VORLESUNGEN
ÜBER DIE
ALGEBRA DER LOGIK
(EXAKTE LOGIK)
VON
Dr.
ERNST SCHRÖDER
, ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU KARLSRUHE IN BADEN, KORRESPONDIRENDEM MITGLIEDE DER BRITISH ASSOCIATION FOR THE ADVANCEMENT OF SCIENCE.
ZWEITER BAND. ERSTE ABTEILUNG.
MIT VIEL FIGUREN IM TEXTE.
Dem Begründer die Ehre, auch wenn der Nachfolgende es besser macht.
(Arabisches Sprüchwort.)
Wage, deinen Verstand zu gebrauchen! (Sapere aude).
Horaz
.
LEIPZIG
,
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER
.
1891
.
Verlag von
B. G. Teubner
in Leipzig.
Abel, Niels Henrik,
oeuvres complètes
. Nouvelle édition publiée aux frais de l’Etat Norvégien par MM. L. Sylow et S. Lie. 2 tomes. 4. 1881. geh.
n. ℳ. 24. — Tome premier [VIII u. 621 S.], contenant les mémoires publiés par Abel. Tome second [IV u. 341 S.], contenant les mémoires posthumes d’Abel.
Baraniecki, M. A. von,
über gegen einander permutable Substitu- tionen
. Inaugural-Dissertation. [33 S.] Lex.-8. 1871. geh. n. ℳ. 1. 20.
Biermann, Dr. Otto,
Privatdocent an der deutschen Universität in Prag,
Theorie der analytischen Functionen
. [X u. 452 S.] gr. 8. 1887. geh.
n. ℳ. 12. 80.
Bobek, Karl,
Privatdocent für Mathematik im Allgemeinen,
Einleitung in die Theorie der elliptischen Funktionen
. Mit in den Text gedruckten Figuren. [XII u. 275 S.] gr. 8. 1884. geh.
n. ℳ. 4. 80.
Czuber, Emanuel,
geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte
. Mit 115 in den Text gedruckten Figuren. [VII u. 244 S.] gr. 8. 1884. geh.
n. ℳ. 6. 80.
Durège,
Dr.
H.,
ordentlicher Professor an der Universität zu Prag,
Theorie der elliptischen Funktionen
. Versuch einer elementaren Dar- stellung. Vierte Auflage. Mit 32 in den Text gedruckten Holz- schnitten. [VIII u. 394 S.] gr. 8. 1887. geh.
n. ℳ. 9. —
————
Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Grösse
. Mit besonderer Berücksichtigung der Schöpfungen Riemanns. Dritte verbesserte Aufl. [X u. 268 S.] gr. 8. 1882. geh.
n. ℳ. 6. —
Günther, Dr. Siegmund,
parabolische Logarithmen und para- bolische Trigonometrie
. Eine vergleichende Untersuchung. [IV u. 99 S. mit Figuren im Text.] gr. 8. 1882. geh. n. ℳ. 2. 80.
Harnack,
Dr.
Axel,
o. Professor der Mathematik an dem Polytechnikum zu Dresden,
die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunctionen in der Ebene
. [IV u. 158 S.] gr. 8. 1887. geh. n. ℳ. 4. 20.
Helmert, Dr. F. R.,
Professor an der technischen Hochschule zu Aachen,
die Ausgleichungsrechnung
nach der Methode der kleinsten Quadrate mit Anwendungen auf die Geodäsie und die Theorie der Messinstrumente. [XI u. 348 S.] gr. 8. 1872. geh. n. ℳ. 7. —
Holzmüller, Dr. Gustav,
Direktor der Kgl. Gewerbeschule zu Hagen,
vollständige Durchführung einer isogonalen Verwandt- schaft
,
die durch eine gebrochene Function zweiten Grades repräsentirt wird
. Besonderer Abdruck aus dem XIII. Bande der Mathematischen Annalen. Beilage zum Programm 1881 der Kgl. Gewerbeschule zu Hagen. Hierzu 4 lithogr. Tafeln. [32 S.] gr. 8. 1881. geh.
n. ℳ. 2. —
VORLESUNGEN
ÜBER DIE
ALGEBRA DER LOGIK
(EXAKTE LOGIK)
VON
Dr.
ERNST SCHRÖDER
, ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU KARLSRUHE IN BADEN, KORRESPONDIRENDEM MITGLIEDE DER BRITISH ASSOCIATION FOR THE ADVANCEMENT OF SCIENCE.
ZWEITER BAND. ERSTE ABTEILUNG.
MIT VIEL FIGUREN IM TEXTE.
Dem Begründer die Ehre, auch wenn der Nachfolgende es besser macht.
(Arabisches Sprüchwort.)
Wage, deinen Verstand zu gebrauchen! (Sapere aude).
Horaz
.
LEIPZIG
,
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER
.
1891
.
Alle Rechte vorbehalten.
Vorwort
.
Die noch vor der Fertigstellung des Textes zum zweiten Bande an den Verfasser herangetretenen Direktionsgeschäfte der technischen Hochschule haben demselben nicht gestattet, über die verhältnissmässig geringen Lücken seines Manuskripts im Lauf des Jahres hinweg- zukommen, und glaubt derselbe, von manchen Seiten gedrängt, die Herausgabe der seit fünf Monaten im Druck vollendeten ersten Ab- teilung dieses Bandes nicht länger zurückhalten zu sollen. Die zweite (und letzte) Abteilung dürfte bald nach den Herbstferien folgen.
Karlsruhe
in Baden, im Juni 1891.
a*
Der zahlreichen Rückverweisungen halber geben wir unserm zweiten Bande auch wieder mit bei den
Inhalt des ersten Bandes.
Seite
Anzeige und Vorwort
III
Einleitung
.
A. Vorbetrachtungen über Charakter und Begrenzung der zu lösenden Auf- gabe mit Bemerkungen über Induktion, Deduktion, Widerspruch und folgerichtiges Denken. Denkendes Subjekt, seine Vorstellungen und die Dinge. (Chiffre
α
‥
ι
1
)
1
B. Vorbetrachtungen über Zeichen und Namen.
ϰ
1
‥
ο
2
)
38
C. Über Begriffe. Einteilung, Definition und Kategorieen, Pasigraphie. Logik des Inhaltes oder des Umfangs? Über Urteile, Schlüsse und deren Folge- richtigkeit. Warum Algebra der Logik.
π
2
‥
ξ
3
)
80
Erste Vorlesung
.
§ 1. Subsumtion
126
§ 2. Vorläufige Betrachtungen über Darstellbarkeit der Urteile als Subsum- tionsurteile
141
§ 3. Euler’s Diagramme. Identischer Kalkul mit Gebieten einer Mannig- faltigkeit
155
Zweite Vorlesung
.
§ 4. Erste Grundlagen: Prinzip I und II, Definition von Gleichheit, 0 und 1, nebst Folgesätzen
168
Dritte Vorlesung
.
§ 5. Die identische Multiplikation und Addition.
Peirce’
s analytische Definition von Produkt und Summe
191
§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition
201
§ 7. Deutung von 0, 1,
a b
,
a
+
b
als Gebiete nebst zugehörigen Postulaten. Konsistente Mannigfaltigkeit
211
Vierte Vorlesung
.
§ 8. Interpretation für Klassen
217
§ 9. Fortsetzung. Konsequenzen der Adjungirung einer Nullklasse. Reine Mannigfaltigkeit
237
Fünfte Vorlesung
.
§ 10. Die nicht von Negation handelnden Sätze. Reine Gesetze, von Mul- tiplikation und Addition je für sich
254
§ 11. Gemischte Gesetze, den Zusammenhang zwischen beiden Operationen zeigend
270
Inhalt des ersten Bandes.
Sechste Vorlesung
.
Seite
§ 12. Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes und Unentbehrlichkeit eines weiteren Prinzipes. — Prinzip zur Ver- tretung des unbeweisbaren Satzes
282
Siebente Vorlesung
.
§ 13. Negation (mit Postulat) und darauf zu gründende Sätze. — Ihre Ein- führung für Gebiete
299
§ 14. Der Dualismus
315
§ 15. Kritische Vorbemerkungen zum nächsten Paragraphen: Inwiefern nega- tive Urteile als negativ prädizirende anzusehen und disjunktiv prädi- zirende Urteile von den disjunktiven zu unterscheiden sind
319
Achte Vorlesung
.
§ 16. Deutung der Negation für Klassen. Satz des Widerspruchs, des aus- geschlossenen Mittels und der doppelten Verneinung im Klassen- kalkul. Dichotomie. Gewöhnliche Mannigfaltigkeit
342
§ 17. Fernere Sätze für Gebiete und Klassen. Kontraposition, etc.
352
Neunte Vorlesung
.
§ 18. Verschiedenartige Anwendungen: Rechtfertigungen, Studien und Übungsaufgaben
365
Zehnte Vorlesung
.
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung
396
Elfte Vorlesung
.
§ 20. Spezielle und allgemeine, synthetische und analytische Propositionen: Relationen und Formeln
434
§ 21. Das Auflösungsproblem bei simultanen Gleichungen und Subsumtionen. Das Eliminationsproblem bei solchen
446
§ 22. Fortsetzung, auch für mehrere Unbekannte
466
Zwölfte Vorlesung
.
§ 23. Die inversen Operationen des Kalkuls: identische Subtraktion und Division als Exception und Abstraktion. Die Negation als gemein- samer Spezialfall beider
478
§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen
496
Dreizehnte Vorlesung
.
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben
521
Vierzehnte Vorlesung
.
§ 26. Besprechung noch andrer Methoden zur Lösung der bisherigem Kalkul zugänglichen Probleme.
Das primitivste oder Ausmusterungsverfahren von
Jevons
.
Lotze’
s Kritik, und
Venn’
s graphische Modifikation des Verfahrens
559
§ 27. Methoden von
McColl
und
Peirce
573
Inhalt des ersten und zweiten Bandes.
Anhänge
.
Seite
Anhang
1. Beiläufige Studie über Multiplikation und Addition. (Zu § 6.)
595
Anhang
2. Exkurs über Klammern. (Zu § 10.)
599
Anhang
3. Ausdehnung von Begriff und Sätzen über Produkt und Summe von zweien auf beliebig viele Terme. (Zu § 10.)
609
Anhang
4. Logischer Kalkul mit „Gruppen“ — hiernächst von Funktional- gleichungen, mit Algorithmen und Kalkuln. (Zu § 12.)
617
Anhang
5. Substrat zum vorigen Anhang und Material zu dessen Belegen.
633
Anhang
6. Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Geometrisch- logisch-kombinatorische Probleme von
Jevons
und
Clifford
. (Zu § 12, 19 und 24.)
647
Literaturverzeichniss
nebst Bemerkungen
700
Namenverzeichniss
zum ersten Bande.
716
Inhalt des zweiten Bandes.
(
Erste Abteilung
.)
Fünfzehnte Vorlesung.
§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul. Taxirung von Aussagen nach ihrer Gültigkeitsdauer und Klasse der Anwendungsgelegenheiten
1
§ 29. Übersichtlichste Darstellung der bisherigen Sätze in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls. Das Summenzeichen
Σ
und das Produktzeichen
Π
25
§ 30. Fortsetzung über
Σ
,
Π
. Aufhören des Dualismus
35
Sechzehnte Vorlesung.
§ 31. Die Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet. Inkonsistenz.
49
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen. Direkte Verifikation der Sätze des Aus- sagenkalkuls durch diesen
63
Siebzehnte Vorlesung.
§ 33. Herkömmliche Einteilung der kategorischen Urteile nach Qualität und Quantität. Modifizirte Deutung der universalen in der exakten Logik und Unzulänglichkeit des früheren Kalkuls zur Darstellung der partikularen Urteile
85
§ 34. Die fünf möglichen Elementarbeziehungen
Gergonne’
s und die vier- zehn Grundbeziehungen in anschaulich geometrischer Einführung
95
§ 35. Analytische Definition dieser Beziehungen und Zurückführung der- selben auf einander
106
Inhalt des zweiten Bandes.
Achtzehnte Vorlesung.
Seite
§ 36. Reduktion sämtlicher Beziehungen auf den Typus der Gleichung und ihrer Negation (der Ungleichung)
118
§ 37. Entwickelung der Produkte und Summen von Grundbeziehungen
124
§ 38. Erweiterung des Beziehungskreises durch Zuzug auch der negirten Gebiete
131
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt und ihre Darstellung durch vier primitive (
De Morgan’
s). Die möglichen Aussagen über
n
Klassen, und
Peano’
s Anzahl derselben
136
Neunzehnte Vorlesung.
§ 40. Umschau über die gelösten und noch zu lösende Probleme.
Mitchell’
s allgemeine Form der gegebene Urteile zusammenfassenden Gesamt- aussage
179
§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für ein paar typische Spezialfalle, dann allgemein (aus dem Rohen). Bemerkung das Auflösungsproblem betreffend
199
Zwanzigste Vorlesung.
§ 42. Die Syllogismen der Alten. Traditionelle Übersicht derselben
217
§ 43. Miss
Ladd’
s rechnerische Behandlung der fünfzehn giltigen Modi. Beispiele
228
§ 44. Die inkorrekten Syllogismen der Alten und ihre Richtigstellung in der exakten Logik. Über Subalternation und Konversion. Zusammen- gesetzte Schlüsse
239
Einundzwanzigste Vorlesung.
§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls im Kontrast mit dem Gebiete- kalkul. Dilemma, Modus ponens und tollens, disjunktiver Schluss. Formeln gemischter Natur
256
§ 46. Diverse Anwendungen, Studien und Aufgaben, darunter: Wesen des indirekten Beweises,
Hauber’
s Satz,
Mitchell’
s Nebelbilderproblem, nochmals
McColl’
s Methode, etc.
277
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
§ 47. Definitionen des Individuums, Punktes, und ihre Zurückführung auf einander. Auf Individuen bezügliche Sätze. Duales Gegenstück zum Individuum
318
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
§ 48. Erweiterte Syllogistik
350
§ 49. Studien über die „Klausel“ und noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
371
Inhalt des zweiten Bandes. (Zweite Abteilung.) Berichtigungen.
(
Zweite Abteilung
.)
Vierundzwanzigste Vorlesung
.
§ 50. Über Logik der Beziehungen überhaupt. Anläufe und Theorieen von
De Morgan
und
Peirce
.
Fünfundzwanzigste Vorlesung
.
§ 51. Besondere Beziehungen. — Beziehung der eindeutigen Zuordnung und Ab- bildung mit
Dedekind’
s Theorie der Ketten zur streng logischen Be- gründung des Anzahl-Begriffes der Arithmetik und des Schlusses der voll- ständigen Induktion.
Sechsundzwanzigste Vorlesung
.
§ 52. Das Inversionsproblem der Funktions- und Knüpfungslehre.
§ 53.
Macfarlane’
s rechnerische Behandlung der Probleme menschlicher Ver- wandtschaft.
Siebenundzwanzigste Vorlesung
.
§ 54. Über die Modalität der Urteile. Rückblick und Schlussbetrachtung.
Anhänge
.
Anhang
7.
McColl’
s Anwendung des Aussagenkalkuls zur Ermittelung der neuen Grenzen mehrfacher Integrale bei Abänderung der Integrationsfolge.
Anhang
8.
Kempe’
s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der geo- metria situs.
Literaturverzeichniss
nebst Bemerkungen.
Namenverzeichniss
zum zweiten Bande.
Alphabetisches Sachregister
.
Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
Zu Seite I (Titelblatt).
Es wird der Aufmerksamkeit des geehrten Lesers nicht entgangen sein, dass (anstatt … Und rings ist frische, grüne Weide) der Schluss des zweiten Motto’s lauten sollte: Von einem bösen Geist im Kreis herum geführt, Und rings umher liegt schöne grüne Weide. Die durch Zufallstücke herbeigeführte bedauerliche Entstellung des Citats konnte bei der Auflage mittelst Kartons und neuer Decken nur zum grössern Teile wieder gut gemacht werden.
Seite VI, Zeile 4 von oben ist zu bemerken, dass „das Vierteljahrhundert“ rhe- torisch, oder auch als eine nach den Regeln der Arithmetik bezüglich approximativer Zahlen
abgerundete
Zeitangabe aufzufassen ist: es sind nicht ganz, jedoch beinahe, anderthalb Vierteljahrhunderte seit Er- scheinen von
Boole’
s Laws of thought (1854) verstrichen gewesen. Vergl. die Besprechung im Literarischen Centralblatt für Deutschland 1891. No. 13.
Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
Seite VIII bei § 15 st. Kritische Untersuchungen l. Kritische Vorbemerkungen.
„ IX bei Anhang 1 st. (Zu 6) l. (Zu § 6).
„ 48, Zeile 19 v. o. würde das Wort „Bedeutung“ besser durch „Sinn“ ersetzt, sodass der Passus lautete: „Der Name soll von einem bestimmt fest- stehenden oder konstanten Sinne sein“. Der Ausspruch würde dadurch auch äusserlich in Einklang kommen mit der später (S. 69 sq.) vom Verfasser vollzogenen Differenziirung jener bisherigen Synonyme im Zusammenhang mit derjenigen von „doppelsinnig“ und „zweideutig“ etc.
Allerdings habe ich in Bd. 1 bei verschiedenen, jedoch auseinander- liegenden Betrachtungen das Wort „Bedeutung“ nicht durchweg im gleichen Sinne gebraucht, auf dessen Mehrsinnigkeit jedoch selbst wiederholt (S. 50 sq., 69 sq.) aufmerksam gemacht. Die hierauf ge- richtete ist so ziemlich die einzige von den zahlreichen Ausstellungen meines Rezensenten in den Göttingischen gelehrten Anzeigen, Herrn
Husserl
1
, die ich als berechtigt empfinde, und anerkenne. Sollte man nicht in der That den Mars, oder die Erde, etc. auch „eine Bedeutung“ des Gemeinnamens „Planet“ nennen dürfen? Doch trifft der Vorwurf nicht mich, sondern den Sprachgebrauch. Sapienti sat.
„ 191, Überschrift des § 5, wird bezüglich der Berechtigung, die fragliche Definition Herrn
Peirce
(und nicht Herrn
McColl
) zuzuschreiben, der Rückblick im § 54, zweite Abteilung des Bandes 2 zu ver- gleichen sein.
„ 214, rechts l. Fig. 9
+
st. Fig. 9
×
.
„ 280, Zeile 9 v. u. st. 18) beidemal zu lesen 17).
„ 284, „ 17 v. o. st. § 20 l. § 19.
„ 302 und 305 möchte ich als
wertvoll
gerne folgendes in Bd. 1 noch auf- genommen haben.
Die Art, wie Herr
Robert Grassmann
die Eindeutigkeit der Negation und den Satz der doppelten Verneinung beweist, bildet eine Variante der l. c. uns gegebenen Beweise, welche dadurch interessant erscheint, dass sie von dem Hülfstheorem 29), Bd. 1, S. 299 keinen Gebrauch macht, desselben enträt. Der
Zusatz
1 zu
Def.
(6) knüpft an die Voraussetzungen:
30
×
)
a a
1
= 0,
a
+
a
1
= 1,
30
+
)
30
×
')
a a
1
' = 0,
a
+
a
1
' = 1,
30
+
')
die Behauptung:
a
1
' =
a
1
,
und wird von R.
Grassmann
wie folgt
bewiesen
. Nach Th. 21
×
), der Voraussetzung, 30
+
'), Prinzip III
×
, der Voraus- setzung, 30
×
) und Th. 21
+
) haben wir:
a
1
=
a
1
. 1 =
a
1
(
a
+
a
1
') =
a
1
a
+
a
1
a
1
' = 0 +
a
1
a
1
' =
a
1
a
1
'
und ebenso — nur 30') mit 30) vertauscht:
a
1
' =
a
1
' . 1 =
a
1
' (
a
+
a
1
) =
a
1
'
a
+
a
1
'
a
1
= 0 +
a
1
'
a
1
=
a
1
a
1
',
also
a
1
' =
a
1
kraft Th. 4), q. e. d. Das Th. 31)
(
a
1
)
1
=
a
wird so bewiesen. Nach Th. 21
×
), 30
+
), Pr. III
×
, Th. 30
×
) und 21
+
) ist:
(
a
1
)
1
= (
a
1
)
1
. 1 = (
a
1
)
1
{
a
+
a
1
} = (
a
1
)
1
a
+ (
a
1
)
1
a
1
= (
a
1
)
1
)
a
+ 0 = (
a
1
)
1
a
,
a
=
a
. 1 =
a
{
a
1
+ (
a
1
)
1
} =
a a
1
+
a
(
a
1
)
1
= 0 +
a
(
a
1
)
1
= (
a
1
)
1
a
,
also (
a
1
)
1
=
a
wieder nach Th. 4), q. e. d. Das Hülfstheorem 29) ist gleichwol von R.
Grassmann
in
5
p. 13 implicite gegeben (siehe die Ergänzung unsres Literaturverzeichnisses am Schlusse des vorliegenden Bandes).
Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
Seite 352. Auch bei dem Beweis der Theoreme 36)
De Morgan’
s, wo wir uns nochmals auf das Hülfstheorem 29) beriefen, würde dieses sich entbehren lassen mittelst folgender Variante der Beweisführung [bei der wir uns auch auf das Distributionsgesetz 27) nun schon berufen dürfen] — z. B. links vom Mittelstriche.
Behauptung: Th. 36
×
) (
a b
)
1
=
a
1
+
b
1
.
Beweis
. Nach 21
×
), 30
+
), III
×
, 27
×
), 30
×
) und 21
+
) ist:
a
1
+
b
1
= (
a
1
+
b
1
) . 1 = (
a
1
+
b
1
){(
a b
) + (
a b
)
1
} = (
a
1
+
b
1
)
a b
+ (
a
1
+
b
1
) (
a b
)
1
= =
a
1
a b
+
b
1
a b
+ (
a
1
+
b
1
) (
a b
)
1
= 0 + 0 + (
a
1
+
b
1
) (
a b
)
1
= (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
)
und nachdem aus dem Zusatz zu Th. 33
+
), Bd. 1, S. 308 erkannt worden, dass
a
1
+
b
1
+
a b
= 1 ist — indem ja die linke Seite hier
=
a
1
+
a b
1
+
a b
=
a
1
+
a
(
b
1
+
b
) =
a
1
+
a
. 1 =
a
1
+
a
sein muss — hat man auch nach 21
×
), diesem Ergebniss, 27
×
) etc. wie vorhin:
(
a b
)
1
= (
a b
)
1
. 1 = (
a b
)
1
{
a
1
+
b
1
+
a b
} = (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
) + (
a b
)
1
a b
= = (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
) + 0 = (
a b
)
1
(
a
1
+
b
1
),
sonach
a
1
+
b
1
= (
a b
)
1
kraft Th. 4), q. e. d. Ähnlich rechts vom Mittelstriche in etwas kürzerer Darstellung haben wir — zunächst wegen
a
+
b
+
a
1
b
1
= 1:
(
a
+
b
)
1
= (
a
+
b
)
1
{
a
+
b
+
a
1
b
1
} = (
a
+
b
)
1
a
1
b
1
,
a
1
b
1
=
a
1
b
1
{
a
+
b
+ (
a
+
b
)
1
} =
a
1
b
1
(
a
+
b
)
1
,
als Beweis des Theorems 36
+
): (
a
+
b
)
1
=
a
1
b
1
. Man sieht jedoch auch, wie durch das Vorannehmen des Hülfs- theorems 29) alle jene Beweisführungen (von uns) vereinfacht wurden. Höchst interessant ist auch noch der Beweis, welchen Herr
Peirce
5
p. 37 für die
Theoreme
36) gibt. Zu dem Ende hat man sich dessen Th. 41) ihnen vorausgeschickt zu denken, für welches wir ja in der That Bd. 1, S. 364 auch einen Beweis gegeben haben, der von den Theoremen 36) unabhängig ist und sich als auf den spätesten Satz nur auf das Th. 33) berief. Nach
Peirce
hat man für die bekannten Formeln
De Morgan’
s
Th. 36) (
a b
)
1
=
a
1
+
b
1
(
a
+
b
)
1
=
a
1
b
1
den folgenden
Beweis
. Nach Th. 30) ist:
(
a b
) (
a b
)
1
= 0
1 = (
a
+
b
) + (
a
+
b
)
1
oder wegen Def. (1) und dem Assoziationsgesetze 13):
a b
(
a b
)
1

0
1

a
+
b
+ (
a
+
b
)
1
.
Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht den Faktor
a
(von links) nach rechts, | das Glied
a
(von rechts) nach links, so kommt:
b
(
a b
)
1

0 +
a
1
=
a
1
a
1
. 1 =
a
1

b
+ (
a
+
b
)
1
und wenn darnach ebenso der Term
b
hinübergeschafft wird:
(
a b
)
1

a
1
+
b
1
a
1
b
1

(
a
+
b
)
1
,
womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er- scheinen. Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet
Peirce
den Schluss der Konversion durch Kontraposition — cf. Th. 37), Bd. 1, S. 357 — an auf die Theoreme 6)
Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
a b

a
,
a b

b
,
a

a
+
b
,
b

a
+
b
,
wonach wir haben:
a
1

(
a b
)
1
(
a
+
b
)
1

a
1
b
1

(
a b
)
1
(
a
+
b
)
1

b
1
und sich nach Def. (3) diese noch ausstehenden Subsumtionen:
a
1
+
b
1

(
a b
)
1
(
a
+
b
)
1

a
1
b
1
ergeben, somit die Sätze Th. 36) kraft Def. (1) bewiesen wären. Schade nur, dass wir zum Beweis unsres soeben gebrauchten Theo- rems 37) selbst der Theoreme 36) bedurften — sonach hier blos ein circulus in demonstrando vorlag — und dass Herrn
Peirce’
s blos auf den Aussagenkalkul zugeschnittene Deduktion jener Kontrapositions- regel sich auf den Klassenkalkul nicht übertragen zu lassen scheint! Ich verhehle mir keineswegs, dass in der späten Stellung, welche wir dem Theorem 37) (
a

b
) = (
b
1

a
1
) ungeachtet seiner Einfach- heit und seines hohen Grades von unmittelbarer Evidenz in dem Systeme unsrer Theorie anweisen mussten, sich
möglicherweise
noch eine Unvoll- kommenheit von deren, obzwar völlig korrekten, systematischem Auf- baue kund gibt. Wir hatten uns genötigt gesehen, zu dessen Beweise uns auf die Theoreme 20), 32) und 36), die von Gleichungen handeln, zu berufen, wogegen es natürlicher erschiene, namentlich das ent- sprechende Kontrapositionstheorem 32) für Gleichungen: (
a
=
b
) = (
a
1
=
b
1
) umgekehrt kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Ob aber solch umgekehrter Weg auch durchaus gangbar, ob es möglich ist, in seinem Verfolge ohne
mehr
oder verwickeltere Prinzipien zu postuliren als die sind, mit denen wir ausgekommen, das ganze Gebäude in gleicher Lückenlosigkeit und Korrektheit zu errichten — dies zu entscheiden müssen wir künftigen Forschungen und eventuell begabteren oder glücklicheren Denkern überlassen.
Seite 356, Zeile 4 v. u. st.
a
l.
a
1
.
„ 377. Zu Aufgabe
μ
) macht Herr
Wilhelm Rudeck
in Glatz i. Schles. die treffende Bemerkung, dass man, um die Gültigkeit der Subsumtion
a c
1

a b
1
+
b c
1
auf schuellstem Wege einzusehen, blos das Prädikat derselben gemäss Th.
ι
), Bd. 1, S. 376 in
b c
1
+
c
1
a
+
a b
1
umzuschreiben braucht, wonach sie sich dann in der That kraft Th. 6
+
) unmittelbar und elegant ergibt.
„ 379, Zeile 3 v. u. könnte nach einer Bemerkung von
Lüroth
das
Peirce’
sche
Theorem
v
)
(
a b

c
+
d
)

(
a c
1

b
1
+
d
)
aus dessen Theoremen:
ο
×
) (
a b

c
)

(
a c
1

b
1
) und
ο
+
) (
a

b
+
c
)

(
b
1

c
+
a
1
), ja schon aus einem von ihnen, z. B. dem erstern
ο
×
), etwa wie folgt abgeleitet werden:
Wenn
a b

c
+
d
ist, so folgt nach jenem
a
(
c
+
d
)
1

b
1
oder
a c
1
d
1

b
1
und dies, durch beiderseitiges Addiren verbunden mit der aus Th. 6
×
) ohnehin selbstverständlichen Subsumtion
a c
1
d

d
gibt:
a c
1

b
1
+
d
, q. e. d.
„ 384 möchte ich noch als ein paar geeignete Exempel:
a x
+
b x
1
+
a b
1
+
a
1
b
=
a
+
b
,
a b
+
b
(
x
+
a
1
) +
a
(
y
+
b
1
) =
a
+
b
unter
χ
) mit eingereiht wissen.
„ 391, Zeile 16 v. o. oder u. st. Th. 15
×
) l. Th. 17
×
).
„ 542, „ 17 v. u. st. dieselbe l. diese.
„ 553 sq. Herr
Macfarlane
macht mich darauf aufmerksam, dass ich bei der 30.
Aufgabe
den Wortlaut seiner zweiten Prämisse nicht in seinem Sinne verstanden, anstatt der seinigen also eine etwas andere Aufgabe
Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
behandelt und gelöst habe. Den Grund, weshalb mir solches entgehen durfte, wird man in meiner Schlussbemerkung zu der Aufgabe (auf S. 554) angedeutet finden.
Das Missverständniss ist aber selbst ein lehrreiches, indem es durch einen Doppelsinn der Konjunktion resp. Präposition „ausgenommen“, „ohne“ veranlasst worden, somit geeignet ist, solchen Doppelsinn zutag zu fördern. Nach Herrn
Macfarlane’
s Angabe sollten die
d x
1
mit Ausnahme der
e
1
y
1
einerlei sein mit den
f
. Ich verstand dies in dem gewöhnlichen, auch Bd. 1, S. 488 auf 489 zur Sprache gebrachten Sinne, wonach man sagen kann: „die Europäer ohne die Russen“, ob- wol die Russen nicht alle auch Europäer sind, und folglich von diesen stricte nicht ausgenommen werden können. Herr
Macfarlane
wollte aber zugleich damit gesagt haben, dass die
e
1
y
1
auch wirklich von den
d x
1
ausnehmbar, in diesen also enthalten sein sollten; als zweite Prä- misse beabsichtigte er die Gleichung
d x
1
—
e
1
y
1
=
f
, zufolgedessen also zu unserm Ansatze:
d x
1
(
e
+
y
) =
f
noch die Valenzbedingung jener linkseitigen Differenz in Gestalt von
e
1
y
1

d x
1
hinzuzutreten hat. Dies bewirkt nun blos den Hinzutritt des Gliedes (
d
1
+
x
)
e
1
y
1
zum Polynom unsrer vereinigten Gleichung, S. 553, Z. 2 v. u. und hat — abgesehen vom Hinzukommen hie und da eines Terms auch bei den Zwischenrechnungen — blos die Folge, dass sich unsre Endergebnisse für die Elimination und Berechnung von
x
und
y
wie folgt modifiziren. Zum Polynom der auf 0 gebrachten Resultante kommt nunmehr der Term
b
1
c
1
d
1
e
1
, zum Systeme der resultirenden Relationen also noch diese: 1

b
+
c
+
d
+
e
hinzu; ebenso kommt zu dem von uns ge- gebnen Major (Prädikat) von
x
der Faktor
b
+
c
+
e
hinzu, sodass der- selbe in {
a
1
(
b
+
c
) +
c
}
f
1
übergeht; und endlich ist zum Minor (Sub- jekt) von
y
das Glied
e
1
c
als weiterer Summand hinzuzufügen. Damit besitzt der Leser nun zwei Übungsaufgaben, statt einer. Die in meiner Schlussbemerkung enthaltene Kritik des von Herrn
Macfarlane
zur Lösung angewendeten Verfahrens aber bleibt auch für die modifizirte Aufgabe leider in vollem Umfange bestehen.
Seite 579, Zeile 7 v. u. st.
a
1
c
1
= l.
a
1
c
1

.
„ 582, „ 20 v. o. st.
m p
l.
m
×
p
.
„ 589, zum zweiten Absatze (gleichwie schon zu S. 559) ist anzuführen, dass die vom Verfasser abgegebenen Urteile über
MacColl’
s „Methode(n)“ in Bd. 2, S. 305 noch eine wesentliche Modifikation erfahren (vergl. demnächst auch den Rückblick im § 54).
„ 601, Zeile 1 v. o. st. § 24 l. § 23.
„ 629, „ 13 v. u. st. Operationen l. Operation.
„ 642, „ 14 v. o. st.
E
1
= 0 l.
E
1

0.
„ 664, „ 14 v. o. st. 1 l. 1.
„ 671 ist es zu meinem grössten Bedauern
nicht angeführt
, dass die von
Jevons
noch mangelhaft vollzogene Aufstellung der Typen der mög- lichen universalen Aussagen über
drei
Klassen oder Begriffe, welche ich l. c. verbessert abgeleitet,
zuvor
und erstmals richtig — wenn auch ohne Herleitung — von Miss
Ladd
(Frau
Franklin
) in
1
gegeben war (p. 67 und 68). Ein Fehler im Texte auf p. 67, wo die Anzahl als twenty-
six
(statt twenty-
two
) angegeben erscheint, hatte mich ver- leitet, die Darlegung der begabten Verfasserin nicht, wie sie es ver- diente, genauer anzusehen. Nachdem ich jedoch bei abermaliger Revi- sion nach dem Erscheinen meines Bd. 1 der Priorität jener Forscherin inne geworden, hatte ich mich beeilt, dieselbe in einer Note
11
in Bd. 36 der Mathematischen Annalen unter Darlegung des Sachverhaltes anzuerkennen, und ist es mir tröstlich, auch hier für dieselbe eintreten zu können.
„ 680, Zeile 12 v. u. streiche das Wort: simultanen.
„ 685, „ 13 v. u. st.
a
1
+
c
1
l.
b
1
+
c
1
.
„ 686, „ 14. v. u. st.
E
l.
A
und
E
.
„ 703, „ 14 v. o. sind die Worte „nun verstorbenen“ zu streichen. Einer
Fernere Berichtigungen und Nachträge zum ersten Bande.
irreführenden Nachricht zufolge ist der Autor Dr.
Ludwig Dieffen- bach
, welcher munter im Kreise seiner Familie als Kreisgerichtsrat zu Lich im Grossherzogtum Hessen lebt, in Bd. 1 von uns todtgesagt worden, und gereicht es uns zu besondrer Freude, denselben wieder lebend melden zu können.
Seite 703, Zeile 6 v. u. st. quelque(s) l. divers.
„ 710, „ 1 v. u. st. incapities l. incapacities.
„ 711 wären auch Arbeiten von
Poretzki
(russisch) unserm Literatur- verzeichnisse einzureihen. Dies wird am Schluss der zweiten Abteilung unsres Bd. 2 geschehen und auch in § 54 auf solche eingegangen werden.
Berichtigungen zum zweiten Bande.
Seite 95, Titel des § 34. Die fünf auf
Gergonne
zurückgeführten Sphären- verhältnisse („Elementarbeziehungen“) werden von Herrn
Husserl
1, 2
als bekanntlich
Euler
zukommende bezeichnet. Ob dies berechtigt, konnte Verf. noch nicht entscheiden, da die ihm zugängliche
Kries’
sche Übersetzung von
Euler’
s Lettres gerade die Briefe über philosophische Gegenstände nicht enthält. Indessen hoffe ich, die Frage vor Abschluss des Bd. 2 zum Austrag zu bringen.
„ 227 unten hatte ich übersehen, dass Herr
Peirce
5
, p. 28 Fussnote, ein gleiches schon vor Miss
Ladd
statuirte.
„ 205 ‥ 216. Der besonders wichtige Unterfall des Haupttheorems
τ
) im § 41, der sich ergibt, indem man dort (Bd. 2, S. 209) die sämtlichen Glieder mit
x
1
fortlässt, m. a. W.
b
=
q
=
s
= … = 0 nimmt (oder aber umgekehrt alle mit
x
behafteten Glieder unterdrückt, d. h.
a
=
p
=
r
= … = 0 denkt) gebührt Miss
Ladd
(Frau
Franklin
)
1
, p. 45 und 46. Über diese in § 41 noch von mir übersehene Priorität wolle man demnächst auch den Rückblick im § 54 in der zweiten Ab- teilung des gegenwärtigen Bandes zu Rate ziehen.
VORLESUNGEN
ÜBER DIE
ALGEBRA DER LOGIK
(EXAKTE LOGIK).
Fünfzehnte Vorlesung
.
§ 28.
Übergang zum Aussagenkalkul. Taxirung von Aussagen nach ihrer Gültigkeitsdauer und Klasse der Anwendungsgelegenheiten.
Die bisherigen Betrachtungen des Gebiete- und Klassenkalkuls haben wir jeweils durch ein flächenförmiges, ein zweidimensionales Substrat illustrirt. Dass dieser Umstand nebensächlich ist, wurde in- dess schon in § 3 hervorgehoben; wir durften ebensogut eine höhere oder auch eine niedrere Mannigfaltigkeit wählen.
Ohnehin hat die Veranschaulichung kein wesentliches Moment bei dem Aufbau unsrer Disziplin gebildet. Wir haben deren Prinzipien einfach axiomatisch hingestellt, und gingen dann streng analytisch zuwerke; bei den auf diese Prinzipien gegründeten Schlüssen und Beweisen liess es sich durchweg vermeiden, dass jemals an die Anschauung appellirt werden musste. Ob — wie F. A.
Lange
meint — solche Anschaulichkeit bei den ersten Prinzipien wenigstens erforderlich war, um das Gefühl der Evidenz hervorzurufen, überliessen wir der Psychologie, zu entscheiden.
Veranschaulichungsmittel wurden von uns nur nebenher, aus didak- tischen Gründen herbeigezogen, und in dieser Weise werden wir auch fortfahren uns zu verhalten.
Wenn es (demnach) auch nach wie vor theoretisch unwesentlich bleibt, so wird es doch in erzieherischer Hinsicht von Wichtigkeit — um zu einer richtigen Auffassung des Folgenden erleichternd vorzu- bereiten — dass wir die Aufmerksamkeit nunmehr auf eine Mannig- faltigkeit von
einer
Dimension, auf eine „
lineare
“ Mannigfaltigkeit kon- zentriren, die Deutung der Sätze des Gebietekalkuls in einer solchen
einüben
.
Verstehen wir namentlich unter der identischen 1 die
Mannig- faltigkeit der Punkte einer nach beiden Seiten unbegrenzten geraden Linie
, so gelten wiederum alle bisherigen Sätze.
Unter
a
,
b
, ‥ werden wir jetzt irgendwelche Punktgebiete dieser Geraden zu verstehen haben.
Ein solches Gebiet wird im allgemeinen sein ein System von inner- halb dieser Geraden liegenden von einander getrennten Strecken nebst
Schröder
, Algebra der Logik. II. 1
Fünfzehnte Vorlesung.
irgend welchen dazwischen oder ausserhalb dieser Strecken auf der Geraden befindlichen isolirten Punkten. Unter Umständen kann auch ein nach der einen Seite unbegrenzter Strahl, einer der beiden „Endstrahlen“ der Geraden (von beliebigem Punkte an gerechnet) zu dem Gebiete gehören, oder auch zwei solche Endstrahlen (die dann nicht übereinandergreifen sollen) aus zwei verschiedenen Anfangspunkten nach rechts und links in’s Unendliche gehend.
Auch für jeden einzelnen Anfangs- oder Endpunkt einer zu dem Gebiet gehörigen Strecke resp. eines Endstrahles ist es als ausgemacht vorauszusetzen, ob er zu dem Gebiet gerechnet werden solle oder nicht; man kann z. B. sämtliche begrenzenden Punkte in das Gebiet einschliessen oder aber, sie alle ausschliessen. [In Gestalt der reellen Zahlen verfügt die Mathematik über die Mittel, wenn zwei Punkte der Geraden als bekannt vorausgesetzt werden, die dann etwa mit der arithmetischen 0 und 1 benannt werden mögen, jeden dritten Punkt der Geraden vollkommen zu bestimmen, seine Lage so unzweideutig zu beschreiben, dass er auch mit ihm noch so nahe stehenden Punkten unmöglich verwechselt werden kann.]
Die isolirten Punkte können auch in der Nähe gewisser Stellen, ja sogar längs gewisser Strecken, sich unendlich dicht häufen ohne doch da- selbst ein stetig zusammenhängendes Gebiet auszufüllen; ebenso lassen sich aus einer Strecke vereinzelte Punkte fortlassen, als nicht zu dem Gebiet gehörig hinstellen, das im übrigen die Strecke enthalten soll, u. s. w. Es muss der „Mannigfaltigkeitslehre“ überlassen bleiben, alle hier denkbaren Möglichkeiten vollständig aufzuzählen und sie zu klassifiziren.
Die identische Eins bedeutet
hier
, wie schon gesagt, die ganze unbegrenzte Gerade als das umfassendste der in ihr enthaltenen Punkt- gebiete. Das Nullgebiet — hier schlechtweg als identische Null mit 0 zu bezeichnen — ist nicht etwa ein Punkt, sondern es enthält
keinen
Punkt der Geraden, und da es ein Punktgebiet
der Geraden
sein soll, so ist es ein leeres Gebiet, hat zur Bedeutung: „nichts“.
Es mag uns die Figur:
Fig. 1.
ein Gebiet der geschilderten Art veranschaulichen in der als Horizontale verlaufenden Geraden. Die Pfeilspitze rechts soll andeuten, dass der letzte Strich als „Endstrahl“ unbegrenzt nach rechts fortzusetzen sei; wo die Striche stumpf endigen, soll der Endpunkt der durch sie markirten Strecke dem Gebiete eingerechnet sein, wo sie spitz auslaufen, ihm abgerechnet werden; das Gebiet enthält vierzehn isolirte Punkte (die Mittelpunkte der sie hier markirenden Tupfen), auch soll in der zweiten Strecke (von links) ein isolirter Punkt (nur die Mitte der Lücke) fehlen.
Gleichwie früher für die Flächen meistens Kreise genommen wurden, so soll aber jetzt zur Veranschaulichung eines Gebietes der Einfachheit wegen vorzugsweise eine einfach zusammenhängende Strecke gewählt werden (wo nicht anders bemerkt, mit Einschluss von deren Endpunkten).
§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.
Eine Subsumtion
a

b
wird dann zu veranschaulichen sein durch die Alternative zwischen den beiden Figuren:
Fig. 2.
Fig. 3.
Und wenn zwei Strecken
a
,
b
einen Teil gemein haben, wie in Fig. 4, so wird sich deren identisches Produkt
a b
als ebendieser gemeinsame Teil darstellen, und ihre identische Summe
a
+
b
als die Strecke zu welcher beide miteinander verwachsen, zusammenfliessen, so wie es die genannte Figur versinnlicht.
Fig. 4.
Fig. 5.
Haben aber, wie in Fig. 5, die beiden Strecken keinen Teil (auch nicht einen Endpunkt) gemein, so ist ihr Produkt
a b
= 0, mithin einer wirklichen Veranschaulichung überhaupt nicht fähig, weshalb wir dies Produkt auch nicht in die Figur eingetragen haben; ihre identische Summe
a
+
b
ist dann ein Gebiet, ausschliesslich bestehend aus den beiden getrennten Strecken als Teilen. (Hätten die Strecken
a
,
b
nur einen Endpunkt gemein, so würde in diesen als einen iso- lirten Punkt, das Gebiet
a b
sich zusammenziehen.)
Die Negation
a
1
einer Strecke
a
bedeutet endlich die ganze „Aussenstrecke“, ohne die Endpunkte, von jener — bestehend aus den beiden durch die Strecke
a
getrennten nach links und rechts von ihren Begrenzungspunkten in’s Unendliche gehenden Endstrahlen unsrer Geraden 1, was die Figur veranschaulicht:
Fig. 6.
Umgekehrt ist die „Innenstrecke“
a
auch die Negation dieses
a
1
.
Von der Betrachtung unsrer
Geraden
, als einer räumlichen ein- dimensionalen Mannigfaltigkeit, können wir übergehen zu derjenigen einer andern — gleich ihr unbegrenzten — Mannigfaltigkeit von
einer
Dimension, welche nicht räumlich ist. Eine solche ist die
Zeit
.
Den Punkten der Geraden lassen sich
geradezu
die Elemente der Zeit
„
ein-eindeutig
“
zuordnen
, d. h.
gegenseitig eindeutig
, m. a. W.
so
zu- ordnen, dass einem jeden Punkt (oder Element) der Geraden ein be- stimmtes Zeitelement, ein bestimmter
Moment
oder
Augenblick
aus-
1*
Fünfzehnte Vorlesung.
schliesslich entspricht, und umgekehrt auch jedem Zeitmomente je ein bestimmter Punkt der Geraden. Zu dem Ende braucht man sich nur die Gerade etwa von einem sich „gleichförmig“ bewegenden Punkte — z. B. von links nach rechts hin durchlaufen zu denken.
Den Punkt mit konstanter, mit in der Zeit sich gleich bleibender, unveränderlicher Geschwindigkeit sich bewegen zu lassen, also dass er in gleichen Zeitabschnitten auch immer unter sich gleiche Wegestrecken be- schreibt, ist nicht wesentlich für unsre Betrachtung, es ist dies nur die nächstliegende aber auch die einfachste und bequemste der zur Verfügung stehenden Vorstellungsweisen. Genügen würde schon die Annahme, dass unser Punkt in einer irgendwie bestimmten Weise nur überhaupt die ganze Gerade durchlaufe, ohne aber jemals stille zu stehen oder gar um- zukehren, rückläufig zu werden, also in einem bestimmten Sinne, in der gleichen Richtung stetsfort sich bewegend — so etwa, dass er jeden rechts von der Stelle, wo er sich soeben befindet in endlicher Entfernung liegenden Punkt auch in endlicher Zeit erreichen wird, und ebenso auch jede angeb- bare zur linken von jener befindliche Stelle vor endlicher Zeit passirt haben muss.
Der Ort auf der Geraden, wo der Punkt sich eben befindet ent- spricht alsdann dem gegenwärtigen Augenblick, jede links davon be- findliche Stelle einem bestimmten Moment der Vergangenheit, und jede zur Rechten einem solchen der Zukunft — und umgekehrt. Man kann irgend einen Punkt auf der Geraden betrachten als den Träger, das
Bild
desjenigen Augenblicks, in welchem der sich bewegende Punkt durch ihn hindurchging, -geht oder -gehen wird, und mit irgend einem Zeitmoment in der Vergangenheit, als Gegenwart, oder in der Zukunft, ist auch zugleich ein Punkt der Geraden gegeben als der- jenige Ort, an welchem der sich bewegende Punkt sich in ihm befindet. Es ist bezeichnend für die Berechtigung und Landläufigkeit dieser Zu- ordnungsweise, dass die Sprache geradezu von „
Zeitpunkten
“ redet.
Wenn es nicht von vornherein als selbstverständlich erschiene, so müsste es auf diesem Wege einleuchten und wird es obendrein dadurch
anschaulich
, wie der identische Kalkul mit allen seinen Gesetzen auch auf
Gebiete von Zeitpunkten
anwendbar ist.
Zur Versinnlichung etwaiger auf solche bezüglichen Betrachtungen mittelst Figuren werden wir natürlich nur zu dem erwähnten Bilde, zu der Geraden, unsre Zuflucht nehmen.
Die Eins bedeutet uns aber jetzt die ganze Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte, „
die ganze Zeit
“, welche sich zusammensetzt aus der nach rückwärts unbegrenzten
Vergangenheit
, der
Gegenwart
und der nach vorwärts unbegrenzten
Zukunft
, und mit
einem
Worte auch
Ewigkeit
genannt werden mag.
§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.
Zu ihrer bessern Unterscheidung von der bisherigen, eine räum- liche Mannigfaltigkeit darstellenden oder auch im Klassenkalkul ver- wendeten (und auch noch fernerhin in dieser Weise zu verwendenden) 1, möge die Eins, als Symbol der Ewigkeit gedeutet, mit einem Tupfen versehen, die Ewigkeit durch das Zeichen 1߭ hinfort dargestellt werden.
Von einer Aussage, welche für diese ganze Zeit wahr zu sein be- ansprucht, wird zu sagen sein, sie gelte „
immer
“, „
stets
“, und kann also die „Gültigkeitsdauer“ einer solchen Aussage durch 1߭ ausgedrücktwerden.
Der identischen Null aber wird jetzt eine Zeitbestimmung ent- sprechen, welche die Sprache mit dem Adverbium „
nie
“, „
niemals
“ wiedergibt. Zur Unterscheidung von der 0 des Klassenkalkuls oder auch des Kalkuls mit Gebieten überhaupt könnte man diese Null in der Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte ebenfalls mit einem Tupfen ver- sehen, sie mit 0̇ darstellend; indessen erscheint es mir unbedenklich, dies Unterscheidungsmerkmal wegzulassen: die gedachte Klasse, das Gebiet ist hier wie dort ein leeres.
Einer Aussage die „Gültigkeitsdauer“ 0 zuschreiben heisst nun also, dieselbe für eine jederzeit ungültige, für eine niemals — auch nicht einen Augenblick — gültige erklären.
Ein ganz beliebiges Gebiet von Zeitpunkten bestehend vielleicht aus mehreren getrennten Zeiträumen oder auch vereinzelten Augen- blicken, so wie es z. B. die Fig. 1 veranschaulichen würde, könnten wir jetzt kurz ein „Zeitgebiet“ nennen. Dafür werden wir aber manchmal auch den Namen „(Zeit-)
Dauer
“ oder „Zeitraum“ selbst gebrauchen, auch wenn das Gebiet (wie in dem angeführten Beispiele) aus getrennten Zeitabschnitten, Perioden oder Epochen, eventuell nur isolirten Zeitpunkten zusammengesetzt sein sollte. Namentlich werden wir in diesem weiteren Sinne — da „Gültigkeitszeitgebiet“ unbehülf- lich erscheint — „Gültigkeitsgebiet“ aber noch einen andern Sinn liefert, Nebenbedeutungen hätte, von der „
Gültigkeitsdauer
“ einer Aus- sage nunmehr zu sprechen haben [ohne jedoch im geringsten die Vor- stellung von einer metrischen Beziehung mit diesem Wort zu verknüpfen].
Unstreitig haben schon alle bisherigen Betrachtungen ein „
zeit- liches
Moment“ enthalten, wenn dieses auch psychologisch sehr in den Hintergrund des subjektiven Bewusstseins trat; sie waren in gewisser Weise doch mit dem Zeitbegriff verwoben.
So wurden namentlich oft Voraussetzungen als
gleichzeitig
anzu- nehmende hingestellt. Z. B. „Wenn
a

b
und
zugleich b

a
ist, werde
a
=
b
geschrieben“ — so lautete die Definition (1) der Gleich-
Fünfzehnte Vorlesung.
heit; „Wenn (gleichzeitig)
a

b
und
b

c
ist, so ist
a

c
(und muss es sein)“ — das Prinzip II.
Wenn
c

a und c

b
, so forderte
c

a b
zu schreiben die Def. (3
×
), und auch hier liegt schon in der Konjunktion „und“ die Forderung der
gleichzeitigen
Adoptirung der Prämissen. Etc.
Zudem ist zu bemerken, dass unsre Überlegungen sich häufig bewegten in der Form von „
hypothetischen
“ Urteilen, die mit den Kon- junktionen „Wenn …, so …“ zwei Aussagen verknüpfen. Die Par- tikel „
wenn
“ ist aber etymologisch und historisch sehr nahe verwandt mit der Zeitpartikel „
wann
“. Man kann sie in den angeführten Bei- spielen (sowie überhaupt) geradezu durch letztere ersetzen, ohne dass dabei die Tragweite der Urteile, ihr logischer Gehalt, irgend eine Änderung erlitte. Wohl aber wird allerdings der lebendige psycho- logische Gehalt der Sätze dabei eine Modifikation erleiden, indem eben dadurch jenes versteckt gewesene zeitliche Moment mehr in den Vorder- grund des Bewusstseins geschoben wird — vielleicht auch auf Kosten des „apodiktischen“ Charakters jener Sätze: was vorher lebhaft als eine Denknotwendigkeit empfunden wurde, wird, falls wir „wann“ statt „wenn“ sagen, nur mehr „assertorisch“ als ein Erlebniss, eine That- sache der Wahrnehmung registrirt (bei II z. B.).
Endlich beanspruchten ja alle unsre Theoreme,
stets
gültig zu sein. Es ist
immer a b

a
nach Th. 6
×
). Und so weiter.
Im übrigen blieb das Bewusstsein ihrer Zeitlichkeit bei den Aus- sagen wol latent, verschwommen; es schlummerte die Aufmerksam- keit auf
dieses
Merkmal.
Wollen wir uns aber zu einer
exakten
Theorie der Urteile (wie sie der Aussagenkalkul darstellen wird) nunmehr erheben, so erscheint es geboten, auf jenes „zeitliche Moment“ sorgfältigst zu achten und mit jeder Aussage die Vorstellung einer bestimmten
Gültigkeitsdauer
derselben (oder eines nachher zu erwähnenden Surrogates, wonicht Äquivalentes, für diesen Begriff) zu verknüpfen.
Irgend welche Aussagen — seien es kategorische, hypothetische, disjunktive oder andere
Ob es noch andere Urteilsformen ausser den aufgezählten gibt, ist strittig, fraglich. Mir scheint z. B. der als Dr.
Fischer’
s Ausspruch bekannte und be- rüchtigte Satz:
„Afrika ist, wo es
(für den Europäer)
gesund ist, unfruchtbar, wo es fruchtbar ist, ungesund“
— dessen materielle Wahrheit wir dahin gestellt sein lassen — zu keiner der drei erwähnten Abteilungen eigentlich zu gehören.
— könnten auch durch Buchstaben des grossen lateinischen Alphabets repräsentirt werden und ihre Gültig-
§ 28. Zum Aussagenkalkul.
keitsdauern durch die
entsprechenden
Buchstaben des kleinen, wo eine Verwechselung beider irgend zu besorgen stünde.
Eine
dem Sinne nach vollkommen bestimmte
Aussage ist entweder
wahr
(richtig, gültig, berechtigt) oder
nicht wahr
(falsch, ungültig, unzulässig).
Ist die Aussage sinnlos, oder bestehen Zweifel über den Sinn, die Auslegung derselben, so lässt sich dies keineswegs behaupten; im letztern Falle kann sie z. B. wahr sein im einen und falsch in einem andern Sinne.
Viel Streit entspringt aus mangelhafter Verständigung über den Sinn der strittigen Aussagen, und schon darum ist es wichtig, über die Schwächen unsres Verständigungsmittels, der Wortsprache, zu klarem Bewusstsein zu kommen, indem man an sie anlegt den unveränderlichen Maasstab eines abso- lut konsequenten, bestimmten und exakten Ausdrucksmittels, zu welchem wir die Formelsprache unsres Kalkuls auszubilden haben. Wer einmal jene Schwächen erkannt hat, wird auch weniger leicht durch die Ungeduld sich abhalten lassen, bevor er in Streit eintritt, jene erforderliche Ver- ständigung anzustreben.
Eine Aussage kann z. B. wohl Subjekt einer andern sein, oder — noch allgemeiner — überhaupt ein Objekt, auf welches die gedachte zweite Aussage sich irgendwie bezieht; aber sie darf nicht
sich selbst
zum Gegen- stande haben, sie darf insbesondre nicht als ihr eigenes Subjekt auftreten.
Von dieser Beschaffenheit wäre z. B. der isolirt hingestellte Satz: „Gegenwärtige Aussage ist unrichtig“, die von jemand ohne allen Bezug auf vorangegangene oder nachfolgende Aussagen für sich hingestellte Be- hauptung: „
Ich sage hiermit
eine Unwahrheit“.
„Ich lüge jetzt“ — bei Lotze — in Vereinfachung des alten Sophisma’s von dem Kretenser, welcher behauptet haben sollte, dass alle Kretenser beständig lögen — was nur möglich und wahr zugleich sein konnte, wenn er es selbst nicht glaubte.
Solche Aussage kann nicht wahr sein, weil es dann eben keine Unwahrheit, sondern eine Wahr- heit wäre, die gesagt worden, und sie kann auch nicht unwahr sein, weil es dann eben zur Wahrheit würde, dass sie unwahr ist.
Diese
Aussage ist also in der That weder wahr noch falsch; dieselbe ist aber
sinnlos,
indem sie sich auf einen Sinn beruft, solchen als bekannt voraussetzt, den sie selbst erst geben, erklären sollte, aber, wie erkannt, unmöglich haben kann. Die Aussage stempelt hier überdies mit Denk- notwendigkeit sich zu einer solchen. — Ebenso sinnlos würde auch die andre Aussage (isolirt hingestellt) sein: „Ich sage hiermit die Wahrheit“. Nur würde die letztere in beregter Hinsicht sich sozusagen indifferent verhalten, den Sinn blos ewig vermissen lassen.
Im Zusammenhang hiermit steht es, dass wenn etwa jemand wetten wollte, dass er die
eben damit eingegangene
Wette verlieren (desgleichen, falls man es vorzieht, dass er sie gewinnen) würde, solche Wette als eine gegenstandslose niemals zum Austrag gebracht werden könnte.
Wir streifen hierbei auch den Fall des Sophisten Euathlos, der seinem Rechtslehrer Protagoras das Unterrichtshonorar zu bezahlen versprach, nach- dem er seinen ersten Prozess gewonnen haben würde, dann aber überhaupt
Fünfzehnte Vorlesung.
keinen Prozess führte bis ihn sein Lehrer auf Zahlung des Honorars ver- klagte. („In dem Prozesse musste in zwei verschiedenen Verhandlungen ein verschiedener Spruch gefällt werden. Zunächst war die Bedingung des Vertrages noch nicht eingetreten: Euathlus hatte
bis dahin
noch keinen Prozess gewonnen, war also
noch nicht
zur Bezahlung verpflichtet. Er musste also
diesen
Prozess gewinnen. Aber eben hierdurch veränderte sich die Sachlage und es musste dem Protagoras das Recht gewährt werden, auf Grund des
veränderten
Verhältnisses eine
zweite
Klage anhängig zu machen, die nunmehr zu seinem Vorteil entschieden werden musste“. Ueberweg
1
p. 360 sq.). Auf hier nur gestreifte Schwierigkeiten und die traditionellen logischen Paradoxien geht Mr. Peirce in
10c
mit grossem Scharfsinn ein.
Um den Sinn einer Aussage zu einem
vollkommen bestimmten
zu machen, ist nicht erforderlich, dass dieselbe über alles Erdenkliche, dass sie vollständige Auskunft gebe. Jede noch so ausführliche oder detaillirte Aussage, mag sie auch von Weisheit strotzen, ist nur ein verschwindend kleines Bruchstück aus der vollen Wahrheit, welche die ganze Wirklichkeit beschreibend umfassen müsste; sie ist und bleibt nur ein kurzer Auszug (an „abstract“), in welchem von einer ungeheuren Mehrheit von Nebenumständen, für die Untersuchung un- wesentlich erscheinenden Ereignissen, Verhältnissen und Beziehungen abgesehen, abstrahirt wird; ja sogar auch wesentliche Beziehungen verschwiegen, eventuell für fernere Aussagen aufgespart, der Fort- setzung der Untersuchung oder Mitteilung vorbehalten werden.
Ich kann darum nicht umhin, die Formel des deutschen Zeugeneides (wie ich sie wenigstens bei schöffengerichtlichen Verhandlungen kennen gelernt habe) nach welcher Zeuge einfach schwören muss
„nichts zu ver- schweigen“
(statt etwa: „nichts, was nach des Zeugen bestem Ermessen für die Untersuchung von Belang sein könnte“, oder vielleicht: „nichts, wonach er gefragt wird“) schon in logischer Hinsicht zu beanstanden.
All’ unser Wissen, nicht nur, sondern auch unser Aussagen bleibt Stückwerk. Bei den kategorischen Urteilen wenigstens — auf die andern kommen wir noch eingehend zu sprechen — scheint für die Bestimmtheit der Aussage es auszureichen, wenn Subjekt und Prädi- kat derselben wohldefinirte Klassen sind, deren Determination — mag sie näher auch in der Aussage selbst erst erfolgen — doch mittelst anderweitig schon bekannter Klassen, mittelst
gegebener
Begriffe er- folgt. [Bei dem Subjekt des oben angeführten Beispiels „Diese Aus- sage ist unwahr“, war solches — in der suppositio realis, d. h. wenn „diese Aussage“ nicht blos als grammatikalischer Satz, als Wortgefüge, sondern dem Sinne nach genommen wird — wie erkannt, nicht der Fall.]
Soll eine verständliche Aussage mit solchem bestimmten Sinne auch noch den Anspruch auf Wahrheit verbinden, so muss — ob zwar
§. 28. Zum Aussagenkalkul.
sie unvollständig, nur ein Bruckstück der Wahrheit bleibt — doch diejenige Auskunft wenigstens, welche die Aussage gibt, von ihr richtig gegeben sein, d. h. es muss möglich bleiben, mit der Phantasie oder auf Grund weiterer Forschungen, alles das, was die Aussage un- erwähnt und darum offen gelassen, sowie auch, was sie allenfalls aus- drücklich als unbestimmt hinstellte, wahrheitsgemäss noch nachzutragen, und zwar ohne dass ein Widerspruch zu ihr selbst entsteht. Die Praxis des Lebens kehrt sich nicht immer hieran, indem sie aus Rücksicht auf die Schwierigkeiten der Mitteilung, auf die Unmöglichkeit, alles Erforderliche auf einmal zu sagen, zuweilen gestattet, eine gemachte Aussage durch nachträgliche Anführung von Einschränkungen oder Ausnahmen teilweise wieder aufzuheben. In solchen Fällen ist jene erste Aussage, mag sie auch grammatikalisch bereits abgeschlossen sein, doch in logischer Hinsicht als eine unfertige anzusehen, welche erst mit dem Hinzutreten der Einschränkungen ihre Vollendung erhält.
Ich glaube mich hier mit diesen wenigen Andeutungen begnügen zu dürfen, wenn auch mit dem vollen Bewusstsein ihrer Unzulänglichkeit, indem ich mir nicht verhehle, dass es wol zu den schwierigsten Aufgaben gehören möchte, allgemein zu charakterisiren, wann eine Aussage sinnlos ist, wann da- gegen sie einen vaguen, wann einen ganz bestimmten Sinn besitzt, gleichwie im letzteren Falle, zu sagen, was es eigentlich heisst, dass sie wahr oder falsch sei.
Sinnlos ist z. B. die in unsrer fränkischen Provinz populäre Wetter- regel: „Sobald ein Stück blauen Himmels zu erblicken ist,
so gross,
dass der Schneider ein Paar Beinkleider daraus fertigen könnte, so gibt es an dem Tag noch schönes Wetter.“ Hier nämlich (wie auch, wenn etwa jemand sagte: „so gross wie eine Ellipse“) versagt die scheinbar gegebene Grössen- bestimmung, und wollte mit solchem Ausspruch der Volkswitz wol nur die Unsicherheit der Wetterprophezeiung überhaupt persifliren.
Ist die stets in einerlei Sinne verstandene, die Aussage
konstanten
Sinnes einmal wahr, so bleibt sie dies auch in alle Ewigkeit und musste es immer gewesen sein, sie gilt dann
stets
; ist sie falsch, so kann ihr auch zu keiner Zeit Wahrheit zukommen, sie ist dann
nie- mals
wahr. Die Gültigkeitsdauer einer derartigen Aussage ist demnach entweder die Ewigkeit 1߭, oder aber 0.
Wir werden künftig ganze Aussagen nicht selten mittelst Buch- staben darstellen. Bedeutet
a
die Aussage: „2 × 2 ist 4“, und
b
die Aussage: „2 × 2 ist 5“, so exemplifizirt uns
a
die (stets) wahre,
b
die (stets) falsche Aussage.
So oft wir eine Aussage
in Rechnung setzen
, und zwar einerlei, ob sie dabei durch einen Buchstaben vertreten, oder ob sie vollinhaltlich, detaillirt (in einer Klammer) angegeben wird, soll sie als ihre
Gültig- keitsdauer
verstanden, ausgelegt werden.
Fünfzehnte Vorlesung.
Für die obigen Beispiele dürfen wir demnach sagen, dass:
a
= 1߭ und
b
= 0
ist. Anstatt — wie hienach berechtigt — zu schreiben:
(2 × 2 = 4) = 1߭,
wird man aber kürzer die Behauptung 2 × 2 = 4, oder
a
selbst, ein- fach hinstellen. Wogegen die Falschheit der Behauptung, dass 2 × 2 gleich 5 sei, vorerst nicht einfacher darzustellen ist als mittelst des Ansatzes:
(2 × 2 = 5) = 0.
Bedeutet
c
die Aussage: „Die Masse der Welt ist konstant“ und
d
die Aussage: „Die Materie ist vergänglich“, so ist (nach den Grund- lehren der Physik) ebenso
c
= 1߭ und
d
= 0, die erstere nämlich wahr, die letztere falsch, und zwar nicht nur soeben, sondern überhaupt.
Man könnte gegen oben Gesagtes einwenden: der Ausspruch „Caesar wurde ermordet“ sei vor oder während seiner Ermordung noch nicht wahr gewesen, sei erst seitdem wahr. Wird das Tempus des Verbums festgehalten, so ist dieser Einwand auch sicherlich berechtigt. Allein dann haben wir, obzwar eine Aussage von grammatikalisch konstanter
Form
, von sich gleich bleibendem
Wortlaute
, doch gerade eben nicht eine solche konstanten
Sinnes
, indem das Tempus prae- teritum, auf welches mit der Verbalform „wurde ermordet“ hin- gewiesen wird, zu verschiedenen Zeiten eine verschiedene Bedeutung beansprucht.
Aus diesem Beispiel wird ersichtlich, dass ein
erzählendes
(eventuell auch ein beschreibendes) Urteil, soll es konstanten Sinn besitzen, mit seinem Verbum nicht an die
relative
Gegenwart (Vergangenheit oder Zukunft) d. i. die Gegenwart (etc.)
der Aussage
anknüpfen, darf, es darf m. a. W. nicht auf den Zeitpunkt, in welchem die Aussage fällt, sich beziehen, sondern es muss dasselbe vielmehr auf einen
absolut
be- stimmten Zeitpunkt oder Zeitraum verweisen, wofern es solchen nicht ganz unbestimmt lässt.
Letzteres wäre für unser Beispiel etwa der Fall, wenn wir sagten: Die Ermordung Caesar’s ist ein Ereigniss in der Wirklichkeit, ist (eine) historische Thatsache. Das andere, falls wir sagten: „Die Ermordung Caesar’s fällt in das Jahr 44 v. Chr.“ In dieser Fassung ist der Satz zu allen Zeiten wahr gewesen. Ebenso bei den Aussagen: „In die Jahre 1870 und 71 fällt ein deutschfranzösischer Krieg“, „Am 28. Mai 1900 findet eine ringförmige Sonnenfinsterniss statt“. Letzteres ist
§. 28. Schätzung von Aussagen nach den Zeiten ihrer Gültigkeit.
auch jetzt schon wahr, und brauchen wir hier nicht das Verbum in das Futurum, dort es nicht in das Präteritum zu setzen. Der Sprachgebrauch gestattet in solchen Fällen die Präsensform; doch ist zu bemerken, dass bei völliger Unbestimmtheit sowol, als auch bei
absolut
bestimmter Angabe eines Zeitraums oder Zeitpunktes, in welchen ein Ereigniss fällt, in dem ein Zustand währt, jede
Temporalflexion
des Verbums
überflüssig
ist, ja nachteilig wirken muss, präjudizirt, indem das Präsens z. B. doch Vergangenheit und Zukunft auszuschliessen scheint oder wenigstens sie unberücksichtigt lässt. (Vergl. Bd. 1, S. 153).
Nun kann aber in unsern Kultursprachen eine Aussage überhaupt nicht gegeben werden, ohne dass in ihr das Verbum in einem ganz bestimmten Tempus — sei es Präteritum, Präsens oder Futurum — steht, und somit gibt sich hier wieder einmal eine Unvollkommenheit der Wortsprache kund. Eine Armut, auch, derselben zeigt sich darin, dass sie zum Ausdruck von wesentlich verschiedenen Beziehungen doch der nämlichen Formen sich bedienen muss:
Es ist ein ganz anderes Präsens
, in welchem die Kopula unsrer Aussage steht, wenn wir sagen: „zwei mal zwei
ist
vier“, als wenn wir sagen: „es
ist
vier Uhr (Nachmittags, hiesiger Zeit am hiesigen Platze)“. Jenes ist das „aoristische“ Präsens: 2 × 2 ist nicht nur soeben = 4, sondern war es auch stets und wird es immer sein; da- gegen, wenn es soeben vier Uhr ist, so war es das vor einer halben Stunde noch nicht, und wird es demnächst nicht mehr sein.
Es scheinen mir neben den zugehörigen unterscheidenden Formen sogar auch die Namen zu fehlen für die verschiedenen Bedeutungen, die in Hin- sicht der Auslegung des Verbums nach seinem Tempus logisch unter- schieden werden müssen; ich wüsste wenigstens die zweite Art des Präsens im Gegensatz zur ersten, die ich — schon etwas gewagt — die „aoristische“ nannte
D. h. die „unbegrenzte“; Grammatiker sprechen auch von einer „
durativen
“ Bedeutung des Präsens und — bei Sentenzen — von einer „
gnomischen
“.
, nicht mit einem gebräuchlichen Namen zu benennen. Jedenfalls hat in beregter Hinsicht die altgriechische Sprache etwas schärfer unter- schieden, als unsere modernen Sprachen, indem sie für gewisse Tempora der Vergangenheit und Zukunft neben den gewöhnlichen auch aoristische Formen schuf.
Im wissenschaftlichen Interesse wäre wol zu wünschen, dass es neben dem gewöhnlichen Präteritum (mit seinen Abstufungen als Imper- fektum, Perfektum und Plusquamperfektum), dem Präsens und dem Futurum (nebst Abstufungen) auch ein
Tempus generale
(oder
aoristicum
) gäbe — behufs Vermeidung der Umständlichheit, dass man eigentlich: „war stets, ist, und wird stets sein“ (etc.) sagen müsste.
Fünfzehnte Vorlesung.
Und ferner — als praktisch vielleicht in noch höherem Maasse Bedürfniss — sollte man verfügen können über ein
Tempus indefinitum
oder
indeterminatum
, eine Temporalform, die offen,
unausgedrückt
lässt, ob von Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft die Rede; dieselbe wäre nicht nur da zu gebrauchen, wo, wie erwähnt, genauere in der Aussage enthaltene Zeitangaben die übliche Temporalflexion ihres Verbums als überflüssig, ja einseitig, unvollständig oder irreführend erscheinen lassen, sondern überhaupt, wenn es sich darum handelt, von Ereignissen in zusammenfassender Schilderung (erzählend, be- schreibend und eventuell vorhersagend) zu reden, die teilweise der Ver- gangenheit, vielleicht der Gegenwart und teilweise auch der Zukunft angehören mögen, bei denen es aber unbekannt oder nebensächlich ist, inwiefern oder in welchen Verhältnissen sie das eine thun, oder das andere.
Umstände, unter denen solches von Belang würde, können leicht schon bei der brieflichen Korrespondenz eintreten, wo die Gegenwart des Ab- senders eine andere ist, als die des Empfängers. Dass aber in den Wissen- schaften sich die erwähnte Armut der Wortsprache nicht schlimmer fühlbar gemacht hat, und deshalb fortbestehen konnte, erklärt sich unschwer aus der scharfen Sonderung jener in
historische
und
physikalisch-mathematische
Wissenschaften, bei deren ersteren es niemals gleichgültig erscheint, ob ein Ereigniss schon stattgefunden hat, oder erst stattfinden wird, wogegen die letzteren sich durchweg mit sozusagen „ewigen“ Wahrheiten beschäftigen und zu deren Ausdruck eben des aoristischen Präsens sich gewohnheits- mässig bedienen. Ihnen schliessen auch die
natur
historischen Disziplinen sich teilweise an.
Sollten (aber) in der Logik auch beschreibende oder erzählende Urteile, Aussagen über historische, gegenwärtige oder künftige That- sachen, als
Aussagen konstanten Sinnes
angesehen werden, so müssten wir sie uns allemal in der erwähnten unbestimmten Temporalform, eventuell versehen mit einer absoluten Zeitbestimmung, ausgedrückt
denken
.
Uns an das mit der Wortsprache Gegebene haltend gelangen wir dagegen zur Anerkennung des Vorkommens von Aussagen
variablen Sinnes
, deren Sinn nämlich sich mit dem Zeitpunkt, in welchem die Aussage fällt, von selbst verschiebt, indem das Verbum mit seinem Tempus an die „
relative
“ Gegenwart anknüpft, nämlich auf die Gegen- wart der Aussage (eventuell von dieser aus zurück- oder vor-ver- weisend) sich bezieht. [„
Absolute
“ Gegenwart würde ich dagegen den durch Jahreszahl, Datum, Stunde und Minute etc., Berliner Zeit, fixirten Moment, in welchem ich soeben schreibe, dermalen nennen.]
Von solcher Art ist wol die ungeheure Mehrzahl aller mensch-
§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Gültigkeitsdauer.
lichen Aussagen. Denselben kommt zumeist eine von 0 und 1߭ ver- schiedene „Gültigkeitsdauer“ zu (sofern von einer solchen überhaupt sich reden lassen wird), eine Gültigkeitsdauer, die nur eben ein ge- wisses Gebiet von Zeitpunkten ausmacht. Ein einfaches Beispiel mag dies verdeutlichen.
Stellen wir uns eine Person, einen „idealen Meteorologen“ (!) vor, der Tag und Nacht am selben Fleck unter freiem Himmel stehend beständig ausruft und wiederholt: „Es regnet“ (sc. soeben hier am Platze), Es regnet, es regnet. So wird die Aussage wahr sein, so- bald und solange wirklich Regentropfen auf dieses Individuum fallen, und unwahr, sobald dies nicht der Fall ist. Die (auf gedachten Ort bezogene) Aussage hat daher eine bestimmte Gültigkeitsdauer, welche sich zusammensetzt aus den verschiedenen getrennten Zeiträumen, in welchen wirklich Regenschauer sich über den Ort ergiessen (ergossen haben und ergiessen werden).
Die Begriffe, Benennungen und Bezeichnungen des Aussagenkal- kuls — ein Stück weit, aber nicht durchaus: auch die Prinzipien des- selben — werden sich auch anwendbar erweisen auf die im geschil- derten Sinne variablen Aussagen (die Aussagen variablen Sinnes bei blos konstanter Form). Da einer solchen Aussage
irgend
welche Gültig- keitsdauer (die 1߭ oder 0 nicht ausgeschlossen) zukommen kann, so er- ledigen wir vorweg das Allgemeinere, wenn wir die ferneren Betrachtungen jetzt an derlei Aussagen anknüpfen.
Zudem aber ordnen diesen variabelsinnigen Aussagen auch die- jenigen konstanten Sinnes sich wirklich unter, indem z. B. die obigen Aussagen
a
und
b
auch ihre Gültigkeitsdauern 1߭ und 0 behalten müssten, wenn man das Präsens ihrer Kopula, anstatt wie oben als aoristisches, nunmehr als gewöhnliches oder historisches auslegte,
a
nämlich deutete als das Urteil: „2 × 2 ist
soeben
= 4“ und
b
als: „2 × 2 ist
soeben
5“.
Eine Subsumtion:
angesetzt zwischen irgend zwei Aussagen, wird hienach bedeuten: Die Zeit, während welcher die Aussage
a
wahr ist, sei ganz enthalten in der Zeit, während welcher die Aussage
b
wahr ist, d. h.
immer
,
wann
(whenever, solange, sooft, sobald, falls)
a gilt
,
gilt auch b
. Kürzer werden wir hiefür oft sagen: „
Wenn a
gilt, so gilt
b
“; „
a bedingt b
“, zieht es nach sich; „
aus a folgt b
“. Ausdrücklich muss jedoch bemerkt werden, dass der Zusammenhang zwischen den Gültigkeiten von
a
und
b
damit durchaus nicht hingestellt werden soll als ein logischer oder denknotwendiger, auch nicht als ein kausaler, oder dergleichen. Die
Fünfzehnte Vorlesung.
Subsumtion und die Redensarten, durch welche wir sie wiedergeben, sollen vielmehr diesen Zusammenhang lediglich als einen faktisch be- stehenden,
thatsächlichen
darstellen, es offen lassend, ob er denknot- wendig, eventuell als ein „kausaler“ bestehe, oder vielleicht blos ein empirisch ermittelter, für den Stand unsrer Erkenntniss „zufälliger“ ist.
Zum Exempel, es bedeute
b
die Aussage: „Es ist Tag (hier)“ — für den Augenblick unter „Tag“ die Zeit verstanden, während welcher die Sonne über dem Horizont steht
Der Einfachheit halber will ich mich auf die Berücksichtigung der Strahlen- brechung und des Unterschiedes zwischen mathematischem und physischem Hori- zont des Ortes hier nicht einlassen.
, und
a
die Aussage: „die Sonne scheint (hier, unverhüllt von Wolken)“, so gilt
a

b
, d. h. Wenn die Sonne scheint, so ist es Tag.
Die Beziehung zwischen den Gültigkeitsdauern der beiderseitigen Aussagen möge die Figur veranschaulichen:
Fig. 7.
welche, durch Nächte getrennt, drei Tage
b
auf der Zeitlinie dar- gestellt zeigt, an deren drittem die Sonne unausgesetzt schien, während sie an den beiden vorhergehenden je zweimal längere Zeit von Wolken verhüllt blieb, etc.
Allerdings ist in dem gewählten Beispiel das „Subjekt“
a
(der Be- dingungssatz) zugleich Erkenntnissgrund des „Prädikates“
b
(des Folge- satzes): aus dem Scheinen der Sonne kann gefolgert, geschlossen werden, dass es Tag ist. Weil die Sonne scheint (sofern sie das thut), darum muss es Tag sein.
Das kausale Verhältniss scheint hier eher umgekehrt zu liegen: weil die Sonne über dem Horizont steht, darum kann sie überhaupt scheinen; dass sie scheint ist eventuelle Folge, und Wirkung, ihrer Stellung über dem Horizonte.
Jener Umstand ist aber, wie angedeutet, als ein Nebenumstand zu betrachten, der in der Subsumtion
a

b
sowol, als in deren verbaler Umschreibung mittelst der Konjunktionen „wenn ‥, so ‥“
nicht
ge- fordert ist. Man könnte ebensogut, die vorige Aussage
a
z. B. fest- haltend, unter
b
die Aussage verstehen: „Paris liegt an der Seine“, oder etwa auch: „Carnot ist Präsident der französischen Republik.“ Und wiederum würde dermalen die Subsumtion
a

b
gelten, die Be- hauptung zulässig sein:
Wenn
(genauer:
wann
, während, solange, so-
§. 28. Aussagen, nach Gültigkeitsdauer geschätzt.
bald, falls) hier die Sonne scheint, ist
Carnot
Präsident der französi- schen Republik, (er ist es freilich auch, wenn sie nicht scheint) — mit einer gewissen Gültigkeitsdauer (gleichwie der beiden Teilaussagen, so auch) der ganzen Aussage.
Hier nun zu sagen: aus dem Scheinen der Sonne an hiesigem Platze
folge
(zur Zeit), dass Carnot Präsident der französischen Repu- blik sei, oder auch: der letztere Umstand sei von dem ersteren
bedingt
, wäre allerdings nicht angemessen!
Wenn wir gleichwol — zwar nicht in solch konkreten Beispielen wo ihre Unangemessenheit auf der Hand liegt, jedoch bei den Unter- suchungen
von allgemeinem Charakter
— diese Redensarten gebrauchen, so geschieht es, weil unsre Abmachungen auch die Fälle wirklichen Folgens sämtlich mit umfassen, weil beabsichtigt ist, sie auf solche vorzugs- weise anzuwenden (ohne dass es jedoch nötig fällt, die andern auszu- schliessen), und vor allem, weil die Wortsprache uns Redewendungen nicht zur Verfügung stellt, die für alle Fälle zutreffend genannt werden könnten und demnach einer solchen Allgemeinheit gerecht zu werden vermöchten, wie sie unsre Untersuchungen beanspruchen werden.
Man wird sich im Vorstehenden auch den Unterschied in der Bedeutung der Konjunktionen
„wenn“
(if) und
„wann“
(englisch annähernd: when) zum Bewusstsein gebracht haben. Während letztere als reine Zeitpartikel er- scheint,
pflegt
erstere den versteckten
Hinweis auf ein Prinzip
zu enthalten, das den Zusammenhang zwischen Bedingungssatz und Folgesatz des hypo- thetischen Urteils beherrscht — bestehe dieses Prinzip nun als ein rein logisches aus den Gesetzen des gewissen oder wahrscheinlichen Folgerns unter Berufung auf die Evidenz, oder gründe es sich ausserdem auf irgend- welche Satzungen, dogmatische Glaubenssätze oder auch Naturgesetze — in welch’ letzterem Falle wir von einem
kausalen
Zusammenhange reden.
Jenes „wann“ kann unter Umständen auch durch „während“ (engl. whilst) vertreten werden; es entspricht auch dem lateinischen „dum“, „so- lange“. Z. B. „Dum spiro, spero“:
solange
ich atme (scilicet: und bei Be- wusstsein bin), höre ich nicht auf zu hoffen. Dies gibt die Subsumtion
a

b
, wo
a
die Aussage bedeutet: ich atme, und
b
die: ich hoffe.
Betrachten wir dagegen den Satz: „Dolor, si longus, levis, si gravis, brevis“ (ergo omnino fortiter sustinendus — vergl.
Jevons
9
p. 174), so weist die konditionale Partikel „si“ in der That auf einen verborgenen ur- sächlichen Zusammenhang, einen Grund hin: weil eben ein sehr heftiger Schmerz bald Bewusstlosigkeit oder Tod herbeiführt und damit aufhört in die Empfindung zu treten, als solcher zu existiren, so kann ein lang an- haltender Schmerz nur ein minder heftiger, ein sehr heftiger nur von kurzer Dauer sein — zum Trost für die von ihm Befallenen.
Das Beispiel ist instruktiv, insofern es im Bedingungssatze des einen Urteils sowie im Folgesatze des andern als Prädikat selbst schon eine Zeit- bestimmung, als da ist „von langer, resp. kurzer, Dauer zu sein“ enthält.
Fünfzehnte Vorlesung.
Das „si“, „wenn“, hier etwa durch „solange“ oder „während“ „dum“ zu er- setzen ginge durchaus nicht an, und dennoch wird sich jedes seiner beiden Teilurteile als eine Aussagensubsumtion darstellen lassen, sobald wir mit unsern Betrachtungen ein wenig weiter vorgeschritten sein werden (nämlich: die Klasse der Fälle, wo der Schmerz ein lange anhaltender ist, ist ent- halten in der Klasse der Fälle, wo er ein leichter ist, etc.). Einstweilen mag das Beispiel dazu dienen, die Unvollständigkeit der bisherigen Be- trachtungen zu erhärten, welche ich ausdrücklich als nur vorbereitende auf- gefasst wünsche.
Zwei Aussagen
a
und
b
werden nun nach der Def. (1) der Gleich- heit (für den auf die Mannigfaltigkeit 1߭ der Zeitpunkte angewendeten Gebietekalkul)
einander äquivalent
, oder
gleich
, zu nennen sein, wenn sowol
a

b
als auch
b

a
ist, d. h. wenn sie einander gegenseitig bedingen, wenn immer, sobald die eine gilt, auch die andre Geltung hat, und umgekehrt. Ihre Gültigkeitsdauern sind alsdann nicht nur, metrisch betrachtet, gleich gross, sondern identisch die nämlichen, einerlei, sie fallen in ein einziges Gebiet von Zeitpunkten zusammen.
Im übrigen mögen unter sich äquivalente Aussagen ihrem Inhalt oder Sinne nach gänzlich von einander unabhängig sein. Alle stets wahren Aussagen z. B. sind im Aussagenkalkul einander gleich zu nennen, ebenso alle stets falschen.
Bedeutet z. B.
a
die Aussage: „2 × 2 ist 4“ und
b
die Aussage: „Die Energie des Weltalls ist konstant“, so hat
a
=
b
zu gelten, es sind
a
und
b
dann äquivalente Aussagen. Beide haben nämlich die Ewigkeit oder
ganze
Zeit zur Gültigkeitsdauer; wir haben
a
= 1߭ und auch
b
= 1߭.
Die Gleichheit
a
=
b
würde ebenso bestehen, falls
a
die Aussage be- deutete: „2 × 2 ist 5“ und
b
die Aussage: „Es gibt Hexerei“. Hier wäre
a
= 0 und
b
= 0, wiederum also das Gebiet der Zeitpunkte, in welchen die eine oder die andre wahr ist, das nämliche, und zwar das leere oder Nullgebiet; sie gelten (wenn man hier noch so sagen will, doch „gleich- zeitig“) nämlich alle beide
nie
.
Wegen dieser Unabhängigkeit ihres Inhaltes musste für die „
Äquivalenz
“ der Aussagen ein anderer Name gewählt werden als der bekannte der „
Äquipollenz
“, welchen die traditionelle Logik zur Be- zeichnung einer viel spezielleren Beziehung schon längst eingeführt hat.
Äquipollent
nennt die Logik solche Urteile, die mit Denknotwendig- keit gegenseitig aus einander folgen — wie beispielsweise das Urteil: „Alle
α
sind
β
“ und das (durch Konversion daraus hervorgehende) „Was nicht
β
ist, ist nicht
α
“.
Äquipollente Urteile sind auch immer einander äquivalent, oder im Sinne des Aussagenkalkuls „gleich“, aber nicht umgekehrt. Über jene greift diese Begriffsbestimmung dem Umfange nach weit hinaus (während
§. 28. Aussagen in Reflexion auf ihre Gültigkeitsdauer.
sie hinsichtlich des Inhaltes hinter ihr zurückbleibt). Für die Wahl des Ausdrucks „Äquivalenz“ war der englische Vorgang („equivalent statements“) mitbestimmend. Wegen der grösseren Allgemeinheit un- serer von der Äquivalenz der Aussagen handelnden Betrachtungen gegenüber denen, die auf ihre Äquipollenz sich beziehen würden, geben wir der ersteren Bezeichnung den Vorzug auch in Fällen, wo wir die letztere gebrauchen dürften.
Zieht man Aussagen nach ihrer Äquivalenz in Betracht, frägt man darnach, ob solche vorliege, oder nicht, so ist von dem charakteristischen Inhalte jener Aussagen zu abstrahiren und auf ihre Gültigkeitsdauern zu reflektiren.
Jedenfalls hindert nichts, eine Aussage, abgesehen von ihrem
In- halte A
(d. h. demjenigen, worüber sie uns Auskunft gibt), blos nach ihrer
Gültigkeitsdauer a
in’s Auge zu fassen, und wer die Besorgniss hegt, diese beiden Hinsichten in welchen Aussagen sich betrachten lassen, zu vermengen, kann sie dadurch auseinanderhalten, dass er die entsprechenden Buchstaben zweier verschiedenen Alphabete für die eine und für die andre Deutungsweise verwendet. Der Übergang von der einen zur andern Interpretation ist jedoch ein so leicht zu vollziehender an welchen man sich bald gewöhnt und worin man rasch Übung er- wirbt, dass uns solch’ ängstliches Auseinanderhalten hier unnötig er- scheint.
Um nun also vom bisherigen Gebiete- und Klassenkalkul un- mittelbar zum
Aussagenkalkul
fortzuschreiten und letztern auch mit
einem
Schlage errichtet sowie begründet zu haben, braucht man blos
unter den Buchstaben
symbolen
a
,
b
,
c
, …
irgendwelche Aussagen
(Be- hauptungen, Urteile)
zu verstehen und auszumachen
,
dass sobald mit diesen Symbolen gerechnet wird
(sobald mittelst Negation, Multiplikation oder Addition an denselben operirt, oder auch nur Subsumtionen oder Gleichungen etc. zwischen denselben angesetzt werden),
sie als ihre Gültigkeitsdauern gedeutet werden sollen
, dass also unter irgend einer Aussage
a
verstanden werden solle die Zeit (genauer: das Gebiet, die Gesamtheit der Zeitpunkte), während welcher ebendiese Aussage wahr ist, unter Ausschluss jedes Zeitpunktes, in dem sie nicht wahr ist.
Was hiernach eine Subsumtion
a

b
, und eine Gleichung
a
=
b
uns bedeuten werden, haben wir bereits auseinandergesetzt.
In Bezug auf erstere ist jedoch noch der „Grenzfälle“ Erwähnung zu thun, wo das Subjekt oder Prädikat der Subsumtion
a

b
durch die Aussagensymbole 0 oder 1߭ vertreten erscheint.
Die Bedeutung auch dieser beiden Zahlensymbole im Aussagen-
Schröder
, Algebra der Logik. II 2
Fünfzehnte Vorlesung.
kalkul wurde bereits angegeben:
Aussage
1߭ ist jede stets wahre Aus- sage, und sie kann durch irgend eine von diesen, wie z. B. durch den (arithmetischen) Satz dass 2 × 2 = 4 ist, oder auch durch den logi- schen Satz: 0

0, mit gleichem Rechte vertreten, repräsentirt werden. Wir haben auch:
(0 = 0) = 1߭.
Nullaussage
dagegen ist jede stets (oder unbedingt) falsche Aussage, wie z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 5 sei, oder die, dass es Hexerei gebe, oder die Subsumtion 1

0. Desgleichen haben wir:
(1 = 0) = 0.
Gleichwie die identische Null ihrer Definition (2) gemäss Subjekt war zu jedem Prädikate und die 1 Prädikat zu jedem Subjekte, so ist nun auch die
Nullaussage ein zulässiger Bedingungssatz zu jedem Folge- satze
, und
eine Aussage
1߭
zulässiger Folgesatz zu jedem Bedingungssatze
.
Wir müssen demnach konsequenterweise z. B. folgende Urteile als kor- rekt und gültig anerkennen — in Bezug auf welche nur zu bemerken ist, dass, während die Konsequenz in der Aufrechterhaltung der formalen Sche- mata für die Wissenschaft vom höchsten Wert erscheint, die verbale For- mulirung derselben minderwertig ist.
Wenn 2 × 2 = 5 ist, so gibt es Hexerei (vergl. 0

0).
„ „ „ so scheint hier die Sonne (vergl. 0

a
).
„ „ „ so ist 2 × 2 = 4 (vergl. 0

1߭).
Da die im Bedingungssatze ausgesprochene Voraussetzung eben niemals zu- trifft, so sind alle drei Urteile vollkommen nichtssagende, beziehen sich auf „nichts“, nämlich auf ein leeres Zeitgebiet. Sie aber als richtige an- zuerkennen verpflichten uns die über letzteres der Allgemeinheit zuliebe ge- troffenen Festsetzungen.
Im zweiten Falle (0

a
) darf, obwol die Gültigkeitsdauer des Vorder- satzes 0 war, und die 0 der Zeitbestimmung „niemals“ entspricht, das Urteil doch nicht etwa mit: „Nie scheint hier die Sonne“ in Worte über- tragen werden. Dies würde eine falsche Übersetzung sein, und wären be- hufs näherer Erläuterung dessen, mutatis mutandis, die Bemerkungen zu wiederholen, die wir in § 9 unter
v
) bezüglich verbaler Wiedergabe einer Subsumtion 0

a
im Klassenkalkul ausgeführt haben [die letztere durfte auch nicht in Gestalt von „Nichts ist
a
“ dort wiedergegeben werden]. Wenn
a
die Aussage bedeutet: „Hier scheint die Sonne“, so wäre vielmehr der vorige Satz („Nie scheint etc.“) mit
a
= 0 in der Formelsprache des Aussagenkalkuls darzustellen.
Legt z. B.
Emanuel Geibel
dem in Sklaverei befindlichen Neger- weibe in dem Schlummerliede, das sie ihrem Knaben singt, auf die Frage an den grossen Geist: wann wird der Jammer deiner schwarzen Kinder enden? die Antwort in den Mund:
„Ach das mag geschehen, wenn der Mississippi rückwärts fliesset, … Wenn die weissen freien Pflanzer, wenn die Christen
Menschen
werden“,
§ 28. Aussagen, als Gültigkeitszeiten gedeutet.
so lässt er sie (bei der Unterstellung, dass dies niemals eintreten werde) eine die Hoffnungslosigkeit ausdrückende, logisch betrachtet eine leere Ver- heissung geben.
Analog sind Urteile hier anzuerkennen, wie diese:
Wenn es Hexerei gibt, so ist 2 × 2 = 4 (vergl. wieder 0

1߭).
Wenn die Sonne scheint, so ist 2 × 2 = 4; (
a

1߭).
Wenn die Masse der Welt konstant ist, so ist 2 × 2 = 4; (1߭

1߭).
Der Nachsatz gilt hier nämlich an sich und ganz unabhängig von dem Vorder- oder Bedingungssatze. Psychologisch mag das anders sein, aber logisch sagt das hypothetische Urteil doch für den Fall, wo seine Hypo- these nicht zutrifft, überhaupt nichts aus. Behaupte ich etwas für den Fall (die Zeit), wo die Sonne scheint, so ist damit in keiner Weise präju- dizirt für die Fälle, wo sie nicht scheint; es bleibt, wenn für den ersteren behauptet ist, dass 2 × 2 = 4 sei, unbenommen zu denken, dass es auch für die letzteren sich also verhalte, nur wird dies im Urteile eben frei- gestellt, unentschieden oder offen gelassen.
Freilich ist, beim zweiten der obigen drei Beispiele (z. B.) zuzugeben, dass dasselbe — ähnlich wie etwa das Urteil: „Einige Möpse sind Hunde“ — bei aller logischen Korrektheit ein irreführendes, psychologisches Moment enthält, weshalb denn auf das für ähnliche Fälle schon in § 1 Gesagte zurückverwiesen sei. Wie dort, so sind auch hier die Urteile dem Vor- wurf ausgesetzt, dass sie mit Umständlichkeit nur einen Teil der Wahrheit ausdrücken, während „die ganze“ sich viel einfacher sagen liesse — in Ge- stalt der Behauptung, dass 2 × 2 = 4. In logischer Hinsicht aber sind solche Urteile nicht zu beanstanden.
Steht, entgegen den bisherigen Beispielen, die Null als Prädikat oder die Eins als Subjekt, so haben den Theoremen 5) gemäss die Urteile einen wirklichen Gehalt. Der letztere lässt sich dann aller- dings auch einfacher darstellen, wird jedoch zu rhetorischen Zwecken, zur Bekräftigung, nicht selten absichtlich in die umständlichere Form gesetzt — oder auch aus Taktgefühl, um etwa direkte grobe An- schuldigung zu vermeiden. Z. B. Das hypothetische Urteil: „Wenn das mit rechten Dingen zugegangen ist, so ist 2 × 2 fünf!“ (
a

0) um- schreibt blos die Behauptung: „Das ist nicht mit rechten Dingen zu- gegangen“, welche zusammenfällt mit der Verneinung des Urteils
a
(= „Das ist mit rechten dingen zugegangen“), sonach mit der Be- hauptung
a
= 0, dass letzteres Urteil ungültig. Vergl. hiezu die Be- trachtung 1 des § 46 über das Wesen des apagogischen Beweises.
Das Urteil: „Wenn 2 × 2 (noch) vier ist, so bin ich unschuldig“ (1߭

a
) kommt der Beteuerung gleich: (
a
) „Ich bin unschuldig.“ Psy- chologisch weist es vielleicht darüber hinaus auf eine Notwendigkeit hin, dieses auch anzuerkennen.
Tritt beides zugleich ein, steht nämlich die 1߭ als Subjekt und die 0 als Prädikat einer Aussagensubsumtion, so haben wir in Gestalt derselben:
2*
Fünfzehnte Vorlesung.
1߭

0, eine
absurde
Aussage vor uns, deren Gültigkeitsdauer (wie schon einmal erwähnt) eben selbst 0 ist.
Das identische
Produkt
und die identische
Summe
zweier
Aussagen a
und
b
können nunmehr selbst wieder als Aussagen gedeutet werden in folgender Weise:
Es bedeutet
a
·
b
oder
a b
das Urteil, welches aussagt, dass die Aus- sagen
a und b
beide (gleichzeitig, zugleich) gelten. Diese Aussage hat in der That das den Gültigkeitsdauern von
a
und von
b gemein- same
Gebiet von Zeitpunkten zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer.
Ein Produkt von Aussagen stellt demnach das System derselben, wenn sie als
simultan
geltende, koexistirende angesehen werden sollen, vor; und umgekehrt lässt ein solches System stets als eine einzige Aussage, nämlich als das identische Produkt seiner Gliederaussagen, sich hinstellen und in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls über- setzen.
In Worten pflegt man die Faktoraussagen einfach selbständig hin- zustellen — durch den Punkt als Interpunktionszeichen, oder auch durch Kommata getrennt, zuweilen auch durch Konjunktionen, wie „und“, „sowol ‥ als auch“ etc. verbunden. Z. B.: Nicht nur (
a
=) „der Stoff, die Materie ist unvergänglich“, sondern auch (
b
=) „die lebendige Kraft, Energie, lässt sich weder erzeugen, noch vernichten“ — ist solch’ ein Aussagenprodukt:
a b
.
Ferner bedeutet
a
+
b
das Urteil, welches aussagt, dass die Aus- sage
a oder
die
b
gelte — und zwar das „oder“ im inklusiven Sinne verstanden als „oder auch“ [vergl. § 8,
ϑ
)] sonach entweder die eine, oder die andre von ihnen, oder aber beide zugleich. Diese Aussage wird in der That zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer haben das- jenige Gebiet von Zeitpunkten, zu welchem die Gültigkeitsdauern von
a
und von
b
einander ergänzen, zusammenfliessen.
Eine Summe von Aussagen stellt demnach das System derselben vor, wenn sie als
alternativ
geltende angesehen werden sollen, und um- gekehrt wird sich jede „
Alternative
“ zwischen Aussagen — sofern sie, wie wir es hier immer auffassen werden, als eine
inklusive
verstanden wird, die den gegenseitigen Ausschluss ihrer Glieder nicht ausdrück- lich fordert — stets darstellen lassen als eine einzige Aussage in Ge- stalt der identischen Summe ihrer Gliederaussagen.
Die Wortsprache verbindet die Glieder der Alternative durch die Konjunktion „oder“ resp. durch „entweder ‥, oder ‥“, wofern sie nicht vorzieht, dieselben ganz getrennt hinzustellen, und blos zu bemerken, dass von ihnen irgend eines, zum mindesten, zu gelten habe.
§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten.
Für die eventuelle Zusammenziehung von mehreren Aussagen, mögen sie ein simultanes oder aber ein alternatives System bilden, in ein einziges Urteil, einen grammatikalischen Satz mit nur
einer
Ko- pula — für den Fall nämlich, wo die Gliederaussagen sämtlich das- selbe Subjekt oder aber das nämliche Prädikat besitzen — werden die Definitionen (3) maassgebend sein.
Den Klassenkalkul vermochten wir seinerzeit ein nicht unbeträcht- liches Stück weit zu entwickeln, ohne jemals den Begriff der Negation wesentlich vorauszusetzen oder hinzuzuziehen, und dem gemäss wollen wir auch vom
Negiren
der Aussagen und der Darstellung der Aus- sagennegation in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls erst später (§ 31) handeln.
Wir könnten hiernach bereits zu Anwendungen des Aussagen- kalkuls schreiten, wenn es nicht für viele, ja für die meisten Aussagen noch Schwierigkeiten bereitete zu einer klaren Vorstellung von ihrer „Gültigkeitsdauer“ zu gelangen. In den bisherigen Beispielen sind wir solchen Schwierigkeiten noch aus dem Wege gegangen.
Was aber — fragen wir uns — soll nun etwa verstanden werden unter der „Gültigkeitsdauer“ bei Aussagen wie diese:
„Es friert“ (
ohne
nähere Angabe eines Ortes,
wo
es frieren sollte);
„Das Dreieck
A B C
ist rechtwinklig“
„Die Funktion
f
(
x
,
y
) ist symmetrisch“
„Das Salz ist chemisch rein“, etc.
wo — in den letzten Fällen — nicht gesagt ist, von welchem Dreieck, von welcher Funktion, von welchem Salz die Rede?
Man könnte solche Aussagen oder „
unbestimmte singuläre
“ Urteile, in welchen das Subjekt (allgemeiner noch irgend ein Objekt) zwar nicht als Klasse (im engeren Sinne) zu nehmen ist, vielmehr ein Individuum vorstellt, welches aber nach Ort und Zeit nicht bestimmt (auch nicht durch anderweitige Qualitäten etwa völlig determinirt) erscheint, am besten wol „
Gelegenheitsurteile
“ nennen.
Die Wahrheit oder Falschheit einer solchen Aussage hängt ganz und gar von der Gelegenheit ab, bei welcher sie ausgesprochen, ge- macht wird. Sooft wir unter
A B C
zum Beispiel ein kraft seiner De- finition, Erzeugung oder Konstruktion, kurz ein
wirklich
rechtwinkliges Dreieck verstehen, wird die zweite Aussage wahr, andernfalles wird sie falsch sein. Die dritte Aussage, auf irgend eine unsymmetrische Funktion
f
(
x
,
y
) angewendet, ist falsch, auf eine symmetrische bezogen, richtig, etc.
Wollte man auch hier zur Vorstellung von einer „Gültigkeitsdauer“ gelangen, so müsste man sich die verschiedenen Momente vergegenwärtigen,
Fünfzehnte Vorlesung.
in welchen eine bestimmte Person — sagen wir im zweiten Falle etwa ein gewisser Mathematiker, Geometer — sich diese Aussage aneignet; die Gültigkeitsdauer würde dann aus den Zeitmomenten sich zusammensetzen, in welchen solches zutreffend geschieht, bei Ausschluss derjenigen, wo es irrtümlich, zu Unrecht geschieht, und bezogen auf eine Mannigfaltigkeit, bestehend aus den Zeitpunkten, wo es überhaupt geschieht. Oder, falls wir den ganzen Zeitbereich erschöpfen wollten, so müssten wir einen idealen Mathematiker fingiren, welcher alle erdenklichen Dreiecke
A B C
in einer bestimmten Reihenfolge durchgehend, die (zweite) Aussage beständig im Munde führt. Unzweifelhaft würde so ein bestimmtes Gebiet von Zeit- punkten sich ergeben, für welches die Aussage richtig, und als dessen Er- gänzung zur ganzen Zeit, ein anderes, für welches sie falsch ist, und jenes wäre die fragliche Gültigkeitsdauer.
Wegen der Unbestimmtheit, Willkürlichkeit aber jener Reihenfolge des Durchgehens, oder der Person, welche für eine solche sich zu entscheiden hätte, entbehrt der ganze Begriff indess der erforderlichen Bestimmtheit, ganz abgesehen davon, dass auch die Art, wie man zu seiner Konstruktion gelangen sollte, etwas Gezwungenes an sich hat.
Bei den fraglichen „Gelegenheitsurteilen“ wird man darum gut thun, den bisherigen Begriff der „Gültigkeitsdauer“ zu ersetzen durch einen weiteren, und zwar an die Stelle ihrer Vorstellung treten zu lassen diejenige von der
Klasse der Anwendungsgelegenheiten
der Aus- sage, genauer: die Klasse derjenigen Gelegenheiten (occasions) bei welchen die Aussage
als eine wahre
mit Fug und Recht gemacht werden kann, bei welchen sie
zutrifft
.
Darnach wird, wenn
a
und
b
Gelegenheitsaussagen vorstellen, die Subsumtion
zum Ausdruck bringen, dass die Klasse der Gelegenheiten, bei welchen die Aussage
a
zutrifft, ganz enthalten, eingeordnet ist der Klasse der Gelegenheiten, bei welchen die Aussage
b
zutrifft, d. h. wieder: „Wenn
a
gilt, so gilt auch
b
“. Und bei äquivalenten Aussagen fallen beide Klassen in
eine
zusammen, es bedingen jene einander gegenseitig, sind immer zugleich wahr, oder falsch.
Beispielsweise möge
a
die Aussage bedeuten: „Das Viereck
A B C D
ist eine Raute“, und
b
die Aussage: „Im Viereck
A B C D
stehen die beiden Diagonalen auf einander senkrecht“, so gilt
a

b
, d. h. Wenn ein Viereck (
A B C D
) eine Raute ist, so sind seine Diagonalen zu ein- ander normal. Das Subsumtionszeichen stellt hier wirkliche Unter- ordnung vor, sintemal der Satz nicht umkehrbar ist, nämlich z. B. auch im Deltoid
Bekanntlich Gestalt des Papierdrachens, aus zwei gleichschenkligen Drei- ecken zusammengesetzt.
die Diagonalen normal sind, ohne dass dasselbe eine Raute (ein Rhombus, gleichseitiges Viereck) sein müsste.
§ 28. Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten betrachtet.
Bedeutete ferner
a
die Aussage: „Die Ecken des Vierecks
A B C D
liegen auf einem Kreise“,
b
die Aussage: „die Gegenwinkel des Vier- ecks
A B C D
sind Supplemente“, so wäre
a
=
b
, denn eines bedingt immer das andere nach bekannten geometrischen Sätzen. Die beiden äquivalenten Aussagen
a
,
b
dürften hier gleichwol nicht „äquipollente“ genannt werden, weil sie
erst auf Grund der Axiome
Euklid’
scher
Geometrie
denknotwendig auseinander folgen — diese Axiome aber an- zunehmen erwiesenermassen keine Denknotwendigkeit gebietet.
Mit der
Subsumtion
nun, mit ihrer Deutungs- und Anwendungs- fähigkeit, haben wir wiederum die Grundlage des ganzen identischen Kalkuls gewonnen. Es stellt sich der
Aussagenkalkul
dergestalt als eine spezielle Anwendungsweise des
Klassenkalkuls
dar.
Auch die früher aufgestellte „Gültigkeitsdauer“ bei denjenigen Aussagen, bei welchen ungezwungen von einer solchen sich sprechen lässt, kann jetzt ohne weiteres aufgefasst (oder umgedeutet) werden als die Klasse derjenigen Gelegenheiten, bei welchen die betreffende Aussage als eine zutreffende anwendbar ist, indem hier eben nur diese Gelegenheiten an bestimmte Zeiten sich gebunden erwiesen. Ist die Aussage z. B. „Es regnet soeben am hiesigen Platze“ im gegen- wärtigen Zeitpunkt richtig, weil es wirklich draussen regnet, so ist jetzt auch eine Gelegenheit, die Aussage als eine gültige zu machen, und vice versā.
Es wird demnach das Gebäude unsres Aussagenkalkuls auf einer völlig einheitlichen Grundlage ruhen.
Die Nullaussage entspricht wiederum einer leeren Klasse, die keine einzige Gelegenheit berechtigter Anwendung der Aussage in sich schliesst. Und die 1߭, der wir auch jetzt noch den Punkt belassen wollen, mag man auffassen als die Gesamtklasse aller Gelegenheiten, bei welchen überhaupt Aussagen zu machen sind — bei allen diesen wird z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 4, auch berechtigt erscheinen.
Es versteht sich, dass man die formalen Abmachungen des gegen- wärtigen Paragraphen auch
rein konventionell
hätte hinstellen können. Ohne jede Bezugnahme auf einen vorangehenden Klassenkalkul und ohne eigent- liche Motivirung hätte einfach „ausgemacht“ werden können, was wir re- kapitulirend zusammenstellen:
a
= 1߭, oder
a
, solle heissen: die Aussage
a gilt,
a
= 0: sie
gilt nicht; a

b
:
wenn a
gilt,
so
gilt
b
;
a
=
b
: wenn
a
gilt so gilt
b
,
und umgekehrt
;
a b
: es gilt zugleich
a und b
;
a
+
b
: es gilt
a oder b
; (
a
1
solle bedeuten die Verneinung der Aussage
a
, so- nach dasselbe, wie der Ansatz:
a
= 0).
Man könnte darnach die ersten Sätze des Aussagenkalkuls in Formeln hinstellen, indem man einfach an den gesunden Verstand, das Gefühl der
Fünfzehnte Vorlesung.
Evidenz appellirte, die komplizirteren Sätze hernach aus den einfacheren beweisend. Auf diese Weise verfährt Herr
McColl
; nach ihm im wesent- lichen auch Herr
Peirce
5
, jedoch mit bedeutend tiefer eingehender und verdienstlicherer Begründung, die sich, wie wir gesehen haben, fast ganz auf den Klassenkalkul übertragen und für diesen verwerten liess (um welchen übrigens
Peirce
sich zuvor
1a
auch schon Verdienste erworben hatte).
Indem ich vorstehend den
Zusammenhang
zwischen Gebiete- oder Klassenkalkul einerseits und Aussagenkalkul andrerseits näher darzulegen versuchte, führte ich eine von
Boole
schon gegebene Anregung weiter aus, die mir befolgenswert erscheint aus Gründen, auf welche ich schon Bd. 1, S. 290 hingewiesen habe und am Schlusse des § 45 noch weiter ein- gehen werde.
Vor einer naheliegenden Verwechselung muss übrigens noch ge- warnt, es muss auf einen Umstand aufmerksam gemacht werden, der sonst leicht eine Quelle der Verwirrung werden könnte:
Nachdem wir die „
hypothetischen
“ Urteile: „Wenn
a
gilt, so gilt
b
“ — das sind sprachlich Konditionalsätze, die an eine Bedingung (Hypo- thesis) eine Behauptung (Thesis) knüpfen — darstellen gelernt haben durch eine Subsumtion des Aussagenkalkuls:
,
so ist für letztere neben der nach dem Bisherigen berechtigt erscheinen- den Redensart: „
a
ist in
b
enthalten“ in einem gewissen — allerdings ganz andern — Sinne auch die umgekehrte Redensart anwendbar und sogar vorwiegend üblich: „
a
enthält
b
, oder
begreift es unter sich
(m. a. W.:
b
ist in
a
mitenthalten)“ — vergleiche Bd. 1, S. 623 sq. Be- deuten
a
und
b
Aussagen, so sagt der Engländer geradezu: „
a
im- plies
b
“, und würde im Deutschen dem entsprechen: „
a
schliesst
b
in sich“, „
a involvirt b
“. In Anbetracht, dass die Geltung von
a
allemal auch die von
b nach sich zieht
, d. h. — mögen wir sagen — in „
ex- tensiver
“ Hinsicht, im Hinblick allerdings auf den Inhalt der Aussagen, ist solches auch berechtigt, während in „
intensiver
Man könnte sich hier versucht fühlen, auch diese beiden in Anhang 4 motivirten Benennungen umzutauschen, die Vorsilben
in-
und
ex-
gerade umge- kehrt zu verwenden.
Hinsicht, im Hin- blick auf die Klassen der Anwendungsgelegenheiten wie gesagt die um- gekehrte Beziehung stattfindet, wie sie die Fig. 1 (mit 2) des Bd. 1 versinn- lichen würde; da würde denn auch auf Englisch zu sagen sein: „
b
implies
a
“. Dadurch, dass wir uns im Aussagenkalkul des Verbums „Enthalten- sein“ lieber gänzlich enthalten, statt dessen uns einer der unverfäng- licheren synonymen Ausdrucksformen bedienend, werden wir im Deutschen Missverständnissen am besten aus dem Wege gehn.
§ 29. Übersetzung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls.
§ 29.
Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze in der Zeichen- sprache des Aussagenkalkuls. Das Summenzeichen
Σ
und das Produktzeichen
Π
.
Wir
wiederholen
nun die Definitionen, Prinzipien und Sätze des
Gebietekalkuls
, indem wir uns der abkürzenden Schreibung des Aussagen- kalkuls bedienen — wie sie im vorigen Paragraphen erläutert worden.
Die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabets sollen jetzt wieder
Gebiete
unsrer bevorzugten Mannigfaltigkeit (der Fläche 1 der Schultafel) vorstellen, oder auch — wenn man will —
Klassen
von Individuen aus irgend einer „gewöhnlichen“ Mannigfaltigkeit von Ob- jekten des Denkens.
Die Aussagen, welche ursprünglich in Betracht kommen, werden sich auf eben diese Gebiete oder Klassen beziehen und sollen dann „
primäre
“ genannt werden.
Wol alle Theoreme des Gebietekalkuls behaupten etwas
von
diesen primären Aussagen: sei es deren unbedingte und allgemeine Gültigkeit, sei es die einseitige Abhängigkeit der einen als Behauptung von den andern als Voraussetzung des Theorems hingestellten, sei es auch die gegenseitige Abhängigkeit oder Äquivalenz gewisser einzelner oder auch Gruppen von solchen primären Aussagen.
Wir mögen deshalb diese Theoreme oder
Aussagen über
(primäre)
Aussagen
(nun) „
sekundäre
“ Aussagen nennen.
Anstatt wie früher mittelst verbalen Textes sollen nun diese sekundären Aussagen durch Formeln in der Sprache des Aussagen- kalkuls dargestellt werden, was auf eine blosse
Übersetzung
der Wort- sprache in die Formelsprache hinauslaufen wird. Original und Über- setzung sollen dabei jeweils durch die übereinstimmende Chiffrirung aufeinander bezogen werden.
Das Übersetzen aber hat für uns einen doppelten Zweck.
Es mag einerseits des Objektes, Themas,
der Theoreme halber
ge- schehen, für welche es eine Art Repetition bildet, bei der sie aber meist in noch erheblich schärferer Fassung, übersichtlicher und kon- ziser wiederum in Erinnerung gerufen werden; zugleich wird ein Über- blick über die ganze Reihe der (etwa
Hundert) wichtigeren Sätze geschaffen, der sich zum Nachschlagen bei etwaigen Citaten für Jeden der die Formelsprache zu lesen versteht, sonach auch für die Zukunft, vorzugsweise empfiehlt.
Andrerseits aber soll jenes Übersetzen auch um seiner selbst
Fünfzehnte Vorlesung.
willen geschehen. Es soll in das Verständniss jener Formelsprache, die vor der Wortsprache eben gewisse Vorzüge besitzt, den Studiren- den praktisch einführen, soll eine gewisse Übung und Geläufigkeit im Gebrauche dieser Zeichensprache anbahnen, die für die Formulirung und Bewältigung späterer schwierigerer Probleme wertvoll oder uner- lässlich ist.
Wir werden uns hiernächst enthalten, Aussagen etwa auch durch Buchstaben darzustellen. Wo immer eine Aussage mit ihrer Gültig- keitsdauer in Rechnung zu setzen ist, soll dieselbe mit Subjekt, Kopula und Prädikat vollinhaltlich angegeben, „
spezifizirt
“ in eine Klammer geschrieben werden. Dergleichen in die sekundären Formeln ein- gehende primäre Aussagen, welche somit als linke oder rechte Seite einer Subsumtion oder Gleichung, oder ebendarin als Faktor, Summand, vielleicht als Negand auch, auftreten, müssen demnach
in
diesen For- meln jeweils ausgelegt, interpretirt werden als ihre „Gültigkeitsdauern“ oder „Klassen der Gelegenheiten ihrer berechtigten Anwendung“.
Die Ewigkeit 1߭, oder Gesamtklasse aller Gelegenheiten zu Aus- sagen, werden wir von der Tafelfläche 1, wie ausgemacht, durch den Tupfen unterscheiden.
Letztere 1 indess würde auch durch die erstere 1߭ sich durchweg er- setzen lassen und durch sie wirklich zu ersetzen sein, falls man etwa die Gebietsymbole
a
,
b
,
c
,
x
… ebenfalls als Aussagen deuten, den
reinen Aussagenkalkul
also (als eine spezielle Anwendung des Gebietekalkuls)
in sich selbst
ausdrücken wollte.
Unsre primären Aussagen würden dann schon als sekundäre, unsre sekundären als tertiäre zu bezeichnen sein.
Solches zu thun ist jederzeit
erlaubt
. Es hiesse das aber von einer sehr viel allgemeineren Theorie nur einen ganz speziellen Unterfall hervorhebend darstellen — wie wir in den nächsten Paragraphen genauer darlegen werden.
Zur exakten Wiedergabe einiger Theoreme werden wir noch eines Paares von neuen Zeichen bedürfen, die wir der Mathematik (zum, wie sich im nächsten Paragraphen zeigt, vollkommen analogen Ge- brauche) entlehnen, nämlich des „
Summenzeichens
“
Σ (Sigma)
und des „
Produktenzeichens
“
Π (Pi)
.
Um nämlich auszudrücken, dass eine auf ein Gebiet
x
bezügliche Aussage
für jedes Gebiet x
(aus unsrer Mannigfaltigkeit 1) gelte oder gelten solle, werden wir das Zeichen
(gesprochen: Pi nach
x
von …)
vor
dieselbe setzen, und den entstehenden Ausdruck auch das
Produkt
,
genommen nach x
,
von
der dahinterstehenden Aussage nennen.
Wenn mehreres, ein längerer oder komplizirter Ausdruck hinter dem Zeichen steht, so frägt es sich, bis wohin die fragliche Aussage gehe, wo
§ 29. Das Summenzeichen
Σ
und das Produktzeichen
Π
.
sie aufhört. Laut einer allgemeinen Übereinkunft erstreckt sich dabei die letztere immer bis zu dem nächsten „freien“ Plus- oder Subsumtions- oder Gleichheitszeichen, wenn wir
„frei“
ein solches Zeichen nennen, welches nicht von einer Klammer umschlossen ist, es sei denn von einer solchen, welche auch das
Π
mit umschliesst; folgt aber überhaupt kein solcher Klammerabschluss, kein solches Zeichen nach, so erstreckt sich die Aus- sage natürlich bis an das Ende des Ausdrucks. Steht also insbesondre ein Produkt hinter dem
Π
, so erstreckt sich die Wirkung dieses Zeichens nicht etwa blos auf den ersten, den dem
Π
zunächst stehenden Faktor desselben, sondern auf das ganze Produkt, indem die Malzeichen, selbst wenn sie ausdrücklich (als Punkte) geschrieben sein sollten, der Wirkung keinen Halt gebieten.
Dagegen das vor eine (ebenso sich begrenzende) Aussage gestellte Zeichen
(gesprochen: Summe nach
x
von …) soll uns andeuten, dass die Aussage nicht notwendig für jedes, sondern nur
für ein ge- wisses
Gebiet
x
, oder auch für mehrere gewisse Gebiete
x
(unsrer Mannigfaltigkeit 1) — kurz: für
mindestens ein x
— gelte, oder — als Voraussetzung zum Beispiel — zu gelten habe. Der so entstehende Ausdruck heisst dann auch die
Summe
,
genommen nach x
,
von
der da- hinter stehenden (auf
x
bezüglichen) Aussage.
Ebenso wird das Zeichen
andeuten, dass die dahinter stehende (nach erwähnter Übereinkunft sich von selbst begrenzende) Aussage für alle erdenklichen Gebietepaare
x
,
y
, welche aus unsrer Mn. 1 her- vorgehoben werden können, in Anspruch genommen werde, und das Zeichen
, dass dieses nur für gewisse Wertepaare
x
,
y
, mindestens aber für ein solches Wertepaar, geschehen solle. Etc.
Die Zeichen
Π
,
Σ
sind in solchem Sinne schon von
Peirce
und
Mitchell
gebraucht. —
Die Motivirung dieser, auch den Mathematiker vielleicht anfangs be- fremdenden Festsetzungen nebst den etwa nötigen ergänzenden Bemer- kungen in Bezug auf die Gesetze und den regelrechten Gebrauch der beiden Zeichen verschieben wir auf den nächsten Paragraphen.
Der Ausdruck hinter dem Zeichen
Σ
,
Π
, auf den dasselbe sich bezieht, heisst das „
allgemeine Glied
“ der Summe, resp. der „
allgemeine Faktor
“ des Produkts, und das unter dem Zeichen angemerkte Symbol
x
heisst die „
Summationsvariable
“ resp. „
Produktationsvariable
“; auch kommt die gleiche Benennung (im Plural) den sämtlichen darunter angemerkten Symbolen zu, wenn ihrer mehrere, wie
x
,
y
, ‥, sich angemerkt finden sollten. —
Auf § 31 sq. verschieben wir thunlichst alle sonst vielleicht noch w ünschenswert erscheinenden Erläuterungen und Erörterungen, um den Überblick nicht zu beeinträchtigen.
Fünfzehnte Vorlesung.
Prinzip I der Identität
lautet: I.
, oder kürzer:
°I.
.
Statt zu sagen: der letztere Satz gilt stets, kann man ihn einfach hinstellen.
Wo in dieser Weise das Umschreiben, Transkribiren eines Theo- rems in die Formelsprache des Aussagenkalkuls keine Vereinfachung seines Ausdrucks liefert und deshalb besser unterlassen wird, wollen wir, wie soeben, ein Ringelchen vor die Chiffre des Theorems setzen.
Prinzip
II
des Subsumtionsschlusses
(Barbara): II.
.
Definition
(1)
der Gleichheit
: (1) Def.
.
Diese Formel definirt primäre oder
Gebietegleichheit
(
a
=
b
) aus der Subsumtion, und zwar vermittelst Ansetzung einer sekundären oder
Aussagengleichheit
(nämlich der Äquivalenterklärung zweier pri- mären Aussagen, wie sie das „freie“ Gleichheitszeichen andeutet).
Damit dieselbe — bei der im letzten Nebentext (S. 26) gekenn- zeichneten Deutungsweise unsrer Formeln als solcher des „reinen Aussagen- kalkuls“ — nicht als ein circulus in definiendo, eine Zirkeldefinition er- scheine, sondern als Definition auch der
Aussagengleichheit
wirklich gelten könne, muss die Berufung auf diesen Begriff und anderweitiger Gebrauch des zugehörigen Beziehungszeichens in ihr selbst vermieden werden.
Dies ist leicht hinzubringen dadurch, dass man die Formel auflöst in das (zwar „gleich“ 1߭ gesetzt zu denkende, hier aber besser nur schlecht- weg hingestellte) Produkt zweier Subsumtionen:
, welches nun erst kraft seines eigenen Sinnes sowie Schema’s in die oben als Def. (1) hingestellte Gleichung zusammenzuziehen wäre.
Man bemerkt nämlich, dass ebenso wie die in ihr vorkommende Teil- aussage (
a

b
) (
b

a
), so auch die ganze Aussage oder Festsetzung das Produkt ist zweier vor- und rückwärts in einander übergehenden Subsum- tionen, mithin von ebendieser Form: (
A

B
) (
B

A
), nur dass jetzt
A
die Aussage (
a

b
) (
b

a
) und
B
die Aussage (
a
=
b
) bedeutet. Nach der in ihr selbst gegebnen, für
alle
Aussagen — mögen sie
a
,
b
oder
A
,
B
heissen — gelten sollenden Erklärung
folgt
sonach aus ihr auch:
A
=
B
, das heisst: wir dürfen die Definition (1)', wie zu An- fang, nun auch selbst als Gleichung (1) schreiben, und unter dieser ist umgekehrt nichts anderes als das Subsumtionenprodukt (1)' zu verstehen.
Zusatz zu Def.
(1): (
a
=
b
) = (
b
=
a
).
§ 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze.
°1)
Theorem
.
a
=
a
.
2)
Th.
(
a

b
) (
b
=
c
)

(
a

c
).
3)
Th.
(
a
=
b
) (
b

c
)

(
a

c
).
4)
Th.
(
a
=
b
) (
b
=
c
)

(
a
=
c
).
Die
Definition
(2)
der identischen Null und Eins
lautet:
°(2
×
) 0

a
°(2
+
)
a

1,
spricht aber die definitionsweise den Gebieten 0 und 1 beigelegte Fundamentaleigenschaft in Form von Theoremen aus. Es würden erst die Gleichungen:
(2
×
)
Def
.
(
x

a
) = (
x
= 0)
(2
+
)
Def
.
(
a

x
) = (
x
= 1)
die Begriffserklärung ebendieser Gebiete 0, 1 auch in der für Defini- tionen üblichen Form statuiren, indem sie ausdrücken, (links) dass ein Gebiet
x immer dann und nur dann
Dieses liegt in dem vor- und rückwärts als Subsumtionszeichen im Geiste zu lesenden freien (d. h. uneingeklammerten) Gleichheitszeichen.
0 zu nennen sei, wenn das- selbe in jedem Gebiet
a
enthalten, d. h. wenn
für jedes a
auch
x

a
ist, (rechts) etc.
5
×
)
Th.
(
a

0) = (
a
= 0)
5
+
)
Th.
(1

a
) = (
a
= 1)
Definition
(3)
von Produkt und Summe
(
Peirce
,
McColl
):
(3
×
)
Def.
(
c

a
) (
c

b
) = (
c

a b
)
(3
+
)
Def.
(
a

c
) (
b

c
) = (
a
+
b

c
).
Dieselbe bestand aus den gesondert chiffrirten Teilen:
(3
×
)' (
c

a
) (
c

b
)

(
c

a b
)
(3
+
)' (
a

c
) (
b

c
)

(
a
+
b

c
)
(3
×
)'' (
c

a b
)

(
c

a
) (
c

b
)
(3
+
)'' (
a
+
b

c
)

(
a

c
) (
b

c
).
°6
×
)
Th.
a b

a
,
a b

b
.
°6
+
)
Th.
a

a
+
b
,
b

a
+
b
.
Die Theoreme des § 6 waren subtilerer Art, auch im Grunde für die Theorie entbehrlich; sie sollen deshalb auch hier als eine Ein- schaltung isolirt werden, die von dem Anfänger sich überschlagen lässt.
7
×
)
Th.
=
Def.
(4
×
)
7
+
)
Th.
=
Def.
(4
+
)
{(
x

c
)

(
x

a
) (
x

b
)} = = (
c

a b
)
{(
c

x
)

(
a

x
) (
b

x
)} = = (
a
+
b

c
).
Fünfzehnte Vorlesung.
8
×
)
Th.
8
+
)
Th.
(
a b

c
) =
(
x

a b
)

(
x

c
)}
(
c

a
+
b
) =
{(
a
+
b

x
)

(
c

x
)},
wobei die in dieser Gleichung enthaltenen beiden Subsumtionen die Theoreme 8)' und 8)'' gesondert vorstellen werden.
9
×
)
Th.
=
Def.
(5
×
)
9
+
)
Th.
=
Def.
(5
+
)
{(
x

a
) (
x

b
)

(
x

c
)} = = (
a b

c
)
{(
a

x
) (
b

x
)

(
c

x
)} = = (
c

a
+
b
).
10
×
)
Th.
10
+
)
Th.
(
c

a b
) =
{(
a b

x
)

(
c

x
)}
(
a
+
b

c
) =
{(
x

a
+
b
)

(
x

c
)},
wobei wieder die aus der Gleichung nach Def. (1) leicht herauszu- lesenden beiden Subsumtionen die Theoreme 10)' und 10)'' gesondert vorstellen.
Für die Theoreme 11) muss wegen Raummangels der Mittelstrich gebrochen werden.
11
×
) Th.
{(
x

c
)

(
x

a
) (
x

b
)} {(
x

a
) (
x

b
)

(
x

c
)} = (
c
=
a b
) |
| 11
+
)
Th.
{(
c

x
)

(
a

x
) (
b

x
)} {(
a

x
) (
b

x
)

(
c

x
)} = (
c
=
a
+
b
),
oder nach Def. (1) zusammengezogen:
11
×
)
{(
x

c
) = (
x

a
) (
x

b
)} = = (
c
=
a b
)
11
+
)
{(
c

x
) = (
a

x
) (
b

x
)} = = (
c
=
a
+
b
).
Wie hier — in Th. 7) bis 11) der allgemeine Faktor selbst (hinter dem Produktenzeichen) sich zu der anderen Seite der Proposition (Sub- sumtion oder Gleichung) verhält, werden wir in § 32 sehen.
°12)
Th. Kommutationsgesetze
:
°12
×
)
a b
=
b a
°12
+
)
a
+
b
=
b
+
a
.
°13)
Th. Assoziationsgesetze
nebst Zusatzdefinition von Produkt und Summe dreier in bestimmter Ordnung verknüpfter Opera- tionsglieder:
§ 29. Ihre Einkleidung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls.
°13
×
)
a
(
b c
) = (
a b
)
c
=
a b c
°13
+
)
a
+ (
b
+
c
) = (
a
+
b
) +
c
= =
a
+
b
+
c
.
°14)
Th. Tautologiegesetze
:
°14
×
)
a a
=
a
°14
+
)
a
+
a
=
a
.
15
×
)
Th.
(
a

b
)

(
a c

b c
)
15
+
)
Th.
(
a

b
)

(
a
+
c

b
+
c
).
16
×
)
Th.
(
a
=
b
)

(
a c
=
b c
)
16
+
)
Th.
(
a
=
b
)

(
a
+
c
=
b
+
c
).
17
×
Th.
(
a

b
) (
a
'

b
')


(
a a
'

b b
')
17
+
)
Th.
(
a

b
) (
a
'

b
')


(
a
+
a
'

b
+
b
').
18
×
)
Th.
(
a

b
) (
a
' =
b
')


(
a a
'

b b
')
18
+
)
Th.
(
a

b
) (
a
' =
b
')


(
a
+
a
'

b
+
b
').
19
×
)
Th.
(
a
=
b
) (
a
' =
b
')


(
a a
' =
b b
')
19
+
)
Th.
(
a
=
b
) (
a
' =
b
')


(
a
+
a
' =
b
+
b
').
20)
Th.
(
a
=
a b
) = (
a

b
) = (
a
+
b
=
b
).
°21
×
)
Th.
a
· 1 =
a
°21
+
)
Th.
a
+ 0 =
a
.
°22
×
)
Th.
a
· 0 = 0
°22
+
)
Th.
a
+ 1 = 1.
°23)
Th. Absorptionsgesetze
:
°23
×
)
a
(
a
+
b
) =
a
°23
+
)
a
+
a b
=
a
24
×
)
Th.
(
a b
= 1) = (
a
= 1) (
b
= 1)
24
+
)
Th.
(
a
+
b
= 0) = (
a
= 0) (
b
= 0).
°25)
Th.
(„Beweisbare“ oder
Erste Subsumtion des Distribu- tionsgesetzes
und seines dualen Gegenstückes):
°25
×
)
a b
+
a c

a
(
b
+
c
)
°25
+
)
a
+
b c

(
a
+
b
) (
a
+
c
).
Die nächstfolgenden Formeln 26) bis 28) wurden als „Theoreme“ allerdings erst hinter Th. 34) bewiesen, mögen jedoch hier schon als solche angeführt werden.
°26)
Th. Zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes nebst Gegenstück
:
°26
×
)
a
(
b
+
c
)

a b
+
a c
°26
+
) (
a
+
b
) (
a
+
c
)

a
+
b c
.
°27)
Th. Distributionsgesetz
(
Erstes
und
zweites
) nebst Gegenstück:
°27
×
)
a
(
b
+
c
) =
a b
+
a c b a
+
c a
= (
b
+
c
)
a
°27
+
) (
a
+
b
) (
a
+
c
) =
a
+
b c b c
+
a
= (
b
+
a
) (
c
+
a
)
Fünfzehnte Vorlesung.
°28)
Th. Multiplikationsregel
für
Polynome
nebst Gegenstück:
°28
×
) (
a
+
b
) (
c
+
d
) = =
a c
+
a d
+
b c
+
b d
°28
+
) (
a
+
c
) (
a
+
d
) (
b
+
c
) (
b
+
d
) = =
a b
+
c d
.
Prinzip
III
×
.
|
[Der dual entsprechende Satz:
| III
+
.
wurde nicht zum Prinzip erhoben.]
29)
Hülfstheorem
(R.
Grassmann
2,5
):
Definition
(6)
der Negation
. Dieselbe spricht in der Gestalt: °(6)
Def.
a a
1

0, 1

a
+
a
1
die der Negation
a
1
von
a
definitionsweise beigelegten Eigenschaften in Form von Lehrsätzen aus. Dagegen formulirt als: (6)
Def.
oder auch:
leistet sie das gleiche auch in der
Form
einer Definition, indem sie ausspricht, dass ein Gebiet
x
immer dann und nur dann als Nega- tion
a
1
von
a
zu bezeichnen ist, wenn es mit
a
das Produkt 0 und zugleich die Summe 1 liefert.
°30
×
)
Th. Satz des Wider- spruchs
:
°30
+
)
Th. Satz des ausge- schlossnen Mittels
:
a a
1
= 0.
a
+
a
1
= 1.
°31)
Th. Satz der doppelten Verneinung
:
(
a
1
)
1
=
a
.
32)
Th.
nebst
Zus
. 1.
(
a
=
b
) = (
a
1
=
b
1
).
Zusatz
2. (
a
=
b
)

{
f
(
a
) =
f
(
b
)}.
[°33
×
)
Th.
a b
= (
a
+
b
) (
a
+
b
1
) (
a
1
+
b
)
°33
+
)
Th.
a
+
b
=
a b
+
a b
1
+
a
1
b
°
Zusatz
.
°
Zusatz
.
a
(
a
1
+
b
) =
a b
= (
a
+
b
1
)
b
a
+
a
1
b
=
a
+
b
=
a b
1
+
b
°34
×
)
Th.
34
+
)
Th.
0 = (
a
+
b
) (
a
+
b
1
) (
a
1
+
b
) (
a
1
+
b
1
)]
1 =
a b
+
a b
1
+
a
1
b
+
a
1
b
1
.
Hier kommt den links eingeklammerten Sätzen keine Wichtigkeit für die Technik des Kalkuls zu.
§ 29. Übersicht der Sätze.
°35)
Th. Satz vom Dualismus
(vergl. § 14):
.
Derselbe gehört eigentlich nicht zu den von unsrer Zeichensprache beherrschten Sätzen, besitzt vielmehr seine besondre Symbolik.
°36)
De Morgan’s Theoreme
:
°36
×
) (
a b
)
1
=
a
1
+
b
1
°36
+
) (
a
+
b
)
1
=
a
1
b
1
,
oder
a
+
b
= (
a
1
b
1
)
1
.
a b
= (
a
1
+
b
1
)
1
.
37)
Th. der
(
Konversion
durch)
Kontraposition
:
(
a

b
) = (
b
1

a
1
).
38)
Th.
(
a b
1
= 0) = (
a

b
) = (
a
1
+
b
= 1).
Zusatz
.
(
a b
= 0) = (
a

b
1
) = (
b

a
1
), (
a
+
b
= 1) = (
a
1

b
) = (
b
1

a
).
39)
Th.
(
a b
1
+
a
1
b
= 0) = (
a
=
b
) = (
a b
+
a
1
b
1
= 1), {(
a
+
b
) (
a
1
+
b
1
) = 0} = (
a
=
b
) = {(
a
+
b
1
) (
a
1
+
b
) = 1}
40)
Th.
(
a c

b c
) (
a
+
c

b
+
c
) = (
a

b
)
Schröder
.
Zusatz
1.
(
a c
=
b c
) (
a
+
c
=
b
+
c
) = (
a
=
b
),
„
Zusatz
2.
(
a c

b
) (
a

b
+
c
) = (
a

b
),
Peirce
.
41)
Th.
von
Peirce
: (
a b

c
) = (
a

b
1
+
c
) = (
b

a
1
+
c
), (
a

b
+
c
) = (
a b
1

c
) = (
a c
1

b
).
°42
+
)
Th.
y
= (
x y
+
u x
1
)
x
+ (
x
1
y
+
v x
)
x
1
°42
×
)
Th.
Etc.
43)
Th.
(
a
=
u b
) = (
a

b
) =
(
b
=
a
+
v
).
°44
+
)
Th.
f
(
x
) =
f
(1)
x
+
f
(0)
x
1
44
×
)
f
(
x
) = {
f
(0) +
x
} · {
f
(1) +
x
1
}
Zusatz
+
.
f
(
x
,
y
) =
f
(1, 1)
x y
+
f
(1, 0)
x y
1
+
f
(0, 1)
x
1
y
+
f
(0, 0)
x
1
y
1
, Etc. (
Boole
und
Peirce
).
°
Vorbemerkung zu Th
. 45
+
):
(
a x
+
b x
1
) + (
a
'
x
+
b
'
x
1
) = (
a
+
a
')
x
+ (
b
+
b
')
x
1
, (
a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
y
1
) + (
a
'
x y
+
b
'
x y
1
+
c
'
x
1
y
+
d
'
x
1
y
1
) = = (
a
+
a
')
x y
+ (
b
+
b
')
x y
1
+ (
c
+
c
')
x
1
y
+ (
d
+
d
')
x
1
y
1
, Etc.
°45
+
)
Th.
(
a x
+
b x
1
) (
a
'
x
+
b
'
x
1
) =
a a
'
x
+
b b
'
x
1
,
(
a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
) (
a
'
x y
+
b
'
x y
1
+
c
'
x
1
y
+
d
'
x
1
y
1
) =
=
a a
'
x y
+
b b
'
x y
1
+
c c
'
x
1
y
+
d d
'
x
1
y
1
, Etc. (
Boole
.)
Schröder
, Algebra der Logik. II. 3
Fünfzehnte Vorlesung.
°46
+
)
Th.
(
Schröder
) (
a x
+
b x
1
)
1
=
a
1
x
+
b
1
x
1
,
(
a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
y
1
)
1
=
a
1
x y
+
b
1
x y
1
+
c
1
x
1
y
+
d
1
x
1
y
1
, Etc.
Hülfstheorem zu Th.
47
+
) von
Schröder
:
(
a

x

b
) = (
a x
1
+
b x
=
x
)
47
+
)
Th.
desgl.
(
a

x

b
) = (
a

b
)
(
x
=
a w
1
+
b w
)
°48
+
)
Th.
a b

a x
+
b x
1

a
+
b
,
a b c d

a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
y
1

a
+
b
+
b
+
c
+
d
,
Etc. Diese Formeln drücken eigentlich noch nicht den ganzen Inhalt des Theorems 48
+
) aus; um dies zu leisten müsste vielmehr die erste ersetzt werden durch:
a b

y

a
+
b
) =
(
y
=
a x
+
b x
1
)
und würden analog mit
etc. die folgenden umzuschreiben sein.
Zusatz
:
(
a u v
+
b u v
1
+
c u
1
v
+
d u
1
v
1
) =
{
a b c d
+
w
(
a
+
b
+
c
+
d
)}.
49
+
)
Th.
(
a x
+
b x
1
= 0) = (
b

x

a
1
),
oder, wenn man will
= (
b

a
1
) (
b

x
) (
x

a
1
).
Ferner ist hierzu anzuführen das Hülfstheorem des § 24 (Bd. 1, S. 502):
(
a x
+
b x
1
= 0) = (
x
=
b x
1
+
a
1
x
),
und erscheint noch als eine nützliche Umschreibung (und Zusammen- fassung) der beiden letzten Theoreme:
(
a x
+
b x
1
= 1) = (
b
1

x

a
) = (
x
=
a x
+
b
1
x
1
).
50
+
)
Th.
(
Boole
und
Schröder
):
(
a x
+
b x
1
= 0) = (
a b
= 0)
(
x
=
b u
1
+
a
1
u
).
Hier hörte unsre Chiffrirung auf. Als
Theoreme
51) mögen noch angeführt sein die Ergebnisse aus dem § 23:
51
×
Th.
(
b x
=
a
) = (
a

b
)
{
x
=
a
+
u b
1
} | | 51
+
)
Th.
(
b
+
x
=
a
) = (
b

a
)
{
x
=
a
(
b
1
+
u
)}
nebst den Zusätzen:
(
b x
=
a
) (
b
+
x
= 1) = = (
a b
1
= 0) (
x
=
a
+
b
1
)
(
b
+
x
=
a
) (
b x
= 0) = = (
a
1
b
= 0) (
x
=
a b
1
).
§ 30. Fortsetzung über
Σ
,
Π
.
In Anbetracht, dass mit dem Vorstehenden der elementare Teil unsrer Disziplin einen gewissen Abschluss gefunden hat, wollen wir fortan die Nummernfolge überhaupt nicht weiter fortsetzen.
Dem Mathematiker ist die Mehrzahl der Sätze teils buchstäblich, teils in der dem Subsumtionszeichen

analogen Beziehung

(gleich oder kleiner) ohnehin geläufig, und wird derselbe eigentlich nur die Theoreme: 14), 22
+
), 23), 24), sodann diejenigen von Th. 30) ab, besonders zu be- achten haben. Für den die in unserm Vorwort erwähnte Tertianerbildung Besitzenden ist demnach, um für die Beherrschung unsrer Disziplin ge- wappnet zu sein, das Gedächtniss nur mit wenig mehr als zwanzig Sätzen zu belasten, die auf ungefähr ebensovielen
Zeilen
darstellbar sind und Der- jenige von selbst behalten wird, der in den Sinn und Geist derselben ein- gedrungen! Es kommt dazu noch, dass einzelne von den Sätzen in spä- teren als in ihren Verallgemeinerungen schon mitenthalten sind. —
§ 30.
Fortsetzung über
Σ
,
Π
. Aufhören des Dualismus.
Was die im vorigen Paragraphen eingeführten Summen- und Produktenzeichen betrifft, so kann man im identischen Kalkul diese Zeichen zunächst
genau in derselben
Weise verwenden, wie dies in der Mathematik überhaupt geschieht, um das Anschreiben sehr zahlreicher Summenglieder oder Produktfaktoren zu ersparen und die Arbeit auf das
ein
malige Ansetzen des „allgemeinen Gliedes“, resp. „allgemeinen Faktors“ zu reduziren.
In der Arithmetik geben die Schemata:
α
)
=
a λ
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+ … +
a
n
— 1
+
a
n
a λ
=
a
1
a
2
a
3
....
a
n
— 1
a
n
über die Bedeutung der Zeichen
Σ
und
Π
Auskunft und regeln den Ge- brauch derselben. [Man liest: Summe nach
λ
, (genommen) von 1 bis
n
, von
a λ
. Etc.]
Durch seine Stellung
im
betreffenden Zeichen gibt sich hier der Buch- stabe
λ
als der „laufende“ Zeiger oder die
„Summationsvariable“
(resp.
„Produktationsvariable“
) zu erkennen — in andern Fällen, wo die Druckerei solcher typographischen Anforderung nicht gerecht zu werden vermag, er- kennt man die laufende Zahl daran, dass sie als linke Seite einer über und einer unter das Summenzeichen gesetzten Gleichung erscheint, wie bei der Schreibung
β
)
die man auch für die linke Seite von
α
) bezüglich hätte wählen können.
3*
Fünfzehnte Vorlesung.
Um sich die Bedeutung eines mit dem Zeichen Σ oder Π in symbolischer Abkürzung dargestellten Ausdrucks klar zu machen,
den Ausdruck zu inter- pretiren,
braucht man blos dem Zeiger λ alle ganzzahligen Werte von der „unteren Grenze“ 1 bis zur „oberen Grenze“ n hin — mit Einschluss eben dieser Grenzen — in dem allgemeinen Gliede resp. Faktor successive beizu- legen; man erhält dadurch eine Reihe von einzelnen Termen:
a
1
,
a
2
,
a
3
, …
a
n
— 1
,
a
n
,
welche bei Σ additiv, bei Π multiplikativ miteinander zu verknüpfen sind.
Hat man
umgekehrt
eine Summe, ein Produkt von lauter Gliedern resp. Faktoren
gleichen Baues,
d. h. von Termen welche aus
einem
Buch- stabenausdruck
a
λ
dadurch hervorgehen, dass man für einen in ihm vor- kommenden Buchstaben
λ
die Werte einer Sequenz von ganzen Zahlen der Reihe nach einsetzt, so kann man immer die Zeichen
Σ
,
Π
behufs sym- bolisch abgekürzter Darstellung des ganzen Ausdrucks mit Vorteil ver- wenden. Es genügt dazu die Angabe des „allgemeinen“ Terms hinter dem betreffenden Zeichen
Σ
oder
Π
und die Angabe der
„Grenzen“,
d. h. der ersten und der letzten Zahl jener Sequenz (der
„unteren“
nebst der
„oberen“
Grenze), durch welche auch die zwischenliegenden Zahlen mitbestimmt er- scheinen, sowie endlich die Charakterisirung der Summationsvariabeln als desjenigen Buchstabens, für welchen eben die Werte jener Sequenz bei der Interpretation des Ausdrucks eingesetzt werden müssen.
Man bemerkt, dass in der interpretirten oder
„ausgeführten“
Summe die Summationsvariable selbst gar nicht vorkommt; dieselbe war blos der Stellvertreter für die Werte jener Sequenz, sozusagen der Träger derselben, markirte blos die Stelle, wo letztere hinzuschreiben sind. Daher muss es auch gleichgültig sein, welchen Buchstaben man als Namen für die Summa- tionsvariable wählt, oder:
die Bezeichnung der Summationsvariabeln ist gleich- gültig — nur muss man Sorge tragen, dafür nicht einen schon anderweitig in dem (ganzen) Ausdruck verwendeten Buchstaben zu nehmen,
entsprechend dem in der ganzen Symbolik geltenden Grundsatze, dem Grundsatze für alle systematische Bezeichnung: der Verwechselung von Verschiedenem durch die Wahl einer unterscheidenden Bezeichnung für dasselbe vorzu- beugen, insoweit selbiges in dem Rahmen
einer
Untersuchung zusammen in Betracht kommt. Und ähnliches gilt beim Produkte. Oder wir haben:
γ
)
.
Der strenge Beweis für diese Formeln ergibt sich, indem man die Be- deutung der beiderseitigen Ausdrücke der Definition gemäss ausführlich hinschreibt, wo sie sich dann eben als augenscheinliche Identitäten heraus- stellen.
[Zum Überfluss wäre an Beispielen leichtlich darzuthun, dass die Nichtbeachtung der angeführten Rücksicht: für den laufenden Zeiger einen noch unverwendeten, disponibeln Buchstaben zu uehmen, in Fehler führt. Vergleiche hierüber z. B. den Anhang meines „Lebrbuch etc.“
1
.]
Handelt es sich um Untersuchungen über irgendwelche Summen oder
§ 30. Fortsetzung über
Σ
,
Π
.
Produkte von irgendwieviel Gliedern, also um
allgemeine
Untersuchungen, so kann man immer die aus dem Gebrauch der Zeichen
Σ
,
Π
resultirenden Vorteile sich dadurch sichern, dass man sich für eine zweckmässige, eine systematische Bezeichnung ihrer Terme von vornherein entscheidet, nämlich wie in
γ
) numerirte Buchstaben, einen Buchstaben mit verschiedenen Stellenzeigern, Suffixen oder Indices, wie
a
1
,
a
2
,
a
3
, …
a
n
, dazu verwendet.
Und es steht dem nun nichts im Wege, auch ebendieses im identischen Kalkul zu thun,
wenn also die Summen und Produkte nicht als arith- metische sondern als identische aufgefasst werden. Kommen hier auch Negationen in Betracht, so werden wir nur, um den Platz für den Nega- tionsstrich offen zu halten, am besten
obere
Indices oder Exponenten wählen vergl. Bd. 1, S. 261 sq.
Damit werden nun allerdings neben den Buchstaben und der 1 (even- tuell auch der 0) als
Gebiet
symbolen auch ebensolche als
Zahl
zeichen ein- geführt, und zwar für laufende Zeiger, Indices und Summengrenzen. Aber eben wegen dieser ihrer Beschränkung auf einen bestimmten Platz im Ausdrucke, steht eine Verwechselung derselben mit jenen nicht zu be- fürchten.
Und indem wir von einer ganzen Reihe in Betracht kommender Gebiete eines als das „erste“ mit
a
1
, ein anderes als das „zweite“ mit
a
2
, und so weiter der Übersicht wegen benennen, wird man doch nicht sagen können, dass dadurch das der Logik (im
allerengsten
Sinne) von rechtswegen fremde Element der
Zahl
wesentlich in diese Disziplin hereingezogen werde; es bleibt vielmehr die Angelegenheit nur eine untergeordnete Bezeichnungs- oder
Benennungsfrage
.
Zur Illustration wollen wir einmal die namhaftesten unsrer bisherigen Sätze, die eine Erweiterung auf beliebig viele Operationsglieder zugelassen haben, in geschilderter Weise mittelst Summen- oder Produktenzeichen darstellen.
Die Formel: II.
stellt den
n
-gliedrigen Kettenschluss oder Sorites dar. Ausführlich inter- pretirt würde diese Verallgemeinerung des Prinzipes II lauten: II'.
und können hierin die sämtlichen in Klammer stehenden, d. h. hier nur auf Gebiete (nicht auf Aussagen) bezüglichen Subsumtionszeichen auch durch- weg in Gleichheitszeichen verwandelt werden, wodurch sich eine Erweite- rung von Th. 4) ergäbe: 4)
Endlich dürfen von den linkerhand in II' auftretenden Subsumtions- zeichen beliebige Gruppen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden, wofern
Fünfzehnte Vorlesung.
daselbst nur wenigstens
ein
Subsumtionszeichen übrig bleibt — in Er- weiterung der Theoreme 2) und 3).
Die Erweiterungen der Definitionen (3) zu Sätzen: (3
×
)
(
a
0

a
1
) (
a
0

a
2
) … (
a
0

a
n
) = (
a
0

a
1
a
2
…
a
n
)
(3
+
)
(
a
1

a
0
) (
a
2

a
0
) … (
a
n

a
0
) = (
a
1
+
a
2
+ … +
a
n

a
0
)
ziehen sich zusammen zu:
und lassen dieselben sich noch einmal verallgemeinernd zusammenfassen zu der Formel: (3)
.
Denn durch Anwendung des einen der beiden vorhergehenden Sätze auf das innere
Π
-Zeichen, d. h. auf den allgemeinen Faktor des ersten oder letzten Produktes erhält man:
— einen Ausdruck, der nach dem andern jener beiden Sätze alsbald in den als mittleres Membrum von (3) angegebenen Ausdruck übergeht.
Ebenso ziehen sich die Erweiterungen der Theoreme 17): 17
×
)
(
a
1

b
1
) (
a
2

b
2
) … (
a
n

b
n
)

(
a
1
a
2
…
a
n

b
1
b
2
…
b
n
)
17
+
) (
a
1

b
1
) (
a
2

b
2
) … (
a
n

b
n
)

(
a
1
+
a
2
+ … +
a
n

b
1
+
b
2
+ … +
b
n
) zusammen zu:
wobei in Bezug auf Ersetzung der Gebiete verknüpfenden Subsumtions- zeichen Ähnliches zu bemerken wäre, wie vorhin bei II; — in Erweiterung der Theoreme 18) bis 19). Die Ausdehnung des Th. 19) ergibt sich namentlich, wenn man
beiderseits
alle Zeichen

in = verwandelt) das mittlere oder freie

aber stehen lässt).
Die Ausdehnungen der Theoreme 24): 24
+
)
(
a
1
= 0) (
a
2
= 0) … (
a
n
= 0) = (
a
1
+
a
2
+ … +
a
n
= 0)
24
×
)
(
a
1
a
2
…
a
n
= 1) = (
a
1
= 1) (
a
2
= 1) … (
a
n
= 1)
stellen sich dar als:
§ 30. Fortsetzung über
Σ
,
Π
.
°Weiter sind:
Die Erweiterungen der Distributionsgesetze, die wir schon Bd. 1, S. 311 in extenso gegeben haben, und die Formel:
drückt die Multiplikationsregel für Polynome nebst ihrem dualen Gegen- stück aus; es steht hier rechterhand eine sogenannte
„Doppelsumme“,
d. h. eine Summe, deren allgemeines Glied selbst wieder ein Summenausdruck ist, resp. ein „Doppelprodukt“. Und es würden diese Sätze sich fernerhin leicht noch so verallgemeinern lassen, dass eine ganz beliebige Menge von Summenzeichen beiderseits vorkäme rechts also (bei 28
+
) eine „mehrfache Summe“ — und analog von
Π
-Zeichen bei 28
×
).
Endlich gibt die Erweiterung der Theoreme 36):
36
×
) (
a
1
a
2
…
a
n
)
1
=
a
1
1
+
a
1
2
+ … +
a
1
n
36
+
) (
a
1
+
a
2
+ … +
a
n
)
1
=
a
1
1
a
1
2
…
a
1
n
in unserer Abkürzung.
Die gegebenen Beispiele werden wol genügen, um auch den Nicht- Mathematiker in die Geheimnisse der Zeichen
Σ
und
Π
einzuweihen.
Ich lege auf diese Verwendungsweise (der Zeichen) selbst für unsere Disziplin nur ein geringes Gewicht, werde auch kaum so von denselben Gebrauch machen. Jedoch musste dieselbe hier dargelegt werden, um den mathematisch weniger geschulten Leser mit dem Geiste der Zeichen ver- traut zu machen und auf den
für uns wichtigen Gebrauch
derselben vor- zubereiten, zu dessen Darlegung ich jetzt übergehe.
Bei diesem enthalten wir uns des Gebrauchs von Zahlzeichen (aus- genommen 0 und 1) gänzlich, verwenden solche auch nicht mehr als Stellen- zeiger.
Fünfzehnte Vorlesung.
Wir fassen nur Formeln des Gebietekalkuls in’s Auge, und lassen die Summations- (resp. Produktations) Variable — sie heisse
x
— so- gleich eine vorgeschriebene Reihe von bestimmten Gebieten:
a
,
b
,
c
,
d
, …
„durchlaufen“, d. h. successive mit einem jeden von diesen im Geiste identifizirt, äusserlich durch dasselbe ersetzt werden. Wenn
f
(
x
) irgend eine Funktion des identischen Kalkuls bezeichnet, so haben wir dann:
als Erklärung für die Bedeutung der linkerhand stehenden Ausdrücke. Behufs Verringerung der Schwierigkeiten des Druckes kann man hier (wo der früher von den „Summengrenzen“ etc. in Anspruch genom- mene Platz frei geworden ist) die Variable
x
statt im Innern, auch
unterhalb
des Zeichen
Σ
resp.
Π
anmerken, schreiben:
f
(
x
),
f
(
x
); auch kann in der Gestalt:
die von der Variabeln zu durchlaufende Wertenreihe (Reihe von speziellen Gebieten) gleich unterhalb der Zeichen
Σ
,
Π
angemerkt werden.
Unterlassen wir auch solche Anmerkung, indem wir z. B. die still- schweigende Unterstellung fordern, dass
a
eine Wertenreihe
a
',
a
'',
a
''', …
b
eine solche
b
',
b
'',
b
''', … zu durchlaufen habe, so gewinnt schon die Mehrzahl unsrer vorigen Sätze ein durchsichtigeres, weniger schwer- fälliges oder überladenes Ansehen, z. B.
(3
×
)
(
a

b
) = (
a

b
)
(3
+
)
(
a

b
) = (
a

b
).
(3)
oder
(
a

b
) = (
a

b
),
wo die Suffixa unter den Zeichen
Π
,
Σ
nun auch ganz fortgelassen werden mögen.
17
×
)
Π
(
a

b
)

