mahl in ⅓ kom̃en und sechsmahl in ⅖. Dar- aus siehet man endlich/ daß wann alle beyde Saͤtze einer Verhaͤltnuͤß mit Ziffer koͤnnen vorgestellet werden/ so ist diese Verhaltnuͤß gemeinmaͤßlich/ aber es ist nicht noͤhtig daß man alle diese Uhrsachen allemahl betrachte/ eine ist genug/ weil eine ohne die andere nicht seyn kan.
Die
ungemeinmaͤßliche Verhaltnuͤß
41.
ist wann der erste Satz den andern/ noch kei- ne Zahl von seinen aufgehenden Theilen
ac- curat
in sich halt/ also daß nichts uͤberbleibet. Als wann ich die Groͤsse
c.
in solche auffge- hende Theile als ich im̃er wil abtheile/ uñ daß die Groͤsse
a.
keine Zahl von solchen auffge- henden Theilen
accurat
und ohne Rest in sich haͤlt; so wird die Verhaltnus von
a
gegen
c
ungemeinmaͤßlich genennet/ und alsdann wird es sich auch finden/ daß keine Ziffer/ es mag seyn Gantze oder Bruͤche/ den Werth oder den
quotient
dieser Verhaltnuͤß werden koͤnnen geben; daß kein Maaß muͤglich ist zu finden/ welches diese beyde Groͤssen
accurat
ausmesset/
Elementa Geometriæ Lib. I.
ausmesset/ und endlich werden diese Saͤtze
a.
und
c.
nicht alle beyde koͤnnen mit Ziffern vorgestellet werden.
42
Aber weil man begreiffet daß die Groͤssen
C.
in unendlich kleine Theile zertheilet wer- den kan/ wañ
a
gar keine vonsolchen Theile
accurat
in sich haͤlt/ so wird es doch nur feh- len an einem Stuͤck oder Rest von so einem Theil/ welches/ weil es klein ist/ kan fuͤr nichts gesetzet werden/ und wird alsdann die Ver- haltnuͤß von
a.
gegen
c.
als gemeinmaͤßlich angesehen werden koͤnnen. Deßwegen wollen wir hier von keiner andern Verhalt- nuͤß reden als von der gemeinmaͤßlichen.
43
Zwo Verhaltnuͤssen seynd gleich/ wañ ihr
quotient
oder werth einander gleich seynd. Also ist die Verhaltnuͤß von 8. gegen 2. gleich der Verhaltnuͤß von 12. gegen 3. weil der
quotient
auf beyden Seiten 4. ist. Eben also ist die Verhaltnuͤß von 4. gegen 6. gleich der Verhaltnuͤß von 10. gegen 15. weil der
quotient
auf beyden Seiten ist ⅔.
44
Die Gleichheit zwoer Verhaltnuͤssen heis- set
proportio
oder
Ebenmaͤßigkeit/
und diese Groͤsse unter welchen ist diese Gleichheit zwoer Verhaltnuͤssen werden
proportioni
rte/ oder
obenmaͤßige Groͤsse
genennet/ welches also kan vorgestellet werden mit Ziffer/ 4. 6 ∷ 10. 15. und mit Buchstaben also
a. b
∷
c. d.
das ist/ 4. verhaͤlt sich gegen 6/ als wie 10. gegen 15. Oder wie wir sonst pflegen zu sa-
gen/
Elementa Geometriæ Lib. I.
gen 4. stehet zu 6. als wie 10. zu 15. und
a.
zu
b.
wie
c
zu
d.
Man kan auch die
proportion
oder Ebenmaͤßigkeit so vorstellen
\frac{4}{6}
∝
\frac{10}{15}
. und
\frac{a}{b}
∝
\frac{c}{d}
. das ist/ der
quotient
von 4.
dividi-
ret mit 6/ ist gleich dem
quotient
von 10.
divi- di
ret mit 15. und/ der
quotient
von
a. dividi
ret mit
b.
ist gleich dem
quotient
von
c dividi
ret mit
d.
dann das alles hat einerley Verstand und einerley Meinung.
Weil nun eine Ebenmaͤßigkeit zwo Ver-
45.
haltnuͤssen in sich haͤlt/ und eine jede Ver- haltnuͤß zwey Saͤtz/ nehmlich einen ersten Satz und einen andern Satz; so folget dar- auß/ daß eine Ebenmaͤßigkeit oder
proportio
vier Saͤtze haben muß/ zwey erste Saͤtze und und zwey andere Saͤtze.
Der erste und letztere Satz einer
propor-
46.
tion
werden genennet die
Ausserste/
und die zwey andere die
Mittelste.
Wann die zwey mittelste einander gleich
47.
seynd/ oder (welches eben eins ist/) wañ drey Saͤtze eine
proportion
machen koͤnnen/ so wird sie alsdann genennet/
proportio conti- nua,
oder wie wir es verteutschen wollen/
ge- bundene Ebenmaͤßigkeit.
Als 4. 6 ∷ 6. 9. welches man auch so vorstellet ∺ 4. 6. 9.
Wann eine
proportio continua
uͤber mehr
48.
als uͤber 3 Saͤtze sich außstrecket/ so wird sie genennet
Progressio,
welches wir
Fortgang/
verteutschen wollen/ als ∺ 1. 2. 4. 8. 16. etc.
C
49. Zwo
Elementa Geometriæ Lib. I.
49.
Zwo Verhaltnuͤsse seynd ungleich/ wann ihre
quotient
ungleich seynd/ und diese ist die groͤste die den groͤsten
quotient
en hat. Wie der
quotient
gemacht oder gefunden werde/ koͤnnet ihr sehen
n°.
38.
50.
Wañ 4 Groͤssen vorgestellet werden/ um zu wissen ob sie ebenmaͤßig seynd oder nicht/ machet nur d. 38. den
quotient
einer jeden Verhaltnuͤß/ wann die
quotient
gleich kom- men/ so seynd selbige Groͤssen ebenmaͤßig/ wo nicht/ so seynd sie es nicht. Es werden zum Exempel diese Groͤssen 4. 6. 10. 15. vorgestellet um zu wissen/ ob sie ebenmaͤßig seynd. Jch mache den
quotient
von
\frac{4}{6}
der ist ⅔ und auch von
\frac{10}{15}
der ist auch ⅔. Daraus sehe ich/ daß solche Groͤssen ebenmaͤßig seynd/ und also daß 4. 6 ∷ 10. 15.
51.
Wann aber die vier gegebene Groͤssen kei- ne Zahlen waͤren/ sondern Linien oder sonst was/ und daß man die zwey andere Saͤtze in gleichthe lende aufgehende Theile zertheilet haͤtte. Wann alsdann die ersten Saͤtze die aufgehende Theile ihrer andern Saͤtze mit einigem Rest begreiffen/ so ist man sicher/ daß diese Groͤsse nicht
proportioni
rt seynd/ wann/ (die Rest ungeachtet/) die erste Saͤtze die gleichmessende aufgehende Theile ihrer an- dern Saͤtze nicht gleicherweise in sich be- greiffen. Wo aber die ersten Saͤtze gleicher- weise selbige. Theile begreiffen mit einigem Rest/ so muß man die zwey anderen Saͤtze in
andere
Elementa Geometriæ Lib. I.
andere aufgehende Theile zertheilen/ die klei- ner seynd als dieser Rest/ und diese
Examini-
rung wiederhohlen. Und wo man bewei- sen kan/ daß diese Zertheilung geschehen mag in solche gleichtheilende aufgehende Theile wie man immer will/ so werden doch allezeit die erste Saͤtze die Theile ihrer andern Saͤtze gleicherweise begreiffen/ (diese kleine Rest ungeachtet/) das ist genug um zu wissen/ daß solche vier Groͤssen
demonstrativè
ebenmaͤßig seynd.
Man saget vier Saͤtze stehen in wieder-
52.
kehriger Ebenmaͤßigkeit/ wann der Erste ste- bet zu dem Vierten/ wie der Dritte zu dem Andern; oder wann der Erste stehet zu dem Dritten/ wie der Vierte zu dem An- dern. Und so seynd die vier Zahlen 2 6. 3. 4. oder auch 2. 6. 4. 3.
Caput IV.
Von der Art zwo Groͤssen zu ver- aͤndern/ ohne daß ihre Verhaltnuͤß veraͤndert werde.
Z
Wo Groͤssen koͤnnen veraͤndert wer-
53.
den/ ohne daß ihre Verhaltnuͤß ver- aͤndert werde/ auf viererley Weise. Nehmlich/ wañ man ihnen zusetzet/ oder von ihnen abziehet zwo andere Groͤssen/ welche gleiche Verhaltnuͤß gegen einander haben/ mit den zwo vorgegebenen: Oder wann
C 2
man
Elementa Geometriæ Lib. I.
man sie
multiplici
ret oder
dividi
ret mit einer einigen Groͤsse.
Eher wir aber schreiten zur Erklaͤrung und zum Beweiß der Eigenschafften der
Geometri
schen Verhaltnuͤß und
proportion,
so wollen wir sagen/ daß diese
materi
eine so grosse
affini
taͤt und Verwandschafft mit der Vernunfft des Menschen hat/ daß es kaum noͤhtig ist/ Beweißthuͤmer und
demonstrati- ones
zu gebrauchen/ um ihre vornehmste und noͤhtigste Eigenschafften einem vernuͤnffti- gen Menschen/ dem sie nur recht erklaͤret und beschrieben werden/ glaubhafftig zu machen/ darum werden die Personen/ die ein wenig scharffsinnig seynd und eine gute Vernunfft haben/ nicht sehr zu tadeln seyn/ wann sie schon die
demonstrationes
uͤbergehen und sich mit unsern folgenden Beschreibungen und Erklaͤrungen begnuͤgen lassen. Damit aber die Gelehrte von
Profession,
nicht uͤber uns murren/ so wollen wir doch selbige noͤthige
Demonstrationes
geben so kurtz als es immer muͤglich ist/ und um desto leichter zu diesem Zweck zu kommen/ so wolle man nur folgen- de vier Grund-Saͤtze als natuͤrlich klar an- nehmen/ und derer nicht vergessen.
54.
1°. Gleiche Verhaltnuͤßen haben gleiche
Quotient.
55.
2°. Gleiche Groͤssen koͤnnen nicht
quotien- ten
seyn/ als von gleichen Verhaltnuͤssen.
56.
3°. Wann die Verhaltnuͤß von
a.
gegen
b.
gleich ist der Verhaltnuͤß von
c
gegen
d;
so
Elementa Geometriæ Lib. I.
so ist auch die Verhaltnuͤß von
b.
gegen
a.
gleich der Verhaltnuͤß von
d.
gegen
c.
Wann gleiche Groͤssen gleicherweise
tra-
57.
cti
ret werden durch Mittel anderer gleichen Groͤssen/ oder allein in sich selbsten/ was her- aus kommen wird/ muß auch gleich seyn.
Lemma.
Der erste Satz einer Verhalt-
58.
nuͤß/ ist gleich dem
product
des andern Sa- tzes mit dem
quotient
selbiger Verhaltnuͤß.
Beweiß.
Es seye diese Verhaltnuͤß von
a.
gegen
b
und der
quotient
darvon wer- de genennet
q.
so wird man sehen durch
No.
38. und 44. daß/ weil der Werth einer Ver- haltnuͤß/ allezeit gleich ist ihrem
Quotient,
so ist dann
\frac{a}{b}
∝
q.
und wann das ist/ so wird man finden durch
No.
57. das auch
a
∝
b q.
welches zu beweisen war. Weil man um diese Verwandelung zu thun/ nur die zwo gleiche Groͤßẽ
\frac{a}{b}
und
q.
eine jede mit
b. multi- plicir
en muß/ wie gewiesen worden
No.
15. und 28. Ein jeder Verstaͤndiger wird auch von ihm selber merckẽ/ daß/ was wir hier be- weisen/ nichts anderst ist/ als diese bestaͤndige Warheit/ welche zum Voraus genommen wird bey der Probe der gemeinen
Division
in der Rechenkunst; nemlich/ daß der
Pro- duct
des
Quotient
einer
Division
mit dem
Divisor,
gleich ist dem
Dividendus.
Hieraus folget/ daß man auf folgende
59.
weise die Saͤtze einer Verhaltnuͤß schreiben
C 3
kan.
Elementa Geometriæ Lib. I.
kan. Als nehmlich/ es seyen die zwey Saͤtze solcher Verhaltnuͤß
a.
und
b.
und werde ihr
quotient
genennet
q.
so kan man schreiben an statt
a. b.
diese zwey Saͤtze
b q. b.
60
Und gesetzt man haͤtte einen solchen
Geo- metri
schen Fortgang ∺
a. b. c. d. e. \&c.
aus vorigem
Fundament,
koͤnte man ihn so schrei- ben
bq. b.
\frac{b}{q}
\frac{b}{qq}
{b}{q^3}
\&c.
Nun wollen wir zu unserm Zweck fort schreiten.
61.
I.
Wann man zu zweyen Groͤssen zwo andere
addiret,
welche mit den zwo ersten gleiche Verhaltnuͤß haben/ so werden ihre
Summ
en eben diese Verhaltnuͤß haben.
Beweiß.
Es seye die vorgegebene Ver- haltnuͤß die von
a.
zu
b.
und die ihr gleich ist von
c.
zu
d.
so soll man beweisen/ daß
a + c. b + d
∷
a. b.
Es seye dann
\frac{a}{b}
∝
q.
wie auch
\frac{c}{d}
∝
q. Ergo
d. 59. An statt
a. b
∷
c. d.
kan man schreiben
bq. b
∷
dq. d.
Also muß man dann beweisen/ daß
bq + dq. b + d
∷
a. b.
Aber d 17. man siehet augenscheinlich durch die
division,
daß der
quotient
der ersten Ver- haltnuͤß
q.
heraus kommet/ und man hat
præsupponiret, q.
waͤre auch der
quotient
von
a.
gegen
b. Ergo
d. 55. diese Verhaltnuͤß seynd gleich.
62.
Hieraus folget/ daß wann man viele gleiche Verhaltnuͤssen hat/ und daß man alle die ersten Saͤtze zusammen
addiret,
und alle
die
Elementa Geometriæ Lib. I.
die andere Saͤtze auch zusammen/ die Ver- haltnuͤß dieser zwo Summen wird gleich seyn/ einer jeden vorgegebenen Verhaltnuͤß.
II.
Wann man von zwo Groͤssen zwo
63
andere abziehet die mit den zwo ersten eine gleiche Verhaltnuͤß haben/ die zwey Reste werden auch mit dem ersten eine gleiche Verhaltnuͤß haben.
Beweiß.
Wann
a. b
∷
c. d.
man soll be- weisen daß
a—c. b—d
∷
a. b.
Gesetzt daß
\frac{a}{b}
∝
q
wie auch
\frac{c}{d}
∝
q. Ergo
d. 59. kan ich schreiben an statt
a b
∷
c. d.
daß
bq. b
∷
dq. d.
darum ist dann zu beweisen/ daß
bq—dq. b—d
∷
a. b.
Aber d. 17. man mercket gleich durch die
division,
daß der
quotient
der ersten Verhaltnuͤß ist
q.
und man
præsupponir
et/
q.
seye auch der
quoti
ent von
a
gegen
b. Ergo
d. 55. diese Verhaltnuͤssen seynd gleich.
64
III.
Wann zwo Groͤssen alle beyde durch eine andere
multiplicir
et werden/ diese
pro- duct
en und die zwo erste Groͤssen werden gleiche Verhaltnuͤß gegeneinander haben. Dann es seyen diese zwo Groͤssen
b.
und
d.
und die dritte Groͤsse nach Belieben genom- men seye
x/
so muß man dann beweisen/ daß
bx. dx
∷
b. d.
Gesetzt daß
\frac{b}{d}
∝
q.
so kommet d. 58.
b
∝
dq
und
dqx
∝
bx.
so ist dann zu be- weisen daß
dqx. dx
∷
b. d.
Aber d. 17. man siehet durch die
division
daß
\frac{dqx}{dx}
∝
q.
und
man
Elementa Geometriæ Lib. I.
man
præsupponir
et daß
\frac{b}{d}
∝
q Ergo
d. 55. Es seynd zwo gleiche Verhaltnuͤße.
65
Wann zwo Groͤssen alle beyde durch eine andere
dividiret
werden/ die zwo erste Groͤssen und die zwey
quotient
en werden gleiche Ver- haltnuͤß gegeneinander haben.
Beweiß.
Es seyen die zwo Groͤssen
b.
und
d.
und ihr
divisor
nach Belieben genommen
x.
so muß man beweisen/ daß
\frac{b}{x}
·
\frac{d}{x}
∷
b. d.
Es sey nun
\frac{b}{x}
∝
p.
und
\frac{d}{x}
∝
q.
so ist dann zu be- weisen/ daß
p. q
∷
b. d.
Aber d. 58.
px
∝
b.
und
q x
∝
d Ergo px. qx
∷
b. d.
Aber d. 64.
px. qx. p. q Ergo
wie man hernach sehen kan d. 70. und es auch natuͤrlich klar ist/ weil
px. q x
∷
b. d.
und wiederum
px. qx
∷
p. q.
so ist dann auch
p. q.
∷
b. d.
oder
\frac{b}{x}
.
\frac{d}{x}
∷
b. d.
wel- ches zu beweisen war.
66
Aus diesen zweyen
Punct
en folget/ daß zwo Groͤssen sich gegen einander verhalten/ wie sich verhalten ihre gleichtheilende aufge- hende Theile/ und wiederkehrig; daß die gleichtheilende aufgehende Theile sich ver- halten als wie sich verhalten ihre Vielfach. Also 8. stehet zu 12. wie das Viertel von 8. nemlich 2. stehet zu dem Viertel von 12: nemlich 3. und
vice versa.
2. 3 ∷ 8. 12.
Ca-
Elementa Geometriæ Lib. I.
Caput V.
Eigenschafften der Ebenmaͤßig- keit und
Proportion.
I.
W
Ann vier Groͤssen ebenmaͤßig seynd/
67
so wird allezeit geschehen 1°. daß wann der erste Satz der ersten Ver- haltnuͤß gleich ist/ dem ersten Satz der an- dern/ so wird auch der ander Satz der er- sten Verhaltnuͤß gleich seyn mit andern Satz der andern. 2°. Daß wann der erste Satz der ersten Verhaltnuͤß groͤsser ist/ als der erste Satz der andern/ so wird auch der ander Satz der ersten Verhaltnuͤß groͤsser seyn/ als der ander Satz der andern. 3°. Daß wann der erste Satz der ersten Ver- haltnuͤß kleiner ist als der erste Satz der an- dern/ so wird auch der ander Satz der ersten Verhaltnuͤß/ kleiner seyn als der ander Satz der andern. Oder auch
Viceversa,
daß wann der ander Satz der ersten Verhaltnuͤß gleich/ kleiner oder groͤsser ist/ als der andere Satz der andern Verhaltnuͤß/ so muß der erste Satz der ersten Verhaltnuͤß auch gleich/ kleiner oder groͤsser seyn/ als der erste Satz der andern Verhaltnuͤß.
Exempel
des ersten
Casus
2. 6 ∷ 2 6.
Exempel
des andern
Casus
3. 9 ∷ 2. 6.
Exempel
des dritten
Casus
2. 6 ∷ 3. 9.
Beweiß.
Wer nur bey ihm selber be-
D
trach-
Elementa Geometriæ Lib. I.
trachten wird/ daß durch die Natur der Ver- haltnuͤß und Ebenmaͤßigkeiten wie zu sehen
N°.
38. und 44 Zwo gleiche Verhaltnuͤß seynd nichts anders/ als zwo
Divisiones
die einen gleichen
Quotient
heraus geben/ deren die erste Saͤtze seynd die
Dividendus,
und die andere Saͤtze die
Divisores,
und daß er in diesen Gedancken lese mit Bedacht die vo- rigen Eigenschafften/ so werden sie ihm so klar und so wahrhafftig vor Augen kom- men/ daß es ihm unmuͤglich seyn wird/ daran zu zweifflen/ darum ist keines andern Be- weisses hier vonnoͤthen.
68.
Hieraus folget 1°. daß zwo gleiche Groͤssen zu einer Dritten eine gleiche Verhaltnuͤß haben/ und wiederkehrig; wann zwo Groͤssen zu einer Dritten/ eine gleiche Ver- haltnuͤß haben/ so seynd diese zwo erste einan- der gleich: das ist mit andern Worten: daß wañ zwey gleiche
Dividendus,
mit einem glei- chẽ
Divisor dividi
ret/ haben gleiche
Quotiens;
und wañ zwey
Dividendus
mit einerley Zahl
dividi
ret/ einen gleichen
Quotiens
geben/ so muͤssen diese
Dividendus
gleich gewesen seyn.
69.
2°. Daß wann zwo Groͤssen ungleich sind/ die groͤste hat eine groͤssere Verhalt- nuͤß als die kleineste gegen einer Dritten; und wiederkehrig/ daß unter zwo ungleiche Groͤssen/ diese ist die groͤste/ zu welcher eine Dritte die kleineste Verhaltnuͤß hat/ und
vice versa,
diese ist die kleineste zu welcher eine Dritte die groͤste Verhaltnuͤß hat. Das
ist
Elementa Geometriæ Lib. I.
ist/ mit andern Worten/ daß wann zwey
Di- videndus
ungleich seynd und daß sie alle bey- de mit einerley
Divisor dividi
ret werden/ so wird der
Quotient
des groͤsten
Dividendus
groͤsser seyn als der
Quotient
des kleinesten: und wiederkehrig/ daß wann einerley Groͤsse/ mit zwo anderen ungleichen
dividi
ret wird/ so ist dieser
Divisor
der groͤste/ wo der
Quotient
am kleinesten kommet/ und hinge- gen dieser
Divisor
der kleineste/ wo der
Quo- tient
am groͤsten kommet.
II.
Wann zwo Groͤssen gegen einander
70
stehen/ als wie zwo andern auch gegen ein- ander/ und wiederum daß diese letzte zwo gegen einander stehen als wie derum zwo an- dere gegeneinander/ so stehen auch die zwo Erste gegeneinander/ als wie die zwo letz- te. Das ist/ wann ⅔ ∝
\frac{4}{6}
und daß auch
\frac{4}{6}
∝
\frac{8}{12}
so ist auch ⅔ ∝
\frac{8}{12}
. welches so klar ist/ d.
ax. III.
daß es kein Be- weiß noͤthig hat/ und wird auch so vorge- stellet. 2. 3 ∷ 4. 6 ∷ 8. 12.
III.
Wann vier Groͤsse ebenmaͤßig seynd/
71
so ist der
Product
der zwo aͤussersten gleich dem
Product
der zwo mittelsten.
Exempel
D 2
Be-
Elementa Geometriæ Lib. I.
Beweiß.
Es seye
a. b
∷
c. d.
das ist/
\frac{a}{b}
∝
\frac{c}{d}
. wie zu sehen
N°.
44. weil nun diese zwey Ding gleich seynd/
multiplicir
et sie alle beyde mit
bd.
durch
N°.
15. und 28. so wird kommen d.
N°. 57. a d
∝
bc.
welches zu be- weisen war.
Anderst.
Es sey
\frac{a}{b}
∝
q.
so ist dañ auch d.
n.
44.
\frac{c}{d}
∝
q.
uñ kan ich dann d. 59. meine
pro- portion
so schreiben
bq. b
∷
dq. d.
Nun soll man beweisen daß
b d q
∝
b q d.
das ist aber augenscheinlich/ weil es eben die
produ- cent
seynd.
Ergo \&c.
72
Hieraus folget/ daß in einer gebundenen
proportion,
der
product
der aͤussersten gleich ist dem
Quadrat
deß mittelsten Satzes. Als wann ∺
a. b. c.
so ist
ac
∝
bb.
73
IV.
Wañ vier Groͤssen ebenmaͤßig seynd/ und werden
multiplicir
et mit vier andern/ die auch ebenmaͤßig seynd/ nehmlich eine Jede mit ihrem
Correspondent,
die vier
pro- duct
werden wiederum ebenmaͤßig seyn.
Es seyen gegeben
2. 3 ∷ 4. 6.
die werden
multiplicirct
mit
4. 2 ∷ 10. 5.
die
Product
seynd
8. 6 ∷ 40. 30.
Beweiß.
Gesetzt man hat
a. b
∷
c. d.
und noch
c. f
∷
g. h.
Und man soll beweisen/ daß
ae. bf.
∷
cg. dh.
Es
Elementa Geometriæ Lib. I.
Es seye dann
\frac{a}{b}
∝
q.
und dann auch
\frac{c}{d}
∝
q
Es seye auch
\frac{e}{f}
∝
r.
Wie auch
\frac{g}{h}
∝
r.
so kan man dann d.
N°.
59. an statt der zwey
vorigen also schreiben:
bq. b
∷
dq. d.
f r. f
∷
hr. h.
so muß man dann beweisen/ daß
bqfr. bf
∷
dqhr. dh.
aber der
product
der mittelsten Saͤ- tze
bfdqhr.
ist gleich/ dem
product
der aͤusser- sten
bqfrdh Ergo
durch die umgekehrte deß d.
N°.
71. die natuͤrlich klar aus derselben fol- get/ sind diese auch ebenmaͤßig.
Hieraus folget 1. daß wann vier Groͤssen
74
ebenmaͤßig seynd/ so seynd ihre
Quadrat
und
cubus
auch ebenmaͤßig.
dann wann
2. 3 ∷ 4. 6.
multiplicir
et mit
2. 3 ∷ 4. 6.
kommen die
product
4. 9 ∷ 16. 36.
Quadr.
und die
Cubus
8. 27 ∷ 64. 216.
\&c.
Es folget 2tens wiederkehrig/ daß wann
75
die
Quadrat
oder
Cubus
ebenmaͤßig seynd/ so seynd ihre
Radices
auch ebenmaͤßig.
V.
Wann vier Groͤssen ebenmaͤßig seynd/
76
der
product
der ersten Saͤtze miteinander stehet zu dem
product
der andern Saͤtze mit- einander/ als wie der
Quadrat
eines ersten Satzes zu dẽ
Quadrat
seines andern Satzes.
Beweiß.
Dieses folget wiederum aus dem
N°.
73.
dann wann
a. b
∷
c. d.
So ist auch
a. b
∷
a. b.
Ergo
d.
N°.
73.
aa. bb.
∷
ac. bd.
D 3
Oder
Elementa Geometriæ Lib. I.
Oder wiederum/ wann
a. b
∷
c. d.
So ist auch
c. d.
∷
c. d.
Frgo
d.
N°.
73.
ac. bd
∷
cc. dd.
welches zu beweisen war.
77
VI.
Wann drey gleiche Verhaltnuͤßen nacheinander folgen/ der
product
der drey ersten Saͤtze stehet zu dem
product
der drey andern Saͤtze als wie der
Cubus
eines ersten Satzes/ zu dem
Cubus
seines andern Satzes.
Beweiß.
Das folget wiederum aus dem
N°.
73.
Dann wann
a. b
∷
c. d
∷
e. f.
So ist auch
a. b
∷
a. b.
Ergo
durch
N°.
73.
aa. bb
∷
ac bd.
wiederum d.
n.
70. so ist auch
a b
∷
e. f.
Ergo
durch
N°.
73.
a
3
. b
3
∷
acc. b df.
welches zu beweisen war/ dann
a
3
.
ist der
Cu- bus
e
i
nes ersten Satzes/
b
3
.
der
Cubus
eines andern Satzes/
ace.
der
Product
der drey ersten Saͤtze/ und
bdf.
der
Product
der dreyen andern Saͤtze.
78
Aus den
n.
65. 76. und 77. folget/ daß wann drey Groͤssen als
a. b. c.
in einer ge- bundenen Ebenmaͤßigkeit stehen/ das ist/ daß ∺
a. b. c.
oder daß
a. b
∷
b. c.
so stehet der □ der ersten zu dem □ der andern/ wie die Erste zu der Dritten/ das ist/
aa. bb
∷
a. c.
Dann d.
No.
76 aus dieser Ebenmaͤßig- keit
a. b
∷
b. c.
folget daß
ab. bc
∷
aa. bb.
A- ber d.
No. 65. ab. bc
∷
a. c. Ergo
d.
N°. 70. aa. bb
∷
a. c.
Welches zu beweisen war.
Eben
Elementa Geometriæ Lib. I.
Eben auf die Art wird man beweisen/ daß wann vier Groͤssen als
a. b. c. d.
in einer ge- bundenen Ebenmaͤßigkeit stehen/ das ist/ daß
a. b
∷
b. c
∷
c. d.
so ist der
Cubus
der ersten zu dem
Cubus
der andern/ wie die erste zu der vierdten/ das ist/
a
3
. b
3
∷
a. d.
Dañ d
N°.
77. Aus dieser Ebenmaͤßigkeit
a b
∷
b. c
∷
c. d.
folget daß
abc. bcd
∷
a
3
. b
3
.
Aber d.
N°. 65. abc. bcd
∷
a. d. Ergo
d.
N°. 70. a
3
. b
3
∷
a. d.
W Z. B. W.
Ratio composita,
oder
vereinigte Ver-
79
haltnuͤß
von vielen andern/ ist/ wann die
Product
ihrer gleich benandten Saͤtze eine neue Verhaltnuͤß machen. Als die verei- nigte Verhaltnuͤß von 2. gegen 4. und von 5. gegen 7. ist die Verhaltnuͤß von 10. gegen 28 nehmlich die Verhaltnuͤß des
Product
s der zwey ersten Saͤtze/ 2. und 5. der da ist 10/ gegen dem
Product
der zwey andern Saͤ- tze/ 4. und 7. der da ist 28.
VII.
Wann eine Verhaltnuͤß
composita
80
ist aus vielen andern/ und daß eine andere Verhaltnuͤß auch
Composita
ist/ aus vielen andern Verhaltnuͤssen die gleich seynd/ und die in gleicher Zahl mit denen die in der er- sten vereiniget seynd/ in welcher Ordnung sie auch moͤgen gesetzt worden seyn/ so sage ich/ daß diese zwo vereinigte Verhaltnuͤsse auch einander gleich seynd.
Beweiß.
Es seye die Verhaltnuͤß von 2. gegen 4. eine
Composita
aus den zwoen 2. gegen 3. und 3. gegen 4. Und seye auch die
Ver-
Elementa Geometriæ Lib. I.
Verhaltnuͤß von 6. gegen 12. eine
Compo- sita
aus den zwoen 6. gegen 8. und von 8. ge- gen 12.
und daß auch zugleich
2. 3 ∷ 8. 12.
und
3. 4 ∷ 6. 8.
so stehet zu beweisen/ daß die zwo
Compositæ
2. gegen 4. und 6. gegen 12. auch gleich seynd.
2. 3 ∷ 8. 12.
Durch
N°.
73. so kan
3. 4 ∷ 6. 8.
man sagen/ daß
6. 12. ∷ 48. 96.
Setzet aber nun also
2. 3. 6 8.
3. 4. 8. 12.
und man soll beweisen/ daß 6. 12. ∷ 48. 96. welches ein Ding ist/ ob gleich die zwo letzte Verhaltnuͤß/ die da vereiniget werdẽ/ versetzt worden seynd/ nun aber wann ich die Saͤtze der ersten vereinigten Verhaltnuͤß von 6. gegen 12.
dividi
re mit 4 so wird ihre Verhalt- nuͤß d
N°
65. dadurch nicht geaͤndert/ und kom̃et alsdann 2. gegen 4; und eben darum/ wann ich die Saͤtze der andern vereinigten Verhaltnuͤß von 48. gegẽ 96.
dividi
re mit 24. so bleibt wiederum d.
n.
65 ihre Verhaltnuͤß/ 2. gegen 4./ und weil dieses
Raisonnement
in allen Faͤllen kan gebraucht werden/ so ist die Sach eine allgemeine Wahrheit.
Caput
Elementa Geometriæ Lib. I.
Caput VI.
Art und Weise vier ebenmaͤßige Groͤssen auf unterschiedene Weise zu vergleichen/ also daß allezeit eine
Proportio
unter ihnen bleibet.
V
Ier ebenmaͤßige Groͤssen koͤnnen auf
81.
achterley Art versetzet werden/ und doch immer ebenmaͤßig bleiben/ ohne daß man ihnen etwas zusetzet/ oder von ih- nen etwas abziehet/ dann so lang die aͤusser- ste/ aͤusserste oder mittelste bleiben/ so lang bleiben sie auch ebenmaͤßig durch die umge- kehrte des
N°.
71. Also:
1°.
Hypothesis,
a. b
∷
c. d.
2. 6 ∷ 3. 9
Erste Sa- tzung.
2°.
Æquivalens,
c. d
∷
a. b.
3 9 ∷ 2. 6.
gleichgel- tend.
3°.
Invertendo
oder
permutando,
b a
∷
d. c.
6. 2 ∷ 9. 3.
umgekehret.
4°.
Æquivalens,
d. c
∷
b. a.
9. 3 ∷ 6. 2.
gleichgel- tend.
5°.
Alternando,
a. c
∷
b. d.
2. 3 ∷ 6. 9.
umwechse- lend.
6°.
Æquivalens,
b. d
∷
a. c.
6. 9 ∷ 2. 3.
gleichgel- tend.
7°.
Inversio alterni,
c. a
∷
d. b.
3. 2 ∷ 9. 6.
Umkehꝛung der Um- wechselung.
E
8°.
Æqui-
Elementa Geometriæ Lib. I.
8°.
Æquivalens,
d. b
∷
c. a.
9. 6 ∷ 3. 2
gleichgeltend.
Wann man aber die vier ersten Saͤtze mit- einander
addi
ren/ oder von einander
sub- trahi
ren darff/ so koͤnnen sie noch auff drey- erley Art versetzet werden/ wie folget.
Hypothesis,
a. b
∷
c. d.
2. 6 ∷ 3. 9.
Erste Satzung.
82
Componen- do,
oder
a + b. b
∷
c + d. d.
8. 6 ∷ 12. 9.
a + b. a
∷
c + d. c.
8. 2 ∷ 12. 3.
Beweiß.
Man siehet in der ersten Satzung d.
n.
71. daß
ad
∝
bc.
und man soll dann beweisen in der folgenden Stellung/ wann sie eine
Proportion
ist/ daß
bc + bd
∝
ad + bd.
und das ist augenscheinlich/ weil
ad
∝
bc.
Und in der letzten Stellung muß man be- weisen/ daß
ac + ad
∝
ac + bc.
und das ist wie- derum augenscheinlich/ d.
n.
57. weil
ad
∝
bc.
Hypothesis,
a. b
∷
c. d.
6. 2 ∷ 9. 3.
83
Dividendo.
oder
a—b. b
∷
c—d. d.
4. 2 ∷ 6. 3.#
a—b. a
∷
c—d. c.
4. 6 ∷ 6. 9.
Beweiß.
Man siehet in der ersten Satzung d.
n
71. daß
ad
∝
bc.
und man soll beweisen in der folgenden Stellung daß
bc—bd
∝
ad—bd.
das istaber augenscheinlich/ d.
n.
57.
weil
Elementa Geometriæ Lib. I.
weil
ad
∝
bc.
und in der letzten Stellung/ muß man beweisen/ daß
ac—ad
∝
ac—bc.
und das ist wiederum augenscheinlich/ weil
ad
∝
bc.
Hypothesis,
a. b
∷
c. d.
6. 2 ∷ 9. 3.
Componendo \& dividendo simul.
a + b. a—b
∷
c + d. c—d.
84
8. 4 ∷ 12. 6.
Beweiß.
Man siehet wiederum d.
n.
71. in der ersten Satzung daß
ad
∝
bc.
und man soll hier beweisen daß
ac + ad—bc—bd
∝
ac—ad + bc—bd
aber das ist wiederum klar d.
n.
57. weil
ad
∝
bc.
Caput VII.
Von der
Progression
oder gebun- denen Ebenmaͤßigkeit.
H
Jervon wollen wir hier nicht weit- laͤufftig handeln/ aber doch koͤnnen wir nicht unterlassen so viel darvon zu sagen/ als noͤthig ist/ um zu der
Summa
einer
Progression,
so kurtz als es moͤglich ist/ zu kommen/ wiewohl der Beweiß nicht soll ge- geben werden/ weil es ein wenig zu tieff aus der
Algebra
hergesucht wird/ welche wir voͤllig hier zu
tracti
ren/ nicht vorhaben.
Jn allem fallenden
Geometri
schen
85
Fortgang/ der erste Satz weniger den an- dern/ stehet zu dem ersten/ wie der erste Satz
E 2
weniger
Elementa Geometriæ Lib. I.
weniger den letzten zu der
Summa
aller Saͤtze zusammen weniger den letzten.
Es seye dieser Fortgang ∺ 81. 27. 9. 3. 1. so sage ich daß 81. weniger 27. das ist/ 54. ste- het zu 81 ∷ wie 81. weniger 1. das ist/ 80. gegen der
Summa
aller Saͤtze weniger 1. das ist 120. dann setzet diese Zahlen und
tracti
ret sie d.
n.
62. wie folget/ so wird folgende Eben- maͤßigkeit heraus kommen:
81. 27.
∷ 27. 9.
∷ 9. 3.
∷ 3. 1.
120. 40 ∷ 81. 27.
Das ist/ die
Summa
aller ersten Saͤtze/ stehet zu der
Summa
aller andern Saͤtze/ wie ei- ner der ersten Saͤtze zu seinem andern Satz. Aus dieser
Proportion
aber kommet
Divi- dendo
d.
n.
83. die folgende 80. 120 ∷ 54. 81. und diese hier d.
n.
80. nach dem
Æquivalens
oder gleichgeltend gemacht/ kommet 54. 81 ∷ 80. 120. die im Beweiß-Stuͤck vorgegeben war.
Beweiß
mit Buchstaben. Es seye die
Progressio
∺
a. b. c. d. e.
durch
N°.
60. kan man sie so schreiben ∺
bq. b.
\frac{b}{q}
.
\frac{b}{qq}
.
\frac{b}{qqq.}
uñ wann man hieraus die drey ersten Saͤtze der
Proportion
die da soll bewiesen werden/
for- mi
ret/ so werden sie also kommen
bq—b. bq
∷
bq
—
\frac{b}{qqq}
und hieraus durch die
Regula de
Try
Elementa Geometriæ Lib. I.
Try
wird der vierdte Satz kommen also/
bq + b
+
\frac{b}{q}
+
\frac{b}{qq}
nehmlich die gantze
Sum- ma
aller Saͤtze weniger den letzten. Welche
Generali
taͤt beweiset/ daß dieses Beweißstuͤck wahr ist/ nicht allein in den fallenden Fortgang/ sondern in allerhand
Geometri
schen Fortgang.
Hieraus folget aber/ daß/ wann die
Pro-
86
gressio
unendlich faͤllt/ das ist/ wo der letzte Satz in Vergleichung der andern so viel gilt als 0. da wird folgende
Proportion
wahr seyn.
Wie der erste Satz weniger den andern/ stehet zu dem ersten; also stehet auch der erste/ zu der
Summa
der gantzen
Progression.
Man kan auch die
Summa
aller
Geometri-
87
schen
Progression
durch folgendes
Theorema
finden/ welches sehr kuꝛtz vorgeschriebẽ wiꝛd/ das wir aber aus angeregten Uhrsachen hieꝛ nicht beweisen. Nehmlich/ wann der aller- groͤste Satz wird genennet
v
der allerklei- neste
a.
die
ratio communis,
oder die gemeine Verhaltnuͤß
r.
(welche gefunden wird/ wann man von zweyen neben einander stehenden Saͤtzen/ den groͤsten mit den kleinesten
dividi-
ret/) und die Sum̃e wiꝛd genen̄et
S.
so wird es sich allezeit finden daß
S
∝
{vr-a}{r-1}
.
Und um die Muͤhe in etwas zu verspah-
88
ren/ wann man den letzten oder groͤsten Satz eines steigenden Forlgangs noͤthig hat/
E 3
um
Elementa Geometriæ Lib. I.
um ihre
Summa
zu finden; wann man wei- ter noch nennet die Zahl der Saͤtze
t.,
und und diese Zahl weniger 1.
d.
oder
t
—1 ∝
d.
so wird es sich allezeit finden/ daß
v
∝
at
d
.
oder damit man es besser verehstet/ wann die
Progression
7. Saͤtze haͤtte/ so waͤre
v
∝
ar
6
.
wann sie 9. Saͤtze haͤtte/ so waͤre
v
∝
ar
8
.
wann sie 24. Saͤtze haͤtte/ so waͤre
v
∝
ar
13
.
und immer so fort.
Problemata,
oder Werck-Stuͤck/ betreffend die
Geometri
sche Gleich- maͤßigkeit.
I.
89
D
Rey Groͤssen werden vorgegeben/ als 4. 6 ∷ 10. und man soll eine vierte ebenmaͤßige finden?
multiplici
ret die zwey aͤussersten Saͤtze auf die rechte Hand 6. und 10. mit einander/ welche die mittelste in der
Proportion
seynd/ ihr
Product
d.
n.
71 wird auch der
Product
der zwey aͤussersten seyn/ darum
dividi
ret dann diesen
Product
60 mit dem ersten Satz 4. der
Quotient
15. wird die vierdte ebenmaͤßige Groͤsse seyn die man su- chet.
90
II.
Zwo Groͤssen 4. und 6. werden gege- ben/ und man soll ihnen eine Dritte eben- maͤßige finden? Wiederhohlet die andere/ nehmlich 6. also 4. 6 ∷ 6. und suchet wie zu- vor eine vierdte
proportioni
rte/ so findet ihr 9. fuͤr die gesuchte Zahl also 4. 6 ∷ 6. 9.
III.
Zwo
Elementa Geometriæ Lib. I.
III.
Zwo Groͤssen werden vorgegeben/ und
91
man soll zwischen denselben eine Mittel-
pro- portional
finden?
Mu
l
tiplici
ret zusammen die zwo vorgege- bene Groͤssẽ 4 und 9/ und aus ihrem
Product
36 ziehet die
Quadrat
-Wurtzel 6. diese ist die gesuchte Mittel-
proportional
dann ∺ 4. 6. 9.
IV.
Es werden gegeben der kleineste und
92
der ihm nechstfolgende Satz eines
Geome- tri
schen Fortgangs/ und auch die Zahl aller Saͤtze/ und man soll den groͤsten Satz finden?
Man suchet erst die gemeine Verhaltnuͤß der
Progressio,
indem man den andern Satz mit dem kleinesten
dividi
ret/ hernach wann nur drey Saͤtze der
Progressio
waͤren/ so muͤ- ste man diese gemeine Verhaltnuͤß mit sich selber
multiplici
ren/ wo vier Saͤtze waͤren/ so muͤste man diesen
Product
noch wieder mit der
ratione communi multiplici
ren/ wo fuͤnff Saͤtze waͤren/ noch einmahl eben mit der gemeinen Verhaltnuͤß
multiplici
ren/ und immer so fort/ aber endlich muͤste man allemahl zum Beschluß den letzten
Product
mit dem ersten und kleinesten Satz
multi- plici
ren/ so haͤtte man den groͤsten und letzten/ aber die
Compendia
oder Verkuͤr- tzung muͤssen mit Worten und
Exempel
ge- lehret werden/ um die Weitlaͤufftigkeit zu meiden.
Es werden gegeben der erste Satz/ der
93
andere Satz/ und der letzte Satz eines
Geo- metri
schen Fortgangs/ und man soll die
Summam
aller Saͤtze finden?
Su-
Elementa Geometriæ Lib. I.
Suchet die gemeine Verhaltnuͤß/ wie in- dem gesagt/
multiplici
ret dieselbige mit dem groͤsten Satz/ von dem
Product,
ziehet den kleinesten Satz ab/ und
dividi
ret den Rest mit der gemeinen Verhaltnuͤß/ weniger 1; was da kommet/ ist die Summe der gantzen
Progressio.
94
Es werden gegeben der erste und der an- dern Satz eines unendlich fallenden Fort- gangs/ und man soll die Summe aller ihrer Saͤtze finden?
Thut wiederum wie bey
N°.
