VORLESUNGEN
ÜBER DIE
ALGEBRA DER LOGIK
(EXAKTE LOGIK)
VON
Dr.
ERNST SCHRÖDER
, WEILAND PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU KARLSRUHE IN BADEN
ZWEITER BAND ZWEITE ABTEILUNG
HERAUSGEGEBEN IM AUFTRAG DER DEUTSCHEN MATHEMATIKER-VEREINIGUNG VON
Dr.
EUGEN MÜLLER,
PROFESSOR AN DER OBERREALSCHULE ZU KONSTANZ MIT EINEM BILDNIS ERNST SCHRÖDERS
LEIPZIG
DRUCK UND VERLAG VON
B. G. TEUBNER
1905
Verlag von
B. G. Teubner
in
Leipzig
.
Encyklopädie
der Mathematischen Wissenschaften
, mit Einschluß ihrer Anwendungen. Hrsg. im Auftrage der Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien, sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen. In 7 Bänden zu je 6—8 Heften. gr. 8. geh.
Bisher erschien
:
I.
Arithmetik und Algebra,
2 Teile, red. von
W. Frz. Meyer.
I. Teil. [XXXVIII u. 554 S.] geh. ℳ. 17. —, in Halbfranz geb. ℳ. 20. —
II. Teil. [X u. S. 555—1197.] geh. ℳ. 19. —, in Halbfranz geb. ℳ. 22. —
II.
Analysis,
2 Teile, red. von
H. Burkhardt
und
W. Wirtinger.
I. Teil. Heft: 1. [160 S.] 1899. ℳ. 4. 80; 2./3. [240 S.] 1900. ℳ. 7. 50; 4. [160 S.] ℳ. 4. 80. 5. [199 S.] 1904. ℳ. 6. —
II. Teil. Heft: 1. [175 S.] 1901. ℳ. 5. 20.
III.
Geometrie,
3 Teile, red. von
W. Frz. Meyer.
II. Teil. Heft: 1. [160 S.] 1903. ℳ. 4. 80.
II. Teil. Heft: 2. [96 S.] 1904. ℳ. 2. 80.
III. Teil. Heft: 1. [183 S.] 1902. ℳ. 5. 40.
———— Heft: 2/3. [256 S.] 1903. ℳ. 6. 80.
IV.
Mechanik,
2 Teile, red. von
F. Klein
u.
C.H. Müller.
I. Teil. I. Abt. Heft: 1. [121 S.] 1901 ℳ. 3. 40; 2. [156 S.] 1902. ℳ. 4. 60. 3. [156 S.] 1903. ℳ. 4. 60.
—— II. Abt. Heft: 1. [152 S.] 1904. ℳ. 4. 40.
II. Teil. Heft: 1. [147 S.] 1901. ℳ. 3. 80; 2. [131 S.] 1903. ℳ. 3. 80.
V.
Physik,
2 Teile, red. von
A. Sommerfeld.
I. Teil. Heft: 1. [160 S.] 1903. ℳ. 4. 80.
———— Heft: 2. [159 S] 1905. ℳ. 4. 80.
II. Teil. Heft: 1. [280 S.] 1904. ℳ. 8. —
Unter der Presse
:
VI. 1:
Geodäsie
und
Geophysik,
red. von
Ph. Furtwängler
und
E. Wiechert.
VI. 2:
Astronomie,
red. von K. Schwarzschild.
In Vorbereitung
:
VII.
Historische, philosophische und didaktische Fragen
behandelnd, sowie
Generalregister.
Encyclopédie
des sciences mathématiques pures et appliquées
. Publiée sous les auspices des Académies des sciences de Göttingue, de Leipzig, de Munich et de Vienne avec la collaboration de nombreux savants. Édition française, rédigée et publiée d’après l’édition allemande sous la direction de
Jules Molk
, professeur à l’université de Nancy. En sept tomes. Tome I: vol. 1, fasc. 1. [160 pag.] gr. 8. 1904. n. ℳ. 4. —
Ahrens,
Dr.
W.,
Scherz und Ernst in der Mathematik
. Geflügelte und un- geflügelte Worte. [X u. 522 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. ℳ. 8. —
Bachmann,
Dr.
Paul,
Professor in Weimar,
Zahlentheorie
. Versuch einer Gesamt- darstellung dieser Wissenschaft in ihren Hauptteilen.
Fünfter Teil
. Allgemeine Arithmetik der Zahlenkörper. [XXII u. 548 S.] gr. 8. 1905. geh. n. ℳ. 16. —, in Leinw. geb. n. ℳ. 17. —
Bauer,
Geheimrat Dr.
Gustav,
Professor an der Universität München,
Vorlesungen über Algebra
. Herausgegeben vom Mathematischen Verein München. Mit dem Porträt Gustav Bauers als Titelbild und 11 Figuren im Text. [VI u. 396 S.] gr. 8. 1903. geh. n. ℳ. 12. —, geb. n. ℳ. 13. —
Bruns,
Dr.
Heinrich,
Professor an der Universität Leipzig,
Wahrscheinlichkeits- rechnung und Kollektivmaßlehre
. [VIII u. 310 S. u. Anhang 18 S.] gr. 8. 1906. In Leinw. geb. ca. n. ℳ. 8. —
Cesàro, Ernesto,
Professor der Mathematik an der Königl. Universität zu Neapel,
elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infini- tesimalrechnung
. Mit zahlreichen Übungsbeispielen. Nach einem Manuskript d. Verf. deutsch hrsg. von Dr. G.
Kowalewski
, Professor an der Universität Greifswald. Mit 97 Figuren im Text. [VI u. 894 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. ℳ. 15. —
Fisher,
Dr. phil.
Irving,
Professor der Nationalökonomie an der Yale Universität,
kurze Einleitung in die Differential- und Integralrechnung
(
Infini- tesimalrechnung
). Aus der durch mehrere Verbesserungen des Verfassers vervollständigten dritten englischen Ausgabe übersetzt von N.
Pinkus
. Mit 11 Fi- guren im Text. [VI u. 72 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. ℳ. 1. 80.
Genocchi, Angelo
,
Differentialrechnung und Anfangsgründe der Inte- gralrechnung
, herausgegeben von
Giuseppe Peano
. Autorisierte deutsche Über- setzung von Professor Dr. G.
Bohlmann
in Berlin und A.
Schepp
, weiland Ober- leutnant a. D. in Wiesbaden. Mit einem Vorwort von A.
Mayer
. [VII u. 399 S.] gr. 8. 1899. In Leinw. geb. n. ℳ 12. —
VORLESUNGEN
ÜBER DIE
ALGEBRA DER LOGIK
(EXAKTE LOGIK)
VON
Dr.
ERNST SCHRÖDER
, WEILAND PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU KABLSRUHE IN BADEN
ZWEITER BAND. ZWEITE ABTEILUNG
HERAUSGEGEBEN IM AUFTRAG DER DEUTSCHEN MATHEMATIKER-VEREINIGUNG VON
Dr.
EUGEN MÜLLER,
PROFESSOR AN DER OBERREALSCHULE ZU KONSTANZ. MIT EINEM BILDNISS ERNST SCHRÖDERS.
LEIPZIG
DRUCK UND VERLAG VON
B. G. TEUBNER
1905
ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
Ernst Schröder †.
Von J.
Lüroth
in Freiburg i. Br.
Am 16. Juni 1902 starb
Ernst Schröder
, großh. badischer Hofrat und Professor der Mathematik an der technischen Hochschule Karlsruhe, nach einer Krankheit von nur wenigen Tagen an Gehirn- entzündung. Mit ihm ist ein guter und liebenswürdiger Mensch, ein tüchtiger Mathematiker, und mir vor allem ein lieber und treuer Freund verschieden, mit dem mich seit vierzig Jahren nahe Beziehungen verbanden.
Indem ich es unternehme, dem Verblichenen hier einige Blätter der Erinnerung zu weihen und über seine mathematischen Leistungen zu berichten, verhehle ich mir nicht die Schwierigkeiten, die mit dieser Aufgabe verbunden sind. Sie haben ihren Grund in dem Forschungs- gebiete, das Schröder besonders in den letzten Jahrzehnten pflegte, das von den gewöhnlichen Wegen mathematischer Bethätigung weit ab liegt. Wenn ich auch, durch den öfteren Verkehr mit
Schröder
, vielleicht etwas mehr in den Logikkalkul eingeweiht bin als manche Fachgenossen, so bin ich von einer gründlichen Vertrautheit weit ent- fernt; und ich muss daher die Kenner bitten, den Bericht über diese Dinge nachsichtig zu beurteilen.
Ernst Schröder
stammte aus einer ursprünglich hannoverschen Familie. Sein Vater war G. Fr.
Heinrich Schröder
Die in Anführungszeichen gesetzten Stellen sind fast wörtlich einer kurzen Selbstbiographie entnommen, die Schröder seinem Bilde im „Geistigen Deutsch- land“ beigegeben hatte.
, „der sich durch viele mineralogische, chemische und physikalische Arbeiten, am meisten vielleicht als Vorläufer Pasteurs durch seine Untersuchungen über Fil- tration der Luft“ eine geachtete Stellung in der Wissenschaft erworben hatte. Zuerst in seiner Vaterstadt München am polytechnischen Zentral- institut, dann an der Kantonschule in Solothurn thätig, siedelte er 1840 nach Mannheim über, wo ihm die Direktion der höheren Bürgerschule
a*
Ernst Schröder †.
übertragen wurde, aus der später das Realgymnasium hervorging. Er leitete diese Schule bis zu seiner 1873 erfolgten Pensionirung, nach der er 1876 seinen Wohnsitz in Karlsruhe nahm, wo später ausser seinem ältesten Sohne
Ernst
noch ein zweiter Sohn in hoher Staats- stellung thätig war. Er starb am 11. Mai 1885. Als erstes Kind aus seiner Ehe mit
Karoline Walther
, der Tochter des Pfarrers und Seniors
Walther
in Haunsheim, wurde Ernst am 25. November 1841 in Mannheim geboren. Er genoss zunächst zu Hause, dann zwei Jahre lang bei seinem Grossvater Walther eine vortreffliche Erziehung. Sein gutes Wortgedächtniss und ein grosses Sprachtalent befähigten den Kna- ben, der dem Unterricht von anderen Zöglingen seines Grossvaters bei- wohnte, spielend das Lateinische so weit zu erlernen, dass er im Alter von acht Jahren ziemlich gewandt lateinisch sprach.
„Diese Frühreife hatte jedoch auch ihre Schattenseiten, indem sie den Knaben auf Unterrichtsgemeinschaft mit meist sehr viel älteren Genossen verwies, ihn der gleichaltrigen Spielkameraden beraubend und so den Grund zum Sondertum und einem Hang zu Einsamkeit legte.
Diesem Übelstande wurde einerseits entgegengewirkt durch mehr- malig freiwilliges Repetiren und Hospitiren in dem nun folgenden Besuch der drei Oberklassen der Schule seines Vaters, wo neuere Sprachen, Chemie und Naturgeschichte ihn besonders anzogen und er auch den Unterricht des namhaften Mathematikers
August Weiler
(der heute noch in Karlsruhe lebt) genoss.
Andererseits wurde derselbe gemildert durch die Pflege jeder Art von körperlicher Kräftigung gewidmeten Sports. Endlich wurde
Schröder
vor dem Übergang zum Gymnasium vier Monate lang zu einer befreundeten Oberförstersfamilie gegeben“. Im Jahre 1856 ging
Schröder
an das Lyceum in Mannheim über und trat in die viert- oberste Klasse, damals Unterquinta geheissen, ein.
Schröder
muss mit seinen Mitschülern wenig Beziehungen gehabt haben. Er selbst kam nie auf solche zu sprechen, und, wenn ich, der zwei Jahre hinter ihm dieselbe Anstalt durchlaufen hat, manchmal solche Genossen erwähnte, zeigte sich gewöhnlich, dass
Schröder
sie kaum kannte. Im Herbste des Jahres 1860 bekam er das Zeugniss der Reife. „Begeisterung für Naturerkenntniss und reges Interesse an philo- sophischen Spekulationen zeigten sich schon früh, so dass die Berufs- wahl nicht schwer fiel und im zehnten Lebensjahre schon für
Schröder
der Plan fest stand, sich mathematischen und physikalischen Studien, somit dem Lehrberufe zu widmen.“ Um diesen Plan auszuführen, wandte er sich nach Heidelberg, um unter
Hesse
,
Kirchhoff
und
Von J. Lüroth.
Bunsen
zu studiren. Er that dies mit solchem Eifer und Erfolg, dass er bereits 1862 das Doktorexamen mit der besten Note bestehen konnte.
„Ein ihm verliehenes Stipendium führte
Schröder
dann nach Königsberg, wo er neben dem Hören von mathematisch-physikalischen Vorlesungen bei
Neumann
und
Richelot
sich eifrig an den Seminar- übungen über diese Disziplinen beteiligte und einige der dafür aus- gesetzten Preise erwarb. Der Herbst des Jahres 1864 schloss die Studienjahre ab.“
Schröder
bestand bald darauf in Karlsruhe die Prüfung für Lehramts- praktikanten mit der Note „gut“. Er hätte wahrscheinlich sofort eine Anstellung im badischen Schuldienst gefunden, wenn er es nicht vor- gezogen hätte, sich zunächst nach Zürich zu wenden. Dort habilitirte er sich für Mathematik am Eidgenössischen Polytechnikum und lehrte gleichzeitig in Vertretung des erkrankten Prof.
Gräffe
als Vikar an der Kantonschule.
In Zürich verkehrte
Schröder
sehr viel mit Waadtländern, wobei er Gelegenheit hatte, seine guten Kenntnisse des Französischen wesent- lich zu üben und zu verbessern. Seinen Neigungen zu Leibesübungen getreu benutzte er den Aufenthalt in der Schweiz zu vielen Bergtouren. Unter anderm besuchte er mit einem Freunde zusammen die Gletscher- welt im Hintergrund des Bagnethals, eines der südlichen Nebenthäler der Rhône, und machte dort zum Teil ohne Führer mehrere grosse Be- steigungen.
Obgleich die Stellung in Zürich
Schröder
seinen Lebensunterhalt sicherte, „so schienen doch die Chancen für die geplante Laufbahn bei solcher Doppelstellung nach beiden Richtungen hin nicht sonderlich hohe“. Dieser Umstand und unliebsame Vorkommnisse persönlicher Art veranlassten
Schröder
im Sommer 1868 die Thätigkeit in Zürich aufzugeben und sich wieder dem heimischen Schuldienst zuzuwenden. Er erhielt zunächst eine Aushilfsstelle an der höheren Bürgerschule in Karlsruhe und kurze Zeit darauf eine Lehrstelle am Pädagogium in Pforzheim. Im Oktober 1869 legte er noch das zweite Examen, die sog. Dienstprüfung, mit der Note „vorzüglich“ ab.
Schröder
war in diesen Jahren schon literarisch thätig gewesen. Er hatte damals eine gewisse Neigung zu Verallgemeinerungen. So interessirten ihn lebhaft die Bestrebungen, die Definition von Funk- tionen, die von natürlichen Zahlen abhängen, auch auf andere Zahl- formen auszudehnen. Einen Versuch ähnlicher Art hatte er selbst schon gemacht in der kleinen Arbeit über „Vielecke mit gebrochener
Ernst Schröder †.
Seitenzahl“ (1)
Die Nummern beziehen sich auf das Seite XVII folgende Verzeichniss der Schriften.
, die er noch als Heidelberger Student veröffentlicht hatte, indem er hierin den Begriff des p/q Ecks aufstellte. Ähnliche Verallgemeinerungen für den Raum führten ihn auf Polyeder von gebrochner Seitenzahl, und ich erinnere mich sehr sauber gearbeitete Pappmodelle von solchen Körpern bei ihm gesehen zu haben, die er während einer Masernkrankheit in Königsberg angefertigt hatte. Doch hat er über diese Dinge nichts veröffentlicht. Auch beschäftigte er sich eingehend mit den Versuchen
Liouvilles
und anderer, den Be- griff des Differentialquotienten auf beliebige Indices auszudehnen. In seiner Probevorlesung bei der Habilitation in Zürich behandelte
Schröder
diese Fragen. Eine Verallgemeinerung anderer Art knüpfte er (2) an die
Maclaurinsche
Summenformel. Er untersucht die Summe. einer Reihe von Funktionswerten, deren Argumente nicht wie gewöhnlich reelle Zahlen, sondern äquidistante Punkte einer be- liebigen Geraden der komplexen Zahlenebene sind. Er kommt hierbei auf Verallgemeinerungen der
Bernoulli’
schen Funktionen und gewisser von
Ubbo Meyer
eingeführter Zahlen, die mit den Binomial-Koeffi- zienten zusammenhängen und auf die er durch
Kinkelin
aufmerksam geworden. In einigen späteren Publikationen (5, 6, 16, 17) kommt er auf diese Dinge öfter zurück. Trotz der Belastung mit etwa 26 Schul- stunden konnte
Schröder
, der Zeit seines Lebens ein überaus fleissiger Arbeiter war und sich viele Nachtarbeit zumutete, während seines Pforz- heimer Aufenthaltes einige Arbeiten veröffentlichen (3, 4, 5, 6). Zwei von ihnen (3 und 4) beziehen sich auf eine von
Eggers
angeregte Methode, um Gleichungen durch Iteration aufzulösen. Die beiden anderen (5 und 6) sind wol entstanden bei den Vorarbeiten für das Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Sie behandeln die Frage, auf wie viele verschiedene Arten man ein Produkt von Zahlen berechnen könne. Als der Krieg im Jahre 1870 ausbrach, meldete sich
Schröder
in patriotischer Begeisterung freiwillig zum Dienst und wurde auch, der seiner Zeit bei der Konskription seiner Augen wegen zurückgewiesen war, als tauglich erklärt. Nach einer kurzen Ausbildungszeit in der Heimat wurde er der 4. schweren Batterie des badischen Feldartillerie- Regiments unter Hauptmann v. Froben zugeteilt. Sein jüngster Bruder stand gleichzeitig bei der Infanterie. Er machte die Belagerung von Strassburg und nach dessen Einnahme den Vormarsch der badischen Division nach Süden gegen Dijon mit, der mit einer Reihe von kleinen
Von J. Lüroth.
Gefechten verbunden war. Aber vor den ernstlichen Zusammenstössen mit der französischen Südarmee erhielt
Schröder
die Nachricht, dass er zum Professor befördert sei und wurde bald darauf, am 1. Nov. 1870, nach Reklamation durch die Schulbehörde in die Heimat zurückgeschickt. Er wurde zum Lehrer für Mathematik und Naturwissenschaften an dem Pro- und Realgymnasium zu Baden-Baden ernannt. Diese Stelle behielt er bis zum Jahre 1874.
Während seines Aufenthaltes in Baden beschäftigte sich
Schröder
wesentlich mit den Arbeiten an seinem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, das 1873 erschien. Allerdings kam er nie dazu, seinen ursprüng- lichen Plan vollständig auszuführen und das auf 4 Bände berechnete Werk zu vollenden. Es blieb auf den ersten damals erschienenen Band beschränkt. In ihm behandelt er zunächst sehr ausführlich und ein- gehend den Zahlbegriff und erwähnt dabei, wol als der erste, das allem Zählen zugrunde liegende Axiom, dass die Anzahl unabhängig sei vom Zählprozess; dass man also, wenn man eine Menge wiederholt zähle, immer dieselbe Anzahl bekommen müsse, vorausgesetzt man habe sich nicht verzählt. Dann folgt eine ausführliche Erörterung über die arith- metischen Operationen und zwar über die direkten und inversen. Die direkten Operationen werden einmal untersucht auf Grund einer in- dependenten Definition, und dann, wesentlich nach
Grassmann
, unter Annahme eines rekurrenten Bildungsgesetzes. Um den Gebrauch von Klammern möglichst einzuschränken, gibt
Schröder
zwei Konventionen, die seither allgemeine Aufnahme in die Lehrbücher gefunden haben. In einem Anhang wird das Rechnen mit Produkten und Summenzeichen ausführlich erörtert, insbesondere werden die Regeln aufgestellt, die bei Vertauschung der Summationsordnung bei mehrfachen Summen die Änderung der Grenzen ergeben. In den vorhergehenden Kapiteln führt
Schröder
nun aber eine wesentliche Neuerung ein, indem er die gewöhnlich festgehaltene Eindeutigkeit der Umkehrungen fallen lässt und das Operiren mit mehrdeutigen Ausdrücken eingehend behandelt. Er benutzt hierbei schon das
Unterordnungzseichen
⊂ und das
Ein- ordnungszeichen
, das in seinen späteren Veröffentlichungen über die Logik eine so grosse Rolle spielt. Ferner wurde er — wenn ich nicht irre durch die monatelange Einstellung des Druckes, die durch den grossen Setzerstreik des Jahres 1872 hervorgerufen war —, nach
Hankels
Vorgang veranlasst, weitergehende Untersuchungen einzufügen über die Gestalt, welche die arithmetischen Formeln annehmen würden, wenn die Operationen anderen als den gewöhnlichen Gesetzen gehorchten. Inbesondere dachte er dabei, dass die Multiplikation weder kommutativ
Ernst Schröder †.
noch assoziativ sein könnte. Sie würde dann zwei Umkehrungen, also zwei Divisionen zulassen, die
Schröder
als
Messen
und
Teilen
be- zeichnete und durch Doppelpunkt und Bruchstrich unterschied. Bei diesen Untersuchungen, die hier begannen, befolgte er zunächst den Zweck, die Folgerungen der einzelnen Annahmen von einander zu trennen, also herauszubringen, welche Formeln alleinige Folgerungen des Kommu- tationsgesetzes seien, welche die Folgen des Assoziationsgesetzes, welche endlich nur beim Zusammenwirken der beiden Gesetze Geltung hätten u. s. w. Im weiteren Verlauf dieser Spekulationen, die
Schröder
während seines ganzen Lebens beschäftigten, von denen aber nur wenige Resultate publizirt sind, stellte er sich eine sehr viel umfassendere Aufgabe. Die Multiplikation mit ihren beiden Umkehrungen kann als symbolische Bezeichnung einer Funktion von zwei Argumenten auf- gefasst werden mit ihren zwei möglichen Umkehrungen, und das Studium von Gleichungen zwischen solchen Funktionen war nun sein Ziel. Um dieses Problem einigermassen einzuschränken, benützte er den Umstand, dass in den gewöhnlichen arithmetischen Fundamentalgleichungen höch- stens sieben Buchstaben auftreten. Er beschränkte sich daher auf die Betrachtung von solchen Gleichungen mit nur sieben Buchstaben. Die Buchstaben sollen auf der rechten und linken Seite der Gleichungen nur durch Multiplikationen oder ihre beiden Umkehrungen verbunden sein. Ein spezieller Fall ist der, wenn auf der rechten und linken Seite je nur eine Operation zur Anwendung kommt. Bei den ent- sprechenden arithmetischen Gleichungen treten dabei höchstens sechs Buchstaben auf, und deswegen beschränkt sich
Schröder
auch bei seinen Untersuchungen des speziellen Falles auf Gleichungen mit höch- stens sechs Buchstaben. Er betrachtet dabei diese Buchstaben als ganz allgemeine Zahlen, schliesst alle speziellen Zahlenwerte wie 0, 1 u. dergl. aus, und nimmt an, die Multiplikation wie ihre Umkehrungen seien voll- kommen eindeutig. Er hatte nun die Absicht, die bei den angegebenen Beschränkungen möglichen Gleichungen auf ihre Folgerungen zu unter- suchen, d. h. alle aus einer Gleichung folgenden anderen Gleichungen aufzustellen. Die Gesamtheit aller dieser Folgerungen nannte er in dem allgemeineren der oben genannten Fälle einen „
Kalkul
“, im speziellen einen „
Algorithmus
“. Die Gleichungen eines solchen Algorithmus oder eines Kalkuls zerfallen in zwei Klassen, indem nämlich aus einer Gleichung die sämtlichen anderen folgen oder nicht.
Schröder
hat einen ausserordentlichen Fleiss und eine grosse Arbeitskraft auf diese Studien verwendet, von deren Resultaten er Einzelheiten in einer Reihe von Arbeiten veröffentlicht hat (10, 11, 20, 22, 24, 25, 26).
Von J. Lüroth.
Insbesondere beschäftigte ihn ein System von 990 Gleichungen, die in der Gesamtheit von 7342 möglichen Gleichungen eine hervor- ragende Rolle spielen und deren Struktur er eingehend untersucht. Um die Möglichkeit der Algorithmen oder Kalkule und ihre Unabhängig- keit von einander zu beweisen, wendet er zwei Mittel an. Er kon- struirt Lösungen mit Hilfe der gewöhnlichen mathematischen Formeln, indem er einen Bruch, dessen Zähler und Nenner bilineare Funktionen von zwei Veränderlichen sind, so einrichtet, dass er die gegebene Funktionalgleichung erfüllt. Ferner konstruirt er Funktionstafeln, d. h. Tafeln, die zu gegebenen Argumentwerten den Funktionswert liefern, indem er dabei die Anzahl der möglichen Argumentwerte klein, höchstens gleich 8 annimmt. Für den Fall von nur 4 Argumentwerten stellt er die sämtlichen 576 Funktionstafeln auf, die bei eindeutigen Umkehrungen möglich sind, und für den Fall von acht Argumentwerten solche Tafeln, die gegebenen Funktionalgleichungen genügen, während sie bei weniger als acht Werten unmöglich sind. Bei all diesen Unter- suchungen zeigt
Schröder
eine grosse Gewandtheit in der Behandlung kombinatorischer Probleme, wie er solche auch in einigen speziellen Abhandlungen untersucht hat. Einige habe ich schon früher erwähnt. In einer anderen (21) bestimmt er die Anzahl der Substitutionen, welche in eine gegebene Zahl von Zyklen zerfallen. Bei all diesen Problemen kommt ihm seine Übung in der Benützung der
Ubbo Meyer’
schen Fakultäten-Koeffizienten, von denen schon früher die Rede war, zugute.
Während seines Aufenthaltes in Baden-Baden begann
Schröder
auch die Erlernung der russischen Sprache und benutzte seine freie Zeit, um die schöne Umgebung der berühmten Bäderstadt nach allen Richtungen hin in tüchtigen Fussmärschen, auf denen ich ihn öfter begleitete, kennen zu lernen.
Seine mathematischen Arbeiten bewirkten, dass er im Jahre 1874 nach Darmstadt an die technische Hochschule als ordentlicher Professor der Mathematik berufen wurde. Im Jahre 1876 folgte er einem Rufe an die technische Hochschule nach Karlsruhe; hier lehrte er, seiner Neigung entsprechend, die Fächer der Arithmetik, Trigonometrie und höheren Analysis. In dieser Stellung blieb er, später zum Hofrat er- nannt, bis zu seinem Tode. Das Vertrauen seiner Kollegen berief ihn im Jahre 1890 zum Direktor des Polytechnikums, während er dem Senat der Hochschule wiederholt angehört hatte.
Unter den Arbeiten, die er in Darmstadt und Karlsruhe veröffent- lichte, verdient neben den sofort zu besprechenden besonders die über „Ein auf die Einheitswurzeln bezügliches Theorem der Funktionen
Ernst Schröder †.
lehre“ (12) Erwähnung, weil
Schröder
hier ein einfaches Beispiel einer analytischen Formel gibt, die in verschiedenen Teilen ihres Gebietes verschiedene Werte annimmt. Dieses Beispiel wurde später von
Weier- strass
benutzt.
Schon bei der Vorbereitung zu dem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra war
Schröder
, wol durch
Robert Grassmann’
s Formenlehre, auf die rechnerische Behandlung der Logik aufmerksam geworden. Diese Disziplin war es, welche seit seiner Übersiedlung nach Karlsruhe sein wissenschaftliches Leben vollständig erfüllte. Er lernte die Werke von
Boole
,
De Morgan
, Ch. S.
Peirce
und anderen besonders englischen und amerikanischen Autoren über die mathematische Logik kennen und studirte eifrig die Schriften von
Sigwart
,
Trendelenburg
,
Lotze
,
Überweg
,
Wundt
u. s. w. über den philosophischen Teil dieser Disziplin.
Er ging nun daran die von den Vertretern der mathematischen Logik erhaltenen Resultate in einheitlicher Weise darzustellen. Es gelang ihm zunächst das System von
Boole
dadurch zu verbessern, dass er die Benutzung der gewöhnlichen Zahlen als unnötig nachwies. Die Division und Subtraktion ersetzte er durch Einführung der Nega- tion. Er hatte schon in seinem Lehrbuch der Arithmetik sich dahin ausgesprochen, dass man dann im Stande sein müsse, mit der Termino- logie, die einem nun zu Gebote stehe, alle Beziehungen auszudrücken, in denen Begriff dem
Umfang nach
stehen. In dem kleinen Buche (13) „Operationskreis des Logikkalkuls“, das 1877 erschienen ist, gibt er in diesem Sinne eine kurze Übersicht der Theorie. Er operirt mit
Klassen von Dingen
, d. h. mit der Gesamtheit aller Dinge, die gegebene Merkmale gemein haben. Zwei Klassen
a
und
b
können Individuen ge- mein haben; deren Gesamtheit wird mit
a
·
b
oder
a b
bezeichnet. Da- gegen soll unter
a
+
b
die Klasse der Dinge verstanden werden, die entweder zu
a
oder zu
b
gehören. Indem man nun immer auf die Individuen zurückgeht, beweist man die Rechengesetze, die mit den ge- wöhnlichen identisch sind, aber deswegen einfacher ausfallen, weil in der Logik
a
+
a
=
a
und
a
·
a
=
a
ist. Die Menge der Dinge, die nicht zu
a
gehören, wird mit
ā
bezeichnet. Dies ist die in späteren Schriften adoptierte Bezeichnung, früher schrieb
Schröder
dafür
a
1
. Für diese Negation gelten die Gesetze (
a̅
+̅
b̅
) =
ā
·
b̄
und (
a̅ b̅
) =
ā
+
b̄
. Diese wenigen Formeln reichen hin, um einen grossen Teil der Logik des Umfanges der Begriffe im rechnerischen Gewande darzustellen. Erst im Jahre 1890 liess
Schröder
diesem kleinen Werke den ersten Band (27) einer ausführlichen auf drei Bände berechneten Darstellung der Logik in mathematischem Gewande, der exakten Logik, wie er sie
Von J. Lüroth.
gern nannte, folgen. In diesen „Vorlesungen über die Algebra der Logik“ gibt uns
Schröder
eine ausführliche systematische Dar- stellung der ganzen Theorie, in der er die Forschungen der Engländer und Amerikaner, insbesondere von
Charles
S.
Peirce
, in einheitlichem Gewande, vermehrt durch zahlreiche eigene Untersuchungen vorträgt. Wie in seinem früheren Schriftchen, beschränkt er sich hier auf die Logik des Umfangs. Während er aber früher die Beweise und Definitionen auf die Betrachtung der Individuen gründete, stellt er jetzt in rein formaler Weise Definitionen an die Spitze, die einen Kalkul darstellen, den er als „
identischen
“ bezeichnet. In dieser Weise wird zunächst die Subsumtion definirt, oder wie
Schröder
sagt, die Ein- ordnung, dann die Summe und das Produkt. Um die Formeln all- gemein gültig zu machen und gewisse Ausnahmen zu vermeiden, be- nutzt er mit
Boole
die durch das Symbol 0 bezeichnete
Nullklasse
, zu der im Gegensatz die Klasse 1 steht, die allen anderen übergeordnet ist und den ganzen Denkbereich umfasst. Es gelingt mit Hilfe von diesen Definitionen, eine ganze Anzahl der Rechnungsregeln des identischen Kalkuls zu beweisen. Insbesondere auch den einen Teil des Distributions- gesetzes
a b
+
a c a
(
b
+
c
). Dagegen gelingt es nicht, auch dessen zweiten Teil
a
(
b
+
c
)
a b
+
a c
abzuleiten; und in einem Anhang an das Buch gibt sogar
Schröder
einen strengen Beweis dafür, dass dies unmöglich ist, indem er eine Gruppe von Operationen aufzeigt, welche die Gesetze des identischen Kalkuls erfüllen, ohne dass der zweite Teil des Distributionsgesetzes gilt. Die genannten Deduktionen werden unterbrochen durch eine Untersuchung über die Deutung der Operationen, über die Übersetzung aus der Wortsprache in die Zeichensprache, wobei besonders die verschiedene Bedeutung von „oder“ genau studirt wird. Um nun auch den zweiten Teil des Distributionsgesetzes zu beweisen, benutzt
Schröder
die Negation und setzt jenen zweiten Teil für einen speziellen Fall voraus. DieNegation
ā
einer Klasse
a
, die
Schröder
das Negat von
a
nannte und „
a
-Strich“ aussprach, definirt
Schröder
ebenfalls rein formal und zeigt dann ihre Identität mit denjenigen Dingen des Denkbereiches auf, die zur Klasse
a
nicht gehören. Die Frage, wie Urteile, die eine Ver- neinung enthalten, in die Zeichensprache zu übersetzen seien, macht eine genauere Untersuchung nötig über die Bedeutung eines Urteils, das eine Negation enthält; er entscheidet sich dafür, „
a
ist nicht
b
“ zu übersetzen durch
a
=
b̄
, womit er sich an die Ansicht von
Aristoteles
und
Wundt
anschliesst. Die Negation erlaubt, die Subtraktion und die Division, welche die englischen Logiker noch benutzt hatten, ganz zu umgehen und damit gewisse Schwierigkeiten zu vermeiden, die sich sonst einstellen. Die Be-
Ernst Schröder †.
handlung von Gleichungen gestaltet sich im Logikkalkul besonders einfach, da man alle Gleichungen in eine einzige zusammenfassen, die eine Seite auf 0 bringen und die andere in eine lineare und homogene Funktion der unbekannten Klasse und deren Verneinung entwickeln kann. In dieser Form lässt sich dann leicht die Bedingung für die Löslichkeit, d. h. die Resultante, und der Ausdruck für die unbekannte Klasse ablesen. Eine Reihe von Beispielen zeigt die Übersetzung eines Systems von Prämissen in die Zeichensprache und die weitere Behandlung durch die Rechnung, die sich öfters überraschend einfach gestaltet. Ein Nachteil dieser Theorie ist es, dass sie nur universale Urteile behandeln kann und dass partikulare Urteile sich in ihr nur schwer unterbringen lassen. Diesem Übelstand begegnet
Schröder
in dem 1891 erschienenen zweiten Bande seiner Vorlesungen, von dem aber leider nur die erste Abteilung herauskam.
Schröder
führt in diesem Buche neben dem Subsumtions- zeichen das
Ungleichheitszeichen
ein, für das er das Zeichen ≠ benutzt. Er kann dann das Urteil,
einige a
sind
b
durch die Formel
a b̅
≠ 0 ausdrücken. Um die Deduktionen zu erleichtern, und in gewisser Be- ziehung auch als eine Anwendung des identischen Kalkuls, benutzt
Schröder
den ebenfalls von
Boole
erfundenen sog.
Aussagenkalkul
d. h. eine symbolische Zusammenfassung von Aussagen durch Zeichen. Man kann (nach
Mac Coll
) jedem Urteil oder jeder Aussage ein Wert- zeichen zuteilen; und zwar das Zeichen 0, wenn die Aussage falsch ist, und das Zeichen 1, wenn sie richtig ist. Dann kann man, indem man unter den Aussagen oder den sie vertretenden Buchstaben, diese Wert- zeichen versteht, mit den Aussagen rechnen, indem man die Gesetze
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0; 1 · 1 = 1 0 0 0 1 1 1 0̅ = 1, 1̅ = 0
benutzt. Die Formel
a b
zwischen den zwei Aussagen
a
und
b
, sagt dann aus: wenn
a
gilt, so gilt
b
, oder aus
a
folgt
b
, oder
a
zieht
b
nach sich (nicht wie man etwa versucht wäre zu denken, aus
b
folgt
a
).
Schröder
benutzt mit
Boole
, um den identischen Kalkul anwenden zu können, immer die Zeiträume, in denen die einzelnen Ur- teile gelten. Die getroffenen Festsetzungen verlangen, dass ein Urteil, das niemals wahr ist, immer einem richtigen eingeordnet ist. Hier- durch werden zwar Ausnahmen vermieden, es ergeben sich aber anderer- seits auch Sätze, die auf den ersten Blick etwas Fremdartiges haben und deren Richtigkeit man sich erst besonders zum Bewusstsein bringen muss.
Schröder
betrachtet nach sorgfältiger und eingehender Dis-
Von J. Lüroth.
kussion des Aussagenkalkuls die fünf möglichen Beziehungen, die nach
Gergonne
zwei Klassen zu einander haben können, und deren Ver- bindungen miteinander. In ähnlicher Weise untersucht er die vier primitiven Urteile
De Morgan’
s über zwei Klassen. Hierbei macht die Zulassung der 0-Klasse einige Schwierigkeiten. Mit Hilfe der ge- wonnenen Resultate werden dann die Syllogismen der alten Logik sorgfältig studirt und gezeigt, dass sie auf die von Miss
Ladd
gegebene Regel hinauslaufen, dass drei Klassen
a
,
b
,
c
, nicht gleichzeitig die Gleichungen
a b
= 0,
b̅ c
= 0 und die Ungleichung
a c
≠ 0 befriedigen können. Diese syllogistischen Untersuchungen werden noch erweitert, indem andere zwischen drei Begriffen mögliche Prämissen betrachtet werden, welche in der gewöhnlichen Syllogistik nicht auftreten. Bei all diesen Eliminationsproblemen zwischen Gleichungen und Ungleichungen ergibt sich die Notwendigkeit, den Resultanten eine Klausel beizufügen, die das Auftreten von Ausartungen unmöglich machen soll. Und diese Klausel wieder leitet
Schröder
dazu über, den Begriff des Individuums festzustellen, d. h. in einer Formel auszusprechen, wann eine Klasse ein Individuum ist. Die ganze Untersuchung dieses zweiten Bandes macht ausführliche Erörterungen über verschiedene Gegenstände der allgemeinen Logik, partikulare Urteile, die Verneinung, die Kon- version und dergleichen nötig. Auch eine Reihe von Beispielen werden mit der Rechnung behandelt. Im Jahre 1895 erschien der dritte Band der Algebra der Logik (34) mit dem Untertitel „Algebra und Logik der Relative“. Allerdings ist von diesem Buch nur eine erste Abteilung publizirt und ob sich eine zweite Abteilung aus
Schröder’
s Manuskripten wird zusammenstellen lassen, ist zur Zeit noch nicht bekannt. Der Schöpfer dieser Logik der Relative ist
Charles
S.
Peirce
, und seine Theorie ist es im wesentlichen, die
Schröder
vorträgt. Unter einem Relativ versteht bekanntlich
Peirce
die Gesamtheit aller Aussagen, die sich darüber machen lassen, ob sich irgend zwei Individuen
i
und
j
des Denkbereichs in einer bestimmten Beziehung
A
zu einander befinden. Zu der Aussage „
i
steht zu
j
in der Beziehung
A
“ gehört ein Wertzeichen
a
i j
, ein
Relativkoeffizient
, wie
Schröder
sagt, der diese Aussage, je nachdem er 1 oder 0 ist, als wahr oder unwahr kennzeichnet. Das zu
A
gehörige Relativ
a
ist dann die Gesamtheit aller Aussagen oder aller Relativkoeffizienten, die allen möglichen Paaren von Ele- menten des Denkbereichs entsprechen.
Aus zwei Relativen,
a
und
b
, werden nach bestimmten Regeln neue Relative abgeleitet. Und zwar betrachtet man zwei Additionen und zwei Multiplikationen: je eine identische und eine relative.
Ernst Schröder †.
Die identische Summe
a
+
b
und das identische Produkt, bezeichnet durch
a
·
b
oder einfacher
a b
, sind Relative, die durch die Relativ- koeffizienten
a
i j
+
b
i j
bezw.
a
i j
·
b
i j
definirt sind, wobei hier, wie im folgenden, die Rechnungen mit den Wertzeichen nach den beim Aus- sagenkalkul angeführten Regeln erfolgen. Das relative Produkt be- zeichnet Schröder mit
a
;
b
und spricht es
a
von
b
. Bei ihm ist der Relativkoeffizient (
a
;
b
)
i j
= 1, wenn es irgend ein Element
h
des Denk- bereiches gibt, für das
a
i h
b
h j
= 1 ist, dagegen ist er Null, wenn dies nicht der Fall ist.
Die relative Summe bezeichnet
Schröder
mit
a b
, was er „
a
piu
b
“ aussprach. Sie ist dadurch definirt, dass der Relativkoeffizient (
a b
)
i j
= 1 ist, wenn für
jedes
Element
h
des Denkbereichs
a
i h
+
b
h j
= 1 ist, Null dagegen, wenn dies nicht eintritt.
Neben diesen sich auf zwei Relative erstreckenden Operationen beziehen sich die Negation und Konversion auf nur ein Relativ. Das negirte Relativ
a
, das
Schröder
mit
ā
bezeichnet, hat den Relativ- koeffizienten
ā
i j
und und das konvertirte
ă
, das
Schröder
„
a
convers“ aussprach, den
a
i j
. Ein Relativ
a
ist einem
b
eingeordnet, oder in Zeichen es ist
a b
, wenn zwischen allen Relativkoeffizienten die Be- ziehung
a
i j
b
i j
besteht.
Die gegenseitigen Beziehungen, die zwischen Relativen hiernach stattfinden können, und deren Zahl gegenüber den bei Zahlen möglichen gross ist, werden ausführlich untersucht. Während die
Peirce
schen Arbeiten, an sich nicht leicht zu lesen, durch den Wechsel der Be- zeichnungen sehr schwer verständlich sind, bietet das Studium des
Schröder
schen Buches keine wesentlichen Schwierigkeiten, indem es in einheitlicher Durchführung und hinreichender Ausführlichkeit die einschlägigen Fragen beantwortet. Ähnlich wie bei dem identischen Kalkul lässt sich jedes System von Gleichungen durch eine einzige Gleichung ausdrücken. Der relative Kalkul leistet aber noch mehr, indem sich auch jedes System von Ungleichungen, ja sogar die Forderung, dass von einer Anzahl Gleichungen und Ungleichungen eine
oder
die andere gelte, durch eine einzige Gleichung ausdrücken lässt.
Schröder
behandelt ausführlich die Herstellung der Resultante, die erfüllt sein muss, damit die Auflösung möglich ist, und die Auflösung selbst. Während aber die erstere sich herstellen lässt, erfordert die letztere so- gar unter Umständen unendliche Operationen. Für eine begrenzte An- zahl von Gleichungen werden alle möglichen Aufgaben ausführlich er- ledigt. Als eine Anwendung der Theorie gibt dann
Schröder
die Darstellung der Lehre von den Zahlen, wie sie in
Dedekind’
s
Von J. Lüroth.
bekannter Schrift „Was sind und was sollen die Zahlen“ enthalten ist, im Gewande des Relativkalkuls. Er weist zunächst nach, dass die wichtigsten Sätze
Dedekinds
als allgemeine Sätze über Relative unter der Geltung gewisser Prämissen erscheinen. Dann aber zeigt er, dass sich die Theorie noch wesentlich vereinfachen lasse.
Weitere Studien betreffen die Mengen oder Systeme von Individuen, die man auch als Relative auffassen kann, und deren Abbildung auf einander, wobei die von
Cantor
und von
Dedekind
eingeführten Be- griffe der Gleichmächtigkeit und Ähnlichkeit, die auf der eindeutigen Abbildung beruhen, zur Sprache kommen.
Schröder
formulirt die nötigen Definitionen durch Beziehungen zwischen Relativen, die ge- statten, daraus Sätze abzuleiten, ohne dass man nötig hat, auf die Individuen zurückzugehen. Weitere Anwendungen werden endlich noch gemacht auf den Begriff der Funktion und den der Substitution. Als eine Fortsetzung der zuletzt erwähnten Untersuchung erscheinen zwei Abhandlungen (36, 37, 38) aus dem Jahre 1896, die allerdings erst 1898 erschienen sind. In der einen vergleicht
Schröder
eine von
Peirce
herrührende Definition der Endlichkeit eines Systems mit der
Dedekind
- schen Definition der Unendlichkeit und zeigt durch Rechnung, dass die eine die Negirung der andern ist. Im Anschluss daran beweist er vier von den fünf Sätzen, die
Cantor
über Mengen von gleicher Mächtig- keit aufgestellt hat, ohne dass er dabei von den transfiniten Zahlen Gebrauch machen muss. Den fünften Satz allerdings konnte er damals noch nicht herleiten.
In der zweiten stellt er mit Hilfe der Relativoperationen die Be- dingung her, dass zwei Relative, die Systeme sind, gleich viele Indi- viduen enthalten und ferner die Bedingung, dass die Anzahl dieser Individuen 0, 1, 2 oder 3 ist.
Durch diese Relativoperationen, glaubt
Schröder
, sei ein wesent- licher Schritt vorwärts gethan nach dem Ziel einer allgemeinen Pasi- graphie, nach einer allgemein verständlichen, von den nationalen Sprachen unabhängigen Zeichensprache zur Darstellung wissenschaftlicher Er- örterungen. Dass die
Peirce’
sche, von ihm verbesserte Zeichensprache des Relativkalkuls neben dem Aussagenkalkul dies eher zu leisten im- stande ist als die Symbole
Peano’
s und seiner Schüler, ist wol sicher. Ob aber das
Schröder
sche Ideal, wie er es in einer geistvollen Karls- ruher Rektoratsrede über das Zeichen (31) und einem Vortrag auf dem Züricher Mathematikerkongress (39 und 40) hingestellt hat, sich ver- wirklichen wird, muss zur Zeit dahingestellt bleiben.
Schröder
hat in seinem grossen Werke über Logik eine ganz
Ernst Schröder †.
ausserordentliche Menge von mühevoller Arbeit und von höchst scharf- sinnigen Untersuchungen niedergelegt. Nur kann man vielleicht sagen, dass er dem Leser etwas zuviel dargeboten hat. Auch war er zu sehr systematisirender Mathematiker, dem es Freude machte, innerhalb eines gegebenen Rahmens alle Möglichkeiten zu erörtern und alle sich darbieten- den Fragen zu lösen. Es ist schade, dass er uns die zweite Abteilung des dritten Bandes nicht mehr geben konnte, er hätte uns dann vielleicht an einfacheren Beispielen und Aufgaben, als die oben erwähnten sind, die Nützlichkeit der Lehre von den Relativen gezeigt. Was die Zu- kunft dieser logischen Disziplinen angeht, so glaube ich nicht, dass die enthusiastischen Hoffnungen, denen
Schröder
so oft Ausdruck gab, sich in Bälde erfüllen werden. Mir scheint es von Wichtigkeit zu sein, dass Aufgaben gefunden werden, die nicht künstlich gemacht sind, die sich aber durch den Logikkalkul in einfacherer Weise lösen lassen, als dies die gewöhnlichen Methoden gestatten.
Um sich bei den anstrengenden Arbeiten zu zerstreuen, trieb
Schröder
während seines Karlsruher Aufenthaltes eifrig Sprachstudien. Er vervollkommnete sich im Englischen und lernte das Spanische. Daneben beschäftigte er sich viel mit der Blumenzucht, der er viel von seiner Zeit widmete. Er hatte sich dabei sehr eingehende botanische Kenntnisse angeeignet und grosse Übung in Behandlung der Pflanzen erlangt, so dass seine Pflanzen, obgleich er bei seiner Junggesellen- wohnung kein Treibhaus und keinen Garten hatte, gut gediehen. Wie früher trieb er auch den Sport eifrig. Neben Schwimmen und Schlitt- schuhlaufen, denen er von jeher gehuldigt hatte, übte er einige Jahre das Reiten. Später wurde er ein überaus enthusiastischer Radfahrer, da er hierdurch in kurzer Zeit sich kräftig ausarbeiten und nicht nach- denken könne. Freilich glaube ich, dass später für ihn der Genuss mehr darin bestand, viele Kilometer in möglichst kurzer Zeit zu durch- messen, als behaglich durch eine schöne Gegend zu fahren. Wenige Tage vor seinem Tode soll er noch eine grosse Radtour gemacht haben, und manche seiner Kollegen glauben, dass eine Erkältung, die er sich dabei holte, die tödliche Krankheit verursacht habe. Im Winter 1901—2, wo er das sechzigste Lebensjahr schon überschritten hatte, find er noch den jüngsten Sport, das Skilaufen, an.
Als ich
Schröder
im März 1902 zum letzten Male sah und ihn von seinen Ski- und Radtouren erzählen hörte, machte er noch in jeder Beziehung den Eindruck eines überaus rüstigen Mannes, dem man ein langes Leben prophezeit hätte. Merkwürdig war mir nur in den letzten Jahren seines Lebens erschienen, dass die mit dem Leben
Von J. Lüroth.
und dem Amte unvermeidlich verbundenen Reibungen immer schwerer auf ihm lasteten und offenbar seine Leistungsfähigkeit hemmten, so sehr, dass er sich nicht entschliessen konnte, das grosse Lebenswerk seiner Logikvorlesungen zu vollenden.
Haben sich in dieser Depression die Anfänge eines tieferen Leidens gezeigt, so kann man einem gütigen Geschick nur dankbar sein, das
Schröder
durch einen raschen Tod nach kurzer Krankheit vor längerem Siechtum bewahrt hat.
Verzeichniss der Schriften Schröders nach ihrer Zeitfolge
,
mit An- gabe der Datirung
.
1. Über Vielecke von gebrochener Seitenzahl oder die Bedeutung der Stern- polygone in der Geometrie. Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 7. Seite 55—64.
2. Eine Verallgemeinerung der Mac Laurinschen Summen-Formel nebst Beiträgen zur Kenntniss der Bernoullischen Funktion. 28 Seiten. Programm der Kantons- schule in Zürich. Zürich, Druck von Zürcher \& Furrer 1867.
3. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Pforzheim im Januar 1869. Math. Ann. Bd. 2. Seite 317—365.
4. Über iterirte Funktionen. Pforzheim im Juni 1869. Math. Ann. Bd. 3. S. 296—322.
5. Vier kombinatorische Probleme. Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 15. S. 361—376.
6. Berichtigung zu dem Aufsatze „Vier kombinatorische Probleme“. Baden- Baden im Dezember 1870. Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 16. S. 179—180.
7. Die Umformungsregeln für algebraische Ausdrücke. Zeitschr. f. d. math. u. nat. Unterricht. Bd. 2. S. 410—415.
8. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für Lehrer und Studirende. Erster Band: Die sieben algebraischen Operationen. Baden-Baden im September 1873. Leipzig 1873. XI u. 360 S.
9. Abriß der Arithmetik und Algebra für Schüler an Gymnasien und Realschulen. Erstes Heft: Die sieben algebraischen Operationen. Leipzig 1874. 48 Seiten.
10. Über die formalen Elemente der absoluten Algebra. Zugleich als Beilage zum Programm des Pro- und Realgymnasiums zu Baden-Baden für 1873/74. Baden- Baden, 7. Juli 1874. Stuttgart 1874. 31 Seiten.
11. Über von Staudts Rechnung mit Würfen und verwandte Prozesse. Darmstadt, Dezember 1875. Math. Ann. Bd. 10. S. 289—317.
12. Ein auf die Einheitswurzeln bezügliches Theorem der Funktionenlehre. Januar 1876. Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 22. S. 183—190.
13. Der Operationskreis des Logikkalkuls. Karlsruhe im März 1877. Leipzig 1877. V u. 37 S.
14. Note über den Operationskreis des Logikkalkuls. Karlsruhe, 7. Juli 1877. Math. Ann. Bd. 12. S. 481—484.
15. Hermann Graßmann. Sein Leben und seine mathematisch-physikalischen Ar- beiten. Februar 1878. Math. Ann. Bd. 14, S. 1—45. (Darin von Schröder wohl nur Seite 30 Absatz bis 32 incl.)
16. Bestimmung des infinitären Wertes des Integrals
(
u
)
n
d u
. Karlsruhe im August 1879. Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 25. S. 106—117.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. b
Ernst Schröder †.
17. Über die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten, welche mit der Auflösung der trinomischen Gleichung zusammenhängen. Karlsruhe im Oktober 1879. Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 25. S. 196—207.
18. Anzeige von Gottlob Freges Begriffsschrift. Karlsruhe 1879. Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 25. Historisch-literarische Abteilung S. 81—94.
19. Selbstanzeige der unter 11., 12., 13., 14. genannten Schriften im Repertorium für reine und angew. Mathematik. Bd. 2. S. 81—87 mit Nachschrift auf S. 162.
20. Über eine eigentümliche Bestimmung einer Funktion durch formale An- forderungen. Karlsruhe im Mai 1880. Journ. f. reine u. angew. Math. Bd. 90. S. 189—220.
21. Über die Anzahl der Substitutionen, welche in eine gegebene Zahl von Cyklen zerfallen. Karlsruhe, November 1881. Archiv f. Math. u. Phys. Teil 68. S. 353—377.
22. On the most commodious and comprehensive calculus. Exposition of a logical principle, as disclosed by the algebra of logic but overlooked by the ancient logicians. Report of the British Assoc. 1883. S. 411—412.
23. Über das Eliminationsproblem im identischen Kalkul. Tageblatt der Natur- forscherversammlung zu Straßburg 1885. S. 353—354.
24. Tafeln der eindeutig umkehrbaren Funktionen zweier Variablen auf den einfachsten Zahlgebieten. Karlsruhe in Baden, eingesandt Dezember 1886. Math. Ann. Bd. 29. S. 299—317.
25. Über Algorithmen und Kalkuln. Karlsruhe in Baden im Januar 1887. Archiv f. Math. u. Phys. 2. Reihe, Teil 5. S. 225—278.
26. On a certain method in the theory of functional equations. Report of the British Assoc. 1887. S. 621.
27. Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik). Erster Band. Karls- ruhe in Baden im März 1890. Leipzig 1890. XII u. 717 S.
28. Eine Berichtigung zum ersten Band meiner Algebra der Logik. Karlsruhe, 17. Juni 1890. Math. Ann. Bd. 36. S. 602.
29. Neues über die Bernoullischen Funktionen von natürlicher Ordnungszahl. Verhandl. d. Gesellsch. Deutsch. Naturf. u. Ärzte, 63. Vers. zu Bremen 1890. 2. Teil. S. 5—6.
30. Über bestimmte Integrale, die sich rational durch
π
und log 2 ausdrücken. ibidem S. 8—9.
31. Über das Zeichen. Festrede bei dem Direktoratswechsel an der Technischen Hochschule zu Karlsruhe am 22. November 1890. Karlsruhe 1890. 24 Seiten.
32. Vorlesungen über Algebra der Logik (exakte Logik). Zweiter Band. Erste Abteilung. Karlsruhe im Juni 1891. Leipzig 1891. XIII u. 400 S.
33. Note über die Algebra der binären Relative. Karlsruhe in Baden, September 1894. Math. Ann. Bd. 46. S. 144—158.
34. Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik). Dritter Band: Algebra und Logik der Relative. Leipzig 1895. VIII u. 649 S.
35. Selbstanzeige des eben genannten Buches in Teubners Mitteilungen 1895. Nr. 1.
36. Über zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantorsche Sätze. Karlsruhe in Baden, Januar 1896. Nova Acta d. Leop.-Carol. Akad. d. Nat. Bd. 71. S. 301—312.
Von J. Lüroth.
37. Die selbständige Definition der Mächtigkeiten 0, 1, 2, 3 und die explicite Gleichzahligkeitsbedingung. Karlsruhe in Baden, im Februar 1896. ibidem S. 363—376.
38. Über G. Cantorsche Sätze. Jahresbericht d. Deutsch. Math.-Vereinigung. Bd. 5. S. 81—82.
39. On pasigraphy, its present state and the pasigraphic movement in Italy. The Monist, Oktober 1898. S. 44—62.
40. Über Pasigraphie, ihren gegenwärtigen Stand und die pasigraphische Bewegung in Italien. Verhandl. d. 1. internat. Mathem. Kongresses in Zürich. Leipzig 1898. S. 147—162.
41. Sur une extension de l’idée d’ordre. Bibliothèque du congrès internat. de Philosophie. III. Paris. S. 235—240.
b*
Vorbemerkung des Herausgebers.
Der Verfasser der „Algebra der Logik“ hat bei seinem Ableben Manuskripte wissenschaftlichen Inhaltes in beträchtlicher Menge hinter- lassen. Dieselben sind insgesamt der „Deutschen Mathematiker-Ver- einigung“ letztwillig zugeeignet, behufs Veröffentlichung, so weit thunlich. Ich erfülle eine angenehme Pflicht, indem ich der genannten Vereinigung und der von derselben niedergesetzten Kommission zur Verwaltung des
Schröder
schen handschriftlichen Nachlasses danke für den mir sehr erwünschten und mich ehrenden Auftrag,
Schröders
unvollendetes Haupt- und Lebenswerk, die Algebra der Logik aus seinen hinter- lassenen Papieren fortzusetzen und möglichst zu vervollständigen. Seitens der Kommission hatte insbesondere Herr Geheimrat
Lüroth
die Güte, das Manuskript zu dem nunmehr vorliegenden Halbband durchzusehen und mir vielfach mit Rat und That beizustehen. Dies, sowie auch die Beigabe des vorstehenden Nekrologs verbindet mich zu ganz besonderem Dank.
Das Manuskript war schon vom Verfasser ziemlich vollständig ausgearbeitet. So konnte sich die Thätigkeit des Herausgebers auf einige weniger ausgeführte Stellen und etliche Flüchtigkeiten des Text- entwurfes beschränken. Ausgenommen hiervon ist der letzte Anhang über die
Kempe
sche Abhandlung, den der Verfasser nur bis zu der bezeichneten Stelle (Seite 575) bearbeitet hatte, während von da ab keinerlei Anhaltspunkte aufzufinden waren. Ich habe mich deshalb bemüht, das Fehlende möglichst im Sinne des Verfassers nach dem
Kempe
schen Original zu ergänzen.
Wer sich an gewisse Eigenheiten
Schröder
scher Diktion und besonders an seine breite, oft abschweifende Darstellungsweise einmal gewöhnt hat, der erkennt bald gerade auch darin das durchaus gründ- liche, ernste und schlichte Wesen und Streben des wissenschaftlichen Forschers und Lehrers, der alle Kunst prunkhaften Vortrages, alle glänzenden und blendenden Sprachmittel verschmäht, — der nicht be- wundert, nur verstanden sein will, — und zwar von Jedermann, auch
Vorbemerkung des Herausgebers.
vom Laien und vom jugendlichen Studirenden; für Studirende vorzugs- weise hat er sein Buch geschrieben.
Dies will nun freilich nicht sagen, dass ich die vom Verfasser ge- wählte Ausdrucksweise auch in allen einzelnen Fällen billigte. — Ebenso kann ich auch inhaltlich seinen Ausführungen wol im grossen und ganzen, nicht aber in allen Einzelheiten beitreten. In dieser Hinsicht war ich wiederholt versucht, meinen abweichenden Standpunkt wenigstens etwa in einer Note oder einem kritischen Anhang darzulegen. Doch unterblieb dies — vor allem deshalb, damit der neu herauszugebende Teil des Werkes sich möglichst gleichförmig an die schon vorhandenen angliedere. Auch die am Schluss beigefügten „Anmerkungen des Herausgebers“, auf welche hier zum voraus besonders hingewiesen sei, enthalten daher lediglich sachliche Berichtigungen und Ergänzungen, von denen anzunehmen ist, dass der Verfasser sie gleichfalls auf- genommen hätte, wenn er darauf aufmerksam geworden wäre.
Solche Berichtigungen sind mir mehrfach von den Herren
Lüroth
,
Korselt
und
Couturat
in freundlichster Weise zur Verfügung ge- stellt worden, nebst anderen Mitteilungen mehr rezensirenden Inhaltes; so zutreffend mir indessen auch diese letzteren erscheinen mochten, und so dankbar ich sie entgegennahm, so musste ich mir deren Auf- nahme unter die Anmerkungen dennoch versagen mit Rücksicht sowol auf die Wünsche der Einsender als auch auf den einheitlichen Charakter des gesamten
Schröder
schen Werkes.
Bezüglich der Stoffeinteilung, wie sie durch das schon dem ersten Bande vorgedruckte Inhaltsverzeichniss zum ganzen, ursprünglich nur auf zwei Bände berechneten Werke angekündigt war, und bezüglich der seitherigen Änderungen kann ich auf das unten folgende Vor- und Zwischenwort des Verfassers verweisen. Nach dessen Absicht sollte dem gegenwärtigen zweiten Teil des zweiten Bandes Titelblatt, Vorwort und Inhaltsverzeichniss in nunmehr teilweise abgeändertem Wortlaut für den ganzen zweiten Band beigegeben werden, wofür dann beim Einbinden das ursprüngliche nur provisorische Titelzeug der ersten Ab- teilung zu beseitigen und durch das neue zu ersetzen wäre.
Auch ein Teil der „Ferneren Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande“ Bd. 2, I Seite VIII ff. ist überflüssig geworden infolge Überganges des Inhaltes in den Text des gegenwärtigen Bd. 2, II. Es ist nämlich im einzelnen: 1) Bd. 2, I Seite IX Mitte bis XI Mitte, der Nachtrag zu Bd. 1 Seite 302 und 305 (betreffend Beweise von
Grassmann
und
Peirce
) ersetzt durch Bd. 2, II Seite 401 unten bis 405, — wozu auch Seite 597 Zeile 7 v. o. ff. beizu- ziehen ist.
Die
Vorbemerkung des Herausgebers.
zweite Abteilung sollte nur durch das „Zwischenwort“ eingeleitet sein. — War es dem Verfasser nicht mehr vergönnt, sein Werk noch selbst in dieser Weise abzuändern, so wird man sich heute wol kaum dazu entschliessen. Zeigt der posthume Teil doch auch sonst der Spuren noch mehr, dass hier dem Werke mitten im Werden und Wachsen der Schöpfer entrissen wurde.
2) Bd. 2, I Seite XII Mitte, zu Bd. 1 Seite 589 (
McColl
) ersetzt durch Bd. 2, II Seite 450 und 451 (und Bd. 2, I Seite 305 Zeile 11 v. u.). 3) Bd. 2, I Seite XIII, zu Bd. 1 Seite 711 (
Poretzki
) ersetzt durch Bd. 2, II Seite 442 ‥ 447 und 603/604. Zum Zwecke des Ersatzes müssten also auch diese Berichtigungen und Nachträge, mit Weglassung des nunmehr hinfälligen, nachgedruckt werden.
Neues Vorwort des Verfassers zum zweiten Bande,
(zum Ersatz für das ältere Bd. 2 I, Seite III bestimmt).
Schon im ersten Bande findet sich ein Inhaltsverzeichniss zum zweiten Band, wonach dieser in seiner ersten Abteilung im wesent- lichen den Aussagenkalkul, in der zweiten die Beziehungslogik behandeln sollte. Inzwischen hat sich nun aber die Notwendigkeit herausgestellt, die Beziehungslogik aus dem zweiten Bande auszuscheiden und in einen besondern dritten Band zu verweisen, und zwar aus zwei Gründen:
Einmal ist in der Zwischenzeit noch so viel hinzugekommen, teils an neuen oder dem Verfasser jetzt erst zugänglichen Arbeiten, z. B. von
Poretzki
und
Kempe
, teils auch an zahlreichen von der Kritik er- hobnen Einwänden, welche einer Richtigstellung benötigten, so dass selbst bei Beschränkung der Beziehungslogik auf den ihr ursprünglich zugedachten Umfang der Band schon allzu sehr hätte anschwellen müssen.
Sodann aber hat bei der bis zuletzt aufgesparten Überarbeitung jener Schriften, die den Grund zu einer
Logik der Beziehungen über- haupt
, oder der Beziehungsbegriffe, „
Relative
“, gelegt haben, dieses Forschungsgebiet sich zu einem derartigen Umfange ausgewachsen, dass es auch bei knappster Diktion einen eigenen Band beanspruchte, — wie es denn als eine ungeahnt grossartige Disziplin von unermesslicher Tragweite und noch unabsehbarer Entwicklungsfähigkeit sich darstellt.
So werde ich denn in dem Rahmen der Paragraphen des zweiten Halbbandes ganz andere Dinge abzuhandeln haben, als das provisorische Inhaltsverzeichniss in Aussicht gestellt, und glaube nicht um Ent- schuldigung dafür bitten zu sollen, wenn ich im ganzen doch so viel mehr als vorgesehen zu bieten in der Lage bin.
„
Zwischenwort
“
des Verfassers
.
(Die beiden Abteilungen des zweiten Bandes sollten nach der Absicht des Ver- fassers nur durch ein Blatt mit diesem Zwischenwort getrennt werden.)
Bei Herausgabe der ersten Abteilung dieses Bandes im Juni 1891 glaubte ich das Erscheinen der zweiten Hälfte, deren Inhalt die Logik der Relative bilden sollte, für den Herbst desselben Jahres in Aussicht
Neues Vorwort des Verfassers zum zweiten Bande.
stellen zu können. Selten wol in meinem Leben bin ich in einer Schätzung so weit fehlgegangen, als damals bei der Beurteilung von Grösse und Schwere der Lücken meines Manuskripts. Dies kam daher, dass die mir einzig brauchbar erscheinende Arbeit des Herrn
Peirce
über Relative in
9c
, die auch wirklich die hauptsächliche Grundlage zu meinem Band 3 abgegeben hat, blos einen Umfang von 18 Druck- seiten einnimmt, (die auf halb so viele von den unsrigen gehen würden), und dass ich wähnte, mit einem möglichst reproduzirenden Referat darüber — nicht ohne kritische Randbemerkungen — davonzukommen. Die ungeheure Tragweite dieser Abhandlung wurde mir erst bei der Detailbearbeitung klar. — Wer nun aber den Inhalt meines Bd. 3, I mit dem vergleicht, was man davon auf 9 Seiten sagen könnte, der wird auch ohne Kenntniss der Literatur leicht gewahr, wie wenig die- jenigen meinem Buche gerecht werden, die dasselbe als ein blosses Sammelwerk hinstellen möchten.
Der Rückverweisungen halber geben wir auch hier wieder mit bei den Inhalt des ersten Bandes.
Seite
Anzeige und Vorwort
III
Einleitung
.
A. Vorbetrachtungen über Charakter und Begrenzung der zu lösenden Auf- gabe mit Bemerkungen über Induktion, Deduktion, Widerspruch und folgerichtiges Denken. Denkendes Subjekt, seine Vorstellungen und die Dinge. (Chiffre
α
‥
ι
1
)
1
B. Vorbetrachtungen über Zeichen und Namen.
ϰ
1
‥
ο
2
)
38
C. Über Begriffe. Einteilung, Definition und Kategorieen, Pasigraphie. Logik des Inhaltes oder des Umfangs? Über Urteile, Schlüsse und deren Folge- richtigkeit. Warum Algebra der Logik.
π
2
‥
ξ
3
)
80
Erste Vorlesung
.
§ 1. Subsumtion
126
§ 2. Vorläufige Betrachtungen über Darstellbarkeit der Urteile als Subsum- tionsurteile
141
§ 3. Euler’s Diagramme. Identischer Kalkul mit Gebieten einer Mannig- faltigkeit
155
Zweite Vorlesung
.
§ 4. Erste Grundlagen: Prinzip I und II, Definition von Gleichheit, 0 und 1, nebst Folgesätzen
168
Dritte Vorlesung
.
§ 5. Die identische Multiplikation und Addition.
Peirce’
s analytische Definition von Produkt und Summe
191
§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition
201
§ 7. Deutung von 0, 1,
a b
,
a
+
b
als Gebiete nebst zugehörigen Postulaten. Konsistente Mannigfaltigkeit
211
Vierte Vorlesung
.
§ 8. Interpretation für Klassen
217
§ 9. Fortsetzung. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse. Reine Mannigfaltigkeit
237
Fünfte Vorlesung
.
§ 10. Die nicht von Negation handelnden Sätze. Reine Gesetze, von Mul- tiplikation und Addition je für sich
254
§ 11. Gemischte Gesetze, den Zusammenhang zwischen beiden Operationen zeigend
270
Inhalt des ersten Bandes.
Sechste Vorlesung
.
Seite
§ 12. Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes und Unentbehrlichkeit eines weiteren Prinzipes. — Prinzip zur Ver- tretung des unbeweisbaren Satzes
282
Siebente Vorlesung
.
§ 13. Negation (mit Postulat) und darauf zu gründende Sätze. — Ihre Ein- führung für Gebiete
299
§ 14. Der Dualismus
315
§ 15. Kritische Vorbemerkungen zum nächsten Paragraphen: Inwiefern nega- tive Urteile als negativ prädizirende anzusehen und disjunktiv prädi- zirende Urteile von den disjunktiven zu unterscheiden sind
319
Achte Vorlesung
.
§ 16. Deutung der Negation für Klassen. Satz des Widerspruchs, des aus- geschlossenen Mittels und der doppelten Verneinung im Klassen- kalkul. Dichotomie. Gewöhnliche Mannigfaltigkeit
342
§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen. Kontraposition, etc.
352
Neunte Vorlesung
.
§ 18. Verschiedenartige Anwendungen: Rechtfertigungen, Studien und Übungsaufgaben
365
Zehnte Vorlesung
.
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung
396
Elfte Vorlesung
.
§ 20. Spezielle und allgemeine, synthetische und analytische Propositionen: Relationen und Formeln
434
§ 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Subsumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen
446
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte
466
Zwölfte Vorlesung
.
§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls: identische Subtraktion und Division als Exception und Abstraktion. Die Negation als gemein- samer Spezialfall beider
478
§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen
496
Dreizehnte Vorlesung
.
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben
521
Vierzehnte Vorlesung
.
§ 26. Besprechung noch andrer Methoden zur Lösung der bisherigem Kalkul zugänglichen Probleme. Das primitivste oder Ausmusterungsverfahren von
Jevons
.
Lotze’
s Kritik, und
Venn’
s graphische Modifikation des Verfahrens
559
§ 27. Methoden von
McColl
und
Peirce
573
Inhalt des ersten und zweiten Bandes.
Anhänge
.
Seite
Anhang
1. Beiläufige Studie über Multiplikation und Addition. (Zu § 6.)
595
Anhang
2. Exkurs über Klammern. (Zu § 10.)
599
Anhang
3. Ausdehnung von Begriff und Sätzen über Produkt und Summe von zweien auf beliebig viele Terme. (Zu § 10.)
609
Anhang
4. Logischer Kalkul mit „Gruppen“ — hiernächst von Funktional- gleichungen, mit Algorithmen und Kalkuln. (Zu § 12.)
617
Anhang
5. Substrat zum vorigen Anhang und Material zu dessen Belegen
633
Anhang
6. Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Geometrisch- logisch-kombinatorische Probleme von
Jevons
und
Clifford
. (Zu § 12, 19 und 24.)
647
Literaturverzeichniss
nebst Bemerkungen
700
Namenverzeichniss
zum ersten Bande
716
Inhalt des zweiten Bandes. (
Erste Abteilung
.)
Fünfzehnte Vorlesung
.
§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul. Taxirung von Aussagen nach ihrer Gültigkeitsdauer und Klasse der Anwendungsgelegenheiten
1
§ 29. Übersichtlichste Darstellung der bisherigen Sätze in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls. Das Summenzeichen
Σ
und das Produktzeichen
Π
25
§ 30. Fortsetzung über
Σ
,
Π
. Aufhören des Dualismus
35
Sechzehnte Vorlesung
.
§ 31. Die Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet. Inkonsistenz.
49
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen. Direkte Verifikation der Sätze des Aus- sagenkalkuls durch diesen
63
Siebzehnte Vorlesung
.
§ 33. Herkömmliche Einteilung der kategorischen Urteile nach Qualität und Quantität. Modifizirte Deutung der universalen in der exakten Logik und Unzulänglichkeit des früheren Kalkuls zur Darstellung der partikularen Urteile
85
§ 34. Die fünf möglichen Elementarbeziehungen
Gergonne’
s und die vier- zehn Grundbeziehungen in anschaulich geometrischer Einführung
95
§ 35. Analytische Definition dieser Beziehungen und Zurückführung der- selben auf einander
106
Achtzehnte Vorlesung
.
§ 36. Reduktion sämtlicher Beziehungen auf den Typus der Gleichung und ihrer Negation (der Ungleichung)
118
§ 37. Entwickelung der Produkte und Summen von Grundbeziehungen
124
Inhalt des zweiten Bandes.
Seite
§ 38. Erweiterung des Beziehungskreises durch Zuzug auch der negirten Gebiete
131
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt und ihre Darstellung durch vier primitive (
De Morgan’
s). Die möglichen Aussagen über
n
Klassen, und
Peano’
s Anzahl dersel ben
136
Neunzehnte Vorlesung
.
§ 40. Umschau über die gelösten und noch zu lösende Probleme.
Mitchell’
s allgemeine Form der gegebene Urteile zusammenfassenden Gesamt- aussage
179
§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für ein paar typische Spezialfälle, dann allgemein (aus dem Rohen). Bemerkung das Auflösungsproblem betreffend
199
Zwanzigste Vorlesung
.
§ 42. Die Syllogismen der Alten. Traditionelle Übersicht derselben
217
§ 43. Miss
Ladd’
s rechnerische Behandlung der fünfzehn giltigen Modi. Beispiele
228
§ 44. Die inkorrekten Syllogismen der Alten und ihre Richtigstellung in der exakten Logik. Über Subalternation und Konversion. Zusammen- gesetzte Schlüsse
239
Einundzwanzigste Vorlesung
.
§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls im Kontrast mit dem Gebiete- kalkul. Dilemma, Modus ponens und tollens, disjunktiver Schluss. Formeln gemischter Natur
256
§ 46. Diverse Anwendungen, Studien und Aufgaben, darunter: Wesen des indirekten Beweises,
Hauber’
s Satz,
Mitchell’
s Nebelbilderproblem, nochmals
McColl’
s Methode, etc.
277
Zweiundzwanzigste Vorlesung
.
§ 47. Definitionen des Individuums, Punktes, und ihre Zurückführung auf einander. Auf Individuen bezügliche Sätze. Duales Gegenstück zum Individuum
318
Dreiundzwanzigste Vorlesung
.
§ 48. Erweiterte Syllogistik
350
§ 49. Studien über die „Klausel“ und noch ungelöste Probleme des Kalkuls
371
Inhalt des zweiten Bandes (zweite Abteilung).
Des zweiten Bandes zweite Abteilung.
Seite
Ernst Schröder
†. Von J.
Lüroth
III
Vorbemerkung des Herausgebers
XX
Vor- und Zwischenwort des Verfassers
XXIII
Vierundzwanzigste Vorlesung
.
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes
401
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen
423
Fünfundzwanzigste Vorlesung
.
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neuern Literaturzuwachse. Kritisches und Antikritisches
437
Sechsundzwanzigste Vorlesung
.
§ 53. Meine Kontroverse mit Frau
Franklin-Ladd
ein lehrreiches Kapitel.
464
§ 54. Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile. Konstitution des Be- griffes, und „negative“ Merkmale
476
Siebenundzwanzigste Vorlesung
.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften im iden- tischen Kalkul
493
§ 56. Über die Modalität der Urteile
506
Anhänge
.
Anhang
7.
McColl’
s Anwendung des Aussagenkalkuls zur Ermittelung der neuen Grenzen mehrfacher Integrale bei Abänderung der Integrationsfolge
515
Anhang
8.
Kempe’
s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage
564
Anmerkungen des Herausgebers
593
Literaturverzeichniss
598
Namenverzeichniss
zum zweiten Bande
606
VORLESUNGEN
ÜBER DIE
ALGEBRA DER LOGIK
(EXAKTE LOGIK).
Vierundzwanzigste Vorlesung
.
§ 50.
Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
In der Zwischenzeit seit dem Erscheinen der ersten 1½ Bände bin ich der Möglichkeit inne geworden, den Lehrgang des ersten Bandes schon in einigen Hinsichten zu vervollkommnen, welche mir zu bedeutsam erscheinen, als dass es sich empfehlen könnte, ihre Besprechung blos unter die Berichtigungs- nachträge einzureihen. Ich will vielmehr die einschlägigen, nicht durchweg miteinander zusammenhängenden Verbesserungen und Fortschritte in gegen- wärtiger Vorlesung darlegen.
Man fasse den Überblick des in Band 1 befolgten Lehrganges ins Auge, wie er sich etwa S. 28—34 des gegenwärtigen Band 2 gegeben findet.
Derselbe bedarf (vergl. die Berichtigungsnachträge) nur der einen Richtigstellung, dass in der Aussagengleichheit S. 34, Z. 12 v. u. rechter- hand der Aussagenfaktor (
a b
= 0) beizufügen ist, so dass die Gleichung lautet:
(
a x
+
b x
1
= 0) = (
a b
= 0) (
x
=
b x
1
+
a
1
x
)
Dementsprechend sollten auch in der verbalen Fassung des „Hülfstheorems des § 24“, Bd. 1, S. 502 die nachher kursiv gedruckten drei Worte eingeschaltet werden, so dass es lautet: die Gleichung
a x
+
b x
1
= 0 ist,
ihre Möglichkeit vorausgesetzt
, (oder:
sofern sie überhaupt erfüllbar ist
), äquivalent der:
x
=
b x
1
+
a
1
x
.
Bei dem dort angeführten Beweise ist nämlich — für die rückwärtige Aussagensubsumtion — von der Resultante
a b
= 0 der erstern Gleichung in der That wesentlich Gebrauch zu machen.
Hiervon abgesehen, gibt sich nun noch eine
Unvollkommenheit
unserer Theorie kund in der späten Stellung, welche unser System dem Theoreme 37) anweist, nämlich dem Satze von der (Konversion durch)
Kontraposition
bei
Subsumtionen
: 37)
(
a b
) = (
b
1
a
1
)
— trotz der Einfachheit und des überaus hohen Grades von unmittel- barer Evidenz, deren dieser Satz sich erfreut.
Zum Beweise desselben hatten wir uns Bd. 1, S. 357 berufen auf die Theoreme 20), 32) und 36), die von Gleichungen handeln, wogegen
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 26
Vierundzwanzigste Vorlesung.
es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für
Gleichungen
: 32)
(
a
=
b
) = (
a
1
=
b
1
)
kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu
können
.
Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die- selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte, den von Herrn
Peirce
5
p. 27 für das Th. 37) gegebnen „Beweis“ zu ver- stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber als zusammenfallend mit dem Kern des
Peirce’
schen Beweises erwies, als dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk.
Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig- keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den
De Morgan’
schen Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis- lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist.
Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen, wenn man
die Reihenfolge der Theoreme
36), 37), 38)
in die entgegen- gesetzte verwandelt
.
Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in- dessen
die bisherigen Chiffren
der Sätze
beibehalten
. — Wenn ich von neuem zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) „vom Dualismus“ unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin — vergl. S. 33 oben — von anderer Natur als die übrigen „Theoreme“, eine Art von zunächst nur empirisch anerkanntem „Prinzip“ statuirt.
Hierzu die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse dieses Bandes.
Das
Theorem
38)
(1
a
1
+
b
) = (
a b
) = (
a b
1
0)
lässt sich in der That
ohne weiteres
— z. B. dicht hinter das Th. 35) —
vorannehmen
. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben, die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), III
×
oder 27) und 30) voraussetzten.
Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann jetzt angereiht werden das
Theorem
: 37)
(
a b
) = (
b
1
a
1
)
mit den folgenden beiden Beweisen:
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Beweis
1. (
a b
) = (1
a
1
+
b
) = {1 (
b
1
)
1
+ (
a
1
)} = (
b
1
a
1
) nach 38
+
), 31) und 38
+
), — wobei wir durch die Klammer um
a
1
nur darauf hinweisen wollten, dass
a
1
demnächst wie ein einfaches Symbol angesehen werden möchte.
Beweis
2. Desgleichen hat man dual entsprechend
(
a b
) = (
a b
1
0) = {(
b
1
) (
a
1
)
1
0} = (
b
1
a
1
)
nach 38
×
), 31) und 38
×
).
Schliesst man übrigens im Geiste des ersten Bandes noch verbal, also ohne wirkliche Aussagenäquivalenzen zu statuiren, so wird man
b
1
a
1
als
Folgerung
aus
a b
, also nur: (
a b
) (
b
1
a
1
) erhalten und dieses (blos verbal angesetzte) Ergebniss nach demselben Schema in Verbindung mit Th. 31): (
b
1
a
1
) {(
a
1
)
1
(
b
1
)
1
} = (
a b
) auch als rückwärts gültige Aussagensubsumtion nachzuweisen haben, mit der es sich erst zur Aussagengleichung 37) gemäss der für Aussagen in Anspruch genommenen Def. (1) zusammenzieht.
Mit jenem Th. 38) kann jetzt auch der Satz 37) der Kontraposition ebenfalls noch vor das Th. 32) gestellt werden, und dann lässt sich auch dieses
Theorem
32)
(
a
=
b
) = (
b
1
=
a
1
)
der Kontraposition von Gleichungen nun kraft 37) aus
(
a b
) = (
b
1
a
1
) (
b a
) = (
a
1
b
1
)
durch überschiebendes Multipliziren, oder die darauf hinauslaufenden „Überlegungen in Worten“ sofort
beweisen
.
Der erheblichste Gewinn aus der Umstellung der Sätze ist aber der, dass wir jetzt auch die schönen Beweise in unsere Theorie auf- nehmen können, welche Herr
Peirce
5
p. 37 für die
De Morgan’
schen Theoreme 36) gibt. Allerdings muss zu dem Ende diesen Theoremen auch ferner noch vorangestellt werden das
Theorem
41) von
Peirce
41)
(
a b c
) = (
a b
1
+
c
).
Für dieses haben wir Bd. 1 S. 364 auch einen Beweis gegeben, welcher von keinem späteren Satze als von Th. 33) Gebrauch machte, so dass die Voranziehung auch dieses Satzes ohne weiteres angängig ist. Und mehr in den Vordergrund der Theorie gerückt zu werden, als es in Bd. 1 geschah, verdient auch dieses Th 41) schon seiner eminenten Wichtigkeit halber, die z. B. auch in Bd. 3 deutlich zutage treten wird. Bildet dasselbe doch ein Gegenstück zu den fundamentalen Definitionen (3). Während nämlich letztere zeigen, wie eine Subsumtion, deren
Prädikat ein Produkt
, resp. deren
Subjekt eine Summe
ist, zerfällt werden kann in
26*
Vierundzwanzigste Vorlesung.
einfachere Subsumtionen, lehrt dieses Th. 41): welche Umformungen mit einer Subsumtion vorgenommen werden dürfen, bei der umgekehrt das
Sub- jekt ein Produkt
oder das
Prädikat eine Summe
ist. Für
a
= 1 resp.
c
= 0 geht zudem das Th. 41) über in die beiden Theoreme 38), von denen es eine Zusammenfassung und zugleich Verallgemeinerung vorstellt.
Hiernach hat man nun für
De Morgan’
s bekannte
Theoreme
:
36) (
a b
)
1
=
a
1
+
b
1
(
a
+
b
)
1
=
a
1
b
1
den folgenden
Peirce’
schen
Beweis
. Nach Th. 30) ist
(
a b
) (
a b
)
1
= 0
1 = (
a
+
b
) + (
a
+
b
)
1
oder nach Def. (1) und dem Assoziationsgesetz 13)
a b
(
a b
)
1
0
1
a
+
b
+ (
a
+
b
)
1
Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht den Faktor
a
(von links) nach rechts | das Glied
a
(von rechts) nach links, so kommt:
b
(
a b
)
1
0 +
a
1
=
a
1
a
1
· 1 =
a
1
b
+ (
a
+
b
)
1
,
und wenn darnach ebenso der Term
b
hinübergeschafft wird:
(
a b
)
1
a
1
+
b
1
a
1
b
1
(
a
+
b
)
1
,
womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er- scheinen.
Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet
Peirce
den Schluss der Kontraposition gemäss Th. 37) an auf die Theoreme 6):
a b a
,
a b b
a a
+
b
,
b a
+
b
wonach wir haben:
a
1
(
a b
)
1
,
b
1
(
a b
)
1
(
a
+
b
)
1
a
1
, (
a
+
b
)
1
b
1
und sich nach Def. (3) in der That diese noch ausstehenden Subsumtionen:
a
1
+
b
1
(
a b
)
1
(
a
+
b
)
1
a
1
b
1
ergeben, die sich endlich mit den vorhin gefundenen kraft Def. (1) zu den Gleichungen zusammenziehen, welche zu beweisen gewesen.
Was ich von Begründungsweisen der elementaren Sätze unserer Theorie sonst noch gerne in den Bd. 1 aufgenommen haben möchte, ist vor allem folgendes.
Die Art, wie Herr
Robert Grassmann
die Eindeutigkeit der Negation und den Satz 31) der doppelten Verneinung beweist, bildet eine Variante der Bd. 1, S. 302 sq. und S. 305 von uns gegebenen Beweise, welche keinen Gebrauch macht von dem Hülfstheorem 29), Bd. 1, S. 299.
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Der
Zusatz
1 zur Def. (6) der Negation knüpft l. c. an die Vor- aussetzungen
30
×
)
a a
1
= 0
a
+
a
1
= 1
30
+
)
30'
×
)
a a
'
1
= 0
a
+
a
'
1
= 1
30'
+
)
die Behauptung
a
'
1
=
a
1
und wird von R.
Grassmann
wie folgt
bewiesen
.
Nach Th. 21
×
), der Voraussetzung 30'
+
), Prinzip III
×
, der Voraus- setzung 30
×
) und Th. 21
+
) haben wir:
a
1
=
a
1
· 1 =
a
1
(
a
+
a
'
1
) =
a
1
a
+
a
1
a
'
1
= 0 +
a
1
a
'
1
=
a
1
a
'
1
,
und ebenso, nur 30') mit 30) bei den Citaten vertauscht:
a
'
1
=
a
'
1
· 1 =
a
'
1
(
a
+
a
1
) =
a
'
1
a
+
a
'
1
a
1
= 0 +
a
'
1
a
1
=
a
1
a
'
1
,
also
a
'
1
=
a
1
kraft Th. 4), q. e. d.
Das
Theorem
31)
(
a
1
)
1
=
a
wird ferner so
bewiesen
.
Nach Th. 21), 30), Pr. III
×
, Th. 30
×
) und 21
×
) ist:
(
a
1
)
1
= (
a
1
)
1
· 1 = (
a
1
)
1
(
a
+
a
1
) = (
a
1
)
1
a
+ (
a
1
)
1
a
1
= (
a
1
)
1
a
+ 0 = (
a
1
)
1
a
,
a
=
a
· 1 =
a
{
a
1
+ (
a
1
)
1
} =
a a
1
+
a
(
a
1
)
1
= 0 +
a
(
a
1
)
1
= (
a
1
)
1
a
,
also (
a
1
)
1
=
a
wiederum nach Th. 4), q. e. d.