(
Π a

Π b
)
17
+
)
Π
(
a

b
)

(
Σ a

Σ b
)
wobei es — als naheliegende abermalige Ausdehnung des früheren Theorems 17) nun nicht einmal zu fordern nötig erscheint, dass die Wertreihe der
a
und die der
b
aus gleichviel Werten bestehe [Es durften ja einzelne von diesen Werten auch zusammenfallen, und
§ 30. Fortsetzung über
Σ
,
Π
.
brauchen sie dann nach dem Tautologiegesetze nicht wiederholt zu werden]. Etc. (den Rest sich noch einfacher zu schreiben überlassen wir dem Leser).
Jedenfalls tritt durch solches Preisgeben des Beiwerks der Kern der Sätze besser hervor. Da es für die Geltung dieser Sätze gleich- gültig ist, wie viele es der von
a
oder
b
beiderseits zu durchlaufenden Werte sein und wie diese Werte heissen sollen, so braucht letzteres in den Sätzen auch nicht gesagt, nicht zum Ausdruck gebracht zu werden.
Wird zu einem Zeichen
,
keine Wertenreihe als die von dem
x
zu durchlaufende ausdrücklich angeführt, so findet gewöhnlich einer von den folgenden beiden Fällen statt:
Entweder diese Wertenreihe ist in unser Belieben gestellt; für den ersten, zweiten, dritten, etc. Wert derselben können wir jedesmal ein individuelles Gebiet nach Gutdünken nehmen, auch ist es gleich- gültig ob die Reihe unbegrenzt fortgesetzt oder irgendwo abgebrochen wird; auch die Anzahl der Werte steht dahin. Solches war in der That bei den allgemeinen Sätzen der Fall, welche wir vorhin zu- sammengestellt haben.
Oder diese Wertenreihe ist eine bestimmte, die Werte sind (wenn auch ihre Reihenfolge als belanglos offen gelassen sein mag) in ihrer Gesamtheit gegeben, durch eine allgemeine Abmachung ein für allemal festgesetzt.
Bei den von Anfang als Rekapitulation der Sätze des identischen Kalkuls in diesem Paragraphen gegebenen Formeln (welche überhaupt Zeichen
Σ
oder
Π
enthalten — vergl. (2), 7) ‥ 11), 43), 47), 48) Zus., 50) und 51) — war das letztere der Fall, und zwar sollte die von der Variabeln
x
zu durchlaufende
Wertenreihe bestehen aus allen denk- baren Gebieten
, die Variable sollte
sämtliche
Gebiete oder Klassen der Mannigfaltigkeit hier stets als Bedeutung nacheinander untergelegt be- kommen (wobei Wiederholungen nicht einmal ausgeschlossen, aber be- langlos).
Stellt nun
F
x
eine das Gebiet
x
betreffende Aussage vor, so wird die Aussage
als ein identisches Produkt von Aussagen der Def. gemäss aussagen, dass die Aussagen
F
a
,
F
b
,
F
c
, …
gleichzeitig
wahr seien, m. a. W. dass die Aussage
F
x
sowol für
x
=
a
, als auch für
x
=
b
,
x
=
c
, etc. gelte. Und das Urteil
Fünfzehnte Vorlesung.
wird sogar — gemäss obiger Abmachung — besagen, dass die Aus- sage
F
x
für jedes Gebiet x
, mithin, dass sie ganz
allgemein
im Gebiete- kalkul gelte.
Dagegen wird eine Aussage:
als eine identische Summe von Aussagen blos ausdrücken, konstatiren, dass letztere alternativ gelten müssen: entweder die erste, oder auch vielleicht die zweite, etc., „oder auch“ mehrere von ihnen zugleich, vielleicht auch alle zusammen. Es
können
alle, es
braucht
aber nur
ein
Term zuzutreffen. Und demgemäss wird das Urteil
schlechtweg besagen, dass die Aussage
F
x
wenigstens gelte
für irgend ein Gebiet x
, vielleicht für
x
= 0, oder vielleicht für
x
= 1, oder für ein gewisses zwischenliegendes
x
, vielleicht sogar für mehrere, eine ganze Klasse von solchen,
vielleicht
endlich —
nicht notwendig
— für alle samt und sonders, „
gewiss
“ nur, für mindestens eines.
Hiernach erscheint nun die zu Anfang nur einfach als Konvention von uns hingestellte Erklärung der Zeichen
und
als durchaus motivirt; sie ist hiermit erkannt als vollkommen konform oder analog (wenn auch nicht identisch) der sonstigen Verwendungsweise dieser Zeichen in der gesamten Mathematik.
Man merke einfach, dass in der Zeichensprache des Kalkuls
Π
das Symbol ist für das Pronomen „
jedes
“ (every),
Σ
dasjenige für „
ir- gend ein
“ (any, resp. some)
Das Pronomen „irgend ein“ wird nicht selten auch gebraucht im Sinne von „ein ganz beliebiges, sonach auch jedes“. Dieses soll hier nicht gemeint sein.
— kürzer: für den unbestimmten Artikel „ein“.
Jenes fordert gleichzeitiges,
simultanes
Vorstellen des dahinter ge- setzten Termes in allen seinen Bedeutungen, dieses nur (fakultativ-)
alternatives
in der einen oder andern, in gewissen oder irgend welchen dieser Bedeutungen.
Mit Hülfe dieser beiden Zeichen, werden wir erfahren, lässt sich jeder Grad von (bestimmter oder unbestimmter) Allgemeinheit an- gemessen darstellen.
§ 30. Aufhören des Dualismus.
Vor alle Formeln des § 29, welche Buchstaben
a
,
b
,
c
,
x
, … enthalten, durften im Hinblick auf deren Allgemeingültigkeit natürlich auch die Zeichen
,
, … unter jeweiliger Einklammerung der ganzen Formel geschrieben werden. —
Die Entwickelung der Mathematik während des letzten Jahr- hunderts hat bekanntlich die Erfahrung gebracht, dass die Über- tragung des Begriffes der Summe oder des Produktes, aus einer
end- lichen
Menge von
Zahlen
auf eine
unbegrenzte
Menge von solchen, auf eine „unendliche“ Reihe von Termen (Gliedern, Faktoren), an bestimmte Voraussetzungen als einschränkende Bedingungen geknüpft ist, welche in den „
Konvergenz
regeln“ („-Kriterien“) für unendliche Reihen, und Produkte, von der Wissenschaft niedergelegt sind. Die Ausserachtlassung dieser Konvergenzbedingungen, stellte sich heraus, führt in Fehler.
Für die identischen Produkte und Summen aus Gebieten oder Klassen haben wir aber vorstehend die analoge Ausdehnung ganz
ohne weiteres
vorgenommen, und wird daher durch die Analogie der identischen mit den arithmetischen Disziplinen die Vermutung nahe gelegt, ob nicht auch hier gewisse Vorsichtsmassregeln zu beachten sein würden, ob nicht auch die identischen Produkte und Summen aus unbegrenzten Mengen von Termen ihre „Konvergenzbedingungen“ haben?
Dass die Frage denknotwendig scheint verneint werden zu müssen bildet ein interessantes Thema der Erkenntnisslehre, welches wir uns hier begnügen, als solches blos angedeutet zu haben.
Noch ein andrer Umstand muss beim Überblicken der Formeln des § 29 auffallen, den wir als
Anmerkung über den Dualismus
zur Sprache bringen.
Die formalen Grundlagen des identischen Kalkuls, als da sind
Definitionen
und (Axiome oder)
Prinzipien
Postulate zähle ich nicht zu den
„formalen“
Grundlagen.
, desgleichen dann auch die aus jenen Grundlagen abgeleiteten, gefolgerten
Theoreme
, zeigten bis- lang jene in § 14 näher erörterte Eigenschaft des „Dualismus“. In jedem Satze konnten mit übergeordnet und untergeordnet, also

und

, zugleich auch 0 und 1, mal und plus die rollen tauschen, und indem sie hierdurch in einander übergingen,
entsprachen
die Sätze mit- unter schon sich selbst, zumeist aber paarweise einander — wie wir sagten „
dualistisch
“ — wie wir nunmehr aber genauer werden sagen müssen: „
gebietsdual
“.
Fünfzehnte Vorlesung.
Nachdem wir nämlich alle Sätze aus ihrer früheren verbalen Fassung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls umgeschrieben, aus jener sie ganz in Formeln „übersetzt“ haben, kommen in ihnen ausser den wie früher schon
Gebiets
symbole oder Klassen verknüpfenden Beziehungs- und Operationszeichen auch vor: dieselben Zeichen als solche, welche
Aussagen
verbinden (die jene Gebiete betreffen). Es tritt neben dem Nullgebiet und dem
Gebiet
1 auch eventuell jetzt in den Formeln auf: die Nullaussage und die
Aussage
1߭.
Faktisch ist die Anwendung der 0 als Aussage in der Rekapitulation des § 29 durchweg vermieden, und ebenso die Aussage 1߭ durchweg, wo- fern man bei den mit Ringelchen ausgezeichneten Chiffren sich an die an- gegebene einfachste Fassung der Sätze hält. Leicht könnten jedoch die Sätze auch in solcher Form dargestellt werden (wie es späterhin zum Teil nicht vermeidlich), dass diese beiden Symbole häufig aufträten.
Also die „
Beziehungszeichen
“:

,

, = (zu denen später noch weitere, wie ≠,

treten werden) sowol, als auch die „
Operations- zeichen
“:
mal
oder · (eventuell unterdrückt und in Gedanken erst herbei- zuschaffen, zu suppliren), sowie
plus
oder + und
nicht
oder
1
(Negations- strich)
Auch die Zeichen
Σ
und
Π
wären an dieser Stelle mit aufzuzählen.
, dazu endlich auch „
die beiden Zahlzeichen
“: 0 und 1 (resp. 1߭) des identischen Kalkuls — alle diese Zeichen haben wir nun und hin- fort zu unterscheiden als „
aussagenrechnerisch
“ oder aber „
gebietsrech- nerisch
“
verwendete
— man könnte wol auch sagen:
sekundäre
und
primäre
.
Als solche geben sie auf den ersten Blick sich zu erkennen, indem die letztern (oder primären Zeichen) an Buchstaben oder Buchstabenausdrücken haften (die kein Beziehungszeichen enthalten), die erstern (oder sekundären) aber an in Klammer stehenden Aussagen, oder Knüpfungen, Komplexen solcher, die mindestens ein Beziehungszeichen in sich schliessen — sodass eine Verwechselung von beiderlei Verwendungsweisen nicht zu besorgen steht.
Nimmt man in den Formeln des § 29 die durch den Satz des Dualismus gestattete Vertauschung der Zeichen 0 mit 1, + mit ·,

mit

, eventuell auch
Π
mit
Σ
,
durchweg
vor, nicht nur bei den als primäre stehenden, sondern auch bei sekundären Zeichen, so ergeben sich fast lauter
falsche
Sätze.
Gewissermassen zufällig richtig — weil ungeändert bleibend oder in ihr duales Gegenstück (im herkömmlichen Sinne) übergehend — bleiben blos der Zusatz zu Def. (1) sowie die Theoreme 5), 20), 32), 37), 38), 39), 41), das Hülfstheorem zu 47), und Th. 49).
Es genügt schon, bei den Grundlagen des Kalkuls jenes nach-
§ 30. Aufhören des Dualismus.
zusehen, um die Unerlaubtheit des Prozesses im allgemeinen dar- zuthun.
Schon Prinzip I in der Fassung des Aussagenkalkuls: (
a

a
) = 1߭ schlechtweg dual umgeschrieben würde lauten:
(
a

a
) = 0,
und somit geradezu in Widerspruch mit sich selbst treten; während näm- lich der ursprüngliche Satz sagt, dass die Formel
a

a stets
gelte, be- hauptet der zweite oder dual umgeschriebene, dass sie (nämlich dieselbe Formel, nur auf die zweite zulässige Art, nämlich von rechts nach links als
a

a
gelesen)
niemals
gelte.
Und ähnlich verhält es sich bei allen mit Ringelchen chiffrirten Theo- remen, indem die
durchgängig duale
Umwandlung eines solchen Theorems allemal hinauslaufen müsste auf die Verneinung seines dualen Gegenstücks (im herkömmlichen Sinne), dessen Geltung doch mit ihm selbst ver- bürgt ist.
Prinzip II, einfach dual umgeschrieben gäbe (sofern wir, statt

und

, lieber major und minor tauschen):
(
c

a
)

(
c

b
) + (
b

a
)
und würde, was offenbar falsch ist, lehren, dass wenn
c
in
a
enthalten ist, entweder es in dem nächsten besten Gebiet
b
, oder dieses in
a
enthalten sein müsse.
Def. (1) der Gleichheit gäbe:
(
b

a
) + (
a

b
) = (
a
=
b
)
wonach
a gleich b
zu nennen wäre, wenn auch nur eines von den beiden Gebieten, gleichviel welches, im andern enthalten ist.
Die Definitionen (2): (0

a
) = 1߭ und (
a

1) = 1߭ würden geben: (
a

1) = 0 und (0

a
) = 0, würden also in Illustration des oben Ge- sagten sich gegenseitig ableugnen.
Aus Def. (3) erhielten wir noch:
(
a
+
b

c
) = (
a

c
) + (
b

c
), (
c

a b
) = (
c

a
) + (
c

b
)
was ebenfalls leicht durch Beispiele als falsch darzuthun.
Etc. Und ähnlich, wie die Grundlagen schon die Umwandlung nicht vertragen, so auch nicht das auf ihnen errichtete Gebäude von Konsequenzen. Es würde beispielsweise Th. 40), Zus. 2 liefern:
(
b

a
+
c
) + (
b c

a
) = (
b

a
),
was offenbar falsch. Etc.
Ebenso würden zumeist falsche Sätze sich ergeben, wenn man in unsern Theoremen etwa die primären, gebietsrechnerisch verwendeten Zeichen unverändert stehen liesse und nur die sekundären aussagen- rechnerisch zu deutenden dem dualistischen Tausch unterwürfe — wie
Fünfzehnte Vorlesung.
man dies im Anschluss an vorstehende Betrachtungen leicht ebenfalls nachsehen wird.
Es gelten unsre Definitionen und Prinzipien „
aussagendual
“
um- geschrieben nicht
mehr, mögen sie dabei gleichzeitig auch „gebietsdual“ transkribirt werden, oder nicht.
Diese Thatsache ist auf den ersten Blick
überraschend
. Wie ist dieselbe mit dem Umstand in Einklang zu bringen, dass doch der Aussagenkalkul nur eine besondre Anwendung des Gebietekalkuls ist, in welchem der Dualismus durchweg herrscht?
Der scheinbare Widerspruch klärt sich in folgender Weise auf.
Schon die allgemeinste, schon eine Aussage von noch ganz offen gelassenem Inhalte, lässt nicht als ein ganz beliebiges Gebiet sich deuten (als eine ganz beliebige Klasse in der Mannigfaltigkeit der Ge- legenheiten zu Aussagen), vielmehr kommt, sofern ihr Sinn nur kon- stant festgehalten wird, einer der beiden Werte 0 oder 1߭ ihr not- wendig zu. Bestimmte, mit Inhaltsangabe ausgestattete oder „spezifi- zirte“ Aussagen, vollends, sind ganz
spezielle
Gebiete (mögen sie auch vielleicht allgemeine Gebiete betreffen, über solche als ihr Thema etwas aussagen). Wenn falsch, sind sie = 0, wenn richtig, = 1߭ zu denken.
Für spezielle Gebiete aber brauchte zu einer Proposition die dual ent- sprechende keineswegs zu gelten.
Wenn — um das einfachste Beispiel zu nehmen —
a

b
ist, braucht nicht zugleich auch
b

a
zu sein (sonst müsste ja in der That jede Ein- ordnung auf identische Gleichheit hinauslaufen). Oder wenn für
gewisse
Gebiete
a
,
b
,
c
beispielsweise
a

b
+
c
sein sollte, so muss nicht notwendig zugleich auch
b c

a
gelten!
Nicht zu „Relationen“, sondern nur zu
allgemeinen
„
Formeln
“
des Gebietekalkuls
, die also richtig sind, was auch immer für Gebiete der Mannigfaltigkeit die in sie eingehenden Buchstaben bedeuten, mussten stets die dual entsprechenden gelten.
Da in dieser Weise z. B.
a b

a
war, so musste zugleich auch
a

a
+
b
allgemein sein. Etc.
Von solchem Charakter
scheinen
zwar die in § 29 rekapitulirten Theoreme zu sein — die wir in der That fortfahren mögen, auch in ihrer dortigen Fassung, als
allgemeine
„
Formeln
“ (und zwar des Aus- sagenkalkuls) zu bezeichnen, sintemal sie eben für ganz beliebige Ge- biete
a
,
b
,
c
,
d
,
x
,
y
, etc. Geltung beanspruchen — sie sind es aber in Wahrheit (im vollen Sinne des Wortes)
nicht
: vielmehr stellen die- selben sich sofort als blosse „Relationen“ (des Gebietekalkuls) dar, so-
§ 30. Aufhören des Dualismus.
bald man die in sie eingehenden Aussagen durch Buchstaben ersetzt (und letztere auf ihre Bedeutung im Gebietekalkul prüft):
Sollte man selbst die zugrunde gelegte Mannigfaltigkeit in
ein
Individuum zusammenschrumpfen lassen, somit auf die beiden Gebiete 0 und 1߭ (welch’ letzteres dann dieses eine Individuum vorstellt) be- schränken, — wie es hier angezeigt sein wird — so können doch unsre sogenannten Formeln des § 29 im letzterwähnten Sinne in der Regel nicht „Formeln“ sein. Dies wollen wir an einem Beispiel, etwa bei Prinzip II, uns völlig zum Bewusstsein bringen.
Dasselbe mögen wir schreiben:
C A

B
,
wo
C
,
A
,
B
die Behauptungen (oder Aussagen) bedeuten:
C
= (
a

b
),
A
= (
b

c
),
B
= (
a

c
).
Die Voraussetzungen
C
und
A
unsres Satzes mögen hier nach Be- lieben richtig oder falsch sein; sie sind (innerhalb der blos die Ge- biete 0 und 1߭ umfassenden Mannigfaltigkeit) beliebige oder allgemeine Symbole. Nicht so aber dann das Symbol
B
für die Behauptung des Satzes. Dasselbe ist, nachdem die Werte von
C
und
A
festgelegt sind, nicht mehr ganz willkürlich; es kann z. B. nicht 0 bedeuten, wenn
C
und
A
die 1߭ zum Werte haben. Sogar in der Mannigfaltigkeit 0, 1߭ ist daher die Proposition
C A

B
nicht allgemeingültig, keine Formel, weshalb auch die dual entsprechende:
B

C
+
A
hier nicht zu gelten braucht. — Und diese Überlegung wird nicht beeinträchtigt durch den Umstand, dass
in
unsern Aussagen
A
,
B
,
C
die Symbole
a
,
b
,
c
ganz allgemeine oder beliebige Gebiete (der Tafelfläche z. B.) vorstellten. —
Das Versagen des Dualismus beim aussagendualen Umschreiben der Sätze kann uns hiernach nicht mehr befremden.
Immer aber gelten unsre Formeln blos „
gebietsdual
“ umgeschrieben ebenfalls wieder, d. h. man erhält aus ihnen immer wieder richtige Formeln, wenn man
nur
die primären oder gebietsrechnerisch ver- wendeten Zeichen 0 und 1, + und ·,
Π
und
Σ
,

und

umtauscht, dagegen dieselben ungeändert stehen lässt, wo sie als sekundäre (als Aussagen zu deutende, resp. solche verknüpfende, auf solche bezüg- liche) auftreten.
Unsere Theoreme des identischen Kalkuls werden wir hinfort auch in zweierlei Sinne zu citiren haben [so, wie dies mit den Prinzipien wenigstens, auch wiederholt schon früher der Fall gewesen]: als solche nämlich des allgemeineren, des Klassen- oder Gebietekalkuls, und ferner
Fünfzehnte Vorlesung.
als solche des spezielleren, des reinen Aussagenkalkuls — wo unter den kleinen Buchstaben,
a
,
b
,
c
,
x
, ‥ dann Aussagen zu denken sein werden. Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, ohne dass doch auf die Angabe der beabsichtigten Verwendung jedes Citates verzichtet werden müsste, mag künftig die
letztere
Citationsweise durch einen
über die Chiffre des Theorems gesetzten Horizontalstrich
angedeutet werden.
„Nach Pr. ĪĪ“ z. B. wird darnach heissen: „weil, wenn
C
aus
B
und
B
aus
A
folgt, dann auch
C
aus
A
folgt“. „Nach Th. 6
×
)“ heisst: weil das mehrern Gebieten gemeinsame Gebiet in irgend einem (einem jeden) derselben enthalten ist; wogegen „nach Th. 6̄
×
)“ heisst: weil, wenn
A
nebst
B
gilt, dann gewiss auch
A
(oder resp.
B
) gelten wird. „Nach Th. 2̅1̅
×
)“ heisst: weil eine selbstverständliche oder nach den gemachten Voraus- setzungen ohnehin gültige Aussage (1߭) nach Belieben fortgelassen werden mag, wo sie erwähnt worden, oder auch als simultan geltende angeführt werden mag, wo sie noch nicht erwähnt worden. Etc.
Sechzehnte Vorlesung
.
§ 31.
Die Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet. Inkonsistenz.
Es wurde schon wiederholt im Kontext darauf hingewiesen, doch ist erst hier der Ort, es im System eingereiht auszusprechen, dass (nach der im § 28 über die Aussagensubsumtion
A

B
getroffnen Übereinkunft) das
Prinzip
I
der Identität:
A

A
im Aussagenkalkul die Bedeutung hat:
Wenn A gilt
,
so gilt A.
Das heisst:
Eine einmal als richtig erkannte Aussage
(von bestimmtem Sinne)
darf
, (indem dieser Sinn konstant festgehalten wird),
bei beliebiger Ge- legenheit wiederholt werden und muss allemal
,
so oft sie ausgesprochen wird, wieder als gültig anerkannt werden
. Mit noch andern Worten: Was wahr ist, muss wahr bleiben. Zugeständnisse müssen, wenn ge- macht, auch aufrecht erhalten, Abmachungen müssen gleichwie gegebene Versprechen, gehalten werden. Ist zugegeben, dass eine Aussage
A
gelte, so hat man dies von neuem zuzugeben, wann immer es — etwa im Verlaufe von ferneren Argumentationen — in Erinnerung gebracht werden sollte. Es ist geradezu die Forderung der
Konsequenz
im Denken, die sich im Aussagenkalkul in das „Prinzip der Identität“ ein- kleidet.
So unbestreitbar das Recht ist, mit welchem wir diesen Satz als einen obersten Grundsatz der Logik in Anspruch nehmen, so erscheint es doch nicht überflüssig, darauf aufmerksam zu machen, dass es missbräuchliche Anwendungen dieses Grundsatzes gibt, erscheint es daneben angezeigt, auch vor solchen zu warnen.
Für eine radikale Anwendung unsres Grundsatzes in allen Lebens- lagen sollte hier keineswegs plädirt werden. Im gemeinen Leben darf manches, was
wahr
ist, weder beliebig wiederholt, noch überhaupt nur aus- gesprochen werden, und schon die Befolgung des Grundsatzes, „was wahr ist, könne man ja sagen“, müsste sowol für Denjenigen, der es damit ver- suchte, als für Diejenigen, die mit ihm in Berührung kommen, im all- gemeinen eine Fülle von Unzuträglichkeiten im Gefolge haben, ja unberechen- baren Schaden stiften — wie dies in einer bekannten Erzählung und darauf
Schröder
, Algebra der Logik II. 4
Sechzehnte Vorlesung.
gegründetem Lustspiele „Nur einen Tag die Wahrheit“, z. B., in anmutiger Weise veranschaulicht worden.
Im gesellschaftlichen sowol als im dienstlichen Verkehr unter den Menschen ist bekanntlich die Freiheit, eine Wahrheit auszusprechen oder zu wiederholen, ausserordentlich und in ernstester Weise eingeschränkt durch die Pflicht der Rücksichtnahme auf die möglichen oder voraussichtlichen Wirkungen ihrer Äusserung, namentlich aber durch die Forderungen des
Anstandes,
des
Taktes
und der
Diskretion
.
Vor geistig Unmündigen, vor ganzen und halben Kindern, Frauen dürfen grosse Klassen von Wahrheiten überhaupt nicht ausgesprochen werden. Das Gebiet, unter anderm, braucht hier nicht näher bezeichnet zu werden, auf welchem auch die Kundgebung von Wahrheit mittelst Ab- bildung, wie sie z. B. als Photographie mit äusserster Genauigkeit und Treue,
Wahrhaftigkeit,
sich herstellen lässt, mit gesetzlichen Strafen aus gutem Grunde verpönt ist. In der Bethätigung von Takt in seinen Äusserungen wird ein Mensch nicht nur den etwa auszusprechenden oder anzudeutenden Wahrheiten eine schonende Form zu geben suchen, in welcher sie die Ge- fühle Derjenigen, an die sie gerichtet sind, nicht unnötig verletzen, die Lebensinteressen der Nebenmenschen nicht ohne Not preisgeben oder schä- digen, sondern er wird auch in vielen Fällen den Impuls zum Aussprechen oder Wiederholen einer Wahrheit gänzlich hemmen. Den Anforderungen des Taktes gesellen sich noch die ästhetischen des guten Geschmackes. Als Geschäfts- und Dienstgeheimniss aber, auch als persönliche Angelegenheit von privatem Charakter, als ein durch konfidenzielle Mitteilung erworbenes Wissen oder „im Vertrauen“ Erfahrenes, ist manche Wahrheit sogar vor der Veröffentlichung oder Preisgebung an Unbefugte sorgfältig zu hüten. Ihre konsequente Verschweigung und sorgfältige Verheimlichung mag erscheinen als Forderung der Freundespflicht, der Ehre und des Diensteides; auf ihrer Preisgebung kann z. B. stehen die höchste Strafe des Vaterlands- verrates. —
Da wir hier nicht eine Ethik zu schreiben vorhaben, so mag es bei diesen Andeutungen sein Bewenden haben, die sicherlich für den Verständigen genügen, der Freiheit wissenschaftlicher Forschung und Argumentation indess auch wol keinen Eintrag thun.
Auch auf das
Prinzip
II als solches des Aussagenkalkuls haben wir uns wiederholt schon vorgreifend berufen. Dasselbe, nämlich
ĪĪ. (
A

B
) (
B

C
)

(
A

C
)
stellt sich als der erste (und wichtigste) „hypothetische“ Syllogismus dar, und spricht die Berechtigung aus, aus den als simultan gültig vorausgesetzten Prämissen, als da sind der
Untersatz:
Wenn A gilt
,
so gilt B
, und der Obersatz:
Wenn B gilt
,
so gilt C
,
die Konklusion zu ziehen: ergo
Wenn A gilt
,
so gilt C.
Mit andern Worten:
Wenn B von A und C von B bedingt wird
,
§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
so wird auch C von A bedingt. Die Folgerung aus der Folgerung aus einer Annahme ist auch eine Folgerung aus dieser Annahme.
Auch auf diesem Anwendungsfelde sind wir berechtigt, das Prinzip als einen „Subsumtionsschluss“ zu bezeichnen. Derselbe erscheint uns als das Prinzip der
Stetigkeit
,
Kontinuität
im Folgern oder Schliessen.
Wir haben begonnen, die „Prinzipien“ des
Klassen
kalkuls im
Aus- sagen
kalkul zu deuten und wurde in dieser Hinsicht zunächst Pr. I und II erledigt, welche beiden sich als die einzigen Prinzipien des letzteren darstellen, von denen auch schon im ersteren bei dessen mit Worten geführten Überlegungen und Beweisführungen Gebrauch gemacht werden musste.
Bei der aussagenrechnerischen Formulirung des letzteren Prinzipes wurde indess, wie ersichtlich, schon Gebrauch gemacht — und zwar unvermeidlicherweise — von dem Begriff und Zeichen des Aussagen- produktes sowie von denen der Aussagenäquivalenz. Die(se) beiden Begriffe der Gleichheit und des Produktes fanden im Klassenkalkul erst hinter Prinzip II ihre Erklärung, die zugehörigen Zeichen auch erst
nach
diesem ihre Einführung.
Sofern es möglich ist, sie selber ohne Berufung auf das Pr. II zu begründen, müssten sie demnach im Aussagenkalkul dem Pr. II
voran
- geschickt werden.
Hieraus wird offenbar, dass wir uns nicht mehr blos auf die Er- örterung jener „Prinzipien“ (im engeren Sinne) beschränken dürfen, sondern auch Definitionen und Postulate mit in den Bereich der Be- trachtung ziehen müssen. Wir werden nicht umhin können, auch auf die
Grundlagen
des Aussagenkalkuls überhaupt wenigstens einen Seiten- blick zu werfen.
Wie wir anzunehmen uns berechtigt glauben, war der ganze Klassenkalkul auf ein Minimum von axiomatisch zu fordernden Sätzen zurückgeführt; er wurde nachgewiesen als beruhend auf einem Komplex von „Prinzipien“, Definitionen und Postulaten, welche wir einerseits als unerlässliche, nicht weiter reduzirbare oder zu vermindernde, andrer- seits als zu seiner Begründung vollkommen hinreichende erkannten.
Von dem Klassenkalkul erschien aber der Aussagenkalkul uns blos als eine spezielle Anwendung. Jedenfalls konnten die Grundlagen des ersteren als ohne weiteres auch für letzteren
gültige
in Anspruch ge- nommen werden.
Ein speziellerer Charakter wird indess dem Aussagenkalkul in der That dadurch aufgeprägt — insoweit er sich wenigstens auf Aussagen
4*
Sechzehnte Vorlesung.
von festem Sinne bezieht
Und soweit allein erscheint er in unserm Buche sowie in den bisherigen Forschungen ausgebildet.
— dass zu jenen Grundlagen noch eine weitere axiomatisch zu stellende Forderung hinzutritt, die zur Folge hat, dass jedem eine Aussage repräsentirenden Buchstaben oder (zu- sammengesetzten) Symbole immer nur
eine
der
beiden
Bedeutungen 0 oder 1߭ zukommt — dergestalt, dass der Aussagenkalkul zusammenfällt mit einem Klassenkalkul, welcher eine neben dem Nichts nur ein ein- ziges Individuum 1߭ enthaltende Mannigfaltigkeit 1߭ voraussetzte. Jener adventiven Forderung werden wir (wie sich zu Anfang des § 32 zeigt) am besten die Fassung geben:
(
A
= 1߭) =
A
in welcher sie als
das spezifische Prinzip des Aussagenkalkuls
hingestellt werden mag. Und somit wären wir also auch über die formalen Grund- lagen des Aussagenkalkuls schon von vornherein im Klaren.
Wir
wissen
bereits, auf welchem Minimum von selbständigen Elementen sein Gebäude ruhend angesehen werden kann, und die er- kenntnisstheoretisch so hochwichtige Frage nach möglichster Verein- fachung seiner Grundlagen ist keine dringliche mehr.
Beträchtlich würde gleichwol das Bild dieser Grundlagen sich verschieben, versuchte man es, den Aussagenkalkul
selbständig
auf- zubauen.
Obwol es uns rationeller erschien, den Gebiete- oder Klassenkalkul als den allgemeineren ihm vorangehen zu lassen, wäre es dennoch nicht unverdienstlich, ja von hohem Interesse, solch selbständige Be- gründung des Aussagenkalkuls durchzusprechen. Zu dem Ende würde Herrn
Peirce’
s Arbeit
5
zu revidiren sein unter schärferer Hervor- hebung und Numerirung der als unmittelbar einleuchtend geforderten Prinzipien und Postulate. Glauben wir auch — aus angeführten Gründen sowie der noch nicht ganz überwundenen Schwierigkeiten des Unter- nehmens halber — auf die vollständige Verwirklichung dieses Desidera- tums hier verzichten zu dürfen, so soll doch die gegenwärtige Vor- lesung einiges Material dazu beisteuern.
Die Subsumtion (2̄
×
) 0

A
hingestellt als eine solche, welche für jede Aussage
A
zu gelten habe, ist wohl geeignet, die Nullaussage zu definiren, und ebenso ist die Subsumtion (2̄
+
)
A

1߭ auch im Aus- sagenkalkul darnach angethan, die Aussage 1߭ zu definiren. Die letztere 1߭ hätte darnach zu gelten, immer dann, wenn eine beliebig zu wählende
§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Aussage
A
gilt, das heisst aber: sie hätte
stets
zu gelten — in An- betracht, dass man für
A
auch eine stets gültige Aussage (dergleichen es ja gibt
Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind.
) wählen kann. Sobald ferner die Aussage 0 gilt, muss jede beliebige Aussage
A
gelten; da es aber auch stets ungültige Aus- sagen
A
gibt
Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind.
, so kann die Gültigkeitsklasse der Nullaussage nur die leere sein. Es war demnach zunächst die Aussage 1߭ als das Symbol jeder unbedingt gültigen und die Aussage 0 als der Reprä- sentant jeder unbedingt falschen Aussage in Erinnerung zu rufen.
Was die Def. (1̄) der Aussagenäquivalenz betrifft, so wurde in § 29 gezeigt, wie der scheinbare circulus in definiendo, nämlich der Gebrauch einer Äquivalenterklärung bei:
(
A
=
B
) = (
A

B
) (
B

A
)
sich vermeiden lässt.
Dagegen setzte diese Erklärung das Verstehen eines Aussagen-
produktes
bereits voraus, dessen Definition derjenigen der Gleichheit hier vorangestellt sein müsste — wie denn überhaupt die Reihenfolge in der die Grundlagen vorzutragen wären, und zufolge dessen zum Teil auch die Anordnung der Beweise im reinen, selbständig er- richteten Aussagenkalkul sich zu Anfang als eine andre aufdrängt, als wie sie im Klassenkalkul gegeben worden.
Durch die Def. (3̄
×
) (
C

A B
) = (
C

A
) (
C

B
) in dieser ursprünglichen oder in irgend einer der dieser äquivalenten Formen kann aber das Aussagenprodukt
A B
nicht ohne circulus definirt werden, weil rechterhand, behufs der Erklärung, selbst zu einem Aussagen- produkt gegriffen wird — ganz abgesehen davon, dass auch (entgegen dem vorhin Bemerkten) die Erklärung der Aussagenäquivalenz wieder ihrerseits vorausgegangen sein müsste. Ohne dass man zwei Annahmen (von Merkmalen) als gleichzeitig vorauszusetzende hinzustellen ver- möchte, lässt sich überhaupt nichts definiren
Wenigstens müsste hier die Gleichzeitigkeit
der beiden speziellen
Annahmen
C

A
und
C

B
postulirt werden, um diejenige
irgend zweier
Annahmen oder Aussagen
A
und
B
zu definiren.
Das Aussagenprodukt
A B
muss wohl oder übel direkt, vermittelst seiner Interpretation, de- finirt werden als die Aussage, welche ausspricht, dass die Aussage
A
und die
B
gleichzeitig gelten; und die Gleichzeitigkeit scheint zu den Kategorieen oder Urbegriffen zu gehören.
Was wir im Gebietekalkul unter (3
×
) als eine
Definition
hinstellen
Sechzehnte Vorlesung.
konnten, wird darnach jetzt, im reinen Aussagenkalkul, entweder als ein Theorem oder aber als ein Prinzip auftreten.
Ich bin übrigens wirklich im Zweifel, ob sich in solchem Grenzfalle die Unterscheidung zwischen diesen Begriffen (von Definition, Axiom resp. Prinzip und Theorem) noch strenge würde durchführen lassen. Man ver- gleiche, was in § 51 in Bezug auf Herrn
Dedekind’
s von ihm so ge- nannten
„Beweis“ des Prinzips
II gesagt ist. Man wird erkennen, dass es bei der Frage wesentlich auf die Art ankommt, wie man den Begriff des „Beweises“ erfasst, denn nur durch das Vorhandensein oder die Möglichkeit eines solchen soll sich das „Theorem“ vor dem „Axiom“ auszeichnen.
Verlangt man nun von dem „Beweise“ — denselben wol in dem ge- bräuchlichsten Sinne (sonach etwas weiter) fassend — nur die Herbei- führung der subjektiven Überzeugung, dass die zu beweisende Behauptung mit den Definitionen (und den eventuell ausserdem noch zuvor statuirten Axiomen) in objektiver Denknotwendigkeit gegeben sei, so muss man in unsrer gegenwärtigen Disziplin alles als „bewiesen“ gelten lassen, sobald es nur auf Grund gegebener Definitionen einleuchtet — und zwar einerlei, auf welchem Wege dieses Gefühl der Evidenz zustande kommt — auch dann insbesondere, wenn es sich unmittelbar aufdrängt. Wirkliche Axiome, wie in Geometrie und Physik, sind hier ja gar nicht vorhanden, und Alles ist mit den Definitionen nebst gewissen (das Zugeständniss der Wirklichkeit des Definirten fordernden) Postulaten schon denknotwendig gegeben — auch Dasjenige, was wir hier (zur Unterscheidung von jenen eigentlichen Axiomen) als „Prinzip“ hinstellen.
Die Wissenschaft fasst den Begriff des „Beweises“ schon enger als das gemeine Leben, und zwar bei ihrem Fortschreiten ganz merklich immer enger und enger; vor allem sind die Mathematiker auch
wählerisch in den Mitteln der Erkenntniss
geworden; noch mehr müss(t)en die Philosophen es sein.
So lässt denn die Geometrie z. B. bei ihren Beweisführungen nur mehr die logische Evidenz gelten; und schliesst die geometrische, welche auf der uns zur zweiten Natur gewordenen Raumanschauung beruht, in ihren höheren Teilen wenigstens, gewissenhaft aus.
Die Arithmetik ist nunmehr völlig von der Anschauung oder Voraus- setzung vergleichbarer und messbarer Grössen frei geworden und auf rein logische Grundlagen gestellt; sie hat sich besonders dank den Arbeiten von H.
Grassmann
, G.
Cantor
,
Weierstrass
und
Dedekind
zu einem Zweige der reinen Logik entwickelt.
Am engsten, sind wir genötigt, den Begriff des „Beweises“ in der Logik selbst zu fassen: die Arten, auf welche das Gefühl der Evidenz zu- stande kommen kann, sollen hier zum Bewusstsein gebracht, schematisirt, klassifizirt und rubrizirt werden.
„Prinzipien“
nannten wir solche Sätze oder auch Schlussweisen, welche nicht auf früher registrirte nach eben- solchen zurückgeführt wurden und nebenbei gesagt sich auf noch einfachere Sätze überhaupt nicht reduziren zu lassen scheinen.
„Theoreme“
nannten wir die Sätze, bei welchen solche Zurückführung — der sog.
„Beweis“
— gelang, und zwar lediglich unter bewusster Anwendung der registrirten
§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Definitionen und Prinzipien (sei es unmittelbar, sei es mittelbar unter Zu- zug von noch andern, indess schon ebenso bewiesenen Sätzen).
Wesentlich wird es darnach auf die Reihenfolge ankommen, in welcher die Sätze untergebracht werden: je nachdem man sich für die eine oder andere Ordnung entscheidet kann ein und derselbe Satz als Theorem oder als Prinzip zu gelten haben. Die Reihenfolge ist naturgemäss eingeschränkt durch die Anforderung, dass Begriffe und ihre Zeichen nicht angewendet werden dürfen bevor sie, sei es definitionsweise, sei es als Urbegriffe, ein- geführt worden sind.
Hierbei ist es nun aber noch fraglich, ob es möglich sein wird, auch die ersten
Grundlagen
unsrer Erkenntniss
im Aussagenkalkul
in eine Kette von logisch in bestimmter Weise sich auseinander entwickelnden Sätzen aufzulösen, ob nicht vielmehr bei dem Versuche einer solchen Entwickelung gewisse Zirkel unvermeidlich bleiben und die letzten Grundlagen sich uns darstellen werden als ein
gegebenes
Flechtwerk oder Netz von miteinander konsistenten Begriffen und Grundsätzen, bei dem man zwar von Knoten zu Knoten die kreuz und die quere entlang zu wandern vermag, ohne jedoch das Ganze in eine einfache Perlenschnur je auflösen zu können.
Glücklicherweise jedoch liegt in Gestalt des als Klassenkalkul errich- teten identischen Kalkuls das gedachte Flechtwerk dermalen wenigstens schon fertig vor unsern Augen.
Nehmen wir nach dem Gesagten nun das gleichzeitige Adoptiren von (zwei) Voraussetzungen, imgleichen wie das Statuiren von (zwei) Behauptungen als simultan geltender, in Anspruch als eine logische Kategorie nach Art der Urbegriffe, so konnte auch die Aussagen- gleichheit, wie in § 29 erläutert, definirt werden und wir verfügen nächst dem Begriffe der Aussagensubsumtion, dem Prinzip Ī und dem Begriff der 0 und 1߭ als der falschen und der wahren Aussage auch über den Begriff der Äquivalenz, nach welchem, wie gezeigt, das Prin- zip ĪĪ angereiht werden konnte.
Auf Grund der Erklärung des Aussagenproduktes erscheinen jetzt auch die Formeln
A B

A
und
A B

B
des Theorems 6̅
×
) als reiner Ausfluss des Prinzips Ī: wenn
A
und
B
zugleich gelten, so gilt
A
.
Ebenso die beiden Subsumtionen: (
C

A B
)

(
C

A
) (
C

B
) und (
C

A
) (
C

B
)

(
C

A B
) welche sich zu unsrer frühern Def. (3̄
×
) zusammensetzten: Wenn
A B
(d. h. eben
A
nebst
B
) gilt, wann
C
gilt, so gilt auch
A
wann
C
gilt, und zugleich gilt
B
wann
C
gilt, sowie umgekehrt.
Was die Aussagen
summe A
+
B
betrifft, so hat man, scheint mir, die Wahl, ob man sie mittelst der für
jede
Aussage
C
in Anspruch zu nehmenden beiden Subsumtionen (3̄
+
): (
A

C
) (
B

C
)

(
A
+
B

C
), (
A
+
B

C
)

(
A

C
) (
B

C
)
Sechzehnte Vorlesung.
als definirt erachten will um dann zu postuliren die Interpretation dieses
A
+
B
als derjenigen Aussage welche die Geltung von
A oder
(von)
B
statuirt, oder ob man umgekehrt diese letztere Deutung von
A
+
B
hinstellen will als die Begriffserklärung unsrer Aussagensumme und dann die Geltung der Subsumtionen (3̅
+
) als unmittelbar ein- leuchtende postuliren:
Wenn
C
gilt wann
A
oder
B
gilt, so muss auch
C
gelten wann
A
gilt, zugleich muss
C
gelten wann
B
gilt, sowie umgekehrt.
Im letzteren Falle würde die Konzeption einer Alternative (von Annahmen, resp. Behauptungen) zu einem logischen Urbegriffe ge- stempelt. — Von dem auf solche Grundlagen zu stellenden Gebäude von Sätzen will ich nur weniges einzeln hervorheben.
Durch die Theoreme 1̅2̅) und 1̅3̅) wird dargethan, dass bei simul- tanen sowol als bei alternativen Aussagen die Reihenfolge und Grup- pirung derselben gleichgültig ist (für ihren logischen Gehalt, ihre Tragweite). Insbesondere gilt dies auch für solche Aussagen, welche als Prämissen von Konklusionen zu figuriren haben.
Praktisch unterliegt freilich die Anwendung dieses Satzes gewissen Einschränkungen, indem gewisse Aussagen, um verständlich zu werden, es erfordern können, dass gewisse andere ihnen vorausgeschickt seien.
Der Beweis beim Kommutationsgesetze 1̅2̅
×
) z. B. scheint auf den ersten Blick auf eine „
Petitio principii
“ einen
Zirkelbeweis
hinauszulaufen, bei welchem von dem Satze den man beweisen will, bereits unterwegs Gebrauch gemacht wird. Aus
A B

A
und
A B

B
gemäss Th. 6̅
×
)
schliesst man
ja,
dass A B

B und A B

A
, darnach kraft (3̅
×
):
A B

B A
sei (desgleichen umgekehrt). Man gestattet sich demnach augenscheinlich, auf jene zu Prämissen erhobenen beiden Subsumtionen in der umgekehrten Ordnung als in welcher sie zuerst sich darboten, sich zu berufen.
Die Erlaubniss dazu ist in der That aber
durch das Prinzip Ī
schon
garantirt
, kraft dessen die als wahr zugegebene zweite Subsumtion auch wieder anerkannt werden muss, wenn man sie — etwa als erste — zu wiederholen beliebt.
Auf die im § 10 dargelegte Weise erst zu beweisen, dass Reihen- folge und Gruppirung der Prämissen in unser Belieben gestellt ist, erscheint dann freilich als ein Luxus, indem solches schon unmittelbar aus Prinzip Ī hervorgeht.
Gilt z. B.
A B C
, so gilt auch
A B
nebst
C
, sowie
A
nebst
B C
desgleichen gilt dann
C B A
. Denn muss jede einzelne Prämisse im Falle des Wiederholtwerdens bei jeder Gelegenheit anerkannt werden,
§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
so auch jede Gruppe von Prämissen, diese in was immer für einer Anordnung genommen — sintemal eben das Auftreten einer Prämisse in solcher Gruppe resp. in der neuen Anordnung, doch nur eine der Gelegenheiten bildet, bei denen sie anzuerkennen ist.
Von grosser Wichtigkeit und häufigster Anwendung im Aussagen- kalkul ist noch das Th. 2̅1̅
×
):
A
· 1߭ =
A
,
nach welchem eine (selbstverständlich) wahre Aussage nach Belieben einer Prämisse zugefügt, oder auch bei solchen unterdrückt werden darf. Z. B. Wenn
A
gilt, so gilt
A
und ist zugleich 2 × 2 = 4, so- wie umgekehrt: wenn
A
gilt und 2 × 2 = 4 ist, so gilt
A
.
Das
Prinzip
III
×
kann im Aussagenkalkul zunächst durch ein ein- facheres Prinzip vertreten werden — einfacher, weil es nur auf zwei (statt drei) allgemeine Aussagen bezüglich, nämlich durch dieses:
Prinzip
*ĪĪĪ. (
A
+
B
= 1߭) = (
A
= 1߭) + (
B
= 1߭), d. h.
Gilt A oder B
,
so muss entweder A gelten
,
oder auch es muss B gelten
,
und umgekehrt: Wenn A gilt oder B gilt
,
so gilt A oder B.
Auf Grund des letzteren schon wird sich nämlich die zweite Sub- sumtion des Distributionsgesetzes 26
×
) und damit dieses selbst (das
volle
Distributionsgesetz)
beweisen
lassen, und zwar wie folgt. Wir wählen für den zu beweisenden Satz die Fassung: 2̅6̅
×
)
(
A
+
B
)
C

A C
+
B C
.
d. h. Gilt
A
oder
B
, und ausserdem
C
, so gilt
A
nebst
C
oder
B
nebst
C
.
Denn nach der Voraussetzung — im Hinblick, wenn man will auf Th. 6̅
×
) als (
A
+
B
)
C

A
+
B
— gilt dann
A
oder
B
, wofür nach Pr. ĪĪĪ gesagt werden darf: es gilt
A
, oder es gilt
B
. Da nun nach Pr. I die Voraussetzung
C
bei beliebiger Gelegenheit wiederholt werden darf mit dem Anspruche, alsdann auch anerkannt zu werden, so können wir für letzteres auch sagen: es gilt
A
und zugleich (gilt)
C
,
oder
es gilt
B
und zugleich
C
, d. h. aber: es gilt
A C
, oder es gilt
B C
, was wiederum nach Pr. ĪĪĪ zusammenziehbar ist in: es gilt
A C
oder
B C
, es gilt
A C
+
B C
, q. e. d.
Dass der obige Satz ĪĪĪ im Gebietekalkul
nicht
gilt, wurde schon in § 12 hervorgehoben, ist auch zudem leicht durch das nächste beste Beispiel zu belegen (zum Exempel bei beliebigem von 1 verschiedenem
A
durch die Annahme
B
=
A
1
).
Da der Satz als ein auf
Gebiete A
und
B
bezüglicher gleichwol
Sechzehnte Vorlesung.
einen Sinn hätte, obzwar er dann ungültig wäre, so ist der Gefahr vor- zubeugen, dass man ihn irrtümlich schon auf Gebiete anwende. Davor zu warnen ist der oben seiner Chiffre vorgesetzte
Stern
* bestimmt.
Mit einem solchen wollen wir ähnlich alle Formeln auszeichnen, denen nur die „
engere Geltung
“ als solchen des Aussagenkalkuls
nicht
aber die „
weitere
“ auch im Gebietekalkul zukommt.
Nur da, wo letzteres ohnehin aus der Formel ersichtlich ist, mag die Beisetzung des Sterns unterbleiben. Jenes spezifische Prinzip des Aussagenkalkuls: (
A
= 1߭) =
A
zum Beispiel kann unmöglich für eine Formel der Gebieterechnung gehalten werden weil dann rechts in der Gleichung ein Gebiet stehen würde, während links eine Aussage figu- rirt (auch dann, wenn
A
als Gebiet interpretirt wird), und die Gleich- setzung solcher Aussage mit einer Kreisfläche
A
keinen Sinn oder keine Berechtigung haben könnte. Vgl. hiezu noch § 45.
Nunmehr bleibt uns noch die
Negation einer Aussage
zu erörtern mitnebst den auf sie bezüglichen Grundsätzen der Logik.
Betrachten wir die Aussage
A
selbst als ein Objekt des Denkens, welches einer „gewöhnlichen“ Mannigfaltigkeit von denkmöglichen Ob- jekten angehört, so müsste unter
A
1
verstanden werden: Alles (aus der erwähnten Mannigfaltigkeit), was
nicht
eben diese Aussage
A ist
— in Anbetracht, dass ja für jedes Objekt des Denkens bereits der Be- griff seiner Negation in § 13 aufgestellt worden ist.
Hierbei aber hätten wir die Aussage ohne Rücksicht auf ihren Sinn oder Gehalt als einen blossen Schall, oder Wortgefüge in Betracht gezogen, wir wären demnach auch nur dahin gelangt, die
Negation der Aussage A in der suppositio nominalis
zu bilden — vgl. Bd. 1, S. 44.
Analog würde als Negation von „Pferd“ in letzterer Unterstellung zu bezeichnen sein: alles was nicht das Wort „Pferd“ ist, wogegen wir aber als Negation des Pferdes vielmehr in der suppositio realis anzusehen hatten: alles, was nicht ein Pferd ist.
Gleichwie nun aber die suppositio nominalis bei unsern Operationen mit Klassen und Begriffen auszuschliessen war, so wird sie auch stets
auszuschliessen
sein bei unsern auf Aussagen bezüglichen Konventionen und Betrachtungen. Aussagen ziehen wir nach ihrer
Geltung
in Be- tracht in Hinsicht dessen, was sie besagen. Es kommt uns darauf an, den Begriff der
Negation in der suppositio realis
aufzustellen als einer
Aussagenverneinung
in der üblichen landläufigen Bedeutung, und diese wird als „Negation von
A
“ schlechtweg bezeichnet werden, von dieser allein soll hier die Rede sein. Zu dem Ende müssen wir uns die im § 29 dem Aussagenkalkul gegebene Basis vergegenwärtigen.
§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Im Aussagenkalkul bedeutete uns 1߭ die Mannigfaltigkeit aller Gelegenheiten resp. Zeitpunkte, wo eine Aussage gemacht wird oder gemacht werden könnte. War
A
eine Aussage jeweils bestimmten (wenn auch nicht notwendig gerade unveränderlichen, konstanten) Sinnes, so sollte beim Rechnen unter
A
vorgestellt werden die Klasse der Gelegenheiten resp. Zeitpunkte, wo die Aussage
A
wahr ist, so- nach als eine logisch wohlangebrachte, berechtigte gefällt werden kann.
Unter der
Negation von A
, in Zeichen:
A
1
, ist demnach zu ver- stehen die Klasse der übrigen Gelegenheiten resp. Zeitpunkte nämlich derer, in welchen die Aussage
A
nicht wahr, unberechtigt ist. Man kann aber dieses Symbol
A
1
selbst wieder als eine Aussage interpre- tiren: als
diejenige Aussage
nämlich,
welche die Ungültigkeit der Aus- sage A behauptet
. Die Behauptung
A
1
, = „
die Aussage A ist falsch
“, wird gerade bei denjenigen Gelegenheiten wahr und berechtigt sein, und nur bei solchen, bei welchen eben die Aussage
A
nicht wahr und unberechtigt ist (wofern sie, wie hinfort vorauszusetzen, Sinn hat).
Ist die Aussage
A
als Proposition in unsrer Zeichensprache, als Subsumtion oder Gleichung eine spezifizirte, z. B. ist
A
= (
a

b
) resp.
A
= (
a
=
b
),
so kann ihre Negation auch ausgedrückt werden durch Anhängung des Negationsstrichs an ihren spezifizirten Ausdruck, d. h. es bedeutet:
(
a

b
)
1
=
A
1
resp. (
a
=
b
)
1
=
A
1
.
Für diese, wie wir sehen werden, im Kalkul häufig vorkommenden Formen von Propositionen führen wir aber noch eine kürzere Dar- stellungsweise ein, und zwar dadurch, dass wir die Kopula, das Be- ziehungszeichen der zu verneinenden Aussage mit einem Negations- strich vertikal durchsetzen. Wir
definiren
also:
(
a

b
) = (
a

b
)
1
, (
a
≠
b
) = (
a
=
b
)
1
was man lesen mag:
a nicht-eingeordnet b
, resp.
a ungleich b
; es mag

das
Zeichen der Nichteinordnung
, ≠ das
Ungleichheitszeichen
genannt werden, die erstere Proposition selbst eine
negirte Subsumtion
, die letztere eine
Ungleichung
.
Das erstere von diesen Urteilen ist eine wirkliche
„Urteilsverneinung“
und sonach ein „verneinendes Urteil“ im Sinne
Sigwart’
s keineswegs aber im Sinne der (mit Recht) noch herrschenden Terminologie und des Sprach- gebrauches: im allgemeinen darf dasselbe durchaus nicht mit „
a
ist nicht
b
“ und niemals mit „alle
a
sind nicht
b
“ in Worte übersetzt werden — vgl. unsere Ausführungen in § 15 sowie am Schlusse des § 35.
Es besteht vielmehr ein Vorzug unsrer Zeichensprache darin, dass wir die Negation einer Subsumtion durch eine Proposition nun auszudrücken
Sechzehnte Vorlesung.
vermögen, in welcher Subjekt und Prädikat von jener selbst wieder als Beziehungsglieder auftreten — denen man die gleiche Benennung als
„Sub- jekt“
und
„Prädikat“
auch in der Nichteinordnung belassen mag — wo- gegen der
Wortsprache
eine einfache Ausdrucksmöglichkeit von ähnlichem Charakter nicht zur Verfügung steht (§ 15 und § 35 Schluss).
Von fundamentaler Bedeutung auch für den Aussagenkalkul sind nun die drei Sätze, als da sind:
Der
Satz des Widerspruchs
: 3̅0̅
×
)
A A
1
= 0,
welcher statuirt,
dass eine Aussage A
von bestimmtem Sinne
bei keiner Gelegenheit
und zu keiner Zeit
wahr und zugleich
auch
nicht wahr sein könne
.
Der
Satz des ausgeschlossenen Dritten:
3̅0̅
+
)
A
+
A
1
= 1߭
statuirend, dass
immer eine Aussage A entweder wahr oder falsch sein müsse
, dass es eine
dritte Möglichkeit nicht gebe
.
Endlich der
Satz der doppelten Verneinung:
3̅1̅) (
A
1
)
1
=
A
zerfallend in die beiden Subsumtionen:
A

(
A
1
)
1
und (
A
1
)
1

A
,
demzufolge,
wenn A gilt
,
dann die Verneinung von A falsch sein muss
,
und umgekehrt
,
wenn die Verneinung von A nicht gilt
,
dann A gelten muss
.
Der Leser wird gut thun, sich auch noch einige weitere der im § 29 zusammengestellten Sätze, wie namentlich die Theoreme 36), auch als solche des Aussagenkalkuls auszusprechen und zum Bewusstsein zu bringen.
Eine Bemerkung fordert noch das Th. 3̅7̅):
(
A

B
) = (
B
1

A
1
)
heraus, welches auch hypothetische Urteile durch „
Kontraposition
kon- vertiren“ lehrt.
Statt „
Wenn A gilt
,
so gilt B
“ kann darnach auch gesagt werden: „
Wenn B nicht gilt
,
so gilt auch A nicht
“ — und umgekehrt.
Indem man
A
und
A
1
oder
B
und
B
1
in obiger Formel vertauscht, kann man auch als ihren Ausdruck nehmen:
(
A
1

B
) = (
B
1

A
), resp. (
A

B
1
) = (
B

A
1
)
d. h.
Gilt B wann A nicht gilt
,
so gilt auch A
,
wann B nicht gilt
, desgl.
Gilt B nicht
,
wann A gilt
,
so gilt auch A nicht
,
wann B gilt
, und vice versā.
§ 31. Inkonsistenz.
Es ist darauf aufmerksam zu machen, dass aus allen drei Fassungen eine
paradox klingende
Formulirung hypothetischer Urteile hervorgehen kann, aus der zweiten z. B. dann, wenn es nicht vorkommt, unmöglich oder undenkbar ist, dass
B
nicht gelte.
Wir haben dann für das Urteil: Wann
A
nicht gilt, so gilt
B
(denn es gilt laut Voraussetzung ohnehin, gilt selbstverständlich, in allen Fällen) als gleichberechtigt auch die Fassung, in der es unter Umständen sich von vornherein dargeboten haben mochte: Wenn
B
nicht gilt (was aber nicht vorkommen kann, undenkbar bleibt), so gilt
A
.
Zu beachten ist also: dass mit einem Konditionalsatz, der eine nicht realisirbare, eventuell absurde Bedingung zum Vordersatze hat, doch gültige Urteile in unsrer Disziplin abgegeben zu werden ver- mögen, deren wahrer Gehalt bei ihrer Konversion zutage tritt — und werden ungesuchte Beispiele dazu sich unter anderm in § 47 darbieten.
Nach Th. 3̅8̅
×
) lassen übrigens die einander gleichwertigen Urteile:
A

B
1
und
B

A
1
auch einen Ausdruck zu, bei welchem ihre Symmetrie bezüglich
A
und
B
ersichtlich ist, nämlich den folgenden:
A B
= 0.
Es konstatirt dieses mit jedem der beiden vorigen äquivalente Urteil, dass die Aussagen
A
und
B
nicht gleichzeitig gelten, nie, bei keiner Gelegenheit zusammen bestehen können, dass sie miteinander
unver- träglich
,
inkompatibel
,
inkonsistent
sind.
Stellen überhaupt
A
,
B
,
C
, … Aussagen vor, so kann man (mit Miss
Ladd
1
p. 29), sobald eine Gleichung der Form:
A B C
… = 0
besteht, die linke Seite derselben eine „
Inkonsistenz
“ (inconsistency) nennen.
Inkonsistenz
nennen wir also ein Produkt von Aussagen, so- bald dasselbe verschwindet — oder auch, in übertragenem Sinne: den Ausspruch, dass dasselbe verschwinde.
Haben wir eine Inkonsistenz:
A B
= 0
so können wir nach erwähntem Theoreme jeden Augenblick dafür schreiben:
A

B
1
oder, nach Belieben:
B

A
1
.
In der That folgt, falls
A
und
B
nie zugleich wahr sind, dass wenn
A
gilt,
B
nicht gelte, und wenn
B
gilt,
A
nicht gelten muss.
Sechzehnte Vorlesung.
Ebenso ist die Gleichung
A B C
= 0
äquivalent einer jeden der drei Subsumtionen:
A B

C
1
,
A C

B
1
,
B C

A
1
,
d. h. können die Behauptungen
A
,
B
und
C
nicht zusammen richtig sein, schliessen sie selbdritt einander aus, so muss, wenn
A
zugleich mit
B
gilt,
C
ungültig sein, desgleichen mit vertauschten Buch- staben. Etc. —
Und ferner würde folgen:
C

(
A B
)
1
, somit nach Th. 3̅6̅
×
):
C

A
1
+
B
1
, analog
B

A
1
+
C
1
,
A

B
1
+
C
1
,
und vice versā, d. h. wenn
A
gilt, so muss entweder
B
oder
C
(oder auch
B
nebst
C
) ungültig sein. Etc.
Als eine Inkonsistenz, und damit nach Belieben auch als eine Subsumtion, lässt jederzeit auch das „
disjunktive
“ Urteil sich darstellen.
Es kann von Urteilen dieser Art als von
zweigliedrigen
oder auch von
mehrgliedrigen
gesprochen werden, und fassen wir zunächst den einfachsten Fall in’s Auge.
„
Disjunktives Urteil im weiteren Sinne
“ — besser vielleicht, mit einem Worte, „
alternatives
Urteil“ — nennen wir eine Aussage von der Form:
A
+
B
= 1߭
mithin besagend — vgl. S. 57, Pr. ĪĪĪ, welches nach § 32,
ε
) reine Identität wird —:
Entweder gilt A
,
oder es gilt B.
Kürzer:
Es gilt A oder B.
Im Sinne unsrer Addition ist der Fall, wo
A
und
B
zugleich gelten, damit nicht ausgeschlossen.
Nach bekannten Sätzen ist nun dies Urteil äquivalent der In- konsistenz:
A
1
B
1
= 0,
d. h. es kommt nicht vor, dass weder
A
noch
B
gelte — und damit, gemäss dem obigen Schema, ist es auch äquivalent einer jeden der beiden Subsumtionen:
A
1

B
und
B
1

A
,
d. h. wenn
A
nicht gilt, so muss
B
gelten; und: sooft
B
nicht gilt, muss
A
gelten.
Dies bleibt auch bestehen, falls etwa obendrein noch
A B
= 0
sein sollte, in welchem Falle nach Th. 3̅3̅
+
) unser Urteil die Form annimmt:
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
A B
1
+
A
1
B
= 1߭,
d. h. Entweder gilt
A
und dann nicht
B
, oder es gilt
B
und dann nicht
A
, m. a. W. es gilt
A oder aber B
. Diese Form ist es wol, die mit der traditionellen Logik als „
disjunktives Urteil im engeren Sinne
“ hinzustellen wäre.
Unsre „alternativen“ Urteile umfassen also mit die „disjunktiven“, und für beide ist vorstehend gezeigt, dass sie in die Form einer Sub- sumtion gesetzt werden können — so wenigstens, falls sie, wie vor- stehend zweigliedrig sind.
Dreigliedrig hätten wir als alternatives Urteil:
A
+
B
+
C
= 1߭
und als disjunktives (im engeren Sinne):
A B
1
C
1
+
A
1
B C
1
+
A
1
B
1
C
= 1߭.
Da aber eine mehrgliedrige Summe sich jederzeit als eine zweiglied- rige ansehen lässt, so unterliegt die Ausdehnung der Betrachtungen auf beliebig vielgliedrige Urteile nicht der geringsten Schwierigkeit.
In § 15 wurde vom disjunktiven Urteil
A
+
B
vorausgesetzt, dass
A
und
B
verbale Urteile, Aussagen in der Wortsprache seien, mithin als Subsumtionen zwischen Klassen sich darstellen. Von diesen wurde dort indessen nur der Sonderfall
A
= (
a

b
),
B
= (
a

c
) in’s Auge gefasst, wo gedachte Subsumtionen sich auf das nämliche Subjekt
a
beziehen — und zwar behufs Lieferung des Nachweises, dass das eigentlich disjunktive Urteil „Entweder alle
a
sind
b
, oder alle
a
sind
c
“ von dem blos „dis- junktiv“ prädizirenden „alle
a
sind entweder
b
oder
c
“ im allgemeinen zu unterscheiden ist. —
Über die Grundlagen des Aussagenkalkuls werden auch die nach- folgenden Betrachtungen noch einiges Licht verbreiten.
§ 32.
Vom Gewicht der Aussagen. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
Es bedeute
A
eine Aussage die — in der Weise, wie wir dies in § 28 erläutert haben — einen vollkommen bestimmten Sinn hat, und zwar sei dieser Sinn konstant, er werde als solcher, sooft wir von
A
sprechen, jederzeit festgehalten.
Die Proposition
A
= 1߭ sagt alsdann aus: die Aussage
A
gilt
stets
, zu jeder Zeit, bei jeder Gelegenheit, wogegen die Proposition
A
= 0 aussagt: die Aussage
A
gilt
nie
, zu keiner Zeit, bei keiner Gelegenheit.
Sechzehnte Vorlesung.
Beides zugleich kann nicht der Fall sein, d. h. wir haben die Inkonsistenz:
α
)
(
A
= 1߭) (
A
= 0) = 0.
Obwol an sich schon evident, kann dies auch nach den Prinzipien des identischen Kalkuls
bewiesen
werden, wofern man nur als Axiom gelten lässt, dass:
β
)
0 ≠ 1߭,
d. h. dass „allezeit“ von „nie“ verschieden ist. [Hierüber hinaus kann wol nicht gegangen werden, denn es hiesse das ja verlangen, dass die Existenz der Zeit (oder auch von Gelegenheiten) a priori be- wiesen werde!]
Beweis
. Nach dem Axiom haben wir:
(0 ≠ 1߭) = (0 = 1߭)
1
= 1߭
und hieraus folgt durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 3̅2̅):
(0 = 1߭) = 0.
Nach Th. 4̅) haben wir aber:
(
A
= 1߭) (
A
= 0) = (0 =
A
) (
A
= 1߭)

(0 = 1߭),
sonach:
(
A
= 1߭) (
A
= 0)

0
und also auch = 0 nach Th. 5̅
×
), q. e. d.
Nach den Bemerkungen am Schlusse des vorigen Paragraphen kann die Inkonsistenz
α
) auch ohne weiteres umgeschrieben werden zu:
γ
)
(
A
= 1߭)

(
A
≠ 0) und (
A
= 0)

(
A
≠ 1߭),
d. h. gilt
A
stets, so ist zu verneinen, dass es nie gelte, gilt es nie, so ist zu verneinen dass es stets gelte.
Wir wollen nun zusehen, wie die vorausgesetzte Konstanz des Sinnes der Aussage
A
in Formeln sich ausprägt. Es kann diese Voraussetzung auf verschiedene Weisen formulirt werden, die sich auf einander zurückführen lassen.
Es wurde schon hervorgehoben, dass wenn die Aussage
A
wahr ist, sie bei Unveränderlichkeit ihres Sinnes
allezeit
wahr sein muss, dann also
A
= 1߭ sein muss, wogegen, wenn sie falsch ist, sie dann
niemals
wahr sein somit
A
= 0 sein wird.
Diese beiden (einander, wie gezeigt, ausschliessenden) Fälle machen aber zusammen das ganze Bereich der Möglichkeiten aus, d. h. es prägt sich die gedachte Voraussetzung darin aus, dass gelten wird: *
δ
)
(
A
= 1߭) + (
A
= 0) = 1߭
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
— eine Gleichung, die im ersterwähnten Falle auf 1߭ + 0 = 1߭, im letzterwähnten auf 0 + 1߭ = 1߭ hinausläuft.
Bei konstantem Sinne
— sagt
δ
) aus —
ist eine Aussage entweder stets wahr
,
oder sie ist stets falsch
.
Setzen wir diesen Satz
δ
) als richtig voraus, so lässt sich nun auch (in gewissem Sinne)
beweisen
, dass allgemein:
ε
)
(
A
= 1߭) =
A
sein muss, gleichwie umgekehrt aus
ε
) auch
δ
) ableitbar ist.
Die Gleichung
ε
) bringt ebenfalls eine unmittelbar einleuchtende Thatsache zum Ausdruck, die schon erwähnte nämlich:
dass es einerlei
(logisch gleichbedeutend)
ist
,
ob man eine Behauptung A einfach aus- spricht
,
oder ob man behauptet
,
diese Behauptung A gelte (stets)
,
sei immer wahr.
Um
ε
) aus
δ
) abzuleiten, kann man erstlich, in Worten argumen- tirend, sich begnügen, die Gleichung
ε
) einfach zu verifiziren für die beiden Fälle, welche
δ
) zulässt.
Entweder nämlich — nach
δ
) — ist
A
= 1߭. In diesem Falle geht
ε
) über in, sagt nichts anderes aus, als:
(1߭ = 1߭) = 1߭
und dies ist richtig, weil die Gleichung 1߭ = 1߭
stets
wahr sein muss.
Oder es ist
A
= 0, dann stimmt abermals für
ε
) die Probe:
(0 = 1߭) = 0,
indem die Behauptung 0 = 1߭
niemals
richtig ist.
Zweitens aber kann man auch mehr rechnend zuwerke gehen wie folgt.
Ist
A
= 1߭, so — haben wir eben gesehen — bewahrheitet sich
ε
), d. h. wir haben:
(
A
= 1߭)

{(
A
= 1߭) =
A
}.
Und ebenso, wenn
A
= 0 ist, bewahrheitete sich
ε
), d. h. wir haben:
(
A
= 1߭)

{(
A
= 1߭) =
A
}.
Aus diesen beiden Subsumtionen erhalten wir durch überschiebendes Ad- diren gemäss Th. 1̅7̅
+
) und 1̅4̅
+
) — oder auch direkt nach Def. (3̅
+
) — mit Rücksicht, linkerhand, auf
δ
):
1߭

{(
A
= 1߭) =
A
}
sonach kraft Th. 5̅
+
): {(
A
= 1߭) =
A
} = 1߭, womit gefunden ist, dass die in geschweifter Klammer {} links stehende Aussage stets wahr ist, daher wir dieselbe auch einfach — in Gestalt von
ε
) — hinstellen mögen.
Bei letzterer Bemerkung ist, wie man sieht, von der mit in
ε
) stecken-
Schröder
, Algebra der Logik. II. 5
Sechzehnte Vorlesung.
den Subsumtion (
A
= 1߭)

A
— d. h. wenn die Aussage
A stets
gilt, so
gilt
sie — implicite schon Gebrauch gemacht, sodass der Beweis nicht ganz frei von dem Vorwurfe ist, als ein Zirkelschluss zu erscheinen. Immer- hin hat derselbe den Wert, zu zeigen, dass wenn der denknotwendige Übergang von der Behauptung {(
A
= 1߭) =
A
} = 1߭ zur Behauptung (
A
= 1߭) =
A
selbst in dem vorstehenden besonderen Falle, gewisser- massen
nur ein
mal zugegeben wird, dann der gleiche Übergang von (
A
= 1߭) zu
A und umgekehrt
von
A
zu
A
= 1߭ auch allgemein zugegeben ist. Wir können uns eben von der allgemeinen Denknotwendigkeit auch im besonderen Falle nicht emanzipiren.
Indessen gibt der hier zutage getretene Umstand einen Beweggrund ab, der Voranstellung des Satzes
ε
) vor
δ
) den Vorzug zu geben vor der umgekehrten Anordnung.
Wir denken uns (demnach) jetzt den Satz
ε
) an die Spitze gestellt.
Gilt derselbe für jede in Betracht kommende Aussage
A
, so muss nach Th. 3̅2̅) auch sein:
(
A
= 0) = (
A
1
= 1߭) =
A
1
und hiernach weiter:
(
A
≠ 0) = (
A
= 0)
1
= (
A
1
)
1
=
A
,
endlich direkt:
(
A
≠ 1߭) = (
A
= 1߭)
1
= (
A
)
1
=
A
1
.
Durch Vergleichung folgt somit: *
ξ
)
(
A
≠ 0) = (
A
= 1߭),
und *
η
)
(
A
≠ 1߭) = (
A
= 0),
d. h. die Subsumtionen
γ
) gelten auch umgekehrt, sie gelten als Gleichungen. Sobald eine Aussage nicht niemals wahr ist, muss sie stets wahr sein und vice versā, d. h. auch sobald sie nicht stets wahr ist, kann niemals dieselbe wahr sein.
Im Kalkul mit Aussagen konstanten Sinnes ist jede Ungleichung mit der rechten Seite
0
äquivalent einer Gleichung mit der rechten Seite
1߭,
und kann ebenso eine Ungleichung mit der rechten Seite
1߭
umgeschrieben werden in eine Gleichung mit der rechten Seite
0.
Es sei in Erinnerung gebracht, dass für Aussagen von veränderlichem Inhalte obzwar konstantem Wortlaute, z. B. für die „Gelegenheitsaussagen“, deren Sinn mit der Gelegenheit variirt, bei welcher sie angebracht werden (§ 28), obiges nicht gilt.
Nehmen wir z. B. für
A
die Aussage: Das Dreieck Α Β Γ ist recht- winklig, so ist
A
≠ 0,
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
weil es rechtwinklige Dreiecke gibt, die Aussage also in gewissen Fällen — nämlich sooft man sie anwendet auf ein wirklich rechtwinkliges Drei- eck Α Β Γ — wahr sein wird, und doch ist auch
A
≠ 1߭,
weil es auch nicht-rechtwinklige Dreiecke gibt, die unter Α Β Γ verstanden werden können.
Für dergleichen Aussagen kann dann also auch das Th.
ε
) mit allen denen, die dasselbe mit bedingen und wenigstens einem Teil von den Sätzen, die es nach sich zieht,
nicht
zutreffen.
Ebenso gelten die Formeln
ζ
),
η
) selbstverständlich
nicht
, wenn
A
ein
beliebiges Gebiet
vorstellen sollte.
Man ersieht hieraus von neuem, dass während die Formeln des Gebiete- kalkuls sich ohne weiteres in solche des Aussagenkalkuls umdeuten liessen, das Umgekehrte nicht der Fall ist, dass es vielmehr Formeln des Aussagen- kalkuls gibt, die im Gebietekalkul nicht allgemein zutreffen.
Der Gebiete- kalkul ist allgemeiner, umfassender als der Aussagenkalkul,
schliesst letzteren als einen wirklich nur
besonderen
(partikularen) Fall in sich.
Da nun nach Th. 3̅0̅
+
) zum Beispiel sein muss:
(
A
= 0) + (
A
= 0)
1
= 1߭, oder also: (
A
= 0) + (
A
≠ 0) = 1߭,
so ergibt sich hieraus durch Einsetzung der dem zweiten Term linker- hand nach
ζ
) äquivalenten Aussage sogleich: (
A
= 0) + (
A
= 1߭) = 1߭, d. h.
es ist
auch
das Th. δ
)
aus ε
)
bewiesen
.
In Verbindung mit
α
) zeigt
δ
), nach Def. (6̅),
dass die Aussagen A
= 0 und
A
= 1߭
die Negationen von einander sind
.
Durch Hinzuziehung noch anderer Äquivalenzen kann man die Formeln
ζ
),
η
) noch erweitern zu dem Tableau: *
ϑ
)
(
A
1
≠ 1߭) = (
A
≠ 0) = (
A
= 1߭) = (
A
1
= 0)
*
ι
)
(
A
1
≠ 0) = (
A
≠ 1߭) = (
A
= 0) = (
A
1
= 1߭)
wo die rechts hinzugekommenen Ausdrücke sich durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) aus dem vorhergehenden Ausdruck ergeben, welcher ja selbst hier eine Gleichung ist. Nachdem somit die Gleich- heit der drei letzten Ausdrücke in
ϑ
),
ι
) bereits erkannt ist, bleibt nur noch der Hinzutritt des ersten Ausdrucks linkerhand daselbst zu rechtfertigen. Setzt man aber in der mittleren Gleichung von einer dieser beiden Zeilen
A
1
für
A
, so wird dadurch die Verbindung zwischen dem ersten und letzten Ausdruck der andern von diesen beiden Zeilen hergestellt.
Noch andre Zurückführungen der vier Ausdrücke
ϑ
) oder
ι
) auf ein- ander würden sich nach dem Schema ergeben:
(
A
≠
B
) = (
A
1
≠
B
1
)
5*
Sechzehnte Vorlesung.
welches durch Anwendung des Th. 3̅2̅) auf sich selbst zu gewinnen ist, und auch als Formel des Gebietekalkuls gilt, nämlich aus Th. 32) kraft 3̅2̅) hervorgeht.
Man kann die beiden Satzgruppen
ϑ
) und
ι
) zusammenfassend, das Ergebniss noch formell verallgemeinern zu: *
ϰ
)
(
A
1
≠
B
1
) = (
A
≠
B
) = (
A
=
B
1
) = (
A
1
=
B
)
oder auch:
(
A
1
≠
B
) = (
A
≠
B
1
) = (
A
=
B
) = (
A
1
=
B
1
)
denn in Anbetracht, dass
B
gleichwie jede Aussage konstanten Sinnes nur entweder gleich 0 oder gleich 1߭ sein kann, gehen die Formeln
ϰ
) das eine mal in
ϑ
) das andremal in
ι
) über.
Hier ist das erste und das dritte Gleichheitszeichen auch im Gebiete- kalkul rechtskräftig, das zweite oder mittlere indessen nicht, samt den Ver- gleichungen, die sich auf dieses stützen mögen.
Die Äquivalenz der drei letzten Aussagenausdrücke in
ϰ
) lehrt folgendes:
Bei einer Gleichung des Aussagenkalkuls ist es einerlei
,
ob man den Negationsstrich an ihrer linken Seite, oder am Gleichheitszeichen
,
oder an ihrer rechten Seite anbringt. Die Operation des Negirens kann an- statt an der Gleichung selbst, auch blos an einer Seite derselben voll- zogen werden.
Überdies zeigt uns das Th.
ϰ
), dass
im Kalkul mit Aussagen kon- stanten Sinnes eine Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben lässt;
die Zeichen ≠ (und

) sind hier entbehrlich — was alles im Gebietekalkul, wie wir sehen werden keineswegs der Fall ist.
Es kommt uns jetzt darauf an:
jede Beziehung
,
welche zwischen zwei Aussagen A und B behauptet werden kann
— aufgefasst als Klasse der Gelegenheiten, bei denen diese Beziehung zutrifft —
auszudrücken durch A und B selber
— d. h. durch die Klassen der Gelegenheiten, wo ebendiese Aussagen, einzeln genommen, zutreffen oder nicht zutreffen.
Als ausreichend wird es sich herausstellen, wenn dieses Problem für eine Subsumtion
A

B
gelöst wird.
Die Lösung liefert uns bereits das Theorem
ε
), indem wir dar- nach kraft Th. 3̅8̅
×
) und 3̅2̅) oder unmittelbar kraft Th. 3̅8̅
+
) haben müssen:
(
A

B
) = (
A B
1
= 0) = {(
A B
1
)
1
= 1߭} = (
A
1
+
B
= 1߭) =
A
1
+
B
.
Hiermit ist nun der fundamentale Satz gewonnen:
λ
)
(
A

B
) =
A
1
+
B
,
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
welchen schon
Peirce
8
gegeben, und zuvor
McColl
3
— indessen blos als eine Subsumtion (implication), statt Gleichung. Man kann ihn dahin aussprechen:
Die
„
Gültigkeitsklasse
“
der Subsumtion A

B ist die Klasse der Gelegenheiten, wo A nicht gilt
,
oder auch B gilt.
Anstatt den Satz, wie hier ausgeführt, auf das Prinzip
ε
) zurück- zuführen, rechtfertigt
Peirce
denselben direkt durch eine Überlegung, die wir jetzt ebenfalls anstellen wollen.
Wegen der Allgemeingültigkeit der Formel 0

B
— kraft Def. (2̄
×
) — ist die Subsumtion
A

B
jedenfalls immer dann richtig, wenn
A
= 0 ist, d. h. wenn die Aussage
A
ungültig ist; dies ist der Fall in welchem
A
1
= 1߭ ist, oder die Aussage
A
1
gilt.
Ferner gilt die Subsumtion
A

B
auch, sobald die Aussage
B
gilt. Für
B
= 1߭ kommt sie nämlich auf die kraft Def. (2̄
+
) anzuer- kennende Formel
A

1߭ hinaus. Mit andern Worten: gilt
B
über- haupt, gilt es stets, so gilt es auch dann, wenn
A
gilt.
Die Gültigkeitsklasse unsrer Subsumtion ist darnach allerminde- stens
A
1
+
B
.
Wenn
A
gilt und zugleich
B
nicht gilt, d. h. also in den durch den Ausdruck
A B
1
zusammengefassten Fällen, ist die Subsumtion jeden- falls ungültig.
Da aber:
A
1
+
B
+
A B
1
= 1߭
nach Th. 33
+
) Zusatz ist, so sind hiermit alle denkbaren Fälle erschöpft und ist dargethan, dass
A
1
+
B
die
volle
Gültigkeitsklasse der Subsum- tion
A

B
sein muss, wie zu zeigen war.
Aus dem so gewonnenen Satze
λ
), wofern er als allgemeingültig zugelassen wird, fliesst umgekehrt auch wieder das Prinzip
ε
), indem nach bekannten Sätzen — cf. Th. 5̄
+
) etc. — sein muss:
(
A
= 1߭) = (1߭

A
) = 1߭
1
+
A
= 0 +
A
=
A
.
Die Aussage
A B
1
ist die
Klasse für die Fälle der Ungültigkeit der Subsumtion A

B
; sie ist die Negation der Gültigkeitsklasse
A
1
+
B
indem
A B
1
= (
A
1
+
B
)
1
. Dieselbe muss verschwinden, wenn die Sub- sumtion (stets) wahr sein soll — in Übereinstimmung mit Th. 3̅8̅
×
); die Gültigkeitsklasse
A
1
+
B
der Subsumtion dagegen muss alsdann gleich 1߭ sein (und umgekehrt). Zur Verifikation der Aussage genügt es jedoch, nur das eine von beiden nachzusehen.
Von Interesse ist aber noch eine dritte Aussage oder Klasse, nämlich die
A
1
B
.
Sechzehnte Vorlesung.
Diese stellt dasjenige vor, was allermindestens (das Minimum dessen, was) zum Minor der Subsumtion addirt werden muss, damit der Major herauskomme. In der That wird sein:
A
·
A
1
B
= 0 und
A
+
A
1
B
=
A
+
B
=
B
nach Th. 33
+
) Zus. und Th. 20
+
).
Durch die beiden Anforderungen, dass
A
·
X
= 0 und
A
+
X
=
B
sei, ist die Aussage, resp. Klasse
X
vollkommen bestimmt; es berechnet sich
X
=
A
1
B
und ergibt sich daneben als Valenzbedingung für
X
oder Bedingung für die Auflösbarkeit des vorstehenden Gleichungenpaares, dass
A B
1
= 0, das heisst
A

B
sein müsse.
Die vereinigte Gleichung heisst in der That:
0 =
A B
1
+ (
A
+
B
1
)
X
+
A
1
B X
1
und muss der arbiträre Term der Lösung, nämlich
U
(
A
+
B
1
)
1
=
U A
1
B
im andern aufgehn, von
A
1
B
verschluckt werden — vergl. das Th. 51
×
) in § 29.
Diese Klasse
A
1
B
kann füglich das „
Gewicht
“
der Subsumtion
, des Urteils oder der Aussage
A

B
genannt werden — — gleichwie man auch in der Arithmetik als „Gewicht einer Ungleichung“
A
\<
B
bezeichnet: den Überschuss
B
—
A
des grösseren Membrums über das kleinere.
Nach § 23 hätte in der That auch im identischen Kalkul
B
—
A
=
B A
1
=
A
1
B
als Bedeutung dieser Differenz zu gelten, welche indessen hier nur unter der Bedingung
A B
1
= 0 oder
A

B
überhaupt einen Sinn hat.
Folgert man (hier wie dort) aus einer Subsumtion (resp. Un- gleichung) eine andere von noch „
grösserem
“ Gewichte, so sagt man: die Folgerung finde „
a fortiori
“ statt, die Konklusion gelte „
um so mehr
“, sobald die Prämisse gilt. Vergleichbar können freilich die Ge- wichte zweier Aussagen nur dann genannt werden, wenn das eine der- selben im andern als ein Teil enthalten ist, wo dann das dem andern übergeordnete als das „grössere“ Gewicht zu bezeichnen sein wird. (Exempel siehe nachstehend bei Pr. II.)
Ist das Gewicht einer Subsumtion gleich
0,
so muss dieselbe eine Gleichung sein.
In der That gilt dann neben der Valenzbedingung
A B
1
= 0 auch noch die Gleichung
X
=
A
1
B
= 0, woraus nach Th. 24
+
) folgt:
A B
1
+
A
1
B
= 0, oder gemäss Th. 39):
A
=
B
.
In diese Gleichung muss dann also die Subsumtion
A

B
degeneriren.
Umgekehrt
ist
0
das Gewicht jeder Gleichung
, mag man diese vor-
§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
oder rückwärts als Subsumtion lesen, denn 0 ist immer die zur einen Seite disjunkte Ergänzung von ebendieser zur andern Seite der Gleichung.
Übrigens brauchen äquivalente Subsumtionen nicht gleiches Ge- wicht zu haben [und vice versā: Subsumtionen von gleichem Gewicht brauchen nicht äquivalent zu sein, abgesehen von der engeren Geltung].
Denn ist (
A

B
) = (
C

D
) so folgt zwar
A
1
+
B
=
C
1
+
D
nach
λ
), und hieraus durch beiderseitiges Negiren auch
A B
1
=
C D
1
; dagegen
Fig. 8.
können diese Relationen doch sehr wohl bestehen, ohne dass
A
1
B
=
C
1
D
sein müsste, sowie umgekehrt.
Ersteres zeigt die Figur 8, worin
A
ein Kreis,
B
und
D
(überhalbkreisgrosse) Segmente, und
C
das symmetrische Doppelsegment vorstellt.
Eine vierte Klasse:
A
+
B
1
, die Negation des Gewichts, als eine bei der Subsumtion
A

B
belangreiche zu betrachten, wird durch die Betrachtung des Gewichts selbst überflüssig gemacht.
Nachdem für jede Subsumtion die gestellte Aufgabe der Ermit- telung ihrer Gültigkeitsklasse gelöst ist, lässt sich die Frage auch für jede Gleichung leicht beantworten. Nach Def. (1) ist ja die Gleichung nichts als das Produkt zweier Subsumtionen:
(
A
=
B
) = (
A

B
) (
B

A
)
und setzt man hier für die Subsumtionen rechterhand ihre Gültigkeits- klassen, gebildet nach dem Schema des Th.
λ
), ein, so ergibt sich nach Ausmultiplizirung von (
A
1
+
B
) (
B
1
+
A
) als die gesuchte Darstellung:
μ
)
(
A
=
B
) =
A B
+
A
1
B
1
und damit zugleich ist auch gewonnen:
(
A
≠
B
) =
A B
1
+
A
1
B
.
Jenes heisst:
die Gleichung zwischen zwei Aussagen ist immer dann und nur dann erfüllt
,
wenn sie beide zugleich gelten
,
oder alle beide nicht gelten
— was sich bei der für uns maassgebenden Fassung der Aus- sagenäquivalenz ohnehin versteht.
Ungültig ist die Gleichung in den Fällen
A B
1
+
A
1
B
, d. h. sobald die eine Aussage gilt, die andere aber nicht gilt.
Soll die Gleichung wahr sein, sonach also — in Anbetracht ihres konstanten Sinnes —
stets
wahr sein, so muss die letztere oder Un-
Sechzehnte Vorlesung.
gültigkeitsklasse verschwinden — im Einklang mit Th. 39
×
) — die Gültigkeitsklasse aber muss = 1߭ sein, nämlich die ganze Mannigfaltig- keit der Gelegenheiten, resp. die ganze Zeit repräsentiren.
In der siebzehnten und folgenden Vorlesung werden wir alle denk- baren Beziehungen zwischen Gebieten zurückführen auf Gleichungen
und Ungleichungen
. Und da
im eigentlichen Aussagenkalkul
nach Th.
ϰ
) die Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben liess, so ist es jedenfalls schon ausreichend, die gestellte Aufgabe für die Gleichung gelöst zu haben in Gestalt des Theorems
μ
) — und zum Überfluss für die Subsumtion durch Th.
λ
) — um sich ihrer Lösung auch für alle denkbaren Propositionen zu versichern.
Nach § 28 durften nun in den Formeln des identischen Kalkuls, wie sie in § 29 sich rekapitulirt finden, alle Gebiete 1,
a
,
b
, … auch ausgelegt werden als Aussagen 1߭,
A
,
B
, … und mussten die Formeln dabei ihre Gültigkeit behalten.
Für jedes richtige Theorem, jede gültige Formel aber muss dann die Gültigkeitsklasse sich = 1߭ erweisen — oder was auf dasselbe hinaus- kommt, muss die Ungültigkeitsklasse verschwinden.
Indem wir dieses nachsehen, haben wir ein bequemes Mittel, die Gültigkeit jedes Satzes zu kontroliren, die Sätze des identischen Kal- kuls vermittelst mechanischen Rechnens durch diesen selbst zu bewahr- heiten und durch solche Verifikation sie
als Sätze des Aussagenkalkuls
direkt zu beweisen.
Wir schreiten dazu, die Formeln des § 29 nochmals, nämlich jetzt auch in dieser Hinsicht durchzunehmen. Dabei wollen wir aber die kleinen Buchstaben von früher beibehalten (inklusive der 1 ohne Tupfen) obzwar wir unter denselben jetzt nicht mehr beliebige Gebiete, sondern beliebige Aussagen (von festem Sinne) uns vorzustellen haben.
Zur Anwendung zu kommen brauchen lediglich die Schemata
ε
) nebst Korollar oder
λ
) und
μ
), oder im Überblick:
ν
) (
A
= 1߭) =
A
, (
A
= 0) =
A
1
, (
A

B
) =
A
1
+
B
, (
A
=
B
) =
A B
+
A
1
B
1
.
Doch kann man statt der Berufung auf das letzte Schema
μ
) sich auch begnügen, gewissermassen die „Komparationsmethode“ anzuwenden, nämlich bei einer behaupteten Äquivalenz zweier Aussagen die Gültig- keitsklasse der einen sowie der andern für sich aufstellen, um sich von der Übereinstimmung, Identität der beiden Klassen durch den blossen Anblick (durch Inspektion) ihrer Ausdrücke zu überzeugen. Dabei wird — damit diese Identität sich in der Form der beiden Aus-
§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln — gemäss § 19.
Ebenso können Subsumtionen
A

B
nachgerechnet werden, indem man zuerst das „Gewicht“
A
1
B
derselben aufsucht, und sich überzeugt, dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor
A
(d. i. zu der „Voraus- setzung“ des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in der That diejenige des Major
B
(oder der „Behauptung“ ebendieses Satzes) liefert.
Bei der Ausführung
Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei
Peirce
8
— mit einer sonderbaren Auffassung — vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher noch, bei
McColl
3
.
wird dies leicht vollkommen deutlich zu machen sein.
Prinzip
I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss
λ
)):
(
a

a
) =
a
1
+
a
= 1;
hier also stimmt die Probe.
Prinzip
II lautete:
A

B
, wenn für den Augenblick
A
diese Behauptung:
A
= (
a

b
) (
b

c
) und wenn
B
= (
a

c
)
bedeutet. Nach Schema
λ
) wird hier:
A
= (
a
1
+
b
) (
b
1
+
c
) =
a
1
b
1
+
b c
und
B
=
a
1
+
c
.
Nach § 21,
η
) rechts lässt die Konklusion
B
sich erreichen, indem man in
A
den Eliminanden
b
tilgt.
Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach- sehen, dass
A
1
+
B
= 1߭ ist; in der That wird:
A
1
+
B
=
a b
1
+
b c
1
+
a
1
+
c
=
b
1
+
b
+
a
1
+
c
= 1 +
a
1
+
c
= 1.
Oder man mag nachsehen, dass
A B
1
= 0 ist:
A B
1
= (
a
1
b
1
+
b c
)
a c
1
= 0 + 0 = 0.
Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln:
A
=
a
1
b
1
(
c
+
c
1
) + (
a
+
a
1
)
b c
,
B
= (
a
1
c
+
a
1
c
1
+
a c
) (
b
+
b
1
), also
A
=
a b c
+
a
1
b c
+
a
1
b
1
c
+
a
1
b
1
c
1
,
B
=
A
+ (
a b
1
c
+
a
1
b c
1
), woraus ersichtlich wird, dass in der That
A
von
B
um das „Gewicht“:
A
1
B
=
a b
1
c
+
a
1
b c
1
übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo
a
und
c
gelten, aber
b
nicht gilt, sowie wo
a
und
c
nicht gelten, aber
b
gilt, die-
Sechzehnte Vorlesung.
jenigen sind, wo die Behauptung
B
des Satzes gilt, aber die Voraus- setzung
A
desselben nicht gilt. Die Behauptung
a

c
gilt immer, wann die Voraussetzung (
a

b
) (
b

c
) zutrifft, aber ausserdem auch noch in den erwähnten das Gewicht der Aussage II zusammensetzenden Fällen.
In ähnlicher Weise, wie vorstehend, wollen wir immer die linke Seite einer Subsumtion oder Gleichung mit
A
, ihre rechte mit
B
bezeichnen und zunächst nur diejenigen Formeln des § 29 nachrechnen, bei denen kein Produkten- oder Summenzeichen vorkommt.
Für die
Def.
(1) der Gleichheit haben wir dann:
A
= (
a

b
) (
b

a
) = (
a
1
+
b
) (
b
1
+
a
) und
B
= (
a
=
b
) =
a b
+
a
1
b
1
, was übereinstimmt.
Bei
Th. °1) würden wir als Gültigkeitsklasse nach Schema
μ
) erhalten: (
a
=
a
) =
a a
+
a
1
a
1
= 1; doch genügt bereits vergleichendes Inspiziren der beiden Seiten der in ihm behaupteten Gleichung.
Bei
Th. 2) ist
A
= (
a

b
) (
b
=
c
) = (
a
1
+
b
) (
b c
+
b
1
c
1
) =
b c
+
a
1
b
1
c
1
und
b
1
c
+
a
1
b c
1
das Gewicht, mithin die Summe beider gleich dem Major:
B
= (
a

c
) =
a
1
+
c
. Ebenso:
Bei
Th. 3) ist:
A
= (
a
=
b
) (
b

c
) =
a b c
+
a
1
b
1
und
a
1
b
+
a b
1
c
das Gewicht.
Bei
Th. 4) ist:
A
= (
a
=
b
) (
b
=
c
) = (
a b
+
a
1
b
1
) (
b c
+
b
1
c
1
) =
a b c
+
a
1
b
1
c
1
und
B
= (
a
=
c
) =
a c
+
a
1
c
1
=
A
+ (
a b
1
c
+
a
1
b c
1
), woraus das Gewicht ersichtlich ist als ein mit dem von Pr. II übereinstimmendes.
Def.
°(2) gibt (0

a
) = 0
1
+
a
= 1 +
a
= 1, (
a

1) =
a
1
+ 1 = 1, wie es sein soll.
Zu
Th. 5) bekommen wir bei
5
×
)
A
= (
a

0) =
a
1
+ 0 =
a
1
,
5
+
)
A
= (1

a
) = 1
1
+
a
= 0 +
a
=
a
,
B
= (
a
= 0) = (
a
1
= 1) =
a
1
B
= (
a
= 1) =
a
,
was übereinstimmt. Man kann aber auch rein mechanisch sogleich die Gültigkeitsklasse des ganzen Theorems ansetzen: {(
a

0) = (
a
= 0)} = (
a
1
+ 0 =
a
· 0 +
a
1
· 0
1
) = (
a
1
=
a
1
) =
a
1
a
1
+
a a
=
a
1
+
a
= 1, {(1

a
) = (
a
= 1)} = (1
1
+
a
=
a
· 1 +
a
1
· 1
1
) = (
a
=
a
) = 1.
Zu Def. (3) haben wir bei
(3
×
)
A
= (
c

a
) (
c

b
) = (
c
1
+
a
) (
c
1
+
b
) = =
c
1
+
a b
(3
×
)
A
= (
a

c
) (
b

c
) = (
a
1
+
c
) (
b
1
+
c
) = =
a
1
b
1
+
c
B
= (
c

a b
) =
c
1
+
a b
B
= (
a
+
b

c
) = (
a
+
b
)
1
+
c
=
a
1
b
1
+
c
.
Zu Th. °6) bei 6
×
): (
a b

a
) = (
a b
)
1
+
a
=
a
1
+
b
1
+
a
= 1 +
b
1
= 1, bei 6
+
): (
a

a
+
b
) =
a
1
+
a
+
b
= 1 +
b
= 1.
Gleicherweise wie vorhin bei Th. °1), Def. °(2) und Th. °6) ist bei allen Sätzen des § 29, die eine mit Ringelchen versehene Chiffre haben,
§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
direkt leicht nachzurechnen, dass sie die Gültigkeitsdauer resp. -klasse 1 be- sitzen; nur bietet dies weiter kein Interesse: Beim Distributionsgesetz 27
×
) z. B. hätte man blos nachzurechnen, dass:
a
(
b
+
c
) · (
a b
+
a c
) + (
a
1
+
b
1
c
1
) · (
a
1
+
b
1
) (
a
1
+
c
1
) = 1
ist, was sich nach den Gesetzen des Kalkuls auf den ersten Blick versteht, weil der eine Faktor in jedem Gliede links identisch ist mit dem andern, das eine Glied daselbst aber die Negation ist des andern. So auch bei Th. °21
×
) wäre: (
a
· 1 =
a
) =
a
· 1 ·
a
+ (
a
1
+ 0)
a
1
=
a
+
a
1
= 1. Etc.
Anders bei den übrigen Sätzen. Bei diesen verlohnt es, die Rechnung jeweils, wie nachstehend durchzuführen, indem sich eine wirkliche Kontrole ergibt und auch Aufschluss über das Gewicht des Satzes gewonnen wird (sofern dasselbe nicht schon von vornherein als verschwindend, gleich 0, er- kennbar war).
Zu Th. 15) ist
A
= (
a

b
) =
a
1
+
b
, und bei 15
×
):
B
= (
a c

b c
) =
a
1
+
c
1
+
b c
=
a
1
+
b
+
c
1
=
A
+
a b
1
c
1
,
das Gewicht also
a b
1
c
1
; zu Th. 15
+
) analog
a b
1
c
, indem hier:
B
= (
a
+
c

b
+
c
) =
a
1
c
1
+
b
+
c
=
a
1
+
b
+
c
=
A
+
a b
1
c
.
Zu Th. 16) ist
A
= (
a
=
b
) =
a b
+
a
1
b
1
, und bei 16
×
):
B
= (
a c
=
b c
) =
a c
·
b c
+ (
a
1
+
c
1
) (
b
1
+
c
1
) =
a b c
+
a
1
b
1
+
c
1
=
a b
+
a
1
b
1
+
c
1
= =
A
+ (
a b
1
+
a
1
b
)
c
1
,
bei 16
+
):
B
= (
a
+
c
=
b
+
c
) = (
a
+
c
) (
b
+
c
) +
a
1
c
1
·
b
1
c
1
=
a b
+
c
+
a
1
b
1
c
1
=
a b
+
a
1
b
1
+
c
= =
A
+ (
a b
1
+
a
1
b
)
c
.
In den Theoremen 17) bis 19) wird man für die vorliegenden Rech- nungszwecke bequemer
α
,
β
statt
a
',
b
' schreiben. Dann ist
Zu Th. 17)
A
= (
a

b
) (
α

β
) = (
a
1
+
b
) (
α
1
+
β
), und bei 17
×
)
B
= (
a α

b β
) =
a
1
+
α
1
+
b β
=
A
+ (
a b
1
α
1
+
a
1
α β
1
), „ 17
+
)
B
= (
a
+
α

b
+
β
) =
a
1
α
1
+
b
+
β
=
A
+ (
a b
1
β
+
b α β
1
).
Zu Th. 18) ist
A
= (
a

b
) (
α
=
β
) = (
a
1
+
b
) (
α β
+
α
1
β
1
), bei 18
×
)
B
= (
a α

b β
) =
A
+ (
a b
1
α
1
+
a
1
α β
1
+
α
1
β
), „ 18
+
)
B
= (
a
+
α

b
+
β
) =
A
+ (
a b
1
β
+
b α β
1
+
α
1
β
).
Zu Th. 19) ist
A
= (
a
=
b
) (
α
=
β
) = (
a b
+
a
1
b
1
) (
α β
+
α
1
β
1
), bei 19
×
)
B
= (
a α
=
b β
) =
a b α β
+ (
a
1
+
α
1
) (
b
1
+
β
1
) =
A
+ {
b
1
α
1
(
a
+
β
) +
a
1
β
1
(
b
+
α
)}, „ 19
+
)
B
= (
a
+
α
=
b
+
β
) = (
a
+
α
) (
b
+
β
) +
a
1
b
1
α
1
β
1
=
A
+ {
a β
(
b
1
+
α
1
) +
b α
(
a
1
+
β
1
)}.
Zu Th. 20) ist (
a

b
) =
a
1
+
b
und ebenso (
a
=
a b
) =
a
·
a b
+
a
1
(
a
1
+
b
1
) =
a b
+
a
1
=
a
1
+
b
, (
a
+
b
=
b
) = (
a
+
b
)
b
+
a
1
b
1
·
b
1
=
b
+
a
1
b
1
=
a
1
+
b
.
Sechzehnte Vorlesung.
Zu Th. 24) ist
(
a b
= 1) =
a b
und
(
a
+
b
= 0) =
a
1
b
1
und
(
a
= 1) (
b
= 1) =
a b
(
a
= 0) (
b
= 0) =
a
1
b
1
.
Zu Prinzip III
×
haben wir als Minor:
A
= (
b c
= 0) =
b
1
+
c
1
, und als Major
B
= 1, nämlich
B
= {
a
(
b
+
c
)

a b
+
a c
} =
a
1
+
b
1
c
1
+
a b
+
a c
=
a
1
+
b
+
c
+
b
1
c
1
=
a
1
+ 1, sonach läuft dasselbe auf:
b
1
+
c
1

1 hinaus und erweist sich als richtig.
Zum Hülfstheorem 29) haben wir:
A
= (
a b
= 0) (
a c
= 0) (
a
+
b
= 1) (
a
+
c
= 1) = (
a
1
+
b
1
) (
a
1
+
c
1
) (
a
+
b
) (
a
+
c
) = = (
a b
1
+
a
1
b
) (
a c
1
+
a
1
c
) oder (
a
1
+
b
1
c
1
) (
a
+
b c
) =
a b
1
c
1
+
a
1
b c
,
und
B
= (
b
=
c
) =
b c
+
b
1
c
1
=
A
+ (
a b c
+
a
1
b
1
c
1
),
wie durch Entwickelung des
B
auch nach
a
zu erkennen ist. Zudem ist die Unterordnung von
A
unter B aus
a
1
b c

b c
und
a b
1
c
1

b
1
c
1
nach Th. 6
×
) und 17
+
) ersichtlich.
Zu Def. (6) ist
A
= (
a x

0) (1

a
+
x
) = (
a
1
+
x
1
) (
a
+
x
) =
a
1
x
+
a x
1
, desgleichen
B
= (
x
=
a
1
) =
x a
1
+
x
1
a
. Denselben Wert ergäbe:
A
= (
a x
= 0) (
a
+
x
= 1).
Zu Th. 32) ist
A
= (
a
=
b
) =
a b
+
a
1
b
1
,
B
= (
a
1
=
b
1
) =
a
1
b
1
+
a b
. Zu Th. 37)
A
= (
a

b
) =
a
1
+
b
,
B
= (
b
1

a
1
) =
b
+
a
1
. Zu Th. 38) ist: (
a b
1
= 0) =
a
1
+
b
, (
a

b
) =
a
1
+
b
, (
a
1
+
b
= 1) =
a
1
+
b
. Zu Th. 39) (
a b
1
+
a
1
b
= 0) = (
a b
+
a
1
b
1
= 1) =
a b
+
a
1
b
1
, und (
a
=
b
) =
a b
+
a
1
b
1
. Zu Th. 40) ist
A
= (
a c

b c
) (
a
+
c

b
+
c
) = (
a
1
+
c
1
+
b c
) (
a
1
c
1
+
b
+
c
) = =
a
1
c
1
+
a
1
b
+
a
1
c
+
b c
1
+
b c
=
a
1
· 1 +
b
· 1 =
a
1
+
b
und
B
= (
a

b
) =
a
1
+
b
. Ebenso bei Zus. 2 ist
A
= (
a c

b
) (
a

b
+
c
) = (
a
1
+
c
1
+
b
) (
a
1
+
b
+
c
) =
a
1
+
b
. Ferner bei Zus. 1 ist:
A
= (
a c
=
b c
) (
a
+
c
=
b
+
c
) =
= {
a c
·
b c
+ (
a
1
+
c
1
) (
b
1
+
c
1
)} {(
a
+
c
) (
b
+
c
) +
a
1
c
1
·
b
1
c
1
} = (
a b c
+
a
1
b
1
+
c
1
) (
a b
+
c
+
a
1
b
1
c
1
) = =
a b c
+
a
1
b
1
c
+
a b c
1
+
a
1
b
1
c
1
=
a b
+
a
1
b
1
, desgl.
B
= (
a
=
b
) =
a b
+
a
1
b
1
.
Zu Th. 41) haben wir: (
a b

c
) =
a
1
+
b
1
+
c
= (
a

b
1
+
c
), etc., (
a

b
+
c
) =
a
1
+
b
+
c
= (
a b
1

c
) etc.
Beim Hülfstheorem zu Th. 47
+
) ist
A
= (
a

x

b
) = (
a

x
) (
x

b
) = (
a
1
+
x
) (
x
1
+
b
) =
a
1
x
1
+
b x
und
B
= (
a x
1
+
b x
=
x
) = (
a x
1
+
b x
)
x
+ (
a
1
x
1
+
b
1
x
)
x
1
=
b x
+
a
1
x
1
.
Beim Th. 49
×
): (
a x
+
b x
1
= 0) =
a
1
x
+
b
1
x
1
, und (
b

x

a
1
) = (
b

x
) (
x

a
1
) = (
b
1
+
x
) (
x
1
+
a
1
) =
b
1
x
1
+
a
1
x
;
§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (
b

a
1
), das ist
b
1
+
a
1
, nichts ändern.
Endlich
bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird
Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen Produkt- und Summenzeichen vorkommen.
Zu
Def. (2
×
) haben wir:
A
=
(
x

a
) =
(
x
1
+
a
) =
x
1
und
B
= (
x
= 0) =
x
1
,
was übereinstimmt, ebenso zu Def. (2
+
):
(
a

x
) =
(
a
1
+
x
) =
x
und (
x
= 1) =
x
.
Dass nämlich
(
x
1
+
a
) =
x
1
ist, ergibt sich folgendermassen. Nach dem auf unbegrenzt viele Faktoren ausgedehnten Theorem 27
+
) muss sein:
(
b
+
a
) =
b
+
a
, ebenso
(
b
+
a
1
) =
b
+
a
1
und noch allgemeiner, wenn nur wieder
b
ein von
a
unabhängiges, be- züglich des
a
konstantes Gebiet vorstellt:
{
b
+
f
(
a
)} =
b
+
f
(
a
).
Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass
a
= 0 desgleichen
a
1
= 0
sein muss, in Anbetracht, dass unter allen möglichen Faktoren
a
(resp.
a
1
) deren Produkt zu bilden ist, sich gewiss auch disjunkte finden, z. B. ein bestimmtes Gebiet
a
und daneben auch dessen Negation
a
1
, wonach also das Th. 22
×
) in Kraft tritt.
Zu Th. 7
×
) haben wir:
{(
x

c
)

(
x

a
) (
x

b
)} =
{
x
1
+
c

(
x
1
+
a
) (
x
1
+
b
)} = =
{
x c
1
+
x
1
+
a b
} =
(
c
1
+
a b
+
x
1
) =
c
1
+
a b
, also = (
c

a b
),
Sechzehnte Vorlesung.
und zu 7
+
):
{(
c

x
)

(
a

x
) (
b

x
)} =
{
c
1
+
x

(
a
1
+
x
) (
b
1
+
x
)} = =
(
c x
1
+
a
1
b
1
+
x
) =
(
a
1
b
1
+
c
+
x
) =
a
1
b
1
+
c
, also = (
a
+
b

c
).
Bei den nächsten Theoremen werde nur links vom Mittelstrich die Rechnung durchgeführt, rechts dem Leser überlassen. Zu 8
×
):
{(
x

a b
)

(
x

c
)} =
(
x
1
+
a b

x
1
+
c
) =
{
x
(
a
1
+
b
1
) +
x
1
+
c
} = =
a
1
+
b
1
+
c
, also = (
a b

c
). Zu 9
×
):
{(
x

a
) (
x

b
)

(
x

c
)} =
{(
x
1
+
a
) (
x
1
+
b
)

x
1
+
c
} = =
{
x
(
a
1
+
b
1
) +
x
1
+
c
)} = etc.
Zu 10
×
):
{(
a b

x
)

(
c

x
)} =
(
a
1
+
b
1
+
x

c
1
+
x
) = =
(
a b x
1
+
c
1
+
x
) =
c
1
+
a b
, etc.
Zu 11
×
)
{(
x

c
) = (
x

a
) (
x

b
)} =
{
x
1
+
c
= (
x
1
+
a
) (
x
1
+
b
)} = =
{(
x
1
+
c
) (
x
1
+
a
) (
x
1
+
b
) +
x c
1
(
x a
1
+
x b
1
)} =
{
x
1
+
a b c
+
x c
1
(
a
1
+
b
1
)} = =
a b c
+ (
a
1
+
b
1
)
c
1
, also = (
c
=
a b
).
Zu Th. 43) ist:
(
a
=
u b
) =
{
a
·
u b
+
a
1
(
u
1
+
b
1
)} = =
(
a
1
b
1
+
a b u
+
a
1
u
1
) =
a
1
b
1
+
a b
+
a
1
=
a
1
+
b
, also = (
a

b
), desgl.
(
b
=
a
+
v
) =
{
b
(
a
+
v
) +
b
1
·
a
1
v
1
} =
a b
+
b
+
a
1
b
1
=
a
1
+
b
.
Hierbei war zu berücksichtigen, dass nach dem auf eine unbegrenzte Gliedermenge verallgemeinerten Distributionsgesetz 27
×
), wenn
a
gegen
u
konstant ist:
a f
(
u
) =
a
f
(
u
)
sein muss, und ferner dass hier
u
= 1 sowie
u
1
= 1
sein wird, indem in der Summe aller erdenklichen Glieder sicher sich auch solche finden, welche als die Negationen von einander sich zu 1 ergänzen.
Zu Th. 47
+
) ist einerseits (
a

x

b
) =
a
1
x
1
+
b x
, wie oben, und andrerseits
§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
(
a

b
)
(
x
=
a w
1
+
b w
) = = (
a
1
+
b
)
{
x
(
a w
1
+
b w
) +
x
1
(
a
1
w
1
+
b
1
w
)} = (
a
1
+
b
) (
x a
+
x b
+
x
1
a
1
+
x
1
b
1
) =
gleich dem vorigen Ausdruck.
Zu Th. 48
+
) ist (
a b

u

a
+
b
) = (
a
1
+
b
1
+
u
) (
u
1
+
a
+
b
) = = (
a
1
+
b
1
)
u
1
+ (
a
+
b
)
u
, aber auch:
(
u
=
a x
+
b x
1
) = =
{
u
(
a x
+
b x
1
) +
u
1
(
a
1
x
+
b
1
x
1
)} =
u a
+
u b
+
u
1
a
1
+
u
1
b
1
. Etc.
Den
Zusatz
S. 34 betreffend hat man zu berücksichtigen, dass auch
u v
= 1,
u v
1
= 1,
u
1
v
= 1,
u
1
v
1
= 1
sein wird, indem unter allen erdenklichen Produkten je zweier Gebiete auch die vier Konstituenten der nach irgend zwei bestimmten entwickelten Eins sich befinden. Darnach läuft die l. c. in § 29 angegebene Gleichung auf die Identität
a
+
b
+
c
+
d
=
a
+
b
+
c
+
d
hinaus, von deren rechter Seite der Term
a b c d
absorbirt worden. Dieser ergab sich aus
a b c d
=
a b c d
1, wo nun selbst
1 = 1
(nämlich = 1 + 1 + 1 + …) nach dem Tautologiegesetze 14
+
) ist.
In Th. 50
+
) ist die linke Seite: (
a x
+
b x
1
= 0) =
a
1
x
+
b
1
x
1
, die rechte aber: (
a b
= 0)
(
x
=
b u
1
+
a
1
u
) = (
a
1
+
b
1
)
{
x
(
b u
1
+
a
1
u
) +
x
1
(
b
1
u
1
+
a u
)} = = (
a
1
+
b
1
) (
x b
+
x a
1
+
x
1
b
1
+
x
1
a
), was ausmultiplizirt auf dasselbe hinausläuft. Ebenso würde mit dem Faktor
(
x
=
b
+
u a
1
) die Probe stimmen. Für sich jedoch, d. h. ohne den Aus- sagenfaktor, die Voraussetzung (
a b
= 0) ist verschieden:
(
x
=
b u
1
+
a
1
u
) = (
a
1
b

x

a
1
+
b
),
(
x
=
b
+
a
1
u
) = (
b

x

b
+
a
1
) konform mit dem Th. 48
+
).
Endlich
haben wir zu den Theoremen 51): (
a

b
)
(
x
=
a
+
u b
1
) = (
a
1
+
b
)
{
x
(
a
+
u b
1
) +
x
1
a
1
(
u
1
+
b
)} = = (
a
1
+
b
) {
x
(
a
+
b
1
) +
x
1
a
1
} =
x
(
a b
+
a
1
b
1
) +
x
1
a
1
= (
b x
=
a
), (
b

a
)
{
x
=
a
(
b
1
+
u
)} = (
b
1
+
a
)
{
x a
(
b
1
+
u
) +
x
1
(
a
1
+
b u
1
)} = = (
a
+
b
1
) {
x a
+
x
1
(
a
1
+
b
)} =
x a
+
x
1
(
a b
+
a
1
b
1
) = (
b
+
x
=
a
). —
Sonach bewahrheiten sich also wieder alle unsre Sätze und er- weist sich die Theorie als eine durch und durch in sich gefestigte.
Sechzehnte Vorlesung.
Als eine Nutzanwendung und
Übungsaufgabe
zu der in diesem Paragraph gelehrten Methode wollen wir die Fragen beantworten:
ξ
)
Wie differiren die vier Aussagen x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
, wenn bedeutet:
x
1
die Aussage: (
a
=
b
) (
c
=
d
), die also resultirt, wenn man die Gleichung
a
=
b
mit der Gleichung
c
=
d
(
schlechtweg
) multiplizirt,
x
2
die Aussage:
a
(
c
=
d
) =
b
(
c
=
d
), die sich dadurch ergibt, dass man die Gleichung
a
=
b beiderseits
multiplizirt mit der Gleichung
c
=
d
,
x
3
die Aussage: (
a
=
b
)
c
= (
a
=
b
)
d
, welche entspringt durch
beiderseitiges
Multipliziren der Gleichung
c
=
d
mit der
a
=
b
, endlich
x
4
die Aus- sage:
a c
=
b d
, die sich durch
überschiebendes
Multipliziren der beiden Gleichungen
a
=
b
und
c
=
d
ergeben wird.
Vergl. § 10, unterhalb Th. 19), also Bd. 1, S. 268 sq.
Auflösung
. Man hat:
x
1
= (
a b
+
a
1
b
1
) (
c d
+
c
1
d
1
),
x
2
=
x
1
+ (
c d
1
+
c
1
d
),
x
3
=
x
1
+ (
a b
1
+
a
1
b
),
x
4
=
x
1
+ {(
a
+
d
)
b
1
c
1
+
a
1
d
1
(
b
+
c
)}
als „reduzirte“ Summen. [Unreduzirt würden die drei letztern den ein- fachern Ausdruck haben:
x
4
=
a b c d
+ (
a
1
+
c
1
) (
b
1
+
d
1
),
x
2
=
a b
+
a
1
b
1
+
c d
1
+
c
1
d
,
x
3
=
a b
1
+
a
1
b
+
c d
+
c
1
d
1
]
Hienach ist ersichtlich, dass alle vier Aussagen im allgemeinen
ver- schieden
sind, und darum die l. c. eingeführten vorstehend kursiv ge- druckten Benennungen (Adverbien für die Art und Weise des Multi- plizirens) zur Unterscheidung notwendig. Ferner ist ersichtlich:
x
1

x
2
,
x
1

x
3
,
x
1

x
4
· Die oben angegebenen bei den Sym- bolen rechterhand zu
x
1
noch hinzutretenden Glieder stellen das „Ge- wicht“ dieser drei Folgerungen (von
x
2
aus
x
1
, etc.) vor. Ausser dann, wann
x
1
gilt, wird z. B.
x
2
ausschliesslich nur dann noch gelten, wenn
c oder aber d
gilt. Etc.
Zwischen irgend zweien der drei Aussagen
x
2
,
x
3
,
x
4
besteht da- gegen kein Zusammenhang, wonach allgemein die eine aus der andern folgen müsste, überhaupt keine (von den Bedeutungen der Aussagen
a
,
b
,
c
,
d
) unabhängige Beziehung, wie die Elimination von
a
,
b
,
c
,
d
aus den beiden zugehörigen Gleichungen zeigen würde, indem sie auf 0 = 0 führte.
ο
)
Wie differiren ebenso die vier Aussagen:
y
1
= (
a

b
) (
c

d
),
y
2
= {
a
(
c

d
)

b
(
c

d
)},
y
3
= {(
a

b
)
c

(
a

b
)
d
},
y
4
= (
a c

b d
)?
§ 32. Gewicht von Aussagen.
Auflösung
:
y
1
= (
a
1
+
b
) (
c
1
+
d
)
y
2
=
a
1
+
b
+
c d
1
=
y
1
+
c d
1
,
y
3
=
a b
1
+
c
1
+
d
=
y
1
+
a b
1
,
y
4
=
a
1
+
c
1
+
b d
=
y
1
+ (
a b
1
c
1
+
a
1
c d
1
)
was ähnliche Bemerkungen liefert. Nebenbei erkennt man leicht auch noch, dass:
y
2
= {(
c

d
)

(
a

b
)},
y
3
= {
a

b
)

(
c

d
)}
ist.
π
) Zum Dritten wollen wir noch einmal zu den Studien des § 6 zurück- kehren, die uns die Theoreme 7) bis 11) geliefert haben. Des Gebiets- dualismus halber genügt es, diejenigen links vom Mittelstriche zu betrachten und sollen die rechts höchstens als Ergebnisse mit berücksichtigt werden.
Man fasse unter den Chiffren die wir citiren, jeweils die Formeln des § 30 in’s Auge, worin die kleinen Buchstaben wieder Gebiete vorstellen mögen. (S. 29 sq.)
Def. (3
×
) gab in einfachst denkbarer Form die Erklärung des Produkts
a b
zweier Gebiete als eines Prädikates: (
c

a b
) = (
c

a
) (
c

b
).
Als Subjekt dagegen konnte
a b
nicht einfacher als mittelst Th. 9
×
) = Def. (5
×
) erklärt werden, welches sich auf Grund des Th. 8
×
) unmittelbar aus Def. (3
×
) ergibt, indem man nach letzterer die Bedeutung von (
x

a b
) in das Th. 8
×
) substituirt.
Analog zu dieser Def. (5
×
) für
a b
als Subjekt war aber behufs Er- klärung von
a b
als Prädikat auch noch eine Erklärungsweise, komplizirter als Def. (3
×
), zulässig, welche als Def. (4
×
) in dem Th. 7
×
) ausgesprochen ist.
Zog man das zu 8
×
) analoge Th. 10
×
) hinzu, so konnte auf diese Definitionen (4
×
) und (5
×
) eine unbegrenzte Reihe von immer komplizirter erscheinenden Erklärungsweisen für
a b
als Prädikat resp. Subjekt gegründet werden, die paarweise als gleich komplizirte oder einander analoge zu- sammengehören. Von den zwei Reihen so erhältlicher Definitionen, von denen also Def. (4
×
) und Def. (5
×
) die „Anfangsglieder“ vorstellen — während nur der ersteren von diesen wirklich noch ein Glied in Gestalt der Def. (3
×
) vorangeht — sollen nun wenigstens die beiden nächstfolgenden Glieder noch in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls dargestellt werden. Sie lauten bezüglich:
ϱ
)
(
c

a b
) =
{
[(
y

a
) (
y

b
)

(
y

x
)]

(
c

x
)},
σ
)
(
a b

c
) =
{
[(
y

x
)

(
y

a
) (
y

b
)]

(
x

c
)},
und ergeben sich
leicht,
indem man für (
a b

x
) in das Th. 10
×
) diejenige Erklärung substituirt, welche das Th. 9
×
) dafür geben würde, resp. analog für (
x

a b
) in das Th. 8
×
) einsetzt den Wert dieser Aussage gemäss Th. 7
×
). Dabei war nur zu beachten, dass nachdem der Name
x
als Pro- duktationsvariable in dem einen der beiden im Geiste zusammenzuhaltenden Schemata bereits vergeben ist, in dem andern Schema für die Produktations- variable ein neuer Name, wie
y
, gewählt werden muss.
Schröder
, Algebra der Logik. II. 6
Sechzehnte Vorlesung.
Umgekehrt dagegen ist es
keine
leichte Anforderung an das mentale Abstraktionsvermögen des Lesers, falls nun
ϱ
),
σ
) als Definitionen zugrunde gelegt werden sollten, aus diesen Formeln selbst ihre Vereinfachungsfähig- keit zu erkennen und von ihnen zu den Definitionsformen (4
×
) resp. (5
×
) zurückzugelangen — so, wie wir in der That in § 6 die Zurückführung der Def. (4
×
) auf die (3
×
) mittelst verbalen Räsonnements geleistet haben, welches natürlich nun nachträglich auch ganz durch die Formelsprache des Aussagenkalkuls ersetzt werden könnte.
τ
) Schliesslich wollen wir untersuchen, in welcher Beziehung in den Theoremen 7) bis 11) der allgemeine Faktor unter dem Produktenzeichen
selbst zur andern Seite der Gleichung steht. Diese Beziehung ist die einer Überordnung, indem zu notifiziren ist, dass Zu 7
×
)
(
c

a b
)

{(
x

c
)

(
x

a
) (
x

b
)},
Zu 8
×
)
(
a b

c
)

{(
x

a b
)

(
x

c
)},
Zu 9
×
)
(
a b

c
)

{(
x

a
) (
x

b
)

(
x

c
)},
Zu 10
×
)
(
c

a b
)

{(
a b

x
)

(
c

x
)},
Zu 11
×
)
(
c
=
a b
)

{(
x

c
) = (
x

a
) (
x

b
)}.
Auf Grund der Def. (3
×
) sind diese Formeln leicht als solche, die im Gebietekalkul allgemeine Geltung haben, syllogistisch zu beweisen, und ebenso verifiziren sie sich als solche des Aussagenkalkuls nach der über
ν
) an- gegebenen, durch das Bisherige genugsam illustrirten Methode.
Bei letzterem Verfahren wird augenscheinlich, dass die obigen Sub- sumtionen nicht als Gleichungen gelten, sondern dass vielmehr der Major jeweils den Minor um den Term
x
1
, bei 10
×
) aber um das Glied
x
, über- trifft. Aussagenrechnerisch bewahrheiten sich demnach die Formeln: Zu *7
×
)
{(
x

c
)

(
x

a
) (
x

b
)} = (
c

a b
) + (
x
= 0)
etc. dagegen Zu *10
×
)
{(
a b

x
)

(
c

x
)} = (
c

a b
) + (
x
= 1).
Indessen kommt denselben nur die
engere
Geltung zu: die Formeln müssen sicher zutreffen, wenn
a
,
b
,
c
,
x
, 1 Aussagen bedeuten, brauchen es aber (wie wir sogleich sehen werden) keineswegs zu thun, falls diese Symbole
Fig. 9
irgendwelche Gebiete vorzustellen haben. Die Formeln mussten darum auch mit dem Sterne ausgezeichnet werden.
In der That lassen leicht sich Beispiele nach- weisen — wie Fig. 9 — in welchen
(
x

c
) = 1߭, sowie (
x

a b
) = 1߭, somit auch (
x

c
)

(
x

a b
)
ist, und doch
weder c

a b noch x
= 0 besteht, sodass beispielsweise die erste unsrer Formeln, wie sie zuletzt unter „Zu *7
×
)“ angegeben, unmöglich für Ge- biete allgemeingültig sein kann.
§ 32. Gewicht von Aussagen.
Um nun zuzusehen, was in den obigen Subsumtionen dem Minor noch hinzuzufügen ist, damit dieselben
auch im Gebietekalkul gültig
als Gleichungen angeschrieben werden dürfen, mögen wir uns die Aufgabe noch etwas ver- einfachen.
Nach der schon die weitere Geltung erwiesenermassen besitzenden Äquivalenz der Def. (3
×
) können wir nämlich das Subsumtionenprodukt (
x

a
) (
x

b
) durch die eine Subsumtion (
x

a b
) ersetzen. Hernach kommen
a
und
b
nicht mehr getrennt, sondern nur mehr noch in der Ver- bindung
a b
vor, welche man bequemer durch ein einziges Gebietsymbol
d
ersetzen wird. Schreibt man alsdann noch
a
und
b
für
c
und
d
(resp.
d
und
c
), so ist offenbar, dass es sich nur noch um die Beantwortung der folgenden Frage handelt.
υ
) Es soll ermittelt werden, welche auf
a
,
b
, und
x
bezügliche Aussage noch hinzugefügt werden muss zu dem Minor einer jeden der folgenden vier Subsumtionen:
(
a

b
)

{(
x

a
)

(
x

b
)}, (
a

b
)

{(
b

x
)

(
a

x
)}, (
a
=
b
)

{(
x

a
) = (
x

b
)}, (
a
=
b
)

{(
b

x
) = (
a

x
)},
damit dieselbe in eine Gleichung übergehe, die
für beliebige Gebiete a
,
b
,
x
gültig.
Ich will die Betrachtung nur für die erste der vier angegebenen Subsumtionen durchführen, den Rest dem Leser überlassend.
Zunächst ist die Subsumtion für ein beliebiges
x
richtig: Wenn
a
in
b
enthalten, so muss, wenn
x
in
a
enthalten ist, es nach Pr. II auch in
b
enthalten sein. Nach einem späteren Satze —
ϑ
×
) des § 45 — würde sie sich sogar als eine blosse Umschreibung des Pr. II in seiner im § 29 ihm gegebenen aussagenrechnerischen Fassung (
x

a
) (
a

b
)

(
x

b
) hin- stellen lassen.
Um jene Subsumtion in eine Gleichung mit der linken Seite (
a

b
) umzuwandeln, genügt es, rechts das Zeichen
voranzuschreiben:
(
a

b
) =
{(
x

a
)

(
x

b
)}.
In der That folgt wie erwähnt die Subsumtion rechterhand als eine für
jedes x
gültige aus der zur linken. Und umgekehrt auch, wenn die Subsumtion rechts: (
x

a
)

(
x

b
)
für jedes x
gilt, so folgt auch die
a

b
zur linken. Dann gilt jene nämlich auch für
x
=
a
, und haben wir (
a

a
)

(
a

b
) oder 1߭

(
a

b
), das ist nach Th. 5̅
×
): (
a

b
) = 1߭. Mit dieser Betrachtung sind wir aber unsrer obigen Aufgabe noch nicht näher getreten.
Letztere fordert, dass wir die Subsumtion rechts, den Major (
x

a
)

(
x

b
), nach dem Minor (
a

b
) „entwickeln“. Die Ent- wickelung ergibt sich etwa, indem wir jenen mit der Gleichung
1߭ = (
a

b
) + (
a

b
)
beiderseitig multipliziren. Weil aber
6*
Sechzehnte Vorlesung.
(
a

b
)

{(
x

a
)

(
x

b
)},
so ist nach Th. 2̅0̅
×
), oder (
A

B
) = (
A B
=
A
), auch:
(
a

b
) {(
x

a
)

(
x

b
)} = (
a

b
),
sodass also unser Major als Faktor beim ersten Term sich unterdrücken lässt, und nur noch beim zweiten angemerkt werden muss, wobei man ihn auch verwenden mag in einer der beiden nach
λ
) und Th. 3̅3̅
+
) Zusatz ihm äquivalenten Formen:
(
x

b
) + (
x

a
) oder (
x

b
) + (
x

b
) + (
x

a
).
Mithin gibt die Gleichung:
{(
x

a
)

(
x

b
)} = (
a

b
) + (
a

b
) {(
x

b
) + (
x

b
) (
x

a
)}
die Lösung unsrer Aufgabe an.
Und ebenso haben wir mit der weiteren Geltung:
{(
x

c
)

(
x

a
) (
x

b
)} = (
c

a b
) + (
c

a b
) {(
x

a b
) + (
x

c
)}.
Der letzte Term — nicht aber der: (
x
= 0) — ist behufs Er- zielung dieser weiteren Geltung dem ersten Terme noch hinzuzufügen gewesen. Indessen könnte man freilich denselben durch Unterdrückung des Faktors (
c

a b
) noch weiter vereinfachen (und sogar auch den ersten Term fortlassen).
Die Betrachtung dürfte lehrreich gewesen sein um den Gegensatz zwischen engerer und weiterer Geltung deutlichst hervortreten zu lassen.
Die im Obigen behufs Verifikation einer jeden Subsumtion unsres Aussagenkalkuls angeregte und auszuführen gewesene
Probe,
dass:
Minor + Gewicht = Major
sein muss (während Minor mal Gewicht verschwindet), lief hinaus auf den rechnerischen Gültigkeitsnachweis von Formeln des Klassenkalkuls, die zu den Übungsaufgaben des § 18 (Bd. 1, S. 384 sqq.) noch manche Beisteuer liefern.
Siebzehnte Vorlesung
.
§ 33.
Herkömmliche Einteilung der kategorischen Urteile nach Qualität und Quantität. Modifizirte Deutung der universalen in der exakten Logik und Unzulänglichkeit des früheren Kalkuls zur Dar- stellung der partikularen Urteile.
Die an die Formen der Wortsprache sich innigst anschmiegende herkömmliche Logik teilt die kategorischen Urteile ein nach der so- genannten „
Qualität
“ derselben in
bejahende
und
verneinende
, nach ihrer „
Quantität
“ in
universale
und
partikulare
.
Es entstehen durch die Kombination der beiden Einteilungsgründe die
vier
Arten der
universell
(allgemein)
oder
partikular
(besonders)
bejahenden
(affirmativen) oder
verneinenden
(negativen)
Urteile.
Die vier Buchstaben
a
,
e
,
i
,
o
, als die hervorgehobenen Vokale der lateinischen Verbalformen:
a
sser
i
t (es bejaht, versichert) und n
e
g
o
(ich verneine, leugne) werden nach alter Übung mnemonisch verwendet, um diese vier Arten von Urteilen unterscheidend kurz zu bezeichnen, und zwar sollte vor- stellen:
a
ein
universell bejahendes
Urteil, wie:
Alle A sind B.
e
ein
universell verneinendes
Urteil, wie:
Alle A sind nicht B
, oder mit anderen Worten:
Kein A ist B.
i
ein
partikular bejahendes
Urteil, wie:
Einige A sind B.
o
ein
partikular verneinendes
Urteil, wie:
Einige A sind nicht B.
Die Bedeutung der vier Buchstaben im Gedächtniss fest zu halten, zu memoriren, erleichtert der Doppelvers:
„Asserit a, negat e, sed universaliter ambo, Asserit i, negat o, sed particulariter ambo“.
Diese vier Buchstaben selbst etwa als Beziehungszeichen hier zu ver- wenden, die vier angeführten Schemata von Urteilen also mittelst:
Siebzehnte Vorlesung.
A a B
,
A e B
,
A i B
,
A o B
auszudrücken, würde nicht ratsam erscheinen, in Anbetracht, dass wir schon die Buchstaben (und zwar beider Alphabete, auch des kleinen) konventionell zu verwenden pflegen zur Darstellung der
Objekte zwischen welchen
solche Beziehungen stattfinden können, nämlich der Subjekt- und der Prädikat- klassen.
Ausserdem erscheinen — vom Standpunkte der Mathematik nament- lich — die vier Buchstaben gewissermassen so unglücklich gewählt, wie nur möglich.
Eine derartige Verfügung über den Sinn des
a
würde jede ander- weitige Verwendung des ersten Buchstabens des Alphabets präkludiren, vor- weg ausschliessen. Dass
e
die Basis des natürlichen Logarithmensystems und
i
=
die imaginäre Einheit in der Mathematik bedeutet, müsste wenigstens bei Anwendungen der Logik auf diese Disziplin sehr stören. Und der Buchstabe
o
ist, wenigstens
geschrieben,
allzuleicht mit der 0 zu verwechseln, sodass man ihm in der Wissenschaft überhaupt fast gänzlich (und mit Recht) aus dem Wege geht. —
Um zunächst das Herkömmliche vorweg zu erledigen, so sei noch angeführt, dass wenn das Subjekt
A
in den vier Urteilsformen als das nämliche gedacht wird, desgleichen das Prädikat
B
, dann die Verhält- nisse in welchen je eines der vier Urteile zu einem andern von ihnen steht, als „Gegensätze“ bezeichnet und mit verschiedenen Namen be- legt worden sind. Über diese Benennungen gewährt rasche Übersicht das folgende die Figur eines vollständigen Vierecks bildende Schema.
Fig. 10.
Dass wir in der That die Urteile
a
und
o
, desgleichen die
e
und
i
— auch nach der für unsre Theorie maassgebenden Auffassung dieser Urteile, ja gerade erst kraft des hier denselben beizulegenden Sinnes — als
einander kontradiktorisch entgegengesetzte
, als
Verneinungen von einander
zu bezeichnen haben auf Grund des Begriffs der Negation bei Aus- sagen, dies wird sich, sofern es nicht ohnehin einleuchtet, noch syste-
§ 33. Die herkömmliche Einteilung der kategorischen Urteile.
matisch durch den Aussagenkalkul rechtfertigen. Auch mag es angehen die Aussagen
a
und
e konträre
(konträr entgegengesetzte) zu nennen.
Die Urteile
a
,
i
oder
e
,
o
subalterne, und gar die
i
,
o
subkonträre zu nennen, erscheint als ziemlich sinnlos und gänzlich belanglos. —
Über den mit unsern vier Urteilen zu verknüpfenden
Sinn
sind immerhin einige Auseinandersetzungen nötig, resp. in Erinnerung zu rufen.
Im gemeinen Leben, wenn gesagt wird: Alle
A
sind
B
, wird die Unterstellung gemacht, es wird als selbstverständlich vorausgesetzt, dass es Dasjenige, wovon man reden will, nämlich solche
A
, auch wirklich gebe. Dies ist begreiflich, da ohne weiteres keine Veran- lassung ersichtlich ist, die jemand bestimmen könnte, über nichts und wieder nichts Aussagen zu machen. Hier bleibt also in der Regel ganz der Fall ausser Betracht, wo die Klasse
A
, das Subjekt der Aus- sage eine leere ist, gar keine Individuen umfasst, die Bedeutung 0 hat, wo es überhaupt keine
A
geben sollte.
Anders in der Wissenschaft, die einerseits auf die Allgemeinheit ihrer Sätze das grösste Gewicht zu legen Grund hat, und darum, wenn gesagt wird, alle
A
seien
B
, oder sollten
B
sein, in der Regel auch die Fälle mitumfassen muss, wo die Anzahl dieser
A
gleich eins oder gar gleich null (1 resp. 0 im arithmetischen Sinne) sein sollte. Unter- suchungen, bei welchen
A
in Betracht kommen, gleichzeitig zu er- ledigen mit solchen Untersuchungen, bei welchen solche
A
überhaupt nicht in Betracht kommen können, weil es eben keine gibt, ist das Bestreben und liegt im Vorteil der Wissenschaft, die wo irgend mög- lich den beiden Klassen von Untersuchungen eine gemeinschaftliche, eine allgemeine Behandlung angedeihen lassen wird. Dazu kommt andrerseits noch, dass es sich in der Wissenschaft stets um die Er- mittelung, Erkenntniss von noch Unbekanntem handelt. Da ist es denn oft fraglich, ob eine begrifflich bestimmte Klasse
A
überhaupt denkbar, respective wirklich ist, ob sie Individuen enthalten kann oder muss. Die Untersuchung dreht sich alsdann gerade darum, ob diese Klasse
A
(identisch) null ist, oder nicht, und müssen die an bestimmte Voraussetzungen über das fragliche oder „problematische“
A
an- zuknüpfenden Schlüsse eben die beiden Möglichkeiten in Sicht behalten.
Aus diesem Grunde liessen wir in unsrer Theorie das Urteil
a
, nämlich auch den in Worte gekleideten Satz: „Alle
A
sind
B
“ für gleichbedeutend gelten mit dem Satze: „Alle
A
,
sofern es welche gibt
, sind
B
“
und erkennen denselben auch unbedingt für richtig an für den
Siebzehnte Vorlesung.
Fall
,
wo es gar keine A geben sollte
(sei es in der Mannigfaltigkeit des zu denken Möglichen überhaupt — immerhin jedoch mit der Beschränkung, die durch die Forderung einer „gewöhnlichen“ Mn. charakterisirt wurde, vergl. § 7, 9 und 16 — sei es in der des realen, faktischen, thatsäch- lich Wirklichen — je nach dem Felde auf dem wir uns eben mit den Untersuchungen bewegen).
Die Subsumtion:
A

B
, oder die nach Th. 38
×
) mit ihr äqui- valente Gleichung:
A B
1
= 0 ist alsdann die exakte Wiedergabe des Urteils
a
in der Zeichensprache unsres Kalkuls. Dass wir diese Sub- sumtion für den Fall
A
= 0 anzuerkennen auch durch die Konsequenz genötigt sind, wurde schon wiederholt betont. Vergl. § 9,
ρ
,
σ
).
Auch wenn die Klasse
A
nur
ein
Individuum enthält, das Urteil
a
also ein „
singuläres
“ ist, bleibt das Gesagte in Kraft, und schliessen wir uns damit in der That nur der allgemeinen Gepflogenheit in der Logik an, die singulären Urteile mit zu den universalen zu rechnen, sie unter diese zu subsumiren. Auch hier in der That gibt das Urteil eine Aussage ab über die
ganze
Subjektklasse, was als das Wesen der Universalität des Urteils angesehen wird.
Dasselbe, was bei den universal bejahenden Urteilen soeben aus- einandergesetzt worden, wäre nun auch in Bezug auf die universal ver- neinenden zu bemerken. Auch den Satz
e
, oder: „Alle
A
sind nicht-
B
“ müssen wir hier für richtig anerkennen, wenn es keine
A
gibt, wenn das Subjekt
A
die 0 bedeutet,
A
= 0 ist.
Das Urteil
e
wird hienach in unserm Kalkul mit
A

B
1
oder
A B
= 0 angemessen dargestellt. —
Über den Sinn des unbestimmten Zahlworts „
einige
“ (auch: „etliche, gewisse, manche“ und mit einer noch ausserdem hinzutretenden Zahl- bestimmung: „wenige, viele“) schwankt der Sprachgebrauch.
Dasselbe kann gebraucht werden
im Gegensatz zu
„
alle
“, im Sinne also von „nicht alle“ oder „
nur
einige“. Diese, wol im ganzen seltenere Verwendungsweise
schliessen wir hier aus
. Sollten wir das im Sinne haben, so sagen wir ausdrücklich „
nur
einige“ — denn hier wird es unerlässlich, wenn von „einige“ gesprochen wird, damit allemal
den- selben
, einen einheitlichen oder „ganz bestimmten“ Sinn zu verknüpfen. Der Sinn kann Manches unbestimmt oder offen lassen, doch muss dies immer auf die gleiche Weise geschehen, und nicht bald so bald anders; das Unbestimmte muss in ein bestimmt abgegrenztes Gebiet ein- gehegt sein.
Immer
wird das Wort „einige“ gebraucht
im Gegensatz zu
„
keine
“,
§ 33. Fortsetzung. Modifizirte Deutung universaler Urteile.
für nicht-keine oder
mindestens eines
, wie dies auch das lateinische non-nulli durch seine Zusammensetzung zu erkennen gibt. Und dies ist der Sinn, den wir hier unentwegt festhalten werden.
Damit ist gesagt, dass wenn von „einigen“ Individuen die Rede sein wird, diese sich insbesondere auch in der Einzahl befinden können.
Im gewöhnlichen Leben kann auch dieses anstössig erscheinen. Es könnte Jemand, der vor Gericht eidkräftig erklärt hat, er sei am hellen Tage von „einigen“ Individuen überfallen und durchgeprügelt worden, ris- kiren, wegen falschen Zeugnisses zur Verantwortung gezogen zu werden, wenn die Untersuchung schliesslich herausstellt, dass der Überfall nur von
einem
Individuum verübt worden. Dies rührt daher, dass
„einige“
manchmal auch synonym gebraucht wird mit
„mehrere“,
welches den Gegensatz ausdrückt zu »einem oder keinem«. Genau genommen müsste man aber, sollte ein Fall der geschilderten Art wirklich vorkommen, gegen den Leiter der gerichtlichen Ver- handlungen alsdann den Vorwurf erheben, die präzise Fragestellung an den Zeugen versäumt zu haben.
In ingeniöser Weise veranschaulicht Mr.
Peirce
die Tragweite, den genauen Sinn der (hier) mit
Fig. 11.
den vier Urteilsformen
a
,
e
,
i
,
o
zu verknüpfen ist, durch eine der oben- stehenden ähnliche Figur.
Ich will die vier Quadrate in welche das ganze Quadrat vor- stehend zerlegt erscheint, kurz als „Quadranten“ bezeichnen. Dann wird der Satz:
a
)
Alle Striche
(im Innern des Quadranten)
sind vertikal
gelten für die beiden oberen Quadranten, und zwar ausdrücklich auch für den ganz leeren rechts oben, in welchem sich gar keine Striche befinden. Der Satz:
e
)
Alle Striche sind nicht-vertikal
(hier sogar schief, in Anbetracht, dass wagrechte fehlen), oder:
Kein Strich ist vertikal
gilt für die beiden Quadranten rechterhand, und insbesondere auch wieder für den leeren. Der Satz:
i
)
Einige Striche sind vertikal
(stehen aufrecht)
gilt für die beiden Quadranten linkerhand und namentlich auch für den links oben, in welchem nicht „nur einige“, sondern sogar „alle“ Striche scheitelrecht stehen. Endlich der Satz:
o
)
Einige Striche sind nicht-vertikal
gilt für die beiden untersten Quadranten und zwar ausdrücklich auch für den rechts unten, in welchem nicht blos einige sondern sogar alle vorhandenen Striche schief stehen.
Siebzehnte Vorlesung.
Die vorstehenden Konventionen, zu welchen wir, wie auseinander- gesetzt, durch die Konsequenz genötigt sind, haben aber in der That einen Misstand im Gefolge. Es ist der Umstand, dass nun mitunter das Wort „einige“
mehr
besagen wird als „alle“, denn dieser letztern können es auch „keine“ sein, während jener erstern „mindestens eines“ sein muss. Nach unsern Festsetzungen fiel „alle
A
“ mit „kein
A
“ zu dem Begriffe des „Nichts“ zusammen, wenn es die
A
überhaupt nicht gibt; es schliessen hier „alle“ und „keine“ einander nicht unbedingt aus, während „einige“ und „keine“ dieses unbedingt thun. Als
misslich
ist dieser Umstand, dass nun mit „einige
A
“ eventuell
mehr A
gefordert oder gesetzt werden sollen, als mit „alle
A
“, insofern zu bezeichnen, als er höchlich dem Sprachgefühl zuwiderläuft.
In der gewöhnlichen Umgangssprache nun macht sich dieser Miss- stand allerdings nicht fühlbar — weil hier der Fall, dass ein Ding, worüber man spricht, nicht existirt oder gar, nicht denkbar wäre, nicht vorzukommen pflegt — so wenigstens in der Meinung Derer, die davon sprechen — sonach der anstössige Fall hier ohnehin sich still- schweigend
ausgeschlossen
findet.
In der Wissenschaft jedoch muss man an dergleichen Degenerations- fällen — den Fällen, wo einzelne Begriffswörter von dem ursprünglich für sie
beabsichtigten
Sinne anscheinend oder wirklich „ausarten“ (näm- lich ganz andern Zwecken als den bei ihrer Bildung vorschwebenden konsequenterweise dienstbar werden, indem man jene dabei gar nicht mit vor Augen hatte) — sich nicht weiter stossen. Hier ist äusserste Strenge im konsequenten Festhalten an den allgemeinen und als solche wohlmotivirten Festsetzungen in erster Linie maassgebend; sich die Vor- teile solcher Konsequenz zu sichern bleibt hier oberster Gesichtspunkt.
Es mag in dieser Beziehung erinnert werden an die „Segmente“ bei subtraktiver Teilung einer Strecke, wo doch auch der eine „Abschnitt“ grösser ist als die ganze Strecke — während so manche andere Gebilde der Geometrie, wie
die
unendlich entfernte Gerade resp. Ebene, der ima- ginäre Kugelkreis etc., gewiss in noch viel höherem Grade den Anfänger paradox anmuten — von derartigen Gebilden der Algebra ganz zu geschweigen.
Die universalen Urteilsformen
a
und
e
haben wir oben mit dem Zeichensystem, über das wir bislang verfügten, zur Darstellung ge- bracht, wir haben sie in Formeln gesetzt, in die Zeichensprache unsres Kalkuls übersetzt oder eingekleidet.
Es zeigt sich, dass
ohne weiteres
in der That
nur
bei diesen solches möglich ist — so wenigstens auf dem Standpunkte, auf welchem wir
vor dem Aussagenkalkul
mit § 28 angelangt waren — und wollen wir
§ 33.
Boole’
s Kalkul unfähig, partikulare Urteile darzustellen.
jetzt an die Frage herantreten, wie denn hier auch die partikularen Urteilsformen
i
und
o
wiederzugeben sein würden?
Für den Bedarf unsres bisherigen Klassenkalkuls haben vollkommen ausgereicht: die beiden
Beziehungszeichen der Subsumtion und der Gleich- heit und die
Operationen der
drei Spezies
(Multiplikation, Addition und Negation)
als ausgeführt an Klassen
.
Hier ist nun zunächst die Thatsache zu konstatiren:
dass mit diesen Mitteln allein die partikularen Urteile nicht ausgedrückt werden können
, dass also mit jenen beiden Beziehungszeichen und diesen drei Operationen, ausgeführt an den zum Subjekt und Prädikatbegriffe gehörigen oder beisteuernden beiden Klassen
A
,
B
und irgend welchen andern Klassen das gesteckte Ziel sich unmöglich erreichen lässt.
Boole
und nach ihm
Jevons
haben allerdings geglaubt, dies zu ver- mögen — ein Irrtum, welchen ebenfalls geteilt zu haben Miss
Ladd
1
pag. 24 implicite mir fälschlich zuschreibt.
Die erstgenannten wähnten durch eine Gleichung:
w A
=
w B
,
in welcher
w
ein unbestimmtes Klassensymbol vorstellt, das Urteil
i
dar- stellen zu können: einige
A
sind
B
.
Dass aber solches nicht angängig ist, erkennt man augenblicklich, sofern man nur bemerkt, dass speziell für w
= 0,
desgleichen für w
=
A B, die obige Gleichung immer identisch erfüllt ist
— ob einige
A
auch
B
sein mögen, oder nicht.
Es kann daher, solange man die Bedeutung von
w
offen lässt, durch die Gleichung
w A
=
w B
keine Relation zwischen
A
und
B
ausgedrückt werden. [In der That gibt Elimination von
w
aus ihr blos 0 = 0 zur voll- ständigen Resultante.]
Wollte man aber vielleicht fordern, dass mit
w
die Vorstellung einer Klasse verknüpft werde, welche eben diejenigen unter den
A
enthält, die
B
sind, somit auch diejenigen unter den
B
, die
A
sind, eine Klasse, die wir kürzer
A B
nennen mögen und bei welcher nur zu unterstellen bleibt, dass sie
keine leere,
d. i. von 0 verschieden ist, so würde zu entgegnen sein, dass eben diese Unterstellung die Hauptsache ist: Einige
A
müssen
B
sein, sobald die Klasse
A B
keine leere, nicht gleich 0 ist, sowie um- gekehrt — und dass, wenn solches feststeht, der Ansatz
w A
=
w B
ganz entbehrlich, eine überflüssige Weitläufigkeit wird. Gerade das Wichtigste zu einem blos mental zu ergänzenden Anhängsel, einem mit Stillschweigen übergangenen Vorbehalte von einer nichtssagenden Formalie zu machen, kann sich unmöglich empfehlen.
Der allgemeinste Ausdruck für diejenige Klasse
w
, welche bei ganz beliebig gegebenem Wertepaare
A
,
B
die Gleichung
w A
=
w B
schon ohnehin erfüllt, würde beiläufig sein
w
=
u
(
A B
+
A
1
B
1
),
worin
u
eine arbiträre Klasse bedeutet.
Siebzehnte Vorlesung.
Boole
hat zuerst sogar
verschiedene
unbestimmte Faktoren links und rechts in seiner Gleichung verwendet, hat für
i
geschrieben:
u A
=
v B
und dann bemerkt, dass man unbeschadet der Allgemeinheit für
u
und
v
das nämliche unbestimmte Symbol
w
beiderseits verwenden könne.
Es bedarf kaum noch des Hinweises, dass auch hierdurch nichts ge- wonnen wäre. Die Gleichung ist für irgend welche (auch für einander ausschliessende)
A
und
B
schon ohnehin erfüllt durch
u
=
B z
+
A
1
x
,
v
=
A z
+
B
1
y
,
oder, was ebenso allgemein, der Form nach aber etwas weniger einfach er- scheint, durch:
u
=
A B z
+
A
1
x
,
v
=
A B z
+
B
1
y
,
wo
x
,
y
,
z
vollkommen willkürlich. [Man braucht in der That nur in der ersten Form
A B z
für
z
zu nehmen, um die letztere, in dieser
B z
+
x
,
A z
+
y
für
x
,
y
zu nehmen, um die erstere zu gewinnen.] Und zwar würde nebenbei gesagt, sich nachweisen lassen, dass sie hierdurch auf die allge- meinste Weise erfüllt wird. Vergl. etwa § 25 Aufgabe 20, und anderes.
Die erwähnten Versuche zur Darstellung der partikularen Urteile im identischen Kalkul sind hienach als misslungen zu bezeichnen.
Die Unmöglichkeit lässt allgemein sich leicht darthun durch die folgende Überlegung:
Gesetzt das partikulare Urteil „Einige
A
sind
B
“ lasse überhaupt sich ausdrücken durch ein System von Subsumtionen oder auch Gleichungen, in welche die Klassen
A
und
B
nebst vielleicht irgend welchen andern Klassen
u
,
v
,
w
, … eingehn, so würde dieses System von Relationen nach Th. 24
+
) und den Ergebnissen des § 19 äquivalent sein mit seiner „ver- einigten“ Gleichung, und diese, rechts auf 0 gebracht, müsste die Form haben:
f
(
A
,
B
) = 0,
wo man das Polynom linkerhand auch linear nach
A
und
B
entwickeln könnte in der Form:
x A B
+
y A B
1
+
z A
1
B
+
t A
1
B
1
= 0,
in welcher die Koeffizienten
x
,
y
,
z
,
t
von
A
und
B
unabhängig erschienen.
Diese Relation müsste, was auch
A B
1
,
A
1
B
und
A
1
B
1
für Werte haben mögen, erfüllt sein, sobald nur
A B
von 0 verschieden. Im Hinblick auf Th. 24
+
) müssten daher die drei letzten Terme linkerhand allgemein ver- schwinden, sonach — cf. § 25, 21. Studie
Diese wäre naheliegend noch etwas zu vertiefen, da ein Wert
A
= 0, oder
B
= 0 jetzt ausgeschlossen.
— müssten ihre Koeffizienten
y
,
z
,
t
gleich 0 sein, und wäre durch geeignete Bestimmung des von
A
,
B
unabhängigen Koeffizienten
x
überdies zu bewirken, dass
x A B
= 0 ist, so- bald
A B
von 0 verschieden,
dagegen nicht gleich
0
wird,
sobald
A B
= 0
§ 33. Partikulare Urteile dem
Boole’
schen Kalkul unzugänglich.
sein sollte. Durch diese Forderung treten wir aber in Widerspruch zu Th. 22
×
), welches unbedingt
x
· 0 = 0 anzuerkennen fordert. Somit ist die behauptete Unmöglichkeit erwiesen.
Im Grunde könnten wir schon dieses Beweises uns überhoben erachten, solange das Geforderte eben niemand zu leisten vermag.
Nach dem Vorangehenden wird nun ein Zeichen für
nicht-gleich
, zu schreiben ≠, (oder einer von den möglichen Stellvertretern des- selben, wie