92 gelehret ist/ und erinnert euch nur/ daß der klei- neste Satz hier fuͤr 0. geschetzet wird.
Caput VIII.
Von der
Arithmeti
schen Ver- haltnuͤß und Gleichmaͤßigkeit.
95
D
Ie
Arithmeti
sche Verhaltnuͤß zwoer Groͤssen/ ist die
Differentia
derselben/ oder der Rest/ wann die eine von der anderen abgezogen wird. Als/ die
Arithme- ti
sche Verhaltnuͤß von 11. gegen 7. ist 4.
96
Die
Arithmeti
sche Verhaltnuͤß zwoer Groͤssen ist gleich der
Arithmeti
schē Verhalt- nuͤß zwoer andern/ wann die
Differentia
der zwo ersten/ gleich ist der
Differentia
der zwoen andern. Als die
Arithmeti
sche Verhaltnuͤß von 11. gegen 7. ist gleich der
Arithmeti
schen Verhaltnuͤß von 13. gegen 9 dann ein jeder Rest ist 4.
Die
Elementa Geometriæ Lib. I.
Die Gleichheit zwoer
Arithmeti
schen
97
Verhaltnuͤßẽ wird geneñet
Proportio Arith- metica,
oder
Arithmeti
sche Ebenmaͤßigkeit. Welche in den vier folgenden Zahlen sich be- findet/ und wird so vorgestellet 9. 5:15. 11. das ist/ 9 stehet
Arithmeticè
gegen 5/ als 15. gegen 11. oder/ der Unterscheid zwischen 9. und 5/ ist gleich dem Unterscheid zwischen 15. und 11.
Wann die mittelste Saͤtze einander gleich
98
seynd/ so heisset sie
Proportio Arithmetica continua,
oder gebundene
Arithmeti
sche Ebenmaͤßigkeit. Also 9. 5: 5. 1. und wird auch so vorgestellt ÷ 9. 5. 1.
Wann diese gebundene Ebenmaͤßigkeit
99
sich weiter als uͤber drey Saͤtze ausstrecket/ so wird sie genennet
Progressio Arithmetica.
Als ÷ 1. 3. 5. 7. 9. 11. etc. Man koͤnte sie auf Teutsch nennen
Arithmeti
scher Fortgang.
Eigenschafften.
W
Ann man auff folgende Weise/ die
100
Arithmeti
sche
Proportio
vorstellet/ so erhellen gleich daraus fast alle ihre Eigenschafften/ nehmlich/ an statt 5. 9 : 11. 15. also/ 5. 5 + 4: 11. 11 + 4. und an statt 9. 5 : 15. 11. also/ 9. 9—4 : 15. 15—4. dann die Natur dieser Ebenmaͤßigkeit wird gleich da- durch begriffen/ und mit Buchstaben wird sie so vorgestellet/
a. a + b : c. c + b.
oder auch/
a. a—b : c. c—b.
Wann zwo Groͤssen gegeben werden/ als
101
F
a.
und
Elementa Geometriæ Lib. I.
a.
und
a + b.
oder
a.
und
a—b.
und daß man zu einer jeden eine dritte Groͤsse
addir
et/ als
c.
oder selbige von einer Jeden abziehet/ so bleiben die Summen/ oder die Reste in ih- rer ersten
Arithme
tischen Verhaltnuͤß. Dann
a + c. a + c + b : a. a + b.
Und auch/
a—c. a—c + b : a. a + b \&c.
102
Vier
Arithme
tisch ebenmaͤßige Saͤtze/ bleiben immer in einer
Arithmet
ischen
Pro- portion
in den acht unterschiedenen Vorstel- lungen die bey der
Geomet
rischen
Propor- tion notir
et worden seynd
No.
80. nehmlich
permutando, alternando, inversio alterni,
und die
Æquivalentes/
welches augenscheinlich ist/ wann man sie nur mit Buchstaben vor- schreibet.
103
Wann vier Saͤtze
Arithmeti
sch ebenmaͤs- sig seynd/ und man
addi
ret zu ihnen/ oder
sub- trahi
ret von ihnen vier andere Saͤtze/ die auch gleicherweise ebenmaͤßig seynd/ die Sum̃en oder die Reste bleiben noch in
Arith- meti
scher Ebenmaͤßigkeit. Welches wieder augenscheinlich wird/ durch die schlechte Vor- stellung mit Buchstaben/ als:
Es seye
Addi
ret und
subtrahi
ret
a. a + b : c. c + b.
d. d + e : f. f + e.
Die Summa:
a + d. a + d + e + b : c + f. c + f + e + b.
Die
Differentia
oder Rest:
a—d. a + b—d—e : c—f. c + b—f—e.
104
Wann vier Saͤtze
Aritheti
sch ebenmaͤs-
sig
Elementa Geometriæ Lib. I.
sig seynd/ die Summe der zwey mittelsten ist gleich der Summe der zwey aͤussersten. Daß wird gleich mit Buchstaben augen- scheinlich/ als/
a. a + b : c. c + b.
die gemeine Summe ist
a + b + c.
Hieraus folget/ daß wañ die drey Groͤssen
105
÷
a. b. c.
eine gebundene
Arithmeti
sche Eben- maͤßigkeit machen/ so ist die Sum̃e der aͤusser- sten Saͤtze gleich dem zweyfach des mittel- sten Satzes/ das ist/
a + c
∝ 2
b.
Das erhellet aus dieser Vorstellung ÷
a. a + b. a + 2 b.
Die gemeine Summe ist 2
a + 2 b,
das zwie- fach des mittelsten Satzes.
Jn einem
Arithmeti
schen Fortgang/ als
106
÷
a. a + b. a + 2 b. a + 3 b. a + 4 b. a + 5 b.
ꝛc. Die gleich entfernete Saͤtze seynd auch in
Arithmeti
scher Ebenmaͤßigkeit/ als/ der erste stehet zu dem dritten/ wie der vierdte zu dem sechsten
a. a + 2 b: a + 3 b. a + 5 b.
oder/ der erste stehet zu dem andern/ wie der fuͤnffte zu dem sechsten
a. a + b : a + 4 b. a + 5 b.
und so mit den andern allen.
Aus diesen Gruͤnden oder
Fundament
flies- sen alle folgende Weꝛck-Stuͤcke oder
Proble- mata,
wiewohl ich den Beweiß davon hier nicht weitlaͤufftig ausfuͤhren will/ geliebter Kuͤrtze wegen.
Werckstuͤcke oder
Problemata.
E
S werden drey Groͤssen gegeben in
107
Arithmeti
scher
Proportion,
und man soll die vierdte finden?
F 2
Als
Elementa Geometriæ Lib. I.
Als 5. 9 : 8.
Addi
ret zusammen die zwey Saͤtze 9. und 8. welche die mittelste in der
Proportion
seynd/ und von ihrer Summe 17. ziehet ab die erste 5. der Rest 12. ist die gesuch- te Groͤsse/ das ist/ 5. 9 : 8. 12.
108
Es werden zwo Groͤsse vorgegeben 5. und 13. und man soll ein Mittel
Arithmeti
sch-
pro- portional
finden?
Addi
ret die zwo gegebene Groͤssen zusam- men/ thut 18. halbiret das/ so kommet 9. fuͤr die gesuchte Mittel-
Proportional,
das ist/ ÷ 5. 9. 13.
109
Was angehet die
Problemata
oder Werck- Stuͤcke des
Arithmeti
schen Fortgangs/
Pro- gressionis Arithmeticæ,
die wollen wir hier gantz kurtz mit Buchstaben vorstellen/ und zu dem Ende muß man
observi
ren/ daß fuͤnff Dinge hieꝛ koͤnnen betrachtet werden/ nehm- lich/ 1. der erste Satz/ 2. der letzte Satz/ 3. die Zahl aller Saͤtze/ 4. der gemeine Rest/ oder
differentia communis,
5 und 5°. die Summe aller Saͤtze/ welche wir mit Buchstaben/ wie folget/ benennen wollen.
a.
Der erste Satz/ und sehr offt der kleineste.
m.
Der letzte Satz.
n.
Die Zahl aller Saͤtze.
d. Differentia communis,
gemeiner Rest.
S.
Die Summe aller Saͤtze.
Aber Kuͤrtze willen wollen wir noch diese drey Benennungen geben/ nehmlich
b
∝
n—1. z
∝
a + m.
V.
Das Zeichen heist
Radix Quadrata.
x
∝ Der
Elementa Geometriæ Lib. I.
x
∝ Der Unterscheid oder der Rest der aͤus- sersten Saͤtze/ wenn man nehmlich den klei- nesten von dem groͤsten abziehet.
Nun muß in einem Werck-Stuͤck oder
Problema
wohl
distingui
ret werden/ was ge- geben wird/ von dem was man suchet/
data,
und
quæsita.
Die Sache aber ist hier so be- schaffen/ daß wann man unter die fuͤnff vori- ge Dinge nur drey gibt/ welche man will/ so kan man durch Rechnung die zwey andern finden/ wie folget.
F 3
Jn
Elementa Geometriæ Lib. I.
Jn diesen neun Werckstuͤcken oder
Proble- matis
bestehet die Auffloͤsung von allen und jeden curioͤsen Fragen/ die man gemeiniglich auf die gebundene
Arithmeti
sche Ebenmaͤs- sigkeit pfleget zu thun/ davon aber die
Exem- pel
hier zu weitlaͤufftig waͤren/ auszulegen/ und die wir fuͤr die muͤndliche
Information
bey den Curioͤsen
reservi
ren.
Zugabe. Weil der umgekehrte des
n.
71. gebrauchet wird etliche andere zu beweisen/ ob er gleich natuͤrlich klar genug ist/ so wol- len wir doch seinen Beweiß hier beysetzen/ damit man keinen Zweiffel hierauf vor- wenden koͤnne/ und solches wollen wir thun/ also:
Man gibt fuͤr gewiß/ daß
ad
∝
bc.
und daraus soll man beweisen/ daß dann auch
a. b
∷
c. d.
Nun aber d.
n. 64. a c. b c
∷
a. b.
und eben darum
c a. a d
∷
c. d.
Aber weil man setzet/ daß
ad
∝
bc.
so ist dann d.
n. 70. a c. b c
∷
a c. a d.
Darum so ist auch d.
n.
65.
a. b
∷
c. d.
W. Z. B. W.
Ende deß ersten Buchs.
A
ußle-
A
ußlegung
einiger
Z
eichen/ Die wir in folgenden Buͤchern dieser
Elemen
ten noch brauchen
wollen.
1.
D
Jeses Zeichen □ heisset
Quadrat,
oder
Regular
-Viereck. Als/ der □
AB
∝ □
BC,
das ist/ der
Quadrat
auf die Linie
AB.
ist gleich dem
Quadrat
auf die Linie
BC.
2. Dieses Zeichen △ heisset
Trian- gel,
oder dreyeckichte Figur. Als/ der △
ABC
∝ △
ADC.
Das ist/ der
Trian- gel ABC.
ist gleich dem
Triangel ADC.
3. Dieses Zeichen ∠ heisset Win- ckel. Als der ∠
ABC
∝ ∠
ADC.
das ist/ der Winckel
ABC.
ist gleich dem Winckel
ADC.
4. Dieses Zeichen = heisset
Parallel
oder Ebenweitig. Als/ die Linie
AB
=
BC.
das ist/ die Linie
AB
ist
paral- lel
oder ebenweitig mit der Linie
BC.
5. Dieses
5. Dieses Zeichen
⊥
heisset
Perpen- dicular
oder Bleyrecht. Als/ die Li- nie
A B
ist
⊥
der Linie
BC.
das ist/ die Linie
A B
ist
Perpcndicular
auf der Li- nie
BC.
6. Dieses Zeichen ם heisset Rechtwinckelichte Vierung/ oder
Parallelogrammum rectangulum,
oder endlich/ der
Product
zwoer Linien. Als/ das ם
A B. B C.
∝ □
C D.
das ist/ die rechtwinckelichte Vierung von
A B
mit
B C.
oder das
Parallelo- grammum Rectangulum
von
A B
mit
B C.
oder der
Product
von
A B
mit
B C.
ist gleich dem
Quadrat
von
C D.
ELE-
Elementa Geometriæ Lib. II.
ELEMENTA GEOMETRIÆ,
Oder
B
ruͤnde der
E
rd- meßkunst.
II.
B
uch.
D
Je
Geometria
ist eine Kunst/
110
deren Vorwurff (
objectum
) ist die Ausdaͤhnung (
extensio.
)
Die Ausdaͤhnung hat drey
111
Dimensiones,
die Laͤnge/ die Breite/ und die Dicke; oder man kan sie betrachten/ entweder mit ihren dreyen
Dimension,
oder mit zwoen/ oder mit einer/ oder auch ohne
Dimension.
Wann man sie mit ihren dreyen
Dimen-
112
sion
betrachtet/ so heisset sie alsdann Coͤrper/
Corpus,
als
A. fig.
1.
Wann man sie nur mit zwoen
Dimension
113
betrachtet/ als Laͤnge und Breite/ so heisset sie Flaͤche/ als
B. fig.
2.
Wann man sie nur mit einer betrachtet/
114
als die Laͤnge/ so heisset sie Linie/ als hier
C. fig.
3.
G
Endlich/
Elementa Geometriæ Lib. II.
115
Endlich/ wann man sie ohne
Dimension
betrachtet/ so heisset sie Tipel oder Punct.
116
Noti
ret 1°. daß die Linie gerade oder krum ist/ wie auch die Oberflaͤch/ welche kan seyn eben oder krum/ wenn sie eben ist/ so heisset sie
Planum,
oder ebene Flaͤch/ 2°. Eine Linie kan betrachtet werden/ als in einer Flaͤche gezo- gen/ als
A B. fig.
4. oder aus der Flaͤche/ als
C D. fig.
5. 3°. Eine Flaͤche/ die um und um geschlossen ist/ heisset Figur/ oder flache Figur.
Gegenwaͤrtiges Buch wird nur
tracti-
ren oder handeln/ von den Linien/ die in einer Flaͤche gezogen seynd.
Caput I.
Von den Linien ins gemein Benennungen.
117
D
Je Linien seynd gerade oder krum/ die gerade Linie ist die/ welche
(in dire- ctum,)
gerad vorwertz von einem Punct zum andern gehet/ als
A B. fig.
6.
118
Die krumme Linie gehet mit Umweg von einem Punct zum andern/ als
C D. fig.
7.
119
Wir wollen gekruͤmte Linie nennen/ die da bestehet aus vielen geraden Linien/ die nicht
in directum
gegen einander kommen/ als
E F G. fig.
8.
Eigen-
Elementa Geometriæ Lib. II.
Eigenschafften.
I.
W
Ann man von einem Punct
A.
zu
120
einem andern
B. fig.
9. eine gerade Linie ziehet/ und viele andere/ die da kruͤmmen auf einerley Seite/ oder auch die gekruͤmt seynd auf einerley Seite/ die kuͤrtze- ste ist die gerade Linie
A B.
und die laͤngste ist
A C B. fig.
9. die sich am meisten von der ge- raden entfernet.
Hieraus folget/ daß die gerade Linie das
121
rechte Maaß ist oder seyn soll/ von der
Di- stan
tz zweyer Punct.
II.
Durch zwey Puncte kan man viele
122
krumme Linien ziehen/ aber nur eine gerade.
Hieraus schliesset man 1°. daß die Stel-
123
lung einer geraden Linie/ folget aus der Stel- lung zweyer ihrer Puncten. 2°. Daß eine gerade Linie
A B. fig.
10. eine andere gerade Linie
C D.
nur in einem einigem Punct
E.
durchschneidet/ dann wann sie selbige in zwey Puncte schneiden solte/ so wuͤrdẽ sie also zwey Punct gemein haben/ und waͤren also uͤber- einander gelegt/ und nur eine Linie aus- machen.
III.
Wann zwey Punct
C.
und
D. fig.
11.
124
einer geraden Linien/ ein jeder gleich entfer- net seynd/ von zweyen andern Punctẽ
A.
und
B.
auf beyden Seiten gesetzet/ so wird ein je- der anderer Punct von selbiger Linie/ als
E.
auch gleich entfernet seyn von
A.
und
B.
G 2
Dann
Elementa Geometriæ Lib. II.
Dann die Stellung der Linie
C D.
folget aus der Stellung zweyer Puncten
C.
und
D.
durch
n.
123. aber diese zwey Puncte seynd gleich entfernet von
A.
und von
B. Ergo,
so ist diese Linie also gerichtet/ daß alle ihre Puncte muͤssen gleich entfernet seyn von
A.
und von
B.
125
Hieraus folget/ daß wo man die Linie
A B. fig.
12. ziehen wird/ so wird sie durch
C D.
in der Mitte getheilet seyn.
126
Wann ein Punct
G. fig.
13. neben der Linie
C D.
vorhergehender Stellung stehet auf der Seite
B.
so ist er durch
n.
124. naͤher an
B.
als an
A.
127
Und wann in dieser Flaͤche der Punct
H.
so weit von
A.
als von
B.
sich befindet/ so wird die Linie
C D.
durch diesen Punct
H.
fahren/ wo sie verlaͤngert wird. Dann wann dieser Punct neben der Linie gegen
B.
waͤre/ als
G,
so waͤre er wie wir in dem gese- hen naͤher/ an
B.
als an
A.
welches lauffet wider unsern ersten Satz.
Caput II.
Von den Circkel-Linien.
128
U
Nter den krummen Linien ist die Cir- cular-Linie die am wenigsten verwir- ret/
Simplicissima,
und die einige/ die man in der gemeinen
Geometrie
brauchet.
129
Die Circular-Linie ist eine krumme Linie/
die
Elementa Geometriæ Lib. II.
die auf einer Flaͤche beschrieben ist/ und deren alle Puncte von einem gewissen Punct
C.
gleich entfernet seynd.
fig.
14.
Dieser Punct
C.
heisset
Centrum;
der
130
Raum der in dieser Linie beschlossen ist/ heis- set Circkel/ und die Circular-Linie heisset Umkreiß/ oder
Circumferen
tz.
Die gerade Linien
C A. C B. C D. fig.
15.
131
die von dem
Centro
auf die
Circumferen
tz kommen/ heissen
Radius,
oder halbe
Diameter.
Die gerade Linien
BD. AE. fig.
15. die von
132
einem Punct des Umkreises durch das
Cen- trum
auf einem andern Punct des Umkreises fallen, heissen
Diameter,
auf Teutsch/ Durch- schlag.
Ein Theil der
Circumferen
tz/ als
A B.
heis-
133
set
Arcus,
oder Bogen.
fig.
16.
Die gerade Linie
A B.
die den Bogen un-
134
terspannet/ heisset
Chorda.
Es ist klar/ daß eine
Chorda,
die nicht
135
durch das
Centrum
faͤhret/ eben so wohl die
Chorda
des grossen Bogens
A D B.
ist
fig.
17. als des kleinen
A C B.
Aber damit wir keinen Zweiffel oder doppelt-sinnige Woͤr- ter hier lassen/ wollen wir sie allezeit an- schauen/ als die
Chorda
des kleinen Bogens
A B C.
es sey dann/ daß wir uns daruͤber an- derst erklaͤren.
Eine gerade Linie/ die den Circkel in einem
136
einigen Punct anstosset/ ohne daß sie ihn durchschneidet/ wann sie gleich verlaͤngert wuͤrde/ heisset
Tangens,
als hier
A B. fig.
18.
G 3
Die
Elementa Geometriæ Lib. II.
137
Die Circkel die einen einigen
Centrum
ha- ben/ heissen
Concentricus \&c.
138
Aller Circkel Umkreiß wird in 360. gleiche Theile getheilet/ welche
gradus
genennet wer- den/ ein jeder
Gradus
in 60.
Minu
ten/ eine jede
Minut
in 60.
Secunden, \&c.
Eigenschafften.
I.
139
J
N einem einigen Circkel/ oder auch in gleichen Circkeln seynd alle
Radius
ein- ander gleich/ wie auch alle
Diameter,
die
Gradus,
und
Minu
ten seynd darinnen auch gleich/ und folglich die Bogen von glei- cher Zahl
Gradus
und
Minu
ten/ und die Bo- gen deren
Chorda
gleich seynd/ und die
Chor- dæ
deren
Arcus
gleich seynd/ seynd alle gleich/ welches klar ist durch die uͤberall Gleichfoͤr- migkeit (
uniformitas
) des Circkels.
fig.
20. 21.
140
Hieraus folget/ daß der
Diameter
den Um- kreiß/ und auch den Circkel selbst in zwey glei- che Theile schneidet.
141
II.
Eine gerade Linie
A B.
kan die
Cir- cumferen
tz des Circkels nicht mehr als in zwey Puncten durchschneiden/ dann das ist klar durch die Natur des Circkels und der geraden Linie.
fig.
22.
142
III.
Jn einem Circkel/ die groͤste Bogen/ (hierdurch verstehe ich doch solche Bogen/ die kleiner seynd als der halbe Umkreiß/) ha- ben auch die laͤngste
Chorda,
und wieder- kehrig/ die laͤngste
Chordæ
unterspannen
auch
Elementa Geometriæ Lib. II.
auch groͤssere Bogen/ wie in
AB. fig.
22. die- ses ist klar wie zuvor.
IV.
Wañ unter vielen Circkeln die
Con-
143
centricus
seynd/ oder die ein gemeines
Cen- trum
haben/ einer ist/ der durch die
Radius
in gleiche Theile getheilet ist/ so werden die an- deren alle auch durch diese fortgestreckte
Ra- dins
(wo es noͤthig ist) in eben so viel gleiche Theile getheilet/ und darum/ wann einer also in
Gradus
getheilet waͤre/ so waͤren sie es alle.
fig.
23. folches ist klar wie das vorige.
Hieraus folget/ daß wozwey
Radius C A.
144
C B. fig.
24. viele
Circumferen
tzen/ die ein ge- meines
Centrum
haben/ durchschneiden/ so werden sie so viel
Gradus
in einem Umkreiß als in denen andere abschneiden. Klar wie zuvor.
V.
Zwey
Diameter A B. C D. fig.
25. schnei-
145
den in einem Circkel ab auf beyden Seiten zwey gleiche Bogen
A C. B D.
Dann
A C B.
ist eine halber Umkreiß durch
n. 140. C B D.
eben deßgleichen;
Ergo
seynd sie einander gleich/ und wann man von ihnen abziehet den gemeinen Bogen
C B.
so werden auf beyden Seiten uͤberbleiben die zwey gleiche Bogen
A C. B D.
durch
n.
57.
Problemata
oder Werckstuͤcke.
I.
A
Us einem Punct
C. fig.
26. der gegeben
146
als
Centrum,
und mit einer gegebenen Laͤnge
A.
einen Circkel zu beschreiben?
Machet
Elementa Geometriæ Lib. II.
Machet euren Circkel auf von der Weite
A.
und setzet dessen eine Spitze in
C.
und be- schreibet also den begehrten Circkel.
147
Es ist natuͤrlich klar. 1°. Daß aus einem einigen
Centro,
und mit einer einigen Oeff- nung man nur einen einigen Circkel beschrei- ben koͤnne. 2°. Daß die Circkel/ die mit glei- cher Oeffnung beschrieben werden/ auch gleich seynd.
148
II.
Eine gerade Linie zu finden/ deren alle die Puncte gleich entfernet seynd von zweyen gegeben Puncten
A.
und
B. fig.
27.
Aus diesen zwey Puncten
A.
und
B.
als
Centrum,
und mit einer einigen Oeffnung nach Belieben genommen/ machet vier Bo- gen/ die einander zwey und zwey durchschnei- den/ in
C.
und
D.
und ziehet die Linie
C D.
diese ist es die man begehret. Dann durch die Bewerckstellung sind
C.
und
D.
gleich entfernet von
A.
und
B.
darum werden auch alle die andere Puncten dieser Linie
C D.
gleich entfernet bleiben von
A.
und
B.
durch
n.
124.
149
Es ist auch natuͤrlich klar/ daß wann der Punct
C. fig.
28. gleich entfernet ist von
A.
und von
B.
und man aus diesem Punct
C.
der Linie
C D.
und mit der Oeffnung
A C.
einen Circkel beschreibet/ so wird dieser Cir- ckel auch durch
B.
fahren/ und daß die Linie
C D.
in sich begreiffet alle die Mittel-Puncte von allen den Circkeln/ die durch
A.
und
B.
fahren werden/ weil sie durch
n.
124. in sich
begreiffet
Elementa Geometriæ Lib. II.
begreiffet alle die gleich entfernete Puncte von
A.
und
B.
und daß alle die
Centrum
derer Circkel/ die durch
A.
und
B.
fahren koͤnnen/ auch muͤssen ihre
Centrum
gleich entfernet haben/ von
A.
und von
B.
III. Fig.
29. Eine gerade Linie
A B.
in zwey
149
gleiche Theile zu theilen.
Suchet durch das vorige Werckstuͤck die Linie
C D.
deren alle Puncte gleich entfernet seynd von
A.
und
B.
der Durchschnitz-Punct
M
wird die Mitte seyn/ durch
n.
124.
Fig.
30. Eben das muß man thun/ um ei-
150
nen Bogen
A B.
in zwey gleiche Theile zu theilen.
IV. Fig.
31. Die
Circumferen
tz eines Cir-
151
ckels durch drey gegebene Puncte
A. B. C.
fahren zu lassen?
Fig.
31. Machet die gerade Linie
E F.
deren alle Puncte gleich entfernet seyen von
A.
und
B.
durch
n.
147. Machet hernach auch auf eben die Weise/ die gerade Linie
G H.
deren alle Puncte gleich entfernet seyen von
B.
und
C.
der Durchschnitz-Punct
K.
wird das gesuchte
Centrum
seyn/ durch die Be- werckstellung.
Noti
ret aber/ daß wann die drey Puncte in einer geraden Linie waͤren/ die Auffgabe un- muͤglich waͤre/ weil eine gerade Linie eine Cir- cular-Linie nicht in drey Puncte durchschnei- den kan/ durch
n.
140.
V.
Wie man das
Centrum
eines Circkels
152
oder auch nur eines Bogens finden kan/ wañ es verlohrẽ waͤre?
H
Neh-
Elementa Geometriæ Lib. II.
Fig.
31. Nehmet auf die
Circumferen
tz oder auf dem Bogen drey Puncte/ als
A. B. C.
und thut wie im vorigen Werckstuͤck und in voriger Figur.
Caput III.
Von den Winckeln. Benennungen.
I.
153
D
Je Oeffnung zwoer Linien die sich in einem Punct begegnen/ wird Win- ckel genennet.
fig.
32.
54
II.
Der Punct
B.
wo sie einander bege- gnen/ heisset die Spitze des Winckels.
fig.
32.
155
III.
Die zwo Linien
A B. B C.
die Seiten oder die Schenckel des Winckels
fig.
32.
156
Ein Winckel wird mit dreyen. Buchsta- ben benennet/ deren die Mittelste die Spitze anzeiget/ als hier der Winckel
A B C.
oder
C B A. fig.
32.
Eigenschafften der Gerad-Lini- schen Winckel.
I.
157
D
As Maaß eines Winckels ist der Bo- gen eines Circkels/ dessen
Centrum
auf die Spitze des Winckels ist/ und der Bogen zwischen die Beine desselben; Also ist das Maaß des Winckels
A B C. fig.
33. der Bogen
AC.
dessen
Centrum
ist in
B.
und
wenn
Elementa Geometriæ Lib. II.
wenn also dieser Bogen waͤre von 60.
Gra- dus,
so wird man sagen/ der Winckel
A B C.
seye von 60.
Grad.
Hieraus folget 1.
Fig.
34. Daß je mehr man
158
den Winckel oͤffnet/ je groͤsser wird der Bo- gen/ und daß wann dieser Bogen
A C.
gleich einer halben
Circumferen
tz/ die zwo Li- nien
A B. B C.
nicht mehr einen Winckel/ son- dern eine einige gerade Linie machen. 2. Daß wann man den Bogen
A C.
groͤsser machet/ als die halbe
Circumferen
tz/ der Winckel puckelicht wird/ und gegen uͤber einen hohlen Winckel machet/ den man gemeiniglich be- trachtet. 3.
fig.
36. Es gilt gleich/ mit welcher Oeffnung man den Bogen
A C.
macht/ w
e
lcher den Winckel messet/ dann seine Schenckel werden eben so viel
Gradus
eines grossen Circkels
A C.
als eines kleinen
a c.
abschneiden/ durch
n
143. darum kommet die Groͤsse eines Winckels nicht von der Laͤnge seiner Schenckel/ sondern von der Oeffnung die darzwischen ist/ also daß man diese Schenckel laͤnger oder kuͤrtzer machen kan/ ohne Veraͤnderung des Winckels.
II. Fig.
37. Zwey Winckel
ABC. DEF.
159
seynd gleich/ wann sie gleiche Bogen eines ei- nigen Circkels fuͤr ihre Maaß haben/ oder auch zweyer gleichen Circkel/ oder endlich/ wann sie Bogen gleicher Zahl
Gradus
fuͤr ihre Maaß haben in ungleichen Circkeln.
Es seynd dreyerley
Sorten
Winckel/ nehm-
160
lich gerade/ spitzige/ oder scharffe/ und stumpf- fe.
H 2
Der
Elementa Geometriæ Lib. II.
161
Fig.
38. Der gerade Winckel
A.
hat fuͤr seine Maaß das Viertel der
Circumferen
tz/ oder 90.
Grad,
also daß zwey gerade die hal- be
Circumferen
tz fuͤr ihre Maaß haben/ nehm- lich 180.
Grad,
und vier Gerade den gantzen Circkel/ oder 360
Grad.
162
Fig.
39. Alle Winckel/ als
B.
die kleiner seynd als ein gerader/ heissen spitzig/ oder scharff.
163
Fig
40. Alle Winckel/ als
C.
die groͤffer seynd als ein gerader/ heissen stumpff.
Fig.
41. Wann der Winckel
B C D.
neben
164
dem Winckel
D C A.
gesetzt/ einen geraden Winckel ausmachet/ so heisset der eine das
Complementum
des andern.
165
Fig.
42. Und wann der Winckel
E C D.
neden dem Winckel
D C A.
gesetzt/ zwey gerade Winckels ausmachet/ so heist einer das
Complement
im halben Circkel/ oder schlechthin und kuͤrtzer/ das
Supplementum
des andern.
166
Fig.
43. Es ist klar/ daß wañ zwey Winckels
A C D. F G H.
einander gleich seynd/ so seynd ihre
Complement,
als
D C B. H G K.
auch einander gleich/ wie auch ihre
Supplement D C E.
und
H G L.
167
IV. Fig.
44 Wann man aus einem Punct
C.
einer geraden Linie
A B.
gegen einerley Seite viele andere Linien ziehet/ als
CD. CE. CF,
alle die Winckel/ die sie da
formi-
ren/ wañ sie zusam̃en genom̃en werden/ thun so viel/ als zwey gerade Winckel/ weil sie die
halbe
Elementa Geometriæ Lib II.
halbe
Circumferentz
fuͤr ihre Maaß haben.
Fig.
45. Wann zwo oder mehr Linien/ als
168
A C. D C. F C. G C.
einander begegnen in einem einigen Punct
C.
alle die Winckel/ die sich um diesen Punct
formi
ren werden/ werden vier geraden Winckeln gleich seyn/ weil sie eine gantze
Circumferen
tz fuͤr ihr Maaß haben werden.
V. Fig
46 Wann zwo gerade Linien/ als
169
AB. DE.
einander im Punct
C.
durchschnei- den/ so werden sie zwey einander gegenuͤber- stehende Winckels
formi
rẽ/ als
ACE. DCB.
die einander gleich seyn werden/ durch
n.
165. Dann ein jeder ist das
Suppiement
eines ei- nigen Winckels
A C D.
Problemata
oder Werckstuͤcke.
I.
A
Uf einer Linie
AB. fig.
47. in einem ge-
170
gebenen Punct
A.
einen Winckel
formi
ren/ der gleich sey einem gegebe- nen Winckel
E.
Aus der Spitze
E.
des gegebenen Win- ckels/ beschreibet den Bogen
F G
nach Be- lieben; und aus dem Punct
A
der gegebe- nen Linie mit voriger Oeffnung des Circkels/ beschreibet den Bogen
BC.
auf welchem nehmet
B C.
gleich
F G.
und ziehet die Linie
A C.
der Winckel
A.
wird gleich seyn dem Winckel
E.
durch
n
138. Dann sie fuͤr ihre Maaß haben werden gleiche Bogen von gleichen Circkeln
BC, FG.
H 3
II.
Einen
Elementa Geometriæ Lib. II.
171
II. Fig.
48. Einen gegebenen Winckel
A.
in zwey gleiche Theile zu theilen?
Aus dem Punct
A.
beschreibet nach Be- lieben den Bogen
B C.
und aus den Puncten
B.
und
C
als
Centrum
beschreibet/ auch mit einer beliebigen Oeffnung/ den Creutzschnit
D.
ziehet die Linie
A D.
die wird den Win- ckel
A.
in zwey gleiche Theile theilen/ durch
n.
150.
Caput
IV.
Von der Bley-Rechten oder
Perpendicular
-
Linie. Benennungen.
I.
172
E
Jne Linie
C A. fig.
49. ist einer andern
perpendicular,
wann sie selbige an- stosset/ also daß sie die Winckels auff beyden Seiten
A C D. A C B.
einandergleich machet/ welche rechte oder gerade Winckel seyn werden.
173
II. Fig.
50. Eine Linie/ als
F K.
ist schief oder
obliqua
auf einer andern
H G,
wann sie ungleiche Winckel mit dieser machet/ als
F K H. F K G.
welche beyde aber zusammen genommen/ allezeit zweyen rechten Winckeln gleich seynd/ weil sie den halben Umkreiß des Circkels fuͤr ihre Maaß haben.
Eigen-
Elementa Geometriæ Lib. II.
Eigenschafften.
I.
E
Jne Linie
ACE. fig.
51. die
perpendicular
174
auf
B D.
ist/ machet mit derselben auf einerley Seite die zwey gerade Win- ckels
B C A. A C D
und wañ sie selbige durch- schneidet/ so machet sie mit derselben 4. gera- de Winckels. Es ist die umgekehrte des
n.
172.
Fig.
52. Eine
Obliqua,
als
F K.
auf
H G.
machet mit derselben auf einerley Seite zwey Neben-Winckels
H K F. F K G
den ei- nen stumpff/ den andern scharff/ welche zu- sammen genommen zweyen geraden gleich seynd/ und wann sie durchschneidet/ so ma- chet sie 4 Winckels/ zwey stumpffe und zwey scharffe/ die miteinander 4. geraden Win- ckeln gleich seynd. Es ist die umgekehrte des
n.
173.
Hieraus folget/ daß/ wann zwo Linien mit-
175
einander einen geraden Winckel machen/ so seynd sie einander
perpendicular,
und wann sie miteinander einen spitzigen oder stumpffen Winckel machen/ so seynd sie schieff oder
obliquæ
.
II. Fig
53. Wann ein Punct
C.
einer
per-
176
pendicular
gleich entfernet ist von zweyen Puncten
B.
und
D.
der Linie/ worauff sie Bleyrecht ist/ so seynd alle die andere Puncte der
Perpendicular A C.
gleich entfernet von diesen zweyen
B
und
D.
Dann/ man setze nur/ daß diese Flaͤche
gefalten
Elementa Geometriæ Lib. II.
gefalten oder gebrochen waͤre in der Laͤnge der
⊥ A C.
das Theil/
CD.
wird fallen juste- ment auf
C B.
und der Puuct
D.
auff
B.
und alsdann wird die
Distan
tz oder Ent- fernung eines jeden Puncts der
⊥ AC.
gegen die Puncten
D.
und
B.
eben dieselbige seyn/ nun aber/ wann man diese Flaͤche wieder aufmachet/ so aͤndern sich diese
Distan
tzẽ nicht.
Ergo,
so seynd dann alle die Punct der
⊥ A C.
gleicher
Distan
tz von diesen zwey Pun- cten
D.
und
B.
177
Hieraus folget/ daß wann eine Linie zwey ihrer Puncten gleich entfernet hat/ von zweyen Puncten einer andern Linie/ so seynd diese Linien einander
porpendicular.
178
III. Fig.
54. Wañ man von einem Punct
C.
auf
A B.
eine
⊥ CG.
ziehet und ande- re
obliquæ C E. C F. C G.
So ist 1. die
⊥
die kuͤrtzeste unter allen. 2. Die schiefe
C G.
die am weitesten von der
⊥
ist/ ist die laͤngste/ und 3. die zwo schiefe
C E. C F
die gleich ent- fernet von der
⊥
seynd auch einander gleich.
Dann wann man die
⊥
verlaͤngert biß in
H.
also daß
D H.
gleich seye
C D.
und daß man die schiefe
H E. H F. H G.
ziehe/ die da gleich seyn werden denen
C E. C F. C G.
welches durch die Na tur der Figur klar ist/ so ist 1. die gerade
C H.
kuͤrtzer als die gekruͤm- mete
C E H. Ergo C D.
die Helffte
C H.
ist auch kuͤrtzer als
C E.
die Helffte der ge- kruͤmten
C E H.
2. Die gekruͤmte
C G H.
ist laͤnger als
C F H.
die sie einschliesset.
Ergo
ihre
Elementa Geometriæ Lib. II.
ihre Helffte
C G.
ist auch durch
n.
66. laͤnger als die Helffte
C F.
3. Weil der Punct
D.
der
⊥
gleich entfernet ist von
E.
und von
F.
so ist der Punct
C.
auch von ihnen gleich entfer- net durch
n.
176. und darum seynd auch die schieffe
C E. C F.
einander gleich.
Hieraus folget
fig
55. u. 56. 1. Daß von einem
179
Punct
D
nur eine
⊥
auff eine Linie
A B
kan ge- zogen werden/ uñ daß die
⊥
das rechte Maaß ist der
Distan
tz eines Puncts gegen einer Linie. 2.
fig.
57. Daß man aus einem gegebenen Punct nicht drey gleiche schiefe Linien auf einer Line ziehen kan/ sondern nur immer zwo und zwo gleiche
CE, CF./
und darum auch/ daß eine gerade Linie nur immer zwey und zwey Puncte gleich entfernet von einem drit- ten Punct haben kan/ und niemahls drey.
IV. Fig
58. Wann man von einem Punct
180
C.
ausser einer Linie
A B.
auf selbige zwo andere Linien ziehet
C F. C G.
so ist der aus- wendige Winckel
C F A
groͤsser als der in- wendige
C G A.
Dann wann man sich ein- bildet/ daß sich der Winckel
A G C.
beweget nach der Laͤnge der Linie
G A,
also daß seine Spitze
G
sich in
F.
befinde/ alsdann wird sich die Seite
G C
in
F L.
befinden/ aber d.
ax.
1. der Winckel
C F A.
ist groͤsser als der Win- ckel
L F A. Ergo,
so ist er dann auch groͤsser als
C G A.
der ihm gleich ist/ wie natuͤrlich klar.
Hieraus folget 1.
Fig.
59. Daß wann man
181
aus einem Punct
C.
auf einer Linie
A B.
J
eine
Elementa Geometriæ Lib. II.
eine
⊥
und andere Schiefe als
CE. CF. CG
ziehet/ so wird sich die
⊥
auf die Seite des spitzigen Winckels finden/ dieweil der Win- ckel
CDA.
gerad ist/ so ist sein inwendiger
CFA.
kleiner als ein gerader.
2. Die Schiefe
CG.
die am weitesten von der
⊥
ist/ ist auch die schiefeste/ das ist/ daß sie den spitzigsten Winckel
CGA.
ma- chet.
3. Endlich/ die
obliquæ CE. CG.
die gleich entfernet von der
⊥/
seynd schieff auch gleich/ das ist/ sie machen mit der Linie
AB.
gleiche Winckels.
182
Fig.
59. Darum kan man auch nicht mehr als eine
⊥
von einem
Punct
als
C.
auf eine gegebene Linie
AB.
ziehen und auch nicht mehr als zwo gleiche Schieffe/ und nie- mahls drey.
183.
V. Fig.
59. u. 60. Was wir gesagt haben von den Schieffen Linien die aus einem
punct C.
einer
⊥ CD.
gezogen werden/ muß auch verstanden werden von den schiefen Linien die aus einem
punct c.
einer andern
⊥ cd
gezo- gẽ werdẽ/ die gleich ist mit
CD.
und folget zu- gleich aus vorigẽ allem/ daß wañ drey Linien aneinander hangen/ u. drey andere auch eben- fals aneinander/ also daß unter jeden dreyen die eine
⊥
seye auf eine andere/ so koͤnnen zwo unter den drey ersten nicht gleich seyn/ zwoen gleiches Nahmens unter den dreyen andern/ daß nicht auch die dritte gleich seye der dritten; das ist/ wann die Schieffe einer
Seite
Elementa Geometriæ Lib. II.
Seitẽ gleich ist der Schiefen auf der andern/ u. die
perpendicular
gleich der andern
perpen- dicular
so ist auch die Entfernung der
⊥
einer- seits/ gleich der Entfernung der
⊥
auf der andern Seite/ und so im̃er/ man mag sie zwo und zwo nehmen/ wie man will.
Hieraus folget/ daß die wahre Zeichen/
184
wodurch man wissen kan ob die Linie
CD. ⊥
ist auf
AB.
diese seynd.
1. Wann diese Linie auf bey den Seiten einen geraden Winckel machet.
2. Wann zwey
punct
der einen als
cen- tra
gebraucht/ zwey Circkel koͤnnen gemacht werden/ die durch zwey gewisse
puncte
der andern fahren.
3. Wann die Linie
CD.
die kuͤrtzeste ist von allen denen die von
C.
auf
AB.
koͤnnen gezogen werden.
Problema
oder Auffgabe.
A
Us einem gegebenen
punct D.
sol man
185
auf die Linie
A B.
eine
⊥
ziehen?
fig.
61.
Aus
D.
als
Centrum
machet einen Bo- gen/ der die gegebene Linie in zwey
punct
en als in
A.
und
B.
durchschneide/ aus die- sen zwey
punct
en als
Centrum,
und einer beliebigen Oeffnung des Circkels machet ei- nen Creutzschnitt in
C.
ziehet die Linie
DC.
die wird die gesuchte
⊥
seyn.
Dann durch die Bewerckstellung hat die Linie
CD.
ihre zwey
punct
e
C.
und
D.
gleich entfernet von den zweyen
A.
und
B.
der Linie
AB. Ergo
d.
n. 184. \&c.
J 2
Cap. V.
Elementa Geometriæ Lib. II.
Caput V.
Von denen
Parallel
Linien. Benennungen.
I.
186
E
Jne Linie
CD. fig
62. ist einer andern
AB. parallel
oder
ebenweitig
/ wann alle die
punct
en der einen gleich ent- fernet seynd von der andern/ das ist/ wann alle die
⊥
als
CA. BD.
von der einen auff die andere/ einander gleich seynd
187
II.
Der Raum der zwischen zwo
Paral- lel
Linien begriffen ist/ wird
Parallel
-
Raum
genennet.
Eigenschafften.
I.
188
Z
wo gerade
parallel
Linien
AB CD. fig.
63. wann sie gleich unendlich weit foꝛt- gezogen werden/ werden nimmermehr einander anstossen; aber zwo gerade und nicht
parallel
-Linien/
EF. AB.
wann sie verlaͤn- gert werden/ stossen endlich einander an in
G.
auf der Seite/ wo sie sich naͤhern. d. i. klar.
189
II. fig.
64 Wann eine Linie als
EF. ⊥
ist auff eine von denen als
AB.
so ist sie auch
⊥
auf die andere
CD.
Dann wann man sich einbildet/ daß das Papier oder andere Flaͤche gefalten oder gebrochen seye in der Laͤnge der
⊥ EF.
weil die Winckel in
E
einander gleich seynd/
so
Elementa Geometriæ Lib. II.
wird sich das Theil
EA.
d.
ax. VII.
auf dem Theil
EB.
schicken; eben desgleichen durch die Natur der ═ weil das Theil
FC.
so weit entfernet ist von
EA.
als
FD.
von
EB.
so wird sich auch das Theil
FC.
schicken auff
FD.
und also d.
ax. VI.
seynd dann auch in
F.
die Winckel einander gleich/ und folg- lich ist
EF. ⊥
auf
CD.
d.
n.