In ähnlicher Weise lässt sich auch bei dem Beweise der Theoreme 36)
De Morgan’
s Bd. 1, S. 352 das Hülfstheorem 29) entbehren.
z. B. links vom Mittelstriche: Th. 36
×
)
(
a b
)
1
=
a
1
+
b
1
;
Beweis
. Nach 21
×
), 30
×
), III
×
, 27
×
) 13
×
), 30
+
) und 21
+
) ist
a
1
+
b
1
= (
a
1
+
b
1
) · 1 = (
a
1
+
b
1
) {(
a b
) + (
a b
)
1
} = (
a
1
+
b
1
) (
a b
) + + (
a
1
+
b
1
) (
a b
)
1
=
a
1
a b
+
b
1
a b
+ (
a
1
+
b
1
) (
a b
)
1
= 0 + 0 + + (
a
1
+
b
1
) (
a b
)
1
= (
a
1
+
b
1
) (
a b
)
1
und ebenso nach 21
×
), Zusatz zu 34), 27
×
) usw.
(
a b
)
1
= (
a b
)
1
· 1 = (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
+
a b
) = (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
) + (
a b
)
1
(
a b
) = = (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
) + 0 = (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
),
sonach
a
1
+
b
1
= (
a b
)
1
kraft Th. 4), q. e. d.
Man sieht jedoch, wie diese Beweise eben durch Vorannehmen des Hülfstheorems 29) in unserem Bd. 1 einfacher gestaltet sind.
Gleichwol erscheint der in Bd. 1, S. 352 von mir gegebene Beweis des Th. 36) dem oben vorgetragenen
Peirce’
schen gegenüber, — nachdem dieser zur Aufnahme in unser System geeignet geworden, — nun als ein minderwertiger.
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Resumirend können wir etwa sagen, dass die Umordnung der chiffrirten Sätze unserer Theorie in die nachstehende Reihenfolge: 1) bis 31), 38), 37), 32), 33), 34), 35), 41), 36), 39), 40), 42) usw. durch- führbar ist und hinsichtlich der Eleganz der dadurch ermöglichten Beweisführungen nicht zu verachtende
Vorteile
bietet.
Hiermit gelangt eine
erste
Gruppe unserer Vervollkommnungs- bestrebungen zum Abschluss.
In einem ganz kurzen „Abriss“ der algebraischen Logik, den ich plane, gedenke ich den nach vorstehenden Andeutungen (vergl. auch unten S. 423) verbesserten Lehrgang zu verwirklichen.
Eine
zweite
Gruppe von auf Vervollkommnung der Theorie im ersten Bande abzielenden Bemerkungen bezieht sich auf die Theoreme 45) und 46) des § 19, Bd. 1, S. 420 … 424, sowie Bd. 2, S. 33 f., welche lehren, wie mit im Sinne
Boole’
s „
entwickelten
“ Funktionen identisch zu rechnen sei.
Zunächst, — wie wir jedoch sehn werden, blos „
formell
“ — lassen diese Sätze eine naheliegende
Verallgemeinerung
zu, indem an die Stelle der „Konstituenten“ in den
Boole’
schen Entwicklungsschemata auch treten darf irgend ein System von Argumenten (Gebieten, Klassen), von denen weiter nichts bekannt zu sein braucht, als dass sie
unter sich disjunkt sind
. Für solche Argumente mögen wir füglich den Namen „
Konstituenten
“ beibehalten.
Dann aber handelt es sich von vornherein nicht sowol um Funktionen, welche gemäss den
Boole’
schen Schemata nach jenen Ar- gumenten „entwickelt“ zu denken wären, als vielmehr einfacher blos um Ausdrücke, welche eben inbezug auf diese Argumente
linear und homogen
sind.
Gedachte Verallgemeinerungen präsentiren sich in der That als die
Hülfssätze
:
Funktionen
oder Ausdrücke,
welche homogen linear sind inbezug auf ein System von disjunkten Argumenten
(den „Konstituenten“),
können
— gleichwie
durch Addition
, so auch —
durch Multiplikation
„
überschiebend
“ („
durch Superposition
“)
verknüpft werden;
das heisst: man braucht immer nur
die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder
durch die betreffende Rechnungsart zu verknüpfen.
Letztere mag man vielleicht kurz ihre „gleichstelligen“ oder „korre- spondirenden“, „homologen“ Koeffizienten nennen, — jenes, insofern man sich die Glieder einer jeden von den Funktionen nach den Argumenten „geordnet“ denkt. Als „
gleichnamig
“ sollten hier wiederum nur diejenigen
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Glieder gelten, welche den nämlichen Konstituenten, also dasselbe Argument zum Faktor haben.
Desgleichen:
eine solche Funktion kann koeffizientenweise negirt werden.
In Zeichen: wenn
x y
=
x z
= … =
y z
= … = 0
ist, hat man, — wie ohnehin
(
a x
+
b y
+
c z
+ …) + (
α x
+
β y
+
γ z
+ …) = = (
a
+
α
)
x
+ (
b
+
β
)
y
+ (
c
+
γ
)
z
+ …,
so auch analog
(
a x
+
b y
+
c z
+ …) (
α x
+
β y
+
γ z
+ …) =
a α x
+
b β y
+
c γ z
+ …,
und ferner
(
a x
+
b y
+
c z
+ …)
1
=
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
z
+ ….
Der
Beweis
ist völlig analog dem der früheren Sätze.
Das heisst: Für den Produktensatz ist er zu leisten durch mentales Ausmultipliziren nach dem Distributionsgesetze, resp. der Multiplikations- regel für Polynome, unter Rücksichtnahme auf die Voraussetzungen und das Tautologiegesetz 14
×
). Bezüglich des Satzes über Negation zeigt man, dass der Negand mit dem angeblichen Negate die Summe 1 und das Produkt 0 richtig liefert kraft der vorhergehenden beiden Sätze.
In Anbetracht dass auch die
Boole’
schen Konstituenten als unter sich disjunkt nachgewiesen wurden, kann man die früheren Theoreme 45), 46) als besondre Fälle unter die eben aufgestellten Hülfssätze subsumiren, welche letzteren aber den Vorzug grösserer Einfachheit besitzen.
Es lassen sich jedoch auch umgekehrt diese Hülfssätze als eine partikulare Anwendung jener früheren Theoreme hinstellen.
Denn sollte eine Funktion
f
(
x
,
y
,
z
, …) nach diesen ihren
als disjunkt vorausgesetzten
Argumenten im
Boole’
schen Sinne
entwickelt
werden, so kann die Entwickelung nur die bezüglich
x
,
y
,
z
, … selbst lineare homogene Form haben:
f
(
x
,
y
,
z
, …) =
a x
+
b y
+
c z
+ …,
sintemal durch Entwickelung von
x
selbst nach den sämtlichen Argumenten leicht zu zeigen ist, dass wegen der Voraussetzungen sein muss:
x
=
x y
1
z
1
…,
y
=
x
1
y z
1
…, usw.,
nämlich jeder
Boole’
sche Konstituent, in welchem
mehr
als
ein
Argument
unnegirt
vorkäme, jenen zufolge verschwinden und aus der Entwickelung herausfallen muss.
Desgleichen würde sich auch nach andern Schlussweisen die Prämisse
x y
= 0
um
schreiben lassen in
x y
1
oder
x
=
x y
1
, ebenso die
x z
= 0 in
x
=
x z
1
, womit auch gefunden ist
x
=
x y
1
z
1
, und so weiter. —
Hiermit ist auch die Berechtigung erwiesen, den Namen „Konstituent“ vom
Boole’
schen
x y
1
z
1
… auf unser
x
selbst zu übertragen.
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Die Verallgemeinerung konnte deshalb blos als eine „formelle“ bezeichnet werden. Wesentlich haben wir nur eine Vereinfachung des Ausdrucks jener Theoreme damit gewonnen.
Diesen reihen sich nun noch ein paar Sätze an, bei denen ich ebenso wie bei den vorigen — namentlich im Interesse des dritten Bandes — Gewicht darauf legen muss, sie statuirt zu haben. Zunächst:
Zwei Funktionen, welche nach einem System von solch disjunkten Konstituenten „entwickelt“ sind, m. a. W:
Zwei homogen lineare Funktionen von den nämlichen disjunkten Argumenten können nicht anders einander gleich sein
,
als indem die
(inbezug auf diese Argumente)
gleichnamigen Glieder für sich jeweils einander gleich sind;
kurz: einander gleiche Funktionen derart
müssen gliedweise übereinstimmen
. In Zeichen: ist
a x
+
b y
+
c z
+ … =
α x
+
β y
+
γ z
+ …,
und sind die
x
,
y
,
z
, … wie oben disjunkt, so muss sein:
a x
=
α x
,
b y
=
β y
,
c z
=
γ z
, ….
Beweis. Multiplikation der ersten Prämisse beiderseits mit
x
gibt wegen
x y
=
x z
= … = 0 sofort
a x
=
α x
; etc. q. e. d.
Umkehren lässt sich der Satz nur insofern, als die Gleichungen der „Behauptung“ ihrerseits selbstverständlich (durch Überaddiren) die erste Prämisse garantiren.
Formell mit Beschränkung auf im
Boole’
schen Sinne entwickelte Funktionen wurde obigen Satzes schon einmal (Bd. 2, S. 309 f.) beiläufig Erwähnung gethan.
Aus der Übereinstimmung der gleichnamigen
Glieder
kann nun im allgemeinen nicht auf die Gleichheit ihrer
Koeffizienten
geschlossen werden; aus
a x
=
α x
folgt bekanntlich
nicht
, dass
a
=
α
sein müsse.
Wol aber lässt sich diese Gleichheit beweisen, wenn von den Koeffizienten
a
und
α
etwa noch bekannt sein sollte, dass sie (gleich- wie Aussagen) lediglich der Werte 0 und 1 fähig seien, und wenn man ausserdem weiss, dass
x
≠ 0 ist. Hier würde nämlich die An- nahme, dass
a
und
α
nicht entweder gleichzeitig = 1, oder alle beide = 0 wären, die Annahme also, dass der eine Koeffizient 1, der andere dagegen 0 wäre, zu dem Widerspruche
x
= 0 mit der letztern Voraus- setzung führen.
Sonach können wir sagen:
Wenn zwei Funktionen der nämlichen unter sich disjunkten und von
0
verschiedenen Argumente
Solche werden überaus häufig vorkommen; der Fall liegt namentlich allemal vor, wenn die Argumente „
Individuen
“ sind.
einander gleich sein sollen
,
und wenn die Koeffizienten ihrer Entwicklung nach diesen Argumenten auf den
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Bereich der beiden Werte
0
und
1
angewiesen sind
,
so müssen die Koeffizienten der gleichnamigen Glieder
(resp. eines jeden Konstituenten) in beiden Funktionen
einzeln übereinstimmen
.
Zwei mit den letzten analoge Sätze gelten schon über die Ein- ordnung, Subsumtion, zwischen derartigen Funktionen, nämlich erstens:
Von zwei
(homogenen linearen)
Funktionen der nämlichen disjunkten Argumente kann die eine der andern nicht anders eingeordnet sein
,
als indem die gleichgesinnte
(gleichstimmige)
Einordnung zwischen je zwei gleichnamigen Gliedern der entwickelten Funktionen besteht
, — gleichwie auch umgekehrt selbstverständlich — gemäss Th. 15), — wenn die Einordnung zwischen den homologen Gliedern durchgängig besteht, auch deren Summen, die Funktionen im Subsumtionsverhältnisse stehen müssen. In Zeichen:
Wenn für
x y
=
x z
= … =
y z
= … = 0 ist:
a x
+
b y
+
c z
+ …
α x
+
β y
+
γ z
+ …,
so muss sein
a x α x
,
b y β y
,
c z γ z
, …, (sowie umgekehrt).
Beweis
. Denn beiderseitiges Multipliziren mit
x
gibt wegen erst- erwähnter Voraussetzung
a x x α x x
oder
a x α x
, wie zu zeigen war, usw.
Sind
zweitens
die Koeffizienten
wieder
auf das Gebiet der Werte
0
und
1
beschränkt
,
die Argumente aber von
0
verschieden
,
so folgt aus der Einordnung zwischen den Funktionen auch die im selben Sinn ge- nommene zwischen ihren homologen Koeffizienten
, — sowie selbstverständ- lich auch das Umgekehrte zutreffen wird.
Denn wäre bei
a x α x
und
x
≠ 0 etwa
a α
, so müsste
a
= 1 und
α
= 0 sein, weil in den drei andern noch denkbaren Fällen eben
a α
sein würde. Alsdann aber führte die schon erwiesene Subsumtion
a x α x
zu dem Widerspruche
x
0 mit der Voraussetzung
x
≠ 0.
Eine dritte Gruppe von Vervollkommnungsbestrebungen steht im Dienste des Satzes von der „
Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes
“ — vergl. § 12 des Bd. 1, — für welche ich im Anhang 4, 5 und 6
zwei
Beweise erstmals gegeben habe, von denen wenigstens der zweite, Bd. 1, S. 685 ff., sich ganz innerhalb des Rahmens der logischen Disziplin selbst hielt und keines extralogischen Substrates zu der Exemplifikation, auf die es ankommt, benötigte.
Die Wichtigkeit des gedachten Satzes beruht bekanntlich darauf, dass durch ihn die selbständige Existenz jener Disziplin verbürgt ist, die ich als einen „logischen Kalkul mit Gruppen“ oder kurz als „
Gruppenkalkul
“ bezeichnete, um sie von „
identischen Kalkul
“ unter- scheiden und diesem gegenüberstellen zu können.
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Die beiden Kalkuln haben die Prinzipien und Sätze 1) bis 25) unseres Lehrganges gemein, unterscheiden sich dann aber dadurch, dass in jenem das Th. 26), mithin das volle Distributionsgesetz nicht zu gelten braucht, dagegen in diesem gilt.
Insofern man die Geltung oder Nichtgeltung von Th. 26) in jenem unentschieden lässt, kann man sagen, dass der identische Kalkul sich als ein Unterfall in den Gruppenkalkul einordnet, und dass alle Sätze dieses Gruppenkalkuls, als des allgemeineren von beiden, auch im identischen Kalkul gelten müssen, aber nicht umgekehrt. Nimmt man dagegen etwa das Nichterfülltsein des Th. 26
+
)
a
(
b
+
c
)
a b
+
a c
unter die Prinzipien des Gruppenkalkuls auf, so steht derselbe dem identischen Kalkul abgeschlossen und ihn ausschliessend gegenüber.
Für jenen Satz der Nichtbeweisbarkeit des Th. 26) aus den vorher- gegangenen Prinzipien und Sätzen unserer Theorie sind nun alsbald von Herrn
Lüroth
, sodann auch von den Herren
Voigt
und
Korselt
noch drei (oder vier) andere Beweise geliefert oder angedeutet worden, bei denen wol mit einem geringeren Aufwand von Vorbetrachtungen das Ziel erreicht wird, und die ich darum, gleichwie im Interesse der Vollständigkeit meines Werkes, glaube in Kürze hier aufnehmen zu sollen. Ich will sie in der Reihenfolge ihrer zeitlichen Succession numeriren, doch ausser der Reihe besprechen.
Der
Beweis
4, von Voigt
2
, p. 303 f. mehr nur angedeutet, im folgenden unter seiner Beihülfe näher ausgeführt, gibt uns zugleich Veranlassung, zur Klärung der Frage einer „Inhaltslogik“ oder eines etwaigen, Bd. 1, S. 100 nur von mir gestreiften, identischen Kalkuls mit (idealen?) Begriffs
inhalten
weiteres Material beizubringen, welches vielleicht auch zu den Erörterungen in der „Einleitung“ unseres Bd. 1 und der von andern Seiten an diese geknüpften Polemik eine nicht unwichtige Ergänzung bildet. — Herr
Voigt
sagt l. c.:
„… Dieser“ (der
ideale
Begriffsinhalt) „besteht in der Gesamtheit der Merkmale, welche die Objekte, die einen bestimmten Begriff erfüllen, gemein haben. Die Logik dieser idealen Begriffsinhalte ist aus der elemen- taren Logik ganz auszuscheiden, da sie ihren Gesetzen nicht durchaus folgt. Ein Kalkul der idealen Inhalte wäre ein
Gruppenkalkul
im
Schröder
schen Sinne, für den also das dritte Prinzip nicht gilt.“
„Addiren wir z. B. den idealen Inhalt des Begriffes: Rechtwinkliges Dreieck, zu dem idealen Inhalt des Begriffes: Gleichschenkliges Dreieck, d. h. bilden wir aus diesen beiden Begriffen einen neuen, dessen Inhalt alle Merkmale derjenigen Objekte ausmacht, die beide Begriffe zugleich erfüllen, so wird der ideale Inhalt dieses Begriffes keineswegs blos die
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Summe der Merkmale der beiden gegebenen Begriffe sein, sondern der Begriff enthält auch Merkmale, die weder dem einen noch dem anderen zukamen, z. B. den, dass die Hypotenuse doppelt so gross ist als die zugehörige Höhe.“
„Es wäre in der That, wie
Schröder
bemerkt, ein Hysteronproteron, wenn man mit einem solchen Inhaltskalkul beginnen wollte, und wenn
Husserl
2
es dennoch thut oder zu thun glaubt, so hat das allein darin seinen Grund, dass er sich so „kurz fasst“, anstatt ihn wirklich durch- zuführen. Auffallend ist, dass
Schröder
nicht die Bemerkung gemacht hat, dass eine Logik idealer Inhalte eine Gruppenlogik sein müsse. Er hätte dann näher liegende Beispiele für die Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes, als die im Anhang entwickelten, haben können.“
Dass in der That aus inhaltslogischen Betrachtungen naheliegende „Beispiele“ zu letzterm Zwecke sich schöpfen lassen, wollen wir zu- nächst an der Hand eines andern ebenfalls von
Voigt
mir gelieferten Beispiels ausser Zweifel stellen.
Es bedeute — etwa mit Beschränkung auf den Denkbereich der Merkmale von
ebenen
Figuren — a die Merkmale des
Rechtecks
b die Merkmale des
Rhombus
c das Merkmal „
vierfach
“, d. h. in
Bezug auf
vier
verschiedene Axen „
symmetrisch
“, — wie es z. B. das Quadrat ist in Bezug sowol auf seine beiden Diagonalen als auch auf die beiden Winkelhalbirenden dieser; wogegen der Rhombus nur in Bezug auf jene, das Rechteck nur in Bezug auf diese symmetrisch ist, beide also blos „
zweifach
“
symmetrisch
zu nennen wären, — ein Merkmal, welches
d
heissen möge.
Da das Rechteck mit
allen
vierfach symmetrischen Figuren nur die Eigenschaft gemein haben kann, in Bezug auf
zwei
Axen symme- trisch zu sein, so bedeutet
a c
nichts als dieses Merkmal, welches wir
d
genannt haben. Dasselbe
d
bedeutet auch
b c
, denn auch der Rhombus hat mit einer
durchweg beliebigen
vierfach symmetrischen Figur nichts als dieses Merkmal gemein. Also stellt auch
a c
+
b c
, als eine Tauto- logie
d
+
d
, nur dieses Merkmal
d
vor.
a
+
b
dagegen bedeutet den Merkmalkomplex, der allen denjenigen Figuren zukommt, welche die Merkmale des Rechtecks
und
die Merk- male des Rhombus in sich vereinigen
Wenigstens steht nichts im Wege, dem Symbol
a
+
b
hiernächst solche Deutung zu geben.
, d. h. es bedeutet die Merkmale des
Quadrates
. Da die vierfache Symmetrie
c
zu diesen Merkmalen gehört, so bedeutet also (
a
+
b
)
c
nur eben dieses Merkmal
c
.
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Nun ist offenbar das Merkmal
c
der vierfachen Symmetrie nicht dem
d
der zweifachen Symmetrie eingeordnet, (sondern umgekehrt, und diese umgekehrte Einordnung ist hier eine wirkliche Unterordnung). Also gilt die Subsumtion (
a
+
b
)
c a c
+
b c
hier nicht, q. e. d.
Um diese wol unanfechtbaren Überlegungen beweiskräftig zu finden, scheint mir der Nachweis doch unerlässlich, dass diejenigen Prinzipien, in denen der identische Kalkul mit dem Gruppenkalkul übereinstimmt, auch wirklich Geltung haben für die vorstehend adoptirten Deutungen von Ein- ordnung, Produkt und Summe zweier Merkmalkomplexe.
Ein Merkmalkomplex
g
war hier eingeordnet genannt einem Merkmal- komplex
h
, wenn sich jedes Merkmal des ersteren unter den Merkmalen des letzteren vorfindet. (Der Subsumtion
g h
würde also entsprechen die umgekehrte Subsumtion zwischen den Umfängen der Begriffe, die durch unsere Merkmalkomplexe bestimmt sind.) Trifft auch das Umgekehrte zu, d. h. ist sowol
g h
als
h g
, so besteht zweifellos Identität zwischen den beiden Merkmalkomplexen, d. h. es besteht hier unsere Def. (1) der Gleichheit,
g
=
h,
zu Rechte. Ebenso müssen offenbar Prinzip I
g g
und II: Wenn
f g
und
g h
, so ist auch
f h
, allgemein gelten.
Ferner musste der Merkmalkomplex 0, welcher sich in jedem Merkmal- komplex mit vorfinden soll, bei uneingeschränktem Denkbereich als völlig leer vorgestellt werden, — dem Begriff „Etwas“ entsprechend, — bei Be- schränkung des Denkbereiches, z. B. auf die Merkmale ebener Figuren dagegen als dieses Merkmal selbst,
eben
zu sein, während 1 den Komplex aller er- denklichen, — darunter auch kontradiktorisch entgegengesetzter — Merkmale — irgendwelcher oder bezw. ebener — Figuren bedeutet, — dem Begriffe des „Nichts“ entsprechend. Dann sind die Formeln (2) erfüllt.
g
+
h
sollte sodann bedeuten den Merkmalkomplex, der allen denjenigen Figuren gemeinschaftlich zukommt, die sowol die Merkmale
g
als auch die
h
besitzen, nnd dieser wird gebildet nicht nur von den Merkmalen
g
und
h
selber, sondern auch von allen denjenigen Merkmalen, die nach den Axiomen der Geometrie aus der Verbindung dieser beiden Merkmalkomplexe
g
und
h
hinzufolgen. (Der Umfang dieses Begriffes
g
+
h
wäre in unserer Umfangs- logik als das identische Produkt der den Begriffen
g
und
h
einzeln zukommenden Umfänge zu bezeichnen.) Evident ist nun hieraus, dass wenn
g
+
h f
ist, dann auch
g f
und
h f
sein muss.
Keineswegs ohne weiteres einleuchtend erscheint dagegen die umgekehrte Behauptung, dass so oft
g f und h f
ist, auch
g
+
h f
sein müsse. Der Komplex
f
könnte in der That zwar die Merkmale
g
und
h
für sich umfassen, aber irgend ein weiteres Merkmal ausschliessen, welches weder aus
g
allein, noch aus
h
allein, wol aber aus der Verbindung beider aufgrund geometrischer Axiome hergeleitet werden kann und somit zum Komplex
g
+
h
gehört. Und zwar ist dies möglich, so lange man sich den Merkmalkomplex
f
ganz ad libitum zusammengesetzt denkt. Wird nun aber der Denkbereich auf die den geometrischen Axiomen unterworfenen Merkmale der ebenen Figuren eingeschränkt, so wird auch
f
entweder einen solchen Merkmalkom- plex vorstellen, der einer ebenen Figur wirklich zukommen kann, wonach
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
sodann letztere Figur, falls sie die Merkmale
g
und
h
besitzt, auch alle die- jenigen Merkmale mit umfassen wird, die aus der Verbindung beider folgen, d. i. alle Merkmale des Komplexes
g
+
h
; — oder
f
bedeutet einen Komplex von Merkmalen aus unserm Denkbereich, welche, als nach den geometrischen Axiomen mit einander unverträglich, keiner ebenen Figur gleichzeitig zukommen können, und ist dann hier mit 1 zu bezeichnen, da man aus dem in ihrer Unverträglichkeit liegenden Widerspruch noch jedes andere erdenkliche Merk- mal hinzugefolgert denken kann (vergl. Bd. 2, I, S. 18, Z. 13 v. o.), sodass
f alle
Merkmale des Denkbereiches umfasst; und dann gilt nach (2) selbst- verständlich
g
+
h
1 neben
g
1 und
h
1.
Für die angegebene Deutung der Symbole treffen somit auch die Pro- positionen (3) zu. Übrigens erscheint hier nur die von mir sogenannte „extensive Schreibung“ mit der „intensiven“ vertauscht, — vergl. Bd. 1, S. 623, — d. h. es haben und , 0 und 1, Produkt und Summe, jede Proposition und deren duales Gegenstück, ihre Rollen gewechselt, — wobei indes Inhaltsprodukte bisher hier nicht zur Sprache gekommen.
Sollte das inhaltslogische Produkt
g h
in gleicher Weise das Gegenstück sein zur umfangslogischen Summe, so wäre ersteres zu definiren als derjenige Merkmalkomplex, welcher allen den Figuren gemeinsam ist, die den Merkmal- komplex
g oder
den
h
besitzen. Anders im
Voigt’
schen Beweis. Hier be- deutet
g
·
h
nur das wirkliche „identische Produkt“ der beiden Merkmalkom- plexe, den Merkmalkomplex, den
g
und
h
gemein haben.
Hiezu auch die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.
(Vergl. Bd. 1, S. 627, Fussnote.) Selbstverständlich werden dann die formalen Forderungen unserer Def. (3
×
) sich erfüllt erweisen: (
f g
) (
f h
) = (
f g h
).
Ergebniss dieser Überlegungen ist also, dass in der That das
Voigt’
sche Aperçu beweiskräftig ist für unsern Satz der Nichtbeweis- barkeit des Distributionssatzes, und dass an der Hand der Betrachtung idealer Begriffsinhalte naheliegende „Beispiele“ („crucial tests“) gefunden werden können.
Wegen der Deutung, welche
Voigt
dem Produkt zweier Begriffe bei- legt, ist der
Voigt’
sche Kalkul mit idealen Begriffsinhalten allerdings nur ein Gruppenkalkul; derselbe deckt sich aber auch aus dem gleichen Grunde keineswegs mit demjenigen inhaltslogischen Kalkul, auf welchen ich Bd. 1, S. 100 anspielte, der sich durchaus als „identischer“ Kalkul darstellt, auch mit der vollen Geltung des Distributionsgesetzes, lediglich unter durch- gängiger Vertauschung der „intensiven“ mit der „extensiven“ Schreibung, gemäss der bekannten Thatsache, dass mit einer Einordnung zwischen zwei Begriffsumfängen stets die entgegengesetzte Einordnung zwischen den zu- gehörigen Begriffsinhalten parallel geht. Darum ist es wol auch nicht so „auffallend“, wie
Voigt
meint, dass ich die bewusste Bemerkung nicht ge- macht habe, da diese Bemerkung nur für den
Voigt’
schen Inhaltskalkul zutrifft, nicht aber für den meinigen. — Dem
Voigt’
schen Inhaltskalkul jedoch würde eine wichtige, für die Wissenschaft wie für das gemeine Denken gleich unentbehrliche Operation abgehen: die Operation, welche aus zwei ge-
Vierundzwanzigste Vorlesung.
gebenen Begriffen
a
und
b
den Begriff „was
a
oder
b
ist“ ableitet. Dieser Begriff,
ohne Zuhülfenahme von Umfangsbetrachtungen
, dürfte ohnehin jeder Inhaltslogik Schwierigkeiten machen.
Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.
Nun noch ein Wort über die Frage: mit
welchen
Begriffs
inhalten
denn eine exakte Logik, ein Kalkul, aufzubauen wäre, wenn nicht mit den „
idealen
“? Mit den letzteren lehnt sie neben Herrn
Voigt
l. c. auch Herr
Husserl
1
p. 255 sq. a limine ab, und so scheint das Hysteron-proteron, das mit ihnen in die Logik Eingang fände, allseitig zugegeben.
Den Inhalt z. B. des Begriffes „Kreis“ (in der
Euklid’
schen Geometrie) bilden die Merkmale des Kreises. Es frägt sich blos, ob alle, ob nur einige von dessen Merkmalen, und dann welche?
Diejenigen Merkmale, welche dem oder jenem Denkenden als Vorstellungs- gehalt
seines
Kreisbegriffes gerade eben vorschweben, habe ich den
faktischen
Inhalt des Begriffes „Kreis“ (für diesen Denkenden in diesem Augenblick) genannt (Bd. 1, S. 83). Ich denke, keinen Widerspruch gewärtigen zu müssen, wenn ich es für ausgeschlossen erkläre, diesen wechselnden und wol meist gar nicht einheitlichen Merkmalkomplex als Substrat für logische Untersuchungen hinzustellen.
Nun wird von andern Seiten versucht, den fraglichen Begriffsinhalt ein- zuschränken auf den Komplex derjenigen Merkmale, welche in einer be- stimmten, zugrunde gelegt gedachten „
Definition
“ des Kreises „liegen“, wie z. B. in der Definition Bd. 1, S. 87 sq., wo als wesentliches Merkmal unter andern die Gleichheit der Radien gefordert ist.
Dann kann man doch unmöglich von dem Inhalt des Kreisbegriffes z. B. das Merkmal ausschliessen, dass irgend zwei Radien
nicht
von einander
verschieden
seien! Und ebensowenig, meine ich, irgend ein andres Merk- mal, welches aus dem in der Definition gegebenen Komplex denknotwendig oder
logisch
, ohne Berufung auf spezifisch geometrische Thatsachen, folgt, auch wenn dieses Merkmal in der Definition nicht ausdrücklich erwähnt ist. Dergleichen zu thun, hiesse ja geradezu: an dem Buchstaben der Definition kleben und die Logik in Abhängigkeit setzen schon von der Grammatik!
Wird aber dies zugegeben, so ist, beiläufig bemerkt, schon für weite Gebiete den Begriffen gerade dasjenige als ihr „Inhalt“ gesichert, was ich ihren „idealen“ Inhalt nenne, nämlich für die Begriffe der rein deduktiven Disziplinen, der Logik, Arithmetik und höhern Analysis.
In einer Disziplin hingegen, die wie die Geometrie noch obendrein eine axiomatische Basis hat, könnte man allerdings bei den bisher besprochenen Merkmalen halt machen und so von dem „Inhalt“ des Kreisbegriffes will- kürlich jedes Merkmal ausschliessen, welches, obzwar allen Kreisen gemein- sam, wie z. B. das von der Gleichheit der Peripheriewinkel, die auf demselben Bogen stehen, lediglich mittelst geometrischer Axiome aus der Definition ge- folgert werden kann. Allein es wäre doch allem Usus in Wissenschaft und Leben zuwiderlaufend, zu sagen, diese Gleichheit der Peripheriewinkel sei kein Merkmal des Kreises. Warum also sie, nebst unzähligen andern Eigen-
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
schaften vom Inhalt des Kreis
begriffes
ausschliessen? Jedenfalls müsste ein solches Verfahren Weiterungen verursachen wie die, dass man „zum Begriffe des Kreises gehörige“ Merkmale des Kreises von den „ausser- begrifflichen“(!) Merkmalen desselben zu unterscheiden hätte; und dem Hysteronproteron entgeht man mit diesen Weiterungen dennoch nicht. Oder wollen mir vielleicht die Inhaltslogiker die Frage beantworten, ob unter Zugrundelegung der obigen (Bd. 1, S. 87) gewöhnlichen Kreisdefinition — das Merkmal: eine „überall gleichartige“ Linie zu sein, (deren jeder Teil in ihr selbst verschoben werden kann ohne Änderung an Gestalt und Grösse), ob dieses Merkmal dem in ihrem Sinne beschränkten „Inhalt“ des Kreis- begriffes angehört oder nicht? Eine solche Frage zur Entscheidung zu bringen, erfordert ja wol eben schon die ganze Kunst des Schliessens, deren Theorie die Inhaltslogiker gleichwol auf die Betrachtung solch zweifelhafter „Inhalte“ erst gründen wollen.
Der Beweis 5 von
Korselt
1
nimmt die
Euklid’
sche Raumgeometrie zum Substrate:
Es mögen
a
,
b
,
c
… oder auch
p
1
,
p
2
, …,
g
1
,
g
2
, …,
e
1
,
e
2
, … „
Raumelemente
“, d. h. Punkte, Geraden, Ebenen, 0 das Nichts, 1 den ganzen Raum bedeuten.
Eine Subsumtion
a b
heisse gleichwie im Gebietekalkul über- haupt: Das Raumelement
a liegt in
dem Raumelement
b
.
Dagegen bedeute
a
·
b
das
in a
und
b
enthaltene Element
höchster
,
a
+
b
das
a und b enthaltende
Element
niedrigster
Dimension.
Die Anschauung zeigt uns, dass die formalen Grundlagen I, II, (1), (2) und (3) erfüllt sind.
Dies bedarf noch besonderer sorgfältiger Überlegung nur hinsichtlich der zu (3) gehörigen Subsumtionen
(
c a
) (
c b
) (
c a b
)
(
a c
) (
b c
) (
a
+
b c
),
was Herr
Korselt
nicht ausführt.
Als selbstverständlich erfüllt können auch diese beiden Formeln gelten in dem Falle, dass eines oder mehrere der drei Raumelemente
a
,
b
,
c
den Wert 0 oder 1 besitzen sollten. Desgleichen, wenn
a
=
b
ist, da
a a
und
a
+
a
den vorausgeschickten Definitionen zufolge die Bedeutung
a
haben werden. Endlich ist auch, wenn das eine Raumelement
b
im andern
a
liegt (
b a
),
b
die Bedeutung von
a b
a
die Bedeutung von
a
+
b
und die Gültigkeit unserer Subsumtionen wiederum ohnehin ausser Frage, (da dann die Thesis blos einen Teil der Hypothesis wiederholend statuirt). Es bleiben noch die Fälle durchzugehen, wo
a
und
b
als Punkte, Gerade oder Ebenen „
auseinanderliegen
“, einschliesslich der Fälle, wo sie — als Geraden oder auch Ebenen — einander schneiden. Fälle der
Parallellage
von Raumelementen
a
und
b
sind dabei den Fällen des
Nichtschneidens
bei- zuzählen, insofern das „unendlich ferne“ Schnittgebilde im vorliegenden
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Denkbereich gar nicht existirt, und somit auch kein im Schnittgebilde „ent- haltenes Element höchster Dimension“, kein Produkt
a b
; wogegen bezüglich des durch
a
und
b
bestimmten und „beide enthaltenden Raumelements niedrigster Dimension“, d. i. bezüglich
a
+
b
, dieselben Fälle des
Parallelis- mus
mit denen des
Schneidens
zusammenrangiren werden.
Ist
a
ein Punkt ausserhalb
b
, (welches ein anderer Punkt oder eine Gerade oder eine Ebene sein mag,) so muss
c
, um in
a
und
b
zugleich enthalten sein zu können, selbst = 0 sein; dann gilt aber
c a b
kraft (2).
Ist
a
eine Ebene ausserhalb
b
, (welches eine andre Ebene oder eine Gerade oder ein Punkt sein mag, jene beiden die Ebene
a
schneidend oder auch nicht schneidend), so muss
c
, um sowol
a
als
b
enthalten zu können, = 1, nämlich der ganze Raum sein, und dann gilt
a
+
b c
kraft (2).
Damit ist links vom Mittelstrich der Punkt, rechts die Ebene als zu- lässige Bedeutung von
a
und
b
abgethan.
Stellen
a
und
b
zwei einander
nicht schneidende
(und auseinander- gelegene) Raumelemente vor, nämlich entweder zwei windschiefe oder auch zwei parallele Gerade, oder auch eine Gerade und eine zu ihre parallele Ebene, oder endlich zwei parallele Ebenen, so muss
c
, um in beiden zugleich liegen zu können, wiederum = 0 sein, und dann gilt
c a b
kraft (2), und übrigens auch kraft I, da auch
a b
hier 0 bedeuten wird. Somit bleiben (links) nur noch
schnittige
Raum- elemente in’s Auge zu fassen.
Sind
a
und
b
zwei windschiefe Gerade, so muss
c
als beide enthalten- des Raumelement der ganze Raum 1 sein; desgleichen ist dann auch
a
+
b
= 1 und es gilt
a
+
b c
kraft (2) und I.
Sind
a
und
b
zwei schneidende Geraden, oder eine Ebene und eine sie schneidende Gerade, so stellt
a b
deren Schnittpunkt vor, und
c
muss, um als ein „Raumelement“ in
a
und
b
zugleich liegen zu können, (sofern
c
nicht 0 ist,) eben dieser Schnitt- punkt sein. Dann gilt
c a b
kraft I.
Sind
a
und
b
zwei einander schneidende oder auch zwei parallele Gerade, oder eine Gerade und ein Punkt ausserhalb, so stellt
a
+
b
die dadurch bestimmte Ebene vor, und
c
muss, um
a
sowol als
b
zu enthalten, als ein „Raumelement“ entweder selbst diese Ebene oder der ganze Raum 1 sein, so dass
a
+
b c
nach I oder (2) gilt.
Sind endlich
a
und
b
zwei schnit- tige Ebenen, so ist
a b
die Schnitt- linie beider. Hier muss
c
, um in
a
und
b
zugleich enthalten zu sein, auch in dieser Schnittlinie liegen als dem geometrischen Ort, dem Inbegriff der den beiden Ebenen gemeinsamen Punk- te, — mag
c
nun (= 0 sein oder) einen Punkt (der Schnittgeraden) oder eine Gerade (diese Schnittgerade selbst) bedeuten: es muss
c a b
sein.
Sind
a
und
b
zwei verschiedene Punkte, so stellt
a
+
b
deren Ver- bindungsgerade vor. Dann kann
c
, worin beide enthalten sein sollen, kein Punkt und auch nicht 0 sein. Eine Gerade, Ebene oder ein (
Euklid’
scher) Raum dagegen, der beide enthält, wird immer auch deren Verbindungs- gerade enthalten, und es muss
a
+
b c
für die genannten drei Bedeu- tungen von
c
zutreffen.
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Dass unsere Aufzählung
Die Aufzählung wäre wol durch Berufung auf gewisse geometrische Sätze von allgemeinerer Natur (über Raumelemente, deren Schnittgebilde und Bestimmungs- stücke) ersetzbar, welche zu formuliren ich aber hier nicht für meine Aufgabe halte.
der Möglichkeiten eine
vollständige
ist, wird man leicht erkennen, und somit ist die Geltung der Sätze (3), mithin sämt- licher Grundlagen der Theorie, nun für Herrn
Korselt’
s Denkbereich ver- bürgt. Es gelten daher auch alle in Bd. 1 aus diesen abgeleiteten Sätze, und insbesondere die erste Subsumtion des Distributionsgesetzes:
a b
+
a c a
(
b
+
c
).
Nun seien
p
1
,
p
2
,
p
3
drei verschiedene Punkte einer Geraden
g
, also
p
1
p
2
=
p
1
p
3
= 0,
p
1
g
=
p
1
,
p
2
+
p
3
=
g
.
Dann ist
p
1
(
p
2
+
p
3
) =
p
1
g
=
p
1
,
p
1
p
2
+
p
1
p
3
= 0 + 0 = 0,
also
p
1
(
p
2
+
p
3
) ≠
p
1
p
2
+
p
1
p
3
, q. e. d.
Der Beweis 3 von
Lüroth
1
nimmt das Gebiet der natürlichen Zahlen zum Substrat und verwendet die arithmetischen Rechnungsarten. Es sollen die Buchstabensymbole
α
,
β
,
γ
, …,
p
,
q
,
r
, … stets positive ganze Zahlen, die Null zugelassen, vorstellen. Sodann sei eine „Klasse“
a
ebensolcher Zahlen definirt als die Gesamtheit aller Zahlen, (der Elemente dieser Klasse
a
), die durch eine bestimmte Linearform
α p
+
β q
+
γ r
+ … +
λ z
dargestellt sind, worin die Koeffizienten
α
,
β
,
γ
, …,
λ
bestimmt ge- geben und für alle Elemente der Klasse
a
dieselben seien, dagegen die Konstituenten
p
,
q
,
r
, …,
z
zunächst unbestimmte Zahlen oder Para- meter vorstellen, denen einzeln und unabhängig von einander die Werte 0, 1, 2, 3, … der Reihe nach beizulegen sind, wenn man sämt- liche Elemente der Klasse
a
bilden will. Diese Elemente sind hiernach nebst 0 die Zahlen
α
,
β
,
γ
, …
λ
, sodann deren Vielfache, endlich alle Zahlen, die durch arithmetische Addition aus zwei oder mehreren unter den genannten Elementen, oder überhaupt aus irgend welchen Elementen der Klasse
a
entstehen. — Während somit die
p
,
q
, … innerhalb einer Klasse von Element zu Element ihre Werte wechseln, sind die für alle Elemente einer Klasse konstanten, erst von Klasse zu Klasse sich ändernden
α
,
β
, … für eine Klasse
a
charakteristisch oder „be- stimmend“; die Klasse kann auch durch (
α
,
β
,
γ
, …
λ
) bezeichnet werden.
Beispielsweise wird (3, 2, 0) die Zahlen von der Form 3
p
+ 2
q
+ 0
r
, also die: 0, 2, 3, 4, 5, …, alle Zahlen ausgenommen 1 enthalten, die Klasse (0, 3, 0) oder (3) die Vielfachen 0, 3, 6, 9, … von 3, die Klasse (4, 5) die Zahlen 0, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, … und von 15 ab
alle
Zahlen umfassen.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 27
Vierundzwanzigste Vorlesung.
a b
bedeute, dass
die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b gehören
. Dann werden die Aussagen „
a b
nebst
b a
“ und „
a
=
b
“ einander gegenseitig bedingen. Ferner folgt aus
a b
und
b c
auch
a c
, und die Klasse (0, 0, 0, …) oder (0), welche blos die Zahl 0 enthält, ist eingeordnet einer jeden Klasse
a
, und jede Klasse
a
ist eingeordnet der das Zahlengebiet selbst repräsentirenden Klasse (1, 1, 1, …) oder (1, 0, 0, …) oder (1), so dass die Klassen (0) und (1) hier die Moduln 0 und 1 unserer theorie vertreten.
a b
sei die
Klasse der Zahlen
,
welche gleichzeitig die durch a und b verlangte Form haben; a
+
b
dagegen enthalte
alle Zahlen
,
die durch
(arithmetische)
Addition einer Zahl der Form a zu einer der Form b entstehen
.
„Dass die zu
a
+
b
gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi- nirten Sinne bilden, ist leicht zu sehen.“ Die allgemeine Form dieser Zahlen ist nämlich die arithmetische Summe der
a
und
b
repräsentirenden beiden Linearformen,
nachdem
man die Konstituenten
p
,
q
, … in der einen von beiden Linearformen, wenn nötig, durch neue in der andern nicht vorkommende Parameterbuchstaben ersetzt hat.
„Der Beweis, dass auch die zu
a b
gehörigen Zahlen eine Klasse bilden, der nicht so einfach ist, sei der Kürze wegen fortgelassen.“ Derselbe wird nämlich leicht erbracht werden speziell für die Klassenprodukte des nach- herigen ausschlaggebenden Beispiels, ist also im übrigen hier entbehrlich.
Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.
Ist dann
c a
und
c b
, so ist auch
c a b
, und umgekehrt. Und ist
a c
und
b c
, so ist auch
a
+
b c
, da
c
die Elemente von
a
und diejenigen von
b
nicht gleichzeitig enthalten kann, ohne auch die durch additive Vereinigung der
beiderseitigen
Elemente zu ge- winnenden Zahlen mit zu umfassen. Endlich ist auch selbstverständlich
a c
und
b c
, wenn
a
+
b c
, und die formalen Grundgesetze der Theorie sind hiermit erfüllt.
Sei nun
a
= (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3
p
, die Klasse der Vielfachen von 3 : 0, 3, 6, 9, …, ferner
b
= (2) die der Zahlen von der Form 2
q
: 0, 2, 4, 6, …, der geraden Zahlen, endlich
c
= (5) die der Form 5
r
: 0, 5, 10, 15, …; dann ist
a
+
b
= (3) + (2) = (3, 2) die Klasse der Zahlen von der Form 3
p
+ 2
q
: 0, 2, 3, 4, …, aller ganzen Zahlen von 0 an aufwärts, ausgenommen die Zahl 1, — worunter auch die Zahlen der Klasse
c
= (5) sich befinden; es ist also
c a
+
b
, (5) (3) + (2), oder auch (
a
+
b
)
c
=
c
, (3, 2) · (5) = (5), d. h. die Klasse (
a
+
b
)
c
wird gebildet von denjenigen Zahlen, welche zugleich von der Form 3
p
+ 2
q
und von der Form 5
r
sind, was bei
allen
der letzten Form zutrifft. Andererseits sind die Zahlen
a c
= (3) · (5),
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
welche zugleich Vielfache von 3 und von 5 sind, (3) · (5) = (15) Vielfache von 15, gegeben durch die allgemeine Form 3
p
· 5
r
= 15
s
, die Zahlen
b c
= (2) · (5) = (10) durch 2
q
· 5
r
= 10
t
, und die
a c
+
b c
= (15, 10) durch 15
s
+ 10
t
= 5 (3
s
+ 2
t
):0, 10, 15, 20, …, die man erhält als Fünffache der Zahlen (3, 2), — alle durch 5 teil- baren Zahlen mit Ausnahme der Zahl 5 selbst. — Eben weil hier die Zahl 5 in (15, 10) oder
a c
+
b c
fehlt bezw. nicht die Form 15
s
+ 10
t
— bei ganzen positiven Werten von
s
und
t
— besitzt, in (5),
c
oder (
a
+
b
)
c
dagegen vertreten ist, gehören zwar alle Zahlen der Klasse (15, 10) auch der Klasse (5) an, oder es ist
a c
+
b c
(
a
+
b
)
c
, — wogegen aber das umgekehrte nicht der Fall ist: es gilt die erste, aber nicht die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes.
Herr
Lüroth
schickte seinem Beweis die Bemerkung voraus: „Nachdem ich erkannt hatte, dass die Ungültigkeit des Distributions- gesetzes bei diesem“ (dem einen vom Verfasser gegebenen) „Beispiele dadurch bedingt ist, dass
a
+
b
nicht
nur
die Individuen der beiden Klassen
a
und
b
enthält,
sondern auch noch andere
, war es mir leicht, noch einfachere Beispiele zu konstruiren.“ Mit dieser Bemerkung ist in der That der Kernpunkt der Frage gekennzeichnet.
Herrn
Voigt
verdanke ich noch folgende auf diesen Kernpunkt bezügliche Wahrnehmung, die geeignet erscheint, die Auffindung von noch weiteren derartigen „Beispielen“, die sich als Substrate für den Gruppen-, aber nicht den identischen Kalkul empfehlen, allenfalls zu erleichtern.
Theorem
. Mit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes 26
×
)
(
a
+
b
)
c a c
+
b c
ist auch äquivalent der Satz:
„Aus
c a
+
b
folgt (allgemein)
c a c
+
b c
“, oder, aussagen- rechnerisch dargestellt:
{(
a
+
b
)
c a c
+
b c
} = {(
c a
+
b
) (
c a c
+
b c
)}
Beweis
. Ist nämlich
c a
+
b
, somit
c
= (
a
+
b
)
c
, so ergibt sich unmittelbar aus
c a c
+
b c
— durch Einsetzen links — auch die Sub- sumtion 26
×
).
Und gilt umgekehrt diese, so wird aus
c a
+
b
oder (
a
+
b
)
c
=
c
auch
c a c
+
b c
folgen, — q. e. d.
Den ersten Teil des Beweises kann man auch nach
Voigt
so führen:
Folgt allgemein
c a c
+
b c
aus
c a
+
b
, so folgt auch aus der nach Th. 6
×
) selbstverständlichen Subsumtion
(
a
+
b
)
c a
+
b
,
27*
Vierundzwanzigste Vorlesung.
worin (
a
+
b
)
c
die Stelle des
c
der Voraussetzung vertritt,
(
a
+
b
)
c a
· (
a
+
b
)
c
+
b
· (
a
+
b
)
c
,
was sich aber nach dem Absorptionsgesetz 23
×
) vereinfacht zu 26
×
).
Hiernach braucht man also, um für ein gruppenlogisches Beispiel die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes darzuthun, nur ein
c
nachzuweisen, das in einem
a
+
b
enthalten ist, ohne doch in
a c
+
b c
enthalten zu sein.
Von verschiedenen Seiten sind mir auch noch andre Mannigfaltig- keiten zur Beurteilung vorgelegt worden als Versuche, damit etwas auf unser Thema bezügliches zu beweisen, und ich glaube, ohne eine Indiskretion zu begehen, der Sache dienen zu dürfen, indem ich die- selben namhaft mache.
Als Denkbereich 1 betrachtete Herr
Voigt
die Mannigfaltigkeit aller Kreisflächen der Ebene, — den Punkt, in welchen ein Kreis degeneriren kann, mit zugelassen, — so dass also ein „Gebiet“ wie
a
,
b
,
c
, … stets die Innenfläche eines Kreises vorstellt. Als
a b
wird der
grösste
Kreis er- klärt, der sowol in
a
als in
b
gelegen ist, und die 0, falls
a
und
b
keinen Punkt gemeinsam haben, — als
a
+
b
der
kleinste
Kreis, der sowol den
a
als den
b
umfasst. Die beiden Ausdrücke
a b
und
a
+
b
sind damit ein- deutig bestimmt, und zwar, sofern sie nicht 0 oder mit einem der beiden Kreise
a
und
b
selbst zusammenfallen, als
Berührkreise
von diesen beiden. Die Geltung der beiden Assoziationsgesetze, sowie der ersten Subsumtion des Distributionsgesetzes lässt sich dann an interessanten Figuren nachweisen, desgleichen die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion dieses Gesetzes. Allein hier treffen, wie leicht zu sehen, auch schon die beiden Teilsätze unserer Definition (3)
(3
×
)' (
c a
) (
c b
) (
c a b
)
(3
+
)' (
a c
) (
b c
) (
a
+
b c
)
nicht allgemein zu, während die umgekehrten Subsumtionen (3
×
)'', (3
+
)'' allerdings selbstverständlich gelten. Die Betrachtung ist somit für unsern Zweck nicht beweisend.
Nähme man für 1 den beschränkteren Denkbereich aller der Kreis- flächen (der Ebene), die ihren Mittelpunkt auf einer bestimmten Geraden (in ihr) haben, so würde zwar (3) volle Geltung erlangen, zugleich aber auch das volle Distributionsgesetz mit seinen beiden Subsumtionen.
Erhebt man zum Denkbereiche die Mannigfaltigkeit aller Strecken einer festen Geraden 1, diese „Strecken“ im landläufigen Sinne als ein- fach zusammenhängende, kontinuirliche Punktgebiete oder „Innenstrecken“ auffassend, — und definirt man
a b
als die grösste sowol in
a
als in
b
liegende Strecke (wo nicht 0),
a
+
b
als die kleinste sowol
a
als
b
enthaltende Strecke, so stimmt
a b
mit unserm „identischen Produkte“ völlig überein, wogegen
a
+
b
die „identische Summe“ übertreffen wird, sobald die Strecken
a
und
b
auseinanderliegen, und zwar um die sie
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
trennende Zwischenstrecke. Hier gelten zunächst alle formalen „Grund- lagen“ des Gruppenkalkuls, dagegen nicht das volle Distributionsgesetz. Denn versteht man unter
a
und
b
zwei auseinanderliegende (disjunkte) Strecken und unter
c
eine innerhalb a +
b
gelegene, welche z. B. mit
a
einen (echten) Teil
a c
(ihrer selbst), mit
b
aber nichts gemein hat, so wird (
a
+
b
)
c
=
c
, dagegen
a c
+
b c
=
a c
+ 0 =
a c
von
c
verschieden ausfallen. — Ich will diese sehr bequeme Exemplifikation nach ihrem Urheber als den
Beweis
6 von
Korselt
registriren.
Lässt man nun aber mit Herrn
Korselt
als „Gebiete“ auch „Aussen- strecken“ zu, so wird obendrein zwar der Begriff der
Negation
anwendbar und jedem Gebiet ein Negat in Gestalt von dessen Ergänzung zur ganzen Geraden zugeordnet. Auch kann man bei den Definitionen von
a b
und
a
+
b
den Begriff des „grössten“ oder „kleinsten“ Gebietes beibehalten in dem Sinne, dass jedes unendliche Gebiet, also jede Aussenstrecke für „grösser“ erklärt wird, als jedes endliche Gebiet, d. i. jede Innenstrecke, dass ferner von zwei Aussenstrecken diejenige als grösser gilt, die von der ganzen Ge- raden das kleinere Innenstück übrig lässt. Wie leicht zu sehen, trifft dann die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes häufig nicht zu. Allein es gelten auch schon die beiden oben erwähnten Teilsubsumtionen (3)' nicht mehr allgemein, und überdies wird sowol
a b
als
a
+
b
in gewissen Fällen
zweideutig
, — in solchen nämlich, wo
a
eine Innenstrecke,
b
eine Aussenstrecke vorstellt und die Endpunkte der einen zu denen der andern bezw. deren Mitte symmetrisch liegen.
Um die vorliegende Gruppe von Vervollkommnungsbestrebungen zum Abschluss zu bringen, liegt es mir endlich noch ob, über eine Bemerkung von Herrn
Korselt
zu berichten, die mir von ihm brieflich zu diesem Zwecke vorgelegt wurde und die Frage betrifft, ob nicht bei Aufstellung der Grundlagen des identischen Kalkuls die
zeitweilige Preis- gebung des Dualismus
, wie sie in unserer sechsten Vorlesung, Bd. 1 § 12 sich aufgedrängt, vermieden werden könne. Es handelt sich darum, unser „drittes“ Prinzip, das ich in dualistischer Hinsicht unsymmetrisch als III
×
.
(
b c
= 0) {
a
(
b
+
c
)
a b
+
a c
}
formulirt habe, zu ersetzen durch ein symmetrisches, mit dessen Hülfe sich dann ebenfalls das volle Distributionsgesetz beweisen liesse, — und zwar ohne Argumentiren auf Individuen oder Punkte unserer Punktgebiete.
Diese letztere Einschränkung, (welche Herr
Korselt
nicht durchweg berücksichtigt, so dass ich nur von einem Teile seiner Mitteilungen Gebrauch machen kann), ist unerlässlich, wenn die Beweisführungen überhaupt in den Lehrgang unseres Bd. 1 passen sollen. (Vollends Beweisführungen, bei denen
Vierundzwanzigste Vorlesung.
auf die Unterscheidung von endlichen und unendlichen Systemen resp. Klassen einzugehen wäre, müssten wol als Hysteron-Proteron bezeichnet werden.)
Als ein Sonderfall des Prinzips III
×
war Bd. 1, Seite 294, Anm. 2 bereits hervorgehoben das Prinzip III°
×
(
b c
= 0) (
b
+
c
= 1) {
a
(
b
+
c
)
a b
+
a c
},
— worin
a
(
b
+
c
) auch kürzer durch
a
· 1, =
a
ersetzbar, und ich hatte dabei bemerkt, dass es nicht gelinge, mit diesem einfacheren Prinzip III°
×
, selbst in Verbindung mit seinem dualen Gegenstücke auszukommen. Dies ist nunmehr dahin zu berichtigen, dass letzteres doch gelingt.
Erheben wir nämlich in Anlehnung an Herrn
Korselt
zum dritten Prinzip den Satz III°
×
nebst dualem Gegenstück, nämlich dass
Wenn
b c
= 0 und
b
+
c
= 1 ist,
III°
×
.
a
(
b
+
c
)
a b
+
a c
III°
+
(
a
+
b
) (
a
+
c
)
a
+
b c
,
oder weil unter den gegenwärtigen Voraussetzungen
a
(
b
+
c
) =
a
· 1 =
a
=
a
+ 0 =
a
+
b c
,
III°.
(
b c
= 0) (
b
+
c
= 1) {(
a
+
b
) (
a
+
c
) ͇
a
͇
a b
+
a c
},
wo dann die Subsumtionen rechterhand, weil als rückwärtige ohnehin gültig, die Kraft von Gleichungen haben, — so lassen sich die Beweise der Sätze 29), 33
×
) und 34
×
) nebst Zusätzen aus III°
+
genau dual ent- sprechend denen der Theoreme 29), 33
+
) und 34
+
) in Bd. 1, S. 300 und 308 f. gestalten, wo das Prinzip III°
×
) ausreichte, und hier kann dann der Beweis der
De Morgan’
schen Theoreme 36) unverändert wie in Bd. 1, S. 352 angeschlossen werden. Setzt man jetzt der Einfachheit halber
a
(
b
+
c
) =
p
,
a b
+
a c
=
q
so gilt nach 25
×
) ohnehin
q p
, oder nach 15
×
), (6
×
) und (30
×
)
q p
1
p p
1
0,
q p
1
= 0. (Vergl. auch 38
×
)!)
Ferner ist zufolge 36)
p
1
=
a
1
+
b
1
c
1
und, bei wiederholter Anwendung des Zusatzes zu 33
+
), sowie nach 30
+
), und 22
+
)
q
+
p
1
=
a b
+
a c
+
a
1
+
b
1
c
1
=
a
1
+
b
+
c
+
b
1
c
1
=
a
1
+
b
+
c
+
c
1
= 1.
Aus dem damit gewonnenen Ergebnisse
q p
1
= 0,
q
+
p
1
= 1,
zusammengehalten mit
p p
1
= 0,
p
+
p
1
= 1
ergibt dann aber das Th. 29)
q
=
p
, q. e. d.
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
Diese Ableitung des Distributionsgesetzes hat den Vorteil, dass die Dualität überall erhalten bleibt. Allerdings sind dazu unter III°
zwei
Prinzipien aufgestellt, die auch wirklich beide unentbehrlich scheinen.
Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.
Statuirt man das Prinzip III° dicht vor dem Th. 29), so lassen sich auch für dieses 29)
(
a b
=
a c
= 0) (
a
+
b
=
a
+
c
= 1) (
b
=
c
)
noch zwei einander dual entsprechende Beweise geben an Stelle des früheren Bd. 1, S. 300:
Es ist nach den Voraussetzungen von 29) und dem Schema III°
(
b
+
a
) (
b
+
c
) =
b
=
b a
+
b c
b
+
a
=
c
+
a
b a
=
c a
(
c
+
a
) (
c
+
b
) =
c
=
c a
+
c b
, ergo
b
=
c
.
Auch dieser Verbesserung soll in dem oben Seite 406 erwähnten „Abriss“ Rechnung getragen werden.
§ 51.
Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
Unbeschadet der sonstigen Zwecke dieses Werks kann der Leser gleichwie den § 24 des Bd. 1 auch diesen Paragraphen
überschlagen
und braucht darauf allenfalls erst dann zurückzukommen, wenn im dritten Band auf die einschlägigen Untersuchungen — nebenher, blos der Heuristik zu- liebe — verwiesen wird. Wer sich jedoch etwa in selbstthätiger Forschung an noch ungelöste „Auflösungsprobleme“ im Gebiet der Algebra der Relative wagen sollte, dürfte dieses Kapitel gelegentlich mit Vorteil zurate ziehen, — wie mir denn auch auf diesem Felde die hiernächst weiter zu führenden Vorarbeiten thatsächlich gute Dienste geleistet haben zur
Entdeckung
zahl- reicher Sätze und Problem-Lösungen, welche dann freilich im dritten Band auch ohne Bezugnahme auf den heuristischen Gang verifiziert oder bewiesen werden.
Zunächst ist behufs
Vervollkommnung
des in § 24 Gebotenen den Lösungen zweier dortiger Aufgaben noch eine bessere Form zu geben. Sodann sollen im folgenden noch weitere Aufgaben gelöst werden.
Bei Aufgabe 12 (desgleichen auch 14) und 15 l. c., wo es sich um die symmetrisch allgemeine Bestimmung zweier Unbekannten
x
,
y
handelt, die eine gegebne Forderung zu erfüllen haben, wurde zwar jeweils das allgemeinste System von Wurzeln richtig aufgestellt, welches in symmetrischer Weise der Aufgabe genügt, wobei die Unbekannten
Vierundzwanzigste Vorlesung.
durch (mindestens ebenso viele) unbestimmte Parameter ausgedrückt waren. Dabei erscheint aber noch als Missstand, dass man jene Werte oder Ausdrücke, welche für die unbestimmten Parameter eingesetzt werden müssen, wenn man ein bestimmt gegebenes Wurzelpaar
x
,
y
aus ihnen erhalten will, entweder für die Anwendungen im Gedächtniss behalten oder so, wie sie sich l. c. angegeben finden, nachschlagen muss. Und schon aus diesem Grunde versteht sich die Anforderung: die Ausdrücke für die symmetrisch allgemeinen Wurzeln
x
,
y
so ein- zurichten, dass jeder Unbekannten ein eigener Parameter, dem
x
ein
u
, dem
y
ein
v
, als sogenannter „wesentlicher“ Parameter entpricht, und dass man,
um irgend ein gewünschtes Wurzelpaar x
,
y zu erhalten
,
nur u
=
x
,
v
=
y selbst zu setzen habe
.
Diese Anforderung wird sich bei den in Bd. 3 behandelten Auf- gaben auch noch anderweitig motiviren; sie wird dort von mir, weil sie keineswegs im Begriff der Lösung selbst gelegen, als die „
Adventiv- forderung
“ bezeichnet. Sie ist auch bereits bei den Lösungen der übrigen Aufgaben des § 24 erfüllt, nur bei den vorhin genannten noch zu erfüllen. Zuvor sei blos noch bemerkt, dass wenn im Ausdruck der Wurzeln neben den „wesentlichen“ unbestimmten Parametern noch andre vorkommen, diese letztern als „unwesentliche“ oder „Luxus-Para- meter“ bezeichnet werden mögen. Solche bleiben unter allen Umständen willkürlich und können
unbeschadet der Allgemeinheit der Lösungen
be- liebig spezialisirt, z. B. auch ein jeder für sich gleich 0 oder gleich 1 angenommen werden, — wie dies sogleich an dem nachfolgenden sich illustriren wird.
Aufgabe
12. Nach
x
,
y
die Gleichung 1)
x y
1
+
x
1
y
=
c
symmetrisch allgemein zu lösen.
Ich will die Lösungen erst angeben, dann verifiziren, zuletzt ihre Herleitung skizziren.
Die
Auflösung
ist:
2)
x
= (
c
1
+
r
)
u v
+ (
c
+
s
)
u v
1
+
c
1
s u
1
v
+
c r u
1
v
1
y
= (
c
1
+
r
1
)
u v
+
c
1
s u v
1
+ (
c
+
s
)
u
1
v
+
c r
1
u
1
v
1
x
1
=
c r
1
u v
+
c
1
s
1
u v
1
+ (
c
+
s
1
)
u
1
v
+ (
c
1
+
r
1
)
u
1
v
1
y
1
=
c r u v
+ (
c
+
s
1
)
u v
1
+
c
1
s
1
u
1
v
+ (
c
1
+
r
)
u
1
v
1
,
wo
u
,
v
die wesentlichen,
r
,
s
die Luxusparameter vorstellen.
Beweis
durch Verifikation.
Erste
Probe, auf die
Richtigkeit
der angeblichen Lösungen 2) bei be-
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
liebigen
u
,
v
,
r
,
s
, — durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1), stimmt:
x y
1
+
x
1
y
= (
c r
+
c r
1
)
u v
+
c u v
1
+
c u
1
v
+ (
c r
+
c r
1
)
u
1
v
1
= =
c
(
u v
+
u v
1
+
u
1
v
+
u
1
v
1
) =
c
.
Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder Klassen
u
,
v
,
r
,
s
bestimmt werden mögen, stets
nur
richtige Wurzeln der Gleichung 1).
Eine
zweite
Probe soll aber noch die
Vollständigkeit
unserer Lösung des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch
alle
Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen wir uns unter
x
,
y
jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei- chung 1) oder 1')
c
(
x y
+
x
1
y
1
) +
c
1
(
x y
1
+
x
1
y
) = 0
erfüllt, und denken uns ferner
r
,
s
irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen, dass es dann jedesmal ein Wertepaar
u
,
v
überhaupt gibt (also min- destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden; d. h. dass uns für dieses Wertepaar
u
,
v
unsere Lösungen 2) das ge- wünschte Wurzelpaar
x
,
y
liefern.
Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen, müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars
u
,
v
dargethan werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen
x
und
y
sich ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber
u
=
x
,
v
=
y
selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1) oder 1') als identisch erfüllt erweisen:
x
= (
c
1
+
r
)
x y
+ (
c
+
s
)
x y
1
+
c
1
s x
1
y
+
c r x
1
y
1
y
= (
c
1
+
r
1
)
x y
+
c
1
s x y
1
+ (
c
+
s
)
x
1
y
+
c r
1
x
1
y
1
.
Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden, nachdem man die Summen
c
1
+
r
,
c
1
+
r
1
,
c
+
s
in
c
1
+
c r
,
c
1
+
c r
1
,
c
+
c
1
s
umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass
x
=
x
(
c
1
y
+
c y
1
),
y
=
y
(
c
1
x
+
c x
1
)
zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden, sich äquivalent umsetzen lässt in
x
=
x
(
c y
+
c
1
y
+
c y
1
+
c
1
y
1
) =
x
· 1 =
x
,
y
=
y
(
c x
+
c
1
x
+
c x
1
+
c
1
x
1
) =
y
· 1 =
y
und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Eine
dritte
Probe, nämlich die Prüfung unserer Lösungen 2) auf die
Symmetrie
bezüglich der in der Problemstellung 1) zulässigen Ver- tauschungen erledigt sich so. Die Gleichung 1) bleibt ungeändert (oder geht nur in sich selbst über) durch die folgenden drei Systeme von Vertauschungen
(
x
,
y
) (
x
1
,
y
1
), (
x
,
y
1
) (
x
1
,
y
), (
x
,
x
1
) (
y
,
y
1
).
Diese aber, mit
(
u
,
v
) (
u
1
,
v
1
), (
u
,
v
1
) (
u
1
,
v
), (
u
,
u
1
) (
v
,
v
1
)
und
(
r
,
r
1
), (
s
,
s
1
), (
r
,
r
1
) (
s
,
s
1
)
bezüglich verbunden, führen allemal das System 2) unserer Lösungen nur in sich selbst über, wie man fast mühelos nachsieht.
Von den Bd. 1, S. 514 gefundenen Lôsungsformen
x
=
α c
1
+
β c
,
y
=
α c
1
+
β
1
c
aus konnte ich die Lösungsformen 2) systematisch entdecken, indem ich zunächst — was etwas mühsam ist — aus den vorstehenden beiden Gleichungen in Verbindung mit 1) das Symbol
c
eliminirte; aus der Resultante
0 =
x
1
α β
+
x α
1
β
1
+
y
1
α β
1
+
y α
1
β
+
x
1
y
1
α
+
x y α
1
+
x
1
y β
+
x y
1
β
1
hernach
α
oder
β
eliminirend gelangt man zu den Gleichungen
x
1
y
1
α
+
x y α
1
= 0,
x
1
y β
+
x y
1
β
1
= 0,
deren Auflösung nach
α
,
β
α
=
x y
+
s
(
x
+
y
),
β
=
x y
1
+
r
(
x
+
y
1
)
die allgemeinsten Werte zeigt, welche für die Parameter
α
,
β
zu setzen sind, wenn man ein bestimmtes Paar von Wurzeln
x
,
y
erhalten will. Wird in diesen nun
u
für
x
und
v
für
y
geschrieben, so ergibt sich durch Einsetzen in die frühere Lösungsform notwendig eine solche, welche auch die Adventivforderung erfüllt, nämlich (wenn noch vollends nach den
u
,
v
entwickelt wird,) unsere Lösung 2).
Diese kann nun freilich noch vereinfacht werden. Nähme man z. B.
s
=
r
, so käme
x
=
r u
+ (
r
+
u
) (
c
1
v
+
c v
1
),
y
=
v
(
c r
1
+
c
1
r
+
c
1
u
+
c u
1
) +
c
1
r u
+
c r
1
u
1
,
und ähnlich für
s
=
r
1
x
=
u
(
c r
+
c
1
r
1
+
c
1
v
+
c v
1
) +
c
1
r
1
v
+
c r v
1
,
y
=
r
1
v
+ (
r
1
+
v
) (
c
1
u
+
c u
1
);
noch einfacher hätte man für
r
,
s
gleich 0, 0, resp. 0, 1; 1, 0 oder 1, 1 die Systeme der Lösungen:
3)
x
=
u
(
c
1
v
+
c v
1
)
x
=
u v
1
+
c
1
v
x
=
u v
+
c v
1
x
=
u
+
c
1
v
+
c v
1
y
=
u v
+
c u
1
y
=
v
+
c
1
u
+
c u
1
y
=
v
(
c
1
u
+
c u
1
)
y
=
u
1
v
+
c
1
u
x
1
=
u
1
+
c v
+
c
1
v
1
x
1
=
u
1
v
1
+
c v
x
1
=
u
1
v
+
c
1
v
1
x
1
=
u
1
(
c v
+
c
1
v
1
)
y
1
=
u v
1
+
c
1
u
1
y
1
=
v
1
(
c u
+
c
1
u
1
)
y
1
=
v
1
+
c u
+
c
1
u
1
y
1
=
u
1
v
1
+
c u
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
und auf ebendiese wird man auch geführt, wenn man die Werte der Luxusparameter
r
, s überhaupt irgendwie aus der Gruppe der Werte
c
,
c
1
, 0, 1 auswählt.
Jedes von diesen Systemen ist eine Darstellung der allgemeinsten Wurzeln der Gleichung 1) (nunmehr ohne überzählige Parameter), welche inbezug auf die wesentlichen Parameter
u
,
v
der Adventivforderung genügt. Allein es erscheint die Symmetrie in denselben nun dermassen verhüllt, dass man, wo es auf die Wahrung solcher ankommt, besser thut, die Lösungsform 2) und damit die Luxusparameter beizubehalten.
Aufgabe
15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten
x
,
y
: 4)
a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
y
1
= 0
nach diesen symmetrisch allgemein aufzulösen unter der Voraussetzung, dass die Resultante ihrer Elimination 5)
a b c d
= 0
erfüllt sei — Bd. 1, S. 515 . . . . 519.
Auflösung
. Das allgemeinste, auch der Adventivforderung ge- nügende System von Wurzeln ist gegeben durch
6)
x
= {
a
1
+ (
b
1
r
+
c r
1
)
d
}
u v
+ {
b
1
+ (
a
1
s
+
d s
1
)
c
}
u v
1
+ + (
b
1
+
a
1
s
+
d s
1
)
c u
1
v
+ (
a
1
+
b
1
r
+
c r
1
)
d u
1
v
1
y
= {
a
1
+ (
b r
+
c
1
r
1
)
d
}
u v
+ (
c
1
+
a
1
s
+
d s
1
)
b u v
1
+ + {
c
1
+ (
a
1
s
+
d s
1
)
b
}
u
1
v
+ (
a
1
+
b r
+
c
1
r
1
)
d u
1
v
1
x
1
= (
d
1
+
b r
+
c
1
r
1
)
a u v
+ (
c
1
+
a s
+
d
1
s
1
)
b u v
1
+ + {
c
1
+ (
a s
+
d
1
s
1
)
b
}
u
1
v
+ {
d
1
+ (
b r
+
c
1
r
1
)
a
}
u
1
v
1
y
1
= (
d
1
+
b
1
r
+
c r
1
)
a u v
+ {
b
1
+ (
a s
+
d
1
s
1
)
c
}
u v
1
+ + (
b
1
+
a s
+
d
1
s
1
)
c u
1
v
+ {
d
1
+ (
b
1
r
+
c r
1
)
a
}
u
1
v
1
,
wo
u
,
v
die wesentlichen,
r
,
s
Luxusparameter vorstellen.
Beweis
. Hiemit wird, zunächst ohne Rücksicht auf 5)
a x y
= 0
u v
+
a b c d s
1
u v
1
+
a b c d s
1
u
1
v
+ 0
u
1
v
1
b x y
1
=
a b c d r
1
u v
+ 0
u v
1
+ 0
u
1
v
+
a b c d r
1
u
1
v
1
c x
1
y
=
a b c d r u v
+ 0
u v
1
+ 0
u
1
v
+
a b c d r u
1
v
1
d x
1
y
1
= 0
u v
+
a b c d s u v
1
+
a b c d s u
1
v
+ 0
u
1
v
1
;
mit Rücksicht auf die Resultante verschwinden also alle vier Ausdrücke identisch, d. h. es stimmt die „Probe 1“, oder unsere Formeln 6) liefern uns stets richtige Wurzeln. „Probe 2“: Sei jetzt
x
,
y
irgend ein Paar von Wurzeln, für welche die Gleichung 4) von vornherein erfüllt ist. Falls es überhaupt ein solches gibt, so gilt dann auch die Gleichung 5). Dann muss gezeigt werden, dass für
u
=
x
,
v
=
y
die beiden ersten Gleichungen 6) sich bewahrheiten. Setzt man aber
x
Vierundzwanzigste Vorlesung.
für
u
,
y
für
v
in 6) ein, so kommt bei
x
das dritte und vierte, bei
y
das zweite und vierte Glied wegen 4) in Wegfall, und bleibt
x
= {
a
1
+
a
(
b
1
r
+
c r
1
)
d
}
x y
+ {
b
1
+
b
(
a
1
s
+
d s
1
)
c
}
x y
1
=
x
(
a
1
y
+
b
1
y
1
)
y
= {
a
1
+
a
(
b r
+
c
1
r
1
)
d
}
x y
+ {
c
1
+
c
(
a
1
s
+
d s
1
)
b
}
x
1
y
=
y
(
a
1
x
+
c
1
x
1
),
was durch Hinzufügung kraft 4) verschwindender Glieder übergeht in
x
=
x
(
a
1
y
+
b
1
y
1
) +
a x y
+
b x y
1
=
x y
+
x y
1
=
x
· 1
y
=
y
(
a
1
x
+
c
1
x
1
) +
a x y
+
c x
1
y
=
x y
+
x
1
y
= 1 ·
y
,
mithin sich als richtig erweist.
Was endlich die Prüfung unserer Lösungen auf die Symmetrie betrifft, so führen die nachstehenden fünf Systeme von Vertauschungen (— und nur diese —) zwischen den Unbekannten unter sich und den Koeffizienten unter sich, nötigenfalls verbunden mit den dahinter stehenden Vertauschungen zwischen den Parametern, gleichwie die Gleichung 4) nebst 5), so auch das System der Lösungen 6) nur in sich selbst zurück:
7)
(
x
,
y
) (
x
1
,
y
1
) (
b
,
c
)
(
u
,
v
) (
u
1
,
v
1
) (
r
,
r
1
)
(
x
,
y
1
) (
x
1
,
y
) (
a
,
d
)
(
u
,
v
1
) (
u
1
,
v
) (
s
,
s
1
)
(
x
,
x
1
) (
a
,
c
) (
b
,
d
)
(
u
,
u
1
) (
r
,
s
1
) (
r
1
,
s
)
(
y
,
y
1
) (
a
,
b
) (
c
,
d
)
(
v
,
v
1
) (
r
,
s
) (
r
1
,
s
1
)
(
x
,
x
1
) (
y
,
y
1
) (
a
,
d
) (
b
,
c
)
(
u
,
u
1
) (
v
,
v
1
) (
r
,
r
1
) (
s
,
s
1
)
Aus den in § 24 gefundenen Lösungsformen waren die obigen 6) leicht zu gewinnen vermittelst der nach Bd. 1, S. 519 nahegelegten Sub- stitutionen:
ϰ
=
u v
+
s
(
u
+
v
),
λ
=
u v
1
+
r
(
u
+
v
1
),
ω
=
u v
1
+
u
1
v
.
Statt dessen konnte man freilich auch den ganzen Herleitungsweg des § 24 von vorne gehen, indem man nur statt der dortigen Lösungsform der Auf- gabe 12 die obige 2) benutzte. — Unsere Lösungsformen 6) verdienen aber jenen früheren gegenüber den Vorzug schon wegen der grösseren Einfachheit des Ausdrucks, und weil sie mit einem Parameter weniger, mit deren vier statt fünf, auskommen.
Nehmen wir wie oben die überzähligen Parameter
r
,
s
auf jede mögliche Weise gleich 0 oder 1 an, so tritt natürlich abermals erheb- liche Vereinfachung ein, und ergeben sich die nachstehenden vier be- merkenswerten Lösungsformen:
8)
x
= (
a
1
+
c d
)
u v
+ (
b
1
+
c d
)
u v
1
+ (
b
1
+
d
)
c u
1
v
+ (
a
1
+
c
)
d u
1
v
1
y
= (
a
1
+
c
1
d
)
u v
+
b
(
c
1
+
d
)
u v
1
+ (
b d
+
c
1
)
u
1
v
+ (
a
1
+
c
1
)
d u
1
v
1
9)
x
= (
a
1
+
c d
)
u v
+ (
a
1
c
+
b
1
)
u v
1
+ (
a
1
+
b
1
)
c u
1
v
+ (
a
1
+
c
)
d u
1
v
1
y
= (
a
1
+
c
1
d
)
u v
+ (
a
1
+
c
1
)
b u v
1
+ (
a
1
b
+
c
1
)
u
1
v
+ (
a
1
+
c
1
)
d u
1
v
1
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
10)
x
= (
a
1
+
b
1
d
)
u v
+ (
b
1
+
c d
)
u v
1
+ (
b
1
+
d
)
c u
1
v
+ (
a
1
+
b
1
)
d u
1
v
1
y
= (
a
1
+
b d
)
u v
+
b
(
c
1
+
d
)
u v
1
+ (
b d
+
c
1
)
u
1
v
+ (
a
1
+
b
)
d u
1
v
1
11)
x
= (
a
1
+
b
1
d
)
u v
+ (
a
1
c
+
b
1
)
u v
1
+ (
a
1
+
b
1
)
c u
1
v
+ (
a
1
+
b
1
)
d u
1
v
1
y
= (
a
1
+
b d
)
u v
+ (
a
1
+
c
1
)
b u v
1
+ (
a
1
b
+
c
1
)
u
1
v
+ (
a
1
+
b
)
d u
1
v
1
,
deren jede die gleiche Allgemeinheit wie die 6) beansprucht. In diesen erscheinen freilich gewisse Koeffizientenpaare, nämlich
c
,
d
; resp.
a
,
c
;
b
,
d
;
a
,
b
, bevorzugt.
Zudem verdient aber noch eine Reihe von Spezialisirungen unserer Ergebnisse hervorgehoben und für den Gebrauch zurecht gelegt zu werden.
Exempel
1.
x y a
.
Lösung
:
x
=
u
(
a
+
v
1
),
y
=
v
(
a
+
u
1
). (Man setze in 6)
a
1
für
a
und 0 für
b
,
c
,
d
).
Damit sind auch die symmetrisch allgemeinen Lösungen von
a x y
= 0 gegeben als:
x
=
u
(
a
1
+
v
1
),
y
=
v
(
a
1
+
u
1
).
Exempel
2.
x
+
y a
. Lösung:
x
=
a u
,
y
=
a v
.
Exempel
3, (zugleich Aufgabe 13 des § 24, Bd. 1, S. 515).
x y
=
a
. Lösung:
x
=
a
+
u v
1
,
y
=
a
+
u
1
v
.
Exempel
4.
x
+
y
=
a
. Lösung:
x
=
a
(
u
+
v
1
),
y
=
a
(
u
1
+
v
).
Exempel
5.
x y
1
+
x
1
y a
. Lösung:
x
=
u v
+ (
a
+
s
)
u v
1
+
a
1
s u
1
v
= (
a
+
s
+
v
)
u
+
a
1
s v u
1
y
=
u v
+
a
1
s u v
1
+ (
a
+
s
)
u
1
v
= (
a
+
s
+
u
)
v
+
a
1
s u v
1
x
1
=
a
1
s
1
u v
1
+ (
a
+
s
1
)
u
1
v
+
u
1
v
1
=
a
1
s
1
v
1
u
+ (
a
+
s
1
+
v
1
)
u
1
y
1
= (
a
+
s
1
)
u v
1
+
a
1
s
1
u
1
v
+
u
1
v
1
=
a
1
s
1
u
1
v
+ (
a
+
s
1
+
u
1
)
v
1
Speziell für
s
= 0 oder 1 hat man die Lösungsformen:
x
= (
a
+
v
)
u
,
x
1
=
a
1
v
1
+
u
1
,
y
= (
a
+
u
)
v
,
y
1
=
a
1
u
1
+
v
1
resp.
x
=
u
+
a
1
v
,
x
1
=
u
1
(
a
+
v
1
)
y
=
v
+
a
1
u
,
y
1
=
v
1
(
a
+
u
1
).
Exempel
6. Zu
x y
1
+
x
1
y
=
a
, also
x
=
a y
1
+
a
1
y
,
y
=
a x
1
+
a
1
x
, liefert uns 6) die obigen Lösungen 2) der Aufgabe 12 wieder.
Wird in den zwei letzten Exempeln nur
y
,
v
mit
y
1
,
v
1
vertauscht, so schreibt man aus dem angegebenen
x
und
y
1
auch leicht noch ab die Lösungen der Aufgaben
x y
+
x
1
y
1
a
resp. =
a
.
Exempel
7, (zugleich Aufgabe 14 in Bd. 1, S. 515.)
x y
=
a
,
x
1
y
1
=
b
, wo
a b
= 0.
Aus der vereinigten Gleichung
(
a
1
+
b
)
x y
+ (
a
+
b
) (
x y
1
+
x
1
y
) + (
a
+
b
1
)
x
1
y
1
= 0
ersieht man, welche Einsetzungen in Schema 6) gemacht werden müssen. Man findet als Lösungen, die, im Gegensatz zu den in § 24 aufgestellten,
Vierundzwanzigste Vorlesung.
nun auch der Adventivforderung genügen werden, nach nicht un- interessanten Zwischenrechnungen, unter Berücksichtigung auch der Resultante
a b
1
=
a
oder
a
1
b
=
b
:
x
=
a
+
b
1
{
u v
1
+
r
(
u
+
v
1
)},
x
1
=
b
+
a
1
{
u
1
v
+
r
1
(
u
1
+
v
)}
y
=
a
+
b
1
{
u
1
v
+
r
1
(
u
1
+
v
)},
y
1
=
b
+
a
1
{
u v
1
+
r
(
u
+
v
1
)}.
Exempel
8.
x y
= 0,
x
+
y
= 1, oder
x
=
y
1
,
x
1
=
y
,
x y
+
x
1
y
1
= 0, gibt
x
=
u v
1
+
r
(
u
+
v
1
) =
y
1
,
y
=
u
1
v
+
r
1
(
u
1
+
v
) =
x
1
.
Exempel
9.
a x
=
b
+
y
, wo
b a
oder
a
1
b
= 0, gibt die vereinigte Gleichung:
a
1
x y
+
a b
1
x y
1
+
x
1
y
+
b x
1
y
1
= 0,
und damit gemäss 6) nach geringer Rechnung die Lösung:
x
=
b
+
a u v
+ (
a
1
+
s
) (
u v
1
+
u
1
v
),
y
=
a
{
u v
+
b
1
s
(
u v
1
+
u
1
v
) +
b u
1
v
1
}, als deren einfachste Form wir — für
s
= 0 — haben:
x
=
b
+
a u v
+
a
1
(
u v
1
+
u
1
v
),
y
=
a
(
u v
+
b u
1
v
1
).
Damit wird — wegen
a b
=
b
— in der That
a x
=
a
(
b
+
u v
) =
b
+
a u v
=
b
+
y
.
Exempel
10.
x y
=
a
,
b x
+
y
gibt
a
1
x y
+
a x y
1
+
a x
1
y
+ (
a
+
b
)
x
1
y
1
= 0
und zuerst:
x
= (
a
+
b r
)
u v
+
u v
1
+
a u
1
v
+ (
a
+
b r
)
u
1
v
1
y
= (
a
+
b r
1
)
u v
+
a u v
1
+
u
1
v
+ (
a
+
b r
1
)
u
1
v
1
,
also einfacher:
x
=
a
+
u v
1
+
b
(
u
+
v
1
)
r
,
x
1
=
a
1
{
u
1
v
+ (
b
1
+
r
1
) (
u
1
+
v
)}
y
=
a
+
u
1
v
+
b
(
u
1
+
v
)
r
1
,
y
1
=
a
1
{
u v
1
+ (
b
1
+
r
) (
u
+
v
1
)}.
Die vorstehenden Problemlösungen thun oft gute Dienste. Nicht minder die nachfolgenden, die ich neu hinzufüge, — mit der in Bd. 1, § 24 begonnenen Numerirung der Aufgaben fortfahrend. Die Aufgaben sind durchweg Auflösungsprobleme mit einer beliebigen Menge von Unbekannten und sind jeweils so eingerichtet, dass sie keine Resultante liefern.
Sofern dabei Indizes für die in unbestimmter Anzahl, ja in end- licher oder auch unbegrenzter Menge vorkommenden Unbekannten
x
λ
(wo z. B.
λ
= 1, 2, 3, …) gebraucht werden und man sich nicht ent- schliessen will, dieselben als obere Indizes zu setzen, thut man gut, statt des dann unbequem anzuhängenden vertikalen den horizontal übergesetzten Negationsstrich zu verwenden.
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
Einer Unbekannten
x
λ
soll immer ein unbestimmtes Gebiet
u
λ
als wesentlicher Parameter entsprechen. Und alle Lösungen sollen der „Adventivforderung“ genügen derart, dass man aus ihnen ein gewünschtes System
x
λ
(
λ
= 1, 2, 3, …) von Wurzeln der Aufgabe durch die si- multanen Annahmen
u
λ
=
x
λ
(für
λ
= 1, 2, 3, …) erhält.
Aufgabe
16 (Erweiterung von Aufg. 1 … 3 des § 24, Bd. 1, S. 499).
Π
λ
x
λ
= 0. Lösung:
x
λ
=
u
λ
Σ
ϰ
ū
ϰ
.
Probe 1.
Π
λ
x
λ
=
Π
λ
u
λ
Σ
ϰ
ū
ϰ
=
Π
λ
u
λ
·
Σ
λ
ū
λ
= 0.
Probe 2. Ist
Π
λ
x
λ
= 0, so folgt
Σ
λ
x̄
λ
= 1 =
Σ
ϰ
x̄
ϰ
, und folg- lich
x
λ
Σ
ϰ
x̄
ϰ
=
x
λ
· 1 =
x
λ
.
Die Symmetrie des Lösungssystems ist evident.
Aufgabe
17.
Π
λ
x
λ
a
. (Erweiterung der vorigen.)
Lösung:
x
λ
=
u
λ
(
a
+
Σ
ϰ
ū
ϰ
),
x̄
λ
=
ū
λ
+
ā Π
ϰ
u
ϰ
.
Wie leicht zu sehen, stimmen beide Proben.
Dass auch Lösungen mit noch mehr Parametern aufgestellt werden können, zeigt z. B. die Annahme
a
=
Σ
λ
b̄
λ
. Hier lässt sich die Aufgabe ansetzen als:
Π
λ
b
λ
x
λ
= 0,
und man entdeckt unschwer unter Berufung auf Aufg. 16 die Lösung
x
λ
=
b̄
λ
β
λ
+
b
λ
α
λ
γ Σ
ϰ
(
b̄
ϰ
+
ᾱ
ϰ
),
x̄
λ
=
b
λ
(
ᾱ
λ
+
γ̄
) +
b̄
λ
β̄
λ
+
Π
ϰ
b
ϰ
α
ϰ
worin die
α
λ
,
β
λ
und
γ
willkürlich.