, vergl. § 36) erforderlich und hinreichend sein, dem Mangel abzuhelfen. In der That wird
A B
≠ 0
das Urteil
i
ausdrücken: „
Einige A sind B
“ — also auch: „Einige
B
sind
A
“ — eine Darstellung, die gegenüber dem Worttexte neben dem Vorzug der Kürze auch denjenigen besitzt, eine
symmetrische
Beziehung
auch symmetrisch wiederzugeben
(insofern nach dem Kommutationsgesetze
B A
und
A B
ohnehin für einerlei gilt).
Desgleichen wird der Ansatz:
A B
1
≠ 0 aussagen, was
o
: „
Einige A sind nicht B
“.
Wesentlich erscheinen diese partikularen Urteile — die „bejahenden“ sowol als die nach der herrschenden Terminologie als „verneinende“ hinzustellenden — doch als „
bejahende Existenzialurteile
“
: Es gibt A
die
B
(resp. nicht
B
) sind — wird ein den vorstehend kursiv gedruckten äquipollentes Urteil sein.
Z. B. für
A
= Säugetier,
B
= eierlegend, ist der Satz: Einige Säuge- tiere legen Eier, logisch gleichbedeutend mit dem Satze: Es gibt eierlegende Säugetiere (bekanntlich die Schnabeltiere, Ornithorhynchen, und noch ge- wisse andre Edentaten Australiens und Neuguineas).
Einige Metalle schwimmen auf dem Wasser, =: Es gibt Metalle, die auf dem Wasser schwimmen (resp., wenn man will, die im Wasser nicht untergehen) — wie bekanntlich Kalium, Natrium und andre „Leichtmetalle“.
Auf der ersten Etappe in der Entwickelung unsrer Disziplin, wie sie mit Bd. 1 zu einem Abschlusse gekommen, nämlich erst über die Zeichen = und

verfügend, vermochten wir nur die „verneinenden“ Existenzialurteile in Rechnung zu setzen. Fortan sind auch die be- jahenden in unsre Zeichensprache einkleidbar und der Rechnung zu- gänglich.
Zu dem Ende war es nur nötig, ein Zeichen einzuführen, welches wie ≠ oder

den Wert einer „verneinenden Kopula“ hat. Den Be- sitz einer solchen haben wir in § 15 mit guten Gründen der Wort- sprache abgesprochen, und es wird auch ein Vorzug des Kalkuls bleiben, dass er über sie verfüge.
Siebzehnte Vorlesung.
Wie in der That es schon im identischen Kalkul ein Postulat gewesen ist, dass man jedes Gebiet negiren, seine Ergänzung, Nega- tion bilden könne, so muss es fortan auch im Aussagenkalkul als ein Postulat anerkannt werden, dass man zu jeder Aussage auch deren Verneinung, Negation bilden könne.
Und als Verneinung der Gleichung
a
=
b
, sonach als (
a
=
b
)
1
wurde schon in § 31 die Ungleichung
a
≠
b
definirt.
Dass aber diese Operation des Negirens, von welcher wir
in Be- zug auf Aussagen
„
systematisch
“ im Klassenkalkul noch nicht Gebrauch gemacht haben, weil eben hiezu in diesem noch keine Nötigung vor- lag (allerdings aber aus
didaktischen
Gründen bereits häufig im er- läuternden Worttexte) — dass diese Operation fortan eine unentbehr- liche ist, wofern wir die letzten Ziele unsrer Theorie erreichen wollen, dies dürfte schon aus den bisherigen Betrachtungen erhellen.
Selbst für den Aussagenkalkul, für den wir als Kalkul mit Aussagen konstanten Sinnes in § 32 die Entbehrlichkeit des Ungleichheitszeichens erkannt haben, dürfte aus der Einführung des letztern ein Gewinn zu er- hoffen sein, indem es vielleicht auf Grund derselben möglich werden wird, auch für die Aussagen von mit der Zeit fliessendem, fluktuirendem oder variirendem Sinne bei konstantem Wortlaut (vgl. § 28) bestimmte Rech- nungsregeln aufzustellen. Jedenfalls vermögen wir auch solche Aussagen noch vermittelst dieses Zeichens wenigstens auszudrücken. Konnten wir vermittelst des Ansatzes
A
= 1߭ oder
A
1
= 0, resp.
A
= 0 oder
A
1
= 1߭
schon vordem statuiren, dass eine Aussage
A stets
resp.
nie
gelte, dass sie eine „zeitlich universale“ sei, so werden wir jetzt auch in der Lage sein, auszudrücken, dass die Aussage
A manchmal,
mitunter, zeitweilig gelte resp. nicht gelte, dass sie „nach der Dimension der Zeit (in ihrer zeitlichen Erstreckung) partikularen“ Charakter habe, und zwar in Gestalt des An- satzes:
A
≠ 0 oder
A
1
≠ 1߭ resp.
A
1
≠ 0 oder
A
≠ 1߭.
Wir wollen jedoch an dieser Stelle hierauf nicht weiter eingehen.
Als Quintessenz, sozusagen Moral, der vorstehenden Überlegungen wollen wir nur die Wahrnehmung statuiren: dass die Beziehungen, an deren Betrachtung wir uns bislang genügen liessen, nicht das ganze Gebiet der für die Logik des Umfanges wichtigen Beziehungen er- schöpfen, dass vielmehr noch Lücken in diesem Betreff auszufüllen sind.
Und diese Wahrnehmung mag uns veranlassen, nunmehr zu forschen nach dem
vollständigen
System jener Beziehungen, die Frage aufzuwerfen:
in wie vielerlei und was für Beziehungen zwei Gebiete
,
Klassen A
,
B
(oder auch Begriffe hinsichtlich ihres Umfanges, in ex-
§ 34. Die fünf Elementarbeziehungen
Gergonne’
s.
tensiver Hinsicht)
überhaupt zu einander stehen können?
— sodann die Anfangs nur als Studium der Subsumtionsbeziehung

hingestellte Hülfsdisziplin des identischen Kalkuls über dieses umfassendere Unter- suchungsfeld auszudehnen.
§ 34.
Die 5 möglichen Elementarbeziehungen
Gergonne’
s und die 14 Grundbeziehungen in anschaulich geometrischer Einführung.
Indem wir der am Schluss des vorigen Paragraphen aufgeworfenen Frage zunächst mit der Anschauung näher treten, wollen wir streng „
dichotomisch
“ verfahren, d. h. bei der Aufzählung der
zwischen zwei Gebieten A
,
B
denkbaren Beziehungsmöglichkeiten immer je
zwei
Ab- teilungen machen, wovon die eine dem Fall entspricht, dass ein ge- wisses Merkmal zutreffe, die andere dem Falle, wo dies nicht der Fall ist. Auf diese Weise werden wir nach dem Satz des ausgeschlossenen Dritten die Sicherheit erlangen, dass keine Möglichkeit übersehen oder ausgelassen wird. Vergl. § 16.
Zwei Gebiete
A
und
B
haben
entweder
keinen Teil gemein (Fall „
a
“),
oder
sie haben einen Teil gemein (Fall „
a
1
“).
Wir sehen damit gänzlich ab von der mit den Buchstaben
a
,
e
,
i
,
o
im vorigen Paragraphen verknüpften herkömmlichen Bedeutung.
(Ein drittes ist nicht denkbar.)
Im letztern Falle ist der gemeinsame Teil entweder
A
selbst (Fall
a
1
0
), oder er ist es nicht (Fall
a
1
1
).
Im erstern Unterfall
a
1
0
treten die zwei Möglichkeiten auf, wo der gemeinsame Teil (zugleich auch)
B
ist (Fall
a
1
00
), und wo er es nicht ist (Fall
a
1
01
).
Im zweiten Unterfall
a
1
1
ebenso: der gemeinsame Teil kann
B
sein (Fall
a
1
10
) oder auch
B
nicht sein (Fall
a
1
11
).
Demnach haben wir folgende
fünf
Möglichkeiten (von
vier
erlei „Art“, weil eine bezüglich
A
und
B
unsymmetrisch ist, und doppelt — durch
a
1
01
und
a
1
10
— vertreten erscheint):
Dieselben können versinnlicht werden durch die folgenden Figuren, zu
Siebzehnte Vorlesung.
welchen wir der Übersicht wegen sogleich die für den betreffenden Fall jeweils charakteristischen Formeln hinzusetzen,
Fall
a
.
Hier ist
A B
= 0.
Fig. 12.
Fall
a
1
00
=
δ
Fall
a
1
01
=
γ
Fall
a
1
10
=
β
Fall
a
1
11
=
α
Fig. 13.
Fig. 14.
Fig. 15.
Fig. 16.
A B
=
A
=
B
≠ 0
A B
=
A
≠
A B
=
B
≠
A B
≠
Die 5 erwähnten Beziehungen, in welche
A
und
B
zu einander treten können, nennen wir die „
Elementarbeziehungen
“ unsres Gebiete- kalkuls, sowie überhaupt einer Logik des Umfanges.
In den vier letztern Fällen, zu deren Bezeichnung wir zugleich die bequemeren Namen
δ
,
γ
,
β
,
α
eingeführt haben, wenden wir zu- nächst eigentümliche Beziehungszeichen an, und zwar bezüglich wie folgt:
A
=
B
A
⊂
B
A
⊃
B
A

B
gelesen:
A gleich B
A untergeordnet B
A übergeordnet B
A schnittig mit B
identisch
subordinirt
superordinirt
sekant
d
f
e
g
doch werden sogleich zwingende Gründe zutage treten,
diesen letztern Propositionen grösstenteils noch eine weitergehende Bedeutung beizulegen
, also dass die Fälle
d
,
f
,
e
mit denen
δ
,
γ
,
β
sich nicht völlig decken, nämlich zwar mit ihnen gegeben sind, aus ihnen folgen, aber umge- kehrt, sie nicht unbedingt nach sich ziehen, wogegen allerdings
g
mit
α
vollkommen zusammenfällt.
Dieses Auseinandergehen, diese Diskrepanz der Urteile
d
,
f
,
e
mit den die Elementarfälle statuirenden Aussagen
δ
,
γ
,
β
ist die unver- meidliche Wirkung der früher von uns vollzogenen
Adjungirung der Null
, welche ja ihrerseits eine wohlmotivirte war und vollzogen werden
§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.
musste
, um die identische Multiplikation
A
·
B
zu einer allgemein an- wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen.
Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung
0 = 0
als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für
A
=
B
= 0 auch
A B
= 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu
a
1
(und folglich auch nicht zu
a
1
00
oder
δ
), sondern zu
a
.
Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles
A
= 0 bei
f
und des Falles
B
= 0 bei
e
Bestimmungsgründe vor.
Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro- positionen
0

B
,
A

0
aufzustellen — cf. Def. (2
×
) — und sollte eine solche Subsumtion 0

B
nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 =
B
oder aber 0 ⊂
B
sei. Sooft nun also nicht gerade
B
= 0, das heisst, sooft
B
≠ 0 ist, müssen wir auch:
0 ⊂
B
, entsprechend desgleichen
A
⊃ 0
für ein von 0 verschiedenes
A
, stets gelten lassen. In diesen beiden Fällen ist nun aber wiederum
A B
[ = 0 ·
B
resp.
A
· 0] = 0, sodass sie unter
a
, nicht aber unter
a
1
und
γ
, resp.
β
, fallen.
Die Zeichen =, ⊂ , ⊃ wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt und gerechtfertigt. Das Zeichen

, in dessen Wahl ich mit
Wundt
zu- sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst
nicht un- geeignet
erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist — nicht nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich- tungen verschieden zu gestalten — sondern auch, was erheblicher, in Be- zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden Ausdrücken darzustellen hat: sooft
A

B
, wird auch
B

A
sich als gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres, wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen als
das allergeeignetste
dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten
A
und
B
bestehende Beziehung in sich
abbildet, den wesentlichen Teil der Figur 16 kopirt:
man braucht die divergirenden Äste eines jeden der beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt zu denken, sei es in’s Unbegrenzte, sei es — noch besser — so, dass sie etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon- turen der Gebiete
A
und
B
vollständig in dem Zeichen erblicken, und
Schröder
, Algebra der Logik. II. 7
Siebzehnte Vorlesung.
sehen, wie sie je nur einen Teil ihrer Fläche gemein haben. Das Zeichen gibt aber nur den wesentlichen Teil der Figur wieder: es drückt die Exi- stenz des gemeinsamen Gebietes
A B
dadurch aus, dass es dieses vollstän- dig in seiner Mitte dem Blick darbietet, zugleich lässt es erkennen, dass
A
sowol als
B
noch über diesen gemeinsamen Teil
A B
hinausgehen („overlap“) — wie weit noch? dieses eben lässt unser Zeichen — als für die Beziehung nebensächlich — offen, dies allein verschmäht es, fertig auszudrücken. Das Zeichen besitzt in der geschilderten Hinsicht sogar einen Vorzug vor den Über- und Unterordnungszeichen, in Bezug auf welche wir bereits Bd. 1, S. 131 auseinandergesetzt haben, dass und warum ein ebenso getreues Nachbilden der Figur hier nicht angängig erscheint
Auf diesem Umstand beruht es wol schon vonhause aus, dass schwer- lich das Ideal eines
vollkommen
ausdrucksvollen und zugleich konsequenten Be- zeichnungssystems für alle unsre Beziehungen überhaupt zu verwirklichen sein möchte. Vielmehr ist mit einem kleinen
Kompromisse
vorlieb zu nehmen: Vom Zeichen

ist insbesondre zu merken, dass dasselbe als ein
einfaches
oder ursprüngliches zu gelten habe. Dasselbe darf nicht etwa als ein aus ⊃ und ⊂ zusammengesetztes angesehen und mit: ⊂
oder
⊃ gedeutet werden, so wie uns z. B. bisher zu gelten hatte:
Als eine fernere Unvollkommenheit unsres Systems von Beziehungszeichen verhehle ich mir auch keineswegs, betone ich vielmehr diesen Umstand: dass wenn wir ein solches als Alternative zusammengesetztes Zeichen mittelst verti- kaler Durchstreichung
negiren
, wobei nach Th. 36) gelten muss:
auch keineswegs die
Alternative
zwischen den beiden Beziehungen ⊄ und ≠, deren Zeichen sich doch aus dem resultirenden

herauslesen lassen, demselben als Bedeutung wird untergelegt werden dürfen, sondern vielmehr das Bestehen jener beiden Beziehungen hier als ein
gleichzeitiges
gefordert wird! Unschwer könnten unsre Bezeichnungs
prinzipien
auch als solche formulirt und durch gewisse Regeln (als Exceptionen) so verklausulirt werden, dass allge- mein jede missverständliche Deutung der Zeichen ausgeschlossen wäre. Doch scheint es mir schon ausreichend, jene Prinzipien stillschweigend bei der indivi- duellen Einführung der einzelnen Zeichen nur einfach zu bethätigen. Die Unver- meidlichkeit solcher Exceptionen thut dem rationellen und mnemonischen Cha- rakter unsres Bezeichnungssystems keinen Eintrag, und enthält den Hinweis, dass man, wie zumeist auch sonst im Leben, so auch auf diesem Felde, eben mit einem Kompromisse sich zu begnügen habe. Solcher bleibt der baaren Systemlosigkeit doch bei weitem vorzuziehen.
, und wie man sich dafür zu behelfen hat. Ebenso wie diese ist es eminent mnemonisch.
Eine Proposition der vierten Art
g
, =
α
, das ist eine Aussage der Form
A

B
mögen wir eine
„Schnittbeziehung“
nennen. Leider fehlt ein international verwendbar erscheinendes Fremdwort, indem „Sektion“ anderweitig ver-
§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.
geben ist,
Tmēsis
zu unbequem auszusprechen. Vielleicht würde
„Inter- sektion“
schon einigen Beifall finden. Am liebsten möchte ich die Neu- bildung
„Sekanz“
riskiren, die wenigstens Anklänge findet, ohne selbst lateinisch zu sein, doch im Latein zahlreiche Analoga besitzt. Die ältere Logik scheint solche Beziehungen ganz ausser Betracht gelassen zu haben, weshalb ein Name von alter Übung nicht zu finden ist. In neueren Werken begegnet man zuweilen für die in jene Beziehung eingehenden (eventuell den Klassen
A
,
B
zugeordneten) Begriffe dem Namen der
„kreuzenden“
oder Kreuzungsbegriffe, und wir könnten darnach auch von der gedachten Beziehung als von einer „Kreuzung“ reden.
Es erschiene dies nicht ganz unpassend, wenn dabei nur etwa an die Kreuzung zwischen Pflanzenspezies oder von Rassen aus dem Tierreiche gedacht wird. Dagegen verstiesse es höchlich gegen den mathematischen Sprachgebrauch, welchen wir für unsre Disziplin einer Berücksichtigung in erster Linie würdig erachten.
In Geometrie etc. wird der Fall, wo zwei Gebilde z. B. Körper, Flächen oder Linien sich mit nur einem Teile ihrerselbst gegenseitig durch- dringen, regelmässig als ein
Schneiden
derselben bezeichnet und der gemein- same Teil heisst die Schnittfigur; so schneiden sich zwei Gerade in einem Punkt, zwei Flächen zumeist in einer Linie, etc. Das Wort wird
nicht
gebraucht, wenn die Schnittfigur mit dem einen Gebilde selbst zusammen- fällt, das eine also ganz im andern liegt: man sagt nicht: der Punkt schneide die Ebene, in der er liegt, und wenn gesagt wird, eine Gerade schneide eine Ebene, so ist damit ausdrücklich der Fall
ausgeschlossen,
wo die Gerade in die Ebene hineinfällt. Dieser Sprachgebrauch entspricht also vollkommen der hier in Betracht kommenden Beziehung.
Als einander „kreuzende“ Gerade z. B. werden dagegen solche Gerade in der Geometrie bezeichnet — entgegen wol dem Sprachgefühl im ge- meinen Leben — die
ohne einen Punkt gemein zu haben
(und ohne in ein- unddieselbe Ebene zu fallen) im Raume an einander vorbeigehen — ein Fall, der nicht in
α
sondern in
a
sein Analogon fände.
Aus diesem Grunde — um hier nicht Verwirrung zu stiften, resp. die schon vorhandene zu vermehren — werden wir uns der eben erwähnten Benennung entbalten.
Will man die Urteile
d
,
f
,
e
,
g in der Wortsprache
darstellen, so kann dies ohne Abweichung vom Sprachgebrauche nur mittelst je zweier Sätze geschehen, und zwar:
d. Alle
A
sind
B
, und alle
B
sind
A
.
f. Alle
A
sind
B
, aber nicht alle
B
sind
A
.
(sive: einige
B
sind nicht-
A
).
e. Alle
B
sind
A
aber einige
A
sind nicht-
B
.
g. Nur einige
A
sind
B
und nur einige
B
sind
A
.
(sive: einige
B
sind nicht
A
).
Oder man muss gar für den letzten Fall zu drei Sätzen seine Zuflucht nehmen, als da sind:
7*
Siebzehnte Vorlesung.
g. Einige
A
sind
B
, aber einige
A
sind auch nicht
B
, und einige
B
nicht
A
.
Uber den Sinn dieser Aussagen in den auch hier bei
d
,
f
,
e
zu- lässigen Degenerationsfällen wo es keine
A
(oder auch nur ein
A
) resp.
B
gibt, ist der vorige Paragraph nachzusehen.
Es gelingt, dieselben Beziehungen auch
je durch einen einzigen Satz
auszudrücken, wenn man sich — über den Sprachgebrauch hinaus- gehend — eines Verfahrens bedient, welches W.
Hamilton
Die Priorität gebührt nach
Jevons
11
dem Botaniker G.
Bentham
.
aufgebracht, und von welchem
Jevons
und Andere viel Aufhebens gemacht haben. Dasselbe wird die
Quantifikation des Prädikates
genannt, und besteht darin, dass man auch dem Prädikate (wie schon innerhalb des Sprach- gebrauchs den verneinenden Artikel „keine“, so ausserhalb desselben) die Zahlbestimmung „alle“ oder „einige“ beigesellt.
Hierdurch bekommen wir für:
d
= (
A
=
B
):
Alle A sind alle B.
f
= (
A
⊂
B
):
Alle A sind nur einige B.
e
= (
A
⊃
B
):
Nur einige A sind alle B.
α
=
g
= (
A

B
):
Nur einige A sind nur einige B.
Man kann auch die Partikel „nur“ fortlassen, wenn man en bloc erklärt, dass
hier
„einige“ auch im Gegensatz stehen solle zu „alle“.
Im übrigen
sollten
diese Urteile als
umkehrbare
,
konvertible
gelten (wie früher, vergl. Bd. 1, S. 242, wenn wir sagten: „dies ist alles“, oder: „dies ist einiges von dem, was man schuldet“, oder dergleichen), die Kopula „sind“ sollte also die Kraft des
Gleichheits
zeichens haben, das Urteil die Identität von Subjekt und Prädikat statuiren. Es wird sich jedoch sogleich zeigen, dass dieses nicht durchaus angängig.
Bei „alle
A
“ und „alle
B
“ muss wieder auch der Fall zugelassen sein, dass solche gar nicht in Betracht kommen können, weil es sie gar nicht gibt, dass also die Bedeutung der betreffenden Klasse 0 oder „nichts“ ist.
Bei
d
hat dies keine Schwierigkeit im Gefolge. Dagegen bei
f
und
e
müsste man entweder zugeben, dass „nur einige“
B
resp.
A
sich auch auf 0 reduziren dürften — entgegen den fundamentalen, die Bedeutung von „einige“ stipulirenden Festsetzungen — oder man muss die Sätze
f
,
e
— anstatt, wie gesagt, als Gleichungen — in diesen Grenzfällen doch nur als Subsumtionen auffassen, den letztern
e
dann umkehrend in: Alle
B
sind nur einige
A
.
Am ungezwungensten würde man sagen:
§ 34. Die fünf Elementarbeziehungen.
f. Alle
A
,
falls es welche gibt,
sind nur einige
B
,
und analog
e
, nur mit vertauschtem
A
und
B
; indessen hätten wir dann abermals nicht einfache Sätze.
Am besten wird man auf das ganze Kunststück verzichten, indem dasselbe augenscheinlich zuwiderläuft dem Grundsatze des „Quidquid de omnibus valet, valet etiam de nonnullis ac de singulis“.
Gilt nämlich z. B. „Alle
A
sind
alle B
“, so wird doch (die An- zahl der
A
grösser als 1 vorausgesetzt) gerade
nicht
gelten dürfen: Jedes
A
ist
alle B
, und ebensowenig zu gelten brauchen: Einige
A
sind
alle B!
Jener Grundsatz aber beherrscht doch nun einmal notorisch unser
gesamtes Denken in Worten
, und es kann nicht nur nicht vorteilhaft, sondern auch nicht einmal unbedenklich sein, denselben mittelst der „Quantifikation des Prädikates“ durchbrechen zu wollen. Der Versuch erscheint mir als einer der Ausflüsse einer weitverbreiteten Tendenz (in der auch
Jevons
vielfach sündigt), die
Kopula
gewaltsam als Gleichheitszeichen zu deuten, das (in Wahrheit
Subsumtions
-)Urteil als eine Identitätsbehauptung hinzustellen.
Für die „Elementarbeziehungen“
δ
,
γ
,
β
hätten wir noch, analog, die Formulirung:
δ
. Alle
A
—
und solche gibt es
— sind alle
B
.
γ
. Alle
A
,
dergleichen es gibt
, sind nur einige
B
.
β
. — gerade wie
γ
, nur
A
und
B
vertauscht, oder auch selbständig Nur einige
A
sind alle
B
(und gibt es folglich Individuen dieser letzteren Klasse). —
Auch diese letztern drei Beziehungen vermittelst eigener Be- ziehungszeichen darzustellen, werden wir selten Veranlassung haben. Man mag etwa dieselben drei Zeichen, wie oben bei
d
,
f
und
e
wählen,
zur Unterscheidung nur mit einer darübergesetzten kleinen
0
versehen
, sodass (wenn wir vorgreifend auch noch den Fall
a
mit seinem später zu motivirenden eignen Beziehungszeichen mit aufnehmen) wir die folgende Übersicht haben:
I
0
.
Tafel der Elementarbeziehungen
.
worin uns die drei ersten an die früheren Beziehungen erinnern mit
Siebzehnte Vorlesung.
dem Zusatze, dass das Verschwinden,
Nullsein
jedes Terms zur Linken oder Rechten
ausgeschlossen
werde. Für den terminus major, das Prä- dikat der Unter- oder Überordnung
f
resp.
e
wird sich dies ohnehin verstehen — siehe weiter unten, § 35, 4
0
) und 4
0
)' — aber für den terminus minor, das Subjekt — mithin für eben
den
Term, gegen welchen die über das Zeichen gesetzte 0 herabzugleiten droht — muss dies ausdrücklich ausgeschlossen werden, und zeichnet gerade durch diese Ausschliessung die Elementarbeziehung oder „
elementare Unter- ordnung
“ sich aus vor der Unterordnung (schlechtweg)
f
, die „
elemen- tare Überordnung
“
β
vor der Überordnung
e
. Ebenso hebt sich die „
elementare Gleichsetzung
“ vermittelst des Zeichens ≗ („elementar gleich“) von der gewöhnlichen Gleichsetzung, vermittelst =, dadurch ab, dass sie die zu vergleichenden Dinge als existirend setzt, hinstellt oder voraussetzt, auf Nullen also
nicht
anwendbar ist, wogegen die letztere diese Frage nach der Existenz (innerhalb des Untersuchungs- feldes) des Verglichenen offen lässt.
Im Gegensatz, grösstenteils, zu den 5 „
Elementar
beziehungen“ be- zeichne ich die durch die Formeln
d
,
f
,
e
,
g
dargestellten als „
Grund
- beziehungen“. Diese letztern umfassen also diejenigen Modifikationen, welche an den Elementarbeziehungen zufolge Adjunktion der Null an- zubringen waren. Die Mannigfaltigkeit der „Grundbeziehungen“ wird aber mit dem Bisherigen noch nicht ganz abgeschlossen sein.
Wir erinnern zunächst, dass
behufs Anlehnung an die Wortsprache
ein Beziehungszeichen eingeführt werden musste, welches die
Kopula
des Urteils wiedergibt. Das
Subsumtionszeichen

und seine Um- kehrung

(die man das
Supersumtionszeichen
nennen könnte), diese beiden verdienen sicherlich, unter die Zeichen der logischen „Grund- beziehungen“ aufgenommen zu werden. Und dies nicht nur wegen ihrer Wichtigkeit als Bindeglieder zwischen Sprache und Kalkul, sondern auch unter dem vorhin betonten Gesichtspunkte:
Der aus zwei Elementarfällen zusammengesetzte Kollektivfall
a
1
0
=
a
1
00
+
a
1
01
statuirt in der That, dass zwischen
A
und
B
eine Sub- sumtion, Einordnung
A

B
stattfinde; doch ist hiermit die Bedeutung dieser letzteren wieder nicht erschöpfend angegeben; vielmehr verlangt
a
1
0
noch obendrein,
dass so- wol A als B von
0
verschieden seien
— indem unter dem Hauptfall
a
1
, in welchem
a
1
0
als Unterfall enthalten ist, das Produkt
A B
nicht ver- schwinden darf —
während bei der Subsumtion auch diese Fälle zu- gelassen sind
.
§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen.
Ebenso kann man, wenn die Alternative zwischen den Elementar- fällen
a
1
00
und
a
1
10
, m. a. W. der Kollektivfall
a
1
00
+
a
1
10
vorliegt,
A

B
schreiben; indess fordert jener Kollektivfall noch ausserdem, dass
B
und folglich auch
A
von 0 verschieden sei, wogegen letztere Proposition auch diese Möglichkeiten zulässt.
Endlich ist noch für den Elementarfall
a
ein Zeichen zu verein- baren, und damit auch für dessen Negation, den aus der Alternative zwischen den vier übrigen Elementarfällen sich zusammensetzenden Kollektivfall
a
1
.
Nun werden wir ohnehin das Zeichen für die Negation einer jeden Beziehung immer dadurch aufbauen, dass wir das Zeichen der letzteren mit einem Vertikalstrich durchsetzen, dasselbe so gewisser- massen
ausstreichen
— beziehungsweise, wenn in ihm bereits ein solcher Strich vorhanden sein sollte, diesen tilgen.
Darnach steht es zunächst in unserm Belieben, für die Beziehung
a
oder für die
a
1
ein ursprüngliches Zeichen auszudenken, und ziehen wir das letztere vor, weil sich für diese Beziehung
a
1
naturgemäss das in folgender Proposition vorgeschlagene Zeichen darbietet als
das- jenige
,
welches die Zeichen der vier Unterfälle von a
1
in sich vereinigt;
wir drücken den Fall
a
1
aus durch den Ansatz:
A

B
(gelesen:
A
,
gebietgemein
Stellen
A
und
B
vieldeutige Zahlenausdrücke vor, so ist
„wertgemein“
(resp. „Wertgemeinschaft“) der passendste Ausdruck. In diesem Sinne habe ich das Zeichen schon vielfach auf seine Brauchbarkeit erprobt und als ein in der „absoluten Algebra“ ganz unentbehrliches erkannt.
,
korrelativ B
) — so wenigtens im Drucke, wogegen schriftlich der bequemer zu schreibende Ansatz:
A
(=)
B
dafür eintreten mag, von welchem auch schon in
1
vielfältig von mir Gebrauch gemacht ist, und dessen Zeichen durch hinreichende Ver- längerung seiner Striche in das vergrösserte des vorigen überginge.
Im obigen Zeichen der Gebietgemeinschaft erblickt man in der That: das Gleichheitszeichen zusammen mit den Zeichen der Unter-, der Uberordnung und der Schnittigkeit, Sekanz. Allerdings sind aber die drei erstern von diesen vier Zeichen hier nur in ihrer „
elementaren
“ Bedeutung zu nehmen, bei welcher das Nullsein von
A
sowol als
B
ausgeschlossen war — eine Bedeutung die oben durch eine über das Zeichen gesetzte kleine Null jeweils vor der gewöhnlichen gekenn- zeichnet wurde.
Siebzehnte Vorlesung.
Strenge genommen müsste also auch hier noch eine solche
0
über unser Zeichen

geschrieben werden; doch unterlassen wir dieses, nicht allein, um eine Überladung des Zeichens zu vermeiden, sondern auch, weil jene
0
doch nur ein Unterscheidungsmerkmal sein sollte, hier aber kein Anlass erfindlich sein wird, dem mit der ° versehenen Zeichen ein gleiches ohne die ° mit einer abweichenden Bedeutung gegenüberzustellen.
Von „Gebietgemeinschaft“ als von einer besonderen Relation kann selbstverständlich nur unter Ausschluss, Ignorirung des Wertes 0, des Nullgebietes gesprochen werden, welches letztere ja nur ein uneigentliches, fiktives Gebiet vorstellt, das man einführte um von solch gemeinsamem Gebiete
stets
reden zu können, auch wenn eigentlich gar keines vorhanden.
Der Vorgang hat ein Analogon in der Zahlentheorie, wo man auch sagt, zwei Zahlen hätten
keinen
gemeinsamen Faktor oder Teiler (sie seien teilerfremd, relativ prim), wenn sie
nur
den Teiler 1 gemein haben, der sich überall von selbst versteht.
Wir sagen: zwei Gebiete seien
nicht
gebietgemein, gebietefremd (dis- junkt), wenn sie nur das Nullgebiet gemein haben, welches allen ohnehin gemeinsam ist.
Darnach wird nun der Fall der Elementarbeziehung
a
im Drucke durch:
A

B
gelesen:
A disjunkt
mit
B
,
und handschriftlich etwas bequemer mit:
A
(≠)
B
darzustellen sein, und haben wir in übersichtlicher Zusammenstellung die
sieben
als „bejahende“ zu bezeichnenden sogenannten „
Grund- beziehungen
“ (die wir als Aussagen mit den nebenstehenden Buch- staben des kleinen lateinischen Alphabets darstellen wollen), wozu noch ebensoviele als deren Verneinungen hinzukommen:
II
0
.
Tafel der
7
Paare von Grundbeziehungen
:
§ 34. Die vierzehn Grundbeziehungen.
Zwei von diesen Grundbeziehungen:
a
und
g
=
a
1
11
=
α
sind zu- gleich Elementarbeziehungen, deren übrige drei wir bereits unter l
0
mit zur Darstellung gebracht haben.
Vertauscht man in unsern 14 zwischen
A
und
B
eine Grund- beziehung behauptenden Aussagen
a
1
,
b
bis
g
1
die beiden „Seiten“ oder Gebiete
A
und
B
, so erhält man 14 neue Aussagen, die wir von den vorigen durch einen Accent unterscheiden wollen, sodass nun auch die Bedeutung der Symbole
a
1
',
b
',
c
' …
g
',
a
',
b
1
',
c
1
', …
g
1
'
verständlich sein wird.
Das Bisherige sollte nun eigentlich blos zur
Motivirung
der Ein- führung gerade dieser Beziehungen und der für sie erkorenen Be- ziehungszeichen dienen, und ist es unsre nächste Aufgabe, den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Beziehungen in jeglicher Hinsicht klarzulegen und zu begründen.
Zu dem Ende werden wir zunächst nach einer „
analytischen
“ Defi- nition der sämtlichen Beziehungen uns umzusehen haben, worunter zu verstehen ist: ihre Erklärung vermittelst der uns nach wie vor als die
fundamentale
geltenden Beziehung

der Subsumtion, und ihrer Verneinung

; demnach werden alle Beziehungsurteile durch solche vom Typus
c
oder
c
1
erst auszudrücken sein.
Zum Begriff dieser Subsumtionsbeziehung sind wir bei unserm systematisch-
kombinatorischen
Vorgehen nur so nebenher gelangt. Die Logik der Alten hat aber die Aufsuchung der Beziehungen in welchen Klassen oder Begriffsumfänge zu einander treten können, überhaupt nicht auf solche Weise angegriffen, sondern sich einfach
an die Sprache angelehnt
, welche uns unmittelbar nur die Möglichkeit bietet, ver- mittelst der (salva venia) Kopula „ist“ oder „ist nicht“ von einem Subjekte
A
ein Attribut oder Prädikat
B
zu
bejahen
oder zu
ver- neinen
. Indem sie noch den Umfang des Subjekt
begriffes
, falls ein solcher vorhanden, durch Beisetzung der Zahlbestimmung „alle“ oder „einige“ — wie man sich in der That ausdrücken mag: — „
quantifizirt
“, ge- langt die Sprache zu den bekannten vier Hauptformen von Urteilen, die wir in § 33 besprochen haben.
Der Umstand dass die Sprache
beim Prädikate auf die Quantifika- tion
, und
beim Subjekte auf Anwendung der Negation
(Qualifikation?) fast unbedingt
verzichtet
gibt ihr ein eigentümliches Gepräge (feature).
Den gegenteiligen Versuch De
Morgan’
s, durch welchen die Vier- zahl der Urteilsformen noch zwei mal verdoppelt wird, halte ich für ein
Siebzehnte Vorlesung.
müssiges Beginnen. Will man ergänzend eingreifen, so sehe man von Ausdrucksformen in der Wortsprache, sofern vollends sie doch nicht legi- tim, nicht durch den Usus sanktionirt sind, ab, man achte nur auf den Sachverhalt selber und halte sich an dessen angemessenste Ausdrucks- weisen, wie sie nur eine rationelle Zeichensprache schaffen mag.
Zu denken gibt es, dass jene vier urteilsformen sich mit den fünf möglichen Elementarbeziehungen keineswegs decken! Die Urteile sind doch gerade bestimmt, Beziehungen zwischen Begriffen zu konstatiren — nach ihrem Inhalte und demzufolge auch nach ihrem Umfange.
Gegenüber der durch die Wortsprache geforderten Einteilung der Urteile in die bekannten vier Klassen haben aber die fünf Elementar- beziehungen, in welchen, wie gezeigt, hinsichtlich ihres Umfangs Be- griffe überhaupt zu einander stehen können, lange nicht die gebührende Beachtung gefunden, und finden dieselbe in Logikbüchern der ältern Schule auch heute nicht.
Die Wahrnehmung dieser 5 Beziehungen ist vielmehr von des
Aristoteles
Zeiten (anno minus 384 ‥—322 unsrer Zeitrechnung) bis zum Anfang des gegenwärtigen Jahrhunderts (+ 1816) gänzlich unter- blieben, wo sie, soviel bekannt, zuerst
Gergonne
1
ausdrücklich an das Licht zog.
Dass eine Sprache, welche nur diese letztern Beziehungen wieder- gäbe oder auszudrücken fähig wäre, viel exakter, präziser oder aus- drucksvoller sein müsste, als unsre heutigen Wortsprachen, ist die Grundidee von dieses Mathematikers „
Dialectique rationelle
“.
Auf dieselben 5 Beziehungen kommt 1877, wie es scheint unabhängig von
Gergonne
, auch Fr. A.
Lange
1
;
Twesten
1
stellte ihrer viere auf; ausserdem finde ich
Gergonne’
s Arbeit nur bei Venn
1
citirt.
Inwiefern diese Idee zutreffend ist, werden wir in § 48 sehen.
Jedenfalls gibt sich in dem Umstande, dass gedachte Beziehungen so lange übersehen wurden, eine übermässige Abhängigkeit, Unfreiheit der Denklehre von dem Gängelbande der in die Fesseln verbaler Ausdrucksformen gebannten Ausdrucksgewohnheiten zu erkennen.
§ 35.
Analytische Definition der Grund- und Elementarbeziehungen und ihre Zurückführung auf einander.
Wir werden nunmehr mit den vorhin eingeführten Aussagen
a
1
bis
g
und
α
bis
δ
, sowie mit deren Negationen
a
bis
g
1
etc., welche selbst wieder als Aussagen zu bezeichnen sind, zu rechnen bekommen nach den Regeln des Aussagenkalkuls, wozu in Erinnerung gebracht werden mag, dass sooft das Symbol irgend einer von diesen Aussagen in Rechnung gesetzt wird, dasselbe zu deuten ist als die
Klasse der
§ 35. Analytische Definition jener Umfangsbeziehungen.
Gelegenheiten
, bei welchen ebendiese Aussage anwendbar oder zulässig ist, gilt.
Als vonhause verständlich und allein bekannt werde wieder nur angesehen das Subsumtionszeichen

, sei es zwischen Gebiete oder Klassen gesetzt, sei es auch (insbesondere) zwischen Aussagen. Auch verstehen wir von selbst das (identische) Produkt zweier Aussagen, durch welches die Faktoraussagen als gleichzeitig gültige hingestellt werden.
Mit diesen Mitteln ist auch bereits die Gleichheit, und ins- besondre die Aussagenäquivalenz erklärt durch eine (unter anderm nachher wieder zu rekapitulirende) allgemeine Festsetzung. Durch diese Mittel hat auch die identische 0 und 1 des Gebiete- wie des Aussagenkalkuls, es hat das identische Produkt zweier Gebiete oder Klassen, sowie deren Summe, und damit auch (Produkt und) Summe von Aussagen ihre Definition in der bisherigen Theorie bereits syste- matisch gefunden, desgleichen endlich die Negation eines Gebietes und speziell auch die einer Aussage.
Es kommt aber noch darauf an, nunmehr auch zu definiren die sonstigen aufgezählten „Beziehungen“ als solche zwischen Gebieten und damit auch wiederum als solche zwischen irgend denkbaren Aussagen.
Am einfachsten definirt sich: [1
0
]
b
=
c
', somit auch
b
1
=
c
1
',
das heisst: mittelst der Festsetzung:
{
A

B
} = {
B

A
}
wird als Sinn der Aussage linkerhand die Subsumtion rechterhand hingestellt. Es findet damit die aus didaktischen Gründen schon am Schluss des § 3, Bd. 1, S. 167, angeführte (dort unnumerirt gelassene) Definition der eventuellen Überordnung hier im System nun ihre Stelle.
Weiter ist zu definiren: [2
0
]
d
=
c c
' =
b c
, sonach
d
1
=
c
1
+
c
1
' =
b
1
+
c
1
,
d. h. mittelst:
{
A
=
B
} = {
A

B
} {
B

A
} = {
A

B
} {
A

B
}
wird der Begriff der Gleichheit auf den der Subsumtion gegründet — was wesentlich nur eine Reproduktion unsrer alten Def. (1) ist.
Hiernach erscheint der Gebrauch der Symbole
b
,
c
,
d
fortan legitimirt.
Siebzehnte Vorlesung.
Wir müssen uns demnächst auch auf die Aussagen
A
= 0 sowie
B
= 0 berufen, weshalb wir auch diese mit Symbolen zu bezeichnen haben, und zwar bedeute: [3
0
]
h
= {
A
= 0},
h
' = {
B
= 0} =
k
.
Alsdann gelten folgende Hülfssätze, deren wir gelegentlich bedürfen.
Erstens
. Ist
A
= 0, so gilt nach Def. (2
×
) auch
A

B
, d. h. es ist:
h

c
;
von dieser Subsumtion aber sind nach Th. 43), Anm. 2 (Bd. 1, S. 400) folgende Umschreibungen zulässig:
c
1

h
1
,
h
=
h c
,
c
=
h
+
c
,
h
1
=
h
1
+
c
1
,
c
1
=
h
1
c
1
,
h c
1
= 0,
h
1
+
c
= 1߭.
Um darauf Bezug zu nehmen wollen wir von diesen allen nur die- jenigen hervorheben, welche kein + Zeichen enthalten, — und analog verfahren wir auch künftig in ähnlichen Fällen — demgemäss notiren wir als ersten Hülfssatz: 1
0
)
h

c
,
c
1

h
1
,
h
=
h c
,
c
1
=
h
1
c
1
,
h c
1
= 0.
Vertauscht man hierin in Gedanken
A
und
B
, so erhält man dazu noch ebenso: 1
0
)'
k

b
,
b
1

k
1
,
k
=
k b
,
b
1
=
k
1
b
1
,
k b
1
= 0.
Zweitens
. Ist
A

B
und
B
= 0, so folgt nach Th. 5
×
) auch
A
= 0, d. h. es ist: 2
0
)
c k

h
, woraus:
c h
1
k
= 0,
c h k
=
c k
,
c h
1
k
1
=
c h
1
,
c
1
h
1
k
=
h
1
k
.
Analog gilt desgleichen: 2
0
)'
b h

k
,
b h k
1
= 0,
b h k
=
b h
,
b h
1
k
1
=
b k
1
,
b
1
h k
1
=
h k
1
.
Drittens
. Ist
A
=
B
und
A
= 0, so folgt nach Th. 4) auch
B
= 0, d. h. es ist
d h

k
und analog
d k

h
. Endlich aus
A
= 0 und
B
= 0 folgt in gleicher Weise
A
=
B
, d. h. es ist auch
h k

d
. Somit ist zu notiren: 3
0
)
d h

k
,
d h k
1
= 0,
d h k
=
d h
,
d h
1
k
1
=
d k
1
d
1
h k
1
=
h k
1
,
3
0
)'
d k

h
,
d h
1
k
= 0,
d h k
=
d k
,
d h
1
k
1
=
d h
1
,
d
1
h
1
k
=
h
1
k
,
3
0
)''
h k

d
,
d
1
h k
= 0,
d h k
=
h k
,
d
1
h k
1
=
d
1
h
,
d
1
h
1
k
=
d
1
k
,
oder, wenn wir einen Teil dieser Resultate zusammenfassen: 3
0
)'''
h k
=
d h
=
d k
=
d h k
,
d h
1
=
d k
1
=
d h
1
k
1
. —
§ 35. Umfangsbeziehungen analytisch definirt u. aufeinander zurückgeführt.
Demnächst soll
f
definirt werden durch: [4
0
]
f
=
c
'
1
c
=
b
1
c
, somit
f
1
=
c
' +
c
1
=
b
+
c
1
,
{
A
⊂
B
} = {
A

B
} {
B

A
} = {
A

B
} {
A

B
};
und analog
e
durch: [5
0
]
e
=
f
' =
c
'
c
1
=
b c
1
,
e
1
=
c
1
' +
c
=
b
1
+
c
,
{
A
⊃
B
} = {
B
⊂
A
} = {
B

A
} {
A

B
} = {
A

B
} {
A

B
}.
Viertens
folgt dann, weil unter 1
0
)' bereits
b
1
k
= 0 erwiesen ist, dass auch
b
1
c k
= 0, oder: 4
0
)
f k
= 0,
f k
1
=
f
,
f
1
k
=
k
,
k

f
1
,
f

k
1
,
und analog, weil
c
1
h
= 0 nach 1
0
) ist: 4
0
)'
e h
= 0,
e h
1
=
e
,
e
1
h
=
h
,
h

e
1
,
e

h
1
.
Die letzten Subsumtionen rechts zeigen,
dass in jeder Unter- oder Überordnung der terminus major von
0
verschieden sein muss
.
Fünftens
. Sofort folgt aus den Definitionen [2
0
], [4
0
], [5
0
] nach Th. 30
×
) auch: 5
0
)
d e
= 0,
d f
= 0,
e f
= 0,
woraus zu sehen ist,
dass die Fälle d
,
e
,
f einander gegenseitig aus- schliessen
. In Bezug auf Gleichheit
d
und Unterordnung
f
wurde dies schon in § 1 betont.
Sechstens
haben wir nach Th. 30
×
):
b
=
b
· 1߭ =
b
(
c
+
c
1
) =
b c
+
b c
1
, ebenso
c
=
b c
+
b
1
c
und mit Rücksicht auf die erwähnten Definitionen gibt dieses: 6
0
)
b
=
d
+
e
,
c
=
d
+
f
,
b
1
=
d
1
e
1
,
c
1
=
d
1
f
1
.
Ausführlich angeschrieben lautet die zweite
c
=
f
+
d
dieser Glei- chungen nun:
{
A

B
} = {
A
⊂
B
} + {
A
=
B
},
womit es gerechtfertigt erscheint
,
das Subsumtionszeichen

als
„
unter- geordnet oder gleich
“
zu lesen
. Die Formel sagt nämlich als disjunktives Urteil aus: wenn
A

B
ist, so ist entweder
A
untergeordnet
B
; oder aber [„oder aber“ wegen
d f
= 0, cf. 5
0
)] es ist
A
gleich
B
— und vice versa. Betrachtungen, welche wir
motivirens
halber in dem ein- leitenden § 1 sogar zum Ausgangspunkt genommen, haben hiermit
Siebzehnte Vorlesung.
auch im systematischen Aufbau der Theorie jetzt ihre rechtmässige Stelle gefunden.
Siebentens
mögen wir als Hülfssatz notiren:
7
0
)
f h
=
h k
1
und 7
0
)'
e k
=
h
1
k
.
In der That muss sein:
f h
=
f k
1
h
=
b
1
c k
1
h
=
b
1
k
1
h
=
h k
1
wo beim Übergang über jedes Gleichheitszeichen ein früherer Satz zur Anwendung kommt; und zwar ist der erste Übergang gerechtfertigt, weil nach Hülfssatz 4
0
)
f
=
f k
1
ist, der zweite, weil nach Def. [4
0
]
f
=
b
1
c
, der nächste, weil nach Hülfssatz 1
0
)
c h
=
h
ist, und der letzte indem nach 2
0
)' direkt
b
1
h k
1
=
h k
1
ist. Analog haben wir auch:
e k
=
e h
1
k
=
b c
1
h
1
k
=
c
1
h
1
k
=
h
1
k
zur Rechtfertigung der zweiten Formel unsres Hülfssatzes.
Man kann auch etwas kürzer auf 7
0
) schliessen, indem man die letzte Subsumtion von 4
0
) beiderseits mit
h
multiplizirt, wodurch sich zunächst
f h

h k
1
ergibt.
Dass aber auch umgekehrt
h k
1

f h
sein muss, und darum Gleichheit eintritt, ergibt sich sogleich aus der Überlegung, dass 0

B
nach Def. (2
×
) sein muss; wenn also, während
A
= 0 kraft
h
, und sonach
A

B
ist, d. h.
c
gilt,
B
ungleich 0 — in Formeln
B
≠ 0 — vorausgesetzt wird gemäss
k
1
, so ist die Gleichheit
A
=
B
oder
d
ausgeschlossen und bleibt mit Rücksicht auf 6
0
) oder
c
=
d
+
f
nur mehr die Alternative
A
⊂
B
oder
f
übrig.
Nach Th. 6
×
) ist
f h

f
,
e k

e
, sonach folgt gemäss Th. 3) auch aus 7
0
) und 7
0
)' dass
h k
1

f
,
h
1
k

e
.
Ersteres, oder (
A
= 0) (
B
≠ 0)

(
A
⊂
B
) lässt auch in:
(
B
≠ 0)

(0 ⊂
B
)
sich zusammenziehen, indem man für
A
den vorausgesetzten Nullwert beiderseits einsetzt, wodurch links der erste Faktor in (0 = 0) = 1߭ übergeht und als ein
stets
fort gültiger selbstverständlicher gemäss Th. 2̅1̅
×
) unterdrückt werden darf. Dies Ergebniss lehrt, dass
das Null- gebiet wirklich untergeordnet
ist
jedem von
0
verschiedenen
Gebiete, und bildet es sonach eine Umkehrung und Ergänzung zu 4
0
).
Es bleiben jetzt noch die Grundbeziehungen
a
1
und
g
zu definiren — die ersten und die letzten von allen.
Wir definiren:
§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.
[6
0
]
a
= {
A

B
} = {
A B

0} = {
A B
= 0}
welche letzten beiden Propositionen nach Th. 5
×
) ja äquivalent sind.
Durch Negiren jeder Seite dieser Aussagenäquivalenz gemäss Th. 32) ergibt sich hienach auch die Definition von
a
1
= {
A

B
} = {
A B

0} = {
A B
≠ 0}.
Achtens
. Da aus
A
= 0 auch
A B
= 0 nach Th. 22
×
) folgt, so haben wir: 8
0
)
h

a
,
a
1

h
1
,
a
1
h
= 0,
a
1
h
1
=
a
1
,
a h
=
h
,
8
0
)'
k

a
,
a
1

k
1
,
a
1
k
= 0,
a
1
k
1
=
a
1
,
a k
=
k
,
und muss hienach namentlich sein: 8
0
)''
a
1
=
a
1
h
1
=
a
1
k
1
=
a
1
h
1
k
1
— letzteres gemäss Th. 14
×
), indem
a
1
=
a
1
a
1
=
a
1
h
, ·
a
1
k
1
nach dem Vorhergehenden ist.
Neuntens
. Wenn neben
A B
= 0 auch
A

B
gilt, so folgt nach Th. 16
×
)
A B

B B
, also 0

B
oder 0 =
B
nach bekannten Sätzen, d. h. wir haben: 9
0
)
a b

k
,
a b k
1
= 0,
a b k
=
a b
,
a b
1
k
1
=
a k
1
,
a
1
b k
1
=
b k
1
.
Analog ist (
A B
= 0) (
A

B
)

(
A
= 0), oder: 9
0
)'
a c

h
,
a c h
1
= 0,
a c h
=
a c
,
a c
1
h
1
=
a h
1
,
a
1
c h
1
=
c h
1
.
Durch beiderseitiges Multipliziren mit
c
1
resp.
b
1
folgt aus der letzten rechts von den gewonnenen Gleichungen noch:
a
1
b c
1
k
1
=
b c
1
k
1
und
a
1
b
1
c h
1
=
b
1
c h
1
,
oder wegen Def. [4
0
] und [5
0
]:
a
1
e k
1
=
e k
1
,
a
1
f h
1
=
f h
1
.
Nach 8
0
) dürfen wir aber
a
1
k
1
und
a
1
h
1
durch
a
1
links ersetzen und erhalten:
9
0
)''
a
1
e
=
e k
1
,
9
0
)'''
a
1
f
=
f h
1
,
womit rechnerisch aus der Definition nachgewiesen ist,
dass die Unter- ordnung A
⊂
B nur soferne A
≠ 0
ist unter die Beziehung A

B der Gebietgemeinschaft fällt
, etc.
Zehntens
. Ist
A B
= 0 und zugleich
A
=
B
, so folgt auch
A A
= 0 oder
A
= 0, desgleichen
B
= 0. Also haben wir:
Siebzehnte Vorlesung.
10
0
)
a d

h
,
a d h
1
= 0,
a d h
=
a d
,
a d
1
h
1
=
a h
1
,
a
1
d h
1
=
d h
1
, 10
0
)'
a d

k
,
a d k
1
= 0,
a d k
=
a d
,
a d
1
k
1
=
a k
1
,
a
1
d k
1
=
d k
1
; in den letzten Gleichungen rechts dürfen wir aber linkerhand
a
1
h
1
oder
a
1
k
1
nach 8
0
)'' durch
a
1
selbst ersetzen, und erhalten namentlich — mit Rücksicht noch auf 3
0
)''': 10
0
)''
a
1
d
=
d h
1
=
d k
1
=
d h
1
k
1
,
welches zeigt,
dass die Gleichheit nur insofern unter die Wertegemein- schaft fällt
,
als ihre beiden Seiten von
0
verschieden sind.
Nachdem
a
1
bereits seine Erklärung gefunden hat, sein Gebrauch legitimirt ist, definiren wir endlich die Schnittigkeitsbeziehung durch die Festsetzung: [7
0
]
g
=
a
1
b
1
c
1
d. h.
{
A

B
} = {
A

B
} {
A

B
} {
A

B
} = {
A B

0} {
B

A
} {
A

B
};
nach 6
0
) wird dann also auch sein [für
b
1
und
c
1
ihre dortigen Werte gesetzt]: 11
0
)
g
=
a
1
d
1
e
1
f
1
, woraus
g
1
=
a
+
d
+
e
+
f
durch beiderseitiges Negiren entsteht.
Da nun 1߭ =
g
+
g
1
nach Th. 30
×
) ist, so erhalten wir durch Ein- setzung vorstehenden Wertes: 12
0
)
1߭ =
a
+
d
+
e
+
f
+
g
.
In der fünfgliedrigen Summe rechterhand sind die vier letzten Terme schon ohnehin disjunkt, indem zu den schon gewonnenen Gleichungen 5
0
) kraft der Definitionen [7
0
] in Verbindung mit [2
0
] [4
0
] und [5
0
] auch noch hinzutritt: 13
0
)
d g
= 0,
e g
= 0,
f g
= 0.
[Das erstere Produkt wird ja in der That:
a
1
b
1
c
1
·
b c
, das zweite
a
1
b
1
c
1
·
b c
1
, das dritte
a
1
b
1
c
1
·
b
1
c
, ein jedes also 0 nach Th. 30
×
).]
Um nun die Summe vollends in eine reduzirte zu verwandeln, brauchen wir blos nach dem Schema:
a
+
x
=
a
+
x a
+
x a
1
=
a
+
a
1
x
— im Grunde also unter Anwendung von Th. 33
+
) Zusatz — die Gleichung 12
0
) umzuschreiben in:
1߭ =
a
+
a
1
d
+
a
1
e
+
a
1
f
+
a
1
g
,
so werden ausser den rechts (implicite erwähnten) Produkten der vier
§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.
letzten Terme unter sich auch noch die vier Produkte aus dem ersten Term in jeden folgenden verschwinden.
Hiemit ist die ganze Möglichkeit 1߭ der Beziehungen in 5 einander gegenseitig ausschliessende Klassen zerfällt, die wir als die „
Elementar- fälle
“ zu bezeichnen haben.
Aus der Def. von
g
ist aber unmittelbar ersichtlich, dass: 14
0
)
a
1
g
=
g
, sonach
g

a
1
,
a

g
1
,
a g
= 0,
a g
1
=
a
,
und hienach in Verbindung mit 10
0
)'', 9
0
)'' und 9
0
)''' wird also: 15
0
)
1߭ =
a
+
d h
1
k
1
+
e k
1
+
f h
1
+
g
die Zerfällung in die fünf Klassen sein. Für letztere führen wir zum Teil noch kürzere Namen ein, indem wir
definiren:
[8
0
]
d h
1
k
1
=
δ
,
e k
1
=
β
,
f h
1
=
γ
,
g
=
α
,
sodass nunmehr 16
0
)
1߭ =
a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
bleiben wird.
Es ist dies eine
Hauptgleichung
, die man vorerst nicht aus den Augen verlieren darf. Die fünf Terme rechterhand müssen nach Bis- herigem, wie gesagt, disjunkt sein, ihre zehn Produkte zu irgend zweien sind gleich 0. Es tritt hier also der Fall des Zusatz 2 zu Th. 28), Bd. 1, S. 314 sq. auf: die Negation irgend eines Terms oder eines Aggregates von Termen rechterhand ist jeweils das Aggregat der übrigen Terme, z. B.
a
1
=
α
+
β
+
γ
+
δ
, etc.
Ein jeder dieser fünf Terme ist eine Aussage, welche eine be- stimmte Beziehung zwischen den Gebieten
A
und
B
statuirt. Die fünf Beziehungen nennen wir eben die „
Elementarbeziehungen
“, und haben dieselben nunmehr auch analytisch definirt.
Wie immer die Gebiete
A
und
B
auch gegeben werden mögen, so gilt notwendig immer eine von diesen Elementarbeziehungen und dann nicht die übrigen.
Anmerkung
. Anstatt
d h
1
k
1
hätten wir nach 10
0
)'' auch einfacher, jedoch auf Kosten der Symmetrie, blos
d h
1
oder
d k
1
in 15
0
) und [8
0
] schreiben können. Umgekehrt dürfen wir nach 4
0
)' und 4
0
) für
e
auch
e h
1
und für
f
auch
f k
1
schreiben, also
e k
1
durch
e h
1
k
1
und
f h
1
durch
f h
1
k
1
er- setzen. Endlich war unter 8
0
)''
a
1
=
a
1
h
1
k
1
erwiesen, wonach Def. [7
0
] auch
g
=
g h
1
k
1
liefert.
Als Definition der vier letzten Elementarfälle kann man daher auch schreiben:
Schröder
, Algebra der Logik. II. 8
Siebzehnte Vorlesung.
[9
0
]
α
=
g h
1
k
1
,
β
=
e h
1
k
1
,
γ
=
f h
1
k
1
,
δ
=
d h
1
k
1
und mag der Hauptgleichung auch die Gestalt gegeben werden: 17
0
)
1߭ =
a
+
h
1
k
1
(
d
+
e
+
f
+
g
).
Nach [8
0
] verglichen mit 9
0
)'' resp. 9
0
)''' und 10
0
)'' gelten übrigens auch die Gleichungen: 18
0
)
β
=
a
1
e
,
γ
=
a
1
f
,
δ
=
a
1
d
.
Wir haben oben die Elementarbeziehungen zurückgeführt auf die Grundbeziehungen — vergl. [8
0
] — zu denen die Aussagen
h
(oder
A
= 0) und
k
(oder
B
= 0) nebst deren Negationen noch herangezogen wurden, und welche sämtlich mittelst der Subsumtion ihre analytische Definition gefunden hatten.
Man kann nun auch das Umgekehrte verlangen, fordern dass die 14 Grundbeziehungen nebst den vier Relationen
h
,
k
,
h
1
,
k
1
gewisser- massen
in ihrer Verteilung auf die fünf Fächer blosgelegt
, durch die 5 Elementarbeziehungen ausgedrückt werden.
Übersichtlich wird dies durch das Tableau geleistet:
III
0
)
1߭ =
a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
1߭ =
a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
a
1
=
α
+
β
+
γ
+
δ
,
a
=
a
,
b
=
k
+
β
+
δ
,
b
1
=
k
1
a
+
α
+
γ
,
c
=
h
+
γ
+
δ
,
c
1
=
h
1
a
+
α
+
β
,
d
=
h k
+
δ
,
d
1
= (
h
1
+
k
1
)
a
+
α
+
β
+
γ
,
e
=
h
1
k
+
β
,
e
1
= (
h
+
k
1
a
) +
α
+
γ
+
δ
,
f
=
h k
1
+
γ
,
f
1
= (
h
1
a
+
k
) +
α
+
β
+
δ
,
g
=
α
,
g
1
=
a
+
β
+
γ
+
δ
,
h
=
h a
,
h
1
=
h
1
a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
,
k
=
k a
,
k
1
=
k
1
a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
,
über welches wir behufs Markirung der 5 Abteilungen die Haupt- gleichung 16
0
) wiederholt geschrieben haben.
Zum Verständniss der Formeln ist erforderlich, sich gegenwärtig zu halten, dass
h
und
k
ganz unter
a
fallen, also eigentlich durch
ha
,
ka
überall zu ersetzen wären, wozu auch die unter 8
0
) und 8
0
)' er- wiesene achte und neunte Gleichung links in III
0
) die Erlaubniss aus- spricht. Diese beiden letzten Gleichungen der linksseitigen Kolonne sind hiermit auch schon gerechtfertigt.
§ 35. Analytischer Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen.
Was die
Begründung der Formeln
im übrigen betrifft, so wurde die erste links schon unter 16
0
) aus dieser Hauptgleichung entnommen; (die erste rechts ist eine analytische Identität); ebenso ergibt aus der siebenten Gleichung links
g
=
α
, die als Definition galt, sich auch die siebente rechts aus 16
0
). — Ferner haben wir:
f
=
f h
+
f h
1
=
h k
1
+
γ
nach 7
0
) und [8
0
],
e
=
e k
+
e k
1
=
h
1
k
+
β
nach 7
0
)' „ „,
womit die sechste und fünfte Gleichung links gewonnen. — Nach Th. 34
+
) ist endlich:
d
=
d
· 1߭ =
d
(
h k
+
h k
1
+
h
1
k
+
h
1
k
1
) =
d h k
+
d h
1
k
1
=
h k
+
δ
wegen 3
0
) und 3
0
)', sodann 3
0
)''' und [8
0
], womit auch die vierte Formel links gewonnen. Mit dieser folgt dann sofort auch die dritte und zweite links gemäss 6
0
), indem sich bei der Addition dieses
d
mit
f
resp.
e
das einemal
h k
+
h k
1
=
h
, das andremal
h k
+
h
1
k
=
k
zusammenzieht. — Um auch noch die Gleichungen rechterhand oder die Ausdrücke für die Negationen unsrer Beziehungen zu gewinnen, sucht man am besten nur die Ergänzung des unter
a
fallenden Terms (innerhalb der Mannigfaltigkeit der Fälle
a
selbst) direkt auf, und ent- nimmt die übrigen Terme aus der Hauptgleichung 16
0
); um die For- meln, so wie sie angegeben, zu beweisen, genügt es schon, die Probe zu machen nach den Schemata des Th. 30). [Anstatt des Obigen hätte man auch (
h
+
k
1
)
a
resp. (
h
1
+
k
)
a
als ersten Term von
e
1
resp.
f
1
schreiben können.] —
Als eine Anwendung wollen wir jetzt hervorheben und beleuchten den Unterschied der beiden in § 15 besprochenen Redensarten [dort einfach
β
) und
γ
) genannt]:
β̂
)
A
(
ist nicht
)
B
— und
γ̂
)
A ist
(
nicht B
)
oder auch:
Alle
A
(sind nicht)
B
resp. Alle
A
sind (nicht-
B
)
— unter den
A
die Elemente oder Punkte des Gebietes
A
verstanden, desgl. unter den
B
oder den Nicht-
B
Punkte ebendieser Gebiete.
Letztere
Redensart,
γ̂
), d. i. auch ohne Klammer geschrieben die: „
A
ist Nicht-
B
“ repräsentirt den Fall:
8*
Siebzehnte Vorlesung.
{
A

B
1
} = {
A B
= 0} =
a
.
Ertere β̂
) dagegen, seinerzeit erklärt als die Verneinung der Aus- sage „
A
ist
B
“, repräsentirt den Fall:
{
A

B
} = {
A

B
}
1
=
c
1
=
h
1
a
+
α
+
β
=
h
1
a
+
g
+
e k
1
.
Jene γ̂
) besagt:
Kein A ist B
,
falls überhaupt es A’s gibt
, und wird versinnlicht durch die Figur 17, in welcher der Kreis
A
auch schwinden,
Fig. 17.
gänzlich eingehen,
fehlen
kann. Abgesehen von diesem Grenzfalle, dessen Möglichkeit die
Um- gangssprache
einfach
übersieht
, und für den sie daher auch gar nicht ausgesagt haben will (weder Gültig- keit noch Ungültigkeit für ihre Aussage bean- sprucht) — abgesehen von diesem Grenzfalle ist Vorstehendes der korrekte Sinn, der mit einer Aussage von der Form: „Alle
A
sind nicht
B
“ oder „Kein
A
ist
B
“
ganz allgemein und von rechtswegen
verbunden wird.
Durch das von uns im Einklang mit der herrschenden Termino- logie (aber im Gegensatz zu neueren Theorieen) als ein universal
ver- neinendes
bezeichnete Urteil
γ̂
) wird eine Beziehung zwischen den Be- griffsumfängen
A
und
B
ausgedrückt, die zugleich eine Elementar-
Fig. 18.
Fig. 19.
Fig. 20.
beziehung und eine Grundbeziehung ist. Die Ver- neinungspartikel „nicht“ gehört dabei zum
Prädikate
.
Diese
Redensart
β̂
) dagegen sagt aus, was folgt:
Entweder:
kein A ist B
,
während es A’s gibt
(Fig. 18) — wobei aber zugelassen ist, dass vielleicht es ein
B
gar nicht gebe — [um hierauf hinzuweisen, haben wir das Gebiet
B
blos durch einen Punkt hier dargestellt; wir hätten auch die vorige Figur, Fig. 17, zur Dar- stellung dieses Unterfalles von
β
) benutzen können, nur
ohne
die dort beigefügte Erlaubniss der Unterdrückung des Kreises
A
] —
Oder aber:
nur einige A
(deren es sonach gibt)
sind B und umgekehrt
, nur einige
B
auch sind
A
(Fig. 19).
Oder aber endlich:
es gibt B’s
,
und diese alle sind A’s
,
aber nicht umgekehrt
(Fig. 20).
Die Redensart
β̂
) drückt eine Beziehung aus, welche als Negation einer Grundbeziehung auch selber zu den Grundbeziehungen gehört,
§ 35. Zusammenhang zwischen Umfangsbeziehungen.
dagegen aber keine Elementarbeziehung ist. Von den fünf Elementar- beziehungen vielmehr streicht sie zwei ganze und einen Bruchteil einer dritten aus, und lässt den Rest als möglich zu. —
Es ist gewiss der Wortsprache zur Last zu legen, dass über solche Fragen, wie die den Sinn einer Aussage „
A
ist nicht
B
“ be- treffende, noch Meinungsverschiedenheiten und Streit überhaupt bestehen können.
Achtzehnte Vorlesung
.
§ 36.
Reduktion sämtlicher Beziehungen auf den Typus der Gleichung und ihrer Negation (der Ungleichung).
Es lassen sich in Bezug auf unsre zahlreichen Beziehungen manche Fragen aufwerfen und viele Probleme stellen. Um jedoch nicht jetzt schon in einer Menge von (vielleicht nicht uninteressanten) Spezial- untersuchungen uns zu verlieren, und um ferner das Wichtigere ge- bührend hervortreten zu lassen vor dem minder Wichtigen, streben wir zunächst einmal mit ersterm einem Abschluss zu. Solchen zu ge- winnen, suchen
wir sämtliche Beziehungen auf einen gemeinsamen Typus zurückzuführen
.
Dies
gelingt
, indem wir sie samt und sonders blos
durch Gleichungen und Ungleichungen
ausdrücken, das ist durch
bejahte oder verneinte Gleichungen
.
Auf mannigfache Weise haben wir gelernt, eine jede Subsumtion umzuschreiben in eine Gleichung, z. B. es war:
{
A

B
} = {
A B
=
A
} = {
A
+
B
=
B
} = {
A B
1
= 0}.
Nach § 18,
ϱ
) konnte auch umgekehrt jede Gleichung verwandelt werden in eine Subsumtion nach dem Schema:
{
A
=
B
} = {
A
+
B

A B
}.
Aus diesen Aussagenäquivalenzen folgt durch beiderseitiges Ne- giren gemäss Th. 3̅2̅), dass auch jede Verneinung einer Subsumtion sich schreiben lassen wird als eine Ungleichung, und jede Ungleichung als verneinte Subsumtion; es muss z. B. sein:
{
A

B
} = {
A B
≠
A
} = {
A B
1
≠ 0}, {
A
≠
B
} = {
A
+
B

A B
}.
Jedes Problem, dessen Einkleidung in die Zeichensprache möglich war vermittelst Subsumtionen
und
Gleichungen, musste demnach sich auch in Formeln kleiden lassen, wenn man ausschliesslich nur von
einem
der beiden zugehörigen Beziehungszeichen Gebrauch machen darf;
§ 36. Zurückführung auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.
dasselbe lässt sich bereits in Subsumtionen allein formuliren, des- gleichen schon ganz durch Gleichungen.
Dass aber die Zeichen dieser beiden Beziehungen, als
bejahende

und =, nicht ausreichen zur Behandlung auch nur der Probleme der alten Logik, insbesondre zur Einkleidung der
partikularen
(und Existenzial-) Urteile, haben wir in § 34 erkannt.
Erst wenn neben den Operationen des identischen Kalkuls an Ge- bieten oder Klassen und
mit
denselben Operationen an Aussagen auch die
Aussagenverneinung
zugelassen war, konnte letzteres gelingen, wo- gegen bei
Ausschluss
der Negation
an Aussagen
damit nicht durchzu- kommen war, wo sonst man auch über sämtliche Operationen ver- fügte. Mit andern Worten: es waren
zwei
Beziehungszeichen nötig, ein bejahendes und ein verneinendes.
Dass wir uns nunmehr für die beiden Zeichen = und ≠ aus den Grundbeziehungen
d
und
d
1
entscheiden, ist unsre Willkür.
Ebensogut könnten wir nach Vorbemerktem auch mit den beiden Zeichen

und

aus
c
und
c
1
auskommen; ja es könnte das bejahende Zeichen des einen Paares mit dem verneinenden des andern zum aus- schliesslichen Gebrauch erkoren und bestimmt werden.
Wir lernen so jedoch zunächst einmal auf wenigstens
eine
Weise zum Ziel zu kommen — und, wie sich zeigen wird, auf eine gute Weise. Ob auf die beste, steht noch dahin. Es bleibt auch ferneren Spezialforschungen vorbehalten, zu ermitteln, mittelst welcher andern Paare von Zeichen man ebenfalls zur Lösung aller einschlägigen Auf- gaben — aller im Gebiet der Logik des Begriffsumfanges überhaupt erdenklichen Probleme — gelangen könnte, und auf welche Weise? Ja, es wäre auch in Bezug auf die Beziehungszeichen der noch übrigen Gruppe eigentlich erst noch nachzusehen, ob man nicht vielleicht mit
einem
von
diesen
allein schon auskommen könnte. Man ersieht hier die Möglichkeit von mehreren Algebra’s der Logik! Vergleiche über diese Fragen auch Frau
Franklin-Ladd
1, 2, 3
.
Ich erblicke darin einen Hauptvorzug der rechnerisch exakten Behand- lungsweise der logischen Disziplin vor der herkömmlichen schulmässig-ver- balen, dass sie nach allen Seiten einen Reichtum von Problemen in Sicht stellt. Es war stets Merkmal einer in gesundem Fortschreiten begriffenen Wissenschaft, bei jedem Zuwachs an Erkenntnissmaterial durch Herbei- führung endgültiger Entscheidung über irgend eine Frage, zugleich eine Fülle von neuen Fragestellungen aufzuwerfen und so zu fortgesetztem Forschen anzuregen.
Sehen wir darauf hin uns die schulmässige formale Logik an, so finden wir, wie schon Bd. 1, S. 121 ausgeführt, wohl interessante, hie und da auch
Achtzehnte Vorlesung.
gründliche und neue Betrachtungen, wo etwa das Gebiet der Metaphysik, Psychologie, etc. gestreift wird, auch geistreiche Bemerkungen über das Wesen dieser oder jener Begriffe — nicht minder: verdienstliche An- strengungen, die Schwierigkeiten der Darstellung und des Unterrichts zu überkommen. Allein gerade in Bezug auf ihre Hauptaufgabe, die Ent- wickeiung einer Kunstlehre und Technik des Denkens, scheint diese Wissen- schaft sich einer grossen Selbstgenügsamkeit zu befleissigen, sich einer lang- weiligen Abgeschlossenheit zu erfreuen (?); sie beschäftigt hier sich mit einem stereotypen Kreise einiger wenigen ein bischen komplizirteren Formen des Schlusses und nirgends wird ersichtlich, dass überhaupt noch etwas zu thun übrig bleibt, noch weniger aber tritt zu Tage, nach welcher Richtung hin etwa weitergearbeitet werden könnte und sollte.
Für die Darstellung aller Grund- und Elementarbeziehungen durch Gleichungen und Ungleichungen erhalten wir folgenden Überblick:
IV
0
.
a
1
= {
A

B
} = {
A B
≠ 0},
a
= {
A

B
} = {
A B
= 0},
b
= {
A

B
} = {
A
1
B
= 0},
b
1
= {
A

B
} = {
A
1
B
≠ 0},
c
= {
A

B
} = {
A B
1
= 0},
c
1
= {
A

B
} = {
A B
1
≠ 0},
d
= {
A
=
B
} = {
A B
1
+
A
1
B
= 0},
d
1
= {
A
≠
B
} = {
A B
1
+
A
1
B
≠ 0},
e
= {
A
⊃
B
} = {
A
1
B
= 0} {
A B
1
≠ 0},
e
1
= {
A

B
} = {
A
1
B
≠ 0} + {
A B
1
= 0},
f
= {
A
⊂
B
} = {
A B
1
= 0} {
A
1
B
≠ 0},
f
1
= {
A
⊄
B
} = {
A B
1
= 0} {
A
1
B
= 0},
g
=
α
= {
A

B
} = {
A B
≠ 0} {
A B
1
≠ 0} {
A
1
B
≠ 0},
g
1
=
α
1
= {
A

B
} = {
A B
= 0} + {
A B
1
= 0} + {
A
1
B
= 0},
β
= {
A
⊃
B
} {
B
≠ 0} = {
A
1
B
= 0} {
A B
1
≠ 0} {
A B
≠ 0},
β
1
= {
A

B
} + {
B
= 0} = {
A
1
B
≠ 0} + {
A B
1
= 0} + {
A B
= 0},
γ
= {
A
⊂
B
} {
A
≠ 0} = {
A B
1
= 0} {
A
1
B
≠ 0} {
A B
≠ 0},
γ
1
= {
A
⊄
B
} + {
A
= 0} = {
A B
1
≠ 0} + {
A
1
B
= 0} + {
A B
= 0},
δ
= {
A
=
B
} {
A
≠ 0} {
B
≠ 0} = {
A B
1
+
A
1
B
= 0} {
A B
≠ 0},
δ
1
= {
A
≠
B
} + {
A
= 0} + {
B
= 0} = {
A B
1
+
A
1
B
≠ 0} + {
A B
= 0}.
Von diesen Formeln kommen diejenigen rechterhand für die Negationen unsrer Beziehungen auf die andern links hinaus durch beiderseitiges Ne- giren nach Th. 3̅2̅ und 3̅6̅). Und Behufs der Begründung dieser letztgenannten ist auch nur weniges zu sagen.
§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.
Nämlich bei
a
ist allein auf die Def. [6
0
] hinzuweisen, bei
b
und
c
auf das Th. 38
×
), bei
d
auf Th. 39
×
). Die Formeln für
e
,
f
,
g
sind Wieder- holungen der Definitionen [5
0
], [4
0
] und [7
0
], nämlich
e
=
b c
1
,
f
=
b
1
c
,
g
=
a
1
b
1
c
1
mit Rücksicht auf die unmittelbar vorher gewonnenen Darstel- lungen der Symbole rechterhand.
Bei
β
,
γ
,
δ
endlich sind die ersten Darstellungen zunächst nur Aus- druck (ausführlichere Wiedergabe) der Definitionen [8
0
]:
β
=
e k
1
,
γ
=
f h
1
,
δ
=
d h
1
k
1
. Durch blosses Einsetzen der voraufgehenden Werte von
e
,
f
,
d
aber würde man hieraus etwas andere, als die dahinter angegebenen Dar- stellungen von
β
,
γ
,
δ
erhalten, nämlich solche, in denen an Stelle des letzten Faktors {
A B
≠ 0} bezüglich stünde {
B
≠ 0}, {
A
≠ 0}, und {
A
≠ 0} {
B
≠ 0} [oder auch einfacher aber unsymmetrisch nur einer von diesen beiden Faktoren allein, gleichviel, welcher von beiden — wegen
d h
1
k
1
=
d h
1
=
d k
1
unter 10
0
)'']. Die angegebenen zweiten Darstellungen von
β
,
γ
,
δ
fliessen jedoch sofort aus den Darstellungen 18
0
) mittelst Ein- setzung der gefundenen Werte für die Symbole rechterhand.
Anmerkung
. Wo in IV
0
die Gleichung
A B
1
+
A
1
B
= 0 auftritt, könnte dieselbe nach Th. 24
+
) auch in das Produkt (
A B
1
= 0) (
A
1
B
= 0) umgeschrieben werden, und da die beiden Aussagen äquivalent sind, müssen nach Th. 3̅2̅) auch ihre Negationen es sein, woraus zu lernen, dass analog die Ungleichung
A B
1
+
A
1
B
≠ 0 auch in die Summe (
A B
1
≠ 0) + (
A
1
B
≠ 0) verwandelt werden dürfte.
Es haben sonach alle Umfangsbeziehungen sich durch Aussagen über Gleichheit oder Ungleichheit wirklich darstellen lassen.
Hieraus folgt aber die wichtige Erkenntniss,
dass wir jede über Beziehungen zwischen Klassen (oder Umfangsverhältnisse von Begriffen) überhaupt erdenkliche Aufgabe gelöst haben werden, sobald es uns nur ge- lingen wird, das allgemeinste auf Gleichungen und Ungleichungen bezüg- liche Problem zu lösen
.
Diesem letztern Ziele werden wir demnach in Bälde zusteuern (§ 41 und 49 besonders).
Insofern mit einem Beziehungszeichen, bei Zulassung der Negation auch an den solche Beziehung statuirenden Aussagen, immer schon dessen Ver- neinung mitgegeben erscheint, können wir auch sagen:
Die Logik des Umfanges kommt mit den Operationen der identischen drei Spezies
(zur Not schon mit Negation und Multiplikation, vergl. Th. 36) Anm.)
und einem einzigen Beziehungszeichen aus
bei allen ihren Problemen und Untersuchungen, und zwar namentlich
mit dem Zeichen
=
der Gleich- heit
, oder wenn man will auch
mit dem Zeichen

der Subsumtion
.
Praktisch werden die
beiden
Zeichen = und ≠, oder auch die beiden

und

alle Dienste versehen.
Auf Grund der Darstellungen IV
0
bewahrheiten sich unmittelbar die folgenden Beziehungsäquivalenzen:
Achtzehnte Vorlesung.
V
0
. (
A

B
) = (
B

A
) = (
A
1

B
) = (
B
1

A
) = (
A

B
1
) = (
B

A
1
), (
A

B
) = (
B

A
) = (
A
1

B
) = (
B
1

A
) = (
A

B
1
) = (
B

A
1
), (
A

B
) = (
B
1

A
1
) = (
B

A
) = (
A
1

B
1
) = (
A
1

B
) = (
B

A
1
), (
A

B
) = (
B
1

A
1
) = (
B

A
) = (
A
1

B
1
) = (
A
1

B
) = (
B

A
1
), (
A

B
) = (
B
1

A
1
) = (
B

A
) = (
A
1

B
1
) = (
A

B
1
) = (
B
1

A
), (
A

B
) = (
B
1

A
1
) = (
B

A
) = (
A
1

B
1
) = (
A

B
1
) = (
B
1

A
);
(
A
=
B
) = (
A
1
=
B
1
) = (
B
=
A
) = (
B
1
=
A
1
), (
A
≠
B
) = (
A
1
≠
B
1
) = (
B
≠
A
) = (
B
1
≠
A
1
), (
A
⊃
B
) = (
B
1
⊃
A
1
) = (
B
⊂
A
) = (
A
1
⊂
B
1
), (
A

B
) = (
B
1

A
1
) = (
B
⊄
A
) = (
B
1
⊄
A
1
), (
A
⊂
B
) = (
B
1
⊂
A
1
) = (
B
⊃
A
) = (
A
1
⊃
B
1
), (
A
⊄
B
) = (
B
1
⊄
A
1
) = (
B

A
) = (
A
1

B
1
); (
A

B
) = (
B

A
), (
A

B
) = (
B

A
).
(
A

B
) = (
B

A
), (
A

B
) = (
B

A
), (
A
≗
B
) = (
B
≗
A
).
desgleichen mit vertikal durch- strichenen Be- ziehungszeichen.
Einige von diesen sind uns bereits aus früheren Definitionen und Theoremen bekannt, insbesondere aus Th. 32) und 37).
Andere lehren,
dass wie die Gleichheit
,
so auch die Gebietgemein- schaft
(Korrelation)
und die Schnittigkeit
(Sekanz)
eine symmetrische Be- ziehung ist
, dass man die beiden Seiten (Beziehungsglieder) jeder der- artigen Relation vertauschen, die Beziehung ohne weiteres auch rückwärts lesen darf. Und
die Negation einer symmetrischen Beziehung ist eben- falls immer wieder eine symmetrische Beziehung
. Auch die Gleichheit als Elementarbeziehung (elementare Gleichheit) ist symmetrisch.
Für die übrigen, die
unsymmetrischen Beziehungen
drücken unsre Formeln aus,
dass man dieselben auch rückwärts lesen kann
,
indem man ihr Beziehungszeichen umkehrt
. Ferner:
durch beiderseitiges Negiren ent- springen aus ihnen wieder richtige Beziehungen
,
wofern man ebenfalls das zu negirende Beziehungszeichen umkehrt
,
oder
,
falls man das unmittelbar negirte beibehalten will, dafür Major und Minor vertauscht
, und zwar gilt dies sowol für die bejahenden als für die verneinenden unsymmetrischen Beziehungen.
Die Negation einer Elementarbeziehung ist allerdings keine Ele-
§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.
mentarbeziehung, bietet nicht mehr das Interesse einer solchen. Die ev. über ihr Zeichen gesetzte ∘ wäre samt diesem vom Negationsstrich zu durchsetzen, weil in dieser Negation das Verschwinden des an- gezogenen Terms nicht mehr ausgeschlossen, sondern vielmehr zugelassen erscheint.
[Die meisten, alle nicht symmetrischen, von den Sätzen V
0
sind in doppelter Ausfertigung angeschrieben, nämlich für das Gebietepaar
A
,
B
sowol als für das
B
,
A
.]
Um das Theorem {
A
⊂
B
} = {
B
⊃
A
} ganz direkt zu beweisen, könnte man auch die bekannte, seinerzeit als Definition der rechten Seite hingestellte Äquivalenz:
{
A

B
} = {
B

A
}
nach Th. 1̅9̅
×
) überschiebend multipliziren mit der andern:
{
A
≠
B
} = {
B
≠
A
}
welche sich aus dem Zusatze zu Def. (1): {
A
=
B
} = {
B
=
A
} durch beiderseitiges Negiren nach Th. 3̅2̅), ergibt. Man hätte dabei blos zu be- rücksichtigen, dass laut Definition von
e
und
f
nach [2
0
] sein muss:
(
b
1
c
=)
c d
1
=
f
und (
b c
1
=)
b d
1
=
e
,
wie sich dies auch aus dem Tableau III
0
bewahrheitet.
Ebenso lässt sich das Theorem:
{
A
⊂
B
} = {
A
1
⊃
B
1
}, also auch = {
B
1
⊂
A
1
}
beweisen, indem man die nach Th. 37) bekannte Äquivalenz:
{
A

B
} = {
A
1

B
1
}
überschiebend multiplizirt mit der Gleichung:
{
A
≠
B
} = {
A
1
≠
B
1
}
welche sich aus dem Th. 32) durch Anwendung auf sich selbst ergab.
Die Formeln der ersten beiden Zeilen in V
0
zeigen, dass das
Zeichen

„
der Disjunktion
“, welches die Gebietgemeinschaft verneint und zu- gleich dem Elementarfall
a
entspricht, sich vertreten lässt durch das Subsumtionszeichen

, somit auch die Verneinung des erstern durch die des letztern, d. h. dass ebenso das Zeichen

der Gebietgemein- schaft
a
1
entbehrlich gemacht werden kann durch dasjenige

der Sub- sumtionenverneinung oder Nicht-Einordnung. Gegenüber dem letzteren hat aber das erstere Zeichen den Vorzug der
Symmetrie
.
Es ist demnach auch

und

ein Paar von Beziehungszeichen
,
welches für die Logik des Umfanges ausreichen würde
, während mit einem derselben allein (im frühern Sinne) nicht auszukommen wäre. Ebendieser, die sie nur äusserlich anders gestaltet, bedient sich Miss
Ladd
in
1
.
Achtzehnte Vorlesung.
§ 37.
Entwickelung der Produkte und Summen von Grundbeziehungen.
(Überschlagbar.)
Wir wollen nun an unsre Umfangsbeziehungen noch einige Studien an- knüpfen, welche derjenige Leser überschlagen mag, der etwa rasch dem Hauptprobleme und den Syllogismen zueilen möchte. Ein solcher wird auch die übrigen Paragraphen gegenwärtiger Vorlesung vorerst überspringen können, deren Thema wir jedoch für ein an sich kaum minder interessautes und wichtiges erklären müssen. Wir reden demnächst nur von Beziehungen zwischen durchweg denselben zwei Gebieten
A
und
B
.
Das Produkt von irgend zwei verschiedenen
Elementar
beziehungen ist 0, weil diese disjunkt sind, einander gegenseitig ausschliessen. Eine Summe von solchen ist einfach hinzuschreiben und lässt sich nicht ver- einfachen.
Dagegen kann man für die Produkte und Summen von
Grund
- beziehungen verlangen, dass dieselben entwickelt werden, so, dass klar zu sehen ist, wie viel jeweils davon unter eine jede der fünf Elementar- abteilungen fällt.
Auf Grund der Tafel III
0
des § 35 ist die Ermittelung dieser Ver- knüpfungsergebnisse eine blosse Rechenübung. Wir bringen die Resul- tate in übersichtliche Tabellen, die auch für rasches Nachschlagen erwünscht sein können.
Bei der Bildung der Produkte von nach den fünf Fächern
a
,
α
,
β
,
γ
,
δ
geordneten Summen ist der Vorteil zu beachten, dass das Aus- multipliziren zu bewerkstelligen ist durch einfaches Übereinanderschieben, Superponiren derselben, nämlich durch multiplikative Verknüpfung von immer nur den
gleichstelligen
Termen — geradeso, wie bei nach den- selben Argumenten entwickelten Funktionen in Th. 45
+
) geschildert — weil die ungleichstelligen Terme hier ebenfalls disjunkt sein müssen — vergl. den Zusatz Bd. 1, S. 422.
In sämtlichen Tafeln sind die
lateinischen
Symbole
rechterhand
durch ihre Werte aus dem Tableau III
0
ersetzt zu denken; insbesondere ist also
a
unverändert zu lassen,
h k
,
h k
1
und
h
1
k
gemäss der ersten Zeile von VI
0
mit dem Faktor
a
versehen zu denken, während
g
rechts immer den Elementarfall
α
vertritt.
Es sind die Tafeln dazu bestimmt,
wenn über zwei Gebiete oder Klassen A und B eine ganze Reihe von Aussagen gegeben sein sollte
,
die irgendwelche Elementar- oder Grundbeziehungen zwischen denselben als simultan oder alternativ geltende oder nichtgeltende hinstellen
,
den logischen Gehalt der
aus all’ diesen Aussagen sich zusammensetzenden
Kollektiv
-
§ 37. Produkte und Summen der Grundbeziehungen.
VI
0
.
Produkte der Grundbeziehungen mit den Hülfs- beziehungen
h
,
h
1
,
k
,
k
1
.
h k
=
h k a
,
h k
1
=
h k
1
a
,
h
1
k
=
h
1
k a
,
h
1
k
1
=
h
1
k
1
a
+
a
1
.
a
1
h
= 0,
a
1
h
1
=
a
1
,
a h
=
h
,
a h
1
=
h
1
a
,
a
1
k
= 0,
a
1
k
1
=
a
1
,
a k
=
k
,
a k
1
=
k
1
a
,
b h
=
h k
,
b h
1
=
e
+
δ
,
b
1
h
=
h k
1
,
b
1
h
1
=
h
1
k
1
a
+
α
+
γ
,
b k
=
k
,
b k
1
=
β
+
δ
,
b
1
k
= 0,
b
1
k
1
=
b
1
c h
=
h
,
c h
1
=
γ
+
δ
,
c
1
h
= 0,
c
1
h
1
=
c
1
,
c k
=
h k
,
c k
1
=
f
+
δ
,
c
1
k
=
h
1
k
,
c
1
k
1
=
h
1
k
1
a
+
α
+
β
,
d h
=
h k
,
d h
1
=
δ
,
d
1
h
=
h k
1
,
d
1
h
1
=
c
1
+
γ
,
d k
=
h k
,
d k
1
=
δ
,
d
1
k
=
h
1
k
,
d
1
k
1
=
b
1
+
β
,
e h
= 0,
e h
1
=
e
,
e
1
h
=
h
,
e
1
h
1
=
h
1
k
1
a
+
α
+
γ
+
δ
,
e k
=
h
1
k
,
e k
1
=
β
,
e
1
k
=
h k
,
e
1
k
1
=
b
1
+
δ
,
f h
=
h k
1
,
f h
1
=
γ
,
f
1
h
=
h k
,
f
1
h
1
=
c
1
+
δ
,
f k
= 0,
f k
1
=
f
,
f
1
k
=
k
,
f
1
k
1
=
h
1
k
1
a
+
α
+
β
+
δ
,
g h
= 0,
g h
1
=
g
,
g
1
h
=
h
,
g
1
h
1
=
h
1
a
+
β
+
γ
+
δ
,
g k
= 0,
g k
1
=
g
,
g
1
k
=
k
,
g
1
k
1
=
k
1
a
+
β
+
γ
+
δ
.
VII
0
.
Summen der Grundbeziehungen mit den
h
,
h
1
,
k
,
k
1
.
h
+
k
= (
h
+
k
)
a
,
h
+
k
1
=
e
1
+
β
,
h
1
+
k
=
f
1
+
γ
,
h
1
+
k
1
=
d
1
+
δ
,
a
1
+
h
=
h
+
a
1
,
a
1
+
h
1
=
h
1
,
a
+
h
=
a
,
a
+
h
1
= 1߭,
a
1
+
k
=
k
+
a
1
,
a
1
+
k
1
=
k
1
,
a
+
k
=
a
,
a
+
k
1
= 1߭,
b
+
h
=
h
+
b
,
b
+
h
1
=
f
1
+
γ
,
b
1
+
h
=
h
+
b
1
,
b
1
+
h
1
=
d
1
+
δ
,
b
+
k
=
b
,
b
+
k
1
= 1߭,
b
1
+
k
=
a
+
α
+
γ
,
b
1
+
k
1
=
k
1
,
c
+
h
=
c
,
c
+
h
1
= 1߭,
c
1
+
h
=
a
+
α
+
β
,
c
1
+
h
1
=
h
1
,
c
+
k
=
k
+
c
,
c
+
k
1
=
c
1
+
β
,
c
1
+
k
=
k
+
c
1
,
c
1
+
k
1
=
d
1
+
δ
,
d
+
h
=
h
+
δ
,
d
+
h
1
=
f
1
+
γ
,
d
1
+
h
=
a
+
α
+
β
+
γ
,
d
1
+
h
1
=
d
1
+
δ
,
d
+
k
=
k
+
δ
,
d
+
k
1
=
e
1
+
β
,
d
1
+
k
=
a
+
α
+
β
+
γ
,
d
1
+
k
1
=
d
1
+
δ
,
e
+
h
= (
h
+
k
) +
β
,
e
+
h
1
=
h
1
,
e
1
+
h
=
e
1
,
e
1
+
h
1
= 1߭,
e
+
k
=
k
+
β
,
e
+
k
1
=
d
1
+
δ
,
e
1
+
k
=
a
+
α
+
γ
+
δ
,
e
1
+
k
1
=
e
1
+
β
,
f
+
h
=
h
+
γ
,
f
+
h
1
=
d
1
+
δ
,
f
1
+
h
=
a
+
α
+
β
+
δ
,
f
1
+
h
1
=
f
1
+
γ
,
f
+
k
= (
h
+
k
) +
γ
,
f
+
k
1
=
k
1
,
f
1
+
k
=
f
1
,
f
1
+
k
1
= 1߭,
g
+
h
=
h
+
α
,
g
+
h
1
=
h
1
,
g
1
+
h
=
g
1
,
g
1
+
h
1
= 1߭,
g
+
k
=
k
+
α
,
g
+
k
1
=
k
1
,
g
1
+
k
=
g
1
,
g
1
+
k
1
= 1߭.
Achtzehnte Vorlesung.
VIII
0
.
Produkte der Grundbeziehungen unter sich
.
a
1
b
=
β
+
δ
,
a
1
b
1
=
α
+
γ
,
a b
=
k
,
a b
1
=
k
1
a
,
a
1
c
=
γ
+
δ
,
a
1
c
1
=
α
+
β
,
a c
=
h
,
a c
1
=
h
1
a
,
a
1
d
=
δ
,
a
1
d
1
=
α
+
β
+
γ
,
a d
=
h k
,
a d
1
= (
h
1
+
k
1
)
a
,
a
1
e
=
β
,
a
1
e
1
=
α
+
γ
+
δ
,
a e
=
h
1
k
,
a e
1
= (
h
+
k
1
a
),
a
1
f
=
γ
,
a
1
f
1
=
α
+
β
+
δ
,
a f
=
h k
1
,
a f
1
= (
h
1
a
+
k
),
a
1
g
=
g
,
a
1
g
1
=
β
+
γ
+
δ
,
a g
= 0,
a g
1
=
a
,
b c
=
d
,
b c
1
=
e
,
b
1
c
=
f
,
b
1
c
1
=
h
1
k
1
a
+
α
,
b d
=
d
,
b d
1
=
e
,
b
1
d
= 0,
b
1
d
1
=
b
1
,
b e
=
e
,
b e
1
=
d
,
b
1
e
= 0,
b
1
e
1
=
b
1
,
b f
= 0,
b f
1
=
b
,
b
1
f
=
f
,
b
1
f
1
=
h
1
k
1
a
+
α
,
b g
= 0,
b g
1
=
b
,
b
1
g
=
g
,
b
1
g
1
=
k
1
a
+
γ
,
c d
=
d
,
c d
1
=
f
,
c
1
d
= 0,
c
1
d
1
=
c
1
,
c e
= 0,
c e
1
=
c
,
c
1
e
=
e
,
c
1
e
1
=
h
1
k
1
a
+
α
,
c f
=
f
,
c f
1
=
d
,
c
1
f
= 0,
c
1
f
1
=
c
1
,
c g
= 0,
c g
1
=
c
,
c
1
g
=
g
,
c
1
g
1
=
h
1
a
+
β
,
d e
= 0,
d e
1
=
d
,
d
1
e
=
e
,
d
1
e
1
=
b
1
,
d f
= 0,
d f
1
=
d
,
d
1
f
=
f
,
d
1
f
1
=
c
1
,
d g
= 0,
d g
1
=
d
,
d
1
g
=
g
,
d
1
g
1
= (
h
1
+
k
1
)
a
+
β
+
γ
,
e f
= 0,
e f
1
=
e
,
e
1
f
=
f
,
e
1
f
1
= (
h k
+
h
1
k
1
a
) +
α
+
δ
,
e g
= 0,
e g
1
=
e
,
e
1
g
=
g
,
e
1
g
1
= (
h
+
k
1
a
) +
γ
+
δ
,
f g
= 0,
f g
1
=
f
,
f
1
g
=
g
,
f
1
g
1
= (
h
1
a
+
k
) +
β
+
δ
.
aussage
möglichst rasch
herauszuschälen
, die Tragweite derselben über- sichtlich zu machen, insbesondre nämlich diese Kollektivaussage
nach den fünf Elementarfällen
alsbald
zu entwickeln
.
Letzteres wird erreicht durch successive „Ausrechnung“, aussagen- rechnerische Reduktion jener Kollektivaussage unter Benutzung der Tafeln.
Ein paar Beispiele mögen das Gesagte erläutern.
Sei etwa die Kollektivaussage folgende:
x
= (
A

B
) (
A

B
) + (
A

B
) (
A
≠ O) (
B
= O) + + (
A

B
) (
A

B
) (
A

B
),
so haben wir (aus Tafel II
0
und § 35, [3
0
] die Werte einsetzend, sodann aus Tafel VIII
0
c
1
g
=
g
, aus Tafel VI
0
a k
=
k
, aus VIII
0
b
1
c
=
f
und
a
1
f
=
γ
, endlich aus III
0
g
=
α
berücksichtigend):
§ 37. Produkte und Summen der Grundbeziehungen.
IX
0
.
Summen der Grundbeziehungen unter sich
.
a
1
+
b
=
k
+
a
1
,
a
1
+
b
1
=
k
1
,
a
+
b
=
a
+
β
+
δ
,
a
+
b
1
=
a
+
α
+
γ
,
a
1
+
c
=
h
+
a
1
,
a
1
+
c
1
=
h
1
,
a
+
c
=
a
+
γ
+
δ
,
a
+
c
1
=
a
+
α
+
β
,
a
1
+
d
=
h k
+
a
1
,
a
1
+
d
1
=
d
1
+
δ
,
a
+
d
=
a
+
δ
,
a
+
d
1
=
a
+
α
+
β
+
γ
,
a
1
+
e
=
h
1
k
+
a
1
,
a
1
+
e
1
=
e
1
+
β
,
a
+
e
=
a
+
β
,
a
+
e
1
=
a
+
α
+
γ
+
δ
,
a
1
+
f
=
h k
1
+
a
1
,
a
1
+
f
1
=
f
1
+
γ
,
a
+
f
=
a
+
γ
,
a
+
f
1
=
a
+
α
+
β
+
δ
,
a
1
+
g
=
a
1
,
a
1
+
g
1
= 1߭,
a
+
g
=
a
+
α
,
a
+
g
1
=
g
1
,
b
+
c
= (
h
+
k
) +
β
+
γ
+
δ
,
b
+
c
1
=
f
1
,
b
1
+
c
=
e
1
,
b
1
+
c
1
=
d
1
,
b
+
d
=
b
,
b
+
d
1
= 1߭,
b
1
+
d
=
e
1
,
b
1
+
d
1
=
d
1
,
b
+
e
=
b
,
b
+
e
1
= 1߭,
b
1
+
e
=
d
1
,
b
1
+
e
1
=
e
1
,
b
+
f
= (
h
+
k
) +
β
+
γ
+
δ
,
b
+
f
1
=
f
1
,
b
1
+
f
=
b
1
,
b
1
+
f
1
= 1߭,
b
+
g
=
b
+
α
,
b
+
g
1
=
g
1
,
b
1
+
g
=
b
1
,
b
1
+
g
1
= 1߭,
c
+
d
=
c
,
c
+
d
1
= 1߭,
c
1
+
d
=
f
1
,
c
1
+
d
1
=
d
1
,
c
+
e
= (
h
+
k
) +
β
+
γ
+
δ
,
c
+
e
1
=
e
1
,
c
1
+
e
=
c
1
,
c
1
+
e
1
= 1߭,
c
+
f
=
c
,
c
+
f
1
= 1߭,
c
1
+
f
=
d
1
,
c
1
+
f
1
=
f
1
,
c
+
g
=
c
+
α
,
c
+
g
1
=
g
1
,
c
1
+
g
=
c
1
,
c
1
+
g
1
= 1߭,
d
+
e
=
b
,
d
+
e
1
=
e
1
,
d
1
+
e
=
d
1
,
d
1
+
e
1
= 1߭,
d
+
f
=
c
,
d
+
f
1
=
f
1
,
d
1
+
f
=
d
1
,
d
1
+
f
1
= 1߭,
d
+
g
=
d
+
α
,
d
+
g
1
=
g
1
,
d
1
+
g
=
d
1
d
1
+
g
1
= 1߭,
e
+
f
= (
h
1
k
+
h
1
k
) +
β
+
γ
,
e
+
f
1
=
f
1
,
e
1
+
f
=
e
1
,
e
1
+
f
1
= 1߭,
e
+
g
=
e
+
α
,
e
+
g
1
=
g
1
,
e
1
+
g
=
e
1
,
e
1
+
g
1
= 1߭,
f
+
g
=
f
+
α
,
f
+
g
1
=
g
1
,
f
1
+
g
=
f
1
,
f
1
+
g
1
= 1߭
x
=
g c
1
+
a h
1
k
+
a
1
c b
1
=
g
+
h
1
k
+
γ
=
h
1
k
+
α
+
γ
als die gesuchte Zerfällung der Aussage
x
in die fünf Elementarfächer. Dieselbe lässt sofort übersehen, welche Möglichkeiten der von den Gebieten
A
,
B
gebildeten Figur zugelassen und eventuell gefordert sind, welche da- gegen ausgeschlossen — auch leuchtet das Ergebniss unmittelbar ein, wenn man sich die Bedeutung der Beziehungszeichen zum Bewusstsein bringt. —
Was verlangt die Aussage:
y
= (
a
1
b
1
+
b c
1
+
c d
1
) (
a b
+
b
1
c
+
c
1
d
+
d
1
a
1
)?
Antwort:
y
= (
α
+
γ
+
e
+
f
) (
k
+
f
+ 0 +
α
+
β
+
γ
) = = (
h k
1
+
h
1
k
+
α
+
β
+
γ
) (
k
+
h k
1
+
α
+
β
+
γ
) = (
h k
1
+
h
1
k
) +
α
+
β
+
γ
. —
Achtzehnte Vorlesung.
Wenn
z
=
e
1
f
1
(
c
+
e
) (
d
1
+
h
) bedeutet, so wird man ebenso mittelst der Zwischenrechnung:
z
= {(
h k
+
h
1
k
1
a
) +
α
+
δ
} {(
h
+
k
) +
β
+
γ
+
δ
} {
a
+
α
+
β
+
γ
} =
a
(
h
+
k
) (
h k
+
h
1
k
1
a
) dies leicht reduziren zu:
z
=
h k
. Etc.
In dieser Weise können die hier gegebenen Tafeln auch dazu bei- tragen, die Aufgabe der Reduktion einer Kollektivaussage auf den Typus der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36, Tafel IV
0
und später noch § 39, Tafel XVII
0
vorbereitend zu erleichtern.
Für manch’ ein Untersuchungsfeld ist ständig
h
= 0 und
k
= 0, nämlich von vornherein die Möglichkeit ausgeschlossen, dass
A
oder
B
ein leeres Gebiet sei, „nichts“ bedeute, oder, wie wir auch sagen können „sinnlos“ oder „
undeutig
“ werde. Dies wäre z. B. der Fall bei den Anwendungen auf eine Mannigfaltigkeit, welcher die identische Null nicht adjungirt ist, nicht angehört. Eine Exemplifikation bildet die Rechnung mit vieldeutigen Zahlen-Ausdrücken, mehrdeutigen Funktionen, welche für das ganze Zahlengebiet, „explizirt“ sind, niemals eines Wertes entbehren oder undeutig ausfallen, wie ich sie in meinem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra
1
in Untersuchung gezogen habe. Da hier
h
1
= 1߭,
k
1
= 1߭ ist, so wird
δ
=
d
,
γ
=
f
,
β
=
e
, und da ohnehin stets
α
=
g
, so geht die „Hauptgleichung“ nebst dem Tableau III
0
über in:
X
0
.
1߭ =
a
+
d
+
e
+
f
+
g
,
a
1
=
d
+
e
+
f
+
g
,
b
=
d
+
e
,
c
=
d
+
f
,
b
1
=
a
+
f
+
g
,
c
1
=
a
+
e
+
g
,
d
1
=
a
+
e
+
f
+
g
,
e
1
=
a
+
+
g
,
f
1
=
a
+
+
g
,
g
1
=
a
+
,
wo nunmehr die Terme rechterhand sämtlich disjunkt sind.
Wir können dann sagen,
dass von den vier Zeichen der
„
Wert- gemeinschaft
“:

,

,

, = (entsprechend
a
1
,
b
,
c
,
d
)
das erste in die drei letzten und die drei ersten in das letzte übergehen
oder ausarten
können
, wie ich dies schon
1
p. 148 bemerkte.
Die Tafeln VI
0
und VII
0
kommen dann von selbst in Wegfall, und verlohnt es, zusammenzustellen, zu was sich die Tafeln VIII
0
und IX
0
alsdann vereinfachen:
§ 37. Produkte und Summen von Grundbeziehungen.
XI
0
.
Multiplikationstabelle bei Ausschluss undeutiger Symbole
.
———,
a
1
b
=
b
=
d
+
e
,
a
1
c
=
c
=
d
+
f
,
a
1
d
=
d
,
a
1
e
=
e
,
a
1
f
=
f
,
a
1
g
=
g
,
a b
1
=
a
,
——————,
b c
=
d
,
b d
=
d
,
b e
=
e
,
b f
= 0,
b g
= 0,
a c
1
=
a
,
b
1
c
1
=
a
+
g
,
——————,
c d
=
d
,
c e
= 0,
c f
=
f
,
c g
= 0,
a d
1
=
a
,
b
1
d
1
=
b
1
=
a
+
f
+
g
,
c
1
d
1
=
c
1
=
a
+
e
+
g
,
——————,
d e
= 0,
d f
= 0,
d g
= 0,
a e
1
=
a
,
b
1
e
1
=
b
1
=
a
+
f
+
g
,
c
1
e
1
=
a
+
g
,
d
1
e
1
=
b
1
=
a
+
f
+
g
,
——————,
e f
= 0,
e g
= 0,
a f
1
=
a
,
b
1
f
1
=
a
+
g
,
c
1
f
1
=
c
1
=
a
+
e
+
g
,
d
1
f
1
=
c
1
=
a
+
e
+
g
,
e
1
f
1
=
a
+
d
+
g
,
——————,
f g
= 0,
a g
1
=
a
,
b
1
g
1
=
a
+
f
,
c
1
g
1
=
a
+
e
,
d
1
g
1
=
a
+
e
+
f
,
e
1
g
1
=
a
+
d
+
f
,
f
1
g
1
=
a
+
d
+
e
,
——————,
———,
a
1
b
1
=
f
+
g
,
a
1
c
1
=
e
+
g
,
a
1
d
1
=
e
+
f
+
g
,
a
1
e
1
=
d
+
f
+
g
,
a
1
f
1
=
d
+
e
+
g
,
a
1
g
1
=
e
+
d
+
f
,
a b
= 0,
——————,
b c
1
=
e
,
b d
1
=
e
,
b e
1
=
d
,
b f
1
=
b
=
d
+
e
,
b g
1
=
b
=
d
+
e
,
a c
= 0,
b
1
c
=
f
,
——————,
c d
1
=
f
,
c e
1
=
c
=
d
+
f
,
c f
1
=
d
,
c g
1
=
c
=
d
+
f
,
a d
= 0,
b
1
d
= 0,
c
1
d
= 0,
——————,
d e
1
=
d
,
d f
1
=
d
,
d g
1
=
d
,
a e
= 0,
b
1
e
= 0,
c
1
e
=
e
,
d
1
e
=
e
,
——————,
e f
1
=
e
,
e g
1
=
e
,
a f
= 0,
b
1
f
=
f
,
c
1
f
= 0,
d
1
f
=
f
,
e
1
f
=
f
,
——————,
f g
1
=
f
,
a g
= 0,
b
1
g
=
g
,
c
1
g
=
g
,
d
1
g
=
g
,
e
1
g
=
g
,
f
1
g
=
g
,
——————.
Schröder
, Algebra der Logik. II. 9
Achtzehnte Vorlesung.
XII
0
.
Additionstabelle bei Ausschluss undeutiger Symbole
.
——————,
a
1
+
b
=
a
1
= etc.,
a
1
+
c
=
a
1
= etc.,
a
1
+
d
=
a
1
= etc.,
a
1
+
e
=
a
1
= etc.,
a
1
+
f
=
a
1
= etc.,
a
1
+
g
=
a
1
= etc.,
a
+
b
1
=
b
1
=
a
+
f
+
g
,
——————,
b
+
c
=
d
+
e
+
f
,
b
+
d
=
b
=
d
+
e
,
b
+
e
=
b
=
d
+
e
,
b
+
f
=
d
+
e
+
f
,
b
+
g
=
d
+
e
+
g
,
a
+
c
1
=
c
1
=
a
+
e
+
g
,
b
1
+
c
1
=
d
1
= etc.,
——————,
c
+
d
=
c
=
d
+
f
,
c
+
e
=
d
+
e
+
f
,
c
+
f
=
c
=
d
+
f
,
c
+
g
=
d
+
f
+
g
,
a
+
d
1
=
d
1
= etc.,
b
1
+
d
1
=
d
1
= etc.,
c
1
+
d
1
=
d
1
= etc.,
——————,
d
+
e
=
b
=
d
+
e
,
d
+
f
=
c
=
d
+
f
,
d
+
g
=
d
+
g
,
a
+
e
1
=
e
1
= etc.,
b
1
+
e
1
=
e
1
= etc.,
c
1
+
e
1
= 1߭,
d
1
+
e
1
= 1߭,
——————,
e
+
f
=
e
+
f
,
e
+
g
=
e
+
g
,
a
+
f
1
=
f
1
= etc.,
b
1
+
f
1
= 1߭,
c
1
+
f
1
=
f
1
= etc.,
d
1
+
f
1
= 1߭,
e
1
+
f
1
= 1߭,
——————,
f
+
g
=
f
+
g
,
a
+
g
1
=
g
1
= etc.,
b
1
+
g
1
= 1߭,
c
1
+
g
1
= 1߭,
d
1
+
g
1
= 1߭,
e
1
+
g
1
= 1߭,
f
1
+
g
1
= 1߭,
——————,
——————,
a
1
+
b
1
= 1߭,
a
1
+
c
1
= 1߭,
a
1
+
d
1
= 1߭,
a
1
+
e
1
= 1߭,
a
1
+
f
1
= 1߭,
a
1
+
g
1
= 1߭,
a
+
b
=
a
+
d
+
e
,
——————,
b
+
c
1
=
f
1
= etc.,
b
+
d
1
= 1߭,
b
+
e
1
= 1߭,
b
+
f
1
=
f
1
= etc.,
b
+
g
1
=
g
1
= etc.,
a
+
c
=
a
+
d
+
f
,
b
1
+
c
=
e
1
= etc.,
——————,
c
+
d
1
= 1߭,
c
+
e
1
=
e
1
= etc.,
c
+
f
1
= 1߭,
c
+
g
1
=
g
1
= etc.,
a
+
d
=
a
+
d
,
b
1
+
d
=
e
1
= etc.,
c
1
+
d
=
f
1
= etc.,
——————,
d
+
e
1
=
e
1
= etc.,
d
+
f
1
=
f
1
= etc.,
d
+
g
1
=
g
1
= etc.
a
+
e
=
a
+
e
,
b
1
+
e
=
d
1
= etc.,
c
1
+
e
=
c
1
=
a
+
c
+
g
,
d
1
+
e
=
d
1
= etc.,
——————,
e
+
f
1
=
f
1
= etc.,
e
+
g
1
=
g
1
= etc.,
a
+
f
=
a
+
f
,
b
1
+
f
=
b
1
=
a
+
f
+
g
,
c
1
+
f
=
d
1
= etc.,
d
1
+
f
=
d
1
= etc.,
e
1
+
f
=
e
1
= etc.,
——————,
f
+
g
1
=
g
1
= etc.,
a
+
g
=
a
+
g
,
b
1
+
g
=
b
1
=
a
+
f
+
g
,
c
1
+
g
=
c
1
=
a
+
e
+
g
,
d
1
+
g
=
d
1
= etc.,
e
1
+
g
=
e
1
= etc.,
f
1
+
g
=
f
1
= etc.,
——————,
§ 38. Zuzug der negirten Gebiete.
§ 38.
Erweiterung des Beziehungskreises durch Zuzug auch der negirten Gebiete.
Es wurde schon unter Theorem 37) erwähnt, dass die Anwendung desselben, oder der Schluss von einer Subsumtion
A

B
auf die
B
1

A
1
(oder umgekehrt) genannt wird die
Konversion
—
durch Kontraposition
— des die betreffende Prämisse bildenden Subsumtionsurteils. Ebenso leistete das Theorem 32) in Gestalt des Schlusses von einer Gleichung
A
=
B
auf die
A
1
=
B
1
(oder umgekehrt) diese „Konversion durch Kontraposition“ für die umkehrbaren oder reziprokabelen Urteile.
Die man auch
konvertible
nennen könnte — „konvertibel“ jedoch in andrem Sinne, nämlich mittelst einfacher Umkehrung der „conversio
simplex
“. In Bezug auf die Umkehrung mittelst „Kontraposition“ würden
alle
Urteile als konvertible zu bezeichnen sein.
Dies verallgemeinernd wollen wir nunmehr aus einer Beziehung irgend welcher Art zwischen irgend zweien der vier Gebiete
A
,
B
,
A
1
,
B
1
auf jede damit äquivalente Beziehung zwischen wiederum zweien von diesen Gebieten schliessen lernen.
Zu dem Ende ziehen wir ausser den sämtlichen in § 34 einge- führten Beziehungen zwischen den Gebieten
A
und
B
selber auch noch diejenigen in Betracht, welche aus jenen hervorgehen, wenn man
B
oder
A
, oder beide Gebiete durch ihre Negationen
B
1
resp.
A
1
ersetzt.
Um zunächst diese zahlreichen Beziehungen als Aussagen syste- matisch, übersichtlich und mnemonisch zu bezeichnen, lassen wir die in § 34 den Symbolen
a
1
01
,
a
1
10
und
a
1
11
untergelegte Bedeutung oder gegebene Auslegung fallen und verwenden die Exponenten 01, 10 und 11 in einem neuen (bei
a
1
hiervon abweichenden) Sinne; wir machen uns also unabhängig von gewissen in § 34 vorübergehend stipulirten, zu einem Teil aber inzwischen schon überflüssig gewordenen, ohnehin antiquirten Bezeichnungen.
Es werde fortan unter
a
1
01
verstanden die Aussage
a
1
, wenn darin
A
belassen, aber
B
durch
B
1
ersetzt wird,
unter
a
1
10
die Aussage
a
1
, wenn umgekehrt darin
A
durch
A
1
er- setzt,
B
belassen wird,
mit
a
1
11
werde die Aussage
a
1
bezeichnet, wenn darin
A
durch
A
1
und zugleich auch
B
durch
B
1
ersetzt wird.
Analog werde jetzt
b
01
,
b
10
und
b
11
erklärt als die Aussage
b
, nachdem in dieser bezüglich
B
durch
B
1
, oder
A
durch
A
1
, oder
B
nebst
A
durch
B
1
und
A
1
ersetzt sind, und finde
c
01
,
c
10
,
c
11
und so weiter bis
g
01
,
g
10
und
g
11
(mit letzterem zugleich auch
α
01
,
α
10
, und
α
11
) und dann noch weiter
β
01
, … bis
δ
11
die entsprechende Erklärung.
9*
Achtzehnte Vorlesung.
Nach II
0
haben wir also die Bedeutungen:
a
1
01
= {
A

B
1
},
a
1
10
= {
A
1

B
},
a
1
11
= {
A
1

B
1
},
a
01
= {
A

B
1
},
a
10
= {
A
1

B
},
a
11
= {
A
1

B
1
},
b
01
= {
A

B
1
},
b
10
= {
A
1

B
},
b
11
= {
A
1

B
1
}, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δ
01
= {
A
≗
B
1
},
δ
10
= {
A
1
≗
B
},
δ
11
{
A
1
≗
B
}.
Diese Aussagen werden zum Teil auf frühere zurückkommen und liefern uns dann Regeln der „Konversion“ im eigentlichen Sinne.
Zunächst sollen diese sämtlichen Aussagen nach den 5 Elementar- fällen entwickelt, über die 5 Fächer verteilt werden.
Dazu bedürfen wir ausser den beiden
h
,
k
noch dreier weitern Hülfsaussagen mit ihren Negationen, nämlich der folgenden:
m
= {
A
1
= 0} = {
A
= 1},
m
1
= {
A
1
≠ 0} = {
A
≠ 1},
n
= {
B
1
= 0} = {
B
= 1},
n
1
= {
B
1
≠ 0} = {
B
≠ 1},
l
= {
A
1
B
1
= 0},
l
1
= {
A
1
B
1
≠ 0}.
Für die Aussage
m
brauchte man freilich kein neues Zeichen; man könnte sie wegen
m
=
h
10
=
h
11
(sintemal für eine
B
nicht enthaltende Aussage es einerlei, ob man
B
durch
B
1
ersetzt, oder nicht) konsequenter- weise durch eines dieser beiden letzteren Symbole darstellen, während
h
01
=
h
bedeuten würde, und ebenso könnte ja
n
=
k
10
=
k
11
genannt werden, während
k
01
=
k
bleibt. Endlich ist ersichtlichermassen laut Defi- nition
l
einerlei mit
a
11
.
Allein für Hülfssymbole, die nicht nur als linke Seite von Aussagen- äquivalenzen anzusetzen sind, sondern auch rechterhand in komplizirtere Aus-
Fig. 21.
Fall l
, wo
A
1
B
1
= 0.
drücke wiederholt eingehen werden, erscheinen uns diese systematisch ge- wählten Zeichen als zu schwerfällig und ziehen wir vor, jene vorstehend eingeführten einfacheren Namen dafür zu gebrauchen.
Nach Th. 34
+
) ist: 1 =
A B
+
A B
1
+
A
1
B
+
A
1
B
1
. Bezüglich der drei ersten von den vier rechts zusammengefassten Termen kommt das Verschwinden immer auf eine unsrer früher betrachteten Beziehungen
§ 38. Erweiterung des Beziehungskreises.
hinaus, indem {
A B
= 0} =
a
, {
A B
1
= 0} =
c
, {
A
1
B
= 0} =
b
ist. Nunmehr haben wir aber in Gestalt von
l
auch ein Symbol, um aus- zudrücken, dass auch der vierte und letzte Term verschwinde, oder verschwinden solle.
Diesen Fall, der in der That Interesse beansprucht, versinnlicht die Figur 21, in welcher
A
den (vertikal schraffirten) Aussenkreis von
A
1
,
B
den (horizontal schraffirten) Aussenkreis von
B
1
bedeutet.
In unserm früheren engeren Sinne des Wortes „Beziehung“ stellt dieser Fall nur eine Beziehung zwischen
A
1
und
B
1
vor, im weiteren Sinne können wir ihn auch als eine Beziehung zwischen
A
und
B
hinstellen.
Für die
Grund-
und obigen Hülfsbeziehungen gibt die Lösung der gestellten Aufgabe im Überblick die Tafel: XIII
0
.
Zerfällung der hinzugekommenen Grundbeziehungen
.
m
=
m k
+
m β
+
m n δ
,
m
1
=
m
1
a
+
α
+
m
1
β
+
γ
+
m
1
n
1
δ
,
n
=
n h
+
n γ
+
m n δ
,
n
1
=
n
1
a
+
α
+
β
+
n
1
γ
+
m
1
n
1
δ
,
l
=
a
11
=
b
01
=
c
10
=
l a
+
l α
+
m β
+
n γ
+
m n δ
,
l
1
=
a
1
11
=
b
1
01
=
c
1
10
=
l
1
a
+
l
1
α
+
m
1
β
+
n
1
γ
+
m
1
n
1
δ
;
a
1
01
=
b
1
11
=
c
1
,
a
01
=
b
11
=
c
,
a
1
10
=
c
1
11
=
b
1
,
a
10
=
c
11
=
b
;
b
10
=
c
01
=
a
,
b
1
10
=
c
1
01
=
a
1
;
d
01
=
d
10
=
l a
,
d
1
01
=
d
1
10
=
l
1
a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
,
d
11
=
d
,
d
1
11
=
d
1
;
e
01
=
f
10
=
l α
+
m β
+
n γ
+
m n δ
,
e
1
01
=
f
1
10
=
a
+
l
1
α
+
m
1
β
+
n
1
γ
+
m
1
n
1
δ e
10
=
f
01
=
l
1
a
,
e
1
10
=
f
1
01
=
l a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
,
e
11
=
f
,
e
1
11
=
f
1
,
f
11
=
e
,
f
1
11
=
e
1
;
g
01
=
α
01
=
l
1
α
+
m
1
β
,
g
1
01
=
α
1
01
=
a
+
l α
+
m β
+
γ
+
δ
,
g
10
=
α
10
=
l
1
α
+
n
1
γ
,
g
1
10
=
α
1
10
=
a
+
l α
+
β
+
n γ
+
δ
,
g
11
=
α
11
=
h
1
k
1
l
1
a
+
l
1
α
,
g
1
11
=
α
1
11
= (
h
+
k
+
l a
) +
l α
+
β
+
γ
+
δ
— worin bei denjenigen Zerfällungen, die auf solche der Tafel III
0
zurückkommen, dieselben nicht wiederholt angegeben sind, sondern durch die rechte Seite der Aussagenäquivalenz nur einfach auf diese Tafel zurückverwiesen ist. Hiezu ist anzufügen die Tafel für die
XIV
0
.
Zerfällung der noch hinzukommenden Elementarbeziehungen
.
β
01
=
l α
+
m β
,
β
1
01
=
a
+
l
1
α
+
m
1
β
+
γ
+
δ
,
β
10
=
k
1
l
1
a
,
β
1
10
= (
k
+
l a
) +
α
+
β
+
γ
+
δ
,
β
11
=
h k
1
n
1
+
n
1
γ
,
β
1
11
= (
k
+
h n
+
h
1
a
) +
α
+
β
+
n γ
+
δ
;
Achtzehnte Vorlesung.
γ
01
=
h
1
l
1
a
,
γ
1
01
= (
h
+
l a
) +
α
+
β
+
γ
+
δ
,
γ
10
=
l α
+
n γ
,
γ
1
10
=
a
+
l
1
α
+
β
+
n
1
γ
+
δ
,
γ
11
=
h
1
k m
1
+
m
1
β
,
γ
1
11
= (
h
+
k m
+
k
1
a
) +
α
+
m β
+
γ
+
δ
:
δ
01
=
h
1
l a
,
δ
1
01
= (
h
+
l
1
a
) +
α
+
β
+
γ
+
δ
,
δ
10
=
k
1
l a
,
δ
1
10
= (
k
+
l
1
a
) +
α
+
β
+
γ
+
δ
,
δ
11
=
h k
+
m
1
n
1
δ
,
δ
1
11
= (
h
1
+
k
1
)
a
+
α
+
β
+
γ
+
m n δ
.
Zu diesen Tafeln verdient noch angemerkt zu werden, dass die wiederholt als Term in ihnen auftretende Aussage
la bedeutet
,
dass die Gebiete A und B Negationen von einander sind
. Nach Th. 24
+
) und 39
+
) haben wir nämlich in der That:
l a
= {
A B
= 0} {
A
1
B
1
= 0} = {
A B
+
A
1
B
1
= 0} = {
A
=
B
1
} = {
B
=
A
1
}.
Der
Beweis
ihrer Formeln — soweit (unter XIII
0
) die Aussagen linkerhand nicht unmittelbar auf solche der Tafel III
0
ohnehin zurück- kommen — kann geleistet werden
erstens
selbständig, nach dem Schema:
x
=
x a
+
x α
+
x β
+
x γ
+
x δ
— wo also
x
die Aussage linkerhand in irgend einer zu beweisenden Formel vorstellt — indem man eine Reihe von Hülfssätzen dazu auf- stellt, die sich analog wie die in § 35 beweisen lassen.
Als solche seien namhaft gemacht:
XV
0
.
Hülfssätze
.
m

b
,
oder
m b
1
= 0,
m b
=
m
,
m
1
b
1
=
b
1
,
n

c
,
n c
1
= 0,
n c
=
n
,
n
1
c
1
=
c
1
,
m

l
,
m l
1
= 0,
m l
=
m
,
m
1
l
1
=
l
1
,
n

l
,
n l
1
= 0,
n l
=
n
,
n
1
l
1
=
l
1
;
d m

n
,
oder
d m n
1
= 0,
d m n
=
d m
,
d m
1
n
1
=
d n
1
,
d
1
m n
1
=
m n
1
,
d n

m
,
d m
1
n
= 0,
d m n
=
d n
,
d m
1
n
1
=
d m
1
,
d
1
m
1
n
=
m
1
n
,
m n

d
,
d
1
m n
= 0,
d m n
=
m n
,
d
1
m n
1
=
d
1
m
,
d
1
m
1
n
=
d
1
n
,
namentlich also:
m n
=
d m
=
d n
=
d m n
,
d m
1
=
d n
1
=
d m
1
n
1
. Sonach auch:
m f
= 0
oder
m f
1
=
m
,
m
1
f
=
f
;
desgl.
n e
= 0,
n e
1
=
n
,
n
1
e
=
e
;
m γ
= 0,
m γ
1
=
m
,
m
1
γ
=
γ
;
n β
= 0,
n β
1
=
n
,
n
1
β
=
β
;
§ 38. Erweiterter Beziehungskreis.
m n
1
δ
= 0,
m
1
n δ
= 0,
m n δ
1
= 0, also wie oben:
m n
=
m δ
=
n δ
=
m n δ
,
m
1
δ
=
n
1
δ
=
m
1
n
1
δ
. Ferner:
m g
=
m α
= 0,
m
1
α
=
α
;
n g
=
n α
= 0,
n
1
α
=
α
;
h m
= 0,
h m
1
=
h
,
h
1
m
=
m
;
k n
= 0,
k n
1
=
k
,
k
1
n
=
n
;
m a
=
k l
=
k m
,
k l
1
=
k m
1
;
n a
=
h l
=
h n
,
h l
1
=
h n
1
;
l b
=
m
,
l c
=
n
,
l d
=
m n
;
l β
=
m β
,
l γ
=
n γ
,
l δ
=
m n δ
;
h k l
= 0,
h k l
1
=
h k
,
h k
1
l
=
h l
=
h n
,
h
1
k l
=
k l
=
k m
;
m
1
k
1
a
=
k
1
a
,
n
1
h
1
a
=
h
1
a
,
m n a
= 0.
Von diesen werden wir einige (der das Symbol
l
enthaltenden) auch später noch gebrauchen, und reichen dieselben jedenfalls zum Beweise des ersten Teils der Tafel XIII
0
aus. Im übrigen möge die Formeln in dieser Weise zu begründen als eine Fundgrube von Übungsaufgaben dem Studirenden empfohlen sein.
Zweitens
kann man aber auch sich begnügen, die Formeln unsrer Tafeln blos durch Rechnung zu verifiziren auf eine Weise, die wir im nächsten Paragraphen auseinandersetzen und die als das
aller- bequemste
Mittel erscheint, sich der Berechtigung zu ihrem Gebrauche zu versichern. Das Verfahren erscheint zwar auf den ersten Blick als weniger heuristisch, doch würden im Anschluss an dasselbe sich auch Wege zeigen lassen, die Formeln systematisch durch Rechnung zu entdecken.
Sieht man bei Tafel XIII
0
von den Zerfällungen in die 5 Fächer ab, so bleiben doch noch gewisse Aussagenäquivalenzen daselbst stehen, und diese lösen das eingangs statuirte Problem, die „Konversion mittelst Kontra- position“ der bisherigen Beziehungen zu leisten, soweit eine solche zulässig erscheint. Das Wesentlichste von diesen Sätzen haben wir bereits im § 36 unter Tafel V
0
zusammengestellt. Sie geben zugleich im Kreise der bis- herigen Beziehungen die aus einer gegebenen Relation ziehbaren
„unmittel- baren Folgerungen“
an, soweit diese Folgerungen sich auch umkehren lassen.
Zufolge der Berücksichtigung auch von
A
1
,
B
1
neben
A
,
B
sind zu den alten Grund-, Hülfs- und Elementarbeziehungen im gegen- wärtigen Paragraphen noch fernere Beziehungen hinzugekommen. Alle zusammen wollen wir „
urwüchsige Umfangsbeziehungen
“ schlechtweg nennen (im Hinblick auf ihre Interpretirbarkeit für die Logik der Begriffsumfänge), und zwar „urwüchsige“ im Gegensatz zu den später noch in’s Auge zu fassenden „abgeleiteten“ Umfangsbeziehungen. Jene werden also entweder Grund- oder Elementarbeziehungen sein, sei es zwischen
A
und
B
, sei es zwischen
A
und
B
1
, oder zwischen
Achtzehnte Vorlesung.
A
1
und
B
, oder zwischen
A
1
und
B
1
— oder aber sie werden als die „Hülfsbeziehungen“ das Verschwinden resp. Nichtverschwinden von nur einem der Gebiete
A
,
B
selbst oder von seiner Negation aus- drücken.
§ 39.
Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt und ihre Darstellung durch vier primitive (De
Morgan’
s). Die möglichen Aussagen. über n Klassen und
Peano’
s Anzahl derselben.
Am bequemsten
wird man sämtliche Umfangsbeziehungen aus- drücken durch die vier folgenden, welche „
primitive
Beziehungen“ heissen mögen: XVI
0
.
a
= {
A B
= 0},
c
= {
A B
1
= 0},
b
= {
A
1
B
= 0},
l
= {
A
1
B
1
= 0}, und deren Negationen:
a
1
= {
A B
≠ 0},
c
1
= {
A B
1
≠ 0},
b
1
= {
A
1
B
≠ 0},
l
1
= {
A
1
B
1
≠ 0}.
Für die Grund- und Elementarbeziehungen ist dies bereits in § 36, Tafel IV
0
wesentlich geleistet, und erhalten wir aus den dortigen Formeln — durch Einsetzung der für die rechterhand stehenden Aus- sagen geltenden Symbole — unmittelbar den Anfang der nächst- folgenden Tafel, sofern wir nur eines berücksichtigen und zwar dieses:
Nach Th. 24
+
) ist:
(
A B
1
+
A
1
B
= 0) = (
A B
1
= 0) (
A
1
B
= 0)
und wie hieraus durch beiderseitiges Negiren (Kontraposition) folgt auch:
(
A B
1
+
A
1
B
≠ 0) = (
A B
1
≠ 0) + (
A
1
B
≠ 0). —
Ebenso ist aber auch ferner:
h
= (
A
= 0) = (
A B
+
A B
1
= 0) = (
A B
= 0) (
A B
1
= 0)
und analog:
k
= (
B
= 0) = (
A B
+
A
1
B
= 0) = (
A B
= 0) (
A
1
B
= 0).
Sonach werden auch die Hülfsrelationen — zunächst
h
,
k
— sich in Faktoren der obigen vier Formen zerspalten lassen.
Die Fortsetzung der Tafel ergibt sich leicht, wenn man hierin, sowie in IV
0
,
B
durch
B
1
oder (resp. und)
A
durch
A
1
ersetzt und dann wieder rechterhand für die Aussagen selbst die zur Abkürzung für sie eingeführten Symbole schreibt.
§ 39. Die Umfangsbeziehungen durch die 4
De Morgan’
s ausgedrückt.
XVII
0
.
Tafel für die Darstellung sämtlicher bisherigen Um- fangsbeziehungen zwischen Gebieten
A
,
B
,
A
1
,
B
1
durch die vier primitiven Beziehungen
.
XVII
a
0
.
Die auxiliären Relationen
.
h
=
a c
,
h
1
=
a
1
+
c
1
,
k
=
a b
,
k
1
=
a
1
+
b
1
,
l
=
l
,
l
1
=
l
1
,
m
=
b l
,
m
1
=
b
1
+
l
1
,
n
=
c l
,
n
1
=
c
1
+
l
1
.
XVII
b
0
.
Grund- und Elementarbeziehungen für
A
,
B
:
a
=
a
,
a
1
=
a
1
,
b
=
b
,
b
1
=
b
1
,
c
=
c
,
c
1
=
c
1
,
d
=
d
11
=
b c
,
d
1
=
d
1
11
=
b
1
+
c
1
,
e
=
f
11
=
b c
1
,
e
1
=
f
1
11
=
b
1
+
c
,
f
=
e
11
=
b
1
c
,
f
1
=
e
1
11
=
b
+
c
1
,
g
=
α
=
a
1
b
1
c
1
,
g
1
=
α
1
=
a
+
b
+
c
,
β
=
a
1
b c
1
,
β
1
=
a
+
b
1
+
c
,
γ
=
a
1
b
1
c
,
γ
1
=
a
+
b
+
c
1
,
δ
=
a
1
b c
,
δ
1
=
a
+
b
1
+
c
1
.
XVII
c
0
.
Desgleichen mit Hinzuziehung von
A
1
,
B
1
:
a
1
11
=
b
1
01
=
c
1
10
=
l
1
,
a
11
=
b
01
=
c
10
=
l
,
a
1
01
=
b
1
11
=
c
1
,
a
01
=
b
11
=
c
,
a
1
10
=
c
1
11
=
b
1
,
a
10
=
c
11
=
b
,
b
1
10
=
c
01
=
a
,
b
1
10
=
c
1
01
=
a
1
,
d
01
=
d
10
=
a l
,
d
1
01
=
d
1
10
=
a
1
+
l
1
,
e
01
=
f
10
=
a
1
l
,
e
1
01
=
f
1
10
=
a
+
l
1
,
e
10
=
f
01
=
a l
1
,
e
1
10
=
f
1
01
=
a
1
+
l
,
g
01
=
α
01
=
a
1
c
1
l
1
,
g
1
01
=
α
1
01
=
a
+
c
+
l
,
g
10
=
α
10
=
a
1
b
1
l
1
,
g
1
10
=
α
1
10
=
a
+
b
+
l
,
g
11
=
α
11
=
b
1
c
1
l
1
,
g
1
11
=
α
1
11
=
b
+
c
+
l
,
β
01
=
a
1
c
1
l
,
β
1
01
=
a
+
c
+
l
1
,
β
10
=
a b
1
l
1
,
β
1
10
=
a
1
+
b
+
l
,
β
11
=
b
1
c l
1
,
β
1
11
=
b
+
c
1
+
l
,
γ
01
=
a c
1
l
1
,
γ
1
01
=
a
1
+
c
+
l
,
γ
10
=
a
1
b
1
l
,
γ
1
10
=
a
+
b
+
l
1
,
γ
11
=
b c
1
l
1
,
γ
1
11
=
b
1
+
c
+
l
,
δ
01
=
a c
1
l
,
δ
1
01
=
a
1
+
c
+
l
1
,
δ
10
=
a b
1
l
,
δ
1
10
=
a
1
+
b
+
l
1
,
δ
11
=
b c l
1
,
δ
1
11
=
b
1
+
c
1
+
l
.
Zwischen den vier primitiven Aussagen
a
,
c
,
b
,
l
selbst besteht übrigens eine Relation, nämlich diese:
a
1
+
c
1
+
b
1
+
l
1
= 1߭, also auch
a b c l
= 0
zufolge des Theorems 34
+
) und 3̅2̅).
In der letzteren Fassung unsrer Relation als einer „Inkonsistenz“
Achtzehnte Vorlesung.
lässt dieselbe in der That sich indirekt, durch „reductio ad absurdum“ beweisen:
Gälte nämlich zugleich:
(
A B
= 0) (
A B
1
= 0) (
A
1
B
= 0) (
A
1
B
1
= 0)
so hätten wir:
A B
+
A B
1
+
A
1
B
+
A
1
B
1
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
und führte das Th. 34
+
) auf die Absurdität:
0 = 1.
Mit Hülfe der Ausdrücke in den Tafeln XVII
0
, die an Einfachheit nichts zu wünschen übrig lassen, können nun sämtliche Formeln der gegenwärtigen und der vorigen Vorlesung auf das leichteste verifizirt werden und laufen sie durchweg auf analytische Identitäten, wo nicht auf die Relation
a c b l
= 0, hinaus. Auch stehen mancherlei Kontrolen zur Verfügung, indem man z. B. die angegebene Negation einer Rela- tion aus dieser selbst ableiten oder auch direkt verifiziren kann. Etc.
Erinnert man sich der
vier
Urteilsformen der Wortsprache, so fällt der Umstand auf, dass es wieder
vier
Urteilsformen waren — — zusammen mit ihren Negationen aber
acht
Formen — durch welche alle Umfangsbeziehungen sich so ungezwungen darstellen liessen. Diese aber sind mit jenen nur zur Hälfte identisch.
Von den Buchstaben
a
,
e
,
i
,
o
haben wir von § 33 ab die beiden
a
und
e
in einem Sinne gebraucht, der zu dem herkömmlichen dort- selbst angegebenen in keiner Beziehung stand, vielmehr von demselben wesentlich abwich. Nimmt man die Buchstaben wieder im früheren in § 33 erläuterten Sinne, so sollen (zur Unterscheidung von der teil- weise ihnen später beigelegten Bedeutung) dieselben nun in Gestalt von
â
,
ê
,
î
,
ô
mit einem Circumflexe versehen werden.
Es zeigt sich, dass
â
=
c
= (
A B
1
= 0),
ê
=
a
= (
A B
= 0),
î
=
a
1
= (
A B
≠ 0),
ô
=
c
1
= (
A B
1
≠ 0). —
Jene acht Urteilsformen decken sich nicht ganz mit den sogenannten „acht Propositionen“
De Morgan’
s in deren gewöhnlichem Sinne, insofern
De Morgan
, wenn er von „alle
A
“ spricht, das Verschwinden dieser Sub- jektklasse auszuschliessen pflegt, sich also auf eine Mannigfaltigkeit bezieht, welche das Nichts nicht adjungirt hat, und indem er ferner „einige
A
“
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
als im Gegensatz zu „alle
A
“ stehend aufgefasst wissen will. Diese Unter- schiede sind keineswegs belanglos, vielmehr von tiefeinschneidender Wirkung. Formell aber fallen die einen und die andern Urteilsformen zusammen. Auch konnte
De Morgan
selbst nicht umhin, sie in unserm Sinne zu nehmen, da wo er von denselben unter dem von ihm so genannten „ony- matischen“ Gesichtspunkt spricht, unter welchem das Urteil sein soll die Behauptung oder Verneinung der Verbundenheit (Concomitanz) zweier Namen, sonach
A B
≠ 0 bedeutete: die Namen
A
und
B
haben eine (und
A B
= 0: sie haben keine) gemeinsame Anwendung. Vergl. Syllabus
3
, p. 112 und
8
.
Ich will die vier primitiven Aussagen XVI
0
samt ihren Negationen kurz „die acht
De Morgan’
schen Propositionen“ nennen. Aus ihnen müssen alle denkbaren Urteile über die Klassen
A
und
B
sich zu- sammensetzen lassen.
Der Frage,
wie vielerlei und welche von einander verschiedenen Aus- sagen sich über zwei bestimmte Gebiete
(
A
und
B
) in unsrer Zeichen- sprache
überhaupt abgeben lassen
, sollen die weiteren Betrachtungen gewidmet sein. Als „verschieden“ haben nur solche Aussagen zu gelten, die nicht denknotwendig einander äquivalent sind, also auch für mindestens einen der 5 Elementarfälle verschiedenes statuiren.
Zunächst ist es leicht sich über die möglichen Kombinationen zu orientiren, in welchen die 8
De Morgan’
schen Propositionen
als simul- tane
ausgesprochen werden können.
Es sind 28 „Amben“, nämlich
Kombinationen (ohne Wieder- holung) zu zweien möglich. Nach Abrechnung der vier inkompatiblen
a a
1
,
c e
1
,
b b
1
,
l l
1
bleiben 24. Von diesen erweisen sich unter den als „urwüchsige“ aufgezählten Umfangsbeziehungen vertreten folgende zehn:
a c
=
h
a b
=
k
a l
=
d
01
=
d
10
c b
=
d
c l
=
n
b l
=
m
a l
1
=
e
10
=
f
01
c b
1
=
f
a
1
l
=
e
01
=
f
10
c
1
b
=
e
Nicht vertreten sind die vierzehn:
x
)
a c
1
a b
1
c l
1
b l
1
a
1
c
a
1
b
c
1
l
b
1
l
a
1
c
1
a
1
b
1
a
1
l
1
c
1
b
1
c
1
l
1
b
1
l
1
welche wir so aufgestellt haben, dass sie sich mit den darüber stehenden ohne weiteres zu dem vollständigen Tableau der (leidlich) geordneten Binionen oder Amben zusammenschieben liessen.
Achtzehnte Vorlesung.
Zu dreien könnte man die 8 Propositionen auf
= 56 Arten ohne Wiederholungen kombiniren. Davon fallen aber als in- kompatibel, unzulässig fort die 4 × 6 = 24, in welchen ein Faktor mit seiner Negation zusammentrifft (wie
a a
1
verbunden mit
c
,
b
,
l
,
c
1
,
b
1
oder
l
1
; etc.).
Von den 32 hienach noch zugelassenen Ternionen oder „Ternen“ ist unter unsern urwüchsigen Umfangsbeziehungen schon aufgezählt gerade die Hälfte, nämlich die 16 folgenden:
a
1
c b
=
δ
a c
1
l
=
δ
01
a b
1
l
=
δ
10
c b l
1
=
δ
11
a
1
c b
1
=
γ
a c
1
l
1
=
γ
01
a b
1
l
1
=
β
10
c b
1
l
1
=
β
11
a
1
c
1
b
=
β
a
1
c
1
l
=
β
01
a
1
b
1
l
=
γ
10
c
1
b l
1
=
γ
11
a
1
c
1
b
1
=
g
=
α
a
1
c
1
l
1
=
g
01
=
α
01
a
1
b
1
l
1
=
g
10
=
α
10
c
1
b
1
l
1
=
g
11
=
α
11
.
Nicht aufgenommen erscheinen die andern 16:
y
)
a c b
a c l
a b l
c b l
a c b
1
a c l
1
a b l
1
c b
1
l
a c
1
b
a
1
c l
a
1
b l
c
1
b l
a c
1
b
1
a
1
c l
1
a
1
b l
1
c
1
b
1
l
.
Von den
= 70 möglichen Quaternen könnte man wieder diejenigen in Abrechnung zu bringen suchen, welche (weil sie ein- oder zweimal ein Symbol samt seiner Negation zum Faktor haben) als inkonsistente verschwinden. Bequemer lässt sich aber die Zahl und Beschaffenheit der zulässigen Quaternen direkt ermitteln.
Man sieht, dass in einer solchen die vier Faktoren verschiedene Buchstaben sein müssen. Denn käme in einer Quaterne ein Buchstabe zweimal als Faktor vor, so könnte das, da eine tautologische Wieder- holung ausgeschlossen ist, nur einmal mit und einmal ohne Negations- strich sein, die Quaterne müsste also verschwinden. Jenachdem nun in
a c b l
der erste, zweite, dritte oder vierte Faktor ohne oder mit Negationsstrich steht, werden wir also 2 × 2 × 2 × 2 = 2
4
= 16 möglicherweise zulässige Quaternen erhalten.
Von diesen war aber die eine:
a c b l
, welche = 0, als Inkonsistenz zu verwerfen. Und mit Rücksicht auf letztere kommen von den 15 übrigen Quaternen noch die folgenden viere auf (schon angeführte) Ternen zurück:
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
a c b l
1
=
a c b
,
a c b
1
l
=
a c l
,
a c
1
b l
=
a b l
,
a
1
c b l
=
c b l
,
wie man leicht nach dem Vorbild:
a
1
c b l
= 0 +
a
1
c b l
=
a c b l
+
a
1
c b l
= (
a
+
a
1
)
c b l
= 1߭ ·
c b l
=
c b l
auch für die übrigen beweist.
Demnach fallen nur noch in Betracht die 11 Quaternen:
z
)
a c b
1
l
1
a
1
c b
1
l
1
a c
1
b l
1
a
1
c b l
1
a
1
c
1
b l
1
a c
1
b
1
l
a
1
c b
1
l
a
1
c
1
b
1
l
a c
1
b
1
l
1
a
1
c
1
b l
a
1
c
1
b
1
l
1
.
Mehr
wie vier Faktoren, entnommen aus der Gruppe der acht primitiven Propositionen:
a
,
c
,
b
,
l
,
a
1
,
c
1
,
b
1
,
l
1
, können nicht zu einem Produkt zusammengefasst werden, ohne dass sich einer von den vier Buchstaben zweimal vertreten findet, infolge welchen Umstandes aber, wie vorhin ausgeführt, das Produkt dann verschwinden müsste.
Wir haben also die möglichen
Produkte
von
De Morgan’
schen Propositionen mit Vorstehendem erschöpft.
Unter
x
),
y
) und
z
) ergaben sich 14 + 16 + 11 = 41 neue Pro- positionen, die wir als „
abgeleitete
Beziehungen“ zu bezeichnen haben werden. Sind diese nun aber auch wirklich zulässig, und sind sie sämtlich unter sich und von den früheren verschieden?
Auf diese Fragen erlangen wir Antwort, indem wir zuvörderst die hinzugekommenen Produkte sämtlich in die 5 Elementarfächer zerfällen. Zu dem Ende braucht man nur die Tafel zu benutzen, welche gewisse Teile aus den Tafeln III
0
und XIII
0
hervorhebend zusammenfasst:
XVIII
0
.
Zerfällung der Unionen von De Morgan’s Propositionen
.
a
=
a
,
c
=
h
+
γ
+
δ
,
b
=
k
+
β
+
δ
,
l
=
l a
+
l a
+
m β
+
n γ
+
m n δ
,
a
1
=
α
+
β
+
γ
+
δ
,
c
1
=
h
1
a
+
α
+
β
,
b
1
=
k
1
a
+
α
+
γ
,
l
1
=
l
1
a
+
l
1
a
+
m
1
β
+
n
1
γ
+
m
1
n
1
δ
. [Man beachte hiezu, dass
h
, =
h a
, und
k
, =
k a
, in das Fach
a
fallen, und dass:
1߭ =
a
+
α
+
β
+
γ
+
δ
.]
Die Anwendung dieser Tafeln wird eine blosse Multiplikationsübung sein, erleichtert durch den Prozess des Übereinanderschiebens.
Achtzehnte Vorlesung.
Mit der sich hiernach ergebenden Zerfällung der neu hinzuge- kommenen oder „zusammengesetzten“ Aussagen wollen wir aber so- gleich auch diejenige der bisherigen „ursprünglichen“ Aussagen (soweit sie multiplikative Kombinationen von
De Morgan’
schen Propositionen sind) rekapitulirend in übersichtlicher Zusammenstellung verbinden, da man letztere sonst aus verschiedenen Tafeln erst mühsam zusammen- suchen müsste.
Wir haben dann die Tafeln:
XIX
0
.
Zerfällung der Binionen De Morgan’
scher
Propositionen
.
a c
=
h
a b
=
k
a l
=
l a
c b
=
h k
+
δ
a c
1
=
h
1
a
a b
1
=
k
1
a
a l
1
=
l
1
a
c b
1
=
h k
1
+
γ
a
1
c
=
γ
+
δ
a
1
b
=
β
+
δ
a
1
l
=
l a
+
m β
+
n γ
+
m n δ
c
1
b
=
h
1
k
+
β
a
1
c
1
=
α
+
β
a
1
b
1
=
α
+
γ
a
1
l
1
=
l
1
α
+
m
1
β
+
n
1
γ
+
m
1
n
1
δ
c
1
b
1
=
h
1
k
1
a
+
α
c l
=
h n
+
n γ
+
m n δ
b l
=
k m
+
m β
+
m n δ
c l
1
=
h n
1
+
n
1
γ
+
m
1
n
1
δ
b l
1
=
k m
1
+
m
1
β
+
m
1
n
1
δ
c
1
l
=
h
1
l a
+
l α
+
m β
b
1
l
=
k
1
l a
+
l α
+
n γ
c
1
l
1
=
h
1
l
1
a
+
l
1
α
+
m
1
β
b
1
l
1
=
k
1
l
1
a
+
l
1
α
+
n
1
γ
XX
0
.
Zerfällung der Ternionen von De Morgan’s Propositionen
.
a
1
c b
=
δ
a c
1
l
=
h
1
l a
a b
1
l
=
k
1
l a
c b l
1
=
h k
+
m
1
n
1
δ
a
1
c b
1
=
γ
a c
1
l
1
=
h
1
l
1
a
a b
1
l
1
=
k
1
l
1
a
c b
1
l
1
=
h k
1
n
1
+
n
1
γ
a
1
c
1
b
=
β
a
1
c
1
l
=
l α
+
m β
a
1
b
1
l
=
l α
+
n γ
c
1
b l
1
=
h
1
k m
1
+
m
1
β
a
1
c
1
b
1
=
α
a
1
c
1
l
1
=
l
1
α
+
m
1
β
a
1
b
1
l
1
=
l
1
α
+
n
1
γ
c
1
b
1
l
1
=
h
1
k
1
l
1
a
+
l
1
α
a c b
=
h k
a c l
=
h n
a b l
=
k m
c b l
=
m n δ
a c b
1
=
h k
1
a c l
1
=
h n
1
a b l
1
=
k m
1
c b
1
l
=
h n
+
n γ
a c
1
b
=
h
1
k
a
1
c l
=
n γ
+
m n δ
a
1
b l
=
m β
+
m n δ
c
1
b l
=
k m
+
m β
a c
1
b
1
=
h
1
k
1
a
a
1
c l
1
=
n
1
γ
+
m
1
n
1
δ
a
1
b l
1
=
m
1
β
+
m
1
n
1
δ
c
1
b
1
l
=
h
1
k
1
l a
+
l α
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
XXI
0
.
Zerfällung der Quaternionen von De Morgan’s Propositionen
.
a c b
1
l
1
=
h k
1
n
1
a
1
c b
1
l
1
=
n
1
γ
a c
1
b l
1
=
h
1
k m
1
a
1
c b l
1
=
m
1
n
1
δ
a
1
c
1
b l
1
=
m
1
β
a c
1
b
1
l
=
h
1
k
1
l a
a
1
c b
1
l
=
n γ
a
1
c
1
b
1
l
=
l α
a c
1
b
1
l
1
=
h
1
k
1
l
1
a
a
1
c
1
b l
=
m β
a
1
c
1
b
1
l
1
=
l
1
α
[wozu
a c b l
= 0
und
a c b l
1
=
a c b
,
a c b
1
l
=
a c l
,
a c
1
b l
=
a b l
,
a
1
c b l
=
c b l
in Erinnerung gerufen werde.]
Bei der Aufstellung haben wir auch gelegentlich Gebrauch gemacht von den Hülfssätzen XV
0
:
h l
=
h n
,
k l
=
k m
,
h l
1
=
h n
1
,
k l
1
=
k m
1
,
h
1
m
=
m
,
k
1
n
=
n
,
h k l
1
=
h k
, wonach insbesondre:
h
1
k l
=
h
1
k m
=
k m
und
h k
1
l
=
h k
1
n
=
h n
gesetzt werden durfte. —
Man sieht, dass die vier Elementarfälle
α
,
β
,
γ
,
δ
sich als ternäre Aussagen darstellen.
Vermittelst der acht primitiven Propositionen können also über zwei Gebiete
A
,
B
abgegeben werden:
8
primitive
Urteile, dazu
24
binäre
32
ternäre
und ausserdem nur
11
quaternäre
Urteile
zusammen 75 Urteile, welche lediglich
gleichzeitige
(koexistirende, simul- tane)
De Morgan’
sche Beziehungen statuiren und die wir kurz „
mono- mische
“ oder „
einfache
“ Aussagen nennen werden.
Der Anblick ihrer Zerfällungen in den vorstehenden Tafeln offen- bart sofort, dass diese 75 Urteile durchweg zulässig und von einander verschieden sind — letzteres schon durch die verschiedenartige Be- setzung der Elementarfächer in ihnen, ersteres aber auch dadurch, dass man sich die Bedeutung jedes Koeffizienten, mit welchem irgend ein Elementarfall behaftet erscheint, zum Bewusstsein bringen und durch eine Figur anschaulich exemplifiziren kann.
Mit Hülfe dieser Tafeln XVIII
0
bis XXI
0
wird nun jede noch so komplizirte Aussage sich auf’s leichteste nach den 5 Elementarfällen entwickeln lassen.
Achtzehnte Vorlesung.
Jeder Komplex von auf dieselben Gebiete
A
,
B
bezüglichen Aus- sagen muss auf eine Alternative zwischen diesen 75 hinauslaufen, rechnerisch gesprochen durch eine
Summe
von solchen darstellbar sein.
Da in Bezug auf jede einzelne dieser 75 Aussagen die zwei Möglich- keiten vorliegen, dass sie (als Summand) zugelassen oder ausgeschlossen wird, so ergibt dies
anscheinend
die ungeheure Zahl von 2
75
— 1 über
A
und
B
möglichen Aussagen — um 1 weniger als 2
75
, weil der Fall, wo jede Aussage ausgeschlossen wird, unzulässig ist, indem die Summe aller = 1߭ sein, also mindestens eine derselben zutreffen muss.
Bei genauerem Zusehen jedoch stellt sich diese Zahl, wenn auch als eine immer noch erhebliche, so doch als sehr bedeutend kleiner heraus.
Indem wir hiemit dem Problem näher treten:
die Anzahl der Ur- teile zu ermitteln, welche die Logik abzugeben vermag über zwei
oder auch noch mehr
Begriffe
— wird es sich nur um die durchweg von ein- ander verschiedenen (d. h. wie gesagt, niemals einander allgemein äqui- valenten), Urteile handeln, und wird die Form, in der sie statuirt, aus- gesagt werden, als ganz nebensächlich gelten.
Die Formel, welche für
n
Begriffe obiges Problem löst, ist von Herrn
Peano
in dem Vorwort zu seiner Schrift
1
ohne eine Andeutung über ihre Herleitung bekannt gegeben worden, und werde ich dieselbe am Schluss dieses Paragraphen begründen.
Für
n
= 2 hatte ich die Aufgabe (ohne Kenntniss von
Peano’
s Ergebnisse — vergl. Bd. 1, S. 713) auf zwei Wegen gelöst die hier ebenfalls dargelegt werden sollen, und war ich zu einem mit dem Herrn
Peano’
s sich übereinstimmend erweisenden Ergebniss gelangt.
Der
erste
Weg ist zwar länger und etwas mühsamer; er studirt die möglichen Aussagen
in ihrer Entwickelung nach den fünf
Ger- gonne’
schen
Elementarbeziehungen
. Auf dem kürzeren
zweiten
Wege, der sich auch zu beliebig viel Klassen ausdehnen liess, werden die Aussagen lediglich betrachtet als nach
De Morgan’
s vier primitiven Urteilen entwickelt.
Der erste Weg hat aber den Vorzug, die — soweit sich zur Zeit übersehen lässt —
beste
Übersicht über die fraglichen Aussagen selbst zu verschaffen; sein Zuwerkegehen bewährt sich auch für die Ent- scheidung von Nebenfragen, die mit unserm Probleme zusammenhängen, als z. B. der Frage nach Zahl und Art der lediglich universalen von jenen Aussagen.
Schon darum möchte ich zuerst gedachten längeren Weg zu Ende gehen, und werde behufs Darlegung des kürzesten zweiten das Problem noch einmal ganz selbständig gegen Ende des Paragraphen aufnehmen,
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
die Verallgemeinerung auf
n
Begriffe an die Fälle
n
= 1 und
n
= 2 alsdann anreihend.
Die Methode des Fortschreitens wird auf beiden Wegen wesent- lich dieselbe sein und sich an einen Vorgang von
Jevons
anlehnen.
Zudem sind wir aber auch mit Begehung des längeren Weges schon ziemlich weit gelangt und ohnehin im Zuge.
Wir finden im Ganzen — nämlich bei den obigen Kombinationen und, als monomische Glieder wenigstens, sogar bei
allen
bisher er- wähnten (sowie überhaupt erdenklichen) Aussagen — nur die folgenden Möglichkeiten in den 5 Elementarfächern vertreten:
Die am Ende der ersten Kolumne unter dem Strich (wegen XIII
0
) angeführten beiden Beziehungen:
m
1
a
=
k l
1
+
k
1
a
,
n
1
a
=
h l
1
+
h
1
a
bewahrheiten sich als Identitäten leicht aus Tafel XVII
0
, oder auch als kleine Hülfssätze durch direkte Überlegungen nach Art derjenigen, die zu unsern andern Hülfssätzen führten.
Zu jeder der drei über
a
1
angeführten Möglich- keiten einer Kolonne ist als vierte noch 0 hinzu- zufügen als diejenige mit welcher — in Gestalt von 0 ·
α
, 0 ·
β
, 0 ·
γ
, 0 ·
δ
— die betreffende Ele- mentarbeziehung
gar nicht
(in der Aussage) ver- treten erscheinen mag. Ebenso ist in der ersten Kolonne zu den 25 (resp. 23 über dem Strich) an- geführten Möglichkeiten noch als 26(resp. 24)ste die Annahme 0, = 0 ·
a
in Gedanken hinzuzu- schlagen.
Darnach lassen durch irgendwelche Multiplika- tionen zwischen den Aussagen einer jeden so durch Adjunktion der 0, Nullaussage vervollständigten Kolonne — die erste nur bis zum Strich genommen — sich jeden- falls keine neuen Aussagen mehr gewinnen, keine, die nicht in eben-
Schröder
, Algebra der Logik. II. 10
Achtzehnte Vorlesung.
dieser Kolonne bereits einregistrirt wären, d. h. in Bezug auf die Operation der Multiplikation bilden die Aussagen einer jeden von den gedachten 5 Kolonnen mathematisch gesprochen eine „Gruppe“.
Man überzeugt sich davon unschwer, auch bei der (nur bis zum Strich genommen) ersten Kolonne, unter Berücksichtigung der Hülfsrelationen XV
0
, doch wird dieser Nachweis durch spätere Betrachtungen überflüssig gemacht.
Bei einer jeden von den vier letzten Kolonnen thun sie dies auch in Bezug auf die Operation der Addition: auch additiv lassen sich die 4 Aussagen einer jeden der vier Kolonnen von
a
1
nicht weiter zu neuen Aussagen kombiniren; denn während das Addiren von 0 ohne- hin nichts ändert, ist z. B. auch
α
+
l α
=
α
,
α
+
l
1
α
=
α
,
l α
+
l
1
α
=
α
; etc.
Als additive Kombinationen der unter
a
unterscheidbaren mög- lichen Aussagen in je den vier Elementarfällen erhalten wir demnach
4 × 4 × 4 × 4 = 4
4
= 2
8
= 256
welche unter sich verschieden und zulässig sein werden.
Nennen wir
x
die (noch unbekannte) Anzahl der Arten, auf welche auch die 24 Aussagen der ersten Kolonne additiv miteinander eigentümlich kombinirt werden können, so wird
x
× 256 — 1
die gesuchte
Anzahl der Urteile
sein, welche die Logik des Umfanges über zwei bestimmte Begriffe
A
und
B
abzugeben vermag.
[Um 1 ist wieder das arithmetische Produkt
x
× 256 zu ver- mindern, weil diejenige Aussage unzulässig bleibt, bei welcher jede von den 5 Elementaraussagen mit dem Faktor 0 versehen erschiene. Dagegen ist die Aussage „Eins“ in obiger Auzahl mit eingerechnet, obwol sie „nichtssagend“ ist, nämlich in Gestalt von
1, =
a
1
+
α
+
β
+
γ
+
δ
,
eine jede Möglichkeit offenlässt.]
Es würde
x
= 2
26
sein müssen, wären die additiven Kombinationen der 26 unter
a
registrirten Fälle alle unter sich verschieden. Das sind sie aber nicht, vielmehr kommen sie teilweise auf diese Fälle selbst oder auf andere von ebendiesen Kombinationen zurück. Darum wird auch die Zahl
x
erheblich kleiner sein. Um sie zu ermitteln, könnte man ver- suchen, diese additiven Kombinationen etwa für die 24 in
h
,
k
,
l
,
a
1
monomischen von den 26 Aussagen selbst aufzustellen als Amben, Ternen und so weiter bis zur „24-erne“ (vigintiquaterne) um eine jede derselben auf ihre Verschiedenheit von den ihr vorhergegangenen zu untersuchen — zu welchem Ende die kombinatorischen Summen etwa je zu „entwickeln“
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
wären nach jenen vier in ihrer Gesamtheit vorkommenden Symbolen. Wegen ihrer, sechzehn Millionen übersteigenden Anzahl (16 777 216) würde das aber eine übergrosse Geduldsprobe werden.
Besser verfahren wir in der folgenden Weise, einen Gedankengang verwirklichend, auf welchen bei einem analogen Problem schon
Jevons
9
verfallen ist (vergl. Bd. 1, Anhang 6), dessen noch verfehlte Anwendung aber von Miss
Ladd
1
zuerst richtig gestellt worden.
Behufs Ermittelung der Zahl
x
„entwickeln“ wir den Elementar- fall
a
(selbst) nach den vier Symbolen
a
,
h
,
k
,
l
, aus deren Kombi- nationen — wenn man will
ausschliesslich
— die Unterfälle des
a
sich zusammensetzen. Zu dem Ende braucht man nur
a
zu multipliziren mit der Entwickelung der 1 nach den drei letztern Symbolen. Wegen
h k l
= 0 fällt aber von den acht Gliedern (Konstituenten) dieser Ent- wickelung das erste fort, und bleibt:
a
=
a
(
h k l
1
+
h k
1
l
+
h k
1
l
1
+
h
1
k l
+
h
1
k l
1
+
h
1
k
1
l
+
h
1
k
1
l
1
),
was mit Rücksicht auf die angeführte Relation noch weiter sich ver- einfachen lässt zu:
a
=
a
(
h k
+
h l
+
h k
1
l
1
+
k l
+
h
1
k l
1
+
h
1
k
1
l
+
h
1
k
1
l
1
)
und mit Rücksicht auf die mehrerwähnten Hülfsrelationen auch ge- schrieben werden könnte in einer der beiden Formen:
a
=
h k
+
h l
+
h k
1
l
1
+
k l
+
h
1
k l
1
+
h
1
k
1
l a
+
h
1
k
1
l
1
a
,
a
=
h k
+
h n
+
h k
1
n
1
+
k m
+
h
1
k m
1
+
h
1
k
1
l a
+
h
1
k
1
l
1
a
.
Bei diesen Summen sind wir nun sicher, dass sie „reduzirte“, dass ihre Glieder unter sich „disjunkt“ sind.
Die
sieben
Glieder sind auch die Konstituenten der Entwickelung jedes erdenklichen Unterfalles von
a
nach ebendiesen Symbolen
h
,
k
,
l
.
Die Logik des Umfanges mit ihren mannigfachen Beziehungs- zeichen vermochte aber, wie wir gesehen haben, nur solche Unter- fälle von
a
zu konstruiren, auszusprechen, zu beschreiben, in deren Ausdruck lediglich die Symbole
a
,
h
,
k
,
l
auftreten. (Die Verwendung der
m
und
n
liess sich ja im Elementarfall
a
umgehen, war daselbst eine blos fakultative.) Also:
jeder angebbare Unterfall von a ist eine Funktion lediglich von a
,
h
,
k und l
, in deren Ausdruck ausser diesen vier Buchstaben — die drei letztern negirt oder unnegirt genommen —
keine weiteren Buchstaben
symbole vorkommen.
Entwickelt nach allen vier Argumenten wird er
a
in jedem Gliede zum ausdrücklichen oder stillschweigenden Faktor haben — letzteres inso- fern bei
h
und
k
der Faktor als ein selbstverständlicher unterdrückt werden durfte — und zwar weil nach Th. 20
×
)