184.
Fig.
65. Wann aber zwo Linien
AB. CD.
190
einander nicht
parallel
seynd/ die
⊥
auf die eine als auff
AB.
wird schief oder
obliquæ
seyn auf die andere
CD.
III. fig.
66. Wann man eine
⊥ EF.
und
191
viele Schiefe
GH. IK. LM.
zwischen zwo
paralle
len
AB. CD.
ziehet/ so wird 1. Die
⊥ EF
die Kuͤrtzeste seyn. 2. Die schieffeste
LM.
ist die laͤngste. 3. Die Gleichschiefe
GH. IK.
seynd einander gleich.
1. Die
⊥ FE
ist kuͤrtzer als die Schiefe
GH.
Dann wann man die
⊥ GP.
ziehet/ die ist gleich mit
EF.
d
n.
186. und kuͤr- tzer als ihre Schiefe
G H.
d.
n. 178. Er- go
ist klar daß die
⊥ EF
kuͤrtzer ist als die Schiefe
GH.
2. Die schiefeste
LM.
ist laͤnger als
IK.
die nicht so schief ist. Dann wann man die
⊥ IR
und
LS
machet/ so werden sie gleich seyn/ wie indem gemeldet/ und die schiefe- sie
LM.
ist laͤnger als
IK.
die nicht so schief ist durch
n.
178.
3. Aus eben der Ursach/ die gleich Schlefe
GH. IK.
seynd auch einander gleich/ auch durch
n.
178.
J 3
Durch
Elementa Geometriæ Lib. II.
192
Durch die
inversa
oder umgekehrte dieses vorigẽ Vortrags wird man auch beweise/ daß die kuͤrtzeste Linie die man zwischen zwo ═ ziehen kan/ die
⊥
sey/ und daß die laͤngste seye die schiefeste. Und daß die gleicher Laͤnge seynd/ auch gleich schief sind/ das ist/ daß sie gleiche Winckels machen.
193
Fig.
67. Hieraus folget 1. daß die
⊥ EF.
das rechte Maaß ist der
distan
tz oder ent- fernung der
Parallel
-Linien/ oder das Maaß der Breite eines
parallel
-Raums.
194
2. Was wir gesagt haben von denen Lini- en die in einem ═ Raum gezogen wer- den/ muß auch verstanden werden von denen Linien/ die in unterschiedene ═ Raum
fig.
68. gezogen werden/ aber die gleicher Breite seynd; Das ist/ daß in solchen ═ Raumen die
⊥
und die Gleichschiefe einander gleich seynd ꝛc.
195.
3 Zwey ═ Raum seynd gleich/ wann die
⊥
oder die Gleichschiefe die darzwischen gezogen werden/ einander gleich seynd.
196.
Fig.
69. Wann zwo Linien als
AB. CD.
einander nicht
parallel
seynd/ so kan man zwischen dieselbe zwo gleiche
⊥
ziehen/ die eine auf
AB.
die andere auf
CD.
aber sol- che
⊥
werden einander durchschneiden. Es wird eben so gehen mit den Gleichschiefen/ und gleichlangen/ die auch zwischen solchen Linien einander durchschneiden koͤnnen/ wie leichtlich zu mercken ist
197
IV. Fig.
70. Wann eine Linie
EF.
zwo ═
durch-
Elementa Geometriæ Lib. II.
durchschneidet als
AB.
und
CD,
und daß man die Winckel vergleichet/ die auf der einẽ
parallel
geschehen/ mit denen die auf der anderen
Parallel
kommen/ so gibt man ihnen unterschiedene Nahmen.
Die vier Winckels die aus dem
parallel
198
Raum seynd/ werden
auswendige Win- ckels
genennt/ und die vier in dem Raums werden
inwendige Winckels
genannt; Die
inwendige
von unterschiedenen Seiten der schneidenden Linie/ einer oben/ der ander unten/ als die Winckel
CEF, BFE,
wer- den
unwechselende Winckel
genañt;
Fig.
71.
Das nun also voraus gesetzt/ so wird be- wiesen/ 1. daß die umwechselende Winckels einander gleich seynd. 2. Ein auswendiger Winckel ist seinem gegenuͤberstehenden in- wendigen auf gleicher Seiten gleich. 3. Zwey inwendige auff einer Seitẽ/ seynd zweyen ge- raden Winckeln gleich.
1.
Fig.
71. Die umwechselende
B F E.
199.
CEF
seynd einander gleich. Dañ 1. wañ die Li- nie
EF. ⊥
ist/ so sind die umwechselende Win- ckels alle beyde gerade/ und darũ auch gleich. 2. Wann
EF.
schief ist/ und daß die Um- wechselende Winckels spitzig seynd/ ziehet die zwo
⊥ EG. FH.
die werden einander gleich seyn/ durch
n.
186 und die Schiefe
EF.
wird gleich seyn fuͤr alle beyde/ und darum auch gleich schief in ansehen dieser zwoen.
⊥ Ergo
die umwechselende
BFE CEF.
seynd gleich/ durch
n.
192. 3. Wann die umwech-
selende
Elementa Geometriæ Lib. II.
selende stumpf seynd/ so seynd sie die
Sup- plement
der spitzigen die da gleich seynd wie wir indem bewiesen haben/ und darum auch einander gleich durch
n.
166.
200
2
Fig.
72. Der auswendige ∠
G E D.
ist gleich seinem gegenuͤberstehenden
EFB
Dañ der ∠
GED
ist gleich dem ∠
CEF.
der ihm an der Spitze gegenuͤber stehet/ durch
n.
169. und
CEF
ist seinem umwechselenden
EFB.
gleich/ durch
n. 199. Ergo
der auswendige
GED
wird auch dem inwendigen gegen- uͤberstehenden
EFB.
gleich seyn/ wie es na- tuͤrlich klar.
201
3. Die inwendige auff einer Seiten
DEF. EFB.
seynd zweyen geraden gleich. Dann der ∠
EFB
ist se
i
nem umwechselenden
CEF.
gleich/ d.
n.
199. welcher mit seinem Neben- winckel
DEF.
zweyen geraden gleich seynd. Durch
n. 167 Ergo
die zwey inwendige
DEF. EFB
seynd zweyen geraden Winckeln gleich.
202
Hieraus folget/ daß wann eine Linie zwo ═ durchschneidet/ so ist sie auff alle bey- de gleich schief; weil die spitzige Winckels die sie auf die eine machet/ gleich seynd den spitzi- gen die sie auf die andere machet/ und darum auch die stumpffen/ die derselben
Supplementa
seynd/ seynd auch einander gleich; und also seynd diese zwo ═ auf diese schneiden- de gleich schief.
203
V. Fig
73. Wann zwo
Parallel
Linien
AB. CD
zwo andere
Parallel
-Linien
AC BD.
durchschneiden. 1. Die gegenuͤberstehende
Win-
Elementa Geometriæ Lib. II.
Winckel
A.
und
D.
seynd einander gleich/ weil sie die
Supplement
des Winckels
B.
oder
C.
mit welchen sie jedweder/ zwey- en geraden gleich seynd. Das ist/ weil der ∠
D
mit dem ∠
B.
zwey geꝛade Win- ckels machen d.
n.
201 und die ∠
A
+
B
machen auch zwey rechte Winckel durch
n.
201. Da- rum ist der ∠
A
∝ dem ∠
D.
durch
ax. VI.
2. Die gegenuͤberstehende Linien
CA. DB.
seynd auch einander gleich/ in dem sie ═ seynd/ u. daꝛum auch gleichschief in dẽ
parallel-
Raum
CD. AB Ergo
seynd siegleich d.
n.
192.
VI. Fig.
74. Wann unter zwo Linien
CA.
204
DB.
die zwischen zwo ═
AB. CD.
begrif- fen seynd/ die eine
AC.
durch andere ingleiche Theile geschnitten ist/ die mit den ersten ═ sind/ so ist die andere
DB.
da- durch auch in gleiche Theile getheilet; dann weil die Theile von
AC.
einandeꝛ gleich seynd/ und auch gleich schief in den kleinen
Paral- lel
-Rauͤmen/ so seynd diese
Parallel
-Raum auch einander gleich/ d.
n.
195. in welchen weil die Theile der Linie
DB.
gleich schief seynd/ so seynd sie auch einander gleich d.
n.
194.
Hieraus folget/ daß die Zeichen wodurch
205
man erkennen kan ob eine gerade Linie ei- ner andern ═ ist/ seynd.
1. Wann zwo gerade Linien unendlich solten verlaͤngert werden/ und daß sie doch nimmermehr einander anstossen wuͤrden/ so seynd sie ═.
K
2. Wann
Elementa Geometriæ Lib. II.
2. Wañ eine einige Linie auf zwo andere
⊥
ist/ so seynd diese zwo andere einander ═.
3. Wann eine einige Linie auf zwo an- dere gleich schief ist/ also daß die umwech- selende Winckel/ oder der auswendige mit dem gegenuͤberstehenden inwendigen auf ei- ner Seiten einander gleich seynd/ so seynd diese Linie ═.
4. Wann zwey inwendige ∠ auf einer einigen Seite zweyen geꝛaden ∠ gleich seynd/ so seynd sie ═.
5. Wann zwo
⊥
zwischen zwo Linien ein- ander gleich seynd/ so seynd die zwo Linien ═.
6. Wann zwo Linien/ zwischen zwo an- dere begriffen/ gleich und gleich schief seynd.
7. Wann zwo Linien gleich und ═ seynd/ und wird an ihren Enden der
parallel-
Raum geschlossen/ mit zwo andere/ diese zwo letzte/ werden auch gleich und ═ seyn.
Problemata
oder Auffgaben.
I.
206
D
Urch einen gegebenen
Punct C. fig.
75. einer gegebenen Linien
AB.
eine ═ ziehen?
Aus
C.
als
centrum,
mit beliebiger Oef- nung/ machet einen Bogen
BD.
der die Li- nie schneide in einem
Punct
als
B.
aus die- fem
punct B.
mit gleicher Oeffnung/ machet den Bogen
CA.
darnach machet den Bo-
gen
Elementa Geometriæ Lib. II.
gen
BD.
gleich
CA.
und ziehet die Linie
CD.
die wird mit
AB.
═ seyn.
Dann/ ziehet
CB.
die zwey ∠
DCB, CBA.
seynd gleich durch
n.
159. Weil sie durch glei- che Bogen gemessen werden/ und seynd auch umwechselend
Ergo \&c.
d.
n.
205.
II. Fig.
76. Eine gegebene Linie als
AB.
207
in einer gewissen Zahl gleicher Theile/ oder sonsten in solche Theile/ die eine gewisse Verhaltnuͤß mit der gegebenen
AB.
haben/ zu theilen/ als zum Exempel in 5. gleiche Theile.
Aus
A.
ziehet die ungeendete
AC.
auf welcher ihr die beliebige oͤffnung
A
1. fuͤnff mahl nacheinander setzet; Von dem
punct
5. ziehet die Linie 5
B.
und mit dieser d.
n.
206. lauter ═ auf die andere
puncte
4. 3. 2 1. welche die Linie
AB.
nach Begehren theilen wird. durch
n.
191.
Caput VI.
Von denen Linien die in und aus dem Circkel gezogen werden.
I.
Von den
Chordis.
I.
M
Ann ein
Diameter
als
EF. fig.
77.
208
eine
Chorda
in der Mitte durch- schneidet in
D.
so wird er auch den
K 2
gros-
Elementa Geometriæ Lib. II.
grossen Bogen in
E,
und den kleinen in
F.
in der Mitten schneiden/ und wird auf die
Chorda ⊥
seyn.
Dann der
Diameter
hat das
Centrum C
und den
punct D.
von den zweyen
punct
en
A.
und
B.
gleich entfernet/
Ergo
d.
n.
124. seine
punct
en
E.
und
F.
werden auch dar- von gleich entfernet seyn/ und darum seynd dann der grosse und der kleine Bogen in der Mitte getheilet/ und wird also auch
⊥
auf die
Chorda
seyn. d.
n.
177.
209
Ebenfals wird man auch beweisen/ daß wann der
Diameter
den kleinen oder den grossen Bogen in zwey gleiche Theile thei- let/ so wird er die
Chorda AB.
in der Mitte und
perpendiculariter
schneiden; Und end- lich/ daß wann die Linie
EF.
die
Chorda AB.
und einen von beyden Bogen in zwey gleiche Theile theilet/ so wird sie durch das
Centrum
fahren/ allezeit d.
n.
123. und 177.
210
II. Fig.
78. Wann die zwo
Chorda AB. EF.
in einem Circkel oder in 2. gleichen Cir- ckeln einander gleich seynd/ so seynd sie auch von dem
Centro
gleich entsernet.
Dann wann man von dem
Centro
die
Radius CA. CE.
ziehet/ und die Linien
C D. CH.
die die
Chord
en in zwey gleiche Theile theilen/ die Haͤlfften
AD. EH.
seynd einan- der gleich und
⊥
auf
CD. CH.
d.
n.
209. die Schiefe
AC. EC
seynd auch einander gleich/ darum seynd die Entfernungē
CD CH.
auch einander gleich. d.
n.
183.
III.
Elementa Geometriæ Lib. II.
III.
Wann man in einem Circkel zwey
211
ungleiche Bogen nimmt/ einen jeden klei- ner als die halbe
Circumferen
tz. 1 wird der kleineste Bogen die kuͤrtzeste
Chorda
haben. 2. Und die kleineste
Chorda
wird am wei- testen von dem
Diametro
stehen.
Fig.
79. Dann wann man ziehet auf
AB.
die
⊥ CD.
und auf
AE.
die
⊥ CH.
welche
AB.
in
G.
schneiden wird.
1. Die
⊥ CD. CH.
werden ihre
Chorda
in gleiche Theile theilen/ d.
n.
209. Ferner/ weil
AH. ⊥
ist auf
HG.
so wird sie kuͤrtzer seyn als die Schiefe
AG.
d.
n
178. Und
AG
ist kuͤrtzer als
AD. Ergo
so ist auch
AH.
kuͤrtzer als
AD.
und folglich die gantze
AE.
kuͤrtzer als die gantze
AB.
2. Die Entfernung
C H.
der kleinen
Chorda
vom
Centro
ist laͤnger als die Ent- fernung
CD.
der langen
Chorda.
Dann
CH.
ist laͤnger als
CG.
und
CG.
weil sie schief ist/ ist noch laͤnger als die
⊥ C D.
d.
n. 178. Ergo
die Entfernung
CH.
der klei- nen
Chorda
vom
Centro
ist laͤnger als die Entfernung
CD.
der grossen
Chorda.
II.
Von denen
Tangentibus.
IV. Fig.
80 Wann man auf dem Ende
212
A.
eines
Radius C A.
die
⊥ AB.
machet/ die- selbige wird
Tangens
oder eine anruͤhrende Linie des Circkels heissen/ das ist/ sie wird neben dem Circkel vorbey fahren und an- ruͤhren in
A.
aber denselben nicht schneiden/
K 3
und
Elementa Geometriæ Lib. II.
und also werden alle andere Puncten dieser Linie als
D.
aus dem Circkel seyn
Dann wann man
CD.
ziehet/ so wird sie auf
AB
schief seyn.
Ergo
so wird sie auch laͤn- ger seyn als der
Radius C A.
welcher
⊥
ist d
n.
178. Darum ist dann
D.
aus dem Circkel.
213
V. Fig.
80. Wann eine Linie
A B.
den Circkel anruͤhret in einem Punct als
A.
die- se wird
⊥
seyn auf dem
Radius CA.
Dann wann man aus dem
Centro C.
andere Li- nien auf die
Tangens
ziehet/ als
CD.
die werden aus demselben Circkel fahren
Ergo
der
Radius
wird die allerkuͤrtzeste seyn/ d.
n. 212 Ergo
so ist er
⊥
d.
n.
178.
214
VI. Fig.
80. Wann eine Linie als
AB
den Circkel anruͤhret als in
A
und daß man auf deselbe in
A.
eine
⊥
machet/ die wird durch das
Centrum
fahren.
Dann wann man von
A.
im
Centro
ei- ne Linie
AC.
ziehet/ die wird auf
A B. ⊥
seyn wie zuvor gesehen/ nun aber aus ei- nem einigen Punct
A.
kan man nicht mehr als eine
⊥
ziehen/ d.
n. 179. Ergo \&c.
III.
Von denen
Parallel
en in dem Circkel.
VII.
215
W
Añ zwo ═ Linien
AB, CD, fig
81 die
Circumferen
tz eines Circkels schnei- den/ so werden sie auf beyden Seiten
gleiche
Elementa Geometriæ Lib. II.
gleiche Bogen
AC, BD.
darvon abschneiden. Dann wann man den
Diameter EF. ⊥
daruͤber ziehet/ so wird er die Bogen
AEB. CFD.
in der Mitten theilen. Darum dann/ wann man von denen zwey gleichen Bogen
E C. E D.
die zwey gleiche Theile
AE. EB.
abziehet/ so bleiben die Rest
AC. BD.
auch gleich d.
n.
57.
VIII. Fig.
82. Eben desgleichen/ wann
216
unter zwo
parallel
en
AB. CD.
die eine
AB.
den Circkel in
E.
anruͤhret/ und die andere ihn schneidet/ so werden sie auch gleiche Bo- gen auf beyden Seiten abschneiden/ als
EC. ED.
Dann wann man einen
Diame- ter EF.
durch den anruͤhrenden Punct
E.
ziehet/ der wird auf
CD. ⊥
seyn/ d.
n.
213. und darum auch wird er den Bogen
CDE.
in zwey gleiche Theil theilen im Punct
E. F
i
g.
83. Endlich wann die zwo
parallel
-Linien
217
den Circkel nur anruͤhren in
E
und
F.
so werden sie noch gleiche Bogen auf beyden Seiten haben/ welche alsdann halbe Cir- ckel seyn werden. d.
n.
140.
Von denen Winckeln in der
Circumferen
tz/ oder in dem Circkel ausser dem
Centro,
oder aus dem Circkel.
W
Jr haben in dem
Capitel
der Win-
218
ckeln gesagt/ daß ein Winckel
A. Fig.
84. der seine Spitze im
Cen-
tro
Elementa Geometriæ Lib II.
tro
hat/ auch fuͤr seine Maaß habe/ den Bogen auf welchen er ruhet. Hier aber muͤssen wir sagen/ welche Bogen das
Maaß
seyn werden/ von allen andern Winckeln/ deren die Schenckel den Circkel schneiden oder anruͤhren.
219
IX. Fig.
85. Wann ein Winckel als
BAD.
feine Spitze in dem Umkreiß hat/ so ist sein Maaß die Haͤlffte des Bogens
BD.
auf wel- chem eꝛ ruhet. Dañ entwedeꝛ wird es alsdañ geschehen/ daß eine seiner Seiten durch das
Centrum
gehet/ oder daß das
Centrum
zwi- schen die beyde Seiten ist/ oder endlich daß das
Centrum
ausser dem Winckel ist
1.
Fig.
86. Wann eine Seite als
A B.
durch das
Centrum
gehet so ziehet durch das
Cen- trum C.
die Linie
EF.
═ mit der anderen Seite
AD.
Nun aber/ wegen der ═ ist der Winckel
A.
gleich seinem auswendigen
FCB.
d.
n.
200. und darum hat er auch mit ihm einerley Maaß/ nehmlich den Begen
BF.
Aber
BF.
d.
n.
145. ist die Haͤlffte von
BD.
Dann er ist gleich seinem gegenuͤber- stehenden
A E.
der da gleich ist mit
F D.
d.
n.
215. Weil diese beyde zwischen zwo ═ begriffen seynd;
Ergo
so hat dann der ∠
A.
den halben Bogen
BD.
worauff er ruhet/ fuͤr sein Maaß.
2.
Fig.
87. Wann das
Centrum C.
zwi- schen die zwo Beine des Winckels
A.
ste- het/ ziehet
AF.
durch das
Centrum
/ alsdann ist der Winckel
A.
in zwey andere getheilet/
deren
Elementa Geometriæ Lib. II.
denen die Seite
AF.
gemein ist/ deren ein jeder durch vorigen
Casum
fuͤr sein Maaß hat die Haͤlffte des Bogens worauf er ru- het/ und darum auch wird der gantze Win- ckel
A.
die Haͤlffte des gantzen Bogens
BD.
fuͤr sein Maaß haben.
3.
Fig.
88. Wann das
Centrum C.
aus- ser dem Winckel stehet/ ziehet die Linie
AF.
durch das
Centrum.
Der gantze ∠
FAD.
hat fuͤr sein Maaß den halben Bogen
FD.
durch den ersten
Casum,
und das Theil
B A F.
hat fuͤr sein Maaß den halben Bogen
BF.
und darum so muß dann das Theil
BAD.
auch fuͤr sein Maaß haben den halben Bo- gen
BD
worauff er ruhet.
4.
Fig.
89. Wann der Winckel
A.
durch
220
eine
Chorda AD.
und eine
Tangens AB.
formiret ist/ so hat er fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des Bogens
AD.
den diese
Chorda
unterspannet.
Dann ziehet
DE.
═ mit
AB.
der Win- ckel
A.
ist gleich seinem umwech selen- den
D.
d.
n.
199. der fuͤr sein Maaß hat durch den vorigen Beweiß die Haͤlff- te des Bogens
AE.
oder
AD.
der ihm gleich ist/ d.
n. 215. Ergo
so hat der ∠
A.
auch fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des unterspanne- ten Bogens
AD.
5.
Fig.
90. Wann ein ∠
A.
die Beine
221
aus dem Circkel hat/ und die Spitze in der
Circumferen
tz/ als
BAC.
So siehet man durch das vorhergehende/ (weil d.
n.
169. der
L
∠
Elementa Geometriæ Lib. II.
∠
BAC.
∝ dem ∠
D A E
) daß
BAC
fuͤr sein Maaß hat die Haͤlffte des hohlen Bogens
DE,
welcher in dem Circkel geschnitten wird durch die fortgezogene Seiten
CA. BA.
222
Aus dem allen folget 1. Daß wann vie- le Winckels
BCD. fig.
91. auf einem Bo- gen
BD
ruhen/ so seynd sie alle untereinan- der gleich/ weil ein jeder d. 219. die Haͤlffte des Bogens
BD.
fuͤr sein Maaß hat. 2.
fig
92
223
Daß wann der Winckel
A.
seine Spitze in der
Circumferen
tz hat/ und ruhet auf einem halben Circkel/ so ist er gerade/ eben d.
n.
224
219. Daß wann der Bogen
BAD. fig.
93. worauf er ruhet/ groͤsser ist als die halbe
Circumferen
tz/ so ist er stumpff/ uñ daß/ wañ
225
der Bogen
BD. Fig
94. kleiner ist als die halbe
Circumferen
tz/ so ist er spitzig 3.
Fig.
95 Daß
226
wann man drey Linien in dem Circkel zie- het/ die einen
Trian
gel
formi
ren/ als
ABC.
ein jeder von diesen Winckeln hat fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des Bogens/ wo- rauf er ruhet;
A.
hat die Haͤlffte
BC. B
die Haͤlffte
AC.
und
C.
die Haͤlffte
AB.
und also die drey zusammen/ haben fuͤr ihr Maaß die Haͤlffte des gantzen Umkreises/ das ist/ 180.
Gradus,
oder so viel als zwey gerade.
227
X. Fig.
96. Wann ein Winckel durch zwo
Tangens
gemacht wird
BAC
/ so hat er fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des hohlen Bo- gens
BDC.
worauf er ruhet weniger die Haͤlffte des Buckelichten Bogens
B E C.
Dann ziehet die
Chorda BC,
und den
Di-
ameter
Elementa Geometriæ Lib. II.
ameter CF.
der △
A G C.
ist rechtwincke- licht in
G.
darum folget aus
n.
226. daß der ∠
GAC.
mit dem ∠
GCA.
einem rechten Winckel gleich seynd/ aber d.
n.
213. der ∠
ACF.
ist auch ein rechter Winckel/ daraus folget d.
ax. IV.
daß der ∠
BCF.
∝ ∠
GAC; Ergo,
weil der ∠
GAC.
die Haͤlffte ist von
BAC.
und d.
n.
219 der ∠
BCF.
die Haͤlff- te von
BHF.
so ist der ∠
BAC
∝ ∠
BHF.
Nun aber der Bogen
BF.
welcher daß Maaß derselben ist/ ist
BD.
die Haͤlffte des Bogens
BDC
weniger
DF.
die Haͤlffte des Bogens
BEC.
Dann d.
n
169. der Bogen
DF.
∝ dem Bogen
EC.
W. Z. B. W.
XI. Fig.
97. Wann alle beyde Beine
CA
228
CE.
die
Circumferen
tz schneiden/ und der ∠ aus dem Circkel ist als
ACE.
so ist/ wie zu- vor/ das Maaß des ∠ die Haͤlffte des hoh- len Bogens
AE.
weniger die Haͤlffte des Buckelichten
BD.
Dann ziehet
AD.
der ∠
ADE.
ist gleich den zweyen
A.
und
C.
zusammen/ weil diese beyde/ d.
n.
226. oder
ADE
allein d.
n.
167. zwey gerade machen/ wann sie mit dem ∠
ADC. addi
ret werden/ nun aber ist das Maaß des ∠
ADE.
die Haͤlffte des Bogens
AE.
d
n.
219. und das Maaß des ∠
A
die Haͤlffte des Bogens
BD.
so folget/ daß das Maaß des ∠
C.
ist die Haͤlffte des Bogens
AE.
weniger die Haͤlffte des Bogens
BD.
W. Z. B. W.
XII. Fig.
98. Wañ eine Seite
A
(eines ∠
A
an-
229
ruͤhret u. die andere
AB
den Circkel schneidet/
L 2
so
Elementa Geometriæ Lib. II.
so ist wieder wie zuvor/ das Maaß des ∠
A.
die Haͤlffte des hohlen Bogens
B E C.
weniger die Haͤlffte des Buckelichten
C D.
welches leicht eben wie zuvor zu beweisen ist.
230
XIII. Fig.
99. Endlich/ das Maaß des ∠
A E D
der in dem Circkel gemacht ist aus- ser dem
Centro,
ist die Haͤlffte des Bogens
AD.
worauff er ruhet mit der Haͤlffte des Bogens
BC.
der gegenuͤberstehet. Dann ziehet die Linie
CD.
der ∠
AED.
ist gleich den zweyen
ACD.
und
CDB
zusammen/ wie
n.
228 erwehnet/ nun aber d
n
219 der ∠
ACD
hat fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des Bogens
AD.
und der ∠
CDB.
hat fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des Bogens
BC.
so hat dann auch der ∠
AED
fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des Bogens
AD.
mit der Haͤlffte des Bogens
BC.
Welches zu beweisen war.
Problemata
oder Auffgaben.
I.
A
N einem in der
Circumferen
tz gege-
231
benen Punct als
A. Fig.
100. eine
Tangens
zu ziehen.
Aus dem Punct
A.
ziehet den
Radius AC.
auf dem in
A.
machet die
⊥ AB.
welche die begehrete
Tangens
seyn wird.
n
212.
232
II. Fig.
101 Aus einem ausser den Circkel ge- gebenen Punct
A.
eine
Tangens
zu ziehen.
Fig.
Elementa Geometriæ Lib. II.
Fig.
101. Von dem Punct
A.
auf das
centrum C.
ziehet
AC.
und theilet sie in der Mitten in
O.
aus
O.
als
centrum
mit dem
Radio O C.
machet einen Circkel/ der den gegebenen Circkel in zwey Punct
B.
und
D.
schneiden wird. Aus dem Punct
A.
auf einem von diesen beyden
B
oder
D.
zie- het
AB
die wird die gesuchte
Tangens
seyn.
Dann wann man den
Radius BC.
zie- het/ der Winckel
ABC.
ist gerade d
n.
223. weil er seine Spitze in der
circumferen
tz hat/ und daß er auf die halbe
circumferen
tz
ADC.
ruhet/ und darum ist dann auch
AB ⊥
auff den
Radius BC.
und also
Tangens
d.
n.
212.
Caput VII.
Von denen
Proportional-
Linien.
W
As wir im ersten Buch von den
233
Ebenmaͤßigen Groͤssen insgemein gesagt haben/ muß auch ins beson- dere den Linien zugeschrieben werden. Al- so werden wir sagen/ daß die vier Linien
A. B. C D. Fig.
102. ebenmaͤßig seynd/ wann die Verhaltnuͤß von
A.
gegen
B.
eben diese welche von
C
gegen
D.
ist das ist; wann die Ersten Saͤtze
A.
und
C.
gleicher Weise ihre andere Saͤtze
B.
und
D.
in sich begreiffen/ oder nur derselben gleichmaͤssende aufgehen- de Theile.
L 3
Fig.
9 Elementa Geometriæ Lib. II.
234
Fig.
103 Wir wollen sagen/ daß zwo Linien
A. B.
zwoen andern
C. D.
wiederkehrig
proportional
seynd/ wann die zwo erste
A.
und
B.
die aͤuserste seynd in einer
Pro- portion,
und die zwo andere
C.
und
D
die mittelste/ oder
vice versa C. D.
die aͤuserste/ und
A B
die mittelste d.
n.
52.
235
Fig.
104 Man sagt von einer Linie
AB
sie seye geschnitten
in media \& extrema ratione,
wañ die gantze
AB.
stehet zu ihrem groͤsten Theil
AC.
wie dasselbige Theil
AC.
stehet zu dem kleinen Theil
CB.
236
Fig.
105. Der
Product
zwoer Linien/ ist die
Multiplicatio
der Zahl der Theile von
A.
mit der Zahl der Theile von
B.
wann diese beyde Liniẽn in gleiche Theile gethei- let worden seynd/ welche Theile wir als Ein- heiten nehmen. Also/ wann
A.
in vier glei- che Theile getheilet ist/ und
B
in drey/ der
product
von
A.
mit
B.
ist 12. Oder auch dieser
product
ist eine recht-winckelichte Vierung deren Laͤnge ist eine von den ge- gebenen Linien/ und die Breite ist die an- dere/ wie man im vierdten Buch sehen wird.
237
Wann man den
Product
zwoer Linien vergleichen oder
compari
ren will/ mit dem
product
zwoer andern/ so muß man voraus setzen oder
præsupponir
en/ daß sie alle vier in untereinander gleiche Theile getheilet worden seynd/ oder zum wenigsten/ daß die zwey ersten Saͤtze in untereinander gleiche Theile getheilet worden seynd/ und die zwey
andere
Elementa Geometriæ Lib. II.
anderen Saͤtze auch in untereinander gleiche Theile getheilet seynd.
Eigenschafften.
1.
W
Añ zwo linien
AB. CD Fig.
106 in einẽ
238
Parallel-
Raum gleichschief feynd zwoen andern Linien
EF. GH
in ei- nen andern
Parallel.
Raum/ die zwo ersten seynd den zwoen andern ebenmaͤßig/ das ist
AB. EF
∷
CD. GH.
Dann wann man
EF.
zertheilet in so viel gleiche Theile als man will/ als in 4. die ich
p.
nennen will/ und durch jede Thei- lung ziehet ═ Linien: Alsdann wird
GH.
in eben so viel gleiche Theile getheilet seyn/ die ich
S.
nennen will/ also daß
EF
wird 4.
p.
gleich seyn/ und
GH.
∝ 4.
S.
Alsdann tra- get ein Theil
p.
des andern Satzes
EF.
auf seinem ersten Satz
AB.
das wird gerade et- liche mahl ohne Rest drinnen begriffen seyn/ oder etliche mahl mit einem Rest. Ge- setzt 1. ohne Rest/ zum Exempel 3. mahl/ zie- het/ auch hier durch eine jede Theilung ═ Linien mit den ersten so wird
C D.
dadurch auch in eben so viel gleiche Theile getheilet werden/ und Theile die d.
n.
191. und 194. den Theilen ihres andern Satzes
G H
gleich seyn werden/ weil sie gleich schieff seynd/ in kleine gleiche
Parallel-
Raum. Also dann wird man haben
AB
gleich 3
p. CD.
gleich 3.
S.
aber 3
p. 4 p
∷ 3
S. 4 S. Ergo
die zwo Li-
nien
Elementa Geometriæ Lib. II.
nien
AB. CD.
seynd den andern zwoen
EF. GH.
ebenmaͤßig. d.
n.
44. Gesetzt/ 2. Daß die Linie
AB.
nicht ohne Rest etliche mahl das Theil
p.
ihres andern Satzes
EF.
in sich haͤlt/ so wird auch
C D.
das Theil
S.
nicht ohne Rest in sich begreiffen/ sondern wird so vielmahl
S
in sich begreiffen/ mit einẽ Rest/ als
AB.
vielmahls
p.
in sich begreiffet mit einem Rest; alsdann muß man voraus nehmen/ oder
præsupponi
ren/ daß sie in un- endlich kleine Theile zertheilet ist; und wañ nun
AB.
noch nicht
accurat
ohne Rest eine gewisse Zahl dieser Theile in sich haͤlt/ so wird auch wiederum
CD.
nicht
accurat
und ohne Rest eine gewisse Zahl der Theile von
GH.
in sich begreiffen/ uñ werden allezeit zugleich/ oder alle beyde mit Rest/ oder alle beyde oh- ne Rest bleiben/ und sonst in gleicher Zahl/ aber in dem letzten Fall wo ein Rest ist/ so wird man den Rest fahren lassen und fuͤr nichts achten/ wie wir bey den ungemein- maͤßlichen Verhaltnuͤssen gesagt haben/ und wird man doch schliessen/ wie zuvor d.
n.
51. daß die Linien
AB. CD.
den andern
EF. GH.
ebenmaͤßig seynd.
Woraus folget 1. Daß auch
alternando,
die zwo Linien
AB. EF
weil sie in
parallel-
Raum gleich schief seynd/ so seynd sie auch den andern zwo gleich schieffen
CD. G H.
ebenmaͤßig d.
n.
81.
2. Der
product
von
AB. GH.
welche die aͤusserste Saͤtze seynd/ ist gleich dem
product
der zwey mittelsten. d.
n.
71.
II.
Elementa Geometriæ Lib. II.
II. Fig
107. Wann zwo Linien
AB, CD.
239
die zwischen zwo ═
AC, BD.
begriffe/ durch eine dritte ═
EF.
zertheilet seynd/ so seynd sie
proportionir
lich zertheilet.
Dann man kan die gantze
AB.
und auch ihre Theile
AE. EB.
als unterschiedene Li- nien betrachten/ die gleichschief seynd in un- terschiedenen
parallel-
Raumen/ gleichfals auch die gantze
CD.
und ihre Theile
CF, FD.
seynd gleich schief in unterschiedenen
pa- rallel
Raumen.
Ergo
d.
n.
238. die gantze
AB.
und ihre Theile seynd ebenmaͤßig der gantzen
CD.
und ihren Theilen das ist.
AB. CD
∷
AE. CF
∷
EB. FD.
III. Fig.
108. Wann zwo Linien
AB. AD.
240
einen Punct
A.
haben der allen beyden zu- hoͤhret/ und daß sie durch zwo ═ geschnit- ten werden!/ so werden sie auch
proportio-
nirlich geschnitten. Dann wañ man durch
A.
eine Linie ziehet/ die den zwey ẽ andern ═ sey/ so wird man das beweisen wie bey denen vo- rigen Beweißstuͤcken/ nehmlich/ daß
AB. AD. AE. AF
∷
EB. FD.
IV. Fig.
109. Wann zwo Linien
AB. AC.
241
die einen gemeinen
punct A.
haben/ auf ih- ren Grund-Strich
BC.
gleich schief seynd/ zwoen andern
DE. DF.
d
e auch einen gemei- nẽ
punct D.
haben/ so seynd die zwo ersten
AB AC.
den zwoen andern
DE
,
DF.
ebenmaͤßig.
Dann wann man durch die Punct
A.
und
D.
denen Grundstrichen
BC. EF.
═ Linien ziehet/ der Beweiß
wird eben der
M
seyn/
Elementa Geometriæ Lib. II.
seyn/ wie bey der ersten Eigenschafft
n
238.
242
V. Fig.
110. Wann zwo ═ geschnitten werden durch zwo andere Linien
AB. AC.
die einen Punct
A.
gemein haben/ die Theile die- ser ═
BC. EF.
die da abgeschnitten wer- den/ stehen gegeneinander/ als die Linien
AB. AE.
die begriffen seynd zwischen jeden
paral- le
len/ und dem gemeinen ∠
A.
das ist
BC. EF
∷
BA. EA.
Dann d
n.
202 die zwo Linien
BA. BC.
seynd eben so schieff auff ihren Grundstrich
AC.
als die zwo
EA. EF.
auf ihren Grund- strich
AF. Ergo
d.
n
238. die Theile der ═
BC. EF.
stehen gegeneinander wie
BA.
ge- gen
EA.
das ist
BC. EF
∷
BA. EA.
243
VI. Fig
111 Wann zwo ═
BD. EG.
geschnitten werden durch viele andere Linien die einen Punct
A.
gemein haben als
AB. AC AD.
die Theile der einen seynd ebenmaͤßig mit den Theilen der andern.
Dann d.
n. 238. BC. EF
∷
CA AF.
Eben auch
CD. FG
∷
CA. FA. Ergo
d.
n. 70. BC. EF
∷
CD FG.
244
Daraus folget/ daß wann eine ═ in gleiche Theile getheilet ist/ so ist es die an- dere auch.
245
VII. Fig.
112. Wann zwo
Chordæ
in einem Circkel als
AB. CD.
einander durchschneiden/ in
E
, die Theile der einen
AE. EB
seynd den Theilen der andern
CE. ED.
wieder- kehrig
proportional.
Das ist.
AE. CE
∷
ED. EB.
Dann
Elementa Geometriæ Lib. II.
Dann ziehet die Linien
AC BD
die Win- ckels
A.
und
D.
seynd gleich/ d.
n.
222. Weil sie ihre Spitze in der
Circumferen
tz haben/ und ruhen auf einen Bogen
BC.
Eben da- rum seynd die zwey Winckels
B.
und
C.
auch gleich.
Ergo.
so seynd die Linien
AE. CE.
eben so schieff auf ihren Grundstrich
AC.
als die anderen zwo
E D. E B.
auf ihren Grundstrich
BD. Ergo
d.
n. 241. AE. CE
∷
ED. EB. Ergo
die Theile einer
Chorda AE. EB.
seynd wiederkehrig
proportional
mit den Theilen der andern
CE. ED.
W. Z. B W.
Hieraus folget d
n
71. 1. Daß wann zwo
246
Chordæ
in einem Circkel einander durch- schneiden/ als
AB. CD.
der
product
der Thei- le der einen/
AE
mit
EB.
ist gleich dem
pro- duct
der Theile der andern/
CE. ED.
2.
Fig.
113. Daß wann eine von beyden als
247
C D.
in zwey gleiche Theile geschnitten ist/ ihre Haͤlffte
C E.
ist mittel-
proportio- nal
zwischen die Theile
AE. EB.
der an- dern/ und folglich/ daß der □ dieser Haͤlff- te gleich ist dem
product
der Theile
AE, EB.
3.
Fig.
113 Daß wann man aus einem
punct
248
C.
der
Circumferen
tz eine
⊥ CE
auf ei- nem
diameter AB.
fallen laͤsset/ so wird sie mittel-
proportional
seyn zwischen die Thei- le
AE.
und
EB.
des
diameter
s; dann wann man diese
⊥
fortziehet in
D.
so ist
CE.
die Haͤlffte der
Chorda CD.
VIII. Fig.
114. Wann man aus einem
249
M 2
punct
Elementa Geometriæ Lib. II.
punct
ausser einem Circkel
E.
zwo Linien
EB. EC.
in dem Circkel ziehet/ biß an dem hohlen Bogen
BC,
und die oben die
Cir- cumferen
tz schneiden in
A.
und
D;
die gan- tze Linie
EB.
und ihr auswendiges Theil
EA
seynd widerkehrig
proportional
mit der andern gantzen Linie
EC.
und ihrem auswen- digen Theil
ED.
das ist
EB EC
∷
ED. EA.
Dann ziehet die Linien
A C. B D.
die Winckels
B.
und
C.
seynd gleich/ wie auch die zwey
BAC. BDC.
d.
n.
222. und darum auch deren
supplemen
ten
EAC. EDB.
d.
n. 166 Ergo
so seynd die zwey Linien
ED. EB.
eben so schief auf ihre
basis BD.
als wie die zwo
EC. EA.
auf ihre
basis AC. Ergo
d.
n. 241. EB. EC
∷
ED. EA.
welches zu beweisen war.
250
Hieraus folget d.
n.
71. 1. Daß der
pro- duct
der einen gantzen
EB.
mit ihrem aus- wendigen Theil
EA.
gleich ist dem
product
der andern gantzen
EC.
mit ihrem auswen- digen Theil
ED.
251
2.
Fig
115. Daß wann die Linie
EC.
eine
Tangens
ist/ so ist sie mittel-
proportio- na
zwischen die gantze
EB.
und ihrem aus- wendigen Theil
EA.
weilen alsdann die
punct
en
C.
und
D.
aufeinander fallen/ und daß die Linien
ED.
und
EC.
nur eine Linie worden seynd/ und derowegen auch/ ist sie mittel
proportional
zwischen der gantze
EB.
und ihrem Theil
EA.
dann der Winckel
E.
dienet zu den zweyen Triangeln
EBD.
EAD.
Elementa Geometriæ Lib. II.
EAD
und der Winckel
EBD.
ist gleich dem Winckel
E D A.
weil ein jeder fuͤr sein Maaß hat die Haͤlffte des Bogens
A C.
d.
n.
219. und 220. darum ist
EB. EC
∷
EC. EA.
d.
n.
241.
3. Daß wann die Linie
AB
die in dem
252
Circkel begriffen ist/ gleich ist mit der
Tan- gens E C.
so wird alsdann die Linie
E B.
geschnitten seyn
in media \& extrema ratione
im
punct A.
Dann/
EB. EC
∷
EC. EA.
nun aber se- tzet
AB.
an statt ihrer gleichen
EC.
so habt ihr die folgende
EB. AB
∷
AB. EA.
Problemata
oder Werckstuͤcke.
I.
W
Ann drey Linien
A. B. C. Fig.
116.
253
gegeben werden/ und man soll ei- ne vierdte
proportional
finden?
Ziehet zwo Linien die einen beliebigen Winckel
F.
machen/ auf eine derselben nehmet das Theil
EF.
gleich der Linien
A.
und auf die andere
EG
gleich der Linie
B.
ziehet die Linie
GF.
hernach auf
EF.
neh- met
FH
gleich
C.
und ziehet
HK.
═ mit
FG.
machet die Linie
D.
gleich der Linie
GK
welche die vierdte gesuchte Ebenmaͤßige seyn wird. d.
n
238.
Dann wegen der ═
GF. HK.
man ha
t
EF. EG
∷
FH. GK.
und darum auch
A. B
∷
C. D.
II Fig.
117. Wann zwo Linien
A.
und
B.
254
M 3
gege-
Elementa Geometriæ Lib. II.
gegeben werden/ und man soll-ihnen eine dritte
proportional
finden? Machet
b.
gleich
B.
und so habt ihr drey Linien
A. B. b.
de- nen ihr eine 4te
proportional
suchet/ wie im vorigen
Problema.
255
III. Fig.
118. Zwischen zwo gegebene Li- nien
A.
und
C.
soll man eine mittel-
pro- portional
finden? Ziehet eine ungeendete Linie/ auf welcher nehmet
DE.
gleich der Linie
A
und
EF.
gleich
C.
theilet
DF.
in der Mitten in
O.
aus
O.
als
Centrum
mit dem
Radius OD.
oder
OF.
beschreibet einen Cir- ckel/ und auf
E.
machet die
⊥ CE.
biß an die
Circumferen
tz und machet
B
gleich
EC.
dieselbe wird die gesuchte Mittel-
proportio- nal
seyn. Dann/
DE. EC
∷
EC. FE.
und darum auch
A. B
∷
B. C.
256
IV. Fig.
119. Eine gegebene Linie
AB. in media \& extrema ratione
zu theilen?