Unbedingt stimmt hier die Probe 1, und auch die Probe 2 bei der An- nahme
γ
= 1,
α
λ
=
β
λ
=
ϰ
λ
.
Aufgabe
18.
Σ
λ
a
λ
x
λ
Σ
λ
a
λ
b
λ
.
Lösung:
x
λ
=
u
λ
(
ā
λ
+
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
).
Probe 1. Es wird
Σ
λ
a
λ
x
λ
=
Σ
λ
a
λ
u
λ
·
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
.
Probe 2. Ist die Aufgabensubsumtion erfüllt, so folgt:
x
λ
=
x
λ
(
ā
λ
+
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
),
indem wegen
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
=
Σ
ϰ
a
ϰ
x
ϰ
+
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
hierin der letzte Addend um den vorhergehenden vermehrt werden darf; dann findet sich aber rechts
x
λ
mit
ā
λ
+
a
λ
oder 1 multiplizirt.
Die Herleitung ist hier sehr leicht zu bewerkstelligen; es ist nämlich nach (3
+
) gestattet, in der Aufgabensubsumtion das Summenzeichen linker- hand wegzulassen, so dass folgt:
a
λ
x
λ
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
oder
x
λ
ā
λ
+
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
. Usw.
Aufgabe
19.
Σ
λ
a
λ
b
λ
Σ
λ
a
λ
x
λ
.
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Die Lösung ist:
x
λ
=
u
λ
+
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
·
Π
ν
(
ā
ν
+
ū
ν
),
wo beide Proben stimmen; die erste, indem sich leicht
Σ
λ
a
λ
x
λ
=
Σ
λ
a
λ
u
λ
+
Π
ν
(
ā
ν
+
ū
ν
) ·
Σ
λ
(
a
λ
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
) =
Σ
λ
a
λ
(
u
λ
+
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
) = =
Σ
λ
a
λ
(
u
λ
+
b
λ
)
herausstellt, die zweite auf den ersten Blick, indem für
u
λ
=
x
λ
der letzte Term unseres
x
λ
verschwindet.
Um zu zeigen, wie auch solche Aufgaben aufgrund des früheren oft schon systematisch gelöst werden können, kontraponiren wir die Aufgabe in
Π
λ
(
ā
λ
+
x̄
λ
)
Π
λ
(
ā
λ
+
b̄
λ
),
woraus ersichtlich, dass nach dem Schema der Aufgabe 17 zunächst der allgemeine Wert des Faktors
ā
λ
+
x̄
λ
angebbar ist. Zu dem Ende muss das dortige Prädikat
a
durch die rechte Seite hier ersetzt werden, ausser- dem aber, um die Adventivforderung zu wahren, das dortige
u
λ
hier durch
ā
λ
+
ū
λ
, — gleichwie die dortige Unbekannte
x
λ
hier vertreten erscheint durch
ā
λ
+
x̄
λ
. Dies gewährt uns zugleich den Vorteil, dass in dem sich ergebenden Ausdrucke für
ā
λ
+
x̄
λ
keine Resultante der Elimination von
x
λ
mehr zu berücksichtigen sein wird. Man findet
ā
λ
+
x̄
λ
= (
ā
λ
+
ū
λ
) {
Π
ϰ
(
ā
ϰ
+
b̄
ϰ
) +
Σ
ϰ
a
ϰ
u
ϰ
}, =
c
,
wo
c
nur für den Augenblick zur Abkürzung dient, und hat nun als Lösung nach
x
einer Gleichung
ā
+
x̄
=
c
, deren Resultante
ā c̄
= 0 schon erfüllt ist, somit der Gleichung
a c x
+
c̄ x̄
= 0:
x
=
c̄ ū
+ (
ā
+
c̄
)
u
=
c̄
+
ā u
.
Es folgt somit
x
λ
=
a
λ
u
λ
+
Σ
ϰ
a
ϰ
b
ϰ
·
Π
ν
(
ā
ν
+
ū
ν
) +
ā
λ
u
λ
wie oben angegeben.
Aufgabe
20.
Σ
λ
a
λ
x
λ
=
Σ
λ
a
λ
b
λ
.
Lösung:
x
λ
=
Π
ϰ
(
ā
ϰ
+
ū
ϰ
) ·
Σ
ν
a
ν
b
ν
+
Σ
ν
a
ν
b
ν
·
u
λ
+
u
λ
ā
λ
.
Probe 1.
Σ
λ
a
λ
x
λ
=
Π
ϰ
(
ā
ϰ
+
ū
λ
) ·
Σ
ν
a
ν
b
ν
+
Σ
ν
a
ν
b
ν
·
Σ
λ
a
λ
u
λ
=
Σ
ν
a
ν
b
ν
, weil
Σ
λ
a
λ
·
Σ
ν
a
ν
b
ν
=
Σ
ν
a
ν
b
ν
ist und sich hernach die
Σ
λ
a
λ
u
λ
mit dem
Π
ϰ
zu 1 ergänzt.
Probe 2. Ist die Aufgabengleichung als Voraussetzung erfüllt, so muss sein
x
λ
=
Π
ϰ
(
ā
ϰ
+
x̄
ϰ
)
Σ
ν
a
ν
b
ν
+
Σ
ν
a
ν
b
ν
·
x
λ
+
x
λ
ā
λ
,
indem das erste Glied rechterhand verschwindet und alsdann bleibt:
x
λ
=
x
λ
(
Σ
ϰ
a
ϰ
x
ϰ
+
ā
λ
),
was durch Hervorhebung des dem Werte
ϰ
=
λ
entsprechenden Gliedes der
Σ
ϰ
leicht zu verifiziren ist.
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
Gefunden habe ich die Lösung, indem ich die Aufgabengleichung rechts auf 0 brachte, aus ihrem Polynome blos die Glieder hervorhob, welche ein bestimmtes
x
λ
und dessen Negat
x̄
λ
zum Faktor haben, — ohne im Ansatz der Koeffizienten dieser beiden Symbole ihre tautologische Wiederholung zu scheuen, — und endlich die so gewonnene Gleichung nach bekanntestem Schema nach
x
λ
auflöste, rechterhand alle
x
λ
durch die entsprechenden
u
λ
ersetzend.
Jeder Versuch, zur Lösung dieses Problems die bereits ermittelten Lösungen der beiden vorhergehenden Aufgaben zu benutzen, scheint dagegen in einen Zirkel zu führen.
Der Ausdruck unserer Unbekannten
x
λ
ist von der Form
α β
+
β γ
+
γ δ
= (
α
+
γ
) (
γ
+
β
) (
β
+
δ
),
wonach auch deren Negat
x̄
λ
in ähnlicher Form
ᾱ γ̄
+
γ̄ β̄
+
β̄ δ̄
= (
ᾱ
+
β̄
) (
β̄
+
γ̄
) (
γ̄
+
δ̄
)
leicht hingeschrieben werden kann.
Eine beachtenswerte Vereinfachung des Ausdrucks für
x
λ
tritt ein in dem Partikularfalle des Problems, wo alle
b
λ
= 1 sind. Alsdann nämlich zieht sich der Koeffizient
ā
λ
mit dem aus der vorhergehenden
Σ
ν
a
ν
stammenden
a
λ
zu 1 zusammen, und es ergibt sich
x
λ
=
u
λ
+
Π
ϰ
(
ā
ϰ
+
ū
ϰ
) ·
Σ
ν
a
ν
als die symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung
Σ
λ
a
λ
x
λ
=
Σ
λ
a
λ
.
Aufgabe
21. Beliebig viel zu einander disjunkte Gebiete auf die allgemeinste Weise zu bestimmen. (Erweiterung der Aufgabe 8 des § 24, Bd. 1, S. 509). Die Lösungen lauten:
x
1
=
u
1
ū
2
ū
3
ū
4
… +
ū
1
u
2
u
3
u
4
…,
x
2
=
ū
1
u
2
ū
3
ū
4
… +
u
1
ū
2
u
3
u
4
…,
x
3
=
ū
1
ū
2
u
3
ū
4
… +
u
1
u
2
ū
3
u
4
…, . . . . . . . . . . . .
Hier wird in der That
x
ϰ
x
λ
= 0, sobald
ϰ
≠
λ
. Und wenn
x
1
x
2
,
x
1
x
3
,
x
1
x
4
, …
x
2
x
3
, … = 0 ist, so muss auch
x
1
=
x
1
x̄
2
x̄
3
x̄
4
… +
x̄
1
x
2
x
3
x
4
… =
x
1
x̄
2
x̄
3
x̄
4
…
sein, indem das zweite Glied verschwindet, sodann wegen
x
1
x̄
2
auch
x
1
x̄
2
=
x
1
, etc. sein wird, u. s. w.
Aufgabe
22. (Verallgemeinerung der Bd. 1, S. 508 für
n
= 3 gelösten Aufgabe 7 des § 24.)
x
1
x̄
2
x̄
3
…
x̄
n
+
x̄
1
x
2
x̄
3
…
x̄
n
+ … +
x̄
1
x̄
2
x̄
3
…
x̄
n
— 1
x
n
= 0.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 28
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Auflösung
. Wendet man auf
x
1
als Unbekannte das wolbekannte Schema
(
a x
+
b x̄
= 0) (
x
=
b x̄
+
ā x
)
an, so entsteht
x
1
=
x̄
1
(
x
2
x̄
3
…
x̄
n
+
x̄
2
x
3
x̄
4
…
x̄
n
+ … +
x̄
2
…
x̄
n
— 1
x
n
) +
x
1
(
x
2
+
x
3
+ …
x
n
), und wenn man rechterhand die
x
durch arbiträre Parameter
u
ersetzt, so hat man schon mit diesem ersten Schritt unserer Methode für die erste Un- bekannte die gesuchte Lösung, — woraus sich die Werte der übrigen Un- bekannten nach der Symmetrie abschreiben lassen. Das System der all- gemeinen Wurzeln ist mithin:
x
1
=
u
1
(
u
2
+
u
3
+ … +
u
n
) +
ū
1
(
u
2
ū
3
…
ū
n
+
ū
2
u
3
ū
4
…
ū
n
+ … +
ū
2
…
ū
n
— 1
u
n
)
x
2
=
u
2
(
u
1
+
u
3
+ … +
u
n
) +
ū
2
(
u
1
ū
3
…
ū
n
+
ū
1
u
3
ū
4
…
ū
n
+ … +
ū
1
ū
3
…
ū
n
— 1
u
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
n
=
u
n
(
u
1
+
u
2
+ … +
u
n
— 1
) + +
ū
n
(
u
1
ū
2
…
ū
n
— 1
+
ū
1
u
2
ū
3
…
ū
n
— 1
+ … +
ū
1
ū
2
…
ū
n
— 2
u
n
— 1
)
x̄
1
=
u
1
ū
2
ū
3
…
ū
n
+
ū
1
(
u
2
u
3
+
u
2
u
4
+
u
3
u
4
+ … +
u
n
— 1
u
n
+
ū
2
ū
3
…
ū
n
)
x̄
2
=
u
2
ū
1
ū
3
…
ū
n
+
ū
2
(
u
1
u
3
+
u
1
u
4
+
u
3
u
4
+ … +
u
n
— 1
u
n
+
ū
1
ū
3
…
ū
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x̄
n
=
u
n
ū
1
ū
2
…
ū
n
— 1
+ +
ū
n
(
u
1
u
2
+
u
1
u
3
+
u
2
u
3
+ … +
u
n
— 2
u
n
— 1
+
ū
1
ū
2
…
ū
n
— 1
).
Der Bildung der Negationen liegt der leicht erweisliche Satz zum Grunde, dass die Negation von
a
1
ā
2
ā
3
…
ā
n
+
ā
1
a
2
ā
3
…
ā
n
+ … +
ā
1
ā
2
…
ā
n
— 1
a
n
,
nämlich
(
ā
1
+
a
2
+
a
3
+ … +
a
n
) (
a
1
+
ā
2
+
a
3
+ … +
a
n
) … (
a
1
+
a
2
+ … +
a
n
— 1
+
a
n
) = =
a
1
a
2
+
a
1
a
3
+
a
2
a
3
+ … +
a
n
— 1
a
n
+
ā
1
ā
2
…
ā
n
ist, — wo man sich behufs Nachweises nur zu überzeugen braucht, dass
a
1
a
2
als Glied in jedem Faktor enthalten ist und die übrigen Partialprodukte, in denen
a
1
und
a
2
vorkommen, sonach absorbiren wird, sowie dass die Partialprodukte mit nur einem unnegirten Faktor, wie
ā
1
ā
2
…
ā
n
— 1
(
a
1
+ +
a
2
+ … +
a
n
— 1
) verschwinden.
Nach dem oben angezogenen Schema stimmt nun jedenfalls die Probe 2 und bleibt also blos noch die Probe 1 zu machen, d. h. nachzusehen, dass in der That bei ganz beliebigen
u
λ
z. B.
x
1
x̄
2
x̄
3
…
x̄
n
= 0 wird. Zu dem Ende wird man am besten
x̄
2
, …
x̄
n
auch nach
u
1
entwickeln und darnach durchmultipliziren. Man hat
x̄
2
=
u
1
ū
2
(
u
3
+
u
4
+ … +
u
n
) +
ū
1
{
ū
2
(
u
3
u
4
+ … +
u
n
— 1
u
n
) +
ū
3
ū
4
…
ū
n
} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x̄
n
=
u
1
ū
n
(
u
2
+
u
3
+ … +
u
n
— 1
) +
ū
1
{
ū
n
(
u
2
u
3
+ … +
u
n
— 2
u
n
— 1
) +
ū
2
ū
3
…
ū
n
— 1
}
§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
und es verschwindet in unserm Produkt nicht nur der Term mit
u
1
, — weil in seinem Koeffizienten der Faktor
u
2
+
u
3
+ … +
u
n
zusammen- trifft mit dem in Überschiebung sich bildenden
ū
2
ū
3
…
ū
n
, — sondern auch der Term mit
ū
1
; denn z. B.
u
2
ū
3
ū
4
…
ū
n
, durch den Faktor in Klammern { } aus
x̄
2
unverändert gelassen, trifft in den Klammern { } aus den übrigen
x̄
zusammen entweder mit einem zweiten Gliede, das den Faktor
ū
2
auf- weist, oder mit einem ersten Gliede, und darin je mit einem Produkte zweier unnegirten
u
, deren mindestens eines in ihm negirt vorkommt.
Das vorstehende Problem und seine Lösung konziser darzustellen, würde erst mit dem Bezeichnungskapital des Bd. 3 ermöglicht.
Aufgabe
23. Der Forderung
Σ
λ
(
x
λ
=
a
λ
) = 1
symmetrisch auf die allgemeinste Weise zu genügen. Es sollen also die Unbekannten
x
λ
so bestimmt werden, dass
mindestens eine
derselben dem ihr zugeordnet gegebenen Werte
a
λ
gleich ist.
Die Auflösung lässt sich wenigstens für den im Hinblick auf Bd. 3 besonders wichtigen Fall geben, wo die vorkommenden Symbole
a
,
x
,
u
sämtlich (wie Aussagen)
auf den Wertbereich 0
,
1 beschränkt
sein sollen. Sie lautet alsdann:
x
λ
=
u
λ
Σ
ϰ
(
a
ϰ
u
ϰ
+
ā
ϰ
ū
ϰ
) +
a
λ
Π
ϰ
(
ā
ϰ
u
ϰ
+
a
ϰ
ū
ϰ
),
womit, da rechts die
Σ
ϰ
und das
Π
ϰ
Negate von einander sind,
x̄
λ
=
ū
λ
Σ
ϰ
+
ā
λ
Π
ϰ
einfach wird.
Probe 1. Mit vorstehenden Werten der Unbekannten wird
Π
λ
(
ā
λ
x
λ
+
a
λ
x̄
λ
) =
Π
λ
(
ā
λ
u
λ
+
a
λ
ū
λ
) ·
Σ
ϰ
(
a
ϰ
u
ϰ
+
ā
ϰ
ū
ϰ
) = 0,
und jeder Faktor des Produkts zur Linken kann bei der statuirten Ein- schränkung des Wertbereiches auch nur einen der Werte 0 und 1 haben. Verschwinden kann daher das Produkt nur dadurch, dass mindestens einer seiner Faktoren 0 wird. Daher ist mindestens für ein
λ
nun
ā
λ
x
λ
+
a
λ
x̄
λ
= 0, d. h.
x
λ
=
a
λ
, wie immer die Werte
u
λ
auch als 1 oder 0 angenommen sein mochten.
Probe 2. Ist ein
x
λ
=
a
λ
, d. h. für wenigstens ein
λ
auch
ā
λ
x
λ
+ +
a
λ
x̄
λ
= 0, so verschwindet für
u
=
x
das
Π
ϰ
und wird die
Σ
ϰ
gleich 1, womit sich die Lösung als
x
λ
=
x
λ
· 1 +
a
λ
· 0 bewahrheitet.
Wie man leicht sieht, ist die Lösung so beschaffen, dass wenn zu- fällig ein
u
ϰ
=
a
ϰ
ist, dann auch
x
ϰ
=
u
ϰ
=
a
ϰ
wird, während die übrigen
x
λ
=
u
λ
beliebig bleiben. Ist dagegen kein
u
ϰ
gleich dem zugehörigen
a
ϰ
, so werden
alle x
λ
bezüglich gleich den
a
λ
.
Die hiemit abgeschlossene (wol noch vermehrungsfähige und er-
28*
Vierundzwanzigste Vorlesung.
gänzungsbedürftige) Reihe von Problemen umfasst diejenigen, auf deren vorgängige, propädeutische Erledigung mich die Versuche hingedrängt haben, die schwierigen Auflösungsaufgaben des dritten Bandes zu be- wältigen. Sie sind, wie gesagt, nur in heuristisch-methodologischer Hinsicht von Belang, blos für den Forscher bei Entdeckungsfahrten auf diesem Gebiete unentbehrlich.
Umgekehrt wird mit jedem Auflösungsproblem in der Algebra der Relative implicite auch eines der Probleme „symmetrisch allgemeiner Lösungen“ seine Erledigung finden wenigstens für den Fall, wo sämt- liche Unbekannten und Bekannten auf den Bereich der beiden Werte 0 und 1 eingeschränkt sind.
Fünfundzwanzigste Vorlesung
.
§ 52.
Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literatur- zuwachse. Kritisches und Antikritisches.
Nachdem wir so mancherlei Methoden zur Lösung logischer Probleme teils flüchtig gestreift, teils eingehend betrachtet haben, dürfte ein in Kürze das Wesentliche zusammenfassender Rückblick von Nutzen sein, — umsomehr als auch noch einige Nachträge unterzubringen sind, welche die inzwischen angewachsene Literatur und erweiterte Literaturkenntniss dem Verfasser aufdrängt.
Als
elementaren
Teil des Logikgebäudes stellten wir hin: die
Logik der Umfangsbeziehungen
zwischen
absoluten
Begriffen, d. h. solchen Begriffen, zu deren Darstellung schon „absolute Namen“ (Bd. 1, S. 76) ausreichen. Die Umfänge solcher absoluten Begriffe können schlecht- weg als „
Klassen
“ bezeichnet werden, die Disziplin somit als der „
identische Kalkul mit Klassen
“, kurz als „
Klassenkalkul
“. Zugänglich dieser Disziplin und ihren Gesetzen unterworfen sind alle diejenigen Urteile, — universale oder partikulare, — zu deren Aufstellung immer nur
ein
Individuum der Subjektklasse
auf einmal
dem Geiste gegenwärtig zu sein und vorgestellt zu werden braucht.
Sagt man z. B. „Alle Planeten bewegen sich in Ellipsen“ oder „Einige Planeten haben Monde“, so braucht man doch an nicht mehr als
einen
Planeten dabei zu denken, wogegen ein Urteil wie „Die Planeten stören einander“ gar nicht erfasst werden könnte, ohne dass man sich
mehrere
Individuen der Subjektklasse gleichzeitig vorstellte, um eben zwischen ihnen eine Beziehung zu denken, die keine „Umfangsbeziehung“ in Hinsicht des Planetenbegriffes ist.
Hierin liegt gewiss von vorn herein eine ungeheure Beschränkung unserer Disziplin, — wie namentlich im dritten Bande zu sehn sein wird, wo wir, uns von der Beschränkung befreiend, über die Disziplin hinaus- gehen. Solches Zugeständniss thut indess der fundamentalen Bedeutung und Wichtigkeit unseres elementaren Teils der Logik keinen Eintrag. Schloss derselbe doch in sich die ganze scholastische Syllogistik und in der That auch fast die ganze traditionelle Logik, sofern man diese von ihren zahlreichen metaphysischen und psychologischen Beimengungen gereinigt fasst.
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Anstatt die Individuen einer Klasse
generell
zusammenzufassen, behufs
distributiver Verwendung des die Klasse kennzeichnenden Namens
, kann man sie auch
kollektiv
zusammenfassen zu einem
Systeme
, einem
Gebiete
oder einer
Menge
, u. s. w; m. a. W. man kann auch die Klasse als ein
Ganzes
denken, von dem Individuen und Unterklassen die
Teile
vorstellen. So war der Klassenkalkul zugleich ein „Gebietekalkul“ oder ein „Kalkul mit Systemen“, der sich durch Diagramme oder Figuren leicht veranschaulichen liess und deshalb propädeutisch in den Vordergrund gestellt wurde.
Auf den elementaren wird als ein höherer Teil (mit Bd. 3) zu folgen haben: die
Logik der Beziehungen
überhaupt. Auch diese hat — zum voraus sei es gesagt — ihre Entwicklung allein gefunden als eine
Umfangs
logik, und zwar vornehmlich durch die Leistungen von A.
De Morgan
und Ch. S.
Peirce
, durch welche sich die Disziplin zu einer „
Algebra der Relative
“ gestaltete. Ein „Relativ“, wie „Ursache von —“, „Teiler von —“, etc. ist
der Umfang
des zugehörigen (relativen) Be- griffes.
Das Verhältniss der Theorie der Relative zum elementaren Teile der Logik weist viele Analogien auf mit dem Verhältnisse der höhern Analysis, der Infinitesimalrechnung, zur sogenannten niedern, der Arithmetik und Algebra u. s. w., namentlich im Hinblick auf die vergleichende Wertschätzung und den Umfang der Anwendungssphäre beider Disziplinen, deren eine hier wie dort eine Tochterdisziplin der andern ist. Obendrein ist aber in den logischen Disziplinen auch die Wurzel der arithmetischen zu suchen. Von der (Beziehungen -) Logik hat nämlich die Logik der Beziehungen des
ein- deutigen Entsprechens
, der
Zuordnung
oder
Abbildung
schon weitaus die reichste Entfaltung gewonnen in Gestalt der Arithmetik, Analysis und Funktionenlehre selbst, d. i. der reinen Mathematik (im engsten Sinne). Dagegen bleibt noch nachzuweisen deren Ursprung in der allgemeinen Logik (der Relative), — ein Nachweis, den unser dritter Band — neben anderm — zu liefern unternimmt.
Im elementaren Teil unterschieden wir zwei Etappen oder Stufen.
Auf ihrer ersten Stufe besitzt die Umfangslogik der absoluten Begriffe als
Beziehungszeichen
nur das Subsumtions- und das Gleich- heitszeichen, nicht aber deren Verneinungen; sie entbehrt hier noch einer sozusagen „verneinenden Kopula.“
Demzufolge sind ihr ausschliesslich zugänglich: die (bejahenden und verneinenden)
universalen
Urteile, und, als wesentlich auf dasselbe hinauslaufend, auch die
verneinenden Existenzialurteile
. Man kann die erste Logikstufe geradezu als die Logik der universalen Urteile (inner- halb des elementaren Teiles natürlich) bezeichnen. Ihr war unser Bd. 1 ausschliesslich gewidmet.
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
Als ein Sonderfall ordnet ihr sich ein: der
Aussagenkalkul
, als ein auf den Bereich der beiden „Wahrheitswerte“ 0 („falsch“) und 1 („wahr“) beschränkter Klassenkalkul. Die zu verneinende Frage, ob dieser Aus- sagenkalkul auf einen umfassenderen Wertbereich sich ausdehnen lasse, wie von gewissen Seiten behauptet ist, wird uns noch im nächsten Paragraphen beschäftigen. Da somit uns stets
(
A
≠ 1) = (
A
= 0)
zu gelten haben wird, können wir sagen, dass auch der Aussagenkalkul von durchaus universalem Charakter ist.
Auf der zweiten Stufe gelangt die elementare Logik durch Zuhilfe- nahme auch einer „verneinenden Kopula“ erst in den Stand, die
parti- kularen
Urteile, affirmative sowol als negative, sowie die
bejahenden Existenzialurteile
einzukleiden und die auf sie bezüglichen Schluss- folgerungen in ihre Gewalt zu bekommen.
Für jede der beiden elementaren Logikstufen gibt es zwei funda- mentale Probleme, ein allgemeines
Eliminations
problem und ein all- gemeines
Auflösungs
problem, deren letzteres die vorgängige Bewältigung des ersteren fordert. Für die erste Stufe haben beide Probleme — allerdings nur bei „endlicher“ Menge von Eliminanden resp. Unbekannten — ihre Lösung bereits vollständig gefunden.
Für die zweite Stufe schien das Auflösungsproblem an Wichtigkeit gegen das Eliminationsproblem zurückzutreten, — jedoch nur, um in be- deutend erweiterter Fassung im dritten Bande wieder zu seinem Recht zu gelangen.
Weitaus die meisten der bislang zur Lösung aufgestellten „Methoden“ beziehen sich auf die genannten beiden Probleme nur für die erste Stufe.
Das primitivste, kunstloseste Verfahren ist die Methode von
Jevons
— der Zeit nach die zweite. Sie zerhackt die Prämissen in kleinste Stücke, sozusagen Atome (
Boole’
s „Konstituenten“ in Hinsicht
aller
Klassensymbole), um darnach das zur Lösung Erforderliche aus ihnen herauszuklauben und (mühsam) zusammenzuleimen. Dabei ent- behrt sie noch der allgemeinen Schemata
Boole’
scher „Entwicklung“ nach bestimmten von den Symbolen.
Eng schliesst sich an sie an das graphische Verfahren von
Venn
und
Scheffler
— mit dem Fortschritt, dass man schon etwas mehr von dem, was dort zu zerhacken gewesen, nunmehr beisammen lassen kann.
Fünfundzwanzigste Vorlesung
Auch gehört hierher das
Auflösungs
verfahren (aber nicht das Eli- minationsverfahren) von
Boole
selbst noch insofern, als dabei die durch Rechnen gefundenen Ausdrücke für die Unbekannten zu „ent- wickeln“ sind nach jenen Konstituenten (in Hinsicht wenigstens der beim Problem gegebenen Klassen).
Als nicht sehr erhebliche Modifikation dieses Verfahrens schliesst sich neuerdings an: Herrn
Macfarlane’
s
9
„logisches Spektrum.“
Die Konstituenten werden durch schmale Rechtecke von gleicher Höhe dargestellt, die sich zu einem horizontalen Band oder Streifen aneinander- schliessen, so dass ein Schema entsteht, welches von ferne an das Sonnen- spektrum mit seinen
Fraunhofer’
schen Linien erinnert. Die linkseitige Hälfte des Streifens ist z. B. mit
a
überschrieben, die rechtseitige mit
a
1
; von jeder dieser Hälften ist wieder die linke Hälfte mit
b
überschrieben, die rechte mit
b
1
, und so fort. Ein solches nach den
gegebenen
Klassen eingeteiltes Spektrum wird aufgestellt für eine jede der gesuchten Un- bekannten
x
,
y
, ….
Das Feld eines Konstituenten wird weiss gelassen, wenn seine Klasse durch die Data als ganz enthalten gesetzt ist in der dem Spektralstreifen zugeordneten unbekannten Klasse, sage z. B. in
x
; es wird schwarz bedruckt, wenn der Konstituent ganz von
x
ausgeschlossen ist, dagegen schraffirt, falls der Konstituent kraft der Data verschwinden muss; endlich wird das Feld des Konstituenten nur zur einen (z. B. untern) Hälfte geschwärzt da, wo die Data es offen, unbestimmt lassen, ob alles, einiges oder nichts von seiner Klasse zu
x
gehöre.
Über diese Fragen entscheiden aber die Koeffizienten der
Boole’
schen „Entwicklung“, und Herrn
Macfarlane’
s Modifikation in des letzteren Verfahren besteht blos darin, dass er die Wertsysteme 1, 1, … 0, 0, …, welche nach
Boole
für die gegebenen Klassen jeweils einzusetzen sind in die nach
x
,
y
, …
aufgelösten
Gleichungen, statt dessen lieber einsetzt in die noch nicht aufgelösten, ursprünglichen Prämissengleichungen, — um diese dann in jedem einzelnen Falle gesondert nach den Unbekannten (arithmetisch) aufzulösen, wo sie allerdings nur Einsen oder Nullen zu Koeffizienten haben werden, und die allgemeine Auflösung umgangen ist. In seinem Beispiel thut er dies in 64 Fällen!
Sein Gedankengang ist: wenn der Konstituent, dessen Koeffizienten im Ausdrucke von
x
wir eben suchen, gleich 1 (d. i. gleich der ganzen Mannig- faltigkeit) wäre, wo dann alle übrigen Konstituenten verschwinden müssten, so wäre
x
gleich diesem Koeffizienten. Der letztere muss also gleich dem Werte von
x
sein, der sich unter der genannten Voraussetzung ergibt.
Natürlich kommen bei den Einzelauflösungen verschiedene Fälle vor: neben dem Wert 0 oder 1 der Unbekannten (und somit auch des gesuchten Koeffizienten) auch ihre Unbestimmtheit, durch die Gleichung 0 = 0 sich kundgebend, ihre Unmöglichkeit, durch 0 = 1 charakterisirt, und Werte wie ½, logisch bedeutungslos, — wobei der betreffende Konstituent für sich verschwinden muss. —
Der Arbeit gegenüber ist der Wunsch am Platze, es möchten neuere
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
Autoren auf dem Felde der rechnenden Logik, anstatt fort und fort
Boole’
s veraltete Methode zu variiren oder zu manieriren, sich doch nicht länger der Einsicht verschliessen, dass wir längst über eine Reihe von sehr viel besseren Prozeduren verfügen, — und verdienen Frau
Franklin-Ladd’
s Worte
2
p. 560 zur Beherzigung empfohlen zu werden:
„Der Logiklehrer, welcher immer noch glaubt,
Boole’
s mühsame Methoden darlegen zu müssen zu irgend andern als zu historischen Zwecken, schädigt seine Schüler ernstlich.“
Diesen genannten Methoden stehen andre gegenüber, welche im Gegenteil die sämtlichen Prämissen zu einer einzigen
Gesamtaussage
erst zusammenfassen, um an dieser die Elimination und Auflösung zu voll- ziehen.
Wesentlich kommen alle diese hinaus auf
Boole’
s Eliminations- verfahren (der Zeit nach die erste Methode) und auf dessen von mir modifizirtes Auflösungsverfahren (der Zeit nach die dritte zuweilen so genannte „Methode“), — wo nicht, noch minder vollkommen, auf
Boole’
s Entwicklungsschemata oder deren duale Gegenstücke.
Man kann aber vier Manieren bei diesem Verfahren unterscheiden, nämlich
zwei Hauptmanieren
, die sich wieder in je
zwei Untermanieren
scheiden.
Die Untermanieren ergeben sich, je nachdem man vorzieht, das Polynom der „vereinigten“ oder Gesamt-Aussage („Äquivalente“ — sc. mit dem Prämissensystem, wie
Voigt
sie nennt) jeweils in Aggregat- form anzusetzen, d. h. als Summe von Produkten aus lauter einfachen Symbolen, oder aber in der dazu dualen Form eines Produktes von Summen einfacher Symbole.
Die Hauptmanieren wurzeln in den folgenden beiden Möglichkeiten: Entweder man bringt sämtliche Prämissen
rechts
auf
Null
, (die Sub- sumtionen also auf das
Prädikat
0), — wie ich es in der Regel vor- ziehe. Oder man operirt mit
links
durchweg auf
Eins
(bez. auf das
Subjekt
1) gebrachten Subsumtionen und Gleichungen, — wie dies
Mitchell
1
vorgezogen, dem auch Herr
Voigt
1
, (soweit die erste Stufe in Betracht kommt,) sich beigesellt, — desgleichen, wie ich neuerdings ersehe, (wiederum in andrer Weise) Herr
Poretzki
.
Jenes, das Umschreiben jeder Subsumtion
a b
in
a b
1
0, heisst im Grunde nur: sich vergegenwärtigen, was alles nach den Daten des Problems für ausgeschlossen, unzulässig, unmöglich erklärt wird; hier: es gibt nichts, was
a
und nicht
b
wäre.
Dieses, das Transcribiren derselben Subsumtion in die 1
a
1
+
b
, heisst dagegen: sich gegenwärtig halten alles, was nach den Daten noch zulässig bleibt: das Mögliche ist entweder nicht-
a
oder es ist
b
.
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Dort müssen die Einzelprämissen durch Addition der Subjekte, hier durch Multiplikation ihrer Prädikate zur Gesamtaussage vereinigt werden.
Zwei von den vier Manieren bieten den Vorteil, die Elimination mittelst Tilgung des Eliminanden vollziehen zu können („Radirmethode“), — so namentlich die erste Unterart der zweiten Hauptmanier; diese muss den Vorteil aber durch den Nachteil erkaufen, dass man beim vor- bereitenden Vereinigen der Prämissen die Polynome derselben zu multi- pliziren hat, anstatt, wie sonst, zu addiren. Und dual Entsprechendes wäre bezüglich der zweiten Unterart der ersten Hauptmanier zu sagen, wo dafür Produkte von Summen unbequem additiv zu vereinigen wären. Jedoch gelten diese Bemerkungen nur im Hinblick auf die aus der Arithmetik überkommene Gewöhnung des Rechnens mit Aggregaten und würden hin- fällig, sobald man Gewandtheit im dual entsprechenden Rechnen voraus- setzte. — Vergl. die Schematisirung der vier Manieren weiter unten.
Auch bei den zwei andern Manieren ist die Elimination ein leichtes, doch noch zuweilen mühsames Geschäft; die sämtlichen Prämissen können hier auch getrennt gelassen, sie brauchen nicht förmlich zur Gesamt- aussage vereinigt zu werden; auch aus den einzeln stehenden, sei es rechts auf 0, sei es links auf 1 gebrachten Prämissensubsumtionen lassen sich vollständig nach und nach herauslesen die Koeffizienten (beziehungsweise Ko-addenden) der Unbekannten und ihrer Negation.
Nachdem ich im Anschluss an
Boole
die erste der vier Manieren ausgebildet,
Mitchell
die dritte vorgezogen, ist von Herrn
Poretzki
1
die vierte in extenso dargelegt worden, nur mit dem im allgemeinen eine grössere Umständlichkeit bedingenden Unterschiede, dass er noch völlig an dem dualen Gegenstück der
Boole’
schen Entwicklungsschemata (auch nach mehreren Argumenten) klebt.
Da ich
Poretzki’
s Schrift bei Abschluss meines Bd. 1 noch über- sehen hatte, so will ich mir gestatten, im folgenden Kontext mich in Kürze über dieselbe auszulassen, teils kritisch, teils zur Abwehr, nament- lich aber, um die
Poretzki’
schen Beispiele, der von mir angestrebten Vollständigkeit halber, einzuverleiben.
Aufgabe
1
p. 115 … 118.
Es bedeute 1 die Mannigfaltigkeit der Mädchen auf einem Balle, und sei
a
= wolerzogen,
b
= lustig,
c
= jung,
d
= hübsch. So mögen folgende vierzehn Prämissen gegeben sein:
1 =
a
+
b
+
c
+
d
,
1 =
a
+
b
+
c
+
d
1
,
1 =
a
+
b
+
c
1
+
d
,
1 =
a
+
b
+
c
1
+
d
1
,
1 =
a
+
b
1
+
c
+
d
,
(0 =
a
1
b c d
1
oder)
1 =
a
+
b
1
+
c
1
+
d
,
(0 =
a
1
b c d
oder)
1 =
a
+
b
1
+
c
1
+
d
1
,
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
(
a b
+
c
+
d
Poretzki
schreibt die Subsumtionen
a b
noch auf die schwerfällige
Jevons’
sche Weise:
a
=
a b
.
oder)
1 =
a
1
+
b
+
c
+
d
,
(
a d b
+
c
oder)
1 =
a
1
+
b
+
c
+
d
1
,
(
b
1
a
1
+
c
1
+
d
1
oder)
1 =
a
1
+
b
+
c
1
+
d
1
,
(
a b c
1
d
oder)
1 =
a
1
+
b
1
+
c
+
d
,
(
c
1
a
1
+
b
1
+
d
1
oder)
1 =
a
1
+
b
1
+
c
+
d
1
,
(
a b c d
1
= 0 oder)
1 =
a
1
+
b
1
+
c
1
+
d
,
1 =
a
1
+
b
1
+
c
1
+
d
1;
Das heisst also z. B: Alle sind wolerzogen oder lustig oder jung oder hübsch, aber keine besitzt alle diese Eigenschaften gleichzeitig (letzte Prämisse); jedes wolerzogene, hübsche Mädchen ist zugleich lustig oder auch jung, (
a d b
+
c
), u. s. w.
Man soll jede von den vier Klassen durch jede von den drei andern ausdrücken.
Auflösung
(in vereinfachter Weise). Die identische Null ist gleich dem Produkt aller sechzehn „Produzenten“, die man aus
a
+
b
+
c
+
d
erhält, indem man die Glieder auf jede erdenkliche Weise mit Negations- strichen versieht — vergl. das duale Gegenstück zur Entwicklung der identischen Eins nach den Argumenten
a
,
b
,
c
,
d
, Bd. 1, S. 418 —. Von diesen sechzehn Produzenten sind der Annahme nach vierzehn gleich 1, nämlich alle ausser den beiden
a
1
+
b
+
c
1
+
d
und
a
+
b
1
+
c
+
d
1
. Darnach redu- ziren sich die Data auf den Ansatz:
0 = (
a
1
+
b
+
c
1
+
d
) (
a
+
b
1
+
c
+
d
1
), =
f
(
a
,
b
,
c
,
d
),
[oder bei
Poretzki
1 =
a b
1
c d
1
+
a
1
b c
1
d
, =
f
1
(
a
,
b
,
c
,
d
)].
Nach
a
entwickelt wird die Nullgleichung
a
·
f
(1,
b
,
c
,
d
) +
a
1
·
f
(0,
b
,
c
,
d
) = 0 =
a
(
b
+
c
1
+
d
) +
a
1
(
b
1
+
c
+
d
1
),
was nach den Th. 24
+
) und 39) sofort erkennen lässt, dass
a
=
b
1
=
c
=
d
1
oder auch
a
1
=
b
=
c
1
=
d
die gesuchte Lösung ist. Darnach sind z. B. die jungen Damen auf dem Balle zwar alle wolerzogen, aber betrübenderweise sämtlich weder lustig noch hübsch. U. s. w.
Aufgabe.
Poretzki
1
p. 114 sq.
In einer Kommode sind zwei Lagen Wäsche, und bedeute 1 diese letztere, sowie
a
= feine,
b
= grosse,
c
= teure,
d
= frische Wäsche. Bekannt sei, dass
1 =
b
+
a
(
d
1
+
c
1
)
und
a
1
+
d
1
c a b
1
c
1
+
b
(
d
+
a c
1
).
Man berechne
d
1
. (Ist die getragene Wäsche grobe oder feine? …)
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Auflösung
in
meiner
Manier: In der zweiten Prämisse reduzirt sich der Major augenscheinlich auf
a c
1
+
b d
, worauf diese auf
(
a
1
+
c d
1
) (
b
1
+
d
1
) = 0
hinauskommt und mit der ersteren: (
a
1
+
c d
)
b
1
= 0 vereinigt gibt:
(
a
1
+
c
) (
b
1
+
d
1
) = 0.
Darnach ist (
a
1
+
c
)
b
1
= 0 oder (1
a
+
b
) (
c b
) die Resultante der Elimination des
d
, und
d
1
=
u a c
1
, wo
u
unbestimmt, oder 0
d
1
a c
1
die gesuchte Auflösung nach
d
1
. Alle Wäsche ist entweder feine oder grosse, die teure auch immer grosse, und die
getragene
durchweg feine, je- doch von der billigen Sorte.
Bringen wir statt dessen mit
Poretzki
auch die zweite Prämisse links auf 1:
1 =
a
(
c
1
+
d
) +
a c
1
+
b d
=
a c
1
+
a d
+
b d
,
so haben wir als Gesamtaussage der Prämissen
1 = (
a c
1
+
a d
1
+
b
) (
a c
1
+
a d
+
b d
) =
a c
1
+
b d
, =
f
(
a
,
b
,
c
,
d
).
Die gleiche Prämisse 1 =
a c
1
+
b d
ist nun auch einer andern p. 139 sq. behandelten Aufgabe
Poretzki’
s zu grunde gelegt, wobei bedeuten soll:
a
= Hausbesitzer,
b
= reich,
c
= Kaufmann,
d
= einer gewissen Sekte an- gehörig: altgläubig.
Die dualen Gegenstücke zu
Boole’
s „Konstituenten“ (der Entwicklung der 1 oder irgend einer Funktion nach gegebenen Argumenten) werden von
Poretzki
als (elementare) „
Produzenten
“ bezeichnet, — ein gut gewählter acceptabler Ausdruck.
Bilden wir letztere durch duale Entwicklung der Prämisse nach
a
, so zerfällt sie nach Th. 24
×
) und 44
×
) in die beiden
1 =
a
+
f
(0,
b
,
c
,
d
) =
a
+
b d
, 1 =
a
1
+
f
(1,
b
,
c
,
d
) =
a
1
+
c
1
+
b d
,
welche der Autor auch umsetzt in die Formen
b
1
+
d
1
a
,
c a
1
+
b d
,
falls wir, wie schon angedeutet, von dem Umstande absehen, dass derselbe eine Subsumtion
α β
immer nur in der Form
α
=
α β
oder
β
=
α
+
β
anzusetzen vermag.
Entwickeln wir ebenso dual nach
b
,
d
, so ergeben sich die vier in ihrer Gesamtheit mit der einen obigen äquivalenten Prämissen:
1 =
b
+
d
+
f
(
a
, 0,
c
, 0) =
b
+
d
+
a c
1
, 1 =
b
+
d
1
+
f
(
a
, 0,
c
, 1) =
b
+
d
1
+
a c
1
, 1 =
b
1
+
d
+
f
(
a
, 1,
c
, 0) =
b
1
+
d
+
a c
1
, 1 =
b
1
+
d
1
+
f
(
a
, 1,
c
, 1) =
b
1
+
d
1
+
a c
1
+ 1 = 1,
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
von welchen die letzte jedoch sich als Identität erweist, so dass auch die drei Data:
(
a
1
+
c
)
d
1
b
, (
a
1
+
c
)
b
1
d
1
,
b d
1
a c
1
zusammen unser obiges Datum vertreten können.
Letzteres zerfällt endlich, desgleichen entwickelt nach
b
,
c
,
d
, in acht Aussagen, worunter zwei Identitäten.
Die Resultante der Elimination von
a
und
c
aus der Prämisse:
1 =
f
(1,
b
, 1,
d
) +
f
(1,
b
, 0,
d
) +
f
(0,
b
, 1,
d
) +
f
(0,
b
, 0,
d
)
ist eine Identität 1 = 1; es folgt also zwischen
b
und
d
keine bestimmte Beziehung. U. s. w.
Zum Schlusse p. 168 sq. zeigt
Poretzki
noch, wie man komplizirte logische Aufgaben erfinden könne über
n
Klassen mit
m
„Elementen“ (Produzenten, resp. Konstituenten) und
p
Prämissen. Zu dem Ende setzt er willkürlich von den 2
n
Produzenten hinsichtlich der
n
Klassen irgend- welche
m
(\< 2
n
) gleich 1, z. B.
n
= 4,
m
= 7,
p
= 3:
1 =
a
+
b
+
c
+
d
, 1 =
a
1
+
b
+
c
+
d
, 1 =
a
+
b
1
+
c
+
d
1
, 1 =
a
+
b
1
+
c
+
d
, 1 =
a
1
+
b
+
c
1
+
d
, 1 =
a
+
b
+
c
1
+
d
, 1 =
a
1
+
b
+
c
+
d
1
,
sondert dieselben in
p
Gruppen, — wie z. B. das erste Paar, das zweite Paar und die letzten drei, — und stellt das Produkt der Produzenten jeder Gruppe gesondert als Prämisse hin, — so hier:
1 =
b
+
c
+
d
, 1 =
a
+
b
1
+
c
, 1 =
b
+
a
1
c
1
+
a
1
d
+
c d
+
c
1
d
1
,
was dann noch mannigfach in Subsumtionenform umgesetzt werden könnte. Endlich gibt er den Klassen eine Deutung, wie: 1 = Bewohner eines Hauses,
a
= reich,
b
= gesund,
c
= jung,
d
= im Besitz einer Familie.
Nun kann er fordern, irgend eine Eliminationsresultante zu bilden, auch eine Klasse, oder eine gegebene Funktion von gewissen Klassen durch andere darzustellen, unter Zerfällung dieser Funktion in „elementare Pro- duzenten“ (
Peirce’
s Primfaktoren). Etc.
Aufgabe
p. 111 … 114.
Zwischen den Vögeln im zoologischen Garten sind fünf Beziehungen bekannt. Wenn
s
= Singvögel,
g
= grosse,
x
und
y
solche Vögel bedeuten, welche eine Eigenschaft
x
resp.
y
haben, so sei gegeben:
s g
+
y
,
y
1
g
1
+
x
1
,
x s
+
g
,
g
1
=
s
+
x
,
x y s
1
g
= 0.
Es soll
y
durch
g
und
s
, sowie
x
durch
s
und
x
durch
y
ausgedrückt werden.
Gegenüber der umständlichen Art, wie ich nach Herrn
Poretzki
diese Aufgabe (durch meine Methode) angeblich lösen
würde
, will ich erst zeigen, wie ich sie wirklich löse.
Sofort schreibt man als die vereinigte Prämissengleichung hin:
g
1
s y
1
+
g x y
1
+
g
1
s
1
x
+
g
1
s
1
x
1
+
g s
1
x y
= 0.
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Ich pflege nun ganz naheliegende Vereinfachungen keineswegs zu unter- lassen. Auf den ersten Blick ist ersichtlich, dass unser drittes und viertes Glied zu
g
1
s
1
sich zusammenzieht; und hält man das mit dem ersten Glied zusammen, so wird bei diesem nach Th. 33
+
) Zusatz die Unterdrückbarkeit des Faktors
s
ersichtlich; ebenso beim letzten Glied die des Faktors
g
. Das so vereinfachte erste Glied
g
1
y
1
, mit dem zweiten zusammengehalten, zeigt bei diesem die Überflüssigkeit des Faktors
g
an; und das zu
x y
1
ver- einfachte zweite Glied bringt bei dem schon zu
s
1
x y
reduzirten letzten Gliede noch den Faktor
y
in Wegfall, wonach die Prämisse lautet:
g
1
y
1
+
x y
1
+
g
1
s
1
+
s
1
x
= 0 oder (
g
1
+
x
) (
s
1
+
y
1
) = 0.
Da die Elimination irgendwelcher von den vier Symbolen
g
,
s
,
x
,
y
sich hier immer auf das einfachste vollzieht, indem man die sie betreffenden Glieder aus dem Polynom der Gleichung fortlässt, (indem eben keines der- selben sowol unnegirt als negirt vorkommt), so liest man hieraus leicht die Antwort auf jede der gestellten Fragen heraus, nämlich zusammen mit
g
1
s
1
= 0 als Resultante:
g
1
y
für die erste,
x s
für die zweite und
x y
für die dritte Frage.
Poretzki
gewinnt mühsam gemäss der dualen Gegenstücke zu
Boole’
s Entwicklungsformeln die vereinigte Gleichung
1 =
g x
1
+
s y
und deduzirt daraus (in der erwähnten unzweckmässigen Schreibweise à la
Jevons
) wesentlich dasselbe wie wir oben. —
Zufolge häufigen und ungemein schwankenden Gebrauches des nirgends erklärten Ausdruckes „qualitative Form“ leidet
Poretzki’
s Exposition viel- fach an Unklarheit und Weitläufigkeiten; auch muss ich es als verfehlt ansehen, die Determination als eine „Realisirung“ zu bezeichnen, sowie, die identische Addition als Umkehrung derselben hinzustellen (p. VII) und demgemäss „Abstraktion“ zu nennen. Diese Ausstellungen treffen besonders die 24 Seiten starke Einleitung der Schrift, die sich sonst vielfach durch zutreffende kritische Bemerkungen auszeichnet.
P. 41 wirft Herr
Poretzki
mir einen Fehler vor: den, in meinem Operationskreis
2
nicht hinlänglich unterschieden zu haben zwischen „
un- bestimmt
“ und „
willkürlich
“. Gewiss mit Recht führt er — in Bezug auf unser Th. 43
×
) (
a b
) =
(
a
=
u b
) — aus, der Satz „Moskau ist eine Stadt“ decke sich durchaus nicht mit dem Satze „Moskau ist eine
beliebige
Stadt.“ Bei dem Haupttheorem in
2
p. 20 hatte ich allerdings
u
für arbiträr erklärt. Dort hatte ich aber die Auflösung einer Gleichung nach einer
Un
bekannten im Auge, die ich stillschweigend als aus der Gleichung zu bestimmende und blos durch sie bestimmte dachte, nicht aber die Auflösung nach einer Klasse, die schon anderweitig gegeben ist. Ich hätte andernfalls
u
für „unbestimmt oder willkürlich“ erklären müssen. Dass ich jedoch schon damals weit entfernt gewesen, diesen Unterschied zu übersehen, zeigt meine Ausführung in
3
, p. 30, wo ich an einem Anwendungsbeispiele eben-
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
diesen Unterschied darlegte, — was Herrn
Poretzki
wol entgangen ist. Cf. Bd. 1, S. 399 und § 21. — Wenn aber Herr
Poretzki
ebenda p. 41 meint, dass von meiner Behauptung, der Ausdruck
x
=
a
1
(
u
+
b
) umfasse für ein von 0 bis 1 variirendes
u
die sämtlichen Wurzeln
x
der Gleichung
a x
+
b x
1
= 0 (
Schröder
2
, p. 22), zu sagen wäre: „hier sei jedes Wort ein Fehler,“ so kann ich dies nur bestreiten und nach wie vor darauf bestehen, dass jedes Wort daran richtig ist. (
Poretzki’
s — wie er fälschlich meint, notwendige — Annahme
u
=
x
liefert nur
eine
von den im allgemeinen unendlich vielen Wurzeln, und zwar, sobald man unter
x
eine bestimmte, etwa schon anderweitig gegebene Klasse versteht, ebendiese.) — Der meiner Methode gemachte Vorwurf, formalistisch zu sein (p. 40) und sich nicht nahe genug dem natürlichen Denken anzuschmiegen, oder den Eindruck des Erkünstelten zu machen, trifft Herrn
Poretzki’
s Verfahren als dual ent- sprechendes nicht minder; er trifft dieses sogar in noch höherem Maasse, sofern
Poretzki
noch mit den Gegenstücken der schwerfälligen
Boole’
schen Entwicklungsschemata arbeitet; (über diesen Vorwurf erhebt sich wol erst das
McColl-Peirce’
sche Verfahren, wie gezeigt). — Damit soll den Ver- diensten des Autors als des ersten Forschers und Arbeiters auf dem Felde der exakten Logik im grossen Slavenreiche durchaus nicht zu nahe ge- treten sein.
Auf
Boole’
s Eliminations- und sein von mir modifizirtes Auf- lösungsverfahren kommt wesentlich auch Frau
Ladd-Franklin’
s
1
Methode hinaus, — soweit Probleme der ersten Stufe vorliegen. Die Verfasserin bedient sich nur einer aparten Kopula, nämlich unserer Beziehung der Gebiet- oder Wertgemeinschaft und deren Verneinung unter dem Zeichen ∨ bezw. ⊽. Diese Beziehungszeichen sind in unserm § 36, Tafel IV
0
und V
0
(S. 120 u. 122) auf die Zeichen = und ≠, und zurückgeführt.
Den Schlüssel zum Lesen ihrer Abhandlung geben folgende Formeln:
(
a
∨
b
) = (
a b
≠ 0) = (
a b
1) ∥ (
a
∨) = (
a
∨ 1) = (
a
≠ 0) = (
a
1) (
a
⊽
b
) = (
a b
= 0) = (
a b
1) ∥ (
a
⊽) = (
a
⊽ 1) = (
a
= 0) = (
a
1).
Das bejahende Zeichen hinter
a
gesetzt, heisst: „does exist“, das durch horizontal darüber gesetzten Negationsstrich als verneinend gekennzeichnete: „does not exist“. Letzteres gilt als Keil (wedge) und drückt, zwischen
a
und
b
gesetzt, aus, dass beide disjunkt, bez. als Aussagen inkonsistent seien; es wird im ersteren Falle, was ich nicht zu billigen vermag (cf. § 15), auch als „is-not“ gelesen. Was existirt, ist gebietgemein mit der ganzen Mannigfaltigkeit 1, und umgekehrt.
Charakteristisch ist, dass das Produkte verknüpfende Zeichen
an jeder beliebigen Stelle
zwischen die Faktoren gesetzt werden darf:
(
a b c d e
1) = (
a b c d e
) = (
a b c d e
) = (
a b c d e
) = (
a b c d e
) = = (1
a b c d e
)
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
und ebenso für die Verneinung. Im Hinblick auf die Selbstverständlichkeit der 1 als Faktor wird dieselbe darum auch unterdrückt, wo sie rechts isolirt vorkommt, und mit Nullen operirt die Verfasserin überhaupt nicht.
Abgesehen von dieser Eigentümlichkeit zeigt aber ein Blick auf obigen Schlüssel, dass die Ansätze sich doch unmittelbar in Gleichungen resp. Un- gleichungen mit der rechten Seite 0 umschreiben lassen, und dass deshalb die Rechnungen dieselben sein müssen wie bei meinen Ansatzweisen, — welche nahe Verwandtschaft die Verfasserin auch selbst betont.
Bei Besprechung der Probleme zweiter Stufe müssen wir auf die geniale Arbeit noch eingehend zurückkommen.
Die Auflösung nach einer Unbekannten kann — wie in der Arith- metik — vollzogen werden in Gestalt einer
Gleichung
, jedoch nur unter Beizug von unbestimmten oder arbiträren Klassen, — eine Materie, die nächst
Boole
4
ich allein in
2
und hier weiter verfolgt habe. Oder sie kann vollzogen werden in Gestalt eines Paares von Subsumtionen, am besten einer
Doppelsubsumtion
.
Dies war mir bei Abfassung von
2
nicht unbekannt und ist daselbst auch bei der verbalen Interpretation der Aufgabenresultate allemal von mir bethätigt; allgemein jedoch wurde diese Auflösungsform zuerst wol von
McColl
, hernach auch von
Peirce
hervorgehoben.
Man dürfte von mir erwarten, dass ich das Verhältniss meiner gegen- wärtigen zu meiner früheren Arbeit, dem Operationskreis
2
, hier kennzeichne. Dies vermag ich mit den wenigen Worten:
Dort
beschränkte ich mich im Anschluss an
Boole
auf den Gebrauch des Gleichheitszeichens und konnte folglich nicht mehr leisten, als mit diesem Mittel sich eben erreichen lässt: Viele Sätze, zu viele, mussten unbewiesen axiomatisch hingestellt bleiben.
Hier
aber zog ich mit
Peirce
und
McColl
das Subsumtionszeichen hinzu und illustrire damit hoffentlich den Ausspruch
Trendelenburg’
s, dass mit dem zutreffenden Zeichen die Einsicht in die Sache und die Herrschaft über sie unabsehbar wachse (Bd. 1, S. 93). So beruht auch der Fortschritt unseres zweiten gegenüber dem ersten Bande wesentlich auf dem Hinzutreten eines ferneren Zeichens, des Ungleichheitszeichens. Und der dritte Band wird noch drei weitere Operationszeichen bringen.
Die obigen vier Manieren mögen nun nochmals übersichtlich schematisirt werden.
Man setzt die sämtlichen Data sowol als deren vereinigte Aussage an bei der
erten Hauptmanier
zweiten Hauptmanier
also
ersten
und
zweiten
also
dritten
und
vierten
(Unter-) Manier in der Gestalt
(Unter-) Manier in der Gestalt
f
(
x
) 0
1
f
(
x
).
Das „Polynom“
f
(
x
) stellt man dar in der Form:
a x
+
b x
1
, wo
a
=
f
(1),
b
=
f
(0), bei der
ersten
und
dritten
Manier, (
a
+
x
) (
b
+
x
1
), wo
a
=
f
(0),
b
=
f
(1), bei der
zweiten
und
vierten
Manier.
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
Als
vereinigte Gleichung
,
Resultante
und
Lösung
haben wir also bezüglich bei der
1. Manier
2. Manier
3. Manier
4. Manier:
a x
+
b x
1
0
(
a
+
x
) (
b
+
x
1
) 0
1
a x
+
b x
1
1 (
a
+
x
) (
b
+
x
1
)
a b
0
a b
0
1
a
+
b
1
a
+
b
(durch Radiren)
(Radirmethode)
b x a
1
a x b
1
b
1
x a
a
1
x b
.
Bei der Vorbereitung aber werden sich mehrere Prämissen
a x
+
b x
1
= 0
(
a
+
x
) (
b
+
x
1
) = 0
1 =
a x
+
b x
1
1 = (
a
+
x
) (
b
+
x
1
)
a
'
x
+
b
'
x
1
= 0
(
a
' +
x
) (
b
' +
x
1
) = 0
1 =
a
'
x
+
b
'
x
1
1 = (
a
' +
x
) (
b
' +
x
1
)
. . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
allemal vereinigen zu einer Gesamtaussage
(
a
+
a
' …)
x
+ + (
b
+
b
' …)
x
1
= 0
(
a
+
a
' … +
x
) · · (
b
+
b
' … +
x
1
) = 0
1 =
a a
' …
x
+ +
b b
' …
x
1
1 = (
a a
' … +
x
) · · (
b b
' … +
x
1
),
deren Resultante nach dem Obigen also lauten wird:
(
a
+
a
' …) (
b
+
b
' …) = 0
1 =
a a
' … +
b b
' …;
ebenso leicht ist hiezu jeweils die Auflösung hinzuschreiben.
Die Vereinigung der Prämissen erfordert aber zumeist den Ansatz einer weitschweifigen, nicht selten auch verwickelten Relation. — Aller- dings vermag man bei jeder von den vier Manieren die in das Schema der Resultante und der Lösung eingehenden Elemente bei einiger Übung auch schon aus den noch unvereinigten Prämissen richtig heraus- zuklauben und vollzählig zu sammeln. Es bleibt aber die Ausstellung, dass Elimination wie Auflösung für das Prämissen
system
keineswegs vorbereitet wird durch Ausführung derselben Operationen an den einzelnen Prämissen (an welchen sie so viel leichter zu bewerkstelligen wären). Und ferner lässt sich bemängeln, dass die Reduktion aller Data auf das Prädikat „nichts“ oder auf das Subjekt „alles“ künstlich erscheine und nicht nahe genug dem natürlichen Denken sich anschmiege, welches sich in Subsumtionen zwischen Subjekten und Prädikaten
irgend welcher
Werte zu bewegen pflegt.
Dies rief den Wunsch hervor, das Verfahren so einzurichten, dass die Geschäfte der Elimination sowie Auflösung schon an den Prämissen selber einzeln vollzogen werden könnten, wobei denn auch mit beliebigen Subsumtionen zu operiren wäre.
Diesen Forderungen wird eine weitere Gruppe von Methoden gerecht, mit deren Ausgestaltung sich
McColl
,
Peirce
und ich beschäftigt haben.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 29
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Es ist mir erst beim Abschlusse von Bd. 1 voll zum Bewusstsein ge- kommen, dass eigentlich
zwei
Methoden Herrn
McColl
zuzuschreiben sind: eine blos theoretisch von ihm schematisirte und eine auch praktisch an- gewendete. Ich will jene die erste, diese die zweite nennen und spreche hier- nächst nur von der ersten.
Charakteristisch ist für diese Methoden, dass unmittelbar (bei
McColl
und mir) oder mittelbar (bei
Peirce
) jede Prämissensubsumtion aufgebrochen wird in zwei einzelne Subsumtionen (bei
Peirce
auch mehr), welche die Unbekannte
x
oder deren Negation isolirt enthalten, sei es als Prädikat, sei es als Subjekt. Dazu genügt allemal die Def. (3) und das Th. 41) von
Peirce
. (Solch rationelles Aufbrechen ist mit dem mechanischen Zerhacken bei
Jevons
nicht auf eine Linie zu stellen.)
A priori sind — vom
Peirce’
schen Verfahren abgesehen, — drei Manieren denkbar, die wir in der Aufzählung den bisherigen anreihen.
Fünfte Manier
ist
McColl’
s „erste“ Methode, wobei
x
und
x
1
durch- weg zu Prädikaten gemacht werden (Bd. 1, S. 591). Aus
a x
,
b x
,
c x
, …
α x
1
,
β x
1
,
γ x
1
, …
folgt die Auflösung in der Gestalt
a
+
b
+
c
…
x
,
α
+
β
+
γ
…
x
1
und die Resultante als
(
a
+
b
+
c
…) (
α
+
β
+
γ
…) 0.
Sechste Manier
, auf die zuletzt Herrn
Peirce’
s Verfahren und un- mittelbar meine Modifikation desselben hinausläuft: Man isolirt durch- weg
x
, sei es als Subjekt, sei es als Prädikat, (oder wenn man will, auch durchweg
x
1
). Aus
a x
,
b x
,
c x
, …
x α
,
x β
,
x γ
, …
folgt so
a
+
b
+
c
…
x α β γ
…
als Auflösung und, wenn der mittlere Term weggelassen wird, zugleich auch als Resultante. Dieses Verfahren erscheint mir als das eleganteste.
Siebente Manier
: Man isolirt
x
sowol als
x
1
durchweg als Sub- jekt. Aus
x a
,
x b
,
x c
, …
x
1
α
,
x
1
β
,
x
1
γ
, …
folgt alsdann die Auflösung in der Gestalt:
x a b c
…,
x
1
α β γ
…
und die Resultante
1
a b c
… +
α β γ
….
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
Dieser Manier ist bisher noch keine Erwähnung geschehen. Doch ist zu bemerken, dass
McColl
bei seiner „zweiten“ Methode mittelbar den Umweg durch diese Darstellung hindurch zu seiner ersten Schreib- weise der Endergebnisse nimmt, zu der er alsdann schliesslich durch Kontraposition gelangt.
Allen bisherigen Methoden steht nunmehr noch
McColl’
s „zweite“ Methode als eine neue, die
achte Manier
gegenüber und nimmt un- streitig eine Sonderstellung ein. Sie schreibt nach Formeln des Aus- sagenkalkuls die vereinigte Aussage der Prämissen in ein Klassen- symbol um, aus welchem sie nach einem besonderen Satze die Unbekannten oder vielmehr die nach diesen gebildeten Konstituenten
x y
,
x y
1
, … als
Subjekte
isolirt, um dieselben zu überaddiren und schliesslich zu kontraponiren.
Schon des Dualismus halber muss auch diese Methode sich in einer zweiten Manier anwenden lassen. Ob dagegen die erstere dieser beiden Manieren auch noch ein Gegenstück findet, bei welchem jene Konstituenten als
Prädikate
isolirt würden, (sowie dualistisch entsprechend dann auch die zweite,) wäre noch zu untersuchen. (Auch das
Jevons’
- sche Verfahren würde sich noch als dual entsprechendes in einer zweiten Manier anwenden lassen).
So viel über die doch immerhin schon grosse Mannigfaltigkeit der Schlussweisen zur Lösung der Probleme
erster
Stufe.
Für die zweite Stufe ist dagegen diese Mannigfaltigkeit eine er- heblich geringere. Bisherige Arbeiten von Miss
Ladd
, Herrn
Mitchell
, mir und Herrn
Voigt
betreffen kaum mehr als das
Eliminations
- problem. Es handelt sich darum, aus der
Mitchell’
schen Gesamt- aussage der Data, welche sich darstellt als eine Alternative zwischen Systemen je eines universalen mit mehreren partikularen Urteilen (oder einer Gleichung mit simultanen Ungleichungen), die Unbekannte
x
zu eliminiren. Herrn
Mitchell’
s durch die „Radirmethode“ gewonnene Resultante erwies sich als unzulänglich, und so bleibt das Schema meiner „Resultante aus dem Rohen“ übrig, welches auch Herr
Voigt
auf anderem Wege begründet, als das einzige bekannte Verfahren zur Lösung der Aufgabe, so weit bis jetzt möglich.
Hier liegt mir aber noch ob, das von Miss
Ladd
1
Erreichte zu besprechen, deren Verdiensten ich in § 41 noch nicht gerecht geworden bin. Frau
Ladd-Franklin
kommt nämlich dem erwähnten Ergeb- nisse viel näher als Herr
Mitchell
; ja man kann sagen, meine Resul-
29*
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
tante aus dem Rohen sei nur eine ziemlich nahe liegende Konsequenz eines früher von ihr aufgestellten Satzes.
Zur Erklärung: Auch die des Englischen mächtigen Leser werden es begreiflich finden, wie ich übersehen konnte, dass in dem Satze p. 45: „If the premises include an alternation of particular propositions, the conclusion consists of the partial inclusion of the total coefficient of
x
in the particular propositions by the negative of that of
x
in the universal propositions, added to the included combinations which are free from
x
as given,“ — dass in diesem Satze, sage ich, sämtliche Formeln des § 41, so namentlich das Schema
υ
) S. 209 schon in nuce enthalten sind. Wenn wenigstens von einem Produkt oder von der Negation
x
1
darin die Rede wäre, so wäre ich wol aufmerksam geworden. Die beiden Beispiele, welche die Ver- fasserin auf der folgenden Seite in ihrer mir nicht geläufigen Symbolik gibt, nahm ich mir vor späterhin einmal nachzurechnen, was jedoch in Vergessenheit geriet. Dagegen stimmte die Lösung der 18. Aufgabe des § 46 (S. 309 sqq.) durch Herrn
Macfarlane
und (angeblich) die Auf- gabenstellerin nicht überein mit der von meinem Schema gelieferten.
Die p. 46 für beliebig viele partikulare Prämissen von Frau
Ladd-Franklin
aufgestellte Regel läuft auf den folgenden Satz hinaus:
(
a x
= 0) (
p x
≠ 0) (
q x
≠ 0) … (
p a
1
≠ 0) (
q a
1
≠ 0) …,
einen bemerkenswerten Unterfall unseres Schemas
υ
), § 41, S. 209.
Da keinerlei Andeutung über seine Begründung vorliegt, so ist anzunehmen, (was Bestätigung fand,) dass ihn Miss
Ladd
als einen selbstverständlichen hinstellen wollte. Als ein solcher lässt er sich in der That auch unmittelbar einsehen: Wenn nämlich die Gebiete
a
und
x
disjunkt sind, auseinanderliegen, und
p
,
q
, … je mit
x
etwas gemein haben, so müssen letztere auch mit
a
1
, dem Aussengebiet von
a
, etwas (und zwar mindestens ebendieses) gemein haben, da ja alsdann
x
ganz in
a
1
zu liegen kommt.
Um hierauf nun unser Schema
υ
) des § 41 zurückzuführen, hätten wir zunächst ebenso
(
b x
1
= 0) (
r x
1
≠ 0) (
s x
1
≠ 0) … (
r b
1
≠ 0) (
s b
1
≠ 0) …;
und multiplizirt man dies überschiebend mit dem vorigen, so kommt mit Rücksicht auf Th. 24
+
)
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
≠ 0) (
q x
≠ 0) … (
r x
1
≠ 0) (
s x
1
≠ 0) … (
p a
1
≠ 0) (
q a
1
≠ 0) … (
r b
1
≠ 0) (
s b
1
≠ 0) …,
ein Ergebniss, zu dessen Aussagen-Prädikat man noch den aus der ersten Prämisse links für sich folgenden Faktor (
a b
= 0) rechts bei- fügen mag. In lauter Glieder von der Form des vorstehenden Aus- sagen-Subjekts wird aber die Hypothesis unseres Schemas
υ
) zerfallen, wenn man nach
(
α
+
β
≠ 0) = (
α
≠ 0) + (
β
≠ 0)
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
die dortigen Ungleichungsfaktoren sämtlich zerlegt in Binome und diese dann ausmultiplizirt. Zuletzt muss überschiebendes Addiren der nach dem obigen Schema zu gewinnenden Konklusionen und Vereinigung der Konklusionenglieder in geeigneter Weise gerade unser Schema
υ
) liefern.
Die beiden Beispiele von Miss
Ladd
kommen, wenn man dieselben noch etwas vereinfacht, (im zweiten nämlich die beiden simultanen Gleichungen in eine einzige zusammenzieht, alsdann aber für komplizirte Koeffizientenausdrücke einfache Symbole einführt,) auf folgende hinaus:
{(
a x
= 0) + (
b x
≠ 0) + (
c
≠ 0)} (
p x
≠ 0) {
p
(
a
1
+
b
1
+
c
1
) ≠ 0}, (
p x
= 0) (
q x
= 0) (
a x
≠ 0) (
b x
≠ 0) (
a p
1
q
1
≠ 0) (
b p
1
q
1
≠ 0).
Die Beispiele geben die vollständigen Resultanten an und sind wol die
ersten
rechnerisch aus gemischt universalen und partikularen Prämissen ge- zogenen Schlüsse von solchem Charakter.
Dass nun aber die „Resultante aus dem Rohen“ durch eine Klausel noch zu vervollständigen sei, wurde bereits ausgeführt, — sowie auch, dass ungeachtet des Lichtes, welches Herrn
Voigt’
s Arbeit
1
noch über diese und die Auflösungsfrage in einer Hinsicht geworfen, diese Probleme in einem andern und wesentlichen Sinne noch immer zu lösen sind.
Sind wir hiernach mit unserm Rückblick über die bis jetzt zu gebote stehenden Methoden der Algebra der Logik zu Ende, so muss ich den zuletzt (S. 451 ff.) besprochenen Fall verspäteter Gerechtigkeit zum Anlass nehmen, sogleich noch zweier analogen Zufälle zu gedenken, die beide die Prioritätsrechte derselben Forscherin betreffen.
Auf den einen Fall konnte ich schon in den Berichtigungen zur ersten Abteilung des gegenwärtigen Bandes, sowie in meiner Note in den Math. Annalen hinweisen, wo sich auch meine subjektiven Ent- lastungsgründe finden. Trotzdem soll auch hier nochmals statuirt werden, dass Miss
Ladd
1
(Frau
Franklin
)
das Verdienst zukommt, die
Bd. 1, S. 670 f. aufgestellten
22 Typen
,
in welche die aus drei Klassen zusammensetzbaren Ausdrücke zerfallen
,
erstmals gegeben
und damit die mangelhafte Aufstellung von
Jevons
zuerst vollständig berichtigt zu haben.
Der andere Fall betrifft das dem Resultat nach als
Peano’
s Formel S. 168 des gegenwärtigen Bandes erwähnte und S. 175 … 178 zur Lösung gebrachte Problem,
die Anzahl der Aussagen zu ermitteln
,
welche angebbar sind über n Begriffe
. Es war mir entgangen, dass dieses Problem wesentlich zusammenfällt mit demjenigen, welches schon
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
Miss
Ladd
1
p. 61 … 69 behandelt in einer Untersuchung, der sie den Titel gab: „Über die Konstitution des Universums“. Zufolge einer etwas andern Fragestellung fällt freilich die allgemeine Formel nebst den speziellen Zahlwerten bei Miss
Ladd
anders aus als bei
Peano
.
Bei der mich irre führenden Problembezeichnung und zufolge noch einiger andern Eigentümlichkeiten der Darstellung gelangte ich erst be- dauerlich spät zum Verständniss von Ziel und Tragweite der gesamten hier von der genialen Verfasserin angestellten Betrachtungen.
Implicite (sozusagen „zwischen den Zeilen zu lesen“) gibt die Verfasserin auf die oben gestellte Frage als Antwort den Ausdruck:
welcher von dem Herrn
Peano
zugeschriebnen sich unterscheidet durch den Wegfall der Subtrahenden sowol auf der Zeile, als auch (des — 1) im Hauptexponenten, und z. B. für
n
= 2 die Anzahl 65536 liefert. Grund dieser Abweichung ist der Umstand, dass Miss
Ladd
auch diejenigen Aussagen mitrechnet, die wir als „absurde“ aus- geschlossen haben, — nämlich die Aussage 1 = 0, erstlich im
Klassen
- kalkul, besagend, dass die zugrund gelegte Mannigfaltigkeit, der Denkbereich oder das in Diskussion befindliche Universum leer sei; und sodann die analoge Gleichung 1̇ = 0 des
Aussagen
kalkuls, welche „wahr“ und „falsch“ für einerlei erklärt. Letztere bleibt definitiv, unter allen Gesichtspunkten, eine absurde Aussage; aber sie kann doch aller- dings aufgestellt werden, und es bleibt Geschmackssache, ob man sie mitzählen will oder nicht, — übrigens auch nebensächlich, sofern bei ihrer Einrechnung die Gesamtzahl nur um Eins grösser wird. — Hin- gegen hat die Zulassung der ersteren klassentheoretischen Absurdität jedenfalls ihre Berechtigung, da es für viele Untersuchungen von Wert sein kann, auch die Möglichkeit eines leeren Denkbereiches im Auge zu behalten; hierdurch tritt aber zu
jeder
früheren Aussage noch die Alternative 1 = 0, verbal in Gestalt von „oder auch die ganze Mannig- faltigkeit ist eine leere“, eventuell hinzu, wodurch sich die Gesamtzahl der möglichen Aussagen noch verdoppelt. — Damit sind Miss
Ladd’
s und
Peano’
s Ergebnisse auf einander zurückgeführt.
Wie man in der Arithmetik die Frage nach der Anzahl der Kombinationen (ohne Wiederholung) von
n
Elementen (oder die Summe aller Binomial- koeffizienten zum Exponenten
n
) beantwortet mit 2
n
, indem man auch die nullte Kombinationsklasse mitrechnet, und nicht mit 2
n
—1 oder gar 2
n
—2, so ist auch Miss
Ladd’
s Antwort auf die oben gestellte Frage als der eleganteren der Vorzug zuzuerkennen vor der von
Peano
und mir adop- tirten. — Die Methode, mittels welcher Miss
Ladd
ihr Resultat findet, unterscheidet sich kaum wesentlich von derjenigen, durch welche es mir
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
erst so viel später (l. c.) gelungen ist,
Peano’
s Ergebniss zu begründen; nur in der Exposition differiren unsere Überlegungen, hier allerdings bis zur Unkenntlichkeit, und vielleicht zum Vorteil der die Priorität besitzenden Autorin, deren Darstellung jedenfalls die kürzere ist.
Fast gleichzeitig mit meinem Bd. 1 — ich glaube etwas später — ist auch das Werk von
Robert Grassmann
3
erschienen. Es kann nicht meine Aufgabe sein, dieses umfang- und inhaltreiche Werk, welches eine vollständige Darstellung der exakten Logik zu verwirklichen strebt, hier erschöpfend zu rezensiren. Zu seiner Charakterisirung im allgemeinen will ich nur sagen, dass sein Verfasser zur Auflösung der Data nach einer Unbekannten sich meiner Modifikation der
Boole’
schen Methode anschliesst, — ohne übrigens erheblichen Gebrauch davon zu machen. Und ferner, dass derselbe sein System von vornherein auf „Argumentationen über Individuen“ gründet, wogegen ich es mit
Voigt
für einfacher halte, gemäss
Peirce
alles blos auf den Subsumtionsbe- griff zu gründen und von diesem aus das Individuum erst zu definiren. In der That muss R.
Grassmann
bei seinem Verfahren gar zu häufig mit begrenzten Summen operiren, wodurch manche Beweise für ein- fache Sätze schon eine etwas unerquickliche Gestalt annehmen.
Im einzelnen muss ich aber wenigstens zwei Fehler richtig stellen. Der erste findet sich p. IX, X, p. 27 und 35, wo Herr R.
Grassmann
jegliche Zulassung einer Subtraktion und einer Division in die Logik als unvermeidlichen Widerspruch durchaus verwirft. Schon von vorn herein muss es befremden, wenn man, nach Einführung der Addition und Multiplikation, die Frage: welche
x
, zu
b
addirt, resp. mit
b
multiplizirt, denn
a
geben, — abweisen oder verbieten will. Ein Widerspruch soll sich nun ergeben ver- möge der beiden folgenden Anwendungen der Subtraktion und der Division, bezw. wegen
a
—
a
= 0 und
a
:
a
= 1:
a
=
a
+ 0 =
a
+ (
a
—
a
) = (
a
+
a
) —
a
=
a
—
a
= 0,
a
=
a
· 1 =
a
(
a
:
a
) = (
a a
) :
a
=
a
:
a
= 1,
oder, wenn
a
·
= 1 gesetzt ist,
a
=
a
· 1 =
a
(
a
·
) =
a a
·
= a
= 1,
womit also allgemein, für jede Klasse
a
, bewiesen wäre, dass sie erstens Null, und zweitens, dass sie zugleich Eins sei. — Werden die beiden in- versen Operationen so definirt, wie im § 23 und auch schon in meinem „Operationskreis“
2
§ 4, p. 28 ff. geschehen, so sind diese angeblichen Be- weise leicht zu entkräften; schon an letzterer Stelle ist betont, dass associative Gesetze wie etwa
a
+ (
b
—
c
) = (
a
+
b
) —
c
und
a
(
b
:
c
) = (
a b
) :
c
nicht allgemein und nicht unmodifizirt gelten; von diesen Gesetzen macht aber Herr R.
Grassmann
einen hiernach nicht zulässigen Gebrauch in den
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
beiden ersten der drei obigen „Beweise“, — wie leicht zu zeigen. Im dritten dagegen lässt er blos die sog. „Valenzbedingung“ ausseracht, d. i. die Be- dingung, dass ein Quotient
überhaupt einen Sinn habe, und welche (Bd. 1, S. 479, sowie
2
S. 29) als
a b
1
= 0 ermittelt wurde; für den Quotienten
ist dieselbe sonach
a
1
= 0 oder
a
= 1, d. h. man kann von einem Quotienten
in der That nur dann sprechen, wenn von vorn herein
a
= 1 ist.
Der zweite Fehler (p. 46 sub 105. b) besteht in der Aufstellung einer allgemeinen Entwicklungsform für Funktionen beliebig vieler Argumente in Gestalt eines Produktes aus ebenso vielen Faktoren, von denen jeder linear und homogen ist in Bezug auf je eines der Argumente und seine Negation — mit konstanten Koeffizienten, — ein sehr wichtiger und er- folgreicher Satz, wofern er richtig wäre. Für zwei Argumente würde er etwa lauten:
f
(
x
,
y
) = (
α x
+
β x
1
) (
γ y
+
δ y
1
) =
α γ x y
+
α δ x y
1
+
β γ x
1
y
+
β δ x
1
y
1
;
aus der Gleichsetzung mit der bekannten Darstellung
f
(
x
,
y
) =
a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
y
1
würde hier folgen:
α γ
=
a
,
α δ
=
b
,
β γ
=
c
,
β δ
=
d
,
womit zugleich
a d
=
b c
ersichtlich ist; diese nicht allgemein bestehende Relation ergibt sich auch durch Elimination der
α
,
β
,
γ
,
δ
aus der vereinigten Nullgleichung der vorigen vier Data als vollständige Resultante, also als Bedingung der Zer- legbarkeit von
f
(
x
,
y
) in die gedachten Linearfaktoren. — Herr
Grassmann
begnügt sich, zur Begründung seiner Behauptung auf seinen vorangehenden Satz, den für
ein
Argument, zu verweisen. — Mit dem in Rede stehenden Zer- legungssatz wird dann auch die Argumentation p. 68 sq. hinfällig.
Das zufolge seiner Verdeutschungsmanie mir schwer geniessbare Buch
Grassmann’
s enthält übrigens neben manchem Wunderlichen viel Beachtens- wertes; ich erwähne z. B. den Satz p. 43 sub 94:
(
a c
=
b c
) (
a c
1
=
b c
1
) = (
a
=
b
).
Treffend ist auch p. XII die (gegen
Wundt
gerichtete) Ausführung (vergl. Bd. 1, S. 224), dass bei Nichtanerkennung von
a b
=
b a
„sprachliche und logische Beziehungen“ verwechselt werden. „So z. B. hat ein kriegerischer Deutscher und ein deutscher Krieger sprachlich einen verschiedenen Sinn. Denn ein kriegerischer Deutscher braucht keineswegs Soldat zu sein, und ein deutscher Soldat braucht nicht kriegerisch gesinnt zu sein. Aber hier haben eben die Worte kriegerisch = kriegerisch gesinnt und Krieger = Soldat ganz verschiedene Bedeutung und bilden logisch zwei ganz verschiedene Begriffe.“
Obwol wir schon gelegentlich, da und dort im Laufe unserer Unter- suchungen, auf bestimmte Probleme hingewiesen haben als auf solche,
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
die noch ihrer Lösung harren, so will ich zum Schlusse doch auf einige weitere für interessant und dankbar zu haltende Aufgaben noch auf- merksam machen.
Frau
Ladd-Franklin
hat schon die Frage aufgeworfen, wie viele „Logikkalkuln“ möglich seien, und dieselbe auch in einem bestimmten Sinne zu beantworten gesucht. Die möglichen blieben dann aber noch aufzustellen und vergleichend auszugestalten.
Als eine damit verwandte will ich beispielsweise die Frage aufwerfen: wie würde unser Denken sich gestalten, wenn wir, (neben den Operationen der drei Spezies) nur über das Beziehungszeichen der Sekanz verfügten? Welche Probleme der elementaren Logik würden uns dann blos zugänglich, und welche würden neu hinzutreten, wenn auch die Verneinung dieses Beziehungszeichens mit zu Hülfe genommen würde? Auf welche Weise wären alsdann die fundamentalen Aufgaben der Umfangslogik am zweck- mässigsten zu lösen? Etc. —
In § 34 haben wir die
Gergonne
schen 5 Elementarbeziehungen ein- geführt und erörtert. Es gelang dann im § 39, alle 32767 zwischen zwei Begriffen
A
und
B
erdenklichen Umfangsbeziehungen unter diesen fünf Rubriken (in dortiger Bezeichnung):
a
,
α
=
a
1
b
1
c
1
,
β
=
a
1
b c
1
,
γ
=
a
1
b
1
c
,
δ
=
a
1
b c
übersichtlich zu klassifiziren. — Die fünf Rubriken schliessen aber eine Relativität in sich, insofern sie beruhen auf der Unterscheidung der
zwischen A und B
denkbaren Elementarbeziehungen. Dieser steht von vornherein gleichberechtigt gegenüber die Unterscheidung der zwischen
A
1
und
B
, desgl. zwischen
A
und
B
1
, desgl. zwischen
A
1
und
B
1
denkbaren Elementar- beziehungen. Diese letztern werden bezüglich (in den vier primitiven
a
,
b
,
c
,
l
De Morgan’
s ausgedrückt) durch folgende Aussagen dargestellt, denen man im Anschluss an unsere Terminologie etwa die links beigesetzten Namen geben mag:
b
,
α
b
=
b
1
a
1
l
1
,
β
b
=
b
1
a l
1
,
γ
b
=
b
1
a
1
l
,
δ
b
=
b
1
a l
,
c
,
α
c
=
c
1
l
1
a
1
,
β
c
=
c
1
l a
1
,
γ
c
=
c
1
l
1
a
,
δ
c
=
c
1
l a
,
l
,
α
l
=
l
1
c
1
b
1
,
β
l
=
l
1
c b
1
,
γ
l
=
l
1
c
1
b
,
δ
l
=
l
1
c b
,
wo dann die
α
,
β
,
γ
,
δ
schlechtweg als Vertreter von
α
a
,
β
a
,
γ
a
,
δ
a
er- scheinen würden. Zweifellos würde es unsere Übersicht über die 32767 zulässigen Aussagen noch ausserordentlich erhöhen, wenn jemand sich der Mühe unterzöge, die von uns für das erste dieser vier Einteilungsprinzipien durchgeführte Klassifikation auch auf die drei folgenden auszudehnen, wenn er alle vier Klassifikationen zur Vergleichung brächte und zusähe, inwieweit dieselben ineinander, wie weit auch sie übereinander hinausgreifen. —
Für die nächste Zeit durch dienstliche und andere Obliegenheiten wissenschaftlich und vielleicht auch literarisch an Ketten gelegt und ausser stande, die Sache selbst weiter zu verfolgen, will ich schliesslich dem Leser
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
ein Untersuchungsfeld verraten, welches ich für eines der allerdankbarsten halte. Auf demselben wird eine
Erweiterung des
in unserm Systeme schon als nahezu abgeschlossen und fertig erscheinenden
Aussagenkalkuls
zu er- zielen sein.
In diesem hatten wir uns der „intensiven“ Schreibung bedient und haben lediglich zu thun gehabt mit den drei identischen Spezies der Multi- plikation, Addition und Negation. In Anhang 4, 5 und 6 aber studirten wir den Kalkul mit „Gruppen“ von Funktionalgleichungen, Algorithmen und Kalkuln, (sowie mit „Gruppen“ überhaupt,) indem wir uns der „exten- siven“ Schreibung bedienten, bei welcher das Produkt der intensiven als Summe sich darstellte. Die Funktionalgleichungen waren aber blos eine gewisse Kategorie von Aussagen, und der fragliche Gruppenkalkul mochte, wie schon bei dessen Begründung Bd. 1, S. 618 angedeutet wurde, auch geradezu als „Aussagenkalkul“ schlechtweg aufgefasst werden. Die besondre Natur des gewählten Gruppensubstrates, nämlich der Funktionalgleichungen, brachte es mit sich, dass die Operationen der Negation und identischen Addition (in intensiver Deutung, nämlich der Alternativenbildung) als interesselos ausser Betracht blieben. Dafür aber drängte sich eine neue Operation oder Knüpfungsweise in den Vordergrund des Interesses, die wir extensiv schreibend als Multiplikation hinstellten, die wir aber, falls wir jetzt einmal bei der intensiven Schreibung des gewöhnlichen Aussagenkalkuls bleiben wollen, mit einem neuen, von + und · verschiedenen Knüpfungs- zeichen darstellen werden. Wählen wir etwa ein Ringelchen ∘, gelesen: (
verknüpft
) „
mit
“, so wird, wenn
A
und
B
nun Aussagen (konstanten Sinnes) bedeuten, zur Verneinung
A
1
und den Knüpfungen
A B
und
A
+
B
der beiden Aussagen, als simultan bez. alternativ geltender, das Knüpfungs- ergebniss
A
∘
B
mit einer bestimmten Bedeutung hinzutreten, welche dann noch durch gewisse Nebenbestimmungen verschiedentlich regulirt werden kann. Und zwar wäre solche Regulirung logisch auf viererlei Weisen denkbar, von welchen aber nicht a priori ersichtlich ist, ob sie sämtlich sich haltbar erweisen, ob sei einen präzisen Sinn liefern und konsequent durchgeführt werden können; vielmehr steht dies nur von
einer
dieser Regulirungen von vornherein fest. — Es hätte nämlich
A
∘
B
zu bedeuten die Gesamtheit derjenigen Urteile, welche die sämtlichen denknotwendigen Folgerungen der Aussage
A
äusserlich gemein haben mit denen der Aus- sage
B
, — sei es schlechtweg, absolut genommen, sei es auch relativ, nämlich innerhalb eines Aussagenfeldes oder Universums
U
, das blos aus den Aussagen von einer bestimmt vorgeschriebenen Form besteht, die als Konsequenzen von
A
,
B
, … in Betracht gezogen werden, — und zwar die „denknotwendigen Konsequenzen“ entweder im absoluten Sinne, an sich,
ohne
, oder im relativen Sinne,
mit
Bezugnahme auf ein axiomatisch an- erkanntes System von „Prinzipien
P
“ verstanden.