a äquivalent ist:
x
=
x a
10*
Achtzehnte Vorlesung.
Denken wir uns solchen Unterfall entwickelt, so kann mit irgend einem
der 7
Konstituenten als der zugehörige Koeffizient
(in Ermangelung eben noch andrer Buchstaben)
nur entweder
0
oder
1
verknüpft sein
, d. h. der betreffende Konstituent ist in der Entwickelung
entweder ganz oder gar nicht
als Glied vorhanden.
Hieraus erhellt, dass
jeder
Unterfall von
a
auf eine Alternative zwischen jenen 7 Konstituenten hinauslaufen, als Summe irgend einer Gruppe von aus den sieben herausgegriffenen Gliedern darstellbar sein muss.
Die Anzahl
x
der erdenklichen Unterfälle von
a
fällt darum zu- sammen mit der Anzahl der möglichen additiven Kombinationen unsrer sieben Konstituenten.
Diese Kombinationen lassen sich aber leicht vollständig auf- stellen und noch leichter lässt ihre Anzahl sich a priori ermitteln.
Da in Bezug auf jeden einzelnen der 7 Konstituenten (ganz un- abhängig von den übrigen) die zwei Möglichkeiten vorliegen, dass er als Alternativfall zugelassen, nämlich als Glied in der Entwickelung vertreten, oder aber ausgeschlossen, nicht als Glied vorhanden ist, so haben wir:
x
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2
7
= 128.
Von dieser Anzahl der möglichen Unterfälle von
a
ist keine Einheit in Abzug zu bringen, weil der Fall 0 ·
a
wirklich vorkommen kann, der Elementarfall
a
überhaupt nicht vorzuliegen braucht, sofern nämlich nur von den übrigen Elementarfällen
α
,
β
,
γ
,
δ
dann allermindestens einer vorliegt.
Hiermit ist nun auch endlich
128 × 256 — 1 = 2
7
× 2
8
— 1,
oder
2
15
— 1 = 32767
sage:
dreissigzweitausend siebenhundert sechzigsieben
gefunden als
die Anzahl der inhaltlich verschiedenen Aussagen
,
Urteile
,
welche die Logik des Umfanges über zwei bestimmte Gebiete
,
Klassen
,
Begriffe A
,
B ab- zugeben
,
zu fällen vermag.
Es versteht sich übrigens, dass die hier eingeflochtenen auf
Zahlen
bezüglichen Betrachtungen (zu denen immer schon die Kenntniss des Ein- maleinses ausreicht) lediglich als ein
Beiwerk
unsrer Theorie anzusehen sind, welche grundsätzlich die Zahlen ganz der Arithmetik überlässt und wesentliche Schlüsse wol nirgends auf numerische Betrachtungen gründet.
Es verlohnt wol, die 128 sub
a
unterscheidbaren Fälle einmal wirklich zusammenzustellen, zugleich damit für einen jeden derselben auch die Angabe seines einfachsten Formelausdrucks zu verbinden.
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
Für erstern Zweck empfiehlt es sich, die sieben Terme der obigen Entwickelung von
a
der Reihe nach mit den Ziffern 2 bis 8 kürze- halber zu benennen und die additiven Kombinationen dieser sieben Ziffern sodann streng systematisch (nach den Regeln der Kombina- torik) aufzustellen, wodurch einer jeden als Unterfall von
a
möglichen Alternative eine bestimmte Ordnungszahl (von 1 bis 128) zugeteilt wird.
Von diesen Unterfällen stellen wir aber jeweils diejenigen neben- einander, welche in der Mannigfaltigkeit
a
Negationen von einander sind, sodass die 128 Fälle in zwei Kolonnen auf 64 Zeilen unter- gebracht werden. Die erste Kolonne geht dabei an ihrem Ende huf- eisenförmig in die zweite über, deren Nummern demnach von unten nach oben gelesen sich an diejenigen der ersten Kolonne anschliessen.
Als einfachsten Ausdruck eines Unterfalles geben wir erstens den- jenigen an (eventuell, wo mehrere gleichberechtigt, einen solchen) der aus den Symbolen
h
,
k
,
l
,
a
bei Berücksichtigung der Relation
h k l
= 0
mit minimalem Buchstabenaufwande
in Aggregatform sich für ihn her- stellen lässt. Zweitens aber fügen wir diesem Ausdruck auch noch einen andern bei, wofern solcher nach den für seine Bildung aufzu- stellenden Grundsätzen möglich und von dem vorigen äusserlich ver- schieden erscheint.
Die zweite Form des Ausdrucks soll diejenige sein, welche für
A
,
B am einfachsten zu deuten
wäre. In dieser Hinsicht fällt in Be- tracht, dass eine Aussage, die eine Beziehung
zwischen A
und
B
sta- tuirt, weniger leicht nach ihrem logischen Gehalt zu übersehen ist, als wie Aussagen, die über
A
, resp.
B
nur je für sich aussagen. Die Information z. B. dass (
A
≠ 0) (
A
≠ 1) (
B
= 1) sei, erscheint
fass- licher
, als etwa eine Information des Inhaltes, dass (
A
1
B
1
≠ 0) (
A B
= 0), und ist die Tragweite der letztern unstreitig weniger leicht zu übersehen als die der vorigen; nicht leicht wird man sich auf sie hin das Verhältniss zwischen
A
und
B
sofort anschaulich vorzustellen vermögen. Der Interpretation zuliebe werden daher die
Symbole
a
,
l
und ihre Negationen thunlichst zu verdrängen sein durch die
h
,
k
,
m
,
n
samt Negationen, indem eben letztere je nur über
A
oder
B
allein eine Aussage abgeben.
Die Ausmerzung der Symbole
l
,
l
1
, wo solche sich finden, gelingt nun zuweilen ganz, nicht selten aber auch gar nicht, oder nur teilweise, näm- lich bei einzelnen Gliedern; auch konnte ja
a
bei
h
und
k
stets unter- drückt, ferner konnte
m a
durch
k m
, sowie
n a
durch
h n
ersetzt werden, etc. Überhaupt genügt die Anwendung der Hülfssätze XV
0
S. 134 sq. zur Er- reichung des gesteckten Zieles und jedenfalls lassen sich die von mir auf- gestellten Transformationsgleichungen, durch Einsetzung der Werte aus
Achtzehnte Vorlesung.
Tafel XVII
0
für sämtliche Symbole, stets leicht als Identitäten in
a
,
c
,
b
,
l
verifiziren.
[Wo
l
,
l
1
nicht
zu beseitigen sind, wird sich erkennen lassen aus dem Anblick der Formeln:
l a
=
h n
+
k m
+
u h
1
k
1
a
,
l
1
a
=
h n
1
+
k m
1
+
u
1
m
1
n
1
a
,
in welchen
u
eine unbestimmte Aussage bedeutet, und die sich ergeben, indem man das Gleichungenpaar
m
=
b l
,
n
=
c l
systematisch nach der Unbekannten
l
resp.
l
1
auflöst, hernach mit
a
multiplizirt und die Hülfs- relationen berücksichtigt.]
Zur Übung (und gelegentlichen Anwendung) mag man auch sich über- zeugen, dass:
h
(
k
1
+
l
) =
h
(
k
1
+
m
) =
h
(
k
1
+
n
) =
h k
1
,
k
(
h
1
+
l
) =
k
(
h
1
+
m
) =
k
(
h
1
+
n
) =
h
1
k
,
h
(
k
+
l
1
) =
h
(
k
+
n
1
) =
h l
1
=
h n
1
,
k
(
h
+
l
1
) =
k
(
h
+
m
1
) =
k l
1
=
k m
1
,
h
1
k
+
l
1
a
=
k
+
l
1
a
,
h k
1
+
l
1
a
=
h
+
l
1
a
[nämlich
a
(
b
+
l
1
) =
a
(
b l
+
l
1
) =
a
(
b c l
+
b c
1
l
+
l
1
) =
a
(
b c
1
l
+
l
1
) =
a
(
b c
1
+
l
1
)],
h k
1
+
h
1
l a
=
h k
1
+
l a
,
h
1
k
+
k
1
l a
=
h
1
k
+
l a
,
h k
1
+
k l
1
=
h
+
k l
1
=
h k
1
+
k m
1
=
h
+
k m
1
,
h
1
k
+
h l
1
=
k
+
h l
1
=
h
1
k
+
h n
1
=
k
+
h n
1
,
(
h
1
+
n
1
)
a
=
n
1
a
,
(
k
1
+
m
1
)
a
=
m
1
a
,
m
(
h
1
+
n
1
)
a
=
m a
=
k m
,
n
(
k
1
+
m
1
)
a
=
n a
=
h n
,
(
h
1
+
n
1
) (
k
1
+
m
1
)
a
=
m
1
n
1
a
,
(
h
+
k
) (
h
1
+
n
1
) (
k
1
+
m
1
) =
h n
1
+
k m
1
,
h n
+
k m
+
m
1
n
1
a
=
a
,
etc. — Relationen, dergleichen manche noch aus dem Anblick unsrer Tafel selbst entnommen werden können.
Nach diesen Vorbemerkungen erscheint als motivirt und gerecht- fertigt nach Anordnung und Inhalt die nachfolgende Tafel, von welcher indess zu wünschen ist, dass sie vielseitig geprüft werde, da nicht ganz ausgeschlossen, dass vielleicht eine Vereinfachungsmöglichkeit von mir noch übersehen wäre.
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
XXII
0
.
Tafel der
128
Unterfälle
von
a
.
1) 0 ·
a
128 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
a
2 =
h k l
1
=
h k
127 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (
h
1
+
k
1
)
a
=
h k
1
+
h
1
a
=
h
1
k
+
k
1
a
3 =
h k
1
l
=
h l
=
h n
126 = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (
h
1
+
l
1
)
a
=
h n
1
+
h
1
a
=
n
1
a
4 =
h k
1
l
1
=
h k
1
n
1
125 = 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 =
k
+ (
h
1
+
l
)
a
=
k
+
h n
+
h
1
a
5 =
h
1
k l
=
k l
=
k m
124 = 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 = (
k
1
+
l
1
)
a
=
k m
1
+
k
1
a
=
m
1
a
6 =
h
1
k l
1
=
h
1
k m
1
123 = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 =
h
+ (
k
1
+
l
)
a
=
h
+
k m
+
k
1
a
7 =
h
1
k
1
l a
122 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 =
h
+
k
+
l
1
a
8 =
h
1
k
1
l
1
a
121 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =
h
+
k
+
l a
9 = 2 + 3 =
h
(
k
+
l
) =
h
(
k
+
n
)
120 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (
h
1
+
k
1
l
1
)
a
=
h k
1
n
1
+
h
1
a
10 = 2 + 4 =
h l
1
=
h n
1
119 = 3 + 5 + 6 + 7 + 8 = (
h
1
+
l
)
a
=
h n
+
h
1
a
11 = 2 + 5 =
k
(
h
+
l
=
k
(
h
+
m
)
118 = 3 + 4 + 6 + 7 + 8 = (
k
1
+
h
1
l
1
)
a
=
h
1
k m
1
+
k
1
a
12 = 2 + 6 =
k l
1
=
k m
1
117 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = (
k
1
+
l
)
a
=
k m
+
k
1
a
13 = 2 + 7 =
h k
+
h
1
k
1
l a
116 = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 =
h k
1
+
h
1
k
+
h
1
k
1
l
1
a
14 = 2 + 8 =
h k
+
h
1
k
1
l
1
a
115 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =
h k
1
+
h
1
k
+
h
1
k
1
l a
15 = 3 + 4 =
h k
1
114 = 2 + 5 + 6 + 7 + 8 =
k
+
h
1
a
16 = 3 + 5 = (
h
+
k
)
l
=
h n
+
k m
113 = 2 + 4 + 6 + 7 + 8 = (
h
1
k
1
+
l
1
)
a
=
m
1
n
1
a
17 = 3 + 6 =
h l
+
h
1
k l
1
=
h n
+
h
1
k m
1
112 = 2 + 4 + 5 + 7 + 8 =
h l
1
+ (
h
1
l
+
k
1
l
1
)
a
=
k m
+
h n
1
+
h
1
k
1
a
18 = 3 + 7 =
k
1
l a
111 = 2 + 4 + 5 + 6 + 8 =
k
+
l
1
a
19 = 3 + 8 =
h l
+
h
1
k
1
l
1
a
=
h n
+
h
1
k
1
l
1
a
110 = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 =
h
1
l a
+ (
h
+
k
)
l
1
=
k
+
h n
1
+
h
1
l a
20 = 4 + 5 =
k l
+
h k
1
l
1
=
k m
+
h k
1
n
1
109 = 2 + 3 + 6 + 7 + 8 =
k l
1
+ (
k
1
l
+
h
1
l
1
)
a
=
h n
+
k m
1
+
h
1
k
1
a
Achtzehnte Vorlesung.
21 = 4 + 6 = (
h k
1
+
h
1
k
)
l
1
=
h k
1
n
1
+
h
1
k m
1
108 = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 =
h k
+ (
h
1
k
1
+
l
)
a
=
h k
+
h n
+
k m
+
h
1
k
1
a
22 = 4 + 7 =
k
1
(
h l
1
+
h
1
l a
) =
k
1
(
h n
1
+
h
1
l a
)
107 = 2 + 3 + 5 + 6 + 8 =
k
+
h l
+
h
1
l
1
a
=
k
+
h n
+
h
1
l
1
a
23 = 4 + 8 =
k
1
l
1
a
106 = 2 + 3 + 5 + 6 + 7 =
k
+
l a
24 = 5 + 6 =
h
1
k
105 = 2 + 3 + 4 + 7 + 8 =
h
+
k
1
a
25 = 5 + 7 =
h
1
l a
104 = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 =
h
+
l
1
a
26 = 5 + 8 =
k l
+
h
1
k
1
l
1
a
=
k m
+
h
1
k
1
l
1
a
103 = 2 + 3 + 4 + 6 + 7 =
k
1
l a
+ (
h
+
k
)
l
1
=
h
+
k m
1
+
k
1
l a
27 = 6 + 7 =
h
1
(
k l
1
+
k
1
l a
) =
h
1
(
k m
1
+
k
1
l a
)
102 = 2 + 3 + 4 + 5 + 8 =
h
+
k l
+
k
1
l
1
a
=
h
+
k m
+
k
1
l
1
a
28 = 6 + 8 =
h
1
l
1
a
101 = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 =
h
+
l a
29 = 7 + 8 =
h
1
k
1
a
100 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
h
+
k
30 = 2 + 3 + 4 =
h
99 = 5 + 6 + 7 + 8 =
h
1
a
31 = 2 + 3 + 5 =
h k
+ (
h
+
k
)
l
=
h k
+
h n
+
k m
98 = 4 + 6 + 7 + 8 = {
h
1
k
1
+ (
h
1
+
k
1
)
l
1
}
a
=
h k
1
n
1
+
h
1
k m
1
+
h
1
k
1
a
32 = 2 + 3 + 6 =
h l
+
k l
1
=
h n
+
k m
1
97 = 4 + 5 + 7 + 8 = (
h
1
l
+
k
1
l
1
)
a
=
k m
+
h k
1
n
1
+
h
1
k
1
a
33 = 2 + 3 + 7 =
h k
+
k
1
l a
96 = 4 + 5 + 6 + 8 =
h
1
k
+
k
1
l
1
a
34 = 2 + 3 + 8 =
h
(
k
+
l
) +
h
1
k
1
l
1
a
=
h
(
k
+
n
) +
h
1
k
1
l
1
a
95 = 4 + 5 + 6 + 7 =
h
1
(
k
+
l a
) +
h k
1
l
1
=
h
1
k
+
h k
1
n
1
+
h
1
l a
35 = 2 + 4 + 5 =
h l
1
+
k l
=
h n
1
+
k m
94 = 3 + 6 + 7 + 8 = (
h
1
l
1
+
k
1
l
)
a
=
h n
+
h
1
k m
1
+
h
1
k
1
a
36 = 2 + 4 + 6 = (
h
+
k
)
l
1
=
h n
1
+
k m
1
93 = 3 + 5 + 7 + 8 = (
h
1
k
1
+
l
)
a
=
h n
+
k m
+
h
1
k
1
a
37 = 2 + 4 + 7 =
h l
1
+
h
1
k
1
l a
=
h n
1
+
h
1
k
1
l a
92 = 3 + 5 + 6 + 8 =
h l
+
h
1
(
k
+
l
1
a
) =
h n
+
h
1
(
k
+
l
1
a
)
38 = 2 + 4 + 8 = (
h
+
k
1
a
)
l
1
=
h n
1
+
k
1
l
1
a
91 = 3 + 5 + 6 + 7 =
h
1
k
+
l a
39 = 2 + 5 + 6 =
k
90 = 3 + 4 + 7 + 8 =
k
1
a
40 = 2 + 5 + 7 =
h k
+
h
1
l a
89 = 3 + 4 + 6 + 8 =
h k
1
+
h
1
l
1
a
41 = 2 + 5 + 8 =
k
(
h
+
l
) +
h
1
k
1
l
1
a
=
k
(
h
+
m
) +
h
1
k
1
l
1
a
88 = 3 + 4 + 6 + 7 =
k
1
(
h
+
l a
) +
h
1
k l
1
=
h k
1
+
h
1
k m
1
+
k
1
l a
42 = 2 + 6 + 7 =
k l
1
+
h
1
k
1
l a
=
k m
1
+
h
1
k
1
l a
87 = 3 + 4 + 5 + 8 =
k l
+
k
1
(
h
+
l
1
a
) =
k m
+
k
1
(
h
+
l
1
a
)
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
43 = 2 + 6 + 8 = (
k
+
h
1
a
)
l
1
=
k m
1
+
h
1
l
1
a
86 = 3 + 4 + 5 + 7 =
h k
1
+
l a
44 = 2 + 7 + 8 =
h k
+
h
1
k
1
a
85 = 3 + 4 + 5 + 6 =
h k
1
+
h
1
k
45 = 3 + 4 + 5 =
h k
1
+
k l
=
h k
1
+
k m
84 = 2 + 6 + 7 + 8 =
h
1
k
1
a
+
k l
1
=
k m
1
+
h
1
k
1
a
46 = 3 + 4 + 6 =
h k
1
+
h
1
k l
1
=
h k
1
+
h
1
k m
1
83 = 2 + 5 + 7 + 8 =
k
(
h
+
l
) +
h
1
k
1
a
=
k
(
h
+
m
) +
h
1
k
1
a
47 = 3 + 4 + 7 =
k
1
(
h
+
l a
)
82 = 2 + 5 + 6 + 8 =
k
+
h
1
l
1
a
48 = 3 + 4 + 8 =
k
1
(
h
+
l
1
a
)
81 = 2 + 5 + 6 + 7 =
k
+
h
1
l a
49 = 3 + 5 + 6 =
h
1
k
+
h l
=
h
1
k
+
h n
80 = 2 + 4 + 7 + 8 =
h
1
k
1
a
+
h l
1
=
h n
1
+
h
1
k
1
a
50 = 3 + 5 + 7 =
l a
79 = 2 + 4 + 6 + 8 =
l
1
a
51 = 3 + 5 + 8 = (
h
+
k
)
l
+
h
1
k
1
l
1
a
=
h n
+
k m
+
h
1
k
1
l
1
a
78 = 2 + 4 + 6 + 7 = (
h
+
k
)
l
1
+
h
1
k
1
l a
=
h n
1
+
k m
1
+
h
1
k
1
l a
52 = 3 + 6 + 7 =
k
1
l a
+
h
1
k l
1
=
h
1
k m
1
+
k
1
l a
77 = 2 + 4 + 5 + 8 =
k
(
h
+
l
) +
k
1
l
1
a
=
k
(
h
+
m
) +
k
1
l
1
a
53 = 3 + 6 + 8 =
h l
+
h
1
l
1
a
=
h n
+
h
1
l
1
a
76 = 2 + 4 + 5 + 7 =
h l
1
+
h
1
l a
=
h n
1
+
h
1
l a
54 = 3 + 7 + 8 =
h l
+
h
1
k
1
a
=
h n
+
h
1
k
1
a
75 = 2 + 4 + 5 + 6 =
k
+
h l
1
=
k
+
h n
1
55 = 4 + 5 + 6 =
h
1
k
+
h k
1
l
1
=
h
1
k
+
h k
1
n
1
74 = 2 + 3 + 7 + 8 =
h
(
k
+
l
) +
h
1
k
1
a
=
h
(
k
+
n
) +
h
1
k
1
a
56 = 4 + 5 + 7 =
h
1
l a
+
h k
1
l
1
=
h k
1
n
1
+
h
1
l a
73 = 2 + 3 + 6 + 8 =
h
(
k
+
l
) +
h
1
l
1
a
=
h
(
k
+
n
) +
h
1
l
1
a
57 = 4 + 5 + 8 =
k l
+
k
1
l
1
a
=
k m
+
k
1
l
1
a
72 = 2 + 3 + 6 + 7 =
k l
1
+
k
1
l a
=
k m
1
+
k
1
l a
58 = 4 + 6 + 7 = (
h k
1
+
h
1
k
)
l
1
+
h
1
k
1
l a
=
h k
1
n
1
+
h
1
k m
1
+
h
1
k
1
l a
71 = 2 + 3 + 5 + 8 =
h k
+ (
h
+
k
)
l
+
h
1
k
1
l
1
a
=
h k
+
h n
+
k m
+
h
1
k
1
l
1
a
59 = 4 + 6 + 8 = (
h
1
+
k
1
)
l
1
a
=
h k
1
n
1
+
h
1
k m
1
+
h
1
k
1
l
1
a
70 = 2 + 3 + 5 + 7 =
h k
+
l a
60 = 4 + 7 + 8 = (
h
1
+
l
1
)
k
1
a
=
k
1
n
1
a
69 = 2 + 3 + 5 + 6 =
k
+
h l
=
k
+
h n
61 = 5 + 6 + 7 =
h
1
(
k
+
l a
)
68 = 2 + 3 + 4 + 8 =
h
+
k
1
l
1
a
62 = 5 + 6 + 8 =
h
1
(
k
+
l
1
a
)
67 = 2 + 3 + 4 + 7 =
h
+
k
1
l a
63 = 5 + 7 + 8 =
k l
+
h
1
k
1
a
=
k m
+
h
1
k
1
a
66 = 2 + 3 + 4 + 6 =
h
+
k l
1
=
h
+
k m
1
64 = 6 + 7 + 8 = (
k
1
+
l
1
)
h
1
a
=
h
1
m
1
a
65 = 2 + 3 + 4 + 5 =
h
+
k l
=
h
+
k m
Achtzehnte Vorlesung.
Verbindet man auf jegliche Weise irgend eine von diesen 128 An- gaben mit irgend einer von den vieren in jeder nachstehenden Kolumne:
XXIII
0
.
Tafel der
256
Unterfälle von
a
1
:
1
0 ·
α
0 ·
β
0 ·
γ
0 ·
δ
2
l α
m β
n γ
m n δ
3
l
1
α
m
1
β
n
1
γ
m
1
n
1
δ
4
α
β
γ
δ
so erhält man die sämtlichen 32 768 Aussagen, welche die Logik über
A
und
B
abzugeben vermag, von welchen aber eine (die erste) als absurde oder Nullaussage in Abzug zu bringen sein wird.
Hienach ist eine übersichtliche Klassifikation, nebst Chiffrirung, ge- wissermassen Etikettirung der 32 768 Aussagen in folgender Weise mög- lich. Man wird eine jede derselben vermittelst einer „fünfziffrigen“ Zahl darstellen und bestimmen können:
t
,
p
,
q
,
r
,
s
deren sozusagen — Ziffern durch Kommata getrennt werden mögen, von welchen nämlich die erste „Ziffer“
t
nur eine Quasi-Ziffer, nämlich irgend eine von den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, … 127, 128 ist und auf die Tafel XXII
0
verweist, wogegen die folgenden
p
,
q
,
r
,
s
wirkliche Ziffern sind, denen aber immer nur einer der Werte 1, 2, 3, 4 zukommen kann, indem sie auf die entsprechende Rubrik der Tafel XXIII
0
hinweisen. Die sämtlichen Aussagen erhalten hierdurch auch eine streng bestimmte Rangordnung oder Reihenfolge, und ist insbesondre:
1, 1, 1, 1, 1
die Chiffre der ersten von ihnen, das ist der absurden oder Nullaussage, und
128, 4, 4, 4, 4
die Chiffre der letzten, nämlich der identischen oder nichtssagenden Aussage.
Man bemerkt, dass unter den Fällen der Tafel XXII
0
sich
2 × 16 = 32
solche finden, die bezüglich
A
und
B
(sonach auch
h
und
k
nebst
m
und
n
)
symmetrisch
sind, und zwar die folgenden:
1), 2, 7, 8, 13; 14, 16, 21, 29, 31, 36, 128 127 122 121 116 115 113 108 100 98 93 44, 50, 51, 58, 59. 85 79 78 71 70
Die übrigen sind, für sich betrachtet, unsymmetrisch, gruppiren sich jedoch zu 2 × 24 = 48 symmetrischen Paaren von Aussagen. Diese Paare sind folgende:
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
(3,5), (4,6), (9,11), (10,12), (15,24), (17,20), (18,25), (126,124) (125,123) (120,118) (119,117) (114,105) (112,109) (111,104) (19,26), (22,27), (23,28), (30,39), (32,35), (33,40), (34,41), (110,103) (107,102) (106,101) (99,90) (97,94) (96,89) (95,88) (37,42), (38,43), (45,49), (46,55), (47,61), (48,62), (52,56), (92,87) (91,86) (84,80) (83,74) (82,68) (81,67) (77,73) (53,57), (54,63), (60,64). (76,72) (75,66) (69,65)
Für irgend eine in
De Morgan’
schen Urteilen gegebene Aussage
F
(
a
,
b
,
c
,
l
) wird man die Koeffizienten ihrer Entwickelung nach den
Gergonne’
schen 5 Elementarfällen allemal erhalten können, indem man sie bezüglich multiplizirt mit:
a
, (
α
=)
a
1
b
1
c
1
, (
β
=)
a
1
b c
1
, (
γ
=)
a
1
b
1
c
, (
δ
=)
a
1
b c
— ev. unter Benutzung eines
McColl’
schen Satzes Bd. 1, S. 589, wo- nach insbesondre
a F
(i,
b
,
c
,
l
) ihr unter
a
fallender Teil sein wird.
Um nun mit Hülfe der Tafel XXII
0
für irgend eine unter
a
fal- lende noch so komplizirte Aussage den einfachsten oder typischen Ausdruck rasch zu finden und so derselben ihre Stellung im logischen Systeme anzuweisen — man könnte in Analogie mit der Naturgeschichte sagen: um sie „zu bestimmen“ — wird man dieselbe (eventuell unter Benutzung der Relationen:
m a
=
k l
,
n a
=
h l
,
m
1
a
=
k l
1
+
k
1
a
,
n
1
a
=
h l
1
+
h
1
a
,
sowie derer aus Tafel XIX
0
:
a c
=
h
,
a b
=
k
,
a c
1
=
h
1
a
,
a b
1
=
k
1
a
, nach welchen es
unter a
geradezu gestattet ist,
c
,
b
durch
h
,
k
zu ersetzen) blos nach den Symbolen
h
,
k
,
l
,
a
zu „entwickeln“ brauchen. Man sucht hierauf die Nummern ihrer so sich ergebenden Konstituenten im ersten Teil der Tafel XXII
0
auf; das Aggregat derselben muss eine von den weiterhin darin aufgeführten additiven Kombinationen der Ziffern 2 bis 8 sein, für welche man die Nummer nebst dem typischen Ausdruck alsdann leicht in der Tafel entdecken wird.
Der Prozess kann sehr erleichtert werden, wenn man sich ein für alle mal die beiden folgenden Hülfstafeln anlegt, in welchen wir die Produkte der 24 monomischen Unterfälle von
a
vergl. S. 145) in die Symbole
m
,
n
,
m
1
,
n
1
und in dieser letzteren Produkte — solchergestalt „bestimmt“ — zu- sammenstellen. Die nächste von diesen Tafeln soll ohne weitere Abkürzungen gegeben werden.
Achtzehnte Vorlesung.
XXIV
0
. Hülfstafel.
m a
= 5,
n a
= 3,
m
1
a
= 124,
n
1
a
= 126,
m h
= 0,
n h
= 3,
m
1
h
=
h
= 30,
n
1
h
= 10,
m k
= 5,
n k
= 0,
m
1
k
= 12,
n
1
k
=
k
= 39,
m h
1
a
= 5,
n h
1
a
= 0,
m
1
h
1
a
= 64,
n
1
h
1
a
=
h
1
a
= 99,
m k
1
a
= 0,
n k
1
a
= 3,
m
1
k
1
a
=
k
1
a
= 90,
n
1
k
1
a
= 60,
m h k
= 0,
n h k
= 0,
m
1
h k
=
h k
= 2,
n
1
h k
=
h k
= 2,
m h k
1
= 0,
n h k
1
=
n h
= 3,
m
1
h k
1
=
h k
1
= 15,
n
1
h k
1
= 4,
m h
1
k
=
m k
= 5,
n h
1
k
= 0,
m
1
h
1
k
= 6,
n
1
h
1
k
=
h
1
k
= 24,
m h
1
k
1
a
= 0,
n h
1
k
1
a
= 0,
m
1
h
1
k
1
a
=
h
1
k
1
a
= 29,
n
1
h
1
k
1
a
=
h
1
k
1
a
= 29,
m l a
=
m a
= 5,
n l a
=
n a
= 3,
m
1
l a
= 18,
n
1
l a
= 25,
m l
1
a
= 0,
n l
1
a
= 0,
m
1
l
1
a
=
l
1
a
= 79,
n
1
l
1
a
=
l
1
a
= 79,
m h l
= 0,
n h l
=
h l
=
n h
= 3,
m
1
h l
=
h l
= 3,
n
1
h l
= 0,
m k l
=
k l
=
m k
= 5,
n k l
= 0,
m
1
k l
= 0,
n
1
k l
=
k l
= 5,
m h
1
l a
= 5,
n h
1
l a
= 0,
m
1
h
1
l a
= 7,
n
1
h
1
l a
=
h
1
l a
= 25,
m k
1
l a
= 0,
n k
1
l a
= 3,
m
1
k
1
l a
=
k
1
l a
= 18,
n
1
k
1
l a
= 7,
m h l
1
= 0,
n h l
1
= 0,
m
1
h l
1
=
h l
1
= 10,
n
1
h l
1
=
h l
1
=
n
1
h
= 10,
m k l
1
= 0,
n k l
1
= 0,
m
1
k l
1
=
k l
1
=
m
1
k
= 12,
n
1
k l
1
=
k l
1
= 12.,
m h
1
l
1
a
= 0,
n h
1
l
1
a
= 0,
m
1
h
1
l
1
a
=
h
1
l
1
a
= 28,
n
1
h
1
l
1
a
=
h
1
l
1
a
= 28,
m k
1
l
1
a
= 0,
n k
1
l
1
a
= 0,
m
1
k
1
l
1
a
=
k
1
l
1
a
= 23,
n
1
k
1
l
1
a
=
k
1
l
1
a
= 23,
m h k
1
l
1
= 0,
n h k
1
l
1
= 0,
m
1
h k
1
l
1
=
h k
1
l
1
= 4,
n
1
h k
1
l
1
=
h k
1
l
1
= 4,
m h
1
k l
1
= 0,
n h
1
k l
1
= 0,
m
1
h
1
k l
1
=
h
1
k l
1
= 6,
n
1
h
1
k l
1
=
h
1
k l
1
= 6,
m h
1
k
1
l a
= 0,
n h
1
k
1
l a
= 0,
m
1
h
1
k
1
l a
=
h
1
k
1
l a
= 7,
n
1
h
1
k
1
l a
=
h
1
k
1
l a
= 7,
m h
1
k
1
l
1
a
= 0,
n h
1
k
1
l
1
a
= 0,
m
1
h
1
k
1
l
1
a
=
h
1
k
1
l
1
a
= 8,
n
1
h
1
k
1
l
1
a
=
h
1
k
1
l
1
a
= 8,
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
Um auch die Produkte der 24 unter
a
fallenden (aus
h, k
,
l
und deren Negationen zusammensetzbaren multiplikativen Kombinationen oder) monomischen Unterfälle
in m n
,
m n
1
,
m
1
n
und
m
1
n
1
übersichtlich anzugeben, schreiben wir diese letztern Faktoren als Überschrift, jene erstern als Vor- schrift an und geben da, wo die von der einen und der andern beherrschte Kolonne und Zeile zusammenstossen, den Produktwert an durch seine Nummer aus Tafel XXII
0
, sofern derselbe nicht etwa = 0 ist.
XXV
0
.
Hülfstafel
.
XXVI
0
.
Hülfstafel
.
Der Raumeinteilung halber haben wir neben die besprochene noch eine weitere (und letzte) Hülfstafel: XXVI
0
gesetzt, welche die analogen
Achtzehnte Vorlesung.
Erleichterungen (wie XXIV
0
für die Unterfälle von
a
) gewähren soll für die Klassifikation aller möglichen Unterfälle von
a
1
und seinen vier Elementar- fällen
α
,
β
,
γ
,
δ
. Obwol die Angaben dieser Tafel äusserst leicht aus dem Anblick der Tafeln III
0
und XIII
0
zu entuehmen sind und sich auch unter den Hülfsrelationen XV
0
bereits mit angeführt finden, wird ihre Zusammen- stellung doch der Bequemlichkeit des Studirenden dienen.
Als von hohem Interesse kann man noch die Frage aufwerfen: wie viele (und welche) von den 32 767 Aussagen über
A
und
B
„zer- fallen“?
Eine Aussage über ein gegebenes System von Begriffen (Klassen, Gebieten) wird eine „
zerfallende
“ zu nennen sein, wenn es möglich ist, sie aussagenrechnerisch aus lauter solchen Aussagen aufzubauen, in deren jeder nur je von einem derselben die Rede ist — ohne jegliche Erwähnung der übrigen Begriffe des Systemes.
Es würde umständlich sein, alle obigen Aussagen auf diese Möglich- keit hin zu untersuchen, nämlich bei einer jeden zu entscheiden, ob sie zusammensetzbar ist aus lauter nur
A
, sowie nur
B
betreffenden Teilaus- sagen, oder nicht.
Dagegen ergibt sich leicht die Beantwortung der gestellten Frage, wenn man die über
A
allein, somit auch die über
B
allein, abgebbaren Aussagen systematisch aufsucht, sodann deren mögliche (multiplikative und additive) Kombinationen.
Eine zerfallende Aussage über
A
und
B
muss sich ausschliesslich aus den vieren:
h
,
k
,
m
,
n
als eine „Funktion“ des Aussagenkalkuls
f
(
h
,
k
,
m
,
n
) zusammensetzen. Diese nach ihren 4 Argumenten entwickelt gedacht, setzt sich ihrer- seits aus 2
4
= 16 Konstituenten zusammen, deren jeder entweder 0 oder 1 zum Koeffizienten haben muss. Diese Konstituenten sind:
h k m n
,
h k m n
1
,
h k m
1
n
,
h k m
1
n
1
,
h k
1
m n
,
h k
1
m n
1
,
h k
1
m
1
n
,
h k
1
m
1
n
1
,
h
1
k m n
,
h
1
k m n
1
,
h
1
k m
1
n
,
h
1
k m
1
n
1
,
h
1
k
1
m n
,
h
1
k
1
m n
1
,
h
1
k
1
m
1
n
,
h
1
k
1
m
1
n
1
.
Weil
h m
= 0 und
k n
= 0 gilt, verschwinden aber einzelne von diesen Konstituenten selbst und zwar die 7 vorstehend unterstrichenen. Und wegen
h m
1
=
h
,
h
1
m
=
m
,
k n
1
=
k
,
k
1
n
=
n
lassen die neun stehen gebliebenen bezüglich folgende Vereinfachung ihres Ausdruckes zu:
h k
,
h n
,
h k
1
n
1
,
k m
,
h
1
k m
1
,
m n
,
k
1
m n
1
,
h
1
m
1
n
,
h
1
k
1
m
1
n
1
.
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
Diese 9 Aussagen können jeweils selbständig, es können beliebige Alternativen zwischen denselben statuirt werden. Dies gibt
2
9
= 512
mögliche verschiedene Aussagen. Von diesen verweist diejenige, bei welcher alle 9 Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet auf- treten, auf die „identische“ Aussage 0 = 0 als den einzigen
zulässigen
Fall unter den noch erdenklichen Aussagen, welche unsrer Definition gemäss den „zerfallenden“ zugezählt werden müssen. Mithin
sind
512
zerfallende Aussagen über A und B zulässig
.
Diese von den 32 767 in Abzug gebracht, lassen 32 255 Aussagen übrig, in welche mindestens eine „nicht zerfallende“, nämlich eine wirk- liche Umfangsbeziehung zwischen
A
und
B
statuirende Aussage eingeht — zum wenigsten als ein Glied oder Faktor eines Gliedes, d. i. als ein Alter- nativfall oder als eine simultane Forderung oder Mitbedingung in einem solchen. — Die Zahl 512 nebst den beiden sogleich noch abzuleitenden 166 und 47 (jene ungenau als 511 und 168) hatte ich in
9
bekannt gegeben.
Noch eine andere wichtige Frage über die 32 767 Aussagen be- trifft ihre Scheidung in universale und (mit-)partikulare. Diese soll jetzt (im Kontext) zur Entscheidung gebracht werden.
Beschränken wir die Logik wiederum auf ihre
„erste Etappe“,
wo sie nur über Subsumtions- und Gleichheitszeichen, nicht aber über deren Ver- neinung verfügt, sonach partikulare (oder affirmative Existenzial-) Urteile noch nicht auszudrücken vermag, so ist 16 — 1 = 15 die Anzahl der jetzt über zwei Klassen
A
,
B
zulässigen „einfachen“ oder monomischen Aussagen.
In der That können diesmal nur die vier primitiven Aussagen
De Mor- gan’
s als da sind (in den dortigen Bezeichnungen):
a
,
c
,
b
,
l
nicht aber deren Verneinungen abgegebeu werden. Hiermit dann lassen sich herstellen die sechs binären:
a c
,
a b
,
a l
,
c b
,
c l
,
b l
,
und die vier ternären Aussagen:
a c b
,
a c l
,
a b l
,
c b l
,
zu welchen bisherigen 14 Aussagen sich als 15te noch die nichtssagende 0 = 0 gesellt die immer gilt, aussagenrechnerisch = 1߭ ist — wogegen die absurde Aussage durch die hier einzig denkbare quaternäre Aussage
a c b l
dargestellt würde, welche jedoch nie gelten kann, unzulässig, aussagen- rechnerisch = 0 ist.
Wir haben also bei der eingeführten Beschränkung der Logik anstatt (und von) den früheren 75 „einfachen“ oder „monomischen“ Urteilen nur mehr 14 abgebbare.
Achtzehnte Vorlesung.
Um jedoch völlig zu übersehen, wie weit der Bereich abgebbarer Aus- sagen durch die Einführung des Ungleichheitszeichens ausgedehnt wurde, wollen wir auch für die erste Etappe der Logik die Anzahl aller nur er- denklichen Aussagen über zwei bestimmte Klassen
A
und
B
ermitteln, indem wir nunmehr auch
Alternativen
oder
additive
Kombinationen zwischen den gefundenen 15 „einfachen“ Aussagen mit zulassen.
Zu dem Ende haben wir eine ähnliche Untersuchung anzustellen, wie sie oben ausgeführt worden. Dieselbe gestaltet sich aber jetzt, obwol es sich um erheblich kleinere Zahlen handelt, nicht ganz so einfach.
Zunächst vergegenwärtige man sich, dass die obigen 14 belangreichen (nicht nichtssagenden) „einfachen“ Urteile die Bedeutungen haben und in die 5 Elementarfächer zerfallen, wie folgt:
a
=
a
,
c
=
h
+
γ
+
δ
,
b
=
k
+
β
+
δ
,
l
=
l a
+
l α
+
m β
+
n γ
+
m n δ
,
a c
=
h
,
a b
=
k
,
a l
=
l a
,
c b
=
d
=
h k
+
δ
,
c l
=
n
=
h n
+
n γ
+
m n δ
,
b l
=
m
=
k m
+
m β
+
m n δ
,
a c b
=
h k
,
a c l
=
h l
=
h n
,
a b l
=
k l
=
k m
,
c b l
=
m n δ
,
wobei in Erinnerung zu nehmen, dass
h
und
k
ganz unter
a
fallen.
Sammeln wir die verschiedenen Vorkommnisse, welche sich vorstehend unter den fünf Elementarfächern einregistrirt finden, so erhalten wir das Tableau:
worin die Nummern in der ersten Kolonne (gleichwie auch noch weiter folgende) auf die Tafel XXII
0
verweisen sollen.
Die 8 Elemente der ersten Kolonne können durch multiplikative Verknüpfungen unter sich nicht weiter vermehrt werden; sie bilden bereits in Hinsicht der Multiplikation eine Gruppe.
Ein jedes von diesen Elementen findet sich unter den (oben aufgezählten) „einfachen“ Urteilen und kann somit abgegeben werden als eine selbständige Aussage.
An additiven Kombinationen oder denkbaren Alternativen zwischen diesen 8 Aussagen sind, ausser ihnen selbst, nur noch die 11 folgenden möglich:
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
h
+
k
= 100
h
+
l a
= 101
h
+
k m
= 65
k
+
l a
= 106
k
+
h n
= 69
h k
+
l a
= 70
h
(
k
+
n
) = 9
k
(
h
+
m
) = 11
(
h
+
k
)
l
=
h n
+
k m
= 16
h
+
k
+
l a
= 121
h k
+
h n
+
k m
= 31
(die wir als Fortsetzung der ersten Kolonne obigen Tableaus ansetzen) — sodass die Gesamtzahl der unter
a
unterscheidbaren Aussagen 19 beträgt.
Dass das System dieser 19 Aussagen nun auch hinsichtlich der Addition eine Gruppe bildet, durch additive Verknüpfungen zwischen seinen Elementen also nicht weiter vermehrt werden kann, wäre unschwer durchzuprobiren nach der Methode der Vervollständigung einer Summenreihe, welche im An- hang 6, Bd. 1, S. 653 sqq. auseinandergesetzt worden. Als Kontrole (oder bequemer) kann man aber auch bemerken, dass die 19 Ausdrücke gerade (und vollzählig) diejenigen aus der Tafel XXII
0
sind, in welchen kein ein- ziges Symbol mit Negationsstrich vorkommt.
Ebenso konnte auch unser Tableau schon aus demjenigen der S. 145 abgeschrieben werden, indem man die Ausdrücke fortliess, in welchen Negationen von
h
,
k
,
l
,
m
,
n
vorkommen.
Könnten nun auch in den folgenden vier Kolumnen unsres Tableau’s je die dreierlei Aussagen ganz unabhängig von einander (und von den unter die erste Kolumne fallenden) statuirt werden, so wäre die Sache sehr einfach und müsste:
19 × 3 × 3 × 3 × 3 — 1 = 1538
die gesuchte Zahl der Aussagen sein.
Diese ist aber nur eine obere Grenze, welche von unsrer gesuchten Zahl keinenfalls überschritten, auch nicht erreicht werden kann.
Ausser
m n δ
, welches in Gestalt von
c b l
selbständig zugelassen oder ausgeschlossen werden mag, sind nämlich die acht Aussagen in den zwei letzten Zeilen der vier letzten Kolonnen unsres Tableau’s
nicht unabhängig von einander
, überhaupt
nicht einzeln
abgebbar.
Haben wir doch nach früherem:
l α
=
a
1
c
1
b
1
l
,
m β
=
a
1
c
1
b l
,
n γ
=
a
1
c b
1
l
,
α
=
a
1
c
1
b
1
,
β
=
a
1
c
1
b
,
γ
=
a
1
c b
1
,
δ
=
a
1
c b
,
wo die Faktoren
a
1
,
c
1
und
b
1
ohne Ungleichheitszeichen nicht darstellbar sein würden. [Dass gleichwol
m n δ
=
a
1
c b l
ohne solches darstellbar ist, beruht auf dem Zufall, dass wegen
a c b l
= 0 auch
a
1
c b l
=
c b l
sein musste.]
Schröder
, Algebra der Logik. II. 11
Achtzehnte Vorlesung.
Abgesehen also von der selbständigen Aussage
m n δ
können die unter die vier letzten Kolonnen fallenden Aussagen überhaupt nur abgegeben werden in den additiven Kombinationen, welche sich bei den sechs [resp. 7] von den (14) einfachen Urteilen:
c
,
b
,
l
,
c b
,
c l
,
b l
, [
c b l
]
oben angegeben finden, und diese sieben nur steuern überhanpt zu den vier letzten Elementarfällen bei.
Es wird nichts übrig bleiben, als: die additiven Kombinationen dieser 7 Fälle nunmehr vollständig aufzusuchen nach dem Verfahren, welches in Bd. 1, Anhang 6, S. 655 sq. bei der Summenreihe auseinandergesetzt worden. Der siebente Fall bleibt beim Kombiniren ausser Betracht, weil er in allen vorhergehenden schon mitenthalten ist; nur für sich allein muss er einmal aufgeführt werden. Wir geben die Kombinationen sogleich auch immer entwickelt nach den 5 Elementarfällen an. Es sind ihrer (18 resp. ein- schliesslich der Nullaussage:) 19:
0
c
=
h
+
γ
+
δ
a c
b
=
k
+
β
+
δ
a b
l
=
l a
+
l α
+
m β
+
n γ
+
m n δ
a l
c b
=
h k
+
δ
a c b
c l
=
h n
+
n γ
+
m n δ
a c l
b l
=
k m
+
m β
+
m n δ
a b l
c b l
=
m n δ
a c b l
=
a
· 0 = 0
c
+
b
= (
h
+
k
)
+
β
+
γ
+
δ
a
(
c
+
b
)
c
+
l
= (
h
+
l a
)
+
l α
+
m β
+
γ
+
δ
a
(
c
+
l
)
b
+
l
= (
k
+
l a
)
+
l α
+
β
+
n γ
+
δ
a
(
b
+
l
)
c b
+
l
= (
h k
+
l a
)
+
l α
+
m β
+
n γ
+
δ
a
(
c b
+
l
)
c l
+
b
= (
h n
+
k
)
+
β
+
n γ
+
δ
a
(
c l
+
b
)
c
+
b l
= (
h
+
k m
)
+
m β
+
γ
+
δ
a
(
c
+
b l
)
c
(
b
+
l
) =
h
(
k
+
n
)
+
n γ
+
δ
a c
(
b
+
l
)
(
c
+
l
)
b
= (
h
+
m
)
k
+
m β
+
δ
a b
(
c
+
l
)
(
c
+
b
)
l
= (
h n
+
k m
)
+
m β
+
n γ
+
m n δ
a l
(
c
+
b
)
c
+
b
+
l
= (
h
+
k
+
l a
)
+
l α
+
β
+
γ
+
δ
a
(
c
+
b
+
l
)
c b
+
c l
+
b l
= (
h k
+
h n
+
k m
)
+
m β
+
n γ
+
δ
a
(
c b
+
c l
+
b l
)
a
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
Die ersten Glieder rechterhand sind die in das Fach
a
fallenden Alter- nativen. Man erhält dieselben durch die vier primitiven Propositionen aus- gedrückt, indem man der linken Seite der Gleichung den Faktor
a
beisetzt. Wir haben diese Ausdrücke den andern (in einer neuen Kolonne) gegen- übergestellt, und darunter noch die Proposition
a
geschrieben, weil es dann gerade die 19 Aussagen des vorhergehenden Systemes sind, die auch selb- ständig (und als unter
a
einzig mögliche) abgegeben werden konnten, und deren additive Kombinationen mit denen der andern Kolonne nun allein noch zu ermitteln sein werden.
Wären letztere von jenen unabhängig, so wäre die gesuchte Zahl der Aussagen jetzt wieder ganz einfach gefunden in Gestalt von
19 × 19 — 1 = 360.
Das sind sie aber (in ihren ersten Gliedern) augenscheinlich nicht, und darum ist auch diese Zahl wieder nur als eine „obere Grenze“ für die ge- suchte zu betrachten, diesmal aber als eine der Wahrheit näher kommende „schärfere“ oder „bessere“ Grenze.
Es scheint abermals nichts übrig zu bleiben, als dass man wirklich die 19 Fälle rechts je mit den 19 Fällen links in der Kolonne additiv durchkombinire und diejenigen Aussagen herausschreibe, welche auf eine frühere nicht zurückkommen.
Sofern es auf eine Ermittelung der fraglichen Aussagen selbst mit- ankommt, dürfte dies in der That das beste sein. Sofern es aber blos auf die Ermittelung ihrer Anzahl ankäme, kann man noch fast zwei Drittel der Arbeit sparen durch Rücksichtnahme auf die Symmetrie der Aufgabe.
Wenn nämlich z. B.
a c
mit den 19 Fällen der ersten Kolumne additiv kombinirt nur 13 neue Aussagen liefert, so muss dasselbe auch mit
a b
und mit
a l
der Fall sein, und diese müssen alle durch ihr erstes Glied oder das System der darauf folgenden Glieder sich unterscheiden. Ebenso wegen der Symmetrie hinsichtlich
c
,
b
,
l
braucht man nur zu konstatiren, dass
a c b
an neuen Aussagen
Die also unter den Kombinationen aus den vorhergehenden Triaden gleich- gebauter Ausdrücke nicht schon vertreten sein mussten.
5, darnach
a
(
c
+
b
) 10,
a
(
c b
+
l
) 4,
a l
(
c
+
b
) 2,
a
(
c
+
b
+
l
) 8
und
a
(
c b
+
c l
+
b l
) 1 (eine) durch seine additive Kombination mit den Aussagen der ersten Kolumne liefert. Die Nullaussage der einen Kolumne gibt mit den Aussagen der andern verknüpft je 18 zulässige Aussagen; ebenso aber auch die Aussage
a
der letzten Kolumne mit denjenigen der erstern. Sonach ergibt sich die gesuchte Anzahl als:
3 × (18 + 13 + 5 + 10 + 4 + 2) + 8 + 1 = 165,
wobei, wie sich dies gehört, die absurde Aussage nicht eingerechnet worden, indessen auch die nichtssagende oder leere Aussage nicht auftritt, mit welcher letztern zusammen wir
166 Aussagen
hätten.
So gross ist also die
Anzahl der Urteile
,
welche eine Logik, die sich
11*
Achtzehnte Vorlesung.
nur in universalen Urteilen bewegen darf, über zwei Klassen oder Begriffe A, B zu fällen vermag.
Wurde hienach durch die Zulassung auch partikularer Urteilsformen die Menge der „einfachen“ Urteile von 14 auf 75 (res. von 15 auf 76) und die der Urteile überhaupt von 166 auf 32 767 erhöht, so erweiterte sich also durch den genannten Prozess, welcher die Logik von ihrer ersten Etappe auf die zweite erhob, der Bereich der abgebbaren Aussagen jener Art auf mehr als das Fünffache, und der der abgebbaren Aussagen über- haupt auf mehr als das 197-fache!
So schon, wenn nur
zwei
Klassen in Betracht gezogen werden. Mit Bezug auf Urteile über drei oder mehr Klassen würden natürlich diese Ver- hältnisszahlen sich noch rapide steigern.
Wir wollen indess die 165 in universalen Urteilen möglichen Aus- sagen selber im Überblick angeben und zwar (so elegant es uns möglich) ausgedrückt in den 4 primitiven Symbolen
a
,
c
,
b
,
l
und unter Zusammen- stellung aller derer, die aussagenrechnerisch als vom selben Typus er- scheinen. Zur Kontrole ist die Anzahl der Repräsentanten eines jeden Typus auch leicht vom Mathematiker a priori zu ermitteln.
Die einander dual entsprechenden „Typen“ sollen durch den Mittel- strich getrennt nebeneinander gestellt und als ein und derselbe
„Haupt- typus“
angesehen werden.
Vier von den Typen sind als sich selber dual entsprechende zugleich Haupttypen und werden an der durchgehenden Schreibung (unter Fehlen des Mittelstriches) zu erkennen sein. Von einem der übrigen Haupttypen (an sich dem fünften) die sich demnach in zwei Typen spalten, wird nur der eine Typus in dem Tablean vertreten sein, indem sein duales Gegen- stück auf die absurde Aussage hinausläuft.
Im ganzen sind es (27 resp.) 26 Typen, welche 16 Haupttypen kon- stituiren und entsprechend der unten gegebenen Zusammenstellung aus
4 + 2 × 6 + 2 × 4 + 2 × 12 + 1 + 2 × 4 + 2 × 12 + 2 × 6 + 2 × 3 + + 4 + 12 + 2 × 12 + 2 × 4 + 2 × 6 + 4 + 2 × 1 = 165
Ausdrücken bestehen.
XXVII
0
.
Tafel der als universale möglichen Urteile
.
a
,
c
,
b
,
l
a c
,
a b
,
a l
,
c b
,
c l
,
b l
a
+
c
,
a
+
b
,
a
+
l
,
c
+
b
,
c
+
l
,
b
+
l
a c b
,
a c l
,
a b l
,
c b l
a
+
c
+
b
,
a
+
c
+
l
,
a
+
b
+
l
,
c
+
b
+
l
a
+
c b
,
a
+
c l
,
a
+
b l
a
(
c
+
b
),
a
(
c
+
l
),
a
(
b
+
l
)
a c
+
b
,
a c
+
l
,
a b
+
c
(
a
+
c
)
b
, (
a
+
c
)
l
, (
a
+
b
)
c
a b
+
l
,
a l
+
c
,
a l
+
b
(
a
+
b
)
l
, (
a
+
l
)
c
, (
a
+
l
)
b
c
+
b l
,
b
+
c l
,
l
+
b c
c
(
b
+
l
),
b
(
c
+
l
),
l
(
b
+
c
)
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
(
a c b l
= 0)
a
+
c
+
b
+
l
a
(
c
+
b
+
l
),
a
+
c b l
,
(
a
+
c
+
b
)
l
,
a c b
+
l
,
(
a
+
c
+
l
)
b
,
a c l
+
b
,
(
a
+
b
+
l
)
c
a b l
+
c
a
(
c
+
b l
),
a
(
b
+
c l
),
a
(
l
+
c b
)
a
+
c
(
b
+
l
),
a
+
b
(
c
+
l
),
a
+
l
(
c
+
b
),
(
a
+
c b
)
l
, (
a
+
c l
)
b
, (
a
+
b l
)
c
a
(
c
+
b
) +
l
,
a
(
c
+
l
) +
b
,
a
(
b
+
l
) +
c
,
(
a c
+
b
)
l
, (
a c
+
l
)
b
, (
a b
+
c
)
l
(
a
+
c
)
b
+
l
, (
a
+
c
)
l
+
b
, (
a
+
b
)
c
+
l
,
(
a b
+
l
)
c
, (
a l
+
c
)
b
, (
a l
+
b
)
c
(
a
+
b
)
l
+
c
, (
a
+
l
)
c
+
b
, (
a
+
l
)
b
+
c
a c
(
b
+
l
),
a b
(
c
+
l
),
a l
(
c
+
b
)
a
+
c
+
b l
,
a
+
b
+
c l
,
a
+
l
+
c b
(
a
+
c
)
b l
, (
a
+
b
)
c l
, (
a
+
l
)
c b
a c
+
b
+
l
,
a c
+
c
+
l
,
a l
+
c
+
b
(
a
+
c
) (
b
+
l
), (
a
+
b
) (
c
+
l
), (
a
+
l
) (
c
+
b
)
a c
+
b l
,
a b
+
c l
,
a l
+
c b
a
(
c
+
b
) +
c b
,
a
(
c
+
l
) +
c l
,
a
(
b
+
l
) +
b l
,
c b
+
b l
+
l c
a
(
c
+
b
) +
c l
,
a
(
c
+
b
) +
b l
,
a
(
c
+
l
) +
c b
,
a
(
c
+
l
) +
b l
,
a
(
b
+
l
) +
c b
,
a
(
b
+
l
) +
c l
a c
+
c b
+
b l
,
a c
+
c l
+
l b
,
a b
+
b c
+
c l
,
a b
+
b l
+
l c
,
a l
+
l c
+
c b
,
a l
+
l b
+
b c
a
(
c
+
b
) +
c b l
,
a
(
c
+
b
+
l
) +
c b
,
a
(
c
+
l
) +
c b l
,
a
(
c
+
b
+
l
) +
e l
,
a
(
b
+
l
) +
c b l
,
a
(
c
+
b
+
l
) +
b l
,
a c b
+ (
c
+
b
)
l
,
(
a
+
c
+
b
)
l
+
c b
,
a c l
+ (
c
+
l
)
b
,
(
a
+
c
+
l
)
b
+
c l
,
a b l
+ (
b
+
l
)
c
,
(
a
+
b
+
l
)
c
+
b l
,
a
(
c
+
b l
) +
c b
,
a
(
c
+
b
) + (
b
+
l
)
c
,
a
(
c
+
b l
) +
c l
,
a
(
c
+
l
) + (
b
+
l
)
c
,
a
(
b
+
c l
) +
c b
,
a
(
c
+
b
) + (
c
+
l
)
b
,
a
(
b
+
c l
) +
b l
,
a
(
b
+
l
) + (
c
+
l
)
b
,
a
(
l
+
c b
) +
c l
,
a
(
c
+
l
) + (
c
+
b
)
l
,
a
(
l
+
c b
) +
b l
a
(
b
+
l
) + (
c
+
b
)
l
a
(
c b
+
b l
+
l c
),
a
+
c b
+
b l
+
l c
,
a c
(
b
+
l
) +
c b l
,
a
(
b
+
l
) +
c
+
b l
,
a b
(
c
+
l
) +
c b l
,
a
(
c
+
l
) +
b
+
c l
,
a l
(
c
+
b
) +
c b l
a
(
c
+
b
) +
l
+
c b
Achtzehnte Vorlesung.
a c
(
b
+
l
) +
b l
a
(
b
+
l
) +
c b
+
b l
+
l c
a b
(
c
+
l
) +
c l
a
(
c
+
l
) +
c b
+
b l
+
l c
a l
(
c
+
b
) +
c b
a
(
c
+
b
) +
c b
+
b l
+
l c
a
(
c
+
b l
) +
c b l
a
(
c
+
b
+
l
) + (
b
+
l
)
c
a
(
b
+
c l
) +
c b l
a
(
c
+
b
+
l
) + (
c
+
l
)
b
a
(
l
+
c b
) +
c b l
a
(
c
+
b
+
l
) + (
c
+
b
)
l
a
(
c
+
b
+
l
) +
c b l
,
a
(
c
+
b l
) + (
b
+
l
)
c
,
a
(
b
+
c l
) + (
c
+
l
)
b
,
a
(
l
+
c b
) + (
c
+
b
)
l
a
(
c b
+
b l
+
l c
) +
c b l
a
(
c
+
b
+
l
) +
c b
+
b l
+
l c
Dass die 165 Ausdrücke der vorstehenden Tafel „in Hinsicht der Multiplikation sowol als der Addition“ eine
Gruppe
bilden, nämlich dass mittelst der beiden direkten Operationen des identischen Kalkuls durch Ver- knüpfung irgendwelcher von ihnen kein Ausdruck gebildet werden kann, der nicht einem unter ihnen identisch gleich sein müsste, ist oben zwar keines- wegs mühelos erkannt worden.
Ohne Vergleich mühevoller dürfte es aber sein, diesen Nachweis der erwähnten Gruppennatur unseres Systems von Ausdrücken direkt zu leisten, indem man die Ausdrücke auf jede erdenkliche Weise zu zweien multi- plizirte, desgleichen addirte. Dies würde 13 530 Operationen einer jeden Sorte erfordern, von denen allerdings nach Konstatirung des im System vorliegenden Dualismus die eine Sorte unterbleiben könnte, und die Menge erforderlicher Operationen der andern Sorte durch Rücksichtnahme auf die Symmetrie sich noch weiter reduziren lassen würde. Nicht ganz so hoff- nungslos dürfte allerdings ein systematisches Interaddiren sein, angewendet auf die 14 monomischen Produkte, S. 159, und, mit Rücksicht auf deren Symmetrie in drei Abteilungen, so geführt, dass jeder neu gewonnene Typus sogleich permutando mit allen seinen Repräsentanten angesetzt und nur (passiv) mit jenen zu dem Prozess des Interaddirens herangezogen würde.
Dass die Aussagen sämtlich verschieden sind wäre unter anderm leicht durch ihre Zerfällung in die 5 Elementarfächer zu erkennen. Diese liest sich jedesmal leicht aus der Tafel S. 162 heraus, indem man den
a
als Faktor enthaltenden Term des Ausdrucks in der zweiten Kolumne derselben aufsucht, den andern Term in der ersten Kolumne; dann hat man nur noch des letztern erstes Glied rechterhand additiv zu vermehren um das in der Zeile jenes erstern Terms darüber oder darunter stehende. —
„In Hinsicht der Negation“ bilden die 165 Ausdrücke keine Gruppe, indem ihre Negationen sich sämtlich nicht in der Tafel vertreten finden. Sie bilden also auch
nicht
eine „Gruppe“
schlechtweg,
in dem Sinne, wie dieser Begriff eingangs des Anhangs 6 in Bd. 1 erklärt worden — das wäre: eine Gruppe „
in Hinsicht aller drei Spezies
des identischen Kalkuls“.
Schliesslich werde die Frage beantwortet, wie viele von den gefundenen 166 rein universalen Aussagen „zerfallen“, oder was auf dasselbe hinaus- kommt, wie viele (und welche) von den weiter oben gefundenen 512 zer-
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
fallenden Aussagen rein universaler Natur sind, nämlich behufs ihrer Statuirung mit dem Subsumtions- oder Gleichheitszeichen auskommen, ohne die Anwendung eines Ungleichheits- oder auch negirten Subsumtionszeichens zu erfordern, durch welche letztere ja sich uns stets partikulare Urteile charakterisirten.
Die fraglichen
„universalen zerfallenden“
Aussagen werden am besten wol wieder a priori aufgesucht.
Sie sind aus den Symbolen:
0, 1,
h
,
k
,
m
,
n
lediglich durch Multiplikation und Addition — unter Ausschluss jedoch der Negation — aufzubauen, und kommt es also darauf an, die Symbole dieser Reihe zu einer „Gruppe“ in Hinsicht blos jener beiden direkten Spezies zu ergänzen.
Dies mag kunstlos wie folgt geschehen.
Wegen
h m
= 0 und
k n
= 0 treten als multiplikative Kombinationen blos die vier binären (oder Binionen) hinzu:
h k
,
h n
,
k m
,
m n
während Ternionen und höhere multiplikative Kombinationen nicht vor- kommen. In Hinsicht der Multiplikation allein bilden also die bisherigen zehn Symbole bereits eine Gruppe, und sind zu einer solchen auch in Hin- sicht der Addition nur mehr durch „Interaddiren“ noch zu ergänzen, wobei die Elemente 0 und 1 beiseite gelassen werden mögen.
Nun sieht man unschwer, dass von den aus den 8 übrigen Elementen durch Addition zu bildenden
= 28 Amben,
= 56 Ternen,
= 70 Quaternen bezüglich 8, 40 und 68 auf Grund der Tautologie und Absorptionsgesetze in Wegfall kommen, nämlich nichts Neues liefern, m. a. W. auf frühere additive Kombinationen hinauslaufen müssen, mithin in der That nur hinzu- kommen werden die
20 Amben:
h
+
k
,
h
+
m
,
h
+
n
,
k
+
m
,
k
+
n
,
m
+
n
;
h
+
k m
,
h
+
m n
,
h n
+
k
,
k
+
m n
,
h k
+
m
,
h n
+
m
,
h k
+
n
,
k m
+
n
;
h
(
k
+
n
), (
h
+
m
)
k
,
h k
+
m n
,
h n
+
k m
, (
h
+
m
)
n
, (
k
+
n
)
m
, 16 Ternen:
h
+
k
+
m
,
h
+
k
+
n
,
h
+
m
+
n
,
h
+
k
+
m n
,
h
+
k m
+
n
,
h
+ (
k
+
n
)
m
,
k
+
m
+
n
,
h n
+
k
+
m
, (
h
+
m
)
n
+
k
,
h k
+
m
+
n
,
h
(
k
+
n
) +
m
, (
h
+
m
)
k
+
n
;
h k
+
h n
+
k m
,
h k
+
h n
+
m n
,
h k
+
k m
+
m n
,
h n
+
k m
+
m n
, 2 Quaternen:
h
+
k
+
m
+
n
, (
h
+
m
) (
k
+
n
),
während höhere additive Kombinationen zu fünf oder mehrern zwischen obigen acht monomischen Aussagen nicht in Betracht kommen können.
Achtzehnte Vorlesung.
Bei Einrechnung der identischen und Ausschluss der absurden Aussage gibt also die Zahl:
1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47
die Antwort auf die gestellte Frage. —
Nachdem freilich Tafel XXVII
0
gewonnen ist, lässt sich die Frage am allerbequemsten erledigen, indem man diejenigen von den 165 Ausdrücken der Tafel aufsucht, welche
lediglich
(vergl.
h
,
k
,
m
,
n
in XVII
0
) aus den acht Monomen
a c
,
a b
,
c l
,
b l
,
a c b
,
a c l
,
a b l
,
c b l
additiv aufgebaut er- scheinen. Man findet deren bezüglich 12, 29 und 5 auf den drei Seiten über die sich die Tafel erstreckt.
Nach diesem Exkurse wenden wir uns nunmehr dem allgemeineren Probleme zu.
Problem
. Gesucht die
Anzahl der
inhaltlich verschiedenen
Urteile
(Aussagen),
welche die
formale
Logik zu fällen
(abzugeben)
vermag über n Begriffe
(Klassen).
Nach Herrn
Peano
1
lautet die Lösung:
.
Für
Will man nicht 𝔫 verwenden, so ist von der frühern Bedeutung des
n
als einer Aussage zeitweilig abzusehen.
n
= 1 berechnet sich dies zu:
,
und in der That sind folgende
sieben
: 0 = 0,
A
= 0,
A
= 1,
A
≠ 0,
A
≠ 1, (
A
= 0) + (
A
= 1), (
A
≠ 0) (
A
≠ 1) die über
eine
Klasse
A
ausschliesslich fällbaren Urteile, deren letzte sechs jedoch auch in den bezüglich äquivalenten Formen statuirt werden könnten:
A
1
= 1,
A
1
= 0,
A
1
≠ 1,
A
1
≠ 0, (
A
1
= 1) + (
A
1
= 0), (
A
1
≠ 1) (
A
1
≠ 0), (
A
= 0) + (
A
1
= 0), (
A
≠ 0) (
A
1
≠ 0), (
A
1
= 1) + (
A
= 1), (
A
1
≠ 1) (
A
≠ 1).
Um jenes nachzuweisen, braucht man sich blos davon zu über- zeugen, dass (in unsrer früheren Bezeichnung) die sieben Aussagen
1߭,
h
,
m
,
h
1
,
m
1
,
h
+
m
,
h
1
m
1
zusammen mit der unzulässigen weil absurden Aussage 0 eine „Gruppe“ bilden, und gelingt dieser Nachweis leicht bei Berücksichtigung der in Tafel XV
0
schon mit aufgeführten Hülfssätze:
h m
= 0,
h m
1
=
h
,
h
1
m
=
m
,
h
+
m
1
=
m
1
,
h
1
+
m
=
h
1
,
h
1
+
m
1
= 1߭
§ 39. Die möglichen Aussagen über
n
Klassen.
welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un- mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (
A
= 0) (
A
= 1) = 0 erscheinen.
Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse neben
A
ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als „primitive“ Urteile über
A
offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen behauptet erscheint, dass
A
(oder
A
1
) gleich, oder ungleich, 0 oder 1 ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen- kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus- sage 1߭ hinzu, und ist die
Peano’
sche Zahl erwiesen.
Die vier primitiven Aussagen
h
,
m
,
h
1
,
m
1
würden in Worten sich etwa wie folgt darstellen:
h
= (
A
= 0) = Es gibt keine
A
= Nichts ist
A
;
m
= (
A
= 1) = Es gibt nichts, was nicht
A
wäre = Alles ist
A
;
h
1
= (
A
≠ 0) = Es gibt
A
= Etwas (Einiges) ist
A
;
m
1
= (
A
≠ 1) = Es gibt Nicht-
A
’s = Nicht alles ist
A
= Etwas ist nicht
A
.
Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile
h
1
m
1
und
h
+
m
in Worte zu kleiden.
Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation der beiden andern. Jede Aussage über
A
allein kann also nur eine Funktion im identischen Kalkul
f
(
h
,
m
) dieser beiden Argumente sein, und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen.
Die Gesamtheit 1߭ aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten
h
,
m
entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten:
1߭ =
h m
1
+
h
1
m
+
h
1
m
1
sintemal
h m
= 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke- lungsschema’s also verschwinden muss.
Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand aus 2
2
— 1) kann in unsrer Entwickelung von
f
(
h
,
m
) ein jeder nur entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem 1߭ auftreten. Somit erhalten wir
2 × 2 × 2 = 2
3
= 8
Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet
Achtzehnte Vorlesung.
wären, mithin die Behauptung:
f
(
h
,
m
) gilt, also
f
(
h
,
m
) = 1߭, auf die Absurdität 0 = 1߭ hinauslaufen würde. Die gesuchte Anzahl muss darnach gleich 8 — 1 oder 7 sein.
Dies war ein zweiter und vielleicht der direkteste Weg, zu
Peano’
s Anzahl zu gelangen — womit sich der erste Unterfall des allgemeinen Problems erledigte.
Für
n
= 2 erhalten wir nach
Peano’
s Formel:
als die Anzahl der über
zwei
Begriffe
A
,
B
abgebbaren Aussagen — in Übereinstimmung mit dem schon oben von uns Gefundenen.
Um dieses Ergebniss nunmehr auch auf dem kürzesten Wege ab- zuleiten, will ich bei dem hohen Interesse, welches das Problem zu bieten scheint, über dasselbe gewissermassen einen selbständigen Vor- trag halten (ohne auf früheres dabei Bezug zu nehmen).
Als Ausdrucksmittel, über welche wir Verfügung haben, setze ich die gewöhnlichen voraus, aus welchen die schulmässige Logik die Prämissen und Konklusionen ihrer (einfachen kategorischen) Syllogis- men schmiedet. Diese Ausdrucksmittel erscheinen sämtlich in dem Satzfragmente vertreten:
„
Alle oder einige A sind nicht B
,
und
… “
Wir verfügen über die Kopula „sind“ (oder „ist“), über die Binde- wörter, Konjunktionen „und“ und „oder“, und über die Verneinungs- partikel „nicht“, endlich über die unbestimmten (adjektivischen) Zahl- wörter oder numeralen Adjektive „alle“ sowie „einige“.
Bestimmte Zahlwörter hingegen sind natürlich auszuschliessen, ansonst wir ja in Gestalt von:
Nur
ein A
ist
B
, Gerade
zwei A
sind
B
,
Drei A
sind
B
, etc. ersichtlich eine unbegrenzte Menge von Aussagen oder Urteilen abzugeben vermöchten.
Es sind mithin nur die obigen
sechs
Worte, auf deren Gebrauch wir bei den in Frage kommenden Urteilen sollen angewiesen sein.
Nach Bd. 1, S. 353 sq. könnte sogar von den beiden Konjunktionen irgend eine entbehrt werden, sodass wir zur Not schon mit
fünf
Worten auskämen.
Sicherlich, wenn ein Unbefangener veranlasst würde, eine Vermutung darüber niederzulegen, wie vielerlei Urteile sich mit diesem einfachen Wort- vorrate über
A
und
B
wol fällen lassen möchten, so würde derselbe un- geachtet vorgängiger Warnung die Zahl noch immer viel zu niedrig greifen!
§ 39. Die möglichen Aussagen über
n
Klassen.
Gegenüber den Gepflogenheiten der Wortsprache gestatten wir uns allerdings die Freiheit, die Verneinungspartikel auch beim Subjekt des Urteils anzubringen, mithin auch Urteile zu bilden wie dieses: Alle Nicht-
A
sind
B
(„Quali-fikation des Subjektes“! — der sogenannten „Quantifikation des Prädikates“ dagegen mögen wir entraten).
Wir sind darnach im stande, über
A
und
B
zunächst die acht
De Morgan’
schen Urteile zu statuiren:
a
= (
A B
= 0),
b
= (
A
1
B
= 0),
c
= (
A B
1
= 0),
l
= (
A
1
B
1
= 0),
a
1
= (
A B
≠ 0),
b
1
= (
A
1
B
≠ 0),
c
1
=
A B
1
≠ 0),
l
1
= (
A
1
B
1
≠ 0), und sei erinnert, dass in Worten lautet:
a
= (Alle
A
sind nicht
B
),
a
1
= (Einige
A
sind
B
),
woraus nun aber die andern Urteile hervorgehen werden mittelst Er- setzung von
A
durch
A
1
, oder nicht-
A
, ev. von
B
durch
B
1
, d. h. nicht-
B
, und ersichtlich wird, dass wirklich durchaus mit unsern sechs Worten auszukommen ist.
Dabei bleiben schon Vereinfachungen unbenommen, wie man denn z. B.
c
sprechen wird = (Alle
A
sind
B
) nämlich „nicht nicht-
B
“, etc.
Sozusagen als ein verfügbarer Luxus steht uns übrigens alsbald eine viel grössere copia verborum und Fülle von Ausdrucksweisen zu Gebote.
So mag
a
auch = (Kein
A
ist
B
) gesprochen werden, und neben „alle“ und „einige“ verfügen wir auch über das numerale Adjektiv „keine“.
Ferner mag
c
= (Jedes
A
ist
B
) lauten, etc.
Auch stehen uns schon bejahende sowol als verneinende Existenzial- urteile zu Gebote. So wäre die Aussage: (Nichts ist
A
), = (Es gibt keine
A
) äquivalent der als simultane zusammengesetzten Aussage: (Alle
A
sind
B
)
und
zugleich (Kein
A
ist
B
, sive: Alle
A
sind nicht
B
); wogegen die Aussage: (Es gibt
A
) = (Etwas ist
A
) auf die Alternative von
De Mor- gan’
schen Urteilen hinausliefe: Entweder „einige
A
sind
B
“
oder
„einige
A
sind nicht
B
“ — wobei das „zugleich“ sowie das „entweder“ blos rheto- rische Verzierung. Wir verfügen somit auch schon über „nichts“, etwas und „alles“. „Alles ist
A
“ käme hinaus auf „Nichts ist nicht-
A
“. Etc. Wir verfügten, falls wir wollten, auch über das Relativpronomen, könnten reden von den
A
,
welche B
sind, z. B.
a
1
übersetzen mit: Es gibt
A
, die
B
sind. Etc. Mit „und“ zugleich wird uns „sowol als auch“, mit „entweder ‥ oder“ wird uns mittelst Verneinung auch „weder ‥ noch“ gegeben erscheinen. Etc. Doch dies nur nebenbei.
Wir brauchen nun blos zu untersuchen, wie vielerlei Aussagen sich mittelst der Partikeln „und“, „oder“ (und „nicht“, die aber schon entbehrt werden könnte) aus den acht
De Morgan’
schen Urteilen aufbauen lassen, so werden wir eine Zahl erhalten, die jedenfalls nicht grösser sein kann, als die gesuchte Anzahl der überhaupt erdenklichen
Achtzehnte Vorlesung.
Aussagen über
A
und
B
. Dieselbe kann aber auch nicht kleiner sein, als diese gesuchte Anzahl, sofern sich zeigen lässt, dass jede erdenk- liche Aussage über
A
oder
B
sich als eine Funktion
F
(
a
,
b
,
c
,
l
)
des Aussagenkalkuls aus den vier primitiven
De Morgan’
s muss zu- sammensetzen lassen.
In der That ist ein jedes kategorische Urteil über
A
und
B
ent- weder ein universales und dann durch eine Gleichung, oder es ist ein partikulares und dann durch eine Ungleichung mit der rechten Seite 0 darstellbar. Und andre als kategorische Urteile können wir mit unserm Wort-Kapitale zunächst nicht bilden; aus solchen erst, als Elementen, werden hernach auch mittelst der Bindewörter „oder“ und „und“ sich zusammengesetzte Aussagen ableiten lassen, die als dis- junktive Urteile oder Alternativen resp. als simultane Aussagen, Aus- sagensysteme sich hinstellen lassen.
Die Negation
an
Aussagen kann ausser Betracht bleiben, indem sie an einer zusammengesetzten Aussage sich allemal „ausführen“ lässt, wo- durch Summen in Produkte, sowie umgekehrt, gemäss Th. 36) übergehen; indem sie ferner an den als Elemente einer solchen auftretenden kategori- schen Urteilen ausgeführt, lediglich bewirkt, dass die universalen in parti- kulare, und diese in jene sich umwandeln.
Solche elementare Aussage nun, geschrieben als Gleichung oder Ungleichung mit der rechten Seite 0, wird als Polynom linkerhand einen Ausdruck aufweisen, der als eine Funktion (identischen Kalkuls) von den Argumenten
A
und
B
, somit als
f
(
A
,
B
) zu bezeichnen ist, nämlich aus diesen Argumenten ganz und gar mittelst der Partikeln „
und
,
oder
,
nicht
“ sich aufbaut
Wird „einige
A
“ mit
A
', „einige nicht-
A
“ mit
A
1
', und analog in
B
, etc. dargestellt, so scheint bei Zulassung von Ausdrücken, wie (
A
'
B
1
+
A
1
'
B
)', sich aller- dings noch ein weiteres Feld von erdenklichen Aussagen, als dasjenige, worauf unsre Untersuchung sich beschränkt, auf den ersten Blick zu ergeben.
, m. a. W. aus
A
,
B
,
A
1
,
B
1
, blos mit den beiden ersten von diesen Partikeln.
Jenes Polynom
f
(
A
,
B
) kann nach den Argumenten „entwickelt“ werden, und setzt sich aus irgendwelchen von den Konstituenten der 1:
1 =
A B
+
A B
1
+
A
1
B
+
A
1
B
1
notwendig additiv zusammen — indess (bei Gleichung) nicht aus allen vieren, weil die Gleichung
f
= 0 dann auf 1 = 0 hinausliefe (auch
§ 39. Die möglichen Aussagen über
n
Klassen.
bei Ungleichung im Grunde nicht, weil in solchem Falle die Aussage als 1 ≠ 0 eine nichtssagende würde und als simultan abgegebne zu unterdrücken wäre etc.). Nach den auch auf drei Terme
α
,
β
,
γ
zu verallgemeinernden Schemata (die irgend welche von unsern 4 Kon- stituenten rechts repräsentiren sollen):
(
α
+
β
= 0) = (
α
= 0) (
β
= 0), (
α
+
β
≠ 0) = (
α
≠ 0) + (
β
≠ 0)
liefe also die Aussage
f
= 0 sowol wie die
f
≠ 0 auf lauter „primi- tive“ oder
De Morgan’
sche Urteile hinaus. Und jede Funktion von solchen Produkten oder Summen
De Morgan’
scher Urteile muss wiederum eine Funktion auch von diesen Urteilen selbst sein, d. h. wir haben
F
(
a
,
b
,
c
,
l
) als die allgemeinste Aussage, wie oben be- hauptet worden.
Diese Funktion
F
können wir uns ihrerseits wieder nach ihren vier Argumenten
a
,
b
,
c
,
l
entwickelt denken. Die Entwickelung prä- sentirt sich als irgend eine additive Kombination gebildet aus den Konstituenten der Entwickelung der 1߭ des Aussagenkalkuls, welche ja alle erdenklichen Gelegenheiten zu einer Aussage in eine Klasse zusammenfasste, sie vereinigte zu der Klasse der überhaupt möglichen Fälle. Von den 2
4
= 16 Konstituenten dieser Entwickelung ver- schwindet aber der erste. Wir haben die Inkonsistenz:
a b c l
= 0
weil, wie schon S. 138 ausgeführt, die gleichzeitige Geltung der vier linkseitigen Faktoraussagen die Forderung 1 = 0 involviren würde.
Und somit haben wir:
1 =
a b c l
1
+
a b c
1
l
+
a b c
1
l
1
+
a b
1
c l
+
a b
1
c l
1
+
a b
1
c
1
l
+
a b
1
c
1
l
1
+ +
a
1
b c l
+
a
1
b c l
1
+
a
1
b c
1
l
+
a
1
b c
1
l
1
+
a
1
b
1
c l
+
a
1
b
1
c l
1
+
a
1
b
1
c
1
l
+
a
1
b
1
c
1
l
1
Jeder von diesen 2
4
— 1 = 15 Konstituenten ist in der Entwickelung unsrer Aussage
F
(
a
,
b
,
c
,
l
) = 1߭ entweder gar nicht oder ganz als Glied vertreten, nur können nicht sämtliche Konstituenten darin den Koeffizienten 0 haben, weil sonst die Aussage auf 0 = 1߭ hinauskäme. Wir haben also an möglichen Bildungsweisen des
F
diese
,
wovon die erwähnte letzte in Abzug zu bringen ist, und 2
15
— 1 als die hiermit gefundene Anzahl der über
A
und
B
abgebbaren Aus- sagen bleibt.
Unter Festhalten der Reihenfolge obiger 15 Konstituenten könnte man
Achtzehnte Vorlesung.
die Koeffizienten 0 und 1, mit denen behaftet sie in der Entwickelung unsres Aussagenpolynoms
F
auftreten, jeweils zu einer fünfzehnstelligen dyadischen Systemzahl zusammenstellen, und würden so alle 2
15
= 32 768 überhaupt denkbaren Aussagen eine bestimmte Reihenfolge erhalten, wobei die erste derselben mit der Nummer 0̅0̅0̅ …̅ 0̅0̅, als absurde, unzulässig, die letzte 1̅1̅1̅ …̅ 1̅1̅, als identische, selbstverständlich zu nennen wäre — wie dies schon Herr
Franklin
1
bemerkte.
Auf diese Weise würde ihre Mannigfaltigkeit sich aber doch bei weitem nicht so gut übersehen lassen, als bei unsrer früheren Anordnung derselben. —
Zum Schluss dieser Betrachtung noch ein paar Bemerkungen.
Von Interesse ist noch die Frage nach Zahl und Art der
Typen,
in welche unsre 32 767 Aussagen sich einordnen.
Vom Typus einer solchen kann man in zweierlei Hinsicht reden: „aussagenrechnerisch“ indem man gleichen Typus allen den Aussagen zu- schreibt, welche durch Vertauschungen unter den acht
De Morgan’
schen Urteilen
a
,
b
, ‥
l
1
in einander übergeführt werden können. [Diese Frage, die vom geringeren Interesse, dürfte unschwer im Anschluss an
Clifford’
s Untersuchungsergebnisse in Bd. 1, Anhang 6 zu beantworten sein.] Zweitens „klassenrechnerisch“, indem man zum selben Typus nur diejenigen Aus- sagen zählt, welche durch Vertauschungen unter den
Klassen
symbolen
A
,
B
,
A
1
,
B
1
in einander überführbar sind. Hiernach müssten schon
a
1
,
b
1
,
c
1
,
l
1
als partikulare Urteile unter einem ganz andern Typus rangiren als wie die universalen
a
,
b
,
c
,
l
.
Vor allem wäre hier in Rücksicht zu ziehen, dass die folgenden fünf Systeme von Vertauschungen „gestattet“ erscheinen, nämlich die ganze Aussagengruppe nur in sich selbst transformiren:
1)
(
A
,
A
1
) (
a
,
b
) (
c
,
l
)
4)
(
A
,
B
) (
b
,
c
)
(
a
1
,
b
1
) (
c
1
,
l
1
)
(
A
1
,
B
1
) (
b
1
,
c
1
)
2)
(
B
,
B
1
) (
a
,
c
) (
b
,
l
)
5)
(
A
,
B
1
) (
a
,
l
)
(
a
1
,
c
1
) (
b
1
,
l
1
)
(
B
,
A
1
) (
a
1
,
l
1
)
3)
(
A
,
A
1
) (
B
,
B
1
) (
a
,
l
) (
b
,
c
)
(
a
1
,
l
1
) (
b
1
,
c
1
)
Darnach wäre leicht darzuthun, dass z. B. bei
einer
„Aushebung“ (die bei
Clifford
den
einen
Typus der monomischen Aussage lieferte) sich be- reits fünferlei Typen mit 4 + (4 + 2) + 4 + 1 = 15 Formen ergeben, die wir je in einer Zeile zusammenstellen:
1. Typ.
a
1
b c l
,
a b
1
c l
,
a b c
1
l
,
a b c l
1
;
2. Typ.
a
1
b
1
c l
,
a
1
b c
1
l
,
a b
1
c l
1
,
a b c
1
l
1
;
3. Typ.
a
1
b c l
1
,
a b
1
c
1
l
;
4. Typ.
a b
1
c
1
l
1
,
a
1
b c
1
l
1
,
a
1
b
1
c l
1
,
a
1
b
1
c
1
l
;
5. Typ.
a
1
b
1
c
1
l
1
.
§ 39.
Peano’
s Anzahl der Aussagen über
n
Klassen.
Wie viele Typen gibt es nun aber bei
zwei,
und mehr (bis zu 14) Aushebungen, und wie viele im Ganzen? Hier signalisirt sich wiederum ein Problem, bei dem die Lösung noch schwieriger sein dürfte als bei dem von
Clifford
behandelten und auf das auch schon Miss
Ladd
1
p. 67 hinweist. —
Fasste man den Begriff des sog. „
einfachen
Syllogismus“ so
weit,
wie erdenklich, so würde eine
vollständige
Syllogistik nunmehr die Aufgabe haben, aus einem jeden von den 32 767 Urteilen die über
A
und
B
ge- fällt werden können, in Verbindung mit einem jeden von den 32 767 Ur- teilen, die (ebenso) über
B
und
C
sich fällen lassen, den „Mittelbegriff“
B
zu eliminiren somit die Konklusion aufzusuchen, welche aus solchen zwei Prämissen in Bezug auf
A
und
C
eventuell fliesst, sofern nämlich diese Prämissen nur überhaupt eine gültige (von
B
unabhängige) Folgerung zu ziehen gestatten (yield).
Von diesen 32 767
2
= 1 073 676 289 Untersuchungen würden aber nur 32 767 × 16 384 = 536 854 528 in der Hinsicht unter sich ver- schieden sein, dass sie nicht durch blosse Vertauschung von
A
und
C
auf andere von ihnen zurückkommen, und auch diese Zahl liesse sich noch wegen Vertauschbarkeit von
B
und
B
1
auf etwas mehr als die Hälfte reduziren.
In dem Umstand, dass die Bewältigung einer solchen Menge von Auf- gaben doch nicht mehr praktikabel sein würde, liegt für uns eine Mahnung, uns nicht in Einzeluntersuchungen zu verlieren, vielmehr bald darauf aus- zugehen, die
Methoden
des Schliessens ganz allgemein weiterzuentwickeln.
Um nunmehr allgemein
Peano’
s Formel abzuleiten, die Anzahl der über
n
Begriffe
A
,
B
,
C
… abgebbaren Aussagen zu ermitteln, wollen wir die allgemeinsten Überlegungen gelegentlich durch den Hinblick auf den Fall
n
= 3 noch besonders illustriren, wo
A
,
B
,
C
die gegebenen Begriffsumfänge oder Klassen sein werden.
Jede erdenkliche Aussage, sofern sie sich aus einfacheren Aus- sagen zusammensetzt, kann ganz aus
Gleichungen
nebst Verneinungen solcher, als
Ungleichungen
, aussagenrechnerisch aufgebaut werden.
Eine Gleichung, in welche die Klassen
A
,
B
,
C
, … eingehen, hätte allgemein die Form:
φ
(
A
,
B
,
C
, …) =
ψ
(
A
,
B
,
C
, …);
sie kann aber rechterhand auf Null gebracht werden, wonach sie lauten wird:
f
(
A
,
B
,
C
, …) = 0,
wo wie
φ
,
ψ
, so auch
f
irgend welche Funktion — nach dem im iden- tischen Kalkul gültigen Funktionsbegriffe — sein wird. Und bei der Verneinung einer solchen Gleichung tritt nur das Ungleichheits- zeichen ≠ an die Stelle ihres Gleichheitszeichens.
Achtzehnte Vorlesung.
Das „Polynom“ einer solchen Gleichung oder Ungleichung ist irgend ein Element der „Gruppe“
G
(
A
,
B
,
C
, …) als deren Elementezahl wir in Bd. 1, Anhaug 6 die Zahl 2
n
gefunden haben. Es kann daher auch nur 2
n
solcher Gleichungen geben, von welchen jedoch die absurde 1 = 0 in Ab- zug zu bringen wäre, desgleichen sind 2
n
Ungleichungen denkbar, von welchen die Verneinung der absurden als nichtssagende zulässig bleibt. Indessen soll von diesen Ergebnissen hier gar kein Gebrauch gemacht werden.
Die linke Seite unsrer rechts auf 0 gebrachten Gleichung oder Ungleichung kann nach ihren
n
Argumenten
A
,
B
,
C
, … „entwickelt“ gedacht werden. Da von andern Klassen als ebendiesen nicht ge- sprochen werden durfte, so können als Koeffizienten in gedachter Ent- wickelung nur mehr 0 und 1 auftreten. Das heisst: unser Polynom
f
(
A
,
B
,
C
, …), oder
f
, setzt sich additiv zusammen aus irgend welchen (nur bei der Gleichung nicht gerade sämtlichen) Konstituenten der Entwickelung der identischen Eins nach denselben Argumenten, welche lautet:
1 =
A B C
‥ + … +
A
1
B
1
C
1
…
und wie bekannt 2
n
Glieder besitzt.
Sind
a
,
b
,
c
,
d
, … die zu
f
zusammentretenden Glieder, sodass
f
=
a
+
b
+
c
+
d
+ …, so lässt sich aber nach Th. 24
+
) die Gleichung
f
= 0 zerspalten in das Produkt (System) einfacherer Gleichungen:
(
f
= 0) = (
a
= 0) (
b
= 0) (
c
= 0) (
d
= 0) …
und demgemäss lässt auch nach Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) die Ungleichung
f
≠ 0 sich zerlegen in die Summe (Alternative) von einfacheren Un- gleichungen:
(
f
≠ 0) = (
a
≠ 0) + (
b
≠ 0) + (
c
≠ 0) + (
d
≠ 0) + …
Jede Funktion von lauter irgendwie gebildet gewesenen Glei- chungen und Ungleichungen wird also auch sein: eine Funktion von diesen einfacheren Gleichungen und Ungleichungen, und
nur
von diesen — die sich ergeben, indem man die 2
n
Konstituenten obiger Entwickelung (der 1) einzeln = resp. ≠ 0 setzt.
Diese einfacheren Propositionen wollen wir die „
primitiven
“ nennen und mit
α
,
β
,
γ
, …
α
1
,
β
1
, … bezeichnen. Sie kommen (höchstens) in der Anzahl zwei mal 2
n
in Betracht, stellen sich dar als 2
n
Aussagen nebst deren (ebensovielen) Verneinungen, sodass wir häufig auch nur von
den
2
n
primitiven Aussagen
α
,
β
,
γ
, … reden mögen — ihre Negationen als selbstverständlich dazu gehörige mit Stillschweigen übergehend.
Für
n
= 3, wo 2
3
= 8, ist:
§ 39.
Peano’
s Anzahl der Aussagen über
n
Klassen.
α
= (
A B C
= 0),
β
= (
A B C
1
= 0),
γ
= (
A B
1
C
= 0),
δ
= (
A B
1
C
1
= 0),
ε
= (
A
1
B C
= 0),
ζ
= (
A
1
B C
1
= 0),
η
= (
A
1
B
1
C
= 0),
ϑ
= (
A
1
B
1
C
1
= 0);
α
1
= (
A B C
≠ 0),
β
1
= (
A B C
1
≠ 0), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϑ
1
= (
A
1
B
1
C
1
≠ 0) der vollständige Überblick derselben.
Unser Ergebniss war:
Jede über die n Klassen A
,
B
,
C
, …
abgeb- bare Aussage
, auch jedes erdenkliche System und jede Alternative von solchen Aussagen,
ist eine Funktion
(im identischen Kalkul, in seiner Anwendung als
Aussagen
kalkul)
von den
2
n
primitiven Aussagen
,
und nur von diesen
, aus denen sie ausschliesslich aufgebaut erscheint. Die (Gesamt-) Aussage hat die Form:
F
(
α
,
β
,
γ
, …).
Bei
n
= 3 ist sie mithin darstellbar durch
F
(
α
,
β
,
γ
,
δ
,
ε
,
ζ
,
η
,
ϑ
).
Diese Funktion kann nach ihren 2
n
Argumenten „entwickelt“ werden. Die Entwickelung setzt sich zusammen aus irgendwelchen Konstituenten, hervorgehoben aus der identischen Entwickelung der Aussagen-Eins:
1߭ =
α β γ δ
‥ + … +
α
1
β
1
γ
1
δ
1
‥
nach ebendiesen Argumenten. Solche Entwickelung hat a priori 2
m
Glieder, wenn
m
= 2
n
die Zahl der Argumente vorstellte. Von diesen Gliedern ist aber das erste aussagenrechnerisch gleich null, nämlich:
α β γ δ
… = 0
eine Inkonsistenz, indem das gleichzeitige Erfülltsein der linkseitigen Faktoraussagen stipuliren würde: das gleichzeitige Verschwinden sämt- licher 2
n
Konstituenten jener Entwickelung der Klassen-Eins 1 nach den
n
Argumenten
A
,
B
,
C
, …, mithin, da ihre Summe bekanntlich eben gleich 1 ist, auf die absurde Forderung 1 = 0 hinausliefe.
Es wird also von unsern 2
m
Gliedern das erste zu unterdrücken sein, und bleiben nur
r
= 2
m
— 1
Konstituenten zur Summe 1߭ vereinigt stehen.
Unsre Funktion (Aussage)
F
kann nur sein eine additive Kombi- nation von irgend welchen dieser
r
Glieder. Nicht nur weil in
F
keine andern als die
m
primitiven Aussagen
α
,
β
,
γ
, … als Argumente
Schröder
, Algebra der Logik. II. 12
Achtzehnte Vorlesung.
oder Parameter des Funktionsausdrucks vorkamen, sondern auch schon aus dem Grunde, weil im Aussagenkalkul bekanntlich
alle
Symbole lediglich der Werte 0 oder 1߭ fähig sind, können als Koeffizienten in der Entwickelung von
F
nur die beiden 0 und 1߭ auftreten. D. h. jeder unsrer
r
Konstituenten ist in dieser Entwickelung entweder gar
nicht
, oder
ganz
, als Summand vertreten; wir haben für jeden dieser Konstituenten
zwei
Möglichkeiten, und können daher im Ganzen auf:
Arten die Funktion
F
zusammengesetzt denken.
Von diesen läuft aber
eine
auf die Aussagenabsurdität 1߭ = 0 hinaus, diejenige nämlich bei welcher alle unsre
r
Konstituenten un- vertreten blieben, zum Koeffizienten 0 erhielten. Dann müsste näm- lich auch
F
als deren Summe den Wert 0 haben; soferne aber
F
ausgesagt, statuirt, als gültig hingestellt wird, hätten wir
F
= 1߭ an- zuerkennen und gelangten so zu einem Widerspruche.
Die gesuchte Anzahl der
zulässigen
Aussagen ist hiermit:
2
r
— 1
und dies geht in
Peano’
s Ergebniss über
Herr
Peano
bringt auch die identische Aussage 1߭ = 1߭, (oder 0 = 0), bei welcher keiner von den
r
Konstituenten (als Glied der Alternative) fehlen würde, hiervon noch in Abzug; er findet: 2
r
— 2.
, wenn in den Ausdruck die obigen Werte von
r
und
m
rückwärts eingesetzt, restituirt werden; q. e. d.
Bei n
= 3 ist
m
= 2
3
= 8 und:
1߭ =
α β γ δ ε ζ η ϑ
1
+
α β γ δ ε ζ η
1
ϑ
+
α β γ δ ε ζ η
1
ϑ
1
+ … +
α
1
β
1
γ
1
δ
1
ε
1
ζ
1
η
1
ϑ
1
mit
r
= 2
8
— 1 = 255 Gliedern, und lassen sich
2
255
— 1 = (rund) 57 896 × 10
72
zulässige Bildungsweisen von
F
denken.
Mithin gibt es über drei Begriffe A
,
B
,
C mehr als fünfzigsieben tausend Trillionen Quadrillionen
(inhaltlich verschiedene)
fällbare Urteile
.
Und über
vier
Klassen
A
,
B
,
C
,
D
lassen sich
verschiedene Aussagen abgeben, das sind ihrer so viele als eine Zahl an- gibt, die sich mit 19 729 Ziffern schreibt — die drei ersten Ziffern sind 100 und folgt auf sie eine 2 oder 3. —
Neunzehnte Vorlesung
.
§ 40.
Umschau über die gelösten und noch zu lösende Probleme.
Mitchell’
s allgemeine Form der gegebene Urteile zusammen- fassenden Gesamtaussage.
Indem wir eine Rekapitulation gewisser früheren Sätze noch nahe- liegend ergänzen, — so, wie es durch den Hinzutritt, behufs Mit- einbeziehung, der Ungleichheitszeichen geboten erscheint — wollen wir mit Miss
Christine Ladd
1
(nunmehr Frau
Franklin
) zunächst folgende Theoreme des identischen Kalkuls hervorheben — wobei, Raummangels halber, der Mittelstrich zu brechen ist:
α
)
. In diesen sollen
a
,
b
wieder
irgendwelche
Gebiete vorstellen, und fakul- tativ dürfen sie also selbst auch Aussagen bedeuten.
Die Theoreme links vom Strich, d. i. in den beiden ersten Zeilen sind denen rechts oder in den zwei letzten Zeilen
gebietsdual
(nicht aber aussagendual) entsprechend, und brauchen wir daher nur etwa auf die letztern näher einzugehen.
Die erste rechts ist das bekannte Th. 24
+
); die zweite geht daraus durch beiderseitiges Negiren (Kontraposition) gemäss Th. 3̅2̅) und 3̅6̅
×
) hervor.
Die dritte sagt weiter nichts aus, als dass — nach Th. 22
×
) — ein Produkt verschwinden muss, wenn einer seiner Faktoren ver- schwindet; es drückt nämlich die linke Seite oder Prämisse der Aus- sagensubsumtion: (
a
= 0) + (
b
= 0) die Annahme aus, dass entweder
a
oder
b
für sich verschwinde (oder auch beide zusammen), wo dann immer auch
a b
verschwinden muss, d. h. die Konklusion oder Be- hauptung der Aussagensubsumtion, ihre rechte Seite, notwendig gilt;
12*
Neunzehnte Vorlesung.
doch ist der Schluss nicht umkehrbar, indem, wie wir wissen, ein Produkt
a b
auch verschwinden kann, ohne dass einer seiner Faktoren 0 wird — welche vielmehr nur disjunkt zu sein brauchen. Aus der dritten Formel geht die vierte wiederum durch Kontraposition gemäss Th. 3̅7̅) und 3̅6̅
+
) hervor.
Von zweien sind die sämtlichen Sätze
α
) leicht auf beliebig viele Operationsglieder auszudehnen, wofür sie lauten:
β
)
,
und wo die Summen- und Produktenzeichen sich über eine
beliebige
Reihe von Gebietsymbolen
a
,
a
',
a
'', … erstrecken — nur: in einer jeden Formel
beiderseits über die nämliche Reihe
.
Eine Gleichung kann man sich jederzeit rechts auf 0 gebracht denken, oder auch, wenn man will, auf 1. Dasselbe gilt darnach auch von einer Ungleichung. Vergl. die Theoreme 39) und 3̅2̅). Nach letzterem, wenn z. B. (
a
=
b
) = (
a b
1
+
a
1
b
= 0) ist, muss ja auch: (
a
≠
b
) = (
a b
1
+
a
1
b
≠ 0) sein, etc.
Mit Rücksicht hierauf können wir nun sagen, dass die Theoreme der ersten Zeile von
α
) oder
β
) lehren: Ein
Produkt von Gleichungen
und eine
Summe von Ungleichungen
kann
stets in eine einzige
Gleichung resp. Ungleichung (in
eine
Proposition
der nämlichen Art
) zusammen- gezogen und durch diese ausreichend vertreten werden. Wir könnten passend auch den Ausdruck wählen: eine „Konjunktion“ von Glei- chungen und eine „Disjunktion“ von Ungleichungen.
Sind die Gleichungen resp. Ungleichungen etwa Voraussetzungen eines Theorems oder Problems, Data, Prämissen, so wird das
Produkt
(wie bekannt) ein
System von simultan geltenden
, koëxistirenden, gleich- zeitig zu adoptirenden, die
Summe
aber ein
System von alternativ geltenden
Annahmen ausdrücken — das Wort „alternativ“ in dem schon wiederholt erläuterten Sinne genommen. [Und ähnlich auch, falls jene Behauptungen vorstellten.]
Also:
simultane Gleichungen
sowie
alternative Ungleichungen
lassen je zu einer einzigen Relation derselben Sorte sich zusammenziehen.
Das Umgekehrte dagegen scheint nicht möglich zu sein.
Eine Summe von Gleichungen (alternative Gleichungen) oder ein Produkt von Ungleichungen (simultane Ungleichungen) gestatten zwar nach den Formeln der zweiten Zeile von
α
) oder
β
) einen Schluss
§ 40. Umschau über gelöste und noch zu lösende Probleme.
von ihnen hin auf
eine einzige Beziehung, resp.
zu ihnen hin von
einer einzigen Beziehung derselben Sorte, welcher Schluss jedoch nachweis- lich nicht umkehrbar ist, sodass keine Äquivalenz stattfindet.
Mit dieser Thatsache des Denkrechnens oder rechnenden Denkens haben wir uns abzufinden; sie drückt unsern ferneren Untersuchungen ein bestimmtes Gepräge auf.
Auf Grund derselben lässt sich nunmehr schon absehen, es lässt sich darnach ermessen,
welche Form
— in Gestalt einer einzigen Glei- chung oder Ungleichung des Aussagenkalkuls — den
Daten eines Problemes
allgemein gegeben werden kann.
Immer mögen wir voraussetzen, dass die Data eines gedachten beliebigen Problems in Worten und Wortverknüpfungen oder Sätzen darstellbar und dargestellt seien, sich also in Gestalt einer Reihe oder Kette von Aussagen, Urteilen präsentiren — nennen wir sie das „Prä- missensystem“ oder das „System der Data“!
Diese Voraussetzung wird man kaum als eine wirkliche Beschränkung ansehen können. Sintemal die Wortsprache die ursprüngliche Form des Gedankenvollzuges ist, dürfte, was in ihr überhaupt nicht ausdrückbar sein sollte, geradezu als undenkbar zu bezeichnen sein. Wenigstens könnte solches nicht zum Gegenstand einer gemeinsamen Betrachtung gemacht werden — vergl. Bd. 1, S. 126. Die Ersetzbarkeit selbst einer Anschau- ung eines Bildes, oder einer Abbildung, ja eines symphonischen Musik- stücks mit allen Feinheiten seiner Klangwirkung, durch eine blos verbale Beschreibung, erscheint allerdings als ein sehr gewagtes Postulat. Sie ist aber wenigstens ein Ideal, welches wir beliebig nahe erreichen können — wenn auch freilich nur mit einem ganz unverhältnissmässigen Aufwand von Mühen. Vermöchten wir doch Figuren in der Fläche sowol als Gestalten im Raume nötigenfalles mittelst Koordinaten zu fixiren, die Bestandteile von Mischfarben durch Angabe ihrer Wellenlänge oder Stelle im Spektrum zu beschreiben, desgleichen die Intensitäten von Licht und Schatten, Tem- peratur, Dichte und Zusammensetzung der Materie, ihre Bewegung in Zahl und Maass für jede Stelle im Raume auszudrücken, nicht minder, wie wir die Fähigkeit besitzen Tonhöhen, Dauer und Intensität etc. genauer noch als durch die gedruckten Noten mittelst Worten zu bestimmen. Weniger weit ist die Sprache noch in der Hinsicht entwickelt, dass sie auch die Eindrücke des Geruchs- oder Geschmacksinnes, Schmerzgefühle und Anderes, ausreichend darzustellen vermöchte.
In letzter Instanz sollen nun die Aussagen unsres Prämissen- systems lediglich Relationen zwischen Klassen einer (gewöhnlichen) Mannigfaltigkeit, z. B. also Beziehungen zwischen Begriffsumfängen (und damit, wenn man will auch zwischen Begriffen nach ihrem In- halte betrachtet) konstatiren.
Diese hier zu machende Voraussetzung enthält formell eine wirk-
Neunzehnte Vorlesung.
liche und sehr bedeutende
Einschränkung
der Klasse von Problemen, auf welche unsere Methoden zunächst nur anwendbar sein werden.
Wie bedeutend diese Einschränkung ist wird in § 50 völlig deutlich werden.
Einstweilen sei blos angeführt, dass wenn wir z. B. auch nur sprechen wollen von der „Farbe eines (gewissen) Salzes“, wir genötigt sind, eine Beziehung herzustellen und in’s Auge zu fassen zwischen dem Begriff der Farbe und dem des Salzes (überhaupt, oder auch dieses bestimmten, ge- dachten Salzes insbesondere), welche
nicht
aufgefasst werden kann als eine
Relation
im Sinne der Paragraphen 32 bis 36
zwischen den Umfängen
der genannten Begriffe — eine Beziehung nämlich, allerdings wie gesagt zwischen diesen Begriffen, welche eben aber keine Umfangsbeziehung ist, welche durchaus nicht erscheint als eine Beziehung zwischen der
Klasse
der Farben und der
Klasse
der (eventuell der erwähnten) Salze.
Dergleichen Beziehungen, wie sie namentlich durch den Genitivus, so- wie auch vermittelst der
Kasus
überhaupt und der
Präpositionen
sprach- lich ausgedrückt zu werden pflegen, fallen nicht ohne weiteres in das Ressort des bisherigen identischen Kalkuls, und werden wir uns hier der Notwendigkeit bewusst, auf die Logik der
Umfangs
beziehungen (die „logic of absolute terms“ nach
De Morgan
und
Peirce’
s Ausdrucks- weise) folgen zu lassen eine Logik der
Beziehungen überhaupt
(„logic of relatives“).
Es sind in der That nur die alleräusserlichsten, sozusagen rohesten Beziehungen — jene Relationen der citirten Paragraphen, die Relationen zwischen Klassen — mit denen wir uns hier noch abgeben.
Aber sie erscheinen auch als die
elementarsten
Beziehungen; sie bilden wenigstens den
äussern Rahmen,
in welchen sich das ganze Bild der Denk- prozesse notwendig einordnet. Denn ist es auch behufs Aufbaues des Sub- jekt- und Prädikatbegriffes selbst aus andern gegebenen Begriffen zumeist erforderlich noch ganz andre Beziehungen, als wie blosse Umfangsbeziehungen, zwischen den letzteren beizuziehen — wie beispielsweise die Beziehung zwischen einem handelnden „Subjekte“, seiner Handlung, Thätigkeit, und dem
„Objekte“
dieser letztern — so läuft doch das primäre Urteilen selbst (wie in § 1 und 2 schon erläutert) logisch immer auf die Konstatirung einer
Umfangs
beziehung zwischen dem (wie gesagt
irgendwie
zustande ge- kommnen, konstruirten) Subjekt- und Prädikatbegriffe unfehlbar hinaus. Und wie die Geometrie voraufgehen muss der Kinematik und Mechanik, diese wieder der Elasticitätslehre, so muss auch unser elementarer Teil der Logik erst gründlich abgehandelt und wissenschaftlich ausgestaltet sein, bevor man hoffen kann, eine exakte Behandlung auch der feineren und feinsten Untersuchungen auf logischem Gebiete zu verwirklichen, bevor man überhaupt erfolgreich an diese wird herantreten können. (Bd. 1.)
In der zeitweiligen Beschränkung auf scharf umgrenzte Klassen von Aufgaben liegt die einzige Möglichkeit des Fortschritts in den Wissen- schaften, und kann man den Himmel der Erkenntniss nicht auf einmal herunterholen — vergleiche
Goethe’
s „In der Beschränkung zeigt sich der Meister“, auf das wir schon einmal (Bd. 1, S. 521) anspielten.
§ 40. Aufbau der Gesamtaussage eines Prämissensystems.
Ein kategorisch abgegebenes Urteil
A
wird eben dadurch hin- gestellt, als stets oder zeitweilig gültig, was durch eine Formel
γ
)
A
= 1߭ resp.
A
≠ 0
ausdrückbar ist.
Nach § 32,
ϑ
) kann dafür auch
δ
)
A
1
= 0 resp.
A
1
≠ 1߭
genommen werden. Die Fassung
γ
) werden wir bei der resultirenden Gesamtaussage vorziehen und sie erscheint ja als die natürlichste, weil sie die zu statuirende Behauptung selbst zum „Polynome“, zur linken Seite hat; bei den letzten Teilaussagen dieser Gesamtaussage dagegen werden wir gleichwol häufig — einer rechnerischen Gepflogen- heit zuliebe — auch Ausdrucksformen
δ
) benutzen, uns nämlich zu- meist Gleichungen sowol wie Ungleichungen rechterhand auf 0 ge- bracht denken.
Bei bestimmtem und konstant festgehaltenem Sinne des Urteils
A
sind — wie wir gesehen haben — die beiden Propositionen
γ
) ein- ander äquivalent, bedingen sich gegenseitig [und ebenso also auch die beiden Propositionen
δ
)].
Wir wollen sie trotzdem zunächst jeweils
gesondert
als zwei ver- schiedene Fälle aufführen in der vaguen, vielleicht trügerischen Hoff- nung, es möchten gewisse Momente der zu entwickelnden Theorie sich später einmal auch auf solche Urteile mit übertragen lassen, deren Sinn in der im § 29 geschilderten Weise veränderlich oder wie bei den Gelegenheitsurteilen unbestimmt ist, wo ja, wie erkannt worden, die Fälle
A
= 1߭ und
A
≠ 0 dann wirklich zu unterscheiden wären.
Ohnehin müssen auch diese beiden Fälle von Aussagen wohl unterschieden werden, sobald die Aussagen
A
= 1 oder
A
≠ 0 pri- märe sind, in ihnen nämlich
A
ein Gebiet oder eine Klasse vorstellt, was bei den letzten Teilaussagen die in Betracht kommen können, vorauszusetzen sein wird.
Wird eine Aussage
A
kategorisch
verneint
, so setze man
A
1
an, schreibe eventuell:
ε
)
A
1
= 1߭ resp.
A
1
≠ 0
oder auch
ζ
)
A
= 0 resp.
A
≠ 1߭
vergl. § 32,
ι
). Überall natürlich ist, wenn
A
selbst eine Gleichung sein sollte, dessen Negation
A
1
als die entsprechende Ungleichung — und umgekehrt — anzusetzen.
Neunzehnte Vorlesung.
Einzelaussagen
A
,
B
,
C
, … aus welchen unser „Prämissensystem“ sich zusammensetzt, werden nun entweder (als bejahte oder verneinte)
kategorisch
hingestellt oder sie erscheinen durch Konjunktionen mit- einander verbunden, vermittelst Bindewörtern in Abhängigkeit von ein- ander gesetzt.
Im erstern Falle sind sie selbst (resp. ihre Negationen) zu schlecht- weg anzunehmenden, zu „Voraussetzungen“ des Problemes gestempelt; man bringe dann eine jede derselben, wie vorstehend angegeben, in Formeln, und setze, wenn es ihrer mehrere sein sollten, das Produkt derselben:
η
)
A B C
…
an. Ebenso verfahre man aber auch, wenn solche Einzelaussagen etwa mittelst der Konjunktion „und“ („sowie“, etc. resp. mit „sowol ‥ als auch“, „nicht nur ‥, sondern auch“ und dergleichen) zu einem zu- sammengesetzten sogenannten „
kopulativen
“ Urteil verknüpft erscheinen sollten, wodurch sie ja ebenfalls als gleichzeitig anzuerkennende,
simultan
zu adoptirende gekennzeichnet werden.
Sind die Einzelaussagen
A
,
B
,
C
, … mittelst der Konjunktionen
„(Entweder), … oder, … oder, …“
verknüpft zu einem zusammengesetzten sog. „
disjunktiven
Urteile“ so werden sie damit als
alternativ
geltende hingestellt. In diesem Falle setze man ihre identische Summe
ϑ
)
A
+
B
resp.
A
+
B
+
C
, etc.
an, wobei, wenn etwa jenes „oder“ als das ausschliessende, exklusive gemeint sein sollte [vergl. § 8,
η
)] diese Ausdrücke durch
ι
)
A B
1
+
A
1
B
, resp.
A B
1
C
1
+
A
1
B C
1
+
A
1
B
1
C
, etc.
zu ersetzen wären.
Verbindungen von Einzelaussagen
A
,
B
,
C
… mittelst
„Weder …, noch …, noch …“
zu einem sog. „
remotiven
Urteile“ sind einfach durch das Produkt ihrer Negationen:
ϰ
)
A
1
B
1
C
1
…
darzustellen — sie werden damit in der That als gleichzeitig nicht- geltende erklärt.
[Da
A
1
B
1
C
1
die Negation von
A
+
B
+
C
nach Th. 36
+
) ist, so erscheint das „remotive“ Urteil als die Verneinung des „disjunktiven“ — bei dem von uns hier festgehaltenen Sinne des letzteren, wo in
§ 40. Aufbau der Gesamtaussage des Prämissensystems.
ihm das Bindewort „oder“ als das miteinschliessende, inklusive gemäss § 8,
ϑ
) ausgelegt wird — sonach genauer als verneinte „Alternative“.]
Von den Einzelaussagen unsres „Prämissensystems“ können endlich irgend welche mittelst der Konjunktionen
„Wenn …, so …“
verknüpft erscheinen zu sog. „
hypothetischen
Urteilen“ und wird damit die Annahme oder Verwerfung der einen abhängig gemacht von der- jenigen der andern.
Sooft solches bei zwei Aussagen
A
,
B
zu erblicken ist, so kann das hypothetische Urteil (bekanntlich) nach einem der folgenden (acht) Schemata in eine Relation (und zwar entweder Gleichung oder Un- gleichung) des Aussagenkalkuls umgeschrieben werden:
Wenn
A
gilt, so gilt (stets)
B
, gibt:
λ
)
A

B
oder
A B
1
= 0.
Wenn
A
gilt, so gilt (stets)
B
nicht, gibt:
μ
)
A

B
1
oder
A B
= 0.
Wenn
A
gilt, so gilt manchmal
B
, gäbe:
ν
)
A B
≠ 0.
Wenn
A
gilt, so gilt
B
manchmal nicht, gäbe:
ξ
)
A B
1
≠ 0.
ο
)
Heisst aber der Vordersatz: „Wenn
A
nicht gilt“, so ist in diesen Formeln nur
A
durch
A
1
zu ersetzen.
„
A
gilt,
ausser
wenn
B
gilt“ gibt z. B. hienach:
B
1

A
. Etc.
So wenigstens, wenn das Urteil „Wenn
A
gilt, so gilt
B
“ in dem in § 28 schärfer als im gewöhnlichen Leben präzisirten Sinne ge- nommen wird, wobei auch der Fall, wo
A
überhaupt nicht gilt, mit seine Berücksichtigung findet.
Soll über letzteren Fall, in welchem
A
die Nullaussage vorstellt,
nicht
mit ausgesagt werden — wie dies bei den meisten Urteilen im gewöhn- lichen Leben vorkommen mag — so schadet es wenigstens nicht, diese Nullaussage in den Bedingungssatz
A
noch mit einzubeziehen als einen wesentlich irrelevanten, nämlich „nichtssagenden“ Fall, in welchem wir nur eben durch die Konsequenz gezwungen sind, das hypothetische Urteil
A

B
als erfüllt anzuerkennen.
Sollte dieses Urteil auch eine Voraussetzung bilden, an welche der Folgesatz
B
ausdrücklich nur dann zu knüpfen ist, wenn die Voraussetzung
A
wirklich zutrifft, so hindert allerdings nichts, dieser Voraussetzung den Faktor
A
≠ 0 beizufügen, also mit
A
(
A
≠ 0)

B
das hypothetische Urteil zu übersetzen. Bei konstantem Sinn der Aussagen wird jedoch
(
A
≠ 0) = (
A
= 1߭) =
A
Neunzehnte Vorlesung.
nach § 32
ζ
) und
ε
) sein, und sieht man sogleich, dass der Minor der Sub- sumtion auf
A
·
A
, =
A
, das Urteil selbst also doch nur auf das frühere
A

B
hinausläuft.
Anders wenn — ein häufig vorkommender Fall — der Konditionalsatz stillschweigend mit ausdrückt, dass die Voraussetzung
A
wirklich eintreffe (? z. B. wenn wir sagen: „Wenn der Herbst kommt, etc.“ — und er kommt ja in der That zuweilen). Hier ist dann
A
≠ 0, beziehungsweise
A
= 1߭ oder
A
, als Faktor dem ganzen Urteile ausdrücklich beizufügen, dieses also nicht blos mit
A

B
, sondern mit (
A
≠ 0) (
A B
1
= 0), etc. darzustellen.
Dem hypothetischen Urteile äquivalent zu erachten ist die (gram- matikalisch lockrere) Verbindung von Teilsätzen mittelst „Sei (Es möge sein, Gesetzt, dass ‥)…, dann ist, soll sein …“. Dieselbe bietet den Vorteil, dass man nicht so sehr, wie bei der vorigen Ausdrucksweise zum Abschluss des Satzes gedrängt wird, dass man vielmehr, wenn etwa die Darlegung des Bedingungs- oder Vordersatzes längere Aus- einandersetzungen erfordert, Zwischenbemerkungen nötig macht, die- selben samt dem Nachsatze oder Folgesatze auf mehrere grammati- kalisch getrennte, scheinbar unabhängig dastehende Sätze bequemer und in aller Gemütsruhe verteilen kann.
Diese Urteilsform: „Gesetzt, es sei …, dann soll gefunden werden…“ und dergleichen ist gerade in der Wissenschaft, bei Angabe der Daten eines Problemes beliebt.
Urteile, die durch die Konjunktion „weil“, „denn“, etc. oder durch „folglich“ („daher“, „also“, etc.) miteinander verknüpft wären würden eine
Folgerung
darstellen (mit Erwähnung der Konklusion
vor
oder
nach
den — mehr oder weniger vollständig angeführten — Prämissen), und sind wir berechtigt, solche aus unserm „Prämissensysteme“ oder „System der Data“
auszuschliessen,
indem es erst der Resolution oder Auflösung des Problemes obliegen wird, die Folgerungen zu ziehen.
Was noch andere Konjunktionen, wie
„zwar, aber, sondern, vielmehr, dennoch, obgleich, trotzdem, nichtsdesto- weniger, geradeumsomehr, sogar, ja“, etc.
betrifft, so haben dieselben zumeist
keinen logischen,
vielmehr nur einen
psychologischen
Gehalt: sie heben Kontraste hervor, machen auf das Ver- hältniss der durch sie verknüpften Teilaussagen (welches auch ohne sie be- steht) — als ein gegensätzliches z. B. — nebenher aufmerksam;
sie diri- giren die Erwartung
des Hörers oder Lesers, welche durch den Vordersatz (ersten Teilsatz) in einem bestimmten Sinne angeregt wird, dieselbe zügelnd, hemmend, einschränkend, auf eine Enttäuschung vorbereitend, eventuell auch steigernd.
Die logische Tragweite der Gesamtaussage müsste dabei (aber) die- selbe bleiben, wenn die so verknüpften Einzelaussagen auch ohne die ge- nannten Bindewörter mit dürren Worten nebeneinander gestellt würden — sozusagen steif und hölzern, mit Verzicht auf rhetorische Schönheit.
§ 40. Aufbau der Gesamtaussage des Prämissensystems.
Es ist darum gerechtfertigt, wenn wir solche — man könnte sagen „(blos) rethorische“ — Konjunktionen hier nicht weiter berücksichtigen — unbeschadet dessen, dass ein eingehendes Studium derselben allerdings ver- dienstlich sein würde. — Des weitern vergleiche man noch § 50 und 54. —
Die vorstehend aufgezählten Urteilsformen der
kategorischen
(sei es vereinzelt abgegebenen, sei es zu „kopulativen“ verknüpften) Urteile, der
disjunktiven
(und ihrer Verneinung, der „remotiven“) Urteile, endlich der
hypothetischen
Urteile —
sind nun die einzigen Urteilsformen der Sprache, welche die alte Logik anerkannte und als solche in Betracht zog.
Die Unterscheidung dieser Formen ist für die rechnende von noch ge- ringerem Belange als für die verbale Logik, da sie in mannigfaltigster Weise auf- einander zurückgeführt werden können. Vergl. den Schluss des § 31, z. B. —
Wird, dass mit ihnen alle Formen erschöpft seien, auch von Neueren bestritten, so können sie doch jedenfalls als
ausreichend
dafür angesehen werden, dass innerhalb ihres Rahmens alle möglichen Data von Problemen ihren Ausdruck zu finden vermögen.
Lassen auch wir sie als die einzigen Urteilsformen gelten, so ist durch das Vorstehende erkannt, dass sich das Prämissensystem eines Problems stets in Form einer einzigen Relation und zwar einer Gleichung oder Ungleichung:
π
)
𝖠
= i
≠ 0
wird darstellen lassen, wo die linke Seite Α, wenn sie nicht selbst eine Funktion des Gebiete- oder Klassenkalkuls im Sinne des § 19, sonach also
π
) schon eine primäre Aussage ist, immer einen aus andern Aus- sagen, den „
Teilaussagen
“ der Data zusammengesetzten (eventuell sehr komplizirten)
Ausdruck des Aussagenkalkuls
vorstellt.
Wir werden diese Relation kurz „
die vereinigte Aussage
“ oder „
Ge- samtaussage
“ der Data unsres Problemes nennen, und ihre linke Seite Α wird als das „
Polynom
“ dieser vereinigten Aussage zu bezeichnen sein.
Wäre die als Gesamtaussage
π
) sich darstellende Proposition keine „Relation“, sondern eine „Formel“, so wäre das Prämissensystem ein „nichts- sagendes“; unser Problem würde alsdann jeglicher Data ermangeln, es be- ruhte auf keinerlei Voraussetzungen (ausser den ohnehin überall als denk- notwendig anzuerkennenden), dann käme
π
) auf die Identität 1߭ = 1߭ oder ≠ 0 zurück.
Als ein Ausdruck des Aussagenkalkuls ist unser Polynom Α auf- gebaut aus andern und diese vielleicht abermals aus andern etc. Teil- aussagen nicht blos vermittelst der drei Operationszeichen, als da sind
Neunzehnte Vorlesung.
des Negationstriches und der beiden Knüpfungszeichen + und ·, son- dern auch unter Beihülfe der beiden Beziehungs- oder „
Vergleichungs
“- zeichen = und ≠.
Wir nehmen die Anzahl der hierdurch dargestellten Operationen und ausgeführteu Vergleichungen als eine
endliche
an.
In einem gewissen Sinne allerdings kann diese Anzahl auch als eine unbegrenzte gelten oder zugelassen werden, nämlich insofern einzelne Prä- missen auch als allgemeingültige, für
jeden
denkbaren Wert gewisser Sym- bole,
x
,
y
, … zum Beispiel, zu adoptirende hingestellt werden mögen; dies vermögen wir ja durch Voransetzen der Symbole
,
, … vor die- selben in geschlossener Form auszudrücken, während analog ihr Zutreffen nur für gewisse
x
,
y
, ‥ mittelst
,
, … bekanntlich darzustellen war. Das Auftreten solcher Symbole mag vorerst noch ausser Betracht bleiben, da wir es dabei wesentlich doch nur mit Produkten und Summen zu thun haben werden, dieser Fall also unter die demnächst ohnehin zu erledigenden Kategorieen fallen wird.
Eine
regellos unbegrenzte
Menge von operativen und vergleichenden Aussagenverknüpfungen als Prämissen eines Problems hinzustellen ist hin- gegen noch keiner bisherigen Logik beigefallen und dürfte sich auch einer systematischen Behandlung entziehen.
Wenn nun also die im Ausdruck Α unsrer Gesamtaussage (sei es als Neganden, Faktoren, Summanden, sei es als „allgemeine Terme“ von Produkten
Π
und Summen
Σ
, sei es endlich als linke oder rechte Seite von „Vergleichungen“ vorkommenden Teilaussagen nur in endlich begrenzter Menge vorhanden sind, so werden wir bei der Inspektion dieses unsres Ausdruckes Α als auf dessen Elemente zuletzt auf Aus- sagen stossen, die entweder schlechtweg durch Buchstaben symbolisirt sind, oder nach ihrem wirklichen Inhalte, als von Gebieten oder Klassen handelnde, „spezifizirt“ angegeben sind. Diese nennen wir die „
letzten
Teilaussagen“ (ultimate partial statements) oder „
primären
Unter- aussagen“ unsrer Gesamtaussage.
Dagegen diejenigen (eventuell selbst noch sehr zusammengesetzten) Teilaussagen, aus welchen unser Polynom Α lediglich mittelst der Operationen der drei Spezies des identischen Kalkuls aufgebaut ist (also ohne dass solche selbst noch durch Gleichheits- oder Ungleich- heitszeichen unter sich
verbunden
erscheinen) mögen die der vereinigten Aussage
zunächst unterstehenden
Teilaussagen genannt werden, oder kürzer: die „
unmittelbaren Unteraussagen
“.
Für die Art, wie die Gesamtaussage Α aus ihren unmittelbaren Unteraussagen zusammengesetzt sein kann (resp. muss), lässt sich ein
allgemeines Schema
aufstellen.
§ 40.
Mitchell’
s allgem. Form der Data zusammenfassenden Gesamtaussage.
Nach seiner oben geschilderten Zusammensetzung ist nämlich das Polynom Α weiter nichts, als eine „
Funktion
“ (im identischen Kalkul, im Sinne des § 19) von diesen unmittelbaren Unteraussagen.
Nach § 13 und § 19 kann diese Funktion immer in ihre „
letzten Aggreganten
“ zerlegt werden, d. h. wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit sie in Form eines Aggregates (einer Summe) von Mo- nomen gegeben annehmen.
Die Faktoren dieser Monome sollen ja selbst Aussagen sein, und sind darum in letzter Instanz entweder Gleichungen oder Ungleichungen. In beiden Fällen können wir sie uns rechts auf 0 gebracht denken. Stellen wir dabei diejenigen, welche Gleichungen sind, nebeneinander, und fassen ebenso die Ungleichungen unter ihnen in eine Gruppe zu- sammen, so erhalten wir:
ϱ
)
Α =
Σ Π
(
A
= 0)
Π
(
B
≠ 0)
als die denkbar allgemeinste Form der Gesamtaussage Α.
Nach Th. 24) oder
β
) des gegenwärtigen Paragraphen lässt aber (in jedem Glied der vorstehenden Summe) das Produkt der Gleichungen
σ
)
Π
(
A
= 0) = (
Σ A
= 0)
sich immer in eine einzige Gleichung zusammenziehen. Und wenn wir nun, einen Wechsel der Bezeichnung vornehmend, den Ausdruck
Σ A
kürzer durch das Symbol
A
selbst vertreten lassen, so ist hiemit er- kannt, dass
τ
)
Α, = Σ (
A
= 0)
Π
(
B
≠ 0)
= 1߭
≠ 0
die allgemeine Form der Gesamtaussage ist.
Schreiben wir das allgemeine Glied rechterhand ausführlicher, indem wir unter Verzicht auf das zusammenfassende Zeichen
Π
ein wirk- liches Produkt von Ungleichungen ansetzen, so ist also unser Ergeb- niss dieses:
Die Aussage
,
welche alle Data eines beliebigen Problems
zusammen- fassend darstellt, sie
zu einer Gesamtaussage in sich vereinigt
,
kann stets ausgedrückt werden in der Form: υ
)
Σ (
A
= 0) (
B
≠ 0) (
C
≠ 0) (
D
≠ 0) …
= 1߭
≠ 0
wo die Symbole
A
,
B
,
C
,
D
, …
sowie deren Anzahl
von Glied zu Glied wechseln mögen.
Es dürfen sogar die Faktoren der einen oder andern Sorte, nämlich die
eine
Gleichung, oder die ganze Gruppe von Ungleichungen in einzelnen Gliedern (der Summen linkerhand) auch ausfallen, fehlen. Doch kann man,
Neunzehnte Vorlesung.
wenn etwa in einem Gliede die Gleichung (
A
= 0) fehlen sollte, dieselbe dennoch als vorhanden hinstellen, indem es freisteht, und man zu dem Ende nur nötig hat, sich unter
A
die 0 zu denken, wo dann der Faktor (
A
= 0) den Wert 1߭ annimmt, nämlich als die Aussage:
(0 = 0), = 1߭
und als eine stets gültige anzuerkennen ist, weshalb jener Faktor nach Belieben weggelassen oder auch zugefügt werden kann, cf. Th. 2̅1̅
×
). Ebenso braucht man, wo zu einer Gleichung keine Ungleichungen weiter hinzu- treten sollten, sich in unserm Schema blos
B
=
C
=
D
= … = 1߭ resp. 1 zu denken, wo dann ebenso diese Ungleichungsfaktoren sämtlich den Wert
(1 ≠ 0) = 1߭
erhalten werden und ihre Zufügung ohne Einfluss ist. Man kann so auch für die erwähnten beiden Vorkommnisse das Schema unsres allgemeinen Gliedes in
υ
) als das allgemein zutreffende aufrecht erhalten.
Von der Annahme aus, dass für unser Prämissensystem ein ver- baler Ausdruck vorliege, dass die Prämissen eines zu lösenden Problems ursprünglich in der Wortsprache niedergelegt gewesen seien, sind wir vorstehend zu der Einsicht in den notwendigen Bau
τ
) oder
υ
) der vereinigten Aussage dieser Prämissen gelangt. Auf Grund der Ergeb- nisse des § 36 hätten wir augenscheinlich zu derselben Einsicht auch gelangen müssen, wofern wir etwa die Annahme zum Ausgangspunkte nehmen wollten, dass unsre Prämissen
in der Zeichensprache des Kalkuls
gegeben gewesen wären in Gestalt von irgendwelchen Umfangsbeziehungen und Funktionen von solche statuirenden Aussagen.
Dual entsprechend liesse sich auch beweisen, dass ebensogut der Gesamtaussage auch die Form gegeben werden kann, zunächst nur mittelst Zerlegung in ihre letzten Faktoren:
φ
)
Α =
Π
{
Σ
(
A
≠ 0) +
Σ
(
B
= 0)}
worin jetzt aber den
A
und
B
andere Bedeutungen, als wie in
ϱ
), zu- kommen möchten, die Zeichen
Π
und
Σ
auch neue Erstreckung haben werden. Und dann mittelst der zu
σ
) analogen Vereinfachung:
χ
)
Σ
(
A
≠ 0) = (
Σ A
≠ 0),
wenn wieder
Σ A
durch ein einziges Buchstabensymbol vertreten wird:
ψ
)
Π
{(
A
≠ 0) +
Σ
(
B
= 0)}
= 1߭
≠ 0.
Doch wird man praktisch vor der vorstehenden jener ersten Form
υ
) in der Regel den Vorzug geben, weil man nach der aus der Arith- metik überkommenen Gewöhnung bequemer mit Summen von Monomen
§ 40.
Mitchell’
s allgemeine Form der Gesamtaussage der Data.
(Produkten) als mit Produkten von Polynomen (Summen) rechnet, namentlich auch lieber die Multiplikationsregel für Polynome sowie das (erste) Distributionsgesetz, als wie deren duales Gegenstück an- wendet.
Anstatt des Symbols 1߭ rechterhand in
υ
) und
ψ
) könnte man, falls es beliebt (und für gewisse Fälle werden wir vielleicht es vor- ziehen) auch 0 schreiben, desgleichen für die 0 rechts 1߭, in Anbetracht, dass statt Α = 1߭ auch Α
1
= 0 als damit gleichbedeutend gesagt werden kann, imgleichen wie auch (Α ≠ 0) = (Α
1
≠ 1) gilt. Der Negation Α
1
von Α würde sich aber, kraft der Allgemeinheit der vorausgeschickten Erwägungen, ebenfalls die Form der linken Seite von
υ
), oder nach Belieben
ψ
), erteilen lassen. Auf diese Weise könnte man also hin- bringen, dass in unsern Formeln
durchweg nur
0 als rechte Seite sämtlicher Vergleichungen erschiene, oder auch wenn man will,
durch- weg nur
1߭.
Die vorstehenden Sätze
υ
) und
ψ
) hat schon Herr
Mitchell
1
gegeben. Beispiele zu denselben werden wir in Bälde bringen.
Die Faktoren (
A
= 0), (
B
≠ 0), (
C
≠ 0), … in
υ
) waren die
un- mittelbaren
Unteraussagen der Gesamtaussage Α.
Es kann sein, dass sie zugleich deren
letzte
Unteraussagen sind.
Der Fall
,
wo dies nicht zutrifft
,
lässt sich
aber
auf den Fall
,
wo es zutrifft
, wie wir sehen werden,
stets zurückführen
,
wofern wir nur mit Aussagen von bestimmtem Sinne operiren und diesen konstant festhalten
.
Zunächst beachte man, dass, falls es zutrifft, jene Faktoren
pri- märe
Urteile sein werden, d. h. Urteile nicht wieder über
Urteile
, sondern solche, welche von den
Dingen
selbst handeln, Urteile über gewisse
Klassen von Dingen
. Es werden dann also die linken Seiten
A
,
B
,
C
, … jener Faktoraussagen nicht wieder Aussagen repräsen- tiren, sondern
Klassen
symbole sein, oder — können wir im Hinblick auf § 3 auch sagen —
Gebiets
symbole.
Die Gesamtaussage Α ist in diesem Falle eine
sekundäre
zu nennen.
Eine weitere Vereinfachung ihrer Form scheint alsdann sich allgemein nicht erzielen zu lassen. Namentlich wird es
nicht
gestattet sein, die Un- gleichungen
B
≠ 0,
C
≠ 0, etc. in die Gleichungen
B
= 1,
C
= 1, etc. umzuschreiben, welche (die 1 durch die mit Tupfen 1߭ ersetzt) mit jenen nur dann sicher äquivalent sein müssten, wenn
B
,
C
etc. selbst wieder Aussagen von konstant festzuhaltendem Sinne vorstellten.
Betrachten wir jetzt aber auch den Fall, wo die Gesamtaussage eine höhere als sekundäre ist, und nehmen zunächst einmal an, dass
alle
unsre Symbole
A
,
B
,
C
,
D
, … selbst wieder
Aussagensymbole
seien.
Neunzehnte Vorlesung.
Sofern wir dann nur mit Aussagen konstanten Sinnes zu thun hatten, d. h. die Data unsres Problems in lauter Aussagen von absolut bestimmtem Sinne eingekleidet wurden und dieser Sinn jeweils un- verändert festgehalten wird, können die Sätze des § 32,
ζ
und
η
) nun- mehr angewendet werden. Weil nach diesen
(
A
= 0) = (
A
1
= 1߭) =
A
1
, (
B
≠ 0) = (
B
= 1߭) =
B
, etc.
ist, wird also der Ausdruck
υ
) sich dann vereinfachen zu
ω
)
Σ A
1
B C D
…
= 1߭
≠ 0
worin nunmehr linkerhand alle sichtbar gewesenen („expliziten“) Ver- gleichungszeichen verschwunden sind.
Das Urteil hat nunmehr die Form Β = 1߭ (wofür auch Β
1
= 0 genommen werden kann) oder Β ≠ 0 angenommen, wobei die er- wähnten Vergleichungszeichen in Β nicht mehr vorkommen.
In derselben Weise kann man diese Aussagen-Vergleichungszeichen beseitigen, falls etwa einzelne Faktoren im Polynom von
υ
) schon pri- märe Urteile sein sollten, nur andere nicht. Man wird in jedem Gliede der Summe die Gruppe der
nicht primären
(also sekundären oder höheren) Faktoren zusammennehmen und aus ihr — nach dem soeben schon an dem Schema der allgemeinsten Aussage dargelegten Vorbilde — alle äussersten Vergleichungszeichen beseitigen können und dann successive auch die inneren, falls noch gewisse Symbole
A
,
B
, … abermals Aus- sagen über Aussagen, somit selbst Gleichungen oder Ungleichungen zwischen Aussagen sein sollten.
Auf diese Weise lassen links in
υ
)
alle auf Aussagen bezüglichen
Vergleichungszeichen (welche also Aussagen = oder ≠ 0 oder 1߭, d. h. für gültig oder ungültig erklären) sich unfehlbar beseitigen. Mit andern Worten:
es können successive
…
die quartären Aussagen in tertiäre
,
und diese in sekundäre umgeschrieben werden.
Der obige Prozess der Ausmerzung der Vergleichungszeichen kann solange fortgesetzt werden, bis man auf solche Zeichen = oder ≠ stösst, welche nicht mehr auf Aussagen sondern auf Klassen von Dingen resp. Gebiete sich beziehen, solche der 0 oder 1 vergleichend.
Sobald also
A
ein
Gebiet
vorstellt (und erst dann) wird der fort- schreitenden Vereinfachung unsrer Gesamtaussage mittelst des Schema’s
(
A
≠ 0) = (
A
= 1߭) =
A
Einhalt geboten sein, aus dem Grunde, weil eben dieses Schema nur im Aussagenkalkul gilt.
§ 40.
Mitchell’
s Gesamtaussage der Data.
Und die „letzten“ Unteraussagen unsres Problems werden in der That als von dieser Beschaffenheit vorauszusetzen sein.
Andernfalles
würde das ganze Problem ein „reines“ Problem des Aus- sagenkalkuls zu nennen sein, indem es sich auf lauter nicht spezifizirte Aussagen, Aussagen von unbestimmtem Inhalte oder allgemeine Aussagen
A
,
B
,
C
, … in letzter Instanz bezöge. Wir erhielten dann eine Gesamt- aussage Α = 1߭ oder Α
1
= 0, in welcher Α
1
eine Funktion von jenen Elementar- aussagen im identischen Kalkul — ohne Vergleichungszeichen nur mittelst der drei Spezies aufgebaut — vorstellte.
Alle Aufgaben aber, welche sich in Bezug auf eine solche Gleichung erdenken lassen, sind als durch die vorhergegangene schon wesentlich von
Boole
aufgestellte Theorie (bis etwa § 22 oder 27) bereits gelöst zu be- trachten — so namentlich die Entscheidung der Frage, ob die Gleichung analytisch erfüllt, oder aber eine synthetische, eine Relation ist, und im letzteren Falle die Probleme der Elimination von gewissen Symbolen und Berechnung von andern, sogenannte „Auflösung“ der Gleichung. Diesen Fall haben wir demnach nicht weiter zu betrachten nötig.
Wir sind freilich bei der vorstehenden mit „Andernfalles“ beendigten Enumeration, Aufzählung der denkbaren Fälle scheinbar nicht vollständig gewesen. Aus liessen wir den Fall, wo in unserm Prämissensystem
neben spezifizirten auch unbestimmte
Aussagen vorkämen. Obwol dies logisch denkbar, kann der Fall doch praktisch nicht in Betracht kommen. Ab- gesehen davon, dass im natürlichen Entwickelungsgange der Wissenschaft dergleichen Probleme sich niemals ungesucht darbieten möchten, wäre der Fall auch jeweils sofort in der Weise zu erledigen, dass man die auf blos unbestimmte Aussagen bezüglichen Aussagenfaktoren daraufhin prüfte, ob sie als analytische Formeln identisch erfüllt sind oder nicht, im ersteren Fall sie dann durch 1߭, im letzteren durch 0 ersetzte.
Hienach ist erkannt, dass der Fall, wo die vereinigte Aussage
υ
) eine
sekundäre
ist, also in ihr
A
,
B
,
C
,
D
, … schon Gebietssymbole vorstellen,
das allgemeinste Problem umfasst
. Mit diesem werden wir uns demnach allein noch abzugeben haben.
Die von Herrn
Mitchell
1
pag. 95 sq. ausgesprochene Ansicht, dass es in unsrer Disziplin auch „Probleme von drei und mehr
Dimensionen
“ gebe, erscheint hiernach nicht haltbar — abgesehen davon, dass auch der Aus- druck „Dimension“ hier wol besser durch den „Probleme von der dritten oder einer höheren Ordnung“ zu ersetzen wäre.
Das allgemeinste Problem des Schliessens lässt schon in eine sekun- däre Gesamtaussage seiner Data sich einkleiden
— ist, wenn man will, ein Problem der zweiten Ordnung.
Die vorstehenden Betrachtungen, durch welche nachgewiesen ist, dass unbeschadet der Allgemeinheit des Problems die Faktoraussagen in
υ
) immer als primäre angesehen werden dürfen, besitzen anscheinend eine noch über den identischen Kalkul hinausreichende Allgemeingültigkeit. Ganz in die
Schröder
, Algebra der Logik. II. 13
Neunzehnte Vorlesung.
genannte Disziplin hinein werden sie erst gebannt durch die oben er- wähnte das Problem formell einschränkende Voraussetzung, dass durch die letzten Unteraussagen
nur Umfangsrelationen,
nur Beziehungen zwischen Klassen, konstatirt sein sollten. Diese Voraussetzung hatte zur Folge, dass die Gebietsymbole oder Klassen
A
,
B
,
C
,
D
, … in
υ
) nur als
Funktionen im Gebietekalkul
zu denken waren, welche aus andern Gebietsymbolen oder Klassen
a
,
b
,
c
, …
x
,
y
, … lediglich mittelst der drei Spezies des iden- tischen Kalkuls sich zusammensetzen.
Wogegen ohne die genannte Voraussetzung neben diesen auch andere Knüpfungsarten und Beziehungszeichen (irgendwie z. B. Begriffe verbindend) in ihrem Ausdruck zugelassen sein würden, welche als dem bisherigen Kalkul fremde erst in der „Logik der Beziehungen überhaupt“ einzuführen sind oder eingeführt werden.
Da aber, wie schon S. 182 ausgeführt, auch für die Logik der Be- ziehungen der identische Kalkul wiederum den äussern Rahmen bildet, wie denn unser gesamtes Denken sich auch immer nur in Subsumtionen bewegt (vergl. § 2), so kann jenes Hinausgreifen über das bisherige Gültig- keitsbereich doch nur ein scheinbares sein. Eine andre Frage ist, ob nicht die Hinzuziehung von
Zahl
bestimmungen ein solches wirklich in sich schlösse.
Ehe wir uns dem Probleme weiter zuwenden, wollen wir mit Miss
Ladd
noch eine Gruppe von speziellen Folgerungen aus den eingangs dieses Paragraphen unter
α
) und
β
) zusammengestellten Theoremen hervorheben, und zwar die folgende:
α
')
(
a b
= 1)

(
a
= 1),
(
a
+
b
= 0)

(
a
= 0),
(
a
≠ 1)

(
a b
≠ 1)
(
a
≠ 0)

(
a
+
b
≠ 0)
(
a
= 1)

(
a
+
b
= 1),
(
a
= 0)

(
a b
= 0),
(
a
+
b
≠ 1)

(
a
≠ 1)
(
a b
≠ 0)

(
a
≠ 0),
— wo die Summen und Produkte von zweien auch über beliebig viele (ausser dem beiderseits vorkommenden
a
noch ganz beliebig anzu- nehmende) Terme ausgedehnt werden könnten.
Die vorstehenden Formeln
α
') ergeben sich in der That aus denen
α
) gemäss den Theoremen 6̄).
Beispielsweise haben wir (rechts vom Mittelstriche) nach dem Schema
A B

A
auch: (
a
= 0) (
b
= 0)