An einem Ende
B.
der gegebenen
AB.
machet die
⊥ BO.
gleich der Haͤlffte von
AB.
Aus
O.
als
Centrum
mit dem
Radius OB.
beschreibet einen Circkel/ aus dem an- dern Ende
A.
durch das
Centrum O.
zie- het die Linie
AD.
welche die
Circumferen
tz in
E.
schneiden wird/ machet
AC.
gleich
AE.
und so wird
AB. in media \& extrema ratio- ne
getheilet seyn. Das ist/
AB. AC
∷
AC. CB.
Dann
ED.
ist gleich
AB.
weil sie der
Diameter
des Circkels ist/ dessen
Radius BO.
gleich ist der halben
AB.
und weil
AB. Tan-
gens
Elementa Geometriæ Lib II.
gens
ist/ so ist d.
n. 251. AD. AB. AB. AE.
oder
AC.
welcher sie gleich ist/ nun d.
n. 83. Dividendo AD— AB. AB
∷
AB— AE. AE.
Das ist/
AC. AB
∷
BC. AC.
Dann
AC.
∝
AE.
Endlich wieder d.
n. 81. permu- tando. AB. AC
∷
AC. BC.
darum ist dann
AB.
in
media \& extrema ratione
getheilet.
Ende des andern Buchs.
ELEMENTA GEOMETRIÆ,
Oder
B
ruͤnde der
E
rd- meßkunst.
III.
B
uch. Von den flachen Figuren/ be- trachtet nach ihrem Umkreiß/ und den Linien die man drinnen zie- hen kan.
Cap.
Elementa Geometriæ Lib. II.
Caput I.
Von den flachen Figuren ins gemein.
I.
257
M
An nennet flache Figur/ eine Flaͤche die um und um zuge- schlossen ist.
Jn diesem Buch wollen wir nur betrachten die Linien welche die Flaͤchen zuschlies- fen/ in dem folgenden aber/ wollen wir die Flaͤchen selbsten/ oder den in wendigen Raum betrachten.
258
II.
Es seynd insgemein dreyerley flache Fiauren.
Geradlinichte
/ welche mit ge- raden Linien umgekreiset seynd/ als
fig.
1.
krumlinichte
/ die mit krummen Linien ge- schlossen werden/ als
Fig.
2. und
ver- mischte
/ welche theils mit krummen/ theils mit geraden Linien geschlossen seynd/ als
Fig.
3.
259
Die geradlinichte Figuren ziehen ihre Nahmen/ bald von den Seiten/ bald von den Winckeln.
Eine Figur von drey Seiten wird ge- nannt
Triangel
als
Fig.
4.
Von 4. Vier Eck.
Von 5. Fuͤnff Eck.
Von 6. Sechs Eck und so fort biß auf dem Zwoͤlff-Eck.
Wann
Elementa Geometriæ Lib. III.
Wann sie mehr als 12. Seiten haben wer- den sie insgemein Viel-Eck genandt.
260
III.
Man nennet eine Figur
Regular,
wann alle die Seiten und die Winckel unterein- ander gleich seynd/ als
Fig.
5. Und wann darinnen etwas ungleiches ist/ so werden sie
irregular
genandt als
Fig.
6.
Eine geradlinichte Figur wird genennet
261
im Circkel eingeschrieben
/ wann alle ihre Winckels an den Umkreiß anstossen/ als
Fig.
7. und man saget alsdann der Circkel seye der
Figur
umgeschrieben
.
IV.
Unter allen krumlinichten
Figu
ren/
262
betrachtet man in der gemeinen
Geometrie
nur den Circkel/
Fig
8. und unter den ver- mischten/ nur den
Sector
und das
Segmen- tum.
Fig.
9. Der
Sector
ist ein Theil eines
263
Circkels beschlossen von zweyen
Radius
und von einem Bogen/ als
A.
Fig.
10 Das
Segmentum
ist ein Theil
264
eines Circkels beschlossen von einem Bogen und einer
Chorda
als
B.
Wann man eine
Figur
abzeichnet/ so thut
265
man es mit gewissen und umschraͤnckten Beding
Conditiones,
oder Umstaͤnde Die- se Umstaͤnde seynd die Stellung der Pun- cten/ die Laͤnge der Linien/ die Oeffnung der Winckel und die Groͤsse der Flaͤche/ das ist/ des inwendigen Raums.
Fig.
11. Eine
Figur
ist umschraͤncket oder
266
determini
ret durch gegebene Beding oder
N
Um-
Elementa Geometriæ Lib. III.
Umstaͤnde/ wann sie nur auf ein erley Art kan gemacht werden mit solchen Beding. Also ist der Circkel
A. determini
ret/ wann die Laͤnge des
Radius determini
ret ist/ oder wann die Stellung dreyer
punct
en seines Umkreises
determini
ret ist.
267
Woraus folget/ daß wann zwo
Fi- gu
ren mit eben denselbigen Beding
determi- ni
ret oder umschraͤncket seynd/ so seynd sie in allem gleich/ und haben emerley und glei- che Eigenschafften/ und kan man sie alsdann betrachten als eine
Figur,
oder als wann die eine au die andere waͤre geleget worden/ und daß sie also alle beyde auf einmahl waͤren gezeichnet worden.
268
Eine
Figur
hat zwo
determinationes
, wann sie/ mit den gegebenen Beding/ auf zwey- erley Weise kan gemacht werden/ und sie ist
unumschraͤncket
oder
indetermini
ret/ wann sie auf unendlich viele Weisen koͤnte gemacht werden allzeit mit den vorgegebe- nen Beding.
269
Wann wir zwo
Figu
ren miteinander ver- gleichen/ so sagen wir/ sie seyen
gleich groß
/ (oder schlecht hin)
gleich
/ wann der in- wendige Raum der einen/ gleich ist mit dem inwendigen Raum der andern/ also wer- den wir sagen/ daß ein △ gleich ist einem □ oder einem Circkel/ wann die Flaͤche oder inwendiger Raum des
Triang
ls gleich ist der Flaͤche des
quadra
ts oder des Circkels.
270
Fig
12. Zwo
Figu
ren
M.
und
N.
seynd
gleich-
Elementa Geometriæ Lib. III.
gleichfoͤrnug
/ wann ein jeder Winckel der einen/ gleich ist einem
corresponden
ten Win- ckel der andern/ und daß alle Seiten gegen einander
proportional
oder ebenmaͤßig seynd in gleicher Ordnung.
Fig.
13. Zwo
Figu
ren
P.
und
Q.
seynd ein-
271
ander
gleich
und
gleichfoͤrmig
/ wann die Seiten und die Winckels der einen/ gleich seynd/ den Seiten und denen Winckeln der andern in gleicher Ordnung.
Caput II.
Von denen
Trian
geln.
W
Jr haben △ genannt eine
Figur
die
272
mit drey gerade Linien geschlossen ist/ als
ABC. Fig.
14.
Jn einem △ nennet man Grundstrich/ welche Seite man will/ als
AB.
und als- dann werden die zwo andere
CA. CB.
die Schenckel oder die Seiten genennet/ und der Winckel
C.
der uͤber dem Grundstrich stehet/ heisset die Spitze des
Trian
gels/ und die
⊥ CD.
die von der Spitze auf dem Grundstrich fallet/ fortgezogen wann es noͤthig ist/ die ist die Hohe des △.
Eigenschafften.
I.
M
An kan allezeit einen Circkel durch
273
die drey ∠
A, B, C. Fig.
15. fah-
N 2
ren
Elementa Geometriæ Lib. III.
ren lassen/ weil man allezeit einen Win- ckel kan fahren lassen durch drey
puncten,
die nicht in gerader Linie stehen d
n.
151.
274
II. Fig.
16. Man kan die zwey Schenckel
cA. cB.
betrachten als wann sie in ei- nem
parallel
-Raum begriffen waͤren.
275
Durch welche man wil von diesen zwoen Eigenschafften kan man alle die andere be- weisen.
276
III. Fig.
17. Die drey Winckel zusammen eines
Triangels ABC.
seynd zweyen geraden Winckeln gleich/ das ist/ daß sie 180. Grad fuͤr ihr Maaß haben. Dann durch die erste Eigenschafft kan man diesem
Tri- angel
einen Circkel umschreiben/ und als- dann hat der Winckel
A.
die Haͤlffte des Bogens
BC
fuͤr seine Maaß/ der Winckel
B
die Haͤlffte des Bogens
AC.
und der Winckel
C.
die Haͤlffte des Bogens
AB.
darum haben dann die drey zusammen die Haͤlffte des gantzen Circkels oder 180. Grad/ fuͤr ihre Maaß.
277
Fig.
16. Oder durch die andere Eigen- schafft/ ziehet durch die Spitze dem Grund- Strich
AB
die ═
CD.
Der Winckel
a
ist seinem inwendigen gegenuͤberstehen- den
A
gleich/ d.
n.
200. der ∠
b.
ist seinem umwechselenden
B
gleich/ d.
n.
199. Aber die drey
a b. c.
zusammen seynd zweyen ge- raden gleich/ d.
n. 167. Ergo
die drey
A. B. C.
zusammen seynd auch zweyen geraden ∠ gleich.
Hie-
Elementa Geometriæ Lib. III.
Hieraus folget 1.
Fig.
16. daß wann man
278
eine Seite eines △ verlaͤngert/ der aus- wendige ∠
a
+
b.
ist gleich denen inwen- digen gegenuͤberstehenden
A.
+
B.
zusam̃en.
2. Daß wann man zwey ∠ eines △
279
kennet/ so kennet man auch den dritten/ weil er mit den zwey bekanten 180. Grad ausmachet; aber wenn ein △ zwey einan- der gleiche ∠ hat/ so ist es genug/ daß man einen von den dreyen hat/ um sie alle drey zu erkennen.
3. Ein △ kan nur einen geraden oder
280
nur einen stumpffen ∠ haben/ aber er kan sie wol alle 3. spitzig haben.
Fig.
18 Ein
Triangel
wird recht winckelicht
281
oder
Rectangulum
genant/ wann er einen Winckel
A.
recht hat/ und die Seite
BC.
die dem rechten ∠ gegenuͤber stehet/ wird genañt
hypothenusa.
4 Die zwey spitzigẽ ∠ eines geradwincke-
282
lichten △ seynd 90
gradus
gleich/ und ei- ner ist das
Complement
des andern.
5 Ein △ der einen stumpffen ∠ hat/ wird
283
stumpffwinckelicht/ oder
Amblygonium
ge- nañt/ als
EFG. Fig.
19.
6. Ein △ dessen alle 3. Winckel spitzig seynd/
284
wird scharffw nekelicht oder spitzwinckelicht oder
Oxygonium
genañt/ als
HIK. Fig.
20.
IV.
Die Seiten der △ folgen die Be-
285
schaffenheiten ihrer gegenuͤberstehenden ∠ das ist/ die Seiten seynd einander gleich wann die ∠ einander gleich seynd/ und sie
N 3
seynd
Elementa Geometriæ Lib. III.
seynd ungleich wann die ∠ ungleich seynd/ und alsdann stehet die laͤngste Seite gegen- uͤber dem groͤsten ∠.
Fig.
21. Dann wann man durch die Spi- tze
C.
des △ eine ═ Linie ziehet mit dem Grund-Strich
AB
/ die zwey Schenckel wer- den in einem
parallel-
Raum begriffen seyn/ und alsdann 1. wann die zwey ∠
A.
und
B.
einander gleich seynd/ so seynd die zwo Seiten
CA. CB.
gleich schief in einem
parallel
Raum/ und darum auch einander gleich d.
n.
191 2. Wann die ∠
E.
und
F. Fig.
22. ungleich seynd/ die Seiten
DE. DF.
seynd ungleich schief in einem
parallel
-Raum/ und darum auch ungleich/ und alsdann/ die am meisten schief ist
DF.
und die dem groͤsten ∠
E.
gegenuͤber stehet/ ist auch die Laͤngste d.
n.
191.
286
Eben auf die Art kan man beweisen/ daß die ∠ eines △ die Beschaffenheiten der Seiten folgen.
287
Fig.
23. Ein △ dessen alle Seiten gleich seynd/ und folglich auch alle ∠, deren ein- jeder ist von 60 Grad/ wird
æquilaterum,
oder gleichseitig genannt.
288
Ein △ der zwo Seiten gleich hat/ und folglich auch zwey ∠, wird
Isosceles
gleich- schenckelicht genañt/ als
Fig
24.
289
Fig.
25. Ein △ dessen alle Seiten ungleich seynd/ wird ungleichseitig genannt/ oder
Scalenum.
290
V.
Fuͤnf Dinge muß man in einem △
be-
Elementa Geometriæ Lib. III.
betrachten/ nemlich drey Seiten und zwey Winckel/ dann was den dritten ∠ ange- het/ es ist nicht noͤthig ihn zu betrachten/ weil er
determini
ret ist/ wann es die zwey andern seynd.
Fig
26. Wann ein △
abc.
drey von die-
291
sen 5. Dingen gleich hat/ dreyen Dingen gleiches Nahmens des △
ABC.
und in gleicher Ordnung/ so seynd diese zwey △ auch in allem gleich.
1.
Fig
28. Wann die drey Seiten des △
292
abc.
gleich seynd den drey Seiten des △
ABC
so seynd diese zwey △ in allem gleich/ das ist/ daß ihre Flaͤche oder eingeschlosse- ner Raum/ und auch ihre Winckels alle gleich seynd/ ein jeder dem der ihm
corre- spondi
ret.
Dann wann man den Grund-Strich
ab.
des einen/ stellet und beschickel auf dem Grund-Strich
AB.
des andern/ sie werden sich d.
ax. VII. accurat
aufeinander schicken. Uberdem/ wird die Spitze des einen fallẽ auf der Spitze des andern. Dann das Ende der Seite
ac.
wird fallen in dẽllmkreißeines Cir- ckels dessen
Centrum
waͤre
AC
d
n
129. Eben desgleichen wird das Ende der Linie
bc.
auch in dem Umkreiß eines Circkels fallen dessen
Centrum
waͤre
B
der
Radius BC.
aber diese zwey Circkels schneiden sich auf einer Seite des Grund Strichs nur in dẽ
punct C. Ergo
so kan dann die Spitze
c.
nir-
gends
Elementa Geometriæ Lib. III.
gendswo anders fallen/ als in dem Schnits-
Punct C.
darum schicken sich dann die zwo Seiten
ac. bc.
des ersten △ auf die zwo Seiten des andern
AC. BC.
und wird sich der gantze △
abc.
einrichten und passen auf dem △
ABC. Ergo
so werden die Flaͤ- chen auch gleich seyn/ und weil ein jeder ∠ des einen sich
accurat
schicket mit einem ∠ des andern/ so seynd sie auch d.
ax. IV.
ein- ander gleich.
293
2.
Fig.
26. Wann die zwo Seiten
ca. cb.
eines △ gleich seynd denen zwo Seiten
AC. BC.
eines andern △/ und der ∠
c.
zwi- schen diese zwo Seiten begriffen/ auch gleich dem ∠
C.
begriffen zwischen die zwo andere/ so werden diese zwey △ in allem gleich seyn/ nemlich der Grund-Strich/ die ∠ auf dem Grund-Strich/ und die Flaͤ- che des einen werden gleich seyn/ den Din- gen gleiches Nahmens des andern.
Dann wann man
ac.
des einen auf
AC.
des andern stellet/
bc.
des ersten wird auch auf
BC.
des andern fallen/ weil der ∠
c.
gleich gesetzt wird dem ∠
C.
und das Ende/
b.
wird auf
B.
fallen/ wie dieses alles natuͤr- lich klar.
Ergo
so wird der Grund-Strich des einen auf dem Grund-Strich
AB.
des andern fallen/ u sich miteinander schicken/
u.
darum auch einander gleich seyn; Eben da- rum die ∠
a.
und
b.
werden den ∠
A.
und
B.
gleich seyn/ und die Flaͤche des △
abc.
gleich
der
Elementa Geometriæ Lib. III.
der Flaͤche des △
ABC.
und also seynd die △ in allem gleich.
3.
Fig.
27. Wann die zwo Seiten
da. db.
294
eines △ gleich seynd zwoen Seiten
DA. DB.
eines andern △ und ein ∠
a.
der
basis,
auch gleich einem ∠
A
der andern
basis,
und daß zugleich die zwey andere ∠
b
und
B.
der
ba- sis
einer Art seynd/ das ist/ oder alle beyde spitzig/ oder alle beyde stumpff/ solche zwey △ seynd in allem gleich; nehmlich/ der Grund- strich/ die zwey ∠ drauff/ und die Flaͤche des einen △/ seynd gleich denen Dingen glei- ches Nahmens des andern. △
Dann wann man die Seite
ad.
des einen stellet auf die Seite
AD.
des andern/ der Grundstrich
ab.
wird auch liegen auff den Grundstrich
AB.
weil die ∠
a.
und
A.
gleich seynd/ das Ende
b.
der Seite
db.
wird auch fallen in der
Circumferen
tz eines Circkels/ dessen
Centrum
waͤre
D.
und der
Radius DB.
welche den Grundstrich in
B.
schneidet und in
E.
Aber das Ende
b.
kan nur auf
B.
fallen/ dann wann es in
E.
fal- len wuͤrde/ so waͤre der ∠
DEA.
nicht ei- ner Art mit dem ∠
dba, Ergo,
so wird sich dann der Grundstrich
ab.
schicken mit dem Grundstrich
AB.
und wird demselben gleich seyn. Aus gleicher Uhrsach die ∠
b.
und
d.
werden auch gleich seyn den ∠
B.
und
D.
und die Flaͤche des △
abd.
gleich der Flaͤ- che des △
A B D. Ergo
so seynd dann die zwey
Trian
gel in allem gleich.
O
4.
Elementa Geometriæ Lib. III.
295
4.
Fig.
28 Wann ein △
abc.
seinen Grund- strich
ab
gleich hat dem Grundstrich
AB.
eines andern △
ABC.
und zwey ∠
a.
und
c.
gleich den zweyen ∠
A.
und
C.
die ihnen
correspondi
ren/ solche zwey △ werden in al- lem gleich seyn. Das ist/ daß der dritte ∠
b.
wird dem dritten
B.
gleich seyn; Die zwo Seiten
ac bc.
denen zwoen
AC. BC.
und die Flaͤche des einen/ der Flaͤche des andern.
Dann d.
n.
279. der dritte ∠
b.
muß dem 3ten
B
gleich seyn/ weil sie die
Supple- ment
seynd auff 2. gerade von zweyen glei- chen ∠ und wann man die
basis ab.
auf die
basis AB.
stellet/ die zwo Seiten
ac. bc.
werden auf
CB. AC.
fallen/ weil die ∠
a.
und
b.
gleich seynd den ∠
A
und
B. Ergo
so werden dann die zwo Seiten
ac. bc.
den zweyen
AC. BC.
gleich seyn/ und der gantze △
abc.
gleich dem △
ABC.
296
5.
Fig.
29. Wann die drey ∠
a, b, d.
eines △ gleich seynd den dreyen ∠
A, B. D.
eines andern △ Daraus folget nicht daß diese zwey △ einander gleich seynd. Dann wann man auf dem Grundstrich
AB.
das Theil
AE.
gleich machet mit
ab.
und daß man ziehet
EF.
═
DB
die zwey △
AEF. ADB.
werden gleiche ∠ haben/ wiewohl sie nicht gleich groß seynd/ weil einer nur ein Theil des andern ist/ und damit sie gleich groß waͤren/ so muͤsten
AE.
und
AB.
gleich seyn/ und dann wuͤrde es der vierte
casus
seyn.
297
Aus vorhergehenden Vortrag/ folget/
daß
Elementa Geometriæ Lib. III.
daß um einem △ umzuschraͤncken oder zu
determini
ren/ so muͤssen drey Dinge
deter- mini
ret seyn von denen fuͤnff die wir be- trachtet haben/ weil man mit dreyen der- selben nur einen/ oder lauter gleiche △ ma- chen kan. Dennoch muß man
observi
ren/ daß ein △ in dem 3ten
casu
zwo
determina- tiones
haben kan/ wann die Seite die dem bekandten ∠ gegenuͤber stehet/ die kleineste ist von den zwoen Seiten/ und daß die Art des andern ∠ auf die
basis
nicht
deter-
miniret ist.
VI. Fig.
30. Wann in einem △
adb
die
298
zwo Seiten
ad. db
gleich seynd denen zwo Seiten
AD. DB
eines andern △ und daß der ∠
d.
den sie begreiffen/ groͤsser ist als der ∠
D
des andern/ so muß der Grund- strich
ab.
auch groͤsser seyn als der Grund- strich
AB.
Dann wann man die Seite
ad.
stellet auf
AD.
die ihr
correspondi
ret/ so wird die andere Seite
db.
aus dem △
ADB
fallen/ weil der ∠
d.
groͤsser ist als der ∠
D
und die Enden
b.
und
B.
der Grundstrichen werden sich nicht miteinander schicken/ und wann man d.
n.
148. eine Linie
DE
ziehet/ deren alle die
punct
gleich entfernet seynd von
b.
und
B.
Der
punct A.
wird auf die Seite dieser Linie stehen gegen
B. Ergo
so wird dann d.
n.
126. der
punct A.
naͤher an
B.
stehen als an
b.
und folglich/ wird auch der Grundstrich
ab.
der dem groͤsten ∠
d.
O 2
gegen-
Elementa Geometriæ Lib. III.
gegenuͤberstehet/ laͤnger seyn als der Grund- strich
AB.
der dem kleinesten
D.
gegenuͤber- stehet.
299
Woraus fliesset/ daß eben in denselben Umstaͤnden/ wañ der Grundstrich
ab
/ laͤn- ger ist als der Grundstrich
AB.
so muß auch der gegenuͤberstehende ∠
d.
groͤsser seyn als der ∠
D.
der der kleinesten Sei- ten gegenuͤberstehet.
Problemata
oder Auffgaben.
I.
300
A
lls drey gegebenen Linien einen △ zu
formi
ren/ und muͤssen die Linien
L, M, N. Fig.
31. wann sie nur zwo und zwo genommen/ allezeit laͤnger seynd als die die dritte allein.
Ziehet eine Linie
AB.
gleich der Linie
L.
Hernach aus einem von beyden Enden
A.
als
centrum, Radius M.
machet einen Bogen; aus dem andern Ende
B.
als
centrum, radi- us N.
beschreibet einen andern Bogen der den Ersten in
D.
durchschneidet/ ziehet die Linien
AD. BD.
so habt ihr den △
A B D.
welches clar ist durch die Bewerckstellung.
301
II Fig.
32. Wann zwo Linien
M.
und
N.
gegeben werden/ und ein Winckel; einen △ zu
formi
ren/ der zwo Seiten gleich diesen zwo gegebenen Linten habe/ und der ∠ den sie schliessen/ gleich dem gegebenen ∠
O?
Ziehet
AB’.
gleich der gegebenen
M.
an einem Ende
A.
ziehet
AD.
gleich der andern
gege-
Elementa Geometriæ Lib. III.
gegebenen
N.
und die d.
n
170. den ∠
D A B
gleich mache dem gegebenen ∠
O.
Hernach ziehet
DB.
so habt ihr den begehrten △
ABD.
wie es klar ist durch die Bewerckstellung.
III. Fig.
33. Wann zwo Linien gegeben
302
werden
M. N.
und ein ∠
O.
einen △ zu
for- mi
ren/ dessen zwo Seiten gleich seyen die- fen zwoen gegebenen Linien/ und daß der ∠ den die Linie
N.
unterspannet/ gleich seye dem ∠
O?
Ziehet die ungeendete
A Z.
an einem ih- rer Enden
A.
ziehet
A D.
gleich einer gege- benen
M.
und die d
n
170 den ∠
D A Z
gleich mache dem gegebenẽ ∠
O.
hernach aus
D
als
centrum,
mit der Oeffnung
N.
machet einen Bogen/ der die Linie
A Z.
in einem
punct B
schneide gegen
Z.
wann die Linie
N.
die dem ∠
O.
gegenuͤber stehen soll laͤnger ist als
M.
hernach ziehet
DB.
so habt ihr den be- gehrten △
ADB.
klar durch die Bewerckstel- lung.
Fig.
34. Wann aber die Linie
N.
die den gegebenen ∠ unterspannet/ kleiner ist als
M.
alsdann wird der Bogen aus
D. Fig.
34. gemacht die Linie
A Z.
in zwey Punct
B
und
E.
durchschneiden/ derowegen um die- sen △ zu
determini
ren/ muß man noch wis- sen ob der ∠ den die Linie
N.
mit
AZ. for- mi
ret/ stumpff oder scharff ist/ wann er stumpf ist/ so ziehet
DE.
und wann er scharff ist/ so ziehet
DB,
und wird also der △
ADB.
nach begehrten Umstaͤnden
formi
ret seyn. Klar durch die Bewerckstellung.
Wann
Elementa Geometriæ Lib. III.
Wann aber nun der Bogen der aus
D. Fig.
35. mit der Oeffnung
N.
beschrieben wird/
d
ie Linie
AZ.
nicht schneiden wuͤrde/ so ist die Bewerckstellung unmuͤglich/ und wann der Bogen die Linie
AZ.
nur in einem
punct
an- ruͤhret und nicht schneidet das ist ein Zeichen daß dieser △ gegẽ
Z.
einẽ geradẽ ∠ haben wird.
303
VI. Fig.
36. Wann eine Linie
M.
und zwey ∠
O.
uñ
R.
gegeben werden/ einen △ zu
formi
ren/ dessen der Grundstrich gleich seye der Linie
M.
und die zwey ∠ drauf gleich denen zweyen
O.
und
R.
Machet
AB.
gleich der gegebenen
M.
und auf ihre Enden
A.
und
B.
machet d.
n.
170. Winckels die den zweyen
O.
und
R.
gleich seynd/ die Linien welche diese ∠
formi
ren werden/ werden einander Creutzen in
D.
und werden den begehrten △
ADB. formi
ren/ wel- ches klar durch die Bewerckstellung.
Caput III.
Von den Viereckichten Figuren. Benennungen.
I.
304
J
N einer Viereckichten
Figur,
die Linie.
AD. Fig.
37. die von einem ∠ zum andern gezogen wird/ wird genennet
diagonalis
oder
diameter,
auff Teutsch zwerch-Linie
305
II. Fig.
38 Eine Viereckichte
Figur
de- ren alle die Seiten und alle die ∠ einander gleich seynd/ heisset
Quadrat,
und wird so ge- eichnet. □.
III.
Elementa Geometriæ Lib. III.
III. Fig.
39. Eine Viereckichte
Figur
de-
306
ren alle die ∠ gleich/ und darum auch ge- rade seynd/ aber nur die gegenuͤberstehende Seiten gleich/ heisset
Rectangulum,
oder/ Rechtwinckelicht laͤnglicht Viereck.
IV. Fig.
40. Eine Viereckichte
Figur
307
deren alle vier Seiten einander gleich seynd/ aber nur die gegenuͤberstehende ∠ gleich/ heisset
Rhombus,
oder/ eine Raute.
V. Fig.
41 Eine viereckichte
Figur
de-
308
ren nur die gegenuͤberstehende Seite und auch die gegenuͤberstehende ∠einander gleich seynd/ heisset
Rhomboides
odlaͤnglicht Raute.
VI.
Eine Viereckichte
Figur
deren die gegenuͤberstehende Seiten einander
parallel
309
lauffen/ heisset
Parallelogrammum
/ und sol- che seynd alle die vier vorhergehende 38. 39. 40. 41.
VII. Fig.
42. Eine Viereckichte
Figur
310
deren nur zwo gegenuͤberstehende Seiten einander
parallel
lauffen/ heisset
Trapezium.
VIII. Fig.
43. Eine Vlereckichte
Figur
311
deren keine Seite einander
parallel
lauffen/ heisset
Trapezoides,
auff Teutsch/ Vierung.
Eigenschafften.
I.
J
N allen Viereckichten
Figu
ren
Fig.
312
44. die vier ∠ zusammen thun so viel als 4. gerade
Dann die Zwerch-Linie
A D.
theilet sie in zwey △ in welchen die ∠ so der Viereckich-
ten
Elementa Geometriæ Lib. III.
ten
Figur
auch zuhoͤhren/ vier geraden gleich seynd. d.
n.
276.
313
II. Fig
45 Jn einem
parallelogrammo E F G H
die gegenuͤberstehende ∠
E. H.
oder
F. G.
seynd einander gleich/ wie auch die gegenuͤberstehende Seiten
EF. GH.
und
EG. FH
d.
n.
203.
314
Woraus fli
e
sset 1. Daß wann ein ∠
E.
in einem
parallelogrammo
gerade ist/ so seynd sie alle vier gerade.
315
2. Wann zwo Seiten
EF. FH.
die einen ∠ begreiffen/ einander gleich seynd/ so seynd sie alle vier gleich.
316
III.
So seynd dann die Eigenschafften des
parallelogrammi,
folgende. 1. Seine gegen- uͤberstehende Seiten seynd ═ 2. Selbige seynd au
c
h einander gleich. 3 Seine ge- genuͤberstehende ∠ seynd auch einander gleich. Wann man dann wissen will ob eine Vierseitige
Figur
ein
parallelogrammum
ist/ so darff man nur beobachten ob sie durch ihre Beschaffenheiten einige von diesen drey- en Eigenschafften an sich hat/ damit ist es genug um das zu beweisen.
317
VI. Fig.
46. Die Zwerch-Linie
AD.
thei- let ein
parallelogrammum
in zwey gleiche
Trian
gel/ dann d.
n.
203. solche zwey △ ha- ben ihre drey Seiten
respectivé
einander gleich
Ergo
d.
n.
292. seynd sie gleich.
Problema
oder Werckstuͤcke.
318
E
Jn
Parallelogrammum
zu machen/ des- sen Seiten den zwo gegebenen Linien
M, N.
Elementa Geometriæ Lib. III.
M. N. Fig.
47. gleich seyen/ und das einen Winckel gleich habe dem gegebenen ∠
O
? Machet d
n.
170. den ∠
A.
gleich dem ge- gebenen ∠
O.
und auff dessen Schenckel/ ma- chet die Linien
AB. AC.
gleich den zwo ge- gebenen
M.
und
N,
hernach aus
B.
als
cen- trum,
und mit der Oeffnung
AC
machet ei- nen Bogen gegen
D.
und aus
C.
als
centrum,
und mit der Oeffnung
AB.
machet einen andern Bogen/ der den vorigen in
D.
schnei- de/ ziehet
DB. CD.
so habt ihr das begehr- te. Das ist klar durch die Bewerckstellung.
Caput IV.
Von denen Viel-Ecken.
W
Jr haben Viel-Eck genennet/ eine
Figur,
die mehr als vier Seiten hat; Dennoch was wir von den Viel- Ecken sagen werden/ kan auch verstanden werden von dem Drey und Vier-Eck.
Eigenschafften.
I.
J
N allem Viel-Eck/ alle die Winckel
319
zusammen genommen/
A, B, C, D, E. Fig.
48. thun zwey mahl so viel ge- rade Winckel/ weniger 4. als die
Figur
Sei- ten hat.
Dann aus einem ∠
A.
ziehet lauter
P
Zwerch-
Elementa Geometriæ Lib. III.
Zwerchlinien/ so werdet ihr die
Figur
zer- theilen in so viel △ als die
Figur
Seiten hat/ weniger zwey/ in welchen die Win- ckel seynd eben die ∠ des Viel-Ecks/ aber ein jeder △ d.
n.
276. hat seine Winckel gleich zweyen geraden/
Ergo
alle die ∠ die- ser △ werden gleich seyn/ zwey mahl so- viel geraden Winckeln als Seiten des Viel- Ecks seynd/ weniger vier gerade ∠.
Also seynd alle die ∠ eines Fuͤnff-Ecks 6. geraden gleich; Eines Sechs-Eck 8. ge- raden/ eines Sieben-Eck 10. geraden gleich
\&c.
320
II. Fig.
49. Zwey Viel-Eck
A.
und
B.
seynd einander gleich/ wann die Beschaf- fenheiten die eines von beyden
determini
ren/ eben dieselbe sind/ die das andere
determini-
ren.
321
Noti
ret/ daß wann man ein Viel-Eck durch seine Seiten und seine ∠
determini-
ret/ so muß man drey von diesen Dingen auslassen/ aber vornehmlich einen Win- ckel/ das uͤbrige gibt die Zahl der Umstaͤn- de oder Beschaffenheiten/ die die
Figur
um- schraͤncken. Also dann/ um ein Viel-Eck zu
determini
ren/ welches zehn Dinge hat/ nehmlich 5. Seiten und 5. Winckel/ so muß man 7. derselben vorschreiben/ unter welchen die 5. Ecken nicht alle begriffen sey- en/ und muß man in acht nehmen/ wie bey den △ die
Casus
die unterschiedene
Deter- minationes
haben.
III.
Elementa Geometriæ Lib. III.
III. Fig.
49. Jn den gleichfoͤrmigen und
322
gleichgrossen Viel-Ecken
A.
und
B.
die Li- nien
FG. fg.
die gleicher Weise und mit gleichen Beschaffenheiten drinnen gezogen werden/ seynd auch einander gleich/ schnei- den gleiche Linien ab/ und
formi
ren gleiche Winckel.
Das wird klar erscheinen d.
ax. VI.
wann man das Viel-Eck
A
auf dem Viel-Eck
B.
uͤbertraget und auffleget/ dann
FG
wird alsdann auff
fg.
fallen/ und sich mit der- selben schicken.
IV.
Man kan eine Krumlinichte
Figar
323
anschauen als eine geradlinichte
Figur
von einer unendlichen Zahl Seiten/ und alsdann zwo krumlinichte
Figu
ren
A.
und
a. fig.
50. oder zwo vermischte als
B.
und
b. fig.
51. seynd gleichfoͤrmig und gleich groß/ wann die Beschaffenheiten/ welche die eine
de- termini
ren/ eben diese seynd/ welche die an- dere
determini
ren/ und in gleicher Ordnung/ dergestalt/ daß man den krumlinichten
Fi- gu
ren zumessen kan/ alles/ was wir von den Geradlinichten gesagt haben.
Caput V.
Von den
Regular
-Viel-Ecken.
W
Jr haben
Regular-
Viel-Eck ge-
324
nannt/ eine geradlinichte Figur/ de-
P 2
ren
Elementa Geometriæ Lib. III.
ren alle die Seiten und alle die ∠ einan- der gleich seynd.
Fig.
52. Das
Centrum
einer
Regular Fi- gur
ist der
punct F.
der von allen Winckeln gleich entfernet ist.
Eigenschafften.
I.
325
D
As
Centrum
eines
Regular
Viel-Ecks
ABCDEG. Fig.
52. zu finden? Theilet d.
n.
171. die ∠
A.
und
B.
in zwey glei- che Theile durch die Linien
AF. BF.
alsdann ist der Punct
F.
das
Centrum.
Dann 1. weil die Winckel
A, B, C, D, E, G.
des Viel Ecks einander gleich seynd/ so seynd ihre Haͤlfften
FAB. FBA.
auch gleich/
Ergo
d.
n.
285. ihre gegenuͤberstehende Sei- ten
FA. FB.
seynd auch gleich. 2. Ziehet
FC.
die wird auch gleich seyn mit
FA.
Dann die △
FBC. FBA.
haben 2. gleiche Seiten/ und den ∠ den fie schiessen/
Ergo
d.
n.
293. so ist auch die dritte Seite
F C.
gleich der dritten
FA.
Auf gleiche Weise/ wird man auch beweisen/ daß die Linien
FD. FE. GF.
gleich feynd mit
FA. Ergo
so ist der
punct F.
gleich entfernet von allen Spitzen der ∠ u. da- rum ist er das
Centrum
des Viel-Ecks.
326
Fig.
53. Die Linien als
FA.
die vom
Cen- tro
auf die ∠ kommen/ werden
Radius
des Viel-Ecks/ oder schieser
Radius
genannt.
327
Fig.
53. Die
⊥ FG.
vom
Centro
auf die eine Seite soll rechter
Radius
heissen.
Der
Elementa Geometriæ Lib. III.
Der Winckel
ABC. Fig
53 heisset Win-
328
ckel des Umkreises.
Aus vorhergehenden folget 1. Weil die
329
△
AFB. BFC. \&c.
in allem gleich seynd/ daß die ∠ im
Centro,
wie auch die gerade
Radi- us
einander gleich seynd.
2. Daß wann man aus dem
Centro F.
330
mit der Weite des schiefen
Radius FA.
ei- nen Circkel beschreibet/ derselbe wird um die
Figur
beschrieben seyn.
3. Daß wann man aus dem
Centro F.
331
und mit dem rechten
Radius FG.
einen Cir- ckel beschreibet/ derselbe wird eingeschrie- ben seyn.
4. Der ∠
ABC.
des Umkreises mit dem
332
∠
AFB.
im
Centro,
seynd zweyen geraden gleich/ dann der ∠
ABC.
ist gleich den zwey- en
ABF.
und
BAF.
aber diese zwey mit dem ∠
AFB
seynd zweyen geraden gleich. d
n. 276. Ergo
der Winckel der
Circumferen
tz
ABC.
mit dem ∠ im
Centro A F B.
seynd zweyen geraden ∠ gleich.
II.
Je mehr Seiten hat ein
Regular
Viel-
333
Eck/ es mag seyn im Circkel beschrieben als
Fig.
54 oder umbschrieben als
Fig.
55. Je naͤher sie an dem Umkreiß des Circkels kommen.
Derowegen kan man einen Circkel an- schauen als ein
Regular
Viel-Eck von einer unendlich grossen Zahl Seiten/ die unend- lich klein seynd.
III. Fig.
56. Die Seite
A B.
eines
Regu-
334
P 3
lar-
Elementa Geometriæ Lib. III.
lar-
Sechs Eck/ ist gleich dem
Radius A F.
des Circkels/ worinnen er beschrieben wird.
Dann d.
n.
226. die drey winckel des △
AFB.
haben eine halbe
Circumferen
tz fuͤr ihr Maaß/ aber der ∠ im
Centro
hat fuͤr sein Maaß das sechste Theil der
Circumferen
tz oder das Drittel der halben
Circumferen
tz/
Ergo
die zwey andere
A.
und
B.
des △ ha- ben die zwey andere Drittel fuͤr ihr Maaß/ und weil sie e nander gleich seynd/ so hat ein jeder das Drittel fuͤr sein Maaß/ wo- raus folget d.
n.
285. daß alle die Seiten auch einander gleich seynd/ weil alle die ∠ gleich seynd.
335
IV.
Der
quadrat
der Seiten eines
Re- gular
Fuͤnff-Ecks ist gleich dem
Quadrat
des
Radius
mit dem
Quadrat
der Seiten des
Regular
Zehen-Ecks.
Fig.
57 Machet einen Circkel/ uñ gesetzt/ daß in demselben ein vollkommenes
Regular
Fuͤnff-Eck beschrieben ist/ dessen Seite ist
M N.
ziehet auch die
Radius O M. ON.
theilet den Bogen
MN.
d.
n.
150. in zwey gleiche Theile in
P.
ziehet die
Chordæ MP. PN.
die da seyn werden die Seiten des Ze- hen-Ecks/ theilet die Linie
NP.
d.
n.
149. in der Mitte in
Q.
ziehet
QO.
welche
MN.
in
R.
wird durchschneiden/ ziehet
PR.
Der Bogen
MPS.
ist drey mahl so groß/ als
S N.
und der Bogen
N C B.
ist 6. mahl so groß als der Bogen
SN.
daraus folget d.
n.
219. daß der ∠
M O S.
∝ ∠
BMN.
oder
O N M.
Also
Elementa Geometriæ. Lib. III.
Also haben dann die zwey
Trian
gel
OMN. OMR.
zwey gleiche ∠ nehmlich den ∠
ROM.
∝ ∠
ONM.
und den ∠
O M N.
ge- mein.
Ergo.
d.
n.
279. seynd sie alle drey gleich/ und d. n. 241. seynd alle ihre
corresponden
te Seiten ebenmaͤßig/ und also ∺
MN. MO. MR.
und darum dann d.
n.
72. der □
MO.
∝ ם
MN. M R.
Ferner/ weil der
Radius OS.
auf die Mitte von
PN. ⊥
stehet/ so fol- get d.
n.
176. daß
RP.
∝
RN.
und also d.
n.
286. ist der ∠
RPN.
∝ ∠
RNP.
und seynd also die zwo d.
n.
279. △
P R N.
und
P M N.
gleichwinckellicht/ und darum auch d.
n.
241. wird man haben ∺
MN. NP. NR.
und folg- lich d.
n.
72. der □.
PN.
∝ ם
M N. N R.
Aus diesem allem folget dann/ daß der □
MO.
+ □
PN.
∝ ם
MN. MR.
+ ם
MN. NR.
oder ∝ ם
MN. MR
+
NR.
oder ∝ ם
MN. MN.
das ist ∝ □
MN.
Aber
PN.
ist die Seite des Zehen-Ecks/ und
MO.
der
Radius. Ergo
der □ der Seiten des Ze- hen-Ecks mit dem □ des
Radius,
seynd gleich dem □ der Seiten des Fuͤnff-Ecks. W. Z. B. W.
V.
Wann der
Radius
des Circkels
in
336
media \& extrema ratione
getheilet wird/ so ist die Seite
AB. Fig.
58. des Zehen-Ecks/ gleich dem laͤngsten Theil
CD.
des
Radius CA.
Dañ beschreibet das gemeldte Zehen-Eck in dem Circkel/ auf die Seite
BA.
ziehet die zwey
Radius CA, CB.
ziehet auch
BF.
also
daß
Elementa Geometriæ Lib. III.
daß
AE. EF.
zwey Seiten des Zehen-Ecks seynd. Wann man alsdann die zwey
Tri- angel ACB.
und
ABD.
betrachtet/ so sie- het man gleich d.
n.
219. daß der ∠
A C B.
∝ ∠
ABF,
oder
ABD
und der ∠
BAC
ist ihnen gemein/ und also folget d.
n
279. daß diese zwey
Triangel
gleich-winckelicht seynd/ und seynd dann auch alle beyde gleichschen- ckelicht/ weil es
A C B.
ist.
Ergo
d.
n.
241.
AC. AB.
(oder
BD
) ∷
BD AD.
Aber der
Triangel BDC.
ist auch gleichschenckelicht/ weil d.
n.
219. der ∠
ACB.
∝ ∠
DBC.
oder
HBF. Ergo AB.
die Seite des Zehen-Ecks/ ist das grosse Theil des
Radius CA. in me- dia \& extrema ratione
getheilet W. Z. B. W.
Problemata
oder Werckstuͤcke.
I.
337
J
N einem gegebenen Circkel ein Sechs- Eck zu beschreiben?
Fig
59. Traget den
Radius FA.
des gegebenen Circkels auf den Umkreiß he- rum/ der wird 6. mahl drauff kommen/ d.
n.
334. Hernach ziehet Linien von einem
punct
zum andern/ so habt ihr das eingeschriebe- ne
Regular
Sechs-Eck.
338
Um einen gleichseitigen
Triangel
in dem Circkel zu beschreiben/ muß man eben- fals den
Radius Fig.
60 6. mahl herum tra- gen/ und um die Linien zu ziehen/ muß man allezeit eine Theilung uͤberspringen.
339
II. Fig
61. Jn einem gegebenen Circkel ein
Quad-
Elementa Geometriæ Lib. III.
Quadrat
zu beschreiben? Ziehet einen
Dia- meter AD.
und demselben/ d.
n.
185. einen andern
Diameter ⊥ CB.
diese zwey
Diame- ter
werden die
Circumferen
tz in vier gleiche Theile theilen/ ziehet die Linien von einem Punct zum andern/ so habt ihr das begehrte.
III.
Jn einem gegebenen Circkel ein
Re-
340
gular
Fuͤnff-Eck/ und auch ein Zehen-Eck zu beschreiben.