Mit
den beiden ein- schränkenden Relativitäten ist, wie unsere Anhänge geoffenbart haben, die Begriffsbestimmung sicherlich eine zulässige, der vollkommensten Präzision nicht ermangelnde. Und sofern sich ein gleiches auch für die drei andern Kombinationen (zwischen absolut und relativ in der einen und in der andern Hinsicht) herausstellen sollte, haben wir in Gestalt von
A
∘
B
jedenfalls eine Knüpfung vor uns, die für sich betrachtet eindeutig, kommu-
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
tativ, assoziativ und dem Tautologiegesetze unterworfen ist, die in Bezug auf
P
als die Null und
U
als die Eins „modulare“ Eigenschaften besitzt und endlich zu der (identischen oder intensiven) Aussagenmultiplikation in dem je nur einseitig als Subsumtion geltenden Zusammenhange steht:
(
A
∘
B
) (
A
∘
C
)
A
∘ (
B C
)
A
(
B
∘
C
) (
A B
) ∘ (
A C
).
Zu den vier erwähnten Spezies käme vielleicht als Umkehrung der letzten Knüpfung noch eine fünfte hinzu; indess wäre zu untersuchen, ob nicht die Negation als unbedingt ausführbare Operation dann preisgegeben werden müsste. U. s. w. Es erscheint als eine Frage von hohem erkenntniss- theoretischem Interesse, welche Gestalt der Aussagenkalkul dann annehmen würde, und in welcher Richtung er sich weiter entwickeln liesse.
Schliesslich freue ich mich, noch das Wort zu haben zu einigen teils persönlichen teils sachlichen Bemerkungen, welche falschen Auf- fassungen des vorliegenden Werkes vorzubeugen geeignet sind, oder auch weitere Anregungen geben mögen.
Auf einem Felde, auf welchem schon so viele Forscher thätig gewesen und voraussichtlich noch thätig sein werden, kann es nicht ausbleiben, dass man über ein allgemein zu adoptirendes Bezeichnungs- system sich wird einigen müssen. In Bezug auf die arithmetischen Vergleichungszeichen, die Bezeichnung der Operationen und Elementar- funktionen der allgemeinen Arithmetik und höheren Analysis ist über die ganze civilisirte Erde solche Einigung glücklich erzielt. Dagegen auf dem Felde der exakten Logik sind zwar die meisten Bearbeiter darüber schon einig, welche Knüpfungen und Beziehungen als wesent- liche vermittelst besondrer Zeichen dargestellt werden müssen; äusserlich aber gestaltet ein jeder sich diese Zeichen noch individuell nach seinem subjektiven Geschmacke.
Auch ich habe nicht umhin gekonnt, in manchen Einzelheiten es ebenso zu machen, und ich darf mir schwerlich mit der Hoffnung schmeicheln, dass gerade meine Bezeichnungsvorschläge allseitige Billigung und Annahme finden werden. Aber ich habe mir wenigstens angelegen sein lassen, dieselben sorgfältig zu motiviren, und glaube auch, von Bezeichnungen andrer Autoren, die vielleicht einigermassen rezipirt er- schienen, immer nur dann abgewichen zu sein, wenn sachliche Gründe dazu drängten. So hoffe ich, wenigstens zu einer Klärung der ein- schlägigen Fragen beigetragen und auf die Erreichung jenes oben ge- nannten wichtigen Zieles mit hingearbeitet zu haben.
Eine Zusammenstellung der von verschiedenen Autoren gebrauchten Bezeichnungsweisen, die eine Art „Schlüssel“ zur Lektüre der betr. Werke bildet, hat schon Herr
Venn
in
7
gegeben. Es wäre verdienst-
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
lich, diese Zusammenstellung bis zur Gegenwart fortzuführen und zu vervollständigen, noch mehr aber, damit eine Kritik dieser Bezeichnungs- vorschläge zu verbinden.
Ich gestatte mir, beispielsweise über die Art, wie Herr
Peano
sich die wesentlichen Zeichen gestaltet, mich zur Stelle kritisch zu äussern. Nicht nur ist nämlich dieser Autor einer der begabtesten und thätigsten Forscher, welche die Methoden der exakten Logik auf immer mehr neue Anwendungsgebiete übertragen und in diesen erfolgreich verwerten, sondern derselbe ist auch neuerdings mit seinen Bezeichnungsweisen in deutsche mathematische Zeitschriften, bis in die „Mathematischen Annalen“, vor- gedrungen.
Die Negation drückt Herr
Peano
aus vermittelst eines vorgesetzten verkürzten Minuszeichens; er schreibt —
a
für unser
a
1
,
Boole’
s
ā
. Dies kostet mehr Raum auf der Zeile, ist, besonders in der Schreibschrift, leicht mit dem Minuszeichen selbst, ev. auch mit dem Silbentrennungszeichen zu verwechseln, und zieht endlich vermehrte Anbringung von Klammern nach sich, z. B. schon beim Addiren und Multipliziren negirter einfacher Symbole. Aus diesen Gründen, die noch zu den in Bd. 1, S. 300 sqq. angeführten hinzutreten, kann ich diesem Vorschlag des Herrn
Peano
nicht beitreten.
Für die identische Null und Eins gebraucht Herr
Peano
in
1
zwei aparte Zeichen, nämlich einen ganz leeren und einen ganz geschwärzten Kreis vom Durchmesser der Nullenhöhe. Dies ist jedenfalls unverfänglich. Die identischen Zeichen 0 und 1 von den arithmetischen zu unterscheiden, kann peremptorisch geboten sein, lässt sich aber auch einfacher erreichen etwa durch Apostrophirung derselben da, wo sie als identische auftreten. — Später hat
Peano
die obigen Zeichen für 0 und 1 durch andere ersetzt, und zwar im Hinblick auf deren aussagenrechnerische Deutung die Aussagen- eins 1̇ durch
V
als den Anfangsbuchstaben von veritas oder verum, die Aussagennull durch ein umgestürztes
V
, nämlich das Zeichen
Λ
, zugleich erinnernd an den Anfangsbuchstaben
A
in absurdum. Auch
Peirce
bedient sich einmal der Zeichen eines fetten
v
und
f
(falsum). Bedenklich ist dies nicht; doch scheinen mir die Zeichen Ȯ und 1̇ oder 0’ und 1’ den Vorzug zu verdienen.
Für das identische Produkt
a b
und die identische Summe
a
+
b
schreibt
Peano
(bei Klassen wenigstens):
a
⌢
b
resp.
a
⌣
b
,
wobei man sich die leicht zu verwechselnden Zeichen ⌢ und ⌣ etwa durch die Bemerkung mnemonisch einprägen mag, dass das Zeichen ⌣, wie eine Schaukel, die man zwischen
a
und
b
hin und her schwankend denkt, die Alternative zwischen beiden bezeichnen soll. Nur zwischen spezifizirten Aussagen lässt
Peano
sein Produktzeichen ⌢ weg.
Für
die Zeichen ⌢ und ⌣ spricht, dass sie noch nicht anderweitig vergeben, einander dual entsprechend und von den numerischen Mal- und Pluszeichen deutlichst unterschieden sind;
gegen
dieselben, dass dabei der Zusammenhang mit den Zeichen
Π
und
Σ
der identischen Produktation und Summation, deren unsere Zeichen-
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
sprache doch durchaus nicht zu entraten vermöchte, verloren geht, — ja, dass dann wol auch die ganze hierher gehörige Nomenklatur (Produkt, Multipliziren, mal, u. s. w.) als nicht passend zu erneuern wäre.
Statt unseres Subsumtionszeichens wendet Herr
Peano
, — was sicher kein Vorzug ist, — meist
zweierlei
Zeichen an, nämlich zwischen Klassen ein
ε
als den Anfangsbuchstaben von
ἐστί
, „ist“, zwischen Aussagen dagegen ein umgekehrtes C, also Ɔ, was erinnern soll an concluditur (è contenuto), und mit einem schon von
Gergonne
1
gemachten Vorschlag nahe zusammen- fällt. Ich glaube unwiderleglich dargethan zu haben, dass ein besonderes Zeichen für die letztere Beziehung entbehrlich, m. a. W. dass die Kopula der kategorischen Urteile auch für die hypothetischen verwendbar ist. Gegen
Peano’
s
ε
aber ist einzuwenden, dass dies ein anderweitig, z. B. als Quantitätssymbol vielfach gebrauchter und beschlagnahmter Buchstabe ist, der sich als solcher in den Rahmen der Beziehungszeichen möglichst schlecht einfügt. — Allerdings bin ich auch überzeugt und habe es schon gelegentlich (Bd. 1, p. 482) ausgesprochen, dass man unter Umständen noch einer besonderen zweiten Art von Subsumtionszeichen bedarf, nämlich neben einem solchen für die ursprüngliche noch eines anderen für die abgeleitete Mannigfaltigkeit. So kann, wenn wie gewöhnlich
a b
die Einordnung eines
Gebietes a
in ein
Gebiet b
ausdrückt, der Satz, dass das Gebiet
a
zur
Klasse J
der Individuen gehöre, oder dass
a
ein Punkt
J
sei, nicht zugleich durch
a J
dargestellt werden. — Doch ist hiervon bei
Peano
nicht die Rede.
Endlich führt Herr
Peano
als Surrogat für die Klammern im Aus- sagenkalkul eine unbegrenzte Reihe von Zeichen ein, bestehend aus einem, zwei, drei, vier, fünf, … Punkten:
·, ∶, ∵, ∷, ‥⃛, etc.
ich möchte sie „Trennungszeichen“ nennen; ein mehrpunktiges Zeichen trennt alles, was in sich nur minderpunktige Trennungszeichen enthält, während schon die Wirkung des einpunktigen Zeichens sich über alle Beziehungs- und Knüpfungszeichen, z. B, =, \<, +, etc. hinweg erstreckt. Z. B. lautet unser Prinzip II hiernach
a b
.
b c
: .
a c
;
sollte das Ganze etwa als Anfangsglied einer komplizirteren Überlegung gelten, so wäre dahinter zunächst ein dreifaches Punktzeichen zu setzen. U. s. w. Die Formeln werden dadurch in der That übersichtlicher, indem dabei eine Überladung mit Klammern geschickt vermieden ist. Der Kunstgriff hat etwas Geniales und Bestechendes. Allein derselbe setzt voraus, dass man mit
Peano
sich durchweg enthalte, den Punkt als arithmetisches Malzeichen, sowie den Doppelpunkt als Divisionszeichen zu verwenden. Während Herr
Peano
ersteres Zeichen unausgedrückt lässt, stellt er den Quotienten
a
:
b
„
a
durch
b
“ mittelst vertikalen, leicht nach vorn geneigten Bruchstriches in der Gestalt
a
/
b
dar, — wie auch in englischen Zeitschriften (Math. Questions etc.) schon zuweilen geschehen. (Ich habe selbst anderwärts
8
her- vorgehoben, dass die Eleganz fordern kann, in solchem Falle den Nenner regelmässig dem Zähler voranzustellen, wozu man den leicht rückwärts ge-
Fünfundzwanzigste Vorlesung.
neigten Vertikalstrich — sogar daneben noch — verwenden könnte:
a
\
b
„
a
in
b
“ für
.) — Damit ist nun aber die Schwäche des
Peano’
schen Vorschlages zutage getreten: Die erwünschte allgemeine Annahme des neuen logischen Bezeichnungssystems hätte zur Vorbedingung die Abschaffung der beiden in der gesamten mathematischen Welt schon allgemein eingebürgerten Multiplikations- und Divisionszeichen! Da behelfen wir uns doch lieber noch mit den runden, eckigen, geschweiften, grossen und kleinen Klammern und gehen nicht ohne Not von den schon bestehenden Bezeichnungsge- pflogenheiten ab.
Ein zeitgemässes und hochverdienstliches Unternehmen dürfte sein: eine
Geschichte
der gesamten bisherigen Bestrebungen auf dem Felde der exakten Logik, die ja bereits in frühere Jahrhunderte zurückreichen. Brauchbares Material hiezu glaube ich hier in Gestalt von Literaturan- gaben und kritischen Darlegungen vielfach geliefert zu haben. Anderer- seits sei es aber doch auch einmal ausgesprochen, dass mir hier ein solches Ziel fern gelegen; ich wünschte, den Entwicklungsgang unserer Disziplin zu fördern, nicht aber darzustellen, oder — wenn ich ein stolzes Wort gebrauchen darf — Geschichte zu machen, nicht zu schreiben.
Andernfalls hätte ich auf eine Menge von in unserem Literaturverzeichniss aufgeführten Erscheinungen ausführlich eingehen müssen — wie
de Castillon
1
,
Delboeuf
1
,
Macfarlane
1
und andere, — die ich nur flüchtig oder gar nicht gestreift habe, weil mir das in ihnen Niedergelegte als eine vorüber- gehende Entwicklungsphase oder anderweitig überholt erschien.
Im Anschluss hieran möchte ich diejenigen unter den lebenden Mitarbeitern unserer Disziplin, welche vielleicht das von ihnen selbst Ge- leistete hier zu wenig berücksichtigt oder hervorgehoben finden möchten, bitten, sich nächst Vorstehendem noch zweierlei vergegenwärtigen zu wollen. Einmal würde die Wertschätzung ihres eigenen objektiven (nicht subjektiven) Verdienstes sich wol oft noch erheblich verschieben, wenn sie zu einem Überblick über die Gesamtheit aller einschlägigen Leistungen zu gelangen trachteten, und sie wird, wie ich überzeugt bin, sich der meinigen nähern, sobald diese Autoren auch nur das vorliegende Werk sorgfältig durchgearbeitet haben werden. — Es braucht nicht betont zu werden, dass ich von Personen absehend immer nur das Interesse der Sache im Auge hatte.
Sodann ist es in der That gerade auf dem Gebiete des Selbst- verständlichen, Denknotwendigen besonders schwierig, allen Prioritäts- ansprüchen vollkommen gerecht zu werden, bei Darlegung von Dingen, auf die so Viele — in mehr oder minder abweichender Form — selb-
§ 52. Rückblick nebst Ergänzungen aus dem neueren Literaturzuwachse.
ständig verfielen, diese Letzteren allemal vollzählig zu nennen und unzweifelhaft festzustellen, wer eine solche Wahrheit erstmals aus- gesprochen.
Beispielsweise erscheint als Grundpfeiler unseres Lehrgebäudes Herrn
Peirce’
s Definition (3). Ich schreibe sie diesem Autor zu, obwol schon
vorher
Herr
McColl
ebendieselben Sätze, die in verbaler Fassung als selbst- verständliche sicherlich längst Gemeingut aller eine Sprache Sprechenden waren, auch in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls formulirt hatte. Als das wesentliche Verdienst erscheint mir nämlich die Stellung, welche Herr
Peirce
diesen Sätzen im System der Logik anwies, indem er sie eben zu grundlegenden Definitionen erhob. — Ebenso glaube ich, den Satz Th. 46), dass die Negation einer entwickelten Funktion zu gewinnen durch Negiren der Koeffizienten, mir selbst zusprechen zu dürfen, obwol ich nachträglich innegeworden, dass für den Fall
eines
Arguments derselbe beinahe zu- sammenfällt mit einem von Herrn
Peirce
schon früher publizirten Satze, dem Th.
ϰ
) von Bd. 1, S 376:
(
a
+
x
1
) (
b
+
x
) =
a x
+
b x
1
;
die aufgrund der Theoreme 36) und 31) naheliegende Anmerkung, dass hier die linke Seite die Negation von
a
1
x
+
b
1
x
1
vorstellt, ist das noch fehlende Glied der Kette, die letzte Sprosse zur Leiter der Wahrnehmung meines Theorems — abgesehen von der Ausdehnung auf mehr Argumente. —
Immerhin ist ein Übersehen, eine Ungerechtigkeit meinerseits nicht ausgeschlossen bei der schon so ausgedehnten Literatur über den Gegenstand, welche nicht nur eine vielsprachige ist im gewöhnlichen Sinne, sondern auch infolge des Gebrauchs der verschiedenartigen Be- zeichnungssysteme gleichsam die Entzifferung von mancherlei Geheim- schriften erfordert, — ganz abgesehen von Schwierigkeiten anderer Art, mit denen man zu kämpfen hat, um sich alle Erzeugnisse dieser weit zerstreuten Literatur überhaupt nur zugänglich zu machen. Die durch- aus und allseitig befriedigende Bewältigung der damit angedeuteten Auf- gabe würde nicht nur ein aussergewöhnliches Gedächtniss, sondern auch eine Sammlung und Musse zur Konzentration des Geistes erfordern, wie sie die mannigfaltigen Berufsgeschäfte wol selten einem Autor be- willigen. — Ich werde jede etwaige Berichtigung dankbar anerkennen und nach Kräften zur Geltung bringen. Die letzte Hand an das Werk der ausgleichenden Gerechtigkeit zu legen, wird der Geschichtsschreibung überlassen bleiben.
Sechsundzwanzigste Vorlesung
.
§ 53.
Meine Kontroverse mit Frau Franklin-Ladd ein lehrreiches Kapitel.
Zur Anbahnung und Verbreitung eines richtigen Verständnisses der hier vorgetragenen Aussagentheorie dürfte wesentlich beitragen die Darlegung meiner einschlägigen Kontroverse mit Frau
Franklin-Ladd
, woran sich alsdann noch eine zweite von mehr allgemeinlogischem Interesse anreihen wird.
Mit Geschick griff Frau
Franklin-Ladd
einen gewissen wesentlichen Teil jener Theorie auf das heftigste an — zuerst im Sommer 1891 im persönlichen Gedankenaustausch und sodann später auch brieflich, und forderte mich so zur Verteidigung heraus. Die Kontroverse ist seitdem auch eine öffentliche geworden durch die Besprechung meines ersten Bandes in der Zeitschrift „Mind“, worin Frau
Franklin-Ladd
3
auf den Inhalt des zweiten Bandes abschweift und mir dabei einen handgreiflichen Irrtum, einen „distinct error“ vorwirft. Wenn sie mir übrigens ebendaselbst einen Be- weis dafür zuschreibt, Subtraktion und Division seien unausführbare Ope- rationen, und schon diese Namen seien sinnlose, so muss sie mich wol mit
Robert Grassmann
verwechselt haben, gegen dessen einschlägige Aus- führungen ich oben S. 455 f. ankämpfe.
Die Angriffe richteten sich zunächst gegen die Konsequenzen, die ich S. 66 und 68 in Gestalt der Sätze 1)
(
A
≠ 0) = (
A
= 1̇),
2)
(
A
≠
B
) = (
A
=
B
1
) = (
A
1
=
B
)
aus dem
Peirce’
schen von mir als „spezifisches Prinzip des Aussagen- kalkuls“ bezeichneten Satze 3)
(
A
= 1̇) =
A
gezogen habe; sie kehrten sich später gegen dieses Prinzip selbst. Da Frau
Franklin
meinen „Fehler“ nicht direkt aufweisen konnte, suchte sie meine Sätze mit ungemeinem Scharfsinn durch Beispiele ad absur- dum zu führen. Eben diese Beispiele und deren Richtigstellung er- achte ich für äusserst lehrreich. Es ist vorauszusehen, dass ähnliche Einwände vielfach auch noch von andern Seiten zur Bekämpfung des
§ 53. Meine Kontroverse mit Frau Franklin-Ladd ein lehrreiches Kapitel.
Logikkalkuls vorgebracht werden, und da dieselben oft etwas Be- stechendes oder Verblüffendes haben, so mag es sich empfehlen, hierdurch die eine oder andere Waffe dagegen an die Hand zu geben.
Einwürfe
von Frau
Franklin
gegen die Gültigkeit von 1) und 2).
α
) Jemand will in Abrede stellen die Richtigkeit der Behauptung: „Es trifft immer zu (It is always the case), dass einige Ärzte fehlgehen“ (that some doctors are mistaken), mithin der Behauptung
α
1
)
(
d m
≠ 0) = 1̇,
sofern
d
die Ärzte (Doktoren) und
m
die menschlich Irrenden bezeichnet.
Die „wahre Verneinung“ (true denial) wird sein: Es kommt vor, dass kein Doktor fehlgeht (there are times, when no
d
is
m
), sonach
α
2
)
(
d m
= 0) ≠ 0,
wogegen „meine Ableugnung“ (
Schröder’
s denial) obiger Behauptung lauten würde, und auch in der That nach Satz 1) lauten muss:
α
3
)
(
d m
≠ 0) = 0,
d. h. Es kommt niemals vor (it never happens), dass es Ärzte gibt, die fehlgehen; kein Arzt ist jemals im Irrtum („no doctors“ are ever mistaken)!
Also Satz 1) ist falsch.
Meine Entgegnung: Sie vergessen, gnädige Frau, dass wir nur mit
wohldefinirten
Klassen rechnen (Bd. 1, S. 162). Von
welchen
Ärzten wollen Sie denn reden? Von denen, die heute ein gewisses Kranken- bett umstehen, oder von andern, oder vielleicht von allen Ärzten, die es je gegeben hat und noch geben wird? — Es wurde letzteres fest- gesetzt. — Nun gut, dann frage ich:
haben
schon Ärzte sich getäuscht, gibt es solche, die fehlgehen? Schwerlich möchte dies jemand ver- neinen. Dann aber ist also die Behauptung
α
1
) richtig, und wird ewig richtig bleiben: Die Klasse der sich irrenden Ärzte ist keine leere. Wer dies aber bestreiten wollte, der müsste diese Klasse als leere hinstellen, somit in der That behaupten, dass jeder Arzt un- fehlbar wäre.
Ausdrücke wie: es trifft überall zu, es kommt stets vor, ist durch- weg der Fall, it happens, it occurs, there are times when …, etc. entsprechen nicht genau der Anwendung der Aussageneins und ver- leiten dazu, die Subjektklasse der Aussage in schwankendem Sinne zu nehmen, wie in unserem Beispiel, sie verschiedentlich auf die Ärzte bald an diesem, bald an jenem Krankenbette, seien es die von gestern, seien es andre von heute, einschränkend zu beziehen.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 30
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
Der gleiche
Übersetzungsfehler
wie bei
α
1
) liegt vor bei Formel
α
2
), welche zufolge des umstrittenen Satzes 1) sich umschreibt in
(
d m
= 0) = 1̇
und in dieser Gestalt durch beiderseitiges Negiren (Kontraponiren) mit
α
3
) übereinkommt.
Man könnte hiezu bemerken, die obigen Aussprüche in Worten seien doch unmittelbar aus dem gewöhnlichen Leben und Denken hergenommen und ganz richtig gebildet, und darum spreche der gerügte Umstand, dass sie nicht durch Formeln wie
α
1
) etc. dargestellt werden können, nicht so- wol gegen jenen Gebrauch der Wortsprache, als vielmehr gegen die Brauch- barkeit der Formeln. — Letzteres ist eine Frage für sich. Handelt es sich aber um die Gültigkeit oder Widerlegung allgemeiner Formelsätze 1) etc., so können dazu verbale Aussprüche natürlich nur insoweit taugen, als sie eben mit den angezogenen Formeln klappen.
So wurde mir denn auch nur zugegeben, in einem gewissen, „weit abliegenden“ Sinne (in a certain remote sense) sei meine Ausführung richtig.
β
) Andrer Einwurf von Frau
Franklin-Ladd
. Es bedeute
A
das Urteil: Alle Ärzte irren,
B
das: Alle Patienten sterben; zu ent- scheiden sei, ob die Behauptung
A
=
B
gilt oder nicht. Dieselbe besagt: Immer dann und nur dann (when and only when), wenn alle Ärzte irren, sterben alle Patienten.
Die „wahre Verneinung“ wäre: Das ist nicht so; denn es gibt Fälle (times), wo alle Ärzte irren und doch nicht alle Patienten sterben, oder aber auch solche, wo nicht alle Ärzte irren und dennoch alle Patienten sterben, — entsprechend dem Ansatze
A B
1
+
A
1
B
≠ 0.
Da ich nun aber hierfür gemäss Satz 1) schreibe:
A B
1
+
A
1
B
= 1̇,
oder auch direkt nach dem Schema
(
A
=
B
)
1
= (
A
≠
B
) = (
A
=
B
1
) = (
A
1
=
B
)
von Satz 2) müsse nun meine Verneinung lauten: Immer dann und nur dann, wenn alle Ärzte irren, sterben nicht alle Patienten; oder: Ausschliesslich dann, wenn nicht alle Ärzte irren, sterben alle Patienten.
Da nun die ursprüngliche Aussage
A
=
B
in der That zu ver- neinen, meine Verneinung aber widersinnig sei, so müsse, folgert Frau
Franklin-Ladd
, diese Verneinung inkorrekt gebildet sein.
Entgegnung. Zuvörderst muss ich wieder Verwahrung dagegen einlegen, dass der Ausdruck „Alle Ärzte“ schwankend bald auf diese,
§ 53. Meine Kontroverse mit Frau Franklin-Ladd ein lehrreiches Kapitel.
bald auf jene Gruppe von Ärzten angewendet werde; am einfachsten versteht man wol darunter die Ärzte überhaupt, wie oben bei
α
). — Ein gleiches muss ich hinsichtlich der Patienten verlangen. Auch dürfen wir, nachdem von Ärzten die Rede war, nicht etwa von
deren
Patienten sprechen, da wir sonst zur korrekten Einkleidung schon der ursprünglichen Aussage erst in die Logik der Relative eintreten müssten. Noch weniger darf ein kausaler Zusammenhang unterstellt werden, als ob etwa gesagt sein sollte, dass die Patienten alsbald zufolge der ärzt- lichen Behandlung stürben.
Nun — dann, meine ich, ist die Aussage
B
zweifellos zu bejahen: schliesslich sterben ja alle Patienten nicht nur, sondern überhaupt alle Menschen. Also
B
= 1̇.
Würde man nun nach dem „Errare humanum est“ ganz in gleichem Sinne auch die Aussage
A
gleich 1̇ setzen, so wäre also die Aussage
A
=
B
zu bejahen. Dann wäre aber auch nicht zu verwundern, dass die Verneinung absurd erscheint, indem sie auf 1̇ = 0 hinausliefe.
Allein es könnte ja auch sein, dass es Ärzte gibt, die in ihrem Leben niemals fehlgehen. Dann ist
A
= 0 zu setzen und
A
=
B
zu verneinen, die Verneinung dazu also richtig. Dieselbe kommt in der That in der Form
A
=
B
1
auf 0 = 0, in der andern
A
1
=
B
auf 1̇ = 1̇ hinaus: dass alle Ärzte irren, gilt immer dann und nur dann, wenn nicht alle Patienten sterben, da beides nämlich nie gilt, u. s. w.
γ
) Frau
Franklin-Ladd
forderte mich heraus, überhaupt nur einen verbalen Satz aufzustellen, in welchem das Theorem 2) sich als richtig erwiese.
Ich gestehe, dass dies seine Schwierigkeiten hat wegen der Unter- stellungen, zu denen die Wortsprache fast allerorten verleitet, und die nach den Postulaten des Kalkuls auszuschliessen oder doch erst mit korrektem Ausdruck in die Zeichenformulirung aufzunehmen sind. Sofern das vorstehende Beispiel
β
) nicht für genügend erachtet wird, will ich jedoch mit noch einem Beispiel auf die Herausforderung ant- worten.
Sei
A
die Behauptung: Die Materie ist unzerstörbar,
B
die: Die Seele ist unsterblich.
So gilt für einen Anhänger des Unsterblichkeitsglaubens das Urteil
A
=
B
als ein auf 1̇ = 1̇ hinauslaufendes: Immer dann und nur dann, wenn die Materie unzerstörbar ist, (das ist: stets,) ist die Seele unsterblich.
Ein Agnostiker oder Materialist will diesen Satz bestreiten. Er
30*
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
gibt zwar die Unzerstörbarkeit des Stoffes zu, ist aber der Überzeugung, dass die sogenannte Seele als blosser Merkmalkomplex ihres Körpers mit diesem zugleich der Zerstörung anheimfalle. Für ihn wird also
A
= 1̇,
B
= 0 und
A
≠
B
sein; zugleich wird derselbe aber damit auch die beiden Aussagen anerkennen:
A
1
=
B
und
A
=
B
1
,
deren erste mit 0 = 0, deren letzte mit 1̇ = 1̇ übereinstimmt; in Worten: Ausschliesslich dann, wenn die Materie zerstörbar ist, wird die Seele unsterblich sein, (beides nämlich gilt
nie
,) resp.: Ausschliesslich dann, wenn die Materie unzerstörbar ist, ist die Seele sterblich, (nämlich immer.)
Ich habe hierbei als Negation des Satzes: „Die Seele ist unsterblich“ der gewöhnlichen Gepflogenheit und der Bequemlichkeit des Ausdrucks zuliebe den Satz gelten lassen: „Die Seele ist sterblich“, und bin ähn- lich auch bei der Verneinung des andern der beiden Teilsätze vor- gegangen, — was aber, wie anderwärts schon von mir ausgeführt, keineswegs korrekt ist. Es könnten ja auch
einige
Seelen — die „der Gerechten“ z. B. „in den Himmel kommen“, dagegen andere, die der unbekehrten Sünder, dem Nirwana anheimfallen, — nebenbei gesagt Möglichkeiten, dergleichen die „
Logik des Inhaltes
“ begreiflicherweise regelmässig zu übersehen pflegt!
δ
) Ein vorzüglicher
Vorhalt
der Frau
Franklin-Ladd
ist dieser:
Ein schlechter Mathematiker sagte eines Tages: Die Thatsache (
A
), dass zwei Dreiecke zwei Seiten und den Gegenwinkel der einen von ihnen bezüglich gleich haben, ist notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass (
B
) die Dreiecke kongruent sind. (Bekanntlich ist sie nicht hinreichend, sondern es ist dazu, nach dem sog. vierten Kongruenzsatze noch ausserdem erforderlich, dass es die grössere von den beiden als gleich bekannten Seiten sei, deren Gegenwinkel in beiden Dreiecken übereinstimmen). Professor
Schröder
wünschte die Behauptung
A
=
B
jenes Mathematikers zu bestreiten; er sah sich aber nach seinem Satze 2) genötigt, dies in der Gestalt der Gegenbehauptung
sei es
A
1
=
B
, sei es
A
=
B
1
zu thun; das heisst:
Dass zwei Dreiecke
nicht
zwei Seiten und den Gegenwinkel der einen gleich haben, ist notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Dreiecke kongruent sind, resp. gar:
Dass zwei Dreiecke zwei Seiten und den Gegenwinkel der einen
§ 53. Meine Kontroverse mit Frau Franklin-Ladd ein lehrreiches Kapitel.
gleich haben, ist notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass diese Dreiecke
nicht
kongruent sind!
Nein, so etwas spricht doch für sich selbst!
Meine
Entgegnung
. Gemach, gnädige Frau. Um recht behut- sam zuwerke zu gehen, wollen wir erst einmal von zwei ganz bestimmten Dreiecken sprechen. Dass in beiden Urteilen
A
und
B die nämlichen
beiden Dreiecke gemeint sind, lässt sich in der Zeichensprache der Algebra der Logik nicht zum Ausdruck bringen, ist also in den Inhalt der Urteile selbst aufzunehmen. Es soll daher
A
etwa das Urteil be- deuten: Die Dreiecke
a b c
und
a
'
b
'
c
' stimmen überein in zwei Seiten
b c
=
b
'
c
',
a c
=
a
'
c
' und dem Gegenwinkel
a
=
a
' der ersteren von ihnen; und
B
das Urteil: Die Dreiecke
a b c
und
a
'
b
'
c
' sind kongruent.
Haben wir alsdann die Dreiecke der Fig. 31 im Sinne,
Fig. 31.
so ist
A
=
B
= 1̇, die Behauptung
A
=
B
zutreffend und die Ver- neinung in ihren beiden Formen
A
1
=
B
und
A
=
B
1
unrichtig. Haben wir dagegen die Dreiecke der Fig. 32 im Auge, so ist
A
= 1̇,
B
= 0, also die Behauptung
A
=
B
zu verneinen; es ist also
Fig. 32.
A
≠
B
, und damit ganz richtig
A
1
=
B
und
A
=
B
1
, nämlich auf 0 = 0 resp. 1̇ = 1̇ hinauskommend.
Also im speziellen Fall bewahrheitet sich mein Satz 2)!
Gehen wir nun zu unserm allgemeinen Satze über, so kann ich Ihnen, gnädige Frau, den Vorwurf nicht ersparen, einen „
Fehlschluss aus unzulänglicher Bezeichnung
“ (fallacy of insufficient notation) begangen zu haben. (Über diesen vergl. weiter unten.).
In der Aussagenäquivalenz
A
=
B
schlechthin ist nämlich, nach- dem die Aussagen
A
und
B
wie vorstehend genauer präzisirt sind, noch gar nicht ausgedrückt, dass das, was wir soeben an den beiden Figuren bald als zutreffend, bald als nicht zutreffend erkannt haben, von
jedem
beliebigen Dreieckpaar
a b c
und
a
'
b
'
c
' behauptet sein solle. Will man aber gerade die Allgemeingültigkeit bestreiten, so muss die- selbe zuvor in der Formel ihren zulänglichen Ausdruck nach § 30 finden, indem man der Behauptung
A
=
B
ein Produktzeichen vorsetzt:
(
A
=
B
), = 1̇,
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
welches die Geltung von
A
=
B
verlangt, wie immer auch die sechs Punkte
a
,
b
,
c
,
a
',
b
',
c
' als Ecken von zwei Dreiecken im Raum ge- wählt werden mögen.
Nun erweist sich aber die Negation dieser vollständig angesetzten Behauptung in allen ihren Formen als richtig, nämlich nach Satz 1) in der Form
Π
(
A
=
B
) = 0,
wo das Produkt schon verschwindet, weil mindestens der auf Fig. 32 bezügliche Faktor (
A
=
B
) gleich 0 ist; oder gemäss 2), indem man das Produkt links negirt:
Σ
(
A
≠
B
) = 1̇
oder
Σ
(
A
1
=
B
) = 1̇,
Σ
(
A
=
B
1
) = 1̇,
nach Th. 22
+
), schon weil mindestens der auf Fig. 32 bezügliche Summand (
A
≠
B
) etc. erfüllt, = 1̇ ist.
ε
) Ein interessantes Gegenstück zum vorigen bildet der folgende
Ein- wurf
, dessen Grundgedanken von Frau
Franklin
herrührt.
Eine samt ihren beiden Umkehrungen eindeutige Knüpfung, welche jeweils aus zwei in bestimmter Ordnung genommenen Elementen eines Zahlen- gebietes ein drittes erzeugt, werde einfachst dargestellt als
a b
, und ihre eine Umkehrung als
a
:
b
— vergl.
Schröder
8
.
Alsdann wird, wenn die Knüpfung etwa das Gesetz befolgt:
ε
1
)
a b
=
a
:
b
,
dieselbe augenscheinlich auch dem Gesetz unterliegen:
ε
2
)
(
a b
)
c
= (
a
:
b
) :
c
,
das heisst: aus der ersten Gleichung, als allgemeine Formel aufgefasst, folgt jedenfalls die zweite.
Es war die Frage, ob auch das umgekehrte der Fall ist, ob also beide Gleichungen allgemein äquivalent sein müssen.
Der wirkliche (the real) Dr.
Schröder
— meint Frau
Franklin
— hat gezeigt, dass diese Frage zu verneinen ist, indem er in Bd. 1, S. 640 eine Funktionstafel nachwies mit einer Knüpfung, welche wol der zweiten
ε
2
), nicht aber der ersten Formel
ε
1
) Genüge leistet.
Ein theoretischer (an imaginary) Dr.
Schröder
, — der nämlich auf dem Prinzip 3) nebst Konsequenzen 1) und 2) herumreitend gedacht wird, — ist genötigt, die Verneinung der Frage von der Äquivalenz beider Formeln auszudrücken durch
{(
a b
)
c
= (
a
:
b
) :
c
} = {
a b
≠
a
:
b
},
wonach die Geltung der (zweiten) Formel
ε
2
) links die notwendige und hinreichende Bedingung dafür wäre, dass die erste
ε
1
) nicht gelte, also dass, wo immer jene zutrifft, diese nicht gilt, und umgekehrt, — in offenbarem Widerspruch mit voraus bemerktem.
§ 53. Meine Kontroverse mit Frau Franklin-Ladd ein lehrreiches Kapitel.
Richtigstellung
.
ε
3
) verneint korrekt blos die für gewisse drei Zahlen
a
,
b
,
c
in Frage gestellte Aussagenäquivalenz. Die Allgemeingültigkeit von
ε
1
) und
ε
2
) muss schon ihren zulänglichen Ausdruck gefunden haben, bevor deren Äquivalenz als gleichfalls allgemein bestehend behauptet bezw. ver- neint wird. Die fragliche bezw. zu verneinende Äquivalenz lautet:
ε
4
)
{(
a b
)
c
= (
a
:
b
) :
c
} =
{
a b
=
a
:
b
},
worin die Produkte auszudehnen sind über alle Wertetripel
a
,
b
,
c
bez. Wertepaare
a
,
b
des Zahlengebietes, (und wobei rechts auch andre Buch- staben
d
,
e
für
a
,
b
genommen werden könnten,) und somit die Verneinung von
ε
4
) nach Schema 2):
{(
a b
)
c
= (
a
:
b
) :
c
} =
{
a b
≠
a
:
b
}.
Diese wird aber nun eben durch die Tafel S. 640, Bd. 1 bewahrheitet, in- dem in dieser Tafel die Annahme linkerhand, oder
ε
2
), durchweg erfüllt ist, zugleich aber auch die Behauptung der rechten Seite, so zwar, dass sogar, — was keineswegs erforderlich gewesen wäre, —
jedes
Glied dieser Summe für sich = 1̇ ist, d. h.
ε
1
) niemals zutrifft.
ζ
)
Einwurf
von Frau
Franklin
. Von den einem Kreis ein- geschriebenen Polygonen gilt bekanntlich folgendes: so oft ein solches gleiche Seiten hat, hat es auch gleiche Winkel; dagegen können die Winkel gleich sein, ohne dass es die Seiten wären. Beispiel: ein Rechteck. — Die Gleichwinkligkeit solcher Kreisvielecke ist also not- wendige, aber nicht hinreichende Bedingung für ihre Gleichseitigkeit, und die Gleichseitigkeit ist hinreichende, jedoch nicht notwendige Be- dingung der Gleichwinkligkeit.
Sonach wird die Behauptung, dass beim Kreispolygon die Gleich- seitigkeit und die Gleichwinkligkeit einander gegenseitig bedingten,
(Die Seiten sind gleich) = (Die Winkel sind gleich), eine unrichtige sein. Professor
Schröder
ist ein viel zu guter Mathe- matiker, um solch falsche Behauptung passiren zu lassen; er will sie leugnen; durch seinen Satz 2) hat er sich nun aber in die fatale Lage gebracht, dies in der Form thun zu müssen:
(Die Seiten sind ungleich) = (Die Winkel sind gleich), d. h. immer dann und nur dann, wenn die Seiten ungleich sind, müssen die Winkel gleich sein, — eine Aufstellung, die begreiflicherweise noch viel schlimmer ist als jene, die damit berichtigt werden sollte.
Entkräftung
— ähnlich wie bei
δ
): Wiederum wurde die ur- sprüngliche Behauptung, sagen wir
A
=
B
blos in ihrer Anwendung auf ein besonderes Kreisvieleck
P
negirt, das Negationsergebniss aber für jedes Kreisvieleck in Anspruch genommen. Ist
P
das nächste beste
regelmässige
Vieleck, so war
A
=
B
zutreffend und somit
A
1
=
B
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
falsch; bedeutet dagegen
P
z. B. ein Rechteck, in welchem zwar
B
= 1̇, aber
A
= 0 ist, so erweist sich die Verneinung von
A
=
B
in jeder der beiden Formen
A
1
=
B
und
A
=
B
1
als richtig. Soll endlich der allgemeine Satz negirt werden, so ist derselbe zuvor als allgemein gültiger hinlänglich auszudrücken in der Gestalt
(
A
=
B
),
wo das Produkt zu erstrecken ist über alle erdenklichen Kreisvielecke
P
. Die Negation nach 2)
(
A
≠
B
), =
(
A
1
=
B
), =
(
A
=
B
1
)
ist erfüllt, wenn auch nur ein einziges
P
, z. B. ein Rechteck, gleich- winklig ist, ohne gleichseitig zu sein.
η
) Als letztes
Einwurfsbeispiel
von Frau
Franklin
sei noch folgendes erwähnt: Es bedeute
A
den Komplex aller Prinzipien und Defi- nitionen des logischen Kalkuls, soweit sie in Bd. 1 bis zur Seite 291 dar- gelegt worden, — und
B
das volle Distributionsgesetz
B
= {
a
(
b
+
c
) =
a b
+
a c
}.
Alsdann hat
Schröder
gezeigt, dass
B
nicht aus
A
notwendig folgt, m. a. W. dass
A B
oder
A B
1
= 0
verneint werden muss, in der Form
A B
1
≠ 0,
insofern Fälle nachgewiesen wurden, wo
A
erfüllt,
B
aber nicht erfüllt ist. — Nach
Schröders
Satz 1) wird daraus nun aber
A B
1
= 1̇ oder
A
1
+
B
= 0
(durch Kontraposition), oder endlich durch beiderseitige Multiplikation mit
A
A B
= 0;
das heisst: Die Wahrheit von
A
ist inkonsistent, unverträglich mit der- jenigen von
B
!
Behufs
Richtigstellung
hat man hier vielmehr die Aussage
A
B
zu verneinen, und erhält dann
Α
·
Π Β
= 0
als richtigen Ausdruck der Inkonsistenz von
A
mit
B
nicht für alle mög- lichen Wertetripel
a
,
b
,
c
, sondern nur für irgend welche unter ihnen.
Moral
: Soll eine
allgemeine
Formel
C
negirt werdne, so bringe man zuvor die angebliche Allgemeingültigkeit zum Ausdruck mittelst eines
Π
-Zeichens; es wird dann
(
Π C
)
1
=
Σ C
1
§ 53. Meine Kontroverse mit Frau Franklin-Ladd ein lehrreiches Kapitel.
Wer aber die Negation
C
1
von
C
selbst wieder mit der gleichen All- gemeinheit auslegt und in Anspruch nimmt, der stellt als Negation von
Π C
im Grunde ja
Π C
1
hin; der verwechselt den Fall, dass ein Urteil
nicht allgemein
gilt, mit dem andern Fall, dass es
allgemein nicht
gilt.
Abgesehen aber von derartigen Fällen wird man das Zeichen
Π
der Allgemeingültigkeit keineswegs immer anwenden, sondern vielmehr durchweg den Charakter der Gleichungen als „Formeln“ stillschweigend unterstellen.
Mit ihren Angriffen, wie vorstehend dargelegt, zurückgeschlagen, gab Frau
Franklin
schliesslich zu, dass in dem Aufbau unseres Aus- sagenkalkuls kein Fehler vorliege, und zog sich auf eine andre Position zurück, die sie umso hartnäckiger verteidigte — und noch verteidigt, — und in der es wiederum sehr instruktiv sein wird sie aufzusuchen.
ϑ
) Bevor ich dies thue, möchte ich nur in Kürze über den „
Fehlschluss aus unzulänglicher Bezeichnung
“ mich versprochenermassen äussern, was umso angezeigter erscheint, als das praktisch höchst wichtige Kapitel der Fehlschlüsse in meinem so sehr angeschwollenen Buche ohnehin zu kurz kommt.
Von den allergröbsten Versehen, z. B. Schreibfehlern, abgesehen ist unzulängliche Bezeichnung der Gegenstände einer Überlegung im Grunde vielleicht ausschliesslich schuld an allen Fehlschlüssen. Entspringen die- selben doch fast immer daraus, dass man Verschiedenes und zu Unter- scheidendes nicht auseinanderhält, vermengt oder verwechselt, getäuscht durch einen Doppelsinn, eine scheinbare Synonymie u. dergl. (Selbst wenn etwa in anderen Fällen ein Fehlschluss zustande kommt dadurch, dass man Wesentliches ausser acht lässt, so wird zumeist eine zu wenig markirte, nicht genügend augenfällige Bezeichnung solcher übersehener Prämissenglieder die Schuld oder Mitschuld daran tragen.) — So sahen wir soeben, dass ein Satz ganz gleich klingen kann, ob man ihn als allgemeinen hinstellt, oder ihn blos auf den speziellen Fall anwendet.
Ich will den Fehlschluss und die Art, wie derselbe zu Paradoxien zu führen pflegt, durch zwei Beispiele verdeutlichen.
In einer arithmetischen Untersuchung, bei der man längere Zeit mit vielgliedrigen (oder auch unbegrenzten) Summen
a
+
b
+
c
+
d
+ …,
x
+
y
+
z
+ …,
u
+
v
+
w
+ …
etc. zu rechnen hat, seien diese Summen der Bequemlichkeit wegen ver- mittelst ihres ersten Gliedes dargestellt in Gestalt von resp.
Σ a
,
Σ x
,
Σ u
, etc.
Für einen zu betrachtenden besonderen Fall nun mag es sich ereignen, dass
x
=
a
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
wird. Wer daraus aber, nach dem unbestreitbaren Grundsatz: Gleiches, summirt, gibt Gleiches, auf
Σ x
=
Σ a
schliessen wollte, beginge einen gröblichen Fehlschluss, da in beiden Summen wol die ersten Glieder übereinstimmen, darum aber noch nicht notwendig auch die übrigen. — Und wer andererseits richtig
Σ x
≠
Σ a
neben
x
=
a
anerkennte, stiesse auf die Paradoxie eines (natürlich nur scheinbaren) Widerspruches zu obigem Grundsatze, (oder wol auch zu dem andern Grundsatz, dass Gleiches für Gleiches gesetzt werden dürfe).
All diese Schwierigkeiten entspringen aus dem Umstand, dass eine Summe durch ihr erstes Glied nur unzulänglich bezeichnet ist.
Das zweite Beispiel — von Herrn
Lüroth
— bezieht sich auf einen Satz der Differentialrechnung, bei dessen Anwendung der Anfänger Schwierig- keiten zu finden pflegt; letztere beruhen auf der Unzulänglichkeit der ge- bräuchlichen Bezeichnung partieller Differentialquotienten. Ist z. B.
f
eine Funktion dreier Argumente
x
,
y
,
z
:
f
=
f
(
x
,
y
,
z
),
und werden durch die Substitutionen
x
=
φ
(
u
,
v
,
w
),
y
=
ψ
(
u
,
v
,
w
),
z
=
χ
(
u
,
v
,
w
)
für
x
,
y
,
z
neue Variable
u
,
v
,
w
in
f
=
f
(
φ
,
ψ
,
χ
)
eingeführt, so besagt der gedachte Satz:
und analog für
,
. — Nimmt man nun beispielsweise
x
=
u
,
y
=
u v
,
z
=
w
,
so ergibt sich leicht:
,
.
Die letzte Gleichung scheint aus
w
=
z
als selbstverständliche zu folgen. Dem gegenüber enthält jedoch die erste das Paradoxon, dass
obwol
u
=
x
ist, — entgegen dem evidenten Grundsatze, dass Gleiches nach Gleichem differenzirt Gleiches geben müsse, oder dass man Gleiches für Gleiches setzen dürfe. (Daran würde sich nichts ändern, wenn man für
§ 53. Meine Kontroverse mit Frau Franklin-Ladd ein lehrreiches Kapitel.
das in
u
,
v
,
w
ausgedrückte
f
etwa
F
schreiben wollte, da ja auch dann
F
(
u
,
v
,
w
) =
f
(
x
,
y
,
z
) bliebe).
Dies liegt hier daran, dass es beim Differenziren nach einer Variabeln nicht blos auf diese, sondern auch auf die andern Variabeln begriffsmässig an- kommt, welche dabei als Konstante angesehen werden. Gibt man daher — etwa unterhalb des Differentialquotienten — noch das ganze beim Differenziren zugrunde gelegte System der unabhängigen Variabeln an, so kann man in obigem Falle unbedenklich
x
und
u
vertauschen:
.
Erst dies ist die
zulängliche Bezeichnung partieller Differentialquotienten
. Freilich ist sie zu umständlich und schwerfällig und höchstens in verworrenen oder schwierigen Fällen zum vorübergehenden Gebrauch zu empfehlen, — ähnlich wie in der algebraischen Logik das so oft in Gedanken zu unter- stellende
Π
- Zeichen für gewöhnlich wegbleibt.
So wenig Erfolg aber heute noch jemand sich versprechen könnte, der etwa eine Paradoxie wie die obige als ein Argument gegen die Differentialrechnung selbst ins Feld führen wollte, ebenso wenig wird man dereinst — und ich hoffe, bald — Gehör finden mit dergleichen Ungereimtheiten, wie sie in Menge gegen die Algebra der Logik jetzt noch aus dem philosophischen Lager — vergl.
Husserl
1
— vorgebracht werden; wer auf eine Paradoxie stösst, wird den Fehler statt in unserer Disziplin hübsch bei sich selbst suchen.
Frau
Franklin-Ladd
aber hat mir in dankenswerter Weise aus- gezeichnetes Material geliefert, um an einzelnen logisch-algebraischen Theoremen zu zeigen, wie sich die Disciplin bewährt, wenn man ihr allerlei Hindernisse in den Weg legt. Ich habe selbst gefühlt, wie erheblich die Einwände waren, indem ich zur Entkräftung derselben bisweilen längerer Sammlung benötigte.
Ist nun die Verwendung unzulänglicher Bezeichnungen in der That so gefährlich und verfänglich, so liegt endlich die Frage nahe: welches sind denn die Erfordernisse einer zulänglichen Bezeichnung?
Auf diese Frage bleibe ich die Antwort schuldig, mit dem Hin- weise, dass ich es eben, — wie ich auch in meiner Festschrift
10
schon betonte, — mit
Gustav Kirchhoff
als die Hauptaufgabe der ge- samten Wissenschaft betrachte, die Wirklichkeit „beschreiben“ und da- mit auch ihre Objekte zulänglich bezeichnen zu lernen.
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
§ 54.
Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile. Konstitution des Begriffes, und „negative“ Merkmale.
ι
) Um zu unserer Kontroverse zurückzukehren, so bestand und besteht
Frau Franklin-Ladd
nunmehr darauf, das
Peirce’
sche Aussagenprinzip 3)
(
A
= 1̇) =
A
sei unbewiesen, eine willkürliche Annahme und eine bedauerliche und
unnötige Einschränkung
(unnecessary restriction) des Aussagenkalkuls, indem es den Aussagenbereich auf die beiden Werte 0 und 1 reduzire; vielmehr seien auch die Aussagen, wie die Klassen, unendlich vieler Zwischenwerte zwischen 0 und 1̇ fähig, auf welche die Gesetze und Schlussmethoden des Kalkuls in vollem Umfang anwendbar bleiben, sofern man nur die Konsequenzen von 3), — die ich fast alle in den § 35 zusammengedrängt, — beiseite lässt.
Angenommen selbst, dass dies sich so verhalte, so liesse sich doch nicht aufrecht erhalten, was mir Frau
Franklin
in ihrer schon oben erwähnten Rezension meines Bd. 1 vorwarf, dass ich nämlich das Verhältniss des Klassenkalkuls, als eines beträchtlich allgemeineren, gegenüber
Peirce’
s Aus- sagenkalkul inkorrekt dargestellt (Bd. 1, S. 290).
Peirce’
s Aussagenkalkul, von dem allein ich gesprochen, den ich darstellen wollte, involvirte in der That die getadelte Einschränkung.
Bei der wohlverdienten Autorität, deren sich meine Gegnerin er- freut, und ob der Tragweite der aufgeworfenen Streitfrage an sich, verlohnt es der Mühe, der Sache auf den Grund zu gehen.
ϰ
) Von bestimmendem Einfluss auf die Gestaltung der gegnerischen Anschauungen ist eine Leistung von
Mitchell
1
gewesen, von der ich bislang noch keine Notiz genommen, auf die ich nunmehr aber ein- gehen muss.
Mitchell
hebt mit Recht hervor, dass man von „universalen“ und „partikularen“ Urteilen je in zweierlei Sinne reden kann, entsprechend den Kombinationen der vier folgenden sprachlichen Elemente:
alle
(resp. keine)
stets
(resp. nie)
einige
manchmal
Von diesen beziehen sich die Pronomina links auf das
Universum der Klassen
, die Adverbien rechts auf das
Universum der Fälle
oder
Gelegenheiten
.
Man könnte auch die Pronomina auf die verschiedenen
Orte im Raume
beziehen, wo sich Individuen der betreffenden Klassen (gleichzeitig) befinden
§ 54. Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile.
mögen, und die Adverbien auf die verschiedenen
Zeitpunkte
, zu welchen solche Individuen in’s Auge gefasst werden mögen. Doch ist die obige Fassung als die weitere vorzuziehen.
Jedes von beiden Universen kann als unbegrenzt oder auch irgend- wie als begrenzt angenommen und den Betrachtungen zugrunde ge- legt werden.
Sehr schön sagt
Mitchell
1
p. 73:
„Die Logik hat hauptsächlich zu thun mit den Beziehungen zwischen den Gedankendingen. Ein
Urteil
(proposition) statuirt solch eine Be- ziehung. Die Gedankendinge, zwischen denen Beziehungen gedacht oder wahrgenommen werden können, begreifen unter sich nicht nur Klassen, sondern auch Aussagen. Die Konstatirung einer Beziehung zwischen Aussagen ist ein Urteil über Urteile, welches
Boole
ein sekundäres (secondary proposition) nannte. Aber in ihren letzten Elementen (in its ultimate analysis) drückt jedes Urteil eine Beziehung zwischen Klassen aus“…
Eine solche Beziehung kann gelten
von Allen
oder
von Einigen
aus dem Universum der Klassen und wird darnach bezüglich als
universal
oder
partikular
(schlechthin) bezeichnet.
Ebenso — sagt
Mitchell
— kann die Beziehung aufgefasst werden „als
permanent
“ oder „als
temporär
“, als fortbestehend entweder während des Ganzen von einem gewissen Zeitraum, dem „Universum der Zeit“, oder nur während eines gewissen (bestimmten oder unbestimmten) Teiles dieser Zeit. Das Urteil mag alsdann als ein
der Zeit nach universales
resp.
partikulares
bezeichnet werden.
Der Kürze halber behalte ich diese Benennungen bei, obwol ich es gemäss dem vorhin bemerkten für angezeigt halte, anstatt von
Boole- Mitchells
„Universum der Zeit“ lieber von dem Universum der (denk- baren, dem Sinne nach zulässigen) Anwendungsgelegenheiten des Urteils, — kurz vom
Universum der Fälle
zu reden.
Als Beispiel mag das oben von Frau
Franklin
gegebene dienen.
Partikular-universale
Universal-partikulare
Urteile.
Jeder Arzt ist manchmal im Irr- tum.
Es gibt Ärzte, welche sich niemals irren.
Zuweilen irrt sich keiner von den Ärzten. Oder: Es gibt Zeiten, wo sich kein Arzt irrt.
Immer irrt sich der eine oder andere Arzt.
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
Doppelt universale
Doppelt partikulare
Urteile.
Kein Arzt ist jemals im Irrtum.
Manchmal irren sich einige Ärzte.
Jeder Arzt ist beständig im Irr- tum.
Es gibt Ärzte, welche sich manch- mal nicht irren.
Die Urteile in derselben Horizontalflucht schliessen einander gegen- seitig aus (als kontradiktorische Gegensätze oder Negationen von ein- ander).
Diese acht Urteile, (deren sonstige Beziehungen zu erforschen, dem Leser als Übung empfohlen sei,) wären in
Mitchell’
s Symbolik folgender- massen darzustellen, wenn, wie oben S. 465
d
= Arzt,
m
= Irrtum bedeutet:
(
d
1
+
m
)
1
v
(
d m
1
)
u
' 1
(
d
1
+
m
1
)
1
v
'
(
d m
)
u
1
(
d
1
+
m
1
)
11
(
d m
)
u v
(
d
1
+
m
)
11
(
d m
1
)
u
'
v
'
Zur Erklärung dienen die Bemerkungen:
Ohne Rücksicht zunächst auf die Quantität im Universum der Zeiten handelt es sich um die vier Urteile:
Alle Ärzte irren, d. i.
d m
oder
d m
1
= 0,
d
1
+
m
= 1; Kein Arzt irrt,
d m
1
,
d m
= 0,
d
1
+
m
1
= 1; Einige Ärzte irren,
d m
≠ 0; Einige Ärzte irren nicht,
d m
1
≠ 0.
Die rechte Seite 1 oder 1̇ einer rechts auf Eins gebrachten Gleichung fügt nun
Mitchell
dem eingeklammerten Polynom derselben als Suffixum bei, und zwar als erstes Suffix, wenn die Gleichung eine primäre, die Eins also die des Klassenkalkuls ist, als zweites Suffix, falls die Gleichung eine solche des Aussagenkalkuls, und die 1 diejenige gewesen, die ich mittelst des Tupfens als 1̇ unterscheide. Ebenso verfährt er hinsichtlich des Suffixes, welches ihm die Partikularität darstellen soll. Als solches Suffix, anzuhängen dem Polynom der rechts auf Null gebrachten Ungleichung, wählt er nun aber einen Buchstaben
u
oder
v
, wobei er diese Buchstaben noch mittelst Accenten zu differenziren genötigt ist, sobald ein solcher auf eventuell verschiedene „einige“, — nicht auf „same some“, sondern auf „other some“, hinweist, oder bezw. als zweites Suffix, bei wiederholt vor- kommenden Adverbien „manchmal“, nicht auf Gelegenheiten, die notwendig zusammenfallen.
Dieses Verfahren erscheint mir als ein Überbleibsel von
Boole’
s miss- glücktem Versuch, die partikularen Klassenurteile vermittelst eines Faktors
u
oder
v
darzustellen. Ich kann mich mit
Mitchell’
s Vorschlag ganz und gar nicht befreunden.
§ 54. Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile.
Um die acht Urteile in eine der unsrigen näher verwandte Zeichen- sprache einzukleiden, will ich zeitweilig den Gegnern eine Konzession machen und hier eine Aussagen-Null 0̇ (als Tupfen-Null) einführen, für welche der Satz 1) (
A
≠ 0) = (
A
= 1̇)
nicht
gilt.
Dieselbe Konzession habe ich vorübergehend auch schon bei Behandlung von
Mitchell’
s Nebelbilderproblem S. 294 sq. gemacht. Als Analogon aus der arithmetischen Analysis kann gelten, dass man bei Grenzübergängen von + 0 und — 0 unterscheidend spricht, obwol beides identisch ist, und desgleichen von + ∞ und — ∞.
Die Zulässigkeit ebendieser 0̇ wird sich als der eine Angelpunkt der ganzen schwebenden Streitfrage erweisen.
Dann ist folgendes die ausdrucksvolle Darstellung der acht Urteile:
(
d
1
+
m
= 1) ≠ 0̇
(
d m
1
≠ 0) = 1̇
(
d
1
+
m
1
= 1) ≠ 0̇
(
d m
≠ 0) = 1̇
(
d
1
+
m
1
= 1) = 1̇
(
d m
≠ 0) ≠ 0̇
(
d
1
+
m
= 1) = 1̇
(
d m
1
≠ 0) ≠ 0̇
— in möglichster Annäherung an
Mitchell
; für meine Person würde ich natürlich für
d
1
+
m
= 1,
d
1
+
m
1
= 1 lieber
d m
,
d m
1
(oder
d m
= 0) schreiben und die vier Endungen = 1̇ samt Klammern weg- lassen. Übrigens macht hier die eine 0̇ eine ganze Menge von
u
,
v
,
u
',
v
',
u
'', … entbehrlich. Der Ansatz „≠ 0̇“ übersetzt die Partikel „manchmal“ oder „zuweilen“ in die logische Zeichensprache.
λ
) Ich bestreite die endgültige Zulässigkeit einer solchen Prozedur — siehe weiter unten. Falls ich nun aber Recht behalte, so ist von meinen Gegnern der Vorhalt vorauszusehen: dass dann ja mein Aussagenkalkul unvermögend sei, die
Mitchell’
schen Distinktionen überhaupt zu be- rücksichtigen und in die Formelsprache einzukleiden; und wie könnte ohne das mein Kalkul die Konklusionen ziehen aus gegebenen Prämissen, wenn unter diesen auch der Zeit nach partikulare vorkommen?
Ob Ersteres durch geeignete Ausgestaltung oder Anwendung der Beziehungslogik nicht dennoch unschwer erreichbar wäre, will ich hier unerörtert lassen. Dagegen nehme ich sofort Stellung zu letzterer Frage, welche freilich einen schweren Vorwurf enthielte, wenn ich sie nicht befriedigend beantworten könnte.
Treten unter den Prämissen solche auf, die keinen bestimmteren Aufschluss zu geben vermögen, als bei Gebrauch des Adverbiums „manchmal“ denkbar ist, so ist zunächst zu unterscheiden, ob dieses Adverb nur
ein
mal, oder ob es mehrmals vorkommt.
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
Im ersteren Falle lasse man die Prämisse, die sich dieses Adverbs bedient, einmal beiseite; so wird man die Konklusion erhalten für diejenigen Fälle, wo dieses „manchmal“ eben nicht sich verwirklicht, wo vielmehr der gegenteilige Fall eintritt.
Sodann erhebe man das Eintreten des „manchmal“, d. i. des Ereignisses, auf welches dieses Adverb hinweist, zur ausdrücklichen Voraussetzung, und bilde unter Hinzuziehung solcher Annahme die Konklusion. Dies Verfahren läuft imgrunde hinaus auf eine Limitirung, eine Einschränkung des Denkbereiches der Gelegenheiten auf eben die Fälle oder „Male“, die mit jenem „manchmal“ gemeint waren. Die Konklusion darf dann auch nur für eben diesen Denkbereich in Anspruch genommen werden, d. h. sie ist auch ihrerseits nur als eine „manch- mal“ zutreffende durch das Prämissensystem garantirt.
Kommt dagegen das Adverb „manchmal“ in den Prämissen
mehr- mals
vor, — jedoch etwa nicht unabhängig, sondern so, dass immer das eine „manchmal“ auf das andere durch verschmelzende, identifizirende Verweisung bezogen ist, so ist mit der ganzen Gruppe derjenigen unter den Prämissen, welche dieses „manchmal“ enthalten, ebenso zu verfahren, wie vorhin mit einer einzigen Prämisse. Hingegen ist das gleiche Verfahren einzuhalten bezüglich
jedes einzelnen
„manchmal“ bei mehrfachem
unabhängigen
Vorkommen dieses Adverbs. Doch brauchen dabei die von einander unabhängigen „manchmal“ keineswegs in allen ihren Kombinationen durchgenommen zu werden. Vielmehr sind bei Anwendung des Verfahrens auf eines von ihnen, behufs Gewinnung der auf diese „Male“ bezüglichen partiellen Konklusionen, jeweils alle die Prämissen einfach fortzulassen, in welchen ein von dem vorigen unabhängiges „manchmal“ vorkommt. Ja, die vorliegende Prämisse ist selbst gänzlich zu unterdrücken, oder es sind wenigstens die be- treffenden Prämissenteile zu ignoriren, wenn darin mehrere unabhängige „manchmal“ vorkommen.
Weiss man nämlich von zwei Ereignissen nur, dass jedes von ihnen manchmal eintritt, während das Zusammentreffen beider durch nichts garantirt ist, so kann der an dieses Zusammentreffen etwa denknotwendig zu knüpfende Schluss doch lediglich als ein „vielleicht manchmal“ zutreffender, nicht aber als ein durch die Prämissen not- wendig bedingter hingestellt werden; es gibt dann eben überhaupt keine Konklusion.
Hier ist der Einwand denkbar: sofern es sich z. B. um Vorkehr gegen eine zu gewärtigende Gefahr handle, sei es keineswegs gleichgültig, ob dieselbe
vielleicht
eintrete, eintreten
könne
, oder nicht. Schon die „Wahr-
§ 54. Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile.
scheinlichkeit“ des Zusammentreffens der gedachten Ereignisse ist von be- rechtigtem Einfluss auf unser Verhalten in solchem Falle. Allein
hier
, in diesem Werke, handelt es sich nur um unabweisbare, denknotwendige Schlussfolgerungen.
Zufolge des jeweiligen Wegfalles so vieler der Zeit nach parti- kularer Prämissen vereinfacht sich das Geschäft des Schliessens be- greiflicherweise allemal ausserordentlich, und so wird kein Anlass vor- liegen, eine aparte Symbolik für den Zweck zu ersinnen. Für welche Symbolik indessen man immer sich entscheiden mag, keine wird uns doch dessen überheben können, das oben charakterisirte Minimum von Einzel-Konklusionen zu ziehen, (wie dies
Mitchell’
s „Nebelbilder- problem“ auch in seiner Behandlungsweise an den Gliedern der von ihm auszumultiplizirenden Polynome deutlichst erkennen lässt.)
Unser Aussagenkalkul ist also sehr wol imstande, die Schluss- folgerung auch aus „in der Zeit partikularen“ Prämissen zu bewältigen.
μ
) Damit sind nun freilich diese zeitlich partikularen Urteile ganz anders behandelt, als die schlechtweg partikularen. Auch aus letzteren könnte man wol die Konklusionen des Klassenkalkuls nach denselben Grundsätzen gewinnen, wie ich sie soeben für die ersteren aufgestellt und empfohlen habe. Allein damit ginge man aller Vorteile des Kalkuls verlustig, indem man die Methoden der algebraischen Logik ersetzte durch ein urwüchsiges, kunstloses und rohes Verfahren, — schlimmer als das
Jevons’
sche; — ein Verfahren, das zwar bei zeit- lich partikularen ganz wol angeht und praktisch noch nirgends zu Unzuträglichkeiten geführt hat, das dagegen, auf die Partikularität schlechthin ausgedehnt, in ganz unerträgliche Umständlichkeiten und Weitläufigkeiten schon bei wenig verwickelten Problemen führen müsste.
Dieser auffallende Gegensatz erklärt sich durch den Umstand, dass das Partikularitäts-Pronomen „einige, manche, some“ im
zeitlichen
Sinne immer nur mit demselben Nomen: „Gelegenheiten“ oder synonym „Fälle, Male, Zeiten“, verknüpft ist, — wie denn auch sprachlich in „manchmal, sometimes“ Pronomen und Nomen zusammengewachsen sind, — wogegen sonst in „einige
x
“ das Nomen oder Urteilssubjekt
x
in der mannigfaltigsten Weise wechseln, den verschiedensten Ideenkreisen entstammen wird.
In der Tragweite dieses von meinen Gegnern wol übersehenen oder nicht genügend gewürdigten Umstandes liegt, wie mir scheint, ein zweiter Angelpunkt der obschwebenden Streitfrage.
Wenn die Konstitution unseres Intellekts uns nicht gestattete, das Pronomen „einige“ auf
verschiedenerlei
Objekte anzuwenden, wenn wir
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 31
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
blos die Wahl hätten zu reden von allen, oder einigen oder keinen
x
, aber immer nur von denselben
x
, dann, glaube ich, dürfte jenes ur- wüchsige, unwissenschaftliche Folgerungsverfahren vielleicht noch das beste sein, wobei wir gelegentlich nur zu unterscheiden hätten zwischen
denselben
„einige
x
“ und eventuell
andern
, von den vorigen unabhängigen „einige
x
“. Dann auch möchten wir der Algebra der Logik (zweiter Stufe) unschwer entraten, und gegenwärtiges Buch wäre nicht geschrieben!
Wie jedoch die Sache wirklich liegt, erscheint mir das an sich berechtigte gegnerische Verlangen nach gleichmässiger Behandlung der zeitlich und der schlechtweg partikularen Urteile als irrelevant, als ein mehr nur doktrinäres, entspringend nicht einem praktischen Bedürfniss, sondern nur einem theoretischen Interesse.
Da ich jedoch auch letzteres hochhalte, so will ich nun auf einen weiteren noch offenen Einwand der Gegner aus
Mitchell’
s Schule eingehen.
Dieselben werden mich nämlich auf die andere Möglichkeit einer ebenmässigen Bearbeitung beider Arten von Partikularität verweisen. Müssen doch — so sagen sie — die Klassen der Gelegenheiten, bei denen Aussagen zutreffen, ganz denselben Gesetzen unterliegen wie alle übrigen Klassen; wozu dann die
Boole-McColl
-(
Peirce
)-
Schröder’
- sche Einschränkung der Aussagenwerte auf 0 und 1̇? Hat nicht eben
Mitchell
die Entbehrlichkeit dieser Einschränkung nachgewiesen durch seine Begründung des Aussagenkalkuls, worin dann auch den
zeitlich
partikularen Urteilen die Vorteile des Klassenkalkuls in gleichem Masse zugute kommen wie den übrigen?
Solches ist thatsächlich von Frau
Franklin
am Schlusse ihrer oben erwähnten Besprechung meines Bd. 1 angedeutet worden.
Auch ich wäre nicht der letzte, eine Erweiterung des Aussagen- kalkuls durch Beseitigung des gedachten einengenden Prinzips zu be- grüssen. Und eine zeitlang (cf. S. 183 Mitte) schwebte mir eine der- artige Hoffnung vor. Dass dieselbe aber sich als trügerisch erwies, kann ich nun auch nicht mehr beklagen, seitdem ich den Grund der Unmöglichkeit jener Erweiterung, den ich im folgenden darlege, er- kannt habe.
ν
) Soll ein Aussagenkalkul überhaupt als eine besondere Art des Klassenkalkuls bestehen, so müssen die Aussagen in ihm eine Deutung erfahren und einer solchen fähig sein: als Klassen der Gelegenheiten, bei denen sie zutreffen.
Über
diesen
Punkt sind die Anhänger der rechnenden Logik samt und sonders einig. Wer dem etwa nicht zustimmt, dem ist das onus pro-
§ 54. Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile.
bandi zuzuweisen, nämlich die Aufforderung, mit der andersartigen neuen Grundlage hervorzutreten, auf der sich der Kalkul angeblich aufbauen liesse.
Zu den fundamentalen Aussagen gehört die Subsumtion
A B
,
welche das hypothetische Urteil: „Wenn
A
gilt, so gilt auch
B
“ dar- stellt. Es muss also für diese Subsumtion die Klasse der Gelegen- heiten ermittelt werden, bei denen sie zutrifft, sofern als bekannt gelten: die Klasse der Gelegenheiten, bei denen die Aussage
A
(für sich), und diejenige der Gelegenheiten, bei welchen
B
zutrifft.
Dass eine Aussage
A
bei
keiner
Gelegenheit zutreffe, wird durch
A
= 0 auszudrücken sein, und ebenso, dass sie bei
allen
Gelegenheiten gelte, durch
A
= 1̇, — wenn anders eine Erweiterung des Aussagen- kalkuls auf den Gehalt des Klassenkalkuls erzielt werden sollte. Des- gleichen wird man unter diesem letzteren Gesichtspunkt auch die beiden Subsumtionen
0
B
,
A
1̇
anerkennen müssen, — obwol freilich auch eine Logik
denkbar
, (aber in mancher Beziehung
im Nachteil
) wäre, die eine oder die andere von beiden als nichtssagend oder albern verwerfen würde (vergl. S. 18 u. 19). —
Wer nun aber diese beiden Subsumtionen zugibt, ist genötigt, als die Gültigkeitsklasse der Subsumtion
A B
den Ausdruck 4)
(
A B
) =
A
1
+
B
— somit unser (
Peirce’
s) Theorem
λ
) von S. 68 — anzuerkennen.
Es ist einleuchtend: die Klasse der Gelegenheiten, bei welchen
A B
zutrifft, kann sich blos zusammensetzen aus Gelegenheiten, wo
B
zutrifft, sowie solchen, wo
A
nicht zutrifft, welche letzteren wir unter dem Zeichen
A
1
zusammenfassen, — und sie muss diese Gelegen- heiten (zufolge der oben anerkannten Subsumtionen) auch sämtlich enthalten. Enthielte sie eine Gelegenheit, wo
A
zutrifft und
B
nicht zutrifft, so kämen wir zu einem augenscheinlichen Widerspruch mit der Forderung, dass wenn
A
gilt, auch
B
gelte.
Ich will hier nicht ausführlicher sein, weil ich sicher bin, dass mir die Gegner bis hierher willig folgen. Alles bisherige hat in anderm Zu- sammenhange wol Herr
Peirce
schon angedeutet oder gesagt. Auch musste ich mich selbst dabei rekapitulirend wiederholen. Ich brauche auch nicht etwa auf S. 68 zu verweisen, wo ich mehr rechnend vorgegangen bin in einer Weise, die die Gegner vielleicht beanstanden. — Es genügt mir, dass dieses Theorem 4) nur irgendwie zugegeben ist, wobei ich einst- weilen den Gegnern die Konzession mache, die Summe
A
1
+
B
so auffassen
31*
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
zu dürfen, dass keineswegs
A nie
oder
B stets
zu gelten brauche, sondern dass ganz beliebig Gelegenheiten darunter zu verstehen seien, wo bald
A
nicht, bald wo
B
zutrifft, bald wo beides der Fall ist.
Nunmehr komme ich zum Haupt- und letzten Angelpunkt unserer Streitfrage, nämlich zu meiner Ableitung des spezifischen Aussagen- prinzips 3) (
A
= 1̇) =
A
aus dem Satze 4), wie ich sie S. 69, Z. 10 v. u. gegeben. Wer 4) zugegeben, der muss, wofern er nicht auch 3) anerkennen will, diese Ableitung widerlegen, und zwar direkt, nicht durch Versuche einer reductio, bei welchen allemal Fehler unterlaufen. Auch ist die Ableitung nicht so verwickelt, dass nicht ein Fehler, falls sie einen solchen enthielte, leicht aufzufinden sein müsste:
(
A
= 1̇) = (1̇
A
) = 1̇
1
+
A
= 0 +
A
=
A
.
Der Aussagenkalkul bleibt hiernach also notwendig auf das Gebiet der beiden Werte 0 und 1̇ beschränkt. Kein Mittelding gibt es für Aussagen zwischen „ewig wahr“ und „ewig falsch“, und keine Tupfen- Null 0̇, wie sie zugunsten der Darstellung zeitlich partikularer Aus- sagen vorübergehend gebraucht wurde, für welche mein Satz 1) (
A
≠ 0̇) = (
A
= 1̇) nicht unerbittlich Geltung forderte.
Damit wird auch ein Vorwurf hinfällig, den mir Herr
Husserl
1
gemacht. Derselbe meint, ich hätte zuerst die Aussagenäquivalenz etc. definiren, im Grunde also den Bd. 1 mit Bd. 2 beginnen sollen.
Er selbst glaubt eine Entdeckung gemacht zu haben, indem er die Klassensubsumtion
a b
auf eine Aussagensubsumtion (
x a
) (
x b
) zurückführt — vergl. hiezu S. 83. Was er „
seinen
Folgerungskalkul“ nennt und
2, 3
als das bessere der Welt vorführt, ist, so weit richtig, nichts als eine Transskription von Formeln und Deduktionen meines Buches aufgrund dieses Gedankens. Das alles haben aber
McColl
und
Peirce
schon längst so gemacht, und auch Frau
Franklin
scheint solche Grund- lage — noch — vorziehen zu wollen.
Ich habe die ganze Theorie auf die breitere Grundlage des Klassen- kalkuls gestellt, — solchermassen auch der ersten Entwicklung der Theorie durch
Boole
zu ihrem Rechte verhelfend, — einesteils weil die letzten Bestandteile der sekundären Aussagen, der hypothetischen Urteile doch immer kategorische Klassenaussagen sind, sodann aber — und dies ist ausschlaggebend, — weil es inbezug auf die eine Hälfte der kategorischen, nämlich die partikularen Urteile, ohnehin nicht anders angeht. Auch die besseren Logikbücher, dünkt mich, pflegen die hypothetischen nicht vor den kategorischen Urteilen zu behandeln.
Leider scheine ich unter den Mitarbeitern an unserer Disziplin bis jetzt noch der einzige zu sein, der die vorstehenden Thatsachen er- kannt und gewürdigt hat.
§ 54. Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile.
ξ
) Zum Schluss der Kontroverse nun noch die Frage: wie kann man sich mit der unliebsamen Beschränktheit des Aussagenkalkuls aussöhnen und befreunden?
In der sechzehnten Vorlesung glaubte ich klar gemacht zu haben, dass sich in dem spezifischen Prinzip 3) sowol als in dessen Konse- quenzen 1), 2) etc. weiter nichts ausspricht als die Unabweislichkeit der Forderung,
dass Aussagen
,
mit welchen gerechnet werden soll
,
während der Rechnung immerfort im selben Sinne verstanden und ausgelegt sein müssen
.
Und das erscheint doch wol selbstverständlich. Ist doch diese Forderung der „Einsinnigkeit“ für die Aussagen keine andere als für die Klassen, für Begriffswörter und für
Zeichen
jeder Art. Sie tritt ja an verbale Überlegungen nicht minder heran als an den Kalkul. Der Unterschied ist nur der, dass während man mit Worten vielfach gegen sie verstossen und sündigen kann, ohne es zu merken, der Kalkul mit unerbittlicher Strenge jeden Verstoss augenblicklich an den Tag bringt und rächt, dadurch aber auch zur Beachtung gedachter Forderung erzieht, ihre Befolgung erzwingt.
Wer in den Sätzen des Aussagenkalkuls Paradoxien zu erblicken meint, der hat sich noch nicht hinreichend frei machen gelernt von dem Gängel- bande, an welchem die Wortsprache mit ihren Phrasen und elliptischen Redewendungen uns alle zeitlebens — und wie oft in der Irre — herum- führt. Nicht dem Aussagenkalkul entspringen Widersprüche und Paradoxien, sondern dem Doppelsinn des Wortgebrauchs, den Mängeln der verbalen Ausdrucksmittel, der Unzulänglichkeit der sprachlichen Bezeichnungen.
Die Darlegungen meiner sechzehnten Vorlesung sind indess selbst bei hochverdienten Mitarbeitern an unserer Disziplin noch auf Schwierig- keiten des Verständnisses gestossen. Es sei mir erlaubt, noch auf eine solche Schwierigkeit einzugehen.
Das Ärgerniss gibt die Aussagengleichung 5)
(
A
+
B
= 1̇) = (
A
= 1̇) + (
B
= 1̇)
S. 57, welche sich nach unserm spezifischen Prinzip 3) unmittelbar als die Identität
A
+
B
=
A
+
B
bewahrheitet.
Es ist dies der Satz, in welchem Frau
Franklin
einen „distinct error“ finden will (s. oben S. 464). Sie führt dabei als Argument ein Beispiel in’s Feld, welches zur Klarstellung der Sache ganz vorzüglich geeignet ist, nämlich: „Wenn es regnet, so nehme ich entweder einen Schirm, oder ich bleibe zuhause.“
Bedeute
C
das Urteil „Es regnet“,
A
das „Ich bediene mich eines Schirmes“,
B
das Urteil: „Ich verweile im Hause“, so haben wir
C A
+
B
.
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
Tritt nun hier überhaupt einer von diesen beiden letztern Fällen ein, so muss, meint Frau
Franklin
, derselbe nach meinem Aussagen- kalkul
ewig
als eintretend anerkannt werden. Die Alternative aber, entweder ewig einen Regenschirm zurhand zu nehmen, oder ewig im Hause zu bleiben, erscheint ihr so schrecklich, die Beschränktheit eines Aussagenkalkuls, der nur derartige Alternativen zu berücksichtigen vermöchte, so kläglich, dass sie diesen, den sie selbst einst so wesent- lich gefördert, ablehnen zu müssen glaubt.
So schlimm ist es indessen nicht bestellt mit dem Aussagenkalkul! Das ganze Unglück rührt vielmehr nur daher, dass die Aussagen
A
,
B
und
C
in der angegebenen Wortfassung noch gar keine echten, voll- ständigen Urteile im Sinne einer exakten Logik sind, sondern nur elliptische Redensarten, lückenhafte und darum an sich sinnlose Phrasen, so lange sie nicht — mindestens in Gedanken — bezogen sind auf eine bestimmte Gelegenheit oder auch Klasse von Gelegenheiten. Was soll z. B. die Aussage
A
„ich bediene mich eines Schirmes“ bedeuten? Gewiss
nicht
, — wie es wegen des im Präsens stehenden Verbums scheinen könnte —: ich bediene mich jetzt, soeben, während ich dies ausspreche, eines Schirmes. Es fehlt die Zeitbestimmung! — Eine Ortsbestimmung ist wegen des Subjekts „Ich“, welches doch jeder- zeit an einem bestimmten Ort sich befinden muss, hier zufällig überflüssig.
Völlig explizirt wird uns deshalb nun bedeuten:
A
= „Ich bediene mich eines Schirmes bei der Gelegenheit
g
“,
B
= „Ich verweile im Hause bei der Gelegenheit
g
“,
C
= „Es regnet (an dem Orte, wo ich mich befinde,) bei der Gelegen- heit
g
“.
Ergänzt man die Zeitbestimmung blos im Geiste, so kommt man leicht in die Gefahr, jene Bestimmung wieder aus den Augen zu ver- lieren, oder unvermerkt für dieselbe eine andere sich einschleichen zu lassen.
Wenn es nun wirklich einmal zutrifft, dass es bei der bestimmten gedachten Gelegenheit an dem Orte, wo ich mich befinde, regnet, so wird dies
ewig
zutreffen, dass es ebenda und ebendann regnete, aber es wird nicht ewig da regnen. Allgemein: Die ewige Anerkennung, dass ein Ereigniss bei bestimmten Gelegenheiten eintritt oder eintrat, ist zu unterscheiden von der Anerkennung, dass das Ereigniss ewig eintritt.
Damit ist indessen die Aussagensubsumtion
C A
+
B
§ 54. Fortsetzung. Über zeitlich partikulare Urteile.
noch nicht die für alle Fälle zulängliche Bezeichnung dessen geworden, was die Wortführerin mit ihrem Ausspruch sagen wollte. Dieselbe wollte ihre Aussage aufstellen nicht blos für eine bestimmte, sondern für
jede
Gelegenheit
g
. Mit Rücksicht hierauf hat man ausdrucksvoller
(
C A
+
B
)
zu setzen, sobald etwa z. B. die Negation einer solchen Formel in Be- tracht kommen sollte, — während man freilich sonst zumeist, wie oben bemerkt, auch im Kalkul sich begnügt, die Allgemeinheit der Aussage blos im Geiste zu unterstellen.
ο
) Ein von mir selbst begangener Fehler.
Nachdem ich andern und den verdientesten Mitarbeitern schon so vieles „am Zeuge zu flicken gehabt“, ist es nicht mehr als billig, auch ein- mal „vor der eigenen Thür zu fegen“. Mit in den Kontroversen geschärftem Blick wurde ich zuletzt dessen gewahr, dass ich auch selbst an einer Stelle dieses Buches in einen „Fehlschluss aus unzulänglicher Bezeichnung“ ver- fallen bin, — zum Glück ohne weitergehende unzutreffende Folgerungen daran zu knüpfen.
Seite 312 dieses Bandes stellte ich die Behauptung auf,
dass der
„
reine
“
Aussagenkalkul schlechterdings unfähig sei und es definitiv bleiben müsse, auch partikulare Urteile einzukleiden
.
Wenn er aber zugestandenermassen fähig ist, die universalen Ur- teile auszudrücken (S. 311), wenn die partikularen Urteile blos die Negation von universalen sind, und wenn endlich der Aussagenkalkul den Prozess der Verneinung an einer jeden Aussage zu vollziehen ver- mag, — wie könnte er dann unfähig bleiben, ein partikulares Urteil darzustellen?
Um dieses Paradoxon aufzulösen, ist nur nötig, die
McColl’
sche aussagenrechnerische Darstellung der Klassensubsumtion
a b
auf ihren
zulänglichen
Ausdruck zu bringen; durch Negation muss sich dann freilich eine ebensolche — aussagentheoretische — Darstellung des partikularen Klassenurteils
a b
oder
a b
1
≠ 0 ergeben.
Nach
McColl
soll (S. 311) die Subsumtion
a b
statt „alle
a
sind
b
“ gedeutet werden, — indem man von irgend einem beliebigen unter den Individuen der Mannigfaltigkeit 1, doch durchweg von dem- selben, spricht: — „wenn es ein
a
ist, so ist es ein
b
“. Trifft diese Aussagensubsumtion in der That zu für
jedes
„
es
“, jedes Individuum, so sagt dieselbe das gleiche wie die Klassensubsumtion
a b
. Um nun erstere zulänglich darzustellen, ist jedenfalls auch die Allgemeinheit, die notwendig, wenn auch stillschweigend unterstellte Anwendbarkeit
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
der Aussage auf
jedes
Individuum (ja auch auf jede Klasse)
x
ausdrücklich hervorzuheben, zumal ja Verneinung der Aussage beabsichtigt ist. Dann läuft die Umdeutbarkeit der Subsumtion aber, wie leicht zu sehen ist, hinaus auf die Äquivalenz: 6)
(
a b
) =
{
x a
) (
x b
)},
— eine Formel, die auch schon S. 83 erwähnt und begründet ist; dieselbe ist demnach Herrn
McColl
wol
vor
Peirce
zuzuschreiben, dessen Abhandlung
5
ich seinerzeit als meine Hauptquelle bezeichnet habe. — Wie hier die sämtlichen Klassen
x
des Denkbereiches natürlich auch die Individuen mit umfassen, doch aber nicht auf diese beschränkt sind, so hätte ich auch bei der Bemerkung im ersten Kontext auf S. 312 besser von allen Klassen statt nur von den Individuen gesprochen.
Wollen wir nun, um den Ausdruck des partikularen Urteils zu gewinnen, die
McColl’
sche Aussagensubsumtion korrekt verneinen, so darf dies keineswegs — wie S. 311 sq. — geschehen an deren unzu- länglichem Ausdruck „
a
“ „
b
“, worin „
a
“ das Urteil: „
es
(das gedachte Individuum oder Objekt) ist ein
a
“, „
b
“ das: „
es
ist ein
b
“ bedeuten sollte, die Allgemeinheit dieses „
es
“ aber unausgedrückt blieb, — sondern es hat zu geschehen an der rechten Seite von 6), als der zulänglichen Darstellung.