(
a
= 0) und hieraus, in Verbindung mit dem ersten Theorem rechts unter
α
): (
a
= 0) (
b
= 0) = (
a
+
b
= 0) folgt gemäss Th. 3̅): (
a
+
b
= 0)

(
a
= 0), d. i. das erste Theorem rechts in
α
').
Ebenso ist nach dem Schema
A

A
+
B
auch:
(
a
≠ 0)

(
a
≠ 0) + (
b
≠ 0),
und hieraus in Verbindung mit dem zweiten Theoreme rechts unter
α
)
§ 40. Umschau über noch zu lösende Probleme.
folgt gemäss Th. 2): (
a
≠ 0)

(
a
+
b
≠ 0), das ist das zweite Theorem rechts unter
α
'). Man könnte dieses aber auch durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 37) aus dem ersteren ableiten. Etc.
Die Sätze drücken Thatsachen aus, die uns eigentlich mit den Theoremen 22) und 24) bereits gegeben waren, nämlich:
Verschwindet eine Summe
,
so muss irgend ein Term derselben ebenfalls verschwinden. Ist ein Term von
0
verschieden
,
so kann auch die Summe nicht
0
sein. Verschwindet ein Faktor
,
so auch das Produkt. Und verschwindet ein Produkt nicht
,
so muss ein beliebiger Faktor auch von
0
verschieden sein
,
kann nicht verschwinden.
Worauf wir nun aber besonders hinweisen möchten, ist dieses.
Vier von den Theoremen
α
') — die vier durch Unterwellen hervor- gehobenen — zeigen linkerhand im Minor oder der Voraussetzung der Subsumtion ein Gebietsymbol
b
, welches rechterhand, im Major oder der behaupteten Folgerung derselben, nicht vorkommt: sie leisten die
Elimination
dieses Symbols
b
aus jenen Voraussetzungen, lehren, einen von dem Werte des
b
ganz unabhängigen Schluss aus denselben (in Bezug auf
a
allein) ziehen. [Ebenso bei der schon angedeuteten Ver- allgemeinerung des Theorems
α
') würde die Elimination aller übrigen Terme ausser
a
durch dasselbe geleistet erscheinen.]
Interessant ist es wiederum, die Art wahrzunehmen auf welche die Elimination hier geleistet wird. Der Anblick der Resultante (rechts in der Subsumtion) gegenübergehalten der gegebenen Relation oder Eliminations- basis (zur Linken) zeigt, dass die Elimination auf die denkbar einfachste Weise zu vollziehen ist: durch Tilgung des Eliminanden. In Worten:
Soll ein Symbol, welches als Faktor auftritt in einem
= 1
oder
≠ 0
gesetzten Produkte, desgleichen eines, welches als Summand steht in einer
≠ 1
oder aber
= 0
gesetzten Summe, aus dieser Relation eliminirt werden, so braucht man dasselbe blos darin zu unterdrücken.
Die vier
nicht
unterwellten von unsern Theoremen
α
') enthalten im Folgesatz einen Term
b
(von willkürlich anzunehmendem Werte), der im Bedingungssatz der Subsumtion nicht erwähnt wird; sie lehren, solchen Term
neu einzuführen
, leisten die „
Introduktion
“ desselben — das ist das Gegenstück zur Elimination!
Diese beiden Probleme werden nun in Bezug auf
b
als „Elimi- nanden“ oder „Introduzenden“ durch die Sätze
α
') allerdings nur ge- löst für Bedingungssätze oder Prämissen von einem gewissen Baue, von sehr speziellem Charakter — eben dem in
α
') angegebenen, wobei nämlich jenes
b
nur als Faktor oder Summand eines mit der 0 oder 1 verglichenen Produkts resp. Summenausdrucks auftritt oder auf- treten soll.
Man kann aber in Bezug auf ein beliebiges Symbol
x
oder ein
13*
Neunzehnte Vorlesung.
System von mehreren solchen
x
,
y
,
z
, … die Idee dieser beiden Pro- bleme auch allgemein erfassen, dieselbe für ein ganz beliebiges Prä- missensystem konzipiren. Während wir für das Eliminationsproblem dies bereits früher gethan haben, ist die Idee des Introduktionspro- blems hier neu aufgetaucht, und müssen wir diesem noch einige Worte widmen.
Gleichwie die
Data
eines gedachten beliebigen Problemes sich mit dem Kapital oder Vorrat an Zeichen, über welche der Kalkul ver- fügt, stets zu einer Gesamtaussage vereinigt denken und auch wirklich vereinigen liessen, so muss dies auch der Fall sein mit den verlangten
Lösungen
des Problemes, mit dessen „Solution“, welche zu bezeichnen ist als eine Konklusion, die sich entreissen lässt den zu Prämissen genommenen Daten. Auch sie wird mittelst der Wortsprache darstell- bar sein durch eine Verkettung, ein System von Urteilen. Auch für die Solution gibt es eine
Gesamtaussage
.
Vergleichen wir nun die vereinigte Aussage der Lösung mit der- jenigen der Data des Problemes in Hinsicht auf die Buchstabensym- bole, die in der einen und in der andern vorkommen, so ist eine Mannigfaltigkeit von Fällen denkbar und können die denkbaren auch wirklich vorkommen:
Die Lösung kann
genau dieselben Symbole
enthalten, wie das Prämissensystem — keine mehr und keine weniger. Wir haben dann weder ein Eliminations- noch ein Introduktionsproblem vor uns, sondern ein „
reines
“
Problem des Folgerns
. Dasselbe kann noch
umkehrbar
sein oder auch nicht. Im erstern Falle, wo aus dem Lösungensystem auch wieder das System der Data, aus der vereinigten Aussage der Lösung die Gesamtaussage der Daten folgt, mag man es als ein blosses
Trans- formationsproblem
bezeichnen.
Einfachste Exempel zu diesem und dem andern Falle stellen vor: der Schluss von
a
=
b
auf
b
=
a
, sowie der von
a
=
b
auf
a

b
. Es steht nichts im Wege, dass man, diese Schlüsse oder Folgerungen zu ziehen, als ein Problem hinstelle — das eine als die Aufgabe: wenn
a
=
b
ist, die Frage zu beantworten, wem
b
gleich sein müsse?, das andre als die Aufgabe: unter derselben Voraussetzung eine Subsumtion anzugeben, welche zwischen
a
und
b
besteht.
So ist auch noch der Schluss von
a
=
b
auf
a b
1
+
a
1
b
= 0 ein Trans- formationsproblem zu nennen, sobald man, denselben zu ziehen, formulirt als die Aufgabe: die rechte Seite der gegebenen Gleichung auf 0 zu bringen. Und dergleichen mehr.
Die Lösung kann ferner zu enthalten haben: nur einen Teil der im Prämissensystem auftretenden Symbole und keine demselben fremden
§ 40. Umschau über noch zu lösende Probleme.
im Ganzen also
weniger
Symbole; dann haben wir ein reines
Eli- minationsproblem
vor uns.
Sie kann auch enthalten: die sämtlichen im Prämissensystem vor- kommenden Symbole und dazu noch einige
mehr
(welche dann, weil im Prämissensystem unerwähnt gelassen, vollkommen unbestimmt oder willkürlich bleiben werden). In diesem Falle lag ein reines
Intro- duktionsproblem
vor.
Beispiele wurden unter
α
') soeben angeführt. Auch diese beiden Probleme können zugleich reine Transformationsprobleme sein, wie z. B. die Gleichung des Th. 40) oder Zusatz in § 29 zeigt, und andere mehr. Liest man diese Gleichung als Subsumtion von links nach rechts, so leistet sie die Elimination des
c
, liest man sie als Subsumtion von rechts nach links, so introduzirt sie das beliebige
c
. Und da die durch beide Subsum- tionen ausgedrückten Folgerungen umkehrbar sind, trifft das Kennzeichen des Transformationsproblemes zu.
Endlich kann die Solution enthalten: nur einen Teil der im Prämissensystem erscheinenden Symbole, dafür aber auch einige dem- selben fremde. Alsdann ist das Problem von gemischtem Charakter: ein Eliminationsproblem in Hinsicht auf die fehlenden und ein Intro- duktionsproblem in Hinsicht auf die überzähligen Symbole.
Als einer der einfachsten Fälle von Elimination und Introduktion stellt sich nach
Peirce
die Anwendung der Theoreme 6
×
) resp. 6
+
) im Aussagen- kalkul dar:
A B

A
und
A

A
+
B
, indem diese lehren, dass man bei gültigen Aussagen einen Faktor stets unterdrücken, einen Summanden nach Belieben zufügen, anreihen darf.
Man wird hier die Lösung der Aufgabe wol in zwei Anläufe zer- legen können, indem man durch einen besonderen Prozess die auszu- merzenden Symbole eliminirt, durch einen zweiten die neu einzuführen- den introduzirt. —
Unter einem der ersten Klasse angehörigen Probleme, bei welchem also der Bestand an Symbolen unverändert zu bleiben hätte, kann man sich, wofern dasselbe nicht als ein völlig unbestimmtes erscheinen soll, nur
Wir dachten uns unser Problem so gefasst, dass aus einer die Data zu- sammenfassenden Gesamtaussage abzuleiten ist eine von ihr bedingte als die Lösung hinzustellende Gesamtaussage. Probleme, deren Lösung einfach durch die Antwort „Ja“, oder „Nein“, zu geben ist, würden als bestimmte „Fragen“ zu be- zeichnen sein, und könnten als Probleme der formalen Logik sich nur darum drehen, ob aus einer gegebenen Aussagengruppe Α eine andere gegebene Β denk- notwendig folgt, oder nicht. Die Antwort würde hier dadurch herbeizuführen sein, dass man die Subsum- tion Α

Β zwischen den beiden Gesamtaussagen darauf hin untersuchte, ob sie
ein Problem vorstellen, bei welchem über die
Form
der
Neunzehnte Vorlesung.
Lösung (oder der als Konklusion zu deduzirenden Gesamtaussage) be- stimmte Vorschriften gegeben sind. In Bezug auf solche Probleme ist einfach zu verweisen auf die Gesetze des identischen Kalkuls (mit Gebieten und spezieller auch mit Aussagen), welche uns ja mit den Bedingungen für die Äquivalenz und Unterordnung von Aussagen schon bekannt gemacht haben und uns die Regeln zur Umformung solcher an die Hand geben. In Bezug auf alle uns erdenklich ge- wesenen Anforderungen, die man an eine Lösung stellen könnte haben wir ohnehin in dieser Disziplin bereits dargethan, ob und wie die- selben erfüllbar. Allein nur das Auflösungsproblem harrt noch seiner Erledigung auch für die zweite Logikstufe.
Von den beiden übrig bleibenden Problemen, dem Eliminations- und dem Introduktionsprobleme hat das erstere einen völlig bestimmten Charakter.
Das Eliminationsproblem gipfelt in der Forderung: alles Das- jenige, was
ohne Rücksicht auf die Eliminanden
— „unabhängig“ von denselben — auf Grund des Prämissensystems ausgesagt werden kann, erschöpfend anzugeben. Eliminationen zu vollziehen erscheint geradezu als das
Hauptproblem
der Lehre vom Schliessen, und zwar liegt dieses im Wesen der Deduktion begründet. Fast immer kommt es ja beim Folgern darauf an, blos einen Teil der in den Daten aufgespeicherten Kenntnisse zu verwerten, dasjenige zu formuliren und schliessend aus- zusondern, was dieselben in gewissen Hinsichten, was sie abgesehen von gewissen Dingen oder Klassen (oder auch Kenntnissen) über die andern lehren. Mit diesem Problem werden wir uns darum auch vor- wiegend zu befassen haben.
Das andere, das Introduktionsproblem dagegen erscheint als ein vagues, unbestimmtes. Es verlangt das „Inseriren“ von neuen Termen, fordert die Herstellung einer richtigen Aussage, welche sich zugleich mit über Dinge, Klassen erstrecke, über welche die Prämissen gar keine Information enthalten. Die in Bezug auf solche Dinge von der gesuchten Lösung zu gebende Information kann doch nur eine „nichts- sagende“, nur eine scheinbare werden. Wir dürfen ja doch nicht hoffen, aus den Dimensionen eines Schiffes z. B., und der Anzahl und Höhe der Maste, das Alter seines Kapitäns berechnen zu lernen!
Die Unbestimmtheit bleibt auch bestehen, wenn man das Intro- duktionsproblem etwa mit
Peirce
dahin formulirt:
zu ermitteln
,
welche
als eine „analytische“ identisch gilt oder nicht, wofür — soweit nur Umfangs- und Aussagenbeziehungen in Betracht kommen — in § 21 und 33 die Methoden bereits auseinandergesetzt sind. Vergl. auch § 46, 1. Studie.
§ 41. Das Eliminationsproblem der zweiten Logikstufe.
Prämissen eine gegebene Konklusion liefern
(„which premises
yield
a given conclusion“). Denn solcher Prämissen gibt es sicherlich eine unbe- grenzte Fülle.
Unerachtet der zwischen beiden Problemen oben zutage getretenen (von Miss
Ladd
an’s Licht gezogenen) Analogie sind sie also doch für die Wissenschaft von äusserst ungleichem Werte.
Die Unbestimmtheit des Introduktionsproblemes in seiner letzten von
Peirce
gegebenen Fassung wird erst schwinden, wenn den Prä- missen eine bestimmte Form zugemutet, vorgeschrieben wird. Dann aber läuft das Problem auf die Fragestellung hinaus, ob es, falls die Konklusion erfüllt ist, ein gewisses
x
(eben den Introduzenden)
geben
wird, welcher die fragliche Prämisse erfüllt.
Z. B.: falls
a b
= 0, gibt es dann ein (oder irgendwelche)
x
derart, dass
a x
+
b x
1
= 0 ist,
kann
dann überhaupt diese Gleichung erfüllt sein?
Diese Frage musste aber bei dem Eliminationsprobleme schon ohnehin erledigt werden, als wir darauf ausgingen uns zu vergewissern, ob die Eliminationsresultante für
x
, welche die Theorie aufstellen lehrt, auch die
vollständige
Resultante gewesen.
Soweit also das Introduktionsproblem wissenschaftlichen Wert haben kann, deckt es sich mit den Untersuchungen über die Vollständigkeit der Eliminationsresultanten und kommt bei dem Eliminationsprobleme schon von selbst zur Erledigung.
§ 41.
Das Eliminationsproblem gelöst für ein paar typische Spezial- fälle, dann allgemein (aus dem Rohen). Bemerkung, das Auflösungsproblem betreffend.
Vermögen wir nur aus der vereinigten Aussage der Data
irgend ein
Klassensymbol
x
zu eliminiren, so sind wir auch im stande, aus der Eliminationsresultante ebenso noch ein zweites Symbol
y
, aus der neuen Resultante noch ein drittes
z
, und so weiter zu eliminiren. Kurz: wir vermögen dann auch eine
beliebige
Gruppe oder
Menge von Symbolen x
,
y
,
z
, … aus jener zu eliminiren.
Es erscheint darum die Elimination eines einzigen Symboles
x
als das- jenige Problem, mit welchem wir uns vorwiegend zu beschäftigen haben.
Nach den Endergebnissen des vorigen Paragraphen stellt die Relation
υ
):
Σ
(
A
= 0) (
B
≠ 0) (
C
≠ 0) (
D
≠ 0) …
= 1߭
≠ 0
das Prämissensystem des allgemeinsten Problemes vor, welches im
Neunzehnte Vorlesung.
identischen Kalkul überhaupt in Betracht kommen kann — wofern in ihr
A
,
B
,
C
,
D
, … als Gebietsymbole und zwar als „Funktionen“ von irgendwelchen andern Gebietsymbolen
a
,
b
,
c
…,
x
,
y
, … ge- geben gedacht werden.
Diese Funktionen lassen aber nach § 19 — einerlei ob sie
x
alle wirklich enthalten oder nicht — sich sämtlich nach
x
linear und homogen „entwickeln“, sodass unsre Gesamtaussage der Daten die Form haben muss:
α
)
Σ
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) …
= 1߭
≠ 0'
wo die Koeffizienten
a
,
b
,
p
,
q
,
r
,
s
, … unabhängig sind von
x
.
Die uns noch zur Lösung verbleibende Hauptaufgabe besteht nun darin, aus dieser Aussage
α
) das Symbol
x
zu eliminiren, d. h. aus ihr eine andere Aussage abzuleiten, welche nicht nur mit Notwendig- keit aus ihr folgt, sondern auch
jede
in
α
) über die übrigen Symbole
a
,
b
,
p
,
q
,
r
… enthaltene Information, jede aus
α
) zu schöpfende das
x
unerwähnt lassende Belehrung unter sich begreift, in sich zum Ausdruck bringt. Kurz: es ist die
volle
Resultante der Elimination des
x
zu finden.
Herr
Mitchell
betrachtet die Form
α
) nicht. Er gibt aber einen Teil der nachher an sie von uns zu knüpfenden Folgerungen wenigstens implicite, nämlich eingekleidet in eine ihm eigentümliche Symbolik, deren Verewigung, wenn sie auch mitunter eine kleine Raumersparniss ermöglicht, mir nicht wünschenswert erscheint. Zur eigentlichen Lösung des allge- meinen Problems hat seine Symbolik Herrn
Mitchell
doch nicht geführt, und selbst wenn sie zu einer auch dazu geeigneten sich ummodeln, modi- fiziren liesse (was mir nicht der Fall zu sein scheint), müsste ich doch auf die hier zu verwirklichen gesuchte
Befolgung einheitlicher Grundsätze im ganzen Bezeichnungssystem unsrer Disziplin
nach wie vor das grösste Ge- wicht legen. Ich werde auf das Verhältniss der
Mitchell’
schen Resultate zu den hier vorzutragenden erst bei der allgemeinen Lösung zurückkommen.
Wir lösen die Aufgabe zunächst für ein paar Spezialfälle.
Aus einer
Gleichung a x
+
b x
1
= 0 können wir schon längst das Symbol
x
eliminiren, indem wir nach Th. 50
+
) haben:
β
)
(
a x
+
b x
1
= 0)

(
a b
= 0);
und zwar ist die Aussage rechterhand als die volle Resultante der Elimination des
x
aus der Gleichung linkerhand nachgewiesen.
Wie nun gestaltet sich die Resultante der Elimination des
x
für eine
Ungleichung p x
+
q x
1
≠ 0?
Die Antwort auf diese Frage wird durch die Behauptung ge- geben, dass
§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
p
+
q
≠ 0
die Eliminationsresultante sein muss.
Behufs
Beweises
ist zunächst zu zeigen, dass die letztere in der That aus der Prämisse folgt, d. h. dass wirklich ist:
γ
)
(
p x
+
q x
1
≠ 0)

(
p
+
q
≠ 0).
Diesen Satz erhalten wir aber in der That, wenn wir die — nach der letzten Formel des Tableau’s § 40,
α
') S. 194 gültigen beiden Propositionen:
(
p x
≠ 0)

(
p
≠ 0) und (
q x
1
≠ 0)

(
q
≠ 0)
gemäss Th. 1̅7̅
+
) überschiebend addiren, und das Ergebniss dieser Verknüpfung:
(
p x
≠ 0) + (
q x
1
≠ 0)

(
p
≠ 0) + (
q
≠ 0)
in die damit äquivalente Behauptung
γ
) — gemäss dem Schema (
a
≠ 0) + (
b
≠ 0) = (
a
+
b
≠ 0) des Tableau’s
α
) zu Anfang des § 40 — umschreiben.
Es ist nun ferner auch die Vollständigkeit der gefundenen Resul- tante
B
= (
p
+
q
≠ 0) darzuthun. Zu dem Ende ist zu zeigen, dass wenn diese Resultante
B
erfüllt ist, es immer ein die Prämisse
A
= (
p x
+
q x
1
≠ 0)
erfüllendes
x
geben wird.
Dies lässt sich auf zwei Arten verwirklichen.
Da (
p
+
q
≠ 0) = (
p
≠ 0) + (
q
≠ 0) ist, so wird, wenn
B
er- füllt ist, entweder
p
≠ 0 sein — in diesem Falle genügt die Annahme
x
=
p
— oder es wird
q
≠ 0 sein — alsdann genügt es
x
1
=
q
, so- mit
x
=
q
1
anzunehmen — um hinzubringen, dass die Relation
A
sich denknotwendig erfülle.
Noch kürzer ist es, mit einem Schlage zu bemerken, dass unter der Voraussetzung
B
in Gestalt von
x
=
p
+
q
1
, wofür
x
1
=
p
1
q
,
auf alle Fälle ein Gebiet
x
angebbar ist, welches die Relation
A
er- füllt, indem dann eben
p x
+
q x
1
=
p
+
q
selbst wird, mithin ≠ 0 ist.
Es sei an dem vorstehenden Beispiel nochmals zum Bewusstsein ge- bracht, was wir in § 21 bereits allgemein darlegten: was denn durch solche Vollständigkeit der Resultante garantirt wird?
Nachdem soeben gezeigt ist, dass es unter der Annahme
B
immer ein die Relation
A
erfüllendes
x
gibt, während
A

B
war, ist klar, dass ausser
B
keine weitere (unabhängige) Relation zwischen
p
und
q
(oder auch nur Bedingung für eines dieser beiden Gebiete) mehr aus
A
folgen
Neunzehnte Vorlesung.
kann. Denn folgte noch aus
A
eine solche Relation
C
, die möglicherweise auch
nicht
erfüllt sein könnte, während doch
B
erfüllt ist, so gäbe es unter jener Voraussetzung
B
doch schon ein
A
erfüllendes
x
; d. h. ver- ständen wir ebendieses unter dem Buchstaben
x
, so wäre
A
erfüllt, woraus dann
B nebst C
als erfüllt folgen würde, entgegen der Unterstellung, dass
B ohne C
erfüllbar sei. Wir kämen damit zu dem Widerspruch, das ge- dachte
C
zugleich als erfüllt und nicht erfüllt annehmen zu müssen; folg- lich kann es ein solches
C
nicht geben, und unsre Resultante
B
muss schon
jede
aus
A
fliessende Information über
p
und
q
enthalten, muss eben die
volle
Resultante sein.
Streng genommen wird bei den obigen Schlüssen der Satz ange- wendet, dass wenn
a
=
b
und
b
≠ 0 ist, dann auch
a
≠ 0 sein muss, wonach es also
auch in einer Ungleichung gestattet ist
,
Gleiches für identisch Gleiches zu substituiren;
in Formeln:
δ
)
(
a
=
b
) (
a
≠ 0)

(
b
≠ 0).
Der
Beweis
ist leicht zu führen durch folgende Überlegung. Wegen 1߭ = (
b
= 0) + (
b
≠ 0) ist nach Th. 2̅1̅
×
), 2̅7̅
×
), 2̅1̅
+
) und 6̄
×
):
(
a
=
b
) (
a
≠
0
) = (
a
=
b
) (
a
≠ 0) (
b
= 0) + (
a
=
b
) (
a
≠ 0) (
b
≠ 0) = = 0 + „

(
b
≠ 0),
indem
(
a
=
b
) (
b
= 0) (
a
≠ 0)

(
a
= 0) (
a
≠ 0) = 0
nach Th. 4), 1̅5̅
×
), 3̅0̅
×
) und 5̄
×
) ist.
Als einen ferneren kleinen Hülfssatz möchte ich hier noch das folgende Theorem einschalten, welchem ebenfalls die „weitere Geltung“ zukommt:
ε
)
(
a

b
) (
a
≠ 0)

(
b
≠ 0).
Dasselbe stellt fest,
dass ein Gebiet
,
welchem ein von
0
verschie- denes eingeordnet ist
, das also ein nicht verschwindendes Gebiet in sich enthält,
auch von
0
verschieden sein muss
, unmöglich selbst ver- schwinden kann.
Um den Satz zu
beweisen
, brauchen wir blos zu bedenken, dass nach Th. 38) nebst 21
×
), 30
+
) und 27
×
) sodann nach 21
+
) und 6̄
×
) endlich dem oben eitirten Satze § 40,
α
') ist:
(
a

b
) (
a
≠ 0) = (
a b
1
= 0) (
a b
+
a b
1
≠ 0) = (
a b
1
= 0) (
a b
≠ 0)


(
a b
≠ 0)

(
b
≠ 0); indem wieder
a
≠ 0 in (
a b
≠ 0) + (
a b
1
≠ 0) zerfällt;
oder auch: nachdem
δ
) bereits bewiesen, ist es gestattet, in
a b
+
a b
1
≠ 0 die linke Seite durch das ihr gleiche
a b
+ 0 =
a b
zu ersetzen. —
Man kann übrigens auch den Beweis des Satzes analog wie bei
δ
) von diesem unabhängig führen:
§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
(
a

b
) (
a
≠ 0) = (
a

b
) (
b
= 0) (
a
≠ 0) + (
a

b
) (
b
≠ 0) (
a
≠ 0) =

(
a
= 0) (
a
≠ 0) + „ = = 0 + „ = = „

(
b
≠ 0).
Darnach aber könnte man auch den Beweis von
δ
) mittelst
(
a
=
b
) = (
a

b
) (
b

a
)

(
a

b
),
also
(
a
=
b
) (
a
≠ 0)

(
a

b
) (
a
≠ 0)

(
b
≠ 0)
auf den von
ε
) zurückführen.
Nachdem wir unter
β
) und
γ
) aus einer Gleichung, sowie aus einer Ungleichung ein Gebiet
x
eliminiren gelernt haben, können wir den Ergebnissen der Untersuchung noch eine etwas grössere Trag- weite beilegen. In der gleichen Weise wird dies auch am Schlusse jeder noch weiterhin gelösten Eliminationsaufgabe dann ausgeführt zu denken sein.
Bezeichnen wir die linke Seite unsres Ergebnisses
β
) oder
γ
) mit
A
, die rechte Seite desselben mit
B
, sodass
A

B
dies Ergebniss darstellt, so können wir nun sagen:
Sooft ζ
)
A
= 1߭
≠ 0
ist, muss auch bezüglich sein
B
= 1߭
≠ 0.
Für den Fall der oberen Beziehung, der Gleichheit mit 1߭, ergibt sich dies in Anbetracht, dass der Satz:
(
A

B
) (
A
= 1߭)

(
B
= 1߭)
nur als eine umständlichere Fassung des Th. 5̄
+
) erscheint, die sich mittelst Th. 3) aus demselben ergibt, indem darnach sein muss:
(1߭ =
A
) (
A

B
)

(1߭

B
) = (1߭ =
B
).
Für den Fall der unteren Beziehung, Ungleichheit mit 0, ergibt es sich auf Grund des Hülfssatzes
ε
), indem wir diesen für
A
,
B
statt
a
,
b
in Anspruch nehmen.
Bei konstantem Sinn der Aussagen
A
und
B
ist nun allerdings die untere Beziehung nach § 32,
ζ
) äquivalent der oberen, sodass die eine der soeben ausgeführten beiden Überlegungen überflüssig erscheint, die zweite durch die erste entbehrlich gemacht wird.
Allein die Betrachtung thut zugleich dar, dass man von der Auflage, unter
A
und
B
Aussagen von
festem
Sinne zu denken, sich
hier
wenigstens auch befreien könnte, dass unter
A
und
B
in unsern Ergebnissen sogar Aussagen von mit der Zeit veränderlichem
„fliessendem“
Sinne (in der in
Neunzehnte Vorlesung.
§ 28 dargelegten Weise) verstanden werden dürften. Auch dann noch würde
ζ
) zu der daselbst links angegebenen Prämisse rechts wiederum die Eliminationsresultante zur Konklusion geben; oder:
Auch wenn die Prä- misse A nur manchmal gilt
,
muss die Resultante B auch manchmal gelten
— allermindestens nämlich eben dann, wann
A
zutrifft.
Nehmen wir jetzt auch in Angriff die
Aufgabe
. Aus zwei oder mehr simultanen Ungleichungen:
(
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) …
ein Gebietsymbol
x
zu eliminiren.
Auflösung
. Multiplizirt man die nach dem vorigen Unter- suchungsergebnisse
γ
) geltenden Subsumtionen:
(
p x
+
q x
1
≠ 0)

(
p
+
q
≠ 0), (
r x
+
s x
1
≠ 0)

(
r
+
s
≠ 0), …
nach Th. 1̅7̅
×
) überschiebend miteinander, so erhält man den Satz:
η
)
(
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) …

(
p
+
q
≠ 0) (
r
+
s
≠ 0) …
und erkennt man hieraus — wenn man will, auch unter Inanspruch- nahme der soeben unter
ζ
) ausgeführten Überlegung, für
A
und
B
gedeutet als linke und rechte Seite von
η
) — dass in diesem Satze die Aussage rechterhand
eine richtige Resultante
der Elimination des
x
aus der linkseitigen Annahme vorstellen muss.
Diese Resultante ist auffallenderweise dieselbe, als ob wir ein System voneinander unabhängig beliebiger Klassen
x
,
y
, … aus den Prämissen
(
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r y
+
s y
1
≠ 0) …
zu eliminiren gehabt hätten. Und dieser Umstand wird von vornherein die Vollständigkeit der in
η
) gegebenen Eliminationsresultante fraglich, ja unwahrscheinlich erscheinen lassen. Es muss ja doch etwas zu be- deuten haben, dass es das nämliche Gebiet
x
ist, welches zugleich mit der ersten auch die noch folgenden Ungleichungen simultan erfüllt!
Die Frage nach dieser Vollständigkeit der angeführten Resultante ist in der That hier, ganz strenge genommen, nicht zu bejahen, über- haupt aber im obigen Probleme entfernt nicht so einfach zu beant- worten, wie in den vorhergehenden Fällen. Ich habe diese Frage bei dem allgemeinsten Eliminationsprobleme ohnehin eingehend zu be- sprechen, und will dieselbe bis dahin zurückstellen.
Von den drei bis jetzt behandelten Spezialproblemen, deren Lösungen durch
β
),
γ
) und
η
) gegeben werden, begreift unser drittes
η
) das
§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
zweite
γ
) als besondern Fall unter sich, und brauchen wir deshalb blos von den beiden
β
) und
η
) noch weiter zu sprechen.
Wie schon in § 21 — Bd. 1, S. 456 — gezeigt, lässt sich durch eine leichte Umschreibung dem erstern durch
β
) gelösten Probleme eine solche Gestalt geben, dass für beide Probleme die Elimination ganz in der gleichen Weise vollziehbar, das Eliminationsverfahren für sie ein einheitliches wird.
Dies wird nämlich dadurch erreicht, dass man die Gleichung, aus welcher
x
zu eliminiren war (und darnach ebenso die Resultante der Elimination), anstatt auf 0, rechts stets auf 1 gebracht ansetzt. Als- dann ist bekanntlich das Untersuchungsergebniss
β
) zu ersetzen durch:
ϑ
)
(
a x
+
b x
1
= 1)

(
a
+
b
= 1)
und lehrt der Anblick von
ϑ
) sowol als von
η
) folgendes:
Man kann die Elimination des x aus den Prämissen links einfach dadurch voll- ziehen
,
dass man den Eliminanden x und seine Negation x
1
ohne weiteres unterdrückt
, diese beiden Symbole sozusagen aus den Prämissen
aus- radirt
(„erase“).
Jedoch mit einem Vorbehalte; man merke etwa:
Nur darf hiebei kein Summenglied zerstört werden
, („provided no aggregant term is destroyed“). Weil nämlich
x
und
x
1
nur
als Faktoren
wegfallen, und deren Koeffizienten stehn zu bleiben haben, so sind die letztern, wo sie etwa, weil = 1, un- erwähnt geblieben, ausdrücklich anzufügen, bevor man an das Radiren geht. M. a. W.: Ähnlich, wie in der Arithmetik beim „Heben“, „Streichen“ von Nennerfaktoren in einem Bruche gegen ihnen gleiche des Zählers bekannt- lich im letzteren die 1 als übrig bleibender Faktor angesetzt werden muss, sobald alle Zählerfaktoren sich wegheben, so muss natürlich auch hier der möglicherweise nicht angeschrieben gewesene Faktor 1 als Koeffizient hin- zugedacht und wirklich angesetzt werden, wenn bei der Ausradirung des
x
(oder
x
1
) kein Faktor mehr stehen bleiben würde. So ist z. B. nur:
(
x
+
q x
1
≠ 0)

(1 +
q
≠ 0) = (1 ≠ 0) = 1߭;
die Elimination des
x
gibt also hier eine nichtssagende Resultante, nicht aber dürfte (
q
≠ 0) als Resultante hingestellt werden; und analog wird sein:
(
p x
+
x
1
≠ 0) = (
p x
+ 1 ·
x
1
≠ 0)

(
p
+ 1 ≠ 0) = (1 ≠ 0) = 1߭
wobei abermals die Resultante von selbst erfüllt, keine Relation mehr ist. Desgl.
(
x
+
b
1
x
1
= 1)

(1 = 1) = 1߭, (
a
1
x
+
x
1
= 1)

(1 = 1) = 1߭.
Als ein letztes Spezialproblem behandle ich die fundamentale
Aufgabe
.
Aus einer simultan mit einer Gleichung geltenden Un- gleichung:
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
+
q x
1
≠ 0)
das Gebietsymbol x zu eliminiren.
Neunzehnte Vorlesung.
Auflösung
. Die volle Resultante lautet:
(
a b
= 0) (
p a
1
+
q b
1
≠ 0)
und gilt sonach auch der Satz:
ι
)
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
+
q x
1
≠ 0)

(
a b
= 0) (
p a
1
+
q b
1
≠ 0).
Beweis
. Derselbe besteht aus zwei Teilen. Der erste hat die Richtigkeit von
ι
), der zweite die Vollständigkeit der Resultante dar- zuthun.
Erster Teil. Gilt die Prämisse, so gilt nach Th. 6
×
) des Aus- sagenkalkuls auch
a x
+
b x
1
= 0, welches nach Th. 24) in
(
a x
= 0) (
b x
1
= 0)
zerfällt; es gelten also auch — abermals kraft Th. 6̅
×
) — diese beiden Faktorenaussagen für sich. Dieselben können aber nach Th. 38
×
) in Subsumtionen umgeschrieben werden, d. h. es gelten, wegen:
(
a x
= 0) = (
x

a
1
),
(
b x
1
= 0) = (
x
1

b
1
)
die beiden Subsumtionen rechterhand. Aus diesen folgt aber durch beiderseitiges Multipliziren nach Th. 15
×
):
p x

p a
1
,
q x
1

q b
1
und hieraus durch überschiebendes Addiren gemäss Th. 17
+
):
p x
+
q x
1

p a
1
+
q b
1
.
Wenn in dieser Subsumtion die linke Seite ≠ 0 ist (und sie soll es ja laut Voraussetzung sein), so muss auch nach dem Hülfstheorem
ε
) die rechte Seite ≠ 0 sein, d. h. wir haben:
ϰ
)
(
p x
+
q x
1
≠ 0)

(
p a
1
+
q b
1
≠ 0).
Und überschiebendes Multipliziren dieser Subsumtion mit der ohnehin schon geltenden
β
) liefert uns das Theorem
ι
), welches zu beweisen gewesen.
Man übersieht hier leicht, wie wir den ganzen Beweis auch ohne jeden verbalen Text blos in Formeln des Aussagenkalkuls hätten führen können.
Zweiter Teil. Dass die angeführte Resultante auch das
volle
Er- gebniss der Elimination des
x
sein muss, geht daraus hervor, dass wenn sie erfüllt ist, wenn also
a b
= 0 und
p a
1
+
q b
1
≠ 0 ist, sich immer in Gestalt von
λ
)
x
=
b
+
a
1
p q
1
,
x
1
=
b
1
(
a
+
p
1
+
q
)
§ 41. Das Eliminationsproblem gelöst für typische Spezialfälle.
ein
x
angeben lässt, welches die Prämisse erfüllt, wie man dies leicht nachrechnet. Hiefür wird nämlich
a x
+
b x
1
=
a b
also in der That = 0 und
p x
+
q x
1
=
p
(
a
1
q
1
+
b
) +
q b
1
=
Die Zwischenrechnung kann so geführt werden: =
p
(
a
1
b
1
q
1
+
b
) +
q b
1
=
p b
+
q b
1
+
p a
1
b
1
q
1
+
p a
1
b
1
q
=
p
(
a
1
b
1
+
b
) +
q b
1
= =
p
(
a
1
+
b
) +
q b
1
=
p
(
a
1
+
a b
) +
q b
1
= etc.
p a
1
+
q b
1
+
p a b
=
p a
1
+
q b
1
+ 0 =
p a
1
+
q b
1
also in der That ≠ 0.
Noch allgemeiner könnte man auch:
μ
)
x
=
b
+
a
1
p q
1
+
a
1
(
p q
+
p
1
q
1
)
u
nehmen, wo
u
beliebig.
Ich will dies auch heuristisch noch begründen. Um es zu finden stellte ich mir die Aufgabe, während
a b
= 0 angenommen wird, ein solches
x
zu ermitteln, dass zugleich
a x
+
b x
1
= 0 und
p a
1
+
q b
1

p x
+
q x
1
ist, sodass, wenn etwa die linke Seite dieser Subsumtion ≠ 0 ist, es um so mehr auch die rechte sein muss. Nach Th. 38
×
) ist aber letztere Sub- sumtion einerlei mit der Gleichung:
(
p a
1
+
q b
1
) (
p
1
x
+
q
1
x
1
) = 0 oder
b
1
p
1
q x
+
a
1
p q
1
x
1
= 0
und somit ist die vereinigte Gleichung der beiden zu erfüllenden:
(
a
+
b
1
p
1
q
)
x
+ (
b
+
a
1
p q
1
)
x
1
= 0.
Es folgt nach den Methoden des § 21 eliminando nur die laut Voraus- setzung ohnehin erfüllte Relation
a b
= 0, und endlich solvendo der an- gegebene allgemeine Ausdruck
μ
) für
x
, welcher für
u
= 0 in den zuerst angeführten
λ
) übergeht, für
u
= 1 aber uns
x
=
b
+
a
1
(
p
+
q
1
) als einen andern geeigneten Wert für
x
von bemerkenswerter Einfachheit des Aus- drucks liefern würde.
Anmerkung zu
ι
).
Analog wie
γ
) ist auch leicht der noch etwas allgemeinere Satz zu beweisen:
ν
)
(
p x
+
q y
≠ 0)

(
p
+
q
≠ 0),
indem dies in der That durch überschiebendes Addiren aus den nach § 40,
ά
) S. 194 geltenden Subsumtionen:
(
p x
≠ 0)

(
p
≠ 0), (
q y
≠ 0)

(
q
≠ 0)
gemäss § 40,
α
) S. 179 erhalten wird.
Der Satz lässt sich in derselben Weise, wie für binomische, so auch für beliebig vielgliedrige polynomische Summen unmittelbar beweisen, des-
Neunzehnte Vorlesung.
gleichen auch mittelbar, successive, von jenen auf diese ausdehnen. Es gilt z. B. auch:
ξ
)
(
p x
+
q y
+
r z
≠ 0)

(
p
+
q
+
r
≠ 0)
Etc. und können wir sagen:
Wenn eine lineare
(und zunächst homogene)
Funktion beliebig vieler Variabeln ungleich
0
ist, so muss auch die Summe ihrer Koeffizienten ungleich
0
sein.
Gilt der Satz aber für eine
homogene
lineare Funktion bei einer be- stimmten Anzahl von Gliedern oder Variabeln, so muss er auch für die all- gemeine,
nicht homogene
, lineare Funktion von ebensoviel Gliedern (mithin von einer Variabeln weniger) gelten, indem man, um ihn für diese zu er- halten, nur die letzte von den erwähnten Variabeln gleich 1 zu denken braucht. So erhalten wir z. B. aus dem letzten Satze für drei Variabeln durch die Annahme
z
= 1 auch den Satz:
ο
)
(
p x
+
q y
+
r
≠ 0)

(
p
+
q
+
r
≠ 0),
durch welchen für die allgemeine lineare Funktion von zwei Variabeln das Theorem dargestellt wird.
Die Formeln
ν
),
ξ
),
ο
) geben rechterhand die volle Resultante der Elimination von
x
,
y
und eventuell
z
aus der Proposition linkerhand an, wie man durch die Annahmen
x
=
p
,
y
=
q
und ev.
z
=
r
mit Leichtigkeit beweist. Und ähnlich für noch mehr Summanden. Auch hier entsteht die Resultante durch Tilgung der Eliminanden. —
Nach
ν
) haben wir nun insbesondere:
π
)
(
p a
1
+
q b
1
≠ 0)

(
p
+
q
≠ 0).
Multiplizirt man dies „
beiderseits
“ (nicht „überschiebend“!) mit (
a b
= 0), so folgt aus dem Ergebnisse:
(
a b
= 0) (
p a
1
+
q b
1
≠ 0)

(
a b
= 0) (
p
+
q
≠ 0)
in Verbindung mit
ι
) a fortiori auch:
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
+
q x
1
≠ 0)

(
a b
= 0) (
p
+
q
≠ 0),
oder:
ϱ
)
(
a
1
x
+
b
1
x
1
= 1) (
p x
+
q x
1
≠ 0)

(
a
1
+
b
1
= 1) (
p
+
q
≠ 0).
Auch bei diesem Problem erhält man also, wofern man nur eine bestimmte Form des Ansatzes — nämlich die linkerhand in
ϱ
) — wählt, als richtige Folgerung
eine Resultante
der Elimination, indem man die Eliminanden
x
,
x
1
aus der Prämisse herausradirt.
Diese Resultante wird aber im allgemeinen durchaus
nicht
die
volle
Resultante sein; vielmehr wird dieselbe entschieden weniger aus- sagen, als wirklich in Bezug auf
a
,
b
,
p
,
q
aus der Prämisse gefolgert werden kann.
Es ist nämlich leicht zu sehen, dass die Subsumtion
π
) nicht umkehr-
§ 41. Das Eliminationsproblem allgemein gelöst (aus dem Rohen).
bar ist. Zu dem Ende braucht man z. B. nur
a
1
mit
p
und
b
1
mit
q
dis- junkt zu denken, so wird der Major der Subsumtion
π
), das ist
p
+
q
≠ 0 erfüllt sein können, während der Minor derselben: 0 + 0 ≠ 0 dies nicht ist.
Die Subsumtion
π
) wird also zumeist als eine wirkliche Unterordnung gelten; es wird die in
ϱ
) gegebene Resultante wirklich weniger sagen, als die in
ι
), und unser erstes Ergebniss ist weitergehend, ist das umfassendere. D. h. die eigentliche Lösung der Eliminationsaufgabe liefert jene allerdings wunderbar einfache Radirmethode des Eliminirens schon bei dem vor- liegenden Spezialproblem nicht mehr!
Wir können nunmehr ohne weiteres zu Lösung des allgemeinen zu Anfang dieses Paragraphen charakterisirten Eliminationsproblemes übergehen.
Die Resultante der Elimination des
x
aus der vereinigten Aus- sage
α
) ist:
σ
)
Σ
(
a b
= 0) (
p a
1
+
q b
1
≠ 0) (
r a
1
+
s b
1
≠ 0) ....
= 1߭
≠ 0
und dies beruht auf dem Satze
Ich habe denselben in der mathematischen Sektion der deutschen Natur- forscherversammlung in Strassburg i. E. 1885 mitgeteilt
6
— zuvor auch schon in dem von
Clebsch
gegründeten Karlsruher Mathematischen Kränzchen. Einen merkwürdigen Beweis für diesen ohne die Herleitung publizirt ge- wesenen Satz hat Herr
Voigt
1
gegeben, der, wenn er auch dem meinigen an Einfachheit nachsteht, doch durch die ausserordentliche Verschiedenheit und Ori- ginalität des Gedankengangs beachtenswert ist.
:
τ)
Σ
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) ....


Σ
(
a b
= 0) (
p a
1
+
q b
1
≠ 0) (
r a
1
+
s b
1
≠ 0) ....,
in welchem die Glieder und deren Faktoren in den beiderseitigen Summen einander genau entsprechen.
Der Satz wird leicht erhalten, indem man zunächst nach Th. 1̅7̅
×
), überschiebend multiplizirt die folgenden kraft des Theorems
ι
) gel- tenden Subsumtionen:
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
+
q x
1
≠ 0)

(
a b
= 0) (
p a
1
+
q b
1
≠ 0), (
a x
+
b x
1
= 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0)

(
a b
= 0) (
r a
1
+
s b
1
≠ 0), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wobei man links wie rechts den wiederholt auftretenden ersten Faktor dem Tautologiegesetze 1̅4̅
×
) entsprechend nur
ein
mal schreiben wird.
Das Ergebniss:
υ
)
(
a x
+
b x
1
= 0) (
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) …


(
a b
= 0) (
p a
1
+
q b
1
≠ 0) (
r a
1
+
s b
1
≠ 0) …
Schröder
, Algebra der Logik. II. 14
Neunzehnte Vorlesung.
drückt als ein allgemeiner Satz aus, dass
irgend ein
Glied der Summe links in
τ
) eingeordnet ist dem entsprechenden Gliede rechts, dieses involvirt.
Denkt man sich solches nun für
jedes
Glied jener Summe hinge- schrieben, so braucht man blos die Subsumtionen der entstehenden Reihe nach Th. 1̅7̅
+
) überschiebend zu addiren, und wird das Theo- rem
τ
) — noch ohne die Summenzeichen, ausführlichst, angeschrieben — gewinnen. Der Prozess läuft aber darauf hinaus, die vorstehende Subsumtion „beiderseits“ zu „summiren“, d. h. der linken und rechten Seite derselben das Summenzeichen voranzuschreiben.
Herrn
Peirce’
s Schüler O. H.
Mitchell
gibt als Resultante der Eli- mination des
x
aus
α
) — wie gesagt in seine ihm eigentümliche Symbolik verhüllt — blos die Folgerung:
Σ
(
a
1
+
b
1
= 1) (
p
+
q
≠ 0) (
r
+
s
≠ 0) …
= 1߭
≠ 0
welche, wie wir unter
ι
) bis
ϱ
) ausgeführt haben, nur einen Teil von dem darstellt, was wirklich gefolgert werden kann. Er wirft die Frage nach der Vollständigkeit der Eliminationsergebnisse (gleichwie auch die übrigen Schriftsteller über rechnende Logik) überhaupt nicht auf, lässt diese un- untersucht und haftet an der Regel des Eliminirens mittelst Tilgung der Eliminanden, die — für die einfachsten Fälle schon von Miss
Ladd
be- merkt — von ihm auch auf die andern Probleme mit ausgedehnt wird.
Dass diese Methode zwar zu richtigen Schlüssen führt, aber im all- gemeinen
zu wenig sagende,
nicht weit genug gehende Ergebnisse liefern muss, haben wir bereits dargethan.
Leicht sieht man, dass unsre Lösung auf Grund des Satzes
τ
) auch die früheren
β
) und
η
) — sowie
ι
) — mit unter sich begreift. Lässt man die Ungleichungen fort und beschränkt die Summe auf ein einziges Glied, so hat man das alte (schon von
Boole
gegebene) Theorem
β
) wieder. Und
η
) ergibt sich durch die Annahme
a
=
b
= 0, wofür dann
a
1
=
b
1
= 1 wird, also unser Ausdruck
p a
1
+
q b
1
in
p
+
q
, etc. übergeht.
Die Frage aber, ob nun auch die angegebene notwendig geltende und unbedingt richtige Resultante
σ
) das
volle
Ergebniss der Elimi- nation des
x
aus der vereinigten Aussage
α
) der Data unsres all- gemeinsten Problemes darstelle, ist strenge genommen
zu verneinen
. Es wird uns diese Frage noch zu schwierigen aber instruktiven Unter- suchungen veranlassen, bei denen ein näheres Eingehen auf den
Be- griff des
„
Individuums
“ nötig wird, für die eine exakte Definition dieses Begriffes voranzuschicken ist.
Ich will diese Untersuchungen lieber auf einen späteren Zeitpunkt
§ 41. Allgemeine Lösung des Eliminationsproblems aus dem Rohen.
verschieben, um zunächst erst einmal von den bisherigen Ergebnissen einige Anwendungen zu bringen.
Durch die gedachten Untersuchungen wird sich herausstellen, dass unsrer obigen Resultante
σ
), damit sie vollständig werde, noch eine gewisse weitere Forderung hinzugefügt werden muss, die ich die „
Klausel
“ nennen will. Deren Ausdruck
K
in Form einer Aussage wird also, da sie simultan mit unsrer bisherigen Resultante erfüllt sein muss, der letzteren noch als ein Faktor beizuschreiben sein.
Der Inhalt der Klausel
K
erweist sich als von einer eigentüm- lichen Natur: dieselbe drückt die
Forderung
aus,
dass gewisse Arten oder Gruppen
,
von speziellen Individuenverteilungen unter die Klassen a
,
b
,
p
,
q
,
r
,
s
…
auszuschliessen sind
. Wenn bestimmte Individuen die erwähnten Klassen gerade auf eine solche Art zusammensetzen, welche von der Klausel für unzulässig erklärt werden muss, so er- scheint dies gegenüber der unendlichen Mannigfaltigkeit der denkbaren Möglichkeiten, auf welche jene Klassen überhaupt aus Individuen zu- sammengesetzt sein können, gewissermassen als ein grosser
Zufall
.
Bis auf den Ausschluss gewisser von ihr unberücksichtigt ge- lassenen „Zufälligkeiten“ — werden wir also sagen können — ist unsre Resultante
σ
) wirklich die vollständige; sie löst das Eliminationsproblem wenigstens im allgemeinen, genauer gesagt „
aus dem Rohen
“, und gibt das Gros, die Hauptmasse von dem an, was in Bezug auf die Para- meter der Data gefolgert werden kann. —
Ist in der Prämisse oder vereinigten Aussage der Daten
α
) die Summe auf ein einziges Glied beschränkt, so wird auch die Konklusion oder Resultante nur aus
einem
Gliede bestehen und unsre allgemeinste Formel
τ
) wird in
υ
) als in einen speziellen Fall ihrerselbst übergehen:
die Gesamtresultante ist somit die Summe der Einzelresultanten
,
welche sich durch die Elimination des Eliminanden aus den einzelnen Gliedern der
[in der Form
α
) dargestellten]
Prämissenaussage ergeben
.
Man braucht sich also beim Eliminationsgeschäfte immer nur mit einem einzigen Gliede dieser Prämissenaussage abzugeben und um deren übrige Glieder gar nicht dabei zu bekümmern — sonach blos das einfachere Schema
υ
) statt des komplizirteren
τ
) in’s Auge fassend.
Dies ist auch a priori einleuchtend, in Anbetracht, dass die Summe der Prämissenglieder auf eine Alternative zwischen diesen verschiedenen Annahmen hinausläuft, die, ob sie zwar einander nicht notwendig aus- schliessen, doch je für sich adoptirt werden können — das Zutreffen oder Nichtzutreffen der übrigen dabei offen gelassen.
Der gleiche Sachverhalt muss sich darum auch forterhalten, wenn
14*
Neunzehnte Vorlesung.
wir etwa später anstatt der nach dem Schema
φ
),
τ
) gebildeten viel- mehr die durch Zuzug der „Klausel“ vervollständigten Resultanten in’s Auge fassen werden.
Die Glieder der resultirenden und die der Prämissenaussage ent- sprechen nach dem Gesagten einander gegenseitig eindeutig und sollen die zugeordneten „
korrespondirende
“ Glieder heissen. Jedes Glied der Konklusion ist die Resultante (der Elimination von
x
aus) zu seinem korrespondirenden Glied der Prämissenaussage.
In einem solchen Glied der Resultante, mithin bei dem Major von
υ
), möge derjenige Faktor — hier (
a b
= 0) — welcher eine Gleichung ist, der „
Boole’
sche Faktor“ genannt werden (und analog auch bei der Prämissenaussage). Derselbe kann natürlich auch, anstatt mecha- nisch nach dem gegebenen Schema, gewünschtenfalles unter Anwendung irgend welcher andern Methoden — wie solche in der 14
ten
Vorlesung auseinandergesetzt — sowie der raffinirtesten zur Vereinfachung der Arbeit ersinnbaren Kunstgriffe hergestellt werden.
Anscheinend verdient es im allgemeinen den Vorzug, den
Boole
- schen Faktor schon in den Prämissen rechts auf 1 — statt wie oben auf 0 — gebracht anzusetzen, für
a x
+
b x
1
= 0, also
a
1
x
+
b
1
x
1
= 1 zu nehmen, aus dem Grunde, weil man alsdann die Faktoren
a
1
,
b
1
mit welchen die
p
,
q
,
r
,
s
, … bei der Elimination des
x
zu multipliziren sein werden, schon als Koeffizienten vorgebildet findet, mithin sie nicht erst negando auszurechnen braucht.
Ersetzen wir die Bezeichnungen
a
1
,
b
1
hernach durch die
a
,
b
, so erhält unser Theorem in der That die folgende eleganteste und zu- weilen auch bequemst anzuwendende Gestalt:
φ
)
Σ
(
a x
+
b x
1
= 1) (
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) …


Σ
(
a
+
b
= 1) (
p a
+
q b
≠ 0) (
r a
+
s b
≠ 0) …
worin es auch erlaubt, sich die Summen eingliedrig zu denken, mithin die Summenzeichen wegzulassen.
Beim Operiren nach diesem Schema wird man jedoch behufs Her- stellung der „vereinigten“
Boole’
schen Gleichungen, anstatt des bisher gewohnten Theorems 24
+
), das Th. 24
×
) nämlich (
a
= 1) (
b
= 1) = (
a b
= 1) zum Vorbild nehmen, d. h. man wird die Polynome der zu vereinigenden Gleichungen jeweils miteinander
multipliziren
müssen, wo wir bisher summirten. Und da das Multipliziren nun, mit den oft noch unent- wickelten Aggregaten, welche als Polynome der
Boole’
schen Faktoren auftreten, so sehr viel unbequemer auszuführen ist, als wie das Ad- diren derselben, und diesem Unterschied gegenüber die Arbeit des Ne-
§ 41. Simultane Elimination, aus dem Rohen.
girens der Koeffizienten oft kaum in Betracht kommt, m. a. W. da die
Vorarbeiten
des Eliminationsgeschäftes viel mehr in’s Gewicht zu fallen pflegen als dieses selber, so muss ich ungeachtet der hervorgehobenen theoretischen Vorzüge der Formel
φ
) vor dem Schema
τ
) in der Praxis doch häufig vorziehn mich des letztern zu bedienen. —
Was noch das Eliminationsproblem bei
mehreren
Eliminanden
x
,
y
,
z
, … betrifft, so kann man sich überzeugen, dass unsre Resultante aus dem Rohen die nämliche wird, wenn man erst
x
, dann
y
, wie wenn man umgekehrt erst
y
, dann
x
aus der vereinigten Aussage der Data eliminirt. Letztere, nach
x
und
y
entwickelt, hat die Form:
χ
)
Σ
(
A
x
,
y
= 1)
Π
(
B
x
,
y
≠ 0),
wo
A
x
,
y
=
a x y
+
b x y
1
+
c x
1
y
+
d x
1
y
1
und
B
x
,
y
=
p x y
+
q x y
1
+
r x
1
y
+
s x
1
y
1
bedeuten wird, und in den folgenden Faktoraussagen des Produktes
Π
(die bei jedem einzelnen Gliede der Summe
Σ
in unabhängig beliebiger Anzahl gegeben sein mögen) nur die Koeffizienten
p
,
q
,
r
,
s
andere und andere Werte haben mögen, deshalb auch mit Accenten (oder zweiten oberen Indices) behaftet zu denken sind (gleichwie in den ver- schiedenen Gliedern der irgendwievielgliedrigen Summe
Σ
die sämt- lichen Koeffizienten
a
,
b
bis
s
durch erste obere Indices unterscheid- bar gemacht sein sollten).
Wollen wir
x
eliminiren, so sind nach
x
zu ordnen die
A
x
,
y
= (
a y
+
b y
1
)
x
+ (
c y
+
d y
1
)
x
1
und die
B
x
,
y
= (
p y
+
q y
1
)
x
+ (
r y
+
s y
1
)
x
1
.
Die Resultante lautet nach der Regel
φ
):
Σ
(
A
y
= 1)
Π
(
B
y
≠ 0),
wo
A
y
= (
a y
+
b y
1
) + (
c y
+
d y
1
) = (
a
+
c
)
y
+ (
b
+
d
)
y
1
,
B
y
= (
p y
+
q y
1
) (
a y
+
b y
1
) + (
r y
+
s y
1
) (
c y
+
d y
1
) = (
p a
+
r c
)
y
+ (
q b
+
s d
)
y
1
bedeuten muss.
Hieraus nach derselben Regel nun auch
y
eliminirt gibt die Resultante:
ψ
)
Σ
(
A
= 1)
Π
(
B
≠ 0),
wo
Neunzehnte Vorlesung.
A
= (
a
+
c
) + (
b
+
d
) =
a
+
b
+
c
+
d
,
und
B
= (
p a
+
r c
) (
a
+
c
) + (
q b
+
s d
) (
b
+
d
) =
p a
+
q b
+
r c
+
s d
ist.
Wollen wir dagegen erst
y
eliminiren, so sind auch nach
y
zu ordnen:
A
x
,
y
= (
a x
+
c x
1
)
y
+ (
b x
+
d x
1
)
y
1
,
B
x
,
y
= (
p x
+
r x
1
)
y
+ (
q x
+
s x
1
)
y
1
und ergibt sich als Resultante:
Σ
(
A
x
= 1)
Π
(
B
x
≠ 0),
wo
A
x
= (
a x
+
c x
1
) + (
b x
+
d x
1
) = (
a
+
b
)
x
+ (
c
+
d
)
x
1
,
B
x
= (
p x
+
r x
1
) (
a x
+
c x
1
) + (
q x
+
s x
1
) (
b x
+
d x
1
) = (
p a
+
q b
)
x
+ (
r c
+
s d
)
x
1
bedeutet. Wird hieraus nun
x
regelrecht eliminirt, so ergibt sich die- selbe Resultante
ψ
) wie vorhin, nur dass die
A
und
B
zuerst in den Formen erscheinen:
A
= (
a
+
b
) + (
c
+
d
),
B
= (
p a
+
q b
) (
a
+
b
) + (
r c
+
s d
) (
c
+
d
)
was aber reduzirt auf das Obige hinausläuft.
Wir wollen
ψ
) die rohe Resultante der simultanen Elimination von
x
und
y
aus der Prämisse
χ
) nennen.
Weiter folgt dann, dass simultane Elimination des Paares
x
,
y
von Symbolen und darauf folgende von
z
dasselbe Ergebniss liefern muss, wie Einzelelimination von
x
und darauf folgende Simultanelimi- nation des Paares
y
,
z
, und zwar weil beide Prozesse auf die succes- sive Elimination von
x
, dann
y
, dann
z
hinauskommen müssen. Man sieht hienach:
Auch die rohe Elimination ist bei beliebig vielen Eliminanden eine kommutative und assoziative Operation.
Den gleichen Nachweis auch für die volle Elimination zu leisten, ist ein noch offenes Problem, weil wir die vollen Resultanten noch nicht anzugeben vermögen. Vorher schon gelänge er wol a priori.
Das bei
ψ
) ersichtliche Bildungsgesetz für die rohe Resultante der simultanen Elimination ist von zweien leicht auf beliebig viele Eliminanden in gleicher Weise auszudehnen, und lässt sich,
nachdem die Aussagenfaktoren der Data nach dem System der Eliminanden
„
ent- wickelt
“
sind
, diese rohe Resultante der simultanen Ausmerzung des ganzen Eliminandensystems augenblicklich hinschreiben, ohne dass man nötig hätte zum Verfahren des successiven Eliminirens erst seine Zuflucht zu nehmen. Die Regel dazu lautet:
§ 41. Bemerkung, das Auflösungsproblem betreffend.
Behufs Herstellung der Resultante unterdrücke man erstens in den
Boole’
schen Faktor
aussagen, welche rechts auf 1 gebrachte
Glei- chungen
sind,
die sämtlichen Konstituenten
(nachdem diejenigen Koeffi- zienten, welche etwa gleich 1 waren, ausdrücklich als solche angeschrieben worden),
und zweitens ersetze man in den
jenigen
Faktor
- aussagen, welche rechts auf 0 gebrachte
Ungleichungen
sind,
jeden Konstituenten durch denjenigen Koeffizienten
,
welchen das mit dem vor- liegenden gleichnamige Glied der zugehörigen
Boole’
schen Faktoraussage besass
.
Die also gewonnene
rohe
Resultante ist wieder eine berechtigte Konklusion aus der Prämissenaussage; sie muss sicher gelten, wenn für irgendwelche Wertsysteme — auch nur für ein gewisses Wert- system — der Eliminanden die Prämissen Gültigkeit haben. Dagegen gewährt ihr Erfülltsein noch nicht die Garantie, dass es unter allen (sonst dabei noch zulässigen) Umständen auch ein Wertsystem der Eliminanden geben müsse, welches die Prämissen wahr macht. —
Wir konnten in der Entwickelung unsrer Disziplin des identischen Kalkuls zwei Etappen unterscheiden. Auf der ersten Etappe mit § 27 angelangt, ist sie nur erst im stande solche Probleme zu lösen, in deren Daten und Solutionen lediglich
universale
Urteile in Betracht kommen. Bis dahin operirt die Disziplin immer nur mit Subsumtions- und
Gleichheits
zeichen, und das allgemeinste bei dieser Einschränkung erdenkliche Problem löst unsre Theorie vermittelst des Theoremes 49
+
) oder 50
+
), welches als das Haupttheorem der ersten Etappe zu be- zeichnen ist — im Wesentlichen schon von
Boole
gegeben.
Um auch die Behandlung von Problemen in ihr Bereich zu ziehen, sich zugänglich zu machen, bei denen
partikulare
Urteile mit in Be- tracht kommen, und sich damit zur zweiten Etappe zu erheben, war die Disziplin genötigt, den früheren Beziehungszeichen noch das
Un- gleichheits
zeichen (oder auch das verneinte Subsumtionszeichen) zuzu- gesellen. Als das Haupttheorem auf dieser Etappe erscheint uns dann die Folgerung von
σ
) aus
α
), oder das Theorem
τ
) resp.
φ
).
Freilich löst dasselbe nur mehr die eine von den beiden auf der vorigen Etappe durch Th. 49
+
) resp. 50
+
) gelösten Aufgaben; es leistet nur die Elimination des
x
aus
α
) — lässt dagegen die Frage nach der „Berechnung“ des
x
oder die Aufgabe, „die Aussage
α
) nach der Unbekannten
x aufzulösen
“ beiseite. Unter solcher „Auflösung“ würde strictissime zu verstehen sein: die Angabe aller derjenigen Gebiete oder Klassen
x
(ausgedrückt in Form einer Gleichung die links
x iso-
Neunzehnte Vorlesung.
lirt
, rechts
x
gar nicht enthält durch die „Parameter“
a
,
b
,
p
,
q
,
r
,
s
, …) welche für
x
in die Aussage
α
) eingesetzt, dieselbe erfüllen, sie zu einer wahren oder richtigen Aussage machen — und zwar bei be- liebig gegebenen Parameterwerten, wofern dieselben nur die
volle
Resul- tante der Elimination des
x
in gleicher Weise bewahrheiten oder erfüllen. Das Erfülltsein ebendieser Resultante ist ja, wie leicht zu sehen, die unerlässliche aber auch hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit von diesem Prämissensysteme
α
) — vergl. § 21.
Ich enthalte mich, dieses Auflösungsproblem hier zu behandeln — nicht nur, weil mir dasselbe mehr nur theoretisches als praktisches Interesse zu besitzen scheint, sondern auch wegen der sich als sehr beträchtlich anlassenden Schwierigkeiten desselben. Jedenfalls wollte ich aber nicht unterlassen, arbeitsmutige Forscher hier auf dasselbe aufmerksam zu machen. Vergl. hiezu noch § 49.
An die Lösung könnte erst gegangen werden, nachdem unsre „Resultante aus dem Rohen“ durch gründliche Ermittelung der „Klausel“ zur vollen ergänzt worden.
Zwanzigste Vorlesung
.
Untersuchen wir mit dem erworbenen Erkenntnisskapital nun vor allem die sogenannten „
Syllogismen
“. Man unterscheidet deren „
ein- fache
“, in welche nur zwei Prämissen (und drei Terme oder Glieder) eingehen und „
zusammengesetzte
“, bei denen die Zahl der Prämissen (und Terme) eine grössere sein wird.
Der Sorites, Kettenschluss, ist ein schon bekanntes Beispiel eines zusammengesetzten Syllogismus.
Nur die ersteren, die einfachen Syllogismen, verlohnt es, mit einer gewissen Vollständigkeit durchzugehen.
Ferner unterscheidet man „
kategorische
“ Syllogismen und „
hypo- thetische
“. Bei erstern sind die vorkommenden Terme: Klassen (oder Begriffe) und die sie betreffenden Schlussglieder (Prämissen sowie Konklusion) demgemäss kategorische Urteile. Bei letzteren sind die Schlussglieder hypothetische Urteile, die Terme nämlich Aussagen.
Prinzip II des Klassenkalkuls ist der schon bekannte erste Haupt- fall Barbara des kategorischen Syllogismus — vergl. § 4.
Dasselbe Prinzip ĪĪ, im Aussagenkalkul gedeutet — vergl. § 32 — illustrirt den hypothetischen Syllogismus Barbara.
So gehen überhaupt aus den kategorischen die gleichnamigen hypothetischen Syllogismen hervor durch eine blosse Umdeutung, in- dem man nämlich die Klassenterme der erstern nun als Aussagen interpretirt. Mit der Theorie von jenen wird darum zugleich auch die von diesen wesentlich erledigt, und wird es genügen, am Schlusse nur einen Seitenblick auf sie zu werfen.
Aus diesen Gründen haben wir uns zunächst nur mit den „
ein- fachen kategorischen
“ Syllogismen zu beschäftigen.
§ 42.
Die Syllogismen der Alten. Traditionelle Übersicht derselben.
Gemeinsamer Charakter der einfachen (kategorischen) Syllogismen ist der: dass sie Schlüsse sind, die lehren, aus
zwei
Aussagen (kate- gorischen Urteilen), in welche irgendwie quantifizirt als Subjekt, oder
Zwanzigste Vorlesung.
irgendwie qualifizirt als Prädikat
drei
Begriffe eingehen, deren einer — der sogenannte
Mittelbegriff
— demnach doppelt vorkommt, eine dritte Aussage zu folgern, welche diesen Mittelbegriff nicht mehr ent- hält, mit andern Worten: den Mittelbegriff zu
eliminiren
.
Die zwei Prämissen enthalten je ein Subjekt und ein Prädikat. Sollen daher im Ganzen nur drei Begriffe in sie eingehen, so muss in der That von diesen einer in jeder von den beiden Prämissen vor- kommen. Diesen „Mittelbegriff“ — seinem Umfange nach betrachtet, m. a. W. die demselben zugeordnete Klasse — nennen wir
M
, des- gleichen
S
den sogenannten „
Unterbegriff
“, d. i. denjenigen, welcher als Subjekt, und
P
den „
Oberbegriff
“, d. i. denjenigen, welcher als Prädikat in die Konklusion eingeht, wobei wir, wie üblich, absehen von der allfälligen Quantifikation (durch Verbindung mit „alle“ oder „einige“, eventuell „kein“), sowie von allenfallsiger Qualifikation (mittelst vorgesetzter Verneinungspartikel „nicht“), durch welche in den drei als Prämissen und Konklusion in Betracht kommenden Ur- teilen diese Begriffe modifizirt erscheinen können.
Die eine der beiden Prämissen enthält neben
M
das Subjekt
S
der Konklusion und wird der
Untersatz
(die Assumtion, propositio minor) des Syllogismus genannt. Die andre, neben
M
das Prädikat
P
der Konklusion enthaltende Prämisse heisst der
Obersatz
(propositio major) desselben — ganz so, wie dies für den ersten Syllogismus „Barbara“ bereits in § 4 dargelegt wurde.
Je nach der Art, wie die drei Begriffe
S
,
M
,
P
in den Prämissen als Subjekte oder Prädikate verteilt sind, werden die gültigen,
resp. von der Schullogik für gültig erklärten
Syllogismen in verschiedene „
Figuren
“ (
σχήματα
bei
Aristoteles
) eingeteilt. Man wird bald er- kennen, dass solcher Figuren
viere
denkbar sind, und dass alle denkbaren Figuren auch wirklich gültige Syllogismen unter sich begreifen.
Jenachdem ferner die einen oder andern von den drei beim Syllo- gismus in Betracht kommenden Sätzen („Schlussgliedern“: Untersatz, Obersatz und Schlusssatz) als universale oder partikulare, bejahende oder verneinende Urteile sich darstellen, haben wir noch verschiedene „
Modi
“ (bei
Aristoteles
τϱόποι
) von Syllogismen zu unterscheiden.
Die drei ersten Figuren mit ihren modi hat im wesentlichen
Aristo- teles
gegeben. Die modi der vierten Figur wurden von seinen Schülern
Theophrastos
und
Eudemos
hinzugefügt und später von
Galenos
zu einer eigenen (der vierten) Figur zusammengefasst. Vergl.
Ueberweg
1
p. 282. 292.
Der Modi sind mehrere bei jeder von den vier Figuren — im Ganzen 19 — wozu aber noch 5 (durch „Subalternation“) „
abge-
§ 42. Die Syllogismen der Alten.
schwächte
“ Formen kommen, während auch bei einem von den 19 Haupt- modi (dem „Bamalip“) die Konklusion schon eine abgeschwächte ist, nämlich
nach der Meinung der Alten
nur einen Teil von dem aussagt, was geschlossen werden konnte.
Die Scholastik gab den Modi dreisilbige Namen, deren Vokale als
a
,
e
,
i
,
o
im Sinne des § 34 zu erkennen geben, zu welcher Art von Urteilen der Untersatz, der Obersatz und der Schlusssatz gehören.
Auch die Konsonanten sind nicht ganz willkürlich, indessen auch nicht konsequent gewählt, weshalb es nicht verlohnt, ihre Wahl hier zu motiviren, auch zahlreiche Verbesserungsvorschläge und Abweichungen vor- kommen — vergl. z. B. den wenigstens konsequenten, dafür aber etwas eintönig ausgefallenen Vorschlag von Miss
Ladd
1
p. 40. Im übrigen sind die scholastischen Benennungen nach unserm heutigen Empfinden als äusserst geschmacklos gewählte zu bezeichnen. Dieselben sind nach
Ueberweg
1
p. 344 besonders durch
Petrus Hispanus
(gestorben 1277 als Pabst
Johann
XXI) in dessen „Summulae logicales“ in allgemeine Aufnahme gekommen.
Sie werden in den „versus memoriales“ aufgezählt:
Bārbără Cēlārēnt prīmāe
Scilicet: sunt modi figurae.
, Dărĭī, Fĕrĭōquĕ. Cēsărĕ, Cāmēstrēs, Fēstīnŏ, Bărōcŏ sĕcūndāe. Tērtĭă
sc. figura.
grāndĕ sŏnāns rĕcĭtāt: Dārāptĭ, Fĕlāptōn, Dīsāmīs, Dătĭsī, Bōcārdŏ, Fĕrīsōn. Quārtāe Sūnt Bămălīp, Călĕmēs, Dĭmătīs, Fĕsăpō, Frēsīsōn.
oder in etwas anderer Version (
De Morgan
2
p. 131):
Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris. Cesare, Camestres, Festino, Baroko, secundae. Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bokardo, Ferison habet. Quarta insuper addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.
— in Analogie zu welchen in der um 1250 verfassten
Ἐπιτομὴ
des
Nike- phoros Blemmides
sich die Worte finden:
I.
γϱάμματα ἔγϱαψε γϱαφίδι τεχνιϰός.
IV.
γϱάμμασιν ἔταξε Χάϱισι πάϱϑενος ἱεϱόν.
II.
ἔγϱαψε ϰάτεχε μέτϱιον ἄχολον
III.
ἅπασι σϑεναϱός
,
ἰσάϰις ἀσπίδι ὁμαλός
,
φέϱιστος.
— wobei die zweite Zeile die (früher der ersten Figur zugezählten) Modi der vierten Figur mit umgestellten Vordersätzen enthält und der Schrift wahrscheinlich erst später zugefügt wurde.
Die als „abgeschwächte“ noch hinzutretenden Formen des Syllogismus hat (Basel 1560)
Joh. Hospinianus
, nach ihm auch
Leibniz
aufge- stellt. (l. c.)
Zwanzigste Vorlesung.
Nach
Lambert
wird die
erste
Figur (wie schon teilweise erwähnt) auch genannt:
das „dictum de omni et de nullo“, die
zweite
Figur das „dictum de diverso“, „
dritte
„ „ „ „ exemplo“, „
vierte
„ „ „ „ reciproco“ —
und begnügen wir uns, dies blos anzuführen, ohne auf die Motivirung der Benennungen einzugehen.
Vom Standpunkte unsrer Theorie
müssen wir nun aber eine An- zahl von diesen Modi für
inkorrekt
erklären, darunter namentlich auch sämtliche „abgeschwächten“ Formen, überhaupt nämlich
alle
diejenigen
Schlüsse
,
vermittelst welcher aus lauter universalen Prämissen ein parti- kulares Urteil gefolgert wird
. Diese werden uns, genauer betrachtet, als
Enthymeme
erscheinen, die eine wesentliche Prämisse mit Still- schweigen übergehen — sobald diese aber ausdrücklich formulirt und den übrigen Prämissen ergänzend zugefügt wird, dann offenbar auf
drei
Prämissen beruhen und damit aufhören werden, „einfache“ Syllo- gismen, ja „Syllogismen“ überhaupt zu sein.
Wir werden dieses eingehend darzulegen haben. Um jedoch die unter die genannte Rubrik fallenden Formen angeblicher Syllogismen der traditionellen Liste von vornherein als solche charakterisiren zu können, sei uns gestattet, solches in kürzester Weise vermittelst des Zusatzes „
falsch
“ zu thun.
Ich gebe nun vor allem das Wesen der 19 + 5 = 24 Modi oder traditionellen Formen der gemeinhin als gültig anerkannten Syllogis- men samt dem Schema der zugehörigen Figuren möglichst übersicht- lich an, wobei ich in den Schlüssen selbst die drei Termini
S
,
M
,
P
als Klassensymbole mit
a
,
b
,
c
zu bezeichnen vorziehe.
Die Übersichtlichkeit wird erhöht, wenn wir uns zur Darstellung der Schlüsse einer Formelsprache bedienen.
Ich wähle dazu zum Teil die legitime Formelsprache unsres Gebietekalkuls, insofern ich ein Subjekt „alle
a
“ einfach durch den Namen der Klasse, das Symbol
a
selbst, ein Prädikat „nicht-
b
“ mittelst Negationsstrichs durch
b
1
darstelle …
Weil aber bei den partikularen Urteilen die legitime Darstellung sich schon allzuweit von dem sprachlichen Ausdruck entfernt — vergl. § 33 — greife ich zum andern Teil für den Augenblick auch noch zu einer sonst in unserm Kalkul nicht zulässigen — wenn man will „illegitimen“ — hier nur einmal konventionell ad hoc zu adoptirenden Ausdrucksweise, indem ich „einige
a
“, „einige
b
“ durch
a
' resp.
b
' darstelle.
§ 42. Die Syllogismen der Alten.
Wir wissen bereits aus § 2 und 4, dass diese Schreibweise sich all- gemein nicht empfehlen kann, weil solches
a
' = „einige
a
“ in getrennten Aussagen ganz Verschiedenes bedeuten kann und es oberster Grundsatz aller Rechnungsmethoden ist, Verschiedenes, wo es in
einer
Rechnung zu- sammentrifft, auch durch die Bezeichnung zu unterscheiden — ein Grundsatz, durch dessen Befolgung wir uns erst die Berechtigung erkaufen, die Be- deutung der Zeichen beim Rechnen aus den Augen verlieren zu dürfen und mechanisch zu operiren nach den Gesetzen des Kalkuls, welche erst dann uns niemals in Fehler zu führen vermögen. Bei den vorliegenden Anwendungsbeispielen wird allerdings in je
einem
einzelnen Modus des Schliessens dem
a
' resp.
b
' auch durchweg dieselbe Bedeutung gewisser- massen zufällig zukommen. Es musste aber überhaupt bei partikularen Urteilen zu andern Darstellungsmitteln Zuflucht genommen werden — § 33.
Die Kopula „sind“ (oder „ist“) stelle ich
durchweg
durch das Sub- sumtionszeichen

dar, was bei den universalen Urteilen die legi- time Darstellung ist, bei den partikularen aber (wie oben angedeutet) eigentlich nicht angeht (nämlich insofern ausgeschlossen erscheint, als hier die Bezeichnung des partikularen Subjekts mittelst Accentes ein unzulänglicher Notbehelf bleibt).
Um unsre Syllogismen in Worte zu kleiden, übersetze man also:
α
)
a

b
mit: Alle
a
sind
b
a
'

b
„ Einige
a
sind
b
a

b
1
„ Alle
a
sind nicht-
b
, oder: Kein
a
ist
b
a
'

b
1
„ Einige
a
sind nicht-
b
.
Darnach wird denn der Leser leicht aus der nachstehenden Tafel die Syllogismen, auch in Worte gefasst, ablesen — wofern wir nur noch die Bemerkung hinzufügen, dass das Punktedreieck ∴ mit „also“ zu übersetzen ist, mithin die Konklusion einleiten soll. Dieses in mathematischen Schul- und Fachschriften englischer Sprache fast all- gemein üblichen Schlüssels:
∴ für „folglich“, ergo, therefore
— im Gegensatz zu welchem bekanntlich auch
·.· für „weil“, quoniam, because.
gebraucht wird (resp. für „denn“, nam, resp. enim, for) — bediene ich mich hier aus zwei Gründen.
Einmal,
um
behufs Vermehrung der Übersicht noch
die Klammern zu sparen
. Korrekt müsste ja z. B. der Syllogismus Barbara darge- stellt werden durch:
(
a

b
) (
b

c
)

(
a

c
)
wofür wir jetzt zu schreiben vorziehen:
Zwanzigste Vorlesung.
a

b
,
b

c
∴
a

c
— womit ersichtlich wird, dass jener Schlüssel ∴ im Grunde nur
das Subsumtionszeichen

des Aussagenkalkuls
vertritt.
Sodann aber gebe ich diesem Schlüssel ∴ auch darum vor

den Vorzug, weil ich sonst — was mir widerstrebt — genötigt wäre, eine Reihe von geradezu
falschen
Subsumtionen des Aussagenkalkuls in unsrer Tafel aufzuführen, die man als „
enthymematische
“ mit ∴ oder „folglich“ eingeleitete Schlüsse doch immerhin wird gelten lassen können; in einem verbalen Schlusse wird man das Verschweigen einer Prämisse noch unbeanstandet passiren lassen können; in einer Formel aber einen wesentlichen Faktor der einen Seite fortzulassen, bleibt un- statthaft. — Gemäss Th. 6̅):
A B

A

A
+
C
darf man zwar in einer gültigen Aussage einen
beliebigen
Aussagen
faktor
(
B
)
weglassen
, und einen beliebigen
Summanden
(
C
)
zufügen
(S. 197). Gilt aber
A B

D
, so wird nicht schon
A

D
zu gelten brauchen. —
Von den „abgeschwächten“ Formen, welche sich nur durch die Konklusion von den ungeschwächten Modi unterscheiden, fügen wir nur letztere und den Namen bei.
Wir haben darnach die
β
)
Übersicht der traditionellen Syllogismen
.
SM
propositio
minor
Erste Figur
.
Schema:
MP
〃
major
SP
conclusio.
Barbara
.
a

b
,
b

c
∴
a

c
.
[
Barbari
∴
a
'

c
falsch.]
Celarent
.
a

b
,
b

c
1
∴
a

c
1
.
[
Celaront
∴
a
'

c
1
falsch.]
Darii
.
a
'

b
,
b

c
∴
a
'

c
.
Ferio
.
a
'

b
,
b

c
1
∴
a
'

c
1
.
SM
Zweite Figur
.
Schema:
PM
SP
Cesare
.
a

b
,
c

b
1
∴
a

c
1
.
[
Cesaro
∴
a
'

c
1
falsch.]
Camestres
.
a

b
1
,
c

b
∴
a

c
1
.
[
Camestros
∴
a
'

c
1
falsch.]
Festino
.
a
'

b
,
c

b
1
∴
a
'

c
1
.
Baroco
.
a
'

b
1
,
c

b
∴
a
'

c
1
.
§ 42. Traditionelle Übersicht der Syllogismen.
MS
Dritte Figur
.
Schema:
MP
SP
Darapti
.
b

a
,
b

c
∴
a
'

c
falsch
.
Felapton
.
b

a
,
b

c
1
∴
a
'

c
1
falsch
.
Disamis
.
b

a
,
b
'

c
∴
a
'

c
.
Datisi
.
b
'

a
,
b

c
∴
a
'

c
.
Bocardo
.
b

a
,
b
'

c
1
∴
a
'

c
1
.
Ferison
.
b
'

a
,
b

c
1
∴
a
'

c
1
.
MS
Vierte Figur
.
Schema:
PM
SP
Bamalip
.
b

a
,
c

b
∴
a
'

c
falsch
.
Calemes
.
b

a
1
,
c

b
∴
a

c
1
.
[
Calemos
∴
a
'

c
1
falsch.]
Dimatis
.
b

a
,
c
'

b
∴
a
'

c
.
Fesapo
.
b

a
,
c

b
1
∴
a
'

c
1
falsch
.
Fresison
.
b
'

a
,
c

b
1
∴
a
'

c
1
.
Vorstehende 19 Formen des Syllogismus gehen nun durch blosse Buchstabenvertauschung vielfach in einander über.
Setzt man
c
1
für
c
, so geht hervor
Celarent aus Barbara
Ferio „ Darii
falsch Felapton „ falsch Darapti
Bocardo „ Disamis
Ferison „ Datisi,
desgleichen umgekehrt, wenn
c
für
c
1
gesetzt wird.
Vertauschung von
b
und
b
1
erzeugt:
Camestres aus Cesare
Baroco „ Festino.
Darnach bleibt also nur noch selbständig zu rechtfertigen von der
γ
)
I. Figur: Barbara, Darii
II. „ : Cesare, Festino
III. „ : falsch Darapti,
Disamis, Datisi
IV. „ : sämtliche Modi. —
Zwanzigste Vorlesung.
Weiter kann man bemerken, dass
a
' für
a
gelesen gibt:
Darii aus Barbara
(Ferio „ Celarent)
Festino „ Cesare
(Baroco „ Camestres),
desgleichen
b
und
b
' vertauscht gibt:
Datisi aus Disamis
(Ferison „ Bocardo).
Die bejahenden partikularen Urteile kann man aber auch noch rückwärts lesen — ein Verfahren, das die alte Logik als „einfache Konversion“ (conversio simplex) bezeichnet. Aus § 34 wissen wir, dass der hier mit
a
'

b
wiedergegebene Satz „Einige
a
sind
b
“ im identischen Kalkul in Gestalt von
a b
≠ 0 seinen exakten Ausdruck findet, was der Kommutativität der Multiplikation halber mit
b a
≠ 0 einerlei ist, und daher auch mit „Einige
b
sind
a
“, hier also
b
'

a
ausgedrückt werden mag.
Die erste (partikularbejahende) Prämisse
a
'

b
in dieser Weise als
b
'

a
rückwärts gelesen („konvertirt“) führt nun:
Datisi in Darii
Ferison „ Ferio
Fresison „ Festino
und umgekehrt über.
Die zweite (partikularbejahende) Prämisse rückwärts gelesen erzeugt
Dimatis aus Disamis
und vice versā.
Will man dasselbe Konversionsverfahren auch auf die partikular bejahenden Konklusionen anwenden, so muss man zugleich damit auch die Buchstaben
c
und
a
vertauschen, damit nach vollzogener Konver- sion wiederum durch
c
das Prädikat, durch
a
das Subjekt der Kon- klusion bezeichnet erscheine. Es wird dabei der Schlusssatz
a
'

c
zuerst in
c
'

a
und hernach in
a
'

c
übergehen, d. h. allemal unge- ändert derselbe bleiben. Dagegen bedingt dieses Verfahren auch noch die gleichzeitige Umstellung der beiden Prämissen, indem durch die Vertauschung von
a
und
c
der Untersatz zum Obersatze, und umge- kehrt, gestempelt wird. Auf diese Weise geht:
Dimatis aus Darii
falsch Darapti „ sich selber
§ 42. Die Syllogismen der Alten.
Datisi aus Disamis
falsch Bamalip „ falsch Barbari
hervor, und umgekehrt.
Nach alledem blieben, genau genommen, als nur mehr selbständig zu behandelnde Modi von der
δ
)
I. Figur: Barbara, II: Cesare, III: falsch Darapti, IV: falsch Bamalip,
sowie Calemes — nebst den abgeschwächten Formen (ohne Barbari).
Endlich lassen durch Kontraposition auch die universal ver- neinenden Urteile sich rein umkehren (konvertiren), indem wegen:
(
a

b
1
) = (
b

a
1
) = (
a b
= 0)
die Redensarten: „Kein
a
ist
b
“, und „Kein
b
ist
a
“ äquivalent sein müssen. Auf diese Weise geht
Calemes aus Camestres, (desgleichen in
b
und
c
:) Cesare aus Celarent, Festino aus Ferio, falsch Fesapo aus falsch Felapton, Fresison aus Ferison
hervor. Der gleiche Prozess bei
a
und
c
, wie oben wieder mit einer Vertauschung dieser verbunden, führt überdies noch ineinander über:
Celarent und Calemes, Cesare und Camestres,
sodass, wie leicht zu sehen, sämtliche gültigen Modi
mittelbar
auf die der ersten Eigur in
γ
), ja auf den
Barbara
schon zurückgeführt wären — zum Teil jedoch in verwickelter Weise.
Dieserhalb, sowie wegen rechnerischer Unterschiede in der Be- handlung partikularer und universaler Aussagen, wollen wir doch nur die Buchstabenvertauschung (von
c
,
c
1
resp.
b
,
b
1
) zur Reduktion der Anzahl gelten lassen, uns also mit den unter
γ
) zusammengestellten Modi demnächst beschäftigen.
Man ersieht bereits aus vorstehenden Betrachtungen: die Unter- scheidung der Modi findet grossenteils nach
höchst unwesentlichen
, rein äusserlichen Gesichtspunkten statt. Jenachdem man z. B. einunddie- selbe Beziehung
a b
≠ 0 mittelst „Einige
a
sind
b
“ oder mittelst „Einige
b
sind
a
“ in Worten auszudrücken beliebt, kann man einen (und wesentlich denselben) Syllogismus nicht blos unter einen andern Modus, sondern zuweilen selbst unter eine andere Figur bringen.
Die traditionelle Klassifikation der Syllogismen macht, im Lichte unsres Kalkuls betrachtet, einen ähnlichen Eindruck, wie wenn man etwa in der Arithmetik die Gleichungen des ersten Grades mit
einer
Unbekannten in vier Klassen einteilen wollte, je nachdem sie sich in der Form darbieten:
a x
=
b
,
x a
=
b
,
b
=
x a
,
b
=
a x
.
Was nun die Frage der
Vollständigkeit
der Aufzählung betrifft, so muss die letztere insofern zunächst der
Einseitigkeit
geziehen werden,
Schröder
, Algebra der Logik. II. 15
Zwanzigste Vorlesung.
als der Sprachgebrauch eine Verneinung beim Subjekte und eine Parti- kularisirung ein Quantifiziren beim Prädikate willkürlich ausschliesst. Es würde uns gleichwol nicht verdienstlich erscheinen, diese Einseitig- keit zu ergänzen, und etwa noch durch die Berücksichtigung von Prä- missen, wie: „Alle nicht-
a
sind … einige
b
“, die Menge der Schluss- formen zu vermehren.
Innerhalb der durch die erwähnte Ausschliessung bedingten Schranken ist die Liste als eine
vollständige
zu bezeichnen. Dass alle hier
nicht
aufgeführten Syllogismen, welche aus Urteilen der üblichen vier Arten zusammengesetzt werden könnten, falsche Schlüsse sein müssen, würde sich in der That durch eine kombinatorische Unter- suchung nachweisen lassen, die sich recht mühsam darstellt für Den, der an den Urteilsformen der
Wort
sprache klebt.
Mit
a
als Subjekt und
b
als Prädikat lässt die Wortsprache eben nur die vier Urteile
α
) zu; wird
b
mit
a
vertauscht, so gibt dies noch- mals vier; im Ganzen also sind 8 Urteile möglich, in welche als Subjekt oder Prädikat zwei bestimmte Klassen
a
und
b
eingehen. Ebenso haben wir 8 zwischen
b
und
c
denkbare Urteile. Die Kombination von diesen als Obersätzen mit jenen als Untersätzen liefert 8 × 8 Paare von Urteilen die als Prämissen in’s Auge zu fassen wären. Zu jedem von diesen 64 Prä- missenpaaren sind nun wieder 4 Urteile zwischen
a
und
c
als Konklusion denkbar — und zwar nur 4, nicht aber 8, weil in der Konklusion
a
als Subjekt,
c
als Prädikat zu stehen hat und dieses Verhältniss nicht umge- kehrt werden darf, beziehungsweise seine Umkehrung auf eine Vertauschung von Obersatz und Untersatz hinausliefe, somit [in Anbetracht, dass die Reihenfolge der Prämissen nach Prinzip I oder Th. 12
×
) des Aussagen- kalkuls gleichgültig sein muss] auf eine blosse Wiederholung bereits auf- gezählter Schlussformen hinauskommen müsste.
Fig. 22.
Wir hätten darnach 8 × 8 × 4 = 256 Sätze- tripel durchzugehen, und würde nach Abzug der 24 in Tafel
β
) angeführten, bei den 232 übrigen dar- zuthun sein, dass dieselben ungültige Schlüsse liefern.
In jedem einzelnen Falle eines unstichhaltigen Syllogismus wird man solchen Nachweis immer
leicht
dadurch liefern, dass man denselben durch Gebiete (Kreise, Sphären)
a
,
b
,
c
exemplifizirt, bei welchen sich die Prämissen als erfüllt zeigen, die angebliche (oder fragliche, problematische, bestrittene) Konklusion aber als
nicht
erfüllt herausstellt — wie beispielsweise dies die Figur 22 uns leisten würde für den Schluss:
a

b
,
b
'

c
∴
a
'

c
.
Im übrigen soll, gedachten Vollständigkeits-Nachweis in solcher Weise zu liefern, als eine gerechte Strafe denjenigen Lesern überlassen bleiben, die eine verbale Behandlung jeder rechnerischen vorziehen.
Übrigens vergleiche man dazu noch § 48, in welchem gezeigt wird,
§ 42. Die Syllogismen der Alten.
dass die in Frage kommenden Prämissen bei Elimination des Mittelbegriffs gleichwol — in der grossen Mehrzahl der Fälle — noch eine gültige Kon- klusion zu ziehen gestatten oder „liefern“, wenn solche auch nicht von dem oben in Frage gezogenen Gehalte ist; als Resultanten ergeben sich doch meistens gewisse Existenzialurteile! —
Sehr viel einfacher wird die Untersuchung über die Vollständig- keit unsres Syllogismensystems sich gestalten, wenn man sich hinsicht- lich der Urteilsformen ausschliesslich an die
Zeichen
sprache hält, wo- rüber man weiter unten S. 234 nachsehen möge.
Weshalb wir aber in unsrer Theorie gezwungen sind, nur 15 von den 24 Schlussformen als korrekte Syllogismen anzuerkennen, die 9 übrigen (nämlich 4 von den Hauptmodi und die 5 abgeschwächten Formen) für Enthymeme, für
Schlüsse mit einer Prämisse mehr
,
als angegeben
, zu erklären, ja dieselben, wenn sie als vollständige Schlüsse oder als „Syllogismen“ hingestellt werden sollten, geradezu ungültig,
falsch
zu nennen — dies wird die rechnerische Bebandlung der tradi- tionellen Formen unwiderleglich zeigen.
Einstweilen mag uns ein Textbeispiel das Wesen der Sache offen- baren. Ich wähle ein solches für den ersten, der für falsch erklärten Hauptmodi: Darapti.
Die folgenden beiden Prämissen erscheinen uns unangreifbar:
Alle gleichseitigen rechtwinkligen Dreiecke (
b
) sind gleichseitige Dreieke (
a
).
Alle gleichseitigen rechtwinkligen Dreiecke (
b
) sind rechtwinklig (
c
).
Die Konklusion sollte nun lauten:
ergo:
Einige gleichseitige Dreiecke
(
a
')
sind rechtwinklig
(
c
).
War von
sphärischen
Dreiecken die Rede, so ist die Konklusion auch noch (materiell) richtig. — War aber von ebenen Dreiecken die Rede, so ist die Konklusion augenscheinlich
unwahr
— ob zwar die Prämissen (vergl. § 9,
ϱ
) noch immer gültig bleiben; der Schluss musste daher formell unberechtigt sein. Erweist sich der Schlusssatz auch nur in
einem
Falle als unrichtig, während die Prämissen wahr sind, so ist der ganze Schluss nicht stichhaltig.
Um den Schluss zu einem gültigen zu machen, das Enthymem zu ergänzen, muss noch eine (wie anzunehmen, von den Alten stillschweigend gemachte) Voraussetzung den Prämissen beigefügt werden. Es ist hier die, dass es
b
gebe, dass
b
≠ 0 sei. Mit dieser weiteren Prämisse werden wir den Schluss in § 44 noch systematisch in Angriff nehmen; derselbe ist dann freilich (wie gesagt) kein Syllogismus mehr.
Die Lostrennung der inkorrekten Syllogismen auf Grund der Bemerkung S. 220 ist wol zuerst von Miss
Ladd
1
vollzogen.
15*
Zwanzigste Vorlesung.
§ 43.
Miss
Ladd’
s rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi. Beispiele.
Es ist das Verdienst einer „brilliant young lady-mathematician“
So laut brieflicher Mitteilung seitens eines namhaften Gelehrten und Forschers an der Universität Cincinnati, auf Grund von dessen mir bekannter Zuverlässigkeit ich den Ausdruck gerne zu dem meinigen mache.
— Miss
Ladd
, nunmehr Frau Professor
Fabian Franklin
, die 15 gül- tigen Syllogismen auf einen gemeinsamen Ausdruck gebracht zu haben, dieselben auf eine Weise, die wir jetzt darlegen wollen, mit einer einzigen Formel zu begründen.
Für die beiden ersten Modi der ersten und zweiten Figur — diese vier sind die einzigen, die kein partikulares Urteil enthalten — war dies allerdings im Wesentlichen schon durch
Boole’
s Eliminations- theorem gegeben, welches sich in unsrer Vereinfachung als das Th. 50
+
) darstellt, und auf eben dieses Theorem läuft auch die in Rede stehende einheitliche Behandlung wieder wesentlich hinaus. In der Art aber, wie diese Zurückführung nun ausgeführt wird (an der noch die
Boole’
sche Disziplin scheiterte) wird man nicht umhin können, einen ganz erheblichen Fortschritt zu erblicken.
Das Th. 50
+
) lehrte unter anderm, die Elimination eines Gebietes aus einer (in Bezug auf dasselbe linearen homogenen) Gleichung (mit der rechten Seite 0) zu vollziehen, und mögen wir uns den auf diese Elimination bezüglichen Teil des Satzes durch die Formel dargestellt:
A
0
)
(
α β
+
γ β
1
= 0)

(
α γ
= 0)
in Erinnerung rufen.
Mit Rücksicht auf Th. 24
+
) kann aber die Gleichung linkerhand zerfällt werden in das Produkt zweier Gleichungen, wonach die Formel äquivalent erscheint mit
A
1
)
(
α β
= 0) (
β
1
γ
= 0)

(
α γ
= 0)
und nach Th. 3̅8̅
×
) also auch mit:
A
)
(
α β
= 0) (
β
1
γ
= 0) (
α γ
≠ 0) = 0.
Diese
„
Inkonsistenz
“
ist
nun
die Formel
,
welche alle gültigen Syllo- gismen in sich schliesst
.
Wirft man den dritten Faktor gemäss Th. 3̅8̅
×
) nach rechts, so kommt man auf die schon angegebene Subsumtion
A
1
) zurück (die bei Vertauschung von
α
und
γ
nebst
β
und
β
1
ungeändert bleibt).
§ 43. Miss
Ladd’
s rechnerische Behandlung der 15 gültigen Modi.
Ebenso kann man aber auch den zweiten oder ersten Faktor nach rechts werfen und darnach die Formel umschreiben in:
A
2
)
(
α β
= 0) (
α γ
≠ 0)

(
β
1
γ
≠ 0)
A
3
)
(
β
1
γ
= 0) (
α γ
≠ 0)

(
α β
≠ 0)
— vergleiche auch § 31. Die beiden Subsumtionen
A
2
) und
A
3
) würden sich übrigens durch gleichzeitige Vertauschung von
α
mit
γ
und
β
mit
β
1
in einander überführen lassen und stellen dieselben wesentlich nur
einen
Satz vor.
Miss
Ladd
stellt die Formel
A
) hin als einen besondern Fall der allgemeineren Inkonsistenz:
B
)
(
α β
= 0) (
γ δ
= 0) {
α γ
(
β
+
δ
) ≠ 0} = 0
welche ihrerseits nur eine Umschreibung ist der Subsumtion:
B
1
)
(
α β
= 0) (
γ δ
= 0)

{
α γ
(
β
+
δ
) = 0},
die sich sozusagen von selbst versteht, in Anbetracht, dass unter den Vor- aussetzungen linkerhand die beiden Terme des Polynoms der rechten Seite beim Ausmultipliziren verschwinden, die Aussage rechterhand sich also be- wahrheitet, in (0 = 0) = 1߭ übergeht.
Aus
B
) ergibt sich
A
) durch die Annahme
δ
=
β
1
, für welche also
β
+
δ
=
β
+
β
1
= 1 wird und als Faktor unterdrückt werden darf.
Mit dieser Betrachtung ist implicite auch eine neue Ableitung resp. Demonstration des Theorems
A
0
) von Miss
Ladd
gegeben, welche als ori- ginell zu bezeichnen ist.
Aus der gemeinsamen Hauptformel
A
), und zwar in ihrer Um- schreibung
A
1
), geht nun der Syllogismus
Barbara
hervor, indem man setzt:
α
=
a
,
β
=
b
1
,
γ
=
c
1
oder noch besser:
α
=
c
1
,
β
=
b
,
γ
=
a
.
Hierduch ergibt sich in der That:
(
a b
1
= 0) (
b c
1
= 0)

(
a c
1
= 0)
was nach Th. 38
×
) äquivalent ist mit:
(
a

b
) (
b

c
)

(
a

c
).
Man kann jedoch natürlich auch selbständig zuwerke gehen. Um aus den Prämissen
a b
1
= 0 und
b c
1
= 0 das Mittelglied
b
zu eliminiren, bilde man die vereinigte Gleichung
a b
1
+
c
1
b
= 0 und erhält als die Eliminations- resultante:
a c
1
= 0 oder
a

c
. Elegant gewinnt man rechnerisch die Kon- klusion, indem man den Untersatz
a b
1
= 0 mit
c
1
, den Obersatz
b c
1
= 0 mit
a
durchmultiplizirt und die Ergebnisse überschiebend addirt, das Th. 30
+
)
b
1
+
b
= 1 berücksichtigend, vergl.
Peano
1
p. 16. —
Zwanzigste Vorlesung.
Diese Betrachtung kann nicht als
Beweis
des Syllogismus Barbara angesehen werden, dessen wir ja als „Prinzip II“ zum Beweise der hier angewendeten Sätze selbst benötigten. Vielmehr hat dieselbe nur den Wert einer Kontrole und das Verdienst, zu zeigen, dass auch der Syllogismus Barbara in unsrer Hauptformel
A
) mitenthalten ist.
Als
Beweise
für dieselben sind nun aber anzusehen die analogen Zurückführungen der übrigen gültigen Syllogismen als welche wir wesentlich nur diejenigen des Tableau § 42,
γ
) noch abzuhandeln haben.
Aus
A
3
) und damit indirekt aus
A
) fliesst:
Darii
, indem man setzt:
α
=
a
,
β
=
c
,
γ
=
b
,
wodurch entsteht:
(
a b
≠ 0) (
b c
1
= 0)

(
a c
≠ 0)
was sich lesen lässt als:
(
a
'

b
) (
b

c
)

(
a
'

c
).
Mit demselben Erfolge könnte man demnach auch in
A
2
) setzen:
α
=
b
,
β
=
c
1
,
γ
=
a
.
Ebenso fliesst:
Cesare
aus
A
1
) für
α
=
c
,
β
=
b
,
γ
=
a
, nämlich:
(
a b
1
= 0) (
b c
= 0)

(
a c
= 0), (
a

b
) (
c

b
1
)

(
a

c
1
).
Festino
aus
A
2
) für
α
=
b
,
β
=
c
,
γ
=
a
, somit:
(
a b
≠ 0) (
b c
= 0)

(
a c
1
≠ 0), (
a
'

b
) (
c

b
1
)

(
a
'

c
1
)
desgl. also auch aus
A
3
) für
α
=
a
,
β
=
c
1
,
γ
=
b
.
Disamis
aus
A
3
) für
α
=
c
,
β
=
a
,
γ
=
b
, somit:
(
a
1
b
= 0) (
b c
≠ 0)

(
a c
≠ 0), (
b

a
) (
b
'

c
)

(
a
'

c
)
desgl. also auch aus
A
2
) für
α
=
b
,
β
=
a
1
,
γ
=
c
.
Datisi
ergibt sich auf dieselbe Weise wie oben Darii, indem man nur unter Konversion des Untersatzes der dort resultirenden Aus- sagensubsumtion dieselbe liest als:
(
b
'

a
) (
b

c
)

(
a
'

c
).
Hiermit sind nun die gültigen Modi der drei ersten Figuren erledigt.
§ 43. Miss
Ladd’
s Behandlung der 15 gültigen Modi.
Die vierte Figur enthält noch drei gültige Modi. Es ergibt sich:
Calemes
aus
A
1
) für
α
=
a
,
β
=
b
,
γ
=
c
:
(
a b
= 0) (
b
1
c
= 0)

(
a c
= 0) (
b

a
1
) (
c

b
)

(
a

c
1
).
Dimatis
wie Disamis, nur ist die dort resultirende Aussagensubsum- tion jetzt (unter Konversion des Obersatzes) zu lesen als:
(
b

a
) (
c
'

b
)

(
a
'

c
).
Fresison
genau wie Festino, nur mittelst Konversion des Untersatzes gelesen als:
(
b
'

a
) (
c

b
1
)

(
a
'

c
1
).
Nach dem über § 42,
γ
) Gesagten sind zugleich mit den vorstehend behandelten 9 Modi (die wie man sah nur 6 verschiedene Schemata im Aussagenkalkul lieferten) auch die noch übrigen 6 gültigen Modi bereits bewiesen.
Zur Bequemlichkeit des Unterrichtenden stellen wir indess auch diese mit ihren Formeln im Aussagenkalkul und deren Zurückführung auf die Hauptformel noch kurz zusammen. Man erhält:
Celarent
wie Cesare, die Formel unter Konversion des Obersatzes lesend als:
(
a

b
) (
b

c
1
)

(
a
'

c
1
).
Ferio
wie Festino, die dortige Formel unter Konversion des Obersatzes gelesen als:
(
a
'

b
) (
b

c
1
)

(
a
'

c
1
).
Camestres
wie Calemes, die Formel unter Konversion des Untersatzes gelesen als:
(
a

b
1
) (
c

b
)

(
a

c
1
).
Baroco
aus
A
2
) für
α
=
b
1
,
β
=
c
,
γ
=
a
sowie aus
A
3
) für
α
=
a
,
β
=
c
1
,
γ
=
b
1
:
(
a b
1
≠ 0) (
b
1
c
= 0)

(
a c
1
≠ 0) (
a
'

b
1
) (
c

b
)

(
a
'

c
1
).
Bocardo
aus
A
3
) für
α
=
c
1
,
β
=
a
,
γ
=
b
oder aus
A
2
) für
α
=
b
,
β
=
a
1
,
γ
=
c
1
:
(
a
1
b
= 0) (
b c
1
≠ 0)

(
a c
1
≠ 0) (
b

a
) (
b
'

c
1
)

(
a
'

c
1
).
Zwanzigste Vorlesung.
Ferison
wie Festino, die Formel unter Konversion des dortigen Unter- sowol als Obersatzes gelesen als:
(
b
'

a
) (
b

c
1
)

(
a
'

c
1
). —
Im Ganzen zählen wir also bei den 15 gültigen Modi jetzt 8 ver- schiedene Formeln des Aussagenkalkuls, welche sich unter
Barbara
,
Darii
,
Cesare
,
Festino
,
Disamis
,
Calemes
,
Baroco
und
Bocardo
vorstehend der Reihe nach angegeben finden.
Verschieden
sind die 8 Formeln insofern, als sie, miteinander verglichen entweder ver- schiedenen Bau zeigen (überhaupt nicht durch Buchstabenvertauschung in einander übergeführt werden können), oder, wenn sie einerlei Bau haben, doch wenigstens für einen von den sechs Termen
a
,
a
1
,
b
,
b
1
,
c
,
c
1
einen andern enthalten.
Unter dem höheren Gesichtspunkt des Kalkuls ist daher überhaupt nur von
acht
gültigen Syllogismen zu reden. Aus diesen entspringen die 15 Modi, indem die Wortsprache da und dort die Möglichkeit bietet, einunddieselbe Formel auf verschiedene Weise in Worte zu fassen. Wir geben sogleich einen Überblick über diese Verteilung der 15 Modi auf die 8 Formen, indem wir die gleichwertigen Modi untereinanderstellen.
Zuvor wollen wir nur noch bemerken, dass unsre acht Formen auch nur
von zweierlei Typus
sind. Entweder nämlich illustriren sie das Eliminationstheorem, welches durch den Satz
A
1
) dargestellt wird, oder aber dasjenige, welches die Formeln
A
2
) und
A
3
) übereinstimmend ausdrücken. Die beiden Sätze sind verschieden, sie können augen- scheinlich nicht durch blossen Buchstabenwechsel in einander ver- wandelt werden [wenngleich wir sie als logisch mit einander und dem einen
A
) äquivalent erkannt haben], weil der erste Satz drei Gleichungen, der zweite neben nur einer Gleichung zwei Ungleichungen enthält.
Es zerfallen also die 8 Formen des Syllogismus in zwei Gruppen — die eine, wie sich zeigt von drei Formen (mit 5 Modi), die andre von fünf Formen (mit 10 Modi), und zwar wie folgt: C)
Erste Gruppe
.
Cesare
Barbara
Calemes
Celarent
Camestres.
Zweite Gruppe
.
Bocardo
Darii
Festino
Disamis
Baroco.
Datisi
Ferio
Dimatis
Ferison
Fresison
§ 43. Miss
Ladd’
s Behandlung der 15 gültigen Modi.
Dergestalt dass die untereinanderstehenden Modi — wenn dar- gestellt als Subsumtionen des Aussagenkalkuls, deren Minor sowol als Major mittelst Gleichungen oder Ungleichungen (mit der rechten Seite 0) ausgedrückt erscheint — wie gesagt, identisch die nämliche Formel oder Aussage liefern. Wogegen ein Buchstabenwechsel er- forderlich ist und hinreicht, um die nebeneinanderstehenden Formen in einander überzuführen. Die Syllogismen der ersten Gruppe laufen auf den Satz
A
1
), die der zweiten auf den durch
A
2
) [sowie
A
3
)] dar- gestellten Satz hinaus.
Die ähnliche Bildung der im Tableau
C
) in einer Kolumne stehenden Namen weist unverkennbar darauf hin, dass schon die älteren Logiker die hier dargelegte engere Verwandtschaft unter den Modi herausgefühlt haben.
Formeln aber, die sich durch blossen Buchstabenwechsel in ein- ander
Dies muss immer gegenseitig sein. Geht aus einer ersten Formel eine zweite dadurch hervor, dass man
α
für
a
,
β
für
b
, etc. in sie einsetzt, so wird man auch aus der zweiten Formel die erste erhalten durch die Substitution von
a
für
α
,
b
für
β
, etc. Es genügt, sich hievon an einem allgemeinen Schema
F
(
a
,
b
,
c
…) und
F
(
α
,
β
,
γ
…) zu überzeugen.
transformiren lassen — wie z. B.
a b
=
b a
und
c d
=
d c
— drücken immer denselben Satz aus und sind nicht wesentlich ver- schieden.
Es gibt hienach wesentlich nur
zwei
Arten von gültigen syllo- gistischen Schlüssen, als deren Typus man etwa
Barbara
und
Darii
(oder Festino) hinstellen mag. In diesen — in deren einem oder aber dem andern — ersetzen die übrigen Modi samt und sonders nur ge- wisse Buchstaben durch andere!
Es sind jetzt alle gültigen Syllogismen aus den Prinzipien des identischen Kalkuls bewiesen und auf eine gemeinsame Quelle zurück- geführt.
Wer auf letzteres weniger Wert legen sollte kann natürlich die Eli- mination des Mittelgliedes nachdem er die Prämissen in Formeln gesetzt hat, in jedem Falle einfach der Regel
υ
) des § 41 gemäss ausführen.
Man überzeugt sich leicht, dass jedesmal die behauptete Kon- klusion des Syllogismus sich als die
vollständige
Resultante ergibt, und genügt es, um dies nachzusehen, das Schema
A
2
) — z. B. — in’s Auge zu fasseu, worin unter den Prämissen auch eine Ungleichung figurirt — in Anbetracht, dass wir in Bezug auf Gleichungen — bei
A
1
) — die Sache längst erledigt haben.
Zwanzigste Vorlesung.
Der Eliminand heisst hier
α
. Sagten wir
x
dafür, so könnten wir die Prämissen von
A
2
) wie folgt schreiben:
(
β x
+ 0 ·
x
1
= 0) (
γ x
+ 0 η
x
1
≠ 0).
Als Resultante ergibt sich schon nach dem Satze
ι
) des § 41: (
β
· 0 = 0) (
γ β
1
= 0 · 0
1
≠ 0) = (0 = 0) (
β
1
γ
≠ 0) = 1߭ · (
β
1
γ
≠ 0) = (
β
1
γ
≠ 0) wie dies eben der Satz
A
2
) behauptet.
Ob man bei dieser Elimination vorzieht, so, wie es vorstehend geschah, und wie ich es im allgemeinen thue, alle Aussagen
auf das Prädikat
0 einzurichten (mit rechts auf 0 gebrachten Subsumtionen, Gleichungen und Ungleichungen zu operiren), oder ob man mit Herrn
Mitchell
1
lieber für das
Subjekt
1 sich entscheidet (etwaige Subsumtionen links, die Gleichungen und Ungleichungen einerseits auf 1 bringend), erscheint dabei als ein nebensächlicher Umstand, bleibt in subjektives Belieben gestellt, Geschmacksache.
Ich hege die Überzeugung, dass es nicht möglich sein wird, die Syllogistik jemals in einer
schöneren
Weise zu erledigen, als es durch Miss
Ladd
begründet ist — wie wir vorstehend darzustellen versucht haben: in weniger als
eine
Formel lassen die Syllogismen sich zuver- lässig nicht komprimiren, und dabei an Durchsichtigkeit und Einfach- heit die Formel
A
) noch zu übertreffen erscheint undenkbar.
Obiges dürfte wenigstens dann anzuerkennen sein, wenn auch dem historisch Gewordenen sein Recht in der Syllogistik gewahrt bleiben, wenn der Zusammenhang ihrer Betrachtungen mit der Gesamtheit der Schlussformen der Wortsprache dabei aufrecht erhalten werden soll.
Sieht man freilich ab von den traditionellen Modi und Figuren, und hält sich von vornherein lediglich an das Problem als ein rech- nerisch in der Zeichensprache zu lösendes, so lassen die Betrachtungen sich äusserlich noch erheblich viel mehr, als es vorstehend geschehen, zusammendrängen — wie denn schon Herr
Cayley
1
gezeigt hat, dass das Problem der Syllogistik alsdann lediglich hinausläuft auf dasjenige der Elimination von
b
aus den folgenden
sechs
Paaren von Prämissen:
(
a b
= 0) (
b c
= 0),
(
a b
= 0) (
b
1
c
= 0),
(
a b
= 0) (
b c
≠ 0),
(
a b
= 0) (
b
1
c
≠ 0),
(
a b
≠ 0) (
b c
≠ 0),
(
a b
≠ 0) (
b
1
c
≠ 0),
in welchen, wie man leicht nachweist, alle innerhalb des Rahmens der gewöhnlichen Syllogistik erdenklichen Prämissensysteme der Art nach enthalten sind, aus denen sie nämlich durch blossen Buchstabenwechsel, als da ist: Vertauschung von
b
mit
b
1
, resp. von
a
mit
a
1
,
c
mit
c
1
, und vielleicht auch von
a
mit
c
, vollständig hervorgehen müssen.
§ 43. Beispiele.
Wir können um so mehr darauf verzichten, die Lösung des Pro- blemes auch für diese Art seiner Stellung hier wiederholend durchzu- gehn, als es sich so in § 48 mit einem noch viel umfassenderen Auf- gabenkreise behandelt zeigen wird. Erwähnt sei nur, dass Herr
Voigt
1
, von andern Gesichtspunkten aus zu einer ähnlichen Übersicht, wie
Cayley
, gelangend, mit Recht darauf hinweist p. 38, dass die Lehre von den Syllogismen eine Materie sei, deren Bewältigung früher auch einem guten Kopfe wol ein gutes Teil von Kopfzerbrechen und Mühe verursachte, und dass nichts die Zweckmässigkeit der algebraischen Logik besser beweise als diese Thatsache, dass mit ihrer Hülfe eine solche Dis- ziplin sich in jene wenigen Regeln (nur eine!) zusammenfassen lässt. —
Nachdem die Theorie hiermit erledigt, mögen noch einige Bei- spiele zu den verschiedenen gültigen Modi gegeben werden, dergleichen sofort zur Hand zu haben dem Lehrer sicherlich willkommen ist.
Zu
Barbara
finden sich solche schon in § 4 zur Genüge angeführt.
Zu
Celarent
. Die theoretischen Überzeugungen sind vom Willen unabhängig. Was vom Willen unabhängig ist, kann nicht durch Straf- gesetze erzwungen werden. Ergo: Theoretische Überzeugungen können nicht durch Strafgesetze erzwungen werden. (
Ueberweg
.) — Anderes Beispiel:
Hasen und Kaninchen sind Nagetiere. Kein Nager ist ein Wiederkäuer.
Ergo: Hasen und Kaninchen sind keine Wiederkäuer.
Als im Gegensatz zu dieser Konklusion stehend vergleiche man im dritten Buch
Mosis
: Kap. XI, Vers 4 bis 6, sowie 5
Moses
XIV, 7.
Zu
Darii
. Einige Raubvögel sind Eulen. Die Eulen sind Nachtvögel. Einige Raubvögel müssen also Nachtvögel sein. (R.
Grassmann
.) Eben- dazu: Einige Gase sind Metalle (z. B. Wasserstoffgas, Quecksilberdampf). Alle Metalle sind gute Leiter der Elektrizität. Folglich: Einige Gase sind gute Leiter. — Desgleichen (wenn man will, auch zu Disamis, etc.):
Krisen des Handels und der Industrie (sog. „Krache“) sind periodisch. Solche Krisen pflegen die Menschen zu überraschen. Also gibt es Ereig- nisse, die mit periodischer Regelmässigkeit eintreten und gleichwol die Menschen überraschen. (F. A.
Lange
1
, p. 82.)
NB: Durch Verwendung einer Prämisse, wie diese: Katastrophen zu deren Zustandekommen (wie z. B. bei einer Panik) das Gemüt der Menschen wesentlich mitwirkt, lassen sich dadurch unschädlich machen oder ver- hindern, dass man sie rechtzeitig vorhersieht und ihnen vorzubeugen sucht — als Obersatz, sowie etwa: Gegenwärtig naht wieder eine Handelskrise — als eines Untersatzes — und geschickt darauf gebaute Schlüsse würden zu geeigneter Zeit sich offenbar grosse Summen gewinnen resp. retten lassen — sodass sich der „Wert der Syllogistik“ unter Umständen nach Millionen berechnen lassen dürfte. — Desgleichen:
Alle Quadrate sind Vierecke. Einige Parallelogramme sind Quadrate. Ergo: Einige Parallelogramme (sogar alle!) sind Vierecke. (
Ueberweg
.)
Zwanzigste Vorlesung.
Das Beispiel zeigt, dass auch die Modi der ersten Figur unter Um- ständen wenig wertvolle Konklusionen liefern können, was stets zu thun
Kant
2
zu Unrecht denen der drei andern Figuren vorwirft.
Zu
Ferio
. „Einige Genüsse sind nachteilig. Nichts Nachteiliges ist erstrebenswert. Ergo: Einige Genüsse sind nicht erstrebenswert.“
Zu
Cesare
. Diamant zeigt keine Doppelbrechung. Dieser Krystall zeigt Doppelbrechung. Also ist er kein Diamant. (
Sigwart
.)
Desgleichen: Kein griechisches Wort geht auf
m
aus; praeambulum geht auf
m
aus; also ist es kein griechisches Wort. (
Pommer
.)
Zu
Camestres
. Der Astronom
Leverrier
schloss: Die Gesamtheit der Planeten bestimmt die Störungen des Uranus in seiner Bewegung um die Sonne. Die zur Zeit bekannten Planeten
Als Kollektivum. Beide Prämissen sind hier singuläre Urteile.
sind nicht ausreichend zur Erklärung der beobachteten Störungen des Uranus. Also bilden sie nicht die Gesamtheit der Planeten — eine negative Einsicht, welche die Ent- deckung des Neptun vorbereitete. (
Ueberweg
.) Man bemerkt, dass die Konklusion hier eigentlich als Ungleichung aufgefasst sein will, womit über die Folgerung
a

c
1
oder
a c
= 0 noch hinausgegangen ist, nämlich von da, in Verbindung mit
a
≠ 0 noch auf
a
≠
c
geschlossen ist.
Zu
Festino
. Einige Schwimmvögel sind Enten. Kein Schwan ist eine Ente. Gewiss also sind einige Schwimmvögel nicht Schwäne.
(R.
Grassmann
.)
Zu
Baroco
. Manche nützliche Dinge sind gar nicht selten. Alle Edel- steine sind selten. Folglich sind manche nützliche Dinge nicht Edelsteine.
Zu
Disamis
. Die Käfer sind Insekten (Kerfe). Einige Käfer sind Wassertiere. Ergo: Einige Insekten sind Wassertiere. (R.
Grassmann
.)
Zu
Datisi
. „Einige Zufriedene sind arm. Alle Zufriedenen sind be- neidenswert. Ergo: Einige Arme sind beneidenswert.“
Zu
Bocardo
. Manche von den der Zauberei angeklagten Personen haben sich selbst nicht für unschuldig gehalten. Alle der Zauberei Ange- klagten waren eines eingebildeten Verbrechens beschuldigt. Ergo: Einige eines blos fingirten Verbrechens Beschuldigte haben sich selbst (nicht) für (un-)schuldig gehalten. (?
Ueberweg
.) — Desgleichen:
Der Rhombus ist gewöhnlich nicht gleichwinklig. Der Rhombus ist ein gleichseitiges Polygon. Also: Manche gleichseitige Polygone sind nicht gleichwinkling.
Es ist nicht angängig, mit
Pommer
1
schlechtweg zu sagen: der Rhombus ist nicht gleichwinklig — wo dann der Schluss unter den Modus (falsch-)Felapton fallen würde — sintemal es auch gleichwinklige Rhomben gibt, als da sind die Quadrate.
Zu
Ferison
. Das Eisen ist nicht organisch. Einiges „Eisen(?)“ ist kohlenstoffhaltig. Also ist nicht alles, was Kohlenstoff enthält, organisch. (
Pommer
.)
Zu
Calemes
. Der Storch ist ein Sumpfvogel (Stelzengänger.) Kein Sumpfvogel ist ein Schwimmvogel. Ein Schwimmvogel kann also kein Storch sein. (R.
Grassmann
.)
§ 43. Beispiele.
Zu
Dimatis
. Käfer sind Insekten. Einige Wassertiere sind Käfer. Einige Insekten, also, sind Wassertiere. (R.
Grassmann
.)
Zu
Fresison
. Einige Mongolen sind von blonder Rasse. Kein Ger- mane ist ein Mongole. Also sind einige blonde Rassen nicht Germanen.
Obwol sie hier als „falsch“ bezeichnet sind und theoretisch erst im nächsten Paragraphen erledigt werden, wollen wir um mit der Exemplifikation der traditionellen Syllogismen zu Ende zu kommen, hier sogleich auch die übrigen Modi anreihen.
Vor allen die Modi Darapti und Felapton, obwol eigentlich Enthy- meme, kommen mit der als „reservatio mentalis“ eben hinzugedachten er- forderlichen Ergänzung (auf Grund als existirend anerkannter Individuen der Subjektklasse) doch ungemein häufig zur Anwendung; sie spielen in den Raisonnements der Wissenschaften sowol als des gemeinen Lebens un- bestreitbar eine Rolle. Einige Beispiele werden dies erkennen lassen:
Zu (falsch)
Darapti
. Die 2 ist eine Primzahl; 2 ist eine gerade Zahl; ergo: Einige Primzahlen (mindestens eine, und in der That nur diese eine) sind gerade. [Enthymematisch war zu unterstellen: Es gibt eine Zahl 2; solche existirt!]
„Die Eulen sind Raubvögel; die Eulen sind nützlich(e Tiere); ergo: Einige Raubvögel sind nützlich.“
„Kalium ist Metall; Kalium schwimmt auf dem Wasser; ergo: Einige Metalle schwimmen auf dem Wasser.“
Die Wale sind Säugetiere; die Wale haben Flossen; also: Einige Säugetiere haben Flossen. (R.
Grassmann
.)
Es gibt Steine, die Eisen anziehen, weil (der Magnet) das Magneteisen ein Stein ist und Eisen anzieht. (
Pommer
.)
Die Rytina Stelleri (Seekuh) hätte eines der nützlichsten Tiere werden können. Sie wurde vom Menschen ausgerottet. Also wurden einige der (potentiell) nützlichsten Tiergattungen vom Menschen ausgerottet. —
Zu (falsch)
Felapton
. Man sage: „
nicht
gehegt oder geschont oder erhalten“ statt „ausgerottet“ im letzten Beispiel.
Natrium ist Metall; Natrium geht im Wasser nicht unter (sinkt nicht etc.); ergo: Einige Metalle gehen im Wasser nicht unter. Etc.
Zu (falsch)
Fesapo
. Alle Fische atmen durch Kiemen. Kein Wal- fisch ist ein Fisch. Ergo: Einige Kiemenatmer sind nicht Walfische — so- gar alle, was aber nicht „folgte“!
Die Pferde sind Säugetiere. Kein Wiederkäuer ist ein Pferd. Also: Einige Säugetiere sind nicht Wiederkäuer. (R.
Grassmann
.) —
Zu (falsch)
Bamalip
. Die Wale (Cetaceen) sind Säugetiere; die Walrosse sind Wale. Also müssen einige Säugetiere Walrosse sein. (Der- selbe.) [Die vollständige Konklusion würde sein: Alle Walrosse sind Säugetiere.]
Die übrigen abgeschwächten Modi zu exemplifiziren überlassen wir dem Leser. Desgleichen in Bezug auf sämtliche Modi zu thun, wird als eine vorzügliche Denkübung vielseitig empfohlen. Gute Beispiele zu ersinnen,
Zwanzigste Vorlesung.
ist in der That nicht leicht, als namentlich solche, die für sich hingestellt
herausgerissen aus dem Zusammenhange
solcher Überlegungen, in welchen sie vielleicht verwertet vorkommen, schon irgend einen Nutzen, eine weitere Verwendbarkeit der gezogenen Konklusion erkennen liessen. Das ist aber auch viel verlangt! Dergleichen gute Beispiele sind immer noch als
rar
zu bezeichnen, und möge der kritisch aufgelegte Leser, der an dem einen oder andern von den angeführten Beispielen kein Gefallen findet, selbst deren bessere aufstellen! —
Nicht unwichtig ist noch die Frage, wie man einem Syllogismus schon äusserlich ansehen könne, ob er gültig ist — genauer gesagt, einem Schlusse „von syllogistischer Form“, welcher nämlich aus zwei kategorischen Urteilen über drei Terme ein drittes ableitet, das den doppelt vorkommenden Term nicht mehr enthält, sondern nur noch die beiden andern Terme.
Frau
Franklin-Ladd
gibt
1
p. 41 hiefür eine Regel, welche darauf hinausläuft, den Syllogismus in eine Inkonsistenz zu verwandeln und mit dem Schema
A
) zu vergleichen, welches, wie gezeigt, ja alle gültigen Syllogismen in sich zusammenfasst.
Zu dem Ende
bilde man
zunächst
das kontradiktorische Gegenteil zur Konklusion
— indem man dieselbe nach den Regeln der Kontra- position konvertirt, somit für „alle
a
sind
c
“ sagt: „einige
a
sind nicht
c
“ für „einige
a
sind
c
“ sagt: „kein
a
ist
c
“ — oder umgekehrt. Die so konvertirte Konklusion halte man mit den beiden Prämissen zu- sammen.
Von diesen drei Urteilen müssen dann zweie universal, das übrig bleibende partikular sein
, und falls man
jene
(oder auch alle dreie) als
Existenzialurteile
formulirt,
muss der den beiden universalen gemeinsame Term mit entgegengesetzter Qualität
(einmal negirt einmal unnegirt)
vorkommen
, ein jeder von den beiden andern Termen aber mit durchweg der gleichen Qualität. Dann und nur dann wird der Syllogismus gültig sein.
Für „alle
A
sind
B
“ sage man also:
„nichts ist A und
zugleich
nicht-B“
und für „kein
A
ist
B
“ eventuell: „
nichts ist A und B
zugleich“.
[Als unwesentlich kann es dagegen unterbleiben, für „einige
A
sind
B
resp. nicht
B
“ auch noch zu sagen „es gibt
A
, die
B
resp. nicht-
B
sind“, oder „
etwas
ist
A
und
B
, etc.“, weil in dieser Fassung die Terme bezüglich mit der nämlichen Qualität auftreten, wie in der vorigen.]
Diese Zumutung scheint mir eine geringere zu sein als diejenige der Frau
Franklin-Ladd
, welche fordert hinzubringen, dass die universalen Urteile „mit einer verneinenden Kopula“ (!), das partikulare Urteil mit einer bejahenden ausgedrückt werde — wodurch leicht die Nötigung ent- steht zur Bildung von Sätzen mit negativem Subjekte, ausserdem aber auch
§ 44. Die inkorrekten Syllogismen der Alten.
noch unbequeme Satzbildungen entstehen, wie: „Spartaner sind-nicht nicht- Griechen“.
So ist z. B. der Schluss (ibidem):
„Alle Menschen sind sterblich. Einige Sterbliche sind glücklich. Also sind einige Meuschen glücklich“ äquivalent der Inkonsistenz:
Nichts ist
Mensch
und
nicht-sterblich
(oder: kein
Mensch
ist
unsterb- lich
). Einige
Sterbliche
sind
glücklich
. (Alle Menschen sind unglücklich oder:) Nichts ist
Mensch
und
glücklich
— welche ungültig ist aus dem doppelten Grunde, weil der dem ersten und dritten Urteil gemeinsame Term „Mensch“ beidemal mit derselben Quali- tät, und obendrein der Term „sterblich“ mit entgegengesetzten Qualitäten vorkommt.
Man bemerkt sogar, dass die obige Umschreibung von universal verneinenden Urteilen („kein
A
ist
B
“ in „nichts ist
A
und
B
“) unter- bleiben kann, wofern man nur
sich hütet
,
die in dem verneinenden Artikel
„
kein
“
liegende negative Qualität dem einen oder andern Terme zuzu- schreiben
. Und dies vorausgesetzt könnten wir auch statt „alle
A
sind
B
“ ganz ungezwungen sagen: „kein
A
ist
nicht-B
“. Sodass — anstatt der oben geforderten Umschreibung in Existenzialurteile — am besten wol die Forderung eintritt:
dafür zu sorgen
,
dass die uni- versalen Urteile mit dem verneinenden Artikel
„
kein
“
beginnen
, worauf dann lediglich zu kontroliren bliebe, dass der denselben gemeinsame Term,
und
von allen
nur dieser
, entgegengesetzte Qualitäten aufweise.
So ist das auch noch von Frau
Franklin
aufgeführte Beispiel:
Nur Griechen sind tapfer. Alle Spartaner sind Griechen. Ergo: Alle spartaner sind tapfer — äquivalent der Inkonsistenz:
Kein
Tapferer
ist
nicht-Grieche
. Kein
Spartaner
ist
nicht-Grieche
. Einige
Spartaner
sind
nicht-tapfer
— und darum ungültig aus ähnlichen Gründen wie die vorige. —
Am übersichtlichsten dürfte sich allemal solche Umschreibung in der Zeichensprache des Kalkuls gestalten. —
Zum Schlusse seien hier wenigstens noch erwähnt
Cunynghame’
s „syllogistische Karten“ und in ihrem Betreff auf
Jevons
9
p. 107 ‥ 110 verwiesen.
§ 44.
Die inkorrekten Syllogismen der Alten und ihre Richtig- stellung in der exakten Logik. Über Subalternation und Konversion. Zusammengesetzte Schlüsse.
Von den noch übrigen Syllogismen zerfallen zunächst die vier Hauptmodi in die zwei Gruppen:
Darapti
und
Bamalip
Felapton
Fesapo
Zwanzigste Vorlesung.
derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein- unddenselben (falschen) Satz der Elimination zum Ausdruck bringen, der sich aber unterscheidet von dem des isolirten Modus.
Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar- thun. Einmal durch Exemplifikation, wie wir dies am Schlusse des § 42 bezüglich Darapti schon zeigten. Sodann: indem man den Mittel- term
b
regelrecht aus den Prämissen eliminirt. Man findet alsdann: 0 = 0 als Eliminationsresultante, und da diese bereits als vollständig erwiesen ist [indem bei der Elimination nur das Th. 50
+
) in’s Spiel kommt], so folgt also
keine
Relation zwischen den beiden andern Termen.
In der That heissen bei Darapti
a
1
b
= 0 und
b c
1
= 0 die beiden Prämissen; es ist (
a
1
+
c
1
)
b
+ 0 ·
b
1
= 0 die vereinigte Gleichung derselben, also (
a
1
+
c
1
) · 0 = 0 oder 0 = 0 die (volle) Resultante der Elimination von
b
.
Bei Felapton und Fesapo tritt nur
c
für
c
1
ein. Hier haben wir also die Elimination:
(
a
1
b
= 0) (
b c
= 0) = {(
a
1
+
c
)
b
= 0}

(0 = 0)
und unterscheiden beide Modi sich überhaupt nur dadurch, dass der Ober- satz
b c
= 0 bei ersterm als
b

c
1
, bei letzterm als
c

b
1
in Worte ge- kleidet wird.
Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge- nügt es, nur mehr den ersten derselben,
Darapti
, noch richtig zu stellen. Wir haben schon bei der Exemplifikation darauf hingewiesen, dass, um ihn zu ergänzen, die Annahme
b
≠ 0 den Prämissen noch hinzugefügt werden muss. Der Schluss
α
)
(
b

a
) (
b

c
) (
b
≠ 0)

(
a c
≠ 0)
oder
β
)
(
a
1
b
= 0) (
b c
1
= 0) (
b
≠ 0)

(
a c
≠ 0)
ist dann richtig, und lässt sich durch Elimination von
b
aus der Aussage:
{(
a
1
+
c
1
)
b
+ 0 ·
b
1
= 0} {1 ·
b
+ 0 ·
b
1
≠ 0}
gemäss der Regel
ι
) des § 41 beweisen, welche als Resultante liefert:
{(
a
1
+
c
1
) · 0 = 0} · {1 · (
a
1
+
c
1
)
1
+ 0 · 0
1
≠ 0} = (0 = 0) (1 ·
a c
+ 0 · 1 ≠ 0)
oder (
a c
≠ 0) — in Anbetracht, dass der Faktor (0 = 0), = 1߭ nicht geschrieben zu werden braucht. Wie man sieht, stellt die Konklusion, d. h. der Satz „Einige
a
sind
c
“ dann auch die
volle
Resultante der Elimination des
b
aus den Prämissen dar.
Ebenso wären:
§ 44. Ihre Richtigstellung in der exakten Logik.
γ
)
(
b

a
) (
b

c
1
) (
b
≠ 0)
resp. (
b

a
) (
c

b
1
) (
b
≠ 0)

(
a c
1
≠ 0),
welche zusammenfallen zu
δ
)
(
a
1
b
= 0) (
b c
= 0) (
b
≠ 0)

(
a c
1
≠ 0)
die berichtigten Modi Felapton und Fesapo.
Alle drei berichtigten Schlüsse sind nun aber, wie schon ange- deutet, keine „Syllogismen“ mehr, indem sie
drei
Prämissen enthalten, von denen eine keine „Subsumtion“, sondern ein „Existenzialurteil“ ist, indem ferner auch der sogenannte Mittelbegriff hier seinen Namen nicht in dem früheren Sinne verdient, sintemal er drei mal in den Prämissen vorkommt.
Von diesen drei inkorrekten Syllogismen unterscheidet dagegen der vierte
Bamalip
sich dadurch, dass hier sehr wohl aus den Prä- missen ein gültiger Schluss auf
a
und
c
(unabhängig von
b
) zu ziehen ist. Und zwar ist dieser Schluss kein anderer als der von Barbara, mit vertauschtem
a
und
c
:
(
b

a
) (
c

b
)

(
c

a
).
Von dem hiermit etablirten Ergebnisse: „alle
c
sind
a
“ zu schliessen auf „einige
a
sind
c
“ ist aber (in unsrer Disziplin) nicht ohne weiteres gestattet. Es ist dies nur dann erlaubt, wenn man weiss, dass der minor
c
der Konklusion (welcher als major des Modus Bamalip figurirt) nicht 0 ist, in Worten: dass es
c
gibt.
In der That ist erst:
ε
)
(
c

b
) (
b

a
) (
c
≠ 0)

(
a c
≠ 0)
der
richtig gestellte
Schluss
Bamalip
, und beweist sich derselbe syste- matisch, indem man aus der Prämisse:
(
a
1
b
+
c b
1
= 0) (
c b
+
c b
1
≠ 0)
regelrecht
b
eliminirt, wodurch sich ergibt:
(
a
1
c
= 0) (
c a
+
c c
1
≠ 0) oder (
c

a
) (
a c
≠ 0),
welches in der That

(
a c
≠ 0) nach Th. 6̄
×
) ist. Man sieht jedoch, dass diese Konklusion „einige
a
sind
c
“ hier nicht die volle Resul- tante der Elimination von
b
vorstellt.
Die volle Resultante kann nach Belieben dargestellt werden durch das soeben gefundene Ergebniss: (
c

a
) (
a c
≠ 0) oder auch
noch einfacher
durch: (
c

a
) (
c
≠ 0), welches man leichter erhalten kann, indem man nur aus den
b
enthaltenden Prämissen, d. i. aus den beiden
Schröder
, Algebra der Logik. II. 16
Zwanzigste Vorlesung.
ersten Faktoren (
c

b
) (
b

a
) der Hypothesis des in
ε
) berichtigten Schlusses Bamalip diesen Mittelterm
b
gemäss Barbara oder Prinzip II eliminirt, und die Resultante
c

a
hernach mit dem dritten (
b
ohne- hin nicht enthaltenden) Faktor
c
≠ 0 der Voraussetzung als einer simultan geltenden Aussage multiplikativ verknüpft. In Worten wird die volle Konklusion darnach am besten ausgedrückt, indem man sagt:
Alle c sind a und es gibt c.
Die Äquivalenz jener beiden Konklusionen lässt sich auch leicht direkt nachweisen; dieselbe konstituirt einen kleinen
Satz des Klassen- kalkuls
, welcher (wenn wir die Buchstaben
c
,
a
durch
a
,
b
ersetzen) lautet:
ξ
)
(
a

b
) (
a b
≠ 0) = (
a

b
) (
a
≠ 0).
Um ihn zu
beweisen
, bemerke man erstlich, dass (
a b
≠ 0)

(
a
≠ 0) nach bereits gegebenem Satze § 40,
α
') ist, woraus durch
beiderseitiges
Multipliziren mit (
a

b
) die eine von den beiden in der behaupteten Gleichung enthaltenen Subsumtionen gewonnen ist, nämlich:
(
a

b
) (
a b
≠ 0)

(
a

b
) (
a
≠ 0).
Zweitens beachte man, dass nach bekanntesten Sätzen: (
a

b
) (
a
≠ 0) = (
a b
1
= 0) (
a b
+
a b
1
≠ 0) = (
a b
1
= 0) { (
a b
≠ 0) + (
a b
1
≠0)} sein wird. Wegen der Voraussetzung
a b
1
= 0 darf aber in der Summe
a b
+
a b
1
der letzte Term als verschwindend unterdrückt werden, wodurch wir (
a b
1
= 0) (
a b
≠ 0) oder (
a

b
) (
a b
≠ 0) als Folgerung erhalten, so- mit auch die umgekehrte Subsumtion bewiesen ist:
(
a

b
) (
a
≠ 0)

(
a

b
) (
a b
≠ 0)
— oder anders: es durfte oben beim Ausmultipliziren der letzte Term als Inkonsistenz unterdrückt werden. — Am schnellsten folgt
ξ
) aus Th. 20
×
) und § 41,
δ
).
[Um den vorhin ausgeführten Schluss
(
c
= 0) {
f
(
c
) ≠ 0}

{
f
(0) ≠ 0}
(bei welchem wir
a b
1
kürzer durch
c
dargestellt haben)
rein rechnerisch
zu begründen, kann man auch so verfahren. Es ist nach Th. 6̄
×
):
(
c
= 0) {
f
(
c
) ≠ 0}

(
c

0)
und ferner ist: (
c
= 0)

{
f
(
c
) =
f
(0)} — sowie überhaupt:
(
b
=
a
)

{
f
(
b
) =
f
(
a
)}
— in Anbetracht, dass es in jedem Funktionsausdruck nach Th. 32), Zus. 2, vergl. § 29, gestattet ist, Gleiches für Gleiches zu setzen. Dies gibt also auch a fortiori:
(
c
= 0) {
f
(
c
) ≠ 0}

{
f
(
c
) =
f
(0)}
und dieses wiederum:
§ 44. Richtigstellung der inkorrekten Syllogismen.
(
c
= 0) {
f
(
c
) ≠ 0}

{
f
(
c
) =
f
(0)} {
f
(
c
) ≠ 0},
z. B. wenn beiderseits mit dem letzten Faktor multiplizirt.
Nach dem bereits rechnerisch bewiesenen Th.
δ
) des § 41 folgt ferner:
{
f
(
c
) =
f
(0)} {
f
(
c
) ≠ 0}

{
f
(0) ≠ 0},
sonach a fortiori:
(
c
= 0) {
f
(
c
) ≠ 0}

{
f
(0) ≠ 0},
q. e. d. Der hiemit bewiesene Schluss ist nur ein besondrer Fall, eine Exemplifikation des folgenden:
(
b
=
a
) {
f
(
b
) ≠
c
}

{
f
(
a
) ≠
c
},
welcher leicht rechnerisch ebenso zu beweisen wäre.]
Ebenso wie der hauptmodus Bamalip verhalten sich die fünf Nebenmodi oder abgeschwächten Formen:
Barbari, Celaront, Cesaro, Camestros, Calemos,
welche ja mit dem korrespondirenden Hauptmodus (demjenigen, dessen Name mit dem ihrigen bis auf die Endsilbe übereinstimmt) jeweils die Prämissen gemein haben und deshalb in der That einen gültigen Schluss, nämlich die Konklusion des Hauptmodus zulassen. Diese gibt nun aber die Konklusion des nebenmodus nicht vollständig, sondern angeblich „abgeschwächt“ wieder.
Untersuchen wir jedoch die Berechtigung zu dem bei dieser Ab- schwächung beobachteten Verfahren.
Bei den in Frage kommenden 5 Hauptmodi (Barbara, Celarent, Cesare, Camestres und Calemes) — es sind das diejenigen der ersten Gruppe von
C
) des § 43 — ist die Konklusion und volle Eliminations- resultante ein universales Urteil, und zwar ist dieses bejahender Art:
a

c
bei dem ersten, verneinender:
a

c
1
bei den vier letzten dieser 5 Modi. Die übrigen traditionellen Syllogismen dagegen entbehren einer universalen Konklusion.
Es frägt sich daher nur, ob die Abschwächung eines universalen Urteils, wie
„Alle
a
sind
c
, resp. nicht-
c
“
in ein partikulares:
„Einige
a
sind
c
, resp. nicht
c
“
gestattet ist, wie dies die traditionelle Logik behauptet, indem sie diesen Prozess als eine Schlussfolgerung durch „
Subalternation
“ be- zeichnet. Vergl. Fig. 10 in § 33, S. 86.
Die exakte Logik zeigt, dass dies
nicht
der Fall sein kann, indem für
a
= 0, das ist für den Fall, wo es keine
a
gibt, die Prämisse
16*
Zwanzigste Vorlesung.
a

c
resp.
a

c
1
noch wahr ist, die Konklusion
a c
≠ 0 resp.
a c
1
≠ 0 aber sich als falsch herausstellt.
Erst wenn zu der genannten Prämisse auch noch die Annahme
a
≠ 0, d. h. die Voraussetzung, dass es Individuen von der Klasse des Subjektes
gebe
, als eine weitere Prämisse hinzugefügt ist, wird der Schluss stichhaltig. Wir haben dies für das bejahende Urteil (mit vertauschtem
a
und
c
) schon unter Bamalip gezeigt, und das Ergeb- niss der Betrachtung in einem besondern Satze
ξ
) formulirt. Ersetzt man in
ξ
)
b
durch
c
resp.
c
1
, so gelangt man, dies Theorem rückwärts lesend und auf die linke Seite das Th. 6̄
×
) des Aussagenkalkuls an- wenden, zu den Schlüssen:
(
a
≠ 0) (
a

c
)

(
a c
≠ 0), (
a
≠ 0) (
a

c
1
)

(
a c
1
≠ 0)
welche die obige Angabe rechtfertigen.
Dieselben zeigen zugleich, wie die in ihrer bisherigen Fassung noch lückenhaften oder enthymematischen „abgeschwächten Modi“ zu gültigen Schlüssen — mit unfehlbar richtiger, wenngleich unvollstän- diger Konklusion — zu ergänzen sind: dies hat einfach zu geschehen durch Hinzufügung des Faktors
a
≠ 0 zu dem Produkte der bereits angeführten Prämissen. So wird denn:
(
a
≠ 0) (
a

b
) (
b

c
)

(
a c
≠ 0)
— d. i.
ε
) mit vertauschtem
a
und
c
— den nunmehr richtig ge- stellten Schluss
Barbari
darstellen, und sind darnach auch die übrigen abgeschwächten Formen jetzt leicht berichtigt hinzuschreiben.
Zu merken ist hienach: dass ein
Folgern durch Subalternation in der exakten Logik unzulässig ist
.
Und da mit dieser Art von Schlussfolgerungen sich auch noch eine andere Folgerungsweise der traditionellen Logik: die sogenannte „
Konversion durch Limitation
“, „
conversio per accidens
“ auf das naheste verwandt erweist, so wollen wir den Anlass ergreifen, die „Konversion“ überhaupt zu besprechen.
Die Konversion gehört (ebenso wie die „Subalternation“) zu den sogenannten „
unmittelbaren Folgerungen
“. Als solche, soweit sie in den Rahmen des Klassenkalkuls fallen, kann man bezeichnen: die Ab- leitung eines kategorischen Urteils aus (nur)
einem
andern.
Wir haben deren bereits eine grosse Menge kennen gelernt, darunter solche, bei denen ausser den beiden als Subjekt und Prädikat in der Prä- misse auftretenden Termen in der Konklusion auch noch andere Terme als neu introduzirte vorkommen — wie z. B. den Schluss von
a

b
auf
a c

b c
— desgleichen solche, bei denen Terme sich eliminirten, heraus-
§ 44. Über Subalternation und Konversion.
fielen — wie bei dem Schlusse von
a

b c
auf
a

b
, oder von
a b
≠ 0 auf
a
≠ 0.
Im engsten Sinne sollen die „unmittelbaren Folgerungen“ blos an- geben — wenn ein kategorisches Urteil (von einer der vier Arten) zwischen zwei Termen gegeben ist, welche andern kategorischen Urteile (wiederum von einer dieser vier Arten)
in Bezug auf diese nämlichen beiden Terme
daraus gefolgert werden können.
Eine solche Folgerung heisst
Konversion
, wenn Subjekt und Prädi- kat der Prämisse in der Konklusion bezüglich auftreten als Prädikat und Subjekt — wenn dieselben mithin beim Schliessen ihre Rollen getauscht, ihren Charakter verkehrt, konvertirt haben.
Die Frage ist also, falls man für
A
als Subjekt und
B
als Prädi- kat die vier Urteile
a
,
e
,
i
,
o
des § 33 hinschreibt und dasselbe her- nach thut für
B
als Subjekt und
A
als Prädikat: welches von den erhaltenen acht Urteilen:
A

B
,
A

B
1
,
A B
≠ 0,
A B
1
≠ 0
B

A
,
B

A
1
,
B A
≠ 0,
B A
1
≠ 0
aus irgend einem andern von ihnen gefolgert werden könne?
Es liessen sich 8 × 7 = 56 Paare von Urteilen aus diesen 8 Ur- teilen herstellen, von welchen also jeweils die Frage zu beantworten wäre, ob das zweite Urteil des Paares aus dem ersten folgt oder nicht.
Die Frage lässt sich indessen summarisch dahin erledigen: Zu- folge der Äquivalenz von einzelnen laufen die acht Urteile auf nur sechs verschiedene hinaus, nämlich auf die nachfolgend in Klammern angeführten:
(
A

B
) = (
A B
1
= 0),
(
B

A
) = (
B A
1
= 0),
(
A

B
1
) = (
A B
= 0) = (
B A
= 0) = (
B

A
1
),
(
A B
≠ 0) = (
B A
≠ 0),
(
A B
1
≠ 0),
(
B A
1
≠ 0)
und von diesen wird der Leser, auf Gebiete oder auch auf Klassen (inclusive 0 oder 1) exemplifizirend, mit grösster Leichtigkeit darthun, dass
kein einziges
aus einem andern gefolgert werden kann. Diese sechs sind
gänzlich unabhängig von einander
.
Jede Subsumtion, angesetzt zwischen zweien von diesen sechserlei Aussagen, läuft zudem nicht auf eine Formel, sondern vielmehr auf eine Relation hinaus (vergl. § 20 und 32) — ein Umstand, dessen empirische Verifikation vereinfacht werden kann durch die Bemerkung, dass die sechs Aussagen zerfallen in zwei Tripel von einander paarweise entsprechenden:
Zwanzigste Vorlesung.
A B
= 0,
A B
1
= 0,
A
1
B
= 0,
A B
≠ 0,
A B
1
≠ 0,
A
1
B
≠ 0
dergestalt, dass die entsprechenden eines Paares immer Negationen von einander sind, während die eines jeden Tripels mittelst Buchstaben- vertauschung in einander überführbar.
Die verbale Logik unterscheidet nun: die
einfache
Konversion,
conversio simplex
(S. 224) als einen auf das
bejahende partikulare
Urteil anwendbaren Prozess des Schliessens, durch welchen aus
„Einige
A
sind
B
“ folgt „Einige
B
sind
A
“
und zu dem die Berechtigung im Hinblick auf die Kommutativität der Multiplikation daraus erhellt, dass
A B
≠ 0 oder also auch
B A
≠ 0
der gemeinsame Ausdruck der beiden Urteile ist — vergl. § 41,
δ
).
Sodann die Konversion
durch Kontraposition
, auch kurz blos Kontra- position genannt, anwendbar auf das
verneinende universale
Urteil, mittelst welcher aus
„Kein
A
ist
B
“ oder „Alle
A
sind nicht-
B
“
auch folgt:
„Kein
B
ist
A
“ oder „Alle
B
sind nicht
A
“ —
und deren Berechtigung aus den Theoremen 38) und 37) erhellt, unter deren letzterem sie auch bereits erwähnt wurde; in Anbetracht dass eben (
A B
= 0) = (
A