Fig.
62. Ziehet den
Diameter A B.
im
Centro,
machet d.
n.
185. die
⊥ C D.
theilet den
Radius CA.
in der Mitten in
E.
ma- chet
EF.
gleich
ED.
nehmet mit dem Circkel die Oeffnung
DF.
und setzet sie 5. mahl auf die
Circumferen
tz/ so habt ihr das Fuͤnff- Eck/ hernach nehmet die Oeffnung
C F.
und setzet sie zehen mahl herum/ und zie- het die Linien/ so habt ihr das Zehen-Eck.
Um dieses zu beweisen/ machet einen Cir- ckel aus dem
Centro E. Radius EC.
dessen
Diameter
wird seyn der
Radius AC.
gleich der Linie
CD.
ziehet die Linie
D G.
durch das
Centrum E.
die ist durch den Circkel ge- schnitten in
H;
aus
D.
mit der Oeffnung
DH.
machet den Bogen
HI.
und dadurch ist
CD.
d.
n.
256.
in media \& extrema ratione
ge- theilet in
I.
und weil
CF.
so lang ist als
DH.
oder
DI.
so ist der
Radius CB.
auch getheilet
in media \& extrema ratione
in
F. Ergo
d.
n
336. ist
CF.
die Seite des Zehen-Ecks. Und weil der
Quadrat
der Linie
D F.
gleich ist/ wie es hernach d.
n.
409. bewiesen wer-
Q
den
Elementa Geometriæ Lib. III.
den wird/ den zweyen
Quadrat
der Linie
CD.
und
CF.
das ist/ des
Radius,
und der Seite des Zehn-Ecks/ so ist sie auch d.
n.
335. die Seite des
Regular
Fuͤnff-Ecks.
341
IV.
Wann ein
Regular
Viel-Eck in ei- nem Circkel beschrieben ist/ und man sol ein anders d
r
inn beschreiben/ daß noch einmahl so viel Seiten hat als das erste?
Theilet d.
n.
50. einen ieden Bogen der durch eine Seite unterspannet ist/ in zwey gleiche Theile/ als
fig.
63.
342
V.
Wann ein
Regular
Viel-Eck in ei- nem Circkel beschrieben ist/ und man soll demselben einen andern umschreiben von eben so viel Seiten?
Jn allen Puncten der Theilung des Cir- ckels machet d.
n.
231. lauter
Tangentes,
die- selbe werden das begehrte umbeschriebene Viel-Eck beschreiben/ als
Fig.
64.
343
VI.
Wann ein
Regular
Viel-Eck in ei- nem Circkel beschrieben ist/ und man soll ein anders machen von eben so viel Sei- ten/ dessen eine jede Seite gleich sey der ge- gebenen Linie
M?
Fig.
65. Jn dem eingeschriebenen Viel- Eck ziehet die
Radius IA. IB.
auff
AB.
ver- laͤngert wo es noͤthig ist/ nehmet
AK.
gleich
M.
ziehet
KL.
═ dem
Radius IA.
wel- che dem
Radius,
verlaͤngert wo es noͤthig ist/ schneiden wird in
L.
Aus dem
Centro I.
und mit der Oeffnung
IL.
machet einen neuen Circkel/ der durch die
Radius
des er-
sten
Elementa Geometriæ Lib. III.
sten/ geschnitten seyn wird/ in so viel gleiche Theile/ als das Viel-Eck Seiten hat Und wo man alsdann die Linien von einem Punct zum andern ziehet/ so habt ihr das begehrte. Dann d.
n. 242. AB. CL.
∷
IB. IL.
Caput II.
Von denen gleichfoͤrmigen Figuren.
W
Jr haben gesagt/ daß zwo
Figu
ren
344
gleichfoͤrmig waͤren/ als
abcde
und
ABCDE. Fig.
66. Wann ein jeder ∠ der einen/ dem
correspondi
renden ∠ der andern/ und in gleicher Ordnung gleich ist/ und daß die
Corresponden
te Seiten ein- ander ebenmaͤßig seynd.
Die Setten
ab. AB.
die einander aͤhn-
345
lich seynd/ wollen wir
corresponden
te Seite nennen.
Die
Conditiones
Umstaͤnde oder Be-
346
schaffenheiten/ womit man zwo Linien
f g. FG.
in zwo gleichfoͤrmige Figuren ziehen kan/ seynd gleichfoͤrmige
Condition es.
1. Wann diese zwo Linien gleiche ∠
g.
und
G.
mit den
Corresponden
ten Linien machen?
2. Wann sie mit den
Corresponden
ten Linien
cg. CG.
ebenmaͤßig seynd.
3. Wann sie die
corresponden
te Seiten
cd. C D. proportionir
lich und auf gleiche Wei- se durchschneiden.
Q 2
Fig.
Elementa Geometriæ Lib. III.
347
Fig.
66. Zwo Linien
fg. FG.
seynd in gleichfoͤrmigen Figuren gleicher Weise ge- zogen/ wann ihre Stellungen durch glei- che Beschaffenheiten
determini
ret seynd.
348
Zwo krumlinichte oder vermischte Figu- ren seynd gleichfoͤrmig/ wann die Linien welche ihre Kruͤmme
determini
ren/ gleicher Weise gezogen werden.
Fig.
67.
Eigenschafften.
I.
349
W
Ann ein
Triangel abd. Fig.
68. zwey ∠
a.
und
b.
gleich hat zweyen ∠
A.
und
B.
eines andern
Triangel
s
ABD.
solche 2.
Triangel
seynd einander gleichfoͤrmig.
Dann 1. d.
n.
226. der dritte ∠
d.
eines
Triangels
ist gleich dem dritten
D.
des andern
Triangels.
2. Nehmet
ab.
und
A B.
fuͤr die Grundstriche/ die zwo Seiten
d a. d b.
seynd auf ihren Grundstrich
a b.
eben so schieff/ als
DA. DB.
auf ihren Grundstrich
AB. Ergo
d.
n. 241. da. DA
∷
bd. BD.
3. Nehmet
da.
und
DA.
fuͤr die Grundstriche/ alsdann seynd
ba.
und
bd.
auf ihren Grund- strich
da.
eben so schief als
BA.
und
B D.
auf ihren Grundstrich
DA. Ergo
eben darum
ba. BA
∷
bd. BD
∷
da. DA. Ergo
so seynd dann diese zwey
Triangel
gleichfoͤrmig.
350
II. Fig.
69. Wann die drey Seiten eines
Triangels abd.
ebenmaͤßig seynd mit den drey- en Seiten eines andern
Triangel
s
ABD.
so
seynd
Elementa Geometriæ Lib. III.
seynd diese zwey
Triangel
gleichfoͤrmig/ das ist/ daß ein jeder ∠ des einen wird einem jeden ∠ des andern gleich seyn in gleicher Ordnung
a
∝
A. b
∝
B.
und
c
∝
C.
Dann/ nehmet in dem
Triangel ABD. De.
gleich
da.
und ziehet
ef.
═ mit
A B.
der
Triangel Def.
weil der ∠
D.
ihnen gemein ist/ und daß die ∠ in
e.
und
A.
wie auch in
f.
und
B.
einander gleich seynd d.
n.
200. wird er gleiche ∠ haben mit dem
Triangel DAB. Ergo
d.
n.
241. so hat er auch seine Seiten
proportional
mit des andern Seiten. Aber man hat gesetzt daß die Sei- ten des
Triangels dab. proportional
waͤren mit den Seiten des
Triangel
s
DAB. Ergo
d.
n.
70. so seynd sie es auch mit den Sei- ten des
Triangel
s
Def.
Aber die Seite
da
ist gleich der Seite
De. Ergo
die andere Seiten des
Triangel
s
dab.
seynd auch gleich den andern Seiten des
Triangel
s
Def.
und die ∠ des
Triangel
s
dab.
werden gleich seyn den ∠ des
Triangel
s
Def.
und folglich auch denen ∠ des
Triangel
s
DAB.
darum seynd dann die zwey
Triangel dab.
und
D A B.
einander gleichfoͤrmig.
III Fig.
70 Wann zwo Seiten
da. db.
351
eines
Triangel
s ebenmaͤßig seynd zwoen Sei- ten
DA. DB.
eines andern
Triangel
s/ und daß die ∠
d.
und
D.
die zwischen diese Sei- ten begriffen/ einander gleich seynd/ solche zwey
Triangel
seynd einander gleichfoͤrmig.
Der Beweiß wird dem vorigen gleich seyn.
Q 3
IV.
Elementa Geometriæ Lib. III.
352
IV. Fig.
71. Wann zwo Seiten
ad. db.
eines
Triangel
s ebenmaͤßig seynd den zwo- en
AD. DB.
eines andern
Triangel
s/ und daß die ∠
a.
und
A.
die den
corresponden-
ten Seiten gegenuͤberstehen/ einander gleich seynd/ und uͤber dem/ daß die zwey ∠
b.
und
B.
einerley Art seynd/ solche zwey
Tri- angel
seynd einander gleichfoͤrmig.
Dieser Vortrag wird bewiesen eben wie der vorige d.
n.
351.
353
Hieraus folget daß die
Conditiones
oder Beschaffenheiten die zwey
Triangel deter- mini
ren gleichfoͤrmig zu seyn/ eben die seynd welche sie
determini
ren gleich groß zu seyn/ mit diesem Unterscheid aber/ daß die ∠ und die Seiten muͤssen gleich seyn/ um die
Triangel
gleich groß zu machen/ und daß die ∠ muͤssen gleich seyn/ und die Seiten eben- maͤßig/ um selbige gleichfoͤrmig zu machen.
354
V.
Wann die
Conditiones
oder Beschaf- fenheiten die eine Figur
abcde. determini-
ren oder umschraͤncken/ gleich seynd denen
Conditiones
die eine andere Figur
ABCDE. Fig. 72. determini
ren/ solche zwo
Figu
ren seynd einander gleichfoͤrmig. Das ist/ daß die uͤbrige ∠ einander gleich seynd/ und die Seiten ebenmaͤßig. Gesetzt daß hier
ab. AB
∷
bc. BC
∷
cd. CD
∷
de. DE
und daß die ∠
c.
und
C. b.
und
B. d.
und
D.
einan- der gleich seynd/ so sage ich daß auch
ea. EA
∷
ab. AB.
Dann ziehet in der ersten Figur die
Zwerch-
Elementa Geometriæ Lib. III.
Zwerchlinien
ad. ac.
und in der andern Fi- gur ziehet durch die ∠ die den andern
cor- respondi
ren/ auch
AD. AC.
1. Die
Triangel abc. ABC.
seynd gleichfoͤrmig. d.
n.
351.
2. Die
Triangel acd. A C D.
seynd auch gleichfoͤrmig. Dann der ∠
bcd.
ist gleich dem ∠
BCD.
und das The l
bca.
ist gleich dem Theil
BCA.
Darum seynd die Reste
acd. ACD
auch gleich. Uber dem
ac AC
∷
bc. BC
∷
cd. CD. Ergo
so ist dann
ac. AC
∷
cd. CD.
d.
n.
70. Darum seynd auch die
Triangel a c d. ACD.
d.
n.
351. gleich- foͤrmig.
3. Auf gleiche Weise wird man bewei- sen/ daß die
Triangel ade. ADE.
gleichfoͤr- mig seynd/ woraus man endlich schliessen wird/ daß die ∠
a.
und
A. e.
und
E.
auch gleich seynd/ und daß
ea. EA
∷
ab. AB.
VI. Fig.
73. Wann man in den gleich- foͤrmigen Figuren
abcde. ABCDE.
zwo Li-
355
nien
fg FG.
ziehel mit gleichen Beschaffen- heiten oder
conditiones;
seynd sie ebenmaͤs- sig mit den Seiten der Figur/ machen glei- che ∠/ und schneiden die andere Seiten
proportionit
lich.
Gesetzt/ daß die Linien
fg. FG.
die Sei- ten
ab. AB. proportionit
lich schneiden/ und daß sie die zwey ∠
afg. AFG.
gleich ma- chen/ so sage ich daß sie auch die ∠
f g d. FGD.
gleich machen/ und daß
fg. FG
∷
cg. CG
∷
gd. G D.
Dann man kan die zwo Figuren
gdeaf.
GD
Elementa Geometriæ Lib. III.
GDEAF.
betrachten als mit gleichfoͤrmigen Beschaffenheiten oder
Conditiones determi-
nirt/
Ergo
d.
n.
354. so haben sie alle ∠ gleich uñ alle Seiten
proportional,
eben so ist es auch mit den zwo andern Figuren
fbcg. FBCG.
356
VII. Fig.
74. Jn den gleichfoͤrmigen
Figu-
ren/ die Umkreiß
a b c d e a. ABCDEA.
seynd
proportional
mit den Seiten
ab. A B.
die
correspondent
seynd/ wie auch mit den Li- nien
fg. F G.
die mit gleichen Beschaffen- heiten gezogen seynd.
Dann die
Circumferen
tz seynd die
Sum- ma
der Seiten/ die alle ebenmaͤßig seynd mit
ab.
und
AB.
oder auch mit
fg.
und
FG. Ergo
d.
n
62. so seynd
\&c.
357
VIII.
Die
Regular
Viel-Eck von gleicher Zahl Seiten seynd gleichfoͤrmig.
Dann ein jeder ∠ der ersten ist gleich einem jeden ∠ der andern/ und weil alle die Seiten der ersten gleich seynd/ so haben sie auch eine gleiche Verhaltnuͤs mit den Seiten der andern/ die auch alle gleich seynd/ darum seynd dann diese
Regular
Viel-Eck/ gleicher Zahl Winckel/ gleichfoͤrmige Figu- ren.
358
Woraus folget 1. daß in den
Regular-
Figuren von gleicher Zahl Seiten die ge- rade und schlefe
Radius
mit der Seiten eben-
359
maͤßige Linien seynd. 2 Uberdem/ daß die Umkreise derselben in gleicher Verhaltnuͤß seynd mit den Seiten/ wie auch die ge- rade und schiefe
Radius.
Fig.
Elementa Geometriæ Lib. III.
Fig.
75. Die krumlinichte oder vermisch-
360
te Figuren seynd gleichfoͤrmig/ wan̄ die
con- ditiones
oder Be
s
chaffenheiten welche die eine
determini
ren/ gleichfoͤrmig seynd/ denen/ welche die andere
determini
ren.
Dann man kan diese Figuren betrach- ten/ als geradlinichte Figuren/ deren die Seiten unendlich klein seynd/
Ergo
so kan man diesen Figuren zuschreiben/ alles was wir den geradlinichten
Figu
ren zugeschrie- ben haben.
Woraus folget 1. daß alle Ci
r
ckel gleich-
361
foͤrmige Figuren seynd/ eben sowohl als die
Sector
und die
Segmentum,
gleicher Zahl
gra-
362
dus.
2. Daß in zweyen Circkeln/ die
circum- feren
tz/ die gleichfoͤrmige Bogen/ und ihre
Chorda
die
Diame
ter/ die
Radius,
und insge- meinalle die Linien die mit gleichen Beschaf- fenheiten gezogen seynd/ die seynd alle
pro- portional
oder ebenmaͤßig.
fig.
76. 77.
IX.
Jn allem
Regular
Viel-Eck in dem
363
Circkel beschrieben/ je mehr Seiten sie ha- ben/ je groͤssern Umkreiß haben sie auch.
Welches klar erscheinen wird/ wann man in einem Circkel zwey Viel-Eck be- schreibet/ deren eines/ noch einmahl so viel Seiten hat als das andere
fig.
78.
Hieraus folget/ daß der Umkreiß des Cir-
364
ckels laͤnger ist als der Umkreiß eines ein- geschriebenen Viel-Ecks/ wieviel Seiten dieses letzte auch immer haben moͤge.
X.
Unter allen
Regular
Viel-Ecken/ die
365
R
man
Elementa Geometriæ Lib. III.
man um den Circkel beschreiben kan/ das/ welches am meisten Seiten hat/ hat auch den kleinesten Umkreiß.
Fig
79. Welches klar erscheinen wird/ wann man zwey Viel-Eck um einen Cir- ckel beschreibet/ deren eines/ noch einmahl so viel Seiten hat als das andere.
366
Hieraus folget/ daß der Umkreiß des Cir- ckels/ kleiner ist als der Umkreiß/ eines ihm umbeschriebenen Viel-Ecks/ wie viel Seiten es auch immer haben moͤge.
Problema
oder Auffgabe.
367
E
S wird eine geradlinichte Figur 80.
ABCDE.
gegeben/ und man soll der- selben eine gleichfoͤrmige beschreiben/ auf eine Linie die gleich seye der gegebenen Linie
M?
Gesetzt/ daß die Seite
A B.
die
corre- spondent
e seye der gegebenen
M.
aus
A.
zie- het die Zwerch-Linien
AC. AD.
welche die gegebene Figur in △ zertheilen/ nehmet auf
AB.
(verlaͤngert/ wo es noͤthig ist) die Linie
Ab.
gleich der gegebenen
M.
ziehet
bc. cd. de. paralle
len mit den Seiten
BC. CD. DE.
der gegebenen Figur/ so habt ihr die Figur
Ab
c
de.
gleichfoͤrmig der gegebenen
ABCDE.
welches klar ist durch das vorhergehende/ ohne weitlaͤufftigem Beweiß.
Ende des dritten Buchs.
ELE-
Elementa Geometriæ Lib. IV.
ELEMENTA GEOMETRIÆ
, Oder Bruͤnde der Erd- meßkunst.
IV.
Buch. Von den Flachen Figuren/ be- trachtet nach ihrem Jnhalt/ oder nach dem Raum den sie einschliessen.
U
M eine gruͤndliche Wissenschafft
368
zu geben/ der flachen Figuren/ be- trachtet nach dem Raum den sie einschliessen/ so muß man 1. Die Gruͤnde oder
Principia
voran se- tzen und behaupten/ welche die- nen umb die Verhaltnuͤsse der Flaͤchen zu verstehen/ und das wollen wir thun durch ihre
Indivisibilia,
oder Untheilbare Theile.
2. Man muß die Merckzeichen geben/
369
wodurch man die Gleichheit zwoer Figu- ren erkennen kan.
3. Man muß die Flaͤchen abmessen.
370
R 2
4. Man
Elementa Geometriæ Lib. IV.
371
4. Man muß die Verhaltnuͤssen zu ver- stehen geben/ die sich unter die Figuren be- finden.
Caput I.
Von denen Untheilbaren Thei- len in den Flaͤchen.
372
B
Jldet euch lauter gerade oder krum- me
Parallel-
Linien
Fig.
1. 2. als
a. b. c. d. e.
die am Ende der Figur mit kleine
⊥
geschlossen werden; solche Linien werden
Parallelogramma Rectangula formi-
ren/ deren die Laͤnge eine
Dimensio
n ma- chen/ und die Breiten/ die unendlich kleine
⊥
seynd/ seynd untereinander gleich/ solche
parallelogramma
werden Untheilbar genen- net; Wir wollen sie auch nennen/
Elemen- ta
der Figuren.
373
Eine Figur 3.
ABC
kan auch in Untheil- bare △ getheilet werden/ wann man nehm- lich ihren Grundstrich/ in unendlich kleine/ und untereinander gleiche Theile zertheilet/ und daß man aus dem Punct
A.
Linien ziehet auf alle die Theilungen.
374
Fig.
4. Wann man die drey Figuren
C, D, E.
in andere kleine/ und untereinander gleiche Figuren zertheilet/ deren die
Dimen- siones
unendlich klein seynd/ solche kleine Figuren werden Einheiten (
unitates.
) ge-
nannt
Elementa Geometriæ Lib. IV.
nannt/ welche koͤnnen seyn
Quadrat, Trian-
gel oder
Rhombus,
und wird man alsdann sagen/ daß solche Figuren in Einheiten ge- theilet seynd.
Eigenschafften.
I.
A
Lle die Figuren muͤssen betrachtet
375
werden/ als mit solchen Untheilbaren Theilen erfuͤllet und bedecket.
Fig.
5. Dann 1. Wann die Figur ein
Parallelogrammum rectangulum
ist/ als
ABCD,
und daß man unendlich nahe an- einander
parallel-
Linien ziehet/ mit der
Ba- sis CD.
so ist es klar/ daß solche Untheilba- re Theile lauter
Rectangula
sind/ die solche Figur gantz bedecken und erfuͤllen.
2. Wann die Figur kein
parallelogram- mum
ist/ aber sonst eine geradlinichte/ wie man will/ als
Fig.
6. oder krumlinichte als
Fig.
7. Solche Untheilbare/ wann sie nicht unendlich schmahl seynd/ werden an den En- den kleine △ lassen/ welche immer kleiner werden/ je schmahler die Untheilbare seynd; Darum/ wann man sie dann unendlich schmahl setzet/ so werden diese kleine △ ver- schwinden/ und unempfindlich werden/ und muͤssen also/ als nicht vorhanden geschaͤtzet werden/ und folglich/ muß man dann alle- zeit die Figur betrachten/ als
accurat
mit ih- ren Untheilbaren Theilen erfuͤllet und be- deckt.
R 3
Fig.
Elementa Geometriæ Lib. IV.
376
Fig.
6. Hieraus folget/ daß in einer Fi- gur/ die Laͤnge eines Untheilbaren
b d c e.
ist gleich der Linien
cd.
welche sie von dem folgenden Untheilbaren
c d f g.
absondert/ weil der Unterscheid den man sich da koͤnte einbilden/ wegen der unendlich kleinen Brei- te/ verschwund n und zu nichts worden ist/ und muß auch also fuͤr nichts geschaͤtzt wer- den.
377
II.
Zwey Untheilbare d.
ax. VI.
seynd ein- ander gleich/ wann sie gleiche Laͤnge und gleiche Breite haben; und das ist natuͤrlich kiar/ sie moͤgen gerade-Linicht seyn/ als in
Fig.
8. oder krum-Linische/ als in
Fig.
9. Wann man Linien durch die Mitte ziehet/ als
m n
und
op.
und daß man selbige in unendlich kleine und untereinander gleiche Theile zertheilet/ und durch die Thei- lungs-Puncten lauter
⊥
ziehet/ solche machen lauter kleine
parallelogramma Re- ctangula
in diesen Untheilbaren/ welche ein- ander gleich seyn werden/ indem ihre Brei- te auf
m n.
und
op.
genommen/ einander gleich seynd/ und ihre Hoͤhen auch gleich.
378
III. Fig.
10. 11. Die
⊥ AB
und
CD.
wel- che auf die Untheilbaren zwoer Figuren ge- zogen werden/ werden die Verhaltnuͤß der Zahlen ihrer Untheilbaren darstellen und
representi
ren/ gesetzt daß diese Untheilbare gleicher Breite seynd. Derohalben dann/ wann diese
⊥
einander gleich seynd/ so ist auch die Zahl der Untheilbaren in solchen
Figu-
Elementa Geometriæ Lib. IV.
Figuren einander gleich/ und wann die
⊥ A B.
zweyfach ist der
⊥ CD.
so ist auch die Zahl der Untheilbaren der ersten Figur zwey- fach der Zahl der Untheilbaren der andern.
Caput II.
Von der Gleicheit der flachen Figuren/ nach ihrem inwendig be- griffenen Raum betrachtet.
Eigenschafften.
I.
D
Je
Parallelogramma
gleicher Hoͤhe
379
und gleiches Grundstrichs seynd ein- ander gleich.
Fig.
12. Gesetzt/ daß die zwey
Parallelo- gram. ABDC. EFHG.
gleicher Hoͤhe seynd/ das ist/ daß die
⊥ K L. M N.
die auff die Grundstriche gezogen werden/ einander gleich seynd/ oder daß selbige Figuren zwi- schen zwo
Parallel
Linien
AF. CP.
begriffen seynd; geletzt uͤber dem/ daß ihre Grund- striche
CD. GH.
auch einander gleich seynd/ so sage ich/ daß diese zwey Figuren nach dem Raum einander gleich seynd.
Dann wann man sie alle beyde in ih- re Untheilbaren zertheilet/ durch Linien/ die mit dem Grundstrich
parallel
lauffen/ so wird es geschehen.
I.
Elementa Geometriæ Lib. IV.
I.
Daß ein jedes Untheilbares Theil (wel- ches wir auch
Elementum
wollen nennen/) in dem einen
Parallelog.
gleich einem jeden
Elementum
in dem andern/ d.
n.
377 weil in einem jeden
Parallelogr.
e n
jedes
Elemen- tum
hat seine Laͤnge gleich dem Grundstrich/ nun aber setzen wir daß die Grundstriche einander gleich seynd/
Eigo
so seynd dann auch die Laͤngen der Elementen in beyden
Parallelogr.
einander gleich/ und ihre Brei- ten seynd auch gleich voraus gesetzt/ darum seynd sie in allem gleich. Uber dem/ so ist auch die Zahl dieser Elementen in die- sen Figuren einander gleich/ weil d.
n.
378. diese Zahl durch die
⊥ MN. KL
abgemes- sen werden/ die hier einander gleich seynd/ weil dann ein jedes
Parallelogr. ABDC.
und
EFHG.
einerley Zahl gleicher
Element
en in sich haͤlt/ so seynd sie einander gleich.
380
II. Fig.
13. Zwey △
ABD, FGH.
welche gleiche Hoͤhe und gleiche
bases
haben/ seynd einander gleich.
Dann man ziehe nur
DC.
═
AB. FH.
═
EG. AC.
═
BD.
und
EF.
═
GH.
so wird man sehen d.
n.
317. daß solche △ die Haͤlffte seynd/ zweyer
Parallelogr.
die glei- che Hoͤhe und gleiche Grundstriche haben.
381
III. Fig.
14. Ein
Parallelogr. A B D C.
ist gleich einem △
ECD.
wann es mit ihm einen Grundstrich hat
CD.
und daß seine Hoͤhe
F G
nur die Haͤlffte ist der Hoͤhe
EG.
des △; oder/ wann es gleiche Hoͤhe hat/
und
Elementa Geometriæ Lib. IV.
und daß es nur die Haͤlffte des Grundstrichs hat
Fig.
15.
Dann 1.
Fig.
14. Gesetzt daß das
Parallelogr. ABDC. Rectangulum
seye/ so wird es die vierseitige Figur
CHKD.
mit dem △
ECD.
gemein haben.
2. Der △
ACH.
ist gleich dem △
HEF.
dieweil die ∠ in
H
die an der Spitze ein- ander gegenuͤberstehẽ d.
n.
169 einander gleich seynd/ die ∠
F.
u.
A.
seynd gerade/ u. die Sei- ten
EF. AC.
einander gleich/ darum weil sie zwey ∠ und eine Seite einander gleich ha- ben/ so seynd sie in allem gleich. d.
n.
295. Aus gleicher Uhrsach/ seynd die zwey △
BDK. EFK.
einander gleich/
Ergo
die zwey △
ACH. BDK.
mit dem
Trapczio CHKD.
welche zusammen das
Patallelogr.
ausma- chen/ seynd gleich den zweyen △
EFH. EFK.
auch mit demselben
Trapezio CHKD.
wel- che zusammen das △
ECD.
ausmachen/
Ergo
das
Parallelogr. ABDC.
ist gleich dem △
E C D
W. M. B. W.
3. Wann das
Parallelogr. ABDC.
nicht geradwinckelicht waͤre/ so waͤre es doch d. n. 379 einem Geradwinckelichtem gleich/ welches gleiche Hoͤhe und gleiche
Basis
haͤt- te/ und folglich auch/ einem △ der gleiche
Basis
haͤtte/ und der noch einmahl so hoch waͤre.
Auf gleiche Weise wird man beweisen/ daß das
Parallelogr. ABDC. Fig.
15. dem △
ACE.
gleich ist/ mit welchem es gleiche Hoͤ-
S
he
Elementa Geometriæ Lib. IV.
he
AG.
hat/ aber dessen
Basis CD.
nur halb so groß als die
Basis CE.
382
IV. Fig.
16. Ein
Trapezium A B D C.
ist gleich einem
Parallelogr.
gleicher Hoͤhe
GA.
dessen Laͤnge
CF.
ist die Haͤlffte von
A B. + CD.
zusammen.
Dann auf die lange Seite
CD.
nehmet
CK
gleich
A B.
theilet den Rest
KD.
in der Mitte in
F.
ziehet
FE
═
AC.
und verlaͤngert
AB.
biß daß sie
FE.
anstosse in
E.
Alsdann ist es klar 1. Daß
CE.
ein
Parallelogram- mum
ist. 2. Daß sein Grundstrich
CF. arit- me
tisch mittelmaͤßig ist/ zwischen die Seiten des Vier-Ecks
AB. DC.
das ist/ d.
n
105. daß
CF.
gleich ist der Haͤlffte einer Linie/ die so lange waͤre als
AB+CD.
3. Daß dieses Vier Eck
ABDC.
gleich ist diesem
Paralle- logr.
weil die zwey △
HFD. HEB.
einander gleich seynd/ d.
n.
295. und daß das uͤbrige alles
ABHFC.
ihnen beyden gemein ist.
383
V. Fig.
17. Eine Circular Flaͤche ist gleich einem △ dessen Hoͤhe
C A.
dem
Radius
gleich ist/ und dessen Grundstrich
AB.
gleich ist dem Umkreiß des Circkels.
Dann wann man den
Radius CA.
in un- endlich kleine und gleiche Theile zertheilet/ und daß man durch alle die Theilungs-Pun- cten aus eben dem
Centro C.
andere Cir- ckel beschreibet/ und von dar auch mit der
Basis AB.
═ Linien ziehet/ so seynd beyde der Circkel und der △ d.
n.
372. in ihre
E- lemen
ten zertheilet/ und werden in glei-
cher
Elementa Geometriæ. Lib. IV.
cher Zahl seyn in beyden Figuren/ d.
n.
378 weil das Maaß dieser Zahl ist die ⊥
CA.
Uber dem/ so wird auch bewiesen/ daß ein je- des
Elementum
der einē Figur gleich seyn einẽ jeden
Elementum
der andern/ d.
n.
377 und weil also der Circkel und der △ gleiche Zahl gleicher Elementen in sich begreiffen/ so seynd sie einander gleich.
Um aber zu beweisen daß ein jedes
E- lementum
des Circkels als
ada.
gleich ist ei- nem jeden
Elementum ab.
des △ welches ihm
correspondi
ret/ so betrachte ich nur daß die Linien
AB. ab.
gleicher Weise ge- zogen seynd/ in Ansehung ihrer Circkel
ADA.
und
ada. Ergo
d.
n.
355. so hat dann
ab.
ei- ne gleiche Verhaltnuͤß gegen seine
Circum- fe
rentz
a d a.
als
A B.
gegen seine
Cir- cumferen
tz
A D A.
aber
A B.
ist gleich der
Circumferen
tz
A D A.
so ist dann auch
a b.
gleich der
Circumferen
tz
a d a.
und eben das kan man auf die Manier von einem jeden andern
Elementum
beweisen.
Ergo \&c.
384
VI. Fig.
18. Ein
Sector A C D.
ist gleich einem △
CAB.
dessen die Hoͤhe
A C.
der
Radius
des Circkels ist/ und der Grundstrich
AB.
gleich dem Bogen
AD.
Der Beweiß davon ist eben wie der vo- rige des Circkels/ wann man
A C.
in un- endlich kleine und gleiche Theile zertheilet.
S 2
Ca-
Elementa Geometriæ Lib. IV.
Caput III.
Von dem Maaß des Raums der flachen Figuren.
385
D
Je Maasse des Raums der flachen Figuren/ seynd die Einheiten
(uni- tates)
welche ihren Raum gantz be- decken und erfuͤllen/ und solche Einheiten koͤnnen d.
n.
374. seyn
Quadra
ten/ oder Rau- ten/ oder
Triangel \&c.
386
Solche Maaß seynd entweder
determi-
nirt umschraͤncket/ oder
indeterminirt
frey ge- lassen. Man nennet
determinir
tes oder um- schraͤncktes Maaß/ die
Quad
r
a
te Einhei- ten/ deren die Seiten eine umschraͤnckete und gewisse Laͤnge haben/ als eine Ruthe/ eine
Toise,
ein Schuh/ ein Zoll/ \&
c
solche Einheiten dienen die Groͤsse des Raums ei- ner gewissen Figur nach dem Maaß des Landes wo man ist/ zu erkennen/ aber alle die andere Arten von Einheiten/ als zum Exem- pel diese/ die man in gegenwaͤrtigen Figuren sehen kan/ dienen nur die Verhaltnuͤß des Raums zwoer Figuren gegeneinander zu erkennen.
387
Fig.
19. Man sagt eine flache Figur
ABDC.
sey gleich dem
Product,
oder der
multiplica- tion
der zwo Linien
AC.
und
CD.
wann man diese zwo Linien in gleiche Theile zer- theilet/ und daß es geschicht/ daß der
Pro-
duct
Elementa Geometriæ Lib. IV.
duct
der Zahlen ihrer Theile miteinander/ eine Zahl gibt/ die gleich ist der Zahl der
Quadrat
Einheiten/ oder Rauten Einheiten/ welche die gantze Flaͤche der Figur zude- cken und erfuͤllen.
Eigenschafften.
I.
E
Jn
Parallelogrammum
ist gleich dem
388
Product
seiner zwo Seiten
AC. CD. Fig.
20. die einen Winckel
C.
for- miren.
Gesetzt/ daß
AC.
und
CD.
in gleiche Thei- le zertheilet seynd/ und daß man durch die Theilungs-Puncten von
AC.
der Linie
CD.
═ Linien ziehet/ und durch die Punct von
CD.
der Linie
AC.
andere ═ ziehet/ das
Parallelogr.
wird zertheilet seyn/ in so viel Reyen Einheiten/ als Theile in
AC.
sich befinden/ und werden in jeder Reyen so viel Einheiten sich befinden als Theile in
CD.
sich befinden
Ergo,
um die
Summam
die- ser Einheiten zu erhalten/ muß man die Zahl der Theile von
AC. multiplici
ren mit der Zahl der Theile von
C D.
und dero- wegen ist dann das
Parallelogr.
gleich dem
Product
der zwoen Seiten die seinen ∠
formi
ren.
Noti
ret/ daß die Seiten dieser Einheiten
389
die The le der Linien
AC.
und
CD.
seynd/ und daß sie gleiche ∠ mit dem
parallelogr.
haben/ also daß wann die ═ Linien ein-
S 3
ander
Elementa Geometriæ Lib. IV.
ander ⊥ seynd/ so sind diese Einheiten lau- ter □/ wo nicht/ so seynd sie lauter Rauten.
390
II. Fig.
21. Ein
Parallelogr. A B D C.
ist gleich dem
product
seines Grundstrichs
CD.
durch seine
perpendicular
-Hoͤhe
A G.
Fig.
22. Dann d.
n.
379. dieses
Paralle- logr.
ist gleich dem
Rectangulo abdc.
welches gleichen Grundstriche
cd
hat/ und gleiche ⊥ Hoͤhe/ das ist/ gleich dem
Product
des Grundstrichs
CD.
mit seiner ⊥ Hoͤhe
AG. Ergo
so ist ein
Parallelogr.
gleich dem
pro- duct
seines Grundstrichs mit seiner ⊥ Hoͤhe.
391
III. Fig.
23. Ein
Trian
gel
ACD
ist gleich der Haͤlffte des
Products
einer von seinen Seiten
CD.
mit der ⊥ die von der gegen- uͤberstehenden Spitze
A.
auf selbige Seite
CD.
faͤllet/ verlaͤngert wo es noͤthig ist.
Dann d.
n.
317. der △
ACD
ist die Haͤlff- te des
Parallelogr. ABDC.
welches eben die- se
Producent
en
AE.
und
C D.
haͤtte.
392
IV. Fig.
24. Ein
Trapezium ABDC.
ist gleich dem
product
seiner Breite
AG.
mit der Haͤlffte von
AB + CD.
Dann d.
n.
382. das
Trapezium
ist gleich einem
parallelogr. CE.
gleicher Breite
AG.
mit der Laͤnge
CF.
welche die Haͤlffte ist von
AB+CD.
393
V.
Alle Figuren die um den Circkel be- schrieben werden/ das ist/ deren eine jede Seite den Circkel anruͤhret/ seynd gleich der Haͤlffte des
product
s ihres gantzen Umkrei- ses mit dem
Radius
des Circkels
FG Fig.
25.
Dann
Elementa Geometriæ Lib. IV
Dann wann man aus dem
Centro F.
an allen Winckeln. Linien ziehet/ die Figur wird dadurch zertheilet werden/ in so viel △ als sie Seiten hat/ und alle solche △ werden den
Radius
des Circkels fuͤr ihre Hoͤhe haben/ nehmlich
FG.
Nun aber d.
n.
391. ist ein jeder solcher △ als
AFB.
gleich der Haͤlffte des
products
seines Grundstrichs
A B.
mit seiner Hoͤhe
FG. Ergo
die
Summa
aller die- ser △ wird gleich seyn/ der Haͤlffte des
pro- ducts
aller Grundstrichen dieser △/ welche seynd der gantze Umkreiß der Figur/ mit der Hoͤhe
FG.
die da ist der
Radius
des Cir- ckels/ und also ist klar/ was da solte be- wiesen werden.
Es folget aus diesem Beweißstuͤck/ daß
394
alle
Regular
Viel-Eck der Haͤlffte des
pro- ducts
ihres Umkreises mit ihrem ⊥
Radius
gleich seynd/ dann alle
Regular-
Viel-Eck koͤnnen um einen Circkel beschrieben wer- den/ dessen
Radius
wird seyn der ⊥
Radius
dieser Figur.
VI. Fig.
26. Umb die Flaͤche aller unge-
395
reimten Figur bekant zu machen/ als da sey
A.
oder
B.
muß man sie in lauter △ zer- theilen/ wie in den Figuren zu sehen; Die Summa der Flaͤche aller dieser △ wird die Flaͤche der gantzen Figur seyn.
VII. Fig.
27. Ein Circkel ist gleich der Haͤlff- te des
products
seiner
Circumferen
tz mit sei-
396
nem
Radius.
Dann d.
n.
383. er ist einem △ gleich der
fuͤr
Elementa Geometriæ Lib. IV.
fuͤr seinen Grundstrich hat den gantzen Um- kreiß/ und fuͤr seine Hoͤhe den
Radius;
aber solcher △ ist gleich d
n.
391. der Haͤlffte des
products
seiner
basis
mit seiner Hoͤhe/
Ergo
so ist auch der Circkel gleich der Haͤlffte des
products
seiner
Circumferen
tz mit seinem
Radius.
Noti
ret/ daß der
Radius
eines Circkels sich verhaͤlt gegen seinen Umkreiß/ ungefehr wie 7. gegen 22. oder naͤher als 113. ge- gen 355. aber gemaͤchlicher als 100. gegen 314.
397
Fig.
28. Ein
Sector
ist gleich der Haͤlffte des
products
seines
Radius CA.
mit seinem Bogen
A D.
Dann d.
n.
384. er ist gleich dem △
ABC.
welcher
AB.
gleich dem Bogen
AD.
fuͤr seinen Grundstrich hat/ und den
Radius
fuͤr seine Hoͤhe.
Caput IV.
Von der Verhaltnuͤß der Fla- chen Figuren gegeneinander/ in Anse- hung ihres eingeschlossenen Raums.
398
W
Jr haben im vorigen Capittel ge- sehen/ was fuͤr Linien man mitein- ander
multiplici
ren muß/ um die Flaͤche einer Figur herauszubringen/ solche
Linien
Elementa Geometriæ Lib. IV.
Linien wollen wir die
producen
ten der Fi- guren nennen.
Wann man eine Figur mit einer andern
399
compari
ren oder vergleichen will/ so muͤssen die
producent
en der einen/ einen ∠ machen/ der gleich seye dem ∠/ den die
producent
ẽ der andern Figur miteinander machen/ damit die Einheiten
(unitates)
der einen/ gleiche Figuren seyen/ mit den Einheiten deꝛ andern.
Eigenschafften.
I.
Z
Wo Figuren stehen gegeneinander/
400
wie der
product
der
producent
en der einen/ stehet gegen dem
product
der
producen
ten der andern.
Fig.
29. Gesetzt/ daß
A.
und
B.
die
pro- ducent
en einer Figur seyen/ und daß die
Pro- ducen
ten der andern seyen
a.
und
b. Fig.
30. und daß uͤber dem/ alle solche
Producen
ten in gleiche Theile getheilet seyen und gleiche ∠ miteinander machen: so sage ich/ daß die erste Figur zu der andern ste- het/ als der
Product
von
A.
mit
B.
gegen dem
Product
von
a.
mit
b.
das ist/ als
AB.
gegen
ab.
Dann wann solche Figuren ם seynd/ so ist eine jede ihrem
Product
gleich/ wie schon zuvor erwiesen. d.
n.
388. Wann es
Triangels
seynd/ oder Circkels/ oder
Secto- res,
so seynd sie gleich der Haͤlffte ihres
Pro- ducts,
und folglich d.
n.
66. stehen sie gegen
T
ein-
Elementa Geometriæ Lib. IV.
einander/ wie die
Producte
n ihrer
Producen-
ten. Endlich/ wann es eine andere Art Fi- guren seynd/ so koͤnnen doch solche in
Tri- angel
s oder in
Parallelogr.
gebracht werden/ welche/ weil sie gegeneinander stehen/ wie die
Product
ihrer
Producent
en, so muͤssen sol- che Figuren auch gegeneinander stehen/ in eben dieser Verhaltnuͤß.
Euclides Lib. 6 p.
23. beschreibet diesen Vor- trag/ wiewohl nicht so
universaliter,
also. Gleichwinckelichte
parallelogramma
stehen gegeneinander in vereinigter Verhaltnuͤß ihrer
Corresponden
ten Seiten. Das aber bedeutet d.
n.
79. daß wann
A.
die Laͤnge des einen waͤre/ und
B.
die Breite/
a.
die Laͤnge des andern und
b.
die Breite. Die Laͤnge
A.
hat gegen der Laͤnge
a.
eine gewis- se Verhaltnuͤß. Und es hat wiederum die Breite
B.
gegen der Breite
b.
auch eine ge- wisse Verhaltnuͤß. Nun aber d.
n.
79. ist die vereinigte Verhaltnuͤß aus diesen zwey- en/ die verhaltnuͤß des
Products
der zwey- en ersten Saͤtze gegen dem
Product
der zwey- en andern Saͤtze/ das ist/ die Verhaltnuͤß des
Products AB.
der
Producen
ten des ei- nen
parallelogrammi,
gegen dem
product ab
der
Producen
ten des andern. Woraus man siehet/ daß ob es schon unterschiedene Worte seynd/ so ist es doch nur ein Ver- stand.
401
Woraus folget/ daß wir hier zueignen oder
applici
ren koͤnnen/ alles was wir schon
zuvor
Elementa Geometriæ Lib. IV
zuvor im ersten Buch gesagt haben/ von den Eigenschafften der Ebenmaͤßtgkeiten/ und der ebenmaͤßigen Groͤssen.
Nehmlich:
I.
W
Ann Figuren seynd/ als
A.
und
402
B. Fig.
31. welche ihre
Producent
ẽ
ein
- ander gleich haben/ so seynd sie auch gleich. Das ist klar d.
n.
57. und 400.
2. Wann Figuren seynd/ welche gleiche
403
Producent
en haben/ und auch ungleiche/ so stehen sie gegeneinander d.
n.
38. wie die ungleiche. Derowegen dann/ wann die Hoͤhen
A.
und
a. Fig.
32. zwoer Figuren einander gleich seynd/ so stehen sie gegen- einander als die Grundstriche
B.
und
b:
Und wann die Grundstriche
B.
und.
b. fig.
33. einander gleich seynd/ so stehen sie ge- geneinander wie die Hoͤhen
A.
und
a.
3. Wann nach dem
n.
234. die
Produ-
404
cent
en
A.
und
B. Fig.
34. einer Figur/ wie- derkehrig/
(reciproce) proportional
seynd denen
Producent
en
a.
und
b.
einer andern
fi- gur,
so seynd solche Figuren einander gleich. d.
n.