Mit dieser Darstellung der
McColl’
schen Umdeutung der Klassen- subsumtion
a b
in eine Aussagensubsumtion „
a
“ „
b
“ kommt es nun aber an’s Tageslicht, dass diese letztere gar nicht rein aussagen- theoretischen Charakters ist, da ihre Bestandteile
x a
und
x b
Klassensymbole enthalten. (Zudem ist es keine Subsumtion, sondern ein Produkt von Aussagensubsumtionen.) Es ist eine Proposition von zwiespältiger Natur, zu deren Verständniss man sowol des Klassen- wie des Aussagenkalkuls bedarf; und dieser „unreine“ Charakter wird sich ebenso auch auf ihre Negation übertragen.
Ich habe daher der vorerwähnten Behauptung ergänzend und be- richtigend die zweite an die Seite zu stellen:
dass der
„
reine
“
Aussagen- kalkul schon ebensowenig fähig ist
,
auch nur universale Klassenurteile darzustellen.
Damit wird auch die oben erwähnte Paradoxie hinfällig.
Da man also des Klassenkalkuls bedarf im Aussagenkalkul, da ersterer nicht auf letzteren gegründet werden kann, so muss jener not- wendig vorangestellt werden. Auch ist der Aussagenkalkul nicht der einfachere, sondern vielmehr weit schwieriger zu erfassen, wie sich an den soeben besprochenen Paradoxien und Kontroversen gerade ge- zeigt hat.
§ 54. Fortsetzung. Konstitution des Begriffes.
Frau
Franklin-Ladd
macht in ihrer mehrerwähnten Rezension meines Bd. 1 noch einen Ausfall gegen eine Stelle S. 75 sq. dieses Bd. 1, wo ich zwar wol den Gegensatz zwischen positiven und den zugehörigen negativen Begriffen, als relative Unterscheidung, nicht aber eine Einteilung der Begriffe, in absolutem Sinne, in positive und negative in das System aufnehmen zu können erkläre, weil es an einem Kennzeichen dafür gebricht, welcher von zwei einander kontradiktorisch entgegengesetzten Begriffen, wie nützlich und schädlich, parallel und schneidend, direkt oder
un
mittelbar und
in
direkt oder mittelbar, als der positive anzusehen sei.
Sie gibt mir solches nur zu für Begriffe, die ich hier kurz „einfache“ nenne, „so long as the quality which marks its signification is one and indivisible“ (cf. p. 129 unten), also für Begriffe mit „unteilbarem Inhalt“, wie „heiss, kalt, schwer, blau, parallel“; da sei es denn in der That einerlei, ob man z. B. die Zahlen einteile in gerade (even) und nicht gerade, oder etwa in ungerade (odd) und nicht ungerade. — Anders dagegen bei „zusammen- gesetzten“ Begriffen (when we come to complex qualities); hier komme nämlich den positiven wesentlich der Charakter eines identischen Produktes (com- bination of quality elements), den negativen der einer Summe von Merk- malen (alternation of qu. el.) zu; wonach beide extremely different seien.
Die Richtigstellung dieser Meinung wird für unsere Theorie umso mehr Gewinn bringen, als Frau
Franklin
dabei ausging von einer schon früher von ihr aufgestellten Formel betreffend die Konstitution eines jeden („zusammengesetzten“) Begriffes
B
: Seien
α
1
,
α
2
,
α
3
, … die Merkmale des Be- griffs
B
(umfangslogisch verstanden, d. i. also jedes als Klasse der Objekte, die das betreffende Merkmal besitzen) und
i
1
,
i
2
,
i
3
, … die Individuen, welche derselbe unter sich begreift; dann ist
B
=
α
1
α
2
α
3
… (
i
1
+
i
2
+
i
3
…);
in der That müssen, wie leicht einzusehen, die Merkmale als Faktoren, die Individuen als Summanden in den Ausdruck des Begriffes eingehen. Man kann dabei aber die Gruppe der Faktoren
α
, oder aber das Aggregat der Summanden
i
unterdrücken; der Begriff ist das identische Produkt seiner Merkmale; er ist auch die identische Summe seiner Individuen; und als das eine oder andere ist er bereits völlig bestimmt.
Da nämlich
i
1
α
1
,
i
1
α
2
, … oder nach Th. 20
×
)
i
1
α
1
=
i
1
,
i
1
α
2
=
i
1
, … ist, so bleibt
B
=
i
1
+
i
2
+
i
3
+ … Ebenso ist auch
B
=
α
1
α
2
α
3
… ohne den Aggregatfaktor, vorausgesetzt nur, dass die Gruppe der als wesentliche Merkmale angesetzten Faktoren
α
eine vollständige ist. Denn dieser Aus- druck bleibt ungeändert, wenn man ihn mit der Summe aller erdenklichen Individuen — als der identischen Eins — multiplizirt — Th. 21
×
) —. Ist nun
i
ein
nicht
zur Kategorie des Begriffs gehöriges Individuum, so muss dasselbe mindestens eines von den wesentlichen Merkmalen des Begriffes entbehren, — sagen wir das Merkmal
α
, welches sich unter den obigen Faktoren sicher mit aufgezählt findet, jedoch auch durch eine multiplikative Kombination von einigen oder allen diesen Faktoren vertreten sein kann. Dann ist also
α i
= 0, und der betreffende Summand
i
fällt aus der aus- multiplizirt gedachten Summe heraus, weshalb er denn schon in der nicht ausmultiplizirten Summe unterdrückt werden mag; so gelangt man dann
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
aber zu der erstangegebenen ausdrucksvollsten Darstellung des Begriffes
B
zurück.
Durch Negiren erhält man nun auch in der That den Begriff
B
1
B
1
=
α
1
1
+
α
2
1
+
α
3
1
+ … +
i
1
1
i
2
1
i
3
1
… =
α
1
1
+
α
2
1
+
α
3
1
+ … =
i
1
1
i
2
1
i
3
1
…
als
Summe
von Merkmalen bezw. Merkmalsverneinungen.
Frau
Franklin
gibt hiezu ein Beispiel: Es bedeute
c
= Civilisation, und in
c
=
γ
1
γ
2
γ
3
… (
C
1
+
C
2
+
C
3
+ …) =
γ C
die Faktoren
γ
die verschiedenen Merkmale der Civilisation, als z. B den Besitz guter Gesetze zum Schutze von Person und Eigentum, das Vorhanden- sein einer Macht, welche die Beobachtung der Gesetze zu erzwingen, und das Gemeinwesen auch gegen Vergewaltigung von aussen zu sichern vermag, von Institutionen, welche dem Einzelnen eine gute Erziehung und möglichst Vielen einen gewissen Grad von Glück zuwenden, etc. — wogegen die Glieder
C
die verschiedenen Anwendungsbeispiele des Civilisationsbegriffes bezeichnen sollen, z. B. die Civilisation der Assyrer, die der Griechen, und so fort. Unwesentlich ist dabei die Frage, ob die
C
wie oben Individuen
i
, hier also individuelle Civilisationen vorstellen, oder ob z. B.
C
1
etwa die
Klasse
der Civilisationen der Hellenen des klassischen Altertums sowol als auch der Neugriechen zu bedeuten habe, da Klassen und Klassensummen
C
zuletzt auch Individuensummen sind.
Zur Behandlung dieses Beispiels ist zu bemerken, dass Frau
Franklin
die Negation
C
1
„in accordance with the usual rule for taking the negative“ in der Form ansetzt:
c
1
= (
γ
1
1
+
γ
2
1
+
γ
3
1
+ …)
C
1
1
C
2
1
C
3
1
…,
mit ersichtlichem Verstoss gegen die Negationsregeln, — dass aber wegen
c
=
γ C
=
γ
=
C
=
γ
+
C c
1
=
γ
1
+
C
1
=
γ
1
=
C
1
=
γ
1
C
1
dieser Verstoss belanglos ist und die von ihr gegebene Negationsform materiell sich rechtfertigt.
Dass aber die Nicht-Civilisation
c
1
nur die
Alternative
biete, mindestens einer unter denjenigen Qualitäten zu ermangeln, deren Gesamt-
Kombination
eben die Civilisation
c
erst ausmacht, soll nun nach Frau
Franklin’
s Meinung jenen ersteren Begriff
c
1
als absolut negativen kennzeichnen.
Allein es liegt in dem Wesen des Begriffes
c
1
keineswegs die Notwendig- keit einer derartigen negativen Darstellung. Man kann ihm vielmehr wol nicht minder, als dem Begriff
c
, eine Reihe von „positiven“ Merkmalen gleichzeitig beilegen, die ihn vollständig bestimmen; man kann ihn, vielleicht unter dem „positiven“ Namen
b
= Barbarei =
c
1
, ebenfalls auf das Schema
b
=
β
1
β
2
β
3
… (
B
1
+
B
2
+
B
3
+ …)
bringen, wozu dann
c
=
b
1
in negativer Darstellung treten wird. — Ähnliches lässt sich vielleicht noch besser erläutern an den beiden Begriffen
gesund
§ 54. Fortsetzung. Konstitution des Begriffes.
und
krank
. Es gibt doch wol eine Kombination von Qualitäten, durch welche der erstere von beiden als „positiver“ Begriff sich bestimmen lässt. Aber auch wenigstens für einen beliebigen Unterbegriff des zweiten, eine bestimmte Krankheit, z. B. Trichinose, Cholera, usw., lassen sich hinreichend viele krankhafte Veränderungen der einzelnen Organe, Krankheitssymptome u. dergl. angeben, deren Zusammentreffen die Krankheit definirt. Bei ent- sprechender Beschränkung des Denkbereiches kann dann schon die gedachte einzelne Krankheit kontradiktorisch der Gesundheit gegenüberstehen. Welcher von beiden Begriffen ist dann der positive? Bei allgemeinerem Denkbereich aber hätte man keinesfalls die obige Darstellung eines „negativen“ Begriffes für den Krankheitsbegriff, da sich dieser doch wol
additiv
zusammensetzt aus den gedachten einzelnen Krankheitsklassen, bezw. -individuen, — mag man nun diese selbst als positive oder als negative Begriffe ansehen.
Andrerseits muss ein unbestritten „positiver“ Begriff, z. B. der Begriff „polar“ in dem Sinne, wie wir von Polarweide, Polarfuchs etc. sprechen, keineswegs notwendig als Produkt von Merkmalen gedacht werden; er kann auch eine Alternative
polar = arktisch + antarktisch
enthalten. Somit ist das obige
Franklin’
sche Begriffsschema auch für die sogenannten „positiven“ Begriffe nicht allgemein verbindlich. Dasselbe zeigt nur die Konstitution eines Begriffes hinsichtlich seines Inhalts und Umfanges in „regelrechter“ Darstellung; es ist ein Ideal, dem wir zustreben bei Aus- bildung unseres Begriffssystems; die Möglichkeit der Darstellung eines und desselben Begriffes in verschiedenen Formen ist nicht zu bestreiten. Die Unterscheidung positiver und negativer Begriffe ist psychologischen Ursprungs und für die Logik ohne Belang.
Auch hat Frau
Franklin
ebensowenig meine Zustimmung, wenn sie von „einfachen“ Begriffen, von „unteilbaren“ Merkmalen spricht. Als Merk- mal eines Dinges gilt mir alles Erdenkliche, was wahrheitsgemäss von dem- selben ausgesagt werden kann. Ich sehe in jedem Merkmal und in jedem Begriffe eine unbegrenzte Fülle von Merkmalen. Unter den Merkmalen eines Begriffes können freilich gewisse als „wesentliche“ hervorgehoben werden, — jedoch in verschiedenster Weise, — welche die übrigen alle denknotwendig oder auch vermöge besondrer axiomatischer Voraussetzungen, mit bedingen und nach sich ziehen. Auch gibt es wol psychologisch ur- sprünglichere und daneben abgeleitete Begriffe und Merkmale. Wenn mir aber nun z. B. jeder richtige Satz über Parallele (sei es blos Gerade, sei es auch Kurven, Flächen etc.) ein neues Merkmal des Begriffes „parallel“ vorstellt, so nehme ich damit Stellung gegen Frau
Franklin
, welche diesen Begriff neben andren als Beispiel eines „einfachen“ hinstellen will.
Mit
Frau
Franklin
aber darf ich hier wol von neuem denjenigen entgegentreten, welche, als Verfechter der angeblichen (aber bisher eben noch niemals rein in die Erscheinung getretenen) Logik des Inhalts, immer noch in grosser Zahl unserer Richtung ablehnend oder feindlich gegenüber- stehen und sich gebärden, als ob die
Umfangs
logik der Erkenntniss der Begriffe ihrem
Inhalt
nach nicht förderlich, sondern eher hinderlich sei.
Spricht da z. B. ein Autor, den ich lieber nicht nenne, mit Bezug
Sechsundzwanzigste Vorlesung.
auf die Logik des Umfangs von der „
groben Manier
,
die dem Etiketten- schreiber genügt
“. Vor allem die Frage: wer hat denn je gesagt, dass uns die Logik des Umfangs
genüge
? Sie genügt uns noch lange nicht, ebenso wenig, wie, in unserm Streben nach Erkenntniss der Aussenwelt, etwa die Chemie oder gar die Geometrie. Ist etwa gegen die Osteologie der Vor- wurf berechtigt, dass ihr vom lebendigen Leibe das dürre Knochengerüst „genüge“?
Endlich stimme ich auch
Lotze
zu, wenn er „das ewige Messerwetzen langweilig“ findet und meint, man müsse auch etwas Ordentliches zu schneiden vorhaben. An letzterem fehlt es nun aber in den exakten Wissenschaften nirgends, und noch weniger in jenen „Wissenschaften“, die, wie die Philosophie, „es vollends werden wollen“. Allein das Messer — ein viel zu stumpfes Instrument — ist die Wortsprache! Es gilt die Her- stellung und den Gebrauch weit feinerer Zergliederungsinstrumente!
Siebenundzwanzigste Vorlesung
.
§ 55.
Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften im identischen Kalkul.
α
) Der identische Kalkul ist vorzüglich geeignet, um zu jedem erdenklichen Kalkul ein Substrat zu liefern, sofern dessen direkte Operationen eindeutige, aber nicht eindeutig umkehrbare sein sollen.
Irgend eine Funktion
f
(
x
,
y
) zweier Argumente wollen wir als eine
Knüpfung
zwischen ebendiesen in’s Auge fassen und mit
x
∘
y
bezeichnen. Dann ist nach dem
Boole’
schen Fundamentalsatze (Bd. 1, S. 415):
α
1
)
x
∘
y
=
p x y
+
q x y
1
+
r x
1
y
+
s x
1
y
1
,
x̅
∘̅
y̅
=
p
1
x y
+
q
1
x y
1
+
r
1
x
1
y
+
s
1
x
1
y
1
,
wenn wir uns in diesem einen Fall auch einmal des horizontalen Ne- gationsstriches bedienen.
Die Knüpfung heisse auch „
symbolische Multiplikation
“.
Die inversen Operationen zu dieser sind zu definiren durch die Gleichungen:
α
2
)
(
x
∘
b
=
a
) = (
x
), (
b
∘
x
=
a
) = (
x a
⦂
b
),
wonach denn unter dem „
symbolischen Bruch
“
resp. unter dem „
sym- bolischen Verhältniss
“
a
⦂
b
die allgemeinste Lösung der Gleichung linkerhand zu verstehen sein wird; falls diese Gleichung nicht auflösbar sein sollte, hat der betreffende Ausdruck als sinnlos, = ∞, zu gelten.
Die Gleichung
x
∘
b
=
a
, rechts auf 0 gebracht und geordnet, gibt
A x
+
B x
1
= 0, nämlich:
(
p
1
a b
+
q
1
a b
1
+
p a
1
b
+
q a
1
b
1
)
x
+ (
r
1
a b
+
s
1
a b
1
+
r a
1
b
+
s a
1
b
1
)
x
1
= 0
und hat zur Resultante nach
x
, in Gestalt von
A B
= 0:
p
1
r
1
a b
+
q
1
s
1
a b
1
+
p r a
1
b
+
q s a
1
b
1
= 0,
und zur Lösung
x
=
B u
1
+
A
1
u
bei arbiträrem
u
:
=
x
= (
r
1
u
1
+
p u
)
a b
+ (
s
1
u
1
+
q u
)
a b
1
+ (
r u
1
+
p
1
u
)
a
1
b
+ (
s u
1
+
q
1
u
)
a
1
b
1
.
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
Schreibt man:
=
p
'
a b
+
q
'
a b
1
+
r
'
a
1
b
+
s
'
a
1
b
1
,
so ist
p
' =
r
1
u
1
+
p u
,
q
' =
s
1
u
1
+
q u
,
r
' =
r u
1
+
p
1
u
,
s
' =
s u
1
+
q
1
u
und man erkennt unmittelbar (oder auch durch Elimination von
p
,
q
,
r
,
s
, wobei
u
von selbst herausfällt,):
p
' =
r
'
1
,
q
' =
s
'
1
;
also ist
von der Form:
=
r
'
1
a b
+
s
'
1
a b
1
+
r
'
a
1
b
+
s
'
a
1
b
1
. —
Ebenso gibt die Gleichung
b
∘
x
=
a
:
(
p
1
a b
+
r
1
a b
1
+
p a
1
b
+
r a
1
b
1
)
x
+ (
q
1
a b
+
s
1
a b
1
+
q a
1
b
+
s a
1
b
1
)
x
1
= 0,
mit der Resultante:
p
1
q
1
a b
+
r
1
s
1
a b
1
+
p q a
1
b
+
r s a
1
b
1
= 0
und der Auflösung:
a
⦂
b
=
x
= (
q
1
u
1
+
p u
)
a b
+ (
s
1
u
1
+
r u
)
a b
1
+ (
q u
1
+
p
1
u
)
a
1
b
+ + (
s u
1
+
r
1
u
)
a
1
b
1
;
es ist also auch
a
⦂
b
von der Form
a
⦂
b
=
r
'
1
a b
+
s
'
1
a b
1
+
r
'
a
1
b
+
s
'
a
1
b
1
.
Überhaupt ergibt sich alles auf
a
⦂
b
bezügliche aus dem über
eru- irten einfachst, indem man
q
mit
r
vertauscht.
β
) Die allgemeinste
assoziative Knüpfung
im identischen Kalkul soll jetzt ermittelt werden, — mithin die „Lösung“ (der Funktional- gleichung) des Algorithmus
β
1
)
a
∘ (
b
∘
c
) = (
a
∘
b
) ∘
c
=
a
∘
b
∘
c
.
Wir erhalten gemäss
α
1
):
(
a
∘
b
) ∘
c
=
p
(
a
∘
b
)
c
+
q
(
a
∘
b
)
c
1
+
r
(
a̅
∘̅
b̅
)
c
+
s
(
a̅
∘̅
b̅
)
c
1
= = (
p
+
r
)
a b c
+ (
p q
+
p
1
s
)
a b c
1
+ (
p q
+
q
1
r
)
a b
1
c
+ + (
q
+
s
)
a b
1
c
1
+
p r a
1
b c
+ (
q r
+
r
1
s
)
a
1
b c
1
+ + (
p s
+
r s
1
)
a
1
b
1
c
+
q s a
1
b
1
c
1
,
a
∘ (
b
∘
c
) =
p a
(
b
∘
c
) +
q a
(
b̅
∘̅
c̅
) +
r a
1
(
b
∘
c
) +
s a
1
(
b̅
∘̅
c̅
) = = (
p
+
q
)
a b c
+
p q a b c
1
+ (
p r
+
q r
1
)
a b
1
c
+ (
p s
+
q s
1
)
a b
1
c
1
+ + (
p r
+
p
1
s
)
a
1
b c
+ (
q r
+
q
1
s
)
a
1
b c
1
+ (
r
+
s
)
a
1
b
1
c
+
r s a
1
b
1
c
1
.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Sollen diese beiden Ausdrücke für ganz beliebige
a
,
b
,
c
einander gleich sein, so müssen die gleichstelligen Koeffizienten übereinstimmen:
p
+
r
=
p
+
q
,
p q
+
p
1
s
=
p q
,
p q
+
q
1
r
=
p r
+
q r
1
,
q
+
s
=
p s
+
q s
1
,
p r
=
p r
+
p
1
s
,
q r
+
r
1
s
=
q r
+
q
1
s
,
p s
+
r s
1
=
r
+
s
,
q s
=
r s
.
Die acht Gleichungen lauten, rechts auf 0 gebracht:
p
1
(
q r
1
+
q
1
r
) = 0,
p
1
s
= 0,
p
1
(
q r
1
+
q
1
r
) = 0,
p
1
s
= 0,
p
1
s
= 0, (
q r
1
+
q
1
r
)
s
= 0,
p
1
s
= 0, (
q r
1
+
q
1
r
)
s
= 0,
und vereinigen sich zu der Gleichung
β
2
)
p
1
s
+ (
p
1
+
s
) (
q r
1
+
q
1
r
) = 0,
oder zu dem Subsumtionenprodukt:
(
s p
) (
q r
1
+
q
1
r p s
1
).
Wir wollen diese Aussage die „
Charakteristik
“ assoziativer Knüpfungen nennen. Dieselbe ist symmetrisch allgemein nach
p
,
q
,
r
,
s
zu lösen.
Der Subsumtion
s p
wird auf die allgemeinste Weise genügt — cf. Bd. 1, S. 504 —, indem man setzt:
s
=
ϰ λ
,
p
=
ϰ
+
λ
,
s
1
=
ϰ
1
+
λ
1
,
p
1
=
ϰ
1
λ
1
,
wonach
p s
1
=
ϰ λ
1
+
ϰ
1
λ
wird. Um der zweiten Forderung
q r
1
+
q
1
r ϰ λ
1
+
ϰ
1
λ
zu genügen, ist nunmehr ebenso zu bewirken, dass
q r
1
+
q
1
r
=
α β
,
ϰ λ
1
+
ϰ
1
λ
=
α
+
β
wird. Nach Bd. 1, S. 513 sq. sind hiezu die Lösungen:
ϰ
=
γ α
1
β
1
+
ζ
(
α
+
β
)
q
=
δ
(
α
1
+
β
1
) +
ε α β
λ
=
γ α
1
β
1
+
ζ
1
(
α
+
β
)
r
=
δ
(
α
1
+
β
1
) +
ε
1
α β
ϰ
1
=
γ
1
α
1
β
1
+
ζ
1
(
α
+
β
)
q
1
=
δ
1
(
α
1
+
β
1
) +
ε
1
α β
λ
1
=
γ
1
α
1
β
1
+
ζ
(
α
+
β
)
r
1
=
δ
1
(
α
1
+
β
1
) +
ε α β
Hiermit wird dann
p
=
γ
+
α
+
β
,
s
=
γ α
1
β
1
,
und
ζ
fällt ganz heraus; die allgemeinste assoziative Knüpfung im iden- tischen Kalkul ist sonach diese:
β
3
)
x
∘
y
= (
α
+
β
+
γ
)
x y
+ {(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
}
x y
1
+ + {(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
y
+
α
1
β
1
γ x
1
y
1
,
x̅
∘̅
y̅
=
α
1
β
1
γ
1
x y
+ {(
α
1
+
β
1
)
δ
1
+
α β ε
1
}
x y
1
+ + {(
α
1
+
β
1
)
δ
1
+
α β ε
}
x
1
y
+ (
α
+
β
+
γ
1
)
x
1
y
1
,
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
worin die fünf Gebiete
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ε
arbiträre Parameter vorstellen; und zwar kann unter ihnen
ε
noch nach Belieben festgesetzt werden (z. B. = 0 oder 1)
unbeschadet der Allgemeinheit
.
Als der übereinstimmende Wert von (
x
∘
y
) ∘
z
und
x
∘ (
y
∘
z
) stellt sich heraus, (indem die Probe stimmt):
β
4
)
x
∘
y
∘
z
= (
α
+
β
+
γ
+
δ
)
x y z
+ {(
α β
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
+
α β ε
}
x y z
1
+ + {(
α
+
β
+
γ
)
δ
+
α β
}
x y
1
z
+ {
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
}
x y
1
z
1
+ + {(
α α
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
y z
+ {
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
}
x
1
y z
1
+ + {
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
y
1
z
+
α
1
β
1
γ δ x
1
y
1
z
1
.
Wir substituiren hierin
z
∘
u
für
z
, um nun auch
x
∘
y
∘
z
∘
u
sorgfältig zu berechnen. Hierbei treten merkwürdigerweise alle Koeffi- zienten bis auf viere doppelt auf:
β
5
)
x
∘
y
∘
z
∘
u
= (
α
+
β
+
γ
)
x u
·
y z
+ {
α
1
β
1
γ
+ (
α
+
β
)
δ
+
α β
}
x u
·
y
1
z
1
+ + [{(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
}
x u
1
+ {(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
u
](
y z
+
y
1
z
1
) + + {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
}
x
1
u
1
·
y z
+
α
1
β
1
γ x
1
u
1
·
y
1
z
1
+ + [(
α β
+
δ
)
x u
+ {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
}
x u
1
+ + {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
u
+ (
α
1
+
β
1
)
δ x
1
u
1
](
y z
1
+
y
1
z
).
Die beiden Glieder in der ersten und resp. in der dritten Zeile würden sich analog zusammenziehen, wenn
α
1
β
1
γ
+ (
α
+
β
)
δ
+
α β
=
α
+
β
+
γ
,
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
=
α
1
β
1
γ
wäre; diese beiden Bedingungen laufen aber hinaus auf folgende:
(
α β
1
+
α
1
β
)
δ
1
= 0, (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
= 0
oder
α
=
β
.
Bedingungslos aber stellt der Ausdruck in der letzten eckigen Klammer auch seinerseits wieder eine assoziative Knüpfung vor.
Streng geordnet ist
β
6
)
x
∘
y
∘
z
∘
u
= (
α
+
β
+
γ
)
x y z u
+ {(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
}
x y z u
1
+ + (
α β
+
δ
)
x y z
1
u
+ {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
}
x y z
1
u
1
+ + (
α β
+
δ
)
x y
1
z u
+ {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
}
x y
1
z u
1
+ + {
α
1
β
1
γ
+ (
α
+
β
)
δ
+
α β
}
x y
1
z
1
u
+ {(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
}
x y
1
z
1
u
1
+ + {(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
y z u
+ {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
}
x
1
y z u
1
+ + {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
y z
1
u
+ (
α
1
+
β
1
)
δ x
1
y z
1
u
1
+ + {
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
y
1
z u
+ (
α
1
+
β
1
)
δ x
1
y
1
z u
1
+ + {(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
}
x
1
y
1
z
1
u
+
α
1
β
1
γ x
1
y
1
z
1
u
1
.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Nennt man hier
m
und
n
die Koeffizienten und
m
…
u
+
n
…
u
1
die beiden Glieder in irgend einer Zeile, und substituirt nun
u
∘
v
für
u
resp.
u̅
∘̅
v̅
für
u
1
, so entsteht daraus
m
… (
p u v
+
q u v
1
+
r u
1
v
+
s u
1
v
1
) + +
n
… (
p
1
u v
+
q
1
u v
1
+
r
1
u
1
v
+
s
1
u
1
v
1
) = = (
m p
+
n p
1
) …
u v
+ (
m q
+
n q
1
) …
u v
1
+ + (
m r
+
n r
1
) …
u
1
v
+ (
m s
+
n s
1
) …
u
1
v
1
;
es ist damit angedeutet, auf welche Weise die Koeffizienten bei Hin- zutritt eines weiteren symbolischen Faktors aus den vorigen abzuleiten sind. Und zwar gilt diese Ableitung offenbar allgemein auch für die Fortsetzung und Ausdehnung des Verfahrens auf noch mehr Faktoren.
Ein Bildungsgesetz für die Koeffizienten muss sich indessen er- geben, wenn wir bis zu einem Produkt aus höchstens 8 symbolischen Faktoren weiter gehen, weil spätestens von da ab die früheren Koeffizienten sich nur immer wiederholen müssen.
Denn die Charakteristik fordert das Wegfallen der Hälfte von den 16 Konstituenten in
p
,
q
,
r
,
s
, und mit den übrigen 8 können blos 2
8
= 256 verschiedene Ausdrücke gebildet werden, — eben nur so viele, als das entwickelte symbolische Produkt der 8 Terme Glieder aufweist.
Doch reduzirt sich die Zahl der zu gedachtem Zweck zu berechnenden Koeffizienten noch ganz erheblich. Zunächst nämlich ist zu beachten, dass zu den 4 Koeffizienten von
x
∘
y
und den 2
3
= 8 Koeffizienten von
x
∘
y
∘
z
zuletzt mit
x
∘
y
∘
z
∘
u
statt 2
4
= 16 nur 6 neue verschiedene hinzugekommen sind, da in
β
6
) nur die 10 in
β
5
) zusammengestellten Koeffizienten von einander verschieden sind, von diesen aber wieder das erste und das letzte Koeffizientenpaar (in
β
6
)) schon bei
x
∘
y
vor- kommt. Diese beiden Paare liefern ebenso, wie die Koeffizienten von
x
∘
y
∘
z
, auch die vier ersten und die vier letzten Koeffizienten von
x
∘
y
∘
z
∘
u
∘
v
.
In diesem letzteren Ausdruck werden aber zudem von den übrigen 2
5
— 8 = 24 zu berechnenden Koeffizienten jedenfalls weitere 8 doppelt auftreten, nämlich je die 4, welche der zweiten oder dritten bezw. der sechsten oder siebenten Zeile in
β
6
) entstammen, wegen der Überein- stimmung dieser beiden Zeilenpaare in den Koeffizienten.
Für die hiernach noch übrigen 16 Koeffizienten berechnen sich folgende Werte, und zwar aus der zweiten (und dritten) Zeile von
β
6
) die viere:
α β
+ (
α
+
β
+
γ
)
δ
,
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
,
*
α β
+
δ
+
α
1
β
1
γ
,
(
α β
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
+
α β ε
,
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 32
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
aus der vierten Zeile:
α β
+
δ
+
α
1
β
1
γ
,
(
α β
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
+
α β ε
,
α β
+ (
α
+
β
+
γ
)
δ
,
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
,
aus der fünften Zeile:
(
α β
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
+
α β ε
1
,
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
,
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
,
*(
α β
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
,
endlich aus der sechsten (und siebenten) Zeile:
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
,
(
α β
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
,
(
α β
1
+
α
1
β
+
α
1
β
1
γ
)
δ
+
α β ε
1
,
α
1
β
1
γ
+ (
α
1
+
β
1
)
δ
.
An neuen Koeffizienten sind hiernach nur die beiden besternten * zu den bisherigen 18 hinzugekommen. Auch ergaben sich nur vierer- lei Paare, von denen das erste und letzte schon bei
x
∘
y
∘
z
vorkamen.
Um fortzufahren, haben wir also nur noch die beiden neuentstandenen Paare demselben Algorithmus zu unterwerfen. Das erste von diesen (in der zweiten oder dritten unserer Koeffizientenzeilen) liefert:
α
1
β
1
γ
+ (
α
+
β
)
δ
+
α β
,
(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
,
α β
+
δ
,
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
,
das andere (in der sechsten oder siebenten Zeile):
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
+
α β ε
1
,
(
α
1
+
β
1
)
δ
,
(
α
1
+
β
1
)
δ
+
α β ε
1
,
α
1
β
1
γ
+ (
α β
1
+
α
1
β
)
δ
.
Diese Paare sind aber sämtlich unter
x
∘
y
∘
z
∘
u
schon vorgekommen, sodass wir den Abschluss erreicht haben.
Es können sonach in allen symbolischen Produkten aus noch so viel Faktoren nicht mehr als die bisherigen 20 Koeffizienten vorkommen, die sich in den Knüpfungen aus 2, 3, 4 und 5 symbolischen Faktoren erstmals vollständig zusammenfinden, von da ab nur wiederholen.
Ist nun ein symbolisches Produkt von
N
Faktoren gegeben, wohl- geordnet und so hingeschrieben, dass die Glieder seiner Entwicklung zu je zweien in einer Zeile stehen, wie oben in
β
4
) und
β
6
), und man will das symbolische Produkt aus
N
+ 1 Faktoren bilden, so wird jede Zeile des gegebenen Produktes zwei Zeilen des gesuchten, jedes gegebene Koeffizientenpaar einer Zeile deren zwei neue liefern. Die folgende Tafel
β
9
) gibt zu jedem Koeffizientenpaar (links einer {-Klammer) die beiden daraus hervorgehenden Koeffizientenpaare (rechts), wobei ich mich der im nachstehenden Koeffizientenverzeichniss
β
7
) gedeuteten Buch- stabenbezeichnungen bediene.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
β
7
β
8
Tafel
β
9
Mit Hülfe dieser Tafel lässt sich nun ohne weiteres hinschreiben:
32*
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
Man sieht, dass für
c
' =
p
,
f
' =
s
, das heisst (cf. oben S. 496) für
β
10
)
β
=
α
eine beträchtliche Vereinfachung eintritt. In diesem „
ausgezeichneten Falle
“
β
10
) unserer symbolischen Multiplikation fallen nämlich von den 20 Koeffizienten viere fort, indem
c
' =
p
,
f
' =
s
,
p
' =
a
,
s
' =
h
wird, und die noch übrigen reduziren sich zu:
p
=
α
+
γ
q
=
α
1
δ
+
α ε
r
=
α
1
δ
+
α ε
1
s
=
α
1
γ
a
=
α
+
γ
+
δ
b
=
α
1
γ δ
+
α ε
c
=
α
+
γ δ
d
=
α
1
(
γ
+
δ
) +
α ε
e
=
α
1
γ δ
+
α ε
1
f
=
α
1
(
γ
+
δ
)
g
=
α
1
(
γ
+
δ
) +
α ε
1
h
=
α
1
γ δ
a
' =
α
+
δ
b
' =
α
1
γ
+
α ε
g
' =
α
1
γ
+
α ε
1
h
' =
α
1
δ
.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
x
∘
y
und
x
∘
y
∘
z
bleiben bei dieser Annahme unverändert; dagegen wird einfacher:
x
∘
y
∘
z
∘
u
= (
p x u
+
q x u
1
+
r x
1
u
+
s x
1
u
1
) (
y z
+
y
1
z
1
) + + (
a
'
x u
+
b
'
x u
1
+
g
'
x
1
u
+
h
'
x
1
u
1
) (
y z
1
+
y
1
z
),
x
∘
y
∘
z
∘
u
∘
v
= = (
a x v
+
b x v
1
+
e x
1
v
+
f x
1
v
1
) (
y z u
+
y z
1
u
1
+
y
1
z u
1
+
y
1
z
1
u
) + + (
c x v
+
d x v
1
+
g x
1
v
+
h x
1
v
1
) (
y z u
1
+
y z
1
u
+
y
1
z u
+
y
1
z
1
u
1
),
x
∘
y
∘
z
∘
u
∘
v
∘
w
= = (
p x w
+
q x w
1
+
r x
1
w
+
s x
1
w
1
) · · (
y z u v
+
y z u
1
v
1
+
y z
1
u v
1
+
y z
1
u
1
v
+
y
1
z u v
1
+
y
1
z u
1
v
+
y
1
z
1
u v
+
y
1
z
1
u
1
v
1
) + + (
a
'
x w
+
b
'
x w
1
+
g
'
x
1
w
+
h
'
x
1
w
1
) · · (
y z u v
1
+
y z u
1
v
+
y z
1
u v
+
y
1
z u v
+
y z
1
u
1
v
1
+
y
1
z u
1
v
1
+
y
1
z
1
u v
1
+
y
1
z
1
u
1
v
),
und so weiter!
Das symbolische Produkt
x
∘
y
∘ … ∘
u
∘
v
∘
w
beliebig vieler Argumente stellt sich offenbar hier stets dar als Binom zweier (iden- tischer) Produkte aus je zwei Faktoren, von denen der eine das erste Argument
x
mit dem letzten
w
verknüpft nach einem der vier Knüpfungsschemata:
β
11
)
x
∘
w
=
p x w
+
q x w
1
+
r x
1
w
+
s x
1
w
1
x
w
=
a
'
x w
+
b
'
x w
1
+
g
'
x
1
w
+
h
'
x
1
w
1
x
w
=
a x w
+
b x w
1
+
e x
1
w
+
f x
1
w
1
x
w
=
c x w
+
d x w
1
+
g x
1
w
+
h x
1
w
1
,
während der andere die übrigen Argumente
y
, …
u
,
v
enthält. Denkt man sich die identische 1 nach diesen
y
, …
u
,
v
entwickelt, und be- zeichnet man die eine Hälfte dieser Entwicklung, nämlich die Summe derjenigen Entwicklungsglieder, welche eine
gerade
Anzahl (0, 2, 4, …) Negate aufweisen, also
y
…
u v
+
y
…
u
1
v
1
+ …, durch deren erstes Glied mit vorgesetztem Summenzeichen, und ebenso entsprechend die andere Hälfte, so gilt für eine
gerade
Zahl von symbolischen Faktoren:
x
∘
y
∘ … ∘
u
∘
v
∘
w
= (
x
∘
w
)
Σ y
…
u v
+ (
x
w
)
Σ y
…
u v
1
,
für eine
ungerade
Zahl dagegen:
x
∘
y
∘ … ∘
u
∘
v
∘
w
= (
x
w
)
Σ y
…
u v
+ (
x
w
)
Σ y
…
u v
1
.
Die vier Knüpfungen
β
11
) sollen einander „
konjugirte
“ heissen, die drei letzten auch „der ersten
zugeordnet
“.
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
Dieselben sind je für sich wieder assoziative Knüpfungen oder symbolische Multiplikationen; denn die Charakteristik
β
2
) ist erfüllt wie für die erste derselben:
p
1
s
+ (
p
1
+
s
) (
q r
1
+
q
1
r
) = 0,
so auch für die ihr zugeordneten Knüpfungen:
a
'
1
h
' + (
a
'
1
+
h
') (
b
'
g
'
1
+
b
'
1
g
') = 0
a
1
f
+ (
a
1
+
f
) (
b e
1
+
b
1
e
) = 0
c
1
h
+ (
c
1
+
h
) (
d g
1
+
d
1
g
) = 0,
wie man leicht nachrechnet.
γ
)
Distributiver Zusammenhang.
Welches sind die Bedingungen dafür, dass zwei Knüpfungen, die als symbolische Multiplikation und Addition bezeichnet werden mögen:
x
∘
y
=
p x y
+
q x y
1
+
r x
1
y
+
s x
1
y
1
x y
=
a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
y
1
,
in dem distributiven Zusammenhang stehen:
x
∘ (
y z
) =
x
∘
y x
∘
z
?
Es wird
x
∘ (
y z
) = (
p x
+
r x
1
) (
a y z
+
b y z
1
+
c y
1
z
+
d y
1
z
1
+ + (
q x
+
s x
1
) (
a
1
y z
+
b
1
y z
1
+
c
1
y
1
z
+
d
1
y
1
z
1
) = = (
a p
+
a
1
q
)
x y z
+ (
b p
+
b
1
q
)
x y z
1
+ + (
c p
+
c
1
q
)
x y
1
z
+ (
d p
+
d
1
q
)
x y
1
z
1
+ + (
a r
+
a
1
s
)
x
1
y z
+ (
b r
+
b
1
s
)
x
1
y z
1
+ + (
c r
+
c
1
s
)
x
1
y
1
z
+ (
d r
+
d
1
s
)
x
1
y
1
z
1
,
und andrerseits
x
∘
y x
∘
z
= =
a
(
p x y
+
q x y
1
+
r x
1
y
+
s x
1
y
1
) (
p x z
+
q x z
1
+
r x
1
z
+
s x
1
z
1
) + +
b
(
p x y
+
q x y
1
+
r x
1
y
+
s x
1
y
1
) (
p
1
x z
+
q
1
x z
1
+
r
1
x
1
z
+
s
1
x
1
z
1
) + +
c
(
p
1
x y
+
q
1
x y
1
+
r
1
x
1
y
+
s
1
x
1
y
1
) (
p x z
+
q x z
1
+
r x
1
z
+
s x
1
z
1
) + +
d
(
p
1
x y
+
q
1
x y
1
+
r
1
x
1
y
+
s
1
x
1
y
1
) (
p
1
x z
+
q
1
x z
1
+
r
1
x
1
z
+
s
1
x
1
z
1
) = =
a
(
p y
+
q y
1
) (
p z
+
q z
1
)
x
+
a
(
r y
+
s y
1
) (
r z
+
s z
1
)
x
1
+ +
b
(
p y
+
q y
1
) (
p
1
z
+
q
1
z
1
)
x
+
b
(
r y
+
s y
1
) (
r
1
z
+
s
1
z
1
)
x
1
+ +
c
(
p
1
y
+
q
1
y
1
) (
p z
+
q z
1
)
x
+
c
(
r
1
y
+
s
1
y
1
) (
r z
+
s z
1
)
x
1
+ +
d
(
p
1
y
+
q
1
y
1
) (
p
1
z
+
q
1
z
1
)
x
+
d
(
r
1
y
+
s
1
y
1
) (
r
1
z
+
s
1
z
1
)
x
1
= = (
a p
+
d p
1
)
x y z
+ (
a p q
+
b p q
1
+
c p
1
q
+
d p
1
q
1
)
x y z
1
+ + (
a p q
+
c p q
1
+
b p
1
q
+
d p
1
q
1
)
x y
1
z
+ (
a q
+
d q
1
)
x y
1
z
1
+ + (
a r
+
d r
1
)
x
1
y z
+ (
a r s
+
b r s
1
+
c r
1
s
+
d r
1
s
1
)
x
1
y z
1
+ + (
a r s
+
c r s
1
+
b r
1
s
+
d r
1
s
1
)
x
1
y
1
z
+ (
a s
+
d s
1
)
x
1
y
1
z
1
.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Vergleichung der Koeffizienten in den gleichnamigen Gliedern ergibt 8 Gleichungen, die, rechts auf 0 gebracht und links nach den
p
,
q
bezw.
r
,
s
entwickelt, zu je zweien übereinstimmen:
a
1
p q
+ 0 ·
p q
1
+ (
a d
+
a
1
d
1
)
p
1
q
+
d p
1
q
1
= 0
a
1
p q
+ 0 ·
p q
1
+ (
b c
+
b
1
c
1
)
p
1
q
+
d p
1
q
1
= 0
a
1
r s
+ 0 ·
r s
1
+ (
a d
+
a
1
d
1
)
r
1
s
+
d r
1
s
1
= 0
a
1
r s
+ 0 ·
r s
1
+ (
b c
+
b
1
c
1
)
r
1
s
+
d r
1
s
1
= 0.
Die vereinigte Gleichung dieser Bedingungen ist also:
a
1
(
p q
+
r s
) + (
a d
+
a
1
d
1
+
b c
+
b
1
c
1
) (
p
1
q
+
r
1
s
) +
d
(
p
1
q
1
+
r
1
s
1
) = 0.
δ
) Eine Knüpfung soll dem
Gesetze δ
1
)
(
a
∘
b
) ∘ (
b
∘
c
) =
a
∘
c
genügen. Also bilde
p
(
a
∘
b
) (
b
∘
c
) +
q
(
a
∘
b
) (
b̅
∘̅
c̅
) +
r
(
a̅
∘̅
b̅
) (
b
∘
c
) +
s
(
a̅ ̅b̅
) (
b̅
∘̅
c̅
) = =
p
{(
p a
+
r a
1
)
b
+ (
q a
+
s a
1
)
b
1
} {(
p c
+
q c
1
)
b
+ (
r c
+
s c
1
)
b
1
} + +
q
{(
p a
+
r a
1
)
b
+ (
q a
+
s a
1
)
b
1
} {(
p
1
c
+
q
1
c
1
)
b
+ (
r
1
c
+
s
1
c
1
)
b
1
} + +
r
{(
p
1
a
+
r
1
a
1
)
b
+ (
q
1
a
+
s
1
a
1
)
b
1
} {(
p c
+
q c
1
)
b
+ (
r c
+
s c
1
)
b
1
} + +
s
{(
p
1
a
+
r
1
a
1
)
b
+ (
q
1
a
+
s
1
a
1
)
b
1
} {(
p
1
c
+
q
1
c
1
)
b
+ (
r
1
c
+
s
1
c
1
)
b
1
} = =
p
(
p a
+
r a
1
) (
p c
+
q c
1
)
b
+
p
(
q a
+
s a
1
) (
r c
+
s c
1
)
b
1
+ +
q
(
p a
+
r a
1
) (
p
1
c
+
q
1
c
1
)
b
+
q
(
q a
+
s a
1
) (
r
1
c
+
s
1
c
1
)
b
1
+ +
r
(
p
1
a
+
r
1
a
1
) (
p c
+
q c
1
)
b
+
r
(
q
1
a
+
s
1
a
1
) (
r c
+
s c
1
)
b
1
+ +
s
(
p
1
a
+
r
1
a
1
) (
p
1
c
+
q
1
c
1
)
b
+
s
(
q
1
a
+
s
1
a
1
) (
r
1
c
+
s
1
c
1
)
b
1
= = (
p
+
s
)
a b c
+ (
p q
+
q r
+
p
1
q
1
s
)
a b c
1
+ + (
p q
+
q r
1
+
q
1
r
+
q
1
s
)
a b
1
c
+ (
p q
+
q s
1
+
q
1
r s
)
a b
1
c
1
+ + (
p r
+
q r
+
p
1
r
1
s
)
a
1
b c
+ (
p q r
+
q
1
r
1
s
)
a
1
b c
1
+ + (
p r
+
q r
1
s
+
r s
1
)
a
1
b
1
c
+
p s a
1
b
1
c
1
= = {(
p
+
s
)
a c
+ (
p q
+
q r
+
p
1
q
1
s
)
a c
1
+ (
p r
+
q r
+
p
1
r
1
s
)
a
1
c
+ (
p q r
+
q
1
r
1
s
)
a
1
c
1
}
b
+ + {(
p q
+
q r
1
+
q
1
r
+
q
1
s
)
a c
+ (
p q
+
q s
1
+
q
1
r s
)
a c
1
+ (
p r
+
q r
1
s
+
r s
1
)
a
1
c
+
p s a
1
c
1
}
b
1
.
Dies soll gleich werden dem Ausdruck:
a
∘
c
=
p a c
+
q a c
1
+
r a
1
c
+
s a
1
c
1
,
also nur scheinbar eine Funktion von
b
, in Wirklichkeit unabhängig von
b
sein. Wenn nun etwa die Funktion
f
(
x
) =
A x
+
B x
1
konstant inbezug auf
x
sein soll, so ist für beliebige
x
,
y
f
(
x
) =
f
(
y
),
A x
+
B x
1
+
A y
+
B y
1
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
oder rechts auf 0 gebracht
(
A B
1
+
A
1
B
) (
x y
1
+
x
1
y
) = 0.
Durch Elimination von
x
,
y
erhalten wir die Resultante:
A B
1
+
A
1
B
= 0 oder
A
=
B
als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass
A x
+
B x
1
un- abhängig von
x
werde.
In unserem Falle nun müssen also die Koeffizienten von
b
und
b
1
einander gleich sein, und zwar für beliebige
a
,
c
; es folgt daher:
δ
2
p
+
s
=
p q
+
q r
1
+
q
1
r
+
q
1
s
=
p
p q
+
q r
+
p
1
q
1
s
=
p q
+
q s
1
+
q
1
r s
=
q
p r
+
q r
+
p
1
r
1
s
=
p r
+
r s
1
+
q r
1
s
=
r
p q r
+
q
1
r
1
s
=
p s
=
s
Lassen wir den letzten Teil rechts, der sich aus der Gleichsetzung mit
a
∘
c
ergibt, vorerst beiseite, um zunächst nur das Kriterium der Unabhängigkeit des (
a
∘
b
) ∘ (
b
∘
c
) von
b
zu gewinnen, so sind die vier Gleichungen linkerhand zunächst auf 0 zu bringen, zu welchem Ende man ihre beiden Seiten zweckmässig nach
q
,
r
oder
q r
entwickelt. Man erhält:
p
1
s
1
(
q r
1
+
q
1
r
) +
p
1
s
·
q r
+
p s
1
·
q
1
r
1
= 0
p
1
s
(
q r
+
q
1
r
1
) +
p
1
s
1
·
q r
1
+
p s
·
q
1
r
= 0
p
1
s
(
q r
+
q
1
r
1
) +
p s
·
q r
1
+
p
1
s
1
·
q
1
r
= 0
p s
(
q r
1
+
q
1
r
) +
p s
1
·
q r
+
p
1
s
·
q
1
r
1
= 0,
und als ihre vereinigte Gleichung
δ
3
)
(
p s
1
+
p
1
s
) (
q r
+
q
1
r
1
) + (
p s
+
p
1
s
1
) (
q r
1
+
q
1
r
) = 0, oder
p s
1
+
p
1
s
=
q r
1
+
q
1
r
, oder
p s
+
p
1
s
1
=
q r
+
q
1
r
1
,
oder endlich auch (
p q r s p
+
q
+
r
) (
p q s r p
+
q
+
s
) (
p r s q p
+
r
+
s
) (
q r s p q
+
r
+
s
), d. h. jeder von den vier Koeffizienten muss zwischen dem Produkt und der Summe der drei andern liegen.
Um diese Gleichung
δ
3
) symmetrisch allgemein zu lösen, ersetze man sie durch die beiden:
p s
1
+
p
1
s
=
ε
,
q r
1
+
q
1
r
=
ε
;
dann erhält man nach Bd. 1, S. 514:
p
=
α ε
1
+
β ε p
1
=
α
1
ε
1
+
β
1
ε q
=
γ ε
1
+
δ ε q
1
=
γ
1
ε
1
+
δ
1
ε s
=
α ε
1
+
β
1
ε s
1
=
α
1
ε
1
+
β ε r
=
γ ε
1
+
δ
1
ε r
1
=
γ
1
ε
1
+
δ ε
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen
δ
2
) ergibt die folgenden:
α
+
ε
=
α ε
1
+
β ε
(
β δ
+
β
1
δ
1
)
ε
+
γ ε
1
=
γ ε
1
+
δ ε
(
β δ
1
+
β
1
δ
)
ε
+
γ ε
1
=
γ ε
1
+
δ
1
ε α ε
1
=
α ε
1
+
β
1
ε
,
welche insgesamt auf die eine
δ
4
)
β
1
ε
= 0,
ε β
hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung
ε
=
ζ η
,
β
=
ζ
+
η
und hiernach
p
=
α
+
ζ η
p
1
=
α
1
(
ζ
1
+
η
1
)
q
=
γ
(
ζ
1
+
η
1
) +
δ ζ η
q
1
=
γ
1
(
ζ
1
+
η
1
) +
δ
1
ζ η
s
=
α
(
ζ
1
+
η
1
)
s
1
=
α
1
+
ζ η
r
=
γ
(
ζ
1
+
η
1
) +
δ
1
ζ η
r
1
=
γ
1
(
ζ
1
+
η
1
) +
δ ζ η
,
oder wenn nach
jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile durch den darunter stehenden ersetzt wird,
δ
5
p
=
α β
+
ε
q
= (
a
1
+
β
1
)
γ
+
α β δ
r
= (
α
1
+
β
1
)
γ
+
α β δ
1
s
= (
α
1
+
β
1
)
ε
p
1
= (
α
1
+
β
1
)
ε
1
q
1
= (
α
1
+
β
1
)
γ
1
+
α β δ
1
r
1
= (
α
1
+
β
1
)
γ
1
+
α β δ
s
1
=
α β
+
ε
1
.
Mithin stellt
x
∘
y
= (
α β
+
ε
)
x y
+ {(
α
1
+
β
1
)
γ
+
α β δ
}
x y
1
+ + {(
α
1
+
β
1
)
γ
+
α β δ
1
}
x
1
y
+ (
α
1
+
β
1
)
ε x
1
y
1
die gesuchte, dem Gesetz
δ
1
) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist, wie man sieht,
nicht kommutativ
, wol aber
assoziativ
, da die Charakte- ristik
β
2
) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist.
Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der- jenigen
δ
3
) der Unabhängigkeit des (
a
∘
b
) ∘ (
b
∘
c
) von
b
nur noch die Forderung
p
1
s
= 0
hinzuzufügen (cf.
δ
4
); — oder da
p
1
s
(
q r
+
q
1
r
1
) = 0 bereits in der Un- abhängigkeitscharakteristik
δ
3
) enthalten war, so wird letztere von der gesuchten blos um den Term
p
1
s
(
q r
1
+
q
1
r
) übertroffen, welcher = 0 gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge- suchte lautet also:
δ
6
)
p
1
s
+ (
p
1
+
s
) (
q r
1
+
q
1
r
) +
p s
1
(
q r
+
q
1
r
1
) = 0,
wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die Charakteristik
β
2
) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub- sumtionenform erhält man aus
δ
6
)
(
p q r s p q
+
r
+
s
) (
r s q p
+
r
) (
q s r p
+
q
).
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
§ 56.
Über die Modalität der Urteile.
Mit Kant teilt die schulmässige Logik bekanntlich die Urteile ein in die drei Kategorien der „apodiktischen“, der „assertorischen“ und der „problematischen“, je nachdem dieselben — sofern sie kategorisch sind — unter einer von den drei Formen sich darstellen:
A muss B
sein, oder:
A
ist
notwendig B
,
A ist B
, oder:
A
ist thatsächlich,
zufällig B
,
A kann B
sein, oder
A
ist
möglicherweise
(vielleicht)
B
.
Es genügt für das folgende, an die bejahende kategorische Urteilsform sich zu halten, da das Schema
A B
derselben auch die verneinenden kategorischen, sowie die hypothetischen und disjunktiven mit umfasst; in der That kann
B
auch durch „nicht-
B
“ vertreten sein; und es kann, wie schon in der 15. Vorlesung gezeigt ist, dieselbe Subsumtion auch — mit Rücksicht auf die drei Modalitätskategorien — benutzt werden für die Ausdrucksformen:
Wenn
A
gilt, so
muss
(notwendig)
B
gelten, (Zufällig)
gilt B
, wann
A
gilt, Wenn
A
gilt, so
kann B
gelten, (gilt vielleicht),
also für hypothetische Urteile; endlich können nach S. 62 f. die disjunktiven und die noch allgemeineren alternativen Urteile leicht in die hypothetische Urteilsform umgeschrieben werden.
Der Einteilungsgrund zu der vorstehenden Klassifikation der Urteile, ihre „Modalität“, sollte sein ein genus proximum zu den Begriffen der Not- wendigkeit, der Zufälligkeit (oder zufälligen Thatsächlichkeit) und der Möglichkeit. Und zwar setzte sich die Anschauung fest, als ob durch diese drei Prädikate verschiedene Grade der Gewissheit ausgedrückt würden, sodass das apodiktische Urteil eine höhere Garantie für die Wahrheit des Urteils gewähre, als das blos assertorische, und dieses wieder mehr, als das problematische. Demgemäss wurde unter zweien von den drei Urteilsformen die eine als eine
stärkere
Versicherung hin- gestellt, die andere dagegen
schwächer
genannt. Die Scholastik glaubte, — für die Syllogismen wenigstens — die Modalität der Konklusion nach derjenigen der Prämissen bestimmen zu können durch die Regel: „Conclusio sequitur partem debiliorem“, gemäss welcher der Konklusion die Modalität der im erläuterten Sinne schwächsten Prämisse zukäme.
Von den einfachen Syllogismen musste sich dieser Satz auf alle, wenn auch noch so zusammengesetzten deduktiven Schlässe übertragen, in Anbetracht, dass nach der Lehre der schulmässigen Logik alle deduktiven Schlässe durch blosses Zusammenwirken einfacher Syllogismen zustande kommen sollten.
Alles deduktive Schliessen aber sollte beruhen auf den vier Grund- sätzen oder „Denkgesetzen“ der
Identität
, des
Widerspruchs
, des
ausgeschlossenen Mittels
und der
Kausalität
.
§ 56. Über die Modalität der Urteile.
Wie vielsinnig indessen — zunächst — der Grundsatz der Kausalität ist, wie unklar darum der Ausdruck oft bei Denjenigen geblieben, die den- selben im Munde führen, — und wie Unrecht man gethan hat, diesen, — im einen Sinne metaphysischen, im andern psychologischen Grundsatz mit den übrigen, den
logischen
Prinzipien auf eine Linie zu stellen, ist schon von mehreren Seiten ausgeführt worden, — vergl. hiezu auch Bd. 1, S. 26, sowie
Sigwart
1
p. 203 … 212. Wir haben bei Begründung und Ausgestaltung des ganzen Gebäudes unserer Umfangslogik niemals Veranlassung oder auch nur eine Möglichkeit gehabt, uns auf jenen Grundsatz zu berufen oder den- selben irgend wie zu verwerten. Die übrigen drei „Denkgesetze“ haben wir zum Teil durch andere, gleichfalls nicht zahlreiche ersetzt, und es dürfte aus unseren Erörterungen unwiderleglich hervorgehen, dass jene Denkgesetze nicht ausreichen, um die Regeln des folgerichtigen Schliessens auch nur innerhalb der traditionellen Logik ausschliesslich auf sie gründen zu können, — selbst wenn, wie geschehen, das Prinzip der Identität noch erweitert wird zu dem der „
Übereinstimmung
“, welch letzteres wesentlich auf unser Th. 6
×
)
a b a
hinausläuft.
Die Mängel obiger Anschauung wurden nun aber von neueren Philo- sophen, insbesondere von
Sigwart
1
p. 189 … 232 und F. A.
Lange
1
p. 30 … 54, schon so vortrefflich und gründlich blosgelegt, dass mir, indem ich auf die Genannten verweise, hier nur wenig hinzuzufügen übrig bleibt.
In den Urteilen „
A
ist notwendig, resp. wirklich, resp. möglicher- weise
B
“ gehören die Adverbia nicht zum Prädikate; die Urteile prädi- ziren nicht über das grammatische Subjekt des Satzes, sondern lediglich über den Stand unserer Erkenntniss inbezug auf das Urteil „
A
ist
B
,“ welch letzteres selbst also das
logische
Subjekt der Aussage vorstellt.
Das problematische Urteil im besonderen verneint nur, dass die Verneinung jenes Urteils „
A
ist
B
“ uns als gewiss gelte. Ist aber un- gewiss, ob ein Urteil zu verneinen sei, so ist auch ungewiss, ob es zu bejahen ist, und umgekehrt. Denn wäre es gewisslich zu bejahen, so wäre es (cf. Th. 31)) sicherlich nicht zu verneinen, etc. Die beiden Urteile
„
A
ist vielleicht
B
“ und „
A
ist vielleicht nicht
B
“
stehen also nicht im Widerspruch mit einander; vielmehr sofern sie singuläre sind, bedingen sie sogar einander gegenseitig, sind äquipollent. Wogegen andernfalls noch die dritte Möglichkeit besteht, dass
A
weder
B
noch nicht-
B
, sondern teils
B
, teils nicht-
B
sein mag.
Das assertorische und das apodiktische Urteil stellen beide die Geltung von
A B
als eine für uns
gewisse
hin. Im apodiktischen Urteil findet noch obendrein eine Berufung auf die „Denknotwendigkeit“, ein Hinweis auf das Gefühl der Evidenz seiner Geltung statt. Das assertorische Urteil enthält dagegen einen solchen Hinweis nicht. Es
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
scheint in manchen seiner Formen, wie „
A
ist
wirklich
, ist
thatsächlich B
“ solche Denknotwendigkeit noch zuzulassen, sie wenigstens nicht gerade auszuschliessen; in anderen Formen, wie „
A
ist (nur)
zufällig B
“ stellt es diese Denknotwendigkeit ausdrücklich in Abrede und be- zeichnet die Verneinung des Urteils als
denk
möglich, wenn auch als nicht der Wirklichkeit entsprechend.
Dieser Unterschied zwischen „apodiktisch“ und „assertorisch“ in- dessen ist, so gefasst, überhaupt kein logischer, sondern blos ein psychologischer; in logischer Beziehung erscheint es subjektivem Be- lieben anheimgegeben, ob man das Urteil
A B
, nachdem dasselbe einmal als gewiss richtig erkannt ist, als assertorisches „
A
ist
B
“ oder als das apodiktische „
A
muss
B
sein“ formuliren will.
Dies dürfte unbestritten bleiben in Bezug auf anerkannt apodiktische Urteile, wie „2 × 2 ist 4“ oder „muss 4 sein“. Aber auch wer z. B. nach der Uhr sah, mag assertorisch sagen „es ist vier Uhr“, ebensogut aber auch apodiktisch: „es muss vier Uhr sein;“ (nämlich nachdem bekannt ist, dass die Uhr richtig geht und richtig abgelesen wurde).
Ohne dass Denknotwendigkeiten mitspielen, — mögen dieselben psychologisch auch nicht immer zum Bewusstsein gelangen, — kann überhaupt kein Urteil zustande kommen, auch nicht ein assertorisches. Immer müssen doch Gründe vorhanden sein, welche zur Aufstellung des Urteils „
A
ist
B
“ veranlassen und berechtigen (Kausalitätsgesetz!); andernfalls wäre diese Behauptung eine willkürliche Annahme und überhaupt keiner Gewissheit teilhaftig, also ebensowenig assertorisch, wie apodiktisch.
Selbst bei Urteilen wie „ich will dies“, welche den eigenen Empfindungs- oder Willenszustand des Urteilenden statuiren, ist eine Berufung auf die Denknotwendigkeit möglich, welche von dem Innewerden des eigenen Zu- standes zur Abgabe des Urteils führt: „ich muss wollen, ich will gewiss“ statt „ich will“!
Gänzlich verfehlt ist es jedenfalls, — wie die genannten Philosophen ausgeführt haben, — den apodiktischen Urteilen einen höhern Grad von Gewissheit zuzuschreiben, als den assertorischen, sofern man glaubt, den letzteren überhaupt Gewissheit zuschreiben zu dürfen. Im Gegen- teil gibt ein als Ergebniss von Schlüssen in apodiktischer Form auf- gestelltes Urteil „
A
muss
B
sein“ Zweifeln Raum an der Vollständig- keit der Prämissen sowol als an der Bündigkeit der Schlusskette, die auf das Urteil führte, und pflegt daher weniger Zutrauen zu finden und zu verdienen, als das etwa auf Grund unmittelbarer Wahrnehmung assertorisch abgegebene Urteil „
A
ist
B
“, — wie die Genannten durch eine Reihe schlagender Beispiele erhärten.
§ 56. Über die Modalität der Urteile.
„Apodiktischer Charakter“ kommt jedenfalls allen „apriorischen“ oder „analytischen“ Wahrheiten („Truismen“) zu, (wie: „schwarze Pferde sind schwarz“, „2 × 2 ist 4“), die wir in § 20 bereits betrachtet haben. Sie erscheinen in den einfacheren Fällen als „nichtssagend,“ „selbst- verständlich“, „
evident
“ und sind uns dann unmittelbar mit dem Sinn der Wörter und der Herrschaft über die Zeichen gegeben, indem sie weiter nichts zum Ausdruck bringen als Gesetze, die den richtigen Ge- brauch jener bestimmen und regeln. In den verwickelteren Fällen sind sie doch in den vorigen und etwa noch weiterhin aufgestellten Definitionen denknotwendig enthalten, mögen die Schlussreihen, mittelst welcher dies klargestellt wird, auch noch so mühsame und langwierige sein.
Es gilt nämlich für apodiktische Urteile der bezeichneten Art mit Denknotwendigkeit der Satz:
Jede Konklusion aus lauter analytisch-apo- diktischen Prämissen hat wiederum apodiktische Geltung
Dieser Satz ist dagegen keineswegs umkehrbar, da man auch aus problematischen Prämissen nach dem Aussagensatz
a b a
alle einzelnen, jederzeit — stillschweigend oder ausdrücklich — zugleich mit voraus- gesetzten analytischen Thatsachen folgerichtig herleiten kann. — Nicht immer also richtet sich die Konklusion in ihrer Modalität nach der „schwächsten“ Prämisse!
Zu den apodiktischen Urteilen der hier besprochenen Art gehören jedenfalls die „Wahrheiten“ der Logik und der (dieser eingeordneten) Arithmetik, — der beiden einzigen vonhauseaus rein deduktiven Disziplinen, — dagegen
nicht
die „geometrischen Wahrheiten“; mögen auch deren Axiome eine gewisse psychologische Denknotwendigkeit besitzen aufgrund unserer von uns erworbenen Raum-Anschauung, so ist doch durch die Nicht-Eukli- dische oder Pangeometrie erwiesen, dass diese Axiome der
logischen
Denk- notwendigkeit ermangeln, nämlich ohne Widerspruch auch anders gedacht werden können. Noch weniger gehören dazu „physikalische Wahrheiten“, die sich auf irgend ein Naturgesetz, z. B. das Gesetz der Schwere, stützen.
Apodiktischen Charakter pflegt man nun aber gemeinhin auch einem Urteil zuzuschreiben in relativem Sinne, mit Bezugnahme auf ein bestimmtes System von Voraussetzungen, als Konventionen oder Festsetzungen, Annahmen, Hypothesen oder Axiomen, denen auch die anerkannten Prinzipien einer Disziplin, wie Naturgesetze, Rechtsnormen, u. dergl. zuzuzählen sind.
Solche Voraussetzungen sind dann entweder völlig willkürliche Annahmen, ad hoc gemacht um zuzusehen, was etwa aus ihnen folgen würde. Oder sie treten auf mit dem Anspruch auf eine gewisse Glaubwürdigkeit oder mindestens auf Zulässigkeit, indem sie sich dabei auf schon vorhandene Erkenntnisselemente berufen, zu deren Zustande- kommen auch Wahrnehmung und eventuell induktive Schlüsse mit-
Siebenundzwanzigste Vorlesung.
gewirkt haben müssen. Denn über andere Erkenntnissquellen, als Wahrnehmung und Folgerung, verfügen wir ja überhaupt nicht.
Gewissheit kommt solchen synthetischen Prämissen keinesfalls zu, und noch weniger Denknotwendigkeit; sie sind, wenn nicht willkürliche Annahmen, wenn überhaupt Urteile, doch immer nur problematische, mögen sie auch grammatikalisch noch so entschieden in der asser- torischen Form hingestellt sein. Die Konklusion kann dann eine absolut-apodiktische sein; dann können aber die synthetischen Prä- missen als überflüssig fortgelassen werden; die Konklusion gilt ja dann „selbstverständlich“, auch ohne sie. Andernfalls wird die Konklusion auch nicht mehr Glaubwürdigkeit besitzen, als die Prämissen, sie wird ebenfalls problematischen Charakter haben.
Die assertorischen Urteile der traditionellen Logik sind also ihrem logischen Wesen nach stets entweder apodiktisch schlechtweg, oder aber problematisch; von ihrer Modalität bleibt bei näherem Zusehen nichts übrig, als eine sprachliche Ausdrucksform. Die Logik kennt nur
eine
absolute Gewissheit, — die 1 der Wahrscheinlichkeitsrechnung, — an welche zwar wol noch in verschiedener Weise unendliche An- näherung stattfinden mag, die aber selbst nimmermehr verschiedene Grade haben kann. Diese Gewissheit kommt ausschliesslich den ana- lytischen Wahrheiten zu, die mit dem Sinne der Wörter und Zeichen und mit den Definitionen unserer Begriffe denknotwendig gegeben sind.
Im Falle einer problematischen Konklusion erwächst nun die hochwichtige Aufgabe, den Grad ihrer Glaubwürdigkeit zu beurteilen in jedem Falle, wo die Glaubwürdigkeitsgrade der Prämissen in Gestalt mathematischer Wahrscheinlichkeiten (bekanntlich als numerische echte Brüche) gegeben sind. Die Lösung dieser Aufgabe fällt der exakten (deduktiven) Logik zu, sofern nur denknotwendige Schlussfolgerungen in Betracht gezogen werden.
Die Aufgabe erfährt jedoch noch eine Erweiterung in der
induk- tiven
Logik, wo auch Schlüsse von nicht denknotwendigem Charakter, „Schlüsse nach der Wahrscheinlichkeit“ gezogen werden. Es ist dann die Frage, welches die Wahrscheinlichkeit irgend einer Aussage sei, oder bezw. in dem so häufigen Falle ihrer Unbestimmtheit: zwischen welchen Grenzen sie liegen müsse, wenn die Aussage irgendwie von andern Aussagen mit gegebnen Wahrscheinlichkeiten abhängig ist, ohne aber geradezu als ihre legitime Konklusion aus ihnen hervor- zugehen. Auch dieser erweiterten Aufgabe vermag die exakte Logik gerecht zu werden.
§ 56. Über die Modalität der Urteile.
Es kommt im Entwicklungsgange der Wissenschaften nicht selten vor, dass
die Ideale
der Forschung
sich verschieben
. Was zuerst als im höchsten Maasse erstrebenswert erschienen, zeigt sich bei weiterem Fortschritt der Erkenntniss teils als gänzlich unmöglich, weder annähernd, noch überhaupt erreichbar, teils als unklar und nach Klarstellung un- haltbar, teils auch als verhältnissmässig wertlos, wogegen andre Ideale sich in den Vordergrund drängen, denen immer näher zu kommen als erreichbar und vom höchsten Wert erscheint, wenn auch ihre voll- ständige Verwirklichung für alle Zeiten utopisch bleiben mag.
An die Stelle des Ideales, das durch folgerichtiges Denken Er- schlossene nach jenen rohen und nicht durchaus haltbaren drei Kate- gorien der Modalität zu beurteilen, tritt uns fortan das andere Ziel:
Aus den
einzeln irgendwie gegebenen
Wahrscheinlichkeiten der Prämissen
zu deduktiven Schlussfolgerungen durch allgemeine Methoden
abzuleiten die Wahrscheinlichkeit einer
jeden Art von
Konklusion
, die sie zu liefern vermögen, — ja sogar einer jeden Aussage, die zu den Prämissen nur überhaupt in gegebener Beziehung steht!
Sofern wir auch die Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln vermöchten für empirisch oder induktorisch gewonnene Erkenntnisse, werden wir, indem wir diesem Ideal zustreben, nach und nach in den Besitz eines zuverlässigen Maassstabes für den Grad der Glaubwürdigkeit aller unserer Überzeugungen und Meinungen gelangen.
Indessen fällt die Inangriffnahme dieses Problems ausserhalb des Rahmens derjenigen Aufgaben, auf die ich in diesem Werke mich zu beschränken mir vorgesetzt habe. Ich hoffe, dasjenige, was in jener Hinsicht bereits geleistet erscheint, samt dem, was mir selbst darin zu erreichen möglich, spätestens im dritten Bande meines Lehrbuchs
1
der Arithmetik und Algebra systematisch darzustellen, wofern es mir ver- gönnt sein wird, auch dieses von mir begonnene Werk noch seiner Vollendung entgegenzuführen.
Anhänge
.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 33
Anhang 7.
McColl’
s Anwendung des Aussagenkalkuls zur Ermittelung der neuen Grenzen mehrfacher Integrale bei Abänderung der Inte- grationsfolge.
Dieser Anhang ist für die Mathematiker bestimmt. Kenntnisse über spezielle Integrationsmethoden brauchen allerdings in demselben nicht vorausgesetzt zu werden, wohl aber die Bekanntschaft mit dem Begriffe des
n
-fachen Integrals und mit seiner Darstellbarkeit vermittelst
n
successiver einfacher Integrationen.
Wir fassen durchweg nur reele Grenzen und Integrationswege, nur ein reelles Integrationsbereich in’s Auge. Die über ein solches zu inte- grirenden Funktionen
f
(
x
,
y
),
f
(
x
,
y
,
z
), etc. können allemal ganz beliebig gegeben sein; nur sind sie, selbstverständlich, als innerhalb des Bereiches integrabele vorauszusetzen.
Es ist ein für die reine wie für die angewandte Mathematik wichtiges Problem der höheren Analysis, mit dem wir uns hier be- schäftigen wollen. Die Lösung dieses Problems wird durch die Me- thoden der Algebra der Logik ganz wesentlich gefördert, ja für mehr als dreifache, für Integrale von hohem Grad der Vielfachheit beinahe erst ermöglicht. Und so verdient schon um dieser Förderung willen Herrn
McColl’
s Arbeit
Siehe 1) 2) 3) 4) des Literaturverzeichnisses Band 1, Seite 708.
von dem mathematischen Publikum auch in Deutschland beachtet zu werden. Auf der andern Seite bietet sie ein prägnantes Beispiel dafür dar, wie die neueren Forschungsergebnisse der rechnenden Logik sich unmittelbar als auch für andere Disziplinen fruchtbar zu bewähren imstande sind.
In der Hauptsache erscheint Herrn
McColl’
s Verfahren als eine Anwendung und Verwertung der Prinzipien und Bezeichnungsweisen des
Aussagenkalkuls
, wie sie in unsrer 15ten, 16ten und 21 ten Vor- lesung entwickelt worden, für solche zusammengesetzte Aussagen, deren Teilaussagen lauter
Zahlenvergleichungen
konstatiren, nämlich (Gleichungen oder) Ungleichungen zwischen Zahlen sind — das
33*
Anhang 7.
Wort „Ungleichung“ hier in dem gewöhnlichen, dem in der Arithmetik gebräuchlichen Sinne genommen
In der Theorie des identischen Kalkuls haben wir uns gestattet, die Negation einer Gleichung
a
=
b
, somit eine Behauptung von der Form
a
≠
b
, als eine „Ungleichung“ zu bezeichnen. Von dieser letztern Bedeutung des Wortes ist im gegenwärtigen Anhange abzusehen; ihr würde im reellen Zahlengebiete der Ansatz
a
≶
b
entsprechen, während wir
hier
schon den bestimmteren Ansatz
a
\>
b
eine Ungleichung nennen werden.
. Es ist eine Anwendung aber, die Herr
Peirce
mit Recht als „exceedingly ingenious“ bezeichnet.
Um den Charakter des Problemes hervortreten zu lassen, will ich vorweg ein einfaches Beispiel vorführen.
Die Gleichung:
,
in welcher
a
eine positive Zahl vorstellen soll und die Klammer rechter- hand aufgelöst, nämlich
f
(
x
,
y
) hinter
jedes
der drei Doppelintegral- Zeichen, die sie umschliesst, gesetzt zu denken ist — diese Gleichung zeigt, wie für das Doppelintegral linkerhand die Umkehrung der Inte- grationsfolge zu leisten ist.
Der Mathematiker, an welchen solche Aufgabe herantritt, wird in der Regel sich zunächst eine geometrische Anschauung von dem Be-
Fig. 33.
reich zu verschaffen suchen, über welches das gegebne Doppelintegral sich erstreckt, und wird hier unschwer finden, dass die in frag- liches Bereich fallenden Wertepaare von
x
und
y
, als Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt, die Fläche des in beistehender Figur 33 schraffirten Pa- rallelogrammes ausfüllen. Er wird sich die Gleichungen der verschiedenen (hier geraden) Linien aufstellen, welche dieses Flächen- bereich begrenzen helfen, und aus dem An- blick der Figur entnehmen, dass die Fläche hier zu zerlegen ist in drei Streifen (in der Figur getrennt durch die wagrechten Striche), das Doppelintegral also in drei Teile zerfallen muss. Für jeden dieser Teile wird er aus den Gleichungen der begrenzenden Linien auf die bei der inneren Integration anzusetzenden (eventuell variabeln)
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Grenzen schliessen, so wie sie in der That in obiger Formel rechter- hand sich angegeben finden, während für die äussere Integration sich die (konstanten) Grenzen aus der schon erwähnten Dreiteilung ergaben. —
Nun ist die analoge Veranschaulichung des Integrationsbereiches (als eines von verschiedenen Flächen begrenzten Raumes) bei einer dreifachen Ausdehnung desselben schon nicht mehr so leicht durch- führbar; bei vier- oder mehrfacher Dimension des Bereiches, wie sie der Erstreckung eines vier- oder mehrfachen Integrales zukommen wird, ist sie überhaupt nicht thunlich.
Unter allen Umständen aber ist das ganze Veranschaulichungs- verfahren, die Berufung auf die Anschauung, als ein Notbehelf zu qualifiziren, welcher nicht der Würde einer Wissenschaft entspricht, die ein rein analytisches Problem auch auf rein analytischem Wege — somit rechnend oder schliessend — lösen sollte. Auch kommen Fälle vor, wo die auf dem „Schein“ basirende Anschauung trügerisch ist.
Darum verlohnt es, nach einer Methode auszuschauen, gemäss welcher die verschiedenen Teilintegrale, in die ein gegebenes mehrfaches Integral bei vorgeschriebener Abänderung der Integrationsfolge eventuell zerfällt, samt ihren verschiedenen Grenzen, zu finden sind in mechanischer Rechenarbeit nach bestimmten und allgemein gültigen Schemata. Dies aber leistet die
McColl’
sche Methode und zwar —
nach einer an- zubringenden Berichtigung
(siehe unten sub „Regel 3“) — in einer, wie es scheint, schon nahezu vollendeten Weise.
An dem Beispiel lässt sich sogleich erkennen, dass die Methode weiter nichts als ein gewisses
Transformationsproblem des Aussagen- kalkuls
zu lösen hat: Es handelt sich um geeignete Umformung der Aussage:
„
Der Punkt x
,
y fällt in das Integrationsbereich hinein.
“
Diese Aussage
A
erscheint in der That bei dem Doppelintegrale linkerhand zunächst gegeben in der Gestalt:
A
, = (
a
\<
x
\< 2
a
) (
x
—
a
\<
y
\<
x
+
a
);
nachdem aber die Umkehrung der Integrationsordnung geleistet ist, mithin bei der Summe dreier Doppelintegrale rechterhand, erscheint dieselbe Aus- sage in der Form statuirt:
A
, = (0 \<
y
\<
a
) (
a
\<
x
\<
a
+
y
) + (
a
\<
y
\< 2
a
) (
a
\<
x
\< 2
a
) + + (2
a
\<
y
\< 3
a
) (
y
—
a
\<
x
\< 2
a
);
und umgekehrt würden wir, sobald einmal die letztere Form der Aussage
A
gefunden wäre, leicht im Stande sein, den gesuchten Ausdruck rechterhand hinzuschreiben und somit bei dem Doppelintegrale links die Umkehrung der Integrationsfolge zu leisten.
Anhang 7.
Die ganze Aufgabe spitzt sich also dahin zu: aus der ersten, gegebenen Form der Aussage
A
die zweite Form derselben abzuleiten, jene Aussage in diese zu
transformiren
. Und beide Aussagen werden
äquivalent
sein müssen auf Grund nicht nur der Gesetze des Aussagenkalkuls, sondern auch der Regeln der Arithmetik, welche das Schliessen und Denken mit Un- gleichungen sowie das Rechnen mit Zahlen beherrschen.
Wir beginnen damit, die elementaren Regeln der Denkoperationen mit Ungleichungen in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls über- sichtlich darzustellen.
Von den drei Beziehungszeichen der Zahlenvergleichung:
\> , = , \<
können die beiden äusseren nur zwischen reellen Zahlen angewendet werden. Speziell hat man:
(
a
\>
b
) (
a
ist reell) (
b
ist reelle Zahl).
Von vornherein werden wir uns darum mit unsern Betrachtungen auf das Gebiet der reellen Zahlen beschränken; zu diesen gehört die (arith- metische) Null, nicht aber das Symbol ∞ der absoluten Unendlich, indessen wohl „unendlich grosse“ positive oder negative Zahlen, die wir als Integrationsgrenzen durch + ∞ resp. — ∞ darstellen. Unter
a
,
b
,
c
,
d
, ‥
x
,
y
, … denken wir uns hinfort stets Zahlen, welche diesem Gebiet angehören.
Wir haben sodann zunächst die als Definition hinzustellende Aussagen- äquivalenz:
α
)
(
a
\>
b
) = (
b
\<
a
)
durch welche der Begriff „kleiner“ auf den als bekannt vorauszusetzenden Begriff „größer“ zurückgeführt wird.
Weiter gilt die fundamentale Aussagengleichung:
β
)
1̇ = (
a
\>
b
) + (
a
=
b
) + (
a
\<
b
)
in welcher, wie hier stets, die Eins mit dem Tupfen: 1̇ nicht die Zahl 1, sondern die identische Eins des Aussagenkalkuls vorstellt. Das heisst also: Zwischen zwei reellen Zahlen
a
und
b
findet immer eine der drei Beziehungen rechterhand statt.
Und zwar sind die drei Glieder der Aussagenalternative rechterhand gegenseitig
disjunkt
(„mutually exclusive“ oder unverträglich, inkonsistent miteinander), die Summe rechts ist eine reduzirte, wie dies die Formeln aussprechen:
γ
) (
a
\>
b
) (
a
=
b
) = 0, (
a
\>
b
) (
a
\<
b
) = 0, (
a
=
b
) (
a
\<
b
) = 0. Gleich, grösser und kleiner sein schliesst sich gegenseitig aus.
Als der Satz: „Wenn zwei Zahlen
einer
dritten gleich sind, so sind sie auch unter sich gleich“, gilt das Th. 4) des identischen Kalkuls:
(
a
=
b
) (
b
=
c
) (
a
=
c
)
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
bekanntlich auch für die Zahlengleichheit. Und dazu treten die folgenden Analoga unsrer Theoreme 2), 3) und des Prinzips II:
δ
)
(
a
\>
b
) (
b
=
c
) (
a
\>
c
), (
a
=
b
) (
b
\>
c
) (
a
\>
c
)
ε
)
(
a
\>
b
) (
b
\>
c
) (
a
\>
c
)
nach denen es gestattet ist, in einer Ungleichung Gleiches durch Gleiches, und den Numerus major durch einen major desselben, den Numerus minor ebenso durch einen minor des letzteren zu ersetzen.
Bekanntlich ist ferner:
(
a
\>
b
) (
a
+
c
\>
b
+
c
).
Von diesem Analogon des Th. 15
+
) ausgehend wollen wir dasselbe zu- nächst erweitern. Um rechnerisch zu zeigen, dass die Subsumtion auch rückwärts gelten muss, bemerken wir, dass durch Rückwärtslesen der Un- gleichungen nach
α
) und Vertauschung von
a
mit
b
auch entsteht:
(
a
\<
b
) (
a
+
c
\<
b
+
c
)
und dass bekanntlich zudem:
(
a
=
b
) (
a
+
c
=
b
+
c
).
Nach Th. 20
×
) können diese beiden Subsumtionen auch als die Gleichungen geschrieben werden: (
a
=
b
) = (
a
=
b
) (
a
+
c
=
b
+
c
), (
a
\<
b
) = (
a
\<
b
) (
a
+
c
\<
b
+
c
). Nun ist (
a
+
c
\>
b
+
c
) = (
a
+
c
\>
b
+
c
) {(
a
\>
b
) + (
a
=
b
) + (
a
\<
b
)} nach
β
), und multiplizirt man aus, indem man für die beiden letzten Gliederaussagen ihre vorhergehenden Werte nimmt, so erkennt man mit Rück- sicht auf
γ
), dass die beiden letzten Teilprodukte verschwinden und nur das erste stehen bleibt, d. h. dass: (
a
+
c
\>
b
+
c
) = (
a
+
c
\>
b
+
c
) (
a
\>
b
), oder nach Th. 20
×
):
(
a
+
c
\>
b
+
c
) (
a
\>
b
).
Diese Subsumtion zieht sich nun mit der obigen nach Def. (1) zusammen zu der Gleichung:
ζ
)
(
a
\>
b
) = (
a
+
c
\>
b
+
c
).
[Im Grunde wurde der Beweis der Umkehrbarkeit jener erstern Sub- sumtion, wie man sieht, in der bekannten Weise indirekt geleistet, indem wir zeigten, dass aus
a
=
b
sowie
a
\<
b
im Widerspruch zu der Annahme
a
+
c
\>
b
+
c
folgen würde:
a
+
c
=
b
+
c
resp.
a
+
c
\<
b
+
c
, wes- halb denn nur der Fall
a
\>
b
als einzig möglicher übrig bleibt. Mit Ab- sicht haben wir dieses Räsonnement aber in der aussagenrechnerischen Fassung gegeben — nicht, weil die letztere unbedingt den Vorzug verdiente, sondern damit ersichtlich wird, wie die verbale Überlegung doch lediglich die Gesetze des Aussagenkalkuls zur Richtschnur hat.]
Sagt man in
ζ
)
a
—
c
für
a
und
b
—
c
für
b
und liest die Gleichung rückwärts, so hat man auch:
(
a
\>
b
) = (
a
—
c
\>
b
—
c
),
Anhang 7.
d. h. nachdem die Gleichung
ζ
) für positive
c
erwiesen ist, so muss sie auch für negative, somit überhaupt im reellen Zahlengebiet gelten.
Insbesondere ergibt sich für
c
=
b
die Regel:
η
)
(
a
\>
b
) = (
a
—
b
\> 0),
nach welcher jede Ungleichung auf der einen Seite auf Null gebracht werden kann.
Für
c
=
a
+
b
hätte sich ergeben:
ϑ
)
(
a
\>
b
) = (—
b
\> —
a
) = (—
a
\< —
b
)
wonach es gestattet ist, beide Seiten einer Ungleichung mit — 1 zu multi- pliziren, wofern man nur zugleich das Ungleichheitszeichen umkehrt. Ins- besondre ist auch:
(
a
\> 0) = (—
a
\< 0), (
a
\< 0) = (—
a
\> 0).
Als nahliegende Anwendungen von
η
) haben wir überhaupt:
(
a
\>
b
+
c
) = (
a
—
b
\>
c
), (
a
+
c
\>
b
) = (
a
\>
b
—
c
)
woraus man ersieht, dass es bei Ungleichungen geradeso wie bei Zahlen- gleichungen gestattet ist, Aggregatglieder (Summanden oder Subtrahenden) der einen Seite mit entgegengesetztem Zeichen auf die andre Seite des Vergleichungszeichens zu schaffen, zu „transponiren.“
Formell noch etwas allgemeiner als
ζ
) sind die Sätze:
ι
) (
a
\>
b
) (
c
=
d
) (
a
+
c
\>
b
+
d
), (
a
\>
b
) (
c
=
d
) (
a
—
c
\>
b
—
d
) welche — analog zu den Theoremen 18) des identischen Kalkuls — die Erlaubniss aussprechen, eine Gleichung mit einer Ungleichung durch Addition oder Subtraktion überschiebend zu verknüpfen, wo im letzteren Falle aber die Gleichung passives Operationsglied sein muss. Mit Rücksicht auf
(
c
=
d
) = (—
c
= —
d
) und
a
+ (—
c
) =
a
—
c
geht der zweite Satz
ι
) auch in den ersten über; und dieser wird seiner- seits aus
ζ
) mit Rücksicht auf (
c
=
d
) = (
b
+
c
=
b
+
d
) gemäss
δ
) leicht bewiesen.
Auf welche Weise die Ungleichung als passives Operationsglied sub- traktiv mit der Gleichung zu verknüpfen sei, zeigen die Sätze:
ϰ
) (
a
=
b
) (
c
\>
d
) (
a
—
c
\<
b
—
d
), (
a
=
b
) (
c
\<
d
) (
a
—
c
\>
b
—
d
), welche mittelst
α
) auf einander und mittelst
ϑ
) auf
ι
) leicht zurück- zuführen sind.