B
1
) = (
B

A
1
) einander äquivalente Aus- drücke für Prämisse sowol als Konklusion sind (S. 225).
Bei diesen beiden Arten der Konversion bleibt Qualität und Quantität des Urteils unverändert; es stimmen in beiderlei Hinsichten Prämisse und Konklusion miteinander überein. Aus diesem Grunde pflegt eine jede dieser Konversionen als eine „
reine
“,
conversio pura
bezeichnet zu werden, im Gegensatz zu einer vermeintlich zulässigen „unreinen“ Konversion, conversio impura, bei welcher in der Schluss- folgerung das Urteil in mindestens einer dieser beiden Hinsichten ab- geändert erscheint.
In Bezug auf die Quantität wäre dies in der That der Fall bei der oben erwähnten „Konversion durch Limitation“, conversio per ac- cidens, gemäss deren man aus
„Alle
A
sind
B
“ resp. „Kein
A
ist
B
“
glaubte folgern zu dürfen:
„Einige
B
sind
A
“ resp. „Einige
B
sind nicht-
A
“
Eine solche Folgerung ist nun aber hier ganz und gar nicht be- rechtigt, indem jede auf die oben schon zurückgewiesene „Subalternation“
§ 44. Über Subalternation und Konversion.
hinausläuft — die erste links nämlich dadurch, dass man ihre Kon- klusion vermittelst der berechtigten conversio simplex sich umschreibt in die damit äquivalente: „Einige
A
sind
B
“, die letztere rechts da- gegen, nachdem man ihre Prämisse in „kein
B
ist
A
“ oder „Alle
B
sind nicht
A
“ durch Kontraposition umgeschrieben.
Es ist also ferner zu merken:
Von den Konversionen der traditio- nellen Logik ist nur die conversio pura in der exakten Logik zulässig.
Unreine Konversion könnte nur gerechtfertigt erscheinen bei Zugrunde- legung einer Mannigfaltigkeit, welcher die Null nicht adjungirt worden, bei welcher also es sozusagen verboten wäre auch von dem Nichts mit zu reden, vielmehr das kategorische Urteil stets die Existenz des Subjektes postulirte (und das hypothetische Urteil immer nur dann an einen Be- dingungssatz auch einen Folgesatz knüpfen dürfte, wenn die Bedingung des erstern als verwirklicht, resp. allerwenigstens als realisirbar, nachge- wiesen worden). Auf dieser Basis ist eine
konsequente
Logik indessen noch nicht geschrieben; auch müsste einer solchen ein gutes Teil von Einfach- heit und Allgemeinheit der Gesetze — wie solche der exakten Logik eigen — abgehn.
Dann freilich könnten wir ein Urteil, wie „Alle Möpse sind Hunde“ auch zweimal konvertiren — so wie es
Lotze
1
p. 105 andeutet — und würde erstmals sich durch die (oben zurückgewiesene) unreine Konversion ergeben: „Einige Hunde sind Möpse“, und daraus durch abermalige, und zwar jetzt durch die berechtigte, nämlich reine Konversion: „Einige Möpse sind Hunde“.
Anlässlich dieses Beispiels wollen wir noch einer falschen Auffassung entgegentreten‥
Die Prämisse des letzten Schlusses könnte als Konklusion der vorher- gehenden Prämisse auch in der exakten Logik gelten, wenn man diese durch den Zusatz „Es gibt Möpse“ ergänzte und so den hier ein Enthy- mem zu nennen gewesenen Schluss vervollständigte.
Auch ohne solche Herleitung mag man aber auch den Satz: „Einige Hunde sind Möpse“ als einen materiell richtigen adoptiren und auf ihn als auf eine Prämisse vermittelst der berechtigten einfachen Konversion den Schluss bauen: „Ergo, einige Möpse sind Hunde“.
Wenn man hienach nicht mehr zu dem ursprünglichen Urteil (Alle Möpse sind Hunde) zurückkommt, vielmehr die logischen Operationen hier nur „den Erfolg gehabt haben, einen Teil der Wahrheit aus dem Wege zu schaffen“, so kann man
Lotze’
s Ausführungen doch im ganzen bei- stimmen: wenn er jenes auch als eine „Unschicklichkeit“ bezeichnet, so lässt er doch den Schluss sowol als seine Konklusion wenigstens als rich- tig gelten.
Darüber hinaus geht aber zu meiner Verwunderung F. A.
Lange
1
, p. 57 und 58 (vergl. auch p. 67): „Aus der vollständigen Erkenntnis, dass alle Körper der Gravitation unterworfen sind, kann ich nimmermehr die unvollständige Erkenntniss ableiten, dass mindestens ein Teil der Körper Gewicht hat. Aus der Gewissheit kann nimmermehr die Ungewissheit
Zwanzigste Vorlesung.
folgen. … Sagt man ‥ aus dem Urteil »alle Menschen sind sterblich«
folge
das Urteil »mindestens einige Menschen sind sterblich«, so leitet man aus der Gewissheit die Ungewissheit ab, was offenbar widersinnig ist.“
Dies ist durchaus nicht gelten zu lassen: Selten ist ja die Konklusion logisch äquivalent
mit
, eine blosse Umschreibung, Transformation
von
der Prämissengruppe, und niemals reicht sie beim
deduktiven
Schliessen noch über diese binaus, Bei fast jeder deduktiven Folgerung wird vielmehr ein Teil der in den Prämissen enthaltenen Informationen unterdrückt, fallen gelassen, eliminirt. Und könnte man mit demselben Rechte schon in Be- zug auf das deduktive Schliessen überhaupt die obige Phrase anwenden: aus dem Wissen folge die Unwissenheit, was absurd sei, um daraufhin dasselbe ganz zu verwerfen. Unter der Herrschaft dieser Phrase verrät
Lange
eine totale Verkennung des eigentlichen Wesens der Deduktion, die mit den sonst so treffenden Ausführungen des scharfsinnigen Meisters schwer vereinbar erscheint.
So lassen wir ja bei Anwendung des Syllogismus Barbara auch alle- mal unsere Kenntniss von dem Mittelgliede
b
fallen! In der Arithmetik dürfte z. B. ein Schluss von
a
=
b
+ 5 auf
a
\>
b
auch keine Folgerung genannt werden, indem er aus der „Gewissheit“, dass die Zahl
a
die
b
um 5 übertrifft, die „Ungewissheit“ folgen liesse, um wie viel denn
a
grösser ist, als
b
!
Noch mehr: bei jeder Abstraktion schon, auch bei der Bildung eines Begriffes, lassen wir die Kenntniss der notae accidentales, der zufälligen oder nebensächlichen Merkmale der unter ihn fallenden Individuen zurück- treten, verblassen, und wäre ebendarum auch die Begriffsbildung selbst zu verwerfen!
Analog haben wir nun oben bei der Ableitung des Schlusssatzes: „Einige Möpse sind Hunde“ nur einfach den Teil unsres Wissens fallen lassen, welcher uns darüber aufklärte, in uns die Überzeugung forterhielt, dass auch die übrigen Möpse Hunde seien. Wir reklamirten eben das Recht, auf diesen Wissensteil verzichten zu dürfen oder enthielten uns, davon Gebrauch zu machen, und hatten eine vollkommen korrekte Folge- rung. Ein Vorteil, freilich welcher aus solchem Verzicht resultiren könnte, ist in dem erwähnten Beispiel ohne weiteres nicht abzusehen und in Bezung auf das psychologisch irrefübrende Moment, welches in dem Schlusssatze gelegen und denselben auch für die Diskussionen des gemeinen Lebens un- geeignet erscheinen lässt, wären ähnliche Bemerkungen am Platze, wie die, welche wir schon in § 4 an ein anderes typisches Beispiel angeknüpft haben.
Zutreffend sagt
De Morgan
2
p. 56:
„Einige“
in der Logik heisst
„eines oder mehr und vielleicht alle“
. Wer da sagt
„einige sind ‥“
, dem darf nicht die Meinung untergelegt werden
„die übrigen
(the rest)
seien nicht ‥“
. In gewöhnlicher Rede würde der Satz ‥: „Einige Pferde sind von ihren Reitern durch ihre Gestalt unterscheidbar“ für falsch erachtet werden, indem die gewöhnliche Verkehrssprache wenn sie das umständlichere („complex“) partikulare Urteil fällt, dem „einige sind“ die Nebenbedeutung unterlegt, dass auch einige nicht sind. Der Studirende kann nicht sorg- fältig genug in dieser Hinsicht sein.
Wenn aber
De Morgan
noch hinzufügt, eine partikulare Proposition
§ 44. Über Subalternation und Konversion.
sei (in der Logik) nur eine
eventuell partikulare
(a „may be particular“), so können wir dies hier nur cum grano salis gelten lassen, hier, wo das partikulare Urteil sich immer wesentlich vom universalen unterscheidet dem in der exakten Logik ja nichts von einer Existenzbehauptung anhaftet.
Das partikulare Urteil schliesst uns das entsprechende universale nicht aus; vielmehr schliesst es das letztere möglicherweise ein, sagt aber im letzteren Falle noch mehr als dieses. —
Unvermerkt — etwa mit
Lotze’
s Qualifikation jener Folgerung als einer „Unschicklichkeit“ — ist uns mit den letzten Betrachtungen auch die Frage des
Wertes
eines Folgerungsverfahrens, wie z. B. auch der syllo- gistischen Figuren wieder näher gerückt worden.
Der Wert eines Schlussmodus ist überhaupt nicht eine Angelegen- heit der Logik, sondern ausschliesslich Sache derjenigen Personen, die von ihm Gebrauch machen. Jenachdem er deren augenblickliche Zwecke fördert, oder aber deplacirt erscheint, wird ihm gelegentlich Wert oder Unwert zukommen. Jener hängt lediglich ab von der Ge- legenheit,
bei
welcher, von der Art und Weise
auf
welche, und von den Zwecken
zu
welchen der Schlussmodus in Anwendung gebracht wird, und vermessen möchte es erscheinen, a priori für alle diese Möglichkeiten mit einem anerkennenden oder mit einem abfälligen Urteile
absprechen
zu wollen.
Aus diesem Grunde will ich auch die in § 4 schon begonnenen kritischen Erörterungen über den Wert der Syllogistik, nun, wo sie vollendet ist, nicht mehr weiter ausspinnen insbesondre auch, auf An- griffe wie die von
Trendelenburg
oder
Kant
2
(vergl. die falsche Spitzfindigkeit der syllogistischen Figuren!) — die schon vielfach anderwärts Widerlegung gefunden haben — hier nicht weiter ein- gehen, mich vielmehr begnügen, nur eines noch hervorzuheben.
Von Verfechtern der Logik des Inhalts wird häufig gegen die „Gedankenlosigkeit“ der partikularen Urteilsformen geeifert und ins- besondre auch deren moderne Ausdrucksform mit „
Einige A
sind
B
“ (gegenüber der griechischen und lateinischen mit
τίς
, aliquis) be- mängelt.
Das wird begreiflich, wenn man in’s Auge fasst, dass genau genommen partikulare Urteilsformen der Inhaltslogik gar nicht zugänglich sind zufolge des von ihr erhobenen Anspruches immer „nach dem Begriffe“ zu denken, insbesondre also auch nur begrifflich bestimmte Subjekte zuzulassen.
Sagen wir nun z. B.: Einige Menschen sind schwarz, so frägt es sich, durch welches Merkmal das Subjekt „Einige Menschen“ denn hier begriff- lich bestimmt sein m. a. W. von welchen Menschen das Prädikat denn Geltung haben soll? Gewiss nicht von den Weissen, sondern gerade nur von den schwarzen unter den Menschen. So kommt die Logik des In-
Zwanzigste Vorlesung.
haltes denn konsequenterweise dahin, den Subjektbegriff hier als durch das Prädikat selbst bestimmt ansehen zu müssen, und notwendig müsste ihr das partikulare Urteil erscheinen als ein blos identisches Urteil wie: Die schwarzen Menschen sind schwarz (oder wenn man will: sind schwarze Menschen)! Dies ist dann freilich „gedankenlos“.
Hand in Hand damit geht eine Geringschätzung auch der Schluss- formen, die sich auf partikulare Urteilsformen gründen oder auf die Bildung solcher hinauslaufen.
Wer gegen die partikulare Urteilsbildung eifert verkennt indess ganz den eminent
induktiven
Charakter unsres gesamten Erkenntniss- materials. All unser synthetisches (nicht-analytisches) Wissen ver- danken wir unmittelbar oder mittelbar dem Induktionsverfahren. Unsre allgemeinen Wahrheiten positiven Inhaltes, sofern sie nicht schon aus andern ihresgleichen deduktiv gefolgert, sondern unmittelbar der Wahr- nehmung oder Beobachtung entnommen wurden, kurz:
in letzter In- stanz
sind sie alle durch induktive Verallgemeinerung aus
partikularen
Urteilen hervorgewachsen, in welchen zunächst die beobachteten Einzel- fälle zusammengefasst worden. Diese
induktive Bedeutung
des parti- kularen Urteils hebt schon F. A.
Lange
1
p. 60 sq. gebührend und treffend hervor:
„Das partikulare Urteil kann sich thatsächlich nur auf die Be- obachtung einzelner bestimmter Fälle stützen.“ … Die Unbestimmt- heit, welche dem Subjekte desselben anhaftet, „kann zunächst als Aus- druck der Vermutung gelten, dass es noch in andern Fällen ebenso sein werde, wie in den gefundenen; dahinter aber birgt sich das Suchen nach dem Allgemeinen“.
„Dies gesuchte Allgemeine ist keineswegs immer der Subjektsbegriff selbst, sondern in den meisten Fällen eine spezifische Differenz, ein durch- schlagendes Merkmal, durch welches sich aus dem gegebenen Gattungs- begriff eine wohlbegrenzte Spezies ausscheidet. Sehr häufig aber, und bei den wichtigsten Entdeckungen, wird auch im Verfolg des induktiven Pro- zesses der gegebene Subjektsbegriff selbst durch das Resultat der Forschung verdrängt oder einer totalen Umbildung unterworfen. Die Auffindung des neuen Subjektsbegriffs ist … vorbereitet durch den Verkehr des Geistes mit dem Gegenstande der Forschung, aber an sich willkürlich, wagend und neuen Zersetzungen und Umbildungen ausgesetzt.“
„Wiewohl die nähere Betrachtung dieses induktiven Prozesses keineswegs in die formale Logik gehört, so ist es doch natürlich und geboten“, eine Urteilsform, welche in diesem Prozess allein schon ihre Berechtigung hat, in die Technik hereinzuziehen und sie hier ausführ- lich zu behandeln, auch sie auf die Schlussformen, in die sie eingeht, zu untersuchen. —
§ 44. Hypothetische Syllogismen. Zusammengesetzte Schlüsse.
Was nun die
hypothetischen Syllogismen
betrifft, so kommen für unsre Disziplin wesentlich nur diejenigen Modi in Betracht, in welchen keine partikularen Schlussglieder vorkommen. Da nämlich partikulare Urteile durch Ungleichungen, universale durch Gleichungen darzustellen sind (und umgekehrt), so laufen im Aussagenkalkul nach § 32,
ζ
) und
η
) auch die ersteren auf letztere hinaus. Hier ist speziell das parti- kular bejahende und das partikular verneinende Urteil:
(
a b
≠ 0) resp. (
a b
1
≠ 0)
äquivalent dem „zerfallenden“ universalen Urteile:
(
a b
= 1߭), = (
a
= 1߭) (
b
= 1߭) resp. (
a b
1
= 1߭), = (
a
= 1߭) (
b
= 0)
wonach
a
gilt und zugleich
b
auch gilt, resp. nicht gilt.
In Betracht kommen also nur die beiden ersten Modi der ersten sowie der zweiten Figur, als da sind: II. Barbara: (
a

b
) (
b

c
)

(
a

c
), Celarent: (
a

b
) (
b

c
1
)

(
a

c
1
),
Cesare: (
a

b
) (
c

b
1
)

(
a

c
1
), Camestres: (
a

b
1
) (
c

b
)

(
a

c
1
).
Der erstere ist das Schema des (reinen) „hypothetischen Schlusses“ den wir schon früh erwähnten:
Wenn a gilt, so gilt b; Wenn b gilt, so gilt c. Ergo: wenn a gilt, so gilt c.
Und ebenso besagen die folgenden:
Wenn a gilt, so gilt b; Wenn b gilt, so gilt c nicht. Ergo: wenn a gilt, so muss c nicht gelten.
Wenn a gilt, so gilt b; Wenn c gilt, so gilt b nicht. Ergo: wenn a gilt, so kann c nicht gelten.
Wenn a gilt, so gilt b nicht; Wenn c gilt, so gilt b. Ergo: wenn a gilt, so gilt c nicht.
Der erstere ist auszudehnen — indem man mehr als zwei Prämissen in Betracht zieht — zu dem „zusammengesetzten hypo- thetischen Schlusse“, bei welchem man entweder „
episyllogistisch
“ schliessen mag:
(
a

b
) (
b

c
) (
c

d
)

(
a

d
)
entsprechend der
Goclenius’
schen, oder „
prosyllogistisch
“:
(
c

d
) (
b

c
) (
a

b
)

(
a

d
)
entsprechend der
Aristotel
ischen Anordnung der Prämissen beim Kettenschlusse im Klassenkalkul — oder auch mit ungeordneten (irgend-
Zwanzigste Vorlesung.
wie geordneten) Prämissen.
Bei der Mannigfaltigkeit der Weisen, auf welche Syllogismen zu zu- sammengesetzten Schlüssen verknüpft, kombinirt werden können, dient es der Bequemlichkeit Namen zu haben für die Beziehungen, in welchen die verknüpften Syllogismen zu einander stehen können. So wird ein Syllogismus, welcher eine Prämisse eines andern Syllogismus beweist oder begründet, (als Konklusion) liefert, ein
Prosyllogismus
des letzteren genannt, und dieser, welcher als eine Prämisse die Konklusion des ersteren enthält, derselben bedarf, heisst ein
Episyllogismus
von jenem.
Auch lässt sich dabei jede einzelne Sub- sumtion noch vor- oder rückwärts lesen, wie z. B.
a

b
als: „Wenn
a
gilt so gilt
b
“ sowol wie als: „
b
gilt, wann
a
gilt“; der Terminus minor involvirt den major, bedingt, zieht ihn nach sich; der major folgt aus dem minor, wird von ihm bedingt, etc. —
Da die Einteilungsgründe, unter welchen die verbale Logik die
zusammengesetzten
Syllogismen, und überhaupt Schlüsse, zu klassifiziren pflegt, vom Standpunkte unsrer Algebra als sehr wenig wissenschaft- liche erscheinen und auch in keiner Weise zu vollständigen Auf- zählungen führen, so wollen wir nicht allzuweit in dieses Gebiet ein- treten, und von den traditionellen Schlussformen nur die geläufigsten mit berücksichtigen — mögen sie nun als kategorische im Klassen- kalkul oder als hypothetische im Aussagenkalkul gedeutet werden.
Durch Verbindung der beiden Modi der ersten Figur, welche also den Mittelbegriff beidemal unnegirt enthalten, mit den Definitionen (3) entstehen die zusammengesetzten Schlüsse:
(
s

a
) (
s

b
) (
s

c
) … (
a b c
‥

p
)

(
s

p
) | | (
s

a
+
b
+
c
‥) (
a

p
) (
b

p
) (
c

p
) ‥

(
s

p
)
(in welchen natürlich auch noch
p
1
für
p
gesagt werden kann und) welche einander dual entsprechen. Den ersten derselben — die Prä- missen bis zur vorletzten incl. in (
s

a b c
…) zusammengezogen — führt
Sigwart
1
p. 412 und 413 als „Schluss aus einem konjunktiven Urteil“ an: Die
s
sind sowol
a
als
b
als
c
; was
a
,
b
und
c
zugleich ist, ist
p
, ergo: die
s
sind
p
.
Der zweite wird oft als „Induktionsschluss“ angeführt: man über- zeugt sich darnach zum Beispiel empirisch, dass allen
s
das Prädikat
p
zukommt, indem man das gleiche nachweist für alle Kategorieen, Unter- abteilungen einer die
s
unter sich begreifenden Klasse: Die
s
sind ent- weder
a
, oder
b
, oder
c
; die
a
sind
p
, die
b
sind
p
, die
c
sind
p
; ergo: die
s
sind
p
. Insbesondere kann man auch den Nachweis für
§ 44. Zusammengesetzte Schlüsse.
die sämtlichen Individuen der Klasse
s
beibringen, und ist überhaupt eine der häufigsten Anwendungsweisen des Satzes die, bei der das erste Subsumtionszeichen sich als ein Gleichheitszeichen präsentirt.
Apelt
1
p. 17 führt als Beispiel an: Die Planeten sind: Merkur, Venus, Erde, Mars, etc. bis Neptun.
Merkur bewegt sich von West nach Ost um die Sonne;
Venus „ „ „ „ „ „ „ „ „
die Erde „ „ „ „ „ „ „ „ „
Mars „ „ „ „ „ „ „ „ „
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Neptun bewegt sich von West nach Ost um die Sonne.
Ergo: die Planeten bewegen sich von West nach Ost um die Sonne. (Vergl.
Sigwart
1
p. 414.)
Ich möchte für diesen Schluss höchstens die Bezeichnung als „eines
blos zusammenfassenden
Induktionsschlusses“ gelten lassen, weil von der im Wesen der „Induktion“ liegenden
Ausdehnung unsres Er- kenntnissbereiches
nicht das geringste bei ihm zu verspüren ist, den- selben aber am liebsten: das Dilemma im Klassenkalkul, „
Dilemma für Klassen
“ genannt wissen — in Anbetracht, dass mit ihm das, nur eben aussagenrechnerisch gedeutete, das
Dilemma
schlechtweg, der Form nach völlig zusammenfällt — vergleiche § 45.
Verbindet man die beiden der obigen vier Modi, welche den Mittelbegriff auch einmal negirt enthalten sonach der zweiten Figur angehören, mit den Theoremen 36), so entstehen nach dem Schema Cesare die beiden ersten, nach dem Camestres die beiden letzten von den vier folgenden Schlüssen: (
s

a b c
‥) (
p

a
1
+
b
1
+
c
1
‥)

(
s

p
1
) |
| (
s

a
+
b
+
c
‥) (
p

a
1
b
1
c
1
‥)

(
s

p
1
),
(
p

a b c
‥) (
s

a
1
+
b
1
+
c
1
‥)

(
s

p
1
) |
| (
p

a
+
b
+
c
‥) (
s

a
1
b
1
c
1
‥)

(
s

p
1
).
Den letzten derselben führt
Sigwart
1
p. 416 als „Schluss aus einem Divisions-Urteil in der zweiten Figur“ an: die
p
sind (
p
ist) teils
a
, teils
b
, teils
c
;
s
ist weder
a
noch
b
noch
c
; ergo:
s
ist nicht
p
.
Der Schluss bleibt auch in Kraft, wenn die Einteilungsglieder des
p
einander gegenseitig ausschliessen, wie in:
(
p

a b
1
c
1
+
a
1
b c
1
+
a
1
b
1
c
) (
s

a
1
b
1
c
1
)

(
s

p
1
)
— wie einerseits durch regelrechtes Eliminiren von
a
,
b
,
c
aus der ver- einigten Gleichung der Prämissen:
Zwanzigste Vorlesung.
p
(
a b
+
a c
+
b c
+
a
1
b
1
c
1
) +
s
(
a
+
b
+
c
) = 0
zu sehen ist, welches die successiven Resultanten liefert:
p b c
+
s
(
b
+
c
) +
s p b
1
c
1
= 0,
s c
+
s p c
1
= 0,
s p
= 0 —
am besten aber, mittelst
a b
1
c
1
+
a
1
b c
1
+
a
1
b
1
c

a
+
b
+
c
nach Th. 6
×
) und 17
+
), auf den vorigen Schluss zurückgeführt wird.
Weiter seien noch angeführt die vier Schlüsse:
(
s

a b c
‥) (
a

p
)

(
s

p
) | (
s

a
) (
a
+
b
+
c
‥

p
)

(
s

p
); (
s

a b c
‥) (
p

a
1
)

(
s

p
1
); (
p

a b c
‥) (
s

a
1
)

(
s

p
1
),
deren erste beide einander dual entsprechen, wogegen wir zu den beiden letzten die dual entsprechenden nicht aufgeführt haben, weil sie in mindestens einem Schlussgliede ein negirtes Subjekt (aller- mindestens als Term) enthalten würden. Durch Einschaltung der nach Th. 6) ohnehin gültigen Subsumtion: (
a b c
‥

a
) — beim zweiten Schlusse der: (
a

a
+
b
+
c
‥) — zwischen die Prämissen gehen die beiden ersten in dreigliedrige Kettenschlüsse über, und ähn- lich durch Zusammenziehung der nunmehrigen beiden ersten Prämissen gemäss II läuft der dritte Schluss auf Cesare, der vierte auf Camestres hinaus.
Auch diesen letzteren führt
Sigwart
1
p. 413 als „Schluss aus einem konjunktiven Urteil“ an, denselben dem oben bereits erwähnten zur Seite stellend, woraus zu ersehen, wie unter dem verbalen Gesichtspunkte oft wenig Verwandtes zusammengebracht wird. —
Die hier begonnenen Betrachtungen über zusammengesetzte Schlüsse werden im nächsten Paragraphen noch weiter fortgesetzt werden.
Wenn wir oben sagten, dass nur die universalen Syllogismen oder auch zusammengesetzteren Schlüsse, als „hypothetische“, genauer: aus- sagenrechnerisch zu deutende, (für uns) in Betracht kämen, so er- scheint es doch als bemerkenswert, dass hiezu noch ein Zugeständniss zu machen ist: Auch wenn wir die
affirmativen Existenzial
urteile
a
≠ 0 — die ja die bejahenden sowol als die verneinenden
partiku- laren
Urteile
a b
≠ 0 resp.
a b
1
≠ 0 mit unter sich begreifen — etwa interpretirten nach dem Schema:
a
≠ 0 solle heissen, dass die Aussage
a manchmal
, zuweilen, (nicht niemals), gilt —
so würden alle jene Schlussformen doch allerdings in Kraft bleiben und eventuell sich als unmittelbar einleuchtende darstellen lassen.
§ 44. Zusammengesetzte Schlüsse.
Bei Aussagen
a
von unveränderlichem Sinne, auf dergleichen allein nur unser Kalkul anwendbar erscheint, ist solches indessen nicht mög- lich, ohne dass dann
a
auch stetsfort gilt. Und wenn wir für Aus- sagen von mit der Zeit oder Anwendungsgelegenheit variirendem Sinne jene partikularen Schlussformen in Anspruch nehmen wollten, so müsste, um sie als wissenschaftlich begründete einzubürgern, doch erst die Art und Weise dieses Variirens näher definirt resp. gehörig ein- geschränkt, etwa auf den Fall konstanten Wortlauts restringirt werden; auch würden wir allem Anschein nach Schlüsse erhalten, die weder in der Wissenschaft, noch im gemeinen Leben bislang eine Rolle spielen. —
Einundzwanzigste Vorlesung
.
§ 45.
Besonderheiten des Aussagenkalkuls im Kontrast mit dem Gebietekalkul. Dilemma, Modus ponens und tollens, disjunktiver Schluss. Formeln gemischter Natur.
In der fünfzehnten Vorlesung haben wir den Aussagenkalkul als besondern Fall des Gebietekalkuls hervorgehoben. Alle Formeln des letzteren galten auch im erstern, aber nicht umgekehrt; der Aussagen- kalkul erwies sich als der formelreichere.
Dies ist nicht zu verwundern. Kann doch der Aussagenkalkul nichts anderes sein als der Gebietekalkul
in Verbindung mit der ihm gemachten Auflage
,
dass die allgemeinen Gebietsymbole in demselben ledig- lich der Werte
0
und
1
fähig sein sollten!
So wenigstens insoweit man die Formeln desselben in’s Auge fasst, die auch für Gebiete deutungsfähig erscheinen; dies erhellt aus dem An- blick der Formeln
ζ
) und
η
) des § 32. Freilich kommen dann auch noch Formeln im Aussagenkalkul hinzu, die im Gebietekalkul gar nicht inter- pretabel wären. Alle diese erwiesen sich als blosse Konsequenzen der Formel
ε
) des § 32, aus welcher auch die vorhin genanuten hervorgingen.
Und fortgesetzt werden auch alle ferneren Eigentümlichkeiten des Aussagenkalkuls sich lediglich als Folgerungen dieser einen Annahme
ε
) darstellen lassen. Genauer hätten wir also zu sagen: der Aussagenkalkul hebt sich aus dem Gebietekalkul hervor durch Hinzuziehung der Annahme § 32,
ε
):
(
a
= 1߭) =
a
— mitsamt ihren Konsequenzen — zu den ohnehin gültigen Sätzen des letzteren.
Diese Annahme, jene Einschränkung, gestattet begreiflicherweise eine Menge von Folgerungen, die wenn sie fehlt, nicht gezogen werden können. Der Umstand schon, dass jedes Symbol nur entweder 0 oder 1 bedeuten dürfe, gibt dem Aussagenkalkul ein besonderes Gepräge, das dem allgemeinen Gebietekalkul, in welchem ausser 0 und 1 auch alle erdenklichen Zwischenwerte zwischen diesen beiden Grenzen zu- gelassen sind, abgehen wird.
§ 45. Formeln gemischter Natur.
Bis zu einem gewissen Grade hat sich uns dies schon in § 32 bestätigt.
Teils lernten wir dort solche Sätze kennen — wie die mit Stern versehenen
δ
),
ζ
),
η
) — die im Gebietekalkul zwar gelten können, aber nicht allgemein gelten, teils auch solche Sätze, die — wie
ε
),
λ
),
μ
),
ν
) — daselbst überhaupt keinen Sinn haben, ganz unverständlich oder
deutungsunfähig
erscheinen.
Was sollte man in der That sich unter einem Satze, wie
λ
)
(
a

b
) =
a
1
+
b
denken, wenn
a
und
b
nicht Aussagen, sondern irgendwelche Gebiete, z. B. der Tafelfläche, vorstellen? Es erscheint doch absurd, die
Aussage,
das Urteil linkerhand, die behauptete Subsumtion (
a

b
) mit dem
Gebiete
rechterhand in
λ
), mit der Fläche
a
1
+
b
zu identifiziren!
Dergleichen im Gebietekalkul zunächst überhaupt nicht deutungs- fähige Formeln des Aussagenkalkuls mögen hier „
Formeln von ge- mischter Natur
“ heissen. Es kommen in denselben ausser einfachen Symbolden, wie 0, 1߭,
A
,
B
, …, die uns gewisse oder auch irgendwelche Aussagen (von nur nicht näher angegebenem, oder von ganz offen ge- lassenem Inhalte) vertreten, auch „
spezifizirte
“ Aussagen vor, wie
A

B
, 1߭

C
,
A
=
B
, welche über jene Aussagen selbst wieder etwas — und zwar etwas ganz Bestimmtes — aussagen.
Es ist klar, dass jene einfachen Symbole alsdann nicht als (Punkt-) Gebiete, Flächen z. B., gedeutet werden können, wenn sie mit solchen spezifizirten Aussagen durch Rechenoperationen oder Vergleichungs- zeichen verknüpft, solchen vielleicht eingeordnet, oder gleich gesetzt erscheinen.
Da müsste denn doch erst eine Erklärung gegeben worden sein, was unter dem Produkt — z. B. — aus einer Aussage und einer Fläche ver- standen werden solle, was die Subsumtion zwischen letztern auszudrücken habe, etc.
Im Klassenkalkul könnte bei Zugrundelegung einer gewissen Mannig- faltigkeit 1̱, jenes Produkt allerdings als bereits erklärt hingestellt werden, insofern dasselbe als „Nichts“ zu interpretiren und mit 0̱ zu bezeichnen wäre, sintemal es nichts gibt, was zugleich jene Aussage und diese Fläche ist. Nur wäre zu beachten, dass nach § 9,
χ
,
ψ
) diese 0̱ von dem Null- gebiet 0 unsrer Punktmannigfaltigkeit, der Tafelfläche 1,
wohl
zu unter- scheiden bleibt. In jener höheren Mn. könnte man auch die etwa zwischen einer Subsumtion und einer Fläche behauptete Ungleichheit allenfalls (als eine verständliche Behauptung) noch gelten lassen, indem es eben ganz und gar nicht zu rechtfertigen wäre, dieselben für identisch gleich zu er- klären. Das Ungleichheitszeichen ≠ hätte dann aber sozusagen wieder einen andern Sinn, als wenn es in der niederen Mn. zwischen zwei Flächen-
Schröder
, Algebra der Logik. II. 17
Einundzwanzigste Vorlesung.
symbole gesetzt wird: jene Ungleichheit wäre eine ganz selbstverständliche, analytische, und sie zu konstatiren: „nichtssagend“. — Wir wollen in dieser Richtung nicht weiterfahren: das Gesagte wird bereits genügen um erkennen zu lassen, dass dergleichen Deutungsversuche bei unsern gemischten Formeln sicherlich ein nutzloses und müssiges Beginnen blieben. —
Indessen haben wir mit derartigen Formeln, mit Formeln von dieser und jener Art, nur so weit Bekanntschaft gemacht, als nötig war, jene Verifikation des identischen Kalkuls durch sich selbst (mittelst mechanischen Rechnens) vornehmen zu können, wie sie in § 32 durchgenommen wurde. Im Übrigen konzentrirten wir unsre Aufmerksamkeit auf die Formeln des
Gebiete
kalkuls, welche also für beide K alkuln, auch für den mit Aussagen, maassgebend sind.
Demgegenüber wollen wir jetzt auf die dem Gebietekalkul
fremden
Sätze und Forme ln des Aussagenkalkuls unser Hauptaugenmerk richten, solche thunlichst systematisch und vollständig aufsuchen.
Dieselben werden teils „gemischter Natur“ sein, wodurch sie sich auf den ersten Blick als solche nur in der einen Disziplin gültige, (weil nur in ihr interpretable) zu erkennen geben. Teils aber auch werden sie „reine“ Sätze oder Formeln sein (soll heissen: solche von reinem Charakter), die auch eine Deutung der in sie eingehenden Buchstaben als Flächen oder Gebiete, Klassen zulassen würden, dann aber keine allgemeine Geltung zeigen, die also im Gebietekalkul auf den ersten Blick zu urteilen zwar gelten
könnten
aber nicht gelten
müssen
, nicht unbedingt, notwendig gelten — welch’ letzteren mit einem Stern auszuzeichnenden wir „die engere Geltung“ vindiziren.
Von den zahlreichen Formeln dieser beiden Sorten ist nur eine kleine Gruppe von einiger, dann aber auch zumeist von grosser Wichtig- keit und wirklich vielfach für unser Denken maassgebend. Es sind das im allgemeinen diejenigen Formeln, in welchen nur
unverneinte
Um- fangsbeziehungen vorkommen und wollen wir diese thunlichst von den übrigen gesondert in den Vordergrund stellen.
Um sogleich mit einem Paar von Sätzen zu beginnen, welche Herrn
Peirce
entgangen zu sein scheinen, so haben wir zu den seiner- zeit in Theoremform ausgesprochenen Definitionen (3
×
) und (3
+
) — cf. § 29 — merkwürdigerweise
im Aussagenkalkul
die folgenden Gegen- stücke.
Hier
ist nicht minder auch:
*
α
×
) (
a b

c
) = (
a

c
) + (
b

c
)
*
α
+
) (
c

a
+
b
) = (
c

a
) + (
c

b
),
wenn wir wiederum Buchstaben des kleinen Alphabets auch für Aus- sagen mitverwenden.
§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
In der That ist bei
α
×
) die linke Seite:
A
= (
a b

c
) = (
a b
)
1
+
c
=
a
1
+
b
1
+
c
,
und die rechte:
B
= (
a

c
) + (
b

c
) =
a
1
+
c
+
b
1
+
c
=
a
1
+
b
1
+
c
— gemäss dem Schema
λ
) des § 32. Ebenso sind bei
α
+
) die beiden Seiten dieser Gleichung äquivalent ihrer Gültigkeitsklasse, welche sich für sie als die nämliche:
c
1
+
a
+
b
erweist und auch als die Aussage zu deuten ist, dass entweder
c
nicht gilt oder auch
a
oder
b
gilt.
McColl
3
p. 16 gibt von den obigen Sätzen wenigstens diejenigen beiden Teilsätze, die in denselben mitgegeben erscheinen, wenn man die Gleichungen als Subsumtionen rückwärts liest, und zwar indem er diese Ein- ordnungen wol als selbstverständliche hinstellt.
Ich habe die Sätze systematisch gefunden, indem ich mir die Aufgabe stellte — bei
α
×
) z. B. — wenn
z
= (
a b

c
),
x
= (
a

c
),
y

(
b

c
)
definirt wird, unter Elimination von
a
,
b
,
c
die Aussage
z
als Unbe- kannnte durch
x
und
y
auszudrücken. Die Ausführung ist in einer Hin- sicht lehrreich.
Wir haben alsdann:
z
=
a
1
+
b
1
+
c
,
x
=
a
1
+
c
,
y
=
b
1
+
c
und können die Aufstellung der „vereinigten Gleichung“ von diesen dreien, sowie die successive Elimination von
a
,
b
und
c
konform den Methoden des § 21 füglich dem Leser überlassen. Die Resultante lautet:
0 =
x
1
y
1
z
+ (
x
+
y
)
z
1
und ist dieselbe äquivalent ihrer Auflösung nach
z
, als welche sich zu- nächst ergibt:
z
=
x
+
y
+
u x
1
y
1
,
wo
u
eine
unbestimmte
Aussage vorstellt. Diese letztere
u
ist aber hier
nicht
arbiträr oder willkürlich, weil
z
nicht blos durch die zur Auflösung vorgelegte Gleichung bestimmt erscheint, sondern von vornherein, schon anderweitig,
gegeben
ist. Einsetzung der Werte von
x
,
y
,
z
in die letzte Gleichung — wie sie angezeigt erscheint durch die Forderung, nunmehr die
Probe
der gefundnen Auflösung zu machen — gibt:
a
1
+
b
1
+
c
=
a
1
+
b
1
+
c
+
u a b c
1
,
oder:
A
=
A
+
u A
1
.
Damit aber diese Gleichung gelten könne, muss
u A
1
= 0
sein, wie man erkennt, indem man nach Th. 39) die Gleichung rechter- hand auf 0 bringt, oder auch — noch bequemer — indem man sie beider-
17*
Einundzwanzigste Vorlesung.
seits mit
A
1
multiplizirt. Hiernach ist denn gefunden, dass
u x
1
y
1
=
u a b c
1
= 0 hier sein muss, m. a. W. dass
u
= 0 eine zulässige und die zweckmässigste von den für
u
zulässigen Annahmen wäre, und es bleibt:
z
=
x
+
y
als der zu entdecken gewesene Satz, q. e. d.
Die Sätze
α
) sind ebenso einfach als diejenigen der Def. (3), welche für unsern identischen Kalkul von so fundamentaler Bedeutung waren.
Während aber diese (3) nicht blos für Aussagen, sondern auch für beliebige Gebiete gültig bleiben, ist solches bei
α
×
) und
α
+
), wie schon angedeutet, nicht der Fall, und um das zu
beweisen
, genügt be- reits der Hinweis auf ein Beispiel, in welchem sie nicht zutreffen.
Ein solches bietet die Figur 8
×
, resp. 8
+
des § 6 — Bd. 1, S. 205. Daselbst erblickt man linkerhand ein Gebiet
c
, in welchem zwar das Ge- biet
a b
enthalten ist, ohne dass jedoch entweder
a
oder
b
in diesem
c
ent- halten wäre (m. a. W. während weder
a
noch
b
in ihm enthalten ist). Ebenso rechterhand ein in
a
+
b
enthaltenes
c
, welches gleichwol weder in
a
noch in
b
enthalten ist.
In Worten klingt der Satz
α
+
) vollkommen selbstverständlich:
Wenn a oder b gilt sobald c gilt, so muss entweder a gelten, wann c gilt, oder es muss b gelten, wann c gilt, und umgekehrt.
Und er bildet offenbar ein Prinzip von welchem in unsern Über- legungen (wenn auch unbewusst) auf das häufigste Gebrauch ge- macht wird.
Hiezu kommt noch, dass der Satz
α
+
) auch im Klassenkalkul Geltung beansprucht, wenn unter dem Zeichen
c
nicht von einer Klasse, sondern von
Individuen
einer solchen gesprochen wird — vergleiche § 47 — wie wir denn bei jenem angeblichen resp. vorgreifenden „Beweise“ des Distri- butionsgesetzes in § 12 uns in ebendiesem Sinne auf ihn berufen mussten.
Weniger einleuchtend klingt der Satz
α
×
): Wenn die Aussage
c
gilt, sobald die Aussagen
a
und
b
gleichzeitig gelten, so muss ent- weder
c
gelten wann
a
gilt, oder es muss
c
gelten wann
b
gilt — und umgekehrt.
Dennoch ist auch dieser Satz korrekt und lassen beide Sätze mit dem gemeinen Verstand auch in folgender Weise sich begreifen:
Wir haben für die drei Aussagen
a
,
b
,
c
a priori folgende Möglich- keiten, wie sie gültig oder ungültig sein können, was die Symbole 1߭ resp. 0 andeuten:
§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
Zu
α
×
)
a
,
b
,
c
Zu
α
+
)
a
,
b
,
c
×
0 0 0
*
×
0 0 0
*
×
0 0 1߭
*
0 0 1߭
0 1߭ 0
*
×
0 1߭ 0
*
×
1߭ 0 0
*
×
1߭ 0 0
*
×
0 1߭ 1߭
*
0 1߭ 1߭
*
1߭ 0 1߭
*
1߭ 0 1߭
*
1߭ 1߭ 0
×
1߭ 1߭ 0
*
×
1߭ 1߭ 1߭
*
×
1߭ 1߭ 1߭
*
Von diesen erfüllen die rechts mit Stern ausgezeichneten die Annahme:
a b

c
c

a
+
b
sintemal 0

0, 0

1߭ und 1߭

1߭, dagegen nicht 1߭

0 ist. Für die links mit Kreuz bezeichneten gilt sogar:
(
a

c
) (
b

c
),
(
c

a
) (
c

b
),
für die erste links unbezeichnete gilt nur
a

c
, für die zweite nur
b

c
.
für die letzte links unbezeichnete gilt nur
c

a
, für die vorletzte nur
c

b
.
Die Kontrole stimmt also, indem die 7 Fälle, wo mindestens eine von diesen letztern Aussagen mithin die rechte Seite des Theorems zutrifft, zusammenfallen mit den 7 rechts besternten Fällen in welchen auch die andre Seite des Theorems zutraf.
Der siebente Fall links und der zweite rechts ist der einzige, wo die eine (und dann ebenso auch die andre) Seite dieser Aussagenäquivalenz nicht zutrifft, etwas Falsches besagt. In jenen 7 Fällen lief unser Theo- rem auf die Identität 1߭ = 1߭, in diesem einen Falle auf 0 = 0 hinaus, d. h. es bewahrheitete sich durchaus.
Dehnt man die Sätze
α
) auch auf beliebig viele Operationsglieder (Terme) aus und verwendet dann zu ihrer abgekürzten Darstellung Produkt- und Summenzeichen, so entstehen bei der Annahme
c
= 0
c
= 1߭
mit Rücksicht auf Th. 5̄) die beiden ersten von den folgenden vier Sätzen:
*
β
×
) (
Π a
= 0) =
Σ
(
a
= 0)
*
β
+
) (
Σ a
= 1߭) =
Σ
(
a
= 1߭)
(
Π a
≠ 0) =
Π
(
a
≠ 0)
(
Σ a
≠ 1߭) =
Π
(
a
≠ 1߭)
aus welchen die darunter gesetzten durch beiderseitiges Negiren, Kontra- position, gemäss Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) hervorgehn.
Dieselben bilden das Gegenstück zur ersten Zeile der Theoreme § 40,
β
), erweisen sich indessen als blosse Umschreibungen von eben-
Einundzwanzigste Vorlesung.
diesen auf Grund der Formeln § 32,
ζ
) und
η
). Analog könnte man dann auch noch die Formeln der zweiten Zeile von § 40,
β
) für den Aussagenkalkul um-schreiben. —
Die bemerkenswertesten (bis jetzt bemerkten) Formeln gemischter Natur will ich zunächst im Überblick hinsetzen. Sie sind, auf
zwei
allgemeine Aussagen
a
,
b
bezüglich, diese:
γ
×
)
a

(
b

a
)
γ
+
)
a
1

(
a

b
)
δ
×
)
a

{(
a

b
)

b
}
δ
+
)
b
1

{(
a

b
)

a
1
}
ε
×
)
(
a

b
)
a

b
ε
+
)
(
a

b
)
b
1

a
1
ζ
×
)
{(
a

b
)

a
} =
a
ζ
+
)
{(
a

b
)

b
1
} =
b
1
η
×
)
(
a

b
) +
b
= (
a

b
) = (
a

b
) +
a
1
(
η
+
und auf
drei
allgemeine Aussagen
a
,
b
,
c
bezüglich:
ϑ
×
)
{
a

(
b

c
)} = (
a b

c
) = {
b

(
a

c
)} | |
ϑ
+
) {
a
1

(
c

b
)} = (
c

a
+
b
) = {
b
1

(
c

a
)}
— mit raummangelshalber gebrochenem Mittelstriche; es soll dabei die Chiffrirung Bezug haben auf denjenigen Satz, welcher sich durch Vergleichung des mittleren Terms mit einem der beiden äussersten ergibt, wogegen die Gleichsetzung der beiden extremen Terme citirt werden mag als:
ϑ
×
0
) {
a

(
b

c
)} = {
b

(
a

c
)} |
ϑ
+
0
) {
a
1

(
c

b
)} = {
b
1

(
c

a
)}.
Ähnlich wie bei
ϑ
) sollen die Chiffren gedeutet werden bei den Formeln:
ι
×
)
{
a
1
+ (
b

c
)} = (
a b

c
) = {
b
1
+ (
a

c
)} | |
ι
+
) {
a
+ (
c

b
)} = (
c

a
+
b
) = {
b
+ (
c

a
)}
welche sich als eine blosse Umschreibung der Formeln
ϑ
) nach § 32,
λ
) erweisen; desgleichen bei den Formeln:
ϰ
×
)
{(
c

a
)

b
}

(
a

b
)

{
c

(
a

b
)} (
γ
×
| |
ϰ
+
) {(
b

c
)

a
1
}

(
a

b
)

{
c
1

(
a

b
)} (
γ
×
— aus denen nebenher ersichtlich ist, dass a fortiori:
λ
×
)
{(
a

b
)

c
}

{
a

(
b

c
)} somit

(
a b

c
). | |
λ
+
) {(
b

c
)

a
1
}

{
c
1

(
a

b
)} somit

(
a

b
+
c
).
Die wichtigsten von diesen Sätzen dürften die
ε
) und
ϑ
) sein.
Viele von diesen Sätzen finden sich in
5
und
8
zerstreut bei
Peirce
,
§ 45. Formeln gemischter Natur.
so namentlich
γ
×
),
δ
×
), die beiden, wie wir sehen werden, schon altbe- kannten
ε
), ferner
ϑ
×
0
) und
ϰ
×
). Formel
ζ
×
) gibt
Peirce
nur als Sub- sumtion statt Gleichung, vergl.
8
p. 189, Z. 3 v. u., auch war ihm bei
γ
+
) eine kleine Ungenauigkeit zu berichtigen — vergl. die (mir separat zu- geschickten) Corrigenda seines Aufsatzes
5
, Z. 10 und 14 v. o. Seine Formel
5
p. 31, Z. 2 u. 3 v. o.
a

(
a

b
) +
b
nebst Herleitung (und Satz am Schluss von p. 30) ist falsch und durch unser
η
) zu ersetzen. Nicht zu billigen dürfte auch in
8
p. 188 sqq. die Art sein, wie Klammern weggelassen werden.
Ausser dergleichen kleinen Berichtigungen lag mir ob, die Sätze dua- listisch zu ergänzen, was bei den gemischten Formeln weniger nahe liegt als bei den andern, und weiter unten eine besondere Erläuterung bean- spruchen wird; auch glaube ich mit
ϑ
×
) den wahren Grund für die Äqui- valenz
ϑ
×
0
) hervorgehoben zu haben, welcher letztern übrigens Herr Peirce eine zu grosse Wichtigkeit beizulegen scheint, indem er sie
8
p. 188 sogar zu einem Prinzip erheben will.
Zunächst die Sätze aussagenrechnerisch zu
beweisen
ist nach den in § 32 vorgetragnen Methoden eine blosse Rechenübung.
Hiefür bedarf es z. B. nur der Ansätze:
zu
γ
×
)
a

b
1
+
a
,
δ
×
)
a

(
a
1
+
b
)
1
+
b
=
a b
1
+
b
=
a
+
b
,
zu
ε
×
) (
a
1
+
b
)
a
=
a b

b
,
ζ
×
) (
a
1
+
b
)
1
+
a
=
a b
1
+
a
=
a
,
zu
ϑ
×
)
a
1
+
b
1
+
c
= (
a b
)
1
+
c
,
ϰ
×
) (
c
1
+
a
)
1
+
b
=
a
1
c
+
b

a
1
+
b
.
Um sodann die nebeneinandergestellten Formeln als einander dua- listisch entsprechende zu erkennen, muss man die gemischten sich erst in reine Formeln umgeschrieben denken.
Jede Formel gemischter Natur im Aussagenkalkul lässt sich
in der That immer
in eine solche von reinem Charakter umschreiben
. Das Ver- fahren besteht darin, dass man von den „nicht spezifizirten“ nämlich blos durch einen Buchstaben (wie
a
oder
a
1
) dargestellten Aussagen, welche in der gemischten Formel vorkommen, alle diejenigen in spezi- fizirte Aussagen umwandelt, welche nicht als Gebiete oder Klassen gedeutet werden könnten, indem sie eben mit spezifizirten Aussagen wie (
a

b
), (
a
= 0), (
b
≠ 1߭) etc. verknüpft erscheinen, sei es rech- nerisch mittelst eines Operationszeichens wie ·, +, sei es vergleichend mittelst des Zeichens einer Umfangsbeziehung, wie Einordnung, Gleichheit oder deren Verneinungen. Zu jener Umwandlung aber verhilft das Schema
ε
) des § 32, nach welchem wir für
a
blos zu sagen brauchen: (
a
= 1߭) und für
a
1
auch werden sagen dürfen: (
a
= 0).
Lässt man hernach den Tupfen über der 1߭ weg und deutet alle einfachen Symbole (anstatt als Aussagen) jetzt als Gebiete oder
Einundzwanzigste Vorlesung.
Klassen
Ohne Rücksicht darauf, ob sie dann auch mit der „weiteren Geltung“ fortbestehen werden.
, so ist es ein Leichtes, die Formeln gemäss den am Schlusse des § 30 gegebenen Andeutungen „gebietsdual“ umzuschreiben und so eventuell erst ihr duales Gegenstück zu ermitteln.
In der That bekommen wir nun solchergestalt aus dem Obigen das Tableau von „reinen“ Formeln:
γ
×
) (
a
= 1)

(
b

a
)
γ
+
) (
a
= 0)

(
a

b
)
δ
×
) (
a
= 1)

{(
a

b
)

(
b
= 1)}
δ
+
) (
b
= 0)

{(
a

b
)

(
a
= 0)}
ε
×
) (
a

b
) (
a
= 1)

(
b
= 1)
ε
+
) (
a

b
) (
b
= 0)

(
a
= 0)
*
ζ
×
) {(
a

b
)

(
a
= 1)} = (
a
= 1)
*
ζ
+
) {(
a

b
)

(
b
= 0)} = (
b
= 0)
η
×
) (
a

b
) + (
b
= 1) = (
a

b
) = (
a
= 0) + (
a

b
)
η
+
)
*
ϑ
×
) {(
a
= 1)

(
b

c
)} = (
a b

c
)
*
ϑ
+
) {(
a
= 0)

(
c

b
)} = (
c

a
+
b
)
*
ϰ
×
) {(
c

a
)

(
b
= 1)}

(
a

b
)
*
ϰ
+
) {(
b

c
)

(
a
= 0)}

(
a

b
)
aus welchem ersichtlich ist, dass wir mit der dualen Umschreibung nur zuweilen auch noch eine Buchstabenvertauschung verbunden hatten.
In dieser Fassung zeigen die meisten dieser Formeln sogar die weitere Geltung, worauf die Abwesenheit des Sternes hinweisen soll, und auch die besternten Gleichungen
ζ
),
ϑ
) gelten für alle Klassen wenigstens einseitig, nämlich rückwärts als Subsumtionen gelesen.
Es erscheinen nämlich die Formeln
γ
) als blosse Umschreibungen der Definitionen (2), desgleichen die
η
), welche aus denen
γ
) — die erstere
γ
×
) in der Gestalt (
b
= 1)

(
a

b
) geschrieben — nach Th. 2̅0̅
+
) hervorgehen.
Ebenso erscheinen
δ
) und
ε
) als blosse Umschreibungen der Theo- reme 5).
Dass auch im Klassenkalkul:
ζ
×
'') (
a
= 1)

{(
a

b
)

(
a
= 1)}
ζ
+
'') (
b
= 0)

{(
a

b
)

(
b
= 0)}
versteht sich nach dem Schema
γ
×
)
A

(
B

A
) von selbst — vergleiche weiter unten die Formulirung dieses Schema’s in Worten. Desgleichen gilt daselbst:
ϑ
×
'') (
a b

c
)

{(
a
= 1)

(
b

c
)}
ϑ
+
'') (
c

a
+
b
)

{(
a
= 0)

(
c

b
)}.
Denn ist — links z. B. —
a b

c
, so reduzirt sich, wenn
a
= 1 ist, eben
a b
zu 1 ·
b
oder
b
, und gilt also auch
b

c
; ist dagegen
a
nicht gleich 1, mithin (
a
= 1) = 0, so gilt die Behauptung des Theorems ohnehin, auch wenn
b
nicht

c
sein sollte; und desgleichen für den Fall, wo
a b
nicht

c
wäre, sagt das Theorem nichts aus, und gilt als ein „nichtssagendes“ auf die Prämisse 0 verweisendes jedenfalles.
§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
Dass aber — um es wenigstens links vom Mittelstriche durchzu- sprechen — die vorwärtigen Subsumtionen: *
ζ
×
') {(
a

b
)

(
a
= 1)}

(
a
= 1), *
ϑ
×
') {(
a
= 1)

(
b

c
)}

(
a b

c
), *
ϰ
×
)
{(
c

a
)

(
b
= 1)}

(
a

b
)
nur die engere Geltung haben werden, sieht man so: Ad
ζ
×
') Entweder ist
b
so beschaffen, dass (
a

b
) = 1߭ oder so, dass (
a

b
) = 0 ist. Im ersten Falle muss in der That nach der Voraussetzung des Satzes und Th. 5
×
) (
a
= 1) = 1߭ sein oder
a
= 1 gelten. Im letzteren Falle aber trifft die Voraussetzung des Satzes für ein beliebiges
a
schon zu, ohne dass doch
a
= 1 sein müsste. Also braucht der Satz nicht zu gelten. Und an die Annahme (
a
= 1) resp. (
c

a
) der hypothetischen Prämisse von
ϑ
×
) resp.
ϰ
×
) lässt sich eine ähnliche Überlegung anknüpfen. Ist bei
ϑ
×
) wirk- lich
a
= 1, so muss laut Hypothesis
b

c
, also wegen
a b

b
auch
a b

c
sein, wogegen für den andern Fall sich nichts behaupten lässt. Etc.
Überhaupt lassen die Formeln sowol in ihrer letzten, wie auch in ihrer früheren Fassung sich auf die mannigfaltigste Weise als selbst- verständliche erkennen, sich auf andere und teilweise auch aufeinander zurückführen.
Um dies hervortreten zu lassen, will ich auch die Formel
λ
) des § 32: (
a

b
) =
a
1
+
b
aus dieser ihrer gemischten Schreibung noch, wie oben angegeben, in eine reine Formel umsetzen, wonach sie lauten wird: § 32, *
λ
)
(
a

b
) = (
a
= 0) + (
b
= 1)
und offenbar nur die engere Geltung besitzen kann.
Darnach, sowie auch schon bei der gemischten Schreibweise, erscheinen die Formeln
γ
) als unmittelbare Konsequenzen ebendieser kraft des Theo- rems 6̄
+
). Ebenso lassen sich aus ihr die Formeln
ε
) und
η
) ableiten. Jene, z. B.
ε
×
), indem man beiderseits mit (
a
= 1) multiplizirt, rechts ausmulti- plizirend das Th. § 32,
α
) (
a
= 0) (
a
= 1) = 0 berücksichtigt und endlich nach Th. 6̄
×
) schliesst (
a

b
) (
a
= 1) = (
a
= 1) (
b
= 1)

(
b
= 1). Diese, z. B.
η
×
), indem man beiderseits (
b
= 1) addirt und rechterhand das Tauto- logiegesetz 1̅4̅
+
) berücksichtigt.
Wir wollen die Formeln jetzt wieder in ihrer konziseren Fassung — als gemischte Formeln S. 262 — in’s Auge fassen und sie zunächst einmal in Worte kleiden:
γ
×
)
Gilt a, so gilt es auch dann, wann b gilt.
γ
+
) Gilt
a nicht
, so ist man
hier
berechtigt zu sagen es gelte
b
, wann
a
gilt — was immer für ein Urteil
b
auch vorstellen mag.
δ
×
)
Wenn a gilt, so muss, wenn b aus a folgt, auch b gelten.
δ
+
)
Gilt b nicht, so kann, wenn b aus a folgt, auch a nicht gelten.
Hiernächst möchte ich etwas vorgreifend das Theorem
ϑ
) ein- schalten:
Einundzwanzigste Vorlesung.
ϑ
×
)
Es ist einerlei, ob wir sagen:
„
Wenn a gilt, so muss, falls b gilt, auch c gelten
“,
oder ob wir sagen:
„
Wenn a und b zugleich gelten, so gilt auch c.
“
Mit dem gleichen Rechte — symmetriehalber, weil
a b
=
b a
— dürfen wir also für ersteres auch sagen: „
Wenn b gilt
,
so muss
,
falls a gilt, auch c gelten
“ — was der Inhalt des Theorems
ϑ
×
0
) von
Peirce
ist.
Nach diesem Grundsatze
ϑ
×
) gehen nun offenbar die Theoreme
ε
) aus denen
δ
) oder umgekehrt hervor, und besagen beide somit im Grunde dasselbe.
Nach dem Schema:
{
A

(
B

C
)} = (
A B

C
)
werden wir nämlich haben
{
a

[(
a

b
)

b
]} = {
a
(
a

b
)

b
},
etc. Die Formel aber zur Linken des Gleichheitszeichens, mithin den Satz
δ
×
), leitet
Peirce
in interessanter Weise aus der Identität:
des Prinzips Ī nach dem ihm, wie erwähnt, als Prinzip geltenden Satze
ϑ
×
0
)
{
A

(
B

C
)} = {
B

(
A

C
)}
ab, indem er einfach die unterstrichenen beiden Minoren miteinander ver- tauscht; da nun die Identität = 1߭ ist, gilt, so muss darnach auch ihre legitime Transformation = 1߭ sein, gelten. Und ähnliches mehr.
Dies angeführte Beispiel mag ein Bild davon geben, was für mancher- lei Schlussweisen in diesem Teile unsrer Disziplin möglich und effektvoll sind. Die Mannigfaltigkeit erscheint hier fast zu gross, um einigermassen erschöpft werden zu können. Und doch kann die Disziplin erst dann in ihrer Schönheit hervortreten, wenn man das Zusammengehörige auch voll- ständig vereinigt, wogegen die verzettelten Fragmente solche Schönheit noch vermissen lassen werden.
ϑ
+
) nebst
ϑ
+
0
) besagt: Folgt
b
aus
c
falls
a
nicht gilt, so muss, falls
c
gilt,
a oder b
gelten, sowie umgekehrt, und muss auch
a
aus
c
folgen wenn
b
nicht gilt.
Obwol sie, wie gezeigt, nur unwesentlich von denen
δ
) sich unter- scheiden, wollen wir doch die Formeln
ε
) auch für sich noch betrachten.
ε
×
) (
a

b
)
a

b
ist bekannt als der „
modus ponens
des gemischten hypothetischen Schlusses“ (auch als ein „konstruktiver“ Syllo- gismus):
Zugegeben: wenn a gilt, so gilt b. Nun gilt a. Ergo: gilt b.
Und
ε
+
) (
a

b
)
b
1

a
1
als der „
modus tollens
“ desselben (ein „destruktiver“
§ 45. Modus ponens und tollens. Dilemma.
Syllogismus):
Wenn a gilt
,
so gilt b. Nun gilt b nicht. Ergo gilt auch a nicht.
Die Prämisse
a
bei dem modus ponens,
b
1
bei dem modus tollens, heisst die „
Assumtion
“.
Die Bezeichnung des hypothetischen Schlusses als eines „gemischten“ soll den Gegensatz ausdrücken zu dem „reinen“ hypothetischen Schlusse, welcher nach Prinzip ĪĪ stattfindet: (
a

b
) (
b

c
)

(
a

c
) — vergleiche den Schluss des § 44. —
Exempel. Wenn er sich wohl befindet, so kommt er. In der That ist er aber wohl, also kommt er. Resp. Nun kommt er aber nicht, also muss er unwohl sein.
Dagegen würden die Schlüsse:
Wenn er sich wohl befindet, so kommt er sicher. Nun kommt er; also befindet er sich wohl. Resp. Wenn er sich wohl befände, so käme er. Nun ist er aber krank, also kommt er nicht —
einfach Fehlschlüsse sein. (Vergl. Jevons
9
p. 145.)
Sich ähnlich auch mit der verbalen Formulirung der noch übrigen Sätze
ζ
),
η
),
ϰ
) und
λ
) abzufinden, überlassen wir dem Leser. Dass die mit denen
ϰ
) oben verschmolzenen Formeln sich nach dem ange- merkten Schema
γ
×
) hinzuergeben, wird ersichtlich, wenn man die Aus- sage (
a

b
) mit einem Buchstaben —
d
zum Beispiel — bezeichnet.
Was wir aber aus dem Bisherigen in Worte gekleidet haben, be- kundet, dass auch in den gemischten und eigentümlichen Formeln des Aussagenkalkuls wichtige Sätze niedergelegt sind, die vielfach unsere verbalen Überlegungen und Diskussionen beherrschen, und schon des- halb verdienten, zum Bewusstsein gebracht zu werden. —
Es dürfte hier der Ort sein, mit der am Schlusse des § 44 be- gonnenen Betrachtung der traditionellen zusammengesetzten Schlüsse zu Ende zu kommen.
Als „
Dilemma
“ wird bekanntlich bezeichnet der dort schon ange- führte Schluss:
(
s

a
+
b
+
c
…) (
a

p
) (
b

p
) (
c

p
) …

(
s

p
)
wenn für den Aussagenkalkul gedeutet
, wo er lauten wird:
Wenn s gilt
,
so gilt entweder a
,
oder b
,
oder c
, . . . .
Wenn nun a gilt
,
so gilt p
,
wenn b gilt, so gilt p
,
wenn c gilt
,
gilt p
, . . . .
Ergo: wenn s gilt
,
so gilt p.
Bewiesen dachten wir uns denselben durch Zusammenziehung — gemäss Def. (3
+
) — aller seiner auf die erste folgenden Prämissen in: (
a
+
b
+
c
…

p
), und Anwendung von Prinzip II.
Damit solches „
Di
lemma“ seiner Namenbildung entspreche, ist übrigens der obige Schluss wol auf nur
zwei
Terme des Major
a
+
b
… einge-
Einundzwanzigste Vorlesung.
schränkt zu denken, und wäre ohne diese Einschränkung streng genommen nur die Bezeichnung desselben als des
erweiterten
Dilemma’s (Polylemma) zulässig.
Wie weit übrigens in der Auffassung des „Dilemma“ die Autoren auseinandergehen, geht z. B. daraus hervor, dass
Jevons
6
p. 167 sq. des- gleichen
Keynes
1
p. 241 im Einklang mit
Whately
und
Mansel
2
p. 108 hinstellen als „simple constructive dilemma“ den aussagenrechnerischen Schluss:
(
a

b
) (
c

b
) (
a
+
c
)

b
,
als „complex constructive dilemma“ diesen
(
a

b
) (
c

d
) (
a
+
c
)

b
+
d
und endlich als „destructive dilemma“ diesen:
(
a

b
) (
c

d
) (
b
1
+
d
1
)

a
1
+
c
1
wobei sie noch — in Erschwerung der Übersicht — die Aussagen
a
,
b
, … in Gestalt von
A
ist
B
,
C
ist
D
, … spezifiziren.
Der erste von diesen Schlüssen kommt mittelst Def. (3):
(
a

b
) (
c

b
) = (
a
+
c

b
),
der zweite mittelst Th. 17
+
):
(
a

b
) (
c

d
)

(
a
+
c

b
+
d
)
auf den modus ponens, der dritte mittelst Th. 17
×
):
(
a

b
) (
c

d
)

(
a c

b d
)
kraft Th. 36
×
) auf den modus tollens zurück. —
Das „Epicheirem“ der Scholastik verdient als ein unvollständiger (lückenhafter, enthymematischer) Schluss in
dieser
Theorie überhaupt keine Berücksichtigung. —
Auch frühere Schlussformen können nunmehr oft dilemmatisch bewiesen werden. Z. B. die durch
α
')
(
x

a
) + (
x

b
) + …

(
x

a
+
b
+ …) | | (
a

x
) + (
b

x
) + …

(
a b
…

x
)
dargestellten, welche in den auf beliebig viele Terme ausgedehnten Formeln
α
) vom Eingang dieses Paragraphen mit enthalten sind.
Links z. B. wird man zu dem Ende blos aus jedem Alternativfall der Hypothesis vermittelst des Theorems 6
+
) gemäss Prinzip II auf die Thesis des Satzes zu schliessen brauchen, so von
x

a
. mit Rücksicht auf
a

a
+
b
+ … auf
x

a
+
b
+ …; ebenso von
x

b
wegen
b

a
+
b
+ … auf
x

a
+
b
+ …, etc. Und analog wird rechts die Überlegung beweis- kräftig sein: nach der Voraussetzung ist
entweder a

x
, und wegen
§ 45. Dilemma. Disjunktiver Schluss.
a b
…

a
— cf. Th. 6
×
) — dann auch
a b
…

x
,
oder
es ist
b

x
und wegen
a b
…

b
dann auch
a b
…

x
,
oder
etc.; sonach zieht die Voraussetzung in allen Fällen auch die Behauptung nach sich.
Man bemerkt, dass während den als Gleichungen angesetzten Formeln
α
) blos die engere Geltung zukam, den im Sinne von
α
') als Subsumtionen angesetzten sogar die weitere Geltung zukommen muss: diese gelten auch für Klassen, Gebiete, Systeme, jene blos für Aus- sagen. —
Als „
disjunktiven Schluss
“ führt
Sigwart
den folgenden an mit dem „modus ponendo-tollens“:
(
a

b c
1
+
b
1
c
) (
a

b
)

(
a

c
1
):
Wenn
a
gilt so gilt entweder
b
oder (aber)
c
. Nun muss, wenn
a
gilt,
b
gelten. Also wird dann
c
nicht gelten, und mit dem „modus tollendo-ponens“:
(
a

b c
1
+
b
1
c
) (
a

b
1
)

(
a

c
):
Wenn
a
gilt, so gilt
b
oder aber
c
. Falls
a
gilt, gilt nun aber
b
nicht. Also muss, wenn
a
gilt,
c
gelten.
Desgleichen für mehr disjunkte Terme, z. B. für dreie:
(
a

b c
1
d
1
+
b
1
c d
1
+
b
1
c
1
d
) (
a

b
)

(
a

c
1
d
1
), ( „ „ ) (
a

c
1
d
1
)

(
a

b
), ( „ „ ) (
a

b
1
)

(
a

c d
1
+
c
1
d
),
etc. welche Schemata leicht in Worte zu kleiden, z. B.: Wenn
a
gilt, so gilt entweder
b
, oder
c
, oder
d
— und zwar jeweils allein (ohne die beiden andern). Nun gilt, wenn
a
gilt,
b
; also gilt dann weder
c
noch
d
. Etc.
Um alle diese Schlüsse direkt rechnerisch zu beweisen wird man die vereinigte Gleichung der Prämissen für einen jeden derselben herstellen und aus derselben
b
— im vorletzten Falle
c
nebst
d
— eliminiren. Für jene erhält man unschwer:
a
(
b
1
+
c
) = 0, resp.
a
(
b
+
c
1
) = 0, resp.
a
(
b
1
+
c
+
d
) = 0,
a
(
b
1
+
c
+
d
) = 0,
a
(
b
+
c d
+
c
1
d
1
) = 0,
— in Anbetracht dass
b c
+
b d
+
c d
+
b
1
c
1
d
1
die Negation ist von
b c
1
d
1
+
b
1
c d
1
+
b
1
c
1
d
,
wonach sich die drittletzte und die vorletzte Prämisse als äquivalent er- weisen.
Die zugehörigen Resultanten sind bezüglich:
Einundzwanzigste Vorlesung.
a c
= 0,
a c
1
= 0,
a
(
c
+
d
) = 0,
a b
1
= 0,
a
(
c d
+
c
1
d
1
) = 0,
woraus auch zu ersehen, dass keine abgeschwächten Schlüsse vorliegen, dass vielmehr die obigen Konklusionen die vollen Resultanten darstellen.
Gebrauchte man statt des ausschliessenden das einschliessende „oder“ — vergl. § 8,
ζ
, ‥
ϑ
) — so ginge von den angeführten fünf Formen (während die erste und dritte keine Konklusion liefert) die zweite, vierte und fünfte Form über in:
(
a

b
+
c
) (
a

b
1
)

(
a

c
), (
a

b
+
c
+
d
) (
a

c
1
d
1
)

(
a

b
), (
a

b
+
c
+
d
) (
a

b
1
)

(
a

c
+
d
).
Von diesen drei Schlüssen fallen die letzten beiden aber unter das Schema des ersten, wie man sieht, wenn man in ihm
c
+
d
für
c
setzt, eventuell nachdem man
b
mit
c
vertauschte.
Und jener erste ist ein
gültiger Schluss,
welcher leicht durch Elimina- tion von
b
aus seiner vereinigten Prämissengleichung
a b
1
c
1
+
a b
= 0, oder wieder
a
(
b
+
c
1
) = 0, zu rechtfertigen. Es ist mir unbekannt, ob er in der traditionellen Logik einen Namen erhalten:
Wenn a gilt, so gilt b oder auch c. Nun gelte, wenn a gilt, b nicht. Dann muss, wenn a gilt, c gelten.
Da er aber sich einfacher darstellt und auch zu seiner Rechtfertigung ein wenig weniger Rechnung erforderte, so erseheint es naturgemäss, auf ihn mittelst der Bemerkung, dass
b c
1
+
b
1
c

b
+
c
, also (
a

b c
1
+
b
1
c
)

(
a

b
+
c
)
ist, den „modus tollendo-ponens“ zurückzuführen, wodurch die selbständige Begründung des letztern erspart wird. —
Im weitern Verfolg der spezifischen Gesetze des Aussagenkalkuls (im Vergleiche zum Gebietekalkul) gelangen wir nunmehr zu den minder wichtigen wenn auch noch bemerkenswerten Partieen derselben.
Sehr
paradox
erscheint auf den ersten Blick das als allgemein- gültig in der That hinzustellende Formelpaar des Aussagenkalkuls:
*
μ
×
) (
a

b
)

(
c

a
)
*
μ
+
) (
a

b
)

(
b

c
)
dessen erste Formel von
Peirce
8
p. 187 gegeben ist — paradox aus dem Grunde, weil die Aussage
c
, über welche die Konklusion rechts berichtet, in der Prämisse links gar nicht vorkommt, diese also keiner- lei Information über jene Aussage enthalten kann, während man nichtsdestoweniger berechtigt ist, den Schluss von der Aussage linker- hand auf die rechterhand als einen „deduktiven“ zu bezeichnen.
Leicht ist zunächst der
Beweis
für die Formeln zu führen. Dieselben besagen, dass
§ 45. Kontraste des Aussagenkalkuls mit dem Gebietekalkul.
(
a
1
+
b
)
1

c
1
+
a
oder
a b
1

a
+
c
1
a b
1

b
1
+
c
sei, und gelten — in Anbetracht, dass nach den Theoremen 6
×
) und 6
+
):
a b
1

a
und
a

a
+
c
1
a b
1

b
1
und
b
1

b
1
+
c
ist — a fortiori, gemäss Prinzip II.
In Worten
könnte
man (sich versucht fühlen) das Theorem
μ
×
) — z. B. — so aus(zu)sprechen:
Wenn b nicht aus a folgt
,
so folgt a aus c
— und zwar, was auch immer für Aussagen, Urteile, Sätze oder Theoreme die drei Symbole
a
,
b
,
c
vorstellen mögen!
Gegenüber von Laien in Bezug auf unsre Disziplin wäre allerdings diese
Ausdrucksweise
zu beanstanden, indem sie in der That ein sehr stark irreführendes psychologisches Moment enthält, einesteils darin wurzelnd, dass wir mit dem Worte „folgen“ gewohnt sind, die Vorstellung eines denknotwendigen Zusammenhangs zwischen der Voraussetzung und der Folgerung zu verknüpfen. Ein solcher Zusammenhang liegt bei dem ganzen Satze vor; derselbe lehrt, eine wirkliche und berechtigte Folgerung (
c

a
) aus einer Voraussetzung (
a

b
) ziehen. Nicht aber
muss
solcher Zu- sammenhang auch innerhalb der beiden durch „wenn“ ‥ „so“ verknüpften Teilurteile des Satzes oder Elemente des Schlusses gedacht werden (wenn- gleich sein Bestehen beim einen, bei dem andern oder bei allen beiden hier nicht ausgeschlossen ist); vielmehr ist hiebei nur an das faktische, vielleicht ganz extralogische und zufällige Zusammenbestehen ihrer Kon- klusion mit ihrer Prämisse zu denken, wie dasselbe durch jenen Satz: „Wann
c
gilt, dann gilt
a
“ genauer ausgedrückt würde — ein Verhältniss, Verhalten, für welches jedoch unter den Substantiven und Verben die Wortsprache angemessen kurzer Ausdrucksformen entbehrt. Sagten wir für einmal auch: die Geltung von
c „zieht“
diejenige von
a „thatsächlich nach sich“, „ist von“
derselben
„vielleicht zufällig begleitet“,
so würde doch bei jedem Versuche, die Redensart abzukürzen wieder jenes Missverständ- niss nahe gelegt oder wenigstens zugelassen werden.
Zudem ist
in unsrer Disziplin
allemal noch auf den Fall, wo die Vor- aussetzung
nie
gilt, vielleicht gar nicht gelten
kann,
mit Rücksicht zu nehmen in der Weise, wie dies in § 28 auseinandergesetzt worden. Und der Kontrast dieser Forderung mit dem Unterbleiben ebendieser Rücksicht bei den Überlegungen, Räsonnements des gewöhnlichen Lebens verursacht in erster Linie das paradoxe Ansehen des Th.
μ
×
) in seiner ihm oben ge- gebenen verbalen Fassung.
Bringen wir uns die Bedeutung des Satzes noch deutlicher zum Be- wusstsein, suchen wir ihn auch mit dem gemeinen Verstande zu begreifen.
Wie schon erwähnt kann jede Aussage nur entweder gelten (= 1߭ sein), oder nicht gelten (= 0 sein). Von den vier Möglichkeiten:
a
= 0,
b
= 0
a
= 0,
b
= 1߭
a
= 1߭,
b
= 0
a
= 1߭,
b
= 1߭
Einundzwanzigste Vorlesung.
hebt die Voraussetzung unsres Satzes, welche ja die Subsumtion
a

b
ver- neint, die dritte hervor, wo
a
gilt,
b
nicht gilt.
Für die drei andern Fälle haben wir dagegen
a

b
, nämlich 0

0, 0

1߭ und 1߭

1߭ — alles zuwider der Hypothesis
a

b
.
Unser Theorem sagt nun aus:
Wenn a gilt (und zugleich b nicht gilt), so gilt entweder a, oder es gilt c nicht.
Faktisch tritt sicher die erste Alter- native ein — ganz einerlei, ob die zweite noch dazu gesetzt wird oder nicht: es gilt einfach
a
, und folglich gilt dieses
a
auch dann, wenn
c
gilt.
Die Annahme:
a
= der Behauptung, dass 2 × 2 = 4 ist (welche unbestritten gilt),
b
= der Behauptung: Es gibt Hexerei (welche entschieden nicht gilt) und
c
= der Behauptung: Der dreidimensionale Raum ist Quer- schnitt einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit — würde eine Illustration zu dem Satze liefern, ganz einerlei, ob letztere
c
für wahr oder für falsch gehalten wird (ihre Richtigkeit ist bekanntlich noch unentschieden) — mag das Theorem exemplifiziren.
Man sieht auch, dass der vorhin in Klammer gesetzte Zusatz „(und zugleich
b
nicht gilt)“ vollkommen überflüssig ist. Der Satz muss sich vereinfachen lassen zu:
a

(
c

a
) — sein Gegenstück ebenso zu:
b
1

(
b

c
) — und in dieser vereinfachten Gestalt fallen die Theoreme in der That zusammen mit den schon angeführten
γ
).
Insbesondre ist es natürlich gestattet, in
μ
×
) auch
c
=
b
, resp. in
μ
+
)
c
=
a
, anzunehmen wodurch die beiden Formeln übergehn in: *
ν
)
(
a

b
)

(
b

a
):
Ist es unrichtig, dass b gilt, wann a gilt, so muss a gelten, wann b gilt.
Verbindet man diesen Satz mit den vier Gleichungen von Def. (3) und
α
), so ergeben sich die acht Schlüsse:
*
ξ
(
c

a b
)

(
a

c
) + (
b

c
)
(
a
+
b

c
)

(
c

a
) + (
c

b
)
(
a b

c
)

(
c

a
) (
c

b
)
(
c

a
+
b
)

(
a

c
) (
b

c
)
(
c

a
) + (
c

b
)

(
a b

c
)
(
a

c
) + (
b

c
)

(
c

a
+
b
)
(
a

c
) (
b

c
)

(
c

a b
)
(
c

a
) (
c

b
)

(
a
+
b

c
)
welche auf ihn auch zurückgeführt werden könnten, sonach weiter in Zu- sammenhang gebracht werden durch die Äquivalenzen:
ο
) (
c

a b
) = (
c

a
) + (
c

b
)
(
a
+
b

c
) = (
a

c
) + (
b

c
)
*
π
) (
a b

c
) = (
a

c
) (
b

c
)
(
c

a
+
b
) = (
c

a
) (
c

b
),
die sich aus jenen (3) und
α
) durch beiderseitiges Negiren gemäss Th. 3̅2̅) und 3̅6̅) ergeben, und deren ersterer natürlich, gleichwie der Def. (3) selbst, die weitere Geltung zukommt. Sie ist von
Peirce
5
schon gegeben.
Hiezu ist noch anzuführen, dass wegen
a b

a
+
b
auch sein wird:
§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
(
a
+
b

c
)

(
a b

c
)
(
c

a b
)

(
c

a
+
b
)
gemäss Prinzip II und Th. 6̄) — vergl. auch die noch allgemeineren unter
υ
) des § 32 angeführten Schemata von Aussagensubsumtionen.
Daraus aber ergibt sich durch Kontraposition:
ϱ
) (
a b

c
)

(
a
+
b

c
)
(
c

a
+
b
)

(
c

a b
)
und mit Rücksicht hierauf haben wir auch:
*
σ
) (
a b

c
)

(
c

a
+
b
)
(
c

a
+
b
)

(
a b

c
)
als a fortiori folgende, mithin abgeschwächte Formen von den zwei ersten Paaren der (über’s Kreuz zusammengehaltenen) Schlüsse
ξ
).
Demgegenüber erscheint bemerkenswert, dass sogar auch:
*
τ
) (
c

a b
)

(
a
+
b

c
)
(
a
+
b

c
)

(
c

a b
)
als zwei
verstärkte
Formen ebendieser Schlüsse und somit auch von
ν
) gelten müssen, indem dieselben leicht direkt zu rechtfertigen sind.
Weiter mögen von den Gesetzen der Nicht-Einordnung (non-implica- tion) noch angeführt sein die beiden ein gewisses Gegenstück zu den wichtigen
ϑ
) bildenden gemischten Formeln:
υ
×
)
{(
a

b
)

c
} = (
a

b
+
c
) = {(
a

c
)

b
} | |
υ
+
) {(
b

a
)

c
1
} = (
b c

a
) = {(
c

a
)

b
1
}
von deren erster
Peirce
wenigstens die Äquivalenz der beiden extremen Terme anführt in den (mir separat zugeschickten) Corrigenda seiner Ab- handlung
5
.
Und endlich gehört hierher der die weitere Geltung besitzende Schluss:
φ
)
(
a

c
)

(
a

b
) + (
b

c
)
welcher sich einerseits durch Kontraposition aus Pr. II ergibt, und andrer- seits bei direkter Begründung auf die Subsumtion
a c
1

a b
1
+
b c
1
hinaus- läuft, die unserm Beispiel
μ
) in § 18 zugrunde gelegen.
Die Zerlegung einer Subsumtion des Aussagenkalkuls in eine Alter- native von Gleichungen nach dem oben S. 265 im Kontext angeführten Schema *
λ
) des § 32):
(
a

b
) = (
a
= 0) + (
b
= 1߭)
nennt Herr
Peirce
5
, p. 20 unten, einen
„Dialogismus“
. Als „kanonische“ Form desselben bezeichnet er aber ibid. p. 31 den soeben aufgestellten Satz
φ
). Es scheint mir hiernach der Begriff des „Dialogismus“ bei
Peirce
selbst noch einigermassen zu schwanken. Ebenda bezeichnet er als „minor indirect dialogism“ den Satz:
χ
)
{
x

(
b

c
)}

{
x

(
a

c
)} + (
a

b
)
und als „major indirect dialogism“ den:
ψ
)
{
x

(
a

b
)}

{
x

(
a

c
)} + (
b

c
);
desgleichen stellt er die Sätze auf:
Schröder
, Algebra der Logik. II. 18
Einundzwanzigste Vorlesung.
ω
)
{(
a

c
)

x
}

{(
a

b
)

x
} + (
b

c
),
{(
a

c
)

x
}

{(
b

c
)

x
} + (
a

b
).
Dieselben sind zunächst sämtlich leicht in der geschilderten Weise zu veri- fiziren oder als gültige Sätze des Aussagenkalkuls zu
beweisen
; sie kommen bezüglich auf die Subsumtionen hinaus:
x
(
b
1
+
c
)

x
(
a
1
+
c
) +
a b
1
,
x
(
a
1
+
b
)

x
(
a
1
+
c
) +
b c
1
,
a c
1
x
1

a b
1
x
1
+
b c
1
,
a c
1
x
1

b c
1
x
1
+
a b
1
,
die als analytische Formeln des Gebietekalkuls (indem man z. B. rechts auf 0 brächte) leicht vollends zu erhärten wären.
Ich muss indessen gestehen, dass ich mit all’ den im gegenwärtigen Kontext genannten Sätzen nichts Rechtes auzufangen wüsste und dass mir dieselben mehr nur als Kuriosa des Aussagenkalkuls erscheinen, denen kaum ein höherer Wert als der von Übungsbeispielen für Anfänger zu- kommen dürfte.
Sofern sich die Sätze auf die (merkwürdigerweise?)
dem verbalen Schliessen fremde
Beziehung der Nichteinordnung, des
Nicht
imgefolge- habens bei ihren Prämissen oder Konklusionen berufen, dürften sie am besten ganz von der Theorie ignorirt werden, und möchte ich als den vornehmsten Zweck unsrer diesbezüglichen Darlegungen die eben hiermit geübte Kritik derselben hinstellen. Diese Sätze, deren Menge leicht noch weiter, ja in’s Unbegrenzte zu vermehren wäre — zunächst z. B. indem man auch noch Gegenstücke zu den Formeln
γ
),
δ
),
ε
), ‥ aufsuchte — steigern nur — wenn etwa gar als zu memorirende hin- gestellt — die Belastung des Gedächtnisses auf ersichtlich mehr als das Doppelte von der Auflage des Gebietekalkuls, und das ohne Not, ohne entsprechenden Gewinn! Sind wir doch auch ohne sie schon den allgemeinsten Aufgaben des Gebiete- (einschliesslich Aussagen-) kalkuls näher getreten und haben bereits gelernt, derselben zu ent- raten! — Endlich aber
zerfallen
ja alle diese Beziehungen, indem
(
a

b
) =
a b
1
= (
a
= 1߭) (
b
= 0)
sein muss — ein Umstand, im Hinblick auf welchen Obiges schon weniger merkwürdig erscheinen wird. —
Gilt eine Formel im identischen Kalkul auch dann, wenn man die als einfache Symbole in ihr vorkommenden Buchstaben
beliebig
als Gebiete einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit interpretirt — desgleichen die einfachen Symbole 0, 1 in der aus Def. (2) bekannten Weise als bestimmte Gebiete — so haben wir bislang ihr „die
weitere
Geltung“ zugeschrieben.
Dagegen wurde gesagt, die Formel besitze blos „die
engere
Gel- tung“, wenn sie zwar im Aussagenkalkul gilt, d. h. richtig ist, sobald
§ 45. Besonderheiten des Aussagenkalkuls.
man die in sie eingehenden Buchstabensymbole als irgendwelche Aus- sagen (konstanten Sinnes) interpretirt (dazu die 0 und 1߭ als die ge- wiss falsche resp. wahre Aussage) ohne dass ihr jedoch die weitere Geltung zukäme. Sie konnte in diesem Falle, vermittelst des Schema’s (
a
= 1߭) =
a
oder
ε
) und dessen Folgesätzen
ν
) des § 32, sofort in eine analytische Identität des Gebietekalkuls umgeschrieben und somit gerechtfertigt werden.
Vor
dieser Verwandlung aber wird sie ent- weder — als eine Formel „gemischter Natur“ — im Gebietekalkul überhaupt nicht deutungsfähig erscheinen, oder, wenn sie doch in ihm deutungsfähig ist, wird sie daselbst
nicht durchaus
gelten. Im letzteren Falle haben wir ihre Chiffre durch einen Stern ausgezeichnet, um vor ihrer rückhaltlosen Anwendung zu warnen. Gültig zu bleiben braucht solche Formel nur dann, wenn man alle vorkommenden Gebietesym- bole auf den Bereich der beiden Werte 0 und 1߭ verweist, für jeden Buchstaben nur einen beliebigen dieser beiden Werte — in jedem einzelnen Falle gleichviel welchen von beiden — zulässt.
Die Formeln des § 29 besassen sämtlich die
weitere
Geltung, wo- gegen wir im gegenwärtigen Paragraphen fast lauter solche Formeln zusammengestellt und solche vorzugsweise aufgesucht haben, denen nur die engere geltung zukommt.
Hier drängt sich nun die nicht unwichtige Frage auf: wie kann man bei einer richtigen Formel des Aussagenkalkuls entscheiden, ob ihr die weitere oder blos die engere Geltung zukommt?
Träfe schon letztere nicht zu, so könnte die Formel überhaupt keine Geltung (in ihrer vollen Allgemeinheit, als solche) beanspruchen, auch die „weitere“ nicht — denn eine Proposition des Gebietekalkuls soll sie all- gemein gelten oder „Formel“ sein, muss auch für die Werte 0 oder 1 ihrer Buchstabensymbole sich erfüllt zeigen. Wir müssen also bei jeder Formel (die als solche für uns in Betracht kommen kann) voraussetzen, dass sie wenigstens im engeren Sinne, als
„Formel des Aussagenkalkuls“
gelte.
Umgekehrt: Gilt eine Formel für alle Wertsysteme ihrer Buchstaben, die aus Nullen und Einsern gebildet werden können, so ist sie im Aus- sagenkalkul richtig, geniesst mindestens der engeren Geltung, da alsdann nichts hindert, ihre Buchstaben als irgendwelche (nach Belieben konstant richtige oder konstant falsche) Aussagen zu deuten.
Die aufgeworfene Frage ist nun wie folgt zu beantworten.
Jede Formel, gewonnen durch Übertragung der im identischen Gebietekalkul
bewiesenen
Sätze in die Zeichensprache des Aussagen- kalkuls — überhaupt jede in jenem beweisbare, aus dessen Grund- lagen deduzirbare Formel — muss zweifellos „die weitere Geltung“ haben:
Gelingt es auf dem angedeuteten Wege nicht, eine fragliche Formel
18*
Einundzwanzigste Vorlesung.
zu begründen [welche sich dennoch nach dem Prinzip (
a
= 1) resp. (
a
= 1߭) =
a
als richtig erweist], so kann derselben nur die engere Geltung zukommen, sobald man auch nur
eine
Interpretation der Sym- bole in Gestalt von Gebieten nachweisen kann, für welche die Formel augenscheinlich nicht zutrifft.
Beispielsweise zeigt so die Figur 23, in welcher
a

b
, und gleich- wol
nicht c

a
ist, dass die Formel
μ
×
) der weitern Geltung entbehrt.
Fig 23.
Richtige Formeln des Aussagenkalkuls, bei welchen es weder gelänge, sie aus den bisherigen Grundlagen des Gebietekalkuls ab- zuleiten, noch auch (mit Leichtigkeit) ge- länge, sie
für diesen
(wofern sie überhaupt in ihm deutungsfähig) durch ein Beispiel als im allgemeinen falsch nachzuweisen, sind bisher nicht entdeckt worden, aus welchem Umstande, wenn er in dieser Weise fortbesteht, induk- torisch die Überzeugung zu schöpfen ist, dass wir die Grundlagen des Gebietekalkuls bereits vollständig besitzen.
Ob mit vorstehender Beantwortung der Frage die Wissenschaft das letzte Wort über dieselbe gesprochen hat, muss allerdings dahingestellt bleiben. Man empfindet es als ein
Desideratum,
dass die Frage — statt in jedem Falle eine spezielle Untersuchung, eventuell vergebliche Deduk- tionsversuche und den schliesslichen Rekurs auf die Anschauung zu er- heischen — durch blos mechanisches Rechnen, Operiren nach einem all- gemeinen Schema, möchte zur Entscheidung gebracht werden können — in ähnlicher Weise etwa, wie von der Analysis die Frage nach der
Auf- lösbarkeit eines Gleichungensystems
durch das
Theorem von der Funktional- determinante
bekanntlich allgemein erledigt ist. Dieser Vergleich eröffnet hier einen Ausblick auf ein weiteres Problem der Forschung. —
Abgesehen von der grösseren Allgemeinheit und Tragweite, die wir durch die Begründung des identischen Kalkuls als eines
Gebiete
- kalkuls gegenüber der
McColl
…
Peirce’
schen als eines
Aussagen
- kalkuls erzielten, scheint mir die in diesem Buche durchgeführte Voranstellung der Exposition des erstern — unter Vermeidung des Gebrauches jeglicher Abkürzungen, welche die Formelsprache des letzteren gestatten würde — auch in didaktischer Hinsicht einen Vor- zug vor den andern Behandlungsweisen zu bieten insofern, als der Anfänger beim Studium von Herrn
Peirce’
s Aufsatze
5
etc., sich vor eine ähnliche Schwierigkeit gestellt sehen wird, wie wenn er eine ihm fremde Sprache aus einer
zumeist in dieser selbst geschriebenen
Gramma- tik erlernen sollte. Zudem musste es die Übersicht fördern, dass wir beide Kalkuln sozusagen auseinander entwirrten. —
§ 46. Anwendungen. Wesen des indirekten Beweises.
§ 46.
Diverse Anwendungen, Studien und Aufgaben, darunter: Wesen des indirekten Beweises,
Hauber’
s Satz,
Mitchell’
s Nebel- bilderproblem, nochmals
McColl’
s Methode, etc.
1. Studie.
Wesen des
„
indirekten
“ (oder „
apagogischen
“)
Beweises
. Dieser, auch „
reductio ad absurdum
“ (bei
Aristoteles
ἀπαγωγὴ εἰς τὸν ἀδύνατον
) genannt, stellt sich im Aussagenkalkul wie folgt dar, und rechtfertigt sich dadurch das Beweisverfahren als solches.
Die Voraussetzungen eines (indirekt) zu beweisenden Theorems mögen mit
A
bezeichnet werden und was das Theorem alsdann be- hauptet mit
B
. Das Theorem spricht darnach aus, dass aus der „An- nahme“
A
die „Behauptung“
B
(faktisch) folge, d. h. dass sei
A

B
.
Auch der Fall, wo unser Theorem als voraussetzungslos erscheinen, eine Behauptung
B ohne weiteres
als gültig hinstellen sollte, ist unter diesem Schema mitbegriffen, indem man sich alsdann unter
A
nur ein identisches (analytisches) Urteil vorzustellen braucht, wie z. B. das Urteil: 0 = 0, welches im Aussagenkalkul den Wert 1߭ besitzt indem es stetsfort gilt; in der That wird ja hiedurch die Subsumtion
A

B
auf 1߭

B
, gemäss Th. 5̄
+
) also auf
B
= 1߭, das ist auf die Be- hauptung
B
hinauskommen.
Wir mögen also die Subsumtion
A

B
als das allgemeine Schema für jedes erdenkliche Theorem hinstellen.
Um ein solches apagogisch zu beweisen, bemerke man, dass nach Th. 21
×
), 30
+
) und 27
×
):
A
=
A B
+
A B
1
ist. Man ziehe nun aus der Annahme, dass
A
gelte,
B
aber nicht gelte, d. h. also aus der Annahme
A B
1
Schlüsse und suche aus der- selben einen Widerspruch zu deduziren. Gelingt dies, so wird der Beweis apagogisch geleistet sein. Gesetzt, es gelinge.
Der Widerspruch bestehe darin, dass aus
A B
1
gefolgert ist, eine Aussage
C
müsse gelten, während andrerseits gefolgert oder ander- weitig bekannt, längst anerkannt und feststehend ist, dass sie nicht gelte, d. h. dass
C
1
gelte. Ersteres, in Formeln gesetzt, gibt:
A B
1

C
, letzteres:
A B
1

C
1
— auch dann, wenn die Folgerung keine logische oder denknotwendige sein sollte; wenn nämlich
C
1
nur anerkanntermassen gilt, so ist es ja
Einundzwanzigste Vorlesung.
= 1߭ und muss nach Def. (2
+
)
A B
1

1߭, also in der That
A B
1

C
1
sein. Aus beiden Ergebnissen fliesst nach Def. (3
×
):
A B
1

C C
1
.
Da aber
C C
1
= 0 nach Th. 30
×
) ist, so haben wir
A B
1

0 oder nach Th. 5
×
):
A B
1
= 0. Es bleibt demnach gemäss Th. 21
+
) oben:
A
=
A B
, oder kraft Th. 20
×
):
A

B
, wie zu zeigen gewesen.
Rascher noch folgt auch dasselbe gemäss Th. 38
×
) sobald einmal
A B
1

0 erkannt ist. —
Eine etwas einfachere Modifikation der in Rede stehenden „re- ductio“ ist die, dass aus der Annahme
A B
1
gefolgert wird: eine sich unmittelbar als ungültig, „absurd“, zu erkennen gebende Proposition
C
, wie z. B. das Ergebniss, dass 0 = 1 sei.
Ist auf diese Weise dargethan, dass in der That
A B
1

C
so haben wir auch, da
C
= (0 = 1) = 0 sein muss, wie vorhin
A B
1

0,
A B
1
= 0,
somit nach Th. 38
×
):
A

B
,
d. h. das behauptete Theorem ist bewiesen.
Bei dieser Modifikation kommt der dem gefolgerten widersprechende Satz:
C
1
= (0 ≠ 1) = 1߭,
welcher als selbstverständlich gültig anzusehen, formell gar nicht, m. a. W. nicht ausdrücklich zur Sprache und der „Widerspruch“ als solcher nicht notwendig zum Bewusstsein. —
Noch weiter vereinfacht erscheint das Beweisverfahren in dem bereits oben als mitzugelassen gekennzeichneten Falle, wo die Voraus- setzung
A
des zu beweisenden Theorems als eine selbstverständliche gilt und darum nicht ausdrücklich als solche erwähnt sein mochte; dies ist derjenige Fall, wo das Theorem als ein „voraussetzungsloses“ lediglich hinausläuft auf die Behauptung der Gültigkeit einer Pro- position
B
.
In diesem Falle können wir auch den Faktor:
A
= (0 = 0) = 1߭
bei
A B
1
als einen belanglosen unterdrücken, und haben blos die Überlegung:
§ 46. Wesen des indirekten Beweises.
B
1

C
= 0, sonach
B
= 1߭, q. e. d.
— gemäss Th. 2), 5
×
) und 32). —
Unter Umständen lässt sich auch die Sache so darstellen, dass die absurde Behauptung
C
mit der Negation
A
1
der selbstverständ- lichen
A
zusammenfällt, dass also
C
=
A
1
— indem man z. B. von vornherein
C
1
als die eventuell stillschweigende Voraussetzung
A
des Theorems (mithin
C
1
=
A
) gelten lässt.
In diesem Falle vereinfacht sich der Charakter des apagogischen Beweises auf das äusserste: das Theorem
A

B
wird alsdann be- wiesen, indem man die Folgerung:
B
1

A
1
zieht und auf diese nur das Th. 37), das ist die „Konversion durch Kontraposition“ anwendet. —
Die „reductio ad absurdum“ erscheint als eine der gefährlichsten von den Waffen, mit welchen der Irrtum sich verteidigt. Indem er ihrer sich bedient, pflegt er dem Ansturm neuer Erkenntnisse (die ihm den garaus machen würden) am erfolgreichsten Widerstand entgegenzusetzen, deren Anerkennung hintanzuhalten.
In der That lässt auch keine Beweisform so leicht wie diese zu rhe- torischen Zwecken, im Dispute, sich
missbrauchen
. Der Grund dieser Eigen- tümlichkeit ist unschwer zu sehen.
Man sagt: Wenn die Behauptung
A
des Gegners richtig wäre, so würde ja dies und das, ein Urteil
B
, daraus
folgen
. Dieses letztere ist augenscheinlich absurd, also kann auch die Behauptung
A
unmöglich zu- gegeben werden.
Schade nur, dass man so selten sich die Mühe nimmt, die Art, wieso
B
aus
A
denn folgen würde, genauer darzulegen! Dieser Schluss gerade, auf dessen Rechtfertigung alles ankäme (indem das Urteil
B
ja wirklich absurd sein mag) wird als ein enthymematischer meist unvollendet ge- lassen. Oft fehlt sogar jegliche Andeutung über die Art seines Zustande- kommens, zufolge dessen der Opponent ausser Stand gesetzt ist, den Fehler in dem mentalen Raisonnement des Argumentirenden selbst zu entdecken, zu packen und bloszustellen, vielmehr sich darauf wird beschränken müssen, gegen die Berechtigung zum Ziehen desselben nur eben Protest einzulegen. In der Regel aber wird der Hörer durch Herbeiziehung irgend einer ober- flächlichen
Analogie
(blos)
verleitet
diesem so flüchtig ausgeführten Schlusse zuzustimmen. Oder es werden auch anerkannte Wahrheiten in einem viel weiteren Sinne als ihnen rechtmässig zukommt, zur Rechtfertigung des- selben herangezogen und läuft das Verfahren hinaus auf eine grossartige Übertreibung. Fast immer werden thatsächliche Momente, die für das Zustandekommen einer wirklich richtigen Konklusion wesentlich mitzuwirken hätten, dabei übergangen, ausser Acht gelassen.
So hat man zur Bekämpfung des „Determinismus“ z. B. aus diesem auf ethischem Gebiete, in Bezug auf sittliche Verhaltungsregeln für den Einzelnen, sowie für die Gesellschaft gegenüber Schuldbeladenen, in leicht-
Einundzwanzigste Vorlesung.
fertigster Weise die absurdesten Folgerungen zu ziehen beliebt (Folge- rungen, die nebenbei gesagt durch die genau entsprechende Anwendung auf Verunglückte oder Kranke sich meistens selber würden ad absurdum führen lassen). —
Sage ich z. B.: Die Eingeweidewürmer des Menschen (in unsern Kultur- landen, die Oxyuris etc. — jedoch mit Ausnahme der Taenia-Arten, für welche eine ganz andere Verbreitungsweise nachgewiesen ist) rühren von dem Essen grünen Salates her (der bei seiner Düngung mit der Gülle be- tropft worden) — so wird mir vielleicht von dem Einen schon diese Möglichkeit überhaupt in Abrede gestellt unter dem Hinweise auf die dem Salatgenusse üblichermassen vorhergehende Waschung der Blätter mit kaltem Wasser (als ob durch solche auch angetrocknete mikroskopische Eier mit Sicherheit beseitigt werden müssten!). Wogegen ein Anderer (dem die Er- kenntniss unwillkommen, weil er ein Liebhaber guten Salates) entgegnen wird: Nein! Das kann nicht sein,
denn
sonst müssten ja alle Menschen welche haben! —
Einen auffallenden Beitrag, der hier auch materiell von Interesse, liefert in dem „Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik“ von 1886, Bd. 18, p. 36, Herr
Michaelis
in Gestalt des Räsonnements mit welchem er eine von F. A.
Lange
aufgestellte Theorie bekämpft: Es kann nicht sein, dass die Grundsätze der Logik (und insbesondre der Satz des Wider- spruchs) auf räumlicher Anschauung beruhen, denn sonst wäre die „letzte Konsequenz“ ja die:
„die Lchrbücher der Logik in Bilderbücher zu ver- wandeln“
(!).
Notabene: ich will hiermit keineswegs für materielle Richtigkeit der bekämpften Ansicht von
Lange
eintreten, sondern wende mich blos gegen die benutzte Argumentation. Um die mir hier so unberechtigt erscheinende „Reductio“ durch eine berechtigte zu widerlegen, werfe ich die Frage auf: Liesse nicht genau dieselbe Schlussweise sich auch anwenden, um darzu- thun, dass die Axiome der
Geometric
unmöglich auf Raum-Anschauung basiren können? —
2.
Hülfssatz
— unter anderm zu
Hauber’
s Theorem.
Gebiete
,
die einzeln je in disjunkten Gebieten enthalten sind
,
müssen selbst dis- junkt sein.
Einfachster Fall dieses Satzes ist der, wo nur zwei disjunkte Gebiete
a
und
b
in Betracht kommen. Wenn dann
x
in
a
und
y
in
b
enthalten ist, so müssen auch
x
und
y
disjunkt sein. In Formeln:
α
)
(
x

a
) (
y

b
) (
a b
= 0)

(
x y
= 0).
Dieser Satz ist kein anderer als der schon als Übungsaufgabe (nach
De Morgan
) unter
μ
1
) des § 18 von uns angeführte und be- wiesene. Den Beweis werden wir nachher in der 4. Aufgabe ganz in der Zeichensprache geführt reproduziren.
§ 46. Studie. Hülfssatz zum
Hauber’
schen Satze.
Generalisiren lässt der Satz sich auf verschiedene Weise. Man könnte ihn samt dem erwähnten Beweisverfahren sogleich auf beliebig viele Symbol- paare ausdehnen in der Gestalt:
β
)
(
x

a
) (
y

b
) (
z

c
) … (
a b c
… = 0)

(
x y z
… = 0).
In der That folgt aus den vorausgesetzten
Subsumtionen
durch über- schiebendes Multipliziren nach Th. 17
×
), dass
x y z
…

a b c
… sein muss, wo nun aber die rechte Seite laut der vorausgesetzten
Gleichung
durch O ersetzt werden darf nach Th. 2) und schliesslich nur zu beachten bleibt, dass Einordnung unter die Null Gleichheit bedeutet nach Th. 5
×
), sonach
x y z
… = 0 sein muss, q. e. d.
Dies wäre nun aber ein anderer als der obige Satz. Für dreie oder mehr Symbolpaare wird jener vielmehr lauten:
Wenn a, b, c, … unter sich disjunkt sind und x in a, y in b, z in c, … ganz enthalten, so müssen auch x, y, z, … unter sich dis- junkt sein.
Oder in Formeln:
γ
)
(
x

a
) (
y

b
) (
z

c
) … (
a b
= 0) (
a c
= 0) (
b c
= 0) … …

(
x y
= 0) (
x z
= 0) (
y z
= 0) …
Um dies auf die nächstliegende und einfachste Art zu
beweisen
braucht man sich nur den Satz
α
) für jedes erdenkliche Paar von Ge- bieten aus der Reihe der
a
,
b
,
c
, … (mitsamt dem zugehörigen aus der Reihe der
x
,
y
,
z
, …) hingeschrieben zu denken, resp. wirklich unter die Proposition
α
) noch die Propositionen zu setzen:
(
x

a
) (
z

c
) (
a c
= 0)

(
x z
= 0), (
y

b
) (
z

c
) (
b c
= 0)

(
y z
= 0), . . . . . . . . . . . . .
und dann alle miteinander überschiebend zu multipliziren — nach Th. 1̅7̅
×
). Linkerhand sich wiederholende Faktoren kraft des Tautologie- gesetzes 1̅4̅
×
) nur einmal schreibend wird man so das Theorem
γ
) gewonnen haben.
Obwol wir hiermit im wesentlichen zu Ende sind, ist es doch lehrreich, sowol den Beweis, als auch die Ausdrucksformen unsres Theorems noch verschiedentlich zu variiren.
Behufs
Beweises
von
α
) könnte man auch einfach gemäss den Sche- mata
λ
) und
μ
) des § 32 die „Gültigkeitsklassen“ der verschiednen (Faktor-) Aussagen zur Linken und Rechten dieser Subsumtion ansetzen. Dieselbe kommt dann auf:
(
x
1
+
a
) (
y
1
+
b
) (
a
1
+
b
1
)

x
1
+
y
1
oder nach Th. 38
×
) nebst 36
+
) und 31) auf die Gleichung:
Einundzwanzigste Vorlesung.
x y
(
x
1
+
a
) (
y
1
+
b
) (
a
1
+
b
1
) = 0
hinaus, welche als eine identisch richtige oder „analytische“ nachzurechnen nur mehr eine blosse Multiplikationsübung ist.
Dies Verfahren gestaltet sich aber um so umständlicher, je mehr Symbole in Betracht kommen.
Anstatt solchermassen
„independent“
ziehen wir deshalb einmal vor, den Beweis des allgemeinen Satzes
„rekurrirend“
zu führen, für drei Sym- bole nämlich auf Grund des für zweie bereits bewiesenen Satzes, ebenso dann für viere, indem wir auf den für dreie bewiesenen Satz zurück- verweisen, und so fort — im Grunde so den „Schluss“ von
n
auf
n
+ 1 Symbole anwendend. Die Ausführung dieses Programmes gestaltet sich ganz leicht, wie folgt.
In
α
) denken wir uns alle Buchstaben mit Accent versehen, oder schreiben wirklich die Formel so an:
(
x
'

a
') (
y
'

b
') (
a
'
b
' = 0)

(
x
'
y
' = 0).
Nehmen wir an, dass hierin die (von vornherein beliebig zu deutenden, weil allgemeinen) Gebiete
x
',
y
',
a
',
b
' folgende Werte haben:
x
' =
x
+
y
,
y
' =
z
,
a
' =
a
+
b
,
b
' =
c
,
so ist erkannt, dass:
(
x
+
y

a
+
b
) (
z

c
) (
a c
+
b c
= 0)

(
x z
+
y z
= 0),
und nach Th. 24
+
) kann darin — wofern man die Glieder nicht beisammen lassen will — (
a c
+
b c
= 0) durch (
a c
= 0) (
b c
= 0), desgleichen
(
x z
+
y z
= 0) durch (
x z
= 0) (
y z
= 0)
ersetzt werden.
Multiplizirt man die Subsumtion dann noch überschiebend mit der
α
) selbst, nach Th. 1̅7̅
×
), so erhält man für drei Symbolpaare die zu be- weisende Subsumtion
γ
) genau — bis auf den Umstand, dass linkerhand ausser den sechs in ihr angegebenen Aussagenfaktoren auch noch als siebenter der Faktor (
x
+
y

a
+
b
) steht. Dieser kann aber ohne weiteres unterdrückt werden. Da nämlich nach Th. 17
+
):
(
x

a
) (
y

b
)

(
x
+
y

a
+
b
),
so ist nach Th. 2̅0̅
×
), d. i. (
A

B
) = (
A B
=
A
):
(
x

a
) (
y

b
) (
x
+
y

a
+
b
) = (
x

a
) (
y

b
)
auch ohne den dritten Faktor.
Hiermit ist denn die Formel
γ
) mit Wegfall der Punkte „…“ bewiesen.
Um jetzt den Satz für vier Symbolpaare
a
,
b
,
c
,
d
nebst
x
,
y
,
z
,
u
zu erhalten, braucht man blos in der mit accentuirten Buchstaben ange- setzten Formel
α
) anzunehmen:
x
' =
x
+
y
+
z
,
y
' =
u
,
a
' =
a
+
b
+
c
,
b
' =
d
und die sich ergebende Subsumtion:
§ 46. Hülfssatz zum
Hauber’
schen Satze.
(
x
+
y
+
z

a
+
b
+
c
) (
u

d
) (
a d
+
b d
+
c d
= 0)

(
x u
+
y u
+
z u
= 0) nachdem
(
a d
+
b d
+
c d
= 0) = (
a d
= 0) (
b d
= 0) (
c d
= 0)
und
(
x u
+
y u
+
z u
= 0) = (
x u
= 0) (
y u
= 0) (
z u
= 0)
eingesetzt sind, mit der für drei Symbolpaare vorhin bewiesenen Subsum- tion —
γ
) ohne die Punkte — überschiebend zu multipliziren, beachtend, dass dann links der Faktor (
x
+
y
+
z

a
+
b
+
c
) von den ohnehin vor- handenen Faktoren (
x

a
) (
y

b
) (
z

c
), aus deren Produkt er ja von selbst mit folgt, überflüssig gemacht, verschluckt wird.
Und so weiter. —
Endlich mögen wir aber, nachdem für zwei Symbolpaare der Satz unter
α
) schon bewiesen ist, denselben für eine unbestimmte Menge solcher auch
apagogisch
beweisen. Ich führe dies um so lieber aus, als von ver- schiednen Seiten das Nichtvorkommen apagogischer Beweisführungen gerade in der Logik selbst schon mit Befremden konstatirt worden ist. Zudem eröffnen die Betrachtungen in ihrem ersten Teil uns neue Gesichtspunkte:
Zunächst lässt das Theorem
α
) sich auch in der Gestalt schreiben:
δ
)
(
x y
≠ 0) (
x

a
) (
y

b
)

(
a b
≠ 0)
indem man etwa — konform den Ausführungen am Schlusse des § 31 — die Subsumtion
α
) durch Herübernehmen ihrer rechten Seite erst in eine Inkonsistenz umschreibt und diese durch Hinüberwerfen ihres Gleichung-faktors wieder in eine Subsumtion umwandelt, oder auch, indem man mit
einem
Schlage gemäss dem unter Th. 4̅1̅) mitgegebenen Schema: (
A B

C
) = (
A C
1

B
1
) die beiden Terme in
α
), welche Gleichungen sind, als Ungleichungen auf die andere Seite bringt.
Nebenbei sei hier darauf aufmerksam gemacht dass diese Formel
δ
) regelrechtes Exempel ist eines „zusammengesetzten Syllogismus“, und zwar eines solchen mit drei Prämissen und den beiden Mittel- oder besser gesagt „
Zwischen
-Gliedern“
x
und
y
, lautend: Einige
x
sind
y
, alle
x
sind
a
, alle
y
sind
b
,
ergo:
einige
a
sind
b
.
Das gleiche ist auch mit
α
) der Fall, nur dass hier als die Zwischen- glieder, Eliminanden
a
und
b
erscheinen; dieser Syllogismus würde lauten: Alle
x
sind
a
, alle
y
sind
b
, kein
a
ist
b
,
ergo:
kein
x
ist
y
.
Hier wäre schon
Boole’
s Th. 50
+
) zum Vollzug der Elimination (von
a
und
b
aus der vereinigten Gleichung der Prämissen
x a
1
+
y b
1
+
a b
= 0) ausreichend.
Es kann dieser Schluss deshalb auch durch unsre allgemeine Eli- minationsmethode, etwa nach dem Schema
ι
) des § 41
gewonnen
und gerechtfertigt werden, wobei sich herausstellt, dass die Konklusion als die
volle
Resultante der Elimination der Zwischenglieder zu bezeichnen.
Einundzwanzigste Vorlesung.
Um dies behufs Illustration jener Methode systematisch durchzuführen, wird man links in
δ
) die beiden Subsumtionen in ihre vereinigte Gleichung zusammenziehen, wonach die Voraussetzung des behaupteten Th.
δ
) lautet:
(
a
1
x
+
b
1
y
= 0) (
x y
≠ 0),
oder, wenn wir dieselbe jetzt für die regelrechte Elimination von
y
prä- pariren:
{(
a
1
x
+
b
1
)
y
+
a
1
x y
1
= 0} {
x y
+ 0 ·
y
1
≠ 0}.
Hieraus nach dem Schema
y
eliminirt, gibt:
{(
a
1
x
+
b
1
) ·
a
1
x
= 0} {
x
· (
a
+
x
1
)
b
+ 0 · (
a
+
x
1
) ≠ 0},
oder
(
a
1
x
+ 0 ·
x
1
= 0) (
a b x
+ 0 ·
x
1
≠ 0)
und hieraus endlich
x
eliminirt, gibt:
(
a
1
· 0 = 0) (
a b
·
a
+ 0 · 1 ≠ 0),
das ist
a b
≠ 0, wie zu zeigen war — indem die erste Faktoraussage, welche den
Boole’
schen Bestandteil der Resultante vorstellt, als identisch erfüllte, nämlich als (0 = 0) = 1߭, zu unterdrücken war.
Somit in der Lage, uns auf das Theorem
δ
) berufen zu dürfen, mögen wir das allgemeine Theorem
γ
) nunmehr leicht wie folgt in- direkt beweisen.
Gesetzt das Produkt irgend zweier Symbole aus der Reihe
x
,
y
,
z
, … sei (unter den Voraussetzungen des Theorems
γ
)
nicht
gleich O, so mögen wir unter
x
und
y
uns ebendiese beiden vorstellen und werden also
x y
≠ 0 haben. Halten wir dieses Ergebniss zusammen mit den beiden unter den Voraussetzungen des Theorems befindlichen Subsumtionen
x

a
und
y

b
, so erkennen wir die Voraussetzungen des Theorems
δ
) als augenscheinlich erfüllte und sind wir nach diesem zu der Folgerung berechtigt, dass
a b
≠ 0 sein müsse.
Diese Folgerung
widerspricht
aber der unter den Daten des Theorems
γ
) befindlichen Voraussetzung, dass
a b
= 0 sei, und war folglich jene An- nahme
x y
≠ 0 eine unzulässige; es muss vielmehr
x y
= 0 sein, welches Wertepaar aus der Reihe
x
,
y
,
z
, … wir auch unter
x
und
y
uns vor- stellen mögen, q. e. d.
Die Ausdrucksformen unsres Satzes betreffend kann man in
γ
) auch die Gleichungsfaktoren links und rechts je in eine einzige Faktor- gleichung gemäss Th. 24
+
) zusammenziehen, sodass die Formel lautet:
ε
)
(
a b
+
a c
+
b c
+ … = 0) (
x

a
) (
y

b
) (
z

c
) …

(
x y
+
x z
+
y z
+ … = 0)
Dem Polynom dieser Gleichung konnte man — bei Benutzung vor- stehender Form — in unserm obigen rekurrenten Beweise dann dasjenige jeder noch weiter als Faktor hinzutretenden (rechts 0 habenden) Gleichung unmittelbar angliedern.
§ 46.
Hauber’
s Theorem.
Auch für eine beliebige (eventuell selbst unbegrenzte) Anzahl Symbole lässt unser Theorem sich wie folgt in Formeln setzen:
(
a
ϰ
a
λ
= 0)
(
x
ϰ

a
ϰ
)

(
x
ϰ
x
λ
= 0),
wo der Apostroph über dem Summenzeichen andeuten soll, dass dem Index
λ
jeweils nur die von
x verschiedenen
Werte aus der von diesem letztern In- dex zu durchlaufenden Wertenreihe beigelegt werden sollen. Will man aber solch’ aparte Symbolik vermeiden, so ist unser Theorem korrekt durch die Formel:
ζ
)
(
a
ϰ
a
λ
= 0)
(
x
ϰ

a
ϰ
)

(
x
ϰ
x
λ
= 0)
für die
n
Symbolpaare
a
1
,
a
2
, ‥
a
n
x
1
,
x
2
, ‥
x
n
darzustellen, und hindert nichts, darin auch
n
= ∞ zu nehmen.
Mit Leichtigkeit auch würde im Anschluss an dieses Schema jener Schluss von
n
auf
n
+ 1 nunmehr sich in der Zeichensprache ausgeführt darstellen lassen.
Schliesslich kann man im allgemeinen Ausdruck
γ
),
ε
) oder
ζ
) unsres Theorems natürlich auch die Prämisse zur Linken durch deren vereinigte Gleichung ersetzen. Zu dem Ende sind die Subsumtionen
x

a
, etc. zu- nächst in Gleichungen
a
1
x
= 0, etc. umzuschreiben. Um dies bei
ζ
) aus- zuführen müssen wir entweder zum wagrechten Negationsstrich unsre Zu- flucht nehmen, oder anstatt der unteren Indices für
x
und
a
jetzt obere verwenden. Thun wir letzteres, so entsteht:
η
)
{
(
a
ϰ
1
x
ϰ
+
a
ϰ
a
λ
) = 0}

(
x
ϰ
x
λ
= 0)
als wol konziseste aber dennoch vollkommen ausdrucksvolle Darstellung des Theorems, wobei rechts die volle Resultante der Elimination von
a
1
,
a
2
, ‥
a
n
aus der vereinigten Aussage der Data linkerhand steht. —
Da das in Worte gekleidete Theorem jedermann auch unmittelbar einleuchtet, so sind vorstehende Betrachtungen nur unter dem Gesichts- punkt der
Methode
zu würdigen.
3.
Hauber’
s
Theorem
.
Hauber’
s Schrift
1
des Literaturverzeichnisses ist mir nicht zu Gesicht ge- kommen und halte ich mich bezüglich seines Satzes an die Angaben des Herrn
Venn
1
p. 275.
Wenn eine Gattung in die
(disjunkten)
Arten x
,
y
,
z
, …
zerfällt
,
Einundzwanzigste Vorlesung.
desgleichen in die disjunkten Arten a
,
b
,
c
, …
und wenn wir wissen: alle x sind a
,
alle y sind b
,
alle z sind c
, …
so muss auch umgekehrt gelten: alle a sind x
,
alle b sind y
,
alle c sind z
, ….
[Es ist nicht nötig auch die Arten
x
,
y
,
z
, … ausdrücklich als disjunkte vorauszusetzen — eine Bemerkung, durch welche
Hauber’
s Satze anscheinend eine kleine Erweiterung zuteil wird. Und zwar leuchtet dieses augenblicklich auf Grund des vorausgeschickten Hülfs- satzes ein.]
Aussagenrechnerisch stellt sich der Satz in Gestalt der folgenden Formel dar:
ϑ
)
(
a b
= 0) (
a c
= 0) (
b c
= 0) … (
x
+
y
+
z
‥ =
a
+
b
+
c
‥) (
x

a
) (
y

b
) (
z

c
) …


(
a

x
) (
b

y
) (
c

z
) … (
x y
= 0) (
x z
= 0) (
y z
= 0) …
wo der mittlere Faktor links statuirt, dass es
dieselbe
Gattung sein soll, welche nach zweierlei Einteilungsprinzipien in gleichviele Arten
a
,
b
,
c
, … und
x
,
y
,
z
, … zerfällt, wogegen die letzte Faktorengruppe rechts im Einklang mit unserm Hülfssatze kund gibt, dass auch die letztern Arten disjunkt sein werden.
Es genügt, den Satz, dem wir nachher noch eine etwas elegantere Fassung geben werden, zunächst für die dichotomische Einteilung zu
beweisen
, wo er lautet:
ι
) (
a b
= 0) (
x
+
y
=
a
+
b
) (
x

a
) (
y

b
)

(
a

x
) (
b

y
) (
x y
= 0). Einsetzung der Gültigkeitsklassen der Teilaussagen gibt hier wieder:
(
a
1
+
b
1
) {(
x
+
y
) (
a
+
b
) +
x
1
y
1
a
1
b
1
} (
x
1
+
a
) (
y
1
+
b
)

(
a
1
+
x
) (
b
1
+
y
) (
x
1
+
y
1
),
oder:
(
a
1
+
b
1
) {(
x
+
y
) (
a
+
b
) +
x
1
y
1
a
1
b
1
} (
x
1
+
a
) (
y
1
+
b
) (
a x
1
+
b y
1
+
x y
) = 0
was leicht zu verifiziren durch geschicktes Ausmultipliziren. Dies be- weist den Satz auch für die weitere Geltung, weil das Produkt jener Gültigkeitsklassen nach Th. 24
×
) zugleich das Polynom ist der (rechts auf 1 gebrachten) vereinten Gleichung von Minor resp. Major der Sub- sumtion
ι
). Man konnte auch die vereinte Nullgleichung des Minor:
a b
+
a
1
b
1
(
x
+
y
) + (
a
+
b
)
x
1
y
1
+
a
1
x
+
b
1
y
= 0
nach
x
,
y
entwickeln zu:
x y
+ (
b
+
a
1
)
x y
1
+ (
a
+
b
1
)
x
1
y
+ (
a
+
b
)
x
1
y
1
= 0 und sich überzeugen, dass hieraus die vereinte Nullgleichung des Ma- jors,
a x
1
+
b y
1
+
x y
= 0, wenn vollends nach
x
,
y
entwickelt, kraft Th. 24
+
) folgt.
Von der dichotomischen Einteilung, d. i. auf Grund von
ι
) kann der Beweis nunmehr auf die tricho-, tetra- etc. tomische Einteilung
genau
in derselben Weise ausgedehnt werden — sonach mittelst der nämlichen für die accentuirten Buchstaben auszuführenden Substitu-
§ 46.
Hauber’
s Theorem.
tionen etc., wie sie oben im Kontext bei dem vorausgeschickten Hülfs- theorem ausführlichst angegeben wurden.
Von
Venn
1
ist ein scheinbar viel einfacherer Beweis des Satzes ge- geben. Derselbe kommt aber nur durch einen Beweisfehler zustande, nämlich dadurch, dass (l. c.) p. 275 auf Zeile 16 und 15 v. o. ein wie mir scheint gänzlich ungerechtfertigter und verfehlter (nämlich Z. 16 auf einen circulus in demonstrando, eine petitio principii hinauslaufender, Z. 15 aber völlig sinnloser) Ansatz gemacht wird. (Jener kommt dadurch zu- stande, dass Herr
Venn
mit dem Minuszeichen —
was nicht erlaubt
— nach den Regeln der
Arithmetik
operirt, nämlich erst
a
=
b
in
a
—
b
= 0, sodann aber (
a
+
b
) — (
c
+
d
) in (
a
—
c
) + (
b
—
d
) umschreibt. Behufs Richtigstellung wäre von unserm § 23 nähere Kenntniss zu nehmen. Der Fall, bei einem sonst so sorgfältigen Schriftsteller, gibt aber eine Warnung ab: in der Logik den Gebrauch des Minuszeichens lieber zu vermeiden.) —
Behufs Vereinfachung konnte man, nachdem das Hülfstheorem
α
) be- reits bewiesen ist, den Faktor (
x y
= 0) rechts in
ι
) auch weglassen, weil diese Folgerung bereits gezogen erscheint.
Linke Seite unsres Theorems
ϑ
) ist ein Produkt von vielen Fak- toren. Nach dem Schema unter
ϑ
×
) des § 45:
(
A B

C
) = {
A

(
B

C
)}
können auch einzelne Malzeichen zur Linken in Subsumtionszeichen verwandelt werden, wenn man jeweils alles auf sie folgende in eine Klammer einschliesst.
Zur Rechten, im Major dagegen können nach Th. 6̄
×
), weil
A B

A
, auch beliebige Faktoren unterdrückt werden, ohne dass das Theorem aufhört ein richtiges zu sein, während dann allerdings dasselbe ein eventuell weniger sagendes wird.
Endlich kann man im Major beliebige Faktoren aus dem Minor wiederholen kraft Th. 2̅0̅), weil auch (
A

B
)

(
A

A B
), sowie nach Th. 15
×
) (
A B

C
)

(
A B

B C
) sein wird.
Von der zweiten Erlaubniss Gebrauch machend unterdrücken wir in
ϑ
) zunächst das letzte Faktorensystem (
x y
= 0) ‥ und geben dem Satze kraft der ersten Erlaubniss die Form:
ϰ
)
(
a b
= 0) (
a c
= 0) (
b c
= 0) … (
a
+
b
+
c
‥ =
x
+
y
+
z
‥)


{(
x

a
) (
y

b
) (
z

c
) ‥

(
a

x
) (
b

y
) (
c

z
) …}
und im Major des Majors wiederholen wir (nach der dritten) den Minor des letztern, wobei nach Def. (1) das Produkt je zweier entgegen- gesetzten Subsumtionen sich in eine Gleichung zusammenziehen wird. So entsteht:
λ
)
(
a b
= 0) (
a c
= 0) (
b c
= 0) … (
a
+
b
+
c
‥ =
x
+
y
+
z
‥)


{(
x

a
) (
y

b
) (
z

c
) ‥

(
x
=
a
) (
y
=
b
) (
z
=
c
) ‥}
Einundzwanzigste Vorlesung.
wonach nun die vollzogene Unterdrückung der Faktorengruppe (
x y
= 0) ‥ bei der Konklusion sich als belanglos zu erkennen gibt, weil sie als blosse Wiederholung der vorausgesetzten (
a b
= 0) ‥ wegen der Gleich- heit der correspondirenden Symbole beider Reihen erscheinen würde.
Man kann darnach sowol
ϰ
) als
λ
) als den vollen Ausdruck des
Hauber’
schen Satzes gelten lassen, obwol sich beide Formeln zufolge Wegfalles jenes Faktorensystems etwas einfacher als
ϑ
) darstellen.
Schliesslich kann man dem Theorem auch die hinsichtlich der beiden Symbolreihen
a
,
b
, ‥ und
x
,
y
, … symmetrische Gestaltung geben:
μ
(
a b
= 0) ‥ (
x y
= 0) ‥ (
x
+
y
‥ =
a
+
b
‥)


{(
x

a
) (
y

b
) ‥ = (
a

x
) (
b

y
) ‥}
welche wol der
Hauber’
schen Fassung am nächsten kommt. —
4.
Studie
. Wichtige Erwägungen von allgemeiner Natur wollen wir anknüpfen an die
Aufgabe
(
De Morgan
2
p. 123): Aus
A
folgt
B
und aus
C
folgt
D
; aber
B
und
D
sind unverträglich miteinander.
Zu beweisen, dass auch
A
und
C
inkonsistent sind. In Formeln, dass:
(
A

B
) (
C

D
) (
B D
= 0)

(
A C
= 0).
Man sieht, dass der Satz mit
α
) unsres Hülfssatzes unter 2. zusammen- fällt, nur für Aussagen anstatt für Gebiete gedeutet. Ein
Beweis
ist demnach schon dort gegeben.
Hier jedoch wollen wir ihn nochmals, und zwar
ganz in der Zeichen- sprache
geben, um daran eine (wichtige) Bemerkung zu knüpfen. Jenes kann geschehen mittelst des Ansatzes: (
A

B
) (
C

D
) (
B D
= 0)

(
A C

B D
) (
B D
= 0)

(
A C

0)

(
A C
= 0) gemäss den Theoremen 17
×
) nebst 1̅5̅
×
, 2) und 5
+
) — q. e.d.
Auffallen muss es, dass beim Übergang über das erste freie Sub- sumtionszeichen hier
zwei Theoreme auf einmal angewendet
wurden: Nach Th. 17
×
), welches auch für Gebiete gilt, und darum keinen Strich übergesetzt bekommen soll, obwol
A
,
B
,
C
,
D
hier zufällig Aussagen (unspezifizirte) bedeuten, schlossen wir einerseits, dass
(
A

B
) (
C

D
)

(
A B

C D
)
sei. Diesen Schluss verknüpften wir aber obendrein beiderseits mit dem nämlichen Faktor (
B D
= 0), wofür wir die Berechtigung aus Th. 1̅5̅
×
) schöpfen, das als ein für spezifizirte Aussagen in Anspruch genommenes hier jedenfalls mit überstrichener Chiffre zu citiren war.
Solch gelegentliches Miteingreifen des Th. 1̅5̅
×
) — und gerade nur
§ 46. Studien.
ebendieses, wonicht in seiner doppelten Anwendung, als Th. 1̅6̅
×
) — dürfte sich gar nicht vermeiden lassen. Es scheint unmöglich zu sein — und ich behaupte es, solange nicht das Gegenteil dargethan wird — in der Zeichensprache, ganz in Formeln — jeden Beweis solcher- gestalt zu führen, dass beim Übergang über jedes ein „ergo“ bedeu- tendes Subsumtionszeichen
nie mehr
als
ein
Theorem des identischen Kalkuls
auf einmal
zur Anwendung komme.
Alle unsere Überlegungen führen wir gleichsam
unter der Herr- schaft eines
(
Aussagen-
)
Faktors
, welcher das Fortbestehen der Prämissen unsres Schliessens, zu denen auch alle selbstverständlichen oder ana- lytischen Wahrheiten gezählt werden dürfen, das Fortbestehen der- selben während irgend eines gerade eben vollzogenen Schlusses garan- tirt, und im Grunde nur eine Wirkung des Prinzips Ī der Identität im Aussagenkalkul ist, demzufolge einmal als wahr Anerkanntes solches stillschweigend oder ausdrücklich bleibt, auch immer wieder in Er- innerung gebracht, überall als wahr angemerkt werden darf — womit auch Th. 2̅1̅
×
) im Zusammenhange steht. Ganz ähnlich, wie auch über unsern rechnerischen Schlüssen im
Klassen
kalkul jeweils die („gewöhnliche“) Mannigfaltigkeit 1 schwebt, die den Betrachtungen zugrunde gelegt ist und mit der dieselben sozusagen
zum Schnitt kommen
, während sie ausserhalb, darüber hinaus, keine Geltung bean- spruchen dürfen. —
Es kann jetzt als eine vorzügliche Übung dem Studirenden em- pfohlen werden, die Beweisführungen für die fundamentalen Sätze unsrer Disziplin, wie sie in Bd. 1 in der üblichsten Form, nämlich in
verbaler
Einkleidung gegeben worden sind, nochmals zu repetiren, so wie wir dies mit den Sätzen selbst in § 29 schon ausgeführt haben, und zwar indem man auch diese Beweisführungen gänzlich in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls darstellt. Ganz besonders wären so die Paragraphen 10 und 11 zu berücksichtigen.
Als ein ferneres Exempel sei so noch das Th. 20) hier bewiesen, wobei wir uns des Dualismus halber blos an den einen Teil desselben: Th. 20
×
) (
a b
=
a
) = (
a

b
) zu halten brauchen.
Für diesen führt schon
McColl
9
den Beweis wesentlich in fol- gender Weise. (Es ist:)
Schröder
, Algebra der Logik. II. 19
Einundzwanzigste Vorlesung.
wobei wir das beim Übergang über ein jedes Gleichheitszeichen in Be- tracht gekommne Theorem, eventuell das Prinzip oder die Definition, mit ihrer Chiffre unter demselben angemerkt haben, neben 6̄
×
) und Ī es aber unterliessen, auch das noch mit in Betracht gekommne Th. 1̅6̅
×
) ausdrücklich anzuführen, kraft dessen in der That erst es erlaubt er- scheint, z. B. aus (
a

a
) = 1߭ zu schliessen auf
(
a

a
) (
a

b
) = 1߭ · (
a

b
)
gemäss dem [für
B
= 1߭ in Anspruch zu nehmenden] Schema:
(
A
=
B
)

(
A C
=
B C
)
desselben [in welchem
A
unsre Aussage (
a

a
) und
C
die (
a

b
) hier vertrat].
Analog wäre in etwas kürzerer Darstellung:
der dual entsprechende Beweis für das Th. 20
+
) — welchen wir dem- ungeachtet auch noch hersetzen, gerade um daran zu zeigen, wie man in Praxi abkürzend zuwerke gehen mag. In der Regel wird man in der That auf die Pedanterie verzichten, welche mit peinlicher Sorg- falt alle mit zur Anwendung kommenden Sätze in erschöpfender Voll- ständigkeit zu citiren fordert: man wird als selbstverständlich (resp. auf Grund der Voraussetzungen einer Untersuchung geltende Aussagen- faktoren immer ohne weiteres unterdrücken, oder nach Belieben auch anfügen, ohne sie erst durch die 1߭ dargestellt,
aus
dieser oder
in
diese umgeschrieben zu haben, und ohne sich auf das Th. 2̅1̅
×
) alle- mal ausdrücklich zu berufen.
Stellt — um auch auf den in der Klammer vorstehend angedeu- teten Fall einzugehen — eine Aussage
A
irgend eine Annahme vor, die unter den Voraussetzungen einer zu führenden Untersuchung figu- rirt, so mögen wir etwa
B
die vereinigte Aussage aller übrigen Hypo- thesen von ebendieser nennen, und wird
A B
das Prämissensystem jener Untersuchung sein. Ist dann
C
irgend eine Behauptung, die kraft der Untersuchung notwendig gelten muss, also eine Konklusion aus dem Prämissensysteme, und nennen wir
D
den Komplex aller übrigen Ergebnisse dieser Untersuchung (vereinigt gedacht zu einer Gesamtaussage), so wird
C D
das Konklusionensystem, und der Ansatz:
§ 46. Studien und Aufgaben.
A B

C D
das gesamte Untersuchungsresultat ausdrücken.
Da nun
C D

C
nach Th. 6
×
) ist, haben wir auch nach Pr. II:
A B

C
und dies nach Th. 15
×
) beiderseits mit
A
multiplizirt, gibt wegen 14
×
):
A B

A C
womit gezeigt ist, dass —
unter den Voraussetzungen der Untersuchung
— jeder (als Konklusion) gültigen Behauptung
C
nach Belieben auch
irgend eine A von jenen Voraussetzungen als ein Faktor zugesetzt
werden mag.
Das Umgekehrte versteht sich ebenfalls von selbst: jeder laut Voraussetzung gültige Faktor
A
bei einer Behauptung
A C
kann auch beliebig
unterdrückt
werden. Denn haben wir:
A B

A C
, so folgt wegen
A C

C
auch
A B

C
.
Dies sind Thatsachen, die man beim aussagenrechnerischen Ar- beiten beständig vor Augen haben muss, und die auch
McColl
und
Peirce
schon besonders betonten. —
5.
Aufgabe
.
De Morgan
2
p. 124.
Gegeben: Jedes
a
ist
b
oder aber
c
;
d
ist sowol
b
als auch
c
, ausgenommen wenn
b
ein
e
ist, wo es keins von beiden sein wird.
Man ziehe die Schlussfolgerung: Kein
a
ist
d
.
Auflösung
. Die Data lauten:
a

b c
1
+
b
1
c
, und:
(
b

e
)
1

(
d

b c
), (
b

c
)

(
d

b
1
c
1
),
oder:
b e
1

d
1
+
b c
,
b
1
+
e

d
1
+
b
1
c
1
.
Die vereinigte Gleichung dieser Data lautet:
a
(
b c
+
b
1
c
1
) +
d
{
b c
1
e
1
+
b
1
c
+ (
b
+
c
)
e
} = 0
wo der Inhalt der geschwungenen Klammer auch in
b c
1
+
b
1
c
+
b c e
zusammenziehbar wäre. Um
e
zu eliminiren braucht man hievon nur das letzte Glied zu unterdrücken, und aus der nach
b
und
c
ent- wickelten Resultante:
a
(
b c
+
b
1
c
1
) +
d
(
b c
1
+
b
1
c
) = 0
gibt endlich die Elimination von
b
und
c
zugleich gemäss Zusatz zu Th. 50
+
):
a d d a
= 0 oder
a d
= 0
19*
Einundzwanzigste Vorlesung.
wie zu finden gewesen. Statt
b
und
c
für sich, wenngleich auf ein- mal, zu eliminiren, kann man dies auch mit dem ganzen Ausdruck
b c
1
+
b
1
c
(als
x
betrachet, nebst seiner Negation
b c
+
b
1
c
1
=
x
1
) thun, wo man dann zur Resultante
a d
= 0 ganz unmittelbar geführt wird. —
Wir wollen nunmehr das allgemeine Eliminationsverfahren auch an ein paar komplizirteren Aufgaben illustriren.
6.
Aufgabe
(O. H.
Mitchell
1
p. 85).
Was kann unabhängig von
x
und
y
aus den zwei Prämissen ge- schlossen werden:
1
0
) Entweder einige
a
, die
x
sind, sind nicht
y
, oder alle
d
sind
x
und
y
zugleich;
2
0
) Entweder einige
y
sind sowol
b
als auch
x
, oder alle
x
sind ent- weder nicht
y
, oder
c
und nicht
b
—?
Auflösung
. Der Ansatz lautet: 1
0
· 2
0
) = 1߭, das heisst:
{(
a x y
1
≠ 0) + (
d

x y
)} {(
y b x
≠ 0) + (
x

y
1
+
c b
1
)} = 1߭.
Hier haben wir nur die beiden Subsumtionen noch in Gleichungen zu verwandeln, um Alles durch den Typus der Gleichung und Ungleichung ausgedrückt zu haben. Entweder werden dabei nach § 41 die Glei- chungen mit der rechten Seite 1 angesetzt und dann das Schema
φ
) ibid. angewendet, oder es ist mit rechts auf 0 gebrachten Gleichungen zu operiren, wobei das Schema
τ
) ibid. zur Anwendung zu kommen hat. Wir erhalten nach letzterem Modus:
{[
d
(
x
1
+
y
1
) = 0] + (
a x y
1
≠ 0)} {[
x y
(
b
+
c
1
) = 0] + (
b x y
≠ 0)} = 1߭
und dies gibt links ausmultiplizirt vier Glieder.
Das erste wird: {(
b
+
c
1
)
x y
+
d
(
x
1
+
y
1
) = 0}

{
d y
1
+
d
(
b
+
c
1
)
y
= 0}

{
d
(
b
+
c
1
) = 0} = (
d

b
1
c
) — entsprechend dem von
Mitchell
so genannten „
Boolean
part“ des Ansatzes, welcher keine partikularen Prämissen enthält.
Das zweite Glied wird: {
d
(
x
1
+
y
1
) = 0} {
b x y
≠ 0} = {
d y
1
x
+
d x
1
= 0} {
b y x
+ 0 ·
x
1
≠ 0}


(
d y
1
d
= 0) {
b y
(
d
1
+
y
) + 0 ·
d
1
≠ 0} = (
d y
1
= 0) (
b y
≠ 0) = = (0 ·
y
+
d y
1
= 0) (
b y
+ 0 ·
y
1
≠ 0)

(0 ·
d
= 0) (
b
· 1 + 0 ·
d
1
≠ 0) = (
b
≠ 0), wenn man allemal erst
x
, dann
y
der genannten Regel gemäss eli- minirt [vergl. schon das Th. § 41,
ι
); wir haben die auszuführenden
§ 46. Aufgabe von
Mitchell
.
Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nur einigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben benötigt sein].
Das dritte Glied wird ebenso: {(
b
+
c
1
)
y x
= 0} {
a y
1
x
≠ 0}

{
a y
1
(
y
1
+
b
1
c
) ≠ 0} = (
a y
1
≠ 0)

(
a
≠ 0).
Endlich wird das vierte Glied — nach § 41,
η
):
{
a y
1
x
≠ 0} {
b y x
≠ 0}

(
a y
1
≠ 0) (
b y
≠ 0)

(
a
≠ 0) (
b
≠ 0)
K
,
wo die „Klausel“
K
die Forderung kürzehalber vorstellen soll,
dass die Klassen a und b nicht zugleich einunddasselbe Individuum
(
ausschliess- lich
)
vorstellen dürfen
. Obwol dieses Thema noch nicht systematisch behandelt ist, vielmehr erst in § 49 in Angriff genommen wird, sieht man hier bei einigem Nachdenken doch leicht direkt ein, dass diese Forderung unerlässlich und hinreichend ist, damit es ein
y
geben könne und müsse, welches (bei nicht verschwindenden
a
und
b
) die Relationen
a y
1
≠ 0 und
b y
≠ 0 gleichzeitig erfüllt.
Darnach sind die Data des Problems

der Summe unsrer vier Resultanten, somit:

(
d

b
1
c
) + (
b
≠ 0) + (
a
≠ 0) + (
a
≠ 0) (
b
≠ 0)
K
wo nun aber der letzte Term von den zwei vorhergehenden absorbirt wird — ein Zufall, der Herrn
Mitchell’
s Lösung zugute kommt. Mithin ist
(
b d
= 0) (
d

c
) + (
a
+
b
≠ 0) = 1߭
die gesuchte Konklusion und zwar die volle Eliminationsresultante für
x
,
y
. In Worten:
Entweder
kein
d
ist
b
und alle
d
sind
c
(d. h. alle
d
sind
c
aber nicht
b
),
oder
es gibt
a
oder
b
.
Fernere Elimination von
c
würde blos noch den Wegfall des Faktors (
d

c
) in obiger Resultante bewirken.
Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht, hat für das erste, zweite und dritte Glied bezüglich die Ansätze zu machen:
(
d
1
+
x y
= 1) (
x
1
+
y
1
+
b
1
c
= 1) = {
d
1
(
x
1
+
y
1
) +
b
1
c x y
= 1}

(
d
1
+
b
1
c
= 1)
wo beim Ausmultipliziren der beiden Polynome zur Linken das Glied
b
1
c d
1
absorbirt wurde; resp.: (
d
1
+
x y
= 1) (
b x y
≠ 0) = {(
d
1
+
y
)
x
+
d
1
x
1
= 1} (
b y x
+ 0 ·
x
1
≠ 0)


(
d
1
+
y
+
d
1
= 1) {
b y
(
d
1
+
y
) + 0 ·
d
1
≠ 0} = (
d
1
+
y
= 1) (
b y
≠ 0) = = (1 ·
y
+
d
1
y
1
= 1) (
b y
+ 0 ·
y
1
≠ 0)

(1 +
d
1
= 1) (
b
· 1 + 0 ·
d
1
≠ 0) = (
b
≠ 0);
Einundzwanzigste Vorlesung.
(
x
1
+
y
1
+
b
1
c
= 1) (
a x y
1
≠ 0) = {(
y
1
+
b
1
c
)
x
+ 1 ·
x
1
= 1} (
a y
1
x
+ 0 ·
x
1
≠ 0}


(
y
1
+
b
1
c
+ 1 = 1) {
a y
1
(
y
1
+
b
1
c
) + 0 · 1 ≠ 0} = (
a y
1
≠ 0) = (0 ·
y
+
a y
1
≠ 0)


(0 +
a
≠ 0) = (
a
≠ 0) während für das vierte Glied der nämliche Ansatz bleibt wie oben. Dies einmal zur Vergleichung der beiden Verfahrungsweisen!
Das Resultat befindet sich in Übereinstimmung mit demjenigen
Mit- chell’
s. Obwol derselbe die Klausel
K
übersieht und auch, wie in § 41 gezeigt, eine zur Gewinnung der vollen Resultante nicht ausreichende Methode anwendet, rächen sich diese beiden Umstände in dem vorliegenden Exempel aus leicht erkennbaren (zum Teil vorhin angedeuteten) Gründen nicht, und gilt dasselbe auch von seiner Lösung der nachfolgenden Auf- gabe, welche ich bezeichne als
7. Herrn O. H.
Mitchell’
s
Nebelbilderproblem
1
p. 93 ‥ 95.
Sechs ebene Figuren
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
auf einer Tafel (Fläche, Ge- sichtsfeld) verändern während einer Stunde (1߭) beständig ihre Grösse, Gestalt und Lage unter den folgenden Einschränkungen.
I
0
. Die Fläche, welche
c
und
d
zusammen bedecken, ist stets ein- geschlossen in der Fläche, welche
a
und
b
zusammen überdecken,
oder
auch: manchmal (d. i. während eines gewissen Teils der Stunde) fällt
e
mit dem gemeinsamen Flächenteile von
d
und
f
zusammen.
II
0
. Der Teil von
a
, welcher ausserhalb
e
fällt ist stets enthalten in dem über
b
hinaus fallenden Teile der
d
und
f
gemeinsamen Fläche,
oder
auch: während der ganzen Stunde trifft es für einen Teil der Tafel zu, dass alle darin befindlichen Teile von
b
zugleich in
c
und
e
hineinfallen.
III
0
.
Entweder
verschwinden
a
und
d
, während
e
die ganze Tafel bedeckt,
oder
die Tafel
Kleine Unklarheit im Texte: mit „it“ könnte auch
e
gemeint sein.
wird stets von
b
oder
c
überdeckt.
Was kann nun
erstens
über die Beziehungen zwischen
a
,
c
,
e
und
f
unabhängig von
b
und
d
geschlossen werden;
zweitens
welche Beziehungen folgen zwischen
a
,
c
,
e
ohne Rücksicht auf
b
,
d
,
f
?
Auflösung
. Der Ansatz des Problemes drückt sich durch die Relation aus:
I
0
. II
0
. III
0
= 1߭, in welcher bedeutet: I
0
= (
c
+
d

a
+
b
) + {(
e
=
d f
) ≠ 0}, II
0
= (
a e
1

d f b
1
) + (
b c e
≠ 0),
III
0
= (
a
= 0) (
d
= 0) (
e
= 1) + (
b
= 1) + (
c
= 1), oder, für die nachherigen Rechnungszwecke umgeformt:
§ 46.
Mitchell’
s Nebelbilderproblem.
I
0
= {
a
1
b
1
(
c
+
d
) = 0} + {(
d f e
1
+ (
d
1
+
f
1
)
e
= 0) ≠ 0}, II
0
= {
a e
1
(
b
+
d
1
+
f
1
) = 0} + (
b c e
≠ 0),
III
0
= (
a
+
d
+
e
1
= 0) + (
b
1
= 0) + (
c
1
= 0).
Von den beiden Teilden von I
0
herrührend haben wir eigentlich zwei Probleme, wobei die Lösung des ersten sich auf die ganze Stunde, die des zweiten aber auf einen von 0 verschiedenen, sonst aber unbe- stimmten Teil der Stunde sich beziehen wird.
Diese beiden Teile sondern sich beim Ausmultipliziren von selbst, so- dass ich es bei Problemen dieser Gattung für
überflüssig
halten muss (worauf indess Herr
Peirce
8
bei der Logik der Beziehungen so grosses Gewicht legt, p. 194 oben) mit Herrn
Mitchell
eigens doppelte Indices einzuführen und den Aussagen als Suffixa beizusetzen, deren erster sich auf das Universum der Klassen, deren zweiter sich auf das Universum der Zeit (resp. der Gelegenheiten zu Aussagen) beziehen sollte (und als 1 an- zusetzen wäre für die in genannter Hinsicht universalen, als
u
oder
v
für partikulare Aussagen).
Bezeichnen wir mit I
1
, I
2
, II
1
, II
2
, III
1
, III
2
, III
3
die verschiedenen Glieder der vorstehend zerlegten drei simultanen Prämissen, so er- halten wir beim Ausmultipliziren die nachstehend angegebenen Partial- produkte, aus denen wir
erst b
und
d
,
zuletzt f
regelrecht eliminiren — cf.
υ
) des § 41.
I
1
II
1
III
1
= (
a
+
b
1
c
+
d
+
e
1
= 0)

(
a
+
d
+
e
1
= 0)

(
a
+
e
1
= 0)
I
1
II
1
III
2
= (
b
1
+
a e
1
= 0)

(
a e
1
= 0)
I
1
II
1
III
3
= {
c
1
+
a
1
b
1
+
a e
1
(
b
+
d
1
+
f
1
) = 0}

{
c
1
+
a e
1
(
d
1
+
f
1
) = 0}


(
c
1
+
a e
1
f
1
= 0)

(
c
1
= 0)
I
1
II
2
III
1
= (
a
+
d
+
e
1
+
b
1
c
= 0) (
b c e
≠ 0)

(
a
+
e
1
+
b
1
c
= 0) (
b c e
≠ 0)


(
a
+
e
1
= 0) (
a
1
c e
≠ 0)
I
1
II
2
III
2
= (
b
1
= 0) (
b c e
≠ 0)

(
c e
≠ 0)
I
1
II
2
III
3
= (
c
1
+
a
1
b
1
= 0) (
b c e
≠ 0)

(
c
1
= 0) (
c e
≠ 0).
Vom dritten Produkt hat man, solange nur
b
,
d
eliminirt sein sollen, die vorletzte, falls
b
,
d
und
f
zu eliminiren sind aber die letzte der an- gegebenen Resultanten zu nehmen, bei allen übrigen Produkten gilt die letzte Resultante für beide Fälle.
Wird die Summe der Resultanten gebildet, so geht das sechste Glied im fünften, das vierte im ersten augenscheinlich ein; dieses erste jedoch wird selbst vom zweiten absorbirt, indem (
a
+
e
1
= 0) =(
a e
1
+
a e
+
a
1
e
1
= 0) = (
a e
1
= 0) (
a e
= 0) (
a
1
e
1
= 0)

(
a e
1
= 0) ist, sonach lautet die Resultante für die Elimination von
b
und
d
:
Einundzwanzigste Vorlesung.
(
a e
1
= 0) + (
c
1
+
a e
1
f
1
= 0) + (
c e
≠ 0) = 1߭,
oder
ν
)
(
a

e
) + (
c
= 1) (
a

e
+
f
) + (
c e
≠ 0) = 1߭,
und für die Elimination von
b
,
d
,
f
, wo nur der zweite Term durch (
c
1
= 0) zu ersetzen ist:
ξ
)
(
a

e
) + (
c
= 1) + (
c e
≠ 0) = 1߭.
Dies sind die Antworten auf die gestellten Fragen, soweit sie den ersten Teil des Problems betreffen, nämlich sich auf die ganze Stunde 1߭ beziehen.
Behufs Ermittelung des andern Teils der Lösung lassen wir das „≠ 0“ bei I
2
zunächst unbeachtet und berücksichtigen es erst wieder beim Gesamtergebnisse. Alsdann werden die Partialprodukte mit den zugehörigen Resultanten:
I
2
II
1
III
1
= (1 = 0) = 0
I
2
II
1
III
2
= (
b
1
+
a e
1
+
d e
1
f
+
d
1
e
+
e f
1
= 0)

(
a e
1
+
e f
1
= 0)

(
a e
1
= 0)
I
2
II
1
III
3
= (
c
1
+
a b e
1
+
a d
1
+
a f
1
+
d e
1
f
+
d
1
e
+
e f
1
= 0)


(
c
1
+
a e
1
+
e f
1
= 0)
Diese Vereinfachung zu erzielen erfordert ein wenig Rechnung: Anwendung des Th.
ι
) des § 18.