71.
4. Wann drey Linien
A, B, C.
in gebun-
405
dener Ebenmaͤßigkeit stehen/ das
Rectan- gulum,
das die zwo aͤuserste
A.
und
C. Fig.
35. fuͤr ihre
Producent
ẽ haben wird/ wird gleich seyn dem
Quadrat
der mittelsten
B.
Oder es wird der Rauten die mit dieser Linie
B.
gemacht ist/ gleich seyn/ wofern die Rau-
T 2
te
Elementa Geometriæ Lib. IV.
te gleichwinckelicht ist/ dem
Parallelogram- mo.
Das ist bewiesen d.
n.
72. und 400.
406
V. Fig.
36. Wann die
producent
en
A.
und
B.
einer Figur/
proportional
seynd denen
producent
en
a.
und
b.
einer andern Figur/ so stehet die erste gegen der andern/ wie der
Quadrat
eines
producen
ten
A.
stehet zu dem
Quadrat
seines
correspondiren
den
pro- ducent
en
a
/ oder d.
n.
78. Wann man machet ∺
A.a.c.
so stehet die erste gegen die ande- re wie
A.
stehet zu
c.
Dann wann
A.a
∷
B.b.
so stehet die er- ste Figur zu der anderen/ d.
n.
400 als der
product
der ersten Saͤtze
A.
und
B.
(welche seynd die
producent
en der Ersten) gegen dem
product
der andern Saͤtze
a.
und
b.
(wel- che seynd die
producent
en der andern) Aber d.
n.
76. der
product
der ersten Saͤtze
A B.
stehet zu dem
product
der andern Saͤtze
a b
wie der
Quadrat
eines ersten Satzes
A.
zu dem
Quadrat
seines andern Satzes
a.
und d.
n.
78. der □
AA.
□
aa
∷
A. c. Ergo \&c. Eu- clides
und andere sagen hier/ die erste Figur stehe zu der andern
in ratione duplicata
der
corresponden
ten Seiten/ oder in zwiefacher Verhaltnuͤß der
corresponden
ten Seiten/ welches ein Ding ist/ aber unsere Ausle- gung ist leichter und natuͤrlicher.
407
II.
Alle gleichfoͤrmige Figuren stehen ge- gen einander/ wie die
Quadrat
ihrer
Cor- responden
ten Seiten/ oder wie die □ der Linien/ die gleicher Weise darinnen gezo- gen werden.
Dann
Elementa Geometriæ Lib. IV.
Dann 1. Wann solche Figuren gleichfoͤr- mige
parallelogr.
oder
Triangel
seynd/ oder Circkels/ so seyen die
producent
en
A.
und
B.
der einen
Fig.
die ersten Saͤtze der zwo Verhaltnuͤssen einer
proportion,
und die
producent
en der andern
Fig. a.
und
b.
die anderen Saͤtze darvon.
Ergo
d.
n.
76. stehen solche Figuren gegeneinander/ als der
Quadrat
der Seite
A.
gegen dem
Quadrat
seiner
correspondiren
den Seite
a.
in der anderen Figur/ wie in dem bewiesen worden/ oder d
n.
355. wie die
Quadrat
e der Linien die auf einerley Weise in diesen Fi- guren gezogen werden.
2. Wann solche gleichfoͤrmige Figuren
polygona
oder Viel-Eck seynd/ man kan sie in gleichfoͤrmige
Triangel
zertheilen/ deren ein- jeder/ durch das vorhergehende/ gegen seinem
Corresponden
ten stehen wird/ als der □ seiner Seiten zu dem □ der
correspondiren
den Seiten im andern
Triangel
oder d.
n.
355. als die
Quadrat
der gleicher Weise darin- nen gezogenen Linien.
Ergo
d.
n. 62 \&c.
3. Wann solche Figuren krumlinicht oder vermischt seynd/ so stehen sie gegeneinander/ wie die
Quadrat
der gleicher Weise in densel- ben gezogenen Linien Dann d
n
323. man kan solche Figuren betrachten/ als Viel-Ecken von unendlich viel Seiten/ und derowegen/ stehen die Circkel
A.
und
B. Fig
37. gegen- einander/ als die
Quadrat
ihrer
Diameter.
III, Fig.
38. Wann man auf einer und der-
408
T 3
selben
Elementa Geometriæ Lib. IV.
selben Seite von vielen Linien
A, B, C.
gleich- foͤrmige Figuren beschreibet/ und auf ihre andere Seiten andere/ auch gleichsoͤrmige Figuren/ die ersten werden gegen einander stehen/ wie die anderen gegeneinander.
Dann die ersten d.
n.
407. stehen gegen- einander wie die
Quadrat
der Linien
A, B, C.
und die andern stehen auch gegeneinander wie die
Quadrat
derselben/
Ergo
d.
n.
70. so stehen dann die einen gegeneinander/ wie die anderen gegeneinander.
IV. Fig.
39. Jn einem geradwinckelichten
409
Triangel ABC.
der
Quadrat
der
hypotenusa A C.
ist gleich den
Quadra
ten der zwo an- dern Seiten zusammen.
Dann wann man von d
e
m geraden Win- ckel eine ⊥
BD.
auf die
Hypotenusa
fallen laͤst/ so wird der △
ABC
zertheilet in zwey ande- re
Triangel A B D. B DC.
die untereinander gleichfoͤrmig seynd/ weil sie d.
n.
349. gleich- foͤrmig mit dem ersten
ABC.
Dañ ein jeder kleiner △ einen rechtẽ Winckel hat in
D.
/ und noch einen in
A.
oder in
C.
der dem gros- sen
Triangel ABC.
gemein ist; aber in den zweyen kleinen
Triangeln
die
Hypotenusæ
seynd die Seiten
AB BC.
und
A C.
ist die
Hypotenusa
des ersten grossen
A B C. Ergo
durch den vorigen Vortrag/ weil diese drey Seiten die
Corresponden
ten seynd in gleichfoͤrmige Figuren/ so stehet dann der grosse
Triangel
gegen die zwey kleine/ als der
Quadrat
der
Hypotenusa AC.
gegen die
Qua-
Elementa Geometriæ Lib. IV.
Quadra
ten von
AB.
u. von
BC.
Aber der gros- se
Triangel
ist den zweyen kleinen gleich/ die seine Theile seynd/
Ergo
so ist dann auch der
Quadrat
auf die
Hypotenusa AC.
gleich den zweyen □ auf die Seiten
AB. BC.
Fig.
40. Hieraus folget/ daß in einem
410
rechtwinckelichte
Triangel
die Figuꝛ
A.
auf die
Hypotenusa
ist gleich den zwoen Figuren
B.
und
C.
die ihr gleichfoͤrmig/ welche auf seine andere Seiten gemacht seynd/ dann d.
n.
408. diese Figur
A.
verhaͤlt sich gegen die zwo an- deren/ wie der □ der
hypotenusa
gegen de- nen □ der zwo andern Seiten/ aber der □ der
hypotenusa
ist gleich den zweyen andern/
Ergo
so ist dann auch die Figur
A.
gleich den zwoen
B.
und
C.
Fig.
41. Wann die Grundstriche dreyer
411
Triangel/
als
E. F. G.
untereinander in einer gebundenen Ebenmaͤßigkeit stehen/ das ist/ daß ∺
AB. BC. CD. Fig.
41. und daß die zwey aͤusersten
E.
und
G.
gleicher Hoͤhe seynd; Wo der mittelste
F.
dem ersten
E.
gleichfoͤr- mig ist/ so ist er gleich groß mit dem letz- ten
G.
und wo er dem letzten
G.
gleichfoͤr- mig waͤre/ so waͤre er mit dem ersten
E.
gleich groß. Gesetzt nun fuͤr das erste/ daß der
Triangel F.
dem ersten
E.
gleichfoͤrmig ist/ so muß man beweisen/ daß er gleich groß sey dem
Triangel G.
Beweiß.
d.
n.
407. der
Triangel E Triangel F
∷ □
AB.
□
BC.
oder d.
n.
78.
Triangel E. Triangel F
∷
AB.
Elementa Geometriæ Lib. IV.
AB. CD.
Aber auch d.
n. 403 Triangel E. Triangel G
∷
AB. CD. Ergo
d.
n. 70. Tri- angel E. Triangel F
∷
Triangel E. Triangel G. Ergo
d.
n.
68 der
Triangel F
∝
Triangel G.
W. Z. B. W. Der andere
Casus
wird auch also bewiesen.
412
Unter zwoen
Regular
Figuren/ gleiches Um- kreises/ diese ist die groͤste/ die am meisten Seiten hat.
Gesetzt es seye ein
Quadrat Fig.
43. und ein Fuͤnff-Eck
Fig
42 gleiches Umkrei- ses; beschreibet in jeder Figur einen Cir- ckel/ und ziehet die ⊥
Radius AC.
und
BD.
der Circkel in dem Fuͤnff-Eck ist groͤsser als der Circkel in dem □. Dann wann er gleich mit ihm waͤre/ so waͤre auch d.
n
365. der Umkreiß des Fuͤnff-Ecks kleiner als der Umkreiß des □
Ergo
so ist der ⊥
Ra- dius BD.
des Fuͤnff-Ecks/ laͤnger als der ⊥
Radius AC.
des □. Aber der □ und das Fuͤnf- Eck d.
n.
393. seynd ein jeder gleich dem
pro- duct
ihres halben Umkreises mit ihrem ⊥
Ra- dius,
oder der Haͤlffte des
products
ihres Umkreises mit ihrem ⊥
Radius,
selbige Umkreise aber/ seynd einander gleich/ und der ⊥
Radius BD.
des Fuͤnff-Ecks ist groͤs- ser als der ⊥
Radius A C.
des □.
Ergo
so ist dañ auch der Raum in dẽ Fuͤnff-Eck/ groͤsser als in dem □/ und folglich/ unter allen
Re- gular-
Figuren gleiches Umkreises/ seynd die- se die groͤsten/ die am meisten Seiten haben.
Hieraus folget/ daß unter allen
Regu-
lar-
Elementa Geometriæ Lib. IV.
lar
-Figuren gleiches Umkreises/ keine ist/ die so viel Raum in sich haͤlt als der Circkel/ weil man ihn ansehen kan/ als eine
Regular-
Figur von einer unendlich grossen Zahl Seiten.
VI.
Der □ des
Diamete
rs eines Circkels
413
stehet zu der Flaͤche des Circkels; wie der
Diameter
stehet zu dem Viertel der
Circum- feren
tz.
Fig.
44. Es seye
AB.
der
Diameter
eines Circkels/ dessen □ seye
E B.
Es seye auch der
Triangel CBD.
dessen Hoͤhe
C B.
dem
Radius
gleich sey/ und die
Basis B D.
gleich dem Umkreise des Circkels; Es seye
G.
die Mitte von
BD
/ und machet das
Rectan- gulum BK.
Es seye
H.
die Mitte von
BG,
und machet das
Rectangulum BL
dessen Hoͤhe ist der gantze
Diameter
des Circkels. Der Circkel ist gleich d.
n.
383. dem
Trian- gel CBD.
welcher gleich ist/ d.
n.
381. dem
Rectangulo BK.
gleicher Hoͤhe
CB.
aber nur mit der halben
Basis
als
BG.
und die- ses
Rectangulum BK
ist gleich d.
n.
404 dem
Rectangulo BL.
dessen Hoͤhe doppelt ist der Hoͤhe
CB.
aber dessen Grundstrich
BH.
nur die Haͤlffte ist von
BG
/ und folglich/ so ist dann der Circkel gleich diesem
Rectangulo BL.
Aber der □
EB.
des
Diameters
des Cir- ckels/ und das
Rectangulum BL.
haben nur
U
eine
Elementa Geometriæ Lib. IV.
eine Hoͤhe
AB.
Darum d.
n.
403. stehen sie ge- geneinander/ als
BF.
gegen
BH.
das ist/ als der
Diameter
gegen dem Viertheil des Um- kreises. W. Z. B. W.
Ende des vierdten Buchs.
EE-
ELEMENTA GEOMETRIÆ,
Oder
B
ruͤnde der
E
rd- meßkunst.
V.
B
uch. Von denen/ mit Flaͤchen an- stossenden Linien.
J
N den vorigen drey Buͤchern ha- ben wir die Eigenschafften
exami- ni
ret/ der Linien die in einer Flaͤ- che gezogen werden/ und welche flache Figuren
formi
ren/ und die Eigenschafften solcher Figuren; in den drey folgenden/ wollen wir betrachten/ die Linien und die Flaͤchen/ welche auf an- dere Flaͤchen erhoben werden/ und welche auch dichte Figuren/ oder Coͤrper
formi
ren/ und die Eigenschafften solcher dichten Fi- guren.
U 2
CA-
Elementa Geometriæ Lib. V.
Caput I.
Von der Flaͤche und geraden Linie ins gemein.
414
W
Jr nennen
Planum,
eine solche Flaͤ- che/ die uͤber all/ und gegen alle Sei- ten/ weder tieff noch erhoben/ son- dern uͤberall eben ist/ und die man sich un- geendet muß einbilden/ aber wir nennen eine flache Figur/ solche Flaͤche/ die um und um geschlossen und eingeschraͤncket ist.
Eigenschafften.
415
D
Je uͤberall-Gleichfoͤrmigkeit und
uni- formitas
der geraden Linie und der ebenen Flaͤche gibt uns ohne andern Beweiß folgende Eigenschafftẽ zu verstehen.
416
I.
Auf einer ebenen Flaͤche kan man al- lerley Art gerade Linien oder auch krumme Linien ziehen/ wofern sie nur nichts von der Natur des
tirebour,
oder Kraͤtzers an sich haben
Fig.
1.
417
II.
Wann eine gerade Linie zwey ihrer Puncten in einer gewissen Flaͤche hat/ so wird sie gantz und gar in dieser Flaͤche lie- gen.
Fig.
2.
418
III. Fig.
3. Man kan durch zwey gegebe- ne
punct
en
A, B.
oder durch eine gegebene Li- nie
AB.
eine unendliche Zahl ebener Flaͤchen
passi-
Elementa Geometriæ Lib. V.
passi
ren oder durchgehen lassen/ aber durch eine gegebene Linie
A B.
und durch einen Punct
C.
ausser der Linie/ kan man nur eine ebene Flaͤche paßiren lassen/ oder auch/ (welches eins ist) durch drey gegebene Puncten
A, B, C.
kan man nur eine ebene Flaͤche
passi
ren lassen/ wann nemlich selbige Puncten nicht in gerader Ljnie stehen.
Woraus folget erstlich/ daß die Stel-
419
lung einer ebenen Flaͤche
dependi
ret/ oder folget/ aus der Stellung einer gera- den Linie/ und eines Puncts ausser der- selben/ oder kuͤrtzer/ aus der Stellung drey- er Puncten/ die nicht in gerader Linien gesetzt werden.
2.
Fig.
3. Der gemeine Schnitt
A B.
420
zwoer ebenen Flaͤche ist eine gerade Linie.
IV. Fig.
4 Wann man aus dem Punct
C.
auf die gerade Linie
AB.
lauter gerade
421
Linien ziehet/ solche Linien werden alle in einer ebenen Flaͤche seyn/ nemlich die/ welche durch die Linie
A B.
und durch den Punct
C.
fahret.
Woraus folget/ daß zwo Linien die ein-
422
ander durchschneiden/ nothwendig alle bey- de in einer ebenen Flaͤche liegen/ und daß auch alle die Seiten eines △ in einer ebenen Flaͤche liegen.
V. Fig.
5. Zwo ═ Linien
A B. C D.
423
seynd in einer Ebenen Flaͤche.
Dann wann man sich eine Flaͤche ein- bildet/ die durch
AB.
faͤhret/ und durch
C.
U 3
als-
Elementa Geometriæ Lib. V.
alsdann ist es klar/ daß diese Flaͤche auch durch die gantze Linie
CD.
fahren wird; sonsten/ wann solche Linie
CD.
einen Punct
C.
in dieser Flaͤche haͤtte/ und alle ihre an- dere Puncten ausser derselben/ so wuͤrde sie sich je mehr und mehr von dieser Flaͤche unendlich entfernen/ und darum auch von der Linie
AB.
die in selbiger Flaͤche lieget.
Ergo
so waͤre sie dann/ mit
AB.
nicht ═/ welches lauffet wider unsern ersten Satz.
Ergo \&c.
424
VI.
Wann zwey Puncten
A.
und
B. Fig.
6. einer geraden Linie/ also gestellet seynd/ daß der Punct
A.
gleich entfernet seye von zwey Puncten
E.
und
F.
einer andern ge- raden Linie/ und daß auch der Punct
B.
gleich entfernet seye von
E.
und von
F.
al- le die andere Puncten der Linie
AB.
als hier
G.
seynd auch/ ein jeder/ gleich entfernet von
E.
und von
F.
es mag auch diese
EF.
in der Flaͤche der vorigen
AB.
liegen/ oder auf eine Flaͤche/ worauf
AB.
⊥ stehet/ oder wo sie will.
Dann ziehet die Linien
AF. BF. GF.
und
AE. BE. GE.
Alsdann wird der
Triangel ABF.
gleich und gleichfoͤrmig seyn/ mit dem
Triangel ACB.
weil die drey Seiten des ei- nen
respectivè
gleich seynd den dreyen Sei- ten des andern; Weil aber die zwo Linien
GF. GE.
gleicher Weise von ihren Spi- tzen
E.
und
F.
auf ihren gemeinen Grund- strich
AB.
(verlaͤngert oder nicht/) gezogen
seynd
Elementa Geometriæ Lib. V.
seynd/ so seynd die auch einander gleich d.
n.
355. Und folglich/ so ist dann der Punct
G.
auch gleich entfernet von
E.
und von
F.
die- ser Punct
G.
aber/ ist nach belieben auf die Linie
A B.
genommen worden/
Ergo
wann zwey Punct
A.
und
B \&c.
VII.
Wann eine Linie
AB. Fig
7. zwey
425
ihrer Puncten hat als
A.
und
B.
die also gestellet seynd/ daß
A.
gleich entfernet ist von den dreyen Puncten
D. E. F.
einer ge- wissen Flaͤche; und daß
B
auch gleich ent- fernet ist von eben diesen dreyen Puncten
D. E. F.
solche Linie
AB.
hat alle ihre an- dere Puncten auch geich entfernet von eben diesen dreyen Puncten
D.E.F.
Das fol- get aus vorigem Beweiß/ wann man nur die drey Puncten der Flaͤche
D. E. F.
zwey und zwey nach Belieben betrachtet in Ge- genhaltung der zweyen
A.
und
B.
Woraus folget 1. daß solche Linie
AB. Fig.
8. durch das
Centrum C.
eines Cir- ckels fahren muß/ dessen Umkreiß durch die drey Puncten
D. E. F.
fahren wird.
2. Daß alle die Puncten die gleich entfernet seyn koͤnnen/ von diesen drey Puncten
D. E. F.
sich alle in der Linie
A B.
befinden muͤssen.
Fig.
9. Wann drey
punct
en
A. B. C.
ei-
426
ner gewissen Flaͤche/ welche nicht in gera- der Linie stehen/ ein jeder gleich entfernet stehen von den zweyen
punct
en
E.
und
F.
die ausser dieser Flaͤche stehen/ der eine auf
einer
Elementa Geometriæ Lib. V.
einer Seite der Flaͤche/ der andere auf die andere Seite/ so ist ein jeder Punct von sol- cher Flaͤche als
G,
eben so weit gelegen von
E.
als von
F.
Dann ziehet die gera- de Linien
AB. AC.
Man siehet gleich d.
n.
424. daß weil die Linie
AB.
zwey ihrer
pun- ct
en
A.
und
B.
gleich entfernet hat von
E.
und
F.
alle ihre andere Puncten/ werden auch davon gleich entfernet stehen; Eben das wird man mercken/ von allen den Pun- cten der Linie
AC:
zum andern/ durch
G.
ziehet eine Linie welche die zwo vorige
AB. AC.
durchschneide in
H.
und
K.
solche Li- nie wird die zwey
puncte
n
H.
und
K.
gleich entfernet haben von
E.
und von
F. Ergo,
wieder d.
n.
424. alle ihre andere Puncten werden dann auch von denselben gleich ent- fernet stehen/ und darum dann auch/ weil der Punct
G.
nach belieben auf solche Flaͤche genommen worden ist/ so ist das auch wahr von allen andern Pnncten dieser Flaͤche. W. Z. B. W
Caput II.
Von den Linien die auf eine Flaͤ- che
Perpendicular
oder schieff gezogen werden.
Benen-
Elementa Geometriæ Lib. V.
Benennung oder Beschreibung.
E
Jne Linie
AB. Fig.
10. ist ⊥ auf ei-
427
ner Flaͤche/ wann sie sich nicht mehr auf einer Seiten als auf die ande- re neiget/ oder wann sie ⊥ ist auf allen den Linien die auf dieser Flaͤche durch ihren Fuß
C.
gezogen werden.
Eine Linie
EF. Fig.
11. ist schieff auf ei-
428
ner Flaͤche/ wann sie sich mehr auf einer Seiten neiget als auf die andere.
Wann man von dem
punct E.
der schief- fen
EF.
auf die Flaͤche die ⊥
ED.
fallen laͤs- set/ in welcher Flaͤche man auch die Linie
FD
ziehet/ welche die ⊥ und die schieffe zusam- men bindet/ solche Linie
FD.
wird die
pro- jectio obliquæ,
oder/ der Ausfall der Schief- fen genannt.
Eigenschafften.
D
Je Eigenschafften der Linien die auf einer Flaͤche ⊥ und schieff seynd/ seynd ungefehr eben dieselbe/ als von denen Linien/ die ⊥ und schieff seynd auf ei- ner gerade Linie.
I.
Wann eine Linie
AB. Fig.
12. auf ei-
429
ner Flaͤche ⊥ ist/ so machet sie gerade ∠ mit allen den Linien die auf diese Flaͤche durch den Fuß
C.
derselben Linie gezogen werden.
II.
Wann ein
punct A. Fig.
12. der ⊥
AB.
430
gleich entfernet stehet von zweyen
punct
en in der Flaͤche als
E, F.
so seynd alle ihre andere
X
pun-
Elementa Geometriæ Lib. V.
punct
e auch gleich entfernet von denselben zwey
punct
en
E
und
F.
Dann wann man auf diese Flaͤche ziehet die Linien
CE. CF.
die Linie
AC.
wird auf al- le beyde ⊥ stehen d. n. 429. und weil die
hypo- tenusæ AE. AF.
einander gleich seynd und daß die ⊥
AC.
dienet fuͤr alle beyde △. so muͤssen d. n. 183. die entfernungen
CE. CF.
der ⊥ von diesen
punct
en auch einander gleich seyn.
Ergo
so seynd dann
A.
und
C.
der ⊥ von denen zwey
punct
en
E.
und
F.
gleich ent- fernet/ und folglich d. n. 424. alle die
punct
en der ⊥
AC.
stehen gleich entfernet von selbigen zwey
punct
en
E
und
F.
431
Hieraus folget 1°. daß wann ein
punct
der ⊥
A. Fig.
13. gleich entfernet stehet von drey in der Flaͤche genommenen
punct
en
D. E. F.
alle die
punct
en dieser ⊥ werden gleich entfeꝛnet stehen von solchen drey
punct
en 2°. daß alle die
punct
en des Umkreises eines Cir- ckels/ der durch diese drey
punct
e fahret/ alle gleich entfernet stehen von selbigem
punct
3°. daß es eben so gehẽ wiꝛd/ mit denen Umkreisen aller Circkel die nur ein
Centrum
mit dem Ersten haben werden. 4°. Endlich/ daß die ⊥ von solchem
punct A.
auf diese Flaͤche/ durch das gemeine
Centrum
dieser Circkel
C.
fahren wird.
432
III.
Wañ man von einem
punct A Fig.
14. ausser eineꝛ Flaͤchẽ/ eine ⊥
AB.
auf solche fallen laͤsset/ und viele schieffe
AD. AE. AF.
die ⊥
AB.
wird die allerkuͤrtzeste seyn; die am meisten
ent-
Elementa Geometriæ Lib. V.
entfernet/
AD.
ist auch die allerlaͤngste: und die zwo gleich entfernete
AE. AF.
seynd auch einander gleich. Das alles ist schon im an- dern Buch bewiesen worden d. n. 178.
Woraus folget/ daß man aus einem ei-
433
nigen
punct,
nur eine einige ⊥ auf einer Flaͤ- che ziehen kan. Und daß alle schieffe/ die von diesem
punct
kom̃en/ und die einander gleich seynd/ alle mit einander/ in dem Umkreiß ei- nes Circkels fallen.
IV.
Wann eine Linie
AC. Fig.
15 auf ei-
434
ner Flaͤchen schieff faͤllt/ so machet sie unglei- che ∠. mit denen Linien/ welche sie in dieser Flaͤche anstosset oder schneidet/ worauf man einige Anmerckungen machen muß. 1°. Die schieffe
AC.
machet mit einer jeden Linie der Flaͤche zwey ∠. darvon ein jeder das
supple- mentum
ist des andern/ welches von ihm sel- ber clar ist. 2°. der scharffe ∠
ACB.
den sie mit ihrem Ausfall
(projectione) CB.
macht/ ist der kleineste unter allen. 3°. Sie machet ge- rade ∠. mit der Linie
EF.
welche auf ihrem Ausfall
(project:) CB ⊥.
ist.
Dann wañ man aus
C.
als
Centrum,
und mit dem
Radius CB.
einen Circkel beschrei- bet/ der die Linien die aus dem
Centro
kom- men/ schneidet in den
punct
en
G. E F.
und daß man die schieffe
AG. AE. AF
ziehet/ die △
ACB.
und
ACG.
haben die Seite
AC.
gemein/ und
CB. CG.
einander gleich/ aber d. n. 432. die ⊥
AB.
ist kuͤrtzer als die schieffe
AG. Ergo
d. n. 298. so ist der ∠
ACB.
der mit der schief-
X 2
fen
Elementa Geometriæ Lib. V.
fen
AC.
und ihrem Ausfall
CB.
gemacht wird/ der kleineste unter allẽ. Ferner 30.
EF.
ist auf dem Ausfall
CB.
⊥ und die zwey
punct
en
E.
und
F.
sind gleich entfernet von
C.
darum seynd sie auch d. n. 176. gleich entfernet von
B.
der ⊥
BC.
und ebẽ darum auch gleich entfernet von
A.
weil
AB.
⊥ ist auf
BC Ergo
d. n. 177. weil
A.
und
C.
gleich en fernet seynd/ von
E.
und
F.
so ist die Linie
AC.
⊥ auf
EF.
und ma- chet mit derselben gerade Winckels.
435
Woraus folget/ daß der ∠
A C B.
einer schieffen
AC.
mit threm Ausfall
CB.
das rech- te Maaß ist ihrer Schieffe/ oder
inclination
auf dieser Flaͤche.
436
V.
Wann man von einem
punct A. Fig.
16. ausser einer Flaͤche eine ⊥
AB.
und viele schieffen/
AC. AE. AF
fallen laͤsset; die naͤhe- ste
AC.
an der ⊥
AB.
wird am wenigsten schlef seyn/ und die gleich entfernete
AE. AF.
von der ⊥ werden gleich schteff seyn; Welches al- les klar ist durch das vorhergehende.
437
Was wir gesagt haben von den Linien die durch der Oberspitze
A.
einer ⊥
AB.
gezogen werden/ muß auch verstanden werden/ von den Linien/ die von denen Oberspitzen
A.
und
a. Fig.
16. und 17. zwoer gleichen ⊥
AB
und
ab
gezogen worden.
348
VI.
Es folget aus vorhergehendem Be- weißstuͤck/ daß die wahꝛe Zeichen/ woꝛan man erkennen kan/ ob eine Linie auf einer ebenen Flaͤche ⊥ stehet/ folgende seynd 1°. Wann sie die kuͤrtzeste/ oder die am wenigsten schieff ist/
von
Elementa Geometriæ Lib. V.
von allen denen/ die man aus einem ihrer
punct
en auf diese Flaͤche ziehen kan. 2°. wann sie zwey ihrer
punct
en gleich entfernet hat/ von drey
punct
en dieser Flaͤche/ oder wann drey
punct
e dieser Flaͤche/ die nicht in gerader Linie stehen/ ein jeder gleich entfernet seynd/ von zwey
punct
en dieser Linie
3°. Wann sie auf zwoen Linien die sich in dieser Flaͤche schneiden/ nehmlich auf ihrem Creutz-
punct
⊥ stehet.
Caput III.
Von den Flaͤchen die einander durchschneiden.
I.
W
Ann man aufeinem
punct C. Fig.
439
18. des gemeinen Schnitts der zwo Flaͤchen
X.
und
Y.
zwo ⊥ Li- nien ziehet auf selbigen gemeinen Schnitt/ die eine
CD.
in der Flaͤche
X.
und die andere
CE.
in der Flaͤche
Y.
diese zwo ⊥ werden mit einander den ∠
ECD. formi
ren/ groͤssero der kleiner/ nach dem diese zwo Flaͤchen mehr oder weniger gegen einander schieff seyn wer- den.
440
Dieser ∠ ist es nun/ d. n. 435. der das rechte Maaß ist der Schieffe solcher zwoen Flaͤchen/ also daß wann dieser ∠. von 60.
gradus
waͤre/ so wuͤrde man sagen/ daß die Schieffe dieser zwo Flaͤchen gegen einander/
X 3
waͤre
Elementa Geometriæ Lib. V.
waͤre von 60.
gradus
und wann diese zwo Li- nien auf einander ⊥ waͤren/ so wuͤrde man sagen/ daß diese Flaͤchen auch auf einander
perpendicul
ar waͤren.
441
II.
Wann eine Linie
EC. Fig.
19. auf der Flaͤche
X.
⊥ stehet/ so stehet auch die Flaͤche
Y.
die durch diese Linie
EC.
fahret/ ⊥ auf die Flaͤche
X.
dann d. n. 429. solche Linie
EC.
wird auf ihrem gemeinen Schnitt ⊥ seyn/ und auf alle andere Linien als
CD.
die sie in der Flaͤche
X.
anstossen wird.
Ergo
d. n. 440. weil der ∠
ECD.
recht ist/ so ist die Flaͤche
Y.
⊥ auf
X.
442
III. Fig.
20. Wañ zwo Flaͤchen als
Y.
und
Z.
auf eine dritte
X.
⊥ stehen/ so ist auch ihr ge- meiner Schnitt
CE.
auf derselbẽ Flaͤche
X.
⊥.
Dann/ wann man von dem
punct E.
in dem gemeinen Schnitt genommen/ auf die Flaͤche
X.
eine ⊥ fallen laͤst/ nehmlich
EC.
selbige
EC
wird in der Flaͤche
Y
sich befinden/ die der Flaͤche
X.
⊥ ist; eben darum wird sie dann der gemeine Schnitt dieser zwo Flaͤ- chen seyn.
443
Woraus folget/ daß die zwo Flaͤchen
Y.
und
Z.
werden auf
X.
den ∠
DCA. formi
ren/ der da ist das Maaß ihrer Schieffe gegen einander.
Caput IV.
Von den Linien und Flaͤchen die mit eineꝛ andern Flaͤche
parallel
seynd.
Eine
Elementa Geometriæ Lib. V.
E
Jne Linie
AB. Fig.
21. oder eine Flaͤ-
444
che
Y. Fig.
22 seynd mit einer andern Flaͤche
X. parallel,
wann alle ihre
pun- ct
en von selbiger Flaͤche
X.
gleich entfernet stehen. Das ist/ wann alle die
⊥
die von der Linie
AB.
oder von der Flaͤche
Y.
auf die Flaͤche
X.
herunter fallen/ einander gleich seynd.
Eigenschafften.
E
Jne Linie/ oder eine Flaͤche/ die mit ei-
445
ner andern Flaͤche
parallel
laufen/ werden einander nicht anstossen/ wann sie gleich unendlich verlaͤngert werden.
Woraus folget 1°. das wann eine Flaͤche
Z. Fig.
23. zwo
parallel
e Flaͤchen
X.
und
Y.
durchschneidet/ ihre gemeine Schnitt
AB. CD.
werden zwo ═ Linien seyn. 2°. daß wann eine Linie
AB. Fig.
24. mit einer andern Linie
CD
die in der Flaͤche
X.
lieget ═ ist/ so wird sie mit dieser Flaͤche
X.
auch ═ seyn. Dann wann sie auf einer ihrer Seiten selbi- ge Flaͤche anstossen solte/ so wuͤrde sie sich auf der andern Seite/ von derselben Linie
CD.
unendlich entfernen/ welcher sie doch ═ gesetzt oder
præsupponi
ret wird.
II. Fig.
25. Wann zwo Flaͤchen
X.
und
Y.
446
mit einander ═ lauffen/ und daß die Linie
AB. ⊥
auf
X.
stehet/ so ist sie auch
⊥
auf
Y.
Dann/ wann man sich eine dritte Flaͤche
Z.
ein-
Elementa Geometriæ Lib. V.
einbildet/ welche durch
AB
fahret/ die ge- meine Schnitt
AC. BD.
mit denen zwo Flaͤ- chen/
X.
u.
Y.
seynd einander ═ d n. 445. u. machen also ein
parallelogr:
und darum/ weil
AB. ⊥
ist auf
AC.
so ist sie auch d. n. 201.
⊥
auf
BD.
und wann man durch
AB.
eine Flaͤ- che fahren laͤst/ so wird sie wiederum mit ihren gemeinen Schnitt
AE. BF. ⊥
stehen.
Ergo
d. n. 438. wann
AB.
auf
X. ⊥
stehet/ so ist sie auch
⊥
auf
Y.
447
Woraus folget/ daß wann eine Flaͤche
Z. Fig.
26. auf einer von zwoen ═ Flaͤchen/ als
X. ⊥
stehet/ so ist sie auch
⊥
auf der andern ═ Flaͤche
Y.
448
III.
Wann man eine Linie
AB. Fig.
27. ziehet/ welche die zwo ═ Flaͤchen
X.
und
Y.
nicht
⊥
schneidet/ so wird sie auf jede Flaͤche gleich schieff seyn.
Dann/ wann man durch
AB.
eine Flaͤche
Z.
fahren laͤst/ welche auf beyde Flaͤchen
X.
und
Y. ⊥
seye/ die gemeine Schnitt
AC. BD.
werden einander ═ seyn/ und die umwechselende ∠
A.
und
B.
die das Maaß der Schieffe von
AB.
seynd/ auf die zwo Flaͤ- chen
X.
und
Y.
seynd einander gleich d. n. 199.
Ergo \&c.
449
IV.
Wann zwo ═ Linien
AB. CD. Fig.
28. auf eine Flaͤche
X.
fallen/ so werden/ sie auf solche Flaͤche gleich schieff seyn.
Dann machet die zwo Linien
AB. CD.
ein- ander gleich/ und ziehet die zwo Linien
AC.
BD.
Elementa Geometriæ Lib. V.
BD.
und machet auch die zwo Linien
AF. CG. ⊥
auf die Flaͤche
X.
ziehet auch ihre Ausfaͤlle
BF. DG.
weil nun die zwo
AB. CD.
gleich und ═ seynd/ so ist
AC.
aus der Flaͤche
X.
auch ═ mit
BD.
in derselben Flaͤche.
Ergo
so ist dann
AC.
der Flaͤche
X.
auch ═/ wie man es gleich beweisen koͤnte durch
n.
292. wann man eine Zwerch-Linie
AD.
ziehet/ und folglich d.
n.
444. so seynd auch die
⊥ AF. CG.
einander gleich. Aber wann die
⊥
und die schieffe gleich seynd/ so seynd dann solche Schieffe
AB. CD.
d.
n.
183. oder des- sen umgekehrte/ auf die Flaͤche
X.
gleich schieff.
Ergo \&c.
Woraus folget/ daß wann unter zwo
450
═ Linien die eine ist
⊥
auf eine Flaͤche/ so ist die andere auch auf dieselbe Flaͤche
⊥.
V. Fig.
29. Wann eine Flaͤche
Z.
zwo
451
═ Flaͤchen durchschneidet als
X.
und
Y.
so wird die Erste
Z.
auf alle beyde gleich schief seyn.
Dann wann man sich eine neue Flaͤche
V.
einbildet/ die auf dem gemeinen Schnitt
AB. ⊥
seye/ die wird die drey Flaͤchen
X. Y.
und
Z.
schneiden in den Linien
AE. CF. AC.
weil nun die Flaͤchen/
X.
und
Y. parallel
seynd/ die Schnitte der Flaͤche/
Z.
als
AB. CD.
wer- den auch ═ seyn/ wie auch die Schnitte der Flaͤche
V. AE. CF.
und darum dann/ weil durch die Bewerckstellung
AB. ⊥
ist auf die Flaͤche
V.
so ist es
CD.
eben deßgleichen/
Y
und
Elementa Geometriæ Lib. V.
und auch die ∠
EAC. FCA.
werden das Maaß seyn der Schieffe der Flaͤche
Z.
auf die zwo
X.
uñ
Y.
d. n. 440. sie seynd aber umwech- selend/ und d.
n.
199. die umwechselende ∠. zwischen zwo ═ seynd gleich/
Ergo
so ist/ die Flaͤche
Z.
gleich schieff auf die zwo Flaͤ- chen
X.
und
Y.
452
VI. Fig.
30. Wann zwo Linien
CD. EF.
einer dritten
AB.
═ seynd/ so seynd sie auch untereinander
parallel.
Dann wann man einer derselben eine
⊥
Flaͤche
X.
ziehet/ so wird diese Flaͤche d
n.
450. auf die zwo andere Linien auch
⊥
stehen/ und darum d.
n
450. umgekehret/ muͤssen sie alle drey
parallel
seyn.
453
VII. Fig.
31. Wann zwo Seiten
AB. BC.
eines ∠. in einer Flaͤche
Y.
zwoen Seiten
DE. EF.
eines andern ∠. in einer andern Flaͤche
X.
═ sind/ so seynd diese zwey ∠.
ABCDEF.
einander gleich.
Dann ziehet
BH. ⊥
auf die Flaͤche
X.
des ∠
DEF
/ und lasset eine Flaͤche
Z.
fahren/ durch die zwo Linien
BC. BH.
und noch eine andere Flaͤche
V.
durch die zwo Linien
AB. BH.
diese zwo Flaͤchen/ werden die Flaͤche
X.
schneiden in
HI.
und
HG.
weil
BH. ⊥
auf die Flaͤche
X.
stehet/ so ist sie auch
⊥
auf die Flaͤche
Y.
d.
n.
446. die derselben
parallel
ist/ und die zwey ∠
ABC. GHI.
welche die Nei- gung oder Schieffe der zwo Flaͤchen
Z.
und
V. formir
en und anzeigen d. 440. seynd einander gleich/ wie es natuͤrlich klar ist/ aber die Li-
nien
Elementa Geometriæ Lib. V.
nien
GH. HI.
die den zwoen
AB. BC.
═ seynd/ muͤssen auch
parallel
seyn/ d. n. 452. denen Linien
DE. EF. Ergo
weil der ∠
GHI.
gleich ist dem ∠
DEF.
d
n.
200. wie auch dem ∠
ABC.
wie schon gesagt/ so muß der ∠
DEF.
gleich seyn dem ∠
ABC.
wie es natuͤrlich klar.
VIII. Fig.
32. Wann man zwischen zwo
pa-
454
rallel
e Flaͤchen viele Linien ziehet/ die
⊥ AB.
wird die kuͤrtzeste seyn/ die schieffeste
GH.
wird die laͤngste seyn/ und die gleich schieffe
CD. EF.
seynd einander gleich/ das wird be- wiesen wie
n.
191.
IX. Fig
33. Wann drey
parallel
e Flaͤchen
X.
455
Y. Z.
zwo Linien
AB. CD.
durchschneiden/ so werden sie auch ebenmaͤßig schneiden.
Dann wann man von
A.
ziehet die Linie
AE.
═ der Linie
CD.
so wird sie derselben gleich seyn/ d.
n.
203. und folglich die Schnitte dieser Flaͤchen
BE, GH.
werden einander ═ seyn/
Ergo
so werden sie die Linien
AB. AE.
ebenmaͤßiglich schnei- den/ d.
n.
241. aber die Theile
AH. HE.
seynd den Theilen
CL. LD.
gleich d.
n 203. Ergo
die Linien
AB. CD.
seynd auch
proportio-
nirlich geschnitten.
Woraus folget/ daß wann viele Linien
456
AB. AE.
die einen
punct A.
gemein haben/ durch zwo
parallel
e Flaͤchen geschnitten wer- den/ als
Y.
und
X.
so werden sie auch
propor- tion
irlich geschnitten.
X.
So seynd dann die Kennzeichen/ ob
457
zwo Flaͤchen einander
parallel
sind folgende.
Y 2
Wann
Elementa Geometriæ Lib. V.
1°. Wann drey
punct
e der einen/ die nicht in gerader Linie stehen/ gleich entfernet seynd von der andern.
2°. Wann eine Linie oder eine Flaͤche/ diesen zwoen Flaͤchen
⊥
ist.
3°. Wann eine Flaͤche dieselbige beyde durchschneidet/ und gleiche umwechselende ∠. auf dieselbige beyde machet.
4°. Wann zwey oder mehr Linien/ die ei- nen
punct
gemein haben/ durch selbige zwo Flaͤchen
proportion
irlich geschnitten wer- den.
Caput V.
Von denen dichten Winckeln/ oder
angulis Solidis.
458
M
An nennet
Flacher Winckel
/ den ∠
,
der durch zwo Linien auf eine Flaͤche
formir
et ist/ als
ABC. Fig.
35.
459
Man nennet Neigung oder Schieffe der Flaͤchen/ den ∠
DEF.
welchen die zwo Flaͤ- chen
X.
und
Y.
mit einander
formir
en.
Fig
36.
460
Endlich/ nennet man
dichter Winckel
/ die Oeffnung
A. Fig.
37. die mit mehr als zwo Flaͤchen gemacht wird/ und die eine erho- bene Spitze machen; also bestehet dann ein dichter Winckel/ aus vielen Flachen Win- ckeln und Neigungen der Flaͤchen/ welche
Nei-
Elementa Geometriæ Lib. V.
Neigungen sich koͤnnen erheben und bucke- lichtwerden/ oder niedersincken und eine Hoͤh- lung
formir
en.
Eigenschafften.
W
Ann man nichts betrachtet/ als die
461
Flache ∠ die einen dichten ∠.
for- mir
en/ so kan man sie anschau- en/ als
formir
et/ durch mehr als zwo ge- rade Linien/ die einen
punct
gemein haben/ und die nicht in einer einigen Flaͤche gezogen seynd.
Fig.
38. Wañ man von der Spitze des dich- ten ∠.
A.
lauter Circkelbogen auf jede Flaͤchē die ihn
formir
en ziehet/ solche Bogen seynd die Maaß eines jeden flachen Winckels/ und hierauf ist folgende Wahrheit wohl zu mer- cken.
II. Fig.
39. Alle die flache Winckel/ die
462
einen dichten Winckel
A. formir
en/ zusam- men genommen/ seynd kleiner als vier ge- rade Winckels/ es moͤgen die Neigungen der Flaͤchen erhoben seyn/ daß sie lauter Bu- ckels
formir
en/ oder eine Hoͤhlung machen.
Dann/ schneidet ein Stuͤck ab von diesem Coͤrper unter dem dichten ∠
,
selbiger Schnitt wird eine geradlinige Grundflaͤche
formir
en/ als
BCDEF.
die so viel Seiten haben wird/ als ∠ oder △ seynd die den dichten ∠
A for- mir
en. Jn dieser Grundflaͤche nehmet einen
punct G.
aus welchem ziehet Linien auf alle
Y 3
∠. so
Elementa Geometriæ Lib. V.