Endlich sind noch bezüglich der Verknüpfung von Ungleichungen miteinander durch überschiebendes Addiren oder Subtrahiren die Sätze an- zuführen:
λ
) (
a
\>
b
) (
c
\>
d
) (
a
+
c
\>
b
+
d
), (
a
\<
b
) (
c
\<
d
) (
a
+
c
\<
b
+
d
),
μ
) (
a
\>
b
) (
c
\<
d
) (
a
—
c
\>
b
—
d
), (
a
\<
b
) (
c
\>
d
) (
a
—
c
\<
b
—
d
) deren eine (rechtseitige) Hälfte aus der andern hervorgeht, indem man durchweg die Ungleichheitszeichen umkehrt, mithin auf sie gemäss
α
) mittelst Buchstabenvertauschung zurückkommt; wogegen die zweite Zeile mittelst
ϑ
) auf die erste zurückzuführen ist, sodass nur mehr die erste von diesen vier
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Formeln zu beweisen bleibt. Ihr Beweis ergibt sich durch zweimalige An- wendung von
ζ
) und Th. 6̅
×
), wonach
(
a
\>
b
) (
c
\>
d
) (
a
\>
b
) (
a
+
c
\>
b
+
c
) „ (
c
\>
d
) (
b
+
c
\>
b
+
d
)
und folglich nach Def. (3̅
×
) und
ε
):
(
a
\>
b
) (
c
\>
d
) (
a
+
c
\>
b
+
c
) (
b
+
c
\>
b
+
d
) (
a
+
c
\>
b
+
d
)
sein wird, q. e. d. „Gleichstimmige“ Ungleichungen können hienach unmittelbar zu einer solchen vom selben Ungleichheitszeichen durch überschiebendes Addiren verbunden werden. Und zwei „ungleichstimmige“ Ungleichungen liefern durch über- schiebendes Subtrahiren eine Ungleichung vom Ungleichheitszeichen des Minuenden; es ist m. a. W. hiebei — gleichwie auch in
ð
) beim (über- schiebenden) Subtrahiren einer Ungleichung von einer Gleichung — jeweils das Ungleichheitszeichen der Subtrahenden-Ungleichung umzukehren.
Die Ausdehnung der auf additive Verknüpfung bezüglichen Sätze von zweien auf beliebig viele Operationsglieder ist naheliegend.
Mit vorstehendem aber sind die Schlüsse erledigt, die mit Bezug auf die Operationen der beiden ersten Spezies an Ungleichungen zu knüpfen sind.
Die
Analogie
derselben mit auf Subsumtionen bezüglichen Sätzen war im Bisherigen schon unverkennbar und wurde auch gelegentlich hervorgehoben. Noch genauer findet das analoge Entsprechen aber statt zwischen diesen auf die Ungleichung
a
\<
b
bezüglichen Sätzen, und jenen, welche wir für die Beziehung der eigentlichen Unter- ordnung
a
⊂
b
in 20 des § 46 Seite 315 f. zusammengestellt haben. Während andrerseits die auf Subsumtionen
a b
bezüglichen Sätze ihr engstanschliessendes Analogon (closest analogy) erst finden würden in denen, welche die Alternativaussage
a
≦
b
betreffen, die als „
a
ist kleiner oder gleich
b
“ zu lesen ist und in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls ihre Definition findet durch den Ansatz:
ν
)
(
a
≦
b
) = (
a
\<
b
) + (
a
=
b
) = (
a
=
b
) + (
a
\<
b
) = (
a b
)
mittelst dessen man, nach
α
) und Th. 1) Zusatz: (
a
=
b
) = (
b
=
a
), auch leicht ableiten wird:
(
a
≧
b
) = (
a
\>
b
) + (
a
=
b
) = (
a
=
b
) + (
a
\>
b
) = (
a b
)
und
(
a
≦
b
) = (
b
≧
a
).
Zu meiner Genugthuung habe ich wahrgenommen, dass die von
Miller
herausgegebenen Mathematical Questions zuweilen schon
a
b
statt der uneleganten Schreibung
a
≦
b
, oder
a b
, drucken, mithin dasselbe Prinzip für die rationelle Zusammensetzung der Beziehungszeichen neuerdings zu verwirklichen beginnen, welches ich
1
) 1873 beim Subsumtionszeichen angewendet und in § 34 sq. bei allen Umfangsbeziehungen durchzuführen mich bestrebt habe.
Anhang 7.
Auf Grund der Definition
ν
) und der schon bekannten Sätze über Gleichungen (zwischen Zahlen) hält es nicht schwer, die vorstehend und noch weiterhin aufgestellten Sätze über Ungleichungen, unter Zuzug der Gleichheit als einer in ihre Voraussetzungen aufzunehmenden Alternative, umzuschreiben in die wahren Analoga der auf die Sub- sumtion bezüglichen Sätze.
Für unsern hier vorliegenden Zweck jedoch können wir dies unterlassen auf Grund eines glücklichen Umstandes, welcher von Herrn
McColl
, soviel ich zu entdecken vermag, nicht hervorgehoben wurde, nämlich, dass es bei jedem (ein- oder mehrfachen) Integrale bekannt- lich
gleichgültig
ist, ob man die Grenzen des Hauptintervalles resp. die Umgrenzung des Integrationsbereiches in dieses mit einrechnet oder nicht. Mag man z. B. beim einfachen Integrale:
das Integrationsintervall durch den Ansatz:
a
\<
x
\<
b
oder mag man es durch den Ansatz
a x
≦
b
definiren, so wird der Wert des Integrales immer der nämliche sein müssen. Die Fortlassung eines unendlich kleinen Elementes
f
(
x
)
d x
aus der Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Gliedern, als welche das Integral bekanntlich erklärt wird, ist allemal ohne Belang, ohne Einfluss auf den Grenzwert dieser Summe — und gilt dies sogar, wenn
f
(
x
) in einer der Grenzen, z. B. bei
b
absolut ∞ sein sollte, weil in diesem Falle das Integral, wofern es überhaupt existirt, (kon- vergirt, eines Sinnes fähig ist,) bekanntlich nur definirt werden kann als der Grenzwert eines von
a
bis unendlich nahe
an
diese Grenze
b
hin und mit Ausschluss derselben genommenen Integrales.
Sonach dürfen wir — und dies wird sich zur Vereinfachung der Betrachtungen empfehlen —
die Integrationsgrenzen immer exclusive
(als nicht zum Integrationsbereich selbst gehörige)
rechnen
.
Die Wirkung dieses Verfahrens ist ganz dieselbe, als ob in der fundamentalen Aussagengleichheit
β
) der mittlere Term, die Gleichung (
a
=
b
) fehlte, jene vielmehr nur so lautete:
ξ
)
1̇ = (
a
\>
b
) + (
a
\<
b
)
wonach statt drei Möglichkeiten bei jeder Zahlenvergleichung immer nur zweie zu diskutiren sein werden.
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Würde z. B. das obige Integral für ein zwischen
a
und
b
gelegenes
c
„zerteilt“ nach dem bekannten Schema:
f
(
x
)
d x
=
f
(
x
)
d x
+
f
(
x
)
d x
,
so hätten wir auf Grund der Voraussetzung
a
\<
c
\<
b
die das Integrations- bereich statuirende Aussage linkerhand:
(
a
\<
x
\<
b
) = (
a
\<
x
\<
c
) + (
c
\<
x
\<
b
)
umgewandelt in die Alternative zur Rechten, mit Fug und Recht den Zwischen- wert
x
=
c
auslassend, wogegen
an sich
, d. h. ohne Rücksicht auf jenen Umstand, beim Ausmultipliziren von
(
a
\<
x
) (
x
\<
b
) {(
x
\<
c
) + (
x
=
c
) + (
c
\<
x
)}
zu obigen beiden äussersten Termen noch ein mittlerer Term hinzutreten würde. Etc.
Der Ausfall der Gleichung aus
β
), oder die Geltung von
ξ
) bringt uns weiter den Vorteil, dass wir jetzt eine Ungleichung
a
\<
b
gerade- zu als die
Negation
der andern
a
\>
b
vom umgekehrten Ungleichheits- zeichen hinstellen dürfen, in Formeln, dass uns
(
a
\>
b
)
1
= (
a
\<
b
), (
a
\<
b
)
1
= (
a
\>
b
)
zu gelten haben wird — wie dies kraft Th. 3̅0̅) aus
ξ
) in Verbindung mit der mittleren Inkonsistenz
γ
) in der That folgt. —.
Obwol wir hiernach mit Gleichungen als aussagenrechnerischen Elementen überhaupt nicht mehr zu thun haben werden, sondern immer nur mit Ungleichungen, so werden wir doch im Texte und etwaigen Tafeln für die Integrationsgrenzen die Angabe dieser Grenzen nach wie vor in Gleichungenform vollziehen und z. B. wie üblich sagen, dass die Integrationsvariable
x
von
x
=
a
(als unterer) bis zu
x
=
b
(als oberer Grenze) zu gehen habe.
Nach dieser Zwischenbemerkung fahren wir fort, die Gesetze der Un- gleichung uns in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls in Erinnerung zu bringen, nunmehr auch die beiden Spezies der zweiten Stufe be- rücksichtigend.
Hier ist nur zweierlei anzuführen: Erstens, der als bekannt angenommene Satz, dass
im Gebiet der positiven Zahlen
eine Ungleichung mit einer Zahl
beiderseits
multiplizirt oder dividirt werden darf. Für die Multiplikation spricht ihn die Formel aus
ο
)
(
a
\>
b
\> 0) (
c
\> 0) (
a c
\>
b c
)
und für die Division die Formel
(
a
\>
b
\> 0) (
c
\> 0) (
\>
)
Anhang 7.
— die erstere besagend, dass im positiven Zahlengebiete Grösseres mit Gleichem multiplizirt Grösseres gibt (mithin auch Kleineres mit Gleichem multiplizirt Kleineres).
Der analoge Satz für die Division kommt auf den vorigen hinaus, wenn man bedenkt, dass Division mit einer Zahl
c
als Multiplikation mit der reciproken Zahl
sich ansehen lässt, indem
=
a
·
, und dass:
π
)
(
c
\> 0) = (
\> 0)
eine Zahl nämlich mit ihrem umgekehrten Wert immer zugleich positiv (oder negativ), kurz von einerlei Vorzeichen ist.
Man ersieht aus dem Vorstehenden nebenher, dass die identische Multiplikation mit
spezifizirten
Aussagen ganz harmlos neben der arith- metischen Multiplikation mit Zahlensymbolen verwendet werden kann und sich stets von selbst schon von dieser unterscheidet. Erst wenn die Aussagen gleich den Zahlen durch einfache Buchstabensymbole dar- gestellt würden, und man diese von jenen nicht hinlänglich auseinander- hielte, könnten Verwechselungen zu besorgen sein.
Um fortzufahren, so können, indem man —
c
für
c
nimmt, gemäss den Sätzen unter
ϑ
) dem Satze
ο
) auch noch weitere Korollare angereiht werden, wie
(
a
\>
b
\> 0) (
c
\< 0) (
a c
\<
b c
)
Man erweitert den Satz
ο
) ferner noch leicht zu:
ο
)
(
a
\>
b
\> 0) (
c
\>
d
\> 0) (
a c
\>
b d
\> 0)
und zwar mittelst des Zwischenschlusses
a c
\>
b c
,
b c
\>
b d
, ergo
a c
\>
b d
— wonach denn im positiven Zahlengebiete auch Grösseres mit Grösserem multiplizirt Grösseres (Positives) gibt. Dies wollen wir als ein nahe- liegendes Korollar zu
ο
) in dieses Theorem selbst noch mit einrechnen.
Zweitens ist es die „Zeichenregel“ der Multiplikation (und der Division), die wir noch anzuführen haben. Dieselbe wird durch die beiden Aussagen- äquivalenzen (genauer also, oder vollständig, durch das Produkt derselben) dargestellt:
ϱ
)
(
a b
\> 0) = (
a
\> 0) (
b
\> 0) + (
a
\< 0) (
b
\< 0) = (
\> 0) (
a b
\< 0) = (
a
\> 0) (
b
\< 0) + (
a
\< 0) (
b
\> 0) = (
\< 0)
wo der auf die Division bezügliche (rechtseitige) Satz wiederum aus dem auf die Multiplikation bezüglichen gemäss
π
) ableitbar ist, indem man
für
b
in diesem nimmt.
Nachdem wir uns so weit nur im Rahmen des gewöhnlichen Aus- sagenkalkuls bewegt haben, liegt es mir nun ob, Herrn
McColl’
s eigen-
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst der Erklärungen:
σ
)
p
(
x
) = (
x
\> 0),
p
' (
x
) = (
x
\< 0)
wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un- gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden — in Anbetracht, dass nach
η
) eine jede Ungleichung sich auf der einen Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns das Aussagensymbol
p
(
x
) hinfort genau dasselbe wie die Redensart:
x
ist positiv, und
p
' (
x
) wird bedeuten:
x
ist negativ (nicht positiv).
Nach dem unter
ξ
) gesagten gilt alsdann unbedingt:
τ
)
p
(
x
)
p
' (
x
) = 0,
und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch
υ
)
p
(
x
) +
p
' (
x
) = 1̇
sodass
p
' (
x
) als Negation von
p
(
x
) zu bezeichnen ist, hier also der Accent unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor- zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche
Gleichungen
zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter- suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1̇ von Aussagen mit Ausschluss aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen) beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung
p
1
(
x
) exakter zu reserviren für die Beziehung:
p
1
(
x
) = (
x
0) = (
x
\< 0) + (
x
= 0) =
p
' (
x
) + (
x
= 0).
Nach
ϑ
) gilt nun also auch:
φ
)
p
(
x
) =
p
' (—
x
),
p
(—
x
) =
p
' (
x
),
ψ
)
p
(
x
)
p
(—
x
) = 0 =
p
' (
x
)
p
' (—
x
),
p
(
x
) +
p
(—
x
) = 1̇ =
p
' (
x
) +
p
' (—
x
) und zwar — dürfen wir sagen — für das
ganze
Gebiet der reellen Zahlen
x
, weil die Möglichkeit
x
= 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann, vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten
x
\> 0 und
x
\< 0 zu berück- sichtigen bleiben.
Die „Zeichenregel“ — der Multiplikation z. B. — wird in der neuen Symbolik lauten:
χ
)
p
(
x y
) =
p
(
x
)
p
(
y
) +
p
' (
x
)
p
' (
y
),
p
' (
x y
) =
p
(
x
)
p
' (
y
) +
p
' (
x
)
p
(
y
).
Nimmt man in ihr
y
=
x
an, so folgt nach
υ
) und
τ
) nebst Th. 1̅4̅ insbesondere:
ω
)
p
(
x
2
) = 1̇,
p
' (
x
2
) = 0, sonach auch
p
(—
x
2
) = 0,
p
' (—
x
2
) = 1̇
als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.
Anhang 7.
Zur
Übung
fordert
McColl
auf, für das
positive
Zahlengebiet die folgenden Aussagenäquivalenzen zu beweisen:
p
(
x
2
+
y
2
—
a
2
) =
p
(
y
—
)
p
' (
x
—
a
) +
p
(
x
—
a
),
p
' (
x
2
+
y
2
—
a
2
) =
p
' (
y
—
)
p
' (
x
—
a
).
Andeutung des Beweises. Entweder ist
x
\>
a
, d. h. es gilt
p
(
x
—
a
). Weil ohnehin
a
\> 0 gedacht wurde, gilt dann nach
ο
) auch
x x
\>
a a
oder
x
2
—
a
2
\> 0, um so mehr auch
x
2
+
y
2
—
a
2
\> 0, d. h.
p
(
x
2
+
y
2
—
a
2
).
Oder es ist
x
\<
a
; dann gilt
p
' (
x
—
a
) und kann man zerlegen:
x
2
+
y
2
—
a
2
= (
y
+
) (
y
—
),
die dann reelle Wurzel positiv verstanden. Da der erste Faktor rechts von selbst positiv, somit
p
(
y
+
) = 1̇ ist, so ist das Positivsein des zweiten Faktors notwendige und hinreichende Bedingung für das der linken Seite. Etc.
Soll dagegen
x
2
+
y
2
—
a
2
\< 0 sein, so muss um so mehr auch
x
2
—
a
2
\< 0, und wie leicht indirekt zu beweisen, dann jedenfalls auch
x
—
a
\< 0, d. h.
p
' (
x
—
a
) gelten. Ausserdem muss aber nach der obigen Zerlegung auch
y
—
\< 0 sein oder
p
' (
y
—
) gelten. Und umgekehrt, wenn diese beiden Annahmen zugleich gelten, so gilt auch
p
' (
x
2
+
y
2
—
a
2
). Etc. Nach diesen Andeutungen ist der Beweis der beiden Sätze leicht aussagenrechnerisch in aller Form — wenn man will, ganz pedantisch — durchzuführen.
Eine andre Übungsaufgabe
McColl’
s: für das reelle Zahlengebiet die Äquivalenz darzuthun
p
(
x
+
y
) =
p
(
x
)
p
(
y
) +
p
' (
x
)
p
(
y
2
—
x
2
) +
p
' (
y
)
p
(
x
2
—
y
2
)
überlassen wir ganz dem Leser. —
Besteht für eine Variable
x
bei gegebenem
a
die Bedingung:
p
(
x
—
a
), oder also:
x
\>
a
,
so nennen wir
a
eine „
untere Grenze
“ für (oder von)
x
. Besteht dagegen eine Bedingung:
p
' (
x
—
b
), oder also:
x
\<
b
,
so nennen wir
b
eine „
obere Grenze
“ für
x
.
Weil
x
=
x
— 0, so wird insbesondere, wenn
x
die Anforderung
p
(
x
) zu erfüllen hat, die 0 als seine untere, und wenn es die Anforderung
p
' (
x
) zu erfüllen hat, die 0 als seine obere Grenze zu bezeichnen sein.
Ist
x
Integrationsvariable in einem mehrfachen Integrale, so werden für dieselbe zumeist mehrere untere und mehrere obere Grenzen an- gebbar sein als von
x
nicht unterschreitbare, resp. nicht zu über- schreitende Zahlen, und diese „
konkurrirenden
“ Grenzen einer jeden Sorte (die unteren sowol als die oberen) werden selbst mannigfach
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
variiren
, sodass bald diese bald jene von ihnen die grösste resp. die kleinste ist unter denen ihrer Sorte; dieselben werden sich nämlich als gewisse Funktionen der übrigen Integrationsvariablen oder einzelner ge- wisser von diesen darstellen und sich als von ihnen wirklich abhängig erweisen.
Ein letzter Teil der
McColl’
schen Symbolik bezweckt demgemäss eine abkürzende Zusammenfassung der Aussagen, durch welche der- gleichen konkurrirende Grenzen statuirt werden sollen für irgend eine Variable.
Eine solche Zusammenfassung wird in — wie mir scheint — un- übertrefflicher Weise ermöglicht durch folgende Konventionen.
Zahlenausdrücke, die als Grenze für eine Variable
x
auftreten, sollen mit dem Buchstaben dieser Variabeln selbst bezeichnet und mittelst eines unteren Index, wie
0, 1, 2, 3, 4, …
, von einander und von dieser unterschieden werden. Und zwar sei der Index 0 ausschliesslich für den Fall reservirt, wo die Zahl 0 selbst als Grenze für
x
auftritt, so- dass uns als Zahl das Symbol
x
0
stets die 0 bedeutet; desgl. also auch das Symbol
y
0
etc.
Im übrigen empfiehlt es sich, ungerade Zahlen
1, 3, 5, …
zur Darstellung von unteren Grenzen, gerade
2, 4, 6, …
(ohne die 0) zur Darstellung von oberen Grenzen für
x
als Indices dieses Buchstabens vorzugsweise zu ver- wenden.
Stellt nun
ϰ
irgend einen aus der Reihe jener Indices vor, und
λ
irgend einen andern, etc., so wird nach dem bisherigen das Zeichen
p
(
x
—
x
ϰ
) ausdrücken, dass die Zahl
x
ϰ
untere Grenze für
x
sein solle, und ebenso wird das Zeichen
p
' (
x
—
x
λ
) besagen, dass
x
λ
obere Grenze.
Diese Zeichen
und die Produkte von ihresgleichen
sollen nun aber für die Zwecke der Aussagenrechnung noch weiter abgekürzt werden nach den Grundsätzen:
α
1
)
p
(
x
—
x
ϰ
) =
x
ϰ
,
p
' (
x
—
x
λ
) =
x
λ
'
,
β
1
)
x
ϰ
x
λ
'
x
μ
x
ν
'
x
ξ
… =
x
λ
',
ν
', ‥
ϰ
,
μ
,
ξ
, …
wo in dem Ausdruck des letzteren linkerhand das identische Produkt der unmittelbar vorher definirten Aussagensymbole zu erblicken ist, oder die Aussage, welche eben die simultane Geltung dieser Faktor- aussagen statuirt.
Ich habe mir rechterhand nur erlaubt, die Punkte, durch welche
McColl
die verschiedenen Indices trennt, durch Kommata zu ersetzen.
Allerdings wird hiermit für das Symbol
x
ϰ
mit nicht accentuirtem Suffixum ein gewisser Doppelsinn geschaffen, indem dasselbe als
Zahl
verstanden eine gewisse untere Grenze für
x
vorstellt, als
Aussage
ge-
Anhang 7.
deutet jedoch die Forderung repräsentiren wird, dass ebendiese Zahl untere Grenze für
x
sein solle. Im weitern Verlauf unsrer Unter- suchung wird es sich jedoch als leicht herausstellen, aussagenrechnerische Operationen von den zahlenrechnerischen immer gebührend auseinander- zuhalten.
Wegen des Kommutationsgesetzes 1̅2̅
×
) der Aussagenmultiplikation steht natürlich die Reihenfolge der Indices rechts in
β
1
) ganz in unserm Belieben, und dürften wir ebensogut z. B.
x
ϰ
,
λ
',
μ
,
ν
',
ξ
, …
für die rechte Seite dieser Äquivalenz schreiben.
Zur Einübung vorstehender Symbolik sei hier noch ein Schema aufgestellt, das bei den Anwendungsaufgaben wiederholt zu verwerten sein wird:
Es bedeute
a
eine positive Zahl, und werde
α
'
1
)
—
a
=
x
1
,
a
=
x
2
genannt. Alsdann ist — nach der Zeichenregel
χ
):
(
a
2
\<
x
2
) =
p
(
x
2
—
a
2
) =
p
{(
x
—
a
) (
x
+
a
)} = =
p
(
x
—
a
)
p
(
x
+
a
) +
p
' (
x
—
a
)
p
' (
x
+
a
) = = (
a
\<
x
) (—
a
\<
x
) + (
x
\<
a
) (
x
\< —
a
) = = (
a
\<
x
) + (
x
\< —
a
),
da zufolge der Voraussetzung —
a
\< 0 \<
a
der Faktor (—
a
\<
x
) neben dem andern (
a
\<
x
) als dessen Folgerung nach Th. 2̅0̅
×
) absorbirt wird, ebenso (
x
\<
a
) neben (
x
\< —
a
); und ferner:
(
x
2
\<
a
2
) =
p
' (
x
2
—
a
2
) =
p
(
x
—
a
)
p
' (
x
+
a
) +
p
' (
x
—
a
)
p
(
x
+
a
) = = (
a
\<
x
\< —
a
) + (—
a
\<
x
\<
a
) = (—
a
\<
x
\<
a
)
indem hier der erste Term (
a
\<
x
\< —
a
) = 0 ist, als den Widersinn
a
\< —
a
involvirend.
Wir haben demnach die Ergebnisse:
β
'
1
)
p
(
x
2
—
a
2
) =
x
1'
+
x
2
p
(
a
2
—
x
2
) =
p
' (
x
2
—
a
2
) =
x
2', 1
,
welche auch auf einander zurückzuführen sind durch „Negiren“ unter der hier eingeführten Beschränkung
ξ
), z. B.
p
' (
x
2
—
a
2
) = (
x
1'
+
x
2
)' =
x
1
x
2'
=
x
1,2'
.
McColls
Methode beruht nun ganz auf
drei Regeln
, von denen die zweite übrigens nur für die oberen Grenzen wiederholt, was die erste für die unteren statuirte.
Regel 1. Die Aussage x
1, 3, 5, …
lässt sich linear und homogen ent- wickeln nach den Aussagen x
1
,
x
3
,
x
5
, …
in der Gestalt: γ
1
)
x
1, 3, 5, …
=
x
1
·
α
1
+
x
3
·
α
3
+
x
5
·
α
5
+ …,
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
worin ein jeder Koeffizient
α
1
,
α
3
,
α
5
, … die Bedingung darstellt, dass die Zahl
x
1
, resp.
x
3
,
x
5
, … die jeweilige
grösste
von den sämtlichen unteren Grenzen für
x
ist, mithin, ausführlich dargestellt, bedeuten wird:
δ
1
)
α
1
=
p
(
x
1
—
x
3
)
p
(
x
1
—
x
5
)
p
(
x
1
—
x
7
) …
α
3
=
p
(
x
3
—
x
1
)
p
(
x
3
—
x
5
)
p
(
x
3
—
x
7
) …
α
5
=
p
(
x
5
—
x
1
)
p
(
x
5
—
x
3
)
p
(
x
5
—
x
7
) … . . . . . . . . . . . . . . . .
Hiezu ist noch anzumerken, dass sämtliche Koeffizienten
α
der Ent- wicklung unter sich disjunkt sind, ihre Summe aber gleich der iden- tischen 1̇ des Aussagenkalkuls sein wird, in Zeichen, dass
ε
1
)
α
1
α
3
= 0,
α
1
α
5
= 0,
α
3
α
5
= 0, …
ζ
1
)
1̇ =
α
1
+
α
3
+
α
5
+ …
Dies alles ist ganz unmittelbar einleuchtend und läuft darauf hin- aus, dass in jeder Phase der Änderung der Zahlen
x
1
,
x
3
,
x
5
, … doch irgend eine derselben die grösste sein muss, (sintemal die Fälle des
Gleich
werdens — von mehreren derselben als grössten Zahlen — aus- zulassen), wobei es dann keine von den übrigen sein wird und, damit
x
sie alle übertreffe, es genügen wird und auch erforderlich ist, dass es nur diese eben grösste unter ihnen übertreffe.
Ungeachtet dieser Evidenz wollen wir am Schlusse dieses Anhanges (Seite 555 ff.) zeigen, wie der Satz sich auf Grund der bisherigen Sätze
beweisen
lässt, — was Herr
McColl
unterlassen.
Gleichwie Regel 1 sich auf den Fall konkurrirender
unterer
Grenzen, so bezieht die zweite Regel sich auf den von konkurrirenden
oberen
Grenzen.
Regel 2. Die Aussage x
2', 4', 6', …
lässt sich linear und homogen entwickeln nach den Aussagen x
2'
,
x
4'
,
x
6'
, …
in der Gestalt
:
η
1
)
x
2', 4', 6', …
=
x
2'
·
α
2'
+
x
4'
·
α
4'
+
x
6'
·
α
6'
+ …
worin irgend ein Koeffizient
α
2'
,
α
4'
,
α
6'
, … die Bedingung ausspricht, dass die Zahl
x
2
, bezüglich
x
4
,
x
6
, … die jeweilige
kleinste
von diesen sämtlichen oberen Grenzen für
x
ist, somit ausführlich dargestellt bedeuten wird:
ϑ
1
)
α
2'
=
p
' (
x
2
—
x
4
)
p
' (
x
2
—
x
6
)
p
' (
x
2
—
x
8
) …
α
4'
=
p
' (
x
4
—
x
2
)
p
' (
x
4
—
x
6
)
p
' (
x
4
—
x
8
) …
α
6'
=
p
' (
x
6
—
x
2
)
p
' (
x
6
—
x
4
)
p
' (
x
6
—
x
8
) … . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 34
Anhang 7.
und ferner alle diese Aussagen miteinander unverträglich sein werden, die Alternative zwischen ihnen aber alle Möglichkeiten umfassen wird, wie es die Formeln aussprechen:
ι
1
)
0 =
α
2'
α
4'
=
α
2'
α
6'
=
α
4'
α
6'
= …
ϰ
1
)
1̇ =
α
2'
+
α
4'
+
α
6'
+ …
In der That ist nämlich jederzeit irgend einer von den Zahlwerten
x
2
,
x
4
,
x
6
, … der kleinste unter ihnen (da die Fälle des Gleichseins zweier ausser Betracht bleiben dürfen), und dann ist es keiner von den übrigen; damit aber
x
kleiner sei als sie alle, muss es und braucht es blos den jeweiligen kleinsten derselben zu untertreffen.
Im übrigen wären, um die Sätze wieder rechnerisch zu beweisen, alle die Betrachtungen zu wiederholen, die wir Seite 555 ff. zur Regel 1 geben.
Die Regeln 1 und 2 bleiben natürlich auch in Kraft, wenn einer der in ihnen erwähnten Grenzen, — etwa der
letzten
unter ihnen, der Wert 0 zukommen sollte. Man darf m. a. W. den ungeraden sowol als den geraden Indices, wenn man will, auch den Index 0 zugesellen, denselben im letzteren Falle bei den Aussagensymbolen als 0' accen- tuirend.
Die dritte Regel
McColl’
s bezieht sich auf die Konkurrenz, das Zusammentreffen irgend einer unteren mit einer oberen Grenze für
x
.
Regel 3. Stets ist
:
λ
1
)
x
2', 1
=
x
2', 1
·
p
(
x
2
—
x
1
),
worin uns 2 und 1 irgend zwei Indices vertreten mögen.
Beweis. x
2', 1
bedeutet:
p
' (
x
—
x
2
)
p
(
x
—
x
1
) oder die Aussage, dass gleichzeitig
x
—
x
2
\< 0 und
x
—
x
1
\> 0 sei. Dann ist aber
x
1
\<
x
\<
x
2
und damit
a
fortiori
x
1
\<
x
2
,
x
2
—
x
1
\> 0, d. h. es gilt
p
(
x
2
—
x
1
). Somit ist gezeigt dass:
x
2', 1
p
(
x
2
—
x
1
)
ist, was sich nach Th. 2̅0̅
×
) in die oben der Regel 3 gegebene Fassung umschreibt, q. e. d.
Zu deutsch: ist
x
1
untere und
x
2
obere Grenze für
x
, so muss natür- lich diese grösser sein als jene, sofern es wirklich ein
x
gibt, welches erstere über- und zugleich letztere unterschreitet; gibt es aber ein solches
x
nicht, so haben (für jedes
x
) die beiden Seiten der behaupteten Aussagenäqui- valenz den Wert 0 und diese besteht gleichwol zu Recht.
Nach dieser Regel — mögen wir nun sagen — „
kooptirt
“ ein Symbol von der Form
x
ϰ
',
λ
jedesmal einen gewissen Faktor:
p
(
x
ϰ
—
x
λ
),
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
und zwar einen solchen, welcher die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ausdrückt, dass es überhaupt ein
x
gebe, welches die Forderung
x
ϰ
',
λ
erfüllt, für welches nämlich
x
λ
untere und zugleich
x
ϰ
obere Grenze ist. Die Ungleichung
x
λ
\<
x
ϰ
charakterisirt sich in der That als (volle)
Resultante
der Elimination von
x
aus der Doppelungleichung
(
x
λ
\<
x
) (
x
\<
x
ϰ
) oder (
x
λ
\<
x
\<
x
ϰ
);
und sie könnte auch — in offenbarer Analogie mit dem § 21 unserer Theorie — als die „Valenz-Bedingung“ für das durch letztere ein- geschränkte
x
bezeichnet werden. Indem die kooptirte Ungleichung
p
(
x
ϰ
—
x
λ
) die Unbekannte
x
gar nicht enthält, bringt sie immer nur eine Bedingung zum Ausdruck, welcher die übrigen Integrationsvariabeln (ausser
x
) und eventuell die Parameter des Problems zu unterwerfen sind, und pflegt sich die Ausserachtlassung dieser Bedingung gewöhn- lich schwer zu rächen. —
Aus in geeigneter Ordnung wiederholten Anwendungen vorstehender drei Regeln wird sich das ganze Verfahren
McColl’
s zusammensetzen. Bevor wir dies darlegen, muss jedoch die oben erwähnte Berichtigung angebracht werden.
Das Verfahren leidet nämlich, so wie Herr
McColl
es dargestellt, an einem prinzipiellen Fehler, welcher entspringt aus dem Doppelsinn des Wortes „obere resp. untere Grenze“, der durch
McColl’
s Erklärung eingeführt worden. Die obere Grenze
b
und untere
a
eines Integrals:
f
(
x
)
d x
ist nicht immer eine solche in dem Sinne
McColl’
s, wonach unbedingt (
a
\<
x
) (
x
\<
b
) gelten müsste, sondern ebensogut mag auch umgekehrt (
b
\<
x
) (
x
\<
a
) gelten. Im letzteren Falle, wo
b
\<
a
ist, kann man ja bekanntlich durch Vertauschung der beiden Grenzen, was unter Vor- ansetzung eines Minuszeichens, Zeichenänderung des Integrals, gestattet ist, in Gestalt des Ansatzes:
—
f
(
x
)
d x
den ersteren Fall herstellen, und kommt das betreffende Integral der- gestalt angesetzt mit Grenzen im
McColl’
schen Sinne, von welchen
34*
Anhang 7.
die untere wirklich algebraisch kleiner ist als die obere, dann einfach negativ in Rechnung. Bei konsequenter Anwendung von
McColl’
s Verfahren müsste es aber
ausfallen
, würde es unberücksichtigt bleiben!
Am einfachsten geht dies aus Regel 3 hervor, bei deren Begründung der Umstand vielleicht schon manchem Leser aufgefallen ist.
Betrachten wir z. B. das Integral:
f
(
x
)
d x
, so wäre, wenn 5 =
x
1
und — 3 =
x
2
genannt wird:
x
2', 1
= (5 \<
x
\< — 3)
p
(— 3 — 5) die zu- gehörige Integralaussage, und da schon der Faktor
p
(— 8), = (— 8 \> 0) = 0 absurd ist und die Regel 3 namentlich auch verwendet wird, um Terme mit widerspruchsvollen Grenzenbestimmungen ausfindig zu machen und aus- zumerzen (to „reject“), so müsste ein auf vorliegendes hinauslaufendes Teil- integral nun „verworfen“ werden! Richtig zu werke gehend aber müssten wir es doch als: —
f
(
x
)
d x
in Rechnung ziehen.
Demgemäss lässt sich unmodifizirt die Methode
McColl’
s nur an- wenden auf solche mehrfache Integrale, in denen bei jeder einzelnen von den vorgeschriebenen successiven einfachen Integrationen die untere Grenze
stets
kleiner bleibt (genauer gesagt: nie grösser wird) als die obere.
Auf andere Integrale ohne weiteres angewendet wird sie falsche und zwar im allgemeinen zu grosse Werte liefern, weil negativ (resp. entgegengesetzt) in Rechnung fallende Teilintegrale oder Integralteile von ihr unberücksichtigt gelassen werden.
Indessen kann man jedem gegebnen mehrfachen Integrale eine solche Vorbereitung geben, man kann es nötigenfalls durch Zerlegung der verschiedenen Intervalle und Vertauschung der beiden Grenzen in dem einen oder andern der damit sich ergebenden Teilintegrale (unter Um- kehrung seines Vorzeichens) in lauter solche Integrale zerspalten, dass auf deren jedes die Methode sofort anwendbar sein wird.
Nicht angängig erscheint es, etwa die Symbole
x
ϰ
',
λ
McColl’
s blos durchweg zu ersetzen durch
x
ϰ
',
λ
+
x
λ
',
ϰ
, weil dabei nicht zum Ausdruck käme, dass die Teilintegrale, welche den vom zweiten Term herrührenden Aussagen im Endergebniss entsprechen werden, entgegengesetzt in die Summe einzutreten haben. Ob es vorteilhaft sein könnte, als zugehörige Aussagen
summe
statt dessen etwa
x
ϰ
',
λ
—
x
λ
',
ϰ
zu schreiben, auf diese Weise beim zweiten Terme jenen Umstand markirend — wo die Minuszeichen zwar als Zeichen iden- tischer Addition zu deuten und zu behandeln wären, die ausserdem nur der Zeichenregel: — + = + — = — und — — = + unterworfen sind — wollen wir dahingestellt sein lassen. Immer hat man doch die
McColl’
schen Operationen an jedem Terme einzeln durchzuführen.
Die ferneren Betrachtungen mögen an das allgemeine vierfache
McColl’
s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Integral mit variabelen Grenzen geknüpft werden, (da von ihnen die an das
n
-fache anzuknüpfenden sich nur quantitativ unterscheiden):
J
=
d w
d x
d y
d z
·
f
(
w
,
x
,
y
,
z
),
wobei von vornherein
a
\<
b
gedacht werde.
Dass die Bedeutung eines und desselben Funktionsbuchstabens, wenn für ein, zwei, drei, … Argumente in Anspruch genommen, jedesmal eine vollkommen unabhängige ist, eine für
φ
(
w
) gegebene Erklärung z. B. in keiner Weise der Definition von
φ
(
w
,
x
) präjudizirt, bedarf für den Mathematiker kaum der Erinnerung.
Die oft gar nicht unbeträchtliche Vorarbeit, deren Erforderlich- keit
McColl
übersehen, besteht darin, zunächst die Ungleichung
φ
(
w
) \>
ψ
(
w
) innerhalb des Intervalles
w
=
a
bis
w
=
b
aufzulösen, d. h. diejenigen Teile gedachten Intervalles ausfindig zu machen, für welche die Voraussetzung
φ
(
w
) \<
ψ
(
w
) nicht erfüllt ist, und darnach das gegebene Integral nach
d w
zu zerlegen, die den gesuchten Inter- vallteilen entsprechenden Teilintegrale, unter Vertauschung der untern mit der oberen Grenze
von x
, negativ ansetzend. Gibt es solche nicht, so ist innerhalb des
x
-Intervalles
x
=
φ
(
w
) bis
x
=
ψ
(
w
) von
J
selbst, gab es solche aber, so ist innerhalb des
x
-Intervalles bei jedem der Teilintegrale die Ungleichung
φ
(
w
,
x
) \>
ψ
(
w
,
x
) ebenso nach
x
aufzulösen und entsprechend zu zerlegen, zuletzt die Ungleichung
φ
(
w
,
x
,
y
) \>
ψ
(
w
,
x
,
y
) nach
y
bei jedem der neuen Teilintegrale inner- halb des zugehörigen
y
-Intervalles aufzulösen, etc.
Das hiebei zu beobachtende Verfahren würde eine eingehendere Theorie wol verdienen, auf welche wir jedoch an dieser Stelle nicht eintreten wollen.
Das gegebene Integral
J
zerfällt hierdurch in ein Aggregat von lauter ebensovielfachen („Teil“-) Integralen je mit derselben Reihenfolge der Integrationsvariabeln und genommen von der nämlichen Funktion
f
,
in deren jedem aber die unteren Grenzen durchweg kleiner (nie grösser) sind als die entsprechenden oberen
, und jedes dieser Teilintegrale geht in das Aggregat mit ganz bestimmtem Vorzeichen ein. Das Aggregat ist eingliedrig, fällt mit
J
selbst zusammen, wenn die hervorgehobene Voraussetzung sich als von vornherein schon bei
J
erfüllt erweist.
Auf jedes der Teilintegrale ist alsdann die Methode anzuwenden, die wir nunmehr in Bezug auf
J
selbst auseinandersetzen wollen, in- dem wir bei diesem Integrale jetzt die gedachte Voraussetzung eintreten lassen, dass die obern Grenzen durchweg die untern übertreffen.
Anhang 7.
Wenn man will, können auch alle jene Teilintegrale, die mit demselben Vorzeichen in das Aggregat eingehen, gemeinsam — mithin in zwei Gruppen gesondert — behandelt werden, und liefern dann eine Alternativ- Aussage oder Aussagensumme, deren Glieder von der Art sind der jetzt für
J
in’s Auge zu fassenden Aussage.
Man stelle nunmehr die „
Integralaussage
“ auf, welche den Inte- grationsbereich bestimmt, und für unser
J
lautet:
A
= (
a
\<
w
\<
b
) {
φ
(
w
) \<
x
\<
ψ
(
w
)} {
ψ
(
w
,
x
) \<
y
\<
ψ
(
w
,
x
)} {
φ
(
w
,
x
,
y
) \<
z
\<
ψ
(
w
,
x
,
y
)}.
Beim
n
fachen Integrale wird dieselbe ein Produkt von
n
Doppel- ungleichungen, oder, was dasselbe sagt, von 2
n
Ungleichungen sein, —
im allgemeinsten Falle ein Aggregat von dergleichen Produkten
.
Es könnte nämlich auch irgend welche von den successiven Inte- grationen sich über getrennte (oder „diskrete“) Intervalle von stetiger Erfüllung zu erstrecken haben, z. B. das
d x
· vertreten sein durch
d x
· +
d x
· + …, wo dann der zweite Faktor von
A
durch die Summe {
φ
1
(
w
) \<
x
\<
ψ
1
(
w
)} + {
φ
2
(
w
) \<
x
\<
ψ
2
(
w
)} + … zu ersetzen wäre, und mit den andern ausmultiplizirt ein Polynom von Aussagen als „Inte- gralaussage“ liefern würde. Was weiter von
A
gesagt wird, ist auf jedes Glied solchen Polynoms dann anzuwenden.
Wie üblich sollen beim mehrfachen Integrale die successiven Inte- grationen und ihre Variabeln in der Richtung (von links nach rechts) gezählt werden, in welcher sie geschrieben und gelesen werden. Die Reihenfolge, in welcher die Integrationen ausgeführt werden müssen und in welcher sie überhaupt stets ausgeführt
zu denken
sind, ist aber die umgekehrte, sodass die „letzte“ oder innerste Integration allemal die zuerst auszuführende ist, die Integration nach der ersten Variabeln auch die zuletzt auszuführende.
Unsere Aufgabe ist gelöst, wenn wir zeigen,
wie man die Inte- gration nach irgend einer vorgegebenen von den Integrationsvariabeln zur innersten oder letzten machen kann
— z. B. die nach
x
.
Um die Integrationsordnung umzukehren, braucht man nämlich blos die Integration nach
w
zur letzten zu machen, von den hernach dieser vorausgehenden Integrationen hierauf die nach
x
und von den diesen beiden vorausgehenden Integrationen endlich die nach
y
, so wird die Inte- gration nach
z
von selbst auch zur ersten oder äussersten geworden sein.
Die Lösung der hiermit gekennzeichneten Aufgabe: die Aussage
A
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
so zu transformiren, dass sie unmittelbar die Grenzen für eine be- stimmte Integrationsvariable
x
zu erkennen gibt, wenn nach dieser zuerst integrirt, die Integration nach ihr zur innersten oder „letzten“ gemacht werden soll, lässt sich nun ganz unabhängig geben von der Voraussetzung der speziellen Form unsres oben angegebenen
A
, — welches uns in der That bei den nachfolgenden Betrachtungen nur als ein Paradigma vorschweben mag.
McColl’
s Methode ist ebensogut anwendbar, um die Grenzen für die successiven Einzelintegrationen auch erstmalig zu ermitteln, wenn z. B. das Integrationsbereich gegeben sein sollte durch eine einzige Un- gleichung
F
(
w
,
x
,
y
,
z
) \< 0
für sämtliche Integrationsvariable. Wir wollen von vornherein den denkbar allgemeinsten Fall unsern Betrachtungen zugrunde legen, wo das Integrationsbereich gegeben (oder wenigstens eingeschränkt) ist durch
irgend eine aus Ungleichungen aufgebaute Aussage
.
Die Aussage
A
wird dann eine Funktion des identischen Kalkuls sein von lauter gegebenen Aussagen, und denken wir uns diese Funktion in der obigen Form
F
\< 0 mittelst der Zeichensprache des Aussagen- kalkuls hingeschrieben.
Zu erinnern ist hiebei, dass simultane Bedingungen sich als Produkt von diesen, alternativ geltende als Summe derselben präsentiren. Auch „disjunktive“ Urteile wären leicht nach bekanntem Schema zu formuliren. Die Negation aber lässt sich bei jeder Ungleichung immer sofort „aus- führen“, indem als Verneinung von
φ
\<
ψ
jeweils
ψ
\<
φ
, und von
F
\< 0 etwa: —
F
\< 0 zu gelten hat. Konditionale oder „hypothetische“ Ungleichungen sind in kategorische Aussagen umzuschreiben nach dem Schema
λ
) des § 32, wonach die Subsumtion:
(
φ
\< 0) (
ψ
\< 0)
äquivalent ist der Alternative:
(—
φ
\< 0) + (
ψ
\< 0)
— mit Rücksicht auf das soeben Gesagte, sodass also Subsumtions- (sowol als Gleichheits-) zeichen in unsrer Aussagenfunktion nicht vorkommen werden, so wenig, wie Negationsstriche. Überhaupt:
Unsere Aussagenfunktion
A
wird, als eine lediglich durch die Operationen der Addition und Multiplikation aufgebaute, nach den Er- gebnissen unsrer Untersuchungen in Bd. 1, § 13, S. 312, sich immer darstellen lassen als ein Aggregat (Polynom) von (monomischen) Produkten aus (unbedingten, oder: kategorisch zu erfüllenden) Un- gleichungen — und in dieser Form mögen wir sie als gegeben voraus- setzen. Sie wird m. a. W. die Alternative stellen zwischen verschiedenen Systemen von simultan geforderten Ungleichungen.
Anhang 7.
Um nun die Integration nach einer vorgeschriebenen Variabeln
x
zur innersten zu machen,
breche man sämtliche Ungleichungen
,
in welchen x vorkommt
,
nach dieser Variabeln
als einer Unbekannten
auf
(und behalte die übrigen Ungleichungen unverändert bei).
Unter dem „
Aufbrechen
“ (oder „
Auflösen
“) einer Ungleichung nach einer Unbekannten verstehen wir die Ableitung von lauter solchen Un- gleichungen aus jener, welche als Major oder Minor die gedachte Un- bekannte höchstens (d. h. wenn überhaupt, so jedenfalls)
isolirt
enthalten (sodass dieselbe auf ihrer andern Seite dann auch nicht vorkommt), eventuell mit Angabe der jeweils für ihre Geltung sich ergebenden Bedingungen, und so, dass aus ihrer Gesamtheit (oder vereinigten Aussage) ein Rückschluss auf die gegebene Ungleichung zulässig ist, mithin zusammen sie dieser äquivalent sein werden.
Diesen Prozess, der, wie schon (S. 533) angedeutet, eine eingehendere Theorie verdiente, wollen wir hier ohne weiteres als allgemein ausführbar voraussetzen.
Aus einer gegebenen Ungleichung
F
(
x
) \< 0 mögen in dieser Weise folgen:
erstens
Ungleichungen, die
x
gar nicht enthalten; — z. B. sollte
c
(
x
2
+
y
2
) \< 0 sein, so müsste
c
\< 0 sein —
zweitens
Ungleichungen, die
x
— indessen blos als Major oder aber Minor — enthalten.
Von beiderlei Sorten von Ungleichungen kann wieder erforderlich sein, dass sie simultan, oder dass sie alternativ gelten; auch kann die Geltung der einen an diejenige von andern als an eine Bedingung geknüpft sein — in welch’ letzterem Falle wir die konditionale Forderung, wie im vorigen Kontext geschildert, in eine Alternative werden umzuwandeln haben. Kurzum es mag sich als die der Ungleichung
F
(
x
) \< 0 äquivalente „Auf- lösung“ derselben nach der Unbekannten
x
eine Aussage ergeben von be- liebiger Komplikation, aber ähnlicher Natur wie die schon geschilderte
A
selbst — nur dass sie eben bei den in sie eingehenden Ungleichungen das
x
jetzt nicht mehr anders, denn isolirt, enthält. Von dieser wird demnach ebenfalls gelten, dass sie als eine Summe von lauter Produkten aus Ungleichungen selbst darstellbar ist.
Die so gewonnene Auflösung nach
x
einer jeden Ungleichung in
A
, die
x
enthielt, ist aussagenrechnerisch dargestellt nun in den Ausdruck von
A
zu substituiren und sind wenigstens diejenigen Terme, in denen
x
vorkommt, auszumultipliziren. Somit erhalten wir
A
nun dargestellt als ein Aggregat von Gliedern, in deren Faktor-un- gleichungen
x
nie anders als wie als Major oder Minor auftritt.
Die hinsichtlich
x
konstante andre Seite einer jeden solchen Un- gleichung, der Minor resp. Major derselben, ist eine der gesuchten „unteren“ resp. „oberen“
Grenzen
für die Integrationsvariable
x
. Auf
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
diese Grenzen ist
McColl’
s unter
α
1
),
β
1
) beschriebene Symbolik an- zuwenden; sie sind, mit
x
ϰ
'
, …
x
ϱ
, … bezeichnet, in eine „
Grenzen- tabelle
“ einzutragen, und unter Bezugnahme auf diese Tabelle wird ein jedes Glied von
A
sich in der Form präsentiren:
ω x
ϰ
',
λ
',
μ
', …
ϱ
,
σ
, …
,
worin
ω
eine irgendwie aus Ungleichungen zusammengesetzte Aussage vorstellt (eventuell die 1̇), in welcher die Variable
x
nicht mehr vor- kommt.
Nach Regel 1 und 2 mögen wir aber hiefür schreiben:
ω
(
α
ϰ
'
x
ϰ
'
+
α
λ
'
x
λ
'
+
α
μ
'
x
μ
'
+ …) (
α
ϱ
x
ϱ
+
α
σ
x
σ
+ …)
und durch Ausmultipliziren dies weiter verwandeln in ein Aggregat von Gliedern der Form
ω α
ϰ
'
α
ϱ
x
ϰ
',
ϱ
was nach Regel 3 äquivalent ist:
ω α
ϰ
'
α
ϱ
p
(
x
ϰ
—
x
ϱ
) ·
x
ϰ
',
ϱ
indem der zugezogene Faktor
p
(
x
ϰ
—
x
ϱ
) die notwendige und hinreichende Bedingung ausdrückt, welche den übrigen Variabeln (und ev. Parametern) auferlegt wird durch die Forderung, dass es ein
x
gebe, welches
x
ϱ
über- und zugleich
x
ϰ
untertrifft.
Nunmehr ist, wie wir sagen wollen,
A
„
entwickelt
“ nach der Integrationsvariabeln
x
; es besteht aus lauter — in
McColl’
s Ausdrucks- weise — (nach
x
) „elementaren“ Termen, nämlich Gliedern von der Form:
χ x
ϰ
',
ϱ
worin
χ
eine höchstens die übrigen Integrationsvariabeln betreffende Forderung ausspricht, deren Erfülltsein aber kraft des einverleibten Faktors
p
(
x
ϰ
—
x
ϱ
) zugleich die Existenz eines die andre Forderung:
x
ϰ
',
ϱ
oder:
x
ϱ
\<
x
\<
x
ϰ
erfüllenden
x
verbürgt.
Nunmehr braucht man, um etwa die Integration nach einer zweiten Variabeln
y
zur vorletzten zu machen, blos jeden Koeffizienten hin- sichtlich des
y
ebenso zu behandeln, wie zuvor das allgemeine Glied von
A
bezüglich des
x
; man braucht nur mehr diese Koeffizienten noch nach
y
zu „entwickeln“. Und so weiter.
Zum Beispiel für unser vierfaches Integral
J
wird nach so voll- zogener Umkehrung der Integrationsfolge die Integralaussage
A
sich schliesslich darstellen als eine Summe von lauter Gliedern der Form:
ψ z
τ
',
υ
y
ϱ
',
σ
x
μ
',
ν
w
ϰ
',
λ
Anhang 7.
worin die durch die Suffixe angezeigten Grenzen einer jeden Variabeln nur Funktionen der dem zugehörigen Aussagenfaktor vorangehenden Variabeln sein können, die von
z
also konstant sein müssen, und die Bedingung
ψ
nur aus Ungleichungen bestehen kann, in welche die Parameter der ursprünglich zu Grenzen gesetzten Funktionen eingehen.
Hiezu ist noch zu bemerken: Ergeben für eine Variable sich nicht
zwei
einschliessende Grenzen, sondern z. B. gar keine oder nur eine als untere resp. obere, so ist für die fehlende untere Grenze: — ∞, für die fehlende obere: + ∞ anzusetzen; die betreffende Variable ist dann völlig oder nach einer Seite unbegrenzt variabel — Notabene: soferne man korrekt zuwerke gegangen ist, und nicht etwa eine der nach Regel 3 zu kooptirenden Faktoraussagen anzumerken vergessen hat!
Hienach ist auch klar, was es zu bedeuten hat, wenn etwa in der Aussage
A
ein „Absolutglied“
φ
auftreten sollte, welches in gar kein Symbol der Form
z
τ
',
υ
u. s. w. multiplizirt erscheint, wenn also die vollends „entwickelte“ Aussage
A
mit dem Gliede
φ
+ … schlechtweg begänne. Dies würde bedeuten, dass unter der Bedingung
φ
nach sämtlichen Variabeln von — ∞ zu + ∞ zu integriren ist.
Mit Bezugnahme auf die durch allmäligen Zuzug der Grenzen
w
ϰ
,
w
λ
, ‥
x
μ
,
x
ν
, ‥
y
ϱ
,
y
σ
, ‥
z
τ
,
z
υ
, … angewachsene und vollendete Grenzentafel ist es nun leicht, jeweils das vierfache Integral hin- zuschreiben, welches der hinter dem „Koeffizienten“
ψ
stehenden „Kon- stituenten“-Aussage entspricht. Für das vorliegende Schema lautet dasselbe nämlich:
.
Und es frägt sich nur noch, was es mit jenen Koeffizienten
ψ
für eine Bewandtniss hat, wie dieselben für das Endresultat zu verwerten sind?
Die Koeffizienten stellen, wie erwähnt, Forderungen vor, die an die Parameter der ursprünglichen Grenzenfunktionen zu stellen sind.
Ist eine solche Forderung oder Bedingung von den Parametern
erfüllt
, so ist
ψ
= 1̇ zu setzen, der Koeffizient einfach zu unterdrücken, und das zugehörige Integral geht dann sicher als Glied ein in die Summe von Integralen, in welche
J
überhaupt (im Allgemeinen) zerfällt.
Ist sie
nicht erfüllt
, so ist
ψ
= 0, und das gedachte Glied schon in der Integralaussage fortzulassen. Das Endergebniss, die Darstellung von
J
vereinfacht sich alsdann durch den Wegfall des vorstehend an- geführten zugehörigen Teilintegrales.
Sind aber die Parameter allgemeine oder zum Teil voraussetzungs- lose Buchstabenzahlen wie
a
,
b
,
c
, …, sodass die Bedingung
ψ
bald
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
erfüllt, bald auch nicht erfüllt sein kann, so nötigt das Auftreten des Koeffizienten
ψ
zur Unterscheidung von zweierlei Fällen: dem einen Falle
ψ
= 1̇, in welchem jenes Teilintegral in der =
J
zu setzenden Summe anzusetzen, und dem andern
ψ
= 0, in welchem es fortzu- lassen ist.
Für jeden Fall wird hienach das Endergebniss leicht und zweifels- ohne hinzuschreiben sein, sobald nur die Bedingungen
ψ einander gegen- seitig ausschliessen
. Dies thun sie aber sicher bei all’ den Gliedern, die von der „Entwickelung“ eines einzigen Terms
ω x
ϰ
', …
ϱ
, …
von
A
herrühren. Denn da die Summen
α
ϰ
'
+
α
λ
'
+ … und
α
ϱ
+
α
σ
+ … „reduzirte“ sind, nämlich aus „disjunkten“ oder miteinander „inkonsistenten“ Gliederaussagen nach
ε
1
) und
ι
1
) sich zusammensetzen, so muss nach einem Hülfssatze
McColl’
s (Zusatz 3, Bd. 1, S. 295) auch deren expandirtes Produkt eine reduzirte Summe sein, es müssen auch die Produkte
α
ϰ
'
α
ϱ
und damit die Koeffizienten
χ
des „nach
x
entwickelten“ Terms von
A
durchweg unter sich inkonsistent sein, und dasselbe gilt dann ebenso weiter von den Koeffizienten der Entwickelung ebendieses
χ
nach
y
, und so fort bis herab zu den Koeffizienten
ψ
auch der
letzten
Entwickelung nach der zur ersten gemachten Integrationsvariablen.
Desgleichen muss gegenseitiges Ausschliessen zwischen den Koeffi- zienten der Endaussage
A
vorliegen bei dem uns hier beschäftigenden Problem der Integrationsfolge-Umkehrung, wofern man nur bei dem Aufbrechen der vorkommenden Ungleichungen richtig dichotomisch zuwerke gegangen, nämlich Sorge getragen, schon hier stets mit ein- ander ausschliessenden Bedingungen zu operiren — solche nötigenfalls nach Th. 3̅3̅
+
) Zusatz oder den Methoden des § 19 „entwickelnd“. Ob- zwar nämlich mehrere Terme von der vorhin betrachteten Form in
A
dann vorhanden sein mögen, so werden diese doch in ihren Koeffizienten, je zu zweien verglichen, durch solche Faktoren sich unterscheiden, die als Negationen von einander zum Produkte 0 geben, und diese werden sich auf alle Unterterme mit übertragen, in welche man sie noch weiter- hin zerlegen mag — sodass zwei Unterterme disjunkte Koeffizienten haben, auch wenn sie aus verschiedenen Termen des
A
herrühren. Mithin bleiben alle Koeffizienten dann stetsfort disjunkt.
Hiermit dürfte das praktisch Wichtige erledigt sein.
Theoretisch könnte freilich auch ein Fall vorliegen, wo die das Integrationsbereich bestimmende Ur-Aussage ganz ad libitum gegeben ist, und wo die Endkoeffizienten
ψ
nicht mehr disjunkt ausfallen. Man „entwickele“ sie dann nach den vorkommenden Parameterungleichungen in disjunkte Glieder und ziehe die gleichnamigen unter diesen aus der ganzen Aussage
A
zusammen, die als Kofaktor auftretende Konstituentensumme
Anhang 7.
jeweils nach den Tautologie- und Absorptionsgesetzen etc. auf ihren ein- fachsten Ausdruck reduzirend.
Natürlich wenn unter der Bedingung eines und desselben Koeffizientengliedes zweimal gefordert würde, (dieselbe Funktion) nach
x
von
a
bis
b
zu integriren, so dürfte in der Summe von Teilintegralen das
d x
· etc. doch nur
ein
mal angesetzt werden. Und wenn etwa (für
c
\> 0,
d
\> 0) unter der nämlichen Bedingung der Ansatz von
d x
· alternativ mit dem Ansatze
d x
· zusammenträte, so wäre der erstere zu verwerfen, der letztere allein beizubehalten; es wäre in solch’ scheinbarem Konfliktsfalle zu integriren immer zwischen den weitesten oder entferntesten der angegebenen oder zugelassenen Grenzen. In der That beweist man sich leicht, dass (unter genannter Voraussetzung):
(
a
\<
x
) + (
a
+
c
\<
x
) = (
a
\<
x
), (
x
\<
b
) + (
x
\<
b
+
d
) = (
x
\<
b
+
d
), (
a
\<
x
\<
b
) + (
a
—
c
\<
x
\<
b
+
d
) = (
a
—
c
\<
x
\<
b
+
d
), (
a
—
c
\<
x
\<
b
) + (
a
\<
x
\<
b
+
d
) = (
a
—
c
\<
x
\<
b
+
d
), etc.
Zwecks Mitteilung, Drucklegung eines nach
McColl’
s Methode gelösten Problemes thut man gut, die „Grenzentabelle“ sogleich zum voraus fertig anzugeben, obwol dieselbe sich erst nach und nach er- gibt und anwächst nach Maassgabe wie die Operationen fortschreiten.
McColl
macht noch darauf aufmerksam, dass wenn etwa aus Unacht- samkeit die nämliche Zahl zweimal unter verschiedenen Namen — sagen wir
x
ϰ
und
x
λ
— als Grenze für dieselbe Variable
x
in die Tafel eingetragen sein sollte, dieses sich zumeist dadurch kundgeben würde, dass nach Regel 3 ein Faktor
p
(
x
ϰ
—
x
λ
) =
p
(0) = (0 \< 0) = 0 bei Gliedern der Aussage
A
aufträte.
In die Tabelle brauchen die in der ursprünglichen Integralaussage unmittelbar gegebenen Grenzen nicht eingetragen zu werden, sondern erst die beim Aufbrechen ihrer Ungleichungen nach der zur innersten, zweit- innersten etc. designirten Integrationsvariablen sich als Grenzen ergebenden Werte. Das erste mal wollen wir indess bei einem Beispiele auch jene noch in die Tafel aufnehmen.
Zur
Erläuterung
des Verfahrens wollen wir nämlich jetzt als ein erstes einfachstes Beispiel das eingangs angeführte Doppelintegral behandeln.
Dasselbe wird das erste nach
McColl’
s Methode behandelte
Doppel
- integral sein, indem der Entdecker dieser Methode und seine bisherigen Nachfolger dieselbe immer nur auf drei- und vierfache Integrale angewendet haben. — Hier sind die oberen Grenzen ohnehin stets grösser als die untern, sodass die Vorbereitungsarbeit wegfällt.
Die unmittelbar gegebene Aussage war
A
, = (
a
\<
x
\< 2
a
) (
x
—
a
\<
y
\<
x
+
a
),
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
und indem wir uns die folgende „
Grenzentabelle
“ anlegen:
x
1
=
a
y
1
=
x
—
a
x
2
= 2
a
y
2
=
x
+
a
x
3
=
y
—
a
x
4
=
y
+
a
deren erste beiden Zeilen durch vorstehende Data direkt nahegelegt erscheinen, wogegen sich die Fortsetzung mit der dritten und vierten Zeile erst (gleich nachher) ergeben wird, so haben wir in der eingeführten Symbolik:
A
=
x
2', 1
y
2', 1
.
Da es darauf ankommt, die Integration nach
x
zur erstauszuführenden oder innern Integration zu machen, so werden wir die nach
y
„aufgelöst“ erscheinende Doppelungleichung
y
2', 1
= (
x
—
a
\<
y
\<
x
+
a
) nun nach
x
„auflösen“, d. h. diese Variable aus ihr (in der Mitte) isoliren. Es ergibt sich — hier durch blosse Umstellung der Glieder nach bekannten Sätzen:
(
x
—
a
\<
y
\<
x
+
a
) = (
y
—
a
\<
x
\<
y
+
a
), oder
y
2', 1
=
x
4', 3
womit nun auch jene Fortsetzung unsrer Grenzentabelle gewonnen ist. Dar- nach ist:
A
=
x
2',1
x
4',3
=
x
2',4',1,3
=
x
2',4'
x
1,3
und haben wir nach Regel 2:
x
2',4'
=
x
2'
α
2'
+
x
4,
α
4'
, wo
α
2'
=
p
' (
x
2
—
x
4
) = (
a
—
y
\< 0)
α
4'
=
p
' (
x
4
—
x
2
) = (
y
—
a
\< 0)
sowie nach Regel 1:
x
1,3
=
x
1
α
1
+
x
3
α
3
, wo
α
1
=
p
(
x
1
—
x
3
) = (2
a
—
y
\> 0)
α
3
=
p
(
x
3
—
x
1
) = (
y
— 2
a
\> 0)
mithin:
A
= (
x
2'
α
2'
+
x
4'
α
4'
) (
x
1
α
1
+
x
3
α
3
) = =
x
2',1
α
2'
α
1
+
x
2',3
α
2'
α
3
+
x
4',1
α
4'
α
1
+
x
4',3
α
4'
α
3
;
nach Regel 3 sollen den Koeffizienten rechts noch die darunter gesetzten Faktoren beigesetzt werden, und wollen wir sie mit diesen vereinigt aus- führlich hinschreiben, um dieselben nach
y
aufzubrechen; es ist:
α
2'
α
1
p
(
x
2
—
x
1
) = (
y
—
a
\> 0) (2
a
—
y
\> 0)
(
a
\> 0)
= (
a
\<
y
\< 2
a
),
α
2'
α
3
p
(
x
2
—
x
3
) = (
y
—
a
\> 0
) (
y
— 2
a
\> 0) (3
a
—
y
\> 0) = (2
a
\<
y
\< 3
a
),
α
4'
α
1
p
(
x
4
—
x
1
) = (
a
—
y
\> 0) (
2
a
—
y
\> 0
) (
y
\> 0) = (0 \<
y
\<
a
),
α
4'
α
3
p
(
x
4
—
x
3
) = (
a
—
y
\> 0) (
y
— 2
a
\> 0) (2
a
\> 0) = = (2
a
\<
y
\<
a
) (
a
\> 0) = 0,
Anhang 7.
wobei die unterstrichenen Faktoren je als durch die beiden andern mit- bedingt oder aber nach der Voraussetzung
a
\> 0 schon überflüssig unter- drückt werden dürfen, der letzte Koeffizient aber als einen Widerspruch (2
a
\<
a
) (
a
\> 0) (2 \< 1) involvirend, verschwindet. Demgemäss wird denn auch von den vier Konstituenten:
x
2',1
= (
a
\<
x
\< 2
a
),
x
2',3
= (
y
—
a
\<
x
\< 2
a
),
x
4',1
= (
a
\<
x
\<
y
+
a
),
x
4',3
= (
y
—
a
\<
x
\<
y
+
a
) der letzte ausser Betracht bleiben dürfen, wird ausfallen, und ist gefunden:
A
= (
a
\<
y
\< 2
a
) (
a
\<
x
\< 2
a
) + (2
a
\<
y
\< 3
a
) (
y
—
a
\<
x
\< 2
a
) + + (0 \<
y
\<
a
) (
a
\<
x
\<
y
+
a
)
was nach Voranstellung des dritten Gliedes die gesuchte Transformation der Aussage
A
ist, die uns das Doppelintegral sogleich mit der umgekehrten Integrationsfolge anzuschreiben gestattet, so wie sie oben S. 516 zum vor- aus angegeben worden.
Hätten wir — gelegentlich der letzten Operationen — der Grenzen- tabelle rechts noch die Werte angefügt:
y
0
= 0,
y
3
=
a
,
y
4
= 2
a
,
y
5
= 3
a
,
so würde die Aussage als ihren konzisesten Ausdruck diesen erhalten haben:
A
=
y
3',0
x
4',1
+
y
4',3
x
2',1
+
y
5',4
x
2' 3
.
[Wie man sieht, tritt hier die Zahl
y
3
sowie
y
4
teils als untere teils als obere Grenze auf, sodass die Unterscheidung von unteren und oberen Grenzen mittelst ungerader und gerader Indices nicht vollkommen durch- geführt ist. Auch bei
y
5
, das nur als obere Grenze auftritt, sind wir von dem Grundsatz abgewichen, weil bei Bezeichnung dieser Zahl mit
y
6
der Index 5 übersprungen wäre. So werden wir denn an solchem Prinzip der Nomenklatur auch inskünftige nicht unbedingt festhalten, wie sehr dasselbe sich auch zur Schematisirung der allgemeinen Regeln empfohlen hatte.]
Nunmehr soll auch ein bedeutend komplizirteres Problem in exten- so nach der Methode durchgerechnet werden.
Wir wählen die von
McColl
in
1
) behandelte Muster-Aufgabe, an welcher er seine Methode erstmalig auseinandersetzt, um dabei die von ihm gegebene Lösung, wie sie dessen bedürftig ist, zu berichtigen.
Aufgabe:
In dem vierfachen Integrale:
J
=
d w
d x
d y
d z
·
f
(
w
,
x
,
y
,
z
),
worin
a
\> 0 gedacht sei, soll die Reihenfolge der Integrationen in die entgegengesetzte verwandelt werden.
Als Endergebniss findet Herr
McColl
eine Summe von
sieben
vier- fachen Integralen nach
z
,
y
,
x
,
w
, die sich durch ihre Grenzen soweit
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
unterscheiden, dass sie nicht in weniger solche zusammengezogen werden können. Von diesen leitet er auf fünf Druckseiten Rechnung das erste nur ganz ausführlich ab, welches in dem „Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik“ Bd. 10, p. 35 irrtümlich als das ganze Resultat hingestellt ist.
Ungeachtet der Korrektheit seiner Rechnungen ist jedoch zufolge des schon gekennzeichneten prinzipiellen Fehlers
McColl’
s Ergebniss falsch, und habe ich mich zum Überfluss durch die Probe für
f
= 1 überzeugt, dass seine Formeln ein viel zu grosses Resultat liefern. In Wirklichkeit ist die Aufgabe eine noch verwickeltere als sie bei
McColl
schon scheint, und die Arbeit ihrer Lösung mehr als die dreifache: es wird
J
nämlich in 28 (vierfache) Teilintegrale zerfallen, zwischen deren Grenzen keine solchen Anschlüsse stattfinden, dass sie in weniger zusammengezogen werden könnten.
Die Richtigkeit meiner Lösung, die ich verbürgen zu können glaube, habe ich für die Annahme
f
= 1 auch erprobt.
Zur Vorbereitung müssen wir erst durch geeignete Zerteilung der Intervalle und nötigenfalles Vertauschung der Grenzen (unter obligater Änderung des Vorzeichens beim Integrale) hinzubringen suchen, dass unser Integral
J
sich ·additiv oder subtraktiv aus lauter solchen Teil- integralen zusammensetze, in denen durchweg jede obere Grenze wirk- lich grösser ist, als die entsprechende untere.
Inbezug auf die beiden ersten Integrationen nach
w
und
x
gelingt dies zunächst durch die Zerlegung:
J
=
J
1
+
J
2
, wo
J
1
=
, —
J
2
=
.
Und inbezug auf die beiden letzten Integrationen nach
y
und
z
, somit durchaus, gelingt es weiter, indem wir zerlegen:
J
1
=
J
11
+
J
12
, —
J
2
=
J
21
+
J
22
, wo
J
11
=
,
J
12
=
,
w
\> 0,
x
\> 0
w
\> 0,
x
\< 0
J
21
=
,
J
22
=
,
w
\< 0,
x
\> 0
w
\< 0,
x
\< 0
wobei schliesslich also:
J
=
J
11
+
J
12
—
J
21
—
J
22
sein wird.
Anhang 7.
Bei jedem der vier Teilintegrale wird sich nun
McColl’
s Methode unbedenklich anwenden lassen.
Wir vollziehen zunächst die Umkehrung der Integrationsfolge bei
J
11
.
Unmittelbar gegeben ist die „
Integralaussage
“.
A
= (0 \<
w
\< 2
a
) (0 \<
x
\< 2
w
) (—
x
\<
y
\< 2
x
) (— 2
x
\<
z
\<
).
Die Ordnung
w x y z
der Variabeln soll nun in
z y x w
verkehrt werden.
Voraus bemerkt sei, dass die „
absoluten Grenzen
“ für sämtliche Inte- grationsvariable, d. h. die
konstanten
Werte, zwischen denen sie stets bleiben und die sie höchstens noch erreichen, sich hier leicht auf dem gewöhnlichen Wege ergeben — mit Ausnahme, vielleicht, der oberen Grenze für
z
, die später jedoch, im Verlauf der
McColl’
schen Operationen, zutage treten wird — wir führen nachher auch diese vorgreifend mit an. So geht der Maximalwert von
x
als = 4
a
aus seiner oberen Grenze 2
w
für den Maxi- malwert 2
a
von
w
hervor. Daraus folgen dann — 4
a
und 8
a
als Minimal- und Maximalwert von
y
und — 8
a
als Minimalwert von
z
(in Anbetracht, dass
, wie schon erkannt, stets grösser ist als — 2
x
und überhaupt nicht negativ hier werden kann). Immer jedoch müssen auch die absoluten Grenzen sich alle von selbst im Verlauf der
McColl’
schen Prozeduren ergeben.
Die Aussage
A
ist ein Produkt von acht Ungleichungen.
Diese, sofern sie
w
enthalten, brechen wir nun zunächst nach
w
auf, die übrig bleibenden sodann nach
x
(eventuell noch übrige dann nach
y
und die letzten, wenn solche noch vorhanden, nach
z
). Auf diese Weise ergibt sich für
A
leicht die folgende Darstellung, welcher wir
nebenher
,
in eckiger Klammer
, auch die Angabe der vorerwähnten absoluten Grenzen vollends aufügen:
was kolonnenweise zu lesen ist, und so sich fortschreitend von rechts nach links ergab — abgesehen von dem vorgreifend in [ ] beige-
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
fügten. Hier dürfte nur die letzte Zeile eine Erläuterung beanspruchen. Die Forderung
z
\<
ist, da 0 \<
x
hier ist, äquivalent mit: 2
x z
\<
y
2
, und kommt für ein positives
z
, d. h. für 0 \<
z
auf
x
\<
hinaus, wo- gegen sie für ein negatives
z
hinfällig wird, nämlich sich als ohnehin erfüllt erweist, weil eine negative Zahl sicher kleiner ist als das un- bedingt positive Quadrat von
y
.
Man bemerkt, dass wir ohne die eckigen Klammern wieder acht Faktoren haben, welche als blosse Umformungen der vorigen achte erscheinen, die wir bei der Transcription vollständig berücksichtigt haben.
Durch diese in den letzten zwei Kolonnen enthaltenen Forderungen ist nun der
Anfang
der nachstehenden Tabelle von Grenzen gegeben, deren übrige Ansätze sich erst später motiviren werden, die wir aber der Übersicht und leichtern Bezugnahme halber (sonach teilweise vor- greifend) sogleich vollständig hinsetzen wollen:
Grenzentabelle
.
Und mit Bezug auf diese haben wir als konzisesten Ausdruck unserer Integralaussage:
A
=
x
0, 1, 3, 5,
(
z
0'
+
z
0
x
2'
)
w
2', 0, 1
.
Dass der in Gestalt von
z
0
x
2'
zunächst sich darbietende Aussagen- faktor in
z
0'
+
z
0
x
2'
umgeschrieben werden durfte, sieht man unschwer ohne Rechnung, kann es aber auch rechnerisch darthun (nach Th.
λ
) des § 32 und Th. 3̅3̅
+
) Zusatz).
Nun ist:
x
0
w
2', 0, 1
=
x
0
w
2', 1
indem wegen 0 \<
x
, also 0 \<
, der Faktor (0 \<
w
) durch den (
\<
w
) überflüssig gemacht ist.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 35
Anhang 7.
Man kann dies auch nach Regel 1 einsehen, gemäss welcher
w
0, 1
=
α
0
w
0
+
α
1
w
1
ist, wo
α
0
=
p
(
w
0
—
w
1
) =
p
(0 —
) =
p
' (
x
) =
x
0'
mit dem Kofaktor
x
0
in
A
inkonsistent ist, wogegen
α
1
=
p
(
w
1
—
w
0
) =
p
(
x
) =
x
0
nur eine Wiederholung dieses Faktors ausdrücken würde. Im allgemeinen zwar wäre also:
w
0, 1
=
x
0'
w
0
+
x
0
w
1
wogegen unter der Herrschaft des Aussagenfaktors (unter der An- nahme)
x
0
einfach
w
0, 1
=
w
1
gesetzt werden mag, und der erste Term wegen
x
0', 0
=
x
0
x
0'
= 0 fort- fallen wird.
Nach Regel 3 hat aber die Geltung von
w
2', 1
auch die gleich- zeitige von
p
(
w
2
—
w
1
) =
p
(2
a
—
) =
p
' (
x
— 4
a
) = (
x
\< 4
a
) =
x
4'
im Gefolge, womit nun die absolute obere Grenze für
x
gewonnen und die Eintragung derselben in die Tabelle motivirt ist.
Nachdem so
x
4'
·
w
2', 1
für
w
2', 0, 1
in
A
eingesetzt worden, ist die Aus- sage nach der als letzte designirten Variabeln
w
bereits „entwickelt“. Wir mögen den endgültigen Faktor
w
2', 1
oder (
\<
w
\< 2
a
) dann ganz beiseite lassen und den Komplex der ihm vorangehenden Aussagen- faktoren etwa
B
nennen, sodass:
A
=
B
·
w
2', 1
wo
B
=
z
0'
x
4', 0, 1, 3, 5
+
z
0
x
2', 4', 0, 1, 3, 5
demnächst nach der zur vorletzten bestimmten Integrationsvariabeln
x
zu entwickeln sein wird.
Der erste Term heisse
B
1
, der andere
B
2
, sodass
B
=
B
1
+
B
2
.
In beiden Termen ist nach Regel 1 der Faktor zu enwickeln:
x
0, 1, 3, 5,
=
α
0
x
0
+
α
1
x
1
+
α
3
x
3
+
α
5
x
5
wo
α
0
=
p
(0 +
y
)
p
(0 —
)
p
(0 +
) =
p
(
y
)
p
' (
y
)
p
(
z
) =
y
0', 0
z
0
= 0
unmöglich ist wegen des inkonsistenten Faktors
y
0
y
0'
, wo ferner
α
1
=
p
(—
y
— 0)
p
(—
y
—
)
p
(—
y
+
) =
p
' (
y
)
p
' (
y
—
) =
y
0', 2'
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
die Grenzen
y
0
= 0 und
y
2
=
liefert und ihre Eintragung in die Tabelle motivirt, weiter:
die Grenze
y
1
= —
z
beisteuert, endlich:
ist. Darnach haben wir:
x
0, 1, 3, 5
=
y
0', 2'
x
1
+
y
0, 1
x
3
+
z
0'
y
1', 2
x
5
und wird dieses mit
z
0'
x
4'
durchmultiplizirt, zugleich in jedem Term auf die
x
-Aussagen die Regel 3 angewendet, so haben wir:
B
1
=
z
0'
{
y
0', 2'
p
(
x
4
—
x
1
)
x
4', 1
+
y
0, 1
p
(
x
4
—
x
3
)
x
4', 3
+
y
1', 2
p
(
x
4
—
x
5
)
x
4', 5
} als völlig nach
x
entwickelt. Es ist aber:
p
(
x
4
—
x
1
) =
p
(4
a
+
y
) = (— 4
a
\<
y
) =
y
3
die an dieser Stelle gewonnene und hier in die Tabelle einzutragende absolute untere Grenze von
y
(sofern als Zahl statt als Aussage gedeutet); ferner
p
(
x
4
—
x
3
) =
p
(4
a
—
) =
p
' (
y
— 8
a
) = (
y
\< 8
a
) =
y
4'
, womit
y
4
= 8
a
als die absolute obere Grenze von
y
gewonnen ist, und endlich wird:
p
(
x
4
—
x
5
) =
p
(4
a
+
) =
p
(
z
+ 8
a
) = (— 8
a
\<
z
) =
z
1
die absolute untere Grenze von
z
einführen. Sodass:
B
1
=
z
0'
{
y
0', 2', 3
x
4', 1
+
y
4', 0, 1
x
4', 3
+
z
1
y
1', 2
x
4', 5
}
nunmehr nach
y
zu entwickeln bleibt.
Nun ist
y
0', 2', 3
=
y
2', 3
, weil die Forderung
y
\< 0 durch die
y
\<
bei
z
\< 0 überflüssig gemacht wird, oder, wenn man es vorzieht, weil nach den Regeln:
y
0', 2'
=
β
0'
y
0'
+
β
2'
y
2'
, wo
β
0'
=
p
' (
y
0
—
y
2
) =
p
' (0 —
) =
z
0
und
β
2'
=
p
' (
y
2
—
y
0
) =
z
0'
, also allgemein zwar
y
0', 2'
=
z
0
y
0'
+
z
0'
y
2'
,
hier
jedoch, unter der Herrschaft des Faktor
z
0'
, sich
y
0', 2'
=
y
2'
wird setzen lassen.
Und
y
2', 3
kooptirt nach Regel 3 den Faktor:
p
(
y
2
—
y
3
) =
p
(
+ 4
a
) =
p
(
z
+ 8
a
) =
z
1
, sodass wir
y
0', 2', 3
=
z
1
y
2', 3
einzusetzen haben.
Weiter ist
y
4', 0, 1
=
y
4', 1
, weil bei
z
\< 0 die Forderung 0 \<
y
durch die —
z
\<
y
entbehrlich gemacht wird, oder auch, weil nach der Regel:
y
0, 1
=
β
0
y
0
+
β
1
y
1
, wo
β
0
=
p
(
y
0
—
y
1
) =
p
(0 +
z
) =
z
0
mit
z
0'
inkonsistent,
β
1
=
p
(
y
1
—
y
0
) =
p
(—
z
— 0) =
p
' (
z
) =
z
0'
dessen tautologische Wiederholung.
35*
Anhang 7.
Und
y
4', 1
kooptirt den Faktor
p
(
y
4
—
y
1
) =
p
(8
a
+
z
) =
z
1
, so- dass
y
4', 0, 1
=
z
1
y
4', 1
einzusetzen sein wird.
Endlich kooptirt
y
1', 2
den Faktor
p
(
y
1
—
y
2
) =
p
(—
z
—
) =
p
' (
z
) =
z
0'
, der sich oben ohnehin vorfindet.
Darnach ist:
B
1
=
z
0', 1
(
y
2', 3
x
4', 1
+
y
4', 1
x
4', 3
+
y
1', 2
x
4', 5
)
auch nach
y
entwickelt, desgleichen aber nicht minder nach
z
, in welcher letztern Hinsicht nur noch zu bedenken bleibt, dass der von
z
0', 1
kooptirte Faktor
p
(
z
0
—
z
1
) =
p
(0 + 8
a
) = 1̇ laut Annahme
a
\> 0 ohnehin erfüllt ist.
Der Ausdruck
B
1
ist daher jetzt fertig, und besteht nach
McColl’
s Ausdrucksweise aus lauter „elementary terms“. —
Was
B
2
=
z
0
x
2', 4', 0, 1, 3, 5
betrifft, so haben wir nach Regel 2:
x
2', 4'
=
α
2'
x
2'
+
α
4'
x
4'
wo
α
2'
=
p
' (
x
2
—
x
4
) =
p
' (
— 4
a
) wegen 0 \<
z
gleich
p
' (
y
2
— 8
a z
) =
p
' {(
y
—
) (
y
+
)}.
Wenn hier die Grenzen
y
5
= —
,
y
6
=
in die Grenzen- tafel eingetragen werden, so ist nun die vorstehende Aussage nach den unter
α
'
1
),
β
'
1
) oben Seite 528 bereits gegebenen Schemata:
α
2'
=
y
6', 5
.
Ebenso ist ferner
α
4'
=
p
' (
x
4
—
x
2
) =
p
' (4
a
—
) unter Herr- schaft von
z
0
gleich
p
' (8
a z
—
y
2
) =
p
(
y
2
— 8
a z
) nach ebendiesen Schemata: =
y
5'
+
y
6
.
Mithin wird bei Geltung von
z
0
sein:
x
2', 4'
=
y
6', 5
x
2'
+ (
y
5'
+
y
6
)
x
4'
.
Dies haben wir mit dem oben voraussetzungslos abgeleiteten Ausdruck von
x
0, 1, 3, 5
zu multipliziren. In ihm kann aber wegen des Ko-Fak- tors
z
0
in
B
2
der damit inkonsistente dritte Term
z
0'
y
1', 2
x
5
fortgelassen und einfacher blos:
x
0, 1, 3, 5
=
y
0', 2'
x
1
+
y
0, 1
x
3
genommen werden. So entsteht durch Ausmultipliziren, wenn wir sogleich auch Regel 3 auf die
x
-Konstituenten anwenden:
B
2
=
z
0
{
y
0', 2', 6', 5
p
(
x
2
—
x
1
)
x
2', 1
+
y
6', 0, 1, 5
p
(
x
2
—
x
3
)
x
2', 3
+ + (
y
0', 2', 5'
+
y
0', 2', 6
)
p
(
x
4
—
x
1
)
x
4', 1
+ (
y
5', 0, 1
+
y
0, 1, 6
)
p
(
x
4
—
x
3
)
x
4', 3
}
wo
p
(
x
2
—
x
1
) =
p
(
+
y
) wegen
z
0
gleich
p
(
y
2
+ 2
y z
) und wegen des Kofaktors
y
0'
gleich
p
' (
y
+ 2
z
) =
y
7'
die Eintragung der Grenze
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
y
7
in die Tabelle fordert, während
p
(
x
2
—
x
3
) =
p
(
—
) wegen
z
0
gleich
p
(
y
2
—
y z
) und wegen des Kofaktors
y
0
gleich
p
(
y
—
z
) =
y
8
ist, also die Eintragung der Grenze
y
8
erheischt, und schliesslich
p
(
x
4
—
x
1
) =
p
(4
a
+
y
) =
y
3
, sowie
p
(
x
4
—
x
3
) =
p
(4
a
—
) =
p
' (
y
— 8
a
) =
y
4'
ist. Mithin ist:
B
2
=
z
0
{
y
0', 2', 6', 7', 5
x
2', 1
+
y
6', 0, 1, 5, 8
x
2', 3
+ (
y
0', 2', 5', 3
+
y
0', 2', 3, 6
)
x
4', 1
+ + (
y
4', 5', 0, 1
+
y
4', 0, 1, 6
)
x
4', 3
}
nunmehr nach
x
entwickelt, und müssen es die Koeffizienten jetzt auch nach
y
werden.
Dies kann strikte nach den Regeln geschehen. Doch gestaltet sich deren pedantische Anwendung da, wo
viele
Suffixe zusammen- treten, immerhin etwas umständlich, und wird man praktisch zuvor alle diejenigen Faktoren unterdrücken, welche durch andere von ihnen auf den ersten Blick überflüssig gemacht werden. So ist z. B.
augenscheinlich =
y
7', 5
, indem wegen des hier positiven
z
die drei ersten Faktoren durch die als erfüllt zu denkende Forderung des vierten Faktors hinfällig werden, nämlich als schon selbstverständlich erfüllte zu ganz nichtssagenden Bedingungen sich stempeln. Ganz dasselbe würde sich natürlich auch durch Entwickelung von
y
0', 2', 6', 7'
gemäss Regel 2 herausgestellt haben.
McColl
unterpunktirt die hinfällig werdenden Suffixe und unterstreicht eingehende Faktoren (sowie als inkonsistent verschwindende Summanden) bei den Aussagen, wie wir es vorstehend exemplifizirt haben. Solches empfiehlt sich sehr für das schriftliche Arbeiten, stellt aber an den Druck höhere typographische Anforderungen, weshalb wir fernerhin keinen Gebrauch von diesem Verfahren machen wollen.
Nach Regel 3 wird
y
7', 5
den Faktor kooptiren:
p
(
y
7
—
y
5
) =
p
(— 2
z
+
) = (
\> 2
z
), was wegen
z
0
gleich (
z
\< 2
a
) =
z
2'
ist und die Grenze
z
2
zur Tabelle beisteuert, sodass
y
0', 2', 6', 7', 5
=
z
2'
y
7', 5
einzusetzen ist.
Ähnlich nun vereinfacht (bei Geltung von
z
0
) sich sofort:
y
6', 0, 1, 5, 8
=
y
6', 8
,
y
0', 2', 5', 3
=
y
5', 3
,
y
0', 2', 3, 6
= 0,
y
4', 5', 0, 1
= 0,
y
4', 0, 1, 6
=
y
4', 6
und zwar verschwindet der drittletzte Koeffizient, weil in ihm die Forderung
y
6
, = (
\<
y
) mit der
y
0'
, = (
y
\< 0) unverträglich ist,
Anhang 7.
und ebenso der vorletzte, weil sein Faktor
y
5'
, = (
y
\< —
) kol- lidirt mit dem Faktor
y
0
, = (0 \<
y
).