(
a e
1
+
c
1
= 0)
I
2
II
2
III
1
= (1 = 0) (
b c e
≠ 0) = 0
I
2
II
2
III
2
= (
b
1
+
d e
1
f
+
d
1
e
+
e f
1
= 0) (
b c e
≠ 0)

(
b
1
+
e f
1
= 0) (
b c e
≠ 0)


(
e f
1
= 0) (
c e f
≠ 0)

(
c e
≠ 0)
I
2
II
2
III
3
= (
c
1
+
d e
1
f
+
d
1
e
+
e f
1
= 0) (
b c e
≠ 0)

(
c
1
+
e f
1
= 0) (
b c e
≠ 0)


(
c
1
+
e f
1
= 0) (
c e f
≠ 0)

(
c
1
= 0) (
c e
≠ 0)
Unter Fortlassung des ersten und vierten Partialproduktes, welches un- möglich stattfinden kann, haben wir als Summe der vorletzten Resultanten, d. h. solange
f
noch nicht eliminirt ist:
(
a c
1
+
e f
1
= 0) + (
e f
1
= 0) (
c e f
≠ 0) ≠ 0
indem von den vier stehenbleibenden Gliedern das zweite im ersten, das vierte im dritten eingeht nach dem Schema:
(
α
+
β
= 0) = (
α
= 0) (
β
= 0)

(
α
= 0).
Ebenso entsteht nach Elimination auch des
f
:
(
a e
1
= 0) + (
c e
≠ 0) ≠ 0,
und mag man behufs verbaler Interpretation die beiden Resultate schreiben:
§ 46. Studien über Theoreme von Peirce.
ο
)
(
e

f
) {(
a

e
) + (
c e
≠ 0)} ≠ 0
— indem wegen
e

f
auch
e f
=
e
sein wird, resp.
π
)
(
a

e
) + (
c e
≠ 0) ≠ 0.
Die Ergebnisse
ν
),
ο
), sodann
ξ
),
π
) lehren in Worten:
Entweder
während der ganzen Stunde ist
a
ganz in
e
enthalten, oder
c
bedeckt die ganze Tafel während
a
von
e
nebst
f
überdeckt wird, oder
c
und
e
haben einen Teil gemein,
Oder
während eines Teils der Stunde („manchmal“) ist
e
ganz in
f
eingeschlossen, während (entweder)
a
in
e
eingeschlossen erscheint, oder
c
und
e
in einander greifen.
Beziehungsweise:
Immer ist
a
in
e
enthalten oder
c
bedeckt die Tafel oder ragt in
e
hinein,
oder
(nur) manchmal ist
a
in
e
enthalten oder ragt
c
in
e
hinein.
Da (
A
= 1߭)

(
A
≠ 0), so wird man in
ξ
) den ersten und dritten Term gegen die beiden in
π
) weglassen können, und kann letzteres Resul- tat einfacher darstellen durch:
Entweder
c
bedeckt stets die ganze Tafel oder manchmal ist
a
in
e
enthalten oder ragt
c
in
e
hinein.
8. Studie.
In
5
p. 34 u. 35 gibt
Peirce
in der Formelsprache des Aussagen- kalkuls ein paar Theoreme des Gebietekalkuls, denen ich in nächster Nummer ein paar analoge zugesellen werde. Für alle viere, die von eigentümlicher Beschaffenheit sind, vermag ich aber keine Gelegenheit für ihre Anwendung oder etwaige Verwertung abzusehn, sodass sie hier nur als Kuriosa des identischen Kalkuls und Übungen im Aus- sagenkalkul dargestellt und bewiesen werden sollen.
Herrn
Peirce’
s Theoreme lauten:
ϱ
×
) (
a b

c
) =
(
a

p
) (
b

q
)
ϱ
+
) (
c

a
+
b
) =
(
p

a
) (
q

b
)
wo die Summe jeweils auszudehnen ist über alle möglichen Gebiete
p
,
q
welche die unter das Summenzeichen gesetzte Gleichung erfüllen.
Noch besser, vielleicht, wird man die Theoreme so schreiben:
σ
(
a b

c
) =
(
p q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
)
(
c

a
+
b
) =
(
p
+
q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
)
wo die Summen auszudehnen sind, sich erstrecken sollen über alle denkbaren Gebietepaare
p
,
q
.
Dass dieses auf das vorige hinauskommt, wird klar, wenn man — z. B. links vom Mittelstriche — bedenkt, dass für jedes Wertepaar
p
,
q
, für welches etwa
p q
≠
c
ist, der Faktor (
p q
=
c
) = 0 sein, mit-
Einundzwanzigste Vorlesung.
hin das betreffende Glied verschwinden, sozusagen von selbst in der Summe fehlen wird.
Beweis
der Theoreme (nach
Peirce
).
Wenn
a

p
und zugleich
b

q
, so folgt nach Th. 17
×
):
a b

p q
und für
p q
=
c
folgt also nach Th. 2):
a b

c
. Das heisst, es ist zu einer ein- zigen Aussage zusammengefasst: (
p q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
)

(
a b

c
). Da diese Subsumtion nun für jedes Wertepaar
p
,
q
gilt, so folgt durch Summirung aus der für alle diese Paare hingeschrieben gedachten Sub- sumtion nach Th. 17
+
) und 14
+
) — oder unmittelbar gemäss Def. (3̄
+
)':
Σ
(
p q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
)

(
a b

c
). Umgekehrt, wenn
a b

c
ist, so muss
c
+
a b
=
c
sein nach Th. 20
+
). Es ist aber
c
+
a b
= (
c
+
a
) (
c
+
b
). Sonach ist erkannt, dass: (
a b

c
)

{(
c
+
a
) (
c
+
b
) =
c
}. Nennen wir hier:
c
+
a
=
p
,
c
+
b
=
q
, wo dann also
p q
=
c
sein wird, so ist
für diese p
,
q
zugleich
a

p
und
b

q
nach Th. 6
+
), mithin gilt: (
a b

c
)

(
p q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
) wenigstens für jene gewissen
p
,
q
. Das Glied rechterhand ist aber nach Th. 6
+
)

jeder Summe, die es ent- hält, folglich auch a fortiori: (
a b

c
)

Σ (
p q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
).
Nach 17
+
) ist: (
p

a
) (
q

b
)

(
p
+
q

a
+
b
). Dies beiderseits mit (
p
+
q
=
c
) mul- tiplizirt und rechts beachtet, dass nach Th. 3): (
c
=
p
+
q
) (
p
+
q

a
+
b
)

(
c

a
+
b
) sein muss, gibt nach Prinzip II: (
p
+
q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
)

(
c

a
+
b
), und wenn dies für alle
p
,
q
hinge- schrieben gedacht wird, nach Def. (3̄
+
)' in ihrer bekannten Erweiterung auf unbegrenzt viele Terme:
Σ
(
p
+
q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
)

(
c

a
+
b
). Ferner haben wir: (
c

a
+
b
) = {
c
(
a
+
b
) =
c
} =

(
a c
+
b c
=
c
) nach Th. 20
×
) und 27
×
). Nennen wir
a c
=
p
,
b c
=
q
, so wird erstlich
p

a
,
q

b
nach Th. 6
×
) sodann, wie eben gezeigt:
p
+
q
=
c
sein und gilt im ganzen: (
c

a
+
b
)

(
p
+
q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
). [Rechnerisch erhalten wir dies aus dem vorigen Ergebnisse durch beider- seitiges Multipliziren mit: 1߭

(
a c

a
) (
b c

b
) unter Einsetzung der Werte von
p
,
q
.] Und da nun das Glied wieder der Summe eingeordnet, so muss sein: (
c

a
+
b
)

Σ
(
p
+
q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
).
Das Theorem ist hiermit als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen und muss nach Def. (1) folglich als Gleichung gelten. —
§ 46. Analoga zu
Peirce’
s Theoremen.
9.
Fortsetzung
.
Meine Analoga zu den Theoremen
σ
) lauten:
τ
(
c

a b
) =
(
p q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
) | | (
a
+
b

c
) =
(
p
+
q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
)
und könnten dieselben auch in einer der
Peirce’
schen
ϱ
) noch näher kommenden Gestalt angeschrieben werden, indem man wieder den ersten Faktor des allgemeinen Gliedes nur als Bedingung („Erstreckung“) unter das Summenzeichen setzte.
Beweis
derselben.
Nach 17
×
) ist: (
p

a
) (
q

b
)

(
p q

a b
) und dies nach Th. 1̅5̅
×
) beiderseits mit der den Namen
c
einführenden Gleichung (
p q
=
c
) multiplizirt, gibt, wenn man rechts berücksichtigt dass nach Th. 3): (
c
=
p q
) (
p q

a b
)

(
c

a b
) ist, nach II: (
p q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
)

(
c

a b
), wo der linken Seite nach Def. (3̄
+
)' nun auch ein
Σ
zeichen vorange- schrieben werden kann. Ferner ist nach Th. 20
×
): (
c

a b
) = (
c
·
a b
=
c
) =

(
c a
·
c b
=
c
). Nennen wir nun
c a
=
p
,
c b
=
q
, so ist gefolgert:
p q
=
c
und muss zu- gleich nach Th. 6
×
) sein:
p

a
und
q

b
, sonach im ganzen: (
c

a b
)

(
p q
=
c
) (
p

a
) (
q

b
) wenigstens für
diese p, q
. Hier darf nun rechts auch ein
Σ
vorgeschrieben werden weil das Glied der Summe eingeordnet,
Nach 17
+
) ist: (
a

p
) (
b

q
)

(
a
+
b

p
+
q
) und dies mit (
p
+
q
=
c
) beiderseits nach Th. 1̅5̅
×
) multiplizirt wird wegen (
a
+
b

p
+
q
) (
p
+
q
=
c
)

(
a
+
b

c
) — nach Th. 2) — geben: (
p
+
q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
)

(
a
+
b

c
) und lässt sich links hier auch ein Summenzeichen vorschreiben aus dem schon wiederholt angeführten Grunde. Desgleichen ist nach Th. 20
+
): (
a
+
b

c
) = {(
a
+
b
) +
c
=
c
} =

{(
a
+
c
) + (
b
+
c
) =
c
}. Wird
a
+
c
=
p
,
b
+
c
=
q
ge- nannt, so ist gefunden:
p
+
q
=
c
, zugleich nach Th. 6
+
)
a

p
und
b

q
mithin (
a
+
b

c
)

(
p
+
q
=
c
) (
a

p
) (
b

q
) für die vorstehend definirten
p
,
q
. Der rechten Seite darf man unbe- schadet der Gültigkeit der Subsum- tion ein
Σ
vorsetzen,
und ist hienach das Theorem als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen; es muss als Gleichung gelten.
Einundzwanzigste Vorlesung.
Anmerkung
1.
In den Theoremen
ϱ
) oder
σ
) darf, wie leicht zu sehen, die Gleichung
p q
=
c
resp.
p
+
q
=
c
auch durch die Subsumtion
p q

c
resp.
c

p
+
q
,
desgleichen in denen
τ
) durch
c

p q
resp.
p
+
q

c
ersetzt werden.
Bei den Umkehrungen (oder zweiten Teilen der Beweise) ist nur zu beachten, dass (
p q
=
c
)

(
p q

c
) nach Def. (1) und Th. 6̄
×
ist, etc.
Anmerkung
2.
Durch Kontraposition ergeben sich aus den vier Theoremen
σ
) und
ϱ
) — oder
τ
) und Gegenstück — noch vier entsprechende Formeln welche auf Un-Subsumtionen bezüglich sind und Produkte
Π
von Summen [Binomen oder Trinomen je nachdem man
ϱ
) oder
σ
), etc. konvertirt] aufweisen.
Die ersten beiden von diesen führt
Peirce
p. 37 an, doch über- lassen wir ihren Ansatz dem Leser.
10.
Aufgabe
.
x
zu eliminiren aus den beiden Unsubsumtionen:
a x

b
oder
a

b
+
x
1
und
c

d
+
x
oder
c x
1

d
.
Dass die nebeneinanderstehenden von diesen äquivalent sein müssen, folgt durch Kontraposition gemäss Th. 3̅2̅) aus Th. 41). Wir mögen uns darum an die erste Form einer jeden halten.
Auflösung
. Nun ist
(
a x

b
) (
c

d
+
x
) = (
a x

b
)
1
(
c

d
+
x
)
1
= (
a b
1
x
= 0)
1
(
c d
1
x
1
= 0)
1
= = (
a b
1
x
≠ 0) (
c d
1
x
1
≠ 0).
Um hieraus
x
zu eliminiren, haben wir das Schema
η
) des § 41 an- zuwenden als den hier in Betracht kommenden und schon ausreichenden Spezialfall des allgemeinen Eliminationstheorems
τ
) daselbst.
Darnach ergibt sich als die Resultante:
(
a b
1
+ 0 ≠ 0) (0 +
c d
1
≠ 0), = (
a b
1
≠ 0) (
c d
1
≠ 0), = = (
a

b
) (
c

d
).
§ 46. Studien zu
Peirce’
s Methode.
Dies ist aber blos die Resultante „aus dem Rohen“. Um sie zur vollen Resultante zu machen ist noch erforderlich und hinreichend, dass man derselben eine Klausel
K
als Faktor beifüge. Obwol wir uns die systematische Entwickelung derselben erst in § 49 vornehmen, sei sie doch für den vorliegenden Fall hier angegeben, da sie un- schwer auch mit dem gemeinen Verstande zu begreifen.
Die Klausel
K
fordert, dass falls die Klassen
a b
1
und
c d
1
sich je auf ein einziges Individuum zusammenziehen sollten, dieses nicht bei beiden das nämliche Individuum sein darf.
Andernfalles müsste ja dieses eine Individuum den Klassen
x
und
x
1
gleichzeitig angehören (damit eben
a b
1
x
≠ 0 und zugleich
c d
1
x
1
≠ 0 sein könnte) — was unmöglich.
Sonach wäre, wenn
K
den Inhalt jener Forderung bedeutet:
(
a

b
) (
c

d
)
K
die volle Resultante.
Auch abgesehen von der Klausel jedoch ist zu sehen, dass die Resultante nicht etwa erhältlich ist, indem man die von
Peirce
an- gegebene Resultante aus den unverneinten Subsumtionen
(
a x

b
) (
c

d
+
x
),
das ist die Subsumtion (
a c

b
+
d
) — vergl. § 27, Bd. 1, S. 577 — einfach negirte. Hierdurch würde nämlich entstehen:
a c

b
+
d
oder
a c b
1
d
1
≠ 0.
Nach dem entsprechenden Schema aus § 40,
α
) ist aber nur:
(
a b
1
·
c d
1
≠ 0)

(
a b
1
≠ 0) (
c d
1
≠ 0),
somit
(
a c

b
+
d
)

(
a

b
) (
c

d
)
und findet im allgemeinen keineswegs Äquivalenz statt. Die Figur 24 z. B. zeigt, dass sehr wohl
a

b
und zugleich
c

d
sein kann, ohne dass doch
a c

b
+
d
zu sein brauchte, da im Gegen- teil das vorstehend schraffirte
a c

b
+
d
, ja schon

b
hier ist.
Aus den Prämissen des Problems darf nun blos auf
K
(
a

b
) (
c

d
) geschlossen werden, keineswegs aber auf
a c

b
+
d
, was eine in Hinsicht des fehlenden Faktors
K
noch unvollständige, in jeder
Fig. 24.
andern Hinsicht aber
viel zu weit
gehende und darum unberechtigte Behauptung sein würde — im Gegensatz zu den
Mitchell’
schen zwar richtigen aber nicht weit genug gehenden Resultanten.
Einundzwanzigste Vorlesung.
11.
Aufgabe
.
x
zu eliminiren aus den beiden negirten Subsumtionen:
a x

b
oder
a

b
+
x
1
und
c x

d
oder
c

d
+
x
1
.
Auflösung
. Da
(
a x

b
) (
c x

d
) = (
a b
1
x
≠ 0) (
c d
1
x
≠ 0)
so ergibt sich ähnlich wie bei der vorigen Aufgabe: (
a b
1
+ 0 ≠ 0) (
c d
1
+ 0 ≠ 0), = (
a b
1
≠ 0) (
c d
1
≠ 0) oder (
a

b
) (
c

d
) als die Resultante aus dem Rohen. Diese ist aber jetzt selbst auch schon die volle Resultante. Eine Klausel tritt nicht hinzu, oder wenn wir eine solche fingiren wollen, ist sie als
K
= 1߭ zu denken. Es wird hier nämlich immer ein
x
, =
a b
1
+
c d
1
, geben, welches die Prä- missen erfüllt.
Hienach ist bemerkenswert, dass während die unnegirten Subsum- tionen
a x

b
und
c x

d
als solche von derselben Form nach
Peirce’
s Wahrnehmung
keine
Resultante (der Elimination des
x
) er- gaben (es sei denn: 0 = 0), die negirten oder Unsubsumtionen doch eine solche liefern und zwar, bis auf die Klausel, die nämliche Resul- tante, wie wenn die eine von ihnen in die andere Kategorie gehörte (das
x
nicht im Minor, sondern im Major gehabt hätte).
Ob es nun nach den bei dieser und der vorigen Aufgabe ge- machten Wahrnehmungen (denen weitere betreffs der Elimination aus Sub- nebst Unsubsumtion anzureihen wären) möglich und lohnend sein würde, die in § 27 dargelegte
Peirce’
sche Methode nach des letzteren Absichten auch auf die durch Zulassung von Unsubsumtionen er- weiterten Probleme auszudehnen, müssen wir noch dahin gestellt sein lassen.
12.
Studie
.
Jevons
9
p. 207.
Von den Data:
Keines der
a
ist
b
ausser denjenigen (
a
), die
c
und
d
zugleich sind; von diesen aber sind
nur einige b
;
Entweder
c
oder
d
fehlt nie, ausgenommen wo
a
oder
b
vorliegt, in welchem Falle sie (d. h.
c
und
d
) beide fehlen — verlangt
Jevons
blos die Einkleidung.
Dieser Aufgabe ist aber seine Symbolik, weil sie über ein negirtes Beziehungszeichen nicht verfügt und sich zum Aussagenkalkul noch nicht
§ 46. Studie.
emporgearbeitet, entfernt nicht gewachsen. Er begnügt sich darum auch mit blossen Andeutungen und Vermutungen.
Wir erhalten in möglichst engem Anschluss an den Worttext:
{
a
(
c d
)
1

b
1
} (
a c d b
≠ 0) (
a c d b
1
≠ 0) [(
a
+
b
)
1
≠ 0)


(
c
1
= 0) + (
d
1
= 0)] (
a
+
b

c
1
d
1
).
Der erste Faktor, besagend: diejenigen
a
, welche nicht »
c
und
d
zu- gleich« sind, sind nicht-
b
(m. a. W. keines derselben ist
b
) wird sich in
a b
(
c
1
+
d
1
) = 0 umschreiben lassen.
Ebenso der vierte Faktor welcher besagt: falls nicht »
a
oder
b
«, d. h. falls weder
a
noch
b
vorliegt, so fehlt entweder
c
nie oder es fehlt
b
nie, in
(
a
1
b
1
≠ 0)

(
c
= 1߭) + (
d
= 1߭), resp.
a
1
b
1

c
+
d
oder
a
1
b
1
c
1
d
1
= 0
— wozu jedoch nachher noch eine Bemerkung vonnöten.
Endlich ist der letzte Faktor besagend, dass wo
a
oder
b
vorliegt,
c
und
d
beide fehlen, zu schreiben als (
a
+
b
) (
c
+
d
) = 0 und gibt die ver- einigte Gleichung der drei bisher erwähnten Faktoren:
(
a
+
b
) (
c
+
d
) +
a b
(
c
1
+
d
1
) +
a
1
b
1
c
1
d
1
= 0,
oder
a
(
b
+
c
+
d
) +
a
1
{
b
(
c
+
d
) +
b
1
c
1
d
1
} = 0,
noch besser, rechts auf 1 gebracht:
a b
1
c
1
d
1
+
a
1
{
b c
1
d
1
+
b
1
(
c
+
d
)} = 1.
Der zweite Faktor des Ansatzes besagte, dass einige
a c d
(einige
a
die
c
und
d
zugleich sind)
b
seien, der dritte Faktor, dass einige
a c d
auch nicht-
b
seien, womit im ganzen wiedergegeben ist, dass
nur
einige
a c d
auch
b
sind.
Schreibt man nun die vereinigte Aussage der Data innerlich nach allen Symbolen entwickelt wie folgt:
(
a b
1
c
1
d
1
+
a
1
b c
1
d
1
+
a
1
b
1
c d
+
a
1
b
1
c d
1
+
a
1
b
1
c
1
d
= 1) (
a b c d
≠ 0) (
a b
1
c d
≠ 0),
so ist dieselbe zur Elimination irgend einer Symbolgruppe vorbereitet.
Wir geben die volle Resultante der Elimination zunächst von
a
. Diese lautet:
(
b
1
+
c
1
d
1
= 1) (0 ≠ 0) (0 ≠ 0)
wo die 0 links im zweiten Faktor aus
b c d
·
b
1
c
1
d
1
im dritten aus
b
1
c d
·
b
1
c
1
d
1
entstanden ist — und lässt durch ihre beiden letzten Faktoren erkennen, dass das System der Data ein
inkonsistentes
sein muss.
In der That garantirt der letzte Faktor des Ansatzes, dass unter anderm auch
a b c d
= 0 sei im Widerspruch zum zweiten Faktor desselben.
Die Unverträglichkeit ist
Jevons
entgangen.
Bemerkt muss aber noch werden, dass die Fassung der Data an Un- klarheit leidet, indem im ersten Absatz von
a
,
b
,
c
,
d
als Klassen oder Gattungsnamen die Rede ist, der Logik des Umfangs entsprechend im zweiten Alinea jedoch ebendavon als von (den) Merkmalen (welche solchen Gattungen zukommen) entsprechend einer Logik des Inhaltes.
Einundzwanzigste Vorlesung.
13.
Aufgabe
,
McColl
Math. Quest. vol. 34, p. 40 und 41, ge- löst von C. J.
Monro
.
Aus den Prämissen (die
aussagenrechnerisch
interpretirt zu denken sind)
a b f

c x
+
d e y
,
a f
1
y

c x
1
+
d
1
e
sollen
x
und
y
eliminirt werden.
Auflösung
. Man findet nach irgend einer der zur Verfügung stehenden Methoden:
a b f

c
+
d e
. —
Recht bequem ist hier
McColl’
s Verfahren, Bd. 1, S. 591, ein wenig nach
Peirce
modifizirt: Man schreibt behufs Elimination des
y
die beiden Prämissen in Gestalt der drei Subsumtionen an:
a b f
(
c
1
+
x
1
)

d e
y
,
a f
1
(
c
1
+
x
) (
d
+
e
1
)

y
1
.
Überschiebendes Multipliziren der beiden letzten gibt hier, wegen der links konkurrirenden Faktoren
f
und
f
1
, blos eine Identität 0

0. [Bei meiner Methode hätte man genau die gleiche Wahrnehmung an den Koef- fizienten von
y
1
und
y
in der rechts auf 0 gebrachten vereinten Gleichung zu machen gehabt.] Resultante nach
y
ist daher die erste der obigen drei Subsumtionen, welche zerfällt in die zweie
a b f c
1
a b f x
1

d e
und da der letzteren von diesen:
a b f
(
d
1
+
e
1
)

x
nur 0

x
1
gegenüber- gestellt werden kann, so ist schon die erste von ihnen die gesuchte Resul- tante nach
x
.
14. Studie. (Nochmals
McColl’
s Methode.)
Um zum Zweck der Methodenvergleichung
McColl’
s Zuwerke- gehen vollständig erläutert zu haben, will ich auch wenigstens
eine
komplizirtere Aufgabe hier genau in seiner Weise aussagenrechnerisch behandeln, wie solche Bd. 1, S. 592 im Kontexte bereits theoretisch von mir charakterisirt worden, und wähle ich dazu die 28. Aufgabe des § 25, ibid. S. 552, bei der aus dem Aussagenprodukte
F
(
x
,
y
) = (
a b x

c d e
) (
b c y

d e
) {
c
+
d
+
e
1

(
a
1
+
b
+
x
) (
b
1
+
c
+
y
)} (
a
1
x
=
b
1
y
) das Symbol
y
zu eliminiren,
x
zu berechnen gewesen.
Wenn man will, so kann man schon allgemein nach den Schemata
μ
) des § 32 diese ganze Aussage in ein
Klassen
symbol (in „ihre Gültigkeits- klasse“) umschreiben wie folgt:
F
(
x
,
y
) = (
a
1
+
b
1
+
x
1
+
c d e
) (
b
1
+
c
1
+
y
1
+
d e
) {
c
1
d
1
e
+ (
a
1
+
b
+
x
) (
b
1
+
c
+
y
)} · · {
a
1
b
1
x y
+ (
a
+
x
1
) (
b
+
y
1
)}.
§ 46. Nochmals
McColl’
s Methode.
Wenn man es dagegen vorzieht — und dieses scheint
McColl
zu thun — so braucht solches Umschreiben nur für die Werte 0 und 1 von
x
oder
y
nach Bedarf ausgeführt zu werden. Der Gang der Rechnung ist nämlich einfach dieser. Man hat:
x y

F
(1, 1)
x
1
y

F
(0, 1)
x y
1

F
(1, 0)
x
1
y
1

F
(0, 0)
woraus durch überschiebendes Addiren:
x

F
(1, 1) +
F
(1, 0),
x
1

F
(0, 1) +
F
(0, 0)
und sich mittelst Kontraposition die Lösung in
McColl’
scher Ansatzweise ergeben wird als:
F
1
(1, 1)
F
1
(1, 0)

x
1
,
F
1
(0, 1)
F
1
(0, 0)

x
.
Die Ausführung gestaltet sich im Hinblick auf die Theoreme 21) und 22) etc. wie folgt:
x y

(
a
1
+
b
1
+
c d e
) (
b
1
+
c
1
+
d e
) (
a
1
b
1
+
a b
) =
a
1
b
1
+
a b c d e
,
x y
1

(
a
1
+
b
1
+
c d e
) (
c
1
d
1
e
+
b
1
+
c
)
a
=
a
(
b
1
+
c d e
),
x

b
1
+
a c d e
,
b
(
a
1
+
c
1
+
d
1
+
e
1
)

x
1
;
x
1
y

(
b
1
+
c
1
+
d e
) (
c
1
d
1
e
+
a
1
+
b
)
b
=
b
(
c
1
+
d e
),
x
1
y
1

c
1
d
1
e
+ (
a
1
+
b
) (
b
1
+
c
) =
a
1
b
1
+
a
1
c
+
b c
+
c
1
d
1
e
,
x
1

b
+
a
1
+
c
1
d
1
e
,
a b
1
(
c
+
d
+
e
1
)

x
.
So originell diese Methode ist, so sticht der behufs ihrer Anwendung geforderte Arbeitsaufwand doch unvorteilhaft ab schon gegen den bei seiner Lösung der vorstehenden Aufgabe (siehe l. c.) von
Monro
geforderten, obwol dieser sich noch der schwerfälligen
Boole’
schen Schemata bedient (auch abgesehen davon, dass er für die bekannten Parameter
c d e
und
c
+
d
+
e
1
des Problems von vornherein kürzere Zeichen einführt). —
Ich möchte hier übrigens das auf S. 559 des Bd. 1 von mir Ge- sagte in etwas modifiziren. Dort hatte ich diejenige Methode Herrn
McColl’
s im Auge, welche er allgemein schematisirt hat, wie S. 591 geschildert — welche er aber nicht anwendet!
Wogegen das praktisch von ihm bethätigte vorstehend illustrirte Verfahren (Kontext der S. 592) allerdings verdient, als eine
vierte
von den übrigen wesentlich verschiedene und obzwar selten, so doch zu- weilen auch vorteilhaftere
Methode
anerkannt zu werden. —
15.
Aufgabe
,
McColl
, Math. Questions, vol. 34, p. 69.
Unter welcher Voraussetzung dürfen wir auf Grund der drei Aus- sagensubsumtionen („implications“):
Schröder
, Algebra der Logik. II. 20
Einundzwanzigste Vorlesung.
a b
1
+
a
1
b

d x
,
a x
+
b y

c
,
c d

y
den Schluss ziehen, dass entweder
x oder aber y
gelten müsse.
Auflösung
. Es handelt sich darum, das (von
x
und
y
freie) Sub- jekt zu dem gegebnen Prädikate
x y
1
+
x
1
y
zu finden.
Um dieses systematisch nach der im Zusatz 4 zu Th. 50) von
Boole
gegebnen Methode zu thun, adjungiren wir zu dem Prämissensysteme die Gleichung:
z
=
x y
1
+
x
1
y
,
eliminiren
x
und
y
aus demselben, beziehungsweise aus dessen vereinigter Gleichung und erhalten (nicht ohne einige Rechnung):
a b
1
c
1
+ (
a b
1
+
a
1
b
)
d
1
= 0, {
a c
1
+ (
a b
1
+
a
1
b
)
c d
}
z
+
a
1
b c
1
z
1
= 0
wo dann der zweite Teil dieser Resultante nach
z
aufgelöst geben wird:
a
1
b c
1

z

a b c
+
a
1
(
b
1
+
c
1
),
indem der Koeffizient von
z
durch den ersten zu
a
(
b
1
+
c
1
) +
a
1
b c
reduzir- bar. Sonach gibt:
a
1
b c
1

x y
1
+
x
1
y
die Antwort auf die gestellte Frage, d. h.: wenn
b
gilt während
a
und
c
nicht gelten, so muss
x
ohne
y
oder
y
ohne
x
gelten.
In
McColl’
s Manier hätte man, da das gesuchte Subjekt zu
z
durch Kontraposition aus einem Prädikate von
z
1
, =
x y
+
x
1
y
1
, zu schliessen sein wird, zunächst die Ansätze zu machen:
x y

(
a b
1
+
a
1
b

d
) (
a
+
b

c
) (
c d

1) = (
a b
+
a
1
b
1
+
d
) (
a
1
b
1
+
c
) =
a
1
b
1
+
a b c
+
c d
x
1
y
1

(
a b
1
+
a
1
b

0) (0

c
) (
c d

0) = (
a b
+
a
1
b
1
) (
c
1
+
d
1
), sonach:
x y
+
x
1
y
1

a
1
b
1
+
a b
+
c d
, also (
a b
1
+
a
1
b
) (
c
1
+
d
1
)

x y
1
+
x
1
y
.
Dies stimmt erst mit dem einfachern oben ermittelten Ergebniss überein, wenn man die oben vermerkte Resultante der Elimination von
x
,
y
mit berücksichtigt. Um diese auch mit
McColl
zu gewinnen, sind ausser vor- stehenden auch noch die Ansätze nicht zu umgehen:
x y
1

(
a b
1
+
a
1
b

d
) (
a

c
) (
c d

0) = (
a b
+
a
1
b
1
+
d
) (
a
1
+
c
) (
c
1
+
d
1
)
x
1
y

(
a b
1
+
a
1
b

0) (
b

c
) (
c d

1) = (
a b
+
a
1
b
1
) (
b
1
+
c
)
durch deren additive Überschiebung mit jenen entsteht:
1

a b
+
a
1
b
1
+
c d
+
a
1
d
, oder konvertirt: (
a b
1
+
a
1
b
) (
a c
1
+
d
1
) = 0.
Durch all’ dies wird aber das Verfahren wieder umständlicher als das vor- hergehende nach
Boole
von mir modifizirte.
16.
Aufgabe
,
McColl
, „Math. Questions“, Vol. 33, p. 60, 61 mit Lösung von
Monro
und
Elizabeth Blackwood
.
Wann wird aus den (aussagenrechnerisch zu deutenden) Prämissen:
§ 46.
McColl’
s zweite Methode.
a b x
+
a
1
b
1
x
1

c
1
y
+
c y
1
,
d e y
+
d
1
e
1
y
1

a
1
x
+
a x
1
zu folgern sein, dass
x
oder
y
wahr ist?
Auflösung
. Man adjungire dem Prämissensystem die Gleichung
z
=
x
+
y
, eliminire
x
und
y
und wird erhalten: 0 ·
z
+
a
1
(
b
1
c
1
+
d
1
e
1
)
z
1
= 0, eine Gleichung, deren Auflösung nach
z
:
a
1
(
b
1
c
1
+
d
1
e
1
)

z

1
das gesuchte Subjekt zu
x
+
y
erkennen lässt.
In
McColl’
scher Manier schliesst man hier recht bequem — viel be- quemer als vorstehend — und in der That wol am besten:
x
1
y
1

(
a
1
b
1

c
) (
d
1
e
1

a
) = (
a
+
b
+
c
) (
d
+
e
+
a
) =
a
+ (
b
+
c
) (
d
+
e
)
und daraus kontraponirend:
a
1
(
b
1
c
1
+
d
1
e
1
)

x
+
y
(=
z
). —
Manches Verfahren hat also vor den übrigen keine
unbedingten
Vorzüge, vielmehr, von Fall zu Fall wechselnd, bald Vorzüge, bald Nachteile und es verdient alsdann, gleich diesen, beachtet zu werden. Von
jedem
Verfahren, allerdings, dürfte sich dergleichen doch nicht wol behaupten lassen. —
17.
Aufgabe
von W. B.
Grove
, „Math. Questions“, Vol. 34, p. 80 sq., gelöst von
Elizabeth Blackwood
.
Wenn mein Sohn entweder Jurisprudenz oder Theologie studiren soll (is to enter either the law or the church), so muss er entweder nach Oxford oder nach Cambridge gehen. Geht er nach Oxford ohne Jus oder nach Cambridge ohne Theologie zu studiren, so fällt ihm ein Legat bei seines (offenbar etwas schrulligen!) Onkels Tode zu. Er wird desselben jedoch
nur
(höchstens)
„under
no other
circumstances.“ Der Zusatz des Aufgabenstellers, welcher laut dessen Fassung der Aufgabe die positive Assertion enthält, dass der Sohn unter den Umständen
m
1
β
1
+
n
1
α
1
auch sicher das Legat erhalten werde, ist über- flüssig und auch von der Löserin nicht berücksichtigt. Derselbe würde dem
F
(
x
) einen Faktor hinzufügen: (
m
1
β
1
+
n
1
α
1

x
1
) oder {
x

(
m
+
β
) (
n
+
α
) =
m α
+
n β
} der für
x
= 0 sich irrelevant erweist.
dann verlustig gehen, wenn er weder nach Oxford geht noch Theologie studirt sowie, wenn er weder nach Cambridge geht noch Jus studirt (if he will not go to ‥ and at the same time will not enter the ‥). Ich bestimme, dass er entweder Jus oder Theologie studire. Wird er alsdann das Legat erhalten, oder nicht?
20*
Einundzwanzigste Vorlesung.
Auflösung
. Es möge bezüglich
α
,
β
,
m
,
n
,
x
die Aussagen vor- stellen: Er wird Jus resp. Theologie studiren, nach Oxford resp. Cam- bridge gehen, das Legat erhalten. So gilt
F
(
x
), das heisst: (
α
+
β

m
+
n
) (
m α
1
+
n β
1

x
) (
x
1

m
1
β
1
+
n
1
α
1
) (
α
+
β
) (
α

β
1
) (
m

n
1
) indem die letzten beiden (Aussagen-) Faktoren, nämlich (
α β
+
m n
= 0), als selbstverständliche unterstellt werden obzwar sie im Problem nicht ausdrücklich statuirt worden. Gesucht das Subjekt (als der Bedingungs- satz) zu
x
, welches durch Kontraposition aus dem Prädikate zu
x
1
zu gewinne. Es ist aber gemäss
McColl
:
x
1

F
(0), wo
F
(0) = (
α
1
β
1
+
m
+
n
) (
m
1
+
α
) (
n
1
+
β
) (
n
1
+
β
) (
m
1
β
1
+
n
1
α
1
) (
α
+
β
) (
α
1
+
β
1
) (
m
1
+
n
1
) = 0, wie man sich überzeugt durch Ausmultipliziren. Dabei war der zweite, dritte und vierte Faktor aus (
m α
1
+
n β
1

0) (1

m
1
β
1
+
n
1
α
1
) ent- standen, gleich den übrigen gemäss den Schemata § 32,
μ
).
Haben wir also
x
1

0, so folgt: 1߭

x
, d. h. er wird unfehlbar das Legat erhalten.
18.
Aufgabe
Bd. 1, S. 590, Mitte, sollte statt der 18. auf die 19. Studie verwiesen sein.
,
Christine Ladd-Franklin
, „Math. Questions“, Vol. 42, p. 66 u. 67, 1885. Lösung von
Macfarlane
, ihr, und Andern.
Für eine gewisse Klasse von Dingen (a certain lot of objects) gelten die Prämissen:
a
=
b x
1
+
b
1
y
,
c
≠
d
1
x
+
d y
1
,
gesucht was über
a
,
b
,
c
,
d
ohne Rücksicht auf
x
,
y
ausgesagt werden kann.
Auflösung
. Bringen wir gemäss Th. 39) die Gleichung rechts auf 1, die Ungleichung auf 0, so lautet die vereinigte Aussage der Data:
{
a
(
b x
1
+
b
1
y
) +
a
1
(
b x
+
b
1
y
1
) = 1} {
c
(
d
1
x
1
+
d y
) +
c
1
(
d
1
x
+
d y
1
) ≠ 0}
und sind aus dieser
x
und
y
zu eliminiren. Anordnung nach
y
und
x
gibt leicht:
[{(
a b
1
+
a
1
b
)
x
+
a x
1
}
y
+ {
a
1
x
+ (
a b
+
a
1
b
1
)
x
1
}
y
1
= 1] · · [{(
c d
+
c
1
d
1
)
x
+
c x
1
}
y
+ {
c
1
x
+ (
c d
1
+
c
1
d
)
x
1
}
y
1
≠ 0]
woraus nach dem Schema
φ
) des § 41 als Resultante von
y
fliesst:
{(
a
1
+
b
1
)
x
+ (
a
+
b
1
)
x
1
= 1} · · {(
a b
1
+
a
1
b
) (
c d
+
c
1
d
1
)
x
+
a c x
1
+
a
1
c
1
x
+ (
a b
+
a
1
b
1
) (
c d
1
+
c
1
d
)
x
1
≠ 0}
und hieraus weiter als Resultante von
x
:
§ 46. Aufgaben und Studien.
(
a
1
+
b
1
) {(
a b
1
+
a
1
b
) (
c d
+
c
1
d
1
) +
a
1
c
1
} + (
a
+
b
1
) {
a c
+ (
a b
+
a
1
b
1
) (
c d
1
+
c
1
d
)} ≠ 0, indem der
Boole’
sche Faktor der Resultante auf (1 = 1) = 1߭ hinaus- läuft. Ausmultiplizirend erhalten wir zunächst:
(
a b
1
+
a
1
b
) (
c d
+
c
1
d
1
) +
a
1
c
1
+
a c
+ (
a b
+
a
1
b
1
) (
c d
1
+
c
1
d
) ≠ 0
oder thunlichst reduzirt:
(
a
≠
c
1
) + (
a b
1
+
a
1
b
≠
c d
1
+
c
1
d
).
Dieses (zuverlässig richtige) Ergebniss stimmt
nicht
mit dem von den Lösern gewonnenen. Herr
Macfarlane
u. s. w. ersetzt die Ungleichung
A
≠
B
durch eine Gleichung
A
+
v
=
B
+
w
, wo
v
,
w
unbestimmt sein sollen aber nicht gleichzeitig O sein dürfen etc. Dies ist zwar ein Umweg, indessen angängig. Das unrichtige Resultat ergab sich ihm zufolge unge- rechtfertigten Operirens mit dem
Minus
-Zeichen, dessen Gesetze aus der Arithmetik in den identischen Kalkul nicht ohne weiteres übertragen werden dürfen und dessen Anwendung daher im letzteren
besser ganz vermieden
wird. Wir haben schon beim
Hauber’
schen Satze Veranlassung gehabt, darauf aufmerksam zu machen, wie das gleiche Verfahren, vor welchem hier gewarnt wird, auch andere namhafte Autoren schon in Fehler führte. Herrn
Macfarlane’
s und Frau
Franklin’
s Ergebniss lautet:
a
(
b d
1
+
b
1
d
) ≠
c
1
(
b d
1
+
b
1
d
).
Das unsrige kann auch geschrieben werden in der Gestalt:
(
a
≠
c
1
) + (
a b
+
a
1
b
1
≠
c d
+
c
1
d
1
),
und ist dahin zu interpretiren:
entweder
die
a
sind nicht einerlei mit den Nicht-
c
,
oder
was
a
und
b
oder keins von beiden ist fällt nicht durchaus zusammen mit dem, was
c
und
d
oder keins von beiden ist.
Diese Aussage lässt sich indess noch weiter vereinfachen. Nach Th. 3̅3̅
+
) Zusatz können wir nämlich unsre Resultante auch schreiben:
(
a
≠
c
1
) + (
a
=
c
1
) (
a b
+
a
1
b
1
≠
c d
+
c
1
d
1
).
Unter der Voraussetzung
a
=
c
1
oder
c
=
a
1
, sonach in unserm letzten Aussagenfaktor, dürfen wir aber das Symbol
c
auch durch
a
1
ersetzen. Wir erhalten, wenn wir auch den zugefügten Aussagenfaktor (
a
=
c
1
) wieder unterdrücken:
(
a
≠
c
1
) + (
a b
+
a
1
b
1
≠
a
1
d
+
a d
1
).
Nun lässt sich (als eine Bereicherung unsres § 19) das folgende allgemeine
Theorem
:
(
a x
+
b x
1
=
c x
+
d x
1
) = (
a x
=
c x
) (
b x
1
=
d x
1
)
unschwer nach Th. 24
+
) und 39) rechnerisch beweisen.
Dasselbe lässt sich auch leicht auf beliebig viele Argumente aus- dehnen zu dem noch allgemeinern Satze:
Wenn zwei Funktionen
(im identischen Kalkul)
einander gleich sind
, und dieselben nach irgend welchen, aber beide nach den näm-
Einundzwanzigste Vorlesung.
lichen Argumenten „entwickelt“ werden,
so müssen die gleichnamigen Glieder ihrer beiderseitigen Entwickelungen bezüglich je für sich schon übereinstimmen
(woraus aber nicht auf die Gleichheit von deren Koef- fizienten geschlossen werden darf!) — ein Satz dessen Umkehrung auch, im Hinblick auf Th. 17
+
), als selbstverständlich erscheint.
Am leichtesten beweist sich dieser Satz wol dadurch, dass man die Gleichung zwischen den beiden Funktionen durchmultiplizirt mit irgend einem Konstituenten ihrer Entwickelung, wo dann die mit diesem ungleichnamigen Glieder alle wegfallen werden.
Durch Kontraposition folgt aus obigem Theoreme:
(
a x
+
b x
1
≠
c x
+
d x
1
) = (
a x
≠
c x
) + (
b x
1
≠
d x
1
).
Hiernach zerfällt der zweite Teil unsrer Resultante in:
(
a b
≠
a d
1
) + (
a
1
b
1
≠
a
1
d
), oder {
a
(
b d
+
b
1
d
1
) ≠ 0} + {
a
1
(
b d
+
b
1
d
1
) ≠ 0},
was sich nach bekanntem Schema § 40,
α
) zusammenzieht in:
b d
+
b
1
d
1
≠ 0 oder
b
≠
d
1
.
In der That: wenn die
b
mit den Nicht-
d
sich nicht decken, sei es sofern sie unter
a
fallen, sei es sofern sie unter nicht-
a
fallen, so können sie überhaupt nicht mit ihnen zusammenfallen. Hienach ist:
(
a
≠
c
1
) + (
b
≠
d
1
)
der einfachst mögliche Ausdruck unsrer Resultante und leicht zu interpre- tiren. Behufs verbalen Ausdrucks mag man die Fassung vorziehen:
(
a c
≠ 0) + (
a
1
c
1
≠ 0) + (
b d
≠ 0) + (
b
1
d
1
≠ 0),
was besagt: entweder einige
a
sind
c
, oder es gibt Dinge die beides nicht sind, oder es gibt Dinge die sowol
b
als
d
oder keins von beiden sind.
Der
McColl’
schen Technik ist das vorstehende Problem über- haupt nicht zugänglich.
19.
Studie
. Um eine Idee zu geben, auf welche Weise es mög- lich ist, Probleme des Klassenkalkuls auch mittelst des Aussagenkal- kuls schon einzukleiden und zu lösen, wollen wir die Art darlegen, wie
McColl
die
Venn’
sche Aufgabe unter
σ
1
) des § 18 in Angriff nimmt (siehe ebenda S. 392).
Wir sprechen im Folgenden von
irgend einem
aber
immer von demselben
Buche aus dem Haufen, und lassen
A
' die Aussage bedeuten: (die Person)
A
beansprucht
es
(claims it),
B
' die Aussage:
B
bean- sprucht
es
,
C
' die:
C
beansprucht
es;
und ferner
a
die Aussage:
es
ist deutsch,
b
die Aussage:
es
ist politisch,
c
die:
es
ist gebunden,
d
die Aussage:
es
ist eine Novelle.
Alsdann gibt Einkleidung der Data augenscheinlich die Gleichungen:
§ 46. Wichtige Studie.
A
' =
a b
+
a
1
c d
,
B
' =
b c
+
b
1
a d
,
C
' =
a c
+
c
1
b d
und zwar Gleichungen, weil sie als Aussagensubsumtionen vor- und rückwärts zu gelten haben.
Aus diesen folgen nun rechnerisch ganz dieselben Antworten auf die gestellten Fragen, welche wir l. c. bereits gegeben haben, mit dem kleinen Unterschied nur, dass hier die Buchstaben
A
,
B
,
C
einen Ac- cent tragen. Zum Beispiel:
A
'
B
' =
b c
(
a
+
d
),
A
'
B
'
C
' =
a b c
, und interpretiren diese sich auch eben dahin — resp.: Wenn
A
und
B es
(ein Buch) zugleich beanspruchen, so ist
es
sicher politisch und ge- bunden, sowie deutsch oder Novelle, und umgekehrt, wenn
es
solcher Art ist, wird es von
A
und
B
beansprucht. desgleichen wenn es deutsch, politisch und gebunden ist, dann und nur dann, dann aus- schliesslich wird es von allen drei Personen beansprucht.
Suchen wir nun aber die Grenzen der Anwendbarkeit solchen Verfahrens zu erkenne.
Auf den ersten Blick scheint dasselbe auf den ganzen Klassen- kalkul sich ausdehnen zu lassen, und in der That ist dies auch für seine erste Etappe der Fall, solange und insoweit der Kalkul sich blos mit universalen Urteilen abgibt, nämlich sich in lauter Subsumtionen oder Gleichungen bewegt.
Anstatt eine Subsumtion:
a

b
oder die ihr äquivalente Gleichung
a b
1
= 0
als eine zwischen Klassen bestehende zu deuten
, statt sie mit „alle
a
sind
b
“ zu übersetzen,
kann man sie allemal auch als eine Aussagensubsumtion auslegen:
Man spreche nur
von irgend einem aber durchweg demselben
Objekte oder Individuum der den Betrachtungen zugrunde liegenden Mannig- faltigkeit 1, und lasse
a
die Aussage bedeuten: „
es
gehört zur Klasse
a
“ und
b
die Aussage: „
es
gehört zur Klasse
b
“. Das hypothetische Urteil: wenn
es
zur Klasse
a
gehört, so gehört
es
auch zur Klasse
b
, das ist die
Aussagen
subsumtion
a

b
sagt dann offenbar genau dasselbe, wie die obige Klassensubsumtion, nämlich wie das Urteil: alle
a
sind
b
. Dasselbe gilt auch von der als Aussagenäquivalenz aufgefassten Glei- chung:
a b
1
= 0, regelrecht gedeutet als: es ist nie wahr, dass
es
(ein Individuum) zur Klasse
a
und zugleich nicht zur Klasse
b
gehöre.
Versuchen wir aber das gleiche Umdeutungsverfahren auch auf die verneinte Aussagensubsumtion oder die Ungleichung anzuwenden:
a

b
mit andern Worten:
a b
1
≠ 0,
die uns im Klassenkalkul ein partikulares Urteil darstellt, besagend: einige
a
sind nicht
b
— ich will bei diesem Beispiel bleiben, da es ja
Einundzwanzigste Vorlesung.
leicht ist, sich auch
b
noch durch
b
1
ersetzt zu denken — so lässt es uns im Stiche (vergl. S. 274).
Nach bekannten Sätzen, vornehmlich
ζ
) des § 32, muss nämlich sein:
(
a

b
) = (
a b
1
≠ 0) = (
a b
1
= 1߭) = (
a
1
+
b
= 0) = = (
a
1
= 0) (
b
= 0) = (
a
= 1߭) (
b
= 0)
und dies ist kein partikuläres Urteil mehr, sondern wiederum jetzt eine universale Aussage, und zwar eine „zerfallende“, welche behauptet, dass alle Individuen der Mn. zur Klasse
a
, keines zur Klasse
b
gehöre („Alles ist
a
, nichts ist
b
“ innerhalb der Mn.).
M. a. W. Für irgend ein gedachtes Individuum ist es stets wahr, dass „es“ zur Klasse
a
, nie dass
es
zur Klasse
b
gehört; und so in der That muss es sein, wenn es dem Schema
a b
1
≠ 0 gemäss nicht unrichtig (somit richtig) ist, dass
es
zur Klasse
a
, aber nicht zu der
b
gehöre.
Es dokumentirt sich also die Unfähigkeit des reinen Aussagen- kalkuls, auch partikulare Urteile einzukleiden — unbeschadet dessen, dass er gerade hiezu dem Klassenkalkul unentbehrlich gewesen — für sich allein also die Probleme auf der zweiten Stufe („Etappe“) der Logik mitumfassen oder auch nur in Angriff nehmen zu können.
Versuchte man etwa, um jenen auch dazu tauglich zu machen, Summen- und Produktzeichen
,
, einzuführen, welche sich über alle Individuen
ι
der Mannigfaltigkeit 1 zu erstrecken hätten, so würde man ebendamit, weil solche Individuen
ι
irgendwelche Objekte und keine Aussagen mehr sind, aus dem Rahmen des Aussagenkalkuls heraus und in den des Klassenkal- kuls über-treten.
Der Aussagenkalkul selbst muss dazu stets unfähig bleiben, da er eben als ein nur auf Aussagen konstanten Sinnes anwendbarer kein Mittelding zwischen
stets
und
nie
(wahr) kennt.
Mit Unrecht also glaubt
McColl
in dem Umstand, dass seine Sym- bole stets „statements“ bedeuten — im Gegensatz zu
Boole
, wo sie „Dinge“ vorstellten — einen Vorzug seiner Theorie vor der
Boole’
schen erblicken zu dürfen; es liegt in diesem Umstande vielmehr eine grosse Be- schränkung, und ist von ihm, wie
Venn
1
p. 372 ausführt, obendrein über- sehen, dass auch
Boole
4
schon in den mit „On secondary propositions“ und „Methods in sec. prop.“ überschriebeuen Kapiteln, die aussagenrechue- rische Deutung seiner Propositionen als eine mit zulässige gegeben hat.
In der That bemerken wir auch, dass alle von
McColl
gerechneten Beispiele und gestellten Aufgaben nur der ersten Stufe der Logik angehören.
Und weiter ist es, als mit dem Gesagten übereinstimmend, von Inter- esse noch folgendes zu beachten.
McColl’
s in § 27 angegebene Regel zur Lösung des Eliminations-
§ 46. Wichtige Studie.
problemes ist auch auf Systeme von
Boole’
schen Prämissen ausdehnbar, resp. noch anwendbar:
Nach
Mitchell’
s in § 40 aufgestellter Form der allgemeinsten Gesamt- aussage muss eine solche beim Wegfall aller partikularen oder Ungleichungs- Faktoren von der Gestalt sein — vergl. § 41,
α
):
Σ
(
a x
+
b x
1
= 1) und dies ist

Σ
(
a
+
b
= 1)
welch letztere Aussage die Resultante der Elimination des
x
aus jener vorstellt.
Um
McColl’
s Regel zu proben, haben wir uns die Prämissenaussage als eine Subsumtion:
φ
(
x
)

ψ
(
x
) angesetzt zu denken. Und da sie nach Th. 5̄
+
) als: 1߭

Σ (
a x
+
b x
1
= 1) ansetzbar ist, dürfen wir also unter
φ
(
x
) die 1߭, unter
ψ
(
x
) die Aussage rechterhand
Σ
(
a x
+
b x
1
= 1) uns vorstellen, müssen ebendamit die Symbole
φ
(
x
) und
ψ
(
x
) hier identifiziren.
Da hienach
φ
(0) = 1߭,
φ
(1) = 1߭,
φ
1
(0) = 0,
φ
1
(1) = 0
sein wird, reduzirt sich
McColl’
s in § 27 gegebene Resultante zu:
ψ
1
(0)
ψ
1
(1) = 0 oder
ψ
(0) +
ψ
(1) = 1߭.
Nun ist:
ψ
(0) =
Σ
(
b
= 1),
ψ
(1) =
Σ
(
a
= 1),
und wird mithin die nach
McColl’
s Regel gebildete Resultante die Gültig- keit der Aussagen behaupten:
Σ
(
a
= 1) +
Σ
(
b
= 1);
und dies
stimmt
mit dem Obigen, in Anbetracht, dass im Aussagenkalkul nach § 45,
α
+
) oder
β
+
) eben sein wird:
(
a
+
b
= 1) = (
a
= 1) + (
b
= 1)
wie denn vorstehend die 1 ohne Tupfen als einerlei mit 1߭ zu gelten hatte.
Identifizirte man dagegen
ψ
(
x
) mit der allgemeineren
Mitchell’
schen Gesamtaussage:
Σ
(
a x
+
b x
1
= 1) (
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) …,
wonach wir hätten:
ψ
(1) =
Σ
(
a
= 1) (
p
≠ 0) (
r
≠ 0) ‥,
ψ
(0) =
Σ
(
b
= 1) (
q
≠ 0) (
s
≠ 0) ‥ so ergäbe sich als Resultante der Elimination von
x
aus 1߭

ψ
(
x
) eine Aussage:
1߭

ψ
(1) +
ψ
(0),
welche verglichen mit unsrer richtigen Resultante rechts in
φ
) des § 41:
1߭

Σ
(
a
+
b
= 1) (
p a
+
q b
≠ 0) (
r a
+
s b
≠ 0) …
viel zu viel behauptet, deren Geltung zwar durch diese als eine möglicher- weise zutreffende nicht ausgeschlossen ist, welche jedoch
keineswegs zu gelten braucht
. —
Einundzwanzigste Vorlesung.
20.
Studie
. Wenden wir uns zum Schlusse von der Betrachtung der Methoden in der Algebra der Logik nochmals zu derjenigen der daselbst geltenden Sätze oder Theoreme überhaupt, so ist die Zahl der letzteren und ihrer Ausdrucksformen bei der Mannigfaltigkeit zur Ver- fügung stehender Beziehungszeichen natürlich Legion.
Blos mit dem Subsumtions- und Gleichheitszeichen und ohne Ein- führung (Introduktion) neuer Terme kann doch eine Subsumtion schon in den folgenden einander äquivalenten Formen angesetzt werden, die wir zunächst aus § 19, Th. 43) Anmerkung 2 und § 18, Aufg.
α
1
) rekapitulirend in der Sprache des Aussagenkalkuls zusammenstellen, denselben noch einige weitere hinzufügend:
(
a

b
) = (
b
1

a
1
) = = (
a b
1

0) = (1

a
1
+
b
) = (
a

a b
) = (
a
+
b

b
) = (
a
1
+
b
1

a
1
) = (
b
1

a
1
b
1
) = = (
a b
1
= 0) = (
a
1
+
b
= 1) = (
a b
=
a
) = (
a
+
b
=
b
) = (
a
1
+
b
1
=
a
1
) = (
a
1
b
1
=
b
1
) = = (
a b
1

b
) = (
a

a
1
+
b
) = (
b
1

a
1
+
b
) = (
a b
1

a
1
) = = (
a b
1

a
1
b
) = (
a b
1

a
1
+
b
) = (
a
+
b
1

a
1
+
b
) = = (
a b
1

a b
+
a
1
b
1
) = (
a b
1
+
a
1
b

a
1
+
b
) = etc.
worin auch
a
mit
b
, oder
b
mit
b
1
, oder beides, vertauscht werden mag.
Hiezu beachte man, dass die Rückwärtsansetzung gewisser einfacheren von diesen Subsumtionen auf die Äquivalenzen führt:
(
b

a b
1
) = (
a
1
+
b

b
1
) = (
b
= 0) = (
b
1
= 1), (
a
1

a b
1
) = (
a
1
+
b

a
) = (
a
1
= 0) = (
a
= 1)
während ebendiese als Gleichungen angesetzt liefern:
(
a b
1
=
b
) = (
a
1
+
b
=
b
1
) = (
a
+
b
= 0) = (
a
=
b
= 0), (
a
1
=
a b
1
) = (
a
1
+
b
=
a
) = (
a b
= 1) = (
a
=
b
= 1).
Hier mögen auch die von
Rob. Grassmann
1
gegebenen Theoreme noch Erwähnung finden (S. 171 im Kontext schon implicite vorgekommen):
(
a

b
) (
a

b
1
) = (
a
= 0)
(
b
=
a
) (
b
1

a
1
) = (
a
= 1),
welche leicht aus Def. (3) und Th. 30) nebst Th. 5) beweisbar.
Und ebenso haben wir — vergl. auch § 18,
ϱ
) — für eine Glei- chung schon die Formen:
(
a
=
b
) = (
a
1
=
b
1
) = = (
a b
1
+
a
1
b

0) = (1

a b
+
a
1
b
1
) = (
a
+
b

a b
) = (
a
1
+
b
1

a
1
b
1
) = = (
a
1
b
+
a
1
b
= 0) = (
a b
+
a
1
b
1
= 1) = (
a
+
b
=
a b
) = (
a
1
+
b
1
=
a
1
+
b
1
) = = (
a b
1
+
a
1
b

a b
) = (
a
+
b

a b
+
a
1
b
1
) = (
a
1
+
b
1

a b
+
a
1
b
1
) = (
a b
1
+
a
1
b

a
1
b
1
) = etc.
§ 46. Studien.
Zieht man aber gar noch andere Beziehungszeichen mit heran, so wächst die Menge der Sätze unabsehbar.
Zu den wichtigsten unter diesen gehören wol die auf
Ungleichungen
bezüglichen, von welchen wir eine Gruppe zu Anfang und Ende des § 40 zusammengestellt haben, denselben späterhin gelegentlich — § 41,
δ
),
ε
) und § 44,
ζ
) — noch weitere hinzufügend.
Demnächst aber möchten vor allem noch diejenigen Sätze Be- achtung verdienen, welche die im Subsumtionszeichen mit zugelassene Beziehung der
Unterordnung
für sich, oder getrennt von der Gleich- heit, betreffen.
Geht man die im § 29 übersichtlich zusammengestellten Sätze des identischen Kalkuls darauf hin durch, um zuzusehen, welche Modifika- tionen sie erfahren, wenn statt eines vorkommenden Subsumtions- zeichens oder Zeichens der eventuellen Unterordnung ein solches der wirklichen oder definitiven Unterordnung eintritt, so wird man auf folgendes Tableau von Formeln oder Sätzen geführt, welchen wir die alte Chiffrirung belassen wollen, derselben nur — zur Unterscheidung — Accente beifügend.
I'. (
a
⊂
a
) = 0. II'. (
a

b
) (
b
⊂
c
)

(
a
⊂
c
), II''. (
a
⊂
b
) (
b

c
)

(
a
⊂
c
)
in welchen beiden Fällen die Konklusion zugleich die volle Resultante der Elimination von
b
aus der Prämisse ist; dagegen würde bei
II'''. (
a
⊂
b
) (
b
⊂
c
)

(
a
⊂
c
)
sie es nicht sein, vielmehr die volle Resultante lauten: (
a
⊂
c
)
K
, wo die „Klausel“
K
statuirt, dass
a
1
und
c
nicht einunddasselbe Indi- viduum sein dürfen — vergl. § 48. Ebenso geben wieder volle Resul- tanten die Schlüsse:
2)' (
a
⊂
b
) (
b
=
c
)

(
a
⊂
c
),
3)' (
a
=
b
) (
b
⊂
c
)

(
a
⊂
c
).
(1)' (
a
⊂
b
) (
b

a
) = (
a

b
) (
b
⊂
a
) = (
a
⊂
b
) (
b
⊂
a
) = 0,
(1)'' (
a
⊂
b
)

(
a

b
),
(1)''' (
a
⊂
b
)

(
a
≠
b
).
(2
×
)' (
a
≠ 0) = (0 ⊂
a
)
(2
+
)' (
a
≠ 1) = (
a
⊂ 1).
5)' (
a
⊂ 0) = 0 = (1 ⊂
a
).
(3
×
)' (
c
⊂
a b
)

(
c
⊂
a
) (
c
⊂
b
)

(
c

a b
) |
(3
+
)' | (
a
+
b
⊂
c
)

(
a
⊂
c
) (
b
⊂
c
)

(
a
+
b

c
)
wo
(
c

a
) (
c
⊂
b
)
(
a

c
) (
b
⊂
c
)
(
c
⊂
a
) (
c

b
)
(
a
⊂
c
) (
b

c
)
Einundzwanzigste Vorlesung.
für die mittlere Aussage bezüglich auch eintreten dürfte. Eine Aqui- valenz etwa zwischen dieser und der ersten Aussage findet jedoch hier nicht statt.
15
×
)' (
a
⊂
b
)

(
a c

b c
)
15
+
)' (
a
⊂
b
)

(
a
+
c

b
+
c
)
17
×
)' (
a
⊂
b
) (
α

β
)

(
a α

b β
)
17
+
)' (
a
⊂
b
) (
α

β
)

(
a
+
α

b
+
β
)
17
×
)'' (
a
⊂
b
) (
α
⊂
β
)

(
a α

b β
)
17
+
)'' (
a
⊂
b
) (
α
⊂
β
)

(
a
+
α

b
+
β
)
18
×
)' (
a
⊂
b
) (
α
=
β
)

(
a α

b β
)
18
+
)' (
a
⊂
b
) (
α
=
β
)

(
a
+
α

b
+
β
)
in welchen acht Sätzen rechts keineswegs ⊂ für

geschrieben werden dürfte!
37)'
(
a
⊂
b
) = (
b
1
⊂
a
1
);
auch für die Unterordnung ist also die
kontraposition
rein zulässig.
38)'
(
a b
1
= 0) (
a
1
b
≠ 0)
(
a
1
+
b
= 1) (
a
1
b
≠ 0)
= (
a
⊂
b
) =
(
a
1
+
b
= 1) (
a
+
b
1
≠ 1)
(
ab
1
= 0) (
a
+
b
1
≠ 1)
40)' (
a c

b c
) (
a
+
c
⊂
b
+
c
), desgleichen (
a c
⊂
b c
) (
a
+
c

b
+
c
), desgl.
(
a c
⊂
b c
) (
a
+
c
⊂
b
+
c
)

(
a
⊂
b
);
dagegen findet zwischen den modifizirten Aussagen des
Peirce’
schen Zusatzes 2) zu Th. 40): (
a c

b
) (
a
⊂
b
+
c
), (
a c
⊂
b
) (
a

b
+
c
), (
a c
⊂
b
) (
a
⊂
b
+
c
) mit (
a
⊂
b
)
keine
Einordnung oder Folgebeziehung statt, und ebenso- wenig eine zwischen denen
(
a b
⊂
c
), (
a
⊂
b
1
+
c
), (
b
⊂
a
1
+
c
) (
a
⊂
b
+
c
), (
a b
1
⊂
c
), (
a c
1
⊂
b
)
seines Theorems 41), welche als Subsumtionen — d. h. noch nicht zu Unterordnungen modifizirt — in jeder Zeile einander äquivalent ge- wesen. —
Für sich steht noch der Satz da:
(
a
⊂
a
1
) = (
a
= 0), (
a
1
⊂
a
) = (
a
= 1), 0 ⊂ 1.
Vorstehendes ist die ganze Ausbeute.
Zu rechtfertigen sind die Sätze leicht im Hinblick auf die erste Gleichung 38)'
(
a
⊂
b
) = (
a b
1
= 0) (
a
1
b
≠ 0)
und zum Teil auch schon auf Grund von (1)", und mag ihren
Beweis
zu liefern dem Leser zur Übung überlassen sein.
§ 46. Studien.
Demnächst würden wol Hervorhebung zu verdienen scheinen die Eigenschaften der von uns als „Schnittigkeit“, Sekanz, hingestellten Beziehung
a

b
.
F. A.
Lange
will Urteile von dieser Form „
reziprok-partikulare
“ genannt wissen, was wir als hinreichend ausdrucksvoll und ganz zu- treffend nur anerkennen könnten, wenn (wie im gemeinen Leben, aber nicht in der exakten Logik) „einige“ ausschlösse „alle“, m. a. W. wenn das partikulare Urteil
a b
≠ 0 das universale
a

b
oder
a b
1
= 0 gar nicht zuliesse. —
Da wir von auf diese Urteilsform bezüglichen Sätzen keinen Ge- brauch zu machen haben werden, überlassen wir die nicht undankbare Aufgabe ihrer Aufsuchung zur Selbstbethätigung dem Leser.
Zweiundzwanzigste Vorlesung
.
§ 47.
Definitionen des Individuums, Punktes, und ihre Zurück- führung auf einander. Auf Individuen bezügliche Sätze. Duales Gegenstück zum Individuum.
Um zur
Motivirung
der Definitionen und von da zur Aufstellung der Gesetze unsres identischen Kalkuls zu gelangen, sind wir ausge- gangen von der Betrachtung von
Punkt
gebieten unsrer bevorzugten Mannigfaltigkeit (der Ebene der Tafel) sowie auch vom Studium der Klassen (von
Individuen
), die aus einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit hervorgehoben werden können.
Wir setzten damit den landläufigen Begriff des „mathematischen Punktes“, sowie den des „Individuums“ einer Klasse, anscheinend von vornherein voraus — indessen, wie man bei genauerem Zusehen, bei nur einiger Sorgfalt erkennen wird: doch
immer nur unwesentlich
— so in der That z. B. bei manchen Betrachtungen in unsrer Einleitung, so auch vielleicht gelegentlich bei kritischen Auseinandersetzungen, bei den Betrachtungen betreffend die Übertragung von Ansätzen des Klassen- kalkuls aus der Zeichensprache in die Wortsprache und bei den An- wendungsbeispielen.
Gewissenhaft enthielten wir uns jedoch jeglichen „
Argumentirens auf die Individuen
“ bei allen wesentlichen Teilen unsrer Theorie, wo immer deren Auf- und Weiterbau in Frage kam, und
nie
— wird man finden — dass hierbei vorausgesetzt, statuirt oder Berufung darauf ge- nommen wurde, dass ein Symbol —
a
zum Beispiel — ein Individuum vorstelle.
Ausgenommen, wie gesagt, da, wo wir die Ungültigkeit gewisser Sätze exemplifizirten — oder bei vorgreifendem Hinweis auf die „Klausel“.
Die Buchstaben selbst freilich, und andre Zeichen, behandelten wir jederzeit als
individuelle
Symbole in unsrer Zeichensprache.
Zum Aufbau des Gebietekalkuls (jedoch) bedurften wir bislang
§ 47. Definitionen des Individuums, Punktes.
den Begriff des Punktes nicht. Was ein Punkt ist, braucht man noch gar nicht zu wissen und es würde die Fundamente unsres Kalkuls un- erschüttert lassen, wenn meinethalben jemand den Punkt z. B. erklären wollte „für einen Winkel, dem die Schenkel ausgerissen sind“, oder wenn gar der „Punkt“ als ein Unding sich erwiese! Falls jemand nur begriffen was zu verstehn ist unter einem System,
Gebiete
(z. B. einer Fläche, einem Körper), und was die Einordnung eines solchen Gebietes in ein anderes, des
Teiles
in ein
Ganzes
, bedeutet, so konnte er der ganzen Entwickelung des Kalkuls folgen.
Sicher haben wir damit den erdenklich einfachsten Ausgangspunkt erwählt, oder — um das Wort „‥ punkt“ auch hier zu vermeiden: unserm Kalkul die greifbarste und erdenklich einfachste Grundlage gegeben; und sind wir damit all’ den metaphysisch-geometrischen Spe- kulationen und endlosen Erörterungen über die unsäglich vielfach ven- tilirte Frage, das Wesen des Punktes betreffend, aus dem Wege ge- gangen. „Punkt“ und „Individuum“ erschienen als noch gar nicht rezipirt, noch nicht aufgenommen in unsre Theorie.
Nachdem solchergestalt aber eine Formelsprache gewonnen und naturgemäss begründet ist, welche sich als fähig erwies, alle erdenk- lichen Beziehungen zwischen Gebieten oder zwischen Klassen exakt zum Ausdruck zu bringen, kann man sich die Frage vorlegen, welche Eigenschaften nun ein Gebiet haben muss, damit es ein „Punkt“ zu nennen sei, und welche eine Klasse, wofern sie, als eine „singulare“ in ein einziges „Individuum“ zusammenschrumpfen soll.
Diese Frage ist eine theoretisch wichtige und interessante. Ohne ihre Erledigung könnte unsre Theorie nicht zur Vollendung kommen, müsste sie hinfort doch eine Lücke aufweisen. Daher stellen wir uns jetzt die Aufgabe, wenn wenigstens der Begriff des Gebietes, der Klasse überhaupt als bekannt gilt und das Verständniss der Formel- sprache des Kalkuls vorausgesetzt werden darf, zur
Definition des Punkts und Individuums
herabzusteigen.
Der Punkt lässt sich auch als „Individuum“ der Punktmannig- faltigkeit hinstellen
Wogegen meistens es weniger passend erschiene, das Individuum einen „Punkt“ in seiner Klasse zu nennen.
; ich wähle deshalb den Buchstaben
i
zur Be- zeichnung des zu definirenden Gebildes, und sollten mehrere Individuen in Betracht kommen, so unterscheide ich dieselben mittelst oberer Indices, sie mit
i
1
,
i
2
,
i
3
, … benennend.
Um nicht alles doppelt aussprechen zu müssen — einmal für Punkte, und dann nochmals, mutatis mutandis, für Individuen — halte
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ich mich hier vorwiegend wieder an das geometrische Substrat unsrer „bevorzugten“ Mannigfaltigkeit.
Die fragliche Definition lässt sich in sehr verschiedenen Ausdrucks- formen geben, deren eine von
Peirce
herrührt. Ich möchte eine andere an die Spitze stellen, und werden wir die eine auch auf die andre zurückzuführen haben.
Auf das charakteristische Merkmal des Individuums weist schon der Name hin. Zunächst will er „
etwas
“ bezeichnen, nicht „nichts“. Es wird also
i
≠ 0
zu gelten haben.
Sodann fordert der Name die
Unteilbarkeit
des Individuums: der Punkt kann nicht gespalten werden; er kann nicht in zwei getrennte (disjunkte) Gebiete zugleich hineinragen (wie dies andere Gebiete sehr wohl können).
Ragt ein Gebiet
a
mit einem Teile in ein Gebiet
x
hinein, so kommt dies in unsrer Formelsprache dadurch zum Ausdruck, dass wir die Ungleichung
a x
≠ 0 anzuerkennen haben. Ebenso wenn
a
in
y
hineinragt, wird
a y
≠ 0 zu gelten haben. Schliessen die Gebiete
x
und
y
einander aus, so kann doch beides noch zugleich der Fall sein. Soll aber
a
ein Individuum, einen Punkt
i
vorstellen, so kann es nicht zugleich der Fall sein, d. h. wir haben:
α
)
(
x y
= 0)

{(
i x
≠ 0) (
i y
≠ 0) = 0}
und zwar dieses für
jedes
Wertepaar
x
,
y
aus der Mannigfaltigkeit unsrer Gebiete.
Hiernach gelangen wir zu der folgenden Definition des „Indivi- duums“ oder „Punktes“
i
: (
α
)
(
i
≠ 0)
[(
x y
= 0)

{(
i x
≠ 0) (
i y
≠ 0) = 0}] = 1߭.
Es lässt sich indessen zeigen, dass es nicht nötig ist, die Defini- tion in solcher Allgemeinheit zu fassen.
Statt des beliebigen Paares disjunkter Gebiete
x
,
y
genügt es, ein Paar
x
,
x
1
zu nehmen, von denen blos das eine willkürlich anzu- nehmen ist, das andre hernach als dessen Negation bestimmt erscheint. Die beiden Gebiete
x
und
x
1
erfüllen die in der Definition zu machende Voraussetzung, dass ihr Produkt verschwinde, immer, erfüllen sie schon von selber, ohne dass man nötig hätte dies erst noch ausdrücklich zu postuliren, indem nach Th. 30
×
) ja
x
1
x
= 0 sein muss.
Wir werden so schon einfacher als
Definition eines Individuums
,
Punktes i
hinstellen können:
§ 47. Zurückführung von Punktdefinitionen aufeinander.
(
β
)
(
i
≠ 0)
{(
i x
≠ 0) (
i x
1
≠ 0) = 0}, = 1߭
und diese möchte ich als die maassgebende Definition
hier zu Grunde legen
.
In Worten könnte man etwa sagen: Ein Gebiet
i
ist immer dann und nur dann ein „Punkt“ zu nennen, wenn es ohne doch zu ver- schwinden oder ein leeres zu sein, nie zugleich mit einem Gebiete und dessen Negation Teile gemein haben kann.
Das „Nullgebiet“ hat diese letztere Eigenschaft auch: was auch
x
für ein Gebiet vorstellen möge, wird es mit
x
und
x
1
nie gleichzeitig teil- gemein sein, indem es als ein „nichts“ enthaltendes ohnehin mit keinem Gebiete „etwas“ gemein haben kann. Hieraus erhellt, dass der Aussagen- faktor (
i
≠ 0) in der Def. (
β
) nicht fortgelassen werden darf ansonst sie uns nicht
i
, sondern „0 oder
i
“ definiren würde. Bei Unterdrückung dieses ersten Faktors würde (
β
) ausdrücken: die Definition des Begriffes
„entweder ein Individuum oder gar Nichts“
.
Zunächst sieht man leicht, dass diese Definition (
β
) aus der (
α
) notwendig mit folgt, oder dass:
(
α
)

(
β
).
Man braucht sich in der That in (
α
) nur zu jedem
x
das zugehörige
y
gleich
x
1
vorzustellen, so geht die Prämisse, Bedingung unter dem Pro- duktzeichen über in (
x x
1
= 0) = 1߭, und da nach Th. 5̄
+
) die Einordnung von 1߭ unter eine Aussage) Gleichheit ist, nach § 32,
ε
) aber (1߭ =
A
) =
A
gesetzt werden kann, so erhalten wir — unter
A
den Ausdruck in der geschweiften Klammer {} von (
α
) somit nun auch von (
β
) verstehend — die durch (
β
) dargestellte Vereinfachung der linken Seite von (
α
).
Die linke Seite von (
β
) hebt aber nur gewisse Faktoren aus derjenigen von (
α
) hervor und lässt die Faktoren beiseite, bei welchen
y
von
x
1
ver- schieden genommen wird. Nach Th. 6̄
×
) ist das Produkt in seinem Faktor enthalten, die linke Seite von (
α
) somit

der von (
β
), und da die erstere gleich 1߭ ist, so muss nach Th. 5̄
+
) auch die letztere es sein, q. e. d.
Damit die Äquivalenz der Definitionen (
α
) und (
β
) erwiesen sei, ist aber jetzt noch zu zeigen, dass auch umgekehrt:
(
β
)

(
α
),
d. h. dass wenn (
β
) für ein gewisses
i
erfüllt ist, für eben dieses auch (
α
) stets erfüllt sein muss.
Dieser Nachweis kann so geliefert werden. Gilt (
β
), so muss nach Th. 2̅4̅
×
) auch jeder Faktor des Produktes linkerhand = 1߭ sein, gelten. Wir haben also:
β
)
(
i x
≠ 0) (
i x
1
≠ 0) = 0
für irgend ein
x
. In dieser allgemeinen Formel mögen wir auch
x y
1
für
x
somit
x
1
+
y
für
x
1
setzen; sonach gilt für beliebige
x
,
y
:
(
i x y
1
≠ 0) (
i x
1
+
i y
≠ 0) = 0.
Schröder
, Algebra der Logik. II. 21
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
Der linken Seite eingeordnet, und somit — cf. Th. 5̄
×
) — ebenfalls gleich 0, ist aber das Produkt (
i x y
1
≠ 0) (
i y
≠ 0), indem nach § 40,
α
') S. 194 sein muss: (
i y
≠ 0)

(
i x
1
+
i y
≠ 0). Nehmen wir jetzt aber
x y
= 0 an, so folgt:
x y
1
=
x y
1
+
x y
=
x
und entsteht:
(
i x
≠ 0) (
i y
≠ 0) = 0
unter der genannten Annahme. Nimmt man die Subsumtion, die dieses ausdrückt:
(
x y
= 0)

{(
i x
≠ 0) (
i y
≠ 0) = 0}
welche also gilt, d. h. = 1߭ ist, gleichzeitig für alle Wertepaare
x
,
y
in Anspruch, oder — mathematisch zu reden — nimmt man das Produkt
Π
nach
x
und
y
von derselben und multiplizirt das = 1߭ gesetzte noch über- schiebend mit (
i
≠ 0) = 1߭, so hat man aber die Gleichung (
α
) gewonnen, sie als Folgerung aus (
β
) abgeleitet, q. e. d.
Damit ist gezeigt, dass (
β
) die Forderung der Unteilbarkeit des Individuums in der That hinlänglich zum Ausdruck bringt.
Die Gleichung
β
), welche „allgemeiner Faktor“ des Produktes
Π
in (
β
) ist, kann man nun aber noch verschiedentlichst umgestalten, und analog auch die (noch allgemeinere) Subsumtion
α
).
Solche Umwandlungen beruhen grossenteils auf spezifischen Sätzen über das Individuum, die aus der Def. (
β
) fliessen, und erscheint es darum angezeigt, zunächst eine Gruppe solcher Sätze aufzustellen. Diese will ich — anstatt in den Symbolen
x
oder
x
1
und
y
— nun in den Klassensymbolen
a
,
b
anschreiben.
Wir hatten bereits als
α
)
(
a b
= 0)

{(
i a
≠ 0) (
i b
≠ 0) = 0}
β
)
(
i a
≠ 0) (
i a
1
≠ 0) = 0.
Da letztrer Satz sich als eine Inkonsistenz darstellt, so kann er nach Th. 3̅8̅) Zusatz oder § 31 auch angesetzt werden in den beiden Formen:
β
') (
i a
≠ 0)

(
i a
1
= 0),
β
'') (
i a
1
≠ 0)

(
i a
= 0)
womit wir auch zwei neue Formen (
β
') und (
β
'') für die Def. (
β
) durch Einsetzung erhalten würden.
Auch der Satz
α
) lässt als eine Inkonsistenz sich anschreiben:
α
')
(
a b
= 0) (
i a
≠ 0) (
i b
≠ 0) = 0,
wie man am schnellsten erkennt, indem man das letzte in ihm vorkommende Gleichheitszeichen kraft Th. 5̄
×
) in

verwandelt und alsdann von dem
§ 47. Definition und Sätze vom Punkte.
Schema § 45,
ϑ
×
) Gebrauch macht, die Einordnung unter 0 wieder in Gleichheit verwandelnd. [Man kann jedoch auch zuerst den Major von
α
) in eine Subsumtion
β
') oder
β
'') umschreiben, dann von dem genannten Schema Gebrauch machen und die so gewonnene Subsumtion in die Inkonsi- stenz zurücktransformiren.] Durch Kontraposition der rechten Seite von
α
) oder auch durch Umformung der Inkonsistenz
α
') mit Rücksicht auf Th. 36) ergibt sich unter anderm:
α
'')
(
a b
= 0)

(
i a
= 0) + (
i b
= 0).
Durch Kontraposition erhalten wir ferner aus
β
):
γ
)
(
i a
= 0) + (
i a
1
= 0) = 1߭
als eine der β
)
stets äquivalente
Aussage.
Bei deren Einsetzung in (
β
) kann man die Abkürzung eintreten lassen, für (
A
= 1߭) blos
A
zu schreiben, und erhält: (
γ
)
(
i
≠ 0)
{(
i x
= 0) + (
i x
1
= 0)} = 1߭
als eine bemerkenswerte Form der Individuumsdefinition.
γ
) lehrt: lst
i
Individuum, Punkt, so muss für irgend ein Gebiet
a
entweder sein
i a
= 0
oder i a
1
= 0.
Analog liesse sich die Inkonsistenz
α
') verschiedentlich als Subsumtion anschreiben, wie wir dies bereits durch
α
'') exemplifizirt haben.
Auch gibt dieselbe durch Kontraposition den Satz:
δ
)
(
a b
≠ 0) + (
i a
= 0) + (
i b
= 0) = 1߭,
welcher leicht zu deuten. Und diesem entspricht die Definitionsform: (
δ
)
(
i
≠ 0)
{(
x y
≠ 0) + (
i x
= 0) + (
i y
= 0)}, = 1߭.
Etc.
Bemerkenswert erscheint nun aber, dass bei der vorstehenden ver- balen Fassung des Satzes
γ
) das „
oder
“ hingestellt werden darf als das in § 8,
η
) erläuterte „oder
aber
“, indem hier beide Fälle einander ausschliessen, nicht gleichzeitig eintreten können.
Dies beruht auf dem Satze:
ε
)
(
i a
= 0) (
i a
1
= 0) = 0
welchen man leicht beweist, indem man die linke Seite gemäss Th. 24
+
) zusammenzieht in (
i a
+
i a
1
= 0), welches = (
i
= 0) = 0 ist, wie aus (
i
≠ 0) = 1߭ durch Kontraposition folgt.
Es ist hienach unmöglich, dass ein Punkt i unsrer Mannigfaltigkeit weder einem Gebiet a noch seiner Negation angehöre.
Da auch
ε
) eine Inkonsistenz ist, lässt sich der Satz wieder in Subsumtionenform anschreiben als
21*
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ε
')
(
i a
= 0)

(
i a
1
≠ 0) sowie
ε
'') (
i a
1
= 0)

(
i a
≠ 0)
und ergibt sich aus ihm noch durch Kontraposition:
ζ
)
(
i a
≠ 0) + (
i a
1
≠ 0) = 1߭
— mit
ε
) zusammen ein gewisses Gegenstück zu
β
) und
γ
).
Kraft Definition (1) der Gleichheit zieht aber die Subsumtion
β
') mit
ε
'') und
β
'') mit
ε
') sich zusammen zu der
Gleichung: η
)
(
i a
≠ 0) = (
i a
1
= 0) resp. (
i a
= 0) = (
i a
1
≠ 0)
die auch direkt aus
β
) und
ε
) durch Berufung auf Th. 2̅4̅
+
), und 3̅9̅
+
) als (
A B
+
A
1
B
1
= 0) = (
A
=
B
1
), gefolgert werden könnte, des- gleichen mittelst der Th. 3̅0̅).
Und diese Gleichung bildet nun das Band durch welches die fol- genden Aussagen vollends verknüpft erscheinen, deren Äquivalenz wir in
a
sowol als in
a
1
mithin sozusagen doppelt statuiren wollen:
ϑ
)
(
i a
≠ 0) = (
i a
=
i
) = (
i

a
) = (
i a
1
= 0) = (
i

a
1
) = (
a
1

i
1
) = etc.
(
i a
= 0) = (
i a
1
=
i
) = (
i

a
1
) = (
i a
1
≠ 0) = (
i

a
) = (
a

i
1
) = etc.
Es sind nämlich die beiden zwischen die Aussagen von
η
) ein- geschalteten Aussagen in der ersten Zeile von
ϑ
) lediglich Umschrei- bungen (nach bekannten Sätzen) der letzteren von ihnen, genauer:
i

a
ist eine Transscription von
i a
1
= 0 nach Th. 38
×
) und
i a
=
i
eine Umwandlung von
i

a
gemäss Th. 20
×
). Hienach bleibt von den Formeln des Tableaus
ϑ
) nur etwa noch die folgende zu recht- fertigen, welche einen bemerkenswerten Satz vorstellt:
ι
)
(
i

a
) = (
i

a
1
).
Dieselbe läuft aber, wenn man die Subsumtion rechts und die Sub- sumtionenverneinung links auf den Typus der Gleichung resp. Un- gleichung reduzirt, d. h. sie in rechts auf 0 gebrachte Propositionen dieser Gattung umschreibt — cf. Th. 38
×
) — direkt auf die zweite Gleichung
η
) hinaus und erscheint als mit dieser schon bewiesen.
Der Satz
ι
) ist der erste von den beiden, auf welche schon in § 15 vorgreifend hingewiesen wurde und von welchem wir ausführlich gezeigt haben, dass er für eine ganz beliebige Klasse
i
nicht zutreffen würde. Er besagt:
Sobald das Subjekt eines verneinenden Urteils ein Individuum ist
,
muss es einerlei sein
,
ob die Negation
„
zur Kopula
“,
oder ob sie zum Prädikate geschlagen wird.
Kraft
ϑ
) lassen sich die darnach auf
einen
hinauslaufenden Sätze
§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
β
),
ε
) und
γ
),
ζ
) noch in mannigfachster Weise anschreiben, und seien hervorgehoben:
ϰ
)
(
i

a
) (
i

a
1
) = 0,
(
i

a
) + (
i

a
1
) = 1߭,
(
i a
=
i
) (
i a
1
=
i
) = 0,
(
i a
=
i
) + (
i a
1
=
i
) = 1߭,
(
i a
=
i
) (
i a
1
≠ 0) = 0, (
i a
≠ 0) (
i a
1
=
i
) = 0,
(
i a
=
i
) + (
i a
1
≠ 0) = 1߭, (
i a
≠ 0) + (
i a
1
=
i
) = 1߭,
(
i

a
) (
a

i
1
) = 0,
(
i

a
) + (
a

i
1
) = 1߭,
etc. Doch darf nicht übersehen werden, dass dieselben nicht mehr gleichermassen für das Individuum charakteristisch sein werden. So z. B. gelten die Relationen der zweiten Zeile auch dann, wenn man unter
i
kein Individuum sondern 0 versteht — wie denn auf dem be- tretenen Wege, durch Berücksichtigung der Relationen
ϑ
), teilweise sich reine Identitäten, wie (
i a
= 0) (
i a
≠ 0) = 0 etc. ergeben.
Ersetzt man demnach in den Definitionen (
β
) oder (
γ
) des
i
als eines Individuums den allgemeinen Faktor hinter dem
Π
durch einen
erst kraft solcher Definition
ihm äquivalenten Ausdruck, so kann man zwar sicher darauf rechnen, einen richtigen vom Individuum
i
gelten- den Satz zu erhalten, allein dieser wird sich nicht ohne weiteres, er wird für sich allein nicht immer schon als eine ausreichende Definition des Individuums sich hinstellen lassen.
Nur wenn die Umformungen jenes allgemeinen Faktors ohne solchen Zirkel einer Benutzung der Definition selbst und namentlich also der aus ihr geflossenen Relationen
η
), nach allgemeinen Schemata des identischen Kalkuls erfolgt, erhalten wir unfehlbar wieder eine Definition von
i
— in erneuter Gestalt.
Z. B. da (
i a
= 0) = (
i

a
1
) bereits gilt, wenn
i
auch eine be- liebige Klasse vorstellte, so wird (
λ
)
(
i
≠ 0)
{(
i

x
) + (
i

x
1
)} = 1߭
uns eine
vollkommne
Definition
des
i
als eines „Individuums“ vor- stellen — und zwar ist diese von allen wol die durchsichtigste und am meisten zum Citiren geeignet. Man könnte sie auch in der Form ansetzen: (
λ
')
(
i
≠ 0)
{(
i

x
) + (
x

i
1
)} = (
i
ist ein Individuum).
Lehrreich dürften in beregter Hinsicht auch noch diese Betrach- tungen sein.
Da die Glieder in
γ
) wegen
ε
) disjunkt sind, so kann man kraft Th. 3̅3̅
+
) die Summe
A
+
B
dortselbst, welche =
A B
1
+
A
1
B
+
A B
ist,
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
hier, wo nun
A B
= 0 folgte, vereinfachen zu
A B
1
+
A
1
B
, dem bereits erwähnten
A oder aber B
entsprechend, und hat den Satz:
μ
)
(
i a
= 0) (
i a
1
≠ 0) + (
i a
≠ 0) (
i a
1
= 0) = 1߭
oder auch, sozusagen (ausdrucks-)„voller“:
ν
)
(
i a
= 0) (
i a
1
=
i
) + (
i a
=
i
) (
i a
1
= 0) = 1߭
insofern hier sogleich die von 0 verschiednen Terme des vorigen Ansatzes mit ihrem Werte
i
angegeben erscheinen.
Benutzt man
μ
) — in
x
statt
a
angesetzt — als allgemeinen Faktor zu einer Individuumsdefinition so ist bemerkenswert, dass alsdann der Faktor (
i
≠ 0) in dieser fortgelassen werden darf, dass nämlich als „Defi- nition“ auch genommen werden kann: (
μ
)
{(
i x
= 0) (
i x
1
≠ 0) + (
i x
≠ 0) (
i x
1
= 0)}.
Dass alsdann
i
≠ 0 sei, folgt schon von selbst, indem nach § 40,
α
'):
(
i x
1
≠ 0)

(
i
≠ 0), (
i x
≠ 0)

(
i
≠ 0)
somit kraft Th. 2̅0̅
×
):
(
i x
1
≠ 0) = (
i
≠ 0) (
i x
1
≠ 0), (
i x
≠ 0) = (
i
≠ 0) (
i x
≠ 0)
ist, wonach denn bei (
μ
) sich (
i
≠ 0) als gemeinsamer und von selbst stets mit vorhandener Faktor ohnehin vorziehen liesse. Auch im übrigen wäre es nicht schwer von (
μ
) vollends auf (
γ
) zurückzuschliessen.
Benutzte man dagegen als allgemeinen Faktor den in
x
angesetzten Ausdruck
ν
), so dürfte die ausdrückliche Beisetzung des Faktors (
i
≠ 0) nicht unterbleiben; wohl aber wäre es zulässig, den Ansatz zu verein- fachen zu: (
ν
)
(
i
≠ 0)
{(
i x
=
i
) + (
i x
1
=
i
)},
indem (
i x
=
i
) = (
i x
1
= 0) etc., und
A A
=
A
zu nehmen ist. —
Auf eine mit der meinigen (
β
), (
γ
) oder (
λ
) wesentlich zusammen- fallende Definition des Individuums ist selbständig auch Herr
Voigt
1
(zwar lange nach mir) gekommen, mit deren Veröffentlichung jedoch mir selbst zuvorgekommen; ebenso trifft derselbe in der Aufstellung von manchen auf das Individuum bezüglichen Sätzen mit mir zusammen. Ich habe an meiner einschlägigen Darstellung, seit ich von seiner Arbeit Kenntniss ge- nommen, nichts mehr geändert.
Herr
Peirce
5
p. 43 definirt das Individuum
i
selbständig, und zwar, sofern wir seine Definition ganz in Formeln setzen, auf die folgende Weise
Er fällt damit eigentlich aus der Rolle des Aussagenkalkuls, in welchem sich seine ganze Abhandlung
5
bewegt — wol ihm unbewusst — heraus, über-
: (
ξ
)
(
i
≠ 0)
{(
x
⊂
i
)

(
x
= 0) = 1߭.
§ 47. Zurückführung der Punktdefinitionen aufeinander.
Dies ist, wenn wir die vorkommende
Unterordnung
gemäss § 36 auf den Typus der Gleichung und Ungleichung zurückführen, äqui- valent mit: (
ο
)
(
i
≠ 0)
{(
i
1
x
= 0) (
i x
1
≠ 0)

(
x
= 0)} = 1߭.
Man begreift zunächst intuitiv die Berechtigung auch dieser Defi- nition: Soll eine Klasse
x
dem Individuum
i
wirklich untergeordnet (und nicht gleich demselben) sein, also weniger als dieses eine Indi- viduum enthalten, so muss sie gar nichts enthalten, völlig leer sein; und umgekehrt wird dieses Verhalten von
i
jeder beliebigen Klasse
x
gegenüber in Verbindung mit der Auflage, selber ≠ 0 zu sein, cha- rakteristisch für das Individuum sein. Ein Gebiet muss ein Punkt sein, wenn es ohne selbst zu verschwinden, echte Teile überhaupt nicht enthalten kann.
Wir stellen uns aber auch die Aufgabe, systematisch die Aqui- valenz der beiden Definitionen (
ξ
) oder (
ο
) und (
β
) nachzuweisen, was auf den ersten Blick zwar nicht ganz naheliegend erscheint, in- dessen gleichwol nicht schwer ist.
Um (
ο
) aus (
β
) zu folgern, ist blos zu zeigen, dass auf Grund von (
β
) die Voraussetzung (
i
1
x
= 0) (
i x
1
≠ 0) die Konsequenz haben muss:
x
= 0. Nach Th. 6
×
) ist nun aber:
(
i
1
x
= 0) (
i x
1
≠ 0)

(
i x
1
≠ 0)
und nach der aus (
β
) bereits gewonnenen Subsumtion
β
'') ist:
(
i x
1
≠ 0)

(
i x
= 0),
sodass aus jener Voraussetzung auch
i x
= 0 a fortiori folgt. Sonach ist dann
x
=
i x
+
i
1
x
= 0 +
i
1
x
=
i
1
x
und da nach dem andern Teil,
schreitet die von ihm sich selbst gesteckten Grenzen und begibt sich auf das Gebiet des weiteren oder Klassenkalkuls. Der Aussagenkalkul wäre blos imstande, die Einheit 1߭ als „
das
Individuum“ zu erklären, vermöchte aber für sich allein ein „Individuum überhaupt“ gar nicht zu definiren. Und zwar deshalb, weil sein Hinausgreifen über den
Boole’
schen Kalkul zufolge vermeintlichen Besitzes einer verneinenden Kopula, kraft Formel
ζ
) S. 66 ein
illusorisches
ist, vielmehr in ihm schon
jede
Ungleichung, sowie Subsumtions-Verneinung auf eine Gleichung oder Subsumtion sich denknotwendig reduzirt, sonach auch in ihm die echte Unter- ordnung (deren Zeichen ⊂ ja oben verwendet wird) unfähig ist, sei es so, wie
Peirce
5
p. 21 es versucht, sei es überhaupt nur, definirt zu werden! Für Aus- sagen
A
,
B
müsste in der That, wie
leicht
, auch nach S. 120, zu sehen: (
A
⊂
B
) = (
A
= 0) (
B
= 1߭) schon gelten.
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
oder Faktor, jener Voraussetzung ebendieses
i
1
x
= 0 zu denken ist, so ist durch Vergleichung — cf. Th. 4) — auch
x
= 0 nachge- wiesen, q. e. d. —
Sonach ist erkannt, dass
(
β
)

(
ξ
).
Um umgekehrt auch (
β
) aus (
ξ
) oder (
ο
) abzuleiten, zu zeigen, dass auch
(
ξ
)

(
β
)
ist, erscheint es bequem, sich des indirekten Beweisverfahrens zu be- dienen — über welches § 46, 1 zu vergleichen. Ich thue dies um so lieber, als schon wiederholt bemerkt und als auffallend verzeichnet worden ist, dass gerade in der Logik von diesem Beweisverfahren nie- mals Gebrauch gemacht worden sei.
Es ist darzuthun, dass auf Grund von (
ο
) die Inkonsistenz
β
) be- stehen muss.
Gesetzt nun, sie bestehe nicht, d. h. es gebe ein
x
, für welches
i x
≠ 0 und zugleich
i x
1
≠ 0 ist, so lässt sich, wenn (
ο
) gilt, aus dieser Annahme ein Widerspruch ableiten.
Gilt nämlich
i x
1
≠ 0, so ist
i x
ein solches
X
, welches von der in (
ο
) mitenthaltenen Forderung:
(
i
1
X
= 0) (
i X
1
≠ 0)

(
X
= 0)
die Voraussetzung linkerhand erfüllt, indem für
X
=
i x
sicher
i
1
X
=
i
1
i x
= 0 und
i X
1
=
i
(
i
1
+
x
1
) =
i x
1
≠ 0
ist, und welches demnach von ihr auch die Folgerung rechterhand:
X
= 0 erfüllen muss. Auf diese Weise gelangen wir aber zu dem Ergebniss:
i x
= 0 entgegen der andrerseits gemachten Annahme
i x
≠ 0. Es war demnach die Annahme unzulässig, d. h. es muss sein:
(
i x
≠ 0) (
i x
1
≠ 0) = 0,
und dieses allgemein für jedes
x
, womit (
β
) gewonnen ist.
Auch ohne die apagogische Beweisform lässt sich dies zeigen, indem man in der eben geschilderten Weise aus (
ο
) folgert, dass:
(
i x
1
≠ 0)

(
i x
= 0),
sonach die Inkonsistenz unter dem Zeichen
Π
bei (
β
') oder (
β
) allgemein bestehen muss.
Ungeachtet ihres so verschiedenen Ansehens sind demnach die Definitionen (
β
) und (
ξ
) nur Umschreibungen von einander.
§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
Der allgemeine Faktor in der Def. (
ο
) lässt sich übrigens auch als eine Inkonsistenz ansetzen, wodurch entsteht: (
π
)
(
i
≠ 0)
{(
x
≠ 0) (
i x
1
≠ 0) (
i
1
x
= 0) = 0} = 1߭
und durch Vergleichung mit (
β
) zu sehen ist, dass auf den Typus der Gleichung und Ungleichung reduzirt die Def. (
β
)
einfacher
ist als die (
ξ
).
Durch Kontraposition dieser Inkonsistenz entsteht noch als Gegen- stück zu (
γ
): (
ϱ
)
(
i
≠ 0)
{(
x
= 0) + (
i x
1
= 0) + (
i
1
x
≠ 0)} = 1߭.
Auch mag bemerkt werden, dass in (
ξ
) das Subsumtionszeichen er- setzt werden dürfte durch ein Gleichheitszeichen. Überhaupt dürfen wir die Sätze registriren, die in den Definitionen (
ξ
) bis (
ϱ
) als all- gemeine Faktoren mitenthalten sind, sich aber aus ihnen herausge- schält viel einfacher präsentiren:
σ
)
(
a
⊂
i
) = (
a
= 0), (
i
1
a
= 0) (
i a
1
≠ 0) = (
a
= 0), (
a
≠ 0) (
i a
1
≠ 0) (
i
1
a
= 0) = 0, (
a
= 0) + (
i a
1
= 0) + (
i
1
a
≠ 0) = 1߭. —
Soviel über die Definitionsweisen des Individuums, deren Gleich- wertigkeit und die beim Nachweis der letzteren in Betracht kommenden Sätze. —
Von auf das Individuum bezüglichen Sätzen überhaupt wurde aber bei den verbalen Betrachtungen des § 15 vorgreifend auf zweie hin- gewiesen, deren einen erst wir unter
ι
) gerechtfertigt haben. Schuldig sind wir es noch, auch den andern in die Theorie aufzunehmen und zu beweisen. Ihn drückt die Formel aus:
τ
)
(
i

a
+
b
) = (
i

a
) + (
i

b
)
welche zu gelten beansprucht für ganz beliebige Klassen
a
,
b
und irgend ein Individuum
i
.
Auch Ende § 12 bei einem vorgreifenden (Schein-)Beweise des Distributionsgesetzes wurde an diesen Satz appellirt, und ist dessen Formelausdruck geradeso beschaffen, wie wenn
a
,
b
und
i
beliebige Aussagen wären — cf. § 45,
α
+
). Er besagt:
Wenn ein Individuum
»
a oder b
«
ist
,
so muss entweder dasselbe a sein
,
oder dasselbe muss b sein.
M. a. W.
Sobald das Subjekt ein Individuum ist, kann ein disjunktiv (desgl.
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ein alternativ) prädizirendes Urteil immer als ein disjunktives
(
resp. alter- natives
Das
„alternative“
Urteil ist, wie schon erwähnt, allgemeiner als das „dis- junktive“ (aufgefasst im Sinne der traditionellen Logik) insofern es nicht aus- drücklich fordert (indessen es doch auch mit zulässt), dass die Glieder der Alter- native einander gegenseitig ausschliessen, „disjunkt“ seien.
Urteil angesehen werden.
Der
Beweis
ergibt sich wie folgt. Die zu beweisende Gleichung zer- fällt nach Def. (1) in zwei Subsumtionen. Von diesen muss die eine:
(
i

a
) + (
i

b
)

(
i

a
+
b
)
ohnehin gelten, unabhängig davon, ob
i
ein Individuum vorstellt oder nicht.
Auch für eine beliebige Klasse
c
haben wir nämlich:
(
c

a
) = (
c

a
) · 1߭ = (
c

a
) (
a

a
+
b
)

(
c

a
+
b
)
und ebenso:
(
c

b
)

(
c

a
+
b
),
woraus durch überschiebendes Addiren mit Rücksicht auf das Tauto- logiegesetz, oder kürzer noch kraft Def. (3̄
+
) folgt:
(
c

a
) + (
c

b
)

(
c

a
+
b
).
Es muss demnach nur noch die umgekehrte Subsumtion:
(
i

a
+
b
)

(
i

a
) + (
i

b
),
oder:
(
i a
1
b
1
= 0)

(
i a
1
= 0) + (
i b
1
= 0)
dargethan werden. Letztere ergibt sich aber nach dem Schema der für
x
,
y
in Anspruch genommenen Subsumtion
α
''):
(
x y
= 0)

(
i x
= 0) + (
i y
= 0)
sobald man nur in dieser sich
x
=
i a
1
,
y
=
i b
1
denkt, wobei ja auch
x y
=
i a
1
b
1
und
i x
=
i i a
1
=
i a
1
, ebenso
i y
wieder =
i b
1
sein wird.
Von zwei Gliedern ist selbstverständlich das Th.
τ
) auch auf be- liebig viele Terme auszudehnen:
(
i

a
+
b
+
c
+ ‥) = (
i

a
) + (
i

b
) + (
i

c
) + ‥
oder
(
i

a
) =
(
i

a
)
über welches Gebiet von Werten
a
sich auch immer die Summe beider- seits erstrecken möge.
Untersuchen wir noch, ob auch die zu
τ
) gebietsdulae Gleichung: ?)
(
a b

i
) = (
a

i
) + (
b

i
)
§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
für ein Individuum gelten muss, ganz ebenso, als ob — vergl. § 45,
α
×
) —
a
,
b
,
i
drei Aussagen wären.
Da
(
a

c
) = (
a b

a
) (
a

c
)

(
a b

c
)
und ebenso
(
b

c
)

(
a b

c
)
ist, so muss nach Def. (3̄
+
) ohnehin sein:
(
a

c
) + (
b

c
)

(
a b

c
)
und dies bleibt natürlich auch bestehen, wenn die beliebig zu denken ge- wesne Klasse
c
=
i
eine singuläre sein sollte.
Für letztre lässt es sich auch so beweisen. Wir haben — vergl. § 35, S. 109:
(
a

b
) = (
a
⊂
b
) + (
a
=
b
), und nach
σ
) (
a
⊂
i
) = (
a
= 0),
sonach gilt der Satz:
υ
)
(
a

i
) = (
a
= 0) + (
a
=
i
).
Desgleichen ist
(
b

i
) = (
b
= 0) + (
b
=
i
)
und
(
a b

i
) = (
a b
= 0) + (
a b
=
i
).
Die zu beweisende Relation (
a

i
) + (
b

i
)

(
a b

i
) läuft also hinaus auf:
(
a
= 0) + (
b
= 0) + (
a
=
i
) + (
b
=
i
)

(
a b
= 0) + (
a b
=
i
).
Nun ist schon bekanntermassen:
(
a
= 0)

(
a b
= 0) sowie (
b
= 0)

(
a b
= 0).
Ferner haben wir:
(
a
=
i
) = (
a
=
i
) {(
a b
= 0) + (
a b
≠ 0)}

(
a b
= 0) + (
a
=
i
) (
a b
≠ 0);
aber:
(
a
=
i
) (
a b
≠ 0)

(
i b
≠ 0) = (
i b
=
i
) = (
a b
=
i
),
sonach: (
a
=
i
)

(
a b
= 0) + (
a b
=
i
), ebenso (
b
=
i
)

(
a b
= 0) + (
a b
=
i
) und durch überschiebendes Addiren der vier (Subsumtionen-)Ansätze ge- winnen wir die behauptete Subsumtion.
Es wäre nun also noch die umgekehrte Subsumtion:
(
a b

i
)

(
a

i
) + (
b

i
)
zu prüfen.
Dass diese aber
nicht
zu gelten braucht, zeigt ein Beispiel. Nehmen wir
a
=
i
+
c
=
i
+
c i
1
und
b
=
i
+
d
=
i
+
d i
1
, wo
c d
= 0
ist, an, so ist
a b
=
i
, also die Prämisse links erfüllt; dagegen ist weder
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
a

i
noch
b

i
, wofern nur
c i
1
und
d i
1
von 0 verschieden, also
a
und
b
dem
i
wirklich übergeordnet genommen werden — eine Anforderung, welche in Verbindung mit der
c d
= p für Gebiete im Allgemeinen leicht zu erfüllen ist (wofern nämlich nur die Mannigfaltigkeit 1 neben
i
noch mindestens zwei Individuen enthält wo dann schon die Annahme:
a
=
i
+
i
2
,
b
=
i
+
i
3
genügen wird). Die Konklusion also zeigt sich als gleichwol nicht erfüllt und der Satz kann keine Geltung haben.
Der Umstand, dass hienach vom Individuum
i
der Satz
τ
) gilt, der dazu gebietsduale Satz ?) aber
nicht
gilt, lässt erkennen, dass der Begriff des Individuums gebietsdual sich selber nicht entsprechen kann.
Dies zeigt auch die Inspektion, genauere Ansicht der Def. (
β
) selber.
Sehen wir in der That zu, was dieser Definition — oder, noch besser, der (
λ
) — gebietsdual für eine Definition entsprechen würde, d. h. schreiben wir dieselbe einmal gebietsdual um! Das hiebei ein- zuhaltende Verfahren ist vom Schlusse des § 30 in Erinnerung zu bringen.
Dasselbe würde uns liefern: (
λ
`)
(
i
` ≠ 1)
{(
x

i
`) + (
x
1

i
`)} = 1߭.
Wir haben gleichzeitig
i
` für
i
gesagt, weil es nicht mehr ein Indi- viduum
i
zu sein braucht, welches die in (
λ
`) dual umgeschriebenen Definition (
λ
) zu erfüllen braucht. Was vielmehr
i
` bedeuten, welches Gebilde die Definition (
λ
`) bestimmen wird, bleibt eben erst zu untersuchen.
Wir behaupten, dass es die
Negation eines Individuums
sein wird, dass man also für
i
` geradezu
i
1
sagen kann.
Aus der für das Individuum
i
geltenden Ungleichung
i
≠ 0 folgt durch beiderseitiges Negiren:
i
1
≠ 1, und vice versa.
Die „Kontraposition“ ist nämlich auch bei Ungleichungen gestattet, d. h. nach bekannten Sätzen haben wir schematisch:
(
a
≠
b
) = (
a
=
b
)
1
= (
a
1
=
b
1
)
1
= (
a
1
≠
b
1
)
und sonach insbesondere:
(
i
≠ 0) = (
i
1
≠ 1).
Wir können ferner die beiden Subsumtionen in (
λ
) vermittelst Kontraposition umschreiben wie folgt:
(
i

x
) = (
x
1

i
1
), (
i

x
1
) = (
x

i
1
)
sodass die Definition (
λ
) auch in die Form gesetzt werden mag: (
λ
')
(
i
1
≠ 1)
{(
x
1

i
1
) + (
x

i
1
)} = 1߭
§ 47. Duales Gegenstück zum Individuum.
in welcher sie die Mission erfüllt, anstatt das Individuum selbst nun- mehr die
Individuumsnegation
direkt zu
definiren
, sintemal in ihr gar nicht mehr von
i
, sondern blos noch von
i
1
die Rede ist, mit dem Begriff des Individuums zugleich aber derjenige seiner Negation be- stimmt oder gegeben sein musste.
Stellen wir noch in (
λ
') die beiden Glieder der unter dem Zeichen
Π
stehenden Summe gemäss dem Kommutationsgesetze 12
+
) der Addi- tion um, so zeigt die Vergleichung dieser Definition von
i
1
mit der- jenigen (
λ
`) von
i
`, dass die beiden Definitionen
bis auf den Namen des zu Definirenden
vollkommen, sozusagen Wort für Wort, überein- stimmen, weshalb der von beiden definirte Begriff denn auch derselbe sein muss; ein
i
` welches die erste Def. erfüllt, wird, wenn mit
i
1
be- zeichnet, auch die zweite erfüllen, und umgekehrt — q. e. d. —
Auch wenn wir uns jedoch jener Gliederumstellung enthalten, lässt sich dasselbe Resultat gewinnen, obzwar auf einem Umwege. Dieser bietet indessen einige lehrreiche Momente dar:
Ohne die Berücksichtigung des Th. 12
+
) geht aus der Vergleichung des allgemeinen Faktors in (
λ
') mit dem von (
λ
`) hervor, dass — auch abgesehn von dem einmal accentuirten, einmal mit Suffix versehenen
i
— die beiden noch nicht übereinstimmen, sondern dass in ihnen
x
und
x
1
obendrein noch ausgetauscht erscheinen.
Nach § 30 war indessen bei einem mittelst des Zeichens
Π
in Ab- kürzung zusammengefassten Produkte die Bezeichnung der Produktations- variabeln gleichgültig. Folglich können wir (um ganz penibel zuwerke zu gehen) in (
λ
') rechts auch
y
für
x
schreiben, wodurch entsteht:
(
i
≠ 0)
{(
y
1

i
1
) + (
y

i
1
)} = 1߭
und hierin mögen wir nach demselben Prinzip auch
x
1
für
y
schreiben, wodurch wir als Def. von
i
1
erhalten:
(
i
≠ 0)
{(
x

i
1
) + (
x
1

i
1
)} = 1߭.
Es war m. a. W. nach genanntem Prinzip gestattet, in (
λ
') auch
x
mit
x
1
zu vertauschen.
Die letzte Fassung stimmt nun mit der obigen (
λ
`) auch im allge- meinen Faktor überein, unterscheidet sich aber dadurch noch von ihr, dass hier
, dort
vor besagten Faktor gesetzt erscheint.
Solcher Umstand aber muss überall da gleichgültig sein, wo wir — wie hier — mit einem „absoluten“ Produkte zu thun haben, d. h. mit einem solchen, welches über alle erdenklichen Werte der Produktations- variabeln (aus der Mn. 1) sich zu erstrecken hat:
Wir haben, mag
F
(
x
,
x
1
) eine „Gebietsfunktion“ von
x
, oder mag es, noch allgemeiner, eine „Aussagenfunktion“ vorstellen, offenbar:
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
F
(
x
,
x
1
) =
F
(
x
,
x
1
)
— auch dann, wenn die Funktion
F
nicht, wie in dem obigen Beispiele, symmetrisch hinsichtlich ihrer beiden Argumente ist, indem, wenn
x
alle denkbaren Gebietwerte durchläuft, auch
x
1
dies thut, und umgekehrt.
Solches ist nicht etwa ein eigenes Prinzip, sondern läuft auf das Kommutationsgesetz 1̅2̅
×
) der Aussagenmultiplikation, sonach im Grunde auf das Prinzip Ī hinaus, in Anbetracht dass für irgend ein bestimmtes
x
sowol
F
(
x
,
x
1
), als auch
F
(
x
1
,
x
) Faktor in jedem der beiden obigen Pro- dukte sein wird, jedoch in der umgekehrten Ordnung zwischen die übrigen Faktoren eingeschaltet, wofern wir beiderseits genau dieselbe Wertenreihe von der betreffenden Variabeln durchlaufen lassen.
Ergebniss der Betrachtung ist also:
Gebietsdual entspricht der De- finition und dem Begriffe des Individuums die Definition und der Begriff der Negation eines Individuums.
Unzweifelhaft hat dies schon Herr
Peirce
richtig gefühlt, wenn er es auch nicht ausdrücklich ausspricht, wie in
5
p. 42 sq. aus seiner Gegen- überstellung von „individual“ und „simple“ zu erkennen ist.
Die Negation eines Individuums nennt Herr
Peirce
„a simple“ — doch leuchtet ein, dass wir einer fatalen Nebenbedeutung halber das Wort „ein Simpel“ nicht in die deutsche Sprache herübernehmen können.
Eher möchten wir die Benennung insoweit adoptiren, dass wir den entfernteren Anklang weniger scheuend, dafür ein „
Simplum
“ sagen (sollten wir uns dadurch auch der Neubildung eines lateinischen Haupt- wortes schuldig machen).
Für unsre bevorzugte Mannigfaltigkeit bedeutet das Individuum einen Punkt der Tafelfläche, das (zugehörige) Simplum
die ganze Tafel- fläche
,
einen einzigen
(diesen einen)
Punkt derselben ausgenommen
.
Es wird sich zeigen, dass wir auf die Simpla nicht weiter Rück- sicht zu nehmen brauchen, indem alle Forderungen, welche sich künf- tig auf Individuen beziehen sollten — wie z. B. die bei der „Klausel“ zu erörternden — ihre dualen Gegenstücke von selbst finden. Nämlich wenn eine Anforderung bezüglich Verteilung von Individuen auf ge- wisse Klassen erfüllt sein wird, so muss auch deren duales Gegenstück durch die zugehörigen Simpla ohnehin erfüllt sein, und vice versā — vorausgesetzt nur, dass man
über die bisherige Gepflogenheit hinausgehend
bei der Herstellung solchen Gegenstücks
auch alle Klassen in ihre Negationen verwandle
. Man erhält hiebei „ein“ duales Gegenstück im weiteren Sinne, sozusagen nur „der Art nach“ von der jene Anforderung statuirenden Aussage — nennen wir es: die ihr „kontrapositionell“, oder „
kontrapositiv
“ entsprechende Aussage. Und diese muss mit jener
§ 47. Duales Gegenstück zum Individuum.
in der That immer gleichzeitig erfüllt sein, weil beide Aussagen ein- ander im Grunde äquivalent sind und kraft der Theoreme 36) eben durch Kontraposition in einander übergehen.
Zur Erläuterung sei bemerkt: (gebietsdual) einander kontrapositiv ent- sprechende Aussagen können als „der Art nach“ einander schlechthin ge- bietsduale hingestellt werden, sobald man die in sie eingehenden Buch- stabensymbole als völlig allgemeine Klassensymbole deutet, und zwar bei jeder von den beiden Aussagen für sich, ohne Rücksichtnahme auf die andere, d. h. absehend von den Beziehungen, welche durch etwaige Über- einstimmung der Namen festgelegt erscheinen zwischen den Elementen der beiden Aussagen. So ist z. B. (
b
+
c

a
) exakt das duale Gegenstück zur Aussage (
a

b c
); aber (
b
1
+
c
1

a
1
) ist es wenigstens der Form oder Art nach, ist es ebenfalls
unter dem Vorbehalte,
dass man gleichwie
a
,
b
,
c
, so auch
a
1
,
b
1
,
c
1
als schlechthin allgemeine, völlig unbestimmte oder will- kürliche Gebietssymbole auffasst, unbekümmert darum, dass
a
1
gerade die Negation von
a
uns darzustellen hatte,
b
1
die von
b
, etc.
Diese Aussage
b
1
+
c
1

a
1
nun ist als das kontrapositive Gegenstück äquivalent der Aussage
a

b c
. Etc.
Stellt nun z. B. als
Bedingung
für die Zulässigkeit einer gewissen Folgerung sich (die) heraus, dass eine Klasse
a
keine singuläre sein, kein Individuum vorstellen dürfe, dass also
(
a
≠
i
) gelte, so ist von selbst auch als Bedingung ebendafür hinstellbar, was der Art nach das duale Gegenstück der vorigen ausmacht, dass
(
a
1
≠
i
1
) gelte, d. h. dass die Negation von
a
kein Simplum vorstelle. Denn diese Bedingung fällt als kontrapositives Gegenstück mit jener zusammen und braucht die eine nicht mehr ausgesprochen zu werden sofern die andre es wurde.
Oder — um noch eines der häufigst vorkommenden Beispiele aus der technischen Praxis unsres Kalkuls anzuführen — involvirt eine Konklusion etwa die Forderung dass zwei Klassen
a
und
b
1
nicht
in ein und dasselbe Individuum zusammenschrumpfen dürfen, gehört mithin zu unsern
Folge- rungen
diese, dass
{(
a
=
i
) (
b
1
=
i
) = 0} gelten müsse, so wird hiezu auch deren der Art nach duales, nämlich kontrapositives Gegenstück:
{(
a
1
=
i
1
) (
b
=
i
1
) = 0}
als Folgerung gelten müssen — die Produkte natürlich allemal nur aus- gedehnt über alle diejenigen Klassen
i
, welche der Definition des Indivi- duums genügen. Etc.
Macht also auch der
durch den ganzen identischen Kalkul sich hin- durchziehende
„
Gebietsdualismus
“ keineswegs halt vor der Definition und Theorie des Individuums, so zeigen sich doch in der letzteren die beiden einander dual zugeordneten Zweige stets in
einen
verwachsen oder wenigstens der Art nach verschmolzen. Und so ist es denn als eine erfreuliche Thatsache zu verzeichnen, dass wir uns mit den Simplen überhaupt nicht herumzuschlagen brauchen, weshalb denn
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
auch solch aparte Benennung für die Individuumsnegation als kein sehr dringendes Bedürfniss erscheint. —
Im Bisherigen wurde — wie ich hoffe der Hauptsache nach — die Theorie der Eigenschaften des Individuums erledigt insoweit es nötig fällt,
ein
solches in’s Auge zu fassen. Wir könnten freilich dieser noch manche Sätze zufügen, wie z. B.:
(
i

a
) = 0,
etc. wollten wir noch andere Beziehungszeichen, als die bisher ver- wendeten, mit in den Kreis der Betrachtungen ziehen.
Systematisch hätte sich dieser nunmehr anzureihen die Theorie derjenigen Sätze welche handeln von
mehreren
Individuen zugleich.
Solche Sätze, wie:
φ
)
(
i
1
⊂
i
2
) = 0, (
i
1

i
2
) = 0, (
i
1

i
2
) = (
i
1
=
i
2
), (
i
1
≠
i
2
) = (
i
1
i
2
= 0), (
i
1

i
2
+
i
3
+ …) = (
i
1
=
i
2
) + (
i
1
=
i
3
) + …
lassen sich auf dem nunmehr gewonnenen Standpunkte jeweils mit grosser Leichtigkeit — und ohne je ein neues Prinzip, Postulat oder Axiom erforderlich zu machen — auf die Grundlagen des bisherigen Kalkuls zurückführen, aus diesen selbst
beweisen
.
Sie pflegen jedoch auch ohne solche Zurückführung einen unge- heuren Grad von unmittelbar einleuchtender
Evidenz
zu besitzen.
Was den Beweis der vorstehenden betrifft, so gibt auf den Typus der Gleichung und Ungleichung gemäss § 36 reduzirt:
(
i
1
⊂
i
2
) = (
i
1
i
1
2
= 0) (
i
1
1
i
2
≠ 0)
und kann nach
η
) — darin
a
mit
i
1
2
resp.
i
1
1
identifizirt — der erste Faktor in (
i
1
i
2
≠ 0), der zweite in (
i
1
i
2
= 0) umgeschrieben werden, wo dann beide einander direkt widersprechen, die Inkonsistenz
(
i
1
i
2
≠ 0) (
i
1
i
2
= 0) = 0
zusammensetzend. Man mag indess auch nach der ersten Formel
σ
): (
i
1
⊂
i
2
) in (
i
1
= 0) umschreiben, was mit dem zufügbaren Faktor 1߭, = (
i
1
≠ 0) die Inkonsistenz liefern, das Produkt 0 geben wird. Ähnlich läuft (
i
1

i
2
) auf eine Inkonsistenz hinaus.
Ferner ist nun
(
i
1

i
2
) = (
i
1
⊂
i
2
) + (
i
1
=
i
2
),
worin die erste Glied-Aussage rechts soeben als = 0 erwiesen worden.
Nachdem so auch die dritte Formel
φ
) bewiesen, haben wir nach dieser mittelst Kontraposition: (
i
1
≠
i
2
) = (
i
1

i
2
), und dies ist nach
ι
) gleich (
i
1

i
1
2
) mithin = (
i
1
i
2
= 0), q. e. d.
§ 47. Postulate zur Punktdefinition.
Endlich braucht man behufs Beweises der letzten Formel
φ
) nur von dem Satze
τ
) Gebrauch zu machen und rechts die dritte Formel
φ
) an- zuwenden.
Nachdem wir aber eingangs das Individuum definirt haben, ist die Frage zu diskutiren,
ob denn das Definirte auch denknotwendig exi- stirt
, ob oder unter welchen Bedingungen der Definition ein Sinn, eine Bedeutung zukommt? Ich halte die vorstehende für eine der aller- schwierigsten Fragen, und weiss mir nicht anders zu helfen, als indem ich ihre Beantwortung im bejahenden Sinne axiomatisch fordere, die- selbe (vorerst) als ein
Postulat
hinstelle. Und zwar genügt es an- scheinend
nicht
, etwa blos die
Anerkennung
zu verlangen:
Postulat
((4))
dass in jeder Klasse a
,
die nicht
0
ist, Individuen
(genauer: mindestens
ein
Individuum als ihr eingeordnete Unterklasse)
enthalten sein müssen
, m. a. W. dass wir immer ein solches anzugeben
vermögen
.
Wird freilich ein solches
i
1
als unter
a
enthalten zugegeben, so- dass
i
1

a
, so können wir die Ergänzung dieses einen Individuums zur Klasse
a
als eine neue Klasse
a i
1
1
in’s Auge fassen, und für die- selbe das nämliche Postulat abermals in Anspruch nehmen. Auch sie muss, wenn sie nicht 0 ist, wieder mindestens ein Individuum
i
2
ent- halten, sodass
i
2

a i
1
1
.
Dieses muss von
i
1
notwendig verschieden sein, denn wenn es damit zusammenfiele, so gelangten wir zu dem Widerspruch mit der Def. (
α
), dass
i
1
den beiden einander ausschliessenden Klassen
x
=
i
1
und
y
=
a i
1
1
gleichzeitig eingeordnet wäre [m. a. W. dass
innerhalb der Mannigfaltigkeit a
— die mit 1 bezeichnet werden könnte — dann
i
1
eingeordnet sein müsste den beiden einander negirenden Klassen
x
=
a i
1
und
x
1
=
a i
1
1
, im Widerspruch zu
β
)]. Auf diese Weise er- gäbe sich also die Nötigung,
i
2
so, wie wir es gethan, verschieden von
i
1
zu bezeichnen.
Auf die Ergänzung
a i
1
1
i
1
2
von
i
2
zur Klasse
a i
1
1
lässt sich das- selbe Postulat dann wiederum anwenden: sie muss, sofern sie nicht 0 ist, abermals ein Individuum
i
3
enthalten, sodass
i
3

a i
1
1
i
1
2
ist, und zwar ein Individuum, welches von den bisherigen
i
1
und
i
2
verschieden.
In dieser Weise fortschliessend kämen wir zu der Darstellung:
a
=
i
1
+
a i
1
1
=
i
1
+
i
2
+
a i
1
1
i
1
2
=
i
1
+
i
2
+
i
3
+
a i
1
1
i
1
2
i
1
3
= … =
a
=
i
1
+
i
2
+
i
3
+ … +
i
r
+
a i
1
1
i
1
2
i
1
3
…
i
1
r
,
oder:
χ
)
a
=
i
ϰ
+
a
i
1
ϰ
,
Schröder
, Algebra der Logik. II. 22
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
behufs deren rechnerischer Verifikation man lediglich von den Theo- remen Th. 33
+
) Zusatz, und mit Rücksicht auf die Voraussetzungen:
i
1

a
,
i
2

a i
1
1
,
i
3

a i
1
1
i
1
2
, …
i
r

a i
1
1
i
1
2
i
1
3
…
i
1
r
— 1
auch von dem in Th. 20
+
) mitenthaltenen Satze:
(
b

a
)

(
b
+
a
=
a
)
Gebrauch zu machen hätte.
Nennen wir nun das letzte Glied der obigen allgemeinen Dar- stellung
χ
) von
a
für den Augenblick „das
r
te
Residuum
der Klasse
a
“, so würde doch auf Grund des Postulates ((4))
allein
niemals der Nach- weis zu erbringen sein, dass
bei hinreichend weit getriebener, nötigenfalls unbegrenzter
Fortsetzung des vorstehend geschilderten Folgerungsver- fahrens (oder Prozesses des Schliessens) das Residuum der Klasse schliesslich
NB. Was heisst jedoch in dem letzteren Falle, auf den mit „nötigenfalls“ hingewiesen ist, dieses „schliesslich“?
= 0 werden müsse.
Wir dürften uns daher wol genötigt sehen, dem obigen Postu- late ((4)) noch ein zweites hinzuzufügen, welches als die
Anerkennung
formulirt werden kann:
Postulat
((5)):
dass das identische Produkt jeder Klasse in die Negationen sämtlicher in ihr enthaltenen Individuen verschwindet
, m. a. W. dass wir imstande seien, bei irgend einer vorgelegten Klasse, einem Gebiete, den Prozess der Residuenbildung
wenigstens in der Idee
(wenn auch nicht in der Praxis) solange fortzusetzen, bis wir auf das Resi- duum 0 kommen.
Darnach wird denn in der That das Residuum der Klasse, welches nach Absonderung von mehr und mehrern ihrer Individuen von ihr übrig bleibt, zuletzt zu vernachlässigen sein, und mögen wir auch unsre beiden Postulate in das eine zusammenfassen:
Postulat
((4)). ((5)):
Jede von
0
verschiedene (nicht inhaltsleere) Klasse lässt sich darstellen als eine identische Summe von lauter (unter sich verschiedenen) Individuen.
Jedes
räumliche Gebiet
insbesondere kann angesehen werden als ganz und gar
zusammengesetzt aus mathematischen Punkten
— des- gleichen jedes
zeitliche
Gebiet aus
Augenblicken
[und jede („stetige“) Mannigfaltigkeit (auch) überhaupt aus ihren Elementen].
Und zwar erscheint der „mathematische Punkt“ hierselbst als ein
wohldefinirter
Begriff: Als bekannt sollte ja gelten, was unter einem
räumlichen Gebiete
,
Raumteil
zu verstehen ist. Ich sage hiefür mit Ab-
§ 47. Postulate zur Punktdefinition.
sicht nicht geometrischer „Körper“, weil dieser Begriff mit zu engem Umfange, als im Gegensatz zu Fläche, Linie sowie Punkt stehend ge- braucht zu werden pflegt — weit eher wäre die Bezeichnung des räum- lichen Gebietes als eine „Figur“ zulässig. Der „Raum
teil
“ ist nun Punkt zu nennen, dann und nur dann, wenn er, mit
i
bezeichnet, der Definition (
λ
) genügt, in welcher dem Symbole
x
alle erdenklichen räumlichen Gebiete oder Raumteile innerhalb des ganzen Raumes 1 als Bedeutung untergelegt werden müssen.
Wir mögen hienach schreiben:
ψ
)
a
=
i
1
+
i
2
+
i
3
+ …
Die Forderung, für die Logik der Begriffsumfänge dies anzuer- kennen, scheint in der That in der ganzen Natur unsres Denkens begründet.
Unter einer
Klasse
können wir uns nur denken: das, was vor- stellen wird ein
zusammenfassender
oder kollektiver
Name für ver- schiedene einzelne Dinge
, wenn derselbe durch die Vorschrift
distribu- tiver
Verwendung zu einem „generellen“ oder „Gattungsnamen“ gestempelt wird (und dadurch unterschieden wird von dem „Kollektiv- namen“ im engeren Sinne, bei welchem solche Verwendung ausge- schlossen oder wenigstens nicht gefordert ist, bei welchem besagte Vorschrift wegfällt, fehlt).
Die Klasse, als dargestellt durch einen Gemeinnamen oder viel- deutigen Term, kann selbst wieder in weitere
Selbstverständlich
„engere“
— man wolle „weitere“ hier als „fernere“ oder „neue“ verstehen.
Unterklassen zerfallen und so fort. Als auf deren letzte Elemente müssen wir aber bei einer jeden gedachten Klasse schliesslich kommen auf eindeutige Terme, die Individuen der Klasse repräsentirend, deren Namen eben als Eigen- namen ganz bestimmte Objekte des Denkens bezeichnen. Denn ur- sprünglich von den letzteren ausgehend haben wir uns historisch erst zu dem Begriff der Klasse erhoben.
Umgekehrt allerdings ist der genetische Gang bei den Gebieten einer „stetigen“ Mannigfaltigkeit. Ist diese z. B. räumlicher Natur, so erscheint die Vorstellung des Raumteils,
Körpers
(hernach analog die des Flächen- und des Linienteils) als die ursprünglichere, derjenigen des Punktes gegenüber, und muss von da erst zum Begriffe des mathe- matischen Punktes herabgestiegen werden!
Obwol ich damit aus dem Rahmen der mir hier gesetzten Aufgabe
22*
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ein wenig heraustrete, will ich den schwierigen Versuch wagen, die Art, wie meines Erachtens solches auszuführen ist, genauer darzulegen, und zwar sowol in
streng-wissenschaftlicher
Hinsicht als auch in
didaktischer
Hin- sicht im Hinblick auf die Schwierigkeiten des ersten Elementarunterrichts in der
Geometrie
und die an diesen zu stellende Anforderung, sich wenigstens nicht in Widerspruch mit der strengen Wissenschaft zu setzen.
In jener erstgenannten Hinsicht liegt die Sache ziemlich einfach. Beim streng wissenschaftlichen Verfahren ist die Logik, gleichwie allen andern Disziplinen, so auch der Geometrie
voran
geschickt zu denken, und zwar mit Einschluss auch der Betrachtungen des gegenwärtigen Paragraphen. „Punkt“ haben wir dann wie oben erwähnt ein räumliches Gebiet, einen Raumteil zu nennen, der eben (mit
i
bezeichnet) unsrer Definition (
λ
) genügt.
Dass einerseits solche Definition
zulässig
oder
denkmöglich
ist, dass sie mit den sonstigen Gesetzen des menschlichen Denkens keinen Widerspruch in sich schliessen kann, vielmehr mit ihnen konsistent, verträglich ist, zeigt das Substrat der „Individuen“ bei den wohldefinirten Klassen (von Objekten des menschlichen Denkens), welche wir als etwas uns Gegebenes reklamiren dürfen, über das wir verfügen. Die Deutungsfähigkeit des durch (
λ
) defi- nirten
i
als eines Individuums einer gewöhnlichen Mannigfaltigkeit, inner- halb deren beliebige Klassen
x
resp.
x
1
sich bilden lassen, thut die
Existenz
des also Definirten (auf einem gewissen Felde wenigstens) unleugbar dar, und schliesst die Möglichkeit eines verkapptenWiderspruchs solcher Defi- nition mit den Gesetzen des logischen Denkens ebendamit aus.
Da (resp. solange) aber andrerseits die Existenz des durch (
λ
) zu Definirenden auf dem
hier
vorliegenden Felde — für das räumliche Sub- strat, in der Geometrie — nicht bewiesen ist, ja unbeweisbar erscheint, so wird allen au die adoptirte Definition des Punktes weiterhin zu knüpfen- den Folgerungen, allen Sätzen der Geometrie, in denen von „Punkten“ die Rede ist, hinfort zuzuerkennen sein: ein „hypothetischer“ Charakter, der Charakter von Schlüssen, unter deren Prämissen die Geltung jener Defini- tion, die Existenz von etwas ihr Genügendem eben als „Punkt“ zu Bezeich- nenden, wesentlich mit figurirt. Die Geometrie wird sich gegenüber dem Punkte gerade ebenso verhalten, wie die Geomechanik zu den absolut starren Körpern. Und sie büsst damit gar nichts ein von ihrer Erhaben- heit und Strenge.
Beim geometrischen Elementarunterricht kann indess jener streng wissenschaftliche Weg begreiflich nicht beschritten werden.
Nach meinem (subjektiven) Erachten dürfte hier am besten in folgender Weise vorzugehen sein, wobei man auf Grund gewisser axiomatisch au- zuerkennender Eigenschaften des
Raumes
zu einer genetischen Begriffs- erklärung von Punkt, Ort, Bewegung, Körper, Fläche, Linie,
und Grenze
, gelangen wird.
Wie üblich denken wir den
Raum
uns definirt als eine Form der Materie, nämlich des der Erscheinungswelt zugrunde liegend gedachten Wirklichen, und zwar als den Komplex derjenigen Merkmale dieser (raum- erfüllenden) Substanz, welcher übrig geblieben, nachdem man von allen den
§ 47. Didaktische Schwierigkeit der Punkteinführung i. d. Elementargeometrie.
sogenannten „physikalischen“ Merkmalen dieser letzteren, als Farbe, Gewicht, Kräften, … abgesehen oder abstrahirt hat.
Man gehe nun aus von der Thatsache der „
Teilbarkeit
des Raumes“. Anzuerkennen ist: dass der Raum ein Mannigfaltiges ist, an (oder
in
) welchem sich Teile unterscheiden lassen.
[Gemeinhin wird ja ein Raumteil durch seine Begrenzung erst „be- stimmt“; dass die Vorstellung einer Grenze aber nicht unerlässlich ist zur Konzeption eines Raumteiles überhaupt, scheint mir das schon einmal ge- brachte Beispiel eines Landstrichs oder einer Himmelsgegend, des Schau- platzes einer Handlung, etc. darzuthun. Jedenfalls wird, wer über den Begriff der Grenze noch nicht verfügt, diesen vielmehr erst erklären soll, vorerst auch nicht von Flächen oder Linien reden dürfen, für den wird der Raumteil zunächst immer ein geometrischer „Körper“ sein.]
Zwei Raumteile müssen sich durch (mindestens) ein Merkmal von ein- ander unterscheiden, ansonst sie identisch (einerlei, der nämliche, nur
ein
Raumteil) wären, zusammenfielen, sich „deckten“.
Dasjenige Merkmal (oder der Komplex derjenigen Merkmale) durch welches sich ein Raumteil von allen andern unterscheidet, heisst seine
Lage
(sein
Ort
) im Raume. [Auch von zwei konzentrischen Kugeln von verschiedener Grösse, z. B. ist hienach zu sagen, dass sie sich durch ihre Lage, den von ihnen eingenommenen Platz, noch unterscheiden.] Die Exi- stenz eines solchen Merkmalkomplexes scheint postulirt werden zu müssen. [Das Postulat läuft hinaus auf die Anerkennung des Nichtverschwindens des identischen Produkts von all den Merkmalkomplexen durch welche sich der gedachte Raumteil einzeln von je einem andern und zwar so von jedem unterscheidet.]
(Postulat:) Es gibt Raumteile, die sich
nur
durch ihre Lage unter- scheiden; diese heissen
„kongruent“
.
Geht man (mit der Aufmerksamkeit) von einem Raumteil zu einem andern ihm kongruenten über, so wird gesagt, der erstre habe seinen Platz gewechselt, sich in die Lage des zweiten begeben, oder „bewegt“. [Ge- nauer bewegt sich in der Erscheinungswelt die den Raumteil erfüllende und durch diese Erfüllung denselben charakterisirende Materie
in
dem — samt seinen Teilen — als ruhend zu bezeichnenden Raume.] Kongruente Raumteile sind also solche, die durch „Bewegung“ zur Deckung gebracht werden können, und ist „Bewegung“ im Raume möglich. —
Auch an irgend einem Raumteile lassen immer noch weitere Teile sich unterscheiden, und ebenso an dessen Teilen, oder die Teilbarkeit des Raums ist eine unbegrenzte, der Raum ist ohne Ende teilbar — eine That- sache, deren Anerkennung wir einstweilen als das Postulat von der „Kon- tinuität“ des Raumes bezeichnen. Der (echte) Teil mag kleiner als das Ganze genannt werden.
Für die Sinne erreicht man durch fortgesetzte Teilung, Hervorhebung von immer kleinerem Teile eines Raumteiles, sehr bald eine sog. Grenze: die Grenze der Wahrnehmbarkeit des hervorgehobnen Raumteils. In der Idee kann aber dieser Prozess fortschreitender Teilung immer noch weiter
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
fortgesetzt werden. Gleichwol wird man auch hier
aus Ermüdung
irgendwo stehen bleiben, und das Ergebniss ist der vorgestellte Punkt.
„Mathematischen Punkt“ nennen wir dagegen einen solchen Raumteil, bei welchem wir den erwähnten Teilungsprozess solange fortgesetzt an- nehmen bis sich an dem zuletzt hervorgehobnen Teile keine weiteren Teile mehr unterscheiden lassen würden. Einen solchen kann man sich wohl „denken“ aber nicht mehr vorstellen und er bleibt ein
Ideal
, das wir mit unsrer Vorstellung nur mehr beliebig nahe zu erreichen vermögen.
Nennen wir „ausgedehnt“ ein jedes Mannigfaltige, an welchem sich noch (verschiedene) Teile unterscheiden lassen, so wird also anzuerkennen sein, dass der Punkt
„keine
Ausdehnung“ habe. Zur Definition des Punktes kann aber dieses negative Merkmal in der That nur verwendet werden indem man es verbindet mit der positiven Anforderung, dass der Punkt einen Raumteil vorzustellen habe. Erklärte man in der thatsächlich noch fast allgemein verbreiteten Weise für einen „Punkt“ schlechtweg das, was keine Ausdehnung besitzt, so müsste in der That auch das Nichts, ein Augenblick, ein (cum grano salis) Pfiff, Schreck (!), und dergleichen mehr, als Raum- punkt anerkannt werden. Jedenfalls sollte der Raumpunkt doch etwas Räumliches sein, etwas
an
oder
in
dem Raume, und solange es nicht ge- lungen, den Punkt in wissenschaftlich befriedigender Weise als ein blosses
Merkmal
des Raums zu definiren — „Merkmal“ hier als im Gegensatz zu „Teil“ verstanden (die Teile eines Dinges sind ja auch Merkmale desselben) — wird man in der That den Punkt als einen „Teil“ des Raumes zu charakterisiren haben.
Ein jeder Punkt kann frei im Raume bewegt und in die Lage jedes andern Punktes gebracht werden. Jedenfalls: bringt man zwei Punkte mittelst Lagenänderung des einen, oder beider, in eine solche Lage, dass sie ein räumliches Gebiet, einen Raumteil gemein haben (und die Möglich- keit scheint postulirt werden zu müssen), so werden sie zusammenfallen, sich decken müssen, denn das ihnen gemeinsame räumliche Gebiet muss mit dem einen sowol als mit dem andern von ihnen identisch sein, ansonst wir zu dem Widerspruch mit dem Begriffe des Punktes gelangen würden, an diesem echte Teile (als den gemeinsamen und den nicht gemeinsamen Teil) unterschieden zu haben. M. a. W.: Alle Raumpunkte sind einander kongruent, unterscheiden sich von einander lediglich durch ihre Lage; der Punkt markirt
nur
einen „Ort“ im Raume, und besitzt ausser diesem einen kein weiteres Merkmal. [Dieses „eine“ ist dann freilich noch ein sehr zu- sammengesetztes Merkmal, sodass sich als mit ihm gegeben gleichwol noch unbegrenzt viele Merkmale für einen bestimmten Punkt schon hervor- heben lassen.]
Es wurde schon darauf hingedeutet, dass wir einen Raumteil „schlecht- weg“, welcher
nicht
als das ideale Ergebniss eines Prozesses von unbegrenzt fortgesetzten Raumteilungen zu bezeichnen ist, einen geometrischen
Körper
zu nennen haben.
Analysiren wir nun aber unsre Anschauung von einem ganz bestimmten geometrischen Körper, so nehmen wir wahr, dass sich an ihm solche Punkte
§ 47. Behebungsversuch.
vorfinden, von welchen wir mit der Anschauung
Diese Verklausulirung ist wesentlich, indem sie den Vorbehalt einschliesst, dass es gleichwol — nach Schöpfung des Zahlenreiches, mittelst Fixirung der Raumpunkte durch Zahlensysteme — gelingen mag, auch die zur Begrenzung des Körpers beitragenden Punkte von ihm selbst und von dem Aussenraume zu unterscheiden.
nicht zu unterscheiden vermögen, ob sie zu gedachtem (Raumteil oder) Körper, oder ob sie zum übrigen Raume gehören.
Die Gesamtheit, das System, den Inbegriff ebendieser Punkte nennen wir die
„Grenze“
des Körpers. Dieselbe scheidet die zum Körper gehörigen Punkte von den nicht zu ihm gehörigen, und ist, weil solche Scheidung gegenseitig, ihrem Begriffe gemäss auch zugleich als die Grenze des Aussen- raumes (gegen den Körper) zu bezeichnen.
Wir nennen sie eine
Fläche
. Es sind an ihr zwei „Seiten“ zu unter- scheiden: ein Punkt wird auf der einen oder auf der andern Seite von ihr liegen, jenachdem er dem von ihr begrenzten Körper oder aber dem Aussen- raume angehört (in demselben „liegt“). Wir sagen: der Raum sei aus- gedehnt zu beiden Seiten der Fläche und schreiben (was zuerst noch eine vague Redensart) der Fläche eine Ausdehnung (Dimension) weniger als dem Raume zu. Der so gewonnene Flächenbegriff ist freilich noch nicht der allgemeinste.
Auch die Fläche erweist sich wieder als ein Mannigfaltiges, an welchem sich weitre Teile unterscheiden lassen; auch sie ist noch „ausgedehnt“. Vergegenwärtigen wir uns einen bestimmten Teil der Fläche (schlechtweg), so werden wir dessen inne, dass an ihm sich Punkte vorfinden, bezüglich deren unsre Anschauung nicht zu unterscheiden vermag, ob sie zu dem Flächenteile oder ob sie zur Aussenfläche gehören. Ihre Gesamtheit bildet die „Grenze“ der Fläche, heisst eine
Linie
(Kurve); und wird der letztern eine Ausdehnung weniger, als der (zu ihren beiden Seiten ausgedehnten) Fläche zugeschrieben.
Wieder offenbart sich uns die Linie als ein Mannigfaltiges, das Teile besitzt, noch ausgedehnt ist, und wenn ein bestimmter Teil der Linie in’s Auge gefasst wird, so muss auch dieser eine „Grenze“ haben, die ihn von der Aussenlinie scheidet. Dieser Grenze ist eine Ausdehnung weniger, als der Linie, zuzuschreiben.
In der Thatsache nun dass letztere Grenze allemal als ein System (im einfachsten Falle: Paar) von Punkten sich herausstellt, wo dann am Punkte keine Teile mehr unterscheidbar sind, gibt sich erstmals die „drei- fache Ausdehnung“ des Raumes kund.
Es wäre nun die Reihe der so gewonnenen geometrischen Gebilde, als: Körper, Fläche, Linie und Punkt, genetisch nochmals in der umge- kehrten Ordnung durchzugehen, vom Punkt aus nämlich durch (die erst als eine physikalisch mögliche einzuführende) „stetige“ Bewegung zu erzeugen.
Wird
„Bahn“
eines geometrischen Gebildes das System, die Gesamt- heit seiner successiven Lagen bei einer Bewegung genannt, so wäre zu- nächst zu konstatiren, dass die Linie auch erzeugt werden kann als die
Zweiundzwanzigste Voriesung.
Bahn eines sich bewegenden Punktes; die Fläche als Bahn einer Linie, wenn bei der Bewegung der letzteren jedoch auch gestaltliche Änderungen, Deformationen zugelassen werden, bei welchen sie nur ihren Charakter als Linie zu wahren hat, etc. Und wie umgekehrt die Bahn einer Linie ent- weder selbst wieder nur eine Linie (z. B. bei dem sich in sich herum- schwingenden Kreise) oder aber eine Fläche ist, ebenso die Bahn einer Fläche selbst wieder nur eine Fläche (wie bei der auf der Kugelfläche gleitenden Haube derselben) oder aber ein Körper, so würde endlich darauf hinzuweisen sein, wie in der Thatsache, dass die Bahn eines Körpers stets wieder nur ein Körper ist, wiederum die Dreidimensionalität des Raumes zutage tritt (ein Faktum, dem man später auch noch einen schärferen Aus- druck wird zu geben vermögen). —
Ich schliesse hiermit die begonnene Skizze, bei der ich lediglich den Zweck verfolgte die vier Arten der geometrischen Gebilde auf eine mit der (über allem Zweifel erhabenen) wissenschaftlichen Punktdefinition har- monirende Weise in die Elementargeometrie einzuführen.
Ob es mir vorstehend gelungen, wenigstens anzudeuten, wie dies in einer
haltbaren
Weise geschehen könnte, wage ich keineswegs zu ent- scheiden, vielmehr würde ich es begrüssen, wenn durch Kritik und Ver- besserungsvorschläge etwaige Schwächen, Inkonsequenzen oder Lücken in diesen Überlegungen an den Tag gebracht und behoben werden sollten.
Möglich auch, dass alle derartigen Versuche ein blosser Notbehelf (auf Kosten der Wissenschaftlichkeit zugunsten der Didaktik) bleiben, und dass wir eben erst nach (und vermittelst) Schöpfung des Reiches der
Zahlen
— gemäss
Dedekind
1
— in den Stand gelangen, die Natur unsrer Raumanschauung zu untersuchen, dieselbe völlig zu verstehen, an- gemessen zu beschreiben und aus den mit ihr so enge verwachsenen Axiomen streng logisch zu konstruiren. —
Es muss als wünschenswert erscheinen, dass wir über ein ange- messen kurzes Symbol verfügen, welches ausdrückt, dass ein Gebiet
a
ein Punkt sei, resp. dass die Klasse
a
eine singuläre, nämlich
a
ein Individuum bedeute. Wählen wir als solches etwa das Symbol:
J
a
so wird nach (
λ
) diesem der Wert der nachstehend rechts ihm gleich- gesetzten Aussage zukommen: (
ω
)
J
a
= (
a
≠ 0)
{(
a

x
) + (
a

x
1
)}.
Dasselbe wird = 1߭ sein, falls
a
wirklich ein Punkt ist, und = 0 in jedem andern Falle. Und zugleich damit ist dann auch
J
1
a
erklärt als die Verneinung von
J
a
, besagend, dass
a
nicht singulär
§ 47. Symbolisirung des Punktbegriffes.
kein Punkt sei — eine Aussage in Bezug auf deren Werte 0 und 1߭ es sich gerade umgekehrt verhält, wie im vorigen Falle.
Als Produktationsvariable in (
ω
) ist allemal (eventuell an Stelle des
x
) ein noch disponibler, nicht schon anderweitig in der Unter- suchung vergebener Buchstabe verwendet zu denken, sodass z. B.
J
x
zu bedeuten hätte:
J
x
= (
x
≠ 0)
{(
x

y
) + (
x

y
1
)}. —
Dies vorausgesetzt wollen wir unsre Zeichensprache noch dahin auszubilden suchen, dass wir imstande sein werden, ein identisches Produkt, eine identische Summe, auszudehnen, zu erstrecken über alle Individuen
i
einer gegebenen Klasse
a
(oder über alle Punkte solchen Gebietes) und gerade nur über diese.
Zu dem Ende empfiehlt es sich, ja ist es unerlässlich, eine Fest- setzung zu treffen, die sich auch für spätere Untersuchungen wichtig erweisen wird, über das „
Produkt
“
aus einer Klasse
(resp. einem Ge- biete)
a und einer Aussage A
.
Die letztere
A
als eine Aussage von festem Sinne (dergleichen für uns ja immer nur in Betracht kommen) hat entweder den Wert 0̇ oder den Wert 1߭, jenachdem sie falsch oder wahr ist — wenn wir für den Augenblick auch die Nullaussage mittelst übergesetzten Tupfens von dem Nullgebiete, der Nullklasse 0 unterscheiden.
Wir machen nun aus, dass uns (
α
1
)
a
· 0̇ = 0̇ ·
a
= 0 und
a
· 1߭ = 1߭ ·
a
=
a
bedeuten solle. Hiernach wird denn auch der Sinn des Produktes
a A
oder
A a
auf alle Fälle feststehen. Das Produkt einer Klasse in eine Aussage ist erstere selber, wenn die letztere wahr ist, dagegen die Nullklasse, sobald sie falsch ist (stets ist es also wieder eine Klasse, und nicht eine Aussage).
Wichtigster Anwendungsfall ist dieser, wo die Aussage
A
gedachte Klasse
a
selbst betrifft. Um dies hervortreten zu lassen, wollen wir jene mit
A
a
bezeichnen.
Indem wir alsdann einem etwa als Glied einer Summe auftretenden Klassenterme
a
solchen Aussagenfaktor
A
a
beifügen, werden wir hin- gebracht haben, dass jene Klasse in der Summe (
β
1
)
Σ a A
a
wirklich vertreten ist, sobald sie die Voraussetzung
A
a
erfüllt, dagegen
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
thatsächlich unvertreten ist, als Glied faktisch fehlt, sobald in Bezug auf sie jene Voraussetzung nicht zutrifft!
Von ferne streift auch einmal Herr
Peirce
9 c
p. 188 durch Ein- führung sonderbarer numerischer Koeffizienten an unsre Abmachung (
α
1
).
Der erste Teil dieser Konvention scheint übrigens gar nichts Neues zu sein, vielmehr mit dem Th. 22
×
)
a
· 0 = 0 ohnehin zusammenzufallen, sintemal wir ja den Punkt über der Aussagennull stets fortzulassen pflegten. Ein wenig Sorgfalt lässt jedoch erkennen, dass solches zu glauben eine Täuschung wäre, und dass Produkte aus Klassen und Aussagen bis jetzt nie vorgekommen sind.
Um zunächst zur Erläuterung und Übung ein Beispiel zu bringen, so wird man sich leicht auf Grund der Tautologie und Absorptions- gesetze der Addition überzeugen, dass allgemein:
γ
1
)
(
b

a
)
b
=
a
ist — die Summe über alle erdenklichen Gebiete
b
unsrer bevorzugten Mannigfaltigkeit erstreckt gedacht.
Denn unter diesen
b
figurirt auch
a
selber, welches links multiplizirt erscheint in die Aussage (
a

a
), = 1߭, sodass zunächst
a
selbst ein Glied jener Summe ist; fernere Glieder sind alle
b
, welche in
a
enthalten sind, weil auch für diese
b

a
gelten, = 1߭ sein wird; diese aber werden von dem
a
verschluckt. Jedes
b
dagegen, welches nicht in
a
enthalten, er- scheint in (
b

a
), = 0 multiplizirt und fällt somit aus der Summe heraus.
Stellt nun
i
ein variables Gebiet unsrer Mannigfaltigkeit vor, und bedeutet
f
(
i
) eine gegebene
Klassen
funktion, so wird
J
i
die Forderung ausdrücken, dass
i
ein Punkt sei und gibt von den beiden Ausdrücken:
δ
1
)
J
i
f
(
i
),
J
i
(
i

a
)
f
(
i
)
der erste an: die Summe der
f
(
i
) gebildet für alle Punkte
i
unsrer Mannigfaltigkeit 1, und nur für solche — obzwar man das
i
(wie früher die Summationsvariabele stets)
alle
Gebiete der Mannigfaltigkeit überhaupt im Geiste durchlaufen zu lassen hat. Und ebenso wird der zweite Ausdruck darstellen: die Summe der
f
(
i
) erstreckt über alle diejenigen Individuen
i
, welche der Klasse
a
angehören — und nur über solche.
Sobald
i
kein Punkt ist, wird nämlich der Faktor
J
i
, sobald es nicht in
a
enthalten ist, wird der Faktor (
i

a
) verschwinden und damit der Term aus der Summe herausfallen. Die Deutung findet sonach ganz in der gleichen Weise statt; wie sie [auch ohne eine spezifische Abmachung, wie (
α
1
)] ohnehin zu erfolgen hätte gemäss den Regeln des reinen Aussagenkalkuls, falls
f
(
i
) etwa eine
Aussagen
- funktion, Aussage über
i
, vorstellte.
× 47. Einkleidung der Punktpostulate in die Symbolik.
Wir haben damit das eine der uns vorgesetzten Ziele erreicht, sofern nämlich Summen dabei in Betracht kamen.
Um auch für die Produkte Analoges zu verwirklichen, müssen wir die zu (
α
1
) dual entsprechende Festsetzung treffen: (
ε
1
)
a
+ 0̇ = 0̇ +
a
=
a
,
a
+ 1߭ = 1߭ +
a
= 1,
durch welche auch die
Summe
a
+
A
oder
A
+
a
aus einer Klasse a und einer Aussage A
als eine Klasse erklärt wird für alle (erdenklichen) Fälle (der Gültigkeit sowol als Ungültigkeit der Aussage).
Fügen wir darnach dem Faktor
a
eines Produktes eine (ihn be- treffende) Aussage
A
1
a
als Summanden hinzu, so wird die letztere und damit die genannte Summe den Wert Eins annehmen sobald die Vor- aussetzung
A
a
von
a nicht
erfüllt ist; und somit bleibt in solchem Falle der Faktor ohne allen Einfluss auf den Wert des Produktes, fällt sozusagen aus diesem heraus. Dagegen wird der Faktor
a
un- geändert bleiben, indem nur
A
1
a
, gleich null, zu ihm hinzutritt, er wird mithin schlechtweg im Produkte vertreten sein, sobald die For- derung
A
a
von dem
a
erfüllt ist; dergestalt, dass
ζ
1
{
a
+
A
1
a
das Produkt vorstellt von allen denjenigen Klassen resp. Gebieten
a
, welche die Bedingung
A
a
erfüllen und nur von diesen — obzwar die Variable
a
doch alle erdenklichen Gebiete der Mn. durchläuft.
Beispielsweise mag man sich überzeugen, dass, analog zu
γ
1
) gilt:
η
1
)
{
b
+ (
a

b
)} =
a
,
wobei der zweite Term aus (
a

b
)
1
entstanden ist.
Hiernach wird uns von den beiden Ausdrücken
ϑ
1
)
{
f
(
i
) +
J
1
i
},
{
f
(
i
) +
J
1
i
+ (
i

a
)
1
}
der erste vorstellen: das Produkt der Funktionswerte
f
(
i
) gebildet für alle Punkte der Mn. 1, und der zweite: gebildet für alle Punkte des Gebietes
a
selbst — und ausschliesslich für diese. Wir haben damit auch unser zweites Vorhaben verwirklicht.
Überhaupt dürfte klar geworden sein, wie sich unsre Schemata
β
1
) und
ζ
1
) nochmals verallgemeinern lassen, indem man das Operations- glied
a
durch
f
(
a
) in ihnen ersetzt. Es stellt:
ι
1
)
f
(
a
)
A
a
resp.
{
f
(
a
) +
A
1
a
}
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
die Summe resp. das Produkt der
f
(
a
) vor,
ausschliesslich erstreckt
über alle diejenigen
a
, welche die Bedingung
A
a
erfüllen — und zwar einer- lei, ob
f
(
a
) ein Klassenterm ist, oder ob es selbst eine Aussage über
a
, wie
B
a
, bedeutet.
Hievon wollen wir endlich eine Anwendung machen, um unsre Individuen betreffende Postulate ((4)) und ((5)) ganz in Formeln zu setzen.
Es lautet Postulat ((4))
(
a
≠ 0)