∠. so wird die Grundflaͤche in so viel △ zer- theilet seyn/ als deren seynd/ die den dichten ∠
A. formir
en/ alle die ∠ solcher △ die in
G.
sich befinden/ seynd vier geraden ∠ gleich d.
n
168. so stehet dann nur zu beweisen/ daß daß die ∠ in
A.
zusammen genommen/ klei- ner seynd/ als die ∠ in
B.
zusammen genom- men. Um das zu thun/ wollen wir setzen daß sich die Spitze
G.
des △
BGC.
auf fei- nen Grundstrich
BC
erhoben habe biß daß der
punct G.
in die Flaͤche des △
ABC.
sich befun- den und ziehet
AG.
biß in
I.
alsdann betrach- tet die zwey △
AGB. AGC.
deren
AG.
ver- laͤngert ist in
I.
d.
n.
278. der ∠
IGC.
ist groͤsser als der ∠
IAC.
Eben d.
n.
278. ist der auch ∠
IGB.
groͤsser als der ∠
IAB. Ergo
der gantze
BGC.
ist groͤsser als der gantze
BAC.
Und eben also wird man beweisen/ daß
CGD
groͤsser ist als
CAD. DGE.
groͤsser als
DAE. EGF.
groͤsser als
EAF.
und
FGB.
groͤsser als
FAB,
und also/ weil alle die ∠ in
G.
4. geraden ∠ gleich seynd/ so seynd alle die ∠ in
A.
kleiner als 4. gerade ∠/ welches zu beweisen war.
Weil ich mir durch meinen vorigen neuen Beweiß einen Vortrag oder
propositio
des
Euclidis
habe unnoͤhtig und unnuͤtz ge- macht/ nehmlich die 20te des 11ten Buchs/ so will ich an statt dieser/ die 3te des 6ten Buchs hieher setzen/ die oͤffters kan ge- braucht werden/ und die uns biß hieher nicht vorgekommen ist/ nehmlich.
Wann
Elementa Geometriæ Lib. V.
Fig.
40. Wann der ∠
ABD.
durch die
463
Linie
BC.
in zwey gleiche Theile getheilet ist/ so stehen die Stuͤcke des Grundstrichs/ nehm- lich
AC.
und
CD.
gegen einander/ wie die zwo Seiten
AB.
und
BD.
und hingegen/ wo sich diese Ebenmaͤßigkeit durch den Schnitt der Linie
BC.
befindet/ da ist der ∠
ABD.
in zwey gleiche Theile getheilet.
Machet in der Verlaͤngerung der Linie
AB.
die Linie
BE
∝
BD.
und ziehet die Linie
ED.
Weil man setzet daß
BE
∝
BD.
so ist d.
n.
286. der ∠
BED
∝ dem ∠
BDE.
und d.
n.
278. so ist der ∠
BDE
∝ dem halben ∠
ABD.
das ist/ gleich dem ∠
CBD. Ergo
d.
n. 205. BC
═
DE.
darum dann/ d.
n.
240.
AB. BE. (BD)
∷
AC. CD.
W. Z. B. W.
Und wann man setzet/ daß
AB. BD. (BE.)
∷
AC. CD.
so ist durch die umgekehrte des
n. 240. BC
═
DE. Ergo
d.
n.
200. der ∠
ABC
∝ dem ∠
E.
und
CBD
∝
BDE.
d.
n. 199. Ergo
d.
ax.
3. der ∠
ABC
∝
CBD.
und
also ist dann der ∠
ABD.
in zwey gleiche Theile getheilet. W. Z. B. W.
Ende des fuͤnfften Buchs.
ELE-
ELEMENTA GEOMETRIÆ,
Oder
B
ruͤnde der
E
rd- meßkunst.
VI.
B
uch.
Caput I.
Von denen Coͤrpern insgemein.
464
M
An nennet
dich
te
Fig
ur ein Coͤrper der mit einer oder mit vielen Flaͤchen umgeben und beschlossen ist.
465
Die Flaͤchen die einen Coͤr- per einschliessen/ koͤnnen entweder eben/ o- der krum/ oder endlich beydes zugleich seyn.
466
Die flache
Figu
ren/ die einen Coͤrper umschraͤncken/
formi
ren durch ihre gemeine Schnitte/ geradlinige
Figu
ren/ Neigungen der Flaͤchen/ und dichte Winckel.
Wann
Elementa Geometriæ Lib. VI.
Wann ein Coͤrper mit Flaͤchen und ebe-
467
nen
Figu
ren/ die einander gleich und gleich- foͤrmig seynd/ umschraͤncket ist/ so wird er ein
Regular-
Coͤrper genennet als
Fig.
1.
Um zu wissen/ wieviel
Regular
e Coͤrper
468
seyn koͤnnen/ so muß man betrachten auf wie vielerley Art man gleichseitige △
,
oder
Quadra
te/ oder
Regular
Viel-Eck bey ein- ander fuͤgen kan/ um dichte Winckel da- mit zu
formi
ren. Und dardurch wird man mercken/ daß nur fuͤnferley Art
Regular-
Coͤrper seyn koͤnnen/ nemlich ein
Tetraͤe- drum
mit 4. gleichseitigen △ umschraͤncket/ als
Figu
r 2. Ein
Octaͤedrum
als
Fig.
3 mit 8. solche △. Ein
Icosaͤedrum
mit 20 solche △ als
Fig.
4. Ein
Exaͤedrum
oder
Cubus Fig.
5. mit 6
Quadrat
umschraͤncket. Und endlich ein
Dodecaͤedrum
mit 12.
Rugular
Fuͤnfeck umschraͤncket als
Fig.
6.
Unter den andern Coͤrpern die mit ebenen
469
Flaͤchen umschraͤncket seynd/ betrachtet man 1°. die
Pyramides,
oder Eckkegel/ die mit lauter △ umfasset seynd/ die alle in ei- nem
punct
sich vereinigen als
O.
und deren Grundflaͤche eine ebene flache
Figu
r
formi
ren als
ABCDE. Fig.
7. oder
ABC. Fig.
8.
2°. Die
Prismata
oder Eckseulen die mit
470
Parallelogramma
umfasset seynd/ und deren die gegenuͤberstehende Grundflaͤchē
ABCDE. abcde. Fig.
9. oder
ABC.
und
abc. Fig.
10. seynd ebene/ einander gleich und gleichfoͤr- mige Flaͤchen.
Z
3°. Alle
Elementa Geometriæ Lib. VI.
471
3°. Alle andere dichte
Figu
ren/ ja auch die
Irregula
re/ werden zu diesen beyden ge- bracht und
reduci
ret.
472
Unter den Coͤrpern die mit krumme Flaͤ- chen umfasset und beschlossen seynd/ ist nur die Kugel allein
Regular Fig.
11.
Alle die
punct
en ihrer Ober-Flaͤche seynd gleich entfernet von ihrem Mittel-
punct
wel- ches ihr
Centrum
genennet wird/ als
C.
473
Unter allen andern Coͤrpern die mit ebe- ne und krumme Flaͤchen umschraͤncket seynd/ betrachtet man hier in der gemeinen
Geome- trie
nur diese/ die durch die gerade oder Cir- cular-Linien
formi
ret werden/
474
1°. Der
Conus
oder Kegel/ der einen Cir- ckel fuͤr seine
basis
hat/ als
AB. Fig.
12. und dessen die Seiten sich in einer Spitze
O.
vereinigen/ wie bey der
Pyramis.
475
2°. Der
Cylindrus
oder Wulst/ hat zwey Circkel
AB.
und
ab. Fig.
13. fuͤr seine Grundflaͤchẽ die einander gleich und
parallel
seynd/ und die Seiten mit lauter gerade Linien umfasset/ wie bey dem
Prisma.
476
3°. Alle andere dichte
Figu
ren die mit ebene und krumme Flaͤchen beschlossen seynd/ werden zu diesen gebracht oder
re- duci
ret.
477
Wann man zwey Coͤrper mit einander vergleichet als
A.
und
B.
so saget man der ei- ne sey dem andern gleich/ wann so viel
ma- teria, Soliditas,
oder Dichtigkeit in dem ei- nen/ als in dem andern ist.
Fig.
14.
Zwey
Elementa Geometriæ Lib. VI.
Zwey Coͤrper als
A.
und
B. Fig.
15. seynd
478
einander gleichfoͤrmig/ wann sie mit glei- cher Zahl gleichfoͤrmiger Flaͤchen beschlos- sen seynd/ das ist/ wann die Linien die den einen umfassen/ gleiche ∠ machen mit den Linien/ die den andern umfassen/ und daß selbige Linien gegen einander ebenmaͤßig seynd.
Caput II.
Von der Ober-Flaͤche der Kugel.
B
Jldet euch ein einen halben Um-
479
kreiß
ABD. Fig.
16. eines Cir- ckels/ welcher sich herum dre- het um seinen
Diamet
er
AB.
als um ei- nen Axt am Wagen/ solche halbe
cir- cumferen
tz/ wird durch diese ihre Bewe- gung/ die Ober-Flaͤche einer Kugel be- schreiben/ und der Raum der in selbi- ger Flaͤche begriffen ist/ heisset Kugel oder
sphæra,
die Mitte
C.
des
Diamet
ers
AB.
ist das
Centrum
der Kugel.
Die gerade Linien
CD. CE. CA.
seynd die
Radius
oder halbe
Diameter
der Kugel.
Die gerade Linien
AB. DE.
die durch
Z 2
das
Elementa Geometriæ Lib. VI.
das
Centrum
fahren/ seynd die
Diamet
er der Kugel.
Der
Diamet
er
AB.
um welchen man den Circkel gedrehet/ heisset der Axt/
Axis.
Die zwey Enden
A.
und
B.
des Arts seynd die
Poli
der Kugel.
Eigenschafften.
480
D
Je uͤberall-Gleichfoͤrmigkeit der Ku- gel/ gleich wie des Cirkels/ gibt ohne andern Beweiß/ folgende Ei- genschafften zu verstehen.
481
I.
Jhre
Radii
seynd einander gleich/ eben so wohl als ihre
Diamet
ers.
482
II.
Wann wir die Kugel
formi
ret ha- ben/ durch die Umdrehung des halben Cir- ckels/ und haben die
punct
en
AB. Fig.
16. fuͤr die Enden des
Diamet
ers darzu gebrau- chet/ so haͤtten wir auch/ die zwey Enden
a. b.
eines jeglichen andern
Diamet
ers/ als
Polos
nehmen koͤñen/ um selbige Kugel zu
for- mi
ren/ weil sie uͤberall gleichfoͤrmig ist/ derowegen kan man einen jeden
Diamet
er als
ab.
zu dem Axt nehmen und gebrau- chen.
483
III.
Wann eine Flaͤche eine Kugel durch- schneidet/ der gemeine Schnitt ist ein Cir- ckel.
Dann 1°. wann der Schnitt durch das
Centrum
gehet/ so ist es klar/ daß dieser Schnitt ein Circkel ist/ der ein einiges
Cen-
Elementa Geometriæ Lib. VI.
Centrum
hat mit der Kugel als
DF. Fig.
17. 2°. wann der Schnitt nicht durch das
Centrum
gehet/ so ziehet vom
Centro C. Fig.
18. auf die Flaͤche des Schnitts die
⊥ CB.
und viele schieffe am Rand als
CD. CE. CF.
solche schieffe werden einander gleich seyn/ weil sie
Radii
der Kugel seynd/ und darum dann d.
n.
183. werden sie von der
⊥ CB
gleich entfernet stehen/
Ergo
so seynd dann die
punct
en
D. E. F. \&c.
in der
circumferen
tz eines Circkels d. n. 129.
Noti
ret/ daß wann man redet von einem Circkel der Kugel/ man dadurch verstehet einen solchen Circkel/ dessen Umkreiß lieget auf die Ober-Flaͤche der Kugel.
IV.
Wann die Flaͤche zweyer Circkel
484
durch das
Centrum
der Kugel fahren/ ihr gemeiner Schnitt
AB. Fig.
19. wird aller beyden
Diamet
er seyn/ und werden sich beyde in zwey gleiche Theile theilen.
V.
Die Manier die wir gebraucht ha-
485
ben/ eine Kugel zu
formir
en/ durch die Bewegung eines halben Circkels/ gibt uns folgende Eigenschafften zu verstehen.
1°. Alle die
punct
en des Umkreises die-
486
ses halben Circkels als
D. d. d. Fig.
20. beschreiben um den Axt lauter Circkel die einander
parallel
seynd.
2°. Alle die
punct
en des Umkreises sol-
487
cher
parallel
Circkel/ seynd gleich entfernet von einem
polus A.
wie auch von dem an- dern
B. Fig.
20. Darum wollen wir forthin
Z 3
diese
Elementa Geometriæ Lib. VI.
diese zwey
punct
en
A.
und
B.
die
polos
nen- nen aller solcher
parallel
Circkel als
ed.
wel- che auf die Ober-Flaͤche der Kugel lie- gen/ weil diese
punct
e
A
und
B.
gleich ent- fernet seynd von allen
punct
en solcher Um- kreisen.
Und den
Diamet
er als
AB.
der von ei- nem
Polus
zum andern gehet/ wollen wir den Axt dieser Circkel nennen.
488
3°. Nun ist es klar/ daß alle diese Cir- ckel nur zwey gemeine
Polos
haben/ und nur einen Axt.
489
4°. Daß ihr Axt auf alle ihre Flaͤchen
⊥
stehet/ und daß er durch alle ihre
Centra
faͤhret/ daß er auch alle Entfernungen solcher Circkel abmesset/ wie auch ihre Entfernungen von dem
Centro
der Kugel/ und von den
Polis.
490
5°. Daß der groͤste unter allen solchen Circkeln
DE. Fig.
20. gleich entfernet ist von beyden
Polis,
und daß dessen Flaͤche durch das
Centrum
der Kugel faͤhret/ daß der kleineste am naͤhesten bey den
Polis
ist/ o- der daß er am weitesten sich vom
Centro
der Kugel entfernet.
491
Endlich/ seynd diese Circkel gleich/ die von dem
Centro
gleich entfernet stehen.
492
6°. Alle Circkel die durch das
Centrum
der Kugel fahren/ werden grosse Circkel der Kugel genennet/ und alle die nicht durch das
Centrum
der Kugel fahren/ werden kleine Circkel der Kugel genennet.
VI.
Jn
Elementa Geometriæ Lib. VI.
VI.
Jn der Beschreibung der Kugel/
493
wann der halbe Circkel
ADB. Fig.
21. ge- kommen ist in
AFB.
so haben die
punct
en
D. d. d.
die Bogen
DF. df. df.
beschrieben/ deren ein jeder eine gleiche Zahl
gradus
in sich begreiffet.
Caput III.
Von der Ober-Flaͤche der Eck- Seule und der runden Seule/ o- der des
Prismatis
und des
Cylindri.
Benennungen.
B
Jldet euch ein/ eine gerade Linie
Aa.
494
einer gewissen Laͤnge die auf die Flaͤche
ABCD.
der
Fig.
22. er- hoben seyn/ um welche
Figur
diese Linie sich beweget immer
parallel
mit ihr selbst/ in- dem ihr Ende
A.
die
Figur ABCD.
be- schreibet/ so wird ihr ander Ende
a
eben so die
Figur abcd.
beschreiben/ die der ersten gleich und gleichfoͤrmig ist/ und alsdann heisset der Raum/ der zwischen diese zwo
Figur
en/ und durch die Bewegung der Linie
Aa.
umschraͤncket ist/
Prisma,
oder Eck-Seule.
Die zwo
Figur
en
ABCD.
und
abcd
seynd die Grundflaͤchen des
Prisma,
wann die Li-
nie
Elementa Geometriæ Lib. VI.
nie
Aa
die durch ihre Bewegung das
Pris- ma
beschrieben hat/
⊥
ist auf die Flaͤche/ so heisset es ein rechtwinckelichtes
Prisma,
wann sie aber schieff drauf ist/ so heisset es ein schieffes
Prisma.
Fig.
23. Wann die Grundflaͤche ein △ ist/ so heisset es ein
triangular,
oder dreyeckich- tes
Prisma.
Fig.
24. Wann die Grundflaͤche ein Viel- Eck ist/ so heisset es ein Vielseitiges
Prisma.
Fig.
25. Wañ aber die Grundflaͤche ein
pa- rallelogrammum
ist/ so heisset das
Prisma
ein
parallelepipedum,
welches ein
Cubus
oder
hexaͤedrum
ist/ wann die Flaͤchen die es umschraͤncken lauter gleiche
Quadrat
seynd.
Fig.
26. Wann die Grundflaͤche ein Circkel ist als
AB.
dann heisset es nicht mehr ein
Prisma,
sondern ein
Cylindrus
oder run- de Seule/ in welchem man nennet Axt die Linie
c D,
die von einem
Centro
zum an- dern kommet.
Der
Cylindrus
kan auch seyn rechtwin- ckelicht oder schieff.
Die Hoͤhe eines schieffen
Prisma
oder
Cy- lindrus
ist die
⊥ b E.
die zwischen die zwo Grundflaͤchen beschlossen ist.
Fig.
22. 26.
Eigenschafften.
495
W
Ann man begreiffet und wohl be- trachtet die vorige Beschreibung der Natur des
Prisma,
so begreifft
man
Elementa Geometriæ Lib. VI.
man auch gantz leicht die folgende Eigen-
496
schafften.
I. Fig.
27. Die Spitze
a.
beschreibet die Linien
ab. bc. cd.
und
da.
welche ═ und gleich seynd ihren
corresponden
ten auf die unterste Grundflaͤche/ welche folglich gleiche ∠
form
i
r
en/ und dann auch eine
Figur
gantz gleich und gleichfoͤrmig mit der untersten Grundflaͤche/ und seynd auch solche zwo Grundflaͤchen einander
parallel.
II. Fig.
27. Wann man an statt des
497
puncts a.
haͤtte den
punct e.
gebraucht/ so haͤtte man die
Figur efgh.
bekommen/ gleich und
parallel
mit den vorigen Grundflaͤ- chen.
Woraus folget/ daß wann man ein
498
Prisma
schneidet/ durch eine Flaͤche die der Grundflaͤche
parallel
ist/ so ist der Schnitt eine gleiche und
parallel
e
Figur,
mit der Grundflaͤche.
III.
Das
Prisma,
ist mit lauter
paralle-
499
logr.
umschraͤncket und beschlossen welche rechtwinckelicht seynd/ wann das
Prisma
rechtwinckelicht ist.
IV.
Man kan einen
Cylindrum
oder
500
Wulst betrachten als ein
Prisma
einer un- endlichen Zahl Seiten/ und derswegen/ muß von dem
Cylindrus
verstanden werden/ al- les was wir von dem
Prisma
gesagt haben.
V. Fig.
28. Wann ein Wulst durch eine
501
Flaͤche geschnitten wird/ so ist der Schnitt entweder ein Circkel als
ab.
oder ein laͤng-
A a
lich-
Elementa Geometriæ Lib. VI.
lichter Circkel/ als
cd.
welcher
Ellypsis
ge- nandt wird.
Caput IV.
Von der Ober-Flaͤche des Eck- Kegels und des runden Kegels.
Das ist/
Der
Pyramis
und des
Conus.
502
B
Jldet euch ein/ eine
Figur
als
ABCD.
und den
punct O. Fig.
29. ausser/ und uͤber ihrer eigenen Flaͤche/ da die Li- nie
AO.
angemacht seye/ und setzet daß sol- che Linie sich bewege/ um die
Figur ABCD.
herum/ und aber an
O.
gehefftet bleibe/ solche Linie wird unterschiedene Flaͤchen beschreiben/ der Raum der in solchen Flaͤ- chen eingeschraͤncket ist/ heisset
Pyramis
oder Eckkegel/ die
Figur ABCD.
ist die Grundflaͤ- che darvon/ wann die Grundflaͤche ein △ ist/ so heisset sie drey Eckichte
Pyramis.
503
Wann eine Drey-Eckichte
Pyramis
um- schraͤncket ist mit lauter gleichseitigen △
,
so heisset sie
Regular-Pyramis
oder
Tetraͤedrum.
504
Wann die Grundflaͤche ein Circkel ist/ so heisset sie nicht mehr
Pyramis,
sondern Ke- gel oder
Conus,
in welchem die Linie
OC,
Fig.
Elementa Geometriæ Lib. VI.
Fig.
30. die von der Spitze
O
im
Centro C.
des Circkels faͤllt heisset der Axt oder
A- xis.
Nachdem der
Axis ⊥
oder schief ist/ auf die Grundflaͤche/ so heisset er recht wincke- lichter
conus,
als
Fig.
30. oder Schiefer
Conus.
als
Fig.
31.
Die Hoͤhe einer
Pyramis
oder eines
Co-
505
nus
ist die
⊥ OE. Fig.
31. die von der Spi- tze auf die Grundflaͤche faͤlt.
Fig.
32. Wañ man die Seite
AO.
fortzie- het in
a
uͤber die Spitze
O.
die Bewegung der Linie
AO.
wird
formir
en einẽ
Conus abO,
der dem ersten/ an der Spitzen gegenuͤberstehet.
Eigenschafften.
I.
E
Jn Eckkegel ist mit lauter △ um-
506
schraͤncket/ die ihre Spitzẽ im
punct O.
haben/ und ihre Grundstriche an der Grundflaͤche des Eckkegels.
II. Fig.
33. Wañ man den Eckkegel durch-
507
schneidet durch eine Flaͤche die der Grund- flaͤche.
ABCD. parallel
seyn/ so wird man gegen die Spitze einen kleinẽ Eckkegel
abcdO.
abschneiden/ der dem Ersten gleichfoͤr- mig seyn wird/ dann die Linien
AO. OB. OC. OD.
die von der Spitze des Ersten Eckkegels auf die Grundflaͤche gezogen werden/ seynd d.
n.
455. ebenmaͤßig ge- schnitten in
abcd.
durch eine
parallel
e Flaͤche
A a 2
und
Elementa Geometriæ Lib. VI.
und weil eben dieselbige Linien dienen fuͤr alle beyde Eckkegels/ so machen sie noht- wendig auf alle beyde gleiche ∠ d.
n. 202. Ergo
die
conditiones
oder Beschaffenheiten/ die den einen Eckkegel
determinir
en/ seynd gleich denen/ die den andern
determinir
en/ woraus folget/ daß die Eckkegel gleichfoͤr- mig seynd. Derowegen seynd auch ihre Grundflaͤchen
ABCD.
und
abcd.
gleichfoͤrmi- ge
Figur
en.
508
III. Fig.
34. Wann man einen Eckkegel in der Laͤnge durchschneidet/ mit einer Flaͤ- che die durch die Spitze
O
gehet/ so ist der Schnitt ein △
Oef.
509
IV.
Man kan einen Kegel oder
Conum
betrachten/ als einen Eckkegel dessen Grund- flaͤche von einer unendlichen Zahl Seiten/ und derowegen/ muß man von dem runden Kegel auch verstehen/ alles was wir von dem Eckkegel gesagt haben.
510
V.
Wann eine Flaͤche einen Kegel in der Laͤnge durch die Spitze schneidet/ so wird der Schnitt
AOB.
ein △ seyn.
Fig.
35. wo er aber nicht durch die Spitze gehet/ so wird er einen krumlinichten Schnitt machen/ nehmlich/ einen Circkel/ als
ab. Fig.
36. o- der eine
Ellypsis
als
cd. Fig.
35. oder eine
Parabola
als
gef. Fig.
36. oder endlich eine
Hyperbola
als
HKL. hkl. Fig.
37.
Und das
Tractat,
der Kegelschnitte/ (
sectio- num conicarum
) bestehet eigentlich in der Nachforschung der Eigenschafften deꝛ
Parabo-
la
Elementa Geometriæ Lib. VI.
la,
der
Ellipsis,
und der
Hyperbola
welche aber in der gemeinen
Geometrie
nicht
tracti
ret werden.
Caput V.
Von der Gleichheit und von dem Maaß der Ober-Flaͤchen der Coͤrper.
Eigenschafften.
W
Ann man eine recht winckelichte
511
Eck-Seule oder einen gerad-win- ckelichten Wulst oder
Cylindrum
auswickelt/ so wird man dadurch bekom- men ein
parallelogr Rectangu
l
um,
dessen der Grundstrich
ABCDA. Fig.
38. oder
ABA.
gleich ist dem Umkreiß der Eck-Seule oder des
Cylindrus,
und dessen Hoͤhe/
Aa.
ihren Hoͤhen gleich seynd.
Und darum dann/ um die Ober-Flaͤche einer Eck-Seule/ oder eines Wulsts zu fin- den/ darf man nur ihren Umkreiß mit ih- rer Hoͤhe
multiplici
ren d.
n.
390.
II. Fig.
39. 40. Aber wann man eine schiefe
512
Eck-Seule/ oder einẽ schiefen
Cylindrum
aus- wickelt/ so wird man eine
irregular Figur
haben/ die da seyn wird/ eine Art eines vermischten
parallelogr.
und sie wird gleich seyn einem
Rectangulo,
der gleiche Hoͤhe
Aa.
und gleiche Breite mit dem Umkreiß
efgh.
haben wird/ welche Breite aber muß
ge-
Elementa Geometriæ Lib. VI.
genommen werden durch eine Linie
efghe.
welche der Hoͤhe des vermischten
paralle- logr. ⊥
ist/ diese ist
formir
et/ durch einen
⊥
Schnitt uͤber die Laͤnge der Eck-Seule oder des
Cylindrus.
Und darum dann/ um die Ober-Flaͤche einer schiefen Eck-Seule oder
Cylindrus
zu finden/ muß man nur miteinander
multi- plici
ren d.
n.
390. die Seite
Bb.
der Eck- Seule oder des
Cylindri
mit ihrem Umkreiß der
⊥
auf die Laͤnge
Aa.
genommen
efgh.
513
III.
Wann ein Eckkegel umschraͤncket ist/ mit lauter △
,
also daß er in einem
⊥ Co- nus
koͤnte eingeschrieben werden/ die Aus- wickelung solches Eckkegels wird bestehen aus lauter gleichschenckelichten △
,
die alle eine Hoͤhe haben werden.
Und darum dann/ um die Ober-Flaͤche solches Eckkegels zu finden/ so darff man nur mit einander
multiplici
ren/ den Umkreiß ihrer Grundflaͤche/ nehmlich
ABCDA. Fig.
41. mit der Haͤlffte der Hoͤhe
OE.
eines von ihren △. d.
n.
391.
514
Aber um die Oberflaͤche eines schiefen Eckkegels zu finden/ so muß man d.
n.
395. die
Summam
machen von allen den Flaͤ- chen der △. die ihn umschraͤncken/ nachdem man ins besondere einen jeden △. d.
n.
391. ausgerechnet.
Fig.
42.
515
IV.
Wann man einen geradwinckelich- ten
Conum
oder Kegel auswickelt/ so be- kommet man einen
Sectorem,
eines Circkels/
dessen
Elementa Geometriæ Lib. VI.
dessen
Radius
gleich ist der Seite
AO. Fig.
43. und der Bogen gleich dem Umkreiß des Circkels der die Grundflaͤche des Ke- gels ist.
Und weil solcher
Sector
d.
n.
384. gleich ist einem geradwinckelichten △. dessen Hoͤhe ist der
Radius
und der Grundstrich sein Bogen/ so folget daraus/ d.
n.
391. daß um diese Flaͤche zu finden/ man nur mit einander
multiplici
ren muß die Haͤlffte der Seite
AO.
mit dem Umkreiß der Grund- flaͤche
ABA.
V.
Wañ man ein Stuͤck
ABab.
eines ge-
516
radwinckelichten Kegels auswickelt/ so wird es eine vermischte Flaͤche machen/ dessen Laͤn- ge ist
Aa.
und die Grundstriche seynd die Bo- gen
aba, ABA
/ die da gleich seynd denen Um- kreisen der grossen und der kleinen Grundflaͤ- che dieses Stuͤcks.
Fig.
44.
Und diese Flaͤche/ durch eine Folge des
n.
397. ist gleich einem
Trapczio,
dessen Brei- te gleich ist der Hoͤhe
Aa.
des Stuͤck-Ke- gels/ und dessen zwo
parallel
Seiten gleich den zweyen Bogen dieser vermischten Flaͤ- che/ aber um diese Flaͤche auszurechnen/ muß man nur d.
n. 392. multiplici
ren/ die- se Breite
Aa.
durch die Mittel-Linie
mnm.
also auch/ um die Oberflaͤche des Stuͤck- kegels auszurechnen/ muß man nur seine Hoͤhe
Aa. multiplici
ren durch den mittel- Umkreiß
mnm.
VI. Fig.
45. Ziehet an einem halben Cir-
517
ckel
Elementa Geometriæ Lib. VI.
ckel die
Tangens Qd.
═ mit dem Axt
AB.
ziehet eine andere
Tangens R S.
wel- che die erste
Qd.
in
R.
schneide/ den Um- kreiß in
D.
anruͤhre/ also daß
DR
∝
DS.
und aus den
punct
en
R. S.
ziehet auf dem Axt
AB.
die
⊥ QL. RN.
wann das also vorbereitet ist/ so ihr den halben Umkreiß um den Axt drehet/ selbiger halber Um- kreiß wird die Oberflaͤche einer Kugel be- schreiben/ die
Tangens SR.
wird die Ober- flaͤche eines Stuͤck-Kegels beschreiben/ wel- che der Kugel umbschrieben ist/ und die Li- nie
RQ
wird die Oberflaͤche eines
Cylin- dri
oder Wulsts beschreiben/ welcher so wohl als das Stuͤck
Conus
/ begriffen seyn wird zwischen die zwo
parallel
Flaͤchen wel- che durch
QL.
und
RN.
beschreiben werden; alsdann sage ich/ daß die Oberflaͤche des Stuͤckkegels gleich seye der Oberflaͤche des
Cylindrus,
oder Wulsts.
Wir wissen schon d.
n.
516. daß um die Oberflaͤche des Stuͤckkegels auszurechnen/ man mit einander
multiplici
ren muß/ die Seite
SR.
mit der
Circumferen
tz die durch
D.
fahret/ und deren
MD. Radius
ist und d.
n.
512. daß um die Oberflaͤche des
Cylin- dri
auszurechnen/ man mit einander
multi- plici
ren muß die Hoͤhe
QR.
mit dem Umkreiß seiner Grundflaͤche das ist/ mit dem Um- kreiß der
NR
fuͤr
Radius
hat/ so muß man dann beweisen/ daß der
product
von
SR.
mit der
circumferen
tz des
Radius MD.
gleich
sey
Elementa Geometriæ Lib. VI.
seye dem
Product
von
QR.
mit der
circum- feren
tz des
Radius NR.
Hierzu/ ziehet
ST. ⊥
auf
NR.
und ziehet auch den
Ra- dius CD.
also werden wir den rechtwin- ckelichten △
SRT.
bekommen der gleich- foͤrmig mit dem △
CMD.
ist/ dann ein jeder hat schon einen rechten ∠. und uͤber dem/ wann man
DM.
fortziehet biß an dem Umkreiß in
E.
weil die Spitze
D.
in dem Umkreiß stehet/ so hat der ∠
SDE,
d.
n.
220. fuͤr sein Maaß die Haͤlffte des Bo- gens
DAE.
das ist/ den Bogen
AD.
nun hat der ∠
MCD.
d.
n.
157. eben den Bo- gen
AD.
fuͤr sein Maaß.
Ergo
der ∠
MCD.
ist gleich dem ∠
SDM.
und darum auch d.
n.
201. gleich dem ∠
SRT.
weil er gleich ist an
SDM.
wegen der ═
MD. NR.
weil dann die zwey △
SRT.
und
MCD.
zwey ∠ einander gleich haben/ so seynd sie auch gleichfoͤrmig d.
n. 349. Ergo
d.
n. 241. CD. MD. SR. ST.
oder an statt
CD.
nehmet
Cd.
die ihr gleich ist d.
n.
139. oder auch
NR.
und an statt
TS.
setzet
QR.
so habt ihr
NR. MD
∷
SR. QR.
und an statt der zwey
Radius NR. MD.
nehmet ihre Umkreiß die d.
n.
362. in eben derselben Verhaltnuß stehen/ so habt ihr den Um- kreiß
NR.
gegen den Umkreiß
MD
∷
SR. QR.
in welcher Ebenmaͤßigkeit wann man die mittelste und die aͤuserste
multiplici
ret/ so ist d.
n.
71. der
Product
von
QR.
mit der
circumferen
tz des
Radius NR.
(welcher
B b
d.
n.
Elementa Geometriæ Lib. VI.
d.
n.
511. gibt die Ober-Flaͤche des
Cylin- drus
) gleich dem
Product
von
SR.
mit der
circumferen
tz des
Radius MD.
(welcher d.
n.
516. gibt die Ober-Flaͤche des Stuͤck- Kegels) W. M. B. W.
518
VII.
Wann hier
BD. Fig.
46. die
Tan- gens
ist in
O.
und daß
OB. OD.
gleich seynd/ die Umdrehung des halben Circkels
COG.
indem sie die Ober-Flaͤche der Ku- gel beschreibet/ so beschreibet auch die Linie
DB.
die Ober-Flaͤche eines Kegels/ wel- cher gleich ist/ d.
n.
515. einem geradwin- kelichten △
,
dessen
BD.
waͤre die Hoͤhe/ und der Grundstrich waͤre der Umkreiß des
Radius DF.
und derowegen d.
n.
381. und 362 auch gleich einem ם dessen Hoͤhe waͤr
BD.
und dessen Grundstrich waͤre der Umkreiß eines Circkels dessen
Diameter
waͤre
DF.
Aus dem
Centro A.
ziehet
AO.
und derselben die ═
DE.
weil nun
BO.
die Haͤlffte ist von
BD.
so ist auch d.
n.
241. der
Radius AO.
die Haͤlffte von
DE. Ergo DE.
ist gleich dem
Diameter CG.
Nun will ich beweisen/ daß der
Product
von
BD.
mit der
circumferen
tz des
Diameter
s
DF.
(das ist d.
n.
515. und 381. die Ober-Flaͤche des
Conus,
) gleich sey dem
Product
der Hoͤ- he des
Conus BF.
mit dem Umkreiß des
Diameter
s
DE.
oder
CG.
(das ist d.
n.
511. der Ober Flaͤche des
Cylindrus HI.
)
Weil
DB. Tangons
ist/ so ist sie d.
n.
213.
⊥
auf
OA,
und also auch d.
n.
201. auf
DE.
Elementa Geometriæ Lib. VI.
DE.
und darum sind die △
DEF. DBF.
gleichfoͤrmig wie bey
n.
409. bewiesen/ weil uͤber dem
DF. ⊥
auf
BE.
ist. Hieraus folget dann d.
n.
241. daß
BD. BF
∷
DE. DF.
und wann man an statt der
Diameter DF.
und
DE
die Umkreiß ihrer Circkel setzet/ welche d.
n.
362. in gleicher Verhaltnus stehen/ so wird folgen d.
n.
71. daß der
Product
von
BF.
mit dem Umkreiß des
Diameter
s
DE.
oder
CG.
(das ist/ d.
n.
511. die Ober- Flaͤche des
Cylindri HI.
) gleich seye dem
Product
von
BD.
mit der
circumferen
tz des
Diameter
s
DF.
(das ist d.
n.
515. der O- ber-Flaͤche des Kegels
DBK.
W. M. B. W.
VIII.
Wann man den halben Circkel
519
mit lauter
Tangentes S. S. S. \&c. Fig.
47. um und um einschliesset/ welche ein hal- bes
regular-polygonum circumscriptum
einer ungleichen Zahl Seiten
formir
en/ und daß man ziehet die ═ Linien
ED. ed. ed. ed. \&c.
durch die
Punct
en wo solche
Tangentes
∠ machen/ und daß man end- lich durch
D.
eine lange
Tangens MN.
zie- het ═ mit dem Axt
AB.
der halbe Cir- ckel/ durch seine Umdrehung um den Axt
AB.
wird die Ober-Flaͤche der Kugel
for- mir
en/ die kleine
Tangentes S. S. S.
werden um diese Kugel lauter Stuͤck-Ke- gel
formir
en/ und zwey kleine gantze Kegel unendlich kurtz gegen die zwey Enden
A.
und
B.
und die Mittelste
dDd.
einen unendlich kurtzen Wulst/ und die Theile
Dd. dd. dd.
B b 2
der
Elementa Geometriæ Lib. VI.
der langen
Tangens MN.
werden lauter gerade Seulen oder Wulst
formir
en/ von gleicher Hoͤhe mit denen Stuͤck-Kegeln oder gantzen Kegeln weil sie zwischen
parallel
e Flaͤ- chen begriffen seynd; Wann alles also
præ- pari
ret/ so folget aus vorhergehenden.
1°. Daß eine jede Ober-Flaͤche der Stuͤck-Kegel d.
n.
517. oder gantzen Ke- gel d.
n. 518. S. S.
gleich ist der Ober-Flaͤ- che
dd. dd.
ihrer
correspondi
renden Seu- le/ welche mit ihm zwischen zwo
parallel
e Flaͤchen begriffen ist. Und die Mittelste
dDd.
weil sie unendlich kurtz ist/ ist nur ei- ne Linie hoch/ und
formir
et also nur die Flaͤche ihrer Seule/ die auch der Kugel gantz und gar zu gehoͤret.
2°. Also ist dann die
Summa
der Ober- Flaͤchen dieser Stuͤck-Kegel und Kegel/ und der Mittelsten Seule
dDd.
alle zu- sammen/ welche die Kugel einschliessen/ gleich der Ober-Flaͤche des grossen
Cylin- drus
der durch die
Tangens MN. formir
et ist/ und der begriffen ist zwischen die zwo Flaͤchen
AM. NB.
die den obersten und untersten unendlich kleinen gantzen Kegel einschraͤncken.
3°. Wann die
Tangentes S. S.
unend- lich klein
præsupponi
ret werden/ so werden sie nichts anders seyn als die
circumferen
tz selbst/ und folglich/ die Ober-Flaͤche solcher Stuͤck-Kegel und Kegel wird nichts an- ders seyn als die Ober-Flaͤche der Kugel
selbst/
Elementa Geometriæ Lib. VI.
selbst/ aber die Ober-Flaͤche solcher Stuͤck- Kegel und Kegel zusammen genommen/ ist gleich der Ober-Flaͤche des
Cylinder
s der mit
MN. formir
et wird;
Ergo
so ist die Ober-Flaͤche der Kugel selbst/ gleich der Ober-Flaͤche einer Seule deren Grund- Flaͤche einem grossen Circkel der Kugel gleich ist und dessen Hoͤhe gleich ist dem
Diame- ter AB.
oder
MN.
Fig.
48. Hieraus folget 1°, daß um die
520
Ober-Flaͤche einer Kugel auszurechnen/ man nur die
circumferen
tz
DED.
ihres gros- sen Circkels
multiplicir
en muß mit ihrem
Diameter AB.
2°. Daß die Ober-Flaͤche der Kugel
521
vier mahl so groß ist als die Flaͤche eines grossen Circkel der Kugel/ durch gegen- haltung mit
n.
396.
3°. Der
Quadrat Ab.
des
Diameter
s der
522
Kugel stehet zu der Ober-Flaͤche
AD.
der gantzen Kugel/ wie der
Diameter AB.
ste- het zu der
circumferen
tz ihres grossen Cir- ckels
DED.
Dann um den
Quadrat
des
Diameter
s zu formiren/ d.
n.
388. muß man den
Dia- meter
mit sich selber
multiplici
ren/ und um die Ober-Flaͤche der Kugel zu
formir
en weil sie der Ober-Flaͤche der vorgedachten Seule gleich ist/ muß man d.
n.
511. den
Diameter
mir dem Umkreiß eines ihrer grossen Circkels
multiplicir
en.
So stehet derowegen d.
n.
403. der
B b 3
Qua-
Elementa Geometriæ Lib. VI.
Quadrat
des
Diameter
s der Kugel gegen ihre Ober-Flaͤche als 7. gegen 22. oder als 113. gegen 255. oder endlich als 100. gegen 314 welches sind die gebraͤuchliche Verhalt- nuͤssen des
Diameter
s eines Circkels gegen seine
circumferen
tz.
523
Die Ober-Flaͤche des
Segmenti
einer Kugel oder einer Kappe so zu sagen/ ist gleich dem
Product,
der
circumferen
tz ihres grossen Circkels mit der Hoͤhe
AE.
solcher Kappe
Fig.
48. Dann sie ist gleich der O- ber-Flaͤche eines
Cylindri
dessen
basis
ist ein grosser Circkel der Kugel/ und die Hoͤhe/ ist die Hoͤhe der Kappe.
524
Eben aus der Uhrsach/ ist die Ober- Flaͤche einer
Zonæ,
oder eines Guͤrtels der Kugel/ welche umschraͤnket ist mit zwey
parallel-
Circkeln
GH.
und
KL. Fig.
48. gleich dem
Product
der
circumferen
tz ihres grossen Circkels mit der
⊥
Hoͤhe
EF.
sol- ches Guͤrtels.
Caput VI.
Von der Verhaltnuͤß der Ober- Flaͤchen der Coͤrper.
525
H
Ier kan man wieder vorbringen al- les was wir von den Flachen
Figu-
ren in dem vierdten Capitel des
vier-
Elementa Geometriæ Lib. VI.
vierdten Buchs gesagt haben/ zu dem man nur noch setzen muß/ daß wann zwey Coͤr- per gleichfoͤrmig seynd/ das ist/ daß sie mit gleichfoͤrmige
Figu
ren umschraͤncket seynd/ ihre Ober-Flaͤchẽ stehen gegen einander/ als die Schnitte die man mit gleichen Umstaͤn- den oder
conditiones
darinnen machen kan/ oder als die
Quadrat
der Linien die gleicher Weise darinnen gezogen werden.
Fig.
49. So stehen derowegen die Ober- Flaͤchen der Kugeln
A.
und
a.
gegen ein-
ander wie die
Quadrat BB.
und
bb.
ihrer
Diameter.
Ende des Sechsten Buchs.
ELE-
ELEMENTA GEOMETRIÆ,
Liber VII.
Von den Coͤrpern odeꝛ dich- ten Figuren/ betrachtet nach Jhrem Coͤrperlichen Jnhalt.
526
U
M den Coͤrperlichen Jnhalt ei- nes Coͤrpers zu erkennen/ muß man eben die
Reflexiones
thun/ und die Gedancken gebrauchen die man gebrauchet hat um die Ober-Flaͤche der Flachen
Figur
en zu er- kennen/ mit diesem Unterscheid/ daß man zu einer Flachen
Figu
r nur zwo
dimensio- nes
betrachten muß/ nehmlich/ Laͤnge und Breite/ und zu einem Coͤrper muß man drey
dimensiones
vor Augen haben/ Laͤn- ge/ Breite und Dicke.
Caput I.
Von den Untheilbahren Thei- len in den Coͤrpern.
Wann
Elementa Geometriæ Lib. VII.
W
Ann man eine Eck-Seule zerthei-
527
let durch lauter
parallel
e Flaͤchen
Fig.
1. deren Dicke unendlich klein und einander gleich seynd/ diese Flaͤchen werden den Coͤrper in lauter Schnitte zer- theilen/ das ist/ in kleine Eck-Seulen de- ren die Grundflaͤchen werden gleich seyn/ den
parallel-
Flaͤchen die durch die Schnit- te geschehen seynd/ und ihre Hoͤhen oder Dicken unendlich klein. Und wann es ein Spitz-Coͤrper waͤre/ diese Flaͤchen werden den Coͤrper in lauter Schnitte zertheilen/ deren Grundflaͤche werden unter einander und mit der Grund flaͤche des Kegels oder Eck-kegels gleichfoͤrmig und
parallel
seyn; Und solche Schnitte nun/ koͤnnen wir
E- lementa
der Coͤrper nennen/ und werden Untheilbar genennet/ weil man ihre Di- cke nicht mehr als theilbar betrachtet. Man kan ein Buch oder ein Karten-Spiel betrachten/ als ein
parallelepipedum
wel- ches auf grober Manier in seine
Elementa
zertheilet ist/ und ein Zwiebel als eine Ku- gel die auch in ihre
Elementa
zertheilet waͤre.