Es fällt hienach überhaupt nicht mehr nötig die Regeln 1 und 2 anzuwenden. Nach Regel 3 aber wird
y
6', 8
den Faktor kooptiren:
p
(
y
6
—
y
8
), =
p
(
—
z
) = (
z
\< 8
a
) =
z
3'
,
welcher die absolute obere Grenze für
z
andeutet und als
z
3
hier in die Tabelle einzutragen ist.
Und
y
5', 3
kooptirt
p
(
y
5
—
y
3
), =
p
(—
+ 4
a
) = (
z
\< 2
a
) =
z
2'
, endlich
y
4', 6
kooptirt
p
(
y
4
—
y
6
), =
p
(8
a
—
) = (
z
\< 8
a
) = =
z
3'
, sodass wir nach Einsetzung der gefundenen Koeffizienten haben:
B
2
=
z
0
{
z
2'
y
7', 5
x
2', 1
+
z
3'
y
6', 8
x
2', 3
+
z
2'
y
5', 3
x
4', 1
+
z
3'
y
4', 6
x
4', 3
}
Bedenkt man jetzt nur noch, dass
z
2',0
sowie
z
3',0
die Faktoren kooptiren:
p
(
z
2
—
z
0
), =
p
(2
a
) resp.
p
(
z
3
—
z
0
), =
p
(8
a
), die wegen
a
\> 0 gleich 1̇, d. h. ohnehin erfüllt sind, so ist klar, dass:
B
2
=
z
2', 0
(
y
7', 5
x
2', 1
+
y
5', 3
x
4', 1
) +
z
3', 0
(
y
6', 8
x
2', 3
+
y
4', 6
x
4', 3
)
nach allen drei Variabeln, zuerst
x
, dann
y
, dann
z
fertig entwickelt ist.
Dasselbe gilt hienach auch bezüglich aller vier Integrationsvari- abeln
w
,
x
,
y
,
z
von
A
= (
B
1
+
B
2
)
w
2', 1
selbst, was nun unter Einsetzung der gefundenen Endwerte von
B
1
und
B
2
leicht vollständig hinzuschreiben wäre, und die „Aussage“ für das gesuchte Integral
J
11
mit umgekehrter Integrationsfolge vorstellt. Das- selbe zerfällt hienach in sieben vierfache Teilintegrale, die sich durch irgendwelche Abweichungen in den korrespondirenden Grenzen von einander unterscheiden, und unter Bezugnahme auf die Grenzentabelle leicht hinzuschreiben sind. Unsere Aufgabe löst der Ansatz:
.
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Lösung der Aufgabe für
J
12
Grundaussage:
A
= (0 \<
w
\< 2
a
) (—
w
\<
x
\< 0) (2
x
\<
y
\< —
x
) (
\<
z
\< — 2
x
).
Erste Transcription derselben, bei welcher von dem in [ ] vorgreifend angeführten abzusehen:
Die Grenzentabelle:
ist dieselbe wie bei
J
11
, nur mit Wegfall von
w
1
,
x
4
,
y
4
,
y
5
,
y
6
,
z
1
,
z
2
,
z
3
und unter Anfügung von
w
3
,
x
6
,
y
9
,
y
10
,
y
11
,
z
4
,
z
5
,
z
6
. Sonach:
A
=
x
0', 1', 3', 5'
(
z
0'
x
2
+
z
0
)
w
2', 0, 3
.
Wegen
x
0'
ist
w
2', 0, 3
=
w
2', 3
=
w
2', 3
x
6
. Also
A
= (
B
1
+
B
2
)
w
2', 3
, wo
B
1
=
z
0'
x
0', 1', 3', 5', 2, 6
,
B
2
=
z
0
x
0', 1', 3', 5', 6
.
Nun ist:
x
0', 1', 3', 5'
=
y
0, 2
x
1'
+
y
0', 1'
x
3'
+
z
0
y
2', 1
x
5'
, und falls
z
0'
gilt:
x
2, 6
=
y
10', 9
x
2
+ (
y
9'
+
y
10
)
x
6
, also:
B
1
=
z
0'
{
y
10', 0, 2, 9
·
y
7
x
1', 2
+ (
y
9', 0, 2
+
y
0, 2, 10
)
y
11'
x
1', 6
+
y
0', 1', 10', 9
·
y
8'
x
3', 2
+ + (
y
0', 1', 9'
+
y
0', 1', 10
)
y
3
x
3', 6
}.
Anhang 7.
Aber bei
z
0'
ist:
y
10', 0, 2, 7, 9
=
y
10', 7
z
4
,
y
9', 11', 0, 2
= 0,
y
11', 0, 2, 10
=
y
11', 10
z
4
,
y
0', 1', 8', 10', 9
=
y
8', 9
z
5
,
y
0', 1', 9', 3
=
y
9', 3
z
5
,
y
0', 1', 3, 10
= 0,
somit:
B
1
=
z
0', 4
(
y
10', 7
x
1', 2
+
y
11', 10
x
1', 6
) +
z
0', 5
(
y
8', 9
x
3', 2
+
y
9', 3
x
3', 6
).
Weiter ist (
x
0', 1', 3', 5', 6
oder sogleich):
B
2
=
z
0
(
y
0, 2
·
y
11'
x
1', 6
+
y
0', 1'
·
y
3
x
3', 6
+
y
2', 1
·
z
6'
x
5', 6
)
wo, bei
z
0
:
y
11', 0, 2
=
y
11', 2
z
6'
,
y
0', 1', 3
=
y
1', 3
z
6'
, [
y
2', 1
=
z
0
y
2', 1
], also:
B
2
=
z
6', 0
(
y
11', 2
x
1', 6
+
y
1', 3
x
3', 6
+
y
2', 1
x
5', 6
)
völlig entwickelt. Damit ist auch
A
gefunden, und lässt sich ohne weiteres hinschreiben:
Lösung der Aufgabe
für
J
21
.
Grundaussage:
A
= (—
a
\<
w
\< 0) (0 \<
x
\< —
w
) (—
x
\<
y
\< 2
x
) (— 2
x
\<
z
\<
).
Erste Transcription derselben:
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Die Grenzentabelle:
führt unter Wegfall mancher früheren nur
w
4
,
x
7
,
y
12
,
y
13
,
y
14
,
z
7
,
z
8
als neue Grenzen ein. Sonach:
A
=
x
0, 1, 3, 5,
(
z
0'
+
z
0
x
2'
)
w
0', 3', 4
Bei Geltung von
x
0
ist:
w
0', 3', 4
=
w
3', 4
=
w
3', 4
x
7'
, also:
A
= (
B
1
+
B
2
)
w
3', 4
, wo
B
1
=
z
0'
x
7', 0, 1, 3, 5
,
B
2
=
z
0
x
2', 7', 0, 1, 3, 5
.
Nun ist:
x
0, 1, 3, 5
=
y
0', 2'
x
1
+
y
0, 1
x
3
+
z
0'
y
1', 2
x
5
, wie früher S. 547. Also:
B
1
=
z
0'
(
y
0', 2'
·
y
12
x
7', 1
+
y
0, 1
·
y
11'
x
7', 3
+
y
1', 2
·
z
7
x
7', 5
).
Aber bei
z
0'
ist:
y
0', 2', 12
=
y
2', 12
=
y
2', 12
z
7
,
y
11', 0, 1
=
y
11', 1
=
y
11', 1
z
7
,
y
1', 2
=
y
1', 2
z
0'
, also:
B
1
=
z
0', 7
(
y
2', 12
x
7', 1
+
y
11', 1
x
7', 3
+
y
1', 2
x
7', 5
).
Bei
z
0
ist
x
2', 7'
=
y
14', 13
x
2'
+ (
y
13'
+
y
14
)
x
7'
, also:
B
2
=
z
0
{
y
0', 2', 14', 13
·
y
7'
x
2', 1
+ (
y
0', 2', 13'
+
y
0', 2', 14
)
y
12
x
7', 1
+
y
14', 0, 1, 13
y
8
x
2', 3
+ + (
y
13', 0, 1
+
y
0, 1, 14
)
y
11'
x
7', 3
}, wo
y
0', 2', 14', 7', 13
=
y
7', 13
z
8'
,
y
0', 2', 13', 12
=
y
13', 12
z
8'
,
y
0', 2', 12, 14
= 0,
y
14', 0, 1, 8, 13
=
y
14', 8
·
z
2'
,
y
11', 13', 0, 1
= 0,
y
11', 0, 1, 14
=
y
11', 14
z
2'
bei
z
0
ist, somit:
B
2
=
z
8', 0
(
y
7', 13
x
2', 1
+
y
13', 12
x
7', 1
) +
z
2', 0
(
y
14', 8
x
2', 3
+
y
11', 14
x
7', 3
).
Dies gibt:
.
Anhang 7.
Lösung der Aufgabe
für
J
22
.
Grundaussage:
A
= (—
a
\<
w
\< 0) (2
w
\<
x
\< 0) (2
x
\<
y
\< —
x
) (
\<
z
\< — 2
x
).
Erste Umformung derselben:
Die Grenzentabelle:
w
0
= 0
x
0
= 0
etc.
w
4
= —
a
etc.
w
1
=
ist bis auf die Vertauschung von
w
2
,
w
3
mit
w
1
,
w
4
dieselbe wie bei
J
12
. Also:
A
=
x
0', 1', 3', 5'
(
z
0'
x
2
+
z
0
)
w
0', 1', 4
.
Wegen
x
0'
ist
w
0', 1', 4
=
w
1', 4
=
w
1', 4
x
6
, sonach
A
= (
B
1
+
B
2
)
w
1', 4
wo
B
1
und
B
2
dieselben Bedeutungen und somit auch dieselben aus- gerechneten Endwerte haben wie in
J
12
. Man kann hiernach das Ergebniss sogleich hinschreiben. Dasselbe lautet:
J
22
= […]
d w
·
f
wo in der Klammer [ ] derselbe Ausdruck wiederholt zu denken ist, der beim Resultat für
J
12
in einer solchen steht.
Zum Schlusse sei bemerkt, dass
McColl’
s Methode sich mit geringfügiger Modifikation auch auf
mehrfache Summen
ausdehnen lässt, sei es, um die Grenzen der successiven Einzelsummationen nach ge- gebenen Summationsvariabeln zu ermitteln, wenn der Summationsbereich irgendwie gegeben ist, sei es um eine gegebene Summationsordnung umzukehren, für die umgekehrte aus den alten die neuen Grenzen ab- zuleiten.
Die bei den Integralen erforderliche (von
McColl
übersehene) „
Vorbereitungsarbeit
“
fällt hier fort
, weil eine Summe gemeinhin als 0
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
gerechnet zu werden pflegt, sobald ihre untere Grenze die obere über- trifft, und insofern gestaltet bei den Summen sich die Arbeit einfacher als bei den Integralen.
Komplizirter wird dagegen das analoge Summenproblem in zwei andern Hinsichten. Einmal, aber nicht sehr erheblich, zufolge des Umstandes, dass wir jetzt nicht blos mit Ungleichungen, sondern auch mit Gleichungen zu thun haben werden. Diese dürfen jetzt nicht mehr ausgeschieden werden: die untere (und zumeist auch die obere) Grenze einer Summe muss immer einschliesslich, inklusiv gerechnet werden; es ist hier
nicht
gleichgültig, ob man sie einrechnet oder ausschliesst.
Diesem Umstand wird leicht in folgender Weise Rechnung zu tragen sein: Man definire:
p
(
x
—
a
) = (
a x
), sonach
p
(
x
) = (0
x
), und
p
' (
x
—
a
) = (
x
\<
a
),
p
' (
x
) = (
x
\< 0), wie früher; so wird jetzt
p
' (
x
) exakt =
p
1
(
x
) = {
p
(
x
)}
1
die Negation von
p
(
x
) sein, und ist das frühere Verhältniss hergestellt.
Die „unteren“ Summengrenzen für eine Summationsvariable
x
treten jetzt auch als solche in die Aussagensymbole ein. Dagegen wird man die
oberen
Summengrenzen, soferne auch sie wie üblich in- klusive gerechnet werden sollen, je nur
um 1 vermehrt
in die Grenzen- tafel und in die Aussagensymbole
p
eintreten lassen dürfen, um sie zuletzt beim Rückschlusse aus den Aussagensymbolen auf die anzusetzende mehrfache Summe wiederum um 1 vermindert als obere Grenzen an- zuschreiben.
Darnach werden die drei
McColl’
schen Regeln, auf denen alle Prozesse beruhten, sich ohne weiteres wieder als gültig erweisen und seine Methode sofort anwendbar sein.
Eine erheblichere Erschwerung kann aus dem andern Umstand erwachsen: dass nämlich die Summationsvariabeln mit ihrer Veränder- lichkeit auf das Gebiet der
ganzen
Zahlen beschränkt und in diesem angewiesen sind, stets eine
Sequenz
von solchen zu durchlaufen.
Beweis der Regel 1
, Seite 528/9:
γ
1
)
x
1, 3, 5, …
=
x
1
α
1
+
x
3
α
3
+
x
5
α
5
+ …
sowie der zugehörigen Sätze
ε
1
),
ζ
1
).
Zunächst ist
ε
1
) oder
α
ϰ
α
λ
= 0 für
ϰ
≠
λ
evident; denn
α
ϰ
enthält nach der Definition
δ
1
) den Faktor
p
(
x
ϰ
—
x
λ
), dagegen
α
λ
den
p
(
x
λ
—
x
ϰ
), und nach
ψ
) ist:
p
(
x
ϰ
—
x
λ
)
p
(
x
λ
—
x
ϰ
) =
p
(
x
ϰ
—
x
λ
)
p
{— (
x
ϰ
—
x
λ
)} = 0.
Anhang 7.
Ebendarum ist auch
1̇ =
p
(
x
ϰ
—
x
λ
) +
p
(
x
λ
—
x
ϰ
);
denkt man sich nun diese Gleichung angesetzt für alle erdenklichen Paare von unter sich verschiedenen
x
-Grössen
x
1
,
x
3
,
x
5
, … und überschiebend mit einander multiplizirt:
μ
1
)
1̇ = {
p
(
x
1
—
x
3
) +
p
(
x
3
—
x
1
)} {
p
(
x
1
—
x
5
) +
p
(
x
5
—
x
1
)}. · {
p
(
x
3
—
x
5
) +
p
(
x
5
—
x
3
)} …
so muss daraus die Gleichung
ζ
1
) 1̇ =
α
1
+
α
3
+
α
5
+ … entstehen, (aus welcher dann
γ
1
) leicht abzuleiten sein wird,) — wofern man nur in
μ
1
) rechterhand ausmultiplizirt, die kraft
ψ
) etc. verschwindenden Terme des ausmultiplizirten Produktes fortlässt, und bei den stehen bleibenden die „überflüssigen“ Faktoren („redundant“ factors) unterdrückt, die kraft des Absorptionsgesetzes in den übrigen eingehen.
Um dies einzusehen, hätte man, wenn
n
die Anzahl der unteren Grenzen oder Symbole der
x
-Reihe ist, von den
Faktoren in
μ
1
)
Partialprodukte im Geiste durchzugehen. Dieser Gedanke, dessen Ausführung sich freilich meist umständlich gestalten dürfte, lässt sich immerhin allgemein in folgender Weise verwirklichen.
Irgend ein Glied von
ζ
1
), z. B.
α
1
, wird in
μ
1
) aus denjenigen
n
— 1 von den
binomischen Faktoren entstehen, in welchen das Zahlen- symbol
x
1
vorkommt; und zwar wird, wenn wir uns diese
n
— 1 Faktoren zunächst für sich ausmultiplizirt denken,
α
1
, als eines der 2
n
— 1
Partial- produkte, herrühren von den Binomgliedern der Form
p
(
x
1
—
x
λ
), in welchen
x
1
hinter
p
als Minuend steht. Im Gesamtprodukt von
μ
1
) findet sich dann jedes dieser 2
n
— 1
Partialprodukte, darunter also auch
α
1
, noch multiplizirt mit allen übrigen
binomischen Faktoren von
μ
1
), in welchen
x
1
nicht vorkommt, — deren jeder aber = 1̇ ist. Also tritt
α
1
auch im Gesamtprodukt
μ
1
) als einzelner Term mit dem Koeffi- zienten 1̇ auf.
Ebenso wie
α
1
lassen sich hierauf auch
α
3
, sodann
α
5
, u. s. w. in
μ
1
) als besondere Glieder aussondern, unter Mitbenützung freilich von Faktoren und Gliedern, die auch schon zur Bildung früherer
α
-Produkte Verwendung fanden. Ungeachtet dieses letztern Umstandes dürfen wir — wegen des Tautologiegesetzes 1̅4̅) — nunmehr das expandirte Produkt
μ
1
) in der Gestalt
α
1
+
α
3
+
α
5
+ … +
R
uns vorstellen, wenn hier unter dem Zeichen
R
die restirenden, noch zu den
α
hinzutretenden Glieder zusammengefasst sind.
ζ
1
) ist bewiesen, wenn noch gezeigt ist, dass
R
= 0 wird.
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Nun ist ein jedes Glied von
R
ein Produkt aus
Aussagen
p
der Form
p
(
x
ϰ
—
x
λ
); und in jedem dieser Glieder ist eine jede
x
-Grösse, z. B.
x
1
, gerade wieder
n
— 1 mal vertreten, sei es als Minuend, sei es als Subtrahend in je einem
p
- Faktor, und zwar so, dass
keine von den n x-Grössen durchweg als Minuend erscheint
. Wäre nämlich etwa das Element
x
1
durchweg Minuend in allen
n
— 1 Faktoren
p
, in welchen das- selbe vorkommt, so wäre das betreffende Glied von
μ
1
) schon mit
α
1
be- rücksichtigt worden.
Dies vorausgesetzt, lässt sich nun beweisen, dass unter den Faktoren eines jeden Gliedes von
R
sich stets eine geschlossene Kette, ein Ring oder „
Cyklus
“ finden muss — mitunter auch deren mehrere — von der Form
ν
1
)
p
(
a
—
b
)
p
(
b
—
c
)
p
(
c
—
a
), = 0
p
(
a
—
b
)
p
(
b
—
c
)
p
(
c
—
d
)
p
(
d
—
a
), = 0 . . . . . . . . . . . . . . .
Zunächst ist leicht einzusehen, dass ein solcher Cyklus jederzeit, (wie auch schon der nur aus zwei Faktoren bestehende
p
(
a
—
b
)
p
(
b
—
a
), = 0,
vergl.
ψ
) Seite 525,) = 0 ist und damit, wofern er wirklich in einem Glied von
R
vorhanden ist, auch dieses Glied zum Verschwinden bringt; denn aus
a
—
b
\> 0,
b
—
c
\> 0 folgt durch überschiebendes Addiren
a
—
c
\> 0, (oder aus
a
\>
b
,
b
\>
c
a fortiori
a
\>
c
,) also
ο
1
)
p
(
a
—
b
)
p
(
b
—
c
)
p
(
a
—
c
)
und hieraus die erste der Inkonsistenzen
ν
1
), da
p
(
c
—
a
) als Negation von
p
(
a
—
c
) zu gelten hat. U. s. w.
Dass aber wirklich in jedem Glied von
R
mindestens ein solcher Cyklus notwendig auftreten muss, darin prägt sich ein eigener Satz der Kombinatorik aus, den ich nachher für
n
Elemente irgend welcher Art — die dann nicht
x
1
,
x
3
,
x
5
, … sondern 1, 2, 3, …
n
genannt werden sollen — von allem bisherigen unabhängig aussprechen und beweisen werde. Unter der Voraussetzung, dass dies bereits geschehen sei, möchte ich jedoch, um den Gedankengang nicht zu unterbrechen, mit dem begonnenen Beweise von
McColl’
s Regel 1 zu Ende kommen.
Nach alledem wird also die Gleichung
ζ
1
) anzusehen sein als das Ergebniss der Entwickelung der identischen 1̇ nach den
Aussagen
p
(
x
ϰ
—
x
λ
).
Aus
ζ
1
) ist dann endlich leicht
γ
1
) rechnerisch abzuleiten, indem man jene Gleichung mit der gemäss
β
1
) geltenden:
x
1, 3, 5, …
=
x
1
x
3
x
5
…
überschiebend multiplizirt und zwar rechts ausmultiplizirend. Dabei ist nur noch zu beachten, dass in jedem Gliede alle Aussagenfaktoren
x
,
Anhang 7.
welche einen vom Exponenten des
α
verschiedenen Index haben, im Produkte eingehen, speziell also, dass:
α
1
x
1
x
3
x
5
… =
α
1
x
1
,
α
3
x
1
x
3
x
5
… =
α
3
x
3
, . . . . . . . .
ist. Um das erstere einzusehen (was für den Rest typisch ist), schreibe man sich das Produkt ausführlicher hin:
p
(
x
—
x
1
)
p
(
x
—
x
3
)
p
(
x
—
x
5
) …
p
(
x
1
—
x
3
)
p
(
x
1
—
x
5
) …
In Anbetracht aber, dass die Subsumtion
ο
1
) nach Th. 2̅0̅
×
) auch ge- schrieben werden kann:
π
1
)
p
(
a
—
b
)
p
(
b
—
c
)
p
(
a
—
c
) =
p
(
a
—
b
)
p
(
b
—
c
),
haben wir ein Schema vor uns, gemäss welchem nun oben der Faktor
p
(
x
—
x
3
) von dem Produkte
p
(
x
—
x
1
)
p
(
x
1
—
x
3
),
der
p
(
x
—
x
5
) „ „ „
p
(
x
—
x
1
)
p
(
x
1
—
x
5
), . . . . . . . . . . . . . . . . . .
augenscheinlich absorbirt (nämlich ohnehin mitbedingt) wird, (weshalb seine Statuirung überflüssig). Sonach vereinfacht unser Glied sich in der That zu:
p
(
x
—
x
1
)
p
(
x
1
—
x
3
)
p
(
x
1
—
x
5
) …, =
x
1
α
1
,
wie zu zeigen gewesen, und die Formel
γ
1
) ist gerechtfertigt.
Der kombinatorische
(Hülfs-)
Satz
, auf welchen mich der Versuch geführt hat, den Beweis von
McColl
’s Regeln zu vervollständigen, und von welchem vorstehend in der That Gebrauch gemacht werden
musste
, ist vielleicht — gleichwie der Beweis für denselben — auch an sich von Interesse. Derselbe ist wie folgt zu formuliren.
Betrachtet man die
Kombinationen ohne Wiederholungen zur zweiten Klasse von
n
Elementen 1, 2, 3, …
n
— 1,
n
, dieselben jedoch „ungeordnet“ (d. h. mit irgendwie geordneten Elementen) genommen, m. a. W. nur als „Elementepaare“ aufgefasst, somit jede einzelne Kom- bination beliebig entweder als „Rechtfolge“ oder aber als „Kehrfolge“ an- gesetzt, so gilt der Satz:
Wenn kein Element in allen n
—
1 Elemente- paaren, in denen es vorkommt, voransteht
,
so lassen sich immer gewisse von den Elementepaaren zu einem
„
Ringe
“
oder
„
Cyklus
“
ordnen
— wie
23, 34, 42,
abgekürzt: 2342,
12, 23, 34, 41,
12341,
. . . . . .
…
— dergestalt dass der Konsequent (oder das zweite Element) jedes Paares mit dem Antezedenten (oder ersten Element) des ihm folgenden Paares zusammenfällt, der letzte Konsequent aber mit dem ersten Antezedenten — und zwar eventuell auf mehrere Arten.
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Die Cyklen bestehen natürlich aus mindestens drei Elementepaaren, sind drei- oder „mehrgliedrige“; ein „zweigliedriger“ Cyklus wie 23, 32, kann nämlich nicht vorkommen, weil jede Kombination nur ein mal durch ein Elementepaar vertreten sein soll; und noch weniger kann ein „ein- gliedriger“ Cyklus, wie 11, vorkommen, weil Wiederholung von Elementen in jeder Kombination ausgeschlossen.
Die Anzahl der möglichen Systeme (oder Kombinationen) von Elemente- paaren ist, wie leicht zu sehen,
.
Den
Beweis
des Satzes beginnen wir mit dem empirischen Nachweise seiner Gültigkeit für die niedersten Werte: 2, 3 und 4 von
n
.
Zwei Elementc:
1 und 2; also
n
= 2,
n
— 1 = 1,
= 1, 2
1
= 2.
Kombinationen:
12
*
21
*
Hier kann die Voraussetzung des Satzes niemals zutreffen, weil in allen, d. i. eben in dem einzigen Elementepaare des Systems sicher ein Element „durchweg“ voransteht. Und unser Satz muss hier als ein „nichts- sagender“
gelten
.
Drei Elemente:
1, 2, 3; also
n
= 3,
n
— 1 = 2,
= 3, 2
3
= 8.
Kombinationen:
Cyklen:
12, 13
23
*
32
*
12, 31
23
1231
32
*
21, 13
23
*
32
1321
21, 31
23
*
32
*
Vor den ersten Vertikalstrich haben wir die das Element 1 enthaltenden Elementepaare des jeweils in einer Zeile dargestellten Systems gesetzt und sind dieselben in den leeren Plätzen aus den darüberstehenden Zeilen
wiederholt
zu denken. Hinter jenem Strich stehen die das Element 1 nicht enthaltenden Elementepaare. Sodann haben wir hinter einen zweiten Vertikalstrich die ersichtlichen Cyklen gesetzt in den Fällen, wo die Voraus- setzung unsres Satzes zutrifft, dagegen mit einem
Stern
die Fälle gekennzeichnet, wo diese Voraussetzung nicht zutrifft, indem entweder das Element 1 oder das 2 oder 3 durchweg voransteht in allen Elementepaaren des betreffenden Systems oder der Zeile, die dasselbe enthalten.
Ähnlich verfahren wir auch bei den nachfolgenden Zusammenstellungen.
Vier Elemente:
1, 2, 3, 4; also
n
= 4,
n
— 1 = 3,
= 6, 2
6
= 64.
Anhang 7.
Kombinationen der Elementepaare mit ev. zugehörigen Cyklen:
12, 13, 14
23, 24, 34
*
23, 24, 43
*
23, 42, 34
*
23, 42, 43
*
32, 24, 34
*
32, 24, 43
*
32, 42, 34
*
32, 42, 43
*
12, 13, 41
23, 24, 34
12341, 1241, 1341
23, 24, 43
1241
23, 42, 34
12341, 1341, 2342
23, 42, 43
*
32, 24, 34
1241, 13241, 1341
32, 24, 43
1241, 13241, 2432
32, 42, 34
1341
32, 42, 43
*
12, 31, 41
23, 24, 34
1231, 12341, 1241
23, 24, 43
1231, 1241, 12431
23, 42, 34
1231, 12341, 2342
23, 42, 43
*
32, 24, 34
*
32, 24, 43
1241, 12431, 2432
32, 42, 34
*
32, 42, 43
*
21, 31, 41
23, 24, 34
*
23, 24, 43
*
23, 42, 34
2342
23, 42, 43
*
32, 24, 34
*
32, 24, 43
2432
32, 42, 34
*
32, 42, 43
*
Von den 64 Kombinationen der Elementepaare haben wir hier nur die Hälfte angeführt, die Fälle veranschaulichend, wo das Element 1 in allen drei Elementepaaren, in die es eingehen muss, voransteht, oder in nur zweien derselben, oder in einem, oder in keinem. Aus dieser angeführten Hälfte muss sich nämlich die andre durch blosse Vertauschungen unter den Elementen 2, 3, 4 im zweiten und dritten Viertel obiger Tafel ergeben.
Hienach ist erkannt, dass für
n
= 2, 3 oder 4 unser Satz Geltung besitzt. Wir können daher den Beweis durch Schluss von
n
auf
n
+ 1 antreten, und nehmen an, der Satz gelte bereits für eine gewisse Anzahl von
n
— 1 sowie auch von noch weniger Elementen (bis zu zweien herab), um darzuthun, dass er dann auch für
n
Elemente wird gelten müssen.
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
Zu dem Ende fassen wir den Fall in’s Auge, wo das Element 1 in
h
(= 0, 1, 2, …
n
— 2) von den
n
— 1 Elementepaaren des Systems, in die es eingeht,
voran
steht, also in den
k
=
n
—
h
— 1 (=
n
— 1,
n
— 2, … 1) übrigen
hintan
steht. Der Fall nämlich, wo es in allen (
h
= )
n
— 1 Paaren voranstünde, (in
n
—
h
— 1 = 0 solchen hintansteht), wäre jedenfalls ein solcher (mit Stern zu markirender), in welchem die Voraussetzung des Satzes nicht zutrifft.
Für die Elemente 1, 2, 3, … 9, 0, also
n
= 10,
n
— 1 = 9,
= 45, 2
45
= 35 184372 088832, und zwar
h
= 5,
n
—
h
— 1 = 4 mögen die abstrakten Betrachtungen jeweils veranschaulicht werden. Hier sind etwa:
12, 13, 14, 15, 16; 71, 81, 91, 01 |
die vor dem ersten Striche stehenden neune von den 45 Elementepaaren, und hinter dem Striche haben wir uns
— (
n
— 1) =
, hier 36, Elementepaare zu denken.
Es bedeute
ϰ
irgend eines, sowie
ϰ
' irgend ein anderes der
h hinter
1 stehenden Elemente, (hier 2, 3, 4, 5, 6) und ähnlich
λ
sowie
λ
' irgend eines der
n
—
h
— 1
vor
1 stehenden (7, 8, 9, 0). So haben wir die Paare
1
ϰ
und
λ
1.
Nun ist klar, dass wenn hinter dem Striche ein Elementepaar
ϰ λ
steht, der Cyklus
1
ϰ
,
ϰ λ
,
λ
1 oder 1
ϰ λ
1
vorliegen, unser Satz mithin als geltend erwiesen sein wird.
Zu beweisen haben wir ihn demnach nur noch für den Fall, wo
alle
aus einem
ϰ
und einem
λ
zusammengesetzten Elementepaare Kehrfolgen
λ ϰ
sind. Mit dieser Voraussetzung sind die
h
(
n
—
h
— 1) gleich 20 Elemente- paare der „
ersten Matrize
“:
vollkommen bestimmt; diese jedenfalls werden hinter dem Striche stehen, und können nur noch die
gleich 10 Kombinationen der
h
Elemente
ϰ
unter sich, sowie die
gleich 6 Kombinationen der
n
—
h
— 1 =
k
Elemente
λ
unter sich irgendwie (als Recht-
oder
Kehrfolgen) sich angesetzt finden — und zwar auf
·
gleich 2
16
= 65 536 verschiedene Arten.
In der That ist identisch:
=
n
— 1 +
h
(
n
—
h
— 1) +
+
,
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 36
Anhang 7.
oder
n
—
h
— 1 =
k
,
n
=
h
+
k
+ 1 eingesetzt:
=
h
+
k
+
h k
+
+
,
und hier: 45 = 9 + 20 + 10 + 6.
Die Auswahl der also weiterhin noch hinter den Strich tretenden Elementepaare hat man sich so getroffen zu denken, dass von den „Gegen- paaren“
ϰ ϰ
' und
ϰ
'
ϰ
resp.
λ λ
' und
λ
'
λ
, die sich in den Matrizen, als da sind die „
zweite
“:
und die „
dritte
“:
über die Diagonale symmetrisch gegenüberstehen, je immer nur eines ge- nommen ist.
[Mit 1 — wäre leicht pedantisch zu zeigen — kann nun kein Cyklus beginnen. Man kann nämlich mittelst geeigneter Aushebung von Elemente- paaren von jedem 1
ð
allerdings zu jedem 1
ð
' in der „zweiten“ Matrize gelangen, und ebenso von jedem
λ
1 zu jedem
λ
' 1 innerhalb der dritten — zwischen welchen beiden Matrizen, weil sie kein Element gemein haben, nie ein Anschluss möglich ist. Also müsste man sich behufs Herstellung eines Anschlusses der „ersten“ Matrize bedienen, welche aber ein 1
ϰ
mittelst ihres
λ ϰ
nicht mit einem
λ
1 zu verbinden vermag.
Zwischen den Elementepaaren der zweiten Matrize sind solche Aus- hebungen möglich, bei denen ein Cyklus entsteht — wie 23, 34, 42, etc., und dergleichen mehr — aber auch solche Aushebungen sind möglich, bei denen keiner entsteht — wie z. B., wenn man alle Elementepaare, die oberhalb der Diagonale stehen, auswählte.
Der Beweis muss sich hiernach dahin zuspitzen, dass gezeigt wird, wie unter den Voraussetzungen des Satzes notwendig aus den Elementen
λ
der
dritten
Matrize sich Cyklen herstellen lassen, wie immer man auch die Elementepaare, jenen Voraussetzungen entsprechend, daselbst ausgewählt denken, sie „ausheben“ mag. Und dies gelingt unschwer wie folgt.]
Es dürfen aus der dritten Matrize keinenfalles die Elementepaare sämtlich ausgehoben werden, die auf einer Zeile beisammenstehn; denn ist
λ
das in den Elementepaaren einer solchen Zeile voranstehende Element, so beginnen mit
λ
erstens das Elementepaar
λ
1, zweitens die
h
Elemente- paare
λ ð
der ersten Matrize und drittens die
k
— 1 =
n
—
h
— 2 Elemente- paare
λ λ
' der gedachten Zeile in unsrer dritten Matrize, sonach im Ganzen alle 1 +
h
+ (
n
—
h
— 2) =
n
— 1 Elementepaare, welche
λ
überhaupt enthalten — entgegen den Voraussetzungen unsres Satzes.
Nunmehr mögen wir von allem übrigen absehen und unsre Aufmerksamkeit ganz auf die dritte Matrize konzentriren. Wird wieder
n
—
h
— 1 =
k
genannt, so sind von den
k
(
k
— 1) Elementepaaren
λ λ
' in derselben
so auszuheben, dass alle Kombinationen ihrer
k
Elemente
λ
(oder 7, 8, 9, 0) je einmal vertreten sind, in den ausgehobenen jedoch keines der Elemente
McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
durchweg (überall wo es vorkommt) voransteht. Mithin treffen für diese ausgehobenen Elementepaare die Voraussetzungen unsres Satzes zu, und da
k
\<
n
ist, so gilt laut Annahme der Satz bereits für diese, d. h. es muss sich innerhalb der ausgehobnen Elementepaare ein Cyklus aus solchen herstellen lassen (q. e. d.).
Eine Ausnahme scheinen indes die Fälle
k
= 1 und
k
= 2 zu bilden, wo solcher Cyklus gar nicht existirte. Da dann aber auch die Voraus- setzungen des Satzes nicht mehr realisirbar sein werden, so fällt der Fall sicher unter die Klasse der mit Stern zu markirenden Aushebungen oder Systeme.
Für
k
= 2 nämlich — wo noch … 18, dann aber 91, 01 vor dem Striche steht, reduzirt sich unsere dritte Matrize zu dem Schema:
und muss man von den beiden Paaren 90 und 09 das eine haben, sonach gewiss die sämtlichen aus
einer
Zeile dieser Matrize: wählt man das erstere, so wird das Element 9, das letztere, so wird 0 durchweg voran- stehen — im Einklang mit der schon allgemein geführten Überlegung.
Ebensowenig bildet der Fall
k
= 1 eine Ausnahme, wenn in ihm auch die bisherige Beweisführung sich ein wenig modifizirt. Hier sind die das Element 1 enthaltenden Paare, oder es stehn vor dem Striche: 12, 13, … 19; 01; eine „dritte“ Matrize existirt hier gar nicht, und die zweite reduzirt sich zu der einen Zeile: |02, 03, … 09 |, woraus bereits zu ersehen, dass jetzt das Element 0 durchweg voransteht — entgegen den Voraussetzungen des Satzes.
Der Satz ist also völlig bewiesen.
Da leicht zu sehen, dass ein Cyklus — wie 12, 23, 31 — wieder ein solcher wird, m. a. W. ein solcher bleibt (13, 32, 21), wenn alle Paare rückwärts gelesen werden, so steht natürlich dem Satze noch ein zweiter vom selben Wortlaut gegenüber, in welchem nur statt „voran-“ jetzt „hintan-“ gesagt ist; und dessen Geltung wird aus der des vorigen mit- folgen, indem man, wie angedeutet, rückwärts liest.
Die Frage, inwieweit die Sätze umkehrbar sind, sowie vielleicht von Elementepaaren auf Elementetripel etc. sich ausdehnen lassen, empfehlen wir dem Leser zu fernerer Prüfung.
36*
Anhang 8.
Kempe’
s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Mit diesem Anhang gehe ich über das dem ersten Band beigegebene Inhaltsverzeichniss des zweiten Bandes hinaus, da die Arbeit des Herrn
Kempe
3
erst seitdem hinzugekommen ist, und ich mir vorgenommen hatte, die Literatur vollständig zu berücksichtigen. Diese Arbeit, betitelt:
Über die Beziehung zwischen der logischen Theorie der Klassen und der geometrischen Theorie der Punkte
, ist so durchaus eigenartig und eröffnet so merkwürdige Ausblicke, dass sie nicht blos nebenher, etwa in der Schlussbetrachtung unserer letzten Vorlesung noch besprochen werden konnte, sondern dass vielmehr derselben ein besondres Kapitel gewidmet werden muss.
Es handelt sich um den Nachweis, dass und wie die „synthetische“ oder „projektive“ Geometrie, die „geometria situs“ mittelst identischen Rechnens begründet werden kann. Aus solch inniger Verbindung zwischen zwei hochwichtigen und anscheinend völlig auseinander liegenden Forschungsgebieten entspringt einesteils zuletzt eine gewisse erweiterte Auffassung der geometria situs, während andernteils auch der identische Kalkul, auf ganz aparte Grundlagen gestellt, in neuem Lichte erscheint.
Wollten wir uns dem Gedankengang der
Kempe’
schen Arbeit völlig anschliessen, so bliebe uns bei der konzisen Darstellungsweise derselben Behufs schnellerer Einführung in
Kempe’
s Terminologie ziehe ich indessen vor, den Weg als einen Hinweg einzuschlagen, welchen
Kempe
von seinen originellen Betrachtungen aus sozusagen als Rückweg geht.
Die Theorie entspringt aus der Wahrnehmung einer weitgehenden Analogie gewisser zusammengesetzter Relationen unseres identischen Kalkuls mit der Beziehung der
Kollinearität
von Punkten (im Raume), d. h. mit ihrer etwa vorliegenden Eigenschaft,
zusammen in gerader Linie zu liegen
, und beruht auf den Nachweise der Identität formaler Grundgesetze für beiderlei Relationen — bei Zugrundelegung einer ge- eigneten Bezeichnung.
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Wir verstehen unter den Buchstaben
a
,
b
,
c
, … wie früher Ge- biete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, oder etwa auch Klassen, nennen dieselben aber nun „Elemente“ (der Rechnung) — „entities“ of the system —.
α
) Eine zusammengesetzte Operation des identischen Kalkuls, welche
drei
Elemente symmetrisch verknüpft, möge mittelst eckiger Klammern durch das Symbol [
a b c
] dargestellt und wie folgt
definirt
werden:
K
50.
[
a b c
] =
a b
+
a c
=
b c
= (
a
+
b
) (
a
+
c
) (
b
+
c
).
Die Chiffren der
Kempe’
schen Sätze — „sections“ oder „paragraphs“ — citire ich mit
K
. Dieselben gehen bis 158.
Dass nämlich die beiden letzten Ausdrücke übereinstimmen, wurde in § 18,
φ
), Bd. 1 S. 383 nachgewiesen. Unsere Operation ist also nicht nur, wie gesagt,
symmetrisch
, so dass
K
13.
[
a b c
] = [
a c b
] = [
b c a
] = [
b a c
] = [
c a b
] = [
c b a
]
und die Ordnung der Elemente stets unwesentlich („immaterial“) ist, sondern sie ist auch
zu sich selbst dual
.
Und ferner
begreift sie die beiden direkten Operationen
, die identische Multiplikation sowie die Addition,
als Spezialfälle unter sich
, indem er- sichtlichermassen ist:
K
40.
[
a b
0] =
a b
[
a b
1] =
a
+
b
K
42.
β
) Von dieser Operation die formalen Eigenschaften nachzuweisen:
K
14.
[
a b a
] =
a
oder [
a b b
] =
b
,
K
18.
[
a b
[
a c d
]] = [
a d
[
a b c
]] = [
a c
[
a b d
]],
K
16.
[[
a b c
][
a b d
]
e
] = [
a b
[
c d e
]] = [[
a b c
] [
a b d
] [
a b e
]],
K
17.
K
19.
[
a b
[
a b c
]] = [
a b c
],
wäre nur eine leichte Rechenübung. —
Ebenso leuchten unmittelbar ein die Sätze:
K
22.
[
a a b
1
] =
a
, [
a b a
1
] =
b
K
36.
K
37.
[
a b c
]
1
= [
a
1
b
1
c
1
]
K
25.
([
a b c
1
] =
c
) = (
a
=
b
=
c
).
γ
)
Kempe
bezeichnet auch mittelst
geschweifter
Klammern:
K
35.
[
a b c
1
] = {
a b
,
c
}
und nennt diesen Ausdruck eine „unsymmetrical resultant“ im Gegen- satz zur „symmetrical resultant“ [
a b c
]. Mit dieser Verwendung des Namens „Resultante“ vermag ich mich nicht zu befreunden, da sie
Anhang 8.
gegen den allgemeinen Gebrauch verstösst, gemäss welchem wir unter diesem Namen eine als Eliminationsergebniss gewonnene
Relation
ver- stehen, nicht aber einen Ausdruck, der eine Klasse (Element, entity) ist. Ich werde, falls ich des Namens bedarf, kurzweg „
Erzeugniss
“ sagen.
Abgesehen hievon, sowie von unwesentlichen Äusserlichkeiten, — wie die, dass Herr
Kempe
die Negation
a
1
von
a
mit
a
' bezeichnet, die identische Null (zero) mit
z
, die Eins also mit
z
', die Gleichung (
a b
= 0) mit (
a
*
b
), die Subsumtion
a b
aber, gleichwie
Robert Grassmann
, mit
a
\<
b
, — während doch das Subsumtionszeichen dem Zeichen ≦ entspricht, — abgesehen hievon kann ich mich fast durchweg
Kempe’
s Bezeichnungs- und Benennungsweisen anschliessen.
δ
) Der Begriff des „unsymmetrischen Erzeugnisses“ {
a b
,
c
} wird fernerhin unter
K
28 von dreien auf beliebig viele Operationsglieder ausgedehnt, auf Grund der Wahrnehmung, welche wesentlich auf obigen Satz
K
18 hinausläuft, dass
K
28.
{{
a b
,
d
}
c
,
d
} = {{
a c
,
d
}
b
,
d
} = {{
b c
,
d
}
a
,
d
},
wonach der übereinstimmende Wert dieser drei Ausdrücke denn mit
{
a b c
,
d
}
bezeichnet werden mag, und in diesem Symbol die Reihenfolge der drei Buchstaben
a
,
b
,
c
belanglos sein wird. Der Wert des Ausdrucks ist
{
a b c
,
d
} =
a b c
+ (
a
+
b
+
c
)
d
1
=
a b c d
+ (
a
+
b
+
c
)
d
1
.
Ferner mögen wir definiren
{
a b c d
,
e
} = {{
a b c
,
e
}
d
,
e
} =
a b c d
+ (
a
+
b
+
c
+
d
)
e
1
,
wo wieder in {
a b c d
,
e
} die Ordnung der vier Elemente
a
,
b
,
c
,
d
gleichgültig sein wird, — und allgemein rekurrirend den in Bezug auf
a
,
b
, …
v
,
w
,
x
,
y
symmetrischen Ausdruck
{
a b
…
w x y
,
z
} = {{
a b
…
w x
,
z
}
y
,
z
} = =
a b
…
w x y
+ (
a
+
b
+ … +
x
+
y
)
z
1
.
Der hier vollzogene Schluss von
n
auf
n
+ 1 Elemente, — der mir bei Herrn
Kempe
nicht genügend markirt zu sein scheint, — ist folgender:
Nachdem die Vertauschbarkeit der drei Elemente
a
,
b
,
c
in {
a b c
,
z
} nach
K
28
{{
a b
,
z
}
c
,
z
} = {{
a c
,
z
}
b
,
z
} = {
a b c
,
z
}
erkannt ist, möge dieselbe nun vorausgesetzt werden für 4, 5, 6, …
n
— 1, bis
n
Elemente
a
,
b
, …
v
,
w
,
x
, z. B.
{{
a b
…
v
,
z
}
w
,
z
} = {{
a b
…
w
,
z
}
v
,
z
} = … = {
a b
…
v w
,
z
} =
U
,
wo das Zeichen
U
nur zur Abkürzung dient, und
{
U x
,
z
} = {{
a b
…
w
,
z
}
x
,
z
} = {
a b
…
w x
,
z
}
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
wird. Dann hat man auch für ein weiteres (
n
+ 1) tes Element
y
noch bei nur
n
Elementen vor dem Komma —
{
U y
,
z
} = {{
a b
…
w
,
z
}
y
,
z
} = {
a b
…
w y
,
z
},
und nach
K
28
{{
U x
,
z
}
y
,
z
} = {{
U y
,
z
}
x
,
z
} = {
U x y
,
z
},
oder
{{
a b
…
w x
,
z
}
y
,
z
} = {{
a b
…
w y
,
z
}
x
,
z
} q. e. d.
Im Gegensatz zu dem „unsymmetrischen“ scheint sich das „symmetrische Erzeugniss“
nicht
von drei Elementen auf beliebig viele als solches be- grifflich ausdehnen zu lassen. Vergl. schon Bd. 1, S. 383.
ε
) Die Bedeutung des symmetrischen Erzeugnisses [
a b c
] versinn- licht für die Kreise
a
,
b
,
c
die Figur 34, in welcher dasselbe schraffirt
Fig. 34.
Fig. 35.
erscheint; ebenso die des unsymmetrischen Erzeugnisses {
a b
,
c
} oder [
a b c
1
] die Figur 35; und für vier Elemente {
a b c
,
d
} die Figur 36.
ζ
) Die Gleichung
a b c
+
a
1
b
1
c
1
= 0
ist eine bemerkenswerte, ebenfalls
symme- trische
Relation zwischen
drei
Elementen, — der wir schon bei den „symmetrisch- allgemeinen Lösungen“ in § 24 (Bd. 1, S. 512) sowie am Schluss des Anhangs 6 eingehende Betrachtungen gewidmet. Sie möge nach
Kempe
dargestellt werden durch das zwischen Punkte · gesetzte Symbol
a b c
:
(·
a b c
·) = (
a b c
+
a
1
b
1
c
1
= 0).
Fig. 36.
Statt: es gilt (oder „wir haben“) ·
a b c
·, wollen wir auch sagen:
a
,
b
und
c
bilden eine „
obverse
“ Triade.
Anhang 8.
η
) Ersetzt man in dieser das Element
c
durch
c
1
, so verliert sie die Symmetrie in Hinsicht der drei Elemente
a
,
b
,
c
und bleibt nur noch symmetrisch bezüglich der beiden Elemente
a
und
b
. Die so gewonnene Relation soll gemäss
Kempe
durch ein neues Symbol
a b
·
c
(
a b
·
c
) = (·
a b c
1
·)
dargestellt werden, — welches wir im Bedarfsfalle auch in runde Klammern schliessen.
Die Relation lässt sich auch in eine Doppelsubsumtion mit dem Mittelgliede
c
umschreiben:
(·
a b c
1
·) = (
a b c
1
+
a
1
b
1
c
= 0) = (
a b c a
+
b
) = (
a b
·
c
) = (
b a
·
c
).
Zur Veranschaulichung der Relation dient die Figur 37,
K
105.
Fig. 37.
Im Gegensatz zu den oben be- trachteten
Klassen
symbolen oder „Ele- menten“ [
a b c
] und {
a b
,
c
} usw. werden also sowol ·
a b c
· als
a b
·
c Aussagen
- symbole sein.
Herr
Kempe
pflegt die Relation
a b
·
c
zu umschreiben mit den Worten „we have
a b
·
c
“, oder mit dem Satze:
a
,
b
und
c
bilden eine „
lineare
“
Triade
mit
a
und
b
als „even members“ und
c
als dem „odd member“, — wo- gegen unseres Erachtens passender umgekehrt
a
und
b
als die ungeraden (oder äusseren, extremen) und
c
als das gerade (innere, Zwischen-) Glied hingestellt würden.
Diese Relation
a b
·
c
zwischen den Elementen einer linearen Triade ist nun der Ausgangspunkt der Theorie
Kempe’
s. Er bildet es zu einer Virtuosität aus, ganz und gar in solchen Relationen zu denken und, indem er für sie eine Anzahl von Gesetzen axiomatisch aufstellt, mittelst linearer Triadenbildung alles Andere zu definiren und zu be- weisen. Die Auswahl gerade dieser Relation erscheint als ein geniales Aperçu, welches ahnen lässt, dass der identische Kalkul eine Fundgrube auch noch für andere Theorien verschiedensten Charakters bilden wird.
ϑ
) Es sind nun zunächst Herrn
Kempe’
s formale „Gesetze“ von unserem Ausgangspunkte aus zu beweisen. In der Zeichensprache lauten diese Gesetze übersichtlich wie folgt: „Law I“.
(
a p
·
b
) (
c p
·
d
)
(
a d
·
q
) (
b c
·
q
)
„Law II“.
(
a b
·
p
) (
c p
·
d
)
(
a q
·
d
) (
b c
·
q
)
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
„Law III“.
(
a b
·
c
) (
a
=
b
) (
a
=
b
=
c
), oder (
a a
·
b
) (
a
=
b
)
„Law IV“.
(
a
=
b
)
(
a c
·
b
) (
b c
·
a
), oder kürzer (
a b
·
a
) = 1̇,
— wozu zu bemerken ist, dass in den beiden letzten Gesetzen das Subsumtionszeichen als ein auch umgekehrt gültiges in ein Gleichheits- zeichen verwandelt werden dürfte.
ι
) Das erste Gesetz versichert, dass bei gleichzeitigem Bestehen der beiden linearen Triaden
a p
·
b
und
c p
·
d
es immer ein Element
q
geben wird derart, dass auch
a d
·
q und b c
·
q
als lineare Triaden be- stehen.
Der
Beweis
dieses Gesetzes könnte geleistet werden, indem wir unter der Voraussetzung, welche ausführlich geschrieben lautet:
(
a p b
1
+
a
1
p
1
b
= 0) (
c p d
1
+
c
1
p
1
d
= 0)
oder wegen Th. 24
+
)
(
a b
1
+
c d
1
)
p
+ (
a
1
b
+
c
1
d
)
p
1
= 0,
ein Element
q
angäben, welches auch die Behauptung
(
a d q
1
+
a
1
d
1
q
= 0) (
b c q
1
+
b
1
c
1
q
= 0)
oder
(
a
1
d
1
+
b
1
c
1
)
q
+ (
a d
+
b c
)
q
1
= 0
nachweislich erfüllt.
Ein solches gibt Herr
Kempe
an in der Gestalt:
q
= (
a d
+
b c
)
u
+ (
a
+
d
) (
b
+
c
)
u
1
,
worin
u
ein arbiträres Element vorstellt, und macht die Probe mittelst Ein- setzung des Wertes von
q
in die Thesis unter Berücksichtigung der Relation zwischen
a
,
b
,
c
,
d
, welche aus der Hypothesis durch Elimination von
p
fließt. Dieses Element
q
ist aber nichts anderes, als die regelrechte Auflösung der behaupteten Gleichung nach eben dieser Unbekannten, und erfüllt diese Gleichung also sicher, wofern letztere nur überhaupt auflösbar ist. Wir können darum
Kempe’
s Rechnung hier sparen und brauchen blos das Bestehen dieser Auflösbarkeit, unserer „Valenzbedingung“ für
q
, auf Grund der Prämisse nachzusehen.
Am besten beschränkt man sich darauf, zu zeigen, wie die Prä- missengleichung die Existenz einer Wurzel
q
der behaupteten Gleichung garantirt, das heisst: zu zeigen, dass die Resultante der Elimination von
p
aus jener nachsichzieht die Resultante der Elimination von
q
aus dieser. Da aber in der That Gleichheit der beiden Resultanten-Polynome:
(
a b
1
+
c d
1
) (
a
1
b
+
c
1
d
) = (
a
1
d
1
+
b
1
c
1
) (
a d
+
b c
)
Anhang 8.
als analytische Formel besteht, indem die beiden Seiten durch Aus- multipliziren übereinstimmend auf
a b
1
c
1
d
+
a
1
b c d
1
hinauslaufen, so wird mit der einen Seite auch zugleich die andere verschwinden, q. e. d.
ϰ
) Wir fragen noch, —
Kempe’
s Theorie vervollständigend, — wann das dem Law I (oder dann auch dem Law II) genügende
q
ein eindeutig bestimmtes Element (oder Klassensymbol) sein wird, m. a. W. unter welchen Bedingungen es gerade nur
ein
solches
q
geben wird.
Die Antwort ist aus Bd. 1 S. 463 zu entnehmen, und lautet dar- nach wie folgt: nur
ein q
wird es geben, falls die Koeffizienten von
q
und
q
1
Negationen von einander sind, also (für Law I) falls
a
1
b
1
+
b
1
c
1
= (
a d
+
b c
)
1
,
(somit jeder von beiden ein solcher Ausdruck ist, dessen Negation da- durch entsteht, dass man die ihn zusammensetzenden einfachen Symbole durchweg einzeln negirt.) Und der fragliche Wert von
q
ist dann:
q
=
a d
+
b c
.
Bringt man obige Bedingung hiefür rechts auf 0, so wird sie lauten:
(
a d
+
b c
) (
a
1
d
1
+
b
1
c
1
) + (
a
+
d
) (
b
+
c
) (
a
1
+
d
1
) (
b
1
+
c
1
) = 0
oder
a b c
1
d
1
+
a
1
b
1
c d
+
a c b
1
d
1
+
a
1
c
1
b d
+
a d b
1
c
1
+
a
1
d
1
b c
= 0;
in einer weiter unten zu begründenden Symbolik
Kempe’
s wird die- selbe sich deshalb darstellen als das Produkt von drei Aussagen:
(
a b
·
c d
) (
a c
·
b d
) (
a d
·
b c
),
deren letzte (
a d
·
b c
) allein durch die Prämissen des Law I als gültig garantirt war.
Hiezu folgen weitere Ausführungen am Schlusse dieses Anhanges, S. 589 ff.
λ
) Behufs
Beweises
von Law II ist ebenso zu zeigen, dass unter der Voraussetzung
(
a b p
1
+
a
1
b
1
p
= 0) (
c p d
1
+
c
1
p
1
d
= 0)
oder
(
α
1
b
1
+
c d
1
)
p
+ (
a b
+
c
1
d
)
p
1
= 0
auch die Behauptung
(
a q d
1
+
a
1
q
1
d
= 0) (
b c q
1
+
b
1
c
1
q
= 0)
oder
(
a d
1
+
b
1
c
1
)
q
+ (
a
1
d
+
b c
)
q
1
= 0
durch gewisse
q
erfüllbar ist.
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Es folgt dies in der That aus
(
a
1
b
1
+
c d
1
) (
a b
+
c
1
d
) = (
a d
1
+
b
1
c
1
) (
a
1
d
+
b c
),
worin beide Seiten auf
a b c d
1
+
a
1
b
1
c
1
d
hinauslaufen, und das Verschwinden der linken Seite also auch das der rechten nach sich ziehen wird.
Die fraglichen
q
erhält man hienach leicht durch Auflösen der vorhergehenden Gleichung nach
q
, oder auch durch Vertauschung von
a
mit
a
1
in der Lösung der für Law I behandelten Gleichung.
μ
) Aus den Beweisen dieser beiden Gesetze geht auf den ersten Blick hervor, dass ebenso auch umgekehrt gilt:
(
a d
·
q
) (
b c
·
q
)
(
a p
·
b
) (
c p
·
d
), (
a q
·
d
) (
b c
·
q
)
(
a b
·
p
) (
c p
·
d
).
Die letztere Umkehrung deckt sich, wie Vertauschung von
a
mit
c
und
p
mit
q
zeigt, mit Law II selber. Dagegen stellt die erstere, (durch Vertauschung von
b
mit
d
und von
p
mit
q
) geschrieben als
(
a b
·
p
) (
c d
·
p
)
(
a q
·
d
) (
c q
·
b
)
ein den beiden vorigen analoges „Law“ (Gesetz) vor, welches Herr
Kempe
nicht erwähnt.
Wie ebenfalls aus dem Nachweis sofort erhellt, würden übrigens diese Gesetze alle drei sich auch symmetrischer als Gleichungen schreiben lassen: Gesetz I.
(
a p
·
b
) (
c p
·
d
) =
(
a d
·
q
) (
b c
·
q
)
Gesetz II.
(
a b
·
p
) (
c p
·
d
) =
(
a q
·
d
) (
b c
·
q
)
(Vergleiche unten Seite 587 f.)
ν
) Der
Beweis
zu Law III ergibt sich unmittelbar, indem man in der Definition von
a b
·
c
von der Voraussetzung
a
=
b
Gebrauch macht, wodurch sie übergeht in
a c a
oder
c
=
a
.
Endlich der
Beweis
von Law IV ist ebenso naheliegend, indem für
a
=
b
bei beliebigem
c
(
a c
·
b
) = (
a c
·
a
) = (
b c
·
a
) = (
a c a a
+
c
) = 1̇
wird, nämlich nach Th. 6) identisch gilt.
ο
) Sind in einer obversen Triade ·
a b c
· zwei Elemente einander gleich, z. B.
b
=
c
, so kommt die Aussage auf die mit ·
a b
· zu bezeich- nende (·
a b
·) = (·
a b b
·) = (·
a a b
·) = (
a b
+
a
1
b
1
= 0) = (
a
=
b
1
) = (
b
=
a
1
)
Anhang 8.
hinaus.
Alle drei Elemente können nicht einander gleich sein
, weil die Aussage
a
=
a
1
absurd ist, —
K
33, 77. Die obverse Triade ver- hält sich also in dieser Hinsicht ebenso, wie schon das „
obverse Paar
“ (
Dyade
)
a
,
a
1
; — so nennt
Kempe
ein Element und seine Negation; — denn haben wir damit die obverse Dyade ·
a b
· definirt als ein Elemente- paar
a
,
b
, für welches
b
=
a
1
gilt, so dass also in der That stets ·
a a
1
· identisch ist, so kann auch hier
b
nicht gleich
a
sein, wenn ·
a b
· gilt.
Die „
obverse Monade
“ ·
a
·, d. i. die Aussage:
(·
a
·) = (
a
+
a
1
= 0) = (1 = 0)
wäre hienach ein Symbol der Absurdität.
Die Wahrnehmung obiger Analogie bildete das Motiv zu
Kempe’
s Benennung
obverser Elementesysteme
. Den Begriff nämlich auf beliebig viele Elemente auszudehnen, liegt nahe:
π
) So soll gesagt werden, die Elemente
a
,
b
,
c
,
d
bildeten eine
obverse Tetrade
, oder es gelte ·
a b c d
·, wenn die Bedingung erfüllt ist:
(·
a b c d
·), = (
a b c d
+
a
1
b
1
c
1
d
1
= 0)
—
K
79; — diese reduzirt sich auf eine obverse Triade, wenn zwei von den vier Elementen zusammenfallen, z. B.
d
=
c
, und auf eine obverse Dyade ·
a b
·, wenn
d
=
c
=
b
ist. Alle vier Elemente aber können konsistenterweise nicht in eines zusammenfallen.
Allgemein definiren wir mit
K
80.
(·
a b c
…
p
·) = (
a b c
…
p
+
a
1
b
1
c
1
…
p
1
= 0)
ein „
obverses System
von irgendwieviel Elementen“ („obverse collection“) und haben neben der Symmetrie desselben in Hinsicht seiner sämt- lichen Elemente augenscheinlich
K
81.
(·
a b c
…
p
·) = (·
a
1
b
1
c
1
…
p
1
·).
ϱ
) Stellt
P
die Elementezusammenstellung
a b c
…
p
vor, so gilt für ein beliebiges weiteres Element
z
, wie leicht zu sehen:
(·
P
·) (·
P z
·) sowie (·
P z
·) (·
P z
1
·) (·
P
·),
zwei Sätze („Law
A
und
B
“ von
K
82), die sich in den einen zu- sammenziehen lassen:
K
82.
(·
P z
·) (·
P z
1
·) = (·
P
·).
σ
) Die analoge Begriffserweiterung auf irgendwieviel Elemente soll nun auch für die
lineare
Triade vollzogen werden, und zwar soll das Ergebniss — aus gegen Ende hervortretenden Gründen — ein
flaches
System von Elementen („flat collection“) genannt werden.
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Sind
a
,
b
, …
m
und
p
,
q
, …
x
irgendwieviel Elemente, so soll in der Gleichung
(
a b
…
m
·
p q
…
x
) = (
a b
…
m p
1
q
1
…
x
1
+
a
1
b
1
…
m
1
p q
…
x
= 0)
das Symbol linkerhand uns die Aussage rechts vertreten; und wenn letztere erfüllt ist, soll gesagt werden, die im ersteren vorkommenden Elemente bilden ein „
flaches System
“.
Bei einem solchen werden zwei Elemente unter sich vertauschbar sein, wenn sie beide vor oder beide hinter dem erhöhten Punkt stehen. Auch können die beiden durch den Punkt getrennten Elementegruppen ihre Stellung wechseln. Und ferner kann man für alle Elemente durchweg ihre Negationen setzen; bilden erstere ein flaches System, so auch letztere.
Die Elemente der einen Gruppe (vor dem Punkt) eines flachen Systems bilden mit den negirten Elementen der andern (hinter dem Punkt) ein obverses System
(
a b
…
m
·
p q
…
x
) = (·
a b
…
m p
1
q
1
…
x
1
·) = (·
a
1
b
1
…
m
1
p q
…
x
·).
τ
) Es entsprechen sich die Identitäten (vergl.
ο
)
(·
a b
·) = (
a
=
b
1
) (
a
·
b
) = (
a
=
b
),
K
89.
während (
a
·
a
1
) = (·
a
·) absurd ist. Dagegen gilt identisch für beliebige Elemente
z
und
a
die lineare Triade
z z
1
·
a
,
K
30, welche sich zuletzt auf das obverse Paar ·
z z
1
· reduzirt:
(
z z
1
·
a
) = (
z z
1
a
1
+
z z
1
a
=
z z
1
= 0) = (·
z z
1
·) = 1̇.
Und die unter
ϱ
) aufgestellte Identität
K
82
(·
P z
·) (·
P z
1
·) = (·
P
·) = (·
P z
·) (
P
·
z
)
lässt sich jetzt dahin erweitern, dass wenn mit
P
und
R
zwei Elemente- zusammenstellungen bezeichnet sind, welche kein gemeinsames Element besitzen, und mit
q
ein weiteres weder in
P
noch in
R
vorkommendes Element,
(
P
·
R
) = (
P q
·
R
) (
P
·
q R
),
K
87.
(
P
·
R
) (
P q
·
R
), (
P
·
R
) (
P
·
q R
).
Einfache Fälle sind:
K
7. (
a
·
c
) = (
a c
1
+
a
1
c
=
a b c
1
+
a
1
b
1
c
+
a b
1
c
1
+
a
1
b c
= 0) = = (
a b
·
c
) (
a
·
b c
), (
a b
·
e
) = (
a b c
·
e
) (
a b
·
c e
) = (
a b c d
·
e
) (
a b c
·
d e
) (
a b d
·
c e
) (
a b
·
c d e
),
(
a
·
e
) = (
a b
·
e
) (
a
·
b e
) = (
a b c
·
e
) (
a b
·
c e
) (
a c
·
b e
) (
a
·
b c e
) = = (
a b c d
·
e
) (
a b c
·
d e
) (
a b d
·
c e
) (
a b
·
c d e
) (
a c d
·
b e
) (
a c
·
b d e
) (
a d
·
b c e
) (
a
·
b c d e
), = (4 ·
e
) (3 ·
d e
) (3 ·
c e
) (3 ·
b c
) (
a b
· 3) (
a c
· 3) (
a d
· 3) (
a
· 4),
Anhang 8.
usw., wobei in der letzten Zeile die Elemente einerseits des Trennungs- punktes nur durch ihre Anzahl angedeutet sind, — eine Abkürzung, die jedenfalls dann stets ohne weiteres anwendbar ist, wenn die ersten auf- einanderfolgenden Buchstaben des Alphabets von
a
an als Elementezeichen genommen sind. — Man sieht, dass eine derartige Zerlegung eines flachen Systems in ein Produkt aus ebensolchen mit mehr Gliedern auf die „Ent- wicklung“ des Polynoms einer (rechts auf Null gebrachten) Gleichung nach einem oder mehreren nicht darin vorkommenden Symbolen hinauskommt. — In den Faktoren, z. B. von
a b
·
e
, erscheinen die durch den Punkt getrennten Elemente des Produkts
a b
·
e
überall ebenfalls getrennt, während die übrigen neu hereinkommenden Elemente in jeder möglichen Verteilung vor und hinter dem Punkt auftreten.
υ
) Wenn
a
,
b
,
c
und
d
ein flaches System bilden, so muss dieses offenbar einem der beiden folgenden Typen von vier resp. drei Formen angehören (
K
86):
a
·
b c d b
·
a c d c
·
a b d d
·
a b c
erster Typus,
a b
·
c d a c
·
b d a d
·
b c
zweiter Typus.
Ebenso sind alle möglichen Formen eines fünfgliedrigen flachen Systems aus den Elementen
a
,
b
,
c
,
d
,
e
enthalten unter zwei Typen von fünf und von zehn Formen: (mit der oben erläuterten Abkürzung)
a
· 4
b
· 4
c
· 4
d
· 4
e
· 4 erster Typus,
a b
· 3
a c
· 3
a d
· 3
a e
· 3
b c
· 3
b d
· 3
b e
· 3
c d
· 3
c e
· 3
d e
· 3
zweiter Typus.
Ähnlich bei mehr Elementen.
φ
) Durch erhöhte Punkte zwischen je zweien von irgendwieviel Elementen soll angedeutet werden, dass diese Elemente ein flaches System bilden, ohne dass zugleich bekannt sein soll, welche von den möglichen Formen diesem flachen Systeme zukommt, oder welche Elemente vor, welche hinter den Trennungspunkt treten. So ist also in
(
a
·
b
·
c
) = (
a b
·
c
) + (
a c
·
b
) + (
b c
·
a
)
das Symbol links aussagenrechnerisch definirt als die Alternative zwischen den drei Aussagen rechts.
Trifft diese Alternative zu, so soll gesagt werden, die Elemente
a
,
b
,
c
seien
kollinear
oder
lägen in gerader Linie
, bildeten ein
gerad- liniges System
.
Analog definiren wir
(
a
·
b
·
c
·
d
) = (
a
· 3) + (
b
· 3) + (
c
· 3) + (
d
· 3) + (
a b
· 2) + (
a c
· 2) + (
a d
· 2)
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
und sagen, wenn die Alternative zutrifft, die Elemente
a
,
b
,
c
,
d
seien
koplanar
,
lägen in einer Ebene
oder bildeten ein
ebenes System
.
Und so weiter für noch mehr Elemente, indem man das System bei fünf Elementen ein
räumliches
(für den gewöhnlichen „flachen“ oder Euklidischen Raum von drei Dimensionen), bei
n
Elementen eine
flache Mannigfaltigkeit von n—2 Dimensionen
nennen wird.
Aus
τ
),
K
87 ergibt sich hier z. B.
K
88.
(
a
·
b
·
c
) (
a
·
b
·
c
·
d
)
für jedes beliebige zu
a
,
b
,
c
hinzutretende Element
d
.
χ
) Systeme, die entweder obverse oder flache sind, nennt
Kempe
(
K
90) endlich „
bedingte Systeme
“ („restricted collections“), wendet da- für die wie folgt definirten Symbole an:
K
91, 92.
(·
a
·
b
·) = (
a
·
b
) + (·
a b
·), = (
a
=
b
) + (
a
=
b
1
)
K
91, 93.
(·
a
·
b
·
c
·) = (
a
·
b
·
c
) + (·
a b c
·)
K
91.
(·
a
·
b
·
c
·
d
·) = (
a
·
b
·
c
·
d
) + (·
a b c d
·),
usw., und hebt hervor, dass man einem solchen Symbole noch ein beliebiges Element (mit erhöhtem Schlusspunkt) zufügen darf, z. B.
K
94.
(·
a
·
b
·
c
·
d
·) (·
a
·
b
·
c
·
d
·
z
·),
sowie
K
95, dass man in einem bedingten System irgend welche Elemente durch ihre Negationen ersetzen darf und stets ein bedingtes System behalten wird.
Damit sind wir vom identischen Kalkul aus mit geringster Mühe in die Symbolik
Kempe’
s eingedrungen. Es erübrigt nunmehr, seinen Gedankengang unter Benutzung dieser Symbolik darzulegen, um hierauf zur Anwendung auf die projektive Geometrie überzungehen.
Mit dieser Ankündigung bricht das
Schröder’
sche Manuskript ab. Es folgen hier ergänzende Ausführungen des Herausgebers.
Es wird zunächst die lineare Triade
a b
·
c
definirt lediglich als Zusammenstellung dreier Elemente, symmetrisch bezüglich zweier
a
und
b
, der „geraden“ Glieder, während das dritte
c
das „ungerade“ heisst. Alle formalen Eigenschaften dieser linearen Triaden und auch aller anderen Beziehungen und Ausdrücke, welche wir oben mittelst des identischen Kalkuls definirt und untersucht haben, werden dann aus- schliesslich gegründet auf die axiomatisch an die Spitze gestellten Grundgesetze oder Laws I bis IV, welche oben unter
ϑ
) erläutert sind, (nebst noch zwei weiteren später zu erwähnenden).
Anhang 8.
Während diese vier ersten Grundgesetze festsetzen, was aus der Übereinstimmung zweier Elemente zwischen zwei linearen Triaden, bezw. innerhalb einer einzigen zu schliessen ist, werden hieraus zu- nächst die Ergebnisse aus zwei und drei Triaden mit mehr als einem gemeinsamen Element hergeleitet:
K
7.
(
a c
·
b
) (
b c
·
a
) = (
a
=
b
)
(vergl. oben
τ
)
K
8.
(
a b
·
c
) (
b c
·
d
) = (
a b
·
d
) (
a d
·
c
)
K
9.
(
a b
·
c
) (
a b
·
d
) (
c d
·
e
) (
a b
·
e
)
K
10.
(
a b
·
d
) (
a c
·
e
) (
d e
·
b
) (
c d
·
b
)
K
11.
(
a b
·
d
) (
a c
·
d
) (
b c
·
e
) (
a e
·
d
).
Zur Bestätigung dieser Sätze wird man wol am einfachsten, ähnlich wie schon oben in
τ
) für
K
7, jede Triade nach allen im Satz vorkommenden Elementen gemäss
τ
) entwickeln, wonach man z. B in
K
8 links und rechts des Gleichheitszeichens dieselben vier Entwicklungsfaktoren
(
a b d
·
c
) (
a b
·
c d
) (
a b c
·
d
) (
a d
·
b c
)
erhält, während — für
K
9 — von den vier Entwicklungsfaktoren des Subsumtionsprädikats
(
a b
·
e
) = (4 ·
e
) (3 ·
c e
) (3 ·
d e
) (
a b
· 3)
offenbar jeder in der Entwicklung wenigstens einer der drei Subjekt-Triaden vorkommt:
(
a b
·
c
) (3 ·
c e
) (
a b
· 3), (
a b
·
d
) (3 ·
d e
) (
a b
· 3), (
c d
·
e
) (4 ·
e
);
usw.
Diese fünf Theoreme
K
7—11 nebst den Voraussetzungen Law I—IV genügen nun zum Nachweis folgender Thatsachen: Ein Element
x
ist vermöge des Zusammenbestehens der drei linearen Triaden
a b
·
x
,
b c
·
x
,
c a
·
x
in eindeutig bestimmter Weise abhängig von
a
,
b
und
c
, und zwar hat diese Funktion
x
gerade diejenigen Eigenschaften, welche wir unter
α
) und
β
) dem Ausdruck
a b
+
b c
+
c a
, dem „symmetrischen Erzeugniss“ [
a b c
] zuzuschreiben hatten (
K
12—19). Desgleichen wird sodann eine andere Funktion
y
von
a
,
b
,
c
, das „unsymmetrische Triaden-Erzeugniss“
y
= {
a b
,
c
}, durch die gleichzeitig bestehenden Triaden
a b
·
y
,
c y
·
a
,
c y
·
b
definirt und diskutirt.
Bestätigend rechnet man leicht nach:
(
a b
·
x
) (
b c
·
x
) (
c a
·
x
) = {(
a
1
b
1
+
b
1
c
1
+
c
1
a
1
)
x
+ (
a b
+
b c
+
c a
)
x
1
= 0} = {[
a b c
]
1
x
+ [
a b c
]
x
1
= 0},
worin die Koeffizienten von
x
und
x
1
Negationen (oder „obvers“, vergl. oben
ο
)) zu einander sind; es folgt daher (nach Bd. 1, Seite 463)
x
= [
a b c
] =
a b
+
b c
+
c a
. Usw.
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Das unsymmetrische Erzeugniss, begrifflich ausgedehnt auf beliebig viele Argumente wie oben in
δ
), dient nunmehr auch zur Einführung der Negation eines Elementes
z
, des „obversen“
z
1
zu
z
, und zwar, wenn unter
a
,
b
,
c
, …
y
,
z alle
Elemente des Systems oder Denk- bereiches verstanden werden, worunter
z
ein beliebiges, mittelst der Definition
z
1
= {
a b c
…
y z
,
z
}.
Hiebei ist nun, wie auch anderwärts, wesentlich Gebrauch zu machen von einem weiteren Grundgesetz V,
K
6, dem „Kontinuitätsgesetz“ (Law of continuity):
Zum Denkbereich ist als zugehörig zu betrachten jedes Element, welches mit den bereits vorhandenen Elementen als verträglich sich er- weist. (No entity is absent from the system which can consistently be present.)
Da hiernach unter „allen“ Elementen
a
,
b
, …
z
auch schon das neuer- dings definirte
z
1
sich befindet, so ist nach den Gesetzen des identischen Rechnens in
{
a b
…
z
,
z
} =
a b
…
z
+ (
a
+
b
+ … +
z
)
z
1
rechterhand das Produkt
a b
…
z
= 0 und die Summe
a
+
b
+ … +
z
= 1.
Nun wird der gesamte identische Kalkul gegründet auf die Be- griffe und Gesetze von den linearen Triaden und deren „Erzeugnissen“, und zwar dienen die Beziehungen
α
),
K
40 und 42
[
a b
0] =
a b
, [
a b
1] =
a
+
b
= {
a b
, 0}
zur Definition des Produktes und der Summe zweier Elemente. Be- zeichnend ist hier die Art, wie die beiden Moduln 0 und 1 eingeführt werden. Der eine, die Null, ist zunächst ein ganz beliebiges Element
z
des Denkbereiches, der andere, die Eins, dessen Negation
z
1
; und den Modulncharakter nehmen diese beiden zu einander obversen Elemente erst an durch Beschränkung des Operationsfeldes auf solche symmetrische und unsymmetrische Erzeugnisse, welche eines von beiden, etwa
z
, als „konstantes“ Glied enthalten, — indem diese Erzeugnisse sodann als Funktionen der übrigen beiden Glieder betrachtet und [
a b z
] mit
a b
, {
a b
,
z
} mit
a
+
b bezeichnet
wird. Das Zeichen 0 für
z
zu gebrauchen, wegen der hiernach leicht zu erweisenden Beziehung
a z
=
z
(und
a
+
z
=
a
), lehnt
Kempe
K
41 nicht geradezu ab, wenn man dabei nur nicht aus dem Auge verliere, dass dieses innerhalb der in Rede stehenden „Algebra“ bevorzugte, konstante Element
z
sich ursprünglich durch nichts von den andern Elementen des Grundsystems unterscheidet, und dass man jedes andere Element ebensogut hätte zum Modul machen
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 37
Anhang 8.
können; wogegen er allerdings an der Bezeichnung 1 für
z
1
wegen
a
+
z
1
=
z
1
Anstoss nimmt (
K
46).
Auch die linearen Triaden mit innerhalb der „Algebra“, also des identischen Kalkuls „konstantem“ Element
z
oder 0 werden, als Be- ziehungen zwischen den andern beiden Gliedern:
K
59.
(
a
0 ·
b
) = (
b a
), (
a b
· 0) = (
a b
= 0),
mit neuen Symbolen bezeichnet, — wenn auch freilich nicht mit den hier gebrauchten — vergl.
γ
).
Nach „algebraischer“ d. i. identisch rechnerischer Behandlung der bisher aufgestellten und einiger neuen Begriffe und Ergebnisse in grossenteils oben dargelegter Weise wendet sich die Untersuchung nunmehr der geometrischen Anwendung zu.
Unter dem Namen eines „linearen Punktsystems“ („linear set“) wird zunächst
K
127 ff. eine Gruppe von Elementen ins Auge gefasst, unter denen nicht zwei einander gleich sind, während dagegen je drei von ihnen eine lineare Triade bilden. Die durchgängige Verschiedenheit der Elemente schliesst nach
K
7, Seite 576 oder
τ
) das Bestehen mehrerer linearer Triaden zwischen denselben drei Elementen aus; dagegen bilden die zwischen je vieren von ihnen bestehenden linearen Triaden, wie sich zeigen lässt (
K
128), stets eine Triaden-Tetrade von bestimmter Form, nämlich von der Form der vier in dem Theorem
K
8 Seite 576 enthaltenen Triaden
a b
·
c
,
b c
·
d
,
a b
·
d
,
a d
·
c
,
von denen nach ebendiesem Theorem das erste und das zweite Paar einander gegenseitig bedingen.
Ein Nachweis hiezu, — von
Kempe
nur flüchtig angedeutet, — ist unten Seite 582 ff. ausgeführt, um das Referat an dieser Stelle nicht damit zu unterbrechen.
Da zwar zwei obverse Elemente
a
und
a
1
scheinbar eine lineare Triade
a a
1
·
b
bilden mit jedem beliebigen anderen Element
b
als ihrem Zwischenglied, wie oben
K
30,
τ
) erwähnt, diese Triade aber in Wirk- lichkeit, als Identität, auf das obverse
Paar
·
a a
1
· hinauskommt, so enthält ein lineares System nicht zwei obverse Elemente.
Ein lineares System heisst vollständig („complete“), wenn dem- selben ein jedes Element angehört, das mit irgend zwei Elementen des Systems eine lineare Triade bildet (kollinear ist, vergl.
φ
)).
Indem man das ungerade Glied einer linearen Triade auch als „Zwischenglied“ oder als „liegend zwischen“ den geraden Gliedern bezeichnet, wird man von den vier Elementen oder „Punkten“
a
,
b
,
c
,
d
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
der Triaden-Tetrade
a b
·
c
,
b c
·
d
,
a b
·
d
,
a d
·
c
sagen, sie liegen in der Reihenfolge
a c d b
; und dem entspricht die Ausdrucksweise: Die Punkte eines linearen Systems bilden eine „gerade Linie“.
Freilich können im allgemeinen zwei lineare Systeme gemeinsame Elemente in irgend welcher Anzahl enthalten. Nun beschränken wir aber unsere Betrachtung auf ein System von Elementen oder Punkten, innerhalb dessen es nicht zwei lineare Systeme mit mehr als einem gemeinsamen Element gibt. Ein solches System heisst ein „geometrisches“ („geometric set“). Dasselbe ist somit dadurch gekennzeichnet, dass zu den fünf früheren Grundgesetzen noch als neues hinzutritt (
K
136): „Law VI“.
(
a
·
p
·
q
) (
b
·
p
·
q
) (
a̅
·̅
b̅
·̅
p̅
) (
p
=
q
),
worin neben den beiden kollinearen Triaden
a
·
p
·
q
und
b
·
p
·
q
(vergl.
φ
)) als dritte Prämisse die Aussagenverneinung
(
a̅
·̅
b̅
·̅
p̅
) = (
a̅ b̅
·̅
p̅
) (
b̅ p̅
·̅
a̅
) (
a̅ p̅
·̅
b̅
)
bedeutet, dass es zwischen den drei Elementen
a
,
b
,
p
keine lineare Triade, keine „gerade Linie“ gebe.
Es lässt sich zeigen, dass die Punkte eines flachen Raumes von beliebig vielen Dimensionen als Elemente eines solchen geometrischen Systems angesehen werden können, wobei auch die mehrfach der Geometrie entlehnten Benennungen in ihrer eigentlichen geometrischen Bedeutung zu nehmen sind.
Um für einen solchen Raum, insbesondere den flachen drei- dimensionalen oder Euklidischen, die Gültigkeit der Grundgesetze I—IV darzuthun, — während die der Gesetze V und VI als selbstverständlich angesehen werden kann, — genügen wenige Worte und der Anblick der Figuren 38 und 39: Liegt ein Punkt
p
zugleich in der Geraden der beiden Punkte
a
und
b
und in der- jenigen durch
c
und
d
, und zwar so, dass dort
b
, hier
d
der ungerade oder zwischen- liegende Punkt ist, so muss es, laut Ge- setz I, auch einen Punkt
q
geben, welcher zugleich auf den beiden Geraden
a d
und
b c
Fig. 38
liegt, nnd zwar zwischen
a
und
d
, sowie zwischen
b
und
c
. — Wenn sich dagegen die beiden Geraden
a b
und
c d
schneiden in einem Punkt
p
innerhalb der Strecke
a b
, jedoch ausserhalb der Strecke
c d
, in der Ver- längerung dieser Strecke über
d
hinaus, so liegt der Schnittpunkt
q
der
37*
Anhang 8.
Geraden
a d
und
b c
innerhalb der Strecke
b c
und in der Verlängerung der Strecke
a d
über
d
hinaus, nach Gesetz II. — Fallen von drei kollinearen Punkten zwei zusammen, und sind es die beiden geraden
Fig. 39
oder Aussenpunkte, so muss der Zwischen- punkt ebenfalls mit ihnen zusammenfallen; fällt aber der Zwischenpunkt mit einem Aussenpunkt zusammen, so ist der andere Aussenpunkt beliebig, es liegt dann jeder Punkt mit den beiden ersteren in einer Ge- raden; — bekannte Thatsachen, welche mit Law III und IV ausgesprochen sind.
Um nun — wenigstens für die ein- fachsten Fälle eines Euklidischen Raumes — auch zu zeigen, wie die Grundgesetze, welche im wesentlichen den Begriff der linearen Triade konstituiren, nicht nur notwendig zutreffen, sondern auch hinreichen zur Bestimmung der grundlegenden geometrischen Gebilde, wird hingewiesen auf die Kollinearität von Punkten als Bedingung der Lage von Punkten auf einer Ebene, in einem flachen dreidimensionalen Raum und auf einem Kegelschnitt:
Die (notwendige und hinreichende) Bedingung, dass die vier Punkte
a
,
b
,
c
,
d
koplanar sind, ist, dass sich die Geraden
a b
und
c d
schneiden (in einem Punkt
p
):
(
a
·
b
·
c
·
d
) =
(
a
·
b
·
p
) (
c
·
d
·
p
);
sollen ferner die fünf Punkte
a
,
b
,
c
,
d
,
e
einem Euklidischen Raum von drei Dimensionen angehören, so muss man durch einen
e
der Punkte eine Gerade legen können, welche die beiden Geraden
a b
und
c d
der Paare der übrigen Punkte schneidet (in zwei Punkten
l
und
m
):
(
a
·
b
·
c
·
d
·
e
) =
(
a
·
b
·
l
) (
c
·
d
·
m
) (
l
·
m
·
e
);
sollen endlich die sechs Punkte
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
auf einem Kegelschnitt liegen, so müssen die drei Schnittpunkte
l
,
m
,
n
der drei Gegenseitenpaare ihres Sechseckes in einer Geraden liegen, — es müssen die sieben kollinearen Triaden bestehen:
a
·
b
·
l
,
d
·
e
·
l
,
b
·
c
·
m
,
e
·
f
·
m
,
c
·
d
·
n
,
f
·
a
·
n
,
l
·
m
·
n
.
Nach einigen Andeutungen (
K
149) über eine „Algebra“ der kollinearen Punkte, der Punkte eines geometrischen Systems, — von gleichem Charakter wie die „Algebra der Grössen“, und ähnlich der
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
früher aufgestellten identischen Algebra wenigstens hinsichtlich der Art der Begründung mittelst der Theorie der linearen Triaden, jedoch mit drei „konstanten“ Punkten oder Moduln, entsprechend den Grössen- moduln ∞, 0 und 1, — worüber auf
Kempe
1
verwiesen wird, — werden Name und Bedeutung eines „flachen“ mehrgliedrigen Systems erläutert: Wenn
n
Punkte ein flaches System — innerhalb eines geo- metrischen Punktsystems — bilden, so liegen diese Punkte in einem flachen Raume von
n
— 2 Dimensionen. So z. B. liegen die drei Punkte einer linearen Triade in einer Geraden, also einem eindimensionalen Raum, die Punkte einer flachen Tetrade auf einer Ebene von zwei Dimensionen, usw. — In letzterwähntem Falle besagt die Form
a
·
b c d
der Tetrade, dass
a
im Innenraum des Dreiecks
b c d
liege, während nach der anderen Form
a b
·
c d
die Punkte
a
und
b
auf verschiedenen Seiten der Geraden
c d
liegen, und umgekehrt die Punkte
c
und
d
beiderseits der Geraden
a b
.
Vergl. unten Seite 587 ff.
Zwei obverse Elemente
a
und
a
1
können einem geometrischen System ebensowenig angehören als einem linearen; denn andernfalls würde für drei beliebige andere, von
a
,
a
1
und von einander verschiedene Elemente
b
,
c
,
d
des geometrischen Systems aus
K
30,
τ
)
a a
1
·
b
,
a a
1
·
c
,
a a
1
·
d
nach Law VI — da hier
a
≠
a
1
, —
a
·
b
·
c
,
a
1
·
b
·
c
,
a
·
b
·
d
, usw. folgen, und ebenso hieraus, wenn
a
≠
b
,
b
·
c
·
d
, usw.; es müssten alle Elemente des geometrischen Systems kollineare Triaden bilden, das geometrische System wäre ein lineares, welches aber, wie bereits oben gezeigt, nicht zwei obverse Elemente
a
und
a
1
enthalten könnte.
Da nun (
a b
·
c
) = (
a
1
b
1
·
c
1
), die obversen der Elemente einer linearen Triade wieder eine solche bilden, so erhält man auch zu einem geo- metrischen System ein zweites, das „konjugirte“ geometrische System, indem man die Elemente sämtlich negirt; und zwei solche einander konjugirte bilden ein neues symmetrisches, das „erweiterte“ („extended“) geometrische System. Ein solches zerfällt aber nicht etwa blos in die beiden konjugirten Systeme, aus denen es durch Zusammensetzung entstanden ist, sondern es lässt sich auf mehrere, ja, sofern es unbegrenzt viele Elemente enthält, auf unbegrenzt viele Arten in zwei konjugirte Systeme aufbrechen, — ebenso, wie man eine Kugel auf unbegrenzt viele Arten in zwei Halbkugeln zerteilen kann.