J
i
(
i

a
)
was auch geschrieben werden kann als:
1߭ = (
a
= 0) +
J
i
(
i

a
)
und Postulat ((5))
a
{
i
1
+
J
1
i
+ (
i

a
1
)} = 0.
Bei genauerem Zusehen werden dieselben ohne weiteres verständ- lich sein, nur ist bezüglich des letztern zu bemerken, dass die Nega- tion von (
i

a
) kraft
ι
) eben durch (
i

a
1
) ersetzt werden durfte.
Als Ausdruck des Satzes
ψ
), zu welchem beide Postulate sich vereinigten, erhalten wir zudem: ((4)) · ((5))
a
=
i J
i
(
i

a
)
eine Formel, die vor
ψ
) den Vorzug besitzt, analytische Geltung zu haben, nämlich die Klasse
a
als die identische Summe
aller ihrer
Indi- viduen allgemeingültig darzustellen. —
Obwohl ich der Meinung bin, dass schon die Logik der Individuen allein noch einer reichen Weiterentwickelung fähig sein wird, müssen wir hier abbrechen, uns begnügend nur das Elementarste dargestellt zu haben, was sich bei einer ersten Inangriffnahme ergeben.
In Bezug auf dieses vermag ich nicht zu sagen, ob und wie weit ich vielleicht in Einzelnem mit Herrn
Peano’
s
2, 3
Ergebnissen wesentlich zu- sammengetroffen, da mir noch nicht die Musse zuteil geworden, mich in die scharfsinnigen Arbeiten dieses Autor’s hinlänglich zu vertiefen.
Auf dem Individuumsbegriffe fusst ja namentlich auch der Begriff der
Anzahl!
Und leicht ist es z. B. zunächst die
Null
zahl und die
Ein
zahl nunmehr exakt zu definiren.
Nennen wir Numerus von
a
, in Abkürzung num.
a
, die „Anzahl“ der Individuen einer Klasse
a
, so definirt der Ansatz:
(num.
a
= 0) = (
a
= 0)
§ 47. Definition von Null- und Einzahl.
die
Zahl
0 (linkerhand) vermittelst des als bekannt vorausgesetzten Begriffes der identischen Null (welche rechts vorkommt) oder des Nichts. Der Ansatz:
(num.
a
= 1) =
J
a
,
wozu (
ω
) nachzusehen ist, gibt die exakte Definition der Einzahl.
Auch die Zahl 2 könnte als Anzahl (der Individuen einer Klasse
a
) in unsrer Zeichensprache unschwer definirt werden z. B. durch den Ansatz:
(num.
a
= 2) =
J
x
J
y
(
x
≠
y
) (
a
=
x
+
y
)
etc.; doch werden für die höheren Anzahlen statt solcher speziellen besser wol generelle Definitionen — vielleicht in „rekurrenter“ Weise — aufgestellt. —
Dreiundzwanzigste Vorlesung
.
§ 48.
Erweiterte Syllogistik.
Am Schlusse des § 39 haben wir die grösste Erweiterung ange- deutet, deren die Theorie der „einfachen“ Syllogismen (mit zwei Prä- missen und einem Mittelgliede) überhaupt fähig wäre. Da es nun unthunlich ist, die eine Viertel-Milliarde übersteigende Menge der mög- lichen Prämissenkombinationen auf ihre jeweilige Konklusion prüfend durchzugehen, so wollen wir uns auf ein kleines Feld innerhalb dieser ungeheuren Mannigfaltigkeit beschränken und als solches ein möglichst interessantes auswählen.
Vor allem wollen wir die von
Gergonne
— vergl. § 34 — an- geregte Idee der „Dialectique rationelle“ verfolgen und zusehen,
wie unser Schliessen sich gestalten würde
,
wenn wir
(möglichst)
immer nur in
„
Elementarbeziehungen
“
dächten und urteilten
.
Eine ähnliche Untersuchung kann dann auch für die 4 „
primi- tiven
“ resp. die 8 Beziehungen
De Morgan’
s und endlich für unsre „
Grund
beziehungen“ durchgeführt werden — wo nicht für alle funda- mentalen und „urwüchsigen“ Umfangsbeziehungen überhaupt (vergl. S. 135).
Um diese Untersuchungen vorbereitend zu erleichtern wollen wir die Benennungen für die urwüchsigen Umfangsbeziehungen
zwischen A und B
, wie sie in der 17. und 18. Vorlesung eingeführt und gebraucht wurden, beibehalten, denselben aber noch der grösseren Deutlichkeit zuliebe, das Gebietepaar
A
,
B
als Exponenten beisetzen.
Ein Partie von diesen Beziehungen ist in Tafel IV
0
des § 36, S. 120, bereits auf den Typus der Gleichung und Ungleichung redu- zirt angegeben worden. Für die Zwecke der uns obliegenden Elimi- nationen empfiehlt es sich aber, die in diesen Darstellungen auftreten- den Gleichungen als die
Boole’
schen Bestandteile jener Aussagen rechterhand auf 1 (anstatt wie dort auf 0) gebracht anzusetzen. Durch Einbezug auch der negirten Gebiete
A
1
,
B
1
kam ferner zu
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
jenen in Tafel IV
0
berücksichtigten Beziehungen noch eine weitere Partie hinzu, die wir uns ebenso auf Gleichungen und Ungleichungen reduzirt darzustellen haben werden (was früher als nur implicite ge- leistet zu erachten).
Aus diesen Gründen müssen wir uns eine neue Zusammenstellung der etwa in Betracht zu ziehenden einfachen Umfangsbeziehungen an- legen. Als solche empfiehlt sich die nachfolgende Tafel, die eines weiteren Kommentars nicht mehr bedürfen wird:
Tafel der fundamentalen Beziehungen zwischen
A
,
B
,
A
1
,
B
1
.
Hülfsbeziehungen
.
1’.
h
=
h
A
,
B
=
h
A
,
B
1
=
m
A
1
,
B
1
=
m
A
1
,
B
= (
A
1
= 1)
2’.
k
=
k
A
,
B
=
k
A
1
,
B
=
n
A
1
,
B
1
=
n
A
,
B
1
= (
B
1
= 1)
3’.
m
=
m
A
,
B
=
m
A
,
B
1
=
h
A
1
,
B
1
=
h
A
1
,
B
= (
A
= 1)
4’.
n
=
n
A
,
B
=
n
A
1
,
B
=
k
A
1
,
B
1
=
k
A
,
B
1
= (
B
= 1)
Negation derselben
.
1
1
’.
h
1
=
h
1
A
,
B
=
h
1
A
,
B
1
=
m
1
A
1
,
B
1
=
m
1
A
1
,
B
= (
A
≠ 0)
2
1
’.
k
1
=
k
1
A
,
B
=
k
1
A
1
,
B
=
n
1
A
1
,
B
1
=
n
1
A
,
B
1
= (
B
≠ 0)
3
1
’.
m
1
=
m
1
A
,
B
=
m
1
A
,
B
1
=
h
1
A
1
,
B
1
=
h
1
A
1
,
B
= (
A
1
≠ 0)
4
1
’.
n
1
=
n
1
A
,
B
=
n
1
A
1
,
B
=
k
1
A
1
,
B
1
=
k
1
A
,
B
1
= (
B
1
≠ 0)
Beziehungen
,
welche nur Grundbeziehungen sind
.
5’.
d
=
d
A
,
B
=
d
A
1
,
B
1
= (
A B
+
A
1
B
1
= 1)
6’.
d
A
,
B
1
=
d
A
1
,
B
= (
A B
1
+
A
1
B
= 1)
7’.
e
=
e
A
,
B
=
f
A
1
,
B
1
= (
A
+
B
1
= 1) (
A B
1
≠ 0)
8’.
e
A
,
B
1
=
f
A
1
,
B
= (
A
+
B
= 1) (
A B
≠ 0)
9’.
f
A
,
B
1
=
e
A
1
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) (
A
1
B
1
≠ 0)
10’.
f
=
f
A
,
B
=
e
A
1
,
B
1
= (
A
1
+
B
= 1) (
A
1
B
≠ 0)
Ihre Verneinungen
.
5
1
’.
d
1
=
d
1
A
,
B
=
d
1
A
1
,
B
1
= (
A B
1
+
A
1
B
≠ 0)
6
1
’.
d
1
A
,
B
1
=
d
1
A
1
,
B
= (
A B
+
A
1
B
1
≠ 0)
7
1
’.
e
=
e
1
A
,
B
=
f
1
A
1
,
B
1
= (
A
1
+
B
= 1) + (
A
1
B
≠ 0)
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
8
1
’.
e
1
A
,
B
1
=
f
1
A
1
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A
1
B
1
≠ 0)
9
1
’.
f
1
A
,
B
1
=
e
1
A
1
,
B
= (
A
+
B
= 1) + (
A B
≠ 0)
10
1
’.
f
1
=
f
1
A
,
B
=
e
1
A
1
,
B
1
= (
A
+
B
1
= 1) + (
A B
1
≠ 0).
Beziehungen
,
welche zugleich Grund-
,
Elementar- und primitive Beziehungen sind
(zusammen mit ihren Negationen die 8 Beziehungen
De Morgan’
s).
11’.
a
=
a
A
,
B
=
c
A
,
B
1
=
b
A
1
,
B
=
l
A
1
,
B
1
= (
A
1
+
B
1
= 1)
12’.
c
=
c
A
,
B
=
a
A
,
B
1
=
b
A
1
,
B
1
=
l
A
1
,
B
= (
A
1
+
B
= 1)
13’.
b
=
b
A
,
B
=
a
A
1
,
B
=
c
A
1
,
B
1
=
l
A
,
B
1
= (
A
+
B
1
= 1)
14’.
l
=
l
A
,
B
=
a
A
1
,
B
1
=
c
A
1
,
B
=
b
A
,
B
1
= (
A
+
B
= 1)
Negationen derselben
.
11
1
’.
a
1
=
a
1
A
,
B
=
c
1
A
,
B
1
=
b
1
A
1
,
B
=
l
1
A
1
,
B
1
= (
A B
≠ 0)
12
1
’.
c
1
=
c
1
A
,
B
=
a
1
A
,
B
1
=
b
1
A
1
,
B
1
=
l
1
A
1
,
B
= (
A B
1
≠ 0)
13
1
’.
b
1
=
b
1
A
,
B
=
a
1
A
1
,
B
=
c
1
A
1
,
B
1
=
l
1
A
,
B
1
= (
A
1
B
≠ 0)
14
1
’.
l
1
=
l
1
A
,
B
=
a
1
A
1
,
B
1
=
c
1
A
1
,
B
=
b
1
A
,
B
1
= (
A
1
B
1
≠ 0)
(Nicht-primitive, resp.)
Die übrigen Beziehungen
,
welche zu- gleich Grund- und Elementarbeziehungen sind
.
15’.
g
=
g
A
,
B
= (
A B
≠ 0) (
A B
1
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) =
α
A
,
B
=
α
16’.
g
A
,
B
1
= (
A B
≠ 0) (
A B
1
≠ 0) (
A
1
B
1
≠ 0) =
α
A
,
B
1
17’.
g
A
1
,
B
= (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
A
1
B
1
≠ 0) =
α
A
1
,
B
18’.
g
A
1
,
B
1
= (
A B
1
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
A
1
B
1
≠ 0) =
α
A
1
,
B
1
Verneinungen derselben
.
15
1
’.
g
1
=
g
1
A
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A
1
+
B
= 1) + (
A
+
B
1
= 1) =
α
1
A
,
B
=
α
1
16
1
’.
g
1
A
,
B
1
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A
1
+
B
= 1) + (
A
+
B
= 1) =
α
1
A
,
B
1
17
1
’.
g
1
A
1
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A
+
B
1
= 1) + (
A
+
B
= 1) =
α
1
A
1
,
B
18
1
’.
g
1
A
1
,
B
1
= (
A
1
+
B
= 1) + (
A
+
B
1
= 1) + (
A
+
B
= 1) =
α
1
A
1
,
B
1
Die Beziehungen
,
welche nur Elementarbeziehungen sind
.
19’.
β
=
β
A
,
B
= (
A
+
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A B
1
≠ 0)
20’.
β
A
,
B
1
= (
A
+
B
= 1) (
A B
≠ 0) (
A B
1
≠ 0)
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
21’.
β
A
1
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) (
A
1
B
≠ 0) (
A
1
B
1
≠ 0)
22’.
β
A
1
,
B
1
= (
A
1
+
B
= 1) (
A
1
B
≠ 0) (
A
1
B
1
≠ 0)
23’.
γ
=
γ
A
,
B
= (
A
1
+
B
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0)
24’.
γ
A
,
B
1
= (
A
1
+
B
1
= 1) (
A B
1
≠ 0) (
A
1
B
1
≠ 0)
25’.
γ
A
1
,
B
= (
A
+
B
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0)
26’.
γ
A
1
,
B
1
= (
A
+
B
1
= 1) (
A B
1
≠ 0) (
A
1
B
1
≠ 0)
27’.
δ
=
δ
A
,
B
= (
A B
+
A
1
B
1
= 1) (
A B
≠ 0)
28’.
δ
A
,
B
1
= (
A B
1
+
A
1
B
= 1) (
A B
1
≠ 0)
29’.
δ
A
1
,
B
= (
A B
1
+
A
1
B
= 1) (
A
1
B
≠ 0)
30’.
δ
A
1
,
B
1
= (
A B
+
A
1
B
1
= 1) (
A
1
B
1
≠ 0)
Verneinungen ebendieser
.
19
1
’.
β
1
=
β
1
A
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A
1
+
B
= 1) + (
A
1
+
B
≠ 0)
20
1
’.
β
1
A
,
B
1
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A
1
+
B
= 1) + (
A
1
B
1
≠ 0)
21
1
’.
β
1
A
1
,
B
= (
A
+
B
1
= 1) + (
A
+
B
= 1) + (
A B
≠ 0)
22
1
’.
β
1
A
1
,
B
1
= (
A
+
B
1
= 1) + (
A
+
B
= 1) + (
A B
1
≠ 0)
23
1
’.
γ
1
=
γ
1
A
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A B
1
≠ 0)
24
1
’.
γ
1
A
,
B
1
= (
A
1
+
B
= 1) + (
A
+
B
= 1) + (
A B
≠ 0)
25
1
’.
γ
1
A
1
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A
+
B
1
= 1) + (
A
1
B
1
≠ 0)
26
1
’.
γ
1
A
1
,
B
1
= (
A
1
+
B
= 1) + (
A
+
B
= 1) + (
A
1
B
≠ 0)
27
1
’.
δ
1
=
δ
1
A
,
B
= (
A
1
+
B
1
= 1) + (
A B
1
+
A
1
B
≠ 0)
28
1
’.
δ
1
A
,
B
1
= (
A
1
+
B
= 1) + (
A B
+
A
1
B
1
≠ 0)
29
1
’.
δ
1
A
1
,
B
= (
A
+
B
1
= 1) + (
A B
+
A
1
B
1
≠ 0)
30
1
’.
δ
1
A
1
,
B
1
= (
A
+
B
= 1) + (
A B
1
+
A
1
B
≠ 0).
Hiezu ist hervorzuheben, dass die nach
A
und
B unsymmetrischen
Beziehungen als paarweise auftretende wie folgt auf einander zurück- kommen:
k
A
,
B
=
h
B
,
A
,
n
A
,
B
=
m
B
,
A
,
e
A
,
B
=
f
B
,
A
,
b
A
,
B
=
c
B
,
A
,
β
A
,
B
=
γ
B
,
A
(desgleichen,
A
und
B
vertauscht), wogegen:
d
B
,
A
=
d
A
,
B
,
a
B
,
A
=
a
A
,
B
,
l
B
,
A
=
l
A
,
B
,
g
B
,
A
=
g
A
,
B
oder
α
B
,
A
=
α
A
,
B
,
δ
B
,
A
=
δ
A
,
B
symmetrische
Beziehungen sind. Und analog auch deren Negationen.
Schröder
, Algebra der Logik. II. 23
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
Eine nach
A und B unsymmetrische Beziehung kann indess nach A und B
1
symmetrisch sein
.
Ferner mag erinnert werden, dass man, um alle Propositionen nach
A
und
B
„entwickelt“ zu besitzen, nur nötig haben wird, in 1’ bis 4
1
’ die folgenden Symbole durch die ihnen gleichgesetzten zu ersetzen:
A
1
=
A
1
B
+
A
1
B
1
,
B
1
=
A B
1
+
A
1
B
1
,
A
=
A B
+
A B
1
,
B
=
A B
+
A
1
B
, desgleichen in 7’ bis 10’, 7
1
’ bis 14’, 15
1
’ bis 26’ und 19
1
’ bis 30
1
’ die folgenden Ausdrücke:
A
1
+
B
1
=
A B
1
+
A
1
B
+
A
1
B
1
,
A
1
+
B
=
A B
+
A
1
B
+
A
1
B
1
,
A
+
B
1
=
A B
+
A B
1
+
A
1
B
1
,
A
+
B
=
A B
+
A B
1
+
A
1
B
. —
Mit vorstehenden 30 Paaren von Beziehungen, sind diejenigen er- schöpft, welche man im Hinblick auf ihre unmittelbar intuitive An- schaulichkeit als die „
fundamentalen
“ Beziehungen bezeichnen mag.
Die 8 ersten von ihnen: 1’ ‥ 4
1
’ sind freilich nicht als eigentliche Be- ziehungen (Relationen
zwischen A
und
B
) zu bezeichnen, indem sie augenschein- lich je nur über
eines
dieser beiden Symbole für sich etwas aussagen oder eine Information geben. Nach einem Vorgang aus der Lehre von den höheren algebraischen Kurven und Gleichungen müssten sie, als Beziehungen aufgefasst,
„zerfallende“
genannt, unter diese eingerechnet werden. „Zer- fallend“ haben wir S. 158 eine Beziehung zwischen
A
und
B
genannt, wenn sie (additiv oder) multiplikativ (oder irgendwie) zerlegbar ist (nach den Gesetzen des Aussagenkalkuls) in lauter solche Teilaussagen, deren jede nur von einem dieser beiden Symbole handelt ohne Erwähnung des andern — Beispiele: (
A
= 1) (
B
≠ 0), (
A
= 1) + (
B
≠ 0), (
A
= 1) (
B
≠ 0) + (
A
= 0). Die oben vorliegenden Hülfsbeziehungen zerfallen nun, wenn man will, in eine Aussage, die nur das eine der beiden Symbole — z. B.
A
— betrifft, von diesem aber wirklich etwas aussagt, und eine Aussage, das andre Symbol — dann
B
— betreffend, die über dieses aber vollkommen nichtssagend, eine leere Aussage ist — wie es z. B. die Angabe, dass 0 ·
B
= 0 ist, sein würde. Solche Angabe kann man sich zu der andern jederzeit als Faktor hinzugefügt denken; am besten wird man sie unterdrücken. — Übrigens können auch die Hülfsbeziehungen formell als solche, als scheinbar wirk- liche Beziehungen angesetzt werden, indem man z. B. nach oben gegebener Andeutung „entwickelnd“ schreibt:
h
= (
A
1
B
+
A
1
B
1
= 1), etc.
Die erwähnte Analogie von gewissen Beziehungen mit den zerfallenden („degenerate“) Kurven oder reduziblen algebraischen Gleichungen hat bei einer andern Gelegenheit auch Herr
Peirce
8
p. 180 bemerkt.
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
Unsre 60 Propositionen (unter denen ihre Negationen eingerechnet sind) erweisen sich als von 14erlei Art, wenn wir zu
einer
„
Art
“ immer diejenigen Propositionen zählen, welche durch blosse Vertauschungen unter den Buchstaben
A
,
B
,
A
1
,
B
1
aufeinander zurückführbar wären. Und zwar werden die 7 positiven von diesen 14 Arten konstituirt durch die Systeme der Propositionen:
1’ ‥ 4’, 5’ ‥ 6’, 7’ ‥ 10’, 11’ ‥ 14’, 15’ ‥ 18’, 19’ ‥ 26’, 27’ ‥ 30’,
und analog — den Negationstrich beigesetzt — die 7 negativen.
Als typische Repräsentanten für diese Arten fundamentaler Be ziehungen können die folgenden Symbole dienen:
h
(oder
k
,
m
,
n
);
d
; (
e
oder)
f
; (
a
oder)
c
(oder
b
,
l
);
g
resp.
α
;
γ
(oder
β
);
δ
nebst ihren Negationen. Auch genügen die hervorgehobenen, wenn mit geeignetem Gebietepaar als Exponenten versehen, zur Darstellung aller einschlägigen Beziehungen. Den sechs letzteren entsprechen die Beziehungszeichen:
=, ⊂,

,

,

, ≗,
wo für das Subsumtionszeichen — bei Bevorzugung von
a
anstatt
c
als Repräsentanten auch

zu nehmen gestattet. —
Als „
einfache
“ Beziehungen im Sinne des § 40, nämlich als aus den 8
De Morgan’
schen 11’ bis 14
1
’ in Gestalt von lediglich multi- plikativen Kombinationen (oder „monomisch“) zusammengesetzte, sind von den 75 überhaupt möglichen vorstehend nur die 34 folgenden vertreten:
1’ ‥ 4’, 5’ ‥ 10’, 11’ ‥ 14’, 11
1
’ ‥ 14
1
’, 15’ ‥ 18’, 19’ ‥ 30’. —
Nunmehr ist es keine Kunst, sich unsre 60 fundamentalen Pro- positionen wie in den Buchstaben
A
,
B
, so auch in denen
B
,
C
hin- zuschreiben.
Kombinirte man jede der 60 Propositionen in
A
,
B
mit der ihr gleichnummerigen und jeder folgenden in
B
,
C
multiplikativ zu einer Simultanaussage — indem man Sorge trägt, je zwei simultane Glei- chungen in eine einzige solche als
Boole’
schen Bestandteil des Prä- missensystems zu vereinigen gemäss dem Schema
(
a
= 1) (
b
= 1) = (
a b
= 1),
dies Produkt
a b
jeweils nach dem Eliminanden
B
entwickelnd — so ergäben sich die
= 1830 Prämissen(systeme), welche bei der
23*
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
zuletzt angedeuteten Erweiterung der Syllogistik auf ihre vom „Mittel- gliede“
B
unabhängige Konklusion zu untersuchen wären (durch Ver- tauschung von
B
und
B
1
jedoch noch um nahe die Hälfte vermindert werden könnten).
Ein reiner Syllogismus läge vor, so oft die Konklusion sich wieder als eine Fundamentalbeziehung zwischen
A
und
C
darstellt.
Kein
Schluss wäre zulässig, sooft die Konklusion auf (1 = 1) (1 ≠ 0) hinausliefe. Und widersprechend, inkompatibel würden die Prämissen zu nennen sein, falls (0 = 1) oder (0 ≠ 0) als Faktor in der „ganzen“ Konklusion aufträte (wogegen „andernfalles“ blos einzelne Glieder der letztern zu unterdrücken sein würden).
Die Konklusion ergibt sich allemal zunächst als
Resultante aus dem Rohen
mit der grössten Leichtigkeit und rein mechanisch durch Elimination von
B
nach der Regel
φ
) des § 41 — S. 212.
Diese Resultante aus dem Rohen ist zugleich schon die volle Resultante und bedarf keiner „Klausel“ mehr zu ihrer Ergänzung, in allen den Fällen, wo in der Prämisse selbst, resp. in den Gliedern ihrer vereinigten Aussage, nirgends mehr als
eine
Ungleichung auf einmal als Faktor auftritt.
Eine Klausel
kann
nur erforderlich werden (als Zusatzfaktor zum entsprechenden Glied der rohen Resultante) da, wo in einem Glied der Prämissenaussage zwei oder mehrere
Ungleichungen
in das Produkt eingehen. Jedoch wie die Untersuchungen des nächsten Paragraphen darthun, wird eine Klausel in solchem Falle auch dann
nicht
erforder- lich, wenn die zusammentretenden Ungleichung-Faktoren den Elimi- nanden
B
durchweg in der gleichen Weise enthalten, nämlich ent- weder nur unnegirt, als
B
,
B
,
B
, ‥ oder nur negirt als
B
1
,
B
1
, ‥
Unerlässlich wird in der Regel eine gewisse Klausel erst da, wo Ungleichungen, die
B
als solches enthalten, zusammentreten mit solchen Ungleichungen, in denen
B
1
explicite vorkommt.
Wie aus dem Anblick von 15’ bis 18’ erhellt, können bis zu sechs Ungleichungen in unsern Prämissensystemen zusammentreten, und sind in Hinsicht der Klausel diejenigen Prämissensysteme am un- günstigsten gestellt (sofern deren Ermittelung eben nicht leicht er- scheint), welche Annahmen vom Typus
g
oder
α
enthalten.
Obwol die Theorie noch nicht so weit entwickelt ist, um für eine so grosse Menge von teilweise heterogenen Ungleichungsfaktoren schon systematisch die Klausel mit Zuverlässigkeit als eine vollstän- dige aufstellen zu können, gelingt indess ihre Ermittelung doch bei den vorliegenden Problemen nicht allzuschwer vermittelst des gemeinen
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
Verstandes zufolge des günstigen besonderen Umstandes, dass in unsern Ungleichungen als Koeffizienten von
B
oder
B
1
nur
A
,
A
1
,
C
,
C
1
auf- treten werden, sonach nur zweierlei von einander unabhängig be- liebige Gebietsymbole in Betracht zu ziehen sind.
Man sieht: welche Fülle von Aufgaben zur Bethätigung des An- fängers, die einzeln schon nicht ohne Reiz sein werden und in ihrer Gesamtheit für die Erkenntnisslehre von Belang sein müssen!
Auch dieses Feld von nahe tausend Untersuchungen, welches sich somit aus der erwähnten Überviertel-Milliarde möglicher hevorhebt, ist uns hier noch allzu ausgedehnt.
Behufs fernerer Einschränkung desselben wollen wir einerseits die 8 Pseudorelationen oder Hülfsbeziehungen als minderen Interesses bei- seite lassen, und andrerseits (sofern sie nicht vom Typus
a
, mithin zugleich auch Grundbeziehungen sind) die Negationen der Elementar- beziehungen.
Die Verneinungen der Elementarbeziehungen sind
selber
keine Elementarbeziehungen
, sie bieten also auch nicht das Interesse von diesen dar.
(Verneinte Grundbeziehungen dagegen, wie Ungleichung und Un- subsumtion wird man besser den Grundbeziehungen zuzählen.)
Auf diese Weise wird von unsrer Tafel der Anfang 1’ bis 4
1
’ und das Ende 19
1
’ bis 30
1
’ weggeschnitten; es fallen 28 Propositionen ausser Betracht und beschränkt sich unser Untersuchungsfeld auf die 32 dazwischenliegenden Propositionen 5’ bis 30’, das ist auf wenig mehr als die Hälfte von den ursprünglichen 60.
Von den verbleibenden beiden Hauptabteilungen der Grundbe- ziehungen (mit der Unterabteilung der
De Morgan’
schen) und der (unverneinten) Elementarbeziehungen hat es auch wieder mehr Inter- esse, nur diejenigen jeweils als Prämissen zu kombiniren, die zur selben Abteilung gehören — damit allfällig zutage trete, welches An- gesicht die Syllogistik zeigen würde für ein Denken, das sich konse- quent nur in dem Rahmen dieser einen Sorte von Beziehungen bewegte. Und somit sind unsre Aufgaben uns auf das klarste vorgezeichnet.
Als die leichteste wollen wir zuerst die
Syllogistik der
De Morgan’
schen Relationen
erledigen. Hier sind etwa
= 36 Prämissenpaare durchzugehen, die wir durch multiplikatives Nebeneinanderstellen ihrer Nummern an- deuten. Die erste Aussage aber ist allemal in
A
,
B
, die zweite in
B
,
C
angesetzt zu denken, was wir der Druckersparniss wegen nicht ausdrücklich markiren. Die Konklusion folgt hinter dem freien Sub- sumtionszeichen.
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
11’ · 11’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B
1
+
C
1
= 1) = (
A
1
C
1
B
+
B
1
= 1)

(1 = 1) = 1߭.
11’ · 12’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B
1
+
C
= 1) = (
A
1
C B
+
B
1
= 1)

(1 = 1) = 1߭.
11’ · 13’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B
+
C
1
= 1) = (
A
1
B
+
C
1
B
1
= 1)

(
A
1
+
C
1
= 1) =
a
A, C
,
Camestres
,
Calemes
, desgleichen in
C
,
A
angesetzt:
Celarent
und
Cesare
.
11’ · 14’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B
+
C
= 1) = (
A
1
B
+
C B
1
= 1)

(
A
1
+
C
= 1) =
c
A
,
C
.
11’ · 11
1
’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B C
≠ 0) = (
A
1
B
+
B
1
= 1) (
C B
≠ 0)


(
C A
1
≠ 0) =
b
1
A
,
C
,
in
C
,
A
angesetzt:
Ferio
,
Festino
,
Ferison
,
Fresison
.
11’ · 12
1
’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B C
1
≠ 0) = (
A
1
B
+
B
1
= 1) (
C
1
B
≠ 0)


(
C
1
A
1
≠ 0) =
l
1
A
,
C
.
11’ · 13
1
’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B
1
C
≠ 0) = (
A
1
B
+
B
1
= 1) (
C B
1
≠ 0)

(
C
≠ 0).
11’ · 14
1
’ = (
A
1
+
B
1
= 1) (
B
1
C
1
≠ 0) = (
A
1
B
+
B
1
= 1) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
C
1
≠ 0).
12’ · 12’ = (
A
1
+
B
= 1) (
B
1
+
C
= 1) = (
C B
+
A
1
B
1
= 1)

(
C
+
A
1
= 1) =
c
A
,
C
,
Barbara
.
12’ · 13’ = (
A
1
+
B
= 1) (
B
+
C
1
= 1) = (
B
+
A
1
C
1
B
1
= 1)

(1 = 1) = 1߭.
12’ · 14’ = (
A
1
+
B
= 1) (
B
+
C
= 1) = (
B
+
A
1
C B
1
= 1)

(1 = 1) = 1߭.
12’ · 11
1
’ = (
A
1
+
B
= 1) (
B C
≠ 0) = (
B
+
A
1
B
1
= 1) (
C B
≠ 0)

(
C
≠ 0).
12’ · 12
1
’ = (
A
1
+
B
= 1) (
B C
1
≠ 0) = (
B
+
A
1
B
1
= 1) (
C
1
B
≠ 0)

(
C
1
≠ 0).
12’ · 13
1
’ = (
A
1
+
B
= 1) (
B
1
C
≠ 0) = (
B
+
A
1
B
1
= 1) (
C B
1
≠ 0)


(
C A
1
≠ 0) =
b
1
A
,
C
,
in
C
,
A
angesetzt:
Baroco
.
12’ · 14
1
’ = (
A
1
+
B
= 1) (
B
1
C
1
≠ 0) = (
B
+
A
1
B
1
= 1) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
C
1
A
1
≠ 0) =
l
1
A
,
C
.
13’ · 13’ = (
A
+
B
1
= 1) (
B
+
C
1
= 1) = (
A B
+
C
1
B
1
= 1)

(
A
+
C
1
= 1) =
b
A
,
C
,
in
C
,
A
:
Barbara
.
13’ · 14’ = (
A
+
B
1
= 1) (
B
+
C
= 1) = (
A B
+
C B
1
= 1)

(
A
+
C
= 1) =
l
A
,
C
.
13’ · 11
1
’ = (
A
+
B
1
= 1) (
B C
≠ 0) = (
A B
+
B
1
= 1) (
C B
≠ 0)


(
C A
≠ 0) =
a
1
A
,
C
,
Disamis
,
Dimatis
, desgleichen in
C
,
A
:
Darii
und
Datisi
.
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
13’ · 12
1
’ = (
A
+
B
1
= 1) (
B C
1
≠ 0) = (
A B
+
B
1
= 1) (
C
1
B
≠ 0)


(
C
1
A
≠ 0) =
c
1
A
,
C
,
Bocardo
.
13’ · 13
1
’ = (
A
+
B
1
= 1) (
B
1
C
≠ 0) = (
A B
+
B
1
= 1) (
C B
1
≠ 0)

(
C
≠ 0).
13’ · 14
1
’ = (
A
+
B
1
= 1) (
B
1
C
1
≠ 0) = (
A B
+
B
1
= 1) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
C
1
≠ 0).
14’ · 14’ = (
A
+
B
= 1) (
B
+
C
= 1) = (
B
+
A C B
1
= 1)

(1 = 1) = 1߭.
14’ · 11
1
’ = (
A
+
B
= 1) (
B C
≠ 0) = (
B
+
A B
1
= 1) (
C B
≠ 0)

(
C
≠ 0).
14’ · 12
1
’ = (
A
+
B
= 1) (
B C
1
≠ 0) = (
B
+
A B
1
= 1) (
C
1
B
≠ 0)

(
C
1
≠ 0).
14’ · 13
1
’ = (
A
+
B
= 1) (
B
1
C
≠ 0) = (
B
+
A B
1
= 1) (
C B
1
≠ 0)


(
C A
≠ 0) =
a
1
A
,
C
.
14’ · 14
1
’ = (
A
+
B
= 1) (
B
1
C
1
≠ 0) = (
B
+
A B
1
= 1) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
C
1
A
≠ 0) =
c
1
A
,
C
.
11
1
’ · 11
1
’ = (
A B
≠ 0) (
C B
≠ 0)

(
A
≠ 0) (
C
≠ 0).
11
1
’ · 12
1
’ = (
A B
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0)

(
A
≠ 0) (
C
1
≠ 0).
11
1
’ · 13
1
’ = (
A B
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)

(
A
≠ 0) (
C
≠ 0)
ϰ
,
wo
ϰ
fordert, dass
A
und
C
nicht dasselbe Individuum sein dürfen.
11
1
’ · 14
1
’ = (
A B
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
A
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
wo
ϰ
verlangt, dass
A
und
C
1
nicht das nämliche Individuum seien.
12
1
’ · 12
1
’ = (
A B
1
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0)

(
A
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
wo
ϰ
desgleichen.
12
1
’ · 13
1
’ = (
A B
1
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)

(
A
≠ 0) (
C
≠ 0).
12
1
’ · 14
1
’ = (
A B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
A
≠ 0) (
C
1
≠ 0).
13
1
’ · 13
1
’ = (
A
1
B
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)

(
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
ϰ
,
wo
ϰ
verlangt, dass
A
1
und
C
nicht einerlei Individuum seien.
13
1
’ · 14
1
’ = (
A
1
B
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
A
1
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
wo kraft
ϰ
jetzt
A
1
und
C
1
nicht einunddasselbe Individuum sein dürfen.
14
1
’ · 14
1
’ = (
A
1
B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
A
1
≠ 0) (
C
1
≠ 0). —
Das ganze Tableau ist nicht symmetrisch in Bezug auf
A
und
C
, auch nicht in Bezug auf die Konklusionen von einerlei Typus; es kommt z. B.
c
A
,
C
einmal öfter als Konklusion vor, als die übrigen Rela- tionen vom gleichen Typus. Die mangelnden Symmetrieen würde das
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
Tableau obiger 36 Schlüsse aber erlangen, wenn man ihm noch die- jenigen hinzufügte, welche sich durch Vertauschung von
A
und
C
in den nicht ohnehin bezüglich beider symmetrischen der angegebenen Schemata ergeben. Das so ergänzte Tableau von 8 × 8 = 64 Schluss- folgerungen würde die „
erweiterte Syllogistik
“ im engeren Sinne re- präsentiren.
In der That enthalten aber auch schon die angegebenen 36 Sche- mata alle 15 gültigen Modi der verbalen Logik wenigstens der Art nach unter sich — wir haben sie durch Beifügung ihrer Namen aus § 43 kenntlich gemacht — und ausserdem enthalten sie
noch mehr
.
Sie enthalten zunächst auch solche vollgültige Syllogismen, in welche als Prämisse eingeht oder wo als Konklusion resultirt eine Aus- sage von der Form 14’ oder 14
1
’ der
l
oder
l
1
-Sorte.
Dergleichen Urteile, wie
A
+
B
= 1 oder, was dasselbe sagt:
A
1
B
1
= 0, und ferner
A
1
B
1
≠ 0, konnte die Wortsprache nicht in Be- rücksichtigung ziehen, da sie in Gestalt der Aussagen:
„Alle Nicht-
A
sind
B
“ oder „Kein Nicht-
A
ist nicht
B
“
resp. „Einige Nicht-
A
sind nicht
B
“ (oder auch
A
und
B
vertauscht) sich ja genötigt gesehen hätte, die Verneinung auch beim Subjekte zuzulassen. Und auf der andern Seite passten doch die korrekten Formen der Aussage:
„Alles ist
A
oder
B
“ oder „Nichts ist weder
A
noch
B
“
resp. „Etwas (Einiges) ist weder
A
noch
B
“, „Es gibt Dinge, die weder
A
noch
B
sind“ nicht in den Rahmen der gebräuchlichen Urteils- schablone.
Nur die bis jetzt angeführten Schlüsse, wo die Konklusion auf eines der Symbole
a
,
c
,
b
,
l
(oder Negation davon) hinausläuft, sind hier als reine Syllogismen zu bezeichnen, in Anbetracht, dass nur in ihnen auch die Konklusion wieder eine
De Morgan’
sche Relation zwischen
A
und
C
ist.
Im ganzen kommen
sechs
erlei Arten von Schlüssen und ebensoviele Formen der Konklusion vor, falls wir den Fall des nichtssagenden Schlusses, wo eigentlich gar kein Schluss sich ziehen lässt, mitein- rechnen. Bei diesen ist die Konklusion von einer der folgenden Formen: 1 = 1,
C
≠ 0,
A
+
C
= 1,
A C
≠ 0, (
A
≠ 0) (
C
≠ 0) und (
A
≠ 0) (
C
≠ 0)
ϰ
, oder auch irgendwelches Gebietsymbol durch seine Negation ersetzt.
Die erste Art beiseite zu lassen ist man berechtigt. Im übrigen berücksichtigt die verbale Logik nur Schlüsse der dritten und vierten Art, diese aber wie wir gesehen haben nicht vollzählig, die von ihr
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
berücksichtigten dafür meistens in umschreibenden Wiederholungen aufführend.
Überraschen wird es, dass nur bei so wenig Prämissenkombina- tionen
kein
Schluss zulässig ist — von unsern 36 Fällen nur in fünfen. Dass für die andern Fälle Schlüsse ziehbar und wie sie beschaffen sind, hat die verbale Logik übersehen, was ihr wenigstens so weit zur Last fällt, als sich deren Prämissen noch schablonenmässig in Worte fassen liessen.
Beispielsweise
(bei 12
1
’ · 12
1
’) aus den Prämissen:
„Einige
A
sind nicht
B
“ und „einige
B
sind nicht
C
“
folgt keineswegs
nichts
— ohne Rücksicht auf
B
; vielmehr lässt in Bezug auf
A
und
C
sich vollgültig schliessen:
Erstens: es gibt
A
; zweitens: es gibt Dinge die nicht
C
sind; drittens: alles, was
A
ist und alles was nicht
C
ist kann unmöglich blos aus
einem und demselben
Individuum bestehen.
Reichlich wird durch unrsre Ergebnisse illustrirt und exemplifizirt,
dass die beiden Regeln der traditionellen Logik:
„
Ex mere particularibus nil sequitur
“,
sowie
„
Ex mere negativis nil sequitur
“ —
vergl. z. B.
Ueberweg
1
, Inhaltsverzeichniss — vor dem Richterstuhl der exakten Logik
für falsch zu erklären sind!
Vorstehend hatten wir vollberechtigte Konklusionen sogar aus Prämissen, die beides: partikular und verneinend zugleich sind! Und wie unsre dritte Konklusion zeigt, lässt sich die traditionell behauptete Regel, dass aus solchen Prämissen
nichts
folge, selbst dann nicht aufrecht erhalten, wenn man mit
Voigt
1
p. 32 dieselbe dahin auslegt: dass die Konklusion aus dergleichen Prämissen nicht mehr besage, als was schon direkt aus den einzelnen Urteilen zu entnehmen ist. Stimmt dies auch in der That hier für die beiden ersten von unsern Kon- klusionen, so stimmt es doch augenscheinlich nicht für die dritte, wird es bei einer „Klausel“ doch niemals zutreffen!
Man möge Konklusionen von der Form eines bejahenden oder vernei- nenden Existenzialurteils, wie sie hier mit in Berücksichtigung gezogen werden, doch ja nicht geringschätzen! Eine Aussage, wie
C
≠ 0 (d. h. es gibt Dinge, die
C
sind, es gibt
C
) scheint allerdings auf den ersten Blick herzlich wenig Information über die Klasse der
C
in sich zu bergen.
Jedoch wenn wir uns
C
zum Beispiel als Produkt zweier andern Klassen
D
und
E
gegeben denken, wenn wir einmal
C
=
D E
annehmen, so wird jene Aussage in Gestalt von
D E
≠ 0 auf das partikular bejahende Urteil hinauskommen: „einige
D
sind
E
“, wogegen ihre Verneinung:
C
= 0, als
D

E
1
in Worte gefasst, das universal verneinende Urteil gäbe: kein
D
ist
E
. Um die Geltung oder Nichtgeltung derartiger Urteile dreht sich ja
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
aber fast die gesamte formale Logik, und was in dieser Disziplin für Pro- dukte
D E
vom höchsten Belang erscheint, das muss auch für die ursprüng- lichen Klassen
A
oder
C
(die in jedem Anwendungsfalle solche Produkte werden, in Form derselben auftreten könnten) als wichtig anerkannt werden. Es hiesse in der That die ganze formale Logik und
alle
ihre Schlüsse gering achten, wollte man solcher Relation keine Bedeutung beimessen!
Endlich aber müssen wir auch um seiner selbst willen lernen, die Schlüsse, die sich ziehen lassen, in jedem denkbaren Falle vollständig zu ziehen, ganz unbekümmert um den mutmasslichen Wert oder Unwert dieser Schlüsse — dessen Mutmassung doch a priori jedes verlässlichen Anhaltes ohnehin entbehren dürfte.
„Abgeschwächte Formen“ des Schlusses können nur in den zehn letzten Fällen des Tableau’s gebildet werden. Sie würden entstehen, wenn man von den zwei oder drei Aussagenfaktoren der Konklusion einen oder zweie unterdrückte — so beispielsweise beim Fortlassen der Klausel
ϰ
. Es kann füglich unsre „Resultante aus dem Rohen“ da, wo sie nicht auch die volle ist, schon eine abgeschwächte Form der vollen Konklusion genannt werden; desgleichen ist Herrn
Mit- chell’
s Resultante als eine sehr stark abgeschwächte Konklusion zu bezeichnen. —
Unverträgliche Prämissen kommen in vorstehender Syllogistik der
De Morgan’
schen Urteilsformen nicht vor.
Um nun auch die
Gergonne’
sche Idee zu prüfen, haben wir die 4 × 5 = 20 Elementarbeziehungen:
11’ ‥ 14’, 15’ ‥ 18’, 19’ ‥ 30’
in ähnlicher Weise unter sich zu kombiniren, was für die ersten vier derselben bereits im obigen Tableau geschehen ist. Wir werden davon die Ergebnisse (
= 10 an der Zahl) gelegentlich zu wiederholen haben. Im Ganzen sind
= 210 Kombinationen durchzugehen.
Um deren Konklusionen mit möglichster Druckersparniss anzugeben, empfiehlt es sich, nach diesen zu ordnen. Es treten solche von 24 verschiedenen Formen auf, welche also nicht durch blosse Buchstaben- vertauschung, wie z. B. Verwandlung eines Klassensymbols in seine Negation, sich auf einander zurückführen lassen. Für jede Sorte wollen wir am Schlusse im Kontext ein Paradigma vorrechnen.
Behufs konzisester Darstellung der Konklusionen führen wir für die bei ihnen auftretenden
Klauseln
folgende Abkürzungen ein. Es bedeute:
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
ϰ
die Forderung, dass
C
nicht singulär, nicht
ein
Individuum sei
ϰ
' „ „ „
C
1
„ „ „ „ „ „
λ
„ „ „
A
„ „ „ „ „ „
λ
' „ „ „
A
1
„ „ „ „ „ „
μ
„ „ „
A
und
C
nicht einunddasselbe Individuum seien
ν
„ „ „
A
„
C
1
„ „ „ „
ϱ
„ „ „
A
1
„
C
„ „ „ „
σ
„ „ „
A
1
„
C
1
„ „ „ „
Alsdann wird zu beachten sein, dass
ϰ μ
=
ϰ
,
ϰ ϱ
=
ϰ
,
λ μ
=
λ
,
λ ν
=
λ
,
ϰ
'
ν
=
ϰ
',
ϰ
'
σ
=
ϰ
',
λ
'
ϱ
=
λ
',
λ
'
σ
=
λ
'. Denn wenn z. B.
C
nicht ein Individuum sein darf, so versteht sich ohnehin, dass
C
und
A
, sowie dass
C
und
A
1
nicht einunddasselbe Individuum werden sein dürfen; etc.
Darnach gewinnt nun die
Syllogistik der
Gergonne’
schen Elementarbeziehungen
das folgende Ansehen.
Unzulässig
, inkonsistent, einander widersprechend sind die Prä- missen in gar keinem Falle. Niemals also wird als Konklusion die Nullaussage, 0, hinzustellen sein.
Kein
Schluss ist zulässig, m. a. W. die Konklusion 1߭ resultirt nur in folgenden 5 Fällen, welche sich schon in der Syllogistik der
De Morgan’
schen Relationen aufgezählt fanden:
11’ · 11’, 11’ · 12’, 12’ · 13’, 12’ · 14’, 14’ · 14’.
In allen andern 205 Fällen lässt ein gültiger Schluss sich ziehen.
Dieser Schluss ist selbst wieder (als zwischen
A
und
C
bestehend) eine
Gergonne’
sche Elementarbeziehung und liegt mithin ein
reiner
Syllogismus in dieser Syllogistik vor bei 60 Fällen, welche, da
β
und
γ
vom selben Typus sind, von viererlei Form erscheinen. Es resultirt nämlich die Konklusion:
(
A
1
+
C
1
= 1) =
a
A
,
C
aus 11’ · 13’; (
A
1
+
C
= 1) =
a
A
,
C
1
aus 11’ · 14’ und 12’ · 12’;
(
A
+
C
1
= 1) =
a
A
1
,
C
aus 13’ · 13’; (
A
+
C
= 1) =
a
A
1
,
C
1
aus 13’ · 14’;
(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) =
α
A
,
C
aus 15’ · 27’, 16’ · 29’;
(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) =
α
A
,
C
1
aus 15’ · 28’, 16’ · 30’;
(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) =
α
A
1
,
C
aus 17’ · 27’, 18’ · 29’;
(
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) =
α
A
1
,
C
1
aus 17’ · 28’, 18’ · 30’;
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
(
A
+
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) =
β
A
,
C
aus 13’ · 19’, 14’ · 21’, 19’ · 19’, 19’ · 27’, 19’ · 30’, 20’ · 21’, 20’ · 28’, 20’ · 29’;
(
A
+
C
= 1) (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) =
β
A
,
C
1
aus 13’ · 20’, 14’ · 22’, 19’ · 20’, 19’ · 28’, 19’ · 29’, 20’ · 22’, 20’ · 27’, 20’ · 30’;
(
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) =
β
A
1
,
C
aus 11’ · 19’, 12’ · 21’, 21’ · 27’, 21’ · 30’, 22’ · 28’, 22’ · 29’;
(
A
1
+
C
= 1) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) =
β
A
1
,
C
1
aus 11’ · 20’, 12’ · 22’, 21’ · 28’, 21’ · 29’, 22’ · 22’, 22’ · 27’, 22’ · 30’;
(
A
1
+
C
= 1) (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) =
γ
A
,
C
aus 23’ · 27’, 24’ · 29’, 23’ · 23’, 24’ · 25’;
(
A
1
+
C
1
= 1) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) =
γ
A
,
C
1
aus 23’ · 28’, 24’ · 30’, 23’ · 24’, 24’ · 26’;
(
A
+
C
= 1) (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) =
γ
A
1
,
C
aus 25’ · 27’, 26’ · 29’;
(
A
+
C
1
= 1) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) =
γ
A
1
,
C
1
aus 25’ · 28’, 26’ · 30’, 26’ · 26’;
(
A C
+
A
1
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) =
δ
A
,
C
aus 27’ · 27’, 28’ · 29’;
(
A C
1
+
A
1
C
= 1) (
A C
1
≠ 0) =
δ
A
,
C
1
aus 27’ · 28’, 28’ · 30’;
(
A C
+
A
1
C
1
= 1) (
A
1
C
1
≠ 0) =
δ
A
1
,
C
1
aus 30’ · 30’.
Bei den 145 übrigen Kombinationen haben wir folgende Schlüsse.
Die (wenig sagende) Konklusion
(
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
folgt aus:
11’ · 21’, 11’ · 22’, 12’ · 19’, 12’ · 20’, 13’ · 21’, 13’ · 22’, 14’ · 20’.
Nennen wir den mehrfach auftretenden Bestandteil einer Kon- klusion:
(
A
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
für den Augenblick zur Abkürzung:
P
, so fliesst die Konklusion:
P ϰ λ
aus 15’ · 15’, 16 · 17’;
P ϰ
'
λ
aus 15’ · 16’, 16’ · 18’;
P ϰ
'
λ
' aus 18’ · 18’;
P ϰ λ σ
aus 15’ · 17’;
P ϰ λ
'
ν
aus 17’ · 17’;
P ϰ
'
λ ϱ
aus 15’ · 18’, 16’ · 16’;
P ϰ
'
λ
'
μ
aus 17’ · 18’.
Ferner fliesst die Konklusion
(
A C
1
≠ 0) (
C
≠ 0) aus 14’ · 19’; (
A
1
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0) aus 11’ · 17’;
(
A
1
C
1
≠ 0) (
C
≠ 0) aus 11’ · 18’;
(
A C
≠ 0)
ϰ
aus 14’ · 25’, 13’ · 23’; (
A C
1
≠ 0)
ϰ
' aus 14’ · 26’, 13’ · 24’;
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
(
A
1
C
≠ 0)
ϰ
aus 11’ · 23’, 12’ · 25’; (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
' aus 11’ · 24’, 12’ · 26’;
(
A C
≠ 0)
ϰ λ
aus 19’ · 23’, 20’ · 25’; (
A C
1
≠ 0)
ϰ
'
λ
aus 19’ · 24’, 20’ · 26’;
(
A
1
C
≠ 0)
ϰ λ
' aus 21’ · 23’, 22’ · 25’; (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
'
λ
' aus 21’ · 24’, 22’ · 26’;
(
A C
≠ 0) (
A
1
≠ 0)
ϰ
aus 25’ · 25’; (
A C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
aus 13’ · 17’, 14’ · 15’;
(
A C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ
aus 19’ · 22’, 20’ · 20’;
(
A C
1
≠ 0) (
A
1
≠ 0)
ϰ
' aus 25’ · 26’; (
A C
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
ϰ
' aus 13’ · 18’, 14’ · 16’;
(
A C
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
λ
aus 19’ · 21’;
(
A
1
C
≠ 0) (
A
≠ 0)
ϰ
aus 23’ · 25’; (
A
1
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
aus 12’ · 15’;
(
A
1
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ
' aus 21’ · 22’;
(
A
1
C
1
≠ 0) (
A
≠ 0)
ϰ
' aus 23’ · 26’, 24’ · 24’; (
A
1
C
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
ϰ
aus 12’ · 16’;
(
A
1
C
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
λ
' aus 21’ · 21’;
(
A C
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ
aus 15’ · 20’, 16’ · 22’;
(
A C
1
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
λ
aus 15’ · 19’, 16’ · 21’;
(
A
1
C
≠ 0) (
A
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ
' aus 17’ · 20’, 18’ · 22’;
(
A
1
C
1
≠ 0) (
A
≠ 0) (
C
≠ 0)
λ
' aus 17’ · 19’, 18’ · 21’;
(
A C
≠ 0) (
A
1
≠ 0)
ϰ λ
aus 15’ · 25’, 16’ · 23’;
(
A C
1
≠ 0) (
A
1
≠ 0)
ϰ
'
λ
aus 15’ · 26’, 16’ · 24’;
(
A
1
C
≠ 0) (
A
≠ 0)
ϰ λ
' aus 17’ · 25’, 18’ · 23’;
(
A
1
C
1
≠ 0) (
A
≠ 0)
ϰ
'
λ
' aus 17’ · 26’, 18’ · 24’;
(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0)
ϰ
aus 13’ · 15’, 14’ · 17’; (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
λ
aus 15’ · 23’, 16’ · 25’;
(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0)
ϰ
' aus 13’ · 16’, 14’ · 18’; (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
λ
' aus 17’ · 23’, 18’ · 25’;
(
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
aus 11’ · 15’, 12’ · 17’; (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
λ
aus 15’ · 24’, 16’ · 26’;
(
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
' aus 11’ · 16’, 12’ · 18’; (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
λ
' aus 17’ · 24’, 18’ · 26’;
(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ σ
aus 15’ · 22’, 16’ · 20’;
(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ
'
ν
„ 17’ · 22’, 18’ · 20’;
(
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
λ ϱ
„ 15’ · 21’, 16’ · 19’;
(
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
λ
'
μ
„ 17’ · 21’, 18’ · 19’;
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
(
A
1
+
C
1
= 1) (
C
1
≠ 0) aus 11’ · 30’, 12’ · 28’;
(
A
1
+
C
= 1) (
C
≠ 0) „ 11’ · 29’, 12’ · 27’;
(
A
+
C
1
= 1) (
C
1
≠ 0) „ 13’ · 30’, 14’ · 28’;
(
A
+
C
= 1) (
C
≠ 0) „ 13’ · 29’, 14’ · 27’;
(
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
C
≠ 0) aus 11’ · 27’, 12’ · 29’;
(
A
1
+
C
= 1) (
A
1
C
1
≠ 0) „ 11’ · 28’, 12’ · 30’;
(
A
+
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) „ 13’ · 27’, 14’ · 29’;
(
A
+
C
= 1) (
A C
1
≠ 0) „ 13’ · 28’, 14’ · 30’;
(
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
' aus 11’ · 26’, 12’ · 24’;
(
A
1
+
C
= 1) (
A
1
C
≠ 0)
ϰ
„ 11’ · 25’, 12’ · 23’;
(
A
+
C
1
= 1) (
A C
1
≠ 0)
ϰ
' „ 13’ · 26’, 14’ · 24’;
(
A
+
C
= 1) (
A C
≠ 0)
ϰ
„ 13’ · 25’, 14’ · 23’;
(
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
'
λ
' aus 21’ · 26’, 22’ · 24’;
(
A
1
+
C
= 1) (
A
1
C
≠ 0)
ϰ λ
' „ 21’ · 25’, 22’ · 23’;
(
A
+
C
1
= 1) (
A C
1
≠ 0)
ϰ
'
λ
„ 19’ · 26’, 20’ · 24’;
(
A
+
C
= 1) (
A C
≠ 0)
ϰ λ
„ 19’ · 25’, 20’ · 23’;
(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
σ
=
α
A
,
C
σ
aus 15’ · 30’, 16’ · 28’;
(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϱ
=
α
A
,
C
1
ϱ
„ 15’ · 29’, 16’ · 27’;
(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ν
=
α
A
1
,
C
ν
„ 17’ · 30’, 18’ · 28’;
(
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
μ
=
α
A
1
,
C
1
μ
„ 17’ · 29’, 18’ · 27’;
(
A
1
+
C
1
= 1) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
μ ϱ
=
a
A
,
C
α
A
1
,
C
1
μ
aus 23’ · 29’, 24’ · 27’;
(
A
1
+
C
= 1) (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ν σ
=
a
A
,
C
1
α
A
1
,
C
ν
aus 23’ · 30’, 24’ · 28’;
(
A
+
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
μ ϱ
=
a
A
1
,
C
α
A
,
C
1
ϱ
aus 25’ · 29’, 26’ · 27’;
(
A
+
C
= 1) (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
ν σ
=
a
A
1
,
C
1
α
A
,
C
σ
aus 25’ · 30’, 26’ · 28’;
(
A C
+
A
1
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ν
=
δ
A
,
C
δ
A
1
,
C
1
ν
aus 27’ · 30’, 28’ · 28’;
(
A C
+
A
1
C
1
≠ 1) (
A C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϱ
=
δ
A
,
C
δ
A
1
,
C
1
ϱ
„ 29’ · 29’;
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
(
A C
1
+
A
1
C
= 1) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
μ
=
δ
A
,
C
1
δ
A
1
,
C
μ
aus 27’ · 29’;
(
A C
1
+
A
1
C
= 1) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
σ
=
δ
A
,
C
1
δ
A
1
,
C
σ
„ 29’ · 30’.
Die letztern dreizehn sind gewissermassen überreiche Schlüsse, so- fern bei ihnen noch mehr als eine
Gergonne’
sche Elementarbeziehung zu folgern ist.
Paradigmata
. 15’ · 27’ = (
C B
+
C
1
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
≠ 0) (
A B
1
≠ 0)


(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0)
λ
= (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) =
α
A
,
C
; der
Boole’
sche Faktor der Konklusion wird hier:
(
C
+
C
1
= 1) = (1 = 1) = 1߭
und ist also zu unterdrücken; ferner ist der nach dem Eliminationsschema sich ergebende Faktor
C C
≠ 0 oder
C
≠ 0 in der Konklusion zu unter- drücken, da er durch den ausserdem auftretenden Faktor
A C
≠ 0 derselben überflüssig gemacht wird. Nach bekannten Sätzen haben wir nämlich:
(
A C
≠ 0)

(
C
≠ 0), sonach (
A C
≠ 0) (
C
≠ 0) = (
A C
≠ 0)
— eine Überlegung, wie sie ungemein häufig zur Vereinfachung der nach dem Schema sich ergebenden Konklusionen anzubringen ist.
Die Klausel ergibt sich im vorliegenden Falle, indem man in den Ungleichungsfaktoren des Prämissensystems den Koeffizienten
A
von
B
1
zusammenhält mit einem jeden der Koeffizienten
A
,
A
1
und
C
von
B
, und statuirt, ausspricht, dass er mit diesem nicht in
ein
Individuum zusammen- fallen dürfe. Da nun
A
mit
A
nicht zu einem solchen zusammenfallen, d. h.
A
nicht selbst eine singuläre Klasse,
ein
Individuum vorstellend, sein darf, so erscheint es überflüssig, noch ausdrücklich zu fordern, dass auch
A
mit
C
nicht zu
einem
Individuum zusammenfallen dürfe, weil dies doch nur möglich würde, wenn
A
selbst ein solches wäre. Mit seiner Negation
A
1
aber kann
A
ohnehin nie etwas gemein haben. Die ganze Klausel re- duzirt also hier sich zu
λ
.
Die Anmerkung dieses Faktors bei der Konklusion wird indess hier schliesslich überflüssig, weil die zwei ersten Faktoren derselben:
(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0)
denselben ohnehin (als „Klausel“ bei der Elimination von
C
) bedingen.
Überlegungen nach Art der vorstehend ausführlich dargelegten spielen ungemein häufig mit, wenn die Resultante oder Konklusion auf ihre ein- fachste Ausdrucksform gebracht wird. —
13’ · 19’ = (
A B
+
C
1
B
1
= 1) (
C B
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0)


(
A
+
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) =
β
A
,
C
. —
27’ · 27’ = (
A C B
+
A
1
C
1
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
C B
≠ 0)


(
A C
+
A
1
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) =
δ
A
,
C
. —
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
11’ · 21’ = (
A
1
C
1
B
+
B
1
= 1) (
C B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0). —
15’ · 15’ = (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0) · (
A B
1
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
A
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ λ
=
P ϰ λ
,
wo die Klausel jedenfalls fordert, dass weder
A
noch
C
(das sind die beiden Koeffizienten von
B
1
) in
ein
Individuum zusammenfallen dürfe mit
A
,
A
1
,
C
oder
C
1
(nämlich mit irgend einem der vier Koeffizienten von
B
). Für
A
und
A
1
sowie für
C
und
C
1
versteht sich dies ohnehin; für
A
und
C
aber sowie für
A
und
C
1
wird es von selbst der Fall sein, wenn es für
A
und
A
der Fall ist, d. h. unter der Bedingung
λ
; ebenso für
C
und
A
, sowie
C
und
A
1
, wenn es für
C
und
C
der Fall ist, d. h. unter der Bedingung
ϰ
.
Was aber die Frage nach der Vollständigkeit der angegebnen Klausel, resp. Konklusion hier betrifft, so behalten wir uns für den vorstehenden und den nächstfolgenden Typus des Schliessens noch eine Bemerkung vor.
15’ · 17’ = (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
≠ 0) · (
A B
1
≠ 0) (
C B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
A
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ λ σ
=
P ϰ λ σ
wo die Klausel jedenfalls fordern wird, dass von den drei Klassen
A
,
C
,
C
1
, welche als Koeffizienten von
B
1
auftreten, keine in
ein
Individuum sich zusammenziehe mit einer von den drei Klassen
A
,
A
1
und
C
, welche als Koeffizienten von
B
in der Prämisse erscheinen. Dies ist der Fall, wenn
A
nicht singulär und
C
nicht singulär ist, ausserdem aber auch
A
1
und
C
1
nicht in
ein
Individuum zusammenfallen, d. h. unter den Bedingungen
λ
,
ϰ
und
σ
.
Die zehn Schlüsse des vorstehenden und des vorhergehenden Typus, welche die Prämissen 15’ ‥ 18’ unter sich kombiniren, sind diejenigen, bei welchen die Frage nach der Vollständigkeit der Resultante oder Konklusion am schwierigsten zu erledigen ist, sintemal bei denselben (und nur bei ihnen)
sechs
Ungleichungen als Faktoren im Prämissensysteme auftreten — die sich, je nachdem sie
B
oder
B
1
enthalten, jeweils in zwei Gruppen von entweder 4 und 2, oder aber von 3 und 3 Faktoren sondern.
Diese Schlüsse sind die einzigen der uns beschäftigenden Syllogistik, bei welchen wir jene Frage nach der Vollständigkeit unsrer Konklusion noch offen lassen wollen, weil ihre völlige Erledigung uns nötigen würde, auf die verschiedenen Möglichkeiten spezieller Individuenverteilung zwischen die Klassen
A
und
C
(sowie
B
) einzugehen, und auch die Anforderungen zu statuiren, welche das Prämissensystem an die ganze Mannigfaltigkeit 1 stellt, aus der diese Klassen nebst ihren Negationen hervorgehoben sein sollen — von welcher letztern sich erweist, dass sie eine gewisse Minimal- zahl von Individuen mindestens enthalten müsse.
Vielleicht regen diese Bemerkungen einen Studirenden zu noch ein- gehenderen Forschungen über den Gegenstand an.
14’ · 19’ = (
B
+
A C
1
B
1
= 1) (
C B
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0)

(
C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0). —
14’ · 25’ = (
B
+
A C B
1
= 1) (
C B
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
C
≠ 0) (
A C
≠ 0)
ϰ
= (
A C
≠ 0)
ϰ
. —
§ 48. Erweiterte_Syllogistik.
19’ · 23’ = (
A C B
+
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
C B
≠ 0) (
A B
1
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
A C
≠ 0) (
A
≠ 0) (
C
≠ 0)
λ ϰ
= (
A C
≠ 0)
ϰ λ
. —
25’ · 25’ = (
B
+
A C B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
A
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0) (
A C
≠ 0)
ϰ
= (
A C
≠ 0) (
A
1
) ≠ 0)
ϰ
. —
13’ · 17’ = (
A B
+ (
B
1
= 1) (
C B
≠ 0) (
C B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
A C
≠ 0) (
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
= (
A C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
. —
15’ · 20’ = (
B
+
C B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0) (
A B
1
≠ 0)


(
A
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0) (
A C
≠ 0)
λ
= = (
A C
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ
. —
15’ · 25’ = (
B
+
C B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
≠ 0) · (
A B
1
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
A
≠ 0) (
A
1
≠ 0) (
C
≠ 0) (
A C
≠ 0)
ϰ λ
= (
A C
≠ 0) (
A
1
≠ 0)
ϰ λ
;
auch hier ist die Vollständigkeit der Konklusion nicht ganz leicht zu er- weisen. Sie würde jedoch sich erweisen lassen, indem man die Möglich- keiten, wie die Klassen
A
,
A
1
,
C
mit wenig Individuen (den Bedingungen der Konklusion entsprechend) besetzt werden können, systematisch durch- ginge und zeigte, dass und wie jedesmal ein den Forderungen der Prä- missen genügendes
B
sich konstruiren lässt. —
13’ η 15’ = (
A B
+
B
1
= 1) (
C B
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
C
≠ 0)
ϰ
= (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0)
ϰ
. —
15’ · 23’ = (
C B
+
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
≠ 0) · (
A B
1
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
C
≠ 0) (
A
≠ 0)
ϰ λ
= (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
λ
mit der gleichen Bemerkung wie im vorvorigen Falle. — 15’ · 22’ = (
C B
+
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) · (
A B
1
≠ 0) (
C B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
≠ 0) (
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ ϱ σ
= (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ σ
mit gleicher Bemerkung. Dass
ϱ
hier unterdrückt werden durfte folgt mit Rücksicht darauf, dass wegen (
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) auch
ϰ
ohnehin gelten muss, und dass, wie vorbemerkt,
ϰ ϱ
=
ϰ
ist. Da
ϰ
aber durch die schon angemerkten Faktoren der Konklusion mitbedingt ist, braucht es seinerseits nicht angeführt zu werden. —
11’ · 30’ = (
A
1
+
C B
+
C
1
B
1
= 1) (
C
1
B
1
≠ 0)

(
A
1
+
C
1
= 1) (
C
1
≠ 0). —
11’ · 27’ = (
A
1
+
C B
1
= 1) (
C B
≠ 0)

(
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
C
≠ 0). —
11’ · 26’ = (
A
1
B
+
C
1
B
1
= 1) (
C
1
B
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
C
1
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
ϰ
' = (
A
1
+
C
= 1) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
'. —
Schröder
, Algebra der Logik. II. 24
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
21’ η 26’ = (
A
1
B
+
C
1
B
1
= 1) (
A
1
B
≠ 0) (
C
1
B
≠ 0) · (
A
1
B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ
'
ϰ
' = = (
A
1
+
C
1
= 1) (
A
1
C
1
≠ 0)
ϰ
'
λ
'. —
15’ · 30’ = (
C B
+
C
1
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) · (
A B
1
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
A C
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
C
1
≠ 0)
λ σ
= = (
A C
≠ 0) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
σ
=
α
A
,
C
σ
. —
23’ · 29’ = (
C
1
B
+
A
1
C B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
A
1
B
≠ 0) (
C B
1
≠ 0)


(
C
1
+
A
1
= 1) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0)
μ ϱ
= = (
A
1
+
C
1
= 1) (
A C
1
≠ 0) (
A
1
C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
μ
=
a
A
,
C
α
A
1
,
C
1
μ
wo
ϱ
unterdrückbar, da
λ
' ohnehin gelten muss und
λ
'
ϱ
=
λ
' ist. —
27’ · 30’ = (
A C B
+
A
1
C
1
B
1
= 1) (
A B
≠ 0) (
C
1
B
1
≠ 0)


(
A C
+
A
1
C
1
= 1) (
A C
≠ 0) (
A
1
C
1
≠ 0)
ν
=
δ
A
,
C
δ
A
1
,
C
1
ν
. —
[Es war dem Verfasser bei der Korrektur nicht vergönnt, alle beab- sichtigten Kontrolrechnungen durchzuführen; daher ist noch vielseitige Prüfung der Angaben zu wünschen.]
Aus der Vergleichung erhellt, dass die Syllogistik für die
Ger- gonne’
schen Urteilsformen beträchtlich komplizirter sein wird als die- jenige für die
De Morgan’
schen, welche letztere, wie sie schon in der erstern mitenthalten ist, auch ihrerseits wieder die gewöhnliche Syllogistik der verbalen Urteilsformen unter sich begreift.
Einen Vorzug grösserer Exaktheit aber besitzt keine Syllogistik vor der andern, wofern eine jede nur, wie vorstehend, eine korrekte Darstellung nach den Regeln unsrer Disziplin gefunden.
Um Anspruch auf vollkommene Genauigkeit zu erlangen, mussten diese Syllogistiken auch solche Formen von Schlüssen mit in Berück- sichtigung ziehen, bei denen die Konklusion
nicht
in den Kreis der Urteilsformen fällt, aus welchem die Prämissen zu entnehmen waren. (Diese stellen sich als eine verhältnissmässig grosse Reihe von Schluss- formen dar, und ihrer Vernachlässigung machte sich die verbale Syllo- gistik schuldig.)
Jener Umstand aber lässt wol den Wert einer Syllogistik über- haupt zurücktreten gegenüber dem Werte der
Methode
, durch welche in ihr, gleichwie in den noch viel allgemeineren Eliminationsproblemen, die in der Logik des identischen Aussagenkalkuls erdacht werden können, jeweils die Konklusion (als Resultante) zu gewinnen ist.
§ 49. Studien über die Klausel.
§ 49.
Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
In § 41 haben wir gelernt aus dem allgemeinsten Prämissen- system, welches über Gebiete (oder Klassen) überhaupt erdacht und in Bezug auf solche zugrunde gelegt werden kann, ein Gebietsymbol
x
zu eliminiren. Wir dachten uns die Prämissen des Systems zu einer Gesamtaussage vereinigt. Dieser konnte die Gestalt des Minor, der Hypothesis, Voraussetzung in der Subsumtion
α
) des § 41 gegeben werden: 1
0
)
Σ
(
a x
+
b x
1
= 1) (
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) …
— wo alle auf den Gleichungfaktor folgenden Aussagenfaktoren nur Ungleichungen mit der rechten Seite 0 sein dürfen — und war dies also die allgemeinste „Gesamtaussage der Data“ welche sich, während in ihnen von einem Gebiet
x
die Rede ist, im Gebietekalkul formu- liren lässt.
Um aus diesen Prämissen das Gebiet
x
zu eliminiren, brauchten wir blos die Gesamtaussage anzusetzen, welche durch den Major, die Thesis oder Behauptung genannter Subsumtion § 41,
α
) dargestellt wird und lautet: 2
0
)
Σ
(
a
+
b
= 1) (
p a
+
q b
≠ 0) (
r a
+
s b
≠ 0) …
Wie bereits Beispiele zeigten, durfte aber diese Konklusion nicht als die volle Resultante der Elimination des
x
hingestellt werden — wir nannten sie einstweilen: die „Resultante aus dem Rohen“ und wird sich diese Benennung in Bälde rechtfertigen.
Die erwiesene Beziehung zwischen den Aussagen 1
0
) und 2
0
) war nun diese:
1
0
)

2
0
);
aus 1
0
) folgt allemal 2
0
), genauer: wenn
für irgend ein x
, für (ein) „
gewisse(s)
“
x
, die Hypothesis 1
0
) erfüllt ist, so gilt sicher die Be- hauptung 2
0
).
Im allgemeinen zu verneinen war jedoch die Frage, ob auch um- gekehrt, unter der
Annahme
2
0
) gefolgert werden könne, dass 1
0
) für gewisse
x
erfüllt sei, m. a. W. dass es dann überhaupt ein
x gebe
, welches in die Aussage 1
0
) eingesetzt (unter dem Symbol
x
in der- selben verstanden) dieselbe zu einer wahren Aussage mache.
Zu erledigen blieb daher noch die Frage nach der
vollen
Resul- tante der Elimination des
x
aus den Daten 1
0
), d. h. es bleibt zu er-
24*
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
mitteln diejenige zwischen den Parametern
a
,
b
,
q
,
r
,
s
, … von 1
0
) erforderliche Beziehung, welche erstens, sobald 1
0
) für irgendwelches
x
gilt, notwendig erfüllt sein muss, und zweitens garantirt, dass so- bald sie erfüllt ist, es auch immer mindestens ein
x
gebe, für welches 1
0
) gilt.
Nennen wir diese uns noch unbekannte volle Resultante für den Augenblick: 3
0
), so ist sie in der Formelsprache begrifflich bestimmt durch die beiden Forderungen:
1
0
)

3
0
) und 3
0
)

1
0
),
wo die Summe rechts auszudehnen ist über alle erdenklichen
x
.
Aus den zwei ersten der drei Subsumtionen über die wir jetzt verfügen, folgt aber nach Def. (3
×
) die erstere von den beiden folgenden:
1
0
)

2
0
) · 3
0
), 2
0
) · 3
0
)

1
0
),
deren letztere aus der dritten kraft Prinzip II hervorgeht, in Anbe- tracht, dass nach Th. 6̄
×
) ja 2
0
) · 3
0
)

3
0
) sein muss.
Vergleicht man aber diese beiden Subsumtionen mit den beiden vorigen, welche uns die volle Resultante 3
0
) definirten, so offenbart sich, dass man als solche anstatt 3
0
) selbst auch das Aussagenprodukt 2
0
) · 3
0
) nehmen könnte: auch 2
0
) · 3
0
) ist volle Resultante.
In der That lässt auch direkt sich zeigen, dass
2
0
) · 3
0
) = 3
0
), nämlich 3
0
)

2
0
)
sein muss — vergl. Th. 2̅0̅
×
); und zwar wie folgt.
Wir denken uns die erste Subsumtion: 1
0
)

2
0
) für jedes erdenk- liche
x
hingeschrieben; sie muss allemal gelten, denn stellt
x
ein solches Gebiet vor, welches 1
0
) erfüllt, so gilt sie erwiesenermassen; stellt
x
aber ein solches Gebiet vor, welches 1
0
) nicht erfüllt, so wird für dieses die Aussage 1
0
) gleich 0 sein, somit die Subsumtion 1
0
)

2
0
) auf 0

2
0
) hinauslaufen und nach Def. (2̄
×
) ohnehin gelten. Also: die Subsumtion 1
0
)

2
0
) gilt
für jedes x
, und für alle diese hinge- schrieben gedacht, hat sie immer den nämlichen Major 2
0
), da in diesem ja
x
gar nicht vorkommt. Es lässt sich hiernach das Schema der Def. (3̄
+
) anwenden; es muss nämlich die Summe der Minoren dem Major eingeordnet sein, oder wir haben:
1
0
)

2
0
).
Im Hinblick auf die dritte unsrer Subsumtionen folgt hieraus a for- tiori: 3
0
)

2
0
), wie behauptet worden.
§ 49. Studien über die Klausel.
Mit alledem ist formell bewiesen, was auch selbstverständlich:
Aus der vollen Resultante folgt auch unsre Resultante aus dem Rohen.
Die letztere kann zur erstern ergänzt werden durch Hinzufügung einer weiteren die Parameter betreffenden Bedingung
, die ihr als eine simultan zu gelten habende natürlich beizusetzen ist, in Gestalt eines (Aussagen-)
Faktors
, und für welche wir bereits den Namen der „
Klausel
“
K
vordem eingeführt haben.
Für die Klausel K kann
nötigenfalles
die volle Resultante
3
0
)
selbst genommen
,
es darf K
= 3
0
)
gesetzt werden
.
Indessen ist auch denkbar, dass unsre Resultante aus dem Rohen 2
0
) bereits gewisse Forderungen oder Bedingungen als Faktoraussagen enthält, die sich auch in der vollen Resultante wiederfinden werden, und dann nach dem Tautologiegesetze 1̅4̅
×
) in der Klausel
K
nicht wiederholt zu werden brauchen.
Die Klausel
K braucht
nur diejenigen — zur Existenzbehauptung eines 1
0
) erfüllenden
x
notwendigen und hinreichenden — Bedingungen zu statuiren, welche sich nicht bereits in unsrer Resultante aus dem Rohen 2
0
) erwähnt finden. M. a. W. ist — im Gegensatz zur bereits definirten „vollen Resultante“ 3
0
) die „Klausel“ lediglich zu definiren durch die Forderung, dass:
2
0
) ·
K
= 3
0
)
sei. —
Wenden wir noch die gleiche Überlegung, welche oben in Bezug auf unsre erste Subsumtion 1
0
)

2
0
) auseinandergesetzt worden, auf die zweite 1
0
)

3
0
) an, so gelangen wir analog zu dem Ergebnisse:
1
0
)

3
0
)
und dieses mit der dritten Subsumtion zusammengehalten gibt nach Def. (1) der Gleichheit:
1
0
) = 3
0
).
Dies lehrt:
Volle Resultante der Elimination eines Eliminanden x aus einem Prämissensysteme
1
0
)
ist eine Aussage
,
welche äquivalent ist der
Summe
der Prämissenaussagen genommen nach dem Eliminanden x
,
welche diesen aber gar nicht enthält
(sollte genauer heissen:
erwähnt
, sodass eben
x
nicht in ihr vorkommt). —
Bezeichnen wir zur Abkürzung das allgemeine Glied der Summe
in
1
0
) mit
A
x
und das korrespondirende Glied der Summe in 2
0
) mit
A
, sodass etwa:
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
1
0
) =
Σ A
x
=
A
x
+
A
x
' +
A
x
'' + … 2
0
) =
Σ A
=
A
+
A
' +
A
'' + …
so wissen wir bereits, dass auch je für sich:
A
x

A
,
A
x
'

A
',
A
x
''

A
'', …
ist. Sollte dies nicht aus § 41 erinnerlich sein, so geht es augenblick- lich aus dem allgemeinen Theorem
φ
) daselbst S. 212, das ist aus unsrer Subsumtion 1
0
)

2
0
) hervor, indem man selbige für eine
ein- gliedrige
Summe
Σ
in Anspruch nimmt.
Für das Glied
A
x
der Prämissenaussage, die als eine Summe von Gliedern (als alternativen Annahmen) sich darstellte, ist nun
A
zwar eine richtige Resultante der Elimination des
x
, aber im allgemeinen nicht die volle; vielmehr kann und muss es zu dieser erst ergänzt werden durch multiplikative Hinzufügung einer gewissen Klausel
k
(die nur gleich i̇ zu denken ist, falls einmal zufällig
A
schon die volle Resultante sein sollte). Es wird m. a. W. aus
A
x
sich
mehr
noch, als blos
A
, in Bezug auf die Parameter folgern lassen, und was sich im Ganzen folgern lässt, ist die volle Resultante
A
·
k
. Etc. Somit werden erst durch:
A
x

A k
,
A
x
'

A
'
k
',
A
x
''

A
''
k
'', …
die vollen Einzelresultanten der Prämissenglieder darzustellen sein, oder:
es müssen auch die einzelnen Glieder unsrer Resultante aus dem Rohen ihre eignen Klauseln haben.
Sind letztere bekannt, so — behaupten wir — ist auch die Ge- samtklausel
K
oder volle Resultante 3
0
) gefunden, und zwar wird sie lauten:
3
0
) =
K
=
A k
+
A
'
k
' +
A
''
k
'' + … =
Σ A k
.
Dass in der That dieses
K
eine
notwendige
Bedingung für die Geltung von 1
0
) vorstellt, somit eine berechtigte Folgerung aus 1
0
) oder „eine“ Resultante ist, erhellt durch überschiebendes Addiren, Sum- miren der vorausgehenden Subsumtionen gemäss Th. 1̅7̅
+
), wodurch sich ergibt:
1
0
), =
Σ A
x

Σ A k
.
Dass diese Bedingung
K
aber auch
hinreicht
, um die Existenz eines 1
0
) erfüllenden
x
zu garantiren, dass sie mithin die volle Resul- tante ist, erkennt man unschwer mittelst dilemmatischen Schlusses. Vergl. § 45, S. 267.
Die rechnerische Ausführung gestaltet sich im Detail freilich etwas umständlich, wie folgt.
§ 49. Studien über die Klausel.
Gilt
Σ A k
, ist diese Voraussetzung erfüllt, so muss wegen
(
Σ A k
= 1߭) =
Σ
(
A k
= 1߭)
— vergl. § 45,
β
+
) — auch mindestens eine ihrer Gliederaussagen gelten; und sei etwa
A k
selbst ebendiese.
Wir haben dann, weil
A k
volle Resultante für
A
x
sein sollte:
A k

A
x
,
und umsomehr [weil nach Th. 6̄
+
)
A
x

Σ A
x
, das Glied der Summe ein- geordnet ist und diese Subsumtion wieder nach
x
gemäss Th. 1̅7̅
+
) sum- mirt werden kann, sonach auch
A
x

Σ A
x
sein muss]:
A k

Σ A
x
oder
A k

1
0
).
Gälte zugleich mit
A k
, was nicht ausgeschlossen ist, auch
A
'
k
', so hätten wir kraft derselben Schlüsse auch
A
'
k
'

1
0
). Gilt aber — was eben- falls zugelassen —
A
'
k
' nicht, so ist es = 0 und haben wir wiederum
A
'
k
'

1
0
) kraft Def. (2
×
), und so weiter.
Wir können uns also die Subsumtionen:
A k

1
0
),
A
'
k
'

1
0
),
A
''
k
''

1
0
), …
als jedenfalls gleichzeitig zutreffende nach Def. (3
+
) zusammenziehen in
Σ A k

1
0
), oder 3
0
), =
K

1
0
),
was noch zu zeigen gewesen. —
Man könnte wähnen, dass die Bedingung
K
auch nicht notwendig er- füllt zu sein brauche, indem man sich etwa folgenden Fall vergegenwärtigt.
Gesetzt, es gilt
A
in 2
0
), aber nicht
A k
, sodass es kein
x
geben muss und wird, welches
A
x
in 1
0
) erfüllt. So wäre denkbar, dass es als- dann doch noch ein
x
gibt, welches ein anderes Glied von 1
0
) als
A
x
, zum Beispiel
A
x
' erfüllt — sodass also der Zusatz von
k
zu
A
als nicht er- forderlich sich darstellt.
Dieses allerdings ist richtig. Allein dann hätten wir wegen
A
x
'

A
'
k
' dafür die Gewissheit, dass
A
'
k
' erfüllt ist (als Konklusion und Resultante, sintemal es laut ebengemachter Annahme ein
A
x
' erfüllendes
x
gibt).
Sicher wäre dann auch die Alternative
Σ A k
= 1߭ erfüllt, eben wegen des Erfülltseins des zweiten Gliedes
A
'
k
' = 1߭ linkseitiger Summe, und ob — was das erste Glied betrifft — bei dem zufällig miterfüllten
A
auch der Faktor
k
noch miterfüllt ist oder nicht, bleibt sich egal.
Wir können darnach behufs Ermittelung der Klausel oder vollen Resultante von den Summenzeichen in 1
0
) und 2
0
) absehen und brauchen uns nur noch mit Aufsuchung der vollen Resultante des allgemeinen Gliedes
A
x
in 1
0
) zu beschäftigen. Eine ähnliche Vereinfachung
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
unsrer Aufgabe wird sich nachher nochmals anbringen lassen, nach- dem wir auch dieses allgemeine Glied noch weiter in monomische Unterglieder zerlegt haben werden.
Dies steht im Einklange mit einer schon in § 41 gegebenen An- deutung (S. 211).
Auch dass der angegebene Ausdruck 3
0
) für
K
, als Faktor zu 2
0
) gesetzt nur sich selbst wiedererzeugt, dass hier:
2
0
) ·
K
= 3
0
) oder
K
selbst
wird, ist leicht nachzurechnen, und läuft auf einen Satz des identischen Kalkuls hinaus, den wir durch die Formel darstellen wollen: 4
0
)
(
a
+
b
+
c
+ …) (
a α
+
b β
+
c γ
+ …) =
a α
+
b β
+
c γ
+ …
und den man einerseits durch Ausmultipliziren nachweisen kann, wo- bei eben alle andern Partialprodukte ausser den rechts angegebenen von diesen nach Th. 23
+
) absorbirt werden, der aber andrerseits auch aus Th. 6
×
) und 17
+
), wonach:
a α
+
b β
+ …

a
+
b
+ … sein muss, kraft Th. 2̅0̅
×
) folgt. [Der Satz ist auch schon von andrer Seite be- merkt worden.] —
Anstatt nun erst die Resultante aus dem Rohen anzugeben und dieser dann als Korrektiv und Ergänzung
K
die volle Resultante bei- zufügen, wird man einfacher sogleich die letztere selbst aufsuchen — wofern man nicht eben mit der erstern sich von Anfang be- gnügt hatte.
Die volle Resultante Σ A k ergibt sich
aber,
indem man den Gliedern jener Resultante aus dem Rohen die nötigen Klauseln einzeln beigesellt
. —
Nach diesen Vorbetrachtungen wollen wir jetzt einmal den ein- fachsten Fall erledigen: wo der
Boole’
sche Gleichungfaktor fehlt und nur zwei Ungleichungfaktoren vorliegen, mithin die Prämisse lautet:
(
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0).
Zerlegt nach dem Schema (
a
+
b
≠ 0) = (
a
≠ 0) + (
b
≠ 0) des § 40,
α
) und ausmultiplizirt führen die beiden Faktoraussagen zu einer Zerfällung der Prämissen in die Alternative von vier Möglichkeiten:
(
p x
≠ 0) (
r x
≠ 0) + (
p x
≠ 0) (
s x
1
≠ 0) + + (
q x
1
≠ 0) (
r x
≠ 0) + (
q x
1
≠ 0) (
s x
1
≠ 0)
deren volle Resultanten getrennt aufgesucht werden dürfen.
§ 49. Studien über die Klausel.
Für den ersten und vierten Fall fällt die volle Resultante mit der rohen zusammen; es ist: (
p x
≠ 0) (
r x
≠ 0)

(
p
≠ 0) (
r
≠ 0), (
q x
1
≠ 0) (
s x
1
≠ 0)

(
q
≠ 0) (
s
≠ 0) und sobald hier die Thesis rechts zur Hypothesis gemacht, als An- nahme erfüllt ist, gibt es auch immer ein
x
resp.
x
1
, welches der Hypothesis links genügt. Für den ersten Fall nämlich ist ein solches angebbar in Gestalt von
x
=
p
+
r
, für welches ja
p x
=
p
,
r x
=
r
, mithin laut Annahme ≠ 0 sein wird, und ebenso für den letzten Fall in Gestalt von
x
1
=
q
+
s
.
Hier also ist eine Klausel überhaupt nicht erforderlich; beziehungs- weise ist dieselbe als
k
, = 1߭, zu denken.
Anders für die beiden mittleren Fälle, wo die Formeln: (
p x
≠ 0) (
s x
1
≠ 0)

(
p
≠ 0) (
s
≠ 0) und (
q x
1
≠ 0) (
r x
≠ 0)

(
q
≠ 0) (
r
≠ 0) uns blos die Resultante aus dem Rohen geben und die Konklusionen durch Zufügung einer Klausel
k
' resp.
k
'' zu den vollen Resultanten als:

(
p
≠ 0) (
s
≠ 0)
k
' resp.

(
q
≠ 0) (
r
≠ 0)
k
''
erst ergänzt werden müssen.
Es möge nur die Klausel
k
' aufgesucht werden; aus ihr muss sich dann
k
'' ergeben indem man blos die Buchstaben
p
,
s
durch
r
,
q
ersetzt.
Nach der jetzt jedenfalls zur Voraussetzung zu erhebenden Thesis (
p
≠ 0) (
s
≠ 0) der rohen Resultante müssen die (nicht verschwinden- den) Symbole
p
,
s
als Gebiete gedeutet
mindestens einen Punkt
, im Klassenkalkul
mindestens ein Individuum
enthalten. Um nicht Alles doppelt aussprechen zu müssen, wollen wir uns nach Gutdünken nur an die eine oder nur an die andere Auffassung halten.
Bekanntlich wird eine Klasse eine „
singuläre
“ genannt, wenn sie blos
ein
Individuum in sich begreift (wie z. B. bezogen auf die Mannig- faltigkeit 1 des Wirklichen die Klasse „Gott“ — nach der mono- theistischen Weltanschauung). Der singulären Klasse entspricht im Ge- bietekalkul ein isolirter geometrischer Punkt auf der Tafelfläche 1.
Ich behaupte jetzt, dass die Bedingung oder Klausel
k
' zum not- wendigen und ausreichenden Inhalt haben wird: die
Forderung
,
dass falls die Klassen p und s gleichzeitig singuläre sein sollten
,
sie verschieden sein müssen
, dass sie also nur
nicht gerade
(identisch)
ein und dasselbe Individuum ausschliesslich umfassen
dürfen. (Analog hernach
k
'' in Be- zug auf
r
und
q
.)
Setzen wir zunächst die Gebiete
p
und
s
als
teilbar
voraus, so ist
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
für alle 5 denkbaren Elementarbeziehungen, in denen diese beiden Gebiete zu einander stehen können, ein
x
angebbar, welches die Forde- rung (
p x
≠ 0) (
s x
1
≠ 0) erfüllt, und um so mehr also auch der An- forderung (
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0) genügen wird. Ein solches machen wir durch die fünf Figuren (Fig. 25 … Fig. 29) anschaulich,
Fig. 25.
Fig. 26.
Fig. 27.
Fig. 28.
Fig. 29.
Exempel:
p
1
s
1
= 0
Fig. 30.
denen wir — zum Überfluss — als sechste (Fig. 30) noch die Angabe eines
x
für den Fall der
De Morgan’
schen Grundbeziehung
p
1
s
1
= 0 beifügen — indem wir diesmal (im Gegensatz zur
Venn’
schen Ge- pflogenheit) mittelst Schraffirens das
Nicht
verschwinden eines Teil- gebietes für das gewählte
x
oder
x
1
andeuten.
Ein aus nur
zwei
Punkten bestehendes Gebiet wäre bereits in dem obigen Sinne „teilbar“ zu nennen, und könnte man den einen der beiden Punkte desselben zu
x
, den andern zu
x
1
in der erforderlichen Weise schlagen, so dass die Produkte
p x
und
s x
1
von 0 verschieden ausfallen, sogar auch im Elementarfalle
δ
der Identität von
p
und
s
. Kurz: die vor- stehenden Figuren, durch deren Hinsetzung wir uns eine textuelle Beschrei- bung des zu konstruirenden Gebietes
x
für die verschiedenen Fälle erspart haben, halten auch noch Stand, wenn etwa eines der Bilinea
p x
und
s x
1
in einen Punkt degeneriren sollte.
Wie aber, wenn sich eines der beiden Gebiete
p
,
s
selbst, oder das andre, oder beide, auf
einen Punkt
reduzirt, dem Individuum im Klassenkalkul entsprechend, wenn die Gebiete
p
,
s
nicht mehr beide teil- bar sind?
§ 49. Studien über die Klausel.
Wird
p
ein Punkt, so muss er nur in
x
hereintreten, besser ge- sagt, muss man
x
so wählen, dass es denselben
einschliesse
, will man hinbringen, dass
p x
≠ 0 werde; und zwar wird alsdann
p x
=
p
selber ebendieser Punkt sein.
Ist
s
ein Punkt, so muss, wenn
s x
1
≠ 0 sein soll,
x
1
denselben
ein-
mithin
x
denselben
ausschliessen
. Für das Individuum
s
=
i
haben wir ja in § 47 erkannt, dass (
i x
1
≠ 0) = (
i x
= 0); und zwar wird in diesem Falle
s x
1
=
s
selber eben jener Punkt sein.
Beiden Forderungen zugleich kann man im Allgemeinen genügen. Dagegen ist dies immer dann und nur dann unmöglich, wenn
p
, =
s
,
den nämlichen
Punkt vorstellt, indem, wenn wir diesen etwa mit
i
bezeich- neten, das Erfülltsein der Forderung (
i x
≠ 0) (
i x
1
≠ 0) einen Wider- spruch zu der fundamentalen Eigenschaft des Individuums
i
konsti- tuiren würde, q. e. d.
Schliesslich hält es auch nicht schwer, die Partialklauseln sowol als die Totalklausel oder Konklusion und volle Resultante ganz in Formeln zu setzen. Zur Abkürzung wollen wir uns dabei der am Schlusse des § 47 eingeführten Symbole
J
i
und
J
1
i
bedienen, welche uns die Aussagen darstellten dass
i
Individuum, resp. nicht Individuum sei, und dort bereits spezifizirt in unsrer Zeichensprache angesetzt wurden. Man hat als das Ergebniss der Untersuchung: 5
0
)
k
' = {(
p
=
s
)

J
1
p
},
k
'' = {(
q
=
r
)

J
1
q
},
und kann man der erstern z. B. auch noch die Formen geben: 6
0
)
k
' = {
J
p
J
s

(
p
≠
s
)} = {
J
p
J
s
(
p
=
s
) = 0} = {
J
1
p
+
J
1
s
+ (
p
≠
s
)} zu deren Zurückführung auf die erste noch in Betracht zu ziehen ist, dass nach dem Satze von der Ersetzbarkeit von Gleichem durch Gleiches auch (
p
=
s
)
J
p

J
s
sein muss.
Konklusion und volle Resultante der Elimination des
x
aus den Prämissen zur linken ist also der Major der Subsumtion: 7
0
)
(
p x
+
q x
1
≠ 0) (
r x
+
s x
1
≠ 0)

K
,
wo: 8
0
)
K
= (
p
≠ 0) (
r
≠ 0) + (
p
≠ 0) (
s
≠ 0)
k
' + (
q
≠ 0) (
r
≠ 0)
k
'' + (
q
≠ 0) (
s
≠ 0) bedeutet. Um aber hierin deutlich zu erblicken, in welchen Fällen die Teilklauseln
k
', resp.
k
'' ganz unerlässlich sind, wird man die beiden innern Glieder, was ja erlaubt ist, noch multipliziren mit den Nega- tionen der beiden äusseren Glieder — cf. Th. 3̅3̅
+
) Zusatz — wodurch
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
sich nach Unterdrückung identisch verschwindender Terme die Summe jener beiden wie folgt darstellt: 9
0
) (
p
≠ 0) (
q
= 0) (
r
= 0) (
s
≠ 0)
k
' + (
p
= 0) (
q
≠ 0) (
r
≠ 0) (
s
= 0)
k
''.
Um nunmehr allgemein das Problem der „Klausel“ so weit zu führen als es uns thunlich erscheint, wollen wir zunächst die Prä- misse 1
0
) — sowie dann auch die Konklusion 2
0
) — uns übersicht- licher schreiben, indem wir bei der erstern eine bestimmte Anzahl
n
von Ungleichungsfaktoren gegeben voraussetzen und in diesen die Koef- fizienten durchgängig mit den beiden Buchstaben
p
und
q
bezeichnen, letztere nur mittelst oberer Indices
ϰ
= 1, 2, …
n
von einander unter- scheidend. Nennen wir auch
S
die Prämisse und
P
die Konklusion, sodass uns
S

P
den Schluss der Elimination von
x
, „
Eliminationsschluss
“ nach dem Schema unsres Theorems
φ
) des § 41 darstellt, so werden wir haben: 10
0
)
S
≡ (
a x
+
b x
1
= 1)
(
p
ϰ
x
+
q
ϰ
x
1
≠ 0),
11
0
)
P
≡ (
a
+
b
= 1)
(
p
ϰ
a
+
q
ϰ
b
≠ 0)
und wird es sich darum handeln, die Konklusion
P
, welche sich als „Resultante aus dem Rohen“ präsentirte, durch (multiplikative) Hinzu- fügung einer noch unbekannten Klausel
K
zur „vollen Resultante“
R
(der Elimination des
x
aus
S
) zu ergänzen, sodass
S

P
·
K
=
R
sein wird und das Erfülltsein von
R
allemal die Garantie in sich schliesst, dass es auch ein
S
erfüllendes
x gebe
.
Notwendige oder unerlässliche — aber zuweilen noch nicht hin- reichende — Bedingung für die Existenz eines solchen
x
war die Aus- sage
P
, die wir demnach jedenfalls als durch die Parameter
a
,
b
,
p
ϰ
,
q
ϰ
der Data
S
erfüllt anzunehmen haben.
Ein solches
x
müsste zunächst dem
Boole’
schen Faktor
a x
+
b x
1
= 1
von
S
genügen. Und da laut
P
gewiss
a
+
b
= 1, oder
a
1
b
1
= 0,
a
1

b
,
b
1

a
,
sonach auch
§ 49. Studien über die Klausel.
12
0
)
a
1
b
=
a
1
,
a
1
+
b
=
b
,
a
+
b
1
=
a
,
a b
1
=
b
1
ist, wird es immer ein solches
x
geben. Der allgemeinste Ausdruck für jedes solche
x
muss nach unserm Th. 50
+
) sein:
x
=
a u
+
b
1
u
1
=
a
(
u
+
b
1
) =
b
1
+
a u
,
x
1
=
a
1
u
+
b u
1
=
b
(
u
1
+
a
)

a
1
+
b u
1
worin
u
als Gebiet oder Klasse vollkommen beliebig bleibt.
Einsetzung dieser Werte von
x
und
x
1
verwandelt nun in
S
die durch den
Boole’
schen Faktor ausgedrückte Forderung in eine auf Grund von
a
+
b
= 1 identisch erfüllte. Der
Boole’
sche Faktor geht dadurch in den Aussagenfaktor 1߭ über, welcher nach Th. 2̅1̅
×
) unter- drückt werden darf, nicht weiter angemerkt zu werden braucht, und da hiemit
p x
+
q x
1
= (
p a
+
q a
1
)
u
+ (
p b
1
+
q b
)
u
1
=
p b
1
+
q a
1
+
p a u
+
q b u
1
wird, so erhalten wir die beiden Darstellungen von
S
:
S
=
{(
p
ϰ
a
+
q
ϰ
a
1
)
u
+ (
p
ϰ
b
1
+
q
ϰ
b
)
u
1
≠ 0}
13
0
)
S
=
{
p
ϰ
b
1
+
q
ϰ
a
1
+
p
ϰ
a u
+
q
ϰ
b u
1
≠ 0}.
Für diese bleibt nunmehr zu untersuchen, falls nur
P
gilt, unter welchen ferneren Bedingungen sie durch irgend ein
u
erfüllbar sein werden.
Ungeachtet des etwas komplizirteren Ausdrucks dieser Forderung
S
, gegenüber ihrem früheren Ausdrucke, erscheint die Aufgabe durch die vollzogene Umformung doch wesentlich vereinfacht, indem jetzt
S
nur mehr aus Ungleichungen als Faktoren zusammengesetzt, der
Boole’
sche Gleichungsfaktor weggefallen ist, und während früher
x
durch diesen letzteren in seiner Veränderlichkeit beschränkt erschien, nunmehr
u
innerhalb der Mannigfaltigkeit 1 ganz unumschränkt vari- abel ist.
In den zwei Reihen von paarweise untereinander gestellten
n
und
n
Gebieten oder Klassen:
14
0
)
p
1
a
,
p
2
a
, …
p
n
a
,
q
1
b
,
q
2
b
, …
q
n
b
können nun diese oder jene auch
null sein
oder verschwinden, jedoch
niemals zwei untereinanderstehende zugleich
, indem nach
P
für jeden unter den Werten 1, 2, …
n
ausgewählten Index
ϰ
sein muss:
p
ϰ
a
+
q
ϰ
b
≠ 0.
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
[Im Ganzen können also von jenen 2 ×
n
Symbolen höchstens
n
verschwinden, in jeder Kolonne kann von den zwei Symbolen höchstens eines 0 sein.]
Darnach lässt es sich durch folgende Überlegung rechtfertigen, weshalb wir unsre Konklusion
P
als die „
Resultante aus dem Rohen
“ schon hinstellen durften.
Sobald nur die
nicht verschwindenden
von jenen 2 ×
n
Gebieten
hinlänglich teilbar
sind, sobald sie
hinreichend viele Punkte
, die Klassen
genug Individuen
enthalten — namentlich also auch, falls sie deren eine unbegrenzte Menge [und wie sich zeigen wird, sicher schon, falls sie nur allesamt
n
oder
mehr
Punktindividuen] umfassen sollten — gibt es unfehlbar ein Gebiet
u
, welches die Forderung
S
erfüllt. Unsrer Resultante
P
ist alsdann keine weitere Forderung mehr hinzu- zufügen und darf sie als die ganze oder Resultante schlechtweg hin- gestellt werden. Die (uns noch unbekannte) Klausel des allgemeinen Problems muss unter obiger Voraussetzung unzweifelhaft von selbst erfüllt sein (das ist: = 1߭ werden).
Wo immer z. B. die in unsrer Resultante
P
auftretenden Terme, sofern sie existiren,
Flächen
vorstellen, desgleichen wo sie in
Linien
degeneriren, wird schon die Frage nach der Klausel belanglos, und erst wo man mit
Systemen isolirter Punkte
zu thun hat, die in end- lichen Mengen auftreten, kann solche in Betracht kommen.
Bei gar vielen, vielleicht den allermeisten Problemen, bei denen man nur über die im allgemeinen Schema
P
nicht unvertretnen Klassen anderweitig informirt, von vornherein in beregter Hinsicht orientirt ist, wird man also unsre Resultante
P
ohne weiteres
für voll nehmen
können, und nur da eine gewisse Vorsicht zu beobachten haben, wo auch Klassen in Betracht kommen könnten,
die nur aus wenig Individuen bestehen
.
Um obiges einzusehen, braucht man nur ein gewisses Gebiet
u
synthetisch zu konstruiren, es dergestalt zusammenzusetzen, dass für keinen der
n
Werte des
ϰ
die beiden Glieder
p
ϰ
a u
und
q
ϰ
b u
1
gleich- zeitig verschwinden. Gelingt dies, so wird nämlich ein jeder Faktor der Anforderung
S
zufolge Nichtverschwindens des zweiten Doppel- gliedes
p
ϰ
a u
+
q
ϰ
b u
1
in 13
0
) erfüllt, = 1߭, sein, ganz ohne Rücksicht darauf, ob etwa das erste Doppelglied
p
ϰ
b
1
+
q
ϰ
a
1
schon seinerseits ≠ 0, oder ob dasselbe = 0 ist.
Dies lässt sich nun oft — und so auch unter den angegebnen Voraussetzungen — erreichen, indem man die zu konstruirende Klasse
u einschliessen
lässt gewisse Individuen aus den nicht verschwindenden
§ 49. Studien über die Klausel.
Klassen der ersten Zeile von 14
0
) zugleich aber sie ausdrücklich
aus- schliessen
lässt gewisse Individuen aus den werthabenden Klassen der zweiten Zeile von 14
0
). Im übrigen mag dann die Zusammensetzung von
u
in’s Belieben gestellt, offen gelassen bleiben, und ist es als gleichgültig nachweisbar, welche andern Individuen oder gar Gebiete dem
u
noch ausserdem zugeschlagen oder abgesprochen werden mögen. Dortbei wird
lediglich
zu beachten sein, dass die von
u aus
zu- schliessenden, sonach in
u
1
eingeschlossenen Individuen niemals iden- tisch seien mit den von
u ein
zuschliessenden, dass vielmehr sie durch- weg verschieden bleiben von jenen. Und sofern uns nur genügend Individuen (in jedem Bedarfsfalle mindestens eines) zur Einverleibung in
u
oder
u
1
zur Verfügung stehen, ist unser Vorhaben realisirbar:
Man gehe etwa die Symbole 14
0
) kolonnenweise von links nach rechts fortschreitend durch und schlage aus jeder nicht verschwinden- den Klasse der ersten Zeile
ein
Individuum zu
u
, sowie aus jeder nicht verschwindenden (das heisst ja: mindestens ein Individuum enthaltenden) Klasse der zweiten Zeile
ein
Individuum zu
u
1
, indem man Sorge trägt, dass kein in der einen Zeile verwendetes Individuum, wenn es etwa gleichzeitig auch einer Klasse der andern Zeile angehören sollte, in dieser wiederverwendet wird. Unzulässig bleibt es ja, dass einunddas- selbe Individuum
i
den beiden einander exkludirenden Klassen
u
und
u
1
zugleich zugeschlagen werde. Man wird also in solchem Falle bei jener Klasse blos zu einem neuen Individuum zu greifen haben (ge- nauer: zu einem in der andern Zeile noch nicht als verwendet vor- gekommenen) und man vermag dies, falls ein solches vorrätig; dass letzteres aber der Fall sei, wurde ausdrücklich vorausgesetzt.
Gleichgültig ist es dagegen, ob in einer Zeile ein Individuum wieder- holt verwendet wird, oder nicht. Man mag, wenn mehrere Klassen der ersten Zeile ein Individuum gemein haben sollten aus ihnen allemal blos dieses nämliche wieder zu
u
schlagen und ebenso wird die Beisteuer, der Beitrag, an Individuen, welchen jede nicht verschwindende Klasse der zweiten Teile an
u
1
abzugeben hat, für beliebig viele von diesen, selbst auch für alle, gemeinsam, der nämliche sein dürfen.
Ganz sicher wird nämlich auf diese Weise hingebracht — und diese Möglichkeit darzuthun, darauf kam es uns ganz allein an — dass in den beiden Reihen von je
n
Gliedern 15
0
)
p
1
a u
,
p
2
a u
, …
p
n
a u q
1
b u
1
,
q
2
b u
, …
q
n
b u
1
niemals
zwei untereinander stehende zugleich verschwinden, indem das identische Produckt aus
p
ϰ
a
in
u
oder das aus
q
ϰ
b
in
u
1
doch aller-
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
mindestens jenes aus dem ersten Faktor in den zweiten eingefügte Individuum als ein beiden Faktoren gemeinsames Element enthalten muss, von jenen ersten Faktoren aber mindestens einer nicht inhalts- leer war. q. e. d. —
Erst wenn bei jenem Versuche, eine die Forderung
S
erfüllende Klasse
u
zu konstruiren, im Herausgreifen von Individuen aus den Klassen 14
0
) resp. 15
0
) bei einer solchen
Individuenmangel
einträte, und daraus die Nötigung erwüchse, z. B. in der zweiten Zeile als Bei- steuer der betreffenden Klasse zu
u
1
auf ein Individuum zu reflektiren, welches als ein auch Klassen der ersten Zeile angehöriges dortselbst schon wegen drohenden Individuenmangels zu
u
hatte geschlagen werden müssen — erst dann könnte der Nachweis, ja die Existenz einer
S
erfüllenden Klasse
u
zur Unmöglichkeit werden. Und Auf- gabe der Klausel ist es eben, diese Fälle der Nichtexistenz eines
S
erfüllenden
x
resp.
u
ohne Nennung von
x
oder
u
zu charakterisiren und auszuschliessen.
Um dies Ziel zu verfolgen, wollen wir uns die Aussagen
P
und
S
zunächst noch etwas vereinfachen. Bemerkend, dass wegen 12
0
) auch:
p
ϰ
b
1
=
p
ϰ
a b
1
und
q
ϰ
a
1
=
q
ϰ
b a
1
sein muss, wollen wir die Abkürzungen einführen, zu nennen: 16
0
)
p
ϰ
a
=
r
ϰ
,
q
ϰ
b
=
s
ϰ
für
ϰ
= 1, 2, …
n
.
Dann lautet die zu erledigende Frage: ob oder wann es unter der Voraussetzung
P
, das ist 17
0
)
(
a
+
b
= 1)
(
r
ϰ
+
s
ϰ
≠ 0)
ein Gebiet, eine Klasse
u
geben wird, welche erfüllt die Forderung
S
, das heisst die Forderung: 18
0
)
(
r
ϰ
b
1
+
s
ϰ
a
1
+
r
ϰ
u
+
s
ϰ
u
1
≠ 0).
Führen wir auch noch für die nachfolgend in Klammer gesetzten Aussagen zur Abkürzung die beigesetzten Namen ein: 19
0
)
(
r
ϰ
b
1
+
s
ϰ
a
1
≠ 0) =
C
ϰ
, (
r
ϰ
u
+
s
ϰ
u
1
≠ 0) =
D
ϰ
,
so lautet unsre Forderung:
§ 49. Studien über die Klausel.
20
0
)
(
C
ϰ
+
D
ϰ
).
Oder, wenn: 21
0
)
r
ϰ
b
1
+
s
ϰ
a
1
=
c
ϰ
,
r
ϰ
u
+
s
ϰ
u
1
=
d
ϰ
genannt wird, sodass: 22
0
)
C
ϰ
= (
c
ϰ
≠ 0),
D
ϰ
= (
d
ϰ
≠ 0)
bedeutet, so soll also für jedes
ϰ
= 1, 2, …
n
entweder
c
ϰ
≠ 0 oder
d
ϰ
≠ 0 sein — in Anbetracht, dass (
c
+
d
≠ 0) = (
c
≠ 0) + (
d
≠ 0).
Ist jenes der Fall, d. h. (sooft für ein bestimmtes
ϰ
) gilt
C
ϰ
, ist also
C
ϰ
= 1߭, so wird auch
C
ϰ
+
D
ϰ
= 1߭ +
D
ϰ
= 1߭
sein ganz ohne Rücksicht darauf, ob
D
ϰ
gilt (= 1߭ ist) oder nicht gilt (= 0 ist).
Eine wirklich an
u
zu stellende Anforderung wird also ein Faktor von
S
nur dann statuiren, nur für diejenigen
ϰ
aussprechen, für welche
C
ϰ
nicht gilt, das heisst
C
1
ϰ
gilt
Unter
C
1
ϰ
verstehen wir die Negation (
C
ϰ
)
1
von
C
ϰ
.
oder
c
ϰ
= 0,
r
ϰ
b
1
+
s
ϰ
a
1
= 0
ist. Erst für solchen Fall wird die Forderung
D
ϰ
= 1߭ einzu- springen haben oder
d
ϰ
≠ 0 durch geeignete Bestimmung von
u
zu erfüllen sein.
Wir haben hienach die verschiedenen Fälle durchzugehen, die in Bezug auf das Verschwinden (Nichterfülltsein) oder Nichtverschwinden (Erfülltsein) der Aussagen
C
1
,
C
2
, …
C
n
denkbar sind, oder — wissen- schaftlicher zu reden — wir haben uns die ganze Mannigfaltigkeit 1߭ der möglichen Fälle gemäss § 19 zu „entwickeln“ nach diesen
n
Sym- bolen als Argumenten um sodann bei jedem der 2
n
Glieder dieser Ent- wickelung zuzusehen, welche Forderungen auf Grund dieser Glieder- aussage als einer geltend angenommenen Voraussetzung die Bedingung
S
an
u
stellt, und wann sie durch ein solches erfüllbar ist.
Jedes Glied besagter Entwickelung ist von der Gestalt des Pro- duktes sämtlicher
C
̇
Aussagen: 23
0
)
C
1
C
2
…
C
n
— in diesem nur irgendwelche mit Negationsstrich versehen, und ist jenes mit solchen auf jede erdenkliche Weise versehen oder nicht ver- sehen und als Glied der Summe 1߭ hingesetzt zu denken.
Schröder
, Algebra der Logik. II. 25
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
Verstehen wir unter
den „
Binomialkoeffizienten
zum
Exponenten n
und vom
Index h
“, unter (
n
)
0
, = (
n
)
n
, die Zahl 1 verstehend, so ist bekanntlich:
2
n
= 1 + (
n
)
1
+ (
n
)
2
+ … + (
n
)
n
— 1
+ (
n
)
n
und gibt das allgemeine Glied (
n
)
h
der rechten Seite an: die Anzahl der- jenigen Glieder jener Entwickelung, in welchen genau
h
von den
n
Fak- toren
C
ϰ
ohne Negationsstrich auftreten; wo nebenbei gesagt auch stets (
n
)
n
—
h
= (
n
)
h
sein wird, also andrerseits auch ebensoviele Glieder
mit h
negirten Faktoren vorkommen werden.
Es stelle nun
α
1
,
α
2
…
α
h
irgend eine Kombination („zur
h
ten Klasse“ und „ohne Wiederholungen“) hervorgehoben aus den „Elementen“
1, 2, 3, …
n
vor [und später
β
1
,
β
2
, …
β
n
—
h
das System, die Kombination, der
n
—
h
dann übrig gebliebenen von diesen
n
Elementen] — unter
h
irgendeine der Zahlen 0, 1, 2, …
n
verstanden (wobei für
h
= 0 jene erstere Kombination, für
h
=
n
diese letztere ein leeres System bedeutet). So ist die laut
S
an die Voraussetzung:
zu knüpfende Forderung diese:
D
α
1
D
α
2
…
D
α
h
oder
D
α
und hinsichtlich ihrer Erfüllbarkeit durch
u
zu untersuchen.
Die in der Arithmetik zumeist mit
C
(
h
)
(1, 2, …
n
) bezeichnete
h
te Klasse der Kombinationen ohne Wiederholungen aus den Elementen 1, 2, …
n
kann man sich auch in Gestalt einer „kombinatorischen Summe“ vollständig hinschreiben, und zwar ist diese Klasse der „geordneten“ Kom- binationen: 24
0
)
…
α
1
α
2
α
3
…
α
h
— 1
α
h
selbst eine wohlgeordnete, wofern man nur die Summationsvariabeln ihre Werte je von der untern zur oberen Grenze durchlaufen lässt. Zum Beispiel:
§ 49. Studien über die Klausel
Die Kombinationen selbst wurden hierbei durch einfaches (gleichsam multiplikatives) Nebeneinanderstellen der in sie eingehenden Elemente an- gedeutet, die „Klasse“ derselben durch additive Verknüpfung aus diesen Kombinationen zusammengesetzt.
Es würde hienach auch keiner Schwierigkeit unterliegen, nur höchstens umständlich werden, wollte man sich die Glieder besagter Entwickelung, übersichtlich geordnet nach der Zahl der in ihnen vor- aussetzungsmässig verschwindenden Faktoren
C
ϰ
, wirklich vollständig hinschreiben.
Stellt
S
λ
ein solches Glied vor, und bedingt die Geltung des- selben, dass eine gewisse („Partial“-)Klausel
K
λ
als Konsequenz (und hinreichende Bedingung dafür dass es dann ein
S
λ
erfüllendes
u
gebe) erfüllt sein muss, so haben wir
S
λ

K
λ
für
λ
= 1, 2, 3, … 2
n
,
somit
S
λ
=
S
λ
K
λ

K
λ
,
oder auch nach dem modus ponens dargestellt:
(
S
λ

K
λ
) = 1߭,
S
λ
=
S
λ
· 1߭ =
S
λ
(
S
λ

K
λ
)

K
λ
und dazu:
,
mithin: 25
0
)
S
λ
K
λ
=
S
λ
(
S
λ

K
λ
)
als vollen Ausdruck der gesuchten
Gesamtklausel K
unsres Problemes. Mit Worten:
A priori trifft jedenfalls eine der Voraussetzungen
S
λ
zu. Als Konsequenz derselben muss auch
K
λ
gelten, und umgekehrt, wenn
K
λ
gilt, so war als erkannt vorausgesetzt dass
S
für den Fall
S
λ
erfüll- bar ist durch ein
u
. Also wird wenn
K
gilt (dilemmatischer Schluss)
25*
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
S
jedenfalls durch ein
u
erfüllbar sein; auch musste, wenn
S
gilt,
K
gelten, d. h.
K
ist die gesuchte Klausel.
Den Zusatz des Faktors
K
λ
oder (
S
λ

K
λ
) zum Gliede
S
λ
im Ausdruck dieses
K
wird man natürlich sparen in allen den Fällen, wo sich
K
λ
als = 1߭, das ist als ohnehin erfüllt herausstellt, wo nämlich im Falle
S
λ
keine
weitere Anforderung, als etwa die: 0 = 0, an die Parameter von
S
zu stellen ist und resultirt.
Es kommt demnach nur mehr auf die Ermittelung jener „Partial- klauseln“
K
λ
an.
Diese werden wirklich = 1߭ in wenigstens 1 +
n
von den 2
n
Fällen.
Gilt
nämlich
S
1
, als das Anfangsglied besagter Entwickelung, oder:
C
1
C
2
…
C
n
selbst, so werden, wie oben ausgeführt,
sämtliche
Faktoren
S
in 18
0
) schon gleich 1߭ sein, und fällt jegliche Anforderung an
u
ohnehin fort.
Gilt ferner (für
α
= 1, 2, ‥
n
):
S
α
+ 1
oder
C
1
C
2
…
C
α
— 1
C
1
α
C
α
+ 1
…
C
n
d. h. ist
nur einer
der Faktoren
C
ϰ
mit Negationsstrich versehen er- füllt, die übrigen ohne solchen, so wird im Ausdrucke von
S
nur durch den einen Faktor
C
α
+
D
α
, welcher sich auf 0 +
D
α
, =
D
α
reduzirt, eine Anforderung an
u
gestellt, die nämlich, dass
r
α
u
+
s
α
u
1
≠ 0 werde, und diese ist ohne weiteres erfüllbar, sintemal laut
P
ja
r
α
+
s
α
≠ 0 war, sonach von den beiden Termen
r
α
und
s
α
höchstens einer verschwinden konnte. Und braucht man, um dies einzusehen nur von dem (von einem) nicht verschwindenden dieser beiden Terme in Gedanken ein Individuum zu dem als Faktor zu ihm hinzutretenden Gebiete
u
resp.
u
1
zu schlagen; so wird das Produkt denn in der That auch mindestens dieses Individuum enthalten, und ≠ 0 sein. Auch rechnerisch zeigt die Annahme:
u
=
r s
1
v
1
+ (
r
+
s
1
)
v
dass wirklich stets
r u
+
s u
1
=
r
+
s
somit ≠ 0
hier gemacht werden kann (für die obern Indices
α
oder — genauer —
α
1
, von
r
und
s
).
Die eben erledigten Fälle entsprachen den Kombinationen zur
h
= 0
ten
und zur
h
= 1
ten
Klasse (der negirten Symbole
C
ϰ
).
Für
h
= 2, wo also zwei Faktoren
C
ϰ
in 19
0
) mit Negations- strich versehen auftreten, wird ein Fall vorliegen, welcher sich seinem Schema nach mit der, unsrer allgemeinen Betrachtung als einfachstes
§ 49. Studien über die Klausel.
Beispiel vorausgeschickten Spezialuntersuchung deckt. Hier muss näm- lich für
S
λ
als
C
1
α
1
C
1
α
2
C
β
1
C
β
2
…
C
β
n
— 2
erfüllt werden:
D
α
1
D
α
2
oder (
r
α
1
u
+
s
α
1
u
1
≠ 0) (
r
α
2
u
+
s
α
2
u
1
≠ 0)
und wurde erkannt, dass wenigstens in zweien der vier hiebei zu unter- scheidenden Unterfälle
(
r
α
1
≠ 0) (
r
α
2
≠ 0), (
s
α
1
= 0) (
r
α
2
= 0) (
r
α
1
≠ 0) (
s
α
2
≠ 0), (
r
α
1
= 0) (
s
α
2
= 0) (
s
α
1
≠ 0) (
r
α
2
≠ 0), (
s
α
1
≠ 0) (
s
α
2
≠ 0)
eine Klausel auftritt, fordernd, dass im zweiten resp. dritten derselben die Klassen
r
a
1
und
s
a
2
resp.
s
a
1
und
r
a
2
nicht in einunddasselbe Indi- viduum degeneriren dürfen.
Wenn so überhaupt in einem Gliede besagter Entwickelung der 1߭ irgendwelche 2 bis
n
Faktoren
C
ϰ
negirt als Faktoren auftreten, das Nichterfülltsein dieser Annahmen
C
ϰ
zur Voraussetzung stempelnd, so werden auch bedingte Klauseln sich der Konklusion beigesellen.
Es genügt von diesen Fällen nur den noch in’s Auge zu fassen, welcher der
h
=
n
ten
Kombinationsklasse entspricht, indem dieser für die übrigen vorbildlich ist. Hier haben wir also das
letzte
Glied be- sagter Entwickelung, nämlich
C
1
1
C
1
2
‥
C
1
n
oder
(
c
ϰ
= 0), = (
c
ϰ
= 0) gleich
26
0
)
b
1
r
ϰ
+
a
1
s
ϰ
= 0
als Annahme zugrunde zu legen [woraus sich, nebenbei gesagt, auch in Verbindung mit
a
1
b
1
= 0
keine
Relation für die
r
ϰ
und
s
ϰ
durch Elimination von
a
und
b
ergibt]. Und die Forderung
S
schliesst in sich, dass dann
u
sich so bestimmen lassen müsse, dass
D
1
D
2
‥
D
n
=
(
d
ϰ
≠ 0)
oder 27
0
)
(
r
ϰ
u
+
s
ϰ
u
ν
≠ 0)
erfüllt sei.
Für die übrigen Werte von
h
als 2, 3, …
n
— 1 sind die An- nahmen und Forderungen vom gleichen Baue, nur dass
ϰ
dann weniger Werte zu durchlaufen hat als Produktations- und Summationsvariable. Es werden die an den letzten Fall anzuknüpfenden Schlüsse dann
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
gleichsam nur für ein niedrigeres
n
in Anspruch zu nehmen sein, wo- bei aber eine solche Bezeichnungsweise der Terme vorliegt, dass die Indices
ϰ
der in Betracht kommenden nicht mehr eine reine Sequenz, sondern eine solche nur
mit Auslassungen
bilden.
Wird der allgemeine Faktor von 27
0
) in
r
ϰ
u
≠ 0) + (
s
ϰ
u
1
≠ 0) zerlegt, so zerfällt das Produkt durch Ausmultipliziren in die Alter- native von Termen: 28
0
)
(
r
α
1
u
≠ 0) (
r
α
2
u
≠ 0) … (
r
α
h
u
≠ 0) · (
s
β
1
u
1
≠ 0) … (
s
β
n
—
h
u
1
≠ 0) wo die Summe sich zu erstrecken hat über die sämtlichen Wertsysteme
α
1
,
α
2
, ‥
α
h
welche als Kombinationen zur
h
ten
Klasse (für
h
= 0, 1 ‥
n
) aus der Sequenz 1, 2, 3, ‥
n
hervorhebbar sind, und
β
1
,
β
2
, …
β
n
—
h
allemal die zugehörige Kombination
n
—
h
ter
Klasse vorzustellen hat, welche die
n
—
h
übrigen Terme jener Sequenz vorstellen werden.
Es braucht hier nur das allgemeine Glied dieser Summe auf seine Konsequenzen einschliesslich der zugehörigen Klausel untersucht zu werden. Das heisst, wenn wir noch
n
—
h
=
k
kürzer nennen, wo dann
h
+
k
=
n
sein wird, so ist typisch für die allein noch zu er- ledigende Klasse von Problemen: die Aufgabe, zu ermitteln, welche Bedingung für die Parameter: 29
0
)
r
1
,
r
2
, ‥
r
n
s
1
,
s
2
, ‥
s
n
des Problems erforderlich und hinreichend ist, damit es ein Gebiet
u
gebe, welches die Forderung erfüllt: 30
0
) (
r
1
u
≠ 0) (
r
2
u
≠ 0) … (
r
h
u
≠ 0) · (
s
h
+ 1
u
1
≠ 0) … (
s
h
+
k
u
1
≠ 0).
Notwendig oder erforderlich, unerlässlich ist die Bedingung: 31
0
)
(
r
1
≠ 0) (
r
2
≠ 0) ‥ (
r
h
≠ 0) · (
s
h
+ 1
≠ 0) ‥ (
s
n
≠ 0),
da
(
r
ϰ
u
≠ 0)

(
r
ϰ
≠ 0) und (
s
λ
u
1
≠ 0)

(
s
λ
≠ 0) —
welche Bedingung als die unter
P
mitzugelassene Möglichkeit anzu- sehen ist, in welcher die aufzusuchende Klausel in Betracht kommen wird. Diese Bedingung wird aber eventuell eben noch weiter zu ver- klausuliren sein damit sie auch eine hinreichende werde.
Nichts weiter wird ihr hinzuzufügen sein, wenn von den in 28
0
) zusammengefassten Forderungen der zweierlei Arten
r
ϰ
u
≠ 0 und
s
ϰ
u
1
≠ 0, welche wir durch den Punkt getrennt haben, die eine Art unvertreten ist, d. h. also für
h
= 0 (wo
k
=
n
), resp. für
k
= 0 (wo
§ 49. Studien über die Klausel.
h
=
n
ist). In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einen Zeile von 29
0
) in Betracht, und genügt es im ersten Falle:
u
1
=
s
1
+
s
2
+ … +
s
n
,
im letzteren:
u
=
r
1
+
r
2
+ … +
r
n
zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes
ϰ
:
s
ϰ
u
1
, =
s
ϰ
, ≠ 0 resp.
r
ϰ
u
, =
r
ϰ
, ≠ 0
werde.
Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen der einen Art, die sich auf
u
beziehen zusammentreffen mit solchen der andern Art, die auf
u
1
bezüglich. Hier möge nun: 32
0
)
r
1
+
r
2
+ … +
r
h
=
r
,
s
h
+ 1
+
s
h
+ 2
+ … +
s
n
=
s
genannt werden, wobei nicht aus dem Gedächtniss zu verlieren sein wird, dass nach 31
0
) die sämtlichen Glieder dieser Summen
r
und
s
von 0 verschieden sind.
Haben
r
und
s
keinen Teil gemein, ist
r s
= 0, so ist es leicht,
u
so anzunehmen dass die Forderung 30
0
) erfüllt wird: Man lasse
u
einfach
r
einschliessen und
s
ausschliessen, sodass (
r

u
) (
s

u
1
), = (
u r
=
r
) (
u
1
s
=
s
), = (
u
1
r
= 0) (
u s
= 0) = (
s u
+
r u
1
= 0) ist. Wegen
r
ϰ

r
also
r
ϰ
r
=
r
ϰ
ist dann auch
r
ϰ
u
=
r
ϰ
r u
=
r
ϰ
r
=
r
ϰ
≠ 0, ebenso
s
ϰ
u
1
=
s
ϰ
≠ 0
für die Werte
ϰ
= 1, 2, …
h
resp.
h
+ 1, …
n
dieses Index.
Eine Klausel kann daher nur für
r s
≠ 0 in Betracht kommen. Es möge für den Augenblick
r s
=
t
heissen, sodass
t
≠ 0. Und es bedeute hiernächst immer
ϰ
irgend einen der Indices 1, 2, ‥
h
von
r
, dagegen
λ
einen der Indices
h
+ 1,
h
+ 2, …
h
+
k
=
n
von
s
.
Alsdann kann es sich ereignen, dass alle oder einige der Aggre- ganten
r
ϰ
von
r
sowie der Aggreganten
s
λ
von
s
über
t
hinausgreifen, sodass für gewisse
ϰ
,
λ
ist:
r
ϰ
t
1
=
r
ϰ
s
1
≠ 0,
s
λ
t
1
=
s
λ
r
1
≠ 0.
Wegen
t
1
=
r
1
+
s
1
und
r
ϰ
r
1
= 0, d. h.
r
ϰ

r
, etc.
Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder
r
-Reihe sind
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
dann sämtlich disjunkt denen der letzteren Sorte oder der
s
-Reihe, weil in den einander ausschliessenden Gebieten
r
, und
r
1
, desgleichen auch in denen
s
1
und
s
, enthalten — cf. § 46, 2. Hülfssatz. Hierauf beruht es dass man in Bezug auf sie jedenfalls die Forderungen er- füllen kann, welche 30
0
) in sich schliesst, indem man nämlich die
r
ϰ
s
1
zu
u
, die
s
λ
r
1
zu
u
1
schlägt. Die betreffenden Aggreganten können dann einfach samt den auf sie bezüglichen Faktorungleichungen der Forderung 30
0
) aus der ganzen Betrachtung fortgelassen werden und wird nur mehr darnach zu trachten sein: durch geeignete Verteilung auf
u
und
u
1
des Bestandes der dann gänzlich
innerhalb t
fallenden Indi- viduen der übrigen
r
und
s
Aggreganten auch den Rest der auf sie bezüglichen in 30
0
) als Faktorungleichungen ausgedrückten Anforde- rungen zu erfüllen. Dass heisst: man hat die Aufsuchung der Klausel nur noch für eine Minderzahl von Symbolen und Propositionen weiter- zuführen.
Im ungünstigsten Falle kann diese „Minderzahl“ allerdings zu- sammenfallen mit der bisherigen Anzahl
n
(wo sie natürlich solche Bezeichnung streng genommen nicht verdient hätte). Und diesen Fall wollen wir jetzt voraussetzen und allein noch weiter verfolgen, weil er typisch ist für die andern Fälle, in denen man nur mit weniger Symbolen
r
ϰ
,
s
λ
und auf sie bezüglichen Faktoranforderungen sich herumzuschlagen hätte.
Wir setzen also voraus dass von vornherein
keines
der Gebiete
r
ϰ
s
λ
über
t
hinausgreife, d. h. dass für jedes
ϰ
,
λ
:
r
ϰ
s
1
= 0,
s
λ
r
1
= 0
sei. Alsdann ist aber auch:
r s
1
= (
r
1
+
r
2
+ ‥ +
r
h
)
s
1
= 0,
s r
1
= (
s
h
+ 1
+ ‥ +
s
n
)
r
1
= 0,
d. h. wir haben
r s
1
+
r
1
s
= 0
oder
r
=
s
=
r
+
s
=
r s
=
t
.
Das Problem der Klausel gipfelt hienach in der schwierigen
Aufgabe
:
Wenn zwei Reihen von nicht verschwindenden Gebieten ge- geben sind:
r
1
,
r
2
, …
r
h
, und
s
h
+ 1
,
s
h
+ 2
, …
s
n
,
derart dass die Gebiete einer jeden von diesen beiden Reihen
zusammen
genau die nämlichen Individuen oder Punkte umfassen, dass nämlich 33
0
)
r
1
+
r
2
+ ‥ +
r
h
=
s
h
+ 1
+
s
h
+ 2
+ ‥ +
s
n
§ 49. Studien über die Klausel.
ist,
die Fälle zu charakterisiren
,
in welchen es unmöglich ist
,
aus jedem Gebiete r
ϰ
der einen Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zu einer Klasse u und zugleich aus jedem Gebiete s
λ
der andern Reihe (mindestens) ein Punktindividuum zur Negation u
1
dieser Klasse zu schlagen
.
Dies habe ich schon in
6
der unter meinem Namen im Literaturverzeich- niss angeführten Schriften mitgeteilt.
Ist es erst gelungen, diese Fälle zu charakterisiren oder vollstän- dig aufzuzählen, so wird es ein leichtes sein, ihre
Ausschliessung
zu fordern, und die Aussage, welche solche Forderung statuirt, wird die betreffende, auf die beim vorliegenden Problem zugrunde gelegten An- nahmen bezügliche Teil-Klausel sein.
Vollständig gelingt die Beantwortung dieser Frage in den beiden einfachsten Fällen des jetzt zu erledigenden Problemes, nämlich in denen wo entweder
h
= 1 oder aber
k
=
n
—
h
= 1 ist, wo also fast alle Ungleichungsfaktoren zur einen Sorte und nur einer zur andern Sorte gehört.
Ich will dieselbe für den letztern Fall
k
= 1 aussprechen und begründen; alsdann ist nur eine Vertauschung der Buchstaben
r
und
s
, sowie von
h
mit
k
erforderlich, um die Antwort auch für den andern Fall zu erhalten.
Sei also —
h
=
n
— 1 gedacht —:
r
=
r
1
+
r
2
+ … +
r
h
=
s
=
s
1
so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Bestimm- barkeit eines solchen
u
, dass sein Produkt in jedes der
r
ϰ
≠ 0 und zugleich das Produkt seiner Negation
u
1
in das eine
s
1
≠ 0 ist, wie folgt:
Sind einzelne von den Klassen r
ϰ
singuläre
,
das ist Individuen
,
so darf nicht die Summe der übrigen
(der nicht singulären)
Klassen r
ϰ
ein- geordnet sein der Summe von allen diesen
.
Da jene Summe 0 wäre, wenn kein
r
ϰ
mehr übrig, nämlich
alle r
ϰ
Individuen wären, und die 0 jedem Gebiete eingeordnet ist, so ist hiemit insbesondre auch der Fall ausgeschlossen, wo alle
r
ϰ
Individuen wären. —
Dass obige Bedingung
notwendig
ist, erkennt man so. Ist sie nicht erfüllt, ist also die Summe der nicht singulären Klassen der
r
- Reihe in der Summe ihrer singulären Klassen enthalten, so muss
Σ r
ϰ
oder
r
ganz in
u
hineinfallen. Jede singuläre Klasse
r
ϰ
muss nämlich als das einzige in ihr zur Verfügung stehende Individuum unweiger-
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
lich zu
u
geschlagen werden,

u
sein; dasselbe ist dann auch mit der Summe aller singulären
r
ϰ
, und da in dieser die Summe der übrigen laut Annahme schon enthalten ist mit der Summe aller
r
ϰ
der Fall. Nun haben wir
r

u
, und wegen
r
=
s
1
auch
s
1

u
oder
s
1
u
1
= 0; unmöglich bleibt es hienach zu bewirken, dass
s
1
u
1
≠ 0 werde, q. e. d.
Dass sie
hinreicht
, beweise ich so. Sind eventuell einzelne
r
ϰ
Indi- viduen, so bilde man deren Summe und schlage sie zu
u
(eventuell ist sie 0). Für jede Klasse
r
ϰ
(eventuell keine), welche mit dieser Summe wertgemein ist, ein Individuum gemein hat, ist dann sicher die Forderung
r
ϰ
u
≠ 0 erfüllt.
Da jedoch nach der Annahme die übrigen
r
ϰ
nicht alle eingeordnet jener Summe sein können (weil sonst auch deren Summe es sein müsste) so greift mindestens eines dieser
r
ϰ
über jene Summe hinaus (liegt eventuell ganz ausserhalb derselben). Dann braucht man nur
ein
Individuum aus dem hinausgreifenden Teil (resp. dem ganz ausser- halb liegenden
r
ϰ
) zu
u
1
zu schlagen, um für
s
1
die Forderung
s
1
u
1
≠ 0 erfüllt zu haben.
Diejenigen Klassen
r
ϰ
, für welche die Forderung
r
ϰ
u
≠ 0 dann noch zu erfüllen bleibt, liegen durchweg ganz ausserhalb jener Summe der singulären Klassen
r
ϰ
, und da sie ihrerseits nicht singulär sind, enthält eine jede derselben mindestens zwei Individuen, sonach ausser dem bereits zu
u
1
geschlagenen Individuum (wenn sie dieses überhaupt enthielt) noch mindestens ein neues Individuum (eventuell als ein ihrer mehrern oder sämtlichen gemeinsames), und man braucht nun blos das letztere je noch zu
u
zu schlagen um alle Forderungen durchweg erfüllt zu haben, q. e. d.
Beispielsweise würde so die
„Konjunktur“
oder spezielle Zusammen- setzungsweise der (‚Individuenverteilung auf die) Klassen der
r
-Reihe:
r
1
=
i
1
,
r
2
=
i
2
,
r
3
=
i
3
,
r
4
=
i
1
+
i
2
,
r
5
=
i
1
+
i
3
|
s
1
=
i
1
+
i
2
+
i
3
— desgleichen mit
r
5
=
i
1
+
i
2
+
i
3
, etc. (bei
h
= 5,
k
= 1)
unzulässig
sein. Dagegen die Konjunktur:
r
1
=
i̱
1
,
r
2
=
i̱
2
,
r
3
=
i̱
1
+
i̱
2
,
r
4
=
i̱
1
+
i̱̱
3
,
r
5
=
i̱
2
+
i̱̱
3
|
s
1
=
i̱
1
+
i̱
2
+
i̱̱
3
würde zulässig sein, und wären blos die einmal unterstrichenen Individuen zu
u
, das zweimal unterstrichene zu
u
1
zu schlagen.
Das hier bethätigte Verfahren des einmaligen Unterstreichens von jedem notwendig zu
u
und des zweimaligen von jedem ersichtlich zu
u
1
zu schlagenden Individuum empfiehlt sich sehr, wenn man eine vorgelegte Kon- junktur schnellstens auf ihre Zulässigkeit prüfen will. Die Fälle wo ein zwingender Grund vorliegt, sich für das eine oder andere zu entscheiden
§ 49. Studien über die Klausel.
(nämlich ein bestimmtes
i
entweder zu
u
oder zu
u
1
zu schlagen), hat man vorweg aufzusuchen, die Ansätze nötigenfalls auch ausser der Reihe über- fliegend (skimming), um dann nur noch bei den übrigen Individuen, bei denen solch zwingender Grund nirgends zutage tritt, alle Möglichkeiten ausprobiren zu müssen. Unzulässig wird die Konjunktur sein, wenn ein Individuum übrig bleibt oder man schon vorher auf ein solches stösst, bei welchem einerseits die Nötigung es nur einmal zu unterstreichen zusammen- trifft mit der kategorischen Forderung, es zweimal zu unterstreichen — wofern dabei nur alle Möglichkeiten, wo vielleicht die Entscheidung in unser Belieben gestellt schien, auch durchprobirt worden. Andernfalles, nämlich wenn man ohne solchen Konflikt mit Unterstreichen aller Individuen zu Ende zu kommen vermag, wird die Konjunktur als zulässig erwiesen und zugleich eine Bestimmungsweise von
u
, die alle Forderungen erfüllt, gefunden sein.
Als ein wesentlicher Bestandteil der Klausel wurde oben der Satz gefunden:
Besteht die eine der beiden Parameter-Reihen
(Gebieten oder Klassen
r
ϰ
,
s
λ
)
aus nur einem solchen Aggreganten, so darf nicht bei der andern Reihe die Summe ihrer nicht singulären Klassen enthalten sein in der Summe ihrer singulären.
Was nun die Klausel in den Fällen
h
und
k

2 betrifft, so lassen gewisse von den bereits statuirten Anforderungen als not- wendige sich auch allgemein begründen.
Niemals wiederum dürfen alle Aggreganten der einen Reihe Indi- viduen, singuläre Klassen sein. Und es darf auch kein Aggregant der einen Reihe mit einem solchen der andern Reihe zu einem und dem- selben Individuum zusammenfallen, oder kürzer gesagt: keine singuläre Klasse der einen darf identisch sein mit einer Klasse der andern Reihe.
Nie darf auch ein Aggregant der einen Reihe blos Summe aus lauter singulären Aggreganten der andern Reihe sein
— wie unschwer zu rechtfertigen.
Die letzte Forderung involvirt auch die beiden vorhergehenden, macht sie, wie man leicht sieht, überflüssig.
Dass dieselbe aber noch nicht hinreicht, zeigen die Fälle
h
= 2,
k
= 2, sowie
h
= 3,
k
= 2, in welchen ich ausserdem die nach- stehenden Konjunkturen als unzulässig ermittelte.
Für
r
=
r
1
+
r
2
=
s
=
s
1
+
s
2
sind noch obendrein unzulässig die beiden Konjunkturen:
34
0
)
r
1
=
i
1
,
r
2
=
i
2
+
i
3
s
1
=
i
2
,
s
2
=
i
1
+
i
3
„ „
s
1
=
i
1
+
i
2
,
s
2
=
i
1
+
i
3
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
— desgleichen in letzter
r
und
s
vertauscht, sowie überhaupt irgend welche Umstellungen mit den (oberen) Indices der
r
, der
s
, und der
i
vorgenommen. Für
r
=
r
1
+
r
2
+
r
3
=
s
=
s
1
+
s
2
sind es zum wenigsten auch die folgenden fünfe:
35
0
)
r
1
=
i
1
,
r
2
=
i
2
,
r
3
=
i
3
+
i
4
s
1
=
i
3
,
s
2
=
i
1
+
i
2
+
i
4
r
1
=
i
1
,
r
2
=
i
2
+
i
3
,
r
3
=
i
2
+
i
4
s
1
=
i
2
,
s
2
=
i
1
+
i
3
+
i
4
„ „ „
s
1
=
i
1
+
i
2
,
s
2
=
i
3
+
i
4
„ „ „
s
1
=
i
1
+
i
2
,
s
2
=
i
1
+
i
3
+
i
4
r
1
=
i
1
+
i
2
,
r
2
=
i
1
+
i
3
,
r
3
=
i
1
+
i
4
s
1
=
i
1
,
s
2
=
i
2
+
i
3
+
i
4
Ausserdem sind aber wieder unzulässig die Fälle in welchen zweie von den drei
r
ϰ
mit einem der beiden
s
eine von den Konjunkturen eingehen, welche bei
h
= 2,
k
= 2 als unzulässig nachgewiesen wurden.
Die Vollständigkeit dieser Liste von Ausnahmen vermag ich in- dess noch nicht zu verbürgen und lasse das Problem hier stehen — nachdem es jetzt wenigstens bis zum Charakter eines rein kombina- torischen Problems entwickelt worden — in der Hoffnung, dass es durch fernere Forschungen seiner Lösung vollends entgegengeführt werden möchte.
Dass es übrigens zur Unzulässigkeit einer Konjunktur nicht ein- mal erforderlich ist, dass einzelne Aggreganten zu Individuen zusammen- schrumpfen, mag noch das Beispiel zeigen:
r
1
=
i
1
+
i
2
,
r
2
=
i
2
+
i
3
,
r
3
=
i
3
+
i
4
,
r
4
=
i
1
+
i
4
+
i
5
;
s
1
=
i
1
+
i
3
,
s
2
=
i
1
+
i
4
,
s
3
=
i
2
+
i
4
,
s
4
=
i
2
+
i
3
+
i
5
.
Wissen wir, dass für ein unbekanntes
u
gilt:
(
r
1
u
≠ 0) (
r
2
u
≠ 0) ‥ (
r
4
u
≠ 0) · (
s
1
u
1
≠ 0) ‥ (
s
4
u
1
≠ 0),
so wissen wir von den Parametern
r
1
,
r
2
, ‥
r
4
,
s
1
, ‥
s
4
unter anderm auch sicher, dass dieselben aus fünf Individuen
nicht
auf vorstehende Weise zusammengesetzt sein können und gehört solches Wissen zu der als Resultante der Elimination von
u
zu bezeichnenden Kon- klusion.
Als Abkürzung bei Darstellung und Aufsuchung der auszu- schliessenden Konjunkturen wird es sich empfehlen eine Schreibweise einzuhalten, die dadurch erläutert werden möge, dass wir in ihr die vorstehend angeführten bisher ermittelten Fälle wiederholend zusammen- stellen:
§ 49. Noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
36
0
) 1, 23
2, 13; 1, 2, 34
3, 124; 12, 23, 34, 145
13, 14, 24, 235.
„
12, 13; 1, 23, 24
2, 134
„ „
12, 34
„ „
12, 134
12, 13, 14
1, 234;
Um z. B. die Unzulässigkeit der letzten nachzuweisen sind zwei Proben erforderlich. Die eine
ergibt, dass es unzulässig, das Element 1 des Aggreganten 12 zum Gebiet
u
zu schlagen, indem hernach im Hinblick auf den Aggreganten 13 das Element 3 zu
u
1
geschlagen werden muss, darnach vom Aggreganten 23 notwendig das Element 2 zu
u
zu schlagen ist, und einerseits von 34 das Element 4 zu
u
, andrerseits von 14 und 24 aber zu
u
1
geschlagen werden müsste, was den Konfliktsfall ausmacht.
Die andere Probe besteht in der Verfolgung der Möglichkeit vom Aggreganten 12 das Element 2 zu
u
zu schlagen:
wonach denn von 24 sicher die 4 zu
u
1
, darnach von 34 die 3 zu
u
, von 13 die 1 zu
u
1
gehören wird und in bezug auf 5 der Konflikt zutage tritt, dass es als letztübriges Element von 145 zu
u
, als ebensolches aber von 235 zu
u
1
geschlagen werden müsste. —
Auffallen muss es, dass bei den an 27
0
) geknüpften Schlüssen von der Voraussetzung 26
0
) weiter gar kein Gebrauch zu machen ge- wesen. Die letztere trägt darnach überhaupt nur dazu bei, die Fälle zu charakterisiren, in welchen die ermittelten Klauseln unerlässlich werden, ohne jedoch dabei von irgend einem Einfluss auf diese selbst zu sein. In letztern kommen die Gebiete
a
und
b
überhaupt nicht explicite vor, sondern immer nur in den Verbindungen
r
ϰ
und
s
ϰ
, in denen sie allerdings als Faktor stecken. —
Ein noch weit schwierigeres Problem als bei
einem
Eliminanden
x
muss die Vervollständigung unsrer „Resultante aus dem Rohen“ zur vollen Resultante dann darbieten, wenn zwei oder mehr Gebietsym- bole oder Klassen
x
,
y
,
z
, … als
simultan
zu eliminirende in Betracht kommen.
Dieser würden streng genommen auch Schlüsse zuzuzählen sein, die sich eventuell ziehen lassen in Bezug auf eine Minimalzahl von Individuen, welche die den Daten zugrunde liegend gedachte Mannig- faltigkeit 1 allermindestens enthalten muss.
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
Jedenfalls zeigt die Algebra der Logik auch hierin den Charakter einer echten Wissenschaft, dass sie dem Forschenden gewichtige noch ungelöste Probleme darbietet. —
Vorstehender § 49 war schon tel, quel geschrieben, als mir das Manuskript einer Arbeit des Herrn
Voigt
zur Mitbegutachtung (Korreferat) überwiesen wurde, der sich auf meine Anregung mit dem oben charakte- risirten Probleme beschäftigt hatte von dem Standpunkte aus, auf welchem, nachdem Herr
Mitchell
1
(und Miss
Ladd
1
, vergl. § 54) es zu lösen be- gonnen, dasselbe durch meine Mitteilung
6
gebracht und gelassen war. Das Erscheinen von
Voigt’
s Doktorarbeit fällt in die Zeit der Drucklegung meines gegenwärtigen zweiten Bandes, dessen so viel grösserer Umfang natürlich eine längere Drucklegungszeit erforderte. Begreiflich wird man manche Anklänge in meinen vorstehenden und der
Voigt’
schen Betrachtungen finden, wie ich denn schon in § 47 zu konstatiren gehabt (S. 326), dass Herr
Voigt
mir mit der Publikation meiner Definition und gewisser Sätze vom Individuum, auf welche er selbständig verfallen, zuvorgekommen. [Letzteres würde umge- kehrt liegen, wenn ich auf der Heidelberger Naturforscherversammlung die zweite angezeigte Mitteilung nicht wegen vorgerückter Zeit zurückgezogen hätte — cf.
9
ebenda.]
Es ist nicht meine Aufgabe, hier über die mehrseitigen Verdienste der
Voigt’
schen durchaus lesenswerten Arbeit mich zu verbreiten [auf deren eines ich auch in § 41, S. 209, hinzuweisen Veranlassung hatte]. Ich darf und will mich vielmehr begnügen, die Quintessenz der
Voigt’
schen Arbeit, soweit sie eben auf jenes Problem Bezug hat, das uns im gegen- wärtigen Paragraphen beschäftigte, noch darzulegen und kurzmöglichst zu begründen.
Wenn ein System „eingliedriger partikularer“ Forderungen zu er- füllen ist:
(
x p
1
≠ 0) … (
x p
m
≠ 0) · (
x
1
q
1
≠ 0) … (
x
1
q
n
≠ 0)
und es ist die Zerfällung der Parameter
p
,
q
in Individuen
gegeben
, so muss es möglich sein, aus jedem der
p
mindestens je
ein
Individuum zu
x
und zugleich aus jedem der
q
mindestens je
ein
Individuum zu
x
1
zu schlagen (wie dies schon weiter oben, sowie in
6
von mir ausgesprochen).
Um dies zu entscheiden, wird also auf jede mögliche Weise aus jedem
p
ein Individuumglied und zugleich aus jedem
q
ein solches
aus- zuheben
und zuzusehen sein, ob und wie die gerade ausgehobnen Indi- viduen aus den
p
zu
x
, die aus den
q
zugleich zu
x
1
geschlagen werden könnten.
Alle nur erdenklichen Aushebungsweisen geht man nun nach
Voigt
durch, wenn man im Hinblick auf die Multiplikationsregel der Polynome die
m
+
n
Individuensummen:
p
1
p
2
…
p
m
q
1
q
2
…
q
n
§ 49. Studien über die Klausel und noch ungelöste Probleme des Kalkuls.
„
formell
“ ausmultiplizirt. Das allgemeine Glied des entwickelten (ex- pandirten) Produkts hat die Form:
i
1
i
2
…
i
m
j
1
j
2
…
j
n
,
wenn
i
ϰ
irgend ein Individuum aus
p
ϰ
, dagegen
j
ϰ
eines aus
q
ϰ
(bei
ϰ
= 1, 2, …
m
resp.
n
) für den Augenblick bezeichnet.
Sooft nun keines der
j
mit irgend einem der
i
identisch ist, mit welchen es zusammen ausgehoben worden und vorstehend zu einem Einzelprodukte vereinigt erscheint, kann man sämtliche ausgehobnen
i
zu
x
und sämtliche ausgehobnen
j
zu
x
1
schlagen und erhält eine partikulare („elementare“) Lösung (Auflösung nach
x
) der Prämissen- aussage.
Die vorliegende Aushebung ist dagegen unbrauchbar zu solchem Zwecke, sooft eines der
j
mit einem der
i
zusammenfällt,
sooft also das Glied
, wegen
i i
1
= 0
verschwinden würde
,
falls man in ihm die j mit Negationsstrich versehen hätte
. [In der vorgängigen Versehung aller
j
mit Negationsstrichen — schon vor dem Ausmultipliziren — besteht darnach wesentlich Herrn
Voigt’
s „symbolisches Verfahren“, alle Lösungen
x
zu finden.] Und zwar auch
nur
dann, ausschliesslich in diesem Falle, wird die betrachtete Aushebung unbrauchbar sein (eine Lösung
x
abzugeben)
vorausgesetzt
, dass man auf das ohnehin eigent- lich immer stattfindende Verschwinden jedes identischen Produkts von
verschiedenen
Individuen, wie
i
1
i
2
, welches ja schon = 0 wäre, etc. bei jenem „formellen“ Ausmultipliziren
keine Rücksicht nimmt
. —
Vorstehendes ist wol der Kern der von Herrn
Voigt
gegebenen
Lösung
des Auflösungs- und Eliminationsproblems — von ihm auch noch auf „mehrgliedrige partikulare Forderungen“ entsprechend ausgedehnt (die er, nebenbei gesagt, ebenso wie universale in Gleichungenform ansetzt mittelst Einführung von 0 resp. 1
verschieden
zu denkender unbestimmter Klassen).
Jene Arbeit als eine „Lösung“ gedachter Probleme zu bezeichnen ist zutreffend in einem bestimmten Sinne des Wortes, nicht zutreffend in einem andern.
Die
Auflösung
nach einer Unbekannten
x
erscheint in der That vollständig geleistet insofern, als ein rein mechanisches Verfahren gegeben ist, als die „Wurzeln“ alle möglichen Arten aufzufinden, wie jene Unbe- kannte aus den in die Parameterklassen
p
,
q
eingehenden Individuen über- haupt zusammengesetzt werden kann. Vermissen lässt die „Lösung“ dagegen einen ebendiese Wurzeln übersichtlich zusammenfassenden Gesamtausdruck: also eine allgemeine Formel für die Wurzel.
Das Eliminationsproblem aber erscheint nur insofern „gelöst“, als die
Zusammensetzung der Parameterklassen p
,
q aus Individuen
als eine gegebene angesehen, dabei
benutzt
werden darf. Die Resultante tritt alsdann in
Dreiundzwanzigste Vorlesung.
Gestalt der Forderung auf, dass das obige Verfahren zur Auffindung sämt- licher Wurzeln nicht durchweg versage, dass nicht sämtliche Glieder jenes durch „formelles“ Ausmultipliziren zu gewinnenden Aggregates verschwinden. Und wenn hienach Herr
Voigt
die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von Wurzeln auch ganz richtig formulirt, so erscheint solche Formulirung doch immer noch als eine
zu nahe
Umschreibung der Aufgabenstellung selber. Jede rein analytische Lösung eines formal-logischen Problemes wird ja denknotwendig hinauslaufen auf eine blosse Transforma- tion („Umschreibung“) dessen, oder eines Teils von dem, was in den Daten des Problems implicite statuirt war. Und so trifft der Begriff der Lösung für unser Eliminationsproblem auch hier schon in einem gewissen Sinne zu. Ohne damit den Verdiensten der
Voigt’
schen Arbeit zu nach treten zu wollen, muss ich aber betonen, dass solche Lösung in einem rigoroseren Sinne immer noch zu wünschen bleibt:
Es bleibt die „Klausel“ oder vollständige Resultante der Elimination des
x
noch zu ermitteln in Gestalt einer solchen Aussage, welche von den Parameterklassen
p
,
q selber
spricht, nicht aber von den in diese eingehenden Individuen, welche vielmehr eben die durch die Data des Problems den
p
,
q
in Hinsicht ihrer zulässigen Zusammensetzungsweisen aus Individuen auf- erlegten Beschränkungen in Gestalt einer von diesen
p
,
q
selbst zu erfüllen- den Bedingung aussagenrechnerisch charakterisirte! [so wie es für den ein- fachsten Fall mittelst 9
0
) S. 381 von uns geschehen].
Die Lösung
dieser
Aufgabe steht noch aus und würde sie mir als der Schlussstein erscheinen, welcher das Gewölbe der zweiten Logiketage ab- schliesst, ev. deren Kuppelbau krönt. Diese sei darum auch angelegentlich den Forschern empfohlen.
Holzmüller,
Dr.
Gustav,
Direktor der Kgl. Gewerbeschule zu Hagen,
Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandt- schaften
und der conformen Abbildungen, verbunden mit An- wendungen auf mathematische Physik. Mit 26 lithographirten Tafeln. [VIII u. 284 S.] gr. 8. 1882. geh. n. ℳ. 11. 20.
Klein, Felix,
o. ö. Professor der Geometrie a. d. Universität Leipzig,
über Riemann’s Theorie der algebraischen Functionen
und ihrer Integrale. Eine Ergänzung der gewöhnlichen Darstellung. [VIII und 82 S. mit Figuren im Text.] gr. 8. 1882. geh. n. ℳ. 2. 40.
————
Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Mo- dulfunctionen
. Ausgearbeitet und vervollständigt von Dr.
Robert Fricke
. 2 Bände. Erster Band. Grundlegung der Theorie. Mit zahlreichen in den Text gedruckten Figuren. [XX u. 764 S.] gr. 8. 1890. geh.
n. ℳ. 24. — [Der II. Band folgt 1892].
Koenigsberger,
Dr.
Leo,
ord. Prof. an der Universität zu Heidelberg,
die Transformation
,
die Multiplication und die Modular- gleichungen der elliptischen Functionen
. [VII u. 196 S.] gr. 8. 1868. geh.
n. ℳ. 4. —
————
Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Func- tionen
nebst einer Einleitung in die allgemeine Functionenlehre. Mit 62 Holzschnitten im Text. 2 Theile. gr. 8. 1874. geh. n. ℳ. 21. 60.
Einzeln: I. Teil. [VIII u. 431 S.] n. ℳ. 14. — II. — [VII u. 219 S.] n. ℳ. 7. 60.
————
Vorlesungen über die Theorie der hyperelliptischen Integrale
. [IV u. 170 S.] gr. 8. 1878. geh.
n. ℳ. 4. 80.
————
zur Geschichte der Theorie der elliptischen Tran- scendenten in den Jahren
1826—1879. [104 S.] gr. 8. 1879. geh.
n. ℳ. 2. 40.
Krause, Martin,
Professor der Mathematik an der Universität zu Rostock,
die Transformation der hyperelliptischen Funktionen erster Ordnung
. Nebst Anwendungen. [VII u. 276 S.] gr. 8. 1886. geh.
ℳ. 10. —
Krazer,
Dr.
Adolf,
Theorie der zweifach unendlichen Theta- reihen
auf Grund der Riemann’schen Thetaformel. [VII u. 66 S.] gr. 4. 1882. geh.
n. ℳ. 3. 60.
Lindemann,
Dr.
F.,
Professor an der Universität zu Freiburg i. B.,
Unter- suchungen über den Riemann-Roch’schen Satz
. [40 S.] gr. 8. 1879. geh.
ℳ. 1. —
Lommel,
Dr.
Eugen,
Professor der Experimentalphysik an der Univer- sität zu München,
Studien über die Bessel’schen Functionen
. [VII u. 135 S.] gr. 8. 1868. geh.
n. ℳ. 3. —
Meyer,
Dr.
A.,
ord. Professor an der Universität zu Lüttich,
Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung
. Deutsch bearbeitet von
Emanuel Czuber
. [XII u. 554 S.] gr. 8. 1879. geh. n. ℳ. 12. —
Neumann,
Dr.
Carl,
ord. Professor der Mathematik an der Universität zu Leipzig,
Vorlesungen über Riemann’s Theorie
der Abel’schen Integrale. Zweite vollständig umgearbeitete und wesentlich ver- mehrte Auflage. Mit zahlreichen in den Text gedruckten Holz- schnitten und einer lithographirten Tafel. [XIV u. 472 S.] gr. 8. 1884. geh.
n. ℳ. 12. —
————
Theorie der Bessel’schen Functionen
. Ein Analogon zur Theorie der Kugelfunctionen. [VIII u. 72 S.] gr.8. 1867. geh. n. ℳ. 2. —
————
über die nach Kreis-
,
Kugel- und Cylinderfunc- tionen fortschreitenden Entwicklungen
, unter durchgängiger Anwendung des Du Bois-Reymond’schen Mittelwerthsatzes. [VIII u. 140 S.] gr. 4. 1881. geh.
n. ℳ. 7. 20.
Neumann,
Dr.
Franz,
Professor der Physik und Mineralogie an der Universität zu Königsberg,
Beiträge zur Theorie der Kugel- functionen
. I. u. II. Abtheilung. [In einem Band.] [156 S.] gr. 4. 1878. geh.
n. ℳ. 8. —
————
Vorlesungen über mathematische Physik
, gehalten an der Universität Königsberg. Herausgegeben von seinen Schülern in zwanglosen Heften. 6. Heft:
Vorlesungen über die Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen
. Herausgegeben von Dr.
Carl Neumann
, ord. Professor der Mathematik an der Uni- versität Leipzig. Mit Figuren im Text. [XVI u. 364 S.] gr. 8. 1887. geh.
n. ℳ. 12. —
Prym,
Dr.
Friedrick,
o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Würzburg,
Untersuchungen über die Riemann’sche Theta- formel und die Riemann’sche Charakteristikentheorie
. [VIII u. 112 S.] gr. 4. 1882. geh.
n. ℳ. 6. —
Rausenberger,
Dr.
Otto,
Lehrbuch der Theorie der periodischen Functionen einer Variabeln mit einer endlichen Anzahl wesentlicher Discontinuitätspunkte nebst einer Einleitung in die allgemeine Functionentheorie
. Mit in den Text ge- druckten Figuren. [VIII u. 476 S.] gr. 8. 1884. geh. n. ℳ. 10. 80.
Riemann’s, Bernhard,
gesammelte mathematische Werke
und wissenschaftlicher Nachlass. Herausgegeben unter Mitwirkung von R.
Dedekind
von H.
Weber
. [VIII u. 526 S.] gr. 8. 1876. geh. n. ℳ. 16. —
Roch,
Dr.
G.,
de theoremate quodam
circa functiones Abelianas. [12 S.] 4. 1864. geh.
ℳ. —. 60.
Schottky,
Dr.
F.,
Privatdocent an der Universität Breslau,
Abriss einer Theorie der Abel’schen Functionen von drei Variabeln
. [162 S.] gr. 8. 1880. geh. n. ℳ. 4. —
Schröder,
Dr.
E.,
Professor an der technischen Hochschule in Karls- ruhe,
der Operationskreis des Logikkalkuls
. [VI u. 37 S.] gr. 8. 1877. geh.
ℳ. 1. 50.
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Vorlesungen über die Algebra der Logik
(
exakte Logik
). 2 Bände. Erster Band. Mit viel Figuren im Texte. [XII u. 717 S.] gr. 8. 1890. geh.
n. ℳ. 16. —
———— ———— Zweiter Band. Erste Abteilung. Mit viel Figuren im Texte. gr. 8. 1891. geh.
n. ℳ. 12. —