Um nun zwey Coͤrper zu vergleichen/
528
vermittelst ihrer
Elementen,
muß man eben die Gedancken gebrauchen/ die man bey denen
Elementen
der flachen
Figur
en ge- brauchet hat/ das ist/ daß man in acht nehmen muß/ nicht allein die Groͤsse der
C c
Flaͤ-
Elementa Geometriæ Lib. VII.
Flaͤche eines jeden
Element
s/ sondern auch ihre Zahl und ihre Dicke/ welche auch
determini
ret ist durch eine
⊥
Linie die auf alle zusammen gleich schieff ist.
529
Wann man einen Coͤrper zertheilet in lauter geradwinckelichte Wuͤrfel oder
Cu- bus
als
Fig.
2. oder in schieffe Wuͤrffel als
Fig.
3. so wird man sagen/ daß ein solcher Coͤrper in seine Einheiten (
unitates
) zer- theilet ist.
Alles was wir zuvor/ bey den Flaͤchen/ von den Einheiten gesagt haben/ kan man hier auch gebrauchen.
Caput II.
Von den dichten
Figur
en.
Eigenschafften.
530
D
Je Eck-Seulen
Fig.
4. und die Run- de-Seulen
Fig.
5. die gleiche Hoͤhe und gleiche Grundflaͤchen haben/ seynd einander gleich.
Dann wann man sie beyde in ihre
Ele- menta
zertheilet/ es werden sich derselben eine gleiche Zahl in alle beyde finden/ weil sie gleicher Hoͤhe seynd.
Aber ein jedes
Elementum Fig.
4. ist seiner Grundflaͤche gleich/ d.
n.
527.
eben
Elementa Geometriæ Lib. VII.
eben wie ein jedes
Elementum Fig.
5. seiner Grundflaͤche gleich ist/ und solche Grundflaͤ- chen werden gleich
præsupponi
ret/
Ergo
so seynd dann die
Elementa
aus
Fig.
4. und aus
Fig.
5. einander gleich/ und weil sich eine gleiche Zahl gleicher
Elementa
in die- sen Eck-Seulen und Wulst befinden/ nem- lich/ wann sie gleiche Grundflaͤche und gleiche Hoͤhe haben/ so seynd sie dann ein- ander gleich.
Die Eck-Kegel und die Runde-Kegel
531
die gleiche Grundflaͤchen und gleiche Hoͤhe haben seynd auch einander gleich.
Fig.
6.
Dann wann man setzet/ daß sie zwischen zwo
parallel
e Flaͤchen begriffen seynd als
X.
und
Y. Fig.
7. und daß man sie in ihre
Elementa
zertheilet/ durch andere Flaͤchen die mit ihren Grundflaͤchen
parallel
seynd/ ein jedes
Elementum
aus einem/ wird gleich seyn einem jeden
Elemento
aus dem andern/ das ihm
correspondi
ret;
Beweiß. Wann man sie beyde in ihre
E- lementa
zertheilet/ so werden sich dersel- ben eine gleiche Zahl gleicher Hoͤhe in al- len beyden
Figur
en finden/ weil diese
Fi- gur
en gleicher Hoͤhe seynd/ aber d.
n.
527. ein jedes
Element E.
oder
e.
stehet zu sei- nem
correspondent
ē
C.
oder
c
wie die Grund- flaͤche
B.
oder
b.
zu der Grundflaͤche
D.
o- der
d.
nun aber setzen wir daß die Grund- flaͤchen
B.
und
D.
einander gleich seynd/ woraus folget d.
n
70. daß dann auch die
C c 2
Ele-
Elementa Geometriæ Lib. VII.
Elementa E.
und
C.
einander gleich seynd/ so stehet dann nur noch zu beweisen/ daß die Grundflaͤchen
b.
und
d.
auch einander gleich seynd/ woraus folgen wird daß die
Elementa e.
und
c.
auch einander gleich seynd.
Um dieses zu thun/ darff man nur be- trachten daß d.
n.
526. diese kleine Grund- flaͤchen
b.
und
d.
gleichfoͤrmig seynd den grossen
B.
und
D.
und daß die
correspondi-
rende Hoͤhen einander gleich seynd/ als
AO.
∝
FO.
und
aO.
∝
fO. \&c.
Wie auch die Flaͤche
B
∝. der Flaͤche
D.
und also daß d.
n.
346. die gantze Hoͤhe
AO.
gleicher Weise/ oder mit gleichen Beschaf- fenheiten und
conditiones
auf die Grund- flaͤche
D.
gezogen ist/ als die Hoͤhe
aO
auf die Grundflaͤche
d.
und eben auch
FO.
auf
B.
wie
fO.
auf
b.
woraus folget d.
n.
407. daß eben wie der □
fO. b.
∷ □
aO. d.
und
alternando,
d.
n.
80 der □
fO.
□
aO.
∷
b. d.
das ist/ daß alles gleich ist/ weil
aO
∝
fO.
woraus dann endlich folget was man vorhatte/ daß weil der Kegel und der Eck- Kegel ein jeder eine gleiche Zahl gleicher
Element
en in sich begreifft/ so seynd sie am Coͤrperlichen Jnhalt gleich.
532
Ein
Parallelepipedum
kan in zwo Drey- Eckichte Eck-Seulen zertheilet werden/ durch einen Zwerchschnitt
BDdb. Fig.
8. wie solches hier vor Augen und auch d.
n.
317. klar erscheinet.
Eine
Elementa Geometriæ Lib. VII.
Eine Drey-Eckichte Eck-Seule kan in
533
drey gleiche Eck-Kegel zertheilet werden/ deren zwey gleiche Hoͤhe und Grundflaͤche mit der Eck-Seule haben. Welches leicht zu mercken seyn wird/ wann man aus ei- nem Apfel oder Ruͤben eine Drey-Eckichte Eck-Seule
formir
et/ dann diese wird man leicht in drey Eck-Kegel schneiden/ wie es hier die
Figu
r 9. anweiset. Alsdann wird man gleich mercken/ daß wann man sol- cke Eck-Kegel zwey und zwey gegen einan- der vergleichet/ sie gleiche Grund-Flaͤchen und gleiche Hoͤhen haben/ und sich allzeit zwey unter diesen dreyen befinden werden/ welche eben die Grundflaͤche und die Hoͤhe der vorgegebenen Eck-Seule haben/ und folglich/ d.
n.
531. daß sie alle drey einan- der gleich seynd. Die
Fig.
9. ist die gantze Eck-Seule/ und ihre drey Stuͤcke welche drey Eck-Kegels seynd/ kan man in der
Fig.
10. sehen mit ihren rechten Buchstaben also daß man ihre
corresponden
tz mit der
Figur
9. mercken kan/ und in denselben alles was man von ihnen indem gesagt. Die zwey
D.
und
E.
haben eben die Hoͤhe der Eck-Seule nehmlich
Aa.
und
Cc.
und eben die Grundflaͤche nehmlich/ die △
ABC.
und
abc,
die zwey
E.
und
F.
aber haben fuͤr ihre Grundflaͤchen die zwey gleiche △
BCb.
und
bCc.
und ihre Spitzen alle beyde in einem einigen
punct a, Ergo
so haben sie dann auch gleiche Hoͤhe.
C c 3
Hieraus
Elementa Geometriæ Lib. VII.
534
Hieraus folget/ daß ein Drey-Eckichter Eck-Kegel das dritte Theil ist einer Drey- Eckichten Eck-Seule gleicher Hoͤhe und gleicher Grundflaͤche.
535
Alle Eckkegel seynd das Drittel einer Eck- Seule gleicher Hoͤhe und gleicher Grund- Flaͤche. Dann man kan die Eck-Seule und auch den Eck Kegel
Fig.
11. zertheilen/ in einer gleichen Zahl anderer Drey-Eckkichten Eck- Seulen und Eck Kegel/ und d.
n.
534. ein je- der Eck-Kegel als
OABE.
wird das Drittel seyn einer jeden Eck-Seule
abeEBA.
die ihm
correspondi
ret/
Ergo,
so ist dann auch der gantze Eck-Kegel das dritte Theil der gantzen Eck-Seule.
536
Fig.
12. Man kan einen Kegel und ei- nen Wulst betrachten/ als eine Eck-Seu- le und einen Eck-Kegel deren Grundflaͤ- che eine unendliche Zahl Seiten hat.
537
Derowegen ist dann auch ein Kegel das Drittel einer Seulen oder Wulsts gleicher Grundflaͤche und gleicher Hoͤhe.
538
Fig
13. Das Stuͤck eines Drey-Eckichten Eck-Kegels
ABCDEF.
welches gemacht durch einen Schnitt
DEF.
der mit der Grundflaͤche
ABC
═ ist/ kan in drey Eck- Kegel zertheilet werden/ die gegen einander stehen werden/ in gebundener
proportion
der
correspondent
en Seiten von der Ober- und Grundflaͤch. Als hier zum
Exempel,
wie
AC
gegen
ED
und zwar also/ daß die aͤusersten von diesen drey Eck-Kegeln/ eben
die
Elementa Geometriæ Lib. VII.
die Hoͤhe des vorgegebenen Stuͤcks haben/ der eine aber mit der Grundflaͤche
ABC.
und der andere mit der Grundflaͤche
EFD.
der Erste ist hier
ABCD.
der andere
AEBD.
und der dritte
EFDB.
Dann die △
ADC. ADE.
welche zwi- schen zwo ═
AC. ED.
begriffen seynd/ stehen gegen einander d.
n.
403. als ihre Grundstriche
AC.
und
ED.
aber weil die zwey Eck-Kegel
ABCD.
und
ADEB.
von gleicher Hoͤhe seynd/ in dem sie ihre Spi- tzen alle beyde in
B.
haben/ so stehet d.
n.
403 der △
ADC.
zu dem △
ADE.
als der Eck-Kegel
ABCD.
zu dem Eck-Kegel
ADEB. Ergo
d.
n.
70. der Eck-Kegel
ABCD.
steht zu dem Eck-Kegel
ADEB
∷
AC. DE.
Zum Andern/ die zwey Eck-Kegel
AEBD.
und
EFBD.
wann man den
Punct D.
fuͤr ihre gemeine Spitze nimmet/ ste- hen gegen einander d.
n.
403. als ihre Grundflaͤchen
AEB. FEB.
aber diese zwey △ d
n.
403. weil sie gleicher Hoͤhe seynd/ stehen gegen einander als
AB.
gegen
EF.
oder d.
n.
241. als
AC.
gegen
ED. Frgo
d.
n.
70. so stehet dann auch der Eck-Kegel
AEBD.
zu dem Eck-Kegel
EFBD
∷
AC. ED.
wo- raus erhellet/ dieser
Geometri
sche Fortgang/ in der Verhaltnuß von
AC.
gegen
ED
∺ Eck-Kegel
ABCD.
Eck Kegel
ADEB
Eck- Kegel
EFBD.
W. Z. B. W.
Hieraus folget/ weil man allerhand Eck-
539
Kegel in
triangular
e Eck-Kegel theilen kan/
daß
Elementa Geometriæ Lib. VII.
daß allerhand Stuͤck Eck-Kegel kan zerthei- let werden in drey andere Eck-Kegel die ge- bundener Weise ebenmaͤßig seynd in
ratione laterũ homologorum,
das ist/ in Verhaltnus ihrer
correspondent
en Seiten/ darvon der Erste und letztere die zwo Grundflaͤchen des Stuͤcks fuͤr ihre Grundflaͤche haben/ und gleiche Hoͤhe mit
demgantzen
Stuͤck Kegel.
540
Weil der Circkel angesehen wird als ein Viel-Eck einer unendlichen Zahl Seiten/ so kan auch ein Stuͤck-Kegel zertheilet werden in drey andere Kegel die gebundener Weise ebenmaͤßig seynd in Verhaltnuß der
Diame- ter
der gegenuͤberstehenden Grundflaͤchen darvon der Erste die unterste Grundflaͤche haͤtte und der Letzte die oberste und welche gleich hoch waͤren mit dem Stuͤck-Kegel.
541
Man kan eine Kugel betrachten als eine Zusammensetzung von Eck-Kegeln deren al- le die Spitzen/ im
Centro
stehen/ und ihre unendlich kleine Grundflaͤchen in der Ober- flaͤche der Kugel/ welche alle den
Radium
der Kugel fuͤr ihre gemeine Hoͤhe haben
Fig
14. Alle diese zusammen genommen/ seynd gleich einem Eck-Kegel oder einem runden Kegel gleicher Hoͤhe/ und dessen Grundflaͤche gleich waͤre allen diesen Grundflaͤchen zusammen/ das ist/ der O- berflaͤche der Kugel.
542
Derowegen/ ist die Kugel gleich einem Eck- oder runden-Kegel dessen Grund-
flaͤche
Elementa Geometriæ Lib. VII.
flaͤche gleich ist der Oberflaͤche der Ku- gel und dessen Hoͤhe waͤre der
Radius.
Alle dichte Figuren koͤnnen in Eck-
543
Seulen oder in Eck-Kegels zertheilet werden.
Caput III.
Von dem Maaß der dich- ten
Figu
ren.
M
An saget der Coͤrperliche Jnhalt
544
eines Coͤrpers sey bekandt/ wann man weiß wieviel er gemeine Maaß in sich haͤlt.
Fig.
15. Das Maaß der Coͤrper ist ein
Cubus
oder Wuͤrfel/ dessen alle Seiten gleich seynd/ und einer bekandten Maaß lang/ als eines Schuhes/ einer Ruhten/ einer
Toise \&c.
Fig.
16. An statt eines geradwincke-
545
lichten
Cubus
koͤnte man auch wol einen schieffwinckelichten brauchen/ dessen Flaͤchen lauter
Rhombus
oder Rauten waͤren.
Eigenschafften.
D
Je Eck-Seulen und die runde Seu- len
Fig.
17. und 18. seynd gleich dem
546
Product
ihrer Grund-Flaͤche mit ihrer Hoͤhe oder Laͤnge.
D d
Dann
Elementa Geometriæ Lib. VII.
Dann zertheilet die Grund-Flaͤche in ihre viereckichte Einheiten
Quadrat
oder
Rhombus,
und theilet auch ihre Hoͤhe in sol- che Theile die den Seiten solcher
quadra
ten oder
Rhombus
gleich seynd/ und lasset lau- ter Flaͤchen durchziehen die mit der Grund- Flaͤche
parallel
lauffen/ die gantze Figur wird in so viel Schnitte zertheilet seyn als Theile in der Hoͤhe sich befinden/ und ein jeder Schnitt haͤlt in sich so viel
cubi
sche Ein- heiten als die Grund-Flaͤche
quadra
ten oder
Rhombus
in sich hat.
Ergo
wann man die Zahl der Einheiten der Grund-Flaͤche
mul- tiplici
ret mit der Hoͤhe oder Laͤnge/ so be- kommet man die Zahl der Coͤrperlichen Einheiten/ oder den Coͤrperlichen Jnhalt der Eck-Seule/ oder runden Seule.
Jm vierdten Buch haben wir die Ma- nier angewiesen/ wie man die Grund- Flaͤchen finden soll/ oder die Zahl ihrer flachen Einheiten.
547
Noti
ret aber/ daß die Einheiten der Eck-Seulen oder der runden Seulen wer- den geradwinckelichte
Cubus
oder Wuͤrffel seyn/ wann ihre Linien die man mit einan- der
multiplici
ret auf einander
⊥
fallen/ aber wann sie schief aufeinander fallen/ werden sie auch schieffe Wuͤrffel machen.
548
Fig
19. Die schieffe Eck-Seulen und runde Seulen seynd gleich dem
product
ih- rer Grund-Flaͤche durch ihre
⊥
Hoͤhe.
Dann die schiefe Eck-Seulen und
runde
Elementa Geometriæ Lib. VII.
runde Seulen seynd gleich d.
n.
530. den rechtwinckelichten die mit ihnen gleicher Grundflaͤche und gleicher Hoͤhe seynd; nun aber d.
n.
546. seynd diese letzte gleich dem
product
ihrer Grundflaͤche mit ihrer
⊥
Hoͤ- he/
Ergo \&c.
Noti
ret/ daß wann die Einheiten der
549
Grundflaͤchen rechte
Quadrat
seynd/ und daß die Linien womit man sie
multiplici
ret auf selbige Grundflaͤche auch
⊥
seynd/ die
cubi
sche Einheiten die heraus kommen in solchen Figuren seynd geradwinckelichte
Cubus.
Dieser erste Vortrag mit seinen An-
550
merckungen dienet zum
principium
oder
fun- dament
vor alle Coͤrperliche Jnhalt.
Fig.
20. Die Eck-Kegel und runde
551
Kegel seynd gleich dem dritten Theil des
products
ihrer Grundflaͤche mit ihrer
⊥
Hoͤhe.
Dann d.
n
535. der Eck-Kegel und runde Kegel seynd das dritte Theil der Eck- Seulen und runden Seule gleicher Hoͤhe und gleicher Grund-Flaͤche.
Fig
21. Wann man von einem Stuͤck
552
Eck-Kegel oder runde Kegel/ die oberste und unterste Grundflaͤche
addir
et/ selbige auf- hebet/ und darnach diese zwo Grundflaͤchen auch miteinander
multiplici
ret/ von dem
Product
die
Radix quadrata
ausziehet/ selbige
Radix
zu der vorigen Summa
addi
ret/ und was davon kommet
multiplici
ret mit der
D d 2
Hoͤhe
Elementa Geometriæ Lib. VII.
⊥
Hoͤhe des Stuͤcks/ das dritte Theil des
Products
gibt den begehrten
cubi
schen Jn- halt des Stuͤck-Kegel.
Dann diese
Operatio
gibt die
Summa
dreyer Kegel die in gebundener Ebenmaͤs- sigkeit stehen/ und welche alle die Beschaf- fenheiten an sich haben/ die ihnen nach un- serm vorhergehendem Beweißstuͤck
n.
538. zukommen. Dann die oberste und unter- ste Flaͤche dieses Stuͤcks d.
n
527. seynd gleichfoͤrmige Figuren/ und darum stehen sie gegeneinander d.
n.
407. wie die □ der gleicher weise darinnen gezogenen Linien/ oder der
correspondir
enden Seiten; Es seye dann eine derselben Flaͤchen genandt
aa,
die andere
bb,
und die
⊥
Hoͤhe sey
c;
wañ ich die zwo Flaͤchen miteinander
multiplicir
e d.
n.
15. so ist der
Product aabb,
und die
Ra- dix quadrata
davon d.
n.
18 ist
ab.
Wañ ich hier zu
addire
die
Summa
der zwo Flaͤchẽ
aa + bb
und
Multiplicir
e dieses alles mit der Hoͤhe
c,
so kom̃et
aac + abc + bbc
und das Drittel darvon ist ⅓
aac + ⅓ abc + ⅓ bbc.
wel- ches ist das
facit
der
operation
die hier vor- geschrieben wird. Nun sihet man in diesen 3. Groͤssen d.
n.
551. 15. daß ⅓
aac
die Groͤsse ist eines Kegels der
aa
zur Grundflaͤche und
c
zur Hoͤhe hat; daß ⅓
abc
die Groͤsse eines andern Kegels ist dessen Grundflaͤche
ab
und
Elementa Geometriæ Lib. VII.
und dessen Hoͤhe auch
c,
und daß die dritte ⅓
bbc
die Groͤsse eines dritten Kegels waͤre/ dessen Grundflaͤche
bb
mit eben derselben Hoͤhe
c,
darnach siehet man d
n
72. daß diese drey Grundflaͤchen
aa, ab, bb
in einer gebun- denen Ebenmaͤßigkeit stehen/ und d.
n.
38. daß derselben gemeine Verhaltnuß ist als
a
gegen
b
das ist d.
n.
407. wie die
corre- spondi
rende Seite oder wie die gleicher weise in den beyden Grundflaͤchen
aa
und
bb
ge- zogene Linien/ so muß man dann endlich schliessen d.
n.
538. daß diese Summe ⅓
aac + ⅓ abc + ⅓ bbc
die Groͤsse auswei- set des vorgegebenen Stuͤck-Kegels.
Die Kugel ist gleich dem dritten Theil
553
des
Products
von ihrer Oberflaͤche mit ih- rem
Radius.
Dann d.
n.
542. sie ist gleich einem Kegel dessen
basis
gleich waͤre ihrer Oberflaͤche und dessen Hoͤhe ihr
Radius.
Was alle andere Coͤrper angehet/ die
554
muß man alle durch eingebildete Schnitte in lauter Eck-Seulen oder Eck-Kegel zer- theilen.
Dann eben wie man alle
irregular
ge-
555
radlinichte flache Figuren/ mit Zwerch
li
- nien in lauter △ zertheilen kan/ nehmlich so viel △ als die Figur Seiten hat weniger zwey; Eben so kan man auch alle
irregular
e Coͤrper die mit ebenen Flaͤchen umgeben
D d 3
seynd
Elementa Geometriæ Lib. VII.
seynd in lauter Eck-Kegel zertheilen; nehm- lich in so viel Eck-Kegel als die Figur un- terschiedene Flaͤchen hat/ weniger so viel/ als da Flaͤchen seynd/ die den dichten ∠
formi-
ren/ in welchem alle die Spitzen der Eck-Ke- gel versammlet seyn werden; und der da kan nach belieben ausgesehen werden/ dar- um dann/ um desto weniger Eck-Kegel zu haben/ ist es besser daß man zu diesem
punct
der Versammlung aller Spitzen der Eck-Kegeln/ auslese den dichten ∠, der mit der groͤsten Zahl-Flaͤchen
formi
ret ist.
Caput IV.
Von der Vergleichung und Verhaltnus der Coͤrper.
556
W
Jr haben gesehen/ was fuͤr Linien man mit einander
multiplici
ren muß/ um den Coͤrperlichen Jnhalt der dichten Figuren zu entdecken; wir wol- len solche Linien die
producen
ten der dichten Figuren nennen.
557
Wañ man eine dichte Figur mit einer an- dern
compari
ren oder vergleichẽ will/ so muß man allezeit
præsupponi
ren uñ voraus setzen/ daß die
producen
ten der einen und die
produ- cen
ten der andern mit einander gleiche ∠
machen/
Elementa Geometriæ Lib. VII.
machen/ damit die Einheiten in allen beyden einander gleich seyen. Solche Einheiten wer- den rechte geradwinckelichte Wuͤrffel seyn wann die
producent
en auf einander
⊥
stehen/ aber schieffe Wuͤrffel als Rauten/ wann die
producen
ten auf einander schief seynd.
Eigenschafften.
Z
Wo dichte Figuren stehen gegen einan-
558
der als der
Product
der
Producen
ten der einen/ gegen dem
Product
der
Producen
ten der andern.
Dann d.
n.
546. und 548. eine jede solcher Figuren ist solchem
Product
gleich/ oder doch einem aufgehenden Theil des- selben.
Ergo
d.
n.
66. stehen sie gegen ein- ander als die
Product
ihrer
Producen
ten.
Woraus folget/ daß wann man zwo
559
dimensiones
des vorgegebenen Coͤrpers mit- einander
multiplici
ret/ um die Grundflaͤche desselbigen zu
formi
ren/ und daß man sol- che Grundflaͤche alsdann/ als ein einiges
Producent
der dichten Figur anschauet/ so wird man hier
applici
ren und zueignen koͤnnen/ alles was man zuvor von den fla- chen Figuren gesagt hat Nehmlich/
1°. Die Coͤrper welche gleiche und un-
560
gleiche
Producent
en haben/ stehen gegen ein- ander/ wie die ungleiche. d.
n.
403.
Das ist/ wann die Grund- oder Ober- flaͤche
AB
und
ab
gleich seynd/ so stehen sie
gegen
Elementa Geometriæ Lib. VII.
gegen einander wie die Hoͤhen/
BC
und
bc Fig.
22.
Fig
23. Oder/ welche die Hoͤhen
BC
und
bc
einander gleich haben/ die stehen gegen einander wie die Grundflaͤchen
A
und
a.
561
Notir
et/ daß wann ihr Eck-Kegel/ run- de Kegel/ oder Kugel mit Eck-Seulen oder mit runde Seulen vergleichet/ so muͤsset ihr nur das dritte Theil ihrer Hoͤhe oder ihrer Grundflaͤch nehmen/ weil sie nur das Drit- tel der Seulen gleicher Grundflaͤche und gleicher Hoͤhe seynd d.
n.
535. 542.
562
Fig.
24. Die dichte Figuren welche ihre
Producent
e in wiederkehriger
proportion
haben/ seynd einander gleich d.
n.
404. Als wann
BC. bc
∷
a. A.
Das ist/ wann die Hoͤhe
BC.
eines Coͤrpers und seine Grundflaͤche
A.
die aͤussersten Saͤtze in ei- ner
proportion
seynd/ und daß die Grund- flaͤche
a.
und die Hoͤhe
bc.
eines andern Coͤrpers die mittelsten Saͤtze darvon seynd/ so seynd solche Coͤrper einander gleich.
563
3°.
Fig.
25. Wann die zwey
produ- cen
ten eines Coͤrpers
BC.
und
A. propor- tional
seynd/ den zweyen
producen
ten
bc.
und
a.
eines andern Coͤrpers/ als/ wann
BC bc
∷
A. a.
so stehen solche Coͤrper ge- gen einander als die
Quadrat
der
correspon- dir
enden
producen
ten d.
n.
407.
Das ist/
Fig.
25. Wann die Hoͤhe
BC.
des einen sich verhaͤlt zu der Hoͤhe
bc
des andern wie die Grundflaͤche
A.
des er-
sten
Elementa Geometriæ Lib. VII.
sten zu der Grundflaͤche
a.
des andern/ so ste- hen solche Coͤrper gegen einander wie die
Quadrat
der zwoen Hoͤhen
BC.
und
bc.
4°. Aber wann die drey
dimensiones
564
BC. CD. DE. Fig.
26. eines Coͤrpers
pro- portional
seynd den dreyen
dimensiones bc. cd. de.
eines andern Coͤrpers/ so stehen sol- che zwey Coͤrper gegen einander/ als die
Cubus
der
correspondi
renden
dimensiones
gegen einander.
Als wann
BC bc
∷
CD. cd
∷
DE. de.
das ist/ wann die Laͤnge
BC.
des ersten/ sich verhaͤlt gegen der Laͤnge
bc.
des andern; wie die Breite
CD.
des ersten/ gegen der Brei- te
cd.
des andern/ und die Hoͤhe
DE.
des ersten zu der Hoͤhe
de
des andern/ so wer- den sich solche zwey Coͤrper gegen einander verhalten/ als der
Cubus
der Laͤnge
BC.
des ersten/ gegen dem
Cubus
der Laͤnge
bc.
des andern. Dann man siehet d.
n.
544. daß die erste Figur gleich ist dem
Product
der ersten Saͤtze
BC. CD DE.
und die an- dere gleich dem
Product
der andern Saͤtze
bc. cd. de.
Aber d.
n.
77. der
Product
der 3. ersten Saͤtze stehet zu dem
Product
der drey andern/ wie der
Cubus
eines ersten Satzes gegen dem
Cubus
eines andern Satzes;
Ergo \&c. Euclides,
und andere sagen hier/ die er- ste Figur stehe zu der andern/
in ratione triplicata laterum homologorum,
das ist/ in dreyfacher Verhaltnus der
correspon
denten
E e
Seiten/
Elementa Geometriæ Lib. VII.
Seiten/ es ist dieselbe Meynung/ aber unsere Auslegung ist leichter.
565
5°. Derowegen so stehen dann die gleichfoͤrmige Coͤrper gegen einander als die
Cubus
der Linien die gleicherweise in denselben gezogen werden.
566
Die Kugel
Fig.
27. stehet zu der ihr umbeschriebenen runden Seule/ als 2. ge- gen 3. das ist/ daß sie die zwey Drittel der- selben ist.
Dann d.
n.
553. 1°. um den Coͤrper- lichen Jnhalt der Kugel auszurechnen/ muß man ihre Ober-Flaͤche mit dem Drittel ih- res
Radius multiplici
ren/ aber um ihre Ober- Flaͤche auszurechnen d.
n.
520. muß man die
circumferen
tz ihres grossen Circkels durch ihren
diameter multiplici
ren/ also seynd dann die
producen
ten der Kugel; das Drit- tel des
Radius,
die
circumferen
tz ihres gros- sen Circkels/ und der
diameter.
2°. Um den Coͤrperlichen Jnhalt der umbeschriebenen runden Seule zu haben/ muß man d.
n.
546. seine Grund-Flaͤche durch seine Hoͤhe
multiplici
ren.
Aber d
n.
396 um seine
basis
auszurechnen/ die ein Circkel ist/ muß man miteinander
multiplici
ren/ ihre
circumferen
tz/ die gleich ist der
circumferen
tz des grossen Circkels der Kugel/ durch die Haͤlffte ihres
Radius;
also daß die
producen
ten der rundẽ Seule seynd; der
diameter
der Kugel/ die
circumferen
tz ihres grossen Circkels/ und die Haͤlffte ihres
Radius
Elementa Geometriæ Lib. VII.
Radius.
Aber d.
n.
38. die Kugel stehet zu dem umbschriebenen
Cylindrus,
als die un- gleiche
Producen
ten/ das ist/ als ⅓ des
Ra- dius
gegen ½
Radius,
oder als
\frac{2}{6}
gegen
\frac{3}{6}
oder als 2. gegen 3. W. Z. B. W.
Die Kugel
Fig.
28. stehet zu dem
Cu-
567
bus
ihres
diamet
ers/ als das ⅙ der
Cir- cumferen
tz ihres grossen Circkels zu ihrem
diamet
er.
Dann wir haben gesagt d.
n.
541. und 553. daß die
Producen
ten der Kugel seynd das Drittel des
Radius
oder das ⅙ des
diamet
ers/ der
diamet
er/ und die
cir- cumferen
tz ihres grossen Circkels; oder welches ein Ding ist/ der
diamet
er/ der
diamet
er/ und das ⅙ der
circumferen
tz ihres grossen Circkels: Und die
Producent
en des
Cubus
seynd/ der
diamet
er/ der
diame-
ter/ der
diamet
er;
Ergo
d.
n.
38. so stehet die Kugel zu dem
Cubus
ihres
diamet
ers/ als die ungleiche
Producent
en/ das ist/ als das ⅙ der
circumferen
tz eines grossen Circkels gegen ihrem
diamet
er.
E e 2
Wor-
Elementa Geometriæ Lib. VII.
Woraus folget/ daß weil die
circumfe- ren
tz des Circkels zu dem
diamet
er stehet als 22 zu 7. oder als 66. zu 21/ wie
n.
522. gesagt/ so stehet die Kugel zu dem
Cubus
des
diame-
ters als 11. gegen 21. oder naͤher als 355. gegen 678. wann man nehmlich setzet/ daß die
circumferen
tz zu dem
diamet
er stehet/ als 355. gegen 113. oder endlich/ als 314. gegen 600. gesetzt/ wann die
proportion
ist als 314. gegen 100.
Finis Elementorum
Geometriæ.
Zum Ersten mahl gedruckt den
29.
Julii,
1706.
R
egi-
R
egister der Buͤcher und Capittel.
E
rstes
B
uch.
De proportionibus,
oder von den Ebenmaͤßigkeiten.
_ _
I.
Cap. I.
Vorbereitungs-Capittel. Von der Art und Weise die
Species
der
Arith- metica
zu
practici
ren/ mit solchen Groͤssen/ die mit Buchstaben bezeichnet seynd/ nach Art der neuen
Analysis
oder
Algebra,
so weit nehmlich uns dieses hier noͤhtig seyn kan. _ _
2
.
II.
Von dem Gantzen und dessen Theilen. _ _
10
.
III.
Von den Verhaltnuͤssen/ und von der Ebenmaͤßigkeit oder
proportion.
_ _ 12.
IV.
Von der Art zwo Groͤssen zu ver- aͤndern/ ohne daß ihre Verhaltnuß veraͤn- dert werde. _ _
19
.
V.
Eigenschafften der Ebenmaͤßigkei- ten und
proportion.
_ _
25
.
VI.
Art und Weise vier ebenmaͤßige Groͤssen/ auff unterschiedene Weise zu ver- gleichen/ also daß allezeit eine
proportion
unter ihnen bleibe. _ _
33
.
VII.
Von der
Progression,
oder ge- bundenen Ebenmaͤßigkeit. _ _
35
.
Problemata,
oder Werckstuͤcke/ betreffend die
Geometri
sche
progression.
_ _
38
.
VIII.
Jnhalt
VIII.
Von der
Arithmeti
schen Ver- haltnuß und
Progression.
_ _ 40.
Werckstuͤcke derselben. _ _
43
.
Auslegung einiger Zeichen/ die wir in folgenden Buͤchern auch brauchen wol- len. _ _
47
.
Zweites Buch.
_ _
49.
Cap. I.
Von den Linien insgemein. _ _
50
.
II.
Von den Circkel-Linien. _ _
52
.
III.
Von den Winckeln. _ _
58
.
IV.
Von der Bleyrechten oder
Per- pendicular-
Linie. _ _
62
.
V.
Von den
Parallel-
Linien. _ _
68
.
VI.
Von den Linien die in und aus dem Circkel gezogen werden. _ _
75
.
VII.
Von den
proportional-
Linien. _ _
85
.
Drittes Buch.
_ _
95 Von den flachen Figuren/ be- trachtet nach ihrem Umkreiß/ und
den Linien die man drinnen ziehen kan.
Cap. I.
Von den flachen Figuren ins- gemein. _ _
96
.
II.
Von denen
Triange
ln. _ _
99
.
III.
Von den viereckichten Figu- ren. _ _
110
.
IV.
Von denen Viel-Ecken. _ _
113
.
V.
Von
der Buͤcher und Capittel.
V.
Von denen gleichfoͤrmigen Figu- ren. _ _
123
.
Vierdtes Buch.
Von den flachen Figuren/ be- trachtet nach ihrem Jnhalt/ oder nach dem Raum den sie einschlies- sen.
_ _
131
.
Cap. I.
Von den Untheilbaren Thel- len in den Flaͤchen. _ _
132
.
II.
Von der Gleichheit der flachen Figuren/ nach ihrem inwendig begriffenen Raum betrachtet. _ _
135
.
III.
Von dem Maaß des Raums der flachen Figuren. _ _
140
.
IV.
Von der Verhaltnus der fla- chen Figuren gegen einander/ in Ansehung ihres eingeschlossenen Raums. _ _
144
.
Fuͤnfftes Buch.
_ _
155
Von denen mit Flaͤchen anstos-
senden Linien.
Cap. I.
Von der Flaͤche und geraden Li- nie ins gemein. _ _
156
II.
Von den Linien die auf eine Flaͤche
perpendicular
oder schief gezogen werden. _ _
160
III.
Von den Flaͤchen die einander durchschneiden. _ _
165
.
IV.
Von
Jnhalt der Buͤcher und Capittel.
IV.
Von den Linien und Flaͤchen die mit einerandern Flaͤche
Parallel
seynd. _ _
166
.
V.
Von denen dichten Winckeln oder
angulis solidis.
_ _
172
.
Sechstes Buch.
_ _
176
Cap. I.
Von denen Coͤrperninsgemein _ _
176
II.
Von der Oberflaͤche der Coͤrper. _ _
179
III.
Von der Oberflaͤche der Eck-Seu- le und der runde Seule/ oder der
Primadis
und des
Cylindri.
_ _
183
.
IV.
Von der Oberflaͤche des Eck-Ke- gels und des runden Kegels/ oder der
Py- ramis
und des
Conus
_ _
186
.
V.
Von der Gleichheit/ und von dem Maaß der Oberflaͤche der Coͤrper. _ _
189
.
VI.
Von der Verhaltnuͤß der Ober- flaͤche der Coͤrper. _ _
198
.
Siebendes Buch.
_ _
200
Von den Coͤrpern oder dichten
Figuren/ betrachtet nach ihrem Coͤrperlichen Jnhalt.
Cap. I.
Von den Untheilbaren Theilen in den Coͤrpern. _ _
200
.
II.
Von den dichten Figuren. _ _
202
III.
Von dem Maaß der dichten Fi- guren. _ _
209
.
IV.
Von der Vergleichung und Ver- haltnus der Coͤrper. _ _
214
.
Regi-
Register. W
o man in diesen
Elemen- tis
die vornehmste Vortraͤge des
Euclidis
finden kan.
Euclidis Lib. I.
Propositiones Euclidis. Numeri Elementorum.
4. — — —
293
.
5. — — —
286
.
6. — — —
285
.
8. — —
292
.
9. — —
171
.
10. — —
149
.
11. — —
185
.
12. — —
185
.
13. —
166
.
167
.
174
.
14. — —
158
.
15. — —
169
.
16. — —
180
.
18. — —
286
.
19. — —
285
.
22. — —
300
.
23. — —
170
.
24. — —
298
.
25. — —
299
.
26. — —
295
.
27. —
199
.
200
.
201
.
28. 29. —
205
.
30. — —
452
.
Propositiones Euclidis. Numeri Elementorum.
31. — —
206
.
32. —
226
.
276
. —
280
.
33. — —
203
.
34. —
313
.
317
.
35. — —
379
.
36.
37. — —
380
.
38.
41. — —
381
.
47. — —
409
.
Euclidis Lib. III.
3. — —
208
.
209
.
14. — —
210
.
15. — —
211
.
16. — —
212
.
17. — —
232
.
18. — —
213
.
19. — —
214
.
20. — —
219
.
21. — —
222
.
F f
Proposi-
Propositiones Euclidis. Numeri Elementorum.
31. —
223
.
224
.
225
.
32. — —
220
.
35. — —
246
.
36. 37. —
250
.
251
.
Euclidis Lib. IV.
5. — —
151
.
6. — —
339
.
11. — —
340
.
15. — —
337
.
Euclidis Lib. V.
7. — —
68
.
8. — —
69
.
9. — —
68
.
10. — —
69
.
11. — —
70
.
12. — —
62
.
14. — —
67
.
15. —
64
.
65
.
16. — —
81
.
17. — —
83
.
18. — —
82
.
19. — —
63
.
Euclidis Lib. VI.
2. — —
240
.
3. — —
463
.
4. — —
349
.
Propositiones Euclidis. Numeri Elementorum.
5. — —
350
.
6. — —
351
.
7. — —
352
.
8. —
248
.
223
.
9. — —
207
.
10. \&
corollarium
207
.
11. — —
254
.
12. — —
253
.
13. — —
255
.
14. — —
404
.
16. — —
71
.
17. — —
72
.
405
.
18. — —
367
.
19. — —
407
.
20.
22. — —
408
.
23. — —
400
.
31. — —
410
.
Euclidis Lib. XI.
1. — —
417
.
2. — —
422
.
3. — —
420
.
6. umgekehrt —
449
.
8. — —
450
.
9. — —
452
.
10. — —
452
.
17. — —
455
.
18. — —
441
.
19. — —
442
.
Proposi-
Propositiones Euclidis. Numeri Elementorum.
21. — —
462
.
32. — —
557
.
33. — —
564
.
34. — —
562
.
36. — —
558
.
40.
Scholium.
—
546
.
Propositiones Euclidis. Numeri Elementorum.
Euclidis Lib. XII.
1. — —
407
.
2. — —
407
.
7. — —
533
.
11.
Scholium.
‒ —
560
.
ERRATA,
in der Vorrede.
Pag. 2. Lin.
26. mit grossen/ leset/ mit
gros- sem.
p. 4. l.
5. von allen/
l. von aller.
p. 4. l.
10. groͤssen/
l. Groͤssen.
p. 5. l.
14. dle/
l. die.
p. 6. l.
23. nach welche/
l. nach welcher.
p. 6. l.
24. voͤlliger/
l. voͤllig.
p. 7. l.
26. drrchgangen/ leset
durchgegangen.
Jn dem Werck selbst.
Pag. 13. Lin penult.
seiner/ leset
einer.
pag. 14. lin.
23. alle Saͤtze/
l. alle beyde Saͤtze.
P. 16. l.
9. klein/
l. unendlich klein.
p. 16. l.
10. gese- tzet/
l. geschaͤtzer.
p. 26. l. 21. dividi
ret haben/
l.
dividi
ret werden/ so haben sie.
p. 55. l.
16. andere/
l anderen.
ibid. l
21 eine/
l. ein.
p. 57. l.
4. von unten auf/ d.
n.
140.
l. d.
n. 141. p. 59. l.
12. puckellicht/
l buckelicht.
p.
61. 13. durch
n.
165.
l. durch
n. 166. ibid. lin.
3. von unten auf/ d.
n.
138.
l d.
n. 139. p. 63 l. 17. n.
173.
l.
169.
p. 64. n. 17. ⊥ CG.
l.
⊥ CD. p. 66. l.
11. schieff auch gleich/
l. auch gleich schieff.
p. 67. l.
12. wann zwey/
l. wann von zwey.
p. 70. l.
2. be- weise/
l. beweisen.
p. 70. l.
3. von unten/ durch- schneiden koͤnnen/
l. durch schneiden muͤssen.
p. 71. l.
8. Raums/
l. Raum.
p. 72. l.
6. gegenuͤber-
stehen-
stehenden
EFB.
l. gegenuͤberstehenden inwen- digen
EFB. p. 72. l.
18. und 19. seynd. Durch/
l. seynd/ durch.
p. 75 l.
19. theilen wird/
l. thei- len werden:
p. 77. l. 6. Diametro
stehen/
l.
cen- tro
stehen.
p 88. l. 24. AB. CD.
den andern
EF. GH.
l
AB. EF.
den andern
CD. GH. ibid. l. 27. AB. EF.
l.
AB. CD. ib. l. 29. CD. GH
l.
EF. GH. ib. ult.
der zweyen/
l. von
CD. CF.
der zweyen.
p. 89. l.
2. begriffe/
l. begriffen.
ib. l. 22. AB. AD.
l.
AB. AD
∷
p. 91. l. 18. Fig
113.
l.
Fig. 118. p. 91. l 25. Fig.
113.
l.
Fig. 118. p. 94. l.
16 dann
DE. CE
∷
CE. FE.
l. dann d.
n. 248. DE. CE. \&c. p. 97. l. ult.
durch gegebene/
l. durch die gegebene
p. 100. l.
1. 2. Winckel/
l. Circkel.
p. 107. l.
1. ei- nem △.
l. einen
△.
P. 108. l.
3. stehet/
l. stehet d.
n. 286. p. 110. l. ult.
eichnet/
l. zeichnet.
p. 119. l.
12. die zwo d.
n.
279. △
l. die zween
△
d.
n. 279. p. 123. l. 6. Caput II.
l.
Caput VI. p. 126. l.
22. gleich seynd/
l. gleichfoͤrmig seynd.
p. 127. l.
22. seynd sie/
l. so seynd sie.
p. 136. l. 5. Parallelogr.
ein/
l.
Parallelogr.
d.
n.
313.
ein.
p. 149. l.
3. so seyen/
l. so seynd.
p. 158. l. 27. Triangel ACB.
l.
Triangel AEB. P. 170. l. 20. ABCDEF.
l.
ABC. DEF. p 174. l.
15 und 16. ist der auch/
l. ist auch der.
p.
179 im
Tit.
des
Cap.
der Kugel/
l. der Coͤrper.
p 188. l.
17. Seiten/
l. Seiten ist.
p. 193. l. 21. MD. SR.
l.
MD
∷
SR. p. 198. l.
10 Hoͤ- he
AE.
l. Hoͤhe
AG. p. 201. l.
23. ein Zwiebel/
l. eine Zwiebel.
p. 204. l.
8. d.
n
526.
l. d.
n. 527. p. 207. l.
22. sie/
l. sie.
im Register der Ca- pittel soll zwischen
pag.
113. und 123. dieses stehen.
V.
von den Regular-Viel-Ecken.
— 115.
Das erste Buch hat keine
Figu
ren.
FIGURA ELEMENTORUM Lib. II.
II.
III.
IV.
FigurÆ Elementorum Lib.
III.
V.
VI.
VII.
VIII.
FIGURA ELEMENTORUM LIB. IV. IX.
X.
XI.
FIGURA ELEMENTORUM LIB. V. XII.
XIII.
XIV.
XV.
XVI.
XVII.
FIGURÆ ELEMENTORUM LIB. VII.
XVIII.
XIX.
XX.