Es entspricht so einer geraden Linie, d. i. einem vollständigen linearen Systeme, dessen Elemente — einem geometrischen Systeme zugehörig — zu je dreien eine lineare Triade bilden, im erweiterten
Anhang 8.
geometrischen Systeme eine „erweiterte Gerade“, deren Punkte sämtlich „bedingte“ Triaden (vergl.
χ
)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann. Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets zu bedingten Tetraden zusammentreten. — Einem flachen
n
-dimen- sionalen Raum, dessen Punkte zu je
n
+ 2 ein flaches System zusammen- setzen, wird ein erweiterter oder bedingter
n
-dimensionaler Raum ent- sprechen, in welchem je
n
+ 2 Punkte einem bedingten System an- gehören.
Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten und Punktsystemen nichts zu thun hat mit
Grössen
irgend welcher Art.
Nach Darlegung des
Kempe’
schen Gedankenganges sollen nun — der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend — einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins- besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich hier anschliessen.
Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines
linearen
Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines
geometrischen
und eines
erweiterten geometrischen
Systems. In einem linearen Punktsystem ist, wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte
a
und
b
, vorausgesetzt
a
≠
b
oder (
a̅
·̅
b̅
), (cf.
τ
), für deren drei
a
,
b
,
c
neben der durchgängigen Verschiedenheit noch:
(
a
·
b
·
c
), = (
a b
·
c
) + (
a c
·
b
) + (
b c
·
a
)
(cf.
φ
), wobei wegen
τ
) (
a b
·
c
) (
a c
·
b
) = (
b
·
c
) somit von den drei linearen Triaden
a b
·
c
,
a c
·
b
,
b c
·
a
eine und nur eine bestehen soll, — während endlich für vier Punkte
a
,
b
,
c
,
d
mit
(
a̅
·̅
b̅
) (
a̅
·̅
c̅
) (
a̅
·̅
d̅
) (
b̅
·̅
c̅
) (
b̅
·̅
d̅
) (
c̅
·̅
d̅
) (
a
·
b
·
c
) (
a
·
b
·
d
) (
a
·
c
·
d
) (
b
·
c
·
d
)
die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören, ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade
kollinearer
Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine Tetrade
linearer
Triaden bedeutet.
Wir denken uns nun, — um den Satz
K
128, Seite 578 zu beweisen, — eine jede von den 4 × 3 denkbaren linearen Triaden der vier Punkte
a
,
b
,
c
,
d
nach dem nicht darin vorkommenden vierten Element entwickelt, wie z. B. (
a b
·
c
) = (
a b
·
c d
) (
a b d
·
c
), d. h. dar-
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
gestellt als Produkt zweier flacher Tetraden, nämlich einer vom ersten und einer vom zweiten Typus der unter
υ
) zusammengestellten denk- baren flachen Tetraden:
erster Typus:
a
· 3,
b
· 3,
c
· 3,
d
· 3, zweiter Typus:
a b
· 2,
a c
· 2,
a b
· 2;
es ist dann leicht zu erkennen, dass man die 4 × 3 Triaden sämtlich erhält, indem man jede der vier Formen vom ersten Typus mit den dreien des zweiten Typus der Reihe nach multiplizirt. So ergibt sich aus den vier Formen des ersten Typus mit
einer
, der ersten, vom zweiten Typus:
(
a
· 3) (
a b
· 2) = (
a
·
c d
) (
b
· 3) (
a b
· 2) = (
b
·
c d
) (
c
· 3) (
a b
· 2) = (
c
·
a b
) (
d
· 3) (
a b
· 2) = (
d
·
a b
),
eine Tetrade linearer Triaden, worin jede Kombination der vier Elemente
a
,
b
,
c
,
d
zu dreien
einmal
vertreten ist, — eine Triaden-Tetrade, welche unseren Voraussetzungen ersichtlichermassen entspricht. Wie die
erste
Form des zweiten Typus, so ergibt auch die zweite und die dritte je eine solche Triaden-Tetrade: in zweien von den Tri- aden werden die geraden Glieder übereinstimmend von dem einen Paar von Elementen gebildet, in den beiden andern Triaden von dem andern Elementepaar.
Tetraden anderer, zweiter Art erhält man, wenn man zwei Formen des zweiten Typus mit zweien vom ersten verbindet, — sofern daraus keine Elementegleichheit hervorgeht. Nach
τ
) ist nämlich z. B.
(
a
·
b
) = (
a
· 3) (
b
· 3) (
a c
· 2) (
a d
· 2)
wogegen wir schon in
K
8 Seite 576
(
a b
·
c
) (
b c
·
d
) = (
c
· 3) (
d
· 3) (
a b
· 2) (
a d
· 2) = (
a b
·
d
) (
a d
·
c
)
vier Triaden hatten, von denen ein Paar das andere bedingt, und unter denen jede der vier kollinearen Triaden von
a
,
b
,
c
,
d
einmal vertreten ist; die „vier Triaden nach
K
8“ bilden einen Vertauschungszyklus:
oder
Man kann die 6 Paare der 4 Triaden ersten Typus mit den drei Paaren von Triaden des zweiten Typus auf 3 × 6 Arten zusammenstellen.
Anhang 8.
Dabei ergibt jedes Triadenpaar vom ersten Typus mit einem bestimmten Paar des zweiten Typus je eine Elementegleichheit, und man erhält auf diese Weise die 6 nach Voraussetzung ausgeschlossenen Gleichungen
a
·
b
,
a
·
c
, …
c
·
d
, nebst 12 Triaden-Tetraden „zweiter Art“ oder „Tetraden nach
K
8“.
Andere Tetraden aber als solche erster und zweiter Art kann es unter den obigen Voraussetzungen nicht geben (
K
127). Denn soll vom zweiten Typus der flachen Elemente-Tetraden überhaupt mehr als eine Form bestehen, so müssen mindestens deren zwei vom ersten Typus hinzutreten, womit aber mindestens eine Triaden-Tetrade zweiter Art gegeben ist; mit einer solchen kann dann keine weitere Triade mehr zusammen bestehen, ohne dass irgend zwei Elemente einander gleich werden.
Zieht man nun aber noch ein fünftes Element
e
unseres linearen Systems in betracht, so dass zu den bisherigen 10 Einzelvoraussetzungen über die ersten vier Elemente noch 10 weitere auf
e
bezügliche: (
a̅
·̅
e̅
) (
b̅
·̅
e̅
) (
c̅
·̅
e̅
) (
d̅
·̅
e̅
) (
a
·
b
·
e
) (
a
·
c
·
e
·) (
a
·
d
·
e
) (
b
·
c
·
e
) (
b
·
d
·
e
) (
c
·
d
·
e
) hinzukommen, so ergibt eine leichte, wenn auch etwas umständliche Überlegung, dass von den beiden nach dem bisherigen noch möglichen Arten von Triaden-Tetraden zwischen je vieren von den fünf Elementen die erste Art nicht mehr statt hat und nur noch die zweite Art der Tetraden nach
K
8 sich behauptet.
Nehmen wir nämlich an, es bestehe zwischen
a
,
b
,
c
,
d
eine Triaden- Tetrade
T
erster Art:
T
= (
a
·
c d
) (
b
·
c d
) (
c
·
a b
) (
d
·
a b
) = (
a
· 3) (
b
· 3) (
c
· 3) (
d
· 3) (
a b
· 2) =
=
(
a
· 4) (
b
· 4) (
c
· 4) (
d
· 4) (
a e
· 3) (
b e
· 3) (
c e
· 3) (
d e
· 3) (
a b
· 3) (
c d
· 3),
worin von allen 15 überhaupt denkbaren fünfgliedrigen flachen Systemen (cf.
υ
) nur noch eine vom ersten Typus und vier vom zweiten Typus fehlen, nämlich
A
= (
e
· 4),
B
= (
a c
· 3),
C
= (
a d
· 3),
D
= (
b c
· 3),
E
= (
b d
· 3).
Diese fünf Formen seien zur Abkürzung mit den beigesetzten Buch- staben bezeichnet. Man sieht leicht, wie dieselben mit den 10 Elemente- gleichungen nach
τ
) zusammenhängen:
(
a
·
b
)
B C D E
(
a
·
c
)
C D
(
b
·
c
)
B E
(
a
·
e
)
A B C
(
b
·
e
)
A D E
(
a
·
d
)
B E
(
b
·
d
)
C D
(
c
·
e
)
A B D
(
d
·
e
)
A C E
.
(
c
·
d
)
B C D E
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Zu jeder Elementegleichung, z. B.
a
·
b
, gehören im ganzen acht fünf- gliedrige Formen, von denen die hier nicht angegebenen in der Tetrade
T
enthalten sind; daher gilt auch
T B C D E
(
a
·
b
),
T C D
(
a
·
c
), usw.,
d. h.: sollten etwa mit dem fünften Element
e
zur Tetrade
T
noch irgend welche lineare Triaden als gleichzeitig geltende hinzukommen, welche das Bestehen der zwei fünfgliedrigen Formen
C
,
D
oder
B
,
E
, oder irgend eines andern Paares von diesen vier in Verbindung mit
A
erforderten, so wäre in jedem dieser Fälle mindestens eine Elementegleichheit gegeben und da- mit die Konsistenz des linearen Systemes gestört.
Nun liest man andererseits für die 6 kollinearen, bezw. die 3 × 6 denkbaren linearen Triaden, in welchen
e
vorkommt, leicht ab:
(
a b
·
e
)
A
(
c d
·
e
)
A
(
a e
·
b
)
D E
(
c e
·
d
)
C E
(
b e
·
a
)
B C
(
d e
·
c
)
B D
(
a c
·
e
)
A B
(
a d
·
e
)
A C
(
b c
·
e
)
A D
(
b d
·
e
)
A E
(
a e
·
c
)
D
(
a c
·
d
)
E
(
b e
·
c
)
B
(
b e
·
d
)
C
(
c e
·
a
)
C
(
d e
·
a
)
B
(
c e
·
b
)
E
(
d e
·
b
)
D
(
E
)
(
D
)
(
C
)
(
B
)
Unterhalb der einzelnen Gruppen sind noch diejenigen Formen an- gegeben, welche in den betreffenden Gruppen nicht vorkommen. — Aus jeder Gruppe soll
eine
Triade zu
T
hinzutreten. Man bemerkt sofort, dass von den beiden ersten Gruppen
a
·
b
·
e
und
c
·
d
·
e
nur je die ersten Triaden sich gegenseitig vertragen, während z. B.
a e
·
b
mit den dreien der zweiten Gruppe der Reihe nach ergäbe:
T
(
a e
·
b
) (
c d
·
e
)
T A D E
(
b
·
e
)
T
(
a e
·
b
) (
c e
·
d
)
T C D E
(
a
·
c
) (
b
·
d
)
T
(
a e
·
b
) (
d e
·
c
)
T B D E
(
a
·
d
) (
b
·
c
),
usw. (Nach
K
9, Seite 576 würde ohnhin eine der beiden Triaden
a b
·
e
und
c d
·
e
— neben
T
— die andere nach sich ziehen.) Also müssen
a b
·
e
und
c d
·
e
jedenfalls zu den 6 Triaden gehören, welche zu
T
hinzukommen sollen.
Sucht man damit eine Triade aus einer andern Gruppe, z. B. der dritten
a
·
c
·
e
zusammenzustellen, so zeigt sich folgendes: Die erste Triade
a c
·
e
dieser Gruppe, welche
A
und
B
zur Folge hat, verträgt sich mit keiner Triade aus der letzten Gruppe
b
·
d
·
e
, zu welcher
B
nicht gehört, wo daher jede Triade zu
A
und
B
noch irgend eine weitere von den drei übrigen Formen
C
,
D
,
E
hinzubringt und damit eine Elementegleichheit bedingt. Die Triade
a c
·
e
passt also nicht in unser lineares System hin- ein. Die folgende Triade
a e
·
c
aber ebenfalls nicht, da diese in Ver- bindung mit den notwendig hinzutretenden
a b
·
e
und
c d
·
e
die Formen
A
und
D
verlangt und sich daher mit keiner Triade der vierten Gruppe
a
·
d
·
e
verträgt, wo
D
fehlt und dafür in jeder Triade eine der drei andern Formen
B
,
C
,
E
vertreten ist; und ganz ebenso schliesst die dritte Triade
Anhang 8.
c c
·
a
der Gruppe
a
·
c
·
e
eine jede Triade der vorletzten Gruppe
b
·
c
·
e
aus. — Es gibt also gar keine Zusammenstellung von 6 linearen Triaden zwischen
e
und den übrigen Elementen
a
,
b
,
c
,
d
, welche zur Tetrade
T
erster Art in das lineare System passt. — Die beiden andern Tetraden erster Art gehen aus
T
durch Buchstabenvertauschungen hervor, durch welche die Voraussetzungen nicht geändert werden. Sollen demnach von fünf (oder mehr) durchweg von einander verschiedenen Elementen je drei kollinear sein, so kann es keine vier unter den Elementen geben, deren lineare Triaden eine Tetrade erster Art bilden.
Sofern es also überhaupt lineare Systeme von mehr als vier Ele- menten gibt, — und die nachfolgende geometrische Erörterung bietet als Beispiel eines solchen Systems die sämtlichen Punkte einer geraden Linie, — so müssen für je vier Elemente des Systems die vier zu- gehörigen linearen Triaden zu einer Tetrade zweiter Art nach
K
8 zusammentreten, und zwischen
n
Elementen des Systems werden
lineare Triaden bestehen, die sich zu
Triaden-Tetraden nach
K
8 zusammenordnen lassen.
Bei 5 Elementen hat man so z. B. die 5 Tetraden:
a
·
b
·
c
·
d
b
·
c
·
d
·
e
a
·
b
·
c
·
e
a
·
b
·
d
·
e
a
·
c
·
d
·
e
1)
a b
·
c
7)
b c
·
d
1)
a b
·
c
3)
a b
·
e
4)
a b
·
c
7)
b c
·
d
10)
c d
·
e
8)
b c
·
e
9)
b e
·
d
10)
c d
·
e
2)
a b
·
d
8)
b c
·
e
3)
a b
·
e
2)
a b
·
d
6)
a d
·
e
4)
a d
·
c
9)
b c
·
d
5)
a e
·
c
6)
a d
·
e
5)
a e
·
c
worin die Triaden zur Erleichterung der Kontrolle nach der alphabetischen Reihenfolge ihrer kollinearen Formen 1)
a
·
b
·
c
, 2)
a
·
b
·
d
, … 10)
c
·
d
·
e
numerirt sind. — Die Fortsetzung für ein und mehr weitere Elemente wäre leicht etwa nach dem durch (
a b
·
c
) (
b c
·
d
) (
c d
·
e
) (
d e
·
f
) … ange- deuteten Verfahren zu gewinnen.
Seien jetzt (cf. Seite 581) die vier Punkte
a
,
b
,
c
,
d
koplanar (
a
·
b
·
c
·
d
, und z. B. (·
a̅ b̅ c̅ d̅
·̅)̅,̅) durchweg verschieden ((̅
a̅
·̅
b̅
) (
a̅
·̅
c̅
) … (
c̅
·̅
d̅
)) und nicht drei von ihnen kollinear ((̅
a̅
·̅
b̅
·̅
c̅
)̅ (̅
a̅
·̅
b̅
·̅
d̅
)̅ (̅
a̅
·̅
c̅
·̅
d̅
)̅ (̅
b̅
·̅
c̅
·̅
d̅
)̅); ferner mögen dieselben, sowie auch die Schnittpunkte ihrer Verbindungs- geraden z. B.
a b
und
c d
, überhaupt alle nunmehr in betracht zu ziehenden Punkte
p
,
q
,
r
,
s
, … einem „geometrischen Punktsystem“ angehören, (Law VI, S. 579)
(
p
·
q
·
r
) (
p
·
q
·
s
) (̅
p̅
·̅
r̅
·̅
s̅
)̅ (
p
·
q
)
oder auch
(
p
·
q
·
r
) (
p
·
q
·
s
) (
p̅
·̅
q̅
) (
p
·
r
·
s
) (
q
·
r
·
s
)
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Ist nun
x
etwa ein Schnittpunkt der beiden Geraden
a b
und
c d
, (
a
·
b
·
x
) (
c
·
d
·
x
), so kann keine von den übrigen vier Verbindungs- geraden
a c
,
a d
,
b c
,
b d
durch den Punkt
x
gehen; denn wäre z. B.
a
·
c
·
x
, so hätte man
(
a
·
b
·
x
) (
a
·
c
·
x
) (
a̅
·̅
b̅
·̅
c̅
) (
a
·
x
) (
a
·
c
·
x
) (
c
·
d
·
x
) (̅
a̅
·̅
c̅
·̅
d̅
)̅ (
c
·
x
), (
a
·
x
) (
c
·
x
) (
a
·
c
),
wogegen (̅
a̅
·̅
c̅
)̅ vorausgesetzt ist. — Wäre nun
x
' ein zweiter Schnitt- punkt von
a b
und
c d
, (
a
·
b
·
x
') (
c
·
d
·
x
'), so hätte man
(
a
·
b
·
x
) (
a
·
b
·
x
') (̅
a̅
·̅
b̅
) (
a
·
x
·
x
') (
b
·
x
·
x
') (
c
·
d
·
x
) (
c
·
d
·
x
') (̅
c̅
.̅
d̅
) (
c
·
x
·
x
') (
d
·
x
·
x
'), (
a
·
x
·
x
') (
c
·
x
·
x
') (
a̅
·̅
c̅
·̅
x̅
) (
x
·
x
'),
wonach die Punkte
x
und
x
' zusammenfallen; d. h. Law VI bedeutet in der That, — wie auch ohnehin leicht erkennbar, — dass zwei Gerade
a b
und
c d
nicht mehr als einen Schnittpunkt haben können. Dass aber auch immer ein solcher Schnittpunkt
x
vorhanden ist, wird verbürgt durch die Voraussetzung
a
·
b
·
c
·
d
, dass zum mindesten eine der sieben möglichen flachen Tetraden zwischen
a
,
b
,
c
,
d
bestehe; so stellt sich z. B.
a
·
b c d
(
a
·
b c d
) = {(
a b
1
+
c d
) (
a
1
b
+
c
1
d
1
) = (
a c
1
+
b d
) (
a
1
c
+
b
1
d
1
) = = (
a d
1
+
b c
) (
a
1
d
+
b
1
c
1
) = 0}
als Eliminationsresultante nach
x
dar entweder für die Gleichung
{(
a b
1
+
c d
)
x
+ (
a
1
b
+
c
1
d
1
)
x
1
= 0} = (
a x
·
b
) (·
c d x
·),
oder für die
{
a
1
b
+
c
1
d
1
)
x
+
a b
1
+
c d
)
x
1
= 0} = (
b x
·
a
) (
c d
·
x
),
usw., also
(
a
·
b c d
) =
(
a x
·
b
) (·
c d x
·) =
(
a x
·
c
) (·
b d x
·) =
(
a x
·
d
) (·
b c x
·) =
(
b x
·
a
) (
c d
·
x
) =
(
c x
·
a
) (
b d
·
x
) =
(
d x
·
a
) (
b c
·
x
)
(vergl. Law II). Das Zusammenbestehen eines Triadenpaares aus der ersten dieser beiden Zeilen (für denselben
x
-Wert, z. B. (
a x
·
b
) (·
c d x
·) = = (
a x
·
b
) (
c d
·
x
1
), usw.) ist ausgeschlossen durch die Voraussetzung, dass alle in betracht kommenden Punkte einem und demselben geome-
Anhang 8.
trischen System angehören sollen, welches zwar alle zu
a
,
b
,
c
,
d
kollinearen Punkte umfassen kann, nicht aber zwei zu einander obverse
Fig. 40.
Punkte
x
und
x
1
. Dagegen gibt die zweite Zeile offenbar die Lage der drei Schnitt- punkte
p
,
q
,
r
der Geradenpaare
a b
und
c d
,
a c
und
b d
,
a d
und
b c
bezw. wie in Fig. 40 (cf. Seite 581).
Jede andere flache Tetrade wird nun, wie man sich leicht überzeugt,
andere
Schnitt- punkte derselben Geradenpaare bedingen; es können deshalb nicht zwei flache Tetraden zwischen denselben vier Punkten
a
,
b
,
c
,
d
gleichzeitig bestehen. (Anders Seite 570,
ϰ
), wo nicht von Punkten eines
geometrischen
Systems die Rede ist.)
In gleicher Weise zeigt sich: Eine Tetrade
a b
·
c d
vom zweiten Typus
(
a b
·
c d
) = {(
a b
+
c d
) (
a
1
b
1
+
c
1
d
1
) = (
a c
1
+
b
1
d
) (
a
1
c
+
b d
1
) = = (
a d
1
+
b
1
c
) (
a
1
d
+
b c
1
) = 0} =
(·
a b x
·) (·
c d x
·) =
(
a x
·
c
) (
d x
·
b
) =
(
a x
·
d
) (
c x
·
b
) =
(
a b
·
x
) (
c d
·
x
·) =
(
c x
·
a
) (
b x
·
d
) =
(
d x
·
a
) (
b x
·
c
)
(cf. Law I) bedeutet die Alternative
(
a b
·
p
) (
c d
·
p
) {(
a q
·
c
) (
d q
·
b
) + (
c q
1
·
a
) (
b q
1
·
d
)}. . {(
a r
·
d
) (
c r
·
b
) + (
d r
1
·
a
) (
b r
1
·
c
)},
wobei die Schnittpunkte
p
und
p
1
wegen ihrer gleichen Lage (·
a b p
·) (·
c d p
·) = (
a b
·
p
1
) (
c d
·
p
1
) nicht unterschieden sind, (während im übrigen natürlich Punkte wie
q
1
,
r
1
im geometrischen System enthalten sein können, sofern ihre obversen
q
,
r
nicht ebenfalls schon darin vorkommen,) — also die Alternative zwischen den folgenden vier Figuren 41—44 (cf. Seite 581):
Fig. 41.
Fig. 42.
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Fig. 43.
Fig. 44.
Gehen wir jetzt über zu einem „erweiterten geometrischen System“, dessen Punkte
p
,
q
,
r
,
s
…, entsprechend denen des geometrischen, der Bedingung
(·
p
·
q
·
r
·) (·
p
·
q
·
s
·) (·̅
p̅
·̅
r̅
·̅
s̅
·̅) (·
p
·
q
·)
oder
(·
p
·
q
·
r
·) (·
p
·
q
·
s
·) (·̅
p̅
·̅
q̅
·̅) (·
p
·
r
·
s
·) (·
q
·
r
·
s
·)
genügen müssen, so kann man ganz ähnliche Überlegungen anstellen. Gehören diesem System wieder die vier Punkte
a
,
b
,
c
,
d
an, von denen nicht zwei in einen Punkt und nicht drei in eine (erweiterte) Gerade fallen sollen, so werden auch deren obverse
a
1
,
b
1
,
c
1
,
d
1
System- punkte sein, auf welche sich die Voraussetzungen nunmehr auch erstrecken werden: es soll gelten:
(·̅
a̅
·̅
b̅
·̅) (·̅
a̅
·̅
c̅
·̅) … (·̅
c̅
·̅
d̅
·̅) (·̅
a̅
·̅
b̅
·̅
c̅
·̅) … (·̅
b̅
·̅
c̅
·̅
d̅
·̅)
Ferner mögen die Elemente
a
,
b
,
c
,
d
eine bedingte Tetrade ·
a
·
b
·
c
·
d
· bilden, (d. h. eine oder mehrere flache oder auch eine obverse). Ganz wie im geometrischen System ergibt sich dann auch hier aus der An- nahme, dass die beiden bedingten Geraden
a b
und
c d zwei
Schnitt- punkte
x
und
x
' hätten,
(·
x
·
x
' ·), = (
x
' =
x
) + (
x
' =
x
1
),
d. h. zwei bedingte Gerade haben stets zwei und nur zwei — zu ein- ander obverse — Schnittpunkte. Und daraus folgt wieder, dass die vier Punkte
a
,
b
,
c
,
d
nur
eine
flache Tetrade bilden können, oder aber die obverse Tetrade
(·
a b c d
·) =
(
a b
·
x
) (·
c d x
·) =
(
a c
·
x
) (·
b d x
·) =
(
a d
·
x
) (·
b c x
·) =
(·
a b x
·) (
c d
·
x
) =
(·
a c x
·) (
b d
·
x
) =
(·
a d x
·) (
b c
·
x
).
Die Möglichkeit des Zusammenbestehens mehrerer flacher und allenfalls auch der obversen Tetrade ergibt sich erst, wenn nunmehr
Anhang 8.
von den bisherigen Voraussetzungen die eine ausscheidet, dass wir nur mit Punkten eines geometrischen, bezw. eines erweiterten geometrischen Systems zu thun hätten. Indessen auch dann verträgt sich eine flache Tetrade
a
·
b c d
vom ersten Typus nicht mit einer solchen vom zweiten, z. B.
a b
·
c d
, noch auch mit der obversen ·
a b c d
·, wegen
(
a
·
b c d
) (
a b
·
c d
) = (
a
·
c d
) (
a
·
b c d
) (·
a b c d
·) = {0 = (
a
+
a
1
)
b
1
c
1
d
1
+ (
a
1
+
a
)
b c d
} = (·
b c d
·),
da noch, wie bisher, unter anderm (·̅
a̅
·̅
c̅
·̅
d̅
·̅) und (·̅
b̅
·̅
c̅
·̅
d̅
·̅) vorausgesetzt bleibt.
Es bedeutet hier jede — flache oder obverse — Tetrade das Vorhandensein je zweier Gruppen von Schnittpunkten für jedes der drei Geradenpaare
a b
und
c d
,
a c
und
b d
,
a d
und
b c
; z. B., wie oben,
(
a
· 3) =
Σ
(
a p
·
b
) (·
c d p
·) =
Σ
(
a q
·
c
) (·
b d q
·) =
Σ
(
a r
·
d
) (·
b c r
·) =
Σ
(
b p
1
·
a
) (
c d
·
p
1
) =
Σ
(
c q
1
·
a
) (
b d
·
q
1
) =
Σ
(
d r
1
·
a
) (
b c
·
r
1
),
wobei die Summationsvariabeln
p
,
q
,
r
bezw., wie auch im folgenden, nicht besonders bezeichnet sind. Die
p
1
-Gruppe enthält offenbar die obversen der Punkte der
p
-Gruppe, usw. Das Zusammenfallen eines Punktes
x
z. B. aus der
p
-Gruppe mit irgend einem aus der
p
1
-Gruppe
(
a x
·
b
) (·
c d x
·) (
b x
·
a
) (
c d
·
x
) = (
a
·
b
) (·
c d
·)
würde gegen die Voraussetzungen (·̅
a̅
·̅
b̅
·̅), (·̅
c̅
·̅
d̅
·̅) verstossen.
Jede weitere hinzukommende Tetrade, z. B.
(
b
·
a c d
) =
Σ
(
b p
' ·
a
) (·
c d p
' ·) =
Σ
(·
a c q
' ·) (
b q
' ·
d
) =
Σ
(·
a d r
' ·) (
b r
' ·
c
) =
Σ
(
a p
'
1
·
b
) (
c d
·
p
'
1
) =
Σ
(
a c
·
q
'
1
) (
d q
'
1
·
b
) =
Σ
(
a d
·
r
'
1
) (
c r
'
1
·
b
)
bringt je ein weiteres (im allgemeinen anderes) Schnittpunkt-Gruppen- paar mit sich für jedes der drei Geradenpaare. Indessen hat man auch:
(
a
· 3) (
b
· 3) = {0 = (
a c
1
+
b d
+
a d
+
b c
1
) (
a
1
c
+
b
1
d
1
+
a
1
d
1
+
b
1
c
) = (
a
+
b
) (
c
1
+
d
) (
a
1
+
b
1
) (
c
+
d
1
) = (
a c
+
b d
1
+
a d
1
+
b c
) (
a
1
c
1
+
b
1
d
+
a
1
d
+
b
1
c
1
)} =
Σ
(
a x
·
c
) (·
b d x
·) (·
a d x
·) (
b x
·
c
) =
Σ
(·
a c x
' ·) (
b x
' ·
d
) (
a x
' ·
d
) (·
b c x
' ·) =
Σ
(
c x
1
·
a
) (
b d
·
x
1
) (
a d
·
x
1
) (
c x
1
·
b
) =
Σ
(
a c
·
x
'
1
) (
d x
'
1
·
b
) (
d x
'
1
·
a
) (
b c
·
x
'
1
),
d. h. die
q
-Gruppe hat mit der
r
'-Gruppe gewisse Punkte
x
gemein, ebenso die
r
-Gruppe mit der
q
'-Gruppe Punkte
x
', und entsprechendes gilt von den obversen Gruppen; es gibt also bei zwei gleichzeitig bestehenden (mit einander verträglichen) Tetraden gemeinsame Schnitt- punkte für vier von den sechs Geraden.
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
Beachtet man:
(
a
· 3) (
b
· 3) = = {0 = (
a
1
b
1
+
c d
1
)
1
(
a b
+
c
1
d
)
1
=
a
1
b
1
+
c
1
d
)
1
(
a b
+
c d
1
)
1
}
während anderseits gilt
{0 = (
a
1
b
1
) +
c d
1
) (
a b
+
c
1
d
)} = (
d
· 3) =
Σ
(
a b
·
p
''') (
c p
''' ·
d
) =
Σ
(·
a b p
'''
1
·) (
d p
'''
1
·
c
) {0 = (
a
1
b
1
+
c
1
d
) (
a b
+
c d
1
)} = (
c
· 3) =
Σ
(
a b
·
p
'') (
d p
'' ·
c
) =
Σ
(·
a b p
''
1
·) (
c p
''
1
·
d
),
so erkennt man (wie oben in
ϰ
), nach Bd. 1, p. 463), dass eine weitere Tetrade, etwa
c
· 3, einen
einzigen
gemeinsamen Schnittpunkt
x
' aus der
r
- und
q
'-Gruppe bedingt, und umgekehrt, dass auch die mit
c
· 3 erscheinende
p
''-Gruppe sich auf
einen
Punkt
p
'' reduzirt, nämlich den obversen
p
'' =
x
'
1
zu jenem, m. a. W dass auch die beiden Geraden
a b
und
c d
durch die beiden obversen Schnittpunkte der andern vier Geraden gehen. — Dasselbe liest man auch ab aus
(
a
· 3) (
b
· 3) (
c
· 3) = {0 = (
a b
+
c d
1
+
a c
+
b d
1
+
a d
1
+
b c
). · (
a
1
b
1
+
c
1
d
+
a
1
c
1
+
b
1
d
+
a
1
d
+
b
1
c
1
)} =
Σ
(·
a b x
·) (
c x
·
d
) (·
a c x
·) (
b x
·
d
) (
a x
·
d
) (·
b c x
·) =
Σ
(
a b
·
x
) (
d x
·
c
) (
a c
·
x
) (
d x
·
b
) (
d x
·
a
) (
b c
·
x
),
worin, wie leicht nachzurechnen, die Koeffizienten von
x
und
x
1
zu einander obvers sind; es ist hier, wenn die gemeinsamen Schnittpunkte der sechs Geraden kurz mit ihren Gruppenbuchstaben bezeichnet werden,
x
=
p
''
1
=
q
' =
r
, =
a
1
b
1
+
c
1
d
=
a
1
c
1
+
b
1
d
=
b
1
c
1
+
a
1
d
= (
a
1
+
b
1
) (
c
1
+
d
) = (
a
1
+
c
1
) (
b
1
+
d
) = (
b
1
+
c
1
) (
a
1
+
d
),
x
1
=
p
'' =
q
'
1
=
r
1
, =
a b
+
c d
1
=
a c
+
b d
1
=
b c
+
a d
1
= (
a
+
b
) (
c
+
d
1
) = (
a
+
c
) (
b
+
d
1
) = (
b
+
c
) (
a
+
d
1
).
Gilt nun überdies die vierte, allein noch mit den drei bisherigen verträgliche Tetrade
d
· 3, so wird nicht nur, gemäss der Zusammenstellung (
a
· 3) (
b
· 3) (
d
· 3),
p
'''
1
=
q
=
r
', =
a
1
b
1
+
d
1
c
=
b
1
d
1
+
a
1
c
=
a
1
d
1
+
b
1
c
,
usw., sondern es werden, entsprechend den noch fehlenden Kombinationen (
a
· 3) (
c
· 3) (
d
· 3) und (
b
· 3) (
c
· 3) (
d
· 3), die vier Schnittpunkt-Gruppenpaare für jedes unserer drei Geradenpaare sich zusammenziehen auf vier Paare obverser Punkte, durch deren jeden alle sechs Geraden gleichzeitig gehen. Übrigens ist in diesem besonderen Falle von den vier Punkten
Anhang 8.
a
,
b
,
c
,
d
jeder durch die drei andern eindeutig bestimmt, da nämlich z. B. in
(
a
· 3) (
b
· 3) (
c
· 3) (
d
· 3) = = {0 =
a
(
b
1
c
1
d
1
+
b
1
c d
+
b c
1
d
+
b c d
1
) +
a
1
(
b c d
+
b c
1
d
1
+
b
1
c d
1
+
b
1
c
1
d
)}
die Koeffizienten von
a
und
a
1
obvers sind.
Analoges gilt für die drei flachen Tetraden vom zweiten Typus zusammen mit der obversen Tetradenform.
Anmerkungen des Herausgebers.
Seite 401, Zeile 13 v. oben. Die Richtigstellung war nicht erforderlich, und der Faktor (
a b
= 0) ist hier überflüssig; derselbe, oder (
b a
1
), folgt näm- lich aus
x
=
b x
1
+
a
1
x
nicht minder als aus
a x
+
b x
1
= 0, — wie Band 1 Seite 425 ausführlich bewiesen ist. — Auch sind es durchweg Äquivalenzen, vermittelst deren man von
x
=
b x
1
+
a
1
x
aus — dem Rat des Verfassers Bd. 1 Seite 502 folgend und diese Gleichung rechter Hand auf Null bringend — zu
a x
+
b x
1
= 0 gelangt. — Der Irrtum befremdet umso mehr, als der Verfasser sonst stets, und gerade auch bei den hier in betracht kommenden Sätzen (Bd. 1 Seite 502, 425, 446, 449 u. a.) sorgfältig auf die Äquivalenzen achtet.
„ 402, Zeile 12 v. unten. Statt anerkanntem lies: erkanntem. — Hier wird der Satz vom Dualismus, der noch Bd. 1 Seite 318 zum Beweis der dualen Gegenstücke einiger Sätze als „wirksames“, wenn auch nicht unentbehr- liches Hilfsmittel empfohlen worden, als solches in der Theorie wirk- sames Prinzip wieder aufgegeben. So wird es denn auch erst verständ- lich, wie der Verfasser in dem gegenwärtigen Band Seite 423, oben Zeile 4 (zum
Korselt
schen Beweis des Distributionsgesetzes) von den beiden Prinzipien III°
×
und III°
+
keines entbehren zu können meint, — während doch — selbstverständlich — das eine aus dem andern ver- möge des Dualitätssatzes entspringt. — Vergl. übrigens unten Seite 596 die Anmerkung zu dieser Stelle.
„ 407, Zeile 3 v. o. Wer hier zum Beweis des Satzes den vom Verfasser gewiesenen Weg geht, der findet, dass „der Negand mit dem angeblichen Negate“ zwar „das Produkt 0 richtig liefert“, nicht aber im allgemeinen die Summe 1, sondern vielmehr
(
a x
+
b y
+ …) + (
a
1
x
+
b
1
y
+ …) =
x
+
y
+ …,
und dass somit zu den bisherigen Voraussetzungen noch etwa die weitere
x
+
y
+ … = 1 oder
x
1
y
1
z
1
… = 0 hinzukommen muss, damit die Behauptung sicher zutrifft. Andernfalls hätte man richtig
(
a x
+
b y
+
c z
+ …)
1
=
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
z
+ … +
x
1
y
1
z
1
….
(Auf diesen Sachverhalt wurde ich zuerst von Herrn
Korselt
aufmerk- sam gemacht. Vergl. auch Bd. 1, Seite 423 unten, über eine Fehler- quelle beim Negiren entwickelter Funktionen nach Th. 46
+
) „koeffi- zientenweise“!)
Derselben Zusatz-Voraussetzung bedarf auch die (auf Seite 407) weiter folgende Behauptung, eine jede Funktion
f
(
x
,
y
,
z
, …)
disjunkter
Argumente
x
,
y
,
z
, … stelle sich, nach letzteren entwickelt, als lineare
homogene
Funktion dar; im allgemeinen wird vielmehr diese Entwicklung etwa lauten:
f
(
x
,
y
,
z
, …) =
a x
+
b y
+
c z
+ … +
m x
1
y
1
z
1
…,
f
1
(
x
,
y
,
z
, …) =
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
z
+ … +
m
1
x
1
y
1
z
1
…;
besteht aber noch die Beziehung
x
+
y
+
z
+ … = 1,
so ist
f
(
x
,
y
,
z
, …), sowie
f
1
(
x
,
y
,
z
, …) homogen.
Schröder
, Algebra der Logik. 2. II. 38
Anmerkungen des Herausgebers.
Dem entsprechend ist auch bei den auf Seite 408 und 409 folgen- den Sätzen, die von homogenen linearen Funktionen disjunkter Argu- mente handeln, die Homogenität stets besonders vorauszusetzen.
Seite 413—414. Die Figuren oder sonstigen Objekte mit den Eigenschaften
g
werden mit denen von den Eigenschaften
h
in der Regel eben das gemein haben, was an Merkmalen den Komplexen
g
und
h
gemein ist (Seite 413, Absatz 2); d. h. das — kurz so zu nennende — „
Schröder
- sche“ Begriffsinhalts-Produkt
g h
wird mit dem „
Voigt
schen“ in häufigen Fällen übereinstimmen. Zur weiteren Verdeutlichung des Unterschiedes könnte daher vielleicht noch folgende Bemerkung dienen. Für das
Voigt
sche Beispiel seien mit
a
',
b
',
c
',
d
' die Begriffsumfänge bezeichnet, welche den vier Begriffsinhalten
a
des Rechtecks,
b
des Rhombus,
c
der vierfach und
d
der zweifach symmetrischen ebenen Figur der Reihe nach zukommen. Dann ist zunächst umfangslogisch
(
a
' +
c
') (
b
' +
c
') =
a
'
b
' +
c
', =
c
',
d. h. es gehören zu den Rechtecken
a
' und den vierfach symmetrischen Figuren
c
', sowie zugleich zur Klasse der Rhomben
b
' nebst wieder den vierfach symmetrischen Figuren
c
' ausser diesen
c
' nur solche Rechtecke
a
', welche gleichzeitig Rhomben
a
'
b
' sind, d. h. die Quadrate, und ebenso unter den Rhomben nur die Quadrate, — welch letztere indessen bei den vierfach symmetrischen Figuren
c
' ohnehin schon mit inbegriffen waren. Dies lediglich dual umgeschrieben, ergibt für die „
Schröder
- sche“ Inhaltslogik
a c
+
b c
= (
a
+
b
)
c
=
c
.
(
a
+
b
)
c
=
c
gilt auch nach „
Voigt
scher“ Auffassung. Dagegen sind zu unterscheiden der „
Voigt
sche“ Begriff
V
=
a c
von dem, was „das Rechteck
a
mit allen vierfach symmetrischen Figuren
c
gemein hat“, (nämlich die zweifache Symmetrie
a c
=
d
, Seite 411, vorletzter Absatz), — und der „
Schröder
sche“ Begriff
S
=
a c
dessen, „was (nur entweder)
a
oder
c
(oder auch beides zugleich) ist“ (Seite 414, 1. Zeile), — und wozu unter den zweifach symmetrischen Figuren z. B. die Rhomben
nicht
gehören Dem beschränkteren Umfang des letzteren Begriffes
S
muss ein inhaltlicher Überschuss irgend welcher Art über den ersteren Begriff
V
entsprechen; allein dieses Überschussmerkmal anzugeben, darin dürfte eine von den Seite 414 oben angedeuteten Schwierigkeiten bestehen. Vergl. auch Bd. 1, Seite 99 (über „inhaltslose“ Begriffe).
Wenn nach Seite 419 des gegenwärtigen Bandes der Verfasser mit Herrn
Lüroth
(und
Voigt
, cf. Seite 410/411) den Kernpunkt der Frage nach weiteren gruppenlogischen Beispielen in dem Umstand erblickt, „dass
a
+
b
nicht nur die Individuen der beiden Klassen
a
und
b
enthält, sondern auch noch andere“, — ein Fall, der bei der „
Schröder
schen“
identischen
Inhaltslogik nicht minder vorliegt als bei der „
Voigt
schen“
Gruppen
logik, — so ist dabei stillschweigend angenommen, dass das Klassen- oder Begriffsprodukt
a b
als gewöhnliches identisches definirt bleibt. Sind dann nämlich etwa die Individuen
γ
1
,
γ
2
,
γ
3
, … nicht in
a
und nicht in
b
, dennoch aber in
a
+
b
enthalten, so braucht man unter
c
zunächst nur eben ein solches Individuum
γ
(vergl. das
Korselt
- sche Beispiel 5, Seite 415—417) oder auch eine Klasse von solchen zu verstehen, damit
a c
=
b c
= 0 =
a c
+
b c
neben (
a
+
b
)
c
=
c
≠ 0 werde; oft findet sich aber auch eine Klasse
c
, welche wenigstens eines oder mehrere dieser
γ
mit
a
+
b
gemein hat, während nicht nur — selbst- verständlich —
a c
und
b c
, sondern dann auch
a c
+
b c
von den
γ
frei sind. — Wenn nun aber dem „
Schröder
schen“ Produkt
a c
bezw.
b c
das Merkmal
c
(der vierfachen Symmetrie), obschon fehlend in
a
und
b
, doch derart alternativ bedingt zukommt, dass es in der Summe
a c
+
b c
wieder unbedingt auftritt, so versteht sich, wie hier der Distributions- satz statt haben kann trotz des gruppenlogischen Charakters der Begriffssumme.
Anmerkungen des Herausgebers.
Seite 418, Zeile 19 v. o. Da der Verfasser, einer Zusatzbemerkung im Manuskript zufolge, es gleichwol für wünschenswert hielt, dass dieser Beweis „auch allgemein und ohne übergrossen Aufwand von zahlentheoretischem Er- kenntnisskapital elegant geleistet werde“, so möge hier ein Beweis nach- träglich folgen. — Sei
μ
=
α p
' +
β q
' + … +
λ z
'
irgend eine unter den Zahlen der Klasse
a
oder (
α
,
β
, …
λ
), und darin
p
',
q
', …
z
' die diesem Element
μ
entsprechenden Spezialwerte der
p
,
q
, …
z
. Es wird dann auch jedes Vielfache von
μ
, etwa
μ m
=
α
·
m p
' +
β
·
m q
' + … +
λ
·
m z
'
wieder die Form
α p
+
β q
+ … haben oder der Klasse
a
angehören; es wird die Klasse (
μ
)
a
der Klasse
a
eingeordnet sein. Dasselbe gilt auch von jeder Summe eines solche Vielfachen
μ m
mit beliebigen Vielfachen der „Bestimmungselemente“
α
,
β
, ‥.
λ
:
μ m
+
α p
'' +
β q
'' + … =
α
(
m p
' +
p
'') +
β
(
m q
' +
q
'') + ….
Man könnte daher die Zahl
μ
auch den Bestimmungselementen der Klasse
a
beifügen:
a
= (
α
,
β
, …
λ
,
μ
) = (
α
,
β
, …
λ
).
Z. B. (2) = (2, 6); (2, 5) = (2, 4, 5, 13). Umgekehrt wird man darum auch bei der Bezeichnung der Klassen zur Abkürzung jedes Bestimmungs- element fortlassen, welches schon in der durch die übrigen gegebenen Klasse vorkommt. Dagegen bewirkt die Aufnahme einer noch nicht der Klasse
a
angehörenden Zahl unter deren Bestimmungselemente, wie leicht zu sehen, eine Erweiterung der Klasse, und es wird allgemein
(
α
) (
α
,
β
) (
α
,
β
,
γ
) ….
Ist nun ferner
ν
=
α p
'' +
β q
'' + …, wie
μ
, ein zweites beliebiges Element derselben Klasse
a
, so gehört zu
a
neben der Klasse (
ν
) auch jede Zahl der Form
μ m
+
ν n
=
α
(
m p
' +
n p
'') +
β
(
m q
' +
n q
'') + …,
oder es ist die Klasse (
μ
,
ν
)
a
. Beispiele: (
α
,
α
+
β
) (
α
,
β
); (8, 5) (3, 5) (2, 3). — Die Betrachtung lässt sich ebenso auf beliebig viele Elemente
μ
,
ν
,
ϱ
, … ausdehnen: Gehören dieselben irgend einer Klasse
a
an, so enthält
a
auch alle Elemente der Klasse (
μ
,
ν
,
ϱ
…). — Stellen wir uns jetzt unter
μ
,
ν
,
ϱ
, … die sämtlichen zwischen zwei Klassen
a
und
b
gemeinsamen Elemente vor; dann bestimmen diese eine Klasse (
μ
,
ν
,
ϱ
, …), deren Elemente alle sowol der Klasse
a
als der Klasse
b
angehören müssen; es sind dies also die Elemente
μ
,
ν
,
ϱ
, … selbst, und (
μ
,
ν
,
ϱ
, …) =
a b
. Damit ist die Klasse
a b
freilich durch ihre sämtlichen unbegrenzt vielen Elemente bestimmt. Auf die kürzeste, eben noch hinreichende Zusammenstellung von Bestimmungselementen führt etwa folgendes Verfahren: Unter den zwischen
a
und
b
gemeinsamen Elementen werde das kleinste
μ
herausgesucht. Hierauf sei
ν
wieder das kleinste unter den nicht zur (gemeinsamen) Klasse (
μ
) gehörigen gemeinsamen Ele- menten, so dass wieder (
μ
,
ν
)
a b
wird. Sind jetzt ausser den Ele- menten der Klasse (
μ
,
ν
) noch weitere den Klassen
a
und
b
gemein, so sei
ϱ
wieder das kleinste von diesen, wonach (
μ
,
ν
,
ϱ
)
a b
. Usw.
„ 420, Zeile 9 v. unten. Herr
Korselt
zeigt durch die umstehende Fig. 45, dass in dem beschränkteren
Voigt
schen Denkbereich das Distributions- gesetz nicht allgemein gilt, da hier offenbar
a c
=
b c
= 0, dagegen (
a
+
b
)
c
=
c
≠ 0 ist. Die vorliegende
Voigt
sche Bemerkung bildet also in der That einen besonderen („siebenten“) Beweis für die Unbeweis- barkeit des Distributionssatzes.
38*
Anmerkungen des Herausgebers.
Seite 423, oben Zeile 4. Der hier gegebene Beweis des Distributionssatzes aus III°
×
und III°
+
zusammen entstammt einem Brief des Herrn
Korselt
an den Verfasser aus dem Jahre 1895. Dass indessen beide Prinzipien unentbehrlich seien (wenn man absieht vom Dualitätssatz, vergl. die Anm. oben Seite 593), trifft nicht zu und ist auch bald darauf von Herrn
Korselt
selbst in einer weiteren brieflichen Mit- teilung an den Verfasser wider- legt worden. Aus einem späteren ausführlicheren Briefe von 1899, den ich, wie auch die beiden erstgenannten von 1895, bei den hinterlassenen Papieren des Ver-
Fig. 45.
fassers aufgefunden habe, sei hier der wesentliche Teil des Beweises wiedergegeben, wenn auch, mit freundlicher Erlaubniss des Urhebers, in einer den
Schröder
schen Gewohnheiten mehr angepassten Dar- stellungsweise. Es werden aus III°
×
und den in Band 1, Seite 299 bis 306 darauf gegründeten Theoremen 29), 30), 31) und 32) zunächst die
De Morgan
schen Theoreme 36) in eigenartiger Weise hergeleitet, nämlich mit viermaliger Anwendung des Prinzips III°
×
, — welches dabei am bequemsten in der Gestalt
a
=
a b
+
a b
1
(Band 1, Seite 294, An- merkung 2) geschrieben wird, — derart, dass immer einer der beiden Posten rechts verschwindet. — So folgt aus III°
×
und 30
×
)
a
=
a
·
a
1
b
1
+
a
(
a
1
b
1
)
1
=
a
(
a
1
b
1
)
1
,
nach 20
×
)
a
(
a
1
b
1
)
1
und ebenso
b
(
a
1
b
1
)
1
,
und nach (3
+
)
a
+
b
(
a
1
b
1
)
1
.
α
)
Multiplizirt man in dieser Subsumtion beiderseits mit
a
1
b
1
, so wird nach 30
×
) und 5
×
)
(
a
+
b
)
a
1
b
1
= 0,
wonach wieder in der folgenden Anwendung des Prinzips III°
×
rechts das erste Glied fortfällt:
a
1
b
1
=
a
1
b
1
(
a
+
b
) +
a
1
b
1
(
a
+
b
)
1
=
a
1
b
1
(
a
+
b
)
1
und nach 20
×
)
a
1
b
1
(
a
+
b
)
1
.
β
)
Eine zweite ähnliche Reihe von Folgerungen erhält man aus der weiteren Anwendung von III°
×
:
(
a
+
b
)
1
= (
a
+
b
)
1
a
+ (
a
+
b
)
1
a
1
,
wo nämlich das erste Glied rechts wieder wegfällt wegen 23
×
)
(
a
+
b
)
1
a
= (
a
+
b
)
1
a
(
a
+
b
) = 0,
und somit
(
a
+
b
)
1
= (
a
+
b
)
1
a
1
,
oder nach 20
×
)
(
a
+
b
)
1
a
1
, ebenso (
a
+
b
)
1
b
1
,
endlich nach (3
×
)
(
a
+
b
)
1
a
1
b
1
γ
)
wird. Hier multipliziren wir beiderseits mit (
a
1
b
1
)
1
, um so wieder
(
a
+
b
)
1
(
a
1
b
1
)
1
= 0
das zweite Glied der Entwicklung von (
a
1
b
1
)
1
nach dem Prinzip III°
×
ver- schwinden zu sehen,
(
a
1
b
1
)
1
= (
a
1
b
1
)
1
(
a
+
b
) + (
a
1
b
1
)
1
(
a
+
b
)
1
= (
a
1
b
1
)
1
(
a
+
b
),
woraus man wieder nach 20
×
) findet
(
a
1
b
1
)
1
a
+
b
.
δ
)
Anmerkungen des Herausgebers.
Aus
α
) und
δ
) bezw. aus
β
) und
γ
) lassen sich jetzt die
De Morgan
- schen Theoreme zusammensetzen. Mit deren Hilfe ist dann leicht III°
+
aus III°
×
abzuleiten, wonach endlich das Distributionsgesetz etwa wie Seite 422 folgen kann. — Herr
Korselt
erwähnt noch, dass man dieser Herleitung des Distributionssatzes aus III°
×
eine zweite genau dual ent- sprechende, doch völlig selbständige, aus III°
+
gegenüberstellen kann.
Mir scheint beim Beweis der
De Morgan
schen Sätze aus III°
×
noch etwas vorteilhafter, — ähnlich wie Seite 402 — auszugehen von dem Satz 38
×
) (
a b
) = (
a b
1
= 0), welcher in Band 1, Seite 358 ausschliess- lich aus III°
×
und den Theoremen bis 30) hergeleitet worden, (während bei 38
+
) das volle Prinzip III
×
zugezogen wurde). Wird dieser Satz 38
×
) sonach etwa unmittelbar hinter 31) angereiht, so kann sich dann das Th. 37) mit dem Seite 403 gegebenen „Beweis 2“ anschliessen, hierauf 32), und endlich 36) mit Beweisen nach Art des zweiten Teils der
Peirce
- schen Beweise Seite 404, ohne Hilfe des dort verwendeten
Peirce
schen Th. 41), z. B. nach 6
+
), 37), 31) u. a.
(
a
1
a
1
+
b
1
) (
b
1
a
1
+
b
1
) = {(
a
1
+
b
1
)
1
a
} {(
a
1
+
b
1
)
1
b
} = = {(
a
1
+
b
1
)
1
a b
} = {(
a b
)
1
a
1
+
b
1
},
usw. Jetzt liegt es nahe, den Satz 38
×
) mittelst 36) und 32) durch 38
+
) zu ergänzen, und ebenso dem Prinzip III°
×
sein duales Gegenstück III°
+
an die Seite zu stellen, um somit, nach derart kurzer Unterbrechung des dualsymmetrischen Beweisganges, von da ab auf die
Korsel
tsche Art zum Distributionsgesetz zu gelangen. — Dieses Verfahren, so eng sich anlehnend in seinem ersten Teil an die Bemerkungen des Ver- fassers Seite 401 bis 404, und zuletzt überleitend auf die Schlussweise des Herrn
Korselt
Seite 422, scheint mir am besten geeignet zur Aufnahme in den vom Verfasser geplanten und wiederholt (Seite 406 und 423) erwähnten „Abriss“ der algebraischen Logik, den ich zu ver- wirklichen gedenke. Es sei mir erlaubt zu erwähnen, dass ich, ohne Kenntniss von den nunmehr vorliegenden Behandlungsweisen des Gegen- standes durch den Verfasser und Herrn
Korselt
, einen in wesentlichen Teilen ähnlichen Beweisgang auch in meiner Programmschrift „die Grundlagen des Gebietekalkuls“ 1900 verfolgt habe.
Seite 461, oben Zeile 4 ff. Obgleich mir einige Veröffentlichungen von
Peano
bekannt waren, bin ich doch erst dank einer brieflichen Bemerkung des Herrn
Couturat
auf den auffallenden Irrtum des Verfassers bezüg- lich der
Peano
schen Zeichen
ε
und
Ɔ
aufmerksam geworden. In
Peanos
„Notations de Logique mathématique“ vom Jahre 1894, welche dem Verfasser zur Zeit der Entstehung des gegenwärtigen Textes (ver- mutlich nach 1895, nach dem Erscheinen des Bandes 3, I der Algebra der Logik) vorgelegen haben könnten, und die ich im Nachlass des Ver- fassers vorfinde, ist Seite 7 zu lesen: „Soit
a
une classe. Alors
x ε a
représente la proposition singulière: «
x
est un individu de la classe
a
», ou «
x
est un
a
»“, während sodann von zwei Klassen
a
und
b
mit
a Ɔ b
gesagt sein soll: «la classe
a
est contenue dans
b
», «tout
a
est
b
»; ferner Seite 10, § 9: „On adopte entre propositions les signes déjà expliqués entre classes … Soient
a
,
b
des propositions:
a Ɔ b
signifie «de la
a
on déduit la
b
» ou «la
b
est conséquence de la
a
»“ u. s. f. — In späteren Schriften
Peanos
ist die äussere Gestaltung der vom Ver- fasser Seite 460 und 461 besprochenen Zeichen zum Teil geändert.
„ 536, Zeile 9 v. u. Herr
Lüroth
hatte die Güte, mich darauf aufmerksam zu machen, dass hier die Absicht des Verfassers nicht ganz leicht zu erkennen ist, und dass der Satz besser etwa so lauten würde: „Jede nach
x
aufgelöste Ungleichung ist nun an Stelle des Aussagenfaktors, aus welchem sie entstanden ist, in den Ausdruck von
A
einzusetzen und sind wenigstens …“
Literaturverzeichniss nebst Bemerkungen.
Unter diesem Titel beabsichtigte der Verfasser die dem 1. Band bei- gegebene Bibliographie fortzusetzen und zu ergänzen. Im handschriftlichen Nachlass fanden sich hiezu indes nur ganz wenige vorbereitende Notizen. Der Herausgeber bedauert und bittet um Nachsicht, dass das hier folgende Verzeichniss wol nicht annähernd so reichhaltig und vollständig ausfallen konnte, als dies bei der umfassenden Literatur- und Personenkenntniss des Verfassers — und bei den ihm in grösserem Masse zu Gebote stehenden Hilfsmitteln — zu erwarten gewesen wäre. Aus den letzten Jahren insbesondere sind einschlägige literarische Erscheinungen nur vereinzelt vertreten; dieselben sollen in grösserer Zahl bei Gelegenheit weiterer Publikationen aus dem
Schröder
schen Nachlass nachgetragen werden. — Neben den in den beiden Abteilungen des 2. Bandes zitirten, nicht schon im 1. Band mit aufgeführten Schriften enthält das folgende Verzeichniss Arbeiten über Logik, insbesondere über mathematische Logik, aus der vom Ver- fasser hinterlassenen Handbibliothek — grossenteils erschienen
nach
Abfassung von Bd. 2, II —, sowie einige dem Herausgeber anderweitig bekannt gewordene Werke; endlich sind, wie im 1. Band aus
Venn
1
(cf. Bd. 1, Seite 700 die Vor- bemerkung), so jetzt aus der 2. Auflage dieser Schrift,
Venn
13
, weitere Literatur- angaben beigefügt, worunter wieder diejenigen mit Stern * versehen sind, denen
Venn
für die rechnerische Logik eine besondere Bedeutung beimisst.
Boole
,
Mary
.
1) Symbolical methods of study. London, Kegan \& French 1884, 197 Seiten.
2) Logic taught by love. Marylebone, Edwards, 1890, 176 Seiten.
Bradley
, F. H. 1) The principles of logic, 1883.
Burali Forti
,
Cesare
.
1) Sur l’égalité et sur l’introduction des éléments dérivés dans la science. „Enseignement mathématique“, 1889, Seite 246.
2) Teoria delle Grandezze. Parte IV del „Formulario“ publicato dalla „Rivista di Matematica“. Torino, 1893.
3) I numeri negativi. „Rivista di Matem“. t. 3 p. 138.
4) Sulle classi derivate a destra e a sinistra. „Atti della Accademia di Torino“. Vol. 29, 1894.
5) Sulle classi ordinate e i numeri transfiniti. „Rend. Circolo Matem. Palermo.“ T. 8, 1894.
6)
Logica matematica.
Milano, Hoepli, 1894.
7) Sul limite delle classi variabili, „Atti Accad. Torino“, 1895.
8) Sur quelques propriétés des ensembles d’ensembles. „Mathem. Annalen“, Bd. 47, 1895.
9) Le classi finite; Atti Acc. Torino, 1896.
Literaturverzeichniss nebst Bemerkungen.
10) Sopra un teorema del sig. G. Cantor; ibid. 1896.
11) Exercice de traduction en symboles de logique mathématique. „Bulletin de Mathématiques élémentaires“. Turin, 1897.
12) Il metodo del
Grassmann
nella geometria proiettiva. Rend. Circ. Mat. Palermo, 1896—97.
13) Introduction à la géométrie différentielle suivant la méthode de H.
Grassmann
. Paris, Gauthier-Villars, 1897.
14) Sui simboli di logica matematica. „Il Pitagora“, 1900, p. 1, 65, 129.
Castillon
, G. F. 1) s. Bd. 1, Seite 702.
2) Réflexions sur la logique. „Mém. de l’Acad. Berlin“, 1802.
Couturat
,
Louis
.
1) De l’infini mathématique; Paris, Alcan, 1896.
2) La logique de Leibniz, d’après des documents inédits; ibid. 1901.
3) Opuscules et fragments inédits de Leibniz, extraits de manuscrits de la Bibliothèque royale de Hanovre; ibid. 1903.
4) Histoire de la langue universelle, en collaboration avec M. Leau; Paris, Hachette, 1903.
5)
L’Algèbre de la logique;
Paris, Gauthier-Villars, 1905. (Scientia, no. 24.) 100 Seiten.
Von demselben Verfasser befinden sich in Vorbereitung: Les principes des Mathématiques;
Manuel de Logistique (Logique algorithmique);
Histoire de la Logistique. Ferner sind zahlreiche Aufsätze von ihm erschienen u. a. in der „Revue de Métaphysique et de Morale“; Paris, Colin.
Darjes
, J. G. 1) s. Bd. 1, Seite 702.
*2) Introductio in artem inveniendi. 2. Aufl., 1747.
De Morgan
,
Augustus
. 1) ‥ 10) s. Bd. 1, Seite 702.
11) On the foundations of Algebra; „Transactions of the Cambridge Philosophical Society“, 1841.
12) Trigonometry and double Algebra, 1849.
Franklin-Ladd
, Frau, s. Ladd.
Franklin
,
Fabian
. 1) s.
Johns Hopkins
University circulars, April 1881.
Frege
,
Gottlob
. 1) ‥ 4) s. Bd. 1, Seite 704.
5) Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet. 1. Band. Jena, Pohle, 1893, 254 Seiten.
6) Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E.
Schröders
Vorlesungen über die Algebra der Logik. „Archiv für systematische Philosophie“, Bd. 1, 1895, Seite 433 ‥ 456.
7) Über die Begriffsschrift des Herrn
Peano
und meine eigene. Be- richt der math. Klasse der Gesellsch. zu Leipzig, 6. Juli 1896.
Garden
, F. 1) Elements of logic, 1867.
Grassmann
,
Hermann
. 1) s. Bd. 1, Seite 704.
2) Die lineale Ausdehungslehre, 1844.
Grassmann
,
Robert
. 1) u. 2) s. Bd. 1, Seite 704.
3) (Der Formenlehre) Drittes Buch: Die Bindelehre oder Kombinations- lehre. Stettin, R. Grassmann, 1872, 24 Seiten.
Literaturverzeichniss.
4) Viertes Buch: Die Zahlenlehre oder Arithmetik; ibid. 62 Seiten.
5) Fünftes Buch: Die Ausenlehre oder Ausdehnungslehre; ibid. 62 Seiten.
6)
Die Logik und die andern logischen Wissenschaften;
ibid. 1890, 188 Seiten.
7) Die Ausdehnungslehre oder die Wissenschaft von den extensiven Grössen in strenger Formel-Entwicklung; ibid. 1891.
Gregory
, D. J.
1) On the real natural of Symbolic Algebra. „Transactions of the Royal Society of Edinburgh“. Vol. 14, 1839.
Hassler
, K. D. 1) Psychologie und Logik, 1832.
Hontheim
,
Joseph
, S. J.
1) Der logische Algorithmus in seinem Wesen, in seiner Anwendung und in seiner philosophischen Bedeutung. Berlin 1895.
Huntington
,
Edward
V.
1) Simplified definition of a group. „Bulletin of the American mathe- matical Society“, Vol. 8, April 1902, Seite 296 ‥ 300.
2)
Sets of independent postulates for the algebra of logic.
„Transactions of the American math. Soc.“, Vol. 5, Juli 1904, Seite 288 ‥ 309.
Husserl
, E. G.
*1) Rezension der „Vorlesungen über die Algebra der Logik“ von E.
Schröder
; „Göttingische Gelehrte Anzeigen“, April 1891, Seite 243 ‥ 278.
*2) Der Folgerungskalkul und die Inhaltslogik; „Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie“, 1891, Seite 168 ‥ 189.
3) Nachträge zum vorigen Aufsatz; ibid. Seite 351 ‥ 356.
Jäger
, J. N. 1) Handbuch der Logik, 1839.
Johnson
, W. E.
*1) The logical calculus. Mind, Vol. 1, new series, 1892, Nos. 1, 2, 3.
2) Sur la théorie des égalités logiques. „Bibliothèque du Congrès internat. de Philosophie“, III. Section, Paris, Colin 1901.
*
Kaulich
, W. 1) Handbuch der Logik, 1869.
Kelland
, P., and
Tait
, P. G. 1) Introduction of quaternions, 1873.
Kempe
, A. B.
1)
Memoir on the theory of mathematical form.
Philos. Transactions, vol. 47, p. 1.
2) Note zur vor. Abhandlung. Proceed. Roy. Society, vol. 42, p. 193.
3)
On the relation between the logical theory of classes and the geometrical theory of points.
„Proceedings of the London mathematical Society“, Vol. 21, p. 147 ‥ 182.
4) The subject-matter of exact thought. „Nature“, Vol. 43, 1890, p. 156 ‥ 162.
Korselt
,
Alwin
.
1) Bemerkung zur Algebra der Logik. Mathematische Annalen, Bd. 44, Seite 156 u. 157.
Literaturverzeichniss nebst Bemerkungen.
2) Anzeige von
Schröder
, Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1. Band. „Zeitschrift für math. und naturw. Unterricht“, Bd. 28, Seite 578 ‥ 599, und Bd. 29, Seite 30 ‥ 43.
3) Über die Grundlagen der Mathematik. „Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung“, Bd. 14, 1905, Seite 365 ‥ 389.
Krause
, K. C. F. 1) Abriss des Systems der Logik, 1828.
Ladd Franklin
,
Christine
. 1) ‥ 4) s. Bd. 1, Seite 707.
5) The reduction to absurdity of the ordinary treatment of the Syllogism. „Science“, Vol. 13, p. 574 ‥ 576, 12. April 1901.
*
Lichtenfels
, J. 1) Lehrbuch der Logik, 1842.
Loria
,
Gino
.
1) La logique mathématique avant Leibniz. „Bulletin des sciences mathématiques“, t. 18. Mai 1894.
Lüroth
,
Jakob
.
1) Anzeige von E.
Schröder
, Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1. Band. „Zeitschrift für Math. und Phys.“, Bd. 36, Hist. lit. Ab- teilung, Seite 161 ‥ 169.
2)
Aus der Algebra der Relative.
„Jahresberichte der Deutschen Mathe- matiker-Vereinigung“, Bd. 13, 1904, Seite 73 ‥ 111.
Macfarlane
,
Alexander
. 1) ‥ 10) s. Bd. 1, Seite 708.
11) Principles of the algebra of Physics. „Proceedings of the American Association for the advancement of science“, Vol. 40, 1891, p. 65 ‥ 117.
12) On exact analysis as the basis of language. „Transactions of the Texas academy of science“, Febr. 1892, p. 5 ‥ 10.
13) The fundamental principles of Algebra. „American Association for the advanc. of science“, Annual meeting, Columbus, Ohio, 1899.
14) Les idées et principes du calcul géométrique. Congrès internat. de Philosophie. Paris, 4 août 1904.
McColl
,
Hugh
. 1) ‥ 8) s. Bd. 1, Seite 708.
9) Implicational and equational logic. „Philosophical Magazine.“ Vol. 11, 5. Series, Jan. 1881, p. 40 ‥ 43.
10) Symbolical or abbreviated language with an application to mathe- matical probability; „Math. Questions“, Vol. 28, p. 20 ‥ 23.
11) Symbolical language Nr. 2, ibid. p. 100.
12)
The calculus of equivalent statements
(fifth paper). Proc. Lond. math. Soc. Vol. 28, p. 156 ‥ 183.
13) Desgl. (sixth paper), ibid. Vol. 28, p. 555 ‥ 579.
14) Desgl. (seventh paper), ibid. Vol. 29, p. 98 ‥ 109.
15) On the calculus of equivalent statements. Explanatory note and correction, ibid. Vol. 30, p. 330 ‥ 332.
16) Symbolic reasoning (II), „Mind.“ Vol. 6, N. S., p. 3 ‥ 20.
17) Desgl. (III). ibid. Vol. 11, N. S., p. 1 ‥ 10.
18)
La logique symbolique et ses applications.
„Bibliothèque du Congrès internat. de Philosophie“. Section III. Paris 1901. p. 135 ‥ 183.
Mich
, J. 1) Grundriss der Logik. 1871.
Literaturverzeichniss.
Müller
,
Eugen
. 1) Über die Algebra der Logik: I. Die Grundlagen des Gebietekalkuls; II. Das Eliminationsproblem und die Syllogistik. Zum Programm des Gymnasiums Tauberbischofsheim. 1900, 1901. 30 + 22 Seiten.
*
Monro
, C. J. 1) Review of symbolic logic. „Mind.“ Vol. 6.
Moore
, E. H. 1) A definition of abstract groups. „Transactions Americ. math. Soc.“ Vol. 3, 1902.
Nagy
,
Albino
.
1) Fondamenti del calcolo logico. „Giornale di Matematiche.“ Vol. 28, 1890. 35 Seiten.
2) Sulla rappresentazione grafica delle quantità logiche. „Rendiconti della Accademia dei Lincei.“ Vol. 6, 1890, p. 373 ‥ 378.
3) Principî di logica. Torino, Loescher. 1892.
4) I teoremi funzionali nel calcolo logico. „Rivista di Matematica“, Nov. 1892, p. 177 ‥ 179.
5) Über Beziehungen zwischen logischen Grössen. „Monatshefte für Mathematik und Physik“, 4. Jahrg.
6) Über das
Jevons-Clifford’
sche Problem; ibid. 5. Jahrg. Seite 331 ‥ 345.
Padoa
, A.
1) Conférences sur la logique mathématique. Université nouvelle de Bruxelles. 1898.
2) Algebra elementare logicamente esposta. Conferenze tenute nella R. Universitá di Pavia, 1899, p. 35.
3) Essai d’une théorie algébrique des nombres entiers, avec une intro- duction logique à une théorie déductive quelconque. Congrès inter- nat. de Philosophie. Paris, 3. août 1900. — Vom Verfasser bear- beitet unter dem Titel:
Numeri interi relativi.
„Revue de Mathé- matiques“, Bd. 7, 1901, Seite 73 ‥ 84.
4) Le problème Nr. 2 de M.
David Hilbert
; „Enseignement mathé- matique“. Vol. 5, 1903, p. 85 ‥ 91.
Peacock
,
George
. 1) Algebra 1830.
2) On certain branches of analysis. „Report of the British Assoc. for the adv. of science.“ 1834.
3) Symbolic Algebra. 1845.
Peano
,
Giuseppe
. 1) ‥ 3) s. Bd. 1, Seite 709.
Zahlreiche, nach Inhalt oder Darstellungsweise hierher gehörige Ar- beiten von
Peano
und seinen Mitarbeitern erscheinen seit 1891 in „
Rivista di Matematica
“ bez. „
Revue de Mathématiques
,“
Turin
,
Bocca
, sowie in dem 1892 begonnenen „
Formulaire de Mathématiques
“.
Turin
,
Bocca
und
Clausen
, bis jetzt 4 Bände; Rezension von
Schröder
, Alg. d. L., Bd. 1 und 2, I: Riv. di Matemat., t. 1, p. 164 und t. 6, p. 95. Besonders bemerkenswert:
4)
Notations de logique mathématique.
Introduction au „Formulaire de Mathématiques“, 1894. 52 Seiten.
5) Les propositions du V. livre d’Euclide réduites en formules. „Ma- thesis“, t. 10. 1890. Fortsetzung:
Sommario dei libri VII, VIII e IX d’Euclide.
Riv. di Mat. t. 1.
Literaturverzeichniss nebst Bemerkungen.
6) Démonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires. „Mathemat. Annalen,“ Bd. 37, 1890.
7) Principios de Lógica matemática. „Progreso matemático,“ Zaragoza, 1892, p. 20. Übersetzung aus Riv. di Matem., t. 1.
8) Lezioni di Analisi infinitesimali.
Torino. 1893. Ein Teil dieses Werkes:
Genocchi
, Differentialrech- nung, deutsch von
Bohlmann
und
Schepp
. Leipzig, Teubner, 1899; bei dieser Bearbeitung durch
Genocchi
ist mit benützt: Sulla definizione di integrale, 1895, sowie die folg. Schrift:
9)
Studii di Logica matematica.
„Atti della R. Accademia di Torino.“ Vol. 32, 1897, p. 3 ‥ 21.
10) Saggio di calcolo geometrico; ibid. Vol. 31, 1896, p. 3 ‥ 26.
11) Sur la définition de la limite d’une fonction. Exercice de logique mathématique. „American Journal of Mathematics“. Vol. 17, 1894, p. 37 ‥ 68. Aus Riv. di Matem., t. 2, p. 77.
Peirce
,
Charles
S. 1) ‥ 11) s. Bd. 1, Seite 710.
Zu 6)
„Brief description …“
: Ein Exemplar dieser Schrift befindet sich im Nachlass des Verf. und trägt eine Bemerkung von dessen Hand, wonach dieselbe separat in Baltimore erschienen und nur in wenigen Exempl. in den Handel gekommen ist. Am Schluss ist das Datum „Bal- timore, Jan. 7, 1882,“ bezw. in einem „Postscript“: January 16, 1882“ beigedruckt.
12) Rezension von E.
Schröder
, Alg. d. L., Bd. 1 und 2, I: „Monist,“ 1896.
Pieri
, M.
1) Sui principii che reggono la geometria di posizione. Note I, II, III. „Atti della Accademia di Torino“, 1895—96.
2) Un sistema di postulati per la geometria proiettiva astratta degli iperspazî. „Revue de Mathématiques“, 1896.
3) Sugli enti primitivi della geometria proiettiva astratta. „Atti della Acc. Torino“, 1897.
4) Nuovo modo svolgere deduttivamente la geometria proiettiva. „Reale istituto Lombardo di scienze e lettere“ (Milano.) Rendiconti, ser. 2, vol. 31, 1898.
5) I principii della geometria di posizione composti in sistema logico- deduttivo. „Atti della Acc. Torino“, 1898, t. 48.
6) Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo. Mono- grafia del punto e del moto; ibid. 1900, t. 49.
Ploucquet
,
Gottfried
. 1) ‥ 4) s. Bd. 1, Seite 711.
Unter 1) ist ein Druckfehler zu berichtigen: Man lese: Nach
Itelson
1
: 1766 statt 1776. — Ferner ist zu der Fussnote Seite 100 dieses Bds. 2, I zu bemerken, dass nach
Venn
13
p. 8 sq. und 538 die Doktrin von der „Quantifikation des Prädikates“ schon auf
Ploucquet
zurückgeht und in dem Kapitel vom calculus logicus in 4), sowie auch in der zweiten von den beiden folgenden Schriften enthalten ist:
*5) Fundamenta philosophiae speculativae, 1759.
*6) Institutiones philosophiae theoreticae sive de arte cogitandi; 1772.
*
Pokorny
, J. 1) Neuer Grundriss der Logik, 1878.
Poretzki
,
Platon
S.
1)
Über die Methoden zur Auflösung der logischen Gleichheiten und über die inverse Methode der mathematischen Logik;
„Bulletin der
Literaturverzeichniss.
physiko-mathematischen Gesellschaft zu Kasan“, II, III, 1884 (russisch); cf. „Fortschritte der Mathematik“, Bd. 16, p. 43 sq.
2) Lösung des allgemeinen Problems der Wahrscheinlichkeitstheorie mittelst der mathematischen Logik; ibid. 1887.
3) La loi des racines en logique. „Revue de Mathématiques“; t. 6, 1896, Seite 5 ‥ 8.
4) Sept lois fondamentales de la théorie des égalités logiques; „Bull. der phys.-math. Gesellsch. Kasan“, Bd. 8, 1899, Seite 33 ‥ 103, 129 ‥ 181, 183 ‥ 216.
5) Exposé élémentaire de la théorie des égalités logiques à deux termes. „Revue de Métaphysique et de Morale“; Bd. 8, 1900, Seite 169 ‥ 188.
6) Théorie des égalités à trois termes. „Bibliothèque du Congrès internat. de Philosophie“, Section III, Paris, 1901, p. 201 ‥ 233.
7) Quelques lois ultérieures de la théorie des égalités logiques; Supplé- ment zu 4); Kasan Gesellsch. Bd. 10, 1902, Seite 50 ‥ 84, 132 ‥ 180, 191 ‥ 230; Bd. 11, Seite 17 ‥ 63.
8) Théorie des non-égalités logiques; ibid. 1904.
Prochazka
, J. J. 1) Gesetzbuch für das Denken. Ein Handbuch der Logik.
Reimarus
, H. S. 1) Vernunftlehre, 1790.
Reyes
y Prósper,
Ventura
.
1)
Christina Ladd Franklin
. Matemática americana y su influ- encia en la Lógica simbólica. „Progreso matemático.“ Zaragoza, Bd. 1, Nr. 12, Dez. 1891.
2)
Ernesto Schroeder
. Sus merecimientos ante la Lógica, su pro- paganda lógico-matemática, sus obras; ibid. Bd. 2, Nr. 14, Febr. 1892.
Russel
,
Bertrand
.
1)
Sur la logique des relations.
„Revue de Mathématiques“, t. 7, 1901, p. 115 ‥ 136.
2) The principles of Mathematics. Vol. I, Cambridge, 1903.
Sanderson
, R. 1) Logicae artis compendium. 1860.
Schaden
, E. A. von. 1) System der positiven Logik. 1841.
Schröder
,
Ernst
. 1) ‥ 9) s. Bd. 1, Seite 712.
10) Über das Zeichen. Direktoratsrede an der Technischen Hochschule in Karlsruhe 1890. In Kommission bei Fock, Leipzig.
11) Eine Berichtigung zum ersten Bande meiner Algebra der Logik. „Math. Annalen“, Bd. 36, 1890, Seite 602.
Diese Berichtigung zu Bd. 1 Seite 671 ist seitdem auch unter die „Ferneren Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande“, Bd. 2, I, Seite XII, Zeile 18 v. u., sowie in den gegenwärtigen Teil des Werkes, Seite 453, Zeile 10 v. u. aufgenommen. Eine vollständige Liste der
Schröder’
schen Publikationen findet sich oben Seite XVII, jedoch mit anderer Numerirung.
Seton
, J. Dialectica. 1611.
Sigwart
, H. C. W. 1) Handbuch zu Vorlesungen über die Logik. 2. Aufl. 1835.
Literaturverzeichniss nebst Bemerkungen.
Vailati
, G.
1) Un teorema di logica matematica. „Rivista di Matematica“, t. 1, p. 103.
2) Le proprietà fondamentali delle operazioni della logica deduttiva, studiate dal punto di vista d’una teoria generale delle operazioni; ibid., t. 1, p. 127.
3) Sui principî fondamentali della geometria della retta; ibid., t. 2, p. 71.
4) Dipendenza fra le proprietà delle relazioni; ibid. t. 2, p. 161.
Venn
,
John
. 1) ‥ 11) s. Bd. 1, Seite 714.
12) (Extra Series) University Library Bulletin. Catalogue of a collection of Books on Logic, presented to the library by
John Venn
. Cam- bridge, 1899. 125 Seiten — worauf 1124 Logikschriften verzeichnet.
13)
Symbolic Logic.
Second edition, revised and rewritten. London, Macmillan, 1894. 540 Seiten.
*
Victorin
, A. 1) Neue natürlichere Darstellung der Logik. 1835.
Voigt
,
Andreas Heinrich
. 1) s. Bd. 1, Seite 714.
2) Was ist Logik? „Vierteljahrsschrift für wissenschaftl. Philosophie“, 1892, Seite 289 ‥ 332.
3) Zum Kalkul der Inhaltslogik. Erwiderung auf Herrn
Husserl’
s Artikel, ibid. 1893, Seite 504 ‥ 507.
Weise
,
Ch
.— s. auch Bd. 1, Seite 715 Zeile 3 v. o.
1) Doctrina logica. 1711.
2) Curieuse Fragen über die Logica. 1700.
Welton
, J. C. 1) Manual of logic. 1891.
Whitehead
,
Alfred North
.
1) A Treatise of universal Algebra. Vol. I. Cambridge, University Press, 1898.
2) Memoir on the Algebra of symbolic Logic. „American Journal of Mathematics“, t. 23, 1901.
3) On cardinal numbers; ibid. t 24.
Namenverzeichniss zum zweiten Bande.
Die Zahlen hinter jedem Namen bedeuten die Nummern der Seiten, auf welchen der Name sich erwähnt findet.
Apelt
253;
Aristoteles
106, 218, 251, 277.
Bentham
100;
Blackwood
306, 307;
Blemmides
219;
Boole
,
George
VIII, 24, 33, 34, 91, 92, 193, 210, 212, 228, 283, 284, 292, 305, 306, 312, 313, 327, 350, 355, 376, 380, 381, 406, 407, 408, 439 ‥ 442, 444, 446, 447, 448, 455, 460, 478, 482, 484, 493.
Cantor
54;
Castillon
462;
Cayley
234, 235;
Clebsch
209;
Clifford
174, 175;
Couturat
597;
Cunynghame
239.
Dedekind
54, 344;
Delboeuf
462;
De Morgan
X, 33, 105, 136 ‥ 144, 155, 159, 171 ‥ 174, 182, 219, 248, 288, 291, 350, 355, 357, 360, 362, 363, 370, 378, 402, 403, 404, 405, 422, 438, 457, 596, 597;
Dieffenbach
XIII.
Eudemos
218;
Euklides
23, 414, 415, 416; Euler XIV.
Fischer
6;
Franklin
,
Fabian
174;
Franklin-Ladd
(Fran) cf.
Ladd-Franklin
.
Galenos
218;
Geibel
18;
Gergonne
XIV, 95, 106, 144, 155, 350, 362, 363, 367, 370, 457, 461;
Goethe
182;
Goclenius
251;
Grassmann Robert
IX, 32, 54, 235 ‥ 237, 314, 404, 405, 455, 456, 464, 566;
Grove
307.
Hamilton
, W. 100;
Hauber
277, 280, 285 ‥ 288, 309;
Hospinianus
219;
Husserl
IX, XIV, 411, 414, 475, 484.
Jevons
XII, 15, 91, 100, 101, 145, 147, 239, 267, 268, 302, 303, 439, 443, 446, 450, 451, 453, 481.
Kant
249, 506;
Kempe
564 ‥ 582;
Keynes
268;
Kirchhoff
475;
Korselt
410, 415, 417, 421 ‥ 423, 593 ‥ 597.
Ladd Franklin
XII, XIV, 61, 91, 119, 123, 147, 175, 179, 194, 210, 219, 228, 229, 234, 238, 239, 308, 309, 398, 441, 447, 451 ‥ 454, 457, 464 ‥ 476, 477, 484, 485, 486, 489 ‥ 491;
Lange
, F. A. 1, 106, 235, 247, 248, 250, 280, 317, 507;
Leibniz
219;
Leverrier
236;
Lotze
7, 247, 249, 492;
Lüroth
XI, 410, 417 ‥ 419, 474, 594, 597.
Macfarlane
XI, XII, 308, 309, 440, 452, 462;
Mansel
268;
McColl
IX, XII, 24, 29, 69, 73, 155, 259, 276, 277, 289, 291, 304 ‥ 307, 308, 310, 312, 313, 447 ‥ 451, 463, 482, 484, 487, 488, 515 ‥ 555, 557, 558;
Michaelis
280;
Mitchell
27, 179, 191, 193, 200, 210, 234, 277, 292 ‥ 295, 301, 313, 362, 398, 441, 442, 451, 476 ‥ 482;
Monro
304, 306;
Moses
235.
Peano
136, 144, 168 ‥ 170, 175, 178, 229, 348, 453 ‥ 455, 460 ‥ 462, 597;
Peirce
IX, X, XI, XIV, 8, 24, 27, 29, 33, 69, 73, 89, 182, 197, 198, 199, 210, 258, 262, 263, 266, 270, 272, 273, 276, 291, 295, 297 ‥ 302, 316, 320, 326, 327, 334, 346, 354, 402 ‥ 404, 405, 438, 445, 447 ‥ 450, 455, 460, 463, 464, 476, 482, 483, 484, 488, 516, 597;
Petrus Hispanus
219;
Pommer
236, 237;
Poretzki
XIII, 441 ‥ 447.
Rudeck
XI.
Sigwart
,
Christoph
236, 252 ‥ 254, 269, 507;
Scheffler
439.
Theophrastos
218;
Trendelenburg
249, 448;
Twesten
106.
Ueberweg
218, 219, 235, 236, 361.
Venn
106, 285, 287, 310, 312, 378, 439, 459;
Voigt
209, 235, 326, 361, 398 ‥ 400, 410 ‥ 414, 419, 420, 441, 451, 453, 455, 594, 595.
Weierstrass
54;
Whately
268;
Wundt
456.
Druck von B. G.
Teubner
in Leipzig.
Von
Ernst Schröder
erschienen im gleichen Verlage:
Lehrbuch der Arithmetik und Algebra
für Lehrer und Studierende. I. Band: Die sieben algebraischen Operationen. [X u. 360 S.] gr. 8. 1873. geh. n. ℳ. 8. —
Abriß der Arithmetik und Algebra
für Schüler an Gymnasien und Realschulen. I. Heft: Die sieben algebraischen Operationen. [48 S.] gr. 8. 1874. geh. n. ℳ. —.60.
Der Operationskreis des Logikkalkuls.
[VI u. 37 S.] gr. 8. 1877. geh. n. ℳ. 1. 50.
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3 Bände. gr. 8. I. Band. Mit vielen Figuren im Text. [XII u. 717 S.] 1890. geh. n. ℳ. 16. —
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Mit vielen Figuren im Text. In 2 Abteilungen. I. Abteilung. [VIII u. 649 S.] 1895. geh. n. ℳ. 16. —
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Dr.
Paul,
Professor der Mathematik an der Universität Erlangen,
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, herausgegeben von Dr.
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. [XI u. 201 S.] gr. 8. 1885. geh. n. ℳ. 6. 40.
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. [XII u. 360 S.] gr. 8. 1887. geh. n. ℳ. 11.60. [Der III. (Schluß-) Band erscheint im nächsten Jahre.]
Heffter,
Dr.
L.,
Professor an der Universität Kiel, und Dr.
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Professor an der Universität Heidelberg,
Lehrbuch der analytischen Geometrie
. I. Band: Geometrie in den Grundgebilden erster Stufe und in der Ebene. Mit 136 Figuren im Text. [XVI u. 528 S.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. ℳ 14. —
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Dr.
E.,
etatsmäßiger Professor an der Königl. Bergakademie zu Berlin,
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. Mit Anwendungen auf Geo- metrie, Mechanik und mathematische Physik. Mit 32 Figuren im Text. [XII u. 235 S.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. ℳ. 5. 60.
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Professor am Polytechnikum in Budapest,
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, Professor an der Königl. Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 85 Figuren im Text. [VIII u. 372 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. ℳ. 8. —. II. Teil: Aufgaben aus der Integralrechnung. 4. Auflage, bearbeitet von Dr. R.
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Lehrbuch
der
Differential- und Integralrechnung
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Einzeln:
I. Band:
Differentialrechnung
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II. Band:
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,
der geraden Linie und der Ebene
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Otto,
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Professor an der deutschen Universität Prag,
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Thomae,
Dr.
J.,
Geh. Hofrat und Professor an der Universität Jena,
Sammlung von Formeln und Sätzen aus dem Gebiete der elliptischen Funk- tionen nebst Anwendungen
. [IV u. 44 S.] 4. 1905. kart. n. ℳ. 2. 80.
Vahlen,
Dr.
Karl Theodor,
Privatdozent an der Universität Königsberg i. Pr.,
ab- strakte Geometrie
. Untersuchungen über die Grundlagen der Euklidischen und Nicht-Euklidischen Geometrie. Mit zahlreichen Figuren im Text. [XII u. 302 S.] gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. ℳ. 12. —
————
Geschichte des Fundamentalsatzes der Algebra
. gr. 8. In Leinw. geb. [In Vorbeitung.]
Weber,
Dr.
H.,
Professor in Straßburg, und Dr.
J. Wellstein,
Professor in Straßburg,
Encyklopädie der Elementar-Mathematik
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Weber
, J.
Wellstein
und W.
Jacobsthal
. Mit 280 Textfiguren. [XII u. 604 S.] 1905. In Leinw. geb. n. ℳ. 12. —. (Bd. III. Anwendung der Elementarmathematik. Unter d. Presse.)
Wien,
Dr.
W.,
Professor an der Universität Würzburg,